FISICA - Momento Angular y Lienal

Capítulo II

Cuerpos en rotación

2. Inercia rotacional Actividad 7

Observar-analizar

Resistencia a la rotación

Consigue un lápiz (de preferencia metálico) y hazlo girar entre tus dedos, primero en torno al punto medio (1), luego en torno a un extremo (2) y finalmente alrededor del eje longitudinal (3) (ver secuencia fotográfica).

1

2

3

1. ¿En qué caso resultó más sencillo hacer girar el lápiz?, ¿en cuál fue más difícil? 2. ¿En qué caso el radio de giro es menor y en cuál mayor? 3. ¿En qué situación hay mayor masa cerca del eje de giro? 4. Según lo anterior, ¿en qué caso crees que sería más fácil detener la rotación?, ¿en qué caso sería

más difícil? La inercia es una medida que indica la resistencia de los cuerpos a cambiar su estado de movimient movimiento. o. Cuando se quiere trasladar un cuerpo, la dificultad que este opone a cambiar su estado se llama inercia traslacional, mientras que cuando se lo quiere rotar, la medida de resistencia se denomina inercia rotacional. En ambos casos, la inercia es proporcional a la masa, es decir, mientras mayor sea la masa de un cuerpo, más difícil resulta modificar su estado de movimiento, ya sea de traslación, rotación o reposo.

2.1 Momento de inercia

Si bien en ambos casos el movimiento es distinto, en los dos se manifiesta el concepto de inercia.

Como ya señalamos, la inercia rotacional depende de la masa del cuerpo y, por lo tanto, esta varía para diferentes objetos. En la rotación de los cuerpos se define el concepto de momento de inercia (I ),), que desempeña un papel similar al que tiene la masa en el caso del movimiento lineal. El momento de inercia de un cuerpo en relación con un eje determinado depende de la cantidad de masa y de su distribución respecto del eje escogido para hacerlo rotar. Mientras mayor sea la masa y/o más alejada del eje de giro se encuentre distribuida, mayor será la tendencia a permanecer en un estado rotacional.

46 Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial

Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial

Por ejemplo, si se hace rotar un mismo cuerpo respecto de tres ejes distintos, como se muestra en las ilustraciones, en cada uno de los casos el momento de inercia resulta distinto, debido a que varía v aría la distribución de masa en torno al eje de giro. A

B

C

Dimensionalmente, Dimensionalment e, el momento de inerci inerciaa se obtiene del producto de una unidad de masa por unidad de longitud al cuadrado, por lo que en el SI es medido en (kg·m2). La forma de determinar el momento de inercia no es sencilla, ya que requiere del uso de herramientas matemáticas más complejas. Por ello, a continuación se presenta una tabla que muestra los momentos de inercia de distintos objetos: Tabla T abla 1. 1. Momentos de inercia de objetos rígidos de composición uniforme Aro cilíndrico delgado

Cilindro sólido o disco

Cilindro hueco R1 R2

1 M $ R2 2

I = M $ R 2

I =

Esfera sólida

Cáscara esférica delgada

I =

2 M $ R2 5

1 M $ L2 12

Varilla larga y delgada con eje de rotación en un extremo L

I =

1 M (R 21 + R 22) 2

Masa puntual

I = M $ R2

2 I = M $ R 2 3

Varilla delgada y larga con eje de rotación en el centro

I =

I =

,Vuille, e, C. y Faughn, J. Fuente : Serway, R. ,Vuill (2009). Fundamentos de la física . 8.ª edición. México: Cengage Learning. L

1 M $ L2 3

Capítulo II: Cuerpos en rotación 47

Capítulo II


3. El momento angular Actividad 8

Inferir-analizar

Magnitudes presentes en la rotación de un cuerpo

Reúnanse en grupos de tres o cuatro integrantes y consigan dos rollos de cinta adhesiva, plasticina, un cuaderno grande y dos libros. Luego, realicen la siguiente actividad: 1. Con la plasticina, llenen por completo la cavidad

de uno de los rollos de cinta adhesiva, como se muestra en la fotografía A.

A

2. Apoyen el cuaderno sobre ambos libros, de modo

de formar un plano inclinado (también pueden utilizar una mesa como plano inclinado). 3. Ubiquen sobre el extremo superior del plano

inclinado los dos rollos de cinta (fotografía B). Déjenlos rodar simultáneamente y observen lo que sucede.

B

a. ¿Cuál de los rollos adquiere mayor rapidez? b. ¿Cuál de ellos tiene mayor momento de inercia?,

¿cómo in�uye esto en su rapidez lineal? c. ¿Está presente el concepto de momentum lineal

en el movimiento de los rollos? Expliquen.

