Movimiento Vertical de Ca´ıda Libre “ MVCL ” [ Formulario Basico ´ ]
• Un m´ovil desarrolla un MVCL si y solo si su trayectoria es una l´ınea recta vertical y su aceleraci´on instantanea ´ es igual a la aceleraci´on debido a la gravedad terrestre. • La suposici´on adicional en un MVCL es que la aceleraci´on debido a la gravedad “~ g” sea constante1 , es decir: d~ v ~ a= =~ g = cte. dt con esta relaci´on, para cualquier instante de tiempo “t”, se consiguen las f´ormulas para hallar la: 1. Velocidad:
2. Posicion: ´
~ v=~ vo + ~ gt y=y ~ ~o + ~ vo t +
5. Movimiento simetrico: ´ Cuando un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba y experimenta un MVCL, realiza un “movimiento sim´etrico” cuando sube y luego baja.
→
1 2 ~ gt 2
3~ g: aceleraci´on debido a la gravedad terrestre. • Con un adecuado sistema de referencia, “~ g” tiene ~ g = −9,8~j m/s2
para calculos ´ rapidos: ´ ~ g = −10~j m/s2 De la f´ormula (2.) conseguimos la f´ormula del: ∆~ y=~ vo t +
1 2 ~ gt 2
4. Formulas ´ escalares: Conviene usarlas cuando el m´ovil solo est´e subiendo (aqu´ı se usa el signo “+”) o solo bajando (y aqu´ı se usa el signo “−”). 4.1 4.2
t
H t
vo vo
• En la parte mas ´ alta su velocidad instantanea ´ es nula (vf = 0), luego:
3~ vo: velocidad inicial.
3. Desplazamiento:
va
H=
vo2 2g
tv =
2vo g
8. Caso trivial: Cuando un objeto es soltado (vo = 0) y considerando g = 10 m/s2 , se verifica:
3~ yo: posici´on inicial.
el valor:
va
Tiempo de subida = tiempo de bajada.
7. Tiempo de vuelo:
donde:
g
Rapidez de subida = rapidez de bajada.
6. Altura maxima: ´
y la
vf = 0
1 4.3 h = vo t ± gt2 2 v f + vo 2 2 vf = vo ± 2gh 4.4 h = t 2 vf = vo ± gt
1 La aceleraci´on debido a la gravedad es en realidad variable con la altura, sin embargo para alturas “mucho menores” en comparaci´on al radio medio terrestre podemos suponerla de m´odulo casi constante y no solo eso, sino tambi´en su direcci´on.
La rapidez (en m/s) aumenta de 10 en 10 cada segundo, tambi´en los espacios recorridos (en m) aumentan de 10 en 10 cada segundo. La fig. muestra 4 s de mov. para un objeto que fue soltado, este proceso continua ´ solo cuando el objeto est´e en MVCL.
vo = 0
t = 1s
5m
t = 1s
15 m
t = 1s
25 m
t = 1s
35 m
v = 10 m/s v = 20 m/s v = 30 m/s v = 40 m/s
9. Teorema: Si un objeto “A” desarrolla un MVCL y otro objeto “B” desarrolla tambi´en un MVCL, entonces “A” no acelera respecto de “B”, es decir que “A” desarrolla un MRU relativo respecto de “B”. 3 En virtud de este teorema el “tiempo de encuentro” y el “tiempo de alcance” pueden aplicarse al MVCL, luego, la posici´on relativa de un m´ovil respecto del otro cambia como en un MRU.
Ejercicios
1. Dos esferas son lanzadas tal como muestra el grafico, ´ halle la velocidad de la esfera “A” en el instante en que ambas colisionen. (g = 10 m/s2 )
28 m/s
Y
g
g
A
X
4. Dos esferas son lanzadas simultaneamente ´ con rapideces de 8 m/s y 12 m/s tal como se muestra. Determine la distancia que separa a las esferas en el instante que la mas ´ veloz alcanza su altura 2 maxima. ´ (g = 9,8 m/s )
8 m/s
12 m
18 m
6,4 m
34 m/s B
A) 2 m/s D) +2~j m/s
B) −2~j m/s
C) +3~j m/s E) −3~j m/s
2. Desde la azotea de un edificio se lanza verticalmente una esfera, la figura muestra a la esfera luego de 2 s de su lanzamiento. Determine luego de cuanto ´ tiempo despu´es del lanzamiento las esfera llega al piso. (g = 10 m/s2 )
22 m
B) 6,0 s
C) 8,0 s E) 4,4 s
3. Desde un globo aerostatico ´ que asciende con rapidez constante de 11 m/s, un tripulante lanza hacia arriba un objeto con 9 m/s respecto del globo. Al mismo tiempo, desde el suelo, se dispara verticalmente un proyectil que al alcanzar su altura maxima ´ impacta con el objeto cuando este ha retornado al punto donde fue lanzado. Determine a qu´e altura fue lanzado el objeto con respecto a tierra. (g = 10 m/s2 ) A) 20 m D) 80 m
2
B) 40 m
C) 9 m E) 10 m
5. Desde un cano ˜ malogrado caen gotas de agua cada segundo. Si cuando empieza a caer la segunda gota se abre el cano ˜ observandose ´ que el chorro de agua sale con 15 m/s y llega al piso justo con la primera gota, ¿a qu´e altura se encuentra el cano? ˜ (g = 10 m/s2 ) A) 10 m D) 15 m
B) 25 m
C) 20 m E) 40 m
6. Un cohete despega desde la superficie terrestre con una aceleraci´on constante de 10 m/s2 . Despu´es de 10 s se agota el combustible y el cohete sigue subiendo como part´ıcula libre. Determine el tiempo transcurrido desde que despega hasta que cae a tierra. (g = 10 m/s2 ) √ √ A) 15 s C) 10(1 + √2) s B) 10(2 + 2) s D) 40 s E) 20(2 + 2) s
3 m/s
A) 7,2 s D) 4,8 s
B) 8 m
A) 6 m D) 7 m
C) 60 m E) 100 m
7. En la figura se deja caer la esfera A. Despu´es de 0,2 s se lanza hacia abajo la esfera B con una rapidez v. Si la esfera B alcanza a la esfera A a 2 m de altura respecto del piso, halle v. (g = 10 m/s2 )
A
B
g
v 7m
A) 2,0 m/s D) 2,25 m/s
B) 2,4 m/s
C) 2,5 m/s E) 3,0 m/s
8. Un malabarista arroja hacia arriba una pelota de manera que esta sube 1,8 m a partir de sus manos. En el instante en que esta comienza a descender, arroja otra pelota con la misma rapidez de la primera. ¿A qu´e altura sobre las manos del malabarista se cruzan las dos pelotas?
