FACULTAD DE MECÁNICA NAVAL
FÍSICA II LUIS CHALLA HASING INGENIERO NAVAL
BIBLIOGRAFÍA 1. Física general de A n to ton n i o M áxi mo & B eatr atrii z Alvarenga Bufff a 2. Física de Wil son & Buf 3. Física de Ser wa wayy & F aughn 4. Física para Universitarios de Douglas C. Giancoli
BIBLIOGRAFÍA 1. Física general de A n to ton n i o M áxi mo & B eatr atrii z Alvarenga Bufff a 2. Física de Wil son & Buf 3. Física de Ser wa wayy & F aughn 4. Física para Universitarios de Douglas C. Giancoli
CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO LINEAL (P) También es conocida como: momento lineal, ímpetu o momentum, es una magnitud vectorial , su unidad es kg. m/s o N.s (SI). Se define como el producto de la la masa del del cuerpo y su velocidad en en un instante determinado. La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuerzas exteriores, y cuyas fuerzas internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo. p = m v Por ser un vector p, ésta tiene la misma dirección de la velocidad v. En el caso de un sistema con más de una partícula, la cantidad de movimiento lineal total del sistema es la suma vectorial de cada una de ella: P = p1+p2+p3+p4+…= ∑pi El impulso (J) que recibe una partícula o cuerpo es la variación de la cantidad de movimiento durante un período dado: ∆p = pf – p pi = mvf – m mvo = F ∆t = J •
•
F:fuerza media. ∆T:Variación de tiempo. J=∆P:impulso Por ser p un vector, éste tiene sus componentes en los ejes cartesianos.
Si se requiere cambiar el momentum, por ejemplo del camión indicado
en la relación con la mosca, se deberá emplear una fuerza de modo que se le aumente la cantidad de movimiento o se la lleve al reposo. para ello será necesario aplicar la segunda ley del movimiento de Newton, y por lo tanto la fuerza neta es igual a la razón de cambio del momentum lineal de un objeto con respecto del tiempo. La aplicación es considerada para una masa constante.
RELACIÓN ENTRE LA ENERGÍA CINÉTICA (Ec) Y EL MOMENTUM (p) Ec (K) = ½ mv2 Si a la ecuación la multiplicamos por m y la dividimos para m no se altera el producto, por lo tanto: Ec = (mv)2/2m = p2/2m
CONSERVACIÓN DEL MOMENTUM La cantidad de movimiento de un cuerpo o sistema se conserva sólo bajo ciertas condiciones. Este hecho permite analizar una amplia gama de situaciones y facilita la resolución de muchos problemas. Sirve para analizar colisiones (choques) de objetos que van desde partículas subatómicas hasta automóviles en accidentes de tránsito, considerando ninguna variación en el tiempo. De la segunda ley de Newton: Fneta = ∆p/∆t = 0 cuando no existe una fuerza actuando sobre una partícula, por lo tanto: ∆p = 0 = p – po . Entonces: p=po es decir: mv = mvo.
La suma vectorial de los momentums lineales de dos objetos en colisión permanecen constante. En la colisión frontal de dos bolas de billar supongamos una fuerza neta externa nula, es decir, cero, en consecuencia las fuerzas significativas son aquellas que ejercen las bolas una sobre la otra durante la colisión. Aunque el ímpetu cambia como resultado de la colisión, la suma de sus momentums es la misma antes y después del choque. Si m1v1 es el momentum de la bola 1 y m2v2 es el de la bola 2, medidos ante del choque, entonces el momentum total antes del choque es la suma de ambos momentums: m1v1 + m2v2 . Después del choque las masa no varían no así su velocidad y momentum. El momentum total después de la colisión es: m1v´1 + m2v´2 . En consecuencia el: momentum antes = momentum después m1v1 + m2v2 = m1v´1 + m2v´2 p1 + p2 = p´1 + p´2 Es decir, el vector momentum total del sistema de las dos bolas se conserva , esto es, permanece constante.
Esta ley de conservación de la cantidad de movimiento lineal está relacionada con las leyes del movimiento de Newton. Ahora suponiendo que las dos bolas colisionan teniendo las mismas masas, pero sus momentums son p 1 y p 2 antes de chocar y p´1 y p´2 después, y durante esta colisión supongamos que la fuerza ejercida por el cuerpo 1 sobre el 2 en cualquier instante es F, por la tercera ley de Newton la fuerza del cuerpo 2 sobre el 1 será – F. Partiendo del hecho de que d p = F dt, integrando cada miembro para un breve intervalo de tiempo de la colisión, de ti a tf , se tiene:
Aplicando sobre el cuerpo 2:
Aplicando sobre el cuerpo 1:
Comparando las dos ecuaciones se tiene: ∆p1 = – – ∆ ∆p2 p´1 – p1 = – (p´2 – p2) p1 + p2 = p´1 + p´2 Ley de conservación del momentum: cuando la l a fue f uerr za ext exte er na sobre sobre un si ste tema ma es ce cerr o, el momentu m total t otal pe perr man mane ece cons constan tante. te.
Esta demostración es coherente con la primera ley de Newton (ley de inercia), que manifiesta: en ausencia de la aplicación de una fuerza no equilibrada (Fneta = 0; ∆p = 0), un cuerpo en reposo permanece en reposo, y un cuerpo en movimiento permanece en movimiento con velocidad constante (rapidez y dirección dirección constante)(p constante).
RESUMEN DE CONCEPTOS Y ECUACIONES IMPORTANTES
La cantidad de movimiento lineal (p) de una partícula es un vector y se define como el producto de la masa y la velocidad. p = m v La cantidad de movimiento lineal total (P) de un sistema es la suma vectorial de las cantidades de movimiento de las partículas individuales: P = p1+p2+p3+p4+… = ∑pi Segunda ley de Newton en términos de cantidad de movimiento (para una partícula): Fneta = ∆p/∆t El teorema de impulso – cantidad cantidad de movimiento relaciona el impulso que actúa sobre un objeto, con el cambio de su cantidad de movimiento: Impulso (J) = F ∆t = ∆p = mv – m mvo La relación de cantidad de movimiento con la energía cinética: Ec (K) = p2/2m •
•
EJERCICIOS DE APLICACIÓN Dos masas, m1=1.0 kg y m2=2.0 kg, están unidos con un hilo ligero que las mantiene en contacto con los extremos de un resorte ligero comprimido. El hilo se quema (fuerza externa insignificante) y las masas se separan en la superficie sin fricción. m1 adquiere una velocidad de 1.8 m/s hacia la izquierda. ¿Qué velocidad adquiere m2?
