Flujo Critico

ESCUELA DE INGENIEROS MILITARES

SESIÓN 3

Hidráulica II

FLUJO CRÍTICO

Introducción, Ecuación de energía de flujo en canales abiertos, Energía específica, Cálculo del flujo crítico. Exponente hidráulico para el cálculo del flujo crítico, Flujo subcrítico, crítico y supercrítico, Fenómenos locales.

Objetivo General Conocer, modelar y analizar el comportamiento del flujo en canales abiertos asociados al flujo crítico.

Objetivos Específicos Manipular acertadamente el concepto de energía específica en el análisis de flujo crítico en canales abiertos. Presentar metodologías claras, prácticas y alternas para el cálculo del flujo crítico en canales abiertos.

3.1. Introducción El flujo crítico está asociado en canales abiertos al parámetro adimensional “número de Froude”. El flujo crítico se produce elevando el fondo del canal, reduciendo el ancho del canal, o mediante una combinación de estos dos factores. Es realmente complicado que las condiciones en un canal nos e vean afectadas a lo largo de toda su longitud, En la presente sección se presentará claramente el problema del flujo flujo crítico así como como sus principales principales características características y aplicaciones aplicaciones como las de control y medición de flujo. Se obtendrán mecanismos apropiados para el cálculo general de flujo

Guía de Auto instrucción

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Hidráulica II

crítico. Cabe decir que para transiciones cortas y suaves las pérdidas de energía son insignificantes y por tanto la ecuación de Bernoulli se puede aplicar despreciando estos términos, se consideran transiciones cortas los escalones, vertederos, y compuertas deslizantes. En el caso de resalto hidráulico ya las pérdidas de energía causadas por la turbulencia son considerables, por tanto la ecuación de Bernoulli no es aplicable.

3.2. Ecuación de energía en canales abiertos. Consideremos Consideremos la Figura 3.1

Figura 3.1. Energía en una sección de canal abierto. Al aplicar la ecuación de energía entre los puntos 1 y 2, por conceptos elementales de hidráulica, principio de conservación conservación de energía, sabemos que la energía en el punto 1 deben ser igual a la energía en el punto 2 más las pérdidas generadas por el movimiento del flujo.

Z 1 + Y 1cos θ + α 1

V 1

2

2 g

= Z 2 + Y 2 cos θ + α 2

V 2

2

2 g

+ hf


(3.1)

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crítico. Cabe decir que para transiciones cortas y suaves las pérdidas de energía son insignificantes y por tanto la ecuación de Bernoulli se puede aplicar despreciando estos términos, se consideran transiciones cortas los escalones, vertederos, y compuertas deslizantes. En el caso de resalto hidráulico ya las pérdidas de energía causadas por la turbulencia son considerables, por tanto la ecuación de Bernoulli no es aplicable.

3.2. Ecuación de energía en canales abiertos. Consideremos Consideremos la Figura 3.1

Figura 3.1. Energía en una sección de canal abierto. Al aplicar la ecuación de energía entre los puntos 1 y 2, por conceptos elementales de hidráulica, principio de conservación conservación de energía, sabemos que la energía en el punto 1 deben ser igual a la energía en el punto 2 más las pérdidas generadas por el movimiento del flujo.

Z 1 + Y 1cos θ + α 1

V 1

2

2 g

= Z 2 + Y 2 cos θ + α 2

V 2

2

2 g

+ hf


(3.1)

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Si tenemos en cuenta que si se considera un flujo paralelo (uniforme o gradualmente variado) y un ángulo de inclinación pequeño (<6°), con sección transversal y pendiente de fondo constante y se desprecia las pérdidas por fricción. La ecuación 3.1 queda convertida en la ecuación clásica de energía.

Z 1 + Y 1 +

V 1

2

2 g

= Z 2 + Y 2 +

V 2

2

2 g

= Const

(3.2)

Cualquiera de estas dos ecuaciones (ecuación 3.2 lado izquierdo o derecho) se conoce como ecuación de energía y obviamente son iguales entre si. La ecuación 3.2 es conocida como ecuación de Bernoulli.

3.3. Energía especifica La energía específica se define como la energía por unidad de peso (m kg/kg) de la sección transversal de un canal. Se calcula tomando como plano de referencia el fondo o solera del canal. Si el coeficiente de velocidad se hace igual a 1.0, la expresión de energía específica queda de la siguiente forma:

E = Y +

V

2

2 g

(3.3)

Si se reemplaza la velocidad media del flujo y se deja en términos de caudal se tiene: E = Y +

Q

2

2 gA 2

(3.4)

De la ecuación 3.4 se puede concluir que para un canal con sección transversal dada la energía especifica es función únicamente de la altura de lámina (y). [E=f(y)]. Si graficamos la ecuación 3.4


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para diversos valores de altura de lámina (y) y en el eje de las abscisas graficamos la energía y en el eje de las ordenadas graficamos a altura de lámina para un caudal constante (línea azul), para un caudal mayor al caudal constante elegido (línea naranja) y para un caudal menor al constante (línea verde); de lo anterior resulta la Figura 3.2.

