Geo Posi Espacial - GeoJeca

Geometria de Posição e Geometria Espacial Métrica Resumo teórico e exercícios. 3º Colegial / Curso Extensivo.

Autor - Lucas Octavio de Souza (Jeca)

Geometria de Posição e Geometria Espacial Métrica.

Relação das aulas. Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula

01 02 03 04 05 06 07 08 09

-

Página

Conceitos fundamentais fundamentais de Geometria de Posição Posição ........... Poliedros convexos convexos ................................................... .......................... .................................. ......... Prismas ........................................................ ................................ ............................................... ....................... Pirâmides ......................................................... ................................. ........................................... ................... Cilindro de revolução .......................................................... ............................................ .............. Cone de revolução revolução ............................................... ...................... ....................................... .............. Esferas ........................................................ ................................ ............................................... ....................... Sólidos semelhantes semelhantes ................................................. ........................ .................................. ......... Exercícios diversos diversos sobre sólidos compostos compostos ....................

02 17 21 30 38 45 51 56 61

Considerações gerais. Este estudo de Geometriade Posição e de Geometria Espacial Métrica tem como objetivo complementar complementar o curso que que desenvolvo desenvolvo com com os alunos de de 3º Colegial e de curso pré-vestibular. pré-vestibu lar. Não tem a pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita. Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material, desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. uso. Essa comunicação me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém. Peço a todos, todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho. Meu e-mail - [email protected]

Um abraço.

Jeca

(Lucas Octavio de Souza)

Jeca 01

Geometria de Posição e Geometria Espacial Métrica.

Relação das aulas. Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula Aula

01 02 03 04 05 06 07 08 09

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Página

Conceitos fundamentais fundamentais de Geometria de Posição Posição ........... Poliedros convexos convexos ................................................... .......................... .................................. ......... Prismas ........................................................ ................................ ............................................... ....................... Pirâmides ......................................................... ................................. ........................................... ................... Cilindro de revolução .......................................................... ............................................ .............. Cone de revolução revolução ............................................... ...................... ....................................... .............. Esferas ........................................................ ................................ ............................................... ....................... Sólidos semelhantes semelhantes ................................................. ........................ .................................. ......... Exercícios diversos diversos sobre sólidos compostos compostos ....................

02 17 21 30 38 45 51 56 61

Considerações gerais. Este estudo de Geometriade Posição e de Geometria Espacial Métrica tem como objetivo complementar complementar o curso que que desenvolvo desenvolvo com com os alunos de de 3º Colegial e de curso pré-vestibular. pré-vestibu lar. Não tem a pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita. Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material, desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. uso. Essa comunicação me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém. Peço a todos, todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho. Meu e-mail - [email protected]

Um abraço.

Jeca

(Lucas Octavio de Souza)

Jeca 01

Geometria de Posição Aula 01

Conceitos fundamentais da Geometria de Posição.

Estudos sobre Geometria realizados pelo prof. Jeca (Lucas Octavio de Souza) (São João da Boa Vista - SP)

GEOMETRIA DE POSIÇÃO. A Geometria de Posição é a parte da Geometria que estuda a determinação dos elementos geométricos, bem como as posições relativas e as interseções desses elementos no espaço.

2c) Determinação de plano. Um plano fica determinado : I - Por três pontos distintos não colineares. A

B C



1) Elementos da Geometria. a) Ponto - A, B, P, … b) Reta - a, b, r, … c) Plano - , , , …

II - Por uma reta e um ponto fora dela. r

2) Determinação dos elementos.

P



2a) Determinação de ponto. Um ponto fica determinado : I - Pelo cruzamento de duas retas concorrentes.

III - Por duas retas paralelas distintas.

r

r

P

s



s

II - Pelo cruzamento de uma reta com um plano.

IV - Por duas retas concorrentes.

r

r s



P



3) Combinações dos elementos. (dois a dois) 3a) Ponto - ponto. ponto. 3b) Ponto - reta. reta. 3c) Ponto - plano. plano. 3d) Reta - reta. 3e) Reta - plano. 3f) Plano - plano.

2b) Determinação de reta. Uma reta fica determinada : I - Por dois pontos distintos. B

r

A

II - Por um ponto e uma direção.

o ç ã e r d i

4) Posições relativas e interseções dos elementos dois a dois. 4a) Ponto - ponto. As posições relativas que dois pontos podem assumir são : I - Os dois pontos são coincidentes.

P

III - Pelo cruzamento de dois planos. 

A

r

A

B

B = A ( ou B )

II - Os dois pontos são distintos. A



B

Jeca 02

A

B=O

4b) Ponto - reta. Retas perpendiculares. As posições relativas que um ponto e uma reta (caso particular de retas concorrentes) podem assumir são : Duas retas concorrentes são ditas (GeoJeca) I - O ponto está contido na reta. perpendiculares se fazem entre si ângulos de 90º. (no plano) P r P r=P II - O ponto está fora da reta. P

r

2) Retas reversas (ou não coplanares) Duas retas são ditas reversas ou não coplanares se não existe um plano que as contém.

r=O

P

4c) Ponto - plano. As posições relativas que um ponto e um plano podem assumir são :

Retas ortogonais. (caso particular de retas reversas) Duas retas reversas são ditas ortogonais se fazem entre si ângulos de 90º. (no espaço) P

I - O ponto está contido no plano.

s r

P

P  = P



P’



r

s’

s =O

II - O ponto está fora do plano. 4e) Reta - plano.

P

P’

P  = O



As posições relativas que uma reta e um plano podem assumir são : I - Areta está contida no plano.

4d) Reta - reta.

r

As posições relativas que duas retas coplanares podem assumir são :

r



1) Retas coplanares. Duas retas são ditas coplanares se existe um plano que as contém.

s

r



r

s = r (ou s)

r’

r



 = O

II - Duas retas paralelas distintas. r



III - A reta é secante ou concorrente com o plano. r

s

s =O P é chamado de “traço de r em ”.

r

III - Duas retas concorrentes. P





r

P s

r

II - Areta é paralela ao plano.

I - Duas retas paralelas coincidentes. r

 =

r

s=P

Jeca 03

r

 =

P

Projeções ortogonais (”Sombra”)

Reta perpendicular ao plano. (caso particular de reta secante ao plano)

A

Teorema.

r

Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendicular ou ortogonal a duas retas concorrentes do plano. t

P

F

D

s

r

A

s



t

B

(GeoJeca)

A - Projeção ortogonal de P em r. B - Projeção ortogonal de P em s. C - Projeção ortogonal de P em t.

C

B C

E r

A’

4f) Plano - plano. As posições relativas que dois planos podem assumir são : I - Dois planos paralelos coincidentes.

B’

D’

C’

E’ = F’

Projeções ortogonais em r.

Distância.

Distância entre duas retas reversas. A distância entre duas retas reversas é a medida do segmento que tem extremidades nas duas retas e que   =  (ou ) é simultaneamente perpendicular a essas retas.

 

II - Dois planos paralelos distintos.

 



 = O

P P’



 =

r

Ângulo entre dois planos. É o ângulo formado por duas retas, uma de cada plano, perpendiculares à intersecção dos dois planos num mesmo ponto.

Planos perpendiculares. (caso particular de planos secantes ou concorrentes)



Teorema.

Intersecção

Dois planos são perpendiculares entre si se um deles contém uma reta perpendicular ao outro.





r



t

s

Ângulo. Ângulo entre reta e plano. É o ângulo formado entre a reta e a projeção ortogonal da reta sobre o plano.

III - Dois planos secantes (ou concorrentes) 

r

d



Onde se lê Determina Existe um Um único Coincidentes Distintos Concorrentes Colineares Coplanares Reversos

Jeca 04

Entende-se Existe e é único Existe pelo menos um. Um e somente um. Têm todos os pontos em comum. Têm pelo menos um ponto diferente. Se cruzam. Existe uma reta que os contém. Existe um plano que os contém. Não existe um plano que os contém.

Responder V se verdadeira ou F se falsa 038) ( ) Se duas retas não têm ponto em comum, então elas são reversas. nas afirmações abaixo. (GeoJeca)

039) ( ) Se duas retas não têm ponto em comum, então elas são concorrentes. 040) ( ) Um ponto contido num plano divide esse plano em dois semi-planos. 041) ( ) Uma reta secante a um plano divide essa plano em dois semi-planos. 042) ( ) Se duas retas não são coplanares, então elas são reversas. 043) ( ) Se duas retas são paralelas, então elas não têm ponto em comum. 044) ( ) Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si. 045) ( ) Duas retas ortogonais formam ângulo reto. 046) ( ) Quatro pontos não coplanares são vértices de um quadrilátero reverso. 047) ( ) As retas que contém as diagonais de um quadrilátero reverso são retas reversas. 048) ( ) Se duas retas distintas não são paralelas, então são concorrentes. 049) ( ) Se três retas são paralelas, então existe um plano que as contém. 050) ( ) Uma reta e um plano secantes têm um ponto comum. 051) ( ) Três pontos não colineares são sempre distintos. 052) ( ) Uma reta e um plano paralelo não têm ponto comum. 053) ( ) Uma reta está contida num plano quando eles coincidem. 054) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a uma reta do plano. 055) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a infinitas retas do plano. 056) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a todas as retas do plano. 057) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é reversa a uma reta do plano. 058) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é ortogonal a uma única reta do plano. 059) ( ) Se uma reta e um plano são secantes, então ela é concorrente com infinitas retas desse plano. 060) ( ) Se uma reta é paralela a um plano, então existe no plano uma reta concorrente com ela. 061) ( ) Se duas retas são reversas, então qualquer reta que concorre com uma delas concorre com a outra. 062) ( ) Se duas retas distintas são paralelas, então todo plano que contém uma é paralelo ou contém a outra. 063) ( ) Se duas retas são reversas, então qualquer plano que contém uma intercepta a outra. 064) ( ) Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então são paralelas entre si. 065) ( ) Dado uma reta e um plano quaisquer, existe no plano uma reta paralela à reta dada. 066) ( ) Dadas duas retas distintas quaisquer, existe um plano que contém uma e é paralelo à outra. 067) ( ) Dois planos secantes têm como interseção uma reta. 068) ( ) Se dois planos distintos têm um ponto comum então eles são secantes. 069) ( ) Dois planos que têm uma reta comum são secantes. Jeca 05

001) ( ) O ponto não tem dimensão. 002) ( ) Uma reta contém infinitos pontos. 003) ( ) Um plano contém infinitos pontos. 004) ( ) Por um ponto sempre passa uma reta. 005) ( ) Dados dois pontos distintos, existe e é único o plano que os contém. 006) ( ) Três pontos distintos determinam um plano. 007) ( ) Por uma reta passam infinitos planos. 008) ( ) Três pontos alinhados são coplanares. 009) ( ) Três pontos distintos e não colineares determinam um plano. 010) ( ) Todo plano contém infinitas retas. 011) ( ) Dois planos que têm uma única reta comum são secantes. 012) ( ) Um ponto separa uma reta em duas semiretas. 013) ( ) Um ponto pertencente a uma reta separa essa reta em duas semi-retas. 014) ( ) Uma reta divide um plano em dois semiplanos. 015) ( ) Uma reta pertencente a um plano, divide esse plano em dois semi-planos. 016) ( ) Qualquer plano divide o espaço em dois semi-espaços. 017) ( ) Dois semi-planos são sempre coplanares. 018) ( ) Dois semi-planos opostos são sempre coplanares. 019) ( ) Se dois pontos pertencem a semi-planos opostos, então o segmento que os une intercepta a origem dos dois semi-planos. 020) ( ) Existem infinitos semi-planos de mesma origem. 021) ( ) Três pontos distintos não são colineares. 022) ( ) Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes. 023) ( ) Duas retas que têm um único ponto comum são concorrentes. 024) ( ) Duas retas distintas que têm um ponto comum são concorrentes. 025) ( ) Uma reta e um ponto determinam um plano. 026) ( ) Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano. 027) ( ) Duas retas distintas determinam um plano. 028) ( ) Duas retas paralelas determinam um plano. 029) ( ) Três retas, duas a duas paralelas distintas, determinam três planos. 030) ( ) Três retas, duas a duas paralelas distintas, determinam um único ou três planos. 031) ( )Três retas, duas a duas concorrentes em pontos distintos, são coplanares. 032) ( ) O espaço contém infinitos pontos, infinitas retas e infinitos planos. 033) ( ) Quatro pontos distintos e não colineares, são vértices de um quadrilátero. 034) ( ) Quatro pontos distintos e não colineares três a três, são vértices de um quadrilátero. 035) ( ) Quatro pontos distintos e não coplanares, três a três determinam quatro planos distintos. 036) ( ) Duas retas paralelas distintas e um ponto fora delas, determinam um único ou três planos. 037) ( ) Duas retas concorrentes e um ponto fora delas determinam três planos.