Solución:
Datos: m1= 1.0 kg m2= 2.0 kg v1= 1.8 m/s Hallar: v2= (velocidad: rapidez y dirección) En consideración de que existe conservación del momentum: Po= P = 0 Por lo tanto P = p 1 + p2 = 0 p2 = – p1 p2 – p1= 0 v2=(m1/m2) v1 = 0.90 m/s m2v2 – m1v1 = 0 m2v2 = m1v1 La velocidad hallada es en la dirección x positiva, es decir, a la derecha en la figura
Un carro de ferrocarril con masa de 10000 kg que viaja con una rapidez de 24.0 m/s golpea a un carro idéntico en reposo. Si los carros se quedan unidos como resultado de la colisión, ¿cuál es su rapidez común después? Solución:
Datos: m1= 10000 kg m2= 10000 kg v1= 24.0 m/s v2= 0 El momentum inicial corresponde a: p 1 = m1v1 (p2 = m2v2 = 0)
Después de la colisión el momentum total será el mismo y estará compartido por ambos carros. Como los dos carros están unidos, tendrán la misma rapidez (v´). Entonces:
(m1 + m2) v´ = m1 v1 v´ = [m1/(m1 + m2)] v1 = ½ v1 = 12 m/s (a) Calcule el impulso experimentado cuando una persona de 70 kg llega al suelo después de saltar desde una altura de 3 m. Luego estime la fuerza promedio ejercida sobre los pies de la persona por el suelo si (b) él llega con las piernas rígidas, y (c) llega con las piernas dobladas.. En el primer caso suponga que el cuerpo se mueve 1.0 cm durante el impacto, y en el segundo caso, cuando las piernas están dobladas, aproximadamente 50 cm.
Solución:
(a) Tenemos que determinar la velocidad de la persona justo antes de llegar al suelo, y para ello usamos la conservación de la energía: ½ mv2 – ½ mvo2 = – mg (y – yo) ∆K = – ∆U Para vo= 0; y = 0 v = (2gyo) ½ = 7.7 m/s Cuando la persona toca el suelo, el momentum es cero: J = F ∆t = ∆p = pf – pi = 0 – (70 kg)(7.7 m/s) = – 540 N•s [el signo negativo indica que la fuerza es opuesta al momentum, es decir, hacia arriba] (b) Al llegar al reposo el cuerpo se desacelera de 7.7 m/s a cero en una distancia de d = 1 cm = 1x10 -2 m . La rapidez (r) promedio durante este breve período es: r = (7.7 m/s + 0)/2 = 3.8 m/s. La colisión dura un tiempo: ∆t = d/r = 2.6x10-3 s
La magnitud del impulso es el valor absoluto, esto es, 540 N •s y ∆t = 2.6x10-3 s, por lo tanto: F = J/∆t = 540 N.s/2.6x10 -3 s = 2.1x105 N [se convierte en fuerza neta] F es la suma de la fuerza ejercida por el suelo sobre las piernas (F grd) y el peso de la persona (mg = 70 kg•9.8 m/s = 690 N), por lo tanto: Fgrd= F + mg = 2.1x10 5 N + 0.690x103 N ≈ 2.1x105 N (c) Ahora el valor de d = 50 cm, por lo tanto: F grd = 4.9x103 N (resuélvalo en casa)
EJERCICIOS
1. Las unidades de la cantidad de movimiento lineal en que vienen dadas. 2.¿Un corredor rápido de futbol americano siempre tiene más cantidad de movimiento lineal que un hombre de línea, más masivo pero más lento? Explique. 3. Tanto la energía cinética como la cantidad de movimiento lineal de un objeto dependen de la masa y la velocidad del objeto. Explique las diferencias entre energía cinética y cantidad de movimiento lineal. 4. Se afirma que se conserva el momentum lineal, sin embargo los objetos en movimiento eventualmente se desaceleran y se detienen. Explique. 5. Dos bloques de masas m1 y m2 descansan sobre una mesa sin fricción y están conectados por un resorte. Se jalan los bloques separándolos entre sí, estirándose el resorte, y luego se sueltan. Describa el movimiento subsecuente de los dos bloques. 6. Un cuerpo ligero y un cuerpo pesado tienen la misma energía cinética. ¿Cuál tiene el ímpetu mayor?
7. ¿Por qué cuando usted suelta un globo inflado no atado, éste vuela por el cuarto? 8. ¿Es más fácil pegar un jonrón con una pelota lanzada por el pitcher que con una lanzada al aire por el bateador? Explique. 9. La cantidad de movimiento lineal (a) siempre se conserva, (b) es una cantidad escalar, (c) es una cantidad vectorial o (d) no está relacionada con la fuerza. 10. En el fútbol americano, un hombre de línea casi siempre tiene más masa que un corredor. (a) ¿Un hombre de línea siempre tendrá mayor ímpetu que un corredor? ¿Por qué? (b) ¿Quién tiene mayor momentum, un corredor de 75 kg que corre a 8.5 m/s o un hombre de línea de 120 kg que corre a 5 m/s. 11. ¿Con qué rapidez viaja un automóvil de 1200 kg si tiene la misma cantidad de movimiento lineal que una camioneta de 1500 kg que viaja a 90 km/h? 12. Una pelota de beisbol de 0.15 g que viaja con una rapidez horizontal de 4.5 m/s es golpeada por un bate y luego se mueve con una rapidez de 34.7 m/s en la dirección opuesta. ¿Qué cambio sufrió su ímpetu?
13. Una esfera de 3 kg tiene un momentum de 12 N.s ¿Qué energía cinética tiene? 14. Una bala de caucho de 15 g. golpea una pared con una rapidez de 150m/s. si la bala rebota directamente con un a rapidez de 120 m/s, ¿cómo cambio su cantidad de movimiento? 15. Dos protones se acercan uno al otro con diferente rapidez. (a) ¿La magnitud del momentum total del sistema de los dos protones será (1) mayor que la magnitud del ímpetu de de cualquiera de los protones, (2) igual a la diferencia de las magnitudes de las cantidades de movimiento de los dos protones o (3) igual a la suma de las magnitudes de los momentum de los dos protones? ¿Por qué? (b) Si la rapidez de los dos protones son 340 m/s y 450 m/s, respectivamente, ¿qué cantidad de movimiento total tiene el sistema? [m p = 1.67262 x 10-27 kg] 16. Si se deja caer una pelota de 0.50 kg desde una altura de 10 m, ¿qué ímpetu tiene (a) 0.75 s después de soltarse y (b) justo antes de tocar el suelo? 17. Tomando como densidad del aire 1.29 kg/m3, ¿qué magnitud tiene la cantidad e movimiento lineal de un metro cúbico de aire que se mueve con una rapidez de 36 km/h y (b) 74 mi/h (la rapidez que alcanza el viento cuando una tormenta tropical se convierte en un huracán?
18. Dos corredores de 70 y 60 kg, respectivamente, tiene un momentum total de 350 kg m/s. El corredor más masivo se mueve a 2.0 m/s. Calcule las magnitudes que podría tener la velocidad del corredor más ligero. 19. Una bola de billar de 0.20 kg que viaja con una rapidez de 15 m/s golpea el borde de una mesa de billar con un ángulo de 60°. Si la bola rebota con la misma rapidez y ángulo, ¿qué cambio sufre su momentum?
