Fundamentos de Matematicas

Texto Guía 2010 Modalidad SEMI-PRESENCIAL

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

Cochabamba-Bolivia

Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas”

UNIDAD 1 ARITMETICA NUMEROS REALES, NUMEROS ENTEROS Y RACIONALES

1.1 Los números enteros. Los reales, propiedades, operaciones. 1.2 Factores primos. Números compuestos. Numero primo Es aquel número que solo es divisible por si mismo y por la unidad. Numero compuesto Es aquel numero que además de ser divisible por si mismo y por la unidad lo es por otro factor. Ejercicios Propuestos: Números primos y compuestos 1.- ¿Cuántos divisores tiene un número primo? 2.- Dígase si los números siguientes son o no primos y por que: 13 , 17 , 19 , 24 , 31 , 37 , 38 , 45 , 68 , 79 , 324. 3.- ¿Cuantos múltiplos tiene un número? 4.- ¿Cuál es el menor múltiplo de un número?

1.3 Mínimo Común Múltiplo, Máximo común divisor, mínimo común denominador. Ejercicios propuestos: Mínimo común múltiplo, máximo común divisor 1.- Hallar El m.c.d de la las siguientes cantidades: 1) 20 y 80 2) 144 y 520 3) 345 y 850 4) 54 , 76 , 114 y 234 5) 320 , 450 , 560 y 600 Cochabamba-Bolivia

Pág. 2

Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” 6) 464 , 812 , y 870 7) 98 , 294 , 392 , 1176 8) 1560 , 2400 , 5400 y 660 9) 840 , 960 , 7260 , y 9135 10) 3174 , 4761 , 9522 y 12696 11) 500 560 , 725 , 4350 , 8200 12) 850 , 2550 , 4250 , y 12750. 2.- Hallar El m.c.m de la las siguientes cantidades: 1) 32 , 80 2) 46 y 69 3) 18 , 24 y 40 4) 32 , 48 y 108 5) 5 , 7 , 10 , 14 6) 2 , 3 , 6 , 12 y 50 7) 100 , 500 , 700 y 1000 8) 14 , 38 , 56 y 117 9) 96 , 102 , 192 y 306 10) 91 , 100 , 300, 350 y 400 11) 98, 490 , 2401 y 2197 12) 5476 , 6845 , 13690 , 16428 y 20535 1.4 Operaciones con fracciones. Propiedades Ejercicios propuestos: Suma y resta de fracciones 1.-

2 5 + 3 6

4.-

5 7 1 + + 4 8 16

Cochabamba-Bolivia

2.-

5 7 + 12 24 5.-

5 7 3 + + 14 70 98

3.-

5 11 + 8 64 6.-

2 5 2 4 + + + 3 7 21 63

Pág. 3


7.-

7 8 9 11 1 + + + + 25 105 21 50 63

8.-

19 61 13 1 3 + + + + 18 72 216 10 5

9.-

1 1 5 1 1 + + + + 324 162 108 14 21

1 3 10.- 3 + 5 4 4

1 1 1 11.- 1 + 2 + 1 2 3 6

3 1 1 12.- 5 + 6 + 8 4 3 12

1 1 3 13.- 2 + 4 + 8 5 10 25

3 3 1 14.- 8 + 4 − 7 56 98

1 1 1 1 15.- 4 + 5 + 7 + 1 4 8 16 32

1 1 1 3 16.- 3 + 4 + 1 + 2 5 10 50 25

1 1 1 1 17.- 1 + 3 + 2 + 4 5 4 15 60

3 1 1 1 18.- 5 + 3 + 2 + 7 7 14 6 2

19.- 7 +

22.-

8 7

3 1 + 10 + 3 + 8 48 5

⎛1 1 1⎞ 1 25.- ⎜ + + ⎟ + ⎝ 4 2 3⎠ 6

20.- 18 +

6 5

21.- 8

1 1 +5+7 30 45

24.- 4 +

23.- 6 + 2

5 ⎞ ⎛5 1⎞ ⎛ 3 26.- ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ ⎝ 80 40 ⎠ ⎝ 4 8 ⎠

1 3 +6+ 4 8 7 1 1 +8 + 48 57 114

3⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 27.- ⎜ 3 + 2 ⎟ + ⎜ 4 + ⎟ 5 ⎠ ⎝ 3 20 ⎠ ⎝

1⎞ 1⎞ ⎛ 7 ⎛7 5 ⎞ ⎛ 1 ⎛ ⎞ 28.- ⎜ + ⎟ + ⎜ 6 + 7 ⎟ 29.- ⎜ 9 + ⎟ + ⎜ + 6 ⎟ 4⎠ 18 ⎠ ⎝ 24 ⎝ 8 25 ⎠ ⎝ 6 ⎝ ⎠

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛3 7 2 ⎞ 30.- ⎜5 +2 +3 ⎟ +⎜ + + ⎟ ⎝ 6 9 12⎠ ⎝ 5 3 15⎠

5 1 31.- 6 − 3 6 6

33.- 19

34.- 14

11 7 −5 45 60

32.- 12

35.- 9

2 1 −7 3 11

1 2 −7 6 3

5 8 − 12 7 105

36.- 40 − 2

7 10

Ejercicios propuestos: Multiplicación y división de fracciones 1.-

2 3 × 3 2

2.-

4 10 × 5 9

3.-

7 16 × 8 21

4.-

7 8 22 1 × × × 8 11 14 4

5.-

5 7 3 1 × × × 6 10 14 5

6.-

3 17 5 138 × × × 5 19 34 75

1 1 7.- 1 × 2 2 3

Cochabamba-Bolivia

1 1 8.- 3 ×1 4 13

1 2 9.- 5 × 2 4 9

Pág. 4


2 3 10.- 6 ×1 7 11

1 1 1 11.- 1 ×1 ×1 2 3 5

5 3 1 12.- 2 × 3 ×1 6 4 17

8 47 33 1 19 13.- 8 ×1 ×3 ×15 ×1 17 108 61 2 31

14.- 2

4 1 1 1 4 × 2 ×1 × 4 × 2 39 6 41 3 7

15.-

3 7 ÷ 5 10

16.-

8 4 ÷ 9 3

17.-

50 25 ÷ 61 183

18.-

72 6 ÷ 91 13

19.-

104 75 ÷ 105 36

20.-

150 135 ÷ 136 180

21.-

216 1080 ÷ 316 948

1 1 22.- 1 ÷ 2 2 3

3 9 23.- 2 ÷ 3 5 10

8 133 ÷1 25.- 1 109 218

26.- 4

⎛1 3⎞ 3 27.- ⎜ + ⎟ ÷ ⎝2 4⎠ 2

1 ⎛ 1 ⎞ 28.- ⎜ 5 − 4 ⎟ ÷ 1 2 ⎝ 4 ⎠

29.-

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 30.- ⎜1 − ⎟ ÷ ⎜1 − ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 5⎠

1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 31.- ⎜ 7 + 3 ⎟ ÷ ⎜14 + 6 ⎟ 8⎠ ⎝ 4⎠ ⎝

1 ⎛ 5 10 ⎞ 32.- ⎜ × ⎟ ÷ 10 12 ⎝ 8 50 ⎠

24.- 5

6 13 ÷2 11 22

1 3 ÷ 24 50 25

3 ⎛2 5⎞ ÷⎜ + ⎟ 5 ⎝3 6⎠

1.5 Potencia y Radicación. Propiedades 1.5.1 Potencia Ejercicios propuestos: Potencia 2) − (− 9 )3

1) − 37 3) − (− 87 )0

4) (− 8 )1 ⋅ (286 )0 ⋅ (− 7 )3

(− 3) ⋅ (2 ) ⋅ 51 90 2 0 ( ) ⋅ 23 + − 6 − 22 24 0 2

5)

Cochabamba-Bolivia

0

6) − (− 8)3 −

5 3 ⋅ (− 7 ) 72 ( ) − − ⋅ 6 12 0 90 0

Pág. 5

Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” 2 570 ⋅(−7) ⋅22 (2−9) 4 − + 2 −3⋅2 7) 2 1 0 −49 ⋅4 (9−6) 4

⎛ 2⎞ 11) ⎜ − ⎟ ⎝ 3⎠

2

(

)

4

⎛2⎞ 8) ⎜ ⎟ ⎝3⎠

2

1⎞ ⎛ 10) − ⎜ − 5 ⎟ 2⎠ ⎝

112 ⎞ ⎛ 12) ⎜ − 89 ⎟ 213 ⎠ ⎝

0

⎛ 1⎞ 13) ⎜ 3 ⎟ ⎝ 2⎠

3

4

2

⎛ 1⎞ − ⎜3 ⎟ 0 0 2 2 2 2 2 7 ⎞ ⎛ 1⎞ 2 ⎛ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ 14) ⎜ −12 ⎟ −⎜ 2 ⎟ +120 ⎜1 ⎟ −12,30 ⎜− 2 ⎟ 15) ⎜ − 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠0 ⎝ 2⎠ ⎝ 98⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎛9⎞ −⎜ ⎟ ⎝8⎠ ⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ 16) ⎢⎜ − ⎟ ⎥ ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎦⎥

⎛ ⎡ 4 2 ⎤3 ⎞ ⎛ ⎞ 17) ⎜⎜ ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎟⎟ ⎜ ⎣⎢⎝ 3 ⎠ ⎦⎥ ⎟ ⎠ ⎝

3

⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤ 18) ⎢⎜ − 3 ⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦

3

2

19) (1 ⋅ 3 ⋅ 5 )3

21) 62 ⋅ 60 ⋅ 62

20) 4 2 ⋅ 4 0 ⋅ 4 2 ⋅ 41

0

3

22) (− 8 ) ⋅ (− 8 ) ⋅ (− 8 ) (− 8 )

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ 23) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝5⎠ ⎝5⎠

⎛ 58 ⎞ 24) ⎜⎜ 5 ⎟⎟ ⎝5 ⎠

⎛ (− 6)3 ⎞ ⎟ 25) ⎜⎜ 5 ⎟ ( ) − 6 ⎝ ⎠

4

0

6

2⎞ ⎛ ⎜− 2 ⎟ 3⎠ 26) ⎝ 4 2⎞ ⎛ ⎜− 2 ⎟ 3⎠ ⎝

Cochabamba-Bolivia

2

2

6

⎛ 1⎞ ⎜3 ⎟ 3 27) ⎝ ⎠ 4 ⎛ 1⎞ ⎜3 ⎟ ⎝ 3⎠

Pág. 6


( )

33 2 4 4 4 4 −4 28) 4 − 5 − 3 − −5 3 2 4 4

5 −3 2 4 4 −3 5 −2 29) −2 + 6 − −2 − −3 5 2 4 5

−2

⎡ ⎛ 1 ⎞3 ⎤ ⎡⎛ 2 ⎞4 ⎛ 1 ⎞2 ⎤ ⎢ 3⋅⎜ − ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ −1 ⎟ ⎥ 3⎠ ⎥ 3 2 ⎝ ⎢ − ⎢⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥ 30) 3 ⎢⎛ 1 ⎞ ⎥ ⎢ ⎥ ⎛1⎞ ⎢⎜ − ⎟ ⋅ 2⎥ ⎢ − 2⋅⎜ ⎟ ⎥ ⎝3⎠ ⎣⎝ 3 ⎠ ⎦ ⎣ ⎦

2

2

1.5.2 Radicación Ejercicios Propuestos: Radicación 1.- 123 432 − 73 384 − 83 54 + 63 48 2.- −

15 5 6 30 ⋅ 8 ⋅ 15 7 8 5

3.-

33 3 5 16 − 33 2 − 3 250 + 3 54 4 5 6

4.-

53 5 686 ÷ 3 2 14 2

1 ⎛5 ⎞⎛ 5 ⎞ 5.- − ⎜ 72 − 2 ⎟⎜ 3 54 − 3 2 ⎟ 4 3 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠

6.- 33 2 3 ⋅ 3 − 23 2 3 − 53 33 ⋅ 3 + 103 3 + 103 3 + 5 2 2 7.-

5

1 ⎛1⎞ 2430 ÷ 10 − 2 81⋅ 64 − (3 ⋅ 9 ⋅ 4 ⋅16) ÷ 8 + −2 ⎜ ⎟ 2 ⎝ 3⎠

8.- 2 ⋅ 4 2 ⋅ 2 −6 +

−1

3

1 4 −4 + 0 , 34 2 2 3 ( ) ( ) + 2 − − 1 − 2 − 27 −1 16

Cochabamba-Bolivia

Pág. 7


9.- −

(

) (

256 + − 1 + 3 27 + 15 100 − 2

)

5

2

1 ⎞ ⎛ 2⎞ 7 1 3 ⎛ 10.- ⎜ 3 ÷ ⎟ − ⎜ 1 − ⎟ − 4 3 − + 1 − −1 − −1 10 ⎠ ⎝ 3⎠ 8 3 5 ⎝ 2

2 2 −1 +1 3 5 2 +1 3

−1 2 ⎧⎪ ⎡ ⎫ 3 ⋅ 2 −2 ⎡ 1⎞ ⎤ ⎛ ⎛ 2 4 ⎞⎤ −1 −1 ⎪ 11.- ⎨ ⎢ 2 ⋅ 10 + ⎜ 1 − ⎟ ⎥ ÷ 10 ⎬ − + ⎢ 4 ÷ ⎜1 − ⎟ ⎥ 2 ⎠ ⎥⎦ 5 ⎝ ⎝ 5 5 ⎠⎦ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎪⎭ ⎣

1

2 ⎛ 8 ⎞3 12.- ⎜ ⎟ − 3 (27 ⋅ 243) ÷ (34 − 33) + 63 2 3 ⎝3⎠

13.-

16 + 25 − 3

14.-

100 + 36 + 2 4 − 3 64 ⋅ 27 − 23

15.-

16.-

9 − 2 + 4 16 ⋅ 4 ⋅ 3 8 729 +

25 + 121

⎡⎛ 3 ⎞ −1 ⎛ 3 ⎞ −2 7⎤ 1 ⎛ 1 ⎞ 3 + − + 1 ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ ÷⎜− 3 ⎥ ⎟ 2 ⎦⎥ ⎝2⎠ 5 ⎝ 102 ⎠ ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⋅ −1 −1 −1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎛ 1 ⎞2 ⎤ 1 3 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ + ⎜ − 1⎟⎥ ⎢− ⎜ − ⎟ − 1⎥ ⎝ 2 ⋅ 5 ⎠ ⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎝ 6 ⎠⎥⎦ ⎣⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥

1 ⎞ ⎛ ⎜− 2 + ⎟ 2 ⎠ ⎝ −1 ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠

−2

+

(− 1 +

3

(− 2 )

2 ⋅ 5 −1

−5

)

−2

1 − 1 ⋅ 2 −2

Cochabamba-Bolivia

⎛ 1 ⎞ ⎜+ ⎟ ⎝ 2 ⎠

÷

⎛ 1 ⎞ ⎜− ⎟ ⎝ 2 ⎠

−1

1 −2 3 ⋅ ⎛⎜ 3 ⎜ 22 ⎝

+

−2

⋅ 10 +

1 2

2

⎞ ⎟⎟ − 6 ⋅ 5 − 1 ⎠

(

)

−1

Pág. 8


UNIDAD 2 ALGEBRA BASICA

2.1 Expresiones Algebraicas MONOMIOS Son aquellas expresiones algebraicas que contienen un solo término. Son monomios las siguientes expresiones algebraicas: a) -3 b)

