Fluidos- Juan G. Saldarriaga v.- Hidraulica de Tuberias (1)

illDRÁULICA DE TUBERÍAS

Juan G. Saldarriaga V. Profesor de ingenieríe hidráuiíca Universídad de los Andes

Revisión técnica

Germán R. Santos G. Profesor tituiar Escuela Colombiana de ingeniería

Santafé de Bogotá. Buenos Aires. Caracas· Guatemala· Lisboa· Madrid· México Nueva York· Panamá· San Juan· Santiago de Chile· sao Paulo Auckland • Hamburgo " Londres· Milán· Montreal • Nueva Delhi " París San Francísco " San Luís" Singapur • Sidney • Tokio· Taranta

Hidráulica de tuberías

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DERECHOS RESERVADOS. Copyright © 1998, por JUAN G. SALDARRIAGA V DERECHOS RESERVADOS. Copyright © 1998, por McGRAW-HILL INTERAMERICANA, S A Avenida de las Américas, 46-41. Santafé de Bogotá, D. C., Colombia

Editora: Emma Ariza H.

1234567890

9012345678

ISBN: 958-600-831-2

Impreso en Colombia

Prlnted in Colombia

Se imprimieron 1AOO ejemplares en el mes de mayo de 2001 Impreso en Panamericana Formas e Impresos S.A.

A Carolina, Juliana y Alejandro quienes dan sentido a mi vida.

PREFACIO

Hidráulica de tuberías es el resultado de varios años de trabajo de investigación y docencia en el área de hidráulica de tuberías y sistemas de irrigación en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes. A pesar de que en la bibliografía técnica existente se encuentran excelentes textos de hidráulica, mecánica de fluidos, maquinaria hidráulica e incluso textos en hidráulica de tuberías, faltaba un libro que cubriera todos los aspectos del flujo en tuberías. El presente texto es un esfuerzo para suplir ese vaCÍo. Se caracteriza por estar centrado en el diseño de sistemas de tuberías, más que en los métodos de construcción, mantenimiento y operación de dichos sistemas. Para lograr su objetivo introduce una serie de algoritmos, diagramas de flujo y programas, en los disquetes adjuntos, los cuales penniten el diseño de todos los subsistemas de tuberías que pueden fonnar parte de un sistema mayor. También incluye comentarios de programas existentes en el mercado destinados al diseño de redes de tuberías para la distribución de agua potable. Con el fin de ayudar a entender el proceso de diseño, cada capítulo va acompañado de una serie de ejemplos resueltos y de una serie de problemas plameados. Igualmente, al final de cada capítulo se presenta la bibliografía utilizada, que puede ser consultada por el lector con el objeto de complementar algunos detalles de lateoría. Otra de las características de Hidráulica de tuberías es que abarca tcmas que usualmente se trataban en textos diferentes a pesar de estar muy relacionados. El libro contiene los temas de tuberías simples, sistemas de tuberías, sistemas de bombeo, sistemas de distribución de agua potable o acueductos y, finalmente, sistemas de riego convencionales y localizados de alta frecuencia. Está dividido en ocho capítulos. El capítulo 1 se dedica a establecer las teorías sobre las cuales se basa todo el diseño de sistemas de tuberías con flujo a presión. Es un capítulo que describe en foona detallada el desarrolJt) histórico del actual conocimiento del flujo turbulento en tuberías. Parte de los trabajos de Newton y Darcy y finaliza con los de PrandtI, Van Kánnán, Nikuradse, Colebrook y White. Establece en forma cIara las teorías de cantidad de movimiento, de flujo viscoso, de análisis dimensional, de longitud de mezcla y de interacción fluido-pared sólida que han permitido entender el flujo turbulento en tuberias y que permanecen como uno de los pocos casos de flujo turbulento con ecuaciones de diseño completamente desarrolladas y probadas en la práctica. Al final del capítulo aparece una tabla de resumen de estas ecuaciones. A pesar de que es un capítulo básico para entender el flujo en tuberías a presión, su lectura puede ser dejada de lado por el lector que no desee conocer en detalle la procedencia de las ecuaciones de diseño. El capítulo 2 está dedicado al diseño de tuberías simples, es decir aquellas tuberías con diámetro y material constante, que son la base para el diseño de los sistemas más complejos. En él se establecen los tres tipos de problemas de tuberías a los que se ve enfrentado el diseñador de tuberías y se describen las forma'> de solución. Esto lleva a la presentación de los cinco primeros diagramas de Hujo y a los cinco primeros programas, los cuales serán la base de los programas que se presentan en los demás capítulos. El texto remite a los programas mediante el ícono de un disquete identificado con un número de programa. En los disquetes que acompañan el libro se encuentra un ícono que identifica los 14 programas complementarios al texto. Haciendo doble clic con el ratón sobre el ícono seleccionado, el lector podrá utilizar cualquiera de los programas. El capítulo 3 presenta las ecuaciones y metodologías alternas para el diseño de tuberías simples. Las teorías de longitud de mezcla y de interacción fluido-pared sólida de Prandtl llevaron a ecuaciones no explícitas de diseño. Este problema fomentó el planteamiento de ecuaciones netamente empíricas para el diseño de sistemas de tuberías, algunas tratando de seguir unidas a la ecuación de Darcy-Weisbach y otras siguiendo un camino completamente diferente. Algunas de estas ecuaciones alcanzaron un éxito importante en la práctica de la ingeniería y siguen siendo utilizadas en el presente. Entre las ecuaciones de este tipo se

VI

HIDRÁULICA DE rUBERíAS

destacan las de Moody, Wood, Barr y Hazen-Williams, las tres primeras siguen la metodología de Darcy y la última es completamente independiente. El capítulo 3 presenta estas ecuaciones, con ejemplos para los tres tipos de problemas de diseño de tuberías antes descritos. Al final del capítulo se hace una comparación entre las ecuaciones de Hazen-Williams y de Darcy-Weisbach en conjunto con la de Colebrook-White. A partir del capítulo 4 se inicia el análisis de sistemas complejos de tuberías. Sin embargo, las soluciones a problemas de diseño en estos sistemas se basLm en los cinco algoritmos planteados en el capítulo 2. El capítulo 4 aborda el problema de operar sistemas de tuberías con bombas. Se establece en detalle el efecto que una bomba tiene sobre la línea de gradiente hidráulico del flujo en una tubería y se introducen los conceptos de curva de la bomba y curva del sistema. Luego de introducir los conceptos básicos de la operación de bombas se desarrolla la metodología de diseño de ésta, la cual queda incluida en el diagrama de tlujo 6 y en el programa 6. El capítulo 5 establece las metodologías de diseño de tuberías en serie y de tuberías en paralelo. La primera parte del capítulo se relaciona con el diseño de sistemas en serie; nuevamente se establecen las metodologías para resolver los tres tipos de problemas del diseño de sistemas de tuberías, las cuales quedan resueltas en tres diagramas de flujo con sus correspondientes programas. En esta parte del capítulo se introducen los diagramas de flujo 7, 8 Y 9 Y sus programas. Al final de esta primera parte se estudian los tubos porosos, caso particular de los tubos en serie, utilizados en los sistemas de riego que se estudian en el capítulo 8, La segunda parte del capítulo 5 analiza el caso de las tuberías en paralelo. Los diagramas de-flujo 10, 11 Y 12 Y sus conespondientes programas contienen las metodologías de solución de los tres tipos de problemas para el caso de sistemas en paralelo. Los capítulos 6 y 7 se dedican al análisis de redes de tuberías. El primero de éstos desarrolla el caso de las redes abiertas o sistemas de redes matrices en sistemas de acueductos, aquellas tuberías expresas que interconect,m los diferentes tanques del sistema. Para el análisis de este tipo de redes se introduce el concepto de balance de cantidad en un nodo y luego se procede a establecer las metodologías de diseño de los tres tipos de problemas en el caso de las redes abiertas. Se desarrollan los diagramas de flujo 13 y 14 Y sus correspondientes programas. Estos 14 programas fueron desarrollados como parte integral del texto Hidráulica detuberías. Tal como se estableció anteriormente, los archivos ejecutables se encuentran incluidos en los disquetes adjuntos. Todos los programas fueron desarrollados en lenguaje TURBO PASCAL para WINDOWS y pueden correr en un computador pe compatible con procesador 80486 o superior y con una memoria RAM de por lo menos 8 megabytes. El capítulo 7 está relacionado con las redes cerradas de tuberías, es decir aquellas redes que contienen al menos un circuito cerrado y que conforman los sistemas típicos de distribución de agua potable en los centros urbanos. En el capítulo se describen en detalle las diferentes metodologías para resolver problemas de diseño de redes cerradas partiendo de las más antiguas, tales como la de Hardy-Cross hasta las más modernas como la del gradiente. Se muestra cómo las metodologías existentes se desarrollaron únicamente para el primer tipo de problema de tuberías, la comprobación del diseño. Se hace una corta descripción, sacada de INTERNET, de algunos de los principales programas comerciales: KYPIPE 3, CYBERNET, WATERCAD y EPANET. La última parte del capítulo se dedica a describir metodologías para atacar el tercer tipo de problemas, el diseño en sí de las redes, a través de rutinas de optimización de costos de tuberías. Se introducen los criterios de diseño de redes cerradas de Wu y de Featherstone y se describe el programa REDES. desarrollado en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes, el cual pennite el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable. Una versión académica de este programa, limitada a redes de máximo 30 tubos, se encuentra en los disquetes que vienen con el libro.

PI
VII

El capítulo 8 de Hidráulica de tuberías representa la diferencia más importante con respecto· a otros textos en el área de tuberías, ya que cubre aspectos que usualmente son tcma de cursos o aun carreras diferentes. Dicho capítulo aborda las redes de riego a presión, incluyendo las redes de sistemas de riego localizado de alta frecuencia. El diseño de este tipo de redes no había 'sido tratado en forma coherente en un texto de hidráulíca. a pesar de que tiene muchos elementos comunes con los sistemas de tuberías abiertas y con las redes de distribución de agua potable. En el capítulo se enfatizan estos elementos comunes y, por consiguiente, se utilizan los algoritmos y programas introducidos en los capítulos anteriores en las metodologías de diseño de redes de riego. Sin embargo, los sistemas de riego tienen caractensticas propias, especialmente los de riego localizado de alta frecuencia; por esta razón, la parte inicial del capítulo describe las diferentes partes de un sistema de riego y la fonna de obtener los caudales de consumo. La metodología de diseño de redes de liego presentada en el capítulo ha sido implementada en el programa RIEGOS desarrollado por el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes. Nuevamente se incluye copia de este programa, en una versión académica. en los disquetes adjuntos. En las páginas finales aparecen cinco ,apéndices para apoyar los algoritmos y programas descritos en el texto. El apéndice 1 presenta las propiedades físicas de diferentes fluidos, haciendo énfasis en el agua, necesarias cada vez que se quieran utilizar ecuaciones de diseño. El apéndice 2 está constituido por los diagramas de Nikuradse y Moody. En el apéndice 3 aparecen las instrucciones para la instalación de los disquetes adjuntos y las instrucciones para el manejo del programa REDES. El apéndice 4 incluye las instrucciones para el manejo del programa RIEGOS. Por último, el apéndice 5 contiene las instrucciones para el manejo de los programas de comprobación de diseño, cálculo de potencia y diseño de diferentes sistemas de tuberías. Estos programas se encuentran numerados del 1 al 14. Para la realización de este texto el autor contó con la ayuda de numerosas personas y entidades y a todos ellos debe agradecer su apoyo. El Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes, yen especial sus directores profesores Luis E. Yamín y Bernardo Caicedo, respaldó la idea de convertir unas notas de clase en un libro de texto. El profesor Alberto Sarria, decano de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de los Andes. aportó importantes comentarios después de leer el manuscrito del capitulo 1. Los alumnos del Programa de Magíster en Recursos Hidráulicos en la Universidad de los Andes ayudaron a corregir las primeras versiones del texto y de los algoritmos de los programas. EIsa Urueta, Patricia Wolf y Marcela Insignares, alumnas de ese programa, y Carolina Santamaría, fueron las encargadas de producir la versión en procesador de palabra del texto, incluyendo todos los dibujos y gráficas. Camilo Olea y Luis Ernesto Guzmán desarrollaron los progrJJ11as que incluyen los disquetes. Luis A. Carnacho, Juan D. Diaz, Andrés Salazar. Manuel Romero y Camilo Olea, en sus tesis de pregrado y de magíster desarrollaron el programa REDES. Andrés Salazar en su tesis de magíster desarrolló la primera versión del programa RIEGOS. El presente texto no hubiera sido posible sin el respaldo y el trabajo hecho por Emma Ariza, editora, y Neira Loaiza, COlTectora de estilo, de McGraw-HiH. La detallada revisión técnica realizada por el profesor Gennán Santos, de la Escuela Colombiana de Ingenielia, también fue un excelente trabajo que el autor desea destacar y agradecer. Finalmente, Carolina, Juliana y Alejandro con su paciencia y amor permitieron que el autor pudiera dedicarle tiempo a la escritura del texto y al desarrollo de los algoritmos y programas. Ese tiempo fue tomado de aquel que se les ha debido dedicar.

Juan Saldarriaga Junio de 1998

IX

CONTENIDO

Prefacio.

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V

Capítulo 1: Introducdonkl flujo en tubel"Ías Definición y tipos de flujo Flujo uniforme ' _ , Resistencia al flujo en condi.l<;tos circulares Experimento de Reynolds :..;;-.;-;;-::~ ~ Número de Reynolds Pérdidas de energía por fricción: experimentos preliminares Viscosidad turbulenta. Longitud de mezcla Viscosidad turbulenta (de remolino o de Eddy) Esfuerzo de Reynolds . Longitud de mezcla Interacción f1ujo~pared sólida Distribución de esfuerzos en tuberías circulares Distribución de velocidades (tuberías circulares) Flujo laminar Flujo turbulento Subcapa laminar viscosa (flujo lanilnar) Zona de transición Zona turbulenta Perfiles de velocidad :................... . Ecuaciones para el diseño de tuberías circulares ,_ ; Flujo laminar Flujo turbulento Pérdidas de cabeza debido a la fricción Relación entre f yt o ". El factor de fricción para flujo laminar Ecuaciones de fricción para tubelías reales ;................................... Ecuación de Blassius para flujos hidráulicamente lisos Diagrama de Nikuradse .. Trabajos de Lewis Moody. Diagrama de Moody Ecuaciones generales para la fricción en tuberías reales. Flujo turbulento .. Clasificación de las rugosidades en tuberías. Trabajos de Colebrook~White Problemas .. " .. : Bibliografía

1 2 2 2 5 7' 8 8 10 13 14 15 18 18 19 20 22 25 29 32 33 40 .. 45 _ ,_.'._ 46 .. 47 .. 48 48 . 50 51 53 61 69 72

Capítulo 2: Diseño de tuberías simples Tipos de problemas en hidráulica de duetos a presión C:omprobación de diseño Cálculo de la potencia requerida. Diseño de la tubería Ecuaciones para el diseño de tuberías simples COluprobación de diseño Cálculo de potenciarequerida

. .. .. .. .. .

74 76 76 76 77 79 82

x

CONTENIDO

Método de iteración de un punto . Método de Newton-Raphson " Diseño de tuberías simples .... Diseño de tubenas simples con altas pérdidas menores Problemas . Anexo 1 Anexo 2. o.. ......•.............. Bibliografía

.

.

83 85 91 95

.

.

..

o ••••••••••••• o ••••••••••••••••••••••••••••••

..

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..

. .

. .

.

.

107 ........... 1J3 .......... 114 120

Capítulo 3: Ecuaciones empíricas para la fricción en tuberías Introducción . . Ecuaciones empíricas para describir el factor de fricción f de Darcy en régimen turbulento. Ecuación de Moody . . Ecuación de Wood . . Ecuación de Barr . . La ecuación de Hazen-Williams . .. .. Comparación entre las ecuaciones de Hazen-Williarns y de Darcy-Weisbach . Problemas. . . Anexo 1 . .. Bibliografía . . Capítulo 4: Bombas en sistemas de tuberías Introducción Bombas en sistemas de tuberías Línea de gradiente hidráulico en sistemas bomba-tubería Curvas de un sistema bomba-tubería Curvas de la bomba .. Curvas del sistema .. Punto de operación de la bomba . Limitaciones en la cabeza de succión Bombas en sistemas de tuberías . Bombas en tuberías simples. Problem.as .. Bibliografía ..

.

123 124 124 125 126 127 136 145 149 151

.

153 154 155 157 157 160 161 162 166 168

.. . ..

..

Capítulo 5: Tuberías en serie y tuberías en paralelo Introducción Tuberías en serie Comprobación de diseño de tuberías en serie Cálculo de potencia para tuberías en serie.. Diseño de tuberías en serie Tuberías con pérdida uniforme de caudal por unidad de longitud: tubos porosos '" Tuberías en paralelo. Comprobación de diseño de tuberías en paralelo ........ Cálculo de potencia para tuberías en paralelo .. Diseño de tuberías en paralelo. Problemas Bibliografía....

180

187 .. . .. ...

.. .. .. ... .

189 190 192 201 207 217 226 228 232 240 248 254

HIDRÁULICA DE TUBERíAS

XI

Capítulo 6: Análisis de redes de tuberías. Redes abiertas Introducción , Análisis de redes abiertas: balance de cantidad . Comprobación de diseño en redes abiertas Cálculo de potencia.. Diseño de redes abiertas .. , ,............................... Bombas en redes abiertas Problemas Bibliografía.

".. ,

.

255 258 . 260 269 270 279 287 ... 292

,.. ,.. , .

Capítulo 7: Análisis de redes de tuberías. Redes cerradas Introducción , , , , " ,., .. , , , ,.. , Primera parte: análisis de redes cerradas Principios fundamentales de análisis de Tedes cerradas , , , , , Método de Hardy-Cross con corrección de caudales , , , Método de Hardy-Cross con corrección de caudales: pasos que se deben seguir en el análisis ,., , , , , , Método de Hardy-Cross con corrección de cabezas , Método de Hardy-Cross con corrección de cabezas: pasos que se deben seguir en el análisis , , Comparación entre las dos formas del método de Hardy-Cross . Método de Newton-Raphson . ,........................................ . Método de la teoría lineal· .;........ . Método del gradiente ,.......................................... Descripción Inatemática Descripción del proceso iterativo Características especiales del método del gradiente .. Descripción de algunos programas comerciales para el diseño de redes de abastecimiento de agua . Kypipe3 Cybemet Watercad .. Epanet Segunda parte Diseño de redes de distribución Diseño de redes de abastecimiento de agua Estimación de los caudales de consumo Presiones requeridas en la red de abastecimiento Diámetros de las tuberías de la red de distribución Diseño de la red de distribución El programa REDES Capacidades del programa REDES . Método de diseño de redes , ,.... Proceso de selección de método .. Descripción del algoritmo . Descripción de subalgoritmos Ecuaciones de fricción utilizadas por el programa REDES ,

, ,........

.... 295 296 ... 296 , 299

,......... " ,.. ,

301 303

,

. ..

398 398 .. 402 405 .. 409 . 412 ...412 .. 412 .. 413 .. 414 .. 415 .. 416 .. 417 417 419 419 420 . 422 429 ..

,

,

306 307 326 349 365 365 369 369

CONTENIDO

Presentaci6n del programa REDES ProbJelnas Bibliografía

"" .

429 441 448

Capítulo 8: Sistemas de riego localizado de alta frecuencia (RLAF) Introducción 453 ,.. 454 Descripción de un RI AF Esquema de una instalación de RLAF ,.. , 455 Esquema de una estación de riego , ,.. ,................................................. .. 457 Emisores finales . 459 Presiones en los emisores finales , , , 459 C.audales en los emisores finales , , 459 Régimen hidráulico de los emisores finales 460 Relación cabeza~caudal en los emisores finales , 461 ,..................... .. 463 Tolerancia a la presión de los emisores finales Sensibilidad a las obturaciones en los emisores finales ,........................ .. 464 Sensibilidad de los emisores finales a la temperatura 465 , 465 Clasificación y tipos de emisores finales , Emisores de bajo caudal , 466 Mangueras . 472 Cintas exudantes , 473 Emisores de alto caudal , , 474 Microaspersores y difusores , 474 Microtubos de alto caudal................................. . 474 Uniformidad del riego ,....................... . 474 Coeficiente de uniformidad........................... . 475 ;.... .. 478 Factores que intervienen en el coeficiente de uniformidad Factores constructivos: coeficiente de variación por fabricación 478 Factores hidráulicos 481 Diseño hidráulíco de sistemas de RLAF . 482 Secuencia del diseño hidráulico . 482 . ; 484 Cálculo del caudal por planta y el caudal total....... Cálculo de la tolerancia de caudales 487 Cálculo de la tolerancia de presiones , 487 Cálculo hidráulico de los submódulos: cálculo de múltiples y laterales de riego 490 Cálculo de tuberías primarias y secundarias ; 494 El programa RIEGOS 496 Primera parte del programa RIEGOS: cálculo hidráulico de un submódulo de riego 497 Segunda parte del programa RIEGOS: cálculo y diseño de las tuberías 503 primarias y secundarias y de la bomba Problemas , ,.. ,...................... . 510 Bibliografía 516 Apéndice l 519 Apéndice 2 525 Apéndice 3 . 529 Apéndice 4 . 535 Apéndice 5.......... . 551

Introduccional enluberías El principal objetivo de este capítulo es establecer las ecuaciones que gobi.ernan el flujo

uniforme en tuberías. Estas ecuaciones se conocen con el nombre de ecuaciones de fricción, ya que por lo general relacionan la energía que se pierde en el proceso del movimiento del fluido a causa de la fricción entre la pared del dueto y el fluido. Todas las ecuaciones que describen el flujo uniforme en tuberías son de naturaleza similar: se basan en un equilibrio de fuerzas muy sencillo. Las diferencias entre estas ecuaciones, más de forma que de fondo, obedecen a los procesos'empíricos utilizados en la deducción. En este capítulo se deducirálllas ecuaciones de distribución de velocidad y de esfuerzo cortante en tuberías, las ecuaciones que describen la interacción fluido-paredes sólidas y las ecuaciones de fricción, utilizadas para el diseño de sistemas de tuberías. En los capítulos siguientes se emplearán todas estas ecuaciones para problemas específicos de diseño. Las referencias bibliográficas proporcionadas sobre mecánica de fluidos son de gran utilidad para complementar la teoría que sustenta las ecuaciones planteadas. DEFINICiÓN y TIPOS DE FLUJO Desde el punto de vista de su comportamiento mecánico, un fluido es una sustancia que no puede resistir esfuerzo COliante. Si éste se presenta, el fluido se deforma y continúa defonnándose mientras el esfuerzo exista. En este proceso de defonnación continua las diferentes partes del fluido cambian de posición relativa en forma pennanente; este movimiento relativo se conoce como flujo. En términos sencillos, flujo es el movimiento de un fluido con respecto a un sistema inercial de coordenadas, generalmente ubicado en un contorno sólido. El flujo en un canal o tuberla se puede determinar mediante las siguientes cantidades físicas:

•

Desplazamiento de una partícula de fluido . Velocidad de una partícula de fluido en un punto del campo de flujo. Aceleración de una partícula en un punto del campo de flujo,

Las cantidades anteriores pueden pennanecer constantes o variar con el espacio y/o Con el tiempo. Con respecto al espacio, los flujos se. ~lasifican en uniformes (si 'las


2

cantidades físicas permanecen constantes en el espacio) y no uniformes. Con respecto al tiempo se clasifican

en permanentes o estacionarios (si las cantidades de flujo permanecen constantes en el tiempo) y no permanentes. Estos cuatro tipos de flujo se combinan, así: Flujo uniforme permanente: Ninguna de las características del flujo (presión y velocidad)varfan en el espacio y/o el tiempo.

Flujo uniforme no pennanente: Las características no varían con el espacio pero sí con el tiempo. Es muy difícil encontrar este tipo de flujo en la naturaleza, debido a que los cambios tendrían que ocunir en forma simultánea a todo 10 largo de la tubería (la velocidad de la señal de cambio tendría que ser infinita). Flujo variado permanente: Las características del flujo varían con el espacio pero no con el tiempo. Existen dos subtipos de flujo: Gradualmente variado. Los cambios en las características del flujo (presión y velocidad) son graduales a lo largo de la dirección principal de éste. Por ejemplo, las contracciones y expansiones suaves en tuberías, el flujo a través de tubos Venturi, etc. Rápidamente variado. Los cambios en las· características del flujo son abruptos a lo largo de la dirección principal de éste. Por ejemplo, las contracciones abruptas en tuberías, el flujo a través de válvulas y los rotores de bombas. Generalmente este tipo de flujo va acompañado de gran turbulencia. Flujo variado no permanente: Las características del flujo varían con el espacio y con el tiempo. Debido a que el flujo uniforme no permanente no existe, este nuevo tipo se conoce con el nombre de flujo no permanente. En el caso de tuberías, el flujo no permanente está relacionado con el fenómeno de golpe de ariete, FLUJO UNIFORME

En el flujo uniforme las características del flujo (presión y velocidad) permanecen constantes en el espacio yen el tiempo. Por consiguiente, es el tipo de flujo más fácil de analizar y sus ecuaciones se utilizan para el diseño de sistemas de tuberías. Como la velocidad no está cambiando, el fluido no está siendo acelerado. Si no hay aceleración, según la segunda ley de Newton para el movimiento, la sumatoria de las fuerzas que actuan sobre un volumen de control debe ser cero. Es decir, existe un equilibrio de fuerzas. En el caso del flujo en tuberías actúan tres fuerzas: fuerzas de presión, fuerzas gravitacionales y fuerzas de fricción. Las dos primeras tratan de acelerar el flujo y las últimas tratan de frenarlo. En el caso del flujo uniforme existe un equilibrio entre las fuerzas de fricción, por un lado, y las fuerzas gravitacionales y de presión, por el otro. Dada la importancia de las fuerzas de fricción en el problema del flujo uniforme, el cual es básico para el diseño de sistemas de tuberías, el resto de este capítulo se dedica a estudiarlas. RESISTENCIA AL FLUJO EN CONDUCTOS CIRCULARES

Experimento de Reynolds Históricamente se conocían dos tipos de flujo, los cuajes se diferenciaban por su comportamiento en 10 concerniente a las pérdidas de energía. En 1840, G. H. 1... Hagen había establecido los principios y diferencias de estos dos tipos de flujo. Sin embargo, la correcta descripción y formulación sólo fue planteada entre 1880 y 1884 por Osbome Reynolds, de la Universidad de Cambridge, Inglaten-a.

INTRODUCCiÓN Al FLUJO EN TUBERíAS

3

La siguiente figura describe gráficamente el experimento de Reynolds:

¿

tubo de vidrio

!válvula

"l2: "'-"

Figura 1.1 Aparato utflizado por O. Reynolds para establecer el régimen del flujo en tuberfas. Reynolds varía tanto el diámetro de las tuberfas como el líquido que fluye por éstas.

Al abrir la válvula, Reynolds nota que se dan cuatro tipos de flujos.

a) Caudales bajos:

! La tinta no se mezcla.

b) Caudales intermedios:

El filamento de tinta comienza a presentar comportamiento sinusoidal y a hacerse inestable.

e) Caudales altos:

_1 Mezcla

agua~tinta.


4

La inestabilidad de la tinta se mueve aguas arriba; en un determinado punto la tinta se mezcla con el agua.

d) Caudales más altos:

I _ _1 Mezcla agua-tinta.

El punto de mezcla de la tinta se estabiliza en un sitio cercano a la entrada. Figura 1.2 Resultados de! experimento de Reynolds.

Reynolds observa que al aumentar el caudal (aumento de velocidad) el punto de mezcla se corre aguas arriba. E:ventualmente la zona de inestabilidad desaparece. Sin embargo, si sigue aumentando el caudal (Q), el corrimiento del punto de mezcla llega hasta un máximo en donde se detiene; para todo Q hay una zona donde la tinta no se mezcla. Reynolds define los tipos· de flujo de la siguiente forma: •

11

Flujo laminar: Cuando la tinta no se mezcla. El t1ujo se mueve en capas sin intercambio de "paquetes" de fluido entre ellas (el intercambio molecular causante de la viscosidad de Newton sigue existiendo). Flujo turbulento: Cuando la tinta se mezcla completamente. Se presenta intercambio de "paquetes" de íluido entre las capas que se mueven a diferente velocidad. Las partículas no tienen un vector velocidad muy definido. El flujo nunca es estacionario; se debe hablar de una velocidad promedio (flujo cuasipermanente) .

El movimiento en el flujo turbulento es similar a lo mostrado en la figura 1.3, en la que se representªn, en primera instancia, los vectores velocidad de varias partículas en un instante dado (izquierda de la figura), los cuales pueden apuntar en cualquier dirección y, en segunda instancia, la trayectoria seguida por una determinada partícula (derecha de la figura).

Figura 1.3 Flujo turbulento en tuberías. Vectores de velocidad de las partículas y trayectoria de una de éstas.

INTRODUCClON AL FLUJO EN TUBmfAS

•

5

Flujo en transición: Cuando el filamento de tinta comienz2 a hacerse inestable, con una ondulosídad manifiesta. El caudal para el cual este fenómeno empieza a ocurrir depende de las condiciones del experimento; por ejemplo, si la turbulencia remanente (grado de aquietamiento del agua) en el tanque de entrada es baja, la transición demora en presentarse. Lo contrario ocurre si el grado de aquietamiento inicial es pobre. Esto se presenta tanto para caudales relativamente bajos como para caudales relativamente altos.

Número de Reynolds Reynolds repitió su experimento tanto con diferentes diámetros de tubería como fluidos, encontrando resultados similares. Esto lo llevó a pensar que el fenómeno debía estar gobernado por las mismas leyes físicas; pensó que en un conjunto de experimentos como el suyo, si se querían reproducir las condiciones de uno de ellos en los otros, las condiciones de velocidad y de geometría tenían que ser similares y debían ser medidas en sitios similares. Fue la primera persona que habló del concepto de similaridad en mecánica de fluidos. Las líneas de corriente debían. ser similares:

Experimento A

Experimento B

Figura 1.4 Flujos similares alrededor de esferas de diferentes tamaños. Los puntos homólogos 1 y l' Y 2 Y2' deben estar sometidos a fuerzas homólogas.

Las líneas de corriente son similares, luego el movimiento de las partículas 2 y 2', por ejemplo, debe estar gobernado por fuerzas similares en los dos experimentos. En este caso, las fuerzas importantes para producir el movimiento de las partículas son: las fuerzas de presión (Fp ), las fuerzas viscosas (Fv) y las fuerzas inerciales (F¡); las fuerzas de tensión superficial (FTS ) no existen por no haber superficies de contacto gas-líquido o líquido-líquido y las fuerzas de compresibilidad (Fe) son muy pequeñas porque la velocidad es sustancialmente menor a la del sonido. Luego, para la partícula 2 (y 2') se puede establecer el triángulo de fuerzas:

Experimento A

Experimento B 2'

F"'" ma '

~F,

Figura 1.5 Triángulos de fuerza para los puntos homólogos 2 y 2' de los flujos alrededor de esferas similares.

HIDRÁUUCA DE TUBERíAS

6

Para que los dos triángulos de la figura 1.5 sean similares es necesario que dos de sus respectivos lados guarden la misma proporción; Reynolds consideró la relación entre fuerzas viscosas (Fv) y fl1enas inerciales (F):

Ahora, las fuerzas inerciales son iguales a masa por aceleración:

dv

a~-'

di'

ds v= _.

entonces

di

dl~ ds V

donde m = masa aceleración a v = velocidad I = tiempo espacio s

Luego

dv a= v -

ds

ex:

v2 L

donde

v = velocidad significativa del flujo L

longitud significativa de la geometría del flujo Ahora m~

VpxpL3

donde V = volumen

Luego

ma = F, x pV'L'

(1.1)

Por otro lado, las fuerzas viscosas son iguales al esfuerzo cortante por el área en que éste actúa:

dv

F, ~ rA en donde r = ¡;, dy

donde JL = coeficiente de viscosidad dinámica, tal como lo establece la ley de viscosidad de Newton, Luego:

INTRODUCCION AL FLUJO EN TUBEI!IAS

F = v

dv

¡L -

dy

A

ex

7

(1.2)

¡LvL

Al utilizar las ecuaciones 1.1 y 1.2 se obtiene:

vL v

(1.3)

donde v = f:!:- = viscosidad cinemática. p Para que los experimentos A y B sean similares se debe cumplir que:

La expresión adimensional vLp/ p, caracteriza los flujos gobernados por las fuerzas viscosas y las fuerzas de presión. Éste es el caso del flujo unifonne en tuberías. Reynolds utiliza como longitud significativa L el diámetro d de la tubería, encontrando que cuando vdpl¡.L alcanza un valor de 2200, el flujo pasa de laminar a transición. Para valores entre 2200 y 4500 aproximadamente, el flujo se localiza en una zona de transición y para valores mayores pasa a ser turbulento. De esta forma, Reynolds pudo analizar el cambio de flujo laminar a turbulento en una tubería~ posteriormente reprodujo sus experimentos en duetos con diferentes áreas transversales. La expresión vdp/¡;, se conoce como el número de Reynolds (Re).

Pérdidas de energía por fricción: experimentos preliminares El siguiente paso fue tratar de relacionar el tipo de flujo con las pérdidas de energía que se presentan cuando un fluido se mueve a través de un dueto. Reynolds comprendió que para cuantificarlas su experimento de la tinta nO era el más adecuado. Para ese entonces (alrededor del año 1880) se sabía que las pérdidas por unidad de longitud se comportaban en forma diferente para flujo laminar y para flujo turbulento. En consecuencia, pensó en estudiarlas utilizando el aparato ilustrado en la figura 1.6. L > 250d

Control (valvula)

;==:C::'=::;=========="--""g,,,c~as. abajo /

Figura 1.6 Aparato diseñado por Reynolds para estudiar la caída de presión por unidad de longitud a lo largo de una tubería en función del tipo de flujo.

HIDI,AulICA DE TUBERíAS

8

Al variar la velocidad media en el tubo, el diámetro de éste y el material o rugosidad de las paredes internas, Reynolds obtuvo los siguientes resultados (ver figura 1.7): e •

• • •

La línea 0-1 presentaba una pendiente de 1 a 1, lo cual implicaba una variación lineal de las pérdidas de presión por unidad de longitud con respecto a la velocidad. Esto era válido para el flujo laminar. Si el expetimento se hacía abriendo la válvula, se alcanzaba a tener flujo laminar hasta el punto 2 (Re = 2500 - 4000). Si el experimento se hacía cerrando la válvula, el flujo laminar se restablecía en el punto 1 (Re = 2200). En el punto 3 (Re> 5000) la variación log(llp/0 vs.log(v) volvía a ser aproximadamente lineal con pendientes desde 1.75, para tubos muy lisos, hasta 2.0 para tubos muy rugosos. La zona de transición se obtenía para 2200 ~ Re ~ 5000. En ésta la variación log(D.p/~ vs, log(v) era muy compleja, log Ap f

4

LAMINAR

TRANSICION

TURBULENTO

'og v

Figura 1.7 Gráfica logarítmica de los resultados del segundo experimento de Reynolds.

El trabajo de Reynolds llegó hasta este punto, Se estableció que los fluidos se "hacían más viscosos" cuando pasaban de flujo laminar a flujo turbulento. invalidando la ley de viscosidad de Newton [~ = ¡.<.(dv/dy)]. Luego para poder determinar la energía que se perdía en un flujo a través de un dueto por unidad de longitud de éste fue necesario establecer las ecuaciones que gobernaban este "endurecimiento" de los fluidos. A continuación se describen los diferentes intentos que se hicieron para explicar este fenómeno.

Viscosidad turbulenta. Longitud de mezcla Desde antes de la época de Reynolds se sabía que a medida que aumentaba la turbulencia aumentaba el esfuerzo cortante (es decir, ex.istían mayores pérdidas de energía). En el siglo XIX hubo varios intentos por explicar este fenómeno, el primero de los cuales fue el de Boussinesq en 1877.

Viscosidad turbulento (de remolino o de Eddy) Boussinesqintrodujo el concepto de viscosidad turbulenta, teniendo en cuenta la siguiente figura:

INTRODUCCION Al El UJO EN TUBERíAS

9

y

v + 8v, dy

"

By

x z Figura 1.8 Dos placas de fluido moviéndose a diferente velocidad dentro de un campo de flujo.

Introdujo un nuevo esfuerzo cortante, causado por la turbulencia del flujo. Supuso que el. intercambio

típico de paquetes de moléculas entre capas del flujo turbulento añade o resta momentum* (ya que las velocidades son diferentes) a las diferentes capas, haciendo que éstas se aceleren o frenen, respectivamente, con 10 cual se produce un efecto similar al de ·la viscosidad dinámica fL. El intercambio de momentum produce un nuevo esfuerzo cortante:

r YXr = esfuerzo cortante turbulento En esta última expresión el primer subíndice y significa que el esfuerzo actúa en el plano xZ; el segundo subíndice X significa que la dirección del esfuerzo es paralela al eje x. De acuerdo con el planteamiento de Boussinesq, se puede establecer la siguiente ecuación:

donde 11 representa la viscosidad turbulenta, causada por el intercambio de "paquetes" de moléculas, y por consiguiente de momentum, entre las dos capas (ver figura 1.8). Luego:

Bv,

By (l.4)

Por similaridad con la viscosidad cinemática v, Boussinesq define la viscosidad turbulenta cinemática como: E=

T¡/p

Se utiliza también cantidad de movimiento o momenrum lineal (N. del R.T.).

(1.5)


10

Las ecuaciones 1.4 y 1.5 tuvieron un uso limitado debido a la dificultad de definir un valor para r¡, ya que éste dependía de las características del flujo y no del fluido. Algunos de los valores que se establecieron fueron los siguientes: Para flujo laminar: r¡ = O Para flujo turbulento: O '" r¡ '" 10000 1" Este último rango hacía muy difícil determinar la viscosidad turbulenta; por ello, el método de Boussinesq no tuvo aplicación práctica, aunque es muy útil para explicar el fenómeno.

Esfuerzo de Reynolds Con el fin de obtener una mejor ecuación que definiera el aumento del ~sfuerzo cortante cuando el flujo era turbulento, Reynolds desarrolló los siguientes supuestos:

1. La velocidad en el sentido principal del Hujo (eje x) está compuesta por una velocidad media y una variación aleatoria de ésta:

donde V

valor medio de la velocidad en la dirección x. (por ejemplo v, = Q / A)

x

v;

variación aleatoria de la velocidad en la dirección respecto al tiempo debe ser cero 1 .

x. Para un punto, el promedio de v; con

La trayectoria seguida por una partícula refleja esto, tal como se puede ver en la figura 1.9.

5

l~

2_ _V_'

---1

Figura 1.9 Trayectoria seguida por una partícula individual de fluido en un campo de flujo turbulento. Se muestran el vector de la velocidad media y los vectores velocidad y sus componentes en x y y para 5 puntos de la trayectoria.

1.

Es claro que

V;

=

v:: --

Vx '

Por consiguiente:

-, 1 r'(-vx-v )dt=v,-Vx=O - Vx=fJo

x

donde T es el periodo donde se hace el promedio, el cual debe ser mayor que cualquier periodo significativo de las variaciones de velocidades en sí.

INTRODUCCiÓN AL FLUJO EN TUBERíAS

11

Teniendo en cuenta el planteamiento anterior y la trayectoria mostrada en la figura 1.9 se pueden establecer, al comparar los vectores velocidad para los 5 puntos con el vector de la velocidad media (O/A), las siguientes conclusiones:

1. Para el punto J el vector velocidad únicamente tiene componente en el sentido X y ésta es igual, en magnitud, dirección y sentido al vector de la velocidad media. Por consiguiente, para este punto se tiene que v'x es igual a cero. 2. Para el punto 3 la componente x del vector velocidad es igual en magnitud, dirección y sentido al vector de h velocidad media, lo cual nuevamente implica que v'x es igual a cero. 3. Para el punto 41a componente X del vector velocidad es igual en magnitud y dirección al vector de la velocidad media, pero el sentido es el contrario. Esto significa que v'x es igual al doble negativo de la velocidad media. 4. Para el punto 2 la componente x del vector velocidad es nulo, lo cual nueVamente implica que v~ es igual a cero. 5. Para el punto 5 la componente X del vector velocidad es mayor que el vector de la velocidad media, 10 cual implica que v; es positivo y con una magnitud inferior a dicho vector. Las conclusiones planteadas muestran que la variación aleatoria de la velocidad en la dirección x puede ser positiva o negativa y que su magnitud puede ser nula o menor o mayor que la velocidad media. 2. En el sentido y( o z), la velocidad de las partículas únicamente está compuesta por la variación aleatoria en la velocidad:

vy = v'y Es decir, en y no existe velocidad sino una "vibración de paquetes de moléculas" con velocidad instantánea

v;. Nuevamente: v; = velocidad como

v;

O; sin embargo, esto no se aplica para productos de las variaciones aleatorias de

v~ 2,

2,

V:"'v;, etc.

Teniendo en cuenta esta suposición para la velocidad en y, Reynolds calculó la tasa de flujo de volumen Q que pasa de una capa a otra en un determinado intervalo de tiempo (Ver figura 1.10). Dicho caudal es: y

x ?

Figura 1.10 Dos placas de fluido dentro de un campo de flujo turbulento mostrando el caudal instantáneo de la placa inferior a la superior.

IIIDRÁULlCA DE TUBERíAS

12

o

~

Av'y

Luego la tasa de flujo de masa entre las dos capas es:

=

TFM

pO

=

pAv;

y el momentum por unidad de tiempo transmitido por la placa inferior a la superior es:

donde M)t es el momentum en la dirección X por unidad de tiempo, transmitido en un instante (v; puede variar con el tiempo). Al promediar, se obtiene la siguiente expresión:

Al expandir el paréntesis anterior se obtiene:

M I

-2-

=

pAvy -v'x + pAv'y v'x

v~

=

Pero

y y

O

Al tener en cuenta este resultado y que el cambio de momentum por unidad de tiempo es igual a la sumatoria de las fuerzas que actúan en esa dirección:

(MJt) = pA v~-V; = Fx El resultado es:

y 1

1'YXT~Py v'

v'x

donde l'

yxr T

esfuerzo turbulento de Reynolds

(1.6)

INTr
13

v;

La ecuación 1.6 es superior a la ecuación 1.4; sin embargo, la dificultad de una correcta definición de y hace que también existan limitaciones en la aplicación de esta forma de determinar el esfuerzo cortante extra causado por la turbulencia del flujo.

v;

Longitud de mezcla

v; v;,

Con el fin de evitar los problemas de definición de y L. Prandtl (1925) introdujo en el movimiento de fluidos su concepto de longitud de mezcla /. Por definición esta longitud correspondía a la distancia que tenía que viajar un "paquete" de moléculas típico para perder su momentum extra, cuando se movía de una capa con una velocidad a otra con diferente velocidad media. Prandtr supuso que tanto V; como v; eran proporcionales a A\Ix' el cambio de Vx entre las diferentes capas del flujo: v' ce .LlV

,

"

v' ce .LlV y

"

Adicionalmente, supuso que D. \Ix era proporcional a /, la longitud de la mezcla, y al gradiente de vx con respecto a y:

Teniendo en cuenta la ecuación 1.6, ésta se convierte en:

o, con el fin de tener en cuenta el sentido de

r

'fyxT '

ce Y'T

se convierte en:

P

j2!av,! (av") ay ay

Si el factor de proporcionalidad se incluye en /, se obtiene la siguiente expresión: (1.7)

Esta última ecuación es más manejable que la ecuación 1.6. Adicionalmente, T. von Kármán, alumno de Prandtl, demostró que / era proporcional a 8vx /8y e inversamente proporcional a 8(8v)8y)/8y: j =

k 8v

y

/

8y

a'v /8y' y

donde: k = 0.4 es conocida como la constante universal de Prandt1~Von Kármán.

HIDI<ÁULlCA DE ruBERiAS

14

Estudios posteriores han demostrado que la constante k tiene una variabilidad muy baja; en la mecánica de fluidos es la segunda constante de la naturaleza en cuanto a su valor poco variable para experimentos con condiciones muy diferentes.

Luego

(av,/ay)' (a'v, /ay')'

(1.8)

Una vez establecida esta metodología para explicar el aumento de las pérdidas de energía por unidad de longitud cuando el flujo pasaba de laminar a turbulento, Pmndtl procedió a detenniuar la interacción que existía entre la pared del dueto y el flujo. con el fin de entender la disuibución de velocidades que se conocía en ese entonces para el flujo en tuberías. Estas dos teorías (longitud de mezcla e interacción fluido-pared sólida) pennitirían establecer en forma definitiva una ecuación que explicara el comportamiento de las pérdidas de energía en un ducto y que, por consiguiente, hiciera posible el diseño de sistemas de tuberías en forma rápida y sencilla.

Interacción !lujo-pared sólida Siempre que un fluido en movimiento interactúa con una pared sólida, el esfuerzo cortante que se genera afecta principalmente una zona de dicho flujo. Esta zona recibe el nombre de capa límite, la cual puede ser laminar o turbulenta (ver figura 1.11). Capa límite 8'

Dirección~

del flujo

A ~,~.i&j~;¡'::;~:s!lB~~~~~~ Distribuciones de velocidad

Figura 1.11 Capa límite. La presencia de pared sólida afecta la distribución de velocidades del flujo. La velocidad es cero en la superficie sólida y crece a medida que el flujo se aleja de ésta.

En el caso de flujo turbulento la superficie sólida impide que cerca a ella ocurran las vibraciones de Viy , en forma libre, generándose así una zona de flujo laminar. Esta se conoce con .el nombre de la subcapa laminar viscosa (figura 1.12) y siempre se presenta en Uujo turbulento. Se denomina viscosa porque en ella priman las fuerzas viscosas sobre las fuerzas inerciales. Capa límite laminar

Dirección --> del flujo

1.

~-<

~

Capa límite turbulenta

{j ~~ Subcapa lamínar viscosa ~~~~

Figura 1.12 Desarrollo de una capa límite turbulenta mostrando la subcapa laminar que se genera cerca a la superficie.

INTRODUCCiÓN AL FLUJO EN TUBEldAS

15

El espesor de la subcapa laminar es mucho menor que el de la capa límite (8' < < 8). La relación existente entre 8' y el tamaño medio de la rugosidad de las paredes establece la diferencia entre los flujos hidráulicamente lisos y los hidráulicamente rugosos (ver figura 1.13).

~>M1 Rugosidad media

ks < a' Flujo hidráulicamente liso

Subcapa laminar

~~~

k s > 8' Flujo hidráulicamente rugoso

Figura 1.13 Flujos hidráulicamente lisos e hidráulicamente rugosos. El tipo de flujo depende del tamaño relativo entre el espesor de la subcapa laminar viscosa 8' y el tamaño de la rugosidad media k s'

Distribución de esfuerzos en tuberías circulares Si se utiliza la ecuación de Bernoulli para el flujo en tuber.ías se puede encontrar que las pérdidas de energía se manifiestan como pérdidas en la cabeza piezométrica, la cual se define como:

p" pg

L +z pg

donde

p'

P Z p

9

presión piezométrica = p + pgz presión altura hasta un nivel de referencia densidad del fluido gravedad

Estas pérdidas son consecuencia del esfuerzo cortante que existe entre el fluido en movimiento y la pared sólida. Para encontrar la distribución de este esfuerzo en la sección transversal del flujo, se debe tomar el fluido contenido en un tramo de tubería (volumen de control) e indicar todas las fuerzas que actúan eu él (ver figura 1.14).


16

Dirección del flujo

z L

Datum

~

Figura 1.14 Volumen de control para el flujo en una tubería. Se muestran todas las fuerzas que actúan en un fluido contenido en un volumen de control.

Si el fluido contenido en el volumen de control mostrado en la figura 1,14 no se está acelerando, entonces

L Fx = O. Teniendo en cuenta este hecho se obtiene la siguiente ecuación: pA - (p + dp) A + W Gas e ~

T,

Pdx ~ o

donde P = perímetro mojado (perímetro interno del tubo) W = peso del fluido en el volumen de control

El peso del volumen de control es:

W=pgAdx Luego

- dpA + pg A dx Gas e - r, Pdx = o Pero, de acuerdo con la figura:

dx Gas e = -dz Por consiguiente

-- dpA - pg A dz - r, Pdx ~ O r, Pdx = A (dp + pg dz) Como (p + pgz)

= P *, la presión piezométrica es entonces: r, Pdx = Adp*

(Ver figura 1.14)


17

de donde finalmente se obtiene:

ro

~

dp' pA d"X

J

(1.9)

Para conocer el esfuerzo cortante en las paredes de la tubería (1"0) sólo hay que conocer la caída en la presión piezométrica en una determinada longitud de la misma tuberia, así como su geometría. Para tuberías circulares

A = Trro2

Luego

'ro =

dp' dx

!s,.. dp' 2 dx

Además, si se aplica un razonamiento similar a un "tubo" de fluido de radio r obtiene:

< ro (ver figura 1.15) se

(1.9')

Al dividir esta última ecuación por la ecuación para

ro se obtiene la expresión:

Esta última ecuación indica una variación lineal de reon respecto a r, tal como se muestra en la siguiente figura:

I

ro

J'

_.-(} ----_---lr :- -t-~ 1-

~/''''''\.

\

" Figura 1.15 Distribución linea! del esfuerzo cortante en tuberías circulares.

HIDRÁULICA DE TLlBERíAS

18

Si se utiliza la ecuación 1,9 se obtiene: (1.10)

ro = donde

hf

pérdidas por fricción longitud del tramo de tubería Nuevamente, para tubos circulares:

Esta última ecuación establece una relación directa entre el esfuerzo cortante en la pared de una tubería y la caída en la cabeza piezométrica h r De ahí que sea un primer paso para la deducción de una ecuación de diseño. Es importante tener en cuenta que dicha caída de cabeza es la que OCUlTe en un tramo de la tubería de longitud /, el cual debe ser recto, estar hecho de un solo material y no debe tener ningún'tipo de accesorios que produzcan pérdidas adicionales de energía,

Dislribución de velocidades (Iuberías circulares) En este aparte se examinan las distribuciones de velocidad en las secciones transversales de tuberías circulares. Posteriormente, dichas distribuciones son utilizadas para establecer las diferencias entre los tipos de flujo y, por último, para establecer las ecuaciones de resistencia fluida, las cuales se utilizarán para el diseño de sistemas de tuberías.

Flujo lominar En el caso de flujo laminar en tuberías, el esfuerzo cortante está definido por la ecuación de Newton para fluidos viscosos:

T

dv dr

= 1"-

Para tuberías circulares, de acuerdo con la distribución de esfuerzos, se tiene:

dv = dr donde

r< ro

r

1: o ro


19

De esta última ecuación se obtiene:

Cuando se integra con respecto al radio r se obtiene la distribución de velocidades:

v ~ Jdv ~ ~ fJJ o

v=

l' r dr o

r (r') ¡.t;o 2" + el

Para evaluar la constante de integración se utiliza el hecho de que cuando r

= 'o' V =

O; luego

Finalmente

v~ ~ (~~ 2/lo

- ro)·

ró

(1.11)

I

la cual es una distribución parabólica de la velocidad. En flujo laminar, la velocidad sigue esta distribución con su máximo en el centro y su mínimo (v = O) en las paredes internas de la tubería.

,("r r ]

V""...3<..

/

~

ro ~.--.

'--

.

2M

-

-

o

r,

, '.

-

Eje de la tubería '--


f--::::;./

....s.

Figura 1.16 Distribución de velocidades para flujo laminar en una tubería de sección circular.

FlUjo turbulento La presencia de esfuerzos cortantes en las fronteras fluidos-sólidos y entre las diferentes capas del fluido afecta la distribución de velocidades que, en principio, debería ser unifonne. En flujo turbulento, la presencia de la subcapa laminar viscosa modifica aún más dicha distribución.

HIORÁUlIG DE TUBEI<ÍAS

20

En una tubería con flujo turbulento se distinguen tres capas, tal como se muestra a continuación:

y

y

-.

Distribución exponencial

Eje de !a tubería

l'

\

""

Zona turbulenta

...

\\ 'fyx

.


I

y

l

Distribución logarítmica

Zona de transición

-0'-- - - - - -( - - - - - - - - -

T V/

--.--.

v,

- - - - - - - - - - - - - - - - - -...... D~s~r~b~c~ó~

,i~~a~

----Z~n~ ~a~~i~~r'

'////// '/////////////////////// '///////////////J Esfuerzos

Velocidades

Figura 1.17 Distribución de esfuerzos y velocidades para flujo turbulento en una tubería de sección circular (se muestra media tubería).

Para cada una de las tres zonas mostradas (la figura debería ser simétrica en el sentido vertical con el fin de incluir toda la sección transversal de la tubería) las distribuciones de velocidades son:

Subcapa laminar viscosa (flujo laminar) En esta capa, la magnitud del esfuerzo es prácticamente constante e igual a esfuerzo debe estar gobernado por la ecuación de viscosidad de Newton:

T . o

Por ser flujo laminar, el

dv

dy Tal hecho implica que los gradientes de velocidad en esta zona deben ser muy grandes. Igualmente, en la subcapa laminar, por ser de espesor tan pequeño, se pueden aproximar así:

Luego

Dividiendo por la densidad:

dv

Vx

dy

y

INTRODUCCiÓN AL FLUJO EN TUBERIAS

~ p

donde

lJ

21

J::~=v p y y

= viscosidad cinemática

La raíz cuadrada del término "C/p, localizado en la parte derecha de esta última ecuación, tiene las siguientes dimensiones:

[11r;] p 1.......:.0..

=

m

(dimensiones de velocidad)

s

Por definición

donde v*

=

velocidad de corte

Esta velocidad (que no existe en la realidad) mide la magnitud relati va del esfuerzo cqrtante en la superficie muy importante en el estudio de transporte de sedimentos por anastre en ríos y canales o en el diseño de tuberías utilizadas para el transporte de material sólido en suspensión. Es interesante observar la semejanza entre esta última ecuación y el esfuerzo turbulento de Reynolds (ecuación 1.6): la velocidad de corte corresponde a la raíz cuadrada del promedio temporal del producto de las vibraciones aleatorias en las velocidades en x y y(v; y V;). sólido~fluido; es

Luego 2

V* =

Vx

v-

y

De donde se obtiene la siguiente ecuación: (1.12)

La ecuación 1.12 indica que la velocidad sigue una distIibución lineal con respecto a y (ver figura 1.17), siempre y cuando y ~ 8', el espesor de la subcapa laminar viscm¡a. Esta ecuación ha probado ser válida hasta el siguiente límite:


22

Vx = Vx

11.6

lo cual implica que

=

11.6

v Este último resultado permite establecer una ecuación para el cálculo del espesor de la subcapa laminar viscosa. lo que a su vez hará posible establecer con claridad la diferencia entre flujos hidráulicamente lisos e hidráulicamente rugosos.

11.6 v

(1.13)

Zona de transición Entre la subcapa laminar viscosa y la zona completamente turbulenta existe una zona de transición donde el flujo deja de ser laminar para convertirse en turbulento. Se ha encontrado (White, 1994) que esta ZODa se extiende entre los siguientes límites:

El flujo no pasa de laminar a turbulento en fOfma súbita, sino de modo gradual a medida que las fuerzas viscosas pierden importancia frente a las inerciales. En esta zona, los esfuerzos cortantes deben seguir la definición de PrandO dada anteriormente:

~

YX

=pl

2

dv -. ( dy )

2

De alguna manera 1, la longitud de mezcla, debe ser función de y, la longitud significativa del problema en la zona de transición. Luego

1= ky donde k es de nuevo la constante universal de Prandtl-von Kármán, igual a 0.4. Además, Prandtl supuso que el esfuerzo cortante es constante e igual a 'fo' Esto ha sido verificado experimentalmente. Luego

_ k ,(dVdy

r -p 2y o

x

~ )'


23

Al dividirse por la densidad p se obtiene:

Al reordenarse se llega a:

Para encontrar la distribución de velocidades se debe integrar la ecuación anterior, proceso luego del cual se obtiene:

1

k

Iny+

e,

(1.14)

Para evaluar la constante de integración se supone que en el límite de las zonas laminar y de transición las ecuaciones 1.12 y 1.14 son válidas al mismo tiempo; en consecuencia: v( = velocidad en el límite Al aplicar la ecuación 1.12:

vJ3' v,

v

= 11.6

(1.15)

y, además, utilizar la ecuación 1.14:

i< In 8'

+ C,

y la ecuación 1,13, se llega a:

\IL v,

=

~ ín 11.6v+ C V 1

,

k

(1.16)

Luego, al remplazar la ecuación 1.15 en la ecuación 1.16:

11.6 =

1

k

In

11.6v+ C v, 1

(1.17)

HIDI<ÁUlIC<\ DE TUBEI
24

y finalmente, al sustituir la ecuación 1.17 en la ecuación 1.14, se obtiene:

v,y

1 - In k

+ C2

v

en donde:

C, = 11.6 -

1

k

In (11.6)

Si se desalTollan los cálculos, se tiene el siguiente valor para la constante C2 :

C2

~

5.47

Por consiguiente, la distribución de velocidades en la zona de transición está definida por la siguiente ecuación:

~ _1_ in v, 0.4

Vx

(ks

v,y

+ 5.47

v

(1.18)

El anterior análisis es válido si la rugosidad en la superficie no afecta la subcapa laminar viscosa 8); éste e<; él caso de los tubos con flujo hidráulicamente liso. Si se hace una gráfica de la ecuación 1.18, en

<

la cual las abscisas representen In en la siguiente figura:

[.~~~J y las ordenadas v x v

,

se obtiene una línea recta como b. mostrada

v..

Flujo liso

•

2 1

.5"" :" Flujo

1 .......

rugoso

k.

In

5.47

(a)

(b)

'x \

-'-1

,r

"

)'

In

, ["y] -

Figura 1.13 Efecto de la rugosidad de la pared interna de la tubería en la distribución de velocidades. (a) Flujo turbulento hidráulicamente ¡¡so (ecuación 1. '18). (b) Flujo turbulento hidráulicamente rugoso comparado con el liso. Níkuradse demostró que el corrimiento hacia la derecha era igual al logaritmo natural de (k$ v. /¡J).

INWODUCCICJN Al FLUJO EN TUBFRíAS

25

Para el caso del Huja hidráulicamente rugoso, 1. Nikuradse (ver p. 50) demostró que aunque la distribución de velocidades seguía siendo logarítmica. dependía de la rugosidad absoluta k s de la tubería. Tal como se

muestra en la figura 1.18 la relación entre In k.v

~~

y

v/v. se corría hacia la derecha en una cantidad igual

v

a In ~._:.; este resultado fue igual para todas las tuberías. con sus diferentes rugosidades absolutas, que v

probó en el1aboratorio. El cOlTimiento hacia la derecha generaba una diferencia vertical entre las líneas lisa y rugosa, la cual se representaba por ¿lB en la figura 1.18 (b). Nikuradse encontró que:

-,

ksv*

004

"

L\.B = --.- In -

(1.19)

- 3.01

En consecuencia, es claro que el valor de la relación v/v~ para un valor de In

v

en un flujo hidráuli-

camentc rugoso debe ser un dB menor que el valor de la misma relación en un flujo hidráulicamente liso, Es decir: v*y v, ~In 1 + 547 - L\.B = v, 004 v

v, v,

::L v,

v,y

1 ~

04 1 ~

004

In

In

v

1 + 5047 - --

004

L + 8048

In

ksv* v

+ 3.01 (\.20)

k,

Zona furbulenta Algunos investigadores afüman que la distribución de velocidades en la zona turbulenta es muy similar a la de la zona de transición, especialmente en el caso de flujo en tuberías. Esto significa que la distribución logarítmica antes encontrada es aplicable a esta nueva zona. Otros autores afirman que dicha distribución es exponencial, regida por la siguiente ecuación:

donde

~

v:

velocidad media

ro

radio total de la tubería

=

Además, se tiene que: n=

~.

si Re < 100000

HIDf!ÁUUCA DE TUBERíAS

26

Si el número de Reynolds (Re) aumenta, el exponente n empieza a disminuir. Esta distribución de velocidades se conoce como la ley de la potencia 117. Finalmente, es importante establecer que el perfil lineal de velocidades de la subcapa laminar viscosa sólo confonna un 2%, o menos, del perfil total de velocidades en una sección ITansversal; de ahí que su presencia pueda omitirse en los análisis de flujo en tuberías. Las ecuaciones logarítmicas L 18 Y 1.20 describen muy bien el perfil de velocidades aun en la zona completamente turbulenta. excepto en el caso en que la presión se incremente aguas abajo, como ocurriría de tratarse de un difusor. Por estas dos razones en este texto se considerará que la distribución de velocidades es logarítmica para todas las secciones transversales de tuberías circulares con flujo turbulento. Una vez desarrolladas las anteriores ecuaciones para la distribución de esfuerzos y de velocidades en flujos en tubería.." y conocida la interacción entre el fluido y la pared sólida del ducto, es posible establecer las ecuaciones de resistencia fluida que penniten el diseño de sistemas de tuberías. En el siguiente numeral se establecen dichas ecuaciones empezando por ecuaciones empírica,;; utilizadas para describir los flujos más simples. Igualmente, se hace uso de la técnica de análisis dimensional para deducir la fonna de la ecuación que gobierna la caída de cabeza piezométrica por unidad de longitud para flujo en tuberías.

Ejemplo 1.1 ¿En qué punto de la sección transversal de una tubería circular hay que medir la velocidad de tal manera que ésta sea igual a la velocidad media del flujo en la sección completa? Supóngase que el flujo es hidráulicamente rugoso. Tubo de Pitot

/' -----

x


La distribución de velocidad para flujo hidráulicamente rugoso está dada por la ecuación \.20:

1

In

l:. + 8.48

(\.20)

k,

Si se toma el diferencial dy mostrado en la figura y se tiene en cuenta que la sección transversalesdrculai se puede calcular el siguiente diferencial de área:

INTr!ODUCCI(lN Al FLUJO EN TUBERíAS

dA = 27T(r- y) dy El caudal que pasa por este diferencial de área es:

dO= v,dA dO

=

v,27T(r- y) dy

Por consiguiente, el caudal total que pasa por toda la sección de la tubería es:

Al remplazar la velocidad por su distribución se obtiene:

O

= 217

fo'

l

y + 848 v ) (r - y) dy -v. In -04 k, •

Después de llevar a cabo el proceso de integración se llega a:

[

v..? 1 V./ " V ..[ ~ r· ín - + ín r- + 424 v.r'

0= 27T -

k,

OS

04

v* r2

- -

04

v.. (2)

-In r+ - - 04 4

04 2

l

v. r v. v.)] O=27T--r'ln-+ 4.24v.+--r' [ OS ~ 16 04

r + 2.37 v. ] 0= 27Tr2 -v. In -[ O.S

k,

La anterior ecuación representa el caudal que pasa por la totalidad de la sección transversal de la tubería. Para obtener la velocidad media se debe divídir este caudal por el área transversal:

O = -O-

v= A

7Tr 2

27

HIDI<ÁIJUCA DE TUBERíAS

28

277(' [V.

( + 2.37 v. ]

V= ' - - - - In 77(' 0.8 1<,

de donde se obtiene la siguiente expresión para la velocidad media: V.

(

OA

1<,

V= - I n - +473

.

V

•

Algún punto de la distribución de velocidades debe tener una velocidad con magnitud igual a esta velocidad media. Se puede suponer que este punto se encuentra a una distancia ym desde la pared interna de la tubería. Luego, de la ecuación 1.20:

y

V.

In -"'OA 1<,

+ 8A8 V.

(b)

Para encontrar el valor de y m' que corresponde al sitio en el cual se debe colocar el tubo de Pito! con el f1n de medir la velocidad media del flujo, es necesario igualar las ecuaciones (a) y (b): V= V V.

OA

(

In

+ 4.73 v.

1<,

Ym

V.

y

In -"'OA k,

= -

+ 8A8 v.

de donde: 1

OA

In (

1

k,

OA

In Ym = 3.74

k,

In.!- = 1496 Ym

( = e 1496 = 4A6 Ym (

y= 4A6

Iy= 0224( I Luego el tubo de Pitot debe colocarse al 22.4% del radio de la tubería, medido desde la superficie interna de ésta.

INTRODUCCIÓN AL FLUJO EN TUBERIAS

29

Perfiles de velocidad Una vez determinados los diferentes perfiles de velocidad para el flujo en tuberías circulares, es interesante hacer una comparación entre éstos con el fin de establecer algunas conclusiones cualitativas que servirán para entender los procesos de diseño de los siguientes capítulos. Si se utilizan las ecuaciones 1.11, 1.18 Y 1.20 que describen los perfiles de velocidad para flujos laminar, hidráulicamente liso e hidráulicamente rugoso:

v= ~

(1.11)

2fL

v, v*

=

~1~ In -v*y +5.47 v 0.4

(1.18)

L +8.48

(1.20)

k,

se pueden establecer las siguientes relaciones entre la velocidad y la velocidad media (17 = O/A) para cada uno de los tres tipos de flujo. (El procedimiento, relativamente largo, se deja como ejercicio aJIeetor). •

Flujo laminar (1.21)

donde y

distancia medida desde Ia·supert1cie interna de la tubería en dirección hacia el eje de ésta

ro : : : radio total de la tubería e Flujo hidráulicamente liso

v

v •

v*y 1. -In +5.47 0.4 v v*(o

1.

-In 0.4 v

(1.22)

+1.72

Flujo hidráulicamente rugoso (ver el ejemplo 1.1 para el cálculo de v) 1.

In

X + 8.48

v

-::0~.4~_~,--_ _

v

---In ~ +4.73 0.4 k,

(1.23)

HIDRÁULICA DE TUBmíAS

3D

Si se utilizan estas dos últimas ecuaciones es posible construir la gráfica adimensional mostrada en la figura 1.19, en donde la velocidad media es igual para todos los tipos de flujo. Mediante la gráfica es posible establecer las siguientes conclusiones cualitativas: 1. El perfil correspondiente al flujo laminar muestra una menor unifonnidad de velocidades. Esto indica que el efecto viscoso de las paredes de la tubería influye sobre todo el campo de flujo. 2 18

16 1.4

1.2

*''"

1

0.8 0.6

04 0.2

O O

0.5

1

2

1.5

v/vmed

~

Laminar Hidr,sulicamente liso

--,,-'=O='6====~==========R:c.e_~--,,-'=O=OO=O== __~~~~~===~. Re

Hidráulicamente rugoso: ::"::,,,:-c.-.=-=_=_=-=R:c.e_. k, "" 0.0015 m

_ _ _ _ _ _ L

ks = 0,015 m

= 4000

Figura 1.19 Perfiles de velocidad. Velocidad media igual para todos los casos.

2. El cambio en la distribución de velocidades de flujo laminar a flujo hidráulicamente liso con número de Reynolds bajo (Re = 4000) es el más bmsco de todos. Este hecho sugiere que la generación de turbulencia es un proceso rápido. El paso del orden al caos es súbito una vez se supera el límite de dominio de las fuerzas viscosas. 3. A medida que aumenta el número de Reynolds en flujo hidráulicamente liso, disminuye la relación entre la velocidad máxima y la velocidad media. Es decir, el perfil se achata más y la distribución se torna más uniforme. Dicho fenómeno se explicaría por el hee:ho de que las vibraciones turbulentas de la velocidad hacen que las partícul
INmODUCCIÓN AL FLUJO EN TUBERíAS

31

En las figuras 1.20 y 1.21 se muestra la evolución de los perfiles de velocidad desde tlujo laminar hasta flujo turbulento hidráulicamente rugoso para una tuberia de concreto (k s = 0.0003 m) con diámetro de 36 pulgadas, que transporta agua a una temperatura de 15
(JJ

Q

V

(l/s)

(mis)

500

0.4094

00006234

1000

08188

0001247

2000

1.638

0002493

4000

3.275

100000

8188

0004986 - - - _...0.1247

150000

122.82

0.1871

200000

163.76

0250

250000

204.7

0.312

Tabla 1.1 La figura 1.20 muestra el cambio de los perfiles de velocidad de flujo laminar (números de Reynolds de 500,1000 Y2000) a hidráulicamente liso (número de Reynolds igual a 4000). "Una vez más es claro el efecto de la aparición súbita de la turbulencia sobre los perfiles. En el caso del flujo hidráulicamente liso, ei perfil se vuelve más unifonne reduciendo de manera considerable el efecto viscoso causado por la presencia de las paredes, Por otro lado, la figura 1.21 ilustra los perfiles de velocidad conespondientes al cambio de flujo hidráulicamente liso (número de Reynolds de 100000) a hidráulicamente rugoso (números de Reynolds de 150000, 200000 Y250000). En tal situación. el efecto del aumento de la turbulencia es menos apreciable, aunque sigue disminuyendo la zona de flujo afectada por la presencia de la pared intema de la tubería,

~

2 1.8 1.6

:: 0.8 0.6 0,4

0.20

'1'~¡:::::cc:---

-.---.........

~.,,+~l

~

~,

......•) /

/+/+

~'

...........

~+§~.~...--~/~.::::;::::::."'==:::¡::.::. ¡=.--./;.---+--~ I I I o 0.001 0.002 0.003 0,004 0,005 0.006 0.007

__

v(m/s)

Figura 1.20 Perfiles de velocidad, Transición de flujo laminar a hidráulicamente liso.

HIDI<ÁUI.ICA DE TlJlJEr
32

04

v

-o- Re =

(mIs)

200000 - . - Re

=

150000

--o--

Figura 1.21 Perfiles de velocidad. Transición de flujo hidráulicamente liso a hidráulicamente rugoso.

Por último, la figura 1.22 muestra el efecto de la rugosidad de la tubería sobre los perfiles de velocidad. Se utilizan tres tuberías de material diferente: acero ribeteado (ks = 0.009 m). concreto (ks = 0.0003 m) y PVC (ks = 0.0000015 m). Para los tres ca"os se utiliza un diámetro de 36" y un caudal de 122.821/s correspondiente a un número de Reynolds de 150000. En la figura resulta daro que cuanto más rugosa sea la tubería mayor es el efecto de las paredes de ésta y, por consiguiente, el perfil de velocidades es menos uniforme. Esta relación se explica por el hecho de que cuanto mayores sean las protuberancias rugosas de la pared de la tubería. menor posibilidad de vibración tienen los paquetes de fluido y como consecuencia es menor la posibilidad de que el flujo disminuya el espesor de la subcapa laminar viscosa.

...-........

1~ r--------~--~-..,-1.6 1.4

~ :-:;"

12 10.8

0.6

0.4

o~ -l---...,..--_---~~'=--+---___; O

0,05

0,15

0.1

02

0.25

v (mis)

Figura 1.22 Efecto de la rugosidad absoluta sobre los perfiles de velocidad (d Re ~ 150000).

= 36",

ECUACIONES PARA EL DISEÑO DE TUBERíAS CIRCULARES

Los objetivos de este numeral son, por un lado, establecer las ecuaciones más utilizadas para el diseño de tuberías circulares, tanto para flujo laminar como para fiujo turbulento y, por el otro, establecer en forma

INTRODUCCIÓN Al flUJO lN TUBEI<íAS

33

cIara la frontera que diferencia el flujo hidráulicamente liso del flujo hidráulicamente rugoso. Para lograr estos dos objetivos, se hace uso de técnicas como el análisis dimensional, tema que se recomienda estudiar en cualquier texto de mecánica de fluidos. Las ecuaciones que se plantean serán utilizadas en los siguientes capítulos con el fin de diseñar sistemas de tuberías.

Flujo laminar Para establecer las condiciones y principios que gobiernan el flujo en tuberías bajo el régimen de flujo laminar se deben tener en cuenta dos principios: • 8

En este tipo de flujo las fuerzas viscosas priman sobre las fuerzas inerciales. En este caso se cumple la ecuación de Newton para fluidos viscosos: T~

dv 1"-

dy

Las ecuaciones que controlan el flujo laminar fueron desarrolladas por dos investigadores en forma simultánea e independiente: G. Hagen (ingeniero alemán, 1794-1884) trabajó en tubos de cobre y encontró que la pérdida de cabeza era proporcional al caudal que pasaba por la tubería e inversamente proporcional a la cuarta potencia del diámetro de ésta:

tlh ex Q

d'

1. Poiseuille (médico francés. 1799-1869), al investigar en 1840 el flujo de sangre en las venas llegó a las mismas conclusiones. Lo interesante es que los resultados de la investigación no son aplicables al cuerpo humano, ya que la sangre es un Huido no newtonÍano y las venas y arterias no son tubos rígidos; pero en cambio sí son aplicables a la ingeniería.

El proceso seguido por los dos investigadores se puede resumir de acuerdo con el siguiente planteamiento. Con base en la figura 1.23. y suponiendo que el flujo se encuentra completamente desalTollado, es decir, se consideran secciones (a una distancia apreciable de la entrada) se aplica la ecuación 1.9' de distribución de esfuerzos en tuberías circulares:

, ,

P'!

R

I

p"+ dp'

(j) Figura 1.23 Esquema de flujo lamInar en tuberías tal como el utilizado por Hagen y Poiseuille. Se muestra un cilindro de corriente dentro de! flujo general en la tubería. R es el radio total; r es un radio variable que describe los diferentes cilindros de corriente.


34

T, =

r

8p'

2

8x

(1.9')

donde

p' ~ p + pgz y

8v

JL-

~=

8r

Luego, se llega con facilidad a las siguientes ecuaciones:

r

8v

JL

sr

8p'

2 8x

Para el caso del flujo laminar en tuberías, debido a que la velocidad sólo es función del radio y la presión piezométrka es constante en la sección transversal de la tubería, los diferenciales parciales pueden remplazarse

por diferenciales totales:

dv dr

8v

-

8r y

8p •

dp' dx

8x

Si se remplazan estas dos expresiones en la anterior ecuación se obtiene:

dv dr

JL-

r dp' 2 dx

(1.24)

y por consiguiente:

dv dr

-

r dp' 2JL dx

De esta última ecuación se obtiene la siguiente expresión para el diferencial de velocidad:

dv=

d •

L

dx

rdr

(1.25)

INTRODUCCiÓN Al FLUJO lN TUBERIAS

35

Si se integra esta última ecuación en una sola sección transversal (sección 2 de la figura 1.23, por ejemplo), con respecto al radio se obtiene:

d •

Ll'rdr

v= I:dv=

dx

'

En consecuencia: (1.26)

Para evaluar la constante de integración se utiliza la siguiente condición de frontera:

r = R entonces

V=

O

Luego:

dp' dx

+ e,

de donde

e, = -

dp' dx

Al remplazar en la ecuación 1.26, para el cálculo de la velocidad en función del radio se obtiene la siguiente ecuación: (1.27)

Para longitudes no diferenciales de la tubería, esta ecuación se puede aproximar como: (1.27')

El signo negativo de la ecuación 1.27 significa que el vector velocidad tiene dirección contraria al :ector esfuerzo cortante. Esta ecuación se conoce como la ecuación de Hagen~Poiseuille, en honor a los dos Investigadores. En su forma original no es muy útil; es más usada bajo otra forma que se obtiene a través del siguiente procedimiento:

Se define un diferencial de caudal que pasa por el anillo del área diferencial de la figura 1.23:

dQ= v21Trdr


36

Se remplaza la velocidad

v utilizando la ecuación 1.27: 1 d' L (R' - r') 41-' dx

dQ~

dQ

--

~

21T

r dr

dp' (R'r- ri) dr dx

1T

21-'

(1.28)

Se encuentra el caudal total que pasa a través de la sección transversal integrando la ecuación 1.28 con respecto al radio r variando entre O y R: 1T dp' - (R'-r-r') d r 21-' dx

Q=-

Q=-

Q=-

dp' 21-' dx 1T

1T

21-'

r

(R'r - r') dr

[R'/2

dp'- - - - - rT -

dx/

4

o

cJp' R' 21-' dx 4 1T

Teniendo en cuenta que:

dp' dx

P: - p; /

aproximación válida para flujo uniforme (permanente) unidimensional en tuberías, se llega a lo siguiente: (1.29)

Dado que en el diseño de tuberías no es usual trabajar con el radio sino con el diámetro, la última ecuación se convierte en:

Q= Esta ecuación es la forma más usual de la ecuación de

(1.30)

Hagen~Poiseuille.

INTRODUCCiÓN AL FI.UJO EN TUBERIAS

37

La diferencia en la presión píezométríca puede ser remplazada por la diferencia en cabeza piezornétrica (caída de la línea de gradiente hidráulIco entre los puntos 1 y 2), con 10 cual se obtiene la siguiente expresión:

Q= de donde se obtiene la siguiente ecuación: (1.31)

La relación entre la caída piezométrica y la longitud es la pendiente de fricción:

ilh = S I

;

Luego: (1.31')

Q=

Otro resultado interesante que puede ser calculado mediante la ecuación de Hagen-Poiseuille es la magnitud de la velocidad media en una tubería bajo condiciones de flujo laminar; al utilizar la ecuación 1.27' se tiene:

v=

1 4iL

La velocidad máxima se presenta en el centro de la tubería, es decir cuando

r ::; O: (1.32)

Vmax =

La velocidad media se calcula al dividir el caudal (ecuación 1.29) por el área mojada: 71H

v=

Q

2

SiL/

(p; - p;) 1TR 2

A

Luego:

v=

2

(p; - p;) I SiL R

-

(1.33)


38

Si se comparan las ecuaciones 1.32 y 1.33, se llega al siguiente resultado:

1 vmax 2

v~

(1.34)

Para calcular el sitio donde se debería colocar un tubo de Pitot a fin de medir la velocidad media y poder calcular fácilmente el caudal se deben igualar las ecuaciones 1.33 y 1.27':

R' p' - p; I

8iL

2

R 2

~

(R 2

_

r2 )

R' 2

R = 0.707 R '-i2

( = --¡=

Esta última ecuación establece que la velocidad media en un flujo laminar se debe medir a una distancia igual al 70% del radio, medida desde el centro de la tubería.

Ejemplo l.2 Se desea diseñar una tubeIia para transportar petróleo crudo desde el pozo de producción hasta la batería de tanques de almacenamiento. El caudal de crudo producido por el pozo es de 1904 gal/min y se dispone de una bomba de 30 kW. El pozo y la batería de tanques se localizan al mismo nivel y están separados por una distancia de 822 m. Si la viscosidad cinemática del crudo es 4 X 10-4 m2/s y su densidad es 0.89 g/cm;, ¿qué diámetro deberá tener la tubería? ¿Cuál es la velocidad media? ¿El flujo es realmente laminar?

Cálculo del diámetro El primer paso es conOCer la cabeza que es producida por la bomba. Para esto se supone una eficiencia de esta última del 85% y se utiliza la siguiente ecuación: p~

1 - pQgh 1/

INmODUCCIÓNAl FLUJO EN TUBERIAS

39

donde

P r¡ p Q

9 h

= potencia en el eje de la bomba = eficiencia = densidad del fluido = caudal = aceleración de la gravedad = cabeza producida por la bomba

Si se despeja h se obtiene:

h=

r¡P pQg

Al remplazar los datos dados en el enunciado se puede calcular la cabeza producida por la bomba: Q ~ 1904 X 6.3 X 10- 5 = 0.120 m3/s

h ~ _-c--'0::..:.8:.:5-'X-'::-30"-'0:.:0:.:0-'W'--_ _ 890 kg X 0.12

m3

Ih =

2434

~ s

X 9.81 m 52

mi

Luego, se procede a calcular el diámetro utilizando la ecuación 1.31:

Q

~

4 1Td

128

d4 = 128 1T

Al remplazar los datos dadosy la cabeza antes calculada se obtiene:

cJ = .1128

V

X 0.0004 X 822 X 0.12 1T X 9.81 X 24.34

rn


40

Cálculo de la velocidad La velocidad media se calcula como el caudaldivididopot tubería:

de la

v= oA v=

40 7Td

2

Remplazando los datos:

4

\7=

7T

X

0.12

x 0.286

2

m S

Iv= 1.87 mis I Cálculo del tipo de flujo Para establecer el tipo de flujo en la tubería es necesaIio calcular el número de Reynolds.

vd v

Re=Luego:

Re

Es decir, el flujo es laminar, lO cualifllplica que se ha utilizado la metodología de diseño correcta;

Flujo turbulento Las ecuaciones de fricción bajo régimen de flujo turbulento utilizadas para el diseño de tuberías son mucho más generales qlJe la ecuación de Hagen-Poiseuille. Su naturaleza es muy similar a la de las ecuaciones que

'INmODUCCIÓN AL FLUJO EN TUBERíAS,

41

gobiernan el flujo uniforme en cualquier tipo de conductos; en particular las ecuacíones para tuberías circulares son aplicables aun si se trata de canales, a pesar de que las fuerzas que tratan de acelerar el flujo en los dos casos son distintas (gravitacionales en el caso de canales y de presión en las tuberías). En ambos tipos de

conductos las fuerzas que tratan de frenar el flujo son las de fricción causadas por el esfuerzo cortante turbulento.

!

Para plantear la ecuación general de resistencia fluida en tuberías circulares bajo condiciones de flujo unifOlme es necesario hacet un análisis dimensional en el cual se involucren todas las variables relevantes al fenómeno. La variable dependiente es h fl la pérdida: 'de cabeza por la fricción debido al esfuerzo cortante entre las paredes internas del dueto y el fluidú. Si se desea entender el siguiente análisis es necesario conocer y repasar la metodología del análisis dimensional y la similaridad dinámica en cualquiera de los textos de mecánica de fluidos referenciados al final del capítulo. La pérdida de cabeza debido a la fricción que experimenta un fluido cuando fluye por una tubería circular depende del diámetro de ésta (d), de la longitud en que se mida la pérdida de cabeza por fricción (~, de la velocidad media en la tubería (v), de la rugosidad absoluta de la tubería (kJ, de la aceleración dcla graveclad (g), de la densidad (p) y de la viscosidad del fluido (¡.t), Por medio del análisis dimensional se determina a continuación la forma de la ecuación que permite el cálculo de las pérdidas por fricción.

Variables

Dimensiones

h f (Dep.)

L

d

L L LT-1

v

L

LT-2

9 p

n

~

8

EntoI1ces, el número de parámetros adimensionales es: # JI' S

m~3

= n-m = 8

- 3 = 5

Las variables repetitivas son: d, ya que es la variable que mejor describe la geometría del problema; v, rque es la variable cinemática más importante; y ¡.L, puesto que el fenómeno del flujo en tuberías está bernado por fuerzas de origen viscoso.

HIDI¡ÁUlICA DE TUBERIAS

42

Primer JI: Contiene la variable no repetitiva I (longitud):

Para M: Para T: Para L:

Z: ~

O

-Y,- Z ,=O + Y1 ~ Z1 + 1 = O

Xl

entonces

Yi

entonces

Xi = ~ 1

=

O

Luego el primer parámetro adimensíonal es: JI,

~

I d

Segundo II: Contiene la variable no repetitiva ks (rugosidad absoluta):

Para M: Para T:

O -Y2- Z2=0

entonces

Para L:

x,+y2 -z,+1=0

entOTIces

Z2 =

Y, = O x2 ~-1

En consecuencia, el segundo parámetro adimensional es: JI,

~ ~c

(rugosidad relativa de la tubería)

Tercer II: Contiene la variable no repetitiva 9 (aceleración de la gravedad):

=O

Para M:

Z3

Para T:

-y3 -z,-2=0 x,+ y3 -z3 +1 =0 x3 -2 + 1 ~O

Para L:

entonces

Y3

entonces

x3 = 1

=

-2

INTRODUCCiÓN AL FLUJO EN TUBERIAS

43

Por consiguiente, el tercer parámetro adimensional es:

[[3 =

gd (inverso cuadrado del número de Froude)

v'

Cuarto JI: Contiene la variable no repetitiva p (densidad del fluido):

Para M: Para T: Para L:

Z4

+1~O

-"·Y4

-Z4 =

~Y4+

1

x4 + Y4

-

-1

entonces

2 = 4

entonces

Y4 = 1 x4 = 1

O

~O

24 -

3

=

O

entonces

Luego el cuarto parámetro adimensional es:

JI "

~

dvp JL

(número de Reynolds)

Quinto JI: Contiene la variable no repetitiva dependiente h¡ (pérdida de cabeza por fricción):

Para

M:

T: Para L: Para

25 =

O

~Y5 - 2 5 = O x5 +Ys-zs+1=O

entonces Ys = O entonces Xs = -1

Luego el último parámetro adimensional es:

Entonces, al utilizar todos los números adimcnsionales encontrados se puede establecer la siguiente relación matemática: (a)


44

Los tres primeros números adimensionales de la ecuación (a) pueden combinarse en la siguiente forma:

hf . / dg JI~-IT,=-JI~5 d' d' 3 v2 Jf 3 = hf dg d JI, d 71

[Js

Este nuevo número adimensional puede ser remplazado en la ecuación (a) para obtener la siguiente expresión:

3 F' / F' (2hf2 dg v I

~

Re) = O

' d '

lo cual implica que:

3 P' / 2h f dg v2 I

= F" (k s ,Re) d

De esta última ecuación se puede despejar la variable dependiente h r : I -v h¡-,- -

2

d 29

F"

(d

,Re)

(L35)

Teniendo en cuenta que la ecuación 1.35 se dedujo mediante el análisis dimensional y que éste se basa en las ecuaciones de la física clásica (F"" m a), se puede decir que es la ecuación de resistencia Huida más general que existe. Cualquier otra ecuación utilizada para calcular las pérdidas de energía en un flujo debe ser, necesariamente, un caso particular de la ecuación 1.35. Algunos ejemplos son las ecuaciones de Manning, de Chézy, de Hazen-Williams, etc. Debido a que los argumentos de la función F" de la ecuación 1.35 (rugosidad relativa y número de Reynolds) son números reales adimensionales, el resultado_d~Jª ecuación también debe ser adimensional. Si éste se denota como f se obtiene:

INmODUCCIÓN AL FLUJO EN TUBERíAS

45

(1.36)

Esta ecuación fue deducida por Henry Darcy, ingeniero francés del siglo XIX, y por Julius Weisbach, científico e ingeniero alemán de la misma época. Weisbach propuso el uso del coeficiente adímensional f y Darcy llevó a cabo numerosos experimentos en tuberías con flujo de agua. Por esta razón, la ecuación 136 se conoce como la ecuación de Darcy-Weisbach, la cual es la más general para explicar la pérdida de energía ocurrida durante el movimiento de fluidos.

Pérdidas de cabeza debido a la fricción Cuando se trata de conductos cerrados, el único tipo de energía que puede perderse por razón del movimiento del fluido es la energía de presión, ya que la energía cinética debe permanecer constante si el área es constante, y la energía potencial sólo depende de la posición. La energía de presión expresada como energía por unidad de peso del fluido tiene unidades de cabeza (h); tal como se encontró en el análisis dimensional anterior, la pérdida de cabeza por fricción es:

h

~

I

/

t-

\/2

(1.36)

d 29

donde:

h¡

energía por unidad de peso perdida por fricción

f

factor de fricción de Darcy

I

longitud del tramo de la tubería en el cual se pierde h¡

d

diámetro de la tubería

v

velocidad media

Si se utiliza el radio hidráulico (R) en lugar del diámetro de la tubería (ci), la ecuación 1.36 se convierte en:

A

1T d 2

P

4

R~-~--~

h I

d1T

d - entonces d 4

= 4R

v2 4 R 29 I

~t-

donde el factor de fticción, tal como se estableció anteriormente, es una función compleja del número de y de la rugosidad relativa:

t

~ F(Re,

k,/ d)

(1.37)

IIIDRÁULlCA DE TUBERIAS

46

Una vez establecida esta relación de dependencia entre el factor de fricción fy el número de Reynolds del flujo (Re) y la rugosidad relativa de la tubería (k/ d), el siguiente paso obvio era determinar la forma exacta de la función de relación. Este trabajo probó ser altamente complejo y sólo hasta finales de la década de 1920 se culminó. Sin embargo, después de los trabajos de Darcy y Weisbach muchos investigadores llevaron a cabo estudios que constituyeron pasos clave en el desarrollo de la teoría del flujo en tuberías. En los siguientes numerales se resumen dichos trabajos, los cuales mostraron dos tendencias: trabajos basados en desalTollos teóricos y trabajos de laboratorio.

Relación entre f y r. El factor de fricción de Darcy debe estar relacionado directamente con el esfuerzo cortante, ya que este último es el responsable de las pérdidas de energía por fricción. Ese argumento fue desanollado por Darcy en la siguiente fonna: Si se toma la longitud de la tubería como un diferencial de longitud dI, las pérdidas de cabeza que oCUlTirían en ese tramo serían:

dh,

di v' d 29

= f·-

Al despejar el factor de fricción se obtiene la siguiente expresión:

2 dg dh, v' di

f

(1.38)

Si se utiliza el radio hidráulico en lugar del diámetro de la tubería:

f

=

8gR dh, v' di

(1.39)

Tal como se encontró antes, se tiene que:

A dp'

dp'

--=RP dx di

(1.9)

de donde:

dp' _ ro _ dh - - - - p g -f di

R

dh, di

~

pgR

di

(1.40)

INTRODUCCiÓN Al FLUJO EN TusmíAS

47

Si se remplaza la ecuación 1.40 en la ecuación 1.39, se obtiene:

f = 8gR ~ v' pgR de donde se obtiene fácilmente la siguiente expresión que relaciona el factor de fricción con el esfuerzo cortante en la pared de la tubería:

(l.41)

Esta última ecuación indica que el factor de fricción debe disminuir a medida que la velocidad v aumenta, es decir, cuando el número de Reynolds (Re) se hace mayor, lo cual no implica que el esfuerzo cortante sea menor. Este resultado se debe entender de la siguiente manera: a medida que la velocidad aumenta, las pérdidas de energía por unidad de peso (cabeza) disminuyen; es decir, es más eficiente mover un fluido, por unidad de peso, con números de ReYl10lds altos que con números de Reynolds bajos en una tubería dada.

El factor de fricción para flujo laminar Una vez establecida la ecuación general para las pérdidas por fricción en tuberías, Weisbach pudo determinar el factor de fricción para el caso del Hujo laminar. Para hacer esto utilizó la ecuación de Hagen-Poiseuille (ecuación 1.31) en conjunto con la ecuación 1.36. Si se toma la ecuación 4

0=

'TTd pgSf 128 fL

(1.31)

en donde:

S.e puede despejar la energía por unidad de peso perdida:

0=

(1.42)

HIDI,ÁUlICA DE TUBEI,íAS

48 Por otro lado:

h f

~

2

ti

v d 29

( 1.36)

Si se igualan las ecuaciones 1.42 y 1.36 se obtiene la relación que describe el factor de fricción f para flujo laminar:

ti

v'

128 Id v

d 29

4 d P9

2

t ~ 64

fL

vdp (1.43)

Esta última ecuación indica que para flujo laminar en tuberías el factor de fricción únicamente es función del número de Reynolds. En este caso, la rugosidad relativa del dueto no influye en las pérdidas por fricción.

Ecuaciones de fricción para luberías reales En este numeral se plantean las diferentes ecuaciones que describen el factor de fricción de Darcy para el caso de flujo turbulento, desde hidráulicamente liso hasta hidráulicamente rugoso. En él se resumen Jos diferentes trabajos teóricos y empíricos desau"ollados para establecer las ecuaciones que describen f, las cuales se utilizarán para el diseño de sistemas de tuberías en los capítulos siguientes.

Ecuación de Blassius pora Ilujos hidráulicamente lisos Para el caso de flujos hidráulicamente lisos se sabía que el factor de fricción f sólo era función del número de Reynolds Re. P. R. H. Blassius, alumno de Prandtl, en 1911 encontró empíricamente que para n.úmeros de Reynolds entre 5000 y 100000, el factor de fricción se podía calcular de acuerdo con la siguiente ecuación:

(1.44)

A pesar del limitado rango de aplicación de la ecuación de Blassius, sirvió para entender los resultados encontrados por Reynolds 30 años antes. Si se utiliza la ecuación de Darcy-Weisbach y se remplaza en ella la ecuación de BIassius, se llega a:


h

~

hf

=

I

t-f

V

d

2

49

(1.36)

2g

de donde:

hf =

0.316 v0 25 1v 2

v 025

d025 d2g

0.158 v 025 Iv 175 d125

9

Al dividir por la longitud y multiplicar por el peso específico se obtiene:

l'h f I

0.158 v025pv175 d'25

Esta última ecuación indica que la caída de presión por unidad de longitud del fIujo en una tubería es proporcional a la potencia 1.75 de la velocidad para flujo hidráulicamente liso. ¡Este resultado es idéntico al encontrado por Reynolds y presentado en la figura 1.7! Si la ecuación se multiplica y divide por el área transversal de la tubería elevada a la potencia 1.75 se obtiene:

b.p

f

0.158 v0 25 pQ175 4 175 1T 1.75 d 4 .75

Resulta claro que la mejor forma de reducir las pérdidas de presión por u)1idad de longitud consiste en ~umentar el diámetro de la tubería. Es decir, la potencia requerida por una bomba sería menor si la tubería fUera más grande; sin embargo, una tubería de diámetro mayor sería más cm¡tosa. Para un caudal dado, un aumento del 50% en el diámetro reduciríaJas pérdidas de presión en un factor de 6.86.


50 Diagrama de Nil
Con el fin de estudiar la naturaleza del factor de fricción f, el ingeniero alemán Johann Nikuradse, en 1933, hizo una serie de experimentos en los cuales utilizó tubos de diferentes diámetros en cuyo interior pegó arenas de granulometría uniforme, de tal manera que obtuvo varias relaciones kjd (relación conocidaco11lo rugosidad relativa) pedectamcnte determinadas. En cada uno de los tubos Valió e(caudal, de modo que cubrió un amplio rango de números de Reynolds, con flujos que cubrían el intervalo desde laminar hasta turbulento hidráulicamente rugoso. Sus resultados se esquematizan en la figura 1,24 y se pueden resumir así: •

Cuando el número de Reynolds es menor a 2000, es decir cuando el flujo es laminar, el factor de fricción {varía en forma lineal con respecto al número de Reyoolds; es una función inversa de Re, independiente de la rugosidad relativa kjd. Esto corroboraba los resultados de Weisbach para flujo laminar, k, ~d

0.033 ... 0.016 o 0.008 • 0.004

c::J

0.10

t>

0,06

A

0.002 0,001

0.05 0.04 0.03 0.025 002 10'

10'

10' Re

Figura 1.24 Resultados de Nikuradse.

•

Cuando el. nujo es turbulento, el comportamiento de f se vuelve complejo, mostrando las siguientes características: Cerca al Re crítico (2200) todas las curvas coinciden, Existe una curva límite desde la cual se separan poco a poco las curvas correspondientes a diferentes valores de kjd. Los tubos con mayor rugosidad relativa se separan más rápidamente de la curva "lisa", lo cual se debe a que a medida que aumenta el Re, disminuye el espesor de la subcapa laminar viscosa (ver Interacción flujo-pared sólida, p, 14), pasando así los flujos en forma gradual de hidráulicamente lisos a rugosos; esto ocurre más rápido en los tubos de mayor rugosidad relativa kjd. Una vez que el flujo Se separa de la curva "lisa" el factor de fricción f empieza a ser una función compleja de Re y de kjd. En esta zona, el flujo se conoce como flujo transicional. A medida que el Re sigue aumentando, las curvas individuales correspondientes a cada kjd se vuelven holizontales, lo cual implica que el factor f deja de ser una función de Re y pasa a ser sólo función de k/d.

INTRODUCCiÓN AL fLUJO EN TUBERIAS

51

Trabajos de lewis Moody. Diagrama de Moody Tal vez el trabajo experimental más importante fue el desarrollado por el ingeniero norteamericano Lewis F. Moody a principios de la década de 1940, cuyos resultados conformaron un artículo clásico (Moody, 1944). Moody se basó en los resultados de Nikuradse y de C. E Colebrook con el fin de investigar las pérdidas por fricción en tuberías con rugosidades reales y no mtificiales. Sus trabajos se pueden resumir en los siguientes puntos: •

En primer lugar, Moody observó que en el diagrama de Nikuradse el factor de fricción f sólo era función de la rugosidad relativa (ks / d) para flujos hidráulicamente rugosos. Esto correspondía a laparte horizontal de las curvas correspondientes a cada una de dichas rugosidades. Al tomar los puntos (k/d, f) del extremo derecho del diagrama de Nikuradse, pudo producir la curva del factor de fricción para flujo hidráulicamente rugoso que aparece en la figura 1.25.

•

Una Vez establecida la curva anterior, tomó tuberías comerciales de diferentes materiales (acero, acero ribeteado, hierro dulce, hierro galvanizado, concreto, etc.) y diámetros, las cuales nevó al laboratorio a fin de medir las pérdidas por fricción y calcular su factor de fricción para flujo hidráulicamente rugoso. Con el factor de fricción calculó la rugosidad relativa utilizando la figura 1.25. Finalmente, con esta rugosidad y con el diámetro de la tubería pudo calcular la rugosidad absoluta k s'

e

'o Ü u

E

O'11~~!~!~¡iii;~~~fl!!!!~~~~~1

0.08 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02

0.01 0.008

t

0.000.01

234568t

0.000.1

234568t

2

34568f

0.001

2

3 4 56

0.01

Rugosidad relativa k s / d

Figura 1.25 Factor de fricción para fluía altamente turbulento.

Moody encontró que a pesar de que la rugosidad real de las tuberías comerciales era muy diferente a la mgosidad artificial obtenida pegando arena en el perímeo:o interno de tuberías, se podía obtener una rugosidad equivalente a la rugosidad de arena para cada material. Es decir, encontró que independientemente del diámetro, cada material se comportaba siempre como una arena (en cuanto a la rugosidad) de diámetro constante. Por consiguiente, cada material tenía una rugosidad equivalente que establecía su comportamiento hidráulico. Por ejemplo, estableció que el acero comercial se comportaba hidráulicamente cmno un tubo con arena de 0.045 mm de diámetro y que el hiena dulce equivalía a una arena de 026 mm de diámetro. Con estos resultados produjo el diagrama mostrado en la figura 1.26, el cual se conoce hoy en día como el diagrama de Moody modificado o diagrama de rugosidades relativas. En éste, la relación establecida en la figura 1.25 aparece como la conespondencia biunívoca entre las dos escalas verticales. Es impOltante aclarar que hasta este punto los resultados de Moody sólo eran aplicables al caso de flujo hidráulicamente rugoso.

HIl)I¡ÁUlICA DE TUBERíAS

52

5 6 810 20 3040506080100 200 300 Diámetro del tubo, pulg

Figura 1.26 Diagrama de Moody modíficado (rugosidades relativas). Ver apéndice 2 para mayor detalle.

o

Utilizando sus resultados y la ecuación de Colebmok-Whitc (p. 61), Moody pudo producir una nueva gráfica en la cual incluía todo el rango de flujo, desde laminar hasta turbulento hidráulicamente rugoso, con el fin de estudiar el comportamiento de! factor de fricción f para tuberías comerciales. Esta gráfica (figura 1.27) se conoce como el diagrama de Moody. Duran!e mucho tiempo fue la única hCITanllenta práctica para el cálculo del factor de fricción que debía utilizarse en conjunto con la ecuación de Darcy-Weisbach, ya que las ecuaciones matemáticamente deducidas resultaron ser tan complejas que requirieron métodos numéricos para su solución. En la época anterior a la masificación del uso de computadores y calculadoras programables, el tener que utilizar métodos iterativos para el diseño de tuberías resultaba engorroso y poco práctico.

o1 0,09 0.08 0.07 0.06

¡¡r",;;;;;;;:::;rn. 0.05 '0,04 :003

±-4t~~+tfmlllfftjj'0,015 0.02

0,05

~~~till~

i

004 0,03

0.025 0,02

0'Oi51~~~~~ li~~Wiil~~~iI

0.009 0,01 0.008

7 9 2(10 3) 10'

'O'

0.008 001 0.006 0.004

CCf+fffltffjffl1 0,002

1~!!~I!I~IIIII;II~11

0.0008 0.0006 o.OOO,j

00002 0,0001 0,001 0.000,05

ii!'li"ilTI""llIIitlJ 0.000, o1

10"

10"

Figura 1.27 Diagrama de Moody. (Para mayor detalle ver el Apéndice 2).

