Cap´ıtulo 10
Fatiga en metales Cuando un metal est´a sometido somet ido a cargas c argas c´ıclicas es posible po sible que, qu e, aunque aunq ue el estado tensional en todo instante sea relativamente inocuo, el material acabe por romperse. Este tipo de fallo, que no est´a contemplado por ninguno de los modelos estudiados hasta ahora es, adem´as, as, especialmente peligroso: los criterios de fallo no lo predicen, no se manifiesta exteriormente hasta la rotura y, cuando ´esta esta ocurre, o curre, es similar a la de los materiales fr´agiles, agiles, donde aparecen fisuras que se propagan r´apidamente apidamente hasta el fallo. Este fen´omeno omeno se conoce como fatiga y es necesario considerarlo sobre todo cuando se dise˜ nan nan m´aquinas aquinas o estructuras que bajo servicio estar´an an sometidas a ciclos de carg c arga a (veh (ve h´ıculos ıcu los,, m´aquinas aquinas rotatorias, rotatorias, estructuras estructuras sometida sometidass a viento. viento. . . ) o t´ermi er mico cos. s. El estudio de la fatiga en los metales se suele dividir en tres categor´ categor´ıas: a ) Fatiga de gran n´ umero de ciclos. Este tipo de fatiga aparece cuan-
do las tensiones tensiones nominales nominales responsables de la fatiga son muy p eque˜ nas nas (en relaci´ relaci´on on al l´ımite ımit e el´astico astico del material). material). b ) Fati Fatiga ga de bajo n´ umer umero de ciclos ciclos.. Esta fatiga ocurre cuando la
deformaci´ on on pl´astica astica en cada ciclo es visible. c ) Fat Fatig iga a t´ ermi er mica. ca. Debido a las tensiones que aparecen en los ciclos
t´ermi er mico cos. s. Aunque el fallo por fatiga no est´a restringido a los materiales met´alicos alicos nos limitamos en esta primera exposici´on on al estudio de este tipo de materiales. Descripciones m´as as completas de la fatiga en metales se pueden encontrar, por ejemplo, en [ en [22].
10.1 10 .1..
Hist Histor oria ia
El desarrollo desarr ollo de la teor´ıa ıa de la fatiga fa tiga de metales est´a ligado al de cat´ astroastrofes que han ocurrido en la sociedad industrializada y que, en su momento, 201
202
Mecanica a´nica de s´olidos
I. Romero
Figura 10.1: Fatiga en un eje (J. Glynn, 1843) sorprendieron a la comunidad cient´ cient´ıfica pues parec´ parec´ıan contradecir al conocimiento del momento. El accidente ferroviario en Meudon, Francia (1842) se debi´o al descarrilamiento de la locomotora de un tren t ren en el trayecto tr ayecto Versalles-Par Versalles-Par´´ıs, debido a la rotura de uno de sus ejes. Este accidente motiv´o el primer estudio sistem´atico atico de la fatiga en materiales met´alicos, alicos, cuando Rankine estudi´o el efecto de la concentraci´on on de tensiones en el crecimiento de grietas en ejes de ferrocarril. f errocarril. Anteriormente, W. Albert y J.-V. Poncelet ya hab´ hab´ıan presentado algunos trabajos sobre el tema y fue este ´ultimo ultimo el que describi´o el cansancio ( fatigue ) de los metales que estudiaba. Sin duda, el caso m´as as famoso en el campo de la aeron´autica autica es el de los accidentes de los aviones tipo de Havilland Comet en e n la l a d´ecada ecada de 1950. Este modelo brit´ anico anico fue el primer avi´on on a reacci´ reaccion o´n para uso civil. Los accidentes referidos tuvieron lugar en el aire con consecuencias desastrosas. El an´alisis for´ensico ensico de las causas determin´o que durante el vuelo aparecieron grietas debidas a la fatiga del fuselaje en la zona de las esquinas de las ventanillas. Las tensiones en esa zona hab´ıan ıan sido estudiadas en el dise˜ dise ˜no no y estaban por debajo deba jo del l´ımite el´astico, astico, pero no se hab´ hab´ıa tenido tenido en cuenta cuenta la fatiga del material, que adem´as as se acentuaba debido a la concentraci´on on de tensiones en dichos puntos. Este no es el ´unico avi´on on con defectos de dise˜no no ligados a la fatiga de los materiales (ver wikipedia) Finalmente, por citar un ejemplo no relacionado con el transporte, la plataf pla taform orma a petrol´ petr ol´ıfera ıfe ra Alexander L. Kielland de de Noruega volc´o en 1980 causando la muerte muerte a 123 personas y tambi´ tambi´ en en se debi´ o al crecimiento de una grieta por fisura.
10.2 10 .2..
