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FORMULARIO Matemáticas II
(2º de Bachillerato) Bachillerato) ALGEBRA Se llama llama matriz matriz de dimensión m x n a un conjunto de números reales MATRICES. DEFINICION: Se dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma:
a11 a12 a21 a22 A = a31 a32 ... ... am1 am2
a13 a23 a33
... a m3
... ... ... .. . ...
a1n
a2 n a3 n
...
amn
TIPOS DE MATRICES: Matriz rectangular (matriz fila, matriz columna)
Matriz cuadrada ( Matriz triangular superior, Matriz triangular inferior, Matriz triangular, Matriz diagonal, Matriz escalar, e scalar, Matriz identidad, Matriz nula) RANGO DE UNA MATRIZ : Número de filas o columnas linealmente independientes. Es el orden del mayor menor complementario distinto de cero. OPERACIONES CON MATRICES t
MATRIZ TRASPU TRASPUESTA ESTA (A )
a11 a12 a13 A = a21 a 22 a 23 a 31 a32 a33
Propiedades:
a11 a21 a31 t = a12 a22 a32 A a 13 a23 a33
1.-) (At)t = A 2.-) (A+B)t = At+Bt 3.-) (kA)t = kAt 4.-) (AB)t = BtAt 5.-) |At| = |A|
Matriz simétrica: A simétrica si At = A (aij=a ji) Matriz antisimétrica: A antisimétrica (o hemisimétrica) si A t = -A (a ij =-a ji)
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MATRIZ OPUESTA (-A)
a11 a12 a13 A = a21 a 22 a 23 a a 31 32 a33
− a11 − a12 − a13 − A = − a 21 − a 22 − a 23 − a 31 − a 32 − a 33
PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR (kA) = k(aij) = (kaij)
a11 a12 a13 A = a21 a22 a 23 a 31 a32 a33
k a11 ka12 k a31 kA = k a21 ka22 ka 23 ka ka ka33 32 31
A ∈ Μ (m, n)
(kA) ∈ Μ (m, n)
SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES (A±B) = (aij) ±(bij)
a11 a12 a13 A = a 21 a22 a 23 a a 31 32 a33
b11 b12 b13 B = b21 b22 b23 b b 31 32 b33
A ∈ Μ (m, n)
B ∈ Μ ( m, n)
a11 ± b11 A ± B = a 21 ± b21 a ±b 31 31
a12 ± b12
a13 ± b13
a 22 ± b22
a 23 ± b23
a32 ± b32
a 33 ± b33
( A ± B ) ∈ Μ (m, n)
PRODUCTO DE MATRICES (AxB)
a11 a12 a13 A = a 21 a22 a 23 a a 31 32 a33
b11 b12 b13 B = b21 b22 b23 b b 31 32 b33
A ∈ Μ (m, n)
B ∈ Μ (n, p)
a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 AxB = a21 b11 + a 22 b21 + a 23 b31 a b +a b +a b 31 11 32 21 33 31
a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 a 21 b12 + a22 b22 + a23 b32 a31 b12 + a32 b22 + a33 b32
a11 b13 + a12 b23 + a13 b33
a 21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + + a31 b13 a32 b23 a33 b33
( AxB) ∈ Μ (m, p)
El producto de matrices no es conmutativo
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ACADEMIA TAMARGO, S.L. DETERMINANTES REGLA DE SARRUS (Resolución de determinantes de 2º y 3er orden).
