Formulario de matemáticas aplicadas

Ing. Manuel Zamarripa Medina

Formulario de Matemáticas 2011

FORMULARIO DE MATEMÁTICAS ax x y  a y a

Ing. Manuel Zamarripa Medina Academia de Matemáticas CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLÓGICOS Industrial y de Servicios 33

1



Índice Contenido Pagina Operaciones aritméticas y teorema del binomio ------------------------------------3 Áreas y volúmenes --------------------------------------------------------------------------4 Símbolos matemáticos ----------------------------------------------------------------------- 5 Leyes de los exponentes -------------------------------------------------------------------6 Productos notables --------------------------------------------------------------------------- 6 Radicales ----------------------------------------------------------------------------------------- 6 Cambio de notación radical a potencia -------------------------------------------------- 6 Logaritmos --------------------------------------------------------------------------------------- 7 Factorización de polinomios ----------------------------------------------------------------- 8 Ecuación general de segundo grado ------------------------------------------------------- 8 Relaciones trigonométricas ------------------------------------------------------------------ 8 Identidades trigonométricas ----------------------------------------------------------------- 9 Teorema de Pitágoras -------------------------------------------------------------------------- 10 Funciones trigonométricas de dos ángulos ----------------------------------------------- 10 Fórmulas para el ángulo duplo -------------------------------------------------------------- 10 Fórmulas para el ángulo mitad -------------------------------------------------------------- 10 Valores de las funciones trigonométricas ------------------------------------------------ 10 Triángulos oblicuángulos ---------------------------------------------------------------------- 11 Fórmula de Herón de Alejandría para determinar el área de un triángulo ------- 11 Coordenadas cartesianas y polares en el plano ----------------------------------------- 11 Distancia entre dos puntos ------------------------------------------------------------------- 11 Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón dada --------------- 11 Coordenadas del punto medio -------------------------------------------------------------- 11 Pendiente de una recta ------------------------------------------------------------------------ 12 Ángulo entre dos rectas ----------------------------------------------------------------------- 12 Cálculo del área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices 12 Formas de la ecuación de la línea recta ---------------------------------------------------- 12 Ecuación de la circunferencia ----------------------------------------------------------------- 13 Parábola -------------------------------------------------------------------------------------------- 13 Elipse ------------------------------------------------------------------------------------------------ 13 Hipérbola ------------------------------------------------------------------------------------------- 14 Rotación de ejes --------------------------------------------------------------------------------- 15 Análisis de la ecuación general de segundo grado --------------------------------------- 16 Progresión aritmética --------------------------------------------------------------------------- 16 Progresión Geométrica ------------------------------------------------------------------------- 16 Fórmulas de derivación ------------------------------------------------------------------------- 17 Máximos y mínimos relativos utilizando la primera y segunda derivadas ---------- 18 Fórmulas de integración inmediata ---------------------------------------------------------- 19 Integración por partes -------------------------------------------------------------------------- 20 Integral definida ---------------------------------------------------------------------------------- 20 Volúmenes de sólidos de revolución -------------------------------------------------------- 20 Graficas de funciones elementales ---------------------------------------------------------- 20 Alfabeto griego ------------------------------------------------------------------------------------ 22 2



Operaciones aritméticas

Teorema del binomio

Dónde: 𝒏 𝒌

𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 !

Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:

Triángulo de Pascal Indica los coeficientes en el desarrollo de un binomio elevado a la enésima potencia. Por ejemplo observa que para (x + y)3 los coeficientes del desarrollo son: 1, 3, volúmenes 3, 1; loÁreas mismoy que en el triángulo.

3



Áreas y volúmenes

AB = área base

a = apotema

h = altura

g = generatriz

P = perímetro

n = nº de grados 4



Símbolos matemáticos



 

menor o igual que mayor o igual que



no pertenece a



para todo

>

mayor que

U

conjunto universal



incremento

<

menor que

=

igual a



diferente de

2  B 2 pertenece a B

tal que A B



A es subconjunto de B no es subconjunto de



aproximado a



conjunto vacío



infinito



unión





 k

 n 1

 k

intersección

intervalo abierto

[ ] ]

 n



suma

intervalo cerrado intervalo semi abierto ó semi cerrado intervalo semi abierto ó semi cerrado

