PENGANTAR FISIKA ZAT PADAT (STRUKTUR KRISTAL)
OLEH : MUTIARA EFENDI
140310110016
MARIA OKTAFIANI
140310110018
JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PADJADJARAN 2014
ZAT PADAT Bahan padat dapat diklasifikasikan berdasarkan keteraturan susunan atom-atom atau ion-ion penyusunnya. Bahan yang tersusun oleh deretan atom-atom yang teratur letaknya dan berulang (periodik) disebut bahan kristal. Dikatakan bahwa bahan kristal mempunyai keteraturan atom berjangkauan panjang. Sebaliknya, zat padat yang tidak memiliki keteraturan demikian disebut bahan amorf atau bukan-kristal. Fisika zat padat secara umum dihubungkan dengan kristal dan elektron dalam kristal. Pengkajian tentang zat padat dimulai pada tahun-tahun awal abad ini sesudah berhasil dipelajarinya difraksi sinar-x oleh kristal. Dari gejala ini dapat ditemukan bukti bahwa kristal terdiri dari atom-atom yang susunannya teratur. Melalui keberhasilan memodelkan susunan atom-atom dalam kristal, para fisikawan dapat mempelajari lebih banyak dan lebih lanjut tentang zat padat. Dalam perkembangan selanjutnya, pengkajian zat padat telah meluas pada bahan bukan kristal (amorf), bahan gelas, dan bahkan bahan cair
KRISTAL DAN NON KRISTAL Bahan yang tersusun oleh deretan atom-atom yang teratur letaknya dan berulang (periodik) yang tidak berhingga dalam ruang disebut bahan kristal. Kumpulan yang berupa atom atau molekul dan sel ini terpisah sejauh 1 Å atau 2 Å. Kristal dapat dibentuk dari larutan, lelehan, uap, atau gabungan dari ketiganya. Bila proses pertumbuhannya lambat, atom-atom atau pertikel penyusun zat padat dapat menata diri selama proses tersebut untuk mrenempati posisi yang sedemikian sehingga energi potensialnya minimum. Keadaan ini cenderung membentuk susunan yang teratur dan juga berulang pada arah tiga dimensi, sehingga terbentuklah keteraturan susunan atom dalam jangkauan yang jauh. Sebaliknya, zat padat yang tidak memiliki keteraturan demikian disebut bahan amorf atau bukan-kristal, dalam proses pembentukan yang berlangsung cepat, atom-atom tidak mempunyai cukup waktu untuk menata diri dengan teratur. Hasilnya terbentuklah susunan yang memiliki tingkat energi yang lebih tinggi. Susunan atom ini umumnya hanya mempunyai
keteraturan yang berjangkauan terbatas, dan keadaan inilah yang mencerminkan keadaan amorf.
STRUKTUR KRISTAL Susunan khas atom-atom dalam kristal disebut struktur kristal. Struktur kristal dibangun oleh sel satuan (unit cell) yang merupakan sekumpulan atom yang tersusun secara khusus, secara periodik berulang dalam tiga dimensi dalam suatu kisi kristal (crystal lattice). Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya bahwa sebuah Kristal Ideal disusun oleh satuan-satuan struktur yang identik secara berulang-ulang yang tak hingga didalam ruang. Untuk menggambarkan struktur kristal ini dapat digambarkan/dijelaskan dalam istilah –istilah : Lattice (kisi) dan sebuah Basis yang ditempelkan pada setiap titik lattice (titik kisi) Kisi kristal
: Kisi adalah sebuah susunan titi-titik yang teratur dan periodik di dalam ruang.
