indican5/8 en vezde 514.De ahí la necesidad de prestaratenciónespeciala las tareasrelativasa la identihcaciónde la unidad,reconocerlas partesen que está dividida la unidad y las actividadesen relaciónal manejo de las fraccionesunitarias(del tipo lln) como se indicó anteriormente. Entonces,la utilizaciónde la notaciónmixta (númerosmixtos)debeestar integradaen estosmomentosen las actividadesque consistanen desarrollar la forma escritade las fracciones. Para evitar dificultadesy posibleserrores en la notación se necesita (tres-tercios>> enfatizaren su momento,la equivalencia(cuatro-cuartosD,
(y viceversa)puede ser vista de la siguienteforma (considerando el rectángulo como unidad):
%
esto es un cuarlo, ll4
'%ru
dos cuartos,2/4
tres cuartos,3/4
que las actividades en las que se les pide indicar mediante una fracción la parte sombreada de otra figura.
cuatro cuartos,414,o también una unidad.I
%
cincocuartos,514,6| + ll4
102 103
A partir de estos momentos se deben introducir actividades que permitan a los niños ttilizar el conocimiento que han adquirido en relación a la noción fracción. Estas actividades-ejerciciosson las que denominaremos (reconstrucción de la unidad>. Hasta ahora se proporcionaba al niño fracciones unitarias y ellos a través de la secuenciade contar recgnstruían la unidad (el ejemplo anterior se desarrollaba con los cuartos), péro para generalizaresta situación, podemos proporcionar al principio la siguiente situación,
FORMA DELA UNIDAD REcTÁNGULO
Claramente la realización de este tipo de actividadesrequiere un desarrollo de ia noción parte-todo mayor que cuando se inicia la situación con una fracción unitaria. Resumiendo, podemos decir que estas actividades anteriores de reconstrucción de la unidad tienen una doble versión, que viene determinada por ,r: su grado de complejidad, a) b)
cuando partimos de fracciones unitarias, y cuando partimos de una fracción cualquiera,
Ejemplo: Se parte de fracciones unitarias
Ss pnnrs DE FRACCIONES CUALESQUIERA
así, debemos tener en cuenta estos niveles de dificultad cuando planteemos las actividades de traslación entre las distintas representaciones. Otra variante de estos ejercicios consistiría en cambiar la forma de la hgura
A
Es1/ 4de
n | l-|
|
la f-rgura. ¿Cuál es la figura?
Ejemplo: Es 3/4 de | | la figura, ¿Cuáles la hgura?
Cunr-euInnoru FIcunl Ejemplo: Es l/4 de ^ u r'gura, /\ / \ ¿Cuáles la hgura? Ejemplo: Es 3/5 de la figura, | Ll ¿Cuál es la figura? -
4.4.6. El problemade las citas perceptuales Por otra parte, el uso de diagramaspuedehacer que introduzcamos en el desarrollode las nocionesen los niños.Si a un pequeñasalteraciones ni¡b en esta fasese le pide sombrearlos 314de la siguientefigura
/t\
ffi \
(Esto es los tres cuarto de un todo. Dibuja el "todo".>
\l )
A
104
sele puedenplantear dilicultadesporque no concibela necesidadde modifi(informaciónvisual que nos ofrecela imagen,que perceptuales> car las <
105
citas perceptrrales son el uso de liguras no convencionales.por ^,^*O_11ut e.¡emplo,
las Puesbien,en estosmomentos,en los que hemosempezadoa representar y debesímbolos, parte-todoa travésde diagramas,forma escrita relaciones mostambiénponer de manifiesto(ya que realmenteestánimplícitasen estas con las fracciones. algunasoperaciones situaciones) que contamoslas fraccionesunitariaspara identilicar En el momentoen <¿cuántohay?>. -cuarto,y otro cuarto,y otro cuarto,y ...)
o también
estasituación: se debenya introducir los símbolosque representan
u 4 + u 4 + 1 1 4 + ...
debemospresentarcomo un todo los símbolosy relacionesentrelos símbolo mismo. los, que de hechorepresentan Si el cuadradoes la unidad.Entoncesla siguientesituación:
La introducción de estaspequeñas
está representada a partir de la secuencia de contar fracciones unitarias por
u4+rl4+rl4+rl4+rl4 (tantas Ampliandola noción de multiplicaciónde númerosnaturalescomo vecesalgo), esta expresiónse puederepresentarpor 5 veces1/4 es decir:
4.4.7. Las fraccionesunitarias,el contar y las operacionescon fracciones Dos ideas básicashemosestado manejandohasta estosmomentos en relacióna la secuencia.d¡enseñanr^; q;.-ñ,nita conceptualizar las nociones iniciales(atributos)del concepto rruc"¡¿r,lretaciónparte-todo).Estas ideas son apoyarnosen: - Ia noción de fracciónunitaria. v - en el contar dichasfracciones para 106
obtenerIas demás.