20. Suponga que la bola (ejercicio 19) se acerca al borde con una rapidez de 15 m/s y un ángulo de 60°, como se muestra, pero rebota con una rapidez de 10 m/s y un ángulo de 50°. ¿Cuánto cambia la cantidad de movimiento en este caso? [Sugerencia: Use componentes] 21. Una persona empuja una caja de 10 kg que está en reposo y la acelera hasta una rapidez de 4.0 m/s con una fuerza constante. Si la caja se empuja durante 2.5 s, ¿qué fuerza ejerce la persona? 22. Un remolque cargado, con una masa total de 5000 kg y rapidez de 3.0 km/h, choca con una plataforma de carga y se detiene en 0.64 s. Calcule la magnitud de la fuerza media ejercida por la plataforma sobre el remolque?
23. Una bola de lodo de 2.0 kg se deja caer desde una altura de 15 m, donde estaba en reposo. Si el impacto entre la bola y el suelo dura 0.50 s, ¿qué fuerza neta media ejerció la bola contra el suelo? 24. Durante un partido de baloncesto, una porrista de 120 lb es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 4.5 m/s por un porrista. (a) ¿Cómo cambia la cantidad de ímpetu de la joven entre el momento en que su compañero la suelta y el momento en que la recibe en sus brazos, si es atrapada a la misma altura desde la que fue lanzada? (b) ¿Habría alguna diferencia si la atrapara 0.25 m por debajo del punto de lanzamiento? ¿Cómo cambiaría su cantidad de movimiento en este caso? 25. Un niño en un bote lanza un paquete de 5.4 kg horizontalmente con una rapidez de 10.0 m/s. calcule la velocidad del bote inmediatamente después, suponiendo que inicialmente estaba en reposo. La masa del niño es de 26 kg y el del bote es de 55 kg. 26. Un carro de ferrocarril de 10500 kg viaja a lo largo de una vía a nivel sin fricción con rapidez constante de 15 m/s. Una carga adicional de 6350 kg se deja caer desde una torre sobre el carro ¡cuál será entonces la rapidez del carro?
27. Un vagón de 9700 kg que viaja a 18 m/s golpea a un segundo vagón. Los dos permanecen unidos y se mueven juntos con una velocidad de 4 m/s ¿Cuál es la masa del segundo vagón? 28. Un jugador de 130 kg choca a 2.5 m/s frontalmente con otro jugador de 90 kg que se mueve a 5 m/s ¿Cuál será su rapidez mutua inmediatamente después de la colisión? 29. Una bala de 12 g viajando a 190 m/s penetra un bloque de madera de 2 kg y emerge a 150 m/s. Si el bloque está en reposo sobre una superficie sin fricción al ser golpeado, ¿qué tan rápido se mueve el bloque después de que emerge la bala? 30. Una bola que se mueve con una rapidez de 17 m/s golpea una bola idéntica que está inicialmente en reposo. Después de la colisión, la bola originalmente es desviada 45° de su dirección inicial, y la bola golpeada se mueve a 30° respecto a la dirección inicial. ¡Cuáles son las velocidades de las dos bolas después del choque?
COLISIONES: ELÁSTICAS E INELÁSTICAS CHOQUES ELÁSTICOS En el momento en que dos cuerpos o más colisionan entre sí, como por ejemplo el estallido de una bomba o choque de dos automóviles, o casos similares, sucede que ocurre la aparición de fuerzas muy intensas que actúan en un intervalo de tiempo muy corto. Estas fuerzas se denominan fuerzas impulsivas. Estas fuerzas producen enormes aceleraciones en los objetos que actúan, esto es, variaciones considerables en la velocidad de dichos cuerpos. Ch oque elá stico : es aquel en el que se conserva tanto la cantidad de movimiento lineal como la energía cinética. No presentan deformaciones permanentes durante el impacto. Conservación de K: ∆K = ∆K 1 2
antes
=
después
½ m1v21o+ ½m2v22o= ½ m1v21+ ½ m2v22 Conservación de ímpetu p: ∆p = ∆p 1 2 m v + m v = m v + m v 1 1o 2 2o 1 1 2 2 En el caso de que la velocidad del cuerpo dos está en reposo: 2 2 2 Conservación de K: ½ m v 1 1o= ½ m1v 1+ ½ m2v 2 Conservación de p: m v = m v + m v
Conservación de K: m1(v21o – v21) = m2v22 ; aplicando el cuarto caso de factorización, se tiene: m1(v1o + v1) (v1o – v1) = m2v22 Conservación de p: m1(v1o – v1) = m2v2 Si dividimos Conservación de K para Conservación de p, tendremos: v1o + v1 = v2 Esta igualdad hallada si la remplazamos en: m1v1o = m1v1 + m2v2, obtendremos las siguientes ecuaciones en funciones de las masas para las velocidades después del choque: Velocidades finales en choque elástico de frente con m2 inicialmente estacionario
Existen tres posibilidades de colisiones para cuando las masas son totalmente diferentes, es decir, cuando la masa del primer cuerpo es igual a la del segundo; cuando la masa del primer cuerpo es mayor que el segundo cuerpo; y, cuando la masas del primer cuerpo es menor que la del segundo cuerpo.
Caso 1: m1 = m2
v1 = 0
y
v2 = v1o
Caso 2: m1 » m2
v1 ≈ v1o
y
v2 ≈ 2v1o
Caso 3: m1 « m2
v1 ≈ – v1o
y
v2 ≈ 0
CHOQUE INELÁSTICO Es aquel en el que se presentan deformaciones permanentes o se hubiera producido calor, lo que determina una reducción en el valor de la energía cinética del sistema. En consecuencia, si antes y después del choque la energía cinética varia, se dirá que estamos en la presencia de un choque inelástico. En el caso de impactos de dos cuerpos que sufren deformaciones, pero que se mueven como un solo cuerpo, se denomina choque completamente
inelástico.
En el caso de un choque inelástico, muy particularmente se mueven en diferentes direcciones antes y después del impacto, en este caso de denomina choque oblicuo o bidimensional .
EJERCICIOS DE APLICACIÓN P1. Un péndulo balístico es un dispositivo para medir la velocidad de un proyectil, digamos la velocidad de salida de una bala de rifle. El proyectil se dispara horizontalmente contra la pesa de un péndulo en la cual se incrusta (ver figura). El péndulo oscila hasta cierta altura h, la cual se mide. Se conocen las masas de la pesa y la bala. Utilizando los principios de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía, demuestre que la velocidad inicial del proyectil está dada por:
Solución:
mvo = (m+M)v; despejando para vo se tiene:
Por caída libre se tiene: v2 = v2o + 2gh; despejando para la velocidad final se
tiene:
Reemplazando los valores de v se tendrá la demostración requerida.
