Geometrie Descriptiva-Tanasescu (1)

f ,i \

C{J Pre fa{5 r,..... {lap . I SISTEI{E DE PRO I ECTI E i.l Sistemr-rlcentral de proiecfie 1.2 Sistern ulp ar alel de pr oic c lic 1.3 Tran-sformiri geometrice . I .3.1 Transformareaprin cmologie . 1.3.2 Aplica{ii ale transfornriiriiprin onrologie p i afinit at c l.'1 Generalitili asupra sistemelor spcciale de nr ^

ioî

i6

1.5 Pro blcme propuse

Cap. ll P UNCT U L 2.1 Sistemul de proieclic dublu ortogonal Monge 2.1.1 Pla ne de pr oiec { ic . Linia de pdm ilt . Diedre. Sistemul de proiecfie Monge 2.1.2 Plane bisectoare 2 .1.3 Epu r5 9. 1. 4 Epu ra punc t ului ,)l <

-a"r.iiot di"ia-.riii.l."' iu..' aui.i'u.

\

27 27 28 2B

numence

29

2.1.7Punctelesituatein serniolanele bisec-

I

27 27

Cota Depbrtarea.

2.1.ri Epura punctuluidat prin coordonatc

ri {

3.L3 Purrctcpe drcaptii detcrminatein anumite condifii date l 9 3.2 Pozi{iile caracteristiceale dreptci 3 . 2 . 1 D r e a p t a o r i z o n {a l i l9 3.2.2 Dreapta frontalii 20 3,2.3 Drcapta fronto-orizontal:l 2l 3.2.4 Dreapta verticala 2l 3.2.5 Dreapta de capdt 3.2.6 Dreaptaconfinuiii itr planelcbisectoare 2"1 3.2.7 Dreapta de profil 25 3.3 Pozi{ia rclativi dintre doul clrepte. 3.3.1 Drepte paralele 25 3.3.2 Drepte concurentc

3

, . loare . 2 .1.8 Alfab et ul des c r ipt ivuf ' pr n. t ului . . . 2 2. Al treilea plan de proiec{ie 2 .2.1 Al treilea plan de pr oiec t ie. Planul lateral. Triedre 2.2.2 Simetria in raport cu axele triedrului 2 .2.3 Sime t r ia in r ailor t c u planelcde pr oiec!ie 2.2.4 Simetria in rapori cu plauele bisectoare .

2. 2. 5 E x em p l c ! . 2. 6 A plic a l i i 1.3 Probleme propuse

. -. p. lll. DRE AP T A IN S IST E M U L D II P RO T E CT TI1 EO N G E - ' 1 Dr eapt a 3. 1. 1 Repr e z e n ta re P ro . i c c l i i .U rme 3. 1. 2 I m pir ti re ad re p te i n re g i u n i .P u n c te caracteristice pe o dreaptd

30 3l 32 32 .1{+

34 34 36 37 37 2n

l ).3.3 A pl i cati i rrngl ri l rl drcpt: ui 3.3.4 A bl i cati ial c ttort' ntci

1 : e r p c t t d i c t t l r rprcc d l c p t c o r i z o n t a l cs a t t frontaIe p t ao a r c c a r ( r 3 . 3 . 5 P c r p e r r d i c L r l a r| ,ac u r l r e a'dcrua dreptc a 3.3.0 Pcr'fcrrtl iculara 6t-,murra datc in pozi!ii caracterisiice 3.3.7 Adevdraialutrgimea rtnui segment 3 . 3 . 8 P r o i e c t i ap a r a l e l dq i c e n t r a l i a d r e p t e i 3 . 3 . 9 A p l i c a {i i 3..4 Problcnre propuse

4l az Aq

43 43 4:l 43 4rl 44 44 44 45 47 48 48 49 50 5l 5l

C ap. l V . P LA N U I,

hz

platrului 4.1 Ileprezentarea 4 . 1 '. 1 U r m e l e f l a n u l u i . P u n c t g i d r c a p t dc o n {inute ir.r plan 4 . 1 . 3 D r e p t c l c i m D o r t a t t t ca l c p l a t r u l u i 4 . 1 , 3 P o z i t i i l c c a i a c t c r i " t i c ca l c p l a n t t l u i i l t raport cu planele de proieclie 4 . 2 D r e p t eg i p l a n e p a r a l e l c 4 . 2 . i D r e 'a p t af a r a l e l r i c u p l a n u l 4 . 2 . 2 P l a n p a r a l e lc r r o d r c r p t d 4.2.3 Plan paralelcu un plan . \ . . . . 4.2.4 Pian paralcl cu tloul drcptc arbilrare ,1.3l n t c r s e c {i i d e p l a n e -1.3.1Plane date prin urme 4.3.2 Plane date prin alte elementegconte' tr lce 4 . 3 . 3 U t i l i z a r e a p l a n u l u i b i s c c t o rd o i c a p l a n auxiliar ,{.1tIntersec{iidintre drepte gi plalie 4 . 4 . 1 M c t o d a p l a n e l o rp r o i e c t a n t e 4,4.2 Metorla ploiec!iei paralele 4.4.3 Metoda proiecfici centrale

52 (c,

53 D+

56 56 56 o(]

56

60 60 60 64 05

nzI 7,61 z Gl l7,I 6II 8II 9I I 9II 9I I ?I I ttl ttl ztl ztI III III III

: : : : : 'JllHilf,,? ii is " : : : ; : r : ri'1"1"1:,jrliiii":l'i1;t 1il,1,j,?'ii'i"J L8 98

...:

..

?6 to

t6 t,o g6

z6 I6

I6 06 06 68 68 68

l ! ) u t l d J t s er ; 1 d o j pe r l e l o g g 1 . g . 9 :' t 1 't l'? l : .l 1e tp_ p ( ,;S 'g ) V n x r l e l d u ; . r po e z c l - ' " e o 1 d o : p 'uer lfo 1 i 6 . g . S : . . . t : l l l r. oR Sl ! J U J1 a j 1 s 1 l u l L u p dJ p D l u l l n r u f , r l e j u d e s l l r u J 1 a 1 1 srer l d o ; p ,e '1 i 'a 1 o 6g . g . 9 Fulo?p

98 98

-n8o.ra.rpa11od rrur:r;o1a5ea.ru;uaZo.rdjf g.5.g

98

-*"n,,'"o,rr;,;',.,,; ;;; ".;r;"r:JrtAlT raursr.rd ea.reluaza.rdai i.i.i

; ;,,; i,,,;,' .u r,,;-:lt"','j:j:"o'o,.,,;, FSrl rut.1,11su 3,' l n:p.

e leuo8eluadept wet i i. i. "* c.ref,oJeo aprrue;rd raun ea:eluaiardjx=i.i.i ' .rola.rpar 1od earelua-zajdi[ 3.g ' ale ln8a: - r r uas olor pr llod 6. 1. g ro lnA rnl r lr r lpt r U . it liuit nC t.t.S

r;1,to.rp izi['e1oU9.c.s :t'ln:p.F: lt-){Jta11se

. : : . . i"{'.,pu5rJnl,#.,i;,'jJ5i?,{ s; s

98 vtt

5.2 . 01. ' . 1 ot ualgor d l. / . . I dNI HDNN

:nld.ul 1s

o

iniqar,ij;;;

"r1u,p _alualncuoJalda:p gnop i.r1uj ^-..'_,__' surJ0nJ.rnlnrqFun e our.r^rur ala:Errabv /.c.c alcJerBoo ldrJp Fno p a. r lur p eluet s la ; . 6

. . . . l.tnlu.rfYrl.d:'n.ageilil.ecre[;; s

8L LL LL

prn;rJo nrluadrr-ra1e;rr;rrrs,X:tjc.c.c au.r,:n rrr.rd 1epueyduh-i; ...'^^ -u !.a lt s- nlls aualdr . r nl rl

ql

9L

g.g

. .": : : ."'".13:X;y"qord ae

t :..'_:__ rvd9r "'' "o"'f l,"i,ili'l',',$

l n J t e J c J B or r e ; d r n u n E J J B r u . l o l s u B J t,r.a '. - ^ , r ] d u n n : 1 r r o da r i r o r o . r da p j e r u oIi n "' ' , -rJo nEs lec11raarreld a

ir."l:j:! ptoearp o"F,n*';1#"';i","r"Ti1#i3,'3 z1lrundun e1apefueisifri3l 3 iA

.oruorr'"; ; ;; "r;";,,',""" p pldeoip ne^: l g d e r o""rr,5,t,""tt::tj:

_ _^.Fle)llrol uJ otrdrlpreun ea.leru;o1iue;1g.l.g . B1eluorj nes -.u. ô_z .t '. . tôu. ',J J l d J J p l J u n B J J e u J l o l9s1ueu]l t r '. r . c '..^_.'-p1dy.rpo n.rluod,ar |:,tro.rd-ap 1di

p",".",jf .::;r i' 1,Til#'.,l"' : j,Tj I r s i:.'i:

::li.::l:1:":r,: zt s iJi,r,loT""ifi*H'.i!

-JJrol 0 Jp IE JtJIJA tral d ap D JJB qul tqJq r.r.c

'

' orl rarord rp.ro;aun1d u:eq,uri 1j * ' epi l j #r.s (a,,rr 1dr:r .sJp raJlcuJoaFclcpoyary)

o?l'Jt'dm\ ;" ?'To ", "';il'[[,;Y','i{,'$ s'a : : : . : : :l,r."Tr.,r:-"i]i"i.jli[r;;g Y

TL IL 89 L9 LS 99 99 99 99

luor; Jp eilejop

pn:p B punuor nrnlnupu"Oin6 g1.1.9 1]-qilp 0uB Idl r,nFlraun 1 e aurr;auinl i rrq,\apf i i .i g ' uel dun e1l rundun

6L 6L 6L 6L 6L

9L

e ale r r lia, rlJ uln r r J J l .rr -B qB r ,urr,Bzlllln fcor oldop leluoir . r o u eld r r r unej. r aleqaN r . c . c I nU B I(tJd a lBJa JBo ' (lualBqel ea.rerrprg)rr.raleqe.l-epollW SS

::::.

68 I8 I8

ue1rr 1nun'"r"Jiflj,ld'.s.s :aj'1rpjr.ur.rct ro u ne o l a l e q e >zr .c .c op) crq8unldo:p rnlnrq8rrnr-rj !rl]:zo0 plnddd 'tn lnu Bld

: . . .

;; of eileio[ ;;;d ll,rrLr : . . . :"1"t.'".'1 | rarfelo: EpoloW

7,8

BL

u:lrJu!rorlsB r'';ijyl,$?l'jlg bt s

rnJnirunci e11ajo-g talrse :"111)'": !l I s.g r n l!r nlcund a

('d

'Intuat .rA-'dP:) ^\

: asndo:d aualq-o:4 9.g 1u3ue d rp lo ltlll 1n : nf u1 Bar J J pqBX zt.c,c . ( lqder ap r { J r eJ "' - -.ilj:j). :o1aue1deJ:jlequg 11.e.q -"!1."?gro.rd alrB l0llnd lJ ta un B au r r J eu eie. r pr r apv ni. 6. 6 . rue rd en oD ar lur p I nlq?t n "6 g 9 p1
-ll

s8

ac swglaoud .trA .dB:) esndo:d ruratqord A.g nlpJ lldV I ' l. g Jnrrr) I C)

.1,r1dj .rp-r,t19lL.g.g "q

j cp clcueld urp ,nu,,,.,.,"JlJlJ:J

',' rlflrpatnq 1.t t8 sUqsrlo4 'trInf'tle3 n8 g:lqo,qnuff6 s.2 88 . . (jji.iliyll (af uelsrp) asndord aurajtju-r6

IOI 86 86 86

YO

[ nr paEr apoc g. a. S

.rnqnr",.,ll]|ffi 6.9.9 rn rp a e rl a l .o l ;i --" .

IS VlNvJSrc

96 96

L8

ncroJr rqrnur,",r*r.,rilltllJ3inn# 1nue1d r. alu elra lord aueld ur . r d' r unr ir asi i. ".o R

601 80 r z0I 601

L6 L6 96

arfraro.rd opl l auul dul p l nunnt Jol u;ed yuln:p.p..trJrutIaJtse e-tialoge t e.s 1n1nue1d e1;ue1d urp l nun ,a ,u1n" ,i l oai " J 99_ B E U niqs B l !rtr! l aJl .sp rnl nubl d" eri al ou A I.e.9

B8

, n, "o',;;,0* roplnJ'1nr1*.,,iy]_"{;j13ff

, 61

A d V Wd O J S N V U T

,3Q

^^-r

-r

\.;.-/

rri ecr,l dy2' 9.7

;r.,"ri'oi:l: q.g.t I prraoJad Pl taoJ a.I o'c '* :l{t.T.-il"l: run*o. ts cuel dgnop ,:d :el n.rrpri ;df:j d i; g* .' unl0Jrprr-l n.rp.)rrl ",,-,",0";,,illiu::u,cturrqord iJi',fi " ;;; : ut,lHii3,5lii' Inlrl erlrn.rt,uoi i.6.i :f 'hi',1',''o,*1, :? 9 TI , l?.r Sar f elo.crLl u rpe 1 u .rl e n l q r3 /1 .g .9 B l oP JJp r, Bldprrp '^.i .i o

' : :' I I

Jl a l B r ed ps ^B r r r âpc uel dfn o pu ;rt;fb $ g i i i auBJdlln;rJ raune cri.rr.rgru plBJqlapvq r.r,.c . ' ar r : l a u o a 8c tri j L rri l -' a " _ a l l P u r r d lt ulJ op r n l n u e J de ri e l o ! y 1 .g .g

99

dd uLbprri od uJetnf,tlju.rtl.rotj' pu.rd.rott D uodr.rrl uldrn.,., i.i.I alOeug irf..9_..1 -ureIrrr t.q.i "r,l "r,)i

ue1f,6 .: : j,';1;ii.';r;J,;;5ilfjj"*.u,rd : tt1:ilp_oad.reJn:1p.u;orad i s s.it 'u p l o

t r i l J d u r u l n l p l r J d . r a r ie l d e a : q . l Q Il .'9g 't ., a;elnrrpuad;odauald9 ar$-oldaiq 9.p

-4*Ji

lff'"'

8. 3. 4Metoda trarrsformdrii planului

de sec-

tiu ne in Plau Pr oic c t ant 8. 3. 5Me toda Pr oic c { ieiPar al( ' lc 8. 3. 6Me toda Pr oic c I ic ic c nt r alc iiiungitiurilor omologice (con8. 3. 7Ii;i;;;

124 125 l1) c,

126

i,i pron.',p."i,it.' !fj;il'li"3."'f.ftffil t27

a 9" . 4'-. 2 D e s f i i q u r a t ac i l i n d r u l u i v m t i c a l 9 i rrontal ;ii";i;liii circular drcpt 1i a 'L . +. r i i c . f a ; u r a t a c o t r t t l t r i c o t t u l u ic i r c u l a r o b l i c cilirldrice 9.5 Irrterscclia suprale{elorcouicc tri 9.5.1 lntcrseciia dintrc cloi cilindri ' ' ' :

8. 3. 8

2 B B B t{ )l t5 15 t6 t6 l7 97

18l e8i e8! 0ll 02

tr2 r08 t09 l ll 1lI lt I It2 ll2 l l4 l ll l l4

lr5 lr5 il6 il8 ll 9 I21 122 t22 t24 t .l.{

'.,,-,-.. s.;.i i;i;;;;;iio ai'i['" rlouaconuri..il'lt9::

e.;.5i;;;;;;;;ii"oi"ii' u'iiu".ei,"" supral al a ct)nl L'asdtr

ool iedre 128 icdru '--9.5.4 Irrtcrsccfi a di ntrc o crdrcapta;i trn-po.l 8. 4 tnt.r.Ic"t'ia=Jintrc ' ci l i ndri cil i o' tupl ui ' i tepol i cdral S .-" g .q-.i-t''r.i"t . . . t iadir r t r c o dr eapt d. Ei( ) .pr ls m a 128 cl ca 128 i n i ni crsccl isupral pir am t o a i ni i ni tc o i i ami rrl dr eapt i; i s.s.f dint ' "o s.i.i ini.t'. . iia t29 l or coni ce9r ci l i ndri ce 8 .4.3 llctoda. planc lor pr oic c t ant c 129 Problemc 9.6 Dcsfbq ura t cdc Polledr c Propuse 129 8.5.1 Desligurata Prlsmel 130 D E R O T A l 'l E S.S.ZOesfdsurataPiramidei ' 131 C a p . X . S U P R A F E T E L E 8 .5.3 APli c af ii . gcnerale rotafie de | ?,t Suplafe{ele l0.l E.6 Intersec!ii de Policdre 1 e.) Rclrezenlarc C c n e r a l i t h t i ' l 0 . l . l prismc : ..1 i'.d.i- tn't"t...!ia dintre doud 134. 1 0 . 1 . 2 D c t e r m i n a r c au l l l l i m c r l d l a n id a 8 .6.i i"i.ti . . ii, d int t t o pr is m d5i o. p, it am r. 135r 1 0 . 1 . 3 P u n c t d e s u P r a f a {i , ' pe su-,.' 8 .6.3 In tc r s ec liadint r c dot t a pt r am t c c .135 io.i.+ Plan tangerit iutr-un punct . tt 6 .4 Ao lic alii nrr fa i5 prafatd ivl . Polidltcl,I: 8.6.i Puttct cx' " - liit.tpi*iur.u .dcscript t cc 1 0 . 1 . 5 P l a n t a r - r g c nprintr-un ti.rnaid a epur c lorpr iv ir r d int c r s c c lt l ter ior . 144 direclic Poliedre 145 1 0 . I. 6 P l a n t a n g c n t paralel ctr o i.7 Ploblcmc propusc d a t i t a\ \ pl,andat 10.1.7 iTri tung.nt paralel cu urr' sl cll-lNDRICll 147 -rri.rx.\upnarrTE coNlcE prin urmd sau-prin dou5 drepteconcutcnte l,i\sgf"r",,tare. Planc tangcnic' Normalc1i 147 de ro1 0 . 1 . 8 i . . i i i i " i p l a n e i n s r r p r a f e {e l e lankcntecomune 147 'd; ' ,' I g. i' i- r i" p t.r.rtta rec, o n tu ra p a rc n 't tatie plin" tangenteduseintr-un punct .pe dirrtrc o srlpral.ala I n i t r : t c 1 i a l ( t . 1 . 9 b.t.z " ' sau ri n tr' u np u n c tc x te ri or 147 i o i i t i e 'E i o s u P r a i a ! d c o n i c a iup i i i u-ta tdni ague nptd p a ra l e l c ' c uo d i recti c g. r . e i' l' rn e cil indr icil

t47

163 165 1 65

167

168 16 9 17 1 173 t74 t7 4 174 174 175 t76 t77 178 179 180 180 181

10.2SIcra L l .4 $i:i.'6gentecart faciu'ptanut'oiizun- 148 10.2.1 D e t i n i {i e . . R e p r c z e n t a r e D c t t r m t - t Bl ' ,i d a t u n g l ri t al u n , l a r e a u n u l p a r a l e l .' ^ . la c om ull c t allgenle plan" 9" .1.5 ' " Tangc nt c $i 149 i l i i ^ . t p " s J p r a f a t a .P l a n t r l t a n g c r r t 182 10.2.2 cilindrice conice ' ;i Aoriiupraie!'e intr-utr-Punit Pe suPrafa{a ' s up r a . doua la 9 .1.6 Plane t lngent e par alele 183 149 10.2.3 S e c t i u n ep r i n t r - u n p l a n p r o i c c t a n t 183 Iete conice Si cilindrtct' o a r c c a r c ' p J a n co l l t p r i n t r u n 10.2.4 S c c i i u n o 9 .1.7 No r m alac om undla douds t lpr alc lc slera ldD 150 r0.2.5 iîii.".fi, dintrc o'drcaptd9i o plall ce s i c ilindr ic e l 5l paralcl cu un ' s uplim ent ar iangent dat c on Planul unui 10.2.0 9.1 .8 Co n 187 urme

: I Sectiuni plane in suprafeleleconice 9i cilitt' lt|i' drice t52 1ui Dandelin 9.2.1 Teorema 153 9.2.2 Teorema iocarului _to,J 6 .i.i Co n. t . r c { ia s ec ! iunilorc . lipt ic e 9.2.4 Construc{iasecliunilor hlpcr.nollcc lDo 9.2 .5 Cons t r uc { ia s ec t iunilor par aDollc e g.i.o fuf.toOuiransiormdrii plhnului de scc158 !iune ln Plan Proiectant prln secfiunilor Pfane 9.2.7 beterminarea ', . . , . . conf igur alia.Des ar gues : .' pr in m e l o o a 9.2 .6 S ec ! iI nea'plar r d. inc ilindr u 159 cliametriloi conjrrgati 9.2 .9 S ec ! iuneaar t t ipar alc ldilt c ont r lc lr c u l a r 160 ' .' ,: o blic s upr a t a i a o dr c apt d o 5i dint r e iritcrsc Clia i'-160 conic i s au c il indr ic i 160 con un qi dreaptb o dirltre ia '-r.3.1in{ersecf dintre o dreaptd Ei un cib.5.i i;i;r;;iia t6l lindru . 161 qi O*.lasuio]ie supra[elelorconice cilindricc l 6l -'.{.1 Tc or c m alui O I iv ic r

dat Prin o direcJic 10.2.7 FTrn"iing.nt paralel cu 187 datd o pe pcrpendicular tang"r-'t 10.2.8 Uiun t8 8 dreaPtd datii dus printr-o dreaptd 10.2.9 pjrtiirng"nt 188 datd. facc unt0.2.10ptut-t tans.ltt la s[erb carc proiccl 190 ie nitlrrl Uri. cu p latrelc dc 190 tctracdru unui circunrscrisb Sfera 10.2.1I 191 intr-un tnsc.ise Sieii 10.2.12 -tetraedru sferc' doud la comur iing."t Fl"ti 10.2.13 d u s p r i n 'i r - u n P u n c t e x t c r i o r s a u 192 n a r a 1 6cl u o d i r e c t i c d a t a t s3 doud dintre iniersectia 10.2.14 -sfere 193 s l e r c t r c i d i n t r e 10.2.15l n t e r s e c l i a t 94 ijiun tide.nt comun la trei sicrc datc 10.2.16 194 r0.2.17b.tfeEuiEt"u aproxima.tivd a sferei 196 noii.itli. Consiruclii de slere 10.2.18

10.3 Probleme Propuse

10.4Torul

197 199 a I

rr**

t9a I96 09a 096 gic

trit 89a

896 894 LgZ g9G

..^ eJrrpu tlrc g lBploJ llDpr BJ s I . g. gl . .- . ' . e; epr oJ r la' r iej{ 9'tr .a leJau a8 qnln$ af ale. ldnq r . c . c r .lellp d ' lalrJ n r qnr nt alaier dni ; a. ; ; rE ln rq ;un rrl la JrJn r q n. r nSeleje: c J ni ; . ; ; ; . qnrn$5talir.,o,i{ C'8t .. rulrrp 1r nd11 a1ly :::: 6. p. gi

p9G

u1o1lnq;:1s1p ap ln.rp,iuibj at Z.EI Oga :n?rtd1.'{

lr9'l,l 1-:.ru1r! ,, r.r, :'p jr:sl,rl 'alioo un.1(pldea.rp o{df#il"j 0r.z.zr : .n,j,ip

646 d 66

' prorrc

,' s'a'sl Rcrrpur,,'j"u'#:E,rLq ..' p.rorla.ul rs. : n'z.tl .n,lulp ;lf:,?",t#J -!o cJ lg. ar nqu! s nr p l rrl rr g p r.e

j':l,';,'"i,l Sggl "18,r:i:i,1i,"f*l$::i

lt66

: : : : : : . I'rlo?'j'o,;iillill:i zzzi

LAG i2, f,oo

,Llgl-: pl**a eareuru:.raloq .eriloq -Jaql rJ Itunri Jas

i z i o ri 1 g

t.Z .t,I Y'1?',i;i3;3"i'[i,fi:l':3 : : r: Tt8iz'tr

86 eqa ffiG 89A

ap tJndr e'z"zI ' ' '=:"'"'"H''lii;1t5]ropoqnr " "' e pseo:n8rrea.ieurii.rolaq,iio""

vub

zga z9z 196

cleprorr;a alalajeltJng lJJ.lJaI ounlsJaAulul:d eleru;o1sue.r1g.l.gl

I9G T9G

.

L''

va6

rarrJo e1zunsppjfo -llplter.r.Di.i.si ii;i

' FJ r lpur lr r ea) lI g

.l p.u:tgun-.ri uy:d.pj 11o11ni nunl j J" f s.G.6r

vb6

: : : .^:'rjrlD.'l'T1nw ;f,H3ii i:ii

t9z : : : : : : .

*ruiffi+fiili,, i::j:-,,'r' ",,

\tz

r.r.rr ..at]!:rl{?a , PrlJaJs eaJlJA ,' tl ' e ) lu o J Bo r llE 8'81

;";, ; ;^;,;;*;,;,

99C

rez

.

L66

' (, z z z

I'CI

'rr3 a'rahcvudnt is orriflot',o,i0,,

uJ;"j ?.6.a1 1.,ntun1 :rid1. :d.lr.u1dyn_.r1u1 ap.I$ 1c.t1u. 1,,nlirT{ t.6.61 ".p.oyl.,t.rr1r,l. -e;dnsad lruncl rnun ee

6.G,6r ,i""ll.,Hil,i$

j ri pl l e.rauag 1rl ng .' orel uaza:dcy. I.a.GI o.nc

666 elfeloJ a.ar 1,ryprb-1oql"tr"ii 062 . . : . frytl 6ra .....^sr!rpu!rrJ v(,6 s aI 6tz ,r3j1fl"";fJtrlqord !lererdns tll6 " Llfcjsriful -1q p.1o1oqu:ed un arlulp y1.p..61 a1u1Fr.r :olalalerrrns 6 IZ ' '...rl l ?l9j rro',llli1?ro,,r.l.lr.J,.r, ap pf uger d ri srs 8r?, ' o' rrl o q j a ,i' , ' " ,

:: .:.. "t".'r?l''.iiiHiig 2i2l

L?7, lr6 9ta 9'Z

9nz

,vz tra gn6

Ii r zt ,_- _ollelo: op pJoloqrad;q i: :Ti:i:'i#,:l':il;il,xti,"iut allulp e1fras.ra1Lrl zri ar :B-arp_o-

rq pJoloqe;ed :: :i ii ailusf',ri.,nr.iiirli yn. -t{':,p,i,;dllj'r'r',1',.",#iul

ls .pld:orp . ' , r unrfro s

;-'...^. _^

..

r r.r.zr . "' o p ra q .rn "i

lrund un_.r1ug riu'oairej !:._llirnt ue;d 'aJpJorso un-:1urrd:junllrai 'irr:d aru.rn

1ep ueld un nc 1a1e.led lua8uel upld 6. t . 61 ' ' JOrJalxo lualuPl ueld g.t.zI

o n" lolrrrd'r"*", ,iJtO . ntr,rl$ L'''61

GL(t

886 aqG

IIZ I l0

I1 6 ou6 60G 80G 906 904 906 ,06 c06

ue

ISE I8A It8

y.l.vcvudns vl

l0z

v o ol

. . : . : : : : .'. b.:r i4g9*f i's'6i Il l !utJac

I.9.01 . : : : : :'1"1?i,3i,r"+.Tiry;?,r,

uyil,""ii . . . . : . . . T,r:,{:"y, oi; oi

:'J,',fi[ j"i'"?l]:iig,.il 3:i3I t'',5,",::i+ .1ru:rjr? ueJtt un-.r1ur.rd aunrfrogii 0i : : '

( l U Pl J J r O J d)

u,n-:1u1id. ount-f-ros 1P1t?.t? .u1t,J. 9.r.0r I0 6 o-:1u.1:d f?gr:.rl .-".0trr*r, Xl* 9.r.ol 006

: : : :l'l :"';iJrJ'1'"iJ';hj1lili ?;Eti 00a

r.d 1"ll-1' 0| ;i?,?iL'J"j;o,3ilf0" :,t".TLt'., ] u J d u p l p r u e 1 4. g i e l z . r d n so d g.r.0l

: : : : : : : : : : j,,,'ilJ|iffJ??,"n1"$,.,1 661

r'lnrrrcuorun 1sgzuld o;"'.,ifl,[: opproloqradnl un arllnperfrairaiul bl.6.ZI

.o*, nrorir trnYoo$ll!*'?X

curalqo.r4 : . : : : . : . : : : .^"1{9.rd e.s; erfras;.1uru, nrro1,r"rr.i"':iij?;lie.c,^r

i,r : ii -'"*i -,','i*itllj_,i'l;'l;,ff : : : : : : : : : ''r";iJii[i?fi'ili+ 806

I rl

t'

o.P:o1af a1e.rdns' eitrri:51rii,. ]lletor. 6.1I ' 9' ."'"il'1";iiorlurrrqord 1 rrferrl dy I.t:ti \ . ' l;nrrl8unrs cl uel srpap rural qordl .l l

! t6

(' tJ6

qi;Ju''dn't .o'"i j.r"o un-.,,u,'runl

aJYlDrUalagvuans.trx .dPf,

L IA 9 IA

en6r ll:ll 1*'.*r,T,,l3i;,f,:llni svat ov7, iLriili{i{r:"'il'r":3i:};ii""",$

886 !t',2 88A

'

6 tG

661

1;un6 . l i r o l J o p r S y c , r r uo p a u e r d ulr(t loi ur lrrnliccgic:elujzo.rdeg Z.b.0I gsrolur g1e1 - E r o n sp r l e i r p r s u o f ,1 n : o 1 . a r f r u r l o 6 ! I . '. 0 1

F

ll BI BI p 82 B3 B3 tl3 B4

trl8 l{0 143

its 144 245 t{6 246 I

fl47 217 21E

e{9 :'n 251 2:al 251 251 252 252 253 2Fn ?iaz 2.8 2-a4 255 2ffi 257 2:8 258 258 2i3 zi8 260 260 261 2 61

13.6 .2 A p l i c a l i i :..... . .. ' . 13 .6 .3 S i a rae l i c o i d a l ca o ni c a 13.7 Rampeelicoidale 13.7.'l Aplicaiii

263 263 263 263

267 CONOIZI cap. xrv. SUPRAF'ETE 267 t 4. I Generalitili 267 t4.2 Conoiduldrept este curbd Directoarea 14.2.1 Reprezentare. plahdsau strimbd.Punct PesuPra267 Ia la 14 . 2. 2 Sebt iuniplanc in c onoiduldr e p t p r i n olane oaralelecu directoareadreapta 14.2.3 Sectiuirca pland in conoidul drept priritr-un plarr paralel cu planul cercului director 14.2.4 Sec{iuniplane in conoiduldrept,pritt Plane de caPdt care intersecteaza directoalea ilreaPtd 14.2.5 Secfiuni planein tonoidul drept prin DIanevertlcale 14.2.6 interseclia dintrc o drt'aptd 9i rrrr conoid 14.2.7 Intersecfia dintre un conoid drept si o suorafatdcil indricd 14.2.8 i:lanui tarigcnt conoidultri drept intr-un Punct Pe suPrafa{d' : .' t4.9.9 Planul fangentconoidului paralcl ctr o directie datd 14.2.10Conoidul Pliicker I4 . 2. ll I nt er s ec t ia dinir e o dr eap t d E i u n conoid Pliicl
269 269 270

27r

Cap . XV. SUPRAFETE c lLI NDRolz l l5.l Definif ii. Reprezentare 15 .2 Ap lic at ie 15 .3 Se c liuni plane in c ilindr oiz i 15.4 Desidsuraieaaoroximativl a unui cilindroid 15.5 Inters'ecf ia dintre un cilindroid ;i un cilindru cap. X V I. SU PR AF E T EL EA R R IER E .V OU S -

SURE $I BIAIS-PASSF t6.l Suprafa{aarridre-voussure '

r6.2 Suprafatabiais-pass6.

q79

q7t)

97'

273 274 274 274 275 276 977 277 277 277

C A N A L, S E R P E N TI . C an. . X V II. S U P R A FE TE NUL, COLOANA BAROCA, $URUBUL S t. GILLE S 17.1 Serpentinul. Coloanabarocd baro 17.2Colbana 17.3$urubulS t. Gi l l es 17.4 interseciiadintre o supralatticanalqi o sttnral at2ici l i ndri cl c 17.5 i ntersectidi a ntredoui suprafelcattal C ap. X V III. P R OIE C TIAC OTA TA P l anul l 8.l P unctul .D reaP ta. 18.1.1General i ti triP.unctul 18.1.2Dreapta.Distanfadintredoui puncte . 18.I.3P l anul : . 18.1.4A pl i cafi i . 18.2 Problemede incidcntd

18.2.1 Intersectiadirltre doui plane : 18.2.2 Intersec!iadintre o dreaptdI,i un plan 18.2.3Sectiunepland intr-un poliedru . 18.2.4Sectiunebland ln con 1 8 . 2 . 5S c c i i u n c - p l a n di n s f e r d 18.2.6 lntersec{iadintre o dreapti ,si o sfer:i 18.2.7 Intersecfia dirrtre o dreaptii 9i rtrt hioerboloid 1 8 . 2 . 8A p l i c a t i i . r8.3P r o b l e n r id e d i s t a r r l c; i u n g h i u r i : 1 8 . 3 . 1D r e a p t a p'dei rnpt rccn d i c u l a r bp c t t n p l a tt d r c p l c d o r r d 1 8 . 3 . 2U n g l i i u l : .. comunda douii drepte 18.3.3 Pciperrriiculara I8.3.4 Aplicatii . I tr.4 Umbrele'in prbiectiacotatd . ig.a.t Umtria la soare a unui paralelogram 1 8 . 4 . 2U m b r a l a s o a r c a u n u i p o l i e d r u 1 8 . 4 . 3U m b r a l a l u m i n a r c a u l t u i p o l i c dr u I t r . 5 S t r p r a f c l e l et o p o g r a l i c e 1 8 . 5 . 1G c t r c r a l i t i l i 1 8 . 5 . 2A p l i c a t i i . lB.0 Constluciii de Platforme ' 1 8 . 6 . 1A P l i c a ! i i 1 . . . 5 I8.7 I)rO[lcmc propuse

.:\ c f u ' .X rX .$ CO P E Rt S Ut t t 278 re.J\dlitati

279 280

280 281 281 284 284 286 286 286 286 289 289 290

292 292 293 293 293 294 295 295 295 295 296 to7

297

w7

297 298 298 298 299 290 299 300 300 300 300 301 302 302 302 303 303 303 303 304 304 306

-= q

1 9 . 1. l D e fi n i t i i 19.1.2 Planul.acoperi;ului9i elevafiile ' 19.1.3 Clasificarea acoperigurilor w.2 Determinarea muchiilor de intersecfie ale a c o o c r i s u r i l o cr u f e l e P l a n e l 9 . i . l M e t o d ap l a n e l o rd e n i v e l . V e r s a n l id e pante egale 19.2.2 besfdsurarea acoperigurilor ' ,' 19.3 Diferite rezolvdri dc acoperiquri . 19.3.I Acoperisuricu versantide panteegale de versanli cu 19.3.2 Acoileri$uridcnivelaie pante egale I9.3.3 hcoperiqirri cu versanfi de pante difer itc 19.3.4 Rezolvdri de acoperiluri dilerite pentru acelagiplan . 19.3.5AcoperiSiri-care ',bat" intr-unul sau m a i 'm u i t c c o r p u r i d e c l d d i r e 19.3.6 Acoperiguri terase sau cu scurgerr interioare

308 308 308 308 308 309 309 310 310 310 313 314 314 316 319 I

?,gt zgt I98

ot'e'oa -,;.;"; ".,r0',itri*1.,":';;";{i:f; uas EJoJsl l:.:qY :d.".,"Jnlq?uy9.1p. ;jl,H!l

6'e'06

t88 8e8 88e

t' t 06 rnr"rp,'jrri"iJlxHirl i*r.n'.rrl 1u1!11'1 c r a 1 e 1 n . r 1 e dt c L u s t r d n ! 6 ) o l B I teptulu.ltdBlqrun Z'n'02 -nFa.re.ra1e1nr1ed ' 'a l B c l l _' -JoAalauo8exaqaustld laun sJqtun .l'7'06 ' ' CSt oP P1tral1P)9;e;1 -rqrBarlf,oJlpo nr 1:oderuJ lolarqun lnasurl 96.96 u:nF13 ''06 ep atfcotoldap ze arfrolo.rd ctrlaruoaF1n-1nd:oc urp urp cr:laruoa8 1n1nd.ror d r q u n 0 t '8 '0 4 l e j u o z r : o 1 n u e 1 dc d g 1 e 1 . r n E arlcatord ap ao arlJarord

u urc[ ttn rp g lr ur F: Pr u' P1l6atnes e8s e errdo:d Elqun 8'9'04 pldrlur 'rarJ;siuras pl. quln L' 9' 06 r'. '. '. '. .- . I nlnlol I9 8 aee r$elareap nrpulpr un oo alel I9 8 ' ' dr1 jo-otubrtc1o:eolelau'rF nJ I n lnlp -rrozr olclqun 9'9 06 -urrlr orB atei.rridrS tr-rdo.td aff c r lJ pulllJ lluos 098 erb uo rl5a s;r1 or d ap ap Inln)rarelolqufl 6'8 04 alauelded 111o:d iiputjri e pibl:nd ti at.rdo:d?rqun 9 9'06 '' ,C C ap olaueldod 1uo.t1 allr;Iord : cluaruala ad "' n.tt. errrpulllrturas eSlu ala4run 8 g'06 099 nf " l:nlu. lsueoloc .rnlnf,r3r ;otsaje alalqun tt a.>t.tputltr ?p. zse e: qur n i 9' 04 r nlnlelr deo a d'crtpu r llc lnin ''i ueld un ad (pplruurrdr6 ausr.rd) : uoJ eP lqJunll oP ' 6r8 erqiufl e et.rdo:d 8'9'06 tnlnlaltdeo ul Brxro] f allr I8t 6?t ap.alaueldad n.rperyodlnun alarqufl 9'8 04 ?rqun Z'9'0^?a Lnt -odo)sapo)llpull!rluas la6!u arrlqo oleuoF t88 taitu e.tqrun I'9'06 Lv7' elr.radojuaf,ljpnlllclruas a1eoflctust:d taun a1a'a1e1.rnd -exor1 'oxaAUO)nes o^Bcuof,oloj - o 1 n e r S c 1 e 1 : n d 't r : d o : d c l a r q u l - l C 'S0 6 Llt -e:dnsurfuor alEJ F:nlrallqJEap.Jololucualo ^-^ alarqrln 9'06 olirq*n i5 arfelo: ap rolafale'rdns aP ' plord ap IapErrBslarqull ll.t.96 :a1e1n:-1ed-l nun .rl B rl l ral ol d Ltt al ai rel d od rl pl Jnd .)JB osB I sl al qun o1i1uo:1rolcpef,realolqun 8l'9'02 t' t' 07, gl11 s r r lpullr J laueolor al l cal oJo aP al au?l o oo IP l A bi' 0gs elqun Zl' 9' O Z' €' 8' 06 -uozr:o eedo rq8rrnl da.rp l nun P l qul l 1 nsn1a d cle rpar lod laf , eqe : ' atl rato:d ap rl ou tc Pef el lB I BluolJuelo cbc 0tr nlrl' r:" z' t' 02 un ed ateprosnutsteStu:ol aloJqlrln II'9'04 :nri :d."1nr:,:o. .! ""rr'JJ.YJl $r:a do re'u ir'adlt lez ar I nun olalqun 0l' 9' 06 c#c 6At aueld od nes etfreto:d eP alaueld ;;; $t.radoreed .lo;aururnlolalqun 6 9'04 " ' srradocead-lnlnsoo 8'9'04 od ialdarp e1utS rnlnlcund a1a:quq I' 8' 04 2;E 9pr_1*Q el lolarqun lnasBrl 8'04 ' (e:eos El) i;; le ur quor nes ll1or o 3P 6Zt "9V '1pdercp tode:ednr roprers clsrqur;] /'9'0e aP ' atfcaro:d lBluozllo b6u Pls uoFllo0ounll r*c 1 n u e 1 da d r r l q o n r p u l J l r l n u n E '8 1 -rcs n r rdlt1 sa d r npiialr deJ3la' r qun 9' 9' 04 e l P l q u . - 1 I 6 '0 6 'r l e u l u n l r6o1:do.rd -e1.rnd a ue td cllt e: dns aP c lluldJ Pt u A cF ' acsv orBJareo :oloSrrra1a ri inlnuolleq olerqull 9'9'06 nrpaEJlalun op allrolold ap alauElo alPluoz llo ljnlljolo occ cd a1e1:nd orBulurnl EI alorqun !'Z 0Z erqlrr1l rolderp ,'9'06 rp rrrrs o od lgderep ' " eunluoJ BZBq 6ZE llnllJ c. )f 1l rlo ) o llJcllp nJ J lBluoz lJ o ed g1 padrdrlale:ed nf, lBrrlro^ -utet -un -ord ap at:as b ad ralecllral erqun 8'9 04 aptruertd n.r1ed c.reiei -ezc'Se'g i n8a.r a 1 . r n d ltulzunJojo g€g rJUn r 1 S b ; . r d o . r da : q u 1 F:Z'06 3 ttlJIlp nf, c lBJ lllJ A r r nlllo: d c P ' cleuoEexoqaustrd e1eu1"ro,^t E.lqutn A'9'0A aiies'ci ad rrle.yrozrro'oluorJ l r r n P g i e l r n d r S e r . r d o l d e : q u l 6 1 (J6U6 : ' 1 ge€ ltulzunJ ollcelo:d aP olaueld 86t -o rd rlllo 1lp ll) J leit loz llo llnllJ olarquq ttnlnlcund n l n l c u n o.larqLull ale 1 ertisS rnlntrruno ratdo:n a od od raldo:p eloJqu.n I'9'06 -o:d ap cr.laio ad lolt?JllJrA (aJPuJutnIBl) l]ulturll 8ag qrnl gts op el el l ortnd gsl n5^ o el Jol a;qIxn l nosE JJ , alarqurn 9 04 g 1'66 -rollqlu ep rollllBioP.l3:o1a1uauro1o ' P urtunl ap rol azer eti oo:t6 /zp. elaP:e1d aP alJulld ' ; JIJpulllJ rnqluBl un ao etrez 9tl8 Lzt a.1rdo:d 6'l'04 q1e1:nd -o$eatt:alsturasclodno loull BJquIl 8 t'04 ."lqy'1 .16. a;lliln Fr?'r' 98t -lq ll? Rtllu inlJ p c llJ ollp o nJ J J ooEJ - l 1 l E l n P s e j s o s u l P l q u o 'P u l u n l ;p' eieg 'clor5 'lolc.rquln ltlrsr?lI I l'04 ri;'ro:e1se piulrnd t6 al;do.rdarqun L'1'0(' tlRirlBrauaD ('s 's) v 9l'llrorJ gsu gZS

:*:r:n "l .nr:Y':u:l"Y":li*o,H,tL'ta7'

!:ti:r;ts ,rio'"r-rr,,, rnnr,.'rr"o

D Ul l l

B l l l tu l l l

:r.riilr t

t[€ ?le

op

lolazPJ

ellJJllp

Rtuiintl'rs airdo:d urqLufl 9'f 0a ourn urrd ]ePuEld

Itn -JlltllBnlls elEp ?z el J p J J J Jlllun ;r1ettlroto:d .rp clctteld ad alrlqutfl f i'07' 1da;p nES'rllqo Je tnf,JlJu oJ l t lull ole at f r c t o' t dop a1 -cireld'eda1u1;ndtt rtrdo.tdalorqLun V'y'07'

96S

' vAlrdlufslo v'ff"\, -awo?DNLuo-llltEwlllnlonrs\xXrfou3

('()L loL

IZI 6tt

'

.\J 'l r l s J r l c l v z 'g '6 1 tfeltlerrLtca 19 61 r J r l q n si q l l l ) l r B I d t l n t t r a 0 o r ! 9 6 1 ' ; r s t t t l o l tJl u l J l q t 'l d h '6 1

-

20 .6.1 1Um br c le niqei s f c r ic e dc prrrfil seclio20.6.12Umbra ni;ei sfer-icer nate 20 .6.1 3Um br ele unor t li; e s em ic ilir t d r i c c miirginite de diferiic suprale{c dc rotaf ie 20 .6.1 4Um br ele t t iSc lors ier ic cc om bina t cc u dif er it e det alii de ar hit ec t ur i 20 .6.1 5 Um br elc pr opr ii. pr r r t at c5i aut r r p t t r t at c ale c om binafiilor de s upr i r f t 'l c de r ot alic s t udiat c ir t ac c s t c a p i t c l Ca p. XXI. PERSPECTI VA LI BERA PE T A BLOU VERTICAL 2 1.1 Pcrspcc t iv ele liber e ale pr r nc t ulir i, dr e p t e i 5 i a le planului Elem ent eles is t em Lr luiDc r s pc ct i vd e 2l.l.l proiec!ie 2l.l.2 Per s pec t iv alibc r b a punc t ului 21 .1.3 Alf abet ul per s pec t ival punc t t tl t r i 21.1.4 Perspectivaliberi a dreptei 'doui drepte 21.1.5 Pozi\ia relatirrd dintre in. perspectivd.Perspcctiva drcptcI or par alele 2 1.1 .6 Per ipec t iv a dr ept elor c onc ur c n t eg i a dreotelor necorlcurente 21.1.7 Perspectivele dreptelor orizontale pr inc ipalc ( dc c apit ) 2 l . I .B Fer s pdc t iv elc dr eir t c ior or iz o t t t a l c indreptate spre pozitia observator ulul 21.I .9 Perspectivele dreptelor orizontale c ar e- f ac unghiul ile 45' c u t ab l o u l intr-un sens sau altul 2 l.l.l0 Per s pec t iv elc dr ept c loror iz ot t t a l ec u dir c c lic ar bit r ar d 2 l.1.ll Per s pec t iv ele dr ept elor or iz o t r t a l c egal inclirratepe drepteorizontalecrl direc{ie arbitrari gi pe baza xx. a t abloului 2l .1 .12 Per s pec liv eic dr ept c loror iz ont a l cp a r alele c u t abloul 2l.l.l3 Per s pec t iv eledr ept elorir ont ale 21 .1.1 4Per s pec t iv eledr ept elor de po z i {i e oafecare 2l.l.l5 Elem ent eleper s pec t iv ce ar ac t cr i s t i c c ale olanului 2 1.1 .16Conc iit iac a o dr eapt ds d f ie c onti n u t i de un'plan in perspectivi 21.1.17 Determinarea elementclor pcrspective caracteristice ale unul plan definit prin perspectivelca doua drepte concurentesau paralcle . 21 .1.1 8Per s pec t iv aunei or iz ont ale a p l a nulul. . , 21 .1.1 9Per s pec t iv aunei f r ont alea plan u l u i 21 .1.2 0Planul v er t ic al ilr per s pec t iv b 2l.l.2 1 Planul de plof il in pc r s pec t iv i 21.1.22 Planul dc capit irr pcrspeciivd ?l .1 .23 Planul de niv el in per s pec t iva 2I .1.24 Planul frontal in perspectivi 2l.l .25 Planul radial in perspectivh 2l .1.2 6 Planul paralel cu baza xx a tabloului

il52 353

353 'J i]J

357

't (o

360 360 ,JO I

362 363 363

364 364

305 .JtID

366 oo/ JOI

368

368 36:l 369 369 309 370 370 6/l ) o/ I J/

I

2l.l.27 Perspcrtiva dreptei de intcrseciic d intie dor.ri platie concurenlc 2 l . l . 2 E P e r s p e c l i v a d r e p t e i d e i n t e r s c c l i <: dintrc un plan radial qi un plalr dt: capiit :1.1.29 Pcrspectiva dreptei de iniersectic c l i n t r eu u p l a n v e r t i c a l ; i u r - rp l a n d c caoiit ! 1 . L 3 l l P e r s p c c l i v ap l a r r e lor parrlclc 2 l . l . 3 1 C o n d i {i a d e p a r a l e l i s m d i n t r c t r dreaptdgi un plan in perspectivi , 2 l . l . 3 2 I n t e r s e c {i ad i n t r c o d r e a p t i i ; i u n plan oarecarein perspectir'5 2 1 . 1 . 3 3l n t e r s e c {i a d i n t r e o d r c a p t : i ; i t l n plan vertical irr perspectiv?i 2 1 . 1 . 3 4I n t e r s e c {i ad i n t r e o d r e a p t d g i t t r t plan palalel cu bazaxx a tabloului : 1 . 1 . 3 5 I r r t e r s c c l i ad i i t t l e o d r c a p l i 9 i t t n p l a n i n p c r s p c c l i v h f, o l o s i n t lc a p l a t r a u . r i l i a ru n p l a n d e c a p i t ,t .) D i v i z i u n i p e r s p e c t i v e 2 1. 2 . 1 D i v i z i u n e a p e r s p e c t i v e i u n u i s e g ment de drcapt:idin planul orizotttal in pdr{i egale 2l .2,2 Diviziunea pcrspectivei uturi scgrnent de dreaptd din spa{iu in pIr{i cgale 2l .2.3 Diviziunea perspectivei unui segment vertical sau lrontal in pdr{i egalc 2 l . 2 . 4 D i v i z i u n e a p e r s p e c t i v e iu n u i s c g ment de dreaptl din planul orizotrtal in pirfi propor{ionalein raport cu anum-itelungimi date 21.2.5 Diviziunea perspectivei unui segm e n t d e d r e a p t i d i n s p a {i u i n p a r t i proportionalein raport cu anumite lungimi date : l t . 2 . b D i v i z i u n e a a r i e i p e r s p c c t i v e iu n t t i dreptunghi vertical sau orizontal irrtr-un anumit numdr de pirti egale 21.2.7 Diviziunea ariei perspectiveiunui drcptunghi oarecareintr-un anumit Irumir de figii egale 2t.3 Drcpte concurentein puncte de fugd inaccesi' bile oc tabloir 2l .g.l Metoda iriunghiurilor asel.nenea 21.3.2 Metoda ortocentrului 2l .3.3 Metoda celor trei secanteconcure'nte 21.3.4 Metoda transversalelorgladate 21.3.5 Metoda reJelelor perspectiveregulatoare 2 I .3.6 Metoda liniilor proportionale 21.4 Misurarea perspectivelor segmentclor dc dreaptd situate in planul orizontal sau irr spaliu gi constructiagi mlsrt' riitoarcaunghiurilor dintre drepte in perspectivi 21.4.1 Mdsurarea perspectivelor segmentelor de dreaptd principale (de capdt) 21.4.2 .Nldsurareasegmentelor de dreaptd frontale orizontale

3/ I 372 372 372 372 i72

373 J/ua

)t)

374 374 371

J/O

J/ il

376 377 377 378 378 378 378

378

379

-tt

zl esndordaualqord g"16 ' aylerFolo;o pdnp t.npplr laun Inlnrolrolulz plllcedsrad(erf erfrnrlsuocap'6 elfuctldy G'L'lG -n1t1sar) arierFolo;o ?0t pdnpr:rppp laun e Blllcadsrad (e1f slrrnrlsuoca5'1 elfecgldy l'L'16 -n1t1so.r) glllcadsradutfnltlseYL ' 1 6 ' t0? ' 7,0v llosoprPoaP rrndrl a1lr -a1tp n.lluad anllcadsrad11icn4suo3 87,',9'le zCIv 1e1nc$rrod 90t 90t

IO? I 0h

00?

668

668

860 t68 /68

/6€

/68 968

968

96e

-oJe Inun e p,rrpadsrad urfcnrlsuo3 a6'9't6 ' ' 891'IA ernF11u3 elef : -rqcs arelnrqEunlda:p arusrrd op rn1 -nlqussue toarpadsrad etfcnrlsuo3 t7,'9'tz eraqlJ rorrtlcads:adolapolaur pu lzlllln 2 91 '16er n811u1plnlnuo. r od lourlradoc leallcedsrad erfcnrlsuo3 0z's'17, a.raql1 la,rglcadsr_ad olapolau puJzrIln 19I'16 PrnE!I ug yeuoEol.roplulrraza;dar FJBrs ap Inlnllplop lalrlcedsred erfcnrlsuo3 6t'9'IA ' aJoqrl ralrlcadsrad a1opo1 -oul pulzrlltrnl$ Ugl'16 urn311ug alep ololucualo Pl ap puruJod RJef,sop

l"t:"1'1'l I'ltt:':'l'l

8l'9'ta

.eticnr1suo3 ' ' araqlI

puJz!llln olapolau lallpads.rad !S 0gl'Ia ernErl ug alup olaluauola e1 ap pururod 'prers ap rnlnrlelep .loladuer ra,rrlcadsrad prlf,n.rlsuoSLt'9'ta ' 1t;ord ap tA a1e1 -uozuo otreldurp olBtuJoJagaldclln:r lleJs lJrrn t,r,rrlcodsladprlf,nllsuoJ 9t'9'ta ' eleluor; tS a1e1 ûozlroouuld utp oleruroJa1a1dar1 nc rJBJsloun rallpadsrad ugfcn:1suo391',9't?, rr ap gfel o0g lS o0g ap e1t;nlqFunnc pa pu1y13 aleurlrul luls alerolpJa1ofa3 I I II I I alrunlsuaurpnJ cJleuslro

968

'tt8 ?69 s6t €68 868 86e 668 988 988 '88

gsnp refdarp u,t11radsra6 rin-.r1urp 9l't'I6 ' ' ueld uE l d un un oo ed puad-rad raldo.rpe.,rrlrads:a6 orelnrt r:elnrtpuadrod rlr'16 ug rrraleqerepolaryglV'l?, 88e . '' ea,rpads:ad

zgt

ZBg

a88 I8€

t88 I88 088

08e

'' IBIU OZ IJ O InU PIO IBluozrJo lnusl S ueld uer r n l u 8 u n trS r$ ueld lrn oJlrrpr ynlqFun lnon e PluBo orBts lBtu eor ap elul'I zl'r'lz leluozlro 1nue1dno 1epg gqFun un aJBI arec raldo.rp ultlredsra6 II'?'16

; ;,;";surrd;' iu'u,0,.,0 tli'lffihor'r'16 ' rnlnolqEl EzEg nc r$ olalered alderp ep locrrsel un nr trBpg rqFun un )EJ aJ luluozfro 6'yrc 1nue1dutp -rolaldarpo1o,t11cadsra6 ' lnlnolqel e xx ezvg nr lBp trl8un un rBJ aJ lBluozuo utp .rolalderp olerglcads:o6 g'V'la :o1a1de:pa1orr11oads.re6 1nue1durp 1nue1d ;' . .' . . .' jrdaro Oai p rrgB tttBun ItlFunun loarp rnun rolrrnlei alarlpads.rad od Fl-Ep

orurFunlap luoru8as lnun eerucrldy L'V'l?, u1alenlrslq8un11ut Ieluozrro1nue1d

-nue un JBI arBJ nes eJBlnJlpuaoJao :rordlrar .ro1a1da:p a1'arrrlradsra4g'b'lZ

;t op',orqr*o'*.,rri,,i,r'

uiilti#

uI alenlls orPrllqrB Ploearp ap rol

PJnSetu 3p JOIOIJUnOBaJBZ

08e

:o 1a fa1rr:a leq er Epolau. ur r d c ler -rlJa^ ilqrnu laun p^rlJa0sraoEl ap pugcald '-olsp J" 'fl 'a tuntsuaulp ap allerusrrd unloA lnun e,r11radsra6 8 ' 9 ' tZ

( r l t ''

ur:d 'a1ep,t '$ 'a runrsuarutp -r1r1n 6'g',tA ln.clleyslrgyn1ol lnln.*n11cadsra4 alEJ0lEI 96S

pulcald ',a1epI '61 'r runrsuarulpop c r l e u s t r d t u n l o l I n u n e l l l t a d s r a 6 L 'g 'l Z ' enllcods:adug e11e:er 'PI?ar Pun :atrEprunlsuourp ap rBl -ntq8unlda:pueld lnun errrpadsra4 g'g'16 ' Plep ajuJareo BlBluozlJo alqrnu op qnr lnun ellpads:e4 g'g'16 ' PlBp Pl8luoztro Prnl e,rg1cedsra.1 n'g'lZ 'BI ap Iscllrol tn1n1e:1pd 'êlPp arBrarBo PlBluozlJo PJnl ' 'elap 1e:1gd uuJd lnun errrlcadsre6 g'g'16 ' PlEp PIPluozIro-PlEl -uor] atqrnul ap qnr Inun BA!trraosrad 7,'9'lz gl?p PlBluozrro BlsJuorJBrnl P[ op lBrlPo ueld lnun P^rlraosred e,rr1:radsra4I'g'lA 1er1pduelo ' a l B r n l J a l l q l er o l r r l B l o p : o 1 a 1 u o r u e 1 a ': o ; a f a ; e . r d n s 'r o l e r p a 1S 1 $:o1a1uorue1a':o;afa;erdns a11 ea:aq11 : o 1 1 : n 8 1i1e a : e i1a,r11codsra4 -.r1od''aue1d r 1 o d'o u e 1 dio1q.rn311 9 ' ra '06"'l asnpar (ErnsRILap Is Fl rp ap) pFnl alrund -uelsrp REnl ap alrund'lprllro^ slari a1e t a1e rrferrldy no1qe1od a:aqrl ralrlcads:ad 9'tz p,ulcads co:d1caraueJd gl'l'la -:ad ug a:elncrpuod;ad ' nlleds ulp aJPJeJBo pldearpo ed nes lsluozlJo 1nuu1d u1p eldeo:p o ad p:elnrrpuad.red1-rund

?88

n:rn.Iorrpradsrod ."1}t"r1;X:??t'9'tz 1,1to.nI

nes gFuarlulgfuelsrpap lcund'un put s olol' ar eog cnl drl e d n r o 1 e .r1 g d osau loun roirllrads:adzrfrnrlsuo38t'9'ta snparnes g8eorluJ pfuel*p op lcund un pursolo1'oplru erfcn-r1suo3 -errd loun 1r,r11oads.rad zt'9'16 .ooJ,J ,6 alelcund rS yu alectlrerr, rarqcntueaylcadsrad : atruaualo alaJBolPruJnPuJJsounJ urfcn:1suo3 'qnJ !nun ralrrlcodsrad I I'9'la ' aledrcurrdeldarpr$ O gfuulslp ap lnlcund puJzlllln'gp1'16u:n811 utp asqvlnlnrqFunlde.rp e^,r11ceds:a6 0t'9'ta

"J'?ttl3i r,.,.r*;r'";";";.r,ro -,.1* -rro ilqJnu Iaun B^tlJadsJad BI ap

BarErnsEW 9't'ta :otyo.tln: :ol.lll:t9tjnq' ' alepsJ; al

r nrfeds IJEJSrajl rJgrs rJRJS tall Barez!llln Barez!lrln urjo nlfeds urrd Jola)Barezrllln lall Jola) "^rijdeaip a[ lol :o1 uJ olenlls erErllqrP 1rq-reFloearp ap -iluaurFb's rota,ritredsrad earerirspry FrnsPuoProlal :' -JUno salszrlrln nJ lBl_uozrro InuEJq u! alenls arProlPo FlqPoJpap lolal -uauFas role,rllcadsrad Botelnsew

n' n' Iz t'b'Ia

PE D E PE N D EN TA Cao. . X X II. P ER SP EC T IVA 408 TABT.OUVERTICAL ,no 'ruo 22.1 Generalitiiti a l e g e ri i .punctul rri 22. 1I. G e n e ra l i tii fa s u p ra tlc vedercgi asttpracondiliilor in care 408 o buni PersPectivd se realizeazii punctuluide vederein con22,1.2Alegerea s tru i Ii a. fe rs p e ci vt e i u n u i pl an, .a oc ru n uvi o l u ms a u a u n u i a n s ambl u 409 arhitecturi 22.1,3 Determinareapcrspeciiveiunui punct situat in spa{iu cunoscindperspectiva proiectiei orizontale a punctului gi ldevdrata mirime a cotei fa{d de pla' 410 nul orizontal. Scara in5lf imilor 22.1.4 Clasilicarea perspectivelorclupd di/r^ rrrtr reclia principalii a Privirii

-{---

22.2 Metoda FF (a celor doud punctede fttgl) .

{, || |I

_t-

rr ? 22.2.1 Prezentarcametodei F./tr. ^tt dottii celor prirr metoda 22.2.2 Consttuclia puncte de fugi a perspectiveittnrti 4ll volum Prismatic 4ll 22.2.3 Observa{ie 22.2.4 Un mod de amplificarea unei perspective 22.2.5Construcliaperspectiveifrontale a unui interior 22.2.6 Construcfiaperspectivcidc coll a unui interior cu o masdrotundi 22.2.7 Construcfiaperspectiveiunui ansamblu de volunte

412

{r'} 4l :J 413

-'i-_

22.3 MetodaDD (a celordcu6punctede distantii) 413 ?-

22.3.1 Prezentareametodei DD ' . 22.3.2 Constnrclia perspcctiveiunui vo.ltrnr pr is m at ii piin- m et oda c e l o r d o t r a puncte de distanli 22,4 Metoda O P (a punctului de vedere9i a punct ului Pr inc iPal) 22.4.1 Prezentareametodei C}P 2 2. 4. 2 Cons t r uc ! ia pc r s pc c t iv eiun t r i v o l u m pr is m at ic pr in r ir et odapt r n c t r r l t r id e . vedcrc;i a' ptrnctuluiprincipal 22.4.3 Persoeitiva-centrall irontali a untti ans ainblude v olum c Pr is m a t i c e 22 . 4. 4 Per s pc c t iv ac ent r ali f r ont al i a u t t t t i intefior cu arcade cilindrice frontale 22.4.5 Perspectivacentrali laterald a unui pod' de Pr oiil 22.4.6 Persnectiva de colt a unui interior prin'metr:da O P combinatd qi cu un ilunct de fugi arbitrar 22.5 Mctoda QF (a punctului de vederc9i a unui punci de fugd) 22.5.1 Prezentarearnetodei Qf . 92.5,2 Construclia perspectiveiunui voltrm pr is m at ic pr in m et oda pr r n c t u l u i d c vedere 9i a unui Punct de fugi .

413 4t5 415 415 415 416 417 417 418 418 4l B 418

prin metodapunctuluide 22.5.3Construc[ia vederepi a unrtipttnctde ftlgi a peral spcctivcivolumuluidc arhitecturd clrei plan 9i elevafiesint date in 419 figura22.31 22.5.4Perspectiva unui gard de ziddriccu doui porti saua unei intriiri . 42(l colfuluiunui interior' 22.5.5Perspectiva 420 uneiconstrucliide formd 22.5.6Perspectiva rotundd 421 unui ansamblttarhitec22.5,7Perspectivele tural 421 22.6 lletoda Pf (a punctuluiprincipal9i a urtui punct de fugd) 422 422 22.6,1Prezentareametodei PF . .. unui volum 22.6.2Constructiaperspeetivei prismatic prin metoda punctului pri nci pal;i a unui puncttl e fugd. 423 22.7 Mctoda' P D(âpri nctul uipi i nci palgi i unui 423 Punct de distanfi) 'Prezentarea 22.7.1 metodeiPD , 423 vei i nteri orului 22.7.2C onstruclperspecti ia din eoura22.42 . 424 22.8 Metodacooidonatelorrectangulare 424 rectangulare 424 22.8.1Metodacoordonatelor 22.8.2Construcliaprin metodacooidonatea perspectivei ediiilor rectangulare in ligura 22.44. ciului reprezentat 42i\ ia .prin metoda,coordonate22.8.3Corstrucf a perspectivei ansamlor rectangulare blului de volume arhitecturalereprezentate in figura22.45, 427 prin mett.rda 22.8.4Constructia coordonatea pcrspecti vei de l or rectangdl are reprezentate in volumearhitecturale ....... Ii gura22.46 427 22.9 MetodaFM (a punctuluide fugd al unei gi a punctuluide directiidominante 427 mhsuriperrtruaceastidirccfie). Aqa metodeiFM . 22.9.1Prezentdrea perspectivei unui volum 22.9.2Construc{ia prin metodaFM . 428 de arhitecturd Constructia perspectiveivolumelor 22.9.13 unui teatru rcprezentatein figura 22.49 429 perspectivei ansamblLilui 22.9.4Corrstruclia de volume arhitecturalerepreze'ntate in figura 22.50. 429 perspectivei ansarnblului 22.9.5Construclia de volumearhitecturale reDrezcntate i u i i gura 22.51 425 vci ansanrb lului a 22.9.tiC onstruc{ iperspecti arhi tecturaldi n fi gura 22.52 431 22.10Metodaproiectieide proiil la 45'a punctului de vedere 431 29.10.1Prezentarea metodeifrroiect ici dc profi l l a 45' a punctui uidc' ved er e 431 22.10.2Constructiaperspectiveiunui volum prismatic . . 432 auxiliar neutru 22.I I Metodacentrului(centrelor) de proiecfie 432 22.ll.l Prezentarea metodeicentruluiauxiliar neutru de proiecfie 432 22.11.2Constructiaperspectivei unui volum prismaticprin metodacentrului auxiliarneutrude proiectie. 433

13

I I

I

I

I II

II

,! ,l I

i I

I

997 COtT

vgv s9f t9?

?,gv zgv z9v I9t

9q F

, r" ,, *, , , o , 0nn""' ,' r .i

t^'i i ;ti 3 ,"LT't'tG

un f uluied 'apelu 11 lol er edno1qe1 atunlol ap nlgul€: od a1e.rn1ca11ql? -uu inun E Fluopuarsape^llcodsrad 9'l'rG ' '. luJuEd 3P elutl nr lal -uied no1qu1un ad p:npeltqru ap,unl -orr rnun'e gluopuacsapu,r11cedsre4!',l'vG ' lulrugd aP stull nJ laluruo nolqel un cd r:n lralt qr t . . -.. "p , * ol op nolqel un ad 9:n1ca1lql3aP,tuni -or tririn B PluopuocsopE^llrodsrod t'l'Va Jp lgder e p no lqPl un od Hlnlr c pqlu

t'ta uin1o,,, inune elucpuaJse .r^jtul;roXgz'

\JAII)EdSUUd

'AIXX

9St f9f

l9v

-",ad ou,*ior,r.irr.it'iiifJl 'grrqlI u,rr1oads.ra6 rhlnria.) B Bl'a ea un "o"r* ' fe.rlPdue ld od o11Sa1 ' 1; qr nu ur f r n: 1s uo3Ll' 6' t a q ra .nrlr':d s . r ad rrr rrflo ': '. : . . 6t e6 e:nF11u1p e,rrlcads -.radu1 llloq ap ratfcas;a1utlnlpnJS 9l'6'ta 8l' €6 u: ndr J J J lJ pllt llJ 1ilD r.,rrlrcd s:.rd ll! -rLics ri;o q e p lJll J J \ 1. ) lul llllplllS 9l' Zt Z '

t? A l l Ja d sl Jd

ul

tnun ta,l tl l ads:ad ea:ezl i rtq r.rarru-rus Fl E p gl el uorJ Frnl

'de'J

gf unlsrp o p lru nd u n pt lls olol. ' J r r E ap dr1 tSu laceod e lnut ls t t s lqder r p rfloq raun e.ltlcads:e46l'6'ta acr.rpulilcriues

99'

z9v

l 9h

esndo.rdeutalqord t'86 ' orapal op ludrculrcl1nuu1du1,1n:1 loun BAlltadsJad66'6't?' -uecnr RlenllsaJaJS lnliiluozrio e1ur1ad 1un1ts 69f lnrluas pul^B oloJsroun e^llcad.srod86'6'qq 691 91Vp7ze: op olJls taun u,rrlrods'tadL('6't4 BI op Jp!qrsrp 69f ioli,r:asqo a:ds eFu11s os oJpJBtBluorl g$n o nJluod llllzod tJ6'ZE(' :o1;'1rra11ir iu girlrcds.radul lnlpnls ' alef,olso IecllJaA 89t uelrl un -r1u 1qlsnlls rler lllJ A t s n I J Un urrprtlrsa pIB E^ rlrads r adul I nlplls 96 4' t ' A ue luu ule aFI nun lnlnJ edeJ 89h uI Lnlpnls ftZ'Z eG rtraprqrsap1e g.,r,1ireds.red aldarl 9l t ct l'ed' iriun' e-ieoiezundso.Ior nr rS arnqrulsnJpulllr nr af,llpulllJ cl?plorl[o IIEJS lJun BAI]rodslodea 4 ffi ' leluozrrooluo{ [nl] L9V -,)ruPIppUJABls olspJ^ .)p lB0lJullo 1nue1du1 Inrlual nr +enlls slrp-ulllr irruai uoJluq Inun u,a.t1radsra6 64'6 tA allJpulllJluras auap oJIJIUaJUOJ L9t ' ote oIer1uor ol:^1"1,';.t::ig |G'z' F:6 . . :nr: .royn r ci pulJsounc 91ep PzB.rop ea,rlcads.Iad lpdur ap. nrpulrr. lnun .r^.1l:a:;;T 06'6'tz

99V

oJrl pul':l l Jl l uos ' " "

t'tz

09i' 69r'

99F

IopeJl B B A l l Jaosj ad 6t ( Lb ' a1a1e'redl o,rl u aP

t9t

l 9t

ap nolqel un od tnlnpund e P.1uaP errrpadsla6 l' 1'y6 pluopuoparsB -ri"csair'nes ' llaqll rA glucPuodaPepolop gd

tt' 6' 86

alBluorJ

p u3ale8o:o1 cueld rr! c:lBnllsnJlatutsr -r:n'crr.r lole,rtllads:ad etfrnllsuo3 ll'z'E(' ' ]Pp lPrlPd un-rluJ s!J]suJ ceb rntnJrrJ enrltods:od dP FIEJ 91BP 5 u i r f ; g u 1o E I l e n l r s n l l r u e l p l s y t " " ? _ _ ^ _ Inun uA urrtlrads !]Jadsl ad 0l '6'C A JlaJ aJ Inun ap :D tel tbjrrozr:o rtozt:o Jl '( r t i o u t 'nl o teFa e F a1|:pd a P ) ol 'n tduexo d u o x o ap) !1 ?,91 " '"(t,i o u1 JD JP tunl l l l tU nus l l n-Jl u! l uJl l l JA

v't'16 B.p.tu..p.ur:.: -o.n1nun. :^11?tl;itg

NO"IAVI

t9v

oJUJSJUO

oJrJpul l l Jl tuos l opE JJP B l \rlrads:44

Jr llPuJllJ

vt'z'tz Z' t Z -ru-rs rfloq u no p o llt lI et f c os r elulVl'

0gt 6tt 6tt 6Vl,

6nv 8VV

Lvv Llv

tl 6L6

slrrsul.[I1rrr3 g '6 't 6 .l :nt. ]nllq,l.u:-jiu.l -rrozt:o tttuel d u! al B nl l s cJl l l uaf,uoJ L' A ' 86 :o1r:nuj ; :ol o,l r l cadsrad sr l Jnl l suol ' al uFo rl l qd eP JP unu un-l l l l l " JIJJ l nurr t,:ntl l odsrod. B JJezl A !(l 9' 6' 86 ' ]edE J op ,uP [o un-rl u! l enl l s Inl nJl oJ E A Il cadsl od 9' 6' t6 ' +P P (S o'gV ) l ul uozl l o rul orl p6t,6 -ul p op IsJl l l a^ Inl nJJsJ eA Il JaosJsd 1ep qo vTuozl lo nllauelp op Ipl uozl Jo l nl nJJaJ B A l l JodsJad t'z t7' Fl E p ol P Jol B O trJ Fl ul uozrro P rnl sl op Inl srl E d sl J)sul l P l uozl l o Inl n)Joc uA Il JaosJad 6(jbo ul H l eP gl B l uorl grnl P l rp l nl B rl E o

s!r)sut .[sluoz!.ro. ":'n.tr:t.nl"t.J]::lf

I '6 't 6 u p o l a w z 't 6

1ep 1ei1pd u11-r1uJ slrJsul lnlnJJor er,r11ledsra4 l B l tl ozl l () l rruel d u1 al P nl l s l ol r l l l )rJJ .ro1c,rr 11Jdsl od et f ;nr1suo3

;r;'r:;.rJ n ",irnruu"."t:l?t'5[i -rrairiepunlolapotrauut.td luluczl:o

rt' ffi lenrs.lnrncrar lo .,,. l"y, upol aw l ' ta ;il$i,:.r,# Lvv LlV u" o ,s ,n"rnrusrvnrrcrorotln'Yt1*t* 98? cct )b t,

ltv

esndo:doual qol d , al tl cads:cd ' ; " IJpoIJU I B sl el uJZJj d l 'rl '46 rotci B rtopl ' ooJ e.ntl radsrad rol ol suopl ooJ upol rW ol eJarB o IB JIIIaA ' ' ' nol qul un od ra.ntl rads:ad u atfcn:1-< "'

_u6rop rqrsorlaunrs. T,tt'aa ,"1,,eollt.;g . . u eticnrls nolqBl un ad te.r'tleads.tod -utir .-,p Illrsallaunrg lnl Epolal{ l'El'66

tEl, tst

epotrrw t{ ' 46 . : . . . : . . : : .rq:s:rHJilr't

tt eqB J rnlnlrund nl rut-l d IIJal ap Inl o:opal ap ed ad o:opal

upol Jtu ut.td u:ttl l al ttl Je ap run I etl l n;1sU rnrl suo3 o3 6' ZI' aa ta,rtl II radsl cd etl rnun IaA -()A Inun -,,rr

C'e I7

tt?

'

:

n o 1 q e 1o d a r a p s l a P l n l n l

-cundI1;a1uqu: l.aP:l:nj ":*t1:1ii1 cd cropc,r op rnlnlcund IllsluqBJ BpolcI,{

2,t.I .8 Perspcctivaunui vcilutnpc un tal,rlou inclirrat oarecare,raportul de ampliI ic ar c liin< l doi 467 468 24 . 1. 9 Aplic alii 473 24.2 Probleme propuse

[LE Cup. X X \T . R EF L E XII PE S U P R A FI]I. O G L IN D A 25.I Metoda normalelor prelungite 2 5. 1. 1 Ref lex ia ( oglindir ea) pun c t u l u i , a v er t ic alei,a or iz ont aleis au a d r e p t e i oarecarepe oglinda orizontali 25.1.2 Rellexia unei verticaleintr-un bazin

cu apa 25 .1 .3 R e lf e x i ai n ' a p d ' a ' rn riu n l i ,..i " orh itectura

B

e B B

n il E

D2 62

61 165 F6

2 5. 1. 4 Aplic a{ ii 25 . i . 5 Rc flex ia punc t r r luigi a v c r t i c a l e i i , r oglinda verticald perpendic'ularipe t ablou . 26 .1 .6 Ref lex ia punc t ului qi a v er t i c a l c i i n oglinda virticald paralelScu tablorrl 25 .1 .7 Ref lex ia unei lSm pi v er t i c a l e i n oglinda vcrticala perpendiculari pe t ablou 25 . 1. 8 Ref lex ia unei ldm ni v er t i c a l e i n oglinda v c r t ic r lb pdr alt la c t r t a b l o t r l 25 . 1. 9 Rellex ia punc t ir lui gi a v or t i c a l e i i n oglinda verticali oarecarc 25 . 1. 10 Ref lex ia unei v er t ic ale i n d o u i oglinzi vcrticale oarecarept'rpcndic ut ar e 25 . 1. 1I Ref le. r iapr - r nc t ului; i a v er t i c a l e ii n oglinda dr' clpit (inclinatii gi perpendic r r lar apc t al- ilou) 2 lr . l. 12 Rof lex ia r r r r ui v olr t m r r r is n r r t i c i l t oglinda de c apit ( inc linata s i p e r pendiculari pe tablou) 25 . 1. 13 Reilex ia unei lim pi v c r t i c a l e i n oglinda de capdt (inclinatii ;i pcrpendiculari pe tablou) 2 5. 1. 14 Ref lex ia ur r bi lim pi' v er t i c a l c i n oglir r da ir r c lir r at hf : Lld dc r r r t p r r t 't t ' f r ont al al inc aper ii - oglinda 2l ; . 1, 15O glindir ea ln verticala a elementelordirr f igura 25.31 . 25 . 1. 16O glindir ea in oglinc la v e r t i c a l i a biroului din f igura 25.:\2 25.1.17 Oglindirca verficalei ,4c in oglinda plani oarecarcQaQ.r, 2r . 2 Metodasimetriculr-ripunctului de vedere 25 . 2. 1 Ref lex ia v er t ic alei in oglin d a v c r t i calS oarecareorin rnetodasimetricului punc t ului' de v eder e i n r a p o r t c u oglinda 25.2.2 Reflexia punctului Ei a verticalei pr in m et oda s im et r ic ului p u n c t u l u i de vederein oglinda verticald oarecare : r . 3 Iletoda s im et r ic ului planului in r a p o r t c u oglinda 25 . 3. 1 Reilexia unui interior 1n oglinda verticald oarccare i.1 Pr oblem c pr opus e

C rp. X X V I. C ON S TR U C TIA U i \l B R ILOR lN P E R S P E C TIV C A E N TR A LA

2fl.l Corrstlucliaumirclor irr pcrspcctiv:ila soare 2 6 . 1 . 1 P o z i {i i l e s o a r e l u ii r r c o r r s t r u c t i at tr n blelor in perspectivi. Umbra punct u l u i ; i a v c r t i c a l e ip e p l a n u l o r i z on tal 47"1 26.1.2 ,'\nomaliilece pot survcni in stuciiul 474 tumbrelorin perspectivirgi interprr.'tarea sau rezolvarcalor 2 6 .1 . 3 U m b r a o r i z o n t a l c ip e n l a n u l o r i z on . '. : lal 474 26.1.1 Umbra drcptei oarecarepe planul orizontal 475 2 6 . 1 . 5 U m b r a p u n c t L r l u;ii a v e r t i c a l e ip e u n plan vcrtical 476 * /t) 26.1.6 Umbra pc un plan vertical a unei orizontaleprralcle cu acestplarr . 2 6 . 1. 7 U m b r a p e u n p l a n v e r t i c a l a u n ci orizontale oarecare 2 i i . l . 8 U m b r a u n e i d r e o t e o a r c c a r cD e u n iaa plan vortic:rl 2 6 . 1 . 9 U m b r a p c u n p l a n o a r c c a r ea p l l n ctului, a verticalei ;i a orizontalei p a r a l e l ec u a c e s tp l a n 479 2 6 .I . 1 0 U m b r a o r i z o n t a l e i o a r c c a r c p c u n 479 Dlan oarecarc 2 6 . l . l l i J m b r a d r e p t e i o a r c c a r cp e u n p l a n oarecare 479 2 0 . 1. 1 2 U m b r a u n u i c a d r Lpr a t m l a t e r v e r t i ca l p e o p l a c ap l a n a o l i e e ao a r c c a r cs i p c plalul orizontal 2 6 . 1 . 1 3i J m b r a u n u i v o l u r n d c a r h i t c c t u r i p e planrrl orizontal 48f 2 {i .I . 1 4 U m b r a u n u i z r n s a m b l t rd c c o r p u r i geometricepe planul orizontal 2 6 . 1 . 1 5D e t e r m i n a r e ab i p u n c t u l u i p e r s p c cti v 4u0 Ss in functie de alegereafaladelor unui volum de arhitectrrriin lurninii sau in umbri proprie 481 : 0 . 1 . 1 6 U m b r a u n u i v o l u m d e a r h i t e c tu r i oe planul orizonlal razclerdc lrrrlini avihd directia frontala 481 2 6 . 1 . 1 7D e t e r m i n a r e a b i p u n c i u l u i p c r s p e ctiv Ss astfelirrcit unshiul dintre raza 481 d e l u r n i n a ; i u m b r a v e r t i c a l e is i fi c cuprinsintre 45oqi 35"16' 482 2 6 . 1 . 1 8P u n c t e l e d e f u g z i r e d u s ep e n t r u ra 482 zele de luminii. Reducerea Dllnct u l u i S . R e d u c e r e ap u n c t u l u i s . 483 2 6 . 1 . 1 9U m b r a l a s o a r ea u n u i g a r d f r o n ta l 2 6 . 1 . 2 0U m b r a l a s o a r ea u n u i g a r d v c r t i ca l oarecare 483 26.l.2l Construcliaumbrelorla soarcpentnr u n a n s a m b l ud e c l i d i r i 26.1.22 Umbra unui volum prismatic de arhitecturi asezatortogonal pe un 483 plan oarecarede linie de iLrgd datd S situat in spa{iul real . 484 26.1.23 Umbra unui volum prismatic de arhitecturi asezat ortogonal pe un 484 plan oarecarede linie de fugi datS; 48,1 S s i t u a t i n s p a {i u l v i r t u a l

485 485

48ir 486 487 487 488 418 4i8 489 489 489 490

491 491 492

492 4.,2

493 490 497

497 497

497

4t 8

15

9I coc

a99 699 I99

:r;";;

Jt'"J;rllit ae'8d iru,'lrrror., aslJlotuouoxe

aslIqO ll.rgluazarder u.ldnse ;f9111uraua9I'€'86 eareluozardadt'86 pcr.rleu:ouoxe (p1o1ured) gr11qo arfcaro:d ap reJr l l a l

919

e :."J,Xir?;:ir*v t' z ' 8 6 RrrIlaruouox :oqoljo. 099 .rolacl:peric 899 LV9 9'9 It9 86!"

9t9 t[9 e89 6gJ It9

I89 IS9 I€g

0ss /7e qzc

sa9 ,69

ta9 $9 169 049 06s 6 t9 6 t9 8 t9

Ll9 919

t n u e t d . o d JIllo u lo u o xB ln l

lnuntdeliutrorts ec:eleqer u1:dpleu

899

8 r9 8 r9

nt9

BrJlourouoxuug InolqEJ tl ' 7 ' ' 8 6 uJ alEp ' pluuoEolroElJlJtrlouoxB EaJ llS 6 l ' z ' 8 4 tS pr t r put llJ -ro u1 ealcfalu :dtts

il9

:",:,'ji[# tt, "i-,-"1":".'i

bl9

:trJ"y:u:*:

il9

tt' 6 ' 8 6

0t'6'8,6 :r'l"y:u:*:.ur.:'l'r1'u tf"":mp"'* u1o1ilzorl. lY.lgi$ 6',686 BlllatuouoxEu1 aut8eurtcxe -oFo1.to cp rolaualsts B EAllrala ulfrnrlsuo3 B ' ,A ' 8 6 gyeuoFol.toelJloulouoxu uI aurFeurl axe ap Jolalrlalsls BllJnlls -uo) u! ert;e:F ri arlll?ruoletxllielsg L66b gJIll3lrrozl F_lBu -o3o1.rosJlllotxotloxB Eolrluoza:do5 9'6'Ba prlrlaulp PIEuod -olro s)IJlaluolloxE'EalelilazoJdau 9'6'86 PoIJlouozluB9_[Bu -oFolro EJIJlauouoxB uateluozoJoa5 t'Z'86 o1euo8o1;oac1:1. -e?EZ' -aluouoxe r-rpluozardir ap a1:ndr1 '?ro.rnpa.rop. lfuo1c11eo1 6 6 96 : . : lrE:S. ? ";.

l'G.'82 -ououoxsrnlnlqFunrrlo11f91o1:do:6

Gt9 il9

609 609 /nq

t09

a' 82

":':t"';lX:I . . :':.':F:t:.u'l,t.Y":":n

ardnse lfgltlu;auo9 I ' 84 -auouoxe 11:pluozorda:'

- \ s Z f lldau)

V]IUISWONOXV (VAdYI 'dr:', v n ttf,!a s d g a ' l l l AX X asndo:d auolqold t'17,

s'z'L?' : : . . : ;,.0,^',0 *,i,"lJ?ll,y

e^tlraoslad n'z'L6 rniln eJrezllrlnnr EJlJaJs ' llESJr J pulllr lnlllolqui B JIJTJS

t09 €09 t09 etl e

t z lts are.rnrspap a^!lBrulxorr1r",:Bi,t;lg .op

609

op aulntol roun u elurn6p1sap Rrllp nolqPl eirlccds.rrdrS 1et11.r;r^ -ul lrr " ed e,rrlradsrod ollu! arle;eduro3 A 6 LZ op urnloA lnun F.Inl)o1lll.tB e gierntglsapgJIrpuIIrr BAllradsrod l'6'LG ' alernlrolrqru aun lo^ tS 1;1u1og 6'26 plerniplsap uJIJpulllJ en1lcadsrod ug oarpadsrad lolalsltoploor upolaw 9 ' t' 1 6 aun alBiuoztJ0 oldo.tP -1 e glu.rnfglstpgtl'Ipullrr B^11)idsrod g ' ,1 ' 1 7 ,

609

'

a JSJAIPO Alqajp

laull

roc I09

esndord_auelqord ?'96 EAllcoos a.rqurnutfcnrlsuo3 g'96 -:od u1 :olorqurnuod15.ro1 lollolxa uJ PlBlcull -rB Eullunl El lolaJqurn erfcn;1suo38'6'96

00I'96 urnF

-Itr ulp lnlolralu! nll uad plelrlJ -lllB Eulultll el rolarqlull elfonrlsuo3 L'7,'92

66'96 ernF

.!l ulp Ituolralul nrluad g1e1c1i11:e ulfcn:]sttoJF 9 6 96 :ul..nt. :1 . :ot:rlYn. -rJ ulp lnlolralul nrluod FlElrllllle etfcn;1suo3 S'7,'c7, :ul*]tt. :1. lolor.qYn. nrlol0J lnulr ulllrrdsrad n.rlued glBlrlJ -rlr8 uururnlul rolorqurnEIlf,nrlsuoS V'&'96 aslo^lp aJuq nes o u e l d r r p l d 'o u r n l o n : 1 u e d 9 1 e t r 1 1 -rlre Bulunl eI tolarqlunelfcn;1suo3 E'6'9(' aJerarBoolBullcul Jol a1ett :o1a1e1uozlJo'JolalBJtl -o1da.rp -ra^ JIEulElrljllJEPulunl ul olJJq,un 7,'l',C4 ' alaleJsorloaJp ap lnr!JSel Inun ale r* rnlnlcund ale glelrl]rlrB Bulunl BI olorqurn l'6'96 ' ' JolJolxauJ nBsJollalut uI FIBlJllllJB8u -rtuul el glrlcads:aduI roloJqun elfcn:1suo36'96 rola$1u ri :tr1;peue .)le oluos EJ .alrlqun n'l'9?' 'J l r a t E r p s ! l o d'a l l P l o l ' o p 'c c t : p r r r l r c'J J l u o J a l o J e l d n sa l l J -c1p n:luad glEJluJ.)nrrtircdsrodu1 r o l r r ( l t u r l t o t f r n r l s u o r r l u l l l B r l l q V 9 C 'l '9 4 99.96 z:n811 e,rtllads:od nrluad . Pteluor} ulp oricortp o EI rolarqun sllrnrlsuo] 9€'l'9u 9q'9i u:nF1iu1Pulllcodsrad u! oreos sI rolorqrun ulfcn;isuo3 tt'l'96 alB ' !?urunl op IalBrBdrnln_lnrlcsEJ 11fco:rpollrajlp nr podu.t I"lJalBtu -ezar loltlRcs JoloJqun EllrnJlsuo-) 8t 1 96 lBurpul lnlatlu:ednJ !Jll?JS rtl lolorqun utlctlrlsuo3 6t'l'96 BAIIJOd:^lod ' orlJpultlJ auEolo)laun lnsnJa0

qEunldolp. u.':'., |t' I'ea a.ru.1nl :?Ji,'jfli? qFunldojp. o:',:u. a.rrp1l t:*L;;l#t 0€'I'ea :tI.o:l i.rogo: od.e;rl 66'I'ea t 1uurs1 Xffiffilrll

009

-ltlorp (a61u)rraprqcsap!oun.srq-tun 8A'l'94 : ilued grnFuls o-r1ug31.radore " no 1$6or nc ttfcnrlsuocroun.Brqufl L6'l'94

6ri' 66?

