Formulario de matematicas full

ESQUEMAS - FORMULARIOS

4

S O I R A L U M R O

F -

S A M E U Q S

E

S O C R A

M N A

S r e m a

P

ÍNDICE GENERAL RAZ. MATEMÁTICO

Criterios de la divisibilidad ............... 24

Razonamiento Lógico ........................ 8

Números Primos ............................. 25

Orden de información .......................9

MCD y MCM .................................. 26

Planteo de ecuaciones -

Números racionales Q - Tanto

Edades ............................................ 10

por ciento ..................................... 27

Operaciones matemáticas ............... 11

Interés Simple - Mezclas .................. 28

Sucesiones ................................... 12 Series ........................................... 13

ÁLGEBRA

Ecuaciones diofánticas...................... 14

Ecuaciones lineales ........................ 29

Análisis combinatorio ...................... 15

Principales productos notables ......... 30

Máximos y Mínimos ......................... 16

Ecuación cuadrática ....................... 31 Polinomios - Teoría de exponentes .... 32

ARITMÉTICA

Sistema de Ecuaciones .................... 33

Razón - Proporción - Promedios .......... 17

División de Polinomios - Factorización ... 34

Magnitudes proporcionales .............. 18

Teoría de Ecuaciones ........................ 35

Teoría de Conjuntos - Operaciones

Inecuaciones I ............................... 36

entre conjuntos ............................. 19

Inecuaciones II ............................. 37

Numeración ................................... 20

Valor absoluto - Relaciones y funciones ... 38

Adición y Sustracción ...................... 22

Binomio de Newton ........................ 39

Multiplicación y División - Teoría

Logaritmos .................................... 40

de la Divisibilidad............................ 23

Números complejos ........................ 41

GEOMETRÍA Triángulos ..................................... 42 Congruencia de triángulos ............... 43 Cuadriláteros ................................ 44 Circunferencia ............................... 46

Reducción al primer cuadrante......... 62 Circunferencia trigonométrica .......... 63 Identidades trigonométricas ............ 64 Identidades de ángulos compuestos ..... 65

Proporcionalidad y semejanza

Ángulos dobles y ángulos mitad I ..... 66

de triángulos ................................ 48

Ángu los mitad II y ángulo triple -

Relaciones métricas ........................ 49

Triángulos rectángulos notables ....... 67

Áreas triángulares ......................... 50 Áreas cuadr angulares Área ci rcular .............................. 51 Geometría del espacio y poliedros regulares ..................................... 52

Transformaciones trigonométricas ..... 68 Funciones trigonométricas inversas .... 69 Ecuaciones trigonométricas ............. 70 Resolución de triángulos ................. 71

Prismas y Cilindro - Pirámide - Cono ..... 53 Esfera y teorema de Pappus Guldin Polígonos y Poliedros regulares ........ 54

TRIGONOMETRÍA

FÍSICA Cinemática MRU - MRUV.................. 72 Caída libre - Movimiento

Sistemas angulares - Sector circular ..... 55

en dos dimensiones ....................... 74

Razones trigonométricas de

Movimiento circular - Fuerza

ángulos agudos ............................. 57

Estática ........................................ 75

Resolución de triángulos rectángulos ... 58 Geometría analítica ........................ 59 Ecuación de la recta ....................... 60 Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal ............... 61

Dinámica - Rozamiento.................... 76 Trabajo - Potencia mecánica Energía Mecánica ........................... 77 Hidrostática - Electrostática ............ 78

Electrodinámica.............................. 79

Estado gaseoso ............................. 89

Electromagnetismo - Física

Soluciones .................................... 90

moderna ....................................... 80

Estequiometría .............................. 91

Movimiento armónico simple ............. 81

Cinética - Equilibrio - Ácidos y Bases ..... 92 Electroquímica ................................ 93

QUÍMICA

Química Orgánica ........................... 94

Átomo .......................................... 82

Cíclicos y aromáticos ...................... 95

Características generales de los

Hidrocarburos ............................... 96

números cuánticos ......................... 83

Alquenos u olefinas - Alquinos

Configuración electrónica ................ 84

o acetilénicos ................................ 97

Tabla Periódica Actual ..................... 85

Alquenino - Oxigenados

Propiedades periódicas atómicas ...... 86

y nitrogenados .............................. 98

Enlace químico ............................... 87

Metalurgia y petróleo ..................... 99

Unidades químicas de masa ............. 88

Contaminación ambiental ................ 100

ESQUEMA - FORMULARIO

s a c i g á m s e n o i c u b i r s t e s l i D a m r o N

s o l l i r e c n o c s o i c i c r e j E

5 5 5 5 5 1 1 1 1 1

s a

s

5 1 5 c n 1 e t i 5 + e s p b 1 e

+ a + 9 . . . b + 3 + s 2 + 1 = c S 3

s o d a r d a u c 4 1

a a l n e r e u t b a A m e r d a o o M l n e r u e b t a A m a a l r e n e u t b a A p

e r d a o o P l n e r u e b t A a p

s a e l e p n o c s o i c i c r e j E

r

O C I G Ó L O T N E I M A N O Z A R

s o d a r d a u c 3

o c s e t n e r a p e d s e n o i c a l e R

SAN MARCOS

2 7 6 9 5 1 4 3 8

: :

:

s s a a l e d l a a z r a u r p c s s a a e e r r r r o s o c c a t n n n o o u J C C

:

e j e n u r o p s a d i n U

o i r a o r i o r h a i r t o n H A : :

2 3 2 1 0 1 s 3 + + e : : : : : + l : : a r o p s m a í a e n d t a s s ñ 3 e í a a e n d r m d o e i a o o c 3 y n d r a e a r a l t e e y ñ a e c t s n R a n y o a a e H A A H M P D ) 2 F V ( ) 1 ( V F

n ó i c i s o p u s e d o i p i c : n n ó i r i P c c i d a r t n o C

) a ( o n a m r e H

o y

8

e o l b d a n e p i l t u i n c l m e á e t u s f e s n o a l r u a J C : : s o n l a r a u C J

) 2 ( ) 1 (

F F V V

n ó z a o r g e i r n e d i o t R o r d : e u e n F ó i : P c o : a r o d g m e u r i f P H a e R

Raz. Matemático


) N Ó I C A M R O F N I E D N E D R O (

r a l u c r i c o t n e i m a n e d r O

F C E D G H B A

C e E r B u D r q o o e r e e y n u o u u e q n q q a M M r e r r o o o y m y n a s a e m e m m E s o s s e e n e A B C D A B C D • • • •

s e n o i s : i e 3 x x c t e r 2 x x d a c 1 x x e s e A B C d d t s e e T d o r d a u C

Raz. Matemático

a ) o d r i e r a i u r o q h z I (

a h a r c t e e r t s e e s i D E D a a d r r t e e s i t e u s i q e i n z O I S

l a r e t a L l a e n i l o t n e t e i m n e a i n c e e r d r c e O D e t n e i c e r C

) o o i r h a c r o e r h e i t D n a (

9

r o s a r s i e u f u i L P o r P o c o a i n c c d a a é P T M

: a t c e r i d o r a o e a i m r g m n u i o f H L e g n e I D

SAN MARCOS


Lenguaje Literal (Enunciado)

Traducción

• A excede a B en 10 unidades • El doble, de un número disminuido en 3 unidades. • El doble de un número, disminuido em 3 unidades. • A es por dos veces B • A es dos veces más que B

Lenguaje Matemático (Ecuaciones) A – B = 10 2(x – 3) 2x – 3 A = 2B A = B + 2B A = 3 B

Con dos o más sujetos

Pas Pre Fut d e Daniella a b Melanie c f • La diferencia de sus edades es siempre la misma. a – c = d – d = e – f • La suma en aspa da el mismo resultado: a+b=c+d d+ f=b+e a +f=c+e Importante Caso 1: Año nacimiento + edad = año en curso • Si la persona ya cumplió años en el año en curso. Caso 2: Año nacimiento + edad = año en curso – 1 • Si la persona todavía no cumple años en el año en curso. Nota: Si el problema no dice si ya cumplió o todavía, se trabaja con el caso 1.

SAN MARCOS

10

Raz. Matemático


Máquina +

Adición Sustracción

X

División Materia prima Números

Producto terminado Resultado

Botones Operadores Proceso de producción Operación matemática

Definición Explícita ..........................................

a*b = 3a + 5b + 4

2

Definición Implícita ..........................................

2

a*b = 3(b *a ) + a

5

=m

Se resuelve de adentro hacia .............. afuera ...............

m

=5

Se resuelve de adentro afuera hacia .............. ...............

