Universidad de Cartagena
TALLER DEMECÁNICA DE FLUIDOS: Flujo en tuberías, Pr!"!as #enores
Presenta!o $or: Altamiranda González, Steeven José Rovira Florián, José Francisco Leal Navarro, Jaime David
Pro%esor: Ángel illa!ona "rtiz
Universidad de Cartagena, Fac#ltad de ingenier$a, %rograma de ingenier$a &#$mica '( de oct#!re de )*'+
Ejer&"&"os Robert Mott Flujo !e %lu"!os ' e&ua&"(n !e )ernoull" *+* ara el sistema mostrado en la -ig#ra calc#le .a/ el -l#0o vol#métrico de ag#a &#e sale de la to!era, 1 .!/ la resi2n en el #nto A3
1
Z 1
N
2
4acemos #n !alance de 5erno#lli del #nto ' al #nto )
2
2
P1 v P v + Z 1 + 1 = 2 + Z 2+ 2 2 g γ 2g γ
emos &#e en el #nto ), la alt#ra es cero #es está en el nivel de re-erencia, la resi2n es cero #esto &#e está a!ierto a la atmos-era, en el #nto ' la resi2n es cero or las misas razones, 1 la velocidad es aro6imadamente cero #esto &#e el nivel se mantiene constante3 2
v2 Z 1= 2g
Resolviendo ara v 2 7
√(
v 2= √ 2 g Z 1= 2 9.81
)
m ( 2.4 m+ 3.6 m)= √ 117.73 117.73 =10.85 m / s 2 s
8l ca#dal será7 2
2
(
)
π D2 π ( 0.05 m ) m 3 10.85 = 0.021304 m / s Q2= A2 v 2= v= 4 4 s 2
A9ora alicamos la ec#aci2n de contin#idad en los #ntos A 1 ) 2
2
π D A π D2 Q A =Q2 → A A v A = A2 v 2 → v A = v2 4 4 2
( 0.05 m )2 (10.85 m / s )=1.2056 m / s D v A = D v 2 → v A = 2 v 2= D A ( 0.15 m )2 2 A
D 2
2 2
4acemos #n !alance de 5erno#lli entre el #nto ' 1 el #nto A 2
2
P1 v P v + Z 1 + 1 = A + Z A + A 2g 2g γ γ
emos &#e en el #nto A, la alt#ra es cero #es está en el nivel de re-erencia, la resi2n es desconocida, en el #nto ' la resi2n es cero or estar a!ierto a la atmos-era, 1 la velocidad es aro6imadamente cero #esto &#e el nivel se mantiene constante3 2
P A v A Z 1= + γ 2 g
Resolviendo ara P A
(
2
2
P A v A v = − Z 1 → P A = γ Z 1− A 2g γ 2 g
(
P A = 9.81
)(
m kg 1000 3 2 s m
P A =58.13326 kPa
)
(
6 m−
)
(
m 1.2056 s
(
2 9.81
m 2 s
)
)= ( ) 2
9.81
)
kN ( 6 m− 0.074081 m ) 3 m
*+-. ara el tan&#e &#e se m#estra a contin#aci2n calc#le la velocidad de -l#0o &#e sale or la t#!er$a a ro-#ndidades variantes de '*ies a )ies, en incrementos de )ies, des#és #tilice el incremento de *,: a cero3 Gra-i&#e velocidad vs ro-#ndidad3
2
2
P1 V P V + Z 1 + 1 = 2 + Z 2+ 2 2 g γ 2g γ
2
V 2 Z 1− Z 2= →V 2= √ 2 g ( Z 1− Z 2 )=√ 2 gh 2g
Donde 9 es la ro-#ndidad del tan&#e3 Alicando la ec#aci2n ara determinar la velocidad a di-erentes ro-#ndidades con #n incremento de )#lg, se tienen los sig#ientes datos
%ro-#ndidad.#lg/ '* = > + )
elocidad.#lg;s/ ):3<= ))3>< '?3>> '>3*: ''3<:
Del c#al se o!tiene la sig#iente gra-ica
profundidad vs velocidad 30 25 20 velocidad
15 10 5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
profundidad
Alicando la ec#aci2n ara determinar la velocidad a di-erentes ro-#ndidades con #n incremento de *,:#lg, se tienen los sig#ientes datos %ro-#ndidad.#l g/ '* ?,: ? =,: = (,: ( >,: > :,: : +,:
elocidad.#lg;s / ):,<(('::*= )+,(<+:?''> )+,*(+==<'= )<,:=*?: )),>?=*'(:< )',?(()>*?= )',)<)*:')+ )*,+:?('>:) '?,>:(*:?= '=,=)*)*'?' '(,?++<:=++ '(,*)<:'<':
+ '>,*+??))') <,: ':,*'<<)(+' < '<,=??>+*)= ),: '),>==:((:+ ) '',<+?**=(( ',: ?,=)=:)?? ' =,*)+?>'*:? *,: :,>(+:*+<=+ * * @ se o!tiene la sig#iente gra-ica
profundidad vs velocidad 30 25 20 velocidad
15 10 5 0
0
2
4
6
8
10
12
profundidad
Per%"les !e /elo&"!a! ' %lujo turbulento 0+0 ara el -l#0o de ')3? L;min de ag#a a (:C en #n t#!o de co!re de ';) #lgada, tio B, o!tenga la velocidad má6ima eserada, con la sig#iente ec#aci2n7 U máx =v ( 1 + 1.43 √ f ) 3
Q=12.9
1m L 1 min m × × =0.215 × 10−3 min 60 s 1000 L s
3
5#scamos en ta!las, los datos ara la t#!er$a eseci-icada7
Ta#a1o no#"nal
D"2#etro "nter"or 3##4
Flujo !e 2rea 3#54
';)
'3+*(6'* +
'<3
De ig#al manera las roiedades del ag#a a dic9a temerat#ra7
Te#$eratura 36C4