: : : :

.3

e g 1 e : n *'9: -1 s a pu r l lp u lllr e .tl1 .r .r d s:a 6 ,' l ' 1 6 ' l' ' ' r l r J c - l3 o o .r ' r ls'l? AllJJd s- Jr d E' I' L A a J l J O J Sl c A t l JJd s.t.ltl .t;,r 1 u cu t.- t1 17 ,' I' ,L 6 t' t' 1 6 o J l r p u r l l J ! a A t l )Od SlJo AIa lu cu jJlg

aluouelg l'16 acrrlauroaF gC IU A C SIS A f,IU C N I' II] ' OE :) IU N O1S V I gd V A IIf,gdS U l Id ' IIA X X

66t

s1.'o.o9c9 r."y"erqrunea'r'sd "j:.1

l r r f e d s u 1 l E r l l r s S ' : t l l a d d r e 'r i n id o:elnrrlFunrr]rurBrnI leun erquf-l 96 1 94 lso-l l r r l e d s u 1 l B t l l t s S ' i S l r o t l o r er t n . r t l i r e l n r q 8 u n r . r l o u r e r n l l o u n B r q u r n 1 6 'l '9 4

I t !

I I

I E ll 15

tr b [8

n0 EI

rp n2

U MB R E LOR IN C ao. . X X IX . C ON S TR U C TIA 28.3.3 Legitura dintre axonometriaoblicit PERSPECTIVA AXONOMETRICA 617 gi lpura de geometrie descriPtivh JOO ol, Monge 29.l Generaliti{i 28.3.4 Determinareaunitd{ii imagine pe o punctuali.de la o sursd umbrelor Construcf ia 29.2 bbd directie oarecare lumini in perspectivaaxonometrlcaobllca 28.3.5 Rabaierea planelor in axonometria . 617 sau ortogonald(corpuri geometrice): 569 oblici 617 punctului gi a dreptei 29.2.1 Umbra 28.3.6 Probleme de pozilie in perspectiva 6 18 opace lJmbrele pldcilor 29.2.2 llane b/u cavalieri frontali 6 19 29.2.3 Umbrele Poliedrelor 28.3.7 Probleme metrice ln perspectiva i -^ perspectiva in la soare umbrelor Construclia 29.3 a/J frontald cavalierd axonometricdoblicd sau ortogonald(corpuri 2 8.3 .8 Pr oblem e de per pendic ular it ate . in 619 geometrice) axonometriaoblica 9i in pcrspectlva 29.3.t Umbra punctului 9i a dreptei verticavalieri frontald 619 cale 28 .3.9 Sec { iuni plane in s upr aie{ elec i l i n 619 29.3.2 Umbra dreptei oarecare dr ic e s i c onic ein ax onom et r laoD l l c a otl 619 29.3.3 Umbrele piAcilor plane opace 28.3.10Tabloirl reprezentirilor de bol{i cu 620 29.3.4 Umbra cercului aplicatii in arhitecturi in axonomelJ/d 29.3.5Umbrele proprii 9i purtateale polietiia paraleli oblicd 621 drelor gi suPrafetelor 585 28.4 Reprczentareaaxonometricd centralil -ale aulopurtate reprezentdrii asupra proprii 29.3.6 Umbrele GeneralitS{i Zb.q.t 9i^ 585 . . 622 p o l i e d r e l o rq i s u p r a f e t e l o r. . ' axonometrice centrale centrald 29.3.7 iJmbreleansamblurilorde corpuri geo28.4.2 Qeprezentareaaxonometrici 586 623 metrice frontald 28.4.3 Reprezentareaaxonometricbcentrald 29.4 Constructiaumbrelor la soarein perspectiva SUtt veft icald axonometricdoblicd sau ortogonald pentru axonometrichcentralh 28.4.4 Qeprez.entarea 625 volume si detalii de arhitecturi 588 generala 29.4.1 Limbrele unei case cu acoperig in tridreptunghic 28.4.5 Translalia triedrului 625 Patru Pante 590 in axonometriacentralS de arhitecturd in volumelor 29.4.2 Umbrele dr e p t 2 8.4 .6 Res t it ulia unui par alelipiped 625 perspectiva cavalierh orizontali unghicin axonometriacentlalAgene627 29.4.3 iJm6ra unei arcade cilindrice 590 ralS 29.4.4Umbra unui capitel paralelipipedic 28.4.7 Trecerea de la perspectivape un tape un stilp de sectiunedreptunghiublou inclinat la reprezentareaaxono627 lara . . 590 reciproc ortogonali metricd ' ' -' 9i pe fuprismatic capitel unui 29.4.5 Umbra proteclte de 28.4.8 Sistemeleaxonometrice 628 sul unei coloanecilindrice 592 c u ax c c ur be 628 29.4.6 Umbra nisei DgZ generali axonometriile a Clasilicarea ih axonometrieale scdrilor 628 29.4.7 Umbrele axonometrice Unele aplicaTiide rcprezentdri 29.4.8 Umbrele consolelorpe o fatadd frono rtog ondleuiiliz at e' in pr egdt ir eav iit o r i l o r . 629 L AIA . 593 arhitecti studenti 'Apl 29.4.9 Umbrele cornigelorpe diferite plane ic at ii in c ar e s e dau f ie r c pr e z e n 2 8.6 .1 630 verticale ale fatadelor t ir ilc dublu s au t r iplu or t ogona l ea l e 593 2g.5 Problemepropuse 632 obiectelor fie axon6meiriilor lor 2 8.6 ,2 Aplic at ii in c ar e s e dau des c r ie r ia l e o6iectelor9i se cer atit epureleMonge CAP. . XXX. PERSPECTIVASUPRAFETELOR cit si imasinilc lor axonometriceorto633 TOPOGRAF'ICE gon'r1e izomctricc sau attizometrice perspectiv-elor centrale.;! asupra 30.I Ccneralitifi impreund cu anumite secfiuni fie in al'ediferiielorformede relief 633 axonometrice repiezentirile ortogonale fie 1n axo633 unei coline 593 30.1.1Perspectiva nometrie 634 ic . :18.6.3Aplica{ii irl care sc ceresd se construunui-plan-topograf 30.1.2Perspectiva iascdin cit mai multe variante posi30.1.3Perslectivacavalierdfrontalddime' bile (din cauza absenlei proiecfiilor trici pentru drumul 9i formelede axo635 oe olanele laterale)perspectivele relief ilin figura 30.4 iroriretriceortogona[e izbmetrice.ale perspectivei rtnui ansamConstruclia 30.1.4 -9i arisamblurilorde corpuri geometrice formede relief)utiliblu (cl5diri reprezentate dublu brtogonal prin zind' metoda carelajelorperspective 636 prbiectiite orizontale 9i verticale din 636 607 30.2 Problemepropuse iigur ile 28. 184 l'{ - Problemepropuse

607

LUCRARI CONSULTATE

639

53

t7

,7

C op ilo lul

I

DEPROIECIIE srsTEME f), iar planul de reprezentareH. i Ansamblul acestordoud elemente- centrul de proieclie O Ei planul de reprezentareH Se considerdin spa{iul tridimensionalun plart formea2?un sistemcentral de proiecfie. Se poate oarecare H, numit a-lgg-dgJgHgzentare sarl de ' spunede aseneneacI operalia sau idgeaa prin proiecttie,qi un punc{-f) nesifg4t in planul H, care'se face sI-i corespunddoricdrui punct A iruriiit'centrqde proiectie.Fie i$lansamblulsau din spafiul S un punct a in planul H este o multimea punciCloispafiului, cu exceplia aplicafie a rnullimii S pe planul H qi se scrie acel6rasilu-atein pfanul parilel cu planul H simbolic a: S-+H. Sub aceasti form5, acest dus prin punctul Q. A-fiind un punct oarecarc sistem central de proieclie rcalizeazd o coresplanul H pondenli univocflintre spa]iul tridimensionalS al so'atiuliriS.dreaptaQA intersecteazl-central[ proiecfia numit lnti-uh punct a] careesteplanul H. ;i spafiul dublu dimensional pe planul H din centrul O a punctului A din Inti-adevir, L r reprezintl proieciiile cennumeqte ipatiut S (fig. l.l).-Dreapta oAse -considerind o trale pentru orice punct situat pe dreapta general, prbiectantfl. In dieapt[ proiectantd OR. Variind pozilia centrului ,Q F-atpafiului S, ii va corespunde Ei a planului H, se poate obline, proiectind iis'uiabarec-are in" planul H o figurd f care va fi formatd din central figura F pe planul H, o infinitate de proiecliile centrale ale tuturor punctelor figuri f, dar diferite de figura F in multe prifigurii F. vinle. De exemplu, proiectind un triunghi Se numeqteproiecfie ceUtral[ operatia prin care echilateral F, se poate obline un triunghi =eobfine figura f din figura F, centrul de_,pro- oarecaref, proiectind un cerc, se poate obfine un cerc,o elipsi, o parabold,gi chiar o hiper.(,,.i ,., i . i- r rt bold etc. Agadar, multe din proprietilile figurii F nu multe dintre ,I trec la proiec{iaei. De asemenea, prin mdrimile schimba legate de figurd se vor t,proiecJie.De exemplu, proiectind un segment de dreaptd de lungime l, se poate obfine un , , segmenta cdrui lungime poatefi oricit de mare ' sau de mic5, proiectind un triunghi de arie dati, se poate ob{ine un alt triunghi de arie mai mare sau mai micd decit a triunghiului dat. Pe de altd parte, ilgurile au anqmite proprietdli care se conservdqi ele la proiecfii. i,l ieclie fiind DEPROIECTIE/^ CENTRAL r.1.srsrEMUL

19

r-;

0z 6't'arc

g -Fas erfcarotd nrluad r$ g.,trasuoces ar lrodu: qut sw . ::=: : (ouru): (g1,11y) pcrpu 'nrieds * sru wv ulp gV luauFas un al.redurgry lcund un arBJ u; nldruJs lnlJodur ririurure lJ lod eleuoFol.lo nus arrlqo a1e1e:ed rarfcaro.rd !lluelrBAUrorlul6l

uriearord n.rluad ri ur{uaur n,nu.r'Jrnn iJtl3[:i3

rfplarrdo:d ellnur Flsrxa 1e:auaFul 'UV Fluetr -calo-tdeldearp ad 1en1rslound acr:o nrlued aleuoFoi:o nes ecllqo a1a1e:edaprfcarord rcle rs plurza:dal D : J Inlsund '11 a;eluaza:dar ap leuorsuoulrpnlqnp lnrfeds rS 5 leuorsuaur -lprrl Inlnrfeds elalcund ar1ul gro,rgunp{uap -uodsaror o Io+ yzee lear arfcero.ldep lalered Inuelsls zpr lsaJB u; r$ 'alicago.rdep lalured tuelsls un Bz?arrrJoJ - t{ areluazatdarap 1nue1d r* allJaroJu ar{raro.rdaP ap yv erica.lrp ErlJaJlp- alualuala a}uauola gnop aluauola Fnop Pnop JolsaJB areluaza;darap 1nue1d +saJBInlquesuv 'H aJE pullJ Jolalueparord JBI JBI JolaluplJarordericarlp erlcarlp 'g ernFrl I ''V purrJ utp 1 e:nFr1auriqo as aJBJur-rderferadogleuoF -ogo nus prllqo ulalurud arfregordalSaurnuag 'g ttrn8l; :o1a1cundJoJnlnl a1eeleuoFolronBS acrlqoa1a1e;ed elrrfcaro:dulp glurxJoJrJ EAoJBJ ugapundsatocII S lnriedsurp 1 ernFrlo g 1nuu1d r:nFr1raun 'lerauaFu1 .g lnrfeds ulp J aJBcaJBo y rnlnlcund e g 1nue1dad pluubFol.ro plelurqd ugfca;o.rd alsa e '11 a:elueza;darap 1nue1dad g:elncrpuad:adalsa y elica-rrpRcBO'(6't 'Fll) S lnrfeds ulp V rnlnpund E I{ 1nuu1dad prllqo uleluredegiralordreaiSaunuag .e lcund un-rtrul H 1nuuld pzeolrosralur V lnleund ur:d psnp y erira;rp nc glaleted uidea:p ,S rnlnrledsIB areJarBolcund un pullJ V .g lnrleds ulp V aJpraJeo, arfcarrp o nJ alaleJed a1eo1 luls aluelJeroJdalazuJ 'zvr +seceuI '+rulJur BI lBnlIS pund un i; erfcarordap lniluar erg

ilI)llodd 30 ltlyuvd 'lnwslsts'e'[

U:f;

'ue1dno1qe1 rnun olelJund rS S Isuorsuaurprrl lnlnrfeds alalcund eJlul FJolrunrq giuapuodsaroco 1o; -1sealialrqels arer 'arf:raro:dap nrpads'1edrn1 -nualsrs Ie Jr+oroallnluarilepunlarnlrlsuor arI -celordap IBJluerInuelsrs '.rtrleelordrnlnrfeds u glue.r3alura1;ed o luIS r$ allnu$rqo acrrl gceoflrur;ur e1 -euoaFelrrnFr; t$ ec 1o-rr$u1ece ap ole+ueualo'pArlJarordulrleuioaFu1 '1rur;ur e1 ueld un nr lelelduroc lnrieds -J arycatotd nlinds :trrurjul BI gldearp o nr iulaldruoc 1nue1d- arycatotdun1d lllulJul e1 lcund un nr plulalduoc uldearp pa4carctdpgdaarya1{aw -nu es 'rgrdo.rdutaluauala olsaJepulJnpoJiul 'lrutJrrrEI r$ e1 eldea:p e1 '+IulJul lnlcund 1nue1d lturlut luJs aJBJ 'tou aluaurala nc elelelduroc elsa uurprlrna 1nlnlf edsrolaluaualaearuri lnru' leJlsv '}{ut$l-€T'-op "JolJiuaituola e'pnrltarotd ur:1 -auroaF-ug'?a:tsotoflsof €-flpmroJsrruJlrelseJeB ppzpodur.n;sTm6id-i 'Bat-XIX lE Inlnlores B pulldnsrp alelgun[ BnopB uI erqepluapuadapul o-Jlul euJoJsueJlas aJBJ 'aaycalotd nt4awoa7 BaJeaJJel'ta1:lauoaF Jolaluat'rrBpunJ erdnse JolrJplecracea;erniugsepn3-ptrBpo'pal-XIX IE rnlnloJaselB apErapalerurJduI snpuoJRBilJnl -ralrqJBe1e rS tacrsur8alrfplrsacap 'en;1rago.rd llunq E-el arec ed 'acularuoaF:ollrnFlJ olB alelcadst{p1at:dordalaun 'a:elaJralop lcarqoBJ E lalacuod '(eget-OSZ1)nunqg I$ (0ggl '1e1ozy -96/l) saFDLtJrfeuorluau IJ lod '(/9gl-gg/l) ppJuod ep pJejp ul 'arec er1u1p '1:laruoa8 Jolnu urfuale spJ]B B :o1r:nFrl alB aArlcar -o:d :oytfplatrdo:dInlnrpnlsBuelqord'co:d1car r$ alua:ncuocalde.rppnop uI plzJluar erfcarord urrd gurtolsuerlas aleluredalda.rppnoq 'rnlnl -nrrrseJalp o+uelcarordalaiderp e-r1ug asulrdnc :o 1j-rn1ilAun rb 1rj nsnurs .r,iiilruoOa;. pipoOiri ap rug ruu rerunuapriidopaJEolBAInrprEld: :*: * WB WN .-: Vg VN

(quuu) : (SNWV) alcund n:1ud

JoleJ IB f,tuoruJeuulngodur nus 1ry;oduJlqoisa alBJtruoJtarfJaro.tdIB JrlsrJalceJeJluelJuAur qB un 'uauaruase aO.J'FArlJaJord oluiar:dord o alsa aJeourlocU E ap irnFr; laun rolalirihd ea1e1 -eudo.rd'aJBurJnun6 'eldearp o ad BouaurasB ap gspFJoA es l rlrnFlga1eq,u ,ur,u a1e:1uar alttfoaro:d 'elduetp o ad csaseFas g rr.rn31; ole g 'N 'II 'V alalcundgrep 'nlduraxaq.rdg '1fuu;.lCArii JSOuntas rurrJprur$ rrirolo:d alsoJv

a t la SINI

din iului prin Ir-un blici ul S rl ara ec!ia ui A rre F pra I blice ii F. ortof din :lal^, e.'itor ie ;i istem emul ;poniridirl de ta gi oriale oiecietdfi ec{ia e sau Iu in I din ma

-,

trS

biraportul nentuluipe planulH. De asenenea' coliniaresementineca invariant ;';;i;;;;;fe ri"-in" ii"i"irii" paraleld.Proiectia paraleld itun.iotita ,loui drepteparaleletot in doud din ;;;;i; paralele,iar'drepteleconcurente drepte doui in tot ;;;ii; {ini ttui.tttormate^ .'oniut.nt".Sistemulparalelde proiectiecon;tiff;--ildamentul tboretic al . sistemului'de proiecfiedublu ortogonalMonge' GE OME TRIC E ' I ' I ' ' I.3 . TR ANS FORMA RI PRIN OMOLOGIE I.3.I. TRANSFORMAREA I 'i g . 1 . 4 lo Omoloqiapland. Omologiaplanb este o itun.ioit?t" punctualddefinite de un.centru M.M, coliniarecu O. Transforniarea prin omod" o ax[ deomologieA qi de un ;;;;t;ii;-d, plane.;i figurilor asupra ii extinsd tr, prin careunui punc^toarecareM i"i'i.'p"rt"Doua figuri F qi F1 sint.omologice "ir*iii.?t de o qi A ii corespundeip?tiri". .f ofunriri det'erminat ;iil.i cind existf o ornologiecare transformd : incit punct astfel M1, un' una tlintre f iguri in cealaltS.- -'r ^ Q, M, M1sint coliniarc : in ptSn'l'. C?n44tp - ou n ctele F f"oi.*.le iui Desargues : - irpbtt"t anarmonic(OMmM1) ^)" ut-idem ,rrccroirasi suficienta ca douu trrunguurt ABC' .rt"-lni"i.."iiu dintre' dreptele A ;i o M A'-B'C' sa f ie'ornologiceesteca perechilede drepte irfier(AB, ArBr) sci,,se. t tdC, ntCtli (CA, CrAl), este omologiei al I '4)' anarmonic (f ig' g, ,?portur ['"1u coliniare '"iunci puncteleM ;i Mr sint conjugate iect'ezeii'i,'eipunctei, sufticientd'ca doualriuni:-i, este ll. Conditiaiecesardsisd armonicin rapoit cu Q Ei m, iqr.omologia phiuri AbC, A1B1C1 fie omologiceest.eca M1 : "dreptele punctele l, ). 9i nu^.a rr*oni.e. .M AA1, BBr, CC1sd fie concurenle'I'lgura :oincid.iar omologiarespectiviesteo trans- r"tiiil-a'd i ri't ti utigtti ui i Ie ABc, ArBrcr i mpreu-., :;;;;; iJentl"e. P"unctellaxei A a omologiei ta caie unesc virfurile cor-espunz6at"ptele clubleale omologiei,ca dealtlel toare si .,i ,*u ;i centrul de ornologiefornteaza ,;;i";;";i; Dreaptacareune;te .""ril"i"ii"-ab l0 drepte l0 puncte, astfel =i'..titi"i o al onrologiei' ;i inlersecteazd" planului ile N * ;i piin ciie trei puncte a;;;';;"t; treie dreaptd ii;car6 i";it M1qi N1ale rreaotacareune$Ietransformatele ,i prin fiecarepunct trec cite trei drepte intr-ulPunct nume;teconligura' r,.;i; pu".t" piin omologia,f), figurd-se (fig' 1'3)'o mo lo - iiiei i.+1.AceasthTn figura l'5 s-a aplicat l .r u-pflna u tp b axa A a onrologGi transforntdo dreaptb tot, intr-o |i"'r"i-'Desargues. .., detero -..rpie. b omologieplandeste^complet :'"ita al omologiei' o -i-;i Au"dse dlu:'centrul o perechede punctecorespunzltoare ."u

F i g . 1 .3

F i g . 1 .6

2I

_--/

q B I Ftc

'aJBO+EzundseJoJ elcund atrsoBrloloruo' 0 ) 1 ru1uad JBr 'elcoJrpolso ap aqJaJado rS alBlrurl? ap V BXBuelsBounr srJalouo'0 < Y nJlued 'Y : --Virv(J PJPp FlEururJalepalso purJB 0JBruJoJSuBJl o 'PlsuotolJoalsa Bal?ilurjB nBs purJp BrFoloruo eluelsuocalsa 15_Inrlua) EI rV IS y .rolalound 'y exe ed prelnrrpuadrodalsa ryy alelrurJB :olafuelsrp '(g't .Fg) (pttug pluelsrp 1n1:odeg ap erfcorp prBC '(/'l 'Fg) tV l$ V anolgzund e1) nJrdo.ldlrund un alsa ralFolouro le 15 Injl -saJoralalcund e1iaun ao eldea.lpap plrur1ap -uer rBI 'LllulJul e1 e1enils)a;rdo"ldurlplduatp etrsaelullu!;e ap u;frerrq '(1rullur u1 1en1rs) o alsa rarFoloruoB V p,xu aJBJ uI grrSoloruo nJrdo.ldrullcund un else rarFoloruoIB O lnJluec eJerrrJoJsueJlo alsa elloloruo .pulJe ulF :et 'erJdold plduarp o elsa rarFoJouroe V -oloruorS uglaloulourqasoapa:e1ncr1:ed aprFol "xB -oruoaJlurg 'pJnFUBlsperead rt pfuaprnauJ aJBc uJ prtFolouroaJpruJoJSuBJl o alsa Butlu .3OgV rnl ulFolotug 'U InJluar nf, lroder u1 arJtrarr ESndrJ oleods_anFJesag erfernFrJuof 'IlsJoAUl -n:a1e1nt1ed : o elsa Bllalouo nJluad arFolouro 'I uud aruu.rb;sue:1-r$eaacd Y -IS

reciproc'Altfel- sp-1ts.,

o si. logia care iar " ryriu este DTES.

ia de tf, mld. daca rcde

o dreapti De€ Pr ;i 30 Teoremelelui Desarguesin spaliu: l.' Dacci sau irantlointareaornograficd coresDondenta douri otnoloage.ale cdre unescoirfirite irtiiit, esteclefinitd1o: DacI unui ,;ilr[";;;t'ptr* Arilrcr siluatcin.doudplane ABC;1 trii,rinturi ue n s in g u r p la nii c o re s p u n d 'iiiriflip ciniuiente in acetaeipunct {L ; ; ; ; i d in rrt imu tp la n ; i re c ip ro c : 2 " : d a ctrae l ii'i,iiit o u n c tin a l' d o ile a tJ ;i i.s, b) atunci laturile corespondente ;ii;."ft; ';i; 5 " ij. i. ' . J i" * t " -. b r. t p ' n d li t re i p u n c t ec o l i in trei concurente sint ,;i;;-aiia- triuitshiuri ,t;.t biiaportula patru puncte ;;;;;'.i"3; colineared, 9, ^( situate pe dreapta tle otmcte 'cu biraportultransforttratelor .grt 'intersecfieh' a ;;li;r'* .tt. PlanelorP ;l P1' ioi. poue planeomograiitecu uu al treiiea iiltre ele' In cazuldrcpteale lriuttghiuril'tr ABC ;i;":;T";oeiuti.* 11.Dacd laturile omoloage Pt a, lor,esteech.iomografici oaiecare plane ;i ArB;et t; tuate ln doid ,.P ;{L a i;;,'ttr;i'f";;?t;; au valentdcu doui proiec!iicentrale(dacanu intersecteazape dreap'ta de interseclie :e 'itoill"oi,--"ii-iici' urile uirf drepte'le.care unesc un punctunit). 'rurriiorauntu ale triunghiuriLor sinl cottcurente P R IN O llo1 3.2. A P LIC A TIIA LE TR A N S FOR II{A R l l o' :n arcLagiPunct Q' i-ciciE'$r"n"niriiini}' l;'S;dd centrulde omôlogie de puncteomoloagea' a" perechea A o i*l"i.-,i'it"i"gi. tl punctul -lo Omografie. Perspectivitate'DacI ba se determiietransformitad' prin aceastii"*ijifntog .e consiclerdca un centru de proiec{ie' intre doud figuri ABC qi A1B1C1s-a Lurde Q, b, b' si nt col t t' omologie. o"pera{ieo corespottdentI iii'lri"iliur'i, i' situat p" ii' aeal aceastd .trUliii-oiit -""Gi"-""tor re; drcptcrd "'urrtlrt?, purri tul uni t cste It a' = tu* aceste pentru aiunivoci valabild nu numai , petrtrtt-c(.dtrcbu ieca veri l i care i a u;. i tl i i i a" fl .t in :iJuri ci pentru orice puhct sau-dreaptacon- .;ii. .e iii'-cJineareiar ac qi l'.' fg intersecteazd qgfg:ponden{a Pt' P pian'e aora 6.r. in ,;it;l; !i jintre planele P 9i Pt astfel stabilita.se mat iezolvat aceeagl_ Proole.ll J iar dreapia.t.leinter- s i t u a t p e a x a 'd e o m o l o g i c -"i"-tt['.i'p.itp".iinitute concurent cu alK a A d e abc nu^me;te triunglriul 2' Se consideri .*'i;;A iinii"'""t" doud planese mai o"iofngul lui a in raport cu centrul .tt" a' Daci sau l'9) on-rologie. b (iig' l'B' ji d;perspectivitate ,i;; (){! r sa se construiascdomologul a'b'c' .:cul geometrical punctelorunite' O corespon- i. ""t"[gt. o con-.nta'tui largi decit perspectivitatea. colineaJia' tqu :,ii;;. i-"tpof;u.n1a omograti{ . .-t;;;ti;rt buncteieunui plan P1sint.proiectate ()1 tar prolec-.ntr-un nou centru de proiec{ie lntre plan alt cu un .:ntele se secfioneaza ,P2' planu-punctele P planiilui ini!ial ;i .ln"t"f" biuntvoca -i P' se'stabilesteo corespondenld un ii-corespunde ..tiel"incit unui'punct A €P

Ii"ptioI r.,ul p,':!**.ll.ii,of0,,i,!?,i1, l#' ; ;,

i l'-;+,:lt"q:JJ,,.,f,l'i"o r,,'i.t,i I li'l,'1, :},,l,ruli "i:

- ri.i Ar e p, qi uir-i drepteD e P ii corespunde

Irig.1.10

Iri g . 1 .9 ()t

l i

?6 9l t ' F l c

e rfcarrp B Iosnpel al el ered ad al eri l rs1u1s,e rS ,qal al rund ' ol ul rurJuap pJp ad al unl rs ,,rf-_i ,,[= ,;:1 .,! = alo.lrundu3 f uzuelces;.1ur ! n, n;rrn1"1 '(lt't 'Fg) "urgr_ioloro ,ep also alelrulJe op erfcariq :!nlnuu, -ola1u.rud InJluaJelsae !nlnJJ!^tnuJJpgt pu;p6 ruerio; -e;u.rudrnlsaoelE u!J? InlpuJoJsueJl FJsetulsuor es 'V a1ellulluap exu arqe J6 p.repJsuof, ;nrue.rioJe;u.rud aS"S o, alcla.rp ap sanFresa6 arie:nBrguoo o olsa/.1 ,,r;?li:r'rj; ,Rlnurlqoe:ndg .y -BupruasE alelrurjeap exeaclalpnlls oJuaurlo)-/{ = {,,[ = [,,! : r alelrunduJpzpelJosle]ur as our;e-FoJoruo alunlB.I .alelrurJeap erfca:rpeJ r lS q ur.ldasnpa1a1a1e:ed ad elenlrsrJ roA rS elalcung ,r ,q 'olplrurJaap elfrarrp alsa ,Eu eldeat6 .tqu ;nJngq8 -un!Jl_l?ulle lnleurJoJsueJl eulruJelap os pS .," ." nu;g" alcundap uaqcarad;$ y o1ullugunp pr.p;ruoJ eS .og .(gt't .8lJ) a8eoleue "*" elrlcnrlsuor 1u1s ralnrrlrpd lnzec nrluad 'V ad olenlrs = ,l ,,t = ,,1_ ,I I ug I elalcunO Bl3asrolur :ol es a8eogoruo alrrnlp-I (at.t Ell) 6 1nr1un, alBnlrsr; :o,r aBeolouro atotrund 31.r-tjf :ld_tJ "o 'V ,t5 lnzEl lS lodu a:aplsuotes uS .1up1n;n;q!un;.r1 ;e

jn.,l?,i.,n,"ir,r=.1"'*il=ili:it""ii:d:di5i#; ,,',il,'.

iLL, J,,li',ilo f,iq';X'liii :,.Tli" l,Bruaurase t4'o1s''p ;i,',"#:?'r i:; arareoap oq .(91 r lirj y "1nJ,uifn "i

,*" o.r

8 t't 8 rc

alsa ,uu oleltulJeap urfra"rrp BleuoFolro :j.:lltt!!9dltd .qu : F-ulJnBarsuroJsuarlul ,u'u i!1u1ii ^liulrsounr 'elBl!ulIE op uxs ezuafrasrilugJ.rur aiqri zadil lnun lu luuoiol.rou;;u inluiu.rogsueilgrselnriruoJ-ni pg .q

;t?J,',:L&11,;F'",.1t1#ili#l;l';f t*dTf*iif{$

at't'Etc

rFlE

1-i"!"-...-

|reazi iluri I e

majoritatea cazurilor, proiectareadin zilele noaStreare l . 4 , G E N E R A L IT AATSI U P F ASISTEM ELOR de rezolvat o primd problemd ce i se pune inainte de S P E C IA LDEE P R OIE C T IE toate: care este sistemul de proiectie cel mai adecvat

da l dtate, afind nrlard

pentru utilizare in cazul considerat(aspect,mdsurltori, detalii etc.). Practica a ardtat cd nu poate fi limitatd la Descoperirea unui lnsemnainumdr de sistemede proiec{ie un mod de reprezcntareunic. O privire retrospectivd a condusla simplificdri esen{ialein rezolvareaanumitor aratd ci tehnicagi arta au fost in toate timpurile profund categorii de probleme. Dealtfel -un rol de seamd in tributare sistemelorde proiecliecare au evoluat odatd cu inviorarea muncii stiintifice in multe domenii ca meca- inmul{irea gi adincirea cunogtin{elor omenegti asupra nic5, cliimie, fizici, tehnici minieri, construcfii, arhitec- r r a t u r i i ; i s o c i e t b t i i . A g a d a r , c u n o a g t e r e at e m e i n i ca a turi etc., continui s5-l ioacenecesitateade rezoivarea caracteristicilor sistemelor de proiec{ie, a suportului problemelor prin metode geometrice gralice. in aceastd geometricpe care acestesistemede proieclie se sprijini direc{ieeste cunoscutfaptul ci in ultimul timp au inceput d o n s t i t u i e 'o c e r i n f d s i n e q u a n o n 'p e n t r t t a c t ivi ti te a sd prezinte un interes deosebit in rezolvareaproblemelor g t i i n {i f i c i a p r o i e c t i r i i b u n u r i l o r m a f e r i a l e . D u pd a n u ' priir metode geometricegrafice reprezentdrileIigurilor mite criterii !e pot incercadiferite grupiri sistematicea spafiale in sistemele axiale sau centrale de proiec{ie sistemelorde proiec{ie. In cele ce urmeazdeste-prezcnprecum gi in sistemele Monge derivate, simplificate sau tatd o asemenea clasificarea sistemelorde proiecfieavitrd generalizate. Evident, valoarea metodei geometrice de- mai mult un rol informativ asupra crealiilor in acest pinde de faptul cit de comodserezolvi diferiteleprobleme domeniu. cu aiutorul ei. Se noate remarca de asemeneacd fiecare 1'. Sisternul de .proiec{ieMonge gi sistemelede proiec{ie din listemele existente de proiec{ie este comod pentru rezolvareaunui anumit grup de probleme qi cd aceste Monge derivate: Sistemul de proieclie Monge aplicat sistemede proiec{ienu numai cd au dat rezultatedirecte studiului descriptiv al geometriilor neeuclidiene;Sistemul de proiectie Monge modificat (Martin, Pernot); ln domeniile mai sus amintite, dar au constituit in acelagitimp qi metode noi de rezolvarea multor probleme Epurele dfine 9i epurele afine cir spa{iu de transport; S i s t e m e l ed e p r o i e c {i eM o r r g es i m p l i f i c a t e . geometrice. Binein{eles existd o legdturd strinsi intre fiecare sistem de proiec{ie nou imaginat gi epura sa 2o Sistemele de proiecfie care generalizeazi sistemul corespunzdtoarepe care principiul teoretic se aplice Monge: Sistemul- de proiec{ie imaginat de Gh. A. efectiv in rezolvarea problemelor oractice. Au fost imaNicliilor; Sistemul de pioiec{iecu diedrul nul; Sistemul ginate insd 9i sisteme-deproiec{ieica de exemplu,unele bicentral de proiec{i6 cu 'doud plane fundamentale sisteme de proiec{ie multi-axiale in care materializarea paralele; Sistemul biceniral de proiec{iecu doud plane principiilor teoreticein epura corespunzdtoare igi aqteapti f undamentaleoarecare. inci rezolvarea.Numeroasediscipline,in specialtehnice, folosesc in mod curent diferite sisteme geometrice de 3o Sistemelede proiecfle ale geometrieicotate: Geometria proiec{ie.ln ultimi instan{d se poate apreiia ci majori- cotati propriu-zisd; Sistemul de proiectie vectorial tatea crea{iilor umane rezultd succesiv din insu;irea, imaginat de Feodorov;Sistemul ciclografic de proiec{ie; Sistemulde proiec{ieimaginat de A. Capelloni; Sistemul transformarea, utilizarea sociali, tehnico-economicS,a afin de proiecjie. mediului inconjurdtor. Acest mediu nou creat de om gi societateeste o cucerire.o ordonare.o combinarenoud 4' Sistemeleaxonometricede proiecfie: Sistemeleaxono' de spaliu, materie gi timp prirr intermediul unei proiec- metrice de proiectie cu axe rectilinii; Sistemele axotiri deci prin utilizarea unui anumit sistem de proiec{ie. nometrice cu axe curbe; Sistemul de proiec{ie prin Proiectarea este deci concretizareatehnicd, gtiin{ific proiecfii suplimentare. determinatda unei crea{ii, ea insdqiqtiintific fundamentatd. In baza acestor acumuldri carititative, analitice, 5o Sistemeleaxiale de proiectie:Sistemulaxial-helicoidal de specializare,proiectarealncepetotugicalitativ printr-o de proiec{ie; Sistemul axial - paraboloid l-riperbolic intui{ie, viziune de ansamblu spa{iald, materiald, d e p r o i e c {i e ; S i s t e m u l p l a n - a x i a l d e p r o i e c f i e ; Si ste rinetici, a obiectului cerut, in cadrul condifiilor locale, mul'biaxial de proiec{ie; Sistemul triaxial de proiec{ie. inomentane.date. Este vorba deci de o sintezi creatoare 6o Sistemele centrale de proiecfie: Sistemul perspectiv ,ie forme spaliale, de necesitdtifunc{ionalegi condiJii de d e p r o i e c {i ep e t a b l o u p l a n v e r t i c a l s a u i n c l i n a t ; S i ste m u l :ealizare pe care numai geometria o poate conforma in perspectivpanoramicsau oloramic de proiec{ie;Sistemul sra{iu qi totodatb concretizain studiile pe reprezentdrile de proiecfie al perspectivei Newtoniene; Sistemul de :ehniceplaneca imagini ale aplicirii sistemelorde proiec- proiec{ieal paraurmelor;Sistemulstereograficde proiec1eadecvate.Mai departe,prin determiniri gi aproxima{ii {ie ; Sistemul bicentral de proiec{ie cu centre fixe satt :jicesive, in baza legilor speciiicedar gi de armonizare, m o b i l e . .e ajunge la proiectul tehnic respectiv,necesarin vede:;a realizdrii, deci la construc{ii plane, care urmerescnu :t,::ric formal, ci lnteles, insigi rela{ii1e din spa{iu. -:";:dar nu se poate concepeo proiectareln nici utr dome."":: firi cunoa;tereacel pu{in a principiilor generaleale 1.5.PROBLEM PROPUSE E , .:einelor de proiectie care se ttilizeazd ln ramura res-.::ir-a precum gi in cele inrudite cu aceasta.Aga cum ,-. amintit mai sus progresul continuu a1 gtiin{ei gi 1o Sd se arate ce devineraportul anarmonicr : (ABCD), ::---icii a dus la aparitia muitiplelor sistemede proiecfie daci se permutd in toate modurile posibile (in numdr :i:. se utilizeazh astdziin celemai diferite qi nea;teptate de 24) oidinea celor patru puncte. Numdrul r fiind dat, r:r::-t:ii. Spre deosebirede trecut, cind dubla proiecfie sd se exprime cele gasevalori distincte pe care le poate lua astlel -r: .-::rald constituia sistemul de proiec{ie utilizat in

E€Ce Fnele hter:=

l'J

S'

25

.;J

-, 1

' 8XE

llt BlolBJE0 nBS BXE 'qnop allBlola)ap rluolurp FlBzr^rpalso 1a1du.ror ad alelnJlpuad.ladaldorp roun e8eolouro erseaseFos es J a J B l n J l B dl n u n p B l p u o E B t pc l e J J t J E . ) J l s l r ) a s p S og rW .r.X aluapuodsa:orelrund enop luls rS 1rygreq BxB ',q ad ,ut nes lnFolouro FrselnllsrtoJJs Fs 6 pldualp ad u od 1en1rsg Inrlrral r$ *y er8oloruoop exp pu!!J .,9 ls o alaldarp ad .rrlrrdso.roS8olou]o Fp oS ,lsp "01 alrun(l ap rqJarad larl (,r .r) IS (,q ,0 .(,u .u) agg og 'bdur rnynlq8unt.rlln8olou.lo a[ or FrtrBr8oruoer]e1arEJseelrqels as ps as Fs .sx:1, p orSolouroap 1odun nr 1.Iodatur . ^'p8aal êJsBrnrlsrror rs JJtJ?ldoulo tunrztArpclep_a1a1da:p ad nr;rsap alcund tu rnlnlcrrnd lnEolou,roolsa Iru eeeg .bdru alsaJepr olerp os f5 .3W 15rry alolrund uI alup a1a1da.rp lnlqFrrnr:1nr r?lu)Jnrrror *y orFolouroap exe rbdruInlqFunr;l Fp oS Fzaalf,asralur 4 urrd psnp FrerlrqreBluarosg :j xri jcunil "6 uq r* tg alda.rp un r( 'rsnsr.rJ enop ueld un-JlrrgBJoprsuoraS o' rny apunclssrorr$1 arf;osralurap joI prlruird pl punlS 'aJeautlorlugs a8eolouroazBJenop all?l . q raldo:p u lq ptrle-r8oruoaleur:olsuell os l?s.llr?l - r o l ) r a l p . c t l r r s r r l u r o p c 1 . r 1 l r n dr r u n l t s . ( , O O e i r t e a i p j FJseJsRB punruoJpdp,oloruo ezeJo ne 1$ctuoru:eue1:ode:rlelare ne Iy -Inlar IB rrlerFouo InlpuroJsuprl lnun lrrJs r$ y preg ', 6 , 1 n 1 r u n dl r l p r l l B l a l 3 r . r e i , g l n l r u n d r i r p a s n ! a l a u r r : d 'O t I pllull IntrJund16q eldea:p ,g 1n:luar pp aS oB 'r J s a J pn l l p d a l l J a p J l o J t J S BFJn o pp J E pp r a l s l B a s R S . g '(a:Baullof,luls un a:pf,areoaleund ra.t1arer o.rlurp) 0s: alrund n.:1ede aya8eoloruo t-npulJsoun).atrBpC auBld :C V rrfl puocal sarBuJ pr al prBas __ry:qy FS .Z/t Ig tJnErJraun etr;e:Fouro prsplnJlsuoJas e.rn811 apunI - : (ACSV)EiluollrrP FS o/ eaunrzrarp g;aprsuor ag .6

turl Ete

ED . lu idD h.i m ta im

rs{e I P.' E nle "

C o p i t ol u l

ll

PUNCTUT

I

t_

celedoui planede proieclieH ;i. V s.edivid i."ipto. iti pbtru semipllne,prin linia de oaniinto*, cire pot fi notatc;i numiteastfel: 'n" - ntunulorijontal anteri6riHp- planul posterioriV. - planulverticalsupeor'izonial 2.r .1 .PLA NE DE P ROIE CTIE.L I NI A DE planul veiticai inferior'*DiedrulI t; ;i;;; PROIECDE PAMINT. DIEDRE. SISTEMUL Hu;i V.-'-DiedrulII fe semiplanele ln modarbitrarcele TIE MONGE.Seconsiderd ".t"'iottort V. si Hp' Diedrul semiplanele de .ti" l"t"*t H ;i V caresenumesc doudplaneperpendiculare Hn;i Vi ' Die' plane de pioi6cfiegi pentru a le -deosebise Iii esteformatde s'emiplanele v, !i H. ' de'semiplanele presupune-cd H esteplariulorizontaldeproiecfie, a;f IV lite format de ortogonal u dubl sistem Acest -49*pfg iar Vêsteplanulveiticaldeproieclie(fig. 2.1). -iectie -p]gfte" paialelnortogqna.lq cu"proieCfia asoCi-af Dreaptad-einterseclieOX dintre acestedoud -ioi'*itii! X'ifei' iiite*uT'o.-p'ioi"iti;tvton3". plan6 de proiecfieeste numitX in -geometria -prcsupune ca Sd claiitate,' mai'liiulte plane bentrii descriptivdlinie'depflmint.Acestedoud oriplanul cu paralel :erpendicularesint nelimitate qi pot ocupa ;i;;"1 oiizontalH estc cu in spa{iu,in careplanul H ionlufui li ie planulveriicalV esteparalel o pbzilieoarecare regiueste I plumb' Diedrul firului'cu tlirectia 5a nu'fie neapdratorlzontalsau V vertical' rile douaplan6de proiectieH pi V divid spafiul n., ,lin spafiu undetrebuie si se situezeun planuluiorizontalEi astfel ::l patru regiuninumite diedre.De asemenea,oUi.*rloi di:asupra sd incit. privind pfanuiverticalde proieclie'. de liniei ttinga'salitera x a .'uO-a'ifi -pimintÊi i; ,lt;;pi; t? lit.tu o a liniei de pdmint' In ca originea.abscise' viitor, lit.tu o seconsiderd adici de la t"ntut pozitivde la o-spre--1, i;;; numite qi sint Ill l Diedrele sprestin[a. dreaota diedieopuse.La fet diedrelell qi lV'

DUBTU 2.] slsrEMut DE PROIECTIE MONGE ORTOGONAT

F i g . 2 .1

Se numegte.pri2.1.2.PLANEBISECTOARE. mul olan bisectorplanulbisectoral diedrelorI Se nume;teal doilea plan ii rir fiis.2.2\. 'bisector al diedrelorIl Ei lV' irisector'pianul Uneori de considerdsemiplanelebisectoarel, ll, Ill ;i lV. Dacdunul din planeled9 p19ie9' 2.1.3.EPURA. tie H sauV se rotegtecu 90oin jurul liniei de 27

:t

BE 9 '6 'Ft C

9 ' 6 ' 8 tC

g arfr_aro:dap aueld enop Joial e arfoas.ta1ur ap eldea:p ad ;elncrpuad.ladalsa ;Vu 1nue1d 'aJerurnulJd 'A 1nue1dad ,uy e:elncrpuad:ad eut{uoe aJaJeoep'1 1nue1dad :elncrpuad:ad alsa,Ia 'Bauauaseaq 'ue1d lsate ad gJelnJrp yu eldeerp aurfuocecoJeoap,g 1nue1d -u_ed:ad ad relncrpuad.lad atrsa ,?V? InueId :,,ruJJd / -p u" :a1$e1rras n;1uad 'luaJJe un 1u1ul1erdns pJalrl pUJAB aJeolezundsa:oc uud a1err1:a,t FJnu alrrlcarordezve+ouas er{uanuof,urJd .A IS H all -calord ep aueld Bnop elac ad ,l,rlcadsa.t'1cund eprfcarord,u l$ e ar3 16 Inlsore a1ea1euo8o1:o '1 lnrparpuI lenlrs '(g'a '39) nrfedsurp aref,areo lcund un V atd 'tn'InICNnd Vdndg.'t't'Z -uppdap 'uslrsqu :lriJs aJBc'a1esa1een;1d;rmap el"uopJooJ Iarl alar ap PlEulruJalapelse ernda 'A IBJTIJaA Inuelo alsao ad (,e 'e) rnlnlcundtq u\12o4 'V rnlnlcund g 1nue1d+nlFqBJB-s gr 'sJalur nes H 1nue1d alp a1euo8o1:orrfcaro.rdpnop aloJ (,u 'u)V alsad n .frllrBld inlpqer. B-s Br 1a;1seaunds ep elou JoA aS eS 'oJal"quJ'IaJrqoap ai$aunu as erfcalordap u1rd nes (,e 'e) ur:d eauaruese '(,u 'u) lnlcundlq g-rndau1 apundsa:orrg ntfeds aueydpnop alar undz:dns as eJBcur:d u;fu1oX ulp V rnlnlcund pc lroasapBeunds ag 'lernda 'suasoJIJouJ pielriurleu e.lndapraprsuoeas l* Ie nlqnp rnlnueldalalcundr$ tnlntfedsalalcund $'Z '8ti xo trultupdep Bturl JEopEzeasvrles rc o IeJlsBa1$a1rqu1s'(g'a 'Fg) rnluor ap llull u1.rderndapzBoJperul arlul pro^lun;q piuepuodseroo es ag 'arfcarordap aueld gnop alar ad .Lrleadser nu 'Jacrqoeq 'prnde op BaJrrunuap plruod aree 'a1esa1e ,u 1i u aleuoFolrorricaro:dFnop elaJ 'uesaprnFursun ad aleuasapIaJisBrede arfcalord ulrd glulzerderes nrieds ulp V a:era:eolcund ap aleueld urp oJeJarJed eleuasapap:nFrg un 'aFuoyl arfcaro:d ap leuoFolro nlqnp Inu 'nlqnp uuld un aurfqo es rS arfca,ro:dap ueld -alsrsuJ 'repe$y 'VIOC 'VAUVIUydAO 'VSIC llelplal alsad aunde:dnses IJunlB ,xo lugrugd

.4

/'i't;

i/

o1:;l

'9'r'6 'ssv':r^rldrucseo a'IarvNoouoof,

'aculeruoaFatruauelaJolelrJaJlp eareluaza:darr.leqFurlsnu B ap lndocs uI 'FulJ alrpoJtS pldn.ra-r1ul alull utrd p:nda ed ezeaserl es oulpJo ap llull olsaJe 'leolqo ag '1ader ep elull nES aulpJo ep etull alSaunu as oJpJ 'xo ad prelncrpuad.ledlSeaocead uuneaplolul g.rndeu1 :epeie eienlrs truJs,e r$ u lrfcaro:d _ pnop ale3 ',e uud leurnu elou JoA as ri ,u 13 ," InleJep'alrrfcarorda.r1uiarfcurlsrpaceJes nu urnda Blrunu leraua8 uI '(9'6 '3rg) ;n1n1cund 'pue1du:nB1;nlqnp lnuuld u; 1aj1seauriqo ag ' *uu eldua.rpad ,e u1au:e1*een es rSxB InJlue) nc nrfedsuI JJaJap cJu un alJJsep,g lnlcund 'atlcato.ldap H IEluozuo1nue1d alsadpunde:dns as ps +IeuI lajlse 'lBlFJe Insuas ug arlcaro:d ap A luJrlJa.,r1nue1dal?qEr as PrBC '1ultugd xu,u ISxuB op BIUIIad a:elncrpuad:ad1a11se 1u1s aldarp enop ala3 'xo lupupd ap erurl ad nrfeds ulp V tnlnlcund e gluuoFol.roerlcaro:d purrl pJ xB InlJund e:aprsuoraleod aS ',BVu 1nue1d rS xo luyuRd ep Brurl arlurp ariJas:a1urap *s lnlcund alC 'xo lugrupdop Brurlalsaa;ec 'n r$

ya'Ew ,h" oH

--" dH'c,!

r

e'a'Frc W

U z'6'alt

n,/ot2ee1,' lnaold-,uat

.1 JL

:i -d

in te Lts

1c s€ e, cu I.

t?.

'al a

ua Id

lX'

de SC

rte Ed

tsteun rin rle, S€ [" r :

ta . din l ' l.

rin aie trte rta-

rea gi cota. Abscisa punctului..este, mdsura seqmentuluiOa* cu sensulpozltlv' ales prln convcnlie intotdeauna dc Ia dreapta sprs stinga (invers ca in geometria analiticd) (tig."Z.O). Depirtarea punctului este mdsura segmentului Ai' : aa*, care mdsoari deci diStaniapunctului A iatd rle planul vertical V tle proiec{ie.Sensulpozitiv al depdrtlrilor se aleeeprin conven{ie-peepuri, de la linia de ordonateoafiint in ios. Depdrthrilocorespund -analitic5' tot in sensinvers' ior din geometria Punctele"au departari pozitive in diedrele I Fig. 2.8 Aa: ;i IV. Cota puirctului este segmentul :i'a,: a'?x, care mlsoaradistanfa punctu- stinga, iar sensurilepozitive ale depdrtlrilor de planul orizontal H de proiec{ie' fata lui A ;i cotelorsint pe epurd,respectiv de la linia de Sensulpozitiv al cotelorse alegeprin conv-enfie pdmint in jos ,siin sus. Pentru a construiepura p. de la linia de pdmint in sus,la fel ca functului A se mdsoarlpe linia de pdmint.ox "pu*, g'eometria analiticd.Puncteleau cote pozi- doui unitd{i de lungime (valoarea.absclsel in tivEin diedreleI Ei Il. Dupi sensulcoordonate- x :2), de la originesprestinga9i-seob{inea* ' lor descriptivese citegtepe e-purdpozi{iapunc- Pe perpendiculara dusd la linia de pd.mint,itt tului in siafiu in raportcu planelede proiec{ie' punitui a* se mdsoardde la linia de pdmint in 2.I.6. EPURA PUNCTULUIDAT PRIN COOR- jos patru unitlti de lungime(valoareadepartlDONATENUMERICE.S[ seconstruiasciepurele iii i : 4) qi se ob{ine proiec{iaorizontalda. sgu.liniede perp'endicujard Mdsurind'peaceeaEi' ounctelorA(2, 4,3) ; 8(6, -2, 4); C(8,-4, -3) : 3 unitati de lungime ii n fq. 2,' -.51; in ce regiune a spafiului se orclinevaloareacotei z liniade pdmint ox' pe care de la linia de plmint in sus,se ob{ineproiec{ia ldsesc?Seconsiderd abscise-lor!n- punctul O verticalda'. Astfel, punctul A (a* , a, a') din originea !. tixeare d; mlsurd (fig. 2.7)'Punctul spa{iu este reprezenfatin epurd de bipunctul si unitatea 'A(2, pozitive' Aceste (i, a'), adicd ile proiecliilesaleortogonalea ;i 4,3) are toatecoordonatele de proiecfie, depirtarea (or- a'' pe'celedoud pianerectangulare 2, x abscisa sint cobidonate tlonata)v : 4 si cota z : 3. Sensulpozitiv al oriiontal ;i vertical.in acelagimods9determina spre epurele pirnctelor B, C ;i D, {inind seamade rie la origineaO a absciselor absciseioi'este v'alorile'si de sensurilecoordonatelorlor. S-a f lrnul vestito/ superim/vs) ardtat cd spafiul geometriceste alcdtuit din t2lonuiorlzonlo/ ooster/or/h cele oatru diehre clarese formeazi intre cele de proieclie,orizontal -|qdildil doul'olane rectangulare si veriical (fig. 2.8). Sensuiiledepdrtirilor ;i ile cotelor'ounctelbrsituate in acestepatru {'{e.t diedre sint urmitoarele:

i Yril

Y'k) i

d

8)i

b,(6)

In cazulnostru,reparti{iapunctelorA, B, C gi D pe diedreesteurmdtoarea:

"3)

ffil

0epo'rto1,t' *

P/anu/ orizonlql anterior (Ho/ Plonul vertico/ infe/'io? ( t/,')

Fig. 2. 7

J

lo ie a r u r I

r

I

tt

. l "l

I

rrr

I

IY

I

l#l.*l+_l+l_-_l.;l 29

0t 0t'6 'Eri

8t'6 'ttc

o'a Ftc

z t'z 8tg

ttl

i ii dA

#gd

,EO

'EelropIB InJpelpuI al?nlISluls ela 'an111zod olalor r$ a.'rtleFauall:glrpdep ne n lS g elal -)und 'Ballarl Ie Inrpalp uJ lBnlls alsa Ia 'a^ll -eFaueloc r$ 11cea.relrgdap1g1eare C Inlrund 'nJparplnurtrdul olenlts IaJlsEpUIII 'a,ttltzod alalor 15all:glrpdopnB O IS V alalrund 'a^rl -aadsar:o1a1cundclaloJ rS a1ug1:pdapgJBosgut alB aJBXtJ ap alalcunduJ olBJIplJ as Jolaslcsge aulproap oltrurl rd '(01'z '3H) :l lS o alalcund nrluad aarln&aul$ C l$ g alalcundhrlued aaqnod alaslJsqegzvax\ os xo ,x lugugd ap Elull ad

giiop alaf, 'pltllzod Blor JBI 'F^llBEeu pulll '91n1osqe ' ( ' ' t- ' g- ) a $ Q,' z' g- ) o ' ( g- ' a- ' ' ) f, BaJBlJgdap 'e1oc nc FIPsaBaJeljrgdap aJeolBA uI 'aJBPcspJolseslquBIdBallopIB-epIaJ '(t '8- 'a) g '(9 '8 '0) V : af,lJeurnu elaluu uI lBnlrs alsa (,q '$g lnlcund '3ÎlESaupu!!J -opJoof,u1.rdalup alrund elaJ?olpuJn prnda ug alaqurB'lullu9d ap_BIUIIop FlPl aluelslPlqra ezarn8l; as ps 'nlduaxa llu un ?3 'elnu BloJ luIS ,J rs J alalJund prep PclpP'BloJ nJ PIBSe r$ 1gcea-relrgdap1g1upuI^B 'lulupd ep etutl BeJslipdoperB EcBpJoiraslq uBld Bal!3rl IB-op ed 1en1rsalsa O Inlrund 'g,l,t1rzodolsa g : q us ua:e1;pdopJBI '(0 == ,q) FInu BtroraJE leu Iar uI lBnlrs olsa (,c 'o)3 1n1cun6'Gl'e :erz itt'a'Fll) a,rtltzodluls oloqulepcep ri luitupd aJaJeoap'atlcatordap JoIJatruB leluozlJo1nue1d ap plurl op plpl oluelstplq)aluls ,E r$ u alttf uI lenlrs alsa rS (O : -q) FInu ESlcsqBare pJBp IJap 'e1ol nc pleFeua:eltpdepare g lnirund '(O'a '3g) pirtltzod elso t: ,8 ES -ca1o-rd alareoap (,u are e) BorelJpdap Blor rBI alsa uI rolrasrq ueld '(o PInu 'u)y FrBp lnurrrd lenlIS lnlJund 'oJpelpnllud ;o1acelu al"olf,eslqalauuld 'arfcarordap royrednslB_rlFaA1nue1duI. le.nlIs u1 n;lredser el?nlls 'O l$ C ,g 'y rola;rund alsa V lnlrund ;alrund olsor? plulza.ld ;ig1;r ae i(6 '0 'fb lS (0 ,'g '0)g '(' '0 'z)V ernda prsugn4suo?es pS 'gUVOIO1ISIS g'IAN -u1nr1lrud 'L'l'6 elarnda tuncu Rcsuln4suoJ es ES ;o1a1rund 'v'rdrwgs NI :rlvnus s'lar3Nnd

Alra in lul rca ecde li; eel nea int ele ln

are rea

)ua

punctuluistudiul pe epurl al tuturor pozifiilor caracteristice (in numlr de l7) pe care le poate a I ocupaun punctin raportcu planelede proieclie ll Ei cu planelebisectoare.S[ se citeasc[din epura o x . , al[turatfl (fig. 2,15)pozifiile punctelorin spafiu Yt(il. ft(81, ,4(4" fafi de planele de proiecfie 9i fatfl de planele bisectoare. ili r!: tt lo Punctul A(a, a') este situat pe linia de bo(2) oc'(,) 5 pamint (ambeleproiecfii coincid pe linia de i pdmint, cota gi deplrtareafiind nule). ot b.s)"b'(.5) 20 Punctul B(b, b') estesituat in planul orizonFig. 2, l4 tal anterior (proiec{iaverticald b' se gdseqtepe linia de pamint, deci cota estenul5, iar depirproiec{iib qi b' coincidin epuri deasupraliniei tarea este pozitivi). de pimint. Punctul D(d, d') este situai in cel 30 Punctul C(c, c') este situat in cliedrulintti, de-al patruleaplan bisectordacdare, in valoare sub primul plan bisector(depirtareac este mai absolutS,depdrtareaegalScu cota, depdrtarea mare decit cota c', ambele fiind pozitive). fiind pozitivi, iar cota negativ5.Cele doud proiecfii d ;i d' coincid in epurd sub linia de 40 Punctul D(d, d') estesituat in diedrul intii, d estepozipdmint. Se poate considera problema gi sub in primul plan bisector(departarea aceasti formd: se dau punctele: A(3, 2, Z), tivi gi este egalacu cota d', care de asemenea B(5, y, -3) qi C(8, -y, -2), situate toate in este pozitivd). planele bisectoare.S[ se determine valorile 50 Punctul E(e, e') esie situat in diedrul intii, dep[rtlrilor y Ei ale cotei z qi sI se construiasc[ deasupraprimului plan bisector(depdrtareae epura acestorpuncte. Punctul A este cotr{inut este mai micd decit cota e', ambele fiiind pozitive). de prim ul plan bisectordaci are cota z:2. El poate fi conlinut ;i de bisectorulpatru, 60 Punctul F(f, t') estesituat in planul vertical pentrucotaz :-2, PunctulB poatefi confinut superior(proiec{iaorizontall f estepe linia de de bisectorul patru pentru depirtarea y : 3 plmint, deci depiirtarea estenuli, iar cota este si de bisectorultrei pentru depiirtareay _---3. pozitivi). Punctul C este confinut de planul bisectortrei 70 Punctul G(g, g') este situat in diedrul doi, :entru deplrtarea-y : -2(y - 2) Ei de bise^c- deasupraplanului bisector doi (cota g' este rorul patru pentru depdrtarea -y : 2, In pozitivi gi este mai mare in valoare absolutl ligura 2.14 s-a construit epura corespunzltoare decit departareag, care este negativi). : ri melor posibilitS{i. 80 Punctul I(i, i') este situat in diedrul doi, r"1.8. ALFABETUL DESCRIPTIVAL PUNC- in planul bisectordoi (ambeleproiecfiicoincid TLlLUl.Se infelegeprin alfabetuldescriptival deasupraliniei rle plmint).

(rrt)

? a'(z-I)

o'

qk

9' li I ^t

?'' i

9t

?i l' .t ..i,' ? iJ i

eoIi ii I I i. ,ii i , , , ii I e n ?6'i i i + s i ? J i 'l

p, g, n^ s, t

!._-1, Lr, Ld, '(, ,& Li, i,, it, il, i/, i*,in, i

i

|

I

|

i

o| "

i i Lr i

tl

i

|

|

, 1 6t' i

|

r'

i

i

lqi

fs'

L,,i I i-"i", i

wu

-tui

i r" ''

i

ir, i

i

l l t,i

bg'

&g

tp'

Lt F i g ' 2 'l 5

i 't -

31

-'-.-"_=_--

1 2

z8 'g Inlcund nrluad iq t$ ^q-uI l$ 'y lsacuad y rnlnlcund uricaro:6 'p;o.rdep 1nuu1d ^1n1cund alaxe nes aricarordap 1u.ra1u1 n;trued '7e $ ne uJ ltlcadsar 'zo ',{olnuuqdllunu '- lulur ed prnde ui JSaull+ulttfcato-tda+soceut.td asnp -pd ap ururl ed rS reap- pnop a11e1a1ec 'Ftl) ap Balre.Il un 'aticaro.rd ueld g :elncrpuadrad elelelered'Ul'a IB ti lulurpd ap BIuII el as Allour +saceutq y .rolalcund a1E,q ',e elBJI1JaA ISq '" eluluozlJo FJnpoJluIes ps a1$atnu$tqo alrtfcatordlllul IEUIcsalnrlsuoJag 'a;fre1o;dap 'lelcarord InlnlJalqo EiuJoJa1$errt:daJ BaoJuJ a1eo1.nrlsaFns ap 1$lalduoe ap Iu nrpelp lnrulrd u! elunlls '(l '9 'g)g a1rfg1r.re1ncr1:ed -rolaueyd Euneaplolur BpaJ nu alelel"l,ellli alu rolalcund IBcrlJaAIS IBI luarJrJns '(b'Z't)V ,,q 1$_,,u -ragordRJsuln4suol as gg 'co:dtra: tt g:nda u1 -uozlJoelaueldad rolalcarqou uleuoFolJonlqnp ea;eluazardeX'AUOAIUI"IVUgIV'I'InNVTd ri nriedsutp y (,,8 ' ,E 'e) lnicundr:1apundsa:or rnlnlJund ',,? 16,B 'B olesa1ealeuoFol:o-ttfrat 'aricsroudao NV'rdva'il:rur -w 't'6'G -o;d ra:1 alar ut.td leluaza:da: elsa ntfeds utp V Inlrund 'n1dr.riueld tnlsarealalcundtStnlnti lflSiloud 3cl Nyld vt'il3uI 1Y'z'e -uds alalcund er1u1gf,o^lunlq pfuepuodsaroco a16a11qels aS 'n1d;4 uuld un alsaaticatord 1o11su ap IEreleI tnlnuuld earelueza.rdartS autiuor '(unrleFaualsa oJBc ',s Bloc +Iceppl a:er ernda o ';epeiy 'atfeato.tdap Ie+uozlJo uI pJnu rerualsa rSp,ir,tlrzod alsa 1nue1dnc pplculorgsec luyugd ap IaIUII1n:n[u1 -nlosqzaJBolBA rodu:a1$a1or as aJBJ'nlqnp uuld un auriqoas tS earelrgdap) n;1ed .tolcasrqrnlnueld z;dnszap 'allcaro:d ap IBJIIJaA1nue1dno aptcutoc guld 'nr1edInJpaIpuI lenlrs alsa(,s 's)5 1n1cun4 o21 'cr:laruouoFrJl+oaJIpsuos ul 'zo 1n1nxelntnI '(1u1updap Brurl qns prruror uI lBralel 1nue1da15a1oras 'Iactqo ap '.laJlsv rrfratord elaquu) n.r1ed rolcaslq 1nue1d uI 'FplcuroJ ps erfe:ado pll_uInueo-r1uud asnpe 'n:1ed uj (,r alsa ':)y InJpeIp +enlrs 1n1cun6og1 olJ FS lnlnJpalJl alB auBlo IaJl aial Bc JBSaJau '(e,trluFeualsa aJeJ ',b uloc ilJap RlnJ 'aseS alse u;nda e1 pBunfe es BS eJ nJ]uad Inlnrpalrl auti.rede -osquaJBolEAuJ gJrril re{rra+sari e,trlrzodalse rnlnrparrl Irap 'g:V*Z n.tiud rolrasrq 1nue1dqns 'n:1ed unrleFau FSrJsqeno rop InJpaIp utp pund un b ua-ru1:gdap) uI alsa (,b 'b)O Inlrund ogl +Bnlrs 'n.r1ed Inrpelp snld '1n1n:palpIE IaJ a+sa 'nldruaxaaq '(e.trluFaualsa ,d elor oulpJoep Jol InJFunu ret 'antluFaualastJsqunE rcep 'iulurpd op Brurl aJparJln:1edalaurrlln 'alrlIzod alastcsqupug.te :er 'e1nualse EaJBlJtsdap as arpat:1n:1ed ad alsa d pleluoztro erfcarord)rorreJurIBcllrel 'e.rpatpn:1ed alao nJ BpunJUoJ alarulrd '(gt'a '3g) erpeJrl1dou; Iploi uI pIÎp 1nue1d uI lunlrs elsa (,d 'd)d Inlrund otl '(,u eloc +lrop elnlosqe eruolel uI pJrur BUnEap as aJpelp nrled elar '- s1;v BSIJSqB tnlnueld ap eJB OJBJ aricarord alsa u earel:pdaprer 'enrleFaulugs rrfcar IBur IBJaIEI -lolul eoJrrnpoJlul ulJd 'Al sJolII ulro IaJIqo ap -o-rd alaqure)rolmsrq uuld ea11a:1 IB-apIar qns u" a16a1tr as) .IEJl Inrpalp ul trenlrsalse (,u 'u)111n1cun4og1 ezealouas IBJaIBIInueld '(,,punces Bcllu BJatrII '(grrrluFaualse Bauour luef,JBnlqnp puJAEaJBolPZundsaJoJ ut:d grrpe ',.,? urJd Iaclqo op pzeolouas ueld -esB ap oJeJ ',uJ Bloc nJ gleFaalsa r5 g,trleFau also ru ea.re1:pdap) raJl Jolrasrq1nue1dug 'ra:1 9t'a'8tc Inrpalp uI lBnlIS else (,ur'ur)1,11 lnlcund o6l '(,1 elor llrop FlnlosqeoJBolpA ul oJeu rBu alsa 1 ea;e1;edaprBI 'oArluFaulugs rricaro:d elaq -iue) rolcastq uuld BolraJ+IE-ap rnleJ erdnseap 'ia:1 1n:patpuJ trBnlrsalsa (,; '1)1 1ntroun6 o11 '(e,rtleFaualse { BaJBI -;pdap.ret 'p1nualsa BtroJIJap 'truirupdap ururl ad alsa ,{ ulecr}Jol urfrarord) :or:e1sodlutruoz -r'ro 1nue1duJ lpnlrs alsa (,1 '4)) 1n1cun6o61 '(p,rrleFeuelso aJBc'[ ea:e1 -rpdap llcep plnlosqeeJBolpAuI pJrrr rurr else r$ g.r,ilizodalsa ,I eloc) rop ro]resrq 1nue1dqns 'rop lnrparp LrI ]Bnlrs alsa (,['[)1 1n1oun6o6

F i g . 2 .1 7

in ni LA

ea

:t. SC

ele [€' lre ine lu, ivA lui ste fie di. in ric, :!ie, rpoi rnul care de itiel spaulA pro:u1ui a' ' ) oiec| 4), nelor :liile lor A rmint :purd erLtru rl B.

Si se construiascflproiecfiile laterale&" gi ['r ale punctelor A(2, -3, -5) gi B(4, -4, -3), situate in diedrul al treilea al planelor de proiecls .o' fie. PuncteleA qi B au proiecliile laterale a" 1'$'--* ''-+'.: Ei b" situate pe planul lateral posteriorinfei ;f ' .,ii.\| rior, corespunzdlordiedrului trei (fig. 2.20). \ Se construiescproiec{iileorizontalegi verticale ale acestorpunctegi se determinS_prinparalele la ox punctele (ay; al) $i (b' bl), situate gi ele in diedrul al treilea. Pentru a se obtine proiecliilelateraleale acestorpuncte,se aduce a in ar, ;i se coboarddin ar, paralela la oz, Fig.2.18 care intilneste in a" paralela a'a', la ox. :-- .ciiile punctelor de abscisi nuld (a' al) Analogpentru proieclialateraldb". h.. bl) pe planul lateral de proiectie sint Si seconstruiasclin sfirqit proiecfiile lateralea" :--ai proiec{iilea" qi b" cdutate.Pentru a gi b" ale punctelorA(2, 5, -3) Ei B(4, 2, -4), ,: ::nute, se rabate planul lateral anterior situate in diedrul al patrulea al planelor de r: =:ror Was peste planul vertical superior, proiecfie.Se determindproiec{iile orizontalegi ,L---:d ax ul oy in pozilia oyl ca prelungirea verticaleale punctelorA qi B gi prin paralele r,.- ie plmint in timp ce axul oz rdmine fix duse prin acesteproieclii la linia de pimint i -.18). Astfel a, se roteEte in 3r1, Ei se obfin punctele (ur, a|) Ei (b' b:) ; ,r. =.a ridicatdin ar, la oz intilneEteparalela iiriir.: 1a ox in a". Analog pentru b". Si se proiecfiile laterale a" $i b" ale snmsfiruiascd nrrurirTelor A(2, -3, 5) Ei B(5, -4, 2), situate rn ledrul al doilea al planelor de proiecfie. r,,,.,r-iiuiesc proiec{iileorizontaleqi verticale r,r, :-::telor A qi B Ei se determindpunctele ,1n,, .r- ;i (b' bi) (fig. 2.19). Ambele puncte ,iu,,. -cierminate au depirtdrile ay ;i by ' ',rriir[,.."i ifiind deasupraliniei de plmint), iar lil.'r = a, ii bj sint pozitive. Aceste puncte se iiriril'rL :--:aZ! pe planul lateral superiorposterior, :----';ior diedrului dOi. Astfel se aducean Nrlrrinir' r' r, :: o1rgi se ridici in au, paralela Ia oz, -...:"estein a" paralela a'aL dusi la ox. riiririi'r,. Ii'tr r,-.. laterald b" se determin:i analog. Fi g. 2.20 z

'h'

i

vt

I I

'1do-1nrpa1r1 uI :lunlrsa1$espF os 16zo luxu nJ ?roduruI W rnlnlrund lnlrrleurs aJSJ'(g_ ,g lnlrund 11Sr;;sul .g Inrpaul uI lEnlts -b-)J, slsa is Ao nJ JJodBJui w rnlnlrund InJrJlaujrs lntrund''rtirrJ li"rpe,.r1Lrg :i:9 € 'c- 't-)g JtrsJsp.d as ls xo n,t ;lode; irl W rnln+Jund lntl:1 ,g ,f)V .Errlauts -auls aJSa(g lnlcund-,irilrv Fraprsuoras aJBr nc 1;ode; uJ InxE ap piBJ ,io ixd asndoa1a;paplrl3 rsgsgF-aszo rS laJl oloJ nr. lroder_uJ rnl aJrJlJuirs ô elalcunj '(ZA'Z '81;-)ir:lauoaF rnlnileOd jnrpar:1 ie 1jr1 u! lBnlJSalsa (9- ,g- ,?)W 1n1ruri6.io iS fri elaxu nr lrodej ut W-;n;n1'rund 'xo ln1n.lpa1Jl elmrrpruls tru1s.3 13 g ,y pnllln !nrpl OI" - prsulnrlsrior as. rrl. W Inlrund nJ-arulaurs alalcund q r$ r$ ;nlnrqFunrrl aJufee;o.rd pS .(S_ 3 'g- '?)W lnlcund preplsuoroS .lnTnUOAIdI a;iregordap aueld pnop aiar ip pinl f 1n1c"un'O .6:6.6 nc acrrlerurse1e1.rund lS V alJ .eJpolreslq ST XV nf, IdOdvU NI VtuJ,swts -g eleuuld nJ nus arfralord ap auigd p:nopalar u;p nc godur u1(z ,fr,,x)qi rn;nlrund jolac;.r1 urfcerord aurfqo asIeJe.I .ro n, urn6t?5jf?i:l "jn]1!J -aurgse;grfragord auguralepas pS .gUVOIS:ISIS aJec tzo e1 elaleredIê !I]ANV'Idnc luodvu NI VturgwtS .7.6,6,r-vted ,,e ug e16eu1g1uJ urp, FJpoqoaas ri.t^" uJ de al$alor es ,aluapac -a:d elrmzeo u1 rS er 1bgel"nried rnlnrparp :glEzundsaror,'JorraJur :orrafue 1e"ra1ri1'lnueib ptiBas (g ,t- ,a) B Inlrund .p^n ao EzerlJarord.rs al.rund alsarv .(ta.a.FU) T.^1_""1i: .n:1ed

a1$aspF as(s,f,a_)t,;iy,liJi*"li3p'i"H:lj;

plgc acorBoap Inrparrlu! ::ltl-.u,I^rF(g'h 'z):{ Intrund 'ar}mro:dap :].:t-tjq 1t ouelclorl aJaJnJ 1ro_der ug.,r,11cadsa-l 6 lnlcunil nr arlrlerrrrs aletrrund O ISg ,V elC .(ga.a.Fll) ,(s ,a)-i lnulrd . uI trBnlrs ? tntn] 111_.y+ -ep -Juno oJ.rrlcaroJd Jsarnrtrsuoc ag .eriralo.rd ,1u1uozJ.lo Iurelul 1$1ur;pa,r eljuu;A'nr lrodur yl !nl. etr4etuls alelcundef,spln4suores Bs ig .atlcatOUa ah 1q 't 'g)4 lnlrundp.raplsuoc !r"r!rNv'rdn3 IuOdVu NI VIUIAWTS.r 6.6 16'a 'Flc ?(s-)o n'tildI I I I I

a I

6a'a 'EtJ

*5,

--2)' Cu alte ctrvinte,.pentru

2) 9i apoi ill (5' ;anort cu cele doua plane bisectoare.Punctele Ml ( a s e o b i i r r e p u n c t u l M s e s c h i m b dr o l u l 9 i s e m n e l ec e lo r z) A' +i E au coordonatele A(t Y, , !i doul cdordohate(depdrtarea9i cota) ale punctului N. E(x, -y, z) gi s-a ardiat c[ se gdsesc-respectiv APLICATtt. lo Si se construiasc[ proiecfia in triediele patru 9i doi dacd punctul-M(x,^Yz)t 2.2.6. a"b"c'', peplahul lateral de prolecfie, a unul triunghi Punc2.24). este situat in triddrul intii lfig. ABC, cunirscindproiectiile sale orl2ontal6 9i verticali. iele C si D au. coordonateleC(x, z, Y) 9i Se corrsiderdpunctul A (a, a') situat pe linia de pdmint, Dtx. -2. 'pri-niul -v). Cu alte cuvinte, in simetria B (b. b') conlinut in planul bisector doi Ei punctul plan bisector, deplrtdiile se C t c , 'c 'i s i t u a 't i n p l a r . i u l l a t e r a l a l p r i m u l u i t r i e d r u ' ;aii de faJ2ide al Proiec{ia laterali a"b"c" a triunghiului este ardtati -chimbdfn cote ;i reciproc.trSimetri.a cu o i t r c p u r a d i r r f i g u r a 2 . 2 9 . ecijval.enta este' plan bisector -loilea urmatd 2' Si se construlasci epura punctului M, cunoscindcota I .imetlie fa{5 de primul plan bisector, a nunctului si distantelep ii D ale acestuipunct fafi de plmint. de linia rapolt-cu .1eo simetrie in proiec{ie'Ultima conditie^din

ELE 5) *' in hral uncedru ecu lane rc;ie Egalin seSte

proiec{iile punc- :.5. EXEMPLE. 1" Si se determine iulu i M (m, m' ) s im et r ic c u punc t ul N ( - l: . "5) f a {i , d e proiec.{iile.purrcttrprimul p)an bidector.Se consinriesc:N f -'g. 5 ). E l es t es it uat in r lic dr ul al doilea( f i g ' 2 '2 5 ; biscctor - lo).'De oa rec ein s im et r ia I ala de pr im ul plan punctul M -.-.irtlrile se transformd in cirte 5i reciproc, ,: avea coordonateleM (5, 3) qi se va afla situat in .d rul p alru ..P e epur ds e oblir r pr oic c { iilcaees t r rpi u r 'c t ' '.-d m.-n s lm - n' Sd se de ter m ineac um pr oiec { iilepunc t ului M ( r n ' n r ') rlnretric cu punctul N (2, 5) fafh de planul bisector :irru . Pu nclul N ( 2, - 5) es t e s ilr r at in diedr u l p a t r t t .1 . 2.2 7; 2.2 8) . Sim et r iiul s du t ll- in r apor t . c u - p l a n u l ,'tctor patru ie ob{ine considerindo simetrie Mr faltl :: intii, urmati de o simetrie a acestuipunct -risectorul --:siorma t, fa { 5 de linia de plm int . Se ob{ i n e a s t l e l

puncteleale ciror proiec{ii laterale sint m" ;i mi' ;i satisfacultima condilie. 3' SI se construiasci epura punctului M situat in diedrul I: trei, cunoscindproiecfia sa verllcali m' qi raportul := I 1.apo.tut dintre cota gi deplrtarea punctului)ls. 2 utilizeazl planul lateral !de proiec{ie ;i sc construiegte

at / f l tv ^ Yil I ?

i ^ ntqtrr Y'.

i

lN 6,{)

I

IELE, iimeNAre rnele ecu ec!ie ll in

axi ox Ei planul later'aldi entrn!s{abilegteabscisam* -- I a punctulrriM (fig' 2'30)' P a r a l e l ag ' l a l i n i a d e p i m i n t , d u s i l a d i s t a n l a I ' i n t i l negtein m" gi mi'cercul cle razi p descris pe planul lateral cu centrul in O. Problemacomportd doui solu{ii' M (m, m') gi M, (m' m'r), care se oblin construind

i

I

,t_

0 t"

i

I

?

in'hJ) I

&rot

Tlir

I9O

f ig. 2. 2 5

A

u a - -

nt - ^t / - ? l . . = t lt l

't

-- r+)-n/l) .

_

.r ,) 1

Fig. 2.28

Fig. 2.30

'ru 116:1ys u1ri . r.xo a1:ndap reru.aurfqo aS I eloJ puJcsoun)N rnlnlJund e:ndo ersprn:lsuoJas RS .g B l uud gsnp ,ru l:.9?._' ût -y u1liylug^P urp pllnzrr t]il eler laldilp uriras:a1ur rie.o t;l. alIBlar '!roc glsParB pilJrra^ resl q a e1 d u1n,'norn-, TfJ"i.,. J:l'"',1;^prilp'r1il}:ttil ll:".I9r-q 1au ,,eo''e1dei,'sp asalBralBI rrlraro:drolBrolBnrfuds'irrp - rl o r rer , arfraro :dap lBra lel 1 nue1djd in, it i, t j, n un nle a0 JSrsBd eldlcuniI

apRlpj]rundrntrsar' ar' g 16o alaluelsrpzs il'liJjl-;

aler f,BV rnlnrq8unr:1alrrfraro.rdgrsern:lsirolas pS o,

aalBo l '( l g '6

alarurpor'rorJuI lnuJiuoc rrr^,"tl1l3'3jj ?p ?unldror] aleJ rn;nrqFun1.ll

alrr|.raro.rd f,gV as qS ^c êrsernjlsuor 'plf,urora;rundenopJolaroJe.re:1uor au,rnu ap a1rrlraio-i[ ',d r* d (,b .n; 6 rS'i,b,'Oy ,b ruaneo:ej n-rluad -.b pnop- z'nrfeds epund jd pS ] u; erlrzodjurur.ral-ap '(l * 'g '3) g lnlcundap FiBjy rnynlrundInrrrlaruls_*"a U : Jolas

-l Js q BE .g eaurFrroa p E|BI y l nlnlr r r nd _ :+u J ruB dap er ul[ 0 p FiB] y r nlnlr und lnrrrtrauls* D In Jlr la iu ls d : a r lJa lo jd ap I ? Jrlro^ 1n ue 1da p qle l y r nlnlc und ln r lr la u lls - N : a r lJa lo ld

ep lBluozrro1nue1dap gieg v rnlnl)und InJrJlaurs _ w : lolelJ und J lnlr aloJ d .(t_ ,g _ 'A) auru r alap as pS V lnlr und er r pt s uoJaS ol

rsndoud3wil80ud's'e

.Ft0

(,

it

I

7

IIJU J IoJl sB ',,4 erl raro:d

I8"A'Ftc

Tf lINC

:a! de !1 d e mint ; rbsci-

lll

runcte =p " i nc i d . I care rne de

Co p itolul

I care r celeb isec-

3.I. DREAPTA

c l ta I rl a d e

iN Stsrrmut DEPRolEcIlEMONGE DREAPTA sectieale unei drepte cu planelede proiec{ie urmele' dreptei. Pot fi deosebite ."- nrt.* veriicalI qi lateralI ale ,i*.i" URME' "iizontal[, PROIECTII. 1.1.1.REPREZENTARE. ;;;pGi Aceste urme sint de fap-t . punctele u.9or drebtei care au respectivcota, depdriareasau a drepteipoate.fi descriptiva Reprezentarea desabscisanule. De obicei se noteazdacesteurme reprezentdrile ,ttltute dacdse considera pentrudoudpunctearbitrareA(a,a') p;i"'Lip;"tele (h, h'), (v, v') ;i (w, w')' -,iotiu* 'B( b, b') ale ei lfig. 3.1)' Dacd s e .u n e s c lo S[ se construiascflurmele verticale 9i orizon.. orizontalea ;i b ale tale ale dreptelor definite de punctele: :',intIi, linie proiecfiii-e

:unctelor,s" 6b1in"'ab= d, proiecfiaorizona) M(9, 2, 2); N(5, 4, l); ij turea areptei.Li fel, a'b',= d' esteproiecfia ' poale terticalI a dreptei.Inomod"analog"se, b) M(4, l, 2); N(9, 3, -4)' "pioibcfialaterdll d" a,dreptei'In ,init*i Ei c) M(9, -6, -3); N(4, -2, 3); D ain spa{iuestedeterminati :.".tui, dre'apta cazului d) M(9, 3,5); N(4, l' -2)' l.i" Jri,i..tii'lesaled gi i', cu excep{.ia pgrPel; ambqlg sint proiec{ii -::.daceste'doud Pentru a determina urma orizontald (h, h') a :-cularepe linia de pdmint.Proieciiiled ;i 9. un.i &.0t. tfie' 3.3; 3.4; 3'5: 3'6)' se prelun.-,-ii'aldsepe epurearbitrar.Oricdreiperechi ii.t.li6i."t-ia'verticald m'n' pin[ cind intil:= proilctii' td,' d') ii corespunde . in mod pbmint. Se noteazl acestpunct' rec ip ro cc' u fi.Ii. iiniu de :nitoc 6 dreaptdin spa{iu;i sau linia de it'. Perpendiculara de'resuld, :.:r..tut.u .ond'i1i.i ca unui punct dat in "uprin h' la linia de pamint da h utt "taitE-a"te ::-iectia orizontaldpe d sb-i corespûndd mn a "p,it"tutcu proiec{ia orizontala. p9..d" In, epura la intersec{ii :-rt't in proiec!iav'erticalS urma orizontali (h, h')este ,ri"pi"i. conaceasta - : figura-3.2nu esterespectatd p o t re p re d'nu proiectiile d;i aceea r :.t s'ide in t e rd e P unctele spifiu. tlreaptS 'tn - = - .,i .o

rt',

t,

Fig. 3. 1

Fi g. 3.2

Fi g. 3.3.

37

6 8 'Ekl

9'8 '3tc

B'8 8lc

/'8 'ttc

to

Iold0JpJoleurJnu\rzod aFale cS .aliralord ,le ul11un1ls' I" lP_ftauuld "ellerl 1u lnrp-alp ,p)A allu; suudnr eJeerur (,p lnluaruFas Myrn gaun elderp ufrqrs g$ulndapJsuJnrlsuof, i, pS o?