Si x = x+1

Raz. Matemático

11

SAN MARCOS


n e d r O º 2 e D

s e s n e l o i b s a e t c o u N S

S E N O I S E C U S

) l a s e i e n n L ( o i a s c e i c t u é S m t r i r a r r

a c i t é m t i r a n ó z a r : r

e d r . a n p ó i m s i e d c a u s d i a t l n a n c e a s n o n u i a r m r a é p t *

. . . ; 5 0 t 4 ; 4 8 t 2 ; 3 8 t 1 ; 2 0 t 1 1 ; t 4

2 1 2 0 1 2 8 2 6

2

4 0 = B = + C A

a c i r t é m o e G n ó i s q e × c u q S × q

×

a c i t é m t i r a n ó z a r : q

* s o . o m a n i n e u r t x n m r e o é t e c e n d i d o ó s r t c e a u c p d u m s i o r a d P n a u d i t a r n a a P c *

s a r e s t e l l o ) L N 7 s 2 ( i e l n i o n , r h a a r r a C e d e t e a i d i r s L n c e e d i o b a c l s n e e o S d c

SAN MARCOS

12

Raz. Matemático


Raz. Matemático

13

SAN MARCOS


ECUACIONES DIOFÁNTICAS MULTIPLICIDAD

PRINCIPIO DE MULTIPLICIDAD

1. Si N es múltiplo de n  n Si N =  N  nk; k  

1.



n : se lee múltiplo de n

Ejemplo:

Ejemplo:

• 888 8





Si N= 5 N =5k= {... -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,....)













o o o 2. n +n = n



N= 8k = {... -24, -16, -8, 0, 8, 16 , 24 ...}

Ejemplo: 



N  n  rd ó N  n  re









• 14  14  14

o

3. k n= n; k

donde: rd  re  n rd : residuo por defecto re : residuo por exceso Ejemplo:



• 7 7  7

2. Si N no es múltiplo de n

Z

Ejemplo: 





• 2  7   7    



• 010  10    



20 no es múltiplo de 6 (20  6 ) 20 6 20 6 24 4 18 3 -4 2    20  6  2  20  6  4

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES o

Sea A x B = n o

Si A n

Donde: 2 + 4 =6

o

Si B n

o

B =n o

A =n

Ejemplo:

Aplicación:   Si N  9  3  N  9  6   Si N  12 1 N 12 11

SAN MARCOS



• 15  15  15  15  15

Si N = 8







4x  5 



4 5 x  5

14

Raz. Matemático


n ó i r c a a l t u u c r i m r c e P

) r a p u r ! g ) k a ( ! n n n ( ! ó k : i s c e = d a k n a n C d i e b i p m o o r P C

o r e m ! ú ) n 1 n n u . n . . ( e × n d 4 = l × ! a i 3 r × n 2 o t × c 1 1 a = = F ! ! n 0

C = n k

C •

O I R S I O S I T L A Á N I N B A M O C

o n e e t p n e o d n C i : e ) s o d o t ( n o i o e s p v v i i e t e c t i a n n d r e i i a r A P d P •

Raz. Matemático

k  n n

) r a n e d r O ( n ó i c a t u m r e P

n . : e s ) p y e o ( d e n e á o d t v l i u t s o m a t i c s i l n e , p v s i e e t l a t u r n e a i M P d •

! ) 1

a n u r  a n l n e u ( : s c r o o i = l g c ) p i n ( m m a c s e a e P j E 6 m

. . . n ! ! c o n ! c b ! n a n ó i ó i i c =

) 6 ( c

P

1 ! ! 1 ! 6 3 ! 2 3 =

c t . . . a : e ; t o c l u p b ; p e ; r m m n a r e R j e P E P ” s n o “ d e a ” k ! d m “ ! ) o n t n n k ó n i s e ( c o ” a t k = t “ n k u n e e P m d r m e e l P e

! 5 =

2

1 ; 3 ; 6 2

R P

s o t n e i s a 2 n 0 e 2 : s = o o ! ! l g 5 3 p i m m = e a 5 2 j E 5 P

s l o a t n e e i n i s a L ! 5 0 n n 2 ó n i = 1 e c n : s = a P o o ! t l g p i 5 u m m = m e a 5 r j e E 5 P P

15

SAN MARCOS


MÁXIMOS Y MÍNIMOS Problemas sobre certeza

Expresiones algebraicas de 2do grado

Casos Número de : + Casos extraciones desfavorables favorables Lo que no quiero que salga

E(x) E( x) = Ax2 + Bx Bx + C A > 0 A > 0

Lo que pide el problema

EMÍN EMÁX

X = 2A

Otras situaciones

• Si: a + b = K . K (a.b)máx = K 2 2

• Si: a > 0 a + 1a > 2

• Si: a × b = K

• Si: ×  = IR

(a+b)mín = K + K

SAN MARCOS

16

x2 > 0

Raz. Matemático


Aritmét Ari tmética ica

17

SAN MARCOS


MAGNITUDES PROPORCIONALES DP

IP

A IP B

A DP B Valor de A = Cte Valor de B

(Valor de A) (Valor de B)=Cte

A IP B

A DP B Constante Propiedades

f(x) = K x Valor de A

Valor de B

• A IP B • A DP B

A DP 1 B A IP B1

• A DP B (C cte) A IP C (B cte)

Gráfica:

A x C = cte B

Valor “A” Línea Recta

a1

Constante k f(x) = x Valor de B

Valor de A

Gráfica: Valor “A” Hipérbola Equilátera

a1 a2

a2 b1

Valor “B” b2

a1 a2 = = k b1 b2

SAN MARCOS

b2 Valor “B”

b1

a1 b1 = a2 b2 = k .

18

.

Aritmética


• Cardinal = n(A) = n • N° subconjuntos = 2n(A) = 2n • N° subconjuntos propios = 2n(A) – 1 = 2n – 1

A  a1; a2; a3;.......;an donde:  ai  a j elementos

i, j   

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Complemento ( (A)): No A

Unión (U): A o B

A

B

A

Diferencia (–): Solo A

A

B

Diferencia Simétrica (A):

Intersección ( ): A y B

A

B

Sólo A o sólo B A

Aritmética

19

B

SAN MARCOS


m e s a B

N Ó I C A R E M U N

7 " n ) e 7 4 " s s a a e i b s v 4 a s a 7 3 6 b e c a u 3 s 4 3 3 5 0 s 2 4 3 1 e : 2 o e n l s i o p a s b i v m e e i j D D ( E . 2 . 3

) 7 (

" 5 m 6 " 4 e = s a 3 b ) 0 4 1 a 2 "  n  " m e ; s 0 a 1 b  e n D ( . 3 . 3

2 0 1 e s a B 1 n e s a B

s s e a v n i o s i s e i v c u i D S

+ ) m (

– y x

n ó i a c c i s i o m p ó n m i o l c o s P e D

y x

= _

> m c b < a n

c b + a : i S

o  m o C

) n (

. 4 e

+ n d

+

+

n . c

2

n c

+

: 3 a n c i b m ó + n 4 i l n o a p = n ) ó i n c ( i e s d o c p b a m o c s e D . 1

SAN MARCOS

0 1 e s a B

d

: s e u q o l b r o p n ó i c i s o p m o c s e D . 2

+ a c

2

0 n 1 b n c e + b s a a 3 n b n b b + a a a 3 a : n + =  e " + 2 s n n n 0 n c a " d 0  b b e c 1 n a b . b e s a b a = d a b a n s c i o e = = n b D b b a b a a c m b b b a 1 . . a a a C 3 1 . 3

20

i m ó n i l o p n ó i c i s o p m o c s e D

+

3

0 7

+ 0

4 ) 5 (

3 4 2

: o l i p n i f f m e u j R E

1

2

3

 7

3 = 7 5

3 4 4 2 1 2

5

. 2

Aritmética




Números capicúas

121; 3553; 27372; abccba

BASES SUCESIVAS 1a

1b

1c

= a + b + c + d + e + x

1d

1e

x

NUMERALES DE CIFRAS MÁXIMAS k –1 (n –1)(n – 1)(n – 1)... (n – 1) n =  k cifras

Aritmética

n

21

SAN MARCOS


I. ADICIÓN a + + c +...+ z = S Sumandos

II. SUSTRACCIÓN M–S=D

Suma total

Propiedades:

Progresión aritmética

• 2M = M + S + D

Sea:

•

an = a1 + (n – 1)r

 x + y =n – 1

a –a n n 1 1; r n: Número de términos

donde n 3 y a b

Sn

•

y = n – 1 donde: n 3; a c

Sumas notables

• • •

•

•

n(n + 1) 2 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2 12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = n(n + 1) (2n + 1) 6 13 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 = n(n + 1) 2 2 1 + 2 + 3 + ... + n

abcd – dcba = xyzw donde: a > d x + y + z + w = 18 ó 27

Complemento Aritmético

•

CA(N(b)) = 100...00   

k 1 cifras b

– N(b)

Si N tiene k cifras •

• a0 + a1 + a2 + a3 + ... + an–1 = an – 1 a– 1

SAN MARCOS

abc(n) – cba(n) = xyz(n)  x +z=n –1

an a1 n; 2

Sn: Suma de términos

•

ab(n) – ba(n) = xy (n)

CA(abcd(n) ) =

(n–1–a)(n–1–b)(n–1–c)(n–d)n

22

Aritmética


o

* A = B = B(k) Se dice: - A es múltiplo de B - A es divisible entre B - A dividido entre B da residuo cero o

o

o

o

o

o

* *

o

o 

* * *

o

o

o

O

o

N = c o



o

o

N = a+ r

(n)k = n o

o

o

o

o

N=c +r

(n + r)k = n + rk

Aritmética

O

* N = b + r N = MCM(a,b, c) + r

(n + a)(n + b)(n + c) = n + a.b.c o

k: impar

* N = b  N = MCM(a,b,c)