5xll4 pero tambiénsabemosque se puederepresentarpor | + 114 (esdecir, 1 1/4)
simbólicasaparecende forma natural si utiliTodas las representaciones zamos como apoyo las fraccionesunitarias y la secuenciade contar. No es que pueden que ocultemosa los niños todasestasrepresentaciones <
to7
si utilizamosde forma natural todasestassimbolizaciones para las situaciones parte-todo conectadasa situacionesconcretas,no deberemostener muchasdificultades'enque los niños las puedanmanejardesdeun primer momento. un buenmodelo para apoyarestasrelaciones lo puedeconstituirla recta numérica,siemprey cuando,tengamosen cuentatodas las dificultadesque puedeplantearel asociaruna traccióna un punto de la rectapor partede ios niños(véaselas secciones 3.2.3y 4.4.10)
1 + 1 /4 5/4 1 1 /4
La sucesiónde contar hacia adelantetambiénpuedeinvertirse.contar hacia atrás (quitar fraccionesunitarias),desarrollala idea de restade fraccionescon el mismo denominador. Si consideramos un cuadradode papel como unidad y lo dividimosen partescongruentesde las cualespintamos de rojo tres de estaspar,les,para establecer la parte pintada en relacióna la unidad
lossímbolosparalosniñosnodebeplantearproblemas.Pero.nohayq para las operacioolvidar que desde,.t. fun,o al manejt de los algoritmos nesquedatodavia un largo camino' como: Sin embargo,situaciones tengo 214mis ¿cuánto
enlasquesemanipulaelmaterialySeexpresanverbalmentelasdescr situaci6n, para posteriormente nes y las relacionesentre los elementosdé la hacerlasrrpr.r"nru.*smediantelossímbolos'puedenintroducirnose esteterreno. Enlasseccionesquesiguenmostramosotrosconcretoscuyautiliz aspectosde la relación parte-todo' puede ayuda, u "o-pl"turtiferentes Enellanosevanarepetircontododetalleloquehemosexpuestopa pero dibe ser obvia la posibililos contextoscontinuJs óoJ"ro rectángulo) concretos(tangram' regledad de trasladar las ideasexpuestasuq"t u titot (rectanumérica)si la situación en tas, contexto discreto)o representaciones el aula permite estedesarrollo' 4.4.8. La utilizaciónde otros concretos
si cada parte la hemos llamado un-cuarto la parte pintada es la unidad menosun cuarto,
r_ tl 4 De estaforma seintentaque al desarrollaren estosmomentoslas traslacionesentrelas representaciones concretasde la fraccióny las formasescritas y simbólicasse amplíe la
Elestablecimientoderelacionesentrelosdiversosaspectosdelcon las diferentestraslacionesentre inicial de fracción uri"otlro del desarrollode pueden ser indicadasen el esquemaanterior también las representaciones mostradasapafiirdeotromaterialconcretodistintodelosfoliosydel hojasrectangulares,comopuedeseratravésdelasfigurasdeljuego TlNcnmu(parasabermássobreelTnNcnnu'consultarJ'Er'rrnns'Elj 1982)'cuyaconft::,t:::" especial deformas chíno. Et'toNc*¡'on,Ed' Labor' congruentessin necesidadde partes iuí v ra"ude puedeayuda, u "on"'.fuu1i tener la misma forma' ElTlNcnluestáformadoporuncuadradodecartulinaoplástico figura' dividido en sietepartes,como muestrala
109
a parte de los diferentesjuegos de índoles geométricosque se pueden organi_ zat, la noción parte de lu *i¿u¿, **úr", de las partes,...también encuen_ tran con figuras un buen campo áe desarrollo. 9¡.tT La fac'idad de construcción de estas figuras hace posible que todos los puedan
ffi,T",1eu,Haula
oisponer á"ilua..iul pu.ui*uájá. ,n grupo,o
La potenciaciónde ros procesos de verbarización de los niños en las diferentes actividades.qu. r" pu.áun á.iirr-otu. con este (aspectolenguaje>adquiera haceque er iu verdaderadimensiónen -ui..iur de llegara la conceptuarizacióndela relació"-fu*.l,oto. "t;;;. Las fases de trabajo con este materialmanrienen,los mismosupu.tuaá,descritosp";; ;r;;;os de papel rectangulares, atendiendoa las diieccion",¿"1 ,rqu",nu-a.-üs rlprerentacio_ Además
ffi1Jrj?*::iones'
potencia nociones comolaso" suf"rnci"s equiva-
otro materialestructuradoque puede ayudara conceptualizar todaslas nocionesy reracionesindicadas'so"'ior Númerosen color. No "ono"idos deeste."i;;il;.;que
consideru_o; q;; essuficien_
lil:H'ff:mención
4.4.9. Los contextosdiscretos Al principiode estecapitulo,habíamos señaladola necesidad de incorpo_ rar en un momento dado a ra secuencia de enseñanz;1;;;; conrextos discretosdondela relaciónp"r,"-irá. presente.El motivo consistía en presentardesdediversasperspectivas "rluui"ru la noción de fracción.Se intentaba evitar asi que la formación ¿e ¿sta lrü u¡n"rruda sólo a determinados concretos'podríamos_ entenderesto como una expresión del principio de Drc¡'¡Bs de variabilidadpercepriv"i;;r;;;i; percepción, mantenerla reración (estructura)matemática).oJ toaas for;; iuy iu" ;;;"t""res que ra
1hcha,, eu,uui,o,, ) puede ;H:iHTrlH:1];iXffi:""1;* ffiiretos
El énfasisque se rearizoanteriormente s.ob_re er paper que juegan las fracciones unitariasen la_concep,""l¿".i0" de la relaciónpárte-todo,u.n_ a inrenraraIIan
*X".lr:i"ff :
ar
; ; i_Jin;uItad; ;;il; "lc
ri-*,* n conrex_
Si tenemosun conjunto de cinco fichasy consideramos que
ooooo ;:ilt:ltj:t' 110
cadaficha se consideraun quinto de
Las dilicultadespuedenempezarcuando hay que considerarpartesde la unidad formadaspor diversosobjetosdiscretos:
,,C- Q ' o o o o o o o o sonun quintode la unidad.> n"n". oscuras -t* Reconociendolas difrcultadesque puedanaparecer,las actividadesque planteamosdebenestardirigidasa: - reconocimientode la unidad; - reconocimientode partesde una unidad,y - ¿cuántaspartes? En un primer momentolas situacionesque sedebenpresentarson aquemás familiaresa los niños llas que conllevanfraccionesque consideremos que estéformadade tal modo y la unidad (medios,tercios,cuartos,...) en las (subgrupos de un elemento). partes una ficha que las coincidancon unidad como Si consideramos
ooo <¿lopuedo separaren tres grupos iguales?>
iO iÓ; O <¿Cuánto es un grupo del total?>: <
Si consideramos como la unidad
oooooo <¿puedosepararlosen dos grupos iguales?>
e-ao; O-o--ó; la unidad sin demasiados
<¿Qué es cada grupo en relación a la unidad?>):(una de las dos>,
111
Hay que evitar que los niños puedan confundir la cantidad de hchas en cadaparte (subgrupo) con el número de partes que se tengan. Esta situación se puede presentar en:
oooo
(0__a'.p___o; ¿Quées cadagrupo en relacióna la unidad?> La expresión
ooo
,.,
Para intentar evitar estas confusionesse deben introducir actividades en que sean distintos el número de fichas en cada grupo y el número de grupos, siguiendo la secuenciadescrita en la actividad anterior. De todas formas el uso de la fracción unitaria y el contar los grupos formados ayuda a conceptualizarla relación parte-todo en contextos discretos también. Por ejemplo, si consideramos como unidad
ooo o o o formamostres gruposiguales ,'ó-ó'l \1,, '.r_u__
iÁ-ñ', ..V_ _V_r, í^i.\/_ _!/i ^, ..un .,unode tres,', <¿qué escadagrupoen relacióna la unidad?: tercio".> Luego:
iTY^ -^
Yi
(0-O
untercio
(ÓO
doste¡cios
-
separarlosen dos gruposiguales? ¿puedes
ooo
Estas actividades se pueden realizar siendo los niños las dtchas>>.