Desc Descri ripci pci´ on o ´n micromec´ anica anica de la rotura por fatiga
Para comprender comprender la raz´ on por la que los metales sufren rotura por fatiga on es necesario examinar los procesos micromec´anicos anicos que la acompa˜nan. nan. El proceso de rotura por fatiga, de forma general y como ya se ha co-
Cap´ıtulo 10. Fatiga en metales
203
Figura 10.2: Detalles de las estructuras superficiales causadas por las bandas de deslizamiento persistente en la superficie de un cristal.
mentado, consiste en la aparici´on de microgrietas, su crecimiento lento (por cada ciclo de carga) hasta que se alcanza un tama˜no cr´ıtico de grieta en el que se propagan r´apidamente. Aunque no es f´acil describir qu´e ocurre a nivel microsc´opico en todos los casos de fatiga, existe consenso en que la raz´ on fundamental por la cual aparecen grietas en metales sometidos a cargas c´ıclicas es la nucleaci´on y acumulaci´on de dislocaciones, y vacancias at´omicas, hasta que ´estas forman estructuras estables. En particular, en las llamadas bandas de deslizamiento persistente se concentra la mayor parte de la cizalla pl´astica. Cuando estas bandas alcanzan la superficie libre de los cristales aparecen picos y valles, en donde las tensiones se concentran y donde es m´as posible que las grietas aparezcan (ver Figura 10.2). Debido a la aplicaci´on repetitiva de cargas, la fisura va creciendo de forma lenta.
204
Mec´ anica de s´olidos
I. Romero
Llega un momento que la fisura es tan grande que la pieza no puede resistir la carga y se produce una rotura s´ubita. Este proceso se puede identificar en las secciones de la piezas que fallan debidas a fatiga (ver Figura 10.2) Como los detalles superficiales tienen una importancia cr´ıtica en la iniciaci´on de grietas, se sigue que los tratamientos superficiales y los efectos qu´ımicos (corrosi´on) afectan de forma cr´ıtica a la resistencia a la fatigua de las piezas mec´anicas.
10.3.
C´ alculo de la resistencia a fatiga bajo carga uniaxial
Las causas de la rotura por fatiga son complejas, y por ello existen numerosos modelos simplificados que la predicen de forma aproximada. Estos modelos hacen uso de f´ormulas sencillas y tablas que recogen el resultado de experimentos en los que se calcula la resistencia a la fatiga de materiales bajo cargas repetitivas. De hecho, la complejidad del proceso es tal que en la mayor´ıa de las ocasiones s´olo se estudia la fatiga en procesos de carga uniaxial, como a continuaci´ on se presenta. Tres son los m´etodos m´as habituales para el c´alculo de la resistencia a fatiga C´alculo de vida a tensi´on (diagramas S-N), C´alculo de vida a deformaci´on (diagramas -N),
Cap´ıtulo 10. Fatiga en metales
205
Figura 10.3: Curvas S-N para aceros (a˜ no 1924). Fatiga por crecimiento de grieta, que estudiamos en detalle a continuaci´on. 10.3.1.
C´ a lculo de resistencia a fatiga a partir del estado tensional
Este tipo de c´alculo se aplica para el estudio de la fatiga bajo un n´umero alto de ciclos (> 10 4 ). En estas situaciones la tensi´on es baja y no se aprecia deformaci´on pl´astica. Se observa adem´as, que los resultados de este tipo de fracturas por fatiga apenas dependen de la velocidad de aplicaci´o n de las cargas. Descripci´ on de las cargas c´ ıclicas.
Consideramos u ´ nicamente cargas
c´ıclicas de la forma σ (t)
= σ m + σ a sin(wt) .
(10.1)
El s´ımbolo σm denota la tensi´on media, que puede ser tanto positiva como negativa. Por contra, la amplitud σa es siempre positiva (ver figura 10.4). Este es el m´etodo m´as cl´asico y elemental para el estudio de la fatiga y tiene su origen el los trabajos de W¨ohler de 1850. El c´alculo de la vida de una pieza se basa en la comparaci´on del valor nominal de la tensi´on (S ) frente al n´ umero de ciclos (N ). alisis Diagramas S-N. La herramienta fundamental en este tipo de an´ son los llamados diagramas de W¨ ohler , o diagramas S-N , diagramas cartesianos semilogar´ıtmicos en los que se representa en el eje de ordenadas la tensi´ on nominal S y en el de abcisas el n´umero de ciclos N en el que se llega al
206
Mec´ anica de s´olidos
I. Romero
fallo. En muchos materiales, la funci´on S (N ) muestra dos comportamientos diferenciados: en un primer intervalo es decreciente y en un segundo intervalo es constante. La funci´on de fallo a veces se representa con la funci´ on de Basquin
S = σ f (2N )b 0
siendo
(10.2)
0 σf
