Exposé sur les volumes finis

Master 2 Math APPLIQUEE EDP

ANNEE SCOLAIRE 2012 - 2013

THEME :

Approximation par la méthode des volumes finis

PRESENTE PAR HAUDIE JEAN STEPHANE INKPE

Le 05 juin 2013


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INTRODUCTION La méthode des volumes finis est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles, tout comme la méthode des différences finies et celle des éléments finis. Contrairement à la méthode des différences finies qui met en jeu des approximations des dérivées, les méthodes des volumes finis et des éléments finis exploitent des approximations d'intégrales. Toutefois, la méthode des volumes finis se base directement sur la forme dite « forte » de l'équation à résoudre, alors que la méthode des éléments finis se fonde sur une formulation variationnelle de l'équation dite « faible ». Aussi, les inconnues ou variables discrètes ne sont pas les extrémités des mailles comme le préconise la méthode des différences finies, mais sont plutôt situées à l'intérieur des mailles. Le principe des méthodes de volumes finis consiste à découper le domaine Ω en des volumes de contrôle puis d’intégrer l’équation différentielle sur les différents volumes de contrôle et enfin d’approcher les flux sur les bords des volumes de contrôle par une technique de différences finies.

En effet, l'équation aux dérivées partielles est résolue de manière approchée à l’aide d’un maillage constitué de volumes finis (qui sont des petits volumes disjoints en 3D, des surfaces en 2D, ou des segments en 1D) dont la réunion constitue le domaine d'étude. Les méthodes de volumes finis sont parfaitement adaptées à la résolution de lois de conservation1. En effet, pour des équations aux dérivées partielles qui contiennent des termes de divergence, en utilisant le théorème de flux-divergence ou de Green-Ostrogradski, les intégrales de volume d'un terme de divergence se transforment en des intégrales de surface. Il devient donc plus aisé d’évaluer les termes de flux aux interfaces entre les volumes finis. On utilise de ce fait une fonction de flux numérique pour élaborer une approximation des flux aux interfaces en tenant compte de la règle de conservation des flux entrant et des flux sortant entre deux volumes finis adjacents, Un autre avantage de la méthode des volumes finis est qu'elle est facilement utilisable avec des maillages non-structurés. En effet, pour mailler une géométrie complexe, il est plus facile d’utiliser des triangles en 2-D et des tétraèdres en 3-D. Dans la méthode des différences finies, une telle approche est impossible car le maillage est basé sur une géométrie simple (rectangulaire en 2-D, parallélépipédique en 3-D). La stabilité, condition suffisante pour assurer la convergence d’un schéma numérique et permettant également de justifier que ce schéma puisse être utilisé, ne sera pas mise en exergue dans cette présentation. En effet, la stabilité L² qui utilise la technique de transformés de Fourier est difficilement applicable dans le cas d’un schéma conservatif nonlinéaire. Le plan suivant sera adopté : 1

En physique, une loi de conservation exprime qu'une propriété mesurable particulière d'un système physique reste constante au cours de l'évolution de ce système. (Ex : Conservation de l’énergie, conservation de la quantité de mouvement, conservation du moment angulaire et angulaire, conservation du flux magnétique, etc.)


Page |3

I.

Nous commencerons par définir ce qu’est un maillage et nous ferons un bref rappel sur les espaces fonctionnels et leurs différentes normes ;

II.

Ensuite, nous présenterons les volumes finis en dimension un et deux

III.

Enfin, nous appliquerons cette méthode à un cas pratique de lois de conservation.

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Maillage d’un domaine Soit Ω un ouvert borné polyédrique de associé à l'équation aux dérivées partielles qui nous intéresse. On appelle volume de contrôle, les d-simplexes , vérifiant : Définition

• •

∀

∪

∩

1 … ;

On définit •

Ω

,∀

est un ouvert de Ω

l’ensemble des volumes de contrôle.

Soit Δ l’ensemble des p-faces pris sur chaque volume de contrôle et soit ! ∈ Δ. On a alors :

soit ! ∩ , , alors ! est alors une p-face intérieure • soit ! ⊂ $Ω , ! est alors une p-face du bord On se donne une suite de points % & 'ù & ∈ Le triplet ; Δ ; % ainsi défini est un maillage de Ω •

Maillage 1D volumes finis On prendra A(0) et B(1)

Figure 1: Maillage en 1D

0

&

Soit Ω

+*

, - , &.+ , ⋯ … … … … … … , & 0

30; 14.

*

⁄*

, - , & 2

⁄*

, ⋯…………… , &

2 ⁄*

1

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Les volumes de contrôle , 1 5 5 , sont l’intérieur des 1-simplexes de , c’est à dire des intervalles ouverts notés On définit 6& 0 ⁄* ; & 2 ⁄* 7. l’ensemble des volumes de contrôle. Soit Δ l'ensemble des interfaces 8& 2 contrôle.

