1 FLUJO EXTERNO En mecánica de fluidos flujo externo es aquel en el que las capas límite se desarrollan libremente sin restricciones impuestas por superficies adyacentes. Los flujos alrededor de cuerpos, como alas, cohetes y barcos, se conocen como flujos externos cuando las otras fronteras del flujo se encuentran comparativamente lejos del cuerpo. Por tanto siempre existirá una región de flujo fuera de la capa límite en el que los gradientes de velocidad, temperatura y/o concentración son despreciables.
Ilustración 1.1 flujo alrededor de un objeto inmerso
2 CAPA LÍMITE En flujo externo se tiene el movimiento de un objeto en el seno de un fluido. En un sistema de referencia inercial fijo al objeto, se tendría un flujo uniforme que se dirige al objeto, y que alrededor de él, se divide en dos regiones: una región viscosa en las proximidades de la superficie del objeto; y una región exterior no viscosa. La región viscosa, se denomina CAPA LÍMITE, se inicia en las proximidades del borde de ataque, y su extensión va aumentando aguas abajo. El espesor de la capa límite es creciente, y normalmente de poca extensión, dependiendo de la geometría del objeto y del número de Reynolds; aunque se puede tener el desprendimiento de la capa límite y la formación de la estela transitoria, que puede ocupar una amplia región a partir del punto de desprendimiento. 2.1 Espesor de capa límite y espesor de desplazamiento. En la capa límite, la distribución de velocidades es creciente, desde cero en la superficie de contacto del fluido con el objeto, hasta alcanzar el valor de la velocidad uniforme de la corriente exterior. En una determinada posición se define el espesor de la capa límite δ, como la posición en donde se alcanza la velocidad de la corriente exterior. Por el carácter asintótico de la distribución de velocidades, se suele definir experimentalmente el espesor de la capa límite, por la posición en donde se alcanza el 99% de la velocidad de la corriente exterior.
Ilustración 2.1 Espesor de capa limite y espesor de desplazamiento
Se define espesor de desplazamiento δ*, como el espesor adicional, que debería tener el objeto en una determinada sección, para poder considerar una única región no viscosa.
Tanto el espesor de la capa límite como el de desplazamiento, dependen de la geometría y del número de Reynolds. Así para flujo sobre una placa plana el espesor de la capa límite es muy pequeño, y por tanto también el espesor de desplazamiento, por lo que se puede despreciar el efecto de desplazamiento y la distribución de presiones a lo largo de la placa se puede determinar con la ecuación de Euler de flujo no viscoso, como si la capa límite no existiese. 2.2 Ecuaciones de la capa límite de Prandtl Para flujo bidimensional1, estacionario e incompresible, las ecuaciones de Navier-Stokes son: Ec. de continuidad:
Ec. de movimiento en dirección tangencial a la pared:
Ec. de movimiento en dirección normal a la pared:
Prandtl, estableció las siguientes hipótesis en la capa límite:
La ecuación de movimiento en la dirección normal queda reducida a:
Para poder aplicarla, tanto a flujo laminar como a turbulento, Prandtl expreso el término viscoso, en función de la tensión de rozamiento:
Con todo, se tienen las dos ecuaciones de la capa límite de Prandtl, para flujos bidimensionales e incompresibles:
Las dos ecuaciones se deben resolver, para determinar la distribución de velocidades en la capa límite: u=u(x,y);v=v(x,y), conocida la distribución de la velocidad de la corriente exterior no viscosa U(x), y con las condiciones de contorno: -No deslizamiento en la pared: u(x,0) = v(x,0) = 0 -Acoplamiento de la capa límite y la corriente exterior: u(x,δ(x)) = U(x) 3 FUERZA DE ARRASTRE Y SUSTENTACIÓN 3.1 Arrastre La resistencia o arrastre es la componente de la fuerza resultante, ejercida por el fluido sobre el cuerpo en dirección paralela al movimiento relativo del fluido. Usualmente se da en la forma: Resistencia en Kp (o N)= CD*ρ*A*V2/2 Dónde : Cp= Coeficiente de resistencia, adimensional. ρ = Densidad del fluido, en UTM/m3 (o kg/m3). A =Área del cuerpo proyectado sobre un plano perpendicular al movimiento del fluido. V = Velocidad relativa del fluido respecto del cuerpo, en m/s. 3.2 Coeficientes de resistencia
Los coeficientes de resistencia dependen del No. De Reynolds para las velocidades bajas e intermedias. Para velocidades elevadas depende del número de Mach, cuya influencia es despreciable a velocidades bajas.