3 −2 2 a b 7

c) 2a d) 3a 2b e)

− 2 ab c

BINOMIOS Son binomios aquellas expresiones algebraicas que contienen dos términos. Son binomios las siguientes expresiones algebraicas: a) 2 + 3 b) x − 1 c) a + bc d) 4 x 2 y −

3 y 7 z

4 5

e) 0,5 − z f)

3 x + 0,2 xyz 5

TRINOMIOS Son trinomios aquellas expresiones algebraicas que contienen tres términos. Son trinomios las siguientes expresiones algebraicas: Cochabamba-Bolivia

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Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” a) 3 + 7 − 2 b) a − b + c c) 4 x 2 − 2 x + 5 d) − 4

y + 3 y − 23 x

e) 4 x 2 y − f) 1 +

3 y − 0.23 y 7 z

1 3 + z xy 5 9

g) − 0.4 x − 2 − x − 3 + 0,2 x − 3 POLINOMIOS Son polinomios aquellas expresiones algebraicas que están formadas por más de tres términos: Son polinomios las siguientes expresiones algebraicas: a) 4 − 7 + 2 − 8 + 10 − 0.5 b) a + b − c + d − e e) x 4 − 2 x3 + 6 x 2 − 7 x + 8 f) 0.5a 5 − 4ab2 − 3ab3 + 6ab−2 + c −1

2.2 Operaciones con expresiones algebraicas 2.2.1 Suma y Resta de expresiones algebraicas Ejercicios Propuestos: Suma y Resta de expresiones algebraicas 1) 8mx3 + mx3 + 8mx3 + mx3 + 5mx3 2) 2,6mn + 0,07mn + 5mn + 6,2mn + 1,4mn 3) − 4a x − 8a x − a x − 21a x − 3a x

Cochabamba-Bolivia

Pág. 10


4 9 1 4) − b m − b m − b m − b m 7 14 2 5) 2 3 x 2 − 12 x 2 − 3 24 x 2 + 3 81x 2 1 1 5 6) − 4 pq 3a +1 + 2 pq 3a +1 − 3 pq 3a +1 − 2 pq 3a +1 + pq 3a +1 4 3 6 7) 2,1a 2 b 4 + 0,8a 3b 4 − 0,2a 3b 4 + 2,2a 3b 4 + 0,2a 3b 4 + a 3b 4 − 2,2a 2 b 4 8) 2 3 x 3 y + 5 5 x 2 yz − 3 3 x 3 y − 5 x 2 yz 9) 3 16 pq ; 3 54 pq ; 4 18 pqr ; − 50 pqr

(

) (

) (

10) 8a 2 b + 5ab 2 + − 4a 2 b − ab 2 + 4c + − 10a 2 b − 8ab 2 − 6c 11)

(7 x

(

a−2

) (

)

)

8 x a y b − 4 x a −1 y b +1 − 5 x a − 2 y b + 2 + 3 x a −1 y b+1 − 2 x a −2 y b+ 2 +

y

b+2

− 2 2 x y − 34 x a

b

a −1

y

b +1

)

1 2 ⎞ ⎛ 1 ⎛2 ⎞ 12) ⎜ x 3 − xz 2 + z 3 ⎟ + ⎜ x 3 − xz 2 + z 3 ⎟ + 4 5 ⎠ ⎝ 2 ⎝3 ⎠

1 2 3 3 ⎛1 2 3⎞ ⎜ x z + xz − z − 2 x ⎟ 8 5 ⎝6 ⎠

1 13) De − 3 mn restar − 3,8mn 5 14) Restar 0,5a 3 − 0,66ab 2 + 0,75a 2 b − 0,5b 3 De 0,6a 3 − 0,5b 3 15) Restar 5x m−2 − 4 x m − 2 x m−1 + 7 x m−3 De 5x m−2 + 4 x m − 2 x m−1 + 3x m−3 16) De

3

48m 3 − 50m 2 + 2 45m Restar 53 6m 3 − 14 2m 2 + 8 5m

(

17) 0,2 p 3 q a − 0,8 pq a + 2 − 4 p 2 q a +1 − 3,5q a +3

(

)

(

- − 0,8 p 3 q a − 0,8 pq a +2 − 4 p 2 q a +1 − 2,5q a +3

18) Restar 3a x −2 b x + 2 − 5,6a x −1b x +1 − 2 2 a x b x + 5a x −3b x +3 19) De − 3a 2 + 5a 4 − 8a + 15 Restar

20) De

)

De

)

36 a x −3 b x + 3 + 4,5a x − 2 b x + 2 + 5a x b x

1 4 16 2 3 2 a − a + a − +a 5 5 15 7 3

2 3 1 3 3 1 m + n Restar la Suma de m + n ; − m + n + 3 4 2 4 4 2

Cochabamba-Bolivia

Pág. 11

Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” 21) Restar la suma de 3x n−1 + 4 − 2 x n − 5 x n−2 ; 5 + 3x n−1 − 5 x n−2 De la suma de n −1 n−2 + 5 + 6 x n − 1 − 35 x n − 2 ; 3x − 12 x + 5 22) Restar la suma de 7m 4 − m 6 − 8m ; − 3m5 + 11m3 − m 2 + 4 ; − 6m 4 − 11m 3 − 2m + 8 ; − 5m3 + 5m 2 − 4m + 1 De la suma de − 3m 4 + 7m 2 − 8m + 5 ; 5m5 − 7m3 + 41m 2 − 50m + 8 23) De la suma de

1 3 2 1 1 5 2 1 1 m − q ; − m + a Restar la suma de − q − m ; m + a − q 3 5 9 2 10 9 3 5 5

24) Restar la suma de

1 2 2 1 29 2 1 1 3 3 1 y − y+ y + y − De la suma de − y − y 2 − ; − ; 4 3 4 40 3 8 4 5 10

1 1 3 2 + y + 5 3 2 2 1 1 1 22 17 3 a + am − m 2 ; − − am + a 2 − m 2 De la suma de 9 9 3 2 9 45 2 3 2 5 ; a 2 + m 2 − am 5 9 6

25) Restar la suma de

1 3 1 − am − m 2 4 2 3

26) De la suma de 4 p 2 q n+1 − 5q n +3 ; 4 p 2 q n+1 − p 3 q n Restar la suma de − 5q n+3 − 4 p 3 q n ; 6 p 2 q n+1 − 4 pq n+ 2

1 27) Restar la suma de 2m a −2 − 4,5m a n ; 2 m a −1n 2 − 4m a −2 n 4 ; − 5m a−1n 2 + 2m a n De la suma de 4 a −1 a a −1 a −3 4 7 m − 4,5m n ; 2,25m − 7 m n

2.2.2 Multiplicaciones de expresiones algebraicas Ejercicios Propuestos: Multiplicaciones de expresiones algebraicas 1) 5x 2 por − 2 x 2) − a x−2 Por − 2a 2 x−2 3) − 8 x m+3 y a + 4 Por − 7 x m+3 y a +4 ⎛1 ⎞ 4) (− 2 pq 4 )⎜ p 2 q a ⎟ ⎝2 ⎠

(

)(

5) 2,5m a −2 n y −2 − 0,2m 2 a −1n y −2 Cochabamba-Bolivia

) Pág. 12


(

⎛1 ⎞ 6) ⎜ x 3 a − 2 y ⎟ 9 x 2 −3 a y a ⎝4 ⎠

7)

( 12 a b )( 3

a

8a x + 2 b 4

(

)

)

)(

8) − 53 64 m x −3 n x + 3 − 2 18 m x −3 n − x

)

⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 9) ⎜ 4 p 5 q a + 2 ⎟⎜ − 1 p a −6 q 2− a ⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠

(

)(

)(

10) − 5 p 2 q − 9 p 2 − 5 pq 3

)

⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞⎛ 10 ⎞⎛ 3 ⎞ 11) ⎜ − m 2 n ⎟⎜ − mn 2 ⎟⎜ − m 3 ⎟⎜ − m 2 n ⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 3 ⎠⎝ 4 ⎠ 4 q 4 por − 12 q −6 por

12)

3q 2

1 13) − a 4 x−2 por 0,5a − x +5b por + 4a −3 x−3b m 2 ⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞ 14) ⎜ − a 2 b ⎟⎜ ab 2 ⎟⎜ − 3 a 3 ⎟⎜ − a 2 b ⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ 5 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎝ 4 ⎠ 6 ⎛2 ⎞ 15) ⎜ a m ⎟ por a 2b 4 por 4 por − 2a 4b 2 x+1 8 ⎝3 ⎠ 16)

(

)

⎛ 1 ⎞ 27 x a y 2 a +1 z ⎜ − 1 x a −1 y a −1 z ⎟ 0,5 x 2− 2 a y a −3 z 2 a −1 ⎝ 3 ⎠

(

)

17) 3a 2 − 2ab + b 2 por -3ab 1 ⎞⎛ 3 ⎛2 ⎞ 18) ⎜ q 4 − p 2 q 2 + p 4 ⎟⎜ − p 3 q 4 ⎟ 3 ⎠⎝ 7 ⎝9 ⎠

19) 2m x+3 − 4m x+1 − 5m x−1 − 2m x−3 por m 2 x−2

(

)(

20) x m y n + 3x m−1 y n+ 2 − x m−2 y n+ 4 + x m−3 y n+6 4 x m y 3 21)

( 12a

3

)

)

⎛1 ⎞ − 27 a 2 b − 2 3ab 2 ⎜ 3ab 2 ⎟ ⎝2 ⎠

Cochabamba-Bolivia

Pág. 13

Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” 1 1 ⎛ 1 ⎞ 22) ⎜ 2 p m q 2 − 1 p m − 2 q − 2 + 1 p 2− 2 m q 4 ⎟(0,25 p 2− m q ) 2 4 ⎝ 4 ⎠

(

)(

23) 2 x n y m x n−1 + x n−2 y m−2 + y m−1

)

24) (− 4 p + 5q )(− 3q + 2 p ) 25) (6a + 4b )(− 9b + 8a ) 1 ⎞ ⎛1 26) ⎜ x − y ⎟(3 x − 2 y ) 2 ⎠ ⎝3 2 ⎞⎛ 5 1 ⎞ ⎛ 27) ⎜ p − r ⎟⎜ r + p ⎟ 5 ⎠⎝ 6 3 ⎠ ⎝ ⎛1 ⎞ 28) (0,2m 2 − 0,4mn + 0,3n 2 )⎜ m − 5n ⎟ ⎝5 ⎠

29) p 3 + 2 − 5 p por p 2 − p + 5

( (

)( )(

30) 3a x + 2 − 2a x −1 + a x 2a − 1 + a 2 31) 0,5 x 3 − 4 x + x 2 − 1 0,2 x 3 + 1

(

32) − 4a 2 b n+ 2 − 2a 3b n+1 − 3ab n+3

)

)

) (

por 3a 2 b n+ 2 − 2ab n +3

)

2.2.3 División de expresiones algebraicas Ejercicios Propuestos: División de expresiones algebraicas ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ 1) ⎜ − m 4 n 3 ⎟ ÷ ⎜ − m 2 n ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠

− 0 ,15 p 4 q 2 2) − 0 ,5 p 3 q − 5 3)

3

(

56 p 5 q 5 entre

3

) (

7 p −1 q 4

4) 0,8m a −3 n m+5 y 4 ÷ − 4m a −2 n m+ 4 y 3

Cochabamba-Bolivia

) Pág. 14


5) 0,16 p 3 x + 2 q 3 y + 2 z entre

1 2 x + 2 −3 y + 2 p q 2

(

)

6) 15a 4 b − 12a 3b 2 − 9a 3b 3 + 6a 4 b 2 entre(3ab ) 1 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 7) ⎜ − y 2 + y 4 + y 3 ⎟ ÷ ⎜ − y 2 ⎟ 4 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5

(

8) − 8m x +3 n y −2 + 10m x + 2 n y −3 + 4m x + 4 n y −1

(

9) 6 x 2 + 5 y 2 − 11xy

)

entre

)

entre − 4m x+2 n y −4

(x − y )

10) p 4 + p + 3 − 9 p 2 entre p + 3 11) 3b 5 − 12b + 10 + 5b 2 entre 2 + b 2 12) q 4 + q entre q + 1 13) 2 x 4 − 13x 3 y + 31x 2 y 2 − 38 xy 3 + 24 y 4 entre 2 x 2 − 3 xy + 4 y 2 14) 5a 8 − 3a 7 − 11a 6 + 11a 5 − 3a 3 − 17a 4 − 2a − 4a 2 entre 4a 2 + 5a 4 − 3a 3 + 2a 15) a 6 − b 6 entre a 2 − b 2

1 5 11 1 ⎞ ⎛ 16) ⎜ a 4 − a 3 + a 2 − a ⎟ entre a 2 − a 2 4 8 2 ⎠ ⎝ 1 1 13 2 ⎞ ⎛9 ⎛3 ⎞ 17) ⎜ p 4 − p 2 q 2 − p 3 q − q 4 + pq 3 ⎟ entre ⎜ p 2 − pq + q 2 ⎟ 12 3 18 3 ⎠ ⎝4 ⎝2 ⎠ 17 3 7 1 2 ⎞ ⎛1 ⎛1 ⎞ 18) ⎜ a 3b − a 2 b 2 + a 4 + ab 3 − b 4 ⎟ entre ⎜ ab − b 2 + a 2 ⎟ 60 5 6 2 5 ⎠ ⎝ 10 ⎝3 ⎠ 2 19 23 3 3 ⎞ ⎛ ⎛3 ⎞ 19) ⎜ m 4 + m 2 x 2 − m x + mx 3 − x 4 ⎟ entre ⎜ x 2 − mx + m 2 ⎟ 12 18 4 ⎠ 3 ⎝ ⎝2 ⎠

20) x 5 + y 5 entre x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4

2.3 Leyes de signos y signos de agrupación

Cochabamba-Bolivia

Pág. 15

Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” Ejercicios Propuestos: Leyes de signos y signos de agrupación En cada uno de los ejercicios, simplificar la expresión siguiente: 1.- 2 (3 d − 2 e ) − {2 f + 2 [e − d − 2 (d − f

)] + e }− 3 [3 d − (e + f )]

2.- 2 g − 3 {h − 3 [i + 2 ( g − h − i ) − 3 g ] − 2 h } + 3 i + 7 h

) [(

(

) (

3.- 7 x 2 − 12 xy + 15 y 2 − 4 x 2 + 2 y 2 − 5 2 xy − y 2

{

[

(

)

)]

4.- x 2 y − 2 x 2 y − xy 2 − 4 x 2 y − x 2 y 2 − 2 xy 2 − 2 x 2 y 2 − 3 xy 2 5.- − − a + − a + (a − x ) − a − x + y − [− (− a ) + x ]

{

[

]}

]}

2.4 Radicación Ejercicios Propuestos: Radicación Hallar las raíces siguientes: 1.-

4a 2 b 4

2.-

25x 6 y 8

3.-

3

27 a 3b 6

4.-

3

− 8a 3b 6 x12

64 x 8 y10

5.-

6.- 4 16a 8b16 7.-

5

x15 y 20 z 25

8.-

3

− 64a 3 x 6 y18

9.-

5

− 243 m 5 n15

10.- 3 1000x 9 y18 Cochabamba-Bolivia

Pág. 16


11.-

4

81a 12 b 24

12.-

6

64 a 12 b18 c 30

9a 2 25 x 4

13.-

14.-

3

−

27a 3 64 x 9

15.-

5

−

a 5b10 32x15

16.-

4

a8 81b 4 c12

17.-

7

128 x14

x 2m 121y 4 n

18.-

19.-

3

125 x 9 − 216m12

20.-

9

a18 b 9 c 27

2.5 Racionalización Ejercicios Propuestos: Racionalización Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones: 1.-

3− 2 1+ 2

Cochabamba-Bolivia

Pág. 17


2.-

5+ 2 3 4− 3

3.-

2− 5 2+ 5

4.-

7 +2 5 7− 5

5.-

2 −3 5 2 2+ 5

6.-

19 5 2 −4 3

7.-

3 2 7 2 −6 3

8.-

4 3 −3 7 2 3 +3 7

9.-

5 2 −6 3 4 2 −3 3

10.-

a+ x 2 a+ x

11.-

a − a +1 a + a +1

12.-

x+2 + 2 x+2 − 2

13.-

a+4 − a a+4 + a

Cochabamba-Bolivia

Pág. 18


14.-

a+b − a−b a+b − a−b

2.6 Leyes de Exponentes Las principales leyes de los exponentes, son considerando: a > 0 ; b > 0 son: a)

b)

am ⋅ an = am+n am = am−n n a

(a )

m n

c)

Producto de la misma base.

