Meteorología Dinámica Prof: MSc Ever Menacho Casimiro 2013II
Ecuaciones de movimiento Coordenadas altura
du dt dv dt
du dt
1 P x
1 P y
1 P x
fv f v x dt
fv fv
du
fu fu
dv
Fx fv fv
1 P dv Fy fu fu dt y
P Pg z Rd T
Coordenadas de Presion
fu fu dt y
Fx fv f v x dt
du
dv dt
fu Fy fu y
Rd T p p
Ecuaciones de movimiento Coordenadas altura
du dt dv dt
du dt
1 P x
1 P y
1 P x
fv f v x dt
fv fv
du
fu fu
dv
Fx fv fv
1 P dv Fy fu fu dt y
P Pg z Rd T
Coordenadas de Presion
fu fu dt y
Fx fv f v x dt
du
dv dt
fu Fy fu y
Rd T p p
En esta sección s ección vamos a derivar las cuatro relaciones más importantes que describen la estructura atmosférica 1. Balan alance ce hidr hidros ostá táti tica ca: el equilibrio de fuerzas verticales en la atmósfera 2. La Ecu Ecuac ació ión n Hi Hipsom psoméétr tric ica a: la relación entre la temperatura virtual de una capa y el espesor de la capa 3. Balanc ance ge geostrófi ófico: el equilibrio de fuerzas horizontales más importantes en la atmósfera 4. Viento té térmico: una relación entre el viento en un nivel superior de la atmósfera y el gradiente de temperatura por debajo de ese nivel
A continuación, vamos a ampliar nuestra comprensión del flujo equilibrado que incluya balances de fuerza más complicados en los flujos horizontales 1. Flujo Geostró róffico: el flujo que resulta de un equilibrio entre la PGF y la fuerza de Coriolis en un flujo recta 2. Flujo de de in inercia: flujo curvado resultante cuando la fuerza de Coriolis equilibra la fuerza "centrífuga" 3. Fluj Flujo o cic iclo lost stró rófi fico co:: Flujo de que se produce cuando la fuerza del gradiente de presión equilibra la fuerza centrífuga 4. Flujo Gr Gradiente : flujo que se produce cuando la fuerza del gradiente de presión y la fuerza de Coriolis equilibria la fuerza centrífuga
TemperaturaVirtual :
La temperatura temperatura que una parcela de aire seco Que tendría si se encuentran a la misma presión y la misma densidad del aire húmedo. Derivacion: Empezamos con la ley de los gases ideales:
P RT R T
P = presion d = densidad de aire seco v = densidad de vapor = densidad del aire R= constante universal R v = constante vapor R d = constante aire seco T = Temperatura Temperatura
P d Rd T v RvT P d Rd v Rv T d v Rd T v Rd T v Cual es la relacion entre la temperatura, T y la temperatura virtual Tv?
d Rd v Rv T d v Rd T v
M V
M v M d M d M v Rd Rv T Rd T v V V V V
M = masa de aire Md = masa de aire seco Mv = masa de vapor V = volumen
Multiplicando y dividiendo el segundo termino por R d
M d M v Rd Rv M d M v T Rd Rd T v V Rd V V V M d M v Rv V V Rd T v T M d M v V V
M d M v Rv V V Rd T v T M d M v V V Cancelando V, y dividiendo numerador y denominador por M d:
M v Rv 1 M d Rd T v T M v 1 M d Introducimos relacion de mezcla: r v = Mv/Md y hacemos e = R d/R v
1 1 r v e T v T 1 r v
1 1 r v e T v T 1 r v Aproximamos (1+r v)-1 = 1- r v y usamos 1/e = 1.61
T v 1 r v 1 1.61r v T 1 r v 1.61r v 1.61r v2 T 2 r despreciamos v
T v 1 0.61r v T
BALANCE HIDROSTATICO
0
1 P
z
g
La atmósfera está en equilibrio hidrostático básicamente en todas partes excepto en las regiones centrales de tormentas importantes, como huracanes y tormentas
La Ecuacion Hipsometrica Considere una columna de atmósfera de área 1 m x 1 m de superficie y se extiende desde el nivel del mar hasta el espacio
Vamos a aislar una parte de esta columna que se extiende entre la superficie de 1000 hPa, y la superficie de 500 hPa Cuanta masa hay en esta columna?