En la situación presentada en la Actividad 8, podemos distinguir un movimiento compuesto por otros dos: uno de traslación y otro de rotación. El primero es descrito respecto del centro de masa del cuerpo, el que se traslada en una trayectoria rectilínea por el plano inclinado. Asociado a este movimiento está el concepto de momentum lineal (estudiado en Segundo Medio), que da cuenta de la inercia traslacional del cuerpo en movimiento lineal. El movimiento de rotación del cilindro es descrito de acuerdo con un punto arbitrario sobre la superficie de este, el que gira respecto del eje de rotación. El concepto vinculado a la rotación es el de momento angular y da cuenta de la inercia rotacional del cuerpo cuando este se encuentra rotando. Al disminuir la rapidez angular del trompo, este comienza a balancearse sobre su eje en un movimiento conocido como precesión.

Seguramente habrás observado que, cuando un trompo se mantiene girando, puede permanecer parado sobre su eje, pero al dejar de girar cae. Esto se debe a que el momento angular puede ser interpretado como la tendencia de un objeto que gira a conservar su eje de rotación.



Para una partícula de masa m que describe una trayectoria circunferencial, el momento angular se designa con la letra L y vectorialmente apunta en la dirección del eje de rotación (como se muestra en el esquema). Considerando el momento de inercia del cuerpo y su rapidez angular, el módulo del momento angular puede ser expresado de la siguiente forma:

L = I $ ~

Como I se expresa en (kg·m2) y ω en (rad/s), el momento angular quedará expresado en (kg m2 /s).

Cuerpo de masa m que describe una trayectoria circunferencial de radio r , respecto de un punto.

Es importante mencionar que el concepto de momentum lineal y el de momento angular son análogos. Así, podemos representar su equivalencia de la siguiente forma: momentum lineal: p = m $ v

momento angular: L = I $ ~ distribución de masa rotacional rapidez angular

masa inercial rapidez lineal

De igual forma, a partir del concepto de momento angular puede establecerse la analogía entre la fuerza y el torque, ya que la primera representa la variación del momentum lineal en el tiempo, mientras que el torque corresponderá a la variación del momento angular en el tiempo:

F =

D p Dt

(fuerza)

x=

D L Dt

(torque)

Interactividad En la siguiente dirección: www.sociedadelainformacion.com/departfqtobarra/gravitacion/ mangular/AngMomA.html encontrarás más información sobre el concepto de momento angular.


Capítulo II


Resolución de problemas 5

¿Cuál es el momento angular del movimiento de la Luna? Situación problema

La Luna, nuestro satélite natural, tiene dos movimientos característicos, uno de rotación sobre su eje y otro de traslación alrededor de la Tierra. Cada uno posee un momento angular definido por su masa y la forma en que la Luna se mueve. Si se considera que el radio de la Luna es de 1 737 000 m, su masa es 6,7 x 10 22 kg, sus períodos de rotación y de traslación son prácticamente iguales y corresponden a 27,3 días, y la distancia media entre la Tierra y la Luna es igual a 384 600 000 m, ¿cuál es el momento angular total de la Luna? 1. Entender el problema e identificar las incógnitas

Para resolver el problema, debemos calcular de manera independiente el momento angular de rotación ( Lr ) y el momento angular de traslación ( Lt ). Luego, el momento total de la Luna corresponderá a la suma vectorial de ambos momentos ( Lr + Lt ). 2. Registrar los datos

• Radio lunar: r = 1 737 000 m • Masa lunar: 6,7 x 1022 kg •

Período: 27,3 días = 2 358 720 s

•

Distancia media Tierra-Luna: 384 600 000 m


3. Aplicar el modelo

El modelo matemático que nos permite determinar el módulo del momento angular de la Luna, si se conocen su momento de inercia y rapidez angular, es: L = I $ ~

Al determinar el momento de rotación Lr (llamado también intrínseco), debemos considerar a la Luna como una esfera sólida, por lo que su momento de inercia es I = 2 MR2 /5 (ver tabla de la página 47). Además, recordemos que una forma de determinar la rapidez angular es ω = 2 /T . En consecuencia, el momento angular de rotación de la Luna resulta: 2 4 r MR L r = 5 T


Al remplazar los valores del punto 2, resulta: 22 2 4 r 66, 7 # 10 kg $ (1737 000 m) @ L r = 5 2 358 720 s