Cociente de la misma base.

= a m⋅n

Potencia de otra potencia.

L producto de

d)

a0 = 1

Todo numero elevado a cero es igual a uno.

e)

(a ⋅ b)n = an ⋅ bn

Distribución del exponente sobre producto.

⎛ a ⎞ ⎟ ⎝ b ⎠

n

f) ⎜

g)

n

a = a

1

am =

j)

0n = 0

Distribución del exponente sobre el cociente.

n

n

Raíz expresada como exponente fraccionario.

( a)

i)

n

n

a b

=

n

m

=a

m

n

Raíz expresada como exponente fraccionario.

Cero elevado a cualquier número es igual a cero.

Por otra parte, usando las leyes de exponentes y las leyes de los signos, es posible obtener las siguientes relaciones:

(− a )n = a n

Si n es par

(− a )n = a n

Si n es impar Cuando base negativa esta elevado a exponente impar

Cochabamba-Bolivia

Cuando base negativa esta elevado a exponente par

Pág. 19

Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” Ejercicios Propuestos: Leyes de Exponentes Simplificar la expresión: 1.-

(− 3)−1 (− 2)−2 + (− 3)−2 (− 2)−1 (− 2)−2 − (− 3)−2

⎡ 6 2.- ⎢ − 8a ⎢⎣

(

3.-

4.-

5.-

⎡ ⎢x ⎣

n

)

−3−1

−1

⋅

1

(a )

−1 2 −2

(

− 4 −1 a

( )

1 ⋅ 3 ⋅ x9 x

1

2

)

−1 −4 2

⎤ ⎥ ⎦

⋅

1

⎤ ⎥ 2−1 ⎥⎦

−1

(a ) −2

4

2 2n ⋅ 3n 15 ⋅ 4 n − 2 + 2 2 n − 4

2 n+1 ⋅ 41−2 n + 82−n

( )

16 2 n

−3

2.7 Productos y cocientes notables: 2.7.1 Productos Notables Ejercicios Propuestos: Productos Notables Hallar por simple inspección el resultado de (cuadrado de la suma o diferencia de dos cantidades): 1.- (2 x + 3 y )2

(

2.- 5a 2 − 2b 3

)

2

Cochabamba-Bolivia

Pág. 20


1 ⎛2 ⎞ 3.- ⎜ ab 2 + a 2b ⎟ 4 ⎝3 ⎠

(

4.- 4 xy 2 − 9ax 3 y 4

2

)

2

5 ⎛2 ⎞ 5.- ⎜ p 2 a+3 + q 3a −2 ⎟ 6 ⎝5 ⎠ 1 ⎛ ⎞ 6.- ⎜ 3m a+1 − n b+2 ⎟ 2 ⎝ ⎠

2

2

(

7.- 5 p 2 a +3 q m−1 + 4 p a −3 q m+1

⎛5 ⎞ 8.- ⎜ c 4 d 3 − 0,2c −4 m ⎟ ⎝6 ⎠

(

11.-

(30 + 5)3

12.-

(2 x + y )3

13.-

(x − 3 )3

14.-

(2 a − 3b )3

15.-

(2 x

2

16.-

(a

− b3

17.-

(2 − a )3

3

+ 3y2

2

2

4 ⎛5 ⎞ 9.- ⎜ x 4 y a+1 − xy −a−1 ⎟ 5 ⎝8 ⎠ 10.- 0,5ab 2 − 7a 2 xy 3

)

2

)

2

)

3

)

3

Cochabamba-Bolivia

Pág. 21


18.-

(3 x

2

− 5y2

)

3

(ab + c ) 20.- (x − y )

2 3

19.-

3 3

21.-

(m −

22.-

(a

3

pq )

3

)

3

− b3

2.7.2 Cocientes notables Ejercicios Propuestos: Cocientes notables Halla por simple inspección el cociente de: (Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades) 1.-

a2 − b2 a+b

2.-

p 2 − 4q 2 p + 2q

3.-

m 4 n 6 − 4 p 8 r 10 m2n3 − 2 p 4r 5

81x 6 − 121 y 8 4.9 x 3 − 11 y 4

5.-

4 x 2 − (x − y ) 2 x − (x − y )

6.-

(2 p + q )2 − 64( p + q )2 (2 p + q ) − 8( p + q )

2

25(m − 3n ) − 16(2m + n ) 7.5(m − 3n ) − 4(2m + n ) 2

Cochabamba-Bolivia

2

Pág. 22


8.-

(

)

2

(

49 x 2 − x − 25 x 2 − 2 x 7 x2 − x − 5 x2 − 2x

(

) (

)

)

2

Halla por simple inspección el cociente de: (Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades): 1.-

8 y3 −1 2 y −1

2.-

p3 + q3 p+q

8m 3 + 27 n 3 3.2m + 3n 4.-

125m 3 − 216 5m − 6

5.-

125b 6 x 3a +3 − 8a 9 b 9 5a 2 x a +1 − 2a 3b 3

6.-

64m 3 + 125n 3 4m + 5n

7.-

(a + b )3 − (a − b )3 (a + b ) − (a − b )

8.-

8( x + y ) + ( x − y ) 2( x + y ) + ( x − y ) 3

3

27(2 p − q ) − 8( p − 2q ) 9.3(2 p − q ) − 2( p − 2q ) 3

3

2.8 Factorización de expresiones algebraicas, diferentes casos: Ejercicios Propuestos: Factorización de Diferentes casos

Cochabamba-Bolivia

Pág. 23

Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” Factoriza las siguientes expresiones en dos factores: Factor Común 1.- m3 + m 2 + m 2.- x 2 + xy 3.- 3m 2 n + 6mn − 9m 3 n 2 + 12m 2 nx + 3mny

4.- x m y n − 4 x 2 m y 3n + 2 x 3m y 4 n

5.- 100 x 2 y 3 z − 150 x 2 y 2 z 2 + 50 x 2 y 3 z 3 − 200 x 2 y 2 z 3

6.- 3x 3a +1 y n + 9 x 3a − 3 x 3a −1

7.- 3 p x + 2 q y +1 + 3 p x+1q y + 2 − 3 p x q y +3

8.- − 2 x a+7 + 6 x a+6 − 2 x a+5 + 10 x a+3 10.- m (a + 1) + n (a + 1)

9.- 4a 2m b n+3 + 12a 2m−1b n+5 − 4a 2m−2b n+7 + 4a 2 m−3b n+9 11.- 2( p − 1) + 5 y ( p − 1)

12.- 3a (x + 3) + x + 3

13.- y (2 a + 3) − 2a − 3

14.- − 2a − 3b + x (2a + 3b )

15.- a (2 x + 3 y + 4 z ) − 2 x − 3 y − 4 z

16.- 2 y 2 + 3 (2 x − z ) + 3(2 x − z )

17.- 25 p 5 − 10 p 3 − 5 p 2

18.-

(

)

Factorizar los siguientes binomios: 2.- 25a 2 − 36b 4

1.- x 2 − 4 y 2

4.-

m6 m4n2 − 16 81

5.- 49a 2n − 16b 4n

6.-

16 6 x 49 6 a −6 m − n 25 84

7.- a 6 a−4 − x 2a−2b 2a−2

8.- 25 x14 y 10 − 169 x18 y 12

9.- (2 a + b )2 − a 2

10.- (2 m + n )2 − (2 x + y )2

3.-

4 4 121 8 4 x − y z 9 144

(

11.- 9 2a x +1b n + 3x a +1 y b

)

2

(

− 4 3a x +1b n − 2 x a +1 y

)

2

12.- m3 − 1

13.- c 3 − 8

14.- 27 x 3 − y 3

15.- 125a 3 + 8 z 3

16.- 512c 3 − 729d 3

Cochabamba-Bolivia

Pág. 24


n3 27 6 3 64m n 125 x 6 z 3 19.+ 27 x 3 z 6 216m 3

18.- 27 a 3 x 3 −

17.- m 3 −

21.-

20.-

27m 3 n 6 8a 3 − 64a 6 125m 6

(

) ( 3

23.- m 2 − n + m 2 + n

z3 216a 3

c 3d 6 + 8 p6q3 3 8p

22.- (x − 2 )3 − 8

)

3

24.- n 5 + 1

25.- p 5 − 243

26.- 2187 y 7 − a 7 y 14

Factorizar los siguientes trinomios: 1.- 6 y 2 − 7 y − 3

2.- 7 q 2 + 17 q + 6

3.- 3m 2 + 19m + 20

4.- 10b 2 + 9b + 2

5.- 5z 2 + 11z + 2

6.- 8 x 2 − 2 x − 15

7.- 7 p 2 + 16 p + 4

8.- 12 y 4 + 17 y 2 z + 6 z 2

9.- 6m 4 + 17m 2 n 2 + 5n 4

10.- 8 p 4 − 22 p 2 q 3 + 15q 6

11.- 2a 6b 4 + 5a 3b 2 z 5 − 12z10

12.- 3c 8 d 4 + 11c 4 d 2 x 3 + 10x 6

13.- 7 − x 6 + 6 x 3

14.- 2(a + b )2 + 7 (a + b ) + 3

15.- 3(x + y )2 + 8( x + y ) + 4

16.- 4 m2 + n − 4 m2 + n − 3

(

17.- 36a 2 + 12ab + b 2 19.- 9a 6 − 48a 3b 4 + 64b8

21.-

2m m2 +1− 9 3

Cochabamba-Bolivia

) ( 2

)

18.- 16m 4 + 40m 2 n + 25n 2 20.-

a2 + 2a + 4 4

22.-

12 pq p2 + 36q 2 + 25 5

Pág. 25


23.-

9a 2 25b 2 + − 3ab 25 4

24.-

9 x 2 12 xy 4 y 2 − + 49 35 25

25.- a 2m + 2a m+n + a 2n

26.- x 2 a + 2 x a y a +1 + y 2 a + 2

27.- m 2 x+2 + n 2 y −4 − 4m x+1n y −2

28.- p 2 a + 2 q 2 a + p 4 a + 2 q 2 a + 2 − 2 p 3a + 2 q 2 a +1

29.- 36 (x − 6 )2 + 84 (x − 6 )(x − 1) + 49 ( x − 1)2 30.- a 2 + 3a − 10 31.- x 2 − x − 110

32.- p 2 − 4 p − 45

33.- n 2 + 19n − 20

34.- c 2 − 6c − 40

35.- q 2 − 4q − 320

36.- a 2 + 23a + 132

37.- m 2 + m − 90

38.- y 6 − 24 y 3 + 143

39.- b12 + 16b 6 + 63

40.- m12 + m 6 − 156

41.- a 2 + 5ab − 24b 2

42.- c 2 − 4cd − 12d 2

43.- m10 − 2m 5 n 2 − 80n 4

44.- 5 x 2

45.- (m − 1)2 + 3(m − 1) − 108

46.- (x + y )2 − 18 ( x + y ) + 65 x 2

( )

2

( )

+ 24 5 x 2 + 128

Factorizar los siguientes polinomios: 1.- ax 2 − bx 2 + ay 2 − by 2

2.- m 2 − n 2 + m − n 2 m

3.- 6 x 2 − 15 xy − 2 x + 5 y

4.- 2 a 2 − 3 ab + 2 ab 2 − 3 b 3

5.- 2m 3 − 8am 2 − m + 4a

6.- 4 a 2 y 4 − 12 a 2 y 2 z − y 2 3 z

7.- 2 xy − 3 x + 4 y 4 − 6 y 3 − 6 y + 9

8.- 3a 3 + 2a 2b + 3ab 2 + 2b 3 − 15a 3b − 10a 2b 2

9.- m3 − m 2 n + 2mn2 − 2n 3 + 3m − 3n 11.- 3m3 + 4amn+ 4an2 −3mn2 − 4am2 −3m2n

Cochabamba-Bolivia

10.- x 2 y 3 − p 4 + a 2 x 2 y 3 − 5ax 2 y 3 − a 2 p 4 + 5ap 4 12.- 5a 3 − c 2 n − 15 ab 2 − a 2 n + 5ac 2 + 3b 2 n

Pág. 26


2.9 Regla de Ruffini Ejercicios Propuestos: Ruffini 1.- x 3 + x 2 − x − 1 2.- x 3 − 4 x 2 + x + 6 3.- a 3 − 3a 2 − 4a + 12 4.- m3 − 12m + 16 5.- 2 x 3 − x 2 − 18x + 9 6.- a 3 + a 2 − 13a − 28 7.- x 3 + 2 x 2 + x + 2 8.- n 3 − 7n + 6 9.- x 4 − 4 x 3 + 3x 2 + 4 x − 4 10.- x 4 − 2 x 3 − 13x 2 + 14x + 24 11.- 8a 4 − 18a 3 − 57a 2 + 46a + 120 12.- x 7 − 20 x 5 − 2 x 4 + 64 x 3 + 40x 2 − 128 13.- a 6 − 8a 5 + 6a 4 + 103a 3 − 344a 2 + 396a − 144 14.- x 6 − 41x 4 + 184x 2 − 144 15.- x 4 − 22x 2 − 75 2.10

Fracciones algebraicas: Simples y Compuestas

Ejercicios Propuestos: Fracciones algebraicas simples y Compuestas

Cochabamba-Bolivia

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1.-

15a 2 12ab

2.-

14m 3 n 3 p 2 − 7m 2 n 4 p 2

3.-

17 p 3 q 4 z 6 34 p 7 q 8 z 10

4.-

21ab 3c 6 35a 4b 2 c 2

5.-

p 3q − q 3 p p 2 q − pq 2

6.-

q3 +1 q 4 + q − q3 −1

7.-

ms − 2mt − 2nt + ns 2ms − mt − nt + 2ns

8.-

(d + 2 z )(6d 2 + 7dz − 3 z 2 ) (3d − z )(2d 2 − dz − 6 z 2 )