Figura 3.2. Curva de energía específica. De la figura 3.2 se pueden emitir las siguientes apreciaciones: Las curvas son parábolas asintóticas al eje X y a la línea de energía potencial (línea a 45 grados). La distancia desde el eje de las ordenadas (Y) hasta la línea de 45° (línea negra) es la altura de energía de presión a altura de lámina de flujo y la línea hasta un punto sobre la parábola es la cabeza de velocidad. Por ejemplo en el punto de energía mínima de la curva C (línea azul) la altura de lámina es la altura crítica (yc) y el resto de la distancia horizontal es la cabeza de velocidad o energía cinética.


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Existen dos puntos de energía específica para diferentes alturas (puntos 1 y 2 de la curva C). Uno en flujo supercrítico y el otro en flujo subcrítico. Salvo en el punto de origen de la curva donde se presenta la energía mínima. Las cabezas de velocidad son mayores para flujo supercrítico que para flujo subcrítico. Los flujos supercríticos se dan con alturas de lámina menores que la altura crítica (yc) y a velocidades mayores que la crítica. Los flujos subcríticos se dan con alturas de lámina mayores que la altura crítica (yc) y a velocidades menores que la crítica. El flujo crítico constituye el límite entre los flujos subcrítico y supercríticos y sus respectivas velocidades; es decir, Y(subcrítica) > Yc (crítica) > Y (supercrítica) y en términos de velocidades V(subcrítica) < Vc (crítica) < Y (supercrítica). Para obtener el punto de energía específica mínima de una curva basta con derivar la ecuación de energía (ec 3.4) e igualarla a cero.(ec 3.5). Lo cual da después de derivar y agrupar convenientemente

D 2

=

V gD

. El resultado es si nos fijamos bien el número de

Froude. Y recordando F=1 flujo crítico F>1 Flujo supercrítico y F<1 flujo subcrítico.

V 2 2 g

=

D 2

(3.5)

Ahora si tomamos la ecuación 3.4 y despejamos el caudal, asumimos una energía (E) constante y graficamos tenemos la Figura 3.3.


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Hidráulica II

Figura 3.3. Curva de caudal contra altura de flujo con energía específica constante. La Figura 3.3 es muestra que para el caudal máximo existe un único punto altura de lámina (yn) llamada altura crítica y un mismo caudal se puede dar para dos alturas de flujo diferentes pero con diferentes regimenes de flujo (Y1 mayor velocidad que Y2).

Energía especifica en una sección rectangular Para un canal con sección transversal rectangular de base b, y profundidad de flujo (y). La ecuación de energía específica adquiere la siguiente forma:

E = Y +

q2 2 gY 2

(3.6)

Donde: q = es el caudal por unidad de ancho (q=Q/b en m3/seg/m). Ahora si aplicamos la condición de flujo crítico específica para un canal rectangular tenemos:


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V

2

2 g

=

D 2

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=

A 2T

=

bY c 2b

=

Y c 2

(3.7)

Ahora reemplazando el resultado de la ecuación 3.7 en la ecuación 3.6 tenemos y aplicando condición de flujo crítico tenemos:

E min = Y +

V 2 2 g

= Y c +

Y c 2

3

= Y c 2

(3.8)

Es decir que para un canal rectangular con caudal constante la energía especifica mínima es 1.5 veces la altura crítica. Ahora si reemplazamos en la ecuación 3.7 en términos de caudal y área de flujo en condiciones críticas tenemos:

Y c 2

=

V 2 2 g

=

q2 2 gY c

2

(3.9)

Despejando Yc de la ecuación 3.9 tenemos:

1

⎛ q 2 ⎞ 3 ⎟⎟ Y c = ⎜⎜ g ⎝ ⎠

(3.10)

Cambio de energía específica asociada con un caudal fijo El concepto de energía específica puede utilizarse para predecir el comportamiento del flujo que corre, por ejemplo, debajo de una compuerta deslizante como función de la operación de la compuerta. Figura (3.4). Se mencionó anteriormente que para una energía específica diferente de la energía mínima hay dos posibles altura de flujo, una altura subcrítica (es decir profundidad aguas arriba, y una altura supercrítica o lámina aguas abajo. Un mecanismo de control como una


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Hidráulica II

compuerta deslizante tiene una única grafica, Figura 3.4, y el análisis de los niveles se hace a partir de las condiciones de operación.

a) Compuerta deslizante.

b) Apertura mayor de la compuerta para el mismo caudal.(y ’y ’’).

c) Energía especifica constante y caudal mayor. (y***y ‘’ ).