Parábola vo senq
H
vo
vx
r h
q vo cosq
vy
a
(g = 10 m/s2 )
v b
D
A) 0,45 m D) 1,20 m
B) 1,35 m
C) 0,60 m E) 1,60 m
9. La grafica ´ muestra la variaci´on de la altura h de un objeto con MVCL en funci´on al tiempo t, determine la velocidad media desde t = 0 s hasta t = 4 s. (g = 10 m/s2 )
h (m)
• Trayectoria parab´olica
↔
θ ∈ h0◦ ; 90◦ i
1. Posicion: ´ Si parte del origen:
~ r = (vo t cos θ; vo t sen θ −
1 2 gt ) 2
Recta tangente 2. Alcance horizontal maximo: ´
4,85 D=
2vo2 sen θ cos θ v 2 sen(2θ) = o g g
t (s)
60° 0
3. Altura maxima: ´ A) −10 m/s D) +10 m/s
B) − 15 m/s
C) +15 m/s E) −12 m/s
H=
vo2 sen2 θ 2g
4. Tiempo que permanece en el aire:
tv =
2vo sen θ g
Movimiento Parabolico ´ de Ca´ıda Libre “ MPCL ” [ Formulario Basico ´ ]
5. La velocidad en cualquier instante: ~ v =~ vx + ~ vy
• Es un caso especial de “movimiento compuesto”1 . Lo componen el MRU en el eje horizontal y el MVCL en el eje vertical, luego por definici´on: Un m´ovil desarrolla un MPCL si y solo si su trayectoria es una parabola ´ y su aceleraci´on instantanea ´ es igual a la aceleraci´on debido a la gravedad terrestre. • Estrategia general: Descomponer la velocidad inicial de lanzamiento.
m´odulo:
Un movimiento compuesto es aquel formado por dos o mas ´ movimientos simples al mismo tiempo, e independientemente estos movimientos simples conservan su naturaleza
q
vx2 + vy2
en la parte mas ´ alta: ~ vy = 0
6. Propiedad:
tan θ 1 1 = + h a b
En la parte mas ´ alta: h = H y a = b = D/2, entonces: tan θ =
1
v=
4H D
3
Ejercicios
10 m/s
10. En la figura, determine x de tal forma que la esfera A colisione con la esfera B. (g = 10 m/s2 )
B
53°
A) 11,0 m D) 10,2 m C) 240 m E) 340 m
11. Se lanza una esfera tal como se muestra. ¿A qu´e distancia del punto de lanzamiento se encuentra la esfera cuando su rapidez alcance su m´ınimo valor? (g = 10 m/s2 )
20 2 m/s
√ B) 20 3 m
B) 53◦
C) 37◦ E) 60◦
B) 50 m/s
C) 30 m/s E) 80 m/s
14. Si la esfera, lanzada como muestra la figura, se introduce perfectamente en el tubo, determine el valor de x + y. (g = 10 m/s2 )
4
´ mostrado, las esferas son lan15. En el grafico zadas simultaneamente ´ y colisionan en el punto M . Determine θ y vo2. (g = 10 m/s2 )
M vo2
q 80 m
C) 40 √ m E) 20 5 m
13. Una piedra fue lanzada en forma horizontal con una rapidez v desde la pared superior de un edificio. A los 6 s segundos del lanzamiento su rapidez es 5v/4. Determine la rapidez inicial con la que fue lanzada. (g = 10 m/s2 ) A) 20 m/s D) 40 m/s
C) 10,0 m E) 10,9 m
37°
12. Un avi´on esta´ volando a una altura de 500 m con una velocidad horizontal de 100 m/s. En el instante que el avi´on esta´ sobre un can´ ˜ on antia´ereo, este dispara un proyectil contra el avi´on. Determine el angulo ´ de disparo, sabiendo que la rapidez inicial del proyectil es m´ınima para dar en el blanco. (g = 10 m/s2 ) A) 30◦ D) 45◦
B) 11,9 m
50m/s
45° √ A) 20 2 m D) 60 m
x
A
x B) 310 m
y 45°
1,2 m
50m/s
5 m/s = cte.
A) 200 m D) 280 m
53°
60 m
√ A) 45◦ ; 30 5 m/s √ B) 60◦ ; 30 3 m/s C) 37◦ ; 50 m/s
√ D) 45◦ ; 30 2 m/s E) 30◦ ; 60 m/s
16. Una esfera es lanzada tal como se muestra, determine la altura maxima ´ que logra elevarse.
h
8 m/s 65° d A) 9h/2 D) 7h/4
2d B) 9h/8
C) 7h/3 E) 7h/5
17. La plataforma presenta una rapidez constante de 2 m/s. Si desde P y Q se lanzan dos part´ıculas con la misma rapidez v, respecto de la plataforma, tal como se muestra, halle la m´ınima distancia entre estas part´ıculas. Desprecie la resistencia del aire. (g = 10 m/s2 )
P
1. Velocidad angular: “~ ω” Magnitud f´ısica vectorial cuya direcci´on se determina por la regla de la mano derecha (es perpendicular al plano que contiene a la circunferencia).
v
h
v Q
B)
ω=
θ t
Unidad en el SI: rad/s
2h
√ A) 5h/2 √ D) 2h/2
Para un MCU ~ ω es constante, m´odulo:
√ C) 10h/5 √ E) 5h/3
√ 10h/3
18. Una esferilla es lanzada tal como se muestra, si experimenta un MPCL, determine (en m) la menor separaci´on entre el plano inclinado y dicha esferilla. (g = 10 m/s2 )
2. Longitud de arco: De la figura
S = θr
3. Velocidad tangencial: “~ v” es tangente a la trayectoria y en consecuencia perpendicular al radio. Su m´odulo “v” es constante → S = vt Por consiguiente:
S θr = = ωr t t
v=
4. Periodo: “T ” tiempo que demora en dar una vuelta completa (θ = 2π rad)
45°
ω
18,5° 2m
√ A) 3 √10/5 D) 4 5/15
2π
T =
→
5 m/s
√ C) 2√3/5 E) 2 10/15
√ B) 2 5/15
5. Frecuencia:
f =
“ MCU ”
tiempo empleado
Unidad en el SI: Hertz (Hz).
6. Propiedad: Movimiento Circunferencial Uniforme
N◦ de vueltas
f =
1 T
=
ω 2π
→
ω = 2πf
7. Transmision ´ de movimientos:
[ Formulario Basico ´ ]
7.1 Eje comun: ´
ωA = ω B
uniforme1
• Es aquel movimiento cuya trayectoria descrita es una circunferencia (radio constante).
A
v r
w
A
B
B
r
q r
S
7.2 Tangente comun: ´
vA = v B
v A
B
A
B
1
Un movimiento es uniforme cuando su rapidez (m´odulo de la velocidad) es constante.
5
Ejercicios
19. Si las aspas de un helic´optero giran a raz´on de 240 RPM y sus extremos tienen una rapidez lineal de 20π m/s, determine la longitud de dichas aspas. A) 2,4 m D) 2,5 m
B) 2,6 m
23. Si las poleas A y B que desarrollan un MCU, estan ´ pegadas y a los bloques les toma 2,5 s para estar en una misma l´ınea horizontal, halle la rapidez angular con la que giran estas poleas.