Dens"!a! 3789# 4
(:
?(: −3
;"s&os"!a! &"ne#2t"&a ν 3#5 9s4 <3=<6'* (
3
Q 0.215 × 10 m / s Q= Av→ v = = −4 2 =1.528 m / s A 1.407 × 10 m
ρvD μ vD ℜ= , ν = → ℜ= μ ρ ν
(=
1.528
)
m ( 13.39 × 10−3 m ) s −7 m
3.83 × 10
2
=5.342 × 104
s
emos &#e Re es ma1or <3*** or tanto el -l#0o es t#r!#lento, el -actor de -ricci2n de!e 9allarse iterativamente mediante la ec#aci2n de Cole!roo7 1
√ f
=−2log10
(
ε / D 2.51 + 3.7 ℜ √ f
)
La r#gosidad ara el co!re en mm es de *3**': en el sig#iente c#adro vemos las iteraciones corresondientes7 iteraci2n ' ) < + :
- .s##esto/ ' *3*'+(=: *3*)'==' *3*)*?*' *3*)'*''
- .corregido/ *3*'+(=: *3*)'==' *3*)*?*' *3*)'*'' *3*)*??=
8rror relativo *3?=:) *3+(?? *3*++= *3**:< *3***>
emos &#e en la &#inta iteraci2n el error relativo es lo s#-icientemente e&#eEa como ara tomar dic9o valor como #na !#ena aro6imaci2n ara el valor de -ricci2n, lo &#e resta es reemlazar los datos en la -2rm#la7
(
U máx =v ( 1 + 1.43 √ f ) →U máx= 1.528
)
m ( 1 +1.43 √ 0.020998 )=1.8445 m s s
0+< con la ec#aci2n
U Max= v ( 1+ 1,43 √ f ) calc#le la relaci2n de la velocidad romedio a la
velocidad má6ima de -l#0o en #n l$&#ido a través de #n t#!o de concreto c#1o diámetro interior es de = #lg con #n nmero de Re1nolds de +***, '* +, '*: 1 '*>3 Se calc#la la -ricci2n ara cada valor del nmero de Re1nolds, #tilizando la sig#iente ec#aci2n f =
(( log
0,25 1
( )
D 3,7 ε
+
5,74 0.9
N
)
2
eniendo como valor de ε =¿ ',)6'*+3 Alicando la ec#aci2n se o!t#vieron los sig#ientes datos Nr +*** '**** '**** * '**** **
*,*+*=?< (+ *,*<'+== := *,*'?+(: +> *,*':('+ <'
Con los valores de - se 9alla la relaci2n ara cada nmero de Re1nolds %ara Nr +***
U Max=1,2932 v
%ara Nr '**** U Max=1,2537 v
%ara Nr '***** U Max=1,2023 v
%ara Nr '****** U Max=1,1817 v
<<+< ara el sistema &#e se il#stra en la -ig#ra circ#la ag#a a '*C &#e roviene de #n almacenamiento grande, a raz2n de '3:6'* ) m<;s3 calc#le la resi2n en el #nto 53
A
Z A
N.Referen
4acemos #n !alance de 5erno#lli entre el #nto A 1 el #nto 5
2
2
P A v P v + Z A + A − h! = " + Z " + " 2g 2g γ γ
emos &#e en el #nto 5, la alt#ra es cero #es está en el nivel de re-erencia, la resi2n es desconocida, en el #nto A la resi2n es cero or estar a!ierta a la atmos-era, 1 la velocidad es aro6imadamente cero #esto &#e el nivel se mantiene constante3 La ec#aci2n se red#ce a7 2
P" v " Z A −h! = + γ 2 g
Resolviendo ara P" 2
(
2
P " v v =Z A −h! − " → P "= γ Z A −h! − " 2g 2g γ
)
Las érdidas totales son la s#matoria de las érdidas de!ido a -ricci2n en las t#!er$as, a la salida de ag#a en el de2sito 1 a los < codos .accesorios/3 h! =h#$ngi%&' + hsa#i'a +3 h($'$s
( )
2
L v " h#$ngi%&' = f D 2 g
%ara los codos 1 en la salida7
( ) 2
v " h L= ) 2g
8n el caso esec$-ico de la salida ara la t#!er$a &#e se ro1ecta 9acia adentro K H'3*, ara los codos estándar de ?* K H<*f , donde f , es el -actor de -ricci2n en la zona de t#r!#lencia comleta3 5#scamos en ta!las, los datos ara la t#!er$a eseci-icada7
Ta#a1o no#"nal +
D"2#etro "nter"or 3##4 ?(3?(
Flujo !e 2rea 3#54 (3:<=6'* <
De ig#al manera las roiedades del ag#a a dic9a temerat#ra7
Te#$eratura 36C4
Dens"!a! 3789# 4
;"s&os"!a! &"ne#2t"&a ν 3#5 9s4
'*
'3<*6'* >
'***
−2
3
Q 1.5 × 10 m / s Q= Av→ v = = =1.99 m / s A 7.538 × 10−3 m 2
ρvD μ vD , ν = → ℜ= = μ ρ ν
ℜ=
(
1.99
)
m ( 97.97 × 10−3 m ) s −6 m
1.3 × 10
2
=1.499 × 105
s
emos &#e Re es ma1or <3*** or tanto el -l#0o es t#r!#lento, el -actor de -ricci2n de!e 9allarse iterativamente mediante la ec#aci2n de Cole!roo7 1
√ f
=−2log10
(
ε / D 2.51 + 3.7 ℜ √ f
)
La r#gosidad ara la t#!er$a de co!re en mm es de *3**': en el sig#iente c#adro vemos las iteraciones corresondientes7
iteraci2n ' ) < +
- .s##esto/ *3*' *3*'(><' *3*'>:>) *3*'>>(+
- .corregido/ *3*'(><' *3*'>:>) *3*'>>(+ *3*'>>>)