FH

. nun r i ro p .-,ta J l a l a -J p a tpo l e c l

'(01'g:6'_t1rr1).rbr:ictns ir.rrl:,r,r :!ll: y],Innrc e d r u p n lo

r aldalpe (,n.,r; eietr1.r,:.r I nue l o ':o1:a1sod p+uazr.ro prueydad'relcia.rp j:l :yr: E (,q 'q) giBJuozrJo .aliraro.ld

BuJn EZEOXTI a5 ap-rolauuld I" yu lntparf u1"1en1ls',ra "ellop sul.rdnr ar? eruf, (,p ,p)O ;nlu,aruFas :11T1" 1|"9 eldaJpraun uigqrs r$ e.lnde di gS "JsernJlsuor "g

aleqrris yldearc

L:

J.:jl:g:r'jl..lpolJ a cn s l B J t lJ oA ,1nue1d a d l e l d.C:i"l', ,i y a rp e (,t "qi

eiu;n oc,i :l^":]lii (rq ,1Srorretruuleluozr"rolnuelo.ari I:]!^tjl Y 't1)pppazyro Burrna8eiueg ap;o1auu1d ul lenfs ,ia t3 nJperp_lnrul.rtt :?i]g1dallu1 sulrdnr are a.rur (,p',p)A ;nlueruFas :liyl" eldaJpraunuirqrsr$elndapJsernrlsuoJ jl ps "a

eifraro:d -r1ra,l nr u,1r"rrr1uTY,

: ;f;

'ltft;F ,1ound psnp eurpJoap pnrr-I .A nJ talrqo ap lsacB Rzealouos rS lupupd ep Brurl a1iau131ug pLIJr^FuJd talde:p- B urrr plr4uoir.io rirfrartirci _ al$oFunya-rd as alda.rp roun b'(,n in) e1u",1ra.r, BrrJn BururJolapB nJlued .N.W raldarp e

--_

aleseue planulverticdlinferior(fig. 3' l3 ; 3' 14)' prdaota'sirdbatediedreletrei, patru 9i unu' 6o Sd se construiascflurmele pe cele trei plane de proiectie (orizontal, vertical 9i lateral) ale dreptelordefinite de Punctele: a) M(6, l, 4); N(3, 3, 1);

Epte nele decptei icali rior rtru, tcpte nele rde !') a

rma anul str5]epte hele' rde eptei

b) M(7, 3, 1); N(4, l, 3); c) M(9, 1,5); N(l1,2,7)' Asupra construcfiei urmelor orizontale (h, h') se si verticale (v, v') ale acestordrepte'nu in.i.ie. p*ntrl tonstruc{iaurtnclorlalerale w" (w, ,i.-u""ttot drepte,sedetermindp-unctele -w') Fig.3.10 de lateral plgn{ intilnesc in l&.te'drepte constru"ui" Se (fis.3.i5; 3.17). 3'16; oroiectie se :,ousdpozitiei din primul diedru' AEadar' i.*-rb"i ir6iectiile w" pe planul.lateral de planul.orizontal (n, pe n') .;lii';";;irontuta pe proicclie ale acestorpuncte (w, w')' Se con:osteriorsi urma veriicald (v, v') a-dreptel itruiesc, de asemenei,9i proiec!iile laterale :lanul verticalinferiortfig. 3'1t;. J.'12)'IJreap- rt;t;i. areptelor.Ca veriiicare, urmele w" :a strhbatediedrelepatru, trei;i dot' trebuie-sI fie'conlinute de proiectiilelaterale 9i schifa unei drepte. .; U t;;iliiuiusce'"pura ale dreptelor respective.Asifei, se considerl Drd. d') careare segmentulcuprins.intreurmete .".roftif din figdra 3'17' Proiec{iaorizontaia i" ai"utui al patrulea al planelor de ;:-:ii,l"i n* rit.pt.i intiineqteoy (oz)iu w, iar proiecti.a rroi"cti". Pozitia utmefot dreptei se. prezinti oz(ov)in w" iniilneqte drebtei ort:rus bozitiei lor din diedrul doi' Urma "LitiJt'";m;a cit cota ;i departarea planul orizonral Punctul (w, w') ar6 atit w" pe planul lateral -;iilri" tri,tt'j-..-it.ge . pe. in sa se n.gutiu..'eioieclia anterior,'iaruima verticald(v, v') a dreptei

Fi 61.3.13 Fig. 3. 1i

F i g .3 .1 2

Fig. 3.l4

39

I

I

I II r

81. 8

. 8lc

I

-z-|*--r+n_ p---_{! ,/'

II

!/

t I

I |

zt's'31.1

i

ue,Y/{'" rr' ,prsp arrr -::xrT,,Hg;3:"uu1d,1a1de;p

l?jqnillil'"i | :liif'iry'*T"'*''*""'"Tl1 I :rcr "i'.1,!;1 :i:iffl,ilijlJ#ffi;Tn

gt'c 3rg

I i,jffi.ii".,1",{ir $;i'1i}:*rjkijii# I *ii#,'f,"ffi di.j#;?$frlidffi I *sf,gffi1ftlffi F,",,".#r:;Tj{"$ I f:jl:T!-a1s srndap1,-baju'uip';-i;r;p,ragsv

| *iil:rl-1nuffighq$t##

d; *rt11ffi r-r'#rr*flfi',*',,,fi'dfi{

g t 'g 8t.t

[?#il', JTilt*; i,l'"[ii:i, i:t'i. ff "l', jl:*" lt';Hfgfflt;i i"j'':',"J no 1i a1de.p rals$? il::' :t _"_,$,,iui'"Ji'rrjnlruna luls -{ ar?r !s rsgldua.rp^,jr.pr:n'rinq{rp",erpeJp or elureasps (o ,"jy'lilicund

jl]_n_ln 1," aluuIuJelap;aloa"ri'e1arul,i ep prir; nJ;".u#i". u, o:""I'"'.n'a1 oundern r s ",

., li33ff ' ?,:L'",? ""

r r uor

J"'"1','&, iJ'"i'LlTi"Jj *,# rg'":i&y:$lilri**:"'l' t'H:J"*l.i'.ki'i,'$:fj!ff',i

#r::'j:il:,i.ut"iriiii1,'^,,r,*,i,ru l'113't'3i$liH"V:;i;ollg ,"ru,,ilf,:F ;i6"'t,,m.,"Jifi,""1ff;"i, 'n-llxiI"-:

EIUNI APTA regiuni edrelor ele de Bctoare ei. pinate rate ce re sint pte cu Jiile d' inia de {v, v') fel imcuprins !a segrrmelor tute de - punct gle trel diedrul u aparsiderat. rte dienunctul mul -prr iectii a

determind Punctul (p, p') aparline planului bisector al cind proiecfiiledreptei,urmeleei se cu u;urintd. negativd are depdrtarea deoarece diedrului'doi, qi cota pozitivd, ambelefiind egalein valoare 3.I.3, PUNCTE PE DREAPTA DETERMIabsolutd. NATE IN ANUMITE CONDITII DATE. 2" S[ se construiasc[ urmele drepteideterminate 10 Si se determinepe dreaptaD(d, d') un punct de puncteleA(a, a') qi B(b, b'). SA se arate ce de cot[ c sau de dep[rtare I date. Paralela dusi diedre strlbat aceastl dreapt[ Ei si se giseascd' c fatd de linia de pdmint intilne;te la distanta cu ounctele de intersectie' ale acestei drepte d' a dreptei in a', de unde proiec{ia'verticald olanele bisectoare.Uimele dreptei sint (h, h') ordine se obline a pe proiecde o linie coborind ji (v. v') (fie. 3.19). Dreapta intilne;te in (fig' 3.21).Punctul planul bisectoral diedrului al tia orizontalbd a dreptei D punctul (a, oc7) Analog,paralela c datd. cofa astfel A{a. are a') ireilea. Pentru determinareaacestui punct se de pdmint intillinia fa!I de I 1a'distan{a dusd considerdintersec{iaa dintre proiectia orizonde unde ridiin b, d orizontald neste oroiectia ta15d si simetricad{ a proieCtieiverticaled' pe proiecfia b' obtine se ordine linie'de ciriA ci iath de'ox.Se coboaridin a o linie de ordine;i B(b, b') are Punciul D. rlreptei a d' verticald dreaptaintilse'obtinea' pe d'. De asemenea, departareaI dati. :ieqte'in punctul (p, B') planul bisector al pe dreapta D(d, d') proiec' se punct Acejt patrulea. ,liddrului il -ob,tin-e 20 S[ se considere luind interseciia celor doud proiec{ii d 9i d' tiile ounctelorpentrucaresunladintre depirtare qi coie este egal[ cu o lungime cunoscut[ l' ale dreptei. d f Se consider[ punctele P(p, p') $i Q(q, q')t baralela d,- ciusi prin s ia proieclia orizontald intilne;te l, sv incii D, aitfel a dreptei primql. unde o dreaptdD intersecteazdrespectiv D in m' dreptei pi al patrulia plan bisector. S[ se construiasc[' proiectia veiticald d'a d' orizontald proiec{ia pe m epura dreptei.Unind proiec{iileorizontale(p itig. a.zz1.Rezulta problemei' a solg{ie este o m') Fu"nctul M1m, q'), ob!irr se ::r q) si pioiectiileverticale(p'cu se obfine :roiectii'ied 9i d' ale dreptei(fig. 3.20)' Cunos- Alti solutie N(n, n') a problemei

F; r

j

^' , ln lnl a , s lm e roieclia dine se

r primulepdrtaobfine eaptd;i prorecrtilnesc.

Fig. 3.21

Fig. 3. 19

J

t

F i g . 3 .2 0

Fi g. 3.22

4l

z? o arBJ l-a;gr* ad j lnrqFug Inupld- nr FIEluorJ..

-e:ed eldeaJpaisa Iellu ep eldea:p nps pleluoz

prurn rS glv.qu'zltaqEurn ri gpluO2iros gru:n rerunu TIBJalBf" TIBJaiBf" -prurn rBrunu -tro Eldea:q 'yTVINOZIU6 VIdVaUC .t.A.e eaa.e aleodpleluorJpldearpg .foz nc g1e1e:ed o elsealBluorJralderpB ,,p plprolelel{raror6 'e1darp.elsef,s uJp erurelJ l;1d1.rcsap ezelpnls -eldeajp .1r;ord

ap (F '1eundun BI ecnpaJ as gs J$ Erseeullep_esgg a.- EleluozrJoes elfcero"ldrcunlu g$ ,glecrlrair la:eolcasgqalaueld uI glnurfuoc eldear! (j o-Jlxl pruJoJsuErl eldea.lp(p :'p1e,i aseldeerppug) ,xoT,p rnJnzBJ 11gdecep uldea.rp(a tp1ecr1.ra,r EIldeJxanJ 'lBJlrqJp eseolEr; aluod leida:p -uozrro-oluorJBldearp (c lgJuiuot; eldea;p (q ,5cr1iua p igpluozrto eldea:p ts+osaJp(B (e :aurnuB :aurnueIs rS .OCTISIJaIJSJBJ /p .BIErrlrel e;fca1o.l4 'areppdap r$eaace :yly+uozlJo reu ednm eleod ne raldeJpelapund e1eo1ara:ebap,1ugu:pdap llllzod eleod pldeerp pldeerp o o llllzod gllnu IBru_ ednm ?llnu Brurl nJ eleye:edelsa aldarp relseJeE p g1a1uoz 'arfcarotd ap aueld loJl alal nr 1.lode; rJI 1.lode;rJI -r:o elfcalord '(96.9 -Fr;) aricaro.rd ap ieulra,r pldBarpetrse ap nBSFlp] lnuelo nJ.pleIBJBd luorJ t3r dSdq -uo.rJEloEarc .v'IvINouJ VIdVaUO .A.7,.9. 3tY 3ftrstd3rfvuv3 3lilIlzod 'ra1da.rp e p pletruozr:oerfraro-rdr$ lugrupd af erurl .,".,--"*,".. artrulsuudnr py!lJ ,arurreulpleJpnapeu1 ernda *"** ad lrirr 11aieod arfcarotdap lBrlirp^ 1nue1d nr 1a1fce1ud nrlres:a1us ;iliirDer*ord;-trlf,S plpluoztroo eJeJ1-a:ered r lnrqFup .Blpralp1 (,ru 'ru)q1lnlcund r$ lcap ,g/g nc lefa arejrfd5p p[eJr]JaA ts BuJn reurnu BoAB aleod rsEuJn Flor oJlurp- IniJodpl nB (,p ,g) eldearp EleluozrJogldea-rpg .rfox nc g1a1e.red eauaruase ap ayalcund aleol , ,aleuorijodb.rdalueu ap ols_aeleluozrJorelda.rpB FIBJaIBJ erlcaro.l4 "! a1e1u;edeldarp 6 ad gururalap eluarnouoc -Fas 'trcund un eI ecnpeJ as plBJrlJaAes eilcai .,r{ Bl 3 purun 3loalp ep lncrJsE]Un eJeJBoOC -oJd rf,unle.rS '1gder ap pldue:p o-:1u1eru.lo; ' .p ru uldeerp eulfqo eS 'g uI lnl'cund ernpg es -susJles eldearppugc,xo1p lnlnzpJeridecxanc .8 p Bseelp 11eieod ralda:p p Bleluozrro !s 're.t1rqre ; Inlnl:ooBr lnrolrurnu l]c llPilun larl nr BrlcaroJd 'plor rSuaecene raldarp alelcund Iu ey ag-'(96'g'FU) ,B xu InlualuFas(e1oc o1BotraoeJBoap'lururud ap elurl nc p1a1e:ed IBFa iu ele8e rirgd rcurc ug ai.ledurges r$ ,p ad eJsa eloaJp relseJe,u ,p FIBf,rlranerfcaror4 1;c) eS .g/9 ell ps us eangpdap 1$ulor Freplsuor,". "(t6'S 'FII) alfcarordop nr BIal e4qlp ,(,ur ,ur)W rirlnlcund Isluozrro1nuu1d 1ry;oderllrul leJlsp e1;;fra;o.rd(,p 'p)O uldue.lp-ed auruudlapir pS og 9a' 8 ' 8 td ('olredep rerrr Bepol eA es unJ 'rop JolJasrq1nue1dnc a1a1e:ed rolaldarp lnzvt ut eltqtsod alsa' nu zuralqo:6).Iu "u : : xg,g aceJPoep I ,u xu + xuu I$ I : ,ru *ru + .tp e1a1e"red :+uaprÊ -J-"urur a1$au111u1 lugrugd - lalfralord n tu,q eci:1auls ap Brurl _apFipJ ,p aJeJuJ 'ru lnlcund urp aurpro ap i;rurJpulcnp

t6'0 '8tJ

arizonlal de proiectie poate fi citit pe epurii itt adevdratdmlrime, fiiird cuprinsintre linia de pimint gi proiecliaverticalii d' a dreptei. 3.2.3, DREAPTA FRONTO-ORIZONTALA. Dreaptafronto-orizontaliestedreaptaparalcla deci rlreaptap-araleliin cu linia de pdntint, -atit planul orizontalcit 9i cu cu timp acclasi planuilvertical de proiec!ie(fig' 3.26). Proieciia orizontale d Ei proiectia verticalir d' ale sint ambeleparalelecu drenteifronto-orizontale linia de pdmint ox. Froieclia laterald d" a estereduszi1aun punc.t dreptei fronto-orizontale w" a drep.tei, laterall cu urma ;i ionlr-rntlatl pe esteperpendiculara d"oar".e fronto-orizontala planul lateral de proieclie.

rJ l ste ate , tie

:ar, ns)rotct. de iaia

3.2.4.DREAPTAVERTICALA.Dreaptaverticala pe planul esteo dreapti frontalS,perpendiculara orizontal de proiec{ie(f ig. 3'27). Proi_ec!iaorizontald d a dreptei este uti punct eonfundat cu urmaorizontaldh a dreptei'Proiecfia verticalad' a vertlcalei este o perpendiculardpe linia de pimint. Proiec{ia lateralSd" a verticalei este o paraleli la zoY. 3.2.5. DREAPTADE CAPAT.Dreaptade capdt este o dreaptl orizontal|, perpendiculara pe planul vertiial de proiectie (fig. 3.28)' Proiec' iia verticalSd' a dleptei este un punct confunrlat cu urma verticala v' a dreptei. Proiectia orizontald d a dreptei de capdt este o perpell diculard pe linia de pdmint. Proiec{ialaterald d" a dreirtei de capit este o paralelzila xoy1.

3.2.6, DRNAPTA CONTINUTAIN PLANELE BISECTOARE.Se poate defini o astfel de drr:apticu ajutorul a doudpuncteluate arbitrar pe clreapt5.S-a ardtat ci un punct A-situat in frimul pian bisectorare proiec{iilesaleâ$i 1: simetricein raport cu linia de plmint. Intrucit un alt punct B(b, b') con{inut in primul plan proprietate,rezultd bisectofsebucuri de aceeaqi cd o dreapti confinutl in primul plan bisector are proiec{iiiesaled ;i d' simetricein raport cu linia cle pdmint Ei concurentein acelaqipunct pe linia de pdmint (fig. 3.29). Proiec{ialateunghiuralAd" a acesteidrepteeste bisectoarea sededuce lui y1oz.Printr-un rationamentar-ralog cI o dreapti conlinut[ in al doilea plan bisector are proiecfiile sale d qi d' confundate, deci doui puncteoarecareA(a, a') d = d', cleoarece in planul bisectordoi-patru situate B(b, b') ;i au proiec{iileconfundate(fig. 3'30). Proiecfia laterald d" a acestei drepte este bisectoarea unglriulLtizox. 3.2.7. DREAPTA DE pROFlL. Dreapta de profil estedreaptaparalell cu planul lateral de froiec{ie. Proiec{iiled ;i d' ale acesteidrepte pe linia de pdmint, rezultd liind perpencliculare ci o dreapti de profil estedefinlti numai daci se cunosi proieiliile dublu ortogonale-pentru doud puncie oarecai'eale ei (carepot Ii chiar urrnel6dreptei).Intrucit studiul descriptival acesteidrefte de profil prezinta anumite particularititi,'este u{il si tie extins, aprofundind

I tl l d

lald ' np ' r' l ir e

la r0nmu l oriinia lau

I;ig. 3.26 Fi g. 3.?9

a

Plia rtr-o ise teo r\'ea :ala. anul

F ig. 3 .2 7

F i g . 3 .28 1tt)

?? Iu alJurld snop u! slueJnJuor AtlJedseJell ?s I8'e '3lg aunu l6?leru ep Jol alrllcelord pJ else nliuAi u1 eluernruor all ps aldarppnop pluelrlJns p.lus ;$ .6.t.8 "r -erau srlrpuoc .aINAUnCNOC AIdAUO ;rord;1ar ;S alelurud eg ps a;ira;o.rd gp eueld ;ar1 ed aurnu 1$e;atpep Jol aiuiralord er else arl us elda.lppuop plueltJJns llluos u1 a;e1e.rcd ,Baerpaqr .nrieds "f, uI elel !s pJesef,eu ,a1j1er'"d -e:ed e1gqs "!l!puoJ ap alalda.rpb ql91 1r1o:d -eieuo8 'lal lSelaceep alufcaro.rdeaÊ +od nlqnp ericaro.rd ul arEr IlJorqap alaidarp lo]lo plnnar plspere e1 ep arfdmxa celi .(fe.g .Fg) rordlre; !$ a1a;u.rud.e!! Rs aruny_1pp1uap rol alrgfJe;ordBr alse nlfeds ug a1alu;bifdil ps aiOarf -uI Rnop eler pr pluelrlJns luriub5 lf?Jrtb-tJaiu si1l-prJ-o-t 'areul-rn urrd 'iep lnue1d ad y r$ q alalured :o1a1de:palrricaro.rcreuieol 1u!s a-rec '9. IS p alelErBdallrasJaiutap olda:p enop udnp ellcaro:dv^p u1J.urrd psnpEIalEJBd.ler ,flr ad ,eb elJraror0gp lnuEtd ap elel3asrelur alal ,uau luJS psnp uI elsauMu1 ne e_l ur u1.ld BJaIBJBd -BrBoauuJdpxop el-sarv .a1a1e;ed ar{oaro:d ^ '(tg't 'FtJ) r$ ,e;er1 1u;s -eruese aCI ur:d'a'snp ,q ,u ap InuBId ad slaideJp ezealcarorda:er eueld ,a1a1a1e;ed t' r$ r ug ,rrlradsa.r pnopaler :rolprurnInlatruj irpalop:o$n 11aleod -rqJBBeuauaseap q Is ayrrfrarorduud asnp arerlrqre ?:91ll1r1J BauJuasecp Juls aJBJaJBoelelered. l0eJ.lseJv,'a1a1ered " a1a3 .1eund Rnoplllg_areB ,ru plpf, uBJd ul ad (e;eca;eoalelered nes) aleuoFol:o -lpan uriraro;d auruuelapes pS .p1dua.rp p;sfjre 'a1a1ured nr{edsu1iuli 16o 9d W lrund rnun u ru pluiuoziro uricibrd 13 i?! lqllcrJord 3loarp BnopFrpc .alalvdvd eldeuoV.t.8.t 'aS "p ,qe) (,Q," 1;lord ep ulduarp p.loprsribr ;A er{cerordel ep puJrald,a1ep jltluozrro ,. ^ .nlap raidaJp E ,L pleJrlJa]\ errJn ouru ttdtuo lUoJd ,(,u ,u)N as ps Baleilyrqrsod^gp j1e Ynoc surNtcty^trvllu vlltzod 'E'e _,r_",1rp lcund ,Foleue .elrjp nPs

,q,u --:

i.

tut&

dJ"

qu

hn

wu

_:+

I i

llnI IaruaJoal BalnlJr^ UI .,\,8 I

i

t8'8 'FIC

rSelacu

pou uI

Irylg ap lalda.rp q eleluozl.roerurn pulur .e

.i'L ruuj:d'r;i"il;".;";l;",fi;'F; ,ifr :+t'_e ad llioqoo'arec;,c pp ,..u,f

"i ;"'u;j;-;1nyur"j .Ft3) ,u,H rS ,g,w ,qurallrlralord .(ae.e '"4 rS :srlpqJ (,11^ly)U_ arerarpo1n15und g.,_"p1du,i" ^s - FlElnFJ -Jelotrtap eleuPJdad rnlnluaur8as ao ,ur "ii a1eatate_reci alrrlreroldu1 rS pzea.rlsed as nriedsu; luaiuFe, un ailBdujJ lcund un aJBcur nldurrs 1n1.lodey .,n yI,,,a1eplaldarp Ie 11jo:d.i, '1nur1f ,t^s,,!uJ '.r!g1l9ro ap JerelBI rnlnueld earileqer ulp^,lode rrolul es leralel 1nue1d' ad alnullqo IaJlsp //A lS,,q elrrrrn .(tg.g.Flf) terti.ra.r .arlcarord rs rp aueld'fndp.l1ar !:ly:rtro it*.:.L,tlj gugd ,alep nJord ap ialdarp ' -pu1c E arlraloJd . ap leraleJ 1nue1d ad ...q.,e erirero.rd elsa8unla.rdaj .irirrulsuor qi(Jjrn lrnl?l,ellnu rBru.uIB^lozaraieod a5 .(,q lq)g ts (,e

ap afa iiric iijbjo llly gtalrund "leururalep ap eldarp reunelaurn prsugnilsuor es F6".or

'1r;o:d ap eldea.rp BI aJEulJaJeJaualqord alelidnurrd' ruirareo

Yd) t/ ,,/

,/ /

o

F ig. 3 .3 4

i trui

Pie lor lan

l'e' f;a i_

,de

Fail:e

le $a li

Irig. 3.35

li m' situate pe a{eeagilinie de ordine perpendiculari pe ox. intr-adevir, dacl proiecfiile Fig.3.37 orizontaled gi 3 se intersecteazd in m (fig. 3.35), dacd proiec{iileverticaled' qi }' se intersecieazdinm' ;i dacdpunctelem ;i m' sint situate :ite. 2.punctecomune.Fiind coplanare,dreptele ne aceea;ilinie de ordine, ele determinaun D gi A sint concurentesau pafalele. ounctM din spafiu careaparlinee'u,ident ambe- 3.3.3. APLICATI|. l' Se considerdpunctul M (m, m,) 9i ior drepte D ;i A, deoareceare proiec{iile d r e a p t aD ( d , d ') ; s i s e d u c d p r i n p u n c t u l m o d r e ap te : situate respectiv pe proiec{ii1eomonime ale A (8, 8') paraleli cu dreaptaD; dreptelor.[Facexcepfiede 1a aceasti condi]ie Al (81, S;) concurenU.cu dreapta D; de concurenld dreptele de profil pentru care A, (8g, 8s) neparaleli qi neconcurenti cu dreapta D. irebuieintr-adevdro a treia proiectiesau alte - - P r i n p r o i e c {i i l e m g i m ' a l e p u n c t u l u i M se duc nijloace de determinarea cohdi{iei de concu- p a r a l e l e l e I g i 8 ', r e s p e c t i vc u p i o i e c {i i l e d 9 i d ' a l e dreptei .enfa.iDrepteleneparalelegi neconcurentesint D. Dreptele D ;i A astfel determinatb, avind -acelagi irume paralele, sint paralele :reptdle ale ciror proiectii nu satisfac nici proiecfiile cLr (fie.3.38). :ondi{ia cle paralelism qi nici condi{ia de :oncuren!I. Acestea sint drepte oarecare D ( dS,ed- ')a l.eUg ne i un nd ap cuun cmt a r bai'i r a r A ( a , a ') p e d r ea p ta c u m ' s e o b {i n e o d r ea fti ;i iig. 3.36). Se consideri acum-drepteleD(d, d') Ar (81, 8i), concurerrti in punctul A cu dreapta D, 5i A (8, D') concurenteintr-un punct situat in deoarecedond drepte sint concurentedaci proiec{iile afard din cadrul'epurei.S[ severifice dacd cele punctelor rezultate din intersec{iile proiec{iiior lor de douI drepte sint intr-adevflr concurente. Fie acelaginumese glsescsituate pe aceeagilinie de ordine. :cud drepte arbitrare (ab, a'b') gi (ce, c'e'), - Se aleg la intimplare proiec{iile 8o li Se. Nici una rare se sprijind pe dreptele D Ei A date dintre cele doud condi{ii de mai sus (de paralelism gi de :ig. 3.37). Pentru ca drepteieD qi A sd fie concuren!5)nefiind verificate,dreapta As estencparaleli :oncurenteeste necesar;i suficient ca clreptele q i n c c o n c u r e n t ac u d r e a p t a D . 2o Prin punctul A (a, a') sd se duc[ o orizontali D (d, d') ':bitrare (ab, a'b') Ei (ce, c'e') sd se intersecteze .e!_sdfie paralele.Pentruca dreptele(ab, a'b') caresd intersectezedreaptaoarecare,A (8, 8'). Paralelad' la linia ox dusd prin a' reprezinti proieciia verticald a s: {ce, c'e') sd se intersectezetrebuie ca proiec- orizontalei D (fig. 3.39). Ea intilnegte in b' proiec!ia ::ile m qi m'sI fie situate pe aceeaEi linie de ,:dine. ln acestcaz, acestedoud drepte concu:.nte determini un olan in care sint continute drepteleD qi A, careau fiecarecu acesiplan -.

4: ' r {

Fig. 3. 36

Fi g. 3.38

4

Fi g.3.39

45

sn I,r auriqoas ,aurpjoop BrrllIpu]Jrpil,rSlrr p11nza1 Xo nr .,p nc p1a1e.red g larirarord erf;as:a1rrr rq B-l aurnu 9 urrd _j3iy-! !ll) ,g r$p nr a111|eegord grrpe ,a1ua.rn-rrio.r irei aialered lya^r.g9q;o1 PlellYd rrg.ulrclg arnl)as r$ "ror.rolsod (,e ,q ( , r , u_, r u ) r $ a 1 a 1 d a .rp iuluozr.ro fs ' eq) e r a rn q a j l ' ,a 1 a J 1nue1d lus_lt 1 elep 1r;o:dap aldo:pgnopalir pceg :a1jlur'ud tl t;q "q) Fleluozlroprull a8aluas y uldea:pn.r1ua4 ::]-"d.!!!: lu!s_'elJreM lllord epcuugdroun pu;u;fredu,1,e,r',5r)rS 1 1 1t_-.l l l ) ro!rr]U rl B rrl ra^ 1nue1d ,rd (,a ,r) e1err1 (,q,D,qe) 1g3ord ep aldelpgnopgcupgisuouncj.l'as p5 .1 - r JA B l ul n rS JorJol uu l el uozl Jo 1nrru1rl ',ad (.u ,u) purn €! as q eldearpnl1uo6;o1a1u.red'oixnii Ll!_l-lortro p^ ,lv pt I:ln_t ;,lf?oftJ",!i j:l,i l_llt l_.1". -:jg,npyldrnrp I B Jn Rsrnqa:1;d.,r-.iyi1ered purr1 1dl?q lnptrndu1:dssnp.in1n-urelAojail-' V !s g ol rl dorp ,rody .Jul al l ugsur.l dnc-16p -:l:l pr.rpcrp arer alia ?ytlyjrlap .1rund.ea1rop pqle FSarnqarly uldee:prer ,aurrna.r1ug .(,r .r) 1e r(et.e .8iti srri.,
.,* ,i F.,!lt;Ef#f fi:3'':,i#i::j alenrrs r1uL1yao .. ps nes '(tr7 aleleredar1'esirnqel1

rsuor B.rororpor f?rap rsoJ o', "r.ii*Jlfn": rtlt:ii:|1,i':E rf'8 '3!:l

1/ d, u, 'd B ) l u ! s t r l B l u o z r r oa l r r | . r o r o : d '1 1 r l i1 a 1 1 s ,ei l a l d_aut l q oa s , ! u r p a u r p r o o p e r u r i - p u ; i o q q '. ( b l . C 1 S U ) ,d uj ,p EzealJasrrlulaJBr .,? ur:d'xo ui e1e1ii'ad111i,i! eldualn ad bugfrids as ss a.r'ui .plutuorl ir3 ::Ig-^T -q-o.l)und o !s.pleluozlJo lsotu u;:d eJnp es ug .ge:og.ra1xo (,u '?) V lnlrund !$ (,p ,p) q eldeajp pji!;siror a5 .O ta.lBluozrlop p "g Elpluozr.rourfraro.rd r ul+ qo r s , g ! i e e l n i ; a r o l d p u l u h ; g a d 'q o r i i l q o a s / q ur p a u r p r oo p o r u r l o p u l r o q o 3 . i J l d J : p u , ! p l b r r i r o , l

It' t

6t't

8tc

'8!iI

0f,8 ' 8l C

F i g . 3 .4 4

Fio

3.46

Fi g 3.17

Fig. 3 { 5

rat ECe de

ri : tlui B). iu d" [ce lc, AB ratato-

r') int raitU

4i Erui

l' Si se recunoasciidacii doul dreple de profil (ab, a'tr') gi (ce, c'e'), situatein acelagiplan de profil, sint paralele. Prin p un ctu l ar bit r ar M ( m , m ' ) din s pa{ i u s e d u c e i.a rale la (mn , m ' n' ) la dr eapt a de pr of il ( a b , a 'b ') 1iig. 3.46). Dacd dreapta (ce, c'e') este paraleli cu tlreaptade profil (ab, a'b') ea va ii paraleli Ei cu dreapta d e pro lil (mn , m ' n' ) , Dec i s e v c r if ic a dac i d r e p t e l ed e n rofil (ce , c'e i) gi ( m n, m ' n' ) , s it uat e f n plan e d e p r o i i t ciiferite, sint paralele. Pentru aceasta se constmiesc dre pte le(cn , c ' n' ) gi 1em ,e' m ' ) gi s e v er ific ii d a c ap r o ie c!iile lor se int ilnes c ir r doud punc t e s gi s ' , s i t u a t e p e dceea$ilinie de ordine. ln cazul epurei din figura 3.46, rele doui drepte de profil consideratesint paralele. :i Sd se cercetezedaci dreapta de profil (hv, h'n'), d_atiprin urme, intersecteazi dreapta oarecare D (d, d'), il: cele doud drepte sd se intersectezeeste necesarsi .';iicient ca ele sii apar{inh aceluiagi plan. Aceasta de intimplS atr-rncicind dreptc.lehh, ;i v'vi (care unesc . espectiv urmele lor de acelaqi nume) se intilnesc lrr pu nct pe linia de pdm int . I n epur a a l d t u r a t l "cela .iig. 3;i.47 ) cele' douddr ept e hu s int c onc uien t e . l0' S{ se recunoasci daci dreapta de profil (ab, a'b') intilnegte dreapta oarecafe D (d, d') dati. Proiec{iile de nume ale acestor doud' drepte se intersecteazl -..ela;i ' . pu rrcte le s g i s ' , s it uat e pe ac eeagilinie de o r d i n e , d a r -.:nctul S (s, s ' ) , c ar e npar { ine dr ept ei D ( d , d ') , n u lfrr{in e, in gener al, gi dr ept ei de pr of il ( a b , a 'b ') , :(ntru a verifica daci cele doui dreote sint sau nu . ,ncurerrte, se aleg doui puncte oarecare M (m, m') ,: N (n, n'), situate peldreaptaD (d, d'), gi se duc dreptele

Fig. 3,48 ( m a , n r 'a ') ; i ( n b , n 'b ') ( i i g . 3 . 4 3 ) . D a c i i d r e p t e l e( m a , m'a') Ei (nb,n'b') sirrt concurenteintr-un punc | (i, i') sau dacd ele sint paralele, atu-ncigi dreptele D (d, d') gi (ab, a'b') sint Concurente. In caz cbntrar, aceste doud drepte nu se intilnesc.

3.3.4.APLTCAT|T ALE TEOREMET UNCHTULUI DREPT:PERPENDICULARE PE DREPTE ORIZONTALE SAU FRONTALE.Din punctul A(a, a') dat si se duci o perpendiculari:lo pe o orizontaliG(g,g') dat[; 2o pe o frontali F(f, f') datI. Acestedoui constructiisint douii consecinle aleteoremei unghiuluidrepi,carea fost demonstratd in invi{dmintul mediu. Pentru ca un unghidreptsdseproiecteze ortogonalin adeudratd 47

8V z9 t 'FIC

os's 'Flg

I(i c 'FrJ

6t 8 'FIC

yrg.

aS

ulduerped u.relnclpuad:ad

:lll ..'q .o j.t,,Bt11{l""or.'(,s 'g)V Rldea.rp ap ,o iruiid lsaru r'ral'r rnu'rd ,.i!'rnrf"::1J .te roJralxe(;"b,n)V :ill:l:jg p r-lJ a ro JdJd o u rp p u 3 rn p 1r9_R?Lp_es ,,S vS ;nlrund .p)61 . B J B J nJ l p u a d .re d

pldBerp

Is (,p eS .AliVqH+A e-tec '(,9 'g)y ;r1o.rdep o ildbe.rp ::^1q9 -pJepr-suor ": else BunruocBrBtnJrpuadraj.(,p ,p)d' eJEJer?o YJdV:IUO O lrd vuv'rn)roNadus; pldue.lpo r$ lugiupo ep elull eJlutp euntuoJ '(og'e'F11) a1e'npr ,"r",j:Y;';.}} ga.relncgpuadrad .^r B- g - ellliea;o.rdprsirn.4iuor as p5 -Jeo .ASIISIUSISVUVf, o1 .ple+uozlroerfcarord puru.rralbpu nt oJBc',ru aulfqoas IliIZOd NI EIVC AJdAd( .g.e.e}]un i,lT,g ai ,u u,p pu;cnq 'a;elnrlpuad:ad iYnoav yNnwof, vuv'rnctoNgiual aldeip pnop iolai'nin ",1 F .1u1s ,3;j_p1u1uo.r; a111ice1o.rd plpp.,(,i o 1q ?Jerltra^ ad prBlnrrpuad:adalsa (,g' ,g)V ;ib;;p O o6 '(Ol'g .FU) elelnRr rarelnrrpuad.rad rBurrolelsa"a.rrjc _ lbV Inl lerelncrpuedred lpugprerlV .goV rnt;'r;Funiri B /p pleJll:a.r elfraro.ldRp ,B n) tiun aruc l:lryqunyl,e erurf igg'i{ csau1j1u1'r, as 'F.f p arnp asp utb ,taJlsv rnr+uarolro fl:],y :yiw pnopelsarvu;. .(,8,e :Fu,teletuoztro .lY.l_"^..i 'e:elncrpuad:ad -Seullqo alda:p pnop i'CD lurlllpul lugs roler'"1b H iS acnp'as-g utp tS | ll,nl_uorpoalrricarordgcep (,F',F)D Fleluozrro lnlrund' l?1y{_yr:lnrlpuad.rad o ad rCC e;elnJrpuadrad l(1fj-",'I-:J"YfeluorJ 9 1n1 ad Erelnrrpuadradelsa (,-pirlq pJOBJri,O -J Uno uu d e J np os B ls B aJ Bn J l u e d .g l S g :o "t 1

v*i'il rerap !ii. 9H"i[;.,,[, rrx i:yi^:r.:rpu

o, etru 11lpuJ rsain.rlsuor u1 p nun nt p7an d r r,', ':; illJjjl -e;uolgzundsoror 7 f!:': f ;: :i i: r',:;i tiI 'pmp p::.r:,1."i ,'Jqy lnrq8unr-r1 ,1datp,7rr'rr17u, 1a1fse lnuiiqo e-g a1nuo8oTto a1tr/carotd uo (,p 'p)Oeldearpnr (,1 ,l)g ,g)d rs(,A [119^t_{!J) also eiuaroo] raisace ecbrdrcag ;iq ug .trlladsar ::j:ol::r]11 alusrncu
Fig.3.5{

A

E. I

t6, e:ie

- te -:e

Iiig.3.55

Fig.3.53 20 Se considerXfronto-orizoritalat)(d, d') si dreapta carecare Jr), 3'1. S[ s.i dctermine proiecfiile perpentlicularei'comune celor doul drepteda.te.Deoarecefi'orrto-orizontala D(d, d') esteperpendiculara pe planul laterll de proiecconlunerlintre drttltele D {ie, perpencliculara si A e-ste o dreerpta paraleliicu planul lrteral cle Fi g.3.56 proiecfie,adiciro dreapti de prolil i fig. 3.53). Ea se ob{ine t'ucind clin proiectialate}alad" clreaptade prolil (ab, a'b') (fig.3.56).Aceastl a dreptei D perpendiculaiab"a"pe proiecfia distan{i se obtine in adevdratl rndrime luind laterald 8" a dreptei A. Proiec{iil-e oiizontall segmentulcare une;te proiec{iile laterale d" verticali ale perpenficularei comune sint $i 8" ale celor doud drepte date. -.i :espectivab ;i a'b'. ;'I \,.,, 30 Si se construiasei;proiecfifleperpendicularei 3.3.7. ADEVARATA LUNGIMEA UNUI SEGc.o{run-g.G(g, g') di,ntre dreptele D(d, d') gi MENT. Se consideri segmentul de dreapti ale f(b-, 8') paralele c,u,acelagiplan de proiecfie. cdrui extremititi sint punctele A(a, a') gi Fie drepiel€,:.D(dr'a)ii A(8, 3') (fig. 3.54). B(b, b'). Sd se determineidevdrata luirgimet'a Planul orizontal'de proieclie este un plan acestui segment qi unghiurile cr pi p pe care :,aralelcu cele doud diepte, iar perpendiculara acest segment le face cu cele doui plane de :cmunI este perpendicul'arip" ui,"ri plan, deci proiecfie.Se gtie cd un segmentde dreaptdeste o verticala.Proiecfiasa orizontall g este ipotenuza unui triunghi dreptunghic care are -ste proiec{ia drept (catetele) situatl in punctul de intilnire al proiectiilor ca laturi a1eur-rglriului :izontaled gi 8. Proiec{iasa vertiiald g' este segmentului gi diferenta dintre proiectantele &'b', care mdsoari totodatd cea mai scurtir extremitatilorsalt,.Astfel,proiecfiaorizontala ,,stanlddintre celedouddrepteorizontaledate. a segmentului se va considera cu diferen{a cotelorextrernitirfilorsale, iar proiec{iaverti=' Si se construiasci proiecfiile peipen{icularei cala a segmentuluise coisideri cu diferen{a iomune dintre doud drepte frontale. Perpen- deplrtarilor extremitltilor sa1e.Acestetriun-.:ulara comund dintre cele doul drepte fion- ghiuri clreptunghice abbl sau a'b'a1 se ob!in :.-e F(f, f')'gi F1 (fr, fil este dreaptade capdt i.mediat, ele putind fi ata;ateuneia sau alteia ab, a'b') Carese proiecteazlpe planul vertical djntre cele doud proiecfii ale segmentuluidat :. proiecfiein punctul a'b.' de intersecfieal (fig. 3.57). Evideirt: ab, : a1b' : l. Totodatd ::-,rec{iilorverticalei' gi f{ (fig. 3.55). rezultd valorile unghiuriior d gi B pe care seg" Sd.se determinedistanla I dintre doui drepte mentul AB le face cu planul orizontal ;i cu D d. d') gi A(8, 8') paralelecu linia de pimint. planul vertical de proiec!ie.Ca aplicafie, se *..:an{a I dintre celefdoud'frprrto-orizontale se consideri triunghiui ale cirui virfuri sint -,: arI pe perpendiculara lor comuni,careeste punctele A(a, a')', B(b, b') gi C(c, c'); s[ se 49

09

oletuozlro oteurrn nur l$ ,I ISI 31"^l:li,|y ,,u g ,.rsrirrd"ainf r_111._gsr elalalered ,u !$ :.1 'trp a1e'p1$[r ::.,t-tt::Y._ijly-aq rnlnluaurF_as

alJlRllue_rlxa'erlca:rp Blsearepdnp :1u1uozr.ro

adalgJcaro.rd a;1pi ' ir.jtt,i;jiJ llgld BleluorJ nc--elalered- luarcrins jielueicaror6

puig ol (,S 'g)y arura.ruo agfrargpo pdnp lalup ;Pl".p- el?luorJ ;aunqfra.rlp gi'np , a!1iiod'ai; !tl- 't){ a;aue;d,ad,{,u,ut-,uu)'luaiirFl. inun'll" er!lqo e1a;e.lud a;r;fra;ord auluralepespS .IIIdAUO V yrvUrNgs yrnryUva

rS

vrl5aidfii's ee

r,.r".,uîp3"i,lil ii]:.*1-l"rlrnl'rarB.ur;un1 El lo1sac.e C,

09'r '8tC

a1'e ld ?,t!,f::l.q:]p,1rn1qFunu1 I' (8s'8'Fr3)a.rrlcadsei .roir:np3,r ::l:11'1Y1lod slaluoreJrp 1t ;n1n;q8unr.r1 .ro1rrn1e1 a1e l?lilor alBluozllo a1rrl:.'aro:d lugsa1bler':o.rpc'e1e'uru lS drl'utq;Dar-rqFunlda:p a1r:niqFunlrl q1'nluorlro ad csarrulsuoc"es'.lqairriili-inrsec? :jl33jgj9ele ' rollJnlsl ;ur;Fun1alalerpnipu jugiu.ratrep

og'e'Elg

eylurJelep ?sRs 'as'oreluene reur P1i":9.,H11-: usa,qoia:a' j;"r t!_f

!s elaru'a rh;:AI I:.": tqy:r_ urfcarlpa8ale err as .-eulrri PJtseV BJlJaJlp PJIsB

/9'8 'Flc

JoA aJpJ

u3'leraueF yI 'lep ;p41 rnlnluaur8as lf*il9^"j9 '';i"oi ' ,',i-9u9ru rJEarfcaro:d ap aueld' .?irdp elaleredalrilra'.irouiqo .g l^^.:ty".::t1qo_ tos'e'sg)'biucrlia,r rarl;i;b;i;i";':'l;r:i "ur, l U lt I IJel OD 3s I i r n r nnr r l a r i l S r c r ' ,r - .,,,,-ri...1 a !_n 1 1uburFbs' *.i - - - _j, rIt'plr l1p:.: f ".il .(,9 .s .s)V greri;qre asr(,s Fi?:9-F"llsuor a'^ !.i?:L.!rlqllyqi' ariearrp )v eiJ,iiq;;,Iir5;J I plsrxa

no/g?pdap olaateJ!0

P:,r^.*'-'.^:ll:*t-';ifi;"il';i;ii,?#':;,;,i;; alBluoJJ rarfcarrp 1nro1"'Li;qjra .A

'(Oq'e'EU)g e-lfmrgp pctnp e leluozrroJnueldad elalereil [ry JnlnluauFos llralord alsaouourlnluaudas.a1a1e.red rolsaJB i I

I

rlia MN ao riectrec rinl 60). r$i ale nele tfel :ele iec-

fiile centrale ale unui segment (mn, m'n'), pe planele de proiecfie, centrul de proiecfie fiind (o,
incit mb, este paralel cu ab. O_rizontala(mb, gi m'bi) estedreapta cdutatd C (9, g'). In mod analogse gisegte solufia corespunzbtoareproiectiei c. Dacd lungimea I estemai micd decit distanla dintre proiec{iile orizontale d gi 8 ale celor doui lrontale datc, problenranu are trici o solu fie. !' Se consideri orlzontalele D (d, d') Ei ,\ (8, 8') li dreaptaoarecare E (e, e'). Si se determine segmentulAB crre se sprljlnl pe dreptele D qi A gi al cirui mijloc M este sltuat pe dreapta E. Se construiesc in epuri orizott-

Fig. 3.63 talele D 9i A 9i dreapta oarecare E datd (fig. 3.63). Proiecfia verticald e' intilnegte in o.' gi B' proiectiile verticale d' gi 8' ale celor doui orizontale D pi A. Din mijlocul m' al segmentului a'B' se coboard o linie de ordine gi se ob{ine proiectia m pe proiectia orizontalde. Purrctril M (rn, nr') astfel determirrat aparline dreptei E (e, e'). Se construiegtesegmentul cu mijiocul ln'm, care se sprijini in a ;i b pe cele doui proiec{ii orizontale ale orizontalelorD ti A. Ridicind liniile de ordine din a gi b se obtin a' ;i b'. Cu aceastasegmentulAB (ab, a'b') cste determinat.

3.4. PROELEME PFOPUSE 1". SI se derncinstreze cd proiecfiileunui punct din spa{iu pe planul orizontal 9i pe planul r19rticll de proiecfie se agazzipe o aceeaqiperpendiculari la linia de pdmint, cind se rabate planul vertical pe planul orizontal. Sd se demonstrezereciproca acestei teoreme. 2' Si se construiasc:i o orizontali care sd irnpartd segmentul cuprins intre urmele unei drepte lntr-un raport dat. 3 " P e o d r e a p t i D ( d , d ') d a i i p r i n p r o i e c {i i l e e i s d s e construiascdpunctul M (m, m') pentru care diferen{a dintre cotl gi depirtare sd fie o lungime dati l.

Fig. 3. 62

4o Se consideri pr-rncteleA (a, a') gi B (b, b'). Sd se ducri prin acestepunc[e doui drepte paralele D (d, d') ;i A (8, 8'), qtiind ci dreapta care unegte urmele lor orizontale are o directie cunoscuti S,

51

zg 7' r , uy

' 9r ! 15

t

nBSarJ :.y."j-::-u.o, ,d !sd orurnotserv 3j^:l:qarl aie p1ecl1-rai e.ru]n1i6 ,d. |n qlv+uoztro :l:Llutq , E uJna u rlqaos n J , n 1 6rq n r-q irllu n _

tf: olBJrlro^ r$a1e1uozrron,.,rY'itufl J::il$t:L '(,9 ,g)V eldeerp (,u ,e)y,1n1rund * 1$ l(,8 'g)v l$ (,p ,p)q eluerneuor alaldarp_ (,s 'g)V l$ (,p 'p)g a1a1e.rud alaldarp-

Urrn,nrjnTJl liil^.q,Y:ld!!:{note,d l$d etorurn

rt 'Elc

;rt$i'$.ii,, Ti {.}::q'!#ffi|,#;J,'" :r'i::{ j J"'i,l1",i";,ir ;il11"

iij:ril,t"! "

": Hr,, -J

el"nlls, er; ps 1a1da.rp ager,,rnur aisa uuld ;nun pldea;p

o ric pluesr;1n, Xiitj:,g" 3s 1$'pr"rrrru .rnlnuelcl aiaui.in'ad"a1entris :.!l!gj,ot'repzSy BA LlliT:-Ui lliraio,rdop Jlaueldelcasre+ur uPId,un-4uJ plO'narI lryyJluoqLpp;q'areoS.,no

iili"iBl5js=f ;it o *3, 1";'tl H::; :',i,Ti' o rS 1rund.un ',jjerur1"r'nu-llllinf,.i1 ,nld

-uaxaJp .!JrB uinr .gurruralep l_orprio1e1u"iu -a1aalrricaro;durrd-ay; ,aurin'ulro irl-,i,1iouc -sap^llulJap rr aleod.lnueld .d',9 rd'',*d"uird as z,{xo-gnftrlar.rj a1.exe rs 1ip,.1t* "lou,ron arfras.ra;u1 y.:1.1.:lylp ap ajaj;uh4 r r rblji 'f ap a,'ib"rrn1u, :llret?rd. aieue;drS ueld'arlutp'rnun elaldarp 'd ueJd iin .,orn ?l_::4 lS ,d

'NV'rd NI.srnNifirioc yravauo :Tnu_1*_ns ts rJNnd .tntnNvrd nr'sl[]iri'"'.r.r.7 .r.7 IntnNv'ldvSUVrNtztudlu 1fiNV'td

")

Al

t n t o ld p f ,

reaptd concurentd cu dreapta A) gi se pro- i ' i:edeazdanalog (fig. .a). - +" In epura din figura 4.5 au fost deter'minate urmele..P gi P. ale planului definit de punctul Ara,-a')Ei de dreaita D(d, d'), ale cirei urme I sint cuprinpein cadrul epurei. S-a dus prin

punctul A(a, q') o.orizontali (gu, g'v') Ei o frontald (hf, !r_'i'),ambgleconcur-enticudreapta.D(d, d'). Urmele P ;i P' ale planului trbc prin.urmele h gi v' ale acestorcirepteqi sini paralelc respectivcu proiecfia orizontald gv a orizontaleiqi cu proieclia verticalir h,f'-a frontalei

4 . 1 . 2 .DRE P T E L EIMPORTAIqTE ALE PLA. NULUI.Dreptele sint izontaiele

I

marep?nti

raooi'

-zp$aj-sarr,cr

SA

se determine urmele P qi P' ale unui plan,

- o orizontal[ G(g, g') a planului gi un punct A(a, a'),

F i g . 4 .3

Dl^ r rg.

A A t,a

F i g . 4 .5

- o frontali F (f, f') a planului gi un punct B(b, b') qi s[ se trasezeliniile de cia mai mare pant[ ale acestor plane. .se,considerd orizontala Gr(gr, gi), clusdprirr punciul A, paraleld cu dreapta G (fig. 4.6). Urmele v' ;i vi unite dau urma verticald'p' a planului, iar urma P trece prin P* ;i este paralelacu proiecfiile orizontaleig ;i gr.\ O llnie de cea mai mare pantd (1, l') a pianului fafdde planulorizontalie proiiilie'estedreapta conlinutd in plan ;i perpendicularipe toate orizontalele$lanului,^ d6ci $i 'pe u.ma p. Proieclia_saorizontal:iI esteperpendicularape u1m.aP. Proieclia sa verticald I' rezultd impunind condilia ca aceastddreaptd sd fie continutl in planul P. Analog, in figura 4.T s-a trasal llpia de cea mai mare panld 1lr, li) a planului-fald de planul vertiial ae proieciie, adicd dreapta conlinutd in plan qi bare este perpendicularipe toate frontalele planulrii.

Fig. 4.6 1?

7g I I'T 'EIC

0 t'r '8tc

8 '' '3tg

ro trulr.uPd ep ralutl eJdnsBappJndaad arEdB '(O'f 'FU) ,g ad p.relnctpuadrad alsa 16,,r ugrd euJJn'zeJ BalropIB nJlued FleluozrJoBs EuJn 'elrldFeu atelrpdapo ate aleJl ,d FIBJItrJaA rluo:g1nue1d p)BO '(JI't !S 0['f .Frg)a:e1rgd '(g'l 'Fll) ,A elecllral Burrn p rSBaaJB ne rnlnueld alalcund aluol araJeoap t$ x4 gllnza5 'g BleluozrJo acarl aJeJ ,J urrd ',6 g,1a1e:ed ro nJ alsa eJec Bs Vle+noaJo.nrt g:elnctpued:ed ,Q!n'd. urfcarord ad alsa r$ IeluozrJo gluizardar as ii ,ii ;urn-u;rd'-r'eop ap ptrelelued a:eru IBru eal ap rerurl e 1nue1d nyord ap IErtlre^ 1nuu1dnr 1a1e:ed alsa 1nue1d BluJn fluorJ InuBId .l"luorl Inupld .xo lugruedap q BruJnulrd aca:1tnlnueld e d p1p+uozrJo p:nda .e;fre;ord ad arede qns !u!l ep l?r!Ue^ nus l?luozlJo ,;1 FlertlJal BSErutn BArledeueloJ o eJB lellu ep 1nueld preq :1nuu1dap plBI (,9 'g)V gluud eruur ruru ep 'dlJ) eloc tseaarene rnlnueld "ef, ss s!u!l u;.rd eJ?y]nll I't ls 0l't 1;u; 9-d ,xo nJ glalered alsa I:-d uDld I pulwJapp lalcund aleotr aJareoap aurruJelepas Ps '/ ps BruJnuqrd :eop glurza:dar ',H FIpcllJal DAj ap nru17 :VIJreJoeJ, feJ t Ia Rrnd0 u1 '-olfcalordep leluozrro 1nue1d lnupl_dalsa le^ru ep InuBld .la^!u P IalErBo'aueld elseJpnc lalered nes .11nes Inueld P Inrolrastq ad :elncrpuad:aduuld I (xo urrd DaJlar-Bcnes)_xo lupupd ap elurl nc lelpJ fd ueld * :1pdecap ueld - I 1ecr1ra,r ueld ap ueld : nes ap lgord Ieluori +uorJ ueld fuluozlro.nes-laltu op ueld - :lujs ecrlsrJ fleerec illlzod alserB u1 rnlnueld aJt-nunuac freolcasrqalaueld ed nes arfcarordep a;aue1d I JelnJrpued:adnes lalered alse 1nue1dprep !1de; e1 Fralar as yllizod alsaJy .af$afOUa

p e'reNv'rdnc ruodvu NI rn,rnNv.rd nv eclrsruarSvuvc alrrlrzod'8'r't

i ALE .E DE faptul ular pe Itoare. anactezonlal; profil; lan pae trece lorul I nul de rlel cu ielse l', care unctele 4.1l). gativi, b linia frontal proiecI Urma lu oXr a5i defrontal nald F int ox.

Planulde profil. Planul de profil esteplanul (sau care trece prin ox). Acest plan este perparalelcu planul lateral de proiecfie.Toate pendicularpe planul lateralde proiecfie. Planul punctele planuluiau aceeaEi abscisi.In epuri, paralelcu linia de pdmint ox are urmelesaleP el se reprezintiprin urmelesaleP qi P', care qi P' paralelecu ox (fig. .la qi 4.15). Dacd sint in prelungiregi perpendiculare in P* pe acestplan trece prin linia de pdmint, urmele lin ia d e pdmint(fig.4.l0 qi 4.ll). P la n u lv e r- saleorizontald R qi verticald R' se confunddpe tical. Planulverticalesteplanul perpendicularlinia de pimint ox. Pe planul lateralde proiecpe planul orizontal de proieclie. Urma sa fie se citesc direct valorile unghiurilor diedre pe ox cuprinseintre acesteplane gi planelede proiecverticaldP' estetn epuri perpendiculard (fig. 4.12qi 4.13).Unghiula mlsoardpe epurd {ie, urmdrind pozi{iile urmelor lateraleP" gi unghiulplan al diedrului,format de pianul R". Planul perpendicularpe primul plan verticalPP' cu planul verticalde proiec{ie. bisector. Acest plan are urmele sale P qi P' Planul de capdt.Planul de capit este planul simetrice in raport cu linia de pdmint ox perpendicular pe planul verticalde proieclie. (fig. a.l6). Se vor justifica mai tirziu aceste In epur5,urmasaorizontaliQ esteperpendicu- proprietdfi. Planul perpendicularpe al doilea lari pe ox (fig. a.12 9i 4.13).UnghiulB m5- plan bisector.Acestplan are urmelesale Q qi Q' soardpeepurdunghiulplanal diedrului,format confundate,deci Q Q' (fig, 4.16). Planele de planulde capdtQQ' cu planulorizontalde paralelecu planelebisectoare. Un plan paralel proieclie.Planulparalelcu linia de pimint ox cu pri mul plan bisector are urmele sale confundatedupi o paraleldla linia de pdmint ox, deci P - P' (fig. 4.17). Un plan paralelcu al doilea plan bisectorare urmele sale Q ii Q' paralelecu linia de pdmint ox ;i simetrice in raport cu ea (fig. 4.18).

F i g . 1 .1 2

Fi g. 4.15

P. P' F i g .4 .1 3 Fi g. 4 . 16

'

-, Fi g. 4.I 7

o

4'

0 F i g . 4 .1 4

F-i o 4 l 8

55

99

I6't '8lil

aurl pnop arrf,pu*urrlop,'liijtlJ'rtl:

1g-ls,d '?lun 's.:10,'*d '+uJrupdap errrrlod .re-r1rq:L In+ ":I:tld-.'Fieurrurolrpou o1.saa:er 'larualq IaJlsB '(:9 'n) V .,Inlrund urrcl asnp p "rolaldarprol -oJct arlnloso ernlrlsuo),g i;1darpa1,i,,r id -aruJnalp ournrrrSelareap elnf5ero.rci .utraclsaj .1-elouJn.urrd.irtlraclsa-r rrr] ,a f ; a Surrnrn:p; as lnlnu_B qlrlirn rnIlueJd ld a1e ,d P : ll] r ' qll_qo j ueld err_r6 a Jr"ur_rn l e rrrf) .ale rJap 'y eldearp.euriuor'alec ,d tS .r Il l q o as IS d . a l e ,nq)apralniuo-r i(,p .p)q 5ioar'$ (oal _ltpv ra1tlo:peJarurn,n q-egg i:ei,t^jli'2 -1s(,n;H 16 'e131eied-

.(,sls)i, (,s 's)v gl_s"_d Inye_td a5npes i!19! 1", eplBurural€p ""+oi j r'pft:q_,:jq:?lp ytur,r4.Rlep (,p p)s eldeerp no :19 : r r_l,1 1 _ .l !9 !n rnd,(l nl q',rnrrtj n?:1.^"'-_'Y:y3',u '3g) (,p ,p)op] l*::lv lllcund rs (,e 'e)y lnlruirdirlrd ara"r1 g,a'Gp:v. am I-1-"j9_1_ ?t." '(,n,r{ ainpas uuld lnun el" ,d lS 6 elaurrn runJe euluJalep :nr{)elileaJp ;,Ttlll-l?-F.!]!_ujud .uu;d yr{d ur alunlrsruasps 'yJdveu0o nc'rstvuvdNVld .6,6.f ;$u;arp ll"^'YIVJnl?uld 'p)q pnop .4.1mre1d nr yapired uJ rurllqta psprlpalsa elduarp -e1da.rp -erue ^!:9.f fL l:,-(,p

u;.rdacarl rnyriuelOt::r:"..I :ft !,.-!,: :P)Vlnlrund rq olelt eururalep _.ljl_:to: ,p)O u tJUr o' a1rrupe Bruarq esps .:IuViUgUv 'BlBln€r ,13:9.is_d :f"-rn uldea:p alsa'(,.g,g)y .(,p Errd:ruoYnOOnc ]A'rvuva lrvia r a I :?r,q ,")v lnnundurjd sinpe.'plerea :l:::r.L.:i !,n i aJE aunur$elaraep !1au:n ,'aJele.ledeunu r6elaceep Jol aJaur:nur:d ^16I:?^:l{ld 11lngero as da:as nr yj..F]_".gzp; jau us e.red ,n 1s q aru.rnra:er a1e ieds _-a 1a1 a :..-^"ttIti: _".tgr?F lijl.i _ uI plnuyJuor j pleluozr:o )r:p.-'g_l:yBId n' p1a1e.red rrerarBo e;dearp o tY,li_':i:yrl__*rrd.'9.. , *4 pllnzeg.,6 nj'pialered apun ed uselnuriuo: qldda:p 1nue1d o nr frurl9ror+ 99,.{]Y :i9 :q arnpos,A ulrj:o eJfjuor,ro i ]:l :j "l :lJ,pr ar nqr r l,4 1nue1d n; gliler ed [*jfrr]r"l:yrn B. u1.rd'1ep elg-.(iarf.Fll) elJ ps O BldBarpBJ .euJn la]sere FIBrlra^nr,rn..,n,p)o* a ir'uiOun p, p1a1e.red r(,p -.'arurn'uirO i,,rd ilEllor,ro :l_jtilrj"l,"_f" !s.(,u ,e)V inlcrin'o P.--t"::r|_ '(,p 'p)q ;a1da;palgliralo.ld euluralep "r"r1 u1r4 es 3rlt PtlP n .(,ulp)V 1n1cund. iep "rnNv'rd .r.6.n RS y'ra-rv['va-vrav:iua elsa nc tatuJud ynlrufio (,'n-,n)V JS u,rh P]:+,:.tj-11 elu ;$4 elerujneulurelep Pl.1t^".,.".1ry;nuuJd 'NV:rdNn n3 ,d PS,PS lAryUvd NVld .S.6.? 3]3lVsVd ]r'.tvld t$ tldt$c -2.7

S't" I trece lut q I duce

Lla

eestei

le P; urma ; pla, epura I

pPrE P'ale i este , o ]t

\ a') reapduce npta doud

rivi). nind f l]le-

a').

4,3..IN TER$E CTII DE P LA NE :-'

/

,

,.

.

i ]

i,

:i.'

4.3..I".PLANE'DATEPRIN URME. PCNITU dbte.qhrinarea dreptei de intersec{iedintre doud plane estenecesarsd se {ina seamade faptul ci trei plane neparaleledoud-cite doud'.se intersectelzfi intotdeauna:: inti-un' punct.''rPrin urmare,in problemelede intersecfiedintre doud plane seivof iutroduce plane auxiliare, care tn general se'aleg plane de nivel sau frontale pentru Simplificareaopera{iilor grafice. Dacd planelesint date prin urme,'planeleauxiliare sint cl,riar planul orizontal ;i .cel vertical de proleclle. Astfel,' i[ se determine.;oroi€cfiiledreptei de intersecfie dintre dou[ plane oarecareP gi Q date prin urme. La intersecfia urmelor orizontale P gi Q se gdsegteurma orizontald h a dreptei.D(d, d')' de intersecfie dintre cele doud plane. In punctul comun urmelor VerticaleP' $i Q' se obtine urma verticalSv' a dreptei de intersecf ie D(d, d')',(fig. 4.23). Prin linl ile ' de ordine rezulti h,' Ei v pe linia,,,de pimint: Unind proiecfiile de acelaginume h gi v, se ob{ine proiec}ia orizontala d a dreptei de interseclieD. Analog,h' ;i v' deterririndproiecD dinire !ia verticall d'a drepteide intersec{ie planeleP gi Q, Oricarear fi pozi{iile urmelor planelor care. se intersecteazd,problema se rezolvi intotdeauna asa cum am ardtat in acestcaz general. In epurele'din figurile 4.24 li 4.25 s.a intersectatplanul -oarecarePP' cu un plan de nivel H' gi cu un plan frontal R. S-au oblinut ca drepte de intersec{ieorizontala d, d' Ei respectiv frontala f, f'. in epura din figura 4.26 s.a intersectatun plan vertical PP' cu un plan de nivel Q'. In epura din

I:ig. 4.24

Fig. 4.25

Iiig.4.26

Fi g.,4.2T

Irig. 4.23

Fig. a.29i

figura 4.27-s-gglsit qrizonlala S, g{,de'intersecfiedintre doua plane care au urmele orizontaleP,si Q paralele.,lnepuradin figura4.28 s-a interseetatun ptranvertical PP' cu un plan de capat Q Q'. Drêaptade intersectie este (d = P, 4' : Q?.,,1n epuraldin figurile 4.29 ;i 4.30 s-a rezolvAt in dgui feluri interseclia dintre doud plane ale cdror 0ime de nume 57

88'? 'FH

Ic'? 'EIc

aelalg:

-e1dsnopalaar$6 1nue1d .r"p,Tlr'jrr1rXl

:

ap elfcas;a1u1 utp pllnzarlcundlsacy Fdlp d 1nuu1d FzgalrasralurU ,;,o1a1da:p lnupld 'U !SD, '4 aueldtarl u arfcasJolut arg'1ela1e1 ap (,ur ,ru)W 'Ub:erareoJetltxnu 1nue1d 1nue1dal1 s-s t8'? ern8r;uip e:ndJr F::illll:.€s BlsBerB nrluad 'a1da.rp-ialsaie l_l1-ttlTlPulruralap 1[ uI'lUoJdop olsa.ElPltnzar arfcas:e1urlruno.Jndulsun auluralepos ps 1ua;c;gns alsE :i't!:jllj' ap BldeeJO'Jolcasrq alsaaueldpnop,1rrri ,ue1due;rop 1e u1 ad ^(:?..1)g-,r_f "tuozrJo_oluorJ elaquB 'arulnclpuadt3{ gueld Fnop letrasrelur arlulp *11;1131yi ap eliej.rq ;xo lugrgh ip

usp:lnq3qI,'a1ep aueldpnbf :i:lt:t:tlttu_l.i1a1ir.red9urfi l_t-t enopl'tcasrapr "rnFsl elar elar.99,t eJlutp erfurp ollrasraluJ ap (,p ,p)g ralda:p ."ru" rte-s 19.7 ejn8lt ritp ernda pnnn e:nda ui: 1L ui ;a1da:p 1L !4.,llq L"--: tq.l llq i1 arrprrt 'rlrasratrrJ-1p_ "ilry etac a'ur1q61s"(1uo.i1 d:lilp l:.Ylg..:"ltgp eriSasiilur ".";til;l'; rip tE-un op rjo""rp 1*j"1.{ 'arej ,1,'"suiru:a1ap ,:f.^yi.P1llll11l nl9 In u; ,s 1a1r1u y punardrirs l;y, in! -9.-=i9, ,-nuelovrltzodpulqu!qrs ?,!"r 'alepaueldgnop elal -rund ug alua-rnruor^ q'l:nlaj.,i lurs V i6 .419'ep,5u,o, Fnopalsacy_ ::11!P,3.llT:i_111i ip.-!p-:p]g^_1a1da:pâuilredu ei !oe-r elBluozrro pnop Pnopro-leralprerluocjiirnu'jp jlrrlciro.rOiJcuj "ioa.,F llY" _(,''tu)W InlrundqlJnzar u_l.o'Ftpluoz;'io o aisc bleir l3J.t:.:_:9 u!.Rrpnrls (,s.s)v :?l:."-T:.l.lj":{"_111 !-ny'rd ulprarBrerl plenlrs uJ "1oerJ[-i{ (,'p'p)qiloeio:p a! 4 1nue1d 1a,r1u rupreprsuor ?lif.l_t_ .11:l1j:]1p_.,9 rPIlrxnB uPldun';arlda,llrpYc ug alua:ncuoirzB) Ballop ngluSi:f1E1n'gc ailmrrilb!

1y ale-'O r$ 4 aueldpnop tlg:?q-Fit-*r1epV ,,itVrni "p 1T'a'a1e1rund'.(,u #j:^:1--?.q_T-rolPo .b ns-s ,{,'S.SiV'iS ernFrl lelrasratur Z€,'f u1pe:n{au1 l's -rundug*r:tjl1l t^p1dj
reap"i de nntoate P ectat sint ri liar alele fstor care intre ;ianuI plan

lr n')

b cele

p s-au pbele l" de |5ii,in lnctul

f;i R. lor de I pla-

Planul auxiliar de nivel H' a determinat in f iecare din plriele date cite o orizontald (fig. 4.36). Acesteorizontale, iiind paralelecu urmele planelor date, prin cele doud linii de cea mai mare pantd, vor face unghiuri drepte cu proiec{iileorizontalerespectiveale liniilor de cea mai mare pantd qi vor trece prin punctele (a, a') qi (b, b'), unde liniile de cea mai mare pantl -Din intersecteazi, planul auxiliar de nivel. intersectia acestor doui orizontale rezulti punctul M(m, m'), care aparfine drep' tei G(g, g') de intersecliedintre celedoud plane Fig. 4.34 date.Analog,prin variatiaplanuluide nivel H', in Hi, se obfine un al doileapunct M1(m1,mi) 4.3.2. PLANEDATE PRIN ALTE ELEI}IENTE al dreptei G(g, g')-de intersectie dintre cele CEOMETRICE. S[ sedetermineproiecfiifedrep- doul blane date. ln sfirEit,si se determine tel de intersecfiedintre doudplanedateliecare intersettia dintre doud pllci plane date prin prin cite doui drepteparalele.Celedoui plane proiecfiile lor gi si se studieze vizibilitatea fiecaredin acesteiIntersecfii in raport cu planele de proiec' auxiliare H' Ei Hi intersecteazd planeledatedupdcite o orizontald (fig. 4,35). fie. Se consideri placa triunghiulari ABC__9i PuncteleM(m, m') qi Mr(mr, mi) rezultate irlaca patrulaterd-planI MNPQ (fig. 4.37)' din intersecfiaacestororizontaledeterminl Planul-auxiliarde hivel H' determinl in cele proiecfiiledrepteiG(9,g') de intersecfie dintre doud plane ale pldcilor orizontalele care se planeledate.In epuradin figura4.36s-agdsit intilnescin punctul (p, p'). Analog, planul de dreaptade intersectie dintredoui planedefinite nivel tli conduce la determinarea punctufiecareprin linia de ceamai marepantdL 9i L' lui (n, q'). Proiecfiile dreptei de intersectie fald de planul orizontalde proiectie. dintr'e planele celor doud- pldci sint astfel

59

-:\:y

:lsiti 'Blsare .e1dea;p ur.ldsnp leder IIrleJuI nes pcrpe,raldarp lerr|;en1nue1d ale :l lnueld alaueldurp Inun 6 rerJrxneueid l1u_pJralord asleraue8uI .(0t.? .Fu)q uiduarpurid ,:B:€d.glE iTq , q rerll.qrBuu;drrn _tSd l"p lnuu;derlulp elduerpod1en11s"e1sa V allrasreluriep g 1nuu1d rii rq l€lderp 1u ilfcesralu! ep y inleunri Buneap -loluJ pJ prlrJrJBeJvJ ap eureasuurf -nraaloal ie.la*cau alsa ueld pldea:p I,s un rS o arlurp ::, er+Joslaltrr. ap !nJnlJundea:euru;raiap n_r1ua6 .t.f,.? '_aINVIS!II0Ud U0.IENV'Id VOOIaW '' --

88' t' ' E l c

.\ IJ

:

d\

t1

.\

d

,t

1,

.1

ii

3 \ lv'ld t S l l d t d c 3 u l Nto illSSSdgrNt't'f, ' ,.rs) alsa aueld gnop 1ag1se..(,J,s alar oJlulp arfcaslalul ap eldeai6 .,n,rl I ,i ad ,J-.yJgJlplr as arer 'r ug rsaulllu! as ,rrl rS .(,e). ,aL| ,rp)r( alua:nruor ,ap lrurJap alSa ueld Ealrop lB, rBr (,ru,ru)W S olrflrelOjd !S(lp elaloarpep 1ulJep 1ep ueld ealrop pulrapts lnlcundug aluarnruor;(,d t)V :rS--,t,p ?)A IE '-(,n,tJ,nzt)eldea.rpgdnp 1ef u'e1de'a1rop 3.L..rd"jf.. o- i'i'i,r,J'.iiipii i,i :I ll 1ll'p e1'n'ib'1 ly_?" 1e uulo uallop -.(;g,.g')V ep.ru;1lxnu'ueid lar ?aueuasu aC ei'dparp !g-ap 3lI]..:b-11!e1d'eauauaser ur pulzlllln laluernruoralda.rppnof"algr urjC TSFSUI pdnp 1ep ueJd lnur"id alB] ,O lnueld 'auu1dpnopa.4urpasirasralur ep iliYjlip y eldearp u1:d snp ,p lgdel rp ynueld :j:l^tjJ raloeJp a;uicalordrunf,"aulurolapai qs .erha'e ,a1e1ngc raliia.rpIB (,r ,.i;y'arirSs Fraplsuoras arnpuorrn1ea.iezrlrln;gsugiro jlfnrrr "ea:e

p 1e-aprnlao uirur"1ap l11l Fr"Lu alda.rppnop ieop infoi1ur ne-s :t11Ir,"q^lly ?d_u.1lo aler€rlurparfcas;a1ur ap lq _n_rylil*ne glsuor rerlrxneueld 'ec roicasrq :l"T:.q .:q:"1:_8"9! ul lls,a. (,.s's)gelfces;airri j:1.1tjp-l_"_^lt_1n9, air :.i,J"t:"^T^:J uBlo IB-oprnlal rrrRzrlrlnlnfeluely ,6ny '.r.) (d,n -Balrop arlx!p alalderir !$. 1t:1. i:!i 11 !-'.^ arlcas;a1ur ap eldeo.rp

ue1d. eo11op llg.p__"t.r 1earel alep y^1:..,!,lnlnp? :.Tli]r^._.s_lj_rolrastg lrund Beltop 1e aisa'_ (,1 ,t)i elaclcap'(,r .u) J61,r i.'-; .(;d ',d) -"-Y.111 :,":r:-,plgf -. alfcasratrur rorpr e ,(,e,L"',.i) '\, n ' n ) . a 1 a1 r uunl d lltyn,d ,do) JolJa srq ueldeapoplersaul;1 frs (,d,n e1e1da.rp ednp :oljlsiq uerd ats99y(oe._t'ElJ)' (,u',ujp' :_YI ]1-q.rp lnpuna ,,r; ,(lg ,rg)rV aleueldrrop ,(,3 ,e;i6'1,.r, uI alrrarnruoJ ri ff ,rp;i[ alaldarp :,nljo.q,f:,"lBl :lBp '(,0 '0) '(,o':) alalrundugrolcas'rq uelh rialroI ro rs rV 'q ,y jldai$ nrieo Ji"j I:.."_t-","1J_tyl cg't, 'Fl.I pnopelarerlurparlcas;aluJ'ap rildarp 1i ^:-TId lrund un elsaW lnlcund.]urprÊ.('ggI .EUl rselace (,_t iy)tg IrunO u1 J1'eoJal"riarnouo,

'go,'rp)rors (,s .s)V ,(,p,p)o ^!ig,_,s]'V ep ,lr1radse.r orerarJ airur$p'auei,i

pliri ?lalderp jur;rxnu -rolceslq uuld ua[op 1ar 3-l-..r..19 uulo uf, pulzlllln ,(,ru ,u)W 1u_-ap lrund-rSeleJiu; pnop.al;r u;rd ererajl51;u;5aj ily.iliri_r^_"1derp ap 1e1iia.rp: dj;ji :::t9, ry.9p lrlurpesariras.ra;ur -le!o.rd euruJelep pS .UVI-IIX'V NVTd Vf,

roouorcasr€ rn-rnNvrd,vadV2iriihT, d,i .t"fifil8 atrsa plfces.relur, trlprrrrqlrn ?9--l:ry" re:a1e1n:1ed eceldaleq-prfs giiiiii{run,ri eca14 "(,n,zl,nri)eaunr iod juridr'asird,'uip t1,il,,;;j f

-;{.\

o'* (9

"fe(1ta-rlinire o- drcnqti .STtln,plCil necesiti : intotdcaunalrci opera!iidestiiptive,li a-iTume i ducereaplanului proiectantprin dreapt5; + ffectuarea intersecfieidintre pl3nul dat qi planul proiectant; + efectuareaintersectiei dintre dreapta ini{iala;i dreaptade intersec{ierezultaia. S[ se determine astlel proiecfiile punctului M (m, m') de intersecfiedintre o dreapti oarecareD (d, d') gi un plan P dat prin urme. Se duce prin dreapiaD (d, d') planul auxiliar elecap[t QQ', care intersecteaziplanul P dupl dreapta (hv, h'v') (fig.4,41), La interseclia acestei drepte cu dreapta D (d, d') rezultl punctul M (m, m') in care dreaptaD intilnegte planul P, Analog, se poate consideraca plan auxiliar un plan vertical, dus prin dreapta D (d, d'). Este util si fie considerateciteva aplicafii F Si se determine proiecfiile punctului M (m, in') de intersecfiedintre o dreapti verticall (sau de caplt] qi'un plan P dat prin urme. Planul vertical qg{, dlis.prinverticalaD (d, d') planului P, interparalelcu urma'orizoptald:'a iecteazd planul P dupl oiizontala (8, 8') riig. 4.42). Aceasti orizontal_dintilnegte verticala dati in puncttrl m (fi : d, m') ciutat.

r.ie+f,fi

Analog,planul de capat QQ', dus prin dreapta de caplt D (d, d') paralelcu urma verticald-:F' { planului P, intersecteazdplanul P dupi frontala ( 8, 8') (fig. 4.43). Aceastd frontald intilneste dreapta de capat datl in punctul M (m, m' = d') ciutai. 20 Si se determineproiecliile punctului I (i, il) de intersecfiedintre o dreaptdD (d, d'), paralel[ cu linia de plmint,, ;i un plan P, definit prin linia de cea mai mare panti A (8, 8') fafl de planul orizontalde proiecfie.Planul de nivirl H' dus prin dreapta D (d, d') este intersectatde dreaptaA (8, 8') in punctulA (a, a'), pe unde trece orizontala G (g, g') de intersecfiedintre celedoud plane: planul H' gi planul P, definit prin linia sa de cea mai mare pantd fafd de planul orizontal de proiec{ie(fik. 4.44).'Proieclia g este perpendiculardin a pe I Ei intilnegteproieclia orizontaldd in i, care se ridici in i'pe d'. '!." 30 Si se determine prqiecjiile punctului M (r, !I') de intersecfie dintre o dreaptE oafqcare D (d, d') gi -un plan ce trece prin linia de plmint pi punctul A.(a, a'). Planul de capdt QQ', dus prin dreapta D. (d, d'), intersecteazdplanul dat dupd dreapta (r, "') (fig. 4.45). Aceastd dreaptd intilneEte dreap::_ :* :

1 ..,!,

t Fig.

{4s

!

i

61

z9

alaurrn leulurralopne-sg ,6p.p ernFlg !:-,0_O urnda u1 .g.rndaad' nii.' rerfcas 1l_q-. 1epa.r' -ra1u; ; ;f p.1 ;I!qtzt,r Intpll.S.jrrri,y alEq^prls (,n,* "rriortr) i'aun ll.roO ?g"y-:".t-9_arur .ur,eg .rcpld dlOhrp plspacuulp au;far gnop.rb1ec lieuelit njly_rla1fcagr9ru1. ai .sb1?taip n1i'frn'rri pu,* :jlyjt :.fn:r,"ryl, (,d.'d) "[.sa1?r'r1p "rli*l"rj'pi,rli !S (r, ,o;'aleiSrind-iilcJada, .-.l.|l_t! _njtt

' '

'''-" ,a\

. ,

t-il,t'i'$ i'&d':""'?,.iii{rtTen nlil li'!r.'_or1;r;1) ririi,Y*'F$:;,"$ iv,rd;*lr.l;j e1a;de.rp.ap "iJi#x r$ (,I,d,ud)-iproi:i'aj;;r"n;,"; ue1o. l;u!1ep rin'i$ f)p ,'pt !,.1:.T_'T,Tl o'..,r,

o-iriuspisfcasreiul ,u) w (:Lq,il; ap(,ur a.NwI'sbsv,;i;i6il,r; ::::: noy*t ljlllE !r.'p;1.;sir.qNfi,lfffiildJiil;LliJ ::::gÎ11"*p l:1.t*g ."._':i,'il"5ipl,l,,ii,';i a1g 'a;fra;o-ro--ab als;fealojd ;n;nlrund ajjuLlo iu1ur.r5lnp as ;jlff;l la.llJ9l,i lu! lllsesrelu!Itltt".:,,r:i:I[qlrti cza;pri1s as I

FS o9 .,p--:9,_,. u,Ipqpi, ,r'"rr" ,, "Jltio

Ii;;'3p,[ttii::,gif,"ili,li::l,f':ll*":] ;i;,'.,$:1]; -r iri**lin"J,',",$fi,#t',y cllorclFu!T:1lep_a.s .(e1ec11ra,r jp erfcarord ugr Ll :(,t .,q)[ lqdei niArJi'[

ifiJ:$liif{;r":lilt",i*;t;t tq[[i,"{ii,t.{J.,9:,,il,i"Jxt";lj;",1ru 'm"r,l,,"x# ill[T5'?,l"ili1^:ii":jBlJ',f'3kigrii*",i i,{',"#ii:',1,":,1i""x'i1lT;i',;,'#H,j:'i['ii 1'jrv' 1i'vllrrgiecrl:ir, ,::,*i1 :Pl.BarpuJrdarnDa1;rjy-rrigniqrun;!-1-lnure1o ;it{ft",",f illifi,tJlJi;:;",",r#f fi[ ;drilil'pld:nr? 'r"i"i,i:il ;,u) e1$au1l1ur

o,errulp(,u, ('p 'p)o u;c;i1l 1iyagfras.ralug -ps !+" ;r'"J(,;.':) a1;sira;o.rd illffijild aJ;rfea;o.rderirur.ralap iuluralap ry as esof ' '""'nii',r..s

llnrnlrund

op eldeerpFururral j)_a^tlcasrelur

j:",:: rl:,}j g!! tJ,XJ,l ru* r1ry?,,, ti r'oeJp Bllrasrarur r t, #!Hii ffi:;iii Iu!l## ^rip u1o_ 'Fri) 0" tlld!.g :rffii:l1;'itl;L I r e;u!1 ,(Zr u_1iu aiaie:e-d-.tr9-njp rgr ;i'iul,ira $zualcasralul t(,g 1nue1o tg)^l^Bdbc qnop'a1ir ri:r:l "'rari-"r ap gldearp o i 1nue1o uJ purur i('q 'q)g rs ('s 'u)yr -roldlcirnd ,!,.r!rn,pund 1,iio1niu,nj -i5jap aric .,H pr eloc snp '(.i '.) a;fras-ri1ir; '.rerlrxne ElBUrurrelep ap eianaip gonp ap .aueltrre^ru 0;e1e:ed J.nurldyzeazriqn olda:! udon,^1:lo?. is gnop ,e1oeo:p a lnur,d.u:j:t aiarailir;p9il=:j.ltlii ,p i,i..e) ln, q aurlqo e l d e a r i r 'J e Sr'lur {, p'p ) ufu si rp ,f6 -1 1 n o e e ,,u) r y lnlr unduJ( ,p ,p)o e} " 'n r1u54' .i*

I

I I I

tI i

|le;-secpalele hinatd

1,.b'), Ftpaza (]repleli i le ':j

gului hrelte lapta hn se h"upDin I din

F,E, ldouE 'gi sd Ein $cile htru l'n') plane ihtin bterhtre hstd A8C Iteridin

lsi b)

n' 7 't",

lotetseclio oldeilop plqnc triuaihiulorc P^':n athrntboiia planuluiverlibotdi

RR' ale planelorpliicilorprecum;i dreaptalor (hv, h'v'). Alt exemplueiteidat de intersectie in f ig u ra4 . 4 9 c, . 8o Prin punctul A (a, a') dat, s[ se ducfl o {reqnt{ G (CrCl) care sI intilneasc[ dreptele plan. P (q, d') Si A ( D, 8') nesituatein ace'lagi Se determinlpunctulM (m, m') de intbrsectie dintre dreaptaA (8, 8') ;i planul format de d-reapta rdmasdD (d, d') gi de punctulA (a, a') (fig. 4.50).DreaptaO (9, g') careunegteacest punctM cu punctulA estesolu{iaproblemei. Pentruaceasta, se duceprin punctulA (a, a') paralelaDr(dr, di) la dreaptaD (d, d') gi se utilizeazip.lanulproiectant Q' dusprin dreap. planul celor -ta A (8. E'), care intersecteazd doul drepteparaleledupadreapta(bc,b'c' = = 8' m la intersecfia dintrebc - Q'). Rezultd : $i..0,careseridicdtn m' pe 8'. Uninda cu m qi a' cu m' se obfin proiecfiiledrepteiG (g, g') cdutate.Ca verificare,proiecfiiles gi s' ale punctuluiS trebuiesa se glseascdpe aceeagi linie de ordine. 9o S[ se determinepgoiecfiiledrepteiG (g, g'), careintilneqtedreptelenecoplanare D (d, d') gi A (8, 8') gi esteparaleli cu o a treia dreapt6 E (e, e'). Prin dreaptaD (d, d') seduceun plan P paralel cu a treia .dreapti E (e, e') pi se determinipunctulN (n, n'), ln careacestplan e s t e in t e rs e c t adt e d re a p t aA (8 , 8 ' ). P r i n punctulN (n, n') se duceo paraleliG (9, g') la a treia dreapti E (e, e'), care constituie solu{iaproblemei(fig. 4.51).Pentru aceasta, prin punctul M (m, m') de pe dreaptaD se duceparalelaE1(e1,ej) la dreaptaE (e, e') .si planul acestordoul drepte concurenteeste intersectatde planul de capit Q' dus prin dreaptaA (8, 8'), dupd dreaptade proiecfie orizontallq, careintilneqteI in n. Rezulti n' gi proiecfiile dreptei cdutate G (9, g'). Ca proiecfiileI qi l' ale punctuluiI de verificare,

tJ .,'-: Fig. 4 ,4 9 .c

F i g . 4.50

63

t9 'ty__nllcedsar rO ala1de.rp ulrd X 16,6 a1ue1 ,l$ -roro:dalaueldcnp )s l.l 6 rirlnueld-a 1)awinezeaz -ll[ln es nu BlsBorEnr]uad .y ri q'a1ua;f,cuoc =1.nLie1a alda:p pnop roler 1e 4 9-rulfrnrr.1u, -;i,u 'onu"

,uini ilV .:,t::d::r l: -'q.ai.,1c5:p 'tu)_W atalound purur-1a1ap aS (ad .Flii

sc11qg pung slaleredeyiralo"rd :i :"$11ld.e n ellnza.r,rn1nue1d eJ e d gleluozro'uuuhJtj alplcund ::::]::rold asd rntnuptd plseaJB .arf-oelordaieolarfenlrs IJJ ocaJpoaq tetuuzrto q Jalda:.p "b e ,glecJpur erf5ard.rd pOhp lly.tl^._ed F:ttqoplelerpdelfcelo:dp1ulza,rdal q4 eldia.rg .alaluluorJn'c'ajaJe.ret :11?,1.^FQa 1n1nue1d. aluelcaroider Faleas :JtlTrl,"lrlqo,elelerud Is (,P 'p) q eldearpad ap'(,ur ,ur)W rerlrqre "rarioaro.rd un praplsubcag' .jle1e.rud ll1lg ppolau puJzlll1n .aur1n ' u;.rd .orer' ;up j lnriulo i(," ,n)

o ulduarp us, T:1111*i !p--:ql a1;1fca;ord eu[urel?pes'

I I(lPrs q alrrJrnruoJ V a1a1da-rp op liulur:aiap nrrelale:ed d 1nue1d alda'nu-'ryig ril dplOJrp ulp Bun lrlu gr aundnsa:d ag. .a1ip'riCe.ri e,nJ tla 'a) ! aioajr lil:d a1;;ira1o.rd i!'1 "rsueutllu! Bs Suruua;apes BS .irera.lso lSun." ) 'v. ls (lp 'rp) Io e1e;da.rp j5 a;uarnruor lj! .,'S g/ V_!s (,p 'P)O alelderp aS o0I Rraplsuof, 11S '(,F ,E)g eldua.rp al$ gnop eueld ,orrSr . .E eldea:pno EllcrsJelul ueld'un aJno 1a1e:ed as v Blderrpulrd .g eldea.rp nr laterbduerb un arnp as g eldealpulrd :1ag11r. iS epacoid ap alurrlsteacri'5d b1en1,, a11 :1":9-:9.""1pLo qs alnqarl C !s D alaldatpar1u1pgi'ua.rncuo5 as'a'8lc

v

ltllyld 9i' reJtsy 'a& ru ui"rdpupnp'f elatpred jJ.,l^t:p^jxg_yt Saurfqo as,player'ed,, ericaloicj ul'p puiuJn.U eur;n rg.'a1eod A^-PI_t?lt*n a:er) pldearp rru pralereil pund B lnun ]:{tJqre ^]P^,ry j"{:j^, d,l$'u si u1uo_7 1;ouru: n ur:dîu neap

,tJl,1 .orfoaro.rd fl.ll9:n l :p plelered erfcapr6 p. Iqluozlro ad q laldoiii e-tp rjiard:eJ 1ilue1d -ed J$ 1n1nue1de 6 piuluoi,r?r'"i*rn llilqld

ena 1n-uelir h, .s-,nfonrp ' ].",ji::t.la1_o1'd'ls ap V lnirund.pl5lerudiricarorit

-a11cas1alqj l'3;1) d :rnlnurilo alaJelioij nr :::3_",q'(.sS, '8) q ulfcerrpprepisuo'c'ei pli8a: ]lnl^t^l-l,-E 1.,.:lyl,. alllferadogiepofolpu1"1g11'Orurc o arlurp ar1'rairalrir ap _11.._.yl ,tS p+dea.ip eua.lqord nr u,rlozar'iod1ig11eap ?iuljnsn , zu1sa+--e+|eep1d, 1$ _êr_-p1+1e.red qi.g,irya .3 r'ralvuvd rs r v u vu

lrt ''r

fiItlcitroud voorsw",.vv.v vuo.Lcw V.V r.Ir4r,lrJtudd

'/

.o'l3l,,l?Hi$"f,'#,U$ ' 31J ,ii^s, :t't9,:u Iq ,\nradser. rS ele n,jrjrrnlirt . : ;V_ ..ro1etrdaip | (,u 'u) N Is (.u ,.)tV ilaljund e1lyaiq.rg 'ad u'u! p.reoqbr "1$jun:nrr" ft- .L) ? alsaulJlug ,,e ", "rn,e Jer l$ tetl 1J-_ig 'Ip ,J nep aO ,ur pJlitr ul os orur ,* l_ a1$au131rrg IgluuV tp iq

i;-u.re1 r$i frril;q is,n inglry

I9'f '31g

ln

cgi . f lt,

g'), de cu S-

std al pe fia de 0tlia

care dreapta D intilnegte planul P. Frontala a cirei urmd orizontald,este ocdd proiec{iile a :i a';le punctului cdutat.

