ESCUELA POLITECNICA NACIONAL INGENIERIA EN ELECTRONICA Y CONTROL
Curso: GR5; 406 Fecha: 11 de julio de 2016
Funciones hiperbólicas !ui"n #escubrió las $unciones hiperbólicas%
El matemático, físico, astrónomo y filósofo o!ann "einric! #am$ert %1&2'(1&&&) Entre sus más *randes a+ortaciones, demostró ue el n-mero . es irracional usando el desarrollo en fracción continua de la función tan*ente/ am$in !io a+ortes al desarrollo de la *eometría !i+er$ólica 3siendo el +rimero en introducir las funciones !i+er$ólicas3 y de la astronomía, desarrollando un mtodo +ara calcular las ór$itas de los cometas y el teorema de #am$ert/ Por &u" se crearon las $unciones 'ri(ono)"'ricas hiperbólicas%
or la necesidad de !acer cálculos no +eriódicos ya ue en las funciones tri*onomtricas, los alores del seno, coseno, tan*ente y demás se re+iten des+us de 2+i radianes, un ejem+lo +ráctico es en el uso de las +osiciones *eo*ráficas donde las distancias son muy lar*as y se necesitan estas funciones !i+er$ólicas/ !u" son las $unciones hiperbólicas% 1
#as funciones !i+er$ólicas son unas funciones cuyas definiciones se $asan en la función e+onencial, conectando mediante o+eraciones racionales y son análo*as a las funciones tri*onomtricas/ Estas son7
#a definición de función !i+er$ólica e+lica ue todas son de+endientes de la función trascendente,
8e sa$e e+resamente como la función real e si se elea a *, donde e corres+onde al n-mero de Euler y ue tendrá como dominio de definición al es+acio de los reales, teniendo tam$in la
+eculiaridad de ue su deriada es corres+ondiente a la función misma/ 9eamos a!ora, las funciones circulares euialen a funciones trascendentes elementales o sea auellas funciones ue no son al*e$raicas las cuales no son de+endientes de la función e+onencial en el ám$ito de los n-meros reales/ 8in em$ar*o, ya ue se o$tiene a +artir de la fórmula de Euler, en el ám$ito de los n-meros com+lejos no sucede lo mismo/
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or esta raón todas las funciones circulares e !i+er$ólicas son de+endientes de la función e+onencial com+leja/
#a función e+onencial com+leja +uede definirse como la serie de +otencias ue etiende la función e+onencial real o sim+lemente función real %n+)ero #e Euler eleado a *) al es+acio de
los
n-meros
com+lejos/
Esta serie es coner*ente en todo el es+acio de los n-meros com+lejos/ ara las funciones !i+er$ólicas se cum+len ciertas fórmulas correlatias a las formulas corres+ondientes a funciones circulares
9eremos a continuación los dominios y *ráficas de las funciones tri*onomtricas !i+er$ólicas/
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Seno hiperbólico
Cosecan'e hiperbólica %inverso de seno hiperbólico )
Coseno hiperbólico
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Secan'e hiperbólica %inverso de coseno hiperbólico )
Tan(en'e hiperbólica 5
Co'an(en'e hiperbólica %inerso de an*ente !i+er$ólica)
:e la fórmula $ásica, ue sería la si*uiente
Es +osi$le o$tener las dos relaciones si*uientes7
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8imilarmente se o$tienen rá+idamente otras relaciones ue +ermiten la manifestación de una función
+or
raón
de
otra
de
i*ual
ar*umento/
Uso , Aplicaciones #e las Funciones -iperbólicas
na !i+r$ola es una forma matemática ue o$tienes cuando cortas erticalmente u do$le cono/
#os sistemas de satlites +ueden !acer muc!o uso de las !i+r$olas y las funciones !i+er$ólicas/ >uando los científicos lanan un satlite al es+acio, +rimero de$en usar ecuaciones matemáticas +ara +redecir su camino/ :e$ido a las influencias de la *raedad de o$jetos de masa +esada, el camino del satlite es ses*ado, incluso aunue al +rinci+io sean lanados con un camino recto/ sando las !i+r$olas, los astrónomos +ueden +redecir el camino del satlite +ara !acer ajustes de forma ue el satlite lle*ue a su camino/ Ra#io
#as se=ales de los sistemas de radio em+lean funciones !i+er$ólicas/ n sistema de radio im+ortante, #?R@A, identifica +osiciones *eo*ráficas usando !i+r$olas/ #os científicos y los 7
in*enieros esta$lecieron las estaciones de radio en +osiciones de acuerdo con la forma de una !i+r$ola +ara +oder o+timiar el área cu$ierta +or la se=al de una estación/ #?R@A +ermite a las +ersonas localiar o$jetos en un área más am+lia y ju*ó un +a+el im+ortante durante la 8e*unda Guerra
#a !i+r$ola tiene asociada una im+ortante ecuación matemática7 la relación inersa/ >uando un incremento en un ras*o conduce a un detrimento en otro o iceersa, la relación se +uede descri$ir como una !i+r$ola/ Graficar una !i+r$ola lo muestra inmediatamente7 cuando el alor de BB es +eue=o, el alor de ByB es *rande, y iceersa/
#os o$jetos dise=ados +ara su uso con los ojos usan muc!o las !i+r$olas/ Estos o$jetos incluyen microsco+ios, telesco+ios y teleisiones/ @ntes de ue +uedas er una ima*en clara de al*o, necesitas enfocarla/ us ojos tienen un +unto de enfoue natural ue no te +ermite er cosas muy cercanas o muy lejanas/ ara er cosas como +lanetas o micro$ios, los científicos !an dise=ado o$jetos ue enfocan la lu en un sólo +unto/ Estos dise=os usan a las !i+r$olas +ara reflejar la lu en un +unto focal/ >uando usas un telesco+io o un microsco+io colocas tu ojo en un +unto focal $ien +laneado ue +ermite ue la lu de los o$jetos inisi$les se enfoue de forma ue los +uedas er/
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ECUACIONES
Ecuaciones $un#a)en'ales
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/eri.ación:
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In.ersas #e las $unciones hiperbólicas con sus #eri.a#as
Relación con la $unción e*ponencial 10
0I0LIOGRAFIA: a&u1 pe(as los lin2s , pones recupera#o #e: lin2 Recupera#o #e: h''p:33)a'e)a'ica4la(uia56664co)3(eneral3$unciones7hiperbolicas h''p:33h')l4rincon#el.a(o4co)3$unciones7hiperbolicas894h')l
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