lñ-Al rÁ-^' lórres rercios '\l_ _v;''.Y _Y,'.:_ _ _O'; _
Formar grupos que se consideren como la unidad; subdividirlo en subgrupos de igual tamaño (con el mismo número de niños en cada subgruPo); ¿cuántos subgruPos se han hecho?; ¿cuáles el nombre de cada subgrupo en relación al grupo total?
Por ejemplo, si teníamos en un primer momento un grupo de diez niños' hacemossubgrupos,supongamosque cinco. Cada grupo es uno de los cinco en que se ha dividido la unidad, es decir, un quinto (1 quinto, 1/5).En estemomento otro niño distinto a los que están en el grupo puede ir señalando cada grupo diciendo: <
tr-trcn tr8trD tr
@ @@ @ @@ @@@@ ____.>
I quinto: 1/5
-->
2 quintos:U5 + ll5 : 215
I
3 quintos:ll5 + 115+ ll5 : 315
-
4 quintos:115+ ll5 + ll5 + ll5 : 415
-
Al mismo tiempo que se van contando, es interesante que se vaya señalando con el dedo cada grupo. lt 2
il3
Todo este proceso debe ir acompañado de un diálogo entre los niños y el profesor y entre los propios niños discutiendo lo que está ocurriendo. El lenguaje debe estar considerado como un
5xll4
,1+tl4
,2_314
,514
otro materialquepuedesugerircontextos discretos puedesercartones
de huevos. La relación parte-todo puede ser vista de formá clara al comparar el número de huevos en los huecos en relación al cartón entero (¡¡indépendientemente de lo fácil que pueda resultar obtener este materialllj. Para completar esta serie de actividades,recordamos en estos momentos, la necesidadde introducir las actividades de reconstruir la unidad a partir de cualquier fracción. Por ejemplo: (Si
!!¡ ! !
¡trtr
¡
es los 3/4 de la unidad.¿Cuáles la unidad?>
De todas formas, tanto con los niños como con los cartones de huevo o las fichas, la estructura de la secuencia de enseñanzaes la misma que la descrita a través del esquemade las
Apoyados en la idea de medida, los niños pueden empezar a utilizar la recta numérica en su trabajo con las fracciones.Si cada segmentounidad lo dividimos en cuatro partes, la recta numérica apareceríacomo
o-123 cada parte del segmento unidad recibe el nombre de un cuarto' y utilizando la longitud podemos dar nombres a cada punto, 9123 ¡
,
,
rl4
,
I
r
I
214 314 414 sl4
¡
¡
I
614 714 814 el4
|
'
'
'
'
'>
r+ r 1 4 r*u;*tlo
Las actividades iniciales deben consistir en establecrasociacionesentre puntos y fracciones habiéndose realizado un número determinado de divisiones ,.g-"nto unidad (lo que determina el nombre de cada división). .n "l I
¡
o
|
't/s D
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I
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1
315 tr
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7/5 El e/5
I
I
2
|
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tr
El énfasis en la asociación de la fracción a un punto debe estar dirigido a superar las dificultades y problemas que los niños tienen con esta representación señaladosen la sección 3.2.3 del capitulo anterior' Es intresante que los niños hayan superado las dificultades del manejo de la recta numérica si pretendemos usarla en el desarrollo de nociones posteriores como puede ser la equivalencia de fracciones. Algunas actividades que nos indiquen el grado de manejo que muestran los niños con la recta numérica pueden ser del tipo siguiente:
5/6
4.4.10. La recta numérica La idea de fracción asociada a un punto de la recta numérica (caracterizadaen la sección 3.2.3)pertenecea un nivel más abstracto en relación a lo que hemos estado mencionando hasta ahora. Sin embargo, si los niños están acostumbrados a manejar la recta numérica como un recurso didáctico en su trabajo con las operacionescon los números naturales puede que esta identificación punto-fracción no sea tan dura.