y b dos constantes del material conocidas, respectivamente, como el coeficiente y el exponente de resistencia a fatiga . Estas constantes se puede hallar experimentalmente o imponer suponiendo, por ejemplo, que para N = 103 , S = 0,9σr y que para N = 106 , S = σf . El l´ımite de fatiga es por tanto la tensi´on uniaxial por debajo de la cual un material nunca fallar´a a fatiga. Una primera aproximaci´ on, que se verifica aproximadamente, es σf = σe /2. Otra aproximaci´ on que a veces se emplea es σ f = BHN/4, siendo BHN la dureza de Brinell. A veces tambi´en se usa la aproximaci´on que S (1000) = 0,9σu . Algunos aceros de alta resistencia, el aluminio, y otros materiales no f´erreos no poseen un umbral de tensi´on por debajo del cual no se produce fallo por fatiga as´ı que se suele definir el l´ımite de fatiga como la tensi´on que produce un fallo despu´es de 108 ciclos, aunque esta definici´on es subjetiva y a veces se escoge otro n´umero de ciclos distinto. Las curvas de W¨ohler se construyen a partir de numerosos ensayos en laboratorio, sometiendo espec´ımenes bien a cargas c´ıclicas de tensi´on/tracci´ on o bien a flexi´on. En realidad, la resistencia a la fatiga de los materiales debiera estudiarse estad´ısticamente pues es una propiedad con una dispersi´on significativa. Sin embargo, como primera aproximaci´on, supondremos que los diagramas S-N proporcionan suficiente informaci´ on. Se observa experimentalmente que la resistencia a fatiga de un componente mec´anico depende de forma significativa del tratamiento superficial del mismo. As´ı, el l´ımite de fatiga en una probeta pulida o en una simplemente estampada no es igual. Como las grietas, causantes de la rotura por fatiga, inician en la superficie, cuanto ´esta sea m´as pulida mayor ser´a la resistencia a fatiga. De hecho, existen diagramas que indican, de forma aproximada, un coeficiente de acabado de superficie que condensa estos efectos, minorando la resistencia a fatiga de la probetas, que siempre son pulidas. Para una misma tensi´on nominal, la concentraci´on de tensiones reduce la resistencia a la fatiga. Efectos de la concentraci´ on de tensiones.
Los diagramas S-N habitualmente representan la resistencia a fatiga de materiales sometidos a ciclos de tensi´on con media nula. Cuando la tensi´on media es positiva (tracci´on) la vida del material se acorta y cuando ´esta es negativa (compresi´on), se alarga. Experimentalmente se observa que para un mismo n´umero de ciclos de vida u ´ til un incremento de la tensi´on media repercute en una menor amEfectos de la tensi´ on media.
Cap´ıtulo 10. Fatiga en metales
207
σa σm
t
Figura 10.4: Tensi´on con valor medio y amplitud no nulas. σa
N a0
σ
σe
σr
σm
Figura 10.5: Iso-curvas de n´ umero de ciclos hasta el fallo de Sodeberg (trazo continuo) y de Goodman (trazo discontinuo). Abcisas σm : tensi´on media; ordenadas σa : amplitud de la tensi´on. Valores del material: σaN 0 : amplitud de la tensi´on que, cuando el valor medio es nulo, tiene una vida a fatiga de N ciclos; σe : l´ımite el´astico; σr : tensi´on de rotura. plitud. Existen varios modelos matem´aticos que sirven para cuantificar esta observaci´on. Por ejemplo, el diagrama de Goodman (ver figura 10.5) representa estados en el plano (σm , σa ) con el mismo n´umero de ciclos de vida hasta el fallo. Llamando σaN 0 a la amplitud de una tensi´on arm´ onica con media nula tal que su vida ´u til a fatiga sea N ciclos, la recta de Goodman interpola linealmente entre los puntos (0, σaN 0 ) y (σu , 0), siendo σa0 y su ecuaci´ on es, por tanto, σa =
N σa0
− 1
σm σr
.
(10.3)
Esta recta por tanto representa de forma aproximada aquellas combinaciones (σm , σa ) cuya resistencia a la fatiga es de N ciclos. La relaci´on de iso-vida caracterizada por la ecuaci´o n de Goodman es aproximada, y existen otros modelos semejantes. Por ejemplo, la ecuaci´ on
208
Mec´ anica de s´olidos
I. Romero
de Soderberg interpola la resistencia entre el l´ımite de fatiga y el l´ımite
el´astico: N σa = σ a0
− 1
σm σe
.
(10.4)
Finalmente, la ecuaci´ on de Gerber tambi´en proporciona una aproximaci´on a esta regi´on de iso-resistencia σa =
� Ejemplo
N σa0
! − 2
σm
1
σu
.
(10.5)
10.3.1. En un laboratorio se ensaya un material a fatiga y se
comprueba que cuando ´este se somete a una carga arm´ onica de amplitud 8 10 MPa se parte despu´ es 10 ciclos. Adem´as, se comprueba que cuando la amplitud es de 30 MPa, su vida se reduce a 10 6 ciclos. a ) Si se supone que la funci´ on de fallo se puede representar con la funci´on
de Basquin, calcular el exponente y el coeficiente de resistencia a fatiga. b ) Si se sabe que la tensi´on de rotura del material es de 110 MPa, de-
terminar el n´ umero de ciclos de vida del material cuando se somete a una tensi´on media de 15 MPa y una amplitud de 10 MPa. Seg´ un el modelo de Basquin, el n´umero de ciclos hasta el fallo (N ) del material, cuando se somete a un carga arm´o nica de valor medio nulo y amplitud S , satisface log S = log(σf ) + b log(2N ). A partir de los datos tenemos por tanto 0
10 = log(σf ) + b log(2 · 108 ) ,
30 = log(σf ) + b log(2 · 106 ). (10.6)
0
0
Resolviendo estas dos ecuaciones se sigue que el coeficiente y el exponente de resistencia a fatiga son: 0
σf =
955,7 MPa ,
b =
−0,2387.