⁄* 9 :

, c’est à dire les extrémités des volumes de

On choisit dans chaque volume de contrôle , un point & et On note % & ∪ ;&: 0; & 2 1< .Le Maillage est ici la donnée ; Δ ; % On définit =

&2

⁄*

>&0

⁄*

et on pose = 2

Soit = le pas (taille) du maillage et on pose = Maillage 2-D volumes finis

⁄*

max

&2 >& =

Soit Ω un ouvert borné polyédrique de

*

(polygonale)

Les volumes de contrôle ,1 5 5 , sont l’intérieur des 2-simplexes c'est-à-dire l’intérieur de triangles. On note l’ensemble des volumes de contrôle Les 1-faces pris sur chaque volume de contrôle sont les côtés des triangles et on note Δ, l’ensemble des 1-faces pris sur chaque volume de contrôle. On choisit dans chaque volume de contrôle - et on note % -

Le triplet ; Δ ; % définit ici le maillage. En posant B CD définit le pas h max B CD

maxE ,F∈

, un point G

B &; H , on

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Espaces fonctionnels et normes discrètes Une fonction I ∈ J2 30; 14 admet une dérivée faible dans J* 30; 14 s’il existe une unique fonction g ∈ L* 30; 14 telle que N: I & OP & B& N: Q & O & B& ∀ORST 30; 14 . On note g x Du & . Rappels (Espaces de fonctions)

On définit H 30; 14 , l’ensemble des I ∈ J2 30; 14 tels que I admette une dérivée faible dans ;I ∈ J* 30; 14 , XY ZI ∈ J* 30; 14 < L* 30; 14 ; Donc H 30; 14 ;I ∈ H1 30; 14 XY I 0

On note [:

0<

I 1

La solution approchée I avec la méthode des volumes finis est une solution constante par maille que l’on peut reconstituer de la manière suivante : Définition (solution approchée)

∑ I ] & . L’espace des solutions approchées pour le maillage I & ∑ I ] G & ; ∀ ∈ ; I ∈ _ [ ^I &

; Δ ; % est

[ est donc le sous espace de J* 30; 14 formé des fonctions constantes par maille (c’est à dire constantes sur chaque élément de ). En général, l’espace des solutions vérifie : • [ ⊂ J∞ 30; 14 2, ⊂ Ja 30; 14 , a ≥ 1 • [ ⊄ [ .

Normes discrètes

Pour I ∈ H 30; 14 , on définit ‖I‖efg 1

équivalente à ‖. ‖e g définie par ‖I‖e g

hN: ZI &

hN: I &

*

*

g j

B&i ; ‖. ‖efg est une norme

B& + N: ZI &

*

g j

B& i

Pour m ∈ [ , on note m la valeur de m sur la maille et on définit les normes suivantes de m: ‖m‖oj

3:; 4

pq = m :

*

g j

r ‖m‖os

3:; 4

max |m | ,…..

La fonction m étant constante par maille, elle n’est pas dérivable au sens classique, ni même au sens faible On peut toutefois définir une norme de m sur [ dite « discrète » de la manière suivante : |m|

u∑

,

vGwg 0vG : = 2g p x g r j Gw j

*

g⁄j

y

On peut également définir une sorte de dérivée dite faible de z notée Z z qui est construite m +1 >m à partir des pentes { 2g . On a : j

= 1 + 2

J| est l'espace quotient obtenu en considérant les classes d'équivalence de fonctions essentiellement bornées pour la relation d'équivalence d'égalité presque partout. Il est muni de la norme obtenue par passage au quotient.

2

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D v x

• •

Z 2g z &

‚Gwgƒ ‚G

j

Zg z &

‚g xg

€ •Z…wg z & j ~ j

j

x g Gw j

„ & ∈

0‚… x

„ & ∈

g …w j

g j

„ & ∈

2gj

3& ; & 2 4

1; … . ;

>1

3&: ; & 4 2gj

3& ; &

2

4

qui

est

une

fonction

constante sur chaque intervalle 3& ; & 2 4 et on peut définir sur J* 30; 14 une norme comme suit : ‖Z z ‖oj 3:;

4

h∑: =

g

j * 2 ⁄* { 2g i j

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I I.1

Cas de la dimension 1 Problème modèle, maillage volumes finis >IPP & ‡ & ∀ & ∈ 30; 14 † I 0 I 1 0

On considère le problème suivant dit de Dirichlet homogène:

1

Où ‡ ∈ ∁ 40; 13 .

Cette équation modélise par exemple la diffusion de la chaleur dans un barreau conducteur chauffé (terme source ‡) dont les deux extrémités sont plongées dans de la glace. , un point & ∈ puis on intègre l’équation différentielle >IPP

‡ sur

Dans le maillage volumes finis en 1-D ci-dessus, on considère pour chaque volume de contrôle

et on obtient: N >IPP & B&

N ‡ & B& soit >IP 8& 2

G

N ‡ & B& et en posant ‡ & G

>IP 8& 2

⁄* 9

+ IP 8& 0

⁄* 9

G

xG

N

G

= ‡ ∀

⁄* 9

‡ & B& on obtient

1, … … … . . ,

On cherche donc à approcher les flux >IP 8& 2

⁄* 9 aux

+ IP 8& 0

interfaces & 2

⁄* 9

⁄*

On se donne alors une inconnue (variable discrète) I par volume de contrôle (maille) qui devrait être une bonne approximation de I & . On approche le flux numérique ‰2 ‰2

⁄* ⁄*

>

Š EGwg 0Š EG

> ‰0

xGwg⁄j

⁄*

en I 2

⁄*

>IP 8& 2

⁄* 9

des mailles.

par le quotient différentiel

et on a le schéma numérique suivant :

= ‡ 'I ‹Œ•'Ž‹ >

ŠGwg 0ŠG xGwg⁄j

+

ŠG 0ŠGƒg xGƒg⁄j

= ‡ i

2, . . , N > 1

Pour la 1ère et la Nième équation, en tenant compte des conditions aux limites, on a :

IP 8&

⁄* 9

Donc ‰ ⁄* >

IP 0

>

Šg

Š Eg 0Š Ef

xg⁄j

I2 >I I >I0 + = 2 ⁄* = 0 ⁄*

xg⁄j

et ‰

2 ⁄*

= ‡ , i

Šg

xg⁄j

; IP 8& Š…

x…wg⁄j

1, . . , N

2 ⁄* 9

IP 1

Š E…wg 0Š E… x…wg⁄j

et par suite nous avons :

>

Š…

x…wg⁄j

Remarque : Si nous prenons un maillage uniforme, c'est-à-dire que le pas est constant, (= = ∀ 1, … … … … , alors nous pouvons constater que les schémas des différences finis et des volumes finis sont les mêmes au second membre près. I.2

Schéma matriciel associé

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I , I* , ⋯ , I ; “ “ , “* , ⋯ , “ Posons ’‘ ‡ 1 , . . , et ’” alors le schéma peut s’écrire sous la forme matricielle •‘ ” avec A la matrice creuse tri diagonale représentée ci-dessous.

