Descripción: documento que explica sobre el concepto de filtros fir e iir que es utilizado en procesamiento digital, explica sobre las diferencias y ventajas de cada filtro.
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Despejando, se obtiene el orden M y la pulsación analógica de corte necesarias para calcular los coeficientes del filtro analógico N = 13 ;
Ωc =
6456.42s
Residuos
-1
y el módulo al cuadrado de la respuesta espectral del filtro correspondiente es H ( j Ω )
2
1
=
⎛ Ω ⎞ ⎟ ⎝ 6456 .42 ⎠
2 *13
H (s ) =
1 + 5.3564 * 10 s
51
6.2688*10
0.8278j*10
51
(4.8327+4.2814j)*10
0.8278j*10
51
4.8327*10
0.0774j*10
51
(2.2895+6.0369j)*10
+ ... +
46 12
4.3530 * 10 s
51
a 4
-
9
-
13
-
17
-
21
-
1.4346*10 2.5360*10 3.2944*10 3.3154*10
25
-
29
-
2.6566*10 1.7152*10
32
-
36
-
40
-
43
-
8.9230*10 3.6960*10 1.1861*10 2.7967*10
46
-
49
-
4.3530*10 3.3877*10
-
0.7782*10
51
(3.6677+5.3135j)*10
51
3.6677*10
51
6.4564*10
51
(5.7169+3.0005j)*10
51
5.7169*10
3
-
3
3
-
3
-
3
3
-
3
-1.5772*10
-
Así, la transferencia del filtro analógico puede escribirse como 3.3877*10
5.3564*10
3
-
(0.7782+6.4094j)*10
-1.5772*10
b
1
-
51
0.3139*10
3.3877 * 10 s
3
2.2895
2.5793*10 +
-
3
0.3139*10
49 13
3
3
-0.0094*10
Los coeficientes de dicha transferencia son
49
Esta respuesta espectral debe llevarse a la forma de suma de fracciones parciales. Para esto deben calcularse los residuos, los polos y términos directos, que resultan ser 112
2.2850j*10
51
3.3877 * 1049 4 1
(6.2688+1.5451j)*10
-0.0094*10
Reemplazando s=j Ω, del módulo al cuadrado de la respuesta espectral puede obtenerse la transferencia del filtro analógico, que desarrollando los polinomios es
Términos Directos
51
- 0.0774j*10
1+ ⎜
Polos
2.2850j*10
H ( j Ω)
2
1
=
⎛
⎞ ⎟⎟ ⎝ 6456.42 ⎠ Ω
1 + ⎜⎜
2.285j10 51
=
2 *13
s − (- 6.2688 + 1.5451j )
+
-2.285j10 51 s − (- 6.2688 - 1.5451j )
+ ...
La transformación invariante al impulso es TII
TII
Ω p ↔ ω p = Ωp Tm K
H (s ) =
Ak
k =1
K
TII
∑s − p
↔
Ωs ↔ ω s = Ωs T m
Ak
∑ 1− e
H ( z) =
k
pkT m
k =1
z −1
Con ella se obtiene la transferencia del filtro digital H ( z ) =
1
⎛ Ω ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 6456 .42 ⎠
2 *13
2.285j
=
1− e
8000
-2.285j
+
(- 6.2688 + 1.5451j ) −1
z
+ ...
(- 6.2688 - 1.5451j)
1− e
8000
z −1
Desarrollando las exponenciales del denominador, se obtienen todos los coeficientes de dicha transferencia son
Y despejando se obtiene el orden y la frecuencia de corte del filtro N = 11 ;
Ωc =
6888.2s-1
cuya respuesta espectral es H ( j Ω )
2
=
1
⎛ Ω ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ 6888.2 ⎠
2 *11
Luego, el resto de los pasos son similares con las diferencias del caso. Para el caso de la transformación bilineal se siguen los mismos pasos. Pero debe tenerse en cuenta que la transformación de la escala de frecuencias (llamada pre-distorsión) acomoda las frecuencias de corte para contrarrestar el efecto que tiene la transformada y obtener el resultado deseado TII
ω p = 0.25π ↔ Ωp = TII
ω s = 0.4π ↔ Ωs =
2 ⎛ ω p ⎞ -1 tg ⎜ ⎟ = 6627.4s T m ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ ω s ⎞ tg ⎜ ⎟ = 11625s -1 T m ⎝ 2 ⎠
En función de dichas frecuencias de corte y rizados en cada banda se expresan las especificaciones analógicas
⎧⎪0.83 ≤ H ( j Ω ) ≤ 1.17 si 0 ≤ Ω ≤ 6627.4s-1 ⎨ si 11625s -1 ≤ Ω ≤ ∞ ⎪⎩ 0 ≤ H ( j Ω ) ≤ 0.07 Para la transformación bilineal, el filtro de Butterworth debe cumplir