8rror relativo *3(><': *3*>*>= *3**>=' *3***(+
emos &#e a la c#arta iteraci2n tenemos #na convergencia en las rimeras + ci-ras decimales 1 &#e el error relativo es lo s#-icientemente e&#eEo, tomamos como aro6imaci2n al -actor de -ricci2n *3*'>( D 0.09797 m = =65313.33 ε 1.5 × 10−6 m
Con este dato leemos en el diagrama de Iood1 el -actor de -ricci2n en la zona de t#r!#lencia comleta tomamos f ! =0.01 De esta manera7
2
(
2
)
2
v " v ( 7.5 + 70 + 3 ) m v " h! = + 3 ( 30 ) ( 0.1 ) " +( 0.0167 ) 2g 2g 0.09797 m 2 g 2
2
2
2
2
v " v v v v h! = + ( 0.9 ) " + ( 14.45 ) " =( 1+ 0.9 + 14.45 ) " =16.39 " 2g 2g 2g 2g 2g
(
2
)
(
2
2
v v v P" =γ Z A −h! − " → P" =γ Z A −16.39 " − " 2g 2g 2g
(
2
2
)
)
(
2
v v v P" =γ Z A −16.39 " − " → P" =γ Z A −( 16.39+ 1) " 2 g 2g 2g
(
)(
)
(
P" = 9.81
m kg 1000 3 2 s m
(
12 m−3.51 m )= 83.29 kPa
9.81
kN m
3
)(
12 m−( 17.39 )
(
m 1.99 m / s s
(
m 2 9.81 2 s
)
)
2
)
)
=¿
<<+5 ara #n sistema como se m#estra en la sig#iente -ig#ra, va a -orzarse la circ#laci2n de &#eroseno .SGH*3=)/ a )*C del tan&#e A al de2sito 5 or medio de #n incremento de resi2n so!re el &#eroseno &#e se enc#entra en el tan&#e A sellado, la t#!er$a es de acero ) #lgadas ced#la +* es de <= m, el codo es estándar, calc#le la resi2n &#e se re&#iere en el tan&#e A ara ocasionar #n -l#0o vol#métrico de +<:l;min3
2
2
P A V P V + Z A + A = " + Z " + " + h L 2g 2g γ γ
Donde 9L reresentan las diversas érdidas desde el #nto A 9asta el #nto 5, las érdidas son7 2
•
L v h L= f D 2 g
%or -ricci2n en t#!er$as7
2
•
%or válv#la de veri-icaci2n7
v h L= k 2g
2
•
%or entrada7
v h L= k 2g 2
•
v h L= k 2g
%or salida7
2
•
%or válv#la de áng#lo7
v h L= k 2g
2
•
%or codo7
v h L= k 2g
Se calc#la el nmero de Re1nolds mediante la ec#aci2n N =
vD Q QD ,'$n'*v = → N = V A VA
Donde es el -l#0o vol#métrico, es la viscosidad del &#eroseno, A el área de la t#!er$a 1 D el diámetro de la t#!er$a3 8l diámetro 1 la viscosidad se !#scan en ta!las, el -l#0o vol#métrico nos lo dan al rinciio del e0ercicio 1 el área se calc#la mediante la ec#aci2n3 2
A = π
2
0,0525 D = π =2,16 x 10−3 m2 4 4
−3
3
7,25 x 10 m / s∗0,0525 m 4 N = −6 2 − 3 2 =8.74 x 10 1,99 x 10 m / s∗2,16 x 10 m
eniendo el nmero de Re1nolds calc#lamos la -ricci2n f =
((
0,25 1
log
3,7
(
0,0525 −5
4.6 x 10
)
+
5,74 8.74 x 10 4 0.9
)
2
= 0.0222
•
%or -ricci2n en t#!er$as7
0.0222∗38 m ∗3.44 2 0,0525 m L v h L= f = =9.70 m 19,6 D 2 g 2
v
•
%or válv#la de veri-icaci2n7 h L= k 2 g =100 2
•
%or entrada7 %or salida7
( 0.0222 )∗3.442 19,6
2
2
1∗3.44 v h L= k = =0.6 m 2g 19,6
( 0.0222 )∗3.44 v h L= k =150 =2 m 2g 19,6 2
2
•
%or válv#la de áng#lo7 2
•
%or codo7
=1.34 m
1∗3.44 v h L= k = =0.6 m 2g 19,6 2
•
2
h L= k
2
0.9∗3.44 v = =0.54 m 2g 19,6
8ntonces h L= 9.70 m+ 1.34 m+ 0.6 m+ 0.6 m+ 2 m + 0.54 m=14.78 m 2
2
P A V P V + Z A + A = " + Z " + " + h L 2g 2g γ γ P A =γ ( h L + Z " )=9.81 m / s ( 1000 kg / m ∗0.82 )∗(14.78 m + 4.5 m )=155.09 kPa 2
3
%ara #n -l#0o vol#métrico de +<:L;min se necesita #na resi2n de
2013.70459 kP
<<+* ara el sistema de la -ig#ra calc#le la distancia vertical entre las s#er-icies de los dos 3 de2sitos, c#ando -l#1e ag#a a '*C del #nto A al 5, a raz2n de 0.03 m / s 3 Los codos son estándar, la longit#d total del t#!o de < #lgadas es '** m3 la del t#!o de > #lgadas es de <** m
Z A
N.Referen
4acemos #n !alance de 5erno#lli entre el #nto 5 1 el #nto A
2
2
P " v P v + Z " + " = A + Z A + A − h! 2g 2g γ γ
emos &#e en el #nto 5, la alt#ra es cero #es está en el nivel de re-erencia, la resi2n es cero or estar a!ierto a la atmos-era, 1 la velocidad es aro6imadamente cero #esto &#e el nivel se mantiene constante3 8n el #nto A tanto la resi2n 1 la velocidad es cero, la ec#aci2n se red#ce a7 La ec#aci2n se red#ce a7 Z A −h! =0 → Z A =h!