070) ( ) Dois planos que têm uma única reta comum são secantes. 071) ( ) Duas Duas retas reversas e uma concorrente com as duas, determinam dois planos. 072) ( ) Dois planos distintos distintos são secantes. 073) ( ) Se Se dois planos distintos distintos são paralelos entre si, então uma reta de um deles e uma reta do outro são paralelas entre si ou reversas. 074) ( ) Se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é paralela à interseção desse planos. 075) ( ) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta paralela a um deles é paralela ao a o outro. 076) ( ) Se dois planos são paralelos a uma reta, entãosão paralelos entre si. 077) ( ) Se dois planos distintos são paralelos a um terceiro, então são paralelos entre si. 078) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, então é perpendicular a uma reta do plano. 079) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, então é perpendicular a todas as retas desse plano. 080) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, então é perpendicular a infinitas retas desse plano. 081) ( ) Se uma reta é perpendicular a um plano, então é perpendicular ou ortogonal a todas as retas do plano. 082) ( ) Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendicular a duas retas desse plano. 083) ( ) Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendicular a duas retas concorrentes desse plano. 084) ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então toda reta perpendicular à reta dada é perpendicular ao plano. 085) ( ) Por um ponto dado pode-se conduzir uma única reta perpendicular a um plano dado. 086) ( ) Um reta é perpendicular a um plano se é perpendicular a duas ou mais retas desse plano. 087) ( ) Dois planos perpendiculares a um terceiro, podem ser perpendiculares entre si. 088) ( ) Uma condição necessária para que uma reta seja perpendicular a um plano é que a reta e o plano sejam secantes. 089) ( ) Se duas retas são perpendiculares a um mesmo plano, então elas são paralelas entre si. 090) ( ) Se dois planos são perpendiculares a uma mesma reta, então são paralelos entre si. 091) ( ) Se uma reta é ortogonal a duas retas paralelas distintas, então ela é paralela ao plano que as contém. 092) ( ) Se uma reta e um plano são paralelos, então toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao plano. 093) ( ) Se uma reta e um plano são perpendiculares, então toda reta perpendicular à reta dada é paralela ao plano. 094) ( ) Por um ponto dado, existe existe um único plano perpendicular a uma reta dada. 095) ( ) Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes entre si. 096) ( ) Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares. 097) ( ) Uma reta e um plano secantes têm um ponto comum.

098) ( ) Se Se uma reta é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano. 099) ( ) Dadas Dadas duas retas reversas, existe existe um plano que contém uma e é perpendicular à outra. 100) ( ) Dadas Dadas duas retas reversas, existe existe um plano que contém as duas retas. 101) ( ) Dadas Dadas duas retas reversas, existe existe um plano que contém uma e é paralelo à outra. outr a. 102) ( ) As intersecções de dois planos paralelos com um terceiro plano, são retas paralelas. 103) ( ) Se um plano contém duas retas concorrentes e ambas paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos entre si. 104) ( ) A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto. 105) ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta. 106) ( ) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é um ponto ou uma reta. 107) ( ) A projeção ortogonal de um segmento sobre um plano é um ponto ou um segmento menor que ele. 108) ( ) Aprojeção ortogonal de um quadrilátero plano sobre um plano é um quadrilátero. 109) ( ) A projeção ortogonal de um quadrado plano sobre um plano pode ser um triângulo. 110) ( ) A projeção ortogonal de um plano sobre outro plano é um plano ou uma reta. (GeoJeca)

GABARITO 001 V 002 V 003 V 004 V 005 F 006 F 007 V 008 V 009 V 010 V 011 V 012 F 013 V 014 F 015 V 016 V 017 F 018 V 019 V 020 V

Jeca 06

021 F 022 F 023 V 024 V 025 F 026 V 027 F 028 F 029 F 030 V 031 V 032 V 033 F 034 V 035 V 036 V 037 F 038 F 039 F 040 F

041 F 042 V 043 F 044 V 045 V 046 V 047 V 048 F 049 F 050 V 051 V 052 V 053 F 054 V 055 V 056 F 057 V 058 F 059 V 060 F

061 F 062 V 063 F 064 F 065 F 066 F 067 V 068 V 069 F 070 V 071 V 072 F 073 V 074 V 075 F 076 F 077 V 078 V 079 F 080 V

081 V 082 F 083 V 084 F 085 V 086 F 087 V 088 V 089 V 090 V 091 F 092 F 093 F 094 V 095 V 096 F 097 V 098 F 099 F 100 F

101 V 102 V 103 V 104 V 105 F 106 V 107 F 108 F 109 F 110 V

Geometria de Posição Aula 01

Exercícios complementares. (Geometria de Posição)


01) (FUVEST) (FUVEST) Uma formiga resolveu andar de um 02) (FAAP-SP) O galpão da figura a seguir está está no vértice a outro do prisma reto de bases triangulares prumo e a cumeeira está "bem no meio" da parede. ABC e DEG DEG,, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do u (GeoJeca) 4m vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à cumeeira base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal 3m s da face ADGC e, finalmente completou seu passeio t r percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou ao vértice : (GeoJeca) C a) A A b) B v 4 m B c) C Das retas assinaladas, podemos afirmar que: d) D a) t e u são reversas. e) E G b) s e u são reversas. D c) t e u são concorrentes. d) s e r são concorrentes. E e) t e u são perpendiculares.

03) (Unifesp-SP) Dois segmentos dizem-se reversos quando não são coplanares. Nesse caso, o número de pares de arestas reversas num tetraedro, como o da figura, figura, é: (GeoJeca) A a) 6 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 D

04) (Vunesp-SP) (Vunesp-SP) Na figura figura a seguir o segmento AB é perpendicular ao plano , CD e BC estão contidos nesse plano e CD é perpendicular a BC. Se AB = 2 cm, BC = 4 cm cm e CD = 3 cm, ache a disdistância de A a D. (GeoJeca) A

C



B

B

D

C

(GeoJeca)

05) (Unimontes-MG) "Chama-se projeção ortogonal de uma figura sobre um plano o conjunto de todas as projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano." Na figura abaixo, determine a medida da projeção ortogonal do segmento AB sobre o plano . t (GeoJeca)  e  são planos secantes   e BC tT A C T A AB t e BC t AB = 10 cm B

60º

06) (Fatec-SP) Na figura exposta tem-se: o plano  definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si; a reta b, perpendicular a  em A, com A C c, o ponto B, intersecção de c e d. Se X é um ponto de b, X C , então a reta s, definida por X e B: (GeoJeca)

b d c



A

C 

a) é paralela à reta c. b) é paralela à reta b c) está contida no plano . d) é perpendicular à reta d. e) é perpendicular à reta b. Jeca 07

B

07) (FAAP-SP) A figura abaixo mostra uma porta entreaberta e o canto de uma sala: x

08) (Fuvest-SP) São dados um plano , uma reta r contida em  e uma reta s perpendicular a r, mas não a . Demonstre que a projeção ortogonal de s sobre  é perpendicular a r. (GeoJeca)

r

t (GeoJeca)

z

s

y

As retas r e s; s e t; x e r têm, respectivamente, as posições relativas: a) paralelas, paralelas e perpendiculares. b) paralelas, perpendiculares e reversas. c) paralelas, perpendiculares e perpendiculares. d) reversas, paralelas e perpendiculares. e) perpendiculares, reversas e paralelas. 09) (Vunesp-SP) Sobre a perpendicularidade não se pode afirmar: a) Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então é perpendicular a esse plano. b) Existem 4 retas passando por um ponto, tais que sejam perpendiculares duas a duas. c) Se uma reta é perpendicular a um plano, existem infinitas retas desse plano perpendiculares a ela. d) Retas distintas perpendiculares ao mesmo plano são paralelas. e) Dados uma reta e um ponto distintos, podemos passar um e apenas um plano perpendicular per pendicular à reta e passando pelo ponto. (GeoJeca)

10) (Fatec-SP) O ponto A pertence à reta r, contida no plano . A reta s, perpendicular a , o intercepta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 5 cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a distância de A a C, em centímetros, é igual igual a: a) 9 5 (GeoJeca) b) 9 c) 7 d) 4 e) 3 5

11) (Fuvest-SP) O segmento AB é um diâmetro de uma circunferência circunferência e C, um ponto dela, distinto de A e de B. A reta VA, V = A, é perpendicular ao plano da circunferência. O número de faces do tetraedro VABC que são triângulos retângulos é: (GeoJeca) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

12) (Fuvest-SP) São dados 5 pontos não-coplanares A, B, C, D, E. Sabe-se que ABCD é um retângulo, AE perpendicular a AB e AE perpendicular a AD. Pode-se concluir que são perpendiculares as retas: (GeoJeca) a) EA e EB b) EC e CA c) EB e BA d) EA e AC e) AC e BE

Jeca 08

13) (Fuvest-SP) São dados um plano , um ponto P do mesmo e uma reta r oblíqua a  que o fura num ponto distinto de P. Mostre que existe uma única reta por P, contida em , e ortogonal a r. (GeoJeca)

14) (ITA-SP) Qual das afirmações abaixo é verdadeira ? a) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um plano. b) Um ponto e uma reta determinam um plano. c) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, tal ponto é único. d) Se uma reta é paralela a um plano e não está contida neste plano, então ela é paralea a qualquer reta desse plano. e) Se  é o plano determinado por duas retas concorrentes r e s, então toda reta m desse plano, que é paralela à r, não será paralela à reta s. (GeoJeca)

15) (Uminontes-MG) Sejam r, s e t três retas no espaço. Analise as seguintes afirmações: ( ) Se r e s são paralelas, então existe um plano que as contém. ( ) Se a intersecção de r e s é o conjunto vazio, então r é paralela a s. ( ) Se r, s e t são duas a duas paralelas, então existe um plano que as contém. U ( ) Se r s = O e r não é paralela a s, então r e s são reversas.

16) (PUC-SP) Qual das afirmações abaixo é verdadeira ? a) Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes. b) Duas retas não coplanares são reversas. c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, então elas são paralelas. d) Se três retas são paralelas, existe um plano que as contém. e) Se três retas distintas são duas a duas concorrentes, então elas determinam um e um só plano.

Considerando V para sentença verdadeira e F para sentença falsa, a sequência correta que classifica essas afirmações é: (GeoJeca) a) V, V, V, V. b) F, V, V, F. c) V, F, F, V. d) V, V, F, F.

(GeoJeca)

17) (Mackenzie-SP) Assinale a única proposição verdadeira. a) Uma reta é perpendicular a um plano, quando ela é perpendicular a todas as retas do plano. b) Dois planos distintos perpendiculares a um terceiro são paralelos entre si. c) A projeção ortogonal de uma reta num plano é sempre uma reta. d) Um plano paralelo a duas retas de um plano é paralelo ao plano. e) Duas retas perpendiculares, respectivamente, a três planos paralelos, são paralelas.

18) (FEI-SP) Assinale a proposição falsa. a) Por uma reta perpendicular a um plano  passa pelo menos um plano perpendicular a . b) A projeção ortogonal sobre um plano  de um segmento oblíquo a  é menor do que o segmento. c) Uma reta ortogonal a duas retas concorrentes de um plano  é perpendicular ao plano . d) Um plano perpendicular à dois planos concorrentes é perpendicular à intersecção deles. e) No espaço, duas retas perpendiculares a uma terceira reta são paralelas. (GeoJeca)

(GeoJeca)

Jeca 09

19) A figura ao lado representa um cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G e H. Com base nessa figura e utilizando os vértices como pontos, as arestas como retas suportes das retas (entende-se: AC é uma reta mas não contém nenhuma aresta) e as faces como planos, responda as solicitações abaixo.

C

D (GeoJeca)

A

B

Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levandose em consideração o rigor matemático dos termos próprios da Geometria de Posição. H

a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a reta AB. Resp. b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DH. Resp. c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta EH. Resp. d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta AD. Resp. e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o plano EAB. Resp. f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano EHG. Resp. g) Cite um plano que seja secante ou concorrente com o plano ADC. Resp. h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG e EH ? Resp.

E

G

F

l) Determine todas as arestas do cubo que são ortogonais à reta EF. Resp.

m) Determine todas as arestas do cubo que são concorrentes com a reta DH. Resp.

n) Determine todas as arestas do cubo que são paralelas ao plano BCG. Resp. o) Determine todas as arestas do cubo que são paralelas ao plano BDH. Resp.

p) Determine todas as faces do cubo que são paralelas à aresta CG. Resp.

q) Determine todas as faces do cubo que são perpendiculares à face AEF. Resp.

i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DH e o plano ABF ? Resp.

r) Determine todos os vértices do cubo que não estão contidos no plano FGH. Resp.

j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF e o plano FGH ? Resp.

s) Determine todas as arestas do cubo que são paralelas distintas à aresta AB. Resp.

k) Determine todas as arestas do cubo que são perpendiculares à reta BC. Resp.

t) Determine todos os vértices do cubo que não estão contidos no plano EGD. Resp.