567 9 10"

Ks

INTRODUCCiÓN Al Fl.UJO EN TUBERíAS

53

La semejanza entre los diagramas de Nikuradse y de Moody salta a la vista. En ambos existen la zona laminar, la curva correspondiente al tlujo hidráulicamente liso y las líneas horizontales que describen el flujo hidráulicamente rugoso para cada rugosidad relativa. Así mismo, en ambos existe la zona de flujo transicional, aunque es en esa zona en donde se aprecia una marcada diferencia. En el diagrama de Nikuradse cada curva correspondiente a una rugosidad relativa se separa en forma abmpta de la curva hidráulicamente lisa. En el diagrama de Moody las curvas correspondientes a cada rugosidad relativa se aproximan en forma a'sintótica a la curva lisa. Esto sucede porque en los tubos de Nikuradse la rugosidad tiene un tamaño uniforme y, por consiguiente, al aumentar el número de Reynolds y disminuir el espesor de la subcapa laminar viscosa, el efecto de la rugosidad se siente simultáneamente. En los tubos reales la rugosidad no es uniforme, lo cual implica que su efecto sobre la hidráulica del fondo es graduaL Este planteamiento se esquematiza en la figura 1.28.

,

8'

,

8'

,

8'

8'

"

:J

.. , J

a'{r '- •• k

equivalente

Figura 1.28 El espesor de la subcapa laminar viscosa (a) disminuye a medida que el número de Reynolds y el caudal aumentan. En los tubos de Nikuradse la rugosidad afecta en forma simultánea la hidráulica del flujo. En los tubos reales, ese efecto es gradual, es decir, las mayores prominencias de la rugosidad afectan el flujo antes que las menores.

Ecuaciones generales para la tricción en tuberías reales. Flujo turbulento Después de establecer y probar su teoría de longitud de mezcla para explicar los esfuerzos cortantes en flujo turbulento, Prandtl siguió estudiando el problema de la resistencia en el movimiento de fluidos. Conjuntamente con uno de sus alumnos, Theodore van Kármán, entre 1920 y 1930 dedujo las ecuaciones que permiten el cálculo del factor de fricción f para el t1ujo turbulento. En este numeral se describe el proceso seguido por estos dos investigadores.

Flujo hidráulicamente liso Las ecuaciones usadas por Prandtl y Van Kánnán, ya deducidas a lo largo de este capítulo, son las siguientes: Espesor de la subcapa laminar viscosa:

8'

11.6v

v.

(1.13)


54

Distribución de velocidades en flujo turbulento:

1 - In y + e,

'::c v,

(1.14)

k

1

v, v,

-

k

In

v

+ 5.47

(1.18)

Esfuerzo cortante en la pared de la tubería:

r

o

A dp' P dx

(1.9)

=-

o aproximadamente: (1.9')

Relación entre el factor de fricción y el esfuerzo cortante: (1.41)

El primer paso fue calcular la velocidad media del flujo mediante la distribución de velocidades representada por la ecuación 1.18. Para esto se torna el diferencial dyde la figura 1.29 y, teniendo en cuenta que la tubería es circular, se puede establecer el siguiente diferencial de área:

Tubo de Pitat

--"·.. x

Figura 1.29 Distribución de velocidades para flujo hidráulicamente liso desarrollado por completo en una tubería de sección circular.

dA

~

21T(r- y) dy

Por este diferencial de área pasa el siguiente diferencial de caudal:

INTRODUCCiÓN AL FLUJO eN TUBERíAS

55

dO = vdA dO

= V21T(r- y) dy

Si se integran los diferenciales de caudal se obtiene el caudal total que pasa a través de toda la sección transversal de la tubeda. Por consiguiente:

0= 21Tf>(r- y) dy

En esta última ecuación v se remplaza por la función de y que la describe, es decir, por la distribución de velocidades para t1ujo hidráulicamente liso representada por la ecuación 1.18. Luego:

0= 21Tf'(2 In v.y + 5.47 v.) (r - y) dy o

0.4

v

Al expandir los paréntesis de esta última integral se obtiene:

(II.!-

V. VJ In + - In y + 5.47 VJ- -V.y In -v. - -v.y In y - 5.47 v.y ) dy 0= 21T r Jo 0.4 0.4 v 0.4 v 0.4

Si se lleva a cabo el proceso de integración se obtiene la siguiente expresión:

VJ V. y2 1 v. + -VJ y 1n y-- -y+5.47vJY-- 2 n -

VJ Y 1n -V. O = 21T ( 0.4 v

0.4

0.4

(2

v. In v

2

+

V.

r'

0.4

2

v. 0.4

0.4

v

y21 Y2 - 5.47 v. -j' 2 0.4 4

y2 In y + v.

V.

0= 21T ( -v.-

0.4

0.4

(2

In r+

In r-

v. 0.4

-

v. - . - (2

0.4

"'r'4 -

+ 5.47

V"r2 -

r' ) 5.47 v. 2

v. 0.4

r' 2

In

v.

v

HIDRÁULICA DE TUBmíAS

56

Q

~

21T

Q = 1TT'

V,

(

~

r2

-

OA2

v. In - +

n

V.

(2

- In r- 3 -""-4 OA

~

OA2

r' + 5A7 v. r') 2

v. v.r ) ~ In -~ + 1.720 v. ( OA v

(1.45)

La ecuación 1.45 representa el caudal total que pasa por una tubería circular de radio rcuando el flujo es hidráulicamente liso. Con este caudal se puede calcular la velocidad media al dividírsele por el área transversal de la tubería.

-

Q

v=A=

v=

v. OA

Q 1Tr2

In

v.r v

+ 1.720 v.

En esta última ecuación se tiene una especie de número de Reynolds conocido como

(1.46)

Re.: (l.47)

Re. Por definición se tiene que:

y si se despeja de la ecuación 1.41: pl}2

-~f

(l.41)

8

Mediante estas dos últimas ecuaciones se obtiene la siguiente expresión para la velocidad de corte en

flujo hidráulicamente liso: (l,48)

v. Si se remplaza la ecuación 1,48 en la ecuación 1.47 se llega a: r-~

Re. =

If

r~

11- T

8 v

v

INTI
57

o: ~

Re,

1I d

-v

~8 "2

(1.49)

v

Finalmente, al remplazar las ecuaciones 1.48 y 1,.49 en la ecuación 1.46 se obtiene:

_

v~

1I '1 e ] r- _ [ 1 ~ d '1- V In ..I- - v+ 1.72 j 8 OAV 8 2v

Al desarrollar esta última ecuación:

18 Ir ,1~ 2.5 In ,1\I 18

1

11 JI1

~

1 Re + 1.72 2

{i

0.88388 In : :.= 5.6569

re ~ 0.88388 In Re "VI

= 088388 In

,ele

+ 0.6081

1

+ 0.88388 In 56569 + 0.6081

{i -

0.924

(1.50)

La ecuación 1.50 es la forma original de la ecuación de Prandtl- Van Kármán para el cálculo del factor de fricción f en fluidos hidráulicamente lisos. Es importante tener en cuenta que todo el análisis anterior está basado en la teoría de longitud de mezcla de Prandtl, la cual ha probado ser muy exacta. Como último paso estos dos investigadores decidieron cambiar la base del logaritmo de la ecuación 1.50 de base e a base 10. Al parecer las razones de este cambio obedecieron sólo al hecho de que en una época sin calculadoras electrónicas y sin computadores, trabajar con logaritmos en base 10 era más sencillo. Al efectuar el cambio de base la ecuación 1A8 se transforma a:

1

""T =

;.. . 2.035 log,o Re\ I

~

0.924

(1.51)

'11

Después de confrontar su teoría contra dates de laboratorio, Prandtl y Von Kármán establecieron la forma final de la ecuación para el cálculo del factor de fricción en flujos hidráulicamente lisos. Esta ecuación, no explícita para f, es:


58

(1.52)

Flujo hidráulicamente rugoso De nuevo, el primer paso fue calcular la velocidad media mediante la distribución de velocidades representada por la ecuación },20, válida para el caso del flujo hidráulicamente lUgOSO. Si se toma el diferencial dyde la figura 1.30 se establece el diferencial de área:

~

Tubo de Pitot

._ ..... x

"~=~!n1..+8.48 v.

k

k,

Figura 1.30 Distribución de velocidades para flujo hidráulicamente rugoso completamente desarrollado en una tubería de sección circular.

dA

~

271"(r - y) dy

Por este diferencial de área fluye el siguiente diferencial de caudal: dO= vdA dO

dO

~

v271"(r- y) dy

~ 271" (~

In

~

+

8.48 v.) (r - y) dy

Para calcular el caudal total se integran los diferenciales de caudal sobre el área de la sección transversal de la tubería:

INTRODUCCl6N Al FLUJO EN TUBERíAS

59

Al expandir los paréntesis de la anterior ecuación se llega a:

(v;r

J:

Q = 217

~

In

+ 848

v:

VJ -

In

~

- 848

v.y Jdy

Luego, se lleva a cabo el proceso de integración:

v.r

( VJ

v.r 1 y- - yln- + 8.48 V•r y - v. k Y' 2 In y +

Q= 217 -- ylny- -

l

k

k

-v. -Y' + -v. -Y' k

4

k

Q = 217

Q=

2

k

In - 1 - 848 v. -Y'

2

k.

v. r' 3 v. [k ;> In r - '4 k

17r'

[..'::=04

In

k,

J

l'

e

v. r'

- - In - 1 - 8.48 k 2 k,

r' -

r'] 2

v. -

v.lJ

!.- + 4.73 k.

La utilización de esta última ecuación deja claro que la velocidad media es: -

Q

v= -

A

Q

=-2 7Tr

Luego: 17= - V'

0.4

In -r

k.

473 +.

v~

(1.53)

Como r = d/2 se obtiene: V=

v=

v. 0.4

v.

d

In - -

2 k.

+ 4.73 v.

(_1_ In ..'!..... + 4.73) 0.4 2 k.

(1.54)

HIDRÁUHCA DE TUBERIAS

62

En esta ecuación se puede remplazar el valor del espesor de la subcapa laminar viscosa:

11.6 v

(1.13)

v. Luego, se llega al siguiente resultado:

11.6 v

8' d

(1.57)

v.d

Por otro lado se tiene que, por definición:

(1.58)

y de la ecuación 1.48 se obtiene:

v,

_ If =

v ~8

y al remplazar este último resultado en la ecuación 1.57 se obtiene:

11.6 v

8' d

Fa

32.81 Re

vd ,JI

-Jf

Finalmente: Re

-Jf

32.81 de donde:

k, Re,!1re d

=

k

32.81-'8'

(1.59)

Colebrook y White comprobaron con esta última ecuación que el término (ks Re Vf)ld definía en forma clara la rugosidad relativa. 2. Tomaron las ecuaciones de Prandtl y Van Kármán y las transformaron de la siguiente manera: Flujo hidráulicamente rugoso: Al despejar de la ecuación 1.56 se obtiene:

INTRODUCCiÓN AL FLUJO EN TUBERíAS

63

(1.56')

.,

Flujo hidráulicamente liso:

~ ~

(1.52)

2 10910 Re {f - 0.8

de donde se obtiene, restando 2 log 10 (d/ks ) a ambos lados de la anterior ecuación, el siguiente resultado:

d = 2 10910 (k-'-d Re 'ile) -

1re - 2 10910 'i I ks

(1.60)

0.8

3. Compararon los términos de la izquierda de las ecuaciones 1.56' y 1.60 con el término (ks Re v7)/d y produjeron la gráfica que aparece en la figura 1.32, para tubos comerciales y tubos con rugosidad artificial. -1

:Flujo : hidráuiicamente : rugoso

Tubos comerciales O

\

~

"tJ !..>:::~

FLUJO TRANSICIONAL

di

-º

~-----:::b",.~_-':"-l1.14

0J

I

--Is

'-------'

2

I

"

Flcjo hidráulicamente Eso

Tubos de Nikuradse

3 10

100

200

1000

Figura 1.32 Rugosidad relativa como función del factor de fricción f y el número de Reynolds

en la zona de flujo transicionaL

4. A partir de los resultados de la figura 1.32 obtuvieron: •

Flujos hidráulicamente lisos:

d

Re

·Ir '"

10

(1.61)


64

1)

Flujos en la zona de transición: k

•

¡-

lO < --'- Re 'il '" 200 d

(1.62)

k, Re,Ji > 200

(1.63)

Flujos hidráulicamente rugosos:

d

5. Luego, tomaron la ecuación 1.59 de la cual obtuvieron:

Re ,JI

32.81 B'

d

y al remplazar este resultado en la.<; desigualdades 1.61 a 1.63, llegaron a las siguientes dades: /No

desigual~

Flujos hidráulicamente lisos:

~ B'

32.81 '" 10

k, '" 0.305 3'

[k: '" 0.305 3'

(1.64)

Este resultado indica que para que el flujo sea hidráulicamente liso, el tamaño de la rugosidad tiene que ser mellor a130% del espesor de la subcapa laminar viscosa. lit

Flujos hidráulicamente rugosos:

~ 3'

32.81 '" 200 k, '" 6.10 3'

(1.65) Para que el fluJo sea hidráulicamente rugoso, el tamaño de la rugosidad debe ser superior a 6 veces el espesor de la subcapa laminar viscosa. $

Flujos en la zona de transición:

INTI
65

Con sus resultados, Colebrook y White lograron definir claramente los límites entre los cuales ocurre el flujo en transición:

(1.66) 6. Este resultado los nevó a razonar en torno a que si la transición debía ser un cambio gradual entre la" condiciones lisas y rugosas, la ecuación necesaria para definir el factor defticción en la zona de transición debena ser una combinación de las ecuaciones para flujo hidráulicamente liso y rugoso. Teniendo en cuenta la anterior conclusión, Colebrook y White estables:ieron la siguiente ecuación para el factor f en la zona de transición.

A partir de la ecuación 1.52 se obtiene:

Re

1

¡i

{f

2.51

y de la ecuación 1.56 se obtiene:

~

3.7 d 2 í0910 - k -

,

Después de estudiar el comportamiento de la rugosidad relativa en la zona de transición (figura 1.32), llegaron a la conclusión de que las dos anteriores ecuaciones eran dos casos particulares extremos del flujo turbulento. Estas ecuaciones se podrían reunir en una sola:

~ ~ 2 lo ~f

·l( 3.7 d

910

k,

+

Re

{fJ

2.51

Era claro que para el caso del flujo hidráulicamente liso, la rugosidad absoluta debía ser mucho menor que el diámetro de la tubería y, por consiguiente, el primer sumando del paréntesis debía ser de un orden de magnitud menor que el segundo, desapareciendo en el límite. Lo contrario sucedía para el flujo hidráulicamente rugoso. Finalmente, Colebrook y White decidieron invertir los términos del logaritmo a fin de que apareciera la rugosidad relativa y no su inverso. Luego:

_1 = -2 lo

{i

910

(_~ + 3.7 d

251.)

(1.67)

Rev f

en donde combinaron los resultados de Van K:mmin. La ecuación 1.67 probó ser válida para todo tipo de .flujo turbulento en tuberías. Sin embargo. tiene el problema de que no es una ecuación explícita para el Jactor de fricción t, to cual implica la nece~;idad de utilizar algún método numérico para calcularlo una se Conozcan todas las otras variables. Este problema matemático ocasionó la aparición de ecuaciones más sencillas de utilizar, entre éstas. la más famosa es la ecuación de Hazen~Williams.

HIDRÁULICA DE lUBEI
66

RESUMEN

1. Esfuerzo cortante en tuberías •

Flujo laminar

r

o

•

dv dy

=j.L-

Flujo turbulento (teona de longitud de mezcla de Prandtl)

(1.8)

•

Distribución de esfuerzos

r •

Velocidad de corte

v. = 2. Distribución de velocidades en toberias Flujo laminar

v=

(1.11)

• (1.12)

INTI
-

Flujo turbulento

hidráulicªm~nteliso:

~

v.

-

67

+ 5.47

_1_ In v.y 0.4 v

( 1.18)

Flujo turbulento hidráulicamente rugoso: 1 In L 0.4 k,

v.

+ 8.48

(1.20)

3. Ecuaciones para el cálculo de pérdidas por fricción •

Ecuación general de Darcy-Weisbach

hf

•

= I -I v'

( 1.36)

d 2g

Flujo laminar Ecuación de Hagen-Poiseuille:

Q=

'TI'd' 128

(1.31)

Ecuación para el factor de fricción:

I ~ 64

Re

•

(1.43)

Flujo turbulento Flujo hidráulicamente liso: Tamaño de la rugosidad: k, '" 0.3053'

(1.64)

Ecuación de Bla..,sius:

(1.44 )

68


Ecuación de Prandtl-Von Kátmán:

1 -r 'Í f

= 2 log,o '

(1.52)

!

Rev f - 0.8

Flujo hidráulicamente rugoso: Tamaño de la rugosidad: (1.65)

Ecuación de Prandtl- Von Kármán: ( 1.56)

- Flujo transicional: - Tamaño de la rugosidad: 0.3058' < k, '" 610 8'

(1.66)

Ecuación de Colebrook-White:

_1

Ji

= -210

glO

(~+ 37 d

2?2.,) H Re

( 1.67)

INTRODUCCiÓN Al FLUJO EN TUBEI!íAS

PROBLEMAS

1.1

A través de un tubodc 6 pulgadas de diámetro Huyen 124lJs de agua con una temperatura de 15°C. Calcule el número de ReYllolds y establezca si el flujo es laminar o turbulento.

1.2

Para la tubería del problema anterior, ¿cuál sería el caudal límite para flujo laminar? Mediante este resultado, explique por qué es tan difícil encontrar flujos laminares cuando el fluido en un sistema de tuberías es· agua~

1.3

¿Cuálsería el número de Reynotds si el fluido del problema 1.1 fuera petróleo crudo pesado con p = 0.83 g/cm' y ¡.,L = 0.8 Pa.s?

1.4 ¿A qué altura desde el fondo de un canal se debe medir la velocidad de tal manera que ésta sea igual a la velocidad media del flujo en la sección transversal? Se supone que el canal es muy ancho, con una profundidad y y que el flujo es hidráulicamente rugoso. ¿Cambiaría este resultado siel flujo fuera hidráulicamente liso? 1.5

Demuestre la ecuación 1.21.

1.6

A través de una tubelÍa de 8 pulgadas de diámetro fluye un aceite con p = 900 kg/m-' y v = 2 X 10- 4 m2/s. Si el número de Reynolds del f1uju es 1800, calcule (a) la velocidad media del llujo, (b) la velocidad máxima del flujo, (e) el perfil de velocidades, (el) el esfuerzo cortante en la pared (r), (e) la velocídad de corte (v.). Dibuje el perfil de velocidades.

1.7


1.8

A través de una tubería de 12 pulgadas de diámetro fluye agua a 15°C. La tubería es de PVC con un ks de 0.0015 mm (rugosidad absoluta). Si el caudal es de 120 lIs, calcule (a) la velocidad media del flujo, (b) la velocidad máxima del flujo, (e) el perfií de velocidades, (d) la velocidad de corte (v.), (e) el esfuerzo cortante en la pared de la tubería (rJ Dibuje el perfil de velocidades.

1.9


1.10 Para transportar agua a I()üC se utiliza una tubelÍa de concreto de 6 pulgadas de diámetro. Si la rugosidad absoluta de la tubería es de

69

HIDRÁUUCA DE lUBERíAS

70

0.8 mm y el caudal de 142 lis, calcule (a) la velocidad media del flujo, (b) la velocidad máxima del flujo, (e) el perfil de velocidades, (d) la velocidad de corte (v.), (e) el esfuerzo cortante en la pared de la tubería (<;,). Dibuje el perfil de velocidades.

1.11 A fin de inyectar agua (T = 15°C) para lubricar los cojinetes de una hélice se utiliza un tubo capilar de 0.2 mm de diámetro. Calcule el máximo caudal para el ¡;ual el flujo sigue siendo laminar. Para este caudal ¿cuál sería la caída de presión si el capilar tiene una longitud de ·1.2 metros?

1.12 Demuestre que para un flujo laminar completamente desarrollado de un fluido viscoso a lo largo de un tubo vertical, la relación entre el número de Reynolds í Re) y el diámetro de la tuberia (d) puede expresarse como:

Suponga que en ambos extremos del tubo la presión es atmosférica. Calcule el máximo diámetro que se puede tener para agua a lOüC si el flujo debe ser laminar. ¿Por qué no se tiene en cuenta la longitud del tubo?

1.13 A través de una tuberia de 4 pulgadas de diámetro con una longitud de 2630 m fluye petróleo crudo pesado (p = 830 kg/m 3 , f.L '= 0.8 Pa. s} La tubería conecta un tanqtle de almacenamiento, el cual genera Una cabeza de 3 metros, con unapÍscina de separación agua-petróleo. Suponiendo que el flujo eslaminar, calcule el caudal de petróleo que saJe al final de la tubería como un chorro libre. Calcule la velocidad media y verifique que el número de Reynolds sea menor que el crítico, 1".... Petróleo 3m

14 pulg

Patm

I

2630 m

Figura P1 •.13* *

La letra P índica que la figura correspOnde al Problema.

IN1RODUCCK}N Al FlUJO lN rUBEr¡íAS

¡ ._--.

---~,------_.,~

¡ 1.14 Mediante la ecuación 1.41 calcule los factores de frícción f correspondientesa los flujos de los problemas 1.6, 1.8 Y UO. Ubique estos factores de fricción en el diagrama de Moody y establezca sí el númer? deReyIloldsleídoenel diapr~wa corresponde al calculado, utilizando el caudal el área de las tuberías. 1.15 Si el flujo en una tubería es lüdráulicamente liso y el número de Reynolds es menor~19pO()O,~eg~~d~ytili~~ laecuación de Bla~sius (1.44) para el diseño de tubería0;, Calcule el diámetro requerido en PVC (k, = 0.0015 mm) para mover 1751/s de agua (T = 15"C) a lo IaJ"So de 466 111 ~(m una cabeza t0t;li de 64 m (diferencia topográfica entre la entrada y la salida de la tubería); Los diámetros que pueden ser utilizados son: 2, 2.5, 3, 4, 6, 8, 10 Y12 pulgadas. ¿El flujo es en verdad hidráulicamente liso? 1.16 c:alclllfflJact()r~~lricciónparauIl t1uj? en tllbería con un número de Reynolds de 45000 y con una rugosidad relativa de 0.000001. Utilice las ecuaciones de Blassius(ecuación 1.44), de Prandtl-Von Kármán (ecuación 1.52), de Colebrook-White (ecuación 1.67) y el diagrallla de Moody; Comente los resultados;

1.17 Calcul~elfactorde fricción par~unflujoen tubería con un número de Reynolds<:ie 8X 106 y con una rugosidad relativa de 0.002. Utilice las ecuaciones de Prandtl-Von Kármán (ecuación 1.56), de Co!ebrookWhite (ecuación 1.67) y el diagrama de Moody. Comente los resultados.

1.18 Cal<;uleel factor de fricción para un flujo en tubería con un núIuero de Reynolds de 2 X lO' Y una rugosidad relativa de 0.0002. Utilice la ecuación de Colebrook-White (ecuación 1.67) y el diagrama de Moody. Comente los resultados. 1.19 Si en los tres problemas anteriores el fluido es agua a 15'C y la tubería es de acero (k, = 0.00046 m), ¿cuáles serían las pérdidas de cabeza a lo largo de 1000 m? 1.20 Para rugosidades relativas de 0.001, 0.0001, 0.00001 Y 0.000001 ~laJ)o~una gráficaconjunta de las e<;l1randtl-:yon Kánnán (ecuaciones 1.52 y 1.56) Yde Colebrook-White (ecuación 1.67) con el fin de establecer la zona de transición en cada caso. Comente los resultados.

71

HIDI'ÁUUCA DE TUBERíAS

72

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En el capitulo 1 se establecieron las diferentes ecuaciones de resistencia fluida que pueden ser utilizadas para llevar a cabo el diseño de tuberías. Sin embargo, este diseño puede ser complejo debido a dos razones: en primer término, la ecuación que describe el factor de fricción de Darcy (f) es una ecuación no explícita, hecho que dio pie al surgimiento de ecuaciones empíricas más simples. En segundo término, los sistemas de tuberías pueden ser complicados, dando como resultado variaciones complejas en la caída en la cabeza~ piezométrica; debido a la fricción. En las figuras 2.1 a 2.3 se muestran algunos ejemplos de lo complejas que pueden llegar a ser la;; líneas de gradiente hidráulico y de energía total en sistema.;; de tuberías, las cuales, por supuesto, incluyen la caída en la cabeza piezométrica. En este capítulo se plantean las metodologías para el diseño de tuberías simples utilizando las ecuaciones planteadas en el capítulo antedor, basadas en los estudios de Prandtl-Van Kánnán sobre interacción fluido~pared sólida y en la ecuación de DarcyWeisbach, considerada la ecuación físicamente fundamentada para pérdidas por fricción en duetos. En el capítulo 3 se utilizará para el mismo fm la ecuación de Hazen-WiHiams, la más representativa de las ecuaciones empíricas que surgieron cuando se evidenció el hecho de que la ecuación de Colebrook-White era no explícita. Adicionalmente, en dicho capítulo se hará una comparación entre estas dos metodologías con el fin de establecer sus respectivas ventajas y desventajas. La tubería simple tiene un diámetro constante y está hecha de un soja material a lo largo de toda su longitud. La energía que mueve el fluido dentro de ella puede ser de tipo gravitacional (un embalse o tanque a la entrada) o mecánica (una bomba). En este último caso, para que la tubería pueda ser considerada como simple, la bomba debe estar localizada en uno ele los extremos. La tubería simple puede tener cualquier tipo de accesorios que produzcan pérdidas menores, incluyendo válvulas para el control del caudaL Los algoritmos de diseño para este tipo de tuberías, los cuales se presentarán en este capítulo. forman la base de los algoritmos de diseño de sistemas complejos de tuberías, los cuales se estudiarán en capítulos posteriores.

Otros términos equival.entes a cabeza son: altura, altura de energía y altura piezométfÍca.

HIDRÁULICA DE TUBERIA5

74

TIPOS DE PROBLEMAS EN HIDRÁULICA DE DUCTOS A PRESiÓN Los problemas en la hidráulica de tuberías simples se pueden clasificar de acuerdo con la variable desconocida

en el problema. Las variables involucradas en problemas de tuberías simples son las siguientes: Variables relacionadas con la tubena en sí: Diámetro de la tubería (d), longitud de la tubería (~y rugosidad absoluta de la tubería (k). Variables relacionadas ~on el Huido: Densidad del fluido (p) y viscosidad dinámica del fluido (fL). Variables relacionadas con el esquema del sistema: Coeficientes de pérdidas menores de todos los accesorios necesarios, incluyendo válvulas (2:.k m ) (ver anexo 2).

Líneas de gradiente hidráulico y energía total Sistema por bombeo

~§----------------------------------------------

.-,.....¡,.L..~

Energía máxima

h

2

h,

Z2

h, --

Dalum ---- ----- ------------------------------------ ------

Bomba

Unea de energfa total Unea de gradiente hidráulico

Figura 2.1 Líneas de energía total y de gradiente hidráulico (o línea piezométrica) para un sistema de tuberías a presión conectando dos tanques y utHizando una bomba que produce una cabeza HIJ hmi = pérdida menor i. h f¡ = pérdida por fricción en la tubería r,

DISENO DE TUBEI<íA5 SIMPLES

75

Líneas de gradiente hidráulico y de energía total Sistema por gravedad hm1

EnergJa máxima

------~---tl-------------------------------------

---------

z,

H

_~~~~

~===~..J~.

""'="';':'m1,''''ijf=~_=".

Línea de energía total

- - - - - - Línea de gradiente hidráulico

,

~

H

= 2, + h\ =

h2 + ¡~1 hmi + i~l h,,.

Figura 2.2 Líneas de energía tata! y de gradiente hidráulico (o línea piezométrica) para un sistema de tubería a presión que une dos tanques. En este caso, la potencia requerida para mover el fluido es suministrada por la gravedad.

Líneas de gradiente hidráulico y de energía total Sistema de generación eléctrica (turbina)

~ Almenara

h"ó ha h«s

z,

h~

H, hA CmJ..

Datum

h, Turbina

--~--~~-- Línea de energía total

/'

- - - - - - Línea de gradiente hidráulico

H

= z, + h1 =

h2

+

Hr

+

"

'~i hm¡

+

¡'~' h"

Figura 2.3 Líneas de energía total y de gradiente hidráulico (o linea piezométrica) para un sistema de tubería a presión en una central de generación hidroeléctrica. Hr representa la cabeza absorbida por la turbina.

HIDRÁULICA DE rUBERiAS

76

Variables relacionadas con la energía impulsora del fluido: Cabeza entre el embalse de entrada y la salida (H) o potencia de la bomba (P), Otras variables: Aceleración de la gravedad (g) y caudal o veloGidad media en la tubería (Q o v). Las variables que pueden ser desconocidas son el caudal, el diámetro de la tubería o la potencia de la bomba que es necesario instalar para mover un determinado caudal. Teniendo en cuenta la variable desconocida, los tipos de problemas son: Comprobación de diseño, cálculo de potencia requerida y diseño en sí de la tubería. A continuación se describe cada uno de los tipos de problema que surgen durante el trabajo con tuberías simples.

Comprobación de diseño En este tipo de problemas la tubería existe, lo cual implica que se conocen su longitud, su diámetro y su rugosidad absoluta (se conoce el material), al igual que todos los accesorios y sus coeficientes de pérdidas menores. Además se conoce la energía impulsora, ya sea una cabeza gravitacional o una bomba y las propiedades del fluido (densidad y viscosidad dinámica). La incógnita es el caudal que pasa por la tubería, problema típico en el diseño de redes de distribución de agua potable o redes de riego, en las cuales se hace un predimensionamiento de los diámetros.

Variables conocidas

Incógnita

d, k" H(o P), 2: km' p, /L, g, /

Q (o v)

Cálculo de la potencia requerido Para estos problemas se conoce el caudal demandado, la tubería (se conocen tanto la longitud como el diámetro, la rugosidad absoluta, los coeficientes de pérdidas menores de los accesorios) y las propiedades del fluido (densidad y viscosidad dinámica), Se tiene que calcular la potencia necesaria (bomba o diferencia de nivel) para mover dicho caudal a través de la tubería. Este problema se plantea cuando se quiere utilizar una tubería existente para mover,un cierto caudal demandado y se desea conocer la bomba que debe ser colocada o la diferencia de nivel entre la entrada y la salida de la tubería.

Variables conocidas

Inc(ignita

d, k" Q (o v), 2: km' p, /L, g, /

H (o P)

Diseño de ia tubería En este caso se conoce el caudal demandado, la potencia disponible (bomba o diferencia de nivel generada por un embalse o tanque), algunas de las características de la tubería (longitud y accesorios necesarios con sus conespondientes coeficientes de pérdidas menores) y las propiedades del fluido (deu'}idady viscosidad dinámica). Se desconoce el diámetro necesario para permitir el paso del caudal demandado. Por lo general, en cuanto al material de la tubería se tienen dos o tres alternativas, lo cual implica que se conoce la rugosidad absoluta de la tubería pero es necesario hacer tantos diseños como diferentes materiales se encuentren disponibles en el sitio del proyecto con el fin de escoger la mejor altemativa.

DISEÑO DE TUBERíAS SIMPLES

77

Incógnita

Variables conocidas

k" Q (o v), H (o P), 2, km' p,

¡J>,

d

g, I

ECUACIONES PARA EL DISEÑO DE TUBERíAS SIMPLES

Mediante el uso de las ecuaciones de Colebrook-White (ecuación 1.67) conjuntamente con la ecuación de Darcy-Weisbach (ecuación 1.36) se puede desarrollar el siguiente procedimiento:

~

'-'-'-"

'-'-'

hf

h,

LET

"

LGH .

~

H

p!pg

r

2

2,

-----

2g

22 ------------~-----------------------

®

(j)

DATUM

Figura 2.4 Esquema representativo de una tubería. El punto 1 se locallza bastante dentro del tanque de tal manera que su velocidad sea aproximadamente O. El punto 2 se localiza aguas abajo en el flujo dentro de la tubería.

A partir de la figura 2.4, que corresponde a una tubería simple alimentada por un tanque de nivel constante, se puede plantear la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, para llegar a la siguiente ecuación:

29

+ z + p, + h + 2, h 2

pg

r

tri

Si el punto 2 corresponde a la salida, de la tubería, caso muy común en este tipo de análisis, ocurren tres Cosas en la ecuación anterior. En primer lugar, el término de la cabeza de velocidad desaparece, ya que se supone que en la salida el flujo pierde su velocidad. En segundo lugar, y como consecuencia de lo anterior, el ténnino de sumatoria de pérdidas menores debe incluir un término de pérdidas por salida. Por último, la presión en la salida es igual a la atmosférica (presión manométrica nula); luego:

Es claro que para el punto 1, h j -+- Z1 respecto al datum. Luego:

= H,

donde H es la altura del nivel de la superficie del tanque con

78

HIDI<ÁUUCA DE TUBERíAS

H=

z, +

h,

+ ::s

hm

De esta última expresión se puede obtener la siguiente ecuación, la cual describe las pérdidas por fricción en función de las otras variables:

v' -'2g

(2.1)

Sí el punto 2 no cOlTesponde a la salida de la tubería, la ecuación 2.1· tendría que incluir un término de cabeza de velocidad y la sumatoria de las pérdidas menores no debería incluir un término de pérdidas por salida.

Adicionalmente debería incluir la cabeza de presión en el punto 2. Mediante la ecuación de Darcy~ Weisbach (ecuación 1.36), que también predice las pérdidas por fricción, se puede despejar el factor de fricción f:

Lo cual implica que:

y que:

(2.2)

Al reemplazar la ecuación 2.2 en la ecuación 1.67 se obtiene:

=

-2 log

w

- k" ( 3.7 d

251 +-) Re {f

(1.67)


~v~{i~1~ , ~2gdh¡

_ -2 IoglO (k - S- +

~

3.7d

79

2.51 v {i ) ,-----Re,¡2gdh¡

El número de Reynolds en esta última ecuación puede reemplazarse por:

vd Re= v Por consiguiente, se obtiene la siguiente expresión:

Finalmente, si se despeja la velocidad se encuentra una ecuación explícita para esa variable:

v=

-2~2gdh¡

{i

lo

910

(.l'.L 3.7d

+ 2.51 v {i ) d~2gdh¡

(2.3)

Esta última ecuación es la base para la solución de los tres tipos de problemas relacionados con tuberías simples mencionados anterionnente. En los siguientes pánafos se explica en detalle la solución de estos tres grupos de problemas mediante la utilización de las ecuaciones deducidas hasta ahora.

il ,:;. 1

COmprobación de diseño En este caso se conocen todas las características de la tubería: la longitud, el diámetro, la rugosidad absoluta y los diferentes coeficientes de pérdidas menores de cada uno de los accesorios. También se conocen las propiedades del fluido, es decir, la densidad y la viscosidad dinámica. La incógnita es la velocidad y, por Consiguiente, el caudal que pasa por la tubería. Obviamente se deben conocer la cabeza disponible o la la eficiencia de la bomba. Para resolver este problema se debe seguir el procedimiento establecido el diagrama de flujo 1 y en el ejemplo 2.1.

HIDRÁULICA DE TUBERIAS

80

CINICIO~

(

~

Leer d, k" H, 2: km

I

p, '", Z2' /

t Suponer h l = H

t

e

Calcular kld

t Calcular Vi en la ecuación 2,3

t Calcular h l , en la ecuación 2,1

t ?

Ih

l¡ -

h l ¡,¡

No

I'" E

t SI [

Q= V,A

¡ ]

Imprimir Q

~ Prog 1

e

t FIN

~

Diagrama de flujo 1 Comprobación de diseño de tuberías simples.

DISEÑO DE TUBEI
Ejemplo 2.1

Comprobación de diseño de tuberías simples Se desea calcular e:l caudal de agua que puede ser movido a través de una tubería de PVC, de 12 pulgadas de diámetro nominal y 730 m de longitud, que conecta dos tanques de abastecimiento de agua potab!c con una diferencia de nivel de 43.5 ffi, El diámetro real de la tubería es de 293 mm y su rugosidad absoluta es de 1.5 X 1O'~6 m. Todos los accesorios que fonnan parte del sistema, incluyendo la entrada y Iasalida, implican un coeficiente global de pérdidas menores km de 11.8. El agua se encuentra a 2Ü"C.

Para el agua a 20"C se tienen las siguientes características: p fJ.

= 998.2 kg/rn 3 = 1.005 X 10 3 Pa.s =>

v

= 1.007 X 10 6 rn'/s

Con los datos anteriores se puede seguir el procedimiento del diagrama

de flujo 1; los resultacios de las iteraciones se muestran en la siguiente tabla. Este procedindento es fáciímente programable.

'

~

44=,.55 -

5119E-06 5119E-06

30.3174479 461289946 30702327.ª-. 307023278 464458506 30.5259118

----"-3.5

5119E-06

305259118 463008444 306067968

43.5

5.119E-06

306067968 463673764 30.5697}~

__ 43,5

5119E-06

__ 43.5

5119E-06

305697164 4.63368861 - 30.5867162 305867162 4.63508667 305789227

43.5

5119E-06

30.5789227 4.63444578 305824957

~:_3_.5__-L-5_._11_9E-06 1305824957 463473961 305808576J

81

HIDRÁULICA DE TUBEI¡IAS

82

Los resultados de este ejemplo se pueden resumir así: h[

30.58

hm

H·- h[

hm

12.92 m

v

4.634 mis

= 43.5m

- 30.58 m

Finalmente se calcula el caudal que pasa a través de la tubería: vA

Q

!'é (0293 m)'

Q

4.634 m

Q

0.3124 m3/s

Q

312.4 lis

s

4

Cálculo de polencia requerida En este caso, todas las características de la tubería son conocidas, al igual que las del fluido. Se sabe un caudal demandado y se pregunta por la potencia requerida, ya sea de origen gravitacional o mecánico. Sin embargo, para poder resolver el problema de la potencia requerida es necesario utilizar un método numérico con el fin de averiguar el valor del factor de fricción f de Darcy en la ecuación no explícita de Colebrook-White:

1 ---r:

'il

=

2 I 10 -og

(k,

2.51 ) + ------r; 3.7 d Re vi

--

(1.67)

A fin de resolver la anterior ecuación para fexisten muchos métodos numéricos, de los cuales se explican dos a cotinuaci6n: el primero es muy sencillo pero requiere alrededor de diez iteraciones. El segundo es más complejo pero tiene la ventaja de que converge en dos o tres iteraciones, siendo útil cuando se desea reducir el tiempo de ejecución de un programa.

;g.2a

DISENO DE TUBERíAS SIMPLES

83

Método de iteración de un punto Para que este método pueda ser aplicado, la función no explícita debe ser de la siguiente forma:

x

= g(x)

El algoritmo se desalTolla de tal manera que el valor arrojado por la función g(x) en la iteración i se utilice como argumento X en la iteración i + 1> Si la aproximación inicial es suficientemente cercana a la raíz
Cálculo del factor f Método de Newton 0.06 0.05

.

0.04

c'$

003

~.

0.02 0.01 002

1---

f= f

0.03 f

0.04

0.05

0.06

- o - - Re '" 20000 - - + - Re "" 200000

I

Figura 2.5 Esquema del proceso de convergencia del método de Newton para el cálculo de f. La tubería tiene una rugosidad absoluta de 0.0001 y ¡os cálculos se hicieron para números de Reynolds de 20000 y 200000.

HIDRÁULICA DE TUBEI<íAS

84

f

x

0-001

~4_60_3~1 0,02439378

r

f

f

g(x)

x

f

g(x)

131622777 479681741 ,0043460391 0,001 31.6227766 674548777 0,02197725 4 7968174 640266057 ~02439~7I~ J,_ccÜ2=--1~97c'--i=:2---5'-i''=-=----6~,,7"'_4~54---8~72---5+=7---,9-=0'4---'0"'26=7- ~-16-00-.6_-75 64026601

O~02634276- ~'1'2575-

616125106 0,026342764

001600675

7.90402707 779772599 -¡S-0-69-S-S1-2

i113sj252 O~Ü26068927 ~rlO1'6;¡¡614f-7,7977266á

OO2606s9:J --6~19353226-18914733

0,026105881 001640728 7.80695552 6, 18914756""i8974178'Q626¡o0s67 ~Oi64W67l-i80614913 0,02610087 61897414 618966123 0,026101547 001641037 7,80622048 +--=---=== ____=I--=-===b____==-=:-- 0,02610155 6,1896608 618967216 0026101454 00164104 7.80621335 0,02610145 61896727 618967005 0,026101468 001641039 7,80621572 0,02610147 I 61896i~-3_ I!.6967088 0026101465 00164104 7,80621335

~105~

1-:-==-=

0,01644614 0.01640728

7.80614996 0,01641067 7,80622029 CO-Ü-1641037 780621406 00164104 -----===780621469 0,01641039 780621448 00164104 780621469 0,0164iQ39

Tabla 2.1 Convergencia del método de Newton para el cálculo del factor de fricción de Oarcy f para una tubería con kld 0.0001 Y dos números de Reynolds (Re = 20000 Y Re ' ';,; 200000).

~ Leer kjd, Re, semilla de f

---t

~S~

711~Te' f,'''"semilladof

®

Diagrama de flujo 2a. Cálculo del factor de fricción fpor el método de Newton.

DISEÑO DE TUBEr¡IAS SIMPLES

85

Método de Newton-Rapnson' Este método es una aceleración del método anterior, hecho que lo hace más conveniente; por lo general se requieren sólo tres iteraciones. Sin embargo, la función g(x) debe cumplir las siguientes condiciones especiales para que exista convergencia:

) 2b

La primera condición es que exista un intervalo / = (8,b), de modo que para todo x perteneciente a /, la función g(x) esté definida y pertenezca a " lo cual significa que g(x) se aplica a sí misma. En el caso de la ecuación de Colebrook-White, para que la función no estuviera definida se necesitaría que el logaritmo no estuviera definido, caso imposible, ya que todos los términos dentro de la función logaritmo son positivos. La segunda condición es que la función de iteración g(x) sea continua en l. Nuevamente la función logaritmo cumple este requisito. La tercera condición de convergencia es que g(x) sea diferenciable en I y que la pendiente de g(x) sea siempre menor que 1 y mayor que - L La función mencionada es en efecto diferenciable y su pendiente es siempre mayor que -1, llegando a valores extremos (Re ~ 2000, kjd ~ 0.00001) a ser -0.0289. Para números de Reynolds grandes la pendiente de g(x) tiende a cero, lo cual es menor que 1. Teniendo en cuenta las anteriores condiciones especiales, el método de Newton-Raphson parte de la ecuación:

x

g(x)

g(x) -

X ~

Por consiguiente:

O

El valor de la aproximación a la raíz de la ecuación en la iteración i aproximación de la iteración í de acuerdo con la siguiente ecuación:

x1+\

=X~ i

+

1 se calcula con base en la

g(x,) - x, g' (xJ - 1

donde g'(x) es la derivada de la función. Para el caso de la ecuación de Colebrook - Vlhite la variable x es el inverso de la raíz cuadrada del factor de fricción de Darcy:

x

1

{f

Este es el método de Newton o de Newton-Rarhson, conocido también como método de Newton acelerado.

86


Por consiguiente:

g(x) = -2 log

g'(x) = -

w (

In 210

- k" 3.7 d

2.51 +-X' )

Re

[.~2:~:51 Xi] 3.7 d

Re

En la figura 2.6 se esquematiza el proceso de convergencia de este método. En este caso se utilizó una tubería con mgosidad relativa (k!d) de 0.0001 y un número de Reyno1ds de 20000. El valor semilla para f fue 0.002. A pesar de que este valor estaba bastante lejos del valor real (f = 0.0261), el método convergió muy rápidamente; sus ventajas sobre el método anterior saltan a la vista.

Cálculo del factor f Método de Newlou-Raphson

0.06 0.05 0.04

S O>

=

003 0.02

I

I

I

I

I

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

f !Ii

f = f - { ] - - Re = 20000 I

Figura 2.6 Cálculo del factor de fricción f por el método de Newton acelerado para una tubería con una rugosidad relativa de 0.0001 y un número de Reynolds de 20000.


87

El diagrama de flujo 2b corresponde al método de Newton-Raphson. La mayor velocidad de convergencia, ventaja de este método, no siempre se justifica debido a que su proceso de programación es más complejo, especialmente si se tiene en cuenta que cada día es mayor la velocidad de cálculo de los computadores.

Una vez se pueda calcular el valor del factor de fricción de Darcy f en la ecuación de Colebrook-White, el cálculo de la potencia requerida es bastante sencillo. En el diagrama de flujo 3 se esquematiza dicho procedimiento de cálculo, el cual se utiliza para desarrollar el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.2

En un sistema de riego localizado de alta frecuencia para un cultivo de cítricos es necesario mover un caudal de agua de 42 lis desde el sitio de toma a la planta de fertirrigación. Estos dos puntos se encuentran separados por una distancia de 970 In, estando la planta 16 m por encima de la toma. Si existe una tubería de PVC (k, ~ 1.5 X 10-6 m) de 6 pulgadas de diámetro nominal, con un coeficiente global de pérdidas menores de 9.4, ¿cuál es la cabeza que debe ser suministrada por la bomba en el sitio de toma? Para el agua JJ= 1.14 X 10- 6 m2 /s. Pard una tubería de PVC de 6 1' de diámetro con RDE de 21, el diámetro real es:

152.2 mm

d

Por consiguiente, el área transversal de la tubeIÍa es:

A~

1T (0.1522 m)' 4

1Td' 4

A = 1.82 X 10- 2 m2 Siguiendo el diagrama de flujo 3 se obtienen los siguientes resultados: Cálculo de la velocidad media:

V=

Q

A

=

0.042 m3 1S 182 X JO- 2 m'


88

v = 2.31 mis •

Cálculo de las pérdidas menores:

L h

m

v2 2 9

= (L k ) - .

m

Lhm =9.4X

2.31

m

x 9.81

m

L

Cálculo del número de ReyuDlds y de la rugosídad relativa:

Re

=

vd v

=

231 x 0.1522 l14Xl0 6

Re = 308405

~ = 00000015 = 9.86 x 10- 6 d 0.1522 CiÍlcuJo del factor de fricción mediante el método de Newton (diagrama de flujo 2a):

f

J(

g(.<)

f

Re = 308405

0.001

31.6227766

7.16994795

0.01945217

0.01945217

•j

8.42907624

0.01407473

1 b;;;;4144

DISENO DE TUBEf<íAS SIMPLES

89

~.

f

X

-

g(x)

"-

f

8.42907589

829423336 -

001453609

829423237

830771302

001448895

001448895

830771411 -

830635586

001449369

0.01449369 -0.01449321

830635553 ._-

830649253

001449321

830649308

8.30647869

001449326

0.01449326

830647875

830648013

001449326

001407473

~~7roo

Luego: f

-

--

---

= 0.01449

Cálculo de las pérdidas por fricción utilizando la ecuación de DarcyWeisbach:

h,

,

= f.!. ~ = 001449 ~ ...3:.312 d 29

0.1522 2 x 981

m

= 2512 m Cálculo de la cabeza total que debe ser producida por la bomba:

=

16m + 25.12m + 2.55 m

= 43.67 Cálculo de la potencia bomba:

Pot

= pQgH = 9991 x 0.042 X 981 X 4367

= 17.97 kW


90

INICIO

Leer kjd, Re, semilla de f

¡ , -_ _1:...,~_se_¡ri_lIa_d_e_f _ _

-,I.J;J2

x,

~

F(x) ;

=

-2 log, ,()

1/

Re ~ 2200 SI

If ~

r

Re

I

o

.¡r;

(~ + ~51 x,) +---------, 3,7d Re

t F (x) ,

r 251 c _1 ~ [ In-210 1.......... Jl k,_. R + 25~ 3.7 d

I x.«, = x.,

Re

t ~

F(x) - ' -- -x'

F' (x,) - 1

t

I

?

SI

Prog 2b

+ c2>

Diagrama de flujo 2b. Cálculo del factor fpor el método de Newton-Raphson.

DISENO DE TUBERIAS SIMPLES

91

INICIO

Calcular V = O/A

1 Calcular 2: h m

1 Calcular He y kjd

1 Calcuiar f en la ecuación 1.67 utilizando algún método numérico

Calcular H total

1

POI =

'~pQgH

1

Prog. :>

Imprimir Pot

1

@

Diagrama de flujo .3 Cálculo de potencia en tuberías simples.

Diseño de tuberías simples El proceso de diseño es bastante simple porque la ecuación 2.3 es explícita para la velocidad. Dicho proceso se esquematiza en el diagrama de flujo 4. Este diagrama de nujo puede utilizarse tanto para tubeIias de diámetros comerciales como para tuberias de acero (diámetro a la medida). Es importante tener en cuenta q~e. en el momento de programar este procedimiento debe existir una homogeneidad dimensional: si se utIliza el sistema internacional, por ejemplo, tanto el diámetro de la tubería como su rugosidad absoluta y su longitud deben estar expresados en metros. Esta aclaración es válida para todos los diagramas de flujo anteriores.


92

Es necesario aclarar que para que el proceso de diseño converja se deben tener en cuenta dos restricciones

importantes: El primer diámetro supuesto tiene que ser menor que el diámetro final del diseño. Se sugiere empezar siempre con un diámetro muy pequeño, lo cual implica un mayor número de iteraciones, pero a<;egura un correcto resultado. La suma de las pérdidas menores debe ser inferior al 30% de las pérdidas por fricción. Esta condición es cierta en la mayoría de diseños convencionales de tuberías. Más adelante se tratará el caso de sistemas

de tuberías en los cuales las pérdidas menores causadas por los accesorios son mayores al 30% de las pérdidas por fricción. Para que el diagrama de flujo 4 conveIja se debe cumplir la siguiente ecuación: (2.4)

Esta última restricción en la práctica resulta ilTelevante, ya que en la gran mayoría de los sistemas de tuberías tal condición se cumple con facilidad. Para diseñar un sistema con altas pérdidas menores, como es el caso de la tubería de succión de una bomba, se debe seguir un algoritmo diferente.

Ejemplo 2.3 La tubería de descarga de fa planta de tratamiento de aguas residuales del municipio de Ubaté tiene una longitud de 150 m desde su inicio hasta el sitio de entrega en el río Suta y por ella debe pasar un caudal máximo de 120 l/s. La cabeza mínima de operación es 2.2 m y en la tubería se tienen pérdidas menores por entrada (km = 0.5) por un codo (km = 0.8), por uniones (2: km ~ 10 X 0.1) Ypor salida (km = 1). Calcular el diámetro de la tubería comercial en hierro galvanizado requerida si la temperatura del agua es 14°C. Los datos del problema son:

150 m 0.00015 m 0.12m 3/s

H

2.2 m

2:km

0.5 + 0.8 + 10 x 0.1 + 1

p(W)

9993 kg/m 3

fL(W)

1.17 x 10

3

Pa.s

v(W)

1.17 X 10

6

m2 /s

= 3.3


93

?

Leer Qd' ks' !:J.d, H, Z2'

E, I

[suponer !J., "'" H -

Z21

{ Calcular

t,

ven ¡a¡ +~~

ecuación 2.3__ ~

¡ -

Q

__~~~__-;-_,

I

~ vA --,

d"., ~ d,+ a~

¡

No No

-:::~~+<

?

Si

diam c6merciall-:::~'=+f

Q~

VA

?

~ PrOQ.8

diam comercial

No

Diagrama de flujo 4 Diseño de tuberfas simples.

Con la metodología de Darcy-Weisbach, la ecuación de ColebrookWhite, y el diagrama de flujo 4, se obtienen los siguientes resultados:


94

h,

d

V

a

a;;. ad

1. hm

(m)

(pulgadas)

(mis)

(m'/s)

(Sí/No)

(m)

22

6

1.443

0.0263

8

1.734

00562

2.2

10

1.997

0.1012

No No No

035

2.2 22

12

2.239

0.1634

Sí

0844'

1.36

12

1.748

01275

Sí

0.514

0.506 0.671

1.69

12

1955

0.1426

Sí

0643

156

12

1.877

01369

Sí

0592

1.61

12

1.907

0.1392

0612

159

12

1895

01383

Sí Sí

0.604

16

12

1.9

0.1386

Sí

0607

1.59

12

1.898

01385

Sí

0606

1.59" * 1a convergencia ** 2 3 convergencia

En la segunda convergencia h1i+ 1 = h 1i , lo cual indica que el proceso debe parar. A su vez, el resultado indica que el tubo que debe ser colocado tiene un diámetro de 12 pulgada'>; el caudal que pasa por esta tubería es de 138.5 l/s, ligeramente superior aJ caudal requerido en este diseño.

Ejemplo 2.4 Suponiendo que la planta de tratamiento de Ubaté se localiza a s610 15 m del río Suta, sitio de descarga, la tubería tendría un total de 17 m de longitud. Si las uniones fueran roscadas. las pérdidas menores serian: entrada (km = 0.5),

un codo (km = 0.8), uniones (km = 4 X 0.5) Ysalida (km = 10). Calcular el diámetro de la tubería comercial eriPVC requerida para la descarga.

Los datos del problema son:

I k,

=

17 m 0.00015 m


95

0.12m3/s 2.2 ~

1

0.5

4.3

1.17 X

la metodología de

la ecuación de Colebrook-

el diagrama de flujo utilizado en el ejemplo anterior, se obtienen los siguientes resultados:

h¡

d

V

a

a", ad

L hm

(m)

(pulgadas)

(m/s)

(m'/s)

(Sí/No)

(m)

2.2

4

3.394

0.0275

2.2

6

4.388

0.0800

2.2

8

5.255

1704

No +----

No

Sí

605

1-3.85 I:~t~~~': ItIS f"'"lid,,. ITlenor<'sson superiores a la cabeza disponibles para sobrepasar Es claro que la Il1etodología este diseño~ Es necesario utilizar las ecuaciones

"1

Di$eño de luberío$ $imple$ con ollas pérdidos menore$ el ejemplo 2.4 los resultados muestran que la velocidad obtenida en la iteración 1 para el diámetro de pulgadas implica unas pérdidas menores superiores a la cabeza disponible, lo cual no es posible y hace el proceso no converja. Esto significa que de alguna forma hay que limitar la magnitud de la velocidad se produzca en cada iteración. El proceso que pennite tener en cuenta sistemas con pérdidas menores altas fue desalTollado por

~ld~rriaga y Fen'er (1989) y modificado por Camacho (1990). Consiste en definir una "velocidad" de

jrdida que, en esencia, es la velocidad que haría igualar la sumatoria de las pérdidas menores y la cabeza Púnible. Si se, utilizara esta definición, las ecuaciones serían:


96

Mediante las dos ecuaciones anteriores se obtiene el siguiente resultado para la «velocidad de pérdida":

Si se despeja .

V P

en esta última ecuación se llega a: v~ =

(2.5)

Si en alguna iteración la Vi es mayor que la vp' esto quiere decir que la velocidad Vi implica unas pérdidas menores superiores a la cabeza disponible, lo cual es físicamente imposible. De suceder así, se debe limitar la cabeza disponible para ser perdida por fricción, dentro del procedimiento de diseño. El procedimiento se esquematiza en el diagrama de flujo 5. el cual es más general que el diagrama de flujo 4, ya que también sirve para el caso de tuberías con pérdidas menores bajas. Una vez se ha calculado la primera velocidad de pérdida, en las demás iteraciones esta velocidad se calcula de acuerdo con la siguiente ecuación: ~-"-""_.""--------

12 9~-h,) \ ~ k,., Ejemplo 2.4 (Continuación) La velocidad de pérdida inicial se calcula como:

Como: H

22

2: k m

4.3

se obtiene el siguiente valor:

2 X 981 X 2.2 I v, = ,i-"--:-;:--- m s 43

(2.6)


~

Vp

3168

97

mis

Con ayuda del diagrama de flujo 5 se obtienen ios siguientes resultados para el diseño de la tubería de descarga de la planta de tratamiento del municipio de Ubaté, cuando su longitud se reduce a 17 m en totaL

Calcular v, en la

(

VA-~
Q-;-;;-t lid

[--Q-;'-

-.

I

NO.

SI

vp en la

~cuaclón

2.5

t ?

I

N o

Procedimiento

ca'C"'1."~"e. la ecuaciQrl.?~ l'

«

No

? -____

J% E >-"''->-

~

diam. c6mercial

Prog.5

I

Imprimir d1t1

¡

~

I

r.::l'1

L_p_é_r_d_id~a~s~m~e_n_o_r_es~-~ altas

S

Ih" - h,

Igclecta d

~

-1

r~ n. I V;<:V",

t_~

~~,.. comerCial

Q?
Calcular

--

I

No

~~"S,-i +1

HIDRÁUUCA DE TUBERIAS

98

Calcular \.j en la ecuación 2.3

Q

~

VA

¡

No

I'v, -.

v." 1< E,

Si

'=>--4>1

?

diam. comercial

Imprimir d

~~

No ?

v, < v,

Sí

::>-----,

No

Suponer d ~pequeño"

Diagrama de flujo 5 Diseño de tuberías simples con altas pérdidas menores.

DiSENO DE TUBERíAS SIMPLES

h,

d

V

a

(m)

(pulgadas)

(mis)

(m'/s)

2.2

4

3.394

0.0275

2.2

6

4.388

0.0800

2.2

8

5.255

0.1704

0.5

8

2.477

0.0803

0.5

10

2.85

0.1444

0.48

8

2.426

0.0787

0.48

10

2791

0.1414

0.49

8

2.451

0.0795

0.49

10

2.82

0.1429

0.483

8

2.434

0.0789

0.483

10

2.799

01419

a~

99

a

d

(Sí/No)

No No Sí No Sí No Sí No Sí No Sí

L hm

Vp

(m)

(mis) 3.168 3.168

6.05

3.168

1.344

2785

178

2.785

1.289

2.8014

1.707

2.8014

1.317

27933

1.744

2.7933

1297

2799

1718

2799

En la última iteración se tiene:

v, 2799

Vp

mis

2799

mis

d

10 pulgadas

h,

0.483 m

2:hm

1.718 m

H H

+ 2: hm 0.483 m +

H

2.201 m = 2.20 m

h,

1.718 m

La última igualdad.significa.que de los 2.2 ID de cabeza disponible, 0.483 mse están gastando por fricción y 1.718 ID se gastan en las pérdidas menores. Es daro que en este caso esas pérdidas menores son más importantes que las de fricción.

los diagramas de flujo 4 y 5, los errores de aproximación E (error de aproximación para la cabeza y Ev (para la velocidad) deben ser definidos por el diseñador, Cuanto más pequeños sean éstos, exactos serán los resultados finales pero más iteraciones requerirá el proceso de cálculo. Se sugiere un


100

valor de 1 cm para E y de lcm/s para Ev. Igualmente, los valores de i1d (incremento en el diámetro para tuberías no comerciales) y de tlh (corrección en la cabeza de fricción supuesta) deben ser dados por el diseñador. Los valores sugeridos son:

ad

= 5 mm y

ah =

5 cm.

El siguiente ejemplo muestra el efecto de la rugosidad absoluta de la tubería sobre el diámetro de diseño. Como se verá, sus resultados implican que siempre que sea económicamente posible se deben utilizar las tuberías más lisas que se encuent.ren en el mercado.

Ejemplo 2.5 De acuerdo con el diseño agronómico de un sistema de riego localizado

de alta frecuencia, para un cultivo de mango es necesario transportar un caudal de 60 lis entre la bocatoma, sobre una quebX:ida cercana a la finca, y la estación de ferthTÍgacíón.Con ~l fin de que el agua sea movida por gravedad, la bocatoma se localiza &90 m aguas arriba de la estación generándose de esta fomla una diferencia de niveles de 15.2 m entre estos dos puntos. ¿Qué diámetros en PVC yen hierro galvanizado se requieren? l.-as rugosidades absolutas de éstos son: 0.0015 mm y 0.15 mm. respectivamente. La viscosidad cinemática del aguaés 1.14 X 10~6 m 2/s. Para ambos casos, el coeficiente global de pérdidas IUenoreE es 11.9. Diseño en PVC: Los diámetros disponibles comercialmente para est.e material son:

dnominal (")

dreal

3

80.42

4

103.42

6

152.22

8

198.48

10

247.09

12

293m

(mm)

Con la mctodolog(a expuesta en este capítulo y el diagrama de flujo 4 se obtiene la siguiente tabla de resultados:

DISEÑO DE TUBERIAS SIMPLES

101

h,

dreal

V

Q

Q,;; Qd

L hm

(111)

(m)

(m/s)

(1113($)

(sí/no)

(m)

15.2

0.08042

1.19967566 0.00609371

no

0.87292243

15.2

0.10342

1.42097041 0.01193669

1.22466703

15.2

0.15222

183659054 0.03342302

no no

2.04584462

152

0.19848

2.18535429 0.06761534

si

2.89662096 ,

12.3034

0.19848

1.945542

sí

2.29577425

12.9042258

0.19848

1.99724209 0.06179511

si

2.41940948

12.7805905

0.19848

1.9866947

0.06148877

sí

2.39392326

12.8060767

019848

1.98887274 0.06153616

si

239917511

12.8008249

0.19848

1.98842408 0.06152228

sí

23980928

00601955

12.8019072

0.19848

1.98851654 0.06152514

sí

2.39831584

12.8016842

0.19848

1.98849749 0.06152455

si

2.39826988

12.8017301

0.19848

1.98850142 0.06152467

sí

2.39827935

Losanteri(}J·e~n~sultados índicanque~ne19lsodel

PVC es necesario

col()(::i1" una tUberíli d~ 8 pulgadas de difÍll19tro nominaL

•

piséño en hierro galvanizado: si se utilizan lOs Busmos diámetros de a de este problema, y se· sigue nuevamente el se obtienen los siguientes resultados;

PVC, dados en la

(~). 1st 15.2 15.2 » 15-2 15.2 12.4653835

012 QConOA.

Ir~'$'

12.892736 12.8896231 12.8901947 12.8900898

dreal

V

Q

Q,;; Qd

L hm

(m)

(m/s)

.(m 3/s)

(sI/no)

(m)

0.08042 0.10342 0.15222 O19848 0.24709 0.24709 0-24709 0-24709 0.24709 0-24709 0.24709 024709

1.03160922 1.21638615 1.56126187 1.84895052 2.12336294 1.91829283 1.95755584 1.9504044 1.95171967 1.9514782 1.95152254 1.9515144

0.00524002 0.01021811 0.02841248 0.05720693 010181797 0.0919846 0.09386731 0.09352439 0.09358746 0.09357588 009357801 009357762

no no no no

0.64547346 0.89740998 1.47842556 2.07347372 2.73461646 2.23191558 2.32421488 2.30726401 2.31037692 2.30980525 2.30991024 230989096

si sí si si sí si si si


102

En este caso es necesario utilizar un diámetro de 10 pulgadas. El caudal máximo es de 93.58 lis, bastante superior al demandado. Sin embargo, por no existir un diámetro comercial entre 8 y 10 pulgadas, el diseño con hierro galvanizado resultaría aquí antiecon6mico.

El ejemplo anterior muestra el efecto de la rugosidad en los diseños de tuberías. Cuanto menor sea la

rugosidad de la pared interna de la.." tuberías, menores serán los diámetros resultantes de procesos de diseño. Esta relación no se aplica en todos los casos (por eso se habla de una tendencia) debido a los valores discretos de los diámetros de tubedas comercialmente disponibles.

En el ejemplo 2.6 se muestra un caso que combina varios de los algoritmos presentados en este capítulo.

Ejemplo 2.6

Se desea diseñar una tnberia para mover agua a 2l'C (v = 0.988 X 10'¡¡ m'js) a través de una longitud de 365 m, con una diferencia de cabeza favorable de 33.2 m. Si el materíal que se debe ntilizar es PVC (k, = 0.0000015 m) y se puede suponer un coeficiente global de pérdidas de 7.4, ¿cuáles el diámetro requerido para mover un caudal de 270 lis? En caso de que se requiera uua válvula al final de la tubería, ¿cuál debe ser el coeficiente de pérdidas menOfe,s que,de,b~"Pro~uc~X?,ªn c~o de que posteriormente se quiera duplicar el caudal en esta tubería, ¿cuál es la potencia de la bomba que debería colocar&'e si se elimip.:ala válvula antes colocada? Utilice ecuación de Darcy-Weisbacn para su análisis, conjuntameu}e con 1,3 eéu~cióri (fe Colebrook-White.

la

• Diseño original: Los datos del problema son:

H

=

33.2 m

k,

=

0.0000015 m

v

=

1.14 X 10-6 m'js

Q

=

270 l/s

=

365m

;¡; km

7.4

Con estos datos, y siguiendo el diagrama de flujo 4, el resultado del diseño es: .

W

. '

. . " .

•


v

103

hm

Q

9,84E-06 4,6025

7,9897

0,0839

0,2032

7,38E-06 5,5347

11,5539

0,1794

0.254

5,91E-06 6,3783

1.5345

0,3231

0.254

591E-06 4.5547

7.8244

0.2307

0.254

5.91E-06 5.5132

11.4643

0.2793

0.254

5.91E-06 5.0686

9.6898

0.2568

d

J

h,

0,1524

kjd

0.254

5.91E

5.2893

10.5522

0.268

0.254

5.9

5.1831

10,1324

0.2626

0,3048

4,92E-06 7.157

19,3198

0.5222

0.3048

365

4.92E-06 4.4611

7.5063

0.3255

0.3048

365

4.92E-06 6.2304

14.6409

0.4546

0.3048

365

4.92E-06 5.2233

10.2905

0.3611 0.4272

18.559

0.3048

365

22.9094 4.92E-06 5.8551

12.9304

0.3048

365

20.2695 4.92E-06 5.4792

11,3233

0.3997

0.3048

365

21.8766 4.92E-06 5.7106

12.2998

0.4166

0.3048

365

20.9001

11.7057

0.4064

0.3048

365

21.4942 4.92E-06 5.6562

12.0669

0.4127

0.3048

365

21.133

4.92E-06 5.6045

11.8472

004089

0.3048

365

21.3527 4.92E-06 5.636

11.9808

0.4112

0.3048

365

21.2191

11.8996

0.4098

0.3048

365

21.3003 4.92E-06 5,6285

11.949

004106

4.92E-06 5.571

4.92E-06 5.6169

. za a mover 262 lis. Por consiguiente, se debe tubería de 10" 12", Sin embargo, como el caudal que se puede una tU 10 lis) es superior al caudal demandado, es necesario colocar una

caso, los datos del problema son;

.2m 1.14 X 10-6 mZfs

ks

=

0,0000015 m

Q

=

270 l/s

I

365 m


104

la

0.02

d

Q

(m)

(pulg)

(m'/s)

0.0000015

12

0.27

1141568.5

0.01087521

12

0.27

1141568.5

0.01155533

0.01097521

f

0.01155533

0.0000015

12

0.27

1141568.5

0.01150328

0.01150328

0.0000015

12

0.27

1141568.5

0.01150783

0.01150783

0.0000015

12

0.27

1141568.5

0.01150743

0.01150743

0.0000015

12

0.27

1141568.5

0.01150746

12

0.27

1V"~Q <

0.01150746

0.01150746

12

0.27

1141568.5

0.01150746

f = Las pérdidas

DISEÑO DE TUBERfAS SIMPLES

105

el coeficiente global de pérdidas menores·es: 2

2: h

m

=};

k

m

..'::-

29

O' 4'

Luego,

t 2

911"2

d4 }; hm

16 2 X

=

62

9.81

X 23.59

X

3380

Finalmente, el coeficiente de la válvula es;

=

Cálculo

26.40

la potencia de Ja bomba

du¡,liC'lrel caudal:

m

m literal ant"rior se emnma.

rugoS¡.aaú relati va


106

k.

d

Q

(m)

(pul)

(m"ls)

0.0000015 0.0000015

12

0.54

2283136.99 0.00983886

12 12 12

0.54 0.54 0.54

2283136.99 0.01038641 2283136.99 0.01034216 2283136.99 0.01034563

12 12 12 12

0.54 0.54 0.54 0.54

2283136.99 0.01034536 2283136.99 0.01034538 2283138.99 0.01034538

f

0.02 0.00983886

0.01038641 0.0000015 0.01034216 0.0000015 0.01034563 0.0000015 0.01034536 0.01034538 0.01034538

0.0000015 0.0000015 0.0000015

Re

f

2283138.99 0.01034538

Por consiguiente, el factor de friccion es:

f

=

0.0103

y las pérdidas por fricción son:

I Q' h=f ' ~= 8 f , - , , d 29 d g1T 365 0.54 (0.3048)5 9.81 X 1T'

' = 8 X 0.0103 ~~-c --=O~7

=

34.43 m

Por último, se calcula la cabeza producida por la bomba y su potencia:

32.2

+ Ha

= 34.43

+ 7.4

0 2 42 2 g1T2 d4

He = 34.43 m + 20.66 m - 33,2 m = 21.89m

Pot= pOgH = 1000 kglm' X 0.54 m'ls X 9.81 mis' X 21.89 m = 116 kW


107

~:~~~)~:':~:::e~

pu<:delo Sllponer cmuolos d

comerciales de las . La base de diámetros 48,60 Y72 pulgadas. trabajar con agua a

de una tubería de PVC almacenanl.iento hasta un longitud de 430 m y un dif'er
;~d~~~~:~~;::::~:~~;OlriO:' qlue nwoIIU(:en un coeficiente

108


2.2 Resuelva elproblerna 2.1si.la lorigitudde latubería.disnrilluyea 212 m y el material se cambia a hierro galvanizado (k, = 0.15 mm). El diámetro. sigue. sien(io8Plllgadas. 2.3

Una tubería de acero de 15 cm de diámetro y rugosidad absoluta ().}.t1lmcon~wuntaI1flueeley~co~ ull¡lpiscina. Eltangue prodllce una cabeza de12 ro P9r eIlcím:.i qelapiscina, endol1,de el fl~josale como. un chorro lib~e, es. decir, a presión atmosférica. La longitu(Í total de la tubería es de 126 m y tiene un coeficiente global de pérdidas menores de 9.6. Calcule el caudal de agua que fluye por la tubería. Tanque elevado

12m I

~

126 m

15 cm

Piscina

Figura P2.3

2.4

Resuelva el problema 2.3 si el fluido es queroseno en españa con las siguientes carac:.erísticas físicas:

P

804 kg/m'

p.

1.92

v

2.388 X

Pa.s 1O~ 6

m'/s

2.5

A través de una tubería de PVC (k, = 0.0015 mm) de diámetro fluye un caudal de 237 lis. Calcule el utilizando el método de Newton. Haga una gráfica del Pf()C':So convergencia.

2.6

~esudva el proble111a 2.5 si la tubería !s?ehie ? fundido co~ una IT rugosidad absoluta de 0.26 mm. Compare los resultados de los dos problemas. ¿Qué conclusión puede plantear?

DISEÑO DE TUBEI!IAS SIMPLES

2.7

0.046 mm) de 20 cm de alcule el factor de fricción f Haga una gráfica del

2.8

v Compare los resultados de los dos problemas. ¿Qué conclusiónpuede plaotear? 2.9

El sistema de toma de de bombeo que enV1 en la cima de una 460 lis, acero (k, ). La Yun coeficiente global de es de 7.4. Culcule la potencia requerida en la bomba si su eficiencia es del 75%.

109


110

2.11

efi<:ier.eia mostrada ¿Cuál es la

2.12

c~l::~~a,;~~~e;~l,;p~un~t~o" @dela Suponga

le

2.13 Res,.elv. =s~:~~:: ¿ Qué conclmlión puede plan'tear con re en la tubería?

p

996

JL

0.799

v

0.802

m2/s


111

La cabeza disponible es de '4 ID Yla distancia entre los dos sitios es de 390 ro. Por razones estratégicas se decide colocar tres tuberías de concreto (k, = 0.5 mm). Suponga un coeficiente global para cada

tubería de 12.3. ¿Cuál es el diámetro de las tuberías? ¿Tienen las tres tuberías el mismo diámetro? ¿Por qué? 2.15 En la se muestra el esquema de una planta de generación bidroe debe ser el diámetro de una tubería en acero (k, = 0.046 mm Si dales 850 IIsyse esperageuernrSOOkW? La longitud total de la tubería, embaJse basta la casade máquinas, es de 1680 m. El coeficiente gio mdida.\; menores causado por los accesorios localizados aguas arriba de laturbinaes de 6.8. Dé eldiámetroen rnilfmetros.

Embalse

Figura P2.15

2.16 Desde el tlnqueAal tlnque B (ver figura P2.!6) deben fluir 212115. Si la tubería(j)-(1)es de PVC (k, 0.0015 mm) y la tubería(1) -Gl es de bierro fundido asfaltado (k, = 0.12 mm), ¿cuál debe ser e! diámetro de la tubería(j)-Q)? Utilice los coeficientes de pérdidas menores mostrddos.

..Godo (km = 0.85)

Qi) 1m

Válvula de

_cheque (1<;" ='2.0)

Figura P2.16 dueto d~ un municipio se localiza una el del toma y 7 m bacia la derecha

.ón de la bomba sea satisfactoria es

HIDR~UllCA DE TUBERíAS

112

necesario que la cabeza a su entrada sea al menos de -6.5 m de agua. Calcule el menor diámetro comercial en hierro galvanizado (k, = 0.15 mm) que ¡lebe colocarse. Suponga que el coeficiente global de pérdidasnlcnores es de 1.3.El caudales de 190 l/s.

I----~----¡

-~~-_Vájvula

¡

Bomba

de

cheque

Figura P2.17

2.18 Resuelva el problerna 2.17 si la tuberia es en PVC (k, = 0.0015 mm) yelcoeficiel}t~>g~ob~l~e pérdidas menores es de 6.7. ¿Qué conclusiones puede phmtear? 2.19 En una planta de tratamienti)~ agu~p
'\.~~~--

DISEÑO DE TUBERIAS SIMPLES

ANEXO

1

Rugosid.ad absoluta (k;> para diferentes' materiales utilizados en la fabricación de tuberías

Material

k. (mm)

Vidrio

0.0003

PVC,CPVC

0.0015

Asbesto cemento

0.03

GRP

0.03

Acero

0.046

Hierro forjado

0.06

CCP

0.12

Hierro fund',do asfaltado

012

Hierro galvanizado

0.15

Arcilla vitrificada

0.15

Hierro fundido

0.15

Hierro dúctil

0.25

Madera cepillada

0.18-0.9

Concreto

0.3-3.0

Acero bridado

0.9-9

113


114

ANEXO

2

Coeficientes de pérdidas menores TalJlas

La ecuación para el cálculo de las pérdidas menores de energía causada" por los accesorios en una tubería es de la siguiente fanna:

hm = km

v2

(A2.l)

2g

donde:

energía por unidad de peso perdida en el accesorio coeficiente de pérdidas menores del accesorio velocidad media del t1ujo en la tubería

g

aceleración de la gravedad

Por lo generaL el valor del coeficiente de pérdidas menores (km) es un valor empírico, deducido de pruebas en laboratorio. Sin embargo, algunos de los accesorios típicos de tuberías pueden ser analizados utilizando las ecuaciones de conservación de energía y conservación de momenturn, con el fin de deducir sus coeficientes. Las siguientes tablas muestran un resumen de coeficientes de pérdidas menores para accesorios de uso frecuente en sistema" de tuberías, los cuales deben utilizarse en todos los algoritmos de diseño presentados en este capítulo.

Coeficien.tes para pérdidas en accesorios y codos

Accesorio Válvula de globo, completamente abierta

km 10,0

~álvula en ángulo, completamente abierta

50

I

Válvula de cheque, completamente abierta

25

I

Válvula de compuerta, compietamente abierta

02

Váívula de compuerta, con 3/4 de apertura

100-1,15

I

DiSENO DE TUBERíAS SIMPLES

115

Accesorio Válvula de compuerta, con 1/2 de apertura

5.6

Válvula de compuerta, con 1/4 de apertura

24.0

Codo de radio corto (rld = ±: 1)

0.9

Codo de radio mediano Codo de gran radio (rld

0.75-0.80 =

±: 1.5)

0.6

Codo de 45"

0.4-0.42

Retorno (curva en U)

2.2

~3'

Tee en sentido recto

+-__

'r-..:-l<::::ee.:..:-:a..:-tcr:a::v..:-é:.:s,:d",e:....::la",s:.:a",li:.:d::::a..:-la::::t:.:ec:ra",l Ye de

en sentido recto

_.