Basis
: sekumpulan atom, dengan jumlah atom dalam sebuah basis dapat berisi satu
atom atau lebih. Atau secara singkatnya adalah struktur kristal terdiri dari kisi dan basis, Struktur kristal akan terjadi bila ditempatkan suatu basis pada setiap titik kisi sehingga struktur kristal merupakan gabungan antara kisi dan basis. Apabila dinyatakan dalam hubungan dua dimensi adalah sebagai berikut:
Sehingga apabila atom atau sekumpulan atom tersebut menempati titik-titik kisi maka akan membentuk suatu struktur kristal
KISI KRISTAL Didalam kristal terdapat kisi-kisi yang ekivalen yang sesuai dengan lingkungannya dan diklasifisikan menurut simetri translasi. Operasi translasi kisi Didefinisikan sebagai perpindahan dari sebuah kristal oleh sebuah vektor translasi kristal 1. Untuk kisi dua dimensi (2D) Ilustrasi struktur kristal dalam gambaran dua dimensi (2D) :
T merupakan vektor translasi
A,B, dan C adalah atom Penyusun kristal a1 adalah jarak antara atom Vektor posisi dari setiap titik kisi pada kisi dua dimensi yaitu : T = n 1a 1 + n 2a 2 a, a1 dan a2 merupakan vektor translasi primitif, sedangkan n1 dan n2 merupakan bilangan bulat yang nilainya bergantung pada kedudukan titik kisi
2. untuk kisi tiga dimensi (3D) Pada kisi tiga dimensi (3D), vektor posisi untuk titik-titik kisi yaitu:
T = n1a1 + n2a2 + n3a3 a1, a2 dan a3 adalah vektor translasi primitif α, β, dan g adalah sudut yang dibentuk vektor a1, a2 dan a3 Selain simetri translasi, terdapat beberapa operasi lain yang membuat kisi “invarian” (tidak berubah bentuknya dari semula), yaitu : a. Refleksi : Pencerminan pada bidang (simbul : m) b. Rotasi : Perputaran pada sumbu tertentu dgn sudut sebesar (2π/n) (simbul n = 1,2,3,4,dan 6 c. Inversi : Pencerminan pada suatu titik tertentu (simbul : i) d. Luncuran/Glide : Operasi gabungan antara refleksi dan translasi e. Ulir/Screw : Operasi gabungan antara rotasi dan translasi
Sel Primitif dan Sel Konvensional 1. Sel primitif adalah sel yang mempunyai luas atau volume terkecil, Sel primitif dibangun oleh vektor basis biasa disebut sel satuan (unit sel).
Cara menentukan sel primitif (metoda wigner – seitz) : a. Ambilah salah satu titik kisi sebagai acuan (biasanya di tengah) b. Titik kisi yang anda ambil sebagai acuan dihubungkan dengan titik kisi terdekat disekitarnya. c. Di tengah-tengah garis penghubung, buatlah garis yang tegak lurus terhadap garis penghubung. d. Luas terkecil (2 dimensi) atau volume terkecil (3 dimensi) yang dilingkupi oleh garis-garis atau bidang-bidang ini yang disebut sel primitive Wigner-Seitz Contoh penggambaran Sel Primitif dengan Metode Wigner-Seitz
2. sel konvensional (sel tak primitif) adalah sel yang mempunyai luas atau volume bukan terkecil artinya mempunyai luas atau volume yang besarnya merupakan kelipatan sel primitif.
KISI BRAVAIS DAN NON BRAVAIS Kisi yang memiliki titik-titik kisi yang ekuivalen disebut kisi Bravais sehingga titik-titik kisi tersebut dalam kristal akan ditempati oleh atom-atom yang sejenis
Titik A,B dan C adalah ekuivalen satu sama lain Titik A dan A1 tidak ekivalen (non-Bravais)
Tipe-tipe lattice dasar Lattice (kisi) dua dimensi : ada lima (5) jenis, yaitu 1 Kisi miring
2 Kisi bujur sangkar
3 Kisi heksagonal
4 Kisi segi panjang
5 Kisi segi panjang berpusat
Lattice (kisi) Tiga dimensi : ada 7 sistem kristal dan 14 kisi bravais, yaitu : 1. Triklinik 2. Monoklin 3. Orthorombik 4. Tetragonal 5. Kubus 6. Trigonal 7. Heksagonal
Jarak antar bidang-bidang kristal (hkl)
STRUKTUR KRISTAL KUBIK Tiga jenis struktur kristal yang relatif sederhana dapat dijumpai pada kebanyakan logam, yaitu : 1. kubus sederhana (simple cubic = SC).
