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Física II
ÍNDICE Unidad I: “ ANÁLISIS VECTORIAL” 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
La física ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............... 1 Magnitud física ......................... ............ .......................... ........................... ........................... .......................... .......................... ................ ... 1 Unidades y patrones de medida .......................... ............ ........................... .......................... ......................... .................. ...... 1 Sistema de referencia .......................... ............. .......................... ........................... .......................... ......................... ................... ...... 2 Vectores y escalares .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... ..................... ........ 3 Física aplicada .......................... ............. .......................... ........................... ........................... .......................... .......................... ............... 13 6.1. Cóctel de medidas.......................... ............. .......................... .......................... .......................... ......................... ............ 13 Preguntas .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... ........................... ..................... ....... 15 Ejercicios ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ....................... .......... 16
Unidad II: “ESTÁTICA. PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO”
1.
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Estática. Primera condición de equilibrio. .......................... ............ .......................... ......................... ................. .... 19 1.1. Equilibrio .......................... ............ ........................... .......................... ......................... .......................... .......................... ............ 19 1.2. Tipos de equilibrio.......................... ............. .......................... .......................... .......................... ......................... ............ 19 1.2.1. Equilibrio estático:.......................... ............. .......................... .......................... ....................... .......... 19 1.2.2. Equilibrio cinético ......................... ............ .......................... .......................... ......................... ............ 20 Primera ley de Newton (Ley de Inercia) ......................... ............ .......................... .......................... ................... ...... 20 Tercera Ley de Newton (acción y reacción)......................... ............ ......................... .......................... ................ 21 Fuerzas Concurrentes .......................... ............. .......................... ........................... .......................... ......................... ................. .... 21 Diagrama de Cuerpo Libre (D.C.L.) ......................... ............ .......................... .......................... ......................... ............ 21 5.1. Ejemplos .......................... ............ ........................... .......................... ......................... .......................... .......................... ............ 23 Primera Condición de Equilibrio........................... ............. ........................... .......................... ......................... ................ .... 23 Física aplicada .......................... ............. .......................... ........................... ........................... .......................... .......................... ............... 27 7.1. La escritura de los principia ......................... ............ .......................... .......................... ......................... ............ 27 Preguntas .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... ........................... ..................... ....... 29 Ejercicios ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ....................... .......... 29
Unidad III: “ESTÁTICA. SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO”
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Estática. Segunda condición de equilibrio............................ .............. ......................... .......................... ................ 35 Momento de una Fuerza o Torque .......................... ............. .......................... .......................... ......................... ............ 35 Teorema de Varignon .......................... ............. .......................... ........................... .......................... ......................... ................. .... 37 Segunda condición de equilibrio .......................... ............ ........................... .......................... ......................... ................ .... 38 Formulación Vectorial: Momento de una Fuerza ........................... ............. .......................... .................. ...... 38 Física aplicada .......................... ............. .......................... ........................... ........................... .......................... .......................... ............... 39 6.1. Puentes.............. ........................... .............. .......................... .......................... .......................... ......................... ............ 39 Preguntas .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... ........................... ..................... ....... 41 Ejercicios ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ....................... .......... 42
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Unidad IV: “CINEMÁTICA” 1.
2.
3. 4.
Cinemática ........................... .............. ......................... .......................... ........................... .......................... .......................... ................... ...... 51 1.1. Definición de velocidad media entre el punto A y el punto B.................. ............. .... 52 1.2. Velocidad instantánea. .......................... ............ ........................... .......................... ......................... ................... ....... 52 1.3. Ejemplo ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............... .. 53 1.4. Ejercicio .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............. 54 1.5. Ejercicio .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............. 54 1.6. Ejercicio .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............. 55 Movimiento Rectilíneo: Aceleración ......................... ............ .......................... .......................... .......................... ............. 55 2.1. Aceleración instantánea .......................... ............. .......................... .......................... .......................... ................. .... 55 2.2. Ejemplo ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............... .. 56 2.3. Ecuaciones del Movimiento.......................... ............. .......................... .......................... .......................... ............. 57 2.4. Ejercicio .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............. 58 2.5. Ejercicio .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............. 59 Caída Libre de los cuerpos .......................... ............. .......................... .......................... .......................... ........................ ........... 59 3.1. Ejemplo ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............... .. 60 3.2. Ejercicio .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............. 62 Física aplicada .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............... .. 62 4.1. La gravedad, la fuerza más misteriosa en el universo ......................... ............ ............... .. 62 4.2. Preguntas .......................... ............. .......................... .......................... .......................... ........................... ........................ .......... 64 4.3. Ejercicios ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............. 64
Unidad V: “MOVIMIENTO CIRCULAR” 1.