* n(k) = n = k = nk o

k: par

o k (n – r) = n – rk ,

N = a

* n– n=n o

o k (n – r) = n + rk ,

o

* n+n =n o

o

23

SAN MARCOS


• • • • • • •

Por 2 Por 4 Por 8 Por 5 Por 25 Por 125 Por 3

o

o

o

abcde = 2 + e. Si e = 2 o

abcde = 2 o

o

abcde = 4 + de. Si de = 4 o

abcde = 4 o

o

abcde = 8 + cde. Si cde = 8 o

o

abcde = 5 + e. Si e = 5 o

abcde = 8 o

abcde = 5 o

o

abcde = 25 + de. Si de = 25 o

abcde = 25 o

abcde = 125 cde. Si cde = 125 o

o

abcde = 125 o

o

abcde = 3 + a + b + c + d + e. Si E = 3

abcde = 3

E

•

Por 9

o

o

o

abcde = 9 + a + b + c + d + e. Si E = 9

abcde = 9

E

•

Por 11

o

o

abcde = 11 + e – d + c – b + a. Si E = 11 E +-+-+

o

abcde = 11

• Por 13 o

o

a b c d e f g h = 13 – 3a + b + 4c + 3d – e – 4f – 3g + h. Si E = 13   31431431 E - + - + • Por 7 o

o

+ b – 2c – 3d – e + 2f + 3g + h. Si E = 7 a b c d e f g h = 7+ 3a   31231231 E + - +

SAN MARCOS

24

o

abcdefgh = 13

o

abcdefgh = 7

Aritmética


• Por 33

o

o

a b c d e = 33 + a + bc + de. Si E = 33

o

abcde = 33

E

• Por 99

o

o

a b c d e = 99+ a + bc + de. Si E = 99

•

•

•

P or n  1 abcde(n) en base n

o

o

(n 1) a b  c d e. Si E=(n – 1)

abcde(n) = (n – 1)

E

o

o

P or n  1 a b c d e (n) = (n + 1) + e – d + c – b + a. Si E=(n + 1)  en +-+-+ E base n

o

abcde(n) = (n + 1)

Dada la descomposición canonica del número N:

N = p1 1p2 2p3 3...pk •

abcde = 99

E

o

o

k

...D.C.

Su cantidad de divisores se calcula como:

C DN = (

1 + 1)( 2

+

1)(

3 + 1)...( k

+

1)

Además: CDN = CD SIMPLES •

+

CD COMPUESTOS

La suma de divisores se calcula como:

p1 1 +1 – 1 p2 2 +1 – 1 pk k +1 – 1 SD(N) = ... p1 – 1 p2 – 1 pk – 1

Aritmética

25

SAN MARCOS


•

La suma de inversas de divisores se calcula como:

SD(N) SID(N) = N •

El producto de los divisores se calcula como:

P D(N) = NCD(N)

• El esquema del algoritmo de Euclides: Cocientes A B

K O

MCD (A;B)

Residuos

• Conociendo el MCD de dos números podemos concluir que:  A = p x k   ; donde: p y q son PESI  MCD(A;B) = k B = q x k  MCM (A;B) = k x p x q 

• Siempre se cumple que: MCD(A;B) MCM(A;B) = A B

•

MCM n A ; n B = n k m m m

SAN MARCOS

•

26

MCD n A ; n B = n k m m m

Aritmética


Números enteros Z

Número fraccionario

Z = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Fracción Clases de fracciones

• • • •

Propia Impropia Reductible Irreductible

• • • •

Común y ordinaria Decimal Homogénea Heterogénea

Variación porcentual

Operaciones con tanto por ciento

Aumento ó Variación disminución = porcentual Cantidad inicial

Adic ión Sustracción

Aumentos y descuentos sucesivos

Aplicaciones comerciales

Aumento a b % = a+b+ 100 único Descuento a b % = a+b– 100 único

Pventa = P costo + ganancia Pventa = Pfijado – descuento Pventa = Pcosto – pérdida Pfijado = Pcosto + incremento

Aritmética

27

100%

SAN MARCOS


INTERÉS SIMPLE M=C+I

I = C r% t M = C (1 + r% t)

r% y t en las mismas unidades

Costo total Pmedio = Peso total

Grado Alcohol 100% = Total alcohólico

Gaparente = Paparente

Pventa = Pcosto + Ganancia

xL a%

yL + b%

zL + c%

(x+y+z) L = d%

a%(x) + b%(y) + c%(z) = d%(x+y+z)

SAN MARCOS

28

Aritmética


Álgebra

29

SAN MARCOS


D ’ N m A 4 G y R A +

) c b c a

+

2

c

S E L B A T O N S O T C U D O R P S E L A P I C N I R P

+

2

b

+

2

a

= 2

) c

+

+ b a 2

±

2

a = 2 ) b

± a (

1

SAN MARCOS

+

– n

x ( )

m 2

m y n

+

n 2

) 2 b

+

2

a b ( a 2 4

= =

2 2 )

b ) b

– –

a a ( (

+ –

2 2

) ) b b

+ + a ( a (

2

b

–

2

a

=

) b

– a ( ) b

+ a (

=

+ + b b a a

– +

+ –

c

+

3

b

+

3

a

0 1

3

b a

) b b

± ± 2

a b a ( b 3 a 3 + b ± 2 3 a b 3

± ±

3 3

a a

2 2

a a ( ) ( b ) b

3

+ 9

) ) b b

–

) c

8

2 2

=

c b a 3

3

x (

= =

a (

a

b

a a

+

+

x (

3 3

+

b

a (

3

30

b

+

a ( a (

2

+

+

+ –

+

2

c

3

b b

b

3

x ( ) 2 y

3 3

+

a [ ) c

3

2

x

–

c

+

–

y x

+

7

a ( 3

+

y

2 a 3 a a : i S • •

=

2

2

+

2

y x

x

b a (

+

+

m y n

+

x

2

y

c b

2

) y

m 2

3 2 = c c c + + + 3 2

+ + +

b

)

+

b ( ) c

+

4

=

: e u + q c a a c i f + i r b e a v c ( b e a 2 S 3 – . 0 = =

+

] ) a c

a ( ) b

x

x

) c b

+

2

2 y 2

+

b b b

6

+

n 4

b a (

y

x

+ b a ( 2

4

m 2 y n 2

+

S S U A G

) c

= =

+

x ) b

+ a (

+

2

x

=

) b

+

) ) b b

x ( ) a

± ±

+

3 3

a ( a (

4

x (

5

Álgebra


ECUACIÓN CUADRÁTICA Análisis de las raíces

Forma

ax 2 + bx + c = 0 ; a

•

0

Fórmula

x=

–b

•

b 2 – 4ac 2a

Discriminante

•

D = b2 – 4ac

Si: D > 0 2 raíces IR diferentes Si: D = 0 2 raíces IR iguales Si: D < 0 2 raíces IC conjugadas

x1

x2

x1=x2

Propiedades de las raíces

x1+x2=– b a x1.x2= c a

Si: ax2 + bx + c = 0

x1 –x2=?? Raíces recíprocas (inversas)

Raíces simétricas (opuestas) x; –x Una raíz nula

Recordar: (x1+x2) 2 – (x1 – x2) 2 = 4x 1.x2

suma:0 b=0 c=0

x;1/x producto:1 a=c Dos raíces nulas

b=0;c=0

Reconstrucción de una ecuación cuadrática x2 – Sx + P = 0 Ecuaciones equivalentes: (Raíces iguales) Si: ax 2 + bx + c = 0 a b c 2 = = mx + nx + p = 0 m n p

Álgebra

31

SAN MARCOS


EXPRESIÓN ALGEBRAICA Monomio

Racional Entera

Polinomio

Definición

Definición

Términos Semejantes

Grado Absoluto

Grado Relativo

Grado Relativo

Grado Absoluto

Clasificación Homogéneo

Ordenado

Idénticos

Completo

Idénticamente nulo

Recordar las definiciones

an =

Recordar los teoremas m a m n m +n a .a = a ; n = am–n a

a.a.a...a ; n "n factores de a"

a0 = 1 ; a –n = 1n = 1 a a

m n n m a = a = am.n ; (a.b)n = anbn

a 0 n

; a

a n = an ; n a.b = n a.n b b bn

0

n na = a b nb

n m n m m/n a = a = a

; n m a = nm a

nk mk n m a = a

SAN MARCOS

32

Álgebra


SISTEMA DE ECUACIONES E1 : a1x + b1y = c 1 E2 : a2x + b2y = c 2 Por su Solución

tienen solución

Ecuación Compatible soluciones finitas

Determinada

y

E2

a1 b1  a2 b2

E1 (x0;y0) x

y

E1

Indeterminada

E1 E2

a1 b1 c1 = = a2 b2 c2

Ecuación Incompatible a1 b1 = a2 b2

Álgebra

x

E2

no tienen solución

y

E1

E2 E1 // E2

c1 c2

x

33

SAN MARCOS


FACTORIZACIÓN Criterios de factorización

Criterio del aspa simple

Criterio del factor común y/o agrupación

Criterio del aspa doble especial

Criterio de las identidades

SAN MARCOS

Criterio del aspa doble

34

Criterio de los divisores binomios

Álgebra


* Si r es una raíz de P(x) = 0, entonces P(r) = 0. * P(x) = anx n + an–1x n–1 + an–2x n–2 + ... + a0 =0; an 0 , también se puede escribir

an(x – r1)(x – r2 )(x – r3 )...(x – rn ) = 0 donde r1, r2 , r3,..., rn raíces de la ecuación. * Si: P(x) = (x – r1)m(x – r2) n(x – r3)p = 0 Entonces: r1 es una raíz de multiplicidad m r2 es una raíz de multiplicidad n r3 es una raíz de multiplicidad p * Teorema de Cardano - Viette

r1 + r2 + r3 + ... + rn = –

an–1 an "Suma de raíces"

r1.r2 + r1.r3 + ... + rn–1.rn = 



an–2 an "Suma de productos Binarios"



r1.r2.r3.....rn = (–1)n

a0 an "Producto de raíces"

* Si los coeficientes de la ecuación son racionales entonces si una raíz es a + b , la otra es a – b . * Si los coeficientes de la ecuación son reales, entonces si una raíz es entonces la otra es – i .