Sel Primitif = Sel Konvensional Jumlah titik lattice = 8 x 1/8 = 1 buah (Pada setiap sudut dipakai 8 kubus sel)
Contoh: CsCl,CuZn,CsBr,LiAg Jarak tetangga terdekat : a Jml tetangga terdekat : 6 Vektor primitif : a1 = ax a2 = ay a3 = az
2. kubus pusat bidang sisi (face-centered cubic = FCC),
Sel Primitif ≠ Sel Konvensional Jumlah titik lattice pada: sel primitive = 8 x 1/8 = 1 buah sel konvensional = (8 x 1/8) + 1 = 2 buah contoh : NaCl, Intan, ZnS, Cu, Ag, Au, Al ,Pb ,Ni ,Fe,Nb Jarak tetangga terdekat : 2a/2 Jml tetangga terdekat : 12 Vektor primitif : a1 = a/2 (x + y) a2 = a/2 (y + z) a3 = a/2 (x + z)
3. kubus pusat ruang badan (body-centered cubic = BCC),
Sel Primitif ≠ Sel Konvensional Jumlah titik lattice pada: sel primitive = 8 x 1/8 = 1 buah sel konvensional = (8 x 1/8) + (6 x 1/2) = 4buah Jarak tetangga terdekat : (3a/2)1/2 Jumlah tetangga terdekat : 8 Vektor primitif : a1 = a/2 (x + y – z ) a2 = a/2 (-x + y + z) a3 = a/2 (x – y + z ) Contoh : Na,Li,K,Rb,Cs,Cr,Fe,Nb
SISTEM INDEKS UNTUK BIDANG KRISTAL a) koordinat titik Posisi dari titik manapun yang terletak pada sebuah unit sel dapat kita kelompokkan menurut koordinatnya sebagai perbandingan atau hasil perkalian bagian dari panjang sisi-sisi unit sel tersebut. Contohnya, sumbu a, b, dan c. Sebagai ilustrasi, misalnya kita memiliki sebuah unit sel seperti pada gambar dibawah dan sebuah titik P terletak pada suatu bagian pada unit sel tersebut.
Kita akan mendefinisikan posisi dari titik P tersebut dalam istilah koordinat umum q, r, dan s. Dimana q memiliki panjang
beberapa bagian darikeseluruhan panjang sumbu x, r juga
merupakan beberapa bagian panjang sepanjang sumbu y, dan begitupula untuk s. Dengan begitu, kita dapat menyatakan posisi dari titik P tersebut menggunakan koordinat dari q, r, dan s. Dalam hal ini, penulisan koordinat titik ini dituliskan langsung koordinatnya tanpa koma ataupun tanda baca lainnya. Misalnya qrs Contoh : Koordinat titik untuk setiap sel unit adalah : a/2, b/2, c/2 ½½½ Sedangkan untuk koordinat titik pada sudut unit sel adalah 111
b) arah kristal Arah Kristalografik dapat kita misalkan sebagai sebuah garis atau vektor yang berada diantara 2 buah titik didalam sebuah unit sel. Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menentukan arah kristalografik dalam kisi 3 dimensi :
Jika diperlukan ubah posisi vektor agar melewati titik pusat koordinat.
Tentukan proyeksi masing-masih vektor dalam ungkapan a, b, dan c.
Reduksi bilangan menjadi bilangan bulat terkecil.
Enclose dengan kurung kotak tanpa koma [uvw]
c) Bidang Kristal (indeks miller) Suatu kristal akan mempunyai bidang – bidang atom, untuk itu bagaimana kita me representasikan suatu bidang datar dalam suatu kisi kristal, yang dalam istilah kristalografi sering disebut dengan Indeks Miller. Aturan : 1. Tentukan titik potong antara bidang yang bersangkutan dengan sumbu-sumbu / sumbu-sumbu primitf atau konvensional dalam satuan konstanta lattice (a1,a2,a3) .
2. Tentukan kebalikan (resiprok) dari bilangan-bilangan tadi, dan kemudian tentukan tiga bilangan bulat (terkecil) yang mempunyai perbandingan yang sama. Indeks (h k l). Contoh :
Bidang ABC memotong sumbu-sumbu :
Kebalikannya adalah Jika ketiga bilanagn bulat yang mempunyai perbandingan yang sama seperti di atas adalah 3, 3, 2. dengan demikian indeks bidang ABC tersebut adalah (3 3 2). Perhatikan bahwa dalam penulisan indeks kita tidak menggunakan tanda koma.
