1.1 FLUIDOS
El estudio de los fluidos se denomina hidromecánica. El fluido es una sustancia que puede escurrirse con facilidad y cambiar de forma por la acción de pequeñas fuerzas, por tanto, incluye a líquidos y gases. En este capítulo estudiaremos la HIDROSTÁTICA, que se refiere a los fluidos en reposo. En biología juegan un papel importante las soluciones y suspensiones de sólidos en líquidos. Hay en el cuerpo humano algunos sistemas líquidos estacionarios, como el líquido cefalorraquídeo en la cavidad cerebroespinal, los líquidos en el interior del ojo y el líquido en la vejiga. Estos sistemas se tratan con las mismas leyes de los líquidos en reposo que se analizan en ingeniería. En el sistema circulatorio que incluye el corazón, las arterias, los capilares y venas, la sangre lleva a los tejidos metabolitos y oxígeno y los cambia por bióxido de carbono y productos de desecho del metabolismo. Para la descripción física de este sistema, son necesarios los conceptos de hidrodinámica.
CARACTERÍSTICAS DE LOS FLUIDOS
Los fluidos carecen de forma; los líquidos toman la forma del recipiente que los contiene; los gases ocupan todo el espacio disponible. Los líquidos presentan gran resistencia a la compresión; los gases son mucho más compresibles. En los fluidos la fuerza de cohesión en muy pequeña. En los gases es casi nula; en los líquidos es pequeña.
En esta primera parte (hidrostática) se considerarán a los líquidos como fluidos ideales: compresibilidad y viscosidad viscosidad nulas. DENSIDAD
Densidad absoluta: cantidad de materia por unidad de volumen: d = m/v.
Densidad relativa: relación entre la densidad absoluta de una sustancia y la correspondiente a otra sustancia que se toma como referencia. En sólidos y líquidos se toma como referencia la densidad del agua; en los gases se toma como referencia la densidad del aire. dr = d absoluta/ densidad del agua
Peso específico de un cuerpo es el peso por unidad de volumen.
TABLA DE DENSIDADES DE ALGUNAS SUSTANCIAS A 0°C Y A 1 ATM DE PRESIÓN.
Sustancia
Densidad (g/cm3)
Espacio interestelar……………………………………………. Vacío óptimo en un laboratorio……………………………….. Hidrógeno……………………………………………………….. Aire………………………………………………………………. Corcho…………………………………………………………… Gasolina ………………………………………………………… Alcohol ………………………………………………………….. Aceite …………………………………………………………… Hielo……………………………………………………………… Agua……………………………………………………………… Agua de mar…………………………………………………….. Plasma sanguíneo …………………………………………… Sangre…………………………………………………………… Glicerina…………………………………………………………. Promedio del sol………………………………………………… Aluminio………………………………………………………….. Corteza de la Tierra…………………………………………….. Media de la Tierra………………………………………………. Hierro…………………………………………………………….. Hierro fundido…………………………………………………… Cobre…………………………………………………………….. Núcleo de la Tierra……………………………………………… Plata……………………………………………………………… Plomo…………………………………………………………….. Mercurio…………………………………………………………. Oro……………………………………………………………….. Platino……………………………………………………………. Centro del Sol…………………………………………………… Un núcleo de uranio…………………………………………….
10-21 – 10-24 10-20 0,000090 0,0013 0,24 0,70 0,79 0,90 0,92 1,00 1,03 1,03
1,04 1,25 1,4 2,7 2,8 5,52 7,6 7,2 8,9 9,5 10,5 11,3 13,6 19,3 21,4 160,0 1014
PRESION PRESION EN GENERAL
Es la fuerza que actúa en la unidad de área. Operacionalmente, es la relación entre la magnitud de la fuerza y el valor del área:
p= PRESIÓN HIDROSTÁTICA
Es la que ejercen los fluidos sobre el fondo del recipiente o sobre las moléculas del interior del fluido; es el cociente entre la fuerza hidrostática y el área en que ésta actúa. La presión
hidrostática es perpendicular a la superficie en contacto del líquido; en cualquier punto del interior del líquido es igual en todas las direcciones en el mismo nivel. Ph =
í á
=
= .. =..ℎ
VARIACIÓN DE LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA CON LA PROFUNDIDAD
Variación de presión con la profundidad: p2 – p 1 = ρgh.(h = distancia vertical entre los dos puntos).
PRESIÓN TOTAL O ABSOLUTA
p = p0 + ρgh, donde p = presión absoluta, p0 = presión sobre la superficie libre el líquido, ρgh = presión hidrostática.
Presión barométrica es la atmosférica. Presión manométrica es la hidrostática.