+

i,

* P(x) = anx n + an–1 xn–1 + an–2x n–2 + ... + a0 = 0 por cada cambio de signo es una raíz positiva. * P(–x) = an(–x)n + an–1(–x)n–1 + ... + a0 = 0 por cada cambio de signo es una raíz negativa, o, menos en una cantidad par.

Álgebra

35

SAN MARCOS


Definiciones:

TEOREMAS FUNDAMENTALES

Sea: { a ; b ; c }  IR 1. “a” es no positivo a 0 2. “a” es no negativo a 0 3. a b aa

T1: a 2n

0 ;  a IR , n Z + T2: a > b  a ± m > b ± m T3: a > b  m > 0 am > bm a/m > b/m T4: a > b  m < 0 am < bm a/m < b/m T5: a < b 1/a > 1/b ( a y b tienen el mismo signo)

Importante:

Sea: ax 2 + bx + c > 0 ; a>0 x IR b 2 – 4ac

SAN MARCOS

36

Álgebra


Inecuación....

Polinomial De primer grado

a 0 ax+b > <0 ax 2+bx+c > <0

De segundo grado De grado superior

grado mayor o igual a 3 P(x) >0 Q(x) <

Fraccionaria

Irracional

Exponencial

> bP(x) < bQ(x)

Logarítmica

log x 2 – 4 < 2

Trigonométrica

A

Se aplica el criterio de los puntos críticos. Importante: Si: P(x) Q(x) 0 Q(x)

Álgebra

A

n P(x) > 0 <

B C

Sen 2 x + Cosx > 0,5

2n

B

S1: Si: P(x) P(x) 0 S2: Elevamos a un exponente igual al indice y resolvemos. Luego el C.S. es: S1 S2 C x y > > b b x y x y Si: 0y

Si: b>1

37

SAN MARCOS


Definición

a=

a; si : a 0 –a; si : a 0

Ecuaciones con valor absoluto

|x| = 0

Propiedades

• |a|  0

• a2 = |a|2

• |a| = |–a|

• a2 = a

• |ab| = |a||b|

• |a + b| |a| + |b|

x = 0;

x =a a 0 |x| = |a|

Inecuaciones con valor absoluto

x = a x = –a

x = a x = –a

|x| a

(a 0) –a x a

|x| a

x a x –a

|x| |y|

Funciones

RANGO

GRÁFICA DE discusión UNA FUNCIÓN de la curva

SAN MARCOS

(x + y)(x – y) 0

Domf={xA/ yB(x;y)f}

DOMINIO

Dos pares ordenados no pueden tener el mismo primer elemento.

a;b

• a = a ;b 0 b b

Ranf={yB/xA(x;y)f}

Si: (a;b) (a;c) b c

f

Intersección con los ejes coordenados. Extensión de la Función

38

x=0

corte en "y"

y=0

corte en "x" Dominio y Rango

Álgebra


Funciones especiales

1. Función constante

2. Función lineal

3. Función valor absoluto y y = |x|

pendiente

x F(x) = |x| Dom(F) = IR Ran(F) = [0;

4. Función raíz cuadrada 5. Función potencia elemental y y y y= x y=x 2 x

y=x 3 x

x F(x) = xn (n=par) Dom(F) = IR Ran(F) = [0;

F(x) = x Dom(F) = [0; Ran(F) = [0;

F(x) = xn (n=impar) Dom(F) = IR Ran(F) = IR

BINOMIO DE NEWTON (x + a)n = En el desarrollo de: (x+a)n N° de términos = n+1

n k=0

En el desarrollo de: (x+a)n Coeficientes se obtendrá si: x=a=1 n n c0 + c1 + c2n + ... + cnn = 2n

En el desarrollo de: (x+a)n Si “n” par Tc = Tn + 1 2do Tc =

Álgebra

x; a 0 n Z En el desarrollo de: (x+a)n Tk+1=cnk xn–k ak de izquierda a derecha: Tk+1=cnk xkan–k “K+1” el lugar

En el desarrollo de: (xp + aq)n (p+q)n(n+1) 2

2

Si “n” impar 1er Tc =

cnxn–kak

n+1 2 n+1 + 1 2

39

SAN MARCOS


1.

Definición

loga b = x 2.

ax = b

Antilogaritmo

loga b = x 3.

logab =

logab . logbc = logac b = antilogax 5.

Consecuencias

(a,b

ax = b

loga a = 1 ;

loga f(x) = loga g(x)

loga b = loga c

b=c

loga b = loga b – logac ; c

logc b, si: c>1

logc ax

logc b, si: 0
ax b

logc ax

logc b, si: c>1

logc ax

logc b, si: 0
7.2.

1 = – log b a ; b

8.

logabc = c logab ;

SAN MARCOS

b

logc ax

ax

loga(xy) = loga x + loga y ;

loganbm

f(x) = g(x)

7. Inecuación exponencial 7.1.

Propiedades

cologab = loga

x = logab

6. Ecuación logaritmica

aloga b = b ;

4.

Ecuación exponencial

, a 1)

loga 1 = 0 ;

logcb logca ;

Inecuación logaritmica

loga f(x) loga g(x)

m log b = a ; n

40

Si a>1; f(x)>g(x)>0 Si 0
Álgebra


NÚMEROS COMPLEJOS C

formado por

N MEROS REALES IR N MEROS IMAGINARIOS II

z = a+bi

i = –1

DEFINICIONES Dado el complejo: z = a+bi Complejo conjugado: z = a –bi Complejo opuesto: z* = –a –bi

POTENCIAS DE “i”

i1 = i i2 = –1 i3 = –i N 4k+r = ir i4 = 1 i = i i5 = i i6 = –1

Representación gráfica Eje imaginario Tenemos:

b |z|sen

z = a+bi |z|

Módulo de “z”

|z| = a2 + b2

Argumento de “z” |z|cos

a

Eje real

Forma Trigonométrica de “z”: z = |z|(Cos + iSen ) z = |z|cis Resultado importantes Teoremas T1: |z| = |z| = |z*| T2: |z|2 = z.z T3: (Cos + iSen ) n = Cos(n ) + iSen(n ) de De Moivre

Álgebra

41

(1 i)2 = 2i (1 + i)4 = –4 1 + i=i 1 – i

SAN MARCOS


1.

4.

2.

5.

3.

SAN MARCOS

42

Geometría


T. de la Bisectriz

T. de la Mediatriz

Mediana relativa a la hipotenusa

T. de los Puntos Medios

Si BM es la mediana relativa a la hipotenusa BM = AM = MC

Geometría

43

SAN MARCOS


1. ABCD es un paralelogramo

4. Si ABCD es un paralelogramo

2. Si ABCD es un paralelogramo 5. Si ABCD es un cuadrado

6. Si ABCD es un cuadrado

3. Si ABCD es un paralelogramo

SAN MARCOS

44

Geometría


Geometría

45

SAN MARCOS


SAN MARCOS

46

Geometría


Geometría

47

SAN MARCOS


(1)

(4)

b

a

a x

y

x

ab x= a+b

a=x b y (5) (2) a

En todo trapecio (M y N puntos de tangencia) a C B M

x

A

b

b y

x

b

a= x b y

(6)

x

N

2 =1+ 1 x a b D

n

m.n.p = x.y.z

m

y

(3)

p

z x a

b

(7) x

x.y.z = a.b.c y

a

x2 = ab

SAN MARCOS

b

z

48

c

Geometría


(1)

a  b  m n

a2 = c.m a.b= c.h b2 = c.n

h2 = m.n a2 + b2 = c2

ab  mn

(2) (4 )

x  2 Rr

1 x

1 R

1 r

(3)

3 2 3 2 3 2 a  b  c

h3  abc

x2

Geometría

a b

49

SAN MARCOS






A ABC mn S

ab mn





B

S

A ABC p

C

A

p.r

a b c 2

S

A  ABC 4

 

A  ABC  abc 4R

SAN MARCOS

50

Geometría


 

 

•

Círculo:

• Sector Circular S    R 2

2 S   R 360

2 S   d 4

•

Corona Circular

Geometría

51

SAN MARCOS


C V

A 2

Donde:

C: N.° caras V: N.° vértices A: N.° aristas

Notación:

diedro AB (d–AB) Elementos:

* Arista: AB *Caras: P y Q *  Plano: MON

P Si: MN MN

Q AB Q

MN

m(diedro AB) = m MON =

C = 8; V = 6; A = 12

C = 4; V = 4; A = 6

A T

a3

a2 3 ; V 12 2

h

a 6 3

SAN MARCOS

C = 6; V = 8; A = 12

A T

6

a2 ;

d a 3

52

V

a3

A T

2a2 3 ; V

a3 2 3

D a 2

Geometría

P


Prisma recto

Cílindro recto

B

B

h

g

h B

B

r

Fórmulas

Fórmulas

1. V  r 2 g

1. V  B.h  Perímetro de   A 2. L  la base  .h   3. A T  AL  2B

2. AL  2 rg 3. A T  2 r(g  r)

Pirámide regular

Cono recto g

h B

O

ap

r

Fórmulas

Fórmulas

Bh 1. V  3 2.

 semiperímetro  AL    .Ap de la base  

3.