r14
1/3 Está claro que el nivel de desarrollo de estos ejercicioses distinto que en los contextos continuos y discretos. El carácter más abstracto que muestran estas actividades hace que Se deban retrasar hasta que el niño tenga un manejo correcto de los diagramas y símbolos desarrollados en los otros contextos. Las dificultades que puede
115
presentar el manejo de esta representaciónhace que debamos ser prudentes para evitar que los niños lleguen a realizar manipulaciones de símbolos que pueden no tener sentido para ellos. El hecho de que en la recta numérica (cuando se prolonga más allá del uno, como suele ser el caso) se deba tener en cuenta la relación entre el denominador de la fracción y el número de subdivisiones del segmento unidad, establece una diferencia con los contextos continuos o discretos (Novnus, 1980). En este caso aparece ya de forma implícita la noción de equivalencia. Por todo ello debemos tener precaución si llegamos a utilizar este modelo para representar las sucesionesde contar fracciones unitarias. 4.5. VARIOS NOMBRES PARA LA MISMA RELACION. LA IDEA DE EQUIVALENCIA Al plantear tareas de clase en las que se desarrollan las nociones iniciales del concepto fracción, tanto en contextos continuos, discretos,como con la recta numérica, a vecesse pueden plantear situacionesen las que la relación de la parte considerada y el todo puede venir descrita mediante parejas de números distintas.
''wma 4de 8
%77 2de4
T
4d e 8
1de2
(4,,!@rti'O'liO',íáá,,róór 'r9'\9-/ '@,''@/ 2de4 tde2 "?9r",,_O__O.ri 4de8
o! l
como discretos. De todas formas la idea matemática de equivalencia puede tener varios niveles de sofisticación. El manejo de esta relación en situaciones concretas (continuas o discretas) no tiene por qué inferir el manejo correcto de los símbolos matemáticos
tl 2 : 2 1 4 : 4 1 8: . . . 213: ?16
b)
@ @o o @ @o o
f
La importancia de la idea de equivalencia de fraccionesse debe al papel clave que juega en diversos aspectos:en la relación de orden (ordenar dos fracciones,insertar varias fracciones entre dos fraccionesdadas),en el desarrollo de los algoritmos de la suma y resta de fracciones de denominador diferentes.En un nivel más elevado, la conceptualizaci'ln del número racional como clases de equivalencia de fracciones (entendiendo como clase de equivalencia el conjunto de todas las fracciones que describen la misma relación entre la parte considerada y el todo). Además, la idea de fracción equivalente,sintetiza algunos de los atributos identificados para manejar la noción de fracción como
2de4
l de2
por tanto el trabajo en la escueladebe ir dirigido a que los niños desarrollen en un primer momento estasrelaciones(la equivalencia) en contextos concretos (continuos y discretos) potenciando la capacidad del niño de realizar traslaciones entre las representacionesconcretas, así como de realizar las traslaciones a la forma oral, escrita y simbólica, según el esquemade la sección4.4.1. No podemos describir todas las actividades necesariasen relación a cada una de las representaciones,y a las traslaciones entre las representaciones, porque la extensión de este volumen no lo permite, pero debemos decir que €n estos momentos, aparte de desarrollar una relación (la equivalencia) se pretende fundamentar una regla por lo que creemos que la secuencia de actividades debería venir determinada por el siguiente esquema, modihcación del aparecido en la sección 4.4.1. Concreto
Esta posibilidadamplíael ámbito de las nocionesrelativasa las fracciones (relaciónparte-todo).Estas situacionesdescribenel signilicado de la equivalenciade fracciones. lt6
Simbolos
Diagrama
tt7
La forma oral sobrerasflechasindica que en estemomento el lenguaje,la verbalizació,nde lo que seestáhaciendo/pénsando, debeconstituir er vínculo de unión (medio) para pasar de los concretos/diagramas a los ,i,nuolor. La habilidad del niño en rearizarlas diferentestraslaciones, así como su paulatina independenciadel material concreto se pueden índicesdel desarrollo de esta idea matemática. "orrrid"ru, "o-o otraparte, la dificultad de la equivalenciade fraccionesradica en el lo. hechode tener que vincurarras manipuiacionesque se rearizanen contextos concretoscon la regla de obtener fraccionesequivalentesen el niver de los símbolos.Es decir, en un contexto continuo (modelo ,""tárg;i"testablecemos nuevasdivisionesen el todo o ignoramosparte de las q-ue puru encontrarfraccionesequivalentes;en un contextodiscreto."áüru-o, "*irt"r,nuevas reordenacionesde los elementos(fisicao mentalmente)para obtenerfraccio_ nes equivalentes. Así, estasactuacionesen el nivel concretohay que vincularlas a la regra de tener que multipricar o dividir er numerador y el denominador de la fracción por el mismo número para obtener fracciones "q"iuur"ni"r,
f-ol "! 4+ 4 8+ 4
,/bJ\ 1
4x2
8
2
8x2
16
Además se presentael hecho de que los niños en un nivel _ simbórico admiten con mayor facilidad el procesóde obtenerfracciones con términos mayores(mediantela multiplicación)que el procesode obtenerfracciones de términosmás pequeños(mediantela divisiónl. El tener que fundamentat ra rqgla que produce fraccionesequivalentes hace que tengamos que secuenciardebidamentelas actividades evitando pasarrápidamentea la manipulaciónde los símbolos,sin que estasmanipulacionestengan un apoyo concretofuerte. posteriormentedebemos intentar que el pensamientode los niños seindependicedel material y de las manipulacionesdel mismo para que seconvieriarearmente en erabóraciones mentales. Este es el
r 18
Sin embargo,es de suponerque en un momento posterior de la secuencia de enseñanzaserá útil proponer actividadesen contextosdiscretosque requieran el manejo de la idea de equivalencia.Eso hará que los niños tengan la oportunidad de ampliar su noción de equivalenciaa situacionesque en el mejor de los casosnecesitanuna manipulación previa (en el plano de lo concretoo mental)para poderserealizar,ademásde que si utilizamos fichas como concretos puede ser que no haya una unidad predeterminada.Por ejemplo,si tenemosla representaciónsiguientepara dos sextos(2/6),
@ @o o o o para obtener una representaciónde un tercio (1/3) hay que realizar un reagrupamiento(manipulativa o mentalmente)de las fichasy considerarlos grupos formados por dos fichas.