Fig. 4.56

situat in planul vertical pe urma verticald P' a planului (fig. 4.56). Punctele planului deci +.+-6. METODA PROTnCTTETCENTRALE. gi punctul A (a, a') vor fi astfel proiectate -lceasti metodd se aseaminl cu metoda proiec- central pe urma orizontali P a planului. Pentru iiei paralele,care derivl de fapt dintr-o proiec- aceasta.seduce.paralela (
65

It

T

I It

99

;n1n;;rêtp^(,RlR)o rlqf,nu raun t. (,-1'1)1prrlrsou nf,c;q8rinlo'arpl4'nrpurl g{ Inun [i li::! ?rsErnrlsuor as pf .SlHgNnldguo ao ArlJJdsJJ cJBJnJIpuad.led ffl!lr3lor0 eJes a;'aurin pug,re 'g riolBrpd4plejuozl.io ',d4 1nue16 nrurnacnp lur nuo:rurrnNnvilcn-tisrrrbJ-;t;i ry raldarpalrrirero:dur:d gleuru\ as a;ec ulrd ,'4 pllnzag:1u1npirnlnueldi lqi [li,^T l]T) plpJrlJa,t

3$:?li i?,T',tj:$ ir,,l,.qjt *,,r"*o.,?i{,i',.'#,

o,J;"'"iJ5330'"io;Tq1iq '/^ Flernre^-erii:n Ri_i 1!ru11.11r, ;!fi."'# y rILlTd ur:d.esnpajerie E1!:J3p:"i',1*'i/ nc aulfqo es a:er ,(,L,!t 'pilcuriO j,: jo ,,iinro1,r,r, u /d

BurJnalsa ,p ad ,n uJ psnp'BJBJnJrp

fr9ln!.n,q I ::)' vpluozlro-(69.t .Fg) _a (,9 'g) uldearpap letrasreluleisi V leingc rnlnueld F !,_plg) ,j4 uelcl 'El) (,p 'p)o ptepbloeajp-io gldeJilo 5o'rlnirs'(,1,njv ti1 :_fj.",lTrl"rdred P?Y._!09,t (,ur ,ru)qi lnPrindur.rci r:l]Ylj-:19 'Ftyp(,p 'p)q plduajp o ad'rulnrJp 1nue1d f1lJ11di.d.,64 e;sa 13(,y ,n) y lnlrund ulrd ararl arur os .ra rotJ -uecJed (,1 lJ) rrleluorJ J n1 Pnp 1n:o1n[e alp ,d tSa (,tu 'ur)W lrund,un-J+.urp au.;uraiep psnp",(,p ,p)O gnlnuzJd aspS :VI Plxe ptduarR lt:y1 ,s -dvauo .7,.g., o ad (,s ) y e.rdlnriiiuad.rad peq o ad uv"InJIqN:IdUaa rrivra jyrdVaUo

prsusn4iuor is gs f"iga3uj!3"_lo-rd yrdvsua,8.9.r -npr (,p ,p). vuv'rntroNsd\:rd I O la.leyncrpuad.rad,al,,lrnlorO ,r1"/q'J

I I

,il&,

.*

r f il |

''

|t

as rnlnueldelaruJnad .,r,l1cadsjj".e'urn lS e uIp alerelnrrpued;ad pulrnp ,[rJ]sy (SE.l :.SU) aleounu r$n1a:e ap 1i
-l

Fi s.,a.of

:o rnei

htr

rtehrce icuFSt

li n Ful Ftu Fr-

!

perpendicularaAC pe planul$P. PrinSAC se construieqteplanul Q perpendicularpe dreapta AB, conlinutd in planul f. In cazul problemeidate, se duce planul P prin pe dt (fig. 4.61).Rezulurma h p-erpendicular ti P,,, iare unit cu v' di urma verticali P'. pe Din i' se duce proiecfiadi perpendiculara urma verticali P' gi astfel dreapta Dr (du di) {' este deierminatS.Prin dreapta Dr (dr, dil se Fq 4.63 duce planul QQ'perpendicular pe dreapta D (d, d'). Dreapta G (g, g{ de intersecfie dintre clutat, perpendicularpe cele doud plane date P planeleP gi Q estea treia muchiea triedrului ii Q. Urmele planului R se obfin unind respecciutat. tiv urmelede acelaginume ale dreptelorD gi A. 4.5.5. PLAN PERPENDICULARPE DOUA 4.5.6. PERPENDICULARA COMUNAA DOUA PLANE. Si se determine urmele R gi R' ale DREPTE. S[ se construiascl proiecfiile perpenplanului care trece prin punctul A (a, a') $i dicularei comune -G (g, g') dintre dreptele este perpendicular pe planele P +i Q date prin D (d, d') qi A (8, 3'). Se poate determina: urme. Planul R este atunci perpendicularpe - direclia perpendicularei comune; dreapta D (d, d') de interseclie a planelor P - perpendiculara comund ea tnsd;i (pozitia ' ;i Q (fig. 4.62). Fie punctul A (a, a') pe fron- perpendiculareicomune). tala (f, f') a viitorului plan R, a cdrui urma orizontald. R trece prin urma orizontal5 K a Pentru a determina direc{ia perpendicularei frontalei qi este perpendiculardpe proieclia comune se duce planul PP' perpendicularpe orizontalaa dreptei D. Rezultd R* , de unde se dreapta D qi planul QQ' perpendicularpe duce urma verticald R' perpendiculard pe dreapta A (fig. 4.64). Dreapta de intersecfie proieclia verticald d' a dreptei D. Se poate (u, dintre aceste doud plane dd direcfia "') proceda comunedintre cele doud drepte. Eialtfel,gi anune: din punctulA (a, a') perpendicularei :e duc perpendiculareleD (d, d') Ei A (8, 8') Pentru a determina pozil,ia perpendicularei respectivp9 planeleP ;i Q (fig. a.ffi). Planul comunese duce prin dreapta D (d, d') un plan determinat de dreptele D ;i A este planul R RR' paralelcu dreapta(u, r'). Pentru aceasta, o,

89 plr as elur s u! p Rleluoztro erfrarord alSaulglur rue

::'jj"^ :ill?t"rd

1de1ap alsars1 lnluaur;es.BsrS '.(,e,u,Iee) uldeirpeonpiep-ue1o ;"t!l:" -s uI d-Pt:].::.:d-e;foa1o.rd eu:n elSauJrrur

s,niot,i J;'F; tft?l# '#1"',ff ii,illyf :d.[:,T ?r;; -uozlroFrurnrruRr_B pupuralaprq

v ^ :' r-r l,p 'p) O uldea.rpur:d s-ni rp eldJ JBJrlral r$ luluozrro gz-ealcar6id 'J+Eu aiec -

Jnueld iS y- e1a1de.rg eldlarp et (lp 'rp) rq e1e1e.rad dg--.{.9 '.-t','"'1ji;li!'ij#iii;$if,i5'".'?J'Hii!h:1?3 u11i. pnop are r n, .d;-;" rxin,.u, lcundlsace urrd ernp , _o ll"r,:r^..:".?l{. J ;;i"i,"i',r 1d

'8) y eldearped- 1en11r. ill HrffiXi:,i3:,1S":: ii,i?" il..lS, !S 1,ul',f-q'r"r1,qle ':"8) 'V "s un Frraplsuor aS rgs..l .drl) ol?p oluornruorau ls (,9 'g) y a1e1da:pap lruuopelsoueldeolrop 1:11-d ,r

r r

:

.._"

rBI '(,uI 'tu) p

rJ'

\t _

_/

rt

lrrtvsrrs

uJ u+udJuJuuJ

SIBJAJPo elalde.In

( o .ol

'":,!,%Flilfrp"&o,".,i"0,;"l,t,o",EH[ (,p 'p)c a;a1do:p "r.",;";,riffi '1 plup aur;Eunlep gfdeorp juaru';es utrd ltultgp .1." alsa uuid' ueld rnrurrd gf ln !,Y,'y]S,,:l.lgp. _utrd 1n',i,r6 n. pg orl) ._llyJtgp lnlrund

u3 alua:nruor (rp .rp) IO

'(,s 'g) lr.enrpa v ts (,p ,p) 6 a.rirejuo n5 "1.1onrp'!i"fi.u,ii "5

le^!u.ep ouuld nui .rolairdid'ereurrn g1.y1 g3riu n'jn]ill iu e1n,i,,n or,',,rr'o1,., ,ljf il":?-.j-',l 9 dfudrP qnop ellJ jiiJr UlJd u "r'[1 I' ..1 ;jo finli pi,;ri

,"rsuJ

11L..:y ildp "1

",

r ip'

"r "i euiu.relap ni pl .i

p orlresrelur srelurop op ;alda.rp all;fmrord ;alda.rpjllrf

.p n, u,i"rrrSltii;i.,l?Y r'Jnerl'luozr:olnluaur;ag psnp

PI

s_ur.rd elayered .eaueuase aq .g nc erlcas

r, ugro lul BI s eurfqoes p er erole-red iuJr'n[.1r1"g, nluaurFas B(,p ,p)( drfja:rppdnp(leluozrio not f n"u,li,i

;'#li,'"",ii',"-i'lli;l'tlv:'{i?i!fi irlri;E''illi'J,?l'l#i'jiJ

t',li' ,ri#Fiiil Hjr :'i.?t #iry;i#f riHil " . ( :.$ti_o j i::l' 1 alse rauelqord

u alin r< #,;'alfinrrI,r i il ?;[H' !E,,rq r,p,plc rjriia.iift;"; :'lup Let ?_ #njrn";s *ii,,i;; ; fl (i,ftfiillH"Jr1ruEi gnln;qFunl.rr bp l"rrp'u"p g

99'r '8tJ

1'rF" 1nl -rund u;.rdarari ardj ,r'uuld uri ;ui,u.iait;r-ii.t,prg5.., ,O lrund 11uun ;6 (,r ,rJ ,(,e ,u) ?_fs (,q jS .iiivjlia{ V ilelrund aplultap lnJqauri;.r1

!ip!suo'r'es' ls:i (,p 'p).q eldea_rp ad ,pnnpn\-ug'" 1en1rs ^-- _^ _

pripe tu I'pro 1n,cund ap 3il,i"u?i.1;:Lt : t jlB,?)",o "').ttH.,"J 1,g"'d'5 *,'ir,'1yl .ilt:,i3

-r:

Inlnlrund elllfcalo.rd.ate51;l.lann3 lp1"1np,

alsJ'1.o,.i ,ili"5rip lynyor u:ulncrpuad.red u-!rd_ (,d',a)ri nlblnrn6 Fsnp, !l , ,i yy '!t..._{ qr lnlcund (,S '.)inlcuno eloeirpnr'a1$ei ry -[J]uIasa:er eldee.l9 j(,r,ti.;cq)'arfrJsra]ul ep rdnpV nrgnllp'irr:A ,;il 1njiffi1nuu1o 11de3;r ,'"; j"lp.l,"fa ueld lsereBr g,r-reiqo'ag..i," :l Il..J:p,'?) ep lBruroJinse'id'blSa,i g,e1a1da.rp (41",*J

99 t 'FIC

yi"\,{',.,) w rn} -lill& Y,:ldiy?^p':t n",; "",!i"o"/,1" ;"n,0 6';i o";,';f ge1,, "J,:$ J,{i'

ffi

incit punctul A este situat in mijlocul segmentului dreptei A cuprins intre urme.

Fig. 4.67 ine dreptei d de iniers' apartine ln s' pe d'. d', Punctul S (s, s') secfiedintre cele doud plane. Analog, planul de capdt Q' dus prin dreaptaq (81, 8i) taie al doilea plan dat dupd insdqi dreapta A, li taie primul plan dat dupb dreapta

5" Se consideri punctele A (a, a') gi B (b, b') qi dreapta D (d, d'). Si se determine un punct C (c, c') pe dreapta D dati care sd se giseasci la egald distanfd de punctele A gi B. Toate punctele egal depdrtate de punctele A qi B sint situate in planul mediator al punctelor A qi B (fig. 4.69). Se va construi planul P mediator al punctelor A Ei B. Pentru aceastase duce orizontala (g, g') prin M (m, m') mijlocul segmentului AB luind gJab. Prin urma verticald k' a acestei orizontale trece urma verticald P' a planului, fiind perpendiculardpe a'b'. Rezultd P* gi urma orizofltal5 P perpendiculard pe ab. Cu ajutorul planului proiectant QQ' dus prin dreapta D (d, d') se determini proiecfiile punctului C (c, c') unde dreapta D intersecteazdplanul mediator P. Punctul C(c,-c') astfel determinat idspunde problemei date. 6" Prin punctul M (m, m') ale cirul proiecfil sint confundate, si se duci o dreapti G (g, g') care si intilneascd dreapta D (d, d') situati in planul vertical de proiecfie gl dreaptaA (8, 8') situat[ in planul orizontal de proiecfie. Paralela Al (81, Sjl dusd prin punctul M (m, m') la dreapta A (8, 8') determindplanul PP', care este intersectaide dreaptaD (d, di) ln punctul S (s, s') (fig. 4.70).

(bbl, b'bi). Proiec{ia orizontali bb, lntilneqte proiec!ia orizontalit 8, in r care se ridicd in r' pe Ai. astiet dreapta de intersecliedintre cele doud plane date este (sr' s'r'). 4o Se consideri planul P dat prin urme 9i o dreapti D (d, d'). S[ se determine planul Q care trece prindreapta D qi care se intersecteaid cu planul P dupi o dreapti A (S, S') al cirei segmentcuprins intre urme esteimpirfit de dreapta D in doui pdrfi egale. Fie A (a, a') punctul P (iig' 4.68). d in caredre apt aD ( d, d' ) int er s ec t eazplanul pdm lnt dd s ' pe u r m a v e r t i Pa rale laori n a' la linia de 'tot pe urma P' astfel lncit cald P'. 5e atege v' situat s'v' : P* s'. Pinctul (v, v') astfbl determinat esteurma verticald a dreptei A (8, 8') cdutate. Se observd cd in triunghiui P* vth' dreapta a's' estelinie mijlocie, astfel

Fig. 4.69

Fig. 4.70

69

I

I I

OL

I I

alaleluozrrogdnp. aJlcadsaraueld pnop ll^!_d,:_|'Qrc) ,3 alsareBzeollaslalu! eior e1 snp .,g p,rrir ln1n1cund

I ; I I I

rSueldlsac'a llul]ap1nue1d arlurpailcaij5lur'af raloarir elgllraro:d Btneras Is (,q,! ,qil'is t,b,l ,ui;'e1j1o'ejp oi ap elp arecueld',1,q,e';qe)'ir1o:i ai, ll1ry.pe€uaruase lnlcundip ilulJo'p lnu,iioLirlriiieua;ir :ld:3ip^..8_1s '(?l,t I Erg) nrfeds irJrprpqre(-r ,r)['1;rund rirr 9, tl aS

tL','Etd

j q::i ral i6"'i. ;? J: ;" i,: II li"i r"'ii i: ".i'!o,l'?,".":5) ap pldearp ?nop "11 E-ap Bar ap (,li'i'tnjrrina ni, IIIg{g li' |g?13,";td'";,"0,31; liG:r]':,,i'"uii9:;}y?,i:i,rf 'jseioru ,1;3ojd e,z|.tv p.rp| e 5! iru_1rt u! alenls I ln_uytg ,ar) ,qu) tt (,9,p ;r1ordep-a1agi:p'erjup I l,:,? "ri""6ra1iii 'u) a1r;fie;
I

InlPr. olP 'd

(lf

alaurn irrlcadsal putun cseseSes aurn +BlnBr 1nue1dpulur.ralap(rir,ru ,r,rul) ri

n: rs .I]..9_.i:i.It"9?-a1a1da.rq .J +uorjep'1nua1d

nr 6. 1n1nu ea11di l.ra ua pl nuE I d. f s re 1ui l.rr pa l p } l n z a r ; { 19 {lPleluorJ ts (,9 'a) eleluoiiio urrci irlcio as orer 1:l^'{l !llr0rlp 'O rnlnueldrolarrrn e1e a,rjpadsii'elrrfca.rrp np pl rl a rnp as ( , u, r u) r y l n l c u n d u g th ,ru ' ,rn ru , '(€/ t .Fll) rV 16y alaleredalderppnop erelncrpuadred ,rnur; e:elncrpuetl "l:i :l ieurroJ.O .lnueJdad (jn,ru as '(,,p'p) O slup eldaa.r-p ad ap (,ur ,ru)q1 :,.ii^9]ip aref,orBo Jr1:und urq .b gn;nuu;d'alaurjn'eztilln e PIPJ'(:S "S)-'V tS (,9 'S) y a1e1u.rud aldarppnop ur.rd ;nue1ded .ru;nrlpuad.red elsa r$ (,p ,p) q ulduarp lyt,-q aulluor a:er rn;nuelda;e ,,ili"r'"i,ri,asps ,4 ;66 olaru.rir I "b I I I I I J I I J I

.(,s.,s) (,q,y,qe)eldea.rq y rrr:d.,il:t;il I :ll:.':^."l:i yn.rolnte nJlnuilqb'tlq ,ct 1n1nue1d I I i '

l.n-rtlr1n. Inlrund (, s'g ).y eldeor pap lr ull l u J ' a i s o " ,4 4 "ai i tri i s a r1 . :r ' ,\ A_ 1 d .!,i J)(rp ' p)q eldea. rad p re . p r.rr p u c d .ra,4 J 4 1nue1d , e ) q ap ( , u y ' l n i i L rn d ,,ri ' ,r,,p ,s 1'c_-uldtrrp , ! _'p l clnrd ea: p. ad uu;d1$e1ar'.u irg,also iru'.ajer(,S .i) f ql.jnrrii plle o od gug[;rds .p) plbi, grrrfr.rds es orer oreJ l$ (,p ,pl srt O pl;i, p-1'Oriaip ildiarp o sit .(,p eruynrrpuad;ad aldarpraunairrijjro-iop-rrilnlsrJoris pS og 8/ t 8lc

'( , p . p ) O p l e l n ? J e l d u a r p e u r u r r r l r D

IIlr_yl,lnr.eunardurl a:er(,u .u;'pininlrilnb 1,,y,Îl.Iru alnlraroJq glJnzor eldo.rpgnop

.rolsaje er|.r5sjalururq r-l_^:i] t.s-.trO, rc'!r) e lalda:p'pdnp .ro url.i u.r,op 1;asiqie.y . ! pzealJasrrtur auBrd lB enop is q,,r,.,,r.,1 ,(,d .d) .1,r ,n)'a1a1;irnd rlrr.,r.uq 1,J ug',rr1'rodsj.r a'iOrlpnjraO drrr aD rolrrsrq ue;d ualrop iso1o1alebd es r1::.:.Llt_._t:,rrer pt lr x n B u e l d p J . 1 , y l r u n d r $ e 1 a r a 'u jJ1e l u j : n r u o o 'a 1 d a : p ulrd arecer;.a1epriuald pn6p u urfras:a1ur !l_"1^?11,

s ls_f.'B'y'el.rirnci n:1ed'a1ar ne 5^1::ii:.J:,T.9.111 W Inl runopul uni|.(l Z.t .Fr1)

rauaJqo.rd erl nl osal sa' auaJd pnop,olsare a1lulpalfcas-rarul ap cp.p) q eldea:q.a1ep -uria1 urp oref,rrJnr ua;d jo 9ui uroiap ]ll:.r.d..:,p-.?t:lg_rrp .s ,ee) ',ul ,oi

!,q

w Inlrund(rt a :(w,gz,,a'st i itea jq 's8)v.:0I'6r ,ss'1111-:pifiadilu"a11ifi1dy

:9q) -s, :0.r n,qn) I ;Jo.rdep-e|agdi.rpgrseeu ps '(, o,r,'il)_!s,(,.9, 1;1u!' e.rer (,p .p) o pfduorpo os ps (,is .ur) 1i ynpriiia utrd ol, "rnp 'ou-!plo. ap orurJ rSeao_cu ad alenlrs uJdu"rp. a1{au111ir1"e eldaa:pare)

ur :j{-Y:.?l.iqpll_V_. N-rninlrundal?,.uls u apriraro.rd,o.ieoip;a,r u3 ig alelnpr r r ldu p a l u , E r t F o l r r l r a r o j . . rl s a r r r l o 'g i 'W l$-S".1"1run4

Fig. 4.76

re

Fig.

ta

). ,) I

n rl

e rt t

(ce, c'e'). Acesteorizontale se intilnesc ln punctul (p, tr-) careaparfinedreptei(pi, t-r'i')de intersec{iedinire planele deterririnhtede bunctul I cu cele doud drepte de profil (ab, a'b') gi (ce,-c'e') ln punctul chutat M (m' m'). 11oSi se determineproiectille punctului M (m' m') de intersec.fiedintre o areaptf de proiil (ab, a'b') qi un plan P detinit drin drepteleD (d, d') si A (8, 8'), concurentein ounctul'l (i. i'), fdrd a utiliza'planril lateral de proiec{ie' planul de profil al dreptei(ab' a'b') Flanul P inters'ecteazd dupd dreapta de proiil (ce, c'6') (tig. a.75). Pentru a deferminabroiectiile punctului M (m' m') comun acestor d o ud dre pte de 'pr of il, s e c ons ider dc a plan aux i l i a r planul deiinit de functul I qi de dreapta (ab, a'b-') dati, ilan care este de'asemenea'definitd6 dreptele (ia, i'a')

Fig. 4.75

s i ( i b , i 'b ') s i s e c a u t d p r o i e c t i i l e d r e p t e i d e i n t e r s e c t i e i i n t r e u . . s t 'p l a n s i p l a i r u l P 'd a t . U n p l a n a u x i l i a r d e nivel H' dus'la iota punctului C intersecteazd.aceste doui plane respectiv hupd orizontalele (aB, a'9') li (ce.c'e') care ofizontale sb intilnesc in punctul (p' tt')' ic apariine dreptei (pi, p'i') de intersecfiedintre cele (pi' p'l') intilneqte dreapta de doui piane. '(ab, Dieapta' profil a'b') ln punctul M (m' m') cdutat. 12" Si se detetmine proiecfiile dreptei D (4 d') care treceorin punctul M (m, m') si intilne$te drepteleoarecare de prolil (iU, a'n') Ei 1cg,c'!'; date, fdrd a utiliza planul latiral dd pioieciie. Pinctul M (m, m') 9i dreapta de profil (ab, L'b') determina planul P ale cirui urme se iui.r.ine cu usurinti considerind dreptele (ma, m'a') si (mb. m'b') (fi's. 4.76). Prin proiectiecilindricd oblicd punctului I (i' l') de intersectiea ie bot sdsi prdi.itiite 'proiil' (cg, c'g') cu planul P. Proiec{iile dreptei" de dreotei D (d, d') ciutate sint determinatede proleclltle M ( m , m ') 'q i I ( 1 , i ') .

4.5.8. EPURA AFINA A PLANULUI. IO CATACterul afin al epurei planului. Fie planul PP' A interiectie a acestuiplan cu al si dreapta 'plan de A este bisector(fig. doilea -de4.77)' Dreapta punctul K = I(' in determinatd de P* 5i care o dreaptd arbitrard (hv, h'v') ? planului intersecteazial doileaplan bisector.Se observd cI planul dat poatefi'perfect determinat.prin dreipta A, care se alegeca axd de afinitate, qi a .qi a', de perecheade punct6 cores-pondente in care linia dd ordine aa' este direclia de afinitate. Astfel, un punct oarecarem' m' al olanului Doate fi diterminat de proiecfiile 'ra, r'a', uirder = r' estearbitrar pe A. Faptul ci punctul M aparline fntr-adevdr.p.lanului noate fi verificat im6diat prin orizontalamv1, m'vi. In felul acesta, toate construcliile pe

71

lpdBrapnDs) lBuua^rreld un,.rDrliqru lnlhueJd uJ rol InpUUUI ez_BelJosralur yI {ate d.sfiep alurlgrldurrd'ri-i.iJ,prno, as elda;p e1s" .,qry_,qry l,to^t .ru' eyllfcnrlsiro?_ 16 ,;t-::l_.;ijril.61..:ltl"_'8 ;;'np "1"p ..,ir, 1u1,ip"5i1rn. "piun1 auBldFnopalernr rreapis:e.1u1 us pteliiul nrin E'6 1""11 llyj.:p Jnlcund .Gtv -re^ rerJlxne :aryl ,1i BeIs.,I,s eiia'aue1O lnuerc "ioul.,ii'ni prioplor",n 1sâ191 1-,]nduo l:1:11.I-lt ap eldear6.:":l jl, n"^,",fiiJi'rut 1uge gR.:or'b1ei-lr_esrelur npo Jln'pl;;r;"p;3; "r,, !r V) r $ ( ,u,u ivl 1da;perfrasJalurBr-t lll:y-nd :l i i tq' q un eullqci .( u ,p)v rn^r,nrr',i'jr Ja11se pldperp o arlufpe;ieaue_;uJ "' li.uiil .r",b,s rgd';;;i';"',td.i#ill; 1n15uho' ;i'a.uirig ;(,e'u)v .rn;nuu;d ;ff 1 un-:iur.rd u pui;i rirnoilJ liin"irov aueldpriopn;."'prn.1"-Jrr,#ftSBllresralut .a ..rerlrqre €p pxBrtnrpr e ue1d, ^n^1j11ryUulJB ,urr$ ,u= 1.:.,riifj'iit'-i l.?uu'p ,?f',.j:j$ .rr .Fg.)(,e',e rund urfi i'# ;:.,j'o,lJ urrd '(ts.t ll,J,t_l1,s;e .o,;l,t"1p,ru p1\nza,t ij7 !|lc3s1aiul. Jnlcund ./u/y eJBr ,By I;il;ht';[ o0 grirrrqrnuldg.rp-1nj,ini"1o uldeerp o!I ,ue1d un rs pio'earp ;;;i"!; u; arnp os BlsBa)B t"-:j?lyl -^llô- nrluad.(oe.t.FU)' = n:iuJ6 .1";o"i[ J"ip'pft",1r.n ,,i,n erfcaro:d lo ldo"" pcsease8 ,fsz br ls pul3nq,lidriri'xanp'{.siin,s j:lt-l1l: 1nueld 7'.s11j'1,.ut:e; 1n1 -cundrs y exeâoqulg"e pruaJqord :, Ji-rln jjrruilj lutJap j.{:l,"od rseaecy u, ui'iu, 'j1ac :l?i* 'nr1u1p" p e1 darp' pnop ii::lg.yl uI erclairn'ep Fdi;;; ;6' I rir"",o,o J,jjJrniu, ar'nurluor :".jf^-:u-"ld pcBllnzar,,u = u jnjiunduI;i;;j j'rrA"i;;Hil;fij; f19t9lp Tr,{ dn uBl0rnune Euueurnde uorpurrJalplrurJe pc eiralexy'.rir,,, lnlrlno ep igi.rr"-r_i-.jlrgrupo rslurr eaieilp1n ^.1,iiJ$.i li;rt.prnu. "p 08' t

olc

at'v '8ts

ez t '8tg

Fig. 4. 81

Fig. 4.83

Fig. 4.84

citde Pta lti de ]ia

l')

[ul Fn

F.

caresd conlind dreaptaD dati (fig. 4.82). Axa de afinitate a acestuiplan vertical este Q, iar dreapta de intersectie(8, 8') dintre cele doud plane poate fi determinatdcu ajutorul punctului b, b'. Dreptele D gi A se intersecteaz|in punctul fi, h', care este astfel intersectia dreptei D cu planul. De asemenea,aceastd problemi a lnlersecllel proDlema inteisecfiei olnlre qi un dintre o dreapta dreapti sl plan poate fi rezolvatd intr-un

qi mai mod gi

elegant folosind o proiec{ie pe planul bisec:or II-IV paraleli cu planul dat (fig. 4.83). Fie, de exemplu,f, f' direclia frontalelorpla:ului, careseobfine ?ntotdeauna pe epuraafind, iucind asa.J-aa'ina. Punctul unit u = u' = ll0 atrdreptei D impreund cu proieclia paralelSkn a unui punct arbitrar al dreptei definescproiec::a paralsld d6 a dreptei pe planul bisector il-iV. In acest cuz,' punitul' de intersectie

:intre dreaptagi plan esteproiectatin mq.

Revenind din proiecfia paraleld fdcutd se gbtine f,, fi'. In epura din figura 4.84 s-a folosit aceeagiconstrucfiepentru-determinarea adevlrateimirimi l6 a distanfeidintre punctul S (s, s') gi planul (A;a, a').

" :. .i. ..{. , 4.6. PROBLEME PROPUSE ' lo Se considerdurmele P gi P' ale unui plan. Se ia pe urma orizontald un punct A qi pe urma verticali un punct B. Si se giseascdproiectiile centrului de greutate al triunghiului APx B. 2 " S i s e d e t e r m i n e p r o i e c l i i l e p u n c i u l u i d e i n t e r s e c{i e d i n t r e o d r e a p t i D ( d , d ') g i u n p l a n d e f i n i t p r i n d o u d drepte concurente,gtiind ci urmele acestor drepte nu sint cuprinse in cadiul epurei. 3" Un. plan estedefinit prin puncteleA (a, a'), B (b, b') puhctului de .gi.C (c, c'). Sd se detelmine proiec{iile -o intersectie dintre acest plan qi dreapti D 1d, d'; care

?3

VL

rololdarp tP aJtticarordpc purrr$ .( ,

p" r ololdarp otoldarpur:d 'prioj,:ri,irH ur:d airui;ap ainiiian':lauej,i ;,8Jv-i:^(' :Pl.g

r ep ralda.rpaJrrfra'roid' L rrve rvJu dqlur aurruialap d+dp .! ;jl; as PS ozg

'ellcalord ap

gs'lugurpd op-prurr ni INJ ErugaJlrraulslursalas _t^"jg^ll?l n1dr.r.,n';roiiisrq *io"i.,,l,ro

J Rlnrprradrad Bl n J t alsa

es rqaun,rtl'Jo#t3ir;:,"f$[r, szealcaro.rd t'J?f?i

ucuo pr 4 ;..,alern-."s .;;;.l: i'^*.^^ ps .es ;lltl9 T_Xyf rield un

leluo-zlro nr p1a1e.red alsa q8u i1nue1d irrnunîniliî FJ'i, j rv,K Y#t? ;f,K j.:;: rnlnuelde urctuozlro,eurrn "l.j,f,i,i ad prelnirpuadred - ; elsa

,igli*,'l;t1'1,,-"X"*:1i :*:i"qii";H#:l';U'^lf rSsalderp t"L1ifi ap llulJapueJdrnun"alarurn "1":11lly ji?ilH ,'ij:i,x#,?ft m'"jg,llun{,{:l*ill d",ffi1".p.".;.;i";;i d,-rr pJsE! nrlsuoJ * uro.,l$" ln?l{ I$ ijoot'.,8f'j,'"tlrl t*11iriil{,i{i,rr'!''?'J:"il""},x1?piii3;';t#i;,ifi e.re1n;r puad.rad alsa elduJirj o. 9r-o?rii.L""*3; ueldun rs lrur.pop !s {(,e 's) v' rs'(,p"'p) l'. RS I lllil'^q-'.qlg, i,ipi6".rl#r" a-.,1.,n., a1e1da:p ",s)"V'i6 ui:d lsuilap'i u'e1ir un '^,11rpl6uirH"";

'Q ls a alaueldortut sulrdnr "8I

(q eqdea.lp urp) rn1n1u, ap aJeuerdr _ 'arfcaro.rd e1 (,q,e^,qu)113o:d tsarDo arpf rrr..r * *:,.1"--3-r,yl

aiec sldza;p'o ad'fr is;;irr;*a,li i:.YJ;ia ll,u$llJl

rsa,;e 13cu ! r,ii(,'.i-'i;,rHi;;. 53,yoi;id .tt] Tg,i,:,

alqarprauralrrfraro:d ; 6-il,.n alep ,u) ":lTj.l.p *tX:?'3"T;::","":i:t,^.^j$.1_"ls;e1nr11redn3..1nl,1,.,g j' . e:iu1' "\io .21 asur.rdhpirlnli,io-is ;i ;r;,.1# o !s d alaueldrs (,e y inirund.p-,i[-,*o3,."g .Jord : Il Rr?.yrn rrrer a1eq pldej.rp o pjsdrn.rlbuoj*.l,"ust"i,

{;i:rori':,i'"ilu13""'(5:,;f},Y,;''Ji,'#.iji'"J:'Tr3ti g 1;;'A'a.; nlft';'ilirid fii,il.ii!i#l;rTtl jfurf,fjli dr*rl,1l,{1"y,'i!:j:ir:ifi {'ilii;ii,,, edsugsur:dn'nrn,qru,ltJlf""orl:{i"t',f i.t1û_J_nrf -tri 1 j .t'",'1 crirpn11i", tu:;;"?,1"j'J,jji H,'.,i ru'ru:a""; :, :l,i:3. :l:eare ijilff .ilBi:rp;i,,",,fi,"j{ii js^' t l]"lf o .,3Yjg'lnf :g, t: l" lg'i ' "i.ui " ""', ;gy r_ i3 .u,.li #ii:;' dar p : er fieH,,l,,,;{i "jl:r,_lyrj,$y. Is-.?g 1"n :ja1 f i{fttli,+mttji "r;T iff gt Jili?'iJ',?T,i,',,f1'11'" i]:i:i j;"# .o I, dj:y y ",i1, t"ffi"ff ,;igl, iIi :i jJah'$ J,fi,1sy" i'*liil.:{. 9..r ry,!+';i;'iY',ii rlapueldrnunal' ,4 r$'4'51aui.rn-."tufij;;-5r"# ji; n BarPotrraslq elJ

/q BlpJrlre^ es elfcarord luruiraleil'n;'';; ",H"

r nr uluarnruoc (,p ,p)-q ,joinlp pliir#j:|"J|

l:.,: -r, t:., :i":jtd ';f ''rii,s,''ir-,f, '#*;i,:*tff '.tE ttrun aprfraroJd "*iiq"{[:iivri ;i1",:,,3lli.'Boui"it,,";,1,11:l*r"S",t,:*

ersernj;su;,;;it i: fls,g nl"rllrn,rolrrloarord -,(,p.p) erlmro.rd ;leluozrro q pldea;p*pjJplu;r'3i .82 "82

j["J;$3f

[r.5)r.iJu,*i',3'HJ;'1#\Yii,ilU;,'r*?,?'ll,?::J"J :ho,'ix,.ffit0"'i3,.x'#3i,:i::{":{::"_",q,,,1,fiTfltiT rrfraro.rd fr1:a.r rore; ruoJrrrBlnrlpued.rad "lu.y^ll g_ 9lo*n"fnf;tS,l;j; opilrJ,oju p-r.rinrJiu"r,r[ ps,.za .alale,red ardorpg.n9pFdnpuelO co 1sa;"e

H"?J",'.TJJ;".iii,i'Ji"gr'*i,**s;#*i fi?"."fi .aur:n

q::rulihtr, til; Ly, H'':'lJ; T,ii:B dF ;#,fu;E::i:";1;';il ;i,liii ffi tlTJ:i*fi:'ii,'1,! ;!$"slJ,"' $ i?, Jl,;:fifi :m*j';ll,:;, I fi :iidlj H'&TiJ;: ;'*"'r;d,f fuli:] ,';,rl Jili,If{ri!l:i, ?i$,?i 6'i9fi1 H., ;:ii,ri-.,(;i0..?,,y, ,'"1::, Ji,';T'_ in.??iii:i! :g#itit:lt $il," l:.:,,u.g,,., 5{$ 'rn;nueld (,"^.::)_y I" lii'#'?ilJu,oi?T:;:1,,'; Pund.rnun j:;g*iss"i:;l* ig,5ri''.',li.l^"'?'?, "irirarorors j,lli,',1it***1;l,,Uii'{lill;l Er"ru y""'i" iil'L";',s i1J, :"il, i::','"',1 "J, l;y;l,#ilitl#lur;ap {,r,illyueld Jl,1f T; ry4iiri*4 ^r:,$: rnuna1e',jtii, i"ug;;;l#:, FS [ i.',i:,! .9 "i5ruln :

urrd ea

t!j'd*]* d ",p,(,p do: p o,n.u Ti *lJ,ilHi, *iriiliit'l;rl f Fdt ilil','x lr.r-"_, I rar,p) t ll]ii,,,i,?o elalered sI'(i1JJ, l,j1,,.:,,:1 il,iii"# 0""i, fu ljldalp_e111fcer*o Ii3,;:lr% :f g eriftirlllfij, r-]ii

-deo.rp ur:d

i0."] u, .n 'r,J,,"",

nr lalered alse

ul

!sv ."rr'lll}T$,.i?,Ellrll filij.,!$'lj"':f !I ;t,,i16'ili?,1'ffi',,{il 1-u.r11ui:ar'anr'";id;;;"1;",',1::,,,",Y"ili::ir.$:1fl i::r.:i jt; i}j alIIlralordR n4' lê-l p u.', nru'ot#"'n,,y# J"J'jt

pnInu,ili n''"ic'iip','q"a,l'.:f,t :9rUflT,Tr,rtt i:

iJ;#'J''t ;l fu];iTfg;l;iJ,Ur*;i;,,f,T""i B:} orlraroJd EJ JB! ,,j,v FTlrt:l} gleluozrro nrlr"roqrnO

I

t definescunul din plane coincid cu proiec{iile de nume contrar ale dreptelorcare definesccelilalt plan. 38" Si se determine o dreaptd de profil paralelS c u al doilea olan bisector. care sd se soriiine pe dre pte leD ( d, d' ) Ei A ( 8, ' 8' ) dat e. 39" Sd se ducd prin punctul M (m, rn') o dreaptd dc m hz profil astfel incit 'mv3 40o Si se ducd prin putrctul M (m, m') o dreapti de profil, astfel lncit raportul dinire depdrtareaurmei sale orizontalegi cota urmei sale verticale si fie dat. 41" Sd se determine unghiul a cuprins intre o dreapti oarecareD (d, d') gi un plan de profil Q dat prin urme.

une : aI e = 44

O

.:rei - lan

:1C :I A

,ield .::tia : are Ds i .e l e

42" Sd se giiseascd unghiul diedru a cuprind intre planul d e p r o l i l Q S i p l a n u l P p e r p e n d i c u l a rp e p r i m u l p l a n bisector. 43 Se considerdurmele P gi P' ale unui plan gi o dreaptd oarecareD (d, d') continutd in acestplan. Sd se determine proiec{ia acesteidrepte pe planul lateral de proiec{iegi si se giseasci distanta de la origine la aceastddreapti. 44' Printr-un punct M (m, m') sd se ccnstruiasci un p l a n P p a r a l e l c u a l d o i l e a p l a n b i s e c t o r g i a p o i sd se construiascdproiec{iile dreptei de intersecJiedintre acest plan $i un plan Q care trece prin linia de pdmint gi face cu planul vertical de proiec{ie un unghi diedru de 30'.

9L . 'rnlnlrund e ple)rlrol urfraro.rd I rnlnlcund earelrpdep_ :Bqrrjrr{Js es " 'rnlnlcund e eleluoztro erfcarord _

:aru'rreÛr urrrFr i,rr*jll"l"o"?ff1:i ;,t pr p^resqo .(Iu ,ru aS

aleueldurp Inun ad relnclpuedrad augurgr rep plf_tl plsperenr 1:odeirij greJncllreberlrzob ,4 o pdncoerel ueld un ad grnF1l-elseare azel ,7i fi g elaueld -c,a1o:d as€sJBsoJeu Basepe ei_se 'n1t1hp a!_r,tln8lJ ayu_ aleuoFolrii e1ri1 -f,eroJdpulne,.raun auraJqo;d;o1a1 lragrp ear-eilbza:' iii

= u)

_:?rt-1,rytq".,uJ JoA allJeroJdap euuld op nou inualsls ur

ilI3ltoud e1ealeuoFotro ntqnp'a1nlciro_rj lo uoltNv]d iluy€wtHfsvoorsw .r.9

,t:tlll_yiq to lulrupd (-u ep orurJ eru11Bnou enou Bdnp gdnp g 1nue1d +ultugoop n. li.iiiuf,inc 11 lecrlral rasjaluJ BA es eserpr erpr 11 j1e uh ueid j1e ueid uh un1 un1 1ec11rar

:yil"j "i lii.q :rllj piuilripu;:1spJ pld-"..,11 lBluozlro 'rrJelBqBJBpoleu _ aueld ap AH Inruelsrs' ug(,2 ,e)'i,, 1lll?l_d,.p Inlrund e pleuoFolronlqnp eeriliiazardai xsuocas 'If,Nnd Nn nulNed ell,3aloud ierfcarord eprolaueld ,,r-';ll;iliii3l3H: .IV)IIUIIA NV'IdiIO VAUVSWIHCS_;i' i. 9'

apalnrar.11yilpuTJ'.;ffij"Hi

f:9l3?tg?rBcalJ B eJEruJoJSuBJl ap nes ar-ecr;rporu a1nurfuoee1rrn;y;pfur:nsn;1";*T,""r:r#tJ: JoJrrlceroJd raularuoe8 .€ualqord ale apolau ap :punu a.reru y9-yi.uaO rin_.riu3 :p^îf9l?r,'arrldrnsap eeêre-r$ leJlleap hu _ a1f _'li$ors ro1.ur1J,,rpq",1*lV -rzod ap rS eJrJlauJ lll-lp: pcr;11durs-6rfcerdrdâp erualqordoluBseJalur reru plue lreûraulurprIricaio:d' urp Jolal BoJeAJozaJ pllqJsodruraduo:de alsa a;et 1q?:.:I91t_ry' ap ueJdep areqrurqcs a_r'ecar; d1 ep FJpj - p,uldr.rcsap errl'aruoaFu1 d;az4ln -j^ljl?t?rO npol.u relsorelnfeluri,ry olepolew .eru-lrpru I:tl,tl.yl.ll1t1ol Flerplapp uJ leltsp atcarojd

ra.rfrartr Barpllozar'ei, inO,u'r JoAas arer ad ,elfraro:dep atarieidiilprnuri nr ry9 "I eruelQo.rdap aueldep Upqutqcsap inrpurnri 1.1-9]_d alsacbesripi es I1nF!J. aplsuoJ os lerauaF u1 .arfcarord-ap aueld :lll:jil ?lt_ -p.:aue1d .yl]u np else'aue1d "r3 r:nF1; ad arrrlauoaF nfjirrjs p ,lrpjntardru3 nes ernun ealequrqrs Iaqqe

-uor olenlraJaarJ BSInzer elsr pulf .aiJelalar ur aleun glear erfrzodu! lb"aurFprupl 1".]iogr, ur nes rrrrr8l;tluBtdirlciro:d ap -BJpAapB uI alBJaprsuor l:j11-y"_t_d luJs lrnFr; nes rnirl alrui y, salBalj pslrpi'rir8rsip ,r'LA':"uuth -nue plep rBrunullJep ejenlJala-rtrod'nu aJpf, 1t3.-no-l 'i;aral$eounr ndrJ reun B lurJpru ralerplapb Illrnrlsuor ,a1epeluarualaad acirlj"rubaFrrfcnrls elsa ouelqo.rd rrrpllozar' laun Insrnr -:.?:^^31:1ll!ln,au 3s rBsacau?asepBelsa arr:1 "::li1 'nlouaxaap .laJlsv.A nes g erfraroidap -aruoed:ollrndroc e pueld eereluaz-erdai n.r1ua6 lnp 'e:esacau rJ eA BlspeJBnJluJd .etsace nj

(elrldpcseprau;euoe6 alepolayy)

uo'ilrlfltoud v rdvwuoJsNvur lo toortw A

InlolldDJ

5.I.2. SEHIII,IBAREA DE PLAN ORIZONTAL DE PROIECTIEPENTRU UN PUNCT. in schim.barea de planorizontalde proiecfierdmin l nvanante:

* depdrtareapunctului; - proieclia verticald a punctului. Se schimbi: - cota punctului; - proiectia orizontald,a punctului. Astfel, fie A (a, a') reprezentareadublu ortogonali a unui punct (fig. 5.3). Pe linia de ordine coboritd din proibc{ia verticald a' = a,i., perpendicularipe noua linie de pdmlnt o1X1e S€ mdsoard depdrtarea punctului dat Ei rezultd noua proieclieorizontalda1 a punctului A. 5.I.3. SCHIMBAREA DE PLAN VERTICAL

sAu oRrzoNTALDE PROTECTTE O PENTRU DREAPTA. Fie dreaptaD (d,d') determinatd

u, in

re ri

plan ralel

_dupa or

deri fie

rte. cd,

una imi ile ln

DE terd rlui :!ie ate cta X1.

A 'fi de

*t r.id s z) \/ Fie in epurdnoua liniet{5mint o1x1(fig. 5.2). Se duce din proiectia ofizontald a = ar o linie de ordine perpendiculardpe noua linie de plmint o1x1gi se ia cota punctului pe aceastd linie de ordine. Rezultl ai, noua proiecfie verticald a punctului dat. Intotdeauira locul pe epuri al proiecliei vertical ai depinde de ielul in care a fost rotit planul V, ca si se confunde cu planul orizontal, Astfel, noua proiectie verticald ai trebuie sI ocupe in raport cu literele o1x1aceeaEidispozifie relativ-i pe care o ocupd'Vdclleaproi€tlie a' in raport. cu literele o, x. Un observatorsituat in a' cite5te ox de la stinga la dreapta.Acestobservatorplasat apoi in ai va trebui sd citeascdo1x, tot de la stinga la dreapta. Problema aceastaimbracd doud aspecte: sau se |ixeazd ai 9i rczultd sensul orxl sau se fixeazd sensul orxl gi rczultd, pozifia ai. Dacd se efectueazdaceeagiconstruciie ca a punctului A pentru toate puncteleunei figuri, se va obfine noua proiecfie verticall a t:gurii in noul sistem de plane de proiecfie. Dacd intr-o epuri nu este trasati linia de pntomint, se poate lua arbitrar o linie de pdmint perpendiculardpe liniile de rapel ale epurei.

de punctele A (a, a') gi B (b, b'). Se considerd noua linie de pamint o1x1gi se efectueazd schimbarea de plan vertical de proiecfie pentru fiecare din punctele A ;i n. Rezirtta-ai bi noua proiecfie verticald a segmentului dat (fig. 5.a). Analog, fafd de noua linie de pdmint orx2 poate fi efectuatd o schimbare de plan orizontal de proieclie pentru fiecare din punc-

77

BL *-0,9 atg

8 9 .lFrg ',1t"

) .*;( ' ,

'(g'g '3ll) arfmro:dap eueld i: " lnrq8uS ap ualsrs lnou-uI BleluorJpldeerpuJ Fleu -Jojsuer.lq reldarpe glerrira,,rarfebro.rd enou ,p eleluozuoerfcarojd p1a1e:ed eulfqo as n5 ,'|p ul (lp 'tp] rq BleluorJ BrrrroJsuerl 'x,o JUIrrrFo ep arurl Bnoupuln-I .a;ira1o.ld ap 9c.l-U9n"ap^ tp ] axao pulnt) exEpaue;dgnop alaf,nr.nllradsararel ei (,b ,p)A eruil ap lujur'pd r; erfralord ap lBluozrrornlriiield'eerequirqcs eldea;perec ad fl J$r a1;.rn;qFun auir:fiu plur -BAepB u! eulurelapagRS .(pluluozpro) 'a1fca1o:d.!p. ap p1uluo.rg e.rlqrurqcd geld uhop 'tlp lry lS .'oyiq BI4""rJ-a'i,p (,q '0 g lS (,e ,u)y alalcundu;.ld o_'(s;g'alii Pu!êpps. ?l o ,p) q uldearp eq_BldBeJpFruroJsuerllxto llrut iegsu ,e;iea;drd i-ulrugdep erurl Rlup.(,p pfe_g ep (1u1uozpo)' arfcalo.rd ap-1ecr1ia.r, uelo dp-'";uquiiq"s o uelh5p iareq,urilrg 1urg1re,r :qurap)Rlprlpeûu!âpRs(,p ,p)q p;duarp esFs 'y'rvrNouJnvs y'rvJNozruo F3€I .(,q ,q) prnp" es pS g ;$ (,u ,u) V ep pllullep pldea.lp o (,p ,p) O alj

YJdVaU(I nvs Y'IvIIJUSA ;YgYJ-.9-o i aldlruo -IiINn vauvwuoJsNvdt;g.t'g , :lfcaro:d ap_lerrlra^1nue1d g Ie+darplnrqFun elurza:dar r* leluozr:o 1d lnouâdaulJptl plBJRAopB ug pziel;alo.rd jn]llug '(Z'S 'Fg) erfcaro.rdep aueld ap ^0 gtrdearp

u1 pldiu.rog :l:tt .q ]l"T^-lJ lreluozlro sue.r1 raldi:i' i eli{uoiiji ;ii;;jb-";;",i pls B e J Buila s eyfaalord ed e t f c at o: d ppni"e ' p a ul+q o a u u d .ru,ip rp rrn nu, ,o .

-h_:91q" p plerllra^ erfcaro.rd nc glaleredai6oluguipdap

ap leluoziro1nue1b lu!l_B19lr,puJn1'arfcaro:d lntqFun elurze:da; lS lecrpa,r :.F _l_nld"r,p Bld Inou ad aurlrpr{ plerpêpeuJ pzedloJjord

'7.r'9 NI erdiruoraNnveuvwuoJsNvur

'(g'g '3g) lep rnlntuaur8asu vrcrn^ro arirarord unou ,6q8eelSasgFas r$ g ^r'S'y aiel g q.' F r J

plarl Dcu linie dd'

dr, nstem

9s e plan cu IN

Ar. [d de datd Oa ume !ati, 'di), cala

Dn (dr, di). Artalog o schimbare de plan orizontal urmatd de o schimbarede planvertical transformd o dreaptd oarecare D (d, d') in dreaptdde capdt Da (ds,di) (fie. 5.9). 5.1.6. TRANSFORMAREAUNEI DREPTE IN FRONTO-ORIZONTALA. Ambele proiectii ale dreptei trebuie sd devind paralelecu linia de pimint (fig. 5.10). Schimbarea de plan verticalde proiec{iefa}d de linia de pdmint o1x1transformd dreapta D (d, d') in frontala Dr(dr, di), care la rindul ei este transformatdin frontoorizontala Ds'(du, di) prin schimbareaplanului orizontal de proiectie fa{d de linia de pdmint o2x,. 5.1.7. DrS-TANTADE LA UN PUNCT LA O DREAPTA. Si se determineprintr-o schimbare de plan vertical de proiecfie distanfa dintre punctul M (m, m') gi dreapta AB (ab, a'b') (fig. 5.11). Se faceo schimbarede plan vertical de proieclieluind o1x1paraleli cu ab qi se transformi dreapta AB intr-o frontalS- Conform teoremei unghiului drept, se duce apoi perpen: dicularami pi pe nouaproieclie verticalF' aibi gi se obfin proiecliile (mp, m'p') ale segmentului MP, care mdsoari distanJade la punctul M la dreapta AB. Printr-o schimbare de plan orizontal de proiecfie rezultd mrps, adevlrata mirime a segmentuluiMP, deci distanfa reala de la punct la dreaptl 5.1.8. DTSTANTA DTNTRE DOUA DREPTE PARALELE. S[ se determine ifi adevlratd m6rime distanfa p cuprinsfl intre drepteleparalele D (d, d') gi A (8, 8'), utilizind metodaschimbirii planelor de proiecfie (fig. 5:12). Se aduc

cele doud drepte paralelesd devini perpendiculare pe acela;i plan de proiecJie.Pentru aceasta se aleg segmenteleAB gi CE respectiv pe cele doud drepte D gi A'qi se efectueazdo schimbare de plan vertical de proiectie, urmatd de o schimbarede plan orizontal de proiecfie,transformind dreptele in frontale, iar apoi in verticale. Adevdrata mlrime a distanfei p se mdsoardintre proiectiile orizontale ale celor doud verticale: p : un n: br{. 5.I.9. SCHIMBAREA DE PLAN VERTICAL SAU ORIZONTAL DE PROIECTIE PENTRU UN PLAN. Fie planul PP*P' reprezentatprin

OB i

I |

I t'c-' 'Fr,r

uj Fp ll nr llun aJel ,r*d lnlrund alSasefi es

't"'

e-.ur'rri Yletuozrro rS'*6-;j;ui; :T,f:119..: _d_ BrlcosJalur u-I .Q_I,r! _:.!) pJ

I

lnlcund arnpuor au (,! ,!) lnlcund n.rluad"ericjlord atrilerrlrel -p'p1"r,1r"n gn11qb1_d' y:ll r_q ILIrS ".reqrrr rxro " es_r$ ap erurJ :yji Enou"î:y_Bururalep adalBas ,(ll.g .FlJ) 1u1rir-.pd BI puJrerJ _Fr_ndj

I

eprorrrurr erices;a1ur #;""p';;: l;iffig

as lcund rnlsars v y gluiuozrro "r iilc5ri,rd .(lBl ea-requirqcs y-"_iq us eajeppOai nesj :y:".1i. 1n_EoJBqrurqcs. rurn BnoN eloj lzeirlspd .(,1 :_ J, lrl) Inlcundpl ernpuor Ifr.tl:^ yul9 lrl "p rnlnueld 1l '!) Inlcundnrlue
"-",1r"r"'ulitrtt;H'J"t

'3lg

\g

u,,

,i f

i . !.f

lan al al SC

orizontali P1 a planului se obfine unind i1 ctl P*r, iar urma verticald Pi = P'. Daci SC schimbd sensul o1x1 pe linia de pdmint, se schimbdca mai susqi pozitiaurmei orizontaleP1 tfig. 5.17). Observare: Si se facfl o schimbare de plan vertical de proiecfie pentru un plan, ale c[rui urme P qi P' nu intilnesc in cadrul epurei noua Iinie de pdmint o1x1,gtiind ci nici cele doui linii de plmint nu se intilnesc in cadrul epurei. Fie blil nouii linie de pdmint (lie. 5.18). Pentru a determina noua urml verticald Pi a planuluise iau arbitrar pe noua linie de pdmint proiecliileorizontalea ;i b a doudpunctesituate De viitoarea urmd verticald Pi. Utilizind orizontaleleD (d, d') $i A (8, 8') se oblin proiectiile verticale a' Ei b' ale celor doud puncte in vechiul sistem de plane de proieclie. Avind :stfel cotele celor doud puncte, pot fi aEezate re liniile de ordineridicate din a qi b faf?ide o1x1 li se obtin ai qi bi,care determindnoua urmd ",'erticald Pi clutatd.

!:1 &

i

I -' i l

t

I a

Fig. r.5.26 .:

Fi o

Linia de ordine fafd de ox coboriti din i' determini i pe P. Segmentulii' se aqazdpe linia de ordine fafd de orxl coboritd din i' gi rezultd it, al doilea punct care impreundcu Px1 determind urma orizontali Pt a planului vertical P1Pi. Totodatl se ob{ine in adevlratd mdrime unghiul diedru ocpe care planul P il face cu planul vertical de proiecfie. Analog luind noua linie de pdmint olx1 perpendiculard pe urma orizontall. a planului P se obJine planul de capdt PtPi cu ajutorul unei schimbdri ;.I.IO. TRANSFORMAREA UNUI PLAN de plan vertical de proieclie(fig. 5.20.1Rezultd OARECARE IN PLAN VERTICAL SAU DE de asemeneaunghiul diedru p pe careplanul P CAPAT. Prin metoda schimbdrii planelor de il face cu planul orizontal de proiecfie. proiecliese poate aduce planul oarecareP dat rrin urme sd deyind veriical (de capat) qi 5.1.il. DTSTANTADE LA UN PUNCTLA UN istfel sedetermind'inadevbidtdm4rimeunghiu- PLAN. Si se determine, printr-o schimbare de rile oc;i p pe caf6'le face planul P fespectiycu plan vertical de proiecfie, distanfa dintre punciele doud plane de proieclie.,Pentru aceastase tul A (a, a') qi planul P dat prin urme (fig. 5.21). o schimbare de plan orizontal de Se transformdplanul P in plan de capdt, luind "iectueazd :roiec{ie, luind linia de pdmint o1x1perpen- linia de pimint orxr perpendiculardpe noua ,liculard pe urma verticald P' (fig. 5.19). urmd orizontali P a planului. Noua proiecfie RezultdpuncteleP*, la intersectiadintre o1x1gi verticald a punctului A este ai, iar perpen-, -rma P' qi i'la interseclialiniilor de plmint. diculara ai si pe noua urml verticald Pi a planului de capdt mdsoarl distanla de la punc, tul A la planul dat.

Fig

i;;l 81

z8 ,1 rJ o .rd e p g l d e a :po l l l l lap tu ,n a1y e1orpdu l J s o u n r IJ Iq Brelnrrpuedrad .(Iq ,Iq) rg Jnlrund uI ad (,q9,,q) g 1ir rnlnlcund;rlrrlcaro.rd'-eulu.r.ra1af as ps BturoJSuBJl as v BldEa.rp 3d op (,q !)-g arecareo "B ,6 gpuaydgur,rapes'au:n_urrd 1ap ereca:eo _lli"_19 1nue1d ,*d .(I" ap Brnpuas es erltaro.rd op aueldap a_riqu.rrqrs o-rlulrd o/ lrund un ep pltutJappultJ Id FI 16 BS Burrn).trFdut p ru tI -BJrlraA rS ap e p u_BId un_rlui j-lnutiri r y ;n l ru n d a p 1 u ;ru g d t y(,q,u ,,-) -un, (!s l*tll-:p_!Ie,td 'qu)tUordap eldaoJp a:1urfailra's p[rro]SuBr] as r$ arfeerord ap lprriref' uBid -ralur0p (,1 'l) I rnlnlcundaFrfoaro:d jr aururialap FS .S"i op erequrqrs o arBJeS .V Bldeaip'ncyelerdd '-!!9ld.9p ptdearpputâpps (,p .p) eldea:p o '(,9 's) v g.li::1" E-uly.r"l?p,'v BJnpeas ps .orlrarordap ueld ap erequiiqc6'o-r1ur.r6 rsq araldarc "g u]oeerp eI fl_g',e ) rV eJeJerudlcund lsacs

(,q,e.'qe) raldarp ,q1r"d,]iJ;ir%:?

#l$ l*r1-1ylllep"l:p ,(,ur ,ur) un-rluJ 1i lnlrund urep ezalajiar as pS o, .alloalo:d ep alaueyd , o P nes : e1nr i puad.redf url-ap ps I nun FlBI 9! P lale red (,?' (,u B 16 1u3u.rpd 'u;) vy In ap eiurj lnlrund l

rllrd as,rS (," ,e) y lnlcund ,nlduiaxa ap 1rnp 'O pldBarp ad rBrllqJBpund un aFaleas BlseacB nrluad '(t6'9 'dlJ) el"p elderp.Rnop eler ad asnp eunuroJ lem1nt;puedrad a1;lira;2rd euluuelep al .RS 'e1ua.tncuorau13 a1a;e;udau (,S ,g) V ,p) el/.stiVCgUVO iiagUq JS_(,p q a;a1da.rp .rr.

i:""03"X;:",'.?i,:,;:ot:;'K1,:0.;'yjl-il,rtl3i["',l:":g ap a1aue.1d urp lnun ad e:alnrrpuad .^r **^ -lilca1o:d nes _ -ro0 u1a1er.ad purôp ps (,.q,e .qe) plo:d ap-elifea:p BJnpBas ps orfcelo.rdap oueld ep aiuquiiqcs oi:1ur.r4 o6

YnoQv yNnwoc vuvlncroNirdusd I.9

* ax6opugnl,_elfrelord nr FIalBrBd p (,p,p)ot'o,;;ol$o' j ii, o'").,or,i, ,"rjg;j3 y_r_y,n' L'rtJ' 3 ?.p_. _El : $ "Oas a"rB"qylqrs o alredap "o azanlcblaas rBrI]orBJ lnlnrqS upluozrro)JpJrlrr^ uald ap areqturrlJs ps

"I

Isndoudlwl]goud 'z'9 n'.

.alep

y l$ q aldarp pnoprolar a1e (,u,u ,uui) aliri lerelnrlpuad.r,ad "u"lgo,rurlqo;iSfo eldea.rp alsauillug pu3rqujd ;r.elold Ia nr latered)l?tq lnluaurFas.yeloeaip !4.4!iI ecl araunlB ps putrPc l}rlq ,rrrq) plBluorJ I 'e'p alsa BO 'arfraro.rdap eueid rualsis lnuu u1 V jS O rolalda.lp B Flrnuror erelncrpuad:aJ euldunl BlBrBAapB ug alsa 16 ad Iq urp psnp ta.g '8rc

YYI9 "pB oJoq.BarrrueurElBJFAape -unrJl rspFB nJlua.I

'lpdec ap rnlnueld glurllral uru:n ad eleri _B -r?JoplBlol 'tnlnrqFunr:1 e lq lr l" FIBrrlra^ alloeloJdenouaullqo as lS rur ad e;alnorpuad:ad rx'o pt as BlsBaJBnJluad .lpdBc ep purlop ps Fleluozrr! FlseaceoJnpBerec ,arfcelorda! IeJIlraA ueld ap Borqqurrr{rs arBJes 16!n1n1qF -un1rl Inlnuelde (,,rnp 'ur) ulelriozrroaisarn.rls .arfraro;d nr ep ueld ep a.requirqjs :1?? o IaJtsV pnou pulz!llln ,1ep rnJnrqFunrrlp arrJIJErrI êp B+ErpAapB rodeêururalepaleod js r$ +pde'c --,lu1,I rlFunr:1 rniseoelnue1d'eui iogruerl :^n19,u .l:o_q Ias orlcaro:d ep rie;d ep a-req _Jerllra^ ,r) '(zz's'Bg) ,0

;y-it::,?rlYlra

(,e

c'r6(,q

d

V luIS FnJrI^ rnrpr alp lniqFurir:'i .!tn, __u) 'nlduaxa ap,pueJd.p.rnFl; o arg.gNV.IdiUnOfg I:INn V SW|UVWr VrVdyAirov-dil.9

4. a, a') de pe aceastd dreaptd si unghiul c( pe care .r.-.:otail face cu planul orizontal de proiec{ie. I Si se deternrinein adcvii'atam:irime unghiul diedru a : , ::in s in tre do ui plane F gi Q a c ir or dr eapt dde in t e r :i: e stc d rea pta dc pioiil ( hv , lr ' v ' ) . . Fiind date doui drepte concuretrte,sI se efectueze . :iimbare de plane de proiec{ie astfel incit noile lor -..+e1 iive rti.ale sI { ic pir r lele ( - : r u c c nlur r dat e) . Si se determir-rein adevlratir mdrirne unghiul a ::ns inire o dreaptJ D (d, d') 9i un plan paralel ci-t . : de pdmint , tlat prin urncle sale P gi F'. - Un plan paralelcu linia de pdniint arr: urmele sale P F' corrfurrdate. Un punct ,A (a, a') are cele doud proiec. .le sale con fun dat e; i s it uaie pe ur m ele planului . S d ietermine in ader,dratb milirne distanta 8 de la ' , - -:i la p lan . l. Se consideri planul F dat prin urme. 5i se efectueze r :-:rimbarede plan vertical de proiec{ie,astfel incit in :,.-1 sistem urrnele planului sd fie confundate. -:" Jrin nretoda schimbirii planelor de proiec{ie si se : : ,:a p lan ul o are c ar eP, dat pr in ur m e, s d devi n l r{:e nd icu lar pe lin ia de plm int . I Sd se efectuezeo scliimbare de plan de proiec{ie, ,, :,;i inctt un plan P, dat prin urme, si devind perpen. -.ar p c un ul din r r oileplane bis c c t oar e.

f1

lul) ro e

I F.i feri

Fca

F')

F'n

l,n BS1 I

rca

; 'Si d d pro iectia or iz ont ali a unui unghi dr ep t 9 i -,:=:{ia ve rtica li a uneia din lat ur i. Si s e det er m i n e r- ..:,tia verticall a celeilalte laturi, cu ajutorul unei ' , .,n biri de p lan de ploiec iie. Sa se de termin epr c iec { iile punc t ului de int er s e c l i c ..::.e d rea pta d e p r of il ( ab, a' b' ) gi un plan t ielini t d e r ::iele D (d, d') g i A ( 8, 8' ) c onc ur ent epe linia d e ..n .1;lt. Si se determine proiec{iile punctului de intersecfie ,ir '.:e dre ap ta de pr of il ( ab, a' b' ) gi un plan de l i n i t . - -. dreptele D (d, d') A (8, 8') ale cdror ploieclii "si L,r.: -rtalecoincid. I Sd se determineproiec{iile punctului de intersecfie : Lrr:-,e dre ap ta d e p r of il ( ab,a' b' ) qi un plan def ini t d e ,:x::e le D (d, d ');i A ( 8, 8' ) ale c lr or pr oiec { iide f lu m e r :::ai coin cid . 11' J:in metoda schimbdrii planelor de proiec{ie,si se ."-:. p lan ul oa recar eP, dat pr in ur m e, s d dev ini p a r a - . - IirL iad e p lm int . - S. se determine,cu ajutorul unei sqhimb5ri de pian l'' : -.-.iectie,proiec{iile perpendiculareicomune dintre lr L- diepte de profil (ab, a'b') gi (ce, c'e'). " ::!n metoda schimbdrii plarrelorde proiec{ie sd se ,ur := rlanul oarecarep, dat prin urme, sd devirrdplanul m ,:".-:a1d e pro iec lie al noului s is t em de plane d e llilir :,-:le.

-uti,!- consideri segmentul ale cdrui extremiii{i sint

..-.e A (a; a') Ei E (b, b'). SAse efectuezeo schimbare r .: vertical de proiec{ie,astfel incit noua proiec{ie fllrll -' :..i a acestuisegmentsi fie egald cu dublul coiei ;1..,

ltil:

t) I ,,ii .

I lur tLilli

:- '. me tod a sc him biir ii planelor de pr oiec { ie,sd s e -,.'-li vechiul sistera de plane perpendicularede = p ritrtr-un all. s is t em , J e pl; r r e per pendic 'r l a r e

25" Se corrsiderdurmele F qi P' ale unui pian. Rotim acestplan, in julul urmei sile orizontale, de un unghi diedru a, in sens direct. Plintr-o schimbare de pian verticalfc proiec{ie,si sc determinenoua urnti vertltald a nlarrflui.

5.3.METODAROTATIEI S-a ardtat ci in metodaschimbirii planelor de proiectrieuna dintre proiectiile figurii rimine invariant:i cind se schimbdunul din olanelede proieclie. Dar se pot modifica ambeli proieclii ale unei figuri, astfel incit sI se aducd unele elementeale figurii sd devind paralelecu unul din planele de proiectie. Spre deosebirede prima, evident, aceastaesteo metoddnoui care se numeqtemetodarota{iei. In cele mai multe cazutisevor folosi axe de rota{ie perpendiculare salr paralele cu planele de proieclie gi se va line seamade urmdtoareleprincipii : - Cind un punct se rote$tein jurul unei axe el descrieun cerc al cdrui centru este pe axa gi a clrui raze este egalecu distanfa punctului la axd. - Cind o figurl nedeformabildse"rotegtein jurul unei axe, deplasdrileunghiulareale tuturor punctelor acesteifiguri sint egale$i lungimea drumului parcurs de fiecare din acestepuncte este proporfionaldcu distanfa sa la axa. - Proieclia unei figuri pe un plan perpendicular pe axa de rotafie serote$tein iurul piciorului axei fara sa-gischimbeforma. Acestoprincipii permit de a deduceimediat cum trebuie sd-se efectuezerotatia punctului, a dreptei sau a planului in jurul unei axe verticale sau de gap5_t.S-e1q gum,i "lotafie-de nivel rota{ia in jurul unei axe vertlCale,debarece cotelepuncte16r fotite rdmin invariante. Rotafia in jurul unei axe de capit se va numi iotuii" de fiont, deoarece depdrtdrile punctelor rotite rdmin invariante. Dacd axa di: rotalie ocupl o pozitie oarecare in spafiu, ea poS.e fi adusa prin schimbdri de'plane de proieclie sd devini verticaldsau de capit. 5.3.I. ROT'ATIADE NIVEL A PUNCTULUI. Si se roteasc[ punctul A (a, a'), in jurul unei axe v,erticale (o, co'), de un unghi cunoscut cr (fig. 5.24). Axa de rotalie (., .') fiind verticald,rotaJiapunctuluiA in spafiuseefectueaze intr-un plan perpendicularpe axd, deci intr-un plan de nivel [I', situat la cota punctului A. 83

v8 .Iuu rnlnluauFas ea:eolerpaur ed arfelo:op roxe1e.r'lnrorcrOpFrnin L. rBSoJau a-lse_ PIlqlsoa.9_llq.r,eureiqordgC",.O reldarp eJrii5aro.rdlp 1i|j|9:^3r.:r :(I", 'tu) ,a1eplaueJqord Teops1e1 -uezeJoal r;_e1eod alrrlrpuocul 'y1n1ntrcund B Rlrloreilyio4.iB uflcjloiii as elep roiderpe p R1pluozrro "u,fqd erJ.cerorO aO'iS te nJ eulpJo op alulJ 1$eeaceed .,p BJpJtlJeA , erlraro.rd Ie uI ei6iu1g1u;pljierl'O^n1rnn"y 'x-o1u;rupdap BIUIIeJ-pleleredo arrrsop EA us ulfcelo;d ,y 1n1n1cund u 1e,uu 1: j.1,"_11jt-1_ . uI 'PlPp(,p 'p) s ulduarped azanlss :Pnj1"l9l ,(,y es Ps ryf,u! IeJlsu .,n)y lnlcuhd urseeloJ '3u)

(,p''p)[ i;1d'uaip ;s 1,",nfy ::.3.9-Je_a.g 'yrdviruq gs o ed szsriirs J:l"yld_l{ ys v3 "raJJSV rnlnrcNnd-vrfvrbt .e.s.g

t,-lt:i::d-FzeoJresrarur nu n's_i$"*"t"1t'&.: 'y yn1n1_cund u ,r lnrq8unap ,g1r1o: eflyzodg1ugz

i Fi;t;;;;'";i;";;; ##:i,:]}l S r1_{;_,p: p.T,, Inrrar runr gdnp ,nirn icru

eJ1lf caror4'.1ii''?uroj preJr+ral Ji. --,te) nns :ljfj^ BllreJord ip gnop. ulp pllroqor ourprojp eluii rb' ur p1:oduror Jriaior elsrulJlur .^_llllgt rs xo .euralqord lugrugdap Erurlef plalei'eO o ed u1'j1,pn"'nir,; pzeoseldap l:X::l:"9.^P9T es e Bleluozr.ro ,!Y.r"ua8 elfcaioj.I'.lnrsounc xo ap. :"_1.19-prnp lujrusd erul1iii uinlrrno ,0 rnlnrqdun:olezundse:ooru,u cra-cjp rpidsar'', Jn'nlI r,1r"n 1nc.re arrrsopag .iuir.rpruplirg,rape T,,n-1,"^..Y"1u.1, :I n, :up,n','s ,n";rnr;;,;j;",jii; ::.,:.,::.n^t_,nr il1g" .:n_ep eltiyil "liily".lg_ ap rBrltral 1nue1dao qidatrjeroio -ralordurp el'rrprr ad.o reJBl lj :!l:31:j9_ "-ltpj?, lnrnlrundeaiel.rpdap eJ lunlrs p ericarojd'uil Fletuozrro uir$-ruul ?: 'J i.l:lllyn_'V :T1li9 un-rluJFzeonlrala " luorJep ye1d. pzeelJasJalul ai niirjosrir oJBJ cJoJ un ai.rcsapnr',i.o urnj y _lllnlrund elfelor 'z'ej lsar'eirf 'fqirg:-SI;i .3nur. n...pi isrul raJ+se ), lnJsounJ;qFun un ep ,(,to ,or) '.(,p yll ,;9.,:Jg""jl,^^:9. ,pi ipdilc"ep exp lntrcund al6alor aS g "gf,i1uor,ro laun lnrnf u! (," ,e) y- lnj5undprjualo.ras pg o_d 1nue1d ug gugurrappy'gn1h1iun?iiio",1 .IN'INISNNd V INOUJ AO VIJVIOU .6.8'9 te^ruap l-lp_,_! 1up4 inuulo _aurin'ulrd uJ ezenllses pstnueJ_a .(,or ,i") l!ru! yagsu iri",y"n 'yj:l"l*r.g_1 '1 qn;UFun ap .Flrlorvtlrzodplurz laxu lnrnf u! (," 'u) V- lnlruni prrJ"loi .Juo+rtor"eleluozr.ro n, pg e111|calord ',{13,?,319) ::j_11^(iY'ru_) aum u;.rdlep 4 B aurpro Jallralord ep eruil ;nueyd;$ Jnlruno 1u ug elibulglug y ar,t.rrlvra Is xo Julrupd9p elul1 d1'!1eie:edo'-",rrr.p un-Errut'gziinris'as t:"^.1] vs TIINI I:IJISV InlnIcNnJ N-I$J6[..;.d u1fra1or6.liasounc ,c rnlniq8uh ; JolpzundseJoJ f.jry:lt1_1 ,ruu c:ac ap lncre air5s"p as .aurrprrr nO ga'9 '8tg plerpnJpeu;'arfcjrord :: :rya ap lutruozrro ad gzeaicaro.rd 1nue1d aj,o frilq8un :_

L INCIT A (a, a') g. 5.27). rul axei ituezein { H' dus' rrul P o nctul A rD.Cu secteazd r orizont proiecoiecliile rcfia cu prin a' axei de Jii, u n a ,aza 6a rptei D, iec!iad

: 3.5. ROTATIADE NIVEL A DREPTEI.Si se roteasc[ dreapta D (d, d'), in jurul unei axe verticale (., .') de un unghi cunoscut q. .ig.5.28). Se vor roti doui puncte ale i:eptei D. Pentru aceastase duce perpendicuira oa pe d gi cu raza coase descriearcul de r:rc ao1 corespunzltorunghiului a cunoscut. langentain a1 la acestarc de cercesteproiectia ::izontall, rotitd d1 a dreptei D. Proiec{ia a', i:terminatd prin iniersec{iadintre d' gi linia :: ordine din a, descrie o paraleld la ox Ei :tilnegte in ai linia de ordine ridicatd ,in ar. lentru a fixa proiec{iaverticali'rotita di a ::eptei D, se mai roteEte punctul B (b, b'). :e remarcdfaptul cd un observatorcare priveEte :-n
care rdmine propriul siu rotit (fig. 5.29) (punctul de intersecliedintre dreaptd ;i axd).

5.3.6. ROTATIADREPTEIASTFEL INCIT SA DEVINA PARALELACU UNUL DIN PLANELE DE . PROIECTIE. Fie D (d, d') dreapta Ei (., ,o') axa de rotalie carese alegeverticald sau de cap5t. S[ se roteascl dreaptaD (d, d') astfel incit s[ devinfl paraleli cu unul din planele de proiecfie. O rotalie de nivel a dreptei D o transformdintr-o dreaptd frontald, dacd se va roti proiecfia orizonlalS d a dreptei D astfel incit sd devind paraleldcu linia de pdmint ox (fig. 5.30). O rotafie de front a dreptei D o transformd intr-o dreapti orizontald, dacd se va roti proiecfia verticalSd' a dreptei D astfel incit sd devind paraleldcu linia de pimint ox q qnocl lnalna nrirrinrl .(l JPIt cflra nhcorrreinr rlin ,., a dLEoL vuotl vqlvr ulll 41t(fig. 5.31). vadd tot in stinga sa proiectia :rtite bl. Dacd axa de rotalie intilnegtedreapta :atd, este suficient sd se roteascdun singur exista un alt punct ::nci al dreptei,deoarece

Fig. 5.30 Fig. 5.28

Fig. 5.29

Fi g. 5.31

B5

q 9' c ' 3r r

r--

r

jn+rund 'g BldBeJpuud s]til ,,Dt-r lalclorp e IJArUop erleio"r,zel luel_-,alo.rcl .XO lsale ul ptrJZllrln',dd 1nur1drs {.p ,prO rrla,r:p il_13-l.l JN!MlVd 30 VtNt"rn3 Yls-rvdvd vhitAsO 0rirrsrriui op ; rnlni:irnd rl? (, .t) t :j],,lip YS IIsNI 'rEJrSV[3rdau0 vlivrog .ee.q alrricaro.ici ralu ELirlrrJJ];p Iillrl aS.d 1n,iv1'O ur azonlls os ps llJu! traJjs?i(,p ,p; 'l'r?,;5),:3 6 eldeajp plsur+or os FS .(g€.9 .Bl1)'rnlnuelil rl_rilr.rn pldea:p ep erlrzod ,, l!g:i ".p ,rr) olerr.+ron 'ralin 'u1 ,d. ls d atl ti triderip (,p 'trj C rl.i .ilitgil sxa 'o inrnf 9rnpe f* ,

o 'rodr7'(ee.g Sll) (Ip ,tp)tri NVld Nn-lrTN!AZlnils :rs !a^lu ap a1ie1o1 ryr,udrvff 'ruJJSV vs.LItNtr ul"'(,p:p)il[A.[.drUfl vrlvrou .urr !, :lil1?lr,:^-Fldg'rp. ?p eJlvntt' BloB3Jpa)npB (,$ ,,,r) .,p r.txB lpdel .ro1e.iiy

in:nT'u]

.(fp' ,ap)a,i o czapasralui E::e36 ralctarpi,iJ"BoltJt;,l;:i ]uorJ op erlelo: eurr:d epar|1zod' ui'{i" ErsluorJ " ;tq) ig uJ lqEirn plrlea:p :]:,i1l:^ eJnpu -;xri "ll-turq:,l.ljt9dIailse lzerzriard 16(Iq (ln ,rro)

nr ris'ri(j'rrs ( ,q 'q) g 1nlrttitd.iB|V ul l::l:lt a+sJlo;Js rV I,nJlurrt[,r-ltg.Iup ' ,r) ar1e1o: Inlntu.lu]la. ad op BlBrrlra-\ 9a],BolB!poru (,r

ap

laun lgder o .1oclg(6t g :3tJ) iuorJap ariep_r ilrnl- rJI_ plctua:pnp- oiJirSoii! r,Jpluo.rl 1It . ]g)_'quldBdrP .(D) Jrnpp

(,c,' a;err1.ran 1:t_'pl_O" uJ IJ^tLrJp arfe;o.l liLur.r{.l' .p] IJXB-_lnJn!. O lrri:urrdu)"]rJr.rt ldJl.e -dBr.rp(,p 'p) ( rtc .StiSAIOUd 3C a.I3NV-Id f t Jrr.'? i a 1 1fz. p. IS ,p ed .lu e? xo ul ,1, urrd e;a1u.re.1 NrG'rnNnad vuvtnsroNsdusa '.(,e'e) y 1n;rund ur.r,l pru'ai] ps vrutnac ]lrur laji:e YsIIINI racls? raraaUo vli.?ioil" z es eldea:palia;o-ras:q,g',g"ry'Bldear[';d G !,! :ql t,,v',ut.V.rerlrqrE,lrund un al.{ .(gt:g ,Fr.yt plep tt I 'FI:{ 68 9 3l.l BldPsrpnf, ezelrssreluios ps l!ru! !l! __(/,I Pxll etrduarpBf,sgalores RS .YIVC ,"jlu:^,'!:p .e_)-0 . ( , 8 , E) exe e! JS l? s JESaJau V lir J t iElol J lqJ u s( ts.'t* ; -ty

s-lv YXIJYrdvaUqo azarlasfsrhir l:l .r.I3N{ lAdrsv ra.[.dauo vs vrlv*ott.ot g-; 'apalef,rlJaA rcrirato:d a1u rr|-rzocl enop r$tp alzi -uoztra.1a1ica1o.rd Illlzod gnop glsrxa ara: 9le

,1e: -l-?98 giepeuiaiqb:d _ll+ni_"' lji.ng oinrrpB eleluozrro-o1uo:i'p1dej:p ^1t1Y,ul,(yp -"p):o ,ir)'+pOnl, .f utltzod ur-tq e1du.:_:p oJnpa('cl r11(Jp,,rp)tq i1e1iio.r;ra{OJipe lnrnf :.q^ll-:rl) er.|e1o.r 'rody (pgg .Ftt)-(ftr',tp)'rG lLIorJ

gldee:papeilrzodur (,p;p) ij e;dn.r!

:_l:1-1"rJ arnptr (/ro 'o) a{Bti}JaAraxu 1n"iniu1-(,p ,p) qtr

aduce tali

front ei de

fia de genedeoazon-

le d6. SA 8, g') astfel 8, g') a') d') a').

Fi g. 5.37

ped ln

Fig. 5.36 ,

axa

)area te$te laEi ilia eze

SA RIN iP' sca in fiile intre

ul tul

I (i, i') este comun dreptei D Ei planului F si rdmine propriul siu rotit dacd se alegeaxa verticall de rotaJie (., .') sd treacl prin el. Este necesarsd se determineun al doilea punct, comun intre dreapta D Ei planul P. P-entru aceastase rotegteurma orizontald h a d_r.eptei D pind cind se aqazi in-ii1 pe urma orizontd"l5a planului P. Segmentulhlor determindproiec{ia orizontald rotita dr a .dreptei D. Proiecfia r,'erticaldrotitd di a dreptei D estedetermin-ata de hi i'. Ca verificare,urma verticald,"vi a drepteirotite D1 (dr, di) trebuie sd se glieascd i€ urma verticald P' a planului dat. Dupd ndrirnea razei de rotalie oh, problemaadmite JouX solufii, una sau nici una.

Irig. 5.38 t

alege chiar in planul vertical de proiectie (fig. 5.38).

5.3.12. ROTATIA PLANULUI ASTFEL INCIT SA AJUNGA PERPENDICULARPE UNUL DIN PLAI{ELE DE PROIECTIE. Sd se roteascd ;.3.11. ROTATTADE NrVEL A PLANULUI. rnai intii planul P dat prin urme, astfel incit Si se roteascfl planul P dat prin urm.e, i.r_1"iu_t!d"si devinl plan de cap[t sau plan vertical. Se uneiaxe verticale(c.i,or'), de un unghi cunoscuta efectueazipentru aceastao rotafie de nivel a ,fig. 5.37). Se considerd perpendiculara oa planului P in jurul axei verticale (o, co'), :e urma orizontald a olanului P si cu raza
87

,I

,

'Et,l

It'9 'Frc

t

T

x fr J/ /.0

zr'9 o lc \\ A, o2t

I

F_ '/ \ ;d

II

}PSd BJOJl c Inueld aJnpPelec roo as eod ap Bno I J E I IAATIJ ap Purud ' AAIS IISA: SAJJNS ) lnun nun Pnopr I 'e! relord ap alemld utp !pt ,Jsd Pu pPs Ju! Ie$se 'euJn u!J rlrd rd lPp 1up lld Prs€ J as RS'ArISArOUd :ro IO!A'IAN TAN NIO'II NN l nl c 'ra r v u v dY (NNr1 AAC s r Ao Y YS .IAJI! 't'9 VI In'llNNVld VITV I'8 8t'8'S

rou

g ld plttorprprrlra^ BurnorarlL"f :?'#"i$

I^ pleJllra^ eu.rn l$ (Ip,rp) rO Flllor es erfrzod ! auriqo as d lnueJdnr elepo (,p ,p) q eldearp pulloU '(,1 '!) 1 lnlrund u1 (,c.r,arj arfzloi ap BXB nr rS 4 1nue1dug glnurf ^BluoJnf,uor -uoc (,p 'p) q eldea:p prap,rsuor BraprsuoraS a{ .(lf.g .FIJ) rd,eltrl rzod-adnrorii lulurpdop Erurlnr glalered d BlEluozrroeur:n lgcuj lagisu4 riilnueld e laniu ap arielo: o pzBanlce;e es rS (,ro,co)-eleclllan olleloJ cp EXBo 'n1dur_axa e.tds,aFa1eas ,elf -cero.ld.eplBJalBJlnueJdad .lelncrpued:adrcali 'lugurgdep e.lull nc_1a1e:ed puinep ps 6 lnrielil Ef, nrlurd '(Ol'g 'Fg) erlcaro.rdap lelianrc

rl l r

l ca

nint, oiectafie ede rldP mint contd e

tind r{ine li vi Pia

ntT 'L.A. nlP lcu tafii o.nt: nna

mai intii planul de capat (PrPi), iar apoi planul de nivel Pi (fig. t.+21.In mod analbg, prin doud rotatii succesive, prima de front, iar a douade nivel, sepoateaduceplanul oarecareP si devind mai intii planul vertical (Pr, Pj), iar apoi planul de front P, (fig. 5.a3). 5.3.14.ROTATTAPLANULUTDEF|NIT pRtN ALTE ELEIVTENTEGEOMETRICE. S[ se roteasci, de exemplu, planut P dat prin dreptele concurenteD (d, d') Ei A (8, 8'), in jurul unei axe verticale cunoscute(
rotafiei (fig. 5.a5). Se duce axa verticald de rotafie (.,
5.3.15.ADEVARATA MARIME A IJNEI FIGURI PLANE. Se consideri puncteleA (A, a.'), B (b, b') qi C (c, 9'). Sd se determineadevdiata mirime a triufighiului ABC, utilizind metoda

5.3.I6. ROTATIAA DOUA PI(rVE S A DEVINA PARALELE. ln acestcaz se fonsideri planele neparaleleP li Q date prin'urme (iig. b.46). 5e va roti mai intii planul Q in jurul axei

B9

06

mm1l il Miul

is,:rlcund Bl lelnpr lnx' tslrp I eluulslp alieounc.a *.jlp o,Fqrs Fs rn lnueld e ?leluoz lr oBr ur nBJ _ i( V"13f rnl -ino rrJrd,prerrl es pr 1nue1dr1o: ruolnd ps ljruJ IaJisB .) '(') 0 tlelo j ap . . Jt l Jn ',,,,,,,,,,,,,,111lllll[r J eJ r lJ aAx e uil aur ulalap as ES ,6 &r,iilflillltl .u) y -:,,1 lpp 1nue1dr$ (,e lnlcrrnctproprsuorag "96 rq|il0r 'plpp arfra:rp o FqlB ps ralda:p e eleluozrro , ..;raro-rd ter ,y lnlJtrnd ur:d erearl gs ,q e;duJ.rppurlo: mruil]]r ,,q) . Ju l-,lJJlsc flm|IMl lpJ l} J J A x B Lln J ulr ulJ . lJ p; s u S p 'p ) e Bld,,(,,+ Brrp lS ( , 8 , e) y pr lr r r nd pr r pr s r r orc S im r 016

illl'@'r'ri

mmilt wth Mul, milill wlnfilt

W ftlllillgilI

ll$illlr ftiiitlt

ru

lm,' dl llllli lllll

]I

-is-e1n:nI us. nn, 6 n1,r flp,ji,t#1,1,#J i:rt.l?"?J "fi""1;

- r I l l J . t n J u o J , ( , t o . ro ) le JIlJa A xB L ln o u lu .la lcp a s u5 . p ' p ) O a i d c c . r p rl ( ,u ,u ) y 1 r ;;u n d p .r Jp r sr io .,cg .Id elBJrlJaA Bluln "96 Bs pnou aurut -J . } J p a s e g ' . 1 Jle s lJu lr n ;tr .r n I u r , ]n JsuunJ ' a 1 $ i1 o r n u o r "lo ju p ' .u a 1 d iE u n u n i l r . r"u1rnr q r r r ;d un o g .36

,:grnurazonlrs.as RsrrruJ

,o-tl:]l#il'J?irfili

-Lroralurn ynrnf u1 (,e ,u) ,",,rn prieaidL as pS V lnlrund "16 , 4 uald un nr eJ c l e 'au r : n ur : d :ed 1ep , p) q alde a : p r nlnx e ut ( , p la rls B. . v 1n: n[ : : 11:.p !!:lrJut ,g) rrS?alor as pS (,S y leluozr-roxp un piapisui, ag .96 'RlBp (,p ,p ) q gldea: p o nr ; a1e; udFur ôp E S iau;:n :4'J,,ueid 'y 1n1nxulnrnt rn t-a1l1u ui.rd 1ep -t-._lt^ :rspalot as RS .(,9 .g) y leluozr:oxe uLie:apisuorag _51 , n) V lnlr und r u: r l gr eall u , ^ 1Bp ( , 9 . 'V ur l-t]]tt IItlnxE 1n.rnf ';u.ur ur:d 1ep ,j lnuei'd :.,^1,.t1^ .(,9 ,g) ?f,sualot os RS y yuluozr-ro xe un e;aprsLior ag -g1 .a ru: n ur . r d i lr lt r z an J t s iep. 4 ir ey c un_r l3 llsts 'v r nlnx e 1n: nl r il ( , ? . p) y ' 1n1r u i i d l:..!-. ,llruJ ,"Jsealoi es RS.(,9 ,d,)V lEluozrro xe urr'u.lopisuo, ag ^11 q a lde o:p ad J z r nlr s r s BS r nlnx e V , -. . _,R1 lp J n: n [ u r ,1q i_rtpullor,lrrrl rnJnlrund ulor 1;;1sutirrur.r;1rpas eg plEluoz uo Dr ir c r o: d't s i, S . V l 1g-11 un o rn un s ,(! u V , p, p) i?Juo zr-toxe u ll ' C uldeajp b. r apr s ur raE o1 . ar lr ar o- r dop leluuz r J o ; nuulii r r . r Es trrJlrlloi1se',qrrnjnxu'1n:Litu1',6 i._l^t_:,] !1ln.p lirLruld .4 aru:n ur:d 1ep rnlnueld' u'9yi1rc,zr:o ult:"-tl?j_1:,pg nJ IJlpjBd (,9 ,g) V le.+Ltoztro xe un p-iapl,-uo., ag _g1 .9+ Bp alt lea"r p; d r eln. r ipuad. r artil O ,,9. .'.,]I lBlu o;r:ocr lc lo. rop x e un puuapr iuoJ , elur r ;: j . r ,pt BUIAap Es lJrul laJisp(,p ejs'ea1o: * RS O elCea_rp "rl ,xB rnlsar' Ft trI3uJ.laJis' rrg 1n.rnf :^.n_11" ,*rttf"ft;; Brsealor as pS (,9 ,S) V lu?uozuo lnxe'e.rapriumeg .gi

, :1, ,'{:?1p.Bt .(,ru ru)ry lnlcund altrlJ0loJd "rr;(':i.".;qil,.l'J?J$ 'rarlulo.r Epolaru ur:d ,aunu.Ialai es qg '1 r ; o . r de p u e l d r 6 e l a"2r e a l d a . r p g n o p e : 1 u r p a r ) 5 5 s . r a l uarp i n y n l r L n O l j l i l ?i J] a g trol lrrd, a 'r a r l e l o . r B p o l a u u r : d , a u r u ; j a 1 a p 'e se g .9 'J l r l e r a d e u r , l a pE SJ J B l l l r a ^ l o 1 a l r r i l a r o r c [ . ,( , S 1 1 tur 'S ) V t 6 ( , p , p ) ( a 1 a ; d o : pp r s e j l o L J s g S lr1tse o9 a 1 a 1 e : e dp u l A a p e s J I e ) t i l a A J o l e l J r x J n . llJUt l J ] l s p 'J u u n u r : d o l e p , D l i d . r 1 r u e 1 d . u ; s a a r b , U a . U :.