A T  AL  B Ap2  h2  ap2

Geometría

g

h

1.

r 2h  V 

3.

A T  r(g  r)

3 2. AL  rg

g2  h2  r 2

53

SAN MARCOS


Fórmulas:

Esfera

1.

4 V  R 3 3

2. A T  4R 2

Polígonos regulares

En todo polígono equiángulo:

Fórmulas

Smi  180(n  2) Sme  360 N°Diagonales: ND ND 

n(n  3) 2

SAN MARCOS

Fórmulas

c :medidadelángulocentral

360 c  n m1  i

e

  180

180(n  2) n

m1 

Fórmulas



(n  2) n

360 n

360 n

54

Geometría


SISTEMAS ANGULARES Sistema Sexagesimal

Sistema Centesimal

Sistema Radial

Unidad (1°) m =360° 1°<>60’ 1’<>60’’

Unidad (1g)

Unidad (1 rad) =2 rad m

m

= 400 g

1g<>100m 1m<>100s

=2 rad 22  3,1416  7  3 + 2  10

m

S S = C = R C R 180 200

S C R

S C = = R 9 10 20

SECTOR CIRCULAR Circunferencia

Círculo

Longitud de Arco

R R R

L = 2 R

R

R

A= R 2 0< <2

Trigonometría

55

SAN MARCOS


Área de Sector Circular

R

R

-

-

-

S R

-

S = 1 . R 2 2

SAN MARCOS

S R

-

L

L -

S = 1 LR 2

56

2

S= L 2

Trigonometría


Razones Recíprocas Sen A Csc A = 1 Cos A Sec A = 1 Tan A Cot A = 1

Razones complementarias

Sen A = Cos C Tan A = Cot C Sec A = Csc C m A m C = 90

Teorema de Pitágoras  ABC (recto en B) a2 + c2 = b2

k 3

2 k 60º k

SenA = Cateto Opuesto Hipotenusa CosA = Cateto Adyacente Hipotenusa TanA =

CatetoOpuesto Cateto Adyacente

CotA = Cateto Adyacente CatetoOpuesto

Trigonometría

SecA =

Hipotenusa Cateto Adyacente

Csc A =

Hipotenusa CatetoOpuesto

57

SAN MARCOS


Datos generales

• Lado (a)

Relación fundamental

lo que quiero lo que tengo

• Ángulo ( )

R.T.

Razones Trigonométricas

Sen = C.O. H

Cos = C.A. H

Tan = C.O. C.A.

Área de región triangular

Cálculo de Sen

Sen = 2S ab

S = ab Sen 2

Primer caso

SAN MARCOS

Segundo caso

58

Tercer caso

Trigonometría


2.

1.

2

D   x2  x1    y2  y1 

3.

2

4.

A nk

P mk

 x1  x 2 y1  y 2  ,    2 2 

B

P  mA  nB mn

5.

6.

a  

a  a; a  0 a  a; a  0

a2  a

G  A  B  C 3 G: Baricentro

Trigonometría

59

SAN MARCOS


ECUACIÓN DE LA RECTA A Pendiente de la recta

B. Ángulo de inclinación de la recta

m = Tan

m=

y 2 – y1 x2 – x1

C. Rectas paralelas

D. Rectas perpendiculares

m1 = m2

m1m2 = –1 L1

L1 // L 2

L2

E. Ecuaciones 1. Forma General. L: Ax + By + C = 0 2. L: y = mx + b

SAN MARCOS

60

Trigonometría


y

(x,y) r



x

x: abscisa y: ordenada r: ra dio ve cto r

Sen

Csc

Cos

Sec

r = x 2 + y2 ; r > 0

Tan

Cot

su lado final coincide con los semi ejes. m



C = 90º n, n



Sen Csc

Para Todas

Tan Cot

Cos Sec

a = a; a > 0 a = – a; a < 0 0 =0 x

Trigonometría

61

SAN MARCOS


R.T.(90 )= CoR.T.( )

R.T.(180º )=  R.T.( )

R.T(270 )= 

R.T(360º )= 

0º <

R.T.(360ºK + )= R.T.( ) R.T(2K + )= K

0º <

Z

0º <

Sen(– ) = –Sen

Cot(– ) = –Cot

Cos(– )= Cos

Sec(– )= Sec

Tan(– ) = –Tan

Csc(– ) = –Csc

Si: Cos Tan Cot Sec

+ = + Cos = 0 + Tan = 0 + Cot = 0 + Sec = 0

SAN MARCOS

Si: Sen Tan Cot Csc

+ =2 + Sen = 0 + Tan = 0 + Cot = 0 + Csc = 0

62

R.T. (2n) = R.T.(0)

Trigonometría


Trigonometría

63

SAN MARCOS


S A C I R T É M O N O G I R T S E D A D I T N E D I

s e r a i l i x u A s e d a d i t n e d I

n ó i s i v i D r o p . I

s a c o r p í c e R . I

s a c i r ó g a t i P . I

SAN MARCOS

x s o x 1 C x 2 n x s e s o S o C x = C x 2 n n x e e c s S S C 2 x 2  – c e 1 1 S

x s o C x x 2 2 n s o e C S x 3 2 c – e 1 S 2

x n a T

) x s o C  1 ( ) x n e S  1 ( 2

x = s x x 2 o c = = = C n = = ) e e x 2 s S S x x x ) o 4 6 2 x 1 = x s t s C s s x o o o o + o n C = C C C C x a T + +  x x + n s 1  x + x x e x o 4 x x 6 2 S n n e C n n c n c e S   e a S e e e 1 1 S T ( S S S (

x x n s e o S C

= x n a T

x s o C x n a T

x x s n o e C S

=

=

x n e S x t o C x s o C

1

1 x x x x = c 1 n = c 1 s 1 s 1 e x o e c C S x c S C s e C = = S = = x x x x x x n n s c s c s e e o o e S S C C C S

1

= x 2 s o C

+ x n e S

2

x s o C

2

x n e S

2

– –

1 1

= =

x n e S

2

x s o C

2

x n x x e c S s o s C C 1 = x t = o x C n x s e 1  x o S c C  s 1 C

=

x t o C

x n e S

x t o C

x 1 x 2 c e – n a S x T 2 – = c e x x S 2 2 n = c e a T x S 2 = + n a 1 1 T 2

64

x x t 1 o 1 n a C T

= x n a T

x c s C

2

1

=

x t o C

x

2 t

– o x C 2 c = s – x x C 2 2 t = c o s C x C 2 + t o = 1 C 1

Trigonometría


Sen(x y) = SenxCosy CosxSeny Cos(x y) = CosxCosy  SenxSeny Tan(x y) = Tanx Tany 1  TanxTany

Si x + y + z = (2n –1) ; n Z 2 anxTany + TanxTanz + TanyTanz + 1 Cotx + Coty + Cotz = CotzCotyCotz

Si x + y + z = n ; n Z CotxCoty + CotxCotz + CotyCotz =1 anx + Tany + Tanz = TanxTanyTanz

Trigonometría

65

SAN MARCOS


Seno del doble

Sen2 = 2Sen Cos Sen22

=

4Sen2

Cos2

Coseno del doble

: Tangente del doble

Sen2 = Cos2 – Sen2 Cos2 =

2Cos2

2Tan Tan2 = 1–Tan 

– 1

Cos2 = 1 – 2Sen2 2Tan Sen2 = 1+Tan 

a>b a

x=b a+b a – b

b

2Tan

1+Tan2

1 – Tan2 Cos2 = 1+Tan2

x

Seno de la mitad

Sen

Ángulos doble y Ángulos mitad I

1 (1 – Cos ) 2

2

Coseno de la mitad

Cos

2

1 (1 + Cos ) 2

Fórmula racionalizada Tangente de la mitad

Cot

2

= Cos + Cot

Tan = Csc – Cot 2

SAN MARCOS

Tan

2

1 + Cos2 = 2Cos2

1 – Cos 

1 – Cos2 = 2Sen 2

66

Trigonometría


Ángulo mitad

Ángulo triple

Cot x = Cscx + Cotx 2 Tan x = Cscx – Cotx 2

Sen3x 3Senx – 4Sen3x Sen3x Senx 2Cos2x 1 Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60