PRESIÓN SANGUÍNEA La presión sanguínea se mide utilizando un manómetro de mercurio, que está unido a una funda cerrada que se arrolla alrededor del brazo. Consulta: el mecanismo de medir la presión sanguínea con la explicación física. UNIDADES DE PRESIÓN Y EQUIVALENCIAS
Unidades de presión y sus equivalencias. 1 Pa = 10 barias (DINA/cm2) = 0,102 kp/m2 = 9,87x10-6 atm = 7,5x10-3 mm Hg 1 atm = 1,013 x 105 Pa = 760 mm Hg = 1,033 kp/cm2 = 2,12 x 103 lb/pie2 = 14,7 lb/plg2= 1,01 bar =1,01 x 103 mbar 1 bar = 105 Pa = 2,09 x 103 lb/pie2 =14,5 lb/plg2= 0,987 atm = 750 mm Hg (Torr) 1 mm Hg (Torr a 0°C) = 133 Pa = 2,78 lb/pie2 = 1,93 x 10-2lb/plg2 = 1,32 x 10-3atm = 1,33x10-3 bar. 1 kp/cm2 =14,2 lb/plg2 1 lb/plg2 = 5,171 cm Hg.
EJERCICIOS 1. Halle las densidades absoluta y relativa de la gasolina sabiendo que 51 g ocupan 75 cm3 de volumen. 2. ¿Qué volumen ocuparán 500 g de mercurio?. 3. Un recipiente vacío pesa 30 N, lleno de agua pesa 530 N y lleno de glicerina, 660 N. Halle la densidad relativa de la glicerina. 4. La presión de un neumático es de 30 lb/plg2. Exprese esta presión en a) atm, b) Pa.
5. Puede afirmarse que regiones pequeñas en el interior de un árbol en crecimiento tiene un vacío parcial, y que el agua sube en estos casos debido a la presión atmosférica p0. ¿Cuál es la altura máxima a la que puede seguir funcionando este método para proveer de agua al árbol que crece a nivel del mar? 6. Una explosión origina un aumento momentáneo en la presión del aire ambiente (sobrepresión). Calcule la fuerza total ejercida por una sobrepresión de 2 758 N/m 2 sobre la pared de un edificio de 6 m de alto y 9 m de ancho. Rp. 148 932 N. 7. Una piscina de 10 m de profundidad se encuentra totalmente llena de agua, a) ¿cuál es la presión en el fondo?, b) si la presión atmosférica local es 76 cm de Hg, ¿cuál es la presión total en el fondo de la piscina?. 8. Un buzo baja a 30 m de profundidad en el agua del mar. Determine la presión absoluta que soporta. 9. Un pez que vive a 2 km de profundidad, tiene un área superficial de 1 000 cm 2. Si se lo lleva a la superficie es probable que estalle debido a su presión interna que es igual a la que está sometida por el agua donde vive. Calcule la fuerza total que tiende a reventarlo. 10. La presión sistólica de un paciente es de 220 mm Hg. Convierta este valor en: a) Pa, b) atm, c) lb/pie2, d) lb/plg2, e) bar. 11. El corazón impulsa sangre a la aorta a una presión media de 100 mm Hg. Si el área de la sección transversal de la aorta es de 3 cm2, ¿cuál es la fuerza media ejercida por el corazón sobre la sangre que entra en la aorta? 12. Desde un frasco y a través de un tubo circular fluye plasma hasta la vena de un enfermo. Cuando el recipientes está a 1,6 m sobre el brazo del paciente, a) ¿cuál es la presión del plasma que entra en la vena? B) si la presión sanguínea en la vena es de 12 mm Hg y despreciando los efectos viscosos, ¿cuál es la mínima altura a la que debemos colocar el recipiente para que el plasma circule por la vena? (Nota: si se consideran los efectos viscosos, el frasco debe colocarse más alto)
1.2 PRINCIPIOS DE PASCAL Y ARQUÍMEDES
PRINCIPIO DE PASCAL
Cuando sobre un líquido incompresible en reposo, en un recipiente cerrado, actúa una presión externa en una sola dirección, esta presión se transmite íntegramente con igual intensidad en todas las direcciones y sentidos. P1 = P2 => F1/A1 = F2/A2. Aplicaciones de este principio (ley) son los mecanismos hidráulicos. En dos puntos a misma profundidad en un mismo líquido la presión es la misma.
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Al sumergir un cuerpo en un fluido, las fuerzas verticales no se equilibran. La diferencia entre estas fuerzas constituye una fuerza de empuje que es igual al peso del volumen del fluido desalojado. E = Fuerza en la cara inferior – fuerza en la cara superior = Wr – Wa = dL.g. V (sumergido). La flotación es una aplicación del Principio de Arquímedes. E = Wc.
