“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
UNIDAD 1. NÚMEROS COMPLEJOS
EQUIPO # 5
Juan García Pedro Octavio Sánchez Campos Adanary Suray Sánchez Chavelo María Carrión Luna José David
10680250 10680283 10680284 10680240
G2 09:00 – 10:00 a.m. Segundo semestre Ingeniería en Mecatrónica
H.H. Cuautla Mor. 02 de Junio 2011
Equipo #5
Página 1
Índice unidad 1 TAREA #1: Examen de Diagnóstico......................................................................................3 Examen resuelto de la unidad 1.............................................................................................10 TAREA #2: Investigar y/o analizar bibliografías de libros de Álgebra Lineal. ...........14 TAREA #3: Investigar historia de los números complejos, también formas y potencias de i...............................................................................................................................18 Propiedades cíclicas de
.......................................................................................................23
TAREA #4: Operaciones de números complejos..............................................................26 TAREA #5: Ejercicios de números complejos....................................................................29 TAREA #6: Resolver ejercicios con el teorema de Moivre.............................................34 TAREA #7: Aplicación de la fórmula de Moivre.................................................................38 TAREA #8: Investigar y traer los 10 consejos del Bill Gates.........................................43 TAREA #9: Investigación sobre el Teorema del Residuo, Teorema del Factor y Teorema del Álgebra........................................................................................................45 TAREA #10: INVESTIGACION DE MATEMÁTICOS QUE DESARRORARON EL ÁLGEBRA LINEAL.....................................................................................................................49 Formularios.........................................................................................................................58 Unidad 1 “PROYECTO”............................................................................................................66
Equipo #5
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“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN TAREA #1: Examen de Diagnóstico.
EQUIPO #5
Carrión Luna José David Juan García Pedro Octavio Sánchez Campos Adanary Suray Sánchez Chavelo María
10680240 10680250 10680283 10680284
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Segundo semestre Ingeniería en Mecatrónica
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Examen diagnóstico 1) Resolver. a)
(
)(
)
√( )
( )(
)
( ) √
b)
(
) (
Equipo #5
)(
)
Página 4
( )
( )
c) ( ) ( ) ( )
Equipo #5
Página 5
( )
( )
( )
( )
( )
2) (
)
(4) 3)
(5) (
)
(
)
( ) ( )
Equipo #5
Página 6
( )
( )
( )
Equipo #5
Página 7
2) Escribir los algoritmos de cada uno de los métodos para resolver ecuaciones. Método Sustitución. a) Despejamos la incógnita “x” en la ecuación 2 y obtendremos la ecuación 3. Esto quiere decir que la literal “x” la tendremos como incógnita. b) Sustituimos en la ecuación 1 el valor encontrado para “x” en el paso anterior. c) Se sustituye en la ecuación 2 el valor encontrado de “y”. Método de igualación. a) Se despeja la misma literal en las dos ecuaciones originales (1 y 2) y de esta manera se obtienen las ecuaciones 3 y 4. b) Se igualan las ecuaciones 3 y 4 para obtener la ecuación 5, en la cual se despeja la literal. c) Se sustituye el valor encontrado en la ecuación 5 en cualquiera de las ecuaciones 1 o 2 para obtener el valor de la otra literal. Método de suma y resta. a) Se multiplican los miembros de una de las dos ecuaciones por una cantidad constante apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las incógnitas. b) Por suma o resta se eliminan una de las incógnitas. c) Se resuelve la ecuación lineal resultante. d) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.
Equipo #5
Página 8
Método de determinantes para sistema de 2x2 Se calculan con la siguiente fórmula:
/
|
|
|
(
)( )
( )( )
|
|
(
)( )
( )( )
.
|
|
(
( ( )
|
)( )
)
( )(
)
(
)
( ) (
) Índice
Equipo #5
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“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN TAREA 1
Examen resuelto de la unidad 1 EQUIPO # 8
Carrión Luna José David Juan García Pedro Octavio Sánchez Campos Adanary Suray Sánchez Chavelo María
10680240 10680250 10680283 10680284
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Equipo #5
Página 10
Álgebra lineal EXAMEN 1. 0 .
( ) 0
/1
.
/
.
,
/1
,(
)
-
2. √ Fórmula binómica ó rectangular (
)
(
)
Módulo | |
)
√( √
(
( ) (
√ ( )
*
(
( )
*+
Fórmula trigonométrica ó polar
0
1
Fórmula de Euler ó exponencial ⁄
Equipo #5
Página 11
3. ( | |
) √( )
√ ( )
√
. ⁄ / K= 0, 1, 2 √ * √ (
√
( ⁄
⁄
( )
) ⁄
(
⁄
( )
)+
)
⁄
4. Menciona 10 matemáticos de álgebra lineal. Évariste Galois: Nació el 25 de octubre de 1811, en Bourg-la-Reine, Francia. Fue un matemático que siendo muy joven sentó las bases del Álgebra Lineal. Arthur Cayley: Nació en Richmond, Inglaterra en 1821.Es uno de los matemáticos que más ha escrito, ya que se le documentan más de novecientas publicaciones científicas. Se le considera uno de los fundadores o padre del álgebra lineal ya que aportó el concepto de matriz junto con sus propiedades. William Rowan Hamilton: Fue un multidisciplinario irlandés. Nació en 1805. Sus aportaciones más importantes vienen gracias a sus estudios en: teoría de los cuaternios y de los hipernúmeros, teoría óptica, formalismo abstracto de la mecánica clásica. En álgebra, específicamente, estructuró teorías de números complejos como pares de números reales y definió para los mismos la ley de composición conmutativa.
Equipo #5
Página 12
James Joseph Sylvester: Nació el 3 de septiembre de 1814 en Londres, Inglaterra. Fue un profesor en las universidades de Londres, Baltimore y Oxford e hizo importantes contribuciones en el campo de las matrices. Aunque él no inventó el concepto, sí inventó el nombre. Aportó ideas a la teoría de invariantes junto con Cayley, determinantes, teoría de números, particiones y combinatoria. Descubrió un método dialítico para eliminar incógnitas entre dos polinomios. A él se deben muchos términos matemáticos. Fundó el Diario Americano de las Matemáticas.
Índice Equipo #5
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“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN TAREA #2: Investigar y/o analizar bibliografías de libros de Álgebra Lineal.
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Carrión Luna José David Juan García Pedro Octavio Sánchez Campos Adanary Suray Sánchez Chavelo María
10680240 10680250 10680283 10680284
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Bibliografías consultadas Referencia bibliográfica: Libros: 1. Álgebra lineal – 6ta Edición – Stanley Grossman. Mc Graw Hill Solucionario – Álgebra lineal – 5ta Edición 2. Álgebra lineal – Problemas resueltos – M. Isabel García Planas. 3. Álgebra lineal – V.V.Voevodin.
4. Álgebra lineal y alunas de sus aplicaciones – L.I. Goluina – Segunda Edición. 5. Aplicaciones del álgebra lineal – 6ta Edición - Stanley L. Grossman. Mc Graw Hill
Fuentes de información electrónicas: 1. http://www.matematicasbachiller.com/videos/algebra/ind_al00.htm
Equipo #5
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2. http://www.youtube.com/user/julioprofe?gl=MX
3. http://www.youtube.com/watch?v=W6_ZucLU5LA&playnext=1&list=PL5B5C F37FB08E52E2&index=33
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4. http://www.youtube.com/watch?v=lIo3qxCbgAg&feature=BF&list=PL5B5CF 37FB08E52E2&index=36
5. Http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_compl ejos.htm
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“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN TAREA #3: Investigar historia de los números complejos, también formas y potencias de i.
EQUIPO # 5
Carrión Luna José David Juan García Pedro Octavio Sánchez Campos Adanary Suray Sánchez Chavelo María
10680240 10680250 10680283 10680284
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Equipo #5
Página 18
Historia de los números complejos Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos. Fue en Italia, durante el período del renacimiento, cuando por primera vez los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números y penetran el halo misterioso en que se hallaban envueltos desde la antigüedad. Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545. Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo la ecuación:
No posee soluciones reales. Si empleamos la conocida fórmula de resolución de una ecuación de segundo grado, nos encontraremos con la raíz cuadrada de -19. Los matemáticos griegos, que conocían los métodos geométricos de resolución, consideraban este tipo de problemas irresolubles. Es completamente incorrecto decir que la aparición de los números complejos se debió a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real de entenderlos, viene de las ecuaciones cúbicas. Recordemos que los griegos rechazaron el uso de los números negativos, por la falta de un equivalente dentro de la geometría. Para ellos, todo número representaba la longitud de un segmento o el área de una figura plana. La geometría era considerada entonces como el corazón de toda la matemática y esto, por supuesto, retardo considerablemente el desarrollo de los sistemas numéricos.
Equipo #5
Página 19
Cardano Fue un destacado matemático, así como también medico, filósofo, astrónomo y teólogo. Su padre, Fazio Cardano, fue un abogado que trabajaba en la ciudad de Milán y se dedicaba a las matemáticas en sus horas libres. Tuvo cierta destreza en la ciencia de los números pues enseño geometría en la Universidad de Pavía y Milán. En el año de 1539, Cardano conoce al célebre matemático Tartaglia, lo cual fue un hecho crucial en su vida, pues desde ese momento comienza a interesarse en las ecuaciones cúbicas. Tartaglia le enseño a Cardano sus trucos y técnicas secretas para el manejo de las ecuaciones, no sin antes hacerle prestar un juramento de no revelar a nadie dichos secretos. En 1545, Cardano publica su obra Ars Magna, donde expone los métodos para la resolución de la ecuación cúbica. Tartaglia monta en cólera y acusa a Cardano de traidor y deshonesto, por haber faltado a su juramento. Sin embargo, un joven matemático de apenas 18 de edad, Lodovico Ferrari, quien a la razón era sirviente de Cardano, sale en defensa de su protector diciendo que él estuvo presente la noche de la reunión entre los dos matemáticos y no hubo ningún juramento. En realidad, la fórmula para resolver la ecuación cúbica, había sido descubierta mucho antes por el matemático Scipione del Ferro, quien publico un pequeño libro, que en alguna oportunidad fue consultado por Cardano. Luego Cardano quedaba libre de toda culpa. En su Ars Magna, Cardano reconoce a Al-Khw arizm como el padre del álgebra. El libro, que vio a la luz varias ediciones, fue un clásico de la matemática y contribuyó de manera decisiva al desarrollo del álgebra. En aquella obra aparecen muchos resultados originales, como el método para eliminar la en una ecuación cúbica, conocido como el método de Cardano. También desarrollo un método para resolver ecuaciones diferenciales, llamado método de las proporcionales. Cardano hizo uso por vez primera de las raíces cuadradas de números negativos y considero la posibilidad de usar los números imaginarios aunque con mucha cautela. En una nueva edición de su libro, en 1570, Cardano se adentra un poco más en el misterio de estos números y da algunas reglas para manipularlos. Por ejemplo, la expresión ( Equipo #5
√
)(
√
)
(
) Página 20
Fueron entre las soluciones a la ecuación cúbica en el libro de Cardano donde se dijo el nacimiento de los números complejos, como algo digno de ser estudiado por los matemáticos. En particular, para la ecuación
Cardano nos da la fórmula √
√
√
√
Conocida como Fórmula de Scipione del Ferro-Tartaglia-Cardano
Bombelli De repente alguien hace una pequeña observación sobre un detalle, inadvertido para la gran mayoría, en alguna fórmula o relación muy conocida, y esto puede tener consecuencias imprevisibles, planteando nuevas situaciones, generando un mar de preguntas sin respuestas e inclusive, abriendo nuevas áreas de estudio. Tal es el caso de las dudas de Rafael Bombelli, sobre la ecuación cúbica. Por ejemplo, la ecuación
Se resuelve usando la fórmula √
√
√
√
√
√
√
√
Bombelli recibió las primeras lecciones de matemáticas de Pier Francesco Clementi, un arquitecto e ingeniero. Por esta razón, Bombelli se dedica a la ingeniería, siguiendo a su maestro en las obras de ingeniería hidráulica que realizaba por toda Italia, secando pantanos y reparando puentes. Bombelli conocía bien los trabajos sobre ecuaciones cúbicas de Cardano, pues había leído el Ars Magna. Consideraba aquel libro como el más interesante de todos los escritos sobre álgebra, hasta el momento. Sin embargo pensó que algunas cosas estaban todavía algo confusas y que se podían hacer mucho más comprensibles para el gran público.
Equipo #5
Página 21
Bombelli comienza a escribir un libro de álgebra en 1557. La idea era bastante ambiciosa: publicar una obra monumental en cinco volúmenes en donde se trataran tópicos de aritmética, resolución de ecuaciones, problemas de aplicaciones y los números complejos. Lamentablemente, solo pudo completar tres volúmenes de álgebra, publicados en 1572, unos meses antes de su muerte. Bombelli puede ser llamado con todo derecho, el padre de los números complejos, pues fue el primero que desarrollo el álgebra formal para trabajar con las expresiones de la forma √ . Hemos visto en la fórmula de del FerroTartaglia-Cardano, aparecen dos sumandos del tipo √
√
La idea de Bombelli, es reducir dicho número a uno del tipo √ , para lo cual debe resolver el problema de como sumar y multiplicar dichas expresiones. El número debe ser elevado al cubo, para obtener una expresión del tipo √ √ √ . Usando ahora los números complejos, se pueden obtener soluciones reales de la ecuación cúbica. En el libro L'Algebra, aparecen por primera vez el cálculo con los números negativos, así como también las reglas para sumar y multiplicar dichos números. El gran aporte de Bombelli al álgebra, fue el de aceptar sin reserva la existencia de √ , como un número. A manera de ejemplo, Bombelli nos da las siguientes reglas: √ √
√ √
Siendo
Equipo #5
un número natural.
