Capítulo 1
Funciones hiperbólicas 1.1. 1.1.
Funcion unciones es hiperbólic hiperbólicas as direct directas as e invers inversas as
A causa de la semejanza que existe entre la circunferencia y la hipérbola, se plantea la cuestión de si habrá un conjunto de magnitudes o funciones que se correspondan con la hipérbola de la misma manera que las funciones circulares se corresponden con la circunferencia. Esas funciones existen y se denominan funciones hiperbólicas, es decir, seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólico, etc. Se representan por Senhx, Coshx, Tanhx, etc, aludiendo la letra h a la hipérbola. En la figura, se ha dibujado un cuadrante M N P de la circunferencia x2 + y 2 = a2 y de la hipérbola
x2 y2 = a2 , y para un punto cualquiera P de ambas curvas la abscisa es x = 0Q, la ordenada es y = QP y el radio es a = 0 M . En el caso de la circunferencia, cuando θ es el ángulo circular Q0P ,
−
las funciones circulares son: Senθ =
y , a
C os osθ =
x , a
etc.
Análogamente, una vez definido convenientemente el ángulo hiperbólico ϕ, las funciones hiperbólicas son: y x Senhϕ = , Cos Coshϕ = , etc. a
a
Sin embargo, como el ángulo hiperbólico no es el ángulo ordinario Q0P deberemos proceder a su definición. Con este objeto comenzaremos por desarrollar una importante propiedad de la circunferenci cunferencia. a. Designemos Designemos por u el área del sector circular M 0P . Puesto que el área de un círculo es igual a 12 (radio longitud de la circunferencia) circunferencia), el área de un sector circular será igual a
·
1
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 1 2 (radio
2
· longitud del arco), siendo el arco aquella parte de la circunferencia que limita al sector.
Por lo tanto, en la figura
1 a(arcoMP ). 2 Pero cuando θ = ∠M 0P , se verifica que arcoMP = aθ. Por consiguiente, reaA =
A=
1 2A a(aθ), donde θ = 2 2 a
(1.1)
Es decir, que en toda fórmula cuando aparece un ángulo circular se puede sustituir por el área del sector correspondiente al ángulo multiplicada por a1 . Por este motivo se llama a veces a A ángulo sectorial, y la magnitud theta expresada en función de A por medio de la relación θ = 2aA es el correspondiente ángulo circular. 2
2
Utilizando el ángulo circular así expresado, las funciones circulares de la circunferencia serán, pues, y = Sen 2aA a x = Cos 2aA a
2
2
En el caso de la hipérbola, no se usa el ángulo ordinario M 0P , y el ángulo hiperbólico se define como 2aA , en que A es el área del sector hiperbólico M 0P de la figura y a = 0M . Las funciones hiperbólicas quedan entonces definidas por las fórmulas 2
y a x a
= Senh 2aA = Cosh 2aA 2
(1.2)
2
en las que x y y son las coordenadas de un punto P de la hipérbola equilátera. Las demás funciones hiperbólicas se definen como sus análogas de trigonometría circular y entre ellas existen las mismas relaciones como, por ejemplo, Tanhϕ =
Senhϕ , Coshϕ
C otϕ =
Coshϕ , Senhϕ
etc.
Si recordamos que al hablar del ángulo hiperbólico correspondiente a un determinado punto P de la hipérbola equilátera, no nos referimos al ángulo ordinario M 0P como en el caso de la circunferencia, sino el ángulo hiperbólico, podremos escribir, como en (1.1) para la circunferencia, para el ángulo hiperbólico correspondiente al área A del sector: ϕ=
2A a2
(1.3)
y las fórmulas (1.2) se pueden escribir
y a x a
= Senhϕ = Coshϕ
(1.4)
que corresponden a las fórmulas corrientes de las funciones circulares. El resto de las funciones hiperbólicas se expresan en función del radio a y de las coordenadas x y y , por medio de las relaciones ya conocidas. Existen muchas, interesantes y útiles relaciones entre las funciones hiperbólicas, cuyo conjunto forman lo que a veces se llama trigonometría hiperbólica. Las funciones exponenciales e hiperbólicas, están estrechamente relacionadas, tienen enorme importancia en electricidad, principalmente
