Preguntas propuestas
1
2015
• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales
Geometría
Ángulo, ángulos entre rectas paralelas y una recta secante
4.
Si L 1 // L 2 , halle x.
L 1
NIVEL BÁSICO
5 x
1.
Si
OM es
bisectriz del AOB, halle x. L 2
80º A M
A) 9º
O
A) 170º D) 140º
C) 12º
D) 15º
25º
x
B) 10º
B
B) 160º
5.
E) 16º
Si L 1 // L 2 , halle x.
C) 150º E) 130º 8 x
2.
L 1
En el gráfico, halle m AOB.
L 2 A α α
40º
60º
B
θ θ
O
A) 80º D) 120º
B) 100º
C) 110º E) 140º
3.
Del siguiente gráfico, si ángulos son a y b?
A) 5º
C) 10º
D) 15º
L 1 // L 2 ,
E) 20º
¿qué tipos de
6.
L 1
B) 8º
Si L 1 // L 2 y q=2a, halle a.
β
L 1
α θ
L 2 α
α
L 2
A) alternos internos B) alternos externos C) correspondientes D) conjugados internos E) conjugados externos
A) 20º
B)
D) 40º
25º 2
C) 30º E)
2
45º 2
Geometría
7.
De acuerdo con el gráfico,
L 1 // L 2 ,
calcule x.
10.
L 1 140º
L 2
A
A) 20º B) 25º C) 30º D) 40º E) 45º
x
160º
Si el AOB es recto y OM y ON son bisectrices de los AOC y BOC respectivamente, halle m MON .
M C
O
A) 60º D) 75º
B) 65º
8.
Del gráfico,
C) 70º E) 80º
L 1 // L 2
B
L 3 // L 4,
y
N
halle x.
11.
L 1
Si L 1 // L 2 y L 3 // L 4 , halle x –10º.
α α
L 3
L 3
L 4 L 1
x
50º L 4 x
θ
L 2
60º
θ
L 2 2 x
A) 25º D) 45º
B) 30º
C) 40º E) 50º
A) 20º D) 40º
NIVEL INTERMEDIO 12.
9.
Si OM es bisectriz del AOB, además m AOB=80º, halle x.
B) 25º
C) 30º E) 10º
Si las rectas L 1 y L 2 son paralelas, calcule x. L 1
A
α
α
M x
4 x+20º
80º
O
β
A) 4º D) 8º
B) 5º
C) 6º E) 10º
3
L 2
β
B
A) 120º D) 105º
B) 115º
C) 110º E) 100º
Geometría A) 10º B) 18º C) 20º D) 25º E) 30º
NIVEL AVANZADO
13.
En el gráfico mostrado, OM es bisectriz del =3(m BOM ), halle m BOM . BOC y m AOC
A B
C
100º θ
O
A C
D
M
15.
En el gráfico L 1 // L 2, halle x. L 1
O
β
B
A) 20º B) 25º C) 30º D) 36º E) 18º
100º
α
14.
β
40º
α
L 2
En el gráfico mostrado OB y OC son bisectrices de los ángulos AOC y AOD respectivamente, halle q.
A) 110º D) 140º
B) 120º
4
C) 130º E) 150º
x
Geometría Triángulo I
A) 120º
B) 130º
C) 140º
D) 150º
E) 160º
NIVEL BÁSICO 5. 1.
En el siguiente gráfico, halle x.
Según el gráfico, calcule 2 x. x
α
5 x+10º
50º 5 x
A) 10º D) 24º 2.
70º
B) 20º
60º
C) 30º E) 15º
A) 60º
6.
60º
B) 15º
Del gráfico mostrado, halle a.
70º
40º
C) 20º E) 30º
2α
θ α
θ
A partir del gráfico, calcule x. A) 10º A) 70º B) 75º C) 80º D) 85 E) 90º
4.
C) 80º E) 110º
5 x
2 x
3.
B) 70º
D) 100º
De acuerdo con el gráfico, calcule x.
A) 10º D) 25º
α
B) 15º
C) 20º
D) 25º
E) 30º
30º
α
7.
x
70º
En el gráfico, calcule x.