[

derivada

1

Conjunto de los números reales

por lo tanto

integral

b

 dx

suma desde 1 hasta k

a

integral definida entre a y b

producto

a

 b a implica b

producto desde 1 hasta k

a

b

Raíz enésima

a b

b implica a

si y solo si (a implica b y b implica a)

5



Leyes de los exponentes: a x a y a z  a x y z ax  a x y y a am  a mm  a 0  1 m a 1 a m  m a (a m ) n  a mn (ab) n  a nb n n

an a    bn b a   b

n

b   a

n

Productos notables: ( x  a)( x  b)  x 2  (a  b) x  ab ( x  y ) 2  x 2  2 xy  y 2 ( x  y ) 2  x 2  2 xy  y 2

( x  y )( x  y )  x 2  y 2 (ax  by)( cx  dy)  acx 2  (ad  bc) xy  bdy 2 ( x  y ) 3  x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3 ( x  y ) 3  x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3

Radicales: b  n ab

n

a

n

a

n

b

n

an  a

n

n

a b

b0

Cambio de notación radical a potencia: n

a m  a m / n  (a m )1 / n  (a1 / n ) m

√ 6



Logaritmos Logaritmo de un número es el exponente a que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado; En:

102 = 100

Siendo la base 10, el logaritmo de 100 es 2, porque 2 es el exponente a que hay que elevar la base 10 para que de 100.

Generalmente se utilizan dos sistemas de logaritmos: a) Sistema de logaritmos vulgares o de base 10, y b) Sistema de logaritmos naturales o neperianos, cuya base es el número irracional e = 2.71828… Notación para los logaritmos. Para distinguir los logaritmos vulgares de los naturales, cuando la base no se indica, se usa:

Loga u = Log u = log u loge u = ln u

(Logaritmos vulgares) (Logaritmos naturales)

Reglas de los logaritmos de cualquier base: 1)

log AB = log A + log B

2)

log

3)

log An = n log A

4)

log

5)

en todo sistema el logaritmo de la base es 1.

log A – log B =

log 10 = 1 ; porque: 101 = 10 ln e = 1 ; porque: e1 = e

7



Factorización de polinomios: ax  ay  az  a( x  y  z )

x 2  y 2  ( x  y )( x  y ) x 2  (a  b) x  ab  ( x  a)( x  b) x 2  2 xy  y 2  ( x  y ) 2

x 2  2 xy  y 2  ( x  y ) 2

acx 2  (ad  bc) xy  bdy 2  (ax  by)( cx  dy) x 3  y 3  ( x  y )( x 2  2 xy  y 2 )

x 3  y 3  ( x  y )( x 2  2 xy  y 2 )

Ecuación general de segundo grado

x

 b  b 2  4ac 2a

Relaciones trigonométricas C .O HIP. C . A. COS A= HIP. C.O. TAN. A= C. A. C. A. COT. A= C.O. HIP. SEC. A= C . A. HIP. CSC. A= C .O. SEN A=

HIP CO

A CA

A = ángulo CA = cateto adyacente CO = cateto opuesto HIP = hipotenusa

8



Identidades trigonométricas: Identidades reciprocas 1 CSC. A 1 2.- COS A= SEC. A 1 3.- TAN A= COT. A 1 4.- COT A= TAN. A 1 5.- SEC A= COS. A 1 6.- CSC A= SEN A 1.- SEN A=

7.- TAN A=

8.- COT A=

9



Teorema de Pitágoras: a2  b2  c2 c

√

a

√ √

b

Funciones trigonométricas de dos ángulos:

Valores de las funciones trigonométricas

sen(a  b)  sena cosb  cos asenb cos(a  b)  cos a cosb  senasenb cot(a  b) 

cot a. cot b  1 cot a  cot b

sen(a  b)  sena cosb  senb cosa

cos(a  b)  cos a cosb  senasenb tan(a  b) 

tan a  tan b 1  tan a tan b

cot(a  b) 

cot a cot b  1 sen 2a  2 sen a cosa cot b  cot a

Fórmulas para el ángulo duplo: cos2a  cos2 a  sen 2 a 2 tan a 1  tan 2 a cot 2 a  1 cot2a= 2 cot a tan 2a 

Fórmulas para el ángulo mitad: cos

a 1  cos a  2 2

sen

a 1  cos a  2 2

tan

a 1  cos a  2 1  cos a 10



Triángulos oblicuángulos: Ley de los senos: a b c   sen A sen B sen C

C C

Ley de los cosenos: a 2  b 2  c 2  2bc cos A b 2  a 2  c 2  2ac cos B c 2  a 2  b 2  2ab cosC

b

A

a a

c

b B

A

c

B

Fórmula de Herón de Alejandría para determinar el área de un triangulo: A  s(s  a)(s  b)(s  c) s