On peut remarquer que si l’on garde un pas constant (maillage uniforme) alors la matrice est symétrique donc diagonalisable. I.3

Analyse mathématique du Schéma Proposition :

Si ‡ ∈ ∁ 40; 13 et la solution exacte I ∈ ∁* 40; 13 alors le schéma volumes finis admet une solution unique I . Preuve : I2 >I I >I0 + = 2 ⁄* = 0 ⁄*

Le schéma s’écrit : >

= ‡ , i

1, . . , N avec I:

Multiplions par I et sommons de 1 à ; 'Œ C: ∑

ŠGj 0ŠG ∗ŠGwg xGwg⁄j

+∑

ŠGj 0ŠG ∗ŠGƒg xGƒg⁄j

j Š…

x…wg⁄j

ŠGj 0ŠG ∗ŠGwg xGwg⁄j

+x

Soit ∑

Pour ‡

Šgj

:

g⁄j

I2 >I

+∑

+∑

ŠGwg 0ŠG j xGwg⁄j

j 0 ŠGwg 0ŠGwg ∗ŠG : x Gwg⁄j

j ŠGwg 0*ŠG ∗ŠGwg 2ŠGj

xGwg⁄j

0

∑

I = ‡ Ce qui nous donne :

∑ 1 I = ‡

∑ 1 I = ‡ pour i=1, …. , N.

0 , i=1, ………….. , N on a ∑ 0 ∀

2

∑ 1 I = ‡ Et en effectuant un changement d’indice du

la seconde somme, on obtient : ∑

I

:

ŠGwg 0ŠG j xGwg⁄j

0, … … … . . , , d’où I

0 ∀

0 et par suite on a : 0, … … … . . ,

P a g e | 10


A est donc une matrice carrée d’ordre N dont le noyau est réduit à ;0<. A est donc inversible, ce qui justifie l’existence et l’unicité de la solution. solution de l’´équation (1). On note ‰š 2

Lemme (Consistance des Flux) Soit I ∈ ∁* 40; 13 exact en & 2

⁄*

et ‰ 2

⁄*

dérivée première >IP 8& 2

⁄* 9.

>

Š ŠGwg 0Š EG xGwg⁄j

>IP 8& 2

⁄*

⁄* 9

le flux

le quotient différentiel qui approche la

Le flux est dit consistant s’il existe une constante S ≥ 0 ne dépendant que de u pour laquelle l’erreur de consistance sur le flux définie par › 2 ⁄* ‰š 2 ⁄* > ‰ 2 ⁄* , vérifie œ› 2 ⁄* œ 5 S= Preuve : I &

I8& 2

I &2

>I &

I &2

›2

I8& 2

⁄*

1 * + 8& > & 2 ⁄* 9 I" ž ; ž ∈ 7& ; & 2 ⁄* 6 2 1 * " P ⁄* 9 + 8& 2 > & 2 ⁄* 9I 8& 2 ⁄* 9 + 8& 2 > & 2 ⁄* 9 I Ÿ ; Ÿ ∈ 7& 2 ⁄* ; & 2 6 2 1 1 * * & 2 > & IP 8& 2 ⁄* 9 + 8& 2 > & 2 ⁄* 9 I" Ÿ > 8& > & 2 ⁄* 9 I" ž 2 2

⁄* 9

+ 8& > & 2

1 8& +1 >& +1⁄2 9

2

& +1 >&

2

I 8Ÿ 9 > "

remarquant que 8& 2 > & 2

œ› 2

⁄* œ

& 2 > &

5

1 2

& +1 > &

8& 2 > & 2

⁄* 9I

⁄* 9

*

P

8& 2

⁄* 9

8& >& +1⁄2 9 & +1 >&

+ 8& > & 2

2

I" 8ž 9¡ .En posant I" ¢

⁄* 9

*

5 &2 >&

|I" ¢ | 5 =|I" ¢ | 5 S= Cz‹• S

⁄* 9

+ 8& 2

⁄*

> & 9 5 2= 'ù =

*

max I" Ÿ ; I" ž

on a :

max =

|I" ¢ | car

Un schéma est dit conservatif si lorsque l’on considère une interface & 2 mailles ‹X 2 , le flux entrant est égal au flux sortant. Définition : (Conservativité des flux)

Théorème :

Soit I ∈ ∁* 40; 13 la solution de (1).On pose ‹

Il existe S ≥ 0 ne dépendant que de I tel que : : p∑

:

z max

£Gwg 0£G j ,

x g Gw

Preuve :

r 5 S= ;

: ∑

‹ 5 S= j

Comme ‹ que

g j

£Gwg 0£G x g Gw j

I & > I on a >‰š 2g + ‰ 2g j

j

: = 2g ‹ j

£Gwg 0£G x g Gw j

I & > I ; i=1,…,N. ‹: 5 S= ;

Š EGwg 0Š EG x g Gw j

: h∑ >

ŠGwg 0ŠG x g Gw

>› 2g et on rappelle que ∑ j

et en

j

‹

: = 2g j

⁄*

entre deux 0.

2

‹

*

g j

i 5 S= ;

et donc on en déduit

= =1.