100 N m2 1 1 m2 5102.04 kg Masa (1000 500) hPa 2 9.81 m s hPa
P g z
Ecuacion Hidrostatica
p Rd T v
Ley de Gas Ideal
Sustituimos ley de gas ideal en ecuacion hidrostatica
z
Rd T v p g
p
Integramos esta ecuacion entre dos niveles (p2, z2) y (p1, z1) z 2
p2
z 1
p1
z
Rd T v p g
p
z 2
p2
z 1
p1
z
z 2
p1
z
z 1
p2
Rd T v p g
Rd T v g
p
ln p
Problema: Tv varia con altura. Para realizar la integral de la derecha , tenemos que considerar , en la columna la temperatura virtual promedio:
p1 ln z 2 z 1 g p2 Rd T v
Esta ecuacion es llamada la ecuacion Hipsometrica
La ecuación relaciona el espesor de una capa de aire entre dos niveles de presión y la temperatura virtual media de la capa
Geopotential Height Podemos expresar la ecuación hipsométrico (e hidrostática) en términos de una cantidad llamada la altura geopotencial Geopotencial ( ): Trabajo (energia) requirida para elevar una unidad de masa una distancia dz sobre el nivel del mar
d gdz
p1 Rd T v ln p2 Los meteorólogos se refieren a menudo a la "altura geopotencial" porque esta cantidad se relaciona directamente con la energía para desplazar verticalmente el aire
Altura geopotencial (Z):
Z
g 0
gz g 0
g0 es el valor promedio global de la gravedad al nivel del mar
Para fines prácticos, Z y z son aproximadamente lo mismo en la troposfera
Consecuencia de la ecuacion hipsometrica
p1 ln z g p2 Rd T v
Considere el espesor 1000 — 500 hPa . Usando
Rd 287 J kg 1 K 1
g 9.81 m s 2
Espesor 20 .3T v metros
Número Ballpark : Una disminución de la temperatura media en 1K en la capa 1000-500 hPa conduce a una reducción en el espesor de la capa de 60 hPa
Consecuencia de la ecuación hipsométrica
Un núcleo frio de un sistema de tiempo (la que tiene la temperatura más baja en el centro) podría aumentar los vientos con la altura
Viento en Altura
B PGF
PGF
CF
A
CF
BALANCE GEOSTROFICO 0
du
0
dv
dt dt
1 p
x
1 p y
fv
fu
Un estado de equilibrio entre la fuerza del gradiente de presión y la fuerza de Coriolis Balance Geostrofico
Aire está en equilibrio geostrófico si y sólo si el aire no se está acelerando (incremento de velocidad , desaceleración, o cambiando de dirección). Para que el equilibrio geostrófico exista, las isobaras debe ser recto, y su espaciamiento no puede variar.
Viento Geostrofico u g
1 p
f y
v g
1 p f x
El viento que existiría si el aire se encuentra en equilibrio geostrófico El viento geostrófico es una función del gradiente de presión y la latitud
En coordenadas de presión, las relaciones geostróficas están dadas por
u g
1 f y
v g
1 f x
En el mapa de 300 mb donde el aire esta en equilibrio geostrófico?
VIENTO TERMICO u g
Derivamos respecto a p :
f y
u g 1 p f y P
Usando la ecuacion hidrostatica u g
R T d P p
1
R T d p fp y
v g
1 f x
v g 1 p f x P v g P
Rd T fP x
La tasa de cambio del viento geostrófico con la altura (presión) dentro de una capa es proporcional al gradiente horizontal de temperatura dentro de la CAPA
u g
R T d p fp y
v g P
Rd T fP x
Podemos escribir las dos ecuaciones en forma vectorial
V g p
Rd fp
k T
O alternativamente
V g
k p f P
El vector “ Viento Termal”
El “Viento Termal” no es un viento! Es un vector que es paralelo a las isotermas medias en una capa entre dos superficies de presión y su magnitud es proporcional al gradiente térmico dentro de la capa.
Cuando se añade el vector viento térmico al vector viento geostrófico a un nivel de presión inferior, el resultado es el viento geostrófico en el nivel de presión superior
Un gradiente horizontal de temperatura conduce a una mayor pendiente de las superficies isobáricas por encima del gradiente de temperatura.
Más pronunciada la inclinada las superficies isobáricas implican una fuerte gradiente de presión en altura, y por lo tanto un fuerte viento geostrófico.
Notar la posicion de un frente a 850mb……
….y el jetstream (corriente chorro) a 300 mb.
Consecuencia del viento geostrófico cuando gira en sentido horario o veering y cuando gira en sentido antihorario backing con la altura
Aire caliente
Aire frio
Vientos veering con la altura – adveccion calida
Consecuencia de la relación de viento térmico con el jetstream
Tenga en cuenta la posición del chorro sobre el gradiente más fuerte de la temperatura potencial (líneas de trazos) que se relacionan con el gradiente de temperatura más fuerte.