A
C) 1,8 m E) 2,0 m
B
20. El disco mostrado gira con ω = cte. A qu´e distancia del centro de giro se encuentra el punto A, si las velocidades tangenciales de A y B son 6 m/s y 15 m/s respectivamente. (AB = 24 cm)
B
w
A) 15 cm D) 12 cm
B) 14 cm
C) 16 cm E) 18 cm
22. El disco mostrado gira en un plano horizontal con ω = 8π rad/s constante. Si la esferilla atraviesa verticalmente al disco con una rapidez de 30 m/s, determine la cantidad de vueltas que da este disco, si de retorno la esferilla pasa por el mismo orificio. (g = 10 m/s2 )
w
II. En todo MCU la aceleraci´on centr´ıpeta es cte. tanto en m´odulo como tambi´en en direcci´on. III. Para un objeto con MCU, si ~ r y ω ~ son los vectores posici´on y velocidad angular, respectivamente, entonces su velocidad instantanea ´ sera´ ~ v=~ r×ω ~. IV. Para una part´ıcula con MCU, si ω ~ y ~ v son los vectores velocidad angular y velocidad instantanea, ´ respectivamente, entonces su aceleraci´on centr´ıpeta sera´ ~ ac = ω ~ ×~ v A) Solo IV D) Solo III
B) I y III
• Clave de respuestas de la Semana 1:
C) 80 E) 36
C) I y IV E) II y III
Fuente: Editorial Cuzcano & Lumbreras Editores & L−Editum
2.
6
C) 0,8 rad/s E) 1,0 rad/s
I. En todo MCU, la aceleraci´on tangencial siempre es nula.
1.
B) 24
B) 0,6 rad/s
24. Determine cuales ´ de las siguientes proposiciones son correctas:
21. Un auto se desplaza horizontalmente con una rapidez constante de 72 km/h, sus llantas tienen un diametro ´ de 60 cm. Determine la mayor rapidez, respecto a tierra, que puede tener un punto de la llanta que se encuentran a 24 cm de altura respecto del piso. √ √ A) 12, 5 m/s B) 12 5 m/s C) 8 5 m/s D) 8, 5 m/s E) 20, 0 m/s
A) 8 D) 12
r
8r
A) 0,4 rad/s D) 0,5 rad/s
A
3r
Vectores: 1. B 2. D 5. C 6. B
3. E 7. C
4. D 8. E
MRU − MRUV: 9. A 10. E 11. A 13. C 14. C 15. C 17. A 18. A 19. C 21. B 22. C 23. A
12. A 16. D 20. A 24. D
Equilibrio de Cuerpos R´ıgidos [ Resumen Teorico ´ ]
1. Un cuerpo r´ıgido es aquel cuyas part´ıculas tienen una posici´on invariante unas respecto de otras.
3.2 Fuerza de reaccion ´ normal “~ n”: Surge de la interacci´on entre dos cuerpos y es necesario que exista contacto f´ısico.
n1
n
n
n2
2. Leyes de Newton: 2.1 Ley de inercia: Si sobre un cuerpo “no existen” fuerzas externas sobre e´ l, entonces este cuerpo mantiene el estado en el que se encuentra. Este estado puede ser de reposo relativo o de MRU relativo respecto a un sist. de referencia inercial elegido.
Siempre es perpendicular al plano tangente en el punto de contacto. ~ Tiene 3.3 Fuerza de rozamiento o friccion ´ “f”: direcci´on contraria al mov. o al posible mov. 3 Caso estatico: ´ “fs ” tiene m´odulo variable.
2.2 Ley de la Fuerza Resultante: Si sobre un cuerpo de masa “m” existe una o mas ´ fuerzas exter~ nas cuya resultante es “FR ”, se cumple: ~ = m~ F a R donde ~ a es la aceleraci´on instantanea ´ de dicho cuerpo y “m” es la masa (inercial) que se supone con~ ” es la suma de stante. La fuerza resultante “F R todas las fuerzas externas que actuan ´ sobre el cuer~1 , F ~2 , ... y F ~n , entonces: po. Si estas fuerzas son F ~ = F R
n X
fs max ´ = µs .n donde la cantidad adimensional “µs ” recibe el nombre de coeficiente de rozamiento estatico. ´
v=0
fs
Luego:
~i F
i=1
v=0
fs
0 ≤ fs ≤ fs max ´
3 Caso cinetico: ´ “fk” tiene m´odulo constante:
~ causa el mismo efecto f´ısico de Esta fuerza F R ~i . traslaci´on que todo el sistema de fuerzas F
fk = µk.n donde “µk ” es el coef. de roz. cin´etico.
Unidades en el S.I.: 3~ a: en m/s2 1 kg.m → 1N= s2
3 m: en kilogramos [kg] ~ : en Newton [N] 3F
2.3 Ley de accion ´ y reaccion: ´ A toda fuerza (acci´on) le corresponde otra fuerza paralela a ella, del mismo m´odulo pero de sentido (reacci´on). 3. Fuerzas de uso frecuente:
fk
3 Propiedad:
µk < µs
→
f k < fs
3 Nota: Para superficies lisas:
µk,s = 0
~ en el plano: 3.4 Fuerza de reccion ´ total “R”
3.1 Fuerza de gravedad o peso:
m
fk
~ = m~ P g
g
P Siempre apunta hacia el centro de la Tierra.
~ =~ Caso 1: Vectorialmente R n + f~ , m´odulo: R=
p
n2 + f 2
donde “f ” puede ser el rozamiento estatico ´ o cin´etico segun ´ sea el caso.
~ =R ~x + R ~ y , m´odulo: Caso 2: R R=
q
5. Primera condicion ´ de equilibrio: Es una aplicaci´on directa de la 2da ley de Newton. Eligiendo un SRI, si ~ a = ~0:
R2x + R2y
~ =~ F 0 ( vector nulo) R
→ donde “Rx ” y “Ry ” son las fuerzas de reacci´on en los ejes X y Y respectivamente. ~ ”: Es una fuerza interna 3.5 Fuerza de tension ´ “T que surge como respuesta a la ruptura por estiramiento de un cuerpo.
Para que la aceleraci´on sea cero se tienen dos casos: v=0 ; equilibrio estatico ´ ~ ~ a=0 ↔ ∨ ~ v = cte. ; equilibrio cin´etico • Casos particulares:
Corte imaginario
T
T
T
T
Siempre apunta al lugar de corte y su m´odulo depende de las condiciones del sistema.
3.6 Fuerza elastica: ´ Se aplica solo a materiales elasticos ´ (como resortes p. ej.). Su m´odulo es directamente proporcional a la deformaci´on longitudinal.
