UNIVERSIDAD SAN PEDRO CALCULO DE ELEMENTOS DE MAQUINAS PRIMERA UNIDAD QUINTA CLASE
CRITERIO DE FALLA DE ARBOLES POR FATIGA DOCENTE: Ingº Luis Calderón Rodríguez
Naturaleza del esfuerzo cíclico
En los capítulos anteriores, para el cálculo de esfuerzos y deformaciones, se había supuesto que las cargas eran de un solo ciclo, es decir, que se aplicaban una sola vez al elemento. El comportamiento de los elementos se estudió entonces mediante conceptos de estática y propiedades del material para un solo ciclo. Las fallas ocurridas debido a cargas de un solo ciclo son llamadas “fallas estáticas”.
Naturaleza del esfuerzo cíclico
En la realidad la gran mayoría de los elementos mecánicos o estructurales se someten a cargas repetidas durante un gran número de ciclos. Las fallas ocurridas debido a cargas repetidas se llaman “fallas por fatiga” y estas se observan casi siempre después de un período considerable de servicio.
Determinación de la resistencia a la fatiga (Sf ) En los ensayos de laboratorio, para obtener información acerca de la resistencia a la fatiga (Sf)de los materiales, se tornean varias probetas idénticas, las cuales se ensayan en diferentes intervalos de esfuerzos, hasta que se inicie una grieta. Por lo general la aparición de una grieta se mide visualmente, pero se puede determinar mediante un cambio en el desplazamiento de la probeta. Con los resultados de estos ensayos, se puede determinar la resistencia a la fatiga.
Cuando no se disponga de los resultados de ensayos, se puede estimar el limite de fatiga de la Probeta (S’e) de aceros de la siguiente forma: S’e = 0.5 Su para Su < 200000 PSI ( 6-01) S’e