9.-

(c + 1)(2c − 3) − 4(c + 1) + (2c + 3)c + 1

10.-

y 2 a +1 − y 2 a z y a+3 − y a z 3

12.-

9m 2 − 24m + 16 9m 4 − 16m 2

11.-

2.11

d2 −9 d2 −d −6 Operaciones con fracciones

2.11.1 Suma y resta de fracciones algebraicas Ejercicios Propuestos: Suma y resta de fracciones algebraicas 1.-

3 4 3 + 2− 2m 5m 10m3

2.-

2 4 5 + 2− 3 p p p

3.-

a +1 a − 2 a −1 a + 3 − + − 3 4 6 2

4.-

2 y 2 + 1 4 x 2 − 3 2 xy − 2 − + 2 2 xy 3 x3 y x y

6.-

5m 2 − 2mn 6mn 2m − n + − 2 2 (m − n )(2m + n ) 4m − n m − n

8.-

y2 − y +1 y +1 2 − + 2 3 y −1 y −1 y + y +1

2ax − x 2 5.- 7 x − 3a − x

7.-

x2 x2 − x 1 4x2 + − − x 2 + 1 x − 1 x 4 − 1 ( x + 1) x 2 + 1

Cochabamba-Bolivia

(

)

Pág. 28


9.-

3 1 2 − 2 + 2 p − p − 2 2p − p − 6 2p +5p + 3 2

10.- −

7u u −3 u+2 − + 2 8u − 8 4u − 4 2u + 2

2.11.2 Multiplicación de fracciones algebraicas Ejercicios Propuestos: Multiplicación de fracciones algebraicas 1.-

28b 3 18d 3 25b 2 c 3 ⋅ ⋅ 15c 2 d 2 35b 5 21d 4

2.-

7 y 10 xy 2 6 xz 2 ⋅ ⋅ 12 x 2 3 z 5y

3.-

12 pq 35r 2 p 3 24q 3 ⋅ ⋅ r 12q 2 7 p 4

4.-

5a − 5b a + 2b ⋅ 3a + 6b a − b

5.-

8h + 20k hk − 3k 2 ⋅ h 2 − 3hk 12h + 30k

6.-

2 a (a + b ) ab 2 − b 3 12 a 2 b 2 ⋅ ⋅ 3b 2 8a 4 + 8a 3 b a 2 − b 2

7.-

x 2 y − xy 2 x 2 − y 2 y 2 ⋅ 2 ⋅ x+ y xy − y 3 x 2

8.-

2c 2 − 3c − 9 c 2 + 4c + 4 ⋅ 2c 2 − 5c − 3 4c 2 + 4c − 3

9.-

2u 2 + 3ux − 2x 2 2u 2 + ux − x 2 u − x ⋅ 2 ⋅ u 2 − x2 u + ux − 2x 2 2u − x

10.-

2

x − 1 (x − y ) ⋅ (x − y )3 x 3 − 1

4

⎡ xy ⎤ ⎡ x 2 + y 2 ⎤ ⎡ x + y x − y ⎤ 12 ⎤ ⎡10 − 3d ⎤⎡ + 1⎥ ⎢ + 12.- ⎢ 11.- ⎢ 2 + d − 2⎥ ⎢d + 2 − ⎥ 2 ⎥⎢ d + 1 ⎥⎦ ⎣ d +5 ⎦⎣ ⎣ x + y ⎦ ⎣ 2 xy ⎦⎣ x − y x + y ⎦

2.11.3 División de fracciones algebraicas Ejercicios Propuestos: División de fracciones algebraicas 1.-

2 p3 4 p2 ÷ 6 pq 2 2 pq 3

Cochabamba-Bolivia

2.-

4a + 2 2a + 1 ÷ 3a 5a Pág. 29


3.-

q 2 − q q 2 − 5q ÷ q −3 q −3

4.-

x 2 + 3x + 2 x 2 + 4 x + 4 ÷ x2 + 2x +1 x 2 −1

h 3 − 100h h 2 − 10h 5.÷ h 2 − 36 h+6

d 2 − 64 d 3 − 8d 2 + 16d 6.- 2 ÷ d − 25 d 2 + d − 20

4a 2 − b 2 7.÷ 4a 2 − 2ab a + 2b

9b 2 − 4c 2 8.- 3b bc − 2c ÷ 2c

(

9.-

)

(m − n )2 − x 2 ÷ m 2 + mn − mx (m + x )2 − n 2 (m + n )2 − x 2

11.-

2.12

10.-

x 2 z − xz z 3 + z 2 z2 ⋅ ÷ z 2 −1 x3 − x 2 z −1

⎡ 1 ⎤ ⎡ 3 ⎤ 13.- ⎢ ÷⎢ 2 + 1⎥ ⎥ ⎣d + 2⎦ ⎣d − 4 ⎦

15.-

(

2

2

)

u 2 − 2u uy 2 − uy u2 ⋅ ÷ y2 − y u2 − 4 u + 2

12.-

a3 + b3 a 2 + b 2 a 2 − ab + b 2 ⋅ ÷ a 2 + ab + b 2 a 2 − b 2 a 3 − b3

⎡ n2 ⎤ ⎡ n ⎤ + m + n⎥ ÷ ⎢1 − 14.- ⎢ ⎥ ⎣m − n ⎦ ⎣ m + n⎦

h2 − k 2 h3 + k 3 2h 2 + hk − k 2 ⋅ ÷ h 2 − hk + k 2 h 2 + 2hk + k 2 h 2 − hk − 2k 2 Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Ejercicios Propuestos: Ecuaciones de primer grado con una incógnita 1.- 16 x − 11 = 7 x + 70 2.- 4 y − 5 y + 13 − 3 y = 9 − 3 y − 12 y + 8 y 3.- 8 z − 51z + 15 − 30 z − 15z + 2 z = 53z + 15 + 31z + 2 z − 172 4.- 3 x − 5 x + 50 − 4 x + 51 − 33 = 100 − 5 x + 8 − 16 x − 100

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Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” 5.- 1,2 + 0,4 x − 2,5 = 0,6 x − 0,3 − 2,5 6.- 2,5 y + 0,26 y + 0,21 − 2 = −2,5 y + 0,04 y − 2 − 0,06 7.- x − (2 x + 1) − 8 + 3 = 3 − (3 x + 3) 8.- [− 5 y − ( y + 3)] + 2 y = 8 y + (− 5 y − 9 ) − y 9.- 2 z − (2 z + 1 ) + 4 z = − {− 3 z + [− (− 2 z − 1 )] − 2 z } ⎡x 1⎤ 1 10.- 4 ⎢ − ⎥ = (8 x + 6 ) ⎣2 4⎦ 2 ⎡2x 1 ⎤ 2 11.- 6 ⎢ − ⎥ − (2 x − 6 ) = − 5 6⎦ 3 ⎣ 3

12.- (x + 2 )( x − 1) + (− x )2 = (2 x − 1)( x + 2 ) − 4 13.- 1 + (3 − x )2 = ( x − 2 )2 14.-

3a 5a +5= +2 4 6

15.-

x − 2 12 − x 5 x − 36 − = −1 3 2 4

16.-

y+4 y−4 3y −1 − = 2+ 3 5 15

17.-

1 (3h − 4) + 1 (5h + 3) = 43 − 5h 7 3

18.-

1 (8 − d ) + d − 1 2 = 1 (d + 6) − d 6 3 2 3

19.-

y +3 y −2 y −3 y −7 − = − y +1 y + 2 y + 2 y +1

20.-

4 3 8 − = 2 x − 2 x +1 x − x − 2

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2.13

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Ejercicios Propuestos: Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 1.- x 2 − 5x + 4 = 0 2.- x 2 − 10x + 25 = 0 3.- 8 x 2 + 18x − 5 = 0 4.- 6 x 2 − 11x + 3 = 0 5.- 5x 2 + 2 x + 9 = 0 6.- x 4 + 18 = 17 x 2 1 1 1 1 − 2 = 2 − 2 7.- 2 x − 3 x − 5 x + 3 x +1 2

⎛ x −3⎞ x −3 =1 8.- 2⎜ ⎟ + x +1 ⎝ x +1 ⎠ ⎛ 2 x − 3 ⎞ 3(2 x − 3) =2 9.- 2⎜ ⎟ + x−4 ⎝ x−4 ⎠ 2

10.-

3(x + 3) 2 x − 1 + =4 2x −1 x+3

11.-

3(3x − 2) 4(2 x − 1) − +4=0 2x −1 3x − 2

12.-

x2 + 2 6x + 2 =7 x x +2

13.-

6− x + x = 4

14.-

5x + 9 − x + 1 = 4

15.-

2x + 3 − x − 2 = x + 1

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16.- 2 x 2 + 2 x − 3 x 2 + x + 3 = 3 2.14

Inecuaciones de primer grado y segundo grado

Ejercicios Propuestos: Inecuaciones de primer grado y segundo grado 1.- 2 x − 1 < x + 4 2.-

1 2 x 4 x+ ≥ + 3 5 5 3

3.-

4 >1 x

6 ≤2 x 14 3x 11 x 6 + ≥ + 5.- 2 x − ≤ 5 4 5 2 5 4.-

6.- 4 x + 5 ≥ 6 x − 13 7.- − 2 x + 7 > 6x + 19 8.-

5 (6m − 2 ) − 7 ⎛⎜1 − 2m ⎞⎟ < 4m + 2 ⎛⎜ m − 5 ⎞⎟ 8 3⎝ 3 ⎠ 3 ⎝ 2 12 ⎠

9.-

3y 7 y 1 7y − − > + 5 10 20 5 20

10.-

n +1 n 2n − 1 − > 1+ 4 3 6

11.- 20x 2 + 7 x − 6 > 0 12.- 2 x 2 − 5x − 12 > 0 13.- 18 y 2 − 13 y − 5 ≥ 0 14.- 20 x 2 − 9 x − 20 ≤ 0 Cochabamba-Bolivia

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15.-

x+2 x < 1− x 4 + x

16.-

x 3x > 2 3x + x − 2 x + 7 x + 6

17.-

3 5x ≥ x −1 1− x

18.-

5− x 3− x 4 ≤ − 2 x −9 x +3 x −3

19.-

x 2 − 5 x − 35 ≤0 x−4

2

20.- 9 x > x 2 + 14 21.- p 2 − 10 p + 24 > 0 22.- 18x 2 − 3x + 2 ≥ 6 x 2 + 2 x + 5 23.- 4 y 2 − 20 y + 25 > y 2 − 2 y + 10 24.- (x − 2 )2 − 3 x ≤ ( x − 1)2 25.- x 2 + 9 ≥ 6 x

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UNIDAD 3 LOGARITMOS

DEFINICIÓN Para poder entender este tema empecemos por un simple problema y veamos para que sirven estos elementos matemáticos. "En un criadero de conejos cada hembra tiene cinco crías cada tres meses de gestación, si contamos a la cría de una sola pareja, indicar cuantos conejos habrá en cinco períodos de cría: 1er Período 5

2do Período 5 + 5 = 10

3er Período 10 + 5 = 15

4to Período 15 + 5 = 20

5to Período 20 + 5 = 25

¿Qué hacemos para calcular la cantidad de conejos en cada período?, sencillamente a la cantidad de crías del período anterior le sumamos cinco. Si llevamos estos datos a un par de ejes cartesianos de manera que los períodos se ubiquen sobre las abscisas y la cantidad de crías en las ordenadas, a partir del gráfico, podemos indicar la cantidad de crías que tendrían en cualquier período.

Siendo "x" el número de períodos y "C(x)" la cantidad de crías ¿Cómo expresaríamos con una ecuación la cantidad de crías en función del tiempo (períodos)?. Los períodos sucesivos los encontramos sumando el anterior 5, o sea multiplicamos en número del período por cinco. C(x) = 5 x Cochabamba-Bolivia

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Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” b) Supongamos que ahora analizamos un cultivo de bacterias, las que se reproducen cada 0,2 seg. (Se dividen por la mitad). Completemos el cuadro de los primeros cinco períodos. 1er Período 2

2do Período 2.2 = 4

3er Período 4.2=8

4to Período 8 . 2 = 16

5to Período 16 . 2 = 32

¿Qué se hace para calcular la cantidad de bacterias en cada período? Nuevamente utilizamos la cantidad de individuos del período anterior, sólo que esta vez lo multiplicamos por 2. Si llevamos estos datos a un par de ejes cartesianos de manera que los períodos se ubiquen sobre las abscisas y la cantidad de bacterias en las ordenadas, a partir del gráfico, podemos indicar la cantidad de estos microbios que habría en cualquier período. La diferencia con el anterior es que tenemos que tener en cuenta que partimos de un individuo (que al partirse se convierte en dos).

En este caso la ecuación matemática a la que responde la división de las bacterias es diferente a la anterior de los conejos. Sigamos utilizando a la x para indicar el número del período. En el primer período tenemos 2, en el segundo 2 . 2 = 22 , en el tercero 2 . 2 . 2 = 23, si generalizamos tenemos que en el período "n" el número de bacterias es 2 n. Así que la ecuación es: C(x) = 2x Volvamos al problema de los conejos.

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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” emos 125 crías ¿cuá ántos perío odos han pasado? Utilizando U la ecuación n que Si tene encontramos: 5x = 125, desp pejemos, x = 125 / 5 = 25. Necessitamos 25 períodos. emos 512 bacterias ¿C Cuántos períodos han pasado? Si tene Utilicem mos la ecua ación: 2x = 512 Evidentemente el problema se complicca un poco o. Para enccontrar la respuesta r a esta ón debemos s hallar el exponente e a que está elevado al cuestió Primero o recordem mos algo de e aritmética:: Cuando o en primer año viste potencia se dijo que: "la base (a a) elevada al exponen nte (b) nos da como resu ultado igual que multip plicar "b" veces "a" ab = a1. a2. a3. a4 ... . ab = C ej: 7 3 = 7.7.7 = 34 43 Ahora estamos bu uscando ell exponente e al que esstá elevado, número que q pusiste en la fórmula a para halla ar la cantid dad de baccterias, parra ello nos vemos oblligados a buscar b una op peración ma atemática que q no cono ocías, el log garitmo. Por deffinición : Log a C = b únicam mente si a b = C (Se lee e " logaritmo o en base a de C ") De allí que para calcular c el período p en que q tenemo os 512 bactterias nece esitamos co onocer el expo onente al qu ue hemos elevado e a "2 2". Entoncces:

Por tan nto, el logaritmo de un númerro, en una base dada a, es el exp ponente al cual se deb be elevar la a base para a obtener el e número.. bamba-Boliv via Cochab

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¿Que es el logaritmo? El logaritmo es “EL EXPONENTE”

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Las propiedades de logaritmos nos facilitan la resolución de muchos ejercicios 1. Primera Propiedad de logaritmos El logaritmo de un número es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.

2. Segunda Propiedad de logaritmos El logaritmo de una fracción es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

3. Tercera Propiedad de logaritmos El logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.

4. Cuarta Propiedad de logaritmos El logaritmo de una raíz es igual uno dividido entre el índice de la raíz y multiplicado por el logaritmo de la cantidad subradical.

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5. Quinta Propiedad de logaritmos El logaritmo de un número en base el mismo número es igual a uno.

6. Sexta Propiedad de logaritmos El logaritmo de un número elevado a un exponente en base el mismo número sin el exponente es igual al exponente del número.

7. Séptima Propiedad de logaritmos El logaritmo de un número elevado a un exponente en base el mismo número elevado a otro exponente es igual al exponente del número dividido entre el exponente de la base.