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
3
en telefonía, telegrafía, cables de transmisión, y también en la teoría de la máquina de vapor, motores de gasolina, compresores de aire, y en muchas otras ramas de la física y de la físico-química. Como vamos a ver ahora, las funciones hiperbólicas están estrechamente relacionadas con el número e. El área A = M 0P M en el caso de la hipérbola equilátera, está dada por 1 A = a2 loge 2
x+y a
De aquí, loge
x+y a
y según la fórmula (1.2), resulta
=
2A a2
x+y =e a
⇒
2A a2
x+y = eϕ a
(1.5)
Ahora bien, la ecuación de la hipérbola es 2
x
−y
2
− ⇒ x+y a
2
=a
x
y
a
=1
Si dividimos miembro a miembro esta ecuación y la (1.5), se obtiene x
1
−y =
eϕ
a
⇒
x
−y = e
−ϕ
a
Esta ecuación y la (1.5) se pueden escribir: x y + = eϕ a a x a
− ya = e
−ϕ
Restando miembro a miembro (1.7) de (1.6), los términos 2y a
= eϕ
−ϕ
−e
(1.6)
⇒
(1.7) x a
1 y = (eϕ 2 a
se reducen, y se obtiene −ϕ
−e
)
(1.8)
Análogamente, sumando miembro a miembro las ecuaciones (1.6) y (1.7) se obtiene 1 x = (eϕ + e−ϕ ) 2 a
(1.9)
Ahora bien, en las ecuaciones (1.8) y (1.9) y en las ecuaciones (1.4), x y y son las mismas coordenadas de un punto P de la hipérbola y a es el radio hiperbólico. Comparando esas ecuaciones, tendremos Senhϕ = 12 (eϕ e−ϕ ) (1.10) Coshϕ = 12 (eϕ + e−ϕ )
−
y mediante estas ecuaciones podremos, gracias a las relaciones ya conocidas, expresar también la tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólicas en función de las funciones exponenciales. Estos son los resultados que buscábamos al investigar las relaciones que existen entre las funciones hiperbólicas y el número e.
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
4
Gracias a estas ecuaciones podremos expresar directamente las funciones hiperbólicas de un número cualquiera, en función de las funciones exponenciales, sin hacer ninguna referencia a la hipérbola, y eso es lo que se suele hacer frecuentemente. Hay que sobrentender, sin embargo, que la relación hiperbólica, se use explícitamente o no, es la base de las ecuaciones. Despejando en las ecuaciones (1.10) eϕ y e−ϕ , se pueden expresar también las exponenciales en función de las funciones hiperbólicas. En efecto, sumando primero las dos ecuaciones se eliminan las exponenciales negativas, y restando la primera de la segunda, se eliminan los términos positivos, teniendo así los resultados eϕ = Coshϕ + Senhϕ (1.11) e−ϕ = Coshϕ Senhϕ
−
Esas dos notables fórmulas dan la función exponencial e±ϕ en función de las funciones hiperbólicas.
1.1.1.
Función seno hiperbólico
El seno hiperbólico se define en
R,
con la fórmula f (x) =
1 x (e 2
−x
−e
)
Dado que
1 (−x) 1 1 x [e (e e−(−x) ] = (e−x ex ) = e−x ) = f (x) 2 2 2 la función f (x) = Senhx es impar, monótona creciente desde hasta + . El origen de coordenadas es un punto de inflexión y el centro de simetría de la curva. No tiene asíntotas. La inversa de f (x) = Senhx, se establece de la siguiente manera: f ( x) =
−
−
−
− − −∞
−
∞
Figura 1.1: f(x)=Senhx y f(x)=AreaSenhx
1 y = (ex 2
−x
−e
de donde
)
⇒
2x
e
x
− 2ye − 1 = 0 ⇒
AreaSenhx = ln x +
Dado que
±
x = ln y
1 + x2 , x
1 + y2
∈R
f ( x) = AreaSenh( x) =
−AreaSenhx = −f (x) la función f (x) = AreaSenhx es impar, monótona creciente desde −∞ hasta +∞. El origen de −
−
coordenadas es un punto de inflexión y es el centro de la simetría de la curva. Carece de asíntotas.
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Ejemplo
1.1
5
Determine el dominio de la siguiente expresión:
f (x) = Senh
2x2 4x2
− 1 − Sen x + 1 6x2 − x − 1 −1
Solución La expresión está determinada si se cumple lo siguiente: 4x2
− 1 = 0 ⇒
(2x
− 1)(2x + 1) = 0 ⇒ x = − 12
− 1)(3x + 1) = 0 ⇒ x = − 13 Por lo tanto, el dominio de la función es: x ∈ R\ − 12 , − 13 , 12 . 6x2
1.1.2.