3 En el plano: descomponga la fuerzas que actuan ´ sobre el cuerpo en dos ejes mutuamente perpendiculares, luego aplique: P
F (↑) =
P
F (↓)
P
∧
F (→) =
Resorte sin deformar
F1
g
F2
a
F3 K Fe
x F
Ley de senos:
F1 sen α
=
F2 sen β
El signo significa que tiene sentido contrario a la fuerza deformadora. M´odulo: Fe = Kx Donde “K” se denomina constante elastica ´ del resorte. La deformaci´on x puede ser una elongaci´on (estiramiento) o una compresi´on. 4. Diagrama de cuerpo libre (DCL): Proceso que consiste en reconocer a todas las fuerzas que actuan ´ sobre un cuerpo y dibujarlas sobre e´ l. 2
F3 sen γ
F1
b [Ley de Hooke]
=
3 Al trasladar las fuerzas paralelamente, tambi´en se puede formar el grafico: ´
Si la fuerza deformadora “F ” desplaza longitudinalmente al extremo en ~ x , entonces: ~e = −K~ F x
F (←)
3 Para tres fuerzas no paralelas (estas ¡siempre son concurrentes!), traslade las fuerzas sin cambiarles su direcci´on y forme una configuraci´on similar a:
b K
P
F3
a
g F2
Aqu´ı se cumple el Teorema de Lami: F1 F2 F3 = = sen α sen β sen γ 6. Momento o torque de una fuerza: Es una magnitud f´ısica vectorial que indica la capacidad que tienen las fuerzas para producir rotaci´on respecto a un punto o eje de giro.
F
Recta de acción de la fuerza F. d
~ τ = ±F d
Ejercicios
1. Si el sistema mostrado se encuentra en equilibrio, calcule el m´odulo de la fuerza de tensi´on en la cuerda (1). (g = 10 m/s2 )
Eje de giro
[d: brazo de momento o brazo de palanca]
45°
“+” para giros antihorarios y “−” para horarios. ~ 6.1 Forma vectorial del Torque: Si una fuerza F se aplica en un punto determinado por el vector ~ r como en la figura:
Z
4 kg A) 10 N D) 11 N
t = r´F
Y r
q
F
(1)
2 kg C) 32 N √ E) 20 10 N
B) 14 N
√ 2. La barra de 2, 5 3 kg mostrada se encuentra en equilibrio mecanico, ´ halle el m´odulo de la reacci´on en la articulaci´on. (g = 10 m/s2 )
X El torque respecto al origen es:
~ ~ τ =~ r ×F
5 kg 6.2 Teorema de Varignon: El torque resultante respecto a un punto es igual a la suma de todos los torques, respecto al mismo punto, que producen cada fuerza que acua ´ sobre el cuerpo. 7. Segunda condicion ´ de equilibrio: Si la aceleraci´on angular es α ~ =~ 0 →
τR = ~ ~ 0 ( vector nulo)
Para que la acel. angular sea 0 se tienen dos casos: ~ =0 ; equilibrio estatico ´ ω ~ ∨ α ~ =0 ↔ ω ~ = cte. ; equilibrio de rotaci´on
20° A) 25 N D) 30 N
Un cuerpo r´ıgido esta´ en equilibrio mecanico ´ ↔ se cumplen la 1ra. y 2da. condici´on de equilibrio.
B) 50 N
C) 10 N E) 75 N
3. Si la barra homog´enea mostrada esta´ en reposo y tienen 6 kg de masa, halle la maxima ´ masa que puede tener el bloque.
1m
• Caso particular: En el plano, la forma mas ´ simple de aplicar la segunda condici´on de equilibrio P P es: τy= τx (aqu´ı τ sin signo) 8.
80°
A) 11 kg D) 9 kg
4m
B) 6 kg
C) 4 kg E) 12 kg
3
4. En la figura, la barra es homog´enea y se encuentra en reposo, determine RA /RB , donde RA y RB son las reacciones en A y B respectivamente.
7. Si la masa de los bloques son iguales, determine la medida del angulo ´ α.
a 2L
L 102° A
B
B) 2/3
A) 1/2 D) 17/13
C) 5/7 E) 17/3
5. Si la barra hmog´enea de 7 kg esta´ a punto de resbalar, calcule el coeficiente de rozamiento estatico ´ entre la barra y el piso. (g = 10 m/s2 )
A) 78◦ D) 36◦
B) 51◦
C) 30◦ E) 45◦
8. Si la placa rectangular homog´enea esta´ a punto de volcar y resbalar, calcule el coeficiente de rozamiento estatico ´ entre la placa y el piso.
3L
F
L 5L 2L 45° A) 0,6 D) 0,4 A) 0,5 D) 0,1
B) 0,6
9. Si la barra mostrada esta´ en reposo, ¿a qu´e distancia de P se encuentra su centro de gravedad?
3L 6kg
K
16°
L
A) 3 cm D) 6 cm
4
C) 0,3 E) 0,5
C) 0,4 E) 0,75
6. Si la barra homog´enea que se muestra esta´ en reposo, determine la deformaci´on del resorte de K = 8 N/cm. (g = 10 m/s2 )
45°
B) 0,2
B) 8 cm
64cm
P C) 4 cm E) 5 cm
A) 10 cm D) 50 cm
B) 24 cm
C) 30 cm E) 16 cm
10. Si se quiere que las reacciones en los apoyos A y B sean iguales, ¿a qu´e distancia de A debemos aplicar una fuerza vertical hacia arriba de 20 N? Considere que la barra es homo´egena y de 10 kg. (g = 10 m/s2 )
70cm A A) 60 cm D) 15 cm
• En el eje de movimiento se aplica la segunda ley de Newton en forma escalar (m´odulos): FR = ma
10cm B
B) 30 cm
Donde:
Fuerzas Fuerzas X X que estan que estan ´ ´ FR = en contra a favor − de ~ a.
C) 20 cm E) 18 cm
~ = (2; −2−1) 11. El vector posici´on de la fuerza F N es ~ r = (1; 2; 1) m. Calcule el torque que produce ~ F respecto al punto (2; 3 − 1) m. D) (5; 3; 4) N.m E) (1; 3; −2) N.m
A) (5; −3; 2) N.m B) (−5; 3; 2) N.m C) (−5; −3; −4) N.m
de ~ a.
Ejercicios
13. Si el coeficiente de rozamiento cin´etico entre el bloque y piso es 0,5. Halle el m´odulo de la fuerza de tensi´on en el cable que une ambos cuerpos. (g = 10 m/s2 )
12. La cadena homog´enea mostrada tiene una longitud de 66 cm y esta´ en reposo. Si el coeficiente de rozamiento estatico ´ es µs = 0,25, halle el maximo ´ valor de x.
4kg
8kg
x A) 20 N D) 25 N
B) 30 N
C) 35 N E) 40 N
53° A) 56 cm D) 60 cm
B) 48 cm
C) 40 cm E) 36 cm
Dinamica ´ Rectil´ınea
14. Un bloque de masa m descansa sobre una superficie horizontal lisa. Al aplicarle una fuerza horizontal adquiere una aceleraci´on de a m/s2 , al triplicar el valor de esta fuerza su aceleraci´on aumenta en 4 m/s2 . ¿Qu´e aceleraci´on adquiere al cuadruplicar la fuerza inicial? A) 4 m/s2 D) 6 m/s2
B) 8 m/s2
C) 16 m/s2 E) 12 m/s2
[ Resumen Teorico ´ ]
• Es una aplicaci´on directa de la segunda ley de Newton, para un SRI:
15. Determine la deformaci´on del resorte liviano, si los bloques deslizan libre de fricci´on. La distancia entre los bloques se mantiene constante.