Misal:
Jika salah satu dari h k l negatif, maka indeks bidang tersebut ditulis ( h k l), artinya h bertanda negatif. Untuk Sel kubus, jarak antar bidang hkl dapat ditulis sebagai berikut :
Contoh-contoh Indeks Miller untuk sel kubus primitif maupun konvensional : Kubus Sederhana : sel konvensional = sel primitif Bidang ABFE
Perpotongan bidang ABFE dengan sumbu:
DIFRAKSI SINAR X DAN HAMBURAN OLEH KRISTAL Pengkajian difraksi pada bagian ini bertujuan untuk menentukan/mempelajari struktur kristal secara eksperimen. Syarat agar terjadi difraksi pada kristal adalah penggunaan gelombang radiasi dengan panjang gelombang yang seorde dengan jarak antar atom dalam kristal (dalam angstrom). Dengan mengetahui puncak-puncak difraksi dari gelombang yang dipantulkan oleh bidang kristal (lebih tepat atom-atom pada bidang), maka struktur kristal dari cuplikan yang bersangkutan dapat dipelajari atau mungkin dapat di-rekonstruksi. Sumber radiasi yang dapat digunakan untuk keperluan difraksi kristal meliputi : sinar-x, berkas neutron termal, dan berkas elektron. Difraksi dapat terjadi bilamana panjang gelombang berkas radiasinya sekitar 1 angstrom. Sinar- X adalah gelombang elektromagnetik dengan sifat fisik yang sama seperti gelombang elektromagnetik lainnya, seperti gelombang optik. Panjang gelombang sinar-x sama dengan konstanta kisi kristal, dan hal inilah yang membuat sinar-x berguna dalam analisis struktur kristal Pengaturan eksperimen dasar untuk menghasilkan sinar-x :
Difraksi Sinar-X Di antara sumber-sumber radiasi yang dapat dipergunakan untuk difraksi kristal, berkas sinar-x adalah yang paling layak ditinjau dari kesederhanaan teknik pembangkitnya serta maksimalnya hasil difraksi dalam memberikan informasi tentang struktur kristal. Berkas sinar pertama dan kedua memiliki beda lintasan sebesar (2d sin θ) untuk sampai pada titik pengamatan. Agar terjadi interferensi yang konstruktif (saling menguatkan), maka beda lintasan yang bersangkutan haruslah merupakan kelipatan bulat dari panjang gelombang sinar-x tersebut. Ini berarti :
yang disebut syarat Bragg. d jarak antar bidang (hkl) yang sama, θ sudut difraksi, dan λ panjang gelombang sinar-x yang digunakan. Dalam difraktometer sinar-x, posisi kristal sedemikian sehingga pengukuran dilakukan pada sudut 2θ, yaitu sudut yang dibentuk oleh sinar hambur.
Difraksi sinar x pada suatu material Difraksi sinar-X merupakan suatu teknik yang digunakan untuk mengidentifikasi adanya fasa kristalin di dalam material-material benda dan serbuk, dan untuk menganalisis sifat-sifat struktur (seperti stress, ukuran butir, fasa komposisi orientasi kristal, dan cacat kristal) dari tiap fasa Apabila suatu bahan dikenai sinar-X maka intensitas sinar-X yang ditransmisikan lebih kecil dari intensitas sinar datang. (Hal ini disebabkan adanya penyerapan oleh bahan dan juga penghamburan oleh atom-atom dalam material tersebut. Berkas sinar yang dihantarkan tersebut ada yang saling menghilangkan karena fasenya berbeda dan ada juga yang saling menguatkan karena fasenyasama.Berkas sinar-X yang saling menguatkan disebut sebagai berkas difraksi.)