Las érdidas totales son la s#matoria de las erdidas asociadas a la -ricci2n de la t#!er$a 1 los accesorios7 h! =h#$ngi%&' ( 6 ) + h#$ngi%&' ( 3 ) + hsa#i'a + 2 h($'$s ( 6 ) + 2 h($'$s ( 3 + +
+ +
++
)
+ +
+ h vá#v&#a + h*xansi-n + h *n%.a'a
5#scamos en ta!las, los datos ara cada #no de los tramos de t#!er$a
Ta#a1o no#"nal < >
Flujo !e 2rea 3#54 :3:=:6'* < '3?'*6'* )
D"2#etro "nter"or 3##4 =+3< ':>3*
De ig#al manera las roiedades del ag#a a dic9a temerat#ra7
Te#$eratura 36C4
Dens"!a! 3789# 4
'*
'***
;"s&os"!a! &"ne#2t"&a ν 3#5 9s4 '3<*6'* >
Para la tubería !e $ul8a!as: 3
0.03 m / s Q Q= Av→ v = = =5.37 m/ s A 5.585 × 10−3 m 2
ρvD μ vD ℜ= , ν = → ℜ= = μ ρ ν
(
5.37
)
m ( 84.3 × 10−3 m ) s −6 m
1.3 × 10
2
=3.48 × 10 5
s
emos &#e Re es ma1or <3*** or tanto el -l#0o es t#r!#lento, el -actor de -ricci2n de!e 9allarse iterativamente mediante la ec#aci2n de Cole!roo7 1
√ f
=−2log10
(
ε / D 2.51 + 3.7 ℜ √ f
)
La r#gosidad ara la t#!er$a de 9ierro dctil en mm es de *3***') en el sig#iente c#adro vemos las iteraciones corresondientes7
iteraci2n ' ) <
- .s##esto/ *3*' *3*))+' *3*))'*
- .corregido/ *3*))+' *3*))'* *3*))'*
8rror relativo '3)+*() *3*'<=: *3***)*
Con tres iteraciones -#e s#-iciente ara #na convergencia en : ci-ras decimales, tomamos este ltimo valor .*3*))'/ ara el -actor de -ricci2n3 %or otro lado leemos en el diagrama de Iood1 el -actor de -ricci2n en la zona de t#r!#lencia comleta, dic9o valor es *3*)':
Para la tubería !e * $ul8a!as: 3
Q 0.03 m / s Q= Av→ v = = =1.57 m / s A 1.91 × 10−2 m2
ρvD μ vD , ν = → ℜ= = μ ρ ν
ℜ=
(
1.57
)
m ( 104.1 × 10−3 m ) s −6 m
1.3 × 10
2
=1.88 × 105
s
emos &#e Re es ma1or <3*** or tanto el -l#0o es t#r!#lento, el -actor de -ricci2n de!e 9allarse iterativamente mediante la ec#aci2n de Cole!roo7 1
√ f
=−2log10
(
ε / D 2.51 + 3.7 ℜ √ f
)
La r#gosidad ara la t#!er$a de 9ierro dctil en mm es de *3***') en el sig#iente c#adro vemos las iteraciones corresondientes7 iteraci2n ' ) <
- .s##esto/ *3*': *3*)*+) *3*)*'(
- .corregido/ *3*)*+) *3*)*'( *3*)*'=
8rror relativo *3<>')( *3*')<> *3***+=
Con tres iteraciones -#e s#-iciente ara #na convergencia en : ci-ras decimales, tomamos este ltimo valor .*3*)*)/ ara el -actor de -ricci2n3 %or otro lado leemos en el diagrama de Iood1 el -actor de -ricci2n en la zona de t#r!#lencia comleta, dic9o valor es *3*'=:
( )
2
L v " h#$ngi%&' = f D 2 g
%ara los codos, válv#la, entrada 1 salida, e6ansi2n s!ita7
( ) 2
v " h L= ) 2g
%ara los codos ) =30 f ! , ara la válv#la a!ierta a la mitad ) =160 f ! , tanto ara la entrada como ara la salida ) =1 , ara la e6ansi2n s!ita la ec#aci2n es la sig#iente7
( )
2
(
)
−3 2 A 1 5.585 × 10 ) = 1− → ) = 1 − =0.5 −2 A2 1.91 × 10 2
2
(
2
)
2
2
v3 v v3 v v 100 m h! = + ( 2 ( 30 ) ( 0.0215 ) ) 3 + f 3 + 160 f ! 3 + 0.5 3 2g 2g 0.0843 m 2 g 2g 2g 2 + v 26 v6 300 m + ( 2 ( 30 ) ( 0.0185 ) ) + f 6
2g
(
2g
)
2
v6 0.156 m 2 g
Los s#!$ndices < 1 > 9acen re-erencia a cada segmento de t#!er$a .de < 1 > #lgadas/, solo resta remlazar datos7
(
h! =
(
+
(
300 m 1 + ( 2 ( 30 ) ( 0.0185 ) ) + f 6 0.156 m
(
h! =
(
+
(
(
(
)) ))
) )