Página 22
Propiedades cíclicas de
11
-1
Número complejo: Son conjuntos formados por un número imaginario y un número real. Ejemplo:
Operaciones básicas Ejemplos: (
1.
) (
2.
)
√
3.
( √ √
√ √
)
√
4.
Aplicación: (
Equipo #5
)
√(
) ( )
( )( )
√
√
√
√
Página 23
Demuestre que: 1. √
√
(
√
*
(
)
2.
Potencia de un número complejo:
Equipo #5
Página 24
Cada 4 se repite el ciclo. Fórmula:
Ejemplos:
1. 2. 3. 4. 5.
( ( ( (
) ) ) )
( ) ( ) ( ) () ( )
Índice Equipo #5
Página 25
“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN TAREA #4: Operaciones de números complejos.
EQUIPO # 5
Carrión Luna José David Juan García Pedro Octavio Sánchez Campos Adanary Suray Sánchez Chavelo María
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Equipo #5
Página 26
Suma de números complejos. (
)
(
)
Ejemplo:
(
)
(
)
(
)
(
)
Nota: Para sumar números complejos simplemente se suman sus componentes correspondientes.
Resta de números complejos. (
)
(
)
(
)
(
)
Ejemplo:
Nota: Para restar dos números complejos se restan sus componentes correspondientes.
Propiedades 1) Propiedad de cierre para la suma: Si “z” y “w” son dos números complejos entonces tanto z + w como z – w son números complejos. 2) Propiedad asociativa: Si “z”, “w”, y “u” son números complejos entonces se tiene: (
)
(
)
3) Propiedad conmutativa: Si “z” y “u” son números complejos, se tiene
Equipo #5
Página 27
4) Propiedad del elemento neutro: El número complejo , es el elemento neutro para la suma. En efecto, si es cualquier número complejo se tiene: (
)
(
)
(
)
(
De la misma forma se puede probar que
)
.
5) Propiedad del opuesto: Si es un número complejo, el opuesto de este es – , el cual es otro número complejo, notase que el opuesto satisface: (
)
(
)
Usando todas estas propiedades, es posible calcular expresiones complicadas en donde aparezcan sumas y restas de números complejos. Ejemplo: Calcule el valor de “z” donde:
(
)
[(
)
,(
(
)
,(
)
(
(
)
,(
(
)
(
)
)
(
)-]
)(
)-
)
Índice Equipo #5
Página 28
“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN TAREA #5: Ejercicios de números complejos.
EQUIPO # 5
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Equipo #5
Página 29
Tarea
Ejercicios (
a)
b) (
)(̅̅̅)
)
(
(-1+5i)
)(
)
(
c) ( )( )
( )(
)
d) (̅̅̅)(̅̅̅)
(
)( )
(
)(
(
Equipo #5
)
)
)
Página 30
e) ( )
(
)
(
f) ( )
(
)
) ( ) ( ( )( (
)
( )(
) )
( )( (
(
)
) )
(
(
) )
) (
)
)
(
)
(
( )
)
(
Equipo #5
(
))
Página 31
h)
( (
) )
i) ̅̅̅̅̅̅̅̅ (
)( (
) )
j) | | √( ) √
( (
) )
√ √
Equipo #5
Página 32
k) |
̅| |(
)|
| |
√( )
|
√
|
() (
)
√ √
√
l) (
)( ( )( ( )
)( )( ) ( )( )
)
Índice Equipo #5
Página 33
“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN TAREA #6: Resolver ejercicios con el teorema de Moivre
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Equipo #5
Página 34
Ejercicios.
a) √
1.
0√ .
/1
√ .
/
√ ( √ √
2.
)
0√ . √
/1 ( )
.
√ .
√
( ) / √
/
√
b)
( )
Equipo #5
( )
Página 35
√ * √ *
( )
( )
( )
( )
√ 0
+
1
√ ,
√ *
+
-
( )
√ [
( )
+
]
√
√ *
( )
√ [
( )
]
√ ,
√ * √ [ √ ,
Equipo #5
+
-
( )
+ ] -
Página 36
( )
√ * √ [ √ *
( )
+
] √
+
√
Índice Equipo #5
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“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
TAREA #7: Aplicación de la fórmula de Moivre.
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Equipo #5
Página 38
Aplicar la fórmula de Moivre. )
a) (
(
(
)
)
Identidades Trigonométricas:
(
)
(
(
)
(
) )
(
)
(
)0 .
( ) 0
/1
,(
)(
.
)
/
.
/1
,
-
-
)
)
)√ ( | |
√(
( )
)
√
(
(
√
(
(
√
(
(
√
Equipo #5
( )
√ ( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( ( )
)
( )
( )
( )
(
)+
0
)+
[
]
)+
[
]
( )
1
)+
[
]
Página 39
Transforma a forma exponencial. √
)
√( *
| |
(
√
√
)
√
√ ( *
(
| |(
)
.
/
√
)
√(
| |
,
(
√
)
(√ )
√
√
)
(
√
√
) √
( *
.
Equipo #5
(
√
,
√
(√ ) (√ )
/
Página 40
) | |
√(
)
( )
√
√
( * (
)
Conversión de grados a radianes:
= 13
) Propiedad:
Potencia de forma trigonométrica (fórmula de Moivre).
(
)
(
(
)
)
(
)
√
Equipo #5
Poco práctico
√ (
Práctico
* ⁄
(
)
Página 41
Ejemplo: √ √ (
*
√ (
*
√ . √ (
/ *
Índice Equipo #5
Página 42
“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN TAREA #8: Investigar y traer los 10 consejos del Bill Gates.
EQUIPO # 5
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Página 43
Los 10 concejos de Bill Gates. Concejo 1: La vida no es justa, acostúmbrate a ella. Concejo 2: Al mundo no le importa tu autoestima, el mundo espera que logres algo independientemente de que te sientas bien o no contigo mismo. Concejo 3: No ganarás $5000 dólares mensuales justo después de haber salido de la universidad y no serás un vicepresidente hasta que con tu esfuerzo te hayas ganado ambos logros. Concejo 4: Si piensas que tu profesor es duro, espera a que tengas un jefe, ese sí que no tendrá vocación de enseñanza ni la paciencia requerida. Concejo 5: Dedicarse a voltear hamburguesas no te quita dignidad. Tus abuelos tenían una palabra diferente para describirlo, le llamaban: oportunidad. Concejo 6: Si metes la pata, no es culpa de tus padres. Así que no lloriquees por tus errores; aprende de ellos. Concejo 7: Antes de que nacieras tus padres no eran tan aburridos como son ahora. Ellos empezaron a serlo al pagar tus cuentas, limpiar tu ropa y escucharte hablar acerca de la nueva onda en la que estas. Así que antes de emprender tú lucha por las selvas vírgenes contaminadas por la generación de tus padres, inicia el camino limpiando las cosas de tu propia vida, empezando por tu habitación. Concejo 8: En la escuela puede haberse eliminado la diferencia entre ganadores y perdedores, pero en la vida real no. En las escuelas ya no se pierden años lectivos, te dan las oportunidades que necesitas para encontrar la respuesta correcta en tus exámenes y para que tus tareas sean cada vez más fáciles. Esto no tiene ninguna semejanza con la vida real. Concejo 9: La vida no se divide en semestres. No tendrás vacaciones de verano largas en lugares lejanos, y muy pocos jefes se interesarán en ayudarte a que te encuentres a ti mismo. Todo esto tendrás que hacerlo en tu tiempo libre. Concejo 10: La televisión no es la vida diaria. En la vida cotidiana, la gente de verdad tiene que salir del café, de la película para irse a trabajar. Concejo 11: Sé amable con los “nerds” (los más aplicados de tu clase). Existen muchas probabilidades de que termines trabajando para uno de ellos. Índice Equipo #5
Página 44
“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
TAREA #9: Investigación sobre el Teorema del Residuo, Teorema
del Factor y Teorema del Álgebra.
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Tarea #9: Teorema fundamental del álgebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene una raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalúa a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creíbles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA. Establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado
, la ecuación p(z) = 0 tiene
exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:
El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.
Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma
.
El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera: Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja). Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales. El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra. (TFA) dice que "toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos tiene n raíces complejas".
Equipo #5
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Teorema del factor En álgebra el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresión en la cual los términos sólo son sumados, sustraídos o multiplicados. El teorema del factor establece que un polinomio f(x) tiene un factor (x − k) si y sólo si k es una raíz de f(x), es decir que f (k) = 0. Si a es una raíz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real. Aquí podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raíz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ( )
)
El teorema del factor dice que, si f(a) = 0 en la que ( ) representa un polinomio de x, entonces (
) es uno de los factores de ( )
Por ejemplo, tenemos que ( ) Ya que ( ) realidad ( )
Equipo #5
( )
(
. (
)(
) debe ser uno de sus factores. En )
Página 47
Teorema del residuo Teorema de los residuos: es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy forma parte fundamental de la teoría matemática de Análisis complejo. Si se divide la función polinomial ( ) entre el binomio
donde a es un número
real, el residuo es igual a ( ) El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética. A partir de lo anterior, si ( )
, entonces
es un factor del polinomio
porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de x para el cual ( ) se ha encontrado una raíz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raíz del polinomio.
Bibliografías. http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_residuos http://schollaris.com.mx/010105teoremares.php http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_factor http://schollaris.com.mx/010105teoremares.php http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/f/factortheorem.html
Índice Equipo #5
Página 48
“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
TAREA #10: INVESTIGACIÓN DE MATEMÁTICOS QUE DESARROLLARON EL ÁLGEBRA LINEAL.
EQUIPO # 5
Carrión Luna José David Juan García Pedro Octavio Sánchez Campos Adanary Suray Sánchez Chavelo María
10680240 10680250 10680283 10680284
G2 09:00 - 10:00 a.m. Segundo semestre. Ingeniería en Mecatrónica.
H.H. Cuautla Mor. 02 de Junio 2011
Equipo #5
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Biografías de Personajes Importantes para el Álgebra Lineal
Galois: Évariste Galois nació el 25 de octubre de 1811, en Bourg-la-Reine, Francia. Fue un matemático que siendo muy joven sentó las bases del Álgebra Lineal. Su papá fue políticamente importante mientras que su madre lo instruyó en las lenguas. Su educación antes de la preparatoria no hacía suponer que sería un gran aportador a las matemáticas. A partir de los quince años, su profesor Vernier lo introdujo a las obras de grandes matemáticos de la época como LaGrange. Fue entonces que puso todo su esfuerzo en esa materia. A los dieciocho años publicó su trabajo sobre la demostración de un teorema de fracciones continuas periódicas. Luego se centró en los problemas de la época. Dio formas de encontrar soluciones a ecuaciones de polinomios. Las ideas que propuso se convertirían en la teoría de grupos. Hubo acontecimientos desafortunados en su vida: el suicidio de su padre y el rechazo de un colegio. Fourier fue encargado de revisar su trabajo, pero murió antes de sacarlo a la luz. Se hizo de difícil convivencia. Fue rechazado de muchas partes e incluso encarcelado. En esos momentos no todos veían la grandeza de sus trabajos. Fue cayendo por muchas desgracias, como la de conocer a una muchacha por la quien tendría un duelo. Se cree que la noche que murió fue por jugar a la ruleta rusa. Murió, por tanto, muy joven el 31 de marzo de 1832. Su agitada vida, sin embargo, no lo distrajo de haber propuesto una de las mejores ideas en la historia de las matemáticas.
Equipo #5
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Cayley: Arthur Cayley nació en Richmond, Inglaterra en 1821. Sus primeros años no tuvieron mucho de especial. Creció en San Petersburgo y tuvo una infancia un poco agitada pues sus padres eran comerciantes y debían desplazarse. El primer antecedente que se conoce respecto a su relación con las matemáticas es en 1838 cuando entró a un colegio de Cambridge para estudiar derecho y matemáticas. Fue en esta institución donde aprendió los conceptos matemáticos relevantes de su tiempo y comenzó también a desarrollar trabajos. Siguió ahí como profesor el resto de su vida. Es uno de los matemáticos que más ha escrito, ya que se le documentan más de novecientas publicaciones científicas. Se le considera uno de los fundadores o padre del álgebra lineal ya que aportó el concepto de matriz
junto con sus
propiedades. Cayley utilizó sus mismos avances para aplicarlos en otras áreas, por ejemplo en la geometría, donde analizó la dimensión. Fue así que dedujo la idea de que la geometría que conocemos, de dimensiones que “vemos” está incluida dentro de la proyectiva. Fue influencia para otros científicos, como Feliz Klein. A partir de 1854 y a lo largo de veinticuatro años, desarrolló la teoría de los invariantes. Se puede decir que tuvo una vida tranquila. Murió el 26 de enero de 1895, en el lugar donde daba clases.