.arrr.rn ur.rd FSl,ruJraJlse 1ep,. ;,i',l9il "tid:f"rryf:B psrirullaJls'(,p,p)a nlonrrpluqor'.xr,Xl Rurâp .,Etfit;; rq8un un op ,(,c,r,ar) leder -',u1lnJsolrnJ ,(,e ,e) ep xe rniln 1n;n[ V lnilrnd urseSlo:ai pS "t

rsndoud rwtlsoud'f'9 (rB+BrB -pAUr B-srunr;tJ'Wf jjl,"[iilji"",,J

:olaue1d uiieoilde ilptreraJaJdarJ-FStrrFqurr{rs rapo}au .JoJ BoJBA IIln 31se ipJaueF uJ -191:1,1]lu"dgyielorpnopEeuauas? ap rar orl

-JaroJoap auB l d ap r.l pqui l l JSpnop B l rsaJauaJpJ el aual qord ' arl carord ap uel d ap ai equrl qrs o nJ pl ual e^Jrl JJ al sJ erfel o: o er eul l l e al eod JS ' tJrl E l oJ B pol au uud r$ ol B A IOZJJei uau;ase rp rJ l od el l J3roJd ap upJd ep rJB qurrqJsreun InJolnf? nr alBÎozar +soJ nB arBJ'a1erira1qor6

'3rl.3FrOUd aCINV-rd. lro vauvswtHf,s rSar.l,vrouiturNrovfruarvnlllca-.Lt-t.s

.,Sg B p lrlo r v t lt z o d J n ln u E ld n: Is alsa !6a6 ,dd :]llt.ld9l .tnu.etd 1a1e.ruct '60 Bli!'rod pdnco ri rSesul ea nr laie;e? ]i!9!d pzeaseldap es_t6 eiu:n .?:Oe4nod gdncor$ aurâpar gugd,,n lnl ln:nf u1 1d lj glale1ed es rD Eurn ,tallsv:,6j lnrield flnl^lq_elsalor nJ Ial B Jeo eurl ep puJJ pul d ,V ral B l uozrJo Ii{r." ur,"-l;'lli'i,"T',iT,'ii,ti8 v.rnlnxB 1n.rnr ::^+-r'.1, uI IOrD 1nue.1d prseolor el$elorab j(,n ,,r) uI as pS .(,9 ,g) y leluozrro iljnl lnxe'p:ai,riuoi .61 gletrlra^ Brurn arB ls ][r[ 1nue1d "g ri; plenlrs .(,i ,g) als€'{BleluoztJo o Bauauiase ,p) ap (,p r3Jisa.V V'1exr;; 1n1nxe lnrnf 4 ::ll^.1!:lrui ff'Jft"#.i; ti{:-"jo ',tb rS :olaueid EJseolor as RS .(,€ ,g) y lelrrozr:o e ir{r5s'raiulbp ,tnl 4 inxb g.ropiiuir aS oll nr tnln xe ln r ni uJ ' ) c luJ s ounJr qFun un ne (,S ,S)V pldparpo arfejoi , . _-, -_V 1 e p :Yot_ryo RIalErBd

un rles.(,p'p ) g^:^li uldua: p o . ( , u i?) y lr und' u i r pJseolor0s pS (,9 ,g) yc leluozrio lnxe e.ralriuor "g .g1

ap BX?

E ec a8ale aS .pJpluozrJo o olsa -Enop o pdnp ,a1a1e:'ed

?l!l !t9narp

EzBolrasralur as

aleluozlJoolaruJnpUJAB.rOrD IS o r! rururFd apurrJr ,dd alaueld ; irrlJ J t u r d . r J l l c l o t L .p o .o u r u _ ilo 1 cp ",,"1'J':"#3"j":J,X,i3,;',135:jl nl j, lJr u u r :d ealun urra ln1n1cund eq 6 $-ilerrlrol _t! Iar.urn"O^ ptttor efirzodpllnzaU

nr 9-10 4 eur:n ap.otrda:p 10 Fur^3pBS ,(er| snop".,,u,orJi,ntr"ilrJi"jlf.i0t",] P.l9l:r?.J lllojd o.Brxrn 11eu; 1a;}se JllllJ rror,t 'rarle lc.r B polc . , : ur u_r ialap j, , iu ur "r d ,'or) e5 g -rarordap ulp) (,o lprrlral 1nue1d

iierr1.re,,r

-"0-.S,ise rote ascidi r c pt c lc .D ( d, d' ) qi A ( 8, A' ) ir r jr r r r r l un.ura x, orizon tal C ( C, S' ) , as t f el inc it pr oiec t ijl i l o r onzo nta le si d cvini nar alc lc . 27oSii se roteascdplanelep qi Q, date prifl urme, in j u r ul unui ax or iz o ri taAl (0 , 5 ,), astfel incit urmele lor '

orizontalesd deviniiparaiele.

2So .Sc.con sid eri rlic pt c leD k l, d' ) qi A ( 8, D, )c onc r r r c r r t c pe lrn r;r dc pin rirrt ; i s it r r at c ir i planr r l or iz ont al. S I sc roteasci .dreapta z\ in jurul dre-pteiD, astfel incit s.i oevrrla de profil. Si se construiasci urmele pran ulu.dreaptd l trcce pr in dr c apt a D gi pr in dr eapl a A ,ca re conslde ratdin a ce as t i noud poz i{ ie. 29' Se consideri fronlala F (t, f,) gi punctul A (a, a,) a ce stcirlrcpt e. ^Sii, s c iot c is ii pt anr r lA in' ju r i r i :l1lli? .. 2ccster lro lltale , ast f ol inc it s d s c s it ue. z ein pr im ul' p l a n bisect or. .?0"Sc pr ulc _ co n.sirler.; i lr r l A ( a, a, ) din planul or iz o r r l a l oe p roicclie . Sd se elc c t uez eo s em ir ot alie a ac e s t r r i in jrrrul rrnr r i ax de r olalic oar ec ar eA ( 9, g , ) . 1rlpc^ tJr Ja se ro tca scii pur r c lr r l M ( m , m , ) , dc un ur r o l r i I jrrrrrl,trnci drepte ()arecareD (d, d,) c6rr:,1t1.:::!t i,_in sro era taca a x d e ro t alic . 32o-Seconsiderdpunetele (a, a,-),B (b, b') 9i C (c, c,). {

I;ig.5,,li:

o',',.,.,astrelinci i pioiec IiiIc I6r cA["E A pt_ANU[,UI.REGUT_A,rrilrjNGFftu;l r.n;it -ilii,r?,11i,,,;, . LUI DREPTUNGT{tC pOZtTtE)

(DE (fis. 5.47). rabati pc planul orizorrirl rlc p.,roieclie fl "", planul oarecare p, dat prin urmelc sale'p 5. 5 . M ET O D A P A B A T E R(R P'. Se poate procedairi clouiifelurl: i l tD tC A REA $i RABATERil) lo Se alegeca axii de rabater.c urri)aorizolttalil a planului P. Trebuiesi se urairabatiiull punct din p.lan.Pentru u$uriltt:i:se lletoda rabaterii este un caz particular al oarecare coniiclerii retodei rota{iei-giare drept scoptransformarca punctul (v: v') situat pe lrfnla vtirtic;rliip, ir rnul. ptan asilel incit sd clevini continut sau planulut. Acest punct dcscric, itr rab;rtcrt:r paralelcu unul din planelede proiecfid.M.todu planulul. P, un arc de cerc sitrratf rrtr-irrrplarr pe axa de rabaterealeasa.I)cci, :abateriiconsti astfel intr_orbtatie'a planului pe,rpendicu-lar in j.urul unei axe orizontalesau irontdle, care 11?31.t:.,y; a punctului (v, v,) se afla pe perpendlclllara .oate fi chiar una dintre.urmele vto dus:r din proir.t.{i:r ,rittnr_ planuiui.brpt u, punctului a p. purrcpe axa de rabaterc luli pe oiiceligura n tttl vn rezultl .1jab,1te^re,, un. plan de nivel, .:tuata din pcrpt,rrtiicularci intersectia intr-un plan oarccarep se proieiteazi ':rzontat rlupi vcdctt arcul de cercde raz\ pxu, tlri. cu centrul o figurl F, egali cu fisura F. r{rr p*V, :e spunecd F1esterabatereafigurii F. Dacirse in P*, deoarecein rabaterc
'- q *

- Proiecfiaorizontalaa putttlrrltrtli.prott't(t;t sitriattrpc .u iXbatrta se gisasc ittiottlc'rrtttt;r dusl la axa tle rabaterc' aceeasioerpendiculard punctului rdbatut la axa de raba--Oiitinti tere esteihtoideaunaipotenuzatriunghiLrluide pozitie. I-ijunctele situate pe axa de rabateresint propriile lor rdbdtute L habaterile dreptelor paralelc cu ;r\a de rabaieresint si ele'paralelectl axa de rabatere' - intre figura ribituti Ei proieclia.orizonialrr rahaterca facut rabaterea s-a.fzicut p9 care s-a figuiii pE planul pe a fisuiii ;"i;Tt ; ietalie de ?rfinitate'Axa tlc alirritatc esteaxa clerabatere,iar punctelccorcspotttlt'trtc a[inir sittt proleccaredetermindtransformarea purtctttlui.cottsitlt'rat' rabaterea oriiontulS iiu Ei Aceastdproprietateestc loartc uttllt lli sl lllrazade rabatere'Cu centrul in co se descrie plificareaoperaliilorgraficep(' cnrrra' uiiut 4., cerc de razd ov1 car€.intersecteazd- Toate puncteleplanLrluisitttate itt prittrLtl P* cu v6 $i diedru uoi uu., rabaterile lor pe pliittul oriin * n.ip.ndicularav
ipoteiuzecovliste'razi de rabatere.Se descrie arcul de cerccu centrul o 9l raza c0v1;car€vzl v,,r in doui punctev6, in["tt..iu perpendiculara puncte axei. Aceste. a alta siu de J;;-ili6 consi' punctului ale rabateri doud duiu .int -.q...tuqi triunghi de lozif ie poate f i ,f.iut. .onti.uit penituorice-punctA al orizontaleiD triunghiul de ," p"lr";irl tu, .. construieqte confinut in punct oar6care pentru un r,"iiti" 'planul PP'. Observare.Din cele de mai sus rezulti

IT.liff't;

esteneaprrat o rabatere efectua

elementulcareserabate' sdsecunoascd necesar pe carese efectueazd planul qi irbut"t. ;;a; rabaterea. - Rabatereaunui punct se face intotdeauna ." ;j;t;*i construciieitriunghiuluide pozifie (rabatere). 92

Fi g. 5 49 lt t/

H $t

IT

,"

planu.l,o,rizontal de proiecfie, luirrdurmaori- paralell la liria de pirnint. l)rrrinrlcota purrczontaldP ca axd de rabatere. i1

Serabat totortati tului M in rt pe 5, se ob{in m'. Ca iit fic gi orizontalele planuluicaretrec prin punctele determinattli"rrighiul
q._5.9,_4tplcARFA RABATERTT PENTRU 0

FIGURA PLANA. Se consider{acelaqiexemptu cd in planul pp, dat'prin urme $r se presupune trebuiesituat un triunghi echilateral'delatur5 datd; se cer proiecfiile dublu ortogonalealb acestuiitriunghi.Pentru aceastase ralate urma verticald a planului pe planul orizontal de proleclte qi se construiegtein rabatere triun. ghiul echilateralasbncn. Urmdrind operafiade rabaterp in sens invers,.se dedui imediat proiecfiile abc qi a'b'c' ale triunghiuluicdutat. pnn ab gi c6 se duc rabaterile orizontalelor acestor puncte care se intorc din rabatere. Pentru punctul (b, b') se utilizeazl tot transformarei afinri. '

a planului (ord a servit.cr axii rle rabarcret: p' RezultdF* ce{'e unit cu v' (h urrn:rrrerticalir a planului c.jutat.

5.5.5.;RABAiEREApE Ult PLAN DE NtvEL. DISTANTAf,F]LA UN PUIST LA O DREAPTA. In ge4eral,ii problemele,n cart'se alegerrrltr;r orizontalda unui plan ra axa ,lc rllrlicr,:, operaliilegrdicecarese fecasupr.rr elernentelor din problemrdepagesc clecele'rrrairnultc ori cadrulep*lrelpe de b parte,iar pe de alta parte seintrpdueolerafiile graficemai pu{in ltecesare, oaca se ia a plan de rabatere urr.nlan rlc nivel (sau dr fiont). Efectrrirrrliabati,rcl I)c y1 l.la-n.de lvel, .sererrlucc si rrr{itor-r'oilrprrrrr'tu.lui fafl_deplanul pe care se'faberabarerea, triunghiul D-ETERMINAREA dr-pozitie''rarezulta mai mic si in UNUI PLAN PRIN 1.-5.T.'nrai RIDICAREA RABATERII. $ se determine ans.amblu _torteoperafiilegrafice vor fi urme.leP.giP' ale unui-plancunoscindproiecfiile restrinse. Ca axd de iabate*rein acest caz se punctului M.(., m') din plan gi rabatireamn a alege orizontalade interseclie.d!ntre planul acestui punct pe planul orlzorital de proiecfie. care se_rabateqi planul rje'lrivel pe care se Triunghiul de rrozitie se conAstfel, m $i q'.proiecfiile punctului M, Iace rabaterea. -(cu ,fie excep{ih'cotei), iar gr m0raDaterea acestuipunct pe planul orizontal struieqte.eraci Ia fel de proiecfie (fig...b.S0). Unind .f .u . qi toate celelate proprieta{iale rabaterii rimirr ducind o perpendiculari ln m pe msm, se lnvariante.S[ se determinedistanta de la un obfine.,proiecf ia orizontald 8 a oriz"ontalei Pfncl la o dreaptlprin rabatere.pe un plan de care trece prin punctul M. proiecfia nivel. Fi.e/[ (rn, m') punctul tJair;i A'(g, ),) lJLt i-l vertlcala b'' qi urma verticali (v, v,) ale acestei o.dreapte orrecaredatl (fig. S.5l). Se rabate M ;i tlrcapta A drepte rezultd imediat ducind prin m, o planul determinatde punitul pe un plan denivel H', -dusla cotapunctuiuiM. Dtuqplu-A (t, 8') intersecteazd planul cle nivel H' in punctulA (a, a'), care impreunl cu punctul M (rn,m') determind olizontala de intersecti.eD (d, d') dintre cele tloul plane, orizontaldcarese ia ca axd de rlbatere. punctele A qi rlt rlrnin propriile lor ribitute, fiind pe axa de rabatere. Se rabate de asemenea punctul oarecareB (b, b') cle pe tlreapta A. Construindin b triunghiul rle pozi{ie bb1
D (d, d') $i A (8, 5';. Sepoatcprocecla iir ci o tti i feluri: 1o Fie M (m, m') punctLrlrk'coircrrrcn{ii ai ct:lor doul drepte (fig. 5.53). Se corrstruieqte urrna orizontali P a planultri iornirt rlt' cclo
i fr

Fig. b. bS

Fig. 5.56

:lanul cle nivel H' ale dreptelor concurente date, gi cu aceastaunghiul ci. 5.5.8. UNCHTULDTNTREO DREAPTAgI UN PLAN. S[ se giseasci in adevtrratfl mhrime unghiul d- pe care il face dreapta A (8, D,) cu planul P dat prin urme (fig. b.55;. pentru aceasr,a, dintr.un. oarecareM (m, m,) de pe dreapta A(8,^pu^ngt 8') se duce o perpendiculaii rm.a,. m'a') pe planul dat. prin r'abatereapunct.ului M (rn, m') pe un plan de nivel H,, se determinl, in adcviirati mirime, unshiul cuprins intre perpendiculara dusl qi driapta A.

Unghiulcomplementar este,in ": + - B

adevijrati mirime, unghiul clutat.

Fi g.5.57

5.5.9. UNCHIULDINTREDOUA PLANE.Si SC determinein adevtrrati mdrime unghiul diedru a de-pimint. Prin urma orizontal?i h1 trcceurnrir cuprinsintre doud plane P qi e dateprin urme. orizontalSa planului R, urmii peipendicLrlarii in doui pe proiecfia orizontalS 8. (Trasareaurnrr,i )q poateEi in acestcaz sA se procedeze ieluri : verticale R'nu este necesara.) Se rlcternrina io Din punctll M (m, m') oarecarertin spatiu proiecfiileorizontalema si mb ale rlrcptelorrle celedoul plane(fig. 5.56). intersecf ie-dintreplanul R cu fiecarerliir planele :. dy.. normalelepe -adeviratd Se determinl in mirime uishiul ? ? lj ,q. Unghiul-a cuprins intre aceste'clrepte cuprinslntre cele doul normale,prin ralaterea de intersecfieesteunghiul cautat ;i se obline punctului M (m, m') pe un plan oarecarede in adevirati miri me prin rabaterea puncnivel H'. Unghiul ceutat a dintre cele doul tului.M (m, m') pe planuiorizorrlal
5.5.I0. A DE V A RA TAMA RI ME A UNE I de exemplu, FIGURTPLANE.Si se determine, dat prin ABC unui triunghi a mirime adevirata oroiectiilesale abc si a'b'c' (fig.5.58).Se iabate planul triunghiului pe un - plan dc n ivelH', clusprin punctulB (b ' b : ). L a t u raA C planul de nivel H' ln p u n c t u l i ntersecteazl orizonca axi de rabatere M (m, m'). Se-alege inter= din (e obfinutd = e' b'm'), bm, tala se ctiaplanuluide nivel H' "c u p la n u l t riu n shillui' ABC. Proiec{iileb = bn 9i m = ntn iamin oropriilelor r5bItute, fiind situatepe a*n de iabatere.Se rabatepunctulA (a, a') " ln a triungltiul clenivelH'. Construind oenlanul rJe obfine A, punctului al he'pozi{ie .se .raza pc iare conducela.ae,-rabaterea rabitere<,rar, l ri g. 5 51l o lanulde nivel a punctuluiA. Re z u lt da s t f e l pttnctttl D€oarece a1ym6. briao ilrcntelcrirllirtttte si pe laturaAC, trebuieca rabaterea C s6 pascste l)c tll llla orizotttalit[) 'se glseascdpe rabatereadreptei AC total deformatii;i asez-atit sa c,,"sl llabaterea a planului vertical PP' (fig. 5.1-r9). qi pe linia de ordinedusl din c plinului proiectant (vertical) PP'pe planul (careestea,,mo1 scutegte vertical de proiectiese rctlttcertle lapt la o Deaxa de rabatere'AceastiobservaJie unui rotafie de nivel in jurul axci verticalepe.caretl ajutorul C cu punctul qi ie a rabate triunghide po2itie.Se obfineastfelpe planul constituie urnta vcrticalii P'. Proit'c{iile r-iria triun- zontale a, b, c se rotest itttr-ttn settssatl itt miri me anbqce de nivel H'-adevdrata ABC. ghiului dat celSlalt,pind cind sc altern pe linia de piitnint. in rotafia.de

5.5.11. RA B A TE RE AP LA NE L q RP RO I E C- Proiecfiile lor vertic:rletlescritt piirrtirtt. RczLtltir rArurE OERTICALE$l DE CAPAT).se poate nivel paralele la linia tlc trittrtghit-rlui dat. rnririmc a ltsbecs,'adevirata ABC' triunghi unui sdsi adevlratamlrime a Iituat intr-un plan proiectantfafi de planul Rabatereaaceluiasiplan verticalPP' ptl planul proiectantpe orizontalde proiec{iesc iacc irr jurul axti de planulL-ri orizontal,prin rabaterea a fie punc- rabaterepe careo cotlstittticurrtlaoriz-clntlrli proiectie' Astfel, celedoudblanede P* in perpetldicrrlarii planului o (c, P. Ducind c'). virfurile C (b; b') Pe B (a,'a'), A tele $i abceste P. se obtine P[, rabatereaurmei verticaleP'. orizontald triunghiuluia chruiproiecfie

;-'

Fig. 5.58

96

Razelerle rabatercale punctelorA, B 5i C sint ritlic*, irr l] (b, b'). l)t' Itsl i l rl l tt;r,',,1c l trl ;r t'galc cu t'otclc prrrrctc'lorrespcciive.Luirrrl fol osl rea tr:rrrs[orrnl i ri i aIi l rc i rr ; r r - o l r l r 'n r t' r l t' rcestecote pc lirriilerle ordi4e iidicatc in a, tr acesl fel . ;i.c fa{i dc axa de rabatere(urma t;, se ob{iir rabaterjlc an, b0 ;i cn, pe pianul o{i'zontal rle: prorecIie,alc pLrrrctclor respective, 5i cu acea.ster 5.6.PROBTEME PROPUSE adcvilrata rnarime flxbncp3 triunghiului dat.

airalogpoate.fi ir'Uirrun pianAi capar l o j i i s e

il ccle llgdrloudplanede proiecf pe ie (fi-g.b.60). '

e f e c t u e z rca l r 2 {g 1 sp, e p l ; l n u l u r i Z o r r t ; rtlr e p r . r e .. f i c a u n u i p l a r r P d e t e r m i r i r t 'd t , I t r r , . l u l M 1 m , m .1 ;i d e _ od r e a p t d d e p r o fi l d e fi r r i t , i p i i n l , r j r et c l c A 1 a , ;r '.; b/). PAMINT;Sd se determineproiecliileii.iugonu" 2$ioBS d(b, s e d e t e r m i n ep r o i e c {i i l ei n l l f i r n i l o r u r r u i t r i u n g h i lui ABCDEF situat inti-un irlan p ):are ' ffi€eare definit prin proiecfiile prrrrctclor A (a, a-'), trece.prinlinia de pimint, cunosiindproiecJiile t O , b ') r i C ( c , c ') . ff Se consideri puncteleA (a, a') gi B (b, lr') exterioare punctului (., { !f ') (centrulhexagonuluit Ei g h n u l u i P d a t p r i n u r m e . S i s e d e t e r n r i r r cp r o i c c ti i l e a .virfului A @,' ar) t r i u n g h i u l u ie c h i i a t e r aAl B C , ; t i i n d o i v i r f u l C o s t es ii L r ;r t g"l"]"._fg.,orizontali ( Ir g.b.bl). S e considerd linia de p imin t c i ln planul P. axade rabatere gi.serabatepunctulM (m, m,) 4 oS d s e t l e t e r m i n eu n g | i u l d i e d r r ra c i r p r i q si r ; t r s rl L ;r r ::i p h r r eP a l e c i r o r i r r m c s e i n t i l r r r s c '1 n; i r . t - l i r sl ri r r r rIt r,] ,mu,.ge. ptanul orizontalde prorecf ie, cu d e p e I itni i.aQ d e p b m i n t . rlutorul triunghiului de pozifiefil
q q,l? ,RABATEREA rN JURULLrNrErDr

'-r t

iq ;l

... ;i ri

i

I1

r

4j

;s '** fi M

# ,F C op i to l u i

Vi

t;.

,ft$

#:

C ER C U T

{

d*

T:

ii

*'

6.'I.CERCUL

'x'

't

# #

Pentru constructia reprezenteriidublu ortogorralea unui cerc oarecafeestenecesarsd se reaminteascl urmitoareateoremi,asupraproiecfiei ortogonalea unui cerc, de care se va pe epuri. firle seamain toateconstructiile

#

IE:

tEORnmA: Proieclia ortogonaldo unri ,rrc pe un plan Q inclinatfald deplanul P al cercului esteo elipsdcareare ca axd mareproiecliadiamelrului cerculuiparalel cu dreaptaD de inlerseClie a planelorP gi Q,:iar caaxdnilcd,proieclia diitmetruluicerculuidirijat dupd linia tle cea mai mare ppntd a planului P in raport cu planul Q. In general, pentru cercul 'situat proibcfiile intr-un plan oarecare, se construiesc dublu ortogonale ale-sale,de obicei,printr-o riflicarede rabatere.In celece urmeazise vor trata cltevaexemplede constructiiale proiecf illor unui cerc,fndiferiteconditiidate. 6.rl.1. ApLICATII. l' Si se construlasciaxele ellpselor drrptrcare se prolecteaztrun cerc sltuat intr-un plan P dat prln urme, utlllzind rabaterea planulul cercului, pe planul orlzontal de prolectle.Fie (<,r,or') ccntrul ccrcului gi oro rabaterea sB pe planul orizontal de proieclie (fig. 6. l). Axele proiecfiei slnt ab 9i ce. Ele se r-rbfin ridi c ind din r abat er ediam et r ul or lz o n t a l R u b oa l c e l c u l r r i gi; diametrul coeo perpendicular pe el, deci diametrul diri jat dupd I inia de c ea m ai m ar e p a n t d a p l a n u l u i f a l S de flanul'orizontal de proiec!ie. Iri extreniitdlile c gi'e ale axei mici a elipsei tangenta este orizontali. Axelc pro iec { ieiv er t ic ales int 1' e' $i a' 0' . E l e s e o b {i n r i d i c l n d din rabatere diametrul frontal yoeo al cercului qi diametrul cr69nperpendicularpe el, deci diametrul dirijat d up d linia de c ea m ai m ar e pant d a p l a n u l u i | a l d d c

9B

,ti; ',i tii

Fi g. 6.I pl anul verti cal dc pl oi et:ti e. Irr r rl rr:rrri tti {i l c z .' ;,i i :i ' rri t: a,rei ttti ci a el i psci i tt pt'oi rti i :r vt't l i r:,1:t 1;tri tl (' rl l ;r{ ' s l (' fronta I i . 2" Fl i nd date pl anul , r:crrl t'ul 1l razi t t!,rr ri c erc , s .i s e construi asci t poi ecl i i l c :tccsl tti ct'rc 1;i s;r s c tl c l ttttti tl e l angentel e l a cerc i n putrctcl t' t"etrri tt'c:tbi lt.S r' ,,,ttr' i ,l tt;i pl anul cercul ui ca f i i rtd dt'f i rri t dc r'ettttttl 1r,,,r' ,' ) 1i r' l u ori zontal a C (g, g') (fi g. ti .2). S o rrrl r:ttt' i t' ttti Lrl i ti < ' r, pe pl anrrl de ni vel H ' :rl ot'i :rotttl rl t'i C (t':it(' \r' i rl (' gt' c i l axi de Iabatere) ;i se cr-rttsl ttti c;tett'tcttl tl t' l :tz ;t ti i ttri c tt centrul c'ro.P etttrtt ;t t'ottsttrti l rtrri ucl i i l e ( t i ( l tl i l i :,c i l rtol -(' di n rabaterc ptrnctcl e rentarcal ,i l e, atl i c;r pi rtt. ttl c (' (rc tl l tl i i n care tangenta este ori zol i tal i i , l l c,rrl al r s l rtt tl e proi i l ' Tangenta este ori zontal i i i tt ptrl tctrl i : tl ,: t'r'rl i i i l l i 1.\i l l i i :atl

minimi. Jn rabatere, acestepuncte sint co gi eo 9i ele se rid icl di n r abat er ein c pi e as t f el: pur r c t u lc c u - o r i z o n tala ribltuti c0r0, iar e este sinretiic cu c fafd de or. Ta ng en ta,es t ir e ont ali in punc t eJ ede depir t a r e m a x i t n l sau min imi. Rabat er ile ai' c s t or pr r nc t eiint o , , $i go $i cle se rid ic i din r abat c r c in ( a, c t ' ) t i ( p, p' ) . 'I a r r g e r r t a ( vt,.v't') :ir r t r - r r n y r r ut c toar ec ar e( t , ' t ' ) ai c c r c L r l r l is e o l;tineridicir r ddir r r abat er elangent adu. s iin r a b a t e r c at , , a p un ctu lui. 3' Sd se construiasci axele ellpselor duptr care se proiecteazd un cerc situat intr-un plan dat piln urme,'ftrri a ulillza .rabatereaplanulul ceicului. Se consideri planul cercului ,definit de centrul (.o,
-

.

--1--

Fig. 6.4

p r i t t a r ', g i r 'r n =' k r '. S c i r s r l , i r s , t . : l t t J , l . , . ,"r . ;i r e v e r r i r r dd i n s c l i n r b a r c ad e p l a r r u r l i i t ; i t r ; t il i i c r r t ar e;,r u i l r r s ' $ i t ', t e x t r e m i t S {i l ea x e i m i c i i n p r r i i o r . . i i vn e r . l i c a l :.1 in care tangentala cerc cste Il.r,rrl;rl;i. 4",Si se constnr_?srdproiecfiile unui ccrc al t:,iirrriplan este.paralel cu linia de pimint ;i trece prinlr u drelptli D (q, q'l dati. Se cunoagte prtiiecfia u.izont:tli ,,, l :qntrrrlu.lqi.se gtle cI cercui esti tangerrttlrcptei D (r1,d,). F i e P q i P 'u r m e l c p . l a r r L r l Lprai l a l t i c r r l i r i i a t l c p i i r r r i r r t d t l s p r i n d r e a p t aD ( d , d ') , ; i d , , t . r r l r : r 1 c r {, r ( i.1( , 5 , t oi {l l ( - l ) tr l p e p l a n u l o r i z o n t . adl e p r o i e c {i e( 1 i 1 1r.; . 4 ) . ( . e n t r r r l( or ,c,,) s e . r a b a t ei n a r o ,i a r c c r c u l d e r a z i l r , , , , t ui r r r r l t n t r l r c i r tr i d , e s t e r a b a t e r e ac e r c u l u i c I L r t a t . ( l r t i r c t , i r l iL r i L r ,i r e r ctr l r r i . ] t " - o ] . , g i s e d e t e r m i n i d L t c i r r dp r i r i o u p u r , r l e l l l r o ,v, p i n a l a i n t e r s e c {i ac u p a r . a l e l al l u x t l r l :, , p r i r , , , , h :;r .l t

rna r i a. lepr oiec { iilors int aB $i e' 0' , i a r a x e l e r n i c i s i n ( ye gi y ' e' gi s e obf in pr oiec t incdiaine i t r u lf r o n t o - o r i z o r r t a l al c er c ulr r igi diar net r ul dir ijat dup i l i n i a d c c e a n r a i mar e p. ant da planului P. PLr nc t ul( 1, 1 ') p o a t c f i r i d i c a t oln r auat c r c , s pr e ex em plu, c u aiuto r r r l f r o r r t o _ o r i z o r r tale i. ( g1, g' y ' ) , iar pr r nit ul ( e, e' ) - s e c o n s t r r r i c g t cp r i r r s tme tr ie. 5" SA se construlasctrprolectllle cerculul tangent la doui drepleconcurenlcql de asemenqatanpentDlanutulorizontal de prolec^f le. Fie.D (d, .d') gi .A (S, A') iele doLridrepte co ncur er r t e punc t ul M . ( m , m ' ) ( fig. 6 . S ) .S e a l e g eu r n r a l3 orizont ald P a planului c elor dou- dd r c p t e c a " a x i d c rab at er e9i s e r abat e M ln m o pe pl a n u i . o r i z o n t a l d e proiecfie. Se lnscrie ln triunghiul hkmocercul cu centrul o0 gi se ridici din rabatere acest cerc. Centrul cercului gste.(<1,.')...A{eJe proiecfiei.orizontale sint ab gi ru. Pro'eclia.verticali se.determini cu ugurinld, {inind cont cd a x a ei m ar e es t ee' g' : 2R. 6o Si se construiasci protecfllle cerculul demzl. R dati, tangent,.la doui, drepte.concurente. l:ie D (d, d,) gi a (o , o , . c et e ooua c r ept e c onc u r e n t e i n p u n c t r r l M (m , m ' ) ( f ig. 6. 6) . Se r abat epunc t u l M i n r n n p t i p l a n u i orizontal de proieclie gi se obtine
r r g. b. b

100

tueazi rabatereapunctului M in mo pe planul orizonlal de proiecfiegi se determindcentrul oo ribdtut al cercului, con sid eri ndpar alelelela dis t anf a R f at i de r a b a t e r i l ed n gi 80. Proieclia orizontald a cercului se obfine revenind djn rabatere. Axele proiecfiei orizontale sint ab: 2R $r ce. 8o Si se construlascd prolecfllle cerculul care ,trece printr-un punct A (a, a') El este tangent in punctul B (b, b') la o dreaptl confinutd de al dollea plan bisector. Fie A (a, a ' ) punc t ul 9i D{ d, d' ) dr eapt a c o n {i n u t i l n al doilea plan bisector (fig. 6.8). Se efectueazio rabat6re a dreptei D pe planul de nivel H' dus Ia cota punctului A. Cu triunghiul de pozifie bkb, al punctului B seobfine rabatereado a dreptei. Seconstruiegteln rabatere cercul cu centrul ln oo care trece prin punctul a = a0 li este tangent dreptei do. Punctul
Fig. 6.8

f i a o r i z o n t a l de s t e c 'e ' p i r e p r c z i n t i ip r , e c i i a, r r - i zo r r ta l r i a diametrtrlui orizontal cne,,al ccrcuri. Ar:r rlti,'ir rr e l i p s e i i n 'p r o i e c f i a o r i z o n t : r l i ic s t c r n n i r c p r c z i n t ;i p r o i e c {i a o r i z o n t a l d a d i a m e t r u l u i n r n r , a r c e i c r . r l rdr i i i i a t d u p i . l i n i a d e . c e a . m a i m a r e p a r i t l a l a n u l u i l a fd d e p l a n u l o r i z o n t a l d e p r o i e c f i e . S - a l u t m r n , p ar a l e l cu kb, $i de asemenea egal cu diametrulcnen ?l^cerculrri. Analog se determini axele proieclici veticalc.

6.2.PROBLEME PROPUSE l " . S 5 . s e c o n s t r u i a s c dp r o l e c f i i l e u n u i c e r a l c i i r u i p l a n e s t e d e c a p i t d i n d u - s eg i : a z a c e r c u l u i . 2 '. U n c e r i e s t e c o n l i n u t d e u n p l a n p a n l e l c r r l i n i a d e pdmint. Si se determine punciele cercrlui '::rre sint s i t u a t e l a o d i s t a n f d I d a t d f a {i d c l i n i r r l e p l m i n t. 3' Se dd un punct al unui cercgi o dreaptiperpendiculard p e p l a n u l s d u g i t r e c i n dp r i n t e n t r u l s d u . S j s e c ; r n str u i a sc d p r o i e c {i i l e a c c s t u ic e r c . 4o Si se construiascdproiec{iilecercultri rlc razi'rdati R tangent la doud drepte concurente dcfinite astfel: o d r e a p t i D ( d , d ') e s t ec o n f i n u t i d e a l d o i l c ap l ; i r b i s ccto r , i a r c e a l a l t l d r e a p t i A ( 8 , 8 ') e s t c s i t r r a i i i r r p r i r n r r l p l a n b i s e c t o r . P r o i e c l i i l e v e r t i r a l c a l c c c l o rr L r r r i ci lr cp tc s l n t c o n f u r r d a t e( d ' = 8 ') . 5 " S d s e c o n s t r u i a s c 5 p r o i e c I i i l t , r . c r c u l l i c ; r r c tr ccc p r i n t r - u n p u n c t A ( a , a ') g i e s t r : l a r r g c r r l ; r , , r l r e a p ti i D ( d , d ') i n t r - u n p u n c t B ( b , b ') d e p e i l l n a p l : r .A p l ica l i e n u m e r i c i : A ( 6 5 , 1 7 , 2 g ) , i a r d r e a p i a D e s [ . d c f i n i ti d e puncteleB (25, 12,9) qi C (39, 20, 2S). G" Un cerc este conlinirt de un plan de pr,ofil Q. Sd se d e t e r m i n ep u n c t e l ec e r c u l u ic a r e s i n t s i t L r a t el a o d i sta n {i cunoscuti I fa{i de un plan P dat prirr urme. 7 ' S e d d p l a n u l P g i p u n c t u l A ( a , 'a ') s i t r r a t i n ace :,t plan. Sd se construiasci proiec{iile cerrLrlrricare trcr:c prin punctul A gi este taugent ambelorurnre alc acestui nlan. iJ" Un cerc esteconfinut de planul vertical de proiecfic. Sd se determinepuncteleaceitui cerccaresint iituate la o distanfd cunoscuti I fald de un ;rlanP dat prin urme.

C opitolul

V ll

gl UNGH|URI PROBLEME DE DTSTANIA 7.I.PROBLEA4E In acest capitol de aplicafii vor fi rezolvate citdvaproblerne cla.sice de distanfdqi unghiilri, utilizind metodelede transformarea proiecI iilor. PRbBLEMA l. Se consideriorizontalaD (d, d') Ei punctul M (ln, m') de pe linia de pimint. Sd.se determineproiecfiile punctelor A (a, a') gi B (b, b') situate pe dreapta D, asttel,incit triunghiul AMB s[ f ie echilateral.Se poate rezolva aceastl problemdin doui felurii 1o Prin punctul M (m,,rn') se duce planul PP' perpendicularpe dreapta orizontald D (d, d') qi se gisescproiecfiilepunctului I (i, i) in care orizontala D intilneqte planul P (fig. 7.1). Prlntr-o rotafie in jurul aiei verticale (-co, or'), se obfine adevdratalungime m'ii a segmen-

tultri (nti, ltt'i'), {.rt(, (i,tl i i1t,r(, trr.ritr rrtr;r triutrghiulrriecltilatcHlc;iirl;ri.,'jtrr.r)tr:ll uir':)lc pe planul vertical rlr: l)i-oi{.r(-'tic ilrrrrrgl rirrl eclriIateraI m'A,,llnirrrrler';rratrr rnirr'irrrr., r!rrc:irril tlrcaptaAullnperpcnricrrlalri 1r' ru'ii ;i rircptc la 30" din m', de oparli..si rlc irlta, faIli rlc nr''ii. Avinrl latura Allo rr lritrir(lrir rlrrilclrilrrteral in adcviratii ltili rlr', r.:r olrlirrc po cl proiec{iaorizontalS;b a latuiii AB, tlrcirptaD fiind orizontala.Riricirrri!irrii tic rrlrlinc, rczultd pe d'proiecfiilr vcrIit:alrn'si b'. 20 Se rabate planul rirrrrcl rirrlrii Ie plarrirl,lc nivel H' care con{irc orizoniala I} (cl, r-l'), orizonlaldcareseia ci axa rlc ralralcre(iig. 7.2). PunctulM (m, nr') scrabatcin rn11. Sc corrstruiegtetriungiriulechildcrzilllr11ab, perrtrticarese cunoagtelunginrea iriilfirnii rrrsr,r.I?cvcrriucl din rabatere, sc ob itr proir.cliilc punctclor A (a, a') gi B (b, b'). : PROBLEMA 2. SI se dctr!-nrirreprniecfiile punctului M (nr, nr'), crrrroscind distanfelesale di H '

F i g . 7 .1 tn t

Fig. 7. 3

l. p 9i 8 respectivfafil de planelede proiccfiegi fafl de planul [t dat prin urme. Cu ajutorul unei schinrbaride platr vcrtical de proiecfiese planul Q paralel cu planul P qi construiegte situat la distanJaI fafl de planul P (fig.7.3). Planul de nivel H'dus la cota I gi planul de iront F dus la depiirtareap se intersecteazd dupd fronto-orizontalaG (g,,g') care interplanul Q in punctul.M (m, m'). secteazd PROBLEMA 3. S[ se determine, in adevirat[ mlrime, {istanfa I de la punctut A (a, a') la planul P dat prin dnepteleconcurenteD (d, d') gi D1 (d1,di), firi a utiliza urmele planului P.

Fig. 7.4

Fie A (a, a') punctuldat ;i D (d, d'),.t), (d,, di) cele doui dreptecorrcurente irr lrurrclrrlS (s, s') (fig. 7.q. Direcfiile urrnelor,planrrlui P sc: oblin determinindorizontala(eb,e'b') qi frontala (ec,e'c'), care rezultii din . intcr"ec{ia planului P respectivcu planul dc nivcl ll' pi cu planul de front F. Din punctul A (a, a') A (8,.8') pe planul P, se duce perpendiculara luind 8l-eb qi 8'J-e'c'. Cu ajutorul planului proiectant Q dus prin dreapta A se giisesc proiecliile punctului I (i, i'), piciorul perpendicularei A. Printr-o rotafie de nivel a punctului I (i, i)' in jurul axei verticalerle rotafie (co,or')duseprin punctulA, seob{ineacleviirata nrlrime t : a'ii a distan{eic2iutatc. F'ROBI,EMA4. Sir sc dctcrrnirrclrroiccliilr' dreptei G (g, g') care interlrclt:rrzir drcplt:lt: D (d, d') gi A (8, 3') datc ai sr: giisc;tc la o distanfi cunoscutiI fafl dc un plan I) dat prirr urme.Fie D (d, d') Ei A (8, 3') cclc tlo,ulrlrcpte oarecaredate gi PP'plalrrrl rlat prirr unnL) (fig. 7.5). Se construieEtc planul R paralcl cu planulP la distanfacunosctrtri P. I fa{iirleplarrLrl Pentru aceasta,se consideriio troruralrioarccilrc S (s, s') la planul P qi fie | (i, i') putrctul itr carenormalaintilnegteplanul F. Se pot obtine astfel reveninddintr-o rotatie de nivel a normalei proiecfiile a ;i a' ale purrctulrriA sitrrat la distanfa lpe normala ia{a dt: L (l)cttlrLt sirnplificareaepurei s-a consirlcrattli-siarrlaI doar intr-un sens.) Orizontala nunctrritri

Fie. 7.5

103

t

paraleldcu planul p f;^(:,,u,|), ttcala(K, K') ne unde'trcce are urma ver. ur,* u"rii.rra n, R ddsparatel,"u prnnufe.troiecliile lfll,lylri 0reptetcautateG &

niri',f)j1*'Jli.t[pt, I-Ci ryl!".resp_ectiii Jii'!l'f rnrersecteaz.il planul-n. p.ntr,

"Uti_ ::lro ::,p u l .te l o=rM si N s.aui.iillzr ' ""- "" i"' r ' iloncl" p rccta netc d $ i e i = g,.

* determine proiecfiire f.T3J*iT'1,"1' .f,i 'li a;!-

;ffii;i",!#"iproo,,ngf in^^5el+i_ pd:' ]L 'bTir,'[E:

i

t?,o,) qi

[.'if.,f,.,

I

jL,?!" o;ii #ll!, o""ffit,il::; Itil,qil, rte proiec{ie " 0uind p,lflt'1t" ,,',4'J*1, U;J;';tj'"'1 ",il'",;,,?

*

j

(8 r,8 i ),,.si tu a ta ,.liS, ig5' in pian v.r ti.ut ""i,r

I,

'#" "fl:.,Ti; i" lg,i,$:,,J:f;ii!, ".ch Dr. (dr,, di).,E ^,,f fec t u in a p u oi" o 3:t._.,r 1. i rnbare oe pranorizontal de.proiecfie'irriij"iini,,r"

pamint osx! perpendtculard gi), pe se translonni frontala A r (gr, g ii i* n , ' ir" e rt ic a t , Ae (8!, Di), iar ,.:1rlir' our..r.u nriO,, Oi) t"l.: dreapti oarecareDa(dr, di). Ducind i D li A d a t e . ili ,1?l

I

l.';:i ",1', i. ;;rl;;i;lll: i :l:,:,:,,;oj;i.,,':,' ;i";r:11,1 j,x,:: ?ilf,"[ :|]jd;; :i.i;:ffi0#lin, dreaptaoarecare Dn (perpen_

l::.li:ilr,Ar_ drcutara dusil! fiindo orizontalil. nerie,]in,i ,fin d.e. pranede proiecfiefdcute, :flli:,biiil: se

oDltn proiecfiile nm : g qi n',m,: g, ale perpendicularei comuneaiirt." ..l.'oora ?."pt.

I ;ifTi1 t'":ti*it';;X1.,:lJ.f;u,,fl'T;j

ij: sr,T it:nj\rx,i: liffii['r'ry1-tll ;i,lf,ii;rjlir;,; m;i;,;l;,, ftil4i'\t;il l:l,rli;il,l

;t"li;,?i ,lri fijtd]dtiir),lii'u,f

; {l ;#l*; fl:,',r*,'rt'3 :ii,t t:l*i i:IIIli,1,: i,,l ii:ii,?;i Iiliili,i,.,il, l,ij,F,;ili

i,xl;i ;: ilii$,,i];i,r,it,t"t ilil iil!,gj

(< o . . c o(c ' ).u p rin sc lriirr iir i; i, ; ; , , ,i ' , , , r i ) c . r , r , ,

I

I

:*ll;l;:,,1,;; i.liti-';li",f,'',f,li'l;fii:;il

:i i:i:ir:, ffi#liT#i:;ri',:*:irq :1 tiiT.}'lx,,ti,, sirli* i,p,;i*::!i:fi rlln i, drepteleoarecareD

Fis. 7.0

*:itTf;:i"tft ,*"&t t!:'Ti fiilfft'j

I

I

_

clreaptaaa' unghiul

- pi , t,rrrpl1111q11{111 IA dat p.dintre'dreaptaczrut;rta $i l,larrul il_S,!iulu1 vertrcatde proiecfie(fig. 7.9). priri a, se rluce o dreaptda'bi, caresi facii cu dreaptaaa, ltnglriul (+ -oc), corrrplcrrrcrrtrrl rrrrglrirrlrri rlat z dintre.dreapta cziutatzi;i plarrrrl oriz
Fie. 7.9

Fie.7.10 105

Fig.7.1I Problema propusi poate fi rezol"ti qi astfel: 5e cons.iderd punctul (v, v,) arbitr din planul vertical.de.proiecf ie gi se duce oiecfia v'h1 sub.unghiula fafl; de ox ,(fig. iil). Se con.11xielte de asemeRea segmentul,,fir: v'hr, care face cu segmentuli,h, unriuI g. peipend_iculara coboritd din h, pe rr, di a, iar arcuf de cerc de raz| v'a-dd h pe linia rle pimint. Linia de ordine coborit;riinh' intilneqte.inh arcul de cerc de razivhl. Urmele Q, tt') li (v, - v') definescdrer'ta D (d, d') ciutati, care face. astfel unghiua cu ptanui oriz.ontalEi unghiul p cu [lan. vcrtical rle proiecfie.

7.l:)

I I I. Dacii a --l 0

n

2

i rr o b l c t ri a ;i tl ttti i t' r l o ttzi

solufii ;i cele dr-ruadrcpte D sinI rlrepte r1e profil. Cele doud plane P c{r c(iresplrndsint paralelecu linia de piirnirrt. Itt epur;raliitrtratii se consideriiutta tlitttrir r:clt' pittt-ttsolrrlii dc la cazul IL Sc rlttctrtlirt u .scgntlttlttlabr, -p) ., ficind unghiul P crr fcorrrnlcr,,t'tttar ; dreapta aa', iar rlin a' sc
Discufie: Vor fi afitea pianep cit'edrepteD pot fi construite ln condjtiileploblemei-date. Ca dreaptaD sI existetr'ebuie ca:

+-"* l -P <-Ls au 2 2 '-'-g I. Daci a* 'p(|, 2

d+g)-n

- - - - - 'r ''

2

probie ma e s t eimp o s ib ill

IL Dacda * g,

problema admitepatru +., solufii, .deoarece existi patru drepteD, cleci patru planeP. 106

Irig 7 l3

Fig. 7.l5

dintre planele P qi e. Se rluce dre,aptzfl6n1 care lace CU it6fftunglriul rlicrlrLrcrnriis,:rrl. y,. UrnraorizontaldR a plalrulrriciirrtatcstc obIi_ in punct arbitrar M (m, m') pe dreaptaD qi nutl prin unireapunitelor h n. Ilczulta R*, :ir ajutorul frontalei1mk, rn',k';perpendiculari care unit cu v'cletcrnrinriEirrnna vcrticaili c aceastlidreaptirse duce planul pp' perpen- cdutati R'. Problema mai r.ornlrortirlrrt.;ro icular pe dreairtaD (d, d'). Acestaeste unul solu{ie, care se ob{inc ducirrtlsirir irrrglr irrla , in planelc ciutate. cea dc-a dotta drcapta c(}rrt.rrrt,rrl;r crr ir,,lrrirr PROBLEMA8. Si se inscrieintre urmelep gi p, punctul ao. ale.unuiplan, un segment(ab, a'b') de lungiineI PROBLEMA10. Se considcriiclrcapta (hv, h,v,) JatI,.caresd-facdcu planul orizontalde proiecfie situatd intr-un plan de protil. Sii'r;crlucii priri 'arbitiar unghiul a dat. Se-alege un punct aceasti dreaptl un plan ale clrui unne sA \l (m, nr') in planul P gi cu ajutorul frontalei formeze spafiu, intre ele, un unghi a dat. .in mk,. m'k') se determini o dreaptd(hv, h,v') go1;id9rd problema rezolvata 1iig. Z.t6;. 19 -:nfinut5 in planul P Ei care fac6 unghiul a cu nnj planul cc trcce prin tir.cal't,,ii" prntil -ianul orizontal de proieclie (fig.1 .t+1. Se fie Fu, lt'y') gi cuprinde ihtre rrrne rrrrglriirla. =iectueazlo rabaterea acest6idr'eo-te imoreuni se rabate planul P pe planul dc profil e, ,-r planul P pe planul orizontaldb proidcfieEi lar apol se rabatcplanul e pe pianrrlorizontal .: construieqte in rabatereparalelaab6la hv6 -e lungime I dati. Reveninddin rabatere.se ::iine s€gmentul(ab a'b') ciutat. PROBLEMA 9. Se consideri planul dat prin urmegidreaptaD (d, d') confinuti in acestplan. 5"ase determineurmele R ii R' ale planului :;re trece prin dreaptaD gi face cu planul p ;:lghiul diedru cunoscuta. Urma orizontali a : enului Q dus in punctul A (a, a,) de pe 'apta. D perpenrlicularpe dreapta D, prin ,-:a orizontalik a frontaleiF (f, f ') (confinutd : rlanul Q) intilnestein m urma orizontall a - a::ului.P(fig. 7.15).Dreaptaam esteproiecfia -:._:cntalaa dreptei de intersecfiedintre pla-=.: .P.Ei-Q. Se-rabateplanul Q .ute coniine : --.ctul A pe pla.nulorizontal de proiecfi6 gi r'i :5ltne Eem, rabatereadreptei de intersecfie Fi g. 7.l (i 107

itt j*:fj"';i:fi1'::;liii,, i ;i.i;:l:ll;t, li-r,ir ijjlili: :ii ii :;, i,.,.,'. o fi$$54#$tTh'*#$trhilijf l':i*,i,''i :,:;;i,:',;: lt'::#ftj:lli;:r#i*.1'i* 12" Se consideri

rrnrra ,i,l',,' ,siunpurrct o r;,;,,l,,ill";;ll-,i,,,: ,llli,.l,.l..,l,';

j,,r n,.in j,j'i;l;ll ;',fi.J:TJi,'Ji t,I";,;1,1, ;l ;,i';;''','i',,,", l4o Sd se detcrmino

*qt;lffd.o:';u:';l:'=:*'

t i I : :::'', i :,. il;j.+H,,,h;,d,fu;,iil,l,:',,":rii{* ; ;n,giili,$ 3}5g.f},H.:#ru 1r**n' H] *ffi i r r a r i c r , ; i r ; r t ;rir r ;i r i r r r cr l i sl a r r l cl cg ,

i'trc r A (o'u)rri ;iH:T:,:1ff:jl" "r' 'rrrtctt I D - S a s e c o n s t r u i a s c ip r o i c c l i i l c

r r r r r r il r i r r n g l r i i sn sce l

rtio't';iii iiJi"#"Hrj;i1"1':"rlir'iec1iiie ; nt,ti; I ll csterrra r int,.-,,n i,,,,;i/l: ii,, li,li,i"li","u',,"i' 1, ^si ;r

finiiii

z2 pRopusE iJ' ;i ;lli;:',?i1";f ,';|;ll',''ll",rrcrn' n ; i s;rIt' rttij I.a'c' 'R.BLEME (disronfe) i[,,jil#lii:{ffi,Trl,sril;ii:,i*nl-U. &S,il,:1,;t i: rutiilflfiiiilt'tinI ii,l,ll*,,t,,,1lii

1,,?l*',"',?';'il1'ffTiilii:Ti,i,T,fi';,,n',.unru , iJi,:,'i;;l; j ;T ;!i:!lt 3,i:,1', ?, li,,j,aii, :*:ii:,g i_, _.1,,,,.i,|, J1.^,,.),|,.', ;il$,;[,fli:{,lriil :cxr rt'

i;i;; fifiuffi i*+i*E ff**ffiilfi'' rl,1i, I'f-:'S:'iti{#: ir r,,i:, .r+ft i'trifi'f ffi *fr]i#ft illj#i*+} ii,,iilxr dreapta D, concurerrf ir c

I " iii1i!!,',i.1i'r' 1;;;; ilt'g;,t:i"i',ffi# "ti{ ;"''lJ:i'il:i ;H ili.'tr i i ti* ::fliiiilii.fi";,ri ill,ll";l; li:;ilil i,r,:ii:$ti r',;li ; ir ;,,;1;;i:,;ii t 9 " S e c o n s i d e r dn u r r c t r r l , A( a , a,)

; i r i r c;r p ta D ( d , d ,)

curenti

crr dreaptaD rrsi ili;;i''i;':llli''{ ;;';iiiil]'lli .; ll; ;ll:;lll: ;l:;;';iiiill'lli ,1 ' ;ll:;lll unui p,an l,uoti;n;;';'';i;;'i''i;,:llli',{ '1 I ri f :rq '; ix;l f*i;iqli,,i.:itir i:[ii; fril,;:t

sT:'hft:ikiftilir,r{tu i[i'fii'i*dji i i,';,ii ii,ri,ilii ruru;ru*ii li ,*ii:ii r.,rnr:''r,rrr"n*il;ffi;,ii{iriir,rm:[

;;: l,; '** fffi51,_;iit1i,i:i, rtlii,,l [j$"::'::i#;:u:6?i:,liffT;; :,;..;; dreaptaD, esteparaleldcLidreaptaa ii iura.iut

.,) !.atd, cunosclnoorstanlete .-t_j?l I $i p res

lniru],iqti6f14rf;;ii,, ili

vêiticari Diil ii'lil;.dreapta ;;;;.;,['xr;,tsi'1,",,Ii ;i;1t?6*-,*i"Ut:A I;,;i:,i,.1,, i,,, r,,c Sase

; .:;r r1r,;'1,, ?(,i' i;,;;;,r, li:ru,:.fr:ijd lll,ffln ffii**t:iliilii,f*'fri*=allili,ir:'r

j,,i{,iil*'i:lll: ffi[i*,*n*:ffi *#trl*:'?,i,i,**-.#f,.,L:;i* ilili'ii

:,, l;, rti:*Iii *"i''li il;ft ,u ,t,i'ffi *i#;-1.-,## ilffi n:-i,"f, f hliii;$ ;

accea$i a.ia'.::-: ,,ttlon3'li,.l,iiL,ir;:,,rr,,'i 1r ir;'i,,,'ri.i, r,r;,.,,i,,,.r,r,, i ;:"!}'j:ilt,.il,,u,|,"':oaibd rrneii-'l.

:r:: !ri:r,,, 1,r,:rr,i,],1 ilt'fi"fl6+ifi'f;1,1rli,tifi[**{*-iliii:',riri:; hl-f i;j";"ji;,;;il*i,,i ,', r,,,,ia* 'ii,,'1 ',r fiffr:irl:iff tr"ti,[i$:::T:]::"'l:Tj::n;:'5i;ili: firii:iliii'ji,,,,l,,,' segmenturui cuprins intre;:lgtiT;il;+*-i*t*l;ii ,.m.r.un.i-ai;;i;i;f.illa ,il,1:ili,',lJ Il' Seconsiderd dreaota-D.(d,,d,).ale cireiurme(rrlurr.] .?;rfl#"1*

1X1,j]iill

i'd,fltli':.1tiflf,.';,?TT h*lT"i;,]1}',,j,1lX l\iiiftl,ll,ilii,l{, "",,*lnl,,? ;,,^; JJfi1iiilij.,'f 108

28 " Sii s c dele' r m ine r m a v c r t ic ali p, a un u i p l a n n a r a l e l ctt lirria r lc piir nir r ct ur ) s c in(rlr r r r r a or iz ont a l i i r a r , i a r r r r l u i ;i rlistar ll; rt r r pr ir r s a' r t r c lir r ia t le n, { nr i n ts i n i a r r . 2 9" si s c dc t c r r nincr r r m a v er lic aiFt p' a ' u r r u i p l a r r cunoscirr.d urnla sa ornontaliiprgi distanta b cLrpiitrsl intre p lan gi un pur r c dat A ( a, ' a, ) 3 0" Si s e det er m iner r r , r elep gi P, aie pl a n u l i i i d u s p r i n d rea pta f r ont ald F ( f ' : ) la dis t an{ i iun o s c u t d g i a {i rle un pr r r r c tA ( a, a' ) t qt . 3i". Sa s c dc lc , r m incpr or c liilc ur r eidr ept eG ( g , g , ) c a r e sa .trca r a pr llt f - ull pr r ncA ( a, a' ) , c uno s c i n dd i s t a n l e l e salecel e, m ais c ur t ela dor ddr ept e' Dqi A d a t e ,d r e a p t i D fiind iar A drelptahe capnt. -verticald, 32" S5..se. deterrnine proectiile unei drepte O (g, g'), parateta la o dircclie ctnoscu.ti E (e, e.), cunosclnd distan lele s ale c ele m ai s t ur t c la doud C r 'e . ; t eD g i A da te, D. f iind v er t it alii,iar A dr e a p t 'bd e c a p d t . 33 " Si-dr . seapt rde : t era m inepr oieciie f v : r t ic aled, q i 'E 'a l ed r e p t e lo r D g i A, c unos c indpr oiec ir ileor iz on t b l ed s i g 'a l e acestordrepte qi proiec{iile19,g') ale perpendicularei comune, dusd intre cele dold-dripte. 34o Se cunosc: dreapta D (d d'), proiectiaorizontald I a dreptei.A, lungimea I a .reipendir:ularei lor comunegi pttnctul A (a, a'), unde perlrendiculara comuni intilneste d rea pta D. Sd s e dc t er m ir t epr oiec t ia v e r t i c e l d g , 'a d rcp tei A qi pr oiec liilc per pindic ular cci o m u n e ,

7.3.PROBLEME (wshiuri} PROPU{iE lo.Si se dr r c i in planr r lor iz oni. alde, lr oie c {i ep r i n u r m a orizonlali a urreidrepte dgarecaretl (d, d,) b dreaptb , at.' 4 (8, 8 ' ) c ar c s i f ac d c u dr eapt aD r n' un s h i c r d 2" Fiintl.tlatadreaptaoarecareD (d, d,), sd s"eccnstruiasci trrmclcP gi P' alc plar r r r luic ar et iec e nr ln a c c a s t dd r e a n t d ;i.fa ce t r nghiul diedr r rc r dat c u planu! ve r t i c a l e , d u s prin dre aot a D. 3o Sd se ' c ons t r uias c d pr oiec liile unli t r i u n s h i e c h i la tera l.ABC s it uat in pr im ul pk in b' s e c t o r , Jtiina ca virfLrlA ( a: a' ) es t e pe linia d' epdm int , i a r l i t u r a A b l,?ce^-un unghi de.3o" .cu plarul orizontal de proiec{ie. {" Sa se determinc in adevdrati merime uhghiul a cuprins intre orizontala .G-(g,g') gi planul dis prin ilt..A. pdm int gi punc t Lr .l { "( o, - a, ) . ' r" 5a sc construiasci locul geometrical punctelor egal depdrta.tede planele concurdntep gi e ii de punctEle A (a, a') ti B-(b, b'). ','.Sd .se duc d pr in dr eapt a D ( d, d' ) ale r i r e i p r o i e c {i i .'o rncidun plan P av ind ur m e, ec onf unda t eS . d ie deter'-rirrerlreapt aD ( d, d' ) , as t f c l jnc it uns hi u l a . D e c a r c . l . 'rn taa z ir pr _oiec liile dr c pt c i c u ur m elepla n u l u i , s i a i b d - valo ar e dat i. - Sd se determineproiec{ia verticald a, a unui punct A :rtu at irr t r - Un plan, c unos c indpr oiec t iaa . : r r m a o r i z o n ',1 d,P a . plar r ulir i r r r r ghir rdic l dr u c r , ' , r : r p r i nl nst : c p l a n ;i '. pla nrr l v er t ic al t le r lr oiec lic . :' Se considerir. rlreapta A iS, S') care intsisecteaziin : :.ctrrl.A( a, a' ) plar iul P dat pr ir i r r r r nc .S d s e d e t e r m i n e :-:iecliile unei diept e D ( d, d' ) , c onlinuti i n p l a n u l p , "-.: int,i lnc gt edr eapt a A in pr r nc t ul A su t r i r n u n g h i - - -,lscut cr_ . 5i :S deler m ine pr oiec liile or iz ont a l e i G ( g , g ') -..:- rn lrt nelt e s ub unghiur i egale dr ept e l e D {d , d ') 9 i - l, d') dat e.

1 0 " S i s c d e m u n s {r c z ,cc: 'i , d ; r r . i it . ri l r l r r r r :ri r l r r r, l r si l ) ' i t l c t t t t t t i p l a n [ i r <:f i c c l i r c r . r r I i r r i ; r r l , '1 r : r r r r i r rrlr r r r i r r r ,l r i d e ^ , i 5 " 0i l i u t t c i t u r g h i r r lt r r r r r t , l o li r r . J , , r '1 i rcr s l t ' i l r ' ( i o . I l " S I s c d e t e r n t i r r ep r o i c c l i i l o r l r c l r l c i l ) ( d , t l ') , i .;r r t, l - r e c t , l r i np u r r c t u lA ( a , a ') , i r r l i l r r <'1 t t 'o r l r t '; r 1 r 1-\:r( 8 , 8 ') d a t d ; i f a c e u n g h i L r r i l ee g a l e 1 ^ r rc e l e t l o L i i i l r l a n c tl c prolec!le. 1 2 " S r i s e d u c dp r i n r l r e a p t aD ( d , t l 't ', , r 1 , 1 , , r , , ;i .ti t.l i r r ,i t i r r m a P a p l a n u l u i s a f a c i i c t r d r c ; r 1 r t ;Dr t r r r g l r i u tl l l r t z. 1 3 " S I s e d e t e r m i t r e p r o i c c ! i i l c o r i z . o r r t : r l t ,Gi ( g , g ') , c . u p r i n s di n p l a n u l o r i z o n t a l c l e p r o i e c {i c ,i a r c i nti l r r t'yi c d r e a p t ad a t i D ( d , d ') , s u b r r r ru r r g l r io . 1 4 oS e c o n s i d e r dp l a n u l P c a r e t r e c ep r i n l i r r i a c l cp i i n i n t g i p u n c t u l B ( b , b ') . S d s e d e t e r m i n c p r o i e c {i i l c
i09

lntersecfiesl niba direc{iad".rtdD (d, d') gi si tntllneasci linla de pdnnint, 28oSi se'artte ci planul birector P al primului diedru gi un plan vert,icaiQ lnctinat cu 46"'fafd de planul vertical fac iltre eleun ungh'de 60o. 29o Sc conslderddreapta fioltald F (f, f'). Si se ducd prin urma el orizontaldo dioaptd D (d, d') care sd facd uttghittldat acil frordalapi a$fel lncit.segmentulinterceptat de cele doud plane de proiecfiepe dreapta D sd aibdolungineldlt ' n. 30" Se considerd'planulP oaralelcu linia de pimint gi odreaptd de prdfil (hv, h'i') din acestplan. Si sc duch pritt at'eastitlroayti de prcfil un plan Q carc s;i firci cu planul P ur r glr iuidiedr u da t u . 31" Se considcrd dreptele concurente D (d, d') gi Dl ( dt , dt ) . S/ r b: det c r r n i n ep r o i e c l i i l e p u t r c t c l o r 'e c h i distante fald de drepteleD si Dr, .situatepe o dreapti A(8, 8') care nu trece prin punctrrl de interscclie al prirnelor rloud grepte. 32o Si se deterrdne urmele F gi P' ale unui plan care trece prin dreapta D (d, d') 9i face unghiul diednl a cu planul orizuntal (vertical) de proieelie. 33" Sd se dete"ririneln adevdrati mdrlme unghiul cr pe care-l face r',ueel de-al doiten plan bisbctor o dreapti D ale cdrei praiectii d gi d' cinl egal lnclinate faNdde linia de phmint. 34"'Sd se d,rterrnineurrnle P gi P' ale planului care trece prin 1tunctul A 6, &'1, este perpendicular pe planul Q dat ilrin urnre gi face unghiul diedru cr cu planul veitichl de proiecfle.

35" S i si detcrnri rrc rrrrrcl c P -si l )' al c pl arttti Lti c : i rrrt' c tt un pl i rtt < l t: prc r trcce pri rr
proiectie. 42o Si se determine uflghiLrla cuprins in spa{iu lr u r m e l eP g i P 'a l e L r n t r fi l a n , c t t n o sci n du l r g l r i u r i l cp ' p e c a r e a c e s t eu r m e l e f a c r c s p e c ti vctt l i n i a r Jep :i r n

C o p i t ol u l

V l tl

P O L I ED R E 8.'I.GENERATITATI

scriseuneisferedc ace.la;icentru. in spafiLrl tridimensional existi cinii i-n;;iai"cinci poliedre.regulate, 3 - 1 . 1. D . E F IN rT rr. gi anume,-t"iru.J*iR E L A T i l L EL U r EULER. frrrirur*r. trtunghiuriechilaterale pottedruesteun.corp_geometric cgale),hexaedrulsaLr mdrginit -n defefeplane.Acestefefe.plJnepot ii poiigiane eEale), o.tu"o.ur na!.ra1e .tete 1o1,t cu un aflumitnumir de laturi. Laturiieadestor ill"l_l!r': Iet.etriunghiuri echilaterale egale),dodecaedrul "i.osauJ.ui-qzo,r" :oligoanealcituiescmuchiile poliearutui-qi 9i {l? f:tS pentagoane.gsale) :ez.ultidin intersecf ia a doui fefi aldturateaie echilaJeratc ecatc)nce*it,,1,t fl: ].Tr:e_hilri, :o iie d r ului. Mai multemuchiialeunu ip o lie d ru esIe.[Jn rezul tat i zvori t rl i rr t.t,l t.rl ou:r l cor t , t r r c :,nt fi concurente intr-un punctnumidvirf al al e l ui E ul er: :lliedrului, care este totodati punct comun l. Dacd se diaide un poligorr (.()ttu?.yirrlr,tur f TJry gcl pufin trei fefe ale' potiedrului. unumil yjtltqr dc poligoatrc,'ttltutt,i srurttitlirr/t,,

r-oiledretepot li convexesau Concave.polie_ irele couvexesint acelepoliedrecare nu pot fi :ctionate^.deplanelepropriilor lor fete. polie_ ::ere pot ll de asemenea regulatesauneregulate. j:liedre-le regulate sau poliedrele platoniene au :=:ete tormate din poligoaneregulate cu un :::..a;i numlr de laiuril iar toa-teunshir.il" :.:ire.gi poliedresint egaletntre ele. poiiearele 'rgutate se inscriu intr-o sfer6 gi sint circum-

0enumireo oo/t?dru/ui negu/ot | Telraednu 2 Cub (hexoodru) 3 Octoednu :i., 4 Dodecaednu r 5 /cosaednu

ltttn:lrlt,l feleltr [r(tli gttttrtcI t,r'si It tu Itrt, tt I i,i r.I t rt t I rtr aepa;e$tccu o ttttilalc nturtttrrrl lttlttr.il,,t, ,l,,ti f* v:l + 1.

Il ., orice.poliedr-u !ry 9t)naex,strntttt!irtlrt, ntu)t(trul lelelor gi cel al uirf urilttr c.sler,gttl cu ttttrnurtrl

muchiilo-rmdrit cu doi, deci n ll y-_ ni -1 ,. In felul acesta,nu pot exista rrai rnutt a. cinci_poliedre convexe care si aiba acelasi numdr Kr de laturi pentrLr fefe si;;;i;;;

Po/iqonu/ redu/ot fdtd

tniunghi po'lnot tniunghi pentagon tnrunght

ilumriru/ de fere much/t r.F V 4 6 I

4 B

/2

20 .t2

ZU

t)

Nololie

6 T :4 n t2 C:6r,i to

0:B 6 o: /26 .70 I -206

,1U

Itig 8.1

lll

Oenumireo po/redru/tr senireEu/ot (qrhimedion)

A t/ A t// A /V AV AVl A y//

a [[t) A/X A.{ AXl A XII A XIt

/btnoedi,u/ / rurcltrot tubocto srJru/ h,iok on taq ans/ ( i c o.slc' decoedri/1

tVuntcirtt/

4f'; + 4n tfo +,96

c/e

B /+

/2 fi + 208 32

30

0cI oe dru / trurtc/trc't 24 /4 B Fu t-OQ (po/iednu/ l{e/virt) 00 32 206 " 126 Jcosoednul frunchiot + 't4 24 66 Bn ]ubu/ lrunchiet t2s6 60 12ft6 0c'decaedru/ .tt 2/t 26 lB4 * 65 r?omltcuboctodnu/ e' ,?ombicosdadecoednu/ 126 +30F4r295 62 60 4B 6E +8G+/24 26 d'ubocta edr u,/tru ncltrbt /2 f/0 t20Gt30F4 62 '120 lcosdadecae&u/lrun 24 6n +32fJ 38 Cubu/ tesit 60 12F, +eg6 92 !/odecoeo?u rcslt A.

60

nr

36 9A 36 a0 48 /20

c,0 D,I

/z

/80 60 t50

c,0 nr

UtU

D,I

c,0 D,I

c D

mt@To/&@,m Fig. 8.2

POLIED R EI.OR iiurndr Ko d. mt chii pentru tonte unghiurile 8.2.REPREZENTAREA poliedre. Caracteristicilepoliedt'elorregulate sint prezentatein tabloui din figura 8.1. In general , pcntrrt rt' prczt' tl 1;trt'; t r t t t t i cor p geometri c pe < -repttra tt' t:btti tll )rfst lil. t lsllct lllos-

Polie' duta defi ni fi a geornetri ci t n acest t t i cor p. I n 8.1.2. POLIEDRELESEM[-RHGULATE. tlreleseni-rcgulule sau potietlrele lui Arhimede acestecontli f i i t;c coltstt.rti t' sl l )l ' ()i(' ('t i i lc I t rt Lt t 't - r t ' sint poliedre convexe,avind ca fe{e poligoane vi rfuri l or dupi carc sc Ll l l c:rcacc': ; t eput r ct e regulatediferite (acelaEitip de polig'ranefiind cl oud ci te doui , drrprl tl cIi rl i fi a geor t t et r ica a bgite) qi unghiurile poliedriceegalefira a fi pol i ecl rul ui , ob{ i ni ndtr-rt' ;rstft' l l rro ict '{iilc t t r t ui llolict lr u au toate mu- i or muchi i l or.' P ri rt proi cctarci r Ltt r Ll tegulate.Poliedrelesemi-regulate for llt cit zlt t t ll ttttrcl ti i di l rtrc pe pl att, unel e un dar sferl intr-o pot fi inscrise chiile egale. Ele ' pol i gol i care i ttcl ti tl (' l )r()i (' (-' l i i l ctt it r t r ir r ' t 'lor nu poL fi circumscriseunei sfere de acelaqi nrtrcl ri i . A cest pol i gort cstt' Ilt r r r r il conlur i al tJ centiu Du pd Arhi mede existl 13 poliedre : t t t r r Lt r ile . S c,tl trosebcstcot aparent al pol i edrrrl Lrl scnri-regulate.Inraginile pc'liedrelor semiverti cal si ttt l a t cr al pct t t r ut oi zontal , abarente tegulati pot fi obfinutecu uqurinfl pornindde uh ool i ecl ru tl at. A ccste cotttrtrttri lr par t 't t t t :pot la- i nraginile deja construite ale poliedrelor avea di fcl ' i te forttl ,-' ,cl trt' si nt [trl l c{il t lL' poziliir regulate respective asupra clrora sc executi rel ati vl di ntrtr pol i ctl rrr si l rl l rtrtrl t lc t r r oict 'lie' divi- P entru obf i nerei l tttti l t' 1l tt;zetttlit t : lr t 'rs; (anu';nite necesar{l l r f acir operafiunile geontetrice definireavirlului poliedru- i magi ne este ttti l si r se sftttl i ezt 1 r c t '1. r t t r ii1r l'it l ziuni ale rnLrChiilor, lui, etc.) l)upii nurnirrultotal tlc feie ccle l3 l i ni i ' conti nue l nttcl ti i l t' r' ;rzLrl t'rtl t' polict lr t r lt t i, pot fi orrlonatcrst[cl : srl trc tl cttscl ri t' t'tl t' t' i ' l t' i tt' opt' ti l t' t ; r t t ' st ' 1t 'llpolicdri' :;t'ttti-rcgttlrtte d, 14, 26,:12,:18,62 gi 92 dc fele. Pr,tttruprcci- scaz-l icrt l i l ri i i rrtl ' t' t' ttl rtr' S t' Ii tr' t" r isllt llt 'i t lll irt studi u de vi zi bi l i tl tt: l r(' (' l )tl l .' r lr lt t t t cliilt r t ' zarea ;i sitttetizareaideilor sint p.rezetttatc ( ) ll\ t '\ ' ilr lc'polietlrcrlor vi zi bi l e saLti ttrri zi l ri l t' l l i r 1r' ' rl irir l 't l ( abIoui din f i gurlrB.2caracteristici pr t 'i': ''l t l' apl rt' i -' tt1 rl rept corttur 1,' l rl l rtt' ' l t' semi-regulate. 1.12 l l

fl :1 tflGlF I

-Corrt-urulSparenteste in

deci se tiaseazd-cullinie ::ratecazurllevl-zl.Q!!'. au pro-l,teeerre--9o.rt1'e-49. :lina. Dacddou[ muchii necoplanare interiorul din punCt intr-un doncurente :..llli. ..;i;"I"i'apaient, doar una dintre ele va fi -',iluita.m.utttiitecare pleacdtoate.dintr-un . i.i ptoi."tat in interioiulconturuluiaparent - ...i .l u toate vizibile sau toate in v iz ib ile ' sec o mp a r. a - . siir sit,pentrustudiulvizibilita{ii Astfel, puncte' diferitelor - til.'.uriepdrtirile care punctul este vizibil 6rizontald oroiectia -i Fig. 8.5

F io

8 .3

are cota mai mare,iar in proiecfia verticali este vizibil punctul care are depirtarea mai mare. care Cea mai simpld qi mai rapidd reprezentare si facd imagine a unui poliedrusau ansambluri de poliedrJ poate fi obfinutd prin utilizarea metbdelorde transformarea proiecliilor, deci prin schimbarea planelor de proieclie, prin iotatie sauprin rabatere.Acestfapt esteilustrat in epureledin figura 8.3; 8.4; 8.5; 8.6 ;i 8.7. 113

NTT

UnJnluoJenop.aleJurfqo as rrurl ur:d elcund pulun '(e'g .Fli).ro1aJnfrarord urrdelep ?]r9?u 'f, !s g. 'V 'S arprlrqreopund n:1qdp-reprsuoa '.suvceuvo

1s 'ylvgvudnsia rcNnd

.t'6'8 plBJJlJeAErlJrroJd .ezsq raNn vsuvlNirzeud:ru !elsJf,uInJnusld 3lB aorwvurd ,d. !s d.eleuJn !s e.tBslezeq f,qB " "tsluozlJo '1 us uarulilpu! pulssounJ eldeJp erul a1-a1_oirdec er Bopa^.BA as unr ;3*":3|,:J "llraloJd -nlqFunlrl eurslJd laun ayiriiefoJd RJsBtnJlsuoJ -aIlodêlpaJtJleuouoxB olrJPluazorda;nc .8.6.8

es PS 'Iewstud vauvlNazsudau

'tpy eldue-lpn.r our)l gzvJap InlnJre urlcasralur y^lpPllpzariI 16C:o1a1cund B IH : lu Blor rer 'oqs.l$op\l gzyr ep rrer ep :o1;ioJe1ear{casralur ap .p Jnlrund purreprsuoJaurfqo as (,p ,p) O -I InInJJJA e rpp ptroJ BJ grr:asq6 eg 'oer ' n:] -ual op,lnJJaJ uJ srJJSur0e0p0J0q0e fnuoFeluad arJceroJdep Iel.uozrJo1nue1dad e.laleqerug os rS oqoesefu; aFaleaS .(6.8 .FU) ll:a'trulsuor allraloro ep luluozlro ;nuu1d ad gluza$u elia eJuJ nr BVS plurelul uful pu!f,sounJ .aluJnie.r aleuoFuluadappuerJdlaun illifealord eosuln4s

-uor es RS'ylvNOOVrNedvotwvuld '6.6.8

'cordrra; rS,ur alecrlre,r rarfralord pundsa:oc eJec '6tu rs rur oleluozl:o rrfcalordpnop pl1zaJ Blsere Inl-alyl .rq rS qu ad ap l$ rr lrlrjdsar y_!Lq_o I'c I.sl?o ulp eulpro ep glpul puJroqo3 ": nlnJ ad eII 'gVS BlsJ ad a1; plenirs rJ ^?_gq e1e3o,tu,s alse plBJrlJer\arfrarord reJpJE WS BloparpBJ BAJosqo aS .ur BleluozrJoes erfmroid .1n1nrpar1od aurrxralap as FS eiegerdns ad lBnlrs lJund rnun B.BIBJTIJaA erfcaro:d,ru ell '.gleluozlro elfcalord ug plrqrzin jlsa 'eq :er .'BIeJrlJeAerfcalotduJ pJrqrzrleise ,u,s BrLIrnW 'a1ua;edu, JolJrnJnluoJInrouelur u! iolrrqcnru oJlrlJoroJd rs uncard ,lnJnrpallode1eelua;ede

FlJeJlp g:n1gFa1 o r5 91r1rqa1s u1 1j-ejeodBlsare1,i1"1

/ 8 .Ftc

iectiile rrente. ticald, rntald. situat ermine treapta poate r SBC. : obfin acesta i, care ciproc. e congonale E Care oiectie ruiegte oiec{ie b cenlrfului dr de gi sbs, Itd din a Kd1. SA se nghiuoiecfia '$i P' rticali

Fig. E. l0

t]ro

i

a bazei rezulla imediat considerind -eleplanuluiduseprin a, b;i c (fig. 8.10). ; iiind dreaptd,muchiileei vor fi perpenI--t pe planul P. Cele doui proiecfii ale :,r nuchii vor fi perpendicularele dusedin pe planului. planulul . :::-e :=-eA, b B gi C U respectiv fespectlV urmele 9la- x l+ : *^^ I ,,..^ J:- + - ^ ^^ ^^+., ^ una dintre aceste i-- a a;ezaindlfimea I -pe T se.considerdplanul vertical Q'care se ""*:--"-eazd, cu planul P dupd dreapta a cirei s: pe planul orizontal estehas. Se ridicd -::iculara in an pe has gi se obline a1n, .c rltoarce din rabaterein punctul (a1,ai) ii:rLr,r;ine bazei superioare a prismei. Cu ;r- iele doui contururi aparenteale prismei ':r *olet determinate.

+ REPREZENTAREA UNEI PIRAMIDE C6'ONALE.S[ se construiascl proiecfiile piiramide hexagonale cu toate muchiile u egale, cunoscind lungimea I a acestor ri, centrul (
as gi bs dau a Ei b pe I iar cs se ridicd din rabatere in c pe dreaptay.. (estul punctelorrezultd prin simetrie. Virful S (s, s') al piramidei se ob{ine aqezind indl{imea sico: ssbepe perpendiculara(of,
. . inll l 1 l - u oats ' ( g ['B:F rt)D ra l B ]u o zrro a de 1 (,q _ FalpqeJ t . , l , r as : y _r$aa:o1i;qer p - , 1 nu d q t g 'rh l ru h o

*'J".'r"i"r3l"E'"0"',J' :il: .'I?'"' 3'?3 adujul'nr"lnniii L""1, *u,!Sj:ll^!iy"!d 'jrltu,;pi"|il;li"i;i;J$i'Ufijd:r'"Tlf ;f-a;bi b:ec' -L"t o'rt"i";, .tl!"rd^ ",tjd_arer1' ,.^rs g j, ) 1l-i,n 5rrij"'"

o-'u"rf;:3 v' esorl_,! 'lnsn) nvs rnuqivxgn rg:f.s Br rolI ;:r?:.1:9.:p_arglBrnspisap

j"jl,J13 ;iJ;iiii;Y'''Jl;;ffi i; 1,,,"",'3:::"1

: - ; 1""- v ' u' r J Lr J dP J rltiP llllq lso d e jdn se ''' lelnFar rn1 n;BJra.r ,, srprrne^1 ,^ .-.1:-Yntn:d rla] B aleuo8ol.lo ni, lolaled trurrd rur.1 ." gls J SUJ as g . , gl. g , n +t.A r Is q n ,0 e;r.rn;r; ^ ,r,hQ,_

ttrpluaze:dar e1e

-r.;";!"ff;uloll3"o vl.g ;ip'";i.;;j. .;t"[ '(,1 't) S yJ atlelor .'ui1o',ralnJrn i,lr,yolu,.": :j:" 1sp11ni5g JuojJ B

t::ijd,:f .u l?'.,',;':fl ;'""',?jj,i,i - y.TIe

,u,rJ erlraroJd.CgV raief :,:-".-:lr" lnuej[ uJ FlBJlpu 1u41 . uy l 'eieinJrpujo ' , {. ' {) p_lj_ (.u. pr nlr nr r ar r (,u,)t 6Jrblr ' J lpud0 t'-' " y "' ll p,

: a d gZ eS'e jS I prrrrrt ror'

- -r

In J nJ poBJ lol B o{ os :

ab(si:d"rs;) l-,'11iiJ:3i F.yl'flnp i' rr jt'.,13i"nt;:','""*i,liii,,ui"^'i,l."l

o' fi!:i3i"y.:

qi-5r*i,,iil;i 33 _* ur6aloii 'j,,".1,i;:t:t:i.yl s stu-luoz;;6 is;;;;;;;" "ili"*; gy- aprfraroid'grseln4ibl"rJ qynsounc tdvi l13l 4el lnun".i.,p:':

iJ";

aralBq'rurp arr'olurt tt}?r(, lrrtf ,?,ll}'lt 'r

./

4,', grs.jttg

\4_V \

,/ \/t\/\/r

V

/nrPeprldJ

t

\/

\,/

st g Ftg

.J t t t

il

,* ,} :

F i g . 8 .1 6

are hiei e plr f€

C1

trca I

r'iliilI :iere fafa abncsdsa cubului care, se ridicd ILL:LT rabatere cu ajutorul punctului s in (abcd,

,rrur'h c'd'). Pentru" a g5si un punct Ar (at' .1i) irLrrr ,.;ei AlBlCtDl, se c6nsiderdfrontala (af, a'i') rrl :e duce pefpendiculara (p, p') pe - planul u,te'ABCD. Se roteqte aceastdperpendiculara ru ::nctul N (n, n') in (an1,a'ni) -9i se a;azd ilmr-:roiectiaverticald a acestei drepte seglnrm:ula'a,2egalcu muchiacubului. Revenind lu,n:oia!ie reiultd ai apoi a1. P-rin paralelism *t -=:ermindrestul muchiilorcubului' P 5e se construiascfl proiecfiile unui cub lilMrriirscind lungimea I a muchiei qi gtiind cd me din diagonale este verticall Ei pleac[ din purmrtulA (a, a') situat in planul orizontal de Fiea's' : I lungimea muchiei cubului 111mrr'rliliecfie. LLiriiilln'rr se considerd a;ezat ctl patru dln nnuriui' .i paralelecu planul vertical de proie,c{ie s. 'flflrq iz;. Se determind diagonala ?'n' a rilr:mr-,ri construind mai intii triunghiul dreptLrumm-.i isoscela's'm' si apoi triunghiul dreptlllluru:,"; a'm'n'unde m'n' : a's' : l. Se aqazd rirrumrn:A diagonalSvertical 9i rezultd punctul 11ffi g'). Conturul aparent al. proiec{iei E. se ob{ine construind dreptunghiul ',tm:.":5le

Fig.8.18 a'c'g'e'egalcu dublul ariei triunghiuluidrept; ungfiic a'in'n'. Conturul aparent.al proiectiei oriZontale este hexagonul regulat bcdhefcu centrul in a. 30 Pe epura din figura 8.lB estefdcutd trecerea dublu ortogonald banald a de la r6prezentarea -la reprezentareasa axonometricl'izocubului doui schimbdri succesivede plan metricd prin ^ vertical Ei orizontal de proieclie, qlegin{ unghiurile de 45o;i 35opentru respectivelelinii de pdmint otxl gi orxr. 4o in epura din iigura 8.19 sint recapitulate brtogonald principalele diin dublh proiectie -necesare construcfiilor proiecliilor mensiuni cubului in funclie de lungimea a a muchiei sale. Figura8.20 prezintddiferiteleposibilitdli ale unui cub. de desfdsurare

117

a6'8'8rc

BII, 1u1n8a.r. nrpeulro gnun e1u asndo f:_-fggJgvW lrnJrt^pnopluls (,u .uru) frl tt ls'(,p'i,u)-q1'r1"1"una '(,u,u plduaip .p

i,iid;ilr",fripfi,io, .6 "s;i t:";',_ap g rnrnlc-und flt;: :l,r"Sjgr Fi ",", ""' e,qtj lnlnueid

elor j:if::Frffi

ifi'ilifrjyr:B 9;"l.l .0qbulurp Brauneaiileq?I F,fir;;j; ar'r lErolpltqre tntAl?yiru+ n| -a1$amrlbrioj' ,g"i*'iu .quinlng,qrn 1nuu1o a0 eralpqprul ,i, rrnrqdunrrlluJs rnlnipa,elco "lnlnir"JJ.rronq ;s ynlhipeilui-;r,tjli;, ric"'p1et" ^:l:p -:i'. Intntertrpd ernier'.(ra:b':ii[)'"llr'oro :lsa_ n1.qg-ap lnue1d :l-.1.?lj9^ lnlq;unprrJpr'Hi BlBUodprprJrug lalls€.'bdiui iilnrlgd {"Basar} asp uI Inrluarnr .agicago.rg nr o08ap ;qFunin "pJ;J;ilrflnungo -elarurp punrp! ,arirelord-ep ,:l:l_g,n"i,Aiip'!""p elt"l ln1iioriro"rlnu"lc ut lunrls(,e 'u) ,pinJffii-bieJoau;p

i:Jjl^ urp?unerper?rorurnjai-o.lducsuln;lsuoras ps "rfi"ilil;,,ir,iy;11rr; .,InuoiIVJ3O ./.6.g ol oa g 'Flg

1

rT-n rlt E -1-l

rt--l

l+tr -r+F LJ

lnrPe pxaH

n .trE

-rr

-ff -4 ot' g' E l g

LJ

',:;ij t,j.