P a g e | 11


Ecrivons le schéma volumes finis ‰ 2 ⁄* > ‰ 0 ⁄* = ‡ et l’équation exacte intégrée sur la maille ; ‰š 2 ⁄* > ‰š 0 ⁄* = ‡ ;. En soustrayant on obtient : >‰š 2g + ‰ 2g +‰š 0g > ‰ 0g j

j

j

>› 2g + › 0g >∑

j

£Gwg 0£G

j

‹ › 2g + ∑

x g Gw j

j

>

0 Et en introduisant › 2g on a :

£G 0£Gƒg x g Gƒ

‹ › 0g

j

j

j

∑

j

Et en multipliant par ‹ puis en sommant sur i, on a : >∑

£G £Gwg 0 £G j x g Gw j

£G j 0£G £Gƒg x g Gƒ

Puis en faisant un

j

changement de variable dans la deuxième somme de chaque membre, on obtient : >∑

‹ › 2g + ∑ j

0 :

réordonnant, on a : ∑ ¤> ∑

∑

:

£Gwg 0£G j

:|‹ 2

x g Gw j

¤5∑

∑

‹ 2 › 2g j

£G £Gwg 0 £G j x g Gw

>∑

‹ 2 > ‹ › 2g

:

j

:|‹ 2

> ‹ | ¥› 2g ¥ 5 S= ∑

> ‹ | „'I„ ¦C ‡'ŽD‹ ∑

j

:

p∑

:

£Gwg 0£G j x g Gw j

Justifions (iv) Pour

1, … ,

g j

r 5 S= h∑

: = 2g i j

+ 1 |‹ |=|‹ > ‹: | 5 ∑

Par Cauchy-Schwarz on a variable, on a : |‹ | 5 h∑ Justifions (ii) Justifions (iii)

∑

h∑

: = 2g i j

: = 2g ‹ j : = 2g j

‹

p∑

5 max g

£Gwg 0£G j x g Gw

j

Gw

donc

et

j

en

> ‹ | En écrivant :

§x g ¨ Gw j

£Gwg j 0£Gwg £G x g

j

|£Gwg 0£G |

x g Gw

g j

Et en appliquant l’inégalité de g j

5 S= h∑

œ5∑

œ‹ > ‹ 0

1 2

+1 1 = >1 « 2

:

8£©wg 0£© 9

,….,

x

©ƒ

g j

j

p∑

: = 2g i j

g j

2

œ‹ > ‹ 0 2

+1 8‹ >‹ >1 9 1 = 1 >2

œ 5∑

1 2

r puis

r 5 S= d’où max

|‹ | ∑

i 5 ¬h8max

* j

:

0 :

p∑

:

£Gwg 0£G j x g Gw j

g j

r

Ce qui conclut la démonstration de (i)

|‹ | 5 ª∑ g j

g j

£Gwg 0£G j

Par simplification on a : g j

:|‹ 2

: h= 2g i j

Cauchy-Schwarz (CS), on obtient : ∑

j

>∑

,….,

: = 2g j

|‹ |9 ∑ *

5 S=

: = 2gj i 5

,….,

2

h=

0gj

i

g j

œ£© 0£©ƒg œ §x

©ƒ

g¨ j

g j

.

par changement de |‹ | 5 S=

max

,….,

|‹ | 5 S=

P a g e | 12


En posant ‘ a:

‘ &

‹X ‘

‘

et en utilisant les normes définies sur -

on

‖‘ > ‘ ‖oj 3:; 4 5 S= et ‖‘ > ‘ ‖os 3:; 4 5 S= ; nous pouvons conclure la convergence du schéma volumes finis dans J* 30; 14 ‹X BCŒ„ J| 30; 14 à l’ordre 1.

P a g e | 13


II II.1

Cas de la dimension 2 (stationnaire) Présentation de la méthode volumes finis

On considère toujours l’équation elliptique modèle >-I ‡ „IŽ Ω 2 ; ‡ ∈ J* Ω . On suppose maintenant que Ω est un ouvert polygonal de IR2, et on se donne un maillage ; Δ ; % , c’est à dire en gros, un découpage de Ω en volumes de contrôle polygonaux K. Pour obtenir le schéma volumes finis, on commence par établir les bilans par mailles puis on intègre l’équation (2) sur chaque maille . Notons que ceci est possible du fait que l’équation est sous forme conservatrice, c’est à dire ( >B z ‡¦I& ‡ . On obtient : N¯ >∆I & B&

N¯ ‡ & B& Ou encore N¯ >B z ∇I &

B&

N¯ ‡ & B&

Par la formule de Green-Ostrogradski ou de Stokes, on peut réécrire cette équation:

N±¯ >∇I & . Œ¯ & B„ & N¯ ‡ & B& Où ds(x) désigne l’intégrale par rapport à la mesure unidimensionnelle sur le bord de l’ouvert Ω, et o ù Œ¯ est le vecteur normal unitaire à ∂K extérieur à K. Comme K est polygonal, $ ⋃³∈´µ ! peut être décomposé en arêtes σ qui sont des segments de droites, et où ¶¯ est l’ensemble des arêtes du volume de contrôle K. on a donc : ∑³·´µ N³ >∇I. Œ¯,³ B„ N¯ ‡ & B& Où Œ¯,³ désigne le vecteur normal unitaire à l’arête σ extérieur à K (noter que ce vecteur est constant sur σ). Ce qui peut s’écrire : ∑³·´µ N³ >∇I. Œ¯,³ B„

| |‡¯ Avec | | = diamètre de , et ‡¯

N ‡ & B&

|¯| ¯

On écrit une « équation approchée » ∑³∈´µ ‰¯,³ | | ‡¯ en cherchant à approcher la dérivée normale ∇I. Œ¯,³ de manière consistante sur chaque arête σ. ‰¯,³ est le flux

numérique à travers σ qui approche au mieux le flux exact N³ >∇I. Œ¯,³ B„. Pour obtenir le schéma numérique, nous devons exprimer le flux numérique ‰¯,³ en fonction des inconnues discrètes I¯ ¯∈ associées aux volumes de contrôle et I³ ³∈´µ associées aux arêtes (Ces dernières seront ensuite éliminées). Pour une arête ! ∈ ∩ J séparant les volumes de contrôle K et L, il est tentant d’approcher la dérivée normale Š 0Š ∇I. Œ¯,³ par le quotient différentiel ¸ µ où B¯,³ est la distance du point &¯ à l’arête !. Ainsi ‰¯,³