Equipo #5
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Hamilton. William Rowan Hamilton fue un multidisciplinario irlandés. Nació en 1805. Al contrario
de
muchos
otros
científicos,
él
recibió
muchos
honores
y
reconocimientos mientras tuvo vida. Luego fue perdiendo dicha fama. No se educó con sus padres, sino con su tío, con quien aprendió a leer a los 3 años. Fue un niño prodigio que aprendió muchos idiomas como el latín, griego, hebreo, italiano, francés, árabe y sanscrito antes de los once años. Pensó al álgebra como una ciencia del tiempo duro y se dedicó toda su vida a tratar de matematizar sistemáticamente el mundo que nos rodea. Sus aportaciones más importantes vienen gracias a sus estudios en: teoría de los cuaternios y de los hipernúmeros, teoría óptica, formalismo abstracto de la mecánica clásica. En álgebra, específicamente, estructuró teorías de números complejos como pares de números reales y definió para los mismos la ley de composición conmutativa. Murió en 1865 habiendo declarado que fue feliz gracias a su trabajo. Grassmann Hermann Grassmann nació en una familia numerosa. En su familia hubo profesores y matemáticos que seguro lo influenciaron para seguir esos pasos. Lo educó su madre y en su juventud no resultó ser como se esperaba por su familia. Le interesaban otras disciplinas. Tanto así que en su universidad estudió otras cosas. Ya en su búsqueda de trabajo y como profesor fue cuando comenzó a hacer descubrimientos matemáticos de importancia. En 1834 comenzó a dar clases de matemáticas y poco a poco se fue interesando más en esta ciencia. Siendo profesor de secundaria se sintió frustrado hasta que Equipo #5
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obtuvo algunos cargos que su padre había tenido. Finalmente, fue capaz de avanzar en sus investigaciones. En los últimos años de su vida, se vio lleno de conflictos políticos. Logró tener una vasta familia y resulta curioso que tuvo prácticamente la misma trayectoria que su padre. Incluso su hijo la repitió. Murió en 1865. Sylvester James Joseph Sylvester nació el 3 de septiembre de 1814 en Londres, Inglaterra. Fue un profesor en las universidades de Londres, Baltimore y Oxford e hizo importantes contribuciones en el campo de las matrices. Aunque él no inventó el concepto, sí inventó el nombre. Aportó ideas a la teoría de invariantes junto con Cayley, determinantes, teoría de números, particiones y combinatoria. Descubrió un método dialítico para eliminar incógnitas entre dos polinomios. A él se deben muchos términos matemáticos. Fundó el Diario Americano de las Matemáticas. Murió el 15 de marzo de 1897 en Oxford. Hermite. Fue un matemáticos francés que desarrolló sus investigaciones respecto al álgebra mientras era profesor. Demostró en 1973 que el número de Euclides es trascendente y no la raíz de un número. Desarrolló varias formas del álgebra que hoy conocemos, teoría aritmética de formas cuadráticas y teoría de funciones abelianas y elípticas. Resolvió la ecuación de quinto grado con funciones elípticas. Abel Henrik Niels (1802-1829): Abel publicó en 1823 escritos de Equipo #5
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Ecuaciones funcionales e integrales. En esto Abel dio la primera solución de una ecuación integral. En 1824 probó que era imposible resolver algebraicamente ecuaciones de quinto grado. Abel revolucionó el entendimiento de las funciones elípticas por el estudio de la función inversa de esa función.
Leonardo Fibonacci (1170-1240) Leonardo de Pisa (1170 - 1250), también conocido como Fibonacci, fue uno de los matemáticos más importantes de la Edad Media en Europa. Hizo contribuciones a la aritmética, al álgebra y a la geometría. Una sucesión de números muy conocida y usada en matemáticas es justamente la sucesión de Fibonacci, que se construye de la siguiente manera: a) La sucesión empieza con dos unos. b) Cualquier término de la sucesión se obtiene de sumar los dos anteriores. Por ejemplo, el noveno término de la sucesión se construye sumando el séptimo y el octavo. c) La sucesión es infinita Así la sucesión de Fibonacci es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,... Proponemos dos juegos matemáticos relacionados con esta sucesión de números, que pueden jugarse a partir de primero de secundaria.
Equipo #5
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Herón de Alejandría (20-62 D.C.)
En geometría la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría, relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus lados a, b y c:
Donde “s” es el semi perímetro:
La fórmula puede reescribirse de la siguiente forma:
Diofanto: (325-409 D.C.) Diofanto de Alejandría nacido alrededor del 200/214 y fallecido alrededor de 284/298 fue un antiguo matemático griego. Es considerado "el padre del álgebra”. Al-Jwarizmi (780-835):
Mahommed ibn Musa al-Khwarizmi fue un matemático árabe, nacido en Kharizm (actualmente Jiva, Uzbekistán) en el año 780. Entonces reinaba el califa Harun alRashid, quinto califa de la dinastía Abbasid. La capital estaba en Bagdag. Harun, tuvo dos hijos y a su muerte, hubo una guerra de sucesión entre los dos hermanos, al-Amin y al-Mamun. Ganó la guerra al-Mamun y al-Amin fue ejecutado en
813.
al-Mamun continuó el patronazgo de las artes y la cultura que había iniciado su padre y fundó la Casa de la Sabiduría, donde enseñaban filósofos y científicos Equipo #5
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griegos. También construyó una biblioteca y un observatorio astronómico.
Al-Khwarizmi fue bibliotecario en la corte del califa al-Mamun y astrónomo en el observatorio de Bagdad. Sus trabajos de álgebra, aritmética y tablas astronómicas adelantaron enormemente el pensamiento matemático.
Omar Jayyam o Omar Khayyam: (1050-1122)
Omar Ibn Ibrahim Jayyam u Omar Khayyam (aprox. 1040 a 1050-1121 o 1122) fue un matemático y astrónomo persa, autor de uno de los poemas más conocidos y famosos del mundo. Fue místico y profeta, libertino, poeta y escritor de álgebra, geometría y temas afines, también se interesó por el Derecho y las Ciencias Naturales. Se lo considera uno de los más destacados matemáticos de su época. Carl Friedeich Gauss (1777-1855)
A los 19 años había descubierto por si solo un importante teorema de la teoría de los números, la ley de la reciprocidad cuadrática. Después de su regreso a Brunswic en 1799, el duque tuvo que ser convencido para seguir con su ayuda económica a Gauss. Como contrapartida debió presentar su tesis doctoral en la Universidad de Helmstedt. En su tesis Gauss dio la primera demostración del teorema fundamental del álgebra.
Equipo #5
Página 56
George Boole (1815-1864) George Boole (2 de noviembre de 1815 - 8 de diciembre de 1864) fue un matemático y filósofo británico. Como inventor del álgebra de Boole, la base de la aritmética computacional moderna, Boole es considerado como uno de los fundadores del campo de las Ciencias de la Computación. En 1854 publicó "An Investigation of the Laws of Thought" en el que desarrollaba un sistema de reglas que le permitían expresar, manipular y simplificar problemas lógicos y filosóficos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero o falso) por procedimientos matemáticos. Se podría decir que es el padre de las operaciones lógicas y gracias a su álgebra hoy en día es posible manipular operaciones lógicas.
Índice Equipo #5
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“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
FORMULARIOS
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Carrión Luna José David Juan García Pedro Octavio Sánchez Campos Adanary Suray Sánchez Chavelo María
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Página 58
Formulario Forma polar de un número: (
)
Forma exponencial o de Euler:
Módulo del número complejo. El argumento expresado en radianes.
Operaciones en forma exponencial: multiplicación, división, potenciación y radicación. Multiplicación: (
)
División: (
)
Potenciación: (
)
( ) (
)
Radicación: √
√ √ √
Equipo #5
√ (
) Página 59
Formulario Unidad 1 – Números complejos Propiedades cíclicas de
11
-1
Fórmula:
Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica Forma binómica o rectangular
Suma y resta: (
)
(
)
(
)
(
)
Multiplicación: (
Equipo #5
)(
)
(
)
(
)
Página 60
División:
| | Propiedad:
̅
| | (
)
(
)
Suma y resta Cartesiano ó binómica Multiplicación y división Siempre: polar ó exponencial
Conjugado de un número complejo su conjugado es
̅
sólo cambia de signo la parte imaginaria.
Módulo y argumento de un número complejo El módulo se interpreta como la distancia al origen del número . El argumento es el ángulo comprendido entre el eje x y el radio vector que determina a | |.
Equipo #5
Página 61
Módulo: Se puede probar que dicha relación se verifica para todo Z.
̅
(
)(
)
(
)
(
)
De donde
√
√
| |
|(
)|
Argumento: ( *
( *
Forma trigonométrica o polar de un número complejo
( Equipo #5
)
(
) Página 62
Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica o polar y
Sean términos:
( )(
(
( )
, entonces )
(
(
) En otros
))
La multiplicación de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un número complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los argumentos.
División de números complejos en su forma trigonométrica o polar . /(
(
)
(
))
. /
(
)
Fórmula de Moivre (
)
Entonces, (
)
(
(
)
(
))
Forma exponencial o de Euler de un número complejo
(
)
Note que la forma exponencial es equivalente a la trigonométrica pues dependen de los mismos elementos: módulo y argumento del número complejo . Esta forma es muy cómoda pues podemos efectuar la multiplicación, división y potenciación empleando las leyes del álgebra.
Equipo #5
Página 63
Multiplicación y división de números complejos en su forma exponencial Sean
y
. Entonces: (
( ) (
. /
)
)
Raíces n-ésimas de un número complejo
√
√ (
(
*
(
** ⁄
√| |
(
(
)
)
El logaritmo de un número complejo
Supóngase que entonces: (
Equipo #5
es un número complejo de módulo )
(
y argumento ,
)
Página 64
Bibliografías consultadas: 1. Los números complejos, por Jorge José Osés Recio, Departamento de matemáticas – Universidad de los Andes – Bogotá – Colombia – 2004. 2. Apuntes de preparatoria – Materia, Física aplicada.
Índice Equipo #5
Página 65
“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN Unidad 1 “PROYECTO” PROGRAMA DE NÚMEROS COMPLEJOS
EQUIPO # 5
Carrión Luna José David Juan García Pedro Octavio Sánchez Campos Adanary Suray Sánchez Chavelo María
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Equipo #5
Página 66
Unidad 1 “proyecto” Programa de números complejos #include #include #include #include using namespace std;
struct comple{ int p_real; int p_imag; };
comple opera_complex(comple c1, comple c2, char op);
int main(int argc, char *argv[]) { int r; char op; comple c1; comple c2; comple resu; resu.p_imag=0; Equipo #5
Página 67
resu.p_real=0;
do { system ("cls"); cout<<"OPERACIONES DE NUMEROS COMPLEJOS.\n"; cout<<"\nEste programa realiza operaciones basicas las cuales son \n A)suma.\n B)resta.\n C)multiplicacion.\npara operar en numeros complejos.\n \n";
cout<<"\nIngrese la parte real de tu primer complejo: \n "; cin>>c1.p_real; cout<<"Ingrese la parte imaginaria de tu primer complejo:\n "; cin>>c1.p_imag; cout<<"Ingrese la parte real de tu segundo complejo: \n "; cin>>c2.p_real; cout<<"Ingrese la parte imaginaria de tu segundo complejo:\n "; cin>>c2.p_imag;
cout<<"\nIngrese la operacion a realizar.\n +)Suma.\n -)Resta.\n *)Multiplicacion.\n /)Division . . . "; cin>>op; resu=opera_complex(c1, c2, op);
cout<<"\nEl resultado en la operacion es: Z="; cout<
Página 68
cout << "\n\n\nPara continnuar . . .\n\n 1) Salir. \n 2) Realizar otra operacion."; cin>>r; } while(r!=1); cout<<"\nPresione una tecla para salir";
return 0;
} comple opera_complex(comple c1, comple c2, char op){ comple resu; switch (op){ case '+': resu.p_imag=c1.p_imag+c2.p_imag; resu.p_real=c1.p_real+c2.p_real; break; case '-': resu.p_imag=c1.p_imag-c2.p_imag; resu.p_real=c1.p_real-c2.p_real; break; case '*':
Equipo #5
Página 69
resu.p_real=((c1.p_real*c2.p_real)-(c1.p_imag*c2.p_imag)); resu.p_imag=((c1.p_real*c2.p_imag)+(c1.p_imag*c2.p_real)); break; case '/':
resu.p_real=(((c1.p_real*c2.p_real)+(c1.p_imag*c2.p_imag))/((c1.p_real*c1.p_real)+(c2.p_imag*c 2.p_imag))); resu.p_imag=(((c1.p_imag*c2.p_real)(c1.p_real*c2.p_imag))/((c1.p_real*c1.p_real)+(c2.p_imag*c2.p_imag))); break; }
return (resu);
}
Índice Equipo #5
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“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
UNIDAD 2. MATRICES Y DETERMINANTES
EQUIPO # 5
Juan García Pedro Octavio Sánchez Campos AdanarySuray Sánchez Chavelo María Carrión Luna José David
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G2 09:00 – 10:00 a.m. Segundo semestre Ingeniería en Mecatrónica
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Equipo #5
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Índice unidad 2 2.1 Definición de matriz, notación y orden…………………………………………....73 2.2 Operaciones con matrices………………...…………………………………..…...78 2.3 Clasificación de las matrices...........................................................................86 2.4 Transformaciones elementales por renglón.Escalonamiento de una matriz Rango de una matriz.............................................................................................90 2.5 Cálculo de la inversa de una matriz................................................................93 Ejercicio. Calcular la matriz inversa por el método de Gauss – Jordan…………..98 2.6 Definición de determinante de una matriz......................................................100 2.7 Propiedades de los determinantes.................................................................105 2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta..................................108 2.9 Aplicación de matrices y determinantes.........................................................111
Equipo #5
Página 72
Matrices y determinantes
2.1 Definición de matriz, notación y orden. Introducción Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo. Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J. J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton. Los matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales, Económicas y Biológicas. MATRICES Definición y primeros ejemplos Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:
A =(
,
filas de la matriz A
Columnas de la matriz A
Equipo #5
Página 73
(
Abreviadamente de puede expresar
). Cada elemento de la matriz lleva
dos subíndices. El primero de ellos “ ”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “ ”, la columna. Así el elemento
esta en la fila 2 y columna
3. Las matrices siempre se
representaran con letras mayúsculas. Ejemplos: Los siguientes son ejemplos de matrices:
.