W,q -l-a (ark, co'k') planul mediator PP' al **egment(fi$. 8.22). Acest plan P seci octaedrul dupd un pdtrat a cdrui (cu - u aucvdr rrrrl dLd lungime r ur r Sr lr c rmn1 egald d adevirata este tr cBar ryL ff1 a l lld d cJL

--WnentuluiMN. Construcfiaacestuipdtrat Me ii executati cu u;urinti in rabaterea

l ; xr' .ii; iA ' j--;-

r4 \i'' r

-'-

.

t

ri

I-ttt i

i=l

rl

J1'r

\n

/r r y

ia,

,dru/

# #*# /\n 4 4 Yffi

't

iui P pe planul orizontal de proiecfie, ;ind cd (., ,') se rabate in
Fig. 8.24

l

't ' :- F

Fig. 8.2S

119

{.?

OGI

Inueldad1an1rs :*9 [ q-t ?rnl"lpuI^Blu]uozlro ebele' lnuo8elueri as raJlsv ?-!-9:!]_yn8a: 'ol 'lrd eJ elelnlrderer

oloc ep erfcunylelir8n': In-lnrpaerapopy pluuo8olro ntqnp 'piridrrc -sep BaJpluazarda: uJ url:elur ejec'aleiuaruela aleztleue +uJS66.9 ernFr; ulp erniie u1 o6

p,F;I;i:Tt:r?,";: i?,?:g ::1y_:-{ 1ri"rlaBuosop " '!fep RzeIo n_r1'uad pclpe

66'8 '8tC

il:}T{:],tf -! l"qrSesnpap .rsns (96'8'dlJ)clgu^rH g lod reruapblrrf -:]3.U, elurioFeip atsa'p,rnlnribd, 11q1y9:e+uad BzBrelsad iors'FrniBr :1ti*_:_i3:11_lninsrgc ep rnlnuodpcepnBs ts

p:n1e1ap rnlnuo;le1u'ad srrcsrunJJrJ lnlncJal BzeJalse J ilielei olsareuJ

' Gll *ilzA -'

lL

t d 7 : r+ o rs

*:o

(r_ti/)f : o : 0 : ad b - dJZ + 6J i al -ap

Glilzl -

-

zd b

lr *:n,

la p -a r9 : u . r1 o [ s : f s (l -_sl)

7-

f

: ot. tg : uJ- orsr ols +

-a:ernFr; .j "i.:,',1i,"t":;';:#,;ir#rT, rieaere qg lnluauFes eprlrp g lnlcund p,

'(I - !/)

tz'g 'EIt 86'8 '8tc

ag)

"unO, zp :"n. apunap0 : ap- esp+ ?s

€ii

fiind rabaterealui l0 se deduce 10 deci cota 10-10: r. Figurile 8.30 gi 8.31 reprezinti a respectivo vedereperspectivd-dodecaedrului regulat gi una din posi6ilitdlile de desfdqurare. 8.2.9. ICOSAEDRUL.1o lcosaedrulregulat este poliedrul convexmlrginit de 20 fefe triunghiuri egale(fig. 8.32Ei B'33). Din fiecare echilaterale virf pleacd Jinci triunghiuri echilateraleegaie Fig. 8. 31 atd, d F ig. 3. 3 0 ul.Atuiesco p ira mi-ddpentagonal -regul "rt" Pentru reprezentareadublu ortogonald a icoregulat se observdcd in cazul unei :oincide cu 2 dacd se roteqte pentagonrll saedrului verticale cele doud pentagoane diagonale in jurul laturei (muchiei) 3'4' 3-4-12-11-10 iu alte cuvinte punciele 10, 16 ;i 4 se-gdsesc .ituate pe o perpendiculardla muchia 2-3' La :el punitele 10,-20, 2 se gisesc situate pe o :eroendicularlia muchia3-4. Procedindinvers :oale fi oblinut punctul 10 din intersecfia lreotelor a-1'6si Z-ZO.in rest celelalte puncte ;ie'proiectieioiizontalea dodecaedruluiregulat ,.rrilte cu uqurin{d. Astfel 9 rezultd din interi:ctia dreptelor19-2si l6-3. Pentrudeterntina' ..r''otoi"Jtiitoi vertibale de tipul 10' sau 9' & ,e tine seamafie de valorile r, s10,2p deter--rina[egrafic fie sededuceefectiv,cu triunghiul Fi g. E .33 re oozilie prin ridicarearabaterii, cota respec'punctului rdbdtut. Cu alte cuvinte 4 .,ti u

:l opus a fiind doud plane zontal

ryonul bazei I incit poate

Pig.8.32

12l

98',8'3tc

.eJBJeJBo auBId UrJd nus aluBlcaroJd

a:pa11od ug'aua1d,"n,iJ;';;;,; ".y:..ld, -uorrolTUd eg .ue1dun rSpldeirp'o arf5ds "j'1uip

r conplane

INTE. ntr-un Iateri tal de ime a 8.37). : plan ata gi dupd aPvS rdine hiil o r I SeC-

Ppe i. Jiunii ttuatl rcfie, lsi P' t oriErnut iecfia Hrata , prin ontal

Pie.'8.4O)

\

secfiuneaapare de planul lateral de proi-ic"1ie, pe flanul lateral de proiec{ie total deformati ii irternutS pe urma P" a planului dupd segm'entulo"A"T". Revenindin proiecfia orizoitald qi verticald se obline secliunea (apy, o.'9'T) cdutatd. Determinareaacesteisecfiuni poat6'fi efectuatd ri fdrd utilizarea planului iateral de proieclie,observindcI toate punctele sectiunii au acelaqi raport intre cotd Ei depdrtare. 5o S[ se construiasc[ secfiunea pland intr-o prismi patrulateri oblic[, clubazaABCD situatl in planul orizontal de proieclie, printr-un plan P

[iunii tr-un lli a it\ pe

f.3e). pig.;'b.eo : \*_ Froiec{ia orizontalva a secfiunii este apy8, iar edevdratamirime aogoToSo a secfiunii se poate ,'c1ineprintr-o rabatere a planului proiectant :r unul din planelede proieclie. 4o Si se construiascd secfiunea plan[ intr-o piramidi triunghiulari oblicd SABC, cu baza in planul orizontal de proiecfie, printr-un plan F care trece prin linia de p[mint gi punctul ti {m, m'). Fie s"a"b"c" proiecfialateralda :iramidei Ei P" urma laterald a planuiui tcant, care se determini unind o cu m" i:g. 8.a0). Planul secantfiind proiectant fafd

o,r 123

bzl uuld u! aungfras ep 1n1nuuld '|u?lregoJd ;Jrpurjo; -suuJl?poleu pulzrlrln ,eurrnugrdlup eruJeruo ,alicagord ap luluoziro 1nuu1d 4 uuld un-4u;rd u! uplruu.lldo-rlu! Ruuld uaungirespcie!ru1suoc ESPS 'INVICAIOUd NV'Id NI :INNITCASgO .'.r.8

r':

'drJ ,.' zt'81

J

'

Y:a/

rnlnNv'rdrruywuoJsNVur V(IOraw

'(,9 ,!',d,o 'g idP) Ialise truJs .g_t. alrrfcalor4 lyunlfras lnluaru8asauif-aros 11O ,3o1euy lalal !s d rojeuBIde u6qerlcasJalur_urp '6n 1n1uau;des Jeop aurie.las eueld Bnop roJaJ n er{cesralurulCI .qu nc playered'eisa'r$ elsoulllul_g BJqJnutaJBJuJ ,(,1 ,l) lnlcund /H-ty uud eca:1 (lE ,tF) Bleluozlro plstidry i11F,tg; ele+uoztrogV 1aial 1nue1duJ rur ,(,F ,8) e;e1 -uozrro4 1nue1d uI Fp aJBJl,H Iarrluap ru.rlrq.re ,eue1dpnop olar InueIo elsasoloJol aJlurp arlrasralul ap raldeJp 1e u lrund Balrop IB un aulfqo B nrtruad..gVlaleJrnlnueld t6 a tnt -.nuelountuoJ lJund un alsa aJBJ ,tq eurfqo es '4 eru:n nc eriras:a1uru1 pugd qu purFlnlar4 'gV lel-al u elellozrro Burn urp eunrf.lod 6 'pr!lqopralu;n4edeurslrdo-rlugpueldeeunlires Flulzaroar qE yqluozr.ro uriralo:6 .(Sl.S .FU) prssln4suoras RS .eNntjf,gs EO 'InNV.Id plep pJrlqog:e1e1nt1ed eruslrdOCSValg .aun;i nf,uolaial rarlcasuarNr vcbrsw--se.e -f,esap 1nuu1dnr raursl:d rolaiatr .ro;lgiiasralu; 'alnlgqgr :o1 alrrrdo.ld epoletupulzlllln ,arurn uJ;d lup eJeJareo4 uu;d lugs u rS . ,(,i,b ,(,y,d ,Xfj ,Xd) pruBasaull IU tu alolJuno elolcund ec pc pruBas aulf as as IS un-4u;rd 'erioarordep luluozlJolnueydqeieqnt 1$ ,(,d,fr) ralEluozrro n. lnrolnfe ,0d lnlcund,ailcerord ,nunrfees ep :rczrJo ap^lB^luozrJo ad .uduI ul a+BqBJ a+BqBJ as ,rrunrfees as Inupld ad 1nue1d , .,*__nl ^lB^1 r. e}Brpâpu aujfqo E nrtuad :,t:p,tr.9,u,t{F.T gt B ,FIC ,d) alalcundgunuralJp 'O,'L) as Foleuy IS (,d 'V 'v rarqJnru rarqJnru vleluouJo et|Je .rrua.llurp l5 lq lS JalqJnule pleluoztro.erlcarotd a.lrurn Urcluoztlo erlcarotd pr+rasralul_ prlJasralur. .(,n,q ,,rq) pulnl ,(,n ,o) pllnzaU pu1nl,(,n_,n) pllnzag .(,n,q,nq) Blo?aJpponp d,1nue1d BloEarp alBl V Brqrnur Btqrnruulrd uud snp d InuBIdalel eunlfcesop IFoBJ_ep1nue1dIeJlsV'(al.S S 'Fll) eunr{ces 1nue1dezeapas.rajririeruirjd- e diqcnru' arerarJ arBr uI aletrrund pulrrrralap as .JlunJfras e etulJpru ?luJBêpBuosuasp8 as ps gS,eungioesap gausJ.rd rolllqrnur rollgftasrelul InueId nr. pu!z!llln'euun ulrd lpp erurarpo4 ueld un_iluJrd "poleul 'aflraloJd ep luluozlro lnuu;d uI ezeg nt ,ucryqo pruln!qdun!4 prus;.ld o-rluI pueld eeunlfris Pf,suln4suores pS..ANnIl,leS gO 'InNV,Id nC .a.8'8

uolrrHcnwraricesu:rlNr vqoraw

' ,g ,),,d,, tSg If,rciugsr runricase1errfcaro.rd pnop ollEIalaf, .//d.BrrJJned pleur.rogap rS .p1nu:a1Se caseurfqo-es'iSrlcerori Ielol ,,1,,9 , ,d,,! eaun.lf ap IBralel 1nue1{ap plBJ luelcerord pulrg rield lsaJv '(l?'g 'drJ) lueJas rnlnueld v ttd Eurrn rs rausrrcl 9 plBreleI urfcarord elSern;1suoc es aJeJad arlcaro.rdap lBJalBI1nue1dBauouasp ap lBzrlrln lJ aleod .lupugd ep elull nc ;alurud

Fig. 8.45 B. 44 Fie. -'\,,,"

b-un rtoda secdatd fintFt AB. rzrP, lanu-. erun ec{ie

!unut tzo{tntala prin eH' l ma

I o9. fe{ei iunii rjtUI $i se midl Ein anP rans-

fant'

i

Printr-o schimbarede plan vertical de proiec{ie se transformdplanul P-in planul de capdt PlPi' luind o1x1 perpendiculari in P*r Pe urma P (fis. 8.44). Noul contur aparent vertical al piiamidei este siciaibi, observindcd S.'S': : SiS*r. SecJiunea vlulgi in piramidd ctr planul de capdt PlPi este t9tal -deformatd.gi isternutd 0e urma verticald Pi. Rezultd celetitte oroi'ectii ale sectiunii apv qi o'9'y'' Ca veiiiicare, cotele punctelor trebuie sa fie egalein celedoud sistehe de plane de proieclie' -----,.** 8.3.5. METODA PROIEC,NEIPARALE:LE.TA"planl intr-o prismf, se construiascfl secliunea 'cu in planul orizontal baza pentagonalfloblic[, de prdiecfie, printr-un plan P oarecaredat prin u.m", rititizinA metoda proiecfiei. - paralele' Fie ABCDE prisma pentagonaldoblici data ,fis. 8.45). Se alege ba direcfie a proiec{iei :aialele directiafrontalelorplanului P. Proiec:ia paraleladupb aceastddiiec{ie a muchieiA le olanul orizontal de proiectie este ams ;i se ubline proiectindun punct oarecareM (m' m') Evident' punctui A este 'lle'peaceastdmuchie. rrobriul sau proiectat. Punctul (o, o') in care =uihia A intflnesteplanul P (ca dealtfel toate proiectat pe urma :unctele ',rizontalitsectiunii) este dintre P a'planuluiin ao,la intersectia am, 9i P. Farcurgind calea invers5, se ob{ine

(a, q.'\ si celelalte puncte ale sectiunii, consi'frontalele planului P ale cdror urme derind orizontalesint asbsesco $i do. Pentru piramidd, se construiestepioiectia paralela in condi!iile de mai sus ale vtrfului piiamidei. Se consideri si un alt exemplu. Astiel, fie octaedrulregulat ivind o diagonali MN vertical[ 9i muchia AB dat[. Sn sJ construiasci secfiunea flcut[ in plan P care trece acest octaedruprintr-un -prin -printr-o dreaptl 9 (g' g') a"te' centrul sflu gi mai intii proiec{iile octaedrului Se construies'c rleterminindln prealabil-cotaconl (fig..8'46)' Urmele P si P' ale planului secantse obfin ducind orin ientrul (
971

8r'8 '8tc

pruJn

'd gye 'Flg ed oe u -j-rn1nue1d"4;?"{?,1,""Jy.d3i:T':iiJiiil:y

tuls (d lnueJd1s14uoz1roi ,";i;;;;b aJacad arBflrxn' :orau'rd, ap irc'o19z,rh;;;;5 'snJdu1 ." thlcunous.r";;:;;:1",;r.i alaurn 1nue1o

j :i":j"iiJJli#"?xiiji:ru':i:*,;'.ffi il# li, "ff"f??:tgo't3t,S#i ?lsBeJBulrd asnp ,

flt:p:i' Iur"ir;::I' ns

;oi Gre:B1s)' :il3?l??X,." 1,o ":tlT:Pl- ;5i"ffi :.tyip';':.'i d':-1:Pi.l.{":r:l :ti,l;

';ap;u.rur;d ur.rri 1n;r1n fx=1sl;i"Brtlxne ili:t_"j .aurrn,ilro"i"t o purzrltil Trnr"rno uuld un-rluJrd dtr.::jg Rrtrio irilniqaunpl pp;ruu.r;d i?gys o-.r1u1 yu_$' nr,in!i]". -frlninrl.uo,

t.,x1,J",3? l_H,X1 #*l tHliil I?? *'i 1tl'r eio,r;';'i',ur, :.;J,. ii,,f I;,1,:iiliii .l;, f,n ?#'j:t', :i,:i]:,A +\;'1,,,; "t'r 'l a p p uer ld

I nlnI J r AB

rolrlt{rnu te luiiu'r oi ." ,;,X^5:fl_I

!'

,dt'

(,o,,o) lnFundur:d rarusrrd :l;0,#lljillj"oyH:,"tjlp..llnlsnulIluJ *":rg; ;ril;r"',ii alrrrJrnru et esnri-r o, ;,,.i-';:^::_lr,' !" d u' s i;il'';"i;"' 1a !'ir'' :i ; 3i", I :'i:"3 i y..a.rr"r#r,,''' iiil,l?|,'J !*1;,* "::,;i trunrfcaselarcund :-J,,";r",T{.";Ul'":ffj$ lJ ro^ . rj,ui i,ii# :,il.,1,"j $',fig"j;,"*.1 ;iJ,?B tiV.:g-:Elil"tt'nttnunlo

,d FJecrl:ar eurjn' notn"fr,ln",",jiir,i,b ,u,

lnclt

ttrale al de lanul tiilor h, bo ) sececlia ridei. DLO. ii se mid[ nP npti ridei. h') , este rclie rilor astd nh. epe llus, liare sint dP. rP.

-- ?6 cu o rezultd (a, a'j la intersec{iacu ,:Tn rrrnr,it-' : SA. Analog pentru celelalte doud lttlru,---, Triunghiurileabc gi agy alcdtuiesco rnri,ilr,rr' .-iajie Desarguesde drepte gi puncte in ,riiiirlr'ri:i: .u urma p. pentru prismi se poate alege Iir ,:.aDti auxiliard o paralela oarecare _ i o'') la muchiileprismei. 'rll : PROBLEMEDE SECTIUNIPLANE SPEffi'41[-E lN POLIEDRE.lo Seconsideripiramida pmm,,r:ulateri oarecare SABCD situati cu baza in orizontal de proiecfie. Sd se determine fimrumrul ummrcle P gi P' ale planului care secfioneazl ;iln*i-i:epiramidd dupl un paralelogram.Planul lF ----ie sd fie paralelcu planul Q format de lll:'*':=-: de intersectie a fetelor opuse ale u -r, -jei patrulatere luate doui cite doui I r : J9). Dreapta de interseclie a fefelor $#*S'.i SCD este (sh, s'h'), iar dreapta de ;:Tt.:n.Iiea felelorSAD gi SBCeste(sk, s'k'). ,ttltii.r*:r= ioui drepteconcurentein virful S (s, s') iuru i ::nidei determini planul QQ', unde Q ittilflfrur:: h cu k, iar Q'trece prin urma (v, v') a nfl"r;r:.,r.alei virfului S. Se alege un plan PP' iifinir,]:ir: :: cu planul QQ' gi sesec!ioneaza piramida ririr :it plan. Prin planul de capit RR' dus ii :i,ichia SA se obfine punctul (a, a'), in iirrllllr: rruur* :uchia SA intersecteazi planul P (h1v1 :r" -:rte SA in a). Aplicind mai departemetoda

Fig, 8.49

intersecliilor fefeior cu pianui de secliune se obline 8 unind n cu o( qi B unind cu in cu ,r. In sfirgit, unind u cu p se obfine y. Proiec{iile secliuniislnt paralelogramele apy8 gi n'g'y'8' . 2" Se considerflpiramida patrulater[ SABCDcu baza un trapez situat[ in planul orizontal de proiecfie. Si se determine urmele P Ei P' ale planului care secfioneaziaceasti piramidfl dupi un paralelogram.Ca ;i in problemaprecedenti, planul P trebuie sd fie paralel cu planul 0 format din dreptele de intersec{ieale fetelor opuse ale piramidei luate doui cite doub (fig. 8.50). Fefele SAB ;i SCD se intersecteazd dupd dreapta(sk, s'k'), ale cirei proiec{iipot si nu fie figurate, deoareceestenecesarinumai urma orizontali (k, k') a acesteidrepte,pe unde seduceurma Q paralelScu orizontalaG (g, g'). AceastdorizontalaG reprezintaintersecliafefelor SAD ;i SBC.Se consideri un plan P paralel cu planul Q gi se obline punctul (n, o'), in care muchia SA intersecteazi planul P. Pentru aceastase utilizeazi planul vertical RR' dus prin muchia SA. Proiec{iav'h' intilnegte in cr' pe s'a'. Unind m cu o(,rezulti p, iar paralelele la P prin a;i B dau respectivI $i y, astfel incit 81 trebuie sd treaci prin n. Cele doud proiec{ii ale . secliunii sint paralelogrameleagyS gi o'9'Y'8'.

Fig. 8.50

t27

87,T

I I

il

il II I I I

g.,tlgftl-:,ejp o erlutpegfrasrelu; apro;elrund

.(tg.g .Frg) a1a1da:C y.]:.S..:t1arncuoo aulurelep ps -ernd raursrrd al Jl qcnu i!r:L",rd B I b rs (,s (,9 T .yorwvuri ''.s) g) v u1a1e-r ered np A V uJal ass arr2a aJBJ rdvauod sliiNra :tr-ryr.l1 ,"1 ?,i5r"JfJf,ifl 3ul3 (:p^ .

jt).S,:i gl_.1 q d';p; i rq,J 1,* o;un -qurleerndapursotol€ur]Jgolo I i 9"., (,s 's)s a19'a;iraJo.rd bplelubz;.r"'il;;leil;;; rseaere .let,,no^, nr urp 'pru'sr:d elnda ylPU : u1' 'g-tqv prifnlnrlnoprusJ.rd (lp',* rrllqo Ii l:]F!.! "lBnlls

qdee:p a-liurperjcesralurtp;;.i;;"'; oIs (,p 'ot pldeerpo ;'rj;'p.il#;;Jdr !s(,p 'p) q eD ererrrrnrtVirr'"i-" or".,3",If .- o o.û.rg:::f_A iliu,,i'i.j.r"r,,, an ,^,^r .fr?i:; :19^*jp_:r1,"_ry,nlicn"eluf a1;;icalo.rd_ayiuuelair (,u'u)N (,q''.u) n1n1r,f yJ^t-,11? Sr.pd-.vwsrua

iJ'ii -lYld r{ l: o lS rseulltul .ta YJdvauoo aurNrq'vlfiisuaJfri- r;:d jg I:1 il,iiuoJ'r'o;i-ar,l; 9'19'".,p

.ps p^".;;1""#t"i,".,*.Jil#:o,f,1tt *#:ifli'?*':'ff?t":i:.l#,:.,,'ffi51t q q pulun aurfqo purun autiqo as as ?:,,J

slBluoz.tto swnrh,D1 h d Fl'luozro r d ',iltrn r*"i -reursrrcr atrrqrnunc 1a1e:ed ueldun pui,,:a1ap,lt,;t.,"0"J,.y i,:j''i;ll ;J:?,,fl?,,*rtl,Jrl,"*j ji;l;, .1np,rn'o plni, ild';;;i-;;l

as s3,c ag'g '8lc

;ir:'*,,"r?i:,i:,ir'"i1il3"JTy,i;gT; 3*i*i

# {:'"j,ii.l:iH":; r*:i* 5jgt:$-fl {1'i1# :Llyytdurp lnun-rlulpiel-oncefonl,iejirusuo

ul prerliqreariizodo'pdnro 3lylg^,ni1-1d_. prypsele ,lgdec lirp.ll^".q leru lxo ni'ia1e:ed ap 'leorFan) ratda:p a1e.e1ue1c'arbrd

eliueld yl Flreaqa:e111xne niiulli6 :1nlf.,1oo l"^r..y:? .p o,.,:8, r ep all l cuio 1epo1o1 l:,irJ :li i il'^'_rrglu

,t,31u"9+r,'{_i:*q"'"_p_iq}[a;i,:';;l':]fJ""#l;l

;hi&13+*##m:+#t lieq x ne ue'id "t*eI.1riyr1 *l*3i#1ft.qf W.i:iH*F#H,ft ffiF"?",;**

**.*s+*:*yij"se-s.:,,__Et:++tj|l9_sAp*r

nuolnodNn ts YrdYluoo lulNrovllcrsusiNi.l.e

sa se rtrpdsausd se suprapunS. Vor fi studiate in special desfiqurateleprisrnelor gi ale piramidelor. a IA

:_

lrismei, urind h td drepeceau eaptaD ne sint dreapta $.52s-a r afind. DAPTA riecfiile (d, d') lo

F

.l

ll

'

_ ._ - !

ri,r,piramiddtriunghiular[ oblicl SABC,situatl :.",ulbaza in planul orizontal de proiecfie. Se ll :.= un punct oarecare E (", ef), pe dreapta m ,il d');i se ducedreaptaA (8, 8') prin acest rrr.-,-t gi prin virful S (s, s') al piramidei t ; 3.53). Planul P determinatde acestedoui rLr:ri€ cor-lcurente D gi A sec{ioneazipiramida rr-:r triunghiul(s I 2, s'l' 2''), aleciiui laturi $ n .i S 2 intersecteaz|d,reaptaD in punctele 14 ..n,m') ;i N 1n,n').

8.5.1. DESFA$URITA pRrsMEr. s[ se desfdsituat[ Foareo prism[ triunghiulard ABCATBTC, cubazain planul orizontalde proieCfie.printr-o sctrimbarede plan vertical de proiecliese aduce prisma in pozifie frontalS, afa cum initial se considerldatziin figura 8.55.Muchiile prismei fiind frontale,se proiecteaz|pe planul vertical de proiec{iein adevlrata mliinie. Se construie;te secfiuneanormald(o!y, a'g'y') in prisma prin_planul de capat PP', perpendicularpe muchiileprismei.Adevlrata mirime a sec{iunii normale este ocgpsye ;i se obfine printr-o rabatere a secfiuniipe planul orizontalde proiecfie. Segmenteleaopo,Foyo$i yoaodau totodatd in adevdratdmarime 15{imilefefelor lateraleale prismei. Sd se desfaqoareprisma pe planul irontal dus prin muchiaCC1.Transfofmataprin desflqurarea sectiunii normale in prismd conform unei teoremecunoscuteesteseqmentulde dreaptd TrPrdryr, unde yrgr: yoFo, grcrr: : :..90"p 9i o(ryr o(oTo.Pe perpendicularele ildlcate in yr, dr gi 9r pe acest segment se a;azade o parte gi de cealaltd por{iuniledin muchii cuprinse intre sec{iune;i- baz.e.Astfel,

i 1 J. METODA PLANELOR PROIECTANTE. $"!sedetermineproiecfiile punctelor de intersec'r* dintre o dreapti gi o plramidi patrulaterl r,mlicd,cu baza situat[ intr-un plan oarecare. f - D (d, d') dreapta 9i SABCts (fig. 8.5a). - ---ul de capdt P' dus prin dreaptaD sec{iortr:::ir pirarnida dupd patrulaterul ("9y 8, .i : '1'3') ale cirui laturi intersecteazd dreaota li d, d') in puncteleM (*, m') $i N (n, n').

s -q DESFA$T.iRATE Df; POLTEDFE 4.:esfdguraun poliedru inseamnda aducetoate ,r::clepoliedruluisI fie continuteintr-un acelagi : ':r, firi ca acestefefe sau porliuni io fefe

Fis.i85t---1 .

tt-/

-li

129

"1

08I i^

..

89'8,-nlJ

lalFlulza:dararer aJl:nrq8unrrlelrspF1a;;su rldunl nr rsernrlsuorog .(19.9 .Frg)el[e1o.r rrlJnJlsuoJap.aunlsaJJns o-Jlurpaunduocas rep ,rnlnrp Iluexeap 'epolauluJp pun pufz1111n -lure:rd e1e.rn6g;sap pc glrasqo'ag .alfcarord.'ei qel alu rrq3nr[ eseS;o1at apurrFunlarrlrJgrrr Iu+uozlro lnuuyd uI arrrrretup1e:ga.apuuJ plep ryAapBuJ IJIUJrBrueururJalapJoAes BlsBeJE alsa rapruprrd e rqu BIBC .O 16',s alarluac nc Iad 'f,gvs eJef,eJeonJpauJlel lnun u1u;ns a_slJcsap ?J r$ ,u,s ezrr ap crac ap :b1a'c:eelf ap tllnJe pJsurnJlsrxrxl, j,s os RS .rJnrqFunrri ap -resJolureJ y eulfqo as ,11$r11s u1 1n;1uacnc 'ri 'rJ,s ezeJ ap ,l:al op nJ erfces;a1ur e1 InJJB ,tq e.zvt i'. zs#ar'I J pp oJeJ jp crec ap lncJB elJJSapas t*'Yd' g uJ InJluor nc ,1ody .,u uI lnJlueJ nJ srJcsap qe ezeJap JJaJap InJrBg uga1sau111ug e.rec,|q,-s yzeJ ep JJaJ 0p InJJBarJJSapes ,s uI lnJluec nJ 'BeJBJnsFJSap adaJuJas aJsJ nJ VS larqJnur I9_luorJ qp InuBId ad.ep.rruerldprriolglsapag nrlcadsa; IS (Iq,s itqs) eleji,oig ap _!11,_r_,,r?.) etlrzod uJ JS IS gS elrrqJnurcsalorag ;erur:pur FlergêpB uI glu_p alse ,BlpluorJ pulll ,VS -e1 Brqrnw' reprurerrd ro Jrrqrnru .rorn1h1 irur8un'i ul oulrurolep PlPrqâpB os rpseJau alsa Fs :ylrPt Eprrrprrd-ernSe;sep B nrluod .(gS.g.FIJ)CSVS laplurErrd e plelubrg erqenilr (,ri,j ,es)"yS olc ep llqrnur utp uu_n ;6 eriearo.rd e[ :1Y9lI

1nue1dug psulrdnces i;zu{ pugnu llryltro '?_qvqPrItqo p.rulnr qFun;.r1 gpFuur;d o' ajeoipl "sepasps 'IeGrwvuldvlvunsvgsgo .a.g.e

-5f"ti:l?x u;ern$p;sep., "nil'i;H elseace ^r,e)n:yr$ ,!e,n:ryi.p -AIaJnJluod '[aJ E.I

nt

I I I

+"1 io

nm deslil. Pentru adevdrati rle tetraeexemplu, lungimile ntd felele

desflgurata :etraedrului.Se ob{ine S'CnBsAsCe, ;,-:prafeleilaterale a tetraedrului pe planul de ::onf F, la care se atlaugd fala niAoCo. Tn *:urele din figurile 8.58 gi 8.59 am electuat ::nstrucfiile plntru desfdgurataunui trunchi :-' piramidd patrulaterl rezultat din seclionarea :-ramidei SABCEcu un plan oarecaredat prin -:meleP gi P'. a.5.3. APLICATII. 10 Se considerfi o prisml natrulater[ oblici ABCDAIB'C1D1,situatd cu hua in planul orizontal de proiecfie. S[ se prisme, traseul pe 'determine supralafa acestei iel mai scurt care, tlind de doui ori fiecare mruchieintermediar[ a suprafefeilaterale, une$te rirful A albazei inferioare cu virful Alalbazei mperioare.Se efectueazdo schimbarede plan

vertical de proiecfie, prin care se transformd prisma oarecarein prisml frontald,,luind o1x1 prin proiecfia orizontali a muchiei AAr (fig. 8.60). Se determind adevirata mdrime aogoyoloa unei sectiuni normale in prisma

e8r 'ag,gUdpnap o:rlulp erfrasraluru1 .aprure_udq.nopJoIJJelrJnJlna1$aun arer etdea;pul:d

IS rlJJnu urJd Jnp.es eJBrJrxne aJaueld,aprur -Brr0Bnop-erlurpuriJasraluruj ,[aJ]sV.rrqrnru blsoJe ur:d a_ru1lgxnu auu;d pcnp-eses :esacau elsa nrpar,lod +lBIplac nJ n.lparlod rnrln .lo; -rrqJnrrrBrlJasJalur nJlued'alellnzal erfcastalur ap.elaloundrun e r$ nrparloduh nc (Sirrqrnru) pldearp.o rro allnu IBurap BlJesrelure rigglsuor upallod Fnoporllrrp elicasralur,piujse ul .axal -uoJ luJS erparlod Enop elal mep xeAUoJelso unIUoJprios lsoJB ri unuror prlos a1$aunuas BzpaJJasJelur os aJBJa:parlodBnopJoleJBunruoJ Batrred'a.:1So1 ap uo8ryodllelpler r-er ia-ter1ur op uoFllod Inun €llurnu .ariraliilul ap aqru;r1s nBS eueld aueoFrlod pnop e efuelirxe' urjO pJVZIJapEre^J alsa erepun4pduaF ep eliras;a1u1 'aradn.r uaF ap alsa pr aunds ei eiirosralur op qurlrtrs nes ueld uoFrlod ;n8urs iin_;1uir
j i$"il"J, T,,"Jjj"1ll,!j l":;::l't'_nyl a:erer; laun iltllc ]1sau111ui ?J u I dld+Juno .(r,q i p .Frg) e l e l J und alrspd .F rr) a rru n alr s g8 arnqeJJ aln q a J t .(gg.g alup :-J-u.r rlqoareInrqFunr.rl eursr:dpnop"6ilW i"S 'inu'e1o"'irj CgV 'a;ira.;o.rd ap tetuozqo 1 ;lji"r" !t^.1::: ezeq rorPr ele ,ir11qo e,urirro

sUCHt]odtc trlf,Jsu3rNt'9'8

.rurruburuu) prsu;n.rlsuor as ps 'lillEl rrrtTlur()ulur,b,u,ru,? rn1 ,j'Jiil^"jt::{tt"r ,raprrue-rrd all!iraloJd 'I'96 -n€sBJl uriqoes YNOOIIUINICVIiCASUAINI alrrqcnur 'alsabe ad glerniggsap ad ap alcund

iiufiroO

ISrW'b ,N_ylinzar,tai el pulpjjord rnlnuo;r1odrolrrnr'I rri plr -ju Irqrzr i,l[t"t'Jt: :1un.+'tN 'g,S ad e-relncrpriadiiO IBW. urp ^ _a1]Bdaq .(a9.'B .FIr) 'p1e:nsplsap ad pyJ_.np aririqo aS ry nnzararfcasralur, ap. :o1a1cund #ffitT ueurrFu4lnp raptrue.rr'd 51e'-i1e.ra1u1 lefeyri rrqrnru arlurp'arirasIe,S Br .put^rrsqo.leplurBrtde p1e.ra1ei ur ap Jolalrund e i,trlra;a n"rnu,'ri'e1ap_

:lttlr_ly p l BJeJdns

rJo pnop ap gteo$ggsap ag

^rl nJJS U oJalqrnur-arrirail pJprolul ri a1r1n r.rofnop ap er'rrrxn* :o1eue1d ;51lH,',1rj:J#"L ^Tj^plpaurrelu!

elseulrlu!

!s V Inlrund ulp prealde;ur eruluJu.r :arunuer$ adela nrled elroduoJ erpa olutq lelug aluiragordaururjjlap'os pg .a1iri1o;c riJ

jt^: I,allelat ac ur'r^ ^ r;*'iiun r,r ;1* I ?' 1e:auab _u n ua s l:::j:ly . ^ _ - ad e e J a JBJ rrro

, A r^ . . . . j

^ l ze a Jp BJUJ

Ba Je JB

1ri"rl,ltp t";d" ;fi i;; i l:,t- I'.,_: IItri 51auu pzeauoricad

ep l?luozlJo;nue1du, ezeqn) plunlls ,'JBVS prelngq8unlrlupruiurd|rapiiuor Rlel,nFe.r "5 "6

*

0 .Jl?,'9rl$,

rtu) ; i',rJoo:i'A; ls,-luJsrsQ n1"u,iio Luffi1ffi"sn1n= 1lff rrrue.'Jul'i jiliic'ar 'e :g71 rrrururnesbii-iniiJ5ri Lggvgzt ;iliq,;*'r -ord,'a^rlJadsa: :Jl3ll,T:jid,l:ryI1 "r;"pt :o111qcnu oj___oi i{,d'raruspd alalern$pgsap j*eiare.reo ,#T;;";";ii#;# .+plnpJrntnasprl -a:drn6lgsap rrer ,llrpil'u yl."Js:yll"J "1l'd e aple_red lpf ";i y]il_y1r-roJsuBrlauriqoas ry r$ y a1a15unil ur.rd'rnp Ji'l:n,r,*nn:{y:

::I:Tl:

3re"* are',pr"nn

yli: iil;;!5r" :l;r;*j'?i:,1' r ple rn s p J s .eepd p u lu n . (t O . a. A t 1 )-t O O B lq r ff*.j"'l-olll,tr_i,ru ill":,:;i e1n:1!1ca:p' p!'"p]"rr-';j -.lur nr puldacu; 'rausud e e1erj1e1 ,i1i;gerdris BrB0'rrqrnu ur:d rnp-agEai6xire {fie10

4llncasuorlra qnapap ereo$ejsap as'16i71e1uorJ

r' n[

ffi tfr

I;

t]s i I I

* * il fr $ a il t

p a r alele 1 ar ln

rplans-Le u diree: :la dusi ripi). Se planele ambele i anume ) numesc de poli;1l e $ l a

de inierrezultate rnului de PRISME. re doub I situate rcfie. Fie ne oblice le in care l cealalta alegeun rcecite o ,lor celor

r ,.-prisnre. Planeleauxiliare Pr, P, ;i P, ce -- ii utilizate vor fi paralele-cu pianui e * =i determinat.Planelelimiti sint-P1;i pr. : ,. 1l P1 dus prin muchia A seclioneai|'priir, llNQ. dupa drepteleparalelecu muchiile ',:-.:ei prisme,care au urmele orizontalein 1 2. Aceste drepte intilnesc nuchia A in r --:tele de intersecJie (ar, ai) gi (az, ai). :'::;iunea aLaztaia; din muchiaA este cuprin; .: interiorulprismeiMNQ. In mod analogse

1.,=:;nind punciele(nr,n{)li i;r, illl i" &i"

A 8C

a

6

4

d

HNq

t

m

n

2

tl tt

MA

lntersecfo

4

3

nj

m

/

m5

dt

Vrz ibilitale AAC

,i

,^lNQ Proiectie

oriz

A8C

I

tltQ

<

-r

0

--::ia N intersecteaza prismaABC. ln sfirgit, t-=-vert lProiecfle r--:,ia M intersecteazd de asemeneaprisma 4tsC in punctele (rn5,nri) gi (m6, mi). MuFis. 8.64 .e M qi B sint in acest caz concurente. ir-::iile C ;i Q nu iau parte la intersec{ie, pentru unirea punctelorpoate fi urmdrit prin -i iri afara planelorlinriti P, gi pr. observareainicilor siige{i care indica sensulde iillservare.Planul P, dus prin muchia N mai parcllrgere.Astfel, pe baza abc se urmiresc prisna Ml\Q dupd o dreapti care punctele:a, 4, b , 4, a, 3, 5, 3, a iar pe baza '-.'.'.oneazA ir=:jrrlra orizontall la intersec!iedintre urma p, mnq se urrndrescpunctele cârele corespund: ,;tura mq. S-anotat acestpunct cu o liniu{d. l, -, ffi, n,2n n, ffi, -, 1. In generalse obiq" .;r€fi€o puncte trebuie luate intotdeaunain nuiegte sd se includi in tabloul urmitor :: -.,derarcmai ales cind se urmireste unirea (fig. 8.64),atit studiul pentru unireapunctelor - ---telor rezultatedin intersecfie. prin metodamobiluluicit .sistudiul de vizibilipunctelor. Pentru unirea puncteror se tate a laturilor poligonului de intersec{ie. -r';..u 1,'.,:tilizadiferitemetode,carepreiintl fiecare, IntersecJiaeste o rupere.Poligonulstrimb de ,r: z cazla caz,avantajele dezavantajele lor. intersecfieestecontinuu. In proiec{iaverticald ;i gi sint vizibile laturile ar-m[; ni-ai-ni lletodamobilului. Se presupune cI un nrobil m'r-ai, iar in proieclia orizontali mu-nr-az. r r:',irge poligonul stririrb de intersec{ie din ,rr .,u Ei _cd el este proiectat intotrtreaunape II. Metoda diagramelordesliqunatelorconven": .e. celor doul poliedre, prin proiectante fionale ale celor dou[ poliedrepermite de ase.', cle cu nruclriileprismelorsair care trct' ureneao rapidi unire a punctelorgi un studiu -. r'irfurile piramidelor.In acest caz, cele interesantal vizibiiitir{ii poligorruluide inter'-' proiectii ale mobilului trebuie sa f ie secfie (fig. 8.65 qi 8.66). Pe acestediagrame -: pe urma aceluiagiplan auxiliar. De se constnrie;iede fapt - schematic- intersec-:te_ rlrr,plu, se presupunecd mobilul este situat fia cclor doui poiiedre,punindu-sein evidenfd ;-r.nctul as. El se proiecteazdrespectiv pe punctelein caremuchiileunui poliedruintilnesc : -= in a gi in 2, ambeleproiectiifiind pe urma celdlalt poliedru gi reciproc sau punctele in :i r -:-ilui. Pr. Dacd mobilul parcurgelatura arn, care se intilnesc muchiile celor doua ooliedre :,i .pa{iu, proiecfiile sale parcurg pe baze (de exemplu,M Ei B). Pentru unirea punctelor "rt,,, ; ectiv segmentelea-3 gi 2-n. Deci se ::r,i.. pune problemainvers ;i se spune aga: c bdc c' b' o' c' :il:: proiectiile mobilului pe baze sint a-B ri ::spectiv 2-n atunci mobilul in spatiu ,ir,trr:lrge latura azns a poligonului de intertttr{:-e. Mai departe ralionamentul se desfd- m riir,,r--. analog,avind gri ji ca sd schimbe sensurile lrq: licurgerea bazelorcind se intilnesc planele n l-:i. Pornirea raJionamentuluise fice cle q lrnri--de, din doud puncte care se corespuncl, liii::8.:du-se acelasi sens de parcurgerepe cele Itertho/ li,r-,baze.Pe epirri (fig. 8.fu), ir]ionrhentut Fig. 8.65 Fi g. 8.60

133

'?]de€rpBlsBaf,B_ ui;d ca;1 elBzrlrln arBIIrxne 'glplacJeJellcalord ur Eaueld a1eo1 .(Op.g.Frg) (,rt ;rt)' ulvluozrro arfcasralurep rnynuo8rlod'e' j '1e FIIqlzl^ pjn1e1 trruJ.neJE rauslrd ellrqJnur e1 rapriue.trd nep uellnurs.elrqrzrl:o1a{a;er}cas:e1ul reunu jp Ll '.) S 1n1rglur:d psnp elaJe:ri4'.i1ira1orO Bf, erueasaulf as ri (lrqrzrlirr-r r$ pqrilrr-ir nc Fluozlro.lnuuld u! elun1lselezeqpugnue.rpar;oll pue;Ferp.adprlpul as aiec) ajp'erloci'pnop rolar rlaqtuu 'JgVS prllqo pprruu.ld rolalrJ R-luyn;qFun;11 lllFllltqtz!^ r31u arpJ as lllul lntplls o arlurp arlrasrelurap rnlnuoFllod :f,llrssJaluJ ,!s lNW Rrllqo preln;qFun;r1prus;.ld rolr;n1elIllpllllqlzl^ srsprnrlsuor es ps .votwvuld o Illpnls nrluad 'f,V !S Vg elel unop pure.derp nSVwsrdao aurNtovlbasuJi'ivl.6.e.8 eo elEqpJls naseJl lsaJB aceJBoap.qur nJ su 'Fplld ap run 1odas nN 'arparlod'pnop JolacE wnoparerarlul - a-repunrlpd Fl,ego ellJ reunu plBqpJlses,,elpodprue:Ferp ap IaJlsB^ i eleluaza ",l;:$:iii o rrac .NW Is 3y :o1afa; Elnt"l 'da: elsa Bg.B ernFlg uip 'ilrpurnOd :9, BrlJasJelul rtl 'a.rpallod utp e;a1Seu Br ,euetrrec ,etfcasralug Fnop rolal elfcas.ralur a1e1 ap rnlnuoFrlode pJnleI o pc Brueas'eulf'ai -irza.rrolalrund piuaua;rudu

ap iripliunruor 1e nolqBl lrunuap 1Jâ1eod lsacy -aicund rylqul .Fo_1euy .eunruoc n:1uad Vb fS WO l:lylelar erareoep,Is nJ.pun ernqejf*ur rcaq :.i1i{ "lrparlod "q EnoproJale1eafaSrSealacu ad aleque nzllnurs eoseasp8 es Es lrnleI -relsorealilpl

-;'naJtrxa BJ JBSeJau olsa ,aJperlodpnop JoJaJB ,q:pJo allr ad aF;autarfcas:a1uiap rninuoFllod ,gy :o1afa; alr| tjJnl, ararBoac .wo ls. ,yC v3 ,1,96rolefag --1u ': lnlcund IS NW IBI.nldruaxa -aq-irpagioit euii *_* gnop lnlcund "lg^n nes)ra:1 y-]?? ala;.(nr1ed

e erfirasialur urp 9tu y3lsyu e1 alfcasralurap rnlnuoFijod1ri (1rg,r1 trrunoarerarJFi BruEos plllull .(29.9.FrJ)gur.lol u:1eqns esnd r; eleod elsee5eepolJry.111

/9 8 'Elc

, tu 3u

9s1

tD -iu

94

941

9s

zn Ja

tg

9ut- Eu

tu

eu-zr,

ZD

Sg

qA

tt,

9ut-1, At

A

'1u!

Dl/

!l

^

///./

9g

At

7

HD

Zp

Zp

rD

,p

Al1

) t^

AI A

gr

b ail, r

n l t 5 r -_

n a siera e c eii: I a pz : ' r a p ar I aiui: b f ai. fre n: nultz:: lie Crr

8 .7 0

Fig.

Fig. 8.73

Fig. 8.74

rc!g -.

leiairi ablouI rezuI €.

t:

ata I dcu=

,,,inrtm' -:rele orizontale ale acestor plane sint ffi,,rtim"''=:gente in proiecfia k. Pentru unirea riluum::=ior se poate utiliza metoda diagramelor ttLilttllT,r,l::ratelor convenfionale ale celor doud llrrrrrririir*.:i (fig. 8.70 ;i 8.71). Interseciia este o LI E: .

r A $r

secfia -t i 0 mbele mntal [s, s' urne

'IiI{ : INTERSECTIADINTRE DOUA PIRAffi$mE.Si se construiascdintersecfiadintre doui triunghiulare oblice, ale clror baze ffum,nrmide ltilm( situate ambele in planul orizontal de pmnrnrec{ie. Fie SABCgi VMNL celedoud piramide linru::-iulareoblice daie (fig. 8.72). Dreapta

diltr"i

aFia

r,',-*\.-

J\

( rig.a.zs I

u**".r

SV (sv, s'v') care uneEtevirfurile celor doul piramide are urma orizontald (k, k'). Planele auxiliarecare pot fi utilizate trec prin aceastd dreaptS,iar ufmele lor orizontale sint convergente in punctul k. Diagramelepentru unirea punctelorgi studiul vizibilitdtii laturilor polig.olulq.ide intersec{iesint urmitoarêle(fig. 8.73 Ei 8.74): Intersec{ieeste o rupere. In efu}a din fjeura 8.75 se reprezintdo int6rsecfie-_ pdtrundere- intre cele doud piramide. 8.6.4. APLICATII. lo In epura din figura 8.76 s-a construit intersecfiadintre o prism[patrulaterfl verticald MNPR; situatd cu baza in planul oriz_ontalde proiecfie, gi o prismi triunghiulari ABC, ale cirei muchii sint fronto-orizontaleEi a cdrei bazi esteconfinuti de un plan de profii.

135

I I

Ir I

lB /

'8

olil

I

'l,JaA ;A

II

elDl.//!?./z.tA p/J2e9,relul

tl-

(tsnlii oeB 'Fr;)elareolpurn F;: "i:ii;:w , R'' t'", 0,,

ill"',0,"'t l" i,i :'i'::ji'.i I I: -*,, ::tu_F t]?11-1,1#,, I Ii 1'"' 6'"('7'z'f; [*u?

I " LTr-' "i

I

IaJJspBrruarlrorrj_n_,*r"ilrn.r.,,,,(tr,fl,ounfl

'Jnln-llqoru , o3ro la'1adn; .Epolaurerrlde';;.{U)' elfcas:a1u1 u"-rno}Eurn e :.^:]_1"-, .^-\unt" a l s e t rl l JrsJJJU l l u.l tJ' ,uurnrl o," C l

i"#i iil riil,i'.;t"i:Jil1{,IIi,:r:r^r ff:Ti lr;,+q;*:xilti i::r:{'.'n,u.',\,,' b.:rr "q PIBrIlre^ nes)1eder,,l-.j_ql,l*l Jrun-1 ii or,1,1 n c s E IsB JJ B nJlLt; "" PJ

j [f-ryg, 1s,u1s1us"';i$qrliJi'',t#t",',ji,i'#*l

1n1pn1i

r,l

]uorJap eueldo:urpxneouJ1,lo, ,uri,il,]"' "u .,.r..fl E -S

"1jll,:l;f ':,X ];:',,#:'J;lr"'"'# ry il,1;'# i FsrelurgrnrlsuorB_s61,.gurnFgiu,i, n.,ntijl1 .6

-r-_-

z-3

5-6 8-9 t- 3 +-6 7-9 t- 2 4-5 7-8

vertkql Fig. 8.80

ntersectBC 9i .Iiecare qelzi.lalt se pot rticale) p1anu1 rcneaza t23, muchie rr, Pi). i sint :ia este

0rizonts/

8 .81

: :atrundere a tetraedrului VMNR prin tetrar:.ul SABC.Arubelepoligoane(de iritrare!i de ,ilre) sint plane. i" Si se construiascd.intersecfia dintre un kttraedruoarecareSABCgi un octaedruEMNPRF :n-!'eare unul din planele diagonale orizontal. :. determini.punctelein care fiecaremuchiea intilnegte celilalt poliediu' 9i , - ,.ri poliedru, 'r /l:o oor-,-ilr r. - '..'--^^ -r vertical cu urrna\ -:proc (fig.-8.82).Planul ;':zzontald bntaIi fm,i secfiffidzh r"it iffieazeitelr'affirul eli:tffii"i a diipd"iril'"'l [pe-"fffl fm (l (l2 2 u,3, |l' 42' o3'). Dreapta l' B'' -:rrrur B'- in intil-::ihiul "r.:Ehiul \r --rte f 'p' in *' ;,iar l' 2' intilne;te tot f ' p ' in p ' . , iar l'2' - anul vertical cu urma orizontald, sc seg: ', -neazd,octaedrul dupd patrulaterul (4 S 6 T, { 5'.6' 7'). Dreapta4' S'' intilneEtes,c, in 7,, ,:5' 7' intilnestbtot s'c' in D'. pianul vertica'l DreaptaB' 10' intilnegtes'b' in e', iar g' ll, :"i urma orizontald sb secfioneazdoctaedrui intilnegte tot s'b' in e' . Planul vertical cu r-pa patrulaterul (8 I I0 11, 8' g' l0' ll'). urma orizontalarn secfioneazitetraedruldupi

Fig. 8,83

13 7

-\

BEI '31.1 LJ- tr, Lp-

L'

(

,,

p -tt/

tT/

€l- tt rt/- t?

J-

z

t?_

,J

trt

Lf

(r

IL

t7/

t.

td

g

i

7/

n

t?

L?

?

L?

3

J

td

U

t.t v

tl

,1,, 7l

2N/

7

t

Al

)

!l ^

^l ^ uaJ yJs dA/J AlUf ua! udJ dNJ ^l^ lIHJ llA

.i._r g_^_r

î : ii ,nIsIl :::"Y','i"i'i13'ii:1t1#i

-e1e rnlnuo;rlod f1eci1:an'Ji1rn1or6 ip rr; ^li{lp apqrzrlelrrnl'-I .oracjnr ri aiia n,ijJ*iluj ',?-'b

IIJ ,U,| :

'1-'! 11 ,1,I ::

'Y-,Ylll J , " , .: rlt 9-, b t V I,tr

Trt

I -;

' J nc Ud :

.n. I -:-- 6 nc ud :

ri

.L

,d , e ,rJ J

I T , , F- , , 8 r r , q : l' rdd ,d .OIa n fl :_ .l ,71 nfl

,a ,d

,3

, 91-

,rg ,g*,+ ll ,",{ : }. ,ll_ ,',.,( nt nJ |.r.!d /1 1 :: p ,,8-, o L tL

..6 ,16

-

nr ,r bD lJ

: 1u l s e l fra s : alul uI D elp rrn T rT.,...,,-

,g

:

D, -: -

,E

ln ,; .D

, .^ "i-

:1,?3 iF;i5 ffiJi 'ili3ii$,'1,i,1;"J tarqrnr.u -Iir:ii:i";fi oJpJarlaJBJur alelcudd iuuriri:a1apne-g

sul .,b1pru.rn'1nbiqn1 ;;iliill;od .lgp-g es rasrelu .i"l*jijo r lnrpnls lrrl "t:_"_d' a.ru[,jfar,rwE"jluoan;p Inuna.re :l"llld ltp Ji,ri"rlro prlqo prelnrq8uhrrl tsÔg-V_

;ft,:drrl -rosrelu! lrnrlsuore_s,g.g i.rn81;uip "qulp "_iJ'u1 .7

-rago.rd uJr'r ,,d,l.ol.^Ttl'

sl Ip

, 4l)

t€)

t/ tx

a

il .f

J

la'tx 7/,

it

lj

$

J

z- s)

i

I

il

7

t"t

,d_ I

n

efl ?p4uozlto

!,;Ji. . ::l:::lli;r ff ,11,; "p ,.1:.1 al rqlzr .l 1i'i';#ili'il i ur er"oni b-ai.5e,1cas lorg_uJ

lln -ralul '(es'g'Frr) ^ r?lpyjri

,!iJr"r1r1n 1no1qn1as.-1aJfc_as:a1ur lnrpnls nrluod .1 u; uu ei$au

-l{11_sl;glrpt '0 u1_.rd elsduyliui-g;slBl -::.lg_ 8r, Lt,st,sJ_18_l z{ ei'e ! i1"1nrj+n1ru1 -,'11' lnrpaerlal,p.ze-auollcii ::i_.F9"p 1"n,u "p ui-','st IY:lq_," uI,u,I tS,i 1{,-r,i'alSariigt ,zt

,t:' "1sJuj;ii1 Yj;l,l^ls :(,ii' i ni", ,y1 ,l'yl 7ye1o'ba-iq ,')i'1ig"^* t, T,,ii'r",tii:H#fu,Tl

/t

11

VA

,l tr

2g

Al

A

SV

fia 12' lreapta Planul pa paDreapI i+tilfiei se Interoiecfia rsectie proiec-

dyp,l,,rn^poligon,. :^".t1.^dyl-,II , It'.'2','. .riin care se rLtrr_rs rz r'.!',sri z

ureapTa I1,2, intilnegte il QieqpTa i:liTq muchiaIf'c' rnucnla c in tn a.', iar 1"2,, l',2,i intilneste intil muchia

e'c' in p'. PIanulverticalcu urma orizontald orizontalibd 'ul II dupd seclioneazioctaedrul du un poligon din care se rellne refine l'B'qi I 'S' si 1"3'. Dreapta l,B, I',8, l'3' intil_ intilEi l',8,. ne;te muchiat'b' in 1,,8,'intilnesie intilneEtetot ^ y', iar 1"3'

f,b"in S;.--prunrr u.lti"rr'; ;r;;';i;h;ii

mp sec{ioneazd octaedrul I dupa un poligon din._ dln Ldrc urrr zl 5l care 5c se rel reftline refine te qi fl '4, 4. e,4,. e, Dreani Dreapta ureaD ta a lf'4' ti ee'4'. {,4, ' 4' intilne;te muchia m's' in e,. iar e,4, intil_ negtem'r' in g' Planul de nivel H, sec!ioneazi octaedrul l! {upd un pdtrat din care se refine l-5 Ei l-6. Dieaptai-S intilnestemuchiabc in pr,,iar l-6 intilnegte muchia cd in v. planul de nivel Hi.'sectioneazdoctaedrulI dupd un gltr{, dhf care se refine 8-9 ;i Z-tD. Dreapfi-8-9-intilnegte-inuchia mn in O,*iaF z-io intilnegte muchia mq in o,. pentru studiul intersec{iei se utilizeaz| tabloul urmltor (tjq, AZ). intersecfia este o rupere. Laturile .Q yi'îbile in proicc{ieverticald aie poligonului strimb .de intersecfiesint g,_yr,_},:_ 0,_ -y'-s' , iar in proieclie orizonlald v-p-g-pl.

fiersecIBC 9i planele sec{iei 8.85). nuchie dru Ei e sint: r_g' t _gl

,/

-D

- l\ ^ . r

'.-'-6' -D

'-6',. rile in mb de - ui, ':.

l

i

f'*'utui * 5dseconstruiascidecfi{ dintredour

o" siseconstruiasci.inrerr..fr" gl;;;:t*[

j"o?l"?,i[

l[1],-,t151ffi",*":1 T[fld*""r1t ns:iiffdre FABC.DE $i 9MN.PaR,-.pI"au ambele iriungttiui;4 qAnc, u'.a.ui'nureesteconfinutl irtmtrn plan diagonll^"1t.::,ll:t..se d9!*e;.,1,r{1"a. a" uripiun P dat prin urme. paralela a (0, B,) llitrr;;ls in carefiecaremuchiea uaul^po1!e[1f tu ru[tiii" prismeidusi prin viriul S (s, s,)

#_i-.i.lirx'ft'j.pfil?q.T:i$,rffitf'.:;lifi il,:;iisxfii#ff::,r.J,TJlirftffi,;l; qiig. s.se).-ui*"1"n; ii:"i; ,l t, ,) arepra'[v-:el cu urlna orizontard,?c\secfioneazi Frq fiar*cNn tnq sqf 5PN sNn nlt

lv

vlv

v lv

t l(

tlr

tl,

,1 , vl v

.BC

acof0A t,

vlv

vl t

tt

p

vli

fA8 tBc

vo

t 'l v

t' l t

I tv a

.r d

e

v

r

6

o

6-p

€

e-tr

rt

t

*o

a

d

f-rt t-{

tt

, 0

4-c lJ-y

?

u

/A/r

T

€

(f

u

UA

.l (

,

,-6

6

6*x

0

-d

Fig. 8.87

139

07I 06'B'Fri

68' 8 ' E tC /plLo z./r0

eursr:d JSaulIluI g IS V alrrqcnu eJBr uI alel -rund '(t0'A 'Fg) luorJ ap aueld 1u1sarptlrxne aleu?ld 'O lpdul ap lnuu1d ap plnu;iuof, elso Vzuq lerpl. u CgV pldearp Rleluorl pru;n;qFunr.ll pusgrd o 13 arfuarordap l?luozlro lnuu;d ug plunlrs ezvg n":NWCJA gluuoFuluadplerllrc^ pusgrd o eJlutp 0liobuatrug?f,sernJlsuof, es pS ol, 'aJeclnro elsa erloas:a1u1 '06'g IS 69'g a1r-rnFrJ ul alep 1u1srarfras:a1ur Inlpnis nrluadalaue:Ferq 'ppolau arr.lourrlde aleod as :o1e1cund BeJtunnJluad .8g r$ ry trugs -rlqo as plsereInleJuI ',H lalru ap Inupld ed gllrxrl aleueld '@zeqpnop rolac alaueldorlurp rr'tqoeu1 3gy lnrqFunl:1aleqer as 'BleurJoJop arlras.la1urap eldearp alsa a:eo) 4 uurn ed ;p Intrsap elsa ev,luozlJo atfralotd ptrspaf,B alunlrs '0c IS Our,0u ,0ualalounduJ es-npullJas 'alBJUoJJ rauslrd lazeq u )qv. ulurytoz -.ralurele 'l I3 { elalcund ur aluaF;a.tuoJ+u1s -f,)JBoaC -t:o utfcato:dep ero.tauJlsa elJund a11ey:o1ec rola:parlodalrrqJnuuud ti pldza:pelseareuud :r.rBUrruJalsp nJluad'lErpour pllnza.r9lEJrlJaA esnpozBqr?nopgolaralauuldad a;erlrxne.lo1au

.- ; T *'*S* ."rr .r,;...ar6 v\ -"':..{.s--s,{,--bh g.J

p_roiectiile. verticaieale dreptelor :i,-l$T1ti, oupa care planele auxiliare

secfioneazdprirmu frontald. Di agrama pln_try rtu,iiri -i ni.rsec! i ei _ este urmitoarea (fig.-g.g2). Bo.S[_seconstruiascdintersecfiadintre prismi o patrulateri verticatd 9i. o pirhmidn putiuiut.rXl ambele poliedre avind' bazll" situut!-in-ptanul

proiecfie.. nazaprismeieitecuprinse ."jirg:jll,t rn Inrenorut bazei piramidei.

Fie SABCD piramida;i^MNpftprisma(fig. S.9:j. pinctele t 1 , o )1 . (pp, ), (y , f ' ); i (8 , 8 ' ) in c a remu c lriile piramideiintiln6sc'fb1'ele prisin.i r.ruiia i,n._ diat. Pentru determinareipunctetor'in mtrchiile_prismei intilnesci"1et" piia_iA"i "rr. r" utilizeazh.planele verticalesl, s2,'rdii'r+ arr" prin acestemuchii si prin virfii-p'iia'midei.

punct6te.' de_nteriecti.

--

)l o ,)

rr,l, L.r",tJu,1.tf9l -i ire ap u n cirr, (v , v ), (z t ,z c ' )S i (p , . p ' ).Un t e lo;ii s,tudiul .!-'p;i face .ihfersec{iei direct. -vizibilifatii Intersecfia' esteo pbtrundere.'

i:\

141

uJn ale 6{'a15ue1il !$ I{ piuaF;a,tuocap alalcund RzuolJesrelut D IS d . apturu;td ,p':o1ac-a1B'I i$ S allrnlrl^ a1taun a-rec Iea.rq'(gg1'g 'Ftl) O IS d rolauBldB allJas (,n,q 'nq) atC 'atuJnulJo alup uldea:p lul ep -ap-rrilradsar 'a1auu1d elnuliuoc luls ez"1 i6'6

aplure.rld 5ln'uwet is ciivs aruln;q8un1r1 e4ulp ulirosralu; EJsuln4suor es RS ol I 'Ip-g

rl-r

-e-l.-

eleiuozuo etfcato:d u1 :e1 l9-I"

. ,S

u!fca1o-rd-u1 luarufjt'alIqIzrAiu;.' p1nr11ra.t '(66'B lS 86'B 'dli) rdnr o alsa alfeas.ra+uI grurnluls rarlcas:a1ur Inlpnlsn;1uedalau elq '{s nc alelered}ulsid - r4 a1e1uoz1:o eiiiu,rn rBI i,{ u1 eluaFra.tuoe1u1saueld I-t

- a

ace a1e alectlia,t alaluJn 'eJEIIIXnBalaueld o e+se Pldeerp r+ caJl ea utrd t$ e1e1uoz1.to

ep IecItrral1nue1d grsndcy'(zO'gtFtl)'e1{calord alllqrnulBI laplq larustrd a1$eu1g1ul [l ''s) 'a;f pdnp e1a1e-re6 g-ini:!^ ulrd "D-ul iilo'ie i,s else ep ep Pzuq -ralord lutrlpe^lnuu;d 91nu1|u_or prlc u 'itigv gtnluoz;iopialuln4udqruslrdo 1s hrfre;o.rdep luluozlro 1nuu1dul Elunlls elsa 66'8 'BIJ lez!J./a/f

,s

,l

gzBq lerpr ? 'NWOJ:I5 pluuoFeluad ppluur;d o erlulp u;irasrelug Pr$ln4suor es FS o0l

o olsaerfcasralul iSTlriiity[,Hi rnui;'ilf

86'8 'FtC teluoz!r0

-euJn 1u1srarfcasJelulInlpnls nrlued alaure;F -BIC[ ',,1!a rt q eleleund u1 aluaF:a,tuoc_ 1u1s r$ aleluozrro Jol alauJn rel 'p1dea:p a1e:aie1elsBeJButrd ea.t1o+tsoloJU JoA aJEJeJBIIIxnB eIIIrnreI q PIEI rlaupld '(tO'gL'3tl),,mip1e;a1e1 -uozlro ErIrJnoJBeprilitrd$gnop Jolar a1e; 16 S alIrnJrIA e1$eune:ec uldeerq _'e;foelordep 1uludz;rbr* luraleJalauuldap rllradsar alnulfuor iuls azuq roraf, elu ONWI lS Cgvsf,ep;tuur;d ?nop e4ulp u;fresrelul ?f,suln4suof,es PS o6 96'8 '3rC lPlu0zlr0

roiecfie, , a c[rei ! ?roiecal plrar (k; k') Aceasti ec toate l acestol nele lor DiagraEtoareie fuper€ Jmentel*

Fig. 8.100

; ;,-=-orauxiliarepe P gi Q. Totodaii urmele : i-:_or auxiliare Ri pe planelep Ei e sint ::t ,--:ente in punctele 8r, 8s, 8, Ei Dasituate r',1,::eaptahv. Planele limitd sint R1 fi Rs. lrl.r--l Rr nu este util. Diagramele^ pentru m:L::1 intersecfieisint urmltoarele(fig.'8.101 r, ' ;. 8.102). Intersec{ia este o pdt}undere rr:I[::iiaie.

t. a-p-

be doui rle c6ra :Pgi Q de inte:Dreap:,r or do;,l i Qi,"|i urmel;n

Itenlica/ Fig. 8. 102

l2o Sd se construiasci intersectia dintre doui prisme_triunghiulare oblice Emf,t gi ABC ale cdror baze sint situate respectiv pe planele p gi Q date prin urme. Proiectia oriiontali a dreptei de intersecfiedintre cele doud olane p $i,Q este_hv(fig. 8.103).Se considerdpunctul arbitrar.! (s, sl) prin care se duce cite o parsla le.ln direcfiile muchiilor celor doud prisme. Planul RR' astfel determinat este parllel cu muchiile ambelor prisme gi se intersecteazicu planele f;i 0 dupa drepteleale cdror proiec{ii orizontalesint h1v1,sihrv2. planele auxiliare il, care vor fi utilizate sint paralelecu planul R, iar urmele1or pe planelep ;i e sinl paralele cu direcliile hrvr, h2, vs ;i concurente in tr'2,'J' pr-rnctele31, 82, ,)u gi 8n situate pe dreaptahv. ulagramete pentru studiul intersectiei sint ur,matoarele(fig. 8.10a 9i B.l0b). lnterseclia este o pitrundere dublu tangen{iala. 143

I

l

vvl 90i ' B ' 8tc

3unr:1 eprure.rrd uzeauorfras alEJ ,tWW nur ulrd-pdnp snp lpJrllol rnlnueld Jn:o1nfen3 .lgVS Jdtu,rsap lrurJap leuotsuaurptrl lnrfeds ,sns reur plsuoJ IBuorsueu'trpullollnrfeds u1,BzBalcasralur 9114116 1nuu1da:er pdnp eldee:p 1"g1rn.1r" a:er ,r1111y 0qlnu ad alPnlrsrSe:arurloc1u1salcund ra:1alSateer 16 nJ unruoJ lcund un,arecel3ne y35 rS3gg 13r1,q14 1nue.1d IYS 3[auBld BJ rJrB ap Fllnzou .1cund un-.r1u!gzeal msralures_'lEuorsuourrprll nrfeds I6plnlaru ulf:ede nu mr aloueld 'runrsuaullpnrled nc nlfeds un-;1ug,pr arlS

lellllaA

t0t' 8 8tJ

t I

I

fl

fi I

Iil

E {

aJ 'lBuorsuaurpr:1nrleds 1[e un-lluJ alun]rs luJS

,IBuotsuaurprJJnrf eds rs\e1 Is ap lBurruJe iap uJ lenllsalsa ,I4 lnlcund n;1uad .Ior:a1xa,INIWNW d 'Bauauoseo(I .CSVS lnxaldurrs ap lBururalap Jsu_aturplrl lnrfeds ug asur.rdnrlugs 5 lnlrund urp arpJ alrrqrnru ,rrfrpuor otrsarBuI .(SOt.g .tll) druocur oJlsuou rrurBeur ezeq rdoqes rS runrsuorurp :zd nr nrfeds rnun lnxaldruls rdOgVS alC 'II,VWpllln alqJnu elseare reruJol pursologe:parlod Bnop alaJ rrp erfras:a1u! Jnrlsuor eleod ag .o1 r$ u1 luJs ptrru rolaueld oJp alpluozrlo alatuln .arfrastalur uI FIIIn nu orqrnu ulseaJs ,u1e:auoFBpoloru pdn6 .uprru +:id gzealras:alurnu r611ryerqrnu.rareJ ut (SOt.g Fll uuBId.o ls grusltd o orlutp erftes:a1urorc .Isuolsualu 'lrrJl nrlBds tSBIaJeun-Jlu3 asur.Idnr luIS nu aJeolyz

u

lepoz!,ro

'NrNrwrd lnxoldrursop .nldrrraxa op .trEururalap rJ

t lnpundurluore:er NdrNrdlSWdrwrdalauBld.C6VS

j

I

,u,?,i ,autaal r

-un^dsaror oleurFr:o a1r:n8r; pJpp .aluuorsuaurrpe;1a1 .elurzardarelelduocur IrnFlJ JaunalaluaprJul-.leroua8u1 r u r E B u nr e l s a r e u r | : e d B a J E r r o l a u e l d o l p 1 6 : o 1 e 1 d a : p a l a l u o p r r u l 'l e u o r s u a u l r p r l o dr n l n r t e d s a 1 e a r u e l q o : de : r raunu. rep_'elaldurotula.rndoad .1e:auaFuI .olellozor rJ .1de; .p1a1d lod orlrzod_opelauralqo:d lnlsace pil:oiec -uloJul sur;elul o olso o8uolg a.rnda laUn e (p1ecl1:eir) g l u l u o z r r ou y l r e l o : d 'p r r r : l o d r u r q 'e l a l d r u o tr u r 8 e r u l1 u 1 s a8uolge1a:ndg'olpuotsuaurprlod :oJaluoruole a1elur8eurr EJ rBurnu :ep 'elayduoc alp:aprsuol ri 1od alaldruor -ur alruldBlur_'urqnla^la3'C'N ap pleilo^zap ,aleJduroc -ur nBs olalduror :olrurFerur rr:oa1 udnq .AUO:II'IOd

3(I rljc:tsxsrNt qNt^rud uo'taund:rv v-rvNo "rsN:rwranod 3s:rcvSdvJ:ruduarNr'9'9'B v At.rdru

s0t '8 'Bu

I

I

,e-

Rro

Itlrury, e'l'g'), se pot determina imediat punctele(u, u'); r r 5i (w, w'), irt r:are muchia Mitl, inters6ctcaii ililltrtr meriL"lr:iv planele ielelol Sl\8, SBC Ei SCA, Prirr aceastd lrullmsr:ie, epura Monge considerath devine completd gi iimrr:ine o intersec{iede tip pdtrunderelntre cele doud tttrrlr[p::e. Astfel, unind u cu r rezult{ a1g' iar unind u utm : :: ob{ine arpn. Pûnctele yr gi y9 se ob{in unind v ven-"iv cu p, gi Qr. In cazul unei intersec{ii de tip ruttturml:, rafionamentul este acelagi, ;i punctele v : ps, w = .1 devin puncte ale intersectiei (fig. 8.107). In urlrrr.-zie se vede cum poate fi redusb intersecliadintre nur ': loud poliedre la determinarea punctelor (u, u'), r I si (w, w'), in care o muchie a unui poliedru lltlttq rrllrmi';::.abil aleasi - intersecteazd planele fetelor celllLLul: : poliedru. In acestecazuri, unirea punctelor re,lrtirtirf:i:e din intersec{ie se face fdri dificultate gi firb proilMn*:speclale.

r&7"PROBLEME PROPUSE

rfiu t r i dir piramid, leazd piraie nu esie rlanelorIicfla dintre nuchie neu cu patru incompleie be pornesc imensional ea, planu. uat in ace. ' simplexu, punctul P, l, ce poatt S" /t11N1N. tlanelecar. ie intersecrnele SAB. ml PrMrPlfl l pe m u c hi; ul PrMrPll considera: siinplexurin. muchii triunghii,

!' :onsiderdurmele P 9i P' ale unui plarr de capit ttttr r.r:eesteagezatun cub de muchie I dati. Sd se detern ttu.r*:roie c{iile c ubului. ,:lll'i; .e construiascdoctaedrul regulat ciruia i se cunosc utr r.:: :i dreaptape care este situati una din diagonale. lilil'!: se construiasciiproiecfiile unui cub, cunoscind il(,,q',1ala AB gi gtiind cd planul vertical dus prin aceastzi ,tltt *s-.ald este un platr de simetrie al cubului. *l it considerd proiec{iile orizontale ale celor patru Lru:: ,:[ ale unui tetraedru ABCD gi trei plane conlinitd lru,,:*:iiv cele trei virfuri A, B Si C. Sd se determine .--', verticald a tetraedrului, siiind cd rnuchia CD ililrrr;1 r$ifrrr :ripendiculard pe muchia AB. iliill* se construiasci proiec{iile unui tetraedru SABC, .:rur::iunghic in virful S, cunoscind proiec!iile puncr* L- A, B gi C. Sd se sec{ionezeacest tetraedru prirt ilrir -. 'ned'ator al punctelor A qi C. Sir se detcrminc ]lilfi!: .::r!a mdrirne a sec]iilnii. l1i !r .onsiderd dreapta (ab, a'b') gi punctul C (c, c'), riLriliirrl:. :--icittriunghiul ABC si fie echilateral. Si se conttr-.LL..lra octaedrul regulat care are fe{ele laterale egale urL.i:3i triunghi gi sd se sec{ionezeoctaedrul printr-un :.rpendicular pe al doilea bisector, dus prin cenlillrlrir .rn:-[-[ieedrului. I' i; .r construiasci proiec{iile unei prisme hexagonale r&nrfr i:i de inil{ime l, cunoscind plarrul (perpendicular rttrLi r .:,:ilea plan bisector), centrul gi unul din virfurile rlrilurirrSA se giseasci punctele de intersec{ie dintre gi fronto-orizontala dusd prin centrul lli:r,;. Prismd {lll'-l: --rnosc un virf gi dreapta care poarti una din lrll,,.tuq:r--:iele unui cub. Sd se construiascd proiectiile LriluLLir;ri-; ;i sd se sec{ioneze acest cub prilti-un flan pe primul plan bisector, dus prin centrul llurun,s-:icular runlLiLr! u..-i. Sd se giseasci adevdrata mirime a sec{iunii. llllll' 5* ::nsideri un plan P perpendicular pe planul ver:;llfi.iirL :: proiec{ie si care face unghiul de 45' cu planul ilmill!&r:::1. Un cerc situat ln acest plan este tangent ceior liflrilrrir -::re ale planului qi centrul sdu are cota l,

Fi g.8.106

Fi g.8.107

!45

?rpilpdap tsBaorprS glor lseaarBne (,^ '^) A lS (,s ,s) S llpnlrlArorBr alB rs ariJaroldap Ieluozlro lnuBId ul alBnlrs mls oN-W Is CSV azeq rotg) alp orrlqo arBlntqSunul ryluPlld Bnop arlurp erlJasralut uJsErnllsuoJos RS ogl ('raplurBrfd nqa azuld alaqruB e:aprsuor e5) 'lnlnrpaplro In.tluor il$sa JJJA toral IB aJEJaJEoe:e1e1n:1udupruurrd o 16 firrluozrJooteuo8elp olaueld ulp Inun oJB aJBJ lBInFal mrrrpoelco un aJlurp pllcosJalur etserntlsuor as gS .61 '!nlnralBlnrlBd roJaleuo8?lp m arfcas;a1urap ynlrund ulld aJotl grleluozrro erfcar ad aleza$elugs apruurrd -o.ld rarer B Bleluozlro-o1uo.r1 mnoprolal a1u ; rS S olunJrIA 'orlJotold ap leluozlro llxuslo uI lPn]rs Jo]elnJlpdun Runruo)ezeg eJ nE arEJ ;lDrruBrrdFnop aJlurp erlJasJatruJ Bf,sBlnJlsuoJ as ps .ll

'a:parlod Enop rolar 16 a.rparlodpnop lolor .u1e:nSg;sep unr[or lnlnpryos alrrfcaro.rd9JSE!nJlsuo)os.BS 'rnlnq -nJ B Blarllla,r eleuo8erp lrrap olpu Jpru lJo pnop ap alsa auJrl[euJtaler B 'atre1n8a:aprure:1draun uzvq olso rnlnqnJ e eleluozrroetlJarord 'alfraro:d dp lpluozrlo Inu -EId ul lenlrs Irj^ un rS gyucrl:aâleuoFslpulp ?un are arEc .l elnf,sounJ orqJnru ap qnJ un pJoplsuoJaS o0l .yg nr qleFa a l s as l n F ! ^ y l p . q l l t o q o ; u t r u r i l g u l n p s l n c o l f r u , u r i y5 a o r E I n r r p u o o J a 0u B J d u n - t l u l l d 3 g y 5 e l e J n n a r p p t r u -Brd uI auuld lrrrntlJasalilirarord aurulelap as pS (t rS c:or c:1urp lJpluoJ ap d Euln .Jraf, Inlrund Olsav InFIA er purr13 lsoru u! sllrsuJ cBV IEraleltqra rnlnlqFunr:1alrrfrerord etsBrnJlsuoJas FS (A 'Jrol rnlsaJp eye rrioaro:d Enop aJaJ ecseaseBos FS (l

ud p i r a m icr rt in plar.:r l celor do:l a. czirei pr:. ntersec{ie ,l un octaedn le orizontad li virf es;e - pinze a,* ra p i r a m ii: MNQ sir-l Eror virfu:i depiltare

r olu l

lX

E CONTCE$r CTLTNDR|CE M EP R E Z E N T APRLEA.N E T A N GENTE.prin punctul A, sint tangenteleht ;i ht1, duse la directoaredin ounctul h. Pentru construclia Th0RMALE -P' 9t TANGENTECOMUNE urmei verticale se utilizeazh orizontala (aV, a"k').

i MEPREZENTARE. APARENT. CONTUR

9.'I,3. PLANE TANGENTEPARALELE CU O DIR€CTIE DATA. Sl se construiascl planele ri. Deoareceorice con de ordinul doi tangente la un con, a clrui directoare este un I -ou5 direc{ii de sec{iunicirculare,se cerc situat in planul orizontal de proiecfie, :,ege pentru aceasti suprafatd intot- paralele cu o direcfie A (8, 8') dat[. Se conii -n cercca directoare. Proiec{iilevirfului siderd paralela Ar (8r, 8'1) dusi prin virful ,lttll*-.lrbei directoaresint suficiente oentnr S (s, s') al conului la direclia A (8, 8') descriptivl a unui con de ordinul (fig. 9.2). Urmele orizontaleP1 qi Pe ale celor rufllllll::area riilit,rir =a. Se numesc contururi aparente ale doul plane tangente se ob{in construind ht, Ln :egiuniledin planelede proiec!ielimidt rireptegi curbe, in interiorul cdrora se :.za toate punctele suprafefei. Se deo;nntururile aparente orizonlal, vertical llihm*::i.la fel ca ;i in cazul poliedrelor. qi pentrurepre":ementerimin valabile :: suprafelelor cilindrice, considerind ::nului aruncat la infinit. Dacd se con:roiecfia orizontall, m a unui pul-lct :e suprafa{aunui con sau cilindru, vor -:de doud proiectii verticalem' gi mi, :e doudgeneratoare distinctegi reciproc. --. :td conicd de ordinul doi are ca virf

'lliltttirl!:r:: oarecare din spatiu, iar ca directoare

J PLANE TANGENTEDUSE INTR-UN PE SUPRAFATASAU PRINTR.UN EXTERIOR. Prin punctulA (a, a') dat, ffi dilci un plan tangent la un con definit r,iu-fulsiu S (s, s') Ei prin directoareasa, ,uurccuprins in planul orizontal de proiec{ie. ftim. h') urma orizontald a dreptei SA I lt. Urmele orizontalcP gi P1 ale celor :.ane tangenteconului, care pot fi duse

Fre(el 747

.d

B}I i, q 'g)â,lJ rS rnlnJpullr_) JolaJBolBlauaF .l.BI (IF 'rE)ID BIalBrBd (,e ,e')y lnlcuncl jtsarnJtrsuo3 aS :xo nc r lnrqFun FteJ ps

,l IaJlsE 'uo) rnlsor'.r" ;i;l;;rj ;l;l;1 ,)L B)

;j

Jl lut p eun ( , 4, u

a l J .a ri c a ro i d a 1 l

.}aua

l$ lara aluaFuuloueJcl unop

'1[,'J1;',i' (,"J,';i'j :iiiii :,i ii5i.iJiffi nr ;e1e.red bLrriuLaiap asrs ;d inuElj :tjtii?rll

(,? 'E) V rerlrqre ltrrnd un aFelea5 (t .FIj) 6- ,Ft'9 - ro 1nue1d.nr inrqiiun ib1 a.,eoleraucb erf ra.ilp " {,.a iJBrs lJund IsJJBur InJJIAJJpt_rut.1dalp lTI"jly]ll: _:o1a;no1e:auoF nrlLrJd.,rt purun eu1iq6 :ir lnuocê1$arnJlsuoJ tt,n 'raidarp as rS1,u ,u; y:erirqre :lJ'nrpurlrJ .ry B,\ as Id t?ierrgaÊiurfl B (,rl',rl) : un eFale aS '(g 6 FII) arlrjro:d 'ap r?lBllrozrJo ELUJnLrrpaJBolJarrp eJ asnp q,l iS ,ro Inupld uJ^trpl:lilsJJ3J un alsa aleol : rn.rrre 15 ,(,F ,F)3 erioa"lpnc a1a1n:erl ;-zolereuaF rnJpJalB InJplrrlrJg.raplsuor t;.r;.FI,J ag r nrpelp gqfiun un a;iee;o.rdap luluozl.ri nl RteJ us eJsJ ,n.lpurJgrun ug luaFuul .arinlos o un utnou sJSElnJlsuoJes -?s BUn 'pnop ,raJtr,n:1ed?S a1rupe aleod

,DJd ' aJ B olJ aJ t pRn o p J o l a l o s n p 1 1 1 o d a :e .r t --,raloluaFilel luJS eluaFuel auelc[ rolsare :'EJL r o_z r JJoI 0uJ n .l J n L ro J J ? l l o p .l o l s a f,u -' l L raduB Ji nuB ldals J l l ? l n BJl u a 8 u rl In rrBId -r r l nr qF un aJ B J, p ,s a p u n ,(,e ,s i u s ; a 1 s :a

rlsalls alE alBluoJJalareolEJauaF a.rlulp rrlJoroJdap IBluozrJo1nueldnr r lnrrl8un rnJFJale r$ (,s ,s)S JjJx tsela;e -:o1e:aua8 ,:Jp JB.[nJJrJ aq .rnJnuoJ Tnrro]pJaprsuoJ .(t .ErJ)Jri 's) BJilJrrasn Jl..J S .{/s 6 _ol) -1 ap leluozr.iolnue1dLr1leriirr.'.l,ior u'ria1r:,; rJBJJEo:lJaJlp pr aundnsa.rd ag 'l?p r nrperp un alfralo.ldep luluozlro irr qrr;rus 'uoJ un u1 ;uaFuu; uu;d 1nue1d un ptsulnllsuol .IVO ITTONNNN ]VINOZIUO'INNV'Id ]VJ AUVS AIN3CNVI ANV"Id '} I 6 :.-\ \ , l'6

d ir l

6 6 ''31:1 n;

rD

,o

K

l

I

I:i9.9.7

FAC

)AT. Si con, ie un I de p''r r dre;: ratoar; ce-itui rl rc; ;ent cc oqtale *e co:

Probr ' a sau lhu r atOarr h rui i

cuprinse_^respectiv i-n cele doui'plane de proiecfie. Fie S (s, s') virlul conului(fie. 9.6i. 'planul acestei.drepte. Cele doua plane tangentla cilindru plin punctul A (a, a,) :. iP q :--= p'. {qs planul tairgentla con.clui si Q dusela con prin aceastd Oriaoie are urmeleP si 'A, r r:"ield cu G, fac unghiul a cu planul (a,u'j gi" ,ii'"i. 'b Ei a'. lynctll --i, !.!f . r.l de proiecfie. plfnele tung",it" r angentacautata cste.dreapta de inter.secjie -- cdutate prpi, (og, planele tangen-te _sint.'paralele !.'9'.) d!$g.9.geJecloua plane p ;i aj Sa Q tQ i .1 1 qQ;, rFrp*.1t u ' -**"'corisfder*'-uyftTliiidt'ij'obt'fq"-a:cefii i'.curb.a-dirrec_ = P qi Q. Se obsen'dczrplanuluipp' toare este un cerc situat in planul orizontal : .a con ii corespund doui planeparalele de proiec{ie.Un alt cilinclruare generatoarele := la cil indru. Problemaadmitb patru paralelecu o direclie A t D, D,). ia"rdirectoarea Daci h este pe ccrcul d.erazaak, existd sa este Lln cerc I cu centrul in (co,<,1,),situat -: -rtii. Daca h esteinterior acestuicerc, tot in planul orizontalde proiecfie.'Sd's; deter:a nu admite nici o solutie. mine raza R a acestui ceri f , astfel incit sa se poati-duceun plan tangentcomunla celedoui 5 TANGENTE$I PLANE TANGENTECO. suprate{e cilindricedate.planul tangentcomun gr t19.bu1e CONTCE tr LA DOUA SUPRAFETE sa_ 'A ambilor DRICE. Printr-unpunct (u, ui\ $ ;; crllndri (ligfie paralel cl generatoarEle 9.7). Se alege punct un arbitrar I tangenta qlgeltd comund comuni la o suprafati suprafafi conici conici /yl (m, m ) se construieste planul pp, paralel $l cilindricd, avind curbele-lor directoare cu generatoarele arnbilorcilindri. Fie T urma o1.izontalda planului tangent cilindrului cu dlrectoareac. Ca problema si f ie posibila trebuieca directoarea f si f ie tangentadrmeiT. Rezulti R : cob. 9.! 6= PLANE TANGENTE PARALELE LA

n:l cir i ale loriz

SUnRAFETE coNrcESr uflr,,rnnlce. Pp11A l"

or\

lel ca rieste

Fig. 9. 6

5a se ducd la doul suprafefecilindrice doul planetangenteparalele.Se presupune ca direc_ toarelecelor doi cilindri sirit situate in planul orizontalde proiec{ie{iig. g.g). Trebuiesa se construrasca cite un plan tangentfiecirui cilindru, paralelcu genefatoareleleluilalt cilindru. Fie RR' plqlgf paralel cu direc{ii1" g.n..utoarelor atrrbilor ciiindri. Se obtin planele tangenteparalelepp, li ee,.

r49'

I I

I I

tN

I

I

09r uPJd lsecênJ_(,p = ,l,s ,p = ]|-o8uBl ls) pp E nr plaieied inlnubc p:^1lr_n?rugleraua8

eldee.rq-uor llelnler n f{"{:i:.d. :J-r._"1 uI InirJ^-nrpFunfeqs lsciig IB d! !:l-l.l.lilr* eJ 'aleluozrro legise lJ€rlp ylryAuel 'rsnsuJ ,F) elereo+BrauaFlugsarec .(91.0{)Io nr lelprpd_yg"lnrurrdpltodsue.rl ag nc 1'a1e.led e}seIrnuorpnopjoyaj all:hp;n-e}saun ]-ulllrj,le (,F rJlul rpru alsartiifiuo, 1nue1d LTFuul. n'ur11:(o1o'.au) -"-l_ ,l:11_pt eldea"Ipolso olep afale.rdns :jl"^.1?1q"jq_ : vv.+uozrno,' pnop erlJaroJd ap ug IEluozrJo^1nue1d elenlrs'iuJs eJeol p:elncrpuadradgiseacy .areoi -?erlprorProlBrrnuoJ Fu-n_rlor pnop ,1j roler apjnli1,r1,1 p.noprolsare punruor erelncipuedrad '.a;ubFuui'rfiiA ,s) .ftoi; .an1u1,ud etC 1 (,. S lsep.alerBoleJeua8 puiru_ra1aperruor afalerdnspnop pl f.::. IS-;lJ) J"yluor lrSrjls,rg prnp jr gs .g afa;e.rdns enop 6 rolar .rilcadiar .rnlnrpurlrf, .II.l uel- alaleJed

aueld Bnop JSatnJlsuoJ luaFuelpippoloi aq nJ lileirio'.tin tp IPrllJe^ ;nuu;d u! lsnlts .(,o ,()) :l:.?-.is &uJ,,6,a {g_rnufrd fw 1r og r .1h1n:pu11 lnuBI d I o q B a lS a ln : 1 s u a ) ep rJef, un uerpolreJlp nf, piuozfi6 a lE ,rirlirudc e:eoleraua8 elsaf,B nr 1a1e:ed !llc !S uoJ InlseJ?eunruoJgaluru.rou aini luaFuil etrsa1n.r1suor ,66 1nue1d as 1$,lninjp1rtlr'n1"rno1 euluJalap pS 'arfcaro.rdap Jeluoziio 9s n.t, (, q,._, qs) e1a1e:'eO' '(,1

'l) nrlual ap 1n3_rac lcuriO'iiire ur:O aisa ::l1"rl_ Tl le]rlts 'FIJ)t:ll,rrr 1njr3n1,s,r) s-diJ llifc e r$ (,s ,s)5. 1n;rg.tnr lnrior :-tll_15,'(6'6 'a;e -l!)-es 'actu(INr.IIC j lu.rudalueFuulauu;d.pnop icjriru Is ACTNOf, ^"i 1 !r pi;prd;; eIeJ o u; ;s prtuof, giulurdris b pJip il-,gs .a YnoqY'IVNnwoo vrvwuorv

'z'io

N oa'rele:luec nJ JolaJeolJoJrp esnp r3 1od or ro 1a1 ueFrie1 Inrprunu .p'" p,ir.i. p ::d-^ruor 'piur;nin I9s_

Inrprrrng

nc punuralapa's

el supJd€ilup r uldJ al elB Ba alecrlJe,,r l BJ rl J e AA[e "- ":+ alarurn uJn i ""y FnopJoJeJ ( , q, s - , qs ) , t r l c a d s e r IS J u rs i ;n u d c : l__.u l )

rloc BI a1e1er?d afrieFuril aueta!n"op;i;;;" '!111:111 .b4 16 atarBolBrauag 6 1bJ1se ,"p

p ."o1ii ;t ; ; ;; i 1 eu'e Jd 9n"o 1i.t-"j:"g"_t"a;u-e

\-{ I

;

>.{ k

\ )

Fi g.9.12

I

F i g . 9 .1 I

It se de

un pr ma oriz

ouac lle ori naleles act dir: r cele

tm, t' 9ta

solufi; ne Ps tuo gi

l consl

direc in pl ne ilin de tangr

9.1t ) . ise d ige nd utata. It la ilindru |rectoa le con rgent.

ilile:.:nrindfrontala (sa, s'a') ;i se duce tanqmriat' paraleldcu s'a' 1adirectoarea cilindruill,utRezultd (b, b') Ei generatoareade contact .L ;. 8') a planului tangent1acilindru, paralel ru. :lanul tangent la con. Sd se construiascd inlrJ:" :t perpendiculara comund dintre generalm-r--ele de contact D Qi A. Direc{ia sa este p,e-endiculardpe unul din planele tangente, iilnr :ild5, pe planul (sat,s'a't'). Seduc din (s,s') pm;endicularelesn ;i s'n' respectiv pe ori;mnlala p $i pe frontala s'a' ale acestui plan nmr-.,{ent. Intersectind planul (snt, s'n't') cu lurterta A (8, 8') (cu ajutorul planului de m r--iH'care di 1, 2), seobfinepunctul(k, k'). Wn--alela 1a SN dusd prin acest punct este iihr"k'r') Ei reprezinti proiecliile normalei co,nmu::e cdutate. Ca verifibare,r ;i r' trebuie si tij* .ituate pe aceea;ilinie de ordine. $ , 8. CON SUPLIMENTAR UNUI CON DAT. F Se consideri conul cu virful S (s, s') gi a mirui directoareeste un cerc cu centrul (., ,') dhuat in planul orizontal de proiecfie. Si se prin puncte urma orizontal[ a umr"rstruiascl irmnului siu suplimentar. Se presupune cd ,,rrriulS (s, s') al conului dat este situat pe pli:"lui vertical de proieclie (fig. 9.12). Fie ur* s'a') una dintre generatoareleconului in planul PP' tangent 'ur.:ulcdreiase construieEte ri,fi Jon. Generatoareacorespunzdtoarea conului rzuriimentareste perpendiculardpe acest plan lmnr.gent la con ;i se proiecteazdorizontal pe lur-ade cea mai mare pantd sl a acestuiplan.