Jeca 10

20) A figura ao lado é um paralelepípedo retorretangular de dimensões AE = 6 cm, AD = 8 cm e AB = 10 cm. Os pontos R, S, T e U são os centros das faces ADHE, CDHG, BCGF e EFGH, respectivamente. Sendo A, B, C, D, E, F, G e H os vértices desse paralelepípedo, determinar o que se pede em cada questão a seguir :

D

C (GeoJeca)

A S

B T

R H U

a) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas distintas à aresta AD ? Resp. b) Qual a posição relativa entre as retas HG e BF ? Resp .

c) O que é e qual é a intersecção entre os planos ADB e EFH ? Resp .

d) Qual a distância entre o ponto T e o plano CGH ? Resp .

e) Quais arestas do paralepepípedo são perpendiculares à aresta EF ? Resp .

f) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à aresta DC ? Resp .

g) Quais faces do paralelepípedo são perpendiculares ao plano AEH ? Resp .

h) Qual a distância entre o ponto F e o plano ABC ? Resp . i) O que é e qual é a intersecção entre os planos CGH e BFH ? Resp . j) Qual a posição relativa entre as retas AC e HF ? Resp . l) Qual a distância entre os pontos S e R ? Resp .

G

E

F

m) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas ao plano BCG ? Resp

n) Quais faces do paralelepípedo são paralelas ao plano CDH ? Resp .

o) Qual a tangente do ângulo formado entre os planos ABF e BFH ? Resp .

p) O que é e qual é a intersecção entre as retas FH e EG ? Resp .

q) Quais vértices do paralelepípedo distam 10 cm do vértice E ? Resp

r) Quais faces do paralelepípedo contêm o vértice D? Resp . s) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à reta FC ? Resp .

t) O que é e qual é a intersecção entre os planos AHG e DEF ? Resp . u) Qual a medida da soma dos comprimentos de todas as arestas do paralelepípedo ? Resp .

Jeca 11

21) A figura 01 ao lado representa um prisma hexagonal regular de vértices A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L e M visto em perspectiva, e a figura 02 a sua base vista por cima. Com base nessas figuras e utilizando os vértices como pontos, as retas suportes das arestas como retas e as faces como planos, responda as solicitações abaixo. Apenas usar como respostas as retas que contenham uma aresta. Por exemplo: AE é uma reta mas não contém nenhuma aresta.

Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levandose em consideração o rigor matemático dos termos próprios da Geometria de Posição.

M

G H

L J

I

(GeoJeca)

figura 01

A

F E

B C

D A

F

figura 02

a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a reta AB. Resp.

B

b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DJ. Resp.

E

C

D

c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta DE. Resp. d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta AF. Resp. e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o plano GMA. Resp. f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano JLE. Resp. g) Cite um plano que seja secante ou concorrente com o plano ABH. Resp. h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG e GM ? Resp. i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DC e o plano HIB ? Resp. j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF e o plano CDJ ? Resp. k) Determine todas as retas do prisma que são perpendiculares à reta AG. Resp. l) Determine todas as retas do prisma que são ortogonais à reta EF. Resp.

m) Determine todas as retas do prisma que são concorrentes com a reta CD. Resp. n) Determine todas as retas do prisma que são paralelas ao plano BCE. Resp. o) Determine todas as retas do prisma que são paralelas ao plano BCH. Resp. p) Determine todas as faces do prisma que são paralelas à reta DJ. Resp. q) Determine todas as faces do prisma que são perpendiculares à face AEF. Resp. r) Determine todos os vértices do prisma que não estão contidos no plano JLD. Resp. s) Determine todas as retas do prisma que são perpendiculares à reta AB. Resp. t) Determine todas as retas do prisma contidas no plano GMA. Resp.

Jeca 12

22) As questões abaixo referem-se ao paralelepípedo retorretangular ABCDEFGH ao lado, cujas dimensões são: AB = 9 cm, BC = 12 cm e AE = 6 cm.

A

D (GeoJeca)

B

C E

F

H G

a) Qual é a distância, em cm, entre o ponto E e o b) Qual é a distância, em cm, entre a reta AB e a reta GH ? plano BCG ? a) 7 5 b) 5 7 c) 5 6 d) 6 5 e) 7 6 a) 6 b) 12 c) 9 d) 8 e) 10

c) Qual é a distância, em cm, entre as retas BC e FH ? a) 9 b) 6 c) 8 d) 12 e) 10

d) Qual é a distância, em cm, entre o ponto G e a reta FH ? a) 36/5 b) 24/5 c) 18/5 d) 27/5 e) 21/5

e) Qual é a distância, em cm, entre o ponto H e o ponto f) Qual é a distância, em cm, entre a reta FG e a reta B? AD ? a) 273 b) 247 c) 257 d) 261 e) 253 a) 109 b) 117 c) 123 d) 113 e) 127

g) Qual é a tangente do ângulo formado entre a reta BH h) Qual é a tangente do ângulo formado entre os planos e a face EFGH ? BCG e BCH ? a) 2/5 b) 2/3 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3 a) 2/3 b) 5/2 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3

Jeca 13

23) As peças 1 e 2 são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e 2, forma-se um sólido composto na forma de um cubo maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto. face D

face E face C

face A (GeoJeca)

peça 1

peça 2

face B

A e c a f

esboços

face A

face B

face C

face D

face E

24) As peças 1 e 2 são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e 2, forma-se um sólido composto na forma de um cubo maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto. face D

face E face C (GeoJeca)

face A

peça 1

face B

peça 2

A e c a f

esboços

face A

face B

face C

face D

face E

25) A figura 1 mostra um cubo, que se fosse dividido em 27 cubos menores e idênticos, formariam a figura 2, com as suas respectivas faces A, B, C e D. A figura 3 mostra uma parte retirada do cubo original. Mantendo-se a base do cubo na mesma posição, desenhe nos esboços abaixo como você visualiza as faces A, B, C e D após a retirada do corpo da figura 3.

D A

C

(GeoJeca)

B

figura 1

figura 2

figura 3

esboços

face A

face B

Jeca 14

face C

face D

26) Um cubo é composto pelas faces J, R, P, L, K e F. A figura 1 abaixo, mostra o cubo, a figura 2 mostra a planificação do cubo com as suas respectivas faces e a figura 3 mostra dois observadores, A e B, olhando frontalmente, e sempre da mesma posição, uma das faces do cubo. Em cada caso abaixo, desenhe a forma que cada observador visualiza a face observada.

(GeoJeca) F

J

R

F

figura 1

J

figura 2

L

K

P

O b s e r v a d o r B

F

R

J

R

figura 3

Observador A

Observador B

F

R

J

(exemplo)

P

(GeoJeca)

L

figura 1

a) F

P

Observador A

L

Observador B

(GeoJeca)

figura 1

b)

L

Observador A

J

K

Observador B

(GeoJeca)

figura 1

c)

K

R

Observador A

P

Observador B

(GeoJeca)

figura 1

d)

Observador A

Observador B

K

R J

(GeoJeca)

figura 1

e)

F

Observador A

Observador B

J

L

(GeoJeca)

figura 1

Jeca 15

Observador A

Respostas da aula 01. Respostas da Aula 01 As respostas das afirmações Verdadeiras ou Falsas das páginas 05 e 06 estão na página 06.

Respostas da Aula 01 - Exercícios complementares. 01) 02) 03) 04) 05) 06) 07)

e a b AD = 29 cm 5 cm d b

s A

08) Demonstração 

A'

r B

r é perpendicular a s (do enunciado). AA' é perpendicular a  porque é a projeção ortogonal. A reta r é perpendicular ou ortogonal a duas retas concorrentes do plano AA'B. Portanto a reta r é perpendicular ao plano AA'B. Se a reta A'B está contida no plano AA'B, então a reta r é perpendicular à reta A'B. (CQD) 09) 10) 11) 12)

b b e d

B

r

A

13) Demonstração

C 

A'

B'

P

Sejam A e B dois pontos da reta r e A' e B' suas pro jeções ortogonais sobre o plano . A reta de  ortogonal a r é a única reta de  que passa por P e é perpendicular à reta A'B'. Portanto é única. (CQD) 14) 15) 16) 17) 18) 19)

e c b e e a) CD, HG ou EF b) AD, CD, EH ou GH c) AB, BF, CD ou CG d) CD, DH, EA ou BA e) CDH f) EAD, HDC, BCG ou EAB g) EAD, HDC, BCG ou EAB h) o ponto H i) não existe intersecção j) a reta EF k) AB, BF, CD e CG l) BC, CG, AD e DH m) AD, CD, EH e GH n) AD, DH, HE e EA o) AE e CG p) ABE e ADH q) ADC, BCG, EFG e AEH r) A, B, C e D s) CD, GH e EF t) A, B, C, H e F

20) a) b) c) d) e) f) g) h)

CB, FG e EH retas reversas e ortogonais não existe intersecção 4 cm EA, EH, BF e GF EA, EH, BF e GF ADC, DHG, HEF e AEB 6 cm

20) i) a reta DH j) retas reversas l) 41 cm m) AD, DH, HE e EA n) ABF o) 4/5 p) o ponto U q) F r) ADC, ADH e CDH s) AB e HG t) a reta RT u) 96 cm 21) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t)

DE, JL ou HG JI, JL, CD ou DE IC, HB, GA ou MF AB, BC, GA, MF, FE ou DE CDJ JLM ou DEF GHI, ABC, BCI, DCI, AFM ou FEM o ponto G o ponto C a reta CD GH, GM, AB e AF JD, IC, HB e AG DE, EF, JD, IC, BC e AB HI, IJ, JL, LM, MG e GH JD, LE, MF e AG BCH, HGA, GMA e MLF GHA, MGF, LME, JLD, IJC e HIB M, G, H, I, F, A, B e C HB e GA GM, MF, AG e AF

22) a) b) c) d) e) f) g) h)

c d b a d b a c

23) face A

face B

face C

face D

face E

face A

face B

face C

face D

face E

24)

25) face A

face B

face C

Obs. A

Obs. B

26) a)

J

R

b)

F

P

c)

F

J

d)

L

P

e)

K

R

face D

Favor comunicar eventuais erros deste trabalho através do e-mail [email protected] Obrigado.

Jeca 16

Geometria Espacial Métrica Aula 02

Poliedros convexos.


- Elementos dos poliedros.

I

Poliedro - É a região do espaço limitada por quatro ou mais polígonos planos. Face do poliedro - É qualquer polígono plano que limita o poliedro.

face

Aresta do poliedro - É o segmento obtido da intersecção de duas faces. Vértice do poliedro - É o ponto obtido da intersecção de três ou mais arestas.

aresta

Ângulo poliédrico - É a região do espaço constituída por um vértice e três ou mais arestas.

Poliedro convexo - Um poliedro é dito convexo se, dados dois pontos quais-

ângulo poliédrico

quer do poliedro, o segmento que os une está inteiramente contido nele. vértice

poliedro convexo Classificação dos poliedros. 4 faces - tetraedro 5 faces - pentaedro 6 faces - hexaedro 7 faces - heptaedro 8 faces - octaedro 9 faces - eneaedro 10 faces - decaedro 11 faces - undecaedro 12 faces - dodecaedro 13 faces - tridecaedro 14 faces - quadridecaedro 15 faces - pentadecaedro 16 faces - hexadecaedro 17 faces - heptadecaedro 18 faces - octodecaedro 19 faces - eneadecaedro 20 faces - icosaedro Classificação dos ângulos poliédricos. 3 arestas - ângulo triédrico 4 arestas - ângulo tetraédrico 5 arestas - ângulo pentaédrico 6 arestas - ângulo hexaédrico etc

V - nº de vértices A - nº de arestas F - nº de faces

V -A+ F = 2

Soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces do poliedro convexo. S - soma dos ângulos V - nº de vértices

S = 360 (V - 2)

Cálculo do número de arestas de um poliedro convexo. a) Através das faces.

b) Através dos vértices. A = m . V 2

A = n . F 2

A - número de arestas do poliedro. n - número de ladosde cadaface. F - número de facesdo mesmotipo. m - número de arestas de cada vérticepoliédrico. V - número de vérticespoliédricos do mesmo tipo.

Poliedro regular. Um poliedro é dito regular se tem todas as faces formadas por polígonos regulares e congruentes. Existem apenas 5 poliedros regulares

Tetraedro regular Hexaedro regular Octaedro regular Dodecaedro regular Icosaedro regular

Existem apenas 5 poliedros de Platão.

é de Platão

poliedro não convexo

Relação de Euler. Todo poliedro convexo e fechado satisfaz a relação:

Poliedros de Platão. Um poliedro é dito de Platão se: - é convexo e fechado; - tem todas as faces do mesmo tipo; - tem todos os vértices do mesmo tipo.

Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

B

A

3 4 3 5 3

nº de lados de cada face

- Todo poliedro regular é de Platão mas nem todo poliedro de Platão é regular. - Todo poliedro regular pode ser inscrito e circunscrito numa esfera.

não é de Platão

Jeca 17

Poliedros regulares (T H O D I)

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

(GeoJeca)

Dodecaedro

Icosaedro

01) Determine o número de vértices de um poliedro 02) Determine o número de faces de um poliedro conconvexo fechado que tem 1 face pentagonal, 5 faces vexo fechado que tem 6 vértices triédricos e 14 vértriangulares e 5 faces quadrangulares. (GeoJeca) tices tetraédricos. (GeoJeca)

Observação - A figura foi colocada no exercício para que o Observação - A figura foi colocada no exercício para que o aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos. aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos.