Aplicación de la ecuación del viento térmico a la circulación general
Vientos en altura debe ser del oeste en ambos hemisferios, ya que es más frío en los polos y más cálido en el ecuador
Coordenadas Naturales y flujos balanceados
Para entender algunas propiedades simples de los flujos, consideremos el flujo atmosférico que es sin fricción y horizontal Examinaremos este flujo en un nuevo sistema de coordenadas llamado“Coordenadas Naturales”
En este sistema de coordenadas: el vector unitario i es siempre paralelo a su flujo y positiva a lo largo del flujo el vector unitario n en cualquier lugar es normal, al flujo y positiva a la izquierda del flujo
El vector de velocidad está dada por:
V V i
ds
La magnitud del vector de velocidad está dada por:V donde s es la dt medida de la distancia en la i dirección.
El vector de aceleración viene dado por:
d V dt
i
d V dt
V
d i
dt
donde el cambio de i con el tiempo está relacionada con la curvatura de flujo.
d V dt
i
d V dt
V
d i
dt
Tenemos que determinar
d i
dt
El angulo esta dado por
s R
i
i
i
Donde R es el radio de curvatura siguiendo el movimiento de la parcela
R 0
n dirigida hacia el centro de la curva (flujo en sentido antihorario)
R 0
n dirigida hacia el exterior de la curva (flujo en sentido horario)
s R
i
i
s
lim i
1
R
d i
1
n s 0 s ds R
Notar que i apunta en direccion positiva de n En el que el limite de s se aproxima a cero
V n V n dt ds dt R R
d i
d i ds
d V dt
dt
i
d V
d V
dt
V
i
d V dt
d i
dt
n
V 2 R
Consideremos ahora los otros componentes de la ecuación de momento, la fuerza del gradiente de presión y la fuerza de Coriolis
Fuerza Coriolis: f k V fV n
Puesto que la fuerza de Coriolis es siempre dirigida hacia la derecha del movimiento
Dado que la fuerza del gradiente de presión i n PGF: p n tiene componentes en ambas direcciones s
Por consiguiente, la ecuación de movimiento se puede escribir como:
i n i n fV n dt R n s
d V
V 2
i n i n fV n dt R n s
d V
V 2
Vamos a desdoblar esta ecuación en sus componentes: dV dt V 2 R
s s
fV
0 n
Para entender la naturaleza de los flujos básicos en la atmósfera vamos a suponer que la velocidad del flujo es constante y paralela a los contornos de manera que
0 s dt
dV
V 2 R
fV
Fuerza Centrifuga
0 n PGF
Fuerza de Coriolis
Balance Geostrofico: PGF = COR Balance Inercial:
CEN = COR
Balance Ciclostrofico CEN = PGF Balance Gradiente
CEN = PGF + COR
fV 0 n R
V 2
Flujo Geostrofico Se produce el flujo geostrófico cuando PGF = COR, implica que R Para que el flujo geostrófico que se produzca el flujo debe ser recto y paralelo a las isobaras
V g
1 f n
Flujo geostrófico puro es raro en la atmósfera
fV 0 n R
V 2
Flujo Inercial Flujo inercial se produce en ausencia de una PGF, raro en la atmósfera, pero común en los océanos donde la fuerza del viento impulsa las corrientes
R
V f
Este tipo de flujo sigue trayectorias circulares, anticiclónicos dado que R es negativo Para un circulo:
es media rotación es rotacion completa /dia
t
2 R V
sin
2 R
0.5 day
fR
sin
2 f
2 2 sin
sin
Espectro de potencia de la energía cinética a 30 m en el océano cerca de Barbados
0.5 day sin 13
2 .23 days
fV 0 n R
V 2
Flujo Ciclostrofico Los flujos donde la fuerza de Coriolis exhibe poca influencia sobre las movimientos ( Tornado)
V 2 n R V 2 n R 1
2 V R n
1
2 V R n En el flujo ciclostrófico alrededor de una baja, la circulación puede girar hacia la derecha o hacia la izquierda (se observan los tornados ciclónicos y anticiclónicos y vórtices más pequeños)
fV 0 n R
V 2
Flujo Gradiente
1 f f 4 1/ 2 2 2 fR f R R n V R 2 4 n 2 R 2
Esta expresión tiene una serie de posibles soluciones matemáticamente, no todos se ajustan a la realidad
El vector unitario n es normal en cualquier lugar al flujo y positiva a la izquierda del fluj
es la altura geopotencial
n
es la gradiente de altura en la direccion de n
R es el radio de curvatura que sigue el movimiento de la parcela
R 0
n Dirige hacia el centro de curvatura (flujo antihorario)
R 0
n Dirige hacia afuera de la curva (flujo horario)
V es siempre positivo en el sistema de coordenadas naturales
