Radio Critico de to

r égimen permanente unidireccional unidireccional Tema 2. Ecuación general de conducción del calor. Aplicación al régimen

CAPÍTULO 2. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN 2. TEMA 2: ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN. APLICACIÓN AL RÉGIMEN PERMANENTE PERMANENTE UNIDIRECCIONAL 16 2.1 INTRODUCCIÓN

16

2.2 ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN CONDUCCIÓ N DEL CALOR

16

2.3 APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN A PAREDES PLANAS 2.3.1 Pared plana de capa única 2.3.2 Pared plana de capas múltiples con temperaturas de contorno conocidas 2.3.3 Analogía eléctrica. Concepto de resistencia térmica 2.3.4 Resistencia térmica de contacto

20 20 22 23 24

2.4 APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN A PAREDES CILÍNDRICAS 2.4.1 Pared cilíndrica de capa única 2.4.2 Pared cilíndrica de capas múltiples con temperaturas de contorno conocidas

25 25 27

2.5 APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN A PAREDES ESFÉRICAS 2.5.1 Pared esférica de capa única 2.5.2 Pared esférica de capas múltiples con temperaturas de contorno conocidas

28 28 29

2.6 SUPERFICIES DE CONTORNO RODEADAS POR FLUIDOS DE TEMPERATURA CONOCIDA

29

2.7 EL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN TRANSMISIÓ N DE CALOR

31

2.8 ESPESOR CRÍTICO DE AISLAMIENTO EN TUBERÍAS

32

- 15 -

Capítulo 2. Transmisión de calor por conducción

CAPÍTULO 2. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN 2. TEMA 2: ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN. APLICACIÓN AL RÉGIMEN PERMANENTE UNIDIRECCIONAL 2.1 INTRODUCCIÓN

En este tema se va a presentar la ecuación general que rige la transmisión de calor por conducción (apartado 2.2). A continuación, en el resto de apartados, se aplica dicha ecuación al estudio de la conducción del calor en régimen permanente, es decir, permaneciendo la temperatura en cualquier punto del cuerpo invariable con el tiempo, t iempo, y unidireccional, es decir, que sólo se precisa de una coordenada espacial para describir la distribución de temperaturas dentro del cuerpo. Un ejemplo habitual de este tipo de régimen es el caso de una pared plana sometida a una diferencia de temperaturas entre sus superficies interna y externa, lo que da lugar a un flujo de calor entre ellas. Siendo el alto y ancho de la pared mucho mayores que el espesor de la misma, puede considerarse a este último como la única dimensión a través de la cual existe conducción del calor. Por tanto, el flujo de calor será unidireccional y, en consecuencia, la temperatura en cualquier punto de la pared será únicamente función de su localización en una sección determinada (perpendicular a la dirección de la transferencia de calor). Otros casos típicos de conducción unidireccional son los cilindros muy largos (por ejemplo, tuberías) o los contenedores de forma esférica, donde la conducción de calor y el gradiente de temperaturas se desarrollan en la dirección radial. 2.2 ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN DEL CALOR

El problema de la conducción del calor consiste en determinar la temperatura en cualquier momento y en cualquier punto del cuerpo que se estudia. Una vez conocida la distribución de temperaturas, es posible calcular el flujo de calor (y la propia tasa de calor) en cualquier punto e instante de tiempo sin más que aplicar la ley de Fourier, presentada en el Tema 1. La deducción de la ecuación general de la conducción necesita de un balance de energía. En un sistema cualquiera, la diferencia entre la energía (calor) aportada ( Q& ent ) al sistema y la & ), debe ser energía (calor) cedida por el mismo ( Q& sal ), más la energía generada en él ( E gen & ), ecuación (2.1). En dicha igual a la variación de la energía almacenada en el interior ( E alm ecuación se utiliza tasa de energía (energía en la unidad de tiempo) en lugar de energía, que es igualmente válida. & = E & Q& ent − Q& sal + E gen alm

(2.1)

Supóngase un paralelepípedo infinitesimal de aristas dx, dy, dz , con caras paralelas a los ejes de coordenadas, perteneciente a un cuerpo cualquiera, tal y como se muestra en la Figura 2.1. En este paralelepípedo se calculan a continuación todos los términos de la ecuación anterior, para lo cual se aceptan las siguientes hipótesis de cálculo: - 16 -

Tema 2. Ecuación general de conducción del calor. Aplicación al régimen permanente unidireccional

Sólido homogéneo y con sección transversal constante en cualquiera de las direcciones indicadas por el sistema de coordenadas elegido. Esta condición viene impuesta de inicio, por ser el volumen diferencial considerado para este análisis un paralelepípedo (Figura 2.1) y escoger los ejes de coordenadas paralelos a las aristas. • Densidad y calor específico constantes en el cuerpo • Medio continuo. •

G

C

y F

B

dQ x+dx

dQ x x z

z d

D

H

y d

A

E dx Figura 2.1. Conducción del calor en un paralelepípedo de dimensiones conocidas.