/
(√
*
√ (
)
A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es
.
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es
.
C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es
.
En general, si una matriz A tiene dimensión es
(se lee “
filas y
columnas, diremos que su tamaño o
por ”). TIPOS DE MATRICES
1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero. Por ejemplo: /
A=. Es una matriz nula de tamaño
Equipo #5
.
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2. Se llama matriz fila a la que solo tiene una fila, es decir su dimensión es . Por ejemplo: ( Es una matriz fila de tamaño
)
.
3. Se llama matriz columna a la que solo consta de una columna, es decir su dimensión será
como por ejemplo: (
+ √
Es una matriz columna de tamaño 4. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es
La matriz .
/ del primer
ejemplo anterior es cuadrada de tamaño
o simplemente de orden 2.
Otro ejemplo de matriz cuadrada es:
D=(
)
De orden 3. Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos
siendo la matriz:
(
Equipo #5
,
Página 75
En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estaría formada por 1,5,0. Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, traza(A)=
y en el caso de D,
traza (D)=1+5+0=6. La diagonal secundaria es la formada por los elementos En la matriz D estaría formada por 3,5,-3. 5. Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares. Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triangulas inferíos si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal. Son ejemplos de estas matrices:
(
+
Triangular inferior
(
) Triangular superior
Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, solo tienen elementos en la diagonal principal. 6. Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal. Ejemplo:
(
Equipo #5
)
Página 76
7. Por último, si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal solo unos, se denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por
, donde
n es el orden o tamaño de la matriz. Algunas matrices identidad son:
.
/
(
+
(
)
Bibliografía: Algebra lineal - 6ta Edición – Stanley Grossman.
Índice Equipo #5
Página 77
2.2 Operaciones con matrices.
Suma y diferencia. Dadas dos matrices Ay B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla. Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño. Por ejemplo: .
/
.
/
.
/
Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí. Propiedades de la suma (y diferencia) de matrices: a) Conmutativa: (
b) Asociativa:
)
(
)
c) Elemento neutro: la matriz nula del tamaño correspondiente. d) Elemento opuesto de A: la matriz –A, que resulta de cambiar un signo a los elementos de A, ejemplo: (
Si
Porque:
Equipo #5
(
)
)
(
(
)
(
)
)
Página 78
Producto por un número real Dada una matriz cualquiera A y un número real k, el producto
se realiza
multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaño. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real). Por ejemplo: .
/
.
/
Propiedades: (
a) Distributiva respecto de la suma de matrices: b) Distributiva respecto de la suma de números:( c) Asociativa:
(
)
(
) )
)
d) Elemento neutro, el número 1: Ejercicios: 1. Si
.
/
.
/, halla una matriz X que verifique la ecuación:
2. Determina las matrices X y Y sabiendo que : . .
Equipo #5
/ /
Página 79
Transposición de matrices Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz transpuesta de A, y se representa por
a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.
Por ejemplo, si A= .
/, entonces la matriz traspuesta de A es:
(
)
Evidentemente, si A es una matriz de tamaño tamaño
, su traspuesta
tendrá
, pues el numero de columnas pasa a ser el de filas y viceversa.
Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendrá el mismo tamaño. Propiedades: a) ( ) b)( c) (
es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial. ) )
En la base a esta nueva operación, podemos definir otras dos clases de matrices, que son: Matriz simétrica, que es aquella para la que se cumple que
, por ejemplo la
matriz: (
+ √
En una matriz simétrica, los elementos son simétricos respecto a la diagonal principal. Equipo #5
Página 80
Producto de matrices Hay que dejar claro desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición: “Para multiplicar dos matrices y , en este orden ∙ , es condición indispensable que el número de columnas de sea igual al número de filas de ” Si no se cumple esta condición, el producto de ∙ no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente a la propia multiplicación. Una vez comprobado que el producto de ∙ se puede realizar, si es una matriz m x n y es una matriz de n x p (observemos que el de columnas de de filas de ), entonces el producto ∙ da como resultado una matriz de tamaño n x p del siguiente modo: “el elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz ∙ , se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de por la columna j de y sumando los resultados” Veámoslo mediante un ejemplo: Para multiplicar las matrices: .
/y
(
)
2*4
4*3
Primero comprobamos que se puede realizar el producto ∙ , pues el nº de columnas de es 4 y el nº de filas de también es 4, y el resultado, según lo dicho será una matriz de tamaño 2 x 3, tiene 2 filas y 3 columnas:
.
Equipo #5
/ (
)
.
/
Página 81
Sólo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior: El elemento de la fila 1 y la columna de ∙ proviene de multiplicar elemento a lemento de la fila 1 de por la comuna 1 de y sumar, es decir: (
)
El elemento de la fila 1 y columna 2 de ∙ proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de y la columna 2 de y sumar: (
) (
)
(
) ∙ proviene de multiplicar elemento a y sumar:
El elemento de la fila 1 y columna 3 de elemento la fila 1 de y la columna 3 de (
)
Así sucesivamente se obtienen (comprueba): .
/ 2*3
Propiedades del producto de matrices: a) Asociativa:
(
)
b) Distributiva respecto de la suma: (
)
( ) c) Elemento neutro, la matriz identidad correspondiente, si
es
:
d) En general el producto de matrices no es conmutativo
Equipo #5
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e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula:
.
/ (
+
. /
Se dice que el conjunto de las matrices con operación producto tiene divisores de cero, es decir, hay matrices no nulas cuyo producto es nulo.
La matriz inversa Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad . Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión: Si tenemos un numero real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un numero real tal que , el producto de 2 por sea igual al elemento neutro, el 1. Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar obtener, en nuestro caso, que
para
, es decir, el inverso de un número real es otro
número que multiplicado por él da el elemento neutro, el 1. Todo número real, salvo el 0, tiene inverso. Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada de orden , cualquiera, existe su inversa para el producto de matrices, tal que:
Es decir, el producto de matriz identidad
por su inversa produce el elemento neutro matricial, la
Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:
Equipo #5
Página 83
1) No podemos “despejar” la matriz
del modo
, porque no hemos
definido la división de matrices. 2) No todas la matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números). 3) Definamos, en primer lugar, el término de matriz inversa: Dada una matriz cuadrada de orden , , se dice es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de y representada por y tal que:
Si
no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.
Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una). Para calcular dicha matriz inversa, podemos utilizar dos vías: Método algebraico: Consiste en determinar
planteando un sistema de ecuaciones, es decir, si por
ejemplo queremos determinar la inversa de la matriz de
.
/, lo que estoy
buscando es otra matriz de igual tamaño (orden 2) tal que , es decir, si .
y
/, se tiene que cumplir que: .
/ .
/
.
/
(
*
.
/
{
Es decir, hemos de resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, aunque en realidad son 2 sistemas de dos incógnitas cada uno (uno con y otro con y ). Equipo #5
Página 84
Resolviendo el sistema se obtiene que:
Por lo que la matriz inversa es: (
,
.
/
Se puede comprobar que también se cumple que se cumple , luego es invertible, tiene inversa. Si el sistema no tiene solución, la matriz no tiene inversa. .
Por ejemplo, en el caso en que .
/ .
/
/, del mismo modo: .
/
(
*
.
/
{
Y por ejemplo de se obtiene , si se sustituye en la primera ecuación es, , es decir (imposible). El sistema no tiene solución. Por tanto no es invertible, es singular. Este método directo sólo se suele utilizar para matrices cuadradas de tamaño 2, puesto que para Las de tamaño 3 obtenemos un sistema de realmente es difícil de resolver.
ecuaciones, con 9 incógnitas que
Bibliografía: Aplicaciones del algebra lineal – Stanley L. Grossman.
Índice Equipo #5
Página 85
2.3 Clasificación de las matrices.
Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila.
Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna
Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión .
Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.
Equipo #5
Página 86
Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros.
Matriz triangular superior En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.
Equipo #5
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Matriz escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.
Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
Matriz regular Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
Matriz singular Una matriz singular no tiene matriz inversa.
Equipo #5
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Matriz idempotente Una matriz, A, es idempotente si: A2 = A. Matriz involutiva Una matriz, A, es involutiva si: A2 = I. Matriz simétrica Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.
Matriz antisimétrica o hemisimétrica Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.
Matriz ortogonal Una matriz es ortogonal si verifica que: A·At = I. Bibliografía: http://www.vitutor.net/1/matrices.html
Equipo #5
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2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz. La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación. Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los números de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer número distinto de cero de F contando de izquierda a derecha. Una MATRIZ ESCALONADA es aquélla que verifica las siguientes propiedades: 1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz. 2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente más a la derecha que el pivote de la fila de encima. Por ejemplo, entre las matrices: (
+
.
/
(
+
A no es escalonada, mientras que B y C sí lo son. Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg(E), como el número de filas no nulas de E. En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg(B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg( ) = n. La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.
Equipo #5
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Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres: I. Intercambiar la posición de dos filas. II. Multiplicar una fila por un número real distinto de cero. III. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera. Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después. El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada. Teorema 1.1. A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E. Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1, 1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2, 2), y así sucesivamente.
(
+
(
+
(
Equipo #5
̃
(
̃
+
̃
(
+
̃
̃
+
(
+
Página 91
El teorema anterior nos permite hacer una definición importante: Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.
Bibliografía:
http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:QdLPBz89l2oJ:www.ugr. es/~ahurtado/PDF/Tema1.pdf+transformaciones+elementales+por+ren gl%C3%B3n+escalonamiento+de+una+matriz+y+rango+de+una+matri z&hl=es&pid=bl&srcid=ADGEESiraoG4pjWiwGnEN7hHaZtGMvy3oM2 L_vXz3gFUMuOYW-cdX5ZGDLZjss8XegRMqHYpWL4xSJNzitfC9ccsF65mvudsfdXi83Sl96Nh6_RI WShLm6Tf4SpDuj5uiT2ZnRA2mWL&sig=AHIEtbSZd9NNCmj1TwNAK ruG1G3o1F0M7A
Índice Equipo #5
Página 92
2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.
Matriz traspuesta Es la matriz que obtenemos de cambiar las filas por las columnas. La traspuesta de A la representamos por AT. Ejemplo:
Matriz adjunta Es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.
Matriz inversa La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A -1 y que verifica:
Equipo #5
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Solamente tienen inversa las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de cero.
Propiedades de la matriz inversa
La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden.
Ejemplo: cálculo de la inversa de la matriz:
Para calcular la inversa, primero calculamos el determinante:
Equipo #5
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Después calculamos cada uno de los adjuntos :
Equipo #5
Página 95
Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Equipo #5
Página 96
Aplicación a la resolución de ecuaciones matriciales.
Bibliografía: http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tmatrizinversa.htm
Índice
Equipo #5
Página 97
]por el método de Gauss –
[
Calcular la matriz inversa de Jordan: Solución: , | -
[
|
]→
|
→
|
(
→
[
*
→
|
]→ →
→ –
[
]
|
, |
-
| [
]
[
]
También puede expresarse sacando factor común: [
Equipo #5
]
Página 98
Utilización de software:
Índice Equipo #5
Página 99
2.6 Definición de determinante de una matriz.
Determinante. A cada matriz cuadrada se le asocia un número denominado determinante, el cual tiene información sobre la matriz misma que es usada en muchas ramas de matemáticas y de las ciencias.
Cálculo de determinantes. El determinante de una matriz cuadrada de2x2 se denota A y está dado por la siguiente ecuación:
0
1
Observe que el determinante en una matriz de 2x2 está dado por la diferencia de la multiplicación de sus diagonales. Ejemplo: Encuentre el determinante de:
( )
( )( )
0
1
(
)( )
Regla de Sarrus:
Para matrices de 3x3 se ocupa un método corto denominado regla de Sarrus, la cual consiste en lo siguiente. Para una matriz de 3x3:
[
Equipo #5
]
Página 100
Para determinar el cofactor de dicha matriz se coloca nuevamente la matriz debajo de la siguiente manera:
[
]
[
]
A continuación se trazan unas líneas diagonales de guía para el proceso de multiplicación de los elementos, de la siguiente manera:
[
]
[
]
Los tres elementos que son tocados por cada flecha se multiplican, los mismos que se suman al resto. Los elementos que son tocados por las flechas de izquierda a derecha se suman y los que están tocados por las flechas de derecha a izquierda se restan de la siguiente manera:
( )
(
)
Ejemplo: Encuentre el determinante de:
[ Equipo #5
] Página 101
Desarrollo por cofactores. A cada elemento
de la matriz A puede asignársele un cofactor, definido como:
(
)
Donde es el determinante que queda después de borrar el renglón “i” y la columna “j” de la matriz A. se le denomina “menor de i j” Por ejemplo, para la matriz:
[ El determinante para el elemento mismo. Menor de
] el elemento menor
y el cofactor del
:
[
El cofactor de
:
]
(
0
)
1
(
(
)
)
(
)
El determinante de cualquier matriz cuadrada es la suma de los productos de sus elementos de cualquier renglón o columna por sus cofactores: Expansión a lo largo del renglón “i”
| |
Expansión a lo largo de la columna “j”
| | Equipo #5
Página 102
Calcular el determinante de la matriz A indicada usando cofactores:
[
]
Recordemos que los elementos de la matriz A pueden expresarse como:
[
]
Vamos a calcularlo usando el primer renglón, la ecuación original desarrollando un renglón “i” es:
| | Para el renglón 1, el valor de i = 1, por lo tanto la ecuación general para el renglón 1 queda:
| |
Como solo es una matriz de 3x3 cada renglón tiene tres elementos, por lo tanto la ecuación queda:
| |
Ahora como ya tenemos los elementos “ cofactor, de los cuales la ecuación es:
(
Equipo #5
” de la matriz, solo nos hace falta cada
)
Página 103
Los cofactores que se requieren son los siguientes:
(
)
(
)
(
)
Bibliografía: http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:lrrKWzga8kJ:marcelrzm.comxa.com/AlgebraUniv/46Determinantes.pdf+ Definici%C3%B3n+de+determinante+de+una+matriz&hl=es&pid=bl&sr cid=ADGEEShm8Gh6_2fXzh4TAzB7MvLllTA5ainCdvqJzayeQ3v1ewW28MUhYWYwTIOiUBF2uChCX53XGUJp5kyCgoajbbP2WKbhF2fkn6 eynpySChKdHPM82UHbwNCiRriurRpClS3DUU&sig=AHIEtbRkvtqm5Ae5llAq85y7IC5Y1mV9YA
Índice Equipo #5
Página 104
2.7 Propiedades de los determinantes. Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se enuncian sin demostración, son: 1) Si una matriz tiene una línea (fila o columna) de ceros, el determinante vale cero. Esta propiedad es evidente, puesto que por definición de determinante, baste elegir dicha línea para desarrollar y el determinante será 0. 2) Si una matriz tiene dos filas iguales o proporcionales, su determinante es nulo. 3) Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo, por ejemplo:
(
,
(
,
4) Si multiplicamos todos los elementos de una línea de un determinante por un
número, el determinante queda multiplicado por ese número. Por ejemplo:
(
,
(
Pero (
,
,
5) Si una línea de una matriz se le suma otra línea multiplicada por un número, el
determinante no cambia. Esta propiedad permite utilizar un determinantes de orden mayor que 3.