18

~.~

-----0'·8 I

Ye de 45', salida lateral Entrada recta a tope

0.5

Entrad~on

0.1

boca acampanada

Entrada con tubo reentrante

0.9

Salida

1.0 Tabla A2,1

Coeficientes de pérdida en codos de 90<1 con diferentes relaciones entre el radio de curvatura (r) y el diámetro de la tubería

Diámetro nominal en pulgadas

dd

1/2

I 1/4

1

1

054

0.50

0.46

3

032

030

0276 0228 0.216 0204 0192 0018 0.168 0156 0.144

6

0.459 0.425 0.391 0.32

0.31

029

027

026

024

022

02

10

081

075

0.69

057

0.54

051

0.48

0.45

0.42

039

036

14

103

095

0.87

072

0.68

065

0.61

0.57

053

0.49

0.46

20

135

125

1.15

095

090

OS5

OSO

075

070

065

0.60

2 038

3

4

5

036

034

032

Tabla A2,2

6

8-10

12·16 18·24

030

028

026

0.24


Valores de km para diferentes accesorios

I

Diámetro nomlnai en pulgadas

~:--~--

1/2

I Válvula de compuerta abierta

1/:;1;;;;T2"-3'--4-'-5-'-6--r6-'1-0~.2.;6 ~

. 022 0.20 018 016 015014014 0.13 012

IVálvula de';;;~ abierta

92

Codo estándar

8.5

78

TI

65 161

58

54

51

011.1~ 0.10

~_.i±.. i~

080 0.75 069 083 057 0.54 0.51 048 045 042 0.39 0.36

f-s"e_m.cic.:.od"o.:.e"S.:.lá"nd"a_r

0.37 0.34 030 0.29 0.27 026 024 0.22 0.21 0.19 ~4.c0+.:..:.r-t=+"+=+=+"--f----+"-+--'-1

f-li_e_e_en_s_'e_nl._id_o_re_c_to

~34 0.32 030 028 0.26 0.24

0,46 0.42 0.38 I 0~10-,,__.5_0t--t_-i__ F

l2~12:~~

Tee en sentido lateral

L-

138 1.28 1.14 108 1.02 0.96 09

c

084 0.78 0.72

TablaA2.3

Valores experimentales de coeficientes km para contracciones bruscas*

Relación de áreas (A,/A, ) 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.617

0624

0832

0.643

0.659

0.681

0.712

¡ 0755

0,813

0892

(l/Cc'1)'

0385

0363

0339

0308

0268

0219

0164

0105

k

00438 0.0362

K~

0.5

O

C

~6

0.0529 0.0147

100 O

00296 0.0231 00178 0.0135 0.00913 00057 0.00331 0000796 O 0.41

036

031

025

0.18

012

0058

0.ü16

Tabla A2.4

°

* La ecuación para el cálculo de las pérdidas en contracciones bruscas es: h m

= [1<,., +

e',

(.2.e _1YJl vi ) 29 \,

donde: V2

= velocidad aguas abajo de la contracción

(A2.2)

!


117

Coeficientes de pérdidas menores para contracciones bruscas* Velocidad 0.6 mis 1.2 mis 1.8 mis 2.4 mis 3 mis 4.5 mi,

6 mis

9 mis 12 mis

2 piesl. 4 piesl. 6 piesl. 8 piesl. 10 piesl. 15 piesl. 20 piesl. 30 piesl. 40 piesl.

d/d2

--

1.0

0.0

00

00

00

0.0

0.0

00

0.0

00

1.1

003

0.04

004

0.04

0.04

0.04

0.05

0.05

0.06

1.2

007

0.07

007

0.07

0.08

008

0.09

0.10

0.11

1.4

017

017

O 17

0.17

018

O 18

0.18

0.19

0.20

1.6

0.26

026

0.26

0.26

0.26

025

0.25

0.25

0.24

18

034

0.34

0.34

0.33

033

032

0.31

0.29

0.27

20

038

037

0.37

0.36

0.36

034

0.33

0.31

0.29

2.2

0.40

0.40

0.39

0.39

038

037

0.35

0.33

0.30

25

0.42

0.42

0.41

0.40

0.40

0.38

0.37

0.34

0.31

3.0

0.44

0.44

0.43

0.42

0.42

0.40

0.39

036

0.33

4.0

0.47

0.46

0.45

0.45

0.44

0.42

0.41

0.37

0.34

5.0

0.48

0.47

0.47

0.46

0.45

0.44

0.42

0.38

-~

0.48 -0.48

0.47

0.46

0.45

0.43

0.40

0.36

0.47

0.47

0.45

0.44

0.41

0.38

10.0

0.49

0.48

00

0.49

0.48

Tabla A2.5

* Para utilizar estos coeficientes, la ecuación para el cálculo de las pérdidas menores en las contracciones es:

(A2.3)

donde:

v2

velocidad media aguas abajo de la contracción

HIDRÁUUCA DE TUBERIAS

118

Coeficientes de pérdidas menores para expansiones bruscas*

Velocidad

I

0.6 mis 1.2 mis d,1d,

2 piesls

4 piesls

3 mis

4.5 mis

6 mis

9 mis

12 mis

10 piesls

15 piesls -.

20 pies/s

30 piesls

40 piesls

1.0

0.0

00

00

0.0

1.2

011

0.10

0.09

009

1.4

0.26

0.25

0.23

16

0.40

0.38

1.8

0.51

2.0

--

0.0

00

00

009

0.09

008

0.22

022

0.21

0.20

0.35

034

0.33

0.32

0.32

0.48

0.45

0.43

0.42

0.41

0.40

0.60

0.56

052

0.51

0.50

0.48

0.47

2.5

0.74

070

0.65

0.63

0.62

060

058

3.0

0.83

078

073

070

0.69

067

0.65

4.0

092

087

080

0.78

076

074

072

5.0

0.96

0.91

0.84

0.82

0.80

0.77

0.75

10.0

1.00

0.96

0.89

086

0.84

0.82

0.80

00

1.00

098

0.91

088

086

0.83

0.81

!

TablaA2.6

* Para utilizar estos coeficientes, la ecuación para el cálculo de las pérdidas menores en las expansiones es:

h m

~k ~ m

29

donde: V2 =

velocidad media aguas abajo de la expansión

(A2.4)

II

DISENO DI EUBEI,IAS SIMPlES

119

Coeficientes de pérdidas menores para expansiones gradualcs* ~'--'~~---

Ángulo del cono de contracción

djd, 11

12 14 16

~

2'

6'

+--.

10'

t1~O

--¡-~

20'

25'

30'

35'

41l'

.

45'

51l' 61l'

0.01 003 005 010 013 0.16 018 0.19 020 021 . 023 [-+-~ ---002 00*09 016 021 0.25 029 0.31 033 035- 0.37 O021I-'~ O02 003 012 023 030 036 041 044 047 050 053 1 O03 004 O.o~:1. 026 035 042 047 0.51 054 1057 061 001

~06

-'

~ 0.04 ¿-¿~ ¿~:~ 029

0.03 0.04

037 0.44 050 054 058 061

20

0.03

038 046 0.52 056 0.60 063 0.68

25

0.03 0.04 -008 016 1 0 .30 0.39 0.48 0.54 0.58 0.62 065 0.70 ...•0.03 0.04 008 0.16 0.31 040 048 055 059 063 066 0.71

30 00

'---

0.03 0.05.0.08 016 031

0.65

040 049 056 0.60 0.64 067 0.72

Tabla A2.7

* En este caso se utiliza la misma ecuación para el cálculo de las pérdidas de energía en una expansión brusca.

120


BffiUOGRAFÍA

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Sharnes Irving H, Mechanics 01 Fluids, tercera edición, Editorial McGraw-Hill, New York, 1992. White Frank M., Fluid Mechanics, tercera edición, Editorial McGraw-Hill, New York. 1994.

INTRODUCCiÓN

Tal como se determinó en el primer capítulo, la ecuación de Darcy-Weisbach:

I v' h = 1, d 29

(1.36)

proporciona, por su fundamentación física, una base racional para el análisis y el cálculo de las pérdidas por fricción en una tubería, Sin embargo, a pesar de estar basada en la física clásica, dicha ecuación presenta el problema de que el factor de fricción f es una función no explícita del número de Reynolds y de la rugosidad relativa, tal como se estableció en la ecuación de Colebrook-White, cuya forma definitiva es:

1

71

-2 log,"

(k, + --r-···· 251 ) l--·3.7 d Re 'il

(1.67)

El hecho de que la anterior ecuación sea no explícita para el factor de fricción f impliCa que la solución de problemas de tuberías debe incluir métodos numéricos iterativos. lo Cual, antes de la popularización de Jos computadores, hacía que su uso fuera engonoso. Por est.o surgieron, por un lado, una serie de ecuaciones empíricas que tuvieron y tienen Un amplio uso en la práctica de la ingeniería, y, por otro lado, una serie de gráficas de para el diseño de sist.emas de tuberías, de las cuales las más famosas y. por consilas que más se utilizaron, fueron los diagramas de Moody modificado y comple~ presentados en el primer capít.ulo. El desarrollo de las ecuaciones empíricas, a su vez, siguió dos tendencias. La primera tableció ecuaciones para calcular en forma explícita el fact.or de fricción t,. es decir, uc se mantenía toda la teoría de Darcy-Weisbach se abandonaba el análisis de PrandtlKármán que llevaba a la ecuación de Colebrook-White. La segunda planteó ecuaciones


124

empíricas totalmente diferentes a la ecuación de Darcy-Weisbach, pero que a la larga tenninaron siendo casos especiales de esta última, con fannas muy sencillas. A continuación se detallan a~gunas de las ecuaciones empíricas más exitosas. Su grado de exactitud es tan alto para la mayoría de los problemas de ingeniería, que aún hoy siguen teniendo una gran aceptación entre los ingenieros sanitarios en muchos países del mundo. Como se verá más adelante, su uso es muy sencillo si se compara con la ecuación de Darcy-Weisbach. ECUACIONES EMPíRICAS PARA DESCRIBIR El FACTOR DE FRICCiÓN

f

DE DARCY EN RÉGIMEN

TURBULENTO

Algunas de las ecuaciones más exitosas para describir el factor de fricción f de Darcy, deducidas empíricamente, son las siguientes.

Ecuación de Moody Esta ecuación, cuya forma final es la siguiente, fue planteada por Lewis Moody después de finalizar el desarrollo de sus diagramas:

f= 00055 [1 + (20000

¡ ~t]

(3.1)

+

En esta ecuación, el factor de flicción es una función explícita de la rugosidad relativa y del número de Reynolds. Sin embargo, su forma es completamente diferente a la de la ecuación de Colebrook~White. Si se comparan estas dos ecuaciones para valores de la rugosidad relativa variando entre 10- 1 y 10- 7 Y para números de Reynolds variando entre 3 X 10 3 Y 3 X 107 , se obtienen los siguientes porcentajes de enoe

Re

3 x iD'

3 x 10 4

3 X iD'

3 x 10 6

-26.65

-26.45

-26.43

-26.43

-26.43

-3.41

-1.16

-0.70

-0.64

-0.63

+2.98

+3.91

+4.03

3 X 10 7

kld

,

10 10- 2 10

3

-007

+0.90

10

4

+0.23

-0.87

-2.08

+ 191

+352

10

5

+026

-1.17

-475

-204

+527

6

+0.27

-1.20

-512

-390

+5.42

+0.27

-120

-5.16

-4.16

+4.75

10 10- 7

Tabla 3.1 Porcentajes de error de la ecuación de Moody en comparación con la ecuación de Colebrook~White.

ECUACIONES EMPíRICAS PAI
125

En la tabla 3.1 se puede observar que la precisión de la ecuación de Moody es baja para números de Reynolds superiores a 3 X 10 5 Y para rugosidades relativas muy altas (este último caso, sin embargo, es muy poco común),

Ecuación de Wood Esta ecuación empírica fue deducida por Donald Wood en la Universidad· de Kentucky en la década de 1960, unos años antes de la introducción generalizada de los computadores en la práctica de la ingeniería. La ecuación de Wood tiene la siguiente forma: (3.2)

donde:

f = factor de fricción de Darcy

d

a = 0.094 ( )

b= 88

on;

+ 0.53

d

()

(d)'"

e = 1.62 (

d)0'"

De nuevo es claro que el factor de fricción de Darcy es función cxp1fcita de la rugosidad relativa y del nlÍmero de Reynolds. Su fonna es radicalmente diferente a la de la ecuación de Colebrook-White. Si se hace la misma comparación planteada para la ecuación de Moody se obtienen los porcentajes de error mostrados en la tabla 32.

k/d 10 1 +4.09 +679 +7.17 :+:721 +721 10' -504 +062 +1.93 +1.99 +198 -:¡:CO'-··c"c--t--+··=1-'.:.4'c9'--t--·-j-""0'.2=-=0-1---'-+cc5C:.2C:3-+--+'-4:.c.:c8'c1-+--+-4"-=1""6"""'1· e--::c;:-;--t----.-c::~-+-

___1O".-·cc'_ _+._2L,E>Z10 " -4.10 10' -2993 L 10 1 --56.58

·-0.11 -'3,53 ._ -1979 --43.94

+2.94

c·-----

+543 ---=º_~ +0 56 -1468 -1058 -3476 .__ L-..-2793

+248,

TO~9

I

·635 -2207

~

Tabla 3.2 Porcentajes de error de la ecuación de Wood en comparación con la ecuación de Colebrook-White.


126

La ecuación de Wood resultó menos precisa que la de Moody, puesto que sólo tiene validez para mgosidades relativas mayores a 10 '5 Y para números de Reynolds entre 3 X 104 Y 107.

Ecuación de San Antes de la popularización del uso de los computadores personales se establecieron ecuaciones empíricas muy complejas para explicar el comportamiento del factor de fricción de Darcy. Una de estas ecuaciones fue la de Barf:

Jr

= - 2 10 9'0

((A /(",

n

+ ( e/ (",

rE)) I

(3.3)

donde:

y donde

1T 1

y

1T 2

A

0.325 X 0.027 109'0 ",

B

0.93 X 0.0068 10910 ",

e

2.95 X 0.29 10910

o

0.914 X 0.0052109'0

E

1 + (1T20.44/11

17

"2 "2

°. 54 )

1

son los siguientes parámetros adimcl1sionales:

En este caso, el factor de fricción no es función del münero de Reynolds ni de la rugosidad relatiVa, tal como se estableció en el análisis dimensional planteado en el primer capítulo. El factor de fricción es una función explicita del caudal, de la pendiente de fricción, de la aceleración de la gravedad, de la rugosidad absoluta y de la viscosidad cinemática. Si se compara nuevamente con la ecuación de Colebrook- White ecuaciones para valores de la rugosidad relativa variando entre lO'" I Y 10-") Y para números de Rcyn o1ds variando entre 3 X 10:1 Y3 X 107 • la ecuación de Barr arroja los errores mostrados en la tabla 3.3. El artículo original de Barr (Ban, 1976) no incluye explícitamente los caudales y el material de tubería utilizado para estos cálculos, lo cual no es necesario para establecer la exactitud de su ecuación.

ECUACIONES EMPír!ICAS PARA lA FRICCION EN TUBERíAS

¡-

Re

3 x 10"

3 x 10'

3

X

105

3

X

10'

127

3 x 10'

kld

í

10'

-013

-O 11

-0.09

-008

-0.08

10 " 10 " , 10

-0.15

-0.14

-010

-0.07

-007

-010

-013

-0.04

+001

+0.03

-002

-012

-0.08

0.00

+0.03

-007

-007

-0.05

-002

+0.04

-0.05

-004

-0.04

-0.06

+0.05

-004

-0.02

-0.01

-0.04

-c,

10 10- f)

10 -i"

+0.04 ._-

Tabla 3.3 Porcentajes de error de fa ecuación de Barr en comparación con la ecuación de Colebrook-White.

Los resultados mostrados en la tabla 3.3 COIToboran la alta precisión de la ecuación de Barro para todo el rango de rugosidades relativas y de números de Reynolds considerados. Sin embargo, con la creciente rapidez de cálculo de los computadores y su decreciente costo, la ecuación de Barr nunca llegó a utilizarse masivamente. Es una ecuación compleja, a pesar de que es explícita. Finalmente, puede decirse que los esfuerzos para encontrar una ecuación explícita que describiera el factor de fricción de Darcy llegaron tarde. Poco después de la aparición de las ecuaciones mencionadas y de algunas otras, se masificó el uso de los computadores para el diseño en ingeniería. Y estas herramientas de cálculo permitieron el uso de las ecuaciones basadas en la teoría de flujo en tuberías tal como fueron deducidas originalmente. Hoy en día no es difícil utilizar la ecuación de Darcy-Weisbach junto con la ecuación de Colebrook-White.

LA ECUACiÓN DE

HAZEN-WllLIAMS

Una de las ecuaciones empíricas, independientes del análisis de Darcy, más exitosas fue la de HazenWilliams (desarrollada por G. $. Williams y A. H. Hazen en 1933). La fonna original de esta ecuación, planteada en unidades del sistema internacional, era la siguiente: I

V

= 0.849 CHW W 63

so 54 1

(3.4)

donde: v

velocidad media de la tubería en mis

R

radio hidráulico en m

S

pérdida de energía por unidad de peso (cabeza) por unidad de longitud

CHW

coeficiente de rugosidad de la tubería


128

El coeficiente de rugosidad de la ecuación 3.4 se conoce como el coeficiente de Hazen-Williams. En el anexo 1, al final de este capítulo, se presenta una tabla con los coeficientes para los materiales de uso común en tuberias y en canales abiertos. La ecuación de Hazen-Williams tiene la ventaja de ser explícita para la velocídad y, por consiguiente, para el caudal. Si bien el uso de dicha ecuación, para los tres tipos de problemas en el diseño de tuberías, es muy sencillo, es importante entenderla a la luz de la metodología expuesta en el capítulo 1. Si se reemplaza el radio hidráulico por la cuarta parte del diámetro de la tubería:

R~

-d 4

y la pendiente de energía por las pérdidas por unidad de longitud:

s ~ tI I

en la ecuación 3.4 se obtiene:

h 0.54

-'1°.54 Si se despeja h f se obtiene:

h 0.54 I

=

2.821 10M C d063

V

HW

6.8241 I

(3.5)

Comparando la ecuación 3.5 con la ecuación de Darcy-Weisbach (ecuación 1.36) se llega a:

h=(6.8241X2X9]i ~=fi ~ f C~:~ dOl67 V°.16 d 29 d 29

ECUACIONES EMPIRICAS PARA LA FRICCiÓN EN TUBERIAS

129

De esta última ecuación se obtiene la siguiente expresión para el factor de fricción:

Si se multiplica y divide esta última ecuación por ¡P15, se obtiene la siguiente expresión para el factor de fricción {de Darcy en función del coeficiente de Hazen-Williams (CHJ:

133.89 ve"

En esta última expresión se identifica fácilmente el número de Reynolds del tlujo. Luego:

f =

133.89

(3.6)

Al despejar el coeficiente de Hazen-Williams se obtiene:

de donde: (3.7)

, Esta tíltilla ecuacÍón indica que el coeficiente de Hazen- Williams (CHW) es más una medida de la rugos~dad relativa que de la rugosidad absoluta. El coeficiente eNWno es una característica física del tubo, corno Silo es la rugosidad absoluta k la cual es utilizada para obtener el factor f. Es una característica del tubo y del fluido. Por esta razón, el u~o de la ecuación de Hazen- Wil1iams tiene que estar limitado a ciertas caracdel Huido y del Hujo. Los límites, establecídos claramente por los dos investigadores son los slguÜ'ntes: c

'

El tluido debe ser agua a temperaturas normales. El diámet.ro debe ser superior o igual a 2 pulgadas. La velocidad en las tuberías se debe limüar a 3 mis.

Al volver a la ecuación de Hazen-Williams (3.4) en su forma original:

HIDRÁULICA DE TUBEI!íAS

130 v

~

0.849

eHW RO

63

3)5'

es fácil obtener la siguiente expresión para las pérdidas por fricción (reemplazando S por

h,

~

6824 X I X v"'"

-'--;=--;c.,,---

hrl0: (3.8)

Esta última ecuación es explícita para las pérdidas por fricción. En esa característica radica la gran ventaja de la ecuación de Hazen-Williams sobre la ecuación de Darcy-Weisbach utilizada conjuntamente con la ecuación de Colebrook-White. Dicha ventaja hizo que el uso de la ecuación de Hazen-Williams se popularizara, especialmente entre los ingenieros civiles y sanitarios de los Estados Unidos encargados del desarrollo de los sistemas de acueducto de las ciudades norteamericanas. Este uso extendido se reflejó en las normas de diseño expedidas en ese país. las cuales fueron heredadas por muchos otros paises. Uno de los grandes méritos de esta ecuación es la posibilidad, a través de la experiencia, de "calibrar" una tubería. es decir, establecer fácilmente cuál es la pérdida de cabeza que debe tener para un determinado caudal sin necesidad de medirla, lo cual pennite detectar fugas en forma rápida. La desventaja de la ecuación de Hazen-Williams radica en que algunas veces se olvida que es una ecuación válida para un determinado rango de velocidades y de diámetros de las tuberías. De esta manera, lleva a diseños ineficientes, ya que en general por fuera de los rangos de validez la ecuación tiende a sobrestimar los diámetros requeridos, fenómeno que más adelante se explicará en detalle. Por otro lado, a partir del gran auge en el uso de computadores, la utilización de una ecuación no explícita dejó de ser un problema. Por esta razón se ha vuelto a generalizar, en especial en los países europeos, el uso de la ecuación físicamente basada de Darcy-Weisbach, la cual no tiene ningún tipo de restricciones. Por su naturaleza, el uso de la ecuación de Hazen-Williams es muy sencillo, como se observará en los siguientes ejemplos que ilustran los tres tipos de problemas mencionados en el capítulo 2.

Ej~mplo

3.1

150

ECUACIONES EMPIRICAS PARA UA FRICCiÓN EN TUBEI¡IAS

131

HIDI<ÁUlICA DE TUBERíAS

132

En caso de que existan pérdidas menores es necesario hacer un proceso iterativo similar al del diagrama de flujo 1, mostrado en el capítulo 2, en el cual se supone, para la primera iteración, que las pérdidas por fricción son iguales a la cabeza total disponible (h¡ = H). Tal fenómeno se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.2

Comprobación de diseño teniendo en cuenta pérdidas menores (ecu3 ción de Hazen-WiIliams)

M

Resolverel problema del ejemplo 3.1, teniendo en cuenta un coeficiente global de pérdidas menores igual a 6.4.

Para la primera iteración se supone que:

hf

=

H

= 37 m

Luego, tal como se obtuvo en el ejemplo anterior, la velocidaden la primera iteración es:

v,

=

7.099 mis

Con esta velocidad se calculan las pérdidas menores:

= 6.4 2

= 16.44

X

2

7.099' m X 9.81

m

n s~:a~~:~: estlIllación. de las pérdidas menores se calcula.. una e: pérdida de cabeza por fricción. Luego para la seque:

ECUACIONES EMPIRICAS PARA LA FRICCION EN TUBERíAS

133

ión del valor hasta pérdise mue'stran los

Q

'E hm

(m 3Js)

(m)

37

7.099

20.56

5.169

28.28

6.140

24.70

5.70

26.38

5.914

0.192

11.41

25.59

5.817

0.189

11.04

25.96

5.863

0.190

11.21

25.79

5.842

0.189

11.13

25.87

5.852

0.190

11.17

25.83

5.847

0.190

11.15

25.85

5.849

0.190

11.16

25.84,1"

5.848

0.190

11.16

25.84,1" Tabla 3.4 Resultado del proceso iterativo.

En este caso, el caudal es 0.19 m'!s. De los 37 m de cabeza disponible 11.16 se gastan por pérdidas menores y 25.84 m por fricción. A pesar de que se requieren iteraciones, el proceso es sencillo.

"le'"" e

~

O

ü

HIDRÁULICA DE lUBERíA5

134

Ejemplo 3.3 Cálculo de poteucia mediante la eeuación de Razen-Williarns Se tiene una tubería de acero (CHW = 120) de 465 m de longitud y 6 pulgadas de diámetro con un coeficiente global de pérdidas menores de 7.2. ¿Cuál es la potencia requerida para bombear 102I1s de agua hasta un punto localizado 22 m arriba del inicio de la tubería? Suponga que la eficiencia global del bombeo es del 85%. El primer paso es calcular la velocidad de flujo en la tubería: Q

v= -

A

0.102 --m / S = ---

¡

(6 X 0,0254)

De dollde se obtiene el siguiente valor para la velocidad:

Luego, se calcula la cabeza perdida a causa de los accesor;ios que existen en la tubería, los cuales tienen un coeficiente global de pérdidas menores de 7,2:

= 7,2

5.59' m 2 X 9,81

En seguida se calcula la pérdida de cabeza por fricción, utilizando la ecuación de Hazen-WiUiams 3.8:

h, = ,

6,824 X I X Q1Jl:Si

v"'"

d1.'Hj7

"" X 465 X 5.59'''' = 6,824 m 120"" (6 X 0,0254)""'

ECUACIONES EMPíRICAS PARA LA FRICCiÓN EN TUBERIAS

135

Para el proceso de diseño utilizando la ecuación de Hazen-Williams se tiene la ventaja de que la ecua3.8 es explícita para el diámetro. Este hecho hace que un proceso de esta índole sea i:ealmente sencillo ahí el uso extendido de esta ecuación):

h, =

6.824 X Ix

V1.851

remplazar la velocidad por el caudal dividido por el área de la tubería se obtiene:

h, =

10.672

X

Ix Q''''

(3.9)

HIDRÁULICA DE TUBEr
136

d

1.626

x

¡OZ{)'"

x

QIJ:JB

Con esta ecuación, el diseño de tuberías mediante la utilización de la ecuación de hace en forma directa. Este proceso se ilustra a través del siguiente ejemplo,

(3.10)

Hazen~Williams

se

Ejemplo 3.4 Diseño mediante la ecuación de Hazen-WilIiams Se desea diseñar una tubería de acero (CHW = 120) para mover un caudal de 65 l/s a través de una longitud de 1000 m con una cabeza de 85 m (topográfica). Se puede suponer que las pérdidas menores son muy pequeñas en comparación con las de fricción. Al utilizar la ecuación 3.10 se calcula fácilmente el diámetro:

d=

1. 626

1. 00(1'" X 0.065""' 120""' X 85""

X

=0.155m Como la tubería es de acero, este diámetro se puede especificar en fanna exacta. Si se deseara utilizar diámetros comerciales el resultado es 8 pulgadas (el diámetro real necesario es 6.10 pulgadas, el cual obviamente no está disponible en el comercio).

COMPARACiÓN ENTRE LAS ECUACIONES DE HAZEN-WILlIAMS y DE DARCy-WElSBACH

Con el fin de comparar estas dos ecuaciones de fricción en tuberías, se utilizan a manera de ejemplo los siguientes datos. los cuales cubren un amplio rango de diámetros, números de Reynolds y rugosidades absolutas, pero mantienen una sola longitud de tubería (1000 m):

d

6",4"y8"

Re

entre 1100 y 2.9

v

1.14

X

X

106

10- 6 m'js (agua a 1.5"C)

ECUACIONES EMPíRICAS PARA LA FRICCION EN TUBERIAS

Material:

acero;

137

120

k,

entre 4.5 x 10- 5 y 5·X 10- 4 m

Los resultados de este proceso de comparación se muestran en las tablas 3.5 a 3.7 y en las figuras 3.1 a

3.4. Para este proceso se tomó como base la tubería de 6 pulgadas. Ellla tabla 3.5 se muestran los resultados de las pérdidas por fricción a lo largo de los 1000 m de la tubería, calculadas mediante las metodologías de Hazen~ Williams y de Darcy-Weisbach. El caudal se varió entre 0.2 y 400 lis, lo cual implicó variaciones de velocidad y número de Reynolds entre O.OlOy 21.93 mis y 1465 y2.93 X 106 , respectivamente. Las pérdidas

por fricción calculadas de acuerdo con la metodología de Darcy-Weisbach corresponden a cuatro rugosidades absolutas: 4.5 X 1O-5 m, 5 X 10- 5 ro, 1.5 X IO-4 m y 5 X lO-4 m . Para el caso de Hazen-Williams se supuso un coeficiente de 120. La figura 3.1 muestra las pérdidas por fricción para los cinco casos antes mencionados en función del caudaL Es claro que para la tubería de 6 pulgadas la rugosidad absoluta correspondiente al coeficiente de Hazen-Williams de 120 es ks = 1.5 X 10- 4 m. Una vez establecida esta cOITespondencia se dibujó el diagrama de Moody (parcial) para esta tubería (ver figura 3.2). En éste resulta claro que la metodología de HazenWilliams sobreestima el factor de fricción fp.ara valores del número de Reynolds entre 5000 y 300000 con ;"una diferencia máxima del orden db 30% pa~'ú~-,Qúmero de Reynolds de 40000. La sobreestimación del de fricción implica que existe una tendencia a\obtener diámetros mayores en los procesos de diseño de tuberías. El siguiente paso en la comparación consistió en establecer lo que sucedía para tuberías de 4 y 8 pulgadas mediante la utilización de la rugosidad que se encontró corno correspondiente al CI~W de 120 en la tubería de 6 pulgadas. La tabla 3.6 muestra los cálculos de las pérdidas por fricción para la tubería de 4 pulgadas, calculadas mediante la metodología de Hazen-Williams (CHW = 120) Y de Darcy-Weisbach = 1.5 X 10- 4 m). La figura 3.3 muestra el diagrama parcial de Moody para este caso. Nuevamente, la metodolo,gía de Hazen-Williams sobreestima el factor de fricción tpara números de Reynolds entre 7000 y 200000, Sin embargo, la diferencia disminuye con respecto a la encontrada para el diámetro de 6 11 , El enor máximo es del orden de 22% para un número de Reynolds de 30000 aproximadamente. La tendencia a diámetros mayores en procesos de diseño de tuberías se mantiene, Finalmente, la tabla 3.7 presenta los mismos cálculos antes descritos pero para el caso de la tubería de pulgadas de diámetro, y la figura 3.4 muestra el correspondiente diagrama parcial de Moody, Como en los casos anteriores, la metodología de Hazen-Williams sobreestima el factor de fricción t para números de entre 5000 y 500000. Pero, a diferencia de lo que ocurrió en el caso de la tubería de 4 pulgadas, ora la diferencia aumentó con respecto al diámetro base de 6 pulgadas, El error máximo es del orden del 0% para un número de Reyuolds de 80000 aproximadamente. Si se utiliza la metodología de Hazen~ llliaros, la ,tendencia a obtener diámetros mayores aumenta cuando se utilizan diámetros s~lperiores al 'ámetro base. Del proceso de comparación se pueden extraer las siguientes conclusiones: Inicialmente se escogió una ,túgosidád absoluta para la tubería de 6 pulgadas, de tal manera que corresponda exactamente al valor del coeficiente de Hazen-Williams recomendado para tuberias de acero. De


138

esta forma se encuentra que la rugosidad absoluta (ks) correspondiente a un CHW = 120 es de 1.5 X 10-- 4 m. Para estos dos valores y para rangos medios del número de Reynolds, la metodología de Hazen~ WiIliams sobreestima la."> pérdidas y, por consiguiente, los diámetros que resulten de cualquier análisis.

(m'/s)

1m/si

H

1-1

{m)

'465717577'

Iml

H

Imi

0002046078 0,04366

0001645726

i

_9~ o133991055 Il49fl00138 1,433646223

Tabla 3.5 Comparación entre HazenMWilliams y Darcy-Weisbach.

700 600 500

:§:

,,'

400 300 200 100

o

IA'fN,,'-""'~

o

0,05

...

HW - o - DW(O.000045) ~

DW(O.OOO't5)

0.15

0.1

DW(O,00005) ~,,-

DW (0.0005)

Figura 3.1 Pérdidas porfrÍGción en una tubería de 1000 m, d = 6",

I

ECUACIONES EMPíRICAS PAIlA LA ERICCIÓN EN TUBERíAS

_. -

~

..- .'. -.

139

o

•

..

o

•

.

.o• 1-• ~

0.01

1000

10000

10000000

1000000

100000

Re

I

.. DW

DHW

I

Figura 3.2 Diagrama de Moody para tubería de 6".

a (m 3/s) 0.0001 0.0002 0.00025 ,0003 ,0004 .0005 .0007 0009 001 002 .004 ,007 ,01 .02 4 7 1 15

v

Re

h,(HW)

(mis) (-) (m) 0.01233453 1099.28818 0.00408417 0.02466907 2198.57637 001473366 0.03083633 2748.22046 0.0222685 0,0370036 ' 3297.86455 0,03120725 0,04933813 4397.15273 0,0531517 0,06167266 5496.44091 0.08033366 0.08634173 7695,01728 0.14975473 0.11101079 9893,59364 0.23845529 0,12334533 10992,8818 0.2898038 0.24669066 21985.7637 1,04546766 0.49338131 43971.5273 3,77152617 0.86341729 76950.1728 10.6262628 1.23345328 109928,818 20,5638336 2.46690655 219857.637 74,1840609 49338131 439715.273 267,619112 863417293 769501.728 754,015986 123345328 109928818 1459,16392 18.5017991 1648932.27 3090.64413 246690655 2198576,37 5263.93603

f(HW)

(-) 005351203 0.04826118 0.04668295 0,04543184 0,04352557 0.04210221 0,04004348 003857174 0.03797094 003424506 0,03088478 0,02841396 0,02694334 0,02429953 0,02191515 0,02016191 0,01911839 0.01799757 0,01724241

f

I

I

k, = 1.5 X 10-' (-) .

h, (DW)

(m)

0.0582195 000444346 0.029109 0.00888669 0,04597992 0,02193315 0,0299794 0.04364432 0,04034374 0,04926617 0,03807661 0.07265257 0.03508212 0.13120023 0.20488647 0.03314176 0.03239684 0.24726084 0,02838167 0,86646422 0.02565234 3,13256192 0,0241788 9,04239589 17,939982 0,02350549 0,02263478 . 69,1017369 0,02215548 270.553926 0,02193912 820.47996 0,02185053 1667,68749 002178078 3740.31898 0,02174562 6638.72196

Tabla 3.6 Comparación entre Hazen·Williams y Darcy~Weisbal:hJd = 4").

-~


140

0.1

~;·c

•• ,

..

b

,

,

.

,

~

,

.

0.01 10000

1000

D

'/

1000000

100000

10000000

Re • HW

D DW

I

Figura3.3 Diagrama de Moody, tubería de 4", Comparación entre Hazen·Williams y Darcy· Weísbach.

Q

V

Re

h,(HW)

f

f(HW)

h N (DW)

k, =1.5'10" 3

(m /s)

(mis)

000025 000770908 0.0003 00092509 0.0004 0.01233453 0.0005 001541817 002158543 00007 . 0.0009 00277527 0.001 003083633 0.002 0.06167266 0.004 0.12334533 0.007 021585432 001 0.30836332 0.02 061672664 123345328 004 007 215854323 0.1 308363319 015 462544978 02 6.16726638 03 925089957 ,,º,-4 123345328

H 1374.11023 1648.93227 219857637 274822046 384750864 494679682 5496.44091 10992.8818 21985.7637 38475.0864 54964.4091 109928818 219857637 384750864 549644.091 824466137 109928818 1648932.27 2198576.37

(m)

H

(- )

(m)

0.0006942¡ 000076204 005112028 0.0465756 0.0008331, 000106792 0.04975025 00388123 000181887 0.04766278 0.0291097 00011108E 000274905 0.04610412 0.04534967 00027040E 00048033E 0.00512467 0.04384971 0.04110045 000816003 004223808 003832142 00074033E 00099172 0.04158017 003724566 000888338 0.03577631 003750013 003128796 002984969 O 12906309 003382045 00269105 O 10269385 036363484 0.03111478 0.02427912 02837473 070370237 0.02950437 002295369 054746357 253860737 0.02660926 0.02103562 200686437 915802994 002399824 0.01981617 756210003 25.8027199 002207835 0.01920434 22.44389263 499331559 002093564 0.01893902 4517105342 . 001970828 001872298 100.4755073 105 763043 180 133935 0.01888134 001861124 1775570893 0.01777441 0.01849742 3970602239 381540336 649833445 00170Z862 UDh843941 17036711079

Tabla 3.7 Comparación entre Hazen·Williams y Darcy·Weisbach (d = 8").

ECUACIONES EMPíRICAS PAfiA lA FI
141

0.1

r-~.1I

o .c

'.

•

n

• • • p ¡ [

0.01 1000

10000

•

• • •

100000

p O \1

1000000

10000000

Re

l.

HW

Figura 3.4 Diagrama de Moody. Comparación entre (d ~ 8").

Hazen~Wmjams y

Darcy-Weisbach

2. Si se utiliza la misma mgosidad absoluta que la de la tubería base, las tuberías con diámetros menores muestran la misma tendencia a sobreestimar los factores de fricción, aunque en menor medida.

3. Lo contrario sucede con las tuberías de diámetros mayores al de la tubería tomada como base. La sobreestimación de los factores de fricción es mayor y, por consiguiente, más frecuentes serán las sobreestimaciones de diámetros en un proceso de diseño. La dependencia del coeticiente de Hazen- Williams (Cr/w) con respecto al diámetro de la tubería, tal como lo expresa la ecuación 3.7, explica las anteriores conclusiones. A pesar de que el uso de la metodología de Hazen-Williams es muy sencillo, debe utilizarse únicamente cuando el costo de las tuberías no sea el factor predominante en el costo total de un sistema de manejo de agua, garantizando que no se incumplan las restricciones que dicha ecuación tiene en cuanto a diámetros y velocidades. En el caso del diseño de redes de acueducto o redes de riego localizado de alta frecuencia se debe preferir el uso de la ecuaci6n de Darcy-Weisbach, ya que dichos sistemas se diseñan utilizando métodos iterativos en los cuales el diseñador no tiene control sobre las velocidades en todas las iteraciones. Podna haber casos en Jos que las velocidades estuvieran por fuera del rango de validez de la ecuación de Hazen- Williams. Además. si el diseño va acompañado de una rutina de optimización de diámetros y, por consiguiente, de costos de la red, no tendría sentido utilizar una ecuación que tiene tendencía a sobrestimar los diámetros diseñados. Para concluir. la tabla 3.8 (Diskin, 1960) muestra los límites de aplicabilidad de la ecuación de HazenWilliams. Esta ecuación es aplicable únicamente a tuberías cuyo coeficiente CHW se encuentre en el rango 100 a 160, con los rangos de número de Reynolds dados en la tabla para cada tubería.

HIDRÁULICA DE TlIBEI
142

k/d 2 X 10 15 1 6 4

Rem1n 2

x 10 X 10 X 10 3 X 10~' 2 :~

..---?_ X 10

3

1 X 10- J 6 X 10" 4 X 10- 3 2 X 10' 1 X 10' 5 X 10- 5

I

1 X 10 1 X 10

5 6

2000 2000 2000 4000 8000 10000 20000 30000 40000 60000 80000 100000 400000 6'000000

CHW

Remax

5000

100 110 110

7500 10000

120 120 130

20000 25000 40000 100000

130 140 140 140

150000 200000 400000 800000 1'000000 4'000000 20'000000

!

150 150 160 160

Tabla 3.8 Límites de aplicabilidad de la ecuación de Hazen-Williams (Tomado de Diskin, 1960).

El siguiente ejemplo ilustra el efecto que tiene el uso de las dos metodologías sobre el diseño de una tubería simple.

Ejemplo 3.5 Se desea diseñar una tubería para transportar 45 lis de agua a una temperaturade 15"C(v= 1.14 X 10-- 6 m 2/s) alolargodeunadistanciade 320m, con un coeficiente global de pérdidas menores de 11.9, desde una toma hasta una estación de bombeo con fines de riego. La diferencia de cabeza entre la toma y el nivel del agua en el pozo de succión de las bombas es de 17.2 ro, estando la toma por encima de dicho nivel. Se desea que el tlujo sea movido únicamente por la acción de la gravedad. Hacer el diseño utilizando las metodologías de Darcy-Weisbach con ks = 1,5 X 10-- 4 m y de HazenWilliams con C¡.¡w = 120.

A partir del diagrama de tlujo 4 para la metodología de Darcy-Weisbach y el ejemplo 3.2 para Hazen-WiUiams se obtienen los resultados mostrados

en la tabla 3.9.

ECUACIONES EMPIRICAS PARA LA FRICCiÓN EN TUBERIAS

143

Y·WEISBACH R.

R.

573057,997 448628,365


144

h,

d

(m)

Q

Re

(mis)

(m'/s)

(m)

13.3577669

8

2.80472734

0.09095528

4.77121793

499930.347

124287821

8

2.89765118

0.08748288

4.41387006

480844.491

12.7861299

8

2.73926144

0.08883227

4.5510848

488261.338

12.6489152

8

2.72334797

0.08831621

449836021

485424.83

12.7016398

8

2.72947205

0.08851481

4.51861418

486518.421

12.6813858

8

2.72712089

n

4.51083289

486097.337

12.6891671

8

o

n,

4.51382224

486258.38

12.6861778

8

2.72767731

0.08845661

4,5126738

486196.518

12,6873262

8

2.72781065

0.08846093! 4.513115

?

n

Tabla 3.9 HeSlultaldos

~.

486220.284 1486211.154

ECUACIONES EMPíRICAS PARA LA FRICCIÓN EN TUBERíAS

145

146

HIDRÁULICA DE TUBEI,íAS

3.4

Resuelvil el problema 2.1 utilizando la metodología de HazenWilliams con un coeficiente CHW de 150. Compare los resultados de
3.5

Resuelva el problema 2.2 utilizando la metodología de Hazen-Williarns cOl1unt;(J~fü;iente

Oj¡W deJ~O{hieg9 gaIY
. tados de Ios(Í()s pr()bleIIl
Resuelva el problema 2.3 utilizando la metodología de HazenWilHams con un C?~fifi~teCJJwd~1~8(ac7roso~~ad()de6pulgadas de diámetro). Compare los resultados de los dos problemas.

3.7

EIlunsiste~a de ri~golofali3adod7alt~frecl1yncia, elagllasebom~
de PVC (eHW = 150) de 6 pulgadas de diámetro y 58 m de longitud.

Ladifefencia dealtu~aentr~18sIlir~lesdelaguª~nelrio yen el ~es~~ena1?r es de 7.3Il1.~il~ ~Il1?~ tiene una pot~nciad~ 30 kW y una eficiencia de

73%.¿cuále~elcaudalqueesbombeado?

Utilice

la metodología de Hazen-Wílliarns.

.---

------------------------------------~--~~O-------__i 7:3m

Bomba 58

147

3.10 Resuelva el problcm¡t 2.12 lIlilizando la metodología de lLlzcn· \\'iHiams con un de ¡Se) (PVC). Compare los resultados de los dos problelTlas. J..U

Resuelva el ejemplo J.J si la fubería Gllnhia él PVC ( ¿Que conclusión se puede plantear con respecto al efccto de 1;1 sidad de la tubería?

rHi.!(j_·

3.12 Resuelva el ejclnp!o 3,4 si la tubería carnbia a PVC ¿Cómo se afecta el resultado del diámetro con respecto al obtenido con acero? 3.13 En la figura P3, 13 se muestra el csqucrna de una estructura de bombeo con su sis[cma de alrncnara para la protecci()j) contra el fenómeno de golpe de ariete. I_LI potencia (le la hiH))ba es de 270 Kw y su eficiencia es de 8l9·. Si el caudal es de 280 l/s, ¿clIúl es el diánlc[ro de la tubería dc acero? No tenga en cuenta las pérdid:is rnenores.

In

/ rnrlque

Figura P3.13 Resuelva el problema 2, 1.5 Lllilizando la metodología de Hazen\Villiams con un 120. ('cnnpare los resultados de los dos pro· blcmas.

3.15 RcsIH;lva el pn)biema 2.16 utilizando la metodolc)gía de Halen\Vílliams con un de 150 para el PVC: y un de 1J5 para el hierro fundido asfaltado. Compare los rcsuhados de los dos pro-o blemas.

148

HIDI¡ÁUlICA DE TUBERIAS

3.16 ¿Por qué si se emplea la metodología de Hazen-Williams para el diseño de tuberías no se tienen problemas con las pérdidas menores cuando éstas son altas comparadas con las pérdidas por fricción? Resuelva el problema 2.17 utilizando esta metodología y un Ch'Wde 120 (acero). Compare los resultados de los dos problemas. 3.17 En la figura P3.17 se muestra el esquema de la conexión entre la bomba y el filtro de arena en un sistema de riego localizado de alta frecuencia. Si las tubetias son de hierro galvanizado con un CHW de 120, ¿cuál es el diámetro de la tuberíaCD-(2)que une la bomba con el tiltro? La pérdida de cabeza entre estos puntos es de 0.90 ro como máximo. Utilice los coeficientes de pérdidas menores mostrados. El caudal de operación es de 71 l/s. Cod o (k.m = 05)

/ Tee (km ~ 10)

3.4m

'11iI

Oesd e el Bomba

desarenador

1O'J
:¡~

1,8m

23m

/Jl

Hacia la descarga del retrolavado Codo (km

~

0.5)

.....

Filtro de arena

, / \'"

Tuberí ade retrala vado

I

Haci a el culti vo

1-

Figura P3.17

3.18 Resuelva el problema 2.19 empleando la metodología de HazenWilliams con un e/M de 120. Compare los resultados de los dos problemas. 3.19 Desarrolle el mismo análisis comparativo entre las ecuaciones de Hazen-WilliaITL" y de Darcy-Weisbach (Ver p. 136), pero para tuberias de PVC con un CHwde 150. ¿Cuál seria la rugosidad equivalente a este coeficiente para el diámetro de 6 pulgadas? ¿Cómo serían los resultados de la comparación de las dos metodologías para el PVC? ¿Arrojan las dos metodologías resultados más parecidos cuando el material es más liso? 3.20 Desarrolle el mismo análisis comparativo del problema 3.19, pero tomando como diámetro base la tubería de 4 pulgadas. ¿Mejora o empeora la situación de la tubería de 8 pulgadas? ¿Qué conclusión se puede deducir con este resultado?

ECUACIONES EMPIRICAS PARA LA FRICCiÓN EN TUBERíAS

ANEXO

149

1

Valor del coeficiente CHW de Hazen-WilIiams

Tabla 3.9 1

Condición

Material

r-

(pulg) Nuevo

5 años de edad

I

Hierro dulce

CHW

Diámetro

1O años de edad

20 años de edad

30 años de edad

40 años de edad

Todos

130

de;, 12

120

8,;d,;10

1

119

4,;d"'6

118

de;, 24

113

12,; d"'20

111

4"'d"'10

107

de;, 24

100

12,;d",20

96

4 '" d '" 10

89

de;, 30

90

16'" d,; 24

87

4,;d"'14

75

de;, 30

83

16'" d,; 24

80

4,; d'" 14

64


150

d'" 40

77

24 ,e; d,e; 36

74

4 ,e; d,e; 20

55

d"'12

120

8,e; d,e;10

119

4,e;d,e;6 d'" 24

118

12,e; d,e; 20

111

4,e; d,e; 10

107

Constante

Todos

120

Formaleta de acero

Todos

140

Formaleta de madera

Todos

120 I

Centrifugado

Todos

135

Arcilla vitrificada

Buenas condiciones

Todos

100

PVC

Constante

Todos

150

Asbesto-cemento

Constante

Todos

140

Mamposteria

Constante

Todos

100

Cobre

Constante

Todos

130-140

Hierro galvanizado

Constante

Todos

120

Latón

Constante

Todos

130

Vidrio

Constante

Todos

50 años de edad

Acero soldado

Acero brldado

Madera

Concreto

Constante

Constante

113

I

140

1

ECUACIONES EMPlRICAS PAilA lA FriICCI()N EN TUBERíAS

151

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152

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INTRODUCCiÓN

Este capítulo se dedicará a estudiar el efecto producido por la instalación de bombas en tuberías simples. Tal estudio permitirá establecer las ecuaciones que describen el efecto de una bomba sobre el flujo, la." cuales posteriormente se incluirán en el análisis y diseño de redes de tuberías, tanto de sistemas de acueducto como de sistemas de riego. A partir de este capítulo se retomarán las ecuaciones generales para la descripción de las pérdidas por fricción en tuberías (ecuaciones de Darcy-Weisbach y de Colebrook-White), puesto que en el análisis y diseño de sistemas de tuberías no es posible mantener el control permanente sobre el número de Reynolds y, por tanto, se podrían cometer ciTares al utilizar las otras ecuaciones descritas en el capítulo anterior. Cualquier programa de computador cuyo objetivo sea optimizar el costo de las tuberías debe hacer uso de las ecuaciones que mejor describan dichas pérdidas. Por consiguiente, en los algoritmos y programas de análisis y diseño de redes que se presentan a partir de este capítulo se emplearán todas las ecuaciones y algoritmos de los capítulos 1 y 2. Sin embargo, para el lector que desee seguir utilizando la ecuación de Hazen-Williams, se indicarán los cmnbios que deben introducirse en dichos algoritmos y programas. El presente capítulo está relacionado con el diseño de sistemas de tuberías con una o

~~s bombas rotodinámicas. Por lo general, los ingenieros civiles e hidráulicos se encargan Unlcamente de la selección de la bomba más apropiada para el sistema particular de tuberías que se está diseüando, dejando de lado el análisis y diseño de la bomba, su motor y su f?tor, los cuales forman parte del diseño de maquinaria hidráulica en ingeniería mecánica. la literatura técnica existe un buen número de textos que cubren con amplitud ese tema Ver DUlor y Nelson (1993), Slephenson (1989), Tullis (1989) Y Karassik el. al. (19761.

in

capítulo .:+ se limita, entonces. a estudiar el efecto de una bomba sobre la línea de !,,~.ulente hidráulico o sobre la línea de energía total en un flujo en tuberías. Este efecto ser tenido en cuenta en las ecuaciones y algoritmos de diseño desan"oUados en los ",,'HUlus anteriores. Así mismo se repasan los conceptos ele curvas de las bombas y de

neta de succión positiva (NPSH, por sus iniciales en inglés). Al final se desanolla

~orittno para el diseño de tuberías simples con bombas.

HIDI~ÁUllCA DE TUBERíAS

154

BOMBAS EN SISTEMAS DE TUBERíAS De acuerdo con la forma de sus rotores (impulsores), las bombas rotodinámicas se clasifican en: Bombas centrífugas (flujo radial). Bombas de flujo axial. Bombas de flujo mixto.

Para la misma potencia de entrada y para igual eficiencia, las bombas centrífugas se caracterizan por presentar una presión relativamente alta con uncaudal bajo, las bombas de flujo axial generan un caudal alto con una baja presión y las de flujo mixto tienen características que las ubican en un rango intelmedio con respecto a los dos casos anteriores. Tales tipos de bombas pueden ser definidos en forma más explícita utilizando un parámetro dimensional llamado "velocidad específica" (Ns), el cual se expresa como:

Ns

(4.1)

donde: Q

caudal en galones americanos por minuto (gpm)

H

cabeza total de la bomba en pies

N

=

velocidad rotacional en revoluciones por minuto (rpm)

La expresión para la velocidad específica se encuentra teniendo en cuenta consideraciones de similaridad dinámica', junto con técnicas de análisis dimensional, como las utilizadas en el capítulo 1 para deducir la ecuación de Darcy-Weisbach. Dicha velocidad específica se puede interpretar como la velocidad en revoluciones por minuto para la cual modelos geométricamente similares a prototipos de las diferentes clases de bombas operarían para mover un caudal unitario (por ejemplo, 1 gpm) cuando se genera una cabeza unitaria (por ejemplo, 1 pie). En la siguiente tabla se muestra una clasificación general de las bombas rotodinárnicas, tomando como critelio la velocidad específica.

Al hacer un análisis dimensional se llega al número adimensional Sin embargo, en la práctica no se tiene en cuenta 9 y se utiliza la ecuación 4.1 (N. de R.T.).

BOMBAS EN SiSTEMAS DE TUBERIAS

,..--Tipo de bomba

155

Rango de Ns

Centrifuga

500 a

200 O

Flujo mixto

2000 a

7000

Flujo axial

7000 a 15000

Los rangos anteriores no constituyen límites rígidos; por ello deben interpretarse siempre como una guía rápida para establecer qué tipo de flujo es el más probable en una determinada bomba. Para un diseño de bomba dado, la velocidad específica puede cambiarse si se aumenta o disminuye la velocidad de rotación de la bomba, cuyos valores típicos están dados por las velocidades de los motores: 450, 900, 1800 Y3600 rpm_ Para seleccionar la velocidad del motor que mejor se adapte a una determinada bomba, se deben balancear dos factores opuestos. Por un lado, una alta velocidad de rotación implica problemas de desgaste en los cojinetes de ejes y problemas de cavitación y transientes hidráulicos. Sin embargo, por otro lado, una velocidad alta produce una velocidad específica alta (ver ecuación 4.1) y para valores de Ns menores a 2000 (bombas rotodinámicas centrífugas rápidas) se logra un aumento en la eficiencia. La cabeza total (H en la ecuación 4.1) generada por una bomba es también conocida como la cabeza manométrica (Hm ), ya que es la diferencia en cabeza de presión registrada por manómetros conectados en las tuberías de succión y de descarga. Se debe tener en cuenta que en la definición de Hm los diámetros de succión y de descarga deben ser iguales, aunque esto no sea cierto en muchos casos.

líNEA DE GRADIENTE HIDRÁULICO EN SISTEMAS BOMBA-TUBERíA

La presencia de bombas en sistemas de tuberías afecta las líneas de energía total y de gradiente hidráulico del flujo, ya que las bombas son máquinas hidráulicas cuyo objetivo es convertir energía mecánica de rotación en energía cinética o potencial del tluido dentro del sistema. El efecto de dicha conversión es añadir energía por unidad de peso (cabeza de velocidad o cabeza de presión) al flujo, aumento que es detectado por los manómetros aguas arriba yaguas abajo de la bomba. En consecuencia, el aumento de energía se refleja en la altura manométrica en cada punto, afectándose así la forma y pendiente de las líneas mencionadas. Como consecuencia, los algoritmos de diseño antes presentados también se ven afectados y, por consiguiente, cambiar. La figura 4.1 muestra las líneas de energía total y de gradiente hidráulico para un sistema de bombeo, cual incluye una bomba única colocada sobre una tubería simple (diámetro y mgosidad absoluta cons-

En el diagrama de la figura 4.11a bomba debe vencer la cabeza estática HT más las pérdidas menores y las ncclón. Tal como se mencionó, la cabeza manométrica se define como el aumento total de cabeza a Vés de la bomba (los subíndices dy S indican descarga y succión respectivamente): f .

HIDRÁUUCA DE TUBElllAS

156

(4.2)

en donde:

A

pQ

=z-

y:

Luego:

A partir de la figura 4.1, esta última ecuación se puede reducir para obtener la siguiente expresión:

(4.3)

donde: HT

cabeza topográfica que debe ser vencida por la bomba

En la ecuación 4.3 se está suponiendo que:

es decir, que el diámetro de la tubería permanece constante en el sistema. No se incluyen pérdidas mEmores en la bomba en sí, ya que éstas se tienen en cuenta en la eficiencia de la misma,

BOMBAS EN SISTEMAS DE TUBERíAS

157

Líneas de gradiente hidráulico y de energía total. Sistema de bombeo simple

.... Tubería de descarga ->-

r;===~y...-

Válvula

Bomba

Datum ~",,=.,,"'"""=~" Línea de energía total

L,ínea de gradiente hidráulico

Figura 4.1 Bomba colocada en un sistema de tubería simple. La bomba añade energía al flujo y, por consiguiente, eleva las líneas de energía total y de gradiente hidráulico.

En la figura anterior la descripción de las variables es la siguiente: Vs Vd

hf,

h¡ h mid hm

h

e

h:, s

velocidad en la tubería de succión velocidad en la tubería de descarga pérdida de cabeza por fricción en la tubería de succión pérdida de cabeza por fricción en la tubería de descarga pérdida menor en el accesorio i pérdida menor por entrada pérdida menor por salida pérdida menor por válvula

CURVAS DE UN SISTEMA BOMBA-TUBERíA

de la bomba Curvas de caudal contra cabeza total y contra eficiencia son suministradas por los fabricantes de las La primera de éstas (Q vs. Hm) se conoce como la curva de la bomba. En la figura 4.2 se muestra la general de dichas curvas.


158

Hm(m)

I

Eficlencia Cabeza

('lo)

1/ma" =85-90%

("1

; / ' Eficiencia

100%

75%

50%

25%

Q(I/s)

Figura 4.2 Esquema de las curvas de la bomba y de eficiencia de esta última. Usualmente dichas curvas se obtienen en laboratorio.

Por 10 general, la curva de caudal contra cabeza total (Hm ) (curva de la bomba) para una bomba centrífuga se puede expresar en la siguiente forma funcionaL

Hm ~ AO

2

+ SO +

e

(4.4)

Los coeficientes A, B yC pueden ser calculados tomando tres puntos (Q, Hm ) de la curva del fabricante y resolviendo la ecuación 4.4 para cada uno de ellos. La potencia consumida por una bomba cuando está enviando un caudal Q (en m 3/s) con una cabeza H'11 (metros), con una eficien~ia conjunta bomba-motor 7J es:

1 p= - p OgHm 7)

Ejemplo 4.1 Determinación de la curva de una bomba

Los datos suministrados por el fabrica;nte de una bomba son los si,. guientes:

BOMBAS EN SISTEMAS DE TUBERfAS

159


160

Finalmente sumando (d) más (f):

19.68 - 39.383

00084 A

entonces:

A

-2345

B

0.375

e -

87

Luego:

H,n ~ -2345

d +

0.375 Q

+ 87

Esta última es la ecuación para la bomba que debe ser suministrada por el fabricante.

Curvas del sistema Si sentiliza la ecuación 4.3 -de conservación de energía-- (o ecuación de Bernoulli) para el sistema bombatubería, se obtiene:

H

-H+~ff, T L.i i -

m -

v'

d, 2 9

Donde nuevamente se ha supuesto que:

Al factorizar la cabeza de velocidad se obtiene:

I H=H+;¡;f..l-+~k m

T

(

'd;

) -v· m'29

Finalmente, al remplazar la velocidad por el caudal dividido por el área de la tubería se llega a:


Hm

= HT

.

T

161

(2: f ~.di + 2: k J 2gQ' I

(4.5)

mi

La anterior ecuación indica que el caudal crece con la raíz cuadrada de Hm " La forma final de la ecuación depende de las características físicas de 1ft tubería (longitud, accesorios, diámetro, rugosidad absoluta, etc.). Para construir la curva del sistema, el díseiíador selecciona una serie de valores de H m y de la ecuación 4.5 obtiene los valores correspondientes de caudaL Las parejas de puntos se nevan a una gráfica de Hm VS. Q, la cual se conoce corno la curva del sistema. Su forma general se muestra en la figura 4.3:

Curva del sistema

H,

o (l/s) Figura 4.3 Curva del sistema en un sistema bomba~tubería. Su forma depende de la geometría y del material de la tubería y de la cabeza topográfica que debe ser vencida por la bomba.

Punto de operación de la bomba vez construidas las curvas de la bomba y la del sistema es fácil encontrar el punto de operación de ésta, decir, el caudal que está siendo enviado y la cabeza suministrada por la bomba. Dicho punto de operacÍón , el COrte de las dos curvas anteriores, tal como se muestra en la figura 4.4:


162

/ ' Curva de la bomba Curva del sistema

A

A

Punto de operación de la bomba H "" Cabeza suministrada R m por la bomba QR = Caudal enviado por la bomba

Figura 4;4 Punto de operación de la bomba. Es el cruce entre las curvas de la bomba y del sistema eQg~e ésta se encuentra operando.

LIMITACIONES EN LA CABEZA DE SUCCiÓN

En el caso de bombas, el fenómeno de cavitación puede ocurrir tanto en la tubería de succión como en los álabes del impulsor debido a que en esos lugares la presión tiende a ser menor que la atmosférica. Esto es particularmente grave cuando se trata de bombas localizadas por encima del nivel de succi6n. La cavitación, además de producir daños físicos y ruidos molestos, puede llegar a reducir de manera considerable el caudal descargado. Con el fin de evitar todos estos efectos es necesario "impedir" que la presión a la entrada de la bomba sea menor que un cierto límite, el cual a su vez es influido por una posterior reducción adicional de presión a dicha entrada. Para establecer ese límite se deben plantear las siguientes definiciones y ecuaciones. En primer lugar, el término

Ps ~ Pv

representa la cabeza (energía potencial de presión por unidad de pg peso) absoluta a la entrada "por encima de la presión de vapor". Este ténnino se conoce como cabeza neta de succión positiva.

Luego:

NPSH = p, - p, pg

(4.6)

o

NPSH =

A

pg

-H, -

A

pg

(4.7)


163

donde:

Pa

presión atmosférica (absoluta)

Pv

presión de vapor (absoluta)

Hs

cabeza "manométrica" de succión

Esta última cabeza está definida de acuerdo con la siguiente ecuación, cuyos ténninos corresponden a la

figura 4.1.

(4.8)

Esta ecuación se puede graficar, tal COIDO se muestra en la figura 4.5, donde hs representa la altura del rotor de la bomba con respecto al tanque o embalse desde donde se está succionando el caudal; hm , representa las pérdidas menores causadas a la entrada de la tubería de succión (por 10 general, este valor es alto pues en la mayoría de los diseños se coloca en ese punto una válvula de cheque para evitar el vaciado de la tubería, con lo cual no es necesario cebar la bomba cada vez que se vaya a operar); h f representa las pérdidas por fricción en la tubería de succión (por lo general muy bajas porque la 10ngituSd de dicha tubería es corta, precisamente debido a que es deseable reducir tales pérdidas); v/12 9 es la cabeza de velocidad en esta misma tubería y Hs es la cabeza manométrica de succión. La NPSH que requiere una bomba específica es un dato que usualmente es suministrado por el fabricante. En caso de que tal dato no exista, tendrá que ser encontrado en condiciones de laboratorio. En los últimos años, las bombas sumergibles se han popularizado mucho, en especial en los rangos de caudales bajos y medios. Esta solución elimina el cálculo de la NPSH, ya que los problemas de cavitación se eliminan o reducen notablemente. Asimismo se eliminan problemas de enfriamiento de los cojine~es, rodamientos y motor d.e la bomba. Tubería de descarga

Tubería de succión

1 Nivel del tanque de sumínistro

+-"-tt=---::JLj2 '-r

Válvula de pie (cheque).-A'

Figura 4.5 Esquema de la tubería de succión en un sistema bomba-tubería con el fin de ilustrar la NPSH.

HIDRÁULICA DE 1UBERíAS

164

Ejemplo 4.2 Cálculo de la NPSH Suponer que la bomba mostrada en la figura 4.5 tiene llna NPSH, recomendada por el fabricante, de 4.25 In Yque debe bombear un caudal de 11 O l/s a través de una tubería de 12 pulgadas de diámetro. La tubería de succión tiene una lüngitud de 16.5 m, lIna rugosidad de 0.0015 mm (PVC) y un coeficiente global de pérdidas menores de 2.4, el cual incluye la entrada, el cheque y el codo. Calcular la máxima altura a la que pueda ser colocada la bomba por encima del nivel de la superficie del agua en el tanque de suministro. Suponer que la presión atmosférica es 90000 Pa y que el agua se encuentra a una temperatura de 15°C. Para el agua a 15"C se tienen las siguientes propiedades:

v

1141 X 10 e m'js

Pe

16662 Pa

El primer paso consiste en calcular las pérdidas por fricción y las pérdidas menores en la tubería de succión para el caudal de bombeo dado.

1i

/

v'

~I-

d 2

d 2 9

h ,

~

/

O

81d'

OC 4' g1T' d'

1T

(a)

9

El factor de fricción se calcula siguiendo el diagrama de flujo 2a () 2b.

4 1T X

Re

402720

12

X

X

011

O 0254

X

1,141

X

1

BOMBAS EN SISTEMAS DE TUBERIAS

=8x

1h"

=

m¡

00862

Por otro lado:

v"

=2:.k--=2:.k m2g . m

h

=

2.4

X

Ih

m,

•

2

m,

=

X

0278 m

9.81

4' Q' 2 911"' d'

4' X 0.11' X 11"' X (12 X

0.0254)'

I

Los anteriores valores y los. otros datos del problema se rempla:zan en la ecuación 4.7:

NPSH =

A p

9

-

h - h ti

/s

v: - h

29

s

iJl

-

p, P9

De donde:

,

h= p, - NPSH - h - ~ - h _ A s s p g' f 29 "', p9

165


166

h, = =,,-90c..0;.:.0;.:.0~ m - 4.25 m - 0.0862 m 9991 X 9.81 4 X 0;-:.1-::1'_·-::-::-:-::-::c- m - 0.278 m - =::-16;-6_6.-::2-;:-7 m X 2 X 9.81 X (12 X 0.0254)' 999.1 X 9.81

-;c_c:--:c-::'c-_ 1T'

Luego la bomba debe colocarse máximo 4,28 ID por encima del nivel agua en el tanque de suministro.

BOMBAS EN SISTEMAS DE TUBER1AS Siempre que se tenga la posibilidad o la necesidad de colocar una bomba en un sistema de tuberías se puede llegar a múltiples alternativas de solución hidráulicamente válidas. A medida que se disminuya el diámetro de la tubería, la bomba requerida será de mayor potencia. En el proceso de diseño prima finalmente el criterio económico. Para calcular el costo mínimo (óptimo económico) se deben combinar los costos de la tubería (incluyendo todos sus accesorios necesarios para la operación del sistema) y los costos de la bomba en sí. En las siguientes gráficas se esquematiza el proceso que se sigue para encontrar dicho óptimo. Costos de la tubería: Éstos incluyen el costo material de la tubería, de sus accesorios y válvulas (controles y cheques) y los costos de excavación, si el sistema va enterrado, y de instalación. Normalmente, estos costos crecen de manera exponencial con el diámetro de la tubería. En la figura 4.6 se esquematiza este concepto.

$

d Costos de tubería. Figura 4.6 Variación del costo de un sistema de tubería en función de su diámetro.


167

Costos de la bomba: Éstos incluyen el costo de la bomba en sí, de sus instalaciones (caseta de bombeo, transfonnadores en el caso de motores eléctricos, tanques de combustible cuando se trata de motores de gasolina o Diesel) y los costos de operación. Tales costos crecen exponencialmente con fa potencia de la bomba, tal como se esquematiza en la figura 4.7:

$

Potencia Costos de la bomba. Figura 4.7 Variación de Jos costos de la bomba, de su instalación y de su operación en función de la potencia.

Para obtener el punto óptimo económico, aquel que arroje el menor costo para la combinación bombasistema de tubería, se deben sumar las dos curvas anteriores. Es necesario tener en cuenta que los costos de Qperación se deben calcular en valor presente, trasladando dichos costos para toda la vida útil del proyecto. Esta estimación es difícil de hacer, siendo la única variable que podría introducir algún grado de incertidumbre en el proceso. Si las dos curvas anteriores se combinan se obtiene el esquema ilustrado en la figura 4.8, en donde se tiene en cuenta el caudal de diseño: $

~ $ Min

--~~~/

. / / Tuberla

Bomba

dy Ppara QD

Figura 4.8 Punto de costo mínimo para un sistema bomba~tubería. Los costos se calculan para el caudal de diseño.

HIDRÁUliCA DE TUBERíAS

168

La localización del punto óptimo de la figura anterior depende de las curvas de costo de las tuberías y de las posibles bombas. Igualmente se debe contemplar la eficiencia de la bomba en el punto de operación escogido.

BOMBAS EN TUBERíAS SIMPLES Siempre que sea necesario diseñar un sistema de tubería simple con bombeo, por ejemplo cuando se quiere transportar agua hacia la parte alta de una pendiente, el número de combinaciones posibles boinba~tuberíaes alto. Las combinaciones se presentan de tal forma que diámetros pequeños de tubería requelirán bombas de alta potencia y, por consiguiente, diámetros grandes de tubería requerirán bombas de menor potencia. El diseño consiste en seleccionar la alternativa óptima desde el punto de vista de costos, Para seleccionar esa alternativa óptima es necesario construir las curvas del sistema para todos los posibles diámetros, mediante la utilización de la ecuación 4.5:

Z H=H+(Zf1.+ m T di i~; I

O' 2 gA'

en la cual se vmía el caudal para cada di{unetro, a fin de obtener un conjunto de puntos (O, Hm ). En las curvas se detecta, para cada diámetro, la cabeza Hm requerida para conducir el caudal de diseño, 0u Una vez se ha seguido dicho procedimiento se selecciona: nuevamente para cada diámetro, una bomba que para el 0 0 produzca una cabeza igual a Hm . Por último se estudian los costos de las combinaciones bomba-tubería Yse R selecciona la alternativa con menor costo. En este análisL.<; se debe incluir, además, los costos de operación y mantenimiento de la bomba, por lo cual ésta debe tener una alta eficiencia para el punto de operación (° 0 , Hm/ El proceso de selección de la combinación bomba-sistema de tubería óptima se ilustra en el diagrama de flujo 6 y en el ejemplo 4.3.

Ejemplo 4.3 Diseño de tuberías simples con bombeo Para el acueducto del municipio de Tenjo es necesario bombear 120 Vs de agua desde la fuente hasta la planta de tratamiento. La diferencia de nivel entre estos dos puntos es de 37 m y la planta está por encima de la fuente. La longitud total de la tubería requerida es de 286 m con un coeficiente global de pérdidas menores de 5.2. El materutl a utilizares PVC (k, = 0.0000015 m) y los diámetros posibles son 4, 6 Y 8 pulgadas. La viscosidad cinemática del agua para la temperatura media de Tenjo es 1) = 1.17 X 10-- 6 mJ!s.

BOMBAS EN SISTEMAS DE TUBEriÍAS

Los datos del problema son: I

286m

k,

00000015 m

°0Hr

0.12m3/s 37m

2. km p(W)

5.2

¡L(W) v(14°)

fer 0 o, k;¡,

9993 kg/m' 1.17 x 1Q3Pa.s 1.17 x 1Q 3 m'/s

:s km' v, Hr, .ó..Q, Qma, )

¡

T

~ ~r

Calcuiar Hmi (Diag. Ilu'o 3)*

Imprimir H",l, Q

r

Q-Q+d~

¡

Diagrama de flujo 6 Selección de la combinación óptima bomba-tubería. *

O la metodología de Hazen·WlIliams (ejemplo 3.3)

169

HIDRÁULICA DE TUBH'ÍAS

170

Los cOstos de las tuberías son:

Diámetro

Costo

(pulg)

($)

4

720000

6

1415000

8

3680000

Una vez obtenidos estos datos, se calculan las curvas del sistema utilizando la ecuación 45:

Hm

= H, +

(

lf dI + L km )

Q"

29

m +5.2 ) -Q'=37m+ ( f286 -d 2 gA' Con esta última ecuación se llega a los siguientes resultados:

Hm

d

Q

4

0.12m3 /s

457.79

6

0.12 m3/s

98.80

8

0.12m3/s

53,10

(pulg)

Con los d~t?~~e QyHmencontrados se selecciona la bomba requerida. En los catálogos del fabricante se encuentran los.siguientes datos: .

Bomba

d

Costo ($)

+ 0,27 Q

8

Hm =

-

2345 O'

2749000

6

Hm = 180 - 89.4 Q Hm = 850 - 1457 Q

4750 O'

3280000

15467 O'

4963000

4

87

BOMBAS EN SISTEMAS DE TUBEIIIAS

171

HIDI
172

SQ3S3125

9;60025

~2i,,2'Jil¿-5

474045

BE.1()3

3!i,Um

C.135 44.2':-8825

8U6~5

371.4181/.5

;.1::&4

0.125 013

014

410758

0145

37135525

()lS

:Mm

O,ló!)

30.703225

016

270112

0165 23201925

OC,,"

,91207235

1037014342

0.ü1262

54.3IB%541

001201

11188042719

00;25.3

55,m372

O.G1193

11401419';5

0.01246

57.033112&i

0,(,1208

GOl'"

526057151

0,01135

~201:l4a2

342!V:8

0.ü113

599.4fl.'.3S5

• OOnSl

119,487:973

O0i23iJ

58,913"132

Ul6B25 313541325

001124

037.6256&1

n,0118

125.0612!!86

0,01231

59953451!7

2e3~425

001119

677&JB626

001174

1300011442

G

001224

51.4ó€31OO

52.0:1425 252.570325

ü'ü1114

mOBJGW

001168

136.m78D69

S

0,012\7

62.X"918767

S

OD1211

M.59883:}3)

S

0012Ü5

6B.23!JmW

8

59)15

44.0%

4

,

22092·18

ODl109

759.93E621

0.ü1162

142,Sl~"96

359:"125 "88SG'5925

001105

aD3-,WS4

0,01157

g9Z:!!i4936

0.17

192754

27527

1553:31

O,Dll&l

ii48.08323é

cml52

15571fjS¡31

0,D1199

61m93,93

:}¡I5

152,11525

i8&m25

'213.8\23

ÜOW96

&:3153\97

0.011'7

1B2O'89823

[\0119,

b"J.6610472li

016

110700

10008

6ilfiI92

f¡,Ol002

;}39946;97

0.011,2

1trJ 1553B52

0.01;85

7i421"f,3,1

0,185

67S2325

0&9225

510%925

001089

'!H851iS375

00 183

732435-8085

r"- --8

001137

1-----

176H7961i

G

Tabla 4.1 Bombas en sistemas de tuberías. Cabezas de las tres bombas y de los tres sistemas de tuberías (diámetros de 4",6" Y aH) en función del caudal.

1000

c-

9DO

-1-

800

1-

700

1-

g

600-

lO

500-

!

<3

../

/

/

/' /'

400300+ 200 •• / .• / 100 -~ - __ :.--" " " _

..-:.;-------,. ~, ~,.="

0-=""/-

0.05

O

0.1

015

0.2

Caudal (m'/s) Bomba 1 ..,....,..- - - ,;. Bomba 2 ~.

Sistema 1

Sistema 2

Bomba 3 -

Sistema 3

Figura 4.9 Curvas de fas tres bombas y de los tres sistemas del ejemplo 4~3. La bomba 1 eOFElsponde afs¡~tfJrrlª 3(ci IEt bomba2, al sistema 2 (d - 6"); Y la bomba 3. al sistema 1 (d - 4").

:=:ª");


0.05

0.1

Caudal (m'fal

173

0.15


174

de los costos es la que representa la bomba 2 y la tubería de 6 pulgadas. Obviamente, este ejemplo no es completo debido a que siempre que se haga un análisis de este tipo se de:ben incluir los costos de operación (energía) y mantenimiento de 1M bombas a lo largo de la vida útil del proyecto.

El siguiente ejemplo ilustra la escogencia de una bomba cuando el sistema (tubería, accesorios, etc.) ya existe. Este caso es usual en sistemas de distribución de agua potable en los que se quiere optimizar la operación de una red existente o elevar los caudales suministrados aumentando las presiones de operación.

Ejemplo 4.4 Para aumentar el caudal de suministro de agua potable, el acueducto de la ciudad de Santa Marta, Colombia, decidió perforar una batería de 8 pozos que producen un caudal finne de 240 lis. El agua se lleva a un cárcamo de bombeo en predios de la Universidad del Magdalena desde donde se sube a un tanque preexistente, localizado en el Cerro de Las Tres Cruces. El agua se bombearía a través de una tubería, también preexistente, que originalmente unía la planta de tratamiento de Mamatoco con el tanque de Las Tres Cruces. Esta tubería es de asbesto-cemento con un diámetro de 20 pulgadas y tiene una longitud total de 935.3 m. La diferencia de altura entre el cárcamo de bombeo y el tanque es de 37.1 m. La temperatura medía del agua es de 20"C, lo cual implica una viscosidad cinemática de 1.007 X 10'-6 m2 js. La rugosidad absoluta de la tubería es de k s = 0.00003 m. El coeficiente global de pérdidas menores asciende a 437 e incluye 190 uniones, seis codos, una salida, una entrada, una expansión de 8" a 20 11 , una válvula de compuelta y una válvula de cheque. Para la bomba IHM-12 X 40 PE, cuyas curvas se adjuntan, se debe calcular la potencia consumida y el punto de operación del sistema bomba-tubería, teniendo en cuenta que se deben instalar 2 bombas iguales (en paraleío). Con los datos dados se puede calcular la curva del sistema, variando el caudal entre O y 300 lis y utilizando las siguientes ecuaciones: (4.3)


175

HIDfiÁUlICA DE TUBERíAS

176

Q

V

Re

¡h.

f

¡h,

Hm

Im3!s}

Im!s}

H

1m)

H

1m)

(m)

O

O

O

O

O

O

371

0.01 0.04933813

24889.5427 005421854

0.02469

000563994

371598585

0.02 0.09867626

497790855 0.21687414

002112

0.01929779

373361719

003 014801439

74668.6282 0.48796682

00194

0.03988392

376278507

0.04 0.19735252

99558.1709 0.86749658

0.01832

0.06695747

38.034454

0.05 024669064

124447.714

1.3554634

001755

0.10022376

385556872

0.06 0.29602877

149337.258 1.95186729

0.01697

0.13955259

39.1914199

007

174226.799 2.65670826

00165

0.18468584

399413941

0.3453669

0.08 0.39470503

199116342

3.4699863

0.01612

0.2356669

408056532

0.09 0.44404316

224005885 4.39170141

0.0158

0.292345

41.7840464

0.1 0.49338129

248895.427 5.42185359

0.01552

0.35452371

42.8763773

0.11 0.54271942

273784.97 6.56044285

0.01528

0.42234008

44.0827829

012 0.59205755

298674.513 7.80746918

0.01507

0.49571187

45403181

0.13 0.64139568

323564.056 9.16293257

0.01488

0.57443806

46.8373706

0.14 069073381

348453.598

10626833

0.01471

0.65860089

48.3854339

015 0.74Ü07193

373343141

12.1991706

0.01455

0.74782346

50046994

If\%; «n""

398232.684 13.8799452

0.01441

0.84266997

51.8226152

017 0.83874819

423122.226 156691569

0.01429

094337344

53.7125303

0.18 0.88808632

448011.769 17.5668056

0.01417

1.04874145

55.7155471

0.19 0.93742445

472901.312

19.5728915

0.01406

1.15943417

578323256

497790855 21.6874144

0.01396

1.27555439

600629688

•. <;,,""11007 239103744

001387

1.39723232

62.4076067

úiáfi"' 26.2417714

0.01378

1.52351997

648652914

0.0137

1.65550238

67.4371079

016

0.2 0.98676258 0.21 1, 0.22

11

0.23

11.10""0.' <1",,, Aoo

'0

""'R",;<

BOMBAS EN SISTEMAS DE TUBEI,íAS

177

._-_.------------------Q

V

Re

};h.

f

};h,

H.

Im3¡s)

(mis)

H

(m)

H

(m)

(m)

0.24

1.1841151

597349.028

31,2298767

0.01362

1.79206254

70.1219392

0.25 1,23345322 622236.568

33.886585

0.01355

1.93451848

72.9211035

0.26 1,28279135 647128.111 36.6517303

0.01348

2.08156587

75.8332962

0.27 1.33212948 672017.654 39.5253127

0.01342

2.23477403

78.8600867

0.01335

239084213

81,9981743

~

0.28 1.38146761

696907.197 42.

0.29 1,43080574

721796.739 45.5977887

0.0133

2.55506062

85.2528493

0.3 1.48014387 746686.282 48.7966824

0.01324

2.72197458

88.6186569

uJo de la,curva del sistema. Tuberfa existente para la amPliación de Santa Marta.

tabla 4.2 como en la figura 4.12 resultó qne la cabeza total rada por la bomba (o bombas) es de 70.12 m, de los cuales na lacabeza topográfica; 1.79 m, alas pérdidas por fricción las pérdidas menores, cuando el caudal es de 240 l/s.


178

bomba escogida resulta ser uua bomba ceutrífuga de eje borizoutal, modelo 12 X 40 PE, marca IHM, de 1750'Pm, coyas curvas de operación semuestran en la figura 4.13. Dado que dos bombas operan simultáneamente, el caude1 que fluye por cada una de enas es de 120 l/s, lo cual equivale a 7200 l/mino Eu la figura 4.13 se observa que la eficiencia de la bomba paralas condiciones de operación establecidas es del 78%. La potencia que debe ser transferida al flujo es: P

=

pOgH

= 1000 k~

X 0.12

m

m' s

X 9.81

rr;

s

X 70.12

m

= 82.55kW

Luego la potencia en el eje debe ser: 1 P.,= -O XP .78

= _1_ X 8255 kW

0.78

= 105.8kW

. t

E O:;i¡

ro .. ~::::

.'

h: : ....!,..,

- ..

·.L....

.'

CJLVOAL •

Flgura4.13 Curvas de la bomba IHM ·12 x 40 PE.

~~

'.'!' ,..,

.. .:... "',,


179

HIDRÁULICA DE TlJIlEI!I"S

180

PROBLEMAS

Para los problemas de este capítulo se supondrá que los diámetros reales de las tuberías son iguales a los diámetros nominales comerciales. La base de diámetros es: 2, 2 '/" 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18,20,24,30,36,42,48,60,72 pulgadas. Se debe trabajar con agua a 15"C, a no ser que se especifique un fluido diferente. Las características físicas del agua a esa temperatura son: p

999,1 kg/m'¡

fL

114 X lO' Pas

v

1,141xl0'm"/s

4.1 Detenuloe la ecuación de la curva de la bomba IHM - 12 X 40 PE del ejemplo 4.4.

4.2 La curva de una bomba está dada por la siguiemc ecuación: Hr¡

~

143 - OA Q - 0,75 Q2

y la curva del sÍstema en que se encuentra instalada está dada por la siguiente ecuación:

H,

50 + 0,69 Q'

Calcule el caudal que pasa por la tubería.

4.3 Resuelva el ejemplo 4.2 si la bomba se instala a nivel del mar (presión atmosférica de 101350 Pa). Compare los resultados de los dos problemas.

4.4 Para el sístema de riego de un cultivo intensivo de cítricos se debe inSL.'llar una bomba IHM - 12 X 40 PE, cuyas curvas se muestran en la figura 4.13, con el fin de bombear 95 lis de agua. Si la caseta de bombeo se localiza de tal manera que el nivel de succión de la bomba queda 3.2 m por encima del nivel del agua en la fuente. ¿cuál es la máxima longitud de tubena de succión que puede colocarse si ésta tiene un díámetro de


181

HIDRÁULICA DE TUBEI<íA5

182

40

r--.

1 ~

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32

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24

V

16

8

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O 0.6

0.9

1.2

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40

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0.3

60 -

10

1.5

4.8En.~tlfi$uraP~~~a se~llestrtlel !squ~madetltl~~?bPtitl~iIl1pl~,con bombeo. En la fignra P4.8b se muestran las curvas de la bomba instalada en la tubería. Calcule el caudal que pasa por la tubería. ¿Cuál es la

poteI1darequerida?La tubería tiene un
183

= 4

rr~L~1CI"; 11~:""

l ______¡"7¡u

; ~. Burnr1C'

CcUo

Entrada

Figura P4.8a Esquema de una tubería simple con bombeo

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40

80

35

70

30

I

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40

30

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80

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120 140

160

Caudal (lis) Figura P4.8b Curvas de la bomba instalada en la tubería.

20 1O

O I 80

'"


184

4.9

¿ Cuál sería el efecto sobre el caudal, la potencia requerida y la eficiencia si el material de la tubería del problema anterior se cambia a PVC?

4.10 Si en el problema 2~ 1 se desea duplicar el caudal que pasa por la tubería de 8 pulgadas que conecta los dos tanques (almacenamiento y tloculador), ¿cuáles la potencia de la bomba que se debe colocar?, ¿cuáles la cabeza aumentada localmente por la bomba? 4.11 Para el acueduct9'de. un municipio mediano es necesario bombear 365 Us de agua desde ,la bocatoma hasta el tanque desarenador de la planta de tratamient().Sede~eacolocar tres bombas enparalelo, de tal forma que pennanentemente operen dos y una quede en reserva. Las curvasde las bombas se muestran en la figura P4.11.Lalongitud total de la tubería es de 484 In Yla diferencia de nivel entre las dos estructuras es de 27.6 m. Si se supone un coeficiente global de pérdidas menores de 18.3, ¿cuál es eldiámetro de tubería en hierro galvanizado que debe colocarse?, ¿criáles la potencia requerida en la bomba?, ¿,cuál es la eficiencia de ésta?

120

100

80 i ........

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70

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- 30

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20

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I

\-

\

o O

50

100

150

Caudal (Ys) Figura P4.11

200

250

10

o


185


186

4.1.7 Resuelva el problema 4.16 si el material de la tubería se cambia a acero comerciaL

4.18 En la figura P4.18a se muestra parte de la plantarle tratamiento de aguas para el acueducto de una población de 150000 habitantes. El caudal demandado es de 440 l/s. La tubería, de PVC, tiene una longitud total de 312 m, un coeficiente global de pérdida'.> menores de 4.1, sin incluir la válvula, y un diámetro de 14 pulgadas. En el municipio se dispone de una bomba CUY,L~ curva<; se muestran en la figura P4.18b. Calcule el coeficiente de pérdidas menores que debe tener la válvula a fin de que el caudal que Uega al desarenack)[ sea exactamente igual al caudal demandado.

Rlo

Tanque de toma

Figura P4.18a Parte de la planta de tratamiento de aguas para el acueducto de una población de 150000 habitantes.

,

80

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60

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80

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~

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m::", LL 200

,

300 400 Caudal (Vs)

500

60

l 40

""

20

\ o 600

Figura P4.18b Curvas de la bomba de que dispone el municipio.

4.19 Resuelva el problema 4.18 si la tubería es de hierro galvanizado.

4.20 En el problema 4.18, calcule la eficiencia global del bombeo incluyendo las pérdidas menores causadas por la válvula como parte de la energía perdida en la bomba.


187

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'1:lIeríaseR ser IllIeríaseRpar capítulo estará dedicado a los dos primeros tipos de sistemas de tuberías: en serie y paralelo. A pesar de ser simples, estos sistemas pueden presentarse en algunos casos diseño o ampliación de redes de distribución de agua potable, en redes industriales y redes matrices de sistemas de acueducto. Las tuberías en serie, tal como se verá en el "'tulo 8, son muy comunes en los sistemas de riego localizado de alta frecuencia.

Al igual que en los capítulos anteriores, en éste se estudiarán los tres tipos de problemas ujo en tuberias aplicados a los sistemas en serie y en paralelo. Se plantearán las ciones necesarias, con base en las cuales se establecerán diagramas de flujo para uno de los casos. Los nuevos diagramas harán uso de aquellos expuestos hasta ahora, en especial de los descritos en el capítulo 2. El uso de los nuevos diagramas se a través de ejemplos para cada tipo de problema. gran importancia es la introducción del concepto de optimización del diseño de

,as de tuberías. En el diseño de sistemas de tuberías complejos existen muchas l~aciones de diámetros y materiales que cumplen las condiciones de caudal y presión l1das. Sin embargo, sólo una de las posibles combinaciones es óptima desde el punto ta de los costos. Un buen diseño debe buscar esa combinación. Para el caso del de tubenas en serie se estudia el criterio de optimización de Wu. Este criterio volverá e al diseño de redes de distribución de agua potable, presentado en el capítulo 7. como se ha hecho en los capítulos anteriores, en todos los diagramas de flujo y los de este capítulo se seguirá usando la metodología de Darcy-Weisbach ente con la ecuación de Colebrook-White. Como complemento, en los diagramas Se indicarán los cambios necesarios en caso de que se prefiera utilizar la gí~de Hazen-Williams. En los programas del disquete adjunto al texto, el usuario Clonar la metodología que más le convenga. Sin embargo, hay que tener presente proceso de optimización debe utilizar las ecuaciones más exactas para describir cía al flujo en tuberías, debido a que las tubeJias comerciales tienen diámetros definidos.

HIDI<ÁULlCA DE IUBEI'ÍAS

190

TUBERíAS EN SERIE La's tuberías en serie son dos o más tuberías diferentes colocadas una a continuación de la otra, las cuales pueden diferenciarse en los diámetros o en las rugosidades (es decir. estar hechas de materiales diferentes) o bien en ambas características físicas. En la figura 5.1 se muestra un esquema de tres tuberías en serie que conectan dos tanques. Dicho esquema se utilizará para plantear las ecuaciones que rigen el. flujo en tuberías en serie, Posteriormente se presentarán los algoritmos para resolver los tres tipos' de problemas descritos en el capítul,O 2 aplicados al cas~J de las tuberías en serie.

o,

H,

¡

\

z,

h,

Datum

Figura 5.1 Tres tuberías en serie, conectando dos tanques 0L y 0L representan caudales laterales que salen de las uniones entre las tuberías. La línea punteilda representa la línea de gradiente hidráulico,.

Teniendo en cuentllla figura 5.1 s,e pueden plantear las siguientes ecuaciones: Conservación de la energia:

HT = z,, -. Z2 '" he

+

h,1

+

hm

1

+

h,2+, m h

2

+

h,3

+

hm

3

donde:

Hr

diferencia de nivel entre los dos tanques

he

pérdidas menores de entrada

h¡,

pérdidas por fricción en el tubo i

+

h.~

(5.1)

TUBERfAS EN SERIE Y TUBERIAS EN PARALELO

hm¡

pérdidas menores en el accesorio i

hs

pérdidas menores'por salida

191

La ecuación~ de conservación de la energía puede generalizarse para cualquier sistema de tuberías en; serie eh la siguiente forma: "

(5.2)

donde:

n m

número de tuberías que conforman la serie

número de accesorios que causan pérdidas menores en la serie

Si se tienen en cuenta las características físicas de cada tubería de la serie, como diámetros, longitudes

y rugosidades absolutas, y los coeficientes de pérdidas menores de cada uno de los accesorios, la ecuación 5.2,se convielte en:

H,

V¡2

2g

(5.3)

Conservación de la masa (continuidad): (5.4)

Esta ecuación significa que el caudal total que pasa por el sistema es igual al caudal que pasa por tubeIia más todos los caudales laterales en las uniones localizadas aguas arriba de ésta. Para una de n tuberías la ecuación 5.4 se puede generalizar en la siguiente fonna:

(5.5)

Qa =

caudal en la tubería a de la serie de n tuberías

las uniones no existiera caudal lateral, la ecuación de conservación de la masa se simplificaría así:

HIDI<ÁUUCA DE. TUBEI!íAS

192

(5.6)

es decir, el caudal es igual pm-a todos los

n tubos de la serie.