Identidad Auxiliar Cot x + Tan x = 2Cscx 2 2 Cot x – Tan x = 2Cotx 2 2

Cos3x 4Cos 3x – 3Cosx Cos3x Cosx 2Cos2x – 1 Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60

Cot x = 2

1 + Cosx 1 – Cosx

Tan x = 2

1 – Cosx 1 + Cosx

Tan3x

TanxTan 60 – x Tan 60

Tan3x

3Tanx – Tan3x 1 – 3Tan2x

x

+

x

x

'

36°

'

Trigonometría

67

SAN MARCOS


I. Suna odiferencia a producto

II. Producto a suma o diferencia

SenA + SenB = 2Sen A B Cos A – B 2 2 SenA – SenB = 2Cos A + B Sen A – B 2 2 A B +B A A – B CosA + CosB = 2Cos Cos 2 2 CosA – CosB = –2Sen A + B Sen A – B 2 2

2SenxCosy = Sen(x + y) + Sen(x – y) 2CosxSeny = Sen(x + y) – Sen(x – y) x 2CosxCosy = Cos(x + y) + Cos(x – y) –2SenxSeny = Cos(x + y) – Cos(x – y)

y

Observación:

2SenxSeny=Cos(x –y) –Cos(x+y) Observación:

CosB – CosA = 2Sen A + B Sen A – B 2 2 Propiedades

Sen(x – 120 ) + Senx + Sen(x + 120 ) = 0 Cos(x – 120 ) + Cosx + Cos(x + 120 ) = 0 Sen2(x – 120 ) + Sen2x + Sen2(x + 120 ) = 3 2 Cos2(x – 120 ) + Cos 2x + Cos 2(x + 120 ) = 3 2 Sen 4(x – 120 ) + Sen4 x + Sen4 (x + 120 ) Cos 4 (x – 120 ) + Cos 4 x + Cos 4 (x + 120 )

9 8 9 8

Si x + y + z = 180° Senx + Seny + Senz = 4Cos x Cos y Cos z 2 2 2 Cosx + Cosy + Cosz = 4Sen x Sen y Sen z + 1 2 2 2

SAN MARCOS

68

Trigonometría


Función Inversa

Función Directa

Dominio (x)

Rango (y)

– ; 2 2

ArcSenx = y

Seny = x

[ –1; 1]

ArcCosx = y

Cosy = x

[ –1; 1]

ArcTanx = y

Tany = x

R

– ; 2 2

ArcCotx = y

Coty = x

R

0; 

ArcSecx = y

Secy = x

R – –1; 1

0;

ArcCscx = y

Cscy = x

R – –1; 1

– ; – 0 2 2

0;

–

2

Propiedades

I) ArcSen(–x) = –ArcSenx ArcCos(–x) = – ArcCosx ArcTan(–x) = –ArcTanx ArcC ot(–x) = – ArcCotx ArcSec(–x) = – ArcSecx ArcCsc(–x) = –ArcCscx III) ArcSen(Seny) = y ArcCos(Cosy) = y ArcTan(Tany) = y ArcC ot(Coty) = y ArcSec(Secy) = y ArcCsc(Cscy) = y

Trigonometría

II) Sen(ArcSenx) = x Cos(ArcCosx) = x Tan(ArcTanx) = x C ot(ArcCotx) = x Sec(ArcSecx) = x Csc(ArcCscx) = x

x Df

x Df

y Df

69

SAN MARCOS


TEMA 10

Solución general

Solución general

Solución general

Sen = a K G = K + (–1) Vp( ) Vp = ArcSen(a)

Cos = a Vp( ) G = 2K V p = ArcCos(a)

Tan = a G = K + Vp( ) Vp = ArcTan(a)

Signos de la RT

Ángulos cuadrantales

( x



Z) (2K  1) 

(4K  1) y 2

(4K  1)

Reducción al primer cuadrante (I)

R.T.(90° ó 270° ) = CoR.T.( ) R.T.(180° ó 360° ) = R.T.( ) 0 90

SAN MARCOS

Reducción al primer cuadrante (II)

R.T.(360°k+ )=R.T.( ) R.T.(2K + )=R.T.( )

70



2K  x

2

R.T. (2K ) = R.T.(0) R.T. (4K + 1) = R.T. 2 2 R.T. (2K – 1) = R.T.( ) R.T. (4K – 1) = R.T. 3 2 2

Trigonometría


Ley de Senos

Ley de Senos

Ley de Senos

 ABC : se cumple

 ABC : se cumple

 ABC : se cumple



SenA = a SenB = b AB 2R 2R

a = b = c = 2R a = 2R SenA SenA SenB SenC R: circunradio b = 2R SenB c = 2R SenC

SenC = c R: circunradio 2R

Ley de Senos

Ley de Senos

C

a

b bSenA A

bCosA

R: circunradio

Ley de Cosenos

 ABC : se cumple

a2 b2 c2 2bcCosA b2 a2 c2 2acCosB c 2  a2  b2  2abCosC

Trigonometría

H c - bCosA B c

Ley de Cosenos

ABC : se cumple 2 2 2 CosA b c a 2bc 2 c 2 b2 a CosB 2ac 2 b2 c 2 a CosC 2ab

71

Ley de Proyecciones

 ABC : se cumple

aCosB + bCosA = c aCosC + cCosA = b bCosc + cCosB = a

SAN MARCOS


Movimiento Rectilíneo Uniforme

d = v.t. Encuentro:

Alcance:

te = d V1 V2

ta = d V1 – V2

Observación

–

Observar bien las unidades y aplicar el factor de conversación Km h

–

 5  = m ; si es necesario  18  s  

Tener en cuenta que la fórmula del tiempo de encuentro y tiempo de alcance son sólo para MRU.

–

SAN MARCOS

Para el tiempo de encuentro y de alcance tener en cuenta que los movimientos son simultáneos.

72

Física


Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

a  Cambio de velocidad Tiempo Vf

Vi at

a

 V  V  d   i f  t  2 

d Vti

Vf V t

1 2 at 2

Vf 2

Vi2 2ad

Observación

–

Observar bien si el movimiento es acelerado o desacelerado para colocar el signo (+); (–), respectivamente en las fórmulas.

–

No importa si el movimiento es horizontal, vertical, oblicuo; si es trayectoria recta y aceleración constante entonces será un MRUV.

–

Tener en cuenta las unidades; generalmente las unidades son en el sistema internacional (S.I.)

Física

73

SAN MARCOS


Elementos y ecuaciones del MVCL

Donde: • v0: velocidad inicial (m/s). • vF: velocidad final (m/s). • g: aceleración de la gravedad (m/s 2). • h: altura (m). • t: tiempo (s). 1.

h = v0t

2.

h=

1 2 2 gt

3.

vF = v0

gt

4.

vF2 = v02

2 gh

Propiedades movimiento completo (subida y bajada)

• En el punto "c" (altura máxima) la velocidad es cero. (VC  0)

• En un mismo nivel la rapidez de subida es igual que la rapidez de bajada. (VB  VD) ; (V A  VE )

• Entre dos niveles el tiempo de subida es igual que el tiempo de bajada. t AB  tDE ;

tBC  t CD ; t AC  t CE

Nota: * se deduce del punto "3"

t sub

tbaj

Hmáx

SAN MARCOS

Vi g Vi2 2g

74

Física


FUERZA Medida de la interacción entre dos cuerpos A distancia Peso (W) W = mg

• • •

Por contacto Fuerza elástica FE = Kx

Otros: - Tensión - Reacción normal - Fricción

  Primera condición de equilibrio: M 0   Segunda condición de equilibrio: M 0  =  =

F

M

o

F

M

o

ANTIHORARIO HORARIO

•

•

Física

75

SAN MARCOS


Dinámica lineal

1° Realizar un DCL. 2° Descomponer las fuerzas en las ejes del movimiento y del equilibrio. 3° Aplicar la 2da ley de Newton en el eje de movimiento.