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Figura 3.4. Diagramas de energía específica bajo una compuerta deslizante En la figura 3.5 se aprecian las aplicaciones prácticas del concepto de energía específica para transiciones de flujos en canales abiertos. Para un cambio de elevación del lecho las condiciones del flujo aguas abajo (E2,y2) pueden deducirse directamente de la gráfica de energía específica Vs profundidad del flujo. Las cuales son función de las condiciones aguas arriba y de la elevación del lecho (∆zo).

Figura 3.5. Aplicaciones de energía específica (transición).


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Figura 3.5. Aplicaciones de energía específica (transición). Nota: La flecha indica hacia donde se mueve el flujo. Los subíndices 1 y dos indican las profundidades aguas arriba y aguas abajo respectivamente.

3.5. Cálculo del flujo crítico A continuación se presentaran mecanismos para obtener la profundidad crítica (Yc) y demás elementos hidráulicos y geométricos de la sección transversal de un canal, basados en la condición primordial de flujo crítico (ec 3.5) y reemplazando en esta el valor de la ecuación 1.5 tenemos:

V

2

2 g

=

Q

2

=

Z c

2

(3.11)

= Ac Dc

(3.12)

2 gA 2

2 A2

Y despejando Z tenemos:

Z c =

Q g


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Hidráulica II

El subíndice “C” indica que los términos involucrados corresponden a la condición de flujo crítico. La ecuación 3.12 indica que el factor de sección de un canal es únicamente función de la profundidad de flujo. Al reemplazar el factor de sección (Z) y área mojada para formas geométricas conocidas y al dejarlas en forma adimensional surgen ábacos muy útiles en etapas de diseño (ver problema 3.3.

A continuación se presentan 2 métodos que permiten el cálculo de la profundidad crítica.

Método de aproximaciones sucesivas o “tanteo”. El método de las aproximaciones sucesivas o tanteo se resume en los siguientes pasos: a) Calcular el factor de sección Z en función del caudal y gravedad (ecuación 3.12). b) Suponer valores de altura de lámina (y) y calcular el factor de sección en función al área y a la profundidad hidráulica (ec 1.5). c) Cuando el valor obtenido en la parte a) dividido en el valor obtenido en la parte b) sea casi igual a 1.0 esa será la solución al problema. Es decir cuando las respuestas encontradas tanto en a) como en b) sean muy similares.

Método gráfico. Este método se basa en la utilización de curvas adimensionales (ver problema 3.3. El procedimiento es el siguiente: a) Calcular el valor del factor de sección adimensional

Z c b

2.5

Q

mediante la expresión

b 2.5 g

.

b) Leer el valor obtenido en el punto a) en las abscisas y luego se desplaza hasta la curva de talud dada (z). c) Luego se desplaza horizontalmente hasta leer el valor de la ordenada dada

Y c b

.

d) La altura crítica (Yc) es igual al valor leído en la parte c) multiplicado por la base.


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3.6. Exponente hidráulico para el cálculo de flujo crítico (M). Como sabemos, el facto de sección (Z) puede expresarse como una función de la profundidad de flujo para un canal dado. Para el cálculo del flujo gradualmente variado es muy conveniente expresar el factor de sección (Z) como lo muestra la ecuación 3.13.

Z 2 = Cy M

(3.13)

Donde: C = coeficiente. y = profundidad del flujo. M = Exponente hidráulico para flujo crítico.

Al aplicar logaritmo natural a ambos lados y al derivar respecto a “y” la ecuación 3.13 tenemos: 2 ln Z = ln C + M ln y

(3.14)

2 ln Z = ln C + M ln y

(3.15)

ln Z =

ln C M ln y 2

d dy

+

2

(ln Z ) =

M 2 y

(3.16)

(3.17)

Ahora Z = A D =

A T

3 1

2

= Z

(3.18)

2


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Hidráulica II

Realizando el mismo procedimiento (aplicando logaritmos a ambos lados y derivando respecto a “y”) a la ecuación 3.18 tenemos:

3 2

3 dA 2 A dy

−

ln A −

1 2

1 dT 2T dy

3T 2 A

−

2 z 2T

ln T = ln Z

=

=

d dy

d dy

(3.19)

(ln Z )

(3.20)

(ln Z )

(3.21)

Igualando las ecuaciones 3.17 y 3.21 tenemos:

M 2 y

=

3T 2 A

−

2 z 2T

(3.22)

Ahora si reemplazamos las ecuaciones de T, M y A, y despejamos M tenemos la siguiente expresión que solo depende de los datos geométricos (z, b) y de la profundidad de flujo (y). Al graficar tenemos la Figura 3.6.