a11
a12
a21
a22
= a11 a22 - a12 a21
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23 = a11 a 22 a33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32 - a11 a 23 a 32 - a12 a 21 a 33 - a13 a 22 a 31
a31
a 32
a 33
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.-
det(A) = det(At) det(F1,F2,…,kFi,…,Fn) = k. det(F1,F2,…,Fi,…,Fn) det(F1,F2,…,Fi+Fi’,…,Fn) = det(F1,F2,…,Fi,…,Fn) + det(F1,F2,…,Fi’,…,Fn) det(A.B) = det(A).det(B) det(F1,F2,…,Fi,…,F j,…,Fn) = - det(F1,F2,…,F j,…,Fi,…,Fn) det(F1,F2,…,Fi,…,Fi,…,Fn) = 0 det(F1,F2,…,Fi,…,kFi,…,Fn) = 0 det(F1,F2,…,0,…,Fn) = 0 det(F1,F2,…,Fi,…,F j,…,αFi+βF j,…,Fn) = 0 det(F1,F2,…,Fi,…,Fn) = det(F1,F2,…,aF1+bF2+Fi,…,Fn) det(kA) = kn det(A)
Menor complementario ( αij) : El menor complementario del elemento a ij de una matriz cuadrada A, de orden n, es el determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j. i+j Adjunto (Aij) : Aij = (-1) .αij
MATRIZ ADJUNTA (Ad)
a11 a12 a13 A = a21 a 22 a 23 a 31 a32 a33
a22 a32 a12 d A = a32 a12 a22
a 23
a21
a23
a 21
a33
a31
a33
a31
a13
a11
a13
a33
a31
a33
a31
a11
a13
a11
a21
a23
a 21
a13 a 23
-
-
-
a11
a22
a32 a12 a32 a12 a22
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ACADEMIA TAMARGO, S.L. MATRIZ INVERSA (A-1)
A·A-1=A-1·A=I A
−1
( A ) =
d t
A
La condición necesaria y suficiente para que A sea inversible (matriz regular) es que: - A sea cuadrada - Rg(A) =Orden(A) ⇒ A ≠ 0 Matriz singular es una matriz no inversible. 1.-) (A-1)-1 = A 2.-) (At)-1 = (A-1)t 3.-) (kA)-1 = k-1A-1 4.-) (AB)-1 = B-1A-1 5.-) |A-1| = 1/|A|
Propiedades:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATRICES ASOCIADAS A UN SISTEMA DE ECUACIONES A B C M = A′ B ′ C ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ A B C
A x + B y + C z = D
′ = D′ ; A′ x + B′ y + C z ′ + B ′ y ′ + C ′ z ′ = D′′ A′ x
A B C D ∗ ′ ′ ′ ′ = A B C D M ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ A B C D
M : Matriz de los coeficientes
M* : Matriz ampliada
EXPRESION MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES A B C x D A′ B ′ C ′ ⋅ y = D' A′′ B ′′ C ′′ z D' '
A x + B y + C z = D
′ = D′ A′ x + B′ y + C z ′ + C ′ z ′ = D′′ A′′ x + B ′ y
M
X=B
B: Matriz de los términos independientes TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS Un sistema de ecuaciones lineales es compatible (tiene solución) ⇔ Rg(M)=Rg(M*) Casos: Rg M = Rg M* = nº incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO (solución única). Rg M = Rg M* < nº incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (infinitas soluciones). Rg M ≠ Rg M*: SISTEMA INCOMPATIBLE (no tiene solución).
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SISTEMAS HOMOGENEOS A x + B y + C z = 0
′ + B y ′ + C z ′ =0 A x ′ + B′ y ′ + C ′ z ′ = 0 A′ x
A B C M = A′ B ′ C ′ A′′ B ′′ C ′′
Rg M = nº incógnitas: SOLUCION TRIVIAL (x = y = z = 0). Rg M < nº incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO. METODOS DE RESOLUCIÓN Método de Gauss: triangulación de la matriz ampliada. Método matricial o de la matriz inversa. ( M X = B → X = M-1 B ). Regla de Cramer.
ANALISIS LÍMITES Y CONTINUIDAD INDETERMINACIONES. RESOLUCION. k 0 ∞ 0 ∞ (0 ⋅ ∞ ) (∞ − ∞) (1 ) (∞ ) 0 0 ∞
(0 0 )
k : Cálculo de límites laterales. 0 0 : En funciones racionales, descomponer en producto de factores el numerador y el denominador, y simplificar. 0 0 (∞-∞ ) : En funciones irracionales, multiplicar y dividir la función por la expresión radical conjugada. 0 ∞ : Dividir numerador y denominador por la potencia máxima del denominador. ∞
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. f(x) es continua en x=x 0 si:
1) ∃ f ( x0 ) 2) ∃ lim f ( x) ⇒ lim− f ( x) = lim+ f ( x) x→ x0
x → x0
x→ x0
3) f ( x0 ) = lim f ( x) x→ x0
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ACADEMIA TAMARGO, S.L. TEOREMA DE WEIERSTRASS Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], tiene máximo y mínimo en ese intervalo.