>

Š¸ 0Šµ µ,¸

µ,¸

|!| avec |!| la longueur de l’arête ! . Cependant, cette

approximation ne pourra être justifiée que si la direction du vecteur défini par les deux points &¯ ‹X &o est la même que celle de la normale Œ¯,³ , c’est à dire si le segment de droite 4&¯ , &o 3 est orthogonal à l’arête ! . Pour un maillage triangulaire à angles strictement inférieurs à π/2, ceci est facile à obtenir en choisissant les points &¯ comme intersection des médiatrices du triangle K, voir Figure ci- dessous.

P a g e | 14


Le schéma numérique volumes finis associé à l’inconnue discrète I¯ est : ∑³∈´µ ‰¯,³ | | ‡¯ où les flux numériques ‰¯,³ sont définis en tenant compte des conditions aux limites pour les arêtes du bord par :

Figure 2: Exemple de volumes de contrôle pour la méthode des volumes finis en deux dimensions d’espace.

‰¯,³

Io > I¯ „ ! ∈ ∩ J •>|!| B ¯,o 3 € >|!| I¯ „ ! ⊂ $¹ ‹X ! ∈ ¶¯ B¯,o ~

Les deux propriétés essentielles du flux numérique F¼,½ pour que celui-ci soit une II.3

« bonne » approximation de N³ >∇I. Œ¯,³ B„ , sont la conservativité et la consistance. Conservativité3 du flux

On impose que pour toute interface interne, le flux entrant est égal à l'opposé du flux sortant, ce qui se traduit par : ∀ σϵK ∩ L F¼,½ + FÁ,½ 0 En effet, la conservativité des flux nous permet d’éliminer les inconnues associées aux I >I I >I arêtes internes. Soit ! ∈ ∩ J , on a : ‰¯,³ ‰o,³ d’où > !B |!| > !B J |!| c'est-à-dire I³ ª ‰¯,³

II.2

µ,¸

+

Â,¸

«

Šµ

µ,¸

+

ŠÂ

Bo,³ . I¯ + B¯,³ . Io > I¯ B¯,³ + Bo,³ > |!| B¯,³

Â,¸

soit I³

>

µ,¸ . Â,¸

µ,¸ 2 Â,¸

ª

Šµ

µ,¸

+

ŠÂ

Â,¸

« ou I³

Bo,³ . I¯ + B¯,³ . Io > B¯,³ . I¯ > Bo,³ . I¯

Consistance du flux

B¯,³ 8B¯,³ + Bo,³ 9

,!

|!|

J,!

Â,¸ .Šµ 2 µ,¸ .ŠÂ µ,¸ 2 Â,¸

>

Io > I¯ |!| B¯,³ + Bo,³

et donc >

Io > I¯ |!| B¯,o

On appelle erreur de consistance associée au flux numérique volumes finis Š 0Š ‰¯,³ > ¸ µ |!| en I¯ , l’expression ›¯,³ |³| ‰š¯,³ > |³| N³ ∇I. Œ¯,³ B„ où ‰š¯,³

>

µ,¸

Š E¸ 0Š Eµ µ,¸

|!| avec &³ intersection de 4&¯ ; &o 3 avec l’arête ! ∈

la solution exacte du problème. 3

∩ J et I

Une grandeur X est dite conservative si elle n’est jamais détruite ou produite mais seulement échangée. En d’autres termes, sa circulation dans un domaine précis ne dépend pas de la trajectoire choisie.

P a g e | 15


Le flux numérique est dit consistant si limx→: §max ¯∈ œ›¯,³ œ¨ maillage.

³∈´µ

0 ; h étant le pas du

Remarque : -

La consistance, la conservativité et l'unicité de la solution du schéma n'impliquent pas la convergence du schéma. Néanmoins, on peut rendre ce schéma convergent en choisissant la solution I suffisamment régulière et le vecteur de direction I¯ Io colinéaire à la normale Œ¯,³ . Ainsi, le schéma devient consistant et en tenant compte de la conservativité, nous obtenons la convergence comme cela a été fait en dimension 1.

P a g e | 16


III Application à la loi de conservation III.1

Situation du problème On s'intéresse ici aux lois de conservation, dont la forme générale est la suivante : ±Æ

+ B z Ç

Q , ∀ &, X ∈ Ω Χ

2

Å∎ S'ŒB X 'Œ„ Œ X C¦‹„ (4) ∎ S'ŒB X 'Œ„ CI “'ŽB Où : ±’

• • •

O ¦C B‹Œ„ Xé YI ‹„X IŒ‹ Œ•'ŒŒI‹ Ç ¦‹ ‡¦I& C„„'• é Q ¦‹ X‹ŽD‹ „'IŽ•‹ Ω⊂ un ouvert borné

De plus, J est de la forme J •

F x, t, ρ, ∇ρ . On citera par exemple :

a. Le flux de advection4 / convection5 : Ç •

z &, X ∈ =:

→

un champ de vecteur vitesse donné

b. Le flux de diffusion : Ç • •

&, X ∈

z &, X = O , où :

>

&, X ∇O, où :

dans le cas classique

&, X ∈ ℳ dans certains cas c. Le flux de convection / diffusion : Ç z &, X = O > •

&, X ∇O .