− x − 1 = 0 ⇒
(2x
Función coseno hiperbólico
El coseno hiperbólico se define en
R,
1 2
y x=
y x=
1 2
con la fórmula 1 x (e + e−x ) 2
f (x) =
Dado que
1 −x 1 1 (e + e−(−x) ) = (e−x + ex ) = (ex + e−x ) 2 2 2 la función f (x) = Coshx es par; para x < 0 decrece desde + hasta 1, para x > 0 crece desde 1 hasta + . f ( x) =
−
∞
∞
Tiene un mínimo en el punto (0, 1): no tiene asíntotas. La curva está situada simétricamente con respecto al eje Y . La inversa de f (x) = Coshx, se establece de la siguiente manera:
Figura 1.2: f(x)=Coshx y f(x)=AreaCoshx
1 y = (ex + e−x ) 2
⇒
2x
e
− 2ye
x
+1=0
de donde
−
AreaCoshx = ln x +
x2
1 , x
≥ 1.
⇒
± −
x = ln y
y2
1
(AreaCoshx > 0es valor principal)
La expresión f (x) = AreaCoshx no es par ni impar, es biforme y existe sólo para los valores de x 1. La curva es simétrica con respecto al eje X ; en el punto (1, 0) es tangente a la recta vertical x = 1, después y crece en valor absoluto.
≥
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Ejemplo
1.2
6
Demuestre la siguiente propiedad
Cosh2 x
− Senh2x = 1
Solución 2
Cosh x
2
− Senh x
=
ex + e−x
= = Ejemplo
1.3
ex
−x
−e
2
2 2 −2x x −x e + 2e e + e e2x 2ex e−x + e−2x 4 4 2x + 2 x −x + −2x 2x + 2 x −x e e e e e e e e−2x 4 x −x 4e e = 1. 4 2x
=
2
−
−
− −
−
Demuestre la siguiente propiedad
Senh(x + y ) = SenhxCoshy + CoshxSenhy
Solución Para demostrar esta propiedad, utilizaremos las identidades establecidas anteriormente para el Senhx y Coshx. ex e−x ey + e−y ex + e−x ey e−y + SenhxCoshy + CoshxSenhy = 2 2 2 2 ex ey + ex e−y e−x ey e−x e−y ex ey ex e−y + e−x ey e−x e−y = + 4 4 ex ey + ex e−y e−x ey e−x e−y + ex ey ex e−y + e−x ey e−x e−y = 4 2ex ey 2e−x e−y ex+y e−x+y = = = Senh(x + y ). 4 4
−
− −
−
Ejemplo
·
− −
− −
− −
· −
−
1.4
Demuestre la siguiente propiedad
Senh2x = 2SenhxCoshx
Solución Para demostrar esta propiedad, utilizaremos las identidades establecidas anteriormente para el Senhx y Coshx: −x
x
−x
x
· e −2 e · e +2e e e +e e −e e −e 2 e2 − e 2 = Senh2x.
2SenhxCoshx = 2
x −x
x x
=
−
x
=
1.1.3.
−x
x
x
2
Función tangente hiperbólica
La tangente hiperbólica se define en
R,
de la siguiente manera:
f (x) =
ex e−x ex + e−x
−
−x −x
e
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
7
Dado que f ( x) =
−
e−x e−(−x) e−x ex = = e−x + ex e−x + e−(−x)
−
−
x
−x
x
−x
− ee −+ ee
=
−f (x)
la función f (x) = Tanhx es impar, monótona creciente desde -1 hasta + 1. El origen de coordenadas es un punto de inflexión y es el centro de simetría de la curva. Tiene dos asíntotas: y = 1. La inversa de f (x) = Tanhx, se establece de la siguiente manera:
±
Figura 1.3: f(x)=Tanhx y f(x)=AreaTanhx
ex e−x y= x e + e−x
−
⇒
de donde
2x
e
1+y = 1 y
1 x = ln 2
− ⇒
1+y 1 y
−
1 1+x 1 < x < 1. AreaTanhx = ln , 2 1 x La expresión f (x) = AreaTanhx es impar y existe sólo para los valores de x < 1; desde hasta + es monótona creciente. El origen de coordenadas es un punto de inflexión y es el centro de simetría de la curva. Tiene dos asíntotas: x = 1.
−
∞
Ejemplo
1.5
−
||
−∞
±
Demuestre la siguiente propiedad
Tanh(x + y ) =
Tanhx + Tanhy 1 + TanhxTanhy
Solución Para probar esta identidad, utilizaremos las fórmulas deducidas anteriormente para Senhx y Coshx: Sen (x + y) SenhxCoshy + CoshxSenhy = Tanh(x + y ) = Cosh(x + y) CoshxCoshy + SenhxSenhy = =
SenhxCoshy+CoshxSenhy CoshxCoshy CoshxCoshy+SenhxSenhy CoshxCoshy
1
Senhx + Senhy Coshx Coshy Senhx Senhy + Coshx Coshy
·
=
Tanhx + Tanhy . 1 + TanhxTanhy
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
1.1.4.