Logika dibalik teori ini adalah asumsi bahwa seandainya suatu kristal terdiri dari atomatom yang tersusun secara teratur dan periodik dalam ruang dan jarak antar atom hampir sama dengan panjang gelombang sinar-x, maka Kristal tersebut dapat berfungsi sebagai kisi-kisi yang menghamburkan cahaya. Dengan konsep ini dan mengingat bahwa sinar-x mempunyai panjang gelombang yang mendekati jarak antar atom, maka difraksi dapat terjadi kalau Kristal dikenai oleh sinar-x Persyaratan yang harus dipenuhi agar berkas sinar-X yang dihamburkan merupakan berkas difraksi dikenal sebagai Hukum Bragg yg menyatakan bahwa perbedaan lintasan berkas difrasi sinar-X harus merupakan kelipatan panjang gelombang, secara matematis dirumuskan: nλ = dsinθ Keadaan ini membentuk pola interferensi yang saling menguatkan untuk sudut-sudut yang memenuhi hukum Brag. Gejala ini dapat diamati pada grafik hubungan antara intensitas spektrum karakteristik sebagai fungsi sudut 2θ Analisis bahan dengan menggunakan difraksi sinar-X pada umumnya untuk menentukan : 1. Struktur Kristal 2. Parameter kisi 3. Crystallite Size (ukuran butiran) dan Lattice Strain
Hukum bragg’s Difraksi sinar x pada kristal harus memenuhi Hukum Bragg’s yaitu : Menurut Bragg berkas yang terdifraksi oleh kristal terjadi jika pemantulan oleh bidang sejajar atom menghasilkan interferensi konstruktif. Difraksi atom-atom kristal sebagai pantulan sinar-X oleh sekelompok bidang-bidang paralel dalam kristal seperti terlihat pada gambar :
Jarak antara bidang A dengan bidang B adalah d, sedangkan θ adalah sudut difraksi. Berkas-berkas tersebut mempunyai panjang gelombang λ, dan jatuh pada bidang kristal dengan jarak d dan sudut θ. Agar mengalami interferensi konstruktif, kedua berkas tersebut harus memiliki beda jarak nλ. Sedangkan beda jarak lintasan kedua berkas adalah 2d sin θ.
Ketika berkas sinar-x monokromatik datang pada permukaan kristal, terjadi refleksi hanya ketika sudut datang memiliki nilai-nilai tertentu. Nilai-nilai ini tergantung pada panjang gelombang dan konstanta kisi kristal.
kisi resiprok Dimulai dengan kisi vektor a, b, dan c, dapat didefinisikan dengan bagian dari vektor basis a*, b*, dan c* sesuai dengan hubungan : 𝒂∗=
2𝜋 Ω𝑐
𝑏𝑥𝑐 , 𝒃∗=
2𝜋 Ω𝑐
𝑐 𝑥 𝑎 , 𝑎𝑛𝑑 𝒄 ∗ =
2𝜋 Ω𝑐
𝑎𝑥𝑏
(2.33)
Dimana Ω𝑐 = 𝑎∗ 𝑏 𝑥 𝑐 , volume sel satuan. Sekarang, kita dapat menggunakan vektor a*, b*, dan c* sebagai dasar untuk kisi baru vektor yang telah diberikan oleh : 𝐺𝑛 = 𝑛1 𝑎∗ + 𝑛2 𝑏 ∗ + 𝑛3 𝑐 ∗
(2.34)
Dimana 𝑛1 , 𝑛2 , 𝑛3 merupakan salah satu rangkaian bilangan bulat. Kisi yang baru saja kita kenal sebagai kisi resiprok dan a*, b*, dan c* disebut dengan basis vektor resiprok.
Hubungan basis vektor resiprok a*, b*, dan c* ke vektor basis a, b, c ditunjukkan pada Gambar 2.6. Vektor a* misalnya adalah terhadap bidang normal didefinisikan oleh vecktor b dan c, dan pernyataan serupa berlaku untuk a, b, c membentuk himpunan bagian orthogonal kemudian a*, b*, dan c* juga membentuk satu bagian orthogonal dengan a* sejajar dengan a, b* sejajar dengan b, dan c* sejajar dengan c. Secara umum tidak bagian orthogonal.