Al utilizar las ecuaciones 5.2 a 5.5 junto con las ecuaciones y diagramas de flujo establecidos en el capítulo 2 es posible resolver los tres tipos de problemas aplicados al caso de las tuberías en serie.

Comprobación de diseño de tuberías en serie Prog.7

En forma similar a lo establecido para la comprobación de diseño de tuberías simples, en este caso se conocen las características de cada uno de los n tubos de la serie (n diámetros, n longitudes. n rugosidades absolutas y n coeficientes de pérdidas menores), las características físicas del fluido (densidad y viscosidad) y la potencia disponible (potencia de una o varias bombas, cabeza topográfica o una combinación de esta~ dos). También se conocen los caudales demandados en cada una de las uniones. Las incógnitas del proceso son los caudales (o velocidades) que pasan por cada urta de las tubenas de la serie. Para cada una de las velocidades de las ecuación 2.3:

n tuberías de la serie se puede plantear una ecuación igual a la

-2J2.9qh,. v

V =.

,

¡

~I,

lag w

l

k"_._ + 2.5.._ .1 V .\JI¡ "I. __ 3.7 d, d, ~2 gd, h"

(5.7)

J

En esta última ecuación se tienen 2n incógnitas: n velocidades y n pérdidas por fricción. Las oU'as n-1 ecuaciones necesarias eonesponden a las ecuaciones de continuidad para cada una de las tuberías:

+

Q1

=

Q2

0,

=

03 + 0L, + 0L,

QL

1

(5.8)

Como última ecuación para resolver el sistema de2n incógnitas, se tiene la ecuación de conservación de la energía:

H,

(5.2)

Para llevar a cabo el proceso de comprobación de diseño de tuberías en serie se debe suponer, para la primera iteración, el valor de las pérdidas por fricción para la primera tubería de la serie (h f ). La ecuación arroja un valor que garantiza una rápida convergencia del proceso: 1

TUBERfAS EN SEI
193

/,/df

(5.9)

n

L /¡/d¡'

/= 1

La ecuación 5.9 se basa en la ecuación de Darcy-Weisbach, la cual evidencia que la pérdida de cabeza es proporcional a la longitud de la tubería e inversamente proporcional a la quinta potencia del diámetro de

ésta:

/

v'

(1.36)

h =1-e d 29

Q'

Q' / / h = l- --=1e d 2 gA' d

De donde:

La suposición inicial para h f puede llevar a un valor de la cabeza total diferente a la cabeza total real: 1

H= i~·1 Lh.t¡ + i~Lhmi

(5.2)

j

Si los valores de H y Hrson diferentes, es necesario corregir el valor de h de acuerdo con las siguientes tj

h, = h, 1k

1k~1

+ !lh"


194

~ (H, - H)

I

t:.h,

¡,/d:-J ,:i

\N

(5.10)

I

Para resolver un problema de comprobación de diseño de tubelias en serie se debe seguir el procedimiento establecido e~ el diagrama de flujo 7, el cual se basa en los diagramas de flujo del capítulo 2 o en los ejemplos del capítulo 3, si se prefiere la metodología de Hazen-Wílliams, y también teniendo en cuenta el ejemplo 5.1.

INICIO

(

Leer n,p,

jL,

H)' E

1 i =e: 1

( i= í+ 1

1 ~

? i>

No

n

Prog.7

Sí

(9

TUBERIAS EN SERIE YTUBERIAS EN PARALELO

¡ ~_2

,-,-... 1

¡

_J

Calcular 01 en la ecuación 5.8

~ ?

No

i>n

'-_ _- '

SI

* O la metodología de Hazen·Williams del ejemplo 3.3.

Diagrama de flujo 7 Comprobación de diseño de tuberías en serie.

195

HIDf!,~UUCA DE TUBERIAS

196

Ejemplo 5.1 Una serie de cuatro tubería
Si se sigue el diagrama de t1ujo 7, los resultados de la primera iteración son: Para la primera tubería Pérdidas por fricción:

423 28.5 m

h"

~

373 + 121 1 10'

0.5376 m

Velocidad:

v,

I

(

·-2

0.0003

12 x 98.1 (24 X 00254) x 05376 x

og., 3.7 X 24 X 00254

~423

+

2,51X114XlO"

x 9,81 (24 x 00254)' x 0,5376

m

s

TUBERíAS EN SERIE YTUBERíAS EN PARALELO

s por fricción y pérdidas menores:

197

HIDRÁULICA DE rUBEI<íAS

198

12 = 0.0134 1.041' 174 h" = 0.0134 x 20 X 0.0254 X 2 X 9.81 m

h,

2

= 0.253 m

1. 0412 h"", = 3.4 X 2 X 9.81 m h m =0.188m 2

Para la tercera tubería Caudal:

03 = 0.271 m3/s - 0.060 m3/s - 0.074 m3 /s 03 = 0.137 m3/s Velocidad: 4 71'

V3 =

0.137 m (12 X 0.0254)' s

1.88 mis

Pérdidas por fricción y pérdidas menores: 13 = 0.013217

h'3

= 0.01321 X

373 1.88' 12 X 0.0254 X 2 X 9.81 m

TUBERíAS EN SERIE Y TUBERíAS EN PARALELO

0.077 m (10 x 0.0254)' s V4

= 1.52 mis

199

HIDRÁULICA DE IllBERíAS

200

h·4 m m = 0.883 .... ", " la corrección para h¡

Cálculo de la cabeza total

1

m + 0.188 m + 2.91 m + 0.954 m +

H = 0.538 m + 0.185

m + 0.883 m

H=6.70m 423 24' ilh" = (28.5 m - 6.707 m) -;4-;023:;-+--;:t..':;~47_""+L. -;:3-:::7':;3-+--=1-;2""'1 24'

20"

10'

ilh¡, = 0.411 m

h"

k

= 0.538 m + 0.411

m

h" = 0.949 m k

Los resultados para todas las iteraciones del proceso, incluyendo la primera, muestran en la tabla 5.1, la cual se basa en el diagrama de Ilujo 7. H" (m)

" o,

", o,

H

V,

(mIs) (m 8/s) (m) (m"/s) (mIs)

H'2

H

(m)

[m)

"'2

o,

V,

(mS/s) (mis)

a,

v,

H"

H.,

(mi

[m) (mi/s) (mis]

Hi4

H

(m)

(m)

",

0.538 0.922 0.269 0.182 0,209 1.031 0.249 0.184 0.135 1.85 2.828 0.924 0.075 1.48 0.759 0.84

0.953 1.237 0.361 0.327 0,301 1,485 0,484 0.382 0.227 3.111 7.316 2.614 0,167 3.295 3.268 4.15 1.122 1.345 0.393 0.387 0.333 1.641 0,581 0,467 0.259 3,545 9.295 3.394 0.199 3.92 4.493 5,87 1.177 1.378 0,402 0.407 0,342 1.689 0,612 0.494 0.268 3.677 9,941 3.651 0.200 4,11

1"!i,

4.901 6.46

TUBERIAS EN SERIE Y TUBERíAS EN PARALELO

'-OIICU,IO

201

de potencia para tuberías en serie

El cálculo de potencia para las tuberías en serie se basa tanto en la 'comprobación de diseño para este de tuberías, como en el cálculo de la potencia descrito en el capítulo 2. Las variables conocidas en este caso incluyen las caractensticas físicas de los n tubos de la serie (n diámetros, n longitudes, n rugosidades absolutas, o n coeficientes de Hazen-Williams, y n coeficientes globales de pérdidas menores), las caractelÍsticas físicas del fluido (densidad y viscosidad) y los caudales totales de llegada y laterales en cada una de las uniones. La incógnita del proceso es la cabeza total, la cual . cluye las pérdidas por fricción en cada una de las tuberías de la serie. Para resolver un problema de este tipo las ecuaciones necesarias son la 5.2 y la 5.5. En realidad, esta tima confonna el grupo de n-l ecuaciones expresado en la ecuación 5.8. El proceso de solución de culo de potencia en tuberías en serie se esquematiza en el diagrama de flujo 8, cuya aplicación se muestra el ejemplo 5.2.

HIDI'ÁUlICA DE TUBEf,íAS

202

bocatoma por debajo del tanque. El caudal que debe llegar al tanque es de 87 l/s. La primera tubería, en acero, tiene un diámetro de 8 pulgadas, una longitud de 184 m y un coeficiente global de pérdidas menores de? .1. Al final de ésta debe extraerse un caudal de 94 lis con el fin de regar la palte baja de la tInca. La segunda tubería en,PVC, tiene una longitud de 393 m, un diámetro de 6 pulgadas y un coeficiente global de pérdidas menores de 11.2, el cual incluye la válvula de control. Calcular la potencia de la bomba requerida para realizar el trabajo. El fluido es agua a 15°C.

A partir del diagrama de flujo 8 se obtienen los siguientes resultados: Para la' primera tubería

Caudal:

0,

02+

0"

0,

87 l/s

+ 94 l/s

0,

181 l/s

= 0.181

m3/s

Velocidad:

v, =

v, =

v,

4

0181

m

'Ir

(8 x 0.0254)'

s

= 5.58

mis

TUBERíAS EN SEIIIE y TUBERíAS EN PARALELO

(

Leer n,p, p., Qn

¡ ¡= 1

I

[= 1

I

~ ProQ_ 8

* O la metodología de Hazen-Williams del ejemplo 3.3.

Diagrama de flujo 8 Cálculo de potencia para tuberías en seHe.

203


204

fricción de acuerdo

h"

TUBElllAS EN SERIE YTUBERíAS EN PARALELO

205


206

h = 0.01276 "

393 4.77' m 6 x 0.0254 2 x 9.81

,

h, = 38.16 m

Pérdidas menores:

h = 112 4.77' m "" 2 x 9.81 h m, = 12.99 m Cálculo de las pérdidas totales

, H = ¡~1 h¡¡

,

+

,¿:,

hm¡

H= (21.52 m + 38.16m) + (11.27m + 12.99 m) H= 83.94 m Cálculo de la potencia de la bomba

Antes de calcular la potencia requerida en la bomba es necesario cabeza topográfica a las pérdidas totales antes calculadas:

He = 31.7 m + 83.94 m

TUBERíAS EN SERIE Y TUBERíAS EN PARALElO

207

de tuberías en serie problema de diseño de tuberías en serie las vari~bles conocidas son las características del fluido ay viscosidad)~ la potencia disponible, ya sea en una o más bombas o a través de una diferencia ca de niveles; el· caudal de llegada al tInal de la serie, los caudales laterales al final de cada tubo y

des de cada uno de éstos. Las incógnitas son los diámetros necesarios. En general, tanto las es absolutas como los coeficientes globales de pérdidas menores se conocen. Las pdmeras debido limitadas a las tuber.ías comerciales disponibles en el sitio de construcción de la serie de tuberías, limita a tres o cuatro materiales; el diseño se debe hacer con cada uno de ellos y la escogencia .ce según'un criterio económico. Los coeficientes globales de pérdidas menores son función tanto al Como de la longitud de la tubería, siendo la segunda de estas dos características la que más el valor de dichos coeficientes. - de tuberías en serie es un problema complejo debido a que, en general. existen múltiples ara un mismo caso. Por esta razón es necesaIio tener un criterio que permita conocer de antemano je de la potencia o cabeza total disponible debe gastarse en cada una de las tuberías ,de la serie. ilizado debe garantizar un correcto funcionamiento hidráulico y una optimización de los costos.


208

Un criterio que ha probado ser óptimo para el diseño de las tuberías en serie es el de I-pai Wu (1975), originalmente desarrollado para sistemas de riego a presión. En los siguientes párrafos se explica dicho criterio y su uso en el diseño de series de tuberías. Wu probó que en una serie de n tuberías con caudales laterales al final de cada una de ellas el costo era mínimo cuando la línea de gradiente hidráulico formaba una curva cóncava hacia arriba con una flecha del 15% en el centro con respecto a la línea recta que une las cabezas totales al inicio y al final de la serie, tal como se muestra en la fig,vra 5.2. \1

A

~-.-~-----------------------------------Unea de gradiente hidráulico objetivo

15% de HT

Linea de gradiente hidráulico óptima

H,

z, z, Datum

Figura 5.2 Criterio de Wu. La línea de gradiente hidráulico óptima económica forma una curva cóncava hacía arriba con una flecha del 15% de la cabeza total disponible en el centro y con respecto a la línea recta AB.

Sin embargo, Wu también demostró que si se utilizaba como línea de gradiente hidráulico objetivo la línea recta que une las cabezas totales inicial y final, el efecto sobre los costos era inferior al 2% con respecto al óptimo económico. De acuerdo con el anterior planteamiento, en el método de diseño que se describe a continuación se utiliza la línearectaAB de la figura 5.2 como la línea de gradiente hidráulico que debe ser alcanzada. Si se incluye la pendiente promedio de cada una de las tuberías de la serie, el criterio d~' Wu establece que la cabeza que puede Ser perdida por la tubería i de la serie es:

1,

cas 8,

(5.11)

TUBERfAS EN SERIE YTUBERíAS EN PAI
209

donde:

0k

ángulo de la pendiente promedio de la tubería k con respecto a la horizontal k = (i, J)

La función objetivo establecida en la ecuación 5.11 puede llevar a un diseño ineficiente desde el punto de vista hidráulico, ya que al colocar los diámetros comerciales disponibles es probable que se necesite una válvula al fmal de la serie con el objetivo de regular el' caudal. Tal hecho significaría que una parte impOltante de la energía disponible se gastaría como pérdidas menores en dicha válvula. Este problema podría evitarse verificando, al finalizar el proceso de diseño, que la energía perdida en la válvulano sea lo suficientemente grande para permitir una reducción del diámetro de la primera tubería de la serie. En caso de que sí lo sea, se debe cambiar el diámetro de la primera tubería por el diámetro comercial inmediatamente inferior al que resultó en el primer diseño. Si este cambio no se produce, el proceso continúa con la segunda tubería y luego con las demás. Si alguno de los diámetros de la sede cambia, con el nuevo diseño se calculan unas nuevas pérdidas menores en la válvula y el proceso se sigue repitiendo hasta que no haya cambio en ningún diámetro.

La energía por unidad de peso O cabeza que se pierde en la válvula en cada uno de los diseños preliminares del proceso se calcula mediante la siguiente ecuación:

, hm~ =H-};h T i~1 'Al

};h 1 mAl

¡~

(5.12)

donde: cabeza real perdida por fricción en el tubo i con el diámetro diseñado yel caudal real demandado. cabeza real perdidaa causa de los accesorios de la tubería ¡con el diámetro diseñado y con el caudal real demandado. Cambiar los diámetros de los tubos iniciales de la serie, los cuales son los mayores debido a la presencia los caudales laterales en las uniones, lleva a que en éstos la línea de gradiente hidráulico tenga mayor que en los tubos de menor diámetro. Así, el diseño se acerca más al criterio de Wu, es decir, es ás económico. . Una vez se tiene el diseño definitivo se debe verificar que en ningún punto de la serie la línea de gradiente dráulico quede por debajo de las tuberías, ya que ello significaría en esos puntos la existencia de presiones Ométricas negativas' con los consiguientes peligros de separación y de cavitación en el sistema. El proceso de diseño de tuberías en serie según el criterio de optimización de Wu se esquematiza en el rama de flujo 9, y en el ejemplo 5.3 se muestra su aplicación.

HIDRÁULICA DE TUBERfAS

210

(

~ Leer

n, p.

jL, Qn'

HT

¡ ;= 1

(

t Leer li' k$,' 2:.km¡, QL,' Di

t ? í= n

No

~ i= i+ 1

SI

+

Calcular Q¡ utilizando la ecuación 5.8

?

í= n

I~_ _- ,

No

i = i

Sí

~ Prog.9

Calcular,f;.siguiendo el diagrama de flu'o 2a o 2b

* O la metodología de Hazen-Williams establecida en el ejemplo 3.3.

+1

TUBERIAS EN SERIE Y TUBERíAS EN PARALELO

2

VR ¡

Q V

VR:

= (2: k) m, 2g

? ¡= n Sí

Calcular hmv en la ecuación 5..12

i= 1

Calcular (d)N siguiendo el diagrama de flujo 4

?

Id)N ~ d, >-_~S,-I

-..1

¡~ ¡+ 1

Calcular f siguiendo el diagrama' de flujo 2a o 2b

o la metodología de Hazen~W1iT¡áms

establecida enel ejemplo 3.3.

1

211


212

h,m

=

ti !.L

, VAl

d, 29

t

,

hm = (¿ km,)

"

V R1

29

t Calcular h

mv

enla

ecuación 5.12

t i= i+ 1

Diagrama de flujo 9 Diseño de tuberías en serie.

Ejemplo 5.3 Una de las tuberías principales de un sistema de riego localizado de alta frecuencia (Ver capítulo 8) debe conectar la estación de fertirrigaci6n con tres módulos de riego que operan en forma simultánea. Los caudales consumidos en éstos son: módulo A. 45.1 l/s; módulo B, 39.0 lis; módulo e, 73.2 l/s. Enla estación de bombeo se cuenta con una bomba de 65 kW con una eficiencia del 85%. La tubería 1, que va de la estación hasta el módulo A, tiene una longitud de 350 m y un coeficiente global de pérdidas menores de 7.9. La tubería 2, que une el módulo A con el módulo B, tiene una longitud de 123 ro y un coeficiente global de pérdidas menores de 3.3. Finalmente, la tubería 3, que va del módulo B al módulo e, tieneu:n
TUBERíAS EN SEIIIE y TUBERíAS EN PARALELO

213


214

085 x 65000 m 999.1 x 01573)e 9.81

He

~

35.84 m

De acuerdo con el diagrama de flujo 9 se obtienen los siguientes resultados:

Caudales 3; través de las tu.berías:

0,

0A + 0B + Oc

0,

1573 lis

°2 °2

08 + Oc 112.2 l/s

03 "" 0N = 73.2 l/s Cabeza.
I cas

(1,

h ~ 35.84 m ~~~_ 350 meos O" _ T, (350 m + 123 m + 114 m) cos O'

1

d1

TUBEr<íAS EN SERIE Y TUBERíAS EN PARALELO

En forma similar se calculan las cabezas para las del1i.ás tuberías:

h¡

~

9.64 m

3

Primer C~HClllio de los d:hlmetros: Si se sigue el diagrama de flujo 4 se obtienen los siguientes diámetros para las tres tuberías de la serie:

d,

d, d,

10 puíg

~

8 pulg

~

8 pulg

Cálculo de las vdod.dades, los factores de fricdón las pérdidas por fricdón. y las p2i"didas menores reaies: j

Con los diámetros anteriores y los caudales reales de consumo, utilizando el diagrama de flujo 2a o 2b, se calculan los datos mostrados en la tabla 5.2

Tabla 5.2 Velocidades. factores de fricción, pérdidas por fricción y perdidas menores reales después de la primera íteración.

215


216

Cálclllo de la pérdida menor en la válVllla: Teniendo en cuenta los datos de la tabla 5.2, la eoergía por Iloidad de peso perdida en la válvula es: s

hm" = H r

-

i~! h1R1

s -

i~1 hmR1

h m, = 35.84 m - 16.314 m - 6.802 m

h m , = 12.72 m Segunda iteración:

Al seguir el diagrama de flujo 9, se obtienen los resultados de la segunda iteración (tabla 5.3).

vR

h,R

hmR

Tubería

d

1

10 pulg

3.104 mis 0.01259

8.519 m

3.879 m

2

8 pulg

3.460 mis 0.01280

4.728 m

2.014 m

3

6pulg

4.013 mis 0.01314 12.314 m

2.873 m

f

Z

= 25.561 m Z =8.766 m

Tabla 5.3 Resultados de la segunda iteración.

Por consiguiente, la pérdida menor en la válvula, para la segunda

iteración es: hm, = 35.84 m - 25.561 m - 8.766 m

hm, =1.513m Debido a que esta pérdida es relativamente pequeña, el diseño no cambia en la tercera iteración y el proceso se detiene. LOs resultados del diseño son entonces:


217

UBERíAS CON PÉRDIDA UNIFORME DE CAUDAL POR UNIDAD DE LONGITUD: TUBOS POROSOS

n los sistemas de riego más modernos existe un nuevo tiparle tuberías que está diseñado para perder dal por unidad de longitud, y cuyo. objetivo es lograr una mayor uniformidad en el riego, ya que la tIega de agua no se localiza en un punto específico. Estas tuberías se conocen como tubos porosos o ngueras exudantes y conforman un tipo especial de tuberías enserie. En la figura 5.4 se muestra el esquema parcial de una tubería porosa con su línea de gradiente hidráulico.

Caudall'ateral q (m"js/m)

t t ---J>.

I~--'-~X~~~~+:-X~~~~~"'¡¡"2

Q2

L Figura 5.4 Línea de gradiente hidráulico para una tubería porosa que pierde q m3/s por cada metro.

Eleasa de las tuberías porosas es especial, ya que la cabeza de presión (energía potencial de presión por . d de peso) en cualquier punto X de la tubería, Px / pg (ver figura 5.4) no es simplemeute (h; - h ,) do a que existe un cambio en el momentum lineal a causa de la pérdida de masa por unidad de longitud. abeza de velocidad disminuye a lo largo de la tuberia, puesto que el caudal que permanece en ella es vez menor. '

HIDr,ÁUlICA DE TUBERíAS

218

Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, al aplicar la ecuación de conservación de energí: entre las seceiones(D y x de la figura 5.4 se obtiene:

P + -' pg

v~

fr +

'

2g

pg

h"

+

v:_

2g

+ / P,

(5,12)

donde:

IPx

=

incremento en la cabeza de presión debido al cambio de momentum lineal entre los puntosCD y x.

Es difícil calcular este incremento de presión a causa del cambio en el momentum lineaL Sin embargo es posible calcular las pérdidas de cabeza producidas por la fricción, a través de las siguientes ecuaciones Ecuación de conservación de la masa:

o,

=

OGJ - q x

(5,13)

donde:

Qx

caudal en la sección x de la tubería

%

caudal en la sección CDde la tubería

q

=

caudal por unidad de longitud

Pen.diente de la línea de gradiente hidráulico: Si se utiliza la ecuación de Darcy-Weisbach aplicada a una longitud infinitesimal de la tubería, de tal que el caudal que saliera por unidad de longitud fuera despreciable, se llegaría a:

dh ~ f dx ~ , ~ d 29

donde:

TUBERíAS EN SEIlIE YTUBERíAS EN PARAlElO

fx

factor de fricción en la sección X

V

velocidad en la sección X

x

219

De donde se obtiene la pendiente:

~ ~ d 29

dh,

dx

Q;

dh,

~

dx

2 9 dA'

dh,

(5.14)

dx

Al remplazar la ecuación 5.13 en la ecuación 5.14, se obtiene la siguiente expresión:

dh,

dx

, 1T

8 f, (n, - q x)' gd 5 '-"\j)

(5.15)

a calcular las pérdidas por fricción a lo largo de toda la tubería sé debe integrar la ecuación 5.15 entre ; la longitud total de ésta; luego:

h,

=

r>, (n, -

-,-.::8-" 1T' 9 cf Je

C9

q x)' dx .

(5.16)

factor de fricción está dado por la ecuación de Colebrook-White:

(5.17)


220

Debido a que 5.17 es una ecuación no explícita para la variable fx (el factor de fricción de Darcyen coordenada X de la tubería), la ecuación 5.16 no tiene solución analítica posible. Sin embargo, una soluci( aproximada de h¡ se puede obtener utilizando alguno de los dos métodos siguientes:

Factor de fricción constante

Se puede suponer que fx es constante e igual al promedio de los factores de fricción a la entrada y a la salíl de la tubería, lo cual implica que existe una solución analítica a la ecuación 5.16:

h, =

8 f, 71" 9 cf

De donde se obtiene:

h, ~ 71"

8 f, 9 cf

(5.18)

En esta última ecuación se tiene:

Factor de fricción constante tramo a tramo

En este caso se calculan las pérdidas por fricción (h f) para varios tramos de la tubería y luego se suman. p~ cada uno de los tramos se supone un factor de fricción (f) constante. Nuevamente, existe una solucH analítica para la ecuación 5.16, la cual está dada por las siguientes ecuaciones:

(

O'Gil 1- O0, ql' + q'3 1')

(5.19)

y:

(5.20)

TUBERIAS EN SERIE Y TUBERIAS EN PARALELO

donde:

n = número de tramos en que se divide la tubería longitud de cada uno de los tramos L

1= -

n

Además:

f = ti + f i+ 1 ". 2

Ejemplo 5.4 Las mangueras ex frecuencia . 1 pulgada. densidad, el caudal de 1

e un sistema de riego localizado de alta tí . de 60 m y uo diámetro de es polietileno tejido de alta ta de 0.15 mm y deja salir un . Calcnlar la pérdida de cabeza

aterro como el anteriormente cinemática de 1.17 X lO-'m'/s.

confonnante del lateral de riego es:

min . m

1 X60m=60-min

o, = 1 lis = 0.001 m 1s 3

Cálculo de la zona de fiujo laminar: Debido a que la manguera va p algún punto el flujo empieza a

o caudal por unidad de longitud, en ar, Es necesario conocer ese punto,

221


222

¡- -- ---

~--

-- - --------- -

debido a que a partir de ahí el cálculo del factor de fricción deja de depender de la ecuación de Colebrook-White. Mediante un número. de Reynolds crítico de 2000 se tiene:

vd Re = 2000= V

e

Q=

Q

=

1rX

2000 4

X

V

dx

V

1570 X 0.0254 m x 1.17 X 10c6 m 2/s


223


224

f'720 =

f,720

64 X". X 0.0254 X 117 X 1()' 4x4,7x1Q- 5

= 0,032

De igual forma, para la abscisa 59,80 m se encuentra que:

Por consiguiente, el valor promedio del factor de fricción y de cabeza para la zona laminar es:

fL = 0,240 h, = 0,00328 m L

Piualmente, la pérdida de energía por unidad de peso (cabeza) es:

h,

= 6.712 m

+ 0,0038 m

h, = 6.716 m

s~ 'exceptuando

de Reynolds

se hiZo con se muestran

(m) 5 10

~+1

Ah,

H

(m)

0.0340

1,217

. 0.0342

1.021


225

HIOI~ÁULlCA DE TUi?,cl¿íAS

226

aproxima más a las pérdidas reales. Lo anterior significa que cuanto menor sea la longitud de los tramos en que se divide la manguera, mejor será el resultado del cálculo de las pérdidas de energía a causa de la fricción. En la figura 5.5 es clara la forma parabólica de la línea de gradiente hidráulico, típica de las mbeIias que pierden caudal por unidad de longitud.

TUBERíAS EN PARALELO

Las tuberías en paralelo son un conjunto de tuberías que parten de un nodo común y llegan a otro nodo también común. En estos nodos, los caudales que pasan por cada una de las tuberías se unen. Esto quiere decir que para cada una de las tuberias en paralelo aguas arriba los caudales deben estar unidos para luego dividirse en el nodo inicial y por último volver a unirse en el nodo final; aguas abajo de éste nuevamente debe existir un caudal único. En general, los sistemas en paralelo están limitados a 3 Ó 4 tuberías. Sin embargo, es más común que esténcompuestos por dos tuberías. Éstas pueden tener longitudes, diámetros y accesorios diferentes a la vez que estar elaboradas en materiales muy distintos. Con ayuda de la figura 5.6, que muestra el esquema de dos tuberfas en paralelo conectando dos nodos de cabeza conocida, se plantearán las ecuaciones que gobiernan el flujo en este tipo de tuberías, con el fin de establecer los diagramas de flujo correspondientes a los tres tipos de problemas de flujos en tuberías.

h'm, h,

OT~~~h~. -.. O,

/' Tubería 2

~,

l· ";

11

--.. O,

!

TuberL, 1 I

@

--..

Qr

Figura 5.6 Esquema tridimensional de dos tuberías en paralelo mostrando las líneas de gradiente hidráulico a lo largo de cada una de ellas.


227

A partir de la figura 5.6 se pueden plantear las siguientes ecuaciones:

Conservación de la energía Para la tuberia 1 se plantea la siguiente ecuación:

donde:

hi

pérdidas por fricción en el tramo j de la tubería i

hi

pérdidas menores en el accesorio j de la tubería ¡

\

mi

HT

=

diferencia tOtal de cabeza entre los nodos

CD (inicial) y (2) (final)

Esta ecuación puede simplificarse así:

"

Hr

=

m

i~,h¡~ + i~1h'~i

n

número de tramos de la tubería 1

m =

número de accesorios en la tubería 1

Para la tubería 2 se puede plantear una ecuación similar a la ecuación 5.21:

H,

, , Lh' + Lh' ;.~ 1 [¡ i~ 1 mi

r

número de tramos de la tubería 2

S

número de accesorios en la tubería 2

(5.22)


228

Los términos de la izquierda de las ecuaciones 5.20 y 5.21 son iguales, lo cual implica que los términos de la derecha también tienen que ser iguales. Por consiguiente, la ecuación de conservación de la energía para tuberías en paralelo es:

m

H, = i~"L h'f¡ + ¡~L • h'mi

(5.23)

j

En esta última ecuación los superíndices no son exponentes; sólo indican el número de identificación de la tubería.

Conservación de la masa (continuidad) En la figura 5.6 resulta claro que la ecuación de conservación de la masa, tratándose de flujo pemlanente, es:

I °T

=

0, + 02

(5.24)

I

Las ecuaciones 5.23 y 5.24 están planteadas para un sistema de dos tuberías en paralelo, que es el caso más común. Sin embargo, extenderlas a tres o más tuberías es sencillo. Las dos ecuaciones mencionadas, junto con las ecuaciones y diagramas de flujo presentados en el capítulo 2, se pueden utilizar para resolver los tres tipos de problemas en tuberías aplicados al caso de tubos en paralelo. El uso, y por consiguiente el diseño, de tuberías en paralelo es común para aplicaciones en sistemas e~istentes (acueductos, sistemas de riego, etc.); en ese caso, la única tubería nueva se coloca para que trabaje en paralelo con otra u otras tuberías ya existentes.

Comprobación de diseño de tuberías en paralelo

~ En este caso se conocen las características de n tuberías en paralelo, es decir, se conocen n diámetros, n

:0 • Prog. ,

rugosidades absolutas (o n coeficientes de Hazen- Williams), n longitudes y las características globales de pérdidas menores. También se conocen las caractetisticas del fluido (su densidad y su viscosidad) Yla potencia disponible para moverlo a través del sistema, ya sea suministrada a través de bombeo, de una diferencia topográfica o de una combinación de las dos alternativas anteriores. Al igual que en todo proceso de comprobación, las incógnitas son los caudales individuales en cada una de las n tuberías. Para cada una de las tuberías se pueden plantear las siguientes ecuaciones:

I 09'0

(k, .

l3.7 d,

T

251 v

d,'¡2g

f¡,.

o: h"

J

(5.25)

TUBERíAS EN SERIE Y TUBERIAS EN PARALELO

229

(5.26)

H, =

(f, d,

+ 2:

k) ..'L 29

(5.27)

mi

Las ecuaciones 5.25 a 5.27 pueden ser resueltas de manera individual para cada una de las tuberías del tema en paralelo. Por esta razón, la comprobación de diseño en un sistema de n tuberías en paralelo se nvierte en n comprobaciones de tuberías simples, exactamente iguales al caso expuesto en el di.agrama de IJjo 1 yen el ejemplo 2.1 del capítulo 2. Es obvio que el diagrama de flujo 10 se basa directamente en el . rama l.

HIDf!ÁUlICA DE TUBERíAS

230

(

Leer n, p, 1', Hr (o P)

+

(

~ Calcular Oí siguiendo el diagrama de flujo 1

Prog.10

* O la metodología de Hazen-Williams de acuerdo con el ejemplo 3.1.

Diagrama de flujo 10 Comprobación de diseño en tuberías en paralelo.

Mediante el diagrama de flujo lOse obtienen los resultados consignados en la tabla 5,5,

I

TUBERíA 1

LL-__: (:-:-,)-,- -+: c-: c;~c '~: -:-+-c -(_:_;)_l-:-c (m:c:~-: S)-:c:-t-: -: c:(:c ~:c:l-+.: -:-(m:c:Q-: )/S_):-:-1 ~6_.4_,'--1_7_,3_,8_2_E_,'_06-+_2_6_.4_ _+3_,_6_7_92_6_9-t_7 ,31358

_1_26_.4_ _

.L~~.",2~_'O_6_1_19_,0_8_6::'

3,082126

l0 1193161

5132246 f00999511J

TUBERIAS EN SERIE y TUBERIAS EN PAllAlElO

H (m)

kld H

h,

V

I

(m)

(mis)

231

Hm

Q

(m)

(m'ls)

26.4

7.382~ 21.26775

3.26983

5.776399 0.1060382

26.4

7.382E

20.6236

3.215362

26.4

7.382E-06

20.81444

3.231579

5.585558 0.1042719 5.642045 0.1047978

26.4

7.382E-G6

20.75796

3.226786

5.62532

26.4

7.362E-06

20.77466

3.22821

5.630272 0.1046884

26.4

7.382&06

20.76973

3.227786

5.628806 0.1046748

26.4

7.382E-06

20.77119

3.227910

5.62924

26.4

7.382E-06

20.77076

3.227873

5.629111 0.1046776

26.4

7.382E-06

20.77089

3.227884

5.629149 0.104678

26.4

7.382E-G6

20.77085

3.22788

5.629138 0.1046779

0.1046424

0.1046788

TUBERíA 2 H (m)

kld H

h,

v

Hm

Q

(m)

(mis)

(m)

(m'/s)

I

26.4

9.843E-G5 26.4

14.380908

10.36896 0.3196568

26.4

9.843E-05

16.03104

3.378839

6.167963 0.2465399

3.814888

7.862678 0.2783567

26.4

9.843E-05 20.23204

26.4

9.843E-05

18.53732

3.644903

7.177594 0.2659536

26.4

9.843E-G5 19.22241

3.714503

7.454323 0.271032

26.4

9.843E-05 18.94568

3.686538

7.342507 0.2689915

26.4

9.843E-05 19.05749

3.697868

7.387682 0.2698177

26.4

9.843E-05 19.01232

26.4

9.843E-05 19.03057 9.843E-05 19.0232

~

7.376804 0.269619

26.4

3.69439

7.373825 0.2695645

26.4

9.843E-05 19.02618

3.694694

7.375028 0.2895866

26.4

9.843E-05 19.02497

3.694572

7.374542 0.2695777

26.4

9.843E-G5 19.02546

3.694621

7.374739 0.2695813

26.4

9.843E-G5 19.02526

3.69460

7.374659 0.2695798

26.4

9.843E-05 19.02534

3.69461

7.374691

7.36943

0.2694842

0.2695804

abJa 5.5 Resultados de ia comprobación para las dos tuberías en paralelo.

232

HIDRÁULICA DE ¡UBERIAS

los caudales y las pérdidílS

m

m

por el sistema.es:

Cálculo de potencia para tuberías en paralelo Prog.11

El cálculo de potencia para tuberías en paralelo se basa en los diagramas de flujo 1, 2a, 2b y 3 del 2, así como en las ecuaciones 5.23 y 5.24. En este caso se conocen las características de n tubería,;; en paralelo (n diámetros, n !Ollgitudes, rugosidades o coeficientes de Hazen-Williams y n coeficientes globales de pérdidas mfmo>re5;),


233

características del fluido (densidad y viscosidad), el caudal total que pasa por el sistema (Qr) y las condiciones presión en el nodo de aguas arriba (Nodo C!)de la figura 5.6). La incógnita del proceso es la presión en nodo de aguas abajo. Esto significa que lo que se desea calcular es la potencia consumida por el flujo al del nodo de aguas arriba al de aguas abajo a través del sistema en paralelo. Una de las características de este problema es que no se conoce de antemano la forma en que el caudal se divide para fluir por cada una de las tuberías en paralelo. Por esta razón, el método de solución que

explica a continuación se basa en la suposicián del caudal que pasa por la tubería 1, con base en la uación de Darcy-Weisbach, así:

h

= f-I v'

h

é

(1.36)

d 29

é

~

I 4' O' fd 2 g'IT' d'

donde se encuentra que:

0'= Es decir, para un hfdado se tendría:

se supone un valor del factor de fricción similar para todas las tuberías, el caudal que pasa por la ra·tubería sería:

O, = O,

-y7: ,~; d,'I' / f¡; d,5/2 /

(5.28)

ero de tubeIÍas del sistema en paralelo. artir del caudal supuesto para la primera tubería se puede calcular, siguiendo el diagrama de flujo 3, nen el nodo final, con raeual se pueden estimar, con base en el diagrama de flujo 1, los caudales en a de las otras tuberías del sistema en paralelo. Es probable que estos caudales incumplan la ecuación

HIDRAuUCA DE TUBERíl\S

234

de conservación de la masa; por ello en las siguientes iteraciones es necesario corregir la suposición para e caudal de la pIimera tubería, que se corrige proporcionalmente a los caudales de todas las tuberías d{ acuerdo con las siguientes ecuaciones:

(calculados

o,

O;

(5.29)

Si la presión desconocida es la del nodo inicial y no la del nodo final, el método que se describe ¡ continuación también funciona. En estas condiciones se debe suponer una presión para el nodo inicial, COI la cual se encuentra una presión en el nodo finaL Para terminar el proceso simplemente se suma o se resta: la presión de los dos nodos la diferencia de las presiones real y calculada para el nodo finaL Todo el proceso de cálculo de potencia para tubelias en paralelo se ilustra en el diagrama de flujo 11 yel el ejemplo 5.6.

e

~ Leer n, ¡.tp, H(D' QT' E

i

e

1

I

=L_~

Leer

_

li' di' k"" '2-k m!

----;::;;;;-.=;:r;.¡,~-----' 1 Calcular (kjd¡) I

¡; ?

i= n Sí

Calcular Q, utilizando la ecuación 5.28¡

r:::~~ ¡;-~-~, Caicular la potencia requerida para la tubería i siguiendo el diagrama de flujo 3

¡;

o *

O la metodología de Hazen-Williams del ejemplo 3.3.


o .¡.

i= 2 Calcular Q¡ siguiendo el

diagrama de fluío

i~

n

1

-1

>-_-,-N:::O_-+g

Sí

2: Q,

i=l

No

0, = 0, 0: (5.29)

0,

* O la metodología de Hazen~WWiams del ejemplo 3.1" Diagrama de flujo 11 Cálculo de potencia para tuberías en paralelo.

Ejemplo 5.6 Con el fin de disminuir la vulnerabilidad del cruce subacuático de un 91~?~~c;U>(l1(l1:I'ay~stlf.u~rí0'.~~. d~~cle(;()lo(;~d()sttlberías . ell para1~lo a la existente. Las tres tuberías están elaboradas en acero (k, = O.046 mm). La que existía originalmente tiene una longitud de 278 ro, un diámetro de 18 pulgadas y un coeficiente de pérdidas menores de 7.7. Las dos tuberías nuevas tienen una longitud de 312 ro, un diámetro de 12 pulgadas y un

235

HIDllÁUUCA DE TUBERíAS

236 I-~~

-----------

-~~---------~--~~-

coeficiente global de pérdidas menores de 9.4. La presión en el nodo de aguas arriba es de 875 kPa y el caudal total es de 460 l/s. Las características físicas del crudo que circula por la tubería son: ~ensidad p =

860 kglm3 y viscosidad ¡.L= 7.19 x 10-3 Pa.s. Calcular el caudal que pasa por cada tubería y la pérdida de cabeza. Con los datos del problema se hacen los cálculos iniciales:

=!!é= p

x 10" m 0.4572 m

.c:::=--:-:..::e-", = 1006

d,

-=-:7':"::--= La cabeza en

nodo inicial es:

x 10""'

= 1509 x 1()'


237


238

v,

1.663 mIs

=

Por consiguiente, las pérdídas a lolargo de la primera tubeifa son:

H= R

(/,

1, + 2: k",,)

d,

2g

278 + 7.7) 1,663' m 18 x 0.0254 2 x 9.81

H = (0.01885 X R

Cálculo del caudal a través de las dos toberías nuevas: Si se sigue el diagrama de flujo 1 se obtiene el siguiente caudal para las tuberías nuevas (Ver tabla 5.6):

H (m)

lil

I rJ

k/d

h,,

v

hm

Q

H

(m)

(mis)

(m)

(m'/s)

1.5763

1.191

0.11502

2.7

0.0001509

2.7

2.7

0.0001509

1.5095

0.OB320

2.7

0.0001509

2.07714

0.09941

2.7

0.0001509

1.81067

0.09209

2.7

0.0001509

1.93686

0.09561

2.7

0.0001509

1.87732

0.09396

2.7

0.0001509

1.90546

0.09475

2.7

0.0001509

1.89217

0.09438

TUBERíAS EN SERIE Y TUBERfAS EN PARALELO

239

o; = 273 lis + 2 x 94.50 l/s 0'= T calculado resultó ser muy similar al caudal total

una sola iteración no es sorprendente debido p1'imera' íteracÍón se baSÓ' un

en

HIDRÁULICA DE rUBERIAS

240

criterio muy fuerte (ecuación 5.28), resultado de entender bien la ecuación de Darcy-Weisbach y a que las tres tuberías están elaboradas con el mismo material y tienen diámetros relativamente similares (lo cual implica factores de fricción muy parecidos). Pero aun en casos en que las tuberías estuvieran hechas de materiales muy diferentes y que tuvieran diámetros también muy diferentes, el proceso descrito, utilizando la ecuación 5.28, garantiza una convergencia en máximo 3 iteraciones. Finalmente, los resultados del ejemplo son:

0,

= 273

l/s

0, = 94.5 lis 03 = 94.5 lis La presión en el nodo final es:

Héf= 103.71 m - 2.70 m '0

=

101.01 m

x 9.81 m x 10101 m

s'

I

p,!)= 852.2 kPa

I

r.:::1l.C-1. Diseño de tuberías en paralelo laId Prog, 11

En la práctica de la ingeniería no es usual diseñar sistemas de tuberías en paralelo, debido a su ineficiencia a nivel hidráulico y económico (para una misma área mojada dos tuberías tienen un perímetro mojado 41.42% mayor que el perímetro mojado de una sola tubería). Este caso sólo se justifica en aquellos diseños que resulten en un diámetro supetior al disponible comercialmente en el sitio de la obra. De ser así se diseña cada una de las tuberías como tubos simples con la mitad del caudal demandado. Lo que se podría interpretar como el diseño de tuberias en paralelo es la ampliación de una tubería existente, situación bastante común en los sistemas de distribución de agua potable. y en menor escala los sistemas de ricgo localizado dc alta frecuencia, debido a los aumentos en la demanda. por tanto, diseño se limita a un conjunto de dos tuberías únicamente: una conocida yotra por diseñar, lo cual


241

que una de las dos tuberías en paralelo existe, de modo que se conoce un diámetro y la cabeza en el nodo inicial. Se conocen otras variables como las dos longitudes, las dos rugosidades relativas o coeficientes de Hazen-Williams, los dos coeficientes globales de pérdidas menores, las características del fluido (densidad y viscosidad) y el caudal final deseado. Las incógnitas del proceso de diseño son el diámetro de la nueva tubería y la cabeza en el nodo final. Esta última es diferente a la que tenía la tubería original debido a que la presencia de la nueva tubería afecta la hidráulica de aquélla. El diseño de tuberias en paralelo se basa en los diagramas de flujo 1 a 4 desarrollados en el capítulo 2 de este texto, así como en las ecuaciones 5.23. 5.24, 5.28 Y5.29.

El proceso de diseño se inicia suponiendo que la cabeza del nodo final pennanece constante, lo cual permite, junto con el caudal que se desea aumentar, diseñar la nueva tubería. Debido a que ésta debe tener un diámetro comercialmente disponible es muy probable que deje pasar un caudal superior al deseado. Este hecho implica, una vez se tenga un caudal igual al deseado, que la presión en el nodo final aumente, 'afectando el caudal en la tubería existente; se incumple así la ecuación de conservación de la masa. De ahí en adelante el proceso es igual al de comprobación de diseño para tubelÍas en paralelo. En el proceso que se explica a continuación el subíndice 1 se refiere a la tubería nueva y el subíndice 2 a la tubería existente. El caudal demandado se representa como Q o' el cual debe ser superior al caudal inicial de la tubería existente. El diagrama de flujo 12 y el ejemplo 5.7 ilustran el diseño de este sistema de tuberías.

~ I D, -

D, - D,

•

I

Disellar la tuberla t siguiendo el diagrama de !1ujo 4

Calcular Q, utilizando la ecuación 5.28

Calcular la polencia requerida para ia tuberia 1 sigu'lendo el diagrama de íiujo 3 ¡ . - - - -

IH

R -

PoUp D, 9

•

I

o la metodología de Hazen~WiJliams del ejemplo 3.4, .... O \a metodología de Hazen-Williams del ejemplo 3.3,

®lB

I-IIDI,ÁUlICA DE roBERíAS

242

Calcular Q" siguiendo el diagrama de flujo 1

No

0,

~ 0, 0: (529) 0,

* O la metodología de Hazen-Williams del ejemplo 3.4.

Diagrama defltlljo 12 Diseño de tuberías en paralelo.

Ejemplo 5.7 (Este ejemplo se basa en la tubería diseñada en el ejemplo 2.3 del capítulo 2)

En la planta de tratamiento de aguas residuales del municipio de Ubaté, la tubería de descarga al río Suta tiene un diámetro de 12 pulgadas, está elaborada en hierro galvanizado (ks = 0.15 mm), tiene una longitud de ISO m y un coeficiente de pérdidas menores de 3.3. La cabeza en el nodo de entrada es de 2.7 m y la de! nodo de salida es 0;5 m. Bajo estas condiciones el caudal máximo que puede fluir por la tubería es de 138.51/5. Por razones de crecimiento de la industria lechera del municipio, el caudal total que debe ser tratado aumenta a 224.2 Us. ¿Qué diámetro deberá tener una tubería


243

paralela a la primera si el material es PVC? ¿Cuál es la nueva presión en el nodo de salida? La longitud y el coeficiente global de pérdidas menores de la nueva tuberia son ignales a los de la tuberia existente. La temperatura media del agua es de 14 'C. Para el agna a 14 oC se tiene que: p=

1.17X 1O-6 m'/s

Si se sigue el diagrama de flujo 12 se obtienen los resultados mostrados a continuación:

Caudal por la tubería uueva:

0, = 0D- 0, 0,

= 224.2 lis -

138.5 lis

lO, = 85.7 l/s 1 Diseño de la nueva tubería: Mediante el diagrama de flujo 4 se obtiene el signiente diámetro para la nueva tubería (Ver tabla 5.7):

h,

dreal

v

Q

Q~Qd

1.hm

(m)

(m)

(mis)

(m3/s)

(si/no)

(m)

2.2

0.1016

1.28646

0.01043

no

0.2784

2.2

0.1524

1.68527

0.03074

no

0.4777

2.2

0.2032

2.03571

0.06602

no

0.6970

2.2

0.254

2.35369

0.11926

si

0.9318

1.268

0.254

1.73949

0.08814

si

0.5089

1.691

0.254

2.03740

0.10324

sí

0.6982

244


__·_ _· -

I-------~~_·_·~-_··_--~·

I I

.

O

O", O.

:2.hm

(mis)

(m 3/s)

(sí/no)

(m)

0.254

1.90886

0.09672

sí

0.6129

1.587

0.254

1.96767

0.09970

sí

0.6512

1.549

0.254

1.94142

0.09837

sí

0.6339

1.566

0.254

1.95327

0.09897

sí

0.6417

1.558

0.254

1.94795

0.09870

sí

0.6382

1.562

0.254

1.95035

0.09883

sí

0.6398

1.56

0.254

1.94927

0.09877

sí

0.6391

1.561

0.254

1.94975

0.09880

sí

0.6394

1.561

0.254

1.94954

0.09878

sí

0.6393

h,

dreal

(m)

(m)

1.502

,

V

:

Tabla 5"7 Resultados del diseño de la nueva tubería en PVC.

De acuerdo con la tabla 5.7 el diámetro de la nueva tubería en PVC es:

di = 0.254 m

Id, = 10pulg I Cálculo del nuevo O,: (5.28)

Si se tiene en cuenta que las longitudes de las dos tuberías son iguales se llega a:


11"

Re,

X (10 X 0.0254) X 117 X 10-'

= 372700

y la rugosidad relativa es:

=

k., d,

0.0000015 10 X 0.0254

k

;', = 5.91 X 10-'

Con estos dos valores se calcula el factor de fricción mediante el diagrama de flujo 2:

f, = 0.0140 La velocidad en la tubería les:

v = Q, , A,

0.08699m'ls

=

; (10

v, = 1.717 mis

X

0.0254) m'

245

HIDRÁULICA DE lUBERíAS

246

Por consiguiente, las pérdidas a lo largo de la ptimera tubería son:

HR~hl+h 1

H R

m1

~ (0.0140

150 10 X 0.0254

+ 3.3)

1.717'

2 x 9.81

m

Cálculo del caudal a través de la tubería existente: Utilizando el diagrama de flujo 1 se obtiene el siguiente caudal para la tubería antigua (Ver tabla 5.8): H

k/d

h,I

v

Hm

Q

(m)

H

(mis)

(m)

(m'ls)

1.738

000049213

1.738

1.9850

066276

0.144841

1.738

0.00049213

1.07524

1.5511

0.40467

0.113178

(m)

1.738

000049213

133333

1.7326

0.50492

0.126423

1738

000049213

1.23308

1.6644

046593

0.121444

1.738

0.00049213

1.27207

1.6912

048109

0123403

1.738

0.00049213

1.25891

1.6809

0.4752

0.122645

1.738

0.00049213

1.2628

1.6849

047749

0.12294

1.738

0.00049213

1.26051

1.6833

04766

0.122826

1.738

0.00049213

1.2614

1.6839

047695

0.12287

1738

0.00049213

1.26105

1.6837

0.47681

0.122853

1.738

000049213

1.26119

1.8838

0.47686

0.12286

1.738

0.00049213

1.26114

16838

047684

O 122857

1.738

0.00049213

1.26116

1.6838

047685

0.122858

1.738

000049213

1.26115

1.6838

047685

O 122858

Tabla 5.8 Resultado del caudal para la tubería existente.

TUBERíAS EN SERIE Y TUBERíAS EN PAllAlELO

total seglmdal ileracié,n, CI"Yos resulItados son:

mis

247


248

PROBLEMAS

Para todos los problemasde es~ capítulo se puedesuponer qrietos diárrtetroS reales son iguales a los nominaJes comerciales. del~s tuberías. La base .de diámetros es: 2, 2'1" 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 6Q Y72 pulgadas. A no ser que s~ específiqueunfluídodiferente,se debe trabajar con agua a 15"C, con las siguientes características:

999.1 kg/m 3

p

1.14 X

=

10~3

1.141 X

Pa.s

10~6

m'/s

5.1

Resuelva el ejemplá5. lteniendo encue?tagueno existen caudales laterales en las uni?ne~?e la seriedec~at~o. tuberías. C0nlpare el caudal final con el de dicho ejemplo. ¿Qué conclusión puede extraerse?

5.2

Una bomba transllÚte una cabeza total de 47 ID al flujo de agua en una serie de tres tuberías, tal como se muestra eIlla figura P5.2. Las tres tuberías están elaboradas enPVC (k, = 1.5 X 10~6 m). ¿Cnál es el caudal que l1~ga al tanque ubicadoaguas abajo? ¿Cómo varía éste si se sUSpencl¡;~ls~guIlcl()c;atl
Bomba

12" 120m 6.3

10" 112m 5.2

d I !.k",

H!_;.=--,.---l Tanque 39m

4.8

3m

Figura P5.2

5.3 I~n. un sistewa4é,ri~go 18calizad?de~ltafrecUenci¿}se tieI1e el sistema de tu?erí~s mostrado en lafigurag5.3~<~~sctla.tromR7rías son de PVC.¿Cuá1 7s el c&udalmí~imoquene~aal tatlqueubic;ado aguas abajo?¿Cómo varía este caudal si se suspenden los caudales laterales?


249

¡..c=--------I•.. ~
8.5

a

=8"

I "" 213m :tk", = 9.3 d

Figura P5.3

37.6 ro


250

LGH Tanque de almacenamiento

1

Bomba de d le eodio I

\

Ik m

4"

121/5

89.3 rn == 4.3

d I

J"

'Zk m

12.3

27 m

167.2m 15 l/s

Figura P5.6

5.7

Resuelva el ejemplo 53 teniendo en cuenta que la potencia de la bomba se duplica, manteniéndose igual su eficiencia.

5.S

Una de las estructuras de enfriamiento del agua de producción de un campo petrolero tiene la configuración mostrada en la figura P5.8. Si el agua se encuentra a 80 oC, ¿cuáles deben ser los diámetros de las tuberías si su material es acero comercial? La potencia de la bomba es de 325 kW, con una eficiencia de 78%. La presión mínima en el aspersor 3 debe ser 50 kPa manométrica.

Aspersor 1

q

=

190 lis

Bomba

Aspersor 2 q~'

190 lIs

50 ni 3.7

Aspersor 3

q == 190 lis

I 'ik m =

~i~~~==:::=::;;'~ Agua de producción

laguna de enfriamiento

p = 971.8 kg/m' ¡L

= 3.57

x 10'" Pa.s

Figura pS.e

5.9

En una planta de tratamiento de agua potable es necesario repartir el agua cruda a tres tanques floculadores, tal como se muestra en la figura P5.9. Calcule el diámetro de cada una de las tres tuberías si su material es hierro galvanizado.


251

, ......................•............

~--~

19.3 m

160fls FJoculadar 1

I

=:

T-k",

='

45m 3.6

1601Is f1oculador 3

160JI$

Reculado, 2

Figura P5.9

5.10 Resuelva el ejemplo 5. se aumenta a 8Q m.

caso si la pre$ión

mio en cuenta que la longitud del lateral s la presión al inicio del lateral en este debe seguir equivaliendo a una cabeza de

10m?

5.n

Si Iacabeza máxima permisible en la manguera exudante del problema anterior es equivalente a 20 m de cabeza de agua, ¿cuál es la longitud que puede tener un lateral?

5.12

esue va el ejemplo 5.5 teuiendo en cuenta que la longitud de ambas !liberías se reduce a 435 m y el coeficiente de pérdidas menores, a 8.4.

5.13 Calcule el caudal total que fluye por el sistema en paralelo mostrado en la figuraP5.13. La presión en el nodo de entrada es de 530 kPa y en el nodo de salida es 130 kPa, ambas manométricas. Las tuberías

son de acero comercial. J= 278m, d= 6", Ikm"" 7.4

(0

I

J=230m, ti"" 8", Ikm = 6.1'

I

1= 278m, ti"" 6", Ikm = 7.4

Figura P5.13

I 1

®


252

5.15

5.16 En la red matriz del sistema de distribución de agua potable del tlcu~ducto.. d~I'~~~ira,901gI11bia,~~.~i~l1eel~isteIMeIl; Paralelo mostrado en la figura P5.16. El caudal total que debe pasar por éste es de 254.3 l/s y la presión en el nodo inicial es de 343 kPa. El material de ambas. tU~~rías es~tl~~$(} ..~eIl1~Ilto.¿ Guál ~~lapresión en el nodofinal?¿Cll;íl~~§{}n l(}~c~udal~s po~p
= 10",¡km

254.3 lIs

~=:::D~

Figura P5.16

5.17 Resuelva el problema 5.16 teniendo en cuenta que el material de las tuberías sei:~?i:i aPVC. LosAeITI~gªto~4~1I'r?blern~~(Jvarí
TUBERfAS EN SERIE Y TUBERIAS EN PARALELO

la que la nueva tubería en que debe hacerse es

253

254

HIDliÁULlCA DE TUBERíAS

BIBLlOGRAFfA

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I

Inálisisderedes de tullerías: redes allie INTRODUCCiÓN

En los tres pdmeros capítulos de este texto se establecieron las ecuaciones y los algotitmos de diseño de tuberías simples; en el capítulo 5 se abordaron las tuberías en serie y las tuberías en paralelo, planteándose las ecuaciones de conservación del momentum lineal que gobiernan el flujo en estos sistemas, así como los algoritmos de su diseño. Sin embargo, en la práctica de la ingeniería hidráulica los sistemas de tuberías son bastante más complejos que los dos tipos antes mencionarlos, confonnando redes de muchos tubos. En este capítulo se iniciará el análisis de redes de tuberías, el cual estará basado en las ecuaciones y los métodos de diseño establecidos con anterioridad. Las redes se clasificarán, de acuerdo con sus configuraciones básicas, en los tres tipos siguientes: Redes abiertas: Redes de tubos madres o líneas expresas en sistemas de acueductos. Se caracterizan por no tener ningún "circuito celTado" en el sistema. En la figura 6.1 se muestra un esquema de este tipo de red, el cual une cuatro tanques de almacenamiento del sistema de acueducto de una ciudad hipotética.

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20

1.__ ~~~':r::..

Figura 6.1 Red abierta. El esquema muestra un sistema de tuberías que une cuatro tanques de almacenamiento (A, B, e, O). El sistema está compuesto por 5 tubos madres (A·Ul, Ul·B, Ul·U2, U2·C y U2·D) con dos uniones (Ul y U2), Las uniones pueden tener caudales laterales de extracción (OL' Y 0L)' Los caudales demandados son tomados directamente de los tanques de almacenamiento (ODa' QD y 0 0/ El tanque A funciona como tanque de C almacenamiento principal o de suministro primario.

256

HIDI!ÁULlCA DE TUBERíAS

Un sistema de tuberías que une una batería de pozos de agua con un tanque de abastecimiento o llna planta de tratamiento, o el sistema confonnado por la tubería principal y las tuberías secundarias en un sistema de riego localizado de alta frecuencia (ver capítulo 8), son ejemplos de sistemas de tuberías descritos como redes abiertas. Redes cerradas: Conocidas también como sistemas con circuitos cerrados o ciclos. Su característica primordial es tener algún tipo de circuito cerrado (loop, en inglés) en el sistema. El objetivo es tener un sistema redundante de tuberías: cualquier zona dentro del área cubierta por el sistema puede Ser alcanzada simultáneamente por más de una tubería, aumentando así la eonfiabilidad del abastecimiento. Es este el tipo de red que conforma el sistema de suministro de agua potable dentro del esquema de acueducto de una dudad. En la figura 6.2 se muestran los tres tipos de redes de suministro más utilizados en dichos esquemas.

/'\ ¡,.-

g¿

d1 ><:

!~ ,

f

M

Válvula

(a)

Red de distribución de acuerdo con la norma AWWA de los Estados Unidos. La disposición de las válvulas permite que se aíslen máximo 2 tramos de tuberías cerrando máximo 4 válvulas. Las válvulas se deben localizar en los ramales de importancia en las intersecciones de las mallas principales.

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERíAS, REDES ABIERTAS

257

(b)

,ó.

~ ,I~~\, Red de distribución de acuerdo con la norma colombiana (lnsfopal). Con esta disposición de válvulas y tuberías se pueden aislar algunos sectores sin interrumpir el servicio en el resto de la ciudad.

(e)

Red de distribución de acuerdo con la norma brasileña. El sistema está compuesto por tuberías de relleno sin interconexión, lo cual determina una gran economía en

accesorios. Figura 6.2 Tipos más comunes de redes de distribución de agua potable.

HIDR,\ULlCA DE TUBEI!IAS

258

Redes de riegos: Este tipo de redes se utiliza en los sistemas de riego a presión, en particular en los de riego localizado de alta frecuencia. Al igual que en las redes abiertas, las de riegos tampoco tienen circuitos cenados, pero a diferencia de aquéllas, las tuberías se bifurcan constantemente para cubrir todo el telTcno que debe irrigarse. La figura 6.3 muestra un esquema de estas redes.

Tub ería secundaría

'\. Tube ría principal (

,~ÚltiPI e

vate

ral

'\.

'§" 1-Riego final

*Vé Ivula reguladora

de caudal

-' -

IIVá Ivula reguladora

de presión

~

Figura 6.3 Red de riego. Las tuberías, a través de bifurcaciones permanentes, deben cubrir todo el terreno a regar. El área servida por cada válvula reguladora de caudal es el módulo

de riego, mientras que el área servida por cada válvula reguladora de presión es el submódulo de riego.

ANÁLISIS DE REDES ABIERTAS: BALANCE DE CANTIDAD

El objetivo específico de este capítulo es analizar las redes abiertas mediante el método de balance de cantidad, es decir, conservando la masa a lo largo de toda la red. Como principio se plantea que en cada una de las uniones o nodos de la red se debe cumplir la ecuación de continuidad y en cada uno de los embalses o tanques se debe suministrar el caudal demandado. En general, el problema consiste en determinar los diámetros y los caudales en cada una de las tuberías de la red para condiciones pennanentes de t1ujo y, a la vez, en verificar que en cada uno de los embalses se cumplan las condiciones de demanda de caudal. En la figura 6.4 se muestra un esquema de este tipo de redes.

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERíAS REDES ABIERTAS

259

A

e

0,

e

1..-

-'-_ _0"

Figura 6.4 Red abierta conectando un tanque de suministro (A), al cual entra el caudal total demandado por el sistema (QE) Y tres tanques de almacenamiento (B,C, O) con sus respectivas demandas (Qo' 0D ' QD ). 8 e D

La red mostrada en la figura 6.4 sirve para establecer las ecuaciones utilizadas en el análisis. Tal como muestra la: figura, el embalse A envía el agua a los embalses B, e y D a través de la tubería madre AU y luego a través de los ramales DB, De y UD. Por consiguiente, las ecuaciones que se pueden plantear son:

Ecuación de pérdidas de energía en cada una de las tuberías de la red

~ d,u

+ 2,k",c

J 2 '''9 (i = A, B, C, D) V'

(6.1)

Ze

cabeza piezométrica en la unión (siempre es una variable desconocida)

~

cabeza piezométrica en el tanque i

V,,,

velocidad de flujo en la tubería iu

d lll 1.

diámetro en la tubería iu

:::

'e

f

factor de fricción de Darcy para la tubería iu

'e

¿km

longitud de la tubería iu

,!)

coeficiente global de pérdidas menores de la tubería iu

La ecuación 6.1 se.puede transformar así:

HIDI<ÁUlICA DE TUBEI<íA5

260

f I

Iz, - z, I = ( ~ 2gd

+

2:k

--"Jic

2g

!U

I.-', O'

j

A' iu

z-z , "

(6.2)

Ecuación de conservación de la masa en la unión o nodo U

2:0-0 =0 tu L

i~. 1

(6.3)

U

donde:

o,,

caudal en la tubería iu (se toma como positivo si llega al nodo o como negativo si sale del nodo)

n

número de tuberías que llegan a la unión o nodo U ::::: caudal consumido en la unión (puede ser cero)

Con el uso de las anteriores ecuaciones y de los métodos y ecuaciones introducidos en los capítulos anteriores se pueden resolver los tres tipos de problemas mencionados en el capítulo 2 para el caso de redes abiertas. COMPROBACiÓN DE DISEÑO EN REDES ABIERTAS

rc:Ll . lIiIJ En es~e caso se cono;:en todos los diámetros de cada uno de lo~ ~ub~s matrices ? d~ lo~ ramples;así como el Prog. 13

matenal en que estan elaborados. El proceso de comprobaclOn tIene como mcogmtas los caudales que llegan a cada uno de los embalses. Los cálculos se hacen mediante un proceso iterativo (ver diagrama de flujo 13), el cual, asu vez, está basado en el algoritmo de comprobación de diseño de tubos simples (diagrama de flujo 1, capítulo 2). El proceso iterativo para la comprobación de diseño se basa en suponer las cabezas en cada una de las uniones y corregirlas progresivamente. Las variables e incógnitas del proceso son:

Variables

Incógnitas

I(j, j)

O(í, j)

k, (j, j) d(j, j)

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERIAS, REDES ABIERTAS

Variables

261

Incógnitas

2: kji, j)

Z,

°L

I

p

En la lista anterior, el subíndice i representa los embalses (de los cuales existen n en el sistema) y el subíndice j representa las uniones (existen m en el sistema), Dado que las cabezas en las uniones son supuestas en la primeraiteración, lo más probable es que en éstas nO se cumpla la ecuación de continuidad. Por consiguiente:

(6.4)

donde:

XQ

=

error de cierre de caudales cnla unión

Si XQ no es lo suficientemente pequeño, la suposición en la cabeza píezométrica de cada unión debe conegírse, para lo cual se utiliza la siguiente metodología, desarrollada por R. Featherstone en 1981 (Featherstone, 1983), basada en la moditicación hecha por R.J. Cornish (1939-1940) al método de HardyCro&s para el cálculo de redes cerradas.

.

. Si se supone que la cabeza Z . de la unión j está subestimada o sobrestimada, la ecuación 6.1 se conVIerte en:

(6.5)

De donde se obtiene la siguiente ecuación:

Ü¡=

(( Z - Z) - /::"Z)" Uj

I

Uj

(6.6)


262

Tomando el último término de la derecha de la ecuación 6,6 y utilizando el teorema del binomio s obtiene lo siguiente:

v

, li(Z _- Z) - t.Z)l 1IJ1 UI

¡

~ (Z - Z)i' -

22 (Z

I

Uj

Z)~'I' t.z +

-

Uf,

UJ

28 (Z

UI

-

Z)~'I' tlZ' I

VJ

~ (Z - Z)~ól' t.Z' + -"'- (Z - Z)-'I' t.Z' + _ 16 128 U)

u/

Uj

¡

I

V!

Eliminando los términos que involucran las potencias altas deAZ .por ser muy pequeños en comparaciór "i con los demás términos, se llega a:

v

I«z ~~ Z) - tlZ)l , ~ (Z - Z)V' -

¡VJ)

Uf

- Z)~"

2 (Z

2UJi

Ujl

Reemplazando esta última ecuación en la ecuación 6.6 se obtiene:

o -J

~

{29 A,¡

( :

i _) ;¿;k +f-'L d ,¡

2

((Z - Z)V' -

_

"J

2

•

(Z _ "/

Z)~V') •

mi)

Para todas las tuberías que llegan a la uniónj se puede plantear la siguiente ecuación: NTi

i~l Ql -

QL

UJ

= O

Reemplazando los O../ se llega a:

Z,,/

~

Z,

[ ;¿; k m¡ + f

]"

~~

!2=gA- (z ",-~ Z)-" t.Z

V~Y'J

J

(

2 ;¿;k1m}_ \

CJ

,

+ f d/"_~) jj

1/2

(6.7)

ANÁLISIS DE r~EDES DI:. TUBERíAS. REDES i\BjERT.'\5

263

En esta última ecuación se pueden identificar fácihnente los caudales Q,¡ en cada una de las tuberías. Luego:

=0 Finalmente, al despejar el factor de corrección para las cabezas en las uniones de la red abierta se obtiene:

(6.8)

En el proceso iterativo mostrado en el diagrama de flujo 13, m representa el número de uniones; n, el número de embalses conectados a la unión j; E, el error permisible en el proceso de corrección de la cab~za piezométrica en las uniones y, Eu el error permisible en la diferencia de cabezas en dos iteraciones sucesivas en las uniones. Estos elTores deben ser especificados por el diseñador. En las ecuaciones de continuidad es necesmio tener en cuenta que los caudales son positivos si fluyen hacia la unión y negativos si fluyen desde ésta.

/

Leer m, ni' 1", d,¡, ksii' Sk"'ii'

Z,. z", E. 1".

p.

0,1'

E..

Estimar todos los

Zu!

¡ 1

k- 1

:¡;

®

-->-LI_LI,.,·L1 _ - ,

:¡;

1

1-:

Calcular O siguiendo el dia rama de flu'o 1

~

PrQQ.13

?

No

Sí

Calcular X,:'; utilizando la ecuación 6.4

QL¡'

HIDI;:ÁULICA DE TUBEFdAS

266

Cálculo de los caudales en los tubos que llegan a U 1 Teniendo en cuenta la cabeza supuesta para la unión U 1, las cabezas totales para los tubos que llegan a esa unión son:

Tubo

Cabeza

A- U1

8.0 m

U1 - B

1.0 m

U1-C

5.0 m

U1 - U2

150 m

Con estas cabezas y siguiendo el diagrama de flujo 1 se obtienen los caudales mostrados a continuación:

Corr(~cción

Tubo

Caudal (lis)

A - U1

42416

U1·· B

894

U1 - C

1981

U1 - U2

24828

de la cabeza en la unión U1

Para calcular la corrección en la cabeza de la unión U1 se utiliza la ecuación 6.8:

(6.8)

L

tlZ ~ '"

\ Z -

3.ii2416_=894- 19.81 -

248.28 - 120) m 42416 8.94 19.81 248.28 + + +----8 1 5 15

2 X 27.13 =--837615


39.75 78.91 de la cabeza en la unión U2

Mediante la ecuación 6.8 se obtiene la siguiente corrección para la.cabeza

en la nnióu U2. - 39.75 - 78.91- 1 ~ + 39.75 + 78,91 1585 8 20

267


268

!1ZU2 = 2.738 m Por consiguiente, la nueva cabeza en la unión U2 es:

ZU2 = 20 m + 2.738 m

I ZU2 =.22.738 m I Segunda iteración Los resultados para la segunda iteraCÍón se resumen en la tabla 6.1:

Unión

Tubo

Cabeza

Q

!1Z

(m)

(lis)

(m)

A-U1

745

408.57

U1-B

1.55 .

11.38

U1-C

5.55

20.96

U1-'U2

1282

228.69

U1-U2

1348

234.79

U2-D

1073

4643

U2-E

22.73

84.34

U1

U2

0.66

0.32

Tabla 6.1 Resultados de la segunda iteración.

Tercera iteración Debido a que las correcciones para las cabezas de las uniones después de la segunqa iteración siguen siendo importantes (66.0 cm en U1 y 32.0 Cm en

U2) es necesario hacer una tercera iteración. Los resultados de ésta se muestran en la tabla 6.2:


269

'AlCULO DE POTENCIA

e tipo de problemas no es pertinente al cálculo de redes abiertas, ya que la potencia siempre está por las cabezas de los tanques que van a ser interconectados, los cuales se conocen antes del eso de diseño. Por lo general, su cabeza está fijada por las condiciones topográficas de la ciudad e se planea construir la red. Cuando se trata de redes abiertas sí es usual instalar bombas con el fin umentar los caudales.

HIDRÁULICA DE TUBmíA5

270 DISEÑO DE REDES ABIERTAS Prog, 14

En este tipo de diseño se conocen las demandas de caudales en cada uno de los embalses que van a ser interconectados, las cuales corresponden a las demandas de agua calculadas para la ciudad en la que se localizará la red. Se requiere conocer el diámetro de cada uno de los tubos matrices y de los ramales. Las vatiables e incógnitas son:

Variables

Incógnitas

1"

d,

k

Z,

'"

QL!

p ~"

para todo n, en donde n = número de embalses

Qo¡, para todo m, en donde m = número de uniones (nodos)

La numeración de los embalses y de las uniones (nodos) de la red puede hacerse de acuerdo con la siguiente figura:

2

Figura 6.6 Numeración de embalses y nodos (uniones) para el diseño de una red abierta.

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERIAS. REDES ABIEr!TAS

271

Antes de iniciar el proceso es necesario establecer bien la geometria de la red, es decir, de los tubos que ella posee. Por ejemplo, para la red mostrada en la figura anterior, la topología de los tubos es la siguiente:

Tubos existentes 1, 1 2, U

Tubos no existentes 2, 3,

3, U

5,

4, U

6, Ul

1, U 5, U

• •

6, U

•

1

• • • Conocida la geometría de la red, el cálculo de los diámetros es simple. El proceso se muestra en el diagrama de flujo 14, el cual se basa en el diagrama de flujo 4 desarrollado para el diseño de tuberías simples en el capítulo 2. La variable nj representa el número de tubos que llega a la unión j. Para eJitender el proceso, sígase el ejemplo 6.2.

e

~

INICIO

¡

e- - - , - -¡- - - - - - ' Leer m, i

e

p"

p, E

1

¡ ¡

Estimar z"

¡

e

1

HIDRÁULICA DE TlIBEI
272

H

~IZ-Zl

? i

=

No

n

?

i= i

No

j= m

Sí

~ , '7. 1( _ Zk"f,,; u,¡ i

¡<-)J

E

Si j=j+

!

-

l<----'N."'-o

Sí

!

~ * O la metodología de

Hazen~Williams

del ejemplo 3.4.

Diagrama de flujo 14 Diseño de redes abIertas.

+1

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERfAS, REDES ABIERTAS ~---------------------

Ejemplo

de San Juan tiene como una de sus oen la figura 6.7. msmo, calcular el

Figura 6.7 Ejemplo del diseño de una red abierta.

. Teniendo en cuenta el i:liitj4m, la cabezas en cada uno de los tanques son las siguientes:

s datos para cada sigJlientes:

tubos que conformao la

273

HIDRÁULICA DE IUBERIA5

274

....

Material

Tubo

k,

I

km

(m)

(m)

H

1-U1

Concreto

0.0003

1300

3.7

U1-2

Concreto

0.0003

760

2.5

U1-3

Concreto

0.0003

540

2.2

U1-U2

Acero

0.0005

2360

4.5

U2-4

Concreto

00003

1150

4.2

U2-5

Acero

0.0005

1350

5.0

Si se sigue el diagrama de flujo 14 se obtienen los siguientes resultados:

Suposición original: (cabezas iniciales en los nodos)

ZUf

= 120 m;

Zca

= 75 m

Primera iteración Unión U1 Tubo 1-U1 De acuerdo con el m
hu

=H=

Zf - ZUf

=

150 m - 120 m

d

v

(pulg)

30

= 30 rn Q

'Zhm

(mis)

(m 3/s)

(m)

14

2.89

0287

1.578

30

16

3.14

OA08

1.764

30

18

3.83

0.555

2.158

30

24

4.04

1.179

3.080

2691

24

3.83

1.117

2.760

2724

24

3.85

1.123

2.790

2720

24

3.85

1.123

2.790

h,

(m)

2720


Tubo U1-2

hn = H = ZUl - Z'"

= 120 m

- 75 'm

= 45 m

275


276

cor'tilll"id,¡d para el nodo U 1, junto con en el mismo (ecuació116.8), se

::¡; Q = (1.123 ·1]

0.3136 - 0.131 - 0.613) m 3js = 0.013 m 3js .

.

..

.

Corrección de

t:.z

"'

z,"

=

(!!~ª + 30

=

2 x (0.013) 0366 + {j1},1 + 2:El13) 30 50 45

120 m + 0.394 m = 120.39 m

=

0394 m


2: Q '1 = (0.616 - 0.340 - 0.287) m'/s

= -0.011 m'/s

Corrección de continuidad:

= -0.574 m

277

HIDI!ÁUUCA DE TUBERíA~

278

-Tubo

V --'--0

-r

'Lh

hN

h,

d

(m)

(m)

(pulg)

(mis)

(m'/s) I' (m)

-

m -~

1-U 1

2961

26.85

24

3823

1.116

2756

UI-2

30_39

28.64

14

1.748

U1-3

50.39

8

U1-U2

4596

4856 -4382

3705 0368 -- r----4.040 O 131

-

20

3.058

0.620

-

1.830 2145

Corrección de la cabeza en la unión U1:

Ecuación de continuidad:

2: O'f = (1116 - 0.368 - 0.131 - 0620) = --0_003 m'ls ZUf = 0.09 m

+ Zu =

(120.39 - 0.09) m

ZUf = 120_30 m Uni6n U2

hN

h,

d

v

Q

'Lhm

(m)

(m)

(pulg)

(mis)

(m'/s)

(m)

U1-U2

45.87

4:373

20

3_055

0,619

2.141

U2-4

1943

18.00

16

2585

0_335

'-430

U2-5

3643

34_34

14

2_864

0_284

2090

Tubo

Correcci6n de la cabezá

Ecuaci6n de cor.tillluid¡,d

2: O'f

=

(0.61

- 0.285)

m'/s

= -00005

m'/s


!J.ZU2

ZU2

= -0.028, ZLQ = (74.43

279

O.311)m

= 74.97 m

Dado que losAZ son pequeños (n() hubo cambio en los diámetros entre la primera y~egunda iteración general o ciclo), el proceso debe parar. Losresultados finales son:

Tubo

d (pulg)

1-U1

24

Ul-2

14

Ul-3

.

,

8

U1-U2

20

U2-4

16

U2-5

14

MBAS EN REDES ABIERTAS la figura 6.8 se muestra el efecto de la instalación de una bomba sobre una red abierta, en especial sobre ínea de gradiente hidráulico. En la figura 6.9 se muestra un detalle de la tubería afectada directamente la bomba.

Figura 6.8 Efecto de la instalación de una bomba sobre una red abierta.


280

z,

/

".

He

=

cabeza aumentada por la bomba

Bomba

u Figura 6.9 Detalle de la tubería que contiene la bomba en la red abierta de la figura 6.8.

En el diagrama mostrado en la figura 6.8, si la cabeza del tanque 1 es bastante mayor que la cabeza del tanque 2 (Z, »Z), existe la posibilidad de que no haya necesidad de colocar ninguna bomba. Sin embargo, si estas dos cabezas son muy parecidas, el diseño de la tubería U-2 en particular podría resultar en un diámetro muy grande. En este caso, el tubo 1-U también se podría ver afectado. Este problema se solucionatía si se colocara una bomba en alguno de los dos tubos mencionados, Por otro lado, si Z2 es mayor que Z1' definitivamente habría necesidad de colocar la bomba para que el sistema operara. En el ejemplo 6.3 se analiza la primera de las dos eventualidades~ Su desanollo se basa en el diagrama de flujo 14, incluyendo cabeza generada por la bomba en la cabeza total disponible para mover el flujo a través de' la tubería contiene dicha bomba.


281

HIDRÁULICA DE TUBEI!IA5

282

Caso J:

f-f~o

'""" O m

Suposición original: Zu

=

2638 msnm

Datwn: 2600 msnm Luego:

=

38 m

Primera ,iteración

-r' Tubo

H

h,

____ __ ~r111_~m) 1-U

2.0

U-2

3.0

-"-"'"-"-'-"1

_.

U-3

280

. 1.574

d

I

(pulg)

I

36

2.650 I 30 26 789-r-;~-

i

-,,~"


(0.751 - 0.448 -- 0236) m"/s Corrección en la cabeza de la unión: ~"0.2513

Segunda iteración

m

~

0.067 m'/s

ANÁlIS'IS DE REDES DE TUBERíAS REDES ABIERTAS

283

Ecuación ele continuidad:

(0.702 - 0.467 - 0.237) m'/s

~

-0.002 m'ls

Corrección en la cabeza ele la unión:

LI.¿.

~

-0.0072 m

Dado que el /).Z es muy pequeño (solamente 7.2 mm para cabezas supeliores a 10 metros), el proceso puede parar. Los resultados finales son:

~

--

~

36 pulgadas

elu

• ~

30 pulgadas

Zi./

=

cI",

I cI,':3 ~ 14 pulgadas Caso 2: HB

= 10 m

Suposición original:

2630 msnm

Datum: 2600 msnm

Luego: Zu

30 m

=

Primera iteración

--17-- ,---' h(

)

(m)

d

(m3¿~j~

(mis)

,(pulg)

-8~;¡-;;-

Ql2h-¡

V

2 105

, 4.411

30

1.276

119.138

14

2.007

I

0.614 0.582 0.199


(0614 - 0.582 - O 199) m3/s

~

-O 167 m3/s

1.446 0.589 0.862

HIDRÁULICA DE TUBEriíAS

284

Corrección en la cabeza de la unión:

Segunda iteración Tubo

H

h,

d

V

Q

;¡; hm

(m)

(m)

(pulg)

(mis)

(m'/s)

(m)

1-U

11.779

10.07

24

2.29

0.667

1.706

U-2

3.221

2.84

30

1.02

0.465

0.376

U-3

18.221

17.437

14

1.91

0.190

0.784

Ecuación de continuidad~

(0.667 - 0.465 - 0.190) m'/s

= +0.012 m'/s


tlZu = 0.113m Tercera iteración

H

Tubo

1-U

1

h,

d

V

Q

;¡; h",

(m)

(pulg)

(mis)

(m'/s)

(m)

9.98

24

2.28

0.664

1.689

U-2

3.334

2.94

30

1.04

0.473

0.390

U-3

18.334

17.545

14

1.92

0.191

0.789

Ecuación de eontinuidad:

(0.664 - 0.473 - 0.191) m'/s = 0.0 m3/s


285

I-IIDI!ÁlIlICA DE TUBERíAS

286

Corrección en la cabeza d.e la unión: ~

óZ"

-0.528 m

Segunda iteración Tubo

H Jm)

1-U

!

(m)

Q

'Z h m

(pulg)

(m/s)

. (m'/s) ..

(m)

11528

9.86

24

2.26

0660

43472

40.51

18

2.86

0470

1.669 ----2.960

I 18472

17677

193 14 ----'-

0.191

0.795

U-2 U3

r-~-~

!

+

-"'~"'~--


(0.660

0470 - 0.191) m"/s

~

-0.001 m3/s


LlZ;.

~

-0.0255 m

Dado que en esta última iteración el cambio en la cabeza de la unión es pequeño (2.55 cm), el proceso debe parar. Los resultados finales para este tercer caso son:

I

d !-!,

Id

U _2

Id

_ U J

24 pulgadas 18 pulgadas

~

14 pulgadas

El efecto de la bomba que produce una cabeza de 50 m es el de reducir tanto el diámetro de la tubería 1'"U corno el diámetro de la tubería U~2, sobre la cual se encuentra colocada. Es importante anotar que en el casO 3 del problema se requirieron únicamente dos iteraciones debido a que la suposición original se hizo teniendo en cuenta los resultados del caso 2.

ANÁLISIS DE I!EDreS DE TUBERíAS l!flJES ABIER1AS

PROBEEMAS

Para todos los problemas de este capítulo se puede suponer que los diúmetros reales son iguales a los nominales comerciales de las tuberías. La base de diámetros es: 2, 2 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14. 18,20,24,30,36,42, 48,60 Y72 pulgadas. De no especificarse una temperatura dífereme para el agua, se debe trabajar con 15°C. Para esta temperatura, el agua tiene las siguientes características: 1

/

0

,

p

999,1 kg/mc;

¡L

1,14

v

1,141 X 1Q

X

10-" Pas 6

m2/s

6.1

Resuelva el ejemplo 6.1 suponiendo que todas las tuberías son ele PVC, con una rugosidad absoluta dc 0.00000 15 111. ¿Cuál es el efecto de la rugosidad sobre los caudales que llegan a los embalses y sobre las cabezas piezométricas en las dos uniones?

6.2

Resuelva el ejemplo 6.1 teniendo en cuenta que la cota del embalse B cambia a 31 m. ¿Qué sucede en este caso con la dirección del flujo en la tubería Ul-B?

6.3

Calcule los caudales de llegada a los seis embalses mostrados en 1a figura P6.3. Todas las tuberías son de hierro galvanizado (ks = 0.15 mm). Las longitudes, los diámetros y los coeficientes globales de pérdidas menores son los indicados en dicha figura. E

8.4

Cota '1 12

1-'''''-" E

'te;>'

'1)

14m

c

4'

:j ~i

72 íis

287


288

6.4 Resuelva el problema 6.3 teniendo en cuenta que la temperatura del agua cambia a IO"C, para la cual: P

999.7 kglm'

¡;.

1.308 X !O., Pa.s

p

= 1.308 X !O" m'/s

¿Cuál es el efecto del cambio de temperatura sobre los caudales de llegada a los seis embalses? 6.5

Resuelva el problema 6.3 teniendo en cuenta que el material de todas las tuberías cambia a PVC con nna rugosidad de 0.0000015 m.

6.6 Calcule los caudales de llegada a los cuatro embalses mostrados en la figura P6.6. Todas las tuberías son de PVC (k, = 0.0015 mm). Las longitudes, los diámetros y los coeficientes globales de pérdidas menores son los mostrádos en dicha figura.

,,)--":"'I~:;:"-1

Cota 104

FiguraP6.6

6.7 Resuelva el prohlema 6.6 teniendo en cuenta que se desea que el caudal de llegada al embalse I sea nnlo (O Us). ¿Cuál sería el coeficiénte de pérdidas menores de la válvula que debería colocarse en la tubería E·U1 para que se cumpliera esa condición? ¿Cómo se afectan los caudales de llegada a los otros tres embalses?


289

290


6.13 Resuelva el problema 6.11 aumentando el caudal demandado en el embalse 2 a 350 l/s. ¿ Qué cambios se presentan en los diámetros de toda la red? Explique por qué un cambio en una de las demandas puede afectar el diseño de todo el sistema interconectado. 6.14 Diseñe la red abierta mostrada en la figura P6.1A teniendo en cuenta que el material de todas las tuberías es hierro fundido (k" = 0.26 mm). En la figura se indican las longitudes y los coeficientes globales de pérdidas menores de cada una de las tubelÍas, al igual que los caudales demandados en cada uno de los embalses.

f-'¡¡:::--; COii1

100

/I;:-_'-....l

...I..->;215

i}s

/>---1-::;¡;t:~COia27 314 lis

94 ifs

Figura P6.14

6.15 Resuelva el problema anterior teniendo en cuenta que el material de todas las tuberías cambia a PVC ¿Cuál es el efecto sobre los diámetros de é3tas y sobre las cabezas piezométricas en cada una de las uniones? 6.16 Resuelva el ejemplo 6.3 teniendo en cuenta que el material de las tuberías es PVC (k" "'" 0,00'15 mm) y que se mantienen los mjsmos coeficientes globales de pérdidas menores. 6.17 Resuelva el ejemplo 6.3 para una bomba que produzca una cabeza de 90 m. Compare los resultados que se obtengan con los encontrados en dicho ejemplo para las tres bombas considerad.as. 6.18 Diseñe la red mostrada en la figura P6.l8. La bomba B 1 produce una cabeza de 35 m y la bomba B2 produce una cabeza de 70 m.

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERIAS REDES ABIERTAS

291

Todas las tuberias deben ser de hierro galvanizado (k = 0.15 mm).

E~ l~ .•~ts~~~~)iry?if~n:lo~ c~ll~~e~. ~~i11an
tuberías.

Figura P6.18

de, pér~idas

me~ores,

de, llis

292

HIDRÁUUCA'DE TUBERíAS

BIBLlOGRAFfA

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capítulo está dedicado a la presentación de los diferentes métodos que se utilizan para análisis y diseño de redes cerradas de tuberías o redes de distribución en sistemas de asteeimiento de agua. Tal como se mencionó en el capítulo anterior estas redes se eterizan por tener al menos un circuito cenado, garantizándose así que cualquier zona bierta por la red sea alcanzada simultáneamente por más de una tubeJia, con el objetivo aUmentar la confiabilidad del abastecimiento. Al igual que para el caso de redes abiertas y de tuberías en serie y en paralelo, los todos de análisis y diseño de redes celTadas se basan en las ecuaciones y algoritmOs san-ollados en el capftulo 2. De nuevo, a nivel metodológico se plantearán los principios nerales del análisis de este tipo de redes y de las ecuaciones resultantes, y luego se cribirán los diferentes métodos. A lo largo del capítulo se presentan los métodos más utilizados en el análisis y diseño, Oobedece a dos hechos importantes. En pllmer lugar, los métodos más modernos están ados en los más antiguos, los cuales en términos matemáticos son más sencillos pero nieren un mayor número de iteraciones para llegar a un resultado final. La necesidad de illuir los tiempos de análisis en computador. aspecto importante en las décadas de y 1980, impulsó el desarrollo de nuevos métodos, En segundo lugar, en el mercado n programas comerciales basados en diferentes métodos de análisis. Por consiguiente, onante que los ingenieros encargados del diseño, construcción y operación de redes eductos conozcan la base matemática de los programas a su alcance. orden cronológico se presentarán los siguientes métodos de análisis y diseño de cerradas.

HIDRÁULICA DE TUBERfA5

296

Método de Hardy-Cross con corrección de caudales en los circuitos Método de Hardy-Cross con corrección de cabezas en los nodos Método de Newton-Raphson Método de la teoría lineal Método del gradiente hidráulico La primera parte del capítulo se dedica al análisis o comprobación de diseño de las redes cerradas. En este sentido se determinarán los caudales en cada una de las tuberías y las presiones o cabezas en cada uno de los nodos de la red dadas unas condiciones de topografía, de caudales demandados en los nodos y de cabezas fijas en los nodos de entrada a la red. Al final de esta parte se presenta una corta descripción de los diferentes programas comerciales para el análisis de redes de acueductos. En la segunda parte del capítulo se introducen dos tópicos avanzados relacionados con este tipo de redes de tuberías: el diseño optimizado de redes nuevas y el diseño optimizado de redes existentes.