v + 160 f ! + 0.5 3 2g
2
v6 2g
(
(
)
2
2
100 m 1+ ( 2 ( 30 ) ( 0.0215 ) ) + ( 0.0221 ) 0.0843 m
+ 1 + ( 2 ( 30 ) ( 0.0185 ) ) + ( 0.0202 )
)
2
v + 160 f ! + 0.5 3 2g
v6 2g
100 m 1+ ( 2 ( 30 ) ( 0.0215 ) ) + f 3 0.0843 m
300 m 1 + ( 2 ( 30 ) ( 0.0185 ) ) + f 6 0.156 m
h! =
(
(
100 m 1+ ( 2 ( 30 ) ( 0.0215 ) ) + f 3 0.0843 m
300 m 0.156 m
))
)+
160 ( 0.0215 ) +0.5
)
( ( )) (
m 5.37 s
2 9.81
)
2
m 2 s
( ( )) (
m 1.57 s
2 9.81
)
2
m 2 s
h! =( 1 +1.29 + 26.2159 + 3.44 + 0.5 ) ( 1.4698 m ) +(1 + 1.11 + 38.8461)( 0.1256 m )
h! =( 32.4459 ) ( 1.4698 m ) + ( 40.9561) ( 0.1256 m )=52.833 m Z A =52.833 m
@ esta es la distancia entre la s#er-icie de los dos de2sitos
<<+<= or el sistema &#e se m#estra en la sig#iente -ig#ra -l#1e &#eroseno a ):C3 La longit#d total del t#!o de co!re de ) #lgadas tio B es de <*m3 Las dos v#eltas a ?* tienen #n radio de <**mm3 Calc#le el -l#0o vol#métrico en el tan&#e 5, si se mantiene #na resi2n de ':*%a so!re el &#eroseno del tan&#e A3
2
2
P A V P V + Z A + A = " + Z " + " + h L 2g 2g γ γ
Donde 9L reresentan las diversas érdidas desde el #nto A 9asta el #nto 5, las érdidas son7 2
•
%or -ricci2n en t#!er$as7
L v h L= f D 2 g 2
•
%or válv#la de com#erta7 2
•
%or entrada7
h L= k
v 2g
v h L= k 2g
2
•
%or salida7
v h L= k 2g 2
•
%or codo7
v h L= k 2g
Donde 5#scamos el valor del diámetro interno de la t#!er$a en ta!la, 1 9allamos la relaci2n r;D3 . 300 mm = =6,02 D 49,8 mm
Usando la grá-ica de L;D vs r;D, determinamos el valor de L;D ara los codos3 . L = 6,02 → =18 D D 2
2
2
2
30 m v h L= f + 2 ( 18 ) v + 160 f ! v + 0,5 v 0,0498 m 2 g 2g 2g 2g
D ϵ
=
0,0498 m −6
1,5 x 10 m
=33200
Utilizando el diagrama de Iood1 tenemos &#e f ! / 0,01 Dese0amos en la ec#aci2n 1 tenemos &#e 2
v h L=( 2.46 + 602 f ) 2g
Dese0amos en la ec#aci2n de 5erno#lli 2
2 P A V " v + Z A− Z " = +(2.46 + 602 f ) 2g 2g γ
150000 N / m
2
2
v − 5 m=(3.46 + 602 f ) 3 2g 8044,2 N / m
2
v 18.65 m−5 m =( 3.46 + 602 f ) 2g
√(
)
9.81 m 13.65 m 2 3.46 + 602 f s
v= 2
%ara determinar el valor de v se tiene &#e realizar #na serie de iteraciones, ara ello tomamos como valor inicial de -H *3*)3
√(
)
9.81 m 13.65 m =4.15 m / s 2 3.46 + 12.04 s
v= 2
A9ora #tilizamos el valor de v ara 9allar #n n#evo valor de N =
f =
4.15 m / s∗0,0498 m −6
( ( log
2
1,99 x 10 m / s
=103854,27
0,25
1 5,74 + 3,7 ( 33200 ) 103854,27 0.9
))
2
= 0.018
Con este valor de - se calc#la n#evamente el valor de v
√(
)
9.81 m 13.65 m =4.32 m / s 2 3.46 + 10.84 s
v= 2
N#evamente se calc#la el valor de N =
f =
4.32 m / s∗0,0498 m −6
2
1,99 x 10 m / s
=108108,54
0,25
( (
1 5,74 log + 3,7 ( 33200 ) 108108,54 0.9
))
2
=0.018
Como el valor de - no vario &#iere decir &#e el valor de v es el real or tanto no se tiene &#e realizar más iteraciones3 4allamos el valor del -l#0o vol#métrico con la velocidad calc#lada3
(
4.32 m 0,0498 m ∗ π Q = vA = 2 s
)= 2
3
0,0084 m / s
<<+< a través del sistema &#e se m#estra a contin#aci2n circ#la ag#a a +*C, del #nto A al #nto 53 determine el -l#0o vol#métrico del ag#a si entre los dos de2sitos 9a1 #na distancia de '* m3 los codos son estándar3
2
2