EJERCICIOS: 13. Consulte las biografías de Blas Pascal y Arquímedes. 14. Consulta: aplicaciones de los Principios de Pascal y Arquímedes en la Medicina. 15. Las áreas de los pistones grande y pequeño de una prensa hidráulica son 0,5 plg2 y 25 plg2, respectivamente. ¿Cuál es la ventaja mecánica de la prensa? ¿Qué fuerza se tendrá que ejercer para levantar una carga de 1 tonelada (2 000 lbs)? ¿Qué distancia recorrerá el pistón pequeño para que la carga del pistón grande se eleve 1 pulgada? Resp. 50, 40 lb, 50 plg. 16. Una fuerza de 400 N se aplica al pistón pequeño de una prensa hidráulica cuyo diámetro es 4 cm.¿Cuál debe ser el diámetro del pistón grande para que pueda levantar una carga de 200 kg? 17. Un cuerpo pesa 100 N en el aire, 90 N en el agua y 80 N en un líquido. Determine el volumen del cuerpo, la densidad del cuerpo y la densidad del líquido. 18. En un vaso con agua flota un cubo de hielo, el 90% del volumen del hielo está sumergido. ¿Cuál es la densidad del hielo? 19. Un cuerpo de 20 kg y d = 5 g/cc, se suspende de un dinamómetro y se sumerge en agua. ¿Cuál es la lectura del dinamómetro? 20. Un bloque cúbico de aluminio tiene 4 cm de arista. ¿Cuál es su peso aparente: a) en agua, b) en alcohol? 21. Un cuerpo experimenta un empuje de 25 N al sumergirlo completamente en agua, 23 N al sumergirlo en aceite y 20 N al sumergirlo en alcohol. Halle las densidades del aceite y del alcohol. 22. La densidad de un bloque de piedra es 2 600 kg/m3; el bloque pesa en agua 4,8 N. Halle el peso real del bloque. 23. Un cuerpo pesa 980 N en el aire y 784 N sumergido totalmente en el agua, calcule el volumen y la densidad absoluta del cuerpo 24. Un bloque de madera tiene un volumen de 150 cc, para mantenerlo sumergido en agua hace falta ejercer una fuerza sobre él hacia debajo de 0,60 N. Halle su densidad. 25. Un barco cuyo peso es de 800 Kp (1 kp = 9,8 N), navega río abajo hasta llegar al mar. a) Calcule el empuje cuando estaba en el río, b) Determine el empuje cuando está en el mar,
c) La parte sumergida del barco, ¿aumente, disminuye o no se altera al pasar del río al mar? 26. Un bloque de madera de 10 litros de volumen, flota en agua, teniendo la mitad de su volumen sumergido. a) ¿Cuál es, en litros, el volumen de agua desplazado por el cuerpo?, b) ¿cuál es el peso del agua desplazada?, c) ¿cuál es el empuje que recibe el cuerpo?, d) ¿cuál es el peso real del cuerpo? 27. Un “iceberg”, con forma aproximada de un paralelepípedo, flota en el mar de modo que la parte de afuera del agua tiene 10 m de altura. ¿Cuál es la altura h de la parte sumergida del “iceberg”?
28. Un bloque cúbico, de 1 m de arista, pesa 12 000 N en el aire y se le sumerge en agua de tal forma que la cara superior está a 0,5 m con respecto a la superficie libre del agua. Determine: a) las fuerzas que soportan las caras superior e inferior, b) el peso aparente. 29. Una esfera sólida de metal tiene un volumen de 200 cc y flota parcialmente4 sumergida en mercurio. Para sumergirla completamente es necesario aplicar una fuerza vertical hacia debajo de 6,8 N. Calcule: a) la densidad del metal de la esfera, b) antes de aplicar la fuerza adicional, ¿cuál fue el volumen sumergido de la esfera? 30. Un bloque cúbico de 40 kg de masa está suspendido de una cuerda y sumergido totalmente dentro de aceite (dr = 0,8). Si las presiones manométricas en las caras superior e inferior son, respectivamente: 2 400 Pa y 3 200 Pa, determine: a) la distancia vertical con respecto al nivel libre del líquido a la que se encuentra la cara superior del bloque; b) el lado o arista del cubo, c) la tensión en la cuerda. 31. Se ha observado que la masa de un fragmento de cierta roca es de 9,17 g en el aire. Cuando el trozo se sumerge en un fluido de 873 kg/m 3 de densidad, su masa aparente es de 7,26 g. ¿Cuál es la densidad de la roca? Rp. 4 191 kg/m3.