método
más sencillo para
calcular
6) El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. | | Equipo #5
| | Página 105
7) Si A tiene una matriz inversa,
, se verifica que: (
)
( )
Una estrategia a tener en cuenta en este caso de determinantes de orden 4 o superior, o incluso de orden 3 si la matriz es compleja, es el método de “hacer ceros”, puesto que el valor del determinante no varía al realizar a la matriz ciertas transformaciones elementales en filas, como indica la propiedad 5 anterior, si bien hemos de ser cuidadosos al aplicar dicha propiedad. Así pues la mejor forma de calcular un determinante es hacer ceros en una fila o columna y desarrollar por dicha fila o columna, porque entonces sólo tendremos que calcular un adjunto. Por ejemplo, si calculamos:
(
(
,
(
,
,
Desarrollando por la columna 1 (| (
|+ (
))
Como hemos dicho, hemos de tener especial cuidado al aplicar esta regla con determinantes, puesto que no podemos hacer las mismas operaciones que con las matrices, lo que puede confundir. Por ejemplo, si queremos calcular el determinante: Equipo #5
Página 106
|
|
Mediante la regla de Sarrus es: (
)
Si hiciésemos ceros en la primera columna, y desarrollásemos nos debería dar lo mismo. Ahorabien, podemos hacer cero el 4 de la primera columna mediante:
|
|
|
|
|
|
Lo que es correcto. Sin embargo, si queremos hacer cero el 1 de la primera columna sería un errorhacer:
|
|→
|
|
|
|
(
)
No obtenemos lo mismo, porque hemos multiplicado la fila sustituida por un número y eso altera el valor del determinante. Luego la fila a sustituir conviene no multiplicarla, como en el primer ejemplo, puesto que si no nos damos cuenta, podemos variar el valor del determinante.
Bibliografía: Algebra lineal y algunas de sus aplicaciones – L.I. Goluina– Segunda edición http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/propiedades.html
Índice
Equipo #5
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2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta. Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es invertible o regular; encaso contrario recibe el nombre de singular. Propiedades de la inversión de matrices La matriz inversa, si existe, es única
A-1A=A·A-1=I (A·B) -1=B-1A-1 (A-1) -1=A (kA) -1=(1/k·A-1 (At) ±1=(A-1) t
Observación Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A¹ I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha". Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:
Directamente Usando determinantes Por el método de Gauss-Jordán
Dada la matriz
0
1buscamos una matriz que cumpla A·A-1 = I, es decir
0
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1 0
1
0
1
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Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:
La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácil comprobar que también cumple A-1 ·A = I, con lo cual es realmente la inversa de A. Existencia de la matriz inversa Las matrices que tienen inversa se llaman regulares y las que NO tienen inversa, singulares. Una matriz cuadrada de orden n es regular si, y solo si, su rango es n. Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es cero. Propiedades Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa son las siguientes: 1. Si existe, 2. (
)
3. (
)
es única.
4. El determinante de una matriz regular A es el inverso del determinante de su matriz inversa: |
Equipo #5
|
| |
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Cálculo de la matriz inversa La matriz inversa de una matriz regular se puede calcular de diferentes maneras: Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales Ejemplo .
/
Hacemos .
/
Como .
/ .
/
.
/
Operando:
.
/
.
/
,
,
Bibliografía: http://es.scribd.com/doc/52080531/INVERSA-DE-UNA-MATRIZ-CUADRADAATRAVES-DE-UNA-ADJUNTA Algebra lineal y algunas de sus aplicaciones – L.I. Goluina– Segunda edición
Índice Equipo #5
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2.9 Aplicación de matrices y determinantes. Una de las técnicas más útiles es el método de Gauss-Seidel. Ninguno de los procedimientos alternos es totalmente satisfactorio, y el método de Gauss-Seidel tiene la desventaja de que no siempre converge a una solución o de que a veces converge muy lentamente. Sin embargo, este método convergirá siempre a una solución cuando la magnitud del coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación. No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se conoce como sistema diagonal. Un sistema diagonal es condición suficiente para asegurar la convergencia pero no es condición necesaria. Afortunadamente, la ecuación simultánea lineal es que se derivan de muchos problemas de ingeniería, son del tipo en el cual existen siempre coeficientes dominantes. La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente: 1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente. Los valores iníciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia. 2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos. 3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes.
Equipo #5
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4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una iteración. 5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que cierto seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo. Refiriéndonos al paso 5, mientras menor sea la magnitud del seleccionado, mayor será la precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud del épsilon No especifica el error que puede existir en los valores obtenidos para las incógnitas, ya que ésta es una función de la velocidad de convergencia. Mientras mayor sea la velocidad de convergencia, mayor será la precisión obtenida en los valores delas incógnitas para un dado.
Bibliografía: http://es.scribd.com/doc/52080531/INVERSA-DE-UNA-MATRIZ-CUADRADAATRAVES-DE-UNA-ADJUNTA
Índice Equipo #5
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“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN UNIDAD 3.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
EQUIPO # 5
Juan García Pedro Octavio Sánchez Campos Adanary Suray Sánchez Chavelo María Carrión Luna José David
10680250 10680283 10680284 10680240
G2 09:00 – 10:00 a.m. Segundo semestre Ingeniería en Mecatrónica
H.H. Cuautla Mor. 02 de Junio 2011.
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Índice Unidad 3 3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales....................................................115 3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipo de solución..........117 3.3 Interpretación geométrica de las soluciones.........................................................123 3.4Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales:Gauss-Jordán, inversa de una matriz y regla de Cramer...........................................................................126 Ejercicio por la regla de Cramer............................................................................132 Ejercicio. Resuelve la matriz por el método de Cramer.................................................135 Escalonar las siguientes matrices y determina su rango..............................................137 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones............................................................140 Determinar la inversa...............................................................................................................144 Comprueba que (
)
...............................................................................147
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el uso de la matriz inversa..........................................................................................................................................148 Plantea y resuelve los siguientes problemas...............................................................150 Proyecto Unidad 3.Sistemas de ecuaciones lineales.....................................................154
Equipo #5
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3.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales. En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
desconocidos
de
las
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en señales, análisis, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
Bibliografía. Aplicaciones del álgebra lineal-Stanley L. Grossman. http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales Equipo #5
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Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. La regla para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es similar, con una división de determinantes:
Que representadas en forma de matriz es:
, pueden ser encontradas como sigue:
Bibliografía: http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer#Sistema_de_3_ecuaciones_con_3_i nc.C3.B3gnitas Aplicaciones del álgebra lineal-Stanley L. Grossman.
Equipo #5
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3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipo de solución. Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero: ( )
Equipo #5
Página 117
Sistemas compatibles indeterminados Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:
Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya ), por lo que ambas intersecan pendiente es y que pasa por el punto ( en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.
En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores serán 0. ( )
De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.
Equipo #5
Página 118
Sistemas incompatibles. De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones. Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero: ( ) Tipos de solución a sistemas de ecuaciones lineales. Sustitución. El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita
por ser la de menor
coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación. Equipo #5
Página 119
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la . (
)
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto. Igualación. El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí. (
)
Una vez obtenido el valor de la incógnita , se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la . La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar después de averiguar el valor de la .
Equipo #5
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Reducción. Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Por ejemplo, en el sistema:
No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así: (
para poder cancelar la
)
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita :
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de es igual a:
Equipo #5
Página 121
Bibliografía. http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales#Tipos_de_sistemas http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales#M.C3.A9todos_de_soluci.C 3.B3n_asistemas_de_ecuaciones_lineales
Índice Equipo #5
Página 122
3.3 Interpretación geométrica de las soluciones. Resolución y representación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales Resolvemos gráficamente el sistema x + y = 6; x - y = 2 1. Despejamos y en las dos ecuaciones. x+y=6→y=6–x x-y=2→y=x–2 2. Dando valores a x, formamos una tabla de valores para cada una de las dos ecuaciones. y=6–x x
0
1
2
3
4
y
0
5
4
3
2
x
0
1
2
3
4
y
-2
-1
0
1
2
y=x–2
Representamos estos puntos sobre un sistema de ejes.
Equipo #5
Página 123
Uniendo los puntos de cada ecuación, obtenemos dos rectas que representan todas las soluciones de cada una de las ecuaciones.
Puede ocurrir uno de los siguientes casos:
Si las rectas no se cortan, es decir, son paralelas, el sistema es incompatible, no tiene solución.
Si las rectas se cortan en un punto, el sistema tiene solución única. Decimos que es compatible determinado.
Si las dos rectas coinciden, esto es, son la misma, el sistema tiene infinitas soluciones. Es un sistema compatible indeterminado. En nuestro caso, las rectas se cortan en el punto (4, 2). La solución del sistema es x = 4 e y = 2. Clasificamos los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
+ )
a)
+ )
+ a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son: x = 1, y = 4; x = 2, y = 2 Dos soluciones de la segunda ecuación son: x = 1, y= 0; x = 2, y = 2 Las rectas se cortan en un punto que será la solución: x = 2, y = 2. Por tanto, el sistema será compatible determinado. Vemos la representación más abajo. b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son: Equipo #5
Página 124
x = 0, y = 3; x = 3, y = 0
Dos soluciones de la segunda ecuación son: x = 1, y = 2; x = 2, y = 1 Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas soluciones). Por tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos la representación más abajo. c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son: x = 0,y = 3; x = 3,y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuación son: x = 0, y =-1; x = -2, y = 1 Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema no tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible.
Vemos la representación siguiente:
Bibliografía. http://www.kalipedia.com/matematicas-algebra/tema/resolucion-representacion-graficasistemas.html?x1=20070926klpmatalg_145.Kes&x=20070926klpmatalg_146.Kes Equipo #5
Página Índice125
3.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss-Jordán, inversa de una matriz y regla de Cramer. Método de Gauss La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico. El Método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado, en la que la primera ecuación tiene 3 incógnitas, la segunda ecuación tiene 2 incógnitas, y la tercera ecuación tiene 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba, calcular el valor de las tres incógnitas. En primer lugar, reducimos la incógnita , sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por , y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así: (
)
El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por -2 y por - 4, respectivamente.
(
Equipo #5
)
Página 126
Por último, eliminamos la z, tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por y por , respectivamente: (
)
Llegando a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:
O, si lo por: y
preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las
incógnitas en la última columna.
3
Pongamos un ejemplo del cálculo de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss: Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones.
Equipo #5
Página 127
Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños:
Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños:
También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños:
Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta:
Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes:
En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que no es necesario hacer más operaciones. Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación:
Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10:
Equipo #5
Página 128
Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10.
Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:
Bibliografía. http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales#M.C3.A9todo_de_Gauss
Índice Equipo #5
Página 129
Regla de Cramer. La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignescourbesalgébriques de 1750, aunque ColinMaclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729). La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD. Si
es un sistema de ecuaciones.
A es la matriz de coeficientes del sistema, ( )es el vector columna de las incógnitas y b es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así: ( ) ( ) donde Aj es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz A ha de ser no nulo.
La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles determinados en términos de determinantes y adjuntos dada por: ( ) ( )
Equipo #5
Página 130
Donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:
La regla de Cramer da la siguiente solución:
Equipo #5
|
|
|
|
|
|
|
|
Página 131
Ejercicio por la regla de Cramer. 3x1 + 5x2 + 6 x3 =24 3x1 + x2 - 2x3 =4 2x1 + 4x2 + 6x3=18
Matriz de los coeficientes Termino independiente
2 3 3
4 5 1
6 6 -2
18 24 4
Solución por el método de menores y cofactores: Obtención del valor de D Se realiza con la matriz de los coeficientes.