P2. En una intersección, un auto de 1500 kg que viaja hacia el este a 25 m/s choca con una camioneta de 2500 kg que viaja al norte a 20 m/s (ver figura). Determine la dirección y la magnitud de la velocidad de los dos vehículos unidos inmediatamente después del choque, suponiendo que los dos vehículos experimentan una colisión perfectamente inelástica (es decir, que permanecen unidos)
Solución:
En la dirección x se mantiene la conservación del ímpetu: ∑ pix = ∑ pf x ma v = (m + m )v = (m + m )v cosθ a c f x a c x a Reemplazando valores numéricos, se tiene: [1] 37500 N s = (4000 kg) v cos θ En la dirección y se efectúa el mismo proceso: piy = ∑ pf y ∑ mc v = (m + m )v = (m + m )v senθ a c f y a c y c Reemplazando valores numéricos, se tiene: 50000 N s = (4000 kg) v sen θ [2] Dividiendo [2] para [1]. Se tiene:
Tanθ = 50000/37500 = 1.33; entonces θ = 53°. Este valor de ángulo reemplace en [1] o [2] y halle el valor de la velocidad final. P3. Una bola de boliche de 7.1 kg con una rapidez de 6 m/s sufre un choque elástico de frente con un pino estacionario de 1.6 kg (a) ¿Qué velocidad tendrá cada objeto después del choque? (b) Calcule la cantidad de movimiento total después del choque. Solución:
Datos: Hallar: (a)
m1= 7.1 kg m2= 1.6 kg v1o= 6 m/s v2o= 0 (a) v1 y v2 después del choque (b) P, momentum total
(b) La cantidad de movimiento se conserva antes y después, en la misma dirección y con una magnitud: Pf = p1o= m1v1o = (7.1 kg)(6 m/s) = 42.6 N s
RESUMEN DE CONCEPTOS Y ECUACIONES IMPORTANTES
En un choque elástico, se conserva la energía cinética total del sistema La cantidad de movimiento se conserva tanto en los choques elásticos como en los inelásticos. En un choque totalmente inelástico, los objetos quedan pegados después del impacto. Condiciones para un choque elástico: Pf = Pi K f = K i Condiciones para un choque inelástico: Pf = Pi K f < K i Velocidades finales en choques elásticos de frente entre dos cuerpos (v2o=0):
EJERCICIOS
P1. Un objeto de 0.30 kg con una velocidad de 2 m/s en la dirección x positiva choca elásticamente de frente con un objeto estacionario de 0.70 kg situado en x = 0. ¿Qué distancia separa a los objetos 2.5 s después del choque? P2. Una bala de 10 g se dispara horizontalmente contra un bloque suspendido de madera cuya masa es de 0.890 kg y se incrusta en él. (ver ejercicio aplicación 1). (a) Compare la rapidez del bloque con la bala incrustada inmediatamente después del choque, con la rapidez inicial de la bala (vo) (b) Si el bloque con la bala incrustada oscila hacia arriba y su centro de masa se eleva a 0.40 m, ¿qué rapidez inicial tenía la bala? (c) ¿El choque fue elástico? Si no, ¿qué porcentaje de la energía cinética inicial se perdió? P3. Una esfera de 4 kg con una velocidad de 4 m/s en la dirección + x choca de frente y elásticamente con una esfera estacionaria de 2 kg ¡Qué velocidad tiene cada esfera después del choque? P4. Una esfera de 0.10 kg viaja a 0.50 m/s en la dirección + x y choca de frente con una esfera de 5 kg que está en reposo. Calcule la velocidad de cada esfera después del choque, suponiendo que es elástico.
P5. Un protón con masa m que se mueve con rapidez de 3.0x10 6 m/s sufre un choque elástico de frente con una partícula alfa en reposo de masa 4 m. ¿Qué velocidad tiene cada partícula después del choque? P6. Dos esferas con masa de 2 kg y 6 kg viajan una hacia la otra con rapidez de 12 m/s y 4 m/s, respectivamente. Si sufren un choque inelástico de frente y la esfera de 2 kg rebota con una rapidez de 8 m/s, ¿cuánta energía cinética se pierde en el choque? P7. Un cohete, en su plataforma de lanzamiento posee una masa total (incluyendo el combustible) de 4.0x103 kg. Al llevarse a cabo la combustión, el cohete expulsa rápidamente 800 kg de gas, con una velocidad de 2.0x103 m/s. Recordando la conservación del momentum de un sistema, determine la velocidad que el cohete adquiere después de eyectar esa masa de gas. R. 500 m/s P8. Un bloque de 2 kg se desliza a lo largo de una mesa sin fricción a 8 m/s hacia un segundo bloque (en reposo) de masa 4.5 kg. Un resorte que obedece a la ley de Hooke y tiene una constante k = 850 N/m, está unido al segundo bloque de tal manera que será comprimido al ser golpeado por el bloque en movimiento (ver figura). (a) ¿Cuál será la comprensión máxima del resorte? (b) ¿Cuáles serán las velocidades finales de los bloques después de la colisión? (c) ¿Es elástica la colisión? R. 0.39 m; -3.1 m/s y 4.9 m/s; si
P9. Una bala de 10 g de masa, es lanzada por una escopeta de masa igual a 4 kg y sale por el cañón a una velocidad horizontal de 400 m/s. Determine el módulo de la velocidad de retroceso de la escopeta. R. 1 m/s P10. Un bloque de masa m = 2.20 kg resbala por una rampa inclinada 30 ° que tiene 3.6 m de altura. En el fondo, golpea un bloque de masa M = 7.0 kg que está en reposo sobre una superficie horizontal (ver figura) (Suponga una transición suave en el fondo de la rampa) Si la colisión es elástica y la fricción puede despreciarse, determine (a) las velocidades de los dos bloques después de la colisión, y (b) ¿qué distancia recorrerá hacia arriba de la rampa la menor de las masas? R. – 6.2 m/s; 5.7 m/s; 1.96 m P11. Una pistola es disparada verticalmente hacia el bloque de 1.40 kg de madera en reposo sobre una hoja horizontal delgada directamente debajo de ella. Si la bala tiene una masa de 21.0 g y una rapidez de 310 m/s ¿qué tal alto se elevará el bloque en el aire después que la bola queda empotrada en ella? R. 72.5 m.
F L U I D O S
F L U I D O S
Los estados comunes o fases de la materia que se conocen son: sólido, líquido y gaseoso, también se conoce en astrofísica y cosmología física a la materia oscura a la materia hipotética de composición desconocida que no emite o refleja suficiente radiación electromagnética para ser observada directamente con los medios técnicos actuales pero cuya existencia puede inferirse a partir de los efectos gravitacionales que causa en la materia visible, tales como las estrellas o las galaxias, así como en las anisotropías del fondo cósmico de microondas. No se debe confundir la materia oscura con la energía oscura. De acuerdo con las observaciones actuales de estructuras mayores que una galaxia, así como la cosmología del Big Bang, la materia oscura constituye la gran mayoría de la masa en el Universo observable. La composición de la materia oscura se desconoce, pero puede incluir neutrinos ordinarios y pesados, partículas elementales recientemente postuladas como los WIMPs y los axiones, cuerpos astronómicos como las estrellas enanas y los planetas (colectivamente llamados MACHO) y las nubes de gases no luminosos. Las pruebas actuales favorecen los modelos en que el componente primario de la materia oscura son las nuevas partículas elementales llamadas colectivamente materia oscura no bariónica. A efecto de estudio analizaremos los estados más conocidos: el sólido, mantiene una forma y tamaño fijo, pero no es absolutamente rígido por cuanto una fuerza externa puede deformarlo aún cuando puede mantener su volumen, ejemplo de ello se da en las construcciones de embarcaciones de acero naval en la que se observa como las planchas se deforman para ajustarse a los requerimientos del diseño. Sin embargo, las deformaciones tienen un límite de elasticidad.