8
Función cotangente hiperbólica
La Cotangente hiperbólica se define en
\{0}, de la siguiente manera:
R
ex + e−x f (x) = x e e−x
−
Dado que f ( x) =
−
e−x + e−(−x) e−x + ex = = e−x ex e−x e−(−x)
−
−
x
−x
x
−x
− ee +− ee
=
−f (x)
la función f (x) = Cothx es impar, para x = 0 tiene una discontinuidad. Para x < 0 decrece desde -1 hasta , para x > 0 decrece desde + hasta +1. No tiene extremos ni puntos de inflexión. Tiene tres asíntotas: x = 0, y = 1. La inversa de f (x) = Cothx, se establece de la siguiente manera:
−∞
∞
±
Figura 1.4: f(x)=Cothx y f(x)=AreaCothx
ex + e−x y= x e e−x
e
y+1 = y 1
1 AreaCotx = ln 2
−
de donde
⇒
2x
− ⇒
x+1 x 1
1 x = ln 2
y+1 y 1
−
x>1 ó x<
−1 . La función f (x) = AreaCothx es impar y existe sólo para los valores de |x| > 1. Para −∞ < x < −1 decrece desde 0 hasta −∞, para +1 < x < +∞ decrece desde +∞ hasta 0. No tiene extremos ni puntos de inflexión. Tiene tres asíntotas: y = 0, x = ±1. Ejemplo
1.6
−
,
Demuestre la siguiente propiedad
AreaCothx = AreaTanh
1 x
Solución Para probar esta identidad, se procede de la siguiente manera: 1 AreaCothx = ln 2
x+1 x 1
−
1 = ln 2
1+ 1
1
−
x
1
x
1 = AreaTanh . x
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
1.1.5.
9
Función secante hiperbólica
La Secante hiperbólica se define en
R,
de la siguiente manera:
f (x) =
Dado que
ex
2 + e−x
2 2 2 = = = f (x) e−x + ex ex + e−x e−x + e−(−x)
f ( x) =
−
la función f (x) = Sechx es par; para x < 0 crece desde 0 hasta 1, para x > 0 decrece desde 1 hasta 0. Tiene un máximo en el punto (0, 1). No tiene extremos, la curva está situada simétricamente con respecto al eje Y . Tiene una asíntota: y = 0. La inversa de f (x) = Sechx, se establece de la siguiente manera:
Figura 1.5: f(x)=Sechx y f(x)=AreaSechx
2 y= x e + e−x
⇒
ye
2x
x
− 2e
+y =0
⇒
x = ln
± − 1
1
y
y2
1
de donde AreaSechx = ln
1
x
1
+
x2
−1
0
,
≤1
(AreaSechx > 0es valor principal)
la función f (x) = AreaSechx no es par ni impar y existe sólo para los valores de 0 < x 0 < x 1 decrece desde + hasta 0. No tiene asíntotas.
≤
1.1.6.
∞
Función cosecante hiperbólica
La Cosecante hiperbólica se define en
\{0}, de la siguiente manera:
R
f (x) =
Dado que f ( x) =
−
2 −x
e
−(−x)
−e
=
2 ex
−x
−e
2 −x
e
−
ex
=
− e −2 e x
−x
=
−f (x)
≤ 1. Para
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
10
Figura 1.6: f(x)=Cschx y f(x)=AreaCschx
la función f (x) = Cschx es impar; para x < 0 decrece desde 0 hasta , para x > 0 decrece desde + hasta 0. No tiene extremos, la curva está situada simétricamente con respecto al origen. Tiene dos asíntotas: y = 0, x = 0. La inversa de f (x) = AreaCschx, se establece de la siguiente manera:
−∞
∞
y=
2 ex
−x
−e
⇒
ye
2x
x
− 2e − y = 0 ⇒
de donde AreaCschx = ln
x = ln
1
x
+
1
x2
+1 ,
± 1
1
y
y2
+1
x = 0.
la función f (x) = AreaCschx es impar; para x < 0 decrece desde 0 hasta , para x > 0 decrece desde + hasta 0. No tiene extremos, la curva está situada simétricamente con respecto al origen. Tiene dos asíntotas: y = 0, x = 0.
−∞
∞
1.2. 1.