P A V P V + Z A + A = " + Z " + " + h L 2g 2g γ γ
h L= Z A −Z "
2
•
%or -ricci2n en t#!er$as7
L v h L= f D 2 g
%or válv#la de mariosa7
v h L= k 2g
2
•
2
•
%or entrada7
v h L= k 2g 2
•
%or salida7
v h L= k 2g 2
•
%or codo7
v h L= k 2g
%ara la rimera t#!er$a, se de!e calc#lar el ara la e6ansi2n s!ita con la ec#aci2n
[ ( )]
) = 1−
D1
2
2
D2
Los valores de los diámetros se !#scan en ta!la, -inalmente o!tenemos3
[ ( )]
) = 1−
0.0843 0.156
2 2
=0.50
%ara los codos BH <*-3 2
2
2
2
v3 v v3 v 55 h L=1 + 2 ( 30 ) f 3 . 3 + f 3 + 0.50 3 2g 2g 0.08432 2 g 2g
%ara el seg#ndo tramos de las t#!er$as, las erdidas serian3 2
2
2
2
v6 v v6 v 55 h L=1 + 30 f 6 . 6 + f 6 + 45 f 6 . 6 2g 2g 0.08432 2 g 2g
Utilizando diagramas de Iood1 se tienen los valores de - >r 1 -
2
v3 v h L= ( 2,77 + 652 f 3 ) + ( 2,43 + 192 f 6 ) 6 2g 2g
Relacionamos los valores de la velocidad ara tener #na sola varia!le de velocidad Donde
( ) ( 2
)
2 A 6 D6 0.156 v 3= v 6 = v 6 = v6 =3.42 v 6 → v 23=11.73 v 26 0.0843 A 3 D3
Remlazamos 2
h L= ( 2,77 + 652 f 3 )
11.73 v 6 2g
2
v + ( 2,43 + 192 f 6 ) 6 2g 2
v6 h L=( 34.9 + 7646 f 3+ 192 f 6) 2g h L= h
v6=
√(
2 gh 34.9 + 7646 f 3 + 192 f 6
)
%ara 9allar el valor de > iteramos los valores de - < 1 - > , comenzamos con valores iniciales de *3*) ara am!os valores de -3 Con estos valores iniciales 9allamos el rimer valor de > v6 =
√(
2 gh 34.9 + 7646 ( 0.02 )+ 192 ( 0.02 )
)=
1.012 m / s
v 3= 3.42 v 6=3.42 ( 1.012 m / s )=3.46 m/ s
N 6= D6 ϵ
f 6=
=
−7
( (
N 3= D3 ϵ
=
=240658.53
0,25
1 5,74 + 3,7 ( 1300 ) 240658.53 0.9 3.46 m / s∗0.0843 m −7
2
6,56 x 10 m / s
))
2
=0.01998 / 0.02
= 444631.09
0.0843 − 4 =703 1.2 x 10
( ( log
2
6,56 x 10 m / s
0.156 −4 =1300 1.2 x 10
log
f 3 =
1.012 m / s∗ 0.156 m
0,25
1 5,74 + 3,7 ( 703 ) 444631.09 0.9
))
2
=0.0196 / 0.02
Como la variaci2n entre los - calc#lados 1 los - iniciales no es m#c9o, or tanto se #ede detener la iteraci2n en este término3 Con c#al&#ier valor de velocidad 9allamos el -l#0o vol#métrico
(
0.0843 Q= v 3 A3 =3.46 m / s∗π 2
)= 2
3
0.01931 m / s
Ejer&"&"os Cen8el &a$ítulo -+*< Una t#!er$a 9orizontal tiene #na e6ansi2n reentina desde D 'H= cm 9asta D)H'> cm3 La velocidad del ag#a en la secci2n más e&#eEa es de '* m;s 1 el -l#0o es t#r!#lento3 La resi2n en la secci2n más e&#eEa es de <** %a3 C#ando se considera el -actor de correcci2n de energ$a cinética '3*> tanto en la entrada como en la salida, determine la resi2n corriente a!a0o % ) 1 estime el error &#e 9a!r$a oc#rrido si se 9#!iera #sado la ec#aci2n de 5erno#lli3
Nivel de referencia
Alicamos la ec#aci2n de contin#idad as#miendo &#e el -l#ido es incomresi!le7 2
2
π D1 π D2 m ´ 1=m´ 2 → ρ V 1 A1= ρV 2 → A 1 v1 = A 2 v 2 → v1 = v2 4 4
2
( 0.08 m)2 ( 10 m / s )=2.5 m / s D v 1= D v 2 → v 2 = 2 v 1= D2 ( 0.16 m)2 2 1
D1
2 2
4aciendo #n !alance de energ$a entre los #ntos ' 1 ) 1 teniendo en c#enta el -actor de correcci2n de energ$a cinética7 2
2
P1 v P v + Z 1 + 0 1 −h! = 2 + Z 2 + 0 2 2g 2g γ γ
La érdida or e6ansi2n s!ita está dada or7 2
V 1 h L= ) L 2g
%ara la e6ansi2n s!ita el coe-iciente de -ricci2n está dado or la sig#iente ec#aci2n7