Las componentes de las fuerzas (eje x) en dirección del movimiento, cumplen la segunda ley. Donde: Fuerzas Fuerzas FR =  a favor  – de “a” en contra de “a”

(

) (

)

Dinámica Circular

FR  1. Segunda Ley de de Newton: Newton: a m   2. F ( F a favor de a ) – ( F en contra de a) R =

3. La acción de un cuerpo sobre otro, no es unilateral. 4. Fcp macp 2 V 5. acp = = W2R R

SAN MARCOS

76

Física


1. WF = F r

2. WNeto = WF

ó (+) : acelerado WNeto = FR r ( –) : desacelerado

3. De la gráfica, se concluye F

0 x1

A1

A3 A2

4. Wmg = mgh

x2 x

WF = A1 – A2 + A3

(+) : baja ( –) : sube

ENERGÍA MECÁNICA 1 1. EC = 2 mv 2

1 2 4. EPe = 2 kx

2. EP = EPe + EPg

5. Si solo actúan fuerzas conservativas la energía mecánica se conserva.

3. EPg = mgh

Física

EMi = EMf

77

SAN MARCOS


 P= 

=

 PHidrostática =

m V

También: PH = . h



=



=

L.g.h

w V

.g

Prensa Hidraúlica

 E=

L g

Vsumergido

F1

F2

h1  E = Wreal – Waparente  E=

L

g

ef

h2

A1

A2

. Vsumergido

g = g – a

F1 A1 h2 = = F2 A 2 h1

ef

ELECTROSTÁTICA Electrización

Fuerza eléctrica

Cuantificación de la carga

Ley de Coulomb

Q =n e Frotamiento

Carga fundamental –19

Inducción

F=

Qf = –1,6 10

C =e

SAN MARCOS

F = Eq Nm2 k=9 C2 q1; q2: cargas d: distancia

Unidades Contacto

K q1 q2 d2

109

= 10 –6 m = 10 –3 c = 10 –2

78

Intensidad de campo eléctrico

Unidad E = KQ2 : N/C d

Física


I= q t

R = V I

R = L A

Si encuentras resistencia en serie. Estos se suman

Si encuentras resistencia en paralelo: como por ejemplo: R 1 R eq = 1 + 1 R 1 R 2

R 1 R 2 R eq = R + R 2 1

R 2

PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF

SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF

I1 + I2 = I3

V = IR

En cualquier conexión o nudo la suma de todas las corrientes que entran debe ser igual a la suma de todas las corrientes que salen.

En cualquier circuito; la suma algebraica de los voltajes de las baterias es igual a la suma de las caidas de potencial (IR) de cada resistencia del circuito.

Potencia disipada en una resistencia

P = VI = I2R = V

2

R

Física

79

SAN MARCOS


Intensidad del campo magnético

B=

Fuerza magnética sobre conductor de longitud "L"

0.

un

F = ILB Sen

2 D

Flujo magnético Espira circular

= BAcos

La inducción magnética en el centro es: Bo =

Fuerza electromotriz inducida (  ) en una barra

oI

= vBL

2R

Fuerza electromotriz inducida en una espira

Fuerza magnética

F = q v Bsen

SAN MARCOS

= –N

80

t

Física




x = ASen(wt)



V = WACos(wt)







w = 2 f = 2



f = 1 2



w = k m



amáx = w2A

k m

a = – W 2ASen(wt)

T =2

m k



a = w 2x



Vmáx = WA

Física

81

SAN MARCOS


ÁTOMO es

la partícula mínima de un elemento que conserva sus propiedades sus partes son

sus partículas fundamentales son

zona extranuclear

núcleo contiene

contiene

protón

neutrón

electrón

carga

carga

carga

positiva

nula

negativa

protones y neutrones principalmente

solamente a los electrones

es

casi vacío

compacta

determina

determina

el volumen atómico

átomo neutro

ion

posee

representación

representación

ubicados en el

ubicado en

núcleo

zona extranuclear

es

la masa del átomo posee

en un

carga negativa

carga positiva

A z

E

#nº = A – Z

se cumple que

E

catión

#p+ = #e – = Z

A q– Z

E

anión

se cumple que

tipos de núclidos

#p+ = Z  #e–

isótopos

isóbaros

isótonos

ejemplo

poseen igual

poseen igual

poseen igual

especie #p+ #e – #n

número atómico

número de masa

número de neutrones

27 3+ 13 Al

13 10 14

ejemplo

ejemplo

ejemplo

33 2– 16S

16 18 17

Ca 40 18 Ar

11 5

12 6

SAN MARCOS

A q+ Z

C

14 6

C

40 20

82

B

14 6

C

Química


CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS NÚMEROS CUÁNTICOS Número cuántico

Principal (n)

Determina para el electrón

orbital

El nivel tamaño principal de oElvolumen energía

Secundario o El subnivel La forma azimutal de energía geométrica (l )

Magnético (ml )

Valores permitidos

Su El orbital o orientación REEMPE espacial

n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...        

K L M N O P Q (Capas)

l =

0, 1, 2, 3, ...(n – 1)    

s p d f

ml = l, ..., 0, ... +l o ml = +l, ..., 0, ... –l Antihorario

Spin no tiene El sentido Magnético significado de rotación (ms)

máximo valor

– 1 ms = +1/2

Horario –

– 1 ms = –1/2

En el átomo actual, el nivel de energía queda definido con n, un subnivel se define con los valores de n y l, un orbital con n, l y ml y un electrón queda definido con n, l , ml y ms.

Química

83

SAN MARCOS


CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA es el

ordenamiento sistemático de los electrones en la zona extra nuclear se basa en principio de exclusión de Pauli

principio de aufbau permite distribuir a través de los subniveles según

distribuir a través de los orbitales de un subnivel para ello

el orden creciente de la energía relativa (ER ) ejemplo

a todos los orbitales se les deja a medio llenar antes de llenarlo ejemplos

F: 1s2 2s2 2p5

9

Er: 1 2 3 otros S = s2 2s2 2p6 3s2 3p4 V = s2 2s2 2p6 3s2 3p5 4s2 3d3 23 16

según Kernel S = Ne 3s2 3p4 V = Ar 4s2 3d3 23

16

permite

permite

a todos los orbitales se les deja a medio llenar antes de llenarlo ejemplos O:      1s 2s 2p x 2p y 2pz

g

Distribuir a través de un orbital estableciendo que en un átomo dos electrones no pueden tener sus 4 números cuánticos iguales ejemplos  He: 1s

2

electrón

n 1 1

ml ms 0 0 ms 0 0 ms l

S: [Ne]:    3s 3p x 3p y 3pz

16

si posee

será

Todos sus electrones apareados

será diamagnético

SAN MARCOS

uno o más electrones desapareados

84

paramagnético

Química


TABLA PERIÓDICA ACTUAL es un

instrumento del ordenamiento sistemático de los elementos en función de

sus números atómicos crecientes en

clasificación

grupos

periodos

Según las propiedades de los elementos

por bloques

como

según la

Conductividad eléctrica

distribución electrónica final

ordena a los elementos

horizontalmente

en columnas

poseen

poseen

igual número de niveles o capas

igual número de electrones de valencia

pueden ser

buena

regular

metal

mateloide no metal

propiedades químicas similares

-

Fe Cu Ag Pb Au

tradicionalmente

-

B Si Ge As Sb

elementos representativos finalizan

ejemplos

presentan

propiedades químicas diferentes

mala

para

-

C H O N S

en subniveles s y/o p elementos de transición finalizan

en subniveles d y/o f

existen 7 periodos y 16 grupos según IUPAC

existen 7 periodos y 18 grupos

Química

85

SAN MARCOS


n e . r s a a l c u i g m e r í u S a q y A m r s o a f C c I n i s í f M e n s Ó í a e s T r a d e a l d a A v e r i S e u p e n o e A q r s p g o C s I t o n s u e s s D n o m r a s e a c Ó I l c i l R e s p E l o x P e e n e S d t i s E a m c r D i p e p A ó c y D s o E r o I i c p P m u r b O u g o R s o P s e d o d i a r d e e p i p n u o r p

SAN MARCOS

) N r u E ( n e s o u a a n i d c r i a l e t u c a a í d e m i e d a h v s d r d u i t e a a s o q e a d p e e i n l g c o c c o e a a t r ú n p m c n l o o e n a t e r c á l t e c e l E

d o a c i d l s n i e o v e i d á t i v e t ) – s a e n e t i o g o m s p e n s r o e s n e p t o d o o r r r c c t t i e á l c i r c á e ( e p a l t l c e e e o o a m t j l a a b

e ) t a n e o t E u n s m p A e r ( e t o e a m u á c l a q a m a c r i l a n o r o e e n í u s f g ó s o a n n r o r r ó e t e e d e s i g c n n a a p e e a g n l n a e u e c o ó d d r d a t a o e c t c i d e b u s l i d e e n m i f a o n c r p e n A u

) I E ( n ó i c a a z i l n s o i e e d a í g r e n E ) A R ( o c a i l m s e ó t a o i d a R

l a e o n i r d ó i t a n m o a s ó t e r á c c t e c n n n l e u u a e e r a d n m i u l m n r e r í o v f i a m t i n y a í u o o g d r q m a i e a l t r l s n a ú i e p a

s s e e n l l a ó a o i i o n i c c c c p ó i a E e u i e t A p r n p m n r s g a s e é e e l t s + ) e n s s o e g x r – ( o d u o s s s e p 1 a e a x o o o r c c t s – n e – e A I c I o – m r e e l V p e y + n ) a u g r A ( a I s x e p I

n u s e

o c i o s m r e é c t o r o P d n e

e l + ) g (

+

x – l E + ) g (

x o a o c i c i n m r m ó i f o ó t o i n a d e o a r e i l i n d a a f r l e a d e a l a p e s g o m e l e u á e q n a s

o c i m r é t o d n e o s e c o r p

. . . . < 3 l E < 2 l E < 1 l E

–

s a o s i c s o m n o s d o a l e o s t a t z c m e á i s i ú o t a d n t n r n o e a i á a s l c p o s e l o a y d e d d r e a d t a n d t i e m

86

e d n o s

n e s n o e v i t i t s a o g c e i l n o á t t r e c e m l o e n

s s a c e i i c n e ó r Z p t s c e l e n a i s n e ó c r e o s l a e v i e i r n A R

Química


ENLACE QUÍMICO

es

la fuerza que une átomos de una sustancia

de naturaleza Electromagnética

Electrostática

llamada

llamada

Enlace iónico o electrovalente

Enlace covalente

se da generalmente entre un metal y un no metal

mediante

transferencia de electrones

excepciones

BrX2, AX3 NH4C, NH4Br ...