8. Octava Propiedad de logaritmos El logaritmo de un número en base el mismo número elevado a un exponente es igual a uno dividido entre el exponente de la base.

9. Novena Propiedad de logaritmos El logaritmo de un número en base el mismo número elevado a un exponente fraccionario es igual a exponente fraccionario invertido.

10. Décima de las propiedades de Logaritmos El logaritmo de un número elevado a un exponente en base otro número elevado a otro exponente es igual al exponente del número entre el exponente de la base y ese cociente multiplicado por el logaritmo del número sin exponente en base el otro número sin exponente.

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11. Undécima de las propiedades de Logaritmos El logaritmo del número "uno" en cualquier base es cero.

12. Duodécima propiedad de Logaritmos El logaritmo de un número en base a otro número es igual a uno dividido entre el logaritmo de aquel otro número en base el primer número.

13. Décimo tercera propiedad de Logaritmos El logaritmo de un número en base un segundo número es igual al cociente entre el logaritmo del primer número en base un tercer número entre el logaritmo de el segundo número en base el tercer número. Esta propiedad de logaritmo se conoce como cambio de base.

14. Décimo cuarta propiedad de Logaritmos El logaritmo de una fracción en base un número cualquiera es igual a menos el logaritmo de la fracción invertida en la misma base.

15. Décimo quinta propiedad de Logaritmos Un número elevado a un logaritmo en base el mismo número es igual al número de logaritmo.

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16. Décimo sexta propiedad de Logaritmos El logaritmo de un número en base cualquier número es igual a el logaritmo del mismo número elevado a un exponente cualquiera en base la misma base elevado al mismo exponente al que se elevó el número.

ECUACIONES LOGARITMICAS Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo. Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta las propiedades de logarítmicos. Ejemplos:

CAMBIO DE BASE

Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido Cochabamba-Bolivia

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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” s pueden hacer convversiones de e una base e a otra de forma f senccilla. Para ello, es a que se útil la siguiente s fórmula que define d al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reale es positivoss y que tanto "b" como o "k" son diferentes de e 1):

en la que "k" es cu ualquier ba ase válida. Si S hacemoss k=x, obten ndremos:

En la práctica, p se emplea el logaritmo decimal, d que se indica como

, en cie encias

que ha acen uso de d las ma atemáticas, como la química en n la medid da de la acidez a (denom minada pH) y en físsica en ma agnitudes como la medida m de la lumino osidad (candela), del son nido(dB), de d la energ gía de un te erremoto (e escala de Richter), R ettc. En informá ática se usa a el logaritm mo en base e 2 la mayo oría de veces. Las pro opiedades de d los logaritm mos son un na base que e facilita aún más su re esolución. Ejemplo:

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ECUACIONES EXPONENCIALES Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente. Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta las propiedades de las potencias: a0 = 1 · a1 = a

= = √ am · a

n

= am+n

am : a

n

= am

(am)n = am

- n

· n

an · b

n

= ( a · b)

n

an : b

n

= ( a : b)

n

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Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” Ejemplos:

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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas”

CICIOS DIV VERSOS EJERC

Ejercic cios de log garitmos 1 Calcu ular por la definición d de logaritmo o el valor de e y. 1 2 3 4 5

2 Calcu ula el valor de x aplica ando la definición de lo ogaritmo. 1 2 3 4 5 6 7


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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” 3 Cono ociendo que e log 2 = 0.3010, calcu ula los siguientes loga aritmos deccimales. 1 2 3 4 4 Calcu ular los loga aritmos de de las exprresiones qu ue se indica an: 1 2 3 5 Calcu ula mediantte logaritmo os el valor de d x. 1 2 3

Resolv ver las ecu uaciones lo ogarítmicas s 1 2 3 4


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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” 5 6 7

8

9 10

Ejercic cio de cam mbio de bas se 1

Sabie endo que lo og2 8 = 3, calcular c log16 8

2

Sabie endo que lo og3 27 = 3, calcular log g9 27

3

Sabie endo que lo og 2 = 0,30 01030 y log 7 = 0,8450 098, calcula ar log7 2

Ejercic cios de ecu uaciones exponencia e ales y loga arítmicas

1 Resoolver las ecuaciones exponencial e les: 1 2 3 4 5 6 7


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2 Efecttuar las ecuuaciones exxponencialees: 1 2 3 4 5

3 Resoolver los sisstemas de ecuaciones e s exponenciiales: 1

2 3

4 Resoolver las ecuaciones loogarítmicass: 1 2 3 4 5

6


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5 Resoolver los sisstemas de eecuacioness logarítmicaas: 1 2 3 4


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UNIDAD 4 TRIGONOMETRIA 4.1.- CIRCULO TRIGONOMÉTRICO. La circunferencia trigonométrica es una circunferencia de radio uno, en la que se inscriben los ángulos, con el vértice en su centro. También en su centro se ubica el origen de un sistema de coordenadas ortogonales (x, y). En la circunferencia trigonométrica se considera que los ángulos están orientados; se atribuye un signo al sentido de giro: si los ángulos se miden desde el eje X, crecen positivamente en sentido contrario al de las agujas del reloj, pero, si se miden en sentido horario los ángulos serán negativos.

El punto P(x, y) está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo α con la parte positiva del eje X . Observe que al inscribir un triángulo rectángulo en la circunferencia unitaria, la hipotenusa de dicho triángulo siempre vale 1, es decir, √(x2 + y2) = 1. Además, los ejes cartesianos dividen el plano en 4 partes, llamadas cuadrantes, I C, II C, III C y IV C. En el primer cuadrante (I C) el ángulo es agudo, es decir 0 ≤ α ≤ 90º

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Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” En el segundo cuadrante (II C) el ángulo α está entre 90º y 180º es decir, 90º < α ≤ 180º En el tercer cuadrante (III C) el ángulo α está entre 180º y 270º es decir, 180º < α ≤ 270º. En el cuarto cuadrante (IV C) el ángulo α está entre 270º y 360º es decir, 270º < α ≤ 360º

4.2.- SISTEMAS DE MEDICION DE LOS ÁNGULOS. a) Sistema Sexagesimal. La unida de medida es 360ava parte de la circunferencia, donde cada uno se llama grado sexagesimal, y cada grado es divisible entre 60 partes o minutos y cada minuto es divisible entre 60 partes o segundos. b) Sistema centesimal. La unidad de media es la 400ava parte de la circunferencia, cada parte se llama grado centesimal, cada grado es divisible entre 100 partes o minutos y cada minuto es divisible entre 100 partes o segundos. Cochabamba-Bolivia

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c) Sistema Radial. La unidad de medida es un radián que es el ángulo central de una circunferencia al que le corresponde un arco de longitud igual al radio. Si 360º=2π radianes => 180º =π radianes de donde 1 radián = 180º/π = 57,30º

4.2.1.- Cambio de sistema. Se realiza atreves de la siguiente relación:

360°

=

400

=

á 2

.

4.3.- FUNCIONES Y RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. Consideremos el triángulo rectángulo de referencia AB = c: Hipotenusa AC = a: Cateto opuesto al ángulo α BC = d: Cateto adyacente al ángulo α Tomando en consideración el triángulo ABC y

el ángulo α,

pueden definirse las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo así: Se llama seno de α a la razón entre el cateto opuesto AC y la hipotenusa AB: Sen(α) = AC /AB Cochabamba-Bolivia

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Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” Se llama coseno de α la razón entre el cateto adyacente BC y la hipotenusa AB: Cos(α ) = AC /AB Se llama tangente de α a la razón entre el cateto opuesto AC y el cateto adyacente BC: Tan(α ) = AC /BC 4.3.1.- Razones trigonométricas recíprocas. Se llama cotangente de α a la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto: Cotg(α ) = CB/ AC Se llama secante de α a la razón entre la hipotenusa AB y el cateto adyacente BC: Sec(α ) = AB /BC Se llama cosecante de α a la razón entre la hipotenusa AB y el cateto opuesto AC: Csc(α ) = AB /AC 4.4.-

TEOREMA

DE

PITÁGORAS

E

IDENTIDAD

FUNDAMENTAL

DE

LA

TRIGONOMETRÍA. Consideremos el triángulo rectángulo mostrado en la figura. Apliquemos el Teorema de Pitágoras a dicho triángulo.

(Hipotenusa)2 = (Cateto)2 + (Cateto)2 De acuerdo al triángulo rectángulo ABC se tiene que: (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 , Luego, dividimos toda la igualdad por (AC)2 y nos queda: Cochabamba-Bolivia

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Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” (AC)2/(AC)2=(AB)2/(AC)2+(BC)2/(AC)2 Por la propiedad de la potenciación, se puede representar así: (AC/AC)2=(AB/AC)2+(BC/AC)2 Luego, según la definición de las razones trigonométricas se tiene que: Si AC es la hipotenusa, AB es el cateto opuesto del ánguloα y BC es el cateto adyacente del ánguloα, entonces: AB/ AC= Senα , BC /AC= Cosα Y por propiedad de inverso en la multiplicación: AC/AC=1 Por lo tanto, si se sustituye estas igualdades en la anterior, nos queda: 1 = (Senα)2 + (Cosα)2 De esta manera la expresión: (Senα)2 + (Cosα)2 = 1 representa la identidad fundamental de la trigonometría, en función al triángulo rectángulo y a uno de sus ángulos agudos.

Cochabamba-Bolivia

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4.5.- RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS. En base a lo anterior, podemos establecer las relaciones entre el ángulo que genera la rotación del segmento OP y las magnitudes del punto P(x, y).

Las seis relaciones trigonométricas para el ángulo α se definen en la siguiente tabla:

Cochabamba-Bolivia

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4.6.- IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Son igualdades que se evidencian para cualquier valor (ángulo) que se reemplace en una igualdad. Las siguientes identidades básicas pueden ser usadas en los problemas de demostración de identidades.

4.7.- ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.

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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” esolver una a ecuación n trigonomé étrica harem mos las tra ansformacio ones necessarias Para re para tra abajar con una sola fu unción trigo onométrica, para ello utilizaremos u s las identid dades trigonométricas fu undamentales. Ejemplos: a) Sen(2x+10)= S =Sen(130-x)) 2 2x+10=130 -x 2 2x+x=130-1 10 3x=120 x x=40°

b) 2Sen 2 x–1=0 2 2Sen x=1 S x=1/2 Sen x ArcSen ( ½) x= x x=30° 4.8.- RESOLUCIÓ ÓN DE TRIÁ ÁNGULOS S RECTÁNG GULOS. Para la a resolució ón de triáng gulos rectá ángulos se usa las ra azones trig gonométrica as de Seno, Coseno, C Ta angente y el e teorema de Pitágorras, ademá ás de record dar que la suma delos ángulos á de cualquier trriangulo es siempre 18 80°. a2=b2+c2 C=180° A+B+C Sen B = (b/a) Cos B = (c/a) Tag B = (b/c) bamba-Boliv via Cochab

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4.9.- RESOLUCIÓ ÓN DE TRIÁ ÁNGULOS S OBLICUÁ ÁNGULOS. Para la a resolución n de triángu ulos rectáng gulos se ussa la ley de e Senos, le ey de Cosen nos, y además de record dar que la suma s delos ángulos de e cualquierr triangulo es e siempre 180°. LEY DE SENOS:: en todo triangulo lo os lados so on directam mente prop porcionales a los senos de d los angu ulos opuesttos.

=

=

LEY DE E COSENO OS: en todo o triangulo el e cuadrado o de un lado o es igual a la suma de d los cuadrados de los otros dos la ados meno os el doble del d productto de estos por el cose eno del Ang gulo comprendido. c2=a2+bb2-2abCos C A+B+C C=180° 4.10.- RELACION R NES TRIGO ONOMÉTRIICAS DE LOS ÁNGUL LOS NOTA ABLES. Presen ntamos en la siguiente e tabla, los valores v de las relacion nes trigonom métricas pa ara los áng gulos notables: 0°, 30°°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°..


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4.11.- EJERCICIOS DIVERSOS. 1. Demostrar las identidades trigonométricas:

2. Demostrar las identidades trigonométricas:

Cochabamba-Bolivia

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3. Simplificar a la mínima expresión:

4. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:




Cochabamba-Bolivia

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9. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas.

10. Resolver los sistemas de ecuaciones trigonométricas.

11. Resolver las ecuaciones trigonométricas.

Cochabamba-Bolivia

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12. Resolver los siguientes triángulos rectángulos.

13. Resolver los siguientes triángulos rectángulos.

14. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos.

15. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos.

Cochabamba-Bolivia

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U UNIDAD 5 GEOMETRIA A ANALITICA PLANA A

s cartesian nas El Puntto5.1 Coordenadas El plan no cartesia ano es un sistema s de e referencia a respecto ya y sea a un solo eje (línea recta), respecto a dos eje es (un pla ano) o resspecto a tres ejes (en ( el esp pacio), ndiculares entre e sí (pla ano y espa acio), que se s cortan en e un punto o llamado origen o perpen de coo ordenadas. En el plano, las coorrdenadas no cartesian nas (o recta angulares) x e y se denominan abs scisa y ord denada, resspectivame ente.

S de coordenadas lineal Distancia entre dos puntos 5.1.1 Sistema Un pun nto cualquie era de una recta puede asociarse e y represe entarse con un número o real, positivo o si está situado a la derecha de un punto o O, y nega ativo si está a la izqu uierda. Dicho punto p se lla ama centro de coorden nadas O (le etra O) y se e asocia al valor v 0 (cerro). Este sistema de coordenada c as es un espacio vecto orial de dim mensión uno o, y se le pu ueden es correspo ondientes a espacios vectorialess. También se le aplicar todas las operacione r real. llama recta


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Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” La distancia entre dos puntos A y B es:

5.2 Distancia entre dos puntos Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede "nombrarse" mediante dos números: (x, y), que son las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, respectivamente, que son las distancias ortogonales de dicho punto respecto a los ejes cartesianos.

Sistema de coordenadas cartesianas. La ecuación del eje x es y = 0, y la del eje y es x = 0, rectas que se cortan en el origen O, cuyas coordenadas son, obviamente, (0, 0). Se denomina también abscisa al eje x, y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo (por ejemplo, las dos coordenadas del punto A serán positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas). Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

Cochabamba-Bolivia

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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” unto A será á: La posición del pu

ancia entre e dos puntos cualesquiera vendrá á dada por la expresió ón: La dista

5.3 Dis stancia de un punto a una recta a

L a d iss t a n c i a d e un p u n t o a u n a r e c t a e s l a lo ongitud del segmento p e r p e n d i c u l a r a l a r e c ta a , trazad a d e s d e e l p u n t o .

D i s t a n c i a a l o r i g e n d e c o o r d en n ad as


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D i s t a n c i a e n t r e rectas

P a r a h a ll a r la d i s t a n c i a e n t r e do o s r e c t a s paralela s , s e t om m a un pu n t o cualq u i e r a, P , de una de ellas y s e c a l c u l a s u d i s t a n c ia a a la otra recta. Otra manera de expresar la distancia d entre dos rectas es:

5.3.1 P e n d i e n t e d e u n a r e c t a


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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” La p e n d i e n t e d e una r e c t a e s l a t a n g e n t e d e l á n g u lo q u e f or m a la r e c t a c o n l a d irr ección p o s i t i v a d e l eje O X. X Pendien n t e d a d o e l á n g u lo o

Pendi ent e dad o e l v e c t o r d ir e c t o r d e l a re ecta Pendi ent e dad o s d o s pu untos

Si el á n g u l o q u e f o r m a l a r e c t a c o n l a p a r t e p o s itiv a de l e j e O X es a g u do o , l a p e n d i e n t e ess posi t i va a y cr ece a l c r e c e r el ángu l o .