Para realizar el balance de calor que entra y sale del paralelepípedo, considérese primero la dirección del eje x. El calor que entra por conducción en el cuerpo lo hace (suponiendo arbitrariamente conducción en el sentido positivo de los ejes) a través de la superficie ABCD, y su expresión es d Q& x = φ x dydz . El calor que sale del cuerpo (superficie EFGH) se calcula como d Q& x + dx = φ x + dx dydz . Teniendo en cuenta que se trata de un volumen diferencial y desarrollando φ x+dx en serie de Taylor, se llega a la expresión que relaciona φ x+dx y φ x, ecuación (2.2), donde se han despreciado los términos de segundo y mayor orden: φ x + dx = φ x +

δφ x dx δ x

(2.2)

El flujo de energía neta en el elemento debido a la conducción en la dirección x será, por tanto: d Q& x − d Q& x + dx = (φ x − φ x + dx )dydz = −

δφ x dxdydz δ x

(2.3)

Aunque en la Figura 2.1 no se ha representado por simplicidad, el calor que fluye a través del volumen diferencial en las otras direcciones del espacio vendrá dado por las expresiones (2.4) y (2.5): d Q& y − d Q& y + dy = − d Q& z − d Q& z + dz = −

δφ y

dxdydz

(2.4)

δφ z dxdydz δ

(2.5)

δ y

Por tanto, combinando las tres ecuaciones anteriores, la tasa de calor neta que fluye a través del cuerpo por conducción es: δφ x

d Q& ent − d Q& sal = d Q& x − d Q& x + dx + d Q& y − d Q& y + dy + d Q& z − d Q& z + dz = − 

 δ x

- 17 -

+

δφ y δ y

+

δφ z  dxdydz δ z 

(2.6)


La energía generada en el paralelepípedo de la Figura 2.1 se calcula fácilmente con la expresión (2.7), donde g es la tasa de generación de calor por unidad de volumen del cuerpo W  m3  , que puede ser función de la posición en dicho cuerpo ( g = f ( x ,y ,z )).

& = gdV = gdxdydz d E gen

(2.7)

Por último, suponiendo que el proceso ocurre a presión constante, como lo es en todas las aplicaciones consideradas en este texto, la variación de energía almacenada se calcula según la ecuación (2.8): & = mc d E alm p

δ T δ T = ρ c p dxdydz δ t δ t

(2.8)

Balance final de energía: ecuación general de la conducción del calor

Sustituyendo en la ecuación (2.1) las expresiones encontradas para sus términos (ecuaciones (2.6), (2.7) y (2.8)), y simplificando dx·dy·dz , se obtiene:  δφ x

−

 δ x

+

δφ y δ y

+

δφ z  δ T + g = ρ c p  δ z  δ t

(2.9)

Por último, y aplicando la ley de Fourier, se llega finalmente a la ecuación (2.10), conocida como ecuación general de la conducción del calor (en coordenadas cartesianas). La resolución de esta ecuación diferencial proporciona el campo de temperaturas T ( x, y ,z ,t ) en el cuerpo, a partir del cual puede obtenerse la tasa y el flujo de calor por aplicación directa de la ley de Fourier. δ  δ T  δ  δ T  δ  δ T  δ T ρ K K K g c + + + = p δ x  δ x  δ y  δ y  δ z  δ z  δ t

(2.10 )

Nótese que la ecuación (2.10) fue deducida sin restricción alguna sobre la conductividad térmica K y la generación volumétrica de calor g . En el caso más general, éstas pueden ser dependientes de las coordenadas espaciales y de la propia temperatura. Si la conductividad térmica es constante, entonces la expresión anterior adopta la siguiente forma, ∇ 2T +

ρ c p δ T 1 δ T = K K δ t α δ t g

=

(2.11)

donde α es la difusividad térmica, propiedad física del material que fue descrita en el Tema 1, y ∇ 2 es el operador Laplaciano. Para la resolución de la ecuación (2.10) en un caso particular cualquiera se necesita conocer algunas condiciones de contorno. Por ser esta ecuación de segundo orden en cualquiera de las coordenadas espaciales y de primer orden en el tiempo serán necesarias, en el caso general, dos condiciones de contorno por cada coordenada espacial y una condición inicial (distribución de temperaturas para t =0). Las condiciones de contorno más habituales en la práctica se representan en la Figura 2.2 para una sola coordenada espacial (sería análogo en el resto de coordenadas): • Temperatura del cuerpo conocida en la frontera, condición de contorno de primer tipo, o condición de Dirichlet (ecuación (2.12), Figura 2.2 A): - 18 -


T ( x = x0 , t ) = T s

(2.12) • Flujo de calor conocido en un punto, condición de contorno de segundo tipo, o condición de Neumann (ecuación (2.13), Figura 2.2 B). Esta condición de contorno se puede dar aquellas situaciones donde el flujo de calor a través de una superficie se mantiene constante mediante resistencias eléctricas adosadas a la misma. Un caso particular de este tipo de condición es el de superficies adiabáticas (perfectamente aisladas), donde el flujo de calor es nulo (Figura 2.2 C) − K ( x = x0 , t ) •

δ T ( x, t ) = φ s δ x x = x0

(2.13)

Condición de contorno convectiva, condición de tercer tipo, o condición de Robin (ecuación (2.14), Figura 2.2 D). Se trata de una condición muy habitual en casos prácticos, como paredes que separan ambientes o tuberías por cuyo interior circula un fluido. δ T ( x, t ) − K ( x = x0 , t ) = h(T ∞ − T ( x = x0 , t ) ) (2.14) δ x x = x 0

A Ts

B

D h

φs

T( x,t)

T( x,t)

T( x,t)

x xx x 0

C

x xx x 0

T

T( x,t)

x xx x 0

x xx x 0

Figura 2.2. Condiciones de contorno unidimensionales, coordenadas cartesianas.

