Folleto RM 2012

Razonamiento Matemático

CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Razonamiento Lógico I. Relación de tiempos Consiste en reemplazar cada expresión por su equivalente numérico.

OBSERVACIONES

hace “n”… anteayer ayer Hoy mañana Pasado … dentro de días mañana “n” días -n -2 -1 0 +1 +2 +n Antes Anterior Precede

Después Posterior Siguiente

-

En un año común, si el año empieza un día jueves debe terminar también un día jueves (el mismo día)

-

En un año bisiesto, si el año empieza un martes debe terminar un miércoles (un día más que el empiezo) meses

días

multiplo.

Enero

31

7+ 3

Febrero

28,29

7+ 1

Marzo

31

7+ 3

Abril

30

7+ 2

Mayo

31

7+ 3

Junio

30

7+ 2

Julio

31

7+ 3

Agosto

31

7+ 3

Setiembre

30

7+ 2

Octubre

31

7+ 3

Noviembre

30

7+ 2

Diciembre

31

7+ 3

o o

II. Calendarios

o

Año Común: Costa de 365 días (52 semanas y 1 día)

o

0

365 = 7 +1

o o

Cada año común avanzamos un día

o

Año Bisiesto: Un año, es el tiempo que demora en dar la vuelta alrededor del sol ( 365 días y 6 horas aprox.) Un año bisiesto tiene 366 días (se incluye el 29 de febrero)

o o o

0

366 = 7 +2

o

Cada año bisiesto avanzamos dos días

o

- Son años bisiestos los años múltiplos de 4, excepto los años de fin de siglo ( Los que terminan en ..00) que para ser bisiestos deben ser múltiplos de 400 Ejemplos:

2 008 = 2 004 =

III. Relación de Parentesco

o

Aquí se recomienda hacer un esquema con las personas que intervienen en el problema, empezando de atrás hacia adelante.

4 o

4 o

2 000 = 400 1996 = Braulio Gutiérrez Pari

o

4 -1 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Ejemplar 1 Hay 27 bolas de billar todos de igual tamaño pero una de ellas pesa más que las otras. ¿En cuántas pesadas como mínimo puede encontrarse dicha bola con ayuda de una balanza de dos platillos? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Si no hay equilibrio, entonces se retira el grupo que tiene mayor peso.

Ahora tenemos 3 bolas *Se divide las bolas en 3 grupos de 1 0

3 PESADA: se coloca 1 en cada platillo

Resolución *Se divide las 27 bolas en tres grupos de 9 -

Luego si balanza se queda en equilibrio, quiere decir que la bola pesada se encuentra en el grupo que sobra. Por lo tanto para ubicar la bola que pesa más es necesario hacer 3 pesadas como mínimo. Rpta. C

0


OBSERVACIÓN -

-

Luego si la balanza esta en equilibrio quiere decir que la bola pesada se encuentra en el tercer grupo.

Forma práctica para encontrar la bola más pesada Para “x” bolas, número de pesadas “n”

Si no hay equilibrio, entonces se retira el grupo que tiene mayor peso.

3 n -1 < x  3 n Las “x” bolas deben de estar atrapados en el intervalo de 3 n -1 y 3 n

Ahora tenemos 9 bolas *Se divide las 9 bolas en 3 grupos de 3

Ejemplar 2 0

Una persona forma dos torres con 9 dados como en la figura adjunta. ¿Cuántos puntos en total no son visibles para él?


-

Luego si la balanza esta en equilibrio quiere decir que la bola pesada se encuentra en el tercer grupo.

Braulio Gutiérrez Pari

-2 -

Cepre Upeu

Razonamiento Matemático A) 49 D) 58

CEPRE - UPeu -

B) 55

C) 60 E) 59

Juliaca -

día del mes próximo cae lunes. ¿Qué día de la semana caerá el cumpleaños de dicha persona dentro de 20 años?. (Si no estamos en fines de siglo).

Resolución No olvide, caras opuestas en un dado suman 7

A) Lunes D) viernes

B) martes

C) sábado E) Jueves

Resolución

3 3

7

Se trata del mes de Enero, además en el mes siguiente el último día es lunes que se trata del mes de Febrero que trae 29 días por lo que ese año es bisiesto

7

7

7

7

7

7

FEBRERO

ENERO D

No son visibles para él 55 puntos Rpta: B

L M M J

3 10 17 24 31

Ejemplar 3 Si las 6 caras del siguiente cubo se pinta, ¿Cuántos cubitos quedan con las dos caras pintadas?

4 11 18 25

5 12 19 26

6 13 20 27

7 14 21 28

V 1 8 15 22 29

D L M M J V 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 19 21 22 23 24 25 26 28 29

S 2 9 16 23 30

S 6 13 20 27

20 años nació Domingo 10 de enero Año bisiesto

10 de enero Año bisiesto

Dentro de 20 años hay 5 años bisiestos 15 años comunes A) 16 D) 15

B) 20

C) 24 E) 22

por lo que debemos avanzar 15 +10 =25 días. 25 días = 3 semanas + 4 días

Resolución

0

Si en cada arista hay dos cubitos con dos caras expuestas, entonces en todo el cubo habrá 12x2 = 24 cubitos con dos caras pintadas. (No olvide que un cubo tiene 12 aristas) Rpta: C

25 dias = 7 + 4 días nació

Ejemplar 4

Jueves 10 de enero Año bisiesto

Domingo + 4 = jueves

Pamela nació el 10 de este mes. Sabiendo que este mes tiene más días viernes, sábados y domingos que el resto de días de la semana, además el último Braulio Gutiérrez Pari

Domingo 10 de enero Año bisiesto

SEÑOR, muéstrame tus caminos, y enséñame tus sendas (Sal 25:4)

-3 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Problemas I

D) Flor se sienta junto y a la derecha de Eliana E) Teresa se sienta junto y a la izquierda de Flor.

1. Ana, Emma y Lilia pertenecen a la banda de músicos del colegio. Una toca la flauta, otra toca el saxofón, y la otra toca los tambores. Ana es una estudiante de cuarto grado. Ana y la saxofonista practican después del colegio. Emma y la flautista son estudiantes de quinto grado. ¿Quién toca los tambores? A) Ana B) Emma D) Ana y Lilia

5.

C) Lilia E) N.A

2. Ernesto dice la verdad los días lunes, miércoles y viernes, pero miente los demás días de la semana. Un día Ernesto dijo: “Mañana yo diré la verdad”. ¿Qué día era cuando dijo esto? A) Sábado D) Jueves

B) Martes

Karin, Ursula, Tania y Liliana participaron en un concurso de equitación. Cuando un periodista que había llegado tarde les preguntó en qué puesto habían llegado, respondieron así: Karim : “Liliana fue primera y Ursula fue segunda” Ursula : “Liliana fue segunda y Tania fue tercera” Liliana : “Tania fue última y Karim fue segunda” Si cada una dijo una verdad y una mentira. ¿Cuál fue el orden en el que quedaron en este concurso?

C) Miércoles E) lunes

A) L,K,T,U D) U,L,K,T

3. Dado el siguiente arreglo de dados. ¿Cuántos puntos suman las caras no visibles?

B) K,T,U,L

C) T,U,L,K E) L,T,U,K

6. La policía detuvo a tres sospechosos del robo de un auto. Al ser interrogados respondieron: - Andrés : Bruno se llevo el auto - Bruno : Eso es verdad - Carlos : Yo no me lleve el auto Si al menos uno de ellos mentía y al menos uno decía la verdad. ¿Quién robó el auto?

A) 89 B) 36 C) 60 D) 61 E) 58 4. Con la finalidad de estudiar para la prueba de razonamiento lógico, cuatro compañeras del quinto grado A se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simétricamente es decir a la misma distancia

A) Andrés D) Nadie 7.

Si sabemos que Eliana les comento que deben practicar bastante. Teresa se sienta junto y a la derecha de Vicky. Flor no se sienta junto a Vicky. Luego podemos afirmar:

B) Bruno C) Carlos E) Bruno y Carlos

En una carrera participan cuatro personas A, B, C, D. En la tabla se muestra el momento de partida. 1º

2º

3º

4º

A

B

C

D

• Se sabe que ninguno de ellos llegó en la posición que partieron. • Participantes con letras consecutivas no llegaron juntos. • B no gano la carrera.

A) Eliana y Teresa se sientan juntas B) Vicky y Eliana no se sientan juntas C) No es cierto que Eliana y teresa no se sientan juntas


Juliaca -

-4 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

¿Quién gano la carrera? A) A D) A o B

B) B

como mínimo la canoa debe cruzar el río, para que pasen todos? C) C E) D

A) 4 D) 6

8. Anteayer tenía 25 años, el próximo año tendré 28 años. Si el día de ayer cumplí años. ¿Qué fecha será dentro de 3 días? A) 4 enero D) 3 enero

B) 2 enero

Juliaca -

B) 5

C) 3 E) 2

14. Se deben colocar monedas en los vasos que se muestran en la figura, de tal manera que en cada vaso haya 1,2,3,4 y 5 monedas respectivamente. ¿Cuántas monedas se necesitan como mínimo?

C) 5 enero E) 6 enero

9. En cierto año, el mes de enero tuvo exactamente 4 martes y 4 sábados. Ese año. ¿Qué día fue el 23 de enero? A) Jueves D) martes

B) Viernes

C) miércoles E) sábado

A) 18 D) 25

10. Carlota y Pepe nacieron el 18 de enero y 20 de marzo de 1980, respectivamente. Si en el 2 006 estas fechas fueron miércoles y lunes. ¿Qué día nacieron estas personas?

11. Cincuenta hombres y dos niños tienen que cruzar un río en una canoa, en cada viaje sólo pueden ir uno de los hombres o los dos niños; pero no un hombre y un niño a la vez; ¿Cuál es el menor número de veces que la canoa tendrá que cruzar el río, en cualquier sentido, para que se trasladen todas las personas? B) 51

A) 10 D) 13

B) 28 Febr

C) 201 E) 158

C) 29 Febr E) 27 Febr

13. Tongo (de 100 kg) y dos muchachos (de 50 kg cada uno) tienen que cruzar un río en una canoa, la cual a lo más puede soportar 110 kg. ¿Cuántas veces Braulio Gutiérrez Pari

B) 11

C) 12 E) 14

16. Ubicar los números 2,3,4,5,6,7,8 y 9 en las casillas de la figura, sin repetir, de manera que en cada aspa del molino la suma sea la misma. Dar como respuesta el menor valor de “a+b+c+d”

12. En cierto año Andrea dijo Hoy sábado es mi cumpleaños, y el año pasado fue jueves. Si anteayer fue cumpleaños de Susy, y el año pasado fue miércoles. ¿Qué día cumple años Susy? A) 1 Marz D) 3 Marz

C) 3 E) 15

15. Cuántas circunferencias, como máxima, se pueden colocar alrededor de las circunferencias que se muestran en la figura? (Obs Todas las circunferencias son del mismo tamaño)

A) Lun-Mar B) Vier-Sáb C) Vier-Jue D) Dom-Lun E) Mart-Mierc

A) 101 D) 301

B) 5

A) 4 D) 14

-5 -

a

d

b

c

B) 8

C) 12 E) 16 Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas II 1. En un cierto mes, el primero y el último día fue Sábado. ¿Qué días de la semana fue 21 de Mayo de dicho año? A) Domingo D) Viernes

B) Lunes

7. En un año bisiesto.¿Cuántos días lunes y martes habrá como máximo y cual es el último día?

C) Jueves E) Sábado

A) B) C) D) E)

2. El 1o de Enero de 1943 fue un día Jueves. ¿Qué día de la semana fue el 1o de Mayo del mismo año? A) Sábado D) Lunes

B) Domingo

8. ¿Qué mes será cuando transcurran 110 meses desde el mes que sigue al que subsigue al anterior mes del posterior mes del que esta antes al que está después de Diciembre?

C) Viernes E) Martes

3. En cierto mes se observó que había más días Lunes que otros días de la semana. ¿Qué día de la semana será el 24 de dicho mes? A) Sábado D) Martes

B) Domingo

A) Febrero D) Junio

B) Jueves

A) 115 D) 118

B) miércoles

C) martes E) viernes

A) 20 min. D) 21 min.

6. Si mañana fuera como ayer, el hoy estaría tan distanciado del lunes como el hoy del domingo. ¿Qué día es el ayer del día que sigue al pasado mañana del anteayer del posterior día a hoy? A) Jueves D) Domingo

B) Viernes


C) Mayo E) Julio

B) 116

C) 117 E) 119

10. Cierto tipo de gusano tiene la particularidad de duplicarse cada minuto, si colocamos 1 gusano en un recipiente de forma cúbica de 1 cm. de lado, éste se llenaría en 20 min. ¿Qué tiempo demoraría en llenarse si colocamos 8 gusanos en un recipiente de forma cúbica de 2 cm. de lado?

C) Lunes E) Domingo

5. Cierto mes del año 20ab , el primer y último día cayó lunes. ¿Qué día cayo el 30 de agosto de dicho año? A) Domingo D) Sábado

B) Abril

9. En una reunión se encuentran 250 personas. ¿Cuántas personas, como mínimo deberán llegar para que en dicha reunión tengamos la seguridad de que estén presentes dos personas con la misma fecha de cumpleaños?

C) Lunes E) Miércoles

4. Si el día de ayer fuese como mañana, entonces faltarían 2 días a partir de hoy para ser martes. ¿Qué día de la semana será el día anterior al mañana del ayer del anteayer del subsiguiente día al pasado mañana de hace 30 días a hoy A) Sábado D) Miércoles

53, 52, Lunes 52, 52, martes 52, 53, Domingo 53, 53, martes 51, 53, Lunes

B) 19 min.

C) 18 min. E) 40 min.

11. El mañana del pasado mañana del anteayer del martes es el ayer del pasado mañana de anteayer de hoy. ¿Qué día es hoy?

C) Sábado E) Lunes

A) lunes D) Jueves

-6 -

B) martes

C) miércoles E) viernes Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

12. Una de la 27 esferas de billar (todos de igual tamaño) pesa más que las otras. Para averiguar cual es, alquilé una balanza de platillos al precio de S/. 5 por cada pesada. ¿Cuánto tuve que pagar como mínimo, si llegue a reconocer a la esfera más pesada? A) S/. 5 D) S/. 35

B) S/. 10

16. Jessica es la hija de la esposa del hijo de mi madre. ¿Qué parentesco tengo con la esposa del hijo de mis padres? A) mi prima B) mi esposa C) mi madre D) mi cuñada E) mi hermana 17. Si el padre de José es el hermano de mi hermano gemelo.¿Qué es respecto a mí, la abuela del gemelo de José?.

C) S/. 15 E) S/. 45

13. Tenemos 21 esferas de idéntica apariencia, una de ellas es ligeramente más pesado que las otras. ¿En cuántas pesadas como mínimo puede encontrarse dicha esfera con ayuda de una balanza de dos platillos? A) 1 D) 4

B) 2

A) Abuela D) tía

B) 2 E) 5

B) hermana

C) madre E) nuera

18. ¿Qué día de la semana nació una persona que cumplió 33 años el sábado 1ro de marzo del 2 008?

C) 3 E) 5

A) Lunes D) Jueves

14. Se tiene 6 vasos que contienen 5 canicas cada una; en cinco vasos las canicas pesan 5 gramos cada una y en un vaso las canicas pesan 6 gramos cada una. ¿Cuántas pesadas como mínimo deben hacerse en una balanza de un solo platillo, para saber qué vaso contiene a las canicas que pesan más? A) 1 D) 3

Juliaca -

B) Martes


19. ¿Qué día de la semana caerá el 28 de Mayo del 2 025, si en 2 004 es viernes? A) Lunes D) Jueves

B) Martes

C) miércoles E) viernes

20. Elvis nació el domingo 7 de febrero de 1960. ¿Qué día de la semana será el cumpleaños de su prima Adela en 2008, si nació 17 días después que Elvis?

C) 4

A) Domingo D) Viernes

.

B) Lunes

C) Jueves E) sábado

21. Si yo soy el hijo de la esposa del hijo único de la abuela de Patricia, entonces el primo de Patricia es mi; 15. Se distribuye en el siguiente arreglo los números del 1 al 20 de modo que la suma de los números ubicados en cada lado sea constante. Dé como respuesta al valor de dicha suma.

A) Hermano D) tío

C) Cuñado E) Padre

22. Si el ayer del ayer del ayer …(100 veces) de mañana del pasado mañana de ayer es lunes, ¿Cuál es el día que está 1 día antes, del que está 2 días antes, del que está 3 días antes, …, del que está 10 días antes que el ayer del anteayer del ayer de mañana?

A) 21 B) 42 C) 52 D) 24

A) Lunes D) Jueves

E) 25


B) Primo

-7 -

B) Martes


Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas III 1. Un viajero llega a una isla en la que todos sus habitantes dicen la verdad los lunes, miércoles, viernes y domingo mientras que los demás días mienten. El viajero mantiene una conversación con un nativo de la isla. - Viajero: Qué día es hoy - Nativo: Es Sábado - Viajero: Qué día de la semana será mañana. - Nativo: miércoles. ¿Qué día de la semana es realmente? A) Jueves B) Lunes C) viernes D) Sábado E) martes

III. María se sienta frente a Leticia A) I y III D) solo II

A) Pedro es el menor B) Mario no es el menor C) César es mayor que Pedro D) Pedro es mayor que Mario E) Mario es menor que César 6. Si el día que está 6 días después, del que está 5 días antes del que está 4 días después del que está 3 días antes del que está 2 días después del que está 1 día antes de hoy es lunes. ¿Qué día será 8 días antes del que está 7 días después del que está 6 días antes ... del que está 1 día después a hoy?

B A) 30 B) 31 D

D) 33

A) Domingo D) Sábado

E) 34 3. La hermana del hijo de la hermana del hijo de la hermana de mi padre es mi: A) hija D) nieta

B) tía

B) lunes C) martes E) viernes

7. Nancy nació el día Domingo 2 de marzo del año de 1 975. ¿Qué día de la semana festejó sus 15 años?

C) sobrina E) hermana

A) Miércoles D) Sábado

4. Cuatro amigas: María, Lucía, Irene y Leticia se sientan en una mesa circular de seis asientos. Se sabe que lucia no se sienta frente a María ni junto a ella, Irene se sienta a la derecha de María y frente a Lucia. Leticia no se sienta frente a un lugar vacío. Entonces se cumple que:

B) lunes

C) jueves E) viernes

8. ¿Cuántos miércoles hay como máximo y cuántos como mínimo en un año? De cómo respuesta la suma de ambos resultados. A) 108 D) 106

I. Leticia se sienta junto a Lucia. II. Irene se sienta junto a Leticia Braulio Gutiérrez Pari

C) II y III E) solo I

5. Sabiendo que: * Roberto nació 2 años después que Alex, pero 5 años antes que Mario * César nació 2 años después que Roberto * Pedro nació después que Roberto. Podemos afirmar como verdadero

2. En el siguiente gráfico distribuya los números consecutivos del 1 al 15, de tal manera que la suma de estos en c/u de las 3 columnas A, B y C y la fila D sea la misma e igual a “S” de cómo respuesta el mínimo valor de “S” C A

C) 32

B) I y II

B) 103

C) 105 E) 104

9. Coloque los números del 1 al 12 en cada arista del cubo mostrado -8 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Diana no es su madre, podremos afirmar que: I. Diana y Martha son hermanas. II. Lourdes es madre de Estela. III. Martha es tía de Estela. De tal manera que la suma de los números en cualquier cara sea la misma. De cómo respuesta dicha suma. A) 18 D) 36

B) 13

A) I D) I y III

1

A) Médico B) abogada D) médico o abogado E) médico o ingeniero

16

A) 2 48 B) 2 32 C) 2 46 D) 2 34 E) 2

1d 1a 1b 1c 1c

– – – – –

2b 2b 2a 2a 2b

a. Fronton b. Trote c. Tenis d. Golf. – – – – –

3c 3c 3d 3b 3d

– – – – –

15. Tres profesores, uno de matemática, uno de Lenguaje y otro de biología, se encuentran conversando. - El matemático le dice a Juan: mañana es mi boda y el biólogo será mi testigo. - Miguel, que ya cumplió bodas de plata, le da consejos a Humberto. ¿Quién es matemático y quién es el testigo respectivamente?

4a 4d 4c 4d 4a

12. Si se sabe que: Diana es hija de Lourdes, quien a su vez es madre de Katty. Quien es hija de la hermana de Martha. Si Estela es hermana de Katty y


C) ingeniería

14. Percy, Felipe y Víctor viven en tres ciudades diferentes: Puno, tacna y arequipa, estudiando carreras de ingenierías:: Sistemas, electrónica y industrial. Además se sabe que: Percy no vive en tacna, Felipe no vive en arequipa, el que vive en tacna no estudia electrónica, el que vive en arequipa estudia industrial, Felipe no estudia sistemas. ¿Dónde vive Victor y qué estudia? A) Arequipa - Sistemas B) Arequipa - Electrónica C) Tacna - Sistemas D) Puno - Industrial E) Arequipa - Industrial

11. Roberto, Carola, Teo y Alicia están sentados alrededor de una mesa discutiendo sobre sus deportes favoritos. Roberto se halla frente al que practica el trote, Carola a la derecha del que juega frontón, Alicia frente a Teo, el golfista a la izquierda del tenista. Si a la derecha de Teo hay un hombre. ¿Qué deporte practica cada uno?

A) B) C) D) E)

C) I y II E) II y III

13. Se tiene la siguiente información acerca de tres jóvenes. Andrés nunca quiso ser abogado, el médico y el ingeniero no se llevan bien, Rossy y Andrés salen a jugar basket, Rossy y Pedro son amigos desde el colegio. Según esto, ¿Qué profesión tiene Rossy?

C) 15 E) 26

10. En la figura distribuir los números 2 3 5 15 ,2 , 2 , . . . ,2 de modo que el producto de los números que se hallan 20 en cada lado sea 2 . Dé como respuesta el producto de los números que van en los casilleros sombreados.

1. Roberto 2. Carola 3. Teo 4. Alicia

B) II

A) B) C) D) E) -9 -

Humberto – Miguel Juan – Miguel Humberto – Juan Miguel – Juan Miguel – Humberto Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Ejemplares.

Razonamiento Inductivo-Deductivo I. Razonamiento Inductivo Es aquel tipo de razonamiento que basado en el análisis de casos particulares nos permite hacer conclusiones generales.

32 (1 0 1)

= 3232

32 (1 0 1 0 1 )

= 323232

32 (1 0 1 0 1 0 1 )

= 32323232

345 (1 0 0 1 )

= 345345

345 (1 0 0 1 0 0 1 ) = 345345345 II. Regla práctica para elevar al cuadrado un número formado por dígitos “1”

Caso 1

2

11 

 1 21

2 cifras

Caso 2

INDUCCIÓN

Caso General 2

1 1 1  12 3 21 

Caso 3

3 cifras 2

1 11 1  123 4 321  

II. Razonamiento Deductivo

4 cifras

Es aquel tipo de razonamiento que partiendo de casos generales ya comprobados se llega a verificar los casos particulares.

2

1 1.... 1 1  12345678 9 87654321    9 cifras

Caso 1

Caso General

DEDUCCIÓN

Sus respectivas sumas de cifras son:

Caso 2

Caso 3

OBSERVACIONES

I. “32” es un número de dos cifras y además entre 1 y 1 existe un cero. La cantidad de ceros entre uno y uno es uno menos que la cantidad de cifras del primer factor. Braulio Gutiérrez Pari

-10 -

4

=

2

9

=

3

16

=

4

81

=

9

2

2

2

2

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

III. Regla práctica para elevar al cuadrado un número formado por dígitos “3”

Juliaca -

V. De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “CHAVO” uniendo letras vecinas C H H A A A V V V V O O O O O

2

3 3  1089  2 cifras

2

333  110889 

RESOLUCIÓN

3 cifras

Analizando algunos casos particulares 2

3333    11108889

1 letra

*

4 cifras

C 1 = 2

33....33     111111110888888889

*

2

9 cifras

0

2

letras C

Sus respectivas sumas de cifras son: 18

=

2 9

27

=

3 9

H

H

2 =

2

3

letras

*

1

C H 36

=

4 9

A

H A

4 =

81

=

9 9

*

IV. Regla práctica para elevar al cuadrado todo número que termina en ..5

A 2

2

Para 5 letras = 2

4

= 16

otra manera: (Triángulo de pascal)

2

3 5  12 25 X4

1

2

20 5  420 25

1

X 21

1 1

1

1 2 1 3 3 1 4 6 4 1

20 21 22 23 24

2

100 5  10100 25

16

X 101


-11 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas I 1. Halle el máximo número de puntos de intersección.

A) 190 D) 210 6.

1

2

3

4

9

10

B) 290

De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra “SOMOS”, uniendo letras vecinas. S

A) 85 D) 98

B) 96

C) 108 E) 120

2. Hallar “n” en 2

S

2

2

2

A) 30 D) 32

B) 29

C) 31 E) 33

7.

3. De cuántas formas distintas se puede leer la palabra “ PROBLEMAS ” P R R O O O B B B B L L L L L E E E E M M M A A S A) 80 D) 90 4.

B) 50

C) 256 E) 228

De cuántas maneras distintas se pueden leer la palabra “CARRANZA” uniendo letras vecinas

A

A N Z A A) 96 D) 102

A

A

N Z

A

R A

N Z

A

R

N Z

N Z

A

A

Z A

B) 180

A C) 160 E) 328

8. Halle el total de palabras “ BRUS ” 1 BRUS 2 BRUS 3 BRUS 4 BRUS

N I

N A

O S S

B) 243

R

A

A

O S

S S O

C

De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra “ANILINA”, uniendo letras vecinas. N

S O M O S

A

C) 40 E) 70

A

S O

A) 324 D) 128

1!(2) +2!(3) +3!(4) +…+30!(31) = n! – 2!

C) 180 E) 240

I L

I N

A N

I

A) 180 D) 900

N

A A) 225 D) 218

20

A A

B) 256

C) 217 E) 220

9. Halle

5. En el campeonato de fútbol “Ciudad de la Esperanza” participan 20 equipos. Si todos juegan contra todos a una rueda. ¿Cuántos partidos se jugarán? Braulio Gutiérrez Pari

A) 150 D) 117 -12 -

BRUS

B) 150

164025



B) 301

C) 400 E) 148

42025



CEPRE - UPeu -

10. De cuantas maneras diferentes se puede leer “ CORREA ” A A A A A E E E E R R R O O C O O R R R E E E E A A A A A A) 48 D) 52

B) 50

Juliaca -

14. ¿Cuántos puntos de corte hay en total en la figura?

1

2

A) 240 D) 800

C) 44 E) 60

3

29

B) 900

30

C) 232 E) 80

15. Halle la suma de cifras de 11. Calcule la suma de cifras del valor de A.

2

    111...1  222...2  333...3       100 cifras 100 cifras 100 cifras  

2

2

      A   222...222  222...220       20  cifras   20 cifras  A) 150 D) 156

B) 152

A) 960 D) 690

C) 155 E) 160

16. Halle

12. De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “RAZONA”

B) 63

C) 600 E) 666

1111111088 888889 1234567876 54321

A) 1 D) 9

R R A R R A Z A R R A Z O Z A R R A Z O N O Z A R R A Z O N A N O Z A R A) 64 D) 31

B) 900

B) 2

C) 3 E) 8

17. Halle “E”

26 cifras     E

C) 127 E) 32

37 3737 373737 373737. . . 37   ... 13 1313 131313 131313. . . 13 26 cifras

A) 13 D) 50

13. ¿cuántos triángulos menos que Hexágonos hay en el siguiente gráfico?



B) 26

C) 37 E) 67

18. ¿De cuántos cuadriláteros de una región simple se pueden contar en total en la Fig. (20)

1 2

3 18 19 20

A) 120 D) 150


B) 90

Fig. (1) Fig. (2)

C) 130 E) 100

A) 754 D) 751

-13 -

Fig. (3)

B) 761



CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas II 5. Hallar “n” en 1x1! + 2x2! + 3x3! + … +20x20! = n! - 1

1. En la figura, Halle la diferencia entre la cantidad de palitos diagonales y palitos horizontales utilizados en total

A) 20 D) 19 A) 1 745 6. Si:

B) 21

C) 22 E) 23

2 JAIME  (999...999 )  . . . . . 12345



B) 1 195

100 cifras

C) 1 215 Halle J + A + I + M + E D) 1 225 E) 1 275

1

2

3

….

48

49

A) 10 D) 16

50

M  3 155x156x15 7 156

A) 400 D) 380

N  3 143x144x14 5 144

B) 304

1 2

  1 

1 3

  1 

1 4

30

   ....  1   

1 79

M = ( 10

  

A) 549 D) 540

50 cifras  

15

15

– 1 )( 10

B) 531

+1)

C) 530 E) 900

2

2

50 cifras

C) 56 E) 60

A) 100 D) 400

4. Halle el valor de “E” en E  22...22 11...11  11...11 22...22

        100 cifras 100 cifras

+ 1 )( 10

    A  1111...111   2  1111...111   0  100 cifras   100 cifras 

  

B) 30

C) 190 E) 100

9. Efectué y dé como respuesta la suma de cifras de:

16 1616 161616 161616. . . 16 N   ... 25 2525 252525 252525. . . 25

A) 20 D) 40

B) 290

8. ¿Cuál es la suma de cifras del producto?

C) 298 E) 300

3. Halle el valor de “M + N” en

 M  1 

C) 14 E) 18

7. En una circunferencia se ubican 20 puntos distintos. ¿Cuántos arcos se pueden formar con dichos puntos?

2. Halle el valor de “M + N” en

A) 296 D) 302

B) 12

B) 200

C) 300 E) 500

10. Al tomar una hoja cuadriculada de 20 cuadraditos por lado y trazar una de sus diagonales principales. ¿Cuántos triángulos se forman?

100 cifras 100cifras

Dé como respuesta la suma de cifras de E A) 150 D) 121 Braulio Gutiérrez Pari

B) 180

A) 420 D) 320

C) 100 E) 300 -14 -

B) 210



CEPRE - UPeu -

15. Calcular el valor de “M”

11. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer “SAN JUANITO” O

M 

T I S A S

A N

A S

J

A S

J

O

N A

N

T I

U

A

A

T I

S

O

N

T I

A) 200 D) 298

O T O

A) 1016 D) 1024

B) 1800

B) 290

E  545454 . . . 54 x 9999 . . . 999

     100 cifras

,

C) 280 E) 289

17. Halle la suma de cifras de “E”

C) 1600 E) 3225

12. Cuántos cuadriláteros en total se contarán en la figura número 20?

,

C) 13 E) 16

( 1x3x5x7x . . . x1 999 )2  . . . ab Calcular E  ( a x b  a  b)2

O

N

B) 15

16. Sabiendo que

T I

U

110x70  400

A) 11 D) 10

O

N A

N

T I

U

1020 x 960  900

O

N

Juliaca -

A) 900 D) 1 350

...

18.

Si

150 cifras

B) 800

C) 820 E) 1 530

( m  n  p )2  m25

Halle E  mn3  p2n  4mp  npm Fig. 1

Fig. 2

A) 667 D) 675

A) 1 870 D) 2 230

Fig. 3

B) 861

C) 700 E) 600

19.

Si:

13. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra “INGRESO” I N G R A) 15 D) 36

N G R E

G R E S

A) 7/9 D) 5

R E S O

B) 16

B) 1 980

4( a b  c  d )2  abcd c d Halle M  a b B) 4

C) 7 E) 9/8

20. Calcule el total de bolitas en la figura C) 32 E) 20

14. ¿De cuántas maneras distintas se puede leer la palabra “RECONOCER” si se pueden repetir letras? A) 255 B) 156 C) 322 D) 364 E) 256

C) 2 088 E) 2 400

80 bolitas

N O C E E E E R R R R R


O

C

C

A) 6 440 D) 4 890

-15 -

B) 6 400

C) 8 100 E) 8 846 Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Planteo de Ecuaciones Plantear una ecuación significa que el enunciado de cualquier problema es interpretado, comprendido para luego expresarlo en una ecuación matemática, la cual dará la solución al problema planteado. A continuación veamos algunos ejemplos de la traducción de ciertos enunciados dados y su respectiva representación matemática. Enunciado

Expresión Matemático

“A” excede a “B” en 5

A–B=5

“M” es excedido por “N” en 3

N–M=3

El doble de lo que tengo aumentado en 5

tengo x: 2x + 5

El doble, de lo que tengo aumentado en 5

tengo x: 2(x+5)

“A” es dos veces que “B”

A = 2x B=x

“A” es dos veces más que “B”

A = 3x B=x

He comprado tantas camisas como soles cuesta cada uno

# S/. c/u = x # camisas= x

La suma de tres números consecutivos

número:x (x-1)+x+(x+1)

OBSERVACIONES

“A” gana 4 soles más que “B”

“A” = x + 4 “B” = x

“A” es a “B” como 3 es a5

“A” = 3K “B” = 5K

Una vez más < > el doble Dos veces más < > el triple Tres veces más < > el cuádruplo El triple <> dos veces más <> 2 veces mayor. Ejemplo: Perdí el triple de lo que aún tengo; de no ser así, cuando compre un libro de S/. 30 me hubiera sobrado tanto como hoy me falta. ¿Cuánto tenía? Resolución

Cuatro menos dos veces un número

numero x: 4 – 2x

Cuatro menos de dos veces un numero

número x: 2x – 4

Perdí = 3x aún tengo (no perdí) = x tenía = ( 3x + x ) = 4x cuando no perdí

suma de los cuadrados números x, y 2 2 de dos números x +y

4x – 30

cuando perdí =

30 - x

Sobra El cuadrado de la suma números x,y 2 de dos números (x+y)

falta

5x = 60 x = 12  tenía = 4(12) = S/. 48


-16 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas I 1. Una persona regala 10 céntimos por cada sol que tiene. Si al final le quedan 108 soles ¿Cuántos soles regaló? A) 24 D) 120

B) 240

C) 12 E) 1200

2. Una sandia pesa 4 Kg más media sandia; ¿Cuánto pesa sandia y media? A) 6 Kg D) 9 Kg

B) 8 Kg

C) 10 Kg E) 12 Kg

B) 3

B) 180

A) 13 D) 12

C) 4 E) 5

B) 172

C) 176 E) 45

A) 120 D) 35

B) 44

C) 144 E) 112

A) 24 D) 35


B) 18

C) 20 E) 10

B) 125

C) 30 E) 40

B) 30

C) 25 E) 48

12. Si el número de sillas es igual al de mesas, el número de bancas es igual a la mitad del número de sillas. Si entre sillas, mesas y bancas, se tiene 30 cosas. ¿Cuántas bancas hay?

C) 54 E) 84

7. Por un par de zapatillas y un par de zapatos he pagado S/. 148. Si el precio de las zapatillas era S/. 16 menos. ¿Cuánto costaron las zapatillas? A) 23

B) 72

11. El costo de un pantalón es igual al doble del costo de una camisa, menos S/. 5. Si una persona compra 5 pantalones y 6 camisas pagando un total de S/, 359. ¿Cuánto cuesta una camisa?

6. Luchín compró artefactos a 4 por S/.130 y los vende a 7 por S/. 270. si debe ganar S/. 510. ¿Cuántos artefactos tiene que vender? A) 34 D) 64

C) 8 E) 11

10. El costo de un libro es la mitad del costo de una lámpara; si una persona compra 5 libros y 3 lámparas pagando un total de S/. 1 320. ¿Qué costo tiene un libro?

5. Beto compra 6 naranjas por S/. 4 y vende 4 naranjas por S/. 6. ¿Cuántas naranjas tendrá que vender para ganar S/. 180? A) 216 D) 156

B) 10

9. Arturo tiene 2 veces más de lo que tiene Raúl, si Arturo le da S/. 18 a Raúl entonces tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto tienen los dos?

4. Al comprar 10 manzanas me regalan 2 y al vender 15 regalo 1. ¿Cuánto debo comprar para ganar 24 manzanas? A) 164 D) 178

E) 66

8. Cuando se posa una paloma en cada poste hay 3 palomas volando. Pero cuando en cada poste se posan 2 palomas, quedan 3 postes libres. ¿Cuántas palomas hay? A) 12 D) 9

3. Los animalitos que tiene Patricio son todos perritos menos 5; todos gatitos menos 7 y todos loritos menos 4. ¿Cuántos gatitos tiene? A) 1 D) 2

D) 15

A) 4 D) 10

B) 6

C) 8 E) 12

13. Un muchacho debe pintar 42 piezas de porcelana, por lo cual cobra S/. 9 por cada una, pero en caso de romper una

C) 20 -17 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

le sería descontado S/. 5. Al terminar su trabajo recibe solo S/. 14. ¿Cuántas piezas logró pintar? A) 16 D) 20

B) 18

alcanzaron disponen? A) 15 D) 21

C) 40 E) 10

B) 14

A) 25 D) 21

C) 1 E) 20

B) 15

A) 4 D) 7

C) 12 E) 11

B) 10

A) S/.100 D) S/.90

C) 15 E) 8

B) 282

C) 243 E) 214

A) S/.20 D) S/.30

18. En una fiesta a la que asistieron 53 personas, en un momento determinado 8 mujeres y 15 hombres no bailan. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fiesta? A) 23 D) 15

B) 18

B) 28

C) 20 E) 25

B) 5

C) 6 E) 8

B) S/.120

C) S/.80 E) S/.110

B) S/.15

C) S/.60 E) S/.45

24. En un corral hay conejos y gallinas; Si el doble de ojos es 20 menos que el doble de patas. ¿Cuántos conejos hay? A) 8 D) 4

C) 20 E) 10

B) 7

C) 3 E) 5

25. Se desea repartir manzanas equitativamente entre cierto número de niños sobrando 3 manzanas; pero si les da 2 manzanas más a cada uno faltarían 7 manzanas. ¿Cuántos niños son? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 8

19. En un salón de clases se reparten 210 cuadernos. Al primer alumno le toca un cuaderno, al segundo dos cuadernos, al tercero tres cuadernos y así sucesivamente. ¿Para cuántos alumnos Braulio Gutiérrez Pari

C) 20 E) 25

23. Aún tengo tanto como mitad de lo que he perdido, de no haber perdido, me hubiera sobrado tanto como hoy me falta para comprar un zapato de S/.30. ¿Cuánto tenía inicialmente?

17. Me falta para tener S/. 486 el doble de lo que me falta para tener S/. 384. ¿Cuánto tengo? A) 228 D) 218

B) 18

se

22. Gasté los 2/3 de lo que no gaste y aún me quedan S/. 20 más de lo que gaste. ¿Cuánto tenía?.

16. Patricio tiene 18 monedas y tiene S/.58 entre monedas de S/.5 y S/. 1. ¿Cuántas monedas de S/. 5 tiene? A) 18 D) 5

que

21. Alex y Bruno están jugando a los naipes, acuerdan que el que pierde dará al otro S/. 2. Si después de 13 juegos consecutivos Alex ha ganado S/. 10. ¿Cuántos juegos ha ganado Bruno?

15. Tito tiene 20 manzanas y decide venderlos a S/. 2 cada uno, luego de vender algunas de ellos, se decide vender el resto a S/. 1 cada uno. Si obtiene en total S/. 35 ¿Cuántas manzanas vendió a S/. 2 ? A) 19 D) 13

cuadernos

20. Se han comprado cierto número de libros por S/. 100. Si el precio por ejemplar hubiera sido un sol menos, se tendría 5 ejemplares más por el mismo precio, ¿Cuántos libros se compró?

14. En una prueba de 20 preguntas, la pregunta correcta vale 5 puntos, la incorrecta vale -2. Si Roberto logró 40 puntos. Indicar el número de preguntas correctas. (5 preguntas dejó en blanco) A) 15 D) 10

los

Juliaca -

-18 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas II 1. Entre 24 personas deciden pagar en partes iguales una deuda, pero resulta que 8 de ellos solo pueden pagar la mitad de lo que les corresponde, obligando de esta manera a que cada uno de los restantes agregue a su cuenta S/.6. ¿A Cuánto asciende la deuda total? A) S/. 240 D) S/. 160

B) S/. 500

5. Roberto quiso comprar cierta cantidad de revistas con cierta suma de dinero, pero al ver que el precio de cada revista había bajado en S/. 2, compró 4 revistas más por la misma suma. Si el número de soles que pagó por cada revista y el número de revista que compró suman 16. ¿Cuánto gastó en la compra de revistas? A) S/. 18 B) S/. 15 C) S/. 60 D) S/. 48 E) S/. 72

C) S/. 680 E) S/. 576

2. Un microbús parte de la ciudad ”A” a la ciudad “B”, llegando al paradero final con 53 pasajeros. Se sabe que el valor de cada pasaje es S/. 3. y que se ha recaudado S/. 195. Si en cada paradero que bajaba un pasajero y subían 3. ¿Con cuántos pasajeros partió del paradero inicial? A) 28 D) 31

B) 29

6. Un terreno cuadrado está sembrado con árboles equidistantes entre si, se sabe que en el interior hay 476 árboles más que en el perímetro. ¿Cuántos árboles hay en total? A) 529 D) 676

B) 70

A) 102 D) 105


B) 36

B) 103

C) 104 E) 107

8. Se desea colocar estacas en un terreno de forma cuadrada colocándolas a igual distancia una de la otra en ambos sentidos. La primera vez le faltaron 27 y la segunda vez pone una menos en ambos sentidos y sobra 38. ¿Cuántas estacas tenía el terreno?