(10.7)
Cuando se somete el material a una tensi´on arm´ onica de valor medio 15 MPa y amplitud 10 MPa, la f´ormula de Sodeberg es
−
10 = σa0 1
15 , 110
(10.8)
de lo cual obtenemos que la tensi´on arm´ onica pura con la misma vida que σa = 10 MPa, σm = 15 MPa es σa0 = 11,58 MPa. Finalmente, a partir de la ecuaci´on de Basquin, con los coeficientes encontrados anteriormente calculamos la vida para esta tensi´on arm´ onica resolviendo ,2387
−0
11,58 = 955,7(2N )
,
(10.9)
cuyo resultado es N = 5,41 · 107 ciclos. �
Cap´ıtulo 10. Fatiga en metales
209
σa2 σa1
σm2
σm1
t
Figura 10.6: Carga c´ıclica con dos tramos diferenciados de amplitud y valor medio. Lo descrito anteriormente s´o lo es v´alido para historias de carga en las que el valor de la tensi´on cambia c´ıclicamente. Sin embargo, existen muchos casos de inter´ es en los que la amplitud de las cargas c´ıclicas cambian con el tiempo. En estos casos, la historia de cargas se puede dividir en varios bloques sucesivos, cada uno de ellos caracterizado por cargas c´ıclicas de amplitud constante. Para combinar el efecto sobre la fatiga en el material se puede utilizar la regla de Palmgren-Miner , que considera el da˜no acumulado en cada uno de los periodos de carga y que, aunque tan s´olo sea una aproximaci´on, al menos da una estimaci´on de la vida hasta el fallo. Este m´etodo considera que cada periodo de carga con amplitud de fuerzas constantes provoca un da˜ no sobre el material, independiente de en qu´e orden se sucedan los distintos periodos; m´as a´ un, cada uno de estos periodos provoca un da˜no que es igual, en porcentaje, al que provocar´ıa si la amplitud de la fuerzas fuera constante. Finalmente, el fallo final por fatiga ocurre cuando el da˜no acumulado alcanza el 100%. Fatiga bajo cargas c´ ıclicas en tramos de amplitud variable.
� Ejemplo
10.3.2. La resistencia a la fatiga de un material se representa
de forma simplificada en un diagrama (semilogar´ıtmico) S-N que consiste en una recta que pasa por (1 ciclo, 100 MPa) y (107 ciclos, 50 MPa). a ) Si se quiere dise˜ nar una pieza sometida a esfuerzo axial de forma que
resista 105 ciclos de carga, ¿cu´al es la m´axima amplitud de la tensi´on admisible? En el diagrama semilogar´ıtmico S-N (v´ease la figura 10.7), la recta de resistencia a la fatiga tiene la expresi´on S = 100 50 log N . Con lo 7 5 cual, para que resista 10 ciclos, la tensi´on admisible es 50 S = 100 log 105 = 64,29 MPa 7
−
−
b ) Admitiendo como v´ alido el diagrama de Goodman, calcular la ampli-
tud de una tensi´on arm´ onica de media σm = 20 MPa, de forma que la vida u ´ til de la pieza sea tambi´ en de 10 5 ciclos.
210
Mec´ anica de s´olidos
I. Romero
1 90
) a P M (
80 70
S
60 50 40 1
10
100
1000
10000 100000 1e+06
1e+07
1e+08
N (cycles)
80 70 60 ) 50 a P M ( 40 a
σ
30 20 10 0 0
20
40
60 σm
80
100
(MPa)
Figura 10.7: Diagrama S-N (arriba) y diagrama de Goodman (abajo) del ejemplo 10.3.2. La recta del diagrama de Goodman es, para una vida ´util de 105 ciclos, σa = 64,29(1 1/100σm ) por lo que la amplitud de la tensi´on en una carga arm´ onica de valor medio 20 MPa ser´a
−
σa =
64,29(1
− 20/100) = 51,43 MPa
c ) Ahora la misma pieza se somete a una tensi´o n de la forma
σ (t)
= 20 + 51,43 sin(ω t) durante 3 · 10 ciclos de carga. Despu´es, se somete a otra carga arm´ onica de tensi´on con valor medio σm = 40 MPa y amplitud 20 MPa. ¿cu´antos ciclos de carga resistir´ a antes de la rotura por fatiga? 4
El estado tensional del primer ciclo de carga, como antes se calculaba, permite una vida ´util de 105 . Puesto que la pieza s´olo se ha sometido a N 1 = 3 · 104 ciclos, ´esta ha agotado el 30 % de su vida, seg´un el criterio de Palmgren-Miner. Para encontrar el n´ umero de ciclos que la pieza resistir´a en su segundo estado de carga, calculamos primero la vida ´util de una pieza sometida a un u ´ nico ciclo de carga con ( σm , σa ) = (40, 20) MPa. En el diagrama de Goodman de la figura 10.8 se puede apreciar que el estado de carga estudiado tiene un vida u ´ til igual que un tensi´ on arm´ onica de amplitud
Cap´ıtulo 10. Fatiga en metales
211
40 35 30 ) 25 a P M ( 20 a
σ
15 10 5 0 0
20
40
60 σm
80
100
(MPa)
Figura 10.8: Diagrama de Goodman de el estado ( σm , σa ) = (40, 20) MPa. σa =
33,33 MPa y valor medio nulo. Empleando una vez m´as la curva S-N, se puede calcular que la vida ´util de una pieza con esta tensi´on arm´ onica es de N = 2,15 · 109 . Como, seg´ un la regla de Palmgren-Miner, a la pieza s´olo le resta un 70 % de vida u ´ til para esta segunda fase de carga, concluimos que esto equivale a un n´umero de ciclos N 2 = 0,70
× 2,15 · 10
9
= 1,5 · 109 ciclos
El n´ umero total de ciclos de vida de esta pieza ser´a N 1 + N 2 . �
10.3.2.