~ = m~ F a R • Se aplica a objetos que se mueven en l´ınea recta ~ no bajo acci´on de una fuerza neta o resultante F R nula. La fuerza resultante y la aceleraci´on son paralelas y del mismo sentido ambas colineales con el eje (horizontal, vertical, oblicuo, etc.) de movimiento.
F
A) 2F/K D) F/K
m
K
B) 5F/(2K)
2m
C) 5F/(3K) E) 2F/(3K) 5
F
16. Determine la fuerza que ejerce el bloque liso “m = 5 kg” al bloque “2m”, si el coeficiente de rozamiento cin´etico entre el plano y 2m es µk = 0,3. (g = 10 m/s2 )
m
3 kg
2m
2 kg A) 50 N D) 72 N
37° A) 8 N D) 12 N
B) 15 N
C) 20 N E) 16 N
17. Determine la aceleraci´on que expreimenta el bloque 6m si las superficies son lisas y las poleas idelaes. (g = 10 m/s2 )
B) 60 N
C) 97 N E) 85 N
20. Para el instante mostrado, determine el m´odulo de la fuerza que ejerce la esfera a la cuna, ˜ si las superficies son lisas. (g = 10 m/s2 )
2kg
6m
2m/s2
37°
m A) 1,0 m/s2 D) 2,0 m/s2
B) 2,5 m/s2
C) 1,5 m/s2 E) 3 m/s2
18. Si el anillo liso no se mueve respecto del carrito, determine θ. (g = 10 m/s2 )
A) 12,25 N D) 15,50 N
• Clave de respuestas de la Semana: 2 1.
a = 20m/s2
90
A) 37◦ /2 D) 45◦ /2
B) 53◦ /2
°q
3.
C) 143◦ /2 E) 127◦ /2
19. Una polea ideal es jalada verticalmente como se muestra, si experimenta una aceleraci´on de 5 m/s2 , halle F . (g = 10 m/s2 )
C) 14,00 N E) 21,25 N
Fuente: Lumbreras Editores & L−Editum
2.
q
B) 17,00 N
MVCL: 1. B 2. – 6. B 7. D MPCL: 10. D 11. E 15. D 16. B MCU: 19. D 24. C
20. C
3. D 8. B
4. B 9. A
5. C
12. D 17. D
13. E 18. E
14. A
21. C
22. B
23. C
P.D. Correcciones a la semana 2: 1. En las f´ormulas escalares, se usa el signo + cuando el m´ovil baja y − cuando sube. 2. La √ respuesta correcta a la pregunta 2 es: t = 17 + 449 10 3. Usar g = 10 m/s2 para que la respuesta sea exacta. 1000 disculpas por las molestias que esto pudo haber ocasionado. ATTE: L. A. M. Suana. ˜
6
Ejercicios
Dinamica ´ Circunferencial [ Formulario Basico ´ ]
1. Halle el m´odulo de la fuerza de tensi´on en el cable ideal cuando la esfera pase por “A”, si en ese punto su velocidad es de 6 m/s. (g = 10 m/s2 )
1, 5m
Se aplica a cuerpos que se mueven describiendo una trayectoria curvil´ınea, el caso es simple cuando se trata de un MCU. La f´ormula que involucra a los m´odulos es: Fc = mac Donde: Fc : es el m´odulo de la fuerza centr´ıpeta (“Centr´ıpeta” quiere decir que siempre busca el centro de giro, esto es, que su direcci´on esta dirigida hacia el centro de giro en todo momento) que se calcula con:
Fuerzas que Fuerzas que X estan X estan ´ dirigidas ´ dirigidas Fc = hacia fuera del hacia el centro − de giro. centro de giro.
A
A) 120 N D) 90 N
B) 60 N
∨
ac = ω 2 R
C) 150 N E) 160 N
2. El sistema mostrado gira con ω constante. Si la fuerza que ejerce la esfera de 6 kg sobre la superficie lisa es de 100 N, halle ω. (g = 10 m/s2 )
30cm
w
ac : es la aceleraci´on centr´ıpeta (m´odulo), tiene la misma direcci´on que Fc . Se calcula con: v2 R
53°
4kg
Estas sumas y por lo tanto la fuerza centr´ıpeta Fc estan ´ en un eje colineal con el radio.
ac =
g
A) 10/3 rad/s D) 20/3 rad/s
B) 40/3 rad/s
C) 80/3 rad/s E) 50/3 rad/s
3. Un autom´ovil se mueve con rapidez “v” constante sobre la cima de una colina. Si el conductor siente que apenas permanece en conacto con el asiento, halle “v”. Considere que en la cima de la colina se presenta un radio de curvatura de 10 m. (g = 10 m/s2 ) A) 3 m/s D) 7 m/s
B) 5 m/s
C) 12 m/s E) 10 m/s
Donde: v: m´odulo de la velocidad instantanea: ´ v = ωR ω: velocidad angular [rad/s] Aplicando la segunda ley de Newton al eje tangencial se obtiene la aceleraci´on tangencial aT an , luego el m´odulo de la aceleraci´on total sera: ´ q a = a2c + a2T an
4. Con una rapidez de 144 km/h un autom´ovil ingresa a una curva que tienen un inclinaci´on respecto a la horizontal. Si el radio de curvatura es de 250 m, halle el angulo ´ que la pista debe formar con la horizontal de manera que el autom´ovil pase la curva sin percances. Desprecie la fricci´on. (g = 10 m/s2 ) A) arctan(3) D) arctan(0,35)
B) arctan(0,84)
C) arctan(64) E) 30◦
5. El sistema mostrado comienza a rotar lentamente hasta que la barra AB se situe ´ en posici´on vertical, halle la rapidez angular que debe tener para este prop´osito. Las varillas son de masa despreciable y no existe rozamiento. (g = 10 m/s2 )
L L
L = 25 cm
w
√ A) 10 √3 rad/s D) 10 3/3 rad/s
L
Articulación lisa A
Consideraciones: Si θ = 0o ⇒ W = +F d ∴ el trabajo sera´ positivo si la fuerza esta´ a “favor” del movimiento. Si θ = 90o ⇒ W = 0 ∴ fuerzas perpendiculares al movimiento no realizan trabajo.
L
B 4m
Si θ = 180o ⇒ W = −F d ∴ el trabajo sera´ ne-
m
B) 10/3 rad/s
gativo si la fuerza esta´ en “contra” al movimiento.
C) 2 rad/s E) 3 rad/s
Caso 2: Si la fuerza tiene m´odulo variable pero la misma direcci´on que debe ser colineal con el desplazamiento.