Siendo s = semiperimetro

abc 2

Coordenadas cartesianas y polares en el plano X  r cos Y  r sen r  x2  y2 y   tan 1 x

Distancia entre dos puntos: d  ( y 2  y1 ) 2  ( x2  x1 ) 2

Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón dada: x  x1  r ( x 2  x1 ) y  y1  r ( y 2  y1 )

Coordenadas del punto medio: Xm 

x1  x2 ; 2

Ym 

y1  y2 2 11



Pendiente de una recta: m

y 2  y1 x 2  x1

Ángulo entre dos rectas tan 

m 2  m1 1  m 2 m1

Cálculo del área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices.

A=1 2

x1 x2

y1 y2

x3

y3

x1

y1

+ + +

Para cualquier número de vértices. Recuérdese que la primera fila se repite en la última; El área así obtenida es:

A = ½ (x1y2 + x2y3 + x3y1 – x1y3 – x3y2 – x2y1) Formas de la ecuación de la línea recta: a) Punto – Pendiente:

y  y1  m( x  x1 ) b) Pendiente - Ordenada en el origen:

y  mx  b c) Cartesiana: y  y1 y 2  y1  x  x1 x 2  x1

d) Reducida o abscisa y ordenada en el origen:

x y  1 a b 12



e) Forma general de la ecuación de la recta: Ax + By + C = 0 f) Forma normal de la ecuación de la recta:

x cos w  y sen w  p  0 g) Dada la ecuación de la recta en su forma general, determinar la ecuación en su forma normal: AX 

A B 2

2



BY 

A B 2

2



C 

A  B2

0

h) Distancia de un punto a una recta: d

Ax1  By1  C  A2  B 2

Ecuación de la Circunferencia con centro (h,k). ( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2

Forma general de la ecuación de la Circunferencia.

x 2  y 2  Dx  Ey  F  0 Parábola con vértice en el origen.

y 2  4 px

x 2  4 py

LR  4 p

LR= 4 p Directriz Y  P

Directriz X  P

Parábola con vértice (h,k). ( y  k ) 2  4 p ( x  h) 2

( x  h) 2  4 p ( y  k )

P=FV 4P Directrices: (dependen de la distancia del vértice al foco). LR=

Elipse con centro en el origen: x2 y2  1 a2 b2 13



VÉRTICES ( a,0); FOCOS (c,0) LR=

a2  b2 1 a

2b 2 c ;e   a a

y2 x2  1 a2 b2

VÉRTICES (0, a); FOCOS (0,c) LR=

a2  b2 1 a

2b 2 c ;e   a a

Para ambas, se cumple con: a2  b2  c2 Elipse con centro (h,k) ( x  h) 2 ( y  k ) 2  1 a2 b2

VÉRTICES (h  a, k ); FOCOS (h  c, k ) ( y  k) ( x  h)  1 2 a b2 2

2

VÉRTICES (h, k  a); FOCOS (h, k  c) Para ambos casos, el lado recto y la excentricidad se calculan con las mismas expresiones que en elipse con centro en el origen.

Hipérbola Con Centro En El Origen: x2 y2  1 a2 b2

VÉRTICES ( a,0); FOCOS (c,0) b ASÍNTOTAS: y   x a y2 x2  1 a2 b2

VÉRTICES (0, a); FOCOS (0,c) 14



a ASÍNTOTAS: y   x b Para ambas hipérbolas con centro en el origen, se cumple lo siguiente: c 2b 2 c  a  b ; LR  , e  a a 2

2

a2  b2 , a

Hipérbola con centro (h,k) ( x  h) 2 ( y  k )  1 a2 b2 2

VÉRTICES (h  a, k ); FOCOS (h  c, k ) ASÍNTOTAS:

xh yk  0 a b

( y  k ) 2 ( x  h)  1 a2 b2 2

VÉRTICES (h, k  a); FOCOS (h, k  c) ASÍNTOTAS ;

yk xh  0 a b

Para ambas hipérbolas se cumple con las mismas expresiones utilizadas en la construcción de hipérbolas con centro en el origen.