Ilustración 3.1 coeficientes de resistencia para diferentes formas geométricas
3.3 Sustentación La sustentación es la componente de la fuerza resultante, ejercida por el fluido sobre el cuerpo en dirección perpendicular al movimiento relativo del fluido. Usualmente se da en la forma: Sustentación en Kp (o N)= CL*ρ*A*V2/2 Dónde: CL= Coeficiente de sustentación, adimensional. ρ = Densidad del fluido, en UTM/m3 (o kg/m3). A =Área del cuerpo proyectado sobre un plano perpendicular al movimiento del fluido. V = Velocidad relativa del fluido respecto del cuerpo, en m/s. 3.4 Coeficientes de sustentación Kutta ha determinado teóricamente los valores máximos de los coeficientes de sustentación para placas planas delgadas, en posición no perpendicular a la velocidad relativa del fluido por: CL= 2 π sen α
4 EJEMPLOS 4.1 Capa límite laminar 4.1.1 Una placa delgada y plana se mantiene paralela a una corriente de aire de 3.05m/s (condiciones normales). Las dimensiones de la placa son 1.22m*1.22m. Calcular el espesor de la capa límite en el borde de salida. Solución: Re= VL/v= 3.05(1.22)/(1.486(10-5))= 250,400 (intervalo laminar) δ/x= 5.2/Rex.5 y δ= 5.2(1.22)/(250,400.5)=.0127m = 12.7mm 4.1.2 Una placa lisa de 3.06m por 1.22 m se mueve a través del aire (15.6°C) con velocidad relativa de 1.22m/s, manteniéndose el movimiento paralelo a su superficie y a su longitud. Para condiciones laminares, calcular el espesor de la capa límite en el centro de la placa. Para x=1.525 m, Rex= (1.22)(1.525)/(1.47(10)-5)= 126,600 Este valor del número de Reynolds se llama número de Reynolds local. δ= 5.2x/Rex.5 = 5.2(1.525)/(126,600.5)=.0223m = 22.3mm 4.1.3 Una placa lisa de 1.2 por 1.8 m se mueve a traves de una masa de agua a 20°C en la dirección de su longitud a una velocidad de 12.2m/s. Determinar el espesor de la capa límite en el borde de salida. Re= (12.2)(1.8)/(9.84(10)-4)= 22,317.07 δ = 5.2x/Rex.5 = 5.2(1.8)/(22317.07.5)=.06m = 62.65mm 4.1.4 En la figura se muestra el flujo alrededor de un modelo del turbo tren francés de alta velocidad. Nótese el crecimiento de la capa límite en la superficie superior del vehículo. Hay una distancia de 2.5 m desde el borde de ataque del piso hasta la parte frontal del tren. La velocidad de corriente libre es 6 m/s. ¿Cuál es el espesor de la capa límite cuando alcanza el tren? El aire se encuentra a 20°C. Primero se calcula Re, en el instante en que el flujo alcanza el tren. La viscosidad cinemática del aire es 1.55(10-5) m2/s. Por consiguiente, el Re es: Re = (6)(2.5)/1.55 x 105= 9.68 x 106 Luego, aún se tiene una capa límite laminar cuando el flujo llega al modelo. Entonces puede darse como sigue: s = (x)(5.2)/ Rex.5 = (2.5)(4.96)/(9.68 x 105)= 1.260 x lO-2 m = 12.60 mm
4.2 Capa turbulenta
límite
4.2.1 Una placa delgada y plana se mantiene paralela a una corriente de aire de 9.22m/s (condiciones normales). Las dimensiones de la placa son 1.22m*2.54m. Calcular el espesor de la capa límite en el borde de salida. Solución: Re= VL/v= 3.05(1.22)/(1.486(10-5))= 1,575,962.315 (intervalo turbulento) δ= .38x/Rex.167 = .38(2.52)/(1,575,962.315.167)= .088m 4.2.2 Una placa lisa de 1.2 por 24.4 m se mueve a través de una masa de agua a 20°C en la dirección de su longitud a una velocidad de 12.2m/s. Determinar el espesor de la capa límite en el borde de salida. Re= (12.2)(24.4)/(9.84(10)-7)= 3.03(108) δ= .38x/Rex.167 = .38(24.4)/(( 3.03(108)).167)= .206m 4.3 Resistencia y sustentación Resistencia 4.3.1 Una placa plana de 1.2m por 1.2m se mueve a una velocidad de 6.7 m/s en dirección normal a su plano. Determinar la resistencia que se opone al movimiento cuando se mueve a través del aire a 20°c (y= 11.8N/m3) y presión atmosférica normal. Solución: El coeficiente de resistencia