In rabatere, pe planul orizonl"alde proiectie, aceastdgeneratoarea conului suplimentareste ssmperpendiculard pe s6l. Punctul (m, m') este un punct al urmei orizontale a conului suplinentar. Locul geometrical punctelor (m, m') este o conicd. Proiec{ia orizontall a tangentei in m la aceasti conicd este mt perpendiculard pe sa. 2o Cunoscinduna din proiecfiile unui punct ce apar{ine conului suplimentar unui con dat, sd se determinecealalti proiecfie a punctului qi sI se construiascl urmele P qi P' ale planului tangent,in acestpunct. Fie S (s, s') virful unui con a cdrui directoareeste un cerc cu centrul (., .'), situat in planul orizonial de proiectie (fig. 9.13). Fie de asemenea m proiec{iaorizontali a unui punct ce apar{ineconuluisuplimentar conului dat. Generatoarea conului supli-

,1-*

;"

r\

15 1

z9T 'F11). aunlicasop raqrncrnlnueldg u1 q v u uJ e1 rS uoc u r BsTJJSuJ 6 sr r Jsu l (o, ln in n J ?-rari Bla ls InJluaf, Jlu a l

suoJ oS .uoJ u! acl;oqered nunliees ;nz{; .pJoqJedftl o else aunrlJas eqJn) 'truelsuoJ rJW _ .e:a1s JW naq )rre El lcund rsplare u1p esn-paiue5ue| er rCW : rW :jW --oC f,W :paua{uasp 'luPlsuor: r3 : Qfl : uv

'aunrfras

raqrnriirlnuulil

_ap .ln1"r3?"s ls .{ ug nrlc-adse; aluaFuetr,ro tS o irrtur"

u1,uocusnr.rcsuj ag :pl3{:,'F:.y}9 llererJ ii ud p.np g^;F,rl^ l?,uI

raInt;; ;;:""1

9 ]',"tn

*:

rSaunrfoasep pqrnr ed'ap a:eca:eo :iiF,:ll lJ Und U a I J .uo) l t tar1;oqrad;q :r r r n n r r r lr r r rggunJfras r r ,- ,{ ^ ' u o ) tu! W/ alC ;nzu3

rrunricas n4u(3J 9,iJji] llt.lj 1r,,orJa .psdrlao ,nrn, ap rsBaarv elsa Bqrnr .:ape$y J

zar ,X: rcr: row-+Tri 'iSJo*H

nr rntnuoree:euorfcas urrd ;Tly,i,:l"r-:-"_t^,1 _un .nJpurlrr Bqrnr orc g$uorui ar;1orIa J !-]f'ullq.o ::l^!:"itli:

FzeJ'apprnluot

a\na.ratnoTntaua7

y::op a,qnp ?ps 4ru!/s!p a1nat.il-ririibtauats pnop ctrseJaoe urposnp .1unru"fl1"Jff'1ffi1 pdnp 'arDur7nwr atooTnlauaEpnop' paiip

Tnuoc

ip ?1_y::l?r!tu!lntnuor1ntt1auud irp^rui1$i ,p1oqntnT lnuap nc

CW .- CW :rBCl

.

. y:rOJ:rgg:rVV .1cund 1se:u ur:d psnp _, lBeilauaseêg nu,of,eaJeole.iaua8 rf,f, li eqrnr ad areri;eo J ,11 un W '(1ue1suor) : tgg : rVV rvv vr elC ":11 \+uE+)uurJ,,x 'BB )

1a1o.md1nun1d uitc pdnp ::t 3J.!t1d,!t7 'psdr.1aaga uoc in'4'ug in77 un nJ plonlrata naunllc-ag:Bruoroa] ejseare 1a11se aleod reur ag .uoc b1^jua7unT unTa 1s,-e1nu:og un nc ya1n,ndalsa nns^tti1nuoe alv'azu1dalaqwn

uJ nrlcsul (4.0 i1,^*.5 ll:p yor "s EqJnJ 3J OZaJISUOIIIAp - lld u d+sd

; ultopuec111_eiiro;oa1 y:ur:t:,t9 azeafuU*p: .Nr.ra(Nvo

o ain lljij aunrlcas ap laqrnr rnlnueldL 'jltlyroc y pzutd ptn7up ,:y:r.l"_.a9,'aunriras u!^, wnc pdnp ,ploqwnd a1;edo ap)rJ rSg u1-nrlcJdiar ;bs' ploqiianl Jllotd aiua8 :tt ?p]s :aij) 'psdtp a6a uoc unrlu!'uo1d ,r

un ,r^p1rr7ru1u

as ernqarJ 'tnlnuor e yzuld prnFrils o 'otSeu 9i {i '8!il

as FS

rn,r vweuos.(:"ilff]

tf,tucNtlt3 ts l3tNof, lullJvudns N! tNy.ld trlnifcls .z.o p_rrrurrrlap 1odaslueFuel ,,n1a ,n1rr3l'ji:*:tll p.relnupuad.rad g :.t:yig..l1s 51."uu, .ad "pun .1s,) ap r$ rnlnudee (,1,s _!,1,- 'uru)BleluozrJo 31se leuluralap' 1jl.?1y,ri1.?_ ry "p rldnsrnlnuor 1,rii',ur)

]:l:rTg._"j.rplrrau Inuptd e. ,ur qlBrrlrariuaFdll erlraroriaLiii 1."^ln,. l:I"]?und ecl .ur,s (ea:eo1.e.rau.l8.; e:einrrpuad:aj ::l??, ,uis;'aig .xo 1nue1d 1,u.l,s ::.-".1^:,t^]rinfy"l :lu3luEd ap srurr nr elaJe.red

,E,i 16urjlFs apun '(,8-s ,Es)olsa'uu1cl .uoJEJ inlsaceu ulelu_oztJoo lttoFuulueld un ad grelnrrpuad:od ruspft1uozr;o

erirero.rd a;e pund iseib ur:,t p.n['-j;i":;;

./ t

Fie sa : sar : b'ai : s'b' tg e, unde a este ungftiulgeueratora1conului. Se clucparalelele a'c' qi ad la linia de plmint. Fie de alemenea: ad =:.a'c' .- c'E' cotg p, unde p este unghiul diedru dintre planeleP qi H'. Prin impdltire rezuliii:

/\\ / rl \ /.{ \\_ --__

\*#+\ I

/

I\J

sa _ ad

t'

L)ar: s'b' : c'8', deci: If : -lg-g-: constant. A1

p'*.16lrl

;i puncr

:demoncilindru

c '8 ' c o t g g

t,^

t.------3; (,

ebuie s: l elipsa ere tande altat servd ci n punc: rconului

s'b' tg a

ad cotg B Prin urmare, locul geornetric al punctuluia

este o elipsd care are unul ciin focare in s, iar ca directoaredreaota 8.

ELIPTINSTRUCTTA SECTTUNILOR

se construiascflo sectiune elipticl bn circular drept, a cirui directoare este situatd t[ in planul orizontal de proiecfie, gi sd se determine tangenta intr-un punct curent (k, k') al curbei de secfiune.Fie S (s, s') virful conului(fig. 9.19).Se alegeca plan de sec{iune planul de capdt PP', care intilnegte o singurd $ J.tltEoREMA FocARULUI. si se demon- pinzd a conului. Sec{iuneaesteo elipsd, a cdrei 'ffiorema f ocarului :. P roieclia secli uni i p lane proiecjie verticali estesegmentulor'p' aEternut :,i!t.:!-un con pe un plan peipendicular pe axa pe urma verticall P'. Axele proiec{iei orizon;.ttului are ca focar proieclia airfului conului tale sint ap;i yD. Centrulsec{iuniiestepunctul 'w acestplan. Se considerdconul circular drent (m, m') mijloculsegmentului (o-p,a'p'). Axa i3 :'- i'irful S (s, s'), care estesec{ionat.deplanul rezulti din intersectia dreptei de capdt ce se necapdtPP'(fig. 9.18). Fie A (a, a') un punct proiecteazi paralelul conului vertical in m' cu r-rent al secliunii, care se obfine intersectind raz| H' dus de prin planul nivel sc obtinut de :: planul P generatoareaoarecare(sq, s'q') a ::,.,nului.Dreapta de intersecfiedintre planul p ;r olanul de nivel H' dus prin virful-conului *r:e A.(8, 8'), Se rote;te punctul A in pozifia {r ralai)situatdln planul de front al virfului'S. ' " M punctr:l curent de rre aceastii curbii. .;rat totodata pe generatoareaSCM. Din salitl{ile AA1 .: BBr : PQ :- MN ..=MC..= =. MF : constant,se re{ine MN : MF. Curba :t: sec{iuneeste o oaraboli. -_\

punctugenerag. 9.16t eneledr FqiFl Bn'd c,,i

4 L Eg d :

r

rrba di msideri angenre l. 9.17r

F i g . 9 .l a

Fi g. 9.19

153

'

v9l mrloldrurse alrrfrerrp nep 8s rS Is eunrfcas

ilp aleJBolBJauoD'rnlnuoJ IE (,s ,s) S InjJll mlrd snp ,64 1nue1dnc lalered ,,OO lgdeo ap lnueyd nJ InuoJ uzeauorfresas acrloldrulse .gV -uoprfca.rrpBaJBulrrlJalapnriued Inlnl -uauFaslncolfmr 1(,ru'u) lnpund alsa rrunrfcas nJ rnlnuor ole TuoJJ Inrlua3 'aunrfcasap 1nue1(l ep JoleJeole.lauaF erfcasJatrur urp ellnzer nunrf -:aS ele (,q ,q) r$ (,e ,u) alrrnjrl1 .(aa'O .Fg) a:ec ledec lnlnuoJe1eazuld alaque gzeauol|cas ap 1nue1d,dd IS lnlnuor 1n1r1,t(,s ,s) S al.{ "a1fra;o.rdap leluozqo lnuu;d u! pl"nlls else a'r?olrallplaJpru lderp lulnr.l!f, uor lllhqut ptlloq -rad;qaunlif,eso prsulnrlsuor es p{.1 }91n16q1

-u3dtHuo'rrNnrlses vrlsnu*dd{$g/

'Lfrogaisa pleluozrro.,ir.Bro ug .(,e,s ,as) aunrfcasep roqJnJE e1qtz;'l BJnr.ueU tareoleraua81nFun1uI uor e1 I luaFuel 1nue1d ri 6 luecas1nue1daJlurp arfrasrelurap eldea.lp alsa eunlfcasop raqJnJye (,e'a) 1ua:nclcund un-JluJ(,.,r1.'rr{) eluaFuel 'rl,fragr esdlla alsa f lunrl3ase glaluozlJourfcaro:6'rn1nue1d e ,dgl -BrrlJeAeru.tnad p1nure16er$ pleur.lo;aplelol alsa rrunrfcasp glelrlJa,t erfcaror6 'rnlnuo) ele JsJrlJeAl$ leluozr:o 1ua:edeJntruoJep elaJeol lunlls f,Jer un elsa eruolraJlp lnrpr B g$(,s p51 .e-rauaFaunrfcasep 1nue1dnJ BzBalJesJalur aS lnlrund u! InJrI^ nr cllqo uor un praplsuor€\SLl '(tA'O 'FtJ)rnlnueldaiaurn ,d ISd alg .aun;irai ap leqJnJ Iu luaJnf, lcund un-4u1 uluaFuul J$ elsa FIpJtlJanerfcalo:d ug aunrfcasnp i"qrn" pdec ap ue;d un-4uJrd uor lsere ut uaunrfcas " pllqlzll ernurBU'eunrlcasap 1nue1dnf, rnlnuor .aJira;o.ld auruJalepes gg ap leluozrro;nuu1dug alB ep alareolp.leueF puglcasralur urfqo luoJJ as r$ (,! 'd) IS (,, 'r) lugs rnlnuot lp lpsrtrJal luoJBdBInJnluo3od elBnlrs llunllJes alelJUnd I Z ' 6 ' 8 tC 'lnuoJ nJ (,n,r'nr) rele+uozrJoelfcasralul u1p uliqo es rrunricasB rJrru raxe ele (,n 'n) r$ (,rl 'rl) ayrieirua"rlxg 'axe lalsaJe1e (,co'co) elsarrunrftasInrlua3 'lnlnuocalu (,p,s 1nm1[rru 'ps) IS (,c,s 'rs) alateole:auaFnJ (,"Iq 'orq) ralda:p elf ras:a1u1 ulp g11zer oxe ralseoe ele (,S 'g) tt (,1 '/.) alrfulrruerlxg'arfraro:dap ap Fiej 6 lnlnuzld e elued a'teur leluoz1ro1nue1d reu BaJep Brurl gdnp glefr:rp alsa rrunlicase aruu BXV '(OZ'O'Fg) Inlnuor B glerrlra.\ BXB _ ap (,o 'o) lnpund uI lrulllul alse eJpJaunrfras ap rnlnueld alarrirn ,d lS d arg .a1ite;o.rdap leluozrJo 1nuu1du! plun1tselse aJuolf,eJlplnJpJ u '1derp JelncJtJ uof, un-4u! 'eJeJeJuo ttrzlf\ un nJ pclldrla eeunriras as Ff"6J "rsurnJlsuof,

u! uorer lua'uel, ,"r;];tlJ'T"J;ils.fl

ep 1nue1derl-ulp (,{, q ,{q) erfrastelur alsa laqrnJ 1epund lserBul 1 eluoBuel 'aunrfcasep eq:nr ad ap luarnr pund un (,4 ,>l)arg .141 uud

'

--_-_

_*t'

Iiig. 9.23

Fig. 9. 22

rnlne

capat rei de s"21). 3nera. rtical i este rtlcaiiunii rtf -un l este t P;i toarei :tiune IPERhiper*oare ecfie. ql de nului :

SCC.

or de ntrul lmen:tiilor ul dt nr in

le d. totice

mp ;i'1amv ale curbeicle ::utate. Asimptdtele sint paralelel'e aceste ,li;;.ti; -:c{iune .:imptoticeduseprin centrul(m, m') ;i';;..'.rnii.Alte puncteale sec{iuniitin proi..ii,

s') virful conului;i PP' planul de *-,lJ' (fig' 9'24)' cu ajutorul frontalei(sk' :::li'i: planul Q' paralel cu s'k') construieEte -se treceprin virful conuluiEi sect?::1-,f'^:are

;J-5--** -,'-t{t]gl !'*dl"l':: ::i{"_;r"-'-'ar-":fi-i,g,-r :* "E;:',qf;,1,,'"#',$1!1,,*,.iT1,t""11? proiecfiaorizontald f SXseconstruiasc[ )1. .".tiunii. pllnJ. langent"T1 Tr'la con ;i secfiunihiperbolice,.obfinuteintr-un :o"" 9!]l_: i; lu;ili acestorgeneratiarese-ihieriecteazd a cdrui directoare esteun cercsituatt" secjiunii,al.cdr.or pir;;ip arpt uJitnptot"te ';;;,;?;;ti' p]_T,l; ;; urmelelli::t de.proiecg.ie.

pil.f fi:I $r^P' 'rrizontat :i de sec{iune(fig. 9.23). Planul Q paralel r-----' -; planul P dus prin virful S (s, s') al conului ,r.iinnacz\ .lr r n i generatoarele o o tlo .r i.r r ."le sa si sb. sa .;cfioneazd dupd conul ;i sb, ^ .n r r i :are reprezintddirecfiile asimptoticeale secdirectiei sa ..:nii. Asimptota corespunzdtoare ='te intersecfiadintre pianul secantP Ei planul :.:rgent aa la con in lungul acesteigeneratoare. ?araleleleduse din o($i I la directiile asimp:,,:icesint asimptotelesectiunii;i ele se inter..cteazdin centrui coal sec{iunii. Douir puncte . e curbeide secfiunesint I gi 2. Alte puncteale ,tctiunii se obfin utilizind planeauxiliare,care --ec.de exempiu,prin dreapta(sk, s'k'). Astfel, :,anele auxiliare duse prin aceasti dreaptd;i m, n gi r dau punctele p.,-v ::in generatoarele .. .. Segmentul p,ep, este paralel cu ks. La fel .;riru v6v gi pnp.Virfurile secliunii se obfin unghiului aorpcu conul. .:tersectindbisectoarea :'' Si se construiasc[ o secfiune hiperbolic[ ,ntr-un con oblic, a cirui curb[ directoareeste un cerc situat in planul orizontal de proiecfie.

.rt. i.nirul iec{iunii. / ,/ 1,.

F-i o

9.24

155

99I

* -%*{

uI uoc el lueFuBl uEId rnun B ?lBluozuo Brrrjn .uor I alC lsaf,E ul RllloqeJud ounliras o ur -suln4suof,aspg .e;fra;ordap luluozlJo 1nue1du1 lunlls f,Jecun else eJuopaJlp lnJpt B ,(,s ,s) S p1ru1{ ul Inlr!^.P*?l"lgo lnuor p.raprsuoiag "6 (

ji i_.

uruorn'lun'u,rltl'ntffiS;fmf;--: alsa_aunrfras .i ap (,t),t'j

loqrnr F lnicund'uj P,JuedueJ''gISg1u1s11un1|casaIPa}JundnlIv .rH nJ tnlnuoJea;euolfras lalru cp 1nue1d uuil nr (,8 ifl) I,F,iec : lnuflqg us gzEr ap 1n1a1ered ap ralda.rpericas.r_a1ur ylp FlJnza'lirunrlras a1e r. elaif,und'rd !Sd luJSrnlnuor e1e ',r !s .apaIaJBo1e:aua3ada1en1rsa1a1cundrci,1.,i,n1 llgo.rd .rn1nue1d alsa lrunlfras InJTJA e ,4 f1e5r1ra,t EruJn eo FlnlrrlSB elsa FlBJrlJeA arftaro"rd .(ga.O;Fu) e ploqe:ed lerpr 9 ?ls eaunrfcag -eareolerauii8 lnlnuoJ e- (,q,s ,qs)_1uor1 ap nr lalered ,{d lgdec ap yirueld eirnrfcas ep uBlo EJ_adalB e5 .auntfras ep taqJnf, lE luornf, lcund un-4u; e1uafluz1prsu5spFas ps !S 'ariragordep luluozrro 1nuu1dug!1un1rielsaer"ol -leJlp lrrpr u ,1da;p-J"lnJJrf, uor uq;:llu! EJlloq -u.rudaunlicas o prsi:lnrlsuoJ es

arfces:e1u1 epeldearp nc glalered nBSvs Bareol 'vUvd Uo'ItNntlces vricnUhl'ldcT rrunrfras gnlound alsanrfedsugraloqe:ed rnrnlro,r a1e1ua:ede ,"r"":Tij*rT;1r"$rjlrrt#; TJll4 :"l"u"a '(,e,s'us)ta"reolerauaF alrrlrarorilhr a1a1e-rad pl11ln.rr1u1 urfqoesrnlnuor1e1ue;ede etaxEnr aloqe;edtuIS Jlunr{cas atrrlcllolg I;;;;;;J;,i:}Bn}ts etatrund .,y -,p.. '1uaFue1 }s,aur ,r,c,,BXu ueld lsare tp ;fii;;i aunrrcas ep arar'orerauaD ".dl;';:'!i,1".,n0 r, ::.J31"j"1..a.-:"iil?". ,r,s -

*-*-r ;:1ii,'i.."f,ii:l,T'#:Ti1"""t:?,:1y::y:J:"i:*-*'"*"*--:Jiln'rm;;i,*'

.Fg)1,f,s a .A.sapun)nr ur'tuoz,lo :ui; 'iga'o lT".t:"::'K,,o.,'jrl13ifd,:,-:lr--,:.:^$::1l::i i: ;iij..lliT/_lj"j#U"ii; ;ij#'Ji"?,Ij15,Ffl,"", '.r,oi"u,iu.s"l;ffii _Jal a as .InuoJ E zpe]JasJo+ ul pyB p]sB aJB ,,- .^(, ls,, ver

L(,

,J,o uJ IeJrlJeA-pzealcarord as aJEJ r$ 6 lnrreld ug

Flanlrs eldearpaJBJuJ alepund nEs'..r,, exB elseareâd gtelnclpuad:adalsaaunrlrasap eqinc e1 eluaFuetr aJpi uJ alalcund1Lrls'a1urr1ia,r'rar1 -JatoJct ale ,y tS ,3 aIIJnJJIA.,u,or/ntrnlnrq8un BeJpolJesrq eisa lrunlicesE alpJ!+Ja,l iarfoaro:de exv^B gS,tur BXBcsaulJllrg FSJaAsupJl a:er as rS Js alaJpotreJauaF.ullqo aS 'lnlnuor JB S lnjrI,\ urJo rs pxe urJd /rrn BrrrJnop Jprltxne 1nue1d alnp as arfoas;a1urelsBoJBrnrlsu6c p nJluad 'lnuoJ FzBalJasJalulgxB plsBaaEuJ IeluozrJ0 EzBalJatoJd ase-JpJ rs 4 1nue1d uI plBnlrseldea.rp aJBJur alalcundnes .urouJrnlnrqBunea:eolroslq alsaaJeJ'psra,,lsuer1 uxe ad p:elnrrpuod:adaliJ aunllJesu1 eluaFuel arer uI alalcund alp-:l luJs,d)'ls .(,d rarlcaro.rd.a1e I g 16 a1rrn1.r11 ;uo1u.o \,!'o) luls. rrunrlJasaJBalcund FnoC .a3rlol ,urol -oulrse alrrlcaJlp nr 1u3s(,u,o _a1a1ered rs (,u,o.tuor) alolrlurse JolsaJBaprfraro:6

Ca nul lnt. rele a'). rnii lraEtie

.iintre planele T qi planul perpendicularpe Iui. Se construiegte frontalaacestuiplan a carui gcticratoart:aSA, tlus prin virful S (s, s'). Sc proiec{icvcrticaliiestek's'. RczLrltik pe e si poate deternrina acest plan. Irie a planul proicc{iaorizorrtalrs pt'paralt.la la ox dusri lertical dus prin generatoarea SA, careserabate prin k. Fie PP' planul de sec{iuneparalel cu pe planul orizontal de proiecfie. S se rabate planul QQ'. El seclioncazAconuI dupi o in fu. Perpendiculararidicati in ss pe asg parabolS,deoarece cste paralelcu gcncratoarea intilnegte in m urma Q. Urma orizontald a de contact (sa,s'a') a planului tangent ee'. planului perpendicularpe generatoarea SA este Virful proiec{ieiorizontaleestepunctul in care perpendiculara mh ridicatd in m pe sm. Dreapta tangentala curbd esteperpendicularape proiecde intersecfie(sh, s'h') dintre -acest plan' si {.iaorizontald a generatoareiSA cu care planul planulT d5'direc{iatangenteicautate.Ri Ooite'a desec{iuneesteparalel. Axa proiec{ieiorizonolan tangent T1 dus prin aceasti dreapti da tale este paralelS cu proiecfia orizontald a generatoareade contact (sb, s'b'), pe care se generatoarei SA. Se duce prin s dreapta so, afld situat virful (", al parabolei.-Elrezultd con!inuti in planul Q "') ;i perpendicularlpe sa. ducind paralelako la hs. Alte puncte ale sec- Din o se duc tangentele oa gi ob se interseciiunii pot fi obfinute ducind plane auxiliare teazi-generatoareasb cu planul ;i P. (Se obfine prin generatoarea SA. Astfei rezulti e. Punctul virlul 0 al proiecfiei orizontale, unde 's-a sec{iuniisituat pe conturul aparentvertical al considerath0 paraleld cu os). Virful proiecliei conului este (y, y'). verticaie estepunctul in care tangentala cuibii 30 SA se construiascd o secfiune parabolicd este perpendiculali pe proieclia verticald a intr-un con oblic, a c6rui directoare este un generatoareiSA cu care planui de secfiuneeste cerc situat in planul orizontal de proiecfie. paralel..Se duceprin s' perpendiculara s'r' pe Fie s' proiecfia verticala a virfuluf conului urma P',"con{inuidin plandl e, Qi din Lrrmar rfig. 9.27).Se alegeun plan Qe' tangentconu- se rluc tangentele ta ;i rc. Planul tangent

xn" ,/ .\

I I il.

757

utJd lBp d eJBJeJeouBld un-JluJJd uol lsef," ut

eulrurelep as!g .e;iea1'o:d ap fi1uorf6 ::.-yllir1. u! crer un alseeruolrarlf;ir.rpc lenlls e 16 tnyl3 't)

1*; ' "t' ^, f : ' D g 6 '6 'dFl

89I

S ;nlcund uI Inlrl^ nr uof, uri praprsuoc !,^. 'S:INOUVSSO AS OI VIiVUNCIJNO] NIUd AN

-v'rduolrNnrlsasvsuvNrwusJgii-.z.a.o

n4uedFoJeuy.,;9n':,,nug'"!";ur'j] Lr,p^:llr_1 ap aueld'ap' pi,oi,

:jl:il:19 ',

r

----1"

"t'

orrvy

.r;"';j vldJ

uJ

,a.iecr;ua.t .ju,p.ro 'toJelcundelaior",',51s,, i3 ll_un]!r?. '.rer Jp :

ulrd Ud BUn z et er ! !u ll u p: r lr r a, r rerirJro.rd z r ir : ' r n' . 1 r D , e1ecr1.ra,r. Fllnzer ."l e/'rcdalsa l1un1fgp_:igluluozlio ntira,orj 'drgfrl]Tll,

eurrn ed p1nura16e ri ,aricaro.ld -l_ar!Jn-tllr..rr .elerurolap ualsrs uI lnou 1e1o1 :?-.ll"lg _"p aredB uor uJ eaunrfrag.lels,t a1sa"inlnuoc

'1nou I? IBJTIJaA 1ua;edeJnluoJ .lur tys'alsa rnlnuoJ rnlnJrl^ q Flerjtr.reA alfcalo:d enoN .,d î*zua"z uur:n ad ap (,ru ,ur) FIBcTUaA W lnltuncl -ffln as 1S.tla_uidTrxro u,."r-ulrurre nrluad 'FtO ap 1nuu1d uJ ,dd 1nun1f :!: _Bq,-6 }ara lpder pruJoJsueJ] aJBJ ,arfraro:d ap lerrtJa-,ruejd .erfraro.rd ap' Ieluozrro 9P :]gqrrqrs o acBJaq ut ]Bnlls.rrerun alsa es ea:do1ia:rp .rer llitlq lnlcund alsa rnlnuor InJTIA.1'uu1ia;otri _'-!:.'tlg uplc u! aunrloas ep 1n1nue;d !;rpur.roEsuu.rl BpoletupuIZ!llln .alecaleo uu;d un_l1ug.rd :eJ1qo d uof, un-4ul pue;d ueungirasaugrulelapas p5 'INVIf,sloUd NV'Id NI :rNntltgS qg-flfr\

-nNv'rdUuvwuoJSNVUr voor3fuJt6j

.,d r$ n lugsalcundal$ 'rnlnuoJ,ale1ua:ede Jnluocap alareolerauaF

d InuBlo .nJ puJlJaslalurullqo as lualede €d rlBnlrs ilunrfrasalrlrund .alerrlrrl ll].1luot .,s,, nr eierrl.ran Pl!t9!"rl lnlrJ^ ',1 .p]lnzrU r11u1a1e:erl alsa ri (,j ,e) uud oro:1 :lll.t_"-rj qld?erpo udnp 6 lnuu;d'nr uzealrarretrur :jBr(,),s as 'Js) raruolu.tauoF 1nFun1uJ rnlnuo)

Fig' 9'29

| ,)'l t

de unii ri ie r.dru LA,SE , S')

rnul mea p rin

proiecf:e. Si se determine sectiunea in acest cilindrri printr-un plan oarecareP dat prin urme.

Se utilileazh de- asemenea 1ui "oniigu.uiiu Desargues, alegindca dreaptir auxfliarapara1a generatoarele cilindiului mne. Pentruconstruc!ia sec{iuniiseva utiliz" l:]: lg'.F,') ^dusl, paralel.iare.urma orizontala ,w:r,.:guralia lui Desarg'ue-s (fig. g.ig). O ai"upia 1,1]g9.30).Aceastd u.'-=ire'clusa prin iirtui S(s, s') al conjlul !!l ^-lJ ti intilne;te in,.(o,o') planul P. Se r,i: irrrTrzorizbntalir(ft, tt;t' El- inturcucteaza:91:i99t', planele auxiliare care .trec Pri! A, C, B r r..ulde sec{iune Ei prin -generatoarele P in'punciul'(o, o'). Planelc. 1;e3st1a.relPl.u curbeidesecliunesint (aiB8, ur .:iaredus! prin aceisti areapi;riu uirnete !t, ?;,P"|?itcflile vizibile in cele rlouii rir: orizontale:convergente in urma h. D; i_1,!^-?,)'.^_Ramurile proiec{ii sint pe epurS' indicate lmr-lrr1€2, dreptele deittersecf ie dintreptanutR r, -i:este plane. auxiliaretrecioateprin'punctulffiecTluNEA pLANA IN cILtNDRUpRIN 'r :'1. Astfel, urma orizontalda . planului\^gffiR ntRmEfRILORCONJUGATT.'Se;;: - gi dreapta sideri r,r"t I -iar..du.s_ prll.generatoarea SA un cilindruoblic, a cirui-direitoareeste lr,tL'l,iard (sf, s'hl) este.haag, iar &od un cercsituat in planui orizontalde proieciie, "ll" cu centrul(
diametri perpendiculariin cerc.Astfel, planul R

159

1

09I "ariJaroJd ep [BluozrJoInuBId ad es ea:eolJaJrp m lezaSe'1derp JelnJJrcuoc un r$ (,q,u'qu) Jr;o:dap pldearp o arlurp arfaes.lalurap rolal -:und elrrfcalo;d runce euruJolap as ps 'lollsv -relncrlrudzeJ un rSeraprsuocaleod eg 'alelnpJ ericasralulap (,d 'd) lS (,o 'r) elelcund ug q JSaulIluIareolerauaF olsaJv '(,6,s '6s) r$ @dea.rp gdnp alaJeoleJaua8 il1.1,s '1s) Inuoc pzpauorlcas '(,I '>l) erpr d 1nua1drsourJapV lS O a1a1da.rq e1saRIB+LrozrJo Frurn rarpJB 'V : SW uldua:p 'ilJnpas lS g eldee.rpad (,ru 'ru) W Jurlrqre prund un eFaleag '(ge'O 'Fg) q ralda-rpB plu] {rozrJouur;n (,q'q) r$ rnlnuoJ InJJJA(,s 's) S ntC 'aJiragord ap luluozlro 1nuu1d u! lunlls ila'L un elsa eJBolf,allp lnJP3 u f,llqo uo3 un

ap rolel $ (,p 'p) O plduerpo equlp agfcas.relul au;urelepas pS 'NOO-!I|0.JL -und a1;;iregord

vrdvauoo lrurNrqvrlf,ssderv:p

6t6

'f

pl c

/, /'

E (,q,s (,q,s 'gs/ zcInrilDun ap BsJr?oltsJauad BaJr?oltsJauaF 'qs) trLroJJ nr 7c nJ lLroJJap lnrqFun

a)EJarer.',66 lpdecap 1nuu1d aS Fraplsuor Y3lU0Nlllf,RVS 'Bereolrarrp nr erllalouo luIS ytVlVUanS O lS Y3|NO3 .e.o^!qg,p,:illiJnrrar yrdvaud

o IdrNiavrlf,rsuilNi

';;:,l,iilrllnlll';.I" 5l.il'i,;,"'#" Xp","1".1X"',it

i,","?"11.,",,i"",?if""3ir,,,rj; il#i;'lxfi

'efulrn$n nrrnpap ossunlfcas "p.fjl:y h'""1 :il ir$fii""*:r*4.ffi"$ffi;ril l,At;

*f-ilinlvuvdriNv vanniisEi: o:'ajo $TfJ"F'i",if",'# i#,,i/';,";1il;":"Jolil'J'J '1feFn[uocrJloruBrp]op t,P,trl' ,Q,u : a(,uour)

::epeiy ",p,lU',QrU :

t ,e,tU.,luiJ PJIpB ;+:

# J1?O

',e,U.,u,J : a(,urou):leJlsy 'JJaJ un elsa ntfeds ulp otu .rolalcund1e ,;lrlauroaFIncol pJ aIBJBas FS 'orualsa (,ur 'ru) W rrlnlcund paralequU 'J luorJ ap 1nuu1dad ;rJJ lsaJe alBqBJaS '(,uJ 'ur) W lnpund 1a r$ arrfuocaJBJ',e,f, nJleuBrpap lncJacgdnp lnuoc q,zeauorfces lcund lsace ur:d snp ,H lalru ap []ueld 'aunlfcesFlsBeJBed 1en1rsleund rnun { qletl}Jol erftaro.rd,ur elC ',p,q alsa runrfcas ep laJlse laun B FIBJTIJOA erfraror6 'e1a1ered -:1uetunrfcasallunu 'a:e1nr.l1trunrfcasuol uI 'llulJap 1a;1se'4 lnueyd nr a1a1e:ed ry:rrurJalop lrder ap elaueld 'aricalordop IEluoztJo1nuu1d T) rnlnLroJB luoJJ op (,u,s 'us) es:uo1u:auaF fi'r leruJoJ lnrqFun olsa D 1nrqFun 'rnlnuoJ

rolal o{B alu)tlJal altricero-rdri uncatd 'rr r$ rl alalound Fqluralap as Foluuy 'q IS 3 urp alareole;auaF ad d ti ro up 3rn" 'rqc eleluozl.lo atfcalord ep eldea.rppdnp d 1aue1dnr lzualrasralu! os {} \s:o ;'""t.I

mat de tulLricu le capat 'termina ni antistfel de ticald a Planul Iioneaza con!ine est cerc rnctului nmetric rc.

L*--"-l l**\\ L9.3.2JNTERSECT|A DTNTREO DREAPTA til*:rr-unprocerleu cunoscutse afll urma ori--Tfl3fi clLlNDRU. Sd se determine.proiecfiile intersecfie.dintre o dreaptlD (d, d') nr;rr:ala (h; h') a dreptei de profil (ab,a'b') punctelor.de gi,un cilindru, a clrui directoare esteun cerc rl. g.g+). Se considerd4e asemenea ,r*i planul proiecfie.., sitult, il orizontal de Se *rur'::ntald'(k, k') a drepteiD (d, 'Ad'), dushprin considerd,. de asemeneaun punct arbitrar (a, a'). Placonului ;i prin'punctd "r:;iP, deternihai de ^drepteleconcurenteD nA(T'.t'l PS dreaptaD, prin care se duce ::rL cilindrului n ab,u;U;j, ...iioneazh ionul dupi genera- paralell"f (I,. 8').la generatoarele VS!) Planul P format din drepteleD pinctele iir,r.:.ie gi s'2'). Se obfin lst,lit'1 1sZ, lfiSt Irig.e.3li

u .::teisecfie (o,'")6i(p,'p').

:;r.o;,.,:J;T:rr,ir;1,#r3',X"?i,,,u.",liJrlT'il:

,PTA

terseclie(o, o') qi (8, p') cdutate.DacI urma orizontall P nu intilnegte directoareacilindruIui, dreaptaD nu intersecteaza acestcilindru.

REAPTA le puncld, d') 9i un cerc :!ie. Fit r orizonIn punc: se duct tala estt rl P care ' fsl, s'l : dreapta rtersecli'e nticular. le puncile profi. gezat c:. noiec!ie

9.4.DESFA9URATELE SUPRAFETELOR coNtcE gt ctLtNDRlcE ; \\ 9.4.1. TEOREMALUI OLMER. Sd se demonstreze teerema lui Olivier: Transformataprin desfdgurare a secliunii oblinute cu un plan inlr-un con (cilindru) prezintd inflexiuni tn punctele in care planul tangent la can (cilindru) este perpendicularpe planul secant. Fie o suprafafd conicd oarecare,cu virful in punctul S, in care se inscrie o pirarnidd SQ1M1A1B1N1, ale clrei laturi Q1M1,M1Ar, ArBr, BrN, sint infinit mici (fig. 9.36).Se poateasimilaplanul tangent conului cu planul felei SA'B, ;i fie P- planul de secliune perpendicularpe fala SArBr. Secfiunea obfiriuti in piramidir iu acest plan este linia frinta QMABN. Deoarece 161

z9l 0 ulsr{:A :rue^B I:f, 0 uls U.ttl : f

urfcerord ugerur.rpur FlsrpôpB

l-r-u:]+,FInr11ra.r nrluad nes T ullqo as 'alBrrlro^pullJ rnJnrpurlrr alarBol 'le uJ pslrrsul pleuoFoico FIEcrire^ lY_liu"p : I J OP

'0u lsU:su:,u,{ : JBC

=,{,g nes 14: luBlsuoc :

:

#

'.Fu) aleoda5 .(og.o InrpurlrrBIrrursB :ur:IrdnrlnlntpurJrJ

IBJTIJaA le leluoztJo luarede 1nrn1 nt, Ppunjuor os rrunliras e vpluozrro :Y3: '/d :jl:."i::lj"l alsa PIBJltrrnBurn ad 1nu:b16e ,,1,r rrunrfrasE Blprrl.re,,r lnlualdJS eilcaioj6 'Fplosnulso alseeunrff,esep raipni n ,ruihspls"!

pr a1u.re es ps y^!j9_EY-yr:I:yuit

r$ aunriciJei ,r/) aJBJeJBo :FllnzaJ,u,{,9 InrqFunrJ} raqJnJ p \,n lrund un_4uj ;a1uaF 'Rprosllurso a}se vurlr+Joi A^ ord aunrlcas -uu1 ulern$"Isap Rrsuln4suor as pS .aiiialoro /g/{ /s / -r = "_ " !.f p reqJnJ 3 aJBJnsBJSapurJd BIBTUJoISuBJl :l Jyluozlro lnue;d g$aunricasap fnuzio ailu1 nrputllJ ep InrqJunrl aruo$p5sap Br azerlsuouap E.\epe-rlu; es FS .p1: qf epuri sulronf, as pg 'arlrarord ap leluozrro 1nue1dug'ii;njls crar J alsa Flernsp;sapu1 eluaFuel aunrxallui ap pqJnJ rnJpJe ,1da:prelnc nq.un-Jlul 'Alloru,lSelare nJluad .tll: IW Lrn olsa aJeolJeJrp un '0rll a1s9(rrl ,r)) lnlrund u1 auniires ap "rrJ nJpurlrJun pzeouorfras ,dd lgdec Jp ueld .,g,p: ,I"_nt 1a1uaFue1 ele.lnSplseq -_ UO OI ''IVINOUJ IN'INUONIII,C V IS ,IV)iI ,d,q ,,i',8'0SO ,,i,e'l'o,rC -u:rA : 0€lg

oov

ij"ltrv

' ( o r ' o . Blr )

rntnuoNrlrf,vrvunsvjsga z I o

'aunualtut ap Tcund u?t jJrll !.\llO Inl roua.IpalrrlJoJuor,og 15ofl ul aunrxalJ pyutz,ud nu rtuntins o aiotisnisap uud olnw)o! ;o1o6o710S0" t ap alcund Bptoi 'sy,,,,,,,,,,,,,,,u1 F1Ap aJB 3.1s3 'Tuncas 1nun7d ad qtfuiupuadt)d a$; uls aunrfcas.ap raqJnJ uleru.lojsuerl' .rer lnlnuoc ayatooTotauad utp oun pJoC[ :erienrasqg âlsa bnIgOVNOX3plduarpef lnluaur8ad also rn1 '(Sg'O'Fll) g = IIrJ raJBol)elrp u are;nSelsap ur:d plrurJol V uI aunrxolJurop lrund urr p_+tll,zard arB) BqJtJ aJlpJ opurl ONgV{,W gluuo8 'Fitrurl uf .(19.6 .Ftt) -tloo BJU.IJ ralda.rpe 0t'6 'F!.{ V .p ls,alrBdo rp 0N 1i o6rLrl lpqBrrs N ls w :1]: bY nl?ll"ng 'gVS laieJ 1nue1dad epnire:rd fju!:nS -RJSep'eznvr ptrsearpulg .,d > d i.'n {n ylqzar 'a:elnrrpLrad.rad 1u3sgVS IS 4 Jlaurld Bt'6 FIC

6t'6 '3tc

Fio

Q 4l

Fig. 9. 42

cilindruIAQBMC, ste sinute de inui Olivier --r DBo : la curba fpj, unde 'un puncl este I 81, ftr-adevbr urbei de r'8' . Din ,'k'n'.

.liP5t consideri un cilindru, a cirui curbd ,Minreiitoare esteun cerc situat in planul orizontal W proiecfie gi ale cirui generatoaresint fronillhufr" Sn se desfiqoale acest cilindru. Se conpp' perpendicularpe +'Ltr:i .planll de-capit @m*:atoarelecilindiului (fia.'9.41). Acest uulfrtudi in cilindru o sec{iune noimali, a :ii-^-: miri me adevlratii cogo7o 80 se ob!ine pun'r::-o_rabatere pe planul orizontal de proItlr'i-=. TransformataIrin desfigurarea acestei ttltNlrl-:ni normale este seglneniul de dreaptl ryrrl*h-*d-oao (fig. 9.42). Intrucit adevdratelelunil, ale generatoarelorcilindrului sint cu'tW ittlttlntltrlris:'-re, fiind frontale, se ob{ine transformata pmmr:esfagurarea directoarei cilindrului care :re inflexiuni in punctele B si D. Astfel iliililttltlg lfrii,'t*, , .e'T', Aas: a'a'$i DDo: Bbo: d,8,.: lD:JB:i8o:j8,,. Des: I !'. De asemenea: :frlflfuu,nrLr"ra tangentei in punctul {u, u/)' 'curent rrrri' __:rei de secfiune esteTM. lflilF l::tru desfdqurareaunui cilindru oarecare :w :rr:l:tueazd o schimbarede plan vertical (sau tumn';:r:al) de proiecfie gi se-reduceproblema rllllltti ::= tratata in acest exemolu.

Fi g. 9.43

cular drept cu virful in punctul S (s, s') dupl o elipsl. S[ se desfigoareconul gi s[ se con struiasci transformata prin desfigurare a secA,B, tjunii eliptice. Se consiclerlgeneratoarele C,D,E,F,M gi N, care se intersecteazdcu planul P (fig. 9.43).SecJiunea elipticd ob{inutd proiecfiile (apyDegpr,v, e'g'T'3'e'g'p'v'). ?re Adev-dratelelungimi' ale segmentblorcilprinJe pe generatoareintre virful conului gi planul de secliune rezultA prin rotirea gener'atoarelor in pozilia frontald (sa,s'a'). Pentru desflsurare se asimileazaconul cu piramida octogonali inscrisdin el gi se procedeazd ca in cazul poliedrelor. Se considerddesflgurareaconului pe planul tangent la con in lungul generatoarei SA (fig. 9.44).Transformataprin desfd;urare a seciiuniielipticeestepsveDscr,oeoyopogo. In punctele as ;i ps, tangentelesint perpendicularepe generatoarele respective.Punctelede inflexiune ale transformateiprin desfigurareps $i prosint :_ DESFA$URATA CONULUTCTRCULARsituate pe generatoareleSR gi SRr. Aceste PT $t A coNULUr CTRCULAROBLTC. generatoarese oblin ducind planele tangente lllPHanul'de capit PP' secfioneareconut cir- Q $i Qr la con prin dreapta(sk, s'k'), perpeni63

r'9I gt'6 'Frc

milmlrudl,ffill rir,itl]liillllllflxrlr 1iffi1 ,,jfrlli,rillllllllllllllffillU r.mrTJuri,,ii]llrwltWlill|l

'w;ilr)wurul I|m ._---mmmil 9t'6 '8lil

m [' i1 :ulflllilillllllllll illi]llI|lllllllllllilllri

[[].

'[llT

rWl]lllllili,

;;,,Jlllflllllllllill1illlll!.] illffii l;rilrlLrllilllllllills, mi ;'lilililillilllu m :lr:illxjfililllllllf L iiiiliillllillllllll I1[;

;]t,iililulLlilll

rt tr iii ii]lli lilllll L '."itii]Ilr,,,,,iiiifi11llllllll I : trjimiillilllllllllillllllfii iliilil,,,Ii|l|lllLllll

! f rg

.r'!tlll lffilffi

il I,1il1.-llliilll'rillllr iflillilllllll firnllr .,,,,ii I lrtl;*.

rillllllll

(:'\\i i \r \\l r ,

N4 :,/

'1e u1 psr:rsu1eprurerrdnJ InuoJ plrJlrrxrsv'S rnlnJrJÎE ]uor] ap InuelouJ al-npurloJ'aJBolEJ -auaF;olsare aie rurr8unlalo1e.rplape uriqo ag '(,rr,g,a,d,d,\,)',d,i,o 'rrgedt'1l'drln)1u1saunli '(gt'O 'Fll) N I$ O'A',{ -rasop rasdrlaalrrirero-r6 alereolerauaF aunrfcasap 1nue1d 'g '"I 'O'U'1,11'y nJ pzeatrJasralur aS '4 lpduc ep uuld un-l1uJ.rd uoJ u! alunlJele llunriras u arutn$u;sepulrd uletuJolsu"Jl ursuespFas ps ;6 uor lsare areo$ -gtrsapes u5 'alirarord ap luluozuo 1nuu1du1 lenlls f,JeJun elso eJpolJeJtprnJpJu (,s 's) S eS 06 lnlcund u! lnIJ!^ nr rllqo lnuoJ RJeplsuof, 'ul = NI Jpun 'Î alsa (,rr,1',r1)ralueFuel. ulerntugsag'(tam1grny nluuoal u-roluoc) trrrecasynuuld ad ateyncrp t't ti '8t,I

-?]LrozrJo ad (,r)'d) rnlnlrund r araluqr.r 1nue1d --:1ut.tdautiqo as lorlularuriEnrBlBJplapV'au.tlJ -?uI eJ BAJasuoJ es (,1,21,u'lzlur) rnlnrqFuntrl aare.lniplsep ul BJ BAJasqo aS 'aluaFuul ralsere .as aunrloasap raqrnJ iturnSp;sapa1$arn;1suor 'e luaJnJ lcund un-Jlu1 (,d,1 'rl1) uluaFuel rulraprsuoJ '(gl'O 'Fg) aunriras ap rasdrla i a:e;nielsap urrd BlBurJoJs^LrBJ] t$ pllnzaJ ?tepoloJ 'WS raruolu:auaFlnFuni uI rnlnuor ad rnlnuor ule.rnSelsep :uaFuel1nue1d aurfqoos

tangeni lotodati, ;urare e rsiderind rrent al sflqurata fiqurarea r ca mar printr-c orizontal

li: oroicc{ie.Se poaie lua t pe desfdquratala ri:;rsecJiaacelor de cerc de raze p.ntEi mt cu :srirele respectiv in pr Ei M.

o 9 c e - 707 b tt 2

s 5 . T N T E R S E CSIIA U P R A F E T E CONTCE LOR 9 r C T H N D R tC E -:ersecfiasuprafe{elorconicegi cilindrice se r"r:eazd pe aceleaEi elementecu cares-austudiat ;:ersecfia poliedrelor, cu singura deosebirea r.xuirii poligoanelorde baza ale poliedrelor t.rir curbele directoare ale suprafefelorres:ertirre. in plus apar in aceststudiu probleme t
E t n 11

0tizon{o/

!n-i

F'ig. 9.48

\4a

l ' J , , o , g , c , e ' _ / 0 1 'b ' 4 'Z '

DINTREDOI CILINDRI. J.i I. ]INTERSECTIA " Si se construiascd. intersecfia intre doi :iitindri oblici ale cXror curbe directoaresint .funrdcercuri situate in planul orizontal de moiecfie. Cu ajutorul punciului S (s, s') se rctermind planul P paralel cu generatoarele r:bilor cilindri (fig. 9.a7). Planele auxiliare F care vor fi utilizate sint paralelecu planul D Planele limiti sint P1 $i Pz. Diagramele

' l/ertfto/ Fig. 9.49

pentru sludiul intersectiei sint urntitoarele (fig. 9.48 ;i 9.49). Intersec{iaeste o rupere. Ramurile vizibile in proieclia orizontall a1e curbei strimbe de intersecliesint Tr-er-pr--vr-Fr-p1, iar in proiec{ia^verticalap'-0i-pi-Pi qi c'-0'-p'-a| Iir punctelesituate pe generatoarelede contur aparent, proiec{iile curbei de ilterseclie sint tangenteacestorgerteratoare.In proiectia vertical5, in a' curba de interseitie prezintl un punct de intoarcere, deoarece de contur aparent celedouageneratoare vertical A 9i N sint concurente.Tangenta in acestpunct la c#ba de intersec{ieeste dreaptl de capit. Pentqu studiul interseciiei se poate grlica ;i metoda rnobilului (fig. 9.50). ,"'2o'Sd se construiiscl intersec{iadintre un ci1 lindru circular'riertical qi un cilindru circular frontal, axele celor doul suprafele nefiind 165

7m', &i

&r* t' ,* rilll

'i$" lllll' qlr rr

il

I il{iriritliltil]n]llllt||illlllill rJ]lrTlllllllllllilfi lnDll ILlffi F T t rdlll j rl iiiiltlliliililillllilllll J0[, r

]trllllill|[Ill'

ffilrnilil .,lilllllllllllfiimllrl q{m,iliqillll0nffir

illlllllilllp$ ry r@lllllflfilltllflUmr'

;,

alBnlJsolelrunduI 'aJadnJo alsaBrlJasroJul ! 6 'FlJ)eurlqoes inlnlrqou Epoleu pultrldV rJSounJ elepoleu ulp Eun nJ nes lcaJrp rJoJdelBod3s arlJJSJelUl ap JolsJcundeatrun :uad 'tJ r$ rg lugspltull alauEld.(ag.O.FU) BprJuroJ es llruJ laJlse,leluorj tnlnJpurlrJr3Jpol IIUOJJ OUBId IUIS IEZJUIN NB.S EIBJ EJEII -JaJrpJB lBdpr ap InuEld eiSolorag jaierllxne rB aIauEId'eluluozlJo-oluoJl ele$ole.lauaFnr alausloep eleurulralepluls arpJ ,lBluorJrnlnrp rJrJ nJpulllr. un ls lmlile^ JBInf,JJsnJp_ru.I,". -urlrJ rolorBolBJouaF alB JIpJrlJaAalrrfcaiorit un eJlulp stiJJsJelut es F$. aJBserau 'lBluorJ_ luJ: "Js?rnJlsuoJ inrpurllr nr (iua;nc "i LrEIdun elsr 6J apun) U l5 6"rg r* "IEIIIxnp "l:lji3.|',l5alPJrlJeAaleJeoJpJaueF rrruFrpJ?urlqoes rarlrasralur elras;a1ur B nJluad .lBrp ::un 'alaundalBlalar,nriuadFoleuy .,g lS rseulJlulIBluorJ ,Z -orurRllnzal 'nrplrrlrr +lptp.lar raJeolJat.rp rnlnueld erlelor ulp aJJeoluJ rnlnJpurllJ elB IBJrlle^ rs IB]uozrJoluoJBd; rJrBap, IS It uJ p)lplJ as ,nlduaxo ap ,r/ alarEolu:ouaF e.rerug ]e r$ ,e ,r), ,), lJrluor.ep :lund 'hol pzBl ap inJJaJ alsa ra:eo1'tarrp 'Id 'rd 'In ',n aiapun6 'truoJl op a.lerlrxne ?leluozrJoerfraro-r4',H Iolru ap 1nue1dnc auuld Ezr1ln ro^ oS .(tg O FU) aluernruof,

Z,l,/o

J(7

(r'/./r a''/.tr CtSta'l ,td tt') ) 3

u- /1c e/pJ./ /,/t?./z./^

p/J2ecJeJu/

u"D./pL/.t//r

,ffi

rtneratoarelede contur aparent vertical, prorr!ia vertical| a curbei de irrtersectieeste .:lgentl acestor generatoare th tersectio

l. INTERSECTTA DTNTREDOUA CtirrlURl. "i; 'SI se construiasci intersectia dintre doud vizi6i/itote *sfiuri ale cfiror virfuri sint situate in planul urizontal de proiecfie gi ale clror directoare s,intdoui cercuri confinute respectiv de planele 'r"erticale PEi Q. Fie S (s, s') Ei T (t, t') virfuriie ::,or doud conuri (fig. 9.54).Planeleauxiliare :;re vor fi utilizate trec prin dreapta ST. Fi g. 9.55 '--inele acestor plane 'auxiliare pe planele F:i Q sint convergenle in puncteleK;i Kr Ei ::ncurente pe dreapta de interseclie dintre se rabat planeleP ;i Q pe planul orizontalde :.anele P si Q. Pentru trasareaacestorurme proiec!ie.Tabloul studiului intersec{ieidat de metoda mobilului este urmdtorul (fig. 9.55). Intersecfiaestc o pitrundere a conului S prin

ul T.

kr

\4

2o pd se construiascd intersecfia dintre douii ssfiuri circulare drepte egale, cu axele concurente, agezaterespectiv pe planele orizontal gi lateral de proiecfie. Fie S (s, s') Ei T (t, t') virfurile celordouaconuri;i (hw, h'w') dreapta care uneEteacestevirfuri (lig. 9.56). Urmele orizontalS gi laterali ale acestei drepte sint h ;i w". Toate urmele orizontale;i laterale ale planelorauxiliareduseprin aceastddreapta sint convergentein acestepuncte. Proiecliile &', 9' , 8' ;i g' rezuitd imediat. Intersecjia se conpune conform teoremeiMonge din cele doua elipseale cdror plane sint de capdt ;i se proiecteazdvertical dupl segmentelea'9'gi 8'
89r

nrdurs ,yt:.f"Il?B FrEtlua;u'l .]rarrp ace; ._:J.:"..ylliasralut "rffi":i;$

B pJ?JIUaA.erfoaror4 .rnJnuoc B eJBolJeJJp

uq r$ 141 raiebtre;auaF.rrt ::l,it:._'.I.-l:' arfcas.ralut r$rt uI p.t-1.dy-11 ?lsa 9p loqrnr e Rle+uoz ala.reoid_rdue8 :Ijo _:t-tllgrd'a:eo1pz-undiarbc' a: ?JPlllozlro utl".:l?jq uJp ,3 a1e1c'und puJctp !ni"?l,tr:y.".?.1:_ uI ls ,o . raieolerbues";i. 1 et ptpl!l?^ eifcoroij_.erfaasrelur F ,^ HJ Rluaduel also alfcas:aiur ap req.rirc ^lj :-"lp.p e p9tuazlro eilcaror:bgri,ur:eiap :l,.ltlr-lr lnxp ylg!n"rpuedred ejserxrs .31:l ::.llTIl{Pqltc BS.6 ep.-1{ ueld ap .i,iq*1q", 1ec11;err :p:l]- "tl"."ro-rd '(og'o'Eu)treprnlnuoi lnir;ni,', ,ljs l:lluljg ojd-^.lnlnuoJIu p,luozlro iuaAuuj J"lmr!f,n1lylui un ;nlriul1o t:11931ro ic'ariciror,i l"i -uozgo1nuu1d edrolrerlp "p ig_rh uocun erlulpu;iresralu!;nc.rirni lrizesu oi fosurn.4suor 1od as' rariris -=lu^! e".uup lnrpnls;$ Jolalcund '1"?,s.IJ!l_!l!qtzt^ -!rc 'Bs)alBluoJJlareole.lauaF r$ l, ur iS

(eg.o EU) :-,i1:. :]lresratur ,*"ru*iTffi rerlSasialul^ ynln1pn1, l"F lll1q_qo,u

'-Bpolaru ' d r s d "g n15ub;i' .12e.6 tyJS' ^r iluilr lX:.{ q:{ aJaue t l*ne aleoi t cjrl irr"' T,,r,i"fii 1d l{l_ ^njn ô. prurni,rt ,{) :1"1.1qi|9raldarpz p1eci1.ra.r. .a4ra;o)oe'f j:^.lT_lltr.' InJrr^ q !:-jl gS "ls alauuld leluozg.ro u;'i;lreisar lY:ltj:^ "1"n1Js

il;a"uxf'.iltf ."i,1i,mHljdm

-J€lu! PJsBln4suo, I

rs Nof, Nn auJf

I

: I

,

orizontaleale fronto-orizontalelorcare se oblin prin sectionarea cilindrului cu planelede niv'el. tJnirea punctelor punctelorse face fard fira'clificultate. difi Inie este o patrundere.

ERSECTTA DTNTRE O SUPRAFATA

mreft+NDRTCA $r o SUPRAFATA

POLIEDR seconstruiasclintersecf ia dintre un r de capfrtgi o prismi triunghiularl"-o5iici ABC situaii iu biza in

3i?i :rt:n,lffif l: tl ;T:i,:?i "i?,3;#:1',1,

cilindruruisint -pranere de'caprt are crror urmeverticalc au'direcf ia proieciiilor rertl"rie ale muchiilorprismei(fi!. 9.61).Diagrama

,-,--;{,-l * ,{ -',1')K\w')c)x--' ffiH1'H-."L-r-\V. / //,/l-V,

W

-**"-*-

\,

' r'ig.r.sc\ \ )

irilltr;;1i1,'1i,.'#f:':,1'"""ni".,J'fi

orizontalSa

se corripunc rlin tiei I _intersec{iei eliPsI. ffi;Ue se construiasci intersectia dintreun con t Z" Sd'}

lJ''#;iilT,*"l,lJ^J},*; ;_pT,j5:gi:ffiju3i{r..tl :i;\SlfiHr?fdi'l,f,j"*? lffi''J:$t'"W;Xt*1,':.ll*ll*: i:"]iil'*f;::iTil"#,:Jj:_ilr!"i:iiliil" (kr k').urna verticald.a.p-araleleila muchiiie

i,,1.,,6i;;ff ou)pranere d,il'il;ii.#r"ifdl'g ffi?,"??#";,ffiJ,it?e,11g,1'ffi,X""ilff1; r :S,i foidsescolane auxiliare rte ;;"j' firmnilmctie. .ndrul dupa fronto-oriz.olrtale

1fig. S.OO1. rni:mc:tle 'r'itc::le de s it r r c ll. pe in f er s pc t ie situate na geieiatoareie . r or r oi. t ^ , . ^ 1 , , de intersectie ffi,Lr{ ;i N rezultd'imediat.irenlru cletermi-

F -:f,

5

-

: : < J

<

ilmrie*r sun.1.lor p' $i gi de pe generatoareaB :entru punctelecurentede pe generatoarele 'roru LF.R ;i S se roteqteplanul ad protit al uneia lluL,"r :_rectoarele cilindrului astfelincit sd devinii urmury:ai. I-n felul acestapot fi trasateproiecliile

OLT 'nJputlls ulJd rapruPrrd -un| :(gg'Vt'L) C :(gt W"OZI g :e,Ag,gt) ]rapunrlgd o alsa erllasJalul '(p r.{ c,q,n : ZZ : roparrp rnlnzlaj nzur : (bg ,w ,gl) V S E 'FU) oloreolpurrn1u1srerirasralutInrpnls lnlnuor 1nttry :pilraunu afinnldy .CgV pluluoz -radalau-erFelq'fU 16t5 1u1sFllrull aleuBld -gro p.lu1n;qFunlrl ptuslrd o g$ ldirp .1qnrr;a-* zu:n ad elueJncuoJti t t$ r1 alalcund u1 uof, un eJlulp ulfcesralul prsplnJlsuof,es p-Sdg\ '8:anuociuJs '(,9 'g)y eldearp urrd asnp 'uoc urrd rausrfo=p*-" ijirnf?rlrxIrts ilrxne Jolauelo JoleueldalB ale d6 InUPIO ad 1S rS aleluoz e|plUOZ 1nue1dAO arapun:.19do alse erfcasralul .15a-r1p alrun rJ Nril!-, e[orurfl '(gS'O 'Fll) 4 1nue1d(,1 ,l) ut !$ elolJund -iueJnr Illn Jprlrxnp lod.rarlcasreiu-t ,I) utt:aro.rd ap leluozrJo 1nue1d(,{ ug al$au uBId un alsa tdInuBId ?a t$ rd luls Fllull :u1 'rapluerrd 1e (,s ,s)S lngrg.Lur:d esnp slauuld 'y5 eldea;p urrd a1eo1f,aJl ererlrxne ;nrpurlrJalaJeoleraua8 el (,9 ,g) y e1a1ere6

u;rd 1up '4 lnuu1dap plnulfuor elsauzBq Er u.CBVS Erllqo prulngqFunlrlpp;uru.rgd u$ 'alfrago.ldap leluozlro 1nue1du! Elunls aJBolf,eJrp InJuf, u ,u;qo ru;nu!f, nJpull un eJlulp elfrasralul ar$ln4suoJ es pS ot

'aredn: o elsa elfres:a1u1.lraJrp plntpJ rleod :olapund Eerrun .:IS eateole;aua8 ap_eJarrS rnlnuor ale aleluoJJalerpoleJeu i ad alpnlts alairund alBu[rrJalop etnqeJl :sr:d- aprqcnu ad alunlrs alapund ap pjele 'a1eFaar1 FS atnqertrarirarord ap aueld ap atsls Bnop alal uJ alfcas:a1urap :o1e1ound to J'a J pJ r J t J aA B : ) ' p l p tl l J a A e s e rfc a ro rd B Je t ' r ar f c as r alur e Bl p l u o z tJ o e rfc a ro :d

:qo as '1pder ep gurAap es eusr.ld 1glu1

r:!e FlBnlre;a,arfcogo.ld ap 1ec11ra.t ueld ap Bqrulrlrs. o-rtrurrd.(ru.6 .FU)lep rnlnuorInJ r,. (,s 's) S al.{ ./g:,1 pwsttd nlqcnw nati6

69' 6 ' Ftc

u g

+'3 .i --,

T-/

e

( "

' ,, o L ' ,. : ,,d

,

I \

tL' ':titr

:.

r .' r " r'

.T-\

' ,:t.'

\

Y '. \r

,. ) ,:

', t . \. -1'

I

r , \"

\ \-"L{-

4-{-

f

"

|

I i

{

,*\

j

t 1 t I

I I f

r'| -,,,-i i,r a = I

dl--t

^-.'-.ffi

u-r-

f

e:r :ll

coi€.r* ;iste:e rie" iv ri
:

lln

c;i*

€3 5 a 6 b c

66

f-

t

t

I

vtv

q

q n q

0rizonta/ € ,3' 5t a, 6' 6t 6'

|rizonla/

6)

c' l' 5'a' 6' b' c'

!

esn o 5i ' caJ-e urTrxe" lru-:. .1i t - -

-

0n e L . . r : l e i: '

.ii.a:: fge::{, neP pe:::x " E!d lere l

Fig. 9.66a, b, c, rt d'\ ifri,: r. RAMURI INFINITEIN INTERSECTIA rs-pRAFETELORCONTCEgr CtLTNDRTCE. Fig. 9.67 lffi se deternrinenum[rul $i natura ramurilor rdlnite in intersecfiadintie doui conuri ale Ca intersecfiacelordoudconuri sd aibd ranluri lrohn,r curbedirectoareC Ei I sint situate in infinite trebuie gi este suficient sa existe in lpmrulorizontal de proiecfie.Fie S (s, s') ;i aceste doul conuri generatoareparalele. Se lllli t') virfurile celordoui conuri lfig- g.67). poate veriiica acest lucru transportind unul

17t

7,LT 89'6 'BtC

69 6 :Eki

?iluqut Pcnua{o

g\4oqoaod

trqoqDlDd

plty

grnuoag

.quogo, ,1-rd prllg

pno{

(4u6rcVo e/aq4nel !,noPalla PmP Topunlaocclaund nalog

ilnuD!

Q5>

lpeJ lcund un Eqt

@

p

elpPunJuoe pelloq?rpd lihuDtl '32und?noo 21tl/lINlP pt4o 4t2d / tf ,tD l,4or' oa o0 ta 3lDeJ zJ?und ono0

ar/logJailq

e 2UOgt td/t/

tuneo!

onoo

trD uD J Dq aJl

! /cs\ unuo? onoP ra/p /e!J rr watu! 9/F tJtu|a. lo/unaD4 otnlau ls /n.,put4l

t,/ )r/ ,9'

€

@

ejau4.qp 14 tlaeJ e?tund onoo

g

. .. 3]2u9e/P.!t' alooJ JJrund nr']pJ ,t ti o &Jarnt tqutF s.pJeJeJUt4 JaleJrund fir,ounu

rS d luls Fllqll rolauBldalB alEluozrro ueJuolleJlppu!f, Inzslu! nJpullrt un g6uor un Jil 'P .uJ eluedJer\uoc iuJs alpluoztJoJol e4ulp ugfcasralugul ellullul ellJnuBJ runf,u

Jn JBI ',VS peJBolBJeuaFutJd a_lBolJaJl (rnl euluJelap es gS .alrulJut IJnuer r$ r.n,r1od urlrJ elaJBolBJaue8nf, elalBJBd ,rnlnuoJ lB as arl3esJeluro-JluJ ,Rslr{)u!pqrnr o pFu1led .rnlnJp

inJrI^ urJd asnp arBtlrxneoleupid ,us)y3 rirJ rJ dldr_BulsJauar aloJ€olBJaueF nJ FIaIBJB0 (,u,s .ps) FIaIBJBd(/3/s vs )lBJauoF o aurluoJ uoJ lsacy larfcoroid ,J lPluozrJolnueld uI +oi glBntrls Fslqsul rr pllp o olsa aJBolJaJIpInJRc e rnlnu lnJr}^ (/s 's) S eld '(Og'O'Fll) arfraro-rdap

'Bououeseeo 'allJalrp unl8u ep elturJlil rJnur -BJ uullnuls eamde 1od arfraslalur l$baaceu1

arasrnr, Errasralu! 1odas'!1?ru "i'jf,,$,,iil" -o0 BJonsBBtlnJSrpnoJqBl un-JluI eJluaJuoJ

aleod a5 'a1uaFue1

.ro1aue1d JolaruJna1earfcas ,ziro lriueld ,l glnnilt ',e gslqriig{qrnc b -Jalur ap tl rSrr alalound urrd asnp acrloldurrse ,p) p areolcerrpJnrpr _l$(,p g erfcarrpnc ltiseJlpenopalar.pla1a1e:ed e 16g alelnpc redluls aJeolpJouaF rnJgcel? lnrpuryrc ,rW ,rNlurs a1g aleloldlursv 'W alelcund uJ areol

arerraue,p aloueld;:iL:33:[;:'lllllt: "" ueld iin aisrie gs rlcasps erer retlrxne

lS N -JaJrp aleqrnJ BI alo]uaFuel lurs ereolerouaF JolsaceInFun[ uI tJnuoJ.Fnopele] e1 aiuoFuel

:o1eue1dalagrg .WI I$ rryg ires ur' rs lus alareoluraua8 ad 11u1;_u1 BIap elalrundugaialriSF alaloldursv .arrlol -r{etr}uJl eruolezundsa.loc pnop -dursellfcarrp aruoi Elepololpuliuaza.riier -eraua8alsaf,p'uq ,lurs 16u; ,rus lugs rJnuo3 pnop elal uI alalutudelaJuoleJaua8.la:nda Inzer uJ 'laJlsv 'trnuoJFnopalar u1 a1a1e:ed rolaJeoleraua8 16ogrrfca.rrp nep ij r$3 1nrêunu alaqrn)arlurp arfcasralur ap alelrund .C EqJnc azelcasJalur os ps nu nes eleod t.1 eqrn3 auo]foes areoleroua; ralsar'I"F";l"ir!"#i3 nJ 'JolaJpolcoJip lB lptruozrro1nue1da15au1;1ug lua8uul_1nue1d Jel,rnlnJpullrceareblerauaF 'o 'u65' JolrJnuocJollJnJJI,\ eldualp aJEJuI (,{ ,{) l BauauasBaCJ'lnuoJ azauorfcasBs aJBJ qradrq rnlnrpu_rlrJa1e eloldturse alaueld lnun nr lalered rutpxne ueld un alsixa !s arnqaJlaripnlrs plsBaceu1 .(acrloqerednes IoqJadlq)alrurJut tJnruBJlipsug ea ppesod pclpe .lnuoc aliaulglug purlrJ BaJEolJaJrp nrpurltJ B lrurJur BI ap aJuole:auaFg _

g1a1e:dd' ereblerairai

ao pplxg -

-JundnJlrodeJ uI

nc

,I;

In}

pq;nc o rg J Follalouo 'nJpurlrJun 13uoc un eJtrurporfcosralur BA BnoN .Fp lslJoosuEJlI InlnuoJ B aJeolf,eJrp rul allullut IJnueJearedeiod arecul rJnzet -lrulor ps lrnuor FnopJolacelrrnJrJA llrul le]lse luls 'ellullut rJnuIeJ 3Js nu lnlnJpulllx

'rsnsulIa nJ laleJed(I nlduexa ap) rlnuoJulp

I

,i i

i

rl

xI

ii

lI

I

,5'

int dou. lte intr-: r u. aleli cllE lcllL

prin.secfiorrarea cilindrului cu planul T sint tangentecurbei rle intcrseclit.in punctul rle la irtfirrit pc SA. Accsic gcrrcratoarcsirrt douii asinptote. Punctele la clistanf a f initii ale intersec{iei.seobfin pe calel obi;nuita, ca qi rnoriuldt nnirc I lor.

..

:lroneal: lindrul: I i ndrul: perbol ic= 'ebuier" unul dl perboli: r trebui. rc{ione:: Itraleal= P dr d rr : D3f € €S i :

orizont: 'irful cria curb. ontal i. teratoa:l rle cili:' virful 5 cilindr:-. rr urne.: Urme.r

P,ri a

9.6.PROBIEME PROPUSE l . O c l i p s r i s i t r r r t : r i r r p l a n L r lo r i z o n t r l de proiec{ie r.ste d l r e c t ( ) a r e ict r ) m l l r t i I r l o t l i j c o r r t t r i a l c t'iir'or virfuri arr p r o i e c f i i l e o r i z o n t a l e p e e l i p s i . S i i s c c o r L s t r u i a s cii n trrseclia acestor dorra conuri. 2" Se considerdconul cu virful S (s, s') a cirui direct o a r e e s t ec e r c u l C s i t r r a t i n p l a i r L r o l r i z o i r t u ld c p r o i e c{i t: gi se duce fronto-orizontalaD prin S. Fie T Lin purict Irii1. 9.20 pe dreapta D pe care il alegem ca virf pentru rin alt con rvind aceealidirecioareC. Sii se deteimine punctul - dintre planele utile este R. Se observl To paasrt af cbl oi nl ic. i t i r r t e r s e c {i ad i n t r e c e l e d o u d c o n u r i s i i fi c , .:r aceasti intersec{ie doar arcul apî al Se consideri douii cercuri C ;i 1. tangenteinterior in ,r: :i T furnizeazi puncte utile. Cum pe 3o p u n c t u l t ; i . s i t u a t e i n p l a n L r l o r i z o n t a l t l e p r o i e c!i e . ::l zrc nu exista o generatoarea conului R a z a c e r c u l u i | e s t e j u m a t a t e d i n r a z a c e r c u i u i C .'Sa ,::,ela cu generatoarelecilindrului, inter- se cotrstruiasciiintcrsec{ia dintre i'ilindrul ver.tical ;r ,'' r nu posedi ramuri infinite. Fiecareplarr cdrui directoareeste | 9i conul echilatcrala chrui clirecqste C. iar da un punct la infinit pe generatoarea l o a r e 4" Se consideriltetraedrul.regulat SABC siiuat cu fa{a r.[ Dimpotrivi, in situa{ia din figura 9.70, pe planul orizontal de proiec{ie.Sd se corustruiasci - -.le P ;i Q ale planelor linita definesc ,{BC intersec{iacelor doui conLrricare aLrca virfuri ounctele -- -. rap pe curbaf, carecon{ineo generatoare A 9 i B , i a r r a d i r e c t o ; r r t 'c c l c u r i l ien s c r i s ei n t e l e l eo p use . rr" :aralelS cu generatoarele cilindrului. Pla- 5 " S e c o n s i d e r i d o u i d r e p t c D ; i J s i t u a t e i n p l a n r r l , T tangent la con in lungul acesteigenera- o r i z o n t a l d e p r o i e c {i ec a r e s i n t g e r r e r a t o a r e ldee c o n ia cr t r e a c ^ e spt l a n ; i d o i c i l i n d r i d e r o t a {i e d e r a z e r ;r ,-. SA este un plan util. Intersec{iaposedd d i ndate. Sii se constluiascirintersec{iacelor tloi ciljndii R --ri iniinite. Generatoarele " ds ;i d, oli{inute q i t r r r g e n t r l ci r r p r r r r c t r rdl r r b l r r .

L73

nLl ' alllol t r lJ J er dns r e {;r 'ar) : (rx tr11luorJ ap ruerpuau rop raoarfuurrxorde rurrd u3 pulurralap aV 16 rV alalrund nc gunardulg +rec '(fC 'ad 6g tS (lq 'rg Ig elalcund ariulo: pdnp :undsarocIJ (,q'q) g rnynlcund'Foleuy '1es 'Ep)6y 15 qlu'ru) Iy alalound uJ J luorJ ap 1nuu1duzeolJasralur o:er '(,H la^lu ap 1nue1dug 1un1rs)u
'lJund uljd aJaJl oJBJ uerprJau InuBId ad rBlncrpuadrad BunBaplolulolsa arlplbr a! afag -pJdnsraun IB lJund un-Jlul luaFuel ueld un '(.1 raqtnc 1nro1u;),J eJEolBJeueF aqJnt lalsaJu lnJolnlB nJ slBJprdnsrurJapaleod as,lalaJ ps llcul laJlse -erons illelBJBdllol azalJ€sJelur 'arlBloJ op efele:dns ad BlESeJlO eJBJaJpo .3[BUOFO]JO aqJnJ FqJnc o eJaprsuoJas FJBC ap aualsrs pn-oprsalnlgrle ariBlor ap elajprdns .l3truorJuuiplrau loun lllaleJed r$ nuetplraw ueld un-JluJ lBnlrs uBrprJaruIaJB-atlBloJ ap ralaJprdnsle l"dltulJd uulplJaru lunu eA aS 'alBFa oqJnJ luJs lruerprJarutlol ,eauaruasB eC 'ralaJBJdns BXEnf, lJodBJuJ FcrJlorursalso arlBlor ap afa;erdns laun Ip uBrptreur gqJnJ eJrJo R) luoptâ alsg .laialeJdnsl3 u8lplJeul ulruJnu BqJnJo alsa uBrprJaurr,rBldun-JlulJd pfugerdns uI plnJpJeaunrirasJBIiuEtptJaul uuld un ornlrlsuoJ raieJBJdnsBxB ulJd aJaJl aJBJ ueld un 'olrJaJrpezeJap rJnJJaJluJs aJpJaJPo erislor ep alaJ?Jdnsteun rrlaleJsd 'lerauaFul 'leieJpJdnsle lel?Jud lrunu olsa cJaJ lseJt '1; BXp ad JBInJlpuadJad olsa us{d rnJFc lB rS U BxB ad V lnlniJund Brl)erordalsa nJluoJ rnJPJ IB JJac un AlJJSapJ reqJnJ lB V aJBJ -aJeolJund un 'atlBloJ ap aJBJ$ruBlsBa)eul 'ralatrBJdns BxB nldurs Ipru nes agiulo.rap pxu o arnlrlsuoJ o pldBaJpnlspasv '() eldeJp raun InJnf uI alselor es aJBJJ pqJnf, o ap FlBJauaF pfege:dns o alfulor ep ul?lurdns a1$aunu ag

'aJrJluoJuoc rJnJJaJap ualsts un-Jlurp ltnlFJIe llsa leluozrJo luaJBde InJnluoJ tJunlB 'e1el -lue^ oluaFupl ap oJBJoJEo Jpunu un rsunu lllIUpB alleloJ ap ElEJBJdns BJ?O'lu?'rozlJo :ueJBdBJnluof, FlulzeJd nu arlBloJ ap BiEJ -tsrdnsr)ru rJunlB 'alecrlran aluaFuel alrupB :1u InuBrplJaiuglt?c 'aJEotrsJauaF laqJnc nBS -nlnuErprJaur alB ls lox8 alB alBuoFolJontqnp itrrrutruazardar urrd gllulJap rJ etrEodoriulor ap nlqnp eaJeluazaJdal ul iiBJeJdnso 'RlplroFo-lro rrlelor ap efe;e.rdns El _Blerrrrou plepotroi ;rsJ rnlnuErprJar[Ie ]cund un-JluJ ulBruJoN iJund tSBIacE uJ BxB alBol ptrJasJalul JoA aJEJ 'llerBd alalrund ug arlBlor op alaJErdns ' ir u v r Na z a u d a u ' t iv I t ' I V u a Ns D' t ' t ' 0 r lnun 'FUn ssnp alalBurou nJluad rs IrqBlBA alsa i-iJnl lsaJv 'lJund rsEIacBuJ BxB pzBelf,asJalul elBrpdrsernlarBInFunJuI erlBlor ap eloJBrdns llvutNlc iaun alua8uetr aleuBld alBol 'EaueuasB ao I|IYIOU rCIt'HIilVUdRS'r'0r

ilIvrou rc SltlrJvudns x

ln lo l! d o 3

e unei paralel ;t lucru ;e unei paralel punci. ui este rotalie. rprafa{i entirile lianului nul nu supraaparent admite I vertial este entrice.