Gambar Basis vektor resiprok Persamaan matematika berikut berguna dalam mengerjakan kisi resiprok : 𝑎∗ . 𝑎 = 2𝜋,
𝑎∗ . 𝑏 = 𝑎∗ . 𝑐 = 0
𝑏 ∗ . 𝑏 = 2𝜋,
𝑏∗. 𝑎 = 𝑏 ∗. 𝑐 = 0
𝑐 ∗ . 𝑐 = 2𝜋,
𝑐 ∗. 𝑎 = 𝑐 ∗. 𝑐 = 0 (2.35)
Baris pertama dari persamaan dapat ditetapkan sebagai berikut : Untuk membuktikan pertama dari persamaan, mensubstitusi a* dari (2.33) dan menemukan bahwa : 𝑎∗ . 𝑎 =
2𝜋 𝑏 𝑥 𝑐 .𝑎 Ω𝑐
Tetapi 𝑏 𝑥 𝑐 . 𝑎 adalah sama dengan volume sel satuan Ω𝑐 dan maka 𝑎∗ . 𝑎 = 2𝜋. Kedua dari persamaan kedua pada baris pertama mencerminkan fakta yang disebutkan, bahwa a* adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh b dan c. Sisa dari persamaan (2.35) dapat dibentuk dengan cara yang sama. Contoh kisi resiprok ditunjukkan pada Gambar 2.7. Gambar 2.7(a) menunjukkan kisi satu dimensi dan resiprok. Perhatikan bahwa dalam kasus ini, a* adalah sejajar dengan a dan bahwa
𝒂∗ = 1/𝑎. Gambar 2.7(b) menunjukkan bidang kisi persegi panjang dan resiprok tiga dimensi adalah contoh lengkapnya. Tetapi prosedur untuk menemukan sangatlah mudah. Pertama, kerjakan (2.33) untuk menemukan dasar a*, b*, c* dan kemudian menggunakan (2.34) untuk menemukan semua titik kisi. Terbukti bahwa resiprok dari suatu kisi tepi sc adalah merupakan kisi sc dengan tepi kubus sama dengan 2𝜋/𝑎 (Gambar 2.8). Dapat ditetapkan bahwa kebalikan dari bcc adalah kisi fcc dan sebaliknya (lihat bagian masalah). Pertama, dapat memperpanjan argumen untuk sistem kristal lainnya. Ketika kita menyadari bahwa kisi resiprok adalah kisi – kisi dalam dirinya sendiri dan memiliki simetri rotasi sama dengan kisi langsung, bahwa kisi resiprok selalu jatuh dalam sistem kristal yang sama seperti kisi langsung (lihat Tabel 1.1). Dengan demikian, resiprok untuk monoklinik, triklinik, … dan kisi heksagonal juga monoklinik, triklinik, … dan heksagonal masing – masing. (Catatan, bahwa dua kisi tidak perlu memiliki struktur Bravais yang sama dalam sistem yang sama. Melihat contoh bcc dan fcc diatas).
Gambar 2.7(a) kisi resiprok untuk Kristal satu dimensi, (b) kisi resiprok untuk kisi dua dimensi.
Gambar 2.8 sebuah bagian dari kisi resiprok untuk kisi sc
Sel unit resiprok yang dipilih dengan cara tertentu. Untuk kisi persegi panjang dari Gambar 2.9, biarkan O menjadi titik asal dan menggambarkan vecktor kisi menghubungkan asal dengan titik kisi tetangganya. Kemudian tarik garis lurus yang tegak lurus terhadap vecktor di titik – titik tengannya. Wilayah terkecil tertutup oleh garis – garis persegi panjang A dalam gambar merupakan sel unit yang dicari dan disebut zona Brillouin pertama. Zona Brillouin (BZ) merupakan sel unit diterima karena memenuhi semua persyaratan yang diperlukan. Hal ini juga memiliki perlengkapan yang titik kisi sesuai tepat jatuh di pusat sel, tidak seperti kasus kisi langsung dimana titik kisi biasanya terletak pada sudut-sudut sel. Jika BZ pertama diterjemahkan oleh vektor resiprok 𝐺𝑛 , maka ruang kisi resiprok seluruh harus ditutup, karena BZ adalah sel unit yang benar.
Gambar 2.9 zona Brillouin pertama untuk kisi persegi panjang. Zona Brillouin untuk kisi tiga dimensi dapat dibangun dengan cara yang sama, tetapi perhatikan bahwa dalam hal ini vektor kisi yang memisahkan dua bidang tegak lurus dan bahwa BZ pertama adalah saat volume terkecil tertutup oleh bidang. Dalam kasus yang paling sederhana kisi sc yang BZ adalah kubus tepi 2𝜋/𝑎 berpusat pada titik asal. BZ ini untuk kisi kubus lain yang dalam bentuk lebih rumit kita akan menunda pembahasan kisi ini dan lainnya ke bagian selanjutnya. Kadang-kadang juga menggunakan zona Brillouin tingkat tinggi yang sesuai dengan vektor yang menghubungkan titik asal untuk titik jauh dalam kisi resiprok, tetapi tidak akan dibahas disini karena tidak diperlukan. Kita akan menemukan bahwa konsep zona Brillouin sangat penting hubungannya dengan getaran kisi (Bab 3) dan electron dalam Kristal (Bab 5).