PRIMERA PARTE: ANÁLISIS DE REDES CERRADAS PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE ANÁLISIS DE REDES CERRADAS Si se considera la red cerrada mostrada en la figura 7.1 y se tiene en cuenta que 001' 002' 0D3' 004"'" Qo N" son los caudales consumidos en cada uno de los nodos, algunos de los cuales podrian tener un valor nulo en un momento dado, y que 0ei' 0e21 0e3"'" Qem son los caudales que alimentan la red de distribución, se puede establecer la siguiente ecuación: Ni!

~

{~

, Oc =

~

jo,'

(7.1 )

OD

donde Nu es el número de uniones (nodos) que existe en la red.

1

4 "

1 _6

2

7/ 0m

5

_"

4 3 8 / ODiJ 9 /Omi0 7

6

+ /

°Df2

8

14/'001415

13

12

/O~c

9

°013

16

10

1,7

18

Figura 7.1 Red cerrada. Caudales consumidos en los nodos y caudales de alimentación a la red.

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERrAS. REDES CERRADAS

297

La ecuación 7.1 es una ecuación de conservación de la masa. Por otro lado, para cada uno de los nodos se puede establecer una ecuación similar, debido a que localmente se debe cumplir el que la masa se conserve, Dicha ecuación es:

(7.2)

donde N~ es el número de tubos que llegan al nodo í y Di! representa el caudal que pasa por la tubería íj hacia el nodo i desde el nodo j. Puede ser positivo (va hacia el nodo 1) o negativo (sale de dicho nodo). Para cada uno de los caudales QI} de la ecuación 7.2 se puede plantear la siguiente ecuación de conservación de la energía entre los nodos ¡y j, incluyendo las pérdidas por fricción y las pérdidas menores:

Si se despeja O¡j de esta última ecuación se obtiene la siguiente expresión, la cual relaciona el caudal que por la tubería ij con las cabezas en los nodos ¡ y j.

(7.3)

Si se remplaza este último resultado en la ecuación 7.2 se obtiene:

298


o

(7.4)

donde N0 representa el número de tuberías que llega a la unión (nodo) i. A fin de tener en cuenta en forma automática el signo del caudall} la ecuación 7.3 se puede cambiar por la siguiente expresión:

9 ,

A, -(_H-'---i--.H-'--¡.~J'i' ~

(h - H¡I)"

(7.5)

'22k+f!L m '1 d '1

Este tipo de ecuaciones para el diseño y análisis de redes. cerradas de tuberías se conocen como las ecuaciones de cabeza. En la red se tienen en total (Nu-1) ecuaciones de este tipo, debiéndose conocer H, o cualquier otra cabeza en la red para poder solucionar dichas ecuaciones. En caso contrario se puede suponer alguna de las cabezas, ya que los valores absolutos de éstas no afectan la distribución de caudales, y además debe tenerse en cuenta que las ecuaciones de cabeza son ecuaciones no lineales. Por otl"O lado, a partir de los circuitos de tubos que conforman la red, los cuales pueden ser adyacentes o supel1Juestos, se pueden plantear las siguientes ecuaciones: Ecuación de contínuidad en las uniones que conforman el circuito:

iVT;

'22

j'·1

o" -

QD'

=O

(7.2)

Ecuación de conservación de la energía alrededor del circuito:

NF'¡

iVr'{

'22 1 h", + j='22 , h"" ~ O

(7.6)

i~

donde NT'¡ es el número de tubos del circuito i. Luego, si se utiliza la ecuación de Darcy-Weisbach en esta última ecuación, se obtiene la siguiente expresión:

ANÁLISIS DE [,EDES DE TUBERíAS. REDES CEI
~ 2V~9 (L k

i'~l

.+ f (ml!J

299

!L. LO di!)

(7.7)

Las ecuaciones de tipo 7.7 se conocen corno las ecuaciones de caudal de la red.En total se tienen NC ecuaciones de caudal, donde NC es el número de circuitos que conforman la red, Nuevamente se puede observar que son ecuaciones no lineales, Lo anterior implica que para el análisis de la red cerrada se tienen en total

NC

+ (NU - 1)

ecuaciones que pueden ser utilizadas para encontrar las cabezas en cada nodo, una de las cuales debe ser conocida o supuesta, y los caudales en cada uno de los tubos que conforman la red. Sin embargo, este C01Jjunto de ecuaciones no puede ser resuelto fácilmente debido a su naturaleza no lineal. Una vez más debe establecerse una convención de signos para las ecuaciones de caudal 7.7. Los caudales en el circuito se consideran positivos si giran en el sentido de las agujas del reloj y negativos si lo hacen en sentido cóntrario. Para asegurar una correcta asignación del signo, estas ecuaciones se pueden transformar tal como se indica a continuación:

(7.8)

Los métodos de análisis de redes de tuberías utilizan conjuntos de ecuaciones de cabeza y de caudal para solucion,arla red. En todos los casos se conocen los diámetros y rugosidades de las tuberías, lo cual implica en realidad se trata de procesos de comprobación de diseño y no de diseños en sí. Sin embargo, en progr',m"s de diseño, con función objetivo de tipo optimización de costos, estos métodos de análisis deben nformar alguna de las subrutinas del programa. ÉTODO DE HARDV-CROSS CON CORRECCiÓN DE CAUDALES

método para resolver las ecuaciones 7.4 Y7.7 fue desarrollado por el ingeniero norteamericano H. Cross 1936. El método original se basa en suponer los caudales en cada uno de los tubos de la red e ir conigiendo Suposición. Dado que todas las características de la tubería (d, k s' L km' 0 se conocen, el método es un ceso de comprobación de diseño.


300

La corrección de los caudales en cada uno de los ciclos de cálculo se hace de la siguiente manera. Primero se supone un error D..Q¡ en el circuito i. Por consiguiente, para ese tubo las pérdidas reales son:

h + 2: h . = {'!

mI}

(1 .i '1

d..

J

+ 2: k . (O, 2+gA~ !lO,)' mI)

JI

IJ

Si se define una cabeza que incluya la cabeza perdida por fricción y la cabeza perdida por accesorios, en la siguiente forma:

h¡f.¡.

+ 2:

h

{(¡JI

la anterior ecuaci6n se convierte en:

o,~

+

2

o, !lo, + !lO; 2 gAf~

El ténnino D.. Q¡2 puede ser despreciado en el segundo paréntesis de la parte derecha de esta última ecuación, ya que su orden de magnitud es pequeño comparado con los demás sumandos; luego:

q~

+ 2 O;¡ LlO,. 2 gA~

Ahora, utilizando la ecuación 7.8 se tiene que:

Despejando /10¡ se obtiene la siguiente ecuación para el cálculo del factor de corrección de caudales cada uno de los ciclos de cálculo:

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERIAS REDES CERRADAS

301

(7.9)

Esta última ecuación también puede ser escrita en la siguiente forma:

(7.10)

Método de HardY-Cross con corrección de caudales: pasos que se deben seguir en el análisis El análisis de una red de distribución de agua según el método de Hardy-Cross con corrección de caudales en los circuitos propone los pasos siguientes:

1. Se define claramente la geometría de la red, identificando en forma coherente los nodos y los circuitos. Si existe más de un nodo con cabeza constante (tanque en la red o embalse), es necesario conectarlos en

pares por medio de tuberías hipotéticas que pueden ser representadas por líneas punteadas. En estas tuberías hipotéticas se deben suponer diámetros, longitudes y rugosidades absolutas, de tal manera que se pueda calcular el caudal correspondiente a las diferencias de nivel entre los diferentes pares de embalses o tanques. En las correcciones de caudales, los tubos hipotéticos no deben ser incluidos, lo cual sí debe hacerse en el cálculo de las pérdidas de cabeza (por fricción y por accesorios). Se suponen todos los diámetros de la tubería que confonnan la red. Tal paso convierte este método en un proceso de comprobación de diseño. Se supone que la red está compuesta por circuitos cerrados en cualquier orden. Con el fin de acelerar la convergencia se puede suponer que los tubos de diámetros' grandes foiman circuitos independientes. Se deben utilizar tantos circuitos como sea necesmio para asegurar que todos los tubos queden incluidos en por lo menos un circuito, Se supone el caudal a partir de cualquiera de las tuberías de la red. Luego se procede alrededor del circuito que contiene esta tubelÍa para calcular los caudales en las demás tubelÍas que conforman el circuito teniendo en cuenta los caudales que salen de las uniones (caudales negativos) y los que entran a ellas (caudales positivos). Si los flujos hacia o desde otro circuito son desconocidos, se deben suponer los

302

HIDRÁULICA DE TUBFI,íAS

caudales COlTcspondientcs. Esto significa que se deben hacer tantas suposiciones de caudales como circuitos existan en la red que se está analizando. Cuanto mejores sean estas suposiciones más rápidamente convergerá el método. La experiencia ayuda mucho en este aspecto.

6. Se calcula la pérdida de cabeza en cada tubería de la red utilizando la siguiente ecuación (de Darcy~ Weisbach), si bien podría emplearse cualquier ecuación de resistencia fluida, tal como la de HazenWilliams (capítulo 3):

O'

(7.11)

--"-

2 gA% El factor de fticción fse calcula utilizando la ecuación de Colebrook-White presentada en el capítulo t:

k

2.51 )

(1.67)

-210g" ( 3.7' d + Re ~f junto con el diagrama de flujo 2a ü 2b.

7. Se calcula la pérdida neta de cabeza alrededor del circuito, es decir, se suman las pérdidas de cabeza y restando las "adiciones" de cabeza siempre medidas en el sentido de las agujas del reloj. Si la pérdida neta de cabeza no es cero, se procede a corregir los caudales de cada una de las tubetias del circuito mediante la ecuación 7.10:

(7.10)

8. Si en alguna de las tuberías del circuito existe una bomba centrífuga se debe restar la cabeza generada por ésta de las pérdidas en la tubería antes de hacer el cálculo de la corrección de caudales /:;,,0: '!

9. Los pasos 5 a 8 se repiten para todos los circuitos teniendo en cuenta los caudales corregidos en los circuitos calculados previamente. 10. Lo's pasos 5 a 9 se repiten hasta que el balance de cabezas alrededor de todos los circúitos (ecuaci6n ~e conservaci6n de la energía) llegue a valores razonablemente cercanos a cero. Este criterio de convergenCia es fijado por el diseñador de acuerdo con las características de la red que esté analizando.

ANÁLISIS DE [
303

MÉTODO DE HARDY-CROSS CON CORRECCiÓN DE CABEZAS

Ésta es una modificación al método de Hardy-Cross hecha por R. J. Cornish (1939-1940) la cual, en esencia, es muy similar al método de balance de cantidad utilizado para el diseño y la comprobación de diseño en el caso de redes abiertas, visto en el capítulo anterior.

El método de Hardy-Cross con corrección de cabezas se utiliza para resolver las ecuaciones de cabeza como las establecidas anteriormente. De nuevo se utiliza la ecuación de Darcy-Weisbach para el cálculo de las pérdidas por fricción, aunque se podría recurrir a cualquierecuaci6n de resistencia fluida. Las ecuaciones del método son, por consiguiente:

lr '. . I.Jl' ,,-9A'l H - H

q

=

¿k +fJ, mil '1 d ¡ i

'1

2

(7.3)

En vez de suponer los caudales en cada uno de los tubos de la red, esta variación supone la cabeza en cada (Nu~ 1) nodos de ésta (la cabeza en uno de los nodos es conocida o en su defecto tiene que ser supmosta por el diseñador). Luego se ajustan las cabezas supuestas, nodo por nodo, hasta completar todos jos nodos de la red. El proceso se repite hasta que la ecuación de continuidad llega a valores "10 suficientemente Cercanos" a cero en todos los nodos. Esta cercanía es fijada por el diseñador de acuerdo con su criterio y con red que se esté diseñando.

).lno de los

El factor que se utiliza para corregir las cabezas en cada uno de los nodos se calcula tal como se explica acontinuaci6n. Si se supone que la cabeza Hi del nodo ¡ está subestimada o sobrestimada, la ecuación 7.3 se ~onvierte en:

(7.12)

De donde se obtiene la siguiente ecuación:

HIDRÁULICA DE TLlBERíAS

304

Q= "

(

H+flLi d)'

(7.13)

l'

11

mi!

"

Si se toma el último término de la derecha de la ecuación 7.13 y se utiliza el teorema del binomio se obtiene:

,

,

1

-2 (H - H)"

I((H} - H,) - !'>H,)I' = (H¡ - H,)'

I

1

!'>H

I

¡

1

3

+ -8 (Hf - H)-' !'>H' I

J

1 " 5 (H - H)-' !'>H' + ... H .. H)-' !'>H' + 16 ( i 128 I j

I

I

¡

I

Al eliminar los términos que involucran las potencias altas de D.H¡, ya que son muy pequeños en comparación con los demás términos, se llega a:

j

j

I((H, - H,) - áH,)I' = (H, - H,)'

1

2 (H}

-~

(7.14)

- H,) , !'>H,

Luego, al remplazar esta última ecuación en la ecuación 7.13 se obtiene:

{:29 A, "

[(H _ H)L

1 )" ¿;k , +f..'L ' If d;¡ (

,

'

2 (H

2'

- H)-¡ !'>H)

'

.

m!j

Para todas las tuberías que llegan al nodo i se puede plantear la siguiente ecuación:

NT¡

¿;

i~

Si se remplaza los Q,! se llega a:

1

o, -

Q" = O


305

En esta última ecuación se pueden identificar con facilidad los caudales Qijen cada una de las tuberías.

Luego:

NT¡

::s O¡

i~

1

-

QDi -

ÁH,

NT¡

2

j= ,

::s

Ü¡¡

H¡ - H,

=O

Finalmente, al despejar el factor de corrección para las cabezas en los nodos de la red se obtiene:

(7.15)

En esta última ecuación, cada uno de los caudales Oij se calcula teniendo en cuenta las cabezas estimadas ya corregidas en uniones anteriores. Por supuesto, estas últimas se calculan de acuerdo con: (7.16)

Donde los subíndices ky (k-1) indican la iteración que se está haciendo y la iteración anterior. Ahora, la ación que se utiliza para el cálculo de los caudales sigue siendo la ecuación 7.3:

(7.3)

Il caso de que en alguna de las tuberías que conforrnanla red exista una bomba rotodinámica, la cabeza anal introducida por ésta afecta el caudal respectivo. Si la ecuación de la bomba es de la forma:

306

HIDRÁULICA DF TUBERíAS

entonces, para la tubería ij se debe cumplir la siguiente ecuación:

/ H-H=f-"! d I

I1

Q: '. ("Zk

2 gA 2 +

"

¡¡

tri.)

0,;. -

2 A2 9 JI

I Aa"

\

'1

+ BQ'J +

el]

(7.] 7)

Dado que esta ecuación es de la forma:

aQ,: + bO,! + e

Qi}

=O

podrá calcularse fácilmente.

Método de Hardy-Cross con corrección de cabezas: pasos que se deben seguir en el análisis El análisis de una red de distribución de agua según el método de Hardy-Cross con corrección de cabezas en los nodos de la red propone los pasos siguientes:

L Se define claramente la geometría de la red identificando en forma coherente los nodos y los circuitos. 2. Se supone la cabeza piezométrica en cada uno de los nodos de la red, excepto en aqucHos en los que la cabeza sea fija (debe existir al menos un nodo con esta característica). Cuanto mejor sea -la estimación inicial de estas cabezas más rápidamente convergerá el método. 3, Se calcula el caudal en cada una de las tuberías mediante la siguiente ecuación:

(73)

El factor de fricción f de Darcy se calcula utilizando la ecuación de CoJebrook-White (capítulo 1):

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERíAS. REDES CERRADAS

307

~ = ~2109W(~ + ~J ;jf 3.7 d Re {f y algún método numérico, ya que el número de Reynolds Re es función del caudal flujo 2a o 2b).

(1.67)

Q¡j'

(ver diagrama de

4. Se calcula la ecuación de continuidad para alguno de los nodos. Si ésta no arroja un resultado razonablemente similar a cero, se debe corregir la cabeza en este nodo utilizando la ecuación 7.15:

(7.15)

Los caudales Q¡¡ y las cabezas (H¡ - H) se consideran positivos si se dirigen hacia el nodo respectivo, es decir, si el caudal entra al nodo y si H¡cs mayor que H,.

5. Se conige la cabeza en cada uno de los nodos de cabeza variable de la red, es decir, repetir los pasos 3 y ,4 para cada nodo. 6. El proceso se detiene en el momento en que la suma de caudales en cada nodo sea razonableménte similar a cero. El margen de error en esta aproximación debe ser fijado por el diseñador de acuerdo con su experiencia y con la red que se esté analizando. En caso de que algllllo de los nodos no cumpla con esta condición se deben repetir los pasos 3, 4 Y5.

Com~laración

entre las dos formas del método de Hardy-Cross

La principal ventaja del método de Hardy-Cross con corrección de caudales estriba en que requiere menos lteraci,omos para llegar al mismo grado de convergencia, especialmente si el sistema se encuentra muy desbalanceado por las condiciones iniciales supuestas. El análisis con corrección de cabezas converge más lentamente debido a que las correcciones de caudales se hacen en una tubería cada vez, mientras que en el otro método se conigen todos los caudales del circuito en fanna simultánea. Sin embargo, el análisis con corrección de cabezas tiene una gran ventaja: la preparación de los datos iniciales. Es muy fácil suponer las cabezas inicialmente; en cambio suponer los caudales en cada tubería y que éstos cumplan con la ecuación de conservación de la ma<¡a (continuidad) en cada nodo puede r un proceso complicado, además de lento. El esfuerzo requerido en la preparación de los datos y su terpretación inicial acaba.-.pronto con la ventaja de convergencia rápida del método con corrección de audales, lo cual es especialmente cielto cuando el análisis se realiza con ayuda del computador; unas cuantas raciones extra hoy en día significan unos pocos segundos adicionales de proceso.


308

Por otro Jado, el diseño de redes de acueducto utilizando los métodos de análisis de redes cerradas es un proceso, en esencia, de prueba y error, ya que no se conocen los diámetros. En ocasiones es necesario cambiar varias veces los diámetros para llegar a un buen diseño. Este hecho hace que el cálculo de los caudales iniciales sea un proceso tedioso. Por esta razón es más útil el método de Hardy-Cross con corrección de cabezas. En los ejemplos 7.1 Y7.2 se muestran los métodos de Hardy-Cross con corrección de caudales y corrección de cabezas, respectivamente. Se utilizan para ilustrar los conceptos comparativos anteríonnente expuestos.

Ejemplo 7.1

Método de Hardy-Cross con corrección de caudales La red mostrada en la siguiente figura tiene una válvula en la tubería 2-3, la clUll seel1clletltra parcialmente cerrada y produce una pérdidafilen()r local de 10.0 v2;/2g, la presión en el ponto I es 100mca. Analizarlos candales y presiones en la red. Los diámetros (en pulgadas) y las longitudes (el1 metros) para cada una de las tuberías son los indicados. Los caudales están dados en· l/s;

SOOm

300 m

CD 8"

6

3

40

6" 4" 200m

4" 200m

® 4QOm

600 m 40

400 m

10"

200 10"

60 2

4

5

30

k,

~

mm

30

Figura 7.2 Ejemplo del método de HardY8Cross con corrección· de caudales.

Se puede suponer que en todos los tubos, salvo en la tubería 2~3, las pérdidas menores son despreciables. La primera suposición de caudales en las tuberías pue4e ser:

ANÁLISIS DE REDES DE TlIBERIAS. REDES CERRADAS

Tubo

1-2

Caudal

120

2-3

309

3-4

4-5

2-5

5-6

1-6

10

-20

10

-40

SO

(lis) como se muestra que:da ,clm" el po,rqulé de loS!;;gnos de los caudales

60

1.+:..----_----1-t:+-_---r.;-+40 2 3 10

(h, + :¡; h,,)IQ

(mlm'ls) 0,01569

8.82699

73,5582

0,02045

3,12222

312,2225 100,1740 30.4912 516.4459

HIDRAuLlCA DE TUBERíAS

310

Mediante la ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal:

/lO Circuito

Tubería

- - - _... ----2 2·3

= -0.005328 m3/s

Caudal

h f + 2: hm (h,

f

(mO/s)

._- -----0.05000 0.01731 ..

(mlm'/s)

(m) .

+ ¡ h,,)/Q

21.22958

424.5916

2·5

···000467

0.02274

-0.75786

162.2041

3·4

0.01000

0.02046

3.12311

}1~~

5·4

-0.02000

001890

-3.03997

151.9987

2:

205548

1051.1052

Al utilizar la ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal:

/lO

= -0.009778 m'/s

Segundo ciclo Circuito

Tubería

Caudal

f

h¡

(mO/s)

1

+ 2:

h m (h, +:¡; h.l/G

(mí

(mlm'/s)

1·2

0.11467

0.01574

8.08972

705464

2·5

0.01445

0.01967

6.26973

433.8909

5·6

-0.04533

0.01726

-5.07524

111932

6·1

-0.08533

0.01616

-2.75792

32.3215

2:

6.5263

648.7265


/lO

= -0005030 mO/s


Circuito

Tubarla

Caudal

f

h,+ '2.hm

(m'/s) 2

311

(n, + ¡

h,,)/G

(m)

(mlm'/s)

2-3

0.04022

0.01761

13.93041

346.3358

2-5

-0.00942

0.02060

-2.79059

296.2427

3-4

0.00022

0.04687

0.00353

15.9027

5-4

-0.02978

0.01810

-6.45078

216.6309

¡

4.6926

875,1121

La ecuación 7~lO lleva al cálculo de la eorrecdóu·de caudal: ~Q = -0,002681

m'js

Tercer ciclo Circuito

Tubarla

Caudal

h,nhm (h, + ¡ h,,)/G

f

(m'/s) 1

1-2

(m)

0,10964

0.01580

2-5

0.01210

!>-6

-0.05036

6-1

-0.09036

(mlm'/s)

7.42255

67.8979

0.02002

4.47563

369,8637

0.01708

6.19715

123.0624

0.01607

...3,07615

34.04415

¡

2.6249

594.6582

Al utilizar la ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal: ~Q =

Circuito

Tubaria

-0.002207 m3js

Caudal

h,+ ¡hm (h, + ¡ h,,)IC

f

(m'/s) 2

(m)

(mlm'/s)

2-3

0.03754

0.01771

12.19377

324,8108

2-5

-0,00989

0.02048

...3,06059

309,3373

3-4

0.00246

0,02551

~0.23546

95.7577

5-4

-0.03246

0.01795

...7,60129

234,1823

¡

1,2964

964.0881

HIDRÁULICA DE TUBERrAS

312


ilO = -0.000672 m 3/s Cuarto ciclo Circuito

Tubería

Caudal

f

3

(m /s)

1

h, + 2: hm

(h, + 2: h.)/C

(m)

(m/m'/s)

1·2

0.10744

0.01583

7.13879

66.4474

2-5

0.01057

0.02033

3.48427

5-8

-005256

0.01700

-6.72352

327.8573 --.•----1279091

6-1

-0.09256

0.01603

-3.22112

34.7985

0.6584

557.0123

¿

La ecuación 7.10 lleva al cálculo de la corrección de caudal:

ilO Circuito

Tuberla

= -0.000591 m3/s

Caudal

f

(m'/s)

2

h,+ L hm

(h,+ I hm)/Q

(m)

(m/m'/s)

2-3

0.03687

0.01774

11.77619

319.4083

2-5

-0.00998

0.02046

-3.10815

311.5832

3-4

0.00154

0.02437

0.36473

116.4819

5-4

-0.03313

0.01791

-7.90423

238.5733

0.3991

938.54123

Al utilizar la ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal:

ilO

= -0000202

m3/s

Como las sumatorias de las pérdidas por fricción y de las pérdidas menores (h¡ + ¿ hm) son pequeñas ~n los dos circuitos, el proceso debe parar. Esto significa que se está cumpliendo la ecuación de conservación


3]3

de la energía en cada 'circuito. En el momento de parar el proceso las correcciones de caudales (/la) resultantes eran muy pequeñas. Los resultados que se obtuvieron, ,en forma resumida, son:

Tubo

1·2 I 2·3

3-4

Caudal

106.60 36.60

3.40

2-5

4·5

1-6

5-6

33.40 10.10 53.30 93.30

(lis)

106.601ps 10,101ps 5

93.301ps

53,301ps

40lps

3

3.401ps

40lps

4 33,4Qlps

6

36.601ps

30lps

30lps

FIgura 7.4 Resultados de caudales en les tuberras.

Nodo

1

2

3

4

5

6

Presión (m)

100

92,96

81,35

81.77

89.80

96.72

92,96 m

89,BOm 1

1

51

Sl.35m 81.77 1 1

4'

Figura 7.5 Resultados de las cabezas en los nodos. resión pueden variar su valor dependiendo de la len. Tal variación se debe a que en el momento de pararei proceso no se tiene nná precisí6n absoluta en los caudales. Sin embargo, las diferencias son pequeñas. Esle hecho es válido para los ejemplos de todo este capítulo.


314

Ejemplo 7.2 Método de Hardy-Cross con corrección de cabezas Resolver el problema del ejemplo 7.1 utilizando el método de Hardy-Cross con corrección de cabezas. En este caso, la ecuación resultante para cada mberia es una ecuación de comprobación de diseño, tal como se definió en el capítulo 2. Luego, para cada una de ellas se debe utilizar el diagrama de flujo 1 con las siguientes ecuaciones:

v=

_-_2~:=.-.-,- I09.c(~ + 3.7 d

'.

251_{!_J d {2 gdh,

(2.3)

y: (2.1')

Las suposicionesiniciale.s para las cabezas píezométricas en cada uno de los nodos de la red, teniendo el nodo 1 como el de cabeza fija e igual a 100 metros, son las siguientes:

Nodo Presión (m)

2

3

4

5

6

92

80

75

90

95

1

100m

2

3

92m

80m

90m

75m 5

4

95 m 6

Figura 7.6 Suposición de cabezas en cada uno de los nodos de la red.

. . . -,........,,~ ""',. ~-, ....~. "" ,. ANÁLISIS DE REDES DE TUBERíAS. REDES CERRADAS

I

-----~

La única tubería que necesita un proceso iterativo es la tubería 2-3, ya

'""". '""

. ... •. coeficienteeskm ==10~O.EI nodo 1 no se c,orrige. puesto que en éste la

,

cabeza es fija e igual a 100 metros.

I

Primer ciclo

NODO

TUBO

2

1-2

2·5

92 92

100 80

92

h, 8.000 12.000 9.398 9.984 9.853 9.882 9.876

90

a

Q/h,

0.1140

0.01425

9.877

-0.0372

0.00310

2.000

-0.0079

0.00394 0.02130

-o,

-0.0600

};

0.0089

Luego; mediante la ecuación 7.15 se calcula la corrección de cat.ezals,

córi elsiguiél1te resultado: tl.H¡

0.8350 m

Nodo

Tubo

H,

H,

3

3-2

80

92.835

h

Q

Q/h,

12.835 10.044 10.674

.

10.532 10.564

.

3-4

80

75.000

10.559

0.0386

0.00300

5.000

-0.0128

0.00257

-Q"

-0.0400

¡;

-0.0143

0.00557

315

HIDRÁULICA DE fUBEfiiAS

316 .........

..

Posterionnente, al utilizar la ecuación 7,15 se calcula la corrección de cabezas, con el siguiente resultado:

tlH,

~

5.1265 m I

Nodo

Tubo

H¡

H

4

4-3 4-5

75

74.8735

0.127

-0.0017 0.01387

75

90000

15000

0.0463 0.00309 0.01687

Q

h¡

Glh¡

-001 -0.0300 I

0.0145

Así, la corrección de cabeza en el nodo 4 es:

tlH¡

~

1.7249 m

Nodo

Tubo

H,

H,

h,

5

5-2

90 90

92.835 76.725

13.275

90

95.000

5000

5-4 5-6

Q

2835

-DoI ¿;

Glh,

0.0095 0.00335 -0.0434 0.00327 00450 0.00899 001562 -00300 -0.0190

Luego, la cabeza en el nodo 5 se debe corregir en:

tlH,

Nodo

Tubo

H¡

6

6-1

95

6-5

95

~

-2.4296 m

H.¡ 100 87.570

Q

h,

Glh,

5.000

01165 0.02329

7430

-0.0554 0.00746 0.03075

-QOi

-00400

¿;

00211

ANÁUSIS DE REDES DE TUBERíAS. REDES CERRADAS

La corrección de cabeza en el nodo 6 es:

AH,

=

1.3700 m

317


318

La ecuación 7.15 lleva al cálculo de la corrección de cabezas, con el siguiente resultado:

!:!.H,

~

3.5445 m

Nodo

Tubo

H¡

H¡

h,

4

4-3

76.725

78.418

1.693

00072 000426

4-5

76.725

87.570

10.846

00391 000360

Q

OIh¡

0.00786

-Oc.

-0.0300

2:

00163

Luego, la corrección de la cabeza en el nodo 4 es:

!:!.H,

Nodo

Tubo

~

4.1473 m

H¡

H¡

h,

Q

OIh¡

.

5

5-2

87.570

91.699

4.128

00116

0.00281

5-4

87570

80.872

6698

-0.0304

0.00453

5-6

87.570

96370

8.800

00605

000688 001422

-QUi

-0.0300

2:

00118

La cabeza en el nodo 5 se debe corregir en:

!:!.H,

~

1.6534 m j

Nodo

Tubo

H¡

6

6-1

96370

6-5

96370

H¡

100 89.224

Q

h¡

OIh¡

3.630

0.0985 0.02715

7.146

·0.0543 000760 003474

-

-00,

-00400

2:

00043


319

La corrección de la cabeza en el nodo 6 es: AH,

=

0.2454 m

Tercer ciclo Q

Qfh,

0.1162

0.01400

-0.0392

0.00295

-0.0088

0.00357 0.02053

-OD

-0.0600

%

0.0081

Q

3-4 - Qf)<

2:

-0.0400 0.0092

Q/h,


320

Al utilizar la ecuación 7,15 se calcula la corrección de cabezas, con el siguiente resultado:

AH¡

Nodo 4

Tubo

2.8601 m

4~3

H, 80.872

H, 81.278

4-5

80.872

89224

h(

Q

Qlh( 0.0033 0.00818

0.406 8.352

0.0341

';';'QOl

-0.0300

;¡;

0.0074

0.00408 0.01227

corrección de la cabeza del nodo 4 es:

AH¡ = 1.2106 m

Nodo

Tubo

5

Q

5-2

H, 89.224

H¡ 92.493

h( 3269

Qlh( 0.0102 0.00313

5-4 5-6

89.224 89.224

82.083 96.615

7.141 7.392

--0.0314 0.00440

-GOl ;¡;

....

0.0552 000747 001501 -0.0300 0.0041

corregir en:

AH¡ = 0.5439

Nodo

Tubo

6

6-1

H, 96.615

96.615

H¡ 100

89.768

h( 3.385

Q

6.848

0.0950 -0.0531

--QDI ;¡;

-0.0400 00019

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERfAS REDES CERRADAS

321

HIDRÁULICA DI' TUBFRíi\S

322

Mediante la ecuación 7.15 se calcula la corrección de cabezas, con el siguiente resultado: aH,

03398 m

Nodo

Tubo

H¡

~

4

4-3

82.083

4-5

82.083

Q

Q/h,

81.618

h, 0.465

-00036

0.00770

89768

7685

0.0326

000425

-QOi

-00300

¿;

-0.0009

001195

La corrección en la cabeza en el nodo 4 es:

aH,

Nodo

Tubo

H¡

5

5-2

=

-0.1560 rn

h, 3199

Q

Q/h,

89768

H, 92966

00101

0.00317

5-4

89768

81927

7841

-0.0330

000421

5-6

89768

96723

6955

0.0535

000769

-°0,

-00300

L

00006

001507

La cabeza en el nodo 5 se debe corregir en:

M'( = 0.0856m

Nodo

Tubo

H.,

6

6-1

96723

6-5

96723

H¡

100 89853

Q

Q/h,

h, 3.277

00934

002857

6869

-00532

0.00787 003624

.-

-Doi ¿;

-0.0400 00002


323

La corrección en la cabeza del nodo 6 es: AH, = 0.0135 m Quinto ciclo

Nodo 2

Tubo 2-1

a 92.966 92.966

100

7.034

81.618

11.348

89.853

8.894 9.446 9.322 9.350 9.343 0.345 3.113

0.1066

O/h, 0.01516


324

Mediante la ecuación 7.15 se calcula la corrección de cabezas, con el siguiente resultado: IlH, = -0.1455 m

Nodo

TUbo

4

Q

h(

4-3

/j, 81.927

H¡ 81.472

0.454

Qlh( -0.0035 0.00778

4-5

81.927

89.853

7.927

0.0332 000419 0.01196

-O" -0.0300 };

0.0004

Luego,

= Nodo

Tubo

5

-0.0590 m

81.868

7.986

-0.0333

0.00417

96.736

6.883

0.0532

0.00773

5-4

89853 89853

Q/h(

0.0101

5-2

H¡ 93.008

5-6

Q

h( 3.155

H, 89.853

0.00319

0.01509 -Qf)¡'

-0.0300

};

0.0000

Después:

= Nodo

Tubo

6

6-1

H, 96.736

6-5

96736

-0.0051 m

H¡ 100 89.848

Q

h(

Q/h,

3264

00932

0.02856

6.888

-0.0532

000773 003629

-QOJ

-00400

};

00000


325

Luego:

fj.H, = -0.0018 m En este último ciclo, todas las correcciones para las cabezas piewmétricas en los nodos son p~ueñas, lo cual significa que el proceso ha convergido. LOs resultados finales son:

Tubo

1-2

3-4

4-5

2-5

5-6

1-6

3.5005

33.30

10.00

53.20

93.20

2-3

Caudal 106.60 36.20 (l/s)

36.20 Ips

106.60lps 1000lps

3.501ps

4

5

6

3

C.~~__532t¡;--;;(.~-3:33i:.303tíIPp,s;--330~IPS

..

53.20 Ips

30 Ips

40lps

Figura 7.7 Resultados de los caudales en las tuberías.

Nodo Presión (m)

1

2

3

4

5

6

100

93.008

81.472

81.868

89.848

96.734

100 m

93.008 m

1,;-------=7:.:::L... I I

I

1

89.848 m

81.868 m

I I I

51

Figura 7.8 Resultados de las cabezas de presión en los nodos.

..l8~1~.472 m I I

31


326

MéTODO DE NEWTON-RAPHSON El método de Newton-Raphson es un método numérico que permite la solución de ecuaciones no lineales o cálculo de raíces de ecuaciones, en forma rápida y segura; las ecuaciones pueden ser explícitas o no explícitas: f(x)

=

O

explícita

9 (x)

=

x

no explícita

f(x)

es decir

= 9 (x)

-x

La raíz de la ecuación puede calcularse mediante iteraciones sucesivas siguiendo la regla de Newton. Dicha regla establece que si Xo es una aproximación a la raíz de ~x) entonces Xo + 8Xo es una mejor aproximación, donde:

(7.18)

Esta ecuación resulta de una serie de Taylor para f (Xo + 8X), tal como se muestra a continuación:

f(X ()

+ 8X ) o

=

f(X )

+ f (X ) 8X +

0 0 0

r

(Xol 8X' 2!

+

r

(X,) 8X; 31 ~

Q

+.

(7.19)

donde las primas indican derivadas de la función f. Si Xo + 8Xo es la raíz de la función f, entonces: (7.20)

Si se iguala las ecuaciones 7.19 Y7.20 Ydespreciando los términos de segundo orden y órdenes superiores de 8Xo' se obtiene la siguiente ecuación:

f(XJ

+ df 8X dx

'

df 8X

dx"

= O

(7.21)

= -f(X) "

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERíAS REDES CERI,ADAS

327

Este procedimiento se puede generalizar fácilmente para encontrar las raíces de sistemas de ecuaciones

no lineales. Si se requiere resolver un sistema de N ecuaciones, las mejoras a las raíces aproximadas (XOI ' X021 X03' ' XON ), las cuales son 8X01 ' 8X02 ' 8X03l 8X04 ' 8XON pueden calcularse resolviendo las siguientes N ecuaciones lineales simultáneas:

Xodl

(7.22)

donde:

i

=

1, N

Esta última ecuación puede expresarse en forma matricial si se recurre a la ecuación 7.21 Yresolverse mediante un proceso de eliminación de Gauss. Los elementos conocidos son 8f/8x¡ y ~"La matriz resultante

es:

afi aXi afo aXi

afi aX2 afo axo

af, aXN

afN ax,

afN aX2

afN

axoi axoo

I-f, -fo (7.23)

axd

aXON 1-

L-f,J

La anterior ecuación puede ser resuelta por eliminación gaussiana. En forma general, el sistema 7.23 puede escribirse en fonna más compacta:

r 1-1 Of 1

LOx"

[Ox] ~ [-F]

(7.24)

Donde OffOx denota la primera matriz de la ecuación 7.23 Y Dxy ...,- F denotan las dos matrices columnas; entonces, multiplicando por la matriz inversa:

HIIWÁUIICA DE TUBERí,\s

336

U/oH,

U/oH,

Unión

Tubo

2

1-2

0.1073

00075

2-3

-0.0391

00015

2-5

-00087

00018

3-2

00391

00015

3-4

00138

00012

4-3

-0.0138

0.0012

4-5

00262

0.0026

5-2

00087

0.0018

5-4

-00262

0.0026

5-6

00521

00039

6-1

00879

0.0151

6-5

-00521

0.0039

3 4

5

6

Qi¡

-f.,

-0.01082 -0.00049

-000269 ·-0.01287

-000380

0.01762

----

-0.00834 -000467

-0.01900

000420 J

En forma matricial:

-00108

00015

00000

00018

00000

0.0015 . 00027

0.0012

00000

00000

00012 -0.0038

0.0018

00000

00026

00000

00000

00000

I

dH,

0000

00000

dH3

--0013

00026

00000

dH,

0.016

·00083

0.0039

dH3

-0.005

00039 -00190

dHI¡

0.004

Los resultados para el vector dH¡ son:

dH2

0202

dH3

2954

dH,

-4351

dH\

-0946

dH,

-0417

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERíAS REDES CERRADAS

329

(7.5)

se obtiene:

(7.28)

Es evidente que esta ecuación es de la fonna siguiente:

(7.29)

Es decir: (7.30)

Las ecuaciones 7.29 y 7.30 son válidas para ¡variando entre 1 y Nu; es decir, se tiene un conjunto de ecuaciones que pueden ser resueltas mediante el método de Newton-Raphson. Para aplicar el método (ecuación 7.23) se debe calcular la matriz [Df/Dx]. En este caso:

.EL

81,

8X¡

oH)

.EL

.EL

8X,

oH,

(7.31)

y:

(7.32)


330 donde

~,y ~representan cabezas

en los nodos. Luego:

r

Z {2Q A;; (H Hf' (:z + ti ~j j

jo

j

km;j

-

Alllevar a cabo el proceso de derivación se obtiene:

(7.33)

En esta ecuación Hj debe ser mayor que Ht En caso contrario se debe utilizar el valor absoluto. Por otro lado, para la cabeza H¡ se tiene que:

N,

:z

j = 1

Nuevamente, al desarrollar el proceso de derivación:

(7.34)

y comparar las ecuaciones 7.31 Y7.32 se obtiene:

~=-~ ~ 8H;

j= 1

oH¡

(7.35)

ANÁLISIS DE I
331

En la aplicación del método de Newton-Raphson se deben seguir los siguientes pasos:

1.

Se suponen las cabezas en todos los nodos de la red. Las cabezas fijadas por tanques o embalses deben pennanecer constantes a lo largo del proceso,

2.

Se supone en cada tubo de la red que "2.hm es cero. Luego se calcula el caudal mediante la siguiente ecuación:

~ ·Iog, Ih

G,¡=-2A'J

3.

v,

.0

l

k..,_,,_ __

+ 2.51__

37 d .,

V'I .

(7.36)

Con el caudal calculado se estima la velocidad VjjY las pérdidas menores:

v~

'Z hmi) - (k) m,! 2 9 j

4,

vE]

F" 2 gd h " ,

Se calcula un nuevo valor de

(7.37)

hfi h=H-H-2;h II! I ! mij

y se detelmina un nuevo valor de O.en la ecuación 7.36. El proceso sigue hasta que valores sucesivos '1 de cada caudal Qi¡ son suficientemente parecidos.

5.

Con los valores de caudal calculados y mediante la ecuación 7.3:

G,¡

=[

H,-H,

'Zk mi! H

'1

1]" .filiA,

(7.3)

d" "

se calcula:

H-H , ,

Q,~

(7.38)

HIDRÁUUCA DE ruBERIAS

332

6.

Con los valores de 2: k m ,¡ +

f¡i

d

.,

calculados se estiman los valores de

8f

oH,

y

~ en las ecuaciooH,

nes 7.33 y 7.35 respectivamente. También se detenninan los valores de ~ en la ecuación 7.29.

7.

Se plantea la ecuación matricial:

[g~] [OH] = [-F] y se resuelve para encontrar la matriz columna OH:

[OH]

8.

=

Se corrigen los valores de H¡ y H¡ para todos los nodos: (7.39)

9.

Con los nuevos valores de H¡ y H¡ se vuelve al paso 2. Los valores de la cabeza en nodos de cabeza constante no se corrigen.

10. El proceso termina cuando valores sucesivos de los H son razonablemente iguales en iteraciones sucesivas. El proceso converge de manera rápida. Para suposiciones de cabeza iniciales lógicas no se requiere más de cinco iteraciones. Los nodos de cabeza constante pueden ser dejados por fuera del análisis, reduciéndose así el número de elementos de las matrices y vectores de la ecuación 7.23.

333

Ej('mplo 7.3

Resoh/(:r el problema del ejemplo 7.1 utilizando el método de Nc\vtonRaphson. L.as suposiciones iniciales para las cabeza~, pic70rnérricas en caeb uno de los nodos de la rc(t teniendo el nodo 1 como el de cabeza fija e igu~¡] a 100 metros, son ¡as siguientes:

Nodo

Presión (m)

2

3

4

5

6

92

80

-'r:

90

~1S

Primera iteración

Tubería

H

Q

H,

,_o

"

km"

+

¡)fJ8H;

f (lJd,) 1·2

100

Q")

"",-.

8.00

2· :~

92

Pi" ,;,)

1:200

O l1j

3íOO,~

CrOO?

0037

56 487

!JOO?

940 '198

385 ¿.:)

92

90

2,00

ame

4'1 471

0002

3--i!.

80

75

5,00

0013

'39 182

0001........

4"5

75

90

15.00

0046

45700

0002

5·6

90

95

5JiO

0.045

6-1

95

100

500

o 110

~

, (}15

18 57

oC04 0,012

('cm ]tiS reSUllad()s anteriores se cCJnstnlj'C la siguiente tabla, en la cual nc) se :ncluy'c la unión 1, ya que ésta tiene cabeza fija.

HIDliÁUlICA DE TUBEI
334

a,¡

IJf,l8~

Unión

Tubo

2

1-2

01140

00071

2-3

-00372

00016

2-5

-00079

00020

3-2

0.0372

0.0016

3-4

-00128

00013

4-3

0.0128

0.0013

4-5

00463

0.0015

5-2

00079

00020

5-4

-0.0463

00015

5-6

00450

00045

6-1

01165

0.0116

6-5

-00450

00045

3 4

5

6

--

1Jf,lIJH,

-f,

-001065 -000888

-0.00283

001559

-000283 -002912

-0.00801

002343

-001614 -003149

En forma matricial:

-00106

00016

0.0000

00020

0.0000

dH.

-0009

00016

-00028

00013

00000

0.0000

dHl

0016

00000

00013

-00028

00015

0.0000

dH,

-0.029

00020

0.0000

00015 -0.0080

00045

dH.

0.023

00000

0.0000

00000

-0.0161

dH,

"0.031

00045

Los resultados para el vector dH, son:

dH,

0876

dH¡

-0303

dH1

10.421

dHs

0.465

dH6

2080


335

Luego, las nuevas cabezas son:

H2 H,

92,8760 =

H4 H5 H.

79.6969 85,4210

=

90.4700 97,0802

Segunda iteración

Tubería

H¡

Oq

:E km, +

Sf¡ISH¡

f(l/dJ

1-2 2-3

100

0,107

31.158

0,008

0,039

56.293

0,001

-0,009

40,945

0,002

0,014

38.903

0,001

92,8780

2-5

92,8760

3-4

79,6969

4-5

85,4210

0,026

48,131

0,003

5-6

90.4700

0,052

50,251

0,004

6-1

97.0802 100

0,088

19,028

0,015

85

Con los resultados anteriores se construye la siguiente tabla:

HIIWÁUIICA DE TUBERí,\s

336

U/oH,

U/oH,

Unión

Tubo

2

1-2

0.1073

00075

2-3

-0.0391

00015

2-5

-00087

00018

3-2

00391

00015

3-4

00138

00012

4-3

-0.0138

0.0012

4-5

00262

0.0026

5-2

00087

0.0018

5-4

-00262

0.0026

5-6

00521

00039

6-1

00879

0.0151

6-5

-00521

0.0039

3 4

5

6

Qi¡

-f.,

-0.01082 -0.00049

-000269 ·-0.01287

-000380

0.01762

----

-0.00834 -000467

-0.01900

000420 J

En forma matricial:

-00108

00015

00000

00018

00000

0.0015 . 00027

0.0012

00000

00000

00012 -0.0038

0.0018

00000

00026

00000

00000

00000

I

dH,

0000

00000

dH3

--0013

00026

00000

dH,

0.016

·00083

0.0039

dH3

-0.005

00039 -00190

dHI¡

0.004


dH2

0202

dH3

2954

dH,

-4351

dH\

-0946

dH,

-0417

337

Luego. las nuevas cabens son:

93,0777 826505 él,

810704 89,5200 966632

Tercera ih:radón

Tubería

1-2 2,·3

\' k

r

100........ .. !9••~.)..n"'J 7.•/ 930777 826505 --:.1

+ ce.,:9(2

; .. 0:.(. ,1 r:J.6(f

~

m'l

+

óf.l8H ¡

I

(3 1•....1.9(.8.. , 0.0•.0_.8•.... !

10.43

8,68

860

1 .. --

3-.,:\

5-6 G-1

93,07T7

89,5200

82.6505

81.0704

810704

89,5200

2,95200

966632

966632

100

3.56

- 0035

!

0.011

845

00:34

714

0054

3,34

0,09<1

!

56.790

0,002

3Sl949

0002

42183

0002

46359

0002

18906

001á

Con Jos resultados arHcriores se construye la siguiente tabla:

Unión

Tubo

2

1-2

Q" 0,1057

2·3

0.0346

OJJ017

2.'.

--0,0107

0,0015

0.0346

0,0017

00070

00022

! 3

3-2 3--,,\

..

U/IH,

M/oH,

-1,

-0,010130

U.00038

0.0076

0.00386 ! 0,0'1233

H1DkAULICi\ DE TUBEf.(íAS

338

-'""

4 5

6

4-3

0.0070

0.0022

4-5

0.0343

00020

5~2

00107

0.0015

5-4

-0.0343

00020

5-6

0.0543

00038

6-1

00943

00141

6-5

--00543 -------

0.0038

f----

-000423 -001126

f.----

-000733 ,-000067 -0.01793 -000003 ~

En forma matricial:

-0.0108

00017

0,0000

00015

00000

0,0017

00039

00022

00000

00000

0012

00000

00022 -0,0042

00020

00000

-0011

00015

00000

00020 -00073

00038

-0001

0,0000

00000

00000

00038

-0,0179

Los resultados para el veClOr dH; son: dl-{!

-0234

dl-!!

--2295

dI-!,

1.755

dI-!"

0595

dI-!"

0128

Las nuevas cabezas son:

H2

92.8436

/-1.!

80.3556

/-l.,

828252

/-l."

90.1200

He

967908

dH.

dH.

0000

amo

ANÁLISIS DE I!EDES DE JUBEI!íAS REDES CERRADAS

339

Cuarta iteración

Tubería

H,

H¡

L kml¡+

8f/8H¡

hfi¡

Q¡¡

928436

7.16

0108

31152

0008

803556

1249

10.28

-0.038

56403

0.002

'(/",d¡~

1-2 2-3

100 92.8436

978 1039 1025

2-5

92.8436

90.1200

2.73

-0.009

40.614

3-4

80.3556

82.8252

247

0.009

40.880

0.002

4-5

828252

90.1200

7.29

0032

47199

0002

5-6

901200

96.7908

6.68

0.052

50.227

0004

6-1

96.7908 100

3.21

0.092

18.941

0014

Con los resultados anteriores

construye la siguiente tabla:

a,

Unión

Tubo

2

1-2

0.1076

0.0075

2-3

-'0.0380

0.0015

2-5

....0.0093

0.0017

3-2

0,031>0

0.0015

3-4

0.001>1>

0001.8

4-3

-0.0088

0.0018

A-5

0.0318

0.0022

.5-2

0.0093

0.001.7

5-4

-00318

0.0022

3 4 5

6

0.002

--,---------

8f¡/8H¡

9:8

0.0.524

0.0039

8,1

0.0924

0.0144

6-5

~0.0524

0.0039

8f¡/8H¡

....

"

-0.01074

-0.00025

-0.00331

-0.00685

cO.00396

0.00707

-0.00781

0.00008

~0.01832

~0.00002

HIDI¡ÁULlCA DE TUBERíAS

340

En fanna matricial:

-00107

0-0015

0.0000

0.0017

0.0000

dH2

0.000

0.0015

-0.0033

0.0018

0.0000

00000

dH3

-0.007

00000

0-0018 -0.0040

0.0022

0.0000

dH,

0.007

0.0017

0.0000

00022 -0.0078

0.0039

dH5

0.000

00000

0.0000

00000

-00183

dH,

0.000

00039


dH2

0.158

dH,

1.399

dH,

-1.374

dH5 dH6

-0.085

Luego, las nuevas cabezas son:

Quinta iteración

Tubería

H,

H¡

hm

Q,¡

2: km,¡ +

8f;18H¡

f(l/d,) 1-2 2-3

100 930011

930011

700

817550

1125

0106

31183

0008

ANÁLISIS DE REDES DE TUBFRíAS. REDES CERRADAS

Tubería

H,

H¡

h,¡

¿ kml] +

a,¡

341

8f/liH¡

f(l/d,) 8.81 9.36 9.24 9.27

-0.036

56625

0002

3.29

-0.010

40.141

0.002

48888

0005

2-5

93.0011

89.7100

3-4

81.7550

81.4517

0.30

-0.003

4-5

81.4517

89.7100

8.26

0.034

46.910

0.002

5-6

89.7100

96.7058

6.99

0.054

50.108

0.004

6-1

96.7058

3.29

0.094

18.917

0.014

100


O,

Unión

Tubo

2

1-2

01063

00076

2-3

-0.0360

00016

2-5

-0.0103

00016

3-2

00360

00016

3-4

-00028

0.0047

4-3

00028

0.0047

4-5

00339

0.0021

5-2

0.0103

0.0016

5-4

-0.0339

00021

5-6

00537

00038

6-1

00937

00142

6-5

-00537

0.0038

3

4

5

6

Ii"/OH¡

S"/OH,

-"

-001076

-000005

-000626

0.00682

-000671

-000674

-0.00745

-0.00003

-001805

0.00000

HIDRÁUUCA DE rUBEr!íAS

342

En fonna matricial: ~00108

00016

0.0000

00016

00000

dH,

0000

0.0016

~00063

0.0047

00000

00000

dH,

0007

00000

00047

~00067

0.0021

00000

dH,

~0007

0.0016

00000

00021

~OO075

00038

dH,

0000

00000

00000

0.0000

0.0038 -0.0181

dH,

0000

Los resultados para el vector dHi son:

Luego, las

nueva~

dH 2

-0069

dH 3

-0.664

dH 4

0.595

dH,

0.172

dH5

0.037

cabezas son:

H,

92.9317

H3

81.0915 82.0468

Ho

=

89.9000

H,

=

96.7423

Sexta iteración

Tubería

H,

H¡

hfjl

Q¡¡

Z kmq +

lif¡IIiH¡

f{l/d,) 1-2 2-3

100

929317

92.9317

7.07

81.0915

1184 927

0.107

31.169

0.008

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERIAS. REDES CERRADAS

Tubería

~

H¡

hOJ

343

}; kmq +

QIJ

8i¡18Hj

f(l¡/dJ 9.85 9,72 9.75

-0.037

56.515

0.002

2-5

92.9317

89.9000

3.05

-0.010

40.331

0.002

3-4

81.0915

82.0468

0.96

0.005

43.891

0,003

4-5

82.0468

89.9000

7.84

0.033

47,030

0.002

5-6

89.9000

96,7423

6,86

0.053

50.158

0.004

6-1

96.7423

100

3,26

0.093

18,927

0.014


Unión

Tubo

2

2-1

0.1069

0.0076

2-3

-0.0370

0.0016

2-5

-0.0099

0.0016

3-2

0,0370

0,0016

3-4

0.0053

4-3

~

3 4

4-5 5

6

5-2

W8~

Qq

I

0.0028

-i¡

-0.01074

-0.00003

-0.00433

-0.00228

-0,00488

0.00231

-0.00760

0.00001

-0,01816

0,00000

0.0028 0.0021 0.0016

5-4

-0.0330

0.0021

5-6

0.0531

0.0039

6-1

0,0931

0,0143

6-5

-0,0531

0.0039

En fonna matricial:

8i¡/I!H¡

HIDr,AlIIICA DE TlIBFRIAS

344

00016

00000

00016

00000

dH,

0000

00016 -00043

00028

00000

00000

dH,

-0002

00000

00028 --0.0049

00021

00000

dH.,

0002

00016

00000

00021 -00076

00039

dH,

0000

00000

00000

0.0000

00039 -0.0182

dH,

0000

-00107

Los resultados para el vector dH, son: dH2

0037

dH,

0.331

dH"

-0326

dH,

-0093

dH6

-0020

Luego, las nuevas cabezas definitivas son:

H,

92.9684

H,

81.4225

H,

81.7208

H,

89.7900

He

96.7226

Séptima iteración

Tubería

H.,

H¡

Gi}

hfj¡

¿:kml¡+

o"/oH¡

f(l/dl} 1-2 r-"

2-3

~---,-

100 929684

929684

703

814225

1155

0107

0008

--

9.05 961 948

31.176

-


Tubería

"2.kmQ +

345

U/OH¡

f(l¡dJ 0.002 0.002 0.005 0.002 0.004 0.014

-f¡

0.00000 0.00069 -0.00009

5 0.00000 0.00000

-0.0107

0.0016

0.0000 0.0016

0.0000

dH,

0.000

0.0016 -0.0063

0.0000

0.0000

dH,

-0.001

0.0021

0.0000

dH,

0.0016

0.0021 -0.0075

0.0039

dH,

0.000

0.0000

0.0000 0.0039 -0.0181

dH,

0.000

0.0000

0.0047 -

=

0.001

HfLWÁUUCA DE TUBERíAS

346

Los resultados para el vector dH, son:

dH,

-0007

dH

-0065

dH,

0063

dH5

0.018

dH6

0004


929612 813572 817836 988100 96.7265 Octava iteración

Tubería

~

H¡

Q¡¡

hfíf

Ikmi¡+

8f;I6H¡

((lJd) 1-2

100

929612

704

2-3

929612

813572

1160

~-

0.107

31.175

909

_.

0008

--

966 --

953

._.

956

-0037

56558

0002

2-5

929612

898100

315

-0010

40246

0002

3-4

813572

817836

043

0003

47230

0004

4-5

898100

803

0033

46976

0002

5-6

817836 t--898100

967265

692

0053

50136

0.004

6-1

967265

100

3.27

0093

18923

0014

f-----

-


347

Con los resultados anteriores se construye la siguieote tabla:

Unión

Tubo

2

1-2

Sf¡lflH¡

Q,)

-f¡

2-3

0.1066 -0.0365

0.0076 0.0016

2-5

-0.0100

0.0016 0.0016

-0.01075

0.00000

0.0040

-0.00558

-0.00001

-0.00608

0.00001

-0.00753

0.00000

-0.01812

0.00000

3

3-2

4

3-4 4-3

5

5-2

O 1 0.0016 0.0021 0.0039 0.0143 0.0039

4-5

5-4 5-6 6

Sf¡lflH,

6-1 6-5

En fonna matricial: -0.0107

0.0016

0.0000

0.0016

0.0000

0.000

0.0016 -0.0056

0.0040

0.0000

0.‫סס‬OO

0.000

0.0000

0.0040 -0.0061

0.0021

0.0000

0.000

0.0016

0.0000

0.0021 -0.0075

0.0039

0.000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0039 -0.0181

0.000

Los resultados para el vector dHj son: dH2 dH3 dH, dH, dH,

= =

0.000 0.001 -0.002 -0.001 0.000


H,

=

H, H, H, H6

= = =

92.9614 81.3580 81.7819 98.8098 96.7263

IIIDf,c\UIICA DE TUllE RíAS

348

Para estas cabezas, los caudales definitivos son:

c--

Tubería

H,

H¡

1-2 2-3

100 929614

92.9614 813580

2-5 4-3 5-4 6-5 1-6

92.9614 81.7819 898098 96.7263 100

898098 81.3580 817819 89.8098 967263

hflj

Qí!

7.04 11.60 909 9.66 9.53 956 3.15 0.43 803 ---""-_.. 6.92 327

0.107

107.001pS

37.001ps

10.001ps

93.001ps

0.037 0010 0.003 0033 0053 0093

3 40lpS

3.00 !ps

5

4

~~__-;;~;::-:t'---;;33~I~P~S--~3~07,IPs

6 /.

53.00 Ips

JO Ips

4Dlps

Figura 7.9 Resultados de los caudales en las tuberías.

100 lTl

92,96 m

, , I

81.36 m

, 89.81 m

2

81.78 m

I

"~~~~~';1=--=:::::::¡:::=7;:::i>
96.73 ~

6L-__

I

,

51

4

~---Y

Figura 7.10 Resultados de las cabezas piezométricas en ros nodos.


349

MéTODO DE LA reoRIA LINEAL Este método fue desarrollado por D. J. Wood y C. O.A. Charles entre 1970 y 1972. Se basa en lalinealización de las ecuaciones de energía en cada una de las tuberías de la red. Ro;¡ un método muy apto para ser programado, ya que sólo requiere de inversión de matrices y algunas iteraciones. Se ha demostrado que converge mucho más rápidamente que los métodos antes vistos. El método de la teoría lineal se basa en las siguientes ecuaciones:

l. Para cada unión (nodo) de la red se debe cumplir la ecuación de continuidad:

(7.2)

Si Nu representa el número de nodos de la red se tendrán Nu ecuaciones, una de las cuales es redundante. Para cada uno de los circuitos de la red se debe cumplir la ecuación de conservación de la energía:

(7.6)

Si NC representa el número de circuitos de la red, se tendrán NC ecuaciones. Mediante la ecuación de Darcy-Weisbach en la ecuación 7.6 se obtiene:

(7.7)

ahtetior ecuación indica que se tienen NC ecuaciones no lineales para el caudal. Dadoque no eS posible resolver directamente estas ecuaciones simultáneas no lineales, en el- casó' de flujo en redes se deben utilizar métodos iterativos. Las ecuaciones 7.7, de las cuales existe una por cada circuito, se pueden transformar en:

(7.40)

Es claro que el factor ki¡' estaría definido como:

350

HIDRÁUliCA DE IUBERíAS

(7.41 )

k"

2

gA;

Para resolver el sistema de ecuaciones, el método de la teoría lineal propone el procedimiento siguiente: (7.42)

en donde:

k'.lj

~

kQ IJ G i¡

(7.43)

El caudal QOljes el caudal estimado si se trata de la primera iteración, o el caudal conegido de la iteración previa para las-demás iteraciones. Al remplazar la ecuación 7.43 en la ecuación 7.40 se obtiene que:

NT'¡

j~1

k; Ü¡¡ =

O

(7.44)

Si en el circuito existe una bomba esta última ecuación cambia a:

NT'¡

i~l k ,; Ü¡¡

=

Ha

(744')

Las NC ecuaciones 7.44. una para cada circuito, se combinan con las n ecuaciones de continuidad (una de las cuales es redundante, luego en realidad se utilizan n-1 ecuaciones) para formar un sistema de NT "" NC + NU~ 1 ecuaciones lineales. Es fácil demostrar que NT es el número de tubos de la red. Es decir, se tiene una ecuación para cada tubo y la incógnita para ellas es el caudaL Las cabezas de los nodos pucden ser calculadas, si se requieren, posteriormente. Para utilizar las ecuaciones anteriores se dcbe suponer un caudal inicial en cada tubo. Una de las grandes ventajas del método de la teoría lineal radica en que al no tener éstos que cumplir la ecuación de continuidad en el nodo no se requiere tiempo para la preparación de datos iniciales. El caudal inicial puede ser supuesto igual para lodos los tubos: por ejemplo, Q = 100 l/s para todo ti' Esta situación no afecta la velocidad de convergencia. Para obtener los k'ii en cada iteración se utilizan las siguientes ecuaciones: Factor de pérdidas:

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERíAS. REDFS CERRADAS

351

(7.41)

•

Ecuación de Colebrook-White:

1

{f

(k,¡

2I = -

OQ"

l3.7 d,¡

2.51 )

+ Re,; {f

(1.67)

Número de Reynolds:

(7.45)

con la ecuación 7.43: (7.43)

k'. '1

Al observar que en todos los procesos de cálculo de redes (Hardy-Cross, Newton-Raphson, etc.) -los valores del caudal en cada tubo convergen por encima y por debajo, sucesivamente, al caudal final, Wood opuso que el caudal de la siguiente iteración (k + 1) no fuera el calculado en la iteración anterior (k), sino siguiente:

(7.46)

2

Esta última ecuación acelera de manera considerable el proceso de convergencia. El método puede lverse matricialmente en la forma ilustrada en la figura 7.11 representativa de una red cerrada, en donde observa la topología de la red con dos circuitos y seis hodos.

HIIJ[,ÁUlICA DE TUBERíAS

352

. 2

3

• 6

5

4

•

a..)-------
°

00<

Figura 7.11 Red cerrada para ilustrar el uso de! método de la teoria llneal,

En la figura anterior, las direcciones de los caudales son supuestas en forma arbitraria. Pam esta red se pueden plantear las siguientes ecuaciones: Ecuaciones de continuidad en los nodos:

Se utiliza la convención usual: Si el caudal llega al nodo es positivo, si sale de él es negativo. Por consiguiente:

-0,2

+ 0'6

-OE

+0,2 - 023 - 025 +Q:23 -

Q34

+Q3"t -

Q45

+025 +

QL5 -

+Q56 -

Q61

Q56

°02

°m 00< °m 0a

(redundante)

(7.47)

Ecuaciones de conservación de energía en los circuitos: Nuevamente se utiliza la convención normal: Si el caudal (por consiguiente, la pérdida de energía) se dirige en sentido de las agujas del reloj es positivo; si lo hace en sentido contrario, es negativo. Para la red cerrada de la figura 7.11 se tiene que:

(7.48)

ANÁUSIS DE REDES DE TUBERIAS REDES CERRADAS

353

Las ecuaciones 7.47 y 7.48 pueden ser ordenadas en forma matricial de la siguiente manera:

-1

O

O

O

O

O

O

1

O

O

°23

Oa¿

O

O

O

°34

Oro

O

O

O

-OE

1

-1

O

1

-1

O

O

1

-1

O

Q45

0D4

O

O

O

1

1

-1

O

°25

0[)5

O

O

'25

k

'56

k'61

Q56

O

I

'34

k'45

O

O

°61

O

J

O

k'12

O

k

'23

k

-1

°12

O

k

-k '25

0, en forma reducida:

[A] [B] Las incógnitas en cada iteración son los los tubos que confonnan la red; luego:

Qi}

[e]

(7.49)

(matriz columna [B] ), es decir, los caudales en cada uno de

[B] = [A]-1 [e] Los valores de los k:¡de la matriz [A] se calculan con los OOjJ para la primera iteración o con los las demás iteraciones.

(7.50)

QOij(k + 1)

para

En el proceso de cálculo de la red mediante el método de la teona lineal se proponen los siguientes pasos:

1. Se suponen los caudales con sus respectivas direcciones para cada uno de los tubos. Por ejemplo, se puede suponer un caudal de O¡J =. 100 lIs para todo tubo reloj.

i, j; todos ellos en la dirección de las agujas del

2. Con estos caudales se calculan los K¡jen las ecuaciones 7.41,1.67,7.45 Y7.43 para cada tubo de la red. 3. Se plantean las ecuaciones lineales de continuidad y de conservación de energía (ecuaciones 7.2 Y7.44). Se construye la matriz [A] (ecuación 7.49), la cual es una fonna compacta de las ecuaciones de continuidad en los nodos (ecuaciones 7.47) y de conservación de energía en los circuitos (ecuaciones 7.48). Se calculan los caudales Q" en cada uno de los tubos de la red invirtiendo la matriz [A], y resolviendo la '1 ecuación 7.sO.

HH)[V;'ULlCA DE TUBEr~íAS

354

6. Se corrigen Jos 00;" los caudales iniciales para la primera iteración o los caudales corregidos para las demás, antes de pa~ar a la siguiente iteración, utilizando la ecuación 7.46. 7. Se calculan los nuevos

k'¡i

mediante las ecuaciones 7.41, 1.67,7.45 Y 7.43 Y los caudales corregidos.

8. Se repiten los pasos 3 a 7 hasta que los 0,1 sean todos 10 suficientemente parecidos en dos iteraciones sucesivas. El grado de aproximación en los caudales es definido por el diseñador teniendo en cuenta factores tales como el tamaño de la red y los caudales de consumo en cada uno de los nodos. El siguiente ejemplo ilustra el uso del método de la teoría lineal para el cálculo de redes de distribución de agua potable. En él se resuelve la mi:-;ma red de di:-;tribución planteada en [os ejemplos anteriores.

E';t'mplo 7.4 J\tlétodo de la teoría lineal

Resolver el problema del ejemplo 7.1 utilizando el método de la teoría lineal. Para todos los tramos de tubclías se ha supuesto un caudal inicial de 100 l/s con las direcciones mostradas en la figura 7.l2. Estas direcciones fueron supuestas en forma arbitraria:

60 100

~

40

2

200 100

(í)

100 5

40

100

6

3

jea

®

4 100

30

30

Figura 7.12 Suposición inicial de caudales en las tuberías. Todos los caudales están dados en l/s.

Para esta red se pueden plant.ear las siguientes ecuaciones: •

Ecuaciones de continuidad en los nodos: Se utiliza la convención usual: Sí el caudal llega al nodo es positivo: si sale de él es negativo.


Nodo

355

Ecuación de continuidad en el nodo

1

- 0,2 - 016 = -0.2

2

0" - 025 - 022 = 0.06

3

°

4

034 + 0" = 0.03

5

°+

6

0,6 - 065 = 0.04 (redundante)

(7.47)

23 - 0" = 0.04

23

065 ~ 0,,= 0.03

Ecuaciones de conservación de energía en los circuitos:

Nueva ll1 entese utiliza la convenciónn{)rmal: Si el caudal (por

consiguiellte, la. pérdida . ~e.energía)sediri$e en sentido de.las .agujas del reloj es positivo; si loha<;een selltido cQPtrari<), es negativo.

Circuito

Ecuaciones de conservación de energía

o

(7.48)

o

calcul.an ,:on los 0'1 en siguiente

Tubería

Caudal

f

(m'ls)

k~J

ki) 2

(5 1m

3

)

(51m 2 )

1-2

0.1

(}

0.0159

622.28

62.23

1-6

0.1

O

0.0159

373.42

37.34

2-3

0.1

10

0.0166

I 8221.44

822.14

HIDI1ÁLJIICA DE TUBmíA5

356

Tubería

Caudal

f

km

3

(s2Im

(m /s)

/t l¡

k,¡ 3)

(81m 2 )

-

3-4

0.1

O

01

O

2-5

01

6-5

01

5-4

,

0.0178

2709860

270986

00166

668890

66889

O

00178

2709850

270985

O

0.0161

230881

23088

----

Las ecuaciones 7.47 Y7.48 pueden ser ordenadas en fonna matricial de la siguiente manera: -1

-1

O

O -1

O

O

O

O

-1

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

6223 -37.34

O

O

O -1

O

O

O.,

O

°11>

O

O

O

O

-1 270985 -230.88

O

822.14 270986 -66889 --2709.85

[A] [B]

=

[e]

O

-02 0.06

°eo °A

004

0 54

003

0"

O

°u;

O

003

(7.49)

Las incógnitas en cada iteración son los Qij(mau;z columna [B)); luego:

[B] = [A]' [e] Los resullados para el vector D,! son:

Q'2

0.10320

°ie °'3

009680

Q>~

-000060

O",

003060

003940

(7.50)

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERIAS REDES CERI1ADAS

°25 °65

=

0.00380

=

0.05680

357

Lbs nuevos caudales se calculan mediante la ecuación 7.46:

0"

=

0.102

°'6 °'3

=

0.098

=

0,070

=

0.050

O,.

0.065

0"

°25 °65

=

0.052

=

0.078

Segundo ciclo Las ecuaciones 7.47 Y7.48, establecidas anterionnenle, siguen siendo válidas para este ciclo. ' . El cálculo de los k'lj de la matriz [A] se resume en la siguiente tabla:

Tubería

Caudal

km

f

(m'ls)

kq

k'lJ

(s'lm')

(5Im')

1-2

0.102

O

0.Q159

621.42

63.14

1-6

0.098

O

0.0159

373.89

36.79

2-3

0.070

10

0.0169

8342.90

581.51

3-4

0.050

O

0.0181

27678.14

1375.62

5-4

0.065

O

0.0170

6836.78

446.44

2-5

0.052

O

0.0181

27631.70

1434.12

6-5

0.078

O

0.0164

2349.30

184.18

Las ecuaciones 7.47 y 7.48 ordenadas en fonna matricial son:

HI[)R~UlICA DI rUBfI
358

-1

-1

O

O ·-1

O

O

O

O

1

O

O

Q

O

O

O

O

O

O

O

-36.79

O

O

631~

O

O

58iS1

0"

-O 20

O

0'"

006

O

O

0"

0,04

O

O

° Q;,

1434.12 -184,18

O

1375.62 -44644

Los resultados para el vector

O

O

- 1434.12

O

"

I

0,1040

0 16

00960

Q23

00389

Q34

-0,0011

QS"1

0,0311

Q25

0,0051

°65

0.0560

O

q,

O

Los nuevos caudales (ecuación 7.46) son:

0"

0.103

Q16

0097

Q23

0.054

qj~

0.024

O)"

0048

Oh

0.028

0",

0,067

0,03

0"

O,j son:

0"

0,03

Tercer ciclo El cálculo de los k',¡de la matriz [A] se resume en la siguiente tabla:

ANÁliSIS DE REDES DE TUBERíAS REDES CERRADAS

Tubería

Caudal

f

km

(m 3/s) 1-2 1-6

359

ki¡

k'¡j

(s2/m3)

(s/m2)

0103

O

00159

62079

0097

O

00160

37429

3638

10

00172

845091

45899

2876920

69944

6382

-

"----~--

2-3

-

0054

3-4

0024

O

0_0188

5-4

0048

O

00174

697781

33624

2-5

0028

O

0_0187

28472_74

811.15

6-5

0067

O

0_0166

237915

15988

--

Las ecuaciones 7.47 Y7.48 ordenadas en farma matricial son: -1

-1 O

O

-1

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

--1

O

63_82 --3638

O

O

O

O

O

O

0;3

- 020 1

O

O"

006

O

O

°n

0_04

O

O

Q34

003

Osó

003

Q'¿5

O

0%

O

-1

--1

O

O

811.15 -15988

458_99 69944 -336.25 -811_15


0"

Qi¡

son: 0_1050

Q16

00950

Q23

00382

0"

-0_0018

Q54

0_0318

Q25

0_0068

Q65

0_0550

O

HIDr\ DE TUBERíAS

360

Los nuevos caudales, de acuerdo con la ecuación 7.46, son:

0.104

°O;c

0.096 0.046

Q23

0.011

0" Q54

0040

°25

0.018

Q65

0061

Cuarto ciclo El cálculo de los k"i de la matriz [A] se resume en la siguiente tabla:

Tubería

Caudal

km

f

(m'/s)

k¡¡

k'Ji

(s'/m')

(s/m 2 )

1-2

0.104

O

00159

620.22

6445

1-6

0096

O

00160

374.68

3600

2-3

0.046

10

00174

8532.25

39456

3-4

0011

O

00202

30812.62

34645

5-4

0040

O

00176

7081.83

28332

2-5

0018

O

00193

29482.86

52074

6-5

0061

O

00168

2398.76

146.55

¡--

Las ecuaciones 7.47 Y7.48 ordenadas en forma matricial son: -1

--1

O

O

-1

O

O

O

O

-1

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

64.45 --36.00 O

O

O

O -1

O

QT2

-0.20

O

006

O

O

°

°'1.3

0.04

O

O

Oy,

0.03

OSI,

003

-1

O

O

52074 -14655

39456 34645 -28332 -52074

O

0"

O

ANÁLISIS DE I<[DES DE TUBERíAS. REDES CERliADAS

361 ...


Qi!

son:

=

0.1059

Q16

=

0.0941

°23

=

0.0373

0"

=

-0.0027

Q5~

=

0.0327

°25

=

00086

°55

=

0.0541

0" 0"

=

0.105

=

0.095

°23

=

0.042

=

0.004

=

0.036

°25

=

0.013

Q65

=

0.058

0"

Los nuevos caudales son:

I

0" 0"

Quinto ciclo El cálculo de los k'íjde la matriz {A] se resume en la siguiente tabla:

Tubería

Caudal

km

f

.

(m 3/s)

k¡¡

k'iJ

(s'/m5 )

(s/m 2 )

1-2

0.105

O

0.0159

619.72

65.01

1-6

0.095

O

0.0160

375.02

35.66

2-3

0.042

10

0.0176

8588.77

358.66

3-4

0004

O

0.0231

3524521

15013

5-4

0.ü36

O

0.0178

7140.23

259.66

2-5

0.013

O

0.0199

30308.19

398.37

6-5

0.058

O

0.0169

2412.21

138.94

HIDRÁULICA DE TlIBERí4S

362

Las ecuaciones 7.47 Y7.48 ordenadas en forma matricial son: --1 O

O

-1

O

O

O

O

-1

O

O

O

O

O

O

O

O

O

6501 -3556

O

O

O

O

O

O

-1

0. 2

O

°i6

O

O

O

O

-1 O

39837 -138941

35666 150_12 -25966 -39837


O

O

-0_20 006 004

0" 0,

003

OSé

003

0"

O

065

O

0,/ son: 0_1063 0_0937 00365 --00035 00335 00098 00537

Los nuevos caudales son:

0_106 0_094 0039 0000 0035 0011 0_056 Sexto ciclo El cálculo de los k';jde la matriz [A] se resume en la siguiente tabla:

ANÁLISIS DE REDES DE TlJBEI!íAS. REDES CEI
Tubería

Caudal

f

km

(m'/s)

363

k,¡

k'¡i

(s2Im3 )

(s/m 2)

1-2

0.106

O

00159

61937

6541

1-6

0.094

O

00160

37527

3542

2-3

0.039

10

00176

862737

337.72

3-4

0.000

O

00396

60370.51

2389

5-4

0035

O

0.0178

7164.78

25017

2-5

0.011

O

0.0201

3074965

35228

6-5

0.056

O

00169

242002

13467

Las ecuaciones 7.47 Y 7.48 ordenadas en fonna matricial son: -1

··1

O O

O

O

O

O -1

O

O

O

O

-1

O

O

O

6541

-3542

O

O

O

O

O,.

-0.20

O

Q¡t

0.06

O

O

Q73

0.04

O

O

Q:J~

0.03

Q'i4

0.03

Q'?!l

O

GriS

O

-1

O

O

O

O

O

-1

352.28 -,13487

O

33772 2389 '-250.17 -35228

O

Las presiones en los nodos para estos caudales son:

100 m

H, H,

93.01 m

H3

81.72 m

H,

82.27 m

H5

89.75 m

He

96.76 m

Los resultados pata el vector Q _son: "

364


01063 0.0937 00361 -0.0039 0.0339 00102 0.0537 Los caudales definitivos son:

0106 0.094 0.038 -0.002 0034 0011 0055

60lps 2

106.00Ips 10.841ps

84 00 Ips

~IPS

37.61 Ips

1.76¡~S4

5

3400 Ips

30lpS

3

40lps

30lps

40lps

Figura 7.13 Resultados de los caudales en cada una de las tuberías de fa red. 1.00 m

93.01 m ~:1~------~;;:'::;~

., :1

;1 1

89.75 m

, ,,

82.27 m

~8'2,;1,;72 m

, ,

3'

5,

Figura!.1~A~~~ltadode

de la red analizada.

las cabezas piezométricas en cada uno de los nodos

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERIAS REDES CEllllADAS

365

~nf·rt'"'' Del GRADIENTE

n""cr;oción matemática método del gradiente para el cálculo de redes de distribución de aguas está basado en el hecho de que al un flujo permanente se garantiza que se cumplan las ecuaciones de conservación de la masa en cada de los nodos de la red y la ecuación de conservación de la energía en cada uno de los circuitos de ésta. consiguiente, el método se basa en las siguientes dos condiciones: En cada nodo se debe cumplir la ecuación de continuidad:

NT¡

2: 1 Ü;¡ -

i~

QOl

+

Qei

(7.51)

=O

Debe haber relación no líneal entre las pérdidas por fricción y el caudal para cada uno de los tubos que conforman la red:

0= -2

{2iidh; {¡

A log

r~d + ~2 gd' {¡~h, J 2.511/

,c

(7.52)

,,3.7

En esta última ecuación se ha utilizado la ecuación de Darcy-Weisbachjunto con la ecuación de Colebrookya que durante el proceso de diseño el programador no tiene control sobre el número de Reynolds en las tuberías de la red, lo cual invalida el uso de la ecuación de Hazen-Williams. Si se tienen en cuenta las pérdidas menores y la posible existencia de bombas en algunos de los tubos de red, la anterior ecuación toma la siguiente forma general, válid;:t para todos los tubos:

(7.53)

h, = aQ,' + f30 + l'

exponente que depende de la ecuación de fricción utilizada (2.0 para el caso de la ecuación de Darcy-Weisbach) parámetros característicos del tubo, la válvula y las bombas. Los factores necesarios para este último caso. Para el método del gradiente hidráulico se hacen las siguientes definiciones adicionales:

f3

y JI sólo son

HIDRÁULICA DE TlJBEI
366 NT

número de tubelias de la red

NN

número de nodos con cabeza piezométrica desconocida

[A12]

"matriz de conectividad" asociada a cada uno de los nodos de la red. Su dimensión es NT X NN con sólo dos elementos diferentes de cero en la i-ésima fila: -1 en la columna correspondiente al nodo inicial del tramo i 1 en la columna correspondiente al nodo final del tramo i

NS

número de nodos de cabeza fija o conocida

[Al0]

matriz topológica tramo a nodo para los NS nodos de cabeza fija. Su dimensión es NT X NS

con un valor igual a -1 en las filas correspondientes a los tramos conectados a nodos de cabeza fija. Teniendo en cuenta las anteriores definiciones, la pérdida de cabeza en cada tramo de tubería que conecte dos nodos de la red es: (7.54)

[All][ Q]+[A12][H]= -[Al O][HJ

donde:

[A 11] = matIiz diagonal de NT X NT definida como sigue:

o o

o

o

o

o (7.55)

[Al1] =

o

o

o

o

o

o

[Q]

vector de caudales con dimensión NT X 1

[H]

vector de cabezas piezométricas desconocidas con dimensión NN X

[Ha]

vector de cabezas piezométricas fijas con dimensión N8 X 1

ANÁLISIS DE liEDES DE TUBERíAS REDES CERRADAS

367

Es evidente que la ecuación 7.54 es una ecuación de consen/ación de energía (ver p. 365). La ecuación de continuidad para todos los nodos de la red es: [A21][OJ~[qJ

(7.56)

donde:

matriz transpuesta de [A 12]

[A21] [q]

vector de consumo (demanda) o de entrada (oferta) en cada nodo de la red, con dimensión NN X 1

En fonna compacta, las ecuaciones 7.54 Y7.56 se pueden expresar en términos matriciales:

[A11 ] [A21]

[A12Jl[[O]] ~ [-[A1O][H']J1 [O] J [1-1] [q]

(7.57)

En esta última ecuación, la parte superior corresponde a la relación Q versus H y la parte inferior corresponde a la conservación de la masa en cada uno de los nodos. Dado que la parte superior es no lineal, la ecuación 7.5'7 no puede ser resuelta en fanna directa. Es necesm10 utilizar algún algOlitmo iterativo. El método del gradiente consiste en hacer una expansión truncada de Taylor. Al operar simultáneamente sobre el campo ([ O], [1-1]) y aplicar el operador gradiente se obtiene:

r[dOl r[dEll

[A12]1 ~ [O] J li dH] li dq]

[N][A11]' l [A21]

(7.58)

donde:

matriz diagonal (n1, n2

nNT) con dimensión NT X NT

matriz con dimensión NT X NT definida como:

1]'

a,

Qt' ·11 O O

O Cl'2

Qt2- 1) O

Cl'3

O

O

O

O

Qi

O

n3 1 - )

O

L

O

O

O

CX

NT

Q~.~NT-l)

(7.59)

368


En cualquier iteración í, [dE] representa el desbalance de energía por unidad de peso (cabeza) en cada tubo y [dq] representa el desbalance de caudal en cada nodo. Estos desbaJances están dados, respectivamente, por las siguientes ecuaciones:

[dE]

[A11][ OJ+[A12][HJ+[A10][HJ

(7.60)

[A21J[OJ-[q]

(7.61)

y:

[dq]

=

El objetivo del método del gradiente es solucionar el sistema descrito mediante la ecuación 7.58, teniendo en cuenta que para cada iteración es evidente que:

[dO]

=

(7.62)

[Ü¡+1]-[OJ

y:

(7.63)

Obviamente, la solución puede calcularse resolviendo el siguiente sistema (teniendo en cuenta la ecuación 7.58):

[dO]] = ~N][A11]' [ [dJ-i] L [A21J

[A12]-'

[OJJ

r[ dE]1 l[ dqJj

(7.64)

Recurriendo al álgebra matricial es posible calcular en forma explícita la matriz inversa del sistema representado por la ecuación 7.64. Si se procede de esta manera y se introducen las ecuaciones 7.60, 7.61., 7.62 Y7.63 es posible demostrar que la solución de la ecuación 7.63 está dada por las siguientes dos ecuaciones:

[J-i,+,] = - ([A21]([N][A11]'t'[A12j}-'{[A21]([N][A11]')-'([A11][O,]

+ (7.65)

[A1 0][H,]-([A21 J[O,J-[qJl

[o,,,]={[/J-([N -1][A11]")- [A11J}[ O,J-!([N][A11 ]'t'([A12][H,+J+ (7.66)

[A10][HJ)) Es posiblerescribir la ecuación 7.65 como un sistema de ecuaciones lineales para las cabezas desconocidas

[H + 1 ], en la siguiente forma: j


369

{[A21 ]([NJ[A11])' [A 12J}[H¡"J ~ -{[A21 ]([NJ[A 11 ])'([A11][ OJ + (7.67)

[A1 O][HJH[A21][ OJ- [q]))

El planteamiento del método del gradiente es el sistema descrito mediante la ecuación 7.58. Los sistemas descritos por las ecuaciones 7.66 Y7.67 confonnan la solución al problema.

Descripción del proceso iterativo Las ecuaciones 7.66 Y7.67 representan un sistema acoplado que debe ser resuelto en forma iterativa. El paso más complicado en cadaiteraci6n es la solución del sistema representado mediante la ecuación 7.67, ya que se trata de un sistema de ecuaciones disperso, simétrico, lineal y definido positivamente con NN incógnitas:

las cabezas piezométricas desconocidas [Hi+ 1 ] en los nodos de la red. Una vez se conoce este vector es posible calcular [Q¡+1 J en forma explícita, mediante la ecuación 7.66. El proceso de solución se puede resumir en los siguientes pasos: 1. Se suponen unos caudales iniciales en cada uno de los tubos de la red (no necesariamente balanceados, lo cual implica ahorro de tiempo).

2. Se resuelve el sistema representado por la ecuación 7.67 utilizando un método estándar para la solución de ecuaciones lineales simultáneas. 3. Con IHi+1] calculado se utiliza la ecuación 7.66 para determinar [0;+1]' 4. Con este [° 1+ 1] se vuelve a ensamblar el sistema 7.67 para encontrar un nuevo [Hi+ 1l 5. El proceso se repite hasta que en dos iteraciones sucesivas IHi+ 1] = [HJ. A partir de la segunda iteración, los sistemas representados por las ecuaciones 7.66 Y7.67 se simplifican, ya que se tendría lo siguiente:

([A21][OJ - [qJ)

~

O

Características especiales del método del gradiente A continuación se presentan algunas de las características especiales que hacen del método del gradiente el mejor método de cálculo de redes, el cual podría ser incluido en un programa de diseño óptimo de este tipo de sistemas de tubenas. Algunas de dichas características se plantean comparándolas con las conespondientes al método de la teona lineal, el método de cálculo de redes más ampliamente utilizado.

1. Se puede implementar un método de cálculo eficiente basado en el algoritmo del gradiente conjugado precondicionado con la factorización incompleta de Cholesky y tratamiento de matrices dispersas. 2. El método de cálculo anterior garantiza la solución en máximo NN iteraciones.


370

3. La manipulación de las matrices dispersas típicas del método del gradiente reduce la memoria requerida y el tiempo de cálculo en el computador. 4, Todo lo anterior no es posible en el método de la teoría lineal ya que en éste el sistema que tiene que ser resuelto no es simétrico. 5. El método del gradiente resuelve un sistema de dimensión NN X NN, mientras que el método de la teoria lineal resuelve un sistema de NT X NT. Debido a que en todos los casos NN < NT,el método del gradiente es más veloz y requiere menos memoria en el computador, aun utilizando el mismo algoritmo de solución. El sistema de ecuaciones que se monta puede llegar a ser un 50% menor en el caso de redes grandes. 6. El método del gradiente calcula y ajusta simultáncamente los caudales y las cabezas, ya que es el método más eficiente, esto reduce el número de iteraciones con respecto al método de la teoría lineal. 7. El método del gradiente no requiere la definición de caminos de energía o circuitos, lo cual implica que el número de datos que el usuario dcbe proporcionar al computador es mcnor, facilitándose así el manejo de los mismos.

Ejemplo 7.5 !\Iétodo del gradiente Resolver el problema del ejemplo 7.1 utilizando el método del gradiente. Para todos los tramos de tubelÍas se ha ;;upuesto un caudal inicial de 100 lis con las direcciones mostradas en la figura 7.15, las cuales fueron supuestas en forma arbitraJia. Durante el desarrollo del ejemplo las presiones estarán dadas en metros y los caudales en m-1/s.

60 100

100

100

40

2

3

100

100

200

5

100

4

100

40

6

30

30

Figura 7.15 Caudales demandados en los nodos y caudales iniciales en las tuberías. Todos los caudales están en l/s.

ANÁLISIS DE IlEDES DE TUBERIAS. REDES CERRADAS

371

Para realizar el cálculo de las presiones y caudales en la red es necesario efectuar el siguiente planteamiento de matrices y vectores, teniendo en cuenta que:

NT NN NS [A12]

7 5

1

= matriz de conectividad, cuya dimensión es (7 X -1

O

O

O

O

1

O

O

O

O

O

O

1

O

O

-1

[A21]

=

-1 1

-1

O O

O

O

1

O

O

O

1

O

O

O

O

5).

-1 1

= matriz transpuesta de [A12] -1

O

O

O

1

O

O

O O

O

O

1 -1

1

O

O O

O

O

O

-1

1

1 O

O

O

O

O

-1

O

O O

-1

1

[A10] =

matriz topológica tramo a nodo, cuya dimensión es (7 X 1).

[Q]

vector de caudales, cuya dimensión es (7 X 1).

[H]

=

vector de cabezas piezométricas desconocidas, cuya dimensión es (5 X 1).


372

[He]

vector de cabezas piezométricas fijas, cuya dimensión es (1 X 1).

[q]

vector de consumo, cuya dimensión es (5 X 1).

[H]

[O]

[Al O]

(m 3/s)

[NJ

[11

[H.]

[q]

(m)

(m 3/s) 006

-1

010

H2

O

0.10

H3

004

O

010

H,

003

O

010

H,

003

O

010

H,

004

O

010

-1

0.10

1

100

1

matriz diagonal, cuya dimensión es (7 X 7). Presenta el valor 2 en la diagonal, ya que se utiliza la ecuación de Darcy-Weisbach como la ecuación de fricción.

2

O

O

O

O

O

O

O

2

O

O

O

O

O

O

O

2

O

O

O

O

O

O

O

2

O

O

O

O

O

O

O

2

O

O

O

O

O

O

O

2

O

O

O

O

O

O

O

2

= matriz identidad. cuya dimensión es (7

X 7),

ANÁLISIS DE REDES DE TlIBERfAS REDES CERRADAS

1

O

O

O

O

O

O

O

1

O

O

O

O

O

O

O

1

O

O

O

O

O

O

O

1

O

O

O

O

O

O

O

1

O

O

O

O

O

O

O

1

O

O

O

O

O

O

O

1

373

Primera iteración

Las matrices anteriormente ,definidas son válidas para todas necesarias en. el cálculo de la red. Las expuestas a cOIltinuac:ión varían' iteración en ¡feraCión.