C´ alculo de resistencia a fatiga a partir de las deformaciones
Este an´alisis se hace para la rotura en un n´umero bajo de ciclos ( 103 ), donde las deformaciones pl´ asticas son patentes. Su desarrollo es de los a˜nos 1960s, muy posterior al del an´alisis por tensiones. La hip´otesis fundamental de este tipo de an´alisis es que la rotura en una situaci´on de fatiga en bajo n´umero de ciclos se debe a la acumulaci´on de deformaci´o n pl´astica. Este criterio se acerca m´as a la interpretaci´on micromec´anica de la fatiga que el de la tensi´on. Para estudiar la fatiga en ciclos de este estilo se realizan ensayos con control de desplazamiento como el mostrado en la figura 10.9. Si sobre una probeta sometida a tracci´on se imponen desplazamientos de rango ∆ε, despu´es de una fase transitoria en la que la deformaci´on pl´astica crece, se alcanza un r´egimen permanente en el que se aprecia claramente una respuesta con hist´eresis, donde la tensi´on abarca un rango ∆σ . Experimentalmente se ha observado que en estos ciclos de deformaci´on, la amplitud de la deformaci´on pl´astica ∆ε p /2 est´a relacionada con el n´ umero de ciclos hasta el fallo N
≈
212
Mec´ anica de s´olidos
I. Romero
ε σ
σ ∆
ε
Figura 10.9: Ciclo de control de deformaci´on en un material elastopl´astico. Una fase transitoria (gris) da lugar a un r´egime estacionario con hist´eresis. mediante una ecuaci´on de la forma p
∆ε
2 siendo
= ε f (2N )c , 0
(10.10)
0
el coeficiente de ductilidad a fatiga y c el exponente de ductilidad a fatiga . La primera de estas constantes mide la deformaci´on pl´astica que llevar´ıa al fallo en medio ciclo de carga (un cambio de signo en la deformaci´ on). La segunda de estas constantes tiene un valor entre -0.5 y -0.7 para metales. Como se estudi´o en la teor´ıa de la plasticidad, la amplitud de la deformaci´on pl´astica se puede escribir como ∆ε p /2 = ∆ε/2 ∆εe /2, es decir, que es el resultado de sustraer la amplitud de la deformaci´on recuperable de la amplitud total de la deformaci´on. Si escribimos la ecuaci´on de Basquin (10.2) como b (10.11) ∆σ /2 = σf (2N ) εf
−
0
entonces la ecuaci´on (10.10) se puede expresar como ∆ε
2
0
=
σf
(2N )b + ε f (2N )c . E 0
(10.12)
El primer sumando del t´ermino de la derecha representa la contribuci´ on el´ astica al fallo por fatiga; a su vez, el segundo t´ ermino mide la contribuci´on de la deformaci´on pl´astica al fallo. Para tener en cuenta el efecto de tensiones medias no nulas el coeficiente de resistencia a la fatiga σf se sustituye por σf σm . 0
0
−
Cap´ıtulo 10. Fatiga en metales
213
Las propiedades de la superficie, la concentraci´ on de tensiones y el valor de la tensi´on media modifican, como en el caso de las curvas S-N, la vida de los materiales sometidos a fatiga de bajos ciclos. 230 MPa, σf = 830 MPa, εf = 0,95, b = 0,110 y c = 0,64. Si se somete a una deformaci´on arm´ onica de media nula y amplitud ∆ε = 0,03, determinar el n´umero de ciclos hasta el fallo. Sustituyendo los datos en la ecuaci´on (10.12) encontramos que el n´umero de ciclos de deformaci´on hasta el fallo es N = 404. � Ejemplo 0
10.3.3. Un acero tiene propiedades mec´anicas 0
−
σe =
−
�
10.3.3.