( )(
)
2 2
( 0.08 )2 2 ) L = 1− 2 = 1− = 0.5625 ( 0.16 )2 D2 D1
2
V 1 (10 m / s )2 h L= ) L = ( 0.5625 ) =2.87 m 2 2g 2 ( 9.81 m / s )
Resolviendo ara % ) 2
2
P1 v P v + Z 1 + 0 1 −h! = 2 + Z 2 + 0 2 2g 2g γ γ 2
2
P1 v v P + Z 1− Z 2+ 0 1 − 0 2 −h! = 2 2g 2g γ γ
(
2
)
2
P1 v v P2= γ + Z 1−Z 2 + 0 1 −0 2 − h! 2g 2g γ
Reemlazando datos, 1 dado &#e am!os #ntos están en el nivel de re-erencia, las ca!ezas de elevaci2n son n#las7
(
P2=
9.81 m 2
s
(
)(
kg 1000 3 m
)
((
300000
)(
N 2 m
9.81 m kg 1000 3 2 s m
)
)
+( 1.06 )
(10 )2
(
9.81 m 2 2 s
(
)
−(1.06 )
( 2.5 )2
(
9.81 m 2 2 s
)
)
−2.87 m
kN kN P2= 9.81 3 (30.58 m + 5.4027 m −0.3377 −2.87 m )= 9.81 3 ( 32.775 m ) =321.52 kPa m m
%artiendo de la ec#aci2n7
(
2
2
)
P1 v v P2= γ + 0 1 −0 2 −h! 2g 2g γ
"mitiendo el término asociado a las érdidas 1 el coe-iciente de correcci2n cinético7
)
(
2
2
P1 v 1 v 2 + − P2= γ γ 2 g 2 g
(
P2=
(
)
)(
9.81 m kg 1000 3 2 s m
P2= 9.81
kN 3
m
)
)
((
300000 9.81 m
s
2
)(
N 2 m
kg 1000 3 m
( 10 )2
+
) ( 2
(
9.81 m
s
2
( 2.5 )2
−
) ( 2
9.81 m 2
s
)
)
)
(30.58 m + 5.097 m−0.319 m )= 9.81 kN 3 ( 35.358 )=346.86 kPa m
@ esta es la resi2n calc#lada mediante la ec#aci2n de 5erno#lli 8l error relativo se calc#la como7
|
ε=
|=
321.52−346.86 321.52
0.0788
8s decir (3==K de error
-+.>+ Un tan&#e de < m de diámetro inicialmente está lleno con ag#a ) m so!re el centro de #n ori-icio de !orde ag#do 1 '* cm de diámetro3 La s#er-icie del tan&#e de ag#a está a!ierta a la atm2s-era, 1 el ori-icio drena a la atm2s-era3 Si desrecia el e-ecto del -actor de correcci2n de energ$a cinética, calc#le7 a/ la velocidad inicial de -l#0o del tan&#e 1 !/ el tiemo &#e se re&#iere ara vaciar el tan&#e3 8l coe-iciente de érdida del ori-icio rovoca #n a#mento considera!le en el tiemo de drenado del tan&#eM
1
2
A/
%rimero se lantea la ec#aci2n de 5erno#lli 2
2
2
P1 V P V V + 1 1+ 1 = 2 + 12 + 2 + h L 2 *.'i'a $. sa#i'ah L = ) 2 2 ) =0.5 2g 2g 2g γ γ V 1=0 3 12 =0 3
Se tiene &#e 2
2
P1 P2 γ
=
γ
=0 se tiene &#e
2
V 2 V 2 V 1 1= + 0.5 =1.5 2 2g 2g 2g
Dese0ando ) V 2=
V 2=
√
√
2∗ g∗ 11 1.5
m ∗2 m 2 s 1.5
2∗9.8
m V 2=5.11 s
5/ Se tiene &#e V$#&m*n *.'i'$ 1 =V$#&m*n gana'$ 2
− A'h=Q '% 2
2
√
π D! π D2 2∗g∗h 'a'$4&* A 1= , A 2= , Q=V 2 A 2 , V 2= 4 4 1.5
De ig#al -orma se tiene
− π D ! 2 4
π D2 'h = 4
2
√
2∗g∗h '% 1.5
Dese0ando 1 cancelando tenemos
− D! 2 D2
2
(
1 ) 'h= '% √ 1,33∗g∗h
Se realiza la integral ara 9allar el valor de t
− D! 2 D2
2
∫
2
D
∫
1
2∗ D! 2 2
%
0
1 1 ( ) 1/ 2 'h= '% √ 1,33∗g 1 h 0
(
1 ) 111 /2=% √ 1,33∗g
%or ltimo se remlazan los valores 1 se tiene &#e % =
2∗( 3 m )
( 0,1 m)
2
2
(√
1 1,33∗9,8
m 2 s
)
∗( 2 m )1/ 2
% =104 s
-+<>> Una laca de ori-icio de ) in de diámetro se #sa ara medir la raz2n de -l#0o de masa de ag#a a >*F . ρ=¿ >)3<> l!m;-t< 1 μ=¿ (3:<> 6'*+ l!m;-t s/ a través de #na t#!er$a 9orizontal de + in de diámetro3 Se #sa #n man2metro de merc#rio ara medir la di-erencia de resi2n a través de la laca de ori-icio3 Si la lect#ra del man2metro di-erencial es de > in, determine el -l#0o vol#métrico del ag#a a través de la t#!er$a, 1 la velocidad romedio3