Para terminar el apartado, es necesario expresar la ecuación general de la conducción del calor en coordenadas cilíndricas y esféricas, útil en aquellas situaciones en las que la geometría del problema pueda ser descrita más fácilmente en ellas (por ejemplo, en tuberías y contenedores esféricos). Si se aplican los sistemas de ejes de la Figura 2.3, las ecuaciones de conducción del calor en coordenadas cilíndricas y esféricas son, respectivamente, las expresiones (2.15) y (2.16). El número de condiciones de contorno necesarias es el mismo que en el caso de coordenadas cartesianas. δ T 1 δ  δ T  1 δ  δ T  δ  δ T  + + + = ρ rK K K g c p   2    

(2.15)

δ  δ T  δ T  δ T 1 1 δ  2 δ T  θ ρ + + + = sen r K K K g c p   2 2 2 δ r  r sen θ δϕ  δϕ  r senθ δθ  δθ  δ t r δ r 

(2.16)

r δ r 

δ r 

r δϕ 

δϕ 

δ z 

1 δ  2

- 19 -

δ z 

δ t


z

z r

θ

y yy x xx

r y yy

ϕ

x xx

ϕ

Figura 2.3. Representación de un punto en un sistema de coordenadas cilíndricas (izquierda) y esféricas (derecha).

2.3

APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN A PAREDES PLANAS

2.3.1 Pared plana de capa única Para paredes planas, donde la conducción del calor ocurre en una sola dirección (a través del espesor de la misma) y en régimen permanente (la temperatura no depende del tiempo), la ecuación general de la conducción del calor en coordenadas cartesianas, ecuación (2.10), se reduce a: d  dT ( x )   K ( x)  + g ( x) = 0 dx  dx 

(2.17)

Éste es el caso de la pared plana de la Figura 2.4, de espesor finito e=b-a, pero de longitud mucho mayor en las demás direcciones ( e<
H

y

e W

x x=a

x=b

z Figura 2.4. Pared plana de capa única. T ( x) = −

1 ∫ K ( x) [∫ g ( x)dx]dx

- 20 -

a ≤ x ≤ b

(2.18)


dT = g ( x) dx dx

∫ Q& ( x) = Aφ ( x ) = A∫ g ( x)dx

φ ( x) = − K ( x)

(2.19)

a ≤ x ≤ b

(2.20)

a ≤ x ≤ b

Ecuaciones para el caso de conductividad térmica constante: K ( x)= K

La integración de las ecuaciones anteriores suponiendo que la conductividad térmica es constante y de valor K , y que la generación interna de calor también es constante ( g ( x)= g 0), conduce a las expresiones (2.21), que dependen de dos constantes de integración, C 1 y C 2, cuyos valores deben buscarse mediante dos condiciones de contorno. g 0

x 2 + C 1 x + C 2 2 K φ ( x) = g 0 x − C 1 K T ( x ) = −

(2.21)

a ≤ x ≤ b

Q& ( x) = A( g 0 x − C 1 K )

Si suponemos que dichas condiciones de contorno son las propias temperaturas en las superficies de la pared ( x=a → T=T a, x=b → T=T b), es posible calcular el valor de las mismas, obteniendo así las siguientes expresiones para la temperatura, flujo y tasa de calor: T ( x) = T a +

g 0 2 (a − x 2 ) + x − a   (T b − T a ) + g 0 (b2 − a 2 )  2 K 2 K b − a  

g T b − T a + 0 (b 2 − a 2 ) 2 K φ ( x) = g 0 x − K b−a

(2.22) a ≤ x ≤ b

Q& ( x ) = Aφ ( x )

Un caso práctico es suponer que la generación interna de calor es nula ( g 0=0), como ocurre con paredes y cerramientos en edificación, y en la mayoría de cuerpos físicos. En ese caso las ecuaciones anteriores se reducen a las expresiones (2.23), (2.24) y (2.25). Se deduce que en este caso (conductividad térmica constante y sin generación de calor) la temperatura aumenta o disminuye linealmente a lo largo del espesor de la pared, y tanto el flujo de calor como el calor por unidad de tiempo (o tasa de calor) son constantes. Esto último es lógico, ya que en régimen permanente y sin generación de calor, los términos de generación y almacenamiento en el balance energético de la ecuación (2.1) son nulos, lo que impone que el calor que entra por conducción en un cuerpo debe también salir ( Q& = cte ). x − a T ( x ) = T a + (T b − T a ) b−a T − T b = cte φ ( x) = K a b−a T − T b = cte Q& ( x) = KA a b−a

a ≤ x ≤ b a ≤ x ≤ b a ≤ x ≤ b

(2.23) (2.24) (2.25)

Ecuaciones para el caso de conductividad térmica variable

Casi todos los cuerpos presentan una dependencia de la conductividad térmica con la temperatura, y, como ya se vio en el capítulo anterior, esta dependencia suele ser lineal y de la

- 21 -


forma K = K 0 (1 + bT ) . Supóngase una pared plana de espesor e, sin generación de calor, y con temperaturas conocidas en las superficies, T a y T b. Aplicando la ley de Fourier se tiene: Q& ( x) = − KA

dT ( x) dx

= − K 0 (1 + bT ) A

dT ( x) dx

(2.26)

Dado que en régimen permanente y sin generación de calor la tasa de calor debe ser constante (ver ecuación (2.20)), la expresión anterior puede integrarse, resultando en:  

Q& = − K 0 1 +

b

2

 T b − T a = cte e 

(T a + T b )  A

(2.27)