03) Determine o número de vértices de um poliedro convexo e fechado que tem 1 face hexagonal, 4 faces triangulares e 2 faces quadrangulares. (GeoJeca)

04) Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado que tem 7 vértices tetraédricos e 2 vértices heptaédricos. (GeoJeca)

05) (UFJF-MG) A figura a seguir representa a planificação de um poliedro convexo. O número de vértices desse poliedro é: (GeoJeca) a) 12 b) 14 c) 16 d) 20 e) 22

06) (UFTM-MG) Um poliedro convexo, com 32 arestas e 14 vértices, possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sendo q o número de faces quadrangulares e t o número de faces triangulares, então os valores de q e t são, respectivamente, a) q = 6 e t = 14 (GeoJeca) b) q = 16 e t = 4 c) q = 4 e t = 14 d) q = 14 e t = 4 e) q = 4 e t = 16

Jeca 18


Exercícios complementares. (Poliedros convexos)


07) Preencha a tabela ao lado, sabendo que:

n - nº de lados de cada face do poliedro regular; F - nº de faces do poliedro regular; (GeoJeca) A - nº de arestas do poliedro regular; m - nº de arestas de cada vértice poliédrico do poliedro; V - nº de vértices poliédricos do poliedroregular; S - soma das medidas dos ângulos internos das faces do poliedro regular.


n F A m V

S

08) Quantas faces tem um poliedro convexo fechado que tem 2 vértices pentaédricos, 10 vértices tetraédricos e 10 vértices triédricos ? (GeoJeca) a) 25 b) 18 c) 16 d) 24 e) 20

09) Um poliedro convexo tem o mesmo número de faces triangulares e quadrangulares. Qual o número de vértices desse poliedro, sabendo-se que tem 21 arestas e apenas esses dois tipos de face ? (GeoJeca) a) 9 b) 15 c) 11 d) 13 e) 12

10) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo fechado que tem 20 faces e 30 arestas ? (GeoJeca) a) 2560º b) 2160º c) 3800º d) 3600º e) 5260º

11) Um poliedro convexo fechado tem 1 face decagonal, 10 faces triangulares e 6 faces pentagonais. Qual é o número de vértices desse poliedro ? (GeoJeca) a) 24 b) 20 c) 18 d) 16 e) 25

Jeca 19

12) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº de faces quadrangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 24 arestas e 13 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é igual ao nº de faces triangulares. (GeoJeca)

13) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro tem 25 arestas e 14 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é o dobro do nº de faces triangulares.

14) (MACK) Um poliedro convexo e fechado tem 15 faces. De dois de seus vértices partem 5 arestas, de quatro outros partem quatro arestas, e dos restantes partem 3 arestas. Determine o nº de arestas do poliedro. (GeoJeca)

15) Um poliedro convexo e fechado que tem somente faces quadrangulares e pentagonais, tem 15 arestas. Quantas faces tem de cada tipo se a soma das medidas dos ângulos internos das suas faces é (GeoJeca) 2880º ?

(GeoJeca)

Jeca 20

Geometria Espacial Métrica Aula 03 Prismas.


- Volume de um sólido.

I

3m m 2

3m m 2

3m

m 3

m 2

m 2

m 1

3

3

V=3.2.1=6m

3

V = 3 . 2 . 2 = 12 m

V = 3 . 2 . 3 = 18 m

Importante - Quando um sólido mantém a mesma secção transversal, o volume desse sólido é calculado como sendo o produto entre a área da base e a altura. (Note que a área da base é a mesma que a da secção transversal)

V = Abase . h

- Prismas.

II

Características dos prismas. - Todo prisma tem duas bases paralelas, congruentes e alinhadas entre si. - Todas as arestas laterais do prisma são paralelas e congruentes entre si. - As faces laterais do prisma são formadas por paralelogramos. - A altura de um prisma é a distância entre os planos que contêm as suas bases. - Denomina-se um prisma em função do polígono da sua base. Tipos de prisma. - Prisma oblíquo: as arestas laterais não são perpendiculares aos planos das base. - Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. - Prisma regular: é o prisma reto cujas bases são polígonos regulares e congruentes. Base

Base

Base

Base

h

Base

h

h

h Prisma oblíquo

Prisma reto

Prisma quadrangular regular

Prisma hexagonal regular

Base face lateral aresta lateral

Prisma genérico

aresta da base

Fórmulas dos prismas Área da base

Ab = depende da base

Área lateral

A =

Área total

AT = A + 2 . Ab

Volume

V = Ab. h

Jeca 21

h

Afaces laterais

Prisma triangular regular

- Prismas particulares.

III

b) Cubo (hexaedro regular).

a) Paralelepípedo retorretangular .

d

d

c

D

a

D a

a b

2

Área da base do cubo - Ab = a

a

2

Área total do paralelepípedo - AT = 2ab + 2ac + 2bc

Área lateral do cubo - A l = 4 . a

Volume do paralelepípedo - V = Ab . h = a . b . c

Área total do cubo - AT = 6 . a

2

2

Diagonal do paralelepípedo - D = a + b + c

2

3

Volume do cubo - V = a

2

Diagonal de uma face do cubo - d = a 2 Diagonal do cubo - D = a 3 Exercícios. 01) Dado um cubo de aretas 7 cm, determine: (GeoJeca) a) a área da base do cubo; b) a área lateral do cubo; c) a área total do cubo; d) o volume do cubo; e) a diagonal de uma face do cubo; f) a diagonal do cubo.

02) Dado um paralelepípedo retorretangular, de dimensões 6 cm, 9 cm e 12 cm, determine: (GeoJeca) a) a área total do paralelepípedo; b) o volume do paralelepípedo; c) a diagonal do paralelepípedo; d) a soma das medidas de todas as arestas do paralelepípedo.

Jeca 22

03) Dado um prisma triangular regular de aresta da base 10 cm e altura 15 cm, determine: (GeoJeca) a) a área da base do prisma; b) a área lateral do prisma; c) a área total do prisma; d) o volume do prisma.

04) Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base 4 cm e altura 7 cm, determine: (GeoJeca) a) a área da base do prisma; b) a área lateral do prisma; c) a área total do prisma; d) o volume do prisma.

05) Dado um prisma octogonal regular de aresta da 06) Determine a altura de um prisma triangular regu2 base k e altura k 2 , determine: (GeoJeca) lar sabendo que a sua área lateral é 165 dm e a sua 2 a) a área da base do prisma; área total é 5(33 + 5 3 / 2 ) dm . b) a área lateral do prisma; (GeoJeca) c) o volume do prisma.

Jeca 23


Exercícios complementares. (Prismas)


07) A figura abaixo representa um único sólido forma- 08) O cubo abaixo tem aresta 6 cm e três furos de do por dois cubos sobrepostos: o menor tem aresta 4 secção quadrada de lado 2 cm que o atravessam cm e o maior tem aresta 8 cm. Determine: totalmente. Determine o volume do sólido resultante . (GeoJeca) (GeoJeca) a) o volume total do sólido; A

B

b) a área total do sólido;

c) a distância entre os vértices A e B.

09) A figura abaixo representa um sólido obtido de um paralelepípedo retorretangular de dimensões 9 m, 9 m e 8 m, de onde foram retirados dois outros paralelepípedos de dimensões 3m, 3m e 8 m. Determine a área total e o volume do sólido resultante. (GeoJeca)

3 m 3 m 3 m

10) Uma caixa d’água tem a forma de um cubo, a sua base inferior é perfeitamente horizontal e as suas arestas medem internamente 5,0 m. Estando a caixa inicialmente com água até a altura de 1 m, num determinado instante, é aberto um registro que permite uma entrada constante de 200 litros de água por minuto. Sabendo-se que 1 metro cúbico equivale a 1000 litros e que nesse período não existe saída de água, qual a altura de água na caixa seis horas após o registro ter sido aberto ? (GeoJeca) a) 3,24 m b) 3,88 m c) 4,12 m d) 4,24 m e) 4,08 m

m 8 3m

3m

3m

Jeca 24

11) Nas figuras abaixo, os 3 prismas são regulares ,têm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine:

I)

(GeoJeca)

II)

(GeoJeca)

III)

(GeoJeca)

a) o nome do sólido.



b) a área da base do prisma (Ab).



c) a área de cada face lateral (A1F).



d) a área lateral do prisma (Al )



e) a área total do prisma (AT).



f) o volume do prisma (V).



Jeca 25

12) Todas as arestas do sólido representado na figura 13) Sabendo-se que o volume de um prisma heabaixo medem 4 cm. As faces ABCDE e FGHIJ são xagonal regular que tem as 18 arestas congruentes é paralelas entre si e perpendiculares ao quadrado 768 3 cm3, determinar a altura desse prisma. CDIH da base e as arestas BC, ED, JI e GH são per(GeoJeca) pendiculares à face CDIH. Determine a área total e o (GeoJeca) volume do sólido. F A J

G B

H

C

E I D

14) Sabendo-se que as dimensões de um paralelepí15) De cada canto de uma folha retangular de cartoli2 pedo de área total 352 cm são k cm, 2k cm e 3k cm, na de 40 cm x 60 cm recorta-se um quadrado de lado 12 cm. Com a área restante faz-se uma caixa sem determine o seu volume. (GeoJeca) tampa. Determine o volume dessa caixa. (GeoJeca)

(GeoJeca)

16) Na figura ao lado, a área do quadrilátero CDEF é 2 64 2 cm . Sendo ABCDEFGH um cubo, determinar a área total desse cubo. (GeoJeca) H

G F

E

B

D A

17) Uma formiga encontra-se no vértice A de um cubo maciço e deseja caminhar até o vértice B, diagonalmente oposto ao vértice A, percorrendo o menor trajeto possível. Sabendo-se que o cubo tem aresta K, determine a distância percorrida pela formiga.

C B

(GeoJeca)

A

Jeca 26

18) A figura abaixo representa um sólido obtido de um 19) A área total de um prisma triangular regular de cubo de aresta 9 cm, onde, em cada um de seus aresta da base 6 cm é (180 + 18 3 ) cm2. Determine: vértices, foi retirado um cubinho de aresta 3 cm. (GeoJeca) Determinar a área total e o volume do sólido resultante. a) a área da base do prisma; 3 cm

(GeoJeca)

b) a área lateral do prisma;

c) a altura do prisma;

d) o volume do prisma.

20) (UFV-MG) A figura abaixo exibe a secção transversal de uma piscina de 20 m de comprimento por 10 m de largura, com profundidade variando uniformemente de 1 m a 3 m. (GeoJeca) 1m

20 m

21) (UEL-PR) Um engenheiro deseja projetar um bloco vazado cujo orifício sirva para encaixar um pilar. O bloco, por motivos estruturais, deve ter a forma de um cubo de lado igual a 80 cm, e o orifício deve ter a forma de um prisma reto de base quadrada e altura igual a 80 cm, conforme as figuras seguintes. É exigido que o volume do bloco seja igual ao volume do orifício. 80 cm

3m 80 cm

a) Determine o volume de água necessário para encher a piscina até a borda. Sugestão - Calcule a área da secção transversal da piscina ilustrada pela figura. b) Qual é a distância mínima, medida horizontalmente, que uma pessoa de 1,70 m deve caminhar, saindo do ponto mais raso da piscina, para que fique totalmente submersa ? Sugestão - Use semelhança de triângulos.

L L Bloco vazado

(GeoJeca)

m c 0 8

Vista aérea

É correto afirmar que o valor L do lado da base quadrada do prisma reto corresponde a a) 20 2 cm b) 40 2 cm c) 50 2 cm d) 60 2 cm e) 80 2 cm

Jeca 27

22) (UFOP-MG) Na figura abaixo, temos represen3 tado um cubo de volume 4 / 3 m e um prisma cujas bases são os quadriláteros AEHM e BFGN. Sabendo que M e N são os pontos médios dos segmentos AD e BC, respectivamente, determine o volume des3 (GeoJeca) se prisma (em m ) G

23) Um prisma triangular regular tem altura e aresta da base que medem, respectivamente, 7P e 2K. Com base nesses dados, responda: (GeoJeca) Qual é o volume desse prisma em função de P e de K?