1.3.- HIDRODINÁMICA
1. Concepto.- es el estudio de los fluidos en movimiento; analizaremos de una forma sencilla este tema que en realidad es complejo. En nuestro caso, es importante en el estudio del flujo de la sangre a través de los vasos del sistema circulatorio. 2. Tipos principales de flujo: a) Flujo laminar: si el flujo es uniforme, de tal modo que la capas vecinas del fluido se deslicen entre sí suavemente; cada partícula del fluido sigue una trayectoria lisa y las trayectorias de dos partículas no se cruzan. Las velocidades de las capas, en fluidos reales, son diferentes, pero las capas de fluido se mueven paralelamente unas a otras. b) Flujo turbulento: arriba de cierta velocidad el flujo se transforma en turbulento; se caracteriza por círculos erráticos pequeños, semejante a remolinos, llamados corrientes secundarias o parásitas, que absorben gran cantidad de energía. Fluido ideal: en esta parte consideraremos al fluido ideal para luego analizar el fluido real. Llamaremos fluido ideal al no viscoso, laminar, incompresible e irrotacional. 3. Caudal (Q ): Cuando el flujo fluye por una tubería de sección recta A con una velocidad v , se define “caudal Q” como el volumen del fluido transportado por unidad de tiempo: Q = V/t = A.v Se expresa en unidades coherentes: cm3/s; m3/s. 4. Ecuación de continuidad: en el caso de un fluido incompresible que fluye por una tubería de sección recta variable se cumple: Q 1 = Q 2 = Q 3 … A1.v 1 = A2.v 2 = constante. Esta ecuación de continuidad es el resultado de aplicar el principio de conservación de masa al flujo de un fluido. La sangre pasa de la aorta a las arterias principales, luego a las más pequeñas (arteriolas), y por último, a los capilares. Cada vaso se divide en muchos vasos más pequeños, pero, aunque el área de la sección transversal de cada arteria es más pequeña que el área de la aorta, el área de la sección transversal total de todas las arterias principales es 20 x 10 -4 m2. Dado que el flujo total a través de todas estas arterias es el mismo que a través de la aorta, puede utilizarse la ecuación Q = V/t = A.v = πr 2v Lectura: http://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_sangu%C3%ADneo EJERCICIOS
1. Por una tubería uniforme de 8 cm de diámetro fluye aceite con una velocidad de 3 m/s. Calcule el caudal y expréselo en m 3/s y en m3 / h.
2. Por una tubería de 10 cm de diámetro circula agua con una velocidad de 3 m/s. Halle el caudal en m3/s, m3/h y litros/min
3. Sabiendo que la velocidad del agua en una tubería de 6 cm de diámetro es 2 m/s, halle la velocidad que adquiere al circular por una sección de la tubería de la mitad del diámetro.
4. Halle la velocidad del agua en una tubería de 5 cm de diámetro que suministra un caudal de 18 m3 / h
5. La velocidad de la glicerina en una tubería de 15 cm de diámetro es de 5 m/s. Halle la velocidad que adquiere en un estrechamiento de 10 cm de diámetro. 6. En un adulto normal en reposo, la velocidad media a través de la aorta vale 0,33 m/s. ¿Cuál es el flujo (caudal) a través de una aorta de radio = 9 mm? 7. Si el radio de la aorta de una persona es de 0,9 cm y su corazón bombea 5 litros cada minuto, calcule: a) la velocidad media de la sangre en la aorta, b) la velocidad media en los capilares si la persona tiene unos 5 x 10 9 capilares en todo el cuerpo de radio medio = 2 μm.
1.4
TEOREMA DE BERNOULLI
Teorema de Bernoulli: en un fluido perfecto (sin rozamiento interno), incompresible y en régimen estacionario la sumas de las siguientes energías por unidad de volumen: de presión, cinética y potencial gravitacional, en cualquier punto es constante: P1 + ½ dv 12 + d.g.h1 = P2 + ½ d.v 22 + d.g.h2 = constante Teorema de Torricelli Una aplicación importante de la ecuación de Bernoulli ocurre cuando no hay cambio de presión (p1 = p2). Esta aplicación sirve para determinar la velocidad de fluido que sale por un orificio realizado en el recipiente bajo el nivel libre. Debemos suponer que el nivel libre del líquido en el tanque desciende lentamente en comparación con la velocidad de salida, de tal modo que la velocidad en la parte superior puede considerarse como cero. Además, debe tomarse en cuenta que la presión del líquido tanto en la parte superior como en el orificio es igual a la presión atmosférica. Así, p 1 = p2 y v2 = 0, y la ecuación de Bernoulli se reduce a: dgh1 + ½ d.v12 = dgh2, o bien, v12 = 2g(h2 – h1)
= √ 2ℎ Nota: la velocidad de salida de un líquido a una profundidad h es la misma que la de un objeto que se deja caer desde el reposo a una altura h. El tubo de Venturi El tubo de Venturi es esencialmente un tubo con un angostamiento o garganta. Un tubo de este tipo se usaba en el carburador de los vehículos sin inyección de combustible. El aire que pasa se acelera al pasar por este estrechamiento y por lo baja la presión. Debido a la baja presión, la gasolina, que está a la presión atmosférica en el tanque del carburador, es expulsada hacia la corriente de aire mezclándose con él antes de entrar a los cilindros del motor.