2. 3. 4.
Movimiento Circular Uniforme .......................... ............ ........................... .......................... ......................... ................... ....... 71 1.1. Movimiento Circular Uniforme ........................... ............. ........................... .......................... ..................... ........ 71 1.2. Relación entre velocidad angular y velocidad tangencial ....................... ............. .......... 72 1.3. Ejemplo ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............... .. 74 1.4. Movimiento Circular No Uniforme .......................... ............. .......................... .......................... ................. .... 75 1.5. Analogía con el movimiento lineal ......................... ............ .......................... .......................... ................. .... 76 Física aplicada .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............... .. 76 2.1. Johannes kepler .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... ............... .. 76 Preguntas........................... ............. .......................... ......................... .......................... ........................... ........................... ..................... ........ 78 Ejercicios......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... ........................... ........................ .......... 78
Unidad VI: “DINÁMICA” 1. 2. 3. 4.
5.
Dinámica ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... ........................... ........................ .......... 83 Fuerza .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............. 83 Peso y gravedad ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............. 84 3.1. Diferencia entre masa y peso ........................... ............. ........................... .......................... ..................... ........ 85 Segunda ley de newton .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... ............... .. 85 4.1. Expresión matemática de la 2º Ley de Newton. ........................... .............. ..................... ........ 87 4.2. Ejemplo ......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ............... .. 88 4.3. Falta aparente de peso en un elevador. .......................... ............ .......................... ..................... ......... 89 4.4. Aplicación tecnológica ........................... ............. ........................... .......................... ......................... ................... ....... 90 Fuerzas de fricción .......................... ............. .......................... ........................... ........................... .......................... ..................... ........ 91
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6. 7. 8. 9.
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Fricción en movimiento horizontal ................................................................. 93 Física aplicada ............................................................................................. 94 7.1. La fricción en las llantas de automóviles.............................................. 94 Preguntas ................................................................................................... 95 Ejercicios .................................................................................................... 96
Unidad VII: “TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA” 1.
2. 3.
4. 5. 6.
Trabajo..................................................................................................... 103 1.1. Trabajo realizado por una fuerza constante ....................................... 103 1.2. Unidad ........................................................................................... 104 1.3. Ejemplo ......................................................................................... 105 1.4. Trabajo realizado por una fuerza variable.......................................... 105 1.5. Trabajo Neto o Trabajo Total ........................................................... 106 Potencia ................................................................................................... 107 2.1. Eficiencia........................................................................................ 108 Energía ..................................................................................................... 109 3.1. Unidades ........................................................................................ 109 3.2. Fuentes de energía ......................................................................... 110 3.2.1. Energía no renovable........................................................ 110 3.2.2. Energía renovable ............................................................ 111 3.3. Tipos de energía ............................................................................. 111 3.3.1. Energía mecánica ............................................................. 111 3.3.2. Energía térmica................................................................ 112 3.3.3. Energía eléctrica .............................................................. 112 3.3.4. Energía química ............................................................... 112 3.3.5. Energía radiante............................................................... 112 3.3.6. Energía nuclear ................................................................ 112 3.3.7. Energía sonora................................................................. 112 3.4. Energía mecánica............................................................................ 113 3.4.1. Ejemplo........................................................................... 113 3.4.2. Ejemplo........................................................................... 114 3.4.3. Ejemplo........................................................................... 115 3.5. Principio de conservación de la energía ............................................. 116 3.6. Conservación de la energía mecánica................................................ 116 3.7. Fuerza Conservativas ...................................................................... 117 3.8. Fuerzas No Conservativas ................................................................ 117 3.9. Teorema del trabajo y la energía cinética .......................................... 118 3.9.1. Ejemplo........................................................................... 118 3.10. Teorema del trabajo y la energía mecánica ....................................... 120 3.10.1. Ejemplo........................................................................... 120 3.11. Sistemas conservativos.................................................................... 121 3.11.1. Ejemplo........................................................................... 122 3.12. Sistemas no conservativos ............................................................... 124 Física aplicada ........................................................................................... 127 4.1. Rumores sobre los neutrinos ............................................................ 127 Preguntas ................................................................................................. 128 Ejercicios .................................................................................................. 129
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Unidad I
AN ÁLISIS V V ECTOR I AL 1.