Calculo de resistencia a partir de la teor´ıa de la fractura
Cuando una pieza o estructura est´a sometida a cargas c´ıclicas y adem´ as tiene un grieta, puede ocurrir que ´esta crezca hasta alcanzar un tama˜ no tan grande que la pieza se parta. La mec´anica de la fractura, tal y como se estudi´o en el cap´ıtulo 9, se encarga de determinar el tama˜no cr´ıtico de la grieta y estudiamos a continuaci´on la velocidad de crecimiento de grietas (subcr´ıticas) debido a solicitaciones c´ıclicas. Habitualmente se considera, en primer lugar, la amplitud de la tensi´on que hace crecer la grieta, es decir: ∆σ =
(
σm´ ax
−σ
m´ın
σm´ ax ,
, si si
σm´ın > 0
(10.13)
≤ 0
σm´ın
puesto que las cargas compresivas no abren las grietas. En segundo lugar, considerando que el factor de intensidad de tensiones es de la forma K = σ
√ πa f (a , . . . ) ,
(10.14)
siendo a el par´ametro de longitud de grieta y f una funci´on que depende de a y posiblemente otros factores geom´etricos, se define su amplitud como ∆K = ∆σ
√ πaf (a , . . . ) ,
(10.15)
us´andose ´esta magnitud como la responsable del crecimiento de las grietas y escribiendo da = F (∆K ) (10.16) dN En este tipo de curvas se observa que, por debajo de un cierto nivel de ∆K , las grietas no se abren nunca, independientemente del n´umero de ciclos que se apliquen. Por encima de este umbral, existe un amplio rango de valores de ∆K para los que se cumple la ley de Paris F (∆K )
= C ∆K m
(10.17)
214
Mec´ anica de s´olidos
I. Romero
1 1 0.1 0.01 0.001 da d N
0.0001 1e-05 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 10
∆K
Figura 10.10: Velocidad de crecimiento de grieta en funci´on del rango del coeficiente de intensificaci´on de tensiones. siendo C y m par´ ametros del material. Este rango se aprecia en un diagrama logar´ıtmico como una recta (v´ease la figura 10.10). Existe tambi´en un valor cr´ıtico de ∆K por encima del cual la grieta crece muy r´apidamente, llevando a la fractura. C´ alculo de la vida ´ util
Dada una grieta de longitud ai , el n´ u mero de ciclos que hacen que ´esta crezca hasta alcanzar una longitud af se obtiene integrando la relaci´on (10.16) que resulta: af
N =
Z
ai
da F (∆K (a))
(10.18)
donde hemos relacionado el valor del factor de intensidad de tensiones con el tama˜ no de grieta. Para un c´alculo de vida ´util se debe emplear un valor de la longitud inicial de la grieta (que debe de obtenerse a partir de los procesos de fabricaci´o n) y el tama˜ no cr´ıtico de grieta, que se puede obtener usando la teor´ıa de la mec´anica de la fractura.
√
� Ejemplo 10.3.4. Una
chapa delgada de acero (K I = 50 MPa m) como la de la figura 9.6 tiene dimensiones 600 900 mm2 y una grieta transversal de longitud 2a = 30 mm. Suponiendo que la chapa est´a sometida a tracciones de la forma σ (t) = 160 cos(ω t) MPa y tomando como v´alida una ley de Paris con constante C = 10 11 m · Hz/(M P a m)3 y exponente m = 3, determinar el n´ umero de ciclos hasta el fallo. Para una chapa delgada con una grieta transversal sometida a tensiones c´ıclicas con valor medio nulo, el rango del factor de amplificaci´on de tensiones
×
−
√
Cap´ıtulo 10. Fatiga en metales
215
es ∆K = σ0
√ πa. √
Si la tenacidad a fractura del acero es K I = 50 MPa m, es valor cr´ıtico de la dimensi´on a es a c = (50/16)2 · 1/π = 0,0316 m. Concluimos que el n´umero de ciclos de carga necesarios para llevar la chapa hasta el fallo es: 31,6·10−3
N =
Z
15·10−3
10
−11
da (16
√ πa)
3
= 2,22 · 107 ciclos �
10.4.