Finalmente, la ecuación anterior puede escribirse de la forma, Q& = K m A

T a − T b

(2.28)

e

donde K m es la conductividad térmica evaluada a la media aritmética de las temperaturas de las dos superficies de la pared. En la expresión (2.28) se observa que para el cálculo de la tasa de calor y del flujo de calor son válidas las ecuaciones que consideran conductividad térmica constante (ecuaciones (2.24) y (2.25)) si se evalúa la conductividad a la temperatura media de las superficies de la pared. Esto solamente es válido cuando la conductividad térmica varía linealmente con la temperatura. Por último, la distribución de temperaturas dentro del cuerpo no es la misma que en el caso de conductividad térmica constante. Para encontrar el perfil de temperaturas con conductividad térmica variable es necesario integrar directamente la ecuación (2.26), llegando a una ecuación cuadrática en T . 2.3.2 Pared plana de capas múltiples con temperaturas de contorno conocidas Considérese una pared plana compuesta por varias capas de materiales de diferente espesor y conductividad térmica (se asume que ésta es constante para cada material), y donde no existe generación interna de calor (Figura 2.5). Según la ecuación (2.1), en régimen permanente la tasa de calor en cualquier capa de la pared debe ser constante, y su valor puede calcularse aplicando la ecuación (2.25) en cualquiera de las capas (expresión (2.29)): Q& =

T 1 − T 2 T − T 3 T − T 4 = 2 = 3 e12 e23 e34 AK 12 AK 23 AK 34

(2.29)

T1 K 34

T2

T3

K 12 K 23 e12

e23

e34

T4 x

Figura 2.5. Pared plana de capas múltiples. - 22 -


Despejando las diferencias de temperatura se obtienen las expresiones (2.30), que una vez sumadas permiten eliminar las temperaturas intermedias ( T 2 y T 3) y conocer la tasa de calor en función de las temperaturas extremas (accesibles), ecuación (2.31): T 1 − T 2 = Q&

Q& =

e12 AK 12

T 2 − T 3 = Q&

e23 AK 23

T 3 − T 4 = Q&

e34

(2.30)

AK 34

T 1 − T 4 e12 e e + 23 + 34 AK 12 AK 23 AK 34

(2.31)

Conocido el valor de la tasa de calor con la ecuación anterior, se pueden determinar las temperaturas intermedias empleando las expresiones (2.30). 2.3.3 Analogía eléctrica. Concepto de resistencia térmica En el caso de tener conducción en régimen permanente unidireccional, sin generación de calor y con conductividad térmica constante, se puede establecer una analogía entre la conducción del calor y la conducción de corriente eléctrica (Figura 2.6). Igual que la intensidad de corriente eléctrica se puede entender como un flujo, producido por una diferencia de potencial, al que se opone una resistencia eléctrica ( Re), el calor también se puede expresar como un flujo, promovido en este caso por una diferencia de temperaturas, a cuya circulación se opone una resistencia térmica ( Rt ). T A V A I

Re

V B

I =

Q TB

V A − V B Re

=

∆V

Re

⇔ Q& =

T A − T B Rt

=

∆T

Rt

 Q& ⇔ I  ∆T ⇔ ∆V  R ⇔ R e  t

Figura 2.6. Análisis de la transmisión del calor mediante la analogía eléctrica

Identificando términos entre la ecuación (2.25) y la expresión del calor dada en la Figura 2.6 se observa que la resistencia térmica, Rt , de una pared plana se define como:  K  e =  W  KA

Rt 

(2.32)

Obsérvese en la ecuación (2.32) que la resistencia térmica (resistencia que un cuerpo ofrece al paso del calor) es mayor en el caso de los aislantes, caracterizados por valores pequeños de conductividad térmica. El uso de la analogía eléctrica es particularmente interesante en situaciones con capas múltiples, donde la ecuación (2.31), en el caso general de n capas, se expresa de la forma:

- 23 -


Q& =

T 1 − T n +1

(2.33)

Rt ,12 + Rt , 23 + Rt ,34 + ... + Rt , n n +1

En muchas ocasiones, cuando se trabaja con paredes planas, se desconoce el valor del área normal a la dirección de conducción del calor, A, si bien permanece constante. Es interesante en estos casos aplicar la analogía eléctrica pero identificando el flujo de calor (y no la tasa de calor) con la intensidad de corriente eléctrica. Así, la nueva expresión para el cálculo de la resistencia térmica es:  K ⋅ m 2  e φ = ⇒ Rt   = K W Rt   ∆T

(2.34)

2.3.4 Resistencia térmica de contacto En la discusión desarrollada anteriormente sobre la pared de capas múltiples se suponía que había un contacto perfecto entre las capas adyacentes. De este modo, las temperaturas de dos capas adyacentes son iguales en el plano de contacto. En la práctica, esto no ocurre así. El contacto directo entre los dos materiales sólo tiene lugar en unos puntos concretos, mientras que en las demás zonas existe un fluido que las separa, ver Figura 2.7, que suele ser aire. Por lo tanto, el calor fluye en estos casos no solo por conducción a través de los puntos de contacto, sino también por convección a través de los huecos y, si la temperatura es elevada, por radiación. Esto provoca un descenso de la temperatura en la superficie de contacto entre los dos materiales, Figura 2.7. Si T A y T B representan las temperaturas en la superficie de contacto para cada uno de los materiales, se define la resistencia térmica de contacto como la relación entre la diferencia de temperaturas entre las superficies en contacto y la tasa de calor que las atraviesa, ecuación (2.35): Rtc =

A

B

T A − T B Q&

(2.35)

A T A

B TB

x xx

puntos de contacto fluido atrapado

Figura 2.7. Resistencia térmica de contacto.