6. Un objeto pequeno ˜ es lanzado desde el piso con una velocidad ~ v = (a; 4a) m/s. Determine en qu´e relaci´on se encuentran la altura respecto del piso y el radio de curvatura en el instante de menor rapidez. A) 4 D) 6
B) 8
C) 10 E) 12
´ W = ± AREA
Caso 3: Si sobre el cuerpo actuan ´ varias fuerzas, la fuerza que se debe emplear es la fuerza resultante ~ que es la suma vectorial de todas ellas. En este F R caso el trabajo es conocido como trabajo neto o total WN =
Trabajo y Potencia [ Formulario Basico ´ ]
El trabajo mecanico ´ (W ) es una cantidad f´ısica escalar que se define como la capacidad que tienen las fuerzas para generar movimiento. Caso 1: El trabajo realizado por una fuerza constante1 para trasladar al bloque desde A hasta B es:
P
Unidades en el SI: F en Newton [N]; d en metros [m] ∴ W en Joules [J]. Luego por definici´on: 1 J = 1 N.m ´ POTENCIA MECANICA: Cantidad f´ısica escalar que se define como la rapidez con que se desarrolla trabajo mecanico: ´
W = F d cos θ
P =
Pero W = F d d t ~y Donde: θ es el angulo ´ entre el desplazamiento d ~ la fuerza F . 1 Una fuerza es constante siempre que no cambie su m´odulo ni su direcci´on y dejara´ de serlo cuando al menos una de estas cambie. El grafico ´ de una fuerza constante F versus x es una l´ınea horizontal.
2
W = FR d cos θ = ±mad
→
W t
P =
Fd t
, en un M.R.U.:
= v = rapidez, luego: P = Fv
Unidades: En el S.I.: W en Joules; t en segundos ⇒ P en Watt [W]. Luego por definici´on. 1W=
1J s
Algunas equivalencias: 1 cavallo de vapor = 1 CV = 735 W. 1 cavallo de fuerza = 1 HP = 746 W. 1 kilowatt = 1kW = 1000 W = 1, 34 CV.
9. Una part´ıcula es sometida a una fuerza hori~ variable. El grafico ~ zontal F ´ muestra c´omo var´ıa F ~ con la posici´on ~ x. Halle el trabajo que desarrolla F para un desaplazamiento horizontal ∆~ x = +6 m desde ~ xo = 3 m.
F (N) 30
1 kW−hora = 3,6 × 106 J. Eficiencia o rendimiento: Se define por:
η=
Potencia util ´
x (m)
Potencia suministrada
10 La potencia util ´ tambi´en se le conoce como potencia de salida o potencia real o potencia practica. ´ La potencia suministrada tambi´en se le conoce como potencia de entrada o potencia ideal o potencia absorbida o potencia te´orica.
Potencia suministrada
Potencia Potencia = + util ´ perdida
A) 40 J D) 60 J
B) 90 J
C) 50 J E) 72 J
10. Sobre un bloque de 1 kg se aplica la fuerza ~ = (−4; 3; 6) N. Halle el trabajo neconstante F to que se desarrolla sobre el bloque desde el punto (15; 10; 7) m hasta el punto (−3; 4; 5) m. (g = 10 m/s2 ) A) +72 J D) −72 J
B) −45 J
C) −90 J E) +62 J
Ejercicios
7. Cuando el bloque es elevado a una altura de 1,2 m, ¿cuanto ´ trabajo mecanico ´ realiza la fuerza horizontal constante F = 50 N?
11. Determine la eficiencia de un motor el´ectrico, sabiendo que la potencia perdida durante su operaci´on equivale al 25 % de su potencia util. ´ A) 75 % D) 60 %
B) 40 %
C) 80 % E) 90 %
F 37° A) 45 J D) 75 J
B) 60 J
C) 90 J E) 80 J
12. Un motor de 10 kW cuyo rendimiento es del 60 % acciona un elevador cuyo mecanismo, a causa de la fricci´on, disipa el 10 % de la potencia que recibe. ¿Con qu´e velocidad maxima ´ podra´ subir una carga de 900 kg colocada en ese elevador? (g = 10 m/s2 )
8. La esfera de 2 kg es lanzada verticalmente hacia arriba , tal como muestra la figura. ¿Cuanto ´ de trabajo mecanico ´ realizara´ la fuerza de gravedad durante los primeros 3 s? (g = 10 m/s2 )
g
30 m/s
A) 0,2 m/s D) 0,8 m/s
B) 1,0 m/s
C) 0,6 m/s E) 1,2 m/s
Energ´ıa Mecanica ´ [ Formulario Basico ´ ]
A) 150 J D) 500 J
B) −250 J
C) −300 J E) −500 J
La energ´ıa mecanica ´ puede definirse como la capacidad que tienen los cuerpos para desarrollar trabajo mecanico. ´ As´ı como el trabajo mecanico, ´ la unidad de la energ´ıa en el S.I. es el Joule [J]. 3
[2o ] Para un sistema no conservativo:
Tipos: [1.] Energ´ıa cinetica: ´ Solo cuando el cuerpo tiene rapidez: EK =
1 mv 2 2
m: masa [kg], v: rapidez instantanea ´ [m/s] [2.] Energ´ıa potencial gravitatoria: Es debido al peso, solo existe cuando hay altura respecto a un nivel de referencia (N.R.) horizontal:
W = ∆EM Donde: W es el trabajo realizado por la fuerza no conservativa. La ultima ´ ecuaci´on se conoce como el teorema del trabajo y energ´ıa mecanica. ´ ∆EM es el cambio de la energ´ıa mecanica ´ que se definine como: ∆EM = EMf − EMo
EP G = mgh m: masa g: gravedad h: altura.
En la ultima ´ ecuaci´on la resta se realiza en el orden estricto: “final − inicial”. Recuerde que el trabajo es positivo para fuerzas que tienen la misma direcci´on que el desplazamiento y es negativo para fuerzas con diercci´on opuesta al desplazamiento.
[3.] Energ´ıa potencial elastica: ´ Para materiales elasticos ´ (resortes por ejemplo), solo existe cuando hay deformaci´on:
EP E =
1 Kx2 2
Ejercicios
13. ¿Hasta qu´e altura como maximo ´ llegara´ la esfera lanzada sobre la superficie lisa? (g = 10 m/s2 )
K: Constante elastica ´ [N/m]
6 m/s
x: deformaci´on [m] [4.] Energ´ıa mecanica: ´ Es la energ´ıa propiamente dicha, se define como: EM = E K + E P G + E P E
Principio de conservacion ´ de la energ´ıa mecanica: ´ La energ´ıa mecanica ´ de un sistema f´ısico no se pierde, solo se transforma.
A) 1,8 m D) 1,0 m
B) 1,6 m
14. Se suelta la esfera tal como se muestra, ¿cual ´ sera´ el mayor angulo ´ que lograra´ desviarse la cuerda respecto de la vertical?