Fatiga en cargas multiaxiales
El c´alculo de la resistencia a la fatiga en piezas y estructuras sometidas a cargas no uniaxiales es bastante m´as complejo que el descrito en la Secci´ on 10.3. En este caso, adem´a s el n´umero de modelos aproximados se multiplica pues aparecen explicaciones para la fatiga de ejes sometidos a torsi´ on, a flexi´on, a torso-flexi´on, etc, que ´unicamente se pueden aplicar en casos particulares. En general, toda esta variedad de modelos apunta hacia la complejidad del fen´omeno de la fatiga, y muestra la falta de un modelo b´ asico que pueda emplearse para predecir todos los casos de fatiga. Un sencillo modelo que puede emplearse, teniendo en cuenta que no es muy exacto, en el caso de fatiga de muchos ciclos consiste en utilizar la teor´ıa unidimensional ya estudiada para alguna tensi´ on equivalente, como la de von Mises o Tresca. Este tipo de an´alisis s´olo tiene sentido cuando las solicitaciones exteriores var´ıan u ´ nicamente en m´odulo, y ´estos de forma sincronizada. Es decir, las tensiones y deformaciones en el s´olido cambian, pero este cambio es tal que lo que produce es un tensor de tensiones en cada punto cuya norma oscila en el tiempo, es decir, que en todo punto x e instante t el tensor de tensiones se puede escribir como: ¯ (x) , ( , t) = f (t)σ
σ x
(10.19)
Para este tipo de cargas, la tensiones principales en cada punto tambi´en satisfacen σI (x, t)
= f (t)σ¯I (x) ,
σII (x, t)
= f (t)σ¯II (x) ,
σIII (x, t)
= f (t)σ¯III (x) , (10.20)
y por tanto la tensi´on de von Mises y de Tresca son σvM (x, t)
σvM (x) , = f (t)¯
σvM (x, t)
σT r (x) . = f (t)¯
(10.21)
En el caso m´as sencillo, podemos utilizar la ecuaci´on de Basquin (10.2) obtenida para la fatiga unidimensional y utilizando las constantes determinadas para dicha situaci´ on , extrapolar su uso al caso tridimensional reemplazando
216
Mec´ anica de s´olidos
|γ | εI
I. Romero
2
−εIII 2
εIII
εI
+εIII 2
εII
εI
ε
Figura 10.11: M´ axima deformaci´ on angular γ m´ax = εI εIII y su correspondiente deformaci´on longitudinal εm = I +2 III para un estado de deformaci´ on arbitrario. ε
ε
−
el valor de la amplitud de la tensi´o n por la de la amplitud de la tensi´on equivalente (de von Mises, por ejemplo). Cuando el estado tensional no s´olo no es unidimensional sino que adem´as tiene un valor medio no nulo se puede continuar extendiendo la analog´ıa unidimensional definiendo una tensi´ on media equivalente , calculando el valor medio de la tensi´on equivalente. En este caso adem´as, se pueden utilizar las aproximaciones de Goodman o de Soderberg para encontrar el n´ umero de ciclos de carga hasta el fallo. Los m´etodos m´as avanzados y precisos para el c´alculo de vida de fatiga en situaciones de carga bi- o tri-axial son los conocidos como m´ etodos de plano cr´ ıtico . Todos ellos reconocen, para empezar, que la fatiga en los s´olidos es un fen´omeno direccional , y que no tiene sentido hablar de una u ´nica tensi´on representativa (la de von Mises, Tresca, o cualquier otra) como variable de control para la aparici´on y crecimiento de grietas. Los m´etodos de plano cr´ıtico, en cambio, estudian la aparici´on de la fatiga de entre todos los planos que pasan por cada punto y escogiendo como cr´ıtico aquel plano en el que el fallo por fatiga aparezca antes. Para utilizar este tipo de m´etodos se necesita, en primer lugar, identificar el plano cr´ıtico y en segundo lugar aplicar sobre dicho plano las f´ormulas de estimaci´on de vida en situaciones unidimensionales. Dentro de los m´etodos de plano cr´ıtico, el m´as sencillo es el que estudia la aparici´on de grietas en cada plano estudiando ´unicamente la componente de la deformaci´ on en la direcci´ on perpendicular a ´este y estudiando el problema uniaxial con las t´ecnicas, por ejemplo, descritas en la secci´on 10.3.2. Para aquellas situaciones en las que las cargas exteriores son funci´on
Cap´ıtulo 10. Fatiga en metales
217
del tiempo, y todas ellas tienen la misma funci´on de proporcionalidad, los m´etodos m´as precisos son el de Brown-Miller y sus variantes [ 1]. Este tipo de m´etodos se basa en la idea de que la m´axima deformaci´ on angular γ m´ax = εI εIII es la responsable de la aparici´ on de micro-grietas y que la deformaci´on longitudinal, en direcci´ on perpendicular a los planos donde ocurre γ m´ax , es la responsable de su crecimiento. Como esta ´ultima es ε m = (εI + εIII )/2 (ver figura 10.11), se concluye que cada n´umero de ciclos de vida ser´an funci´on u ´ nicamente de εI εIII y εI + εIII . En los m´etodos de plano cr´ıtico se busca una deformaci´on equivalente cuyo rango ∆εeq , que ser´a funci´on de todo el estado tridimensional, se pueda utilizar en las f´ormulas de estimaci´ on de vida a fatiga de corto ciclo. Como esta deformaci´ on equivalente es funci´on de ∆γ m´ax y εm el criterio de BrownMiller supone simplemente
−
−
∆εeq
siendo
=
∆γ m´ ax
2
+ α ∆εm ,
(10.22)
α un
par´ametro que depende del material. El valor de los rangos on. Para ∆γ m´ ax y ∆εm dependen, por supuesto, del estado de deformaci´ simplificar a´ un m´as el criterio de fatiga se considera ´unicamente un estado de tracci´on uniaxial de tensi´on σ , entonces εI = σ /E, εII = εIII = νσ /E y por tanto
−
∆εeq
=
∆σ + ν ∆σ
2E
+ α
∆σ
− ν ∆σ = ∆σ (1 + ν + α(1 − ν )) . 2E
(10.23)
2E
Indicando como ∆ε el rango de deformaci´on en la direcci´on de aplicaci´on de la tensi´on durante el ensayo de tracci´on, ∆εeq
=
∆ε
2
(1 + ν + α (1
− ν )) .