M = 3

(1 + 2 z ( y / b) ) 1 + z ( y / b)

−

2 z ( y / b) 1 + 2 z ( y / b)


(3.23)

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Hidráulica II

Figura 3.6. Curva de valores de M.

3.7. Flujo crítico, subcrítico y supercrítico Flujo crítico es la condición de flujo en la cual la energía utilizada es mínima para un caudal determinado. Las condiciones de flujo crítico se dan para una velocidad, un tirante y una pendiente determinados y estos se conocen como velocidad crítica, tirante crítico y pendiente crítica.

Los flujos subcrítico y supercrítico se presentan cuando la energía en un punto del canal está por encima de la energía mínima; los valores de velocidad y tirante son inversamente proporcionales para los dos tipos de flujos, es decir, para el flujo subcrítico, la velocidad es menor a la crítica y el tirante es mayor al crítico, y para el flujo supercrítico la velocidad es mayor a la critica y el tirante es menor al crítico.

Para un valor de energía determinada diferente a la mínima, se presentan dos tirantes llamados tirantes alternos, los cuales se presentan, uno para la condición de flujo subcrítico y el otro para flujo supercrítico como se ve en la Figura 3.2. Esto no quiere decir que para un canal de sección y


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Hidráulica II

pendiente constante se pueda pasar fácilmente de flujo subcrítico a supercrítico o viceversa, debido a que para esto se necesita pasar primero por el flujo crítico.

Cuando se pasa de flujo supercrítico a subcrítico el valor del tirante aumenta con gran rapidez y la velocidad disminuye, eso se conoce como Salto Hidráulico y generalmente se utiliza para la disipación de energía debido a la gran turbulencia que se presenta en la transición del flujo.

3.8. Fenómenos locales En canales es común que se presente cambios de flujo ya sea de flujo subcrítico a supercrítico y viceversa. La manifestación de los cambios se hace evidente al aumentar o decrecer el nivel de agua en el sentido de flujo. Cuando el cambio sucede en una distancia corta y con rapidez el flujo es rápidamente variado (ver Tabla 1.1) y se conoce como fenómeno local. Un ejemplo de lo anterior es una caída hidráulica y el resalto hidráulico.

Un resalto hidráulico se caracteriza por la transición de flujo supercrítico a flujo subcrítico (ver Figura 3.7) se caracteriza por una fuerte disipación de energía, turbulencia a gran escala por ondas superficiales y por rocío. En un resalto hidráulico la profundidad del flujo agras abajo (y2) es mayor que la profundidad del flujo aguas arriba (y1); el parámetro más importante es el número de froude aguas arriba.


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Hidráulica II

Figura 3.7. Resalto hidráulico utilizado como dispositivo de mezcla en plantas de tratamiento. La ecuación que relación las alturas Y2 y Y1 se basa en plantear una ecuación de equilibrio en términos de fuerza específica, lo que da una ecuación cuadrática cuya solución es la siguiente ecuación: Y 2 Y 1

=

(− 1 + 2

1

1 + 8 F 1

2

)

(3.23)

Donde: Y1 = Altura de flujo aguas arriba. Y2 = altura de flujo aguas abajo. F1 = Número de froude aguas arriba.

La longitud de remolino o longitud de transición se puede estimar mediante fórmulas empíricas que han sido calibradas a lo largo del tiempo, una de estas fórmulas la propuso Chow (1973) y es la ecuación 3.24. Su aplicabilidad esta en valores de número de Froude entre 2 y 16 [2
⎛ F ⎞ = 160 tanh ⎜ 1 ⎟ − 12 Y 1 ⎝ 20 ⎠ L


(3.24)

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Hidráulica II

Tabla 3.1. Clasificación de los resaltos hidráulicos según Chow.

F1

Definición (Chow 1973)

1

Flujo crítico

Sin resalto hidráulico

Resalto ondular

Ondulaciones en la superficie libre que se desarrollan aguas abajo

1 a 1.7

Notas

del resalto a lo largo de distancias considerables. Pérdidas de energía insignificantes.

1.7 a

Resalto débil

Pérdidas de energía bajas.

Resalto oscilante

Superficie libre ondulante. Resalto oscilante inestable. Producción

2.5 2.5 a

de ondas largas en un periodo irregular, produce una ola grande

4.5

que viaja lejos aguas abajo, dañando y erosionando las orillas. Si es posible se debe evitar este tipo de resalto.

4.5 a

Resalto estacionario

aguas abajo, es decir, nivel de agua a la salida.

9.0 > 9.0

40 a 75% de disipación de energía. No sensible a las condiciones

Resalto fuerte

Diseño económico óptimo. Resalto brusco. Hasta 80% de disipación de energía. Riesgo de erosión en el canal. Se debe evitar.