[A11] =

matriz diagonal cuya dimensión es (7 X 7). Presenta el

ad":-l) +/3 + y , . .. , i j .' '.' i Q¡ en la dIagonal; los coefiCIentes f3 y ceros, ya que no existen bombas en la red.

La siguiente tabla resume el cálculo de los coeficientes (Y.

Tubería

Q

f

v

h,

h,+ hm

1-2

0,10

0,0159

1.974

6,22

6.22

622.28

2-3

0.10

0.0166

5.482

66.89

82.21

8220.77

3-4

0.10

0.0178

12.335

271.02

271.02

27101.65

5-4

0.10

0.0166

5.482

66.89

66.89

6668.98

2-5

0.10

0.0178

12.335

270.99

270,99

27098,90

6-5

0.10

0.0161

3,084

23.09

23,09

230878

6-1

0,10

0,0159

1.974

373

3,73

373.42

Matriz [A11]:

a


374

6223

O

O

O

O

O

O

O

822.08

O

O

O

O

O

O

O

271016

O

O

O

O

O

O

O

66890

O

O

O

O

O

O

O

270989

O

O

O

O

O

O

O

230.88

O

O

O

O

O

O

O

3734

matriz diagonal cuya dimensión es (7 X 7). Cl.;0;'11") en la diagonal.

[A 11]'

Presenta el valor

Para esta red, la matriz [A11]' resulta ser igual a la matriz [A11].

6223 O

O

O

O

O

O

O

822.08

O

O

O

O

O

2710.17

O

O

O

O

O

668.90

O

O

O

O

O

270989

O

O

O

O

O

23088

O

O

O

O

O

O

O

37.34

Cálculo de H¡. 1 cálculo de H , se lltilíza la ecuación 7.65: " ~([A21]

([IV] [A11]') , [A12]) , ([A21] ([IV] [A11]'); ([A11]

X

rO] + [A10] [HJ) -- ([A21] [O] - [qJ))

De la resolución sistemática de esta ecuación resultan las siguientes matrices:


376

-([A21J ([N] [A11]') , [A12]) , -120.541

-100256

-33.383

-16879

-2350

-100256

-1423476

-365444

-104310

-14522

-33.383

-365444

-1460157

-392.548

-54651

-16879

-104310

-392.548

-463689

-64.555

-2350

~14.522

-54651

-64555

-73273

[AlOJ [HJ

([A11J [O]) + ([A10J [HJ)

6223

-100

-93.777

82208

O

82208

271.016

O

271016

66.890

O

66.890

270.989

O

270989

23088

O

23088

[A11J [OJ

3.734

-96266

-100

([A21J ([N] [A11],t' ([A11]

[A21J [OJ

([A21J ([N] [A11]'t' [A11][O] + [A10J

[OJ + [A10] [HJ)

[HJ - ([A21][0] - [qJ

-0.853

-01

-0.6935 -006

0.1

02

O

O

005

0.1

-002

-1.339

O

-1.299

0.03

ANÁLISIS DE REDES DI' TUBERíAS. REDES CERRADAS

Luego, H,+,

=

-([A21]([NJ [A11J't' [A12Jt' ([A21]([N] [A11J't' ([A11][0]+ [A10] [H"J) - ([A21] [O] - [q])) H,

92.000

H,

164.92;2

H,

80.115

H,

99.317

H,

97.335

Cálculo de QI+' Para el cálculo de

Qi+1

se utilizará la ecuación 7.66:

0,+, = [([~ - ([N] [A11J't' [A11])[0] - «[N][A11J't' ([A12][H,+,]+ [A10] [H"J)}

De la resolución sistemática de esta ecuación resultan las sigtlientes matrices: [A12] [H,+,]

[A12] [Hi+,] +

([N] [A11']-') «([A12][Hi+,]) +

[A10] [H"J

([A 10] [H"J»

92.00

-8.00

-0,0643

72,92

72,92

0,0444

84,81

84,81

0,0157

-19,20

-19,20

-0,0144

7.32

7,32

1.98

1.98

97,33

-2,67

° -0,0357

377


378

([N] [A11]'j-' [A11J

05

O

O

O

O

O

O

O

0.5

O

O

O

O

O

O

O

0.5

O

O

O

O

O

O

O

0.5

O

O

O

O

O

O

O

O

05

O

O

O

O

05

O

O

O

O

O

O

0.5

([~ - ([N]

([~

[A11]'t' [A11])

- ([N] [A11]'t' X

[A11]) [Q]

0.5 O O O O O O

O 0.5 O O O O O

O O 0.5 O O O O

O O O

O

O O O O 0.5

O

0.05 005 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05

O O O O O O 0.5

Luego,

0,+, = ¡([~ - ([N] [A11]'j-' [A11]) [OJ - ([NJ [A11]'t' ([A12] [I-(+,J + [A10] [H))J

2-3 3-4 5-4 2-5 6-5 6-1

0.114 0.006 0.034 0064 0.049 0.046 0.086


379

Segunda iteración: Cálculo de los coeficientes c< de las matrices [All] y [All]'.

Tubería

Q

f

v

h,

h,+ hm

1-2

0.114

0.0157

2.256

8.04

8.04

615.35

2·3

0.006

0.0230

0.310

0.29

0.34

10784.26

3·4

0.034

0.0185

4.237

33.24

33.24

28164.19

5-4

0.064

0.0170

3.528

28.34

28.34

6844.20

2-5

0.049

0.0182

6.001

65.58

65.58

27707.71

6-5

0.046

0.0172

1.409

5.16

5.16

2468.44

6-1

0.086

0.0161

1.691

2.78

2.78

378.55

[All]

c<

= [All]'

70.33

O

O

O

O

O

O

O

60.89

O

O

O

O

O

O

O

967.55

O

O

O

O

O

O

O

440.45

O

O

O

O

O

O

O

1347.97

O

O

O

O

O

O

O

112.82

O

O

O

O

O

O

O

32.44

Cálculo de H", A partir de esta iteración, la matriz ([A21] [O] - [q]) se hace igual a cero,

simplificando así los cálculos. H'+l =

-([A21] ([N] [Al1]')-l [A12J¡-' ([A21] ([N] [Al1]')-l ([All][OJ [Al O] [HJ»

+


380

De la resolución sistemática de esta ecuación resultan las 'siguientes matrices:

[N] [A11]' O

O

O

O

121.78

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

880.90

O

O

2695.94

O

O

O

225.64

O

O

O

64.89

14066

O

O

O

O

O O

O

O

O

([N] [A11]'t ' 0.00711

O

O

O

O

O

O

0.00821

O

O

O

O

O

O

0.00052

O

O

O

O

O

O

O

0.00114

O

O

O

O

O

O

0.00037

O

O

O

O

O

O

O

0.00443 O

O

O

O

O

O

0.00711

-0.00821

O

O

000821

O

O

O

0.00114

O

O

O

O

O

O

-0.00114 O

0.01541

O

O

O

O

O

0.00037

0.00443

O

O

-O 00443

001541

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERIAS I
381


382

92.344 89417 81.613 91.274 97043 Cálculo de

01+1

Para el cálculo de

0,,,

I([~

=

-

0i+1

se utilizará la ecuación 7.66:

([NJ [All],t' [Al1J) [O] - ([N] [A11]') , ([A12] [H,+J +

[Al0] [HJ)I Resolviendo paso a paso esta ecuación resultan las siguientes matrices: [A12] [H",J + [AlO] [HJ

[A12] [H¡,,]

([IV] [A11 [HH']

+ [Al0] [H,J) -00544 -0.0240 0.0040 -0.0110 -0.0004 -00256 -0.0456

-766 -293 7.80 -966 -1.07 -5.77 -296

9234 -2.93 780 -966 -1.07 -577 9704

n-e ([A12]

r,

Dado que [Al1] es igual a [A 11 las matrices ([NJ [Al1])' [A 11] Y ([ ~ - ([NJ [A 11]') ¡ [A 11]) siempre serán iguales y tendrán el valor 0.5 en la diagonal. ([~

([NJ [All]') , [A11] = ([~

[A11J) [O]

- ([NJ [A11]') , [A11J) O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

0.5 O

O

0.5

O

O

O

O

05

O

05

O

O

O

O

O

O

- ([NJ [A11]') , X

O

O

O

05

O

O

O

O

O

O

O

OS

O

O

O

O

O

O

O

OS

00571 0.0028 00172 0.0322 0.0243 00229 00429

ANÁLISIS DE IlEDES DE TUBEI!íAS REDES CEIlIlADAS

Luego,

0,+1 =

([~

-

([NJ [A11]')-' [A11])[Qj - «[NJ[A11]')-1 ([A12 J[H~l] +

[A10] [HJ»

Tubería 1-2

0.112

2-3

0.027

3-4

0.013

=

5-4

0.043

2-5

0.025

6-5

0.048

6-1

0.088

Tercera iteración de las matrices [A11] y [A11]'.

V

6-1

0,0884

0.0161

h,

2.202

7.68

472

5.30

h,+hm

524

5.24

13,10

13,10

17.56

17.56

1,493

5.75

5.75

1.745

2,95

2,95

383


384

o

23857

o

o

Cálcul< de HI+ 1

o


385


386

[A11] [O]

[A10} [H,}

[A11j[O}

+

([A21) ([N] [A11j')-' X ([A11] [O] + [AJO] [HJ))

[AJO] [He] ~92.324

-0697

O

6407

0020

5.237

O

5237

0015

13102

O

13.102

0015

17563

O

17.563

-1478

7676

100

6407

5752 2.952

1-10~

I

5752 -97048

I

Luego, ~

~([A21 J([ N] [A11

rt' [A 12])-' ([A21 ]([IV] [A11 rt' ([A11 j[ O] +

[A10] [HJ) - ([A21J [O] - [q]))

~ ([~

H2

92747

H3

82.709

H4

81.882

He

90362

H3

96.843

([IV] [A11]')-' [A11]) [O] -- (([N] [A11]') , ([A12] [H",]

+

[A10] [H,])) De laresolución sistemática de esta ecuaCión resultan las siguientes matrices:

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERíAS. I,EDES CERRADAS

[A12] [H",]

+

[A12] [H",1

([N] [A11']) , ([A12] [H",]

~0.0527

-7. 25 1 ·-10.04 I

-00210 00010 ·-00140 -0.0017 -0.0273 1

0.83

0.83 -8.48

-8.48 -·2.39

-239 ~6.48

·6.48

96.84

-3.161

I

([N] [A11]'¡-' [A11]

·-0.0473

O O O O O

I

([n - ([N] [A11]')-'

~

X

[A11]) [O]

([n - ([N] [A11]'¡-' [Al1])

0.5 O

+

[AlO] [H,])

[A10] [HJ

92.75 -10.04

387

05 O O O O O

O O

O O

O O

O O

O O

0.0558 00134

0.5 O O O O

O 0.5 O O O

O O 0.3

O O O

O O

05 O

O

00066 0.0216 0.0124 0.0242 0.0442

([n -

([N] [A11]'¡-' [A11]) [O] - (([N] [A11]')' ([A12] ><

[H",]

+ [A10]

O

O O

O

05

Luego,

0'+1 ~

[H,,]))

Tubería

1-2 2-3 3-4 5-4 2-5 6-5 6-1

0.1085 00345 0.0055 0.0355 0.0140 00515 00915

HIDI<ÁULlCA DE TUBERíAS

388

Cuarta iteración

Cálculo de los coeficientes" de las matrices [A 11] Y[A 11]'.

v

h(

h, + hm

2.141

7.28

7.28

61797

0.0178

1.889

8.52

10.34

870647

0.0055

0.0222

0683

1.04

1.04

3381762

5-4

0.0355

00178

1948

9.03

903

715498

2-5

00140

00197

1732

593

593

3010407

6-5

0.0515

00170

1.588

647

243830 _.-

6-1

00915

00161

1806

315

3.15

37633

Tubería

Q

f

1-2

0.1085

00158

2-3

0.0345

3-4

-

647

-~-~

--

"

[Al1] = [Al1]'

67.05

O

O

O

O

O

O

O

30008

O

O

O

O

O

O

O

187.15

O

O

O

O

O

O

O

25425

O

O

O

O

O

O

O

42265

O

O

O

O

O

O

O

12556

O

O

O

O

O

O

O

3443

Cálculo de Hi+ 1

H..

-([A21]([N][Al1]')'[A12lJ'([A21J([N][Al1]') '([Al1][Q] + [Al0] [HJ))

De. la resolución sistemática de esta ecuación resultan las siguientes matrices:


390

[A21J ([N] [A11]') , [A12]

-0,00118

O

001031

-0,00167

-0,00167

0,00434

-0,00267

~0,00267

0,00464

~0,00197

-000197

000713

-000398

-000398

001850

O

-000118

O O

O

O

O

O

O

O

-([A21] ([N] [A11]')-1 [A12J)-'

-115,985

-86,544

-68,182

-43236

·--9305

-86544

~454.717

~310,035

-113486

-24424

-68.182

~310.035

~460,875

~157.299

-33853

~43.236

--113486 --157,299

~216819

-46.663

~33853

~46663

~64087

~9.305

[A11][OJ

"~24.424

[AIOJ [H,J

[A", 1] [OJ+ [A10J [He] ([A21J ([N] [All]')-' X ([A11] [OJ + [Al0] [He]))

I

-100

I~92.724

O

10.342

0020

1.036

0.015

9034

° O

9.034

0.015

5,934

O

5934

1.432

6466

O

6466

7,276 10.342 1.036

3,150

Luego,

~100

-96850

I

~0.7í6


H",

391

-([A21] ([N] [AllJ) , [A12]) , ([A21] ([N] [Al1]') , ([A11] [O] [Al O] [H,])

([A21] [O]

+

[q]))

H2

92.932

H3

81.468

H,

81804

H5

89888

He

96.743

Cálculo de OH

O"'

~ ([~

([N] [Al1]') , [Al1]) [O]·· (([N] [Al1]')

([AI2

][1-1",1 +

[A10] [Ho ])) De la resolución sistemática de esta ecuación resultan las siguientes matrices:

[AI2] [H",]

[AI2] [H",] +

([N] [Al1'] ') ([AI2] [H",] +

[Al0] [H,,J

[A 10] [He])

92.93

-7.07

-00527

11.46

-11.46

-0.0191

-034

-0.34

-0.0009

-8.08

-808

-00159

-3.04

-·304

-00036

···6.86

·-6.86

-0.0273

9674

··3.26

·-0.0473

,


392

([N] [A11],t' [A11] ([~

=

([~

[A11J) [O]

- ([N] [A11]')'[A11])

o o

o

o

- ([N] [A11]'t'

o

0.0543

X


Tuberia

Q

v

h,

393

a

618.71 8672.47 36156.82 7190.16 31010.07 2431.20 375.76

o O O O O O

34.96


394

o

O

O

484.11

O

O

O

O

O

O

O

658.71

O

O

O

O

O

O

O

257.92

O

O

O

O

O

O

69.92

([N] [A11])-1 0.00756 O

O

O

O

O

O

O

0.00159

O

O

O

0.00377

O

O

O

O

O

O

0.00207

O

O

O

O

0.00152

O

O O

O

O

0.00388 O

O

O

O

O

«(N] (A11]'¡-' 000756

O

-0.00159

-000152

O O

O

O

O

O

0.00207

O

O

O

-0.00207

0.00152

000388 O

O

000159

O O

0.00377

-0.00388

O

O

(A1

0.01066 -0.00159

O -0.00152

O

O

-0.00159

O

0.00536 -0.00377 -000377

O O

[A12]

-000152

O

O O

0.00584

-0.00207

-0.00207

0.00746

-0.00388

-0.00388

001818

O

O


395

-([A21] ([N] [A11]')-l [A12J)-1 -113.016

-83.261

-70,748

-47,892

-10.214

-83.261

-443.058

-329.332

-121.598

-25.935

-70.748

-329.332

-438,075

-152.594

-32,546

-47,892

-121.598

-152,594

-209,213

-44,622

-10.214

-25,935

-32,548

-44,622

-64,528

[All][Q]

[Al0] [HJ

[All][Q]

+

[A10] [HJ

7,08 11,45 0,49 8.15 3.50 6,84 3,25

-100

° ° ° ° °

-100

([A21] ([N] [Al1]')-' X ([A11][Q]

+ [Al0]

-92.92

-0.726

11,45

0,020

0,49

0,015

8,15

0.015

3,50

-1,410

[HJ))

6,84 -96,75

Luego,

H'+l = -([A21] ([N] [A11]')-' [A12])-' ([A21] ([N] [A11]')-' ([A11] [O]

+ [A10] [H,J) -

([A21] [O] - [q]))

H,

92,960

H,

81,358

H4

81,780

H,

89,812

H6

96,727

HIDr!ÁULlCA DE TUBERIAS

396

o O

0.5

O

O

0.5

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERIAS I!EDES CERRADAS

Luego, los caudales defioitivos son:

0,+, =

([~ - ([N] [A11]'¡-' [A11])

IA10] [HJ))

[O] - «IN] [A11]')-' ([A12] IH,,,] +

397


398

DeSCRIPCiÓN DE ALGUNOS PROGRAMAS COMERCIALES PARA EL DISEliio DE REDES DE ABASTECIMIENTO DE AGUA

En este numeral se hace una corta descripción de algunos de los programas comerciales utilizados para el cálculo de redes cerradas de abastecimiento de agua potable. La lista de programas no es exhaustiva y la escogencia de los que aquí se incluyen se hizo con el criterio de ilustrar cómo operan, haciendo énfasis en la presentación de los resultados y la toma de datos. Al final de cada descripción se muestra un pequeño cuadro donde se resumen las características propias de cada programa. La información proporcionada fue tomada de las hojas de presentación existentes en Internet en el momento de escribir este texto.

KYPIPE3 El programa KYPIPE3 está diseñado para hacer tanto cálculos estáticos, en los que se supone que las condiciones de consumo de caudal y niveles en los tanques permanencen constantes en el tiempo, como para periodos de tiempo extendidos (EPS. extended period simulation) de sistemas de redes hidráulicas. Se puede utilizar para resolver problemas de calibración. diseño y operación. También puede determinar las presiones y los caudales en puntos determinados de la red para diferentes confIguraciones del sistema o diferentes condiciones de operación. La siguiente figura muestra una de las ventanas de presentación de datos típicas de este programa.

Figura 7.17 Ventana de presentación del programa KYPIPE3.

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERfAS. REDES CERRADAS

399

El programa está diseñado en fenna modular, de manera tal que cada uno de sus módulos se encarga de ijna función específica. Por ejemplo, el módulo KYDATA es el encargado de la entrada de los datos al 'problema; el módulo KYCAD presenta los resultados; los módulos KYGEMS y KYQUAL analizan la ;~alidad de agua en la red; KYCAL es el módulo de cálculo. Otros módulos son KY-AIM y KYRURAL. :(fodos los módulos pueden interactuar entre sí permitiendo una buena cantidad y variabilidad de análisis. YPIPE3 tiene funciones que pem1iten modelar diversos componentes hidráulicos de un sistema de astecimiento de agua, tales como bombas de velocidad fija o variable, tanques y embalses, válvulas queloras y sostenedoras, etc. La siguiente figura muestra la presentación típica de KYCAD, el módulo ás utilizado del programa,

-

Figura 7.18 Presentación típica del módulo KYCAD.

El análisis de la red se hace mediante el método de la teoría lineal (ver p. 349); los resultados obtenidos bastante confiables y requieren tiempos de cómputo relativamente cortos. En general, KYPIPE3 realiza cálculos hidráulicos utilizando las ecuaciones de Hazen-Williams para el cálculo de las pérdidas de heza por fricción, aunque es posible incorporarla metodología de Darcy-Weisbachjunto con las ecuaciones Colebrook-\Vhite. .D

La entrada de datos se hace en fonna sencilla a través del módulo KYDATA, en donde la información e ser editada fácilmente, en caso de errores o cambios en el diseño. La entrada de datos también puede erse de manera gráfica en el módulo KYCAD, o en sencillas tablas del tipo de hoja de cálculo. La !ización de los resultados puede hacerse en estos mismos fonnatos, siendo posible imprimirlos o rtarlos a otras aplicaciones, como aquellas utilizadas para el dibujo de planos. En la siguiente tabla se stra Una forma tabulada del despliegue de resultados del programa.

HIDRÁUliCA DE IUBEf!ÍAS

400

Tabla 7.1 Despliegue de resultados de KYPIPE3.

En su versi6n más actualizada, el programa se encuentra escrito en el lenguaje de programación C, pero corre únicamente en entornos del sistema operacional MS-DOS, aunque lo puede hacer emulando ventanas del sistema operacional WINDOWS. Esta última característica hace que su uso no sea tan sencillo como sería deseable para usuarios no familiarizados con la programación de computadores personales. En ocasiones, el programa presenta problemas en ambientes

WINDOWS 3.1! Y WINDOWS 95. En cuanto al Hardware necesario para correr el programa, se requiere un computador tipo pe con procesador INTEL 80486 o superior, con una memoria de acceso aleatorio (RAM) de 8 megabytes como mínimo y una capacidad en disco duro superior a Jos 10 rnegabytes.

Los módulos adicionales al programa permiten generar gráficas de salida más poderosas e interactuar con aplicaciones de diseño asistido por computador (CAD), tal como se muestra en la figura 7.19, en donde se ilustra un perfil de la línea de gradiente hidráulico construido utilizando el módulo KYGEMS. En la tabla 7.2 se resumen las características más importantes

de KYPIPE3.


Figura 7.19 Gráfica generada a través de KYGEMS.

Permite:

.. Análisis hidráulico

.. Calidad de agua .. Simulación extendida: EPS

Ecuaciones de análisis:

.. Hazen-Williams

Metodología de solución:

" Método de la teoría lineal

Entorno:

• MS-DOS

Presentación de resultados:

.. Por pantalla

.. Darcy-Weisbach

.. En tablas

.. En gráficas .. En archivos de texto

Ventajas frente a otros programas:

.. Confiabilidad de resultados

.. Capacidades de modelación y análisis

Desventajas frente a otros programas:

en Internet:

Tabla 7.2 Características del programa KYPIPE3.

401


402

CYBERNET Más que una verdadera aplicación independiente, CYBERNET es un módulo adicional para AutoCAD programa de diseño asistido por computador más popular y completo que existe en el mercado. DesalTolh por la casa Haestad Methods de los Estados Unidos, líderes en la creación de aplicaciones computacíona para hidráulica, CYBERNET es una hen'amienta muy útil para diseñadores e ingenieros practicantes ~ tradicionalmente trahajan en AutoCAD, ya que pone a su alcance una serie de instlUcciones para el análi de redes a presión en el ambiente tradicional de disc!10 en ingeniería. Una de las ventajas más importantes de este programa es el hecho de conservar todas las capacidades dibujo y representación tanto bidimensionales como tridimensionales, de visualización y de modificacil con las que cuenta el programa AutoCAD. Par¡l. utilizar el programa. el usuario emplea este ambiente a f de generar la red de distribución de agua potable, incluyendo la topografía del terreno, la topología de lan y los puntos de entrada y salida de caudales. La figura 7.21 muestra el ejemplo de una red elaborada e AutoCAD para su posterior análisis utilizando CYBERNET.

Figura 7,20 Red de abastecimiento de CYBERNET bajo ambiente AutoCAD.

Las posibilidades que el módulo ofrece no son muy avanzadas, especialmente si se las compara eo de otros programas similares, pero permite realizar senciJlos análisis del comportamiento de las presi o los caudales a lo largo de la red. La interfaz del programa es la misma que la de AutoCAD. A panir de se convierten líneas y polylíneas en las tuberías que conforman la red. La utilidad denominada Smart conecta de manera lógica e inteligente los tramos de la red pam garantizar la adecuada topología de durante los cálculos hidráuüdls.

ANÁLISIS DE REDES DE TUBERíAS. REDES CEI
403

Para la entrada de los datos que describen la red y los caudales de consumo y para la edición corrección de la información de diseño, CYBERNET cuenta con un centro de control de mode(Modeling Control Center). Éste consiste en una serie de tablas con toda la información relevante puede ser consultada y modificada por el usuario, de las cuales la tabla 7.3 nos proporciona un

Tabla 7.3 Centro de control de model.je (Modeling Control CentaJj de CYBERNET.

a solución matemática de la hidráulica de la red se realiza en un código anexo programado en Autolisp, ~digo de AutoCAD; el despliegue de resultados se puede hacer a través de tablas en el centro de control delaje en archivos de salida de tipo texto para ser importado por bases de datos y hojas de cálculo, o

mente aprovechando tod';í~s capacidades de AutoCAD. La figura 7.21 muestra el plano de gradiente !ico para una red anaÚzada. La tabla 7.4 muestra las principales características del programa ERNET.

HIDliÁUllCA DE ¡ullmíAS

404

Figura 7.21 Despliegue gráfico de fos resultados de CYBERNET

Permite:

.. Análisis hidráulico


lO


.. Teoría lineal

Entorno:

• AutoCAD 12


.. Por pantalla

Hazen- WilJiams

.. En tablas .. En archivos de t.exto


.. Facilidad de entrada de datos .. Excelentes gráficas de salida

• Requiere AutoCAD

Desventajas/rente a otros programas:

.. No diseña .. No opera en ambiente Windows L_RLo"m:-e-,p:-a::.g~e:-:-enLI"n"t_er_':-le"t:-:

-"-

Tabla 7.4 Características del programa CYBERNET.

h__tt"p__::-//_w_w_wLoh_a_e_s__ta"d_oc_oo_m

.-I

ANÁLISIS DE [
405

WATERCAD

WATERCAD es un programa bastante poderoso y fácil de usar que permite hacer tantoe1 análisis como el diseño de redes de distribución de agua potable. El programa es propiedad de la casa Haestad Methods de los Estados Unidos, creadores de paquetes como Cybercad, StormCad y otros más.

Dentro de las capacidades de análisis del programa WATERCAD se encuentran las siguientes: Las simulaciones hidráulicas se pueden realizar en estado estable (análisis bajo condiciones de flujo uniforme pennanente) ü bajo la t1gura de periodos de tiempo extendidos (EPS). Se pueden hacer estudios de sustancias conservativas y no conservativas, tales como el cloro y otros productos químicos, analizando el aumento o decaimiento de dichas sustancias, También es posible detenninar los tiempos de retención y las edades del agua en cada uno de los puntos de la red de distribución e identificar las procedencias del agua desde cada una de las fuentes para cada uno de lbS nodos de la red; es decir, en cada uno de los nodos de consumo se puede saber qué porcentaje del agua en él circulante viene de cada una de las fuentes del sistema de abastecimiento. El programa pelmite modelar varios de los componentes hidráulicos típicos de redes de distribución, tales como válvulas reguladoras, estaciones de bombeo y controles automatizados sensibles a la presión o al caudal. Asimismo es posible manejar y simular diferentes escenarios a fin de evaluar el comportamiento del sistema de distribución que se esté diseñando frente a demandas diferentes a las escogidas inicialmente, a calidades de agua variables y a condiciones de emergencia, tales como incendios o racionamientos, los cuales implican unas condiciones de operación muy especiales. La entrada de datos al programa WATERCAD es realmente sencilla y flexibe. Los datos se introducen a través de ventanas como las de WINDOWS, las cuales presentan diferentes altemativas al usuario para describir la topología de la red que desea simular o diseñar. Por ejemplo. la longitud de las tuberías puede ser entrada a través de las coordenadas de los nodos o en forma directa. En caso de escogerse el sistema de coordenadas, el programa permite al usuario redondear la longitud de la tubería calculada. Es posible calcular las pérdidas por fricción mediante las dos principales metodologías de hidráulica de tuberías: La de Hazen-Williams y la de Darcy~Weisbach,junto con la ecuación de Colebrook-White. Sin embargo, WATERCAD también pennite utilizar la ecuación de Manning. Este tipo de instrucciones y modificaciones se realiza a través de ventanas de diálogo sencillas y prácticas. La figura 7.22 muestra una de estas ventanas de introducción de datos de una red de distribución al programa.

406

HIDf!ÁUUCA DE rUBERIAS

Figura 7.22 Ventana para seleccionar la metodología de cálculo en el programa WATERCAD.

El programa WATERCAD es quizás el más amigable y fácil de usar de los paquetes comerciales de este tipo. Se distingue especialmente por la alta calidad de la interfaz gráfica del usuario, la cual, siguiendo el estilo drag and drop de las aplicaciones CAD. permite realizar de manera sencilla y bastante intuitiva la entrada de datos, los cambios en la red y la visualización de los resultados. WATERCAD permite importar planos base del tipo DXF que pueden ser utilizados de fondo para el trazado de la red, simplificando así ostensiblemente la entrada de datos (figura 7.23).

Figura 7.23 Presentaciones típicas del programa WATERCAD.


407

Una vez se realiza la simulación del comportamiento de la red, el programa WATERCAD ofrece la posibilidad de visualizar por pantalla, con una alta calidad gráfica, los resultados obtenidos, siendo posible entre otras cosas generar códigos de colores para el análisis de resultados y mapas de superficie y de contorno para todas las variables de interés. Además, el ratón (mouse) del computador va indicando el estado delas variables de los puntos sobre los cuales se desplaza. El análisis de diversos escenarios y las modificaciones de los parámetros y condiciones iniciales también se realiza fácilmente a través de una barra de herramientas sobre el esquema de la red, tal como se ilustra en la figura 7.24.

R-22D

~50

~;l'2

PMP~345

J"70

. P-SO

J~160

P~2.

J-15D

P-34D

P·SO

P·60

J-140

Figura 7.24 Presentación típica para la modelación de escenarios.

Los resultados arrojados por el programa pueden ser llevados fácilmente a múltiples bases de datos y hojas de cálculo, entre ellas dBase, Paradox, FoxPro, Excel, Lotus y ODBC. Asimismo se puede interactuar con sistemas de infonnaci6n geográfica sra para análisis más completos. El programa WATERCAD construye e imprime automáticamente tablas con los resultados obtenidos, las cuales pueden ser modificadas y ,personalizadas según los requerimientos de cada usuario (tabla 7.5). .

HIDRÁULICA DE TUBFI¡iAS

408

Tabla 7.5 Presentación de resultados en WATERCAO.

W ATERCAD 1.5 FOR

WINDOWS

f-------------.-----------,----,--------------------1 Permite: Ecuaciones de análisis:

Metodología de solución: Entorno: Presentación de resultados:


Desventajas frente a otros programas: Bome page en Internet: Tabla 7.6 Características de! programa WATERCAD.


409

EPANET

EPANET es un programa desarrollado por la Agencia de Protección Ambiental de los Estados Unidos (EPA, Envirornental Protection Agency), para el estudio y análisis del comportamiento de redes hidráulicas a presión.

El programa está compuesto por un módulo de análisis hidráulico que permite simular el comportanliento dinámico de una red de distribución de agua potable. Hace posible incorporar a la simulación tuberías, bombas de velocidad fija y velocidad variable, válvulas de estrangulación, válvulas reductoras y sostenedoras de presión, tanques de cabeza constante o variable y sistemas de control y operación temporales o según nivel y presión. En la figura 7.25 se ilustran los diferentes componentes que son admitidos por el programa.

Figura 7.25 Componentes de una red en EPANET.

410


El análisis hidráulico de la red se puede realizar mediante las ecuaciones de Hazen-Williams, DarcyWeisbach o Chézy-Manning a fin de calcular las pérdidas de cabeza por fricción. EPANET utiliza la metodología de la teoría lineal para la solución matemática de la red. Además, el programa cuenta con un módulo para el seguimiento de la calidad de agua a través de la red, el cual permite monitorear el aumento o decaimiento de una sustancia (conservativa o no conservativa) a lo largo de la red. EPANET modela reacciones químícas de! agua en el seno del lluido o con el material en las paredes de la tubería y de los tanques. Para cIJo utiliza reacciones cinéticas de primer orden y requiere las constantes Kby Kw,

El programa se encuentra escrito en lenguaje e y puede correr en entornos MS-DOS, Windows 3.11, UNIX o Windows 95, siendo este último sistema operacional el más popular debido a su facilidad de manejo y la excelente presentación de resultados por pantalla. El programa es bastante rápido y confiable; el tamaño de la red sólo puede verse limitado por las capacidades de memoria del equipo utilizado. La entrada de datos se hace a través de un archivo input de tipo texto con toda la información de entrada. Una vez se realiza la simulación de una red de distribución de agua potable, la venmna típica del programa aparece como la mostrada en la figura 7.26.

Figura 7.26 Presentación típica del programa EPANET.

~ lo.


411

~o_oo PIou....e fur Nodl!t 10

)50,00

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\00_00 I

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5.

10.

15.

__ 2B,

25,

Time. hrs

Figura 7.27 Presentación gráfica de los resultados de EPANET.

Una vez se realiza la simulación del comportamiento de la red, el programa EPANET ofrece la posibilidad de visualizar por pantalla los resultados obtenidos, Este sistema presenta dos ventanas pdncipales: un esquema de la red sobre el cual codifica, por colores, los diversos resultados que el usuario desee ver para un instante específico del periodo de simulación, y una ventana llamada browser, en la cual se pueden seleccionar nodos y tuberías, con el fin de presentar toda la información disponible.

Además, el programa permite generar, con los resultados, algunas tablas y gráficas (figura 7.27) que pueden ser impresas directamente o utilizadas en otras aplicaciones, tales como Excel o Word. Los resultados obtenidos con el programa son bastante confiables; la popularidad del EPANET se ha extendido rápidamente por su buen desempeño y por ser de distribución gratuita.

~~.

. Permite:

CT • Análisis hidráulico • Calidad de agua


• Hazen-Williams • Darcy-Weisbach • Chézy-Manning

MetodologÚl de solución:

• Teoría lineal


412

EPANET

Entorno:

• MS-DOS .. Windows 3.1

• Windows 95


.. Por pantalla .. En tablas lO

En gráficas

.. En archivos de texto


.. Facilidad de uso

.. Distribución gratuita .. Excelente presentación de resultados

Desventajas frente a otros programas:

.. No diseña

.. Entrada de datos complicada

Bome page en Internet:

http://www.epa.gov

Tabla 7.7 Características del programa EPANET.

SEGUNDA PARTE DISEÑO

DE

REDES DE DISTRIBUCiÓN

Esta segunda parte del capítulo 7 está dedicada al tema del diseño de redes de distribución de agua teniendo en cuenta que lo visto hasta ahora corresponde a comprobaciones de diseño de estas redes. En primer lugar se aborda la aproximación tradicional de la ingeniería para llevara cabo el diseño de un sistema de acueduct{)o haciendo énfasis en la fonna de calcular y ubicar los caudales de consumo en la red, así como de estimar los diámetros de las tuberías que la conforman. En segundo lugar se introduce el programa REDES desarrollado en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes, el cual tiene la capacidad de diseJ1ar redes optimizadas desde el punto de vista del costo de las tuberías y sus accesorios. Se describe en detalle la metodología del programa, sus capacidades y su forma de manejo_ Sc adjunta un disqucte con una versión académica dc REDES.

Diseño de redes de abastecimiento de agua Es claro que los diferentes programas para el cálculo de redes de abastecimiento de agua no hacen en sí de la red. Éstos requieren los datos de diámetros de cada uno de los tubos de la red, los caudales


413

consumo en cada uno de los nodos y la presión mínima en la red. A continuación se describe el proceso que tradicionalmente se ha seguido en la práctica de la ingeniería para llegar al diseño de redes de abastecimiento de agua. las cuales luego son probadas en alguno de los programas de cálculo de redes con el fin de verificar su compOltamiento hidráulico.

Estimación de los caudales de consumo El diseño de sistemas de distribución de agua potable requiere que el caudal en cada sección de la ciudad sea estimado con un grado de aproximación razonable. Por consiguiente, el primer paso en el diseño de este tipo

de sistema involucra la predicción del desarrollo futuro del mismo. Muchas ciudades tienen planes de desarrollo que establecen diferentes usos de la tierra en las diferentes zonas de la ciudad (industrial, comercial, público y residencial). De existir, tales planes son el mejor punto de inicio, puesto que el consumo de agua nonnalmente se puede relacionar con el uso de la tierra. En la práctica de la ingeniería se han desarrollado modelos multivariados que relacionan el consumo de agua con la clase de usuario en comunidades y ciudades individuales. Tales modelos requieren que el patrón de uso en la ciudad sea analizado de manera cuidadosa con el fin de desagregar el consumo total. El uso industrial del agua es bastante específico para cada tipo de industria y, por consiguiente, es el más difícil de predecir. El suponer que un área industrial tendrá un consumo promedio de agua igual al de una zona residencial con alta densidad (20 1/m2 .día) es una aproximación razonablemente conservadora para el diseño de las redes principales de agua. Algunas industrias pueden consumir caudales mayores que los anteriores, pero la mayoría de ellas consumirán caudales mucho menores. El consumo comercial, también específico, es mayor para hoteles y hospitales (hasta 330 1Im 2.día). Los e,dificios de oficinas y los centros comerciales pueden tener consumos de hasta 90 1Im 2.día. Por tanto, un valor de consumo promedio para un desanollo comercial no definido podría ser alrededor de 40 11m2 día aplicado únicamente al área que en realidad va a estar cubierta por las estructuras, sin incluir las áreas de parqueaderos o las áreas libres. El caso del consumo residencial es más fácil de evaluar debido a que las densidades de población establecerse de acuerdo con una clasificación residencial. En áreas que ya se encuentran desarrolladas población puede detenninarse con un razonable grado de aproximación. En este caso se pueden utilizar datos de censos con el fin de hacer una proyección de la población. Una vez que se ha estimado la densidad P~:::~;~~~~~~ la cual puede ser la población de saturación para aquellos casos en que no se tengan datos de ti se pueden determinar fácilmente los consumos promedio y los consumos pico utilizando curvas demanda diaria para la población o para poblaciones similares, en el evento que la población objeto del de la red de distribución no tenga datos de consumos. En una red de abastecimiento de agua potable, el agua es tornada de la red en un gran número de puntos.

>Nl)flt,alrnellte, cada usuario tiene una conexión individual a través de la cual se toman pequeños caudales la red, en general a intervalos de 15 m o menos. En consecuencia, no es razonable intentar analizar el este grado de detalle. Más bien los caudales de consumo individual se concentran en un número de puntos, por lo común en las intersecciones de las calles. Cuenta habida de lo anterior se puede 1':,~rlsi(lenlt que el sistema de distribución de agua está compuesto por una red de nodos (correspondiente a puntos de caudal de consumo) y de tramos (tubos que conectan los nodos). Los consumos de agua

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HIDRÁULICA DE TUBEI
estimados para las áreas contenidas entre los tramos se distribuyen apropiadamente entre los nodos conectados por éstos.

Además del conSumo de agua industrial, comercial y residencial, el sistema de distribución de agua también debe cumplir con la función de la protección contra incendios. La cantidad de agua requerida para el control de incendios depende de las características de construcción en el área considerada. Por lo generaL en zonas residenciales se requieren caudales que varían desde un mínimo de 30 l/s hasta un máximo de 150 l/s, mientras que en zonas comerciales e industriales éstos pueden ser sustancialmente mayores. Los hidrantes se localizan en la ciudad de tal fOlma que los caudales para incendios puedan ser tomados de la red cuando sean requeridos. Es usual considerar que el caudal típico para una manguera es de 1511s, de tal manera que el incendio en una zona residencial requiere máximo 10 conexiones de manguera. Dado que el área minima servida por un único hidrante es de alrededor de 4000 m). el espaciamiento mínimo entre hidrantes es de cerca de 60 m. En ningún caso, los hidrantes deben localizarse a más de 150 m uno de otro. De ordinario, los hidrantes se localizan en las intersecciones de las calles. de tal manera que las mangueras puedan ir en cualquier dirección. En este sentido, para la modclación de la red de distribución, los caudales de incendio se localizan en algunos de los nodos de la red, donde se suman a los caudales normales de consumo en dichos nodos.

Presiones requeridas en la red de abastecimiento Las presiones en sistemas de distribución de agua potable varían de 15 a 30 mea (metros columna de agua) (150 a 300 kPa) en sectores residenciales con edifIcios de incluso cuatro pisos de altura hasta 40 a 50 mea (400 a 500 kPa) en sectores comerciales e industriales. Presiones menores a los 35 mca (350 kPa) no suministrarán 15 mca (150 kPa) para el sexto piso de un edificio, mientras que una presión menor a 20 mea (200 kPa) es inadecuada para edificios de cuatro pisos. En el caso de demanda alta de incendio, cuando se utilizan camiones de bomberos. se puede permitir una caída en la presión no inferior a los 15 mca (150 kPa) en las zonas de la red de distribución en la vecindad del sitio del incendio. La Asociación Americana de Trabajos de Agua (American Water Works Association, AWWA) recomienda una presión estática normal de 40 a 50 mca (400 a 500 kPa), ya que tal cantidad suministrará agua en edificios de hasta diez pisos de altura, al tiempo que suministrará el agua para sistemas de aspersores contra incendios en edificios de hasta cuatro o cinco pisos de altura, permitiendo también caudales contra incendios sin el uso de camiones de bomberos. De igual manera, hará posible un razonable margen de seguridad en caso de que ocurran altas demandas o cienes parciales en el sistema de suministro de agua. Con respecto a ciudades pequeñas son adecuadas presiones en el rango de 15 a 30 mca (150 a 300 kPa) para el uso normal, para el evento de pequeños incendios. En estas pequeñas ciudades se hace por lo común necesario el uso de canos de bomberos con el fin de combatir los posibles incendios. Aquellos edificios que superan la altura permitida por las normas de acueducto de una ciudad, deberán tener su propio sistema de aumento de presión para cubrir el consumo normal y, de ser necesario, para ayudar en la extinción de incendios. A panir de las anteriores consideraciones, y conociendo la distribución de zonas de uso en una ciudad, se establece la presión mínima requerida encada uno de los nodos de la red de abastecimiento. Esia presión mínima es uno de los datos de entrada más importantes para los programas de cálculo de dicha red.

ANÁLISIS DE ¡¡EDES DE TUBERíAS REDES CERRADAS

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Diámetros de las tuberías de la red de distribución La red de tubos que conforman el sistema de distribución de agua potable en una ciudad grande puede subdividirse en líneas arterias o primarias, líneas secundarias y líneas de distribución. Las líneas arterias o primarias forman la estructura básica del sistema de distribución y mueven los caudales desde las estaciones de bombeo en las plantas de tratamiento hasta tanques de almacenamiento elevados y hacia los diferentes distritos de la ciudad. Estas líneas se colocan en circuitos interrelacionados, de tal forma que las tuberías principales no estén separadas por más de 1 km. Los sistemas de circuitos aseguran un servicio continuo aun si una parte del sistema se cierra con el fin de ser reparada y penniten el flujo en dos direcciones con el fin de suplir la demanda para incendios. Las arterias deben tener válvulas a intervalos no mayores de 1.5 km Ylas líneas menores que se encuentren conectadas a ellas deben tener válvulas, de tal manera que fallas en los sistemas menores no requieran el cierre del sistema de red primaria. Las tuberías primarias deben tener válvulas de purga en los puntos más bajos y ventosas en los puntos más altos. Las tuberías secundarias conforman circuitos menores dentro de las tuberías primarias y unen una línea primaria a la otra. El espaciamiento usual entre eUas es de 2 a 4 manzanas y sirven para proveer grandes cantidades de agua contra incendio sin una excesiva pérdida de presión. Los sistemas de distribución locales forman una malla en toda el área de servicio, suministrando el agua para cada uno de los usuarios y para los hidrantes contra incendio. Éstas se conectan a las redes primarias, a las redes secundarias o a otras tuberías de la red de distribución en sus dos extremos y tienen válvulas, de tal manera que el sistema puede ser cerrado para reparaciones sin impedir el abastecimiento en un área muy grande. El tamaño en los tubos de las redes de distribución está fijado por el caudal contra incendio, excepto aquellas áreas' residenciales con lotes muy grandes~ Las velocidades para flujo máximo, incluyendo el caudal para incendio, nonnalrnente no exceden 1 mis, con p.n límite superior de 2 mis, el cual puede ocurrir en aquellas tuberías cercanas al sitio de grandes incendios. pI tamaño de las tuberías de los sistemas de distribución rara vez es menor a los 150 mm (6 pulgadas) con cmces localizados a intervalos no mayores a 180 m. En distritos de alto valor o en zonas comerciales o industria]les, el tamaño mínimo es de 200 mm (8 pulgadas), con cruces con el mismo espaciamiento máximo. usual que las calles principales de la ciudad tengan tuberías no menores de 300 mm (12 pulgadas) en

Aquellas tuberías que únicamente suministran agua para consumo doméstico pueden ser tan pequeñas 100 mm (4 pulgadas) pero no pueden tener longitudes mayores a 400 ro si terminan en un punto ciego a 600 ro si están conectadas al sistema en sus dos extremos. En ciudades pequeñas no existe la misma <:oluposiciéin para la red de distribución de agua potable. Usualmente sólo existen tuberías secundarias y IY/u¡h","o de distribución local. En este tipo de ciudades se permiten tuberías tan pequeñas como 50 a 75 mm 3 pulgadas). La longitud de estas tuberías no debe exceder los 100 m si tenninan en un punto ciego y los m si se encuentran conectadas en los dos extremos. Siempre que sea posible se deben evitar los puntos 12',,¡,,",;00 debido a que en estos casos el suministro es menos confiable y la falta de caudal en tales tuberías ¡Y;4$'ue
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HIDRÁULICA DE TusmlAS

Diseño de la red de dislribución El diseño detallado de un sistema de distribución de agua potable está afectado por la topografía locaL por las densidades de población existentes y esperadas y por la demanda comercial e industrial. En primer lugar, los caudales deben ser desagregados en subáreas individuales del sistema, tal corno se describió anteriormente. Luego, se debe diseñar un sistema de circuitos interconectados. Finalmente, el disel10 involucra la determinación de los tamaños de las tuberías principales, las tuberías secundarias y el sistema de distribución requerido para asegurar las presiones y velocidades deseadas en el sistema para diferentes condiciones de flujo. Estas condicíones de diseño se basan en los caudales diarios máximos mis el caudal de incendios, dependiendo del tamaño de la ciudad. Los caudales de incendio dependen de las características de las subáreas individuales tal corno se expuso. En generaL aquellos incendios que se localizan a las distancias horizontales y verticales máximas desde las plantas de abastecimiento o las estaciones de bombeo son críticos para el diseño. Sin embargo, usualmente es necesmio suponer difercnt'es localizaciones de incendios con el fin de asegurar que todas las áreas de la ciudad se encuentren protegidas adecuadamente. Las consideraciones de diseño descritas anteriormente llevan a la conclusión obvia de que, en general, existen muchas posibles soluciones que satisfacen las restricciones de diseño. Por consiguiente, la tarea consiste en determinar la "mejor" solución. El problema de optimización para una red de abastecimiento es muy complicado debido a que la distribución de los caudales en las tuberías es función del diseño, de ahí que sea usual utilizar técnicas simplificadas. Lo anterior significa que es muy difícil, mediante estas técnicas simplificadas, obtener la red de costo mínimo (óptima) que cumpla con las restricciones de cabeza y caudal en los diferentes nodos de la red. El problema de la optimización del costo de redes de distribución es un tópico importante de investigación hoy en día. Este hecho es esencial para redes de distribución en ciudades de países en desarrollo, donde los costos de las tuberías son comparativamente más altos que los costos de las tuberías en países desarrollados. La aproximación al diseño de sistemas de tuberías con circuitos utilizada en ingeniería involucra la distribución geométrica de la red y la asignación de diámetros destinados para las tuberías y el cálculo de los caudales resultantes y las pérdidas de cabeza. Posterionnente, los diámetros de las tuberías se ajustan tanto como es necesario para asegurar que las presiones en los diferentes nodos y las velocidades en las diferentes tuberías cumplan con las restricciones establecidas para la ciudad objeto del diseño. Para un conjunto dado de diámetros de tubería. el cálculo de caudales y presiones es una tarea razonablemente rápida quc puede llevarse a cabo dc diferentcs formas. El procedimiento para el diseño de la red dc distribución de agua puede esquematizarse dc la siguiente manera: 1. Desagregar los caudales en las diferentes manzanas u otras subáreas de la ciudad. 2. Concentrar los caudales desagregados en los nodos del sistema. 3. Añadir los caudales-contra incendio requeridos en los nodos apropiados.


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4. Seleccionar los diámetros iniciales de las tuberfas utilizando los criterios expuestos. 5. Utilizar alguno de los métodos establecidos en este capítulo para el análisis de redes de distribución de agua potable, con el fin de calcular las presiones en cada nodo de la red y los caudales en cada tubería. 6. Comparar las presiones y las velocidades en la red balanceada con los criterios establecidos. Ajustar los diámetros de las tuberías para reducir o aumentar las velocidades y presiones y repetir el proceso hasta que se obtenga una solución satisfactoria. 7. Aplicar cualquier otra condición de caudal de incendio que pueda ser crítica y revaluar las velocidades y las presiones en el sistema de distribución. Ajustar los diámetros de las tuberías tal como sea necesario. El procedimiento antes descrito se lleva a cabo usualmente en un computador. Sin embargo, de esta fanna no se garantiza que se obtenga una red de mínimo costo (óptima) que cumpla con todos los requisitos hidráulicos de caudales y presiones en cada uno de los nodos de la red. Por otro lado, no son claras las razones para limitar las velocidades en las tuberías. Este límite de velocidades es la causa más importante de tener tuberías con diámetros grandes en la red, elevando así los costos. Mayores velocidades permitirían diámetros menores cumpliendo con los requerimientos de velocidad y de cabeza en cada nodo. El golpe de ariete es un problema que bien puede ser causado por velocidades superiores a 2 mis en las tuberías de la red. Sin embargo, hoy en día los métodos de análisis y las herramientas computacionales penniten conocer de antemano la magnitud de las sobrepresiones que un fenómeno transiente generaría en diferentes puntos de la red.

El orograma REDES Cuando se diseña una red de disuibución de agua, el proceso seguido consiste en predimensionar los diámetros de cada una de las tuberías que la conforman, para luego analizarla desde el punto de vista hidráulico. Dicho predimensionamiento está basado en la experiencia y el juicio del diseñador, quien usando una serie de criterios empíricos, va cambiando diámetros de tubos en fonna más o menos aleatoria hasta que la red cumpla con los caudales demandados y las presiones mínimas requeridas en cada uno de los nodos. Sin embargo, a pesar de que este proceso lleva a diseños que funcionan bien desde el punto de vista hidráulico, éstos no necesariamente optimizan el costo de las tuberías y de sus accesorios. El programa REDES, desarrollado en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes, en Santafé de Bogotá, a diferencia de los otros programas descritos en la PrirneraParte de este capítulo, permite el diseño optimizado de redes de distribución de agua, tanto de redes nuevas como de ampliaciones de redes existentes. El desarrollo del programa está basado en criterios de optimización de redes a los que se ha llegado a través de investigaciones en diferentes universidades de Estados Unidos y de Europa. En este aparte se hace una breve descripción del programa, de sus algoritmos y del método de optimización en que se basa. Se adjunta un disquete con una versión académica de éste.

Capacidades del programa REDES El programa está dividido en cuatro módulos, tal como se muestra en·la figura 7.28. El primero de cUas es el de CÁLCULO, el cual hace los cálculos hidráulicos de'la red de distribución. Este módulo se utiliza

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para la comprobación de diseño y corresponde a lo que hacen la mayoría de los programas cornercíales para este tipo de problemas. Además es llamado por los demás módulos para realizar los cálculos requeridos. La metodología utilizada es la del método del gradiente (R. Salgado et al.) descrito en este capítulo, acompañada por un manejo de matrices dispersas a través de la metodología de Cholesky.

Detección de fugas'

Figura 7.28 Capacidades del programa REDES. Se muestran los cuatro módulos y seis submódulos en que se encuentra dividido. El módulo de cálculo corresponde a las capacidades de la mayoría de los programas comerciales.

El segundo es el módulo de DISEÑO, el cual realiza el diseño optimizado de la red de distribución. Se divide en dos submódulos: RED TOTAL, que diseña redes nuevas, y AMPLIACIONES, que diseña ampliaciones de redes existentes. En ambos casos, el diseño es óptimo desde el punto de vista de los costos de las tuberías y de sus accesorios. AMPLIACIONES tiene la capacidad de cambiar algunas de las tuberías de la red existente con el fin de garantizar el correcto funcionamiento de la zona ampliada. Los cambios también siguen un criterio de optimización, La versión académica del programa, adjunta a este texto, contiene s6lo los dos primeros módulos, de ahí que en este capitulo no se incluya la descripción de los dos últimos módulos, El tercer módulo, DETECCIÓN DE FUGAS, se usa para detectar fugas o conexiones clandestinas a la red de distribución, Utiliza como datos de entrada los consumos reales de la red y las presiones reales en algunos de sus nodos, Estas presiones reales se comparan con las presiones teóricas (sin fugas) para detectar la localizaci6n de los sitios de daños o de conexiones clandestinas. Está dividido en dos submódulos: El primero, ANÁLISIS ESTÁTICO, supone que las presiones en la red son constantes a lo largo del día, correspondiendo a las presiones de diseño, las cuales se calculan con el caudal máximo diario, El segundo, ANÁLISIS DINÁMICO, tiene en cuenta la variación de los consumos y, por consiguiente, de las presiones a lo largo del día, Utiliza como dato de entrada adicional la curva de conSumo diario 'para la población objeto de análisis. El último módulo, CALIDAD, tiene la capacidad de analizar la calidad del agua en la red, tanto para sustancias conservativas como na conservativas. Su primer submódulo, CONSERVATIVAS, se puede utilizar para determinar el tiempo de retención del agua en la red de distribución y el tiempo que un contaminante se demora en llegar desde la planta de tratamiento, o desde un sitio de contaminación, hasta un lugar determinado de consumo en la red, El segundo submódulo, NO CONSERVATIVAS, hace el mismo tipo de análisis, pero para sustancias químicas que decaen en el tiempo o que pueden reaccionar con los matelialeS de los tubos de la red. Su principal aplicación es detenninar puntos de recloración en la red de distribución de agua potable.


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Método de diseño de redes

Proceso de selección de método Con el fin de establecer el método de diseño óptimo de redes de 'distribución se establecieron una serie de requisitos que debían ser cumplidos por el algoritmo. 1. El proceso de diseño requiere que la red se calcule muchas veces, con un número de iteraciones creciente

a medida que la red se hace más grande. Este hecho implica que el método de cálculo que se debe utilizar en un programa de diseño en sí debe ser el más eficiente desde el punto de vista del tiempo de ejecución en computador. Se encontró que el mejor método es el del gradiente, conjuntamente con técnicas para el manejo de matrices dispersas, Otros métodos, tales como el de Newton-Raphson o el de

la teoría lineal; probaron ser menos eficientes, lo cual influyó sobre la selección del método de cálculo para REDES. 2, El método debía emplear el módulo CÁLCULO de comprobación detedes con el método del gradiente, desarrollado para la primera parte del programa, utilizándose por tanto los mismos procedimientos de éste. De esta forma se aprovechaban las ventajas que en la parte numérica tiene dicho método conjuntamente con el manejo de matrices dispersas.

1 La función objetivo del algoritmo debía tener en cuenta el costo de la red de distribución, incluyendo el costo de las tuberías, de sus accesorios y del transporte hasta el sitio de construcción. 4, Las restricciones del algoritmo, factibles de ser cambiadas en cualquier momento, eran dos: Utilización de diámetros comerciales y cabeza minima de 10 metros de agua en cualquier nodo de la red. A partir de estos requisitos se hizo una extensa investigación bibliográfica sobre los diferentes métodos de diseño de redes de distribución de agua. Finalmente se llegó al método de Ronald E. Featherstone (1983 y 1993), el cual propone extender el método desarrollado por I-Pia Wu (1975) para el caso de tuberías en serie, descrito en el capítulo 5, al caso de redes de distribución de agua potable. Este método propone hallar cabezas hipotéticas e ideales para un sistema de riego en una zona plana, antes de proceder al diseño. Posteriormente, Okitsugu Fujiwara (1987a, 1987b y 1991) comprobó que el método de Wu también se podía utilizar en sistemas de acueducto. Featherstone verificó esta htpótesis, al establecer un método para el diseño optimizado de redes. El método de optimización escogido se basa en calcular unas cabezas ideales en cada uno de los ilodos de la red, de tal manera que las líneas de gradiente hidráulico de las tuberías formen parte de un plano inclinado cuyo punto más alto es un tanque de abastecimiento y el punto más bajo la altura plezomé,tricaen el nodo más alejado de la red. Este concepto, ilustrado en la figura 7.29. se complica la medida en que aumente el número de tanques de abastecimiento de la red y existan bombeos a ésta.


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--;- ~~-t~",,::::::- __~B~_ ,, , , ,, ,, , h. ,,,

Líneas de gradiente hidráulico

e

:Oe,! ,

1

Figura 7.29 Criterio de Featherstone. Los planos ABe y ABD deben formar parte de un mismo plano general. Las líneas punteadas representan las alturas piezométricas de cada uno de los nodos de la red. El punto 3 representa el nodo más alejado y, por consiguiente, e! de cabeza piezométrica mínima. El punto 1 representa el tanque de abastecimiento de agua.

Descripción del algoritmo El algoritmo del módulo DISEÑO está compuesto por cuatro subaIgoritmos, los cuales son: cabezas iniciales. cabezas ideales (que confonna la función objetivo), cálculo de diámetros y redondeo a diámetros comerciales. Dichos procedimientos son independientes en cuanto a su operación, aunque el de cabezas ideaJes puede ser Hamado por el de cálculo de diámetros, ya que este último puede causar cambios en las condiciones de flujo (sentido de flujo) en la red al variar algún diámetro. Sin embargo, los cuatro subalgoritmos conforman una cadena en serie. Una vez que el usuario del programa haya introducido todos los datos de la geometría y características de la red [coordenadas (x, y, z) de los nodos y tanques, caudal demandado en cada nodo, caudales de entrada y cabezas de los tanques, topología de la red (conectividad), longitud, rugosidad y accesorios de tuberías, y la base de diámetros comerciales que se utilizan en el diseño], el programa asigna un diámetro de 8 pulgadas (0.2032 m) a todos los tubos de la red. Esta operación se hace de acuerdo con el criterio de Featherstone (1983), el cual establece que se debe escoger un diámetro relativamente grande para toda la red a fin de minimizar las iteraciones del proceso de cálculo de ésta; sin embargo. tal suposición no afecta los resultados finales. Es importante tener en cuenta que el proceso de numeración de los tubos se debe hacer de tal forma que se siga la dirección general del flujo en la red.

ANÁLISIS DE REDES DE rUBERIAS REDES CERRADAS

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Con los diámetros supuestos, el programa hace el cálculo hidráulico de la red utilizando el método del gradiente. Dado que se trata de un proceso de comprobación más que de diseño en sí, el método se utiliza una sola vez en esta etapa del programa. La razón que sustenta esta primera parte del programa plantea que para obtener la función objetivo es necesario tener la dirección del t1ujo en toda la red a la vez que los caudales iniciales en todos los tubos que cumplan con la conservación de la masa en los nodos. Con estos resultados se calculan las cabezas iniciales y después las cabezas ideales, las cuales conforman la función objetivo. Posterionnente se calculan los diámetros definitivos no comerciales y, por último, se establecen los diámetros comerciales definitivos. En la figura 7.30 se muestra el diagrama de flujo correspondiente al algoritmo general del programa. En el siguiente numeral se hace una descripción en detalle de los cuatro subalgoritmos, ya que éstos confonnan el núcleo del programa de diseño óptimo de la red.

§--...

Suponer diámetros (1)

Nuevos diámetros (2)

No

Redondeo de diámetros

Optimización de diámetros !----..(\.. Fi N minimizar costos -'

L-

Algoritmo: proceso general Figura 7.30 Algoritmo general del módulo de DISEÑO de! programa REDES.

422


Descripción de subaigoritmos Cabezas iniciales El procedimiento para hallar las cabezas iniciales está basado en un criterio geométrico que sigue la configuración del terreno y que asigna a cada nodo una cabeza parecida a 10 que se obtendría de acuerdo con los cliterios de Wu, Fujiwara y Featherstone. Este procedimiento se puede resumir en los siguientes pasos: 1. Se lee toda la información con respecto a los nodos de cabeza constante (localización en planta, cabeza y elevación topográfica).

2. Se realizan varios recorridos, uno por cada nodo de cabeza constante, en los cuales se ubica el nodo más lejano a cada uno de éstos. A esos nodos se les asigna la cabeza mínima. Postelionnente se hace una ponderación de cabezas con respecto a la distancia a cada uno de los tanques para todos los demás nodos de la red. Esto implica que cada nodo tendrá tantas cabezas como nodos de cabeza constante tenga la red.

3. Para cada nodo de la red se hace un promedio ponderado con respecto a la distancia de las diferentes cabezas obtenidas en el paso anterior (una cabeza con respecto a cada nodo de cabeza constante).

4. Si en un nodo dado, la cabeza calculada en los dos pasos anteriores es inferior a la cabeza mínima, a éste se le asigna la cabeza mínima permitida.

5. Una vez que se ha recorrido toda la red se asigna la cabeza mínima permitida a los nodos con un solo nodo fuente.

6. Una vez realizados los pasos anteriores, las cabezas calculadas se graban en el archivo de pre~ siones del sistema y se pasa al procedimiento de cabezas ideales, el cual genera la función objetivo. El diagrama de flujo mostrado en la figura 7.31 resume los pasos para el cálculo de las cabezas iniciales utilizadas por el programa de diseño óptimo de redes.


423

Ubique nodo más lejano al r----~ tanque j.

Calcula cabeza ponderada de cada nodo con respecto a cada tanque,

No

¿Acabó Pondera cabeza nodo ¡, respecto a la distancia del nodo a cada tanque.

de recorrer red?

Sí

>--"'->1

Identifique nodos con 1 solo nodo fuente

Si la cabeza es menor que 10 m (cabeza mínima), entonces h_ = 10 m

Algoritmo: cabezas Iniciales

Figura 7.31 Diagrama de flujo del subalgoritmo para el cálculo de las cabezas iniciales.

Cabezas ideales El procedimiento para hallar las cabezas ideales está basado en los criterios de Wu y Featherstone y se puede resumir en los siguientes pasos:

1. Para el cálculo de la función objetivo se parte de las cabezas iniciales obtenidas en el paso anterior. Las cabezas se deben calcular con respecto al nivel de referencia escogido por el usuario del programa.

HIDI,ÁULlCA DE TUBERíAS

424

2. Iniciando con el nodo 1 y siguiendo el orden de numcmción de nodos dado por el usuario, se encuentran

los nodos conectados al nodo en cuestión (nodos fuente). Dependiendo del número de nodos fuente correspondientes a cada nodo, las cabezas iniciales empiezan a cambiar en la siguiente forma: Si solo hay un nodo fuente, la nueva cabeza se supone como la mínima. Si son dos nodos fuente, se procede a revisar la dirección del flujo en los dos tubos que llegan al nodo en cuestión; si ambos caudales llegan al nodo, se asigna a éste la cabeza mínima; si no lo hacen. se realiza una interpolación lineal con las cabezas totales de Jos dos nodos fuente con respecto a sus respectivas longitudes de separación con el nodo en cuestión, Si existen tres o más nodos fuente, la cabeza en el nodo en cuestión se encuentra intersecando una línea vertical que pase por éste con el plano (o planos, para el caso de más de tres nodos fuente) suscrito por las cabezas de los nodos fuente. El método tiene en cuenta que un plano está descrito por su vector normal y un punto en sí mismo o por tres puntos en el plano, con los cuales es fácil calcular el vector normal. De esta forma, cuando se tienen tres nodos fuente se utilizan las cabezas totales de éstos para generar un plano que se interseca con la vertical que pasa por el nodo en cuestión para encontrar la nueva cabeza en éste. Si se tienen cuatro o más nodos fuente, entonces se generan tres o más planos; en ese caso se promedian los vectores normales a los planos, promediando las componentes ortogonales. Una vez realizadoe1 procedimiento, se evalúa el punto que completa la descripción del plano; éste debe ser una de las cabezas de los nodos fuente y debe cumplirse el requisito de que la suma de las distancias absolutas entre los nodos fuente y el plano sea la mínima posible. El proceso se describe en el ejemplo 7.6.

E.jemplo 7.6 Supóngase que para el cálculo de la cabeza ideal de un nodo en una red de distribución de agua potable se tienen cuatro nodos fuente con las siguientes coordenadas (teniendo en cuenta que la coordenada Y representa la cabeza total):

N,: N,: ~,:

N4 :

x= x= x= x=

1.0 50 20 8.0

Z= Z= z= Z=

y=20 y= 23 y= 2.1 y= 1.9

1.0 3.0 7.0 80

y que el nodo en cuestión tiene las siguientes coordenadas:

NC:

x

= 3.0 Y = 2.0

Z

Calcular la cabeza ideaJ en el nodo en cuestión.

= 3.0

425

La ('()ordcnada y de ('s[c nodo es 1;1 qUC" se \<1 ~l t"ccaicu];¡r. C\lll los f)uclos fuente se pueden c:-;rablccer tres combinaciones: el (fIl ¡\)?, N3)

C? (Ni N?, N4) Y C.3 1'l3 fij/ll. [] ve;:!c)!" Dnnn¡d:\ un encuentra rnedia!lr(' las siguienles rel;lCioncs

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2,(}ll


426

3. Una vez hallada la ecuación del plano para un nodo, se evalúa la coordenada y utilizando las coordenadas xy z dadas por el usuario (tal como se hizo en ei ejemplo 7.6). Si la coordenada ycorrcgida es menor que la mínima posible supuesta en el paso 1, la cual corresponde a la cabeza de posición más la cabeza mínima permitida (10 metros), entonces se asigna a la coordenada yeste valor mínimo. De no ser el caso, la coordenada y asume el valor encontrado.

4. Se repiten los pasos 2 y 3 para todos los nodos de la red. 5. Se comparan las coordenadas yde todos los nodos con las conespondientes a la iteración anterior. Si en alguno de los nodos existe una diferencia superior a un margen establecido por el programa, se realiza una nueva iteración. En caso contrario el proceso se detiene y las cabezas ideales son las coordenadas y encontradas en la última iteración. El diagrama de flujo mostrado en la figura 7.32 resume los pasos para el cálculo de las cabezas ideales utilizadas por el programa de diseño óptimo de redes. (INICIO)

I

T

'$

I

I NF~ 1 I I

y, -- y, mío

Nodos fuente

-'-

I NF¡2\

I NF~ 21

~

Sí

(;omOlnac¡nes oe tres nocas para generar planos

entran?

I

No

I

I

Cabezas iniciales

-

~

=o

I

Cabezas mínimas = cabeza posición + 10

Cabezas nUevas

Y¡ - promedio lineal

Promedio de los vectores directores

I

~ Punto que pertenece al piano, mrnima sumataria de distancias de los nodos fuente al piano

I i- •i+ 11

I

I

r

No

Sí

1

"

~

Si

i> Max i No~

?

Cabezas iniciales

cabezas nuevas

Algoritmo: cabezas ideales Figura 7.32 Diagrama de flujo del procedimiento cabezas ideales, el cual permite el cálculo de la función de optimización objetivo.

I


427

Cálculo de diámetros

Hasta este momento, el programa ha calculado una vez la red (mediante el método del gradiente) con los diámetros supuestos de 8 pulgadas. Por consiguiente, se tiene un caudal para cada uno de los tubos de la red, de forma tal que se cumple la ecuación de continuidad en cada uno de los nodos. Con estos caudales es posible calcular el factor de fricción de Darcy para carla uno de los tubos, utilizando la ecuación de Colebrook-White: _1 = -2 lo

{f

Q"

(~+ 37 d

2.517rdVJ 4 Q {f

(1.67)

conjuntamente con los diagramas de flujo 2a o 2b, descritos en el capítulo 2. Con el factor de fricción calculado en esta forma, junto con el caudal y las cabezas ideales, es posible calcular un nuevo diámetro para cada tubo mediante la ecuación de Darcy-Weisbach:

f _f v ' d 2 9

(1.36)

/ v' d= f h, 2 9

(7.68)

h ,

=

De donde es fácil despejar el diámetro:

~~CTJ r----+t 0= F L, V,' I

A

~

1

j<---

Hr¡ 2g

2.51

-2 Log"

F, =

Re

{f

TA1 No

ALGORITMO: CÁLCULO DE NUEVOS DIÁMETROS

Figura 7.33 Algoritmo para el cálculo de nuevos diámetros.

,

428

HIDRAulICA DE TUBERíAS

En esta última ecuación se están utilizando el factor de fricción y la velocidad correspondientes al diámetro de la iteración anterior. Las pérdidas por fricción corresponden a la diferencia entre las dos cabezas ideales en los extremos del tubo cuyo diámetro se está calculando. El proceso se repite para todos los tubos de la red. Los nuevos diámetros se comparan con los anteriores (los supuestos para la primera Iteración o los de la iteración anterior para las demás iteraciones). Si todos los diámetros son iguales el proceso se detiene. De no ser el caso se vuelve a calcular la red con los nuevos diámetros y el proceso se repite hasta que los diámetros de dos iteraciones sucesivas sean iguales con un grado de aproximación de 1 mm. Cada vez que se repita el proceso será necesario verificar la dirección de los caudales en cada una de las tuberías de la red ya que, si existe al menos un cambio de sentido, es necesario volver a la etapa de cálculo de cabezas ideales. Esto se debe a que en los nodos con dos nodos fuente pueden cambiar a cabeza mínima desde una cabeza ponderada o viceversa. Lo anterior implica que es necesario calcular la red muchas veces, lo cual significa que es importante utilizar un método de cálculo eficiente; de ahí, la escogencia del método del gradiente para este progrmna de diseño óptimo de redes, El proceso de cálculo de diámetros se hace de acuerdo con el diagrama de flujo mostrado en la figura 7.33.

Redondeo a diámetros comerciales Los diámetros encontrados en el subalgoritmo anteIior son diámetros no comerciales. Por tanto, deben ser aproximados a los diámetros comerciales dados por el usuario al iniciar el programa. A cada tubo se asigna el diámetro comercial inmediatamente mayor al diámetro antes calculado. Es evidente que este cambio haga que la red quede sobredimensionada, es decir, que en ninguno de sus nodos se tenga la cabeza mínima. Este aumento de cabeza puede ser utilizado para optimizar aún más la red. El proceso se resume en los siguientes pasos: 1. Se escoge el tubo número 1. Se debe recordar que este tubo debe ser el "primero" de la red siguiendo la dirección general del flujo de caudales en ésta.

2. Se reduce su diámetro al diámetro comercial inmediatamente menor y se vuelve a calcular la red (de nuevo mediante el método del gradiente). Esto significa que se está haciendo más empinada la línea de gradiente hidráulico de la primera tubería, con lo cual la línea de gradiente hidráulico de toda la red se acerca más a los criterios de Wu y de Fujiwara. 3. Se verifica que todas las cabezas sean superiores a la cabeza mínima requedda. En caso contrario, se vuelve a asignar el diámetro anterior al tubo, 4. El proceso se repite para todos los tubos de la r.ed. 5. Una vez que se ha recorodo toda la red se comparan Jos nuevos diámetros comerciales con los inicialmente propuestos. Sí alguno de éstos no es igual se repite todo el proceso hasta que se obtenga la igualdad de todos los diámetros de la red en dos iteraciones sucesivas. El proceso de redondeo a diámetros comerciales se resume en el diagrama de flujo mostrado en la figura 7.34.


[A]

~

429

redondeo al diámetro

comercial superior

r---;O;:;,~,:~;-;d¡;iá¡;m;;;e~t-;;ro~c;;o~m;;e;;;rc;i;;ajim;;;;;e;;;n~ojr-l<--------'No

i>? Maxtubo

¿Hay alguna cabeza menor que la cabeza mínima?

[A]

~

[B]

No

Dib

=:o

"'::::,.;S"'I ~

-,

diámetro comercial mayor

?

[A]

~

[B]

ALGORITMO: REDONDEO A DIÁMETROS COMERCtALES

Figura 7.34 Algoritmo del proceso de redondeo a diámetros comerciales.

Ecuaciones de fricción uftlizadas por el programa REDES El programa REDES utiliza, en su módulo CÁLCULO, tanto la ecuación de Hazen-Williams como la ecuación de Darcy-Weisbach para el cálculo de las pérdidas de energía producidas por la fricción del flujo con las paredes de las tuberías. Sin embargo, en el módulo DISEÑO es imposible mantener un control pennanente sobre el número de Reynolds en cada una de las tuberías de la red, debido a que en el proceso de diseño óptimo la red se calcula muchas veces. Este hecho implica que es necesario utilizar la ecuación de DarcyWeisbachjunto con la de Colebrook-White, ya que en cualquier momento (especialmente en el cálculo con los diámetros supuestos de 8 pulgadas) los números de Reynolds pueden llegar a ser tan bajos que invaliden el uso de ecuaciones con restricciones en la velocidad, tal como la ecuación de Hazen-Williams. Además, esta última ecuación sólo es válida para diámetros superiores o iguales a 3 pulgadas; sin embargo, cuando se trata de redes para ciudades pequeñas el programa puede dar diámetros iguales o inferiores a este valor, cumpliendo todos los requisitos hidráulicos impuestos a la red. En este caso, la ecuación de Darcy-Weisbach no impone ninguna restricción.

Presentación del programa REDES El programa fue desarrollado originalmente en lenguaje Turbo Pascal para Windows, pero en sus últimas versiones se inició el desmioUo en lenguaje C+ +. El resultado es una aplicación en ambiente Windows que permite el diseño y análisis de redes de abastecimiento de agua potable, la detección de fugas y el análisis de la calidad de agua en la red. El programa utiliza una serie de ventanas de diálogo que penniten una fácil interacción con el usuario, y en donde se presentan tanto los datos de entrada como los de salida. Estos

430

HIDRÁUliCA DE ¡UBfRíAS

últimos también pueden ser guardados en archivos de tipo texto que luego pueden ser leídos por programas de dibujo, como AutoCAD. o por sistemas de infonnación geográfica (SIG). La figura 7.35 muestra la ventana de presentación del programa.

Figura 7.35 Presentación del programa REDES.

El programa permite inCOrp0nlf al cálculo y al diseño tuberías de diferentes materiales, tanques de

cabeza constante. estaciones de bombeo con sus curvas características, nodos con sus condiciones topográficas. nodos de medición de presiones para la localización de fugas y plantas de tratamiento o estaciones de adición de químicos para la calidad del agua. Todos los datos son introducidos y modificados en sencillas ventanas de diálogo, en donde se va actualizando la presentación gráfica. A modo de ejemplo, la figura 7.36 ilustrd la ventana principal del programa y, superpuesta a ésta. la ventana para entrada y edición de las tuberías que conforman la red de distribución.


431

Figura 7.36 Ventana principal del programa REDES, con la ventana de edición de tuberías superpuesta.

Una vez se ha introducido toda la infonnación necesaria, tanto acerca de la topología de la red nueva o existente como de las presiones medidas para detectar fugas o parámetros químicos para la calidad del agua en la red, el

programa permite através de un menú principal, seleccionar el tipo de cálculo que se desea hacer sobre la red. Este mentí, a su vez, tiene diferentes submenús que guían al usuario en lo referente a datos adicionales que requiera en los diferentes pasos a seguir. La figura 7.37 muestra el menú principal con los diferentes submenús desplegados. OPCIONES DE DISEÑO Y ANÁLISIS

O¡",jim 1'.'. d di_o "~

""""'Y" "~is<",,'~"

Figura 7.37 Opciones de diseño y análisis del programa REDES.

HIDRt\ULICA DE TUBEI~L,\S

432

Los resultados obtenidos por los diferentes módulos del programa pueden ser visualizados en pantalla () consignados en un archivo de tipo texto para su posterior manejo. El programa permite que el usuario determine las variables que desea ver en pamalIa. y las despliega en los nodos y tuberías respectivas. La figura 7.38 muestra una ventana con los diümetros discilados y las cabezas en los nodos para una red ejemplo.

iiii REDES paraWINOOWS

B8E3

21. 90

21..90

0:[

¿:,il

12.66

Figura 7.38 Ventana de resultados del programa REDES para una red ejemplo, mostrando los diámetros resultantes del proceso de diseño y las cabezas en cada uno de los nodos de la red de distribución.

El programa es bastante amigable y Hcil de usar; los resultados obtenidos son de bue.na calidad. Dado que se trata de un trabajo académico, la versión del disquete adjunto aún presenta en"ores y problem:Js que ocasionalmente aparecen en su ejecución. La figura 7.39 resmlle las características del programa REDES.

r=;

~~-~~·~~I

~

REDES ~~

~-

----_.~~

Permite:

----~~-

._---~~_

Análisis hidráulico Calidad de agua Diseño de redes Detección de fugas

Bases teóricas:

Darcy-Weisbach

...

_~-~.~!

ANÁLISIS DE I

Método del gradiente

Entorno:

Windows 3.1 Windows 95


Por pantalla En archivos de texto

Ventajas:

Facilidad de uso Capacidad de análisis Opción de diseño

Desventajas: Falta de ayudasen línea No imprime Errores ocasionales

Home page en Internet: Figura 7.39 Características del programa REDES.

Eje.nplo 7.7 Uso del programa R.EDES en el módulo de cálculo

Resolver el problema del ejemplo 7.1 utilizando el programa REDES.

En la siguiente tabla se, muestran. los datos. de entrada al módulo CÁLCULO del programa. correspondientes a la red de distribución del. ejemplo 7. L El orden de las columnas es el siguiente: identificación del nodo, coordenada x del nodo, coordenada ydel nodo, coia del nodp, cabeza resultante en el nodo después de realizado el cálculo y caudal demandado el nodo.

433


434

NOOOS Número total: 5

x

id

y

Elevación

Cabeza

Qdemandado

(msnm)

(metros)

(l/s)

1

500.00

300.00

0.00

93.12

60.00

2

900.00

300.00

0.00

81.76

40.00

3

900.00

100.00

0.00

82.27

30.00

4

500.00

100.00

0.00

90.49

30.00

5

0.00

0.00

0.00

96.64

40.00

En la siguiente tabla se muestran los datos de la fuente de agua. correspondíentes a la red de distribución del ejemplo 7.1. El orden de las columnas es el siguiente: identificación de la fuente, coordenada x de la fuente, coordenada y de ta fuente, cota de la fuente y cabeza de la fueute.

FUENTES Número total: 1

x

id 6

y

0.00

ElevacIón

Cabeza

(msnm)

(m)

0.00

100.00

300.00

Las figuras 7.40 a 7.43 muestran los datos de entrada y de salida de este ejemplo en las ventanas tipÍCas del programa REDES.

,

" ~,

~,

~,

, Figura 7.40 Identificación de nodos y de tuberías.

ANÁLISIS DE l¡mES DE TLlBERfAS REDES CERRADAS

Figura 7.41 Diámetros de las tuberías y caudales demandados en los nodos.

Figura 7.42 Longitudes de las tuberías y cotas de los nodos.

Figura 7.43 Caudales en la tuberías y cabezas en los nodos.

435


436

En la siguiente tabla se muestran nuevamente algunos de los datos de la red ejemplo,junto con los caudales resultantes para cada una de las tuberías. El orden de las columnas es el siguiente: identificación de la tuberia, nodo inicial de la tubelÍa, nodo final, diámetro de la tubería, rugosidad, coeficiente de pérdidas menores, caudal resultante en la tubería y longitud de la tubería.

TUBERíAS Número total: 7 id

11,

,

N

Diámetro Rugosidad

(pulg)

(mm)

K.

caudal

longitud

(l/s)

(m)

1

6

1

1000

006

0.00

10660

50000

2

1

2

6.00

006

10.00

3660

40000

3

5

4

8.00

0.06

0.00

53.40

60000

4

4

3

600

006

0.00

33.40

40000

5

6

5

1000

006

000

90.40

30000

6

1

4

4.00

006

000

10 10

20000

7

2

3

4.00

006

000

3.40

20000

El siguiente ejemplo ilustra el uso del programa REDES para el diseño de una red de distribución de agua potable compuesta por 32 tuberías unidas en ¡ 9 nodos, con un nodo de abastecimiento a través de un tanque de cabeza constante.

E.jemplo 7.8 Uso del programa REDES en el módulo de diseño Diseñar la red descrita en las siguientes tablas utilizando el programa REDES. En la siguiente tabla se muestran los datos de entrada al módulo DISEÑO del programa. El orden de las columnas es el siguiente: identificación del nodo, coordenada xdel nodo, coordenada ydel nodo, cota del nodo, cabeza resultante en el nodo después de realizado el cálculo y caudal demandado en el nodo.


437

NODOS

Número total de nodos: 19 id

x

y

Elevación

Cabeza

Q delnandade

(msnm)

(m)

(l/s)

1

150.00

0.00

39.00

76.89

25.00

2

0.00

100.00

42.00

97.62

20.00

3

0.00

200.00

43.50

102.65

20.00

4

0.00

300.00

45.00

118.52

40.00

5

150.00

100.00

40.00

94.00

30.00

6

150.00

200.00

42.50

92.11

40.00

7

150.00

300.00

44.00

107.03

15.00

8

300.00

0.00

39.00

75.10

25.00

9

300.00

100.00

38.00

84.30

30.00

10

300.00

200.00

40.00

77.54

40.00

11

300.00

300.00

43.00

85.00

35.00

12

450.00

0.00

37.50

70.45

43.80

13

450.00

100.00

38.00

71.44

20.00

14

450.00

200.00

38.50

75,51

25.00

15

600.00

0.00

37.50

50.16

73.80

16

600.00

100.00

37.50

60.13

43.80

17

450.00

300.00

41.00

78.27

25.00

18

600.00

200.00

38.00

59.90

35.00

19

600.00

300.00

38.00

59.90

15.00

l·

EnJasiguíente ta.bla se muestran los datos de la fuente de agua. El orden delascolumnas es el siguiente: identificación de la fuente, coordenada x de la fuente, coordenada y de la fuente, cota de la fuente y cabeza de la fuente.


438

FUENTES Número total: id

20

x 000

y

Elevación

Cabeza

(msnm)

(m)

5000

15000

32500

Las figuras 7.44 a 7.47 muestran los datos de entrada y de salida de este ejemplo en las ventanas típicas del programa REDES.

Figura 7.44 Identificación de nodos y de tuberías.

Figura 7.45 Diámetros de las tuberías y caudales demandados en los nodos.


Figura 7.46.Longitudes de las tuberías y cotas de los nodos.

Figura 7.47 Caudales consumidos en los nodos y cabezas resultantes en cada uno de ellos.

En la siguiente tabla se muestran nuevamente algunos ~e los datos de

la red ejemplo, junto con los caudales resultantes para cada una de las tuberías. El orden de las columnas es el siguiente: identificación de la tubería, nodo inicial de la tubería, nodo final, diámetro de la tubería, rugosidad, coeficiente de pérdidas menores, caudal resultante en la tubería y .Iongitud de la tubería~

439


440

TUBERíAS

Número total: 32 id

N,

~

20 4 3 2 1 8 12 15 16 11 11 4 3 4 6 7 10 -3 6 10 5 9 9 13 5 9 13 16 17 17 11 19

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

NI

4 3 2 1 8 12 15 16 14 14 7 7 6 6 10 10 14 5 9 13 2 5 13 16 8 12 15 18 18 19 17 18

Diámetro Rugosidad (pulg) (mm)

800 8.00 600 4.00 300 3.00 400 300 3.00 3.00 6.00 8.00 400 800 6.00 400 600 800 800 6.00 3.00 600 600 6.00 400 600 4.00 800 3.00 3.00 6.00 6.00

Km

005 000 0.00 005 005 0.00 0.05 0.00 005 0.00 0.05 000 0.05 0.00 005 0.00 005 0.00 0.05 0.00 0.05 0.00 0.05 000 005 0.00 005 0.00 005 000 005 0.00 005 000 005 000 0.05 0.00 005 000 005 000 005 0.00 005 0.00 0.05 0.00 005 000 005 0.00 005 0.00 005 000 005 0.00 005 0.00 005 000 0.05 0.00

Caudal (lis)

601.40 212.06 5508 2909 4.09 682 31.66 12.65 11.65 9.04 95.90 14582 22.51 203.52 7747 3492 27.62 114.48 10855 44.78 598 62.73 72.65 6793 27.73 6863 2950 23.14 12.79 1408 51.86 0.92

Longitud

(m) 25.50 10001 100.01 180.30 150.00 15001 150.00 100.00 18028 180.33 150.00 15000 15000 18029 15002 180.32 15001 18031 180.33 18029 15001 15001 150.00 15000 180.28 18028 18028 100.00 180.30 15003 150.01 100.00

ANÁLISIS DE REDES DE TlIBEI~íAS REDES CERRADAS

PROBLEMAS Para todos los problemas de este capítulo se puede suponer que los diámetros reales son igtlales a los nominales comerciales de las tuberías. La base de diámetros es: 2, 2 1/ 2 , 3,4, 6, 8, 10, 12, 14, 18,20,24,30,36,42, 48, 60 Y72 pulgadas. De no especificarse una temperatura diferente para el agua, se debe trabajar con 15 oC, temperatura para la cual el agua tiene las siguientes características:

999.1 kg/m'

p

p.

=

v

1.14 x 1ü-'Pa.s 1.141 X 10-8 m'/s

7.1

Resuelva el ejemplo 7.1 con una rugosidad absoluta de 0.6 mm para todas las tuberias de la red. ¿Qué se puede concluir con respecto al efecto del aumento de rugosidad sobre los caudales en las tuberias? ¿ y sobre las cabezas en los nodOs?

7.2

Resuelva el ejemplo 7.2 con una rugosidad absoluta de 0.0015 nun (PVe) para todas las tuberias de la red. ¿Qué se puede concluir con respecto al efecto de la disminución de la rugosidad sobre los caudales en las tuberías? ¿Y sobre las cabezas en los nodos?

7.3

Resuelva el ejemplo 7.3 cambiando el coeficiente global de pérdidas menores de la tuberia 2-3 de 10.0 a 25.0. ¿Qué se puede concluir con respecto al efecto de este aumento sobre los caudales en las tuberías? ¿Y sobre lás cabezas en los nodos?

7.4

Resuelva el ejemplo 7.4 cambiando el coeficiente global de pérdidas menores de la tuberia 2-3 de 10.0 a 1.0. ¿Qué se poede concluir con respecto ál efecto de esta disminución sobre los caudales en las tuberías? ¿Y sobre las cabezas en los nOdos?

7.5

lo 7.5 cambiando el caudal consumido en el nodo l/s. ¿Qué se puede concluir con respecto al efecto re los caudales en las tuberlas? ¿Y sobre las odos?

7.6

Calcule los caudales en las tuberías y las cabezas en los nodos para la red de distribución de agua potable mostrada en la figura P7.6.

441

HIDRÁULICA DI TUBERíAS

442

Todas las tuberías son de PVC (k, = 0.0015 mm). Las longitudes, los diámetros y los coeficientes globales de pérdidas menores para cada una de las tuberías son las mostradas en dicha figura. Utilice el método de Hardy~Cross con corrección de caudales. Todos los nodos se encuentran al mismo nivel. 120m

501/$

10"

43 70 lis

200m 8"

5üm

200m

8'

5.4

100m 14'

SA

3.6

120m

5"

30m

10'10'

__

4;:,.3"--_""';;1!-_-,,,3~.2

60m 10 2A ""':-_"""'''--_~8

50 !/s

70 l/s

Figura P7.6 7.7

Resuelva el problema 7.6 utilizando el método de Hardy-Cross con corrección _de cabezas. ¿Cuál debería ser la cabeza mínima que el tanque _debe generar en el. nodo 1 para que la red de distribución opere?

7.8

Resuelva el problema 7.6 utilizando el método de Newton - Raphson.

7.9

Resuelva _elproblcI11a 7.6utilizancio _el método de la teoría lineal.

7.10 Resuelva el problema 7.6 utilizando el método del gradiente. 7.11 Calcule los í:audaiesen lasltlberías y las cabezas efllos nodos para la red de distribución d" agua potable mostrada enla figura P7.11. Todas las tuberías son de acero (k, = 0.046 mm). Las longitudes, los diámetros y los coeficientes globales de pérdidas menores para cada una de las tuberías son las mostradas en dicha figura. Las cotas de los nod,os· se .mu~strandebajo .del. nÚIllero de identificación de cada uno de ellos. Utilice el método de Hardy-Cross con corrección de caudales.


",

,s

,

'00 ro

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35,

,.,,,ro

,

5.1

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,

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.

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"

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76Vs

1-

I

I 1,,,

I

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"

150m

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,

100m

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1131

35m

•72

72

"

10'

1144

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"Oro ,.