En aquellas aplicaciones donde se desee que el flujo de calor a través de la unión sea máximo, los huecos se rellenan con sustancias de mayor conductividad térmica que el aire (de esta forma, la resistencia térmica de contacto disminuye), como puede ser la silicona. En la mayoría de los casos los valores de las resistencias térmicas de contacto se obtienen de forma experimental, y su valor suele ser bastante pequeño. La presencia de resistencias de contacto en paredes de capas múltiples supone resistencias adicionales que deben ser incluidas en la expresión del cálculo del calor. Así, la expresión (2.33) se amplía a (2.36). Nótese en esta - 24 -


ecuación que, en general, las resistencias de contacto son despreciables en el caso de paredes construidas con materiales aislantes (elevada resistencia térmica), pero no pueden despreciarse a efectos de cálculo en el caso de paredes fabricadas con buenos conductores térmicos, como los metales (resistencia térmica muy reducida), ya que en este caso las resistencia de contacto podrían ser el parámetro dominante en la transferencia de calor. Q& =

2.4

T 1 − T n +1 R12 + Rtc , 2 + R23 + Rtc , 3 + R34 + ... + Rtc , n + Rn, n +1

(2.36)

APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN A PAREDES CILÍNDRICAS

2.4.1 Pared cilíndrica de capa única Considérese un cilindro hueco cuyo espesor (diferencia entre el radio externo y el interno) es mucho menor que su longitud, Figura 2.8. En estas condiciones, se pueden despreciar los efectos de borde y el problema se reduce a uno de régimen permanente unidireccional, en el que la distancia radial r es la coordenada a través de la cual se transfiere el calor. Considerando la ecuación general de la conducción del calor en coordenadas cilíndricas, ecuación (2.15), y simplificando, se obtiene la expresión (2.37): 1 d 

dT (r )   K (r ) r  + g (r ) = 0 r dr  dr 

r1

r 1 ≤ r ≤ r 2

(2.37)

r2

L

Figura 2.8. Conducción radial en un cilindro hueco ( L >> r2-r1).

Integrando la ecuación (2.37) y aplicando la ley de Fourier se obtienen las expresiones para la distribución de temperaturas en el cilindro, el flujo de calor y la tasa de calor (ecuaciones (2.38), (2.39) y (2.40), respectivamente). En el caso de cilindros, es muy habitual trabajar con cuerpos de longitud L desconocida, por lo que en lugar de tasa de calor conviene definir la tasa de calor por unidad de longitud. Para el cálculo de ésta se ha tenido en cuenta que el área normal a la dirección de conducción del calor depende del radio de la forma A(r ) = 2πrL . 1 ∫ rK (r ) (∫ rg (r )dr )dr r 1 ≤ r ≤ r 2 dT (r ) 1 φ (r ) = − K (r ) = ∫ rg ( r ) dr r 1 ≤ r ≤ r 2 T (r ) = −

dr

r

- 25 -

(2.38) (2.39)


Q& (r )

dT (r ) = 2π rg ( r )dr = − K (r )2 πr dr

∫

L

r 1 ≤ r ≤ r 2

(2.40)

Ecuaciones para el caso de conductividad térmica constante: K (r )= K

Suponiendo conductividad térmica constante y, además, generación interna de calor también constante ( g (r )= g 0), las expresiones anteriores, una vez integradas, quedan de la siguiente forma: T (r ) = −

g 0

4 K

φ (r ) = Q& (r ) L

r 2 + C 1 ln r + C 2

r 1 ≤ r ≤ r 2

g 0 r C 1 K − 2 r

(2.42)

r 1 ≤ r ≤ r 2

= πr 2 g 0 − 2πC 1 K

(2.41)

(2.43)

r 1 ≤ r ≤ r 2

Nuevamente aparecen dos constantes de integración, por lo que son necesarias dos condiciones de contorno en la coordenada radial para resolver las expresiones anteriores. Si dichas condiciones son las temperaturas en las superficies interior y exterior del cilindro ( r=r 1 → T=T 1, r=r 2 → T=T 2), las ecuaciones anteriores se transforman en: T (r ) = T 1 +

φ (r ) = Q& (r ) L

g 0

4 K

(r 12 − r 2 ) +

g 0 r K − 2 r

T 2 − T 1 +

ln(r/r 1 )  g 0 2 2  − + − ( ) ( ) T T r r 2 1 2 1 ln(r 2 /r 1 )  4 K 

g 0

(r 2 2 − r 12 )

4 K ln(r 2 /r 1 )

r 1 ≤ r ≤ r 2

(2.44)

g 2 2 T 2 − T 1 + 0 (r 2 − r 1 ) 4 K = g 0 πr 2 − 2π K ln(r 2 /r 1 )