El estado líquido no mantiene una forma fija, adopta la forma del envase que lo contiene, no es fácilmente comprensible y su volumen puede variar al aplicársele una fuerza externa grande. El estado gaseoso no tiene forma ni volumen fijo, sino que se expande para llenar un recipiente, ejemplo de ello se puede observar en una vulcanizadora en la cual al proporcionar aire a una llanta (neumático) ésta no se acumula en la parte inferior sino que se expande en toda la periferia de la misma. Del comportamiento térmico de las partículas de la materia en los gases existen cuatro cantidades medibles que son de gran interés: presión, volumen, temperatura y masa de la muestra del material. Cualquier gas se considera como un fluido, porque tiene las propiedades que le permiten comportarse como tal. Sus moléculas, en continuo movimiento, logran colisionar las paredes que los contiene y casi todo el tiempo ejercen una presión permanente. Como el gas se expande, la energía intermolecular (entre molécula y molécula) hace que un gas, al ir añadiéndole energía calorífica, tienda a aumentar su volumen. Un gas tiende a ser activo químicamente debido a que su superficie molecular es también grande, es decir, entre cada partícula se realiza mayor contacto, haciendo más fácil una o varias reacciones entre las sustancias. Para entender mejor el comportamiento de un gas, siempre se realizan estudios con respecto al gas ideal, aunque este en realidad nunca existe y las propiedades de este son: Un gas está constituido por moléculas de igual tamaño y masa, pero una mezcla de gases diferentes, no.
Se le supone con un número pequeño de moléculas; así su densidad es baja y su atracción molecular es nula. El volumen que ocupa el gas es mínimo, en comparación con el volumen total del recipiente. Las moléculas de un gas contenidas en un recipiente, se encuentran en constante movimiento, por lo que chocan, ya entre sí o contra las paredes del recipiente que las contiene. Para explicar el comportamiento de los gases, las nuevas teorías utilizan tanto la estadística como la teoría cuántica, además de experimentar con gases de diferentes propiedades o propiedades límite, como el UF6 (hexafluoruro de uranio), que es el gas más pesado conocido.
(El hexafluoruro de uranio es un compuesto químico que consiste en un átomo de uranio en combinación con seis átomos de flúor. Es la forma química del uranio que se utiliza durante el proceso de enriquecimiento de uranio. Dentro de un rango razonable de la temperatura y la presión, puede ser un sólido, líquido o gas. Los sólidos UF 6 son de un color un blanco, cristalino material denso que se asemeja a la sal de roca. El hexafluoruro de uranio no reacciona con el oxígeno, nitrógeno, dióxido de carbono, o aire seco, pero no reacciona con agua o vapor de agua, por esta razón, el UF 6 siempre se maneja en recipientes herméticos de fugas y equipos de proceso. Cuando UF 6 entra en contacto con el agua, como el vapor de agua en el aire, el UF 6 y el agua reaccionan formando ácido fluorhídrico corrosivo (HF) y un compuesto de uranio-fluoruro llamado fluoruro de uranilo (UO 2 F 2). )
Un gas no tiene forma ni volumen fijo; se caracteriza por la casi nula cohesión y la gran energía cinética de sus moléculas, las cuales se mueven. En virtud de que los líquidos y gases no mantienen una forma determinada, tienen la capacidad de fluir, motivo por los cuales se los conoce como fluidos. Los fluidos tienen las siguientes características: Cohesión: sus moléculas no se encuentran cohesionadas, poseen gran movilidad, se deslizan entre ellas Estudiaremos los fluidos en reposo, pero qué es un fluido, cuáles son las características que predominan en ella, cómo se comportan, las relaciones que existen con otras acciones del medio circundante, quién demostró su atención en la física, estas y otras interrogantes surgen del mismo hecho de encontrar una aplicación valida en los fenómenos físicos cotidianos. Volumen: los líquidos no tienen volumen fijo, en tanto que los gases carecen de volúmenes determinados. Ocupan la integridad del envase que los contiene, sea cual fuere su capacidad. Forma: los líquidos y gases carecen de forma propia, adoptan la forma del envase que los contiene. Elasticidad: los líquidos y gases poseen gran elasticidad, los que les permite recuperar su volumen inicial, después que deja de actuar sobre ellos el agente de presión. Viscosidad: algunos tienen poca viscosidad, como el aire, agua, etc., mientras que otros como, la miel, glicerina, etc., tienen una elevada viscosidad. En los líquidos en reposo no interesa, mas solamente cuando fluye.
Comprensibilidad: los líquidos son incompresibles porque presentan una gran
resistencia a disminuir su volumen; esta propiedad permite que éstos sean de gran utilidad para el funcionamiento de máquinas hidráulicas (frenos, prensas, elevadores, etc.), mientras que los gases son muy comprensibles, su resistencia es muy débil y disminuye su volumen. En definitiva es la hidrostática, rama de la mecánica de los fluidos que estudia los fluidos en estado de equilibrio, es decir, sin que existan fuerzas que alteren su movimiento o posición. Los principales teoremas que respaldan el estudio de la hidrostática son el principio de Pascal y el principio de Arquímedes.
Quién es Pascal: Blaise Pascal (nación un 19 de junio de 1623 en Clermont-Ferrand, Auvernia, Francia y murió el 19 de agosto de 1662). Fue un matemático, físico, filósofo y teólogo francés, considerado el padre de las computadoras junto con Charles Babbage. Fue un niño prodigio, educado por su padre, un juez local. Sus primeros trabajos abarcan las ciencias naturales y aplicadas, donde realizó importantes contribuciones para la invención y construcción de calculadores mecánicas, estudios de la teoría matemáticas de probabilidad, investigaciones sobre los fluidos y la aclaración de conceptos tales como la presión y el vacío, generalizando la obra de Evangelista Torricelli. También escribió en defensa del método científico.
Quién es Arquímedes: conocido como Arquímedes de Arquímedes vivió en el siglo II (hacia 287-212 a. C.), Siracusa fue el más destacado de los hombres de ciencia griegos de su época. Notable matemático, físico, ingeniero e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica. Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto. En el campo de las matemáticas puras, se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, como el cálculo integral, con sus estudios de áreas y volúmenes de figuras sólidas curvadas y de áreas de figuras planas. Demostró también que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe.