TEOREMA DE BOLZANO Sea una función que verifica: 1) f(x) continua en [a,b] 2) f(a)·f(b) < 0 entonces existe un c ∈ (a,b) tal que f(c) = 0
TEOREMA DE DARBOUX Si una función es continua en el intervalo [a,b], la función toma en ese intervalo todos los valores comprendidos entre el máximo y el mínimo.
DERIVACION. PROPIEDADES LOCALES DE FUNCIONES Y OPTIMIZACIÓN DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN DERIVADA
f ′( x0 ) = lim h→0
f( x0 + h) - f( x0 ) h
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA El valor de la función derivada en un punto de la función f(x) es la pendiente de la recta tangente a esa función en dicho punto m = f ' ( x0 ) La ecuación de la recta tangente en el punto ( x 0 , f(x0) ) es: y − f ( x0 ) = f ' ( x0 ) ( x − x 0 )
DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f(x) es derivable en x=x 0 si: lim
h→0
−
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h
= lim+ h→ 0
f ( x0 + h) − f ( x0 ) h
⇒
f ' ( x 0 ) = f ' ( x0 ) −
+
Toda función derivable en un punto es continua en ese punto. Toda función no continua en un punto es no derivable en ese punto. Formulario de Matemáticas - 2º BCN - 2 BT -
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ACADEMIA TAMARGO, S.L. REGLA DE LA CADENA (Derivada de la función compuesta) ( g o f ) ′( x) = g ′( f ( x)) ⋅ f ′( x) TABLA DE DERIVADAS
TABLA DE DERIVADAS v = g ( x)
u = f ( x)
y´=
n ⋅ u´
y = k
y´= 0
y = x m
y´= mx m
−1
y = sen u
y´= u´⋅ cos u
y´= kmx
m −1
y = cos u
y´= −u ⋅´sen u
y = tg u
y´= u´⋅ sec 2 u
y = cot g u
y´= −u´⋅ cos ec 2 u
y = sec u
y´= u´⋅ sec u ⋅ tg u
y = cos ec u
y´= −u´⋅ cos ec u ⋅ cot g u
y = arc sen u
y´=
y = kx
m
y = u ± v
y = ku
m
y = u ⋅ v y =
y´= u´± v´ y´= mu
m
y = u
y =
u
y´= kmu
v
y = ln u
y´=
y = a u
y´= a u
y = e
u
u
y =
u u
⋅ u´
2
u´
y´=
m
m −1
u´v − v´u
y = log a u
y =
⋅ u´
y´= u´v + v´u y´=
v
m −1
u ⋅ ln a u´
m
un
y = arc cos u y = arc tg u
u
ln a ⋅ u´ y´= e ⋅ u´ u´ y´= 2 u u´ y´= −1 m
m u
y = arc cot g u y = arc sec u
m−n
u´
1 − x 2 −u´ y´= 1 − x 2 u´ y´= 1 + u2 −u´ y´= 1 + u2 u´ y´= 2
u u −1
y = arc cos ec u
m
mm u
y´=
−u´ u u −1 2
TEOREMA DE ROLLE Sea una función que verifica: 1.-) f(x) es continua en [a,b] 2.-) f(x) es derivable en (a,b) 3.-) f(a) = f(b) entonces existe al menos un c ∈ (a,b) tal que: f ´( c ) = 0 TEOREMA DE LAGRANGE Sea una función que verifica: 1.-) f(x) es continua en [a,b] 2.-) f(x) es derivable en (a,b) f (b) − f (a) entonces al menos existe un c ∈ (a,b) tal que: f ´(c) = b−a
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ACADEMIA TAMARGO, S.L. TEOREMA DE CAUCHY Sean f(x) y g(x) funciones que verifican: 1.-) f(x) y g(x) continuas en [a,b] 2.-) f(x) y g(x) derivables en (a,b) 3.-) g(a) ≠ g(b) 4.-) f´(x) ≠ 0 y g´(x) ≠ 0 en x ∈ (a,b) entonces existe al menos un c ∈ (a,b) tal que:
f ´(c) g´(c)
=
f (b) − f (a) g (b) − g (a)
REGLA DE L´HÔPITAL Sean f(x) y g(x) funciones derivables en el entorno de x 0 sin que la derivada g´(x) sea cero. Si la fracción f ( x) 0 ∞ representa en el punto x = x 0 una expresión indeterminada de la forma o tendremos que 0 ∞ g ( x)
lim
f ( x)
= lim
f ´( x)
g ( x) x→ x0 g´( x) a condición de que exista el límite de esta fracción de las derivadas. Esta regla es aplicable también en el caso en que x0 = ∞. Se puede aplicar esta regla de forma sucesiva si se cumplen las condiciones indicadas. x → x0
ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCIÓN
1) Dominio 2) Puntos de corte con los ejes 3) Simetrías 4) Asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas) 5) Intervalos de crecimiento y decrecimiento (MONOTONÍA) 6) Máximos y mínimos 7) Intervalos de concavidad y convexidad (CURVATURA) 8) Puntos de inflexión 9) Periodicidad (sólo en trigonométricas) 10) Regiones de la función. 11) Representación INTEGRACIÓN. INTEGRAL DEFINIDA CONCEPTO DE FUNCIÓN PRIMITIVA Sean f(x) y F(x) dos funciones reales definidas en un mismo dominio. La función F(x) es una función primitiva de f(x), si F(x) tiene por derivada a f(x).