LA FÍSICA Es una ciencia fundamental dedicada a la comprensión de los fenómenos naturales que ocurren en nuestro universo. Es una ciencia basada en observaciones experimentales y mediciones cuantitativas.
2.
MAGNITUD FÍSICA Es todo aquello que se puede comparar con otro de su misma especie, es todo aquello que es susceptible a ser medido. También se llama cantidades físicas. Ej.: Longitud, masa, volumen, temperatura, etc. Las magnitudes físicas se clasifican en:
3.
Magnitud fundamental: Son las principales y que sirven de base para determinar las demás magnitudes y se encuentran en casi todos los fenómenos, son la longitud (L), masa (M), tiempo (T), temperatura (), carga eléctrica (Q), etc.
Magnitud derivada: Son aquellas magnitudes que están expresadas en función de las fundamentales, el número de estas magnitudes es muy amplio, son por ejemplo la velocidad, aceleración, área, volumen, presión, trabajo, energía, etc.
UNIDADES Y PATRONES DE MEDIDA Cuando se mide la distancia entre dos objetos, la medida se reporta como un número. Sin embargo, el numero en particular que de depende del tamaño de la unidad básica de medición. Si reportamos una distancia en metros nos dará por ejemplo 25,4 m, si reportamos la distancia en centímetros nos dará 2540 cm y si la reportamos en pulgadas nos dará 1000 pulgadas.
1
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Decimos que una cantidad medible tiene dimensiones cuando el tamaño del resultado numérico depende de las unidades escogidas para la medición. Con el fin de que las unidades y dimensiones en diferentes lugares y momentos tengan significado, definimos primero las unidades básicas o fundamentales. Las unidades básicas también se conocen como patrones. Solamente hay 7 unidades fundamentales en el Sistema Internacional (SI) Unidades Básicas del SI Cantidad
Nombre
Símbolo
metro
m
Masa
kilogramo
kg
Tiempo
segundo
s
Corriente Eléctrica
amperio
A
Temperatura Termodinámica
kelvin
K
Cantidad de sustancia
mole
mol
Intensidad Luminosa
candela
cd
Longitud
Tabla 1. 4.
SISTEMA DE REFERENCIA Nuestra propia experiencia nos ha enseñado que el movimiento es un término relativo, por ejemplo si vamos en automóvil en movimiento, que se mueve uniformemente, y lanzamos una pelota al aire, ésta asciende y vuelve a caer a nuestras manos. Nosotros sólo vemos el movimiento hacia arriba y hacia abajo, sin embargo una persona que se encuentre al lado del automóvil en movimiento ve que la pelota se mueve hacia delante con éste, así como hacia arriba y hacia abajo. En la realidad sólo sucede una cosa, aunque observadores diferentes ven movimientos distintos. Podemos evitar la confusión si especificamos con cuidado la posición y el movimiento de cada observador. Decimos que observadores diferentes se encuentran en marcos de referencia diferentes. Un marco de referencia es una entidad física, como un campo, una habitación o un vehículo en movimiento, a los cuales referimos la posición y el movimiento de objetos. Para describir adecuadamente el movimiento debemos ser capaces de decir dónde se localiza algo dentro de un marco de referencia determinado. Como sabemos el espacio es tridimensional, es decir que necesitamos tres números
2
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(alto, largo, ancho) para ubicar por completo la posición de un objeto o punto. Un sistema para asignar estos tres números o coordenadas, a la posición de un punto en un marco de referencia recibe el nombre de sistema de coordenadas. Con mayor frecuencia recurriremos aun sistema de coordenadas cartesiano (x, y, z). Las coordenadas en el espacio son llamadas a menudo coordenadas rectangulares debido a que los ejes que la definen se encuentran en ángulos rectos (90 ). Y aunque se usan otras 12 sistemas de coordenadas, sólo 2 de ellas son más usuales que las rectangulares. Como un sistema de coordenadas es una construcción matemática, podemos elegir el sistema que mas nos convenga de acuerdo a la geometría de lo que estamos estudiando, las posiciones físicas no dependen de donde se coloque el sistema de coordenadas, sin embargo, las posiciones medidas dentro de un sistema de coordenadas dependen de donde se pone el origen. Dos observaciones importantes: 1. Cuando enfrente un problema físico, trate de poner el origen de las coordenadas en un posición que permita resolver el problema con la mayor facilidad posible. 2. Una vez elegido el sistema de coordenadas no cambiarlo durante la solución.