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Hidráulica II

Ejercicios 3.1. Por un canal rectangular circula un caudal de 8.5 m3/s. Calcule la altura crítica (yc), la velocidad crítica, la energía mínima. Con: a) Un ancho de 4.0 m y b) Ancho de 4.5 m. c) que pendiente produciría la velocidad crítica en b) si el coeficiente de rugosidad de Manning (n) es igual a 0.020.

Solución a) La ecuación 3.10 permite obtener la altura o profundidad crítica, pero primero calculamos el caudal por unidad de ancho q. Q

q=

b

⎛ q 2 ⎞ ⎟⎟ Y c = ⎜⎜ g ⎝ ⎠

1 3

=

8.5m 3 / s 4.0m

= 2.125m 3 / s / m

⎛ (2.125m 3 / s / m) 2 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 9 . 81 m / s ⎝ ⎠

1 3

= 0.772m

Ahora de la ecuación 3.7 despejamos la velocidad y reemplazamos V c = gY c = 9.81m / s 2 (0.772m) = 2.75m / s

La energía mínima se obtiene aplicando la ecuación 3.8. luego. E min =

3 2

Y c =

3 2

(0.772m) = 1.16m

b) Ahora se repiten los cálculos pero con b=4.5 m.


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q=

⎛ q 2 ⎞ ⎟⎟ Y c = ⎜⎜ g ⎝ ⎠

Q b 1 3

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=

8.5m 3 / s 4.5m

= 1.89m 3 / s / m

⎛ (1.89m 3 / s / m) 2 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 9 . 81 m / s ⎝ ⎠

1 3

= 0.714m

V c = gY c = 9.81m / s 2 (0.714m) = 2.65m / s

La energía mínima: E min =

3 2

Y c =

3 2

(0.714m) = 1.07m

c) La pendiente que produciría la velocidad crítica se obtiene despejando S de la ecuación de Manning. 2

⎛ V (n) ⎞ S c = ⎜ c 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ R 3 ⎠

2

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2.65m / s (0.020) ⎟ = 0.006356 ≅ 0.64% =⎜ 2 ⎜ ⎛ 4.5m(0.714m) ⎞ 3 ⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ 4 . 5 m 2 ( 0 . 714 m ) + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Una solución alterna a este problema puede ser gráfica. Si se plantea la ecuación de energía especifica y se grafica esta ecuación dando valores de alturas de flujo que se van incrementando gradualmente. Y del gráfico se leerían los valores de altura crítica, energía mínima y con estos valores se calcularían las demás incógnitas.


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3.2. Por un canal rectangular de base 6.0 m, circula un caudal de 60 m3/s a una velocidad de 1.5m/s. En el canal se presenta un escalón de 0.6m de altura. El lecho del canal aguas abajo y aguas arriba del escalón es horizontal y liso. Calcule: a) Alturas de lámina de flujo aguas arriba (Y1), aguas abajo(Y2). b) La altura de lámina de flujo crítica (Yc). c) La energía mínima.

Solución Lo primero es analizar los datos suministrados por el problema y analizar cual es el problema (ver Figura 3.5). Luego se realiza un dibujo que represente el problema y finalmente se aplican las ecuaciones en función a los datos con que se cuentan.

a) El flujo se mueve del punto 1 al punto 2. De entrada asumimos que la lámina de flujo aguas abajo será mayor. La altura aguas arriba la podemos obtener aplicando la ecuación de continuidad. Q = VA pero A = bY 1 Y 1 =

Q Vb

=

60m 3 / s 1.5m / s (6.0m)

= 6.67 m

La energía en 1 será: E 1 = Y 1 +

V 1

2

2 g

= 6.67m +

(1.5m / s) 2 2 * (9.81m / s 2 )

= 6.78m

Para identificar en que régimen se encuentra el flujo calculamos el número de Froude.


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F 1 =

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V 1

=

gY 1

1.5m / s 9.81m / s 2 (6.67m)

= 0.19

Lo cual indica que el flujo está en estado subcrítico.

De la gráfica del problema podemos plantear la siguiente ecuación: E 1 + ∆ z 1 = E 2 E 2 = E 1 + ∆ z 1 = 6.78m + 0.60m = 7.38m

Teniendo la energía en el punto 2 despejamos la altura de lámina Y2.

E 2 = Y 2 +

Q2 2 g (bY 2 ) 2

3

7.38m = Y 2 +

(60m / s ) 2

2 2

2(9.81m / s )(6 )Y 2

2

= Y 2 +

5.0968 Y 2

La anterior ecuación se puede resolver introduciendo la ecuación a una calculadora y solucionando para Y2 o mediante aproximaciones sucesivas tomando como punto de partida una altura de lámina Y2 e ir aumentando hasta que se cumpla la igualdad en ambos lados de esta ecuación (7.38m≅7.38m). Para efectos prácticos esta vez se va a resolver de ambas formas.