4. Respuesta

Luego, el módulo del momento angular total de la Luna es: L = L r + L t

L r = 2, 15 # 10 29

kg m s

2

Para calcular el momento angular de traslación ( Lt ) alrededor de la Tierra (también denominado momento angular orbital), debemos considerar a la Luna como una masa puntual que gira en un círculo de radio R. De esta forma, su momento de inercia será I = MR2. Al remplazar esta fórmula y la de rapidez angular ( ω = 2 /T ) en Lt = I·ω, obtenemos:

2 kg m 2 34 kg m + 2, 64 # 10 s s

L = 2, 64 # 10

34

kg m 2 s

Es importante notar que el momento angular orbital es mucho mayor que el intrínseco razón por la cual el valor de este último no se ve reflejado en la suma respectiva. ¿Qué otros movimientos posee la Luna? Investiga. Ahora tú

MR 2 L t = 2r $ T

1. Calcula el momento angular orbital e

Remplazando los valores anteriores, resulta: 22 2 [6, 7 # 10 kg $ (384 600 000 m) ] L t = 2r 2 358 720 s

L t = 2, 64 # 10 34

L = 2, 15 # 10

29

kg m 2 s

intrínseco de la Tierra, si su masa es de 5,97 x 1024 kg, su diámetro (ecuatorial) es de 12 756,8 km y la distancia Tierra-Sol es de 1,5 x 10 8 km. 2. Determina la magnitud del momento angular

de un disco sólido uniforme de 50 cm de radio y 2,4 kg de masa, que gira a 200 rpm (revoluciones por minuto) respecto de un eje que pasa por su centro en forma perpendicular al plano del disco.


Capítulo II


Investigación cientí�ca

Trabajo Tra ajo en equipo

Cambios en el momento angular Antecedentes

Seguramente habrás observado que cuando un patinador o patinadora se encuentra girando con los brazos extendidos, al cerrarlos de improviso comienza a girar más rápido. Algo similar ocurre en algunos fenómenos astronómicos, como el de la reducción o crecimiento del diámetro de una estrella, ya que, a consecuencia de ello, también se produce una variación en la rapidez angular del cuerpo celeste. Como sabemos que los conceptos de momentum lineal y momento angular son análogos, cabría pensar que la ley de conservación del momentum lineal tiene a su vez una ley análoga para el caso del momento angular.

A

Pregunta de investigación

Formulen un problema de investigación relacionado con la variación del momento angular de un cuerpo. Recuerden que un problema de investigación es una pregunta que intenta ser resuelta a través de un experimento. Guíense por las siguientes interrogantes para plantear el problema: ¿cómo varía la rapidez angular de un cuerpo al disminuir o aumentar su momento de inercia?, ¿qué relación matemática existe entre las variables involucradas? Hipótesis

A partir del problema planteado en el punto anterior, formulen una hipótesis. Pueden guiarse por este ejemplo: el momento angular de un cuerpo tiende a conservarse. Estrategias de contrastación (diseño y realización de experimentos)

Deben tener en consideración que en toda investigación es fundamental someter a prueba la veracidad de la hipótesis planteada. Para ello, realicen la secuencia de pasos que se indica:


B

1. Definan las variables involucradas en su

problema de investigación, determinando cuál de estas será la variable dependiente y cuál la independiente. 2. Averigüen en distintas fuentes qué

experimentos son factibles de llevar a cabo para poner a prueba su hipótesis. 3. Pueden diseñar su experimento a partir de

alguno de los siguientes montajes propuestos (ver fotografías A y B). En cada uno de ellos, el sistema debe ponerse en giro y variar su momento de inercia.


4. Elaboren una lista con los materiales

Conclusiones

necesarios para realizar el experimento. Además, deben definir cómo y dónde registrarán sus observaciones.

a. ¿Creen que lo ocurrido con el objeto estudiado

en su experimento y aquellas situaciones expuestas en los antecedentes son explicadas por un mismo principio?

Resultados

Una vez manipulada la variable independiente, deben registrarse las observaciones. Como se trata de una investigación cualitativa, se sugiere completar una tabla como la siguiente: Observación: se mantiene constante, aumenta, disminuye

b. Propongan (si es posible) un modelo matemá-

tico que dé cuenta de la variación del momento angular del cuerpo. Comunicación de resultados

I

ω

1

Elaboren un resumen científico con los resultados de la investigación (ver en Anexo IV el formato de un resumen científico).