∫ f ( x) dx = F ( x) + C
⇒
F '( x ) = f ( x )
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TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS ∫ (u ± v) dx = ∫ u dx ± ∫ v dx ∫ ku dx = k ∫ u dx n ∫ u ′ ⋅ u dx =
∫
u′ u
un
+1
n +1
+C
( n ≠ −1)
dx = L u + C
u u ∫ u ′ ⋅ e dx = e + C u
∫ u ′ ⋅ a dx =
au
+ C La ∫ u ′ ⋅ cos u dx = senu + C
∫ u ′ ⋅ senu dx = − cos u + C ∫ u ′ ⋅ tgu dx = − L cos u + C ∫ u ′ ⋅ cot g u dx = L senu + C 2 2 ∫ u ′ ⋅ sec u dx = ∫ u ′ ⋅ (1 + tg u ) dx = ∫
u′
cos 2 u
2 2 ∫ u ′ ⋅ cos ec u dx = ∫ u ′ ⋅ (1 + cot g u ) dx = ∫
∫
u′
1− u
2
2
a −u
∫ ∫
u′
1+ u2 a +u
sen 2 u
dx = − cot g u + C
2
dx = arcsen
u a
+ C = − arccos
u a
+ C
dx = arc tg u + C = − arc cotg u + C
u′ 2
u′
dx = arcsen u + C = − arccos u + C
u′
∫
dx = tgu + C
2
dx =
1 a
arc tg
u a
+ C = −
1 a
arc cotg
u a
+ C
INTEGRACIÓN POR PARTES
∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du REGLA DE BARROW Si f(x) es una función continua en el intervalo [a,b] y F(x) es una función primitiva de f(x), entonces: b b ∫a f ( x) dx = [F ( x)]a = F (b) − F (a)
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CÁLCULO DE ÁREAS A) Área limitada por una función y el eje de abscisas: A =
∫
b
a
c
d
b
| f ( x )| dx = ∫a f ( x ) dx − ∫c f ( x ) dx + ∫d f ( x ) dx
B) Área limitada por dos funciones: A =
b
∫ [ f ( x) − g ( x )] dx
; f ( x ) ≥ g ( x ) ∀ x ∈ [a , b ]
a
GEOMETRIA ECUACIONES DE LA RECTA
( x, y, z ) = ( x1, y1, z1 ) + t (a, b, c) Ecuación vectorial
x = x1 + at
y = y1 + bt Ecuaciones Paramétricas z = z1 + ct
x - x1 a
=
x - x1 x 2 - x1
y - y 1
=
b
=
y - y1 y 2 - y 1
z - z1
=
c
Ecuación Continua
z - z 1 z 2 - z 1
Ecuación de la recta que pasa por 2 puntos
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ECUACIONES DEL PLANO
( x, y, z )= ( x1 , y1 , z1)+ t (a, b, c ) + s (a ,′ b ,′ c ′ ) Ecuación vectorial del plano x = x1 + at + a ′s
y = y 1 + bt + b ′s Ecuaciones Paramétricas del plano z = z 1 + ct + c ′s x - x1
y - y1 z - z1
a
b
c ⇒ = 0 A x + B y + C z + D = 0
a′
b′
c ′ Ecuación general del plano
r
n = ( A, B, C ) Vector normal o perpendicular del plano A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 Ecuación normal del plano
A cos α = 2 2 2 A + B + C B cosenos directores de un plano cos β = A 2 + B 2 + C 2 C cos γ = A 2 + B 2 + C 2
ECUACIONES DE LA RECTA COMO INTERSECCION DE DOS PLANOS A x + B y + C z + D = 0
r ≡
′ + B y ′ + C z ′ + D′ = 0 A x
′ + C z ′ + D ) = 0 ( Ax + By + Cz + D ) + t ( A′ x + B y Ecuación del haz de planos