Aproximaciones sucesivas. (Utilizando hoja electrónica) Se construye una tabla donde la primera columna sea el valor de la energía 2 (E2). En la siguiente columna se colocan los valores de alturas de lámina supuestas de Y 2. y con este valor se calcula la energía 2 (E2) última ecuación planteada (lado derecho). En la última columna se tiene un estimativo del error porcentual entre la energía calculada (Ysup)y la que debe dar (7.38m).


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Hidráulica II

Luego tenemos:

La altura Y2 es igual a 7.29m. La solución por medio de calculadora programable es introducir la última fórmula y resolver para Y2 .

De igual forma aproximadamente da que Y2 es igual a 7.29m. Aunque 0.89m también es una solución para esta ecuación polinómica, pero este valor lo descartamos por no ser lógico para este caso. La velocidad en el punto dos es: V 2 =

Q A

=

60m 3 / s 6m(7.29m)

= 1.37m / s

Para identificar en que régimen se encuentra el flujo aguas abajo calculamos el número de Froude.

F 2 =

V 2 gY 2

=

1.37m / s 2

= 0.162

9.81m / s (7.29m)


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Hidráulica II

Lo cual indica que el flujo aguas abajo también está en estado subcrítico.

Note que la energía específica en el punto (2) es mayor que la energía específica en el punto (1) lo que indica que la lámina en el punto (2) es mayor que la lámina en el punto (1). Esto resultaba obvio al analizar el gráfico.

c) La energía mínima se calcula con la altura crítica (Yc).

⎛ q 2 ⎞ ⎟⎟ Y c = ⎜⎜ ⎝ g ⎠

1 3

⎛ (60m 3 / s) 2 ⎞ ⎟ = ⎜⎜ 2 2 ⎟ ⎝ 9.81m / s (6m) ⎠

E min =

3 2

Y c =

3 2

1 3

= 2.17m

(2.17m) = 3.25m

Al calcular la altura crítica también podemos confirmar que en ambos casos se trata de flujo subcrítico. Pues las alturas de flujo en los puntos 1 y 2 son mayores a la altura crítica.


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Hidráulica II

3.3. Construya el ábaco respectivo que permita resolver problemas asociados al flujo crítico para canales rectangulares (z=0) y canales trapezoidales con Z variando entre 0.5 y 4.0.

Solución Lo usual de estos ábacos es que caracterizan el canal en función al factor de sección. Luego se reemplaza con las formulas deducida en el problema 1.5. recordando que cuando el talud (z) es igual a cero (0) se trata de un canal rectangular. Entonces tenemos:

1

((b + zy) y )((b + zy ) y ) 2 D = 1 (b + 2 zy ) 2

Z = A

Simplificando tenemos

((b + zy ) y )1.5 Z = 1 (b + 2 zy ) 2 Ahora dividiendo la ecuación entre

1 b

6

, simplificando y agrupando convenientemente tenemos:

2

Z =

[((1 + z ( y / b )( y / b)]1.5 ⎛ 1 ⎞ ⎜ 2.5 (1 + 2 z ( y / b) ⎟ ⎝ b ⎠

1

2

Finalmente convertimos la ecuación anterior en adimensional dividiendo a ambos lados por Z b 2.5

1 b 2.5

[((1 + z ( y / b )( y / b)]1.5 = 1 (1 + 2 z ( y / b ) 2

Si graficamos la anterior ecuación en escala logarítmica, con ayuda de una hoja electrónica, tenemos el ábaco buscado. Adicional se coloca la gráfica para secciones transversales circulares.


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Hidráulica II

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3.4. Por un canal de sección rectangular circula un caudal de 4.0 m3/s. El ancho del canal es 2.2 m. y la profundidad de flujo es de (Yn=2m). Calcular las características geométricas e hidráulicas de la sección transversal de flujo bajo condiciones críticas. Utilice el método del tanteo. Elabore un cuadro comparativo entre el flujo normal y el flujo crítico.

Solución Calcular el factor de sección Z en función del caudal y gravedad (ecuación 3.12). Z c =

Q g

=

4.0m 3 / s 9.81m / s

2

= 1.2771 ≅ 1.28

Suponer valores de altura de lámina (y) y calcular el factor de sección en función al área y a la profundidad hidráulica (ec 1.5). (Columna 4 siguiente tabla). Observamos que para el valor obtenido en la parte a) dividido en el valor obtenido en la parte b) sea casi igual a 1.0 esa será la solución al problema (error (%) aproximadamente cero). Es decir para Yc=0.696m.