en función de Re para longitud/anchura= 1 CD = 1.16 Resistencia= CD*ρ*A*V2/2= (1.16)(11.8/9.81)(1.2*1.2)(6.72/2) = 45.1 N 4.3.2 Un hilo de cobre de gran longitud y 10mm de diámetro esta tensado y expuesto a un viento de 27 m/s, que incide normalmente al eje del hilo. Calcular la resistencia por metro de longitud. Solución: Para aire a 20°C, la ρ es de 1.2kg/m3 y v=1.49 (10-5)m2/s entonces: Re= Vd/v=(27*10(10-3))/1.49(10-5)= 18.120 Obtener CD en función de Re, CD=1.3; por lo tanto Resistencia= CD*ρ*A*V2/2= (1.3)(1.2)(.010)(272/2) = 5.69 N por metro de longitud
4.3.3 Una placa plana de (.915*1.220)m se mueve a una velocidad de 13.42m/s a través del aire en reposo, formando un ángulo de 12 grados con la horizontal. Utilizando un CD= .17, determinar la fuerza de arrastre que ejerce el aire sobre la placa. (y=1.205kp/m3) Solución: Resistencia= CD*(y/g)*A*V2/2= (.17)(1.205/9.81)(1.116)(13.422/2)= 2.1 kp 4.3.4 Un perfil de ala de 37.16m2 de área y con un ángulo de ataque de 6° se mueve a una velocidad de 24.4m/s. Si el coeficiente de resistencia varia linealmente de .040 a 4° hasta . 120 a 14°, ¿Qué resistencia se alcanza a 4.4°C y .914 kp/cm2de presión absoluta?.
ᵧ= p/ RT= (.914(10 ))/ (29.3)(373+5= 1.122 kp/m 4
3
Para un ángulo de ataque de 6° CD=0.056
Resistencia= CD*ρ*A*V2/2=(.056)(1.122/9.81)(37.16)(24.4)2/2= 70.85kp Sustentación 4.3.5 Una placa plana de (.915*1.220)m se mueve a una velocidad de 13.42m/s a través del aire en reposo, formando un ángulo de 12 grados con la horizontal. Usando un CL=.72, determinar la fuerza de sustentación que se ejerce sobre la placa. Sustentación= CL*(y/g)*A*V2/2= (.72)(1.205/9.81)(1.116)(13.422/2)= 9.89kp 4.3.6 Que superficie de alas se necesita para soportar un avión de 22.2kN, cuando vuela a una velocidad de 27.7 m/s con un ángulo de ataque de 5º. (Suponer que el coeficiente de sustentación varia de .35 a 0º, hasta .8 a 6º y utilizar para el aire ᵧ= 11.8N/m3. Por los datos proporcionados CL=.725 para 5º, por interpolación. Peso= sustentación; 22,200= (.725)(11.8/9.81)(A)(272/2); por lo tanto: A= (22,200/317.87)= 69.8 m2 4.3.7 Si un avión pesa 17.8kN y la superficie de sus alas es de 28m2, ¿Qué ángulo de ataque han de formar las alas con la horizontal a una velocidad de 160 km/h? (utilizar los datos del problema anterior). Para el equilibrio en dirección vertical, ∑Y=0. Por tanto, sustentación-peso=0, es decir, peso= CL(ᵧ)(A)(V2/2g); 17,800= CL(11.8)(28)((160*1000/3600)/2g); deduciendo que CL=.535; Por interpolación entre 0º y 6º, ángulo de ataque= 2.5º
Contenido 1 FLUJO EXTERNO................................................................................................ 1 2 CAPA LÍMITE..................................................................................................... 1 2.1 ESPESOR DE CAPA LÍMITE Y DESPLAZAMIENTO…………………………………………………….1
ESPESOR
2.2 ECUACIONES DE LA CAPA LÍMITE PRANDTL…………………………………………………………………………2
DE DE
3 FUERZA DE ARRASTRE Y SUSTENTACIÓN............................................................3 3.1 ARRASTRE………………………………………………………………………………………… ………………………………………3 3.2 COEFICIENTES DE RESISTENCIA……………………………………………………………………………………… …………4 3.3 SUSTENTACIÓN…………………………………………………………………………………… …………………………………..4 3.4 COEFICIENTES DE SUSTENTACIÓN…………………………………………………………………………………… ……….4 4 EJEMPLOS.......................................................................................................... 5 4.1 CAPA LÍMITE LAMINAR…………………………………………………………………………………………… ………………..5 4.2 CAPA LIMITE TURBULENTA……………………………………………………………………………………… ……………….6 4.3 RESISTENCIA Y SUSTENTACIÓN…………………………………………………………………………………… ……………6
INSTITUTO TEGNOLÓGICO DE CIUDAD JUÁREZ SISTEMAS E INSTALACIONES HIDRAULICAS PROYECTO FLUJO EXTERNO CARLOS ALBERTO PARRA TORRES