F

a) 14.K.P 3 H

3

E N

C

D

d) 14.k.P 3

2

b) 21.K .P 3 2

2

c) 7.P.K 3

2

e) 28.P .K 3

B A

M

24) (UFG-GO) A figura abaixo, representa um pris- 25) Um prisma hexagonal regular tem altura e aresta ma reto, cuja base ABCD é um trapézio isósceles, da base que medem, respectivamente, 3K e 4P. Com sendo que as suas arestas medem AB = 10, DC = 6, base nesses dados, responda: AD = 4 e AE = 10. (GeoJeca) Qual é o volume desse prisma em função de P e de G H K? E

(GeoJeca)

F

a) 72.P.K 3 2

D A

2

d) 72.K .P 3

C B

O plano determinado pelos pontos A, H e G secciona o prisma determinando um quadrilátero. A área desse quadrilátero é: a) 8 7 b) 10 7 c) 32 7 d) 48 7 e) 64 7

Jeca 28

2

b) 72.P .K 3 2

e) 36.K .P 3

2

c) 36.P .K 3

Respostas das aulas 02 e 03 Respostas da Aula 02 01) 02) 03) 04) 05) 06) 07)

08) 09) 10) 11) 12) 13) 14) 15)

V = 11 vértices F = 19 faces V = 8 vértices F = 14 faces a e


n F A m V

3 4 3 5 3

4 6 6 12 8 12 12 30 20 30

3 3 4 3 5

4 8 6 20 12

S

720º 2160º 1440º 6480º 3600º

e c d b 6 faces quadrangulares 1 face hexagonal A = 31 arestas 2 faces pentagonais e 5 faces quadrangulares

Respostas da aula 03

11) III) a) prisma hexagonal regular 2 b) 24 3 cm 2 c) 48 cm 2 d) 288 cm 2 e) 48(6 + 3 ) cm 3 f) 288 3 cm 2 3 12) (112 + 8 3 ) cm 16(4 + 3 ) cm 13) h = 8 cm 3 14) 384 cm 3 15) 6912 cm 2 16) 384 cm 17) k 5 uc 2 3 18) 486 cm 513 cm 2 19) a) 9 3 cm 2 b) 180 cm c) 10 cm 3 d) 90 3 cm 3 20) a) 400 m b) 7 m 21) b 3 22) 1 m 23) c 24) c 25) b

2

01) a) 49 cm 2 b) 196 cm 2 c) 294 cm 3 d) 343 cm e) 7 2 cm f) 7 3 cm 2 02) a) 468 cm 3 b) 648 cm c) 261 = 3 29 cm d) 108 cm 2 03) a) 25 3 cm 2 b) 450 cm 2 c) 50(9 + 3 ) cm 3 d) 375 3 cm 2 04) a) 24 3 cm 2 b) 168 cm 2 c) 24(7 + 2 3 ) cm 3 d) 168 3 cm 2 05) a) 2k ( 2 + 1) 2 b) 8k 2 3 c) 2k (2 + 2 ) 06) h = 11 dm 3 07) a) 576 cm 2 b) 448 cm c) 4 17 cm 3 08) 160 cm 2 3 09) 510 cm e 504 cm 10) b 11) I) a) prisma triangular regular 2 b) 4 3 cm 2 c) 48 cm 2 d) 144 cm 2 e) 8(18 + 3 ) cm 3 f) 48 3 cm II) a) prisma quadrangular regular 2 b) 16 cm 2 c) 48 cm 2 d) 192 cm 2 e) 224 cm 3 f) 192 cm


Jeca 29 15


Pirâmides.


- Pirâmides.

I

Dado um polígono plano e um ponto V, V não pertencente ao plano do polígono, denomina-se pirâmide o sólido limitado por esse polígono e todos os planos determinados pelos lados desse polígono e pelo ponto V. Denomina-se uma pirâmide em função do polígono da sua base. (Exemplo: pirâmide hexagonal regular)

- Tipos de pirâmide.

II

h

Base

h Pirâmide oblíqua

Pirâmide reta

Pirâmide regular

Pirâmide oblíqua: as suas arestas laterais não são congruentes entre si. Pirâmide reta: as suas arestas laterais são congruentes entre si. Pirâmide regular: é a pirâmide reta cuja base é um polígono regular.

Fórmulas das pirâmides Área da base

Ab = depende da base

Área lateral

A =

Área total

AT = A + Ab

Volume

V = 1 Ab. h 3

Afaces laterais

- Elementos da pirâmide regular.

III

2

vértice da pirâmide

centro da base

2

2

m =h +a m - apótema da pirâmide. a - apótema da base. h - altura da pirâmide aresta lateral

h

m

Apótema da base (a): é a distância entre o centro do

polígono regular da base e o ponto médio de qualquer aresta da base. (Define-se apótema apenas para polígonos regulares)

Apótema da pirâmide (m): é a distância entre o vér-

tice da pirâmide e o ponto médio de qualquer aresta da base.

a aresta da base

ponto médio da aresta da base

Altura da pirâmide (h): é a distância entre o vértice

da pirâmide e o plano da base.

Jeca 30

(GeoJeca)

- Pirâmides particulares.

IV

a) Tetraedro trirretangular.

b) Tetraedro regular. É a pirâmide triangular regular que tem: - todas as faces formadas por triângulos equiláteros congruentes. - todas as arestas congruentes.

h BICO

2k 3

k 3

Curiosidade: o volume da pirâmide é 1 / 3 do volume do prisma de mesma base e mesma altura. C

C A

A B

B

B

D E

(GeoJeca)

B

F

F D

E

C A

A

F D

C

F D

E

E

É fácil perceber que as pirâmides ADEF e FABC têm o mesmo volume. Precisamos provar que as pirâmides ADEF e FABE também têm o mesmo volume. Seja h a distância entre o vértice F e o plano ABED. Para calcularmos o volume da pirâmide ADEF, podemos considerar como base o triângulo ADE e como altura h. Para o volume da pirâmide FABE, podemos considerar como base o triângulo ABE e como altura o mesmo h. Mas os triângulos ADE e ABE têm a mesma área. Se duas pirâmides Têm mesma área da base e mesma altura, então têm o mesmo volume. As pirâmides ADEF, FABC e FABE têm o mesmo volume. Portanto cada pirâmide tem 1 / 3 do volume do prisma, que é o volume total. Exercícios. 01) Dada uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 10 cm e altura 12 cm, determine: a) o apótema da base (a); b) o apótema da pirâmide (m); c) a área da base; d) a área lateral; e) a área total; f) o volume da pirâmide. (GeoJeca)

Jeca 31

02) Dada uma pirâmide hexagonal regular de aresta da base 4 cm e altura 12 cm, determine: (GeoJeca) a) a medida do apótema da base da pirâmide (a);

03) Dada uma pirâmide triangular regular de área da 2 2 base 16 3 cm e área total (180 + 16 3 ) cm , determine: (GeoJeca) a) a aresta da base da pirâmide;

b) a medida do apótema da pirâmide (m);

b) a área lateral da pirâmide; c) a área da base da pirâmide;

d) a área lateral da pirâmide;

c) o apótema da pirâmide.

e) o volume da pirâmide.

04) Dada uma pirâmide hexagonal regular de aresta 05) Dado um octaedro regular de aresta 10 da base 4 3 cm e altura 3 5 cm, determine: determine: a) o apótema da base (a); (GeoJeca) a) a altura h do octaedro;

3 cm, (GeoJeca)

h

b) o apótema da pirâmide (m);

c) a área lateral da pirâmide; b) o volume do octaedro;

d) a área da base da pirâmide;

e) o volume da pirâmide.

c) a área total do octaedro.

Jeca 32

06) (Fuvest-SP)A figura abaixo representa uma pirâmi- 07) A pirâmide quadrangular regular abaixo tem área de de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC lateral 280 cm2 e aresta da base 10 cm. Determine: e ABV são triângulos equiláteros de lado 1 e que M é o (GeoJeca) ponto médio do segmento AB. Sabendo-se que a medi- a) a área de uma face lateral da pirâmide; da do ângulo VMC é 60º, determinar o volume da pirâmide. (GeoJeca) V

1

b) a medida do apótema da pirâmide; 1

A M

C

1

60º 1

1 B

c) a área da base da pirâmide;

d) o volume da pirâmide;

e) a área total da pirâmide.

08) A pirâmide quadrangular regular abaixo tem área 2 2 da base 144 cm e uma face lateral tem área 102 cm . Determine: (GeoJeca) a) a área total da pirâmide;

b) a medida da aresta da base;

09) (Unifra-RS) A figura mostra o recorte para a embalagem de um perfume que uma fábrica quer construir, cuja capacidade é de meio litro. A figura é formada por uma região quadrangular regular de aresta k e por quatro triângulos isósceles. A altura dessa embalagem, após sua montagem, é igual a 15 cm. A medida dessa aresta k, em centímetros, é igual a: (GeoJeca) a) 5 b) 10 2 c) 5 3 3 / 3 2 3 d) 10 3 / 3 e) 100

c) a medida do apótema da pirâmide;

d) a medida da altura da pirâmide;

e) o volume da pirâmide;

Jeca 33


Exercícios complementares. (Pirâmides)


10) (UFMG-MG) Na figura a seguir estão representados o cubo ABCDEFGH e o sólido OPQRST. Cada aresta do cubo mede 4 cm, e os vértices do sólido OPQRST são os pontos centrais das faces do cubo. Então, é correto afirmar que a área lateral total do sólido OPQRST mede (GeoJeca) 2 H a) 8 2 cm G 2 b) 8 3 cm S 2 c) 16 2 cm E 2 F d) 16 3 cm R O

11) (Unimontes-MG) Para fazer uma barraca, a partir de um quadrado de centro P e lado 12 m, fo-ram traçados quatro triângulos isósceles e determina-dos os lados AB = CD = EF = GH = 6 3, conforme a figura a seguir. Recortados os lados AP, BP, CP, DP, EP, FP, GP, HP, foi montada a barraca (pirâmide quadrangular). Qual a altura da barraca ? (GeoJeca) a) 1,2 m B A b) 3 m c) 3 7 m H C d) 6 3 m

Q D

P

6

C D

G

T A

m 3

P

B

F

12 m

E

12) (ITA-SP) Dada uma pirâmide regular triangular, 13) Determine a medida da aresta de um tetraedro sabe-se que sua altura mede 3k cm, em que k é a regular de altura 12 cm. (GeoJeca) medida da aresta da base. Então a área total dessa 2 (GeoJeca) pirâmide, em cm , vale: 2 a) k 327 / 4 2 b) k 109 / 2 H 2 c) k 3 / 2 2 d) k 3 (2 + 33 ) / 2 2 e) k 3 (1 + 109 ) / 4

Jeca 34

14) Nas figuras abaixo, as 3 pirâmides são regulares ,têm aresta da base 4 cm e altura 12 cm. Determine :

I)

(GeoJeca)

II)

(GeoJeca)

III)

(GeoJeca)




b) o apótema da base (a).



a

a a

c) a área da base da pirâmide (Ab).



d) o apótema da pirâmide (m).



e) a área lateral da pirâmide (Al )



f) a área total da pirâmide (AT).



g) o volume da pirâmide (V).



Jeca 35

15) Determine a área total, a altura h e o volume de 16) No sólido abaixo, CDEF é um quadrado de lado (GeoJeca) 8 cm e centro no ponto G. AG = 6 cm e BG = 10 cm. um tetraedro regular de aresta K. V Determinar a área total e o volume do octaedro ABCDEF, sabendo-se que AD = AE = AF = AC e que BC = BD = BE = BF. (GeoJeca) A

k k h

k

F C

k A

G

E G

C

M

D

k B

B

17) (UFRJ-RJ) A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. Considere o cubo de volume máximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A, como ilustra a figura abaixo. (GeoJeca)

18) (UEL-PR) O prisma triangular regular ABCDEF com aresta da base 10 cm e altura AD = 15 cm é cortado por um plano passando pelos vértices D, B e C, produzindo dois sólidos: uma pirâmide triangular e uma pirâmide quadrangular. (GeoJeca)

D

F D E C A

A

B

C

B

Determine a medida da aresta desse cubo em função de a.

Os volumes destas duas pirâmides são: 3 3 a) 125 cm e 250 cm 3 3 b) 125 3 cm e 250 3 cm 3 3 c) 150 2 cm e 225 2 cm 3 3 d) 150 3 cm e 225 3 cm 3 3 e) 250 cm e 250 cm

Jeca 36

19) (UFSCar-SP) A figura indica um paralelepípedo retorretângulo de dimensões 5 cm, 5 cm e 4 cm, sendo A, B, C e D quatro dos seus vértices. a) Calcule a área do triângulo ABC. b) Calcule a distância entre o vértice D e o plano que (GeoJeca) contém o triângulo ABC. A

20) (UFOP-MG) Uma chapa retangular de alumínio de 1 m por 60 cm será utilizada para fazer um abrigo de forma triangular, sendo dobrada na linha média de sua extensão de modo que as abas formem um ângulo . Veja a seguinte figura: (GeoJeca) 50 cm

4 B

D 5

m c 0 6

m c 0 5



C

5

c m 6 0

1m

a) A área do triângulo ABC depende de . Seja 2 A() essa área, em cm . Calcule o volume do abrigo 3 em função de A(), em cm . b) Determine  de modo que o volume do abrigo 3 seja máximo. Calcule esse volume em cm , em litros 3 e em m .