C) 60 E) 66

4. En un establo hay vacas, Ovejas y gallinas; se observa que el número de patas de gallinas es el triple de la cantidad de vacas y la cantidad de patas de Ovejas es 5/2 de la cantidad de patas de vacas. Si la diferencia entre el número de patas y el número de cabezas es 120. ¿Cuántas gallinas hay en total? A) 49 D) 20

C) 625 E) 826

7. Un tren con 325 turistas tiene que ir de “A” a “B” (distantes 150 km). Los de primera clase pagan 4 céntimos por km. Y los de segunda 2 céntimos por km. ¿Cuántos turistas iban en la primera clase, si la recaudación al llegar a “B” fue de S/. 1 296?

C) 30 E) 35

3. Un microbús llego a su paradero final con 50 adultos, 30 niños y una recaudación de S/. 200. El pasaje de un adulto es de S/. 2 y de un niño S/. 1. Además en cada paradero subían 5 adultos junto con 2 niños y bajaban 2 adultos junto con 3 niños. ¿Con cuántos pasajeros partió del paradero inicial? A) 80 D) 55

B) 576

A) 1 061 D) 1 040

B) 1 062

C) 1 052 E) 1 072

9. Cierta cantidad de alumnos se reúnen para ir de paseo, viene un bus y se lleva 110 hombres, quedando la relación entre hombres y mujeres restantes como 2 es a 10. En el siguiente bus se van 80 mujeres y la relación de hombres y

C) 25 E) 15

-19 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

mujeres que quedan es de 3 a 7. ¿Cuántos alumnos (hombres y mujeres) no fueron de paseo? A) 90

B) 210 C) 190 D) 100

E) 390

10. De una reunión de hombres y mujeres se retiran 15 mujeres, y quedan así dos hombres por cada mujer. Después se retiran 45 hombres y quedan entonces cinco mujeres por cada hombre. ¿Cuántos hombres había al inicio? A) 90 D) 40

B) 100

B) S/. 600

B) 12

C) 80 E) 50

A) 75 D) 83

B) 16

C) S/. 700 E) S/. 1 000

A) 5 D) 12

B) 80

C) 70 E) 90

B) 16

C) 8 E) 6

17. Un profesor debe encargar resolver cierto número de problemas a sus alumnos. Si encarga un solo problema a cada alumno sobran n problemas, pero si encarga n problemas a cada alumno, se quedan n sin resolver. Si alumnos y problemas suman menos de 15. Indique cuántos alumnos hay en total.

C) 14 E) 17

A) 10 D) 8

B) 6

C) 7 E) 9

18. Una persona compró cierta cantidad de libros por un valor de S/. 60. Se le extraviaron 3 de ellas y vendió el resto en S/. 2 más de lo que le había costado cada uno, ganando en total S/. 3. ¿Cuántos libros compro?

C) 10 E) 24

A) 15 D) 20

14. En un cuarto hay 90 focos encendidos y en otro cuarto un número igual de Braulio Gutiérrez Pari

C) 32 E) 40

16. En una balanza de dos platillos se tiene 38 naranjas que pesan 25 gr. cada uno y 77 naranjas que pesan 10 gr. cada uno. ¿Cuántas naranjas se deben intercambiar para que se encuentren en equilibrio, sabiendo que de ambos lados se saca la misma cantidad de naranjas?

13. Se divide un terreno rectangular en 99 parcelas cuadradas de 64 m 2 cada uno. En cada esquina de las parcelas, se coloca un poste, empleándose en total 120 postes. ¿Cuál es la diferencia entre la medida del largo y el ancho del terreno rectangular? A) 8 D) 12

B) 24

15. Pablo vende una canasta de peras y otra de naranjas con igual número de frutas cada una. La canasta de naranjas se vende en 150 soles menos que el de peras. Sabiendo que siete naranjas valen tanto como cinco peras y que todo se vende por S/. 70. ¿Cuál es el número de frutas de cada canasta?

12. Un terreno de forma cuadrada está sembrado con árboles equidistantes entre si por 2 m. se sabe que en el interior hay 1 841 árboles más que en el perímetro. ¿Cuál es dicho perímetro? Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 10 D) 16

apagados: Si se apagan 6 focos del primer cuarto, se encienden 4 del otro. ¿Cuántos focos se encendieron hasta que hubo igual cantidad de focos encendidos en ambos cuartos? A) 48 D) 36

11. José tiene S/. 200 más que Betto pero S/. 300 menos que Luís. Ana tiene S/. 200 menos que Felipe pero S/. 400 más que Darío. Claudia tiene la mitad de lo que tiene Mario y este tiene S/. 300 menos que lo que tiene Pedro. Si José, Ana y Claudia tienen la misma cantidad de dinero y entre todos tienen S/.11 200. ¿Cuánto tiene la persona con menos dinero? A) S/. 500 D) S/. 800

Juliaca -

-20 -

B) 60



CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas III 1. Una vendedora tenía dos cajas de manzanas donde las cantidades estaban en la relación de 3 a 2, primera y segunda caja respectivamente; por cada 5 manzanas que sacaba de la primera caja, de la segunda sacaba tres para ponerla en la primera y una la tiraba por estar malograda. Cuando había 90 manzanas en la primera, había 20 manzanas en la segunda caja. ¿Cuántas manzanas había inicialmente en la primera caja? A) 120 y 80 D) 114 y 76

B) 135 y 90

canicas para completar el cuadrado. ¿Cuántas canicas hay? A) 1 717 D) 1 972

B) 22

A) 54 D) 34

C) 126 y 64 E) 144 y 96

B) 16

A) 15 D) 21

C) 170 E) 160

B) 18

C) 20 E) 25

7. Para pavimentar un patio cuadrado se emplean losetas de 50x50 cm. Si el patio tuviera 1 metro más por cada lado se habrá necesitado 140 losetas más. ¿Cuánto mide cada lado del patio?

C) 31 E) 42

A) 12 m. D) 17 m.

B) 15 m.

C) 16 m. E) 19 m.

8. Un jardinero quiere plantar árboles igualmente esparcidos en un terreno cuadrado de 234 m. de lado. Si la separación entre árbol y árbol fuera de 6m., faltarían 908 árboles. Determine la distancia que debe haber entre ellos de manera que le sobren 331 árboles.

C) 17 E) 19

A) 10 D) 12

4. Una persona dispone sus canicas formando un cuadrado y observa que le sobran 36 y si pone dos filas más a cada lado del cuadrado le faltan 136


B) 17

6. En un salón de clases se reparten 210 cuadernos. Al primer alumno le toca un cuaderno, al segundo dos cuadernos, al tercero tres cuadernos y así sucesivamente. ¿Para cuántos alumnos alcanzaron los cuadernos que se disponen?

3. Se tiene dos cajas que contienen lapiceros, el segundo contiene el doble que el primero; cuando se saca igual cantidad de ambos, lo que contiene el segundo es el triple del primero, si agregamos 27 lapiceros a lo que queda en el primero obtendremos tantos lapiceros como tenía el segundo al inicio. ¿Cuántos lapiceros tiene la primera caja? A) 15 D) 18

C) 1 885 E) 1 628

5. Una moneda circular tiene 13 mm de radio. ¿Cuántas de estas monedas son necesarias para cubrir una longitud en línea recta de 4,42 m, colocándolas uno junto a la otra?

2. En dos oficinas A y B de un ministerio había en el año 1 942 cierto número de empleados. En 1 943 se aumentaron 5 empleados a A y 6 a B, resultando esta con el doble número de funcionarios que A. En 1 944 se aumentaron 2 a B y quedaron 4 cesantes en A, resultando esta oficina con la tercera parte de funcionarios que B. ¿Cuántos empleados habían en las dos oficinas en 1 944? A) 40 D) 39

B) 1 800

B) 9

C) 14 E) 13

9. Cuando tú tengas el dinero que él tiene, él tendrá la mitad del dinero que tú y yo tenemos y le será suficiente para comprarse un automóvil de $ 3 600 y -21 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

14. En dos habitaciones hay un total de 90 focos, de los cuales hay un cierto número de focos prendidos. Luego se prenden tantos focos como el número de focos prendidos excede al de los apagados; resultando el número de focos prendidos el doble de los apagados. ¿Cuántos estaban prendidos inicialmente?

aún quedarse con $ 400. Si tú tienes la cuarta parte de lo que él tendrá en ese entonces. ¿Cuánto dinero tengo? A) $ 7 000 D) $ 6 000

B) $ 7 500

C) $ 7 600 E) $ 2 500

10. Compre cierto número de libros a 5 por S/. 6, me quedé con la tercera parte y vendí el resto a 4 por S/. 9, con lo cual obtuve una ganancia de S/. 9. ¿Cuántos libros compré? A) 15 D) 18

B) 20

A) 50 D) 55

B) 110 L

A) S/. 18 D) S/. 20

B) 78

C) 92 L E) 122 L

a + b A) 3m + 2n 2a + b D) mn

B) S/. 53

C) 72 E) 76

A) 2m D) 2m+1

C) S/. 19 E) S/. 15

B)

ab m+ n

a + 2b C) 2n – m a + b E) m - n

B) m+n

C) 2n-1 E) m

18. En un zoológico se observa 2 avestruces por cada 4 águilas y 5 jirafas por cada 3 águilas, si en total se contaron 114 cabezas. Halle el número de patas de los avestruces.

C) S/. 54 E) S/. 56

A) 36 Braulio Gutiérrez Pari

B) S/. 17

17. Un padre deja una herencia a sus hijos de S/. (2mn), pero “m” de éstos hijos renuncian a lo que le corresponde; y cada uno de los restantes se benefician con S/. n más. Si cada hijo recibe la misma cantidad de dinero. ¿Cuántos hijos son los beneficiados?

13. Yo tengo el triple de la mitad de lo que tú tienes más 10 soles. Si tú tuvieras el doble de lo que tienes, tendrías 5 soles más de lo que tengo. ¿Cuánto tengo? A) S/. 52 D) S/. 55

C) 45 E) 60

16. Un carnicero antes de iniciar la venta diaria razonaba: “Si vendo cada kilogramo de carne a S/. m compro una batidora y me sobraría S/.a, pero si vendo cada kilogramo a S/.n me faltarían S/.b”. ¿Cuántos kilogramos de carne pensaba vender el carnicero?

12. Bruno razonaba así: “con los alumnos que tengo puede formar un triángulo equilátero compacto, pero si aumentáramos 66 alumnos más, se podría formar con todos los alumnos un cuadrado compacto, en cuyo lado el número de alumnos es el mismo que hay en el lado del triángulo anterior”. ¿Cuántos alumnos hay? A) 70 D) 82

B) 40

15. Para ganar S/. 270 en la rifa de un artefacto se hicieron 90 boletos, vendiéndose únicamente 75, originando así una pérdida. ¿Cuál es el mínimo valor entero al que se vendió cada boleto?

C) 30 E) 25

11. Se tiene 2 recipientes de vino. Del primero se hecha al segundo tanto como había en éste. Luego, del segundo se hecha al primero tanto como había quedado en éste último, finalmente del primero se hecha al segundo tanto como había en éste después de la segunda operación. Al final en el primer recipiente quedó 160 L y en el segundo 120 L. ¿Cuánto más de vino había en uno que en el otro recipiente, al inicio? A) 43 L D) 88 L

Juliaca -

-22 -

B) 38

C) 40

D) 62

E) 32

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas VI 1. Si un objeto costara S/. “n”, podría comprar “m” de ellos con S/. 480 y si el precio de cada uno aumentase en S/. 20, podría comprar dos objetos menos con la misma cantidad de dinero. Halle “m+n”. A) 60 D) 69

B) 66

B) 24

C) 40

A) 39 D) 56

B) S/. 30

E) 38

A) 8

B) S/. 1.5

C) S/. 12 E) S/. 31

A) 10

B) 9

C) 10

D) 12

E) 11

B) 12

C) 15

D) 18

E) 20

9. En un examen de 140 preguntas con duración de 3 horas, un postulante dedicaba 60 minutos para leer y responder 40 preguntas, y de cada 10 sólo acierta 5. ¿Cuántos no acertó o dejó de responder?

C) S/. 2.5 E) S/. 2

A) 80

5. Me falta “a” soles para comprar “m” pares de zapatos y me sobraría “b” soles si comprara (m-1) pares. Luego, el costo de un par de zapatos es: Braulio Gutiérrez Pari

C) 54 E) 108

8. Se tiene 180 caramelos para ser distribuidos en partes iguales a un grupo de alumnos. Si se retirasen 3 alumnos los restantes recibirán 8 caramelos cada uno, más que en el caso en el cual en vez de retirarse llegasen 3 alumnos y se repartiesen los caramelos entre todos ellos en forma equitativa. ¿Cuántos alumnos hay en el aula?

4. Una persona fue a una pastelería con S/. 23 que le alcanzaban para comprar exactamente 4 pasteles y 6 alfajores. Al parecer los pasteles eran mas ricos, por lo que invierte el pedido recibiendo de vuelto S/. 1. ¿Cuál es el costo de un pastel? A) S/. 1 D) S/. 3

B) 47

7. Cierto número de personas alquilan un camión en 320 soles, en el momento de la salida faltan 2 personas y por eso los demás tienen que pagar cada uno 8 soles más. ¿Cuántas personas había inicialmente?

3. Lo que me debe Alberto es 6 veces más de lo que me debe Carlos y lo que me debe Betto es el cuádruplo de lo de Carlos, si le prestara S/. 4, S/. 5 y S/. 6 a Carlos, Betto y Alberto ahora me deberían en total S/. 51. ¿En cuánto excede lo que me debe Alberto al exceso de lo que me debe Carlos respecto de lo que me debe Betto? A) S/. 15 D) S/. 17

E) (a+b) 2

6. La cantidad de nuevos soles que tiene Alex es mayor a S/. 197 pero menor que S/. 205. Si los reparte entre sus tres hijos de tal modo que Beto obtiene 15 soles más que José; y Toño recibió el doble de lo que recibió Beto. ¿Cuántos soles recibió José, si es una cantidad entera la que reciben todos?

C) 68 E) 70

D) 32

C) a-b

D) 4(a+b) 3

2. Si un microbusero recaudó S/. 200, habiéndose distribuido 120 boletos entre pasaje entero y medio pasaje; el primero cuesta S/. 2 y el segundo S/. 1. Determine, cuántos de los pasajeros eran universitarios, sabiendo que supera en 8 al número de niños y éstos también pagan medio pasaje al igual que los universitarios. A) 16

B) 3(a-b) 4

A) a+b

B) 70

C) 60

D) 20

E) 30

10. Se tiene 3 montones de canicas, donde las cantidades son -23 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

15. Jaime compró tantos artículos como soles pagó por cada uno. Si al vender todo lo comprado recibe en soles el doble del número de artículos, aumentado en cuatro. Calcule la ganancia máxima obtenida por Jaime.

proporcionales a 6, 7 y 11. Si del montón mayor se toman 12 canicas para distribuirlo entre los restantes al final los tres montones tendrán la misma cantidad. ¿Cuántas canicas hay en total? A) 90 D) 55

B) 92

A) S/. 8 D) S/. 2

C) 94 E) 96

B) 6

C) 8 E) 9

A) 1 156 D) 1 670

12. De una reunión de hombres y mujeres se retiran 15 mujeres, y quedan así dos hombres por cada mujer. Después se retiran 45 hombres y quedan entonces cinco mujeres por cada hombre. ¿Cuántos hombres había al inicio? A) 90 D) 40

B) 100

B) (AS - S) N 2

C) 80 E) 50

A) S/. 40 D) S/. 100

2

C) ( NS - A ) S+N

C) 792 E) 1 584

B) S/. 50

C) S/. 80 E) S/. 120

18. Hugo y Carlos juegan sobre la base de que el perdedor entregará S/. 10 al ganador. Después de 60 jugadas, Hugo resultó ganando S/. 280. ¿Cuántas jugadas de las 60 ganó cada uno? A) 20 y 40 D) 44 y 16

E) ( NA - S ) S-N

B) 30 y 30

C) 35 y 25 E) 10 y 50

19. Una persona debe vender todo su stock de televisores para cubrir algunos gastos extras. Si vende cada TV a su precio normal ganará S/. 4 000; pero si remata cada TV en S/. 90 menos, perdería S/. 2 300. ¿Cuántos TV tiene?

14. Un ómnibus viaja del punto “A” a “B”, cobrando un pasaje único de S/. 50. En cada paradero, por cada pasajero que bajaba, subían 4; si al paradero final llegó con 75 pasajeros y una recaudación de S/. 4 420 incluido el seguro de cada pasajero que es de S/. 2. ¿Cuántos pasajeros partieron del paradero inicial?


B) 1 056

2

D) ( NA + S ) S-N

A) 42 D) 32

C) S/. 5 E) S/. 4

17. Gasto 50 soles y el triple del dinero que me queda es mayor que 147 soles. Si al doble del dinero que tenía antes de gastar es menor que 202, ¿Cuánto dinero me queda si éste es un número entero de soles?

13. Bruno tiene cierta cantidad de dinero, si compra “N” caramelos le sobrarían “S” soles; pero si compra “S” caramelos necesitará “A” soles más. ¿Cuánto dinero tiene Bruno? A) S - N

B) S/. 6

16. El comandante de un destacamento observa que haciendo marchar a sus soldados de modo que en cada fila formen 4, le resultan 132 filas más que si en cada fila formasen 6. ¿Cuántos hombres tiene el destacamento?

11. De los S/. 245 que dispongo para sus propinas de mis hijos, sólo me quedan S/. 5; pero 5 de ellos son adultos y no aceptan, por lo que me sobraría S/. 155. ¿Cuántos hijos tengo? A) 10 D) 12

Juliaca -

B) 43

A) 60 D) 90

C) 45 E) 38

B) 70

C) 80 E) 50

Encomienda a Jehová tu camino, y confía en él; y él hará (Sal 37:5)

-24 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

- Del cuadro se observa que cuando nació “B” el sujeto “A” tenía 5 años, pues la diferencia de edades es 5 años.

Problema Sobre Edades I. Cuando interviene la edad de un solo sujeto -5

A

- y Cuando “B” tenga 55 años, “A” tendrá 60 años, pues debe mantenerse la diferencia de 5 años

+7

Pasado

Presente

Futuro

2

7

14

Juliaca -



A

II. Cuando interviene las edades de dos o más sujetos -5 +10

B

-5

+10

Pasado

presente

futuro

28

33

43

30

40

60

60

75

105

C D

Pasado

Presente

Futuro

A

15

20

30

B

10

15

25

E F

c) Relaciones con el año de nacimiento

 La diferencia de edades en cualquier tiempo es la misma (Constante)

- Si la persona ya cumplió años en el presente

 La suma de edades en forma de aspa de valores ubicados simétricamente es la misma (Constante)

Año Edad + nacimiento actual

Del cuadro:

=

año actual

a) Diferencia - Si la persona aún no cumple años en el presente

15 – 10 = 20 – 15 = 30 – 25 = 5 Pasado

Presente

Futuro Año Edad año + = -1 nacimiento actual actual

b) Suma en aspa Pasado , presente 15 + 15 = 10 + 20

= 30

Presente , Futuro 20 + 25 = 15 + 30

= 45

No le digas a Dios cuán grande son tus problemas, dile a tus problemas: ¡Cuán grande es Dios!

Pasado , Futuro 15 + 25 = 10 + 30 Braulio Gutiérrez Pari

= 40 -25 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas I 1. La edad de un padre y sus tres hijos suman 72 años. Dentro de 6 años, él tendrá el doble del hijo mayor; dentro de 12 años, tendrá el doble de la edad del segundo, y dentro de 18 años, tendrá el doble de la edad del tercero. ¿Cuál es la edad del padre? A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 E) 38

6.

A) 2 D) 5

2. Carlos le dice a Diana: “Yo tengo 3 veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tengas la edad que tengo, La suma de nuestras edades será 35 años”. ¿Cuál es la edad de Carlos? A) 12 D) 15

B) 13

B) 28 años

C) 14 E) 16

A) R – an B) an – R D) R – a(n – 2)

B) 1 718

C) 34 años E) 19 años

A) 1998 D) 1996

B) 50 años


C) R – a(n – 1) E) R – n(a – 1)

B) 1999

C) 1997 E) 1995

9. Las edades actuales de dos jóvenes se encuentran en la relación de 3 a 4; pero hace “n” años estaban en la relación de 5 a 7 y dentro de 3n años sumarán 60 años. ¿Hace cuántos años una edad era una vez más que la otra? A) 8 D) 17

C) 1 716 E) 1 750

B) 10

C) 12 E) 14

10. La edad de un elefante será dentro de 55 años, un cubo perfecto; hace 65 años su edad era la raíz cúbica de ese cubo. Indicar la suma de cifras de la edad de dicho paquidermo.

5. Cinco días de mi cumpleaños dije: Si yo hubiera nacido 6 años antes, hoy tendría la tercera parte de la edad de mi madre si es que ella hubiese nacido 15 años antes. Si cuando cumpla años, tendré la mitad de la edad de mi madre, si es que ella hubiese nacido 10 años después. ¿Cuántos años tiene mi madre? A) 42 años D) 30 años

C) 4 E) 6

8. Tania nació en 19nm y en 19mn cumplió (m+n) años. ¿En qué año cumplió mn años?

4. Cuenta mi abuelita que a un antepasado mío le ocurrió algo muy curioso y es que 3 tuvo “a” años en el año a . Además me contó que este antepasado mío vivió hasta el año 1 800. ¿En qué año nació mi antepasado? A) 1 720 D) 1 725

B) 3

7. En el año “a” un profesor sumó los años de nacimiento de “n” estudiantes y luego las edades de todos ellos; enseguida sumó ambos resultados y obtuvo “R”. ¿Cuántos estudiantes ya cumplieron años en dicho grupo?

3. Mary dice: “En el año 2018 tendré 4 veces más que la edad que tenía en 1986”. ¿Qué edad tiene actualmente Mary, Si estamos en el 2012? A) 27 años D) 30 años

En Junio del 2012, 20 alumnos procedieron a sumar los años de nacimiento de cada uno y por otro lado se sumo las edades también de cada uno, dando como resultado global 40115. ¿Cuántos alumnos todavía no cumplieron años en el presente?

A) 3 D) 8

B) 5

C) 6 E) 7

11. Hace 5 años, la edad de un padre fue cuatro veces la edad de su hijo; y dentro de 5 años será solamente el doble de la

C) 38 años E) 52 años -26 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

de su hijo. ¿Qué edad tendrá el padre, cuando el hijo tenga los años que tuvo el padre cuando nació el hijo? A) 25 D) 30

B) 44

tendrá Pedro cuando Luis cumpla 80 años? A) 56 años D) 58 años

C) 50 E) 5

B) 2

A) 16 años D) 17 años

B) 70 años

A) 14 D) 40


A) 20 D) 26


B) 22

C) 30 E) 37

B) 22

C) 24 E) 32

20. Una persona en el mes de Junio sumó a los años que tiene todos los meses que ha vivido y obtuvo 263. ¿En que mes nació?

A) a(n+m+1) B) a(n - m) C) a(n + 1) m-1 m-1 m-1 D) a(n - m - 1) E) a(n - m + 1) m+1 m-1

A) Ene. D) Mar.

15. La edad que tendré dentro de “a” años es a lo que tenía hace “a” años como 5 es a 3. ¿Qué edad tendré dentro de “2a” años? Si mi edad actual es 40 años. B) 61 años

B) 18 años

19. Si al año en que cumplí 16 años le sumo el año en que cumplí 12 y le resto la suma de los años en que nací con el año actual, se obtiene 6. ¿Qué edad tengo?

14. La edad de un padre es “n” veces más que la edad de su hijo, cuya edad es “a” años. ¿Dentro de cuántos años su edad será solamente “m” veces la edad del hijo?



18. La edad de una persona será dentro de 3 años un cuadrado perfecto, pero hace 3 años era la raíz de ese cuadrado. ¿Qué edad tendrá dentro de 8 años?

C) 3 E) 6

13. Sandra le dice a Pepe: Yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tienes: Además la suma del triple de la edad que tienes con la que yo tendré cuando tengas lo que yo tengo es 280 años. ¿Qué edad tiene Sandra? A) 80 años D) 50 años

B) 55 años

17. Cuando tenía la edad que tú tenías cuando tenía 20 años, tú tenías 10 años. ¿Cuántos años tenía cuando tú tenías 12 años?

12. La suma de las edades de un hombre y su esposa es 6 veces la suma de las edades de sus hijos; hace 2 años, esta suma era 10 veces la de sus hijos y, dentro de 6 años, será 3 veces la edad de sus hijos. ¿Cuántos hijos tienen? A) 4 D) 5

Juliaca -

B) Nov.

C) May. E) Jul.

21. Hace 30 años las edades de Lucho y Mario estaban en la relación de 5 a 3, hace 12 años estaban en la relación de 4 a 3 y dentro de “n” años estaban en la relación de 7 a 6. ¿En que relación estarán sus edades dentro de (n/2) años?


16. Luis observó en cierto año del presente siglo, que el cuadrado de su edad era igual al año de su nacimiento, y que la edad de su primo Pedro era igual a la suma de las cifras del año en que él había cumplido 20 años. Qué edad

A) 13/11 D) 10/7

B) 13/15

C) 7/13 E) 6/5

Todo lo puedo en Cristo que me fortalece. (Fil 4:13) Braulio Gutiérrez Pari

-27 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas II 1. En junio del 2012, tres amigos Andrés, Bruno y Carlos suman sus edades a los años de su nacimiento, obteniendo como respuesta 6016. Si Andrés nació en Mayo y Bruno en Octubre. ¿En qué mes nació Carlos? A) Abril D) Marzo

B) Mayo


B) 24 años

C) Julio E) Enero

A) 1 D) 4

B) 17

C) 18 E) 20

A) 42 D) 30

4. Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años. ¿Dentro de cuantos años tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años? A) 10 D) 15

B) 13

B) 40

C) 12 E) 14

A) 43 D) 40

B) 50

C) 38 E) 52

B) 42

C) 36 E) 38

10. La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo, era la mitad de la suma de sus edades actuales. Si actualmente el hijo ha cumplido 25 años. ¿Qué edad tenía el hijo cuando las edades se los tres sumaban 95 años?

C) 48 E) 44

6. Si Magaly tiene ahora 2 años más que sus dos hijos juntos, y hace 8 años tenía 3 veces la edad del hijo menor y dos veces la del hijo mayor, en ese entonces. ¿Qué edad tenía el hijo mayor hace 5 años? Braulio Gutiérrez Pari

C) 3 E) ninguno

9. Carlos y Rita se casarón hace 6 años cuando sus edades estaban en la proporción de 13 a 11. Tuvieron su primer hijo hace 4 años cuando sus edades estaban en la proporción de 7 a 6. Si su hijo terminará la secundaria a los 15 años. ¿Qué edad tendrá entonces su padre?

5. Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Pero, cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 99 años. ¿Qué edad tengo? A) 36 D) 32

B) 2

8. Cinco días antes de mi cumpleaños dije: Si yo hubiera nacido 6 años antes, hoy tendría la tercera parte de la edad de mi madre si es que ella hubiese nacido 15 años antes. Si cuando cumpla años, tendré la mitad de la edad de mi madre, si es que ella hubiese nacido 10 años después. ¿Cuántos años tiene mi madre?


3. En 1998, la edad de Alex era tres veces más la edad de Beto y en 2006 la edad de Alex fue una vez más la edad de Beto. Halle la edad que Beto tendrá en 2013. A) 16 D) 19


7. En junio del 2012, Humberto calcula los promedios de las edades actuales junto con el promedio de los años en que nacieron sus cuatro hermanos, obteniendo 9,75 y 1995,5 respectivamente. ¿Cuánto de sus hermanos todavía no cumplieron años en el presente?

2. Dentro de “2a” años tendré 3 veces más de los años que tuve hace “a” años. Si los años que tuve, tengo y tendré suman 84 años. ¿Qué edad tengo? A) 43 años D) 36 años

B) 30 años

A) 25 D) 12 -28 -

B) 29



CEPRE - UPeu -

11. Las edades de una pareja de esposos es 6 veces la suma de las edades de sus “n” hijos; hace 2 años, esta suma era 10 veces la de sus hijos y, dentro de 6 años, será 3 veces la edad de sus hijos. ¿Cuántos hijos tienen? A) 4 D) 5

B) 2

16. A Tongo le preguntan por edad y responde: Si al año en que cumplí “a” años le suman el año en que cumpliré “b” años, y si a éste resultado le restan la suma del año en que nací con el año actual, obtendrán “c” de resultado. ¿Qué edad tiene Tongo?

C) 3 E) 6

A) a + b + c

B) 85 años

B) 31 años


A) 18 D) 28

B) 4


A) 2 D) 5

B) 59 años


B) 23

C) 26 E) 32

B) 4

C) 3 E) 6

19. Yo tengo la edad que tú tendrás cuando yo tenga el triple de la edad que tú tuviste, cuando yo tuve la mitad de la edad que tengo ahora. Si hace 5 años nuestras edades sumaban 35 años. ¿Cuántos años tengo?

C) 3 E) 6

A) 24 D) 28

15. El abuelo, el hijo y el nieto tienen juntos 100 años. El abuelo dice: “Mi hijo tiene tantas semanas como mi nieto días y mi nieto tiene tantos meses como yo años. La edad del abuelo es: (considere 1 mes <> 30 días) A) 61 años D) 80 años

E) a + b - c 2

18. Andrés y Beatriz tienen edades cuya suma es 4 veces más que la suma de las edades de sus “n” hijos; hace 3 años esta suma era 9 veces la suma de las edades de sus hijos y dentro de 2 años será 3 veces mayor que la suma de las edades de sus hijos. ¿Cuántos hijos tienen?

14. En el mes de junio de 2012 se le pidió a 8 alumnos que sumen los años que tienen a los años en los cuales nacieron y dicho resultado fue 16045. ¿Cuántos alumnos todavía no cumplían años en ese momento? A) 2 D) 5

C) a – b + c

17. La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo, era la tercera parte de la suma de sus edades actuales. Si ahora el hijo tiene 35 años. ¿Qué edad tenía éste cuando las edades se los tres sumaban 89 años?

13. Hilda le dice a Marilú: “Cuando yo tenía tu edad, Clarisa tenía 10 años” y Marilú le responde: “Cuando yo tenga tu edad, Clarisa tendrá 26 años”. Clarisa añade: “si sumamos los años que ustedes me llevan de ventaja, resultará el doble de mi edad”. ¿Cuál es la edad de la mayor? A) 30 años D) 41 años

B) a + b - c

D) a + b + c 2

12. Manuel tiene 3 sobrinos. Si hace 2 años la edad de Manuel fue 8/3 de la suma de las edades que tenía sus sobrinos; y dentro de 5 años la edad de Manuel será sólo 3/2 de la suma de las edades que tendrán en ese entonces sus sobrinos. ¿Cuál es la suma de las edades actuales de los cuatro? A) 27 años D) 83 años

Juliaca -

B) 29

C) 26 E) 20

20. Las edades de 3 hermanos (Raúl, Jaime y Bruno) hace 2 años estaban en la misma relación que los números 3; 4 y 5. Si dentro de 2 años serán como 5; 6 y 7. ¿Qué edad tiene el mayor?


A) 10 D) 12 -29 -

B) 13



CEPRE - UPeu -

Juliaca -

TIEMPO DE ALCANCE: ( ta )

Problemas Sobre Móviles

ta En esta parte se estudia el movimiento desarrollado por un cuerpo cuando éste lleva una rapidez constante

V1

V2

1

2

ta

d

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

v1ta Es aquél movimiento cuya trayectoria es rectilínea, en la cual el móvil recorre espacios iguales en tiempos iguales, siendo su velocidad constante

v2ta ta 

d v1  v2

v1 > v2

t v

El primer móvil en cada segundo descontará al segundo móvil ( v1 - v2 ) e

Donde:

ALGUNAS RELACIONES PARA ESPACIOS IGUALES ( e1 = e2 )

e=vxt

V 

t1

V1

UNIDADES DE LA VELOCIDAD

1

e

2

t

V2

t2

m/s, Km/h, cm/s, pies/s. 1 Km < > 1 000 m 1 h < > 3 600 s

v1

e1 = e2 v1t1 = v2t2

v2



t2 t1

TIEMPO DE ENCUENTRO: ( te ) V1

te

te

PARA TIEMPOS IGUALES ( t1 = t2 )

V2

2

1

V1

d v1te

1

v2te

e1 e2

2 te 

V2

d v1  v2

t1 = t2 e1

En cada segundo ambos móviles se aproximan ( v1 + v2 )


v1

-30 -



e2

v1

v2

v2



Cepre Upeu

e1 e2


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas Sobre Móviles 1. El auto que se muestra en la figura realiza un MRU; si de A hasta B emplea 2 s y de B hasta C emplea 3 s, determine x.

A

B 6m

A) 2 m D) 6 m

x

B) 4 m

A) 1 s D) 5 s

C

C) 5 m E) 9 m

3 m/s

2 m/s

60 m A) 5 s D) 20 s 6.

B) 15 s

C) 2 s E) 7 s

5. Dos atletas “A” y “B” separados 60m van uno al encuentro del otro. A partir del instante mostrado. ¿Cuánto tiempo transcurre para que los atletas estén separados 10 m por primera vez?

2. Un camión de 20 m de longitud emplea 2 s en ingresar a un túnel de 130 m. Determine durante cuántos segundos permanece completamente dentro del túnel

A) 10 s D) 9 s

B) 3 s

C) 11 s E) 13 s

3. El helicóptero y el auto realizan MRU. A partir del instante mostrado determine la distancia que los separa transcurridos 2 s.

B) 10 s

C) 15 s E) 25 s

Dos móviles “A” y “B” pasan simultáneamente por el costado del poste, ambos con rapidez constante de 4 m/s y 6 m/s respectivamente. Determine luego de Cuánto tiempo equidistan del punto “Q” (Ambos se dirigen hacia “Q”).

30 m/s

Q 120 m

120 m

A) 22 s D) 26 s

5 m/s

A) 60m D) 70m

B) 150m

30 m/s

V

P

3S

6m


B

4m

C) 24 s E) 28 s

7. A partir del instante que se muestra, determine a qué distancia del punto P el móvil “A” alcanza a “B”

C) 10m E) 130m

4. Un ciclista realiza un MRU. Determine el tiempo que emplea el ciclista al ir de B hasta C.

A

B) 25 s

A) 180m D) 150m

C

-31 -

5 m/s

150 m B) 200m

C) 250m E) 220m Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

8. Para conocer la longitud de un puente un estudiante mide el tiempo en que un tren de 200 m lo cruza completamente con rapidez constante de 20 m/s, obteniendo este 22 s. ¿Cuál es la longitud del puente calculada por el estudiante?

D) 70 s

B) 200m

C) 215m E) 265m

A) 20m D) 45m

B) 7:05 a.m

C) 7:00 a.m E) 6:30 a.m

A) 7pm D) 11pm

10. Un tren de “e” metros de longitud se demora 6 segundos en pasar frente a un observador y 24 segundos en pasar por un puente de 900m de largo. ¿Cuál es la longitud del tren? A) 200 m D) 300 m

B) 400 m

B) 7

C) 250 m E) 350 m

A) 20s D) 22s

B) 60 s


B) 7:30pm

C) 7:70am E) 11:30pm

B) 24s

C) 10s E) 28s

16. La rapidez de una lancha en aguas tranquilas es 10 km/h. Si la lancha recorre 24 km rio arriba y 24 km río abajo en un tiempo total de 5 h. ¿Cuál es la rapidez de la corriente del río? A) 10 km/h D) 2 km/h

C) 7,5 E) 9

B) 5 km/h

C) 3 km/h E) 6 km/h

17. Una escalera mecánica se mueve hacia arriba a una rapidez constante. Si Bruno sube caminando sobre ella, emplea 1 minuto; pero si baja por ella, emplea 100 segundos. ¿Qué relación hay entre la rapidez de la escalera y la rapidez de Bruno.

12. Cuando una persona está parado sobre una escalera mecánica en movimiento sube en 60 s. pero si caminara sobre la escalera en movimiento emplearía en subir 20 s. ¿En cuánto tiempo esta persona bajaría caminando sobre la misma escalera en movimiento? A) 50 s

C) 55m E) 50m

15. Para cruzar un puente, un tren debe recorrer 240m, con una rapidez constante de 36 Km/h. ¿Qué tiempo, en segundos, emplea durante dicho recorrido?

11. Dos ciclistas de los cuales uno es más veloz que el otro en 2 m/s, parten de un mismo punto y corren en sentido contrario en una pista circular de 300m. Si se encuentran 20 segundos después, hallar la rapidez del más veloz en m/s A) 6,5 D) 8,5

B) 30m

14. Un auto sale de la ciudad “A” a las 5pm y llega a la ciudad “B” al día siguiente a las 2pm. Otro auto sale de la misma ciudad a las 7pm y llega a “B” al día siguiente a las 9am. ¿A qué hora el segundo auto alcanzó al primero?

9. Todos los días una persona sale de su casa a la misma hora, y llega a su trabajo a las 8 horas 30 minutos. Cierto día triplicó su velocidad y llegó a las 7 horas 30 minutos. ¿A qué hora sale normalmente de su casa? A) 7:30 a.m D) 6:45 a.m

E) 80 s

13. El lobo feroz observa a Caperucita desde una distancia “d” que separa a ambos, luego empieza a perseguirla hasta alcanzarle, después que Caperucita a recorrido una distancia que excede en 15m a la que los separaba al comienzo. Si sus rapideces son 6m/s y 4m/s respectivamente. Hallar la distancia que recorrió el lobo feroz.

200 m A) 180m D) 240m

Juliaca -

A) 3/5 D) 7/3

B) 1/4

C) 2/5 E) 4/5

C) 64 s -32 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

18. Un camión si lleva carga viaja a 50 km/h y si no lleva carga viaja a 80 km/h. Si el camión recorrió 14 900 km. En 280 horas. ¿Cuántas horas del recorrido tuvo carga? A) 220 h D) 255 h

B) 278 h

peatón sube al automóvil y vuelve a su casa, mira el reloj y observa que ha tardado una hora menos en la vuelta que en la ida. ¿Cuántos kilómetros mide la distancia AB?

C) 240 h E) 250 h

A) 120 km D) 24 km

19. Dos móviles parten simultáneamente desde un punto P hacia otro punto Q. Uno va a 35 m/s y el otro a 56 m/s. Si después de cierto tiempo están distanciados 294 m y en ese instante, el más rápido dista de Q 120 m, calcule la distancia entre los puntos P y Q. A) 490 m D) 894 m

B) 610 m

B) 45 km

A) 28 s D) 30 s

C) 787 m E) 904 m

B) 4h

A) 286 D) 220

C) 50 km E) 35 km

B) 25m

C) 8h E) 5h

A) 14 m D) 12 m

C) 32 s E) 15 s

B) 240

C) 108 E) 114

B) 10 m

C) 11 m E) 13 m

27. Karen recorre 36 km en 8 horas: los 12 primeros kilómetros lo hace con una rapidez superior a 2 km/h a la rapidez con que recorrió el resto del recorrido. Calcule la rapidez con la que recorrió el primer trayecto.

C) 20m E) 10m

23. Un automóvil parte de la ciudad A hacia B, a la rapidez de 12 km/h, y en el mismo instante un peatón sale de la ciudad B hacia A con una rapidez de 4 km/h. En el momento del encuentro, el Braulio Gutiérrez Pari

B) 12 s

26. Andrea sale todos los días de su academia a las 2:00 p.m y a esa misma hora es recogida por su padre, que llega en su auto para llevarla a casa; pero un día, Andrea salió a las 1:38 p.m y fue caminando al encuentro de su padre quién, encontrándolo en el camino, dio vuelta a casa llegando, por eso, 20 minutos antes que de costumbre. ¿Cuánto tiempo estuvo caminando Andrea?

22. Un atleta va corriendo a razón de 7 m/s y logra cruzar un puente en 20 s. Si un camión, viajando a 54 km/h, lo hace en 10 s; ¿Cuál es la longitud del camión? A) 30m D) 15m

C) 160 km E) 48 km

25. Dos móviles parten simultáneamente al encuentro, el uno del otro, con velocidades que están en la relación de 4 a 3 y se encuentran cuando el más veloz ha recorrido 60 km más que el otro. Calcular el espacio recorrido por el más rápido hasta el momento del encuentro?