2

3

Análisis e interpretación de evidencias a. ¿Cuáles son las magnitudes que cambiaron

en su experimento?, ¿cuáles se mantuvieron constantes? b. ¿Qué momento de inercia presente en la tabla

de la página 47 representa mejor al objeto utilizado en su experimento? c. ¿Cómo explicarían la variación de la rapidez

angular del cuerpo? d. ¿Qué magnitud tiende a conservarse en

su experimento?


Capítulo II


4. Conservación del momento angular Seguramente, en la Investigación científica anterior, observaste que, cuando varía el momento de inercia de un cuerpo que gira, también se produce una variación de su rapidez angular. Se constata que, al disminuir el momento de inercia de un cuerpo, aumenta la rapidez angular, y viceversa, lo cual se debe a la tendencia a mantener el momento angular constante. Esto se conoce como conservación del momento angular y se cumple cuando el torque neto externo sobre el cuerpo es igual a   cero (  = 0 ). A partir de esta condición podemos deducir lo siguiente: x=

D L = Dt

0

L f - L i D L = = Dt Dt

0

L f - L i = 0

Finalmente, la condición que representa la conservación del momento angular es:

L i = L f I i $ ~i = I f $ ~ f

(Como L = I ω)

Donde: I i es el momento de inercia inicial, ωi es la rapidez angular inicial, I f es el momento de inercia final y ω f es la rapidez angular final. Al doblar su cuerpo, el clavadista reduce su momento de inercia, por lo que aumenta su rapidez angular.

Actividad 9

Es importante señalar que la conservación del momento angular es aplicable a cuerpos de gran tamaño, como galaxias, estrellas y planetas, así como a objetos microscópicos, por ejemplo átomos y moléculas.

Deducir

Formulaciones de la conservación del momento angular

1. A partir de la relación de conservación del momento angular entregada, escribe la expresión de

conservación en términos de la rapidez lineal. 2. ¿Cómo podrías obtener una expresión de la conservación del momento angular en términos de la

aceleración centrípeta? 3. ¿En términos de qué otras magnitudes puede escribirse la conservación del momento angular?



4.1 Ejemplos de la conservación del momento angular A continuación se presentan algunas aplicaciones que evidencian la conservación del momento angular. A. El giroscopio

En la actualidad, los sistemas de navegación de aviones, barcos y naves espaciales utilizan la conservación del momento angular a través de un sencillo instrumento llamado giroscopio. Este fue ideado y construido en el año 1852 por el físico francés Jean Léon Foucault (1819-1868), para demostrar la rotación de la Tierra. Un giroscopio es una especie de trompo con forma de disco que gira alrededor de un eje que pasa por su centro de gravedad (imagen de la derecha). Generalmente está montado sobre una suspensión tipo cardán. La conservación del momento angular permite que la dirección del eje de rotación ofrezca gran resistencia a cambiar de posición. De esta manera, el giroscopio funciona como un sensor que mide con precisión el ángulo de giro y los cambios de dirección.

Conceptos clave Cardán: es un componente

B. Las hélices de los helicópteros

Otra aplicación en la que se manifiesta la conservación del momento angular corresponde al movimiento de las hélices de un helicóptero. Cuando el motor de este comienza a girar, la hélice genera un momento angular que, de acuerdo con la conservación del mismo, debería mantenerse constante. Si ello ocurriese, la cabina comenzaría a girar en sentido contrario al de la hélice, generando así un momento angular opuesto al inicial. Para evitar que la cabina del helicóptero gire, este cuenta con una hélice pequeña ubicada en la cola, también conocida como rotor de cola. La función del rotor es generar un momento angular que compense al producido por la hélice principal. Además, el rotor de cola interviene en el giro del helicóptero, ya sea aumentando o disminuyendo el empuje.

mecánico cuya invención se le atribuye a Girolamo Cardano (de ahí su nombre). Este permite unir dos ejes que giran en un ángulo distinto uno respecto del otro.

Reflexionemos

Gran parte del desarrollo de la tecnología ha ido a la par del desarrollo de la ciencia. Hoy, gracias a los logros de la física, podemos ser testigos de incontables avances. Áreas como la computación, las telecomunicaciones y la medicina deben sus innovaciones a esta ciencia. A la luz de estos hechos, ¿qué importancia le atribuyes al desarrollo científico de un país?, ¿debe invertirse en ciencia? Comenta y reflexiona acerca de este tema con tu curso.


Capítulo II


Resolución de problemas 6

¿Cuál es la rapidez de giro de una patinadora al momento de cerrar sus brazos? Situación problema

Una patinadora se encuentra girando con sus brazos extendidos. Al cerrarlos, su momento de inercia se reduce en un 25 % respecto del inicial. Como consecuencia de ello, su rapidez angular se incrementa. Si la frecuencia inicial con que la patinadora giraba era de 3 Hz, ¿cuál será la rapidez de giro una vez cerrados los brazos?