Setelah mendefinisikan kisi resiprok dan membahas beberapa sifat-sifatnya, sekarang dilanjutkan untuk menunjukkan kegunaannya. Salah satu aplikasi penting teerletak pada penggunaannya dalam evaluasi jumlah kisi dan ini terletak pada persamaan matematika berikut : 𝑁 𝑖𝐴.𝑅1 𝑙=1 𝑒
= 𝑁 𝛿𝐴,𝐺𝑛
(2.36)
Berikut adalah sebarang vektor penjumlahan adalah vektor kisi langsung dan N adalah jumlah total sel dalam kisi langsung. Karena simbol delta, maka (2.36) adalah jumlah kisi di sebelah kiri hilang setiap kali vecktor A tidak sama dengan beberapa kisi resiprok 𝐺𝑛 . Ketika itu adalah sama dengan beberapa 𝐺𝑛 , jumlah kisi menjadi sama dengan N. Untuk menetapkan kevalidan (2.36), pertama kita harus mengerjakan kasus 𝐴 = 𝐺𝑛 untuk mengevaluasi eksponen 𝐴 . 𝑅𝑙 disebelah kiri (2.36), kita substitusi 𝐴 = 𝐺𝑛 = 𝑛1 𝑎∗ + 𝑛2 𝑏 ∗ + 𝑛3 𝑐 ∗ dan 𝑅𝑙 = 𝑙1 𝑎1 + 𝑙2 𝑎2 + 𝑙3 𝑎3 dan hasilnya : 𝐴. 𝑅𝑙 = 𝐺𝑛 . 𝑅𝑙 = (𝑛1 𝑎∗ + 𝑛2 𝑏 ∗ + 𝑛3 𝑐 ∗ ) . (𝑙1 𝑎1 + 𝑙2 𝑎2 + 𝑙3 𝑎3 ) = 𝑛1 𝑙1 + 𝑛2 𝑙2 + 𝑛3 𝑙3
(2.37)
Dimana dalam mengevaluas produk skalar dari vektor basis digunakan (2.35). Misalnya 𝑎∗ . 𝑎 = 2𝜋, 𝑎∗ . 𝑏 = 0, dll. Setiap istilah dalam penjumlahan di (2.36) pleh karena itu bentuk 𝑒 𝑖𝑚 2𝜋 dimana m adalah bilangan bulat dan akibatnya sama dengan persatuan. Maka jumlah total sama dengan N seperti (2.36). Dalam kasus 𝐴 ≠ 𝐺𝑛 kita dapat mengikuti prosedur yang sama digunakan dalam mengevaluasi (2.24) dan hasilnya adalah sama seperti sebelumnya, yaitu bahwa untuk N besar jumlah hilang kecuali untuk nilai-nilai tertentu dari A. Nilai-nilai yang luar biasa ini, pada kenyataannya dipilih di atas yaitu 𝐴 = 𝐺𝑛 .
Sebagai titik akhir, sekarang kita akan menunjukkan bahwa vektor kisi resiprok terkait dengan bidang kristal dari kisi langsung. Dengan cara ini, abstrak vektor resiprok akan memperoleh arti konkrit. Pertimbangkan bagian bidang kristal yang indeks Miller adalah (ℎ𝑘𝑙) dan kisi resiprok sesuai vektor 𝐺ℎ𝑘𝑙 = ℎ𝑎∗ + 𝑘𝑏 ∗ + 𝑙𝑐 ∗ di mana angka-angka ℎ, 𝑘, 𝑙 adalah himpunan bilangan bulat. Kita sekarang harus menetapkan sifat-sifat berikut:
i.
𝐺ℎ𝑘𝑙 vektor normal dengan (ℎ𝑘𝑙) bidang kristal.
ii.