Un punto en una línea se Un punto en un plano se Se requerirán tres coordedescribe con una coorde- localiza en dos coorde- nadas para localizar un nada (1-D). nadas (2-D) punto en el espacio (3-D). +Z
+Y
+3
+3 +2
+2
-X
+1
+X +1
-3
-2
-1
0
+1
+2
+Y 0
+3 +2
+3
+ 2
+3
X +
5.
+2
+ 1
+X +1
+1
+ 3
VECTORES Y ESCALARES Un vector es una magnitud cuya determinación exige el conocimiento de un módulo, una dirección y un sentido. Ej: desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, momento, impulso, etc.
3
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Un escalar es una magnitud cuya determinación solo requiere el conocimiento de un numero, su cantidad con respecto a cierta unidad de medida de su misma especie. Ej: longitud, área, volumen, masa, presión, densidad, tiempo, temperatura, energía, trabajo, potencia, etc. Podemos decir también de los vectores de un punto de vista más matemático, que son segmentos de recta orientados que se emplean para representar las magnitudes vectoriales. Las principales cantidades físicas se clasifican como escalar y vector en la siguiente tabla: Cantidades Escalares Cantidades Vectoriales Cantidad Símbolo Unidad Cantidad Símbolo Unidad x Longitud L m Posición m 2 x Area A m Desplazamiento m v Volumen V m3 Velocidad m/s a Masa M kg Aceleración m/s2 Presión p Pa Fuerza N F p Densidad d kg/m3 Momentum N.kg/s Tiempo t s Impulso N.s I Temperatura T K Campo Eléctrico V/m E Energía E J Campo Magnético B T Potencia P W Corriente eléctrica i A Potencial eléctrico V V Resistencia eléctrica R
Tabla 2.
1. Álgebra Vectorial Las operaciones de adición, suma, diferencia o resta, multiplicación o producto del álgebra elemental entre números reales o escalares, se pueden generalizar, introduciendo determinadas definiciones, al álgebra entre vectores.
Dos vectores son equipotentes, si tiene el mismo módulo, dirección y sentido, si además tienen el mismo punto de aplicación son iguales . Dado un vector A, el vector opuesto, -A, es el que tiene el mismo módulo dirección, pero sentido contrario.
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La suma de vectores obedece a la ley del paralelogramo. La diferencia de vectores también obedece la ley del paralelogramo. el producto de un escalar m por un vector A es un vector m A, de la misma dirección que A, pero con un producto |m| veces el de A.
La notación vectorial que vamos a seguir es la siguiente: Leyes del algebra vectorial 1. 2. 3. 4. 5. 6.
A + B = B + A A + (B + C) = ( A + B) + C m A = Am m(n A) = (mn) A (m + n) A = m A + n A m( A + B) = m A + nB
A
Propiedad conmutativa. Propiedad asociativa. Propiedad conmutativa del producto. Propiedad asociativa del producto. Propiedad distributiva. Propiedad distributiva.
2. Formulas Importantes (en dos dimensiones): arctan(
2 2 A A A X Y Magnitud o modulo:
A ( A X , AY ) R :
AY A X
)
ángulo respecto a la referencia (dirección y sentido), respecto al eje X positivo (+X) en sentido antihorario.