21. Abel salió en su carro con una velocidad de 40 km/h. Dos horas después, María salió del mismo lugar. Si ella manejó por la misma carretera a 50 km/h. ¿Cuántas horas había manejado María cuando alcanzó a Abel? A) 2h D) 3h

B) 100 km

24 Dos móviles pasan por un mismo punto y se mueven en el mismo sentido con velocidades de 20 m/s y 30 m/s. Delante de ellos a 300 m hay un poste. ¿Después de qué tiempo los móviles equidistaran del poste?

20. Dos ciclistas tienen que ir de una ciudad A a otra ciudad B; el primero lleva una rapidez que excede en 3 km/h a la del segundo. Si el primero y el segundo tardan 4 y 6 horas respectivamente. ¿Cuál es la distancia que separa la ciudad A de la ciudad B? A) 36 km D) 32 km

Juliaca -

A) 4 km/h D) 10 km/h -33 -

B) 6 km/h

C) 8 km/h E) 12 km/h Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Cronometría

-1

FUNDAMENTO TEÓRICO Son cuatro tipos de problemas que con mayor frecuencia encontramos en este tema: 1. Campanadas

Juliaca -

D.P

# Campan.

# Interv.

tiempo

4 8

3 7

6s xs

Resolviendo: 3x = 7x6 x = 14 segundos

“t”

I

I

I

2. Tiempo transcurrido y tiempo que falta transcurrir

1

2

3

Hora exacta

o

o

1C

o

2C

o

3C

4C

tiempo transcurrido

# intervalos = # camp. - 1 t = (# interv.) (Duración interv.)

00 hr

Veamos un ejemplo Un campanario demora 6 segundos en tocar 4 campanadas. ¿Cuánto tiempo empleará para tocar 8 campanadas?

2seg

3 2seg

24 hr

3. Adelantos y atrasos Involucran problemas sobre relojes que por mal funcionamiento se adelantan o atrasan

6 seg. 2

(1 día <> 24 hr)

Siempre que el problema trate Sobre un día completo

Resolución

1

tiempo que falta transcurrir

4 2seg

Hora exacta

Se deduce que entre campanada y campanada demora I = 2 seg. Luego, para tocar 8 campanadas: Campanadas

Hora indicada por Un reloj atrasado

Atraso

hora indicada por un reloj adelantado

adelanto

“t” = ? 1

2 2seg

3 2seg

4 2seg

5 2seg

6 2seg

7 2seg

8

M A HR OC RA AD A

2seg

t = 2 (7) = 14 segundos Forma Práctica: Haciendo uso de la relación entre el número de intervalos y el tiempo empleado. Braulio Gutiérrez Pari

Hora = hora real Indicada (exacta) Hora = hora real Indicada (exacta)

- atraso

+ adelanto

Hora exacta = Hora atrasada + atraso Hora exacta = Hora adelantada – adelanto -34 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

observación: - Para que un reloj defectuoso que se adelanta o atrasa vuelva a marcar la hora correcta, deberá acumular un adelanto o atraso total de 12 h < > 720 min.

Juliaca -

Un reloj de manecillas posee 12 divisiones horarias y cada una de éstas tiene 5 pequeñas divisiones que indican los minutos, además la circunferencia representa 360o y está dividida en 60 pequeñas divisiones. Luego:

- Para que dos relojes defectuosos que se adelantan o atrasan vuelva a marcar la misma hora es necesario que exista una diferencia entre lo que marcan de 12 h < > 720 min.

1 div < > 1 min < > 6o

Relaciones importantes

Ejemplo: Dos relojes se sincronizan a las 4:00 a.m, uno de ellos se adelanta 90 segundos cada hora y el otro se atrasa 45 segundos cada 60 minutos. ¿Cuánto minutos estarán separados a las 16 h los minuteros de los relojes?

RESOLUCIÓN Primer reloj Adelanta en 90s 1h en una hora:

segundo reloj atrasa en 45s 1h Hora exacta

45 s

Giro del horario

Giro del minutero

Giro Horario en minutos

60 min

30o

360o

5 min

2 min

1o

12o

1 min 6

x min

Xo 2

(6x)o

X omin 12

ANGULO MINUTERO

90 s

Atraso

Tiempo

135 s

10 En una hora se separa 135 segundos, además como desde las 4:00 a.m hasta las 16 h hay 12 horas tenemos:

separación

1h 12h

135 s x12 1 620 s < > 27 min

x12

9

H

.


6

3

α  30H 

5

6

11 m 2

- Cuando el minutero adelanta al horario 12

11 10

.

9

1 2 H

3

α

m

3

8

m

4 7

α 4

7

2

8

2 m

8

0

30o 30o

Y

H

4. Angulo formado por las manecillas del reloj 12 6 1 11 30o 30o o 30

.

9

 Estarán separados 27 minutos

10

HORARIO

Se presentan dos casos - Cuando el horario adelanta al minutero 12 1 11

adelanto

Tiempo transcurrido

ENTRE

4 7

6

5

α

11 m - 30H 2

5 -35 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas I 1 1. ¿Qué hora será dentro de 5 4 h. Se sabe que en estos momentos el tiempo transcurrido es excedido en 5 horas por lo que falta transcurrir del día? A) 2:20pm D) 2:45pm

B) 1:45pm

C) 3:25pm E) 3:20pm

D)

6 (x1)

B) 5(x - 1) s

s

5 (x1)

s

A) 6 días D) 8 días

3. Un reloj da a7 campanadas cada 52 minutos. ¿Cuántas campanadas dará en 100 minutos?, sabiendo que si al número de campanadas que da en 52 minutos se le divide por 9, este resulta un entero. A) 50 D) 100

B) 51

B) 168o 30‘

C) 60 E) 101

A) 23min D) 32 min

B) 3:00 a.m

A) 11:14 D) 9:14

B) 6:20am


C) 7 días E) 10 días

B) 42min

C) 18min E) 21 min

B) 12:14

C) 11:24 E) 8:14

11. Cuando son las 6:00 a.m. un reloj empieza a adelantarse a razón de seis minutos cada hora. ¿Qué hora será cuando este reloj marque las 9:57 p.m. del mismo día?

C) 4:00 a.m E) 6:00 a.m

6. Si fuera tres horas más tarde de lo que es, faltaría para acabar el día los 5/7 de lo que faltaría si es que fuera 3 horas más temprano; ¿Qué hora es? A) 7:00am

B) 9 días

10. En cierto planeta ABA, el día dura 16 horas y cada hora tiene 18 minutos. ¿Qué hora será en un reloj de este planeta, cuando un reloj de la tierra marque las 5:40 p.m.?

C) 181.5o E) 182o 30‘

5. ¿Qué hora es si hace 5 horas faltaba, para acabar el día, el doble el tiempo que faltará para acabar el día, pero dentro de 5 horas? A) 9:00 a.m D) 5:00 a.m

C) 4:38 a.m E) 4:50 a.m

9. Dos relojes se sincronizan a las 8 am; uno de ellos se adelanta 15 segundos cada cuarto de hora y el otro se atrasa 45 segundos cada hora, ¿Cuántos minutos estarán separados a las 8:00pm. Los minuteros de los dos relojes?

4. ¿Qué ángulo forman entre sí las manecillas del reloj a las 11,45 horas? A) 165o D) 180o

B) 4:33 a.m

8. Un reloj que se atrasa 5 minutos en cada hora, es sincronizado al mediodía (12m). ¿Qué tiempo, como mínimo, deberá transcurrir para que vuelva a marcar la hora correcta?

C) 5(x + 1) s

E)

E) 7:14am

7. Ya pasaron las 4:00 a.m. pero aún no son las 5:00 de esta mañana, dentro de 10 minutos faltarán para las 5:00 a.m. la cuarta parte del tiempo que transcurrió desde las 3 a.m. hasta hace 25 minutos. ¿Qué hora es? A) 4:25 a.m D) 4:28 a.m

2. ¿Cuánto tiempo tardará en tocar 6 campanadas un reloj que toca 2 (x + 2x + 2) campanadas en (x+1) segundos? A) (6x-6) s

D) 8:00am

A) 8:30 a.m. B) 9:30 a.m. C) 10:30 a.m. D) 9:30 p.m. E) 8:30 p.m.

C) 6:00am -36 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

12. ¿Qué hora es según el gráfico? 12 1 11 A)10h 34 10 α B) 10h 32 9 C)10h 33 D) 10h 33 8/11 E) 10h 32 8/11

7

A) 4:15 a.m. B) 3:15 a.m. C) 2:15 a.m. D) 5:15 a.m. E) 5:15 p.m.

3

α

8

17. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas. ¿A qué hora empezó a adelantarse si a las 11:15 p.m. señala las 11:27 p.m.?

2

.

4

18. ¿A qué hora, entre las 4 y las 5 pm, el minutero adelanta a la marca de las 9 tantos grados como los 3/4 del ángulo barrido por el horario desde las 4 en punto?

5

6

13. Según el gráfico. ¿Qué hora es? A) 5h 11’ B) 5h 09’ C) 5h 06’ D) 5h 07’

11

12

10

.

9

2 3 4

7

5

6

A) 75 h D) 120 h

14. “Tontin” al ver la hora confunde el minutero por el horario y viceversa y dice: “son las 4h 48 min. ¿Qué hora es realmente? A) 9:20 D) 9:22

B) 9:18

C) 9:24 E) 9:26

12

B) 7: 37

.

α’

C) 7: 38 D) 7: 39 E) 7: 40

A) 2:00am. D) 7:00am.

A) 5/8 D) 3/8

6

16. ¿A qué hora entre las 4 p.m. y las 5 p.m., las agujas del reloj están en sentido opuesto?

C) 80 h E) 160 h

B) 3:00am.

C) 11:00am. E) 12:00am.

B) 1/4

C) 1/2 E) 3/7

22. En una tarde soleada, un poste de 8 metros de longitud proyecta una sombra de 6 metros de largo. ¿Qué hora es en ese preciso instante?

A) 4 h 54 m 32 8/11s B) 4 h 54 m 6/11s C) 4 h 56 m 30 s D) 4 h 7 m 0 s E) 4 h 56 m 4 1/11s Braulio Gutiérrez Pari

B) 70 h

21. En una mañana soleada, una torre de 6m de longitud proyecta una sombra de 6m de largo. ¿Qué fracción del día ha transcurrido?

3

2αo

7

C) 4:40 pm E) 4:48 pm

20. ¿Qué hora es? Sabiendo que la mitad del tiempo que falta transcurrir para que sean las 8 pm. Es igual a la tercera parte del tiempo transcurrido a partir de las 2:00 am. más la sexta parte del tiempo que falta transcurrir para que sean las 8 pm.

15. ¿Qué hora indica el reloj de la figura? A) 7: 36

B) 4:39 pm

19. Estando sincronizado un reloj “A” y un reloj “B”, se sabe que el reloj “A” se adelanta 3min. Cada 2 horas y el reloj “B” 2 min. Cada hora. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el reloj “B” esté adelantado 80 minutos respecto al reloj “A”?

α

8

E) 5h 08’

A) 4:36 pm D) 4:47 pm

1

3α

Juliaca -

A) 2:14 p.m. D) 2:28 p.m. -37 -

B) 2:19 p.m. C) 2:30 p.m. E) 3:05 p.m. Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas II 1. Un reloj que se atrasa 3 min. cada hora y otro que se adelanta 7 min cada hora se sincronizan a las 10: 00 am. ¿Dentro de cuánto tiempo como mínimo marcarán juntos la misma hora? A) 2 días D) 5 días

B) 3 días

6. Un reloj se atrasa 5 min cada 45 min si ahora marca las 4 h 10 min y hace 6 h que se atrasa. La hora correcta es: A) 4 h 30 ‘ D) 4 h 50’


10

2/7

C) 2h 36 1/5 D) 2h 36

3/7

E) 2h 36

5/7

.

9

7

4 5

6

A) 7 h 30’ D) 7 h 50’

3. Según el gráfico. ¿Qué hora es? A) 2h 34 2/5 B) 2h 34

2/7

C) 2h 34 1/5 D) 2h 33

2/7

E) 2h 34

1/7

12

11 10

.

9

2

2α

8 7

6

3

B) 9:36

5

B) 2h 30’

C) 9:37 E) 9: 34

A) 600 D) 7200

B) 4h 20’ a.m. D) 3h 55’ p.m.

B) 6000

C) 720 E) 900

11. Un reloj marca la hora exacta un día a las 6 p.m. Si se adelanta 4 minutos cada 6 horas a partir de dicha hora. ¿Cuánto tiempo pasará para que marque la hora exacta otra vez?

C) 1h 15’ E) 1 h 20’

A) 44 días Braulio Gutiérrez Pari

C) 7h 35’ E) 7h 10’

10. Un reloj se atrasa 15 segundos cada hora.¿Cuántos minutos deben transcurrir para que se atrase media hora?.

5. Un reloj se adelanta 2 min, cada 8 min. Si ahora marca las 2 h y 15 min y hace 3 horas que se adelanta. La hora correcta es: A) 1 h 30’ D) 4 h 15’

B) 7 h 40’

A)3 h45’ p.m C) 3h 55’ a.m. E) N.A.

4

4. A qué hora los 2/3 de lo que queda del día es igual al tiempo transcurrido? A) 9:35 D) 9:38

C)2 : 35 E)2 : 25

9. Pasan de las 3 sin ser las 4 de esta oscura noche. Si hubieran pasado 25 minutos más, faltarían para las 5 horas los mismo minutos que pasaron desde las 3 horas hace 15 minutos ¿Qué hora es?.

1

α

B)4 : 29

8. Una persona emplea exactamente una hora en ir de su casa al colegio si sale a las 7 a.m. de su casa y para llegar al colegio le faltan 10 minutos menos de los que ya ha caminado, diga. ¿Qué hora es?.

3

α

8

A) 3 : 39 D) 4 : 39

2

3α

C) 3 h 50’ E) 5 h 10’

7. Qué hora es si faltan para las 5 p.m. la quinta parte del tiempo que transcurría desde la 1 h 54 min p.m.?.

2. Según el gráfico. ¿Qué hora es? 12 A) 2h 36 1 11 B) 2h 36

B) 4 h 15’

-38 -

B) 42 días

C) 40 días Cepre Upeu

Razonamiento Matemático D) 46 días

CEPRE - UPeu -

E) 45 días 18. Hallar “α” en el gráfico.

12. Suponiendo que las agujas de un reloj se mueven sin saltos. ¿Cuánto tardará la aguja de minutos en alcanzar a la horaria si el punto de partida fue a las 4 en punto?. A) 20 3/11 min C) 22 7/11 min E) 25 min 12 seg.

A) 4h 11 9/11m C) 9h 10 9/11 m E) 4h 11 m

A) 120

B) 110o C) 130o

B) 21 9/11 min D) 23 1/2 min

D) 142

A) 2:00 p.m D) 4:00 p.m

A) 60o


B) 1 pm

3

8

4 6

5

B) 6:00 p.m

C) 6:00 a.m E) 5:00 p.m

B) 80o

C) 65o E) 85o

21. Son más de las 1:00 pm sin ser las 2:00 pm y el tiempo transcurrido del día es igual al triple del tiempo que falta a partir de este instante para que sea las 6:00 pm ¿Qué hora es?

C) 4:48 E) 6:52

A) 1:15 p.m D) 1:35 p.m

C) 2h 8m E) N.A.

B) 1:20 p.m

C) 1:30 p.m E) 1:45 p.m

22. En un reloj los minutos marcados son en valor numérico equivalentes al ángulo formado por el minutero y el horario, además son menos de las 4. ¿Qué hora es?

17. La mitad del tiempo que ha pasado desde las 9:00 a.m es la tercera parte del tiempo que falta para las 7:00 p.m ¿Qué hora es? A) 11 am D) 2h 20m

120

α

D) 70o

16. Un reloj se adelanta 3 minutos cada 4 horas. ¿Cuánto habrá adelantado al cabo de una semana?. B) 2h 6m

2 o

20. El tiempo transcurrido del día es los 4/5 del tiempo que falta por transcurrir. ¿Qué ángulo estarán formando las manecillas de un reloj en ese instante?

C) 3:34 E) 3: 38

15. “Tontin” al ver la hora confunde el minutero por el horario y viceversa y dice: “son las 9h 29 min. ¿Qué hora es en realidad?

A) 2h 12m D) 2h 2m

1

19. Se sincroniza 2 relojes a las 2 am. Uno de ellos se adelanta 12 segundos cada 24 minutos y el otro se atrasa 45 segundos cada hora. En un instante la diferencia entre la hora del reloj adelantado y la hora que marca el reloj atrasado es 20 minutos. ¿Qué hora es realmente?

B) 4h 11 19/11m D) 4 h 10 10/11m

B) 6:50

.

9

7

14. ¿A qué hora inmediatamente después de las 3 p.m. el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelanta la marca de las 12.

A) 5:45 D) 5:48

10

12

o

E) 135o

B) 3: 32

11

o

13. ¿A qué hora entre las 4 y las 5 el minutero y el horario forman un ángulo que sea la quinta parte del ángulo externo, antes que el minutero pase sobre el horario?.

A) 3: 30 D) 3: 36

Juliaca -

A) 3:25 D) 3:45

C) 4 pm E) 2 p.m

-39 -

B) 3:20

C) 3:40 E) 3:50

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Problema Sobre Fracciones

Unidad (1)

FRACCIÓN: Se denomina así a la división indicada de la forma: Fracción 

a

numerador

b

denominador

1

1

1

1

1

1

1

1

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

f:

o

N de partes iguales que se considera o

El todo (Unidad) <> 5 partes iguales

1

1

1

5

5

5

5

5

5

a
b 4

su

valor

f<1

1 ;

;...

a

a>b ,

b

f>1

5 7 21 ; ; ;... 3 2 5

NOTA: De las fracciones impropias se derivan los números mixtos

5 partes iguales

Para graficar una fracción en el cual el numerador es mayor que el denominador, es necesario considerar la unidad varias veces 25

Ejemplo: Representar gráficamente 7/3

3 Braulio Gutiérrez Pari

3 ;

Ejemplos

Tomamos 2 partes iguales

1

de

b) Fracción Impropia Son aquellos en la cual el numerador es mayor que el denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es mayor que la unidad. f:

1

3

7 11 20

Ejemplo : 2/5 indica que debemos tomar 2 de 5 partes

2

7

a

Ejemplos

N de partes iguales en que se divide la unidad

Unidad (1) :Es la totalidad de una cantidad referencial (podría ser una naranja, un cuaderno, un lápiz, etc.)

F

2

a) Fracción Propia: Son aquellas en la cual el numerador es menor que el denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es menor que la unidad

Para representar gráficamente a una fracción, debemos considerar lo siguiente:

b



Por la comparación respecto de la unidad

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Fracción 

1/3

1

7

Donde:  a y b son enteros positivos  Al dividir “a” entre “b” el resultado no es exacto

a

Unidad (1)

Juliaca -

-40 -



8

1

25

3

24

8

1

3 Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

1 Se denomina número mixto, 3 porque tiene una parte entera y una

8

Pierdo

queda

gano

tengo

1

2

1

4

3

3

3

3

3

5

3

11

8

8

8

8

7

3

7

17

10

10

10

m

n-m

m

nm

n

n

n

n

parte fraccionaria. RELACIÓN PARTE-TODO

-

Se denomina así a la comparación geométrica de una cantidad asumida como PARTE, respecto de otra cantidad asumida como TODO es, son, representa

f 

Juliaca -

+

10

Lo que hace de PARTE Lo que hace de TODO

OBSERVACIONES de, del ,respecto de

Ejemplo 1

4 / 7 menos <> 3 / 7 3 / 5 más <> 8 / 5

¿Qué parte de 32 es 5 ? 5 f  32

si pierdo

¿Qué parte es 5 de 20 ?

si pierdo

1

Ejemplo 2

f 

5 20



1

si gano

4

¿Qué parte más es 15 de 9? 15 - 9 9



6 9



si gano

18 - 6 18



12 18



x menos 5

2

queda

3 4

queda

x mas S/.3

tengo

x menos 4

tengo

7 12 7 13

9

x3 x5 x3

x4

Ejemplo: Un jugador tenía S/. 240 pierde y gana alternadamente en cinco juegos de la siguiente forma 1/3; 3/4; 2/7; 3/5 y 7/8. ¿Con cuánto de dinero se quedó finalmente? Resolución

3

2

Tenía inicialmente S/. 240 Considerando lo que queda cada vez que se pierde y lo que tengo cada vez que gano tenemos:

3

GANANCIAS Y PÉRDIDAS SUCESIVAS

Lo que queda al final

Con respecto a un total (unidad), es posible que se gane o pierda una parte (fracción), quedando entonces aumentada o disminuida nuestra cantidad inicial. Braulio Gutiérrez Pari

9

x mas S/ 3

2

Ejemplo 4 ¿Qué parte menos es 6 de 18? f 

7 5

7 4

Ejemplo 3

f 

3 3

 1  8  5  7  2  (240 )    S/.40       8 5  7  4  3   

-41 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

NÚMEROS DECIMALES

REDUCCIÓN A LA UNIDAD

Es la expresión en forma lineal de un valor determinado que consta de dos partes; una parte entera y una parte decimal separadas ambas por una coma:

Es aquel procedimiento que consiste en homogenizar lo hecho por cada elemento en una unidad de tiempo.

35

,

Ejemplar 1

2009

a)

Parte parte entera decimal coma decimal

b) Un caño llena un tanque en 8 horas 1 en una hora llenará del tanque 8 1 c) En 1 h. un caño llena del tanque 9 Todo el tanque se llenará en 9 horas

Fracción Generatriz

f:

a b

Exacto Periódico Puro Periódico mixto

 No decimal

5 de la obra 12 12 Toda la obra lo hará en días 5

d) Bruno hace en un día

I) DECIMAL EXACTO 31

3 ,1  3 , 45 

345

0 , 826 

;

100

34

0 , 34 

;

10

100

Ejemplar 2

826 1000

Un caño A llena un tanque en 6 horas y otro caño B lo llena en 12 horas. Funcionando juntos. ¿En qué tiempo se llenará el tanque?

II) DECIMAL PERIÓDICO PURO  4 0,4  9 0 , 005 

; 5

35 - 3

3,5 

;

9



0 , 85 

2, 15  2 

999 32

Si Raúl hace una obra en 5 días 1 en un día hará de la obra 5

;

9

15

85 99

Resolución

71

En 1 hora cada uno de los caños llena



99

33

A: en 1 hora llena 1/6 del tanque B: en 1 hora llena 1/12 del tanque

97 - 9

9, 7 

9

Ambos caños en 1 hora llenan III) DECIMAL PERIÓDICO MIXTO 0 , 24 

24 - 2

;

90

0 , 32 85 

7, 381  7  0,381  7 

1 , 83 

183 - 18 90

3285 - 32 9900



1 12



3 12



1

del tanque

4

Por lo que todo el tanque lo llena en 4 horas

381 - 3

; 2 , 35421 


1 6

990 235421 - 235

La lucha es ardua y dificultosa, pero cuando nuestros objetivos son claros y nobles, al final del camino siempre nos espera el triunfo

99900

-42 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Problemas I 1.

malograron. ¿Cuántas manzanas tenía al comenzar, si al final me quedaron 8 manzanas, sin contar las malogradas?

José gasta 1/3 de su dinero, luego gasta 1/4 del resto y por último gasta 1/5 del nuevo resto. Si al final le quedaron S/. 360. ¿Qué cantidad de dinero, en soles gastó en total José? A) S/. 630 D) S/. 630

B) S/. 800

A) 20 D) 60

B) 17/32

A) 12 D) 6

C) 3/20 E) 33/40

B) 330

C) 438 E) 268

4. Bruno gastó su dinero en tres días. El primer día gasto 1/3 del total y 8 soles más, el segundo día gastó 1/3 de lo que quedaba y 8 soles más, y por último el tercer día gastó 1/3 del nuevo resto y 8 soles más. ¿Cuánto gastó Bruno en los tres días? A) 57 D) 60

B) 58

A) 12 L D) 16 L

B) S/. 110

C) 59 E) 63

A) 2100 D) 1750

C) 18 E) 14

B) 27 L

C) 18 L E) 20 L

B) 1900

C) 1700 E) 8400

10. Una persona ha perdido 4/7 de lo que tenía mas S/. 2, si aún le quedan S/. 10. ¿Cuánto tenía al comienzo?

C) S/. 120 E) S/. 150

A) 18 D) 32

6. Tengo una cierta cantidad de manzanas de los cuales vendí 3/4 de los que no vendí y de las que no vendí se malograron 1/2 de las que no se Braulio Gutiérrez Pari

B) 24

9. Un jugador pierde 1/5 de su dinero, luego 2/3 de lo que le quedaba y finalmente los 2/7 de lo que aún le queda, con lo cual solamente tiene 400 soles ¿Qué cantidad de dinero gastó?

5. Si gaste 2/3 de lo que no gaste, luego del resto, perdí 4/5 de lo que no perdí, y del nuevo resto, regalé 1/9 de lo que no regalé y al final me quedé con S/. 36. ¿Cuánto dinero tenía al inicio? A) S/. 100 D) S/. 140

C) 40 E) 21

8. De una mezcla alcohólica donde 20 litros es agua y 10 litros es alcohol. Se extrae 15 L de la mezcla y se reemplaza por agua, luego del resto se extrae la quinta parte y se vuelve a reemplazar por agua. Finalmente del nuevo resto se extrae la cuarta parte y se reemplaza por agua. ¿Cuánto de agua queda al final?

3. Una persona, cada día gasta la mitad de lo que tiene más S/. 2. Si después de 3 días le quedan S/. 30. ¿Cuánto tenía al inicio? A) 300 D) 240

B) 30

7. Un depósito lleno contiene 30 litros de alcohol, del cual se extrae 1/5 de su contenido y se llena con agua, enseguida se extrae 1/4 de la mezcla y también se llena con agua. ¿Cuántos litros de agua hay en el depósito finalmente?

C) S/. 900 E) S/. 540

2. En una reunión de 80 personas los tres quinto menos 2 personas son varones. ¿Qué fracción representa la diferencia entre varones y mujeres? A) 5/32 D) 3/4

Juliaca -

B) 28

C) 30 E) 27

11. Juan gastó la mitad de su dinero comprando 6 pantalones, seguidamente ganó en el tragamonedas la mitad de lo que le quedó; pero luego pierde tres -43 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

veces consecutivas 1/3 de lo que tenía después de cada juego; quedándose con S/. 240. ¿Cuál es el precio de un pantalón? A) S/. 90 D) S/. 95

B) S/. 99

16. Un estanque de agua tiene dos caños de desagüe, la 1ra ubicada en el fondo que vacía todo el depósito en 8 horas y la 2da a media altura y vacía su parte correspondiente en 6 horas. Si estando lleno el depósito, se abren los dos caños. ¿Qué tiempo demorará en quedar vacío?

C) S/. 98 E) S/. 94

12. Tenemos un tanque con 2 llaves; la 1ra lo llena en 4 horas, la 2da lo desagua en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si la llave del desagüe empieza a funcionar una hora después de abierta la primera llave? A) 30 D) 32

B) 20

A) 6h D) 6,9h

B) 24

C) 10 E) 15

A) 48 D) 49

B) 30

C) 30 E) 48

A) 10 D) 30


B) 8

B) 64

C) 56 E) 81

B) 15

C) 25 E) 13

19. Un caño “A” llena un tanque en 6 horas y un desagüe “B” lo descarga en 10 horas. ¿En cuánto tiempo llenará el tanque, Si “B” se abre 2 horas después de estar abierto “A”? A) 8 D) 14

C) 36 E) 32

B) 12

C) 10 E) 16

20. “A” y “B” pueden hacer una obra en 24 días, trabajando juntos durante 6 días; al cabo de los cuales se retira “B” y “A” termina lo que falta de la obra en 30 días ¿En cuánto tiempo terminará la obra “B” trabajando sólo?

15. Un estanque puede ser llenado por un caño “A” en 15 horas y por un caño “B” en 10 horas y puede se vaciado por un caño “C” en 18 horas, si “A” y “B” trabajan juntos durante tres horas y luego se cierran y se abre “C”; en cuanto tiempo “C” habrá vaciado el estanque. A) 6 D) 12

C) 6,6h E) 6,2h

18. A y B pueden hacer una obra en 9 días. Si después de 3 días de trabajar juntos; se retira “A”, y “B” termina lo que falta de la obra en 15 días. En cuantos días puede hacer toda la obra “A” sólo?

14. “A”, “B” y “C” trabajando juntos pueden hacer una obra en 15 días, “A” y “B” lo pueden hacer en 20 días, “A” y “C” en 30 días. Si los 5 primeros días trabajan los tres obreros, los 10 días siguientes sólo trabajan “A” y “C” y los días que quedan sólo trabaja “C” hasta concluir la obra. ¿En cuánto tiempo se terminó toda la obra? A) 20 D) 35

B) 6,4h

17. La parte no fumable de un cigarro es 1/4 de la longitud del cigarro, un fumador consume los 7/8 de la parte fumable, sabiendo que en cada “pitada” consume 1/64 de la parte fumable. ¿Cuántas pitadas dio el fumador?

13. Dos obreros de diferentes rendimientos trabajan en una misma obra que ellos pueden hacerla juntos en 12 días de trabajo. Después de 4 días de trabajo se retira uno de ellos y el otro termina el trabajo en 12 días. El de menor rendimiento en cuánto tiempo hará la obra entera? A) 18 D) 36

Juliaca -

A) 40 D) 90

B) 60

C) 80 E) 120

No le digas a Dios cuán grande son tus problemas, dile a tus problemas: ¡Cuán grande es Dios!

C) 9 E) 15 -44 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Problemas II

6. Un caño “A” llena un estanque es 20 minutos; otro caño “B” desagua el mismo en 25 minutos. Se abre el primer caño y luego de 5 minutos, el segundo caño. ¿A los cuántos minutos de abierto el segundo caño habrían llenado los dos el estanque?

1. Andrés gasta 2/3 de su dinero que lleva más S/. 4, luego gasta 1/6 del dinero que le quedaba más S/. 6 y por último gasta los 3/7 del nuevo resto más S/. 4. Si aún le quedan S/. 4. ¿Cuánto de dinero tenía? A) S/.86 D) S/.82

B) S/.85

A) 1h 15m D) 1h

C) S/.84 E) S/.81

B) S/.44

C) S/.22 E) S/.39

A) 15 D) 19

3. Una persona vende 2/9 de caramelos menos 5; si se añadiera 37 caramelos a los que quedan tendría en la bolsa 1/6 más que al principio. ¿Cuántos caramelos tenía en la bolsa? A) 98 D) 96

B) 130

5.

B) 48

C)150 E) 108

A) 123 D) 250


B) 900

B) 16

C) 17 E) 20

B) 135

C) 200 E) 240

9. Al dejar caer al suelo una pelota, cada vez que rebota pierde 1/4 de la altura anterior. Si después de 3 rebotes alcanza una altura de 27 cms. ¿De qué altura cayó inicialmente?

C) 45 E) 60

A) 32 D) 20

Pepe compra cierto número de manzana, la mitad de dicho número, lo compra a 5 por S/. 6 y la otra mitad a 6 por S/. 7. Luego vende los 3/5 del total a 3 por S/. 5 y las demás a 4 por S/. 7. Halle el número de manzanas que vendió, Si ganó en total S/. 930. A)2 000 D) 180

C) 45m E) 55m

8. Al dejar caer al suelo una pelota, cada vez que rebota se eleva 2/5 de la altura anterior. Si después de 3 rebotes alcanza una altura de 16 cms. ¿De qué altura cayó inicialmente?

4. En una reunión familiar los 2/3 de los asistentes son varones. Los 3/5 del número de mujeres son casadas y las 8 restantes son solteras. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión? A) 36 D) 50

B) 1h 30m

7. Se presentan los grupos A, B y C para hacer una obra, estos tienen 20 obreros, 5 obreros y 12 obreros respectivamente y pueden hacer la obra en 12 días, 18 días y 10 días respectivamente, se toman 2 del primero, 3 del segundo y 1 del tercero. ¿En cuántos días hacen toda la obra, éste nuevo grupo?

2. Una persona pierde durante tres días consecutivos, 1/3; 1/4; 3/8 de lo que tiene. Si todavía le quedan S/. 20. ¿Cuánto gasto? A) S/.24 D) S/.45

Juliaca -

B) 64

C) 16 E) 30

10. Se deja caer una pelota desde una altura de 20mts. Cada vez que toca el suelo rebota hasta 3/4 de su altura máxima anterior. Calcular la distancia total que recorre la pelota hasta antes de llegar al reposo.

C)1 800 E) 360

A) 100 D) 135

-45 -

B) 120

C) 130 E) 140

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

11. Una persona realiza 3 apuestas consecutivas y en cada una pierde 1/3 de lo que tenía antes de apostar más S/. 200, quedándose al final con S/. 200. ¿Cuánto perdió en total? A)2 100 D)1 900

B)2 000

17. Una pelota cae desde una altura se 54 m y en cada rebote se eleva una altura igual a los 2/3 de la altura de la cual cayó. Hallar el espacio total recorrido por la pelota hasta tocar por cuarta vez la superficie.

C)1 800 E)2 200

A) 160m D) 190m

12. El día de ayer recibí los 3/4 de lo que recibiré hoy; pero lo que recibiré ahora será los 5/3 de lo que recibiré mañana. Cuánto recibo mañana si en los tres días obtengo 9 400 soles? A)1 800 D) 2 800

B)2 000

B) 650

C) 2 400 E) 3 200

A) 40 D) 70

B) 84

A) 4 D) 7

C) 90 E) 112

B) 1/6

A) $ 108 D) $ 144

C) 1/12 E) 7/12

    0.2  0.3  0.4  ...  0.7 F     0.32  0.43  0.54  ...  0.87


B) 5/6

C) 10 E) 80

B) 2

C) 5 E) 8

B) $ 120

C) $ 132 E) $ 54

21. Los 4/5 de las aves de una granja son palomas; los 5/6 del resto son pavos y los 8 restantes son patos. ¿Cuántas aves hay en la granja?

16. Hallar la fracción equivalente de:

A) 5 /2 D) 3/4

B) 20

20. Jorge gasta 1/3 del dinero que tiene y gana 1/3 de lo que le queda. Si su dinero ha disminuido en 12 dólares. ¿Cuánto tenía al principio?

15. Un alumno hace 1/3 de su asignatura antes de ir a una fiesta, después de la fiesta hace 3/4 del resto y se va a dormir. ¿Qué parte de la asignatura le queda por hacer? A) 1/2 D) 2/3

C) 208m E) 186m

19. Dos ciudades “A” y “B” tienen en la actualidad 33 024 y 1 032 habitantes respectivamente. Se sabe que la disminución anual de “A”, es de 1/8 de sus habitante, Si “B” tiene un aumento anual de 3/4 de sus habitantes ¿Dentro de cuánto tiempo, las dos poblaciones tendrán el mismo número de habitantes?

C) 670 E) 750

14. Se vendieron 1/5 de las entradas para una función de cine, en el día de la función se vendió 1/3 de las que quedaban, quedando por vender 48 entradas. ¿Cuál es la capacidad del cine? A) 72 D) 108

B) 206m

18. De un total de 149 litros de alcohol, el primer día se vende “x” litros, el segundo día se vende la tercera parte del resto, tercer día se vende la cuarta parte de lo que queda y el cuarto día se vende la quinta parte del nuevo resto. Si todavía queda “x” litros. Hallar el valor de “x”.

13. Se vende 1/3 de un lote de vasos. Si se quiebran 30 y queda todavía 5/8 del lote. ¿De cuántos vasos constaba el ,lote? A) 620 D) 720

Juliaca -

A) 320 D) 240

C) 3/2 E) 3/7

B) 560

C) 420 E) 244

Las aspiraciones actúan como “resortes psíquicos” que impulsan con fuerza irresistible hacia la meta propuesta.

-46 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Regla de Porcentaje

Juliaca -

APLICACION DEL TANTO POR CIENTO a

EL TANTO POR CUANTO

El a % de b < >

100

xb

Consideremos el siguiente ejemplo Nota: de o del Una persona agrupa sus bolitas de 5 en 5, de modo que en cada grupo de 5 haya 2 bolitas de color negro.

multiplicación

Ejemplo 1 ¿Qué tanto por ciento de 40 es 10? Resolución Sea el x%, entonces

Esto significa que: 2 por cada 5 son negras < >

x% de 40 es 10 x (40)  10 100

2 5

El 2 por 5 < >

2

x = 25 por lo tanto es el 25%

5

RELACION PARTE-TODO

Es decir

2 partes iguales

Se denomina así a la relación: El 2 por 5 Tanto cuanto

1

1

1

1

1

5

5

5

5

5

es, son, representa

Lo que hace   de PARTE  Lo que hace   de TODO 

Total <> 5 partes iguales

En general: El m por n < >

m

x100%

de, del, respecto de

n

GANANCIAS Y PÉRDIDAS Tanto

cuanto

Respecto de una cantidad asumida como el 100%

EL TANTO POR CIENTO

Pierdo

queda

20 %

80 %

40 %

60 %

m

3,5 %

96,5 %

100

13 %

87 %

m%

( 100 – m) %

Es el número de partes iguales que se toman de una cantidad total (unidad) dividida en 100 partes iguales.

El m por ciento < > m % < >


-47 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

En general: Gano

resulta

 El descuento único que reemplace a “n” descuento sucesivos del a %, b %, c % ,…, n % es dado por:

20 %

120 %

40 %

140 %

0,8 %

100,8 %

13 %

113 %

m%

( 100 + m) %

DU = 100% - (100 - a)%(100 - b)%…(100 - n)%

 El aumento único que reemplace a “n” aumentos sucesivos del a %, b %, c % ,…, n % es dado por:

30 % más < > 100% + 30 % = 130 % 60 % menos < > 100% - 60 % = 40 % DESCUENTOS SUCESIVOS

Y

AUMENTOS

AU = (100 + a)%(100 + b)%…(100 + n)% -100%

VARIACIÓN PORCENTUAL Ejemplar 1 Se utiliza para calcular el aumento disminución porcentual de una cantidad

A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 10% y 20 % Resolución Consideremos la cantidad inicial 100: dscto 10% (100) queda 90% (100)

100

Variación Porcentual 

dscto 20% (90) queda 80%(90)

90

 Aumento o   disminució n   Valor   inicial 

o

x100%

72

Se descontó: 100-72= 28 %

OBSERVACIONES

Descuento único: 28 % Ejemplar 2

En los cálculos de variación porcentual, las constantes se pueden obviar y los cálculos serán más sencillos.

A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 20% y 40 % Resolución

APLICACIONES COMERCIALES (PORCENTAJES)

Consideremos la cantidad inicial 100: aumto 20% (100) tengo 120%(100)

aumto 40% (120) tengo 140%(120)

FORMAS DE VENDER UN ARTÍCULO 100

120

168 La regla de porcentajes es modelada a aplicaciones mercantiles, de donde se puede deducir las siguientes expresiones.

Se aumentó: 168-100= 68 %

Aumento único: 68 % Braulio Gutiérrez Pari

-48 -

Cepre Upeu

Razonamiento Matemático Pv = Pc + G

CEPRE - UPeu -

D) S/. 8 84

Pv = Pc - P

Juliaca -

E) S/. 854 Resolución

Pf = Pv + Descuento Datos Pv = S/. 682 P = 12% Pc

GB = GN + gastos

Pv = 682 =

Donde: Pv = Precio de Venta Pc = Precio de Costo G = Ganancia P = Pérdida GB = Ganancia Bruta GN = Ganancia Neta

P - 12% Pc

682 = 88%Pc 682 = 88/100 Pc Pc = S/. 775 clave B 3. ¿Qué precio se fijó para la venta de un artículo, si luego de sufrir un descuento del 15%, se vendió en S/. 544?

Observaciones:  La rebaja o descuento se expresa como un porcentaje del precio fijado ( Pf )

A) S/. 640 D) S/. 534

 La ganancia ( G ) o pérdida ( P ) se expresa como un porcentaje del precio de costo ( Pc )

B) S/. 740

C) S/. 667 E) S/. 745

Resolución Datos Pv = S/. 544 descuento = 15% Pf

EJEMPLOS: 1. Un computador se vende ganando el 30% de su costo; si el precio de venta fue S/. 3 900. Hallar su costo A) S/. 3 500 D) S/. 3 000

Pc Pc

Pf = Pf = 544 =

B) S/. 3 800 C) S/. 2 500 E) S/. 3300

Pv + descuento 544 + 15% Pf Pf - 15% Pf

544 = 85%Pf 544 = 85/100 Pf Pf = S/. 640 clave A

Resolución 4. Una persona vende café tostado a S/. 24 el Kg. Ganando el 20% sobre el precio de costo, sabiendo que al tostarlo se pierde el 20% de su peso. ¿A qué precio se ha comprado el Kg. de café sin tostar?