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO x1 + x2 y1 + y2 z1 + z 2 , , 2 2 2
M = ( x M , y M , z M )=
BARICENTRO DE UN TRIANGULO x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 z1 + z 2 + z 3 , , 3 3 3
G = ( xG , yG , z G )=
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POSICIONES RELATIVAS Recta y plano π ≡ A x + B y + C z = D ′ = D ′ A′ x + B ′ y + C z
r ≡
′ + C ′ z ′ = D ′′ A′′ x + B ′ y
A B C M = A′ B ′ C ′ A′′ B ′′ C ′′
A B C D * M = A′ B′ C ′ D′ A′′ B′′ C ′′ D′′
1) Rg M = Rg M* = 3 Sistema compatible determinado. Se cortan en un punto.
2) Rg M = Rg M* = 2 Sistema compatible indeterminado. La recta coincidente con el plano.
3) Rg M = 2 ; Rg M * = 3 Sistema incompatible. Recta y plano paralelos.
Dos planos π ≡ A x + B y + C z = D ′ = D′ π ′ ≡ A′ x + B ′ y + C z
A B
M =
C
A′ B ′ C ′
A B
* M =
C D
A′ B ′ C ′ D ′
1) Rg M = Rg M* = 2 Sistema compatible indeterminado. Se cortan en una recta.
2) Rg M = Rg M* = 1 Sistema compatible indeterminado. Planos coincidentes.
3) Rg M = 1 ; Rg M * = 2 Sistema incompatible. Planos paralelos.
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Dos rectas A x + B y + C z = D
r ≡
A′ x + B′ y + C ′ z = D′ ′ = D′′ A′′ x + B′′ y + C ′ z
r ′ ≡
′ + B′′ y ′ + C ′′ z ′ = D′′′ A′′ x
A B C A′ B′ C ′ M = A′′ B ′′ C ′′ A′′′ B ′′′ C ′′′
A B C A′ B′ C ′ * M = A′′ B ′′ C ′′ A′′′ B′′′ C ′′′
D
D′
D′′
D′′′
1) Rg M = Rg M* = 3 Sistema compatible determinado. Se cortan en un punto.
2) Rg M = Rg M* = 2 Sistema compatible indeterminado. Rectas coincidentes.
3) Rg M = 3 ; Rg M * = 4 Sistema incompatible.
Las rectas se cruzan.
4) Rg M = 2 ; Rg M * = 3 Sistema incompatible. Rectas paralelas.
Tres planos π ≡ A x + B y + C z = D ′ = D′ π ′ ≡ A′ x + B′ y + C z
′ + B ′ y ′ + C ′ z ′ = D′′ π ′′ ≡ A′ x
A B C M = A′ B ′ C ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ A B C
A B C D * M = A′ B′ C ′ D′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ A B C D
1) Rg M = Rg M* = 3 Sistema compatible determinado. Se cortan en un punto.
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2) Rg M = Rg M* = 2 Sistema compatible indeterminado. Se cortan en una recta.
3) Rg M = Rg M* = 1 Sistema compatible indeterminado. Planos coincidentes.
4) Rg M = 1 ; Rg M * = 2 Sistema incompatible. a) Planos paralelos y distintos.
b) Dos planos coincidentes y otro paralelo.
5) Rg M = 2 ; Rg M * = 3 Sistema incompatible. a) Se cortan formando un prisma triangular.
b) Dos planos paralelos y el otro incidente con los anteriores.