t,a__@;(A _0)'lQ_O
Pero por otra parte,si queremosobteneruna representaciónde 4112,deberemos considerar como unidad, por ejemplo, un grupo formado por doce fichas con cuatro de ellas coloreadas
@oooo @o o o o
@ @
4112
teniendoque reagruparlas fichasde dos en dos para obteneruna representa ción del 216(queesla situaciónde la que partíamos)para poder establecerla equivalencia.
ttb'tidtíoliOrOlíoi I
t r
l¡
ll
lt
ll
I
loi'.9 tg/ \@), \9,1 -@)
Este hecho de tener que
119
De todasformasno hay que destacarla posibilidadde utilizar contextos discretosposteriormentepara ampliar la
En estosmomentosse suponeque los niños ya no debentener problemas con las nocionesrelativasal conceptoinicial dé fracciónpara podór introducirlescon éxito en estanuevasituación. Entonces,mientrastenemosuna hoja delante,encimade la mesa.con Ia d otra realizamosla siguientesecuencia.
213= 416
120
Estasactividadesesimprescindiblequelashaganlosniños.Tienen suscomenvalor si esel profesorquien realizala manipulaciónguiando con es vital para personal, manipulación la de trabajo El tarioslas observaciones. que se estánrealizando. la interiorizaciónde las transformaciones la atenciónde los niñoshacia trasladar es momentos El objetivoen estos relación al las modilicacionesque sufre el número de partes sombreadasen número de partesdel todo. SegúnEr.r-nRBRUcHetal.(|978):
ru
El número total de las parteslo hemos multiplicado por dos, el número de partes sombreadastambién lo hemosmultiplicado por dos' 4de8
Los cuartosestánsombreados. 2de4
Podemosmostrarlaequivalenciaconectandolosdiagramasrectang que ,", y lu recta numérica.És una forma de organizarla información regla' la a poseemosen estosmomentos,que puedeayudara aproximarnos de 'S;;p;; en las actividadesde gtnétu. la familia de medios,de cuartos' unitarias' fracciones de contar tercios"..que salena partir de lás secuencias Si iodós los dobleieslos realizamosde forma verticaltenemos, Familia de los medios: Familia de los tercios: Familia de los cuartos:
I
lr: rll
I
l' l' l'l '! ttz
ó
2/4
i
stz
2
2/2 3/3 4/4
6/4
4/2 6/3
t'!'l 'l 3
612 9/3
t2l
rsra representaciónpuedeser más clara aumentandoer número de fami_ lias consideradas.Así seobtienenlr" r¡g"ü,"s fraccionesequivalentes, entre
r/2 : 214 l:tll : 2/2:3¡3:4/4:... 312: 6¡4 2:2/t: 412:6/3:gl4:... 5/2 : 1g¡4 3:3lt: 6/2:9¡3:t2/4:... si toda esta información la podemos colocar en una gran pizarra d,e franela en er aura, ra dirección estosmomentos es descubrir el modelo numérico que se sigueen "'G;i;; ta generaciónde fraccionesequivalentes. La ventajade podermosrrartanta inform*tó;;i;;;;#;", a través de Ios datosorganizadosenra pizarriá" iün.ru, esquefacilitael determinar la regla que se sigueen todas rásfamitias áe fraccionesequivarentes, al tener ante la vista varias de estasfamilias. El objetivo de utilizar estegran
4x
122
:_
3? 4t2 c) Dadas dos fraccionesy un nuevo denominador,encontrarfracciones equivalentes.
2?3 -:3r24
? l2'
d) Dadas dos fraccionesencontrarfraccionesequivalentesa las dos, con un denominadorcomún. El algoritmoque estosautoressugierenes elegirel denominadormás grandede las fraccionesdadase ir intentando múltiplos sucesivos. El verdaderovalor de estosejerciciosse encuentraen el análisisde los procesospersonalesconjeturadospor los niños en su trabajo en pequeños grupos y en las discusionesposteriorescon la claseentera cuando cada grupo presentay justificasus procedimientos. En las secuenciasde ejerciciosde este estilo, los niños encuentranmás fácilmentelas solucionescuando lo que apareceson relacionesde múltiplos, por ejemplo:
3? 4t2 en dondepara pasarde 4 a 12 multiplicamospor 3, luegohay que multiplicar el 3 del denominadorde la primerafracciónpor el factor 3 para obtener el numeradorbuscado. Sin embargolos niños tienenmás dificultadesen los ejerciciosen los que no se da estarelaciónde múltiplos,por ejemplo: 912 -:t2?
así, los siguientesejerciciosse pueden proponer para ayudar a la generalización.
i) 2 x 2
b\ Dada una fraccióny un nuevo denominadorencontrarel numerador
ii)3x?_ 4x?-
en estecasoel paso de 9 a 12 no es a travésdel producto de un número natural. de ejerciciospropuestapor Ennnnnucr et a/. (1978)se En estasecuencia que en todo momento los niños puedenrecurrir al material sobreentiende para comprobar sus resultados.