(-,+)
Y
Y
R R
(+,+) R
X
X
R º
Y
Y R
R
X
R º
X (+,-)
(-,-) R º
5
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3. Formulas Importantes (en tres dimensiones): A ( A X , AY , A Z )
A A X 2 AY 2 A Z 2
Magnitud o modulo: Z
arccos(
A X A
) A ( A X , AY , A Z )
arccos(
arccos(
AY A
A Z A
)
A
Y
) X
, ,
y son ángulos directores (dan la dirección del vector A)
4. Vectores unitarios. El sistema i , j , k representa a los ejes X, Y, Z de un sistema de coordenadas cartesiano rectangular. Así los vectores unitarios i , j , k forman un conjunto de vectores mutuamente perpendiculares, donde la magnitud del vector unitario es igual a la unidad, es decir: | i | = | j | = | k | = 1.
Vector unitario
i
2 Dimensiones
3 Dimensiones
(1,0)
(1,0,0)
Z
j
k
(0,1)
k
(0,1,0) (0,0,1)
i
j
Y
X
Un vector se puede representar como vectores componentes rectangulares con ayuda de los vectores unitarios trirectangulares.
6
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Vector
2 Dimensiones
3 Dimensiones
Ax i + Ay j
Ax i + Ay j + Az k
A
El módulo de A es
A=
A x2 A y2 A z 2
| A | =
El vector unitario, es cualquier vector de modulo igual a uno, este vector nos indica una dirección. Podemos transformar cualquier vector en vector unitario si dividimos al vector entre su modulo.
EJEMPLO
Obtenga la suma de los dos vectores A y B que se encuentran en el plano XY
A 2i 2 j
y están dados por:
ˆ
B 2i 4 j
y
ˆ
ˆ
ˆ
SOLUCION
Note que Ax = 2, Ay = 2, Bx = 2, By= -4. Por lo tanto, el vector resultante R
esta dado por: R A B (2 2)i (2 4) j 4i 2 j ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
La magnitud de R esta dada por: R R X 2 RY 2 R Z 2 (4) 2 (2) 2 20 4,47
EJEMPLO
Una partícula experimenta tres desplazamientos consecutivos dados por
d 1 (i 3 j k )
d 2 (2i j 3k ) cm,
cm, desplazamiento resultante de la partícula. ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
y
d 3 (i j ) ˆ
cm. Hallar el
ˆ
SOLUCION
R d 1 d 2 d 3 (1 2 1)i (3 1 1) j (1 3 0)k (2i 3 j 4k )cm ˆ
ˆ
7
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
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5. Producto de Vectores Existen dos maneras de multiplicar vectores, podemos expresar muchas relaciones físicas en forma concisa usando producto vectorial como trabajo mecánico y Torque.
Producto Escalar: el producto escalar de dos vectores A y B se denota
por A B . Por esta notación el producto escalar también se denomina producto punto.
Para definir el producto escalar A B , dibujamos A y B con sus orígenes en el mismo punto. El ángulo entre sus direcciones es
(siempre entre 0º y
180º). La figura muestra la proyección del vector B sobre la dirección de A ;
esta proyección es la componente de B paralela a A y es igual a Bcos .
B
A
Bcos
Definimos A B como la magnitud de A multiplicada por la componente de B paralela
a A ,
expresado como:
A B AB cos A B cos
El producto escalar es una cantidad escalar, no un vector, y puede ser positivo, negativo o cero.
El producto escalar es conmutativo: A B B A El producto escalar obedece la ley distributiva de la multiplicación:
A ( B C ) A B A C
El producto escalar de vectores unitarios tiene la siguiente propiedad: i i j j k k 1 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
i j i k j k 0 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
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Si los vectores A y B son perpendiculares entonces A B 0 . Si los vectores
y B se pueden expresar en la forma de componentes como:
A
A A x i A y j A z k ˆ
ˆ
ˆ
B B x i B y j B z k ˆ
ˆ
ˆ
Entonces el producto escalar de A y B se puede expresar como:
A B A x B x A y B y A z B z
EJEMPLO
Los vectores A Determínese:
y
B
están dados por A 2i 3 j y B i 2 j . ˆ
ˆ
ˆ
El producto escalar A B .