En medicina una de las muchas aplicaciones del principio de Bernoulli es la explicación del “ataque isquémico transitorio”, lo cual quiere decir falta temporal de suministro sanguíneo al cerebro, causado por el llamado “síndrome de robo de la subclavia”. Una
persona que lo sufre puede tener síntomas como mareo, doble visión, dolor de cabeza y debilidad en las extremidades. Un ataque de esos puede suceder del siguiente modo. La sangre fluye hacia el cerebro en la parte posterior de la cabeza a través de dos arterias vertebrales; una de cada lado del cuello, que se encuentran para formar la arteria basilar inmediatamente abajo del cerebro. Las arterias vertebrales salen de las arterias subclavias, antes que estas vayan a los brazos. Cuando se ejercita vigorosamente un brazo, embargo, si la arteria subclavia de un lado del individuo está obstruida parcialmente, digamos por ateroesclerosis, la velocidad de la sangre debe ser mayor en ese lado para
suministrar el volumen requerido. La mayor velocidad que pasa frente a la abertura que va hacia la arteria vertebral ocasiona una menor presión, por el principio de Bernoulli. Así, la sangre que sube por la arteria vertebral del lado “bueno” a presión normal puede desviarse hacia abajo por la otra arteria vertebral, debido a la baja presión de ese lado, en
lugar de pasar hacia arriba, a la arteria basilar y al cerebro. Es así como se reduce el suministro de sangre al cerebro debido al “síndrome del robo de la subclavia”; la atería subclavia “roba” la san gre del cerebro. El mareo o la debilidad que resulta hace
normalmente que la persona se detenga en sus ejercicios, tras de lo cual retorna a la normalidad. Otra aplicación: si se estrecha una arteria por lesiones internas (placas ateromatosas) o presión exterior resultante de un tumor, la presión sanguínea en la región estrechada disminuirá mucho. Normalmente la presión sanguínea está equilibrada por una fuerza exterior, pero ahora esta fuerza exterior no está equilibrada, y puede hacer incluso que la arteria se cierre por completo. Una vez que el cierre completo ha tenido lugar, la presión en la arteria aumentará de nuevo inmediatamente y ello ocasionará una apertura y cierre rítmicos conocidos como aleteo. Es posible tal aleteo, al estrecharse los canales bronquiales sea el que produzca los estertores, sonido característico de los trastornos respiratorios. Otra aplicación del efecto Venturi es el mechero bunsen, en el que la cantidad de aire que se mezcla con el gas se controla variando el calibre del tubo de entrada lateral.
EJERCICIOS: BERNOULLI Y APLICACIONES 1. Los techos de las casa “vuelan” a veces por el viento durante un huracán o tornado. Explique este fenómeno empleando el principio de Bernoulli. 2. Por una tubería horizontal de sección variable circula agua en régimen permanente. En un punto, en que la presión vale 20 kp/cm 2, la velocidad es de 2 m/s. Halle la presión en otro punto en que la velocidad de circulación es de 4 m/s. Rp. 0,4 kp/cm 2. 3. Por una tubería cuya área de sección transversal es igual a 2 cm 2 fluye agua a una velocidad promedio de 1,5 m/s. a) ¿Qué volumen de agua es transportado cada segundo a través de la tubería?. b) La tubería tiene un estrechamiento donde el área de la sección transversal se estrecha y es igual a 1 cm 2, ¿cuál es la velocidad promedio en el estrechamiento, en m/s? c) ¿cuántas veces es mayor la energía cinética en el estrechamiento con respecto al resto de la tubería? 4. El corazón bombea aproximadamente 5 litros de sangre cada minuto. a) Exprese la cantidad anterior en cm3 /s. b) El área de la sección transversal de la aorta es igual a 5 cm2, ¿cuál es la velocidad media en la aorta?, c) Durante parte del ciclo cardiaco, la sangre en la aorta en realidad fluye al doble de la velocidad media. Calcule la energía cinética de 1 cm 3 de esta sangre en movimiento rápido; d) En otra parte del ciclo cardiaco la sangre arterial apenas fluye. Un centímetro cúbico de sangre en movimiento lento debe estar bajo mayor