El cuadro resumen de características hidráulicas y geométricas es el siguiente:


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3.5. Resuelva el problema 3.4 por el método grafico utilizando el ábaco del problema 3.3.

Solución Primero calculamos el valor del factor de sección adimensional Q b

2.5

= g

4m 3 / s (2.2m) 2.5 9.81m / s 2

Z c b

2.5

mediante la expresión.

= 0.18

Ahora leemos del ábaco del problema 3.3 el valor obtenido en el punto a) en las abscisas y luego nos desplazamos hasta la curva de talud dada (z). Luego se desplaza horizontalmente hasta leer el valor de la ordenada dada

Y c b

≅ 0.32 .

La altura crítica (Yc) es igual al valor leído en la parte c) multiplicado por la base Yc = 0.32(2.2m) = 0.70m

La diferencia entre el cálculo con el método gráfico y el método del tanteo es inferior al 1%.

Y cTanteo Y cGráfico

=

(0.696m − 0.70m) 0.696m

(100) = −0.57%


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Hidráulica II

3.6. Por un canal rectangular circula un caudal de 6m3/s. con una profundidad de flujo de 2.0 metros, con So=0. En un tramo de 10 metros se presenta una contracción del canal de una base de 2.0 metros pasa a una base de 1.30 metros. Calcule el perfil de flujo que se presenta y además calcular y dibujar el perfil de profundidades alternas.

Solución El planteamiento del problema es el siguiente. Se debe calcular primero las condiciones de flujo, Además de la energía especifica para la condición inicial (antes de la contracción) seguidamente se plantean las ecuaciones para resolver el problema (ecuación de energía especifica, que debe ser la misma en cada sección del canal) disminuyendo la sección del canal gradualmente. B=2.0m, b=1.9m, b=1.8m…. hasta b=1.3m. La solución es la misma realizada en el problema 3.2; pero esta vez únicamente se resolverá con ayuda de una calculadora programable. El planteamiento propuesto para la solución al problema se resume en la siguiente tabla. Y los cálculos de cada columna se resumen a continuación.

1 : Se plantea la reducción del canal de 10 centímetros en cada tramo. Lo que indica que se deben resolver 8 ecuaciones de energía específica. 2 : Es la altura de lámina normal (dato del problema). 3 : Como se tiene el caudal y los datos para calcular el área se despeja el caudal de la ecuación de continuidad (Q=VA).


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Hidráulica II

4 : Se calcula el número de Froude, teniendo en cuenta que para secciones rectangulares D=Y. F =

V gY

= 0.34 . Lo que indica que el flujo esta en estado subcrítico (F<1)

5 : Se calcula la energía específica acorde con la ecuación 3.6. (se tienen todas las variables). 6 : Se calcula el caudal por unidad de ancho. (q=Q/b) para cada condición de ancho de base. 7 : Se calcula altura de lámina crítica con la ecuación 3.10. 8 : Se calcula el caudal por unidad de ancho máximo q max = ( gYc 3 ) 9 : Como de la ecuación de energía específica E = Y +

q2 2 gY

2

1

2

donde ya se tiene el valor de la

energía y del caudal por unidad de ancho (columna 6) se calcula el valor del numerador con los datos de “q” y de “g” y la ecuación queda así: E = Y +

Cte Y 2

donde Cte =

q2 2 g

10 y 11 : Son los valores de las raíces de la ecuación de energía específica. Luego el perfil de flujo y el perfil de profundidades alternas en el tramo de 10 metros (contracción) quedan de la siguiente forma:


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Hidráulica II

3.7. Lo han comisionado para que determine que tan cerca pueden acercarse los estribos de un puente para que el nivel aguas arriba del río no se vea afectado si en la construcción debe atravesarse un canal rectangular de 45m de ancho con el puente. Se ha determinado que el caudal que se maneja es de 200 m 3/s para una profundidad de 4.5 metros.

Solución

El planteamiento del problema es muy sencillo. Se debe calcular con los datos brindados la altura crítica, luego el caudal crítico por unidad de ancho y relacionarlo con el caudal dado y despejar el valor de ancho.

V =

Q bY

=

200m 3 / s 45m(4.5mm)

= 0.99m / s

Ahora se calcula la energía específica y luego la altura crítica.

E = Y +

V 2 2 g

= 4.5m +

(0.99m / s) 2 2 * 9.81m / s 2


= 4.55m

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Hidráulica II

Donde 2 2 Yc = E = (4.55m) = 3.03m 3 3

Calculando el caudal máximo por unidad de ancho tenemos:

q max = gYc 3 = 9.81m / s 2 (3.03m) 3 = 16.545m 3 / s / m

Finalmente obtenemos el valor de la separación crítica (bc)

q max = bc =

Q q max

=

Q bc

200m 3 / s 3

16.545m / s / m

= 12.08m

Los estribos del puente se pueden acercas hasta 12.08 metros para no afectar el nivel aguas arriba.