100m·

443

"'''ro ,~

"

,

1141

/ 84 l/s

Figura P7.11 7.12 Resuelva el problema 7.11 utilizando el método de Hardy-Cross con corrección de cabezas. 7.13 Resuelva el problema 7.11 utilizando el método de Newton-Raphson. 7.14 Resuelva el problema 7.11 utilizando el método de la teoría lineal. 7.15 Resuelva el problema 7.11 utilizando el método del gradiente. 7.16 Utilice el programa REDES del disquete adjunto para calcular la red de distribución de agua potable mostrada en la figura P7.16. Todas las tuberías soude PVC (ks = 0.0015 mm). Las coordenadas (x, y, z) de cada uno de los nodos son las mostradas en la tabla P7.16. Los diámetros y los ~oeficientes globales de pérdidas menores son los indicados en la figura P7.16.

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8411s

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28m

1? 76

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3

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38

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72 l/s

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39

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6

281M

27 34 lis

"

, 331/$

54l!s

L,

Figura P7.16 La coordenada z corresponde a la cota de cada uno de fas nodos.

HIDRÁULICA DE TusmíAS

444

po

Coor.

X

Coor. y

Coor. z

(m)

(msnm)

(m) 1

O

2

150

3

160

560 - 558

250

200

554

4

400

200

549

5

400

120

538

6

270

_ _ _ "O

160

-- f--._ _ ... . " - j-"

70

7

150

70

532 . 534

8

O

90

544

9

O

O

534

O

528

"

._"."

10

"

150

..

Tabla P7.16

7.17 Resuelva el problema 7.16 cambiando el materíal de las tuberías a hierro galvanizado (ks = 0.15 mm). 7.18 Utilice el programa REDES del disquete adjunto para diseñar la red de distribución de agua potable mostrada en la figura P7.18.

Todas las toberías sOn de PEAD

(x, = 0.002 mm). Las

coordenadas (x, y, z) de cada uno de los nodos son las mostradas en la tabla P7 .18. Los coeficientes de pérdidas menores de cada llna de las tuberías son los mostrados en dicha figura. La cabeza mínima permitida es de 15 mea y el diámetro mínimo permitido es de 2 pulgadas. Dibuje las cabezas piezométricas de todos los nodos con el fin de compararlas con los criterios de Wu, Fujiwara y Featherstone.

445


7.1

5 6.9

551/5

9 3.6 4.31/5

471/5

Figura P7.18 La coordenada z correspon,le a

de cada uhode 105 nodos.

Coor.y

Nodo

(m)

5

150 300 550 300 550

6 7 8 9

150 300 550

1 2 3 4

10 11 12

13 14 15

500 500 500

430 430 350 350 350 350 150 150 150

o

o 150 300

o 300

o o

o

500 Tabla P7.18

Coor. z (msnm)

1180 1177 1175 1174 1171 1175 1174 1170 1167 1164 1161 1158 1154 1151 1181

HIDI<ÁUlICA DE TUBERíAS

446

7.19 Resuelva el problema 7.18 utilizando asbesto-cemento (AC, k s = 0.03 mm) como matelial para todas las tuberías. 7.20 UtlJ ice el programa REDES del disquete adjunto para diseñar la red de distribución de agua potable mostrada en la figura P7.20. Realizar el diseño para los siguientes cuatro materiales de tubería: PVC (k, = 0.0015 mm), AC (k, = 0.03 mm), HG (k, = 0.15 mm) y concreto (k s = 0.3 mm). En la tabla P7.20 se muestran las coordenadas (x, y, z) de cada uno de los nodos. En la figura P7.20 se muestran los coeficientes globales de pérdidas menores de cada una de las tuberías. La cabeza mínima permitida en los nodos es de 10 mca y el diámetro mínimo pernIitido es de 2 pulgadas. Dibuje las cabezas piezométricas de todos los nodos con el fin de compararlas con los criterios de Wu, Fujiwara y Featherstone. Concluya sobre el efecto que tiene la rugosidad absoluta de las tuberías en el diseño de la red de distribución.

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58

5&

5il

4.2

42

Figura P7.20 La coordenada z corresponde a la cota de cada uno de los nodos.

Coor. y

Coor. Z

(m)

(m)

(msnm)

1

100

180

500

2

200

180

500

Nodo

Coor.

X

1

i i

447


Nodo

Coor.

x

Coor. y

Coor.

z

1m)

(m)

(msnm)

3 4

300

180

500

400

180

500

5

500

180

500

6

O

O

500

7

100

O

500

8

200

O

500

9

300

O

10

400

O

500 500

11

500

O

500

12

O

180

500

448

HIDRÁUliCA DE TUBEr,í/\s

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Figura 7.17 Ventana de presentación de! programa KYPIPE3.

Figura 7.18 Presentacíón típica del módulo KYCAD.

Tabla 7.1 Despliegue de resultados de KYPIPE3.

Figura 7.19 Gráfica generada a través de KYGEMS.

Figura 7,20 Red de abasteCimiento de CY8ERNET bajo ambiente AutoCAD.

Tabla 7.3 Centro de Control de Modelaje (Modeling Control Center) de CY8ERNET.

Figura 7.21 Despliegue gráfico de los resultados de CYBERNET.

Figura 7.22 Ventana para seleccIonar metodología de cálculo en el programa WATERCAO<

Figura 7.23 Presentaciones típicas del programa WATERCAD.

R-220

P-so

Figura 7.24 Presentaciones típicas para la modelación de escenarios.

Figura 7.26 Presentación típica del programa EPANET.

50.00

0.DOO,L_ _-;;5_-~1;;O;-_--;'''5_-'C20;;C-_ -2~5_ Time. hr'l'

Figura 7.27 Presentación gráfica de los resultados de EPANET.

Figura 7.35 Presentación de! programa REDES.

Figura 7.36 Ventana principal del programa REDES, con la ventana de edición de tuberías superpuesta.

---

o.o,r-c,'~ 'o

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Figura822V •

IlIIL-J~-

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entanas de entrada de d atas del programa RIEGOS.

PRESIONES A LO LARGO DEl000 EL SUBMÓDULO

total = 3.1811 H:::::: 20 m. s

Q

Figura 8.24 L'mea' plezométrica en el submódulo

9.01

Sistemas riego local de a frecuencia (R INTRODUCCiÓN

Este capítulo está dedicado al estudio de otro tipo de redes abiertas frecuentemente utilizadas para sistemas convencionales y sistemas modernos de riego que incluyen los riegos localizados de alta frecuencia (RLAF). Para los sistemas de riego se prefieren redes abiertas debido a que sólo durante parte del tiempo los sistemas se encuentran operando y, por cOll..ú guiente, no existen las necesidades de circuitos para garantizar un uso permanente del agua, Los problemas que requieran mantenimiento o reparación de la tubería se pueden

hacer en los momentos en que las plantas no estén necesitando del riego. Sin embargo, con el fin de uniformizar las presiones en toda el área del cultivo, en general las redes principales se pueden diseñar de tal manera que conformen circuitos. El uso de los computadores ha cambiado el diseño tradicional de los sistemas de riego localizado de alta frecuencia. Esta herramienta permite que cada planta o árbol del cultivo pueda ser tratado como un usuario independiente, en forma similar a cada usuario de un sistema de abastecimiento de agua potable. Es posible conocer la presión y el caudal en cada uno de los árboles del cultivo. Incluso, el sistema puede ser diseñado para vmiar tanto la presión como el caudal dependiendo de cada una de las etapas de crecimiento de las plantas. Usualmente. el terna de las redes de riego. en general, y de los riegos localizados de alta frecuencia, en particular, han sido un tema ajeno a los ingenieros hidráulicos. De ordinario, éste ha sido desarrollado por los ingenieros agrónomos. pero teniendo en cuenta la gran similitud entre los modernos sistemas de riego y los sistemas de abastecimiento de agua potable se incluye este tema en el texto. En este sentido, a diferencia de lo que se hizo para el caso de redes de abastecimiento de agua, se hace una descripción detallada de Un sistema de riego localizado de alta frecuencia y de sus emisores finales antes de iniciar los pasos necesarios para llevar a cabo el diseño hidráulico de uno de estos sistemas. La descripción está basada principalmente en las referencias Pizarra (1987), Rodríguez (1982) y Goldemberg el al. (1976).

454

HIDRÁULICA DE TUBEI
El capítulo se encuentra dividido en los siguiente temas: En primer lugar se estudian los elementos que conforman una instalación de riego localizado de alta frecuencia y luego se examina el esquema típico de uno de estos sistemas. Posteriormente se introduce el tema de los emisores finales y a continuación una clasificación de éstos. Uno de los aspectos más importantes en un buen diseño de un RLAF es el de la uniformidad del riego en todo el cultivo. Por consiguiente, éste es uno de los temas descritos en los subtítulos siguientes. Una vez se ha tenninado con la descripción detallada de un sistema de riego localizado de alta frecuencia, se introduce el tema de su diseí10 hidráulico. Como podrá verse, el diseño hidráulico está basado en los algoritmos desarrollados en el capítulo 2 de este texto y presenta mucha similitud con los temas de tubos en serie y de sistemas abiertos de tuberías para abastecimiento de agua abordados en los capítulos 5 y 6, respectivamente. Por último, se hace una introducción al programa RIEGOS, desarroIlado en la Universidad de los Andes, para el diseño de sistemas de RLAF. En los disquetes adjuntos se incluye una versión académica de este programa. DESCRIPCiÓN DE UN RLAF

Tal como su nombre lo indica, un riego localizado de alta frecuencia se caracteriza por dos hechos fundamentales: la localización del riego y su alta frecuencia. La localización obedece al hecho de que sólo se humedece parte del volumen del suelo del cultivo en la zona de las raíces, de tal manera que éstas obtengan el agua y los nutrientes necesarios para el crecimiento y la producción de la planta. El resto del suelo, alrededor del área humedecida, no se aprovecha, lo cual obedece más a criterios de competencia por la luz y de espacio para las labores de cultivo que al aumento en el número de puntos de riego, La localización del riego tiene efectos sobre la evaporación y la transpiración de la planta, la distribución de las raíces, la distribución espacial de las sales, etc. En consecuencia, la localización del riego obliga a que sea necesario aplicarlo con una alta frecuencia. Tal necesidad se debe al hecho de que el volumen de suelo humedecido es reducido y, por tanto, se tiene una baja capacidad de almacenamiento, siendo entonces preciso aplicar dosis pequeñas de riego. Por consiguiente, para satisfacer las necesidades del cultivo, las dosis se deben aplicar con una frecuencia relativamente alta. A su vez. la alta frecuencia del riego tiene consecuencias importantes sobre el régimen de humedad en el suelo alrededor de las raíces de las plantas. Es claro que el suelo se mantiene una mayor cantidad de tiempo húmedo en un RLAF que en un riego convencional, lo cual afecta la absorción de agua por parte de la planta, la concentración de las sales en el suelo humedecido y la aireación en la zona radicular de la planta. Teniendo en cuenta lo anterior, el objetivo primordial de un RLAF es el de lograr riegos con una alta eficiencia, lo cual significa que el área humedecida por el sistema de riego se limita únicamente a la zona radicular de la planta con el fin de conseguir un ahorro importante en el agua. El número de puntos de riego y el caudal de cada uno de estos puntos dependerá, aSÍ, de las camcteristicas físicas del suelo y del tamaño de la zona radicular de la planta.

SISTEMAS DE RIEGO LOCALIZADO DE AlfA FI!ECUENCIA (RLAF)

455

Los RLAF se clasifican dependiendo del caudal, tal como se muestra en el siguiente cuadro:

Alto caudal (16-150Ilh)

Bajo caudal (hasta 16 IIh)

Microaspersión { Difusión

Goteo {

Goteo autocompensante

Tabla 8.1 Clasificación de los sistemas de riego localizado de alta frecuencla en función del caudal.

Como se puede ver, el caudal límite es de 16l/h, cantidad aceptada como valor convencional que separa los tipos de sistemas de riego y, en la actualidad, adoptada por las normas ISO. Los RLAF de alto caudal se caracterizan por pulverizar el agua, la cual se distribuye a través del aire. Tal como se verá más adelante, sus presiones de trabajo son del orden de 100 kPa (alrededor de 10 ID de cabeza de agua). Éstos se clasifican en:

Microaspersión:

Tipo de RLAF que tiene algún elemento giratorio en los emisores finales.

Difusión:

Tipo de RLAF cuyos emisores finales llevan una tobera no giratoria que pulveriza y distribuye el caudal de riego.

Si los caudales son superiores a ISO lIh, algunas veces se utiliza el término miniaspersión. Las instalaciones de riego localizado de alto caudal obviamente son las más costosas ya que por lo menos las tuberías que llevan a los emisores finales, las cuales representan muchos metros por hectárea, requieren de un mayor diámetro. Los RLAF de bajo caudal incluyen los sistemas de goteo, los cuales reciben diferentes nombres: goteo, goteo autocompensante, mangueras exudantes, rnicrotubos y sistemas de exudación. En los subtítulos siguientes se hace una descripción detallada de los RLAF tanto de alto caudal como de bajo caudal.

Esquema de una instalación de RLAF En la figura 8.1 se muestra un esquema que describe la instalación común de un sistema de RLAF.

HIDRÁULICA DE TLlBERIAS

456 Módulo de riego

Regulador de presión

Estación

Tubería primaria

laterales

Tuberra terciaria (múltiple)

Figura 8.1 Esquema común de un sIstema de riego localizado de alta frecuencia mostrando las diferentes partes que lo conforman.

De acuerdo con el esquema anterior, las diferentes partes de la instalación son:

Estación de riego: Es el conjunto de elementos que permiten el bombeo, el tratamiento, el filtrado y el control de presión del agua de riego. En algunos casos también pennitc la fertilización y la medición integral de los caudales que son enviados hacia el cultivo. Tubería primaria: Es la tubería que parte de la estación y llega a todos los módulos de riego del cultivo. Tubería secundaria: Es la tubería que parte de la tubería principal y lleva el caudal a uno solo de los módulos de riego. Tubería terciaria: Es la tubería que alimenta directamente los laterales de riego. Laterales de riego: Son las tuberías de último orden en las cuales se conectan los emisores finales del riego. En el caso de riego por mangueras, cintas, o mangueras exudantes estos elementos son los laterales de riego. Regulador de presión: Generalmente se coloca al principio de cada tubería terciaria con el fin de controlar la presión de entrada al conjunto de laterales. Por 10 común, consiste en un conjunto de dos válvulas y una toma rápida de presión. La primera de las válvulas sirve para controlar el caudal que entra al módulo. La segunda válvula, la cual se deja parcialmente abierta y en posición fija, sirve para controlar la presión de entrada al submódulo de riego. La toma rápida de presión se coloca de inmediato aguas abajo de la segunda válvula para calibrar la presión de entrada. La superficie dominada por un regulador de presión es denominada submódulo de riego.

Regulador de caudal: Es el control para la cantidad de agua que entra en una tubería secundaria. La superficie dominada por un regulador de caudal es denominada módulo de riego. Unidad operacional de riego: Es el conjunto de módulos de riego que se operan desde una misma estación de riego.

SISTEMAS DE RIEGO lOCALIZADO DE ALTA Fl
457

Ruta crítica: Es la ruta entre la estación de riego y el módulo de riego que produzca la mayor pérdida de energía hidráulica (pérdidas por fricción más pérdidas menores). Esta ruta crítica se utiliza para el diseño de las bombas, la tubería principal y la tubería secundaria última. Todas las demás tuberías del sistema de riego dependen de ese primer diseño, basado en la ruta crítica. En algunos esquemas de riego, las tuberías terciarias reciben también el nombre de múltiples de riego.

Esquema de una eslación de riego En la figura 8.2 se esquematizan las diferentes partes que componen una estación de riego.

Tratamiento primario

Tratamiento secundario Manómetros Válvula de remolavado

'®

Fertilizantes

I--~-í--'-----'---I Sistema de inyección y mezcla

Filtro de malla

Manómetro

Medidor totalizador de agua

Inicio tubería primaria Hacia el sistema de riego

Manómetro fina!

Figura 8.2 Esquema típico de una estación de riego localizado de alta frecuencia mostrando cada una de sus partes.

HIDRÁULICA DE TUBERfAS

458

De acuerdo con el esquema anterior. una estación de riego usualmente está compuesta por las siguientes partes:

Tratamiento primario: Remueve las arenas, gravas y el material orgánico de gran tamaño (hojas, ramas, troncos, etc.) que pueden estar dentro de la fuente de agua para riego. En general, este tratamiento primario está compuesto por un sistema convencional de desarenadores y por varias rejillas de diferente calibre para retener la materia orgánica. En sistemas grandes de riego, también se incluyen los mecanismos para el limpiado periódico de las rejillas y de los desarenadores. Tratamiento secundario: Los emisores finales en los sistemas de RLAF son muy sensibles al taponamiento y, por consiguiente, la solución obvia sería el filtrar el agua. Sin embargo, en algunos casos dicho filtrado debe complementarse con un tratamiento secundario debido, por ejemplo, a la presencia de algas no retenidas por los filtros, de precipitables calcáreos. En el primer caso, la solución es inyectar hipoclorito de sodio yen el segundo se debe inyectar ácido fosfórico. La adición de estos químicos se conoce con el nombre de tratamiento secundario y se puede hacer en el pozo de succión de las bombas, o en la bahía de entrada a la estación de riego, cuando se trata de un sistema que opera por gravedad.

°

Filtros de arena: Los filtros se utilizan para remover la materia orgánica pequeña que no es retenida por las rejillas, la cual es de origen vegetal principalmente (hojas, pequeñas ramas, restos de cortezas, raíces, etc.) aunque en algunos casos pueden ser de origen animal (en especial insectos pequeños). Los filtros también retienen pequeñas partículas minerales. En una estación de riego se deben colocar por lo menos dos filtros para que en el proceso de lavado de uno se utilice el agua filtrada por el otro, Equipo de ferti~irrigación: En la mayoría de los RLAF se utiliza la estación de riego para añadir los fertilizantes necesitados por el cultivo. Para esto se utiliza un equipo de ferti-il1~igación, el cual debe ir aguas abajo de los filtros para evitar que un ambiente rico en nutrientes favorezca el crecimiento de algas en éstos, a la vez que se impide la absorción de fertilizantes por parte de las arenas. Los sistemas de inyección y mezcla de la estación de ferti-irrigación incluyen tubos vénturi, bombas de inyección y presión topográfica en sistemas de riego por gravedad. Filtro de malla: Este tipo de filtros se coloca aguas abajo del sistema de ferti-irrigación. Su objetivo es retener las impurezas que puedan pasar el filtro de arena y las procedentes de los abonos añadidos. Generalmente, las impurezas retenidas en los filtros de malla son de origen mineral. Medidor totalizador de agua: Éste se utiliza para indicar el caudal instantáneo enviado al cultivo y para totalizar el agua enviada durante un período de riego determinado, es decir, debe registrar el volumen acumulado del agua que se envía a la tubería primaria o principal. Hoy en día existen modelos que transmiten estos datos a un computador, lo cual facilita la operación del riego y permite su automatización total. La localización de los contadores, último element
SISTEMAS DE RIECO LOCAUZADO DE ALTA FRECUENCIA (RLAF)

459

arriba yaguas abajo del filtro de malla, con el fin de establecer en qué momento éste debe ser removido para ser lavado por fuera del sistema. Usualmente también existe un manómetro al inicio de la tubería primaria para verificar que la presión de entrega corresponda a la establecida en el diseño. EMISORES FINALES

Los emisores finales son la parte más delicada de un RLAF, ya que son los responsables de suministrar a cada planta del cultivo el caudal y los nutrientes necesarios para su crecimiento. A pesar de su importancia no son la parte más costosa del sistema. En el diseño de un emisor final deben tenerse en cuenta los siguientes criterios: Bajo caudal: Un bajo caudal implica unos diámetros de múltiples y laterales pequeños, lo cual a su vez significa costos menores del sistema de riego. Alta presión: Una alta presión es deseable para que los emisores Sean menos sensibles a los cambios de presión causados por las pérdidas de energía que ocurren a lo largo de las tuberías, tanto por fricción como por pérdidas menores. Diámetro de entrega máximo: El diámetro de entrega debe ser lo mayor posible para evitar las posibles obstrucciones del emisor, causadas por impurezas que hayan logrado penetrar al sistema y pasar la estación de riego. Como se puede apreciar, los tres criterios anteriores resultan contradictorios. Por ejemplo, un diámetro grande con una alta presión implicaría un alto caudal. Por esta razón, en la fabricación de los emisores finales siempre se debe buscar un equilibrio óptimo entre caudal, presión y diámetro. A continuación se describen estas tres variables para los diferentes sistemas de emisores finales más utilizados en la actualidad.

Presiones en los emisores finales Las presiones normales de trabajo en los emisores finales de un sistema de RLAF son las siguientes:

..

Para emisores de bajo caudal, la presión nonnal del trabajo es de 10 mea o 15 PSI. Para emisores de alto caudal, la presión normal de trabajo es de 20 mea o 30 PSI. Para cintas de exudación, las presiones normales de trabajo varían de 1 a 3 mca o de 1.5 a 4.5 PSI.

En general, los fabricantes de emisores finales para estos sistemas de riego establecen cual es la presión normal de trabajo de cada uno de sus productos. Esta presión normal de trabajo usualmente recibe el nombre de presión nominal del emisor.

Caudaies en los emisores finales Los caudales normales de trabajo para emisores finales de sistemas de RLAF son los siguientes: Para emisores de bajo caudal, los caudales normales de trabajo se localizan en el rango de 2 a 1611h.


460

Para los emisores de alto caudal, los caudales normales de trabajo se localizan en el rango de 16 a 1501/h. Para las cintas de exudación, los caudales normales de trabajo se localizan en el rango de 0.5 a 3 Uh. Nuevamente, los fabricantes de este tipo de emisores establecen el caudal de cada uno de sus productos. En general, el caudal normal de trabajo de un emisor recibe el nombre de caudal nominal.

Régimen hidráulico de los emisores finales El régimen hidráulico que tenga el emisor final afecta su comportamiento, el cual es muy diferente tratándose de flujo laminar con respecto al flujo turbulento, En general se debe asegurar una alta turbulencia en los duetos del emisor final debido a que el flujo laminar presenta los siguientes problemas:

a. En el flujo laminar las pérdidas por fricción son función de la viscosidad. Dichas pérdidas están descritas por la ecuación de Darcy-Weisbach.

h

,

= f ~ v'

d 2g

(8.1)

donde el factor de fricción es una función inversa del número de Reynolds, tal como se describe mediante la ecuación 8.2.

f

64 Re

=> f

=

F, (Re) = F, (fL)

(8.2)

Corno el numero de Reynolds es función de la viscosidad, entonces tanto el factor de fricción de Darcy como las pérdidas por fricción, en el caso del flujo laminar, son función de la viscosidad absoluta del fluido. La viscosidad, a su vez, es función de la temperatura a la cual se encuentra el agua. Esto último implica que el caudal de salida es función de la temperatura, para el caso del t1ujo laminar:

Q=f',(7) Debido a que los sistemas de riego localizado de alta frecuencia están conformados por mangueras con aditivo negro de humo para evitar la cristalización por acción de los rayos ultravioleta en ellos se han medido aumentos de temperatura de hasta 20 oC a lo largo de un lateral de riego. Estos gradientes de temperatura tienen un efecto importante sobre la uniformidad de los caudales de entrega, en casO de que los emisores tlnales tengan flujo laminar.

SISTEMAS DE RllCO lOCALIZADO DE ALTA FRFCUENClA (RLAF)

461

b. La ecuación que relaciona el caudal de salida con la cabeza en el emisor final tiene la siguiente forma, para todos los tipos de emisores: (8.3)

Q

donde:

x

1.0

para flujo laminar

x < 1.0 para flujo turbulento Lo anterior significa una mayor dependencia del caudal en función de la cabeza en el emisor, tratándose de flujo laminar. Esto a su vez implica una menor uniformidad del riego para variaciones en las cabezas en los emisores, en el caso de flujo laminar con respecto al flujo turbulento. c. El flujo laminar implica un área de salida mayor (menos posibilidad de taponamiento por impurezas en el agua), pero una velocidad menor (mayor posibilidad de sedimentación de las impurezas en los tubos). Se ha comprobado que este segundo problema es más importante en los sistemas de RLAF, lo cual implica que se debe evitar hasta donde sea posible el tener bajas velocidades (menores de 2 mis) en las tuberías del sistema.

Relación cabeza-caudal en los emisores linales Tal como se expresó en la ecuación 8.3 la relación cabeza-caudal para los emisores finales de un sistema de RLAF tiene la siguiente forma: Q

kl/

Dicha ecuación describe la curva de funcionamiento del emisor final. Para llevar a cabo un conecto diseño hidráulico del sistema de riego es necesario conocer dicha curva. Esta ecuación no es dimensíonalmente homogénea, de modo que tanto k como x dependen del sistema de unidades utilizado. Rara vez la curva es suministrada por el fabricante de los emisores, por lo cual es necesario determinarla empíricamente en campo. Para ello es necesario conocer al menos dos puntos cabeza~caudal ((H1 ,01) y (H2,02))' Al aplicar la ecuación 8.3 a los dos puntos conocidos se obtienen las dos siguientes ecuaciones:

Si se dividen estas dos últimas ecuaciones se obtiene:

HIDRÁULICA DE TLlBmíA5

462

kh'

-'kh' ,

h'

-'h' ,

Si se despeja el exponente X se obtiene la siguiente ecuación:

x

In (O, / O,) In (h, / h,)

(8.4)

y si se despeja el coeficiente k se obtiene:

(8.5)

k

Las ecuaciones 8.4 y 8.5 permiten conocer la curva de caudal versus cabeza. El exponente x mide la sensibilidad del emisor con respecto a la cabeza. Para obtener empíricamente estas ecuaciones se deben utilizar varios de los emisores finales que van a ser colocados en el cultivo, probándolos a diferentes presiones, las cuales deben ser medidas, y midiendo los caudales correspondientes. En la tabla 8.2 se muestran algunos valores de los x exponentes para diferentes emisores finales, para valores de h en m.

Emisor Flujo laminar Microtubos Helicoidal Régimen turbulento (orificio, laberinto) Vórtice Autocompensante Teórico autocompensante

x 1.00 1.00 075 0.75 0.65 0.50 0.40 0.00 - 0.40 0.00

Tabla 8.2 Exponentes de la función caudal-cabeza para diferentes tipos de emisores finales.

En el diseño del sistema de riego es importante conocer la forma de la curva de los emisores finales que van a ser utilizados y el rango de validez de dicha curva. Es importante tener claro que la ecuación del emisor final tiene un rango de presiones (cabezas) para la cual es válida. Esto se esquematiza en [a figura 8.3.

SISTEMAS DE RIECO LOCALIZADO DE ALTA FRECUENCIA (RLAF)

463

Laminar x 1.0

Q II/h)

Turbulento x= 0.5

x= 0.0

-----

e h(m)

Figura 8.3 Curva

caudal~cabeza

para emisores finales de un sistema de RLAF.

Por lo general, nuevamente, el rango de validez de la ecuacÍón del emisor final no es suministrado por los fabricantes de estos accesorios. Ellos sólo dan un punto: el caudal nominal para una presión de 10 mea (15 PSI). El rango de validez tiene que ser determinado en forma empírica por el diseñador del sistema de riego.

Tolerancia a la presión de los emisores finales Obviamente cuanto menor sea el exponente de la ecuación l'S.3 mayor será la tolerancia a los cambios de presión que tenga el emisor final, lo cual implica una mayor uniformidad del riego. La uniformidad del riego es deseable para que cada uno de los árboles o plantas que conforman el cultivo reciban hasta donde sea posible la misma cantidad de agua y, por consiguiente, la misma cantidad de fertilizantes requeridos para un correcto desarrollo y producción del cultivo. El concepto de la tolerancia a las presiones puede ser entendido a través del siguiente ejemplo:


464

Luego:

y para los dos emisores del problema:

h,

11"" = 1135

Estos resultados" im'plican~?eel elnisor.. autocompensante tiene una toIeranciaa cambios en la Presi6u'del orden deI61%, lo cual eshastante ventajoso para el diseño del sistema. El otro emisor tiene una tolerancia de

sólo ell3.5%.

Sensibilidad a las obturaciones en los emisores finales Los diámetros dentro de los emisores finales son bastante pequeños. Por lo común, los diámetros de salida de los emisores finales varían desde 0.5 a 1 mm para los emisores de bajo caudal hasta diámetros mayores a 2 mm para emisores de alto caudaL Cuando se trata de cintas exudantes, el diámetro de los microporos es microscópico. Por consiguiente, existe un alto riesgo a las obturaciones causadas por impurezas que logren pasar la estación de riego hacia el sistema de tuberías que conforman la red de riego. La sensibilidad a las obturaciones está dada en el siguiente cuadro:

dmin(mm)

Sensibilidad

'" 0.7

Alta

0.7-1.5

Media

>1.5

Baja

Tabla 8.3 Sensibilidad a obturaclones de emisores finales en función del diámetro de salida.

SISTEMAS DE RIEGO LOCALIZADO DE ALTA ERECUENCIA (RLAE)

465

Por tanto, dependiendo del tipo de emisor final que se tenga para el sistema de RLAF, se debe ser más o menos estricto en el diseño de los filtros y la malla que confonnan la estación de riego. También es importante

mantener una velocidad superior o igual a 4.5 mis en los ductos internos del emisor final para evitar la sedimentación en ellos. Esto implica que el flujo dentro de los duetos debe ser turbulento.

Sensibilidad de los emisores tinales a la temperatura Como quiera que el calentamiento solar en los laterales de riego puede elevar la temperatura en más de 20°C a lo largo de éstos, se pueden presentar efectos contraproducentes:

La temperatura pued,c afectar algunos materiales tales como los elastómetros de los goteros autocompensantes, haciéndolos perder su capacidad deautorregulación de caudales. El aumento de temperatura implica una reducción en la viscosidad cinemática del agua, lo cual, a su vez, incrementa el número de Reynolds y disminuye el factor de fricción. B. Zur y S. Tal encontraron que el caudal se afectaba con la temperatura de acuerdo con la siguiente ecuación: Q =

m + nT

(8.6)

En donde m es alta para flujos cercanos al régimen laminar, explicándose así el efecto tan grande para este tipo de flujo en emisores finales. Los goteros de tipo helicoidal(x entre 0.66 y 0.86) mostraron una alta sensibilidad a la temperatura mientras que los de laberinto (x entre 0.45 y 0.53) tuvieron una baja sensibilidad. Para el caso de los emisores de vórtice, n resultó ser negativo, lo cual no tiene una explicación clara todavía. En general, los cambios de temperatura afectan la uniformidad del riego. Por consiguiente, la mejor solución es enterrar los múltiples y laterales de riego, evitando su exposición directa a la luz solar. CLASIFICACiÓN y TIPOS DE EMISORES FINALES

En la tabla 8.4 se presenta la clasificación de los emisores finales de los sistemas de RLAF. Goteros

De ducto largo {

Emisores de bajo O

De orificio

(goteros)

O:s; 16 I/h

Microtubo

Vórtice

Mangueras

Autocompensantes Cintas exudantes

Microaspersores

161/h
¡

Fan Spray

Emisores de alto Q Difusores

(

Nebulízadores

Microtubos de alto caudal

Tabla 8.4 Clasificación de emisores finales en sistemas de RLAF.

Helicoidal

Laberinto


466

A continuación se describen los emisores finales y se establecen las características hidráulicas de cada uno de ellos.

Emisores de bajo caudal Goteros de dueto largo: Los goteros de dueto largo fueron los primeros utilizados en los sistemas de RLAF y evolucionaron de acuerdo con la siguiente secuencia: microtubo~ goteros helícoidales ~ goteros en laberinto. El microtubo es el gotero más antiguo. Por lo general, está hecho de un tubo de polietileno de diámetro pequeño (0.6 mm ~ d:'S 2.0 mm) y de longitud variable, tal como se esquematiza en la figura 8.4.

_=J

Microtubo

f====:BJCE:===r.

Latera! Figura 8.4 Microtubo como gotero de dueto largo.

Dado que en los microtubos el régimen de flujo siempre es laminar, las pérdidas por fricción se calculan mediante la ecuación de Darcy-Weisbach:

v' d 2g

I h, = f -

(8.1 )

en donde el factor de fricción está descrito de acuerdo con la siguiente ecuación:

f

64

Re

64v vd

Al combinar las ecuaciones 8.1 y 8.2 se llega a la siguiente expresión:

(8.2)

SISTEMAS DE RIEGO IOGAUZADO DE ALTA ERECUENCIA IRIN)

64vl v d' 2g

h,

467

64vl04 1Td' 2g

De esta última ecuación se puede despejar el caudal de la siguiente forma:

1Td4 g h, 128vl

o

(8.7)

Al comparar la ecuación 8.7 con la ecuación 8.3:

o

kh'

(8.3)

se obtiene que para los microtuhos los valores de x y de k son los siguientes:

x

~

k

1.0 (flujo laminar)

1Td'g

(8.8)

128vl

Sin embargo, esta última ecuación no puede ser utilizada para calcular el coeficiente k en forma directa porque se estaría suponiendo que el flujo se encuentra completamente desarrollado. La longitud de desarrollo del flujo laminares del orden de 140 veces el diámetro interno del tubo. En consecuencia, para un microtubo de 1.2 mm de diámetro, por ejemplo, se tiene:

d

~

140d

= 140' 1.2 mm = 168 mm

Id = 16.8 Cm Tal longitud no es despreciable con respecto a las longitudes comunes de los microtubos. El valor del exponente x implica una alta sensibilidad de este tipo de emisores con respecto a la presión. Sin embargo, experimentalmente se ha encontrado que, para los microtubos, x varía entre 0.75 y 1.0. En resumen, los microtubos tienen todos los problemas del flujo laminar, es decir, alta sensibilidad a la presión y a la temperatura y alto riesgo de taponamiento. Por estas razones se desarrollaron otros goteros de ducto largo. Los goteros helicoidales (figura 8.5) son una modificación del microtubo. En éstos el ducto no es recto sino que tiene forma de hélice alrededor de un cilindro. Esta trayectoria del agua origina fuerzas centrífugas

468


que, a su vez, generan corrientes secundarias y vórtices que sacan el flujo de la distribución parabólica de velocidades propias del flujo laminar. De esta manera se genera un flujo turbulento en el microtubo. Este mecanismo es más eficiente a medida que crece la relación diámetro del dueto sobre el diámetro de la hélice.

Figura 8.5 Gotero de dueto largo de tipo helicoidaJ.

Por lo general, los goteros de tipo helicoidal están hechos de polipropileno. El exponente de descarga x varía entre 0.65 y 0.75, implicando que este tipo de goteros son menos sensibles a la presión y a la temperatura que los microtubos. En los goteros de laberinto (figura 8.6) el agua recorre una trayectoria tortuosa, haciéndolos funcionar en régimen turbulento todo el tiempo. Para este tipo de goteros de laberinto, xes iguala 0.5. lo cual significa que son muy poco sensibles a la presión y a la temperatura, ayudando a la unifonnidad del riego.

Figura 8.6 Gotero de dueto largo de tipo laberinto.

SISTEMAS DE RIECO LOCALIZADO DE ALTA FRECUENCIA (RLAF)

469

Goteros de orificio: Una de las primeras soluciones de los RLAF fue la de perforar la manguera que conformaba el lateral de riego en el sitio de localización de cada una de las plantas. Esta solución no era fácil de construir a causa de la dificultad en garantizar un diámetro constante en los orificios, debido a la elasticidad del plástico que conformaba las mangueras. Sin embargo, posterionnente surgieron orificios de polipropíleno que se podían instalar en las mangueras de polietileno, más flexibles. La ecuación común de un gotero de orificio es la siguiente:

v = c ~2gh

(S.9)

la cual. para el caso de un RLAF, es:

Q

= 36 Ac ~2gh

(S. 10)

donde: Q = caudal en Vh área en mm 2 (área transversal del orificio)

A c 9 h

coeficiente de descarga (0.5 '" e '" 0.7) aceleración de la gravedad 9,81 m1s 2 cabeza en ID

Sí se compara la ecuación 8.10 con la ecuación 8.3 se llega a la conclusión de que el exponente x es igual a 0.5. Para los goteros de orificio, lo anterior implica que éstos presentan todas las ventajas del flujo turbulento. Sin embargo, el principal inconveniente de este tipoüe goteros es su pequeño diámetro, lo cual se ilustra en el ejemplo S.2.

HIDRÁUliCA DE TUBERiAS

470

A

A

3.6 x 0.7 x 0.155

X9.81X12

mm'

Luego: 0.44

mm

Goteros de vórtice: Los goteros de vórtice surgieron como un intento de solucionar el problema de] diámetro tan pequeño de los goteros de orificio. Luego de pasar por el orificio, el flujo entra en una cámara en la cual se genera un vórtice, tal como se esquematiza en la figura 8.7.

Orificio de salida

..

~;;~~~It.::' t'

__----i~~~~~"J:k~--Cámara de vórtice

Dirección del flujo (sale radialmenle) Punto de ingreso del flujo (axiaimente)

Figura 8.7 Esquema de un gotero de tipo vórtice.

El vórtice genera una fuerza centrífuga que se opone a la dirección del flujo, generándose así una pérdida adicional de energía. Esto significa que para el mismo caudal un gotero de vórtice requerirá un diámetro mayor. En este caso, la ecuación del emisor final es: Q

~

donde: Q ~ caudal en l/h

A

=

área en rnm 2 (área transversal del orificio)

15.9A Ctp,

(8.11)

SiSTEMAS DE RIEGO LOCALIZADO DE ALTA FRECUENCIA (RLAF)

e

coeficíente de descarga (0.3

h

cabeza en ro

::so;

e

~

471

0.4)

Al comparar las ecuaciones 8.10 y 8.11 se llega a la conclusión de que las áreas de los goteros de orificio y los goteros de vórtice están en una relación de 1 a {3:

(8.12)

La teoría del movimiento de un vórtice demuestra que al aumentar la presión de entrada, parte de la energía se transforma en velocidad y la presión en el centro del vórtice crece menos rápidamente que en la perifelia de éste. Lo anterior significa que los goteros de vértice tienen propiedades autocompensantes. De ahí que su exponente de descarga X sea igual a 0.4, lo cual tiene amplias ventajas. Una característica singular de los goteros de vórtice es el hecho de que su caudal de descarga disminuye a medida que la temperatura aumenta. La explicación exacta de este fenómeno no ha podido establecerse hoy en día. Goteros autocompensantes: Dos causas originan la no uniformidad del riego en un sistema de RLAF: Las diferencias de nivel del terreno del cultivo y las pérdidas de energía (cabeza) a lo largo de las tuberías, los múltiples y los laterales de riego. Por esta razón, surgieron los goteros autocompensantes que dejan salir el mismo caudal para una amplia gama de presiones inmediatamente aguas arriba del emisor finaL Para conseguir las propiedades autocompensantes, los goteros están provistos de un elemento flexible (en general de caucho o silkona) que se defonna bajo la acción de la diferencia de presión del agua antes y después de dicho elemento, manteniendo un caudal más o menos constante aunque varíe la presión de entrada. El elemento flexible recibe el nombre del elastómetro del gotero. En la figura 8.8 se muestra un gotero autocompensante completo y desarmado, en el cual se observa el elastómetro.

Figura 8.8 Gotero autocompensante armado y desarmado mostrando el elastómetro.


472

Un gotero autocompensante pedecta tendría un exponente x Q

kh o

Q

k

oen la ecuación 8.3, Por consiguiente:

(8.13)

En la práctica es muy difícil conseguir esta condición ped'eeta, por lo cual X tiene un valor diferente de

cero. En estos casos, más que conocer la ecuación para el diseño es necesario identificar la curva de Q versus h para el gotero autocompensante. Los goteros autocompesantes presentan los siguientes problemas: Alto costo en comparación con otros goteros. Problemas de envejecimiento del elastórnetro, el cual puede variar sus propiedades de flexibilidad con el tiempo. El elastómetro puede ser sensible a ciertos abonos químicos, insecticidas y alguicidas que pueda ser necesario aplicar al cultivo y para la limpieza periódica de las tubenas del sistema. Una característica ventajosa de este tipo de goteros radica en el hecho de tener propiedades de autolimpieza. Al tenninar el riego disminuye la presión y el elástometro se estira y agranda aumentando el diámetro del orificio de salida, con lo cual algunos de los sólidos que estaban atrapados aguas 3lTiba del gotero pueden salir.

Mangueras Las mangueras son tuberías provistas de emisores de tipo goteros espaciados entre 30 cm y 1.0 m. característica que las hace muy aptas para el riego de cultivos intensivos tales como hortalizas, frutales (melón, fresa, pepinillos, etc.) y flores. En algunos casos se utilizan en cultivos de algodón. Las mangueras están compuestas por dos tubos paralelos. El principallteva el agua y actúa como lateral de riego, mientras el secundario toma el agua del tubo principal y la lleva a los emisores finales. Ambos tubos forman un solo conducto integrado. En la figura 8.9 se observa una de las mangueras mús utilizadas en riegos localizados de alta frecuencia.

Figura 8.9 Manguera de riego para sístemas de RLAF.

SISTEMAS DE ¡¡IECO LOCALIZADO DE AlTA F1!ECUENClA (I!LMI

473

Las mangueras más utilizadas en la actualidad sonIa T-tape y la Bi-walL La manguera T-tape tiene un diámetro de 16 mm y se fabrica en dos espesores: 0.08 mm y 0.02 mm. Vienen en rollos de hasta 2500 ro de longitud. Además presentan las siguientes características:

..

Un filtro en la zona de comunicación cntre los tubos principal y secundario Un laberinto en el tubo secundario Separación variable entre goteros de acuerdo con los requerimientos del cultivo, entre 20 y 60 cm Presión de trabajo entre 5 y 10 mea (7.2 a 14.4 PSI) Caudales entre 7.9 y 94.4 I/h/m

El exponente de descarga para este tipo de mangueras es de 0.8, 10 cual las aproxima mucho al flujo laminar con las consecuencias negativas antes expuestas. La manguera Bi-wall tiene un diámetro de 12 mm. Sus características principales son: Puntos de emisión separados en múltiplos de 30 cm Presión de trabajo de 10 mea (14.4 PSI) Caudal de 40 IIhllOO m El exponente de descarga x para este tipo de mangueras es de 0.5, lo cual corresponde a flujo en régimen turbulento, ya que los emisores son del tipo orificio. Por consiguiente, este tipo de manguera es más apropiada si se requiere una alta uniformidad en el riego del cultivo.

Cil1las exudanles Las cintas exudantes consisten en tuberías o cintas fabricadas a partir de un geotextil COmpuesto de microfibras de policti1eno entrecruzadas que forman una malla en la cual las poros tienen un tamaño medio de 4.0 a 5.0 micras y ocupan el50r¡ó de la superficie. Al aplicar una presión, en general comprendida entre los 2.0 y los 3.5 mea, la cinta se hincha y el agua sale al exterior por los poros de manera homogénea en toda su longitud. Algunas características de las cintas exudantes son las siguientes: Las presiones de trabajo se encuentran entre 2.0 y 3.5 mea (3.0 y 8.0 PSI). Los caudales de trabajo se encuentran entre \.0 y 1.751/h/m. El caudal es variable, ya que el t1ujo es laminar, dependiendo así de la temperatura. El bajo caudal permite abaratar el costo de la red de distribución de riego. Pueden operar a presiones extremadamente bajas (decúnetros de cabeza de agua), permitiendo regar en condiciones extremas en diferentes sitios del cultivo. El terreno debe ser muy plano para tener una buena uniformidad del riego. Los caudales son muy sensibles a la pendiente del terreno. El tamaño de los poros implica que las cintas exudantes son muy sensibles a las obturaciones. En algunos casos, un aumento en la presión puede abrir los poros permitiendo el paso de las impurezas. Al ser sensibles al crecimiento de algas, es recomendable enten'arIas para evitar su contacto con la luz solar.

474

HIDRÁULICA DE TLlBERIAS

Las mangueras exudantes se pueden utilizar para el riego de hortalizas y plantas frutales intensivas. También se les puede utilizar para el riego de árboles, pero en este caso sin humedecer una franja continua sino utilizando pedazos de mangueras, como emisores finales de varios metros de longitud, conectados a un lateral convencional de polietileno.

Emisores de allo caudal Microaspersores y dilusores Los emisores de alto caudal se utilizan en suelos muy permeables en los cuales el bulbo de humedad de goteros se desarrolla mucho en profundidad y poco en anchura, lo cual implica riegos insuficientes. En estos casos se utilizan microaspersores y difusores. La diferencia esencial entre éstos radica en que los microaspersores tienen algún elemento móvil, mientras que los difusores no. Las características principales de los emisores de alto caudal son las siguientes:

•

Área de humedecimiento con radio variable entre 0.5 y 3.5 m. Poco riesgo de obturación por tener un mayor diámetro de ductos y una mayor presión de servicio. Presiones de servicio entre 10 y 20 mca (15 y 30 PSI), aunque pueden trabajar con presiones de hasta 30 mea (45 PSI). Caudales entre 20 y 150 lib. Sin embargo, existen modelos que pueden alcanzar más de 300 lIh.

Los emisores de alto caudal, ya sean rnicroaspersores o difusores, tienen algunos inconvenientes importantes. Entre éstos se encuentran los siguientes: El alto caudal exige mayores diámetros de tubería, especialmente en los múltiples y laterales de riego, 10 cual hace que el sistema de RLAF sea más costoso. Este tipo de emisores mojan el follaje y los troncos de las plantas, lo cual en muchas especies vegetales puede favorecer el desarrollo de enfermedades corno la fitofora en cítricos y la antragnosis en mangos Y guanábanas. La mayoría de este tipo de emisores de alto caudal son del tipo orificio. Por tanto, su exponente X es cercano a 0.5.

Microlubos de 0110 coudal Los rnicrotubos pueden operar, en algunas circunstancias, como emisores de alto caudaL No obstante, son poco empleados con este objetivo debido a que presentan todos los inconvenientes de los emisores de alto caudal (grandes diámetros de múltiples y de laterales) sin sus ventajas (gran superficie mojada). UNIFORMIDAD DEL RIEGO

La uniformidad del riego es una magnitud que caracteriza todo sistema de riego e interviene definitivamente en su diseño. El objetivo de un sistema de RLAF es tratar de obtener la mayor uniformidad posible, de tal manera que todas las plantas del cultivo reciban la misma cantidad de agua y de nutrientes necesarios para el desarrollo y la producción de las plantas.

SISTEMAS DE RIEeo LOCALIZADO DE AlTA FRECUENCIA (RLAF)

475

Coeficiente de uniformidad El coeficiente de uniformidad de riego se define de acuerdo con la ecuación 8,14:

cu

(8.14)

donde:

caudal medio de todos los emisores de la instalación

Qm Q25

=

caudal medio de los emisores que constituyen el 25% de caudal más bajo

En el diseño, la uniformidad es una condición impuesta por factores agronómicos. Se puede elegir el valor del coeficiente de uniformidad que se desee, pero el resto del diseño tiene que ser consecuente y mantener ese valor. La relación entre las necesidades netas de riego y las necesidades totales se calcula teniendo en cuenta la siguiente ecuación:

¡

Pérdidas por percolación (Pp )

N t = N,

+

Necesidades de lavado (N)

Falta de uniformidad en el riego

Si en esta última ecuación se supone que solamente existe el término de pérdidas por percolación, y si A representa el agua que es necesario aplicar al cultivo, se obtiene la siguiente expresión:

A

agua a aplicar

A

N,

(8.15)

+

Pp

Por otro lado, la eficiencia de riego (ER) se define como:

N, A Al remplazar esta última ecuación en la ecuación 8.15 se obtienen las dos siguientes ecuaciones: A -

A

N,

N, = (1 - ER) A

+ (1

- ER) A

(8.16) (8.17)

476


Por otra parte, si se supone que solamente existen las necesidades de lavado, se puede establecer la siguiente ecuación: (8.18) Se puede definir un coeficiente de necesidades de lavado, tal como se expresa en la siguiente ecuación:

c'VI

=

N, A

Al remplazar esta última ecuación en la ecuación 8.18 se obtiene la siguiente expresión: (8.19)

Al comparar las ecuaciones 8.17 y 8.19 se puede concluir que ambas tienen la siguiente forma:

A=N,,+kA

(8.20)

Donde el coeficiente k puede ser representado por alguna de las dos condiciones:

Como es claro, las pérdidas por percalación y las necesidades de lavado son mutuamente complementarias. Por consiguiente, en la ecuación 8.20 se debe escoger el mayor k de los dos antes mencionados. Por último, utilizando la ecuación 8.20 se puede calcular con facilidad el agua a aplicar mediante la siguiente ecuación:

~

A

(1 - k)

En general k, se conoce como el factor de cubrimiento de agua, Finalmente, las necesidades totaJes de riego se definen como:

N,

A

CU

SISTEMAS DE RIEGO LOCALIZADO DE AlTA FRECUENCIA (RIAF)

477

En consecuencia, las necesidades totales de riego se pueden calcular utilizando la ecuación:

N,

(1 - k) CU

(8.21)

Ejemplo 8.3 En un cultivo regado por un sistema de RLAF la cantidad de aguaaaplicar esd~5mt1'1ldfa.C:a1cuIarJasnecesidades totales de riego para coeficientes de uniformidad de! riego de 90% y 70%. Sí el agua a aplicar A = 5 mm/día con un coeficiente de unifonnidad

CU = 0.9, para que el 25% menos regado de la tinca reciba 5 mmJdía habría que regar con:

N,

mm día '::":'7':-::-=:=

0.90

= 5.56 mm / día

Para un coeficiente de uniformidad de 0.7 el resultado sería:

N,

5 mm/día

070

7.14 mm / día

La ecuación 8.14 implica que el 75% de los árboles o plantas del cultivo reciben más agua que la mínima necesaria y que el 25% restante recibe en forma "exacta" lo necesario (como caudal medio), Sin embargo de ese 25%, la mitad recibirá más del caudal medio y la otra mitad menos de dicho caudal. Esto significa que el criterio de utilizar el Q25 en la ecuación (8.14) implica que sólo el 12.5% de los árboles o plantas que conforman el cultivo reciben menos del agua necesaria para un correcto desarrollo y producción de la planta. Por otra parte, el 75% de los árboles del cultivo recibe más agua de la necesaria. El valor de ese exceso de caudal depende del valor que se haya adoptado para el coeficiente de uniformidad. Por ejemplo, para un coeficiente de uniformidad del 90%, el exceso será del 10%, mientras que para un coeficiente de uniformidad igual a 70% este exceso será del 30%. Pero cuanto más alto sea el coeficiente de uniformidad adoptado para el cultivo más costosa será la instalación de riego, ya que para que haya menos dispersión de caudales, las presiones deben ser lo más uniformes posibles a todo lo largo y ancho del cultivo. Este hecho implica mayores diámetros de tubería, laterales más conos y/o mayor inversión en reguladores de presión.


47S

En la tabla 8.5 se muestran algunos valores del coeficiente de unifonnidad recomendados para diferentes tipos de emisores, en terrenos de diferente pendiente discriminados para climas áridos y climas húmedos.

Emisores

Pendiente

e. árido

e.húmedo

Espaciados más de 4 m

i < 2%

090-0.95

OSO-0.S5

Cultivos permanentes

i >2%

0.S5-0.90

O75-0 SO

Emisores espaciados 2.5 m o menos

i <2%

0.85-0.90

0.75-0.80

Cultivos permanentes

i > 2%

0.80-0.90

070-0.80

Mangueras o cintas de exudación

i < 2%

0.80-0.90

0.70-0.80

Cuitivos anuales

i >2%

0.70-0.85

0.65-0.75

Tabla 8.5 Valores recomendados de

eu.

Factores que intervienen en el coeficiente de uniformidad Los factores que intervienen en el coeficiente de uniformidad de un determinado cultivo son los siguientes: Factores constructivos: Los procesos de fabricación y los materiales utilizados causan diferencias en los caudales finales en los emisores, El efecto de los factores constructivos se engloba en el llamado coeficiente de variación por fabricación.

Factores hidráulicos: Las pérdidas de energía (cabeza) ocurridas a lo largo de todas las tuberías que conforman un sistema de RLAF y la topografía del terreno afectan el caudal final de cada emisor. Envejecimiento y obturaciones que ocurran en los emisores. Diferencias de temperatura en los diferentes laterales de riego y de un lateral en sí. En general, a nivel del diseño del sistema de RLAF sólo se tienen en cuenta los dos primeros factores, cuyo efecto def?e ser calculado.

Factores constructivos: coeficiente de variación por fabricación El coeficiente de variación por fabricación de los emisores finales se define mediante la siguiente ecuación:

cv donde (Tes igual a la desviación estándar, la cual se define mediante la ecuación 8.23:

(8.22)

SISTEMAS DE I¡IEGO LOCAliZADO DE ALTA FRECUENCIA (RLAF)

479

(8.23)

En la ecuación 8.23 se tiene:

01

caudal del emisor i de prueba

0m

caudal medio (:¡; O/n)

n

número de emisores de prueba

Para determinar el coeficiente de variación por fabricación se debe probar en el terreno un mínimo de 25 emisores finales. De acuerdo con este criterio, los emisores finales se clasifican en dos categorías: Categoría A: emisores de elevada uniformidad (CV < 0.05) Categoría B: emisores de baja uniformidad (0.05 '" CV < 0.10) Las pmebas para al menos los 25 emisores finales escogidos se deben hacer con una presión igual a la presión nominal, la cual es en general de 10 mea. De ordinario. los caudales hechos en las pruebas anteriores siguen una distribución nonnaI, en la cual si se representan las abscisas corno los caudales y las ordenadas corno las frecuencias en que éstos se presentan, se obtiene una curva normal o campana de Gauss como la mostrada en la figura 8.10.

F (frecuencia)

Q (caudal)

Figura 8.10 Distribución de los caudales de prueba de emisores finales.

La ecuación matemática de la curva normal está dada por la ecuación 8.24:

F=

__1_

u{2;

rO-Om)' ,,

e~l-c~~

(8.24)

HIDr!ÁUUCA DE TUBERíAS

480

la cual tiene características muy definidas, tales corno las siguientes: La frecuencia máxima corresponde al valor medio de las abscisas. El 68.27% de los casos está comprendido entre (Om - o) y (Om

+

o)

Teniendo en cuenta esta última característica y la ecuación 8.22 para el caso de la prueba de los goteros, este intervalo se puede expresar mediante la siguiente ecuación: (8.25)

Análogamente, el

Q25

puede expresarse mediante la siguiente ecuación: (8.26)

0'5 = (1 - 1.27 C\I) 0m Por último, al sustituir la ecuación 8.26 cnla ecuación 8.14 se obtiene:

CU,

=

(8.27)

(1 - 1.27 C\I)

donde:

CUc = coeficiente de uniformidad debido a factores constructivos.

Ejemplo 8.4 ¿Aqué coeficiente de unifonnidad correspondc.cl.valor de CVde cambio entre las categorías Ay B antes ll1encioriadas (CV

CU••

=

(1 - 1.;27 X 0.05)

=

=

O.OS)?

0.94

Es decir. la categoría A tiene coeficientes de unifonnidad de construcción

El coeficiente de uniformidad debido a factores constructivos descrito mediante la ecuación 8.27 corresponde al caso en que a cada una de las plantas del cultivo llega uno y sólo un emisor finaL Si a una misma planta o árbol llega más de un emisor, la ecuación 8.27 cambia a la siguiente ecuación:

(8.28)

SISTEMAS DE RIEGO LOCALIZADO DE ALTA FRECUENCIA I REAF)

481

donde:

ne = número de emisores por planta Faclores hidráulicos El coeficiente de unífonnidad hidráulico está definido mediante la siguiente ecuación: (8.29)

donde: Qmp

= caudal del emisor sometido a rnenorpresión.

El caudal del emisor final sometido a menor presión se calcula teniendo en cuenta la curva del emisor suministrada por el fabricante o construida según los emisores comprados para el cultivo objeto del diseño. En el ejemplo 8.5 se muestra la forma de calcular el coeficiente de uniformidad hidráulico para el caso de un emisor autocompensado.

1. 79 = 0.93 1.93


482

Si se consideran lOS factores antedares, el coeficiente de uniformidad se calcula como el producto entre el coeficiente de unifonnidad por factores constructivos multiplicado por el coeficiente de uniformidad hidráulico: (S.30) Si se remplazan las ecuaciones 8.28 y 8.29 antes establecidas en la ecuación 8.30 se llega a la ecuación final para el coeficiente de uniformidad:

(S.31)

Esta última ecuación sirve para calcular el caudal de mínima presión, el cual, junto con la curva del emisor final, sirve para determinar la presión mínima que se puede tener en uno de los submódulos de riego. Por consiguiente, la verdadera incógnita de la ecuación 8.31 es el caudal de mínima presión, que depende del coeficiente de uniformidad, del caudal medio y del número de emisores de planta, datos que provienen del diseño agronómico del cultivo y del coeficiente de variación por fabricación de los emisores finales, el cual proviene, ya sea del fabricante o de las pruebas hechas en el cultivo. A continuación se describe el proceso que debe seguirse para el diseño hidráulico de sistemas de RLAF, teniendo en cuenta lo establecido anteriormente.

DISEJilO HIDRÁULICO DE SISTEMAS DE

RLAF

Secuencia del diseño hidráulico En el diseño de un sistema de RLAF los cálculos hidráulicos se realizan posteriOlmente al diseño agronómico, considerando otros factores tales como las características de los emisores disponibles en el mercado, la topografía de la finca, la elevación de la fuente de agua, los caudales disponibles en la fuente de agua, etc. El proceso de cálculo sigue el diagrama mostrado en la figura 8.11.

¡

Oatos del dIseño agronómico ¡Coeficiente de uniformidad (CIJ) ¡

11,

de emisores por planta (no)

I

¡ Espaciamiento entre emisores

Otros datos

I

1

:I"i

Tolerancia de caudales

I

Tolerancia de presiones

JI

\ Caudal medio del emisor (O,J \

Dosis y tiempos de riego

Oiseño hidráulico

~I I I

J,

•

CaudaJde laterales y tercianas

~

I

Distribución de la red de riego

J, Diámetros y régimen de presiones en laterales y terciarias

1

j I Secundaria, primaria, cabezal

Coeficiente de var'lación d~ 1 fabricación del emisor (CV)

rI l

Ecuación del emisor (O h)

I

I

~

I I

I I

Plano topográfico

I

'-----'

1 Ecuaciolles de diseño de tUberlasl 1 Conexión emisor-lateral

Figura 8.11 Secuencia del diseño hidráulico de un sistema de RLAF.

I

SISTEMAS DE RIEGO lOCALIZADO DE ALTA ERECUENCIA (RIAr)

483

Apartir del diagrama anterior, el primer paso es calcular la tolerancia de caudales. Pard conseguir la unifonnidad del riego exigida por el diseño agronómico, la relación entre el caudal del emisor de mínima presión (Qmp) y el caudal medio (Qm) no debe ser inferior a un cierto valor. el cual es función del coeficiente de unifonnidad (CU), del número de emisores finales por planta (n e) y del coeficiente de variación por fabricación (eV). Una vez conocida esta tolerancia y teniendo en cuenta la ecuación del emisor final:

(O

~

kh')

(8.3)

se determina la tolerancia de presiones. Los cálculos anteriores son comunes para toda la instalación de riego. A partir de ellos, el cálculo se desarrolla en fonna independiente para cada uno de los submódulos que conforman el cultivo, el cual corresponde a la superficie del cultivo dominado por un regulador de presión. Las variaciones de presión que se produzcan aguas arriba del regulador de presión son controladas por éste y, por tanto, no modifican la presión de trabajo de los emisores finales, obviamente dentro de ciertos límites y siempre y cuando la presión aguas arriba del regulador supere el mínimo necesario. En cambio, aguas abajo del regulador de presión -debido a las pérdidas de energía y a la topografía~ los distintos emisores de un mismo submódulo estarán sometidos a presiones diferentes. En consecuencia, la uniformidad del riego depende únicamente de lo que acuna en el submódulo, debiendo diseilarse esta parte del cultivo de forma independiente. Para el diseño de un submódulo se deben combinar los cálculos hidráulicos con la distribución en planta de toda la red de riego. Cualquiera que sea el procedimiento de la escogencia de la topología de esta red, los cálculos hidráulicos consisten en detemlinar primero los caudales de los laterales y los múltiples de riego para posteriormente, teniendo en cuenta la tolerancia de presiones. calcular para las mismas tuberías los diámetros y el régimen de presiones. Ésta es la parte más complicada del diseño hidráulico. El cálculo hidráulico del resto del sistema (tuberías secundarias y tuberías primarias) es muy parecido al diseño de cualquier red abierta tradicional, como las estudiada.:; en los capitulas anteriores. La distribución de presiones en un submódulo de riego puede ser similar a la representada en la figura 8.12.

lateral con emisores Figura 8.12 Dístribuclón de cabezas en los emisores finales de un submódulo de riego.


484

La descripción de cada una de las variables de la figura anterior es la siguiente:

H,

=

cabeza a la entrada del submódulo

Hrnm

=

cabeza mínima en el múltiple

Hmm

=

cabeza mínima en todo el submódulo

Om

=

caudal medio de los emisores

Hm

=

cabeza correspondiente al anterior caudal

°L

caudal de entrada al lateral

SL

distancia entre laterales

Se

distancia entre emisores

Cálculo del caudal por planta '1 el caudal total Como paso previo al diseño hidráulico de los submódulos se debe dctenninar el caudal de riego por cada una de las plantas, y el caudal total del submódulo. Estos caudales están influidos por los criterios agronómicos sobre consumo de agua, tipo de suelo en el que se localiza el cultivo, tamaño del cultivo y número de estaciones de riego posibles en la finca. A su vez. el caudal total de la estación de riego respectiva dependerá del número de submódulos que se rieguen simultáneamente, del tiempo de bombeo deseado y del número total de árboles o plantas con riego simultáneo. Todo lo anterior se ilustra en el ejemplo 8.6.

Ejemplo 8.6 En una finca se tienen 9500 árboles de mango, distribuidos en 25 submódulos más o menos iguales. El volumen de agua que debe ser suministrado a cada árbol es de 60 l cada dos días (como máximo). El tiempo de riego deseado es de 8 horas diarias durante 5 días. Calcular el caudal por árbol, el tipo y número de goteros por árbol, el tiempo de riego y número de submódulos regados en forma simultánea, si el terreno permite un caudal máximo por gotero de OA l/mino

Caudal total

60 íitros

2 días x árbol

x 9500 árboles

= 570000

litros

2 días

SISTEMAS DE

meo LOCALIZADO DE ALTA FRECUENCIA (RLAF)

=

285000

8-~:-::-::--s =

9.9

.r.s

l/s

árboles submódulo

litros Utilizando el caudat tOtal:

Tiempo de riego

22800 = 2280 s 10 l/s

t

t

= 38 minutos

El caudal por árbol es:

Q,

=

_-=6:.;:0..:-1_ minutos

= 158 .r. s

Es decir, se requieren (1.58/0A) = goteros de OA IImin = 24 I/h por árbol. Estos goteros pueden ser muy costosos. Luego se debe probar la alternativa de regar, por ejemplo, 3 submódulos al tiempo. En este caso:

# árboies / 3 submódulos

9500 árboles x 3 submódulos 25 submódulos

485


486

El volumen de agua de consumo total de estos árboles es:

1140 árboles x 60 1= 68400 1 Nuevamente, utilizando el caudal total de la bomba:

tiempo de riego

684001 10 I1 S

t

t = 114 minutos El caudal por árbol es:

Q A

60 1 = 0.526 _l_ = 114 min min

Luego, se podrían colocar:

0.52611min 0.075 11 min

=

7.0

Es dedr, 7 goteros de 0.07511min = 4,51Ih, los cuales requerirían un tiempo de riego de 114 mino Sin embargo. se podrían utilizar 4 goteros de 8 Ilh, obteuiéndose:

1

1

I

h

h

min

Q =4x8-=32-=0.533A

Con lo cual el tiempo de riego es: t=

601 =1125min 0.533 _1_, mm

Esto, a su vez, representa un mejor diseño desde el punto de vista del mercado de emisores finales.

SISTEMAS DE RIEGO LOCALIZADO DE AlTA FRECUENCIA (RLAFI

487

Cálculo de la tolerancIa de caudales La tolerancia de caudales se calcula mediante la ecuación del coeficiente de uniformidad:

(8.31)

En esta etapa del diseño se conoce el coeficiente de uniformidad, el cual es elegido durante el diseño agronómico del cultivo. De igual manera, se conoce el coeficiente de variación por fabricación, el número de emisores por árbol y el caudal medio. Por consiguiente, la única incógnita en la ecuación 8.31 es el caudal de mínima presión. La relación entre el caudal de mínima presión y el caudal medio es la tolerancia de caudales, la cual obviamente se puede calcular en la ecuación antes mencionada.

Cálculo de la tolerancia de presiones Una vez conocidos el caudal de mínima presión y el caudal medio, es decir la tolerancia de caudales, mediante la ecuación del emisor escogido se puede calcular la presión media y la presión mínima (como cabezas), utilizando la siguiente ecuación:

- (Q):< k

h -

La diferencia de presión total en el conjunto del submódulo (AH) es proporcional a la diferencia entre la cabeza media y la cabeza mínima: (8.32)

donde:

M = factor que depende del número de diámetros que se vayan a emplear en una misma tubería, ya sea múltiple o lateral. Keller, recomienda los siguientes valores para el factor M:

# de diámetros

M

1 diámetro

4.3

2 diámetros

2.7

3 diámetros

2.0

Tabla 8.6 Valores del factor M.


488

Sin embargo, como durante esta etapa todavía no se conocen los diámetros de los múltiples y laterales, se recomienda utilizar un valor de M = 2.5. La ecuación 832 permite calcular la máxima diferencia de cabezas o presiones admisible en el múltiple y los laterales, es decir en todo el submódulo de riego, de tal manera que se cumpla con el coeficiente de uniformidad establecido por el diseño agronómico del cultivo. Por consiguiente: (8.33) donde:

H

cabeza máxima para todo el submódulo. Usualmente, pero no siempre, se encuentra a la entrada de éste.

El caudal medio que debe ser utilizado en la ecuación 8.31 es el caudal nominal dado por el fabricante. En el siguiente ejemplo se muestra la forma de calcular las tolerancias de caudales y presiones y la diferencia de presión total que puede ser perdida en un submódulo.

Ejemplo 8.7 Para un sistema de riego se tienen los siguientes datos:

0.90 41th

CU =

Om ne

4 0.04 1.38 hÜ45

CV

O

=

Ca1cularJas

tolerat1:ci~s,de);a114ales

(ilHj que puede ser p~rdida.

([OJ = IIh; [hJ = m)

y presioneJ:l ,y la"cabeza máxima

0.90 X 4

Omp

=

3.691th

SISTEMAS DE RIEGO LOCALIZADO DE ALTA FRECUENCIA (RLAF)

489


490

Cálculo hidráulico de los submódulos: cálculo de múlliples y laterales de riego El diseño del submódulo de riego comprende la distribución en planta de las tuberías terciarias (múltiples) y de los laterales de riego, la detenninación de los caudales en estas tuberías, incluyendo el régimen hidráulico, y el cálculo de los diámetros de las tuberías y del régimen de presiones en todo el submódulo. El cálculo se inicia a partir de la presión mínima requerida para el emisor, la cual se toma de la gráfica para éste, por ejemplo la presentada en la figura 8.13, o de la ecuación del caudal versus cabeza suministrada por el fabricante.

h I

h mm

/ " Zona de validez

:

--~!---7---:J

I

/ /

/

I I I 1 1 I

Q

Figura 8.13 Curva caudal-cabeza para un emisor final mostrando el punto de cabeza y caudal mínimos.

Con el valor de la mínima presión se calculan la cabeza a la entrada (H), la cabeza mínima en el múltiple de riego (Hmm), la cabeza mínima en todo el submódulo (Hmil,.j, Y la cabeza correspondiente al caudal mínimo (H,'T!)' cuyos valores deben cumplir con lo establecido en el cálculo de tolerancia de presiones. Una vez satisfechas estas condiciones, el cálculo se hace a la inversa. Se parte de la presión de entrada al submódulo (H,) para calcular la cabeza conespondiente al caudal mínimo, la cabeza media, el caudal medio y el caudal mínimo. Con estos cálculos se comprueba que el coeficiente de unifonnidad de riego no sea inferior al mínimo establecido, El diseño no puede realizarse en forma directa, ya que requiere un proceso por tanteos. Esto se debe a que de antemano no se conoce el punto del submódulo (emisor final) en el cual se va a tener la presión mínima y los cálculos pueden dar unos resultados no satisfactorios que obliguen a modificar la distribución en planta de los laterales y múltiples de riego y a cambiar sus diámetros; se debe recordar que el proceso de cálculo es en esencia una comprobación de diseño, si se tiene un submódulo como el mostrado en la figura 8.14.

SISTEMAS DE RIEGO LOCALIZADO DE ALTA FRECUENCIA (RLAF)

491

104

-

_ _ 103

102 101 100 Figura 8.14 Esquema de un submódulo de riego; se muestran las curvas de nivel del terreno.

El proceso de diseño se puede describir mediante los siguientes pasos:

1. Escoger los diámetros de las mangueras que van a conformar los laterales de riego, utilizando los disponibles en el mercado local. Escoger el diámetro del múltiple, el cual debe permitir una conexión adecuada con las mangueras que van a conformar los laterales de riego. 2.

Escoger el emisor con las condiciones más adversas de presión (punto 8 11 de la figura 8.14, por ejemplo). En general se puede iniciar con el emisor más alejado del regulador de presión o punto de entrada al submódulo. Otra opción sería la de escoger el emisor o grupo de emisores más elevados desde el punto de vista topográfico del submódulo de riego. A este emisor se le asigna la presión mínima permisible.

3.

A partir del emisor (o grupo de emisores) de mínima presión, calcular el lateral que lo (o los) contiene teniendo en cuenta que éste es un tubo en serie de diámetro conocido. Para el cálculo hidráulico se utilizan las siguientes ecuaciones: Entre emisor y emisor, las pérdidas por fricción se calculan de acuerdo con la siguiente ecuación:

I Q' I v' h. = 1 - - =1- . d 2g d 2gA

(8.34)

Si se tiene en cuenta el esquema de la figura 8.14, el caudal que debe ser colocado en la ecuación 8.34 corresponde al caudal de los emisores localizados inmediatamente aguas abajo del emisor que está siendo calculado. Para el tramo entre los puntos 8 11 y 8 12 (que representa el segundo emisor del lateral 1), el caudal es el caudal de salida por el e11 , el cual corresponde al caudal mínimo. La presión en el emisor que se está calculando es:


492

(8.35)

y el caudal de salida para este emisor es:

q

=

(8.36)

kh,x

Se debe tener siempre presente que cada uno de los ténninos de pérdidas por fricción de la ecuación 8.35 tiene un caudal diferente, el cual se calcula mediante la siguiente ecuación:

" Q=:Lq i~ 1

(8.37)

j

donde es evidente que los Q¡ son los caudales individuales de los emisores. En la figura 8.15 se muestra un esquema del cálculo de los caudales para cada uno de los tramos del lateral entre los emisores finales.

a,

Oé

l

............ ~, Q¡

a,

o,

a,

1 1-- 1-- 1-- 1

¿

............

(O,

+ Q, ~ O, + Q) (O, + 01 + O)

(° 1

':;-

Q,)

Lateral

O.

Figura 8.15 Esquema de cálculo de los caudales en un lateral de riego.

4.

Mediante las ecuaciones anteriores se llega al cálculo de la presión del punto mI' el cual corresponde a la unión entre el lateral que contiene el emisor de mínima presión el1 y el múltiple.

5.

Conocida la presión en el punto m 1 se procede a calcular el siguiente. lateral (/2 en la figurd 8.15). En este caso, el proceso se tiene que hacer por tanteo ya que no se conoce el caudal que pasa por el lateral. Dicho proceso implica que: Se debe suponer una presión en el último emisor del lateral (821 ) en el caso de la figura 8.14. Se debe calcular el lateral de la misma manera como se hizo en el caso anterior (pasos 1 a 4). Se debe comparar la presión en el múltiple (m 1) con la encontrada en el paso 4. Si son diferentes se debe volver a calcular la cabeza en el último emisor del lateral que está siendo determinado. utilizando la ecuación 8.38.

493

SISlfMAS DE RIECO lOCALIZADO DE AlTA fl,ECUENCiA (REAf)

rh"

> hm1 ¡

lh" < hm"

~ ~

h,,?; hezi

-+- !>h

he ?¡_

-

(8.38)

M

en donde el fj,h es un dato que debe ser suministrado por el diseñador. El proceso se detiene cuando (h m1 -

hm1r'í,¿; E

(8.39)

Es decir, cuando la diferencia en dos iteraciones sucesivas del valor de la presión en el múltiple sea menor que un cierto error definido por el diseñador. 6.

Con la presión calculada en el punto m 1 se detcnnina la presión en el punto m 2 mediante la ecuación 8.40:

hm2

~

hml

+ hIm1-m2

(8.40)

donde la pérdida de cabeza debida a laflicción entre los puntos m 1 y m 2 se calcula de acuerdo con la ecuación 8.41:

hrm,.-m2

f~ v'

den 2g

f~ O'H d~

(8.41)

2gA~

m4 •

7.

Con la presión m 2 se repite todo el proceso del paso 5 para los laterales m 3 y

8.

El proceso se sigue hasta llegar al punto 1, que corresponde al punto de entrada al submódulo, encontr!mdose el valor de la cabeza en ese punto.

9.

Posteriormente se verifica que en ningún punto, es decir en ninguno de los emisores o &lTUPOS 'de emisores de alguna de las plantas del cultivo, la presión sea menor que la presión mínima permisible. De ocurrir esto, el proceso se debe reiniciar cambiando la presión del emisor del paso 1 (8 ,1 en la figura 8.14). En este caso se debe asignar la presión mínima a aquel emisor o grupo de emisores en los cuales el proceso haya dado esa presión menor que la mínima permisible.

10.

Por lí.ltirno se calcula la tolerancia de presiones mediante la ecuación 8.42 y la correspondiente tolerancia de caudales medümte la ecuación 8.43:

Hmax -Hmm

!>o

(8.42)

(843)


494

Los valores calculados en estas dos últimas ecuaciones se comparan con aquellos impuestos por el diseño agronómico (ecuaciones 8.32 y 8.31 respectivamente). Si son muy diferentes es necesario cambiar los diámetros de múltiples y laterales y reiniciar el proceso. En todos los pasos anteriores se debe tener siempre presente que en algunos tramos de los laterales y de los múltiples, el flujo puede llegar a ser laminar. Por consiguiente, el cálculo del factor de fricción se dehe hacer teniendo en cuenta la siguiente ecuación:

f

64 Re

Si el flujo es turbulento, obviamente para el cálculo del factor de fricción de Darcy se debe utilizar la ecuación de Colebrook-White:

Cálculo de tuberías primarias y secundarias La definición de las tuberías primarias y secundarias en un sistema de RLAF no está muy bien diferenciada, Algunas de las altemativas de definición son las siguientes:

Tubería primaria .. Tubería que llega a la estación de liego. .. Tubería que llega al inicio de los módulos de riego. .. Tubería que sigue la ruta crítica del sistema de riego.

Tubería secundaria .. Tubería que parte de la tubería primaria y llega a los submódulos de riego. Tubería que parte de los módulos de riego (controlados por los reguladores de caudal) y llega a los submódulos de liego (controlados por los reguladores de presión). Sin embargo, estas diferencias de definición son irrelevantes para el diseño definitivo de la red de tuberías primarias y secundarias, el cual se hace siguiendo la metodología de diseño de tuberías matrices establecida en el capítulo 6. Uno de los aspectos principales que deben considerarse antes de iniciar el diseño de una red de tuberías primarias y secundarias en un sistema de RLAF es si éste va a trabajar por

SISTEMAS DE RIEGO lOCALIZADO DE AlTA fRECUENCIA (RIArI

495

gravedad o por bombeo. El trabajo por gravedad es poco común; dado que en él se tendria una cabeza fija, el diseño sería sencillo. El trabajo por bombeo es el caso más común y. tal como se estableció en el capítulo 4, se deben probar varias alternativas bomba-tuberías con el fin de escoger aquella combinación más económica. En el trazado de la red. el cual debe hacerse antes de iniciar los cálculos hidráulicos, se deben tener en cuenta aspectos como los obstáculos físicos en el cultivo (caminos, linderos, etc.), la alineación del mismo, la extensión de la finca, la localización de la fuente o fuentes de agua, el número de estaciones de riego y el número de submódulos que deben ser regados simultáneamente, es decir, los caudales simultáneos que deben ser tratados en la estación de riego. Una vez se conozcan los aspectos antes mencionados se puede proceder al diseño hidráulico del sistema de tuberías primarias y secundarias. Los pasos que se deben seguir para el diseño de las tuberías secundarias y primarias que conforman un sistema de RLAF se pueden resumir así: l. Determinar el caudal de diseño teniendo en cuent.a el número de submódulos que es necesario regar simultáneamente. Del diseño de éstos. realizado en una etapa anterior, se conoce el caudal de entTada a cada submódulo y la cabeza requerida en la entrada. 2. Escoger la "ruta crítica", es decir, el conjunto de tuberias primaria-secundaria que más pérdidas de energía pueda producir, incluyendo las pérdidas por fricción, las pérdidas menores y la cabeza topogrMica que es necesario vencer. Con esta ruta crítica se procede a hacer el diseño de las tuberías. 3. Una vez escogida la ruta crítica, llevar a cabo el diseño de las tuberías principal y secundaria como una red abierta, en donde las incógnitas son los diámetros de dichas tuberías. Utilizar la metodología de diseño de redes abiertas descrita en el capítulo 6. 4. Por ejemplo, si se tiene en cuenta el esquema de tubeJÍas primaria y secundarias (figura 8.16), que conforman la ruta crítica de un sistema de RLAF:

HiT

Estación de bombeo

T Secundarias .~

~) principal

e

\ ')

A VálvL:la de regUlació2'\

f

r

y'

O+++++++++..¡J!j

Múltiple Laterales

V

Laterales

de célud81

Regulador de presión

Múltiple

Figura 8.16 Esquema de tuberías primaria y secundarias de la ruta crítica de un sistema de RLAF.


496

se pueden plantear las siguientes cuatro ecuaciones: Ecuación de conservación de la energía para la tubería AB. Ecuación de conservación de la energía para la tubería Be. Ecuación de conservación de la energía para la tubería BD. Ecuación de conservación de la masa en la unión B. Las incógnitas del proceso son los tres diámetros para las tuberías AB, Be y BD Yla cabeza en la unión B (He)' Para este proceso es necesario conocer las posibles bombas disponibles comercialmente que puedan ser utilizadas en el sitio del riego. Se debe escoger la combinación bomba-tuberías de menor costo. 5. Una vez diseñadas las tuberías que conforman la ruta critica, diseñar las tuberías que llegan a los demás módulos de riego, partiendo de la tubería principal ya diseñada. Como en esta etapa ya se conocen la bomba (con su curva de Q versus H) y el diámetro de la tubería principal, en cada diseño las incógnitas son: El diámetro de las tubeIÍas secundarias. Las cabezas de entrada a los submódulos; aguas arriba de los reguladores de presión, las cuales deben ser mayores. o a lo sumo iguales. a las presiones de entrada calculadas en el diseño de dichos submódulos. Como quiera que los caudales de riego son aproximadamente iguales para todos los submódulos. el punto de operación de la bomba, escogido por presentar una alta eficiencia, varía muy poco. Sin embargo, en cultivos con marcadas diferencias topográficas o con trazados que impliquen largas distancias desde la estación de riego hasta algunos de los submódulos, es posible regar simultáneamente más submódulos en las cercanías de la estación. En este caso, que implica un ahorro de energía. se debe tener cuidado con la escogencia de la bomba, ya que un mayor caudal puede significar bajas eficiencias en ésta. De 110 hacerse así se estaría perdiendo una gran cantidad de energía en los reguladores de presión de Jos submódulos cercanos a la estación de riego, lo cual también es ineficiente.

El PROGRAMA RIEGOS Teniendo en cuenta todo lo descrito acerca del diseño hidráulico de sistemas de RLAF, en el Depart.amento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes se desarrolló un programa en computador que puede calcular y diseñar, desde el punto de vista del funcionamiento hidráulico, este tipo de sistemas. El trabajo de desarrollo del programa RIEGOS se dividió en dos etapas: En la primera se logró el desarrollo de un programa para el cálculo de los diferentes submódulos de riego, el cual tiene como resultado final el caudal y la presión a la entrada del submódulo (inmediatamente aguas abajo del regulador de presión) necesarios para su nonnal operación. En seguida se desarrollaron los algoritmos para el cálculo y diseño de las tuberías primarias y secundarias, se escribió el programa correspondiente, cuya capacidad permite hallar los diámetros de tuberías y potencia de las bombas para diferentes hipótesis de. operación. El programa maneja sistemas de RLAF cuyos esquemas se asemejen al mostrado en la figura 8.1.

SlsrEMAS DE I!IECO LOCALIZADO DE ALTA FliECLlENClA IRlAF)

497

Primera parte del programa RIEGOS: cálcuio hidráulico de un submódulo de riego Una vez conocida la cabeza de presión mínima en los emisores finales escogidos para el esquema de riego, ésta se introduce al programa junto con la curva del emisor final para proceder con el cálculo de cada uno de los submódulos que conforman el cultivo objeto del diseño. El proceso empieza suponiendo la presión piezornétrica mínima en el emisor más alejado del regulador de presión o inicio del submódulo, calculando el caudal entregado en cada emisor y las pérdidas de energía por fricción hacia aguas arriba. Ello significa que el proceso se divide en el cálculo de cada uno de los laterales de riego desde aguas abajo hada la entrada del submódulo, acumulando el caudal sobre el múltiple, para ir reuniendo la cabeza de presión total. A continuación se describen en detalle los diversos algoritmos que confonnan esta primera parte del progrmna RIEGOS.

Algoritmo para el cálculo de un lateral de riego Un lateral de riego puede calcularse cuando se conoce la cabeza piezométrica mínima aguas abajo o bien la cabeza máxima a su entrada (unión entre el lateral que se está estimando y el múltiple de TÍ,ego). El algoritmo correspondiente se muestra en la figura 8.17. En la figura 8.18 se muestra un esquema del proceso de cálculo.

Suponer

H~,¡"

en el último emisor y

calcular el caudal emitido Calcular la pérdida de energía hasta el

I

siguiente emisor aguas arriba (Ecuación de Oarcy-Weisbach)

__-__·-_c_'_ai_c_ul_a_rT_'a'Tc_a_-:.: __ za_nc_.t_a_ _--, (Ecuación de Bernoulli) L

,,1

Hallar el caudal acumulado (Ecuación de continuidad)

L _ _"N"o

~ < ¿LIeGO a I~ entrada?,/

Figura 8.17 Algoritmo 8.1: Cálculo de un lateral conociendo la cabeza aguas abajo.


498

h,

==¡:JL;==,~=""I

Hm'o

~Q;

Q= Ql

+

Q2

,. Q h ; ~H

______= = = ~ . ~ mi" Q ~Q; ,

Figura 8.18 Avance del algoritmo de cálculo.

El algoritmo 8.1 corresponde al caso de la presión piezornétrica mínima localizada en el último emisor del lateral. En dicho caso se calcula el caudal emitido en el último emisor. Con este caudal se calcula la pérdida de energía a lo largo del lateral entre el último emisor y el siguiente aguas arriba, obteniendo la cabeza piezométrica en este punto. Por tanto, se conoce la cabeza piczornétrica neta en el penúltimo emisor y el caudal allí emitido. El caudal acumulado (sumatoria de los caudales emitidos hasta el momento), por ecuación de continuidad, se utiliza como el caudal antes del penúltimo emisor para calcular de nuevo la pérdida de energía hasta el siguiente emisor aguas arriba. El proceso continúa hasta que se llegue a la entrada del lateral aguas arriba (punto de unión entre el lateral yel múltiple), Cuando se conoce la cabeza de presión aguas arriba, en el punto de unión entre el lateral de riego y el múltiple, se utiliza un proceso iterativo de ensayo y error en el cual se supone una cabeza aguas abajo Yse realiza el cálculo con el algoritmo anterior, comparando al final la cabeza de presión a la entrada con aquella que se conoce de antemano. El proceso se repite corrigiendo la suposición inicial hasta que el error sea mínimo. Este proceso se ilustra en el algoritmo 8.2.

SISTEMAS DE RIECO LOCALIZADO DE ALTA fRECUENCIA (RlAf)

499

LS~,~one;h~J en el punto más alejado _

~-

--

¡

---'

~Ularellatera~(Algoritmo 8.1) F a cabeza

calculada

_J

agu~s arri~

----r---

---~

L~~~_er h"

en

el_punto

¡

más ~~ejadO, 1

Sí

Figura 8.19 Algoritmo 8.2: Cálculo de un lateral conociendo la cabeza aguas arriba.

Algoritmo para el cálculo de un múltiple El cálculo del múltiple de riego que confonna un submódulo se realiza en forma similar a un lateral. Se inicia con el cálculo del lateral más alejado aguas abajo, dirigiéndose hacia aguas aniba, se acumula el caudal que sale por cada lateral y se hallan las pérdidas de energía en cada tramo de tubería hasta llegar a la entrada al submódulo, punto donde se ubica el regulador de presión. Al final, cuando se han calculado todos los laterales Se debe verificar que ningún punto esté por debajo de la cabeza de presión mínima, lo cual puede ocurrir en los puntos altos de una topografía bastante quebrada. En caso de que se presente un punto por debajo de la cabeza mínima de operación, el proceso vuelve a realizarse. pero la suposición de la cabeza en el último emisor aumenta. En principio, la presión piezométrica en el último emisor se incrementa en la misma cantidad en que la presión del emisor de mínima presión caiga por debajo de la presión mínima requerida por el diseño agronómico. La presión piezométrica total y el caudal obtenidos aguas arriba ~sitio donde se coloca el regulador de presión~ son los datos más importantes, ya que indican la cabeza piezométrica que se debe obtener en la entrada, aguas abajo del regulador de presión, y el caudal total a suministrar en el submódulo. Estos valores para cada uno de los submódulos que conforman el esquema de riego se utilizan posteriormente para el diseño de las tuberías primaria y secundarias. En el algoritmo 8.3 mostrado en la figura 8.20 se esquematiza el proceso de cálculo del múltiple de riego y de la totalidad de un submódulo.

HIDI,ÁULlCA DE TUBERíAS

500

Suponer Hmin en el emisor mas alejado

Ca!cular el último lateral (Algoritmo 8.1) Hallar el caudal acumulado (Ecuación de continuidad)

Calcular la pérdida de energía hasta el siguiente lateral aguas arriba (Ecuación de Darcy-Weisbach)

Calcular la cabeza neta (Ecuación de Bernoulli)

Guardar cabeza y caudai total

No

¿Llegó a la entrada?

Si

~ Figura 8.20 Algoritmo 8.3: Cálculo de un múltiple y de la total1dad del submódulo.

Presentación del programa RIEGOS. Primera parte: cálculo de un submódulo El programa RIEGOS es una aplicación desarrollada en su totalidad en el Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes, en Bogotá, Colombia. El programa fue desarrollado originalmente en lenguaje Turbo Pascal para Windows. El resultado es una aplicación en ambiente Windows que permite el diseño Y análisis de sistemas de RLAF. El progrdIlla utiliza una serie de ventanas de diálogo que permite una fácil interacción con el usuario. Tanto los datos de entrada como los de salida se presentan en este tipo de ventanas. Además, el programa presenta en forma grática los resultados, de manera que el usuario pueda identificar rápidamente el punto de menor presión en cada uno de los submódulos de riego. Los datos de salida también pueden ser guardados en archivos de tipo texto que luego pueden ser leídos por programas de dibujo como AutoCAD o por sistemas de información geográfica (SIG). La figura 8.21 muestra la ventana de presentación del programa.

SISTEMAS DE RIECO lOCAliZADO DE ALTA rf!rCIJENClA (I!EAf)

501

Figura 8.21 Ventana de presentación del programa RIEGOS.

El programa permite incorporar al cálculo y al disefi.() tubclías de diferentes materiales, tanques de cabeza constante, estaciones de bombeo con sus curvas características. diferentes tipos de emisores finales con sus curvas de caudal versus cabeza, puntos de localización de cada una de las plantas que conforman el cultivo con sus respectivas cotas, presión mínima requerida y todas las condiciones establecidas en el diseño agronómico referentes a caudales. tiempos y horarios de riego. Todos estos datos son introducidos y modificados en sencillas ventanas de diálogo, !as cuales van actualizando la presentación gráfica. A modo de ejemplo, la figura 8.22 ilustra la ventana príncipal del programa y, superpuesta a ésta, la ventana para entrada y edición de las tuberías que conforman la red de riego.

Figura 8.22 Ventanas de entratia de datos del programa RIEGOS.