123
Además, la verbalizaciónde todos los pensamientos subyacentesa Ia manipulación, sea de símbolos o concreta, ayudará a interiinzar la regla puestade manifiestocuando se construyen familias de fraccionesequivalentes a una dada. Esta secuencia,con la que se obtiene el procedimiento para obtener fraccionesequivarentescon_términosmayores, debería con acti_ vidades-ejercicios de simplificación: ""-pl"tá^" 362??153 : 60:30: 15 10
n: i que ayudarán a mostrar la regla en todos sus aspectos. Hay que recordar que estosejerciciosson sugerenc ia de aüiuidades que ayudenal profesora estructurarsusaccionesdocátes. g. J*ir,; debenser consideradoscomo ejerciciosindividualesa rearizarpor cada niño sin antes habersedesarronadoalgunascrasesprevias de diálogo-¿ircuriáo pequeños y gran grupo. "n ,, Y-" dentro del campo-delos símbolos,existensugerenciassobrela forma de aftanzarla regla de obtención de fraccionesequivalentes, que sfrpoyan en la delinición del elementounidad. ..1
2..,
J' '
:
2 fú l
zr3 6 t *l¡j: i , s : o
La introducción de la multiplicación de fracciones, favorecela utilización de estassugerencias.En el capítulo siguienteveremosqué ror-u pu"á"n adoptar. También puedeser útil aprovecharla conexión entre hs iraccionesy los decimalespara determinarla equivalenciade fraccioner. si Áuol¡o de los decimalespor los niños nos lo plrmite, podemos "r utilizar la calculado ra paÍa mo'trar.dicha equivarencia.se enfatiza en esta situación la conexión entre las fracciones,la división de dos números naturales y los decimales. 6
t: 2 ,:
6 :3:2 3:2:
; 1,5 |
t2 : 12:6:2 6 6 4:6:4:1,5
Por otra parte el y19jo de la equivalencia de fraccionesnos puede permitir acercarnosa la idea de la densidad de los ,rn-"ro, racionales, medianteactividadesde búsquedade fracciones(entre)) otras dos fracciones dadas. A continuaciónvamosa ver cómo seutiliza la idea de fracciónequivalente para determinarla relaciónque existeentre er <
4.6. LA COMPARACION DE FRACCIONES. LA IDEA DE ORDEN Una de las aplicacionesde la idea de fraccionesequivalentesse pone de queremoscomparardos fraccionesy determinarsi una es manifiesto, ",runáo más pequeña,igual o mayor que la otra. Oe tó¿asformas,el compaiar dos fraccionescon el mismo denominador, sepuedehacerdirectamentecomparandolos numeradores.Estasactividades debenseguir la misma secuenciaanterior, empezandocon concretosy mediante la-explicaciónpor parte de los niños de lo que se estálaciendo, o de r" está haciendo determinada cosa, hasta llegar al la razbn pór la "u"l símbolos. manejo de los Por ejemplo,al comParar416Y 516:
(traslación al realizarlos doblecesde papel y sombrear la parte indicada la unidad tener fracción), concepto del símbolo-materialen la secúencia apoya' es inmediata, partes la comparación de separadaen el mismo número numeradores)' los (el de orden naturales números dónos en el orden de los <<4vecesun sexto y 5 vecesun sextoD, y como cuatrO es menor que CincO,tenemosque cuatro vecesun sexto es menor que cinco Yecesun sexto. La primera dilicultad se presentacuando hay que comparar fracciones con denominadoresdistintos, por ejemplo 516y 213.La construccióncon material de las fracciones,y la comparacióndirecta, puede ser un primer intento a realizar.Pero el propósito de la secuenciade enseñaÍzaes conseguir una independenciapaulatina del material, y pafa eso, si c€ntramos iuestra atencién en lo que podemoshacer cuando comparamosfracciones en material, encontramosque, con el mismo denominadorrepresentadas - podemoshacer la comparacióndirecta,y - podemosapoyarnosen el hecho de compararel número de fracciones en cada fracción' unitarias que <
Cu¡dro 4.3
O I O I
I
&
Una actividad (Posr et at-, 1987)que pone de manihestoesta relación puedeconsistiren que los niños comparenante círculosde distintos colores iinididor en diferentespartes el númerode partes que cubrenla unidady el tamafrode las partes. Colocando los niños por parejas y tomando como unidad el círculo (todo) sepide a un niño que divida su círculo en cuartosy al otro el suyo en sextos,planteándosea continuaciónpreguntascomo: ¿encuántaspiezasse ha dividido el círculo?; ¿quién tiene más Piezas?; ¿quiéntiene la Piezamás grande?
y el anotar las respuestasen hojas aparte puedeayudarlesa darsecuentade ia relación inversa existenteentre el número de trozos en que se divide la unidad y el tamaño de cada trozo. Pauiatinamente,las cuestionesdeben plantearsede tal forma que los niños deban contestara las preguntasprimero y luego comprobar sus res(si lo creennecesario)utilizando el material. puestas ^ Además,los niños puedenutilizar diferentesprocedimientospara realizar las comparacionesdependiendodel tipo de fracciones.La estrategiadescrita al principio para fraccionescon igual denominador@16y 516)de comparación dirécta utilizando esquemasde ordenación de los números naturales no son válidos cuando las fraccionesque tenemostienen igual numerador pero distinto denominador,como por ejemplo 3la y 315.En estassituacio' nes, haber conseguido una buena comprensión de la relación entre el número de piezasy el tamaño. De las piezaspuedeayudar a que los niños ante esta siiuación considerenque como los cuartos son más grandesque los quintos entoncesla fracción 314 debe ser mayor que 3/5, con lo que actividades como las descritas anteriormente que intentaban poner de manifiesto la relación entre el número de piezas del total y su tamaño adquierenuna gran imPortancia. iinalmente, en h cómparaciónde fraccionesdel tipo 516y 213es donde las diferentesestrategiasutilizadas por los niños en los casos anteriores pueden mejorarse.Tanto el contar fraccionesunitarias como los procedimientos de fijarse en la comparación del tamaño de las (partes) pueden introducirnoJen la utilización de estrategiasque puedanjustilicar el uso de algún algoritmo. Así por ejemplo, con la introducción a la comparación de fracciones basadaén la comparacióndel número de fraccionesunitarias,seestablecede forma natural la necesidadde tener fraccionescon el mismo denominadot cuando queramoscomPararlas.