presión que 1 cm3 de movimiento rápido. Es decir, su energía potencial debe ser igual a la energía cinética del cm 3 de sangre del movimiento rápido (recuerde que E = P . V). Calcule cuánta presión adicional experimenta el cm 3 de sangre en movimiento lento comparada con el cm3 de la sangre de movimiento rápido. Tome la velocidad de la sangre de movimiento lento igual a cero. 5. La parte ancha (A) de un tubo que conduce agua tiene una presión absoluta de 200 kPa y tiene un diámetro de 16 cm. La parte B es más estrecha con un diámetro de 10 cm, y se encuentra a una altura de 8 m más arriba que la parte A. El caudal es de 30 lt/s. Halle: a) la velocidad del agua en los puntos A y B; b) la presión absoluta en el punto B. 6. Considere que el aire (d = 1,29 kg/m3) fluye hacia atrás por la superficie superior del ala de un avión a 36 m/s. El aire en movimiento que pasa por la superficie inferior del ala tiene una velocidad de 27 m/s. Si el ala tiene un peso de 2 700 N y un área de 3,5 m 2, ¿cuál es la fuerza de empuje sobre el ala? Rp. 1 280 N. 7. Considere que para la calefacción de una casa se lo hace a través del flujo de agua caliente. Si el agua se bombea a una velocidad de 0,5 m/s por un tubo de 4,0 cm de diámetro en el sótano, a una presión de 3 atm, ¿cuál será la velocidad de flujo y la presión en un tubo de 2,6 cm de diámetro en el primer piso, a 5,0 m de altura? Rp. 1,2 m/s; 2,5 x 105 N/m2. 8. Por un tubo de Venturi que tiene un diámetro = 20 cm en la sección de entrada y 10 cm en la parte angosta, circula gasolina (dr = 0,82). La diferencias de presiones es 0,3 kp/cm2. Halle el valor del caudal. Rp. 4,11 m3/min. 9. Un tubo de Venturi tiene un diámetro principal de 4,00 cm y un cuello de diámetro 2,00 cm y se utiliza para medir el caudal de agua. La diferencia de presiones indicada por el manómetro es 22 torr. Calcule: a) la velocidad del líquido en el tubo principal, b) el caudal. Rp. 0,62 m/s; 7,8 x 10-4 m3/s.
1.5.- Viscosidad. Ley de Poiseuille
Viscosidad.- los fluidos reales tienen determinada fricción interna llamada viscosidad; existe tanto en líquidos como en gases. Es una fuerza de fricción entre las distintas capas del fluido, al moverse entre sí. En lo líquidos se debe a la fuerza de cohesión entre las moléculas; en los gases se debe al choque entre las moléculas. La viscosidad en los diferentes fluidos se puede expresar en forma cuantitativa mediante un coeficiente de viscosidad η. Considere dos placas paralelas de área A, separadas una distancia l y entre ellas un fluido. Al tratar de mover una placa con una velocidad v , se necesita aplicar una fuerza F. Se demuestra que F es proporcional al área A, a la velocidad v, en inversamente proporcional a la distancia entre las placas. Para pasar de la proporción a una igualdad es necesario utilizar una constante, que en este caso es η: F = η. A. v / l, despejando η = F.l / v.A. La unidad de viscosidad en
el SI es N.s /m 2 = Pa.s (pascal.segundo).
En el sistema cgs, la unidad de viscosidad es el poise (P) = dina.s/cm 2
1p = 100 cp = 0,1 Pa.s TABLA DE VISCOSIDADES DE GASES Y LÍQUIDOS COMUNES
Fluido Líquidos Acetona Plasma sanguíneo Sangre Etanol Éter Glicerina Mercurio Aceite ligero de máquina Agua
Gases Aire
Helio Vapor de agua
Temper. °C
VISCOSIDAD Poises, P = dina.s/cm2
VISCOSIDAD Pa.s = N.s/m2
25 37 37 20 20 20 20 16 38 0 20 37 100
3,16 x 10-3 1,5 x 10-2 4 x 10-2 1,20 x 10-2 2,33 x 10-3 14,9 1,55 x 10-2 1,13 0,34 1,79 x 10-2 1,0 x 10-2 6,91 x 10-3 2,82 x 10-3
3,16 x 10-4 1,5 x 10-3 4 x 10-3 1,20 x 10-3 2,33 x 10-4 1,49 1,55 x 10-3 0,113 3,4 x 10-2 1,79 x 10-3 1 x 10-3 6,91 x 10-4 2,82 x 10-4
0 18 40 20 100
1,71 x 10-4 1,83 x 10-4 1,90 x 10-4 1,94 x 10-4 1,25 x 10-4
1,71 x 10-5 1,83 x 10-5 1,90 x 10-5 1,94 x 10-5 1,25 x 10-5
Ley de Poiseuille. Proporciona la manera de calcular el caudal de un fluido real, es decir, con viscosidad: Q = π.r4 (P1 – P2) / 8 η.L Donde r es el radio interior del tubo, L su longitud, P 1 – P2, la diferencia de presiones entre los extremos, η el coeficiente de viscosidad y Q el caudal. Flujo sanguíneo La aorta es tan grande (r = 9 mm) que solo requiere una diferencia de presión de 3 mm Hg para mantener en ella un flujo normal de sangre. Así, si la presión de la sangre es de 100 mm Hg cuando entra en la aorta, se reduce a 97 mm Hg cuando pasa a las arterias principales. Dado que estos vasos tienen radios muchos más pequeños que la aorta, es necesario una caída de presión de 17 mm Hg para mantener en ellas el flujo. Por lo tanto, la presión es de solo 80 mm Hg cuando la sangre penetra en las arteriolas (pequeñas arterias). Estos vasos tienen radios aún más pequeños, de modo que para mantener el flujo en ellos se necesita una caída de presión de 55 mm Hg cuando la sangre pasa por los capilares. (La caída de presión en los capilares es menor que en las arteriolas, aun cuando los capilares tienen radios mucho más pequeños, porque el número de estos es tan grande que el flujo sanguíneo en cada uno de ellos es más pequeño). Por lo tanto, la presión de la sangre desciende solo 10 mm Hg cuando alcanza las venas. Ver y analizar la figura adjunta:
Es conveniente escribir la ecuación de Poiseuille (Q = π.r4 (P1 – P2) / 8 η.L) en la forma , donde = −
8
R = es la resistencia de un solo vaso. La ecuación
es válida para una compleja red de vasos = −
interconectados, como los vasos sanguíneos del sistema circulatorio, si se considera R como la resistencia total de la red. Esta resistencia total se calcula a partir de las resistencias de los vasos individuales de la red por el mismo procedimiento que el empleado para calcular la resistencia
total de un circuito eléctrico. La importancia de esta ecuación es que muestra la relación entre la presión sanguínea y la resistencia total. Ejemplo: ¿Cuál es la resistencia total del sistema circulatorio? Conocemos que para un adulto normal Q = 0,83 x 10 -4 m 3/s y que la caída de presión total desde la aorta a los capilares es:
= 90 = 1,2 104 ⁄ Por lo tanto, la resistencia total de todas las arterias, arteriolas y capilares del cuerpo es = = −
, ,83 ⁄
R = 1,44 x 108 N.s/m5 Si la resistencia del cuerpo crece de manera anormal, la presión sanguínea debe aumentar para mantener normal el flujo de sangre. Ésta es la situación de hipertensión (presión sanguínea alta), que es la causa del 12 % de las defunciones. Por otro lado, si la resistencia se reduce mientras la presión sanguínea permanece invariable, el flujo Q aumenta. Durante la realización de un ejercicio físico hay un aumento de presión y una disminución de la resistencia total lo que hace que se produzca un gran flujo sanguíneo, necesario en estos casos. La disminución de la resistencia se produce por un aumento del radio de los vasos sanguíneos (vasodilatación). Dado que R es inversamente proporcional a la cuarta potencia de r , un pequeño aumento en el radio produce una gran disminución en la resistencia El efecto de la presión sanguínea alta es hacer que el corazón trabaje más que en las condiciones normales. La potencia disponible P del corazón es el trabajo que éste realiza por segundo para impulsar la sangre. Si la sangre avanza una distancia d en el tiempo t , la potencia es
=
. = = ̅
Donde ̅ es la velocidad media de la sangre cuando sale del corazón y F es la fuerza ejercida por el corazón sobre la sangre. Esta fuerza es precisamente la presión ejercida por el corazón sobre la aorta multiplicada por el área de la sección transversal de la aorta:
= , por tanto; = ̅ = . La potencia hidrodinámica, energía por unidad de tiempo, es la necesaria para mantener el flujo. Utilizando la analogía eléctrica, resulta que la potencia se calcula a partir de la relación siguiente:
P = Q.Δp = Q 2Rh = (Δp)2/Rh
EJERICICIOS
1. El aceite de motor SAE 10 pasa por una tubería delgada de 1,80 mm de diámetro en un motor prototipo. Esta tubería de lubricación tiene 5,5 cm de longitud. ¿Qué diferencia de presiones se necesita para mantener un caudal de 5,6 mL/min? Rp. 3 985,33 Pa. 2. ¿Cuál debe ser la diferencia de presiones entre los extremos de un tramo de oleoducto de ,7 km, con 35 cm de diámetro, si tiene que conducir petróleo (d = 950 kg/m3, η = 0,20 Pa.s) con un caudal de 400 cm3/s? 3. a) Calcule el valor global de la resistencia hidrodinámica de todas las arterias, arteriolas y capilares del cuerpo humano a partir de los datos siguientes: caudal = 0,83 x 10 -4 m3 s-1; caída de presión desde la aorta hasta los capilares = 1,2 x 104 N.m-2. b) ¿Qué consecuencia comporta un aumento de la resistencia de los vasos sanguíneos? c) Durante la realización de un ejercicio físico se produce un aumento de la presión y una vasodilatación, ¿qué implicaciones tienen estas modificaciones desde el punto de vista del flujo sanguíneo? Rp. a) 1,446 x 108 Ns.m-5; b) aumento de resistencia implica (para mantener el caudal) aumento de presión, por tanto, aumento del esfuerzo cardiaco; c) el aumento de presión y una vasodilatación aumentan el caudal, por tanto, la oxigenación de los tejidos; pues al aumentar el radio de los vasos se reduce la resistencia aerodinámica. 