El ángulo entre A y B . SOLUCION
Ax = 2, Bx = -1, Ay = 3, By = 2, Az = 0, Bz = 0:
A B (2i 3 j ) (i 2 j) (2)(1) (3)(2) (0)(0) 2 6 4 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Las magnitudes de A y B están dadas por: A A x2 A y2 (2) 2 (3) 2 13 B B x2 B y2 (1) 2 (2) 2 5
de la definición de producto escalar:
cos
A B AB
4 13 5
4 65
9
ˆ
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4
1
cos
8,06
60,3º
Producto vectorial: el producto vectorial de dos vectores A
y
B se
denota por A B , también llamado producto cruz, se define de la siguiente manera:
Dados dos vectores cualesquiera A y B se define el producto vectorial A B
como un tercer vector C , cuya magnitud es ABsen. Esto es, si C esta dado por:
C A B
Entonces su magnitud es:
C C ABsen
La dirección de A B es perpendicular al plano formado por A y B , y sus sentido se determina por el sentido de avance de un tornillo de rosca derecha cuando se gira de A hacia B a través del ángulo. Es mas conveniente usar la
regla de la mano derecha para determinar la dirección de A B , los cuatro dedos de la mano derecha apuntan a lo largo de A y entonces se giran hacia B
un ángulo, la dirección del dedo pulgar levantado es la dirección de A B . Algunas propiedades del producto vectorial son:
El producto vectorial es una cantidad vectorial y el vector resultante C es
perpendicular a los vectores A y B
El producto vectorial no es conmutativo:
A B B A
Si los vectores A y B son paralelos entonces A B 0
El producto vectorial obedece la ley distributiva:
10
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A ( B C ) A B A C
i i j j k k 0 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
i j k , ˆ
j k i ,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
k i j ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Si conocemos las componentes de los vectores A y B , el producto vectorial se puede expresar como:
A B ( A y B z A z B y )i ( A z B x A x B z ) j ( A x B y A y B x )k ˆ
ˆ
ˆ
o también expresarlo en forma de determinante i
j
k
A B A x
A y
A z
B x
B y
B z
ˆ
ˆ
ˆ
EJEMPLO
Dos vectores situados sobre el plano XY están dados por las ecuaciones
A 2i 3 j ˆ
B i 2 j .
y
ˆ
ˆ
ˆ
A B
Encuentre
y
verifique
que A B B A .
SOLUCION
Ax = 2, Bx = -1, Ay = 3, By = 2, Az = 0, Bz = 0:
A B ((3)(0) (0)(2))i ((0)(1) ( 2)(0)) j ((2)(2) (3)(1))k 7 k ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
B A ((1)(0) (0)(3))i ((0)(2) (1)(0)) j ((1)(3) (2)(2))k 7k ˆ
ˆ
Por lo tanto, A B B A
11
ˆ
ˆ
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EJEMPLO
Se tienen los vectores A y B mostrados en la figura. Determínese:
1. La resultante de
y
2. El producto vectorial
Z
( A B )
( A B )
. 3
( A B ) ( A B )
.
A
3. Un vector unitario en la dirección de ( A B) . 0
5
B
SOLUCION
4
X
Hallamos los vectores A y B de la figura:
A (0,5,3) ( 4,0,3) ( 4,5,0))
B ( 4,5, 0 ) ( 4,0,3) ( 0 ,5, 3)
1.
C ( A B ) ( 4,10,3)
D ( A B ) ( 4,0,3)
2. i
ˆ
j
ˆ
C D 4 10 4
k ˆ
3 i
0
10 3
ˆ
3
j
4
3
0
3
k
4 10
ˆ
ˆ
4
3
ˆ
4
0
3. D 16 0 9 5 u D
(4,0,3) 5
4 3 ( ,0, ) 3 5
El producto vectorial nos puede representar el área de un paralelogramo:
u xv
v
u v
Área del paralelogramo
u
12
30i 24 j 40k ˆ
ˆ
Y
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Algunas propiedades del triple producto vectorial:
(u v ) w (u w)v (v w)u
w (u v ) (w v )u (w u )v
(a b ) c (b c ) a ) (c a ) b 0
El triple producto escalar u v w es numéricamente igual al volumen de un paralelepípedo que tenga a u , v y w como aristas concurrentes.
u v
u v w V
u v w 0 u, v
y w son coplanares
u v w v wu u v w
h
v
n ˆ
u
6.
FÍSICA APLICADA 6.1.