D=
2 3 3
4 5 1
6 6 -2
2 3 3
4 5 1
D =-20 + 72 +18 – 90 – 12 + 24 = - 8
Equipo #5
Página 132
Obtención del valor de D1 Los valores de la columna 1 se cambian por los valores del término independiente.
D1 =
18 24 4
4 5 1
6 6 -2
18 24 4
4 5 1
D1 = - 180 + 48 + 144 – 120 – 108 + 192 = 24 Obtención del valor de D2 Los valores de la columna 2 se cambian por los valores del término independiente.
D2 =
2 3 3
18 24 4
6 6 -2
18 24 4
4 5 1
D2 = - 96 + 324 + 72 – 4 32 – 48 + 108 = - 72 Obtención del valor de D3 Los valores de la columna 3 se cambian por los valores del término independiente.
2 D3 = 3 3
4 5 1
18 24 4
2 3 3
4 5 1
D3 =40 + 288 + 54 – 270 – 48 + 48 = 14
Equipo #5
Página 133
Sustitución de los valores
(
)
( )
(
)
Bibliografía. http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales#Regla_de_Cramer http://rincondelvago.com/00028155 Índice Equipo #5
Página 134
Ejercicio. Resuelve la matriz por el método de Cramer:
*
+
[
]
|
(
[
]
[
]
[
]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)
|
|
|
( )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )
|
Equipo #5
|
Página 135
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 + 28 + 18 – 10(6) = 32
|
Equipo #5
|
Página 136
1. Escalonar las siguientes matrices y determina su rango: a) 0
1
Solución: 0
( )
1
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0
1
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0
1
Hay 2 filas no nulas.
b) [
]
Solución: [
( )
]
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [
]
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [
] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [
]
Hay 3 filas no nulas.
c) [
Equipo #5
|
]
Página 137
Solución:
[
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
]
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [
( )
]
]
[
]
Hay 3 filas no nulas.
Utilización de software:
Equipo #5
Página 138
d) 0
1
Solución: 0
( )
1
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0
1
Hay 1 fila no nula.
Utilización de software:
e)
[
|
]
Solución:
[
]
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [
( ) Equipo #5
]
]
Hay 3 fila no nula. Página 139
2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a)
Solución: |
|
|
|
|
|
Sustituyendo en el sistema de ecuaciones: ( )
( )
( )
( )
b)
Solución: |
|
|
|
|
|
|
|
Equipo #5
Página 140
Sustituyendo en el sistema de ecuaciones: (
*
(
*
(
*
(
*
c)
[
]
[
]
[ ]
0 ( )
1
0
0 [
1
0
(
0
1
)
0
1 0
[
1
0 1
0
1
[
]
1 ]
] [
Equipo #5
1
]
Página 141
] [ ]
[
[ ]
Sustituyendo en el sistema de ecuaciones:
( *
( * ( *
d)
*
+
[
]
[ (
]
* +
*
[
+
[
]
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
) [
[
] [
]
[
[
Equipo #5
]
[
]
[
]
]
]
Página 142
(
)
*
+
[
* +
[
]
* +
]
Sustituyendo en el sistema de ecuaciones:
( ) ( )
( ) ( )
Índice Equipo #5
Página 143
1. Determinar la inversa para:
a) 0
1
Solución:
, | ⃗⃗⃗⃗
0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [
[
|
1
|
]
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
, |
0
|
1
-
]
También puede expresarse sacando factor común: 0
Equipo #5
1
Página 144
Utilización de software:
b) *
+
Solución: , | -
[
→
|
→
[
|
]
| |
→ [
Equipo #5
]→ →
]
Página 145
→
(
*
→
|
→
, |
-
|
–
[
[
]
]
Utilización de software:
Equipo #5
Página 146
2. Comprueba que (
0
1 0
0
(
)
1
para:
0
1 0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1 0
0
1
Equipo #5
)
[
]
0
1
0
1
1
[
]
Página 147
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el uso de la matriz inversa: a)
[
]
0
1
( )
0 [
[
0
( )
0 1
1
0
1
0
1 0
1
[
]
[
]
1 0
1
0
1 ]
[
]
] [
[ [
]
]
[
]
]
Sustituyendo en el sistema de ecuaciones: a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Equipo #5
( (
) ) Página 148
b)
[
0 ( )
]
1
0
0
1
0
[
[ ]
1
( )
1
0
0
1 0
[
[
]
1
0 1
1
0
[
]
1 ]
] [
[ ]
[
]
[ ]
]
Sustituyendo en el sistema de ecuaciones: a) ( ) ( ) Equipo #5
( ) ( ) ( ) ( )
Índice Página 149
Plantea y resuelve los siguientes problemas. 1.El perímetro de un rectángulo es de 26 m y uno de sus lados es 3m mayor que el otro. ¿Cuáles son sus dimensiones? Sustitución ( )
2. Encontrar el lado de la base y la altura de un prisma recto de base cuadrada, si su superficie tiene un área de 96 y su volumen es de 60 (
)
√ √ √ 3. Determina el perímetro y área de un rectángulo si un lado es 4 m mayor que el doble del otro lado; si la suma del largo y del ancho es de 25/4 m.
(
Equipo #5
)
(
)
( ( *)
( ( *)
Página 150
( ( *)
( ( *)
4. El producto de dos enteros consecutivos es 72, ¿Quiénes son dichos números? (
)
(( )( ))
5. Hace 10 años Juan tenía cuatro veces la edad de Guillermo; ahora la edad de Juan solo duplica la edad de Memo. ¿Cuáles son sus edades? 6. Un papá es 24 años mayor que su hijo; dentro de 8 años el papá tendrá el doble de años que su hijo. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos?
Equipo #5
Página 151
7. La longitud de un rectángulo es el triple de su ancho. Si el ancho se disminuye en un metro y se aumentan tres metros al largo, el área será 72 metros cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo original?
(
)(
)
a- 1
Solución
√
4
8. El perímetro de un triángulo isósceles es de 84 cm y la longitud de los dos lados iguales es dos tercios de la longitud de la base. Encuentre la longitud de la base del triángulo. ( (
* *
Equipo #5
(
*
Página 152
9. Un equipo de football está formado por 60 jugadores, de las escuelas Agronomía, Economía e Ingeniería. Hay 10 alumnos menos de Economía que la suma de Agronomía e Ingeniería y el número de alumnos de Agronomía y Economía es el doble de los de Ingeniería. ¿Cuántos alumnos hay de cada escuela? 1) 2) 3) Restar las ecuaciones 1 y 2.
Restar las ecuaciones 1 y 3.
Sustituir “i” y “e” en la ecuación 1.
Por lo tanto hay 15 alumnos de Agronomía, 25 alumnos de Economía y 20 alumnos de Ingeniería.
Índice Equipo #5
Página 153
“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN Proyecto Unidad 3.Sistemas de ecuaciones lineales. Este programa soluciona los sistemas de ecuaciones de 3 incógnitas.
EQUIPO # 5
Juan García Pedro Octavio Sánchez Campos Adanary Suray Sánchez Chávelo María Carrión Luna José David
10680250 10680283 10680284 10680240
G2 09:00 – 10:00 a.m. Segundo semestre Ingeniería en Mecatrónica
H.H. Cuautla Mor. 02 de Junio 2011.
Equipo #5
Página 154
#include #include #include main() { float a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z; float A,B,C,D,E,F,G,H,I,J; intop,K; do { system ("cls"); printf("Proyecto de la unidad 3. Sistemas de ecuaciones lineales.\n\n"); printf("Este programa soluciona sistemas de ecuaciones de 3 incognitas\n\n"); printf("Equipo 5:\n\n Carrion Luna\n Juan Garcia\n SanchezChavelo\n Sanchez Campos\n\n\n29 de Marzo de 2011\n\n"); printf("Siga el orden de numeracion \n\n 1)Determinante\n 2)Adjunta\n 3)Inversa\n 4)Soluciones "); scanf("%d",&op); if (op==1) { printf("Ingresa los coeficioentes de tu sistema de ecuacion (sin poner las soluciones) \n\n"); printf("\nIngresa los valores por fila\n\n"); printf("Dame el primer valor\n"); scanf("%f",&a); printf("Dame el segundo valor\n"); scanf("%f",&b); printf("Dame el tercer valor\n"); scanf("%f",&c); printf("Dame el cuarto valor\n"); scanf("%f",&d); printf("Dame el quinto valor\n"); scanf("%f",&e); printf("Dame el sexto valor\n"); scanf("%f",&f); printf("Dame el septimo valor\n"); scanf("%f",&g); printf("Dame el octavo valor\n"); scanf("%f",&h); printf("Dame el noveno valor\n"); scanf("%f",&i); j=((a*e)*i)+((b*f)*g)+((d*h)*c); k=((c*e)*g)+((b*d)*i)+((f*h)*a); l=j-k; Equipo #5
Página 155
printf("La determinante de la matriz es = %f",l); printf("\n\n\nPara continuar . . .\n\n 1) Salir. \n 2) Realizar otra operacion."); scanf("%d",&K); } if(op==2) { printf("Calculando adjunta\n\n"); //Operaciones para el calculo de la adjunta m=(e*i)-(f*h); n=-((b*i)-(c*h)); o=(b*f)-(c*e); p=-((d*i)-(f*g)); q=(a*i)-(c*g); r=-((a*f)-(c*d)); s=(d*h)-(e*g); t=-((a*h)-(b*g)); u=(a*e)-(b*d); printf("El primer menor complementario de la matriz transpuesta = %f\n",m); printf("El segundo menor complementario de la matriz transpuesta = %f\n",n); printf("El tercer menor complementario de la matriz transpuesta = %f\n",o); printf("El cuarto menor complementario de la matriz transpuesta = %f\n",p); printf("El quinto menor complementario de la matriz transpuesta = %f\n",q); printf("El sexto menor complementario de la matriz transpuesta = %f\n",r); printf("El septimo menor complementario de la matriz transpuesta = %f\n",s); printf("El octavo menor complementario de la matriz transpuesta = %f\n",t); printf("El noveno menor complementario de la matriz transpuesta = %f\n",u); printf("\n\n\nPara continuar . . .\n\n 1) Salir. \n 2) Realizar otra operacion."); scanf("%d",&K); } if(op==3) { printf("\nCalculando la inversa de la matriz\n\n"); //Operaciones para el calculo de la inversa v=((1/l)*m); w=((1/l)*n); x=((1/l)*o); y=((1/l)*p); z=((1/l)*q); A=((1/l)*r); B=((1/l)*s); C=((1/l)*t); Equipo #5
Página 156
D=((1/l)*u); printf("El primer valor de la matriz inversa = %f\n",v); printf("El segundo valor de la matriz inversa = %f\n",w); printf("El tercer valor de la matriz inversa = %f\n",x); printf("El cuarto valor de la matriz inversa = %f\n",y); printf("El quinto valor de la matriz inversa = %f\n",z); printf("El sexto valor de la matriz inversa = %f\n",A); printf("El septimo valor de la matriz inversa = %f\n",B); printf("El octavo valor de la matriz inversa = %f\n",C); printf("El noveno valor de la matriz inversa = %f\n",D); printf("\n\n\nPara continuar . . .\n\n 1) Salir. \n 2) Realizar otra operacion."); scanf("%d",&K); } if(op==4) { printf("\nCalculando las soluciones\n\n"); printf("\nIngresa las soluciones\n\n"); printf("Dame la primera solucion\n"); scanf("%f",&E); printf("Dame la segunda solucion\n"); scanf("%f",&F); printf("Dame la tercera solucion\n"); scanf("%f",&G); //Operaciones para calcular las soluciones H=(v*E)+(w*F)+(x*G); I=(y*E)+(z*F)+(A*G); J=(B*E)+(C*F)+(D*G); printf("Solucion a la primer incongnita = %f\n\n",H); printf("Solucion a la segunda incongnita = %f\n\n",I); printf("Solucion a la tercer incongnita = %f\n\n",J); printf("\n\n\nPara continuar . . .\n\n 1) Salir. \n 2) Realizar otra operacion."); scanf("%d",&K); } if(op>=5) { printf("\n\n Esta opcion no esta disponible\n\n"); getch(); } } while(K!=1); return 0; } Equipo #5
Página 157
Tabla para comparar valores con el programa. 0.5000
0.0454
0.0238
0.0161
0.0121
0.3333
0.0434
0.0232
0.0158
0.0120
0.2500
0.0416
0.0227
0.0156
0.0119
0.2000
0.0400
0.0222
0.0153
0.0117
0.1666
0.0384
0.0217
0.0151
0.0116
0.1428
0.0370
0.0212
0.0149
0.0114
0.1250
0.0357
0.0208
0.0147
0.0113
0.1111
0.0344
0.0204
0.0144
0.0112
0.1000
0.0333
0.0200
0.0142
0.0111
Equipo #5
Página 158
0.0909
0.0322
0.0196
0.0140
0.0109
0.0833
0.0312
0.0192
0.0138
0.0108
0.0769
0.0303
0.0188
0.0136
0.0107
0.0714
0.0294
0.0185
0.0135
0.0106
0.0666
0.0285
0.0181
0.0133
0.0105
0.0625
0.0277
0.0178
0.0131
0.0104
0.0588
0.0270
0.0175
0.0129
0.0103
0.0555
0.0263
0.0172
0.0128
0.0102
0.0526
0.0256
0.0169
0.0126
0.0101
0.0500
0.0250
0.0166
0.0125
0.0100
Equipo #5
Página 159
0.0476
Equipo #5
0.0243
0.0163
0.0123
0.0099
Página 160
Equipo #5
Página 161
Índice Equipo #5
Página 162
“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
UNIDAD 4. ESPACIOS VECTORIALES.