Datos Pv = S/. 3 900 G = 30% Pc Pv = 3 900 =

Pc Pc

+ G + 30% Pc

3 900 = 130%Pc 3 900 = 130/100 Pc Pc = S/. 3 000 clave D

A) S/. 20 D) S/. 32

B) S/. 775


C) S/. 25 E) S/. 16

Resolución

2. Un articulo se vende perdiendo el 12 % de su costo; si el precio de venta fue S/. 682. Halle su costo A) S/. 765

B) S/. 38

Datos: Café tostado Pv = S/. 24 el Kg. G = 20% Pc

C) S/. 8 30 -49 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

2. Un artículo se vendió en S/. 63; perdiendo el 30% del precio del costo. ¿Cuánto costo?

Pv = 24 =

Pc Pc

+ G + 20% Pc

24 = 24 = Pc =

120%Pc 120/100 Pc S/. 20 el Kg. de café tostado

A) S/. 15 D) S/. 90

B) S/. 18

C) S/. 20 E) S/. 25

3. ¿Cuál es el precio fijado de un libro que se vendió en S/. 160, habiéndose hecho un descuento del 20%?

Por lo tanto Precio de un Kg. de café sin tostar es: = 80%20 =S/. 16

A) S/. 200 D) S/. 188

Clave E

B) 20%

A) S/. 872 D) S/. 888

Resolución Asumiendo que Pc = S/. 100

A) ganó S/. 40 C) No gano ni perdió E) ganó S/. 50 Ganancia

S/. 100

S/. 60 60%(100)

Piden :

dscto Pfijado

100% 

dscto

40%(100)

40 200

100 %

X

7. Se compró un celular a S/. 110 y se vendió haciendo un descuento del 20%. Y aún así se ganó S/. 10. Halle el precio fijado.

clave B

A) S/. 150 D) S/. 180

1. Se vende una bicicleta en S/. 250; ganando el 25% del costo. ¿Cuál fue su costo?


B) Perdió S/. 40 D) Perdió S/. 50

A) ganó S/. 8 B) Perdió S/. 16 C) No gano ni perdió D) Perdió S/. 8 E) ganó S/. 16

Problemas

B) S/. 170

C) S/. 820 E) S/. 810

6. Se vende dos artículos iguales en S/. 96 cada uno. En uno se ganó el 20% y en la otra se perdió el 20%. ¿Se ganó o se perdió? ¿Cuánto?

S/.40

= 20 %

A) S/. 150 D) S/. 155

B) S/. 800

5. Un comerciante vende los últimos libros a S/. 300 cada uno. En una ganó el 25% y en la otra perdió 25% ¿Cuál afirmación es correcta?

C) 25% E) 45%

Pc

C) S/. 190 E) S/. 210

4. Se vende un objeto en S/. 680, perdiendo el 15% del costo. ¿A cómo se debe vender para ganar el 9%?

5. Un libro lo vendo con un descuento equivalente al 40% del precio de costo, ¿Qué tanto por ciento debe rebajarse al precio fijado para que gane un equivalente al 60% del precio de costo? A) 10% D) 30%

B) S/. 170

B) S/. 160

C) S/. 170 E) S/. 190

8. Un artículo se vende con una ganancia del 20% del precio de venta más el 25% del precio de costo. Al final se ganan S/. 180. ¿Cuánto es el precio de costo?

C) S/. 190 E) S/. 200

A) S/. 300 -50 -

B) S/. 380

C) S/. 350 Cepre Upeu

Razonamiento Matemático D) S/. 320

CEPRE - UPeu -

15. Para aumentar en un 125% el área de un circulo, su radio se debe multiplicar por

E) S/. 330

9. Compré un DVD con S/. 630; en cuanto debe aumentar este precio, para que durante la venta realice una rebaja del 10% y aún así se gane el 40% del costo? A) S/. 350 D) S/. 320

B) S/. 380

A)3/5 D)7/4

B) S/. 280

C) S/. 250 E) S/. 330

A) No gana ni pierde C) Gano s/.12 E) Ganó S/. 25

B) 300

C) S/. 250 E) S/. 230

A) 10 000 D) 11 000

B)1 900

C) 350 E) 150

A) 88% D) 90%

B) 70%

C) 2 000 E) 2 450

A) 70% D) 98%

B) -60%

C) 49% E) N.A

B) 84%

C) 94% E) 78%

B) 95%

C) 80% E) 88%

21. De un total de 600 personas el 40% son hombres y el resto mujeres, de los cuales el 20% se encuentra con sus respectivas parejas. ¿Cuántos hombres se encuentran sin parejas?

C) -48% E) -30%

A) 150


C) 12 000 E) 7 000

20. Luego de hacerle dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, un televisor cuesta S/. 288. ¿Cuál era su precio original? A) 300 B) 400 C) 350 D) 320 E) N.A

14. Si la base de un triángulo aumenta en 30% y la altura relativa a dicha base disminuye en un 60%. ¿En que tanto por ciento varía su área? A) 30% D) 48%

B) 14 000

19. Tres incrementos sucesivos del 10%; 20% y 50%. ¿A qué aumento único equivalen?

13. Si los lados de un triángulo equilátero disminuyen en 30%. ¿En cuánto disminuye su área? A) 30% D) 51%

B) perdió S/. 12 D) perdió S/. 25

18. Tres descuentos sucesivos del 50%; 70% y 20%. ¿A qué descuento único equivalen?

12. A una persona al comprar un artículo le hacen dos descuentos sucesivos del 40% y 30%; ahorrándose S/. 1 160. ¿Cuál era el precio inicial del artículo? A)1 800 D) 2 300

C)3/2 E)1/9

17. Un equipo de sonido al venderse se le descuenta el 10%, luego se le recarga el 10% pero se le vuelve a descontar el 10% vendiéndose en S/. 8910. ¿Cuál era el precio original?

11. Al comprar un artículo le ofrecen dos descuentos sucesivos del 20% y 20%, se ha pagado S/. 128. ¿Cuál es el precio del artículo? A) 250 D) 200

B)1/2

16. Un comerciante vende dos artículos a S/. 90 cada uno. En el primero gana el 25% y en el segundo pierde 25%. ¿Ganó o perdió en la venta y cuanto?

10. Al precio fijado de un artículo se le hace un descuento del 10% y al momento de venderlo se gana el 30% del costo, el cual fue S/. 80. Halle el valor del precio fijado. A) S/. 260 D) S/. 220

Juliaca -

-51 -

B) 120

C) 240 Cepre Upeu

Razonamiento Matemático D) 300

CEPRE - UPeu -

28. Una persona gasta el 20% de lo que tiene; luego el 30% de lo que le queda y por último gasta el 40% del nuevo resto: quedándose con tan sólo S/. 42. ¿Cuánto tenía al principio?

E) 360

22. Un boxeador decide retirarse cuando tenga el 80% de triunfos en su carrera. Si lleva realizadas 100 peleas, de las cuales ha perdido el 25% de ellas. ¿Cuántas peleas como mínimo debe realizarse, para poder retirarse? A) 25 D) 10

B) 18

A) 125 D) 80

A) 9% D) 100/11%

24. Se tiene la misma cantidad de naranjas de dos clases distintas, que se vende a dos por un sol las de primera y tres por un sol las de segunda, si se vendieran todas las naranjas a 5 por dos soles. ¿Se ganará o perderá y en qué porcentaje?

A) 540 D) 720

A) 135% D) 155%

A) 30% D) 44%

26. En una granja, el 30% del número de patos es el 20% del número de pavos. ¿Qué tanto por ciento del 80% del total es el número de patos?

B) 660

C) 600 E) 690

B) 185%

C) 125% E) 184%

B) 32%

C) 48% E) 20%

33. Si la base de un rectángulo aumenta sucesivamente en 20% y 20%; y su altura disminuye en 20% y 20% sucesivamente, ¿En qué tanto por ciento varía su área?

C) 75% E) 36%

A) 7,84% D) 8,74%

27. El 20% mas del 30% menos del costo de un artículo equivale a S/. 84. ¿Cuál es el costo de dicho artículo?


C) 11% E) 100/13%

32. Si el perímetro de una región circular aumenta en 20%. ¿En qué porcentaje aumenta su área?

25. ¿En qué porcentaje disminuye el área de un círculo si se disminuye en 40% su radio? A) -64% B) +64% C) +34% D) -34% E) -30%

B) 110

B) 10%

31. En qué porcentaje aumenta el área de un triángulo equilátero, si el lado aumenta en 50%

A) Gana 4% B) pierde 4% C) pierde 5% D) no gana ni pierde E) gana 5%

A) 101 D) 120

C) 40 E) 120

30. Si la base de un triángulo aumenta en 30% y la altura relativa a dicha base disminuye en 30%, el área del triángulo 2 varía en 54m . Hallar el área original del triángulo.

A) 700 y 425 B) 725 y 400 C) 525 y 600 D) 685 y 440 E) 785 y 340

B) 25%

B) 100

29. Si la base de un rectángulo aumenta en 10% y el área no varía. ¿En que tanto por ciento disminuye la altura?

C) 20 E) 15

23. Andrés le dice a Memo: “Entre tu dinero y el mío hacemos S/. 1 125, pero si hubieras recibido 30% menos de lo que te corresponde, tendrías lo que yo tendría si recibiera 20% menos” ¿Cuánto tiene cada uno?

A) 30% D) 50%

Juliaca -

B) 6,88%

C) 5,84% E) N.A

Nuestra vida es lo que nuestros pensamientos hacen de ella

C) 100 E) 130

-52 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Operaciones M. I 1. Se define:

5. Se define 2

x+3

n

2x - 3

= 336

= 90 B) 2

2. Se define:

= n(n+1)(n+2)

Calcular “x” en

además x>0. Calcule n, en:

A) 1 D) 4

n

2

= x (1-3x) + (1+3x ) x

A) 1 D) 4

C) 3 E) 5

2n + 3

B) 3 E) 5

6.

 1  2  3  4 .......



n

= 6n + 4

n

5n – 2 = 10n – 3

A) 100 D) 0 = 58

sumandos

99

Halle:

Calcule el valor de “x” en 3x+1

C) 2

+

100

B 50

C) -50 E) 199

3 ♥ 3 = 30

7. Si se cumple

3♥ 0= 3 A) 1

B) -1

C) 1/2

D) 1/3

0♥ 3= 3

E) 0 Halle

3. Se define

x

=

3033

♥ 303

x+ 2 A) 30333 4 D) 3x10

Además: x+1

+ x

= x+6

x+1

-

= x

x

8. Si

B) 33333

C) 3000 E) 30300

n



n2 1 ;

Hallar

n2 Calcular A) 1 B) 3

C) -1

4. Se define

N

2 D) 5

2x + 1

A) 15/17 D) 13/25

E) 2

=

2 x 3 x 4 x…x 25 B) 17/13

2x + 3 2

9. Si

ab

a#b=

b#a

Hallar el valor de “n” en 2

=

Hallar A = ( 4 # 2 )

2n

A) 1 A) 1 D) 4 Braulio Gutiérrez Pari

B) 2

C) 15/22 E) 13/17

(4#2)

B) 2

C) 3

D) 4

C) 3 E) 5 -53 -

E) 5 Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

A) 2 10. Se define m n = m2 ( n  m ) +1 Halle

B) 1

C) 2000

ab b =

16.

Juliaca -

D) 8 E) 8000 +

a,b  R

a

1

3

Además

1600 = 6

3 A) 5 D) 8

B) -5

A) 200 D) 3200

1 2 = 3 3 4 = 7 5 7 = 6

11. Si

B) 7

C) -7

12. Se define en R;

D) -2 x+3

Además

7

Calcule

=

E) 2 x

+ 4

48 B) 4800

17. Si que:

3 1

Halle A) 6

Hallar

C) 15 E) 12

x

una función constante tal

7



5

-1 

3

67

= 8 ; Calcule 2008  B) -12

2007 A) 12 D) 8

= 15

B)85

C)90

Además

A) 333 14.

D)95

x+2

13. Si

=

x + 3x - 2

E)75

1

= 30

Calcule

203

…

x+5

Además

19. Si

+ 2

10

Calcule

15.

B) -24 ab =

Además

= 10

=

C) 99 E) 101

2N+6; 2

x –6

Calcule

N 0

= 66

2x

70

C) - 4 a

D) 10 +

20. Se define Hallar “m” en

b 800

Hallar

2000

B)14

C)22

D)24

E)18

E)14

a,bЄ R

Además

= 5

x+1 +3 2m+1

A) 1 Braulio Gutiérrez Pari

B) 98

N

A)12 A) -14

= ( x + 1 )( x + 2 )

0 +1 +2 +3 + … +10

A) 97 D) 100

D) 323 E) 343

Se define la operación en Z =

2009 C) -6 E) 16

Halle

x +3

B) 313 C) 303

x



18. Se sabe que 2

A)80

C) 2400 E) 1600

-54 -

B) 2

C) 3

=

2

x –6x+9

= 441

D)4 Cepre Upeu

E) 5


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Operaciones M. II 1. Se define

a

(a

 b ) = b3

 (10!  b)

Calcule

x

6. Se define

10

b 1

A) 1 D) 6

x

B) 2 x-1 = 3x

2. si ...

C) 3 E) 8 ;

= 9x + 4

= 12x + 10 5

Halle

Calcule

0 +0 - 4 -12 - 24 . . .

A) 46 D) 74

B) 47

7. Si

a

= 8a + 7

b

= 16b + 15

40 Operadores

C) 43 E) 52

A)2700 B)1200 C)2100 D)7500 E)4800 Halle

2

2x-1 = 4 x

3. Se define

A) 30 D) 95

Calcule ...

1 +3 +1 - 5

B) 42

C) 70 E) 102

-15 . . . 8. Se define en N 2

30 Operadores

2

x -2

= x -1

; Hallar

A)1000 B)3600 C)1600 D)6400 E)1440 ...

4. Se sabe que n = 3 n-1

y



3

500 x 4

Halle

B) 3

5. Si

500

= (a-1)(a+1)

a

= a – 4a + 5

B) 27


+

B)626

9. Se define en R 1 x = 1x ...

2

3

+6

...

C)636 D)646

E)656

496

C) 3 502 E) 3

a

Hallar:

+4

25 Operadores A)620

504

A) 3 506 D) 3

A) 20

1

1 +2

1

5

C) 26 D) 30

Calcule

2 +1 +1 +1 . . . +1

99 Operadores A)1/90

E) 28

-55 -

B)1/99 C)1/100 D)100 E)99

Cepre Upeu

Razonamiento Matemático 10. Si

2 X -3

Halle ...

CEPRE - UPeu -

= x( x+ 4 ) x

2

-7

-7

A)50

B)140

C)60

Juliaca -

D)74

E)76

15. Dada las siguientes operaciones

...

x =x–3

;

x+1

= 2x

20 Operadores A) 20 C)

2 - 140

B)

x

2 - 140

D) 2

2 +7

E=

11. Se define en N =x–9

x-5

=2x+5 ;

Hallar

E) 140

;

...

4

...

Hallar 50 Operadores

...

6 +6 +6

...

A)100

B)101

C)102

D)103 125 Operadores A) 120

B)130 C)240

16. Se define

D)250

2 n

n+1 =

12. Si

E) 260

n-2

101

Hallar

n

n

E=

C)62

D)82

...

3

...

A)40 D)80

E)60

x+5

13. Se define

=

x

B)43 2

+ 1

2

x

Además Calcule

9

= x -1

=2 Halle

24

E =

A) 82 B)2

C)3

C)30 E)90

=(x–2) +1

x

17. Si

A)1

....

Si además =1

2 B)52

n

20 Operadores

1 A)40

=

+ 1 2

Calcular:

E)104

D)4

E)5

9

+

10

B) 90

C) 72

D) 62

E) 52

14. Sabiendo que x-5

=

x+1 x-1

x = x+5

Calcular “n” en : 2 x 4 x 6 x . . . .x 2n

2

x = 101

Halle A)80


2

=x –4x+5

x

18. Si

-56 -

B)85

= x +1

E = C)90

9

+

3

D)95 Cepre Upeu

E)75


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Operaciones Matemáticas Ejemplar

Operador

Fila de entrada

columna de entrada

#

a

b

c

a b c

a b c

b c a

c a b

Se define en IR, a # b = b + a – ab ¿conmutativo? 2o operando

Resolución a # b = b + a – ab b # a = a + b – ba por lo que se cumple: a # b = b # a ;  conmutativo

resultados

1o operando

EN LA TABLA Criterio de la Diagonal

PROPIEDADES

Se debe verificar “A” definamos el

En el conjunto operación #.

ro

1 . Las entradas deben tener el mismo orden. 2do. Trazar la diagonal a partir del operador y verificar la simetría respecto a esto.

1. CLAUSURA O CERRADURA

 a, b  A

a#b A

Ejemplar Se define en IR,

-

Ejemplar Se define en IR,

A = {1, 2, 3 }

A = {1, 2, 3 }

#

1

2

3

1 3 2

3 2 1

1 3 2

2 1 3

#

1

2

3

1 2 3

3 1 2

1 2 3

2 3 1

¿Conmutativo? Sí es conmutativo, pues solo falta ordenar y verifica el criterio de la diagonal.

Es cerrado pues: Los elementos de entrada  A Los resultados  A

3. ELEMENTO NEUTRO “e”

2. CONMUTATIVA

 a, b  A -

! e A a A

a#b=b#a

Ejemplar Se define en  , a # b = a + b – 2 Hallar el elemento neutro

La adición y la multiplicación son conmutativos La resta y la división no son conmutativos Braulio Gutiérrez Pari

a#e=a e#a=a

-57 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Resolución

Juliaca -

-1

20) Hallar la inversa “a ” a # e = a

;

e # a = a

-1

a # a a+e–2 = a e = 2

e+a–2 = a e = 2

= e

-1

aa

= e

2 Por lo tanto elemento neutro es 2

a

-1

4

=

a

EN LA TABLA -1

-1

 5 +3 =

Criterio de la Intersección

4/5 + 4/3 = 32/15

Ejemplar

Se debe verificar

Se define en A= {1 , 2 , 3}.

1ro. La conmutatividad 2do. Ubicar en los resultados una columna igual a la columna de entrada y una fila igual a la fila de entrada. La intersección de la columna y fila mencionada nos da el elemento neutro (e). #

a

b

c

a

a

b

c

b

b

c

a

c

c

a

b

#

1

2

3

1 2 3

1 2 3

2 3 1

3 1 2

-1

-1

-1

Hallar E = (1 # 2 ) #3 Resolución 0

1)

 e=a 4. ELEMENTO INVERSO -1

a # a

Hallar

a#b=

20)

1

2

3

1 2 3

1

2 3

2 3 1

3 1 2

e=1

Hallar la inversa “a #

1

2

1

1

2

3

ab

2

2

3

1

2

3

3

1

2

-1

”

3

-1

5 +3

-1

1

Resolución 10)

#

-1

= e

Ejemplar Se define en IR -1

a

Hallar el elemento neutro “e”

=1

; 2

-1

=3

;

-1

3 =2

Reemplazando en

Hallar el elemento neutro “e”

-1

-1

-1

E= (1 #2 )#3 a#e=a ae

Tenemos: =a

2



e= Braulio Gutiérrez Pari

-58 -

E = E = E =

( 1 # 3 )# 2 ( 3 )# 2 1 Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Problemas I





a b

b

c

b

d

d

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

6. Se define la operación “” mediante la siguiente tabla  1 2 3 4

a b

a

6

d

c d

c

4

246 462 246 624 Calcular  2  4  6   6  4  2 

1. Si la tabla es conmutativa

a

2

Juliaca -

c

b

d

1 3 5 2 7 9 3 11 13 4 15 17 Calcular 21  20

Calcule -1 -1 -1 -1 N =  d  a   b c -1 Donde a elemento inverso de “a” A) d B) c C) b D) a E) N.A

A) 121

B) 111

C) 100

7 11 15 19

D) 80

9 13 17 21

E) 96

+

2. Se define en Z 

1

7. En A = {0,1,2,3} se define la operación “” mediante la siguiente tabla

3

1 1 3 3 3 31 Hallar 1331  3133 A) 13311 B) 31113 C) 133331 D) 311311 E) 11331 3. Se define la operación  2

3

3 4 7 6 10 13 9 16 19 Hallar 25  20 A) 102 B) 120 D) 100

A) 80

B) 84

C) 90

D) 94

2

3

1 3 0 2

2 0 3 1

3 2 1 0

10 16 22

A) 1

B) 2

C) 5

D) 3

E) 4

8. Se define la operación “” mediante la siguiente tabla  0 1 2 3 0 -0 -1 -2 1 3 2 1 2 6 5 4 3 9 8 7 Calcular 27  62 A)21 B)18 C)19 D)34

39 40 42 46

-3 0 3 6 E)25

9. Se define la operación “” mediante la siguiente tabla  2 4 6 8

E) N.A

2 6 8 4 18 20 6 38 40 8 66 68 Calcular 16  332

5. Se define una operación matemática mediante la tabla


1

0 1 2 3

Calcular “x” en: ( 3  x)  ( 2  0 ) = ( 3  3 )  0

C) 118 E) 140

30 31 33 37

0

0 1 2 3

4

4. Se define la operación “” mediante la siguiente tabla  5 6 8 11 4 21 24 6 22 25 10 24 27 18 28 31 Calcular 40  20



-59 -

10 22 42 70 Cepre Upeu

12 24 44 72


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

ab=a+b+2 Hallar E = ( 1-1  2-1)  3-1 Donde a-1: elemento inverso de “a”

14. Si A) 556 B) 567 C) 588 D) 602

E) 608

10. Se define la operación  3 6

9

3 4 6 10 9 16 Hallar 25  120 A) -10 11.

B) -30

2 8 14

C) -20

A)-14

0 6 12

D) -75

B) 24

 1 2 3 4

E) -80



A) 2

12. De la tabla

C) 4 ∆ 2 5 7

D) 8

5 20 50 70

2 8 20 28

A) 1

 1 2 3 4

A) I. II

C) 1/4 E) 1/5

#

1

3

5

7

2 4 6 8

2 6 10 14

-4 0 4 8

-10 -6 -2 2

-16 -12 -8 -4

C) 3

3 2 3 4 1

1 4 1 2 3

B) I

D) 4

4 3 4 1 2

E)5

2 1 2 3 4

C) I, III

Si a  b =

17.

D) II

ab 12

E) III

Hallar “x” en

( x -1  18-1 )  6-1 = 16 Donde a-1: elemento inverso de “a” A) 10 18.

B) 8

C) 5

D) 6

E) 12

Se define en R 2

a 

2

b = a + b +2 -1

-1

-1

-1

Calcular: P= ( 3  1 )  ( 4  2 )

Calcular “x” en: ( x + 2 ) # 20 = 11


4 3 4 1 2

La operación es conmutativa II. El elemento neutro es 3 III. ( 3-1  2-1 )  ( 4  1-1 ) = 4-1 Son verdaderos

13. Se define la operación “#” mediante la siguiente tabla

B) 31

3 2 3 4 1

I.

  1  1  1  1   1  M           2   4    8   

A) 30 D) 35

2 1 2 3 4

B) 2

E) 5

7 28 70 98

B) 1/6

1 4 1 2 3

16. Se define en la tabla la operación 

Halle

A) 1/2 D) 1/8

E) 52

Halle E =  ( 1-1  2)-1  ( 2-1  3)-1  4-1-1 donde a-1: elemento inverso de “a”

  1  1  1  1   1  1           4   8    16   

B) 6

D) 44

15. Se define la operación 

Se define en IR a b = 4ab Además a-1: elemento inverso de “a”

Halle: M 

C) 34

Donde a-1: elemento inverso de “a” A) -20 D) 8

C) 33 E) 43

-60 -

B) - 6



CEPRE - UPeu -

Término central t1 ; t2 ; t3 ; tc ; t5 ; t6 ; t7 1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19 20 20 20

Sucesiones Sucesión: Es todo conjunto ordenado de elementos (números, letras o figuras) TIPOS DE SUCESIONES Entre los más importantes tenemos: 1. Sucesiones Numéricas 2. Sucesiones Literales 3. Sucesiones Gráficas

Suma constante - Si el número de términos de una progresión aritmética es impar, entonces existirá un único término central (tc) cuyo valor es igual a la semisuma de los extremos t1 ; t2 ; t3 ; tc ; t5 ; t6 ; t7

1. Sucesión Numérica: N° ordinal

1°

2°

3°

Términos

t1 ; t2 ; t3 ; t4 . . . tn

Juliaca -

4° . . . n°

1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19 20 20 20

Sucesiones numéricas importantes a) Sucesión Lineal (o de primer orden)

119 416 713 tc 10    2 2 2

Dada la progresión aritmética (P.A.) t1; t 2 ; t 3 ; t 4 ; . . . ; t n

- Con una cantidad impar de términos +r Donde:

+r

+r ...

t c  (suma de impares) - (Suma de pares)

t 2 = t1 + r t3 = t1 + 2r t4 = t1 + 3r

b) Sucesión geométrica Dada la progresión geométrica (P.G)

tn = t1 +(n-1) r

t1; t 2 ; t 3 ; t 4 ; . . . ; t n

Fórmula de recurrencia

t n  t1  (n  1)r

xq

o El término enésimo se calcula así

xq

xq ...

t2 = t 1 q 2 t3 = t 1 q 3 t4 = t 1 q

Donde:

t n  rn  t o Donde:

tn = t 1 q

t1 : Primer término tn : término enésimo o último término n : Número de términos r : razón aritmética to : término anterior al primero ( to = t1 - r)

n-1

El término enésimo se calcula así

t

n

 t q 1

n-1

Algunas propiedades

Donde: t1 : Primer término

- En toda progresión aritmética se cumple que la suma de términos extremos es constante

tn : término enésimo o último término n : Número de términos q : razón geométrica


-61 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Algunas propiedades -

Juliaca -

d) Sucesión polinomial de mayor orden Son de la forma

En toda progresión geométrica se cumple que el producto términos extremos es constante término central t1 ; t2 ; t3 ; tc ; t5 ; t6 ; t7 11 ; 22 ; 44 ; 88 ; 176 ; 352 ; 704 7744 7744 7744

t1; t 2 ; t 3 ; t 4 ; t 5 ;. . . ; t n

a

b m

c n

r

d ... p ...

r ...

El término enésimo de la sucesión se da por la siguiente expresión

Producto constante n1 n1 n1 n1 tn  t C  aC  mC  rC 1 0 1 2 3

- Si la progresión geométrica tiene en número impar de términos, entonces el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de extremos.

Sabemos que: n C  1; 0 Donde

t1 ; t2 ; t3 ; tc ; t5 ; t6 ; t7 11 ; 22 ; 44 ; 88 ; 176 ; 352 ; 704 7744 7744 7744

t c  88  11x704 

22x352 

Cn  k

n Cn  1

"k" factores     n(n  1)(n  2)....... 1x2x3x...x k

49x176 2. Sucesiones Literales: Es el conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio como es:  Lugar que ocupa la letra en el alfabeto  Iniciales de palabras conocidas  Formación de palabras No se consideran las letras: CH; LL, a no ser que se indique lo contrario.

- Con una cantidad impar de términos

tc 

n C  n; 1

producto de impares producto de pares

c) Sucesión cuadrática (o de segundo orden) do Sea la sucesión de 2 orden

t1, t2, t3, t4, ... ,tn Fórmula general:

t

n

 an

c=

2

 bn  c

a,b y c : constantes n Є a los naturales

t 0 ; t1; t 2 ; t 3 ; t 4 ; t 5 ;. . .

a+b= l 2a =

m r


n r

p r

q ...

A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

F 6

G 7

H 8

I 9

J 10

K 11

L 12

M 13

N 14

Ñ 15

O 16

P 17

Q 18

R 19

S 20

T 21

U 22

V 23

W 24

X 25

Y 26

Z 27

3. Sucesiones gráficas: Están formadas por figuras ordenadas de acuerdo a criterios lógicos que determinan cada término de la sucesión.

r ...

-62 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas I 1. Andrea forma triángulos agregando cada vez dos palitos de fósforo como en la figura adjunta.

5. Dada la siguiente progresión aritmética: 111; ………….,514 Si dicha progresión tiene 3b términos y su razón es “r”. Hallar b+r A) 11 D) 15

3 5 Fósforos fósforos

7 fósforos

9 fósforos

B) 34 E) 43

2. Halle el valor de 2

5

1

;

7

2 11

A) 1080 D) 1083

;

2 ; 9 ; 16 ; 23 ; . . . ; 345 A) 50 D) 15

C) 35

3

;

15 B) 961

17

z+1

4

;…..; 31

19

w+5

A) 192 D) 210

C) 1183 E) 1193

Sn = n(2n + 3) ¿Qué término ocupa el lugar 30 en dicha sucesión? B) 121 E) 124

A) 4 D) 5

C) 111

4. Si la suma de los “n” primeros términos de una P.A. están definidas por n (3n+1) Sn = 2

B) 390

B) 180 E) 185

C) 205

B) 13 E) 3

C) 6

9. En una progresión aritmética el 7mo término vale 40 y el 15vo término es 56. Halle el vigésimo término. A) 72 D) 62

Halle la suma de los términos entre el lugar 10 y el lugar 20 A) 396 D) 382

C) 12

8. Lorena cierto día empezó a leer un libro de la siguiente manera: el primer día lee 27 páginas, el segundo día lee 24 páginas, el tercer día 21 páginas, y así sucesivamente. Si en el octavo día termina de leer el libro. ¿Cuántas páginas leyó ese día?

3. Una persona dice que la suma de los “n” primeros términos de una sucesión está dada por la siguiente expresión:

A) 120 D) 125

B) 56 E) 150

2 7. Si tn = 4n - 2, representa los términos 2 de lugar impar; y tn = 4n + 4n -1, representa los términos de lugar par, ambos de una nueva sucesión. Halle el valor de E = t20 – t15

z+w

10

C) 14 E) 16

6. En la siguiente sucesión hallar el número de términos.

¿Cuántos triángulos formará con 71 fósforos si se sigue con la secuencia de la figura? A) 30 D) 36

B) 13

B) 76 E) 64

C) 66

10. Dadas las sucesiones, Hallar cuántos términos comunes tienen ambas sucesiones.

C) 423 E) 406

16 ; 18 ; 20 ; 22 ; 24 ; . . . ; 124 Braulio Gutiérrez Pari

-63 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

13 ; 16 ; 19 ; 22 ; 25 ; . . . ; 250 A) 19 D) 22

B) 20 E) 23

Calcular el tercer término de los tres mencionados.

C) 21

A) 146 D) 164

11. Dadas las sucesiones, Hallar cuántos términos comunes tienen ambas sucesiones.

B) 20 E) 23

A) 20 D) 27

C) 21

B) -5 E) -4

C) -6

13. Cuál es el primer término positivo: -641 ; -628 ; -615 ; . . . A) 13 D) 6

B) 8 E) 4

A) S/. 20 D) S/. 60

C) 9

B) - 101 E) - 105

C) 25

B) S/. 45 E) S/. 25

C) S/. 30

20. Si el primer y quinto término de una P.G. Creciente son 2 y 162, halle el sexto término.

14. En la siguiente sucesión, halle el primer término negativo de 3 cifras. 120 ; 113 ; 106 ; 99 ; . . . A) - 102 D) - 104

B) 22 E) 23

19. Cinco hermanos deciden hacer un regalo a su madre, aportando de menor a mayor, cantidades que aumenta en progresión aritmética, observándose que el hermano intermedio dio el doble del primero, pero 30 soles menos que el hermano mayor. ¿Cuánto aportó el menor de todos?

12. Cuál es el primer término negativo: 695 ; 689 ; 683 ; 677 ; . . . A) -1 D) -3

C) 102

18. Halle el número de términos de 3 cifras existentes en: 4 ; 10 ; 18 ; 28 ; 40 ; …

5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; . . . ; 239 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; . . . ; 572 A) 19 D) 22

B) 123 E) 136

A) 486 D) 643

C) - 103

B) 324 E) 202

C) 382

21. El quinto término de una progresión geométrica es 48 y el primer término 3, entonces la suma de los tres primeros términos de lugares pares es.

15. ¿Cuál es el cuarto término que termina en 5 en la siguiente sucesión? 1 , 10 , 25 , 46 , . . . A) 145 D) 735

B) 505 E) 1 585

A) 124 D) 120

C) 865

A) 2 D) 6

5 ; 11 ; 21 ; 35 ; 53 ; . . . B) 9 E) 12

B) 4 E) 12

C) 8

23. Hallar el segundo término negativo de la sucesión. 213 ; 207 ; 201 ; 195 ; . . .

C) 10

17. Se sabe que tres términos consecutivos de la sucesión: 3 ; 6 ; 11 ; 18 ; . . . . Suman 371 Braulio Gutiérrez Pari

C) 126

22. El 6to término de una P.G. Es 48 y el 12vo término es 3 072. Halle el 3er término.

16. Dada la siguiente sucesión de 20 términos, calcular cuántos términos terminan en la cifra 5.

A) 8 D) 11

B) 128 E) 136

A) -7

-64 -

B) -8

C) -9

D) -10 Cepre Upeu

E) -11


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas II donde la razón es igual a ( a – 2 ). Calcule la diferencia entre los términos de lugares 31 y 22.

1. Walter y Betty leen una obra. Walter lee 52 páginas cada día y Betty lee 8 páginas el primer día, 16 páginas el segundo día, 24 páginas el tercer día, y así sucesivamente. Si empezaron el 16 de Marzo y terminaron de leer cuando llegan a la misma página. ¿En qué fecha terminaron? A) 25 de marzo C) 28 de marzo E) 11 de junio

A) 50 D) 45

B) 27 de marzo D) 10 de abril

B) 1 809 E) 1 089

3. Halle el valor de 7

13

1 ;

2

12

5

A) -20 4.

3

25 ; 4

A) 26 D) 24

B) 35 E) 26

40 Y

A) 13 D) 60

D) 60 E) 55

C) 36

B) 402/41 E) 404/40

B) 20

C) 40 E) 25

10. Dada la siguiente sucesión 32 ; 39 ; 46 ; 53 ;60 ; 67 ;. . .; 844 31 ; 40 ; 49 ; 58 ;67. . .; 1 150 Calcular cuántos términos son comunes a ambas sucesiones:

C) 28

A) 20 D) 60

5. Halle el término que ocupa el lugar 20 en 1 ; 6/5 ; 11/7 ; 2 ; 27/11 ; . . .

B) 20

C) 13 E) 55

11. Calcular el tercer término de tres cifras en la siguiente sucesión. 3 ; 6 ; 11 ; 18 ;. . .

C) 372/13

A) 159 D) 146

6. Sea la progresión aritmética: (a + b) ; (2a - b) ; (2a + 3b) ; . . . Braulio Gutiérrez Pari

B) 30 E) 25

9. Una persona se dedica a la venta de revistas. El primer día vende 6; el segundo día vende 9; el tercer día 14, el cuarto día 21 y así sucesivamente hasta que el último día vendió 630 revistas. ¿Cuántos días estuvo vendiendo?

Hallar el valor de “n” en la siguiente sucesión: 2 4 n+6 (x+2) ; (x+4) ; (x+8) ;… ; (x+90-n)

A) 421/32 D) 401/42

C) 136

8. Hallar el número de términos: 6 ; 15 ; 28 ; 45 ; . . . ; 1891

X

;....;

-9

C) 40

A) 22 D) 16

B) 127 E) 150

C) 1 869

-2

B) 20

A) 147 D) 149

X+Y

19 ;

C) 40

7. Alba empezó a leer un novela de la siguiente manera: El primer día 3 páginas, el segundo día 4 páginas, el tercer día 7 páginas, el cuarto día 8 páginas más que el segundo día, y así sucesivamente. Si el décimo tercer día terminó de leer la novela. ¿Cuántas páginas leyó. Dicho día?

2. En un salón de clase el profesor decide que cada niño que llegue tarde realice abdominales de acuerdo a su hora de llegada: a las 8:01 se realiza 2 abdominales, a las 8:02 se realiza 5 abdominales, a las 8:03 9 abdominales; a las 8:04, 14 abdominales; y así sucesivamente. Si Raúl llega a las 8:59. ¿Cuántos abdominales deberá realizar? A) 1 829 D) 1 729

B) 36 E) 60

-65 -

B) 120



CEPRE - UPeu -

12. La suma de los “n” términos de una sucesión está dada por la siguiente expresión:

18. En la siguiente progresión geométrica, halle el valor de k. (3k+1);(k-3);(2k+9) A) 7 D) -7

Sn = n(2n + 9) Calcular el primer término de 3 cifras en dicha sucesión: A) 100 D) 103

B) 101

-21

B) 169

A) 2 -18 D) 2

B) 20

B) 42 E) 46

C) 101 E) 71

A) 101 D) 104

B) 8 E) 12

B) 67 E) 65 Braulio Gutiérrez Pari

-17

B) 102

C) 103 E) 105

-147 ; -139 ; -131 ; . . . . ; 1 045 A) 155 D) 154

B) 150

C) 153 E) 105

22. En el siguiente esquema: Fila 1

C) 40 E) 33

5

Fila 2

7

Fila 3 Fila 4

C) 48

11 17

9 13

19

15 21

23

Halle la suma de los números que van a los extremos de la fila 20. A) 824 D) 890

B) 800

C) 808 E) 832

23. En la sucesión siguiente 7 , 19 , 37 , 61 , 91 , . . .

C) 7

17. Si la suma de 6 términos consecutivos de la sucesión 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; . . .; es 399. Calcule el valor del tercer término de los 6 términos mencionados: A) 62 D) 59

C) 2

21. ¿Cuántos términos tiene la sucesión

16. En la siguiente sucesión. ¿Cuántos de sus términos terminan en cifra 3? 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; . . . ; 242 A) 9 D) 10

-20

B) 2 -22 E) 2

-3 ; 1 ; 5 ; 9 ; . . . ; 405

15. Cuántos de los siguientes términos son de 4 cifras? -3 ; 0 ; 7 ; 18 ; 33 ; . . . A) 50 D) 40

C) 2

20. ¿Cuántos términos tiene la sucesión

14. Pedrito observó que cada día que pasaba se disminuía el número de artículos que vendía. El primer día vende 131; el segundo día vende 127; el tercer día 123, el cuarto día 119 y así sucesivamente hasta que el último día vendió 3 caramelos. ¿Cuántos días estuvo vendiendo? A) 13 D) 60

B) 3 E) 5

19. De 21 términos de una P.G., se sabe que el término central es 1/2. Halle el producto de los 21 términos.

C) 102 E) 104

13. En una progresión aritmética de 42 términos de 42 términos el primer término es 22 y el último 309. Halle la diferencia entre el trigésimo quinto y el vigésimo segundo término de dicha sucesión. A) 260 D) 91

Juliaca -

Halle la diferencia entre el último término de 3 cifras y el primer término de 3 cifras. A) 919 D) 797

C) 64 -66 -

B) 127



CEPRE - UPeu -

Observaciones:

Series y Sumatorias

N° ordinal : 1° 2° 3° 4° . . . n° Sucesión : t1 ; t2 ; t3 ; t4 . . . tn Serie : t1 + t2 + t3 + t4 +…+tn Una forma abreviada de escribir la serie numérica es utilizando la siguiente notación kn t  t  t  t  ...  t n  t 4 1 2 3 k k a

Si la suma de los “n” primeros términos de una P.A de razón “r” es “S” entonces la suma de los “n” siguientes términos de dicha P.A esta dado por:

Sn  S  r.n

Suma de los n Suma de los n Primeros términos + últimos términos De una P.A de una P.A

a) Serie aritmética

b) Serie geométrica b.1) Serie geométrica finita

S  t1  t 2  t 3  t 4  ...  t n

Dada la serie geométrica de “n” términos

+r ...

S  t1  t 2  t 3  t 4  ...  t n

La suma de serie aritmética es.

S

 t1  tn   n  2 

xq

S  t1

 qn - 1    q-1   

b.2) Serie geométrica decreciente infinita Dada la serie geométrica decreciente de infinitos términos

t1 ; t2 ; t3 ; tc ; t5 ; t6 ; t7

S  t 1  t 2  t 3  t 4  ...  

 t1  tn  S n 2  


xq ...

Donde: S: Suma o valor de la serie t1: Primer término n: número de términos q: razón geométrica

- Si una sucesión aritmética tiene un número impar de términos, entonces existe un único término central (tc) término central

.

xq

La suma de serie geométrica es.

Donde: S: Suma o valor de la serie t1: Primer término tn: Último término n: número de términos

S  tc n

=2ntc

n: es impar

Dada la serie aritmética

+r

2

-



+r

Juliaca -

xq

xq

...

La suma de esta serie geométrica es:

;donde n es impar

S

-67 -

n



t 1

; donde

0  q 1

1- q Cepre Upeu

Razonamiento Matemático Serie polinomial Dada la sucesión términos

CEPRE - UPeu -

polinomial

de

Suma de los “n” primeros números cubos perfectos

“n”

 n(n  1)    2  "n" Sumandos

r ; r ; r ; r ; r ;... 4 5 1 2 3

Suma de los “n” primeros productos consecutivos

P1 ; P2 ; P 3 ; P 4 ; . . .

1.2  2.3  3.4  ...  n(n  1) 

v1; v 2 ; v 3 ; . . .

n(n  1)(n  2)

 

3

"n" Sumandos

r ...