CÓCTEL DE MEDIDAS En Septiembre de 1999, los Norteamericanos recibieron un feo recordatorios sobre como el resto del mundo mide pesos y distancias. El Mars Climate Orbiter, de la NASA, de 165 millones de dólares, equivocó desastrosamente su ruta debido a un pequeño error: un equipo de controladores de vuelo programó la nave en unidades inglesas (libras y pies), y el otro equipo introdujo las cifras usando el sistema métrico (newton y metros). En 1964, el Buró Nacional de Patrones de Estados Unidos acogió oficialmente el sistema métrico con sus convenientes múltiplos de O. A finales de los años 70, el presidente Jimmy Carter hizo vanos esfuerzos por lograr la metrificación. Los científicos y los tecnólogos, así como los talleres de mecánica automotriz, han operado con centímetros durante años, mientras el resto de la vida norteamericana se movía pulgada a pulgada.
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La resistencia al sistema métrico no es sólo pereza. Las unidades inglesas usadas en Norteamérica brindan medidas convenientes que no tienen equivalentes simples. No hay un sustituto métrico sencillo para una taza o un galón. ¿Quién querría comprar un envase con 3.785 litros de leche? Una línea de whisky se entiende fácil, pero no 3 cm. cúbicos. Nuestros hábitos, desde las pistolas calibre .45 (cañón de 0,45 pulgadas de diámetro) hasta las recetas en cucharadas, son difíciles de metrificar. Los científicos culpan en ocasiones a los medios de difusión, de perpetuar unidades anticuadas e irracionales, pero la prensa no tiene por qué disculparse. Tampoco el metro es una unidad lógica o significativa. Originalmente era la diezmillonésima parte de la distancia entre el Ecuador y cualquier polo. Después se redefinió como una barra de platino encerrada en una bóveda en Francia y más tarde como 1.650.763, 73 longitudes de onda de la luz anaranjada emitida por el átomo de criptón 86 en ciertas condiciones. En la actualidad es la distancia que recorre la luz en el vacío en 1/299.792.458 de segundo, lo que no es, ciertamente, un concepto familiar. La escala Fahrenheit, con sus 80 divisiones entre el punto de congelamiento y el de ebullición del agua, es casi dos veces más sensitiva que el sistema Celsius. Un grado de Fahrenheit es aproximadamente la menor diferencia de temperatura que una persona puede discernir. Y los 180 grados se repiten en topografía, geometría, longitud y posicionamiento astronómico. Los problemas no surgen por las unidades, sino por nuestra terca inconsecuencia. La aviación insiste en que la altitud se mida en pies, pero la velocidad en nudos. Los astrónomos utilizan 24 horas de “ascensión” para marcar las posiciones este-oeste, pero utilizan grados de “declinación” para norte-sur. Las medidas métricas se lanzan por la borda en joyería (quilates), sonido (decibeles) y dondequiera que la gente prefiera la simplicidad del status quo . La cuestión de los términos correctos va más allá de la batalla inglesmétrico. Los astrónomos han sustituido el fácilmente entendible “año luz”, por el impenetrable termino “pársec”. Un pársec es una unidad ar cana,
3,26 años-luz, definido como la distancia a la cual un objeto parecería moverse hacia delante y hacia atrás en un ángulo de un arco-segundo al desplazarse la Tierra alrededor del Sol. El año-luz es una unidad lógica, 14
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basada en la velocidad sorprendentemente invariable de la luz. La Nebulosa de Orión está a unos 1.500 años luz, lo que significa que su imagen ha viajado 1.500 años antes de llegar a nosotros: así de simple. Actualmente los especialistas que prefieren pensar que Orión esta a 500 parsecs, nos recuerdan a los antiguos sacerdotes que utilizaban una terminología oscura para impresionar al hombre común.
Figura 1.
7.
PREGUNTAS 1. ¿Puede encontrar dos vectores con diferente longitud que sumados den 0? ¿Qué restricciones de longitud son necesarias para que tres vectores tengan una resultante 0? Explique su razonamiento. 2. A veces hablamos de la “dirección del tiempo”, del pasado al futuro. ¿es el tiempo un vector? Explique su razonamiento. 3. Los controladores de tráfico aéreo dan instrucciones a los pilotos diciéndoles hacia donde deben volar. Tales instrucciones se llaman “vectores”. Si estas
son las únicas instrucciones dadas, ¿es correcto tal nombre? Explique. 4. ¿Puede encontrar un vector de magnitud 0 cuyas componentes son distintas de cero? Explique.