Es mundialmente conocido por un descubrimiento de densidad de pesos a través de la palabra “eureka”
PRESIÓN Y DENSIDAD (MASA ESPECÍFICA) Presión (p): es la fuerza F ejercida sobre el área A sobre la cual se apoya, es decir, la relación entre la magnitud de F y el valor del área A. Densidad (ρ), también conocida como masa específica de un cuerpo: es la relación entre la masa m y su volumen V. DENSIDADES DE ALGUNAS SUSTANCIAS COMUNES (Kg/m 3) Aluminio (Al) 2.7 x 103 Agua dulce (4°C) Cobre (Cu) 8.9 x 103 Alcohol etílico Hielo 0.92 x 103 Alcohol metílico Hierro y acero 7.8 x 103 (valor general) Latón 8.7 x 103 Gasolina Madera, roble 0.81 x 103 Mercurio (Hg) Oro (Au) 19.3 x 103 Plasma sanguíneo Plata (Ag) 10.5 x 103 Queroseno Plomo (Pb) 11.4 x 103 Sangre entera Vidrio 2.6 x 103 Aire Agua de mar (4°C) 1.03 x 103 Helio (He)
1.00 x 103 Hidrógeno 0.09 0.79 x 103 Oxígeno 1.43 0.82 x 103 Vapor de agua (100°C) 0.63 0.68 x 103 Uranio (U) 18.7 x 103 13.6 x 103 Platino (Pt) 21.4 x 103 1.03 x 103 Glicerina 1.26 x 103 0.82 x 103 Benceno 0.879 x 103 1.05 x 103 1.29 0.18
Ejercicio de aplicación: 1. Un tanque de gasolina tiene en su base un área A= 0.75 m2, y su altura es h=2.0 m. (a) ¿Cuál es la masa de la gasolina contenida en el tanque (b) ¿Cuál es la presión ejercida por la gasolina sobre el fondo del tanque? Solución:
(a) V=A.h = 0.75 x 2.0 = 1.5 m3 ρ = 0.70 x 10 3 kg/m3 m = ρ V = 0.70 x 1.5 = 1.05 x 10 3 kg. (b) p = F/A = mg/A = (1.5 x 103 kg) (9.8 m/s2) / (0.75 m2) p = 1.372 x 104 N/m2 ****************************************************************** 2. Una cama de agua tiene 2.0 m de lado y 30.0 cm de profundidad. Determine su peso Solución:
m = ρ V = 103 kg/m3 x 1.2 m3 = 1.2 x 10 3 kg p = mg = 1.2 x 103 x 9.8 = 1.18 x 10 4 N
p = F/A = mg/A = 1.18 x 104 N / 2 x 2 m2 = 2.95 x 103 N/m2 Presión atmosférica (Pa): es la presión que ejerce el aire sobre los cuerpos sumergidos en ella. Experimento de Torricelli: determinó en un tubo de vidrio de casi un metro de longitud, cerrado por uno de sus extremos, y lleno de mercurio (Hg) al ser tapado su extremo abierto e invirtiendolo en un recipiente del mismo líquido, comprobó que la columna líquida alcanzó una altura de 76 cm, por arriba del nivel del Hg del recipiente, concluyendo que la P o al actuar sobre la superficie del líquido del recipiente, lograba equilibrar el peso de la columna de Hg. Con este experimento se determinó que el valor de la presión atmosférica P o es equivalente a la presión ejercida por una columna de Hg de 76 cm, es decir: Po = 76 cm Hg.
VARIACIÓN DE LA PRESIÓN CON LA PROFUNDIDAD Si un fluido está en reposo en un recipiente, todas las partes del fluido deben encontrarse en equilibrio estático. Todos los puntos que están en la misma profundidad deben hallarse a la misma presión, sino es así una parte del fluido no estaría en equilibrio. Caso a: si la presión fuese mayor sobre el lado izquierdo del bloque que sobre el derecho, F1 > F2, por lo tanto existiría una aceleración, no habría equilibrio.
Caso b: la columna tiene un área de sección transversal A y alcanza una profundidad h por debajo de la superficie del agua. Actúan tres fuerzas sobre esta columna de fluido:
La fuerza de gravedad o su peso: mg La fuerza ascendente o empuje: p.A La fuerza hacia abajo: PoA (donde Po es la presión atmosférica)
En consideración de lo indicado, el volumen de la columna está en equilibrio, por lo tanto la suma de todas las fuerzas será igual a cero: pA – mg – PoA = 0
Dado que:
m = ρV = ρAh mg = ρgAh Entonces: pA – ρgAh – PoA = 0 Resolviendo: p = Pa + ρgh (presión absoluta) Po = 1.01 x 105 N/m2 (Pa) a nivel del mar (= 14.7 lb/pulg 2) La diferencia de presiones (absoluta y atmosférica): p – P o recibe el nombre de presión manométrica Si: p > Po, entonces h es positiva; p < Po (vacío parcial), entonces h es negativa
EJERCICIOS 1.Una bailarina de ballet de 50.0 kg se para en las puntas de los pies durante una actuación con 26.0 cm2 en contacto con el piso. ¿Cuál es la presión que el piso ejerce sobre el área de contacto (a) si la bailarina está inmóvil y (b) si la bailarina salta hacia arriba con una aceleración de 4.0 m/s 2? R. 1.88 x 105Pa; 2.65 x 105 Pa 2.Los cuatros neumáticos de un automóvil se inflan a una presión manométrica de 2.0 x 105 Pa. Cada neumático tiene un área de 0.024 m 2 en contacto con el suelo. Determine el peso del automóvil. R. 0.192 x 105 Kg. 3.Un hombre de 70 kg sentado en una silla de 5.0 kg se inclina hacia atrás de modo que todo el peso queda equilibrado en dos patas de la silla. Suponga que cada pata hace contacto con el piso en un área circular de 1.0 cm de radio, determine la presión que la pata ejerce sobre el piso. R. 1.2 x 106 Pa 4.Se pretende bombear agua hasta lo más alto del edificio Empire State, que tiene 1200 pies de altura. ¿Qué presión manométrica se necesita en la tubería de agua en la base del edificio para elevar el agua hasta esa altura. R. 3.58 x 106 Pa 5.En la siguiente figura se ilustra un método para medir la densidad de un líquido. Un lado de un tubo en “U” está dentro del líquido por ensayar; el otro lado está en agua, cuya desnsidad es ρa. Demuestre que cuando se extrae parcialmente el aire de la parte superior del tubo, la densidad del líquido de la izquierda está dado por ρ = (ha/h) ρa
6. Un recipiente está lleno hasta una profundidad de 20.0 cm con agua. Encima del agua flota una capa de 30.0 cm de espesor de un aceite cuyo peso específico es de 0.7. ¿Cuál es la presión absoluta en el fondo del recipiente? R. 1.05 x 105 Pa. 7. Calcule la presión absoluta en el océano a una profundidad de 1000 m. R. 9.9x106 Pa 8. Calcule la fuerza total que ejerce sobre el exterior de una ventana circular del submarino de 30 cm de diámetro a la profundidad de 1000 m. R. 7.0x105 N 9. Una esfera de vidrio pesa 98 N cuya densidad del vidrio es 2.5 x 10 3 kg/m3¿Cuál es el radio de la esfera? R. 9.85 cm 10.
PRINCIPIO DE PASCAL el incremento de presión en un punto de un líquido en equilibrio, se transmite íntegramente a todos los puntos de dicho líquido. Si se considera un líquido en reposo o equilibrio en el interior de un recipiente, al realizar un aumento de presión en el pistón 1 se transmite íntegramente en el pistón 2 (ver fig.), la misma que permite determinar la ecuación que multiplica la fuerza.