(10.24)
Para poder emplear las f´ ormulas de estimaci´o n de vida por fatiga de bajo n´umero de ciclos descomponemos al deformaci´on equivalente en sus partes el´astica y pl´astica: e p (10.25) ∆εeq = ∆εeq + ∆εeq . La primera contribuci´ on se puede aproximar de la ecuaci´on (10.24) usando ν = 0,3, un valor que se ajusta al de muchos metales. La segunda contribuci´on tambi´ en se puede aproximar usando en la ecuaci´on (10.24) un valor ν = 0,5. Finalmente tenemos pues e ∆εeq
=
∆ε
2
e
p ∆ε p (1,5 + 0,5α) ∆εeq =
(1,3 + 0,7α) ,
2
.
(10.26)
Tomando el valor α = 0,5, que es del mismo orden de magnitud que el valor estad´ısticamente a justado de muchos materiales, se sigue que e ∆εeq
= 1,65
∆ε
2
e
,
p ∆εeq
p
= 1,75
∆ε
2
.
(10.27)
218
Mec´ anica de s´olidos
I. Romero
Finalmente, siguiendo el procedimiento para la estimaci´on de vida a fatiga detallado en la Secci´on 10.3.2 se obtiene 0
∆εeq
= 1,65
σf
(2N )b + 1,75 εf (2N )c . E 0
(10.28)
y expresando el rango de deformaci´on equivalente en funci´on de los par´ametros ∆γ m´ax y ∆εm se concluye ∆γ m´ ax
2
0
+ ∆εm = 1,65
σf
(2N )b + 1,75 εf (2N )c . E 0
(10.29)
Esta expresi´ on final resulta de varias simplificaciones pero tiene el valor de basarse en las dos cantidades que se consideran m´as cr´ıticas para determinar la vida a fatiga, a saber, ∆γ m´ax y ∆εm . Aunque el ajuste de la contribuci´on de cada uno de estas cantidades est´a hecho para el ensayo de tracci´on, es la f´ormula m´ as com´ unmente empleada para el an´alisis de estados complejos de fatiga.
Problemas a sometido a una 10.1. Un material es tal que resiste 10 7 ciclos cuando est´ carga arm´ onica de valor m´aximo σ = 75 MPa. Determinar, sabiendo que la tensi´on de rotura de dicho material es de 180 MPa, la amplitud admisible de una carga arm´ onica con valor medio igual a 60 MPa si se desea que tambi´en en este r´egimen el material resista 107 ciclos. osito cil´ındrico de radio R = 800 mm y espesor t = 5 mm 10.2. Un dep´ tiene una grieta longitudinal de tama˜ no 2c = 2 mm. El dep´osito forma parte de una circuito hidr´aulico y almacena aceite en un rango de presiones de p (0,1, 0,5) MPa. Un estudio del material indica que su vida a fatiga se puede modelar con una ley de Paris de constante C = 10 9 m·ciclo/(MPa m)4 y exponente 4, y que su tenacidad a fractura es K Ic = 40 MPa m. Determinar el n´ umero m´aximo de ciclos de carga/descarga que el dep´osito puede resistir.
∈
√
−
√
alisis por elementos finitos de un punto de la biela de un veh´ıculo 10.3. El an´ ha permitido calcular que el tensor de deformaci´on en dicho punto durante un ciclo de funcionamiento es ε
=
1 2 3
2 1 0
3 0 2
−
−
sin(ω t) · 10
−2
,
siendo ω la frecuencia de giro de la m´aquina y t el tiempo. El departamento de materiales ha caracterizado la respuesta a fatiga del material con un coeficiente de resistencia a la fatiga σf = 500 MPa, un exponente de resistencia 0
Bibliograf´ıa
219 0
a la fatiga b = 0,1, un coeficiente de ductilidad a fatiga εf = 0,5 y un exponente de ductilidad a fatiga c = 0,6. Sabiendo, adem´as que el m´odulo de Young del material es E = 180 GPa, determinar el n´ umero de ciclos que podr´a resistir a fatiga este punto usando un modelo de Brown-Miller.
−
−
ro ri
P (t)
Figura 10.12: Problema 10.4 on como la de la figura est´a sometida a una carga arm´ onica 10.4. Una uni´
¯ sin(ω t) y tiene dimensiones ri = 15 mm, ro = 30 mm, espesor P (t) = P ¯ = 5 · 104 N y la pieza tiene una grieta perpendicular a la t = 20 mm. Si P direcci´ on de aplicaci´ on de la carga y de longitud c 0 = 3 mm, ¿Cu´antos ciclos de carga resistir´a hasta el fallo? El material tiene una tenacidad K I c = 40 MPa· m y el crecimiento de la grieta sigue una ley de Paris de constante C = 10 12 m ·ciclo/(MPa m)4 y exponente 4.
√
−
√
Bibliograf´ ıa [1] M W Brown and K J Miller. A theory for fatigue failure under multiaxial stress–strain conditions. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers , 187(1973):745–755, 1973. [2] S Suresh. Fatigue of Materials . Cambridge University Press, 1998.
220
Mec´ anica de s´olidos
I. Romero