PRODUCTO ESCALAR r
u = ( a , b , c
) r ′ c′ ) v = ( a ,′ b ,
r r
′ c ′ ) = a.a ′ + b.b ′ + c.c ′ u.v = ( a , b , c )( . a ,′ b , r r
r
Si u .v = 0
r
u y v son perpendiculares
PRODUCTO VECTORIAL r
u = ( a , b , c
) ′ c′ ) v = ( a ,′ b , r
r
r
u x v =
r
r
r
i
j
k
a
b
c
a′
b′
c′
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ACADEMIA TAMARGO, S.L. r
r
r
r
es perpendicular a u y v
u x v
PRODUCTO MIXTO r
u = ( a , b , c
) ′ c′ ) v = ( a ,′ b , r w = ( a ′′ , b ′′ , c ′′ ) r
a
b
c
u ⋅ (v x w)= a ′
b′
c′
a ′′ b ′′
c ′′
r
r
r
ANGULO FORMADO POR DOS VECTORES r
r
u = ( a , b , c
) r ′ c′ ) v = ( a ,′ b ,
r
r
cos (u , v )=
r
u ⋅v r
r
u v
a ′a + b ′b + c ′c
=
2 2 2 a +b +c
2 2 2 a′ + b′ + c ′
COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR cos α = r
u = ( a ,b ,c
)
cos β = cos γ =
a 2 2 2 a +b +c
b 2 2 2 a +b +c
c 2 2 2 a +b +c
ANGULO FORMADO POR DOS PLANOS π ≡ A x + B y + C z + D = 0 ′ + C z ′ + D ′ = 0 π ′ ≡ A ′ x + B y
cos (π , π ′) =
′ + C ′C A′ A + B B 2 2 2 2 2 2 A + B + C A′ + B′ + C ′
ANGULO ENTRE RECTA Y PLANO π ≡ A x + B y + C z + D = 0 r ≡
x - x 1 a
=
y - y 1 b
=
z - z 1
aA+ bB+ cC
sen (r , π ) =
2 2 2 a + b + c
c
2 2 2 A + B + C
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO π ≡ A x + B y + C z + D = 0 r ≡
x - x 1 a
=
y - y 1 b
=
a
z - z 1
A
c
=
b B
=
c C
π ⊥ r
PARALELISMO ENTRE RECTA Y PLANO π ≡ A x + B y + C z + D = 0 r ≡
x - x1 a
=
y - y 1 b
=
z - z1
aA + bB + cC = 0
c
Formulario de Matemáticas - 2º BCN - 2 BT -
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ACADEMIA TAMARGO, S.L. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS P ( x1 , y 1 , z 1
) 2 2 2 d ( P , Q )= ( x2 - x1) + ( y 2 - y1) + ( z 2 - z1) Q ( x 2 , y 2 , z 2 ) DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO π ≡ A x + B y + C z + D = 0
d ( P, π ) =
P = ( x 0 , y 0 , z 0 )
Distancia del origen a un plano
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D
d (O, π ) =
A 2 + B 2 + C 2 D A 2 + B 2 + C 2
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA r
P = ( x 0 , y 0 , z 0 ) r ≡
x - x1 a
=
y - y 1 b
=
z - z1
⇒
c
d ( P, r ) =
A = ( x1 , y1 , z1 )
AP × u r r
u r
r
u r = ( a , b, c )
DISTANCIA ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN r ≡ r ≡
x - x1
a x - x 2 a´
= =
y - y 1
b y - y 2 b´
= =
z - z1
c z - z 2 c´
⇒ ⇒
A = ( x1 , y1 , z1 )
det [u r , v s , AB ] r
r
u r = ( a, b, c )
d ( r , s ) =
A = ( x 2 , y 2 , z 2 )
r
r
u r × v s
r
w r = (a´, b´, c´)
ÁREA DEL PARALELOGRAMO
r
r
S = u x v =
r
r
r
i
j
k
a
b
c
a′
b′
c′
ÁREA DEL TRIÁNGULO
S =
1 r r 1 u x v = 2 2
r
r
r
i
j
k
a
b
c
a′
b′
c′
a
b
c
a′
b′
c′
a ′′ b ′′
c ′′
VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO
r
r
r
V = u ⋅ (v x w) =
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Página 16
ACADEMIA TAMARGO, S.L. VOLUMEN DEL TETRAEDRO
1 V = 6
r
r
r
u ⋅ (v x w) =
1 6
a
b
c
a′
b′
c′
a ′′ b ′′
c ′′
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