NR
1
2
3
4
Realizando #n !alance del #nto ' a )7
2
2
P1 V P V + Z 1 + 1 = 2 + Z 2+ 2 2 g γ 2g γ
Como
Z 1= Z 2
1a &#e se enc#entran en el mismo nivel tenemos7
2
2
P1 V 1 P2 V 2 + = + γ 2 g γ 2 g
Alicando la ec#aci2n de contin#idad del #nto ' a )7 V 1 A 1=V 2 A 2
Dese0ando V 1=
V 1 7
V 2 A2 A1
Remlazando 2
π D 1 A 1= 4 2
π D2 A 2= 4
"!tenemos, 2
π D2 V 2 4 V 1= 2 π D1 4
( )
D2 V 1=V 2 D1
2
%ara #n me0or mane0o denotaremos, 5 =
D2 D1
%or lo tanto7
V 1=V 2 5
2
V 1 en la ec#aci2n de 5erno#lli tenemos7
Remlazando P1 γ
( V 5 )
2 2
+
2
2g
=
P2 γ
2
+
V 2 2g 2
4
2
P1 V 2 5 P2 V 2 + = + 2g γ γ 2 g
2
4
2
V 2 5 V 2 P2 P1 − = − 2g 2 g γ γ
(
)
4 P P 1 5 V − = 2− 1 2g 2g γ γ 2 2
V 2=
V 2=
√ √
P2 P1 − γ γ 4
1 5 − 2g 2 g
2 ( P1− P 2) 4
ρ ( 1− 5 )
Alicando la ec#aci2n de contin#idad, Q=V 2 A 2
Q= A 2
√
2 ( P1− P2 ) 4
ρ ( 1− 5 )
Las érdidas se #eden e6licar al incororar #n -actor de correcci2n llamado &oe%"&"ente !e !es&ar8a Cd c#1o valor .&#e es menor &#e '/ se determina e6erimentalmente3
Q= A 2 6 '
√
2 ( P1− P2 ) 4
ρ ( 1− 5 )
8l valor de Cd deende tanto de 5 como del nmero de Re1nolds 1 las grá-icas 1 correlaciones de a0#ste de c#rvas ara Cd están disoni!les ara varios tios de medidores de o!str#cci2n, ara este caso tenemos7 6 '=0,61
enemos &#e7 12 ∈¿=0,16 f% 1 f% D2=2 ∈×
¿
12 ∈¿=0,33 f% 1 f% D1 =4 ∈×
¿
12 ∈¿=0,5 f% 1 f% h=6 ∈ ×
¿
A9ora calc#lamos el área7 2
π ∗(0,16 f% ) A 2= 4 2
A 0= 0,0218 f%
Calc#lando la raz2n de diámetro7 5 =
D 2 D1
5 =0,5
=
0,16 0,33
Realizando #n !alance resi2n entre < 1 +7 P3= P4 P1+ ρ 7 8 gh= P2 + ρ 7g gh 2
P1− P2= ρ 7g gh − ρ 7 8 gh 2
P1− P2=( ρ 7g − ρ 7 8 ) gh 2
P1− P2=( 855.79 −62,26 )
P1− P2=12770.25
#9
f%
f%
s
∗32,2 2 ∗0,5 f% 3
#9f% 2
2
s f%
Reemlazando tenemos
2
Q=0,0218 f% × 0.61 ×
√
3
f% Q=0.277 s
Q πD V = 2 A = 4 A
2
3
f% 4∗0.277 4Q s V = = 2 2 πD π ∗(0.33 f% )
2 × 12770.25 62,26
( ) #9f% 2
2
s f%
#9 (1− 0,54 ) 3 f%
V =3,17
f% s
-+<> Un medidor ent#ri e&#iado con #n man2metro di-erencial se #sa ara medir la raz2n de -l#0o de -l#0o de ag#a a ':C .OH???3' g;m
1
N.Referen
2
Realizamos #n !alance de 5erno#lli entre los #ntos ' 1 ), seEalados en el grá-ico 2
2
P1 v P v + Z 1 + 1 = 2 + Z 2+ 2 2 g γ 2g γ
%#esto &#e #ntos se enc#entran #!icados en el nivel de re-erencia, las cargas de elevaci2n se 9acen cero7 2
2
P1 v 1 P2 v 2 + = + γ 2 g γ 2 g
Alicamos a9ora la ec#aci2n de contin#idad7 2
2
π D1 π D2 Q1=Q 2 → A 1 v 1= A 2 v 2 → v 1= v2 4 4
2
2 1
2 2
D v 1= D v 2 → v 1=
D2 2
D1
v 2
D2 2 s*a 5 = → v 1 = 5 v 2 D1
S#stit#1endo en la ec#aci2n de 5erno#lli7 4
2
2
P1 5 v 2 P2 v 2 + = + γ 2 g γ 2 g
Resolviendo ara v 2 : P1
2
P2
4
2
2
v 5 v 2 : P v − = 2− → =( 1 − 5 4 ) 2 2g γ γ 2 g 2 g γ 2 : Pg
2
v 2=
ρg ( 1− 5
4
)
→ v 2=
√
2: P
ρ ( 1 − 5
4
)
eniendo en c#enta el coe-iciente de descarga Q2= A2 6 0 v2 →Q 2 = A 2 6 0
√
6 0 =0.98
2: P
ρ ( 1− 5
4
)
2
π D2 π ( 0.03 m )2 A 2= = =7.07 × 10−4 m2 4 4 4
5 =
(
0.03 m 0.05 m
)= 4
Q2=( 7.07 × 10
0.1296
−4
m ) ( 0.98 ) 2
−4
Q2=( 6.9286 × 10
m
2
)
√
√
2 ( 5000 N / m ) kg 999.1 3 ( 1−0.1296 ) m
11.499
2
2
m
2
s
[ ] 1 kg
m
2
s =¿ 1 N
=0.0023495 m3 / s