Constante

La suma se calcula así

Sumatorias Sea la serie S= t1 + t2 + t3 + t4 +…+tn Abreviando la serie usaremos el operador matemático ( ∑ )

n n n n n Sn  t1C1  r1C2  p1C3  v1C 4  rC5

n

 k 1

Series y Sumas Notables

Suma de naturales

los

“n”

primeros

1  2  3  4  ...  n 

  "n" Sumandos

n(n  1)

PROPIEDADES n tk  ta  ta  1  ta  2  ...  tn 1 k a



2

Nro de términos  (n  a 1)

n

2-

2  4  6  8  ...  2n  n(n  1)



  

3 -

números

1  3  5  7  ...  ( 2n - 1)  n

 C  (n  a  1)C

k a n

"n" Sumandos

primeros

tk  t1  t 2  t3  t 4  ...  tn

Se lee: sumatoria de los términos de la forma tk desde k=1 hasta k=n

números

Suma de los “n” primeros números pares naturales

Suma de los “n” impares naturales

k t

k a

n

2

a-1

  tk   tk k 1

20

k t

k 5

"n" Sumandos

n

Suma de los “n” primeros cuadrados perfectos

4-





k 1

20

4

k 1

k 1

  tk   tk n



at a t k k k a k a n n (at  bP ) a t 5k k k k a k a

2 2 2 2 n(n  1)(2n  1) 1  2  3  ...  n  6 "n" Sumandos



 Braulio Gutiérrez Pari

2

3 3 3 3 3 1  2  3  4  ...  n 

t ; t ; t ; t ; t ; t ; . . .t n 4 5 1 2 3 6

r

Juliaca -

-68 -





n

 b  Pk

Cepre Upeu

k a


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas I D) 14 000

E) 14 710

1. Hallar “n” en la serie 7. Calcular el valor de S: (3n +2) + (3n +4) +(3n +6) +…+(5n) = 81n A) 20 D) 31

B) 22 E) 35

S  1x99  2x98  3x97  ...  50x50

C) 25

A) 73 476 D) 88 345

2. Hallar “a + b” en la serie

B) 84 575

C) 79 476 E) 75 575

8. Determinar el valor de E: E = 20x1 + 19x2 + 18x3 + . . . + 1x20

n + (n +2) +(n +4) +…+(7n) = an (bn+1) A) 6 D) 9

B) 7 E) 10

A) 4 525 D) 1 580

C) 8

B) 1 245

C) 3 870 E) 1 540

9. Hallar el valor de E: 3. Hallar la suma de

E  9  12  17  24  ...  177

S  (x  1)  ( x 3)  ( x 5)  ( x  7) ...

  

A) 932 D) 876

"n" sumandos

B) 377

C) 923 E) 833

para x= (n-2) 10. Calcular la suma de: A) n (n+1) D) 2n

B) n (n-1)

C) 2n (n-1) E) 2n (2-n)

M  4  5  7  3  6  5  9  3...

 130 términos

4. Calcule el valor de “a x n”, si: A) 7 479 D) 8 749

ana  2a  3a  4a  . . .  9a  10a A) 32 D) 64

B) 45

B) 8 479

C) 7 849 E) 2 665

11. Un móvil “A” sale con 600m de ventaja sobre otro móvil “B”. “A” anda 1m en el primer segundo; 2m en el segundo, 3m en el tercero y así sucesivamente; “B” anda 1m en el primer segundo; 4m en el segundo; 7m en el tercero y así sucesivamente. ¿Cuánto tardará “B” en alcanzar a “A”?

C) 40 E) 56

5. Si la siguiente sucesión es aritmética y creciente:

aaa , ab4 , ac1 , . . . Hallar la suma de S:

A) 16 s D) 25 s

S  a  b  c  ....

 (2c b) términos

A) 115 D) 116

B) 114

S  13  20  37  64  ...

 20 sumandos

B) 11 900


C) 18 s E) 30 s

12. Dos poblaciones “A” y “B” tienen en la actualidad 9 167 360 y 143 240 habitantes respectivamente, suponiendo una disminución anual de “A” en 1/8 de sus habitantes y un aumento anual de “B” en ¾ de sus habitantes. ¿Dentro de cuántos años las dos poblaciones tendrán el mismo número de habitantes?

C) 113 E) 117

6. Halle el valor de S

A) 12 990

B) 24 s

C) 13 500 -69 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

B) 4

19. Las 10 piedras que se muestra en la figura deben ser amontonadas en el sitio donde se encuentra la persona y que deben ser llevadas una a una, cual debe ser el recorrido total de la personal para transportar todas las piedras.

C) 5 E) 7

13. Hallar el valor de S 1

S

1



4x8

8x12

A) 12/91 D) 13/94

1



1

 ... 

12x16

60x64

B) 17/101

C) 15/256 E) 15/225

12m

14. Beatriz quería comprarse un vestido y con ese fin se propuso ahorrar el primer día S/. 12, el segundo día S/. 15; el tercer día S/. 18,…; hasta que el último día ahorró S/. 69. Si en total ahorró S/. 783, tal como se había propuesto, con la excepción de un día; ¿Qué día de ahorro se lo gastó? A) el quinto D) el octavo

B) el sexto E) el cuarto

Juliaca -

8m

A) 900 D) 960

8m

B) 940

8m

C) 950 E) 970

20. Las barras de metal que se muestra en la figura deben ser llevadas al almacén y dejarlas en la puerta, cuál debe ser el recorrido total del niño para transportar todas las barras. Sabiendo que el niño puede transportar una sola barra a la vez.

C) el séptimo

15. Calcular: S

1

8



5

10

A) 127 D) 130



27 15



64 20

B) 128 E) 131

 ... 



1728

10m

60

A) 7 000 m D) 7 700 m

C) 129

1

3 5 7  2  3  4 . . . 2 2 2 2

A) 6 D) 2

B) 3 E) 4

C) 5

A) 985 D) 355

B) 15 – 75

C) 16 -64 E) 20 – 80

18. La suma de 20 números enteros consecutivos es “S”. ¿Cuál es la suma de los siguientes 20 consecutivos? A) S+210 D) S+400

B) S+200


10 barras

C) 7 600 m E) 8 000 m

B) 535

C) 895 E) 1 085

22. Una persona debe regar con un balde de agua cada uno de los 20 árboles que se muestran en la figura, si la persona en cada viaje sólo puede llevar un balde con agua, y empieza estando junto al pozo.¿Cuánto debe recorrer en total, para regar todos los árboles?

17. Empleando 364 canicas se ha formado una pirámide completa de base triangular. ¿Cuántas capas tiene y cuántas canicas hay en la base? A) 12 -78 D) 13 -72

10m

21. He repartido un total de 1 900 caramelos entre los 25 sobrinos, dándole a cada uno 3 caramelos más que al anterior. ¿Cuántos caramelos les di a los 10 últimos?

16. Calcule:

E 

10m

B) 7 500 m

pozo

C) S+190 E) S+420

10m

A) 3 440 D) 3960 -70 -

8m

8m

B) 3940

8m



CEPRE - UPeu -

Problemas II

Juliaca -

cometido; pero si lee una página el primer día, tres el segundo, cinco el tercero, y así sucesivamente, le faltarán aún 12 páginas por leer. ¿Cuántas páginas tiene dicho libro?

1. Se han colocado 220 esferas iguales, formando una pirámide regular de base triangular. ¿Cuántas esferas hay en la base? A) 18 B) 12 C) 15 D) 55 E) 25

A) 156 D) 142

B) 165 E) 170

C) 135

8. Calcule 2. Calcule: S 

S  1  4  9  16  25  36  ...

 

3



3



3



3

 ...

1x3 3x5 5x7 7x9   

21 términos

20 términos

A) 280 D) 200

B) - 210 E) - 200

C) 231 A) 40/41 D) 80/39

B) 60/41 E) 20/39

C) 40/39

3. Un estudiante se propone, el primer día resolver dos problemas de RM, el segundo día el doble del día anterior, el tercer día el doble del día anterior, y así sucesivamente, durante 2 semanas. ¿Cuántos problemas resolvió en total?

9. Un transportista lleva el día de hoy 21 sacos de papas y decide llevar en cada día que transcurra un saco más que en el día anterior. ¿Cuántos sacos llevó en total, si el penúltimo día, llevó 39 sacos?

A) 32 770 D) 32 768

A) 600 D) 615

B) 32 769 E) 32 766

C) 32 767

4. Halle el valor de:

 15 términos

B) 18 360 E) 20 520

C) 14 280

A) 220 D) 300

5. La suma de 10 números enteros consecutivos es 155. ¿Cuál es la suma de los siguientes 10 consecutivos? A) 255 D) 265

B) 310 E) 275

B) 240 E) 250

C) 280

11. Se sabe que una pelota al rebotar en el piso pierde 1/5 de la altura desde la cual fue soltada. Si dejamos caer una pelota desde 1m de altura. ¿Qué longitud recorrerá hasta detenerse?

C) 280

6. En formar una pirámide triangular regular se usaron 56 esferas. ¿Cuántas esferas conforman la base? A) 20 B) 21 C) 18 D) 16 E) 24

A) 6m D) 9m

B) 7m E) 10m

C) 8m

12. Raúl quiere formar una pirámide de base cuadrada con las naranjas que posee. Si desea que la pirámide tenga 20 capas. ¿Cuántas naranjas tendrá que utilizar en las 10 últimas capas?

7. Abel desea leer un libro en un número determinado de días y se da cuenta que si lee 13 páginas cada día logrará su Braulio Gutiérrez Pari

C) 610

10. Se ha apilado un grupo de canicas de tal forma que se ha formado una pirámide tetraédrica de base triangular. Si solamente en la base se han colocado 55 canicas. ¿Cuántas canicas en total conforman la pirámide?

M  6  24  60  120  ...

A) 23 256 D) 15 360

B) 605 E) 620

-71 -

Cepre Upeu

Razonamiento Matemático A) 2 870 D) 2 485

B) 385 E) 2 545

CEPRE - UPeu -

A) 11 D) 20

C) 2 845

B) 98 E) 112

2

A) S + n 2 D) 2S + n

B) 1 118 E) 1 092

C) 102

A) 32 cm D) 48 cm

B) 1 771 E) 1 641

B) 2 610 E) 2 516

B) 128 cm E) 256 cm

Fila 1

C) 64 cm

1

Fila 2

1

Fila 3

1

Fila 4

1

A) 710 D) 780

C) 1 561

5 5

5

9 9

B) 810

13

C) 690 E) 610

21. Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado, se obtiene un cuadrado más pequeño. Si se continúa indefinidamente este procedimiento tal como indica la figura, hallar el área de la región sombreada obtenida mediante este proceso. A) 12 m

C) 2 116

B) 20 m

17. Para completar su biblioteca, Alejandro compró por un valor de S/. 3 850, varios libros cuyos precios son: el primer libro S/.10, el segundo S/.40, el tercero S/. 90, el cuarto S/. 160, y así sucesivamente. ¿Cuántos libros compró en total? Braulio Gutiérrez Pari

2

C) S +3n

20. Halle la suma de términos de la fila 20

16. Un comerciante compra el día de hoy 21 cajas de tomates y ordena que cada día que transcurra se compre dos cajas más que el día anterior. ¿Cuántas cajas compró en total, si el penúltimo día se compraron 89 cajas? A) 2 026 D) 2 016

2

B) S + 2n 2 E) 2S + 2n

C) 1 100

15. Se tiene un tronco de pirámide de base triangular que ha sido formado con esferitas. Si en la base inferior y superior se cuentan 231 y 45 esferitas respectivamente. ¿Cuántas esferitas se cuentan entre las dos bases? A) 1 651 D) 3 302

C) 12

19. La masa de un péndulo recorre 16 cm. durante la primera oscilación y en cada una de las oscilaciones siguientes recorre 3/4 del espacio recorrido en la oscilación anterior. Calcular el espacio total recorrido por la masa hasta el momento de detenerse.

14. Una escalera de ladrillos tiene 25 escalones. El escalón inferior requiere 80 ladrillos y cada escalón sucesivo requiere 3 ladrillos menos que el precedente. ¿Cuántos ladrillos se necesitan para construir la escalera? A) 1 126 D) 1 108

B) 9 E) 10

18. La suma de “n” números pares consecutivos es “S”. ¿Cuál es la suma de los “n” siguientes números pares consecutivos?

13. La masa de un péndulo recorre 36 cm. durante la primera oscilación. En cada una de las oscilaciones siguientes la masa recorre 2/3 de la distancia recorrida en la oscilación anterior. Determine en cm. la distancia total recorrida por la masa hasta que se detiene por efecto de la resistencia del aire. A) 96 D) 108

Juliaca -

2

6m 2

C) 24 m D) 49 m E) 40 m

-72 -

2

6m 2

2

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Conteo de Figuras

1

1

2

Métodos de conteo

nm(n  m) # total de triángulos  2

2

3

I. Método Combinatorio Consiste en asignar números y/o letras a todas las figuras simples, para luego proceder al conteo creciente y ordenado, de figuras de 1 dígito; figuras de 2 dígitos; figuras de 3 dígitos y así sucesivamente.

3

n

m

Nota: La fórmula

II. Conteo por Inducción

n(n  1) 2

También sirve para contar ángulos, sectores circulares, trapecios, pentágonos…

Recordar: Suma de los “n” primeros números naturales n(n  1)

1 2 3  4  ... n     "n" Sumandos

c) Conteo de cuadriláteros

2



1

2

3

4

a) Conteo de Segmentos # total de  cuadriláteros

# de segmentos

1

2

3=1+ 2

1

2

3

1

2

3

1

2

Juliaca -



1

2

3

...

n

n(n  1) 2 ...

n

2 6 = 1+ 2 + 3

3

10= 1+ 2+ 3+ 4

m

4

3

...

# total de  cuadriláteros

n

n(n  1)

m(m  1) x

2

2

d) Conteo de Cuadrados # total de  1  2  3  4  ...  n  segmentos

n(n  1)

1 2

2

2

3

...

n-1 n

3

b) Conteo de Triángulos m

1

2

3

...


n

# total de = mxn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2) + … cuadrados

n(n  1) # total de triángulos  2

Hasta que por lo menos uno de los factores sea 1.

-73 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

e) Conteo de Paralelepípedos

Juliaca -

Ejemplo: Calcular el número total de palitos usados en la construcción del castillo.

1

2

3

…

n

2 3 p m 1 m(m  1)

# total de  paralelepípedos

2

3

n(n  1) x

p(p  1) x

2

2

2

1

2

30

31

f) conteo de cubos A) 1 585 D) 1 495

B) 1 395

C) 1 590 E) 1 251

Resolución 1

2

3

…

n

N0 de palitos

Casos particulares

2

3  3(1)  3

 1 x2   2   

9  3(3)  3

 2 x3   2   

3

1

p m 1

2

2

3

# total de = mnp+(m-1)(n-1)(p-1)+….. Cubos

1

2

3

Hasta que por lo menos uno de los factores sea 1.

18  3(6)  3

g) conteo de semicírculos n

1

1

2

3

 3 x4     2 

4

2 3

4

4

Para 1 2 3 4 ... 30 31

3 2 1

3

 30 x 31   1395  2   

n

Cada diámetro determina 2 semicírculos La lucha es ardua y dificultosa, pero cuando nuestros objetivos son claros y nobles, al final del camino siempre nos espera el triunfo

# semicírculos = 2(# diámetros)


-74 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas I 1.¿Cuántos triángulos siguiente gráfico?

existe

en

el

6. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?

A) 64 B) 40 C) 60 D) 80 E) 75

A) 18 B) 20 C) 22 D) 24

2. ¿Cuántos triángulos existe en:

E) 26

A) 145 B) 112 C) 161 D) 145 E) 165

7. ¿Cuántos triángulos existirán en cuyo interior se encuentre por lo menos un asterisco? A) 30

3. Cuántos triángulos se pueden contar en total en la siguiente figura?

B) 32

*

C) 33 A) B) C) D) E)

64 40 60 80 95

* *

D) 34 E) 35

*

8. ¿Cuántos triángulos de base cuadrada se pueden contar en total?

4. ¿Cuántos cuadriláteros (cóncavos y convexos) se pueden contar en la siguiente figura?

A) 100 B) 111

A) 250

C) 112

B) 300

D) 113

C) 285

E) 114

D) 435 E) 450 9. ¿Cuántos triángulos simples habrá en f(40) 5.¿Cuántos triángulos se encuentran como máximo? A) 190 B) 195

f(1)

f(2)

f(3)

... ...

C) 180 D) 200 E) 175

1

2


3

...

10 11

-75 -

A)1400 D)1650

B)1500

C)1600 E)1800

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

10. En la figura, Halle el total de triángulos

Juliaca -

15. ¿Cuántos Cuadriláteros se encuentran en total en la siguiente figura?

A) 71 B) 76 C) 61 D) 62 E) 63 A) 49 D) 79

11. ¿Cuántos triángulos se pueden contar, en total, en la siguiente figura?

B) 59

C) 69 E) 89

16. Hallar el número total de triángulos en la siguiente figura

A) 116 B) 158

A) 2109

C) 124

B) 2160

D) 130

C) 2150 1

E) 128

D) 2140

2

3

16

17 18

E) 2110 12.¿Cuántos círculos hay en la figura 23?

.... Fig.1 Fig. 2

Fig. 3

A) 253 D) 552

Fig. 4

B) 300

17. Hallar el número total de triángulos en la siguiente figura A) 58 B) 80 C) 60

C) 276 E) 325

D) 40

1

...

...

2

3 4 17 18 19 20

E) 78

13. Hallar el número de cuadriláteros

... ... 1

2

3

4

A) 73 D) 90

18. ¿Cuántos triángulos existe en el siguiente gráfico? A) 240 B) 250 C) 360 D) 380 E) 354

18 19 20

B) 80

C) 83 E) 93

14. Cuantos triángulos hay en:

1

2

3

A) 185 D) 120


4

5

B) 135

……… 1 2 ……….…… 29 30

19.- Cuántos cuadriláteros no cuadrados (rectángulos) hay en la fig.

...

19

a) 100 b) 160 c) 110 d) 105 e) 150

20

C) 188 E) 150

-76 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Problemas II

5. ¿Cuántos rombos hay en total en la siguiente figura?

1. ¿Cuantos triángulos hay en total?

A) 30 D) 34 A) 183 D) 107

B) 174

C) 175 E) 130

B) 2 258

B) 36

C) 38 E) 32

6. Si se dispone de 425 palitos y se desea construir el siguiente castillo. ¿Sobran o faltan palitos? ¿Cuántos?

2. ¿Cuántos paralelepípedos hay en total En la figura?

A) 2 500 D) 2 256

Juliaca -

1

C) 2 255 E) 2 257

2

19

20

A) Sobran 10 B) Sobran 15 C) Faltan 5 D) Faltan 10

3. Cuántos triángulos hay en total en la figura?

E) Sobran 5

7. Halle el total de palitos de la siguiente figura.

A) 42 D) 40

B) 43

C) 44 E) 46

4. ¿Cuántos cuadriláteros hay en total? 1

A) 21 B) 23 C) 25 D) 26 E) 28


A) 780 D) 719

-77 -

2

3

4

17 18

B) 797

19

20

C) 879 E) 779

Cepre Upeu

Razonamiento Matemático 8.

CEPRE - UPeu -

En la siguiente figura. triángulos sombreados hay?

¿Cuántos

A) 30 D) 40

B) 43

Juliaca -

C) 44 E) 46

12. ¿Cuántos triángulos hay en total en la siguiente figura?

A) 600 B) 650 C) 700 D) 620 E) 625 1

2

3

48 49 50

9. ¿Cuántos palitos se requiere para formar la figura 30?

A) 86 D) 95

;... f(1)

f(2)

A) 240 D) 246

B) 96

C) 89 E) 97

13. ¿Cuántos puntos de intersección hay en total?

f(3) B) 242

C) 244 E) 250

10. ¿Cuantos palitos se necesitan para construir la siguiente figura?

Si en la figura se cuentan 5 151 segmentos. A) 196 D) 192

B) 198

C) 200 E) 194

14. ¿Cuántos segmentos como máximo hay en la siguiente figura?

1

1

A) 3272 D) 3374

2

3

4 . . . 48

B) 2374

49

A) 502 D) 522

50

C) 7243 E) 3724

3

B) 462

10

C) 492 E) 150

15. Cuántos cuadrados se cuentan en total en la siguiente figura.

11. calcular el total de cuadriláteros en la siguiente figura.


2

A) 31 B) 42 C) 30 D) 32 E) 36

-78 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

AREAS DE CUADRANGULARES

ÁREAS AREAS DE REGIONES TRIANGULARES

REGIONES

1. Cuadrado

1. Triángulo cualquiera

Área  L2

L h

Juliaca -

D Área 

h

D2 2

L b b

2. Rectángulo

S

h

h

Área 

S  b.h

b.h 2

b

b

3. Rombo 2. Fórmula trigonométrica

Área 

d

a

Área 

A

a.b

D.d 2

D

senα

2

α b

4. Trapecio b

3. triángulo equilátero

S B

 B  b . h  2 

B o

60 L

Área 

L

2 L

3 4

m o

o

h

S  m.h

60

60

L

A

S

h

C

AREAS DE REGIONES CIRCULARES B 1. Círculo L

Area 

L

R

3

h 60o

60o A

h2 3

L


Área  R2

C

-79 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

2. Sector circular Consecuencias R

α

Área  R2

R

α

3S

360

2S

Circunferencias tangentes

S

S 

2S

A

T 12

4S

d

En todo cuadrilátero

R

d  2 R.r

r

B A

C D

PROPIEDADES - Relación de Áreas:

A.C  B.D

CM : Mediana C

En todo paralelogramo A1 = A2

Punto cualquiera

A1 A2 M

A

A

B

m

B

m A+B

CN : Ceviana En todo trapecio

C

A

1

A2

A1 A

A

N

m

n

2



m n

A1

CG = 2GP AG = 2GN BG = 2GM

A

A2

A1 = A2

A

A2  B.C

B

B C

C

Baricentro

S S

M

Área ∆ ABC = 6S

S S

A

N

G

S

S P


A B

-80 -

A 

A

Cepre Upeu

T 2


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas I 1. Calcular el área de la región sombreada, 2 si el área del triángulo ABC es 104 u

5. En el gráfico, ABCD es un rectángulo. Calcule el área de la región sombreada

B



A) 3 m N

B) 5 m



A) 24

B) 20 C) 19

D) 26

D) 2 m

2. Calcular el área de la región sombreada, 2 si el área del cuadrado ABCD es 36 u

N 10m

D

2 2

A

6. Halle el área de la región sombreada, si 2 el triángulo ABC tiene área de 90 u B

2

A) 3 u

C

B

A) 16 B) 12 C) 15 D) 18 E) 27

C

4m

2

E) 1.5 m

E) 25

M

B

2

C) 4 m C

M

A

2

2

B) 5 u

4a M

2

C) 4 u

2

D) 2 u D

A

a 2

E) 1.5 u

A

3. En la figura, Calcular el área sombreada B

7. Sea ABCD un trapecio. Calcule el valor de la región sombreada 2 A) 11 m B C

2

A) 3(4-π)m . 2

B) 16(4-π)m . 2

C) 8(4-π)m .

C

C

4

B) 9 m

2

2

C) 10 m

D) 12(4-π)m . 2

E) 4(4-π)m .

A

D) 1 m

D

4

5m2

2

2

E) 25/3 m

10m2

2

A

4. Calcular el área de la región sombreada si “0” es el centro del cuadrado. B

4m2

D

M

8. Hallar el área sombreada siendo la altura igual a 10.

C 2

A) 15 n 2

A) 20 u

B

2

B) 5 n

B) 80 u2

O

8

2

C) 10 n

2

C) 30 u

D) 40 u2 E) 50 u2

10

2

D) 14 n

2

A

E) 12 n

D

… A1

3

5


-81 -

Cepre Upeu

2n-1

C


CEPRE - UPeu -

9. En el triángulo equilátero ABC de 6 m. de lado, calcule el área de la región sombreada si AD = (1/3) AC B

Juliaca -

13. La figura ABCD, es un cuadrado de 2 200 u de área. Hallar el área de la región sombreada. B

C

A

D

2

A) 20 u

2

B) 30 u

2

C) 35 u

2

D) 40 u

2

A 2 A) 4 3 m

E) 25 u

C

D 2 B) 4 2 m

2 D) 6 m

2 C) 2 3 m

14. En la figura, S1 es el área de la región

2 E) 6 3 m

triangular PQR y S2 el área de la región S1 triangular RCV, hallar S 2

10. Hallar el área de la región sombreada, 2 si ABCD es un paralelogramo de 48 m 2 A) 10 m B B) 12 m

C) 14 m D) 11 m E) 9 m

B) 1/3

2

C) 1/6

2

D) 2/3

2

A

C) √3 m

A)

1/3

B)

3/5

2

C)

2/3

2

D)

2/5

E)

1/2

D) 2√3 m E) √6 m

B

R

b

2b

S1

V

5a

z

P a

15. ¿Qué parte es la región sombreada de la región no sombreada?

2

B) 2√2 m

3Z

S2

E) 3/4

D

11. Calcular el área sombreada formada por dos triángulos equiláteros inscritos en una circunferencia de 1 m de radio. A) √2 m

C

A) 1/2

C

2

2

b

2b

2a

a

2

16. Hallar el área de la región sombreada, 2 si ABCD es u rectángulo de 60 m

12. ABCD es un paralelogramo. El área de 2 la región sombreada es 12 u . Halle el área del triángulo MDC, si BN = 3(NM) B

2

A) 32 u

A) 10 m

C

B) 12 m

2

N

2

C) 28 u

D) 15 m

2

E) 16 m

D) 40 u

A

E) 36 u


M

B

C

A

D

2

C) 13 m

B) 30 u

2

2

2 2

2

D

-82 -

Cepre Upeu

Q


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas II 1.

Hallar el perímetro de la región sombreada, si los cuadrados tienen 2 2 2 áreas de 25u ,16u y 36u respectivamente.

5. El área del cuadrado ABCD es igual a 2 20u . Hallar el área del triángulo sombreado

D

C

A) 1u 2 B) 2u 2 C) 3u 2 D) 4u 2 E) 5u

B) 60 u C) 100 u D) 30 u E) 80 u 6. 2. Hallar el área de la región sombreada 2

Determine el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide 6 cm.

A) л r /5 A) 12 cm

2

B) л r /2 2

C) л r /3

B) 18 cm

o

2

r

D) 16 cm

2

E) л r /8

E) 9 cm 3. En la figura; encontrar la relación entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada a A) 1/5

A

B

D

C

2

C) 27 cm

D) л r2/4

2 2

2

7. Hallar el área de la región sombreada A) π B) 2π

B) 4/3

C) 3π

C) 3/5

D) 4 π

D) 5/4

4

4

E) 5π

E) 3/2

5a 8. Hallar el área de la región sombreada en la figura

4. Hallar el área de la región sombreada B

A) 

C

A) 2π

B) 2

B) 5π

C) 4

8

8

D) 8

D) 9π E) π

B

2

A) 50 u

C) 8π

A

E) 16 A


8

8

D

-83 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

9. Halle el área de la región sombreada, si 2 el triángulo ABC tiene área de 90 u A)

13. Calcular el área de la región sombreada, si el área de la región 2 triangular ABC es 192 u

B

2

B

3u

2

B)

5u

C)

4u

D)

2u

4a M

2 2

a 2

E) 1.5 u

A

C

10. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo. Calcule el área de la región sombreada

2

A)

9u

B)

8u

C)

5u

D)

10 u

E)

16 u

2 2 2

2

A

14. Hallar S3 ; Si

C

S1 + S2 = 80 m E

B

B) 10 m

2

D) 16 m

S

2

9m

1m2

S3

2

A

2

4m

B)

8u

C)

5u

D)

10 u

E)

16 u

2

C) 80 m . 2 E) 85 m .

a

2 2

2a 2

2

A

A) 16π D) 4π

C

2

A)

10u

B)

15u

C)

20u

D)

25u

A) 10 m

B a

2

B) 20 m

2 2

B


2b

b

E) 25 m

C -84 -

C

2

D) 35 m A

C) 3π E) 5π

2

C) 30 m

2a

2

30u

B) 8π

16. Si el área del paralelogramo ABCD es 2 60 m , calcule el área de la región sombreada.

12. Si el área de la región triangular ABC 2 es 420 u , calcular el área de la región sombreada

E)

B) 75 m .

15. Hallar el área de la corona circular sombreada. Formado por los círculos inscrito y circunscrito a un cuadrado 2 cuya área es 16 m .

B

2

2

A) 70 m . 2 D) 90 m .

D

11. Calcular el área de la región sombreada, si el área de la región 2 triangular ABC es 150 u 9u

D 2

2

2 m A

A)

S2

C

2

C) 12 m

E) 6

B

2

C

S1 A) 8 m

Juliaca -

2 2

2

A

D

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas III 1. Hallar el área de la región sombreada B

5. Calcular el área de la región sombreada. o1 , o2 son centros.

C

2

A) 8 π u . 2

B) 4 π u . 2

C) 12 π u .

o1

A) Пm2

2

D) 10 π u .

B) 4Пm

D) 16П m

2

E) 9 π u

A

D

12

2

C) 9П m 2 E) 20П m

2

B

A) 12π

E

4u

B)

5u

D) 14π

C)

6u

E) 18π

D)

9u

E)

10 u

B) 22π C) 16π

18 m.

3. Si el área de la región triangular ABC es 2 480 u , Hallar el área de la región B sombreada

2 2 2 2

A) 16П cm 2a

3b 2

224u 2 232u

B)

216 u

b 2

B) 48П cm

8u 2 3u 2 2u 2 5u 2 6u

S3 A


2 2

2 E) 17П cm A

C

8. Calcular el área de la región sombreada, si el área de la región triangular ABC es 2 240 u

C

S1

2

D) 75П cm

2

C) 215u 2 E) 325u

B

2

C) 27П cm

C

4. En la figura ABCD es un romboide. Si S1 = 5 u2 , S2 = 8 u2, S3 = 11 u2 , Halle S4 2

D

A

7. Si ABC es un triángulo equilátero, el radio mayor mide 12 cm. Hallar el área e la región sombreada. B

a

A

C

2

A)

A) B) C) D) E)

o2 2

6. El cuadrado ABCD de la figura tiene 6 unidades de lado y el triangulo AED es equilátero. Determine el área de la región sombreada. (Considere: П = 3 )

2. Hallar el área de la región sombreada 18 m.

A) D)

8m

8m

12

S2 S4 D

-85 -

B

2

A)

3u

B)

7u

C)

5u

D)

6u

E)

4u

2 2 2

2

A

C

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

9. Si ABCD es un cuadrado de lado 3 cm., calcular el área de la región sombreada. A) 3 cm2 B) 6 cm2 C) 4 cm2 D) 9 cm2 E)12 cm2

13. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 3 cm., calcular el área de la región sombreada.

C

B

A

D

Q

A) B) C) D) E)

B

D

P

S

11. Calcular el área de la región sombreada. Si ABCD un cuadrado de lado 24 m. B

2

A)

72 m

B)

36 m

C)

24 m

A

D

B

C

A

D

A) 3 cm2 B) 2 cm2 C) 4 cm2 D) 6 cm2 E) 8 cm2

C

A

C

14. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 4 3 cm. Calcule el área de la región sombreada.

R

20 m 2 15 m 2 30 m 2 32 m 2 34 m

B

A) 3 cm2 B) 2 cm2 C) 4 cm2 D) 5 cm2 E) 1 cm2

10. Si PQRS es un paralelogramo donde. 2 A - C = 32 m . Calcular B - D 2

Juliaca -

15. En la figura, se tiene 3 cuadrados iguales de lado 6 cm., siendo 0, 0’ centros de los cuadrados. Hallar el área sombreada.

C

2

0

D)

12 m

E)

48 m

2

0’ 2

2



A



D A) 15 cm2. D) 17 cm2.

12. Calcular el área de la región sombreada, si el área del triángulo BCD 2 es 50 u

B) 16 cm2.

C) 14 cm2. E) 18 cm2.

16. Hallar el área de la región sombreada.

B 5

9m

B

D

C

4 4m

F 3 4K

A

A) D)

C 2

123 u 2 225 u

3K

B) 125 u


E 2

2K B k

G 2

C) 175 u 2 E) 625 u

D

A

A) 15/4 m

2

D) 17/4 m2 -86 -

B) 35/4 m

2

C) 7/4 m2 E) 19/4 m2

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Perímetros (2p)

Juliaca -

RESOLUCION

I. Longitud de la circunferencia

12

11 10

2

15 cm

.

9 2P = 2ПR R

1

15 cm

8 7

l

3 4 5

6

II. Longitud de las líneas curvas Tiempo

recorrido (perímetros)

60 min.

2П (15)

l

28 min. d

l   

L Curva 

 Π 

d 2

2.



28x2(3)(15)  42 cm 60

Hallar el sombreada

perímetro de la región 4 cm.

III. Longitud de un arco

R 4 cm.

l

α

 2ΠR

l

R

  

α 360

   A) 8( π + 2)

Ejemplos

B) 50 cm.

11 10

D) 40 cm. E) 42 cm.

12

RESOLUCION 2

9

1 2

3

1 2

4 7

6

2

1 2

8


1

1

.

C) 38 cm.

C) 4( π + 1) E) 6 π

1. El minutero de un reloj tiene 15 cm. de longitud.¿Cuántos centímetros recorrerá su punta en 28 minutos? (П= 3) A) 45 cm.

B) 8( π + 1)

D) 8 π



5 -87 -

2P = 2(2П(1)) + 2π(2) + 8 = = 8π + 8 = 8( π + 1) Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas I 1.

Hallar el sombreada

perímetro de la región B

A) 2a+3b

5.

C

A) 6πR

B) a + b

B) 5πR

b

C) 2(a+b)

R

C) 3πR

D) 3(a+b) E) 3a-2b

Hallar el perímetro de la región sombreada, si las semicircunferencias son iguales.

a

A

D) 2πR

D

E) 4πR 6. 2. Calcular el perímetro de la región sombreada A) 6π B) 7.5π C) 15π D) 18π E) 20π 3.

3

Las líneas curvas son semicircunferencias. ¿Cuál es el perímetro de la región sombreada?

3

A) 3π B) 6π C) 8π D) 9π E) 4π

3

7.

Hallar el perímetro de la región sombreada 4 cm.

2m

2m

Hallar el perímetro de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide “a”

A) 3π/2 B) 6π

2m

B

C

A

D

A) πa

C) 8π

4 cm.

B) π a/3

D) 9π

C) 4πa/3

E) 4π/3

D) 2πa/3 E) 2πa/5

4. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4 cm. ¿Cuál es el perímetro de la región sombreada? B

8.

Hallar el perímetro de la región sombreada.

C

A) 3π B) 6π α

C) 8π

4 2

D) 9π E) 4π

α

A

D

A) 63 3Π D) 84 2Π


-88 -

B) 82 2Π

C) 62 2Π E) 63 2Π Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

9. Calcular el perímetro del círculo, siendo ABCD un cuadrado de 2 cm. de lado B

Juliaca -

13. Hallar el perímetro de la región sombreada B C C

C

A) π

A) 6π

B) 1,5 π

B) 8π

C) 2 π

C) 10π

D) 2,5 π

D) 12π

E) 0,5 π

E) 16π

6

D

A

6

D

A

10. Hallar el perímetro de la región sombreada si el radio de la circunferencia es R B

14 Hallar el perímetro de la sombreada B

región C

C

π.

A) (8+4π)R

A)

B) (8+6π)R

B) 2 π.

C) (8+5π)R

C) 4 π .

D) (8+2π)R

D) 6 π .

E) (6+4π)R

E) 5 π

D

A

15

11. Si el área de la región sombreada mide 50 cm2. Halle el perímetro de la región sombreada. Si ABCD es un cuadrado. B

C

6m

A

D

6m

Halle el perímetro de la región sombreada, si el lado de cuadrado ABCD mide 2 m. B

C

A

D

A) 4+(13+8 2)π

A) 25πcm

B) 4+(13-8 2)π C) 4-(13-14 2)π D) 4+(11+4 2)π E) 4+(12+8 2)π

B) 15πcm C) 50πcm D) 20(π+1)cm E) 20(π-1)cm A

16. La superficie de un hipódromo está limitada por dos rectas paralelas y dos semicircunferencias tangentes a aquellas. Si el perímetro es 2 112m Calcular el diámetro de las 22 circunferencias. Considere Π 7

D

12. Hallar el perímetro de la región sombreada

R

R

A

36m

B

1 000 m A) 24 π D) 48 π

B) 32 π


C) 36 π E) 52 π

A) 44m D) 99m -89 -

B) 49m

C) 100m E) 98m Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas II 1.

4. Si ABCD es un cuadrado de lado igual a 2cm. Halle el perímetro de la región sombreada.

Hallar el perímetro de la región sombreada, si el área del cuadrado 2 ABCD mide 25 m B

C

A

D

B

C

A

D

A) 10 m. B) 12,5 m C) 20 m. D) 25 m. E) 12,25 m.

A) 2(4 

2. Calcule el valor del perímetro de la región sombreada, si las curvas son semicircunferencias.

2)  8

C) 2 2  4

B) (4 

2)  8

D) (2 

2)  8

D) 4  5  2

5. Hallar EL perímetro de la región sombreada, si AB = 10cm y M, P, N son centros A) 13 π

8 cm

6 cm

B) 14 π C) 16 π D) 25 π

A) (10+ 14 π) B) (14+20π) C) (10π+8) D) 12 π E) (14+5π) 3.

E) 15 π

Hallar el perímetro de la región sombreada.

A

P

M

N

B

6. Calcular el perímetro de la región sombreada si: r1 + r2 + r3 = 15 cm

α

4

r1

α

r2

r3

cm

A) (Π 2) cm B) 4(Π 2) cm C) (Π2 2) cm

D) 4(Π2 2) cm

A) 15 π D) 10 π

E) 4(2Π 2) cm

7. Braulio Gutiérrez Pari

-90 -

B) 30π

C) 25π E) 18π

Si el área de la región sombreada mide 32 cm2. Halle el perímetro de la Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

11. Calcular el perímetro de la región sombreada siendo los radios de los círculos: 4; 2; 1; 1/2; . . .

región sombreada. Si ABCD es un cuadrado. A) 25πcm B) 15πcm C) 50πcm D) 16(π+1)cm E) 16(π-1)cm A

8.

A) 16 π D) 8 π

D

B) 32 π

C) 60 π E) 10 π

12. Hallar el perímetro sombreada

Hallar el perímetro de la región sombreada, si las semicircunferencias son iguales.

de la región

A) 35π B) 25π

1m

5

C) 15π D) 20π E) 30π

A) 8 π D) 12 π 9.

En al figura mostrada. Halle el perímetro de la región sombreada, si: R1 + R2 + R3 + R4 + R5 = 16

B) 6 π

13. Hallar el sombreada

área

C) 4 π E) 9 π de

B

la

región

C

A) 1π R1

R2

R

3

B) 2π

R4

R

C) 3π

5

8

D) 4 π A) 24 D) 42

B) 32 E) 3

C) 35

E) 5π A

10. Calcular el perímetro de la región sombreada.

D

14. Calcular el perímetro de la región sombreada. 8 m. A) 12 π

A) 60 B) 80 C) 50 D) 40

8

B) 32 π

8m

C) 30 π

12m

E) 88

8 m.

D) 24 π

10m

E) 34 π


-91 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Análisis Combinatorio A) FACTORIAL DE UN NÚMERO n!

n! = n (n-1)(n-2)….3x2x1 ; n  Nota: - (-2)!

 2

El evento “A” y “B” ocurre de mxn maneras diferentes + o

Nota: Estos eventos ocurren una a continuación de la otra, originando sucesos o eventos compuestos

No esta definido

Ejemplo: De cuantas maneras se podrá viajar de “A” a “C” en la figura adjunta

! No esta definido

5

-

por convención: 0 ! = 1! = 1 En efecto n! = n(n-1)! Para n =1; 1! = 1(1-1)! 0!=1 Si n! = 1 -

3

n=1 v n=0

A! + B! ≠ (A+B)! ; si A ≠ 1 y B ≠ 1

C

B

A

x

5

= 15 maneras

El principio de Adición (o)

- (A!) (B!) ≠ (AB)! ; si A ≠ 1 y B ≠ 2 Si un evento o suceso “A” ocurre de “m” maneras diferentes o el evento ”B” que ocurre de “n” maneras diferentes, entonces:

; si A ≠ 1 y B ≠ 1 B) COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL n!! + n o

n!! = 2x4x6x . . xn;

si “n” es par

n!! = 1x3x5x . . xn;

si “n” es impar

El evento “A” o “B” ocurre de m+n maneras distintas Nota: Estos eventos ocurren bien una o bien otra, más no de ambas formas a la vez (no sucede en forma simultanea)

Nota: 2!! ≠ (2!)! ;

2!!! No existe

Ejemplo: Una persona desea viajar de la ciudad “A” a la ciudad “B” y tiene a su disposición 4 líneas aéreas y 3 terrestres. ¿De cuántas maneras distintas podrá viajar?

C) PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO Existen dos principios - Principio de multiplicación (y) - Principio de adición

(o)

El principio de Multiplicación (y)


B

A

(Conocido también como “el principio fundamental del análisis combinatorio). Si un objeto “A” ocurre de “m” maneras diferentes seguido de otro evento ”B” que ocurre de “n” maneras diferentes, entonces:

Aéreo o 4 + -92 -

terrestre 3 = 7 maneras Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

D) TECNICAS DE CONTEO b) Permutación circular En estos ordenamientos no hay primer ni último elemento. La idea es tomar un único elemento de referencia y permutar los restantes, es decir de “n” elementos solamente se mueven “n-1” elementos.

-P. lineales -P. circulares -P. con repeticiones

PERMUTACIONES COMBINACIONES

PERMUTACIONES. Son los diferentes ordenamientos que se pueden formas con una parte o con todos los elementos de un conjunto. n

Pk

n!



(nk)!

;

Pc n  (n -1)! c) Permutación con repeticiones n

PK K K ...K

0k n

1 2 3

p



n! K1! K2! K3!. . . Kp!

K1 + K2 + K3 + . . . + K p ≤ n - Si importa el orden de sus elementos (es decir importa el lugar que un elemento ocupa) AB ≠ BA 32 ≠ 23

COMBINACIONES. Son las diferentes agrupaciones que se pueden formar con una parte o con todos los elementos de un conjunto.

Forma practica de calcular

C nk

k factores  



n k  n(n-1)(n- 2) . . . . ..

P

n! k! (n  k)!

; 0k n

- no importa el orden de sus elementos AB = BA 32 = 23

a) Permutación lineal Se ordena en línea recta

Forma práctica de calcular k factores  

De todos sus elementos Si k=n

C nk  n(n-1) . . . . .

Pnn 

n! (nn)!

k!

Pn  n!

 n!

Combinaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k”.

Permutación de “n” elementos De algunos elementos (Variación) k
Propiedades n

Pkn 

n! (nk)!

;

0k n

 1

- Cnk



n

- C1  n n n - Ck  Cn-k

 1

n

Cnk--11

k n 2

- C1nC Cn3.....Cnn  2n1

Permutación de “n” elementos tomados de “k” en “k”. Braulio Gutiérrez Pari

- C0 n - Cn

-93 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Problemas I

7. Con 7 hombres y 8 mujeres se debe formar una comisión de 6 miembros. ¿De cuántas maneras puede agruparse la comisión que al menos incluya dos hombres?

1. Una alumna tiene para vestirse: 3 blusas; 4 pantalones; 5 faldas y 6 pares de zapatos. ¿De cuántas formas se podrá vestir? A) 160 B) 150 C) 162

D) 152

Juliaca -

A) 4 595 D) 4 410

E) 158

B) 4 585

C) 4 580 E) 4 929

2. Seis personas se ubican alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas formas podrán ubicarse, si tres de ellos deben de estar siempre juntos?

8. ¿De cuántas maneras 4 parejas de esposos pueden ubicarse en una mesa circular para almorzar, si estas parejas siempre deben de almorzar juntos?

A) 16

A) 82

B) 36

C) 13

D) 21

E) 45

3. En la figura, cada línea representa un camino. ¿De cuántas maneras distintas se puede ir de la ciudad “1” a la ciudad “15”? 1

2 20

A) 3 x 15! D) 14!

3

4 14

B) 3

x 15!

B) 280

B) 696

D) 96

E) 88

15 A) 2 780 D) 1 390

C) 15! 14 E) 3 x 14!

B) 5 560

C) 1 390 E) 2 700

10. En un corral hay 2 gallinas, 3 pollos y 4 gansos. ¿Cuántas elecciones de varias aves existen de manera que entre las escogidas haya por lo menos un ave de cada especie? A) 288 D) 630

C) 336 E) 440

B) 144

C) 315 E) 280

11. Se tiene 4 libros de Aritmética y 3 libros de Biología. ¿De cuantas formas se podrán ubicar en un estante donde solo entran 5 libros y deben estar alternados?

5. Con 4 futbolistas y 8 nadadores. ¿Cuántos grupos pueden formarse de 6 integrantes cada uno, de tal manera que en cada grupo entre por lo menos un futbolista? A) 869 D) 896

C) 132

9. En una clínica trabajan 8 médicos y 10 enfermeras. ¿Cuántas guardias diferentes de 4 personas se pueden realizar, si siempre hay un médico y una enfermera?

4. De ocho candidatos se desea elegir a un presidente, un secretario y un tesorero. ¿Cuántas directivas diferentes se podrán formar? A) 252 D) 348

B) 120

A) 144 D) 216

C) 698 E) 968

B) 120

C) 210 E) 220

6. Cada lado de un cuadrado se ha dividido en 4 partes. ¿Cuántos triángulos se pueden construir cuyos vértices sean los puntos de división?

12. De 4 médicos y 5 enfermeras se desea escoger un grupo de 4 personas. ¿De cuántas maneras se podrá realizar esto; si en cada grupo debe haber a lo más dos médicos?

A) 216 D) 210

A) 105


B) 108

C) 105 E) 220

-94 -

B) 100

C) 65

D) 45 E) 110

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

13. En una reunión hay 8 personas. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar alrededor de la mesa 5 de las 8 personas? A) 1 3 44 D) 2 320

B) 2 040

A) 24

B) 1 400

C) 1 433 E) 2 324

A) 120

B) 54 000

C) 8 400 E) 2 100

B) 288

B) 1 120

A) 1 485 D) 2 375

C) 48 000 E) 36 000

C) 24

D) 48

E) 96

B) 450 320

C) 453 600 E) 435 600

B) 792

C) 2 277 E) 1 584

22. En una reunión hay 10 hombres y 5 mujeres, se van a formar grupos de 3 personas. ¿Cuántos grupos diferentes se formaran si siempre debe haber por lo menos 2 mujeres en el grupo? A) 100 D) 110

C) 924 E) 504

B) 50

C) 10 E) 120

23. Con 9 ingenieros y 7 médicos se debe formar una delegación de 5 miembros. ¿De cuantas maneras puede formarse la delegación que al menos incluya 2 ingenieros? A) 2 772 D) 3 024

C) 4 032 E) 840

B) 4 032

C) 4 024 E) 3 906

24. En cada lado de un cuadrado se consideran 5 puntos incluido los vértices. ¿Cuántos triángulos que tienen como sus vértices a dichos puntos, se obtendrán como máximo al unirlos?

18. tres varones y cuatro chicas van al cine y encuentran 7 asientos juntos, en una misma fila donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse?, si las cuatro chicas no quieren estar una al costado de la otra. Braulio Gutiérrez Pari

E) 96

21. La selección de Basket de un colegio esta conformada por 15 chicas. ¿De cuantas maneras se puede conformar el equipo de 5 si se sabe que 3 de ellas se niegan a jugar en el mismo equipo?

17. En una reunión de 8 personas se desea distribuir en dos grupos de 3 y 4 personas cada uno, de mondo que cada grupo haga su fogata y sus integrantes se sienten alrededor de ellas. Calcule de cuantas formas se podrán ubicar. A) 60 D) 3 360

B) 12

A) 50 400 D) 504 000

16. En una reunión hay 8 personas. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 5 de ellos alrededor de una mesa, si hay 2 de ellas (A y B) que no pueden estar en la mesa a la vez? A) 864 D) 720

D) 288

20. Cuántas palabras diferentes (no necesariamente pronunciables) se puede escribir empleando todas las letras de la palabra “ARITMÉTICA”

15. En un aula de 25 mujeres y 10 hombres, se requiere elegir un delegado, un subdelegado y dos suplentes.¿ De cuántas maneras se les puede elegir de modo que los suplentes sean hombres, delegado y subdelegado mujeres? A) 27 000 D) 24 000

C) 72

19. Adolfo y Betto van al teatro con carmen, Delis y Erika. ¿De cuantas maneras pueden acomodarse en una fila de 5 asientos juntos de tal manera que Adolfo y Betto estén siempre juntos

14. Con 6 hombres y 7 mujeres se empieza una reunión. ¿De cuantas maneras se pueden acomodar alrededor de una mesa sólo a 3 hombres y 3 mujeres? Además personas del mismo sexo no están juntas. A) 700 D) 4 200

B) 144

Juliaca -

A) 560 D) 564 -95 -

B) 556



CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas II 1. Raúl ubica nueve puntos en una hoja, de los cuales solo tres son colineales. ¿Cuántos triángulos podrá formar Raúl, como máximo, tomando vértices los puntos indicados? A) 58 D) 79

B) 83

6. De cuántas formas diferentes una persona puede ir de M a N siguiendo los caminos que se muestran en la figura?

C) 89 E) 71

M

2. ¿Cuántos paralelogramos se pueden formar al cortar un sistema de 8 rectas paralelas con otro sistema de 5 rectas paralelas? A) 160 D) 80

B) 280

A) 91 D) 90

B) 22

C) 89 E) 92

8. En una competencia automovilística 5 autos A; B; C; D y E ¿De cuántas maneras diferentes podrán culminar la competencia si el coche A siempre llega delante del coche B?

C) 26 E) 29

4. ¿De cuántas formas diferentes se puede ir de M a N si no se pueden repetir caminos?

M

B) 88

7. Una caja contiene 2 focos de 25 voltios; 3 de 50 voltios y 4 de 100 voltios. ¿De cuántas maneras se puede escogerse 3 de ellos? A) 74 B) 94 C) 84 D) 104 E) 124

C) 320 E) 180

3. Ocho puntos del plano son tales que 3 cualesquiera no están alineados, salvo 4 de ellos que sí lo están. ¿Cuántas rectas determinan? A) 24 D) 23

N

A) 12 D) 36

B) 24

C) 18 E) 48

9. Bruno invita al cine a su novia y a los 3 hermanos de ella; al encontrar una fila de 5 butacas:

N

I. A) 20 D) 18

B) 7

Podrán ubicarse de 25 maneras diferentes. II. Podrán elegir sus lugares de 24 maneras diferentes, si es que Bruno se sienta siempre en el centro. III. Podrán ubicarse de 48 maneras diferentes, si es que los novios se sientan juntos.

C) 8 E) 14

5. ¿De cuántas formas diferentes se puede ir de M a N si siempre se avanza?

M

A) 12 D) 15 Braulio Gutiérrez Pari

N

B) 13

A) VFF D) VFV

B) FVV E) FVF

C) VVF

10. En la figura, cada línea representa un camino. ¿De cuántas maneras distintas

C) 14 E) 16 -96 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

se puede ir de la ciudad “1” a la ciudad “20”? 1

2

3

20 A) 3 x 20!

4

16. Noé desea repartir 9 libros que le queda: 4 a su profesora, 3 a su primo y 2 a su amiga. ¿De cuántas maneras lo puede hacer?

20

19 B) 3 x 19!

A) 630 D) 1 260

C) 20! 20 E) 3 x 19!

D) 19!

B) 24

A) 24 D) 48

C) 12 E) 8

B) 300

A) 68 D) 58

C) 200 E) 500

B) 280

C) 288 E) 620

A) 60 D) 360

14. De cuántas maneras diferentes puede un padre repartir 8 regalos entre sus 3 hijos, si el mayor debe recibir 4 regalos y los menores 2 regalos cada uno. A) 480 D) 540

B) 210

B) 18 800


C) 96 E) 192

B) 67

C) 63 E) 60

B) 480

C) 120 E) 720

20. La cerradura de la bóveda de un banco prestigioso consta de 3 discos con la numeración del 1 al 10. Si un ladrón desea abrir la bóveda. ¿Cuántos intentos infructuosos como máximo tendrá que realizar?

C) 420 E) 700

15. ¿Cuántos comités de 4 personas se pueden formar con un grupo de 12 personas, de tal modo que la comisión tenga un presidente, un secretario, un tesorero y un vocal? A) 11 880 D) 10 960

B) 120

19. Alrededor de una mesa circular una madre y sus cinco hijas se disponen a sentarse para conversar. Pero sólo hay sillas para la madre y tres hijas. ¿De cuántas maneras distintas podrán ubicarse?, si las hijas que no tienen sillas se ubican de pie al lado de la madre?

13. Si Elvis tiene para vestirse 6 ternos (2 iguales), 5 pares de medias (3 iguales), 2 pares de zapatos; 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas (3 iguales) ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse? A) 420 D) 840

C) 5 220 E) 2 520

18. En un restaurante solo sirven 6 tipos de jugos. Si cada cliente puede pedir uno o más de ellos, pero sin repetir ninguno. ¿Cuántos pedidos distintos puede hacer el cliente?

12. En una tienda hay 6 camisas y 5 pantalones que me gustan. Si decido comprar 3 camisas y 2 pantalones. ¿De cuántas maneras diferentes puedo escoger las prendas que me gustan? A) 30 D) 400

B) 1 890

17. Dos parejas de novios van al cine con las madres de las novias. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar en 6 asientos sin que se separen las parejas?

11. Ana, Betty y Cecilia, van de campamento con 3 muchachos más. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar alrededor de una fogata, si entre 2 chicas hay un muchacho? A) 16 D) 36

Juliaca -

A) 1 000 D) 896

B) 719

C) 790 E) 999

21. Cuántas ensaladas se puede preparar con pepino, tomate, apio, coliflor, betarraga y lechuga?

C) 11 800 E) 12 420

A) 24 D) 48 -97 -

B) 120



CEPRE - UPeu -

Juliaca -

 Lanzar 2 dados:

Probabilidades

6 5

La teoría de probabilidades es el estudio de los experimentos aleatorios (Aleatorio es sinónimo de azar)

4 3 2

Experimento Aleatorio (  )

1 1

Es toda prueba o ensayo que cuyos resultados no pueden predecirse sin realizar previamente la prueba. Ejemplos Los juegos de azar: Dados, monedas, barajas, loterías, ruletas son típicamente aleatorias.

-=

2

3

4

5

6

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

Espacio Muestral ( - ) n (-) = 36 Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Ejemplos  Lanzar una moneda: - = {C,S}

n (-) = 2

 Lanzar un dado: - = {1,2,3,4,5,6}

n (-) = 6

n (-) = n (-1) x n (-2 ) n (-) =

6

x

6

= 36

 Lanzar un dado y una moneda S

Si el experimento es (Consiste de 2 o más partes)

compuesto

C 1

2

3

4

5

6

 Lanzar 2 monedas:

1ra

n (-) = n (-1) x n (-2 )

2da

C C

n (-) =

2

x

6

= 12

S C S S - = {(c,c)(c,s)(s,c)(s,s)}

Evento o Suceso ( A,B,...) Si “A” es un evento si y solo si, “A” esta contenido en -

n (-) = 4

n (-) = n (-1) x n (-2 ) “A” es un evento n (-) =

2


x

2

A

=4 -98 -

Cepre Upeu

-


CEPRE - UPeu -

Definición de Probabilidad

Ejemplar 1.

Si “A” es un evento de un espacio muestral -, entonces la probabilidad de ocurrencia de “A” es denotado por P(A) y esta dado por:

P(A) =

Juliaca -

En una urna donde hay 6 bolas azules, cuatro rojos y 3 blancos, si se extraen 5 bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 sean azules y 2 rojas?

# de casos favorables n(A) al evento “A” = # de casos totales del n(-) experimento aleatorio

Resolución

5 bolas Propiedades 1)

A A A R R

A A A A A A R R R R B B B B

0 P(A) 1

a la vez

P(A)= 0; Si el evento de “A” es imposible P(A)= 1; Si el evento de “A” es seguro

C13 5

Casos totales: 2) Probabilidad por complemento P(A) =1- P(A’)

Casos a favor:

C36

P(A): Probabilidad de que ocurra el evento A. P(A’): Probabilidad de que no ocurra el Evento A



3) Si “A” y “B” son eventos independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta al otro

P(

3 azules 2 rojos

)=

P(A  B) = P(A) + P(B)

C36 x C24 = C13 5

40 429

Resolución

o

B

5) Si “A” y “B” son eventos no excluyentes

10 A

P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

6

o

o

1

2

3

A

A

R

16

R

 P (A, A y B) =

10 16

A

C24

En una urna hay 10 bolas azules y 6 rojas, si se extraen 3 bolas al azar una tras otra (sin reposición). ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 primeras sean azules y la tercera roja?

4) Si “A” y “B” son eventos excluyentes


x

Ejemplar 2.

P(A  B) = P(A) x P(B)

A

3 azules y 2 rojos

x

9 15

x

6 14

B

-99 -

Cepre Upeu



9 56


CEPRE - UPeu -

Problemas I

7. Se lanza 3 monedas simultáneamente. Calcule la probabilidad de no obtener exactamente 2 caras.

1. Se lanzan simultáneamente 6 monedas ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 caras y 2 sellos? A) 15/32 D) 15/64

B) 3/64

A) 3/8 D) 3/4

C) 1/64 E) 2/35

2. Por el día del padre se han reunido 25 padres de los alumnos del quinto grado “A” y 30 padres del quinto “B”, sise sortea un premio. ¿Cuál es la probabilidad de que el afortunado sea un padre del quinto grado “A”? A) 6/11 D) 5/6

B) 5/11

C) 11/25 E) 1/2

3. Se cogen al azar 4 sillas entre 10 de las cuales 6 son defectuosas. Halle la probabilidad que de las escogidas 2 exactamente sean defectuosas. A) 1/6 D) 2/5

B) 3/7

B) 2/3

A) 3/5 D) 2/9

B) 2/7


B) 7/10

C) 5/8 E) 7/8

B) 1/4

C) 3/8 E) 5/8

9. Una urna contiene 7 bolas rojas y 3 bolas blancas, se sacan 3 bolas de la urna, una tras otra. Halle la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y la tercera blanca B) 3/17

C) 7/20 E) 21/40

10. Tres cazadores A, B y C están apuntando con sus rifles a un león. La probabilidad de que A acierte el disparo es 4/5, la de B es 3/7 y la de C es 2/3. Si los tres disparan. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres acierten?

C) 5/7 E) 1/3

A) 27/35 D) 8/35

B) 17/35

C) 18/35 E) 99/105

11. De una caja que contiene 3 bolas negras, 4 blancas y 2 amarillas, se extrae al azar una de ellas. Halle la probabilidad de que la bola extraída no sea negra.

C) 1/2 E) 5/12

6. Dos hombres y tres mujeres van al cine y encuentran una fila de 5 asientos juntos, en una misma fila, donde desean acomodarse. Determine cuál es la probabilidad de que las tres chicas no se sienten juntas. A) 3/10 D) 2/5

A) 1/8 D) 1/2

A) 3/10 D) 7/40

5. Se lanza simultáneamente 2 dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma igual a un número primo?

B) 1/2

8. En una reunión donde asistieron 80 personas; resulta que 60 bailan, 40 cantan y 10 no cantan ni bailan. Si de estas personas se elige una de ellas al azar. ¿Cuál es la probabilidad que baile y cante?

C) 4/35 E) 2/3

4. En una urna se colocan 5 fichas numeradas con 1,2,3,4 y 5. Si se extraen al azar dos fichas. ¿Cuál es la probabilidad de que sus números sumen 7? A) 1/5 D) 7/11

Juliaca -

A) 1/3 D) 2/3

B) 4/7

C) 5/9 E) 4/9

12. Se ubica 5 personas (dos de ellas son Pedro y Walter) en una mesa circular. ¿Qué probabilidad hay de que Pedro y Walter no se ubiquen juntos?

C) 1/10 E) 3/5

A) 1/3 D) 1/2 -100 -

B) 2/5

C) 1/4 E) 3/4 Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

13. En una caja hay 30 bolas del mismo tamaño numeradas del 1 al 30. Si se elige 3 números al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean consecutivos? A) 1/147 D) 3/406

B) 1/145

C) 2/145 E) 1/155

A) 1/3 D) 3/4

B) 1/2

B) 4/11

B) 13/30

B) 1/12

B) 13/102

A) 1/6 D) 1/3

B) 10/15

C) 13/12 E) 13/15

B) 8/35

C) 6/36 E) 8/9

B) 1/7

C) 1/8 E) 3/8

24. En una urna hay 10 bolas blancas y 6 negras. Se saca una al azar y no se repone. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras bolas extraídas sean negras?

C) 5/8 E) 3/16

A) 3/8 D) 1/18

B) 1/3

C) 1/8 E) 1/24

25. Cinco parejas de esposos se sientan alrededor de una mesa circular. ¿Cuál es la probabilidad de que las parejas no se separen?

C) 7/102 E) 11/102

A) 2/945 D) 2/135

19. Cuatro personas se disponen a ubicarse en una banca de 6 asientos. Halle la probabilidad de que los 2 asientos libres queden juntos Braulio Gutiérrez Pari

C) 2/123 E) 5/126

23. Se lanzan 2 monedas y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan dos sellos y un número impar?

C) 1/12 E) 3/11

18. En una reunión hay 10 hombres y 8 mujeres. Si se eligen 3 personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean mujeres? A) 8/102 D) 15/102

B) 1/126

22. Al lanzar dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la suma 7 u 11? A) 2/9 D) 1/18

17. Si se lanzan 3 monedas y un dado sobre una mesa. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga 2 caras, un sello y 6 puntos? A) 1/16 D) 1/8

A) 11/12 D) 1/12

C) 7/11 E) 3/11

16. En una caja hay 30 fichas numeradas del 1 al 30, todas del mismo tamaño y forma. Si se extrae una ficha al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que este sea múltiplo de 3 ò de 5? A) 7/15 D) 8/15

A) 7/126 D) 1/63

21. Al lanzar dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor que diez?

C) 1/17 E) 4/25

15. De una caja que contiene 5 focos defectuosos y 6 focos en buen estado se sacan dos focos a la vez. Hallar la probabilidad de que los dos sean buenos. A) 7/9 D) 8/11

C) 1/4 E) 5/5

20. Cinco parejas de enamorados se van de campamento y en la noche se sientan alrededor de una fogata. ¿Cuál es la probabilidad de que los hombres y mujeres queden alternados?

14. Determine la probabilidad de que al extraer 2 cartas de una baraja éstas sean corazones. A) 1/13 D) 3/28

B) 2/5

Juliaca -

-101 -

B) 1/135

C) 1/189 E) 4/135

El corazón del hombre piensa su camino; mas Jehová endereza sus pasos (Prov. 16:9)

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Distribuciones Gráficas I 1.

1

2

4

5

4

x

1

16

A) 2 D) 4 2.

Hallar el valor de “x”:

6.

Hallar “x” en:

64

C) 8

Determinar que valor falta: 5

3

17

3

C) 30 E) 39

Hallar “x” en:

24

15

12

30

X

5

12

6

8

4.

B) 225 E) 81

12

9

8

4

5

6

4

5

5

1

2

3

4

14

A) 5 D) 8 5.

A) 25 D) 28

6

8


40

U

T

I

-102 -

b 7

C) 36 E) 49

En la siguiente, hallar “x”:

A) 4 D) 5

N

a

B) 17

8

O

24 6

A) 25 D) 23

?

C) 17 E) 24

12

11

10.

Hallar la letra que falta. A) C B) R C) N D) Q E) D

81

C) 7

8 X

B) 27

?

B) 6 E) 9

5

Calcular “a+b”:

9.

4

7

C) 11 E) 17

Hallar “x” en:

C) 9

Hallar el valor de la incógnita 16

3

6

20

A) 100 D) 25

1

B) 225

X

16

4

A) 226 D) 13 8.

3

169

C) 15 E) 18

8

2

11

x

Hallar “x”

7.

B) 40

15

28

8

23

A) 36 D) 35 3.

4

B) 12

X

12

3

6

A) 10 D) 16

2

8

2

2

B) 3 E) 5

11

5

1

8

5

6

7

19

8

8

x

8

3

22

B) 6 E) 3

C)2

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

11. ¿Qué figura no corresponde al grupo?

A)

B)

15. Calcule: Q  X  Y  Z de las figuras: 2 5

C)

9 3

4

27 4 D)

X 7

E)

12. Analice la distribución numérica y determine el valor de “x”

A) 5 D) 7

B) 6

A) 625 D)645

9

3

4

2

A) 5 D) 17

13 5

B) 6

3

B) 635

x

Z C) 615 E)655

28

20

a

14

b

6

7

5

c

B) 5

C)7 E) 3

17. ¿Qué numero falta? 4 21 5

3 17 5 2

15 7

10 2

16. Determinar la suma de las cifras de los números “a, b y c”

13. En la siguiente distribución gráfica determine el valor de “x” 10

17 3 7

Y

A) 4 D) 6

C) 8 E) 9

9 1 4

27 256

1 21

A) 35 D) 50

3

C) 18 E) 19

x 8

B) 45

C) 55 E) 22

18. Hallar el valor de “x” si:

Dé como respuesta la suma de los números vecinos de 1

72

45

14. Coloque los dígitos del 1 al 8 en las casillas de la rueda, de modo que: I. Los números vecinos de 7 sumen 8 II. Los números vecinos de 6 sumen 10 III. Los números vecinos de 5 sumen 11 IV. Los números vecinos de 4 sumen 9

7 A) 30 D) 52

2

9

x 3

B) 42

8

4 C) 48 E) 51

19. Calcular el Valor de “x”

A) 5

41

71

X

B) 6

12 16

16 18

11 15

C) 4 A) 13 D) 41

D) 7 E) 9 Braulio Gutiérrez Pari

-103 -

B) 31



CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Distribuciones Gráficas II 6. ¿Qué número debe ir en el lugar vacío?

1. ¿Qué número falta? 3 1 2

2 1

19

0

5

4 3 1

11

A) 12 D) 9

3

3

11

B) 13

C) 4 E) 7

2. ¿Qué letra continúa?

10

8

23

A) 3 D) 6

20

B) 4

C) 5 E) 2

7. Determinar que valor falta:

D;U;L;D;M;T;M;... A) C D) O

B) S

3

C) J E) V

5

7 2

7

1

A) 10 D) 16

8 3

13

A) 18 D) 14

8 5

3. ¿Cuál es el valor de “x”?

3 4

6

B) 19

x

C) 20 E) 17

?

4 6 B) 2

C) 14 E) 20

8. ¿Qué alternativa, completa de manera adecuada la siguiente secuencia gráfica?

4. Halle a - b

15

17 20 18

5

20 30 15

b 16

A)

a

B)

C)

21 D)

A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

9. Hallar

5. ¿Qué número falta? 5 2 6

;

5

;

20

A) 12 D) 30

4

;

7 1 3

3

24 B) 15

E)

A) 45 D) 56

C) 18 E) 9

a+b+c+d

2 11

15 3 7

4

14

19 4

5

c

d a

B) 36

C) 54 E) 63

Todo lo puedo en Cristo que me fortalece. (Fil 4:13) Braulio Gutiérrez Pari

-104 -

6

b

9

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

10. Calcular el valor de “x” en

5

3

6

7

2 6

A) 12 D) 8

15. Calcular el valor de “x”

1

10

Juliaca -

12

6

x 30

5

9

15 18 22

6

10

x

B) 7

C) 13 E) 10

20 24

51

35 29

A) 59 D) 26

36 43

B) 61

C) 24 E) 25

16. Calcular el valor de “x” en 11. Hallar la terna que continúa en: 7 ( D ; L ; 10) ; ( V ; M ; 14) ; ( T ; M ; 19 ) ; ( C ; J ; 25 ) A) ( C ; L ; 32 ) C) ( C ; 5 ; 32 ) E) ( 5 ; V ; 32 )

B) ( T ; D ; 32 ) D) ( C ; V ; 32 )

9

11

10 12

12 13

8

14

8

7

2

X

7

A) 1 D) 4

9

B) 0

C) 3 E) 9

12. ¿Qué número falta? 17. Hallar el valor de x 34

46

19 47

43 47

7 93 13

B) 54

C) 18 E) 9

4

3

2 x

45

41 4

A) 12 D) 30

9

5

3

3

2

4

A) 16 D) 10

3

B) 14

C) 17 E)29

13. Calcule el valor de “x” 18. Hallar el valor de x 2

12

72

110 6

1

3

8

9

2

x 23

A) 22 D) 10

B) 11

C) 12 E) 9

9

3

6

27

A) 54 D) 22

x

B) 45

C) 77 E) 0

14. ¿Qué número falta? 19. Hallar “x” 18

24

35

41

12

?

23

69

23

9 6 A) 1 D) 2


B) 31

x

5 3

2

7

3

5

B) 6

C) 7 E) 9

C) 22 E) 19 -105 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Logaritmos 5. a.

DEFINICIÓN

Se denomina LOGARITMO de un número “N” ( N > 0 ) en una base positiva “b” (b  1) al EXPONENTE al cual se debe elevar la base “b” para obtener como resultado el número “N”. Así Siendo N >0 y b > 0

 M log b    log b M  log b N N 6.

b 1

log N  x  b

x

b

LOGARITMO DE UN COCIENTE:

LOGARITMO DE UNA POTENCIA: (Propiedad del Sombrero)

log NM  M . log N b b

N 7.

LOGARITMO DE UNA RAÍZ:

Se lee: “El logaritmo del número N en base b es x” Ejemplos:

log 8.

log 81  x  3 x  81

M N  1 log

b

M

b

N

PROPIEDADES ADICIONALES: a)

3

log b N  log a Na  log a a N b b

log 16  2  4 2  16 4

log b. 1.

PROPIEDAD

logbN

N

LOGARITMO

c)

log n

d)

DE

LOGARITMO

log

LA

UNIDAD:

b

e) DE

LA

BASE:

LOGARITMO DE UN PRODUCTO:

An

A

m n

Am 

mA  n

m

p Np  log N b q bq

(Regla de intercambio)

log N log P b N b

CAMBIO DE BASE: De base “b” a base “k”:

log (M.N)  log M  log N b b b Braulio Gutiérrez Pari

log

P

b  1 9.

4.

log

FUNDAMENTAL:

log 1  0 b 3.

b)

PROPIEDADES

b 2.

1 1  2  5 2  5 25 25

-106 -

log b N 

log k N log b k Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

e. SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS O NATURALES

Consecuencia:

log N  b

1 log b N

e  2,71828182 ...

Base:

e

10. REGLA DE LA CADENA:

log a.log c .log N  log N b a c b c. SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMALES, VULGARES O DE BRIGGS

1  1   x x  

ln e N  lnN  ln

Notación:

f. COLOGARITMO Definición:

Colog

10

N  log N

log 1  0 



b

N  log

 1   b  N

Donde: N > 0 ; b > 0 ; b ≠ 1 Consecuencia: Colog b N  log b N

Ejemplos: 

x

lim

Base : 10 Notación: log

Juliaca -

Ejemplos:

log 0,1   1

* Colog

log 10  1  log 0,01   2

  2 

    log2  

1 8

1 8

 3 

* Colog 25  log 25  2 5 5

c. LOGARITMOS IMPORTANTES

g. ANTILOGARITMO log 2 = 0,30103…

Definición:

log 3 = 0,477125…

* Antilog

log 5 = 1 – log 2 log 7 = 0,845098…

x  bx

Donde: x  R > 0 ; b > 0 ; b ≠ 1 Ejemplos:

PROPIEDAD:

* Antilog2 5  25  32

Siendo:

logN  a , bcde 

* Antilog mantisa característica

4

(2)  4 2 

Propiedades:

Se cumple: Nº de cifras de N = característica + 1


b

-107 -

1.

log (antilog x)  x b b

2.

Antilog

b

(log N)  N b

Cepre Upeu

1 16


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Problemas 6. 1.

En:

1 log( 3x  8)  2  2 log 5 2 Un valor de “x” es:

log( x  9) 

Calcular:

E  log 32  log 64  log 8 2 1 2 2 A) 17 D) 14

B) 16

C) 15 E) Más de 17

A) 15 D) 12

7.

Hallar el valor de

log 2 (3x  7)  5  0 A) 12 D) 15 3.

Si:

B) 13

C) 14 E) 16

8.

B) Ln 2

El valor de

Si los números reales “a” y “b” con a > 0 verifican la ecuación:

4.

2y  x 3 2x  y D) 3

a 2b  ab  6  0

A)

entonces se cumple:

log 2 a  b

C) a

2

B)

b

Si:

C) Ln 3 E) Ln 5

log a 2  b D)

b2  a

9.

C) 11 E) 9

x log 2   z

 1 log x    2 9 log 64 2  z

A) 0 D) 1/2

Dado el sistema: ex+y = 12 ex−y = 3 Calcular el valor de y.

A) Ln 4 D) Ln 6

E)

:

Calcular el valor de “x”:

2.

A)

B) 10

B) 1

C) 2 E) 1/6

10 x  18 10 y  12 log 10 6 es: B)

xy 3

yx 3 xy E) 3

C)

La suma de los 999 primeros términos de la sucesión: 1 1   log1  1 ; log1   ; log1  ; ..... 2 3  

log a (-3)  b

es: 5.

Si:

log log

a b

b  3

A) 1/2 D) 3

4a  2

D)

23 2 5

2 2 Braulio Gutiérrez Pari

B) 2

C) 7 E) 3/2

10. Dada la ecuación: x log 4 + log log 3 = log log 81 El valor de “x” es:

Calcular el valor de “b”. A)

B) 5

C)

43 2 5

E) 2

A) 0 D) 3

8 -108 -

B) 1

C) 2 E) 4

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

11. Si: log 2 = x ; log 3 = y El valor de:

 8  log   3 log 60  27 

16. El valor de: log (2 x 4 x 6 x …. X 20) – log (9!) es: A) 10+10 log (2) C) 10 log (2) E) log (10!)

En términos de “x” e “y” es: A) -3(2y+x)

B) 3(2y+x)

D) -3(2y+1)

C) -3(2y−x) E) -3(2x+1)

Calcular: A) x−1 D) y

6

B) x+1

log 2 6

 log

El valor de “x” es: A) 5 D) 2

B) 4

10 n m

A)

El valor de IxI es:

D) 10 m.n C) ½

D) 4

E)

D)

4 x5

B)

log x  m  log n

B) 10 m  n

C)

10 m n

E) 10 n

21. Resolver:

2 log x  log (2x  3)  log 3

2

log 3 5  x , el valor de

6 x4

C) 3 E) 5

m

B) 2

log 45 (243)

B) 2

20. Calcular “x” si:

log 4 y  2

A)

10

E)

A) 1 D) 4

C) 3 E) 1

x 2 y3 log 4 5 16

15. Si:

C) 1000

Ln 12  Ln ( x  1)  Ln (x  2)

x x

A) 1

B) 100

D) 1/10 19. Resolver:

 10 log x  3

14. Si:

C) 3/2 E) 7/2

log 100 x  1,5

A) 10

C) x E) x+y

Si:

log 2 3

B) 1/2

18. Calcular “x” si:

10 x  10 y

B) 1+10 log (2) D) log (2)

log 4 (anti log 2 7)

A) 1 D) 5/2

10 x  10 y  x  1

13.

17. Calcular:

x − y = log x

12. Si:

Juliaca -

A) 6 D) 3

B) 2

C) 4 E) 5

es: 22. Resolver:

4 x3

C)

E)

5 x2

2 log x 5

5

5 x3

A) 2

2 log 2 3

3

log 7 4 x

7

B) 10

C) 11

D) 15 Braulio Gutiérrez Pari

-109 -

E) 20 Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

D) 1/2

E) 3

23. Calcular el logaritmo en base

am n a

A) m/n D) m 24.

B) n/m

29. Calcular “x”, si: C) m.n E) n

A) m

Calcular:

D)

S  3 co log 5 0,04  anti log 5 2 A) 2 D) 1

B) 4

A) log 2 D) log 4

B) 2

A) b D) a 31. Si:

2 log 7 5

2

A) 4 D) 3

C) log 2 E) 2

log 7 14

 5

C) p E) 1/b

log 12 27  a .

Calcular:

A)

12  4a 2  3a

D)

12  4a 3a

E C) 7 E) 9

B)

12  4a 3  2a

C)

E)

3a a2

12  4a 3a

32. Calcular:

log 2 5 7 B) 6

B) 1/p

log 6 16

27. Calcular:

R

E) 2m

Si:

1  x x 3 10  10

26. Resolver:

mm

C)

log b x  log x (log c b)  log x (log p b)

E) e

10 x  10  x

m

Calcular “x” en:

C) 1

D) 0

B)

log x (log x p)  1  log x (log x c )

0

B) e e

A) e

m

log x m  1

m2

30.

C) 5 E) 3

Ln  Ln  Ln x

25. Resolver:

log m x  1

n m

a. de a (a;m;n >0;a≠1)

1 1 1   x 1 y 1 z 1

Si:

x  log a bc ; y  log b ac ; z  log c ab

28. Si:

log( x  3)  log( x  2) 2 log( x  1) ( x  1) Calcular: log ( x 3) A) 2/3 Braulio Gutiérrez Pari

B) 3/2

A) 1/3 D) -3

B) 3

C) 1 E) -1/3

Encomienda a Jehová tu camino, y confía en él; y él hará (Sal 37:5)

C) 2 -110 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

TEST I 1. A una fiesta asistieron 245 personas. La primera dama bailó con 6 caballeros, la segunda con 9, la tercera con 14, y así sucesivamente hasta que la última bailó con todos ellos. ¿Cuántas damas había en la fiesta? A) 5 D) 25

B) 15 E) 13

6. En la figura, Halle el número de triángulos

A) 84 B) 72 C) 64 D) 27 E) 38

C) 10

2. ¿Cuántos cuadriláteros como máximo se pueden contar en la figura adjunta?

Juliaca -

7. Hallar el área de la región Sombreada. 8 r

A) 45 B) 65

r

r

C) 66

8

r

D) 71 E) 53 3.

A) 10(3 – П ) B) 9(3 – П ) C) 36(4 – П ) D) 8(3 – П ) E) 16(4 – П )

Si: Sn = 1 + 2 + 3 + . . . + n Hallar el valor de:

8. Cada cuadrado tiene como lado la base media de un triángulo, en el cual está inscrita. Si S y R son puntos medios y la suma de todas las regiones sombreadas es 600 u2 , Halle L, si el proceso es infinito.

M= S30 – S29+ S28 – S27+ S26-….+S2 - S1 A) 120 D) 140

B) 220

C) 110 E) 240

B

4. En la sucesión

1 2

,

9 12

,

5

,

6

14

,....,

16

B) 20 u

 ¿Qué lugar ocupa el término t n  0,9 6 ?

A) 10 D) 15

B) 12 E) 16

C) 14


B) 35

R

S

C) 30 u

5. Un tren salio de su paradero inicial con 3 pasajeros y en cada estación suben dos pasajeros más de los que subieron en la estación anterior. Si al llegar a su paradero final se contaron 728 pasajeros. ¿En cuántos paraderos se detuvo a recoger pasajeros? A) 10 D) 20

C

A) 10 u

L

D) 40 u E) 50 u

A

D

L

9. Se define a * b = 2 ( b * a ) + a – b

C) 18 E) 25

-111 -

Calcular el valor de 12 * 3 A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

10. En la figura, Halle el total de triángulos

3x + 2 3x - 2

14. Si

A) 71

Juliaca -

= 3 x 2

Hallar E = 3 x 5 x 7 x . . x 199

B) 76 C) 61

A) 98

D) 62

B) 99

C) 100

D) 101

E) 63

15. La edad que tendré dentro de “a” años es a lo que tenía hace “a” años como 5 es a 3. ¿Qué edad tendré dentro de “2a” años? Si mi edad actual es 40 años.

2

11. Se define

a

=

a +1 2

a  b a

= 

(a+b) b

Hallar el valor de a A) 8 D) 6

(a-b)

= 2

x

B) 61 años


16. Un reloj se adelanta 2 minutos cada hora durante 9 horas y luego comienza a atrasarse 4 minutos cada hora durante 6 horas. Si inicialmente marcaba las 7 a.m. ¿Qué hora estará marcando?

2

+b

C) 4 E) 5

A) 9:52 pm D) 10:54 pm

B) 9:55 pm

C) 9:56 pm E) 9:54 pm

2

= x - 4x+5

17. Se sigue la secuencia hasta que la suma de los números de las esquinas, superior derecho e inferior izquierdo sea 145. ¿Cuántos casilleros por lado tendrá la última figura?

2

x Halle


5

B) 9

12. Si

E) 102

= x -1 E =

A) 82 D) 62

9

B) 90

+

10 C) 72 E) 52

1 A) 20 D) 12

13. Dado el gráfico. ¿Cuántos cubitos están en contacto con 4, 5 y 6 caras e indicar la suma? A) 56 B) 60 C) 54 D) 55

;

1

4

7

1

3

2

5

8

2

4

; 3

6

9

B) 14

;… C) 10 E) 15

18. Un reloj se atrasa un cuarto de minuto durante el día, pero debido al cambio de temperatura, se adelanta un tercio de minuto durante la noche; al cabo de cuántos días habrá adelantado 2 minutos sabiendo que hoy al atardecer marca la hora exacta.