Al igual que en el caso de una pared plana, también aquí es útil manejar las expresiones cuando no existen generación de calor (expresiones (2.45), (2.46) y (2.47)), aplicable, por ejemplo, a una tubería por la que circula un fluido a una temperatura distinta a la del ambiente. De dichas ecuaciones se deduce que la cantidad de calor que atraviesa por unidad de longitud y tiempo cualquier superficie de un cilindro hueco, con conductividad térmica constante y sin generación interna de calor, es constante. Sin embargo, el flujo de calor no lo es, ya que la superficie normal a la dirección de la transmisión de calor depende del radio ( A=2πrL). La distribución de temperaturas en el interior varía con el logaritmo natural del radio. Se deduce de la ecuación (2.47) que la resistencia térmica cuando las ecuaciones de conducción están planteadas en coordenadas cilíndricas (ecuación (2.48)) es diferente a la obtenida previamente en cartesianas. T(r) = T 1 +

φ (r) = Q& (r) L

=

ln (r/r 1 ) (T − T ) ln (r 2 /r 1 ) 2 1 K T 1 − T 2 r ln (r 2 /r 1 )

r 1 ≤ r ≤ r 2 r 1 ≤ r ≤ r 2

2π K(T 1 − T 2 ) ln (r 2 /r 1 )

r 1 ≤ r ≤ r 2

- 26 -

(2.45) (2.46) (2.47)


Q& (r) L

=

∆T

Rt

⇒ Rt =

r  ln  2 r 



1 

2π K

;

Q& (r) =

∆T

Rt

⇒ Rt =

r  ln  2 r 



1 

(2.48)

2π KL

Ecuaciones para el caso de conductividad térmica variable K = K 0 (1 + bT ) :

El análisis de este caso es semejante al de paredes planas (apartado 2.3.1), llegándose a las mismas conclusiones: • Las expresiones del flujo (2.46) y la tasa de calor (2.47) son válidas si se usa como conductividad térmica el valor obtenido al evaluar la expresión de la conductividad térmica a la temperatura media entre las superficies interna y externa. • La distribución de temperatura cambia con respecto a la que se obtendría en el caso de conductividad térmica constante. 2.4.2 Pared cilíndrica de capas múltiples con temperaturas de contorno conocidas Considérese un cilindro compuesto por tres capas de diferente material, cada una de las cuales posee una conductividad térmica determinada (Figura 2.9), y donde se conocen las temperaturas de las paredes interior y exterior del cilindro. Según la ecuación (2.47), la tasa de calor por unidad de longitud a través de cada una de las capas será: Q& L

=

(T 1 − T 2 ) (T 2 − T 3 ) (T 3 − T 4 ) = = ln(r 2 / r 1 ) ln(r 3 / r 2 ) ln(r 4 / r 3 ) 2π K 12 2π K 23 2 π K 34

r1

r4

(2.49)

r2

r3

Figura 2.9. Cilindro de capas múltiples.

La eliminación de las incógnitas T 2 y T 3 a través del mismo procedimiento descrito en el apartado 2.3.2 proporciona finalmente la expresión de la tasa de calor en función la temperatura de la superficie interna y externa del cilindro: Q& L

=

T 1 − T 4 ln(r 3 / r 2 )

=

(T 1 − T 4 )

=

∆T total

ln(r 2 / r 1 ) ln(r 4 / r 3 ) Rt ,12 + Rt ,23 + Rt ,34 Rt ,total + + 2π K 12 2π K 23 2π K 34

(2.50)

Igual que en el caso de la pared plana de capas múltiples, se pueden introducir en el denominador de la ecuación anterior las resistencias térmicas de contacto, si las hubiese y no fuesen despreciables.

- 27 -


2.5

APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA CONDUCCIÓN A PAREDES ESFÉRICAS

2.5.1 Pared esférica de capa única Considérese ahora una esfera hueca cuyos radios interno y externo son, respectivamente, r 1 y r 2 (Figura 2.10). La ecuación general de la conducción del calor en coordenadas esféricas, ecuación (2.16), queda reducida a la expresión (2.51), asumiendo conducción únicamente en la dirección radial: 1 d 2

(r 2 K (r )

r dr

dT (r ) ) + g (r ) = 0 dr

r1

r 1 ≤ r ≤ r 2

(2.51)

r2

Figura 2.10. Corte transversal de una esfera hueca.

Integrando la ecuación anterior, se obtienen las siguientes expresiones para la distribución de temperaturas, el flujo de calor y la tasa de calor (siendo en este caso el área a través de la cual se transfiere calor A(r ) = 4πr 2): 1 2 ∫ K (r )r 2 (∫ r g (r )dr )dr 1 φ (r ) = 2 ∫ r 2 g (r )dr r 1 ≤ r ≤ r 2 T (r ) = −

(2.52)

r

∫

Q& (r ) = 4 π r 2 g (r )dr

En el caso de conductividad térmica y generación de calor constantes ( K y g 0, respectivamente), la integración de las ecuaciones anteriores conduce a: g 0 2 C 1 + C 2 r + 6 K r g r C K φ (r ) = 0 + 12 r 1 ≤ r ≤ r 2 3 r T (r ) = −

(2.53)

3

g r Q& (r ) = 4π 0 + 4π KC 1

3

Si se suponen conocidas las temperaturas en las superficies de la esfera, es decir, en r =r 1 → T=T 1 y en r =r 2 → T=T 2, las ecuaciones anteriores se expresan de la forma:

- 28 -


T (r ) = T 1 +

φ(r ) =

1 /r − 1 /r 1  g 0 2 g 0 2 2  − + − ( ) (r 1 − r 2 ) + ( ) T T r r 2 1 2 1 6 K 1 /r 2 − 1 /r 1  6 K 

g 0 r K + 3 r 2

T 2 − T 1 +

g 0

(r 2 2 − r 12 )