4. Una aguja hipotérmica tiene una longitud de 8 cm y un radio interno de 0,4 mm. ¿cuál es la resistencia hidrodinámica de la aguja al paso de agua? (temperatura 20°C). La aguja se coloca en una jeringa con un émbolo de 3,5 cm 2 de área. ¿Con qué fuerza hay que apretar el émbolo para conseguir que el caudal del medicamento sea de 2 cm 3/s en un tejido cuya presión es de 9 mm Hg (viscosidad del medicamento, 1 cp) 3. La sangre de un animal se pone en una botella a 1,5 m sobre una aguja de 3,8 cm de longitud y 0,4 mm de diámetro interior, que fluye a 4,1 cm 3/min. ¿Cuál es la viscosidad de esa sangre? 4. ¿Cuál es la potencia del corazón de un adulto normal en reposo? La presión media vale p = 100 mm Hg = 1,3 x104 N/m2, y el caudal del flujo sanguíneo es Q = 0,83 x 10 -4 m3/s. 5.- La velocidad v m de la sangre en el centro de un capilar es 0,066 cm/s. La longitud L del capilar es 0,1 cm y su radior r = 2 x 10 -4 cm. (a) ¿Cuál es el flujo Q en el capilar? (b) Hacer un cálculo aproximado del número total de capilares del cuerpo a partir del hecho de que el flujo a través de la aorta es 83 cm3/s. Rp. 4,14 x 10-9 cm3/s; 2 x 1010 6.- (a) Calcule la resistencia que presenta a la sangre en capilar del ejercicio anterior. (b) Calcule la resistencia cuando el radio del capilar se dilata hasta 2,5 x 10-4 cm. 7.- (a) ¿Cuál es la resistencia al agua de una aguja hipodérmica de 8 cm de longitud y 0,04 cm de radio interno? (b) La aguja está unida a una jeringa con émbolo de 3,5 cm 2 de área.
¿Cuál es la fuerza que debe aplicarse al émbolo para conseguir que el agua fluya de la jeringa a una vena con un flujo de Q = 2 cm 3/s? Supóngase que la presión en la vena es 9 mm Hg. 8.- Durante la micción, la orina fluye desde la vejiga, donde su presión manométrica es 40 mm Hg, a través de la uretra hasta el exterior. Calcule el diámetro de la uretra femenina si se conocen los siguientes datos: Longitud de la uretra femenina = 4 cm; caudal de flujo durante la micción = 21 cm3/s; viscosidad de la orina = 6,9 x 10-4 PI Rp 1,4 mm. 9.- En los árboles, por cada metro de altura hay una diferencia de presión de 0,15 atm. La savia fluye por el xilema formado por capilares de 2 x 10 -5 m de radio. Si la viscosidad de la savia es 1 cp, ¿cuánta sabia por segundo conduce cada uno de estos capilares? Rp. 0,95 x 10-6 cm3/s. 10.- Para realizar una transfusión de sangre a un enfermo colocamos el frasco con el plasma a 1,3 m por encima del brazo. La aguja que penetra en la vena tiene un diámetro interior de 0,36 mm y 3 cm de longitud. El caudal de sangre es 4,5 cm 3 por minuto. Calcule la viscosidad de la sangre sabiendo que su densidad es 1 020 kg/m3.
1.6.- NÚMERO DE REYNOLDS, APLICACIONES Número de Reynolds: si la velocidad del flujo es grande, el flujo por un tubo se hace turbulento y ya no es válida la ecuación de Poiseuille. La aparición de la turbulencia es abrupta, con frecuencia, y se puede caracterizar aproximadamente mediante el llamado número de Reynolds, Re:
Re = 2.v.r.d / η, Donde, v es la velocidad media del fluido, d es su densidad, η es su viscosidad y “r” es el radio del tubo por el que pasa el fluido. Experimentalmente se sabe que el flujo es laminar si Re tiene un valor menor que 2000, pero es turbulento si Re rebasa ese valor. EJERCICIOS.
1.- La velocidad media de la sangre en la aorta ( r = 1,0 cm) durante la parte estacionaria del latido del corazón es aproximadamente de 30 cm / s. ¿es laminar o turbulento? 2.- Durante el ejercicio violento, la velocidad del flujo de la sangre aumenta aproximadamente en un factor 2. Según el ejercicio anterior, calcule el número de Reynolds y determine qué tipo de flujo hay en la aorta. 3.- Evaluar el número de Reynolds que corresponde a los datos del flujo de la sangre en el sistema cardiovascular. Datos: velocidad media 35 cm. s -1 en el extremo arterial, y 3,9 mm.s-1 en el extremo capilar; radio arterial medio = 1,19 cm, radio capilar medio, 4 μm, densidad = 1,1 x 103 kg.m-3, η = 2,084 x 10-3 Pa.s