1. Entender el problema e identificar las incógnitas

Ante este problema, es necesario considerar que puede variar el momento de inercia de un cuerpo sin producirse un cambio en su masa. Al cerrar los brazos, la patinadora genera un cambio en la distribución de masa y, por consiguiente, en su momento de inercia. La magnitud que se requiere determinar es la rapidez angular final de la patinadora (ω f ). 2. Registrar los datos

• Relación entre los momentos de inercia: I f = 0,75 I i • Frecuencia de giro inicial: f i = 3 Hz 3. Aplicar el modelo

En vista de que el torque externo es aproximadamente cero, supondremos que el momento angular tiende a conservarse, por lo que podemos aplicar el siguiente modelo: L i = L f

o bien I i $ ~i = I f $ ~ f

Al despejar la rapidez angular final (ω f ), tenemos que: ~ f =


I i ~i I f

(1)


Luego, al remplazar en la expresión (1) la relación entre los momentos de inercia, obtenemos: ~ f =

I i ~i 0,75 $ I i

(2)

~ f = 1,33 $ ~i

Ahora tú 1. Una masa puntual de 200 g se encuentra

girando en un radio de 30 cm con una rapidez angular de 4,6 rad/s. Después de un momento se tira del hilo, con lo que se reduce su radio de giro a la mitad (ver ilustración). Determina la rapidez angular y frecuencia de giro resultantes.

Como ω = 2 /T y f = 1/T , entonces ω = 2 f . Al remplazar el valor de la frecuencia inicial en esta expresión, se obtiene: ~i =

r = 30 cm

2r $ f i

~i = 2r $ (3 Hz) ~i = 6r

rad s

.

18,85

rad s 

Remplazando este valor en la expresión (2), finalmente obtenemos: ~ f = 1, 33 $ (18, 85 rad/s) ~ f = 25, 07 rad/s

4. Respuesta

F

2. Un joven se encuentra rotando con los brazos

cerrados en una silla giratoria, con frecuencia constante de 1,5 Hz. Si al abrirlos (ver ilustración) este incrementa su momento de inercia en un 30 %, ¿cuál será su nueva rapidez angular?

La rapidez angular que adquiere la patinadora al momento de cerrar los brazos es de 25,07 rad/s.


Capítulo II


Ciencia-tecnología-sociedad

Púlsares: conservación del momento angular en la evolución de una estrella La astronomía moderna, apoyada por grandes telescopios ópticos y radiotelescopios, nos permite descubrir sucesos que no pueden ser observados a simple vista.

A

ntes del desarrollo de la astronomía se creía que todas las estrellas eran de la misma naturaleza. Actualmente se conocen estrellas de diversos tamaños, colores y temperaturas; incluso se conocen estrellas compactas, algunas de las cuales emiten radiación electromagnética fuera del rango visible, por lo que solo pueden ser captadas a través de rad iotelescopios. Un tipo de estrellas compactas son las estrellas de neutrones (su materia está compuesta solamente de neutrones, por lo que su densidad es enorme). Este tipo de cuerpos se crea por la implosión de una estrella gigante, lo que comprime su materia y aumenta su densidad y rapidez de rotación, debido a la conservación del momento angular. Estas estrellas emiten radiación

pulsante debido a que su eje de giro no coincide con sus polos magnéticos. Es por esta razón que se conocen con el nombre de púlsares, el que proviene de la abreviatura en inglés del término pulsating star (estrella pulsante). La primera observación de un púlsar se realizó en 1967 por Anthony Hewish y Jocelyn Bell, en el Observatorio de Radioastronomía de Cambridge. Ambos investigadores detectaron señales de radio de corta duración, con un intervalo exacto de 1,33730113 s. En la actualidad se conocen más de 600 púlsares con períodos de rotación que varían entre los milisegundos y los pocos segundos. Fuente: Archivo editorial.

Trabaja con la información A partir de la lectura, responde las siguientes preguntas: 1. ¿En qué otros sucesos astronómicos se mani�esta la conservación del momento angular? Averigua. 2. Según la tabla de la página 47, ¿qué momento de inercia representa al que posee una estrella que rota sobre su eje? 3. Si una estrella como nuestro Sol, cuyo diámetro es de 1 392 000 km y cuyo período de rotación (en el ecuador) es aproximadamente de 27 días y 6 horas, se convierte en una estrella de neutrones y reduce su diámetro a solo 1000 km, ¿cuál sería su nuevo período de rotación?