6 K 1 /r 2 − 1 /r 1

(2.54)

r 1 ≤ r ≤ r 2

g 2 2 T 2 − T 1 + 0 (r 2 − r 1 ) g r 6 K Q& (r ) = 4π 0 + 4π K 3 1 /r 2 − 1 /r 1 3

En el caso de que la generación de calor sea nula es fácil comprobar que la distribución de temperatura varía con la inversa del radio, mientras que el flujo lo hace con la inversa del cuadrado del radio. El calor (o la tasa de calor) se mantiene constante. Los demás casos no se desarrollan por ser de poca aplicación y deducción análoga a los anteriores. Tan solo indicar que la resistencia térmica de una capa, en coordenadas esféricas, tiene la siguiente expresión: 1 − 1 r r 2 ⇒ Rt = 1 Q& (r ) = 4π K Rt ∆T 12

(2.55)

2.5.2 Pared esférica de capas múltiples con temperaturas de contorno conocidas Este caso es menos frecuente en ingeniería que el caso del cilindro o el de la pared plana, siendo el procedimiento seguido para su obtención igual a los anteriores. La tasa de calor se calcula aplicando la ecuación (2.56), teniendo en cuenta la nueva expresión para la resistencia térmica en coordenadas esféricas, ecuación (2.55). Nuevamente se debe introducir, si las hay, las resistencias térmicas de contacto en el denominador de la ecuación (2.56). Q& =

2.6

∆T total

R12 + R23 + R34 + ...

=

∆T total

1 − 1 1 − 1 1 − 1 r 1 r 2 r 2 r 3 r 3 r 4 + + + ... 4π K 12 4 π K 23 4π K 34

SUPERFICIES DE CONTORNO TEMPERATURA CONOCIDA

RODEADAS

POR

(2.56)

FLUIDOS

DE

En la práctica, las configuraciones anteriormente estudiadas están, por lo general, bañadas por fluidos a ambos lados. Las temperaturas de las superficies interna y externa no son, habitualmente, conocidas, pero sí lo son las de los fluidos. En consecuencia, es necesario disponer de expresiones para el cálculo del calor transmitido en estos casos. Ello se consigue teniendo en cuenta la forma de la ley de enfriamiento de Newton (introducida en el Tema 1), que rige la transmisión de calor por convección, y la expresión de la resistencia térmica de convección, ecuación (2.57): Q& = hAS (T S − T ∞ ) =

T S − T ∞ Rt

⇒ Rt =

1 hAS

(2.57)

Ya que la finalidad de este tema es estudiar la conducción, se introduce el mecanismo de convección sólo para señalar la importancia de esta condición de contorno en un problema de conducción. En todos los temas del presente Capítulo 2 (temas 2, 3 y 4), se supone que el valor del coeficiente de transmisión de calor por convección, h, es conocido. En el Capítulo 3 de este texto se aborda el cálculo de dicho coeficiente. - 29 -


Pared plana bañada por fluidos a diferente temperatura

Supóngase una pared plana (constituida por dos capas de diferente material) limitada en cada cara por fluidos, como se muestra en la Figura 2.11 (donde el subíndice “ i” hace referencia a la superficie interna y “ e” a la externa). La expresión de la tasa de calor, constante por no haber generación interna en la pared, para cada capa/fluido viene dada por la ecuación (2.58). Nótese en ésta que el valor del área superficial de intercambio de calor por convección coincide con la sección transversal de la pared ( AS =A). Q& = hi A(T i , ∞ − T 1 ) =

T 1 − T 3 = he A(T 3 − T e, ∞ ) e12 e23 + K 12 A K 23 A

(2.58)

Ti, T1

Te, he T2

T3

K 12 K 23

Ti, hi e12

e23

Te,

Figura 2.11. Pared plana de capas múltiples bañada por fluidos a distinta temperatura.

Operando de la misma forma que en apartados anteriores, se obtiene la expresión buscada para la tasa de calor en función de la diferencia de temperatura de los fluidos, ecuación (2.59). En el caso que nos ocupa (paredes planas) es fácil obtener la expresión análoga para determinar el flujo de calor sin más que dividir la expresión por el área perpendicular a la transferencia de calor. Q& =

T i , ∞ − T e , ∞ ∆T total ∆T total = = 1 1 e12 e23 Rt Rt , total + + + hi A K 12 A K 23 A he A

∑

(2.59)

Pared cilíndrica bañada por fluidos a diferente temperatura

Este caso, Figura 2.12, tiene un enorme interés práctico ya que los fluidos se transportan, calientan, evaporan y condensan en tuberías, tubos y recipientes cilíndricos. De manera similar al caso anterior, la tasa de calor se calcula ahora con cualquiera de las expresiones (2.60). La ecuación (2.61) proporciona la misma magnitud en función de las temperaturas de los fluidos, conocidas en la mayoría de los casos.