127
Ante las fracoiones213y 315: <<213 es dos vecesun tercio>r, <3/5 es tres vecesun quinto>, necesitamostener la misma fracción unitaria, ro que se traduceen la necesi_ dad de obtener fraccionesequivalentesa cada una de las fraccionesdadas pero con el mismo denominador. Siguiendo la secuenciadescrita anteriormente, ro intentaríamos con múltiplos sucesivosde cinco (el denominador más grandede las dos fraccio_ nes).Así, 5x1:5,
5x2:10,
5x3:15,
...
hastaobtener un múltiplo de 5 que también lo fuesede 3, con lo que:
2t0 3:3t5:15 J
5
5x3
"?
9 15
la utilización de una unidad formada por quincefichas,sólo sepuedeconcebir si previamentese ha realizadouna elaboraciónde los datos en el nivel simbóiico.Este hechoes lo que algunasvecesse ha llamado la existenciade un (esquemaanticipatorio))para realizarcon éxito la tarea (delo concretoal símboló,reorganizációnde la situaciónen el nivel simbólico -¿mental?- y vuelta otra vez al nivel concreto). La dificultad que plantean estastareas,hace que puedan ser utilizadas el aprendizajeque se ha realizadodespuésde haber desarropara <
tenemos: <<213 es diez vecesun quinceavo>, >3/5 es nuevevecesun quinceavo>>, con lo que la comparaciónes inmediata. Lajustificaciónde la necesidad de apoyarnosen rasfraccionesequivalentes para tealizat la comparación debé éstar enraizada en las actividades sobreconcretosrealizadaspor los niños.Antes de movernosdirectamenteen el nivel de los símboloshay que realizarnumerosas actividadesdonde intervengala manipulacióny la expresiónverbal.una trasracion fuuiuiinu rru.iu la introducciónde ros símbolosmedianteactividades ü;;;;;;istan las tres formas de representación(concreta,orar y simbórica) "; ujuau.a u qu" cuando estemostrabajandoen el niver simbólicó únicameníe, .r, ,rn ,no-"n_ to determinado, los niños puedan explicar por qué h;;;;;;;minadas manipulaciones de simborosapoyandosusexplicaciones sobreconcretos. En relación a ra ufirizaciónde material discreto ser, que rn"rr"r)-p"r; ante la representación
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J. Las operacionesconfracciones. Los algoritmos
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5.1. INTRODUCCION Hablar de los algoritmos para las operacionescon las fracciones . resulta bastanteconflictivo.como habíamosviito en el primer capítulo, las dificul_ tadesque tienen los niños con estosargorit-or J"u"ia ,u 1ru manejo),así como la
La raz6n de que estos algoritmos se puedan convertir en reglas sin sentido puede ser debida a una introducción demasiadotemprana en la escuela(traslación demasiadorápida hacia el manejo de simbolos sin la existenciade un esquemaconceptual),pero también en algunos casospor concretoy una introducción desvinculadade un fundamentosuficientemente natural a la operación (falta de la existenciade un
13
- x24
y un problema verbal que conlleveimplícitamenteesta operación,por ejemplo: tartadeltotal los3/4deunatartay mecomola mitad¿cuánta
Lo más probable es que los niños se enfrentena este problema verbal utilizando estrategiasdiferentesa la regla de multiplicar fracciones. Además,y en relacióna la conexiónentre el algoritmo y la resoluciónde problemas,Hmr (1981)señalaque, ...1ahabilidad para resolvercálculosde sumasy restasdecrececuando los niños son mayores.La habilidad para resolver problemasno decrececon la edad,con lo que sepuedesuponerque los problemasson resueltossin recurrir al cálculoalgorítmico.Muchos niños,en efecto,parecenno conectarlos algoritmos con la resoluciónde problemasy usan sus propios inétodos.
Así, pareceser, que en esta situación,los niños (siemprey cuando se lo permita la presión escolar),tienden a buscar procedimientosque impliquen el manejo de los números naturales antes que ((poneren u""ióno pro"iaimientosvinculadosa la noción de fracción (efectodistractor de los números naturales). uno de los efectosderivados de esta situación, lo señala HLnr (19g1) cuandoindica,en relacióna la comprensiónde la idea de fraccionesequivalentespor niños de 12-13años (aproximadamente7.ode EGB), que muchos niños ven las fraccionescomo parejasde númerosnaturalesno relacionados, tratándolos separadamente. De forma clara estasinferenciastendrán repercusionessobre el manejo de los algoritmos,en particular para la suma y la resta de fraccionescon denominadoresdiferentes. 5.2. LAS INTERPRETACIONES DEL CONCEPTO FRACCION Y LAS OPERACIONES En el tercercapítulo hemos caractenzadodiferentesinterpretacionesasociadas ala idea de fracción. A través del análisisdel conceptoreali?adoen cada caso, se podía vislumbrar el hecho de que algunas-interpretaciones podían conduci¡ de una forma más natural, al concepto de determinadas operaciones. , Así, en el aspectomedida caractenzadoa travésde la relaciónparte-todo, los conceptosde suma y resta de fracciones,encuentran(su) intérpretación más natural. Podemosutilizar el modelo de la RectaNumérica pará vincular la interpretacionesparte-todo, medida y fracción como númeró. I l/4 de metro + 3/4 de meÍo
0t'23 1 1/4
314
Por otra parte el concepto de multiplicación y división de fracciones viene vinculado con más <
ü)
Estado Unidad
x Ql$
Estado Ql4)
Estado Ql3) x Qp)
(213\x Qlal