Rotación de ejes: Los ejes 0X y 0Y son los ejes primitivos y 0X’ y 0Y’ los nuevos ejes, siendo 0 común a ambos sistemas; θ representa el ángulo de rotación. Suponiendo que (x, y) son las coordenadas de un punto P con respecto a los ejes primitivos, y (x’, y’) las coordenadas del mismo punto, respecto de los nuevos ejes. Para determinar x,y en función de x’, y’, θ, se tiene:

Y’

X

P(x,y) (x’, y’)

ᶿ Y

Y’

Relaciones de rotación:

ᶿ

X  X ' cos  Y ' sen

Y  X ' sen  Y ' cos

0

M

N 15



Análisis de la ecuación general de segundo grado por medio de su discriminante (I).

Representa una cónica del genero parábola, elipse o hipérbola, según que el discriminante I = B2 – 4AC sea cero, negativo o positivo.

B 2  4 AC  0

(Parábola)

B 2  4 AC 0

(Elipse)

B 2  4 AC  0

(Hipérbola)

Progresiones: Una sucesión de números es un conjunto ordenado de números formados de acuerdo con una ley dada. El requisito esencial para que exista una sucesión es que exista una ley o formula con la cual sea posible obtener cualquier elemento de la sucesión.

Progresión aritmética: Una progresión aritmética es una sucesión de números tal que cada uno de los términos posteriores al primero se obtiene añadiendo al término anterior un número fijo llamado diferencia de la progresión. Teorema 1: Si en una progresión aritmética a1 es el primer término, Tn es el enésimo término, d es la diferencia y Sn es la suma de los n primeros términos, entonces tenemos las dos relaciones independientes.

Tn  a1  (n  1)d Sn 

n (2a1  (n  1)d ) 2

Progresión geométrica: Una progresión geométrica es una sucesión de números tal que cualquier término posterior al primero se obtiene multiplicando el término anterior por un número no nulo llamado razón de la progresión. Teorema 2: si en una progresión geométrica a1 es el primer término, Tn es el enésimo término, r es la razón y Sn es la suma de los n primeros términos, entonces tenemos las dos relaciones independientes.

Tn  ar n1 Sn 

a  ar 1 r

Sn 

a (1  r n ) ; SI r<1 1 r 16



Fórmulas de derivación: d (c )  0 dx d ( x)  1 2.dx d d d d (u  v  w)  (u )  (v)  ( w) 3.dx dx dx dx d du (cu)  c 4.dx dx d dv du (uv)  u v 5.dx dx dx du dv v u d u dx dx Con v ≠ 0 6.  dx  v  v2 d  u  1 du 7.  dx  c  c dx d  c   c du 8.  dx  u  u 2 dx d n Con n ≠ -1 ( x )  nx n1 9.dx d n du Con n ≠ -1 (u )  nu n1 10.dx dx d 1 du (log u )  log e 11.dx u dx d 1 du (ln u )  12.dx u dx d u du (a )  a u ln a 13.Con a > 0 dx dx d u du (e )  e u 14.dx dx d du ( senu )  cosu 15.dx dx d du (cosu )  senu 16.dx dx d du (tan u )  sec2 u 17.dx dx d du (cotu )   csc2 u 18.dx dx d du (secu )  sec u tan u 19.dx dx d du (cscu )   cscu cot u 20.dx dx 1.-

17



d 1 du (arcsenu )  2 dx 1  u dx d  1 du 22.(arccos u )  dx 1  u 2 dx d 1 du (arctanu )  23.dx 1  u 2 dx d  1 du (arc cot u )  24.dx 1  u 2 dx du d 1 25.(arc sec u )  dx u u 2  1 dx d 1 du 26.(arc csc u )  dx u u 2  1 dx 21.-

27.-

derivada de una función de función

Máximos y mínimos relativos utilizando la primera y segunda derivadas Un máximo y un mínimo no son necesariamente el mayor ni el menor valor de la función, por eso se les denomina relativos, porque no son los de mayor o menor ordenada de la grafica completa de la función.