E) 52 A) 15 D) 21


-112 -

B) 19

C) 20 E) 21

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

TEST II

5. Halle la suma de las cifras del producto de:

1. Sobre unos postes se posan varias palomas. Si sobre cada poste se posaran una sola paloma, quedarían “n” palomas volando. Pero si sobre cada poste se posaran “n” palomas, quedarían “n” postes libres. ¿Cuántos postes hay? n(n+1) (n-1) (n+1) D) (n+2)

A)

M  7777777x99 9999999 A) 82 D) 80

#

C)

2. Si compro “a” manzanas más de lo que pienso comprar, gastaría S/. “A”, en cambio si comprara “b” manzanas menos de lo que pienso comprar, gastaría tan solo S/. “B”. ¿Cuántas manzanas pienso comprar? A+B A) a+b

B)

Aa - Bb C) A+B

A-B a-b

B) 81

2

4

6

8

1

4

12

20

28

36

3

10

18

26

34

42

5

16

24

32

40

48

7

22

30

38

46

54

9

28

36

44

52

60

Halle ( 2 # 3 ) + ( 8 # 9 ) A) 20 D) 64

B) 45

12

11 10

.

9

1m

1 2 α

α

7

D) 2h 32

C) 44 E) 65

7. Hallar el área de la región sombreada

3. Según el gráfico. ¿Qué hora es?

A) 2h 33

10

aB + bA E) A-B

Bb - Aa D) A-B

8

C) 84 E) 83

6. Se define en los IR

n(n-1) (n+1) (n -1) E) (n+1)

(n+1) n(n-1)

B)

Juliaca -

A) 8 D) 18

3 4

5

6

B) 2h 32

2/7

C) 2h 32 1/5 E) 2h 32

3/7

B) 16

C) 14 E) 8

8. Un niño da 17 saltos mientras que el conejo da 15 saltos, y 9 saltos del niño equivale a 8 saltos del conejo. ¿Cuántos saltos debe dar el niño para alcanzar al conejo, si partieron al mismo instante.

8/11

4. Calcule la suma de cifras de M

M  (999...992 ) (999...998 )

  20 cifras


20 cifras

B) 174

10 saltos del conejo

C) 176 E) 180

A) 1 530 D) 1 520 -113 -

B) 1 540

C) 1 550 E) 1 5 45 Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

9. ¿Cuál será el menor tiempo que le tomará al gusanito en ir de “B” a “G”; si la rapidez constante del gusanito es 5 cm. /s? A) 25 seg

B

13. Hallar la suma de todos los elementos del siguiente arreglo numérico. 1! 2! 3!

gusano

4!

B) 16 seg

2! 3!

4!

3! 4!

4!

60cm

C) 30 seg

G

D) 15 seg

20!

40cm

20!

20!

20!

20!

40cm

E) 20 seg

A) 21! D) 21!-2

10. Bertha perseguida por Andrés le lleva 80 pasos de ventaja y da 6 pasos mientras que Andrés da solo 4; pero 3 pasos de él equivalen a 5 pasos de ella. ¿Cuántos dará ella a partir del momento en que parte él hasta que la alcanza?. A) 540 D) 700

B) 650

A) 429 D) 459

B) 439

2

2

2

14

2

15

2

16

2

3

2

4

2

5

2

11

2

2

2

1

2

6

A) 8 . 8! D) 10 . 8!

C) 8 . 9! E) 9 . 8!

A) 3 m B) 1,8 m 40 m

C) 3,3 m D) 2,5 m E) 2 m

2

10

2

9

2

8

2

7

2


B) 8 . 10!

15. Se quiere construir dos veredas del mismo ancho que dividan un terreno cuadrado en cuatro zonas cuadradas iguales (ver figura) si el costo por metro cuadrado de vereda es S/. 30 y se piensa invertir S/. 4 680 en ella. ¿Cuál debe ser en ancho de las veredas?

C) 438 E) 472

Una insecto comienza en el número 1 , 2 2 pasa al 2 , luego al 3 y así sucesivamente. Si el insecto a girado a la izquierda 20 veces; determine la suma de todos los números sobre que ha girado. B) 58 774

C) 21!+1 E) 22!-3

14. ¿De cuántas maneras se puede alinear 10 personas, sabiendo que dos de ellas no pueden estar juntas?

12. De la siguiente gráfica mostrada: 13 12

B) 21!-1

C) 620 E) 720

11. Un caracol asciende 2 cm en el día y resbala 1 cm en la noche, luego asciende 4 cm y resbala 1 cm, luego asciende 6 cm y resbala 1 cm; y así continúa su ascenso hasta llegar a lo alto de un árbol de 401 cm. Cuál es el recorrido total del caracol hasta cumplir su objetivo?

A) 58 770 D) 58 771

Juliaca -

16. De un recipiente en el cual hay 20 litros de agua, 60 litros de vino y 40 litros de alcohol. Se extrae 24 litros de la mezcla y se reemplaza con agua, luego se extrae 1/4 de la nueva mezcla y se reemplaza por alcohol; finalmente se extrae 1/3 de la nueva mezcla y se reemplaza con vino. ¿Cuánto de vino queda finalmente? A) 58 D) 71

B) 54

C) 64 E) 84

Las aspiraciones actúan como “resortes psíquicos” que impulsan con fuerza irresistible hacia la meta propuesta.

C) 58 773 E) 58 781 -114 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

TEST III 1. Si se lanza dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea; 4 ó 6? A) 1/5 D) 1/32

B) 1/3

7. ¿Qué tanto por ciento representa el área de la región sombreada respecto del área de la región no sombreada?

C) 8/39 E)2/9



2. Si compro naranjas a 5 por 6 soles y las vendo todas a 4 por 7 soles, ganando 99 soles. ¿Cuántas naranjas he comprado? A) 360 D) 432

B) 288

2

A)

2u

B)

4u

C)

6u

D)

8u

E)

5u

B

C

  

 

C) 160 E) 180

3. En la figura mostrada. ABCD es un cuadrado de lado “6 u”. Halle el área de la región sombreada.





A) 40% D) 80%



B) 60%



C) 35% E) 65%

8. Si 8 gatos atrapan a 8 ratones en 8 minutos. ¿En cuánto tiempo 4 gatos atraparán a 4 ratones?

2

A) 4 min D) 12 min

2

B) 8 min

C) 2 min E) 6 min

9. ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura?

2

2

D

A

4. En una fila se ubican 4 hombres y 3 mujeres ¿Cuál es la probabilidad de que se ubiquen de forma alternada? A) 1/55 D) 1/32

B) 1/33

C) 1/39 E) 1/35

5. “A”, “B” y “C” pueden hacer un trabajo en 10 días, “A” y “C” lo harían en 15 días, “B” y “C” lo harían en 20 días. ¿En qué tiempo lo harían ”A y “B”? A) 16 D) 13

B) 14

C) 12 E) 15

6. Una persona sube una escalera con el curioso método de subir 5 escalones y bajar 4, si en total subió 75 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? A) 12 D) 19


B) 14

1

2

A) 3 775 D) 2 500

3

47 48 49 50

B) 2 105

C) 5 050 E) 1 275

10. Una frutera vende 60 manzanas quedándole más de la mitad de las que tenía. Luego adquiere una docena de manzanas y vende 13, quedándole menos de la mitad de la cantidad inicial. ¿Cuántas manzanas tenía al inicio?

C) 16 E) 20

A) 120 D) 126

-115 -

B) 121

C) 152 E) 125

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

11. En una oficina trabajan 6 hombres y 4 mujeres y se escoge al azar a 7 personas. Halle la probabilidad de que entre las personas seleccionadas resulten 3 mujeres. A) 1/9 D) 1/6

B) 1/7

15. En la siguiente sucesión. ¿Cuántos términos son de 3 cifras? 12, 19, 26, 33, 40, . . . A) 250 D) 150

C) 1/3 E) 1/2

12. Cuantos triángulos que por lo menos tengan un corazón en su interior existen en la siguiente figura?

B) 40

Calcule la suma de los 21 primeros términos.

A) 350 km D) 400 km

13. De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “MATEMÁTICAS“

E T E A T E M A T E A) 1213 D) 1102

M M M M M

A A A A A A

B) 1024

14. Se define en R. Calcule

T T T T T T T

I I I I I I I I

C C C C C C C C C

A A A A A A A A A A

C) 1273 E) 1221

mΔn m2  2 (nΔm) n

(n2) paréntes is

A) n D) n + 1

B) 1


n

B) 1 101

C) 1 021 E) 1 111

B) 300 km

C) 355 km E) 600 km

18. ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura A) 110 B) 100 C) 36 D) 82 E) 81 19. De los animales de una persona, el 40% son cerdos; el 30% ovejas y el resto otros animales. Si se vendiera el 30% de los cerdos y el 70% de las ovejas. ¿En qué porcentaje disminuye los animales? A) 23% D) 24%

1 ( ... (((1Δ2) Δ3)Δ)... ) Δ    

C) 130 E) 129

17. Tres móviles parten de un mismo punto y en el mismo sentido con velocidades de 30, 40 y 50 Km/h. Indicar el espacio recorrido por el de mayor velocidad, cuando la distancia que separa a los otros dos móviles es de 70 Km

C) 42 E) 50

S S S S S S S S S S S

B) 200

16. De la sucesión 1, 100, 2, 99, 3, 98, …

A) 1 011 D) 1 010

A) 38 D) 46

Juliaca -

B) 28%

C) 33% E) 43%

20. ¿Cuál es el quinto término que termina en 5 en la siguiente sucesión? 1 , 10 , 25 , 46 , C) 2 E) n2

A) 1565 D) 1505 -116 -

B) 1525

C) 1575 E) 15 85

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Recorridos Eulerianos

Juliaca -

P

(Figuras de un solo trazo)

I

Objetivos

P

 Conocer qué figuras admiten un recorrido Euleriano.  Verificar si una figura se puede dibujar de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por una misma línea; de ser así, la figura admite un recorrido Euleriano.  Comprender los conceptos y postulados de Euler.

I P

P

I

I P

Tiene: 4 puntos impares ( I ) 5 puntos pares ( P )

TEOREMAS DE EULER Teorema I

Introducción En tiempos de Euler 1735, En Konigsberg (Alemania) existía una isla llamada Kneiphof con siete puentes como en la figura adjunta. Para los habitantes del lugar, era entretenido el intentar descubrir una ruta de tal forma que pudiesen cruzar por los siete puentes una sola vez y regresar al punto de partida. ¿Se podrá planear cruzar los puentes, de modo que se crucen una sola vez cada uno de los siete puentes?

Toda gráfica admite un recorrido euleriano si todos sus puntos son pares: (Cualquiera que sea el punto par escogido se comienza y se termina siempre en el mismo punto) Inicio-final

P

P

Teorema II

isla

puente

Toda gráfica admite un recorrido euleriano si presenta como máximo 2 puntos impares, (Debiendo empezar en un punto impar y terminar necesariamente en el otro punto impar)

isla

Inicio

P

I

I

preliminares

final

P

Vértice Par Conocido también como punto par, es aquel donde concurren un número par de líneas rectas o curvas.

NOTA: Si hay más de dos puntos impares, la figura no se puede realizar de un solo trazo.

Vértice Impar Conocido también como punto impar, es aquel donde concurren un número impar de líneas rectas o curvas. Braulio Gutiérrez Pari

-117 -

OBSERVACIONES

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

i) La menor cantidad de puntos pares que pueden existir en un gráfico es 1

Juliaca -

2. Cuál es la longitud mínima que recorrerá un gusanito para poder explorar todas las aristas de un cubo de 8 cm de arista?

P

ii) Los puntos impares siempre se presentan en parejas, no existe figura con un número impar de puntos impares. I

I

A) 120 D) 138

# de Puntos impares

C) 110 E) 144

3. Un cuadrado ABCD de 9 cm. De lado se divide en 9 regiones iguales. ¿Cuántos centímetros de debe recorrer como mínimo para dibujarlo sin levantar el lápiz del papel?

iii) Si tenemos una figura con más de dos puntos impares, entonces para dibujarla tendremos que repetir trazos sobre una o más líneas comprendidas entre 2 puntos impares para que teóricamente los puntos impares se conviertan en pares. El número mínimo de líneas que deben repetirse se da cuando dejamos sólo dos puntos impares.

# de lineas repetidas

B) 130

- 2

=

A) 72 cm.

A

B

D

C

B) 78 cm. C) 87 cm. D) 81 cm. E) 84 cm.

4. Con 28 cerillos de 5 cm. Se ha construido la siguiente figura. ¿Cuál debe ser la menor longitud que debe recorrer la punta del lápiz sin separarlo del papel para dibujarla?

2 A) 140 cm. B) 145 cm.

Problemas I

C) 150 cm. D) 155 cm.

1. Cuántas de las siguientes figuras se pueden dibujar sin levantar el lápiz del papel, ni pasando dos veces por la misma línea?

E) 160 cm. 5. Con un alambre de 96 cm. se construye una estructura con la forma de un cubo. Una arañita tarda, como mínimo, 12 minutos en recorrer todas las aristas del cubo, caminando con una rapidez constante. Determine la rapidez de la arañita.

A) 2 D) 4


B) 3

C) 1 E) 0

A) 9 cm./min B)8 cm./min C)10 cm/min D) 12 cm./min. E) 10,5 cm./min.

-118 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

10. Como mínimo un gusanito emplea 5 minutos en recorrer todas las aristas de un cubo construido de alambre de 60 cm de longitud. El tiempo que emplea en recorrer una arista es;

6. Cuál es el menor recorrido que debe realizar un ciclista, de tal modo que recorra todas las calles?

A) 9 s B) 8 s C) 10 s D) 12 s E) 20 s 11. El cubo mostrado está hecho de un alambre y su arista mide 20 cm. Un caracol tarda 10 minutos en recorrer todas las aristas del cubo partiendo de cualquiera de los vértices con rapidez constante, calcule la menor rapidez del caracol.

6 Km

8 Km

A) 58 Km D) 50 Km

B) 56 Km

C) 54 Km E) 52 Km

A) 60 cm/min B) 24 cm/min

7. Un atleta debe recorrer todas y cada una de las avenidas interiores de una sola intención con la condición de pasar sólo una vez por cada avenida. ¿Por cuál de las 5 puertas saldrá al terminar su recorrido? A

B

A) A

C) 30 cm/min D) 40 cm/min E) 50 cm/min 12. ¿Cuántas líneas rectas como mínimo se necesita para unir 16 puntos mostrados, sin levantar el lápiz del papel, ni repetir el trazo?

B) B

A) 4 C

C) C

B) 5

D) D

C) 6 D

E) E

D) 7

E

E) 8

8. ¿Cuál es el mínimo recorrido que debe hacer una hormiga para pasar por todas las aristas del sólido mostrado? 3 3 3 3

A) 72

3

B) 66 C) 57

3

D) 69 E) 60

9. Si una hormiga recorre todas las aristas de un cubo en 3 minutos como mínimo. ¿En cuántos segundos recorrerá una sola arista? A) 15 B) 16

C) 12 D) 18


13. Con un alambre de 100 cm se construye dos cubos adyacentes como se muestra en la figura. Una arañita tardó como mínimo 5 minutos en recorrer todas las aristas de los cubos caminando con una rapidez constante. Calcule dicha rapidez

A) 20cm./min B) 22cm./min C) 23 cm/min D) 24 cm./min. E) 21 cm./min.

E) 21

-119 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Problemas II 14. Cuántas de las siguientes figuras se pueden dibujar sin levantar el lápiz del papel, ni pasando dos veces por la misma línea?

A) 2 D) 4

B) 3

18. Se ha construido un prisma con 9 cerillas de madera, tal como se muestra en la figura adjunta, si cada cerilla mide 4 cm, ¿Cuál es la menor longitud que recorre un caracol al pasar por todas las aristas del prisma?

C) 1 E) 0

A) 48 cm. D) 40 cm.

15. Halle el mínimo número de segmentos que se debe eliminar para que la figura sea realizable de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel.

B) 36 cm.

C) 44 cm E) 52 cm

19. ¿Cuál es la menor longitud que recorre la punta de un lápiz, sin separarla del papel, para dibujar la siguiente figura?

A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 5

10 cm 12 cm

10 cm 8cm

8 cm 3 cm

8 cm 3 cm

8cm

8 cm

8 cm

3 cm

16. Halle el número mínimo de trazos (rectos o curvos) que se debe agregar a cada figura para que puedan trazarse sin levantar el lápiz del papel ni repetir el trazo

10 cm

B) 2 y 3

12 cm 10 cm

A) 139 cm. D) 151 cm.

A) 1 y 4 D) 2 y 4

B) 155 cm.

C) 149 cm E) 153 cm

20. ¿Cuál es el mínimo recorrido que debe realizar la punta del lápiz para poder dibujar la siguiente figura, eso sin levantar el lápiz del papel y empezando en el punto A?

C) 1 y 5 E) 1 y 2

17. Se ha construido una rejilla con 13 varillas de alambre tal como se muestra en la figura. Si cada varilla mide 4 cm, ¿Cuál es la menor longitud que podrá recorrer una arañita por toda la rejilla?

3 cm

3 cm 3 cm 3 cm

4 cm

4 cm

4 cm

4 cm

A

4 cm

4 cm

4 cm

A) 62 cm. D) 52 cm.

Juliaca -

B) 56 cm.


4 cm 3 cm

C) 65 cm E) 60 cm.

A) 234 cm. D) 264 cm.

-120 -

3 cm 3 cm 3 cm

B) 244 cm.

C) 254 cm E) 247 cm Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

OPERACIONES INVERSAS 1. Durante 4 días he gastado todo mi dinero. Los 3 primeros días gaste la mitad y 10 soles más de lo que me quedaba cada día, y el último día gaste la tercera parte y 10 soles más y me quede sin nada. ¿Cuánto tenía al principio? A) S/. 140 D) S/.100

B) S/.150

C) S/. 260 E) S/. 250

2. Un estudiante escribe cada día la mitad de las hojas en blanco más 25 hojas, si al cabo de 3 días agotó todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno? A) 500 D) 350

B) 240

C) 300 E) 200

3. Manuel y José son dos jugadores que acordaron que cada vez que uno de ellos pierda tendrá que duplicarle su dinero al otro. Empezaron a jugar y primero perdió Manuel, luego José de modo que ambos terminaron con S/. 80 cada uno. ¿Cuánto tenía José al principio? A) S/. 100 D) S/.48

B) S/.180

C) S/. 115 E) S/. 60

4. “M” y “N” empiezan a jugar, “M” pierde y le triplica el dinero a “N”, luego “N” pierde y le duplica el dinero a “M”. Si ambos terminaron a S/. 60. ¿Cuánto tuvo “M” al principio? A) S/. 80 D) S/. 65

B) S/.120

C) S/. 90 E) S/. 88

5. Se tiene 320 monedas de S/. 5 divididas en los grupos A, B, C, D. Del grupo A pasaron al grupo B tantos como había en éste, luego de B a C tantos como había en éste, de C a D tantos como había en éste y de D a A tantos como había en él y, así se logró que hubiera el mismo número de monedas en los cuatro grupos. ¿Cuánto dinero había inicialmente en el grupo A? Braulio Gutiérrez Pari

A) S/. 600 D) S/. 900

B) S/. 575

Juliaca -

C) S/. 785 E) S/. 125

6. En un juego, cada vez que uno gana lo premian del siguiente modo: le dan S/. 10, luego le duplican el dinero que tenga y finalmente devuelve S/. 15. Si el día de hoy Isabel ha recibido 5 premios sucesivos y ya tiene S/. 539. ¿Cuánto tenía al principio, antes del primer premio? A) S/. 12 D) S/. 38

B) S/.20

C) S/. 17 E) S/. 8

7. Miguel, Franklin y Percy; están jugando, con la condición de que aquel que pierda tiene que duplicar el dinero de los dos. Si cada uno ha perdido una partida en el orden en que han sido nombrados, quedándose luego de haber perdido el último, con S/. 200 cada uno. ¿Cuánto tenía inicialmente Miguel? A) S/. 325 D) S/. 275

B) S/. 100

C) S/. 215 E) S/. 175

8. Una persona participó en 3 apuestas; en la primera duplicó su dinero y gastó S/. 30. En la segunda triplicó lo que le quedaba y gastó S/. 54, en la tercera cuadriplicó la suma restante y gastó S/. 72. Al final le quedó S/. 48. ¿Cuánto tenía al comienzo? A) S/. 30 D) S/. 31

B) S/. 29

C) S/. 51 E) S/. 28

9. Se tiene 48 palitos de fósforo divididos en tres grupos. Del primer grupo se pasan al segundo tantos palitos como tiene éste; luego, del segundo grupo se pasan al tercero tantos palitos como tiene éste y lo mismo se hizo del tercero al primero, resultando al final los tres grupos con igual cantidad de palitos. ¿Cuántos palitos tenía el segundo grupo al inicio?

-121 -

A) 22 D) 48

B) 14



CEPRE - UPeu -

10. Tres jugadores A, B y C convienen en que el perdedor de cada partida; duplicará el dinero de los otros dos. Pierden una partida cada uno en orden alfabético y al final cada uno se queda con 40 soles. ¿Cuánto dinero empezó el primero? A) 35 D) 24

B) 20

C) 22 E) 65

11. Si no vendí 1/4 de las manzanas que vendí y de las que no vendí se malograron 1/2 de las que no se malograron. ¿Cuántas manzanas tenía al comenzar todo el negocio, si al final me quedaron 8 manzanas, luego de botar la malogradas? A) 60 D) 24

B) 40

C) 80 E) 36

12. Cada vez que Paola entra en una tienda gasta 1/4 de lo que no gasta. Cierto día Paola entró en 3 tiendas en forma consecutiva, si al salir de la tercera tienda aún le quedaba S/. 64. ¿Cuánto dinero tenía al principio? A) S/. 121 D) S/. 124

B) S/. 122

C) S/. 123 E) S/. 125

13. Una persona, luego de perder los 2/5 de lo que no perdió, gana el doble de lo que perdió, quedando así con S/. 81. ¿Cuánto perdió? A) S/. 18 D) S/. 21

B) S/. 19

C) S/. 20 E) S/. 22

14. Una persona en su primera compra gastó 1/5 de lo que tenía, más 8 soles; en su segunda compra gastó 1/4 de lo que le quedaba, más 3 soles; en la última compra gastó 1/3 del resto, más 6 soles. Luego con 5 soles pagó el taxi y llegó a casa con sólo 7 soles. ¿Cuánto dinero tenía al inicio? A) S/. 60 D) S/. 63


B) S/. 61

C) S/. 62 E) S/. 64

Juliaca -

15. Humberto en su primera compra gastó 1/3 de lo que tenía, más 6 soles; en su segunda compra gastó 1/5 de lo que le quedaba, más 2 soles; en la última compra gastó 1/2 del resto, más 2 soles. Luego con 5 soles pagó el taxi y llegó a casa con sólo 20 soles. ¿Cuánto dinero tenía al inicio? De cómo respuesta la suma de sus cifras A) 6 B) 3 C) 7 D) 5 E) 4 16. Un tranvía con cierto número de pasajeros. En el primer paradero deja la quinta parte; en el segundo suben 40 pasajeros; en el tercero bajan 3/8 de los que iban; en el cuarto suben 35 y en el trayecto al último paradero dejó los 7/9 de los que llevaba, llegando a este último con 30 pasajeros. ¿Con cuántos pasajeros inició su recorrido? A) 180 D) 150

B) 210

C) 200 D) 300

17. Un caballo bebe agua de un estanque que esta lleno hasta la tercera parte. Tl primer día consume 1/2 de lo que había más 4 litros; el segundo día consume 1/2 de lo que quedaba más 5 litros; el tercer día 1/2 de lo restante mas 6 litros; sobrándole 6 litros. ¿Cuál es la capacidad del estanque? A) 124 B) 372 C) 348 D) 362 E) 248 18. Si gaste 1/4 de lo que no gaste, luego del resto, perdí 1/3 de lo que no perdí, si al final me quedan S/. 21. ¿Cuánto tenía al inicio? A) 30 B) 32 C) 34 D) 35 E) 38 19. Entre pollos, patos y pavos un granjero tiene en total 75 aves. Si tuviera 7 pollos menos, 4 patos más y 12 pavos más tendría la misma cantidad de aves de cada especia. Calcule el número de pollos A) 22 B) 14 C) 12 D) 35 E) 18

-122 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

Matemática recreativa 1. División coreana: Dividir la figura en dos partes iguales pero sin usar rectas.

2. En el pueblo joven Cada niño debe entrar a su respectiva casa, los caminos recorridos por cada uno de ellos no deben cruzarse ni salirse del diagrama. ¿Cómo sería el recorrido de cada uno?

4. Unir los nueve puntos sólo con cuatro líneas rectas en forma continua.

5. El salto del caballo Colocando el número 1 en cualquier casillero, ir llenando los cuadrados con los siguientes números consecutivos hasta el 12, siguiendo el movimiento del caballo de ajedrez.

6. La figura mostrada es un famoso templo griego que está hecho con once cerillos. Cambia de lugar 4 cerillos de manera que obtengas 5 cuadrados. 3. Unir los puntos con tres líneas rectas solamente con la condición que donde se comienza se debe terminar.


-123 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

7. Colocar los números del 1 al 7, de tal manera que los números de arriba sean el resultado de la suma de los dos de abajo adyacentes a él.

8. Un terreno debe dividirse en cuatro partes de igual forma y tamaño. ¿Cómo debe hacerse la división?

Juliaca -

10. Se dan 3 números y un resultado, y usted colocará los signos matemáticos respectivos en los recuadros, tal que satisfaga el resultado

11. Porque falta un recuadro en la parte inferior de estos dos triángulos de dimensión 13x5 (ambos triángulos tienen las mismas figuras en tamaño y forma)

50 m

50 m

100 m

9. Disponer en el siguiente cuadro los números consecutivos desde el 1 hasta el 8, uno en cada casillero, de tal manera que dos números consecutivos nunca sean vecinos.


-124 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

A) 1 500 D) 1 600

Ejercicios de Repaso RAZ INDUCTIVO DEDUCTIVO

6.

1. Hallar la suma de todos los elementos de la siguiente matriz A) 512 B) 524

1 2 3

2 3 4

3 4 5

4... 5... 6...

7 8 8 9 9 10

7 8

8 9 10 . . . 13 14 9 10 11 . . . 14 15

A) 148 D) 151

45  47  49    89 

3. ¿Cuántas palabras PROGRAMACIÓN se pueden leer en total uniendo letras adyacentes? O

R

R P

C A

O

G

R

R

A M

A O

C

R

I

A) 108 D) 48

C) 56 E) 56

N O

C) 72 E) 36

4. Si GABY x 9999999 = . . . 2468 Halle : G+A+B+Y B) 18

C) 17 E) 22

f(2)

f(3)

A) 200 D) 189

….

f(4)

B) 231

C) 224 E) 120

10. Se sigue la secuencia hasta que la suma de los números de las esquinas, superior derecho e inferior izquierdo sea 145. ¿Cuántos casilleros por lado tendrá la última figura?

5. Halle la suma de cifras del resultado de efectuar: A  666 . . 666 . x8

1

502 cifras Braulio Gutiérrez Pari

B) 96

C

B) 128

A) 14 D) 18

C) 150 E) 152

8. De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “CHAVO” uniendo letras vecinas C C C H H H H A A A A A V V V V V V O O O O O O O V V V V V V A A A A A H H H H C C C

f(1)

A) 64 D) 256

B) 149

9. Calcule el número de bolitas que se ubican en f(14).

O

A

C) 23 E) 25

N x 425 = …225 N x 417 = …489 Calcule las últimas tres cifras de N x 56

2. Calcule la suma de todos los números del siguiente arreglo:

1 3 5 7 3 5 7 9   5 7 9 11    45 47 49 51

B) 21

7. Si

D) 821

A) 28 305 B) 18 310 C) 22 305 D) 24 575 E) 23 805

C) 1 495 E) 1 425

Si abcde x 9999999 = . . .23467 Halle : a+b+c+d+e A) 20 D) 24

C) 624

E) 625

B) 1 515

Juliaca -

-125 -

;

1

4

7

1

3

2

5

8

2

4

; 3

6

9

;…

Cepre Upeu

Razonamiento Matemático A) 20 B) 14 C) 10

CEPRE - UPeu -

D) 12

E) 15

11. Si el número telefónico de mi colegio “GENIOS” es 364746. De cuántas formas puedo encontrar en el arreglo mostrado dicho número telefónico. 3

A) 16 B) 32 C) 81 D) 27 E) 64

3

6

3 3 3 3

6 6

6 6

4 4

4 4

7 7

7

4 4

6

12. Halle el valor de: sumandos 20     E 

15. Hallar la suma de cifras del resultado de: 2 E  ( 3333 ..... 334 )    

100 cifras A) 600 D) 603

A) 16 D) 32

72  727272  ... 7272   

A) 24 B) 72 C) 3

D) 1/3

E) 1

B) 601

B) 48

R

240 cifras   74 24



7474

 ... 

2424

A) 18 D) 29

B) 16

7474. . . 74

R

2424. . 24 . 240 cifras C) 10 E) 36

B) 76


R A D A R

A R

R A

R

A R

R

B) 243

C) 256 E) 228

18. De cuántas maneras distintas se pueden leer la palabra “CARRETA” uniendo letras vecinas C A R E T A

A) 68 D) 90

R A

A) 324 D) 128

14. Halle el total de palabras “TRES ” 1 TRES 2 TRES 3 TRES 4 TRES

10

C) 128 E) 64

17. De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra “RADAR”, uniendo letras vecinas.

13. Halle “E”

E 

C) 602 E) 64

16. De cuántas maneras distintas se pueden leer la palabra “RAZONAR” uniendo letras vecinas R A A Z Z Z O O O O N N N N N A A A A A A R R R R R R R

24  2424  242424  . . .

20 sumandos

Juliaca -

TRES

A) 96 D) 32

C) 40 E) 48

-126 -

E T

A

A R

R E

T A

E T

A

T A

A

B) 128

C) 64 E) 48

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

25. Una arañita quiere ir desde el punto “A” de un ladrillo al punto “B” ¿Cuál es el camino más corto?

19. Calcular el valor de:

1

E 



1x2

1



2x3

1

1

... 

3x4

Juliaca -

A

49x50

5cm

A)

49

B)

50

50

C)

49

51

D)

50

49 51

E)

53 50

3cm 6cm

RAZ. LÓGICO

A) 12 D) 14

21. Si para hornear una torta en una pastelería se demoran 40 minutos. ¿Cuál será la suma del tiempo mínimo y máximo empleados en hornear 6 tortas? A) 3:20 D) 4:30

B) 4:40

C) 5:10 E) 7:00

22. Un carro puede transportar de 250 a 450 kg. Las personas que transporta pesan entre 35 kg. Y 50 kg. Si cada persona paga 15 soles. ¿Cuál es la máxima recaudación que se puede lograr? A) 180 D) 40

B) 240

C) 150 E) 160

23. En la mano derecha tengo 5 monedas más de lo que tengo en la izquierda. Si de la mano izquierda paso las 8 monedas para ponerlas en la mano derecha. ¿Cuántas monedas tengo en la derecha? A) 24 D) 18

B) 13

C) 10 E) 21

24. Una persona dispone de 5 trozos de cadena de 3 eslabones cada uno y los lleva a un herrero para que las uniera y formara con ellos una sola cadena. Si el herrero cobra S/. 5 por abrir y soldar un eslabón. ¿Cuánto debe pagar como mínimo la persona? A) S/. 20 D) S/. 15

B) S/. 10


C) S/. 25 E) S/. 30

B

B) 10

C) 16 E) 09

26. Si el ayer de mañana del pasado mañana de hace 3 días, es el día que subsigue al ayer del anteayer del mañana de lunes. ¿Qué día de la semana será el inmediato anterior al día que sigue al mañana del pasado mañana del mañana de hoy? A) Miércoles B) jueves C) viernes D) Sábado E) domingo 27. El anteayer de mañana de hace dos días fue Lunes. Dentro de cuántos días se llegará al mañana del pasado mañana del mañana del ayer de mañana; y qué día de la semana será? A) 3-Juev B) 3-Doming C) 4-Sábad D) 4-Lunes E) 5-Miércol 28. Cuatro hombres y dos niños tienen que cruzar un río en una canoa; en cada viaje puede ir uno de los hombres o los dos niños, pero no un hombre y un niño a la vez. ¿Cuál es el número de veces que la canoa tiene que cruzar el río, en cualquier sentido, para que pasen todos? A) 17 D) 13

B) 18

C) S/. 15 E) 30

29. Un borrachín con 7 colillas de cigarro puede formar un cigarro. Si en un determinado momento tiene 31 colillas. ¿Cuántos cigarros podrá fumar y cuántas colillas le han de quedar al final? A) 4 - 3 B) 5 - 0 C) 4 - 2 D) 5 - 1 E) 3 – 1

-127 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

30. Si el anteayer de dentro de cinco días es domingo. ¿Qué día será el pasado mañana del ayer de hace tres días del pasado mañana de mañana? A) Miércoles D) sábado

B) jueves

37. Una arañita sube durante el día 5 metros de una torre y resbala durante las noches 3 metros. ¿Cuántos días demora en llegar a la cúspide si la torre tiene 145 metros de altura y cuántos metros ascendió en total?

C) viernes E) domingo

31. Si el 1 de marzo del 2008 fue sábado. ¿Qué día de la semana será 1 de marzo de 2 025 A) Miércoles D) sábado

B) jueves

C) viernes E) domingo

32. Dora cumplió 67 años el día miércoles 28 de marzo de 2001. ¿Qué día de la semana nació? A) domingo D) miércoles

B) sábado

A) 71- 355 D) 72- 356

A) 3 D) 6

C) miércoles E) lunes

29 de febrero y 1 de marzo 30 de diciembre y 1 de enero 31 de diciembre y 1 de enero 28 de febrero y 1 de marzo 31 de julio y 1 de agosto

35. La hermana del hijo de la hermana del hijo de la hermana de mi padre es mi: A) hija D) nieta

B) tía

C) sobrina E) hermana

36. Si el padre de Luís es el hermano de mi hermano gemelo.¿Qué es respecto a mí, la abuela del gemelo de Luís?. A) abuela D) tía

B) hermana


C) 71-325 E) 72- 357

B) 4

C) 5 E) 7

39. Se tiene la siguiente información acerca de tres jóvenes. Andrés nunca quiso ser abogado, el médico y el ingeniero no se llevan bien, Rossy y Andrés salen a jugar basket, Rossy y Pedro son amigos desde el colegio. Según esto, ¿Qué profesión tiene Rossy?

34. Andrés le dice a Bruno: “Es curioso. Anteayer tenía 12 años y el próximo año cumpliré 15”. Bruno le responde: “mi cumpleaños es hoy”. ¿En qué fecha nació cada uno? A) B) C) D) E)

B) 71- 356

38. Se tiene 436 esferas del mismo color y tamaño, pero una de ellas es más pesada que las otras. Para poder determinar cuál es ésta, utilizando una balanza de dos platillos. ¿Cuántas pesadas como mínimo deben realizarse?

C) jueves E) lunes

33. En un cierto mes, el primer día fue lunes y el último día también. ¿Qué día cayó el 24 de agosto de dicho año? A) Jueves B) martes D) domingo

Juliaca -

A) Médico B) abogada D) médico o abogado E) médico o ingeniero

C) ingeniería

40. Violeta, Margarita y Azucena practican deportes diferentes, Voley, tenis y natación, aunque no necesariamente en ese orden. Además se sabe que:  Violeta es cuñada de la voleibolista.  Azucena es soltera  La voleibolista está casada con el hermano de la que practica natación. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la verdadera? A) Violeta es voleibolista. B) Margarita practica natación. C) Margarita es teniecita. D) Azucena practica natación E) Azucena es tenista.

C) madre E) nuera -128 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

FRACCIONES 41. Una persona gasta en hojas los 2/3 del dinero que llevó más 4 soles, en cartulinas gasta 1/6 del dinero que le quedaba más 6 soles y en colores gasta los 3/7 del nuevo resto mas 4 soles.¿Cuántos soles llevó a la librería si ha regresado con 4 soles? A) 94 D) 84

B) 74

B) 49

A) S/. 18 D) S/. 21

C) 84 D) 28

43. Un caño “A” llena un tanque en 2 horas y otro “B” lo vacía en 6 horas. Funcionando juntos. ¿En qué tiempo se llenará el tanque? A) 5h D) 2h

B) 6h

B) 6h

B) S/. 19

C) S/. 20 E) S/. 22

B) S/. 61

C) S/. 62 E) S/. 64

49. Daniel puede hacer una obra en 15 días y Humberto puede hacer la misma obra en 10 días. Daniel empieza a trabajar en la obra y después de 5 días se incorpora Humberto. ¿A los cuántos días de incorporación de éste se concluirá la obra?

C ) 3h D) 4h


B) 4 días


50. Gasta 2/3 de lo que no gasté y aún me queda S/. 60 más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía inicialmente?

C ) 3h D) 4h

45. Si no vendí 1/4 de las manzanas que vendí y de las que no vendí se malograron 1/2 de las que no se malograron. ¿Cuántas manzanas tenía al comenzar todo el negocio, si al final me quedaron 8 manzanas, luego de botar la malogradas? A) 60 B) 40 C) 80 D) 24 E) 36 46. Cada vez que Paola entra en una tienda gasta 1/4 de lo que no gasta. Cierto día Paola entró en 3 tiendas en forma consecutiva, si al salir de la tercera tienda aún le quedaba S/. 64. ¿Cuánto dinero tenía al principio? Braulio Gutiérrez Pari

C) S/. 123 E) S/. 125

48. Una persona en su primera compra gastó 1/5 de lo que tenía, más 8 soles; en su segunda compra gastó 1/4 de lo que le quedaba, más 3 soles; en la última compra gastó 1/3 del resto, más 6 soles. Luego con 5 soles pagó el taxi y llegó a casa con sólo 7 soles. ¿Cuánto dinero tenía al inicio? A) S/. 60 D) S/. 63

44. Una cañería llena un estanque en 4 horas y otra la puede dejar vacío en 6 horas. ¿En qué tiempo puede llenarse en estanque si la cañería de desagüe se abre 3 horas después? A) 5h D) 2h

B) S/. 122

47. Una persona, luego de perder los 2/5 de lo que no perdió, gana el doble de lo que perdió, quedando así con S/. 81. ¿Cuánto perdió?

C ) 104 D) 56

42. Si gaste 1/4 de lo que no gasta, luego del resto, perdí 1/3 de lo que no perdí, si al final me quedé con S/. 21. ¿Cuánto tenía al inicio? A) 34 D) 35

A) S/. 121 D) S/. 124

A) S/. 300 D) S/. 420

B) S/. 280

C) S/. 320 D) S/. 240

51. Si gasté los 2/5 de lo que no gasté; regalando luego los 2/3 de lo que no regalé y presté el doble de lo que no presté. ¿Cuánto tenía al inicio si la tercera parte de lo que me queda al final es igual a S/. 10? A) S/.180 D) S/. 200

B) S/. 210

C) S/. 150 D) S/. 300

52. Un recipiente contiene 24 litros de alcohol y 36 litros de agua. Si se extrae

-129 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

15 litros de la mezcla. ¿Cuántos litros de alcohol quedan? A) 23 D) 29

B) 26

57. En la figura. Hallar el máximo número de triángulos?

C ) 18 D) 36

A) 15 B) 16

53. Tres obreros hacen un trabajo en 4 días sabiendo que el primero lo haría sólo en 9 días y el segundo en 12 días. Averiguar lo que demora el tercero trabajando solo. A) 15 D) 18

B) 17

C ) 16 D) 20

54. Humberto en su primera compra gastó 1/3 de lo que tenía, más 6 soles; en su segunda compra gastó 1/5 de lo que le quedaba, más 2 soles; en la última compra gastó 1/2 del resto, más 2 soles. Luego con 5 soles pagó el taxi y llegó a casa con sólo 20 soles. ¿Cuánto dinero tenía al inicio? De cómo respuesta la suma de sus cifras A) 6 D) 5

B) 3

Juliaca -

C) 7 E) 4

C) 17 D) 18 E) 14 58. En la figura sólida está formado por cubitos todos iguales, si pintamos el sólido. ¿Cuántos cubitos no tendrán ninguna cara pintada? A) 27 B) 30 C) 20 D) 25 E) 35 59. ¿Cuántos cuadriláteros como máximo se pueden contar en la siguiente figura? A) 108

55. Un tranvía con cierto número de pasajeros. En el primer paradero deja la quinta parte; en el segundo suben 40 pasajeros; en el tercero bajan 3/8 de los que iban; en el cuarto suben 35 y en el trayecto al último paradero dejó los 7/9 de los que llevaba, llegando a este último con 30 pasajeros. ¿Con cuántos pasajeros inició su recorrido?

B) 120 C) 112 D) 100 E) 72 60. ¿Cuántos cuadriláteros hay en total? A) 70

A) 180 D) 150

B) 210

C) 200 D) 300

B) 130 C) 100

CONTEO DE FIGURAS 56. Calcule el número de triángulos con al menos un corazón en su interior A) 14

D) 110 E) 85 61. ¿Cuántos cuadriláteros como máximo se pueden contar en la siguiente figura?