La méthode des volumes finis est utilisée pour discrétiser la partie spatiale des lois de conservation (semi discrétisation), la partie temporelle est quant à-elle discrétisée par la méthode des différences finies (discrétisation totale).

Soit le maillage ; Δ ; % de Ω. La méthode des volumes finis est basée sur l'intégration de l'EDP sur tous les volumes de contrôle du maillage. On a, par le théorème de Stokes on a : ∀ ∈ , D’où

Þ N Þß ¼

Ü Bz Ç ¯

±¯

ρ x, t dx + Nà¼ J. n¼ dγ

On sait que ∂Κ Þ

Ü Ç. Œ¯ BÝ

⋃½∈äå σ où E¼ est lP ensemble des arêtes du volume de contrôle K. d'où

N ρ x, t dx + ∑½éäå N½ J. n¼,½ dγ

Þß ¼

N¼ g x, t dx

N¼ Q x, t dx où n¼,½ est la normale à σ de K.

On obtient le schéma volumes finis en faisant une approximation de la dernière égalité, ce qui donne: |K| •

44 5

ì êìwg ë 0êë

∆ß

+ ∑½éäå F¼,½

|K|g ¼ avec ∆t

Oîï IŒ‹ CaaŽ'& DCX 'Œ B‹ |¯| N¯ O &î , X ï B&

t í2 > t í

L'advection correspond au transport d'une quantité (scalaire ou vectorielle), par un champ vectoriel. La convection est un mode de transfert qui implique un déplacement de matière dans le milieu

P a g e | 17


‰¯,³ IŒ‹ CaaŽ'& DCX 'Œ B‹ N! Ç. Œ

•

,!

BÝ

Q¯ IŒ‹ CaaŽ'& DCX 'Œ B‹ |¯| N¯ Q1 &, X B&

•

Les flux numériques F¼,½ s'expriment en fonction des Io Á∈ . On remplace alors tous les £E ð¼,½ I¯ , Io aCŽ I &¯ , I &o où I est la solution exacte du problème ; On obtient alors ‰ . Pour qu'on ait la consistance des flux, il suffit que : lim ñ

x→:

1

| |

£E ð¼,½ ‰ >

1

| |

Ü J. n¼,½ dγñ ½

0

Cas en dimension 2 (évolutif)

III.2

Soit par exemple le système de lois de conservation en dimension deux d’espace en considérant : Ç hóò ÆÆ i , O ±ô ±’

+

±ò ô ±E

+

‘ &, H, X ‹X Q

±ó ô ±F

0 ; L’équation

0 5

±Æ ±’

+ B z Ç

Q devient :

On se donne un maillage du plan selon le modèle ci-dessous. Les mailles sont notées Ω , leur F mesure de surface est s . La normale sortante est Œõö 8Œ E ; Œ 9 . Pour un maillage constitué de polygones, deux mailles voisines ont une interface qui est un segment noté Σ î Σî et de longueur σ î . La normale sortante du côté Ω est notée Œõö î >Œõöî . La mesure de longueur au bord est B!. On pourra confondre la maille Ω et son numéro j. Il en sera de même pour l’interface jk.

Figure 3: les mailles peuvent être triangulaire, quadrangulaire ou autre

On commence par intégrer l’équation (5) dans le volume de contrôle j. on a : N ‘ X, &, H B- + N ø h ’ ø ©

©

±ò ô ±E

+

±ó ô ±F

i B-

0 Soit,

P a g e | 18


N ‘ X, &, H B- + N àø 8‡ ‘ Œ E + Q ‘ Œ 9B!

’ ø©

0 6 Ce qui nous donne par

F

©

N ‘ X, &, H B- + ∑ ø© Nú ‡ ‘ Œ E + Q ‘ Œ B!î

décomposition sur les bords voisins : ’ ø©

©û

F

∅. Et une discrétisation de type Euler explicite en temps et

voisine de la maille j, on a Σ î volumes finis en espace est :

‘ ï2 > ‘ ï F „ + q σ î 8‡ î Œ Eî + Q î Œ î 9 ∆X î

0 7 . Si la maille k n’est pas

0 8.1

Ainsi, la conservativité du flux se traduit par : ‡ î Œ Eî + Q î Œ î F

>8‡î ŒîE + Qî Œî 9 8.2 F

Ce qui induit la propriété suivante :

Lemme (Conservativité du schéma) : Le schéma Volumes Finis (8.1-8.2) est conservatif, c'est-à-dire : ∑

∑

‘ï2

‘ ï Aux termes de bords près6.

Preuve :

ZP CaŽè„ 8.1 'ŒC ∶ ∑

∑

‘ ï2

∑

‘ï2

∑

∑

‘Œ+1

‘Œ > ∆X ∑ ∑ σ î 8‡ î Œ Eî + Q î Œ Fî 9 Soit:

∑

î

‘ ï > ∆X ∑ σ h‡ Œ& + Q Œ i 'I ‹Œ•'Ž‹:

‘ ï > ∆X ∑

H

,

ú©û ⊂±ø

σ h‡ Œ& + Q Œ i H

Il ne reste plus qu’à construire le flux numérique discret précédent en fonctions des inconnues discrétisées. On définit les inconnues comme suit :