21) (Vunesp-SP) A figura representa uma pirâmide com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD, e a face EAB é um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um plano paralelo à base, na altura H. Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide EA'B'C'D' e um tronco de pirâmide de altura H. Sabendo-se que H = 4 cm, AB = 6 cm, BC = 3 cm e a altura h = AE = 6 cm, determine a) o volume da pirâmide EA'B'C'D'. b) o volume do tronco de pirâmide. E

(GeoJeca)

D' H

N

C'

A'

h

22) (Vunesp-SP) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira se recorta uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na figura. Se V é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta, ao retirar as 8 pirâmides, é igual a (GeoJeca) a) V / 2 P b) 3V / 4 M c) 2V / 3 A d) 5V / 6 e) 3V / 8

B' C

D B

A 6 cm

c m 3

Jeca 37


Cilindro circular reto. (ou de revolução)


- Cilindros.

I

Área da base Área lateral

Cilindro de revolução. É o sólido obtido da rotaçõ de um retângulo ao redor de um dos seus lados.

h

h

2R R

Cilindro equilátero. Um cilindro é dito equilátero se a sua secção meridiana é um quadrado, ou seja, a altura é igual ao diâmetro da base. h = 2R Secção meridiana do cilindro

Área da secção meridiana

h

R

R

Fórmulas dos cilindros h 2 R

ASM = 2R . h

2

Área da base

Ab = R

Área lateral

A = 2Rh

Área total

AT = A + 2 . Ab

Volume

V = Ab. h

Exercícios. 01) Dado um cilindro de revolução de altura 12 cm e 02) Determine a área total de um cilindro equilátero 3 raio da base 4 cm, determine: (GeoJeca) sabendo que o seu volume mede 1458 cm . a) a área da base do cilindro; (GeoJeca) b) a área lateral do cilindro; c) a área total do cilindro; d) a área da secção meridiana do cilindro; e) o volume do cilindro.

Jeca 38

03) Dado um cilindro de revolução de volume 896 04) Determinar o volume de um cilindro de revolução 3 sabendo-se que a sua área lateral é um quadrado de (GeoJeca) cm e altura 14 cm, determine: (GeoJeca) lado 6 cm. a) a medida do raio da base do cilindro;

b) a área lateral do cilindro;

c) a área total do cilindro.

05) Uma formiga encontra-se no ponto F de uma lata cilíndrica vazia e vê um torrão de açúcar no ponto T, diametralmente oposto a F. Sendo 10 cm o raio da lata e 30 cm a altura da lata, determinar a menor distância que essa formiga deve percorrer dentro da lata para alcançar o torrão de açúcar. (adotar  = 3)

(GeoJeca)

F

06) Um cilindro reto de raio da base 3 cm e altura 10 cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa horizontal e está totalmente cheio de água. Um outro cilindro de raio da base 4 cm e altura 8 cm, inicialmente vazio, encontra-se apoiado sobre a mesma mesa e está conectado ao primeiro cilindro por um tubo com um registro, que está fechado. Abrindo-se o registro, a água irá escoar pelo tubo até que seja estabelecido o equilíbrio. Determinar a altura da água no 2º cilindro quando o equilíbrio for alcançado. (Desprezar o volume do tubo de conecção) (GeoJeca)

T

Jeca 39

07) Um cilindro de revolução tem a sua base apoiada sobre um plano horizontal e está totalmente cheio de água. Inclinando-se o cilindro até um ângulo  com a horizontal, parte da água é derramada. Sendo o raio da base desse cilindro igual a R e a altura H, sendo H > 2R e  > 45º, determinar o volume de água derramado, em função de R e de . (GeoJeca)



08) (UFPR-PR) Um cilindro está inscrito em um cu-bo conforme sugere a figura a seguir. Sabe-se que o 3 (GeoJeca) volume do cubo é 256 cm . a) Calcule o volume do cilindro. b) Calcule a área total do cilindro.

horizontal

09) (UNICAMP - SP) - Um cilindro circular reto é 10) (UEL-PR) O volume de um cilindro circular reto é cortado por um plano não paralelo à base, conforme 16 cm3. Um cone reto, de base equivalente à do cilinfigura. Calcule o volume do sólido em termos do raio R, 3  cm de volume. Qual a razão entre as medro, tem 5 da altura maior a e da altura menor b. (GeoJeca) didas das alturas do cone e do cilindro ? (GeoJeca)

a

b

2R

Jeca 40


Exercícios complementares. (Cilindro circular reto)


11) (UERJ-RJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme indicado na figura. Imergindose totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobe 25%. Considerando  igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a (GeoJeca)

12) (UFG-GO) Num laboratório, um recipiente em forma de um cilindro reto tem marcas que mostram o volume da substância presente a cada 100 ml. Se o diâmetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a distância entre duas dessas marcas consecutivas ? (GeoJeca)

20 cm

a) 10 2 b) 10 3 2 c) 10 12 3

d) 10 12

m c 0 6

m c 0 4

13) (Unimontes-MG) Pretende-se construir duas caixas: uma, de forma cilíndrica, e outra, de forma cúbica, com a mesma altura. Sabendo-se que o contorno da base de cada caixa tem comprimento igual a 4 cm, é correto afirmar que (GeoJeca) a) as duas caixas têm o mesmo volume. b) o volume da caixa cilíndrica é um terço do volume da caixa cúbica. c) o volume da caixa cilíndrica é maior que o volume da caixa cúbica. d) o volume da caixa cilíndrica é a metade do volume da caixa cúbica.

14) (UFJF- MG) Uma certa marca de leite em pó era vendida em uma embalagem, completamente cheia, no formato de um cilindro circular reto de altura 12 cm e raio da base 5 cm, pelo preço de R$ 4,00. O fabricante alterou a embalagem, aumentando em 2 cm a altura e diminuindo em 1 cm o raio da base, mas manteve o preço por unidade. Então, na realidade, o preço do produto (GeoJeca) a) diminuiu. b) se manteve estável. c) aumentou entre 10% e 20%. d) aumentou entre 20% e 30%. e) aumentou entre 30% e 40%.

Jeca 41

15) (ENEM) Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de modes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras a seguir). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente Tipo II com parafina. (GeoJeca) Tipo I

10 cm

20 cm m c 0 1

2 0 c m

16) Um cilindro reto que tem raio da base 3 cm e altura 10 cm, encontra-se apoiado sobre uma mesa horizontal e está totalmente cheio de água. Um cubo de aresta 6 cm, inicialmente vazio, encontra-se apoiado sobre a mesma mesa e está conectado ao cilindro por um tubo com um registro, que está fechado. Abrindo-se o registro, a água irá escoar pelo tubo até que seja estabelecido o equilíbrio. Determinar a altura da água no cubo quando o equilíbrio for alcançado. (adotar  = 3 e desprezar o volume do (GeoJeca) tubo de conecção)

Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será a) o triplo. b) o dobro. c) igual. d) a metade. e) a terça parte.

17) Dado um cilindro equilátero de raio da base 3 cm, determinar : (GeoJeca) a) a área lateral. b) a área total. c) o volume do cilindro.

18) (UFMG-MG) Em uma indústria de velas, a parafina é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede a. Depois de derretida, a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada, cuja altura e cuja aresta da base medem, cada uma, a / 2. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que, com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas, enche-se um total de (GeoJeca) a) 6 moldes. b) 8 moldes. c) 24 moldes. d) 32 moldes.

Jeca 42

19) A figura abaixo é a planificação de um cilindro reto. 20) Um cilindro de revolução tem raio da base R e Determinar a área da secção meridiana e o volume altura H, sendo H > R. Uma pessoa ao calcular o volume inverteu as medidas e usou R como altura e H desse cilindro. (GeoJeca) como raio da base. Determinar a diferença entre: a) a área total correta e a área total encontrada pela pessoa. m c b) o volume correto e o volume encontrado pela 0 1 pessoa. (GeoJeca) 16 cm

21) (UFU-MG) Considere um tanque cilíndrico de 6 metros de comprimento e 2 metros de diâmetro que está inclinado em relação ao solo em 45º, conforme mostra a figura a seguir. Sabendo-se que o tanque é fechado na base que toca o solo e aberto na outra, qual é o volume máximo de água que o tanque pode conter antes de derramar ? (GeoJeca) 2 m

22) (Cefet-MG) O sólido S é formado pela rotação completa do retângulo ABCD em torno do eixo x. Então, o volume de S é (GeoJeca) a) 550 y b) 600 c) 640 B C 8 d) 720 e) 780 A D

m 6

-2

45º

horizontal

Jeca 43

2

8

x

Respostas das aulas 04 e 05. Respostas da aula 04

Respostas da aula 05

01) a) 5 cm b) 13 cm 2 c) 100 cm 2 d) 260 cm 2 e) 360 cm 3 f) 400 cm 02) a) 2 3 cm b) 2 39 cm 2 c) 24 3 cm 2 d) 24 39 cm 3 e) 96 3 cm 03) a) 8 cm 2 b) 180 cm c) 15 cm 04) a) 6 cm b) 9 cm 2 c) 108 3 cm 2 d) 72 3 cm 3 e) 72 15 cm 05) a) 10 6 cm 3 b) 1000 6 cm 2 c) 600 3 cm 3 06) ( 3 / 16) uc 2 07) a) 70 cm b) 14 cm 2 c) 100 cm 3 d) (400 6 / 3) cm 2 e) 380 cm 2 08) a) 552 cm b) 12 cm c) 17 cm d) 253 cm 3 e) 48 253 cm 09) b 10) d 11) b 12) e 13) 6 6 cm 14) I) a) pirâmide triangular regular b) (2 3 / 3) cm 2 c) 4 3 cm d) (2 327 / 3) cm 2 e) 4 327 cm 2 f) 4( 3 + 327 ) cm 3 g) 16 3 cm II) a) pirâmide quadrangular regular b) 2 cm 2 c) 16 cm d) 2 37 cm 2 e) 16 37 cm 2 f) 16(1 + 37 ) cm 3 g) 64 cm III) a) pirâmide hexagonal regular b) 2 3 cm 2 c) 24 3 cm d) 2 39 cm 2 e) 24 39 cm 2 f) 24( 3 + 39 ) cm 3 g) 96 3 cm 2 3 15) k 3 k 6/ 3 k 2 / 12 2 3 16) 32( 13 + 29 ) cm (896 / 3) cm 17) a/3 18) b 2 19) a) (5 57 / 2) cm b) (20 57 / 57) cm 20) a) 75 000.sen  3 3 b) 75 000 cm 75 litros 0,075 m 3 3 21) a) 4/3 cm b) 104/3 cm 22) d

01) a) 16 cm 2 b) 96 cm 2 c) 128 cm 2 d) 96 cm 3 e) 192 cm 2 02) 486 cm 03) a) 8 cm 2 b) 224 cm 2 c) 352 cm 2 3 04) 54 cm 05) 30 2 cm 06) 3,6 cm 3 07) R / tg  08) a) 64 cm3 b) 48 3 2 cm2 2 09) R (a + b) / 2 10) 15/16 11) 10 3 12 cm 12) 4/ cm 13) c 14) e 15) b 16) 4,28 cm 2 17) a) 36 cm 2 b) 54 cm 3 c) 54 cm 18) c 2 19) a) 160 cm 3 b) 640 cm 2 2 20) a) 2(R - H ) b) RH(R - H) 3 21) 5 m 22) b

2


Jeca 44 15


Cone circular reto. (ou cone de revolução)


- Cone reto ou de revolução.

I

Cone de revolução. É o sólido obtido da rotaçõ de um triângulo retângulo ao redor de um dos seus catetos.

g 

g

h R

Cone equilátero. Um cone é dito equilátero se a sua secção meridiana é um triângulo equilátero, ou seja, a sua geratriz é igual ao diâmetro da base. g = 2R e  = 180º

g

Área lateral 2

2

2R

Área da base

R

2

g =h +R

g - geratriz do cone h - altura do cone R - raio da base do cone Fórmulas dos cones

Secção meridiana (corte no meio)

2

Área da base

Ab = R

Área lateral

A = Rg

Área total

AT = A + Ab

V = 1 Ab . h 3 Ângulo central  = 360g. R Volume

Área da secção meridiana

ASM = R . h

Determinação da fórmula da área lateral e da fórmula do ângulo central. Determinar a área lateral de um cone circular reto Determinar a fórmula do ângulo central do cone como sendo um "triângulo". através de uma regra de três. g 2R . g g (em graus) Regra de três  = 360 . R A l = b 2. h = g 2 g 360º 2g 2R (em radianos)  2R = A l = Rg g 2R

Exercícios. 01) Determine a área total e o volume de um cone circular reto de raio da base 8 cm e altura 15 cm.

Jeca 45

(GeoJeca)

02) Dado um cone de revolução de raio da base 3 cm e (GeoJeca) altura 12 cm, determine: a) a geratriz do cone. b) a área da base. c) a área lateral. d) o volume do cone.

03) Dado um cone equilátero de raio da base R, determine, em função de R : (GeoJeca) a) a geratriz e a altura do cone. b) a área da base, a área lateral e a área total. c) o volume do cone.

