MECÁNICA DE FLUIDOS
TEMA: FLUJO POTENCIAL
1. INT INTRO RODUC DUCCIÓ CIÓN N
Muchos Much os pr prob oble lema mass de di dise seño ño en el ár área ea de fl fluj ujo o de fl flui uido doss req equi uier eren en un conocimiento conocimie nto exacto exacto de las distribuciones de velocidad y presión, por ejemplo, el flujo sobre superficies curvas a lo largo de las alas de un aeroplano, a través de los pasos en una bomba, en un compresor, o sobre la cresta de una compuerta. El conocimiento del flujo en dos o tres dimensiones de un fluido incompresible, no viscoso ofrece una visión más amplia de muchas situaciones reales del flujo.
2 EL FLUJO IDEAL.
Para que el fluido se considere ideal debe de cumplirse que éste sea: Incompresible (ρ = constante). No viscoso (µ = 0). Irrotacional.
En situaciones de flujo incompresible, en donde la capa límite es muy delgada, los resultados del “fluido ideal” pueden ser aplicados al caso de un flujo de fluido real, obteniéndose un grado de aproximación excelente.
3. POTENCIAL DE VELOCIDADES.
Si el flujo es irrotacional, existe una función escalar (Φ) del espacio y del tiempo tal que su derivada en una dirección cualesquiera es la componente de la velocidad del fluido en esa dirección. Matemáticamente, la función escalar, se define por las ecuaciones:
= ∅ ó = = = A la función “Φ” se le llama “velocidad potencial”, y los campos de flujo que son irrotacionales se les llaman flujos potenciales. Un requisito fundamental del flujo irrotacional, es que los flujos potenciales cumplan con la ecuación de Laplace o Laplaciano de la función φ
= 0 La línea definida por cualquier función φ(x,y) = cte. se le llama “línea equipotencial”.
4. LA FUNCIÓN DE CORRIENTE.
Dado que se deben cumplir las condiciones de irrotacional e incompresible, entonces se puede definir una función “ψ” tal que satisfaga la ecuación de continuidad
= = →
+ =0
Esta función es válida para todos los flujos bidimensionales, sean irrotacionales o rotacionales. Para cumplir con la condición de irrotacional, un flujo bidimensional se puede modelar como
=
1 =0 ó = 0 2
A la línea Ψ(x,y) = cte. se le conoce como línea de corriente y es, en todos sus puntos,
tangente al vector velocidad. Las líneas de corriente y las líneas equipotenciales son ortogonales, es decir, se cortan entre sí en ángulos rectos, excepto en los puntos
5. APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES POTENCIAL Y DE CORRIENTE a) Corriente uniforme. Una corriente de velocidad constante (U∞ = cte.) tiene derivadas nulas y, por tanto, satisface la condición de irrotacionalidad y la ecuación de continuidad. Supóngase primero que el flujo es unidireccional en la dirección del eje x; las funciones φ y ψ resultantes son
= = =0= =
= ∞ =
Integrando, se obtiene =
∞ + = ∞ + Las constantes de integración C1 y C2 no afectan ni a las velocidades ni a las presiones, por tanto, se pueden ignorar
Se puede generalizar la corriente uniforme de tal forma que forme un ángulo α con el eje x, como en la figura. De esta forma se tiene que
= ∞ ∗ cos() = = = ∞ ∗ sen = = Para la corriente uniforme a un ángulo α se tiene
∅ = ∞ (x ∗ cos + ∗ ()) = ∞ (y ∗ cos ∗ ())
b) Fuentes o sumideros. Supóngase ahora un tubo delgado situado en el eje z, que estuviese perforado y emitiese transversalmente un caudal uniforme a lo largo de su longitud. Mirando a lo largo del eje z, se vería un flujo radial como se muestra esquemáticamente en la figura. En flujo estacionario, la cantidad de fluido que atraviesa una superficie cilíndrica, de radio r cualquiera y longitud b, es constante:
= 2 = = 2 donde,
=
Por simplicidad, se obtener Ψ y Φ en coordenadas polares
1 = = 1 = 0 = = =
Integrando, se obtienen las funciones de corriente y potencial para las fuentes (+m), o los sumideros (-m) = ln =
c) Doblete Un doblete se define como el resultado de la suma de una fuente y un sumidero de igual intensidad, cuando se aproximan el uno al otro, de tal forma que el producto de sus intensidades y la distancia entre ellos es la constante 2 πλ . A λ se le llama intensidad del doblete. Si una fuente se encuentra en (a, 0) y un sumidero de igual intensidad se encuentra en (-a, 0), el potencial de velocidad para ambos, en algún punto P, es: =
ln + ln
términos r1 y r2 pueden ser expresados en coordenadas polares ( r,θ) según la ley de cosenos. Después de manipular las ecuaciones, y tomando el límite cuando a se aproxima a cero, se llega a =
cos()
La ecuación anterior representa al potencial de velocidad para un doblete bidimensional en el origen con el eje en la dirección “+ x”. Para obtener la función de corriente, se emplean las relaciones en coordenadas cilíndricas, con lo que: =
sen()
Las ecuaciones en coordenadas cartesianas son: =
x
+
Las líneas de corriente constante son círculos tangentes al eje x y pasan por el origen; las líneas de equipotenciales son círculos que pasan por el origen tangentes al eje y. En el origen, la velocidad es infinita y por tanto se le considera un punto singular.
d) Cuerpo semi infinito de Rankine Cuando a una corriente uniforme se le añade una fuente o un sumidero, se obtiene uno de los flujos más interesantes. Si la corriente incidente tiene velocidad U∞ en la dirección del eje x, y la fuente está situada en el origen, la función de corriente del conjunto es, en coordenadas polares =
∞ sen
Para representar las líneas de corriente se le puede dar a esta función diversos valores constantes y dibujar las líneas correspondientes, o utilizar el método gráfico hallando la intersección de las líneas horizontales de la corriente uniforme con las líneas radiales de la fuente. Un cuerpo semi infinito, aproximadamente elíptico, separa a la corriente uniforme de la fuente.
Las componentes cartesianas de la velocidad son
= ∞ + cos() = = sen()
=
Haciendo u = v = 0, se determina la posición del punto de remanso: θ = 180º y r = m/U∞ ó (x,y) = ( −m/ U∞, 0). La velocidad resultante en cualquier punto está dada por
= + = ∞
1 + + 2 cos()
e) Óvalo de Rankine Cuando una fuente y un sumidero se alinean en la dirección de una corriente uniforme, como en la figura 4.7a, se obtiene una forma elíptica denominada óvalo de Rankine, de longitud mayor a su anchura. La función de corriente del conjunto es: =
∞ −
2 = ∞ + ( ) +
Hay puntos de remanso en la parte frontal y posterior del óvalo (x = ± L, y = 0), y puntos de velocidad máxima y presión mínima en (x = 0, y = ± h). Todos estos valores son funciones de parámetro adimensional básico m/U∞a, y se pueden determinar de las ecuaciones:
ℎ =
ℎ 2 ∞
2 = 1 + ∞
ൗ
2 =1+ ∞ ℎ ∞ 1+
Cuando aumentamos m/U∞a desde cero hasta valores grandes, la forma del óvalo aumenta de tamaño y espesor desde una placa plana de longitud 2a a un cilindro enorme casi circular. Esto se muestra en la siguiente tabla. En el límite m/U∞a→∞, L/h →1 y umax/U∞→2, se tiene el flujo alrededor de un cilindro circular.
Figura 4.8. Óvalo de Rankine. Resultado de sumar una fuente y un sumidero a una corriente libre
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