Tarea
Demuestre las identidades: a) Sech2 x + Tanh2 x = 1; b) Coth2 x Coth2 x = 1; c) SenhxSenhy = 12 [Cosh(x + y ) Cosh(x y )]; d) SenhxCoshy = 12 [Senh(x + y) + Senh(x y )]; e) CoshxCoshy = 12 [Cosh(x + y) + Cosh(x y)]; f) Senh(x y ) = SenhxCoshy CoshxSenhy; g) Cosh(x + y ) = CoshxCoshy + SenhxSenhy; h) Cosh(x y ) = CoshxCoshy SenhxSenhy.
−
−
− −
2.
− − −
− −
Demuestre las identidades: a) (Coshx + Senhx)n = Coshnx + Senhnx ; b) Coshnx = 12 [(Coshx + Senhx)n + (Coshx c) Senhnx = 12 [(Coshx + Senhx)n (Coshx
−
3.
n
− Senhx) ]; − Senhx) ]. n
Utilizando las igualdades Senhn x =
1 x (e 2n
−e
−x
)n ;
Coshn x =
1 x (e + e−x )n . 2n
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
11
Demuestre: a) Cosh3 x = 14 Cosh3x + 34 Coshx; 1 5 b) Senh5 x = 16 Senh5x 16 Senh3x + 58 Senhx.
−
4.
Simplifique las expresiones: a) (CosxCoshy + iSenxSenhy)2 (CosxSenhy + iSenxCoshy)2 ; b) (xCosht + ySenht)2 (xSenht + yCosht)2 .
−
−
5.
Demuestre las identidades: a) AreaCschx = AreaSenh x1 ; b)
6.
AreaSechx = AreaCosh x1 .
Demuestre la identidad: Cosh2x = Cosh2 x + Senh2 x = 2Cosh2 x
− 1 = 1 + 2Senh2x 7. Sea f (x) = AreaCoshx, x ≥ 1 una función inversa a f (x) = Coshx, x ≥ 0. Demuestre que la función 2Cosh , x ≥ 1, 3 f (x) = 2Cos −1 ≤ x < 1 . , 3 es inversa a la función f (x) = 12 (x3 − 3x), x ≥ 1.
8.
ArcCosx
Determine el dominio de las funciones: a) b) c) d) e) f) g) h)
9.
AreaCoshx
x + Senhx ; f (x) = 2 x + Cosh2 x
−
1 x ; 1+x f (x) = Cosh(x + Senhx); f (x) = Tanh(AreaTanhx); 1 Senhx ; f (x) = 1 + Senhx f (x) = AreaTanh
−
f (x) =
√ 1Tanhx ; + Senhx
x + Senhx ; f (x) = x + Coshx Cosh2x 1 ; f (x) = Cosx 1
i)
f (x) =
j)
f (x) =
k) l) m) n)
− −
Determine la paridad de las funciones: (1 + Senhx)(1 + Coshx) a) f (x) = ; 3 + Tanh2 x 1 1 b) f (x) = + ; 1 + Senhx 1 + Cosh2 x c) f (x) = x3 Coshx + 3x2 Senhx; d) f (x) = SenhxCoshx + x(Senh2 x + Cosh2 x); CoshxSenx + CosxSenhx e) f (x) = ; 2 Cosh x
f) f (x) = SenxSenhx + CosxCoshx; g) f (x) = SenxSenhxCosxCoshx; h) f (x) = Senh2 (ln x) + Cosh2 (ln x); i) f (x) = SenhxCosh2 xTanh3 x;
−
1 + Tanhx ; 1 Tanhx 1 + Senhx ;
Senhx √ Senhx + Coshx ; f (x) = 1 − Coshx 1 + xAreaTanhx √ − x2 ; f (x) = √ 1 −1Sechx ; f (x) = f (x) =
Coshx AreaSenhx
√ Senhx + Coshx .
CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS
12
j) f (x) = x3Senh2 x + x2Cosh2 x; k) f (x) = ( cosx + Coshx)(Senx + Senhx); l) f (x) = (2 + Cosh2 x)2 Senhx; m) f (x) = (x2 + 1)(Senh2x + 1)(Cosh2x + 1). 10.
Construir el gráfico de las funciones: a) b) c) d) e) f)
− √
f (x) = Tanhx x; f (x) = ln Cothx; Coshx ; f (x) = 1 Coshx f (x) = Tanh(x + Coshx); 1 Senhx ; f (x) = 1 + Senhx f (x) = Tanh(AreaTanhx);
− −
g) h) i) j) k)
√
f (x) 1 + AreaT anhx; Senhx ; f (x) = x 1 e Senhx Coshx ; f (x) = Senhx + Coshx f (x) = 1 Senhx;
−
√ −
−
f (x) = AreaSenh
1 x2 . 1 + x2
−