‘, X

©wg⁄j Gwg⁄j ‘ X, &, H B& BH N N E E F

F

©ƒg⁄j

E

©ƒg⁄j

> 1⁄2 Δ& , H

Cz‹• &

pour l’équation

> 1⁄2 ΔH ‹X X ï

$‘ $‡ ‘ hyperbolique + $X $&

$Q ‘ + $H

ŒΔX Un ensemble discret de points

0. Nous choisissons de faire une semi-

discrétisation en espace en intégrant l’équation sur le volume de contrôle 6& 0 NE

EGwg⁄j ±ô ’,E,F Gƒg⁄j

±’

B& + NE Gwg⁄j E

Gƒg⁄j

±ò8ô ’,E,F 9 ±E

+

±ó8ô ’,E,F 9

cette fois-ci sur le volume de contrôle 6H 0

Δ&ΔH 6

F©wg⁄j $‘ , X +Ü ‡ h‘8X, & 2 $X F©ƒg⁄j

⁄* , H9i

> ‡ h‘8X, & 0

±F

B&

⁄* ; H 2 ⁄* 7

⁄* , H9i

EGƒg⁄j

0 puis en intégrant à nouveau mais

on obtient :

EGwg⁄j

BH + Ü

⁄* ; & 2 ⁄* 7.

Q h‘8X, &, H 2

⁄* 9i

> Q h‘8X, &, H 0

On entend par l`a que les mailles aux bords du domaine dans lequel on discrétise n’ont pas de vis-à-vis.

⁄* 9i

B&

0

P a g e | 19

Approximation par la méthode des volumes finis H +1⁄2

En approchant Ü

H >1⁄2

‡8X, & +1⁄2 , H9 BH aCŽ ΔH‡ 2 h‘ , X ; ‘ 2

$‘ , X + ΔH ‡ 2 h‘ , X ; ‘ 2 $X

on a: Δ&Δy

$‘ , X 1 2 + ‡ h‘ , X ; ‘ 2 $X Δx Ü ’

’

,

,

X i > ‡ 2 h‘ 0

X i > ‡ 2 h‘ 0

,

,

,

& +1⁄2

X i ‹X Ü

& >1⁄2

‡8X, &, H +1⁄2 9 B& aCŽ Δ&Q h‘ , X ; ‘ , 2

X ; ‘ , X i + Δ& Q2 h‘ , X ; ‘ ,

X ;‘, X i +

1 2 Q h‘ , X ; ‘ , Δy

2

2

X i > Q2 h‘ ,

X i > Q2 h‘ ,

En faisant une intégration en temps de la formule précédente entre t wg

$‘ , X 1 ’ BX + Ü $X Δx ’

wg

‡ 2 h‘ , X ; ‘ 2

,

X i > ‡ 2 h‘ 0

X ; ‘ , X i BX +

,

1 ’ Ü Δy ’

wg

Q2 h‘ , X ; ‘ ,

2

0

0

tí; t

X ;‘ , X i

X ;‘, X i

X i > Q2 h‘ ,

0 'I

0

t í2 , on a :

0

X i

2

X ; ‘ , X i BX

0

En remplaçant l’intégrale en temps pour chaque terme, par une méthode de Euler explicite, on obtient le schéma suivant qui est totalement discret pour tous les ‘ ï, .

‘ ï2 > ‘ ï, + ∆E 7‡ 2 8‘ ï, ; ‘ ï2 , 9 > ‡ 2 8‘ ï0 , ; ‘ ï, 96 + ∆F 7Q2 8‘ ï, ; ‘ ï, 2 9 > Q2 8‘ ï, 0 ; ‘ ï, 96 , ‘ ï2 ,

‘ ï, >

En posant ‹X Qï, +1⁄2

‘ ï2 ,

∆’

∆’

0 ou encore

∆X 2 ï ï ∆X 2 ï ï 7‡ 8‘ , ; ‘ 2 , 9 > ‡ 2 8‘ ï0 , ; ‘ ï, 96 > 7Q 8‘ , ; ‘ , 2 9 > Q2 8‘ ï, 0 ; ‘ ï, 96 9 ∆& ∆H

∆X ∆&

;

∆X ∆H

; ‡Œ2

‡+ 8‘Œ, ; ‘Œ+1, 9

⁄*,

Q2 8‘ ï, ; ‘ ï, 2 9 IŒ „•=éDC ŒIDéŽ YI‹ „ Da¦ ‡ é a‹IX „′é•Ž Ž‹:

‘ ï, > h‡ ï+1⁄2, > ‡ ï>1⁄2, i > hQï, +1⁄2 > Qï, >1⁄2 i 10

Consistance

On peut définir l’erreur de troncature comme suit : › ï, Cz‹•

‘,

Œ+1

>‘,

∆X

‘ ï • , • ‡ ̅ï 1 2,

€ Q̅ ï 1 • , 22 ~ 2

Œ

+

‡

Œ

1 + , 2

>‡

∆&

Œ

1 > , 2

+

Q

Œ

,+

1 2

>Q

∆H

Œ

,>

1 2

‘8& , H , X ï 9 ‡ 2 8‘ï, ; ‘ ï2 , 9 où ‘ ¦C „'¦IX 'Œ ‹&C•X‹ B‹ ¦ P éYICX 'Œ 5 .

Q2 8‘ ï, ; ‘ ï, 2 9

Lemme : (Condition de consistance) Un schéma mis sous la forme conservative (9) est consistant avec l’équation (5) si f 2 U; U f U + C ß et g 2 U; U g U + C ß ∀ U ∈ 11 Preuve :

Soit un schéma de la forme : ‘ ï2 ,

‘ ï, > h‡ ï+1⁄2, > ‡ ï>1⁄2, i > hQï, +1⁄2 > Qï, >1⁄2 i

Calculons son erreur de troncature

P a g e | 20

Approximation par la méthode des volumes finis Œ+1 ‘,

› ï,

∆X

On a : • • •

Œ+1 ‘,

>

>

Œ ‘,

Œ ‘,

Si ‹X ±Š on a : ±‡+

± ‡+ ±‚

hŽ‹„a.