3.8. Por un canal rectangular de base 5.0 metros, de fondo plano circula un caudal de 35 m 3/s. y una profundidad (Y) igual a 1.1 m. Si se presenta un resalto hidráulico calcular la profundidad aguas abajo y la pérdida de energía.

Solución Con los datos que se tienen del flujo aguas arriba se procede a calcular el número de Froude pero antes se debe calcular la velocidad en el punto 1. Luego con la ecuación que relaciona las alturas (aguas arriba y aguas abajo) de un resalto hidráulico (ec 3.23) se despeja la atura (Y 2); finalmente se calculan las diferencias de energía entre los puntos 1 y 2 (Pérdida de energía).


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Hidráulica II

Velocidad en el punto 1. V =

Q A

=

35m 3 5m(1.1m)

= 6.36m / s

El número de Froude para esta sección es:

V 1

F 1 =

6.36m / s

=

9.81m / s 2 (1.1m)

gY 1

= 1.94

Lo cual indica que es flujo supercrítico y además se clasifica como un resalto débil (ver Tabla 3.1).

Ahora se calcula la relación de alturas en un resalto (ec 3.23)

Y 2 Y 1

=

(− 1 + 2

1

1 + 8F 1

2

) = 12 (− 1 +

1 + 8(1.94)

2

) = 2.28

Y 2 = 1.1m(2.28) = 2.51m

Ahora calculamos la energía específica en cada punto así: E 1 = Y 1 +

E 2 = Y 2 +

Q2 2 g (bY 2 ) 2

V 1

2

2 g

= 1.1m +

= 2.51m +

(6.36m / s) 2 2(981m / s 2 )

= 3.164m

(35m 3 / s) 2 2(981m / s 2 )(5m) 2 (2.51m) 2

= 2.909m

Luego la pérdida de energía es igual a (3.164m – 2.909m)=0.255 metros.


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Hidráulica II

3.9. Un salto de agua se establece sobre un canal de sección transversal rectangular de ancho igual a 15 m. El caudal transportado es de 150m3/s. Al final del salto sobre un fondo horizontal la profundidad del flujo es 3 metros, la cual da lugar a la formación de un salto hidráulico. Calcular a) La profundidad aguas arriba del salto, la velocidad del flujo en las dos secciones y la pérdida de energía. b) Si la potencia de energía disipada en el resalto pudiera transformarse en energía, Cuantos bombillos de 100 W podrían ser encendidos por el resalto?.

Solución Hay que tener presente que como dato inicial se da la altura de flujo aguas abajo, y para utilizar la ecuación 3.23 se debe trabajar con el número de Froude de la sección aguas arriba, por tanto se debe trabajar literalmente esta expresión e incluir este término en la ecuación 3.23 y despejar.

a) El número de Froude para la sección 1 es:

F 1 =

V 1 gY 1

Q

=

bY 1 gY 1 F 1 = 2

q

= Y 1

3

2

g

q2 3

Y 1 g

De la ecuación 3.23 se tiene:

Y 2 Y 1

De l problema: q =

Q b

1

=

2

(− 1 +

1 + 8 F 1

2

)

1 ⎛ ⎜

q 2 ⎞⎟ = − 1 + 1 + 8( 3 ) 2 ⎜⎝ Y 1 g ⎠⎟

3

=

150m / s 15m

= 10m 3 / s / m

Resolviendo la ecuación con ayuda de una calculadora programable se tiene que: Y 1 = 1.51m



Hidráulica II

Calculando la velocidad en cada tramo tenemos:

V 1 =

Q

=

A1

Q

V 2 =

A2

150m3 / s 15m(1.51m)

=

150m3 / s 15m(3m)

= 6.62m / s

= 3.33m / s

Ahora calculamos la energía específica en cada punto.

V 1

E 1 = Y 1 +

2

2 g

E 2 = Y 2 +

V 2

= 1.51m +

2

2 g

= 3m +

(6.62m / s) 2 2(981m / s 2 )

(6.62m / s )

= 3.745m

2

2(981m / s 2 )

= 3.566m

Luego la pérdida de energía es igual a (3.745m – 3.566m)=0.179 metros.

b) La potencia hidráulica disipada por el resalto es igual a:

ρ gQ∆ H = 998.2

kg m3

(9.81)

m s 2

(150)

m3 s

(0.179)m = 262987W

La potencia disipada por el resalto equivale a 262987 Watts lo que permitiría encender 2630 bombillos de 100W aproximadamente.


Flujo Critico

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