Teniendoen cuentaestarelativa familiaridad entre algunasinterpretaciones y algunas operaciones,es posible prever dificultades en relación a la adquisición del concepto de alguna operación, en función de qué interpreiación de las fraccionesse haya potenciado en la secuenciainicial de enseñanza. Así, teniendoen cuentaesta circunstancia,DrcNnspor ejemplo,al potenciar la interpretación operador (entendiendoen este caso la fracción como una sucesiónde una multiplicación y de una diviSiónde númerosnaturales), indica que el conceptode multiplicación esel más natural y que su introducción no plantea ninguna dificultad, por lo que introduce la multiplicación antes que la suma/restade fraccionescon denominador distinto, ya que consideraesta operaciónocomo la sustitución de dos operadorespor uno solo, o la aplicación de un operador a un estadofraccionario. Con estéplanteamientola idea de fraccióninversa(operadorinverso)y la idea de división son inmediatas.Sin embargoesta misma
i)
'Z:%:W r34
213x (314):
135
Parte-todo (medida) Concepto de fracción
Suma y resta de fracciones con el mismo denominador Multiplicación de un natural por una fracción
F¡ouna5.1 Ante esta dificultad estamosconvencidosde la necesidadde que cada docentetome suspropiasdecisiones, en relacióna determinados aspectosdel procesode enseñanza. El papelde las propiascreencias aquí esfundamental. El esquemade la figura 5.r describeél nestadode Ia cuestión) en esros momentos.sobre dicho esquemapueden(mostrarse)los
Teniendoen cuentaesto,habría que trasladarla atenciónhacia la forma en relacióna los algoritde enseñanza en que estácaracterizadalasecuencia fracciones. mos de las operacionescon el orden que se sigue A veces,al pensaren dicha secuenciade enseñanza, por cuestiones: siguientes las delimitado suelevenir - ¿cuáles el algoritmo?; - ¿quéestrategiase puedeutilizar para hacerlomás
- (¿sonlos aigoritmosde las operaciones con fraccioneslos "procesos naturales"para resolverel tipo de problemasque se le planteana los niños?>; - <¿lassecuencias que desarrollamos en nuestrasclasesle de enseñanza dan el mismo peso especíhcoa los dos puntos señaladosanteriormente?>; - (¿conectamos el procesode resluciónde problemasa la utilizacióndel algoritmo?>; - <¿podemosutilizar los procesosde resoluciónde problemascomo de la operación(en este caso cl camino para la conceptualización algoritmo)y no sólo como aplicación?>; - <<¿realmente con fraclos algoritmosde las operaciones son necesarios cionespara resolver"esos"problemas?>.
que ya nos sol'l Como vemos,aquí se nos vuelvena plantearcuestiones bajo cl enunciadas cuestiones a estas familiares.El intentarbuscarrespuesta problemas> y resolución de la
puede/debeayudarnos a clarificar nuestra postura personal en relaciirr ,r determinadosaspectosde las fraccionesen la escuela. Desde nuestra perspectiva,la utilización de los problemas (situaciorrt's) proporciona los contextosnecesariospara conceptualizarlos procedimicrrlr,,, en el cálculo con las fracciones. Es decir, creemosque en el proceso de hacer conscientesa los niños rr,. las relacionesentre las manipulaciones (en algunas operaciones)y las replc sentacionessimbólicas,se colocan las basespara algunosprocesosalgorítni c os . Así. e j em plosdel t ipo
5.3.2. Los algoritmos y el trabajo previo con las relacionesalgebraicas D el aformaseñal ad aant er ior m ent esepuedenconect ar losalgor it m os de resolución de rclativos a las operacionescon las fraccionesa los procesos manejo de los y un a parte, por una problemas urud^o, por los niños, por algebraicas, relaciones las de campo el ,í*bolo, que nos introduce en otra. A sí,al manej arenunpl anosólodesí m boloslanocióndef r acciónylas de introducción .rf.ru.iot", áon fracciones,se estará empezando el camino primer caso de el racionales números los de conjunto el oi Átg.uru, al ser no numérico manejado por los niños en que las cuatro operaciones "onj.-into tienen restricciones. si existen modePlanteado lo anterior, la cuestión que surge es conocer algunos algoafrarlzar a los (estrategiasde enseñanza)que putdun ayudar como síntesis enseñanza de ritmos, una vez que aparecen in la secuencia por los planteados problemas de de los procesos personalesde resolución niños. Las seccionesque siguen intentarán describir algunas de estasestrateglas para los diferentesalgoritmos.
5.4. LA SUMA Y RESTA DE FRACCIONES presioEn la secuenciaque desarrollaba el concepto inicial de fracción se introduque nos naba sobre el uso de las fraccionesunitarias y el contar, lo en algunos fracciones y restar sumar de ideas las en natural forma cía de casosdeterminados. Se sugería que ésta se realizará a través de situaciones problemáticas, como por ejemPlo
+
318
3 octavos
218
2 octavos
5/R
'/ul%tru)
5 oc tav os
l4l
En las primeras situacionesde este estilo hay que ir con cuidado al representar las fracciones,si éstas son representadasen
T
W
,k ,h -\---
sM+/
Se enfatizaba en estas situaciones,de nuevo, la identificación de la unidad, al igual que sucedeen las situaciones en las que intervienen fracciones mayores de la unidad.
Conviene recordar que los algoritmos para la suma y resta de fraccione con denominadores distintos pertenecena un nivel poco intuitivo. Este hecho hay que tenerlo presenteal secuenciarlos pasosque debemosdar para ayudar a los niños a que se trasladendesdela utilización de sus procedimien tos personales a un procedimiento síntesis(general) de los procedimientos usados;o incluso a veces,la secuenciade enseñanzalo único que debe hacer es altanzar la
213+316: 1+ rl 3
2) denominadores primosentresí,
2+ t/3
21 5 + 3 1 2 :
3+ 213 El proceso utilizado en las situacionesdescritashasta el momento (tanto para la suma como para la resta) se apoyaba en el hecho de sumar y restar fraccionesunitarias; el nivel de manejo de símbolos se dirigía hacia el hecho de que se sumaban los numeradores:
3 2 8-8t_
3+2 s
-8
5
Las primeras diflrcultadesaparecen cuando la