L [1o ] Para un sistema conservativo: EMo = EMf
Donde: EMo : energ´ıa mecanica ´ inicial. EMf : energ´ıa mecanica ´ final. 4
C) 2,0 m E) 1,5 m
Clavo L
A) 30◦ D) 60◦
B) 45◦
C) 37◦ E) 53◦
15. Se muestra un bloque en reposo sobre un resorte ideal. El bloque es desplazado 0,2 m hacia abajo y se suelta, ¿hasta qu´e altura llegara´ el
bloque desde la posici´on soltada? Considere que inicialmente el resorte esta´ deformado 0,1 m. (g = 10 m/s2 )
B) 22,5 cm
C) 30 cm E) 24,5 cm
A
B) 17 m/s
A) 1 m/s D) 3 m/s
v
Liso
v=0
C) 10 m/s √ E) 17 m/s
B) 40 m/s
C) 20 m/s E) 50 m/s
20. Se suelta una esfera de 2 kg desde una altura de 100 m respecto del suelo, determine su rapidez en el momento que su energ´ıa potencial gravitatoria se ha reducido a la mitad. Considere que el aire ejerce sobre la esfera una fuerza de oposici´on de m´odulo constante de 7,5 N. (g = 10 m/s2 ) A) 10 m/s D) 20 m/s
B) 25 m/s
C) 15 m/s E) 30 m/s
Fuente: Editorial Cuzcano & Lumbreras Editores & L−Editum
C) 2 m/s E) 5 m/s
18. Se suelta el collar´ın de 1 kg cuando el resorte esta´ sin deformar; determine la maxima ´ deformaci´on que provoca el resorte, si hasta ese momento la energ´ıa calor´ıfica producto del rozamiento entre el collar´ın y la barra es 0,5 J. (g = 10 m/s2 ; K = 100 N/m)
• Clave de respuestas de la Semana 3: 1.
K
x (m) 10
x=0
K = 100N/m
B) 4 m/s
10
M
A) 10 m/s D) 30 m/s
16°
17. Se lanza el bloque como se muestra en la figura, si la maxima ´ deformaci´on que provoca en el resorte es 10 cm y la energ´ıa mecanica ´ disipada hasta ese momento es 7,5 J; determine la rapidez con que se lanza el bloque.
1kg
F
Liso
B A) 34 m/s √ D) 34 m/s
C) 10 cm E) 25 cm
F (N) 40
16. Una canica es soltada en A, determine su rapidez cuando pase por B, si el radio de la superficie circular es de 2,5 m. (g = 10 m/s2 )
74°
B) 20 cm
19. Determine la rapidez del bloque de 5 kg cuando pase por la posici´on x = +10 m. El compor~ con la posici´on se muestra tamiento de la fuerza F en el grafico. ´
K
A) 45 cm D) 25 cm
A) 5 cm D) 15 cm
2.
Estatica: ´ 1. E 2. A 5. E 6. E 9. D 10. A
3. D 7. B 11. D
4. D 8. C 12. C
Dinamica ´ rectil´ınea: 13. E 14. B 15. E 16. A 17. D 18. A 19. D 20. E
5
Ejercicios
M.A.S. − Pendulo ´ Simple [ Formulario Basico ´ ]
1. La posici´on de un aprt´ıcula que realiza un M.A.S. esta´ determinada por:
• Sistema masa − resorte:
x =0
x a
K Liso
x = -A
x = 5 sen(5t + 3) ~
v m
con ~ x en cm y t en s. Halle el m´odulo de su velocidad cuando pase por la posici´on ~ x = −4,8 cm.
x = +A
P.E.
A) 5 cm/s D) 8 cm/s
B) 6 cm/s
C) 10 cm/s E) 7 cm/s
(1) Posici´on: ~ x = A sen(ωt + δ) (2) Velocidad: ~ v = ωA cos(ωt + δ) (3) Aceleraci´on: ~ a = −ω 2A sen(ωt + δ) √ (4) v = ω A2 − x2 (5) 0 ≤ x ≤ A
a = ω 2x → m´odulos [para el valor max ´ y m´ın de v y a]
(6) Periodo: T = 2π
r
2. Al suspender un bloque de 10 kg de un resorte este se estira 6,25 cm. Determine el periodo de oscilaci´on al suspender un bloque de 16 kg del mismo resorte. Considere un M.A.S. para este bloque. (g = 10 m/s2 ) A) π s D) 2π s
B) 0, 6π s
C) 0, 2π s E) 3π s
3. Una part´ıcula que realiza un movimiento arm´onico simple tiene una posici´on definida por:
m 2π 1 = = K ω f
x(t) = 0, 02 sen(0, 5πt + 1, 5π) ~ con unidades en el S.I. Determine la secuencia correcta de valores de verdad de las proposiciones:
• Donde: 3 A = amplitud [m]
I. En 2 s realiza 8 oscilaciones.
3 ω = frecuencia angular [rad/s]
II. La rapidez maxima ´ es 0, 1π mm/s.
3 t = tiempo [s] 3 δ = ] de fase inicial (en t = 0)
III. En t = 0 se encuentra en ~ x = −0,02 m.
3 (ωt + δ) = ] de fase
A) VVV D) FVV
3 m = masa [kg]
B) VVF
C) FFV E) VFV
3 K = constante elastica ´ del resorte [N/m] 3 f = frecuencia natural o frecuencia c´ıclica [Hz] • Pendulo ´ simple
Periodo: T = 2π
s
L g
L = long. del p´endulo [m] g = acel. de la gravedad [m/s2 ]
g
q L
4. Si los arreglos mostrados en la figura oscilan con igual frecuencia, determine el valor de “m” sabiendo que M = 1, 2 kg.
K
K
K
M A) 0,60 kg D) 1,20 kg
K
B) 0,40 kg
m C) 0,30 kg E) 0,24 kg
5. Si el bloque mostrado desarrolla un M.A.S. halle su periodo de oscilaci´on.
K1 = 30N/m
Hidrostatica ´ [ Formulario Basico ´ ]
Polea ideal
m ρ= V
1. Densidad:
K2 = 60N/m
Masa (kg) Volumen (m3 )
m = 10 kg A) π s D) 2π s
B) 3π s
C) 4π s E) 0, 5π s
6. Un p´endulo simple tiene un periodo de 4 s, halle su nuevo periodo si la longitud de este p´endulo se incrementa en un 21 %. A) 3,0 s D) 3,5 s
B) 4,0 s
2. Peso espec´ıfico:
Fuerza (N) = Pascal (Pa) ´ Area (m2 )
F
h
A
rL Fig. 1
Fig. 2
4. Presion ´ hidrostatica ´ (Fig 2):
8. Suponga que un reloj de p´endulo simple, cuya longitud es de 20 cm, es llevado a un planeta en donde la aceleraci´on de la gravedad es un 10 % menos que de la Tierra, ¿qu´e longitud debe tener el p´endulo para que en ese planeta funcione correctamente? B) 24 cm
F P = A
7. Un p´endulo simple de 36 cm de longitud oscila con un periodo de 3 s ¿qu´e debe ocurrir con su longitud para que su periodo sea de 4 s?
A) 20 cm D) 18 cm
Peso (N) Volumen (m3 )
3. Presion ´ de una fuerza normal (Fig. 1):
C) 4,4 s E) 5,0 s
A) Dede aumentar 36 cm B) Debe disminuir 18 cm C) Debe aumentar 28 cm D) Debe aumentar 18 cm C) Debe disminuir 24 cm
W γ= V
C) 30 cm E) 12 cm
P = ρL .g.h
(presi´on debido solo al l´ıquido)
5. Presion ´ atmosferica ´ (Experiencia de E. Torricelli): A nivel del mar: Patm
= =
76 cmHg = 760 mmHg = 760 Torr 1 atm = 1,013×105 Pa = 1,013 Bar
9. Un reloj de p´endulo simple es llevado a un planeta en donde la gravedad es el cuadruplo ´ de la gravedad terrestre. Despu´es de una hora en la tierra, ¿cuanto ´ transcurrira´ en el reloj mencionado?