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EJERCICIOS 1. ¿Cuáles de las siguientes cantidades son vectores y cuales no (indicar si o no):
fuerza temperatura volumen de agua en una lata popularidad de un programa de TV la altura de un edificio la velocidad de un carro la edad del Universo
____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
2. Si la componente de un vector A a lo largo de la dirección de un vector B es cero, ¿qué se puede concluir respecto a los dos vectores? 3. Un excursionista inicia su recorrido caminando primero 25 km hacia el sureste, partiendo desde su campamento. El segundo día camina 40 km en una dirección 60º al noreste, y al llegar a ese lugar descubre la torre de un guardia forestal.
Determine las componentes rectangulares del desplazamiento del excursionista en el primero y segundo días. Determine las componentes rectangulares del desplazamiento total del excursionista para todo su recorrido.
4. Dados los vectores r = 3 i
2 j
+ k ,
p =
2 i-
- 3 k , q = - i + 2 j +
(b) r + p
(a) q
2 k , hallar los módulos de:
4 j
(c) 2 r - 3 p
5q
5. Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vectores
r = 2 i + 4 j - 5 k , p = i + 2 j + 3 k
6. La figura muestra a un paralelepípedo que contiene los vectores A y B. Determinar el vector resultante y modulo.
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Z (0,0,6) B
A
(0.8.0)
Y
(5,0,0) X
7. Hallar los siguientes productos escalares:
(b) i . j (c) k . j
(a) i . i
(d)
j
.( 2 i - 3 j + k )
8. Hallar el ángulo formado por los vectores
p =
(e) ( 2 i - j ).( 3 i + k )
2 i+
2 j - k , q =
6i -
3 j
+
2 k
p =
9. Hallar el valor de a de tal forma que sean perpendiculares.
j
i
k ,
2 +a +
q=
4i
j
-2 -
2 k
10. ¿Cuáles de los siguientes vectores son mutuamente perpendiculares?
A =(2,1,1,);
11. Demostrar
los
forman un triangulo rectángulo. 12. Hallar los ángulos
vectores
p = i - 3 j + 5 k ,
D = (1,1,-3); E = (9,5,3)
que
r = 3 i - 2 j + k ,
C = (1,-2,0);
B = (0,0,2);
q = 2 i + j - 4 k
que
forman
el
r = 3 i - 6 j + 2 k
con los ejes coordenados. 13. Calcule el ángulo entre estos pares de vectores:
(a) A 1i 6 j
ˆ
y
B 3i 2 j
(b)
A 3i 5 j
ˆ
y
B 10i 6 j
(c)
A 4i 2 j
y
B 7i 14 j
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
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ˆ
ˆ
vector
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14. Hallar los productos siguientes:
(a) i X j
(b) j X k
(f) ( 2 j ) X ( 3 k )
(c) k X i
(d) k X j
(g) 2 j X ( i - 3 j )
15. Si
p = p1 i + p2 j- p3 k , q = q1 i + q2 j + q3 k , hallar p X q
16. Dados
p = 2 i - 3 j - k , q = i + 4 j - 2 k
hallar
(a) p X q
(b) q X p
(c) ( p + q ) X ( p - q )
17. Dados
r = 3 i - j + 2 k , p = 2 i + j - k , q = i - 2 j + 2 k
hallar
(a) ( r X p ) X q
(b) r X ( p X q )
18. Determinar el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores
p = 2 i - 6 j - 3 k ,
q = 4 i + 3 j - k
19. Hallar
r . ( p X q ), si r = 2 i - 3 j , p = i + j - k , q = 3 i - k
20. Se tienen los siguientes vectores:
A i j k , B i 2 j 3k , C i j ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
La magnitud de la Resultante de estos tres vectores es __________ y su dirección es ____________.
El ángulo entre los vectores
B
y
C
es ___________.
El producto A ( B xC ) es ______________. Un vector unitario en la dirección de C es ___________. ¿Se puede hallar un vector D tal que la suma A B C D 0 ? Explique.
21. Hallar el área del paralelogramo formado por los vectores
p = 2 i + 3 j - k , q = - i + j + 2 k
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(e) i X i