Ejemplos: MgO Mg O, CaF CaF2, ... ...

X = halógeno Estructura de Lewis [Mg]2+ [Ca]2+

O 2

F

2+

en 1–

EN: Diferencia

de electronegatividad

Química

Compuestos binarios iónicos

generalmente EN  1,7

87

SAN MARCOS


UNIDADES QUÍMICA DE MASA

Molécula

Átomo

n=

m # átomos = mA N A

n=

m # átomos = N A M m: masa

N A = 6,023 x 1023 Unidades fórmula

n=

m # unidades = fórmula PF

P.F.: peso fórmula

SAN MARCOS

88

Química


ESTADO GASEOSO es

Un estado de agregación de la materia, en la cual las moléculas que lo componen poseen un movimiento caótico.

Variables de estado Propiedades generales A nivel submicroscópico

A nivel macroscópico

– Alta entropía – Grandes distancias intermoleculares – Alta energía

– Expansión – Comprensión – Difusión – Efusión

Volumen es

Temperatura Presión caracteriza se debe a los

Igual a la capacidad del recipiente que lo contiene

La energía choques de cinética las moléculas media de las del gas con la moléculas pared del recipiente

la cual Teoría cinética molecular justifica la Ecuación general de los gases

PV = RTn a través de la cual podemos determinar

P1V1 PV = 2 2 T1 T2 procesos restringidos

WRT=PVM

si, además, una variable de estado es constante

Isotérmico (T=cte.) P1V1=P2V2

Química

participan en la Ecuación universal de los gases

PM = DRT

en condiciones normales (CN) Vgas=nx22,4L

Isobárico (P=cte) V1 V = 2 T1 T2

Isocórico (V=cte) P2 P1 = T2 T1

89

Dgas= M g/L 22,4 P=1atm<>760 mm Hg y T=0ºC <> 273 K

SAN MARCOS


SOLUCIONES

Unidades de concentración

Físicas

%m =

msto x 100 msol

%V =

Vsto x 100 Vsol

Químicas

Molaridad

m M = n = M = 10 x %m x D V V M D: densidad

Normalidad

SAN MARCOS

90

Química


Contracción volumétrica (C.V.):

Rendimiento o eficiencia de la reacción (RR)

RR  CR .100% CT Reactivo limitante (RL): Reactante que se consume totalmente.

Regla práctica de planteo de problemas estequioméetricos

Reactivo en exceso (RE): Reactante que se consume parcialmente.

Regla: coef x M coef. coef x 22,4 L coef x NA coef x NA x subíndice

Porcentaje de pureza:

%Pureza

cantidadsust.pura .100 cantidadmuestra

Química

 Dato:

91









gramos mol vol (CN) moléculas átomo

SAN MARCOS


A. Teoría ácido - base

SAN MARCOS

92

Química


B. Ácidos y bases: Escala de

e –

CÁTODO ( –)

(+) ÁNODO CÁTODO: + +1e Na +

Na C

0

(Reducción)

ÁNODO:

–

NaC (Fundido)

Química

Na

2C

93

–2e –

C

0 2

(Oxidación)

SAN MARCOS


l a i c i f i t r A

A C I N Á G R O s e o d n o A a d b r e C i I p a C l o M r Í P e d U Q

o r u p m I

l a i c i f i t r A

o r u P

SAN MARCOS

a r a t e o d l r o d a a t e a m v m r i i e n e t c l d a d a a n n n n i c ó ó ó ó i n e f b b b í i b l r r r r l u t r a a a a o q o A C C C C H C

l a r u t a N

a l t i a o r c t a a i a u t r l l n b t g r a n u i u N A H L T

o n e r e l l u F

e l t a n r o a u t t i a f m a N a r i F D

94

Química


Química

95

SAN MARCOS


s o c i t á m o r A

s o s u

S O R U B R A C O R D I H

n o s

s e l a e r u d t s a e n t n n i e ó u c f a e l b o

SAN MARCOS

, a e l i m r b i t p a a s i c i u r e m b t a í m m u q o y o r c e t t e n p o e l v a l m a o s r o i a C d p

s r o o o n i r p e a g n ó i r b s d s o i o h t s d e e a o u n p m o m r b o o r a C f c

l a r u o t e l a ó a r n l t s l e a u p g h - - -

o l p m e j e

o o ) o n ) n e 9 n ) l e 8 1 e 6 a H c H c H t 0 a r 4 n 6 f 1 t 1 e C a C n C b ( n ( a ( -

s o c i l c í c i l A

n ó i c a c i f i s a l c

s o c i t á f i l A

s o c i l c í c A

s o n e u q l a o l c i C

l 3 a b o n l g ; a 2 l – u n 2 m r H ó n f

s o n a c l a o l c i C

l a 3 b o l g n a ; l n u 2 m r H n ó f C

s o d a r u t a s n I

s o d a r u t a S

96

o l p m e j e

o o n o n e n t e p t e n o ) r ) u ) 6 e 8 p 4 b H p H H o o o l l l 3 c 4 c 5 c C i i i C c ( c C ( c ( -

o l p m e j e

o o n o n a n t a p t a n ) o r ) u ) e 0 8 6 p b p 1 H H l o o H l o l 5 3 c 4 c c i C i C i C c ( c ( c ( -

C

o s o c s i o n n é i i u l t q l e A c a

l 2 a b o l g n ; a 2 l – n u 2 m r H n ó f C

) 4 ) 6 H ) 2 3 H 4 o H C l ( C p 2 ( m C ( o n o e o i j n i e n p t o i t r u e p b - - -

u s s o o i c n n e í u f e q l l A o

l a b 2 o l g n a ; l n u 2 H m n r C ó f

) 6 ) 8 H ) 4 3 H 4 C o H ( C l 2 p C o ( m ( n o e o e n j p t e e n e o r u t e p b - - -

o s o c s i o í n n f a a c r l A a p

) 8 ) l 1 H 4 ) a 6 3 H H b C o n l o C ( l 2 ( g ; p C o ( o a 2 n l + m e n a o u n j a 2 e t n p m r H a o e t r n ó f C m e p - - -

Química


ALQUENOS U OLEFINAS Son compuestos que en su estructura, presentan por lo menos un enlace doble (2 átomos de carbono con hibridación sp22)), siendo una sustancia químicamente activa. El doble enlace carbono-carbono es una unidad estructural y un grupo funcional importante en la química orgánica, el doble enlace es el punto donde los alquenos sufren la mayoría de las reacciones.

Ejemplos:

ALQUINOS O ACETILENICOS Son hidrocarburos acíclicos insaturados o compuestos que en su estructura presenta por lo menos un enlace triple. Los átomos de carbono del grupo funcional (enlace triple) poseen hibridación sp.

Química

97

SAN MARCOS


Ejemplo: Alquino

Fórmula global

Etino

C2H2

Propino

C3H4

C4H 6 Butino

(Posee 2 isómeros de posición)

Fórmula semidesarrollada

CH CH CH

CH C

CH3

C CH2 CH 3 But 1

ino

CH 3 C C CH 3 But 2

ino

Fórmula desarrollada

H C

C H

H H C C C H H H H H C C C C H H H H H H C C C C H H H

ALQUENINO CnH2n + 2 – 2d – 4t Donde: n: número de carbonos d: número de enlaces dobles; t: número de enlaces triples. Cuando en la cadena carbonada hay doble y triple enlace simultáneamente, la numeración de la cadena principal se hace en base al doble enlace y la terminación usada es enino.

SAN MARCOS

98

Química


Condensador Gas de refinería

Separador de gas vapores

reflujo

Líquido Bomba Burbujeador Tanque de petróleo

o t n e i m a n o i c c a r f e d a n m u l o C

Gasolina

Agua

Vapor Líquido

Vapor Vapor

Kerosén Rectificadores

Horno

Bomba

Gasolina o diesel Crudo reducido

Bomba

Química

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l Métodos mecánicos a r (concentra el e n i mineral) m l Métodos Químicos e d (mineral n ó concentrado) i c a r Electrometalúrgicos a p (mineral e r P concentrado)

Trituración, molienda, pulverizado – Tamización – Levigación (oro) Flotación (sulfuros) Tostación Calcinación Reducción

 de sulfuro a óxido con corriente de aire  de CO3= a óxido en ausencia de aire  óxidos + C = CO2 + metal

Húmeda (Na) Seca (Na, K, Mg, Al) Electrotérmicos Hornos de arco voltáico 2800 - 3000°C es una reducción Electrólisis

Hematita Fe O

2 3 s e l Limonita  Fe2O3 + 3.H2O a r Magnetita  Fe O .FeO 2 3 e n i Siderita  FeCO3 M

Pirita

 FeS

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Química

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