- 30 -


Ti, hi

Te, he

r1

r2

r4 r3

Figura 2.12. Pared cilíndrica de capas múltiples bañada por fluidos. Q& = 2πr 1 Lhi (T i , ∞ − T 1 ) =

Q& =

1 2πr 1 Lhi

2.7

+

(T 1 − T 4 ) = 2 πr 4 Lhe (T 4 − T e , ∞ ) ln(r 2 / r 1 ) ln(r 3 / r 2 ) ln(r 4 / r 3 ) + + 2π LK 12 2π LK 23 2π LK 34 T i , ∞ − T e , ∞ ln(r 3 / r 2 )

ln(r 2 / r 1 ) ln(r 4 / r 3 ) 1 + + + 2π LK 12 2π LK 23 2π LK 34 2πr 4 Lhe

=

∆T total

∑ R

t

=

(2.60)

∆T total

Rt , total

(2.61)

EL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR

Este coeficiente, U , se define como aquella magnitud que multiplicada por el área (en cuya dirección normal se transmite el calor) y por la diferencia total de las temperaturas proporciona la tasa de calor transmitido a través de la configuración considerada:  W  2  m K 

Q& = UA∆T total

U 

(2.62)

Comparando la expresión anterior con la expresión de la tasa de calor empleando la analogía eléctrica, se deduce fácilmente que UA = 1 R . t , total

En el caso de una pared plana de capas múltiples y bañada por fluidos en sus superficies extremas, igualando las expresiones (2.59) y (2.62), se obtiene el valor del coeficiente global de transmisión de calor: U =

1 1 hi

+

e12 K 12

+

e23 K 23

+

1

(2.63)

he

En el caso de una pared cilíndrica como la de la Figura 2.12, el producto UA es constante, tal y como se definió anteriormente, pero el coeficiente U depende de la superficie a la que vaya referido (ya que el área a través de la cual se transmite el calor no es constante). Por su aplicación práctica, se ofrece a continuación las expresiones de dicho coeficiente referidas a la superficie interna y externa ( U i y U e, respectivamente), obtenidas al igualar las ecuaciones (2.61) y (2.62) y despejar el valor del coeficiente global de transmisión de calor. Siguiendo el mismo procedimiento podría encontrarse dicho coeficiente en el caso de recipientes esféricos.

- 31 -


U i =

1 hi

U e =

+

r 4 r 1hi

1 r 1 ln(r 2 / r 1 ) r 1 ln(r 3 / r 2 ) r 1 ln(r 4 / r 3 )

+

K 12

+

+

K 23

K 34

+

1 r 4 ln(r 2 / r 1 ) r 4 ln(r 3 / r 2 ) r 4 ln(r 4 / r 3 ) K 12

+

+

K 23

K 34

r 1

(2.64)

r 4 he

+

1

(2.65)

he

La importancia del coeficiente global de transmisión del calor es que no depende de la temperatura de los fluidos que bañan las paredes (si se desprecia la dependencia del coeficiente de película con la temperatura), sino únicamente de la configuración, materiales y dimensiones de la configuración dada. Por lo tanto, en casos como muros, suelos, ventanas, etc. este coeficiente suele estar tabulado, con el fin de poder realizar cálculos de forma sencilla aplicando la ecuación (2.62). 2.8

ESPESOR CRÍTICO DE AISLAMIENTO EN TUBERÍAS

Supóngase una tubería de espesor despreciable y radio R por cuyo interior circula un fluido caliente a temperatura constante T (Figura 2.13). La tubería está situada en un ambiente exterior de condiciones conocidas ( h, T ∞ ), mientras que la resistencia térmica de convección en el interior de la tubería es despreciable (es decir, la temperatura del fluido interno coincide con la de la tubería). Se propone aislar (material aislante de conductividad K ) dicha tubería para disminuir las pérdidas de calor del fluido interno. A medida que se añade aislante a la tubería (es decir, aumenta r ), disminuye la temperatura de la superficie exterior pero aumenta el área de transmisión de calor por convección, teniendo ambos efectos contrarios en la transmisión de calor. Por tanto, existe un determinado espesor de aislamiento para el cual se produce un óptimo (se comprueba más adelante que es un máximo relativo) en la transmisión de calor. El aumento del área, unido a la disminución de la temperatura de la superficie en contacto con el ambiente, hace que aparezca un máximo en la transferencia de calor, la cual se puede calcular como ) Q& = hA S (T S − T S − T ∞ ) = h 2 πrL(T ∞ .

T h T

r R

Figura 2.13. Radio crítico de aislamiento en una tubería.

Para calcular el radio crítico ( r c) que proporciona el máximo mencionado, se expresa el calor transmitido en función del radio, ecuación (2.66), se impone que la primera derivada sea nula, ecuación (2.67). El valor así obtenido para el radio crítico de aislamiento es r c= K /h, y se comprueba que la segunda derivada evaluada en r c es negativa (condición de máximo relativo).

- 32 -


Q& L

=

2π(T − T ∞ ) 1 ln (r R ) hr

 Q&  d    L 

+

(2.66)

K

 − 1 1   2 + hr Kr  

− 2π(T − T ∞ ) =

dr

1 hr

r c

+

= 0 ⇒ r c =

ln(r R ) K

K h

(2.67)

r c

Si el tamaño de la tubería es tal que Rr c, cualquier adición de aislante reduce la pérdida de calor. En el caso de cuerpos cilíndricos de pequeño diámetro ( D/2< r c), como es el caso de cables de alta tensión conductores de electricidad, la adición de aislante hará aumentar la pérdida de calor (o, si la condición inicial fuese calor transmitido constante, haría disminuir la temperatura del hilo). Por el contrario, las tuberías y conducciones de fluidos suelen tener radios mayores al radio crítico, por lo que cualquier adición de aislante disminuye la transferencia térmica. Q/L

R
R>rc

r

Figura 2.14. Variación del calor transmitido en una tubería al variar el espesor de aislamiento.

- 33 -


- 34 -

Radio Critico de to

Recommend Documents