Si el á n g u l o q u e f o r m a l a r e c t a c o n l a p a r t e p o s itiv a de l e j e O X es o b t us s o , l a p en n d i e n t e e s negat i v a y d e crr e c e a l c r e c e r e l á n g u l o .


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Ecu a c i ó n p un nto-pendiente P a r t ie e n d o d e l a e c u a c ió ó n c o n t i n u a de la r e c t a

Y quitt a n d o d e n o m i n a d o r e s :

Y des p e j a n d o :

Como

Se obtiene:

5.4 Parralelismo y Perpendiicularidad R c t a s p a r a l e l a s a l e j e OX Re X


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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” Un a r e c t a p a r a l e l a a l eje O X y de o r d e n a d a e n e l o r i g e n b s e exp r e s a m ed d i a n t e l a ecuación : y = b

Rect a s p ar a l e l a s a l e j e OY

Una r e c t a p a r a le la al e j e O Y y q u e c o r t a a l e j e O X en el p u n t o ( a , O ) s e e xp p r e s a m e diante la ecuació n : x = a E j e s d e c o o r d e n ad as


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Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” Los punt os que pertenecen al eje OX t i e n e n c o m o c a r a c t e r í s t i c a q u e su segunda coordenada es 0, la ecuación del eje OX es y = 0. Los punt os que pertenecen al eje OY t i e n e n c o m o c a r a c t e r í s t i c a q u e su primera coordenada es 0, la ecuación del eje OY es x = O.

Rectas p aralelas

Dos rectas son paralelas si tienen el m i s m o v e c t o r d i r e c t o r o l a m i s m a pendiente.

Rectas perpendiculares

Cochabamba-Bolivia

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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” Si doss r ec t as s o n p e r p e n d i c u l arr e s t i e n e n s us p e n d i e n t e s i n v er s a s y cambiadas de signo.

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.

5 . 5 An ngulo entre dos rectas

Se lla m a á n g u l o e n t r e d o s r e c t ass a l m e n o r d e l o s á n g u l o s q u e f o r m a n é s t a s . S e p u ed d e n o b t e n e r a p a r t i r de: 1 Sus v e c t o r es s directores

2 S u s p e n d i e ntt es


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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” L a s r e c t a s r y s se c o r t a n e n u n p u n t o A , q u e e s v é r t i c e d e u n t r i á n g u l o o b t u s á n g u l o e n A . D e t e r m i n a e l á n g u l o A d e e s e t riángulo .

5.6 La recta E c u ac ción general de la recta P a r t i e n d o de la e cuación c o n t i n u a l a r e c t a

Y q u i t an n do deno m i n a d o r e s s e o b t i e n e :

T r a s p o n i e n d o t érr m i n o s :

Hacie n d o

S e o b t ie e ne


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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” E s t a e x p r e s i ó n r e c i b e e l n om br e d e e c u a c i ó n g en neral o implícita de l a r ec c t a . De e s t a f o r m a s e a c oss t u m b r a a d a r l a r e s p u e s t a c u a n d o s e pide la a e c u a c ió ó n de un a r e c t a . L a s c o m p o n en n t e s d e l v e c t o r dii r ec t o r so on:

L a p e n d i e n t e d e l a r ec cta es:

H a l l a r la ecu a c i ó n d e l a r e c t a que pas a p o r A ( 1 , 5 ) y t i e n e c om mo vector director

igu al ( - 2 , 1 ) .

H a l l a r la ecu a c i ó n d e l a r e c t a que pas a p o r A ( 1 , 5 ) y t i e n e c om mo pendi e n t e m = -2.

Ecuac ción de la recta en forma explícita Si en la e c u a c i ó n g e n e r a l d e l a r e c t a :

d e s p e j a m o s y, s e o b t i en n e la ec u a c i ó n e x p l í c i t a d e l a r e c t a :


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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” E l c oe e f i c i e n t e d e la x ess l a p e n d i e n t e , m . E l t é r mino ind e p e n d i e n t e , b , s e lla m a o r denada e n e l o r ig gen de una r e c t a , siendo ( O , b) e l p u n t o d e c o r t e c o n e l e j e O Y

E c u ac ción de la recta que pasa por dos puntos

Sean los punt o s A ( x 1 , y 1 ) y B ( x 2 , y 2 ) q u e d e t e r m ina una r e c t a r . Un U v e c t o r d i r e c t o r d e l a r ecc t a es :

c u y a s c o m p o ne e n t e s s on n:

Sustit u y e n d o e s t o s v a lo o r e s e n la a f o rm a c o n t i n u a .

Incidencia Un p u n t o P ( p 1 , p 2 ) p e r t e n e c e a u n a r e c t a d e e c u a ción Ax + B y + C = 0 , c ua a ndo las c o o r d e n a d a s d e l p u n t o s a t i s f a c e n la a igualdad: Ap 1 + Bp B 2 + C = 0


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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” Cuan d o un pu n t o P p e r t e n e c e a u n a r e c t a r s e d icc e q u e r i ncide en P o que r pasa p o r P. An a l izz a s i l o s p unt os A ( 3 , 5 ) y B( B 0 , 1 ) pe e r t e n e c e n o no a l a r e c t a r ≡ x + 2 y - 13 = 0. 3 + 2 · 5 - 13 = 0

A

r

0 + 2 · 1 - 13 ≠ 0

B

r

Cuan d o d o s r e c t a s r y s t i e n e n u n p u n t o c o m ú n , se dice q u e t i e n e n u n pu u n t o d e i n tersecc i ó n . P a r a h a l l a r l a s c o o r d e n a d a s d e l p u n t o de e i n t e r s e c c i ó n d e d o s r e c t a s, s e r ess u e l v e e l s i s t e m a f o r m a d o p o r l a s do o s e c u a c io i nes de las rectas. ¿ H a l la a r e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n de las r e c t a s d e e c u a c i o n e s r ≡ 2 x y - 1 = 0 y s ≡ x - y + 1 = 0.

Posi c i o n e s r e l a t i v a s d e d o s r e c t a s Dadas dos rectas s, Ax + By + C = 0, A'x A + B'y + C' = 0, para calcula ar su posición relativa a tendremos s en cuenta a que:

1 Si, las rectas son secantes, se cortan en un punto.


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2 Si

, las r e c t a s p a r a l e l as s , n o s e c o r t a n e n n i n gú ún

punto.

3 S i , la l s r e c t a s s o n c o i n c i d e n t e s , t o d o s s u s p un n t o s s o n c o m u ne es.


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Ejemplos E s t u d i a l a s p o s i c i o n e s r e l a t i v a s d e l o s s i g u i e n t e s p a r e s d e rectas :

¿Son s e c a n t e s l a s r e c t a s r ≡ x + y - 2 = 0 y s ≡ x - 2 y + 4 = 0 ? E n c a s o a f i r m a t i v o c a l c u l arr e l p u n to o de corte. E c u ac ción de la mediatriz

a t r i z d e u n s e g m e n t o e s e l lugar g e o m é t r i c o d e lo o s p u n t oss d e l M e d ia plano q u e e q u i d i s t a n d e l o s e xt r e m o s . E c u ac ción de la mediatriz


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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” H a l l a r l a e c u a c ió n d e la a m ediat r iz d el se g m e n t o d e e x t r e m o s A ( 2 , 5 ) y B(4, -7).

E c u ac c i o n e s de e l a s b i se ectrices

Bisec t r i z d e u n á n g u l o e s e l l u g a r g e o m é t r i c o d e lo l s p u n t o s del pla n o que e q u i d i s t a n d e l a s r e c t as q ue e f o rm a n e l á n g u lo o. c i o n e s de e l a s b i se ectrices Ecuac


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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” Hallar

las

ecuaciones

de

la s

bisectrices

de

los

á n g u lo s

que

d e t e r m inan la s r e c t a s r ≡ 3 x - 4yy + 5 = 0 y s ≡ 6x + 8y + 1 = 0.

Ec u a c i ó n de e l a re c t a . R e s u m en E c u ac ción continua de la recta


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P e n dii e n t e P e n d i en n t e d a d o e l á n g ull o

P e n d i en n t e d a d o e l v e c to or director de la recta

P e n d i en nte dados dos puntos

E c u ac c i ó n p u n t o - p e n d i e n t e d e l a recta

E c u ac ción general de la recta

E c u ac c i ó n e x pll í c i t a d e l a r e c t a

E c u ac ción de la recta que pasa por dos puntos

Rect a s p ar a l e l a s a l e j e OX

Rect a s p ar a l e l a s a l e j e OY Rect a s p ar a l e l a s Dos r e c t a s s o n p a r a l e l a s s i t i enen el mi smo v e c t o r d i r e c t o r o l a m i s m a pendie n t e .


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Rect a s p er p e n d i c u l a r e s El v e c t o r v = (A, B) e s perpen d i c u l a r a la recta r ≡ A x .gi f + b y + C = 0. S i d o s o r e c t a s s o n p e r p e n d i c u l arr e s t i e n e n s u s p e n d i e n t e s i n ve ersas y cambiadas de signo.

Posi c i o n e s r e l a t i v a s d e d o s r e c t a s

1 S i , l as s r e c t a s s o n s e ca antes, se cortan en un punto. 2 Si n i n g ú n p u ntt o .

, las r e c t a s p a r a l e l a s , n o s e c o r t a n e n

3 S i , la a s r e c t as s s o n co o i n c i d e ntt e s , t o do o s s u s p u n t o s so on co m u n e s . Ángu l o q u e f o r m a n d o s r e c t a s Se llam a á n g u lo o de dos rectas al menor de los ángulos que f o r m a n é s t as s . S e p u e d e n o b t e n e r a p arr t i r d e : 1 S u s v e c t o r e s d i r e c t o r ess

2 Sus pendientes


Págg. 81


D i s t a n c i a d e u n p u n t o a u n a re ecta

D i s t a n c i a e n t r e rectas P a r a h a l l ar l a d i s t a n c i a e n t r e d o s en r e c t a s p a r a l e l a s , se t o m a u n pu u n t o c u a l q u i e r a , P , d e u n a d e e llas y c a l c u l a r s u d i stt a n c i a a l a o t ra re ecta.

E c u ac ción de la mediatriz

E c u ac c i o n e s de e l a s b i se ectrices

5.7 Lugares geométricos Definición de lugar geométrico Se lla m a l u g a r g e o m é t r i c o a u n c o n j u n t o d e p u n t o s q u e c u m p l e n u n a d e t e r m inada p r o p i e d a d . La pr o p i e d a d g e o m é t r icc a que d e f i n e e l l u g a r g e o m ét r i co , t ie n e q u e t r a d u c i r s e a l e n g u a j e a lg l ebraico de ecuaciones. Ejemplos de lugares geométricos

Mediatriz


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Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” M e d i a triz de u n s e g m e n t o e s e l l u g a r ge e o m é t r i c o de los p u n t o s d e l plano que equidistan de los extremos.

Ejemplo H a l l a r l a e c u a c ió n d e la a m ediat r iz d el se g m e n t o d e e x t r e m o s A ( 2 , 5 ) y B ( 4 , -7).

Bisectrices

B i s e c t r i z de u n ángulo o es el l u g a r g eo o m é t r i c o de los p u n t o s d el p l a n o q u e e q u i d i s t a n d e l a s r e c t a s q u e f o r m a n e l ángulo.

L a s do o s b i s e c t r i c e s s o n p e r p e n d ic ulares e n t r e s í .


Págg. 83


Ejemplo Hallar

las

ecuaciones

de

la s

bisectrices

de

los

á n g u lo s

que

d e t e r m inan la s r e c t a s r ≡ 3 x - 4yy + 5 = 0 y s ≡ 6x + 8y + 1 = 0.

H a l l a r l a s b i s e c t r i c e s d e los áng gulos que la recta r ≡ 3x - 4y + 3 = 0 f o r m a c on l o s e j e s c o o r denados


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EJERCICIOS

PROPUESTOS.

1. Escribe de posib les la recta que puntos A(1,2)

todas las formas ecuación de la pasa por l os y B(-2,5).

2 . De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0). Halla las coordenadas del vértice D. 3 . Clas ificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3,0) y C(6, 3). 4 . Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0. 5 . Estudiar la posic ión relativa de las rectas de ecuaciones: 1 2x + 3y - 4 = 0 2 x - 2y + 1= 0 3 3x - 2y -9 = 0 4 4x + 6y - 8 = 0 5 2x - 4y - 6 = 0 6 2x + 3y + 9 = 0 6 Hallar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1,5), y es paralela a la recta s ≡ 2x + y + 2 = 0. 7 Se t i en e el cu a d ri l áte ro ABCD cuy o s v é r t i c e s s o n A ( 3 , 0 ) , B ( 1 , 4 ) , C ( 3 , 2 ) y D (-1, -2). C o mprueba que es un paralelogramo y determina su centro. 8 Hallar la ecuac ión de la recta qu e pasa por el punto ( 2, - 3) y es paralela a la recta que une los puntos (4, 1)) y (-2, 2). 9 L o s p u n t o s A ( - 1 , 3 ) y B ( 3 , - 3 ) , son vértices de un t r iángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la rect a 2 x - 4 y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C. Cochabamba-Bolivia

Pág. 85

Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” 10 La r e c t a r ≡ 3x + ny - 7 = 0 p a s a p o r e l p u n t o A ( 3 , 2 ) y e s p a r a le ela a l a r e cta s ≡ m x + 2y - 1 3 = 0 . Ca C l c u l a m y n. 11 Da d o e l t r iá á n g u l o A BC, B de c oor dena d a s A ( 0 , 0 ) , B ( 4 , 0 ) y C ( 4 , 4 ) ; c a lcc u l a l a e c u a c i ó n d e l a m e diiana que p a s a p o r e l v é r t i c e B. 12De u n p a r a le l l o g r a m o se con o c e u n v é r t i c e , A( A 8 , 0 ) , y el punt o d e c o r t e de la s dos dia a g o n a l e s , Q ( 6 , 2)) . T a m b ié é n s abe m o s q u e o t r o v é r t i c e s e en n c u e n t r a en el ori g e n d e c o o r d e n a d a s . C a l c u l a r : 1 L o s o t r o s v érr t i c e s . 2 L a s ecuacio n es de lass d i a g o na a les . 3 La l o n g i t u d d e l a s d i a g o n a l e s . 5.8. Cirrcunferenc cia Se llam a cirr c u n f e r e n cia al l u g a r g e om m é t r i c o d e l o s p u n t o s de el plano q u e e q u i d i s t a n d e u n p u n t o fi f jo llamado centro.

Eleva n d o a l c u a d r a d o o b t e n e m o s l a e c u a c i ó n :

S i d ess a r r o l l a m o s :


Págg. 86

Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” y r e a l i z a m o s e s t os c a m b i o s : O b t en n e m o s o t r a f o r m a d e e s c r i b i r l a e c ua ación: Dond e e l c e n t r o e s :

y e l r a dio cum p l e l a r e la ación:

E c u a c ión redu c i d a d e l a c i r c u n fe f rencia Si e l c e n t r o d e l a c i r c u n f err encia c o in c id e c o o r d e n a d a s la a e c u a c ió ón queda reducida a:

con

el

origen

de

Ejercicio Nº 1 E s c r ib b i r l a e c u a c i ó n d e l a c i r c u n f e r e n c i a d e c e n t r o ( 3, 4 ) y radio 2.