α
4 x
En el gráfico mostrado, m+ n=140º. Halle x+ y.
θ
10º 2 x
n 60º
θ
x 110º m
A) 10º
y
D) 30º
5
B) 20º
C) 25º E) 15º
Geometría 8.
Según el gráfico, calcule x. A) 150º B) 140º C) 130º D) 120º E) 100º
A) 10º D) 20º
B) 15º
C) 25º E) 30º
2α 12.
β
θ
Según el gráfico, m + n = 180 + . Calcule x – y. 2
x
m
120º x
α
θ
2β
n
NIVEL INTERMEDIO 9.
A) 2 q
En el gráfico, a+b+q+f=140º. Calcule m+ n.
D) θ
β
y
B)
3q
C)
2
5q
q
2
E) 3q
2
NIVEL AVANZADO m
α
A) 200º D) 280º 10.
φ
n
B) 220º
13.
C) 240º E) 110º
En un triángulo, los valores numéricos de las medidas angulares interiores son números consecutivos. Halle la medida angular intermedia. A) 49º D) 60º
Del gráfico, calcule x+ y. 14.
α
B) 58º
C) 59º E) 61º
Según el gráfico, calcule x+ y.
α θ
2θ y
α x
x
y
θ
A) 45º D) 120º 11.
B) 60º
120º θ
C) 90º E) 180º
2α
A) 80º D) 70º
En el gráfico, calcule x – y. 160º
α
15.
α
y θ
θ
x
β ω
B) 85º
β ω
C) 90º E) 75º
En un triángulo ABC , AB=5, BC =6 y m ABC > m BAC . Halle la diferencia entre el mayor y menor valor entero de AC . A) 1 D) 4
B) 2
6
C) 3 E) 5
Geometría Triángulo II
4.
En el gráfico, BD es bisectriz exterior del triángulo ABC , halle x.
NIVEL BÁSICO 1.
B x
Si AB= BC=AC = BD, halle x. B
30º
20º
A
C
D
D
A) 55º D) 70º
x
B) 60º
C) 65º E) 80º
70º 5.
A
C
A) 65º D) 85º 2.
B) 70º
C) 80º E) 90º
En el gráfico, los triángulos ABC y ADC son isósceles de bases AC y CD, respectivamente. Halle x. C
A) 10º B) 15º C) 20º D) 5º E) 25º
Si AB= BC y AC =CD, calcule x. B
x
100º 40º
C
A
A 6.
x
D
B
En un triángulo isósceles, ABC de base AC , se traza la altura CH , tal que, m BCH =4(m ACH ). Halle m ABC .
D
A) 50º D) 65º
B) 55º
A) 10º D) 30º
C) 60º E) 70º 7.
3.
En el gráfico, BD es bisectriz interior del triángulo ABC , además, AB= BD. Halle m BAC .
B) 15º
C) 20º E) 40º
Si ABC es un triángulo equilátero, además, BR= BS, calcule x. B
B x
S
50º
30º
A
A) 50º D) 80º
D
C) 70º E) 75º 7
C
A
C
B) 60º
R
A) 20º D) 45º
B) 30º
C) 40º E) 50º
Geometría 8.
Del gráfico mostrado, si a+ b=150º, calcule a.
B
L x a
θ
α α α
b
β
A
M
C
β β
A) a – b
θ
D) A) 20º
B) 30º
D) 50º
NIVEL INTERMEDIO 9.
B) 30º
D) 40º 10.
D) 45º
C) 36º E) 37º
2
D) 65º
B) 55º
B) 100º
A) 10º D) 30º 15.
C) 110º E) 130º
B) 15º
C) 20º E) 40º
Del gráfico mostrado, q > a, AB=7 y AC =9. Halle la cantidad de valores enteros de BC , si el ABC es acutángulo. B
θ
α
A
E) 70º
Si L es mediatriz de AC y AB=CM . Halle x en función de a y b.
2
En la región exterior relativa al lado BC de un triángulo equilátero ABC , se ubica D, tal que AD ∩ BC ={ E } y BE = DE . Halle m CAE , si AC = BD.