Existen dos procedimientos para obtener los máximos y mínimos relativos: A. Criterio de la primera derivada 1) Se calcula la primera derivada 2) El resultado se iguala a cero y se resuelve la ecuación, las raíces x1, x2, x3,... Son los valores críticos, para los cuales la función puede tener un máximo, un mínimo, o no existir ninguno de los dos. 3) Analizamos en f ´ (x); sea la raíz x1 ; si para un valor de x < x1 se tiene que f ’ (x) es (+) , y para un valor de x>x1 f ’ (x) es (-) , la función tiene un máximo. Si pasa de negativa a positiva, la función tiene un mínimo. En forma semejante se analizan las otras raíces. 4) Si la derivada pasa de positiva a positiva o de negativa a negativa, no existe en ese punto un máximo o mínimo. 5) Para calcular la coordenada “y” de los puntos críticos, se sustituyen los valores de x en la función original. B. Criterio de la segunda derivada 1) Se hallan primera y segunda derivada 2) Se iguala a cero la primera derivada y se resuelve la ecuación. 3) se sustituyen las raíces de la primera derivada en la segunda, si la segunda derivada es negativa, existe máximo, si ésta es positiva, existe un mínimo. 4) Los valores máximo y mínimo de la función se calculan sustituyendo en la función las raíces de la primera derivada. 5) Si la segunda derivada es cero, nada se puede decir sobre si habrá máximo o mínimo, o no habrá ni máximo ni mínimo. 18



Fórmulas de integración inmediata 1.-

 (u  v  w)dx   udx   vdx   wdx

2.-

 audx  a udx

3.-

 du  u  c n  u du 

4.-

siendo a = constante

ó también

u n 1 c n 1

 dx  x  c

con n ≠ -1

du  ln u  c u au u 6.-  a du  c ln a u u 7.-  e du  e  c 5.-



 sen u du   cosu  c 9.-  cosu du  senu  c 10.-  sec u du  tan u  c 11.-  csc u du   cot u  c 12.-  sec u tan u du  sec u  c 13.-  cscu cot u du   cscu  c 14.-  tan u du  ln sec u  c 15.-  cotu du  ln sen u  c 16.-  secu du  ln secu  tan u  c 17.-  cscu du  ln cscu  cot u  c du 1 u  arc tan  c 18.-  a u a a 8.-

2

2

2

2

du 1 ua  ln c 2 a 2a u  a du 1 au 20.-  2  ln c 2 a u 2a a  u u du 21.-  = arc sen  c 2 2 a a u 19.-

u

22.-



23.-



2

du u a 2

2

 ln u  u 2  a 2  c

1 1 u a 2  u 2 du  u a 2  u 2  a 2arc sen  c 2 2 a 19



1 1 u u 2  a 2  a 2 ln u  u 2  a 2  c 2 2 du 1 u 25.-   arc sec  c a a u u2  a2 du 26.-   ln u  u 2  a 2  c 2 2 a u 1 1 2 2 2 2 2 2 2 27.-  u  a du  u u  a  a ln u  u  a  c 2 2 24.-



u 2  a 2 du 

Integración por partes

 udv  uv   vdu Integral definida



b

a

f ( x)dx  F (b)  F (a)

F(x) es la Primitiva

Volúmenes de sólidos de revolución b

V    y 2 dx a

Alrededor del eje x

b

V    x 2 dy a

Alrededor del eje y

Graficas de funciones elementales y

Lineal Constante

y=3

La gráfica es una línea Forma: y = k con pendiente 0 y es Siendo k una constante paralela al eje de las “x” Ejemplo: y = 3

x

y

Lineal Identidad Para cada número real, la función tomara el Forma: y = x mismo valor, su pendiente siempre será 1 (ángulo de 45°) y pasa por el origen.

y=x

x

20



y = 2x - 3

Lineal

Forma: y = mx + b

Pendiente – Ordenada al Origen

Siendo: m = pendiente b = ordenada al origen Ejemplo: y = 2x - 3

Cuadrática Se expresan mediante un polinomio de segundo grado y se representan gráficamente mediante parábolas.

Forma: y = ax2 + bx +c

y = 2x2 + 3x + 5

Ejemplo: y = 2x2 + 3x + 5

Polinómica de 3er Grado

y = x3 + 2x

Se expresan mediante 3 2 un polinomio de tercer y = ax + bx + cx + d grado, estas funciones tienen como dominio y Ejemplo: rango al conjunto de los y = x3 + 2x números reales

Formas: y = log x y = ln x

y = ln x

Logarítmica

Ejemplo: y = ln x

21


Formas: y = ax y = ex


y = ex

Exponencial

Ejemplo: y = ex

y = sen x

y = cos x Trigonométricas Directas

y = tan x

Alfabeto griego Se presenta el alfabeto griego: las tres columnas representan las mayúsculas, minúsculas y nombre.

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