Glosario

Capítulo II : Cuerpos en rotación

Aceleración angular. Es la variación de la

Inercia traslacional. Representa la resistencia

velocidad angular en el tiempo y su formulación es:

de un cuerpo a modificar su estado de movimiento lineal.

a=

~ f - ~ i

t f - t i

=

D~ Dt

Conservación del momento angular. Es la

tendencia de un cuerpo o sistema a mantener su momento angular constante. Esto se cumple si el torque externo sobre el cuerpo es igual a cero. Las formulaciones que representan la conservación del momento angular son:

análoga al momentum lineal, que puede interpretarse como la tendencia de un cuerpo a mantener su eje de giro. El módulo del momento angular puede ser representado por: L = I $ ~ Momentum lineal. Es una magnitud vectorial

y corresponde al producto entre la masa y la velocidad de un cuerpo. Su formulación es:

L i = L f I i $ ~i = I f $ ~ f

Momento angular. Es una magnitud vectorial,

Condiciones de equilibrio. Son las condiciones

bajo las cuales un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación y de rotación. Se representan a través de las siguientes ecuaciones:

p = m $ v Momento de inercia. Indica la distribución de

masa de un cuerpo respecto de un determinado eje de rotación. Pivote. Corresponde al eje respecto del cual un

/ F = 0 y / x = 0 Giroscopio. Es una especie de trompo con forma

de disco que gira alrededor de un eje que pasa por su centro de gravedad. Un giroscopio funciona como un sensor que mide con precisión el ángulo de giro y los cambios de dirección. Inercia rotacional. Representa la resistencia

de un cuerpo a modificar su estado de movimiento rotacional.

determinado sólido puede efectuar un movimiento de rotación. Precesión. Corresponde al movimiento de

balanceo de un sólido sobre su eje. El movimiento de precesión describe un cono en torno al eje principal de giro. Torque. Es el producto vectorial entre la posición

del punto de aplicación de una fuerza y el vector asociado a ella. El módulo del torque está dado por: x = r $ F seni


SÍNTESIS Y EVALUACIÓN

CAPÍTULO II

Síntesis capítulo II El siguiente organizador grá�co resume los principales contenidos del capítulo. Complétalo con los conceptos apropiados:

La rotación de un cuerpo

se produce por la acción de una

que al ser aplicada a cierta distancia respecto de un eje de giro produce un

debido a la distribución de masa alrededor de un eje, posee

análogamente al momentum lineal, tiene

que en el SI se expresa en

cuya magnitud es

siempre que el torque externo neto sea igual a cero.

si la fuerza y la distancia son perpendiculares.

cuya formulación es

si la fuerza y la distancia están en ángulo. Evaluación de proceso Desarrolla las siguientes preguntas: 1. ¿En qué se diferencian el torque y el trabajo, si ambos son resultados del producto entre la distancia y la fuerza? 2. El volante de un auto de 15 cm de radio puede girar en torno a un eje que pasa por su centro. Si aplicamos sobre su borde una fuerza tangencial de 25 N, ¿cuál es el torque producido por dicha fuerza? 3. Se utiliza una llave de 0,4 m de largo para aflojar una tuerca (imagen A). Si la fuerza aplicada es de 90 N y perpendicular al brazo

de la llave, ¿cuál es el torque sobre la tuerca? Si la fuerza fuera aplicada en un ángulo de 60º, ¿cuál sería el torque?

60 Unidad 11: La mecánica del movimiento circunferencial 60

A

4. Una varilla se hace rotar respecto de dos ejes, tal como se muestra en las ilustraciones. ¿Cómo será el momento de inercia de A respecto de B? Explica.

B

A

L L

5. Calcula el momento angular de una de las ruedas de una bicicleta de 35 cm de radio y de 3 kg de masa, si gira con una frecuencia de 6 Hz. (Para el momento de inercia, debes considerar la rueda como un aro). 6. Un disco sólido uniforme de 80 cm de radio y 7 kg de masa tiene un período de rotación de 5 s respecto de un eje que pasa por su centro, en forma perpendicular al plano que contiene al disco. Si su momento de inercia es I = MR2 /2, ¿cuál será la magnitud del momento angular? 7. Supón que una niña está sentada en el centro de una gran plataforma que gira libremente en un parque de atracciones. ¿Qué ocurrirá con la rapidez de la plataforma si la niña se ubica en su borde? 8. Una persona está sentada en una silla giratoria. Al darle un impulso, esta comienza a girar a razón de 1,4 Hz. Si la persona eleva sus brazos, la frecuencia de rotación de la silla disminuye a 0,7 Hz. ¿Por qué ocurre esto?, ¿en qué factor cambió su momento de inercia? 9. En la etapa final de una estrella gigante, su radio aumenta drásticamente en poco tiempo. ¿Cómo cambian su momento de inercia y su rapidez angular?