B) 12

A) 120

C) 15

B) 300

D) 17

C) 240

E) 18

D) 264 E) 625


-130 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

62. ¿Cuántos triángulos como máximo se pueden contar en la siguiente figura?

Juliaca -

para las 5 a.m. la cuarta parte del tiempo que transcurrió desde las 3 a.m. hasta hace 25 minutos. ¿Qué hora es?

A) 42 A)4:25 a.m B)4:33 a.m D) 4:28 a.m

B) 44

C) 4:38 a.m E) 4:50 a.m

C) 34 68. Según el gráfico. ¿Qué hora es?

D) 38 E) 40

12

11 10

63. ¿Cuántos triángulos como máximo se pueden contar en la siguiente figura?

C) 20

7

A) 25 s D) 28 s

B) 26 s

10

D)

B)

c 1

s(c  1)

E)

c 1

.

C) 2h 53 1/5 E) 2h 54 8/11

70. Según el gráfico. ¿Qué hora es? 12 1 11

α

9 8

C) 3:55 p.m E) 3:59 p.m

2

.

3

α

7

6

4 5

A)10h 32 8/11 B)10h 35 C)10h 33 7/11 D)10h 32 9/11 E)10h 32 7/11

67. Son más de las 4 a.m pero aún no son las 5 a.m, dentro de 10 min. faltarán Braulio Gutiérrez Pari

3

5

6

10

B)3:32 p.m

α

A) 2h 51 B) 2h 52 2/7 D) 2h 54 6/11

66. Ya pasaron las 3 sin ser las 4 de esta tarde, dentro de 25 min. faltarán para las 5 p.m. los mismos minutos que pasaron desde las 3 hace 15 min. ¿Qué hora es? A)3:33 p.m D) 3:50 p.m

2

4 7

c 1

c 1

1

8

s(c2  3)

s(c3  2)

α

9

C) 27 s E) 29 s

C)

12

11

65. Un campanario toca “c” campanadas en “s” segundos. ¿Cuántos segundos tardará en tocar “c2 -1” campanadas?

s(c2  2)

C) 2h 32 1/5 E) 2h 32 8/11

69. Según el gráfico. ¿Qué hora es?

64. un campanario toca 6 campanadas en 15 segundos. Cuánto tardará en tocar 10 campanadas?

c 1

5

A) 2h 33 B) 2h 32 2/7 D) 2h 32 3/7

RELOJES

s(c2  1)

3 4

6

D) 21

A)

α

α

8

E) 22

2

.

9 A) 18 B) 19

1

-131 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

PORCENTAJES 71. Tengo el 90% de lo que tenía ayer que era 20 soles más, ¿Qué tanto por ciento de lo que tuve ayer tendría mañana, si hoy perdiese 20 soles más que el 50% de lo que tengo? A) 18% D) 24%

B) 54%

B) 400

A) 30% D) 48%

C) 600 D) 186

C) 180 D) 480

75. ¿En qué porcentaje debe disminuirse el lado de un cuadrado para que el área disminuya en un 51%? A) 30% D) 49%

B) 40%

C) 10% D) 38%

76. El 40% de un número es el 60% de otro. ¿Qué porcentaje de la suma es la diferencia de estos números? A) 17% D) 24%

B) 12%

C) 50% D) 60%

B) 25%

C) 40% D) 18%

81. ¿Qué porcentaje del tres por siete del cinco por veinte del inverso de 7/2; es el dos por 49 del cuatro por cinco del triple de la mitad de 1/4? A) 10% D) 30%

B) 40%

C) 12% D) 11%

82. Si el radio de un círculo se incrementa en un 80%, ¿En qué porcentaje varía su área? A) Disminuye 64% B) Aumenta 136% C) Aumenta 200% D) Disminuye 18% E) Aumente 224% 83. El área de un triángulo se incrementó en un 32% cuando se aumentó la base en un 20%, ¿En qué porcentaje aumentó la altura?

C) 15% D) 20%

A) 8% D) 14%

77. Si el perímetro de un rectángulo se reduce a la mitad, ¿En qué porcentaje a variado su área? Braulio Gutiérrez Pari

B) 15%

79. La edad de María es el 30% de la edad de Ricardo, si hace 5 años la diferencia de sus edades era 14 años, hallar que porcentaje de la edad de Ricardo representará la edad de María dentro de 20 años?

A) 32% D) 30%

74. Dos cilindros contienen un total de 800 galones. Se saca el 25% del contenido del primero y el 40% del segundo. Si después de sacar, quedan 60 galones más en el primero que en el segundo, ¿Cuántos galones hay en total en ambos cilindros ahora? B) 540

C) 80% D) 25%

A) 65% B) 35% C) 24% D) 80% D) 72% 80. Un comerciante compra 2 750 lápices por S/. 1 000; pero resulta 359 fallados y vende el resto a S/. 7 la docena. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia?

73. ¿Cuántos litros de alcohol puro hay que agregar en una mezcla alcohólica de 10 litros al 40% para obtener una nueva mezcla de 50% de pureza? A) 1 B) 3 C) 8 D) 2 D) 5

A) 620 D) 710

B) 75%

78. El 80% de “A” es igual al 40% de “B”, ¿Qué porcentaje de “B” es “A”?

C) 14% D) 35%

72. Pedro le dice a Mario: “entre tu dinero y el mío tenemos 1 125 soles, pero si tú hubieras recibido 30% menos, tendrías lo que yo tendría si hubiera recibido 20% menos” ¿Cuánto tiene Mario? A) 180 D) 380

A) 30% D) 12%

B) 11%

C) 16% D) 10%

84. En una hacienda el 30% de las vacas son el 20% de los caballos. ¿Qué

-132 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

porcentaje del 60% del total, es el número de caballos? A) 15% D) 80%

B) 130%

91. ¿Qué se puede afirmar acerca del valor de “n” de la siguiente igualdad?

C) 100% D) 124%

n! xn! (n  1)! - n!

85. En la mañana tuve S/. 69 y gasté el 38% de lo que no gasté ¿Cuánto no gaste? A) S/. 24 D) S/. 25

B) S/. 36

92. Si:

86. En cuantos ceros termina el desarrollo de

B) 44

C) 28 E) 32

87. Hallar el valor de E

30!  29!  28!

A) 198 D) 125

B) 32

C) 40 E) 36

88. Hallar el valor de “n” en

0!



1!



2!



3!

 ...

2!  3!  4! 5! 

49

B) 48

50 C) 84 E) 62

89. En cuantos ceros termina el desarrollo de

( 420!  600! ) A) 120 D) 103

3

B) 168

A) 120 D) 12

120(120)

4!

 (5! )

24

(5  x)!

Calcular: (x+3)! A) 6 D) 720 Braulio Gutiérrez Pari

B) 24

B) 160

C) 120 E) 210

B) 24

C) 720 E) 48

95. En la casa de Arnaldo asistieron a una reunión familiar 3 tíos y 3 tías, se les pide que se ubiquen en una banca, de forma alternada. ¿De cuántas maneras lo pueden hacer?

C) 504 E) 309

90. Si

C) 16 E) 18

94. Seis personas desean sentarse en una carpeta de 6 asientos. ¿De cuántas maneras diferentas podrían hacerlo si dos de ellos siempre se sientan en los dos asientos centrales?

(n  1) sumandos A) 52 D) 55

B) 15

93. De 15 jugadores de fútbol, ¿De cuántas maneras se puede conformar un equipo (11 jugadores) si se sabe que 3 de ellos, por problemas personales se niegan a jugar en el mismo equipo?

29!  28!

A) 2 7 D) 3 0

(axb)! 14!

A) 14 D) 17

40 sumandos

E

a! + b! = 126 Calcular

E  247!  244! 241! . . ..   . A) 40 D) 33

 24

A) es par B) es un cuadrado perfecto C) es mayor que 7 D) es un cubo perfecto E) es un número primo

C) S/. 72 D) S/. 50

ANÁLISIS COMBINATORIO

Juliaca -

A) 36 D) 180

B) 720

C) 72 E) 12

96. Si Nancy tiene para vestirse; 5 pantalones, 3 faldas, 6 blusas, 2 polos y 8 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse?

C) 120 E) 3 628 800

A) 510 -133 -

B) 480

C) 488 Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

D) 540

E) 512

A) 126 D) 378

97. Andrea es una señorita bastante jovial y amigable por lo que solo en una semana de estar en la academia, ha conseguido tener 10 amigos a los cuales desea invitarlos a un cumpleaños. ¿De cuántas maneras puede invitar a uno o más de ellos? A) 55 D) 1023

B) 1024

E 

((3! )! )!  719!



721! A) 1/4 D) 1/2

A) 73 D) 43

99. ¿En cuantos desarrollo de

(3! )!

ceros

C) 2 E) 1 termina

B) 124

C) 188 E) 174

100. En una reunión hay 10 hombres y 5 mujeres; se van a formar grupos de 3 personas. ¿Cuántos grupos diferentes se formaran sí siempre debe haber 2 mujeres en el grupo? A) 360 D) 180

B) 100

C) 72 E) 120

101. Un equipo científico consta de 25 miembros de los cuales 4 son doctores; hallar el número de grupos de 3 miembros que se pueden formar de manera que en cada grupo haya por lo menos un doctor A) 870 D) 940

B) 980

A) 32 D) 30

el

M= 999! + 998! + 997! + 996! + . . . + 700! A) 155 D) 123

C) 93 E) 63

B) 64

C) 16 E) 60

105. En una competencia de canotaje, un bote es tripulado por 6 hombres de los cuales José, Gabriel y Abraham reman en el lado izquierdo y Víctor, Raúl y Adolfo en el lado derecho. ¿De cuántas maneras puede ordenarse la tripulación, si en cada lado se ubican 4 asientos? A) 760 D) 576

B) 144

C) 846 E) 120

106. Patty tiene 3 vestidos; 4 faldas ( 2 iguales), 3 pantalones (2 iguales) y 5 blusas (3 iguales). ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse? A) 21 B) 18 C) 20 D) 24 E) 15 SUCESIONES 107. Halle el valor de

a+b

C) 900 E) 970

102. De 11 estudiantes, ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar un grupo de 5 estudiantes para ir de paseo, si hay dos de ellos (A y B) que no pueden estar en el mismo grupo? Braulio Gutiérrez Pari

B) 53

104. En un torneo de ajedrez se jugaron en total 524 partidas, y se sabe además que hubieron 2 ruedas. En la primera jugaron todos contra todos y en la segunda jugaron los 8 mejores. ¿Cuántas personas participaron?

359

B) 1/3

C) 384 E) 276

103. De cuántas maneras puede vestirse Fernando si tiene 7 pantalones, 6 camisas y 3 pares de zapatos, todos de diferente color entre sí. Si la camisa blanca siempre lo usa con el pantalón azul y éste con ninguna otra camisa?

C) 588 E) 63

98. Calcular

B) 252

Juliaca -

-134 -

A) - 427 D) -227

B) -327

C) -181 E) -408 Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

108. Observa el siguiente gráfico.

Juliaca -

113. En una P.A. se sabe que el octavo término es 42 y el décimo segundo es 54. Halle la suma del cuarto término con el trigésimo término de dicha P.A. A) 48 D) 276

B) 98 E) 290

C) 138

Calcular el valor de a + b A) 203 D) 185

B) 162

114. En una progresión geométrica, el quinto término es 48 y el primer término es 3; entonces la suma de los 3 primeros términos de lugares múltiplos de 3 es:

C) 172 E) 197

109. Observa la distribución de los huevos.

A) 900 D) 876

B) 111 E) 916

C) 726

115. La suma del noveno y décimo séptimo término de una progresión aritmética es 82 y la relación del noveno y el vigésimo primer término es como 7 es a 27. Hallar el séptimo término. A) 9 D) 11

B) 31 E) 17

C) 43

116. Se sabe que seis términos consecutivos de la sucesión: Calcule la suma de cifras de n. A) 10

B) 11

C) 9

D) 18

8; 11; 14; 17; ......... suman 147. Calcular el quinto término de los seis mencionados.

E) 13

110. En una P.A. creciente de 31 términos, el término central es 40. Hallar la suma del primer y último término de dicha sucesión. A) 93 D) 80

B) 72 E) 90

C) 62

111. Hallar la razón de la siguiente P.A. de 17 términos: 1/2, .............. .,-3/8 A) –8/75 D) –45/78

B) –7/128 E) –1/31


B) 36 E) 48

B) 33 E) 31

C) 43

117. María se dedica a vender revistas; el primer día vende 6, el segundo día vende 9, el tercer día vende 15, el cuarto día vende 24, el quinto día 36 y así sucesivamente hasta que el último día vendió 1311. ¿Cuántos días estuvo vendiendo? A) 25 D) 40

C) –6/85

112. En la sucesión siguiente: 8; 12; 16; ....... se sabe que seis términos consecutivos de ella suman 180 ¿cuál es el último de los seis? A) 25 D) 44

A) 32 D) 29

B) 26 E) 45

C) 30

118. En la siguiente sucesión calcule la suma del menor y mayor de los términos de 3 cifras: 5; 7; 11; 19; 35; 67; ......... A) 516 D) 646

C) 40

-135 -

B) 512 E) 946

C) 520

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

119. Un tren inicia su recorrido con 7 pasajeros. En cada paradero, a partir de la primera parada que realiza en su recorrido, suben 3 pasajeros. Si al llegar a la última estación (paradero final) bajaron todos (70 en total), ¿en su recorrido en cuántas estaciones se detuvo a recoger pasajeros? A) 18 D) 21

B) 19 E) 22

PPP; PC4; PD1

121.

C) 910

Dada la sucesión:

¿Cuánto de sus términos tendrán 3 cifras? B) 100 E) 113

C) 114

122. Una hormiga recoge las migajas de pan que hay frente a su hormiguero, ubicadas en una línea recta y equidistante entre sí 7,5 cm. La hormiga arrastra las migajas hacia su hormiguero, llevando sólo una a la vez, estando la primera a 9cm de su entrada, donde las deposita, recorriendo en total 14,04 metros. ¿Cuántas migajas recogió si partió de su hormiguero? B) 11

C) 7 E) 10

A) 156 B) 165 C) 135 D) 142

SERIES

A) 10 D) 13

B) 4

126. Elvis desea leer un libro en un número determinado de días y se da cuenta que si lee 13 páginas cada día logrará su cometido; pero si lee una página el primer día, tres el segundo, cinco el tercero, y así sucesivamente, le faltarán aún 12 páginas por leer. ¿Cuántas páginas tiene dicho libro?

7, 15, 23, 31, 39, .................

A) 900 D) 112

125. Si a 23 le sumamos los 25 números impares siguientes. ¿En cuánto termina esta suma? A) 2 D) 8

Indicar el vigésimo término B) 999 E) 947

124. Hallar la suma de las primeras 20 filas. 1  F1 2 3  F2 4 5 6  F3 7 8 9 10  F4 11 12 13 14 15  F5 A) 22 155 B) 66 465 C) 3 080 D) 44 310 E) 88 620

C) 20

120. Se tiene la siguiente progresión aritmética creciente:

A) 1000 D) 940

Juliaca -

C) 12 E) 14

E) 170

127. Para construir una escalera de ladrillos de 25 escalones, se requiere 80 ladrillos para el escalón inferior y cada escalón sucesivo requiere 3 ladrillos menos que el precedente. ¿Cuántos ladrillos se necesitan para construir la escalera? A) 1 126 D) 1 100

B) 1 118

C) 1 108 E) 1 092

128. En el siguiente triángulo numérico, hallar la suma del primer y último término de la fila 25. 1 → F1 5 → F2 7 9 11 → F3 13 15 17 19 → F4 21 23 25 27 29 → F5 3

123. Halle S: S=2+3+1+4+6+2+6+9+3+···. 30 sumandos

A) 200 D) 300


B) 220

C) 250 E) 330

A) 625 D) 1250

B) 325

C) 650 E) 3000

129. Un camionero lleva ladrillos de un depósito a su fábrica y lleva la primera -136 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

vez 28, pero se le caen 7, entonces decide aumentar 16 ladrillos por viaje con respecto a cada viaje anterior, pero las caídas aumentan de viaje en viaje en 4 ladrillos. Si sedea acumular 2 700 ladrillos. ¿Cuántos viajes debe hacer? A) 18 D) 23

B) 15

C) 17 E) 20

n

Juliaca -

2

n

D) 2

2

E) 5 3

7

133. Calcule el menor número de pequeños cubos que son necesarios agregar al sólido mostrado y formar así un cubo compacto.

MISCELANEA 130. El número total de cubos que se puede contar en el siguiente gráfico es A) 140 D) 152

A) 18

B) 20

C) 19

D) 17 E) 21

131. Las dos primeras balanzas están equilibradas, ¿Qué debe ir en el platillo del signo de interrogación para que la tercera balanza también esté equilibrada’:

B)

E

2 n 

n

2 2

A) 4

2 n  8 n


 ... 16

2

B) 3

n

2

C) 4

A) 1 600 m D) 1 200 m

B) 1 550 m

C) 1 200 m E) 1 700 m

B) 1 093

C) 2 093 E) 1 091

136. José Carlos es dos veces más rápido que César Abraham y juntos pueden hacer una obra en 12 días. Si la obra lo hiciera solamente José Carlos, este lo haría en

2 n

 4

134. Las ruedas posteriores y delanteras de una locomotora miden 425 cm y 250 cm en sus circunferencias, respectivamente. ¿Qué distancia deberá recorrer la locomotora, para que una de las ruedas dé 280 vueltas más que la otra?

A) 1 092 D) 2 802

C) E)

132. Hallar E en la serie 2 n

C) 174 E) 164

135. En una granja sucede algo muy peculiar, en cada hora se venden los 2/3 del total de gallinas más 1/3 de gallina. Si se inicia la venta a las 6 a.m. y a las 12 del mediodía queda solo una gallina, la cual se vende viva. ¿Cuántas gallinas se vendieron en dicha granja esa mañana?

?

A) D)

B) 135

3


B) 18 días


137. Doscientos empleados deben cobrar en total S/. 19 200 semanalmente, pero como algunos de Cepre Upeu -137 -


CEPRE - UPeu -

ellos se retiran el resto tiene que cobrar S/. 160 semanal cada uno. ¿Cuántos se retiraron?

A) 480; 16 D) 500; 16

B) 480; 15

Juliaca -

C) 500; 15 E) 520; 15

142. ¿Cuál es el dado que continúa? A) 50 D) 80

B) 60

C) 70 E) 90 ;

;

; ...

138. Indique la figura que se obtiene al plegar el papel.

A)

B)

C)

D) A)

B)

E)

C) 143. Calcula 2

D)

2

A) 2011 D) -2010

139. En la analogía gráfica

es a

2

como

2

2

2

2

2

(1 - 2 - 3 + 4 ) + (5 - 6 - 7 + 8 ) +. . 2 2 2 2 .+ (2009 - 2010 - 2011 + 2012 )

E)

B) 2010

C) 2012 E) -2012

144. Halle la relación entre las áreas S2 y S1

es a

B

3a

A)

B)

C)

S2 b

D)

E)

S1 A

140. Se agrega al número 48 la suma de 25 números impares consecutivos. ¿En qué cifra terminará el resultado? A) 2 D) 5

B) 3

C) 4 E) 6

A) 1/5 D) 1/3

2b

c

C

4c

B) 2/5

C) 2/3 E) 4/5

145. Qué parte es la región sombreada de la región no sombreada B

141. Betty se propuso leer un libro de la siguiente manera: El primer día 60 páginas, el segundo día 56 páginas, el tercer día 52 páginas y así sucesivamente hasta que cierto día debió acabar de leer el libro. ¿Cuántas páginas tiene el libro y en cuántos días culminó la lectura?


2a

b

2b

A

-138 -

2a

a Cepre Upeu

C

Razonamiento Matemático A) 1/3 D) 2/5

B) 4/3

CEPRE - UPeu -

C) 2/3 E) ½

Juliaca -

149. Determinar el área de la región sombreada. Si el érea del paralelogramo ABCD mide 144 cm2

146. Si el área del paralelogramo ABCD es 120 m2, halle el área de la región sombreada B

B

C

C

A A

A) 10 cm2 D) 16 cm2

D 2

A) 35 m D) 40 m2

B) 30 m

2

2

C) 27 m E) 25 m2

147. Determinar el área de la región sombreada. Si el érea del paralelogramo ABCD mide 48 cm2 B

D

B) 18 cm2

C) 14 cm2 E) 12 cm2

150. ¿ Qué fracción representa el área de la región sombreada respacto del área de la región no sombreada, si M, N, P y Q son puntos medios? N

C

M

A

P

D 2

A) 20 cm D) 12 cm2

B) 16 cm

2

Q

A) 4/5

2

C) 14 cm E) 10 cm2

148. Calcule el área de la región sombreada, si el área del triángulo ABC es 180 m2 B a

A) 20 días D) 22,5 días 3a

C

A

A) 22 m D) 24 m2

B) 33 m


2

2

C) 43 m E) 30 m2

E) 1/2

151. Un reloj se atrasa 1/4 de minuto durante el día, pero debido al cambio de temperatura se adelanta 1/3 de minuto durante la noche. ¿Al cabo de cuántos días habrá adelantado 2 minutos, sabiendo que ahora que empieza la noche, marca la hora exacta?

2a

2

B) 2/5 C) 2/3 D) 1/3

B) 20,5 días


152. Raúl acostumbra subir andando por la escalera mecánica del aeropuerto mientras funciona; sube 20 escalones con su paso y tarda así 60 segundos exactamente; mientras que su amiga sube solamente 16 escalones y tarda 72 segundos. Si mañana esa escalera no funciona. ¿Cuántos escalones tendrá que subir Raúl? -139 -

Cepre Upeu


B) 35

CEPRE - UPeu -

C) 40 E) 50

A) 429 D) 459

153. Una persona desea dividir un terreno de forma rectangular en pequeñas parcelas cuadradas, para ello debe colocar cierto número de estacas en hileras inicialmente espaciados tanto a lo largo como a lo ancho y el número de ellas deben estar en relación de 3 a 2. Hace un primer intento y le faltan 174 estacas, se decide entonces a colocar 3 menos en el largo y 2 menos en el ancho con lo cual le sobran 96 estacas. Calcular el número de estacas disponibles.

B) 439

2

2

x Halle

C) 438 E) 472

=x –4x+5

x

157. Si

A) 64

= x +1 E =

B) 67

8

+

C) 65

3

2

4

3

3

2

1

-1

4

2

10

154. Una cámara toma 6 imágenes por segundo. Si un automóvil pasa frente a dicha cámara y esta logra tomarle 60 imágenes. Calcule la rapidez de dicho automóvil, si además tiene una longitud de 120m.

5

0

n

B) - 3

C) 3

A) 5 m/s D) 8 m/s

B) 7 m/s

C) 14 m/s E) 12 m/s

E) 68

158. Hallar el valor de “n”

2 B) 3200

4

D) 69

C) 3000 E) 2780

A) 3120 D) 2844

Juliaca -

A) 2

D) - 4

E) - 2

159. Halle el número total de triángulos en la figura. 1

155. Una vendedora de huevos vendió al primero de sus compradores la mitad de ellos más medio huevo; al segundo, la mitad de lo que le quedaba más medio huevo; al tercero, la mitad de cuantos quedaron más medio huevo, así sucesivamente hasta que el séptimo comprador compró todos de la misma forma. ¿Cuántos huevos tenía la vendedora? A) 63 D) 256

B) 127

3

25

C) 128 E) 225

A) 1 000 D) 1 225

156. Un caracol asciende 2 cm en el día y resbala 1 cm en la noche, luego asciende 4 cm y resbala 1 cm, luego asciende 6 cm y resbala 1 cm; y así continúa su ascenso hasta llegar a lo alto de un árbol de 401 cm. Cuál es el recorrido total del caracol hasta cumplir su objetivo?


2

B) 1 025

C) 1 200 E) 1 250

160. En la figura la rueda de 4 cm de diámetro gira tangencialmente por la superficie desde la posición inicial A hasta el punto P. Halle el número de vueltas que da la rueda.

-140 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

A

1. 2. 3. 4. 5.

B

2

5m 2 6m 2 7m 2 8m 2 9m C

D

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

165. Un cuadrado ABCD de 12 lado se divide en 9 regiones ¿Cuántos centímetros se debe como mínimo para dibujarlo sin el lápiz del papel?

E) 7

161. A tiene tantas semanas como C días; y B tantos años como C meses. Si entre A, B y C tienen 80 años. ¿Cuántos años tiene A? A) 28 años D) 13 años

B) 12 años


162. ¿Qué número corresponde a la cuarta figura?

20

15

A) 24 D) 32

18

A) B) C) D) E)

C) 34 E) 40

D

C

B) ganó S/. 40 D) ganó S/. 20

2

167. La expresión: 3n + 2n + 5 representa la suma de los “n” primeros términos de una sucesión. Halle usted la suma del t3 y t1 de dicha sucesión. A) 37 D) 28

B)

B

A) perdió S/. 40 C) perdió S/. 20 E) no ganó ni perdió.

163. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde con la figura?

A)

A

166. Se han vendido dos artículos al precio de 240 soles cada uno; el primero ganando el 20% y el segundo con una pérdida del 20%. ¿Cuánto se ganó o se perdió en la venta de los 2 artículos?

...

B) 27

102 cm. 104 cm. 108 cm. 112 cm. 114 cm..

cm. De iguales. recorrer levantar

B) 27

C) 21 E) 38

168. Calcule el área de la región sombreada, si el área del cuadrado 2 ABCD es 120 m

C)

A

D)

E) 2

164. Si ABCD es un cuadrado de 24m de área. Hallar el área de la región sombreada. Braulio Gutiérrez Pari

-141 -

A) B) C) D) E)

B

2

45 m 2 56 m 2 65 m 2 75 m 2 95 m C

D Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

169. Dado el cuadrado de lado igual

A) 16 D) 18

2 5 u calcular el área de la región sombreada.

A

B

D

C

170. Pedrito para ir de su casa a la Academia gasta S/. 4 y de regreso S/. 2, si gastó S/. 190. ¿Donde se encuentra Pedrito? A) En su casa B) En la Academia C) A mitad de camino a su casa D) A mitad de camino a la Academia E) No se puede determinar 171. Se compra cierta cantidad de lapiceros con S/. 240 el ciento y se vende a S/. 36 la docena ganando en el negocio S/. 540. ¿Cuántos cientos se compro? A) 200 D) 12

B) 21

C) 30 E) 9

172. Un comerciante compra 3 borradores por S/. 2 y vende 4 por S/. 3. ¿Cuántos borradores debe vender para ganar S/. 15? A) 500 D) 180

B) 300

C) 240 E) 142

173. Una señora pensó tejer 450 chalinas en 20 días, pero tardó 10 días más por trabajar 3 horas menos por día. ¿Cuántas horas trabajó por día? A) 8 D) 6

B) 4

174. Calcule

C) 5 E) 12

A) B) C) D) E)


C) 17 E) 20

aumenta en el 92% aumenta en el 8% disminuye en el 8% disminuye en el 12% aumenta en el 12%

176. Las escalas Fahrenheit (F) y Celsius (C) para medir temperaturas, están relacionadas por una función cuya gráfica es una recta. Si 00 C equivale a 32oF y 100o C equivale a 2120 F ¿A cuántos grados Celsius equivale 86 grados Fahrenheit? A) 36 D) 25

B) 40

C) 24 E) 30

177. A un alambre de 26m se le dio 3 cortes, uno después de otro, de manera que la longitud de cada trozo resultante (A partir del segundo trozo) sea igual al del inmediato anterior aumentado en su mitad. ¿Cuántos centímetros mide el trozo de menor longitud? A) 320 D) 260

B) 32

C) 100 E) 26

178. Noelia trabaja 5 días seguidos y descansa el sexto día, en cambio Sophia trabaja 4 días seguidos y descansa en quinto día. Si ambas comienzan a trabajar un día lunes. Cuántos días tiene que trabajar cada una de ellas para que les toque descansar un domingo? Dar como respuesta la suma de ambas cantidades A) 360 D) 390

x+y+z

5xy = 12 ( x + y ) 5yz = 18 ( y + z ) 13xz = 36 ( x + z )

B) 19

175. Si el radio de la base de un cono se incrementa en el 20% y la altura de dicho cono disminuye en su 25%. ¿En cuánto varía el volumen del mismo? Diga además si aumenta o si disminuye.

2

A) 5 u 2 B) 6 u 2 C) 7 u 2 D) 8 u 2 E) 9 u

Juliaca -

B) 343

C) 240 E) 400

179. Noelia trabaja 5 días seguidos y descansa el sexto día, en cambio Sofía trabaja 4 días seguidos y descansa en quinto día. Si ambas comienzan a -142 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

trabajar un día lunes. Cuántos días tiene que trabajar cada una de ellas para que les toque descansar un domingo? Dar como respuesta la suma de ambas cantidades A) 360 D) 390

B) 343

A) 15 D) 18

B) 20

A) 325 D) 300

B) 2

A) 340 D) 384

B) 15

C) 20 E) 30

C) 8,56 m E) 5,12 m

184. Un terreno de forma cuadrada divide en parcelas cuadradas de 2m lado, sembrándose un árbol en vértices de dichas parcelas. Si Braulio Gutiérrez Pari

C) 834 E) 232

187. Los alumnos de las academias “A” y “B” se encuentran en la avenida y rápidamente intercambian un saludo; cada uno de “A” saluda a cada uno de los de la “B”. Al saludarse dos varones se dan un apretón de manos, mientras que al saludarse 2 mujeres o un varón y una mujer, se dan un beso. Si en total se han producido 42 apretones y 35 besos. ¿Cuántos alumnos varones hay en total?

3

B) 6,84 m

B) 324

A) 80 de RV B) 81 de RV C) 82 de RM D) 81 de RM E) 83 de RV

183. Se tiene cubos 216 cm de volumen cada uno. Si se sueldan alambres sobre cada arista, de longitud igual a éstas. Halle la longitud total de alambre a emplearse para soldar las aristas de tantos cubos como aristas tiene cada uno. A) 8,64 m D) 7,56 m

C) 829 E) 389

186. En un estante se puede colocar 24 libros de RM y 45 de RV, o 32 libros de RM y 33 de RV. ¿Cuántos libros se puede colocar como máximo, en dicho estante y qué curso debe ser?

C) 7 E) 9

182. Una señora compra 136 naranjas a 50 céntimos cada una, se le malograron varias de ellas y vende las restantes a 80 céntimos cada una; con lo cual obtiene un beneficio de S/. 20 y 80 céntimos. ¿Cuántas naranjas se malograron? A) 10 D) 25

B) 289

185. Una liebre lleva 32 saltos de ventaja a un galgo que le persigue, mientras que el galgo da 6 saltos, la liebre da 10; pero 8 saltos del galgo equivalen a 14 de la liebre. ¿Cuántos saltos dará el galgo para alcanzar a la liebre?

C) 30 E) 25

181. Alberto decía: Yo veo que las dos terceras partes de mis hermanos usan anteojos; sin embargo mi hermana única dice: la mitad de mis hermanos usan anteojos. ¿Cuántos miembros conforman la familia? A) 5 D) 6

sembraron 625 árboles en total. ¿Cuántos árboles se sembrarían, en total, si ahora las parcelas fueran de 3m por lado?

C) 240 E) 400

180. Compré cierto número de libros a 5 por S/. 6, me quedé con la tercera parte y vendí el resto a 4 por S/. 9, con lo cual obtuve una ganancia de S/. 9. ¿Cuántos libros compré?

Juliaca -

A) 11 D) 14

B) 12

C) 13 E) 15

188. Carlitos sube las escaleras dando saltos de 3 escalones y baja mediante saltos de 4 escalones, dando un total de 70 saltos. ¿Cuántos saltos dará en total al subir la escalera mediante saltos de 5 escalones?

se por los se -143 -

A) 64 D) 48

B) 48

C) 64 E) 24

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

RAZ. LÓGICO I

Juliaca -

PLANTEO I

1. A

2. A

3. D

4. E

5. A

6. A

7. C

8. A

9. A 10. C

1. C 6. E

4. B 5. A 9. B 10. A 11. A 12. B 13. A 14. D 15. B 16. B 17. B 18. A 19. C 20. C 21. A 22. A 23. E 24. E 25. C

11. C 12. B 13. C 14. B 15. C 16. E

2. E 7. E

3. A 8. A

PLANTEO II RAZ. LÓGICO II 1. C

2. C

3. E

4. B

6. C

7. D

8. C

9. B 10. A

1. E 6. D

4. E 5. D 9. D 10. E 11. B 12. E 13. B 14. D 15. A 16. E 17. B 18. E

5. C

11. D 12. C 13. C 14. D 15. B

2. B 7. E

3. C 8. B

16. D 17. C 18. E 19. C 20. A 21. B 22. E PLANTEO III RAZ. LÓGICO III 1. A 1. A

2. C

3. C

4. A

5. E

6. B

7. E

8. C

9. E 10. B

6. C

2. A 7. D

3. D 8. E

4. B

5. C

9. A 10. C

11. B 12. B 13. D 14. A 15. C 16. E 17. E 18. A

11. E 12. E 13. B 14. C 15. A

PLANTEO IV RAZ. INDUC-DEDUCT. I 1. D

2. D

3. E

4. B

5. A

6. A

7. A

8. E

9. C 10. A

2. B

3. C

4. E

5. A

6. A

7. C

8. B

9. A 10. E

11. C 12. E 13. D 14. C 15. C

11. D 12. B 13. C 14. C 15. B 16. C 17. C 18.

1. C

16. E 17. B 18.

D 19.

B

B D EDADES I

RAZ. INDUC-DEDUCT. II 1. D 6. C

2. E 7. D

3. C 8. D

4. E

5. B

1. D

2. D

3. C

4. C

5. D

6. D

7. E

8. B

9. C 10. E

9. D 10. A

11. D 12. B 13. A 14. E 15. A

11. D 12. B 13. E 14. E 15. A 16. E 17. D 18. C 19. D 20. B

16. C 17. D 18. A 19. B 20. D


21. E -144 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

Juliaca -

FRACCIONES II

EDADES II 1. C

2. B

3. D

4. C

5. E

6. A

7. C

8. D

9. A 10. C

1. C

2. B

3. E

4. E

5. C

6. A

7. E

8. D

9. B 10. E

11. C 12. B 13. C 14. C 15. C

11. D 12. C 13. D 14. C 15. B

16. B 17. A 18. A 19. A 20. D

16. B 17. B 18. A 19. C 20. A 21. D

MÓVILES

PORCENTAJES

1. E

2. C

3. E

4. C

B

1. E

2. D

3. A

4. A

6. C

7. A

8. D

9. C 10.

D

6. D

7. A

8. D

9. A 10. A

11. D 12. B 13. D 14. D 15.

B

11. D 12. C 13. D 14. C 15. C

16. D 17. B 18. E 19. E 20.

A

16. B 17. A 18. A 19. D 20. B

21. C 22. E 23. D 24. B 25.

B

21. B 22. A 23. C 24. B 25. A

26.

5.

5. B

26. D 27. C 28. A 29. D 30. C

D 27. B

31. C 32. D 33. CRONOMETRÍA I

A

OPERACIONES MATEMÁTICAS I

1. D

2. E

3. B

4. C

5. A

1. E

2.

6. C

7. B

8. A

9. E 10. A

6. D

7.

11. E 12. E 13. E 14. C 15. A

D 3. D 8.

11. D 12. D 13. 16. A 17. B 18.

16. B 17. D 18. E 19. E 20. C

D 4. D 9.

B 5.

C

D10.

B

A 14. C 19.

A15.

A

E 20.

C

21. D 22. D CRONOMETRÍA II 1. B

5. A

1. C 2.

9. D 10. D

6. B 7.

11. E 12. B 13. D 14. D 15. D 16. B 17. B 18. C 19. D 20. B 21. C 22. B

11. D 12.

6. D

2. A 7. B

3. B 8. C

4. B

OPERACIONES MATEMÁTICAS II

16. B 17.

6. E

2. C 7. A

3. E 8. B

5. C

1. A

9. C 10. B

6. A

4. A

B 5.

B

C10.

C

B 13. B 18.

E 14.

A15.

E

B

2. B 7. B

3. A 8. C

4. B

5. B

9. C 10. B

11. A 12. C 13. C 14. A 15. B 16. C 17. E 18. A

11. A 12. C 13. D 14. D 15. C 16. B 17. C 18. B 19. B 20. B


B 4. B 9.

OPERACIONES EN TABLAS

FRACCIONES I 1. E

E 3. D 8.

-145 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

CONTEO DE FIGURAS II

SUCESIONES I 1. C 6. A

2. D 7. E

3. B 8. C

4. A

Juliaca -

1. D

3. C 4. C 5. C 8. E 9. C 10. E 11. A 12. E 13. B 14. D 15. D

5. D

6. E

9. C 10. A

11. B 12. A 13. C 14. D 15. C 16. A 17. A 18. B 19. C 20. A 21. C 22. D 23. C SUCESIONES II

2. D 7. E

AREAS I

1. C

2. A

3. A

4. E

6. B

7. A

8. B

9. E 10. C

5. B

1. D 6. A

4. A 5. B 9. E 10. B 11. C 12. A 13. E 14. C 15. D 16. E

11. D 12. D 13. D 14. E 15. C 16. B 17. E 18. D 19. A 20. C

2. C 7. A

3. E 8. B

21. B 22. C 23. C SERIES I 1. A 6. A

2. B 7. B

3. C 8. E

AREAS II 4. C

5. A

1. B

2. D 3. A 4. D 5. C 7. A 8. C 9. A 10. E 11. D 12. C 13. E 14. C 15. D 16. B

9. C 10. E

6. A

11. D 12. D 13. C 14. B 15. D 16. B 17. A 18. D 19. D 20. D 21. A 22. A SERIES II

AREAS III

1. D

2. C

3. E

4. B

6. B

7. A

8. B

9. C 10. A

5. A

1. A 6. D

4. C 5. C 9. A 10. D 11. E 12. B 13. E 14. B 15. E 16. A

11. D 12. D 13. D 14. C 15. A 16. D 17. E 18. B 19. C 20. D

2. C 7. B

3. D 8. C

21. C CONTEO DE FIGURAS I 1. A 6. C

2. B 7. C

3. E 8. A

4. D

PERÍMETROS I 5. B

1. C

2. C

3. B

4. B

9. C 10. D

6. B

7. D

8. B

9. B 10. A

11. C 12. C 13. E 14. C 15. A 16. A 17. A 18. E 19. B


5. B

11. D 12. D 13. B 14. B 15. B 16. E

-146 -

Cepre Upeu


CEPRE - UPeu -

PERÍMETROS II

Juliaca -

DISTRIBUCIONES GRÁFICAS II

1. C

2. E

3. D

4. A

5. E

1. A

2. A

3. A

4. E

6. B

7. D

8. B

9. B 10. A

6. B

7. A

8. E

9. D 10. E

11. A 12. A 13.

D 14.

11. D 12. B 13. D 14. B 15. E

A

16. E 17. A 18.

6. A

2. B 7. B

3. E 8. D

4. C

2. C 3. E 4. D 5. E 7. E 8. C 9. C 10. D 11. C 12. B 13. E 14. C 15. A 16. E 17. D 18. C 6. C

TEST II

ANALISIS COMBINATORIO II

6. A

2. B 7. C

3. D 8. B

4. E

5. D

9. B 10. B

1. A

2. E

3. E

4. D

6. D

7. A

8. A

9. E 10. E

16. C

PROBABILIDADES

6. B

2. B 7. C

3. B 8. C

4. A

5. B

11. B 12. D 13. B 14. C 15. E

11. C 12. C 13. D 14. C 15. A 16. D 17. C 18. C 19. C 20. E 21. E

1. D

B

1. B

5. D

9. A 10. C

11. D 12. A 13. A 14. C 15. B 16. A 17. D 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. B 24. C

1. B

A 19.

TEST I

A. COMBINATORIO I 1. C

5. B

TEST III 5. E

1. E

9. D 10. D

6. D

11. D 12. C 13. B 14. C 15. E 16. A 17. A 18. C 19. A 20. B 21. D 22. A 23. C 24. D 25. A

2. E 7. B

3. C 8. B

4. E

5. C

9. A 10. B

11. E 12. B 13. B 14. A 15. E 16. C 17. A 18. D 19. C 20. E

RECORRIDOS EULERIANOS

DISTRIBUCIONES GRÁFICAS I 1. B

2. C

3. E

4. A

5. D

1. B

2. A

3. D

4. B

6. C

7. E

8. C

9. E 10. A

6. C

7. B

8. D

9. C 10. E

5. C

11. B 12. D 13. B 14. B 15. B

11. C 12. C 13. C 14. A 15. C

16. C 17. E 18. C 19. B

16. C 17. E 18. C 19. D 20.


-147 -

Cepre Upeu

E



CEPRE - UPeu -

-148 -

Juliaca -

Cepre Upeu

Folleto RM 2012

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