EQUIPO # 5
Juan García Pedro Octavio Sánchez Campos Adanary Suray Sánchez Chávelo María Carrión Luna José David
10680250 10680283 10680284 10680240
G2 09:00 – 10:00 a.m. Segundo semestre Ingeniería en Mecatrónica
H.H. Cuautla Mor. 09 de junio del 2011
Equipo #5
Página 163
Índice Unidad 4 4.1 Definición de espacio vectorial.......................................................................165 4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades...................................166 4.3 Combinación lineal. Dependencia e Independencia lineal.............................169 4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.........................174 4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.............................176 4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt...............178 Ejercicios 1............................................................................................................181 Ejercicios 2............................................................................................................192 Ejercicios 3............................................................................................................196 Ejercicios 4............................................................................................................206 Formulario de la unidad 4 – Espacios vectoriales................................................211 Proyecto Unidad 4. Espacios vectoriales..............................................................212
Equipo #5
Página 164
Espacios vectoriales 4.1 Definición de espacio vectorial. Definición 1: Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Definición 2: Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iníciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.
Bibliografía: 1. http://html.rincondelvago.com/espacio-vectorial.html 2. http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
Índice Equipo #5
Página 165
4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
Definición: sea un espacio vectrial sobre un campo . Un subconjunto es un sub-espacio vectorial si
0
,
Proposición: Sea un espacio vectorial con operación y de suma de vectores y multiplicación por un escalar, respectivamente. Sea un subespacio vectorial de Definimos las siguientes operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalar: en :
(
Equipo #5
(
) )
( (
) )
Página 166
Propiedades: Axiomas de un espacio vectorial. (
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
) (
( (
Equipo #5
) ) )
Página 167
( (
)
(
) )
Bibliografías: 1. http://matematicasuniversitaria.blogspot.com/2009/10/tema-42-definicionde-un-subespacio.html 2. http://www.cimat.mx/~gil/docencia/2003/algebra_lineal1b/definicion_subesp acio.pdf
Índice Equipo #5
Página 168
4.3 Combinación lineal. Dependencia e Independencia lineal. Combinación lineal: Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares. ⃗
⃗
⃗
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección. ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Esta combinación lineal es única.
Equipo #5
Página 169
Vectores linealmente dependientes: Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal. ⃗
⃗
⃗
⃗
Propiedades: 1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes. 2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos. ( ) y ( 3. Dos vectores libres del plano ⃗ dependientes si sus componentes son proporcionales. ⃗
|
Equipo #5
(
)
(
) son linealmente
)
|
Página 170
Ejercicio: Determinar los vectores de k para que sean linealmente dependientes los vectores ⃗ ( ) ⃗ ( ) y ⃗⃗⃗ ( ). Escribir ⃗ como combinación lineal de ⃗ y ⃗⃗⃗ , siendo k el valor calculado. Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.
|
|
(
(
)
(
)
( (
)
)
(
) )
{
⃗
⃗
Equipo #5
⃗⃗⃗
Página 171
Vectores linealmente independientes: Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. ⃗
⃗
⃗
⃗
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
|
Equipo #5
|
Página 172
Ejercicio: Estudia si son linealmente dependientes o independientes los vectores: ⃗ ( ) ⃗ ( ) y ⃗⃗⃗ ( ).
(
)
(
{
)
(
|
)
(
)
|
Sistema compatible indeterminado. El sistema tiene infinitas soluciones, por lo tanto los vectores son linealmente dependientes.
Índice Equipo #5
Página 173
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. Base: Tres vectores ⃗⃗ ⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗ con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal en ellos. ⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗⃗
Las coordenadas del vector respecto a la base son: ⃗⃗
(
)
Dimensión: Si el espacio vectorial V tiene una base con un número finito de elementos. Entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V = {0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero. Base ortogonal: Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí. Base ortonormal: Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tiene módulo 1. *
⃗+ (
||
) ||
(
(
)
|⃗ | ⃗
Esta base formada por los vectores
Equipo #5
⃗
)
⃗
y ⃗ se denomina base canónica.
Página 174
Ejercicio: ¿Para qué valores de a los vectores ⃗ forman una base? |
(
), ⃗
(
) y ⃗⃗⃗
(
)
|
(
)
Para
los vectores forman una base.
Bibliografía consultada: 1. http://www.vitutor.com/analitica/vectores/depandencia_independencia.html
2. http://www.vitutor.com/geo/vec/b_4.html Índice Equipo #5
Página 175
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades. Producto interno o escalar: ( ) y ( y , y lo denotamos
Para dos vectores producto escalar de El (
(
producto escalar de )+( )= 3+8 = 11. 〈
Por lo tanto:
), definimos el producto interno o 〈 〉= .
)
(
y
〉=
y | |
〈
(
〉
〈
〉
),
) 〈
( 〉
es
por
) 〈
lo
tanto
‖ ‖ 〉
Propiedades del producto interno o escalar del vector: 〈
〉
〈
〉
〈
〉
El producto interno en siguiente sentido
es una función multilineal (bilineal en este caso), en el
〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
De aquí se concluye: 〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
Y otras combinaciones más como: 〈
Equipo #5
〉
〈
〉
〈
〉
〈
〉
Página 176
Reglas del producto interno: En general el producto interno en un espacio vectorial complejo es solo una función (tomando dos vectores y regresando un número complejo) que satisface ciertas condiciones:
Simetría conjugada: 〈
Escalado: 〈
〉
〈〈
〉〉
〉
〈
Aditividad: 〈
〈̅̅̅̅̅̅̅〉
〉
〉
〈
〉
Positividad: (〈
〉
)
Bibliografías consultadas: 1. http://es.scribd.com/doc/19687188/ESPACIOS-VECTORIALES 2. http://cnx.org/content/m12876/latest/ 3. http://mate.dm.uba.ar/~jeronimo/algebra_lineal/Capitulo8.pdf
Índice
Equipo #5
Página 177
4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de GramSchmidt. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt: Sea un espacio vectorial con producto interno. Todo subespacio con una base tiene al menos una base ortogonal y una base ortonormal. Si * + es cualquier base de , entonces * + es una base ortogonal, donde
y *
+
Una base ortonormal
*
+ se obtiene normalizando {
Equipo #5
‖
‖
‖
‖
}
Página 178
Ejercicio 1: Calcule una base ortogonal y una ortonormal de proceso de Gram-Schmidt a la base , en la cual {[
[ Iniciemos con
[
]
[
]
. Como
(
*[
]
]
[ ]
y
y
. /[
[
] [ ]}
en ese caso
]
Ya que
[ ]
]
] [
aplicando el
(
entonces
) [
]
= [
]
Equipo #5
Página 179
Así la base ortogonal es
*
[
+ donde
] [
]
[
[
] [
]}
]
O sea
[ {
]
Por último normalizamos para obtener una base ortonormal
√ √ {[
] [ √
√ √ ] [ √
]}
Bibliografía consultada: http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/lecturas/l843-82.pdf
Índice Equipo #5
Página 180
Ejercicios 1: 1. Menciona la condición (teorema) para que dos vectores sean: a) Paralelos Vectores paralelos o en una misma dirección: Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 grados o de 180 grados. Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar. |
|
‖
|
|
| || |
Cuando el producto cruz es igual a cero. cuando un vector es múltiplo escalar del otro (es decir, uno depende linealmente del otro).
b) Ortogonales Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonalles.
El producto escalar es igual a cero. Cuando el producto cruz de dos vectores es igual a 1. Diremos que son perpendiculares u ortogonales si se satisface el teorema de Pitágoras: |⃗ |
| |
|⃗
|
Bibliografías consultadas: http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalar http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110309182816AAprfn4 Equipo #5
Página 181
http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080918172047AAMzERP http://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/vectores.pdf
1. Determina si los siguientes pares de vectores son ortogonales o paralelos: )0
1
0 1
Solución: Ortogonales |⃗ | (( )
)0
(
1
) )
(( )
( ) )
| | (
|⃗ )
| (
)
0 1
Solución: Ortogonales. (⃗⃗⃗ ⃗ )
)[
]
√ √
[ ]
Solución: Ortogonales. El producto escalar es igual a cero. (
)( ),
Equipo #5
) -
,
-
Página 182
Solución: Ortogonales. El producto escalar es igual a cero. (
)(
)
Bibliografías consultadas: http://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/vectores.pdf http://ar.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100601200614AAfutfp
2. Determina los valores de *
+*
para que los vectores sean ortogonales:
+
Solución: (
)(
)
(
*
.
Equipo #5
/
Página 183
Sustitución: ( *
(
*
3. Calcula la magnitud (longitud o norma) y dirección de los vectores. )
(
)
.
)
( √
)
.
) √
/
| |
√( )
( )
| |
√. /
. /
√( √ )
(
√ ) | |
/
| |
√. /
√
√
( )
. /
√
√
√ )
.
.
√
/
√
√
/
√ * ( √ )
(
√
( ) está definida por la medida de los ángulos que La dirección de forma la línea de acción del segmento de recta con los ejes . Los ángulos
√
son llamados Ángulos Directores.
√
√
√
√
Comprobación:
Equipo #5
Página 184
(
)
(
)
(
)
Bibliografías consultadas: http://personal.telefonica.terra.es/web/pq/paghtm/vector3d.htm http://es.scribd.com/doc/8689496/Vectores-en-R3
4. Determina los productos de vector por un escalar, así como su dirección. )
(
)
.
)
(
) √
| /
|
√
)
√( )
( )
.√
√
√ √
√
/
.
. /
√
√
.
/ /
Bibliografías consultadas: http://es.scribd.com/doc/2024133/Vectores
5. Determina para los siguientes vectores su respectivo vector unitario: (
) ̆
( |(
Equipo #5
) )|
) (
√( )
) (
( )
) √
( √
√
* Página 185
Para verificar, calculamos su módulo: | ̆|
|( √
√
*|
√( √
(
)
(
)
) ( |(
̆
) )|
)
√(
*
(
(
(
√
*
√
)
√
(
)
*
Para verificar, calculamos su módulo: | ̆|
|(
*|
) ̆
( |(
) )|
√(
*
(
)
(
) )
√(
(
*
√
(
(
√
)
(
)
*
Para verificar, calculamos su módulo: | ̆|
|(
)
(
̆
*|
√(
*
(
*
√
√
)
( |(
) )|
( √( )
) (
)
(
) √
( )
( √
√
√
*
Para verificar, calculamos su módulo: | ̆|
|(
√
√
√
*|
√(
√
*
(
√
*
( √
*
√
√
Equipo #5
Página 186
Bibliografías consultadas: http://es.scribd.com/doc/2024133/Vectores
6. Si
y
; determina:
) (
)
(
)
) (
)
(
)
(
)
(
)
)
Bibliografías consultadas: http://es.scribd.com/doc/2024133/Vectores
7. Determina el ángulo entre los vectores: )
y
Solución: (⃗
(⃗
Equipo #5
( |(
) )
) ( )| |(
) )|
√
√
√
√
Página 187
(
)
) y
(
)
) ( )| |(
) )|
Solución: (⃗
( |(
) (⃗
√
)
√
Vectores paralelos o colineales.
)
y
Solución: (⃗
( |(
) (⃗
) ( )| |(
) )|
)
Vectores ortogonales.
Bibliografías consultadas: http://es.scribd.com/doc/8689496/Vectores-en-R3
8. Calcula las siguientes proyecciones: )
y ( (
)( )(
)
(
(
)( ) )( )
(
(
)
*
(
*
y ( (
Equipo #5
)
y (
)
) )
)( )(
) )
(
)
(
* Página 188
)
y (
)( )(
(
)
(
)
)
(
*
Bibliografías consultadas: http://www.acienciasgalilei.com/public/forobb/viewtopic.php?f=62&t=4823
9. Calcular la distancia entre los puntos: )(
) y ( √(
)
)
√
(
√
)
(
(
))
)
√(
( )
(
)
√
Bibliografías consultadas: http://es.scribd.com/doc/8689496/Vectores-en-R3
10.
Determine los cosenos directores para el vector: (
| |
) √(
)
( )
( )
√
√
√
√ √ Equipo #5
Página 189
Comprobación: (
√
*
( √
*
(
√
*
Bibliografías consultadas: http://es.scribd.com/doc/8689496/Vectores-en-R3
11. Determina el vector √
de magnitud 5 cuyos cosenos directores son
√ √
y
.
La suma de los ángulos internos no es igual a 180
Bibliografías consultadas: http://es.scribd.com/doc/198857/Ley-del-seno-y-ley-del-coseno http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/medellin/nivelacion/uv00004/lecciones/ unidades/generalidades/vectores/concepto/index12.htm
Equipo #5
Página 190
Determina el producto cruz de los siguientes vectores (
12. )
)
y
Solución: ⃗
|
|
|
)
|
|
|
|
|
y
Solución: ⃗
|
|
|
|
|
|
|
|
Bibliografías consultadas: http://es.scribd.com/doc/8689496/Vectores-en-R3 Índice Equipo #5
Página 191
Ejercicios 2: 1. Efectúa las siguientes operaciones: .
a)
/ (
*
.