502

HIDI<ÁUUCA DE 1IJBEldAS

Ejemplo 8.8 Como ejempl() deusod~lprograIllal(IEGO~,semllestraa continuación el cálculo realizad? sob~eunsubITIP~u]?pe lll1 cultivo demaIigo, con un total

de 400 árboles,>~e debelllltilÍ'z.~r~e~s?res por árbol, cada uno con un caudal promedí?de lOlfl1 con un~ cabeza H =14 metros. Se desea obtener un coeficiente de uniformidad de 0.8.

La disposición delos árboles y la tubería es la siguiente:

Figura 8.23 Ejemplo de· cálculo de un·submódulo. Disposición de fas tuberías.

Como re"Ilta,lo es 11480 20 metros. La gráfica PRESIONES

Figura 8.24 Unea piezométrica en el submódulo.

SISTEMAS DE RIECO LOCAliZADO DE ALTA FRECUENCIA (RlAE)

503

Segunda parle del programa RIEGOS: cálculo y diseño de las tuberías primaria y secundarias y de la bomba Una vez conocidos la cabeza de presión y el caudal en la entrada de cada uno de los submódulos que conforman el sistema de riego, el siguiente paso es diseñar la red de tuberías primaria y secundarias. Es decir, es necesario hallar los diámetros de las tuberías y/o la potencia de la bomba que garantice que en cualquier operación prevista para el riego, en cualquier etapa del desarrollo de las plantas, se van a satisfacer los caudales con la presi6n deseada. Teniendo en cuenta lo anterior, la segunda parte del programa RIEGOS se divide en dos fases: El diseño de las tuberías que comforman la red y el cálculo de la bomba () bombas de la estación de riego, en caso de que el sistema opere por bombeo.

Diseño de las tuberías del sistema de riego El problema común de diseño de una red de un sistema de RLAF estriba en hallar los diámetros mínimos que se pueden colocar en cada una de las tuberías para obtener las cabezas necesarias en cada uno de los puntos de entrada a los submódulos de riego (en realidad se conoce la cabeza aguas abajo de los reguladores de presión). El programa RfEGOS adoptó el siguiente método: Si se conocen los caudales demandados es posible obtener, mediante la ecuación de continuidad. los caudales aproximados en cada uno de los tubos. De forma similar, como se conocen la cabeza total disponible a la entrada y la necesaria en cada uno¡j~ los submódulos, se puede inferir cómo será la cabeza piezométrica en cada nodo de unión entre tuberías principal y secundarias aplicando el criterio de Wu descrito en el capítulo 5. Con la suposición de cabezas y con los caudales conocidos se determinan los diámetros de cada tubería, verificando que se esté cumpliendo con la ecuación de continuidad en cada nodo a medida que se avanza en la red. De no cumplirse, en cada nodo se realiza una conección en la cabeza y al final se vuelven a calcular los diámetros hasta que la conección por cabeza sea mínima. En la figura 8.25 se muestra el algoritmo 8.4 correspondiente al cálculo de los diámetros de las tuberías principal y secundarias. Es necesario aclarar que antes de proceder a este diseño ya se deben tener diseüados todos los su bmódulos que conforman el sistema de RLAF El lector debe notar la similaridad de este diseño con el de una red abierta (capítulo 6). Los diámetros obtenidos al final son los diámetros óptimos, que aseguran que la línea de cabeza piezamétrica decrezca en forma hneal, aproximándose al criterio de Wu. Tal como se ha descrito hasta este momento, el esquema de diseño funciona para sistemas por gravedad en los cuales se conoce la cabeza piezométrica en la estación de riego. En caso de ser necesario que el sistema opere por bombeo. el diseño se debe realizar para cada una de las bombas disponibles en el mercado local que puedan enviar los caudales necesitados en cada uno de los submódulos con las cabezas mínimas requeridas a la entrada de cada uno de ellos. Es preciso hacer tantos diseños como bombas existan en dicho mercado, para al final escoger la alternativa bomba~tuberías que resulte con el mínimo costo.

504

HIDRAuLlCA DE TUBERíAS

INICIO

Calcular los caudales aproximados en cada tubo (Ecuación de continuidad con los caudales de demanda).

Suponer las cabezas en cada nodo según el criterio de Wu la linea piezométrica cae linealmente desde la fuente hasta los submódulos

Ubicar el nodo j y diseñar los lubos conectados a él (Hallar los diámetros de los tubos conectados al nodo ¡¡

Verificar ecuación de continuidad en el nodo. :i:Q¡ '" O

Corregir la cabeza del nodo. f:..H = 2 'iQjABS(H,.--H)

No Ubicar el siguiente nodo ¡ + 1

Recorrió todos los nodos

Sí

¿Hubo cambio

Si

n diámetros?

Figura 8.25 Algoritmo para el diseño de la red abierta.

Cálculo de la potencia de la bomba El problema inverso se da cuando se conocen de antemano los diámetros de la red y se desea obtener la potencia que debe suministrar una bomba al flujo para lograr una buena operación. Este caso es común en sistemas de RLAF cuando se presentan cambios en el tipo de cultivo y, por razones de costo, se desea

StS1EMAS DE r!ll.C;O IOCAUZADO DE Ml,\ Ir'ECUENClA tRIAr)

505

mantener la red de tuberías principal y secundarias junto con la estación de riego y todas sus estructuras. El proceso es más sencillo, ya que conociendo el caudal y el diámetro, las pérdidas de energía por fricción y pérdidas menores se calculan explícitamente mediante la ecuación de Darcy- Weisbach y en forma proporcional a la cabeza de velocidad en cada una de las tuberías, respectivamente. Así, conociendo el caudal en cada tubo, se puede ir calculando la caída total de la línea piezométrica empezando en cada submódulo hacia aguas arríba hasta llegar al punto en el cual se ubica la bomba. Las pérdidas totales de energía. más la cabeza necesaria en cada submódulo, más la diJe'reneia de niveles de topografía será la energia que dt::be suministrar la bomba.

El anterior procedimiento se utiliza para una ruta determinada, desde la estación de riego hasta uno de los submódulos. En el evento de que existan varios submódulos a regar que determinen diferentes rutas, el proceso se debe hacer para cada una de e;la.s. hallando al final la que presenta la mayor pérdida de energía, la cual corresponde a la ruta crítica. Si la bomba funciona para esta ruta crítica. también debe funcionar para los demás submódulos del sistema de riego. En fOlma esquemática el algoritmo 8.5, mostrado en la figura 8.26. ilustra el procedimiento anterior.

Figura 8.26 Algoritmo 8.5 para el Cálculo de la cabeza de la bomba.

506

HIDR'ÍUIICA DE IIJBERÍAS

Ejemplo 8.9

Cálculo de tuberías primaria y secundarias mediante el programa RIEGOS Se tiene una red con doce submódulos con la disposición mostrada en la figura 8.27. Se pretende disefíar la red para proporcionar la cabeza deseada cuando se tiene una bomba que suministra una cabeza de 60 metros de agua para un caudal de 15 l/s.

-- - - - .- - - --+--A,

A,

I I

e-i

:5

~

A,

.

8

-

Al

---.---6 1

A.

•

-- ---

1'7-~

A"

t4

j3

A.

A.

9

...

_

A"

A"

10 A"

I

Figura 8.27 Red utilizada como ejemplo para el cálculo de tuberías primaria y secundarias.

La siguiente topología de la red indica la cabeza de presión y el caudal requeridos en cada submódulo, identificándolos con la letra A:

NODOS

Iid-

i ._-~--

X

Y

Elev.

1

~50,00

100.00

650.00

2

7500

100,00

579,00

3

37500

10000

577.00

4

675.00

10000

57650

5

7500

105,00

57900

6

375,00

10500

577,00

7

675,00

10500

576.50

8

75,00

9500

57900

9

375.00

95,00

577.00

Qd

· · · · · · · · ·

H

(m)

· · · · · · · · ·

i

SISTEMAS DE I,IFGO LOCAliZADO DE AlTA FRECUENCIA (I
x

id

y

507

Elev.

Od

H (m)

10

67500

9500

57500

.

A,

65.00

150.00

57500

7.2

34.65

A,

85.00

15000

57700

7.2

3616

A,

36500

15000

577.00

72

3667

A,

385.00

15000

577.50

7.2

3821

A5

665.00

150.00

57800

7.0

36.23

A6

6850()_

15000

579.00

70

3727

A7

6500

50.00

575.00

7.2

3565

As

8500

50.00

57700

7.2

35.65

Ag AIO

365.00

5000

577.00

7.2

3749

38500

5000

577.50

7.2

3873

A"

66500

50.00

57800

70

3675

A 12

685.00

50.00

57900

7.0

3727

--

- -----

.

La siguiente taMa muestra los resultados del diseño de las tuberías del sistema de riego:

_

....

__.

Id

----

1

N; ._1

2

2

3

2.5

-- 3

3

4

--

4

2

Km

2

1.5

----

..5 _.

Long. '.....Diam. .... _----------144 4

__

300

4

25

300

4

10

50

6

-. 1---

5

5

A1

1.5

85

3

6

5

A2

1.5__

85

3

.... _6 .. - .

10

50

6

7

3

._._---

_

8

6

A3

1.5

85

3

9

6

A4

15

._- 85

3

4

7

10

50

6

7

A5

15 ._--- 85

3

10 -

..

N,

11

-


508

id

Ni

12 13

7 2

14

8

15

8

16

3

17

9

18

9

19

4

20

10

21

10

N¡ A6 8 A7 A8 9 A9 Al0 10 Al1 A12

Km 1.5

Long.

85

3

1,0

50

6

1.5

3

1.5

85 85

1.0

50

6

1.5

85

3

1.5 1.0

85

3

50

6

85

3

85

3

1.5 1,5

Diam.

3

TUBERÍAS .ona la ruta crítÍca que lleva el agua a los submódulos 11 y 12. La rende los tubos 1, 2, 3, 19,20 Y 21. Se obtÍenen diámetros de 4 pnl en los tubos 1,2 Y3; de6 pulgadas en el tubo 19 y de 3 pulgadas en los tubos 20 y 21.

S

El diseño se puede realizar con otras hipótesis de riego, seleccionando diferentes submódulos a regar, con la opción de dejar intactos los valores de diámetros ya calculados. Así, se obtiene un diseño completo de la red, con los valores de diámetros mostrados en las anteriores tablas.

Ejemplo 8.10 Cálculo de una

a en sistema de RLAF

'ere' calcular Ja

pgt~nt:ia

en el e I '

mente. La

de unabo

se desean

con ,el disefio

cuatro submódulos'

ca la constÍtuyen los submódulos 5, 6, JI

y 12. Aplicando el programa RIEGOS se nbtÍenen los sigúientes resultados:

SISTEMAS DE I,IECO !OCNIZADO DE ALlA FRECUENCIA (RIAF}

509

27.5 lis

que cllbre

son:

Cabeza

Cabeza

piezom.

neta

719.05

69.05'

667.36

88.36

641.10

64.10 38.34 7 39.67

los submódu],os


510

una

y

descarga de 0.65. ¿Cuál

es el diámetro requerido si el emisor finales del tipo gotero de orificio? 8.4

En un cultivo de hortalizas regado por un sistema de RLAF es necesario aplicar una cantidad de ilgua equivalente a 8 mm/día. Calcule Ias.. uecesidades. t()lalesd~ riego para .coeficientes de uniformidad de 85% y 80%. Compare los resultados.

8.5

gesuelvaelproblerna8.4 si la cantidad de agua que se debe aplicar cambia al. equivalente de 3.5 mIll!día.

8.6 Después de realizar la prueba en campo de 25 goteros autocompensantes, sometidos a una presión nominal de 10 mca. se obtuvieron los caudales mostrados en la tabla P8.6. Calcule la desviación estándar de los caudales y verificar si éstos siguen una distribución normal. Teniendo en cuenta estos resultados, calcule Q25'

SISTEM."S DE RIECO lOCALIZADO DE ALTA ff!fCUENClA (RIAFI

Emisor

Caudal (11h)

Emisor

Caudal (Vh)

1

8.35

14

7.84

2

7.17

15

837

3

759

16

8.91

4

815

17

8.74

5

8.31

18

7.95

6

859

19

7.07

7

8.01

20

7.41

8

7.97

21

7.88

9

7.17

22

8.17

10

7.65

23

8.43

8.15

24

7.77

8.24

25

8.57

11 12 13

.

7.49 Tabla P8.6

8.7

Calcule la ecuacióndeün emisor final cuyo comportamiento está descrito por las pruebasde¡;ampomostradas en la tablaPK7. ¿Cuál es el coeficiente de correlacíónde dicha ecuación?

Cabeza (mea)

Caudal (Vh)

Cabeza (mea)

Caudal (11h)

2.01

1.0

0.64

7.0

2.0

1.02

8.0

2.13

3.0

1.24

10.0

2.54

4.0

1.54

12.0

2.82

5.0

1.71

14.0

3.07

6.0

1.82

16.0

3.21

Tabla P8.7

8.8

La~(:llación de J1Il ~l1li~()~H~al

de tipo

)t~~'~o::~~~~J~;~:::;~

Q = 1.77 hO 4'. Calcule el coeficiente de u la presión media es de 10 mea y la mínima

5JJ

512

HIDI,AuIICA DE rUBEI,íAS

8.9

Resuelva.el problema 8.8 .sil~eclia~ióndel emisor final··cambia. a 0"",,1,89 hQ ,37, Compararlos resultados. y

problema S.9 mllOlIIJa requerida pelm'tne"e

8.13 Resuelva el problema S.12 si a 0.S5. Compare

coeti"iente de uniformidad se

8.14 El lateral de riego que contü,ne sistema de RLAF está cOllformlldo fignra PS.14.

6m

se eS
SISTEMAS DE

meo LOCALIZADO DE ALTA FI!FCLlENCIA {RIAr)

513

El emisor de mínima presi6n (8.0 mea) es el e, de la figura P8.l4. Si la ecuaci6n del emisor final utilizado es Q = 3.2 h0 40 , donde el caudal está dado en littos/hora y la cabeza en metros, y si la manguera que confonna el lateral es de polietileno (k, = 0,03 mm) con un diámetro de 12 rmn, calcular la presi6n y el caudal en el inicio del lateral (punto MIde la figura P8.14). Suponga que todos los emisores se ~ncuentran al mismo nivel. DibL!-je la línea de gradíente hidráulico.

8.15" Resuelva el problema 8.14 si la presión del emisor de mínima presión émrtbia' a 7.0 mea. Compare laS' lÚ1eas de gradiente hidráulico. 8.16 En el punto M3 de un múltiple de riego en un sistema de RLAF se tienen los caudales y presiones mostrados en la figura 'p8.l6. 272IJhora 65 l/hora (un lateral)

(p ~ 12.3 mea) 15 m

Lateral 7

es 5m

5m

5m

5m

H4 5m

e,

e3 5m

5m

e,

5m

Figura pe.lB Calcule la presi6n en el punto M4 del múltiple y todo el lateral 7. El múltiple es una tuberia de PVC (k, = 0.0015 mm) de 2.5 pulgadas de diámetro. El emisor final escogido para el sistema es un gotero helicoídal con una ecuación de caudal-cabeza igual a Q::::::; 1.8 hO_55 , donde el caudal está dado en litros/hora y la cabeza en metros. Dihuje la línea de gradiente hidráulico del lateral 7, cuyos emisores se encuentran al mismo nivel. . 8.17 Resuelva el problema 8.16 si la cabeza de presi6n del punto M3 cambia a 12.2 mea. Compare las líneas de gradiente hidráulico del lateral 7. 8.18 Utilice la versi6n del programa RIEGOS en el disquete adjunto para calcular el submódulo de riego mostrado en la figura P8.18. La ecuación del emisor final, de tipo gotero autocompensado, es Q = 2A hO. 35 , donde el caudal está dado en litros/hora y la cabeza en


514

metros. Las mangueras que eonfonnan los laterales son de polietíleno (k, = 0.03 mm) de 14 mm de diámetro. La presión mínima admisible en el emisor es de S.O mea. El múltiple es una tubería de PVC (k, = 0.0015 mm) de 2.0 pulgadas de diámetro. Todos los goteros se encuentran al mismo nivel y la distancia entre ellos es de 4.5 m. Lateral 2

Latera! 1

Latera! 4

Lateral 3

Lateral S

Lateral 5

Lateral-8

Latera! 7

~ateral10

Lateral 9

Lateral 12

~atefal11

M7

Figura P8.l8

Calcule la ,presión y el caudal inmediatamente aguas abajo del regulador de presión. La distancia entre los emisores más cercanos al múltiple y éste es de 2.25 m.

8.19 Resuelva el problema S.IS si el submódulo tiene la topografía mostrada en la figura PS.19. Lal'el'ar2'-.::......"---~,~,_.. ~--,-_,~,~_1

Lateral 6

Figura P8.19

La eral 1

SISTEMAS DE RIECO LOCALIZADO DE ALTA FRECUENCIA (RLAf)

8.20 Utilice la versión del programa RIEGOS en el disquete adjunto para calcular la tubería principal y secundaria mostradas en la figura P8.20, las cuales conforman la ruta crítica de un sistema de RLAF. El material deJ~s tuberíasesPVC (k, ",,0.00)5 mm) y los diá¡netros disponibles son 2, Q..5, 3,4, 6 Y8pnlgadas. EIsistema de riego se encuentra en terreno llano y al inicio de la tubería principal se cuenta con una cabeza de 32m generada por un embalse, despuésde tener en cuenta to4asJaspérdidasde~abezacausadas en la estación de riego. Los submódulos 2 se deben regar en forma simultánea. Eslacíón de riego ~

Tuberiá secundaria 60m

~

20 m

70m

@ReguladoresdepresiOn

o Regulador de

Submódulo 1

m

Submódulo 3 ®Q=7.1I1s h"" 15Am

"9;::::~:::l::=40=m=:® Submódulo Q = 6.3 lis 2 \l

40m

Figura P8.20

h= 16.3m

515

516

HIDRAuLlCA DE rUBERíAS

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ApÉNDICE

1

PROPIEDADES FíSICAS DE LOS FLUIDOS

Peso Temp. 'C

específico y Nfm3

Densidad

Viscosidad

P kglm'

fJ. X 103 N. s/m 2

Tensión superficial 2 (T X 10

Viscosidad cinemática V X 10~

N/m

m2fs

Cabeza absoluta de presión

Módulo de Conductivi· elasticidad dad térmica k ~.K~10' m N/m 2 W/m·K

de vapor

" ' -

~

_""O

~

__

I

7.62 OOElJ 7.54 009 748 0.12 741 017 7.36.. 025 726 0.33. 7.18 044 .. 7.10 0.58 7.01 0.76 6.92 ... 098 682 126 6.74 1.61 6.68 2.03 6.58 2.56 6.50 320 -""-640 .. 3.96 6.30 4.86 620 5.93 -'"------6.12 7.18 . 6.02 . 8.62 .. 5.94 10.33 "'-

~

9806 1792 1792 9999 . 9807 1000.0 1519 1519 5 .. 10 9804 1308 1.308 9997 15 9798 9991 1140 1.141 .. 9789 20 998.2 1005 1.007 9778 997.1 0894 0.897 _ . 25 30 9764 9957 0.801 0.804 9749 994.1 35 0723 0.727 9730 9922 0656 0.661 _ . 40 9711 45 9902 0605 05~.'l... 9690 9881 0549 50 0.556 . , 9666 985.7 0506 0.513 55 9642 60 9832 0469 0477 ------9616 9806 0436 0444 65 70 1"9589 9778..- ._----_. 0406 .... 0415 f-. 9749 0.380 0.390 75 9560 r ' - - . . . . . . . .- - - '. 0357 0367 9530 971.8 80 9499 0.336 0347 85 9686 0317 9466 ~9653 0.328 90 9433- . 9619. 0.299 0311 95 9584 0.284 0296 100 9399

_

O

Tabla A.1.1 Propiedades físicas del agua en unidades del 81.

.

..

204 206 211 214 220 222 223 224 227 229 230 231 228 226 225 223 221 217 216 211 '207

0561 0.571.• 0580 0.589 0.598 0607 0615 0623 0.630 0.637 0643 0649 0.654 0659 . 0.663 0.667 0.670 0673 0.675 0677 0679

-~""-,------

_._~.~

HIDRÁUliCA DE TUBERf/\s

520

Líquido

Tensión

Presión de

Módulo de

Parámetro

Oensidad

Viscosidad

superficial

vapor

elasticidad

de viscosidad

p kg/m 3

JI-

" N/m'"

P,

k

C"

kgl(m' s)

N/m

2

N/m 2

----- f--Amoníaco

608

881 1590

---".,,""-~

"----"

2.20E-4

21:J.~

9.10E+5

6.51 E- 4

2.88 E· 2

1D1E+4

1.4 E+9

120 E+4

965 E+8

9.67E-4

270 E-2

1.05 ""--4.34 4,~~

9,OE+8 57 E+3-re.",,"

572_ 117

..

Petróleo SAE 10W.c3::.:0'--1--"

876

Petróleo SAE 30W

891

9.58 E+8

368

4.34 E+9

280

16 E+9

5.56

__~.~_._+-~= 234 E+3

243E+3

176

._J-_20.2 __

2 19 Ec.T..:9'--j..V:.:e::.r",ta:::b:::13::.A::..l..:"1'1. 2.33 E+9 728

En contacto con aire. La variación viscosidad-temperatura de estos líquidos puede ser ajustada a la siguiente expresión empírica:

con una aproximación de::>::6% en un rango de 0,.-;; T~· 100 ;"C Valores representativos. La clasificación SAE de petróleos permite una variación de viscosidad por encima del 50%, especialmente en temperaturas bajas,

Tabla A.1.2 Propiedades de Ifquidas más comunes a 1 atm de presión y 20

ce (68 uF) de temperatura.

APENDICf I

Densidad

Peso

Temperatura

p

especifico

oC

kg/m 3

I

521

Viscosidad dinámica

Viscosidad cinemática

y

N/m 3

Tabla A.1.3 Propiedades mecánicas del aire a una presión atmosférica estándar. Peso molecular

Gas -----~--

H

II

--~

Constante del gas R m 2/s 2 0K

---

~---~

2016

~~

N/m

n~-9-

2CJT-

114

-

I--NO------¡300~-, -N.,O 44.02 CI, 70.91 CH, --16:O:¡---

9.C .l t.•) E-6

--~7-É S

lb., 118

f------}~~+~~

I

- - - - ------------

4401 - 2801

I

Re!ación de calor específico,

N • slm 2

J

----

¿08 287 189 ---

----+- ~~ g~ --

f.l

18 02

~.l=---2§9S--39944 ~s""o

I---

'Y

0.822 1.63 4~- - ~7 3S

Al

CO co

Viscosidad dinámica

4124 2077

f--~-----¡----400'J

f----H;O---

Peso específico

I

1 02 F 5

-

l'

8

1.. 4.1 1.66 1 3-3--

i ----¡-¡JciE'c:cs-- .--n3~ 140 ---¡ 2.24 F 5 ""' ~

e

uo -

1 .

--+%{+.s-I-. -.~i-.. ---r-.~F----.--

200 E 140 277 T2~T-1.90E5 - f---f4ü---c---j---189 179 1.45 t-S 1.31 I 117 289 _;03 E -S - 1'l4__ 518 -6:~ 134 E--S 1.32 ¡

Tabla A.1.4 Propiedades de los gases más comunes a 1 atm de presión y 20

_=-__

==

ce (68°F) de temperatura.

HIDIV\UIICA DE ¡USUdAS

522

o

·20

20

Temperatura, oC 40 60

120'

100

80

!

!

!

5 4

1

x

2

Jqr f'lh 'f~ t ~qfl:-'¡

3

¡

2

t'ttglf"

,,00,.

H-+K'>e;.;,L-,-

rH-

~3

1 x 10

8 6

I •

-/0 "

+--~

..

4

10 8 6

2

4 3

1

I ~

2

!Pel'Oleo ,

1

LL , cfI.¡(J.

Ir

f

,

,

x 10-2

,8 6

o (Sp grado

E •

4

"'z

2

J'i o

00.88) Mercurio

~

"'

JO

ro

~

~

r

~lx103

D

·8 6

D

2

4

2

1

x

r

f

t

t

-6 10 8

.

Helio

6

,

Aire "1111

C2

4 .~

3

Dióxido de carbono

2

-7

1 X 10

i x 10'-4 8 6

,4

!

-·8! x 10-5

Hidrógeno

O

so

100

ISO

: 6

200

Temperatra, °F

Figura A.1.1 Viscosidades absolutas de ciertos gases y líqUIdos.

250

o u

4

3

ro

'¡;;

"' ;;

523

AP(NDICE 1

Temperatura, "C ~20 !

O

SO

60

40

20

100

120"

!

1 x 10"'2 8

8 6

~6

6

~~-

4

4

"'",

3 ~

,

Ke\iO

2

2

r\idróg eno

xlO ~

1 X 10-'1

3

8

8 6

'"

ro il ro

4

'~

4 ,~

6

.+ !

~

~

A.ire Y oXIgeno

i

3 x 10

2

2

Dióxido de carbono

E

ü

:§ E ro e

-4

"u

8

D

6

ro

Petróleo

D

W

o ü

ro

:>

roo fu

1 x 10 4 3

crUdo ( sp grado O.86)

'0

4

:>

2

2 Aleoh al etll"

ICo

l3en<. -5

$00

1 x 10. 6 8

8 1 x 10 6

ano

4 3

6

retrael oruro , de cafb .L",,-+

Agua

4

Gasolina ( sp gra.d

0(0.68)

2

2 Mere uno

1 x 10- 6 __ .L,

o

50

100

1 x 10- 7

150

200

250

Temperatra, "F

Figura A.1.2 Viscosidades cinemáticas de ciertos gases y líquidos a presión estándar.

TI

ro

TI

iñ

o

ü

Q"$

'os$00

o e

1 x 10 ' 8 6

w

ApÉNDICE

2

DIAGRAMAS DE NIKURADSE y MOODY

k,

d 0.10

00033 .0016

008

• 0.004

O 0,Q08

b 0.002 A

0.06

•

005

0,04

0.03 0025 0.02

103

Re

Figura A.2.1 Resultados de Nikuradse,

0,00'1

H1Dl1ÁULlCA DE TlJl3fl'lAS

526

3 0,05 0.04

F'

4

5 6

8 10 12 14

''''

I

Diámetro del tubo, cm 20 25 30 40 50 75 100

'[1 -,

r

200

300

500

TT --, ,

003 002

0.01 0.008 0006 0,005

0004 0,003 0.002

0.001 00008 0,0006

~

0.0005 00004 00003 0.0002

0.0001 000008 000006 0,00005

000004 0.00003 0.00002

000001 0000008 0000006 0000005

1

2

3

4

5 6

8 10 20 30 40 5060 Diámetro dellubo, pulg

80 100

Figura A.2.2 Diagrama de Moody modificado. Rugosidades refativas.

200

300

"

US· c ~

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O07

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2("10:;)345679 ks pies

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=

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2(10")345679 10'

VD v , unidades compati\Jles eH

N ....,

ApÉNDICE

3

INSTALACiÓN DEL DISQUETE ADJUNTO. MANUAL DEL USUARIO DEL PROGRAMA

REDES

1. INSTALACiÓN El disquete adjunto contiene los programas complementarios a este texto, los cuales incluyen los programas 1 a 14 sobre hidráulica de tuberías, el programa REDES y el programa RIEGOS. Para el Correcto funcionamiento de los programas se recomienda trabajar con WINDOWS 95 o superior y un mínimo de 4MB de memoria RAM. Para instalar los programas inserte el disquete en la unidad A. Ejecute el archivo "setup.exe" y siga las instrucciones que aparecen en pantalla. Debe prestar especial ,atención al directorio en el cual quedarán copiados los archivos. Por defecto. se instalarán en un,l nueva carpeta llamada "c:/archivos de prcigrama/hidráulica de tuberías". aunque usted podrá escoger una carpeta diferente. Una vez instalados los programas en el directorio seleccionado, se deberá ejecutar el archivo "tuberías.exc" para iniciar una sesión con algunos de los programas adjuntos.

2.

ESQUEMA GENERAL DEL PROGRAMA

El programa REDES. complemento de este texto, tiene el alcance de Ulla versión académica y está limitado únicamente a opciones de cálculo y diseño. Esta \'er::::ión no puede soportar un número d.e tubos superior a 30. REDES permil.c el anúli,sis de sistemas de distribución de agua en un ambiente ameno y fácil de entender, penniliendo el cálculo de redes y el diseno optimizado, con visllalización en forma gráfica de los diferentes parámetros de la red, wles como presiones, caudales, etc. Para la ejecución del programa se requiere solamente un computador con WINDOVVS 3 1 o superior y un mínirno de 4MB de memoria RAM.

Menús de la aplú'ación El programa posee una barra de menú colgante sobre el cual el usuario puede escoger la tarea que desea realizar. Así, existen los siguientes grupos de tareas:

Archivo:

Allí se encuentran todas las opciones relativas al manejo de archivos para recuperar y guardar información, al igual que la salida de resultados en archivos de tipo texto.

Entrada de Datos:

Son todas las opciones para la entrada de datos de los nodos, tuberías y tanques de cabeza fija.


530 Gráficas:

Este grupo reúne todas las formas que ofrece el programa para la presentación gráfica de resultados. Permite hacer acercamientos y alejamientos de la red para ver en detalle algún sector o un grupo de tuberías.

Análisis:

Permite seleccionar el tipo de cálculo que se va a realizar: cálculo de red y diseño optimizado a partir de tanques de cabeza fija. Las opciones de detección de fugas, diseño con sistemas de bombeo y ampliaciones se encuentran en la versión completa del programa.

Yer:

Este menú le permite mostrar y ocultar diferentes valores de nodos y tuberías dentro del área de trabajo de la pantalla principal, según la decisión del usuario.

3. INTRODUCCiÓN DE LOS DATOS La versión en WINDOWS contiene los siguientes diálogos para la entrada de datos:

Nodos Los nodos son aquellos puntos de cabeza desconocida y de los cuales se requiere el conocimiento de sus coordenadas X, y, así como de su cota y el caudal de demanda. El diálogo de entrada se muestra en la siguiente figura:

Figura A.3.1 Entrada de datos para los nodos.

Para cada nodo debe llenarse la ínformación solicitada.

Tanques

Se tiene un diálogo similar para la entrada de los nodos, pero en lugar del caudal demandado'se pregunta por la cabeza fija de la fuente.

APÉNDICE 3

531

Todos los nodos se numeran en orden consecutivo y no debe faltar ningún número. Los tanques se numeran en orden consecutivo, empezando inmediatamente después del último nodo numerado. Por ejemplo, si una red tiene 5 nodos y 2 tanques, estos últimos deben identificarse con los números 6 y 7. En ningún caso, una fuente puede tener un número menor que un nodo'.

Tuberías Se pregunta por todas las características físicas de la tubería y la topología de la red. Antes de insertar los datos de un tubo debe asegurarse de que los nodos extremos hayan sido entrados previamente. Para entrar un nuevo tubo a la red llene los datos solicitados en las casillas y haga chck en Agregar. Para terminar. dé OK.

Figura A.3.2 Entrada de datos para las tuberías.

Los tubos que ya fueron entrados pueden visualizarse utilizando la lista en la parte superior derecha.

4.

CÁLCULOS

Esta versión académica del programa REDES contiene únicamente las opciones de cálculo y diseño simple. Las opciones de detección de fugas, calidad de agua, diseño de ampliaciones y diseño con estaciones de bombeo se encuentran disponibles en la versión completa del programa.

Cálculo de red Calcula los caudales de las tuberías y la línea de gradiente hidráulico de los nodos con la situación actual. Cuando se tenga una red con todos sus datos introducidos, del menú Análisis sólo se debe seleccionar la opción .Calcular.

Esta numeración es un poco rígida y hace difícil insertar nuevos puntos, lo cual se debe a que se trata de una versión académica y a que desde la primera versión se ha utilizado este sistema de numeración_

HIDRAuLlCA DE lUIlERíA5

532

El cambio al color azul de las tuberías indicará que la red se encuentra calculada en sus caudales y presiones. Diseiío Elabora el diseño optimizado previa ejecución del algoritmo de cabezas ideales utilizando el método del gradiente. En la pantalla aparecerá un diálogo preguntando por las especificaciones del diseño.

Figura A.3.3 Entrada de datos para el diseño optimizado.

Se debe llenar el diálogo y dar Aceptar para continuar con el diseño. En la pantalla aparecerá un mensaje indicando el estado del cálculo de diseño.

5.

PRESENTACiÓN DE RESULTADOS

El programa REDES muestra resultados en forma gráfica en pantalla, presentación que puede ser manejada con el menú Yero Este menú se encuentra dividido en dos partes. La primera corresponde a los diferentes parámetros que se pueden visualizar de una tubería y la segunda corresponde a los nodos. Del menú se debe seleccionar el parámetro que se desee visualizar, el cual quedará marcado con un visto bueno (v"). En las tuberías se puede ver el caudal, el diámetro y la longitud. Por su parte, en los nodos puede verse la línea de gradiente hidráulico (LGH), la demanda, la cota, la presión y la cabeza ideal cuando se ha realizado un diseño.

APF.NDICE 3

533

Figura A.3.4 Opciones de visualización sobre nodos y tuberías.

6. GRÁFICAS El programa REDES dibuja automáticamente la red. ajustándola a toda la extensión de la pantalla. Sin embargo, puede hacerse un acercamiento de una parte de la red, arrastrando con el botón derecho el área que se desea ampliar. Luego, del menú Gráficas debe seleccionarse la opción A,cercar para lograr la visualización. Para volver al esquema normal se debe seleccionar Alejar.

7.

MANEJO DE ARCHIVOS

El programa permite guardar y recuperar información de archivos. Para ello, está el menú correspondiente, ofreciéndose las siguientes opciones: Abrir, para recuperar la información de un archivo con extensión *.red. Guardar. para almacenar la red actual con el nombre actual. Guardar Corno, para crear otro archivo, cambiando el nombre actual. Salvar Reporte, para crear un repone del último cálculo realizado. Nuevo, para crear un nuevo archivo. Salir, para terminar la ejecución del programa.

ApÉNDICE

4

MANUAL DEL USUARIO DEL PROGRAMA RIEGOS

1. ESQUEMA GENERAL DEL PROGRAMA RIEGOS es un programa en ambiente WINDOWS que se utiliza para el cálculo y diseño de redes de sistemas de riego ¡acabzados de alta frecuencia (RLAF), los cuales fueron tratados en el capítulo 8. El programa permite calcular cada uno de los submódulos de un sistema RLAF a partir de parámetros de diseño tales como uniformidad de riego. caudal demandado por árbol, tipo de emisor utilizado, relación caudal-presión de los emisores, topografía del terreno y disposición de las tuberías. Esta versión académica permite calcular sistemas con un máximo de 2 submódulos y 100 árboles por cada uno de ellos.

En cada submódulo se puede obtener la variación de presiones y de caudales en cualquier lateral de riego, los caudales de salida en cada árbol, los puntos críticos con presión mínima y aquellos en los cuales se supera la presión máxima permitida según las restricciones del diseñador.

Con respecto al trazado escogido para un submódulo, el programa permite obtener la presión y el caudal necesarios para cumplir con todos los requisitos impuestos por el diseñador y asegurar que todos los árboles reciban el agua que requieren para su normal desarrollo. El programa RIEGOS también es utilizado para el diseño y comprobación de las tuberías principales y secundarias que conducen el agua desde la fuente hasta cada uno de los submódulos en una disposición de red abierta. De igual forma, con el programa se puede conocer la potencia requerida por una bomba para asegurar el buen funcionamiento de la red. La comprobación, el diseño y el cálculo de potencia puede hacerse para diferentes combinaciones de riego simultáneo de los diferentes submódulos. Esto permite realizar varios ensayos sobre los diferentes módulos de riego y conocer si el diseílo obtenido es adecuado o si presenta falla para alguna combinación en particular de módulos. El programa cuenta con visualización gráfica de la composición de la red y de cada submódulo en forma tridimensionaL resaltando puntos críticos como el de menor presión y los de presión máxima. Para que el programa funcione es indispensable un computador personal superior y un mínimo de 4MB de memoria RAM. El programa presenta en su inicio el siguiente esquema:

pe

con WINDOWS 95 o


536

Figura A.4.1 Ventana princlpal del programa RIEGOS.

Menús de la aplicación La barra de menú está compuesta por los siguientes grupos de tareas: Archivo:

Usted encuentra allí todas las opciones relativas al manejo de archivos para recuperar y guardar información, al igual que la salida de resultados en archivos de tipo texto.

natos:

Son todas las opciones para la entrada de datos de los submódulos, las tuberías principales de riego. parámetros de uniformidad de riego y características de las diferentes bombas.

Resultados:

Allí se encuentran todas las opciones para la presentación de resultados en forma de texto por pantalla.

Gráficas:

Este grupo reúne todas las formas que ofrece el programa para la presentación gráfica de resultados. Presenta opciones de visualizar la línea de gradiente hidráulico de cada lateral, múltiple y un esquema tridimensional de cada submódulo de riego.

Yer:

Este menú le permite mostrar y ocultar diferentes valores de nodos y tuberías dentro del área de trabajo de la pantalla principal.

2.

INTRODUCCiÓN DE lOS DATOS DE lOS SUBMÓDULOS

Una vez se tiene el trazado de los submódulos de riego se puede proceder a la entrada de los datos que describen la topografía y parámetros agronómicos del cultivo.

Uniformidad del riego Para introducir los datos relacionados con la uniformidad del riego seleccione, del menú D.atos, la opción Uniformidad. Llene los datos allí solicitados y dé Aceptar.

537

APENDICE 4

Figura A.4.2 Entrada de datos sobre la uniformidad de riego,

Entrada de lo5,' submódulo.<.; de riego Un submódulo de riego está conformado por un múltiple del que se desprenden cuales se conectan a su vez los emisores.

lo~;

laterales de riego, a los

Para la entrada de datos de un submódulo siga estos pasos:

1.

Seleccione .submódulos del menú I>.atos. Enseguida aparecerá un cuadro de di Mogo que indica sobre un menú desplegante, los submódulos existentes La palabra "NUEVO..." aparecerá en esta lista en caso de que no se tenga submódulo alguno. Los submódulos se identifican con un número correspondiente al orden de creación.

HIDr<ÁULlCA DE TUBEI<íAS

538

Figura A.4.3 Entrada de datos del submódulo.

l.

2.

3.

Dé Aceptar cuando haya llenado toda la ¡nformacúSl1. El nuevo submódulo queda cargado corno parte del sistema total de riego y en la lista de submódulos existentes se incluye un nuevo elemento. Llene los datos correspondientes a los laterales que se desprenden del múltiple. Para ello, dé Yer Laterales. Un cuadro aparecerá de manera similar, mostrando una lista con los laterales derivados, cada uno con su respectivo número. Para entrar un nuevo submódulo haga ciiek en Nuevo submódulo, y luego repita desde el paso 2.

Para cambiar a los datos de otro submódulo seleccione, del menú colgante de la parte superior, el submódulo que desee visualizar. Si los datos ya están completos salga al menú principal dando .cerrar. Entrada de laterales de riego

Si selecciona demro de un submódulo, Yer Laterales se habilitará la entrada de datos de los diferentes laterales, procediéndose entonces así: Los laterales de riego se numeran desde aguas arriba hacia aguas abajo, siendo el número 1 aquel más cercano a la entrada y el último número el más alejado. El programa entiende como lateral la tubería que se

APÉNDICE 4

539

desprende en un solo sentido del rnültiple. En caso de que de un mismo punto se deriven dos ramales (a la izquierda y a la derecha del múltiple), se deben considerar dos laterales con numeración consecutiva. El cuadro de laterales se maneja en forma similar al cuadro de submódulos. En la parte superior se indica el submódulo al cual pertenece ellatcral, el número y el total de laterales editados hasta el momento. En el menú colgante se puede seleccionar un lateral para visualizar los datos. Para entrar un lateral debe seguir estos pasos: 1. 2. 3.

4. S.

6. 7. 8. 9.

Seleccione Yer laterales del cuadro de diálogo del submódulo. Llene los cuadros del diámetro y la rugosidad en milímetros. En el cuadro de Coordenadas aguas arriba. llene las coordenadas X, Y, Z de la unión con el múltiple. Llene las coordenadas de los emisores. F2stos, al igual que los laterales, se numeran desde aguas arriba hacia aguas abajo, siendo el número 1 el más cercano al múltiple. En el cuadro correspondiente a las coordenadas de los emisores escriba, en cada línea. el número de emisor y las coordenadas XYZ separados por, al menos, un espacio. En caso de tener emisores con un espaciamiento uniforme no es necesario escribir las coordenadas de todos éstos. Bastará únicamente con los extremos de los tramos que están en línea recta (ver la siguiente sección: Entrada de emisores). Cuando sus datos sean correctos. dé Aceptar. Si se trata de un lateral nuevo, éste será adicionado a la lista total de laterales. Para agregar un nuevo lateral dé ~uevo Lateral y continúe desde el paso 2. Para ver los datos de un lateral ya editado seleccione, del menú colgante, ellateraJ que se quiera editar. Para terminar, dé Cerrar.

Figura A.4.4 Entrada de d3tOS de un lateral.

540 Los campos de longitud y separación no deben ser llenados. Estos valores son calculados por RIEGOS y se visualizan cada vez que se muestra la infonnacián de un lateraL Por tanto, si se coloca algún valor en

dichos campos, éstos serán ignorados.

Entrada de emisore.'}' RIEGOS supone que para cada árbol eXÍste un emisor. Por consiguiente, un emisor equivale a un árbol. Si un árbol tiene varios emisores, esta consideración debe hacerse en la parte de uniformidad, en el campo número de emisores por árbol. Los emisores de cada lateral se deben numerar desde aguas arriba hacia aguas abajo, iniciando desde el número l.

En cada línea del cuadro Coordenadas de los emisores debe colocarse el número del emisor y las coordenadas XYZ, cada valor separado por al menos un espacio (ver figura A.4.4). Este proceso puede parecer dispendioso. Por ello para facilítar el trabajo RIEGOS posee un sistema de generación de coordenadas, en el cual, con sólo colocar la informaC'Íón de los emisores que son extremos de una línea recta, Jos demás emisores son interpolados según los datos de los extremos. Por ejemplo, se tiene un lateral de 250 metros de longitud. con árboles cada 5 metros, cuyo perfil es el siguiente:

[-

-+__""'50 m

-'2,,0,,0,,"'-

Figura A.4.5 Ejemplo de entrada de los emisores de un lateral de riego.

Se conocen las siguientes coordenadas en metros: .....

Punto A Punto B Punto

e

X 100 100 100

Y 100

I

z

i

200

I

_!

3~401 140

350

APÉ:NDICE 4

El punto A corresponde al punto de aguas arriba. el punto B al árbol número 40 número 50. Por tanto, el cuadro a llenar debe ser el siguiente:

541

y el punto e al árbol

Figura A.4.6 Forma de interpolar emisores intermedIos con espaciamiento uniforme,

El programa automáticamente interpola las coordenadas de los demás árboles, generando las coordenadas de todos los puntos. El cuadro de emisores se llenará con las coordenadas de todos los puntos generados. apareciendo entonces la infonnación sobre longitud y separación media en los campos respectivos. El cuadro de emisores puede ser llenado con cualquier número de puntos. Si ellareral presenta más de dos quiebres, sólo basta con escribir en cada línea el número del árbol y las coordenadas XYZ de cada quiebre. Verificación de datos La distribución de los datos puede ser comprobada en forma gráfica utilizando el menú .Gráficas/Gráficas JD. Allí se podrá observar un esquema tridimensional de la forma corno cada submódulo está distribuido. Si no se ha realizado ningún cálculo, un mensaje aparecerá indicando que la gráfica no contiene la línea de gradiente hidráulico y s610 se muestran las tuberías. Alrnacenamiento de datos Durante el proceso de entrada de datos es conveniente ir guardando su trabajo en un archivo, para lo cual existe la opción Archivo/Salvar. Los datos son guardados en un archivo de tipo texto en el directorio que se seleccione. Sugerencias para la entrada de datos Para facilitar la entrada de todos los submódulos es conveniente realizar las siguientes tareas previas: Tenga ya el plano de su lote de riego con el trazado de las tuberías. Numere todos los submódulos que conforman su sistema de riego en forma ordenada. de tal forma que se permita su ubicación rápida.

542 Numere todos los laterales desde aguas arriba hacia aguas abajo. Recuerde que si de un punto se derivan dos laterales hacia izquierda y derecha, éstos deben considerarse como dos laterales diferentes con número consecutivo. Identifique Jos puntos de quiebre de los laterales, hallando las coordenadas de cada uno. Verifique por medio de las gráficas que su disposición de redes sea la correcta, A la hora de entrar sus datos, tenga el plano a la mano, con la numeración y coordenadas establecidas.

3. CÁLCULO SOBRE

LOS SUBMÓDULOS DE RIEGO

RIEGO fue creado para calcular las cabezas y caudales en cada árbol del terreno de irrigación. Así. se calcula la línea de gradiente hidráulico en cada lateral y en el múltiple para cada submódulo existente. Ello permite conocer el comportamiento de cada submódulo, siendo posible de sus resultados: 1,

Conocer la variación de presiones a lo largo de todos los submódulos.

2.

Predecir si el diseño previsto cumple con las condiciones de unifonnídad esperadas,

3.

Ubicar los puntos críticos de presión tanto de cabeza mínima como de cabeza grande.

4.

Calcular la presión de entrada de cada submódulo.

S.

Calcular el caudal total demandado por todo el conjunto de árboles de un submódulo.

El caudal demandado y la cabeza de entrada en cada submódulo constituyen lo más importante del proceso ya que los reguladores de caudal y de presión deben ajustarse a estos valores. los cuales son utilizados para el cálculo y diseño de la red principal de riego. Una vez se ha declarado la disposición de cada submódulo y se ha verificado que estos datos estén correctos. eJ sistema está listo a ser calculado en sus submódulos. Simplemente. del menú Cálculos. seleccione la opción Subm6dulos. Si el cálculo fue exitoso. RIEGOS quedó listo para la presentación de resultados. lo cual puede realizarse por medio de gráficas. guardando los datos en un archivo de tipo texto o presentando numéricamente los resultados por pantalla. Re.<,'ultados del cálculo de subnu)dulos

Para ver gráficamente los resultados seleccione. del menú Gráficas, la opción Laterales o Múltiples. según el tipo de tubería de la cual se quera conocer su línea piezométrica. Para conocer los valores numéricos seleccione, del menú Resultados. la opción General a fin de conocer datos concernientes a todo el submódulo. y la opción Por Submódulos para entrar en detalle sobre los resultados de cada uno de ellos.

543

En esta última opción, aparecerá una ventana donde se muestra información del múltiple, indicando los datos de cada lateral. Si desea ver un lateral en especial, seleccione el botón Yer detalle en la parte superior derecha. Aparecerá entonces un cuadro de edición similar al mostrado en la figuraAA.7.

No. .4

Diametro del multiple (mm): Rugosidad (mm): Caudal (I/horal:

(115eg): Número total de laterales: Cabeza de entrada: (m.c.a): Lat No,

2 3 4 5

diam (mml 16.0 16.0 16.0 16.0 16.0

25.4 0.0015 2376.42 0.6601 15 8.60

Cab Inic

Caudal

(mi

(11hl

4.84 4.84 5.34 5.34 6.36

121.18 115.19 83.19 157.38 127.00

No.Arb

3 3 2 4 3

(m)

H mio (m)

5.49 4.47 6.32 5.21 6.91

4.98 3.78 5.83 3.94 6.29

H max

:;*! Figura A.4.7 Presentación de resultados en forma de texto.

4. ENTRADA DE

LA RED PRINCIPAL DE DISTRIBUCiÓN

Emrada de nodos Los nodos son aquellos puntos de cabeza desconocida. En este grupo se incluye el punto de la bomba, pero no los puntos del regulador de presión de cada submódulo. Éstos ya están dentro de Jos datos de cada submódulo y no tienen que volverse a entrar. Los nodos se deben numerar pero, en este caso, el orden en que se haga no tiene ninguna relevancia, Para entrar el grupo de nodos siga estos pasos: l. 2. 3.

Del menú .Qatos seleccione Rede~odos. Aparecerá un cuadro de diálogo, listo a ser llenado. Para entrar otro nodo llene otra vez el diálogo completo y dé Aceptar. Para ver los datos de cualquier nodo ya existente seleccione del menú colgante en la parte superior el nodo que desee visualizar.

4.

Una vez entrados todos los datos seleccione Salir.

5.

Si desea eliminar un nodo simplemente dé Eliminar.

HIDRÁUIIC\ DE IUBU,íAS

544

Figura A.4.8 Entrada de datos de los nodos.

Si en el proceso de entrada, usted nena dentro del número de identificación un número de nodo ya existente, se remplazarán los datos desde este nodo. U na vez usted cierre el diálogo, en la pantalla aparecerá la ubicación de todos los nodos, según el sistema de coordenadas que se haya elegido. Entrada de tuberií:ls

Con los nodos ya entrados se procede a describir la conectividad de la red o las tuberías del sistema. Al igual que los nodos, el orden en que se numeren los tubos no tiene importancia. Para entrar las tuberías proceda de la siguiente manera: l. 2.

3. 4.

Del menú º-atos seleccione Redes/Tubos. Aparecerá un cuadro de diálogo, listo para ser llenado. Los submódulos se identifican con la letra S (en mayúscula), seguida por el número del submódulo. Por ejemplo. si un tubo conecta el nodo 3 con el submódulo 2, en las casillas de nodos se debe colocar '3' y 'S2'. Para ver otro tubo, seleccione del menú colgante en la parte superior. el número de tubo deseado, Cuando termine seleccione Salir.

APÉNDICE 4

545

Figura A.4.9 Entrada de datos de las tuberías.

Un tubo no podrá validarse si cualquiera de los dos nodos no se ha declarado o no existe. En este caso. el programa no dejará entrar los datos y usted deberá con-egir sus datos o entrar el nodo inexistente en la

parte de Nodos. En caso que se quiera diseñar la red. no es necesario llenar el campo del diámetro. ya que este valor es lo que se calcula. En caso de querer comprobar o calcular la cabeza inicial de la red, todos los diámetros deben tener algún valor. Un esquema global de la red aparece en la pantalla. Allí. usted podrá verificar si los datos están correctamente almacenados.

Características de las bombas Es muy probable que su sistema de riego necesite de una bomba. El programa le permite realizar el diseño y la comprobación de la red, con el tipo de bomba que usted selecciona. RIEGOS permite entrar la información de las curvas características de varias bombas, haciendo posible realizar varios ensayos de diseños con diferentes bombas. A Jo largo del programa, usted puede manejar varias bombas e intentar el diseño o la comprobación con cada una de ellas. Para entrar los datos de una curva, simplemente seleccione del menú ll:atoslBombas. Un cuadro de diálogo aparecerá, pidiendo la información necesaria. En el cuadro de tipo de bomba, coloque !as palabras que identifiquen esta última. Simplemente puede indicar la marca, el tipo de bomba o alguna palabra en especial que sea significativa.

HIDr'c\UIICA DE TUBEI,íAS

546

Llene Jos demás cuadros con tres parejas de puntos cabeza-caudal que describen el funcionamiento de la bomba. Tenga en cuenta las unidades.

Figura A.4.10 Entrada de datos de las bombas.

Esquema de la red Una vez entrada la red se puede obtener un esquema donde se muestra el plano XY, lo cual resulta útil para verificar los datos de entrada. Para mostrar y ocultar diferentes valores se utiliza el menú Yero Allí se presentan marcados con el símbolo «v'" los valores que se están mostrando en la gráfica, en los nodos y en las tuberías.

5. CÁLCULO DE

LA RED ABIERTA

DiseJio de la red de distribución

El diseño permite calcular la combinación de diámetros de mínimo costo que distribuye los caudales demandados con las presiones requeridas. Usted puede seleccionar los submódulos que desee regar y el tipo de bomba con el cual desee hacer el diseño. RIEGOS calculará los diámetros. Simplemente, seleccione Diseñar del menú -Cálculo. Tendrá a su disposición un diálogo donde deberá marcar los nodos que fijan su ruta crítica. En el diálogo aparecerá una lista de todos los submódulos, de la cual se pueden seleccionar uno o más elementos. Los elementos seleccionados formarán la ruta que se desea diseñar.

APÉNDICE 4

547

También se debe seleccionar el tipo de bomba con la cual se quiere realizar el diseño. En la lísta de bombas aparecerán todas aquellas que ya fueron declaradas previamente en la parte de Bombas en el menú de datos. Además se encuentra la opción de regar por gravedad, en caso de que así se requiera.

Figura A.4.11 Selección de los submódulos para el diseño.

Para dar inicio a los cálculos de diseño sólo dé Diseñar. Inmediatamente después de finalizar el diseño, se podrán visualizar los resultados en la pantalla.

Comprobación de diseño Para comprobar alguna red en sus caudales y presiones se sigue el mismo procedimiento que para el diseño. En este caso, los tubos de la ruta seleccionada ya deberán tener un diámetro definido.

En la comprobación sólo se calculan caudales y presiones, dejando los diámetros intactos. Por ello, la opción de remplazar diámetros actuales debe ser eliminada.

Cálculo de la cabeza y potencia de la bomba RIEGOS permite calcular la potencia de la bomba y la cabeza que se debe suministrar al sistema cuando se riega un grupo de módulos determinado.

El procedimiento se inicia con la opción Calcular Romba del menú de cálculo. Seleccione los submódulos correspondientes, llene un valor correspondiente a la eficiencia y dé Calcular. El programa calcula la potencia requerida en vatios, caballos de fuerza y la cabeza cOITespondiente en metros. Si desea calcular la potencia para otro grupo de submódulos repita el procedimiento.

HIDRÁULICA DE TUBEl!íAS

548

Creación de un reporte de resultados Todo el proceso de cálculo permite guardarse en disco, creando un archivo de tipo texto con los datos más importantes. Este archivo tiene la extensión '*.txt', correspondiente a un archivo de tipo textO. El archivo se conoce como reporte y allf se indican los datos de entrada y los resultados para cada submódulo. Para ello, simplemente seleccione Salvar reporte del mentí Archivo, e indique el directorio y el nombre del archivo por crear. El reporte puede leerse posteriormente en un editor de texto cualquiera.

6.

MANEJO DE GRÁFICAS

La presentación gráfica de resultados puede hacerse visualizando la línea de gradiente hidráulico de cada lateral de riego y de cada múltiple. Igualmente se pennite visualizar la composición de la red, mostrando los valores de cabeza, caudal, cota, longitud, etc.

Gráficas de LGH para laterales }' múlíiples Las gráficas sólo se pueden visualizar si se han realizado los cálculos en su lOtalidad. Éstas consisten en un esquema donde se muestra el perfil del terreno y la línea de gradiente hidráulico para cada lateral y múltiple. Una vez se hayan realizado los cálculos, el menú Gráficas estará disponible. Allí existe la opción Laterales y Múltiples para ver la gráfica deseada. Aparecerá una ventana como la que se aprecia en la figuraA.4.12.

LINEA DE GRADIENTE HIDRAUlICO US.

Submódulo No.

Ü

Lateral No. ],13,

No. de arb:

o

Diam 111. o

109.

.. '-- ._----,-

16.0

mm

,-------

o

H max: 7.84

m

H mio: 6.22

m

Caudal: l{hora 213.79 litros/seg 0.0594

Figura A.4.12 Presentación gráfica de resultados.

APÉNDICE 4

549

Los botones Anterior y Siguiente permiten moverse hacia la tuberías adyacentes dentro del submódulo. La opción Ir a... permite buscar un lateral o submódulo específico. Esquema tridimensional

De cada submódulo puede obtenerse una gráfica tridimensional donde se muestra globalmente el conjunto de laterales, resaltando puntos de especial interés como el de cabeza mínima y los de presión mayor a la máxima permitida según las condiciones de uniformidad de riego. Para ello existe la opción Grañear,3D dentro del menú .Gráfit"as. Allí, el punto de cabeza mínima es resaltado en amarillo y los puntos de mayor presión se muestran con una línea gris.

PRESIONES A LO LARGO DE TODO EL SUBMÓDULO

Figura A.4.13 Esquema tridimensional.

Esquema de la red de distribución

Una vez se han entrado los datos de los nodos y tubos de las tubeIÍas principales, se despliega en la pantalla un esquema donde se puede ver la información de cada componente y la topología de la red. El esquema es útil para verificar si la entrada de datos fue correcta o si existe algún dato por corregir. De cada elemento, nodo o tubo puede visualizarse un solo dato, el cual corresponde a aCjuel elemento marcado con el símbolo "v". Acercamientos .v alejamientos

Sobre el esquema de tuberías principales y secundarias puede hacerse una presentación más detall.ada de alguna parte de la red, lo que comúnmente se conoce como zoom () acercamiento. Ello se consigue presionando el botón derecho del mouse y arrastrando el cursor hasta que se logre barrer el área que se desea aumentar en magnitud. Esta área permanece resaltada micntras no se dé la orden de borrar la pantalla o no se seleccionc otra área. Luego, del menú Gráficas, se debe seleccionar Acercar, viéndose en pantalla el detalle del área seleccionada. Para restablecer el esquema normal de la red, utilice del mcnú Gráficas la opción Alejar.

ApÉNDICE

5

MANUAL DEL USUARIO DE LOS PROGRAMAS

1. DESCRIPCiÓN

1 AL 14

GENERAL DE LOS PROGRAMAS

Estos programas permiten la comprobación, cálculo de potencia y diseño de tuberías simples, sistemas de tuberías en serie y paralelo y redes abiertas. Una vez se tiene el menú de los 14 programas en el cuadro de diálogo principaL el usuario puede seleccionar uno de éstos, señalándolo y haciendo c1ick sobre éL También puede utilizar el teclado para realizar la selección, desplazándose entre los botones con la tecla TAB (TAB desplaza la selección un botó'1 adelante. SHIFf + TAB desplaza la selección un botón hacia atrás) y pulsando la tecla INTRü para iniciar el programa. El programa seleccionado. después de ser ejecutado, seguirá iniciándose hasta el instante en que el usuario oprima el botón para cancelarlo (CANCEL); en ese momento el programa regresará al menú principal. Para salir del menú principal se oprime el botón OK, con el cual aparece la ventana de créditos que podrá cerrarse, igualmente, oprimiendo el botón OK. Los títulos presentados a continuación corresponden a algunos ternas especiales que se deben tener en cuenta para la ejecución de los programas 1 al 14 y se numeran así: •

Selección de unidades Lista de diámetros para diseño de tuberías comerciales Utilización de la unidad de presión m.c.a. Restricciones de entrada para los datos de entrada de los programas Restricciones para los datos de entrada del programa para diseño de red abierta

2. SELECCiÓN DE UNIDADES Los cuadros de diálogo de los programas 1 al 14 permiten la selección de unidades para cada una de los valores que lo requieran; por ejemplo, en los programas de comprobación de diseño, el usuario puede seleccionar la unidad que desee para introducir el diámetro de la tubería (pulgadas, milímetros, etc.). La selección de unidades puede realizarse por cualquiera de los siguientes procedimientos:

2.1 Selección con el mouse Para seleccionar una unidad de la lista desplegable por medio de la utilización del mouse, se comienza pulsando la flecha hacia abajo del extremo derecho de la lista. Al pulsar la flecha, se muestra la lista de elementos bajo el cuadro desplegable. Manteniendo oprimido el botón izquierdo del mouse, el usuario puede seleccionar entonces un elemento de la lista arrastrando el puntero hasta la unidad deseada. Tras realizar la selección, se libera el botón izquierdo del mouse, la lista desaparece, y la lista desplegable vuelve a mostrar únicamente el elemento seleccionado.

HI[)r~ÁULlCA DE TUBEr~íAS

552

2.2 Selección con el teclado Si se desea seleccionar una unidad de la lista desplegable por medio de la utilización del teclado. se comienza por ubicar el indicador de cuadro en la lista desplegable. Esta operación puede realizarse desplazándose entre jos cuadros por medio de la tccla TAB (TAB desplaza la selección un cuadro adelante. SHIFT + TAB desplaza la selección un cuadro hacia atrás). Luego de ubicar el indicador de cuadro en la lista desplegable, el usuario puede seleccionar, entonces, un elemento de la lista. pulsando las teclas flecha arribaJabajo.

3.

liSTA DE DIÁMETROS PARA DISENO DE TUBERíAS COMERCIALES

El diseño de tuberías puede realizarse con diámetros comerciales o al milímetro (programas 4, 5, 9, 12 Y 14). Si el diseño de tuberías al milímetro es seleccionado en el programa, éste trabajará con esa precisión (1 mm) para el cálculo del diámetro. Por otro lado, si el diseño se ha seleccionado comercial, el programa trabajará con una lista predeterminada de diámetros discretos en pulgadas para su ejecución. Esta lista de diámetros, para conocimiento del usuario, se muestra en la siguiente rabIa: ----~

Diámetros comerciales

Diámetros comerciales

pulg

mm

pulg

mm

2

00508 0.0635 00762 O 1016 01524 02032 0.2540 03048 03556

18 20 24 30 36 42 48 60 72

0.4572 05080 06096 07620 0.9144 10668 12192 1.5240 18288

2'1, 3 4 6 8 10

12 14

--

i

Tabla A.S.l Diámetros comerciales de tuberías.

Los programas de diseño arrojarán un mensaje de error, si la tubería que se está calculando sobrepasa las 72 pulgadas de diámetro.

4. UTILIZACiÓN

DE LA UNiDAD DE PRESiÓN

m.c.o.

(METROS DE CABEZA DE AGUA)

Algunos de los programas dan la posibilidad de seleccionar la unidad de presión m.c.a. (presión manométrica). Para pasar la presión dada en m.e .3. al sistema internacional de unidades simplemente se multiplica este valor por la densidad del agua en unidades de kilogramos por metro cúbico y la gravedad en metros por segundo al cuadrado, tal como se ilustra en la siguiente fónnula:

/\PENDIC!

donde:

553

p es la densidad en kilogramos por metro cúbico g es la gravedad para el sistema internacional de unidades (9.81 m/s 2) Presión en m,C.a. es la presión dada en metros de cabeza de agua Presión en Pa es la presión dada en pascales

Cuando el usuario en los programas utiliza la unidad de presión m,c.a., en realidad está utilizando como medida de presión los metros de cabeza del líquido para el cual corresponde la densidad introducida. Por ejemplo, si la densidad introducida tiene un valor de 999.1 kg/m\ entonces la unidad de presión estará expresada en metros de cabeza de agua a una temperatura de 15"c' mientras que si la densidad del fluido introducida al programa tiene un valor de 860 kg/m\ entonces la presión estará expresada en metros de cabeza de petróleo.

5. RESTRICCIONES

PARA lOS DATOS DE ENTRADA DE lOS PROGRAMAS

A continuación se muestran los rangos permitidos para los datos de entrada de Jos programas J al 14:

Propiedades delfluido Densidad:

860 '" p '" 13.(XXJ kg/m'

Viscosidad dinámica:

0.05 X lO '" 0.10 X 10" $;

Viscosidad cinemática:

¡L '" V

'"

(1.05 N.s/m' O.!O X 10. 3 m'/s

Propiedades de la tu.bería Diámetro:

0.05 '" d

5.00 m

Longitud:

0.50 '" L '" 5,000 m

Coeficiente de mgosidad:

0.00 < k, '" O.O! m

Sumatoria pérdidas menores:

0.00 'c: "ik", '" 100 Adimensional

Caudales de diseño:

O.O! '" Q '" lO,OOO lis

6.

RESTRICCIONES PARA lOS DATOS DE ENTRADA

6.1 Del programa de diseño de red abierta Por tratarse de un programa que realiza el diseño de una red abierta, este algoritmo tiene dos restricciones particulares. La primera restricción es para los datos de las cotas de los tanques y las cabezas supuestas en los nodos, y la segunda es para los caudales de diseño de las tuberías.

554

HIDRÁULICA DE lUIlEI,íAS

6.2 Restricciones a las colas de los tanques y cabezas supuestas en los nodos de la red abierta Estas restricciones están basadas en la ley de la conservación de la energía, que aplicada al caso de red abierta puede resumirse en la siguiente frase: "La disminución de la cabeza piezométrica se presenta siempre en la dirección en que Huye la corriente en la tubería". De aquí que se formule la siguiente restricción: "La cabeza piezométrica supuesta en un nado debe ser mayor al valor de alguna de las cotas de los tanques a los que está llegando caudal l ; igualmente, debe ser menor al valor de alguna de las cotas de los tanques que están suministrando caudaL.." Si esta restricción no se cumple en los datos de entrada para cada uno de los nodos, el programa arroja el siguiente mensaje de error:

'La Cabeza Supuesta para el Nodo se encuentra fuera del rango acotado por las cotas de los tanques'

La anterior restricción aplica también para las cabezas supuestas en los extremos de las tuberías que conectan los nodos de la red,

6.3 Restricciones a los caudales de diseño de las tuberías en la red abierta Esta restricción obedece a la ley de la conservación de la masa. La red abierta puede imaginarse como un sÍstema en el que el caudal que entre debe ser igual al caudal que sale. Los caudales de entrada serán aquellos suministrados por los tanques que tengan una cota mayor a la cabeza supuesta en el nodo, y los caudales que salen serán"aquellos que llegan a los tanques restantes y aquellos evacuados en los nodos del sistema. La sumatoria de estos caudales debe ser igual a cero. Por esta razón el programa no solicita los caudales de las tuberías que conectan a los nodos de la red. Si esta restricción no se cumple en los datos de entrada del sistema, el programa alToja el siguiente mensaje de error:

j En el programa, los caudales de las tuberías que conectan los tanques a los nodos tendrán signo positivo si el flujo llega al nodo; de lo contrario, tendrán signo negativo.

íNDICE

e

A Accesorios, valores de k .' para diferentes. 116 Ácido fosfórico, 458 (" Algoritmo para el cálculo de nuevos diámetros, 427 Alta presión. 459 Altas pérdidas menores, 95, 97 Alternativa óptima, 168 Ampliaciones, 418 Análisis: de Prandtl von Kármán, 123

de redes cerradas, 296 dinámico, 418 estático, 418 ~plicaciones de diseño asistido por computador, 400 Area de humedecimiento, 474 Archivos, manejo de, 533 Aspersores contra incendios, 414 AutoCAD, 402, 430, 500

B Bajo caudal, 459 Balance de cantidad. 258 Bare ecuación de. 126 Bernoulli, ecuación de 15.77 Blassius, P. R H" 48 Bomba(s), 153 centrífugas. 154, 302 costos de una, 167 curvas de las, 153, 158 de nujo axial, 154 de flujo mixto, 154 de inyección, 458 en redes abiertas. 279, 280 en sistemas de tuberías, 153, 166 en tuberías simples, 153, 168 instalación de una, 279 punto de operación de una, 161 rotodinámicas. 153, 154,305 tipos de, 155 velocidad de rotación de una, 155 Boussincsq. 8, 9

Cabeza(s): de fricción en las tuberías, 214 de presión, 155 de succión, 162 dc velocidad, 155 ideales, 420, 423 iniciales, 420, 422 manométrica, 155, 163 neta de succión positiva, 153. 162 piezométrica, 18, 73 topográfica, 156 total, 89, 155,201 unitaria. 154 Cálculo: de diámetros, 420, 427 de la cabeza en la estación de fertirrigación, 213 de la cabeza total, 89 de la potencia de la bomba, 504 de la potencia requerida, 76, 82 de la red abierta, 546 de la tolerancia de caudales. 487 de la tolerancia de presiones, 487 de la velocidad media. 87 de las pérdidas menores, 88 de las tuberías primarias, 503 de los caudales, 266 de múltiples, 490 de potencia, 134, 269 de potencia en tuberías simples, 91 de potencia para tuberías en paralelo, 232, 235 de potencia para tuberías en serie, 201, 203 de tuberías primarias. 494 de tuberías secundarias, 494 de un lateral de riego, 497 de un múltiple, 499 de un submódulo, 500 del caudal por planta, 484 del factor de fricción. 88 del número de Reynolds, 88 hidráulico, 497

556

HIDkÁULlCI\ DE TUBEf<íAS

hidráulico de los submódulos. 490 sobre los submódulos, 542 Calidad,418 Carnacho. 95 Capa límite. 14 Caudal(es): a través de la tuberías. 214 consumidos en los nodos. 296 de alimentación, 296 de consumo. 413 de diseño. 167 de incendio, 414,416 de mínima presión. 487 demandado. 76 en los emisores finales, 459 medio, 487 negativos, 301 nominaL 488 positivos, 301 que entra a la tubería, 221 unitario, 154 Cavitación. fenómeno de, 162,163 Centro de control de modelaje, 403 Charles, C. O, A .. 349 Chézy. ecuación de. 44 Cholesky. metodología de, 418 Cintas exudantes. 464. 465, 473 Coeficieme(s): de Hazen·WiJliams, 128, 129, 137, 149,201,228 de pérdida en codos de 900. 115 de pérdidas menores para contracciones bruscas. 117 de pérdidas menores para expansiones bruscas, 118 de pérdidas menores para expansiones graduales, 119 de uniformidad. 475. 477. 483 de uniformidad, factores que intervienen en el, 478 de uniformidad hidráulico. 481. 482 de uniformidad por factores constructivos, 482 de variación por fabricación. 478, 483 para pérdidas en accesorios, 114 Colebrook, C. F, 51, 61 Colebrook-White: ecuación de, 52, 73, 77, 82, 83, 85, 87, 123, 125, 127,130,153,189,219,306,365,427,429

trabajos de. 61 Comparación entre Hazen-Williarns y DarcyWeishach, 138, 140 Comparación entre las ecuaciones de HazenWilliams y de Darcy-Weisbach. 136 Comprobación de diseño, 76, 79, 130, 132 de tuberías en paralelo, 228, 230 de tuberías en serie, 192, 195 de tuberías simples, 80 en redes abiertas, 260, 264 Conexiones clandestinas, 418 Conservación: de la energía, 190, 227 de la masa, 191,228,241,260 del rnomentum. 255 Constante universal de Prandtl-Von Kármán, 13, 22 Consumo: comercial. 413 doméstico, 415 residenciaL 4 I3 Continuidad. ecuación de, 278 Cornish, R. J., 26 1, 303 Corrección: de continuidad. 277 de la cabeza. 266, 276 Costos: de la bomba. 167 de la tubería, 166 Criterio: de Featherstonc. 420. 422. 423 de Fujiwara. 422, 428 de optimización de Wu, 189,208,209 de Wu, 422, 423, 428, 503 Curva(s): de caudaL 462 de las bomhas, 153, 158 de los emisores finales. 462 del emisor. 481 en un sistema bomba~tuberfa, 16] CyberCad, 405 CYBERNET,402

D Darcy. Henry, 45 Darcy- Weisbach, 143

557

ecuación de, 45, 48, 52, 73, 77, 78,123,124, 127,130,136,141,153,154,193,218,233, 298,302,303,349,365,427,429,505 teoría de. 123 Datum.77 DEase,407 Densidad pobJacionaL 413 Desarenadores. 458 Desbalance de energía, 368 Detección de fugas, 418 Diagrama: de Moody, 51, 52,139,140,524 de Moody modificado, 52, 1223 de Nikuradse, 50, 51,53,525 de rugosidades relativas, 52 parcial de Moody, 137 Diámetro de entrega máximo, 459 Diferencial de velocidad, 34 Difusión, 455 Difusores, 474 Diseño, 136 agronómico. 482, 488, 499 algoritmo general del módulo de. 421 comprobación de. 76. 79 de la red de distribución. 416 de la tubería. 76 de las tuberías del sistema de riego, 503 de las tuberías primarías. 503 de redes abiertas. 270, 272 de redes ceITadas. 295 de redes de abastecimiento de agua. 412 de redes de distribución, 412 de tuberías en paralelo, 240, 242 de tubelÍas en serie, 207, 212 de tuberias simples, 73, 91, 93 de un sistema de acueducto, 412 de un submódulo, 483 de una red matriz, 273 hidráulico, 482 hidráulico de sistemas de RLAF, 482 módulo de, 418, 420, 429 optimizado de redes existentes, 296 optimizado, entrada de daros para el, 532 óptimo de redes, 426

Distribución: de esfuerzos, 15 de presiones, 483 de velocidades, 18 de velocidades de flujo laminar, 30 exponencial, 20, 25 lineal, 20, 21 logaritmica, 20, 25 parabólica de la velocidad, 19

E Ecuación(es): de BaH, 126 de BcrnouHi, 15,77, 160 de Blassius, 48 de cabeza, 298 de caudal. 299 de Chézy, 44 de Colebrook-White, 52, 73, 77, 82, 83, 85, 87,123, 125, 127, 130, 153, 189,219,306,365,427,429 de conservación de la energía, 160,218,298. 352 de conservación de la masa, 218, 241, 260 de conservación del momentum lineaL 255 de continuidad, 258, 278, 298, 352 de Darey-Weisbach, 45, 48, 52, 73, 77, 78,123, 124,127,130,136,141,153,154,193,218, 233,298,302,303,349,365,427,429,505 de diseño de PrandtL 61 de di seño de Von Kánnán, 61 de fricción, 1, 48 de fricción utilizadas por el programa REDES, 429 de Hagen-Poiseuil'le, 35, 36, 37, 40, 47 de Hazen-Williams, 44, 65, 73,127,129,130, 136, 153, 302, 365 de Hazen-Williams, límites de aplicabilidad de la, 142 de Henry Darcy, 4S de Julius Weisbach, 45 de la bomba, 305 de Manning, 44 de Moody, 124 de Newwn para fluidos viscosos, 18.33 de pérdidas de energía. 259 de Prandtl- Von Kármán, 57

558

HIIWÁUlICA DE IUBU,íAS

de viscosidad de Newton, 20 de Wood, 125 del emisor fmal, 463 empíricas, 124 para el diseño de tuberías circulares, 32 para el diseño de tuberías simples. 77 Eficiencia de riego. 475 Elevación topográfica, 422 Eliminación gaussiana, 327 Embalses, 261, 263, 270 Emisor(es),492 de alto caudal, 474 de baja uniformidad, 479 de bajo caudal, 466 de elevada uniformidad, 479 finales, 453, 459 finales, caudales en los, 459 finales, clasitIcación de los, 465 finales, curva de los, 462 finales, obturaciones en los, 464 finales, presiones en los, 459 finales, régimen hidráulico de los 460 finales, relación cabeza-caudal en los, 461 presión nominal de 10$, 459 Energía: bJTavitacional, 73 mecánica, 73 total. líneas de, 74 Entrada de la red principal de distrihución, 540 EPANET, prrograma, 409, 411 Equipo de ferti-irrígación, 458 Error: de aproximación, 99 permisible, 263 Esfuerzo(s): cortante, 15, 17, 18 cortante turbulento, 9 de Reynolds, 10 en tuberías circulares, distribución de, 15 turbulento de Reynolds, 12, 21 Estación: de bombeo, 430 de riego, 456, 457, 494, 496 Estimación de la cabeza en las uniones. 265 Estudios de Prandtl- Von Kármán, 73

Excel,407 Expansión truncada de Taylor, 367 Experimento de Reynolds, 2

F Factor(es): constructivos, 478 de cubrimiento de agua, 476 de concceción de caudales, 300 de fricción, 123,306,465 de fricción, cálculo del, 84, 88, 90 de fricción constante, 220, 222, 224 de fricción de Darcy, 45, 46, 48, 73, 82, 84, 125,427 de fricción para flujo laminar, 47 hidráulicos, 481 Factorización incompleta de Cholesky, 369 Featherstone, R., 261 Fenómeno de cavitación, 162

Ferrer,95 Fertilizantes, 458 Filtro: de árena, 458 de malla, 458 Flujo(s): clasificación de, 1 cuasipermanente, 4 definición de, 1 en conductos circulares, resistencia al, 2 en la zona de transición, 64 en transición, 5 estacionarios, 2 gradualmente variado, 2 hidráulicamente en transición, 60 hidráulicamente liso, 15,24,25,29,31, 53, 64 hidráulicamente lisos, ecuación de Blassius para, 48 hidráulicamente rugoso, 15,25,29,58,64 laminar, 4, 18,20, 29, 30, 31,33 no permanentes, 2 no uniforme, l permanentes, 2 rápidamente variado, 2 tipos de, 1 transicionaL 63 turbulento, 4, 19,40 uniforme, 1, 2

559

uniforme no pennanente, 2 uniforme pennanente, 2 variado no pennanente, 2 variado pennanente, 2 Fricción: de Darcy, factor de, 45, 46, 48, 73, 82, 84, 125 ecuaciones de, 1 en tuberías, ecuaciones para la, 123 para flujo laminar, factor de, 47 pérdidas de energía por, 7 pérdidas por, 18 FoxPro, 407 Frecuencia de riego, 459 Froude, número de, 43 Fuerzas: de fricción, 2 de presión, 2 gravitacionales, 2 Fugas, 418 Fujiwara, Okitsugu, 419 Función de optimización objetivo, 426

G Geometría de la red, 271 Goteo, 455 autocompensante, 455 Gotero(s),465 autocompensames, 471 de ducto largo, 466 de laberinto, 468 de Olificio, 469 de vórtice, 470 elastómetro del, 471 helicoidales, 467 Gradiente: de temperatura,46ü hidráulico, 73, 74, 155,225,226, 279 Gráficas, manejo de, 548

H Hagen, G, H, L, 2, 33 Hagen-Poiseuille, ecuación de, 35, 36, 37, 40, 47

Hardy-Cross, método de, 261 Hazen, A. H. 127 Hazen-Williams, 143 coeficiente de, 128, 129, 137, 149,201,228 ecuación de, 44, 65. 73, 127, 129, 130, 136, 153.302,365 metodología de, 137, 189,194 Hidrantes, 414 Hidráulica de ductos a presión, 74 Hipoclorito de sodio, 458

1 Interacción flujo-pared sólida, 14 lteracción de un punto, método de, 83

K Kármán: ecuaciones de diseño de, 61 resultados de, 61 Theodore van, 13,53,60 Keller. 487 KY-AIM, módulo, 399 KYCAD, módulo, 399 KYDATA, módulo. 399 KYGEMS. módulo. 399. 400 KYPIPE,401 KYPIPE3.398 KYQUAL. módulo, 399 KYRURAL, módulo, 399

lo Laterales de riego, 456, 490 Ley: de la potencia 7. 26 de viscosidad de Newton. 6, 8 Límites de aplicabilidad de la ecuación de HazenWilliams, 142 Línea(s): arterias, 415 de distribución, 415 de energía total, 74 de gradiente hidráulico, 74, 225, 226, 420

HIDr-(!\LJLI(_~A DE TUBERíAS

560

de gradiente hidráulico en sistemas bornbarubena, 155 de gradiente hidráulico, pendiente de la, 218 expresas, 255 piezométrica, 74secundarias. 415 Longitud de mezcla. 8, 13,22

Loop, 256 Lotus.407

M Manguera(s), 465, 472 Bi-wall,473 exudantcs, 217, 455 T~tape,

473

Manning, ecuación de, 44 Manómetros, 458 Martin, D. W., 328 Matriz: de conectividad,. 366 inversa. 368 topológica, 366 transpuesta, 367 lVicdidor totalizador de agua, 458 Métodos: de análisis de redes cerradas, 295 de cálculo para REDES, 419 de disefio de redes, 419 de Hardy-Cross. 261, 307 de Hardy~Cross con conexÍón de cabezas, 303, 306, 308 de Hardy-Cross con conexión de cabezas en los nodos, 296

de Hardy-Cross con conexión de caudales, 299, 301 de Hardy-Cross con conexión de caudales en los circuitos, 296 de ¡¡eracción de un punto, 83 de la teoría lineal, 296, 349. 354 de Newton. 85. 88 de Newton, cáiculo del factor de fricción por el. 84 de Newton, convergencia del, 84 de Newton, proceso de convergencia del, 83 de Newton~Raphsün, 85, 296, 326, 328, 329, 331,333

de Ncwton-Raphson, cálculo de! factor de fricción por el. 90 de optimización, 419 de Ronald E. Featherstone. 419 dd gradiente, 365. 369, 370, 418.42 '1,427 del gradiente hidráulico, 296 Metodología: de Cholesky, 418 de Hazen-WiHiams, 137,189, 194 Microaspersión, 455 Microaspersores.474 Microtubos,455 de alto caudal, 474 Mínima presión, 490 Mmnentum, 9,12,30, 114 lineal, cambio de, 218 lineal. conservación deL 255 Moody, Lewis, 124 diagrama de, 51, 52. 139, 140 ecuación de, 124 trab<~ios de, 51 MS~DOS, 400, 410 Múitiple(sj,492 de riego. 483

N Necesidades: de lavado, 476 totales de riego, 477 Negro de humo, 460 Newton-Raphson, método de, 85 Nikuradse, Johann, 24. 25, 50 Nikuradse: diagrama de SO, 5 L 53 resultados de. 50, 525 tubos de, 53, 63 Nodos: de cabeza constante, 422 fuente, 424 identificación de, 434 numeración de, 270 opciones de visualización sobre, 533 Número: de FrolJde. 43

561

de Reynolds, 5, 7, 26, 30, 31, 43, 50, 53, 56, 79, 123,124,237,429 de Reynolds, cálculo del, 88

o ODBC, 407 Optimización de costos, 299 Óptimo económico, 166, 167

p Paradox, 407 Pendiente de la línea de gradiente hidráulico, 218 Pérdida(s): de cabeza, 41 de cabeza debido a la fricción, 45 de energía, 259 de energía por fricción, 7 en accesorios y codos, coeficientes para, 114 en codos de 90", coeficientes de, 115 menores, 92, 163 menores bajas, 96 menores, cálculo de las, 88 menores, coeficientes de, 114, 117, 118, 119 por fricción, 18 por percatación, 475, 476 uniforme de caudal, 217 Perfiles de velocidad, 29, 3J Periodos extendidos, 405 Peters, G.. 328 Planos base del tipo DXF, 406 Población de saturación, 413 PoiseuiHe, L 33 Potencia: consumida. 158 requerida, 76, 82 Pozo de succión, 458 Prandd, L, 13,48,53,60 ecuaciones de, 6l Prandtl- Van Kármán: análisis de, 123 constante universal de 13, 22 ecuación de. 57 estudios de. 73 Precipitables calcáreos, 458

Presión: a lo largo de todo el submódulo, 549 de vapor, 163 en los emisores finales, 459 mínima, 414, 497 nominal del emisor. 459 piezométrica, 16, 17 requerida, 414 Primera velocidad de pérdida. 96 Proceso: de eliminación de Gauss, 327 iterativo. 369 Programas: comerciales para el diseño de redes de abastecimiento de agua, 398 de dibujo, 430 Protección contra incendios. 414 Propiedades físicas de los t1ujos, 519 Proyección de la población, 413 Punto: ciego. 415 de operación de la bomba. 161, 162 de riego, 459 muerto. 415

R Ramajes, 270 Rayos ultravioleta. 460 Red(es): abiertas, 255, 259 abiertas. análisls de, 258 abiertas, bombas en, 279 abiertas, comprobación de diseño en 260, 264 abiertas, diseño de, 270, 272 cerradas, 256 cerradas. análisis de, 292 cerradas. diseño de, 295 cerradas, métodos de análisis de, 295 de acueducto, 141. 295 de distribución, 295 de distribución de agua potable. 189, 257 de riego, 141. 258 de riego, topología de la, 483 de tuberías, análisis de, 255

562


de tubos madres. 255 geometría de la, 271 industriales, 189 matriz, dieño de una, 273 matrices, 189 principal de distribución, entrada de la, 540 total. 418 REDES: capacidades del programa, 418 características del programa, 432, 433 esquema general del programa, 529 manual del usuario del programa, 529 opciones de diseño y análisis del programa, 431 presentación del programa. 429 programa, 412, 417 uso del programa en el módulo de cálculo, 433 uso del programa en el módulo de diseño, 436 ventana de resultados del programa, 432 ventana principal del programa, 431 Redondeo a diámetros comerciales, 420, 428 Régimen hidráulico de los emisores finales, 460 Regla de Newton. 326 Regulador: de caudaL 456. 494 de presión. 456. 483. 494, 496, 499 Rejillas. 458 Relación cabeza~caudal en los emisores finales, 461 Resistencia al flujo en conductos circulares, 2 Resultados de Von Kánnán, 65 Reynolds, 2. 7 esfuerzo de, 10 esfuerzo turbulento de, 21 experimento de, 2 número de 5. 7, 26, 30, 31,43.50.53,56.79, 88, 123. 124.237,429 Riego: localizado de alta frecuencia, 258, 459 RIEGOS: esquema general del programa, 535 manual del usuario del programa, 535 presentación del programa, 500 programa, 459, 496 RLA~~ 453 clasificación de los, 455 descripción de un, 459

diseño hidráulico de sistemas de, 482 esquema de una instalación de, 455 objetivo primordial de un, 459 Rotor. 163 Rugosidad(es): absoluta. 42, 113 absoluta de la tubería_ 74 artificial, 63 en tuberías, clasificación de las, 61 media. 15 relativa, 42, 44, 62, 124 Ruta crítica, 457. 495, 505

s Saldarriaga, 95 Sensibilidad: a la temperatura, 465 a las obturaciones, 469 Serie de Taylor, 326 Similaridad dinámica, 154 Sistema(s): de generación eléctrica, 75 de suministro de agua potable, 256 bomba-tubería, línea de gradiente hidráulico en, 155 con circuitos cerrados, 256 de distribución de agua potable, 240 de exudación, 455 de goteo, 455 de infonnación geográfica (SIG). 430, 500 de inyección y mezcla, 458 de riego localizado de alta frecuencia. 240, 460 de riego localizado de alta frecuencia. clasificación de los, 455 modernos de riego. 453 StonnCad. 405 Subalgoritmos, descripción de, 422 Subcapa: laminar, 15 laminar viscosa. 14, 19,20,64 Submódulo(s),483 de riego, 483, 488, 490, 494 de riego esquema de un, 491 introducción de los datos de los. 536

563

Sustancias: conservativas. 418 químicas no conservativas, 418

T Tal, S., 465 Tanques de cabeza constante, 430 Teorema del binomio, 304 Teoría de Darcy-Weisbach, 123 Tiempo de bombeo, 484 Tolerancia: a la presión de las emisiones finales. 463 de caudales, 493 de presiones, 483, 490, 493 Topología: de la red de riego, 483 de la red nueva, 431 de los tubos, 271 Tratamiento: primario, 458 secundario, 458 Trazado de la red, 495 Tubería(s): bombas en sistemas de, 153. 166 circulares, 18 circulares, ecuaciones para el diseño de, 32 costos de la, 166 de succión, 155, 162 diseño de la, 76 ecuaciones para la fricción en, 123 en paralelo, 189,226 en paralelo, cálculo de potencia para, 232, 235 en paralelo, comprobación de diseño de, 228, 230 en paralelo, diseño de, 240 en serie, 189, 190 en serie, comprobación de diseño de 192, 195 en serie, de cálculo de potencia para, 201, 203 en serie, diseño de, 207, 212 esquema representativo de una, 77 identificación de, 434 madre, 259 opciones de visualización sobre, 531 primaria, 456, 483

reales ecuaciones de fricción para, 48 secundaria, 456. 483 simple, 773 simples, bombas en, 153, 168 simples, cálculo de potencia en, 91 simples, comprobación de diseño de, 80 simples con bombas, 153 simples diseño de, 73, 91,93 simples, ecuaciones para el diseño, 77 terciaria, 456 Tubo(s): de Nikuradse, 53, 63 de Pitot, 26, 38, 58 madres, 255, 270 porosos, 217 topología de los, 271 vénturi,458 Tubo Pascal, 429, 500

u Unidad operacional de riego, 456 Uniformidad del riego, 459, 463, 474 Uniones, 261, 270 UNIX, 410 Uso industrial del agua, 413

v Valores de Km para diferentes accesorios, 116 Válvulas de purga, 415 Variación aleatoria en la velocidad, 11 Velocidad(es): de corte, 21 de flujo laminar. distribución de, 30 de pérdida, 95 de pérdida, primaria, 96 de rotación de bomba, 1.55 del flujo distribución de, 30 diferencial de, 34 distribución de, 18 distribución parabólica de la, 19 específica, 155 media, 87 perfiles de, 29, 31

564 Vector:

de consumo, 367 normal,424 Ventosas, 415 Viscosidad: cinemática, 9 de Eddy, 8 de remolino, 8 dinámica, 76 turbulenra, 8, 9

w WATERCAD, 405, 407 Weisbach, Julius. 45, 50 White, H., 61 Williams, G, S., 127

HIDl,ÁUlICA DE TUIlERIAS

Windows, 400, 405, 500 Windows 3,11, 410 Windows 95, 410 Wood, Donald, 125, 349 Wood, ecuación de, 125 Wu, critetio de optimización de, 189.208,209 Wu, ¡'pai, 208

z Zona: de flujo laminar, 221 de transición, 20, 22 de transición, de flujos en la, 64 laminar, 20 radicular de la planta, 459 turbulerita, 20, 25 Zur, B., 465

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Fluidos- Juan G. Saldarriaga v.- Hidraulica de Tuberias (1)

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