,llll'!r se determine meridlanul unei suprafe{ede rotafie' rllrri.iti axi de rotafie este.frontali. Fie A (8, 8') axa l'urrrr:-i,a qi (c, c') curba generatoarea suprafe{eide ro;lmrrriig. 10.2). Un punct oarecareA (a, a') al curbei lM : descriein rota{ie un paralel al suprafeleisituat tttrn ::ul de capdt P', dus perpendicularpe axa de roLirrirr* -\ (b-, 8'). Proiecfiile razei acestui paralel iiind ililfl*r, r 01), se ob!ine adevirata mirime a paralelului lln rf:-, l rab ater ea s a pe planul de f r ont F al a x e i d e r o ." - . rsid er ind c a ax ii der abat er edr eapt a( o 1 B ,o i a '1 , lL itt'.,:, .:o nta la planului ac es t uipar alel. Se obf i n e a s t f e l , tn r -- ra tere a punc t ului A ( a, a' ) , adev ir ai a m i r i m e nrr, : : :azei par alelr t lt t igi t ot odat d s e ob{ in e p u n c t u l u" ,,r".ai) ;i Ag (a2, ud in .ur. acest paralcl intilne;te itlLiill : :e front F dus prin axa de rota{ie. Aceste doui rrutiln; .1 .{, gi 46 apar{in respectiv celor doui curbe lntruu"ri i-e (egale gi sirpetrice fa{d de.-,8' in proiec{ia planul wilu r". rr.!1. ; :1, situat e in g! . anul de .lrlront 'u rn". r r riinn a x a d e ont dus pr ri- : J sup r af elei. \ r \ y - 1

Se vor ;upraiefei l rotafie, r aceasta [c, c') i: cit toate alie sini de fron: rotaJiea n p u n cf ota{ie un H' ) , c a i e

, 1at,ail nrespunc til, care h p r i mi = (.g, .:)

b Fig. 10.2

Fig. 10.3 1 0 . 1 . 3 .P U N C T P E S U P R A F A T A . F i i n d d a t i u n a di n proiecfiile unui punct siluat pe o suprafa{i de rotafie cu axd verticali, si se determine cealaltd proiecfie a punctului. Putem consitlera;i aici mai multe situafii d iferite. l" Fie {
t75

9Ll 9 ' 0 1 :3 l g

9' 01 EIc

. e r a p , F x e B c p u l n l ', H l e l r u a p l n u u l d o d r n l n l a l e r e d lnuuydaleqer eg 'y urrd snp lpder op 1nue1drS ln1n1o1 ap eldea:p also (,$,t'Sr) '1u:epgsuor xJ -e:ed u1 frp afaieidnslalun 1nue1darlurp arices.relur lnlrund Bsnp lnzec -.rulnrgpuad:ad 'Eler[rou alsa pfulwdns ur 1n1de1BJreluoroS '!nlnlal"rad 1n:1uar,'(,or'o)) uJ v. rEiele:tins ad el e1lua8uellnuuId 06 exe ep lelcasralur alsa ueld lsarv '(,S 'g) g exe ad wrseacu ad ap lcund un-rlu1gNele:dns :elnrrpuad.rady lnpund ur;d gsnp '(,! 'I) J Bleliro.tJ 9lBcrlJo^BIUInPp ,A nJ nr 1$(,i 'F) g elaluozrronJ Bullrtralapaleod.as lalered "L laleled 1 atnp as q ulJd W-JnoJBJ 'x1 pllnzer :As nJ l n l s e r c I n u B I d '( g '0 t 'F l t ) V r n l n l l u n d y n l a l e r u da d rq) q 1,a,s'As) plBluozlJoap !S tl plBluozlroPlurn PlseaJBap un Flner as 1( '(,r 'r) oreolur '(,q luzo$e lrund u1|u1or flpurruralopolsa luoFuul lnueld 'q u1 e1en1ca1a -ouaFeqrnr ad 1en1rs'(,u 'u) V oreJaJeolrund un p:ap aulparruoluJ as alua8ual loisace u rq pluluozlro purn -rsuoJ as BaaJEaC 'a1esalrrfraro.rda:1urp Eun pulJsourlJ -rxoJJap 1n1nue1pr:au B, ,W elBJrlrrn elfoalo:d ei |s u1 lound un aultuJalapos es'1e:auaEui 'a1uodas nu alfenlrs ''(,q 'q) g ep giupdns llsBare ad 1un1gs klseaJuu1 'ogie1o.r nrua8uel.'(jfls 'rqrs; BleluorJ alsa zBr lsors ul ugue8uel t.ill 'w) luorl ap InuErprJaurnr ?plJuroc ss lJcu! laJlsB qre!p!Jatrr rnlsace uriuloJ gJaprsuoJas'1ery1;o,r uuld f' 0t ' E td un-rlu! glBnlls alsa g lnlrund u1.ldaca:1or Inuulplrau ul nua8uel aJareoa6 'sc, ezBr 6d glzluozlro uriraro.ld u1 n"zlnetpued:ad(,,r,s 'irs) ElPluozljoelsa 5 lnlcund utrd &lall aJ 1n101e:ed 11 eluaSue; '1rund lsace ulrd carl a:er 'n1a1e:ed r$ lnuerpr:aure1 alaluaFuelap leuluralap olsa rli.s's) S lnlcund u1 gieprdns e1lua8uel 1nuu16'(9'91 '3t1) rup gfelerdnsad ap lnpund (,s 's) S rS 1uorl ap Inlrplp -r.laur(,q1 'ry) 'arlulo: op plErrlro^ BxB (,to '.) alg "l d elsare In ze r u J ' r r a( ' lup lnlound ulr d or ar l. or e c nuBlplJarrrlnuelrl u1 Rlnutluor alsa BlBturou'allelol

.n1e1ue'uu1 Dporaru :aporau o""o'';!iil;"i"lo:3T,,i,?: p1rultap pt -';1td untpltau un ap a7s7allt4ot ap olotrudns w1176'plntntdns pFDarD ad ap Tcund un-4ul 'ailopr ap vlntotdns o q TuaEuq lnuqd aurwtalap as pS 'VIVJ

-Yudnsad I9Nnd Nn-UrNIrN:tcNvr Nv'Id 'r'l'0r

. ' , L, - , ad , q u1 eJ r Pr las al B J *q ad q Fp I pl 0q rnp u1aluru4'(,I,ro 'J,r.r)elrricarord gttnzaU'J,0tooq a1n1pqgjralda.rplnrolntu na aralpqBru!i) rlrpu as aruc '1a1e:edrnlsare ua:oluqerad 0q lrund un 0ro ug ;3.r1ecg'((ro'roor) pnlrJ arolpqEr cp JrrrrlFrrnr.r;.1 ilsqsj as rn1n1a1u;ed 1e (,
e, puncl'; i se r a b al. l. Sc alcgr : s e ri d i ., :. Re z u lt i tbPe e ) * E SUPRA. s,rprala:.atd, ttiiil dian prir." rngentelor M' ) me r r" raiati da: ulS{ s , s i p a ra l e lu ul ce trer-: en d i c u l a:i ) tangenlr rti intr-1.:meridia:. t (irl, M'r , tangenii i de froni loarce di: letermina: (sv, s ' v ' r cale ttr:l: pe aceasi; supraiaij, Praietecr ridianulr-; casta pe:-

rrrrftr,,L -. rara ridicat:l ln sj pc sih, intersectcaziaxa cle tnrri,iiu : in punctul (a =
F i g . 1 0 .7

lo.Fie (co,or') axa erticald de rotalie, (M, M,) Lrn meridian de front al suprale{eide rotaJiegi A (a, at) punctul e;iterior dat. De asemenea,fie H, proie verficali a p a r a l e l u l u i d a t ( f i g . 1 0 . 9 ) .M e r i d i a h u l d-iia e f r o n t a l su prafetei intersecteaidparalelul H, in punctul B (b, b,), iar, tangenta dusi ln b' la proiec{ia veiticali a nieridiipluj {1'-intilnegte axa derotafie ln punctul S (s, s,). De fapt S (s, s') este virful coirului Circumscrissuprafe{ei de rota{ie in lungul paralelului H'. Planul tanlent la.acestcon dus prirr punctul exterior suprafefeiA (a, a,) este totodata plauul tangeut la suprafaJade rotaJie, Considerind ca nou plan orizontal planul de nivel H1 dus prirr a; se determini urma conului de razd coh pe acest ,plan gi cu aceasta generatoarele (sm, s'm') -gi (sn, s'n'), care dau Ia intersec{iacu H' punctele de

177

8Ll

ill iiifl ,lil, ,11

rl

( O t O t 3 l t ) l e p . r l l n l r B r p r r o u lu. r ? l p l u o z l . rnorf . r a r o ; dp r ( r o r r , ) 1 x rI n i J u u 0 ( r u . u , )y , r a i a j u l d ] l sl u l u o l J r p I n t r s r p - r . r i l u ( , w 'w ) '0 r l B l o r a p B l e r r J l s ] \ e x u ( , r o , ( D ) o l c . a ! (,ru, r ' ule) ola lue Fu aI ' t nlnlal?r ud I u , H lalr u op _.Llo ezel ap tnlnJJaf,uJeJeuJ arJ 3s :re1d(,e 's) V uI a16au111u1 g ur:d (,p .p) q urloa.rrp ? ?J ernqaJl ElrqrsodorJ Bs prualqo;d ec n:1ua6 'ro:nda .elsaJe ptzer u1 'piur.tnSnnJ urnJu r Esnp(,9 'g) V E1alered'(,p ,p) q elirarrp nc e1a1e:ed InrpEJ urp sar ale :ar]a;o.rap ef e1erd qrrnrr;Olapâs j rJ lsoJe u1 a lua 8u el a lau eld BJ s Br nJ ls uoJ a1aLu.r-1 1uoFuel,rnJnue1d as FS' , W ,(,d.d) " ,r uI uluaFuel pugcnpaurlqo os r$ (,s ,s) g else uoc - n s r s l t r , ) d u c l I n u e l d c r l r n p 1 S( , ; o , n ) r : i u a F u e i -l sJJB InJJJn Ia srlJsun JJ t Jlnuoc ur . r d 1ep r nJ nJ aler ed -lrrn1 u1 arlelo: ep elulurdn_s pulnroluJ .rarlrxnE!nlnuo) 6 0t FIC r:')lauj tszBazrltlnas alrund atrs3JB aullqo E nlluad .o r --!lrp nr 1a1e:ed'la sllJsr.unrlrJInrpurpJ ri pie;e;dns ;-:urp lcellroJ ap raqJncurlrede eueyd.rolsarea1eefuoF .,il ap alalJund FlBp elfra.trpo nc ayale:udarfelo.rap r -i:e:dnso e1alua8uelaueld ap alBlrurluro Btrstxa 1a;ouoF (ll 0l '3r1 ) arlu lo,rap E I Br lpa^ ex e ( , r o ' r . : ) alg . l '" '(,W 'W) 1ud;euJrduelplreur un-r1ug.rd nrurlop alsa egiu;o.rep efelerdns aJBt u! InzeJ u! ,lup .${,rprJatu un ed nss Jalund un ed alunlrs putlJ lreluoJ ap #ilrund 'plup (,p 'p) O pldeorpo nc aJalered'e;ie1orap {::;eldns o uJ aluaFuu;alaueld auluJalep as pS .yIVC I[],IUIO O n3 'IAlYdYd JNACNVI NV'Id '9 I 0l luoJJ 3p InuBlprJaluul r riurl o u1|nd Iar oJnp uluod "w es es re urp eJ arnqaJl r ,rsod at1 FS srualqo.rde3'1cund rnlsice rolezunclsa:oc ' ,' c:cd e1 (,r'r) rr1 glu a8uel Eleluoz lr o r S ( , r , u , r c e) ralp.rLiliuo J BJ p ultlS elul: nSn n; ur iqo c s luo8uel r -.re1d eleur-rn'lalnpJ (,r .a) uf uaFuel ap lnpund - ?lnrpJ erlelor ulp Rullor as ps t$ ,W luorJ op Jnlrn .iaiuu1 rrru eluoFuel pJllp os ps Ie urp uJ luorrlJns ' r rV Inlrund urrd asnp nlpurlrr lsocE EJ aiuaBuei ::z1d 1u1s alBlner alua8uel alaueld vJoJuooq .(Iu t IV uj altalor as (,e ,") V Inlrund .luorJ op'purlap BS -.uBlptrau eJ rJap ,trRdeJap a1a;uo1e:orraF nJ purâp { -pLrrllJ}sJJtsEJ IaAlu a p ar } e1o:o- : 1ur : der npe a5 . p r : rjaLu Jsa)p alp olJaJlp E c pUI AE r i ar iulor ap t aial :,:::s sr.rJslunJtyr 1do.rpIrluozrro lnipullJc sJoprsuoJoS

iirlS

Sili.

"

i I rn e ri d:-i ril i r rc l r L:i. , e;i d i a n u. I e in A, r a. r.t p l a . -:: ul A, e.' la m e rl rl : i c u t a I e planlI:e o r e a : 1 Parai. " 1e p o s l .' , f, tang€ DTRE C TT I r suprafa:r r, puncte|t n meridiar te deiini:" r0 . t l ) :rs 'J p ra i; l' le de t a: ac t di i l l -: u di re c -: l a m e t c :.i ir lr-r;iiu: ac e s !tin z ' " acest c: ' / du s a l 'l P l a : .a 'm ' ) .

I r ig. 10.I 2 ' L,l]&llililir t ,ni) clusela acest paralel dau punctele de taniiurrr .-:a te, c ar e apar { in t ot odat d gi c ilindr u l u i c i r tmr - , :up raf e! ei. ," '', . :sideri acum cilindrul circumscris supraietei n ,-.. in lun gul m er idianuluiEi s e c ons t r uies pc l a i r e l e hirut,,r-: .a acest cilindru paralele cu direc{ia D (d, d') .l). Se alegeun punct arbitrar S (s, s'), sitr-ratpe fl '.:alie ( . , . o' ) gi s e duc epr in ac es tpunct p l a n u l { ilr' . =. cu direc{ia D (gi cu generatoarele cilindrului). rir 1{. :e asemenea un punct arbitrar (a, a') pe paralela lllll r :rr si se dLrce perpendiculara(crp,a'p') pe N. .,'.a d intr e planeleP qi N es t e ( s F, s ' P' ) . P e n t r u a ,,L r' jli :angenta la meridianul N paraleld cu aceastii u r,' :'.: se e lec iLr eaz o i r ot at ie a ac es t ui r n e r i d i a n ur ri - - sesuprapuuepesierneridianulde front (M, M'). u rLu,r.: ia M' paraleld cLr s'pi dd punctul 1m' mi) ;carcedin rota{ie in punctul de contact (m' m') lllffil1, - PLAN TANGENT PARALEL CU UN PLAN DAT ||]IMIIIfrI.IIII| - P IIE SAU PRIN DOUA DREPTE CONCURENTE. l[T rlr ::,nstruiasci planele tangente la o suprafafi de nmrfiftLr,rc. :aralele cu un plan P dat prin urme in cazul in ,rmuriuu'raia{ade rotafie este definiti printr-un meridian {u lnrffr:r.t{,M'). Fie (
Fis. 10.13

supralzrtirparalel cLr planul P este situat pe tangenta paralel.{cu aceasti intersec{ie,se duce paratela la s'ai ;i se obfine 1ar, ai) care se intoarcedin roialie in (a, a'). Prin punctul de contact (a, cr') astfel determinatse duce planul R paralel cu planul P. Se observi ci urma h, se intoarce din.rotaiie in h qi aparfine urmei R. Dar planul

Fig. 10,l4

I7g

08I oliulor.eppiulu.rdns o erlulparirosra;u;,rp :? 11 nt -1tY_ aurrir.roiep trcundlnun a1;3ira1o.rd asps .t .l-r.JlSjnt !:!3.et unop olsrre.1e.retJ,rs' e.raprsuor .vrix"
!t 0r 'Ftc

Vivrvuans'orS irfVj6u ?,.q_vs. YlYJvudnso sU.LNtq Vlicisuerili:oiYtir 'cultti'l'rs 'rp r a1nolrurrtruriu.,r ru lu DJ O UT?r plJ O r uor.rq( 'B pld .,!) rer,- ^ ,- --^ :$ -.,_ un o n e .r1ufoiiiir,r

11: f 1 il i liul,"L"_.1-:?. 'ri' o1eapundelnrrriqo Itunllras -""ulh,rr", iL:13. 1od i9 l.eunu e us urii:n a1s'su11iu1 ,i., J :::.V_-'c,ll iiui'J[ iirr"3 I't; ilJiqls !?laluozlrouur-rn(,rl '-.:::t_j:ly:|^û rrsaJr-JJnl ernp) lsaru

a1g

ji ,],s eyrcHLrelals'arrrLjsrro"j

j:l1yilp,i.,r ea:eriruriel'ap nrlurd

ii, i:tp rErIryne ,:I.Y:l^ rn lnu eld , , ?l] as t ut lr j 1n. r o1nfni e r r r iq< i, . rrrur n, nii. .r r icalj* s - lnuBtp rJo ru aud do+len d u i r+ lr rssnunr iJ Jss 0e1alt [a lJIrrnr n. d 1 llu n r lJo _' : : -T c r y l r s 4

innund au1|qoas aiielo.ririi'puila.r

:-,1..1,:j": f ' ' rc ut,,W ale l rq ,s e ldea. r q , , W I BJ r lr r ^' l, ninde .' .loJ Jd,tu nd e:d rrsos r t r y ledr r ur . r dlnuBlpr r r utlt . )

9r' 0t '3!c

alsaI rnl suun .trJCI.y 1n1.rurrd -1puad-rad ur:cl,rra:1at rnlnuerprrau od .re1n.trpuad-rad 1nue1d s'n1d u1jlsa lueFLel ;qe) ui ucFuej l :.y,l l ti .'(,8' (r1'B]l),arB ol B rJUeqrrr ab B t 1,q,e U 1 1rr;Frru;1rrJe16.;rrn,i V ;rrl .rurrd^ ?]l !_l l ,o, nt.Ira8uel 1nue1drt ilrrjx 1nue1d 1:iLY ol l rrl _"i al ]ll?]1J-n".19,1 asra:l Lrr el sa(,u-,ru)yq l nl rundu1 aLrnri j os ep :u,1 arrel drrrrrrri r,:s Lrri .rntJa p rs 1,u :1.r." :..:lyjrlr.I!.uI l l rund .D o)nzprrp 1n;al eLed udnpari ul o-r.i p 1...y._' l )_W ul pJuJdns J?t ,(.d ,i ), eJul uozuo ndnp .rruni 6fril nrrepd'ezdauor|;as s:a1eol Jrrnd' i uJs ' 1a11sy tl { ,_l .n,tu, i p IIur?l d :ori c;o.r.rp rsrl tsl uozrro, ro.}s.)rB runi rror al al ri rrr6 l .l i l :]gl

ul uJU Jrl i l Sl l r l l Jl ri Jc(l rs 4 1rrtrul d.Li l Jl sl l tu;4Jo r?utrul Jl -Jp Jl uJ l ,rA !rr,)l ) Jl l J.l \nu orrul tl uzcozrl r'l n JS (tl 'ri0i i 'F1J) .trrrrri .r,'sop l rrrrn;d 6 ri ori ul o.r;p ui u 1,,.i ,,o1

'p^1n{llarc, u.r..rung jr,:s rp uqrnr u; uluaFuul Ersulor}s -troJJS Vs lS '(,r '.r) t.ruoleLautF. qq_rnr o-.r1ur.rd pllutJrp apqiulc;dnsb_.r1u, j.:l:llll"^ 31unr c;iuyo.r alunlraijouigb n unttrrs l u l uJrnJ l tund un rutul al Jp Js fS :Jl i V I 'olr :s.r.or

sc I'reisJvddnsNt aNVTdrr.rntl..lis

.4 1nue1d nl 1o1u.ruc[ rrrJdpulJnp urlclr.ros lua; lnlreld llurrd 1:^r-rr,r . ( , n -rrel rnlnueld olalrill ur J l l nl {) J l i l p i .) .l 8ol lrr JS 'r ) Ia,r;o) Jrrlrurr6Tronp rn,s rili u1a1e;ed u1 eltraoirrr;1 .rer 1ry '(Iu,s 'rus) aur.,rep(,q,u ,qe) uir.leo:q 'W Inrrplprraru u.) J p l J t l r o . )l r r r r o u u l t l N I i i l i l l t p l . t J r icl J i J l r '. rJ S . o l r r i q o r t l l t r o d 1 t ? i r l ! i Jl r B l l r o J o p ( , , 0 , r ) l r r i t L r n dl p o r i ; a s l a1l r_rur ulseaJB_ ur 9la1aied(6' ii] sii:clnr)'fi l.lr..lJdu.rp - , qlnuelcl rit rt: 1u l r o d r r u lipt '( , q , e ,qu)olia . t u r .,(,q,9 lu n , ?l f) r . i . ) uu1uFra8uel t t d " 6 'l S r$j elariuiri alarru l']]l:tllltl.l arlL u tl pr po J lrii..)rJo\sl J. rl u r lrurJ!iiii u l d L : ; _ r g 1'(1,. 8 , F ) n ;t e It r ,r irz) z, jrbJjJo,rl l u I ., u:ulnrlpuad.red oJnp as 16 la,l,ruep lnuelil BZBazllrln as E l s p a f , En r l u a d . d p t u u l d-,g o d r e l n . r r p u c d . l r da l s e 'i g q y B . ( l f . O i . A U) ulrd arrrl p L r e l d ,a l 6 a r i i : 1 s u oar g , r . r D - rO, d I l l r i i l d ( . s 's ) S 1 r r '1 . r r r rLr tdr E Z u a l J J s _ l , r lcr.r|rr ; c r f e l

(l

- oJ J p

r :l pJ Il tJ .\

ux B l ,,D '( ,r )

z pJ

J Sa.r e l j l

J t{

( s ,v }f

lS ( , p 'p ) q J l u J u r r r o J 'i l \ l , r , r pn u o l ) . ) pr s l i r r r j j p , 1 ') 1 r l , t. 1

"^",r-,"-.**rl*-fl

I

il +....t

F i g . 1 0 .1 7 iffiriEt(r, ('') vertica.ldqi un_con a cdrui directoare esteo rur'reoarecare I' din planul orizontal de proiecfie. Fie , . s') virfu l cun Lr lui ( c , c , ) . r r U, f . n. ir t or r . o -- :iSJSi d e. rota tie ( f ;i'i g. 10. 17) . piir ur iaix - it iar .le .. H' scc{ion ea zsdupr af alade- r ot alic . iupJ ' jiar ale l u l :'-: : ".:riLLIL i,Lu: :azd. qa, iar conul dirpi la l-:ltil , o.curbd.y ale cirei puncte ruu: :oritact cu i::*-. * r ' .paralelui trebuie ddterrniriaie. - pentru rir',,::ta se considerd un coll cu ,lnl virf S (s, s,), .acelagi = admite cra directoare paralelul. Acest con itrter_ : .. rl!1r 'r ,Mtl.:.aze primul corr dat dupd generatoarei.ui. i,.,tiit : " 1-r1l i::.: planul H' in punctelec5ut"atea. ini.r...ti. 1 i-'", aint.. r,r-,a y ;.i paralel.-,Astfel,urma ..tui Ae_ui?Jii", F : . l;ltir .o,, :lanul ',,, orizontal proiec{ic de este cercui ci"centrLrt :: rllrrr . -rnra orizontalii (qr, qit a dreptei (sq, s,q,). f,: 1 rl Raza u riui cerc esteqra' Curba I intersecteaziaceit l_r : 'riLli cerc in li-:tul (b1,bi). Generatoarea i li' ;! comulii celor.doud couuri r-: ( sb1 ,s'n iy. Ea in t ilnegt eH, in pur r c t ul B ( b, b, ) , co !: -ll" ilf - .:curbei.y.;i.paralelului. Acestaeste un pulct curcut i - - - i f: r .:rtersec{iei dirrtre suprafa{ade rota!ie-;i .,uiuf cfat. 5: ,,r$li, - Se-sedetermine acum proiecfiile unui punct curent al t:--: lLlLr ffi.j o suprafafa a"'ioiaiie-.u u*a 9S intersecfie_dintr-e tttu roralteverlicaldgi un cilindru cu generatoareie l.l'l paralele -!-t. : - - I r"rilllr r -ll i9g--"iiltLl

14 il& CIL]iitu I cruruu td*-u

a acesiuicilindru estecer.cLrl cn centr.ul itt (qr, qlr1,raza lui fiind tot qa. Curba I taie acestcerc in pur.rciele'8, {b.,, bi), care este Lrrma orizontali a geircratoareicomurle celor _doi cilirrdri. Aceastd generatoare irrtersecte;izd

H' irr pLrncrul li.tu_, n,t,iomrn.,,irr"i-y illl'l:1,!:.llil'ct

ez a q a . P u n e i u l B c s t c u t r S t p . a r a l c l u l , u t . dr a I , u r r c tc u r c n i a t l t r c f s c c l r c t c c i o i d o u a s r r p r r i e {cd a t e .

10.2" SFERA REPREZENTARE. DE_ i0_?r. DEF|N|TTE. TERMINAREA UNUI PARALEL.Steraeste

locu1 geometrica1 punctelor din spa{iu egal d5pirtate de un punct fix care c\'tc ccntiul sieret..Lungimea constantdcare rn.isoaridistanta de la centruIa oricarepunct al .supfafelei se llurncQ.te faza--sferei. Sfera este o suprafalil de gradul al doilea ;i poate fi clefiniti ca supralalace ia na;tere din rotatia unui;icerc In Juful unuiadintre diametriisai.De aseirenea se poate considera ca fiind suprafata ^sfera cl suprafata invers[ a.unuiplan. Se;tie (8, inversd s,) a cd.rui di;;cd;;ste ei I curbd a unul pl.an ii-dlo4ll .+ planut,orizontat este o sfefa care trece prin polul y.e.,T:,I^^9i" deproiecfie. Fie1;, ,;j . : \'erilcata d c rota lic ; i ( c , c ' ) c ur ba gc ner at oar e a .::.afc{ci f9 invqpiqne ;i. a clrui centrurse ghse;tepc perpendrcutara de rota iie f iiel t 0' r Bl. plr nr r "a"' ' , , , i". r H , dusa diir polul dc inversiuhe -_.:lon ea_za su pra lafa de r ot a{ ie dupa par alelul de r . a z a p€ plan Orice plan ci..e trccc prin cenirul m..iar cilindrir.l.duba o curba y. pJ"r.;;;;:l pinctele , . : Irrre rse (.1re slerel lntersocleazd d intre y; i I nr alc l s e c ons ir ler niilir idr u l sfera dupa Ltn cerc care cLt generatoarele.paralele este numit cercmare al sferei cure are acela;i cLt dire,c{ia A (8, D,), ::.:l'il ii . :no ca dtrectoareparalelul de razd qa. Urma oriiontafd centru ;i aceea;irazd ca sfcrb. In dubla pro_ 181

e8r 0a'0I SliI

6 r' 0 t' t rc

.rarfetro: Bpo}orrr '/I{ IoAru ap lifltl-ll {,", 'y) W orJ 'taJtsv 1nueldnr pJaJSpu3uolfras.es e 'gra3s Bl FlsBorB luaFuel'ue1d i5 !y]1]tt+n erfcaro:deurfqoas (Ot.0t .SIJ) y-.:.r.iJj.raun,efe;erdnsed leir j.rund irn_r1u; rnlnlolered :1:3.jlu1tlrg.r .arfcaro:d'"air B BloJ .,I I m-JlsuoJ iieuei"d aleodag oleJrlJalrarilJnericaro:d ,pulnv nc a1a1e.red *l?1rn n ru1uad,(,L,w ,nru)eieiuoztso' 1u1saueldiorpt 51erara;s !I_lPtnun erieaz 'a1so n1a1e.red JajrJS FJ ?ElpreB_S.r Bs :li:tj:: luls' JnJpBJuJ 1-en1rs nrr : .lln os 'ra:nda us ulor '1,ur'ur)14r {ua.ru1.rpdep) i;3 pugrsounr rii 1 lua8uel :-r."j.^"il..J Jnlcund _1.:-r1?:A (1uorJ ep nus) ;uluril;jo pa;ured -lueJdBUrurJJlap laun 1e .lu,q'nJesFoluuy -_rjels un_euruJrlapas ps .laJa;s J.reru jrac un n:r ",1a1e.rerl 1e eur.rnr$ "tr gtninU :1yru,r',irun'; alBda uBJp1JJIU rJnJIJJ l+-ip_tjtr:.]_ l_ulslaJeJS1n;1uooul.rcl .(l-,tur)'iW' 1n1run,lcrrl crer.elBJrlraâuuld urjd p-rag's ri; -.::j ; j! :^rl_,-9{elncrpuadrad ,iq) r.rlBluorJ e nsnlt -a,"11ui,1i eleluoir:beur:n 1,r; ap 11o1e:ed, rS Furlsrp ra.ra;s r.ru-,rraJl ,J. t?lellrozrro :l:_:_rnl ,'(lllori rn1 eirr.rq'.(jru,nr Jnzecug) lalru op rleleretl r.lnc.lJr":saurnu as ,'ur) od relnrrpuad:odJlse lJiri t'W lo.tlu ap o.ueJdur:d p.lJ1sug olrunrfoos.arlploJ :y:1,"r_u, r?-raJs .rleulrr.\ ur eJ ap_g|eierdns errro e1 e3 .rir.rejieiet luaFuel1nue1j nr gleFa i_-lt_y19, ':JJro J d lS ur , r lac ep rrn d s a :o r o tB J ' -,rru i S | ' u

ur

ni-eluoz1Jo elrrlrarordurfqo as .,tu urp aurpJoop r,ulJ puJJoqo3'nl uJ InJlueJ nc ii:rsap ,sro *.-n, np InJJat also- ElBluozl;o uritorol4 Inl'p1ajeruO ap eruil u1 lulrupd cr _Lle'01 ,'FU) Lllrd pulrnp elEf,rlral erfcaroid u1' auriqo . -uIoJEf,.,,q,? ;! JeAruap InJelBJBdpr"piruo, ag 'ur) 1,9lnlrund yl prats u1 .u , luJAuei 1nuu1d as us r$ ,,ru p1"-r;irel Bs'urirlr FJselnJlsuof, -1a1 ,fiup'erals

jj.lpji::"*r

oTo iinlis

lrunu

:,tu,l.:-tu Rluluozlroe;ica;o.ld"uru.rialqi pg 3d rlNnd Nn-uJi{I "s J^+yi_v_udnq

llnu lcJ nes pJrur rsru alsa -pfuelsrpEisBaJB prep rpunrr lpar ols?-c.rarlsacy .ue1iie1 IoraJS ep efue;srp p.}elpr'e11e1eac rjt,i::_^:l loarp ,.:i";in-:J:.--r-ryr eznuatrodr m eje'"rnr'crqb -rrnloeJpIi[]unU] rnun plalBt a]sJ EzeJ rnJeJ B rs auxJlJesep 1nue1ded raJaJSrnlniluar , alsr tero3, 111_oatorct nrluar rnrgr lB orar-un JnJlLraJ.ulrderarl nu aJBJ ueld un"isn ,.,, uran ug aunricas BllB arrro (fpdfruilciIaJaJSJp ]uorr aD eJprrr lnJnJJaJInuBlppdt i plerrlre.r

**f4_9f:L

;err1.ra.r iualede 1n.,nlilo" 'eJeru er

1s^^11n:olenro) raJaJsIB IBluozrJo l|\racruvr -l:: rnlnc -JtNri;'-a.a.or r.lNv'Id'Ylv.{vuans erfcarordalsa raraJslB a; letuoz :..1i:L1"zs.ro

lnrnluoc pc aundseiliod reru oS lj:",-1".j:o:-nBS eJerrlral alareole.laua8' nc rS :1ry-lr__rp BzBrnc ale8aazet nt'e1!eiq, Iar-eJS p.]Bp uI 1rpur1i, ,rrJels r'gzyr bp rnlnloJ iglelllozlro luls arer elB aluelcijoJd "p aiolc.y'e.rd.ris ir:1u30ezbabajordug arfraro:d ep ayaireld' :: r 3doleuV ' l u o r J o p ln JaJe.red a^,u,io '"lun1"r,""gi 'Qo: eca vzeJap 'l$ ro nr},in, n1,un 1u,;6alua:eor_1rn'rnlloJelsarv aJsr.rnlnlalercde pJbtrriozlto "p :ii:::'laJeJS19nl uiir",or4 "p .rtj.,i, ,?) elalrurid'ug Jp aJpru JJoJ un nt aleFa tJnJJaJ truJsoJBf, 'q) ra.ra;s'in V .1q g Is (,e 1"r,1 e;ueiedu';rnr4uLj rj--teluozrro --a.t pnop ;uo;ede1n:nprri;r aliauJ;1u3' ,eJiuoFo.lro ^l:il1jgl i;luJecilsary aloJ LrJd elurza:daras EJaJS ailrJ

;rnu' d ,a1uoy1ra,r rriraro:d rr"joil,#r;f;l ericarord

I

i

A\L'L 'AT i" il n*"-

ria!:-i. n-l J:

F' i g.10.22

I

:n

L f f i, 1

:t

:: -

f:ig.10.21

t2. u .

llilnm; :e suprafatasferei (fig. 10.21).Se roteEte ililri.i]:iul M astfel incit si ocupe una din poiriilir , -e Mt (m1, mi) pe meridianul principal 'dM-ron al sferei. Planul tangent la sferd in lill: - 'r)uflctMr este planul de capdt TtTi, unde :l,il* 'Ti este perpendiculari fe co-'mi.Re' ,rrnEl-:id din rota{ie, se obtrin urmele T Ei T' tangent cdutat. Peniru pozi\ia r lanului 'ur,r rrtnr'*ritl verticale T' se utilizeazd o dreapti oa"niru;:t(hmv, h'm'v').

"

4- _ -

ET, ]ci.n ! : ::

-l

1l

[- -

]]ii: ]. SECTIUNE PRINTR-UN PLAN PRO. mifTANT. Si se detennine proiecliile curbei uiMntersecfiedintre o sferd gi un plan de capdt, mnnrg'enta intr-un punct curent M (m, m') ql *ruurlei de secfiuneEi axelesecfiunii. Fie (
dupii linia de cea mai mare pautd a planului P iafe cle planul orizontal de proieifie. Ea se obtine coborind linii de ordine din a' ;i b'. Axa nare a elipseiesteproiec!iaorizontalS ce a diametruluiorizontal(decapiit)al cercului, carese oroiecteazlvertical in c'=e'. Deoarece 1ab,a'b)) esteun diametruclefront al cercului, rezulta cti ce.-a'b'. Tangenia intr-un punct curent M (m, m') al curbei tle secliuneeste dreapta de intersec{iedir-rtreplanul secant 9i p1anul tangent la sferd in acest punct, plan tangent care se determini cu o orizontalzi G (9, g') ;i cu o frontall F (f, t'), perpendi.culareperaza(
?BI

ffi

:imil dr

ed ]Bn+ls 'lqlu lnluaurFes Fdnp pieurroJap 1nue1dlJrul IeJlsE'-a1ica1o-rd ap leluozr:o uuld peloi a.lzde lgdec ap ueyd lsace nr BtrEnlraJa ap aJeqrrrrrlcs o rode li erfrarord ap JBcrlJeA uJ eeunricag .l^ no xr6 purun aurfqo UBIOAp sJBqUrqJSO ArsAJJnsaru; as rrunrf $,,,,,,,,JaJS plrlor Burn .Iara ipdec ap 1nue1d -)es Jolexp erfcnrlsuor nJluad .lJungfrasalu '* ld Wrlâp Ps llrul IeJlsB ,dd 1nue1dalielor es Brulullu nss prulx?ru arupudep ep 1$ pulu qSrnlnuuldp d BurJnad qore:elnerpuad.lad arnp -nu nus ptulxpru ploJ ep elelrund ;$ lgunyiaas aS '(96'01 'F11)rnlnuuld alerurn ,d IS d elC Jol!llJaloJd elexu eururJalepes pS .(,u ,u) V ,(,3 ,F) 'BJaJso-Jlur eJBcoJEo ueld un nr lnleund ur elueJnJuof, O RlpluozlJoo triBnlcoJarrunrfcasroprfcarord alaxe piur.rnin tS (,t 'I) C ululuorJ o ep ltutlep uejd un-.riurrd ltr,JrnJlsuoc 1od as rarlelor Epolau pr.iJzrlrln pJals o-Jlu! ueunlfras lallsu pJeplsuoJ eS 'irSrgtrs uI '(,n 'n) lS (,1 ,l) luls apuncl alsarv 'BZpauJnuno pdnp lJexa_so;nF1rreru Frualq pA[oz3raleod ag .a1e1npc(,4,ur 'elEluoJJ iuls ounrlcss ep pqJnJ plsBaJBpl -oJd.FlspaJ€ elalueFuel'llunricas ale Fiururu nBS r?rulxuur '{u) gapraFuelalufcarord pururJalap(,ui ,irr) erel.rpdapgp alelrund ul '(,b 'b) r$ (,d. ,d) lnloltnd nr euna:durl (,p ,p) rS (,o ,o) a1a1e1 ,{) trlgs alcund alsecv 'a1e1lozr:o lugs aunrfras -uoJU! arlurp alicasralur ep (,{ In}JUnd mp pqJnr plseeJ? u1 elaluaFuel 'rrunricas eie -(,8'q) nc p1a1e:ud-'(,e 'e) lnpund ur:d psnp pdnp lueFuel 1nue1delSauyg nps BrurxeruploJ ap elelcundu1 '(,o 'o) '(,,'o) BIBluozrJo .Ettrlupu -,,t trnlcundalsa rrunrfces InJ+uo3 ',e rS lurs -ur aJBc ',11-1nue1dJBrllxne ueld ec pzearl erlcasralurenlca;a [.pJIlJeA1ua;ede InJnluoo ed alenlrs aunlfaas -rln os aueld gnop J_olsace ep roqJnJ alelcund '6n41: ,u,tu l$ ,n/l +uls p nJluad 'ry -1n1cundug (,ru,co,wo>)ezet ad elBJrlJaArarfcaro;delaxy '4n61lnluaulFasalsa grylplpuad.radalaqure '(,I t) e1e1uor1 nr r$ alsa (,F ,F) (,d 'd) plpluozrJo.nr e,lSaullapas eJpJ luaFuetr ;tunlfcasB Fleluozlroerfcaro:6 .aaae lialeluozrJo e eluluoztJo arfcaro:d ?nou JBI uEld lnlcund ur:d sn[ FleJs p[ iueFuef -'W r$ 'lco alse raJaJS lnlnJlual B FleluozrJoatiraro.rd 1nueld 6 luecas 1nue1da:1u1p-a1{ras:b1ur ep plsBeJBed ep (,ru ,ru) ',I jd prelnrlpuad.rad W luglgd ap erurl BldBaJpelsa -pqJnJ _BloN ?;o al; 'Foleuy 'fr rS rc lugs leluozrro +uar +uarnJ^ lound un-Jlur aunrlcas Jp ?qJnJ -ede lnJnluoJ ad aiunlrs eunricas ap laqJnr e1 elua8uel 'ounrfcas ep raqJnr alB e1cfund ;[a]Jund ']bjd = ;s r* bd +uls alB]uozrro a1le auriqo 1od as C IS ,H :o1aue1d alrrfrzod ,J 'leJeJS p1fe51ordelaxv'Ibld plrrrre1 ul.rd snp o]:ô InJtrueJ llurl 1o1 lnluaruFas luoJJ -liras e Rletrlra^ e1foa1or4'Iqtu elsa IalBl ep 1nue1dap FlBurrurelep ,(,g ,g) V BlBl -{IoJJB plBJr}JaAaricarord Bnou Jer 'rto o}sa -uoJJ nJ IBlllJaA 1ua:ede rnlnJnluoJ eli p.l urfqo as loJaJsrnlnJluac B BIBrllJaAoricaro:d enop .F -JJSJJlrrr :(,3 'e) lS (,,1',1)alalrund ,fl ',d txro ad prelncrpued.tad dolBuv IS ,rc ul pJlprJ as oJEJ r$ r alrrf lugrugd ap arurl Enou all. '(f6'01 'Fr;) 1eu1:aAzBr Baliop IB.uI rBr 'leder ap ?.eJ lnnrrrd rrl RurâpEs .)unrftas ap '31:I 86'01

rz'0t '8rc

Fig. 10.25 "'erticaldPi. Axele proiecfiei orizontale tlllmmmnrn nnnrlrtr ah 5i ce : aibi. Proiecfia orizontalS a lf,ilrnir-,-ri secfiunii este m. Punctele secliunii ,inml,:*nl:pe conturul aparent orizontal sint r K "r mod asemdnatorse determini axele ililll pmmnnre:.,ei verticale ale curbei de secliune. i- I INTERSECTIADINTRE O DREAPTA $ffii-l SFERA. Se vor considera mai multe ,rrrriiir*.a-.. diferite, atit ca metoddcit qi ca pozitie rit":Jr{::L.i in raport cu sfera sau cu planele de lnr+:-:e. tttttt' $il s€ determine proiecliile punctelor de rrlrltmhrrucfie dintre o sfer[ gi o dreaptl D (d, d'), mnr,ruelicu linia de pflmint sau de profil (ab, rmrh Flanul de nivel H' dus prin dreaptaD illliliiui; . . .26) seclioneazl sfera dupi paralelul Lr,llilr]]llnl1 :€ proiecteazd vertical dupd segmen'

Fig. I0.26

tul m'n', iar orizontal dupd un cerc de raza o'nl' : o'n'. concentric cu conturul aparent orizontal al sferei. Proiec{ia orizontald d a dreotei D intersecteazdacest cerc in o( $i B, cari se ridicl respectiv in a' Ei p'. Punctele (o, *') $i (p, p') sint punctele de intersecfie cdutate. Planul de profil al dreptei de profil (ab, a'b') seclioneazi sfera dupd cercul de razd o'm' : o'fl', carese proiecteaziin adevi" ratl mlrime pe planul lateral de proiectie (fig. 10.27).Aiest-cerc intersecteazdin a" 9i p" proieclia pe planul lateral a dreptei de profil date. R-ezultaastfel punctele (ct,a') ;i (p, p') de interseclieciutate. 20 S[ se determineproiec{iile punctelor de intersecliedintre o dreaptilD (d, d') gi o sfer[ utili' zind o rotafie a dreptei in pozilia de irontald. Se considerd'axa vertical5 (2, z') dusd prin centrul sferei (fig. 10.28).Printr-o rotatie de nivel a punctelor A Ei B de pe dreapta D in

Fig. 10.28

165

98I r.\ru ap lnuBld -o]$aulJlulo sldEarp arBf, ,o-'o) lnlnlJrrnd InJoln[e nr eleurrr]Je]ap

6a 0l 'Fl:l

;.iod,,11ia.irrl ap1n,!nlo'"0 ,d) a it;lr"ta;rn ,rc)

i:ner aritasra],ul ap (,d ri (,r alalcund .;D as O BldEaJp nJ a:eolerauaFJolsaf,B :asrelulB-I .sArSr,r alareolerauaF gdnp lnuor raroricasa:el ,4 1nue1d aJnpesq eldea:purrd rlnuor Ie (,^ ,l) lnJ.rIl ul:d ,1aJ1sy.sns r llulJop lnuoc rs pldearparlulp erfcas;a1ur :- as 'eJagsnc q eldeeJpBlJasJelurB ep Jol 'e.ra1s'pieaudrirad

pdirp ,laq 'riar r$e1aoe

?10P a_lpur J d s n p IBd B J a p l n u B Id .,u ,u :jJlrrFas prlnp lBurJoJap Iplol leJrlJeA pzBal iijrJd as aJuJ lnJJaJ pdnp e.lals BzealJasJalut

tsarv '(lg'0t 'Fg) ,u,QI$ ,ur,u:olirirald:ci

:;sreprr ap plup pyllJ ,l gJerrl;al erfcar r 'reJeJs u; 1e ledrrurrdtnJnuBrprJeru 1nue1d ;n;'lnfruird

,.:;;15;rd

g1r_truozt1o arioaro.rdInJpJ B J.roJun pdnp erals pzeauollcasd lurrlral lnuuld .q ulduarp uJjd snp 'd l"J!Ue^ ;nuu1dJslllxns uuld er pulzlllln s o !S (,p 'p) q plduarp o erlulp agfros prels o ;$ (,p ,p) q plduarp o arluJ-p aiiias r ap rolaltund a111ica;o.rd euluJalep es pS og -Jalu! ap rolaleund a1;;fra;o.rdauluJalap es pS o? '(,d 'fl) l$ (,r 'r) u1 :eqBJulp cigtrrilasaJBJ,alelner arfra"^ra1ur ap ep alalcundurfqo ag .opalso ;irund alB0d l_sor e1l:aleqururfqo ag .uruhgs elnipqrr atfcas.ta1ur ,nq ur aleqer paralBqBr. raloorp rrlauprp 1n:nfu; a1sa1o: O asaunlfresap lntJa3 trJcuJlajlss ,q) q uj aleqer 0s os pldearp ad ep ap (,q g :er1rq.te :er1rq.re as FldBarp ad ep (,q.,q).8 aJpceJsolnleund Floeerped rr:rd.rrn JBI 'lnlRqeJ nqs lnr.rdord aulrupJ JBI 'lnlpqpJ nes lnrrdord aulruer u lnilund . I AJ AJ S 'laroJslB leluozrrotruarBdB ? .EI V nr aJelBqeJ I NI NJ I UA3 I B / I { I AA I U Jn-Jnluor -IN}JIINd ap.putor ur:d eraJs uI aunr{Jas Fdnp 'd puiraiduri d nc InuBId lBrrlral 1nue1d .Jnueld?d .(,e ,u) y tJJp B rS rnInJJaJsaJa]pqBJ ur:d r$ BZBanlJaJa es er lnurfqo InJraJ lnfcund ,(,Q ,g) y elupoz 'e:a1sa1$au1g1u1 :rralap InJluocur:d araJl.aJp) eldea.lp reJaJs ?l B nrlued,r) ep ?xB BJ puJnl ,raJeJS r u1 '( ,d 'd ) tS (," rnlnJluaJ alelngrelapund1u 1 s -lJo OJalBqeJ r lsaJe. rS O plduaJpeJlurparfcas;a1ur ri eldeo:p lncrac ap lB ,H lalru ap 1nue1dad ;lrund '(Og'Ol 'FrJ) glrnrlsuor rJ e.n nu a:ec oleqBros Elseacenr+uad.(Oa'Ot.Fll) (,d ,d) ti ;rla o olsa FJecrlJalerfraro:d.lel .lnlnueJde (,b 'n) eletrnpralapund u; 6l eldeatp-ap'frulgiui ,uur alsa eJpl 'eJBuJJJoJ un pdnp erals gzeauorf ts:uozrJo eurn ed 1nu"lo1ie lnluarriFtsa:1sa -cas ueld lsecv .leJels InJluar l$ q-ulduarp ep J"!llxnu uu;d ur pulzlllln lprr!uralap.'4.1nuu1d 0 s ' 0 t ' F Ii 'BJals o !S (,p .p) O plduarp o a:1ugp agfras -Jelu!ap ro;a;rundey;1ire;ord eururelepes pS og

:rs''(,i

l4^ ;j'j;l

:.lJ lOoJp laJaJs InJolenJa oJB aJpJ Inuoc .JpJI!xn" lolnuoJ ?polau L>LruJds lrsLroJ as -rc!ltxl|s pulzlllln InlnuoJ Bpo]alu pulzlllln

nepr$aral'q'r "'oLdr"rdJ,':.0#3),iftrTig

'P J a J S

PzBJlJasJJlul q.eldearp erer ur '(,d ,d) rS (,r ;r) jlaleund .Id r$ urlqo as FlnJpJ lllelor- urp putualay l?o alBJrlra.rr roJBr olp alolaund i"rg luIS 11|ca1o.rd ,eunrfcai rseulllul os 'J. ueld r6elareul pullJ ap JJaf,isace r$ rq eleluorg .raJaJS le 1eor1ra,r luaJBoB InJnluoJ nJ JtJluacuoc ,url? : urg p,zeJep JJoc un pdnp ,uru 1errl.raAJBJ Inl -uaruFasFdnp Jplrrozuo pzealcaro:dos atBJ ul:d snp IrlBrEd un FraJSul J!gl rq e1e1uo.r1 ap erflzod J luorJap InuBId.()p ,rp) tq q1e1uo.r1 ul raldaJpErlploJaulfqo as exp ralsace1n:nI

De. f.apt, acesta..

o rabaterc

a ltla_ :..d,j.:-I, il,"';;' p li' liLxilfril 3"i,,.1,1,i, ur j,' $:..x? ro'n

o&*t' iffiti{ii ift,fi :u!ffi l?,:,v,,xl

ptanetetangentela osferdparul.t" iu ii pranp oat prin urme. Fie

i:,*r; ;rui, Il.",*t[:i,pi4"i:i5.:i,:'"'J

sec{eazdri.iu"in'""l.ol'.Aceastadreaptdinter-

ir;$ Jo?,I'.'f.' $li iff.ifiT,-'J' if ;Xl+ii

PARALEL cu o iifrJerifT^#*g"uY

Fig.

ru#rt*nr*H*N

I elrep teror -'; "ffr ti"ilil,?:, !i cuajutoru Uiiln in puirctere

HI '"'i!i'il"(il';ry?r"rl.:t'lf

,H+:il iiiill'J.,,"H]j.li oel if.61X.F,,i 'rwtrtreceprin centrul (g, .,iuiffi;i.,or,." un,;rauxiliar

dus orrn glSrplg D secfioneaza d.ypaun cerc m-are,(lig. piobtema 5: illntuft .10.82). : e Ii rezolvatd asezin.t'il'.1 )i:\i,; o ! lungime ii, pe dreaptd a cu razasferci.i lll-o 'diq:

ru:ihi}+ie:d "d{fi't#it:jiT,::T,ll

Dcanou,rii'_1,!!i1.i.iii 'r"':rta or,l,Ht,T!l 'rir:.5iin ci qi gi Ia intersecfia

cercuiui rrrareal rw:r..cunouaproieclj,e a,).v9jtig91e (p, a] I ,tiupr.,.

$i B;jtnL*li.,pt, lff:l::,:#f,:l:,!1,

,F^T*ti:: In schimbarea de plan verticaltlc

l'?i:|i ltxlr";;,il tTffr;1.'i.**i,:l_i:i; r.

{

.

,

'.

I

Fi g. 10.33

o-

F i g . 1 0 .3 2 Fi g. 10.34

187

SBI

ls-sursunrrlr !nlnrpurl!f, pulzllnn ;piq'ujoil;Jp "poleu ur (,'p :l^n{::^'".:l t.ril'-o. xnp oguafluel egeueld "uirr"iJpi, H";; atruaFuul eueldpnopelar nep _'olelnpr -_ :PJl.p nJ leredas - E or l, uJ a1un1 l u n [ €alrund lc J B o e sa lJund p n o p o l s aJy enon'arsa.ru

Liu,(j#,,%*,,i1'if lt ii l3',*[;:]

1J'"'-'; T [:':"] 1 { i: l'liTJiL'&' iLffiii i,".jj-JT]r"r nr qe nriiurfrp 5p'-J'nro,

es praJ_s 16uoca.rlurptrcelubc ap ^"J.11y, ueldnounca thuilo.tJJ"t J_'lerltra^ # qBJ eD P p1 Y p - Er nD r ,6, :ra.rais .,^- ^- qu nrpu.;nf ,ninJ1un, {lrj^:l exe j iue1"a'o, r:^11. p^ d I_d_,o o,lJ 1,r S" *" 18 rBT-ârel'qer -t.no yzuanl,:rila as' ,j i;",;;J; u1 asurrdnciuls- alua;riei .j;;;; ^t:11?r"

nnp ng;:l:tii' fjli:9dap,{ rs1a1n1.1"Lnf

ro esarpr e lillll,:jg :I" HfySii*ig""lg:lig# :.1rjjq,n,nu,if'"oe "i,Xi,!,io'?] s:;r.rdnr :!i'iii.Lf";l) L,"if..l lrryrd :ilHi,'riy"*;i*i'f.|'t*J"H"Lff';**:i furii t" i"ru.i,a$.!on[:ilffijl d.,li;;'..j,^, F:rarord fi::::..,j' tlTnt";i"ru.ni'J es BJ.JS a8u_11e gnrniriri.iunriiJ o'urNlud .6.6.0t bna rruaorruvi*'lr"vro y:i.ijit-pllp : 1:..".""

.s.'B ;,r;; ;.n p i, 1di?a-rp'

yt.,qYjlu ra;aJisrrJiiunirn'inriorpr+ir""'

d+sdJcuJ 9rals*,PIaIraFu.etr 5pu614 .(,d ,dj

ffi' rj"piilj ii'i,f'j'.,1',1',?,0"'","t"'1,*-jjr*:1g,...i,q,;d ;'t;;*;i':'n1u1 v' ri';n'' '3yjt,ili",militu:3'J::il;:j l:lf::U,"'u",?1 l:ilTj,rlti* ;1liq;,ttt3tg,ti

l;Ty,"pol",.' i*,fi*'d*iiii?1i,j"'i,?' ;h5.ill ?,LE-[ ':j1I:.Li,,Lh,tr" o ed 'u,",,ifr ru;nrrpu"oi3o r asnp asnp arua'u'r aluanuil .,",,",on-],,1r.Y.]P]Sîtg!;o !*J'J, ,11,,, :*;t.-Fd'""r; bsiuuyd J"ifi,"iJil,,?;""i 'ol

nJluef, ap PJeIs

gC' t it ' 31. *

:adiluv'rncrqN:rduEd ilq;'li:",ff:lii:ifii ;:iflrt,t lruio*ruv"r trtio .8.a.0r . f d , d ) r { / , , , {r r r \ ",,,^ ^^---

i'',il:ljsJ J8,ilj,} ,i{'1,4:il 11{h:sj:fi :Hlt

-u e l_ lu ls (v s ' v ) 1 n u e 1nd5' a 1 " 1 e in h n rp u , 1 ,n, 1 olurdu'l :o1aue1dntn'.qn",irb.i;i;lii .rarr3s

0 " tfi:{ i? .1"'iu' fuo'#1;', : J.lt-",'; j ,"ilnnr,, -u"#:"t# nJrrr Jn.,purp ni.oll"",,-,"'.ll_

I$Ur r,,*}i:r,f"i i;:*; il il{.r c

,i",ir1o nes (,or,e,cou)ersa_,lnJnu'rprr"il acl . uBId- rn:lsaJB BrrrJn

ff: {1 ir"i:'il}i? Siiif;r*'F;ft,! P3,; ,i,*##i: ikl tflg.# *tfirr !;;,::1, {;"i#i'fii;{-ll-, 11: lll j;li"#zuu,ri# n rp nlpu' 1i","d' 1,, ""ili:'

;f,|f p, j:,,3' pitnr1"?";!*' ;i;;"# i' a;ai's :;i,' l?lr',,,L"T?; " il

F i g . 1 0 .3 7 Irig. 10.38 ffie

pr Til

l (.r,

c!

l,

ierei. :r r.

:l

--ilrl

et. s. .r . ,-j

ri

llt

Fnie ---

hi

IES: { :ilt], € u it ,,;i i tf ; :,. il l ; _- . .

-.

r 1t.-::

tt

ie : -,e tri - art! 3-:; l: -'t

; - ,-

'1

-

al

3i : :

lll

H ,i.rl l l a ". -t ' _,

'

"t i l

,- ; ril

imnr: -.:deri cilindrul sfereipara_ .circumscris irilrria acest -ieapta datl. planele tangente r:: _prin dreapta D "sint planele .duse ,'llr'r':-.:ta slerdcautate 1fig. I0.37).Curbarle rulli:: dintre acest cilindiu ;i sferi este un -tie al sferei luluri;i -estesituat in planul p, rillltlii r ::iit centrul .sferei, perpendicular pe tluimrd: :: D datd. Orizontala'(r,li, co,a,), unie ,,,rntu*d. si frontala (orb, c,l,b,),ui-,a..rir,Ia;, ml-. _:.lte in centrul sferei, definescplanuT R, iuilllii :i-e intersectatde dreapta D iri punctui

nivel qi de front corespunzdtor centruluisferei (fig. 10.38).planul ;;;;; dintre sfera_giconulcircumscris ",lrr,"i-?. ei oin iiiiui s 1r,,,1 estedeterminat de polara t pr;;i;iui s fafn de conturulapareniorizontat;i "b ;i;;;i planulverticajnp,. Anaiog,-.;'^si";'aagi este urma Q', a. planuluicle capdt in-care se I:ili:lld gase$te cerculde contactdintre sferdsi conul circumscris ei, din viriut T ii,-t-,;.'AJejeooua cercurise intersecteazd, in cloudpuncteM ;i N, c,are^ planele tangente r" ;i;;i';;;;"p.tn punct C ,* u'U1in" cu'ri;urin{i in ; -.- : ::lnd ll_4..ft pl anul de callit dus prin dreaptaD. clouivirfuri ale con-urilor, cleciprin i[rptu ""r" O. ,,, " _: :ele duse din punctul C la cercul de PlaneleP_gi e au ca dre.aptdde intersec{ie l:rurl i:: dintre sferd gi-cilindrul circumscris ei clreapta(ab,c'e'), careintilieqt" .ieiu io.mai : _:ctele M ;i N de pe sferaciutafe. in . p u rrc t e le c iu t a t e -M; i N. n e n t ru 'ttltlrrtuii haba_ I o b lin e -1ab, 11u't' : mr, gi ne ale acestor puncte se ob{in dintre,sferi'qi _ clreapta c,e,), 1lt:i:::li, urlr,'ri.-:rd o rabaterea punctufui C si a curbei se electueazi o rabaterea planuluiveriicalp tltttlt, .:aact.pe_planulde nivel H, ai centrutui pe-planulde nivel al centnilui ,i*.i,luina ., iuttiirrr.f in jurul orizontalei (coa,co,a,)luati ca axi de rabatereorizontalaptr"riri'i! nivet tiiiiir,,,, -r rabatere. Astfel, punctul C'se rabate se,proiecteazA orizontaldupdab. punctul :afe rtll.:,a.iar rabaterea ceriului cle - contact se rJ (9, g') raminepropriulsiu ribitut, iar (h, h.) mlrul - -da cu conturul aparent orironlur al se rabate in he. Curba a" .oniu.i'siiuata in Tangentelet1 9i t^n duse clin- co clau planulP se rabatedupi cercui i! aiurltru uu .l11*'ilr..r r_:rile m0 gl ne Car€se rirlici clin rabatere cu centrul e. Se obiin rabateritemo-;i ne, carese ridici din rabaterein puncteierfi l1,T t' m') gi N (n,n'). ;i ii cautate. planele

tangente duseprin

;T.:.^d:lermine g').Ju-osferia.i.niiu-1.,t,y, lHl:,D11 Lumr rund metodabiconurilor circumscrise

40 Si sê. construiascl,in sfirqit, printr-o

dreapti iterei. dati, un ptan tdng*;i l; "o'sferi, 'rlur:.rcumscriu sferei 4.(P,^8') doul aonrri au utilizindo schimbare "1"--" de.planve"rii.ufA-.froiecfii .Je.S1s,s') .si T (t. t,t reipecfiv pinctete "rr* co')'centrul rq, ii*i.i .j'ir,,ri,l lr :-3 (psapta D (d, d,) intilnbgteplinele ::t :..-.|lli:.-fi: rle $ (v , v ' ) u rme led re p t e a i (9 , 3 , ) io . rs l. 1 iig .

189

'l

06I

rolerpeui ue1{eallerl;u a1$eu1g1 gldearpFlsBarV,(Of.Ot.F1g) P ul ,UU alfcalo.rd ep auelrJ fi"i11{91r?rsearv.(,p ,p)q ulerlira.t'gdnp I z\,1 ai qpsralulasa1arSalurllJe^luls O ri 4 i:eo1 p n o pa t a r n a e ru lu e u e l d rS{ r_ + , .(,r .c) { d -+ /

alaueld 3 lnlcundut tnirln nj -ruo*relrrnrqFuneceg.9{",,(,g ,i) uldea.rp V. ,e1sea"e alaruol[rur !_!_19t1lUcnu urrd ur.u "ri1:h asnir',X srrrf, r,. r -'--r--"-lja* r$ * raraJsIu_(,, ,r) 1n.r1uac d n aJ€olsrparuaueld rorl rolor ur{ias.r51ur:lL?aq euuli {nop eier nr etup F,il!"_ nrpau4al rnlsareasr.risrunaiic ra:l5s Pllla^,"ltoegord grugps'erui ,lireairuluelo "., '(tt gt'Fg1)rnlnrpaerlal ufi 9.j: i_.^ttj"Jqiun 1n;rgn i,s',s) o ry?, S ut es ps .eticaroud ?rsuln4suor :rrjra;ord.ep leludz;jo pnublb'u, pXu;oinr !t:p Efft gg_.!E!.r\nd nc srvo ruriisonTi ul?l ,cgvs irovr -nrpe"rlel Jnun isprs aUVCYUsJsv'I lNircNvr-NtlJ':or.a.or -f,gvgaregse1;gire;ord 5u;ruralof es pg oy 'eJBJaJBo lnJpaeJlel l$ urnce:d

tffjr

asn p.,era;s. a1alua;uel urpInun-rtuJ ."; fJ !f:r*rseurJep _y]rd 9jen11s FlpJo aler ryg{-aq9ruu1d ill_?i .nuogvur pfuiFuul eraplsuor lnJpaBrlel

N fS ry

8A as

ap'etatclndnb

eldealq.(,ry,r) ry_1$i,u ,u)p InNnysrucswncurf, F:.ll.r9_rJ.y VUscS-.ii'a.0r 'ru;'iv ()u ,iufr[ 6

;>d

,Xp1",in,i rs ,'()ur 'arfnloso lrlu allups nlr Bruelq l?:y^_r-"^! ,srncqj u11i pu!u ".liT3.'t:jl .illI3?', .e11eioi' '_1,r.rg'lH rnlnuuld eurn ad alenlls cdase'F .rrfnlos nrluad is +?o nrlud alrur ap

e-te

rs'iu alejfra,r

Fl-y?lunl .aureg iur' -ro]elrundaJ!!lreJord l* aueg ileluoi.ro olourn alBrrlral alauelil lul. rV BlBrrlJaA ::.rnrj'_1 :.tj.l--E{nJrE[ asnp eluaFuel eueld' pndp ote3

1ua;edeInrnlu-or b1e1' ;Ltly-o_111X -pdnp'er5g, ad :u1ncrpuadrad a1sl rarajslnrluac ]V-,P[ue-!Fa,t llll .np _/f{ .ta^Juap. lnueJj .gn;,ifrlizod r,$'q aleldaipir'iurp id punuror :::::.n.]y BrElnJrpuad;ad uc tuarJrJnsalsa eise6cenJluad

ol'ot 'Fl.t

eurâp BtrsEarB puscpusd :t?l '[i8 ,:gllv ''S) qeilrrS,r eldea:p

nr punardur3 'y drijror as ep eueld ap u_alsts rarajs ::.?j1:r!-:ld,psnp (lp .rp)_tg uiou'ug' -arle1,ir lirt_Y:_" _u1.rd oS .s : rxtot^rdnrap purnt.arljardrd :l ap :::..f1?prsuor ueld ap lurrlr;^ areqrrlrrlrs o fzeenliaga ag

__=_F,

A (o', B') sc obfine punctulrlc interseciietlintre aceasta dreapta;i planul mediator RR,. ureapta hv intilne;te 8 in to, care se ridicd ln
rNTR_UNTE. L0r2-.!?.sFERA INSCRTSA TRAEDRU.Si se determine sferainsmisl in

Fig. 10. 41

tetraedrul SABC, fafa ABC fiind cuprins[ in qlTTl orizontal de proiecfie.Centrul io, o,) al sterei inscrise in acest tetraedru este pun;tul de ie al planelor bisectoaredl" ai",intersecf orelor, care au ca muchii segmenteleAB, BC "schimbdri Ei CA (fig. lO.aA).prin trei simultane de plan vertical de proiec{iese pot rrans_ lorma_planele _fefelorSAB, SBC ;i SCA sd oevlna,plane de cap5t. pentru aceastase ia g:*Llu|, oux-elbc;i-osxs.Lca.Se coboariidin s nnllle de ordine pe acestetrei Iinii de pbmint gr sera pe liecarecota virfului S (s, s,). Rezultd si, si $i s6, care definesccele trei' plane de capdt ale felelorIateraleale triedrului.planelc bisectoareale celor trei diedre sint planele cle capit PP', QQ' gi RR'. Pentru a easi punctul de intersec{ieal acestortrei plane s'e utiti_ ze.azd.planula_uxiliarde nivel rui = n; = f.td. -.omun.

:i sferei ciutate. \aza r a sferei este -;:= lungirnea distanfeide la (co. .,) li r . r'irfuri. de exemplu
1

i I {

I

il il I N

fl I

f

rl t

I

I

i

I I

I I

I

rfrie elfifr

lg0uillr [

.-fl

-mnmu !!ill;]lltllr, uP

Fig. 10. 49

Fi g. 10,43

191

G6T

.(Il.,rl) r$ (,4 ,r1) :l^d-r^.ll(,p 'p) q atc lugs ar: !6 liarfp di1'alouro ap :j:{:.:if,l9lar lre,tu! '{9?'0t'Fyg) arags pnop'io1dj 51"r1uac ?JaJlyt? .tor) ,o) (|to

l$ (,o

a1g .e1uparalsgn6p ut unuor

l.::1"-"1!!rd un prnpei rs (,uiei!-.1npuno y_t{

Jrlvq arlcsuroo ns"ra.rvuva nvs j sho-',sueJs roNndrun-Uri,r:rU IqrLnllx Ynoov'r Nnwoc rNsbNtJNVii .era.or alseroroJs u a ezerBlspare .oug?Tt:1i3

rlqJnu JnrqrB rnlnrparp ", d inurJl lB, o o- roJr.slq* arfrar6ro J[ 5ue1oai,' ua]srs i:^1J.:ls:u111u; .,j6 lsare ur .. ulp Blerrprre1ec11:ai 'inu'e'idlgdec rafes FSBvs :9-^liY.1l,{.:yj -4lcelord\T ap lBrrlra.,r ",npn ueld-alia.requrqrs o :18_) q:":l_l-t9-J9 os roralsB.U tazej e is rnlirrluace d Bareu ,:.1[.u:!-lj.l 1allca1o.r ru ralap hr1uj4 .arf ug alenirs:olrrqcnur 1nue1d :::!::o alE qB -ep_leluozrro rs pr ,rq alEluozrro airriearoid .,riijjOsor .(W.Ot :Arj1rn;n jpaeJlel luIS€ratrBqBr .ap€laxv ,s) lnrorralurerds alii riaieqi-r ln1n3ili 1ar1 -(,s 0es0erorr irt) ailrs i.€llalouo rp rol 1n.rtruar rn1nrqFunrr1'r,rrw nrrn lr,urol (,rl _.p_ ;S -rI?: 'uj ''') 'ilg 'rt,ip qi '") '(,T asr.rcsur J1J:-rj?: Irulua? atsa nrpaerlai ittt-.111'.t:tt ,etep aJirerrp B.eog1e1uoz!:o o ric y erf caroi4 @plaj p,iop l?1^t-J-:-ry]nrluer ;alu.rud' ljmuror_ I "rij, pg !::!ry_! npoTaw)fruuuag upolaur]uiry111n lua8uu;;nueJdiunreaurrirrnl.p il ',{) !S y alalrund alSaunardr eldia.rp "i ap u;'psyrcdu; _.p f,gys Inrpaerlai :1,u,L;r's :i:..lyy ag .r vzvr nc g1ritj plor "ra1s pnopa}tBJeJe3 n1os lugs11f o e1 !_"{n}9p :,ty,r:l.f elsa lleod rareJs ap alalrund af is-s'Bloeirp :!*^tl ug'asrnsug Inr+ua3.n.rpaej1a1 j0-:l,EJy-i3"Ei etBuJurelep ,,i) u! qugsaueld alsa-cy .J1ep'a.rag, I1r1JSe ,1jro: ; ezw- gllizau' rolrasrqueld eallarl unruor luaFuel 1nub1dblse'(,ir ,p; q ,DO 1e'gzeipaiialur'yri :19t""

h"3,1'J ilg,'V,,I ;[?gP iLliirl,JiH'"o,,

*rlp ur.rd snp aJar ulp Bleun .. , .(,{ luaFuel ./ -, ,{) r-_r_r .r . ,u)"y ,,s (,u

id

I$

alijcu"o,isrl" I JJ

9f' 0r'tlc

w'ot 'Flg

lflidi-rr .ius prin dreapta D (d, d') este unul :;nrtuu:t,e tangente comune ciutate. Problema

1 0 . 2 . 1 ! -ItN . T D R S E C T I AD I N T R E T R E t S F F . t t E . S d . s e lef9r{nj.ne.intersectia dintre_trei sfere. Fie A (a, a,), B (b, b') gi C (c, c') centrelecelortrci slereS' Ss $i S; dai; * total patru solufii. (fig. 10.a8).SiereleS, 9i Sn se intersecteazid-updrrrrccrc C, Sferele Sz gi Sr-se in-tersecteazidupd un cerc Cr, ,.UIITERSECTIA DINTREDOUASFERE. CercrrrileC, gi Cnse intcrsecteazzi irr puncteleM (nr, mt) m rdutermineintersecfia dintre doufl sfere sau N (n, n') cdutatc, in care se intersecteazd de asemegiseasc[ sd se proiecfiilor axele 5i nea.9rcercurileCocrrC, sauC, cu Cr. Se observi ci planul liei. Fie (O, CI');i (o, co')centrelecelor P al ccntrelorsfcrelor este.unplan de sinretrie. Dreapta i=:e date (fig. 10.af. Se efectueazio I (E, 8') caLeunegtepunctele-M;i N qomunecelor frei s l e r ec s t c p e r p e n d i c L r l a p r ie a c e s tp l a n p \ D i r e c f i a a c e s t ei i:e de plan vertical de proieclie (o1x1: r l r e p t ep o a t e Lllllt- e-.tfel ca clreaptacentrelor sferelor sii a p l a n u l u i AfBi Cd e. .t-ePr n, r iDl rtoctiac up eonbt rrui z po rnet ac il z6saii eoai r o n i a l a pozitiei ,' ..ontala (orO,tu{ O'). S-aureduscotelc n c c s t e id r e p t c c s t e s r r i i . . i c r r ut r r s i r r g t i r p u n c t 1 k j k , ; 'a l ( d e c x c n p l r r , p r r r r c t u li r r c a r c a c e a s t i tr l r e a p t a i n t i l Lii,,r. rr;ltrlllui primei siere.Conturul aparent c i n e s t rp . lanul p Ln --roual primei sferecoincidecu conturul p e p l a r r u l d ePu)i.vPeel nHt',r r ral rcr ienadsct;asr iezroanbtaatleap l a n u l A B C : iap, a,p,) ca axi rin.:entorizontal,iar noul contur aparent dc rabaiere.PunctelcB si C sc rabat in bn!i co,*Cercurile ;i ;l celeilaltesferc este cercul cu cen- cLr ccntrelc a, bn li co sirrt cercuri rrari aie sferelor. !- Curba de intcrsec{iedintre cele doui ( . e l e t r e i a . r e r a d i c a l e 1 2 , 3 4 ; i 5 6 a l e a c e s i o rc e r c u r i s e *rt;,rituatilin planul de capzitP' : aibi. intilnesc in rabaierea kn a putrctului ciutat, care se intoarcedirr ral-raierein (k, k'). (Irc epuri s-a s-a iintimplat nti mpl at =-releprolec{ici orizontalc a interscc-

*

r: ' f

r r--,: Itr' rnur

''ii'-;ab gi cd : aibi. Punctelesituate pe -:rle aparenteorizontaleale celor douir ,.:.i e, f qi h, S. Ramuravizibilir a interr -:r proiecliaorizontaldestegbh. Analog, -: -.chimbare de plan orizontalde proiec{ie ltttl..:lini axEle proiec{ieiverticale a interl* a cdrei ramurl vizibila este
D T: r

'i-.

d::r: ;

/ F i g . 1 0 .4 7

Fi g. 10.48

i93

d

v6r 01901

i I

o 0g 0l

Fl:{

rolal auturoJ.(,u ,u) N Ii (,ru ,u) 19 e1o1ou*U Tiipq,jtjl

Lr T,s I$ .pur]rasra]ul', u'Yi3'1,'llol' 9,;*, l, t1'J'1,it"'3 eldearc'(1nl*qpr [,Jl"orp lrEJ) ; ",. ii,?rl'J,oj":i, 6t 0l

o"l_1il9ll9?r urlqo as uBlpuJur!rnJroJalsrrv .uprlrrr 'ap .rurrri.r'o'ri a:1ugasuy:dnraleFaalale.rdns _:jnrral mtpe alu8a o pr pTr ^r n ecrrajs JIJa l s IJn r:nsri3 snI ur alca 1r - r ,o ug uiezr,rrp ilsb rra:ag, ll,p_t_n]u8" - JaraJS uI' aJ Bdp,rriuurixij.rdeeorein6 gs ::"t_.1_1. r q rs o ]lyry-d rl a l ez r plnr g e ro l a p o l a i lp ru rp n l l l rn ru t.-i_cp oluluazerd luls 0g.bl e:nFr;uJ .qi5jso { -s dlr^rlrnlur t s n;luad E n : } u a d a,rrleurxorde .".Isap a t l e u l t x o Jd e a apolaur p o la u t a alijalip lr .la tr b b irsixrr r sir : ,a r 1 S rv rns pls e p e u pfulurdns o

:jjsa ' e ja 1 !

o s' u .r ' n l ca iip ls v y^rrvwtxoudv vsuvunsf cs3('/rt.di

"J;iJ3:Ji,ls3"yi l^q.::d-.1j gporars,,,,,";5i i "--':,:n

' : pnop a 11 .rpu nd sa .loJ aJ plut loJ allJ lor r loaD aJ t uaJ a rura tJ Bl .(ar f r n: ls uor . lBnlJ aJ olplu u. r e _:1, : on jl t:rda ad) drdjs aJaJs rdrl rali dlar alal arlulp allurp eroun lueFuetr uerrl luoFuet ueld ":l ;.,\1; "it ''(t "O pldea.rp flspare urrd pulcnp auriqo es :?l ueld lsacy .€6 ,u.r*,tt_l eldea.rp u,rd ,*i1 ..1, j,.,tt^t_:"y::-l,l.3ue1 ueJd un ,:epe6y .1406 nes) a15 :uo ap alarluoJ uI-lnJrJAnJ a;aJsrolsare si:rsrunr:r., rr aluaFual *S r$ 15 :o1a:ags aunuoJ alua8uul 1ul: d6 (""O atlolouo vy d \ v nus) -.-"/ (_, vr+e+vrrv op dldrludJ alarluor tr1 uJ [nJrIA InJIIA ;:rrs rolseJe srrJsrunJJrJ lnlnuoJ aluaFrrel 1u1s65 r$ rr:iraJs aunuor e1ua3ue1alaueJd .aJoJS -rip '6rn,u,io" rarl Jolor

:-:a: 1nue1du1 asurrdncpur,g. 'r* ::rs araJsroJsar?ayuos:e,rurrS n,1j1o,i.,olp "1cai1p ,"ir1r'rarl rolaJ -ri (qt'O! 'FrJ)elep 8S I$ aS ,rg ',(to"

'8o) (% .uo") ,r"j :11._!l ",.r"-;; ,l]9l luaFuel -1s 'uuld un eulurelop ";:I, es pS .AIVf, :t^ JS r.rur v,r NnwocJN:ICNVi'NV]d" ci.:br

.11:I

{E s:e:r Pi

F i g . 1 0 .5 1D

lor.:i i:rPl rii{*

&a

;. sierei. Lungimile acestor arce se rectifici tt[Lu,nr:-]e 102030405060. Pe orizontalele dLrseprin !r.r,ie se r c c t if ic i ar c ele de c er c EF, 8C . . . i n \[,, etc. Aceste construcfii pot fi urmirite pe r . iigurile 10.51 a gi 0, unde este precizatd;i pe desfdgurataaproximativd a fusului V \ u r,-:ctului A (a, a') de pe supraiata sferei. 1n liiiLn_lgura :lgura ru.oz 10.52esre prezentatd oeslagurarea este prezentala desidgurareaaproapro: l ::nei sfere considerlnd zonele sferice. numerog, ilLlnr rr _l ia ob{inute prin sec{ionareaslerei cu plane NultL. , . acestcaz se desfigoari porliunile din supraltfifitv's :uprinse irrtre cercurile paraleli orizontali. LlMs;i,rurare acestezone slerice pot Ii aproximate r .-tan Jdc u nigt e t r r r nc lt iur ide c on. Ait e nr e t o d e

Fig. 10.53 pentril desiii$urarea apro.ximativda sferei se l:azeazhpe c o r t s i d e r a r esau p r a f e {e l o rp o l i e d r a l er e g u l a l es a u s e m i 'g i c v a s i - r e g u l a tceu n u m a r m a r e d e f e l e i r r s c r i s es t r uc i r c u m 'ajunge scrise sferei. Pe aceastdcale s€ la structurile spaJiale reticulate sau la structurile geodeziceatit de utilizate astizi in constructii gi arhitecturi (fig. 10.53).

i!ri

F i g . 1 0 .5 2

Fig. 10.53a

195

96I 99',0r'8tc

;ii?ji,1;11"|o:,?jil'"Ii:l:'?. szur !'q0r ;rtr)p1qnp

ri,l",* i;;;ri ;,i;;if,.l'1; xifi; l,i;';"",1'":3ii:i J;

rzrsurs t?S I 'Jrrjs rp'irlrnJ1iuo3.if iVlitjV':8t.a.0

t

gn" g',,uuj{i, i,,,li1,il :jj;l".i,'Jl, :-rxordB lil l:i,",ii::I:!1,,r,i,r TJii :o1o1uLrr(u1sap ruioLrriqo;iirj,r,lpfjrrri aiscrv q sgot 8l.t ,P

- Baleilpouoc nrtuad) aFllz as I?rrlulrlJr {s-g0l '8rg) rrrrir a:o;s ra.r1rola) alrr}ual ap1rlh.unrrl }pruroJ 1',], lutyll,y:gnlnJqFunrrl u q earurilgul 'gjeuoFo;.ro'5ij;j,;;-;iq,rp Rzr?otnrttsr

ezerop eraJs ":_qr_: \ jlu"a,iil;s io;.re;xo ;ljxjJ,l?,"j:ii. :il{:_l"jl19tn, I e;ua;uul 1 lrajs eur,ir.rjl-pir-!!-i1"p :- sllil: .tosralu o ls pnopatr;Jgnoira1eei1u1 qiraduul :_t:ojj:t_u!_q.u"Eg"l ezerop ,o;u8aa.la;s;ai1eze$eJbn'as R:;j, i;i;;rw "r"luozlJo ueld un ed qtui qz E! )rrrsorR aursoJ;tn ep 13 gue.ri'dsuurl ;Sr,r,,a,-r^1.n-t-*-

U ?zPJ ap 'PIIWI

fra1si. fr;F;;,

. G r ap lncre 6.ourp purrrJsop

:U";

,h, .,;:"lt: X' nll uI ara1srJJl Jolal rolo.tluo.r 8.aaor,o 1e *a1ep r-5un1t1 1 e' F In J l u o tu J r , ro1u1no:op l u l l l o z rJuoz e ,)J :: ? q El

L ::

_l- ,1${

:,

I ::

iaturi dreapti de capit (ornor).Se obline

-g n:

'i''ffi - 52..ln felul acestaproiectiileverticaleale

ximl ri:or;llu reri "

tteric,; r s!e** :

i"

0 :. r

-

tl;

-'

.:e:elor mici sint determinate.Se poate ajunge :ezultat gi printr-o construc{iegralicd. Mai :a.-.:ru ob{inerea centrelor o:i 9i
r ; - . , t s e g me n te l o ,i r b ' ,o :1 e ' fi e d re p t el eoi t' qW rrur :rei conuri de rotafie de inilfime 100, cu bazele ,gale. de razd 30, situate in planul orizontal :tre ele doui cite doud. S{ se ateze in spafiul rm ::re cele'trei conuri gi tangenti lor, o sfer6 de um ji[t. deterininindu-se iniltimea centrului sferei ,uur rrul orizontal. Si se desenezeapoi sferele de 'mr:rnd qi minimd care indeplinesc condifiile din !: :;ege triunghiul echilateralSrSnS,cu una din r-:-rid de c apit ( f ig. 10. 56) . Par alela p r i n b ' r-.-:id rrril'n:,:iea S1a' conduce la centrul coto'al primci :1,-!:e . P ent r r r c elelalt e doui s f er e s c c o n s i d e r d | Sja', precurn ,si ..:a in 51 pc geuer-atoarea

Fig. 10.57 bisectoarcaLurghiuluixa'St, Se ob{in proiec{iile verticale c'r* gi ar* ale centrelor sierelor maxitld ;i minirnli. I n e p u l a d i r r i i g u r a 1 0 . 5 7c s l e p r c z c n t a t i iq i o p r o i e c fi e lateralil a ausamblului de siere astfel deter-ntinate.

PROPUSE I0.3. PROBLEME lo Sd se deterntitreutt paralel orizontal (sau de front) al unei sfele cunoscind: a) cota (dephrtarea)sa I; b) raza sa R. 2" Sd se deternrineplanul tangent la o sierii datd dtts printr-o dreaptd de profil, determinath de pLrnctele A (a, a') ;i B (b, b'). 3o Se considerd punctele A (a, a') ;i B (b, b') gi o dreaptd D (d, d'). Sd se detcrmine pe aceasti dreaptd proiecliile punctului M (m, nr') astfel incit:

a) MAs+ MBz=: BAB9 b) zMA: 3MB.

Fig. 10. 56

4o Sd se ducd la o sfere un plan tangent de pantii datri, paralel la o dreaptd datd (Numirul solu{iilor). 5" Si se determine punctele ur.reisec{iuni plane intr-o sierd pentru care cele douti proiec{ii ale tangentei sint paralele.

r97

' ip' ppaur r u rsoBo ,r.u e 1 du n e I 1 i o l n p(,q ,q)g t iu) V olrund enop-e1aies ,1r1u.n1.,ii 'pi,,3.Jun.., t'u) W jlrri5arri.rd reruoztJo1nue1dnc b r,,q,, rnun cilr +Jdr ur u suIIuJolap as ,r ,," lrund .,v 5.",iI ps .0, ^* ";,i;;;;

B6I atitoto;d op

,,,*,1'3o,rj,t?"T :l3i;lH3ffii [g

r,ii;l.ryl: jlyî:,:,:.:f P.# :ii{lljffii.i"Li .:r,i,'15:';il',1L'J?rff j;r;; Ffi pTi ral'urou jy J3loili ?3'-rT:i:ii'* w +l*r

!ud, 11i -1u_lruor :rs :alBInrled rnun ar'e' irni e1 n11"'anf,i, ","ir-'iil]gg y"u1;.-ai,'"1 s a1e elua.redealrrhrnlubj ,J,ur;i;p

jj,{,3:f, "lulrl x,?lJt'l,til,.,? j; i,?ifi txilfk":[j#,,,,ilJ#

Ir 1ui (,S'e)q r{ (,e ,e)v aLlf]rndrrlrdaro:1nrr, ,s,,pr?l!8 r' o,rorrlini:,:"ii1ti:,:!'rsrunrr 1nuora1$4u11 ap oueldrolaqup

; ii: u)isi." ;;i : I;[f : ;ii5','1,T,-"j$ i,ljg:t;i;;

pjua8rielp.re1s o p"r"l'";;;;";"s

FS.0a

3;iifq '{''j{ryiilrf 'f,f.:yJl{,,T; % J,t alderprarrnz'5ll,"i'J"r,5'13iY',.iji:i'f ii,[".,-,i ,r:irg.f{i#*i,!i?1{i3 eT i,iluirriniiirr.iqlp o, 99 ,p u1'e.,rfian ];e "61 ,,,;i,Hf; ,liiloJ,'.l$y;ji,':?,"J,i63,xx13T:;i*; "rr jlr:r: rs'iij3lYt$" ry5 ili#i,l;lii' n q,r ii "lIrr'lrYJ;ffi ;i,,1::i",{ily,#tEi $ij v rnlJund ur.rdara:liir!'gi;n'u'rl,"r, jiT#;l liii i:llli '41 :;1:.d lruilapalieiora[ ;.ld;,;,;';;,;t,oJh*o ,\,c!

roloc e1ua3ue1 j v rnr}rnrr,,,,, ^^^,.n1991p_Fnoq

6d :t,6 ;"t

ps :{jj;tjnl.Tor.,"uryya1ep ilrrrrf o, -Ji,1:',1" @rlrqre pund un r$ erfca!_oid .p" lJiu"ral j;lr1o ilLrnlrs rS q alaleied iloa:p V

enop e.reprsuoc Jg

o7g

j:J'trifl[ i#Jij;l;l# ;i:3. :d#tT,#'#

l,:i jilTiJ"_ l; fi",",i,,i: #JH,i'":lT.T?T.*:o:t:.-,,-11;iL'J*[t#"f J?:l,:ilii; r#i,i' lli"T h tdl

olrriroro.rd.alltza.rdo: i1 r'.pr,1 yT?_1ltnrol ".q.8.qE)rrurlllJaraluaru8os'pnop "r''ng ii o o praplBuo.j'j6 Inrrsuor esas u,rarplii"iil?l?'iilt# " IIrnrnI uorPJsB "Cg "r' j#f.3i:'"p s ..r ad .o ap ro,#:frtl:Td rolalcundinror fauiruai",i "1u'l.'p'qri ;3inl'nii$", 9-pieluozr.io ad_alenys 1$'eoare g r$y,a1ep ! ;(,I_:? p., s u31qe." n f i 1J.ii' 1 wir .11eJB 5,i" l,l,y, S .: f t. :: aluarede "t alJrniniuojpr6",nifuo-r,.r'iil.ae . 'erioaro:d ap leluozuo IlIuJd.ul i1p1,rnr1*i ,,p t : u 3 i r e l s . g P J P + Uo JIn J- j .qp, o pls'ars_ul Fpr'oc FraJg Erars prirrnjlruoilJ :q ;,{."f.,pqr_ro. J. 1a1u;1 pluaFuel {,1 ",r?'rtJi'?X 'J)J pleluort elso1$ o rSorlcarord ulrorr.rr'lllTi3rip, nb".11t"?"1,3,T1i": irrui,r,joinurrairi a1eeluaredealrrnrnliro: ,rll:...1:::^n alsa(,.').o; n:luairaiqrlep:ajr,o,prn$isi,;;;d-.id

jt'TiHIl:i'',t'Ji$',[:i"ryi,tlTf :l'f",,',*t llil,lji j,

n3"-lffiii,i *iTri ht-l#ilr":i#fi [ {t ? 31 uo 3i?' i3, ff Tl?:lg, HiJi":,:3 ". J,1JJ."#i3 Ui5f

.usrrJsuJ Bralso-4ufrd.1$(,s ,s)

s nps Inlr!^ :rur;ap arfelo.r apuoj un ,i.!p,,il ci pl.irirp jli";o a1rrf ceriiid'"'u,;j5iJi-5r'" t;;t ',alur0p ;o1a1cund RS

"jj#

l;3l;;;lliiri;: ii T$i iltfidi"'i'i:3 jl'?'$ til?i,]3il?,! prir,d;arb;fi ;UF5J"; o',lff l',/,,1 1?ji

j'L'#i"$;,'i* i11:::".:,-'it?"'ill',lTo'".i.1't:yU!"'?#, Is(,p,p)q plorr; Stjr'#?T?,:l pus.re ,nl^"r:rl1' 9.trJ leln;arnrpaejleld"-Rr;id;;i;j';,j'j;fi,# rp o pl l'nps alsaar'r euruirol"p 1nua1d

JJ;"S-:;;

,,-ii!,:ilil1,",?';:, jlTlT, Ji;1,ifl ti .1, *r5i

.flBpd Ezer teJpluaFuel ap,rril?,,ili"8#rl":jg ur)rypund unappfes,,rq(jf",1l,X,Tt^"#jl, ?r q Fldea.rp o ujnp'ai p's(,e',e)'y,t;ir;;;-;ti;;,TJj

.9a

Rs.ar

t"drT ji,',io"r',],{:3,.lloor,i,HH3i,:J-tt:if arf cas;a1ur.f .plep apprars u ezvr o

o''u,?tX.j;;,1 rseoore edalenils1,ri,d f!'i:!'?i it ti 1,_r,i;1[,tJ',ui i"r1r]3urnf,l,r4 .d ,ru u alpp^_aJournu "91 I$ _ ra:l nJ eleuorf.rodo:d

iijliii!:'3$,J:,'$';il^"!fi U,Alry;lUl,'.'Tj',il EzBgpulrsoun"cgv's njpae.ilal in drrJinil.uotJ"o,pg .6

fi3,,T#ii u,''',11# .;,,g,*: * if,tlyl"', ;J., illifr i,v"'X,' ii drd fr' 1 i"y_".! gur ;t3:';3 ru'fi:g"l,s-.qt ;S,,

".p",i",i #i.;ii,3lT,tHl{;H " * 1i';.pd i] f,Jli?d'.j

,,?H1,'.p,:,",ilttt.{:;un unêces urr,'ilH;lg ;:J,:9 \ yB rnun ln.rnf ug ririld un pjsrip.r'is 6 !ir.-66

i:i::ri iiii[e,i"1",";1. fi; i'ir?]s,:jl#H

pnop_Bl ales.ro1eiu"a1sro^r1.1:bgej lljur i5li* ilL ,rt w lrund un (,p ,p)o ,,i'.ri,,iiiJi.p,,i êidea:pô us o,

rBIarBJ u'.,,ot'{:il3i[#:ljt,i?li,,Hls,Ji #*i :;

u l a.\ \'€ : : a l doi l ee r

apiri D unct B rb, hl d a ia .. r ') pe a :i

rl rne c i l : ru n c t u l A e r d d e;ala

illlliirf tillf

"

runct A (a, a') si se ducd o dreaptb -a t r eac i la dis t an{ e dat e f a! a de p r r n c t e l e \ ( n, n' ) s it uat e pc ac eeali or i z o n t a l a

-.--.t r uias c dc ont ur ur ile apar er r t eal e s i e r e i . ::ra dr ept e dat e in doud- pr r nc t eda t e . :erh trei segmente rectilinii (ab, a'b'), e f, e' f ' ) , Sii s e det er nr inepr oiec { iilep u n c t c ,:e : t e t r ei s c gm or t es e v id s im ult an s u b - u r r r,r- :e:- b o s f er e gi o dr eapt d D ( d, d' ) . S a s e

rpid D ld"

rc tM(m.r u e nt al; a , c ai e :: dat. r c d i st;-; ilir la Ce : c : Tl

'l e..le . -:,,riu0ll I i f , i ' *hii, , tz aab. a 't tillr i ai' 1 :-: t nul t;

--

:,r iltin : ,illillll

ifllliL $, " b t E€.::n,nrilMl

O. i: fliii, : D i" lil'iill tl. :'ryq11,i,,, . €i : : - l: : l l l l . l!:: : -:lmiif ::,:: lîlillll "

ll

r.

mi l lll t

l iu. 10.53 a

L r', -:ii planul P dat pr in ur m e. Sd s e de t e r m i n e

-,.;er a punc t ul A ( a, a' ) s it uat in in t e r i o r u l

-

Jd t-

n , .:_sinttatrgentecelor doud plane cleproiecfie n r 1,cepr of ilPdat . lliu r .:t: uias c ds f c la c ar c t r c c c pr ir r pr r nc t c l cA , B '=-gent d la o dr eapt a D ( d, d' ) ' dat a. ur til]

uutmr',. se agazdtrei sfere egale tangente -tmisferd :an gent eem is f er eiit r punc t e dc c ot a d a t a . 'nt"r::lie acestesfereqi sd se construiascio sfer;j r ,: : tangenti acestorsferc.

tor. Torul poatefi definit qi ca suprafaliinversd a uriei suprafetecilindrice sall a unei supraiete conice. Astfel, dacd se transformi prin inversiune generatoareleunui cilindru circular vertical (polulde inr,ersiune fiind pe axa suprafetei cilindrice),se obtine Lln tor care are un punct dublu in polul de inversiune.Fiecaregeneratoare a cilindrului se transforml intr-un cerc meridianal torului. La fel, transformind,prin inl'ersiune conul circular drerrt se obtine un tor cu dou2ipinze, care core\lruudcelor cloud pinze ale conlllui.

lu.-r.2. REPREZENTARE.SECT|UNTrN ',rOR PRIN PLANE DE NIVEL SI DE FRONT. S[ se construiascisecfiunileprin plane de nivel 9i de DEFTNIT|E. TORULCONSTDERAT CA front in torul cu axd vertical[. S-a arzitat cz'r m,4FATAINVERSA.Torul estesuprafata torul este suprafalade rota{ie generati prin patru generatdde ul1 cerc iare se rota{ia unui cerc in jurul unei axe situate in lflnr"rr.rul planul sdu. Fie (
- :EU L

1 f) {-}

a

Geometrie Descriptiva-Tanasescu (1)

Recommend Documents