6. Presion ´ absoluta:
A) 1,0 h D) 1,5 h
La sumatoria se extiende para todas las presiones que actuan ´ en un punto, incluyendo la presi´on atmosf´erica de ser el caso.
B) 2,0 h
C) 3,0 h E) 0,5 h
10. La rapidez angular con la que oscila un p´endulo simple esta´ determinado por: ω ˆ (t) = π cos(2πt) rad/s halle la maxima ´ tensi´on en la cuerda que sostiene a la masa pendular de 2 kg. Use: g = 10 m/s2 ; π2 = 10. A) 12 N D) 15 N 2
B) 20 N
C) 25 N E) 45 N
Pabs =
X
Pi
i
7. Presion ´ manometrica: ´ Si hay contacto con la atm´osfera: Pman = Pabs − Patm y si no hay contacto con la atm´osfera, ya no es necesario restarle Patm . 8. Principio fundamental de la hidrostatica: ´
h1 (1)
Donde “Wr ” es el peso real del cuerpo (en el aire), “Wap ” es el peso aparente (dentro del l´ıquido). Al empuje hidrostatico ´ “E” se le denomina tambi´en “p´erdida aparente de peso”.
h2 h
(2)
rL
Diferencia de presiones: Ejercicios P1 − P2 = ρL .g.(h1 − h2 ) = ρL .g.h Donde las presiones P1 y P2 pueder ser absolutas o manom´etricas. Aplicaci´on:
Si h1 = h2
→
P 1 = P2
i.e. “Puntos que estan ´ a la misma altura, soportan la misma presi´on”. (valida ´ solo para flu´ıdos en reposo) 9. Principio de Pascal: “Todo fluido transmite con igual valor y en todas direcciones cualquier cambio de presi´on que experimenten”. 10. Principio de Arqu´ımedes: “Todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascensional cuyo m´odulo es igual al m´odulo peso del l´ıquido que desplaza el cuerpo.”
11. El cubo de 2 cm de lado y 90 N de peso se encuentra sobre una plataforma de 10 N de peso como se muestra. Si el sistema es elevado verticalemte hacia arriba mediante la fuerza F = 200 N. Calcule la presi´on que ejerce el cubo sobre la plataforma. (g = 10 m/s2 )
F A) 150 kPa D) 450 kPa
B) 250 kPa
C) 350 kPa E) 550 kPa
12. El valor de la presi´on en el interior de un l´ıquido esta´ representado como muestra el grafico. ´ Determine la densidad de este l´ıquido. (g = 10 m/s2 ) 5
VS
rL
rL
P (10 Pa)
Líquido desalojado
2,6
E
1 0
• Caracter´ısticas de E: Para un l´ıquido de densidad ρL : 3 Depende del volumen sumergido. 3 Actua ´ en el C.G. de la parte sumergida. 3 Es siempre perpendicular a las l´ıneas is´obaras.
A) 200 kg/m3 D) 800 kg/m3
E = ρL .g.Vs = Peso del l´ıq. desalojado
B) 400 kg/m3
h (m) C) 600 kg/m3 E) 900 kg/m3
13. Si F = 500 N mantiene a los resortes en reposo, determine la relaci´on F2 − F1 que los resortes K1 y K2 ejercen a los e´ mbolos (1) y (2). Los radios de los e´ mbolos (1), (2) y (3) son 8 cm, 10 cm y 4 cm respectivamente.
F
Modulo ´ de E:
20
(3)
K2 (2)
K1 (1)
Donde “g” es la aceleraci´on de la gravedad y “Vs ” es el volumen sumergido que resulta ser igual al volumen del l´ıquido desalojado. Tambi´en se cumple:
A) 1250 N D) 2100 N
B) 960 N
C) 840 N E) 1125 N
Wr = Wap + E 3
14. El sistema mostrado se encuentra en reposo, si las barras y los e´ mbolos son de masa despreciable, calcule el valor de F . Las areas ´ de los e´ mbolos (1) y (2) son 10 cm2 y 100 cm2 respectivamente. (g = 10 m/s2 )
F
50kg 0,3m
0,1m (1)
Agua A) 11 N D) 12 N
B) 14 N
C) 13 N E) 15 N
15. El tubo en “U” contiene mercurio al nivel indicado. Si por la rama izquierda se hace ingresar 27,2 cm3 de agua, halle la altura a la que sube el mercurio en la rama derecha. (ρHg = 13,6 g/cm3 )
2cm2
3cm2
A) 1/5 cm D) 2/5 cm
B) 3/5 cm
B) 1574 N
C) 7415 N E) 4157 N
17. La esfera de 4 litros esta´ en equilibrio como se muestra, halle su masa.
r1 = 1250 kg/m3 r2 = 1750
kg/m3
C) 3,0 g/cm3 E) 3,2 g/cm3
19. Una esfera hueca de 500 g sumergida en agua tiene un peso de 2 N, considerando que la densidad del material con el que esta´ hecha la esfera es de 7,5 g/cm3 , determine el volumen de la cavidad interior de dicha esfera. (g = 10 m/s2 ) A) 500/3 cm3 D) 470/3 cm3
B) 800/3 cm3
C) 700/3 cm3 E) 1000/3 cm3
20. Dos esferas A y B, de igual volumen, se dejan en libertad en un cilindro de altura H lleno de un l´ıquido, A desde el fondo y B desde la superficie libre. Si 10ρA = 8ρl´ıq = 5ρB , determine cual ´ esfera llega primero al otro extremo. D) Llegan al mismo tiempo. E) Falta conocer ρA y ρB .
Fuente: Editorial Cuzcano & Lumbreras Editores & L−Editum
C) 4/5 cm E) 1 cm
16. Un bloque de acero (ρ = 7870 kg/m3 ) es 200 N mas ´ liviano (menos pesado) completamente sumergido en agua, que en el aire. ¿Cuanto ´ pesa en el aire? (g = 10 m/s2 ) A) 1373 N D) 5741 N
B) 2,4 g/cm3
A) La esfera A. B) La esfera B. C) Depende de H.
24cm
C) 5,4 kg E) 5,5 kg
18. Una esfera metalica ´ maciza pesa, en el aire, 800 N y al sumergirla en un l´ıquido registra un peso de 500 N. Halle su densidad. (ρl´ıq = 1, 2 g/cm3 ) A) 1,6 g/cm3 D) 2,0 g/cm3
(2)
1m
B) 7,2 kg
A) 6 kg D) 3 kg
• Clave de respuestas de la Semana 4: 1.
2.
3.
Dinamica ´ Circunferencial: 1. A 2. D 3. E 4. – 5. C Trabajo y Potencia: 7. E 8. C 9. E 10. E Energ´ıa: 13. A 14. D 17. B 18. C
15. A 19. A
6. B
11. C
12. C
16. D 20. B
P.D. (Correciones a la semana 4): 1. La respuesta correcta a la pregunta 4 es: arctan(0,64) 2. La velocidad de la esfera en la pregunta 8 es de 20 m/s y no 30 m/s.
4