𝑑ℎ𝑘𝑙 jarak interplanar berkaitan dengan besarnya 𝐺ℎ𝑘𝑙 oleh
𝑑ℎ𝑘𝑙 = 2𝜋/𝐺ℎ𝑘𝑙
(2.38)
Gambar. kisi resiprok 𝐺ℎ𝑘𝑙 vektor normal terhadap bidang (ℎ𝑘𝑙). Untuk membangun hubungan ini, kita lihat Gambar 2.10, di mana kita telah ditarik salah satu bidang (ℎ𝑘𝑙). Perpotongan dari bidang dengan sumbu 𝑥, y, 𝑧 dan terkait dengan indeks dengan : ℎ, 𝑘, 𝑙 ~
1 1 1
, ,
(2.39)
𝑥 𝑦 𝑧
di mana untuk penggunaan dari definisi indeks Miller (Bagian 1.6). Perhatikan juga vektor 𝑢 dan 𝑣 yang terletak di sepanjang garis bidang dengan 𝑥y dan bidang y𝑧, masing-masing. Menurut angka, vektor ini diberikan oleh 𝑢 = 𝑥𝑎 − 𝑦𝑏, 𝑣 = 𝑦𝑏 − 𝑧𝑐. Untuk membuktikan hubungan (i) di atas, kita hanya perlu membuktikan bahwa 𝐺ℎ𝑘𝑙 ortogonal untuk kedua 𝑢 dan 𝑣 memiliki : 𝑢. 𝐺ℎ𝑘𝑙 = 𝑥𝑎 − 𝑥𝑏 . ℎ𝑎∗ + 𝑘𝑏 ∗ + 𝑙𝑐 ∗ = 2𝜋 𝑥ℎ − 𝑦𝑘 = 0 di mana telah menggunakan (2.35) untuk menetapkan kedua kesetaraan, terakhir kesamaan dari (2.39). Dengan cara yang sama kita juga dapat menunjukkan bahwa 𝐺ℎ𝑘𝑙 t ortogonal terhadap 𝑣, dan ini menetapkan properti (i). Untuk membuktikan (2.38)pertama, amati bahwa 𝑑ℎ𝑘𝑙 jarak interplanar sama dengan proyeksi 𝑥𝑎sepanjang arah normal terhadap bidang (ℎ𝑘𝑙), arah ini dapat diwakili oleh vektor satuan 𝐺ℎ𝑘𝑙 =𝐺ℎ𝑘𝑙 / 𝐺ℎ𝑘𝑙 , karena telah menetapkan bahwa 𝐺ℎ𝑘𝑙 adalah normal ke bidang. Karena itu : 𝑑ℎ𝑘𝑙 = 𝑥𝑎. 𝐺ℎ𝑘𝑙 = (𝑥𝑎. 𝐺ℎ𝑘𝑙 )/𝐺ℎ𝑘𝑙
(2.40)
Catatan bahwa 𝑥𝑎. 𝐺ℎ𝑘𝑙 = 2𝜋ℎ𝑥 sama dengan 2𝜋, karena menurut (2.39) ℎ𝑥 = 𝐼. Ini melengkapi bukti (2.38). Hubungan antara vektor resiprok dan bidang kristal sekarang cukup jelas. Vektor 𝐺ℎ𝑘𝑙 terkait dengan bidang kristal (ℎ𝑘𝑙) yang pada kenyataannya normal dan pemisahan dari bidang ini adalah kali 2𝜋 kebalikan dari 𝐺ℎ𝑘𝑙 panjang di ruang resiprok. Crystallographer lebih memilih untuk berpikir dalam hal bidang Kristal yang memiliki realitas fisik dan indeks Miller, sedangkan fisika zat padat seperti kisi resiprok, yang secara matematis lebih elegan, dua pendekatan bagaimanapun setara dan seseorang dapat berubah dari satu ke yang lain dengan menggunakan yang menghubungkan dua hubungan.
REFERENSI Aprilia,Annisa, dkk. 2012. Struktur Kristal Zat Padat. Pengantar Fisika material. Jurusan fisika Universitas Padjadjaran. Dra.Wierdartun,M.Si. Pendahuluan Fisika Zat Padat [slide share] diakses pada 17 september 2013 Kittel, Charles. 2005. Introduction To Solid State Physiscs.john Wiley & Sons,Inc.