C) 60º
α +β
En un triángulo ABC , m ACB=60º y m ABC =70º. Si se traza la altura BH , halle la medida del ma yor ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BAC y HBC .
En la región exterior del lado AC de un triángulo isósceles ABC ( AB= BC ), se ubica el punto D, tal que, AD= BC y m BAD=60º. Halle m BCD, si m ABC =100º. A) 50º
12.
14.
E) 25º
B) 30º
C) a – 2b E)
A) 90º D) 120º
En un triángulos isósceles ABC de base AC , se traza la ceviana interior BD, tal que, BD= AD y m CBD=90º. Halle m BAC . A) 15º
11.
13.
C) 35º
2
NIVEL AVANZADO
En un triángulo ABC , se traza la bisectriz interior BD, tal que m ABD=m ACB. Si m BAC =60º. Halle m ACB. A) 20º
α −β
α − 2β
C) 40º E) 60º
B)
C
A) 6 D) 3
B) 5
8
C) 4 E) 2
Geometría Congruencia de triángulos
4.
Se muestran los triángulos equiláteros ABC y CDE . Si AD=6, halle BE .
NIVEL BÁSICO B 1.
¿Cuáles de los siguientes pares de triángulos son congruentes? I. a α
α
a
b
E
D
b
II. m
A
n
n
C
m
A) 6 D) 3
III. m
b
b
a
a
m
A) I y III D) II y III
5.
B) solo II
B)
3
Si AB= BC , AE =8 y DE =2, halle BE .
C) solo III E) I, II y III
C B
2.
C) 6 E) 3 3
6 2
En el siguiente gráfico, AB= BC y AM =CN . Calcule x.
β
α β E
B D
α 40º
A
x A
M
A) 40º D) 70º 3.
N
B) 50º
A) 10 D) 7
C
C) 60º E) 80º
6.
B) 9
C) 8 E) 6
En el siguiente gráfico, AB=CE =5, AC =CD=4 y BD=2, halle DE .
Si AB= BC , CD=2 y DE =3, calcule AE .
E B
B E
D
C
α
D
α
C
A A
A) 8 D) 5
B) 7
C) 6 E) 4 9
A) 5 D) 6
B) 4
C) 3 E) 8
Geometría 7.
En el siguiente gráfico, AC =CD, AB=6 y DE =4; halle BE .
10.
Si el ABC es equilátero, CD= AE , EM =6 y BD=11; halle MC .
A
B
D
E M B
C
E A
A) 12 D) 9 8.
B) 12,5
C) 10 E) 8
D
A) 2 D) 5
Del gráfico, las regiones ABC y ECD son congruentes. Halle x.
11.
B) 3
C) 4 E) 6
En el gráfico mostrado, AB= BC y BD= BE . Calcule
A
C
CM ME
. C M
D
E
x
B
B
C
A) 60º D) 37º
B) 53º
E
C) 45º E) 30º
A
NIVEL INTERMEDIO
D) 9.
En el gráfico mostrado las regiones sombreadas son congruentes. Halle x. θ
x
A) q D) 45º+ q
B) 2q
2
A)
12.
D
B) 1
C)
1
2 2
E) 2
2
En el siguiente gráfico, AB =CD y BC = DE . Halle x. A) 50º B) 60º C) 70º D) 80º E) 85º
x
C
B 100º
D
C) 90º – q E) 45º+ q /2
70º
A
10
70º
E
Geometría A) VVV
NIVEL AVANZADO 13.
14.
D) FVV
En un triángulo ABC , se traza la ceviana interior BD, tal que AB=CD, m BAC =30º y m CBD=75º. Halle m ABD. A) 30º D) 45º
B) 35º
B) VFV
C) 40º E) 50º
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si un triángulo presenta solo dos alturas congruentes, entonces dicho triángulo es isósceles. II. En todo triángulo isósceles, la altura relativa a la base biseca a dicha base. III. En un triángulo equilátero, las tres alturas son congruentes entre sí.
11
15.