fR f R 2
V
2 4
2
1/ 2
R n
0, R 0 n
2 2 f R Solucion para Para que el radical sea positivo R 4 n 1/ 2 fR f 2 R 2 R Por lo tanto: debe ser negativa. n 2 4
V = negativa = NO FISICO
1/ 2
fR f 2 R 2 V R 2 4 n
0, R 0 n
Solucion para Anticiclon
R 0
Radical >
fR Raiz Positiva 2 Raiz Negativa (no fisico)
Llamada una ―baja anomala‖ es raramente observado
n Hacia afuera
Incrementa en direccion n (baja)
1/ 2
fR f 2 R 2 V R 2 4 n Solucion para Ciclonico
0, R 0 n
Radical >
fR Raiz Positiva 2 Raiz Negativa
R 0
n Hacia adentro
Desminucion en la direccion de n (baja)
Llamada ―baja regular‖ es comunmente observada
1/ 2
fR f 2 R 2 V R 2 4 n Solucion para Ciclonico
0, R 0 n
Radical >
fR Raiz Positiva 2 Raiz Negativa
R 0
n Hacia adentro
Disminuye en la direccion de n (baja)
Llamada ―baja regular‖ es comunmente observada
1/ 2
fR f 2 R 2 V R 2 4 n Solucion para
Raiz Positiva
0, R 0 n
f 2 R 2 4
Anticiclonico R 0 n Hacia afuera
Por tanto V
Disminuye en direccion n (alta)
fR 2
R n or
2
V 2 R
o radical imaginario
fV
llamada ― alta anomalo‖ : Fuerza Coriolis nunca debe ser < dos veces la fuerza centrifuga
1/ 2
fR f 2 R 2 V R 2 4 n Solucion para
0, R 0 n
Raiz Negativa
f 2 R 2 4
Anticiclonico R 0 n Hacia afuera
R n
O radical imaginario
Disminuye en direccion n (alta)
Llamada una ―Alta regular ‖ : fuerza Coriolis excede a la fuerza centrifuga
Condicion para Altas anomalas y regulares f 2 R 2 4
R
f 2 R 2 4
0 n
R
n
2 f R n 4
Esta es una fuerte restricción de la magnitud de la fuerza del gradiente de presión en la proximidad de los sistemas de alta presión Cerca de la alta, el gradiente de presión debe ser débil, y desaparecer en el centro
El viento ageostrofico en coordenadas naturales
V 2 R
fV
V g
V 2 R
0 n
1 f n
f V V g 0
V g V
1
V fR
Para Flujo ciclónicos (R > 0) viento gradiente es menor que el viento geostrofico Para flujo anticiclonico (R < 0) viento gradiente es mayor que el viento geotrosfico
V V g
V V g
V V g
Convergencia ocurre delante de las cuñas y divergencia delante de vaguadas
MOVIMIENTO VERTICAL
Comparando magnitud de los términos , una buena aproximación es:
METODO
CINEMATICO
Partiendo de la ecuación de continuidad en coordenadas de presion
Integrando la ecuación anterior se tiene:
METODO ADIABATICO
Sp : es el parámetro de estabilidad estática para un sistema isobárico
PROBLEMAS
P-1 Calcular la velocidad del viento geostrofico (m/s) sobre una superficie isobárica para un gradiente de altura geopotencial de 100m /1000km y comparar con todos los posibles Viento gradiente para el mismo gradiente de altura geopotencial y un radio de Curvatura de ± 500 km . f = 10 -4 s -1
P-2 Determinar la máxima relación entre la velocidad gradiente del viento para un anticic lón Normal y el viento geostrofico para un mismo gradiente de presion
P-3 La temperatura media en una capa ( 750 hPa – 500 hPa) disminuye hacia el este 3 :C/100km Si el viento geostrofico en 750 hPa es del sureste , con una velocidad de 20 m/s . Cual es la f = 10 -4 s -1 Velocidad y dirección del viento geostrofico a 500 hPa . .
P-4 calcular la adveccion de la temperatura media en la capa 750 hPa – 500 hPa , en el problema anterior.
P-5 suponer que una columna vertical de atmosfera a 43 N , es inicialmente isotermal Entre 900 hPa y 500 hPa . El viento geostrofico es 10 m/s del sur a 900 hPa , 10 m/s del Oeste a 700 hPa y 20 m/s del oeste a 500 hPa. Calcular el gradiente horizontal de Temperatura media en las capas 900 – 700 hPa y 700 – 500 hPa . Calcular la razón de cambio de adveccion de temperatura en cada capa. Cuanto tiempo Tendría que persistir este patrón de adveccion con el fin de establecer el gradiente Adiabático seco entre 600 hPa y 800 hPa . Asumir que el gradiente es constante entre 900 500 hPa y que el espesor de la capa 800 – 600 hPa es 2.25 km.
P-6 los siguientes datos de viento fueron obtenidos desde 50 km al este, norte, Oeste y sur de una estacion respectiamente : 90 : , 10 m/s ; 120: , 4m/s , 90: , 8 m/s ; y 60: , 4 m/s. Calcular la divergencia horizontal promedio en la estacion.