En consideración que los pistones tienen diferentes áreas, las fuerzas aplicadas a ellas también lo serán, pero por el principio de Pascal, las presiones al interior de los pistones son iguales, por lo tanto:
PRENSA HIDRÁULICA Es una aplicación del principio de Pascal en la industria, consta de dos cilindros cuyas áreas diferentes (A1 y A2) se encuentran comunicadas interiormente, de tal manera que se tiene un solo recipiente. Al relacionar las áreas de los pistones y/o las fuerzas, y por ser la prensa hidráulica una máquina, se obtiene la ventaja mecánica (VM) en función de ellas: VM = A2/A1 VM = F2/F1 Conclusiones: a. Las presiones al interior de los émbolos es la misma: P 1 (=F1/A1) = P2 (=F2/A2) b. El trabajo (=fuerza x distancia) está en equilibrio: T 1 = T2 c. El volumen (=área x distancia) está en equilibrio: V 1 = V2
Tener en cuenta: los émbolos (pistones) tienen forma circular, por lo tanto el área de un circulo es A = π R 2 = π D2/4. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.En un elevador de automóviles, el aire comprimido ejerce una fuerza sobre un émbolo cuyo radio es de 5 cm. Esta presión se transmite a un segundo émbolo de 15 cm de radio. ¿Qué fuerza debe ejercer el aire comprimido para levantar un auto que pesa 1.33x104 N? ¿Qué presión de aire produce esta fuerza? No tome en cuenta el peso de los émbolos. Solución:
P1 = P2 F1 = 1.48 x 103 N La presión de aire que produce esta fuerza es:
2. Sobre el pistón menor, de radio 2 cm, en una prensa hidráulica se aplica una fuerza de 500 N. (a) Calcular el peso que se puede levantar en el pistón mayor de radio 20 cm; (b) ¿Cuál es la presión en el interior de la prensa hidráulica? Solución:
a.
b.
A1= π R 21 = 3.14 x 2 2 cm2 = 12.56 cm2 A2= π R 22 = 3.14 x 202 cm2 = 1256 cm2
EJERCICIOS 1.Los émbolos de una prensa hidráulica tienen los siguientes diámetros: 40 cm y 4 cm, respectivamente. (a) ¿Qué fuerza debe aplicarse en el émbolo pequeño para levantar un peso de 58800 N?; (b) ¿Por cuánto se multiplica la fuerza en el émbolo mayor? R. 588 N; por 100 2.Si en la prensa hidráulica del ejercicio anterior, el pistón menor desciende 15 cm, ¿qué espacio ascenderá el pistón mayor? R. 1.5 mm 3.Se desea construir una prensa hidráulica para obtener fuerzas de 10000 N. Si sobre el pistón menor, cuya área es de 20 cm2, se aplica una fuerza de 500 N. ¿Qué área debe tener el pistón mayor? R. 400 cm2. 4.Una estación de servicio dispone de un elevador de automóviles y para su funcionamiento se necesita una presión de 600000 Pa, y sabiendo que el radio del pistón mayor es de 10 cm. Calcular que peso se podrá elevar. R. 18849.6 N 5.En una prensa hidráulica, el pistón mayor tiene 20 cm de radio y su pistón menor de 2.5 cm. Se ejecuta una fuerza en el pistón menor de 100 N, el mismo que tiene un recorrido de 22 cm. Calcular (a) el área de los pistones (b) la presión en el interior de la prensa (c) ¿Qué fuerza entrega la máquina en el pistón mayor (d) ¿Cuál es la ventaja mecánica de la máquina? (e) ¡Qué volumen barren los pistones en cada embolada? (f) ¿Cuánto recorre el pistón mayor? (g) ¿Cuál es el trabajo que realiza la fuerza aplicada a la máquina? (h) ¿Cuántas emboladas se necesitan para elevar el pistón mayor a una altura de 80 cm? (i) ¿Por cuánto se multiplica la fuerza en el pistón mayor? R. (a) 19.64 cm2;1256.64 cm2; (b) 50929.46 Pa; (c) 6400 N; (d) 64; (e) 431.97 cm3; (f) 0.34 cm; (g) 22 J; (h) 232.5 emboladas; (i) por 64
6. Se muestra una báscula hidráulica empleada para detectar pequeños cambios de masa. Si se coloca una masa m de 0.25 g en la plataforma, ¿cuánto habrá cambiado la altura del agua en el cilindro pequeño de 1.0 cm de diámetro cuando la báscula vuelva al equilibrio? R. 2.6 mm
7. El pistón de salida de una prensa hidráulica tiene un área transversal de 0.20 m 2, (a) ¿qué presión se requiere en el pistón de entrada para que la prensa genere una fuerza de 1.5 x 106 N? (b) ¿qué fuerza mínima debe aplicarse al pitón de entrada si tiene un diámetro de 5.0 cm? 8. Un elevador hidráulico de un taller tiene dos pistones: uno pequeño con área transversal de 4.0 cm2 y uno grande de 250 cm2. si el elevador se diseño para levantar un pequeño de 3000 kg, ¿qué fuerza mínima debe aplicarse al pistón pequeño? Si la fuerza se aplica con aire comprimido, ¿qué presión mínima de aire debe aplicarse al pistón pequeño? R. 470 N; 1.2x106 Pa
9. Una jeringa hipodérmica tiene un émbolo con un área transversal de 2.5 cm 2 y una aguja de 5.0 x 10-3 cm2, (a) Si se aplica una fuerza de 1.0 N al émbolo, ¿qué presión manométrica habrá en la cámara de la jeringa? (b) Si hay una pequeña obstrucción en la punta de la aguja, ¿qué fuerza ejerce el fluido sobre ella? (c) Si la presión sanguínea es una vena es de 500 mm Hg, ¿qué fuerza debe aplicarse al émbolo para poder inyectar fluido en la vena? [1 mm Hg = 133 N/m2). 10.La figura muestra a un niño que levanta un automóvil con la ayuda de un elevador hidráulico. El automóvil pesa 800 N y descansa en un pistón cuya área es de 2x103 cm2. Determine el valor de la fuerza F que el niño está ejerciendo, sabiendo que el área del pistón que empuja es de 25 cm 2.
