Sistemas dinâmicos
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Os pontos de equilíbrio são os pontos em que a curva passa pelo eixo dos x. Se nesses pontos a curva passar de baixo para cima do eixo dos x, quererá dizer que no lado esquerdo do ponto a força aponta para o lado esquerdo (força negativa) e no lado esquerdo apontará para a direita (força positiva). Assim, nesses pontos a força obriga o sistema a afastar-se do ponto de equilíbrio e, portanto, são pontos de equilíbrio instável. Nos pontos em que a curva passa de cima para baixo do eixo dos x, a força no lado esquerdo aponta para a direita e no lado direito aponta para a esquerda. Assim, a força obriga o sistema a regressar ao ponto de equilíbrio e, portanto, são pontos de equilíbrio estável.
7.3.2. Ciclos e órbitas homoclínicas No exemplo 7.2 (figura 7.6) as curvas de evolução perto dos pontos de equilíbrio estável, em x = 0.81 e x = 5.89, são curvas fechadas à volta do ponto de equilíbrio. Cada uma dessas curvas fechadas, designadas de ciclos, corresponde a um movimento oscilatório à volta do ponto de equilíbrio. Uma curva fechada no espaço de fase representa um ciclo. Na figura 7.2, no ponto de equilíbrio instável em x = 3.95 há duas curvas, uma do lado esquerdo e outra do lado direito, que começam e terminam nesse ponto de equilíbrio. Nenhuma dessas duas curvas é realmente uma curva fechada, porque o próprio ponto de equilíbrio está excluído da curva. Cada uma dessas duas curvas designa-se de órbita homoclínica: Uma órbita homoclínica é uma curva no espaço de fase que começa num
ponto de equilíbrio e termina no mesmo ponto. No retrato de fase 7.6 existe também uma terceira órbita homoclínica, que parte do ponto de equilíbrio instável em x = −2.65 para cima e para a direita, e regressa ao mesmo ponto por baixo e para a esquerda. As órbitas homoclínicas demarcam a fronteira das zonas de estabilidade: no lado direito da figura 7.6, as duas zonas mais escuras correspondem a oscilações do sistema à volta de algum dos dois pontos de equilíbrio estável. Na zona mais clara, o sistema oscila à volta dos dois pontos de equilíbrio estável. Observe que os ciclos aparecem sempre à volta dos pontos de equilíbrio estável e as órbitas homoclínicas começam e terminam sempre em pontos de equilíbrio instável. Um ponto de equilíbrio onde exista uma órbita homoclínica é, necessariamente, ponto de equilíbrio instável, porque numa direção o estado do sistema afasta-se do ponto, mas em outra direção o estado aproxima-se do ponto. A diferença entre as órbitas homoclínicas e os ciclos é que, nos ciclos o sistema está sempre em movimento e o movimento repete-se indefinidamente: o sistema passa repetidamente pelos mesmos pontos no espaço de fase. No entanto, nas órbitas homoclínicas o sistema aproxima-se assimptóticamente dum estado de equilíbrio, mas nunca chega a passar duas vezes por um mesmo ponto do espaço de fase; nomeadamente, o sistema oscila uma única vez e após essa única oscilação vai travando gradualmente, aproximando-se do estado de equilíbrio.