/
(
b)
)
(
) y
(
)
(
(
c) (
Equipo #5
)
⁄ (
( )
(
(
) )
(
( )
(
) )
)
)
(
⁄
)
*
Página 192
2. Determina la longitud del vector y entre los vectores: a) A= (6,8) | |=√
b) W= (5 + 2i, -3 -4i) W=( ( )( ( )( | |
√(
) ) ) )
(
)
√
c) B = 4i + 2j – 7k | | = √( )
(
( )
)
= √
3. Determina el vector unitario para: Vector unitario = |
|
a) u = (√ √ ) ⃗ |√√( )
(√ √ )
√ (
( √
√
√
)
√( ) |
b) √(
Equipo #5
)
( )
(
)
√
*
Página 193
4. Determinar el ángulo o ángulos de los siguientes vectores: entré los vectores (
a)
)
( *
b)
( * √ (
√
( * √
*
5. Determinar el ángulo entre los vectores: a)
y
| || |
√
√
(
)
b) S = 4i + 9j y M = 18i - 8j
| || |
Equipo #5
√
√
( )
Página 194
c) u = ( 2, 5,7) y | | | |
v = (0, 4,1)
√
(
√
√
√
*
6. Determinar las proyecciones: a)
y ( |√( )
( ) |
.
b)
)
/
y
|√(
)
(
)
.
(
( ) |
*
/
7. Determinar el producto cruz para: a)
(
y
)
[
b)
(
0
1
0
1
1
0
0
1
y
)
[ =
Equipo #5
]
]
0
1
0
1 Índice Página 195
Ejercicios 3: 1. Define: a) Espacio vectorial y sus axiomas.
Definición 1: Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Definición 2: Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iníciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares.
Propiedades: Axiomas de un espacio vectorial. (
(
)
) (
)
(
)
(
)
( (
Equipo #5
) ) Página 196
(
)
(
) (
) (
(
) )
(
) (
(
)
(
) )
b) Subespacio vectorial:
Definición: sea un espacio vectrial sobre un campo . Un subconjunto es un sub-espacio vectorial si
0
,
Equipo #5
Página 197
c) Combinación lineal: Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares. ⃗
⃗
⃗
d) Dependencia e independencia lineal: Vectores linealmente dependientes: Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal. ⃗
⃗
⃗
⃗
Vectores linealmente independientes: Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. ⃗
⃗
⃗
⃗
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
Equipo #5
Página 198
e) Base : Tres vectores ⃗⃗ ⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗ con distinta dirección forman una base, porque cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal en ellos. ⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗⃗
Las coordenadas del vector respecto a la base son: ⃗⃗
(
)
f) Dimensión:
Si el espacio vectorial V tiene una base con un número finito de elementos. Entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V = {0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero. 2. Menciona la condición (teorema)para que dos vectores sean a) Paralelos:
Vectores paralelos o en una misma dirección: Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 grados o de 180 grados. Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar. |
Equipo #5
|
‖
|
|
| || |
Cuando el producto cruz es igual a cero. cuando un vector es múltiplo escalar del otro (es decir, uno depende linealmente del otro).
Página 199
b) Ortogonales:
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonalles.
El producto escalar es igual a cero. Cuando el producto cruz de dos vectores es igual a 1. Diremos que son perpendiculares u ortogonales si se satisface el teorema de Pitágoras: |⃗ |
| |
|⃗
|
Bibliografías consultadas: http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_escalar http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110309182816AAprfn4 http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080918172047AAMzERP http://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/vectores.pdf
3. Calcula la magnitud (longitud o norma )y dirección del siguiente vector: ( √ | |
Equipo #5
√
(
√ √
√ )
)
Página 200
4. Determina el producto del vector por una escalar, así como su dirección: √ ⁄ )
( ⁄
√
(
(
√
√
√
)
√
)
5. Determina para los siguientes vectores su respectivo vector unitario:
a)
√ (
b)
( √
*
√
) (
√
6. Si
y
(
√
√
√
*
; Determina:
)
(
)
(
)
7. Determina el ángulo entre los vectores: a)
(
)y
| || | ( Equipo #5
(
√
)
√
√
) Página 201
b)
y | || |
√
√
√
( )
8. Calcular la proyección: y ⃗ | |
|√( )
( )
(
(
) |
*
9. calcula la distancia entre los puntos: (
)y( √(
(
) ))
( √
√
)
(
(
))
√(
)
(
)
√
10. Determina los cosenos directores para el vector: (
)
√
Equipo #5
√
√
Página 202
11. Determina el vector v de magnitud 5 cuyos cosenos directores son: √ ⁄
( ⁄ √
⁄
√
)
( √
√ ⁄
( ⁄ √ √ √
⁄
√
)| |
)
12. Determina el producto cruz de los siguientes vectores (u x v): y (
)
[
]
0
1
0
1
0
1
13. Determina la fuerza resultante sobre el tornillo de la figura.
Fuerza Fx A 60 cos 90o =0 B 40 cos 160o = 37.5877 C 50 cos 240o = 25 =
√(
) |
Equipo #5
(
62.5877
Fy 60 sen 90o = 60 40 sen 160o = 13.6808 50 sen 240o = 43.3013 = 30.3795
)
|
Página 203
14. ¿Cuáles son la magnitud F y la dirección de la fuerza necesaria para tirar un auto directamente al este con una fuerza resultante de 400 lb?
Fuerza
Fx
A
Fy
A x=200 cos 20º 187.93 lb
( )
√(
)
|
Equipo #5
68.40 lb
( )
)
√(
Ay= 200 sen 20º
(
)
(
)
|
Página 204
15. Determine la compresión en el soporte y la tensión en la cuerda de la figura, cuando el peso es igual a 600N. No tome en cuenta el peso del poste
Fuerza
Fx
Fy
A
AX= A cos 120o
AY = A sen 120o
B
BX = B cos 210o
BY = B sen 210o
W
W X= 0
WY=
= A cos 120o + B cos 210
(
)
600 N
= B sen 210o + A sen 120o
600 N
o
( (
) )(
(
)(
)
) Índice
Equipo #5
Página 205
Ejercicios 4: Efectúa las siguientes operaciones: (
(
)
) Y
(
-U + 3W + 2Z -U + 3W + 2Z
(
-U + 3W + 2Z
(
(
)
) + 3(
) + 2(
) +(
)+(
) )
)
Determina la longitud del vector y entre los vectores:
a. W = ( ( ( | |
)
)(
)
)( √(
) )
(
)
√
b. U = (-1,1/2, 2,7) V = (3/4,-5, 3,7/8)
Determina el vector unitario para: a)
(√ √ )
| | √ (
Equipo #5
√
)
Página 206
| |
b) v = -8i + 9j – 4K
√
√
√
√
Determina el ángulo de los siguientes vectores: a)
(
) ( *
b) ( * √ (
√
( * √
*
Determina el ángulo entre los vectores:
a)
y | || |
Equipo #5
√
√
Página 207
(
b)
) y
(
( ) | || |
)
√
√
Determina las proyecciones:
a)
y
|√( )
(
( ) |
b)
*
y
|√(
)
(
)
(
( ) |
*
Determina el producto cruz para: y
(
)
Equipo #5
[
]
0
1
0
1
0
1
Página 208
¿Qué tercera fuerza debe añadirse a las siguientes dos fuerzas, de modo que la fuerza resultante sea cero; 40N, 110° y 80N, 185°?
Fuerza
Fx
A
40 cos 110o =
B
80 cos 185o =
=
√(
) |
Equipo #5
13.6808 79.6956
40 sen 110o = 37.5877 80 sen 185o =
6.9725
= 30.6152
93.3764
( |
Fy
) + 180°= 161.84°
Página 209
Los montajes dos por cuatro A y B de la figura se usan para soportar un peso de 400 lb. Despreciando los pesos de los montajes, encuentre el valor de las fuerzas desconocidas e indique si cada montaje se encuentra sometido a comprensión o tensión.
Fuerza
Fx
Fy
A
A x = A cos 300 o
A y= A sen 300o
B
Bx = B cos 330o
B y = B sen 330o
W
Wx = 0
W y= - 400 lb
=
(
A cos 300 o + B cos 330o
= A sen 300o + B sen 330o
) Lb Lb Índice
Equipo #5
Página 210
Formulario de la unidad 4 – Espacios vectoriales. Componentes de un vector:
Fuerza resultante (
):
√ Ángulo:
Componentes resultantes:
Las componentes
y
de un vector (
).
Para un cuerpo en equilibrio se tiene que:
∑
∑
Índice Equipo #5
Página 211
Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN Proyecto Unidad 4. Espacios vectoriales. “Programa que suma vectores”
EQUIPO # 5
Juan García Pedro Octavio Sánchez Campos Adanary Suray Sánchez Chávelo María Carrión Luna José David
10680250 10680283 10680284 10680240
G2 09:00 – 10:00 a.m. Segundo semestre Ingeniería en Mecatrónica
H.H. Cuautla Mor. 09 de junio del 2011
Equipo #5
Página 212
#include #include #include #include #include main() { using namespace std; #define PI 3.14159265358979323846 int a,b,d,i,n,g; do{ float c,e[200],suma=0,sum=0,r=0,re=0,res=0,resul,ang=0,angu=0,angulo=0,an=0; system("cls"); printf("PROYECTO UNIDAD 3. Espacios Vectoriales.\n\n"); printf("Equipo 5:\n\n Carrion Luna\n Juan Garcia\n Sanchez Chavelo\n Sanchez Campos\n\n\n\n03 de Mayo de 2011\n\n"); printf("Cuantos vectores tienes -> "); scanf("%d",&a); for(i=1;i<=a;i++) { printf("\nIntroduce el valor del vector -> "); scanf("%d",&b); printf("\nIntroduce el valor del angulo -> "); scanf("%d",&d); c=cos(d*PI/180); e[i]=c*b; suma=suma+e[i]; c=sin(d*PI/180); e[i]=c*b; sum=sum+e[i]; r=suma*suma; re=sum*sum; res=r+re; resul=sqrt(res); ang=(sum/suma); angu=atan(ang); angulo=angu+180;
Equipo #5
Página 213
} printf("\n\nSumatoria F(x) es = %f",suma); printf(" N\n\nSumatoria F(y) es = %f",sum); printf(" N\n\nLa resultante es = %f",resul); //printf("\n\nEl angulo es = %f",angulo); printf("\n\n\n\n1)REGRESAR 2)SALIR\n"); scanf("%d",&g); } while(g==1); getch(); }
Índice Equipo #5
Página 214
“Álgebra Lineal” PROFESOR: I.E. SAÚL ULLOA MONDRAGÓN
UNIDAD 5. TRANSFORMACIONES LINEALES.
EQUIPO # 5
Juan García Pedro Octavio Sánchez Campos Adanary Suray Sánchez Chávelo María Carrión Luna José David
10680250 10680283 10680284 10680240
G2 09:00 – 10:00 a.m. Segundo semestre Ingeniería en Mecatrónica
H.H. Cuautla Mor. 14 de mayo del 2011.
Equipo #5
Página 215
Unidad 5. Transformaciones lineales.
Índice: 5.1 “Introducción a las transformaciones lineales”. Algunas aplicaciones. 5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.
Equipo #5
Página 216
Transformaciones lineales 5.1 “Introducción a las transformaciones lineales”. Definición: Una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre 2 espacios vectoriales que preservan las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. Nota: el termino función lineal se usa incorrectamente en análisis matemático y en geometría para designar una recta, plano, en general una variedad lineal. Se denomina transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumplan las siguientes condiciones: Sea “V” y “W” sobre el mismo espacio o campo “K” y “T” una función de “V” en “W”. “T” es una transformación lineal si ara todo par de vectores “U” y “V” pertenecientes a “V” y para todo escalar “K” se satisface que:
( (
) )
( ) ( )
( )
Ejemplo: Determinar si la transformación 0 1
es lineal. [
]
Primera propiedad: (⃗ ⃗
0 1
⃗)
(⃗ ) ⃗
(⃗)
0 1
Índice
Equipo #5
Página 217
0
1
0
1
[
0 1 [
0 1 ]
]
[
]
[
]
Aplicando la segunda propiedad:
(
)
( )
[
]
0 1
[
]
[
]
[ [
] ]
Se cumplen ambas propiedades y la transformación es lineal.
Equipo #5
Página 218
Algunas aplicaciones son: 1. En finanzas, se usan TL para convertir de un conjunto de activos a otro, quizá con más información. 2. Se usa en análisis multivariados, para determinar matrices de covarianza, para generar números aleatorios multivariados.
3. Se usan en dibujos o gráficas, para cambiar el punto de vista en los videojuegos, cuando vez que cambia el punto de vista del escenario, lo que hace el programa es aplicar una TL de rotación.
Bibliografías consultadas: Digital: http://www.youtube.com/watch?gl=MX&v=nCqIwx0is_A http://www.youtube.com/watch?v=2s9aEW7-QmE&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=WDjMj_DeGgA&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=OLrurK6QXIE&feature=related Índice Equipo #5
Página 219
5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.
Es el conjunto de vectores que al transformarlos te da 0.
Rango
Ejemplo: Determine el núcleo y el rango de la transformación definida por la matriz A: [
Definiéndose el operador lineal de
como: ( ̅)
Equipo #5
]
̅
Página 220
Solución: El núcleo es todo el conjunto de vectores que al transformarlos obtenemos el vector ̅ por lo tanto: ̅
̅
Obtener el núcleo:
[
][ ]
[ ]
Resolviendo por operaciones de eliminación renglón [ ]
[
]
Núcleo ( )
{[
]}
Obtener rango
Se escriben las columnas como renglón [
Equipo #5
]
Nota: Base de núcleo. [
]
Página 221
Y calcula la base escalonada: [
[
(
]
]
)
[
[
]
]
Entonces el rango es: Rango [ ]
[ ]
*
+
Bibliografías consultadas: Digital: http://www.youtube.com/watch?v=WDjMj_DeGgA&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=OLrurK6QXIE&feature=related
Índice
Equipo #5
Página 222