•Q2 8‘Œ ; ‘Œ 9 , , +1 • € 2 Œ Œ •Q 8‘ , >1 ; ‘ , 9 ~ Ainsi >‘,

Œ

• ∆X • ï ï ̅ • ‡ 21 , > ‡ ̅ 01 , 2

2

$‘ , $X

Œ

D’où ›ï,

1 > , 2

+

Q

Œ

1 ,+ 2

>Q

Œ

,>

1 2

±Š

± ‡+ ±‚

i désignent les deux dérivées partielles de ‡ 2 Ž‹„a. Q2 Œ

Œ ; ‘ ,

Œ

Œ

$Q2 8‘ , ; ‘ , 9 $‘ , Q 8 +¢ 9+ $z $H Œ Œ Œ $Q2 8‘ , ; ‘ , 9 $‘ , Œ Œ 2 Q 8‘ , ; ‘ , 9 > +¢ $I $H 2

Œ ‘,

Œ

Œ ; ‘ ,

Œ

Œ

* *

$‘ , + ¢ ∆X * $X

= € ï •Q̅ 1 > Q̅ ï 1 , 0 2 • , 22 = ~ Or

‹X

± ‡+

Œ 2 ‘,

€ 2 Œ Œ •‡ 8‘ >1, ; ‘ , 9 ~ Et

Œ+1

=

Œ

$‡ 2 8‘ , ; ‘ , 9 $‘ , = + ¢ =* ‡ 8 9+ $& $z Œ Œ Œ $‡ 2 8‘ , ; ‘ , 9 $‘ , Œ Œ 2 ‡ 8‘ , ; ‘ , 9 > = + ¢ =* $I $&

• 2 Œ Œ •‡ 8‘ , ; ‘ +1, 9

‘,

1 + , 2

Œ

Œ

€ • •‘Œ > ‘Œ , ~ , +D

+

>‡

Œ

$‘ , ∆X + ¢ ∆X * $X Œ $‘ , D= + ¢ =* Cz‹• D ±1 $& Œ $‘ , D + ¢ * $H

‘ +D, > ‘ , Œ

‡

Œ

$‡ 2 8‘ , ; ‘ , 9 $‡ 2 8‘ , ; ‘ , 9 $‘ , + +¢ = § ¨ $I $z $& Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

$Q2 8‘ , ; ‘ , 9 $Q2 8‘ , ; ‘ , 9 $‘ , + +¢ § ¨ $I $z $H Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

$‡8‘ , 9 $Q8‘ , 9 > > $& $H Œ

Œ

$‡ 2 8‘ , ; ‘ , 9 $‡ 2 8‘ , ; ‘ , 9 $‘ , $‡8‘ , 9 $Q2 8‘ , ; ‘ , 9 $Q2 8‘ , ; ‘ , 9 $ ‘ , $Q8‘ , 9 § + ¨ > +§ + ¨ > + ¢8= + $I $z $& $& $I $z $H $H Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Œ

Le schéma est donc consistant et au moins d’ordre 1 si :

Œ

Œ

Œ

Œ

+ ¢ ∆X 9

,

P a g e | 21


$‡ 2 $‡ 2 • ‘ ; ‘ + ‘ ; ‘ > ‡ P ‘ $I $z 2 $Q € $Q P ‘ ; ‘ + ‘ ; ‘ > Q ‘ ~ $I $z

0

0

D’où l’égalité (11).

Remarque :(Cas où les fonctions En supposant que ‡ I

CI

$ $ $ I+C I+ I $X $& $H

sont linéaires).

Q I , avec C > 0 et en choisissant la constante =0, on a :

0 ; éYICX 'Œ B P CBz‹•X 'Œ / •'Œz‹•X 'Œ.

• Œ„ , ‡ ï+1⁄2, > ‡ ï>1⁄2,

CI∗2g , > CI∗0 g , et Qï, +1⁄2 > Qï, >1⁄2 j

j

Et le schéma numérique est le suivant : Iï2 > Iï, , + ∆X

CI∗

2 , *

> CI∗ =

0 , *

+

CI∗

A la suite 8Iï 9, 'Œ C„„'• ‹ Ix 8& ; X9 Théorème : SI

∀‘ ∈

, 2 *

> CI∗

, 0 *

j

XC“ ¦ Xé J|

b) Ix 8& ; X9 → I∗ &; X aa &; X YICŒB = → 0. Alors

‡ Ix ∀ Ix ∈ ›

2 , *

g j

2

CIï2

> CI∗, ,

Iï pour & 0g , & , & 0g ‹X X ï0 j , X , X ï2 j ; =

a) ‖Ix ‖os 5 S ŒBéa‹ŒBCDD‹ŒX B‹ = ; c) Q Ix ; Ix

0 Cz‹• CI∗

CI∗,

I∗ ‹„X IŒ‹ „'¦IX 'Œ ‡C “¦‹ BI aŽ'“¦èD‹./.

j

g

g

g j

0

∆X; ∆&


P a g e | 22

CONCLUSION Il ressort de cette étude qu’un schéma de différences finies peut être considéré comme un schéma de volumes finis. Ainsi, la dénomination de volumes finis fait plus référence à un mode de construction qu’à un type de schéma. Il est donc possible de construire par ce procédé, des fonctions par morceaux qui approchent la solution régulière. Toutefois, si un tel schéma est convergent sous des hypothèses de stabilités J| , on peut arriver à prouver qu’une telle solution converge vers une solution faible (Cf. Théorème de Lax-Wendroff).

Exposé sur les volumes finis

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