C) VVF E) FFV
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes enunciados. I. Si las longitudes de los tres lados de un triángulo son iguales a las longitudes de los lados de otro triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes. II. Todos los triángulos equiláteros isoperimétricos son congruentes entre sí. III. Si dos triángulos rectángulos isósceles presentan un lado común, entonces dichos triángulos son congruentes. A) VVV D) VFF
B) VFV
C) VVF E) FVV
Geometría Aplicaciones de la congruencia
A) 12 D) 9
B) 7
C) 8 E) 10
NIVEL BÁSICO 5. 1.
En el gráfico mostrado, BD=3 y AC = AB+4. Halle x.
En el gráfico, M , N , P y Q son los puntos medios de AC , AB, NR y MR. Si BP=9 y QC =3, halle PQ.
C
A) 45º B) 53º C) 60º D) 37º E) 30º
B
x
P
N
D
R Q
θ θ
A
2.
B
A
En un triángulo ABC , se traza la altura BH ( H en AC ), tal que HC =10 y m HBC =m BAC +m ACB. Halle la distancia de C hacia AB.
A) 2 D) 5
A) 5 D) 10
B)
C) 10 E) 20
5 2
2
M
6.
C
B) 3
En el gráfico, AB
=
6
C) 4 E) 3,5 2.
Halle AC + BC .
3.
B
En el gráfico mostrado, L es mediatriz de AC , además AB= BD. Halle x. A
L α
B
C
α x
θ θ
D
A) 6 D) 6
120º
40º
A
B) 12
2
C) 3 E) 12
C 7.
A) 60º D) 75º
B) 65º
C) 70º E) 80º
En el siguiente gráfico, BC =CD y AB=CE . Halle x. B
4.
2
En el gráfico mostrado, AD es bisectriz del BAC y L es mediatriz de BC . Si AB=6 y DE =1, halle AC .
C
B D
53º A
E
A
C
L
A) 37º D) 45º
x
E
B) 53º
12
D
C) 30º E) 60º
Geometría 8.
En un triángulo ABC , se traza la mediana BM , y en su prolongación se ubica el punto P, tal que la m APB=90º, además BC =2( AP).
A)
Halle m MBC .
D)
A) 15º
B) 30º
C) 37º
D) 45º
12.
E) 60º
NIVEL INTERMEDIO
1
B)
4
En un triángulo rectángulo ABC , recto en B, se traza la ceviana interior AD , tal que m ACB=2(m BAD). Si BD=a y CD= b, halle AC . A) 2 a+ b D) 2 ( a + b)
B) a+2 b
C) 2(a+ b)
4
B) 16º
C) 18º E) 24º
DN CL
B) 30º
37º
6 8
C) 37º E)
2
53º 2
Se tiene un triángulo rectángulo ABC , recto en B, se traza la bisectriz interior CD, y en AD y CD se ubican M y N tal que BD= DM y CD=2( MN ). Calcule m MNC , si m BAC =60º A) 106º D) 143º
14.
Se muestra un triángulo equilátero ABC . Halle
4
E) 2a+3 b
D) 20º 11.
E)
3
NIVEL AVANZADO
Se tiene un triángulo rectángulo ABC , recto en B, se traza la ceviana interior AD, tal que m DAC =2(m BAD), además AC = AD+2( BD). Halle m BAD. A) 15º
C)
En el triángulo rectángulo ABC , recto en B, se ubica P en la región interior, de modo que PB=3, PA=5, m PAC =2(m PBC )=2(m ACB). Calcule la m ACB.
D)
13. 10.
2
6
A) 15º 9.
3
.
45º
15.
C) 135º E) 150º
En la prolongación de AC de un triángulo rectángulo ABC , recto en B se ubica D, tal que m CBD=2(m BAC ) y AB= DM ( M : punto medio de AC ). Calcule m BAC . A) 10º D) 25º
B
B) 120º
B) 15º
C) 20º E) 30º
Se tiene un triángulo ABC isósceles de base AC , tal que m ABC =20º, AB=10, además, se traza la bisectriz interior AI . Halle el perímetro de la región triangular AIC .
D N A
L
C
13
A) 20 D) 5
B) 15
C) 10 E) 5 2
Geometría Anual UNI
ÁNGULO, ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE
TRIÁNGULO I
TRIÁNGULO II
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
14