04) Determinar o volume de um cone de revolução sa- 05) Determinar o volume de um cone de revolução 2 mede 2 cm e que a bendo que a sua área lateral mede 3 73 cm e que sabendo-se que o raio da sua base 2 2 (GeoJeca) sua área lateral mede 4 10 cm . (GeoJeca) a sua área da base mede 9 cm .

Jeca 46

06) Dado um cone equilátero de altura 12 3 cm, de- 07) Dado um cone equilátero de base 16 cm2, detertermine: (GeoJeca) mine: (GeoJeca)   a) a geratriz do cone; a) o raio da base;

b) a geratriz do cone; b) o raio da base;

c) a área lateral;

c) a área da secção meridiana;

d) o volume do cone.

d) o volume do cone.

08) (UFRN-RN) Um recipiente cônico foi projetado 09) (UFMG-MG) Na figura abaixo está representada de acordo com o desenho a seguir, no qual o tronco a região T, do plano cartesiano, limitada pelo eixo y e de cone foi obtido de um cone de altura igual a 18 cm. pelas retas y = x + 1 e y = 3x: 3 O volume desse recipiente, em cm , é igual a: Seja S o sólido obtido pela rotação da região T em (GeoJeca) a) 216 2 cm torno do eixo y. b) 208 Então é correto afirmar que o volume de S é: c) 224 (GeoJeca) a)  / 24 d) 200 y b)  / 12 m c 2 c)  / 8 1 d)  / 4 6 cm

x

Jeca 47


Exercícios complementares. (Cone circular reto)


10) (UFV-MG) Um chapéu, no formato de um cone circular reto, é feito de uma folha circular de raio 30 cm, recortando-se um setor circular de ângulo 2  / 3 radianos e juntando os lados. A área da base do 2 (GeoJeca) chapéu, em cm , é a) 140 b) 110 c) 130 d) 100 e) 120

11) (UFOP-MG) Um circo com a forma de um cone circular reto sobre um cilindro circular reto de mesmo raio está com a lona toda furada. O dono do circo, tendo obtido um bom lucro com as apresentações, resolveu comprar uma nova lona. Para saber quanto de lona precisava comprar, ele considerou as seguintes especificações: a altura do mastro central vertical que sustenta a lona é de 10 m, a altura do cilindro é de 3 m, e o raio da circunferência, de 24 m, como indica a 2 figura. Que quantidade de lona, em m , será necessário comprar ? (GeoJeca)

m 0 1 m 3

24 m

12) (UFU-MG) Na figura abaixo, tem-se um cilindro de altura h e base de raio r. Inscrito nesse cilindro, há um cone reto de mesma base e mesma altura. Considerando essas informações, marque para as alternativas (V) verdadeira (F) falsa ou (SO) sem opção. (GeoJeca)

h

G

13) (UFLA-MG) Sobre um cilindro de raio r e altura h são obtidos cones da forma descrita no desenho. Calcule a razão entre o volume do cone à esquerda e a soma dos volumes dos dois cones à direita, definidos por um ponto B sobre o eixo que une os dois centros dos círculos da base do cilindro. (GeoJeca)

h

r

1. ( ) A área lateral do cone reto é igual à metade da área lateral do cilindro. 2. ( ) Se um plano paralelo às bases do cilindro e à base do cone reto divide esse cone em dois sólidos de mesmo volume, então um desses sólidos é um cone reto de altura h / 2. 3. ( ) Seja m a medida do lado de um cubo de volume igual ao volume do cilindro acima. Se m = r, então r = h. 4. ( ) Um plano perpendicular à base do cone reto, passando pelo seu vértice A, corta a circunferência da base desse cone nos pontos B e C. Se h > r, então o ângulo BAC é obtuso.

Jeca 48

h

B

r

r

14) Determinar a área total e o volume do sólido obtido ao se girar um triângulo retângulo de lados 3cm, 4 cm e 5 cm ao redor de sua hipotenusa. (utilizar as relações (GeoJeca) métricas no triângulo retângulo)

15) Na figura abaixo, AB = 4 cm, CD = 6 cm e AD = 5 cm. Determinar o volume do tronco de cone gerado girando-se 360º o quadrilátero ABCD ao redor do eixo (GeoJeca) AD.

4 c m

A 3

B

m c

D

C

16) (ITA-SP) O raio da base de um cone circular reto é 17) Dado um cone equilátero de área lateral 98 cm2, igual à média aritmética entre a altura e a geratriz do determine: 3  cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128 m , a) o raio da base do cone; determinar o raio da base e a altura do cone. (GeoJeca)

b) a geratriz do cone;

c) a área da base do cone; d) a área total do cone; e) a altura do cone;

f) o volume do cone.

Jeca 49

(GeoJeca)

18) (UFRG-RS) Um artesão produz velas natalinas na forma de árvore de Natal, conforme a figura abaixo. O sólido A corresponde a um cilindro equilátero e o sólido B é um cone cuja geratriz é igual ao diâmetro de sua base. Sabendo que as dimensões são dadas em centímetros e que o raio do cilindro, r, é a 3 terça parte do raio do cone, R, o volume, em cm , do molde desse enfeite, em função de R, é: (GeoJeca) 3 a) R (9 3 + 1) / 27 3 b) 20R / 27 3 c) R (9 3 + 2) / 27 B 3 d) 10R / 27 3 R e) 11 3 R / 27 A

r

20) (UFPR-PR) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura. a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia ? b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função da altura x indicada na figura. 4 cm (GeoJeca)

m c 2 1

x

19) (UFJF-MG) Fernando utiliza um recipiente, em forma de um cone circular reto, para encher com água um aquário em forma de um paralelepípedo retângulo. As dimensões do cone são: 20 cm de diâmetro de base e 20 cm de altura e as do aquário são: 120 cm, 50 cm e 40 cm, conforme ilustração abaixo. (GeoJeca) 20 cm m c 0 4

m c 0 2

120 cm

c m 5 0

Cada vez que Fernando enche o recipiente na torneira do jardim, ele derrama 10% de seu conteúdo no caminho e despeja o restante no aquário. Estando o aquário inicialmente vazio, qual é o número mínimo de vezes que Fernando deverá encher o recipiente na torneira para que a água despejada no aquário atinja 1/5 de sua capacidade ?

21) (UFRJ-RJ) Um cilindro circular reto é inscrito em um cone, de modo que os eixos desses dois sólidos sejam colineares, conforme representado na ilustração abaixo. (GeoJeca)

A altura do cone e o diâmetro da sua base medem, cada um, 12 cm. Admita que as medidas, em centímetros, da altura e do raio do cilindro variem no intervalo ]0 ; 12[ de modo que ele permaneça inscrito nesse cone. Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua área lateral seja máxima.

Jeca 50

Geometria Espacial Métrica Aula 07 Esferas.


Esfera

Fuso esférico ("casca")

R

Cunha esférica ("gomo")



R - raio da esfera 2

Aesfera = 4R 3 Vesfera = 4 R 3



Regra de três 360º ----------- Aesfera

Regra de três 360º ----------- Vesfera

 -------------- Afuso

 -------------- Vcunha

Afuso =  Aesfera 360

Hemisfério ("meia esfera")

Vcunha =

 V 360 esfera

Secção plana de uma esfera secção plana (círculo)

base do hemisfério

plano de corte

r d

R

Área total do hemisfério

ATH = 1 Aesfera + Abase 2

2

2

2

R =r +d

Volume do hemisfério

R - raio da esfera. r - raio da secção plana (círculo). d - distância entre o centro da esfera e o plano de corte.

VH = 1 Vesfera 2

polo norte meridiano paralelo centro da esfera Raio equador polo sul

eixo polar

Jeca 51

01) Dada uma esfera de raio 12 cm, determine: 02) Dada uma esfera de raio 13 cm, determine: (GeoJeca) (GeoJeca) a) a área da superfície a) a área da superfície esférica; esférica;

b) o volume da esfera;

b) o volume da esfera;

c) o raio da secção plana obtida por um plano que corta a esfera a uma distância de 12 cm do centro; c) a área e o perímetro da secção plana obtida do seccionamento da esfera por um plano que dista 7 cm do centro da esfera.

d) a área dessa secção plana;

e) o perímetro dessa secção plana.

03) Dada uma esfera de raio 9 cm, determine:

04) Sabendo-se que a área da base de um hemisfé-rio 2 é 64 cm , determine: (GeoJeca) a) a área total do hemisfério;

a) a área da superfície esférica;



b) o volume da esfera; (GeoJeca)

c) a área de um fuso esférico de ângulo central  = 50º; b) o volume do hemisfério;

d) o volume de uma cunha esférica de ângulo central  = 80º;

c) o perímetro da base do hemisfério.

Jeca 52

05) Determinar a área e o volume de uma esfera de raio 06) Determinar a área e o volume de uma esfera de 6 cm. (GeoJeca) raio 2/5 cm. (GeoJeca)

07) Sabendo-se que a área da base de um hemisfério 08) Determinar a área da superfície esférica de uma 3 2 é 64 cm , determinar a área total e o volume desse esfera de volume 972 cm . hemisfério.

09) Determinar, em função de d, a área da superfície 10) Dada uma esfera de raio 12 cm, determinar a área esférica e o volume de uma esfera de diâmetro d. da secção plana dessa esfera quando a mesma é (GeoJeca) cortada por um plano que dista 7 cm do seu centro. (GeoJeca)

Jeca 53


Exercícios complementares. (Esferas)


11) (UNICAMP - SP) Uma esfera de raio 1 é apoiada 12) Qual a razão entre o volume de um cilindro equino plano xy de modo que seu polo sul toque a origem látero e o volume da esfera inscrita nesse cilindro ? (GeoJeca) desse plano. Tomando a reta que liga o polo norte dessa esfera a qualquer outro ponto da superfície esférica, chamamos de projeção estereográfica desse outro ponto o ponto em que a reta toca o plano xy. Identifique a projeção estereográfica dos pontos que formam o hemisfério sul da esfera. (GeoJeca)

13) (FGV-SP) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo  de 72º, como mostra a figura. Isso significa que a área do fuso esférico determinado por  é 2 (GeoJeca) a) 20 m 2 b) 15 m fuso esférico 2 c) 10 m 2 d) 5 m 2 e)  m B

A



14) (UEL-PR) Um joalheiro resolveu presentear uma amiga com uma jóia exclusiva. Para isso, imaginou um pingente, com o formato de um octaedro regular contendo uma pérola inscrita, com o formato de uma esfera de raio r, conforme representado na figura a seguir. Se a aresta do octaedro regular tem 2 cm de 3 comprimento, o volume da pérola, em cm , é (GeoJeca) a) 2  / 3 b) 8 / 3 c) 8 2  / 3 d) 4 6  / 9 e) 8 6  / 27

Jeca 54

15) (UFPR-PR) Duas velas são derretidas para formar uma outra em formato de esfera. Dentre as velas derretidas, uma tem formato de cilindro circular reto com raio 6 cm e altura 7 cm, e a outra em formato de esfera com raio 3 cm. O raio da nova vela esférica, em centímetros, será: (GeoJeca) a) menor que 4 b) 4,5 c) 5 d) 6 e) 6,5

16) (UNICAMP-SP) Uma esfera de 4 cm de raio cai numa cavidade cônica de 12 cm de profundidade, cuja abertura tem 5 cm de raio. Determine a distância do vértice da cavidade à esfera. (GeoJeca)

17) (UFTM-MG) Um designer projetou uma vela decorativa com a forma de cone circular reto, de altura 8 cm e raio da base 6 cm. Uma parte da vela será feita com parafina transparente, e a outra com parafina vermelha. A parte vermelha será uma esfera inscrita no cone, como está indicado na figura, feita fora de 3 escala. Sabe-se que o preco de 1 cm de parafina 3 transparente é o dobro do preço de 1 cm de parafina vermelha. Sejam T o custo com parafina transparente e V o custo com parafina vermelha para fabricar uma dessas velas. Assim, é correto concluir que: (GeoJeca) a) T/V = 5/6 b) T/V = 5/2 c) T/V = 9/2 d) T/V = 8/3 e) T/V = 10/3

18) (UERJ-RJ) A figura abaixo representa uma caixa, com a forma de um prisma triangular regular, contendo uma bola perfeitamente esférica que tangencia internamente as cinco faces do prisma. Admitindo-se  = 3, determine o valor aproximado da porcentagem ocupada pelo volume da bola em relação ao volume da caixa. (GeoJeca)

5 cm

m c 2 1

Jeca 55


Sólidos semelhantes.


- Sólidos semelhantes.

I

Sólidos semelhantes - Dois sólidos são ditos seme-lhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro.

Importante - Na redução ou na ampliação, os ângulos se mantêm e os segmentos variam na mesma proporção.

l 1 l 2

tronco de cone

Tronco de cone (ou de pirâmide) - É o sólido obtido do seccionamento de um cone (pirâmide) por um plano paralelo ao plano da base do cone (da pirâmide).

Observação - Na figura ao lado, o cone menor e o cone maior são sólidos semelhantes. O tronco de cone não é semelhante aos cones.