E j e r cii c i o N º 2 Dada la circunferrencia de ecuación e x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio.

E j e r cii c i o N º 3 bamba-Boliv via Cochab

Págg. 87

Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” H a l l a r la ecu a c i ó n d e l a c i r c u n f e r e n c ia a q u e p a s a p o r los punt o s A( 2 , 0)) , B( 2 , 3 ) , C ( 1 , 3 ) . Si su s t i t u i m o s x e y en la ecc u a c i ó n c o o r d e n a d a s d e l o s p u n t o s s e ob btiene el sistema:

p o r l as

EJER C I C I O S PROPUE P S OS 5.8. ST 1. De D t e r m i n a la s cir c u n f e r e n c i a s :

c o o r d e n a d as

del

centro

y

del

radio

de

las

1 2 3 2. C a l c u l a l a e c u a c ió n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e t iene su c e n t r o e n ( 2 , 3 ) y e s t a n g e n t e a l e je de ab s c i s a s . 3. C a l c u l a l a e c u a c ió n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e t iene su c e n t r o e n ( - 1 , 4 ) y e s t a n g e n t e a l e j e d e o r d enadas . 4. C a l c u l a l a e c u a c i ó n de la c i r c u n f e r e n c i a q u e t i e n e s u c e n t r o e n e l pu n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e l a r e ctas x + 3 y + 3 = 0 , x + y + 1 = 0 , y s u radio es igual a 5. 5 . H allar la e cuac ión d e l a c i r c u n f e r e n c i a c o n c é n t r i c a c o n la ecu a c ió n , y qu u e pasa p o r e l p u n t o ( - 3 , 4 ) .


Págg. 88

Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” 6 . H a l l a r l a e c u a c ió n d e l a c irr c u n f e r e n c i a c i r c u n s c r i t a a l trián gul o d e vértices: A(0, 0), B(3, 1), C(5, 7). 7 . Lo o s e x t r e m os del d i á m et r o d e u n a c i r c u n f e r e n cia s on l o s p u n t o s A ( 5, 3 ) y B ( 3 , 1 ) . ¿ C u á l e s l a e cu u ación de e s t a c i r c u n f e r e n c ia? 8.

H llar Ha

la a

ec uac ión

de

la

cir c u n f e r e n c ia 4 y + 7 = 0.

c i r cu unferencia

c onc é n t r i c a

a

la

que sea tangente a la recta 3x -

9 . Ess t u d i a r la a pos ició n r e l a t i v a d e l a c irr c u n f e r e n cia x 2 + y 2 - 4 x + 2 y 20 = 0 c o n l a s r e c t ass : 1 . - x + 7y 7 -20 = 0 2.- 3x + 4y - 27 = 0 3.- x + y - 10 = 0

5.9. Pa arábola. La p a r á b o l a e s e l lu u g a r g e o m é t r i c o d e los pu untos del plano que eq u i d i s t a n d e u n p u n t o f i j o l l a m a d o f occ o y d e u n a r e c t a f ij a llam a d a dir e c t r i z .


Págg. 89


Elementos de la parábola.

F o c o . - Es el punto fijo F. F Di r e c t r i z . - Es E la recta fija d. Pa r á m e t r o . - Es la disttancia del fo oco a la dire ectriz, se designa por la letra p. Ej e . - Es la re ecta perpendicular a la a directriz que pasa po or el foco. Vé r t i c e . - Es s el punto de interseccción de la pa arábola con n su eje. Ra d i o v e c t o r . - Es un segmento que une un punto cua alquiera de e la parábolla con el fo oco. Ecuaciiones de la a parábola Con ell advenimie ento de la a geometría a analítica se inició un estudio o de las fo ormas geométricas basa ado en ecua aciones y co oordenadass. Una pa arábola cuy yo vértice esstá en el orrigen y su eje e coincide e con el eje de las ordena adas, tiene una u ecuación de la forrma y=ax2 bamba-Boliv via Cochab

Págg. 90

Universidadd Privada “D Domingo Savvio” “Funddamentos dee Matemáticaas” na parábola a cuyo eje es e vertical y su vértice e es (u,v) tie ene la forma La ecuación de un (y y-v)=a(x-u)2, Agrupa ando los térrminos y reo ordenando se obtiene e una forma a equivalentte: La ecuación de un na parábola a cuyo eje es e vertical es e de la forrma

.

Si la pa arábola es horizontal, h se obtienen n ecuaciones similares pero interrcambiando oy por x y viceversa. Así tendría amos: La ecuación de un na parábola a cuyo eje es e horizontal es de la forma . La ecuación de un na parábola a con vérticce en (0,0) y foco en (0 0,p) es

.

Ejercic cio Nº 1. Calcu l a r l a s co o o r d e n a d a s d e l v é r t i c e y d e l f o c o , y las ec u a c i o n e s d e la dir e c t r i z d e l a p a r á bo o la :

EJER C I C I O S PROPUE P S OS 5.9. ST


Págg. 91


1.

De eterminar,

en

f orr m a

r e du ucida,

la as

e c u a c ion e s

de

las

s i guientes

par á b o l a s , i n d i c a n d o e l v al o r d e l p a r á m e t ro , la a s c o o r de e n a d a s d e l foco y la e c u a c i ó n de la dir e c t r i z . . 1.2.3.2. D ett ermina la a s e c u a c io i nes de las parábolas que tienen: 1 . - De d i r e c t r i z x = - 3 , d e f o c o ( 3 , 0) . 2 . - De d i r e c t r i z y = 4 , d e vér t ice ( 0 , 0). 3 . - De d i r e c t r i z y = - 5 , d e f o c o ( 0 , 5) . 4 . - De d i r e c t r i z x = 2 , d e f o c o ( - 2 , 0). 3. Callc ul ar las c o o r d e n a d a s d e l v é r t i c e y d e l o s f o c o s , y la a s e c u a c ion e s d e laS d i r e c t r i c e s d e l a s p a r á b o la as: 1.2.3.4. Ha llar la e c u a c i ó n d e l a p a r á b o l a d e e j e v e r t i c a l y q u e p a s a por los pu n t o s : A ( 6 , 1 ) , B ( - 2 , 3 ), C ( 16 6, 6). 5. Dett e r m i n a la a e c u a c ió ó n de la p ar ábola q u e t ie n e p o r d ir e ctriz la r e c t a : y = 0 y p o r f o c o e l p u n t o ( 2 , 4). 6. Ca l c u l a r l a pos ición r e l a t i v a d e l a r ecc t a r ≡ x + y - 5 = 0 r e s pe ecto a la par ábola y 2 = 1 6 x . 7. Es c r i b e l a e c u a c i ó n d e l a p a r á b o l a d e e j e p a r a le l l o a O Y, Y vértice en OX y qu e p a s a p o r l o s p u n t o s A (2, 3) y B(-1 , 1 2 ) . 8. De t e r m i n a la a e c u a c ió ó n de la p ar ábola q u e t ie n e p o r d i r e ctriz la r e cta: x + y - 6 = 0 y p o r f o co e l orige n d e c o o r d e n a d a s .

5 . 1 0 Elipse. E bamba-Boliv via Cochab

Págg. 92


Es el l u g ar g eo o m é t r ic o de los pu untos del plano cuya suma de distancias i llam a d o s f o c o s es c o nss t a n t e . a d o s p u n t o s f ijos

Elemen ntos de la elipse Foco os.- Son los s puntos fijo os F y F'. Eje fo ocal.- Es la a recta que pasa por lo os focos. Eje secundario s o o imagina ario.-Es la mediatriz m del segmentto

.

Centro.- Es el punto p de inttersección de d los ejes.. Vértic ces.- Son los puntos de interseccción de la elipse e con los ejes: A,, A', B y B'. . Radio os vectore es.- Son loss segmento os que van n desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF' Dista ancia focal.-Es el segmento

de longitud d 2c.

Eje mayor.m Es el segmentto

de longitud l 2a, a es el va alor del sem mieje mayo or..

Eje menor.m Es el segmentto

de longitud 2b b, b es el va alor del sem mieje meno or.

Ejes de simetríía.- Son las rectas que e contienen al eje mayyor o al eje menor. Centro de Sime etría.- Coin ncide con el e centro de e la elipse, que es el punto p de in ntersección de loss ejes de siimetría.


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Relació ón entre la a distancia a focal y los s semiejes s

Ecuuaciones de la elipse La ecuación de un na elipse en n coordena adas cartesianas, con centro en el e origen, ess:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes s de e la elipse (a correspo onde al eje de las abscisas, b al eje e de las ordenadas). El origen O es la mitad m del se egmento [F FF']. La disttancia entre lo os focos FF F' se llama distancia focal f y vale 2c = 2ea, siendo e la a excentriciidad y a el sem mieje mayo or. Si el ce entro de la elipse e se encuentra en n el punto (x ( 1, y1), la ecuación e ess:

Ejercic cio Nº 1.La diss t a n c i a f o cal de u n a e l i p s e es 4 . Un n punt o d e la e lip s e dist a d e s u s focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elips e .


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EJER C I C I O S PROPUE P S OS 5.10. ST 1. Re p r e s e n t a g r á f i c a m e n t e y d e t e r m i n a las coo r d e n a d a s d e los f o c o s , d e l o s v é r t i c e s y l a e x c e n t r i c i d a d d e l a s s ig i u i e n t e s e l i p s es .

1.2.-

3.2 . Re p r e s e n t a g r á f i c a m e n t e y d e t e r m i n a las coo r d e n a d a s d e los f o c o s , d e l o s v é r t i c e s y l a e x c e n t r i c i d a d d e l a s s ig i u i e n t e s e l i p s es . 1.2.3. H alll a l a e c u a c i ó n d e la elips e c o n o c i en ndo: 1.2.3.4. Ha l l a r E s c r ibe i la ec u a c i ó n r e duc ida d e la elip s e q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 2 , 1) y cuyo o e j e m e n o r m id e 4 . 5. Es cribe la e c u a c i ó n r e d u c id d a d e l a e l i p s e q u e p a s a por los p u n t o s :

. 6. Ha l l a r l a s c oor dena d as del p u n t o m ed d io de la c u e r d a q u e i n t err c e p t a l a r e c t a : x + 2y y - 1 = 0 e n la elip s e d e e cu u a c i ó n : x 2 + 2 y 2 = 3..


Págg. 95


7. De t e r m i n a la a e c u a c ió ó n r e d u c id d a d e u n e l i p s e c u y a d i s t an ncia focal es y ell á r e a d ell r e c t á n gu u l o c o n s t r u i d o s so obre los ejes 80 u2.. 8. Dett e r m i n a l a e c u a c ió ó n r e d u c i d a d e u n a e li p s e s a b i e n d o que un o de los v é r t i c e s d i s t a 8 de u n f o c o y 1 8 d e l o t r o. 9. Ha ll l a l a e c u a c i ó n r e d u c i d a d e u n a e l ip p s e sabie n d o q u e p a s a p o r el punto ( 0 , 4 ) y s u e x c e n t r ic id dad es 3/5

5.11. Hipérbola. H Una hiipérbola es una seccción cónica a, una curvva abierta de dos ram mas obtenida al cortar un u cono recto por un plano obliccuo al eje de d simetría –con ángu ulo menor que q el de la generatriz re especto del eje de revo olución

l geom métrico de e los punto os del plano cuya diferencia d d distanc de cias a Es el lugar dos pu untos fijos llamados focos es constante. c

Elemen ntos de la hipérbola Foco os.- Son los s puntos fijo os F y F'. Eje fo ocal.- Es la a recta que pasa por lo os focos. bamba-Boliv via Cochab

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Eje secundario s o o imagina ario.-Es la mediatriz m del segmentto

.

Centro.- Es el punto p de inttersección de d los ejes.. Vértic ces.- Los puntos p A y A' A son los puntos p de in ntersección n de la hipérbola con el e eje focal. Los puntos p B y B' se obtie enen como intersecció ón del eje imaginario i con la circunferencia que tiene por ce entro uno de e los vértice es y de radio c. Radio os vectore es.- Son lo os segmentos que va an desde un u punto de d la hipérbola a los focoss: PF y PF'. Dista ancia focal.-Es el segmento

de longitud d 2c.

Eje mayor.m Es el segmentto

de longitud l 2a.

Eje menor.m Es el segmentto

de longitud 2b b.

Ejes de e simetría..- Son las re ectas que contienen c a eje real o al eje imag al ginario.

Asínto otas.- Son la as rectas de ecuacion nes: Relació ón entre lo os semiejes Ecuaciiones de la a hipérbola a Ecuacio ones en co oordenadas s cartesian nas: Ecuació ón de una hipérbola con c centro en e el origen n de coorde enadas

Ecuació ón de una hipérbola con c centro en e el punto


Págg. 97


Ejercic cio Nº 1.Repr e s e n t a g r á f i c a m e n t e y d e t e r mina las c o o r d e n a d a s d e l c e n t r o , d e l o s f occ o s , d e lo o s vértic e s y l a exxc e n t r i c i d a d d e l a s i g u i e n t e h i p é r b o l a :


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EJER C I C I O S PROPUE P S OS 5.11. ST 1. Re e p r e s e n t a g r á f i c a m e n t e y d e t e r m in n a l a s c o o r d e n a d as el f o c o , d e l v é r t i c e y l a e x c e n t r icc i d a d d e l a s i g u i e n t e h i p é r b o l a .

2. H alll a r l a e cu u a c i ó n d e u n a h i pé é r b o l a d e e j e f o c a l 8 y dist a n c i a f occ a l 1 0 . 3. El e j e f o c a l de una h ipér bola m i d e 1 2 , y l a c u r v a p a s a p o r e l p u n t o

P(8,

14 ) . H a l l a r s u e c u a c i ón. 4. Ca lc l u l a r l a e c u a c i ó n r e d u c i d a d e la h i p é r b o l a c u y a d i s t a n c i a f occ al es 34 y la a d i s t a n ciia d e u n f o c o a l vé értice más próximo es 2. 5. De e t e r m i n a l a e c u a c ió n r e du u c i d a d e u n a h i p é r b o l a q u e p a s a por los pu n t o s

.

6. De t e r m i n a l a e c u a c ió ón reducida de una hipérbola que pasa por el punto y s u e xc entrici d a d e s 7. Dett e r m i n a l a e c u a c ió ó n r e d u c i d a d e u n a h ip é r b o l a s a b ie endo que un foco dis t a d e l o s v é r t i c e s de la hip é r b o l a 50 0 y 2. 8. De t ermina la a posició n r e l a t i v a d e la r e cta x + y - 1 =0 c on r es p e c t o a l a hip é r b o l a x 2 - 2 y 2 = 1 . 9. De t ermina la a posició n r e l a t i v a d e la r e cta x + y - 1 =0 c on r es p e c t o a l a hip é r b o l a x 2 - 2 y 2 = 1 .