PRESIÓN HIDROSTÁTICA Teniendo en cuenta que si se tiene dos puntos en el interior de un líquido, el uno cerca de la base y el otro en la parte media del recipiente, se sabe que el punto próximo a la base soporta una mayor presión que en el punto medio, por encontrarse a diferentes profundidades; en cambio si se encuentran a las mismas profundidades dentro del líquido, soportan igual presión. Lo indicado es producto del movimiento desordenado de las moléculas en el fluido y, es por ello que la presión se manifiesta en todas las paredes laterales del recipiente y en el fondo. Por lo tanto, la presión ejercida por los líquidos en equilibrio o en reposo en todos los puntos del interior del fluido, depende de la profundidad y densidad del fluido, sin considerar la presión que ejerce la atmósfera sobre la superficie del líquido. ECUACIONES DE LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA Aplicando la segunda ley de Newton, podemos determinar la fuerza total
PRINCIPIO DE ARQUÍMIDES todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba por una fuerza cuya magnitud es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo Si un cuerpo está sumergido en un fluido, éste ejerce una presión sobre toda la superficie del cuerpo. Secuencia de ello es que a mayor profundidad la presión es mayor. Todo el cuerpo al entrar en contacto con un fluido se encuentra sometido a la acción de dos fuerzas de sentido opuesto (tercera ley del movimiento de Newton): acción y reacción. Acción = peso Reacción = empuje o fuerza de flotación
RELACIÓN ENTRE PESO Y EMPUJE Todo cuerpo sumergido en un líquido está relacionado con la acción y reacción, y de ello se desprenden tres casos a saber: 1. 2. 3.
Que el empuje es menor que el peso: el cuerpo está sumergido en el fondo Que el empuje es igual peso: el cuerpo flota o se mantiene en el centro del fluido Que el empuje es mayor que el peso: el cuerpo asciende a la superficie y emerge
El peso corresponde a la fuerza que se aplica en el centro de gravedad del cuerpo y con dirección y sentido hacia abajo, relacionada con la densidad de él. El empuje corresponde a la fuerza que se aplica en el centro de boyantes, esto es, el centro de la parte sumergida, relacionada con la densidad del fluido en la que se encuentra sumergida.
RELACIONES ENTRE DENSIDAD DEL LÍQUIDO Y DENSIDAD DEL CUERPO 1. Cuando la densidad del líquido es ( ρl) menor que la densidad del cuerpo ( ρc), el cuerpo se hunde: ρl < ρc E
P ρl > ρc
FUERZA DE FLOTACIÓN (EMPUJE) Es la fuerza que se opone al peso y permite al cuerpo sumergido en fluido subir. Su formulación matemática nos indica que corresponde al peso del fluido desplazado por un cuerpo cuando se encuentra sumergido en ella. E = mf g = ρl g Vf •
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.¿Qué fuerza de flotación actúa sobre un globo esférico de 30 cm de diámetro lleno de helio (He) que flota en el aire, si ρaire= 1.29 kg/m3? (Desprecie el peso del globo) Solución:
V = 4πR 3/3 = 4 x 3.14 x (0.3) 3 /3 = 0.11 m3 E = maire g = ρaire g Vf = (1.29 kg/m3)(9.8 m/s2)(0.11 m3) = 1.4 N •
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2. Un cubo sólido uniforme de 10 cm por lado tiene una masa de 700 g (a) ¿Flotará el cubo agua potable? (b) Si flota, ¿qué fracción de su volumen estará sumergido? Solución:
(a) ρaire = m/Vc = m/L3 = 700 g/(10 cm)3 = 0.70 g/cm3 < ρagua = 1.0 g/cm3 Si flota. (b) Peso del cubo: Pcubo = ρaire gVc Empuje: E = ρaire gVagua Peso = Empuje
Pcubo = ρaire gVc E = ρaire gVagua
Vagua = 0.70 Vc El 70% del cubo está sumergido
DINÁMICA DE FLUIDOS Y ECUACIÓN DE BERNOULLI Los fluidos en movimiento se denomina dinámica de fluidos o hidrodinámica. En el presente estudio hay que considerar dos tipos principales de flujo: Suave y uniforme: las capas vecinas del fluido se deslizan entre sí suavemente, se denomina flujo laminar . En este tipo de flujo, cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme, llamada línea de flujo, y esas trayectorias no se cortan una a la otra. Turbulento: se caracteriza por pequeños y erráticos remolinos. Los remolinos absorben una gran cantidad de energía y una fricción interna denominada viscosidad. Aunque ésta también existe en el flujo laminar. •
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Suponiendo que el fluido es incompresible, es decir, que no tiene ninguna variación significativa en su densidad , y que el flujo por cualquier punto es estacionario, determinaremos el gasto del mismo: En un flujo laminar el gasto se define como la variación de la masa ∆m de fluido que pasa un punto dado por variación de tiempo ∆t: gasto = ∆m/ ∆t
Haciendo un análisis a través de un tubo de diámetro variable , el volumen del fluido que pasa por el punto 1, esto es, por el Área 1 (A 1) en un tiempo ∆t es: ∆Vf 1 = A1 ∆l 1 Donde: ∆l 1: distancia que el fluido se mueve en el tiempo ∆t Como la velocidad del fluido que pasa por el punto 1 es: El gasto es:
v 1 = ∆l 1/ ∆t
Donde ∆Vf 1 = A1 ∆l 1 es el volumen de la masa ∆m1 y ρ1 es la densidad del fluido. Si se realiza el mismo análisis para el punto 2, llegaremos a obtener un gasto equivalente a: ρ2 A2 v 2
Como ningún fluido fluye por los lados, esto equivale a decir que la masa se conserva, por lo tanto: ∆m1 = ∆m2 y: ρ1 A1 V1 = ρ2 A2 V2 [ecuación de la continuidad] Si se da el caso de que el fluido es incompresible, la ρ no cambia por la presión, ρ1 = ρ2 entonces: La densidad es constante y por lo tanto, la ecuación de continuidad se reduce a: A1 V1 = A2 V2 [ecuación de tasa de flujo] Ejemplo: en los seres humanos, la sangre fluye del corazón a la aorta, de donde pasa a las arterias mayores. Éstas se bifurcan a las arterias menores que a su vez se bifurcan a miríadas de pequeños capilares. La sangre vuelve al corazón a través de las venas. El radio de la aorta es de aproximadamente de 1.0 cm y la sangre al pasar por ella tiene una rapidez de aproximadamente 30 cm/s. Un capilar típico tiene un radio de aproximadamente 4x10 -4 cm y la sangre fluye por él con una rapidez de 5x10 -4 m/s. Estime cuántos capilares hay en el cuerpo.
Solución:
Sea A1 el área de la aorta y A 2 el área de todos los capilares a través de los cuales fluye la sangre. Entonces A2 = Nπr 2cap Donde: N= número de capilares r cap = 4x10-4 cm (radio promedio estimado de un capilar) ρ = densidad de la sangre Aplicando la ecuación de la continuidad se tiene: A2 V2 = A1 V1 Nπr 2cap V2 = Nπr 2aorta V1 Despejando para N, se tiene:
o aproximadamente cuatro mil millones de capilares.
Ejemplo: ¿Qué tan grande debe ser un ducto para calefacción si el aire se mueve a 3.0 m/s a lo largo de él y debe renovar el aire cada 15 minutos de un cuarto cuyo volumen es de 300 m 3? (suponga que la densidad del aire permanece constante) Solución:
De conformidad con el gráfico, aplicando la ecuación de continuidad: A1 v1 = A2 v2 A1 v1 = A2 l 2/t = Vf 2/t Despejando para A1, se tiene:
Si el ducto es cuadrado, como generalmente son los cuartos, se deberá sacar la raíz cuadrada del valor encontrado, para hallar la longitud: l = (A)1/2 = 0.33 m = 33 cm