Se dois sólidos são semelhantes, então valem as relações: S1 = S2

l 1 2

( l )

V1 = V2

2

l - qualquer segmento do sólido. S - qualquer área do sólido. V - volume do sólido.

l 1 3

( l ) 2

Determinação do volume do tronco de cone (ou do tronco de pirâmide). VTronco = V2 - V1

VTronco - volume do tronco V2 - volume do cone maior (pirâmide maior) V1 - volume do cone menor (pirâmide menor)

Observação importante - Sempre existe uma semelhança de triângulos entre dois sólidos semelhantes. Exercícios. 01) A figura abaixo representa um cone de raio da base 6 cm e altura 15 cm, seccionado por um plano paralelo ao plano da base e distante 10 cm do vértice do cone. Determine: a) o raio da base do cone menor; b) o volume do cone maior; c) o volume do cone menor; d) o volume do tronco de cone. (GeoJeca)

m c 5 1

tronco de cone

Jeca 56

02) Um cone reto de raio da base 5 cm e altura 12 cm, é seccionado por um plano paralelo à sua base e distante 8 cm do seu vértice. Determine; (GeoJeca) a) o volume do cone maior;

03) (UFMG) Corta-se uma pirâmide regular de base quadrangular e altura 4 cm por um plano paralelo ao plano da base, de maneira que os volumes dos dois sólidos obtidos sejam iguais. Qual é, em cm, a altura do tronco de pirâmide obtido ? (GeoJeca)

4 cm h

b) o volume do cone menor;

c) o volume do tronco de cone.

04) Um cone de raio da base 3 cm e altura 4 cm é 05) A figura abaixo representa um tronco de cone de seccionado por um plano paralelo ao plano da base e altura 5 cm, raio da base maior igual a 6 cm e raio da base menor igual a 4 cm. Determine a área total e o distando 3 cm do vértice do cone. Determine: volume do tronco de cone. (GeoJeca) a) o volume do cone maior;

m c 4

tronco de cone

b) o volume do cone menor;

(GeoJeca)

c) o volume do tronco de cone.

Jeca 57


Exercícios complementares. (Sólidos semelhantes)


06) Uma lanchonete anuncia a venda de refrigerante em copos cônicos de altura 20 cm e raio da base 6 cm. Para não derramar, a lanchonete serve os copos com 18 cm de refrigerante, conforme a figura abaixo. Qual é, em centímetros cúbicos, o volume aproximado do refrigerante no copo ? (GeoJeca) 6 cm a) 200 b) 175 c) 225 d) 150 e) 250

07) Um cone circular reto de altura h e volume V é seccionado por um plano, distante 2h / 3 do seu vértice. Qual é o volume do tronco de cone obtido, em função de V ? (GeoJeca)

h

tronco de cone

20 cm 18 cm

08) (Fuvest-SP) Um copo tem a forma de um cone com altura 8 cm e base horizontal de raio 3 cm. Queremos enchê-lo com quantidades iguais de suco e de água. Para que isso seja possível, qual deve ser a altura x atingida pelo primeiro líqüido colocado ? a) 8 / 3 cm

(GeoJeca)

3 cm

09) Uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base 8 cm e altura 15 cm é seccionada por um plano paralelo à sua base e distante 9 cm do seu vértice. Determine: (GeoJeca) a) o volume da pirâmide maior; 15 cm

b) 6 cm c) 4 cm d) 4 3 cm e) 4 3 4 cm

8 cm x

b) o volume da pirâmide menor;

c) o volume do tronco de pirâmide.

Jeca 58

10) (CESGRANRIO) Uma ampulheta é formada por dois cones de revolução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno orifício que permite a passagem de areia da parte de cima para a parte de baixo. Ao ser colocada para marcar um intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima, e, 35 minutos após, a altura da areia na parte de cima reduziu-se à metade, como mostra a figura. Supondo que em cada minuto a quantidade de areia que passa do cone de cima para o de baixo é constante, em quanto tempo mais toda a areia terá passado para a parte de baixo ? (GeoJeca)

11) (CESGRANRIO) Um recipiente cônico, com altura 2 e base horizontal de raio 1, contém água até a metade de sua altura (Fig. I). Inverte-se a posição do recipiente, como mostra a Fig. II. Qual é a distância do nível da água ao vértice, na situação da Fig. II ? (GeoJeca)

2 d 1

h

No início

h 2

Fig. I

Fig. II

35 minutos após

12) A figura abaixo representa um cone de altura h, volume V e área lateral A, seccionado por um plano paralelo ao plano da base e distante h / 2 do vértice do cone. Determine: (GeoJeca) a) a área lateral do cone menor; b) a área lateral do tronco de cone; c) o volume do cone menor; d) o volume do tronco de cone.

13) Uma pirâmide reta de altura 15 cm é seccionada por um plano paralelo à sua base, obtendo-se assim 3 uma pirâmide menor de volume 108 cm e um tronco 3 de pirâmide de volume 392 cm . Determine: (GeoJeca) a) o volume da pirâmide maior; 15 cm h

b) a altura do tronco de cone.

Jeca 59

14) Qual é a razão entre o volume de uma esfera 15) (UFMG) Corta-se uma pirâmide regular de base inscrita e o volume de uma esfera circunscrita num quadrangular e altura 4 cm por um plano paralelo ao mesmo cubo ? (GeoJeca) plano da base, de maneira que os volumes dos dois sólidos obtidos sejam iguais. Qual é, em cm, a altura do tronco de pirâmide obtido ? (GeoJeca)

4 cm

h

16) (EESC-USP) Dividindo-se uma pirâmide de altura h com um plano paralelo ao da base, à distância x do vértice, obtém-se duas partes de áreas laterais iguais. Qual o valor de x ? (GeoJeca)

17) A figura abaixo representa um cone de revolução de raio da base 5 cm e altura 12 cm, seccionado por um plano paralelo à base e distante 4 cm dela. Determine a área lateral do tronco de cone. (GeoJeca)

x h

12 cm

tronco de cone

Jeca 60


Exercícios sobre sólidos compostos.


01) A figura abaixo representa um cone de revolução e três esferas que se tangenciam e tangenciam o cone. Sabendo-se que o raio da esfera maior é 3 cm e que o raio da esfera intermediária é 2 cm, determine o raio da esfera menor. (GeoJeca)

02) (Fuvest-SP) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão x / h é igual a: (GeoJeca) a) 3 / 6 b) 3 / 3 c) 2 3 / 3 d) 3 e) 4 3 / 3

03) A figura abaixo representa um cinzeiro maciço constituído por um paralelepípedo retorretangular de altura 8 cm e cuja base é um quadrado de lado 16 cm, tendo como receptáculo das cinzas um hemisfério de raio 6 cm. Determinar a área total do cinzeiro e o volume de material gasto na fabricação desse cinzeiro.

04) Um cilindro de revolução tem raio da base 6 cm e contém água até uma determinada altura. Uma esfera de aço é colocada nesse cilindro ficando totalmente submersa. Determinar o raio da esfera, sabendo-se que o nível da água no cilindro subiu 1 cm. (GeoJeca)

(GeoJeca)

1 cm

R = 6 cm

Jeca 61

05) Uma garrafa é constituída por duas partes: a parte inferior que é um cilindro reto e a parte superior que contém o gargalo, conforme mostra a figura abaixo. A parte cilíndrica tem internamente altura 18 cm e raio da base 5 cm. Estando a garrafa fechada, apoiada sobre uma mesa horizontal e contendo água até a altura de 15 cm, coloca-se a mesma de gargalo para baixo e observa-se que a parte cilíndrica tem 7 cm de ar. Determine o volume interno da garrafa. (GeoJeca) ar

parte superior (gargalo)

06) Uma forma de bolo na forma de um paralelepípedo retorretangular de dimensões 30 cm, 25 cm e altura 6 cm, está apoiada sobre uma mesa horizontal e contém água até a altura de 2 cm. Uma lata cilíndrica de raio da base 10 cm e altura 25 cm é colocada dentro da forma de tal maneira que as bases ficam justapostas. Determine a altura h de água na forma de bolo após a colocação da lata. (GeoJeca) (adote  = 3,14)

7 cm h

parte inferior

15 cm

07) (Vunesp-SP) Seja x um nº real positivo. O volume de um paralelepípedo retorretângulo é dado, em 3 2 função de x, pelo polinômio x + 7x + 14x + 8. Se uma aresta do paralelepípedo mede x + 1, a área da face perpendicular a essa aresta pode ser expressa (GeoJeca) por: 2 a) x - 6x + 8 2 b) x + 14x + 8 2 c) x + 7x + 8 2 d) x - 7x + 8 2 e) x + 6x + 8

08) (Fuvest-SP) Em um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo retorretângulo) de volume 27 / 8, as medidas das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é: a) 7 / 8 (GeoJeca) b) 8 / 8 c) 9 / 8 d) 10 / 8 e) 11 / 8

Jeca 62

09) (UFMS-MS) Uma esfera e um tronco de cone de altura H têm o mesmo volume. O diâmetro da esfera é igual ao diâmetro da base circular maior do tronco de cone e igual ao dobro do diâmetro da base circular menor do tronco de cone, como na figura a seguir. (GeoJeca)

R

10) A figura abaixo representa o cubo ABCDEFGH e a pirâmide ABCDH inscrita no cubo. Se o volume da 3 pirâmide é 9K , então a aresta do do cubo é : a) 2K H G b) 3K (GeoJeca) c) 4K E d) 6K F e) 9K

H C

D 2R

2R

A

Então a relação entre H e R é: a) H = 16R / 7 b) H = 10R / 7 c) H = 7R / 16 d) H = 16R / 10 e) H = 7R / 10

B

11) Um sólido é obtido girando-se o quadrilátero ABCD 12) A figura ao lado representa um eixo vertical AB e ao lado ao redor do eixo AB. Determinar a área total e o um triângulo isósceles de base 15 cm e vértice sobre o volume desse sólido. (GeoJeca) eixo AB. Um sólido geométrico é obtido ao se girar o triângulo ao redor do eixo AB. Desenhar no reticulado 6 cm ao lado o sólido obtido e calcular o seu volume. A D m c 7

B

8 cm A

m c 2 1

C

m c 5 1

B

Jeca 63

(GeoJeca)

13) (ITA-SP) Um cilindro reto de altura 6 / 3 cm está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro 3 medem 3 cm, o volume do cilindro, em cm , é igual a: (GeoJeca) a)  3 /4 b)  3 / 6 c)  6 / 6 d)  6 / 9 e)  / 3

14) (UEL-PR) Uma bola esférica de 16 cm de diâmetro está flutuando em uma piscina. A bola está com 4 cm do seu raio abaixo do nível da água. Qual é o raio da calota esférica imersa na água ? (GeoJeca) a) 2 2 cm b) 3 2 cm c) 4 3 cm d) 6 cm e) 8 cm

15) (Fuvest-SP) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a: (GeoJeca) a) 5 / 9 b) 4 / 9 c) 1 / 3 d) 2 / 9 e) 1 / 9

16) (UFRG-RS) O sólido gerado por um quadrado de lado 6, que gira em torno de sua diagonal, tem volume igual a: (GeoJeca) a) 720 b) 81 2 c) 36 2 d) 108 2 e) 27 2

Jeca 64

17) (UFJF-MG) Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular, como mostra a figura. A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3 m. Se a altura do reservatório é h = 6 m, a capacidade máxima de água comportada por esse reservatório é 3 (GeoJeca) a) 9 m 3 b) 18 m 3 c) 27 m 3 d) 36 m h 3 e) 45 m

18) (UFC-CE) As arestas de um cubo medem 1 unidade de comprimento. Escolhido um vértice V do cubo, considera-se um tetraedro VABC de modo que as arestas VA, VB e VC do tetraedro estejam contidas nas arestas do cubo (como descrito na figura) e tenham a mesma medida x = VA= VB = VC, com 0 < x < 1. (GeoJeca) C

A V B

a) Calcule o volume do tetraedro VABC em função de x. b) Considere a esfera inscrita nesse cubo. Determine o valor de x para que o plano determinado pelos pontos A, B e C seja tangente a essa esfera.

19) (UFMG-MG) Nesta figura, estão representadas uma pirâmide, em forma de um tetraedro regular ABCD, e sua sombra em forma de um quadrilátero ACBP: (GeoJeca) D



A C

P

20) (UFC-CE) Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da base 5 cm, altura 20 cm e contém água até a altura de 19 cm (despreze a espessura das paredes do vaso). Assinale a alternativa na qual consta o maior número de esferas de aço, de 1 cm de raio cada, que podemos colocar no vaso a fim de que a água não transborde. (GeoJeca) a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

B

Sabe-se que: - cada aresta da pirâmide mede 20 m; - o segmento CP está contido na mediatriz do segmento AB; - o seno do ângulo  = CPD é 2/3. Considerando esses dados: a) calcule a altura da pirâmide.; b) calcule a área da sombra da pirâmide.

Jeca 65

Geo Posi Espacial - GeoJeca

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