Págg. 99


UNIDAD 6 MATEMATICA APLICADA PROPORCIONALIDAD

6.1 .1 RAZÓN Es la comparación de dos números mediante la división. En general, si los números son a y b; la razón se anota: ó a:b; donde:

a se denomina antecedente b se denomina consecuente

Así: La razón entre 6 y 2 se anota 6:2; donde 6 es el antecedente, 2 es el consecuente y el valor de la razón es 3. Ejercicios 1.- Halla el valor de la razón de: 1) 546 y 13 2) 5,265 y 0,81 3) 5 1 y 2 3 24

4

4) 6 4 y 8,8 5 5) 30,75 y 3 1 5 2.- Calcula el antecedente, si el valor de la razón es: 6) 7; y el consecuente es 3 7) 2,8; y el consecuente es 2,5 8) 9/4; y el consecuente es 7/3

3.- Calcula el consecuente, si el valor de la razón es: 9) 21; y el antecedente 147 10) 4,2; y el antecedente 6,3 11) 11/2; y el antecedente 121/20 Cochabamba-Bolivia

Pág. 100


6.1.2 PROPORCIÓN La igualdad de dos razones se llama proporción. En general, se lee m es a n como p es a z =

;

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. En general, si la proporción es: =

;

:

. = .

Ejercicios 1.- Verifica si las siguientes expresiones son proporciones, aplicando la propiedad fundamental 1)

=

2)

,

3)

, ,

4)

= =

, , , ,

=

5)

=

2.- Halla el valor desconocido 6) 7)

= , ,

8) 9) 10) 11)

= =

, , ,

= = =

Cochabamba-Bolivia

Pág. 101


12)

=

13)

=

14)

=

15)

,

, , ,

=

, ,

6.1.3 REPARTO PROPORCIONAL En general, para todo reparto proporcional: Si: x; y; z son las partes proporcionales del total que corresponden a a; b; c respectivamente, y N el total a repartir, se tiene: =

=

=

+

+

;

=

+

+

Ejercicios 1) Repartir 45 en partes directamente proporcionales a 2; 3 y 4. 2) Repartir 106 en partes directamente proporcionales a 7; 15 y 31. 3) Repartir 130 en partes directamente proporcionales a ; ; 4) Repartir 33 en partes inversamente proporcionales a 1; 2 y 3 5) Repartir 649 en partes inversamente proporcionales a ; ; ; 6) Repartir 357 en partes inversamente proporcionales a 17; 20; 38; 44. 7) Repartir 123 en partes inversamente proporcionales a 8; 3 y 9. 8) Repartir 204 en partes inversamente proporcionales a 1 ; 1 . 9) Se reparten Bs. 26 en parte inversamente proporcionales a las edades de 3 niños de 2; 3 y 4 años respectivamente. ¿Cuánto toca a cada uno? 10) 3 muchachos tienen: Bs. 80 el primero; Bs. 40 el segundo; y Bs. 30 el tercero. Convienen en entregar entre todos Bs. 30 a los pobres, contribuyendo cada uno en .proporción a lo que tiene. ¿Cuánto aporta cada uno? 11) Un padre dispone que al morir, su fortuna que está constituida por una casa valuada en Bs. 48000 y dos automóviles valuados en Bs. 1500 cada uno, se reparta entre

Cochabamba-Bolivia

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Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” sus tres hijos "de modo que el mayor tenga 8 partes de la herencia; el mediano 6; y el menor 3. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? 12) Se reparten 238 canicas entre 4 niños en partes inversamente proporcionales a sus edades que son 2; 5; 6; y 8 años respectivamente. ¿Cuántas canicas recibirá cada uno? 13) 3 socios tuvieron una ganancia de Bs 6600. ¿Qué beneficio correspondió a cada uno, si el primero puso Bs 22000; el segundo Bs 12000;"y el tercero Bs 26000? 14) Repartir Bs 90 entre A; B; y C de modo que la parte de B sea el doble de la de A; y la de C el triple que la de B. 15) Repartir Bs. 240 entre A; B; y C; de tal modo que la parte de C sea los de la de B; y la de A sea igual a la suma de las partes de B y C. ¿Cuánto recibe cada uno? 16) Se reparten Bs y 1230 entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades que son 9; 8; y 3 años respectivamente. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

6.2 REGLA DE TRES

6.2.1 REGLA DE TRES SIMPLE Los problemas en los cuales intervienen dos magnitudes proporcionales se llaman problemas de regla de tres simple y se resuelven mediante proporciones. La regla de tres es la operación que permite calcular el cuarto término de una proporción cuando se conocen tres. La parte del problema que contiene los datos conocidos se llama supuesto y la parte del problema que contiene el dato desconocido se llama pregunta. Para resolver problemas mediante regla de tres simple, anotamos el supuesto en una línea la pregunta; teniendo cuidado que las magnitudes semejantes queden en una misma columna. Si las magnitudes son directamente proporcionales se escribe una proporción respetando el orden de las razones; si las magnitudes son inversamente proporcionales se escribe una proporción invirtiendo una de las razones.

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Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” Ejemplo 1: 12 panes cuestan Bs. 24. ¿Cuántos panes se comprarán con Bs. 6? Así, el problema anterior se plantea y resuelve de la siguiente manera:

Planteo y solución Supuesto:

12 panes → Bs. 24

Pregunta:

x panes → Bs 6

La proporción es:

las magnitudes son directamente proporcionales.

=

Resolviendo: 12 . 6 = 24 . x X = 3 panes Ejemplo 2: 10 hombres hacen una pared en 8 días. ¿En cuántos días harían la misma pared 20 hombres? Planteo y solución Supuesto: 10 hombres → 8 días Pregunta: 20 hombres → La proporción es:

í =

Resolviendo:

í

10 . 8 = 20 . x X = 4 días

Ejercicios 1) Por transportar una mercadería se ha pagado Bs. 51,80, ¿cuál es la distancia recorrida si por 150 Km. se ha pagado Bs. 37? 2) Una

cuadrilla

trabajando

6

de horas

obreros diarias.

ha

hecho

¿En

una

cuántos

días

obra

en

habrían

20 hecho

días la

obra si hubieran trabajado 8 horas diarias? 3) Tres motores consumen 720 litros de combustible en 70 horas de funcionamiento; ¿para cuántas horas menos alcanzará esa misma cantidad de combustible si funcionan cinco motores de la misma clase? . 4) Si una vara de 2,15 m de longitud da una sombra se 6,45. ¿Cuál es la altura de una torre cuya sombra, a la misma hora es de 51m?

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Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” 5) Quería comprar 7 docenas de libros que importan Bs. 1470, ¿cuántos libros me darán si falta Bs. 385? 6) 15 obreros hacen una pared en 12 días. ¿En cuántos días harían la misma pared 20 obreros? 7) Para cercar un campo se necesitan 225 rollos de alambre de púas de 300 m cada uno. ¿Cuántos rollos se habrían precisado si hubieran sido de 450 m cada uno? 8) Una guarnición de 1300 hombres tiene víveres para 4 meses. Si se quiere que los víveres duren 10 días más, ¿cuántos hombres habrá que rebajar en la guarnición? 9) 16

obreros

necesitan

30

días

para

acabar

una

obra,

¿cuántos

días más necesitarán 6 obreros? 10) ¿Cuánto tiempo se necesita para llenar un depósito de 520 Kl., si en 39 minutos se llenan los 3/4 del mismo? 11) Dos números están en relación de 19 a 17. Si el menor es 289, ¿cuál es el mayor? 12) Una mesa tiene 6m de largo por 1,50 m de ancho. ¿Cuánto se debe disminuir la longitud, para que sin variar la superficie, el ancho sea de 2m? 13)

Una

tela

tiene

será

la

25,75m longitud

de de

largo otra

y

pieza

90cm de

de tela,

pieza

ancho. de

la

de

¿Cuál misma

superficie, cuyo ancho es de 75 cm.? 14)

9

pueden más

hacer

harían

falta

una para

obra

en

hacerla

5

misma

días. obra

¿Cuántos en

un

día?

hombres hombres ¿Cuántos

hombres menos para hacer la obra en 15 días? 15) Ganando Bs. 4,25 en cada metro de tela, ¿cuántos metros se han vendido si la ganancia ha sido de Bs. 1063,35? 16) Con 4 Kg. de harina se hacen 6kg de pan. ¿Cuántos Kg. de pan se pueden hacer con 4 bolsas de harina de 75 Kg. cada una? 17) 6.2.2. REGLA DE TRES COMPUESTA

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Pág. 105

Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” 18) Los problemas en los cuales intervienen más de dos magnitudes proporcionales se llaman problemas de regla de tres compuesta y se resuelven mediante proporciones. 19) Ejemplo: Una familia conformada por 6 personas consume en 2 días 3 Kg. de pan; ¿cuántos Kg. de pan serán consumidos en 5 días, estando 2 personas ausentes? 20) Planteo y solución 21) 6 personas → 2 días → 3 Kg. 22) 4 personas → 5 días → x kg. 23) La proporción es:

=

24) Resolviendo:

=

25)

∙

í

∙

í

X = 5 Kg

Ejercicios 1) 6

hombres

obra

trabajando

en

12

8

horas

días.

diarias

¿Cuántos

han

días

hecho

120m

necesitarán

de

una

8

hombres

10

días

trabajando 10 horas diarias para hacer 150m de la misma obra? 2) Una razón 400

guarnición de

3

hombres,

de

1600

raciones ¿cuántos

hombres

diarias días

tiene

cada durarán

víveres

hombre. los

Si

víveres

para se a

refuerzan razón

a con

de

2

raciones diarias cada hombre? 3) 12 hombres en 9 jornales de 8 horas han tejido 1170m de tela, ¿cuántos m de tela tejerían 18 obreros en 16 jornales de 7 horas? 4) Un obrero emplea 9 días trabajando 6 horas diarias en hacer 270m de una obra. ¿Cuántas horas deberá trabajar ese obrero para hacer otra obra de 300m; si la dificultas de la primera a la segunda obra están en relación de 3 a 4?

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Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” 5) Para hacer 7 trajes se necesitan 19,60m de una pieza de tela de 0,85m de ancho. ¿Cuántos metros de tela de 0,95m de ancho se necesitarían para hacer 19 trajes iguales a los anteriores? 6) Veinte obreros, trabajando 12 horas diarias hicieron 60m de una obra en 18 días. ¿Cuántos m harán 9 obreros en 6 días, trabajando 8 horas diarias? 7) Dos hombres han cobrado Bs. 350 por un trabajo realizado por ambos. El primero trabajó durante 20 días a razón de 9 horas diarias y recibió Bs. 150. ¿Cuántos días a razón de 6 horas diarias trabajó el segundo? 8) 360 obreros, trabajando 6 horas diarias empedraron una calle de 315 m de largo y 12m de ancho en 14 días. ¿Cuántos obreros se necesitarían para empedrar otra calle de 250m de largo y 8m de ancho, trabajando 8 horas diarias durante 25 días?

6.2

TANTO POR CIENTO (%)

Se llama tanto por ciento (%) a una o varias de 100 partes iguales en las que se ha dividido una cantidad. El 100% de una cantidad es la misma cantidad. Ejemplo: Si un juguete cuesta Bs. 120. ¿Cuánto me rebajan si tiene un descuento del 15%?

Bs

%

120

100

; a menos % menos Bs., son magnitudes directamente proporcionales.

x

15

Por tanto, el problema se puede plantear y resolver como problema de regla de tres simple.

Planteo:

120 Bs → 100% X

Solución:

→ 15% =

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Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” X . 100 = 120 . 15 X = 18 Bs Ejercicios 1)

Halla el 15% de 760

2)

¿De qué número es 50 el 0,4%?

3)

¿Qué % de 8400 es 147?

4)

¿De qué número es 907,5 el 21% más?

5)

¿De qué número es 920 el 54% menos?

6)

Halla el 25,6% de 1700

7)

¿De qué número es 140

8)

¿Qué % de 5,6 es 0,007?

9)

¿De qué número es 16 el 1/4%?

10)

¿De qué número es 514,71 el 1/4% menos?

11)

¿De qué número es 216,54 el 1/4% más?

12)

¿Qué % de 1600 es 8 0?

13)

¿De qué número es 196 el 0,56%?

14)

¿De qué número es 336 el 12% más?

15)


16)

¿Qué % de 48 es 3?

17)

¿Qué % de 93 es 0,186?

18)

¿De qué número es 920,49 el 1% más?

19)


20)

Por la venta de un libro a Bs 59 el ejemplar, se cobra el 30% de comisión. ¿Cuánto recibe el autor por cada libro?

21)

Vendiendo un libro en Bs 10,80 se gana el 20% del costo. ¿Cuánto costó el

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Universidad Privada “Domingo Savio” “Fundamentos de Matemáticas” libro? 22)

La edad de Jorge es un 32% menos de la edad de Carlos. Si Jorge tiene 34 años, ¿qué edad tiene Carlos?

23)

Tenía 160 libros; vendí el 25% cada uno a Bs 150,30; el 20% del resto cada uno a Bs 60,40; y lo restante cada uno a Bs 110. ¿Cuánto recibí en total?

24)

Habiendo salido el 4.2% de los alumnos de un colegio, permanecen en el mismo. 116 alumnos. ¿Cuántos alumnos habían en el colegio?

25)

¿Qué número aumentado en su 21% equivale a 605?

26)

Una persona tenía Bs 950 gastó el 14%; prestó el 15% del resto, ¿cuánto le queda?

27)

Al vender una casa en Bs 75000 se pierde el 25% del costo. ¿Cuánto había costado la casa?

28)

Un hombre ahorró el año pasado Bs 3380, que era el 13% de sus ganancias anuales. ¿Cuánto ganó en el año?

29)

Un ganadero vendió el 36% de sus reses y se quedó con 160. ¿Cuántas reses tenía?

30)

Un hombre dispone que al morir su fortuna que asciende a Bs 20000; se entregue el 35% a su hijo mayor; el 40% del resto a su hijo menor; y lo restante a un asilo. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

31)

Comprando un traje que costó Bs 365; gasté el 25% de mi dinero. ¿Cuánto tenía?

32) 33)

Se vende el 20% de una finca de 80ha; se alquila el 50% del resto; y se cultiva el 25% del nuevo resto. Hallar la porción cultivada.

34)

De los 125 alumnos de un colegio el 36% son extranjeros. ¿Cuántos alumnos nativos hay?

35)

Un agente recibe Bs 728 de comisión por la venta de 4 automóviles. Si su comisión es el 7%, ¿cuál era el precio de cada automóvil?

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BIBLIOGRAFIA: CHUNGARA Castro, Víctor Trigonometría y geometría Editorial Leonardo La Paz 2008 GUTIERREZ F, Pedro A. La práctica del cálculo diferencial e integral (Vol. I) Editorial “Jisunú” Santa Cruz 1991 U.N.E.F.A. Fundamentos de Matemática UNEFA Caracas 2008

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ÍNDICE UNIDAD 1 ARITMETICA------------------------------------------------------------------------- Pág. 1

UNIDAD 2 ALGEBRA ---------------------------------------------------------------------------- Pág. 8

UNIDAD 3 LOGARITMOS----------------------------------------------------------------------- Pág. 34

UNIDAD 4 TRIGONOMETRIA-----------------------------------------------------------------

Pág. 49

UNIDAD 5 GEOMETRIA ANALITICA--------------------------------------------------------- Pág. 62

UNIDAD 6 PROPORCIONES--------------------------------------------------------------------

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