Me evalúo Completa la siguiente tabla siguiendo las instrucciones de tu profesor o profesora.

Debería

Reconocer fenomenológicamente el concepto de torque.

Preguntas

1, 2 y 3

Puntaje Total

Obtenido

¿Qué debo hacer?

6

Aplicar la de�nición de momento angular a objetos de formas simples que rotan en relación con un eje.

4, 5 y 6

6

Reconocer las condiciones en las cuales se conserva el momento angular.

7, 8 y 9

9

Según los resultados obtenidos, realiza las actividades que te indicará tu profesor o profesora.

Unidad 1: La mecánica del movimiento circunferencial 61

SÍNTESIS

UNIDAD 1

2 En un movimiento circunferencial, 1 En un MCU, la velocidad lineal varía

en cada instante. Su módulo corresponde a la rapidez lineal.

como el de la rueda de una bicicleta, se pueden observar muchas de las magnitudes cinemáticas asociadas a dicho movimiento.

3 Algunos sistemas con los que se puede transmitir el movimiento circunferencial son las correas de transmisión y los engranajes.

4 Para producir la rotación de un cuerpo respecto de un eje de giro, es necesario la acción de una fuerza. Esta, al ser aplicada a una distancia del eje, origina un torque.


5 Una fuerza neta distinta de cero es la responsable de modificar la dirección de la velocidad lineal. Esta fuerza se conoce como fuerza centrípeta.

6

El momento angular es una magnitud vectorial, cuyo módulo corresponde al producto entre el momento de inercia y la rapidez angular.

Momento de inercia

7 Desde el marco de referencia del cuerpo que El momento de inercia corresponde a la distribución de masa respecto de un eje de rotación. Por ello, un mismo cuerpo que gira respecto de dos ejes distintos tiene un momento de inercia diferente.

gira, este experimenta una fuerza dirigida hacia fuera, conocida como fuerza centrífuga. Desde el marco de referencia Tierra, sobre el cuerpo actúa la tensión del hilo como fuerza centrípeta.


EVALUACIÓN FINAL I.

UNIDAD 1

Explico Desarrolla las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es la principal característica del MCU? 2. ¿Qué debe suceder para que un cuerpo describa una trayectoria circunferencial? 3. Una piedra amarrada a una cuerda gira de modo que presenta un movimiento circunferencial

uniforme cuyo radio es constante. Para dicho movimiento, ¿cuáles de las siguientes magnitudes permanecen constantes y cuáles de ellas variables? Magnitud

Constante

Variable

Magnitud

Rapidez angular

Aceleración centrípeta

Velocidad tangencial

Fuerza centrípeta

Período

Frecuencia

Constante

Variable

4. Respecto de la aceleración y la fuerza centrípeta. A. ¿Cuál es la ecuación que relaciona ambas magnitudes? B. ¿Qué relación existe entre ellas en cuanto a su carácter vectorial (módulo, dirección y sentido)? 5. Una barra tiene su eje de rotación en el centro. Sobre uno de sus extremos se aplica una fuerza de

módulo constante, existiendo un torque distinto de cero. A. ¿Qué ocurre con la rapidez de rotación de la barra, si inicialmente se encontraba en reposo? B. ¿Se conserva el momento angular de la barra? Explica. 6. Dos cuerpos que giran con la misma rapidez angular tienen un momento de inercia de 2 kg·m2 y de

1 kg·m2, respectivamente. ¿Cuál de los dos cuerpos costará más detener? Justi�ca. 7. Un disco gira con una rapidez angular constante hasta que, en cierto momento, cae sobre él otro

disco de radio menor, quedando adheridos (ver �gura). Luego de esto, el conjunto gira con una rapidez angular menor. ¿Por qué disminuye la rapidez angular si no existe un torque que produzca dicha variación? Explica.


II. Comprendo Marca la alternativa que consideres correcta. 1. Si una rueda realiza 25 vueltas en 10 s, su

4. Para calcular el torque resultante sobre un

período en segundos es: A. 2,5

cuerpo, es necesario conocer: I. la fuerza que actúa sobre el cuerpo.

B. 0,4

II. la distancia entre la fuerza y el punto

C. 0,1 D. 0,04 E. 250 2. Los puntos P y Q pertenecen a un mismo

disco que se encuentra girando con rapidez angular constante. Si ambos puntos tienen el mismo período, se puede a�rmar que: A. sus radios son iguales. B. sus rapideces lineales son iguales. C. sus rapideces angulares son iguales. D. sus aceleraciones centrípetas

son iguales. E. todas las magnitudes anteriores

son iguales. 3. Una piedra amarrada a una cuerda gira en

un plano horizontal con rapidez constante. Respecto de la fuerza que actúa sobre la piedra, es falso a�rmar que: A. la fuerza neta corresponde a la tensión de la cuerda.

de rotación. III. el ángulo entre la fuerza y el brazo

de palanca. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo I y III E. I, II y III 5. Una partícula de masa m describe un

movimiento circunferencial uniforme en un radio R y con un momento de inercia I 1. Una segunda partícula de masa m/2 también gira, pero describiendo un radio 2R. Si su momento de inercia es I 2 , ¿cuál es la relación entre los momentos de inercia de ambas partículas? A. I 1 = I 2 B. I 1 = 2I 2 C. I 1 = I 2 /2 D. I 1 = 4I 2 E. I 1 = I 2 /4

B. la fuerza neta es nula, ya que se

equilibran las fuerzas centrípeta y la centrífuga. C. la tensión del hilo actúa hacia el centro

de giro. D. la fuerza neta está dirigida hacia el

centro de la circunferencia. E. el módulo de la fuerza centrípeta

es constante.


EVALUACIÓN FINAL

UNIDAD 1

III. Analizo 1. Un automóvil se mueve con una rapidez lineal v constante, recorriendo una distancia d en un tiempo t . Si las ruedas del automóvil tienen un radio r : a. ¿cuál será la rapidez angular de un punto situado en la periferia de la rueda en términos del

radio, la distancia y el tiempo? b. ¿de qué manera puedes expresar el período de rotación de la rueda en términos de las

magnitudes anteriores? 2. El siguiente grá�co muestra la variación del ángulo en función del tiempo para una partícula que

describe una trayectoria circunferencial. A partir de él, responde las siguientes preguntas: θ (rad)

2θ θ

2t’

t’

t (s)

a. ¿Qué representa la pendiente del grá�co? b. ¿Cómo es la rapidez angular de la partícula? c. ¿Cómo es el movimiento circunferencial de la partícula? 3. La �gura muestra una barra de masa despreciable. Los trazos AB, BC, CO, OD, DE y EF son de igual medida. Si en el punto A se ejerce una fuerza hacia abajo de magnitud F’ , ¿en qué punto de la barra y en qué sentido debe ejercerse una fuerza de módulo 3F’ para que la barra se encuentre en

equilibrio rotacional? A

B

C


O

D

E

F

IV. Aplico Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Dos ruedas unidas por una cuerda inextensible tienen radios de 50 y 20 cm, respectivamente. Si la

primera rueda da 120 vueltas en un minuto, ¿cuál será el período de la segunda rueda?

5 0 c m

c m 0 2

2. Un deportista participa en el lanzamiento del martillo. El largo del martillo es de 50 cm. Si lo hace

girar con una frecuencia de 2 Hz, ¿con qué rapidez lineal saldrá el martillo de sus manos? 3. La aceleración centrípeta de una piedra que gira amarrada a una cuerda es de 3 m/s2. Si la rapidez

angular de esta es de 1,5 rad/s, ¿cuál será su rapidez lineal? 4. ¿Cuál es la máxima rapidez con que una lancha puede tomar una curva de 40 m de radio, si el

coe�ciente de roce cinético entre la lancha y el agua es igual a 0,5? 5. En la �gura se muestra el brazo extendido de una persona que sostiene en su mano una esfera de

acero de masa 4 kg. Calcular el torque efectuado por la fuerza peso de la esfera, respecto del punto A (muñeca), del punto B (codo) y del punto C (hombro). 28 cm

C

22 cm

B

8 cm

A mg

6. La Tierra es una masa puntual que gira alrededor del Sol en una órbita aproximadamente

circunferencial. Si la distancia entre el Sol y la Tierra disminuyera en una tercera parte, ¿cuántos días tendría el nuevo año? Considera los siguientes datos: masa terrestre es igual a 5,97x10 24 kg y distancia Tierra-Sol es 1,5x1011 m. 7. Respecto del ejercicio anterior, ¿a qué distancia debería orbitar la Tierra al Sol, para que los años

durasen 650 días?


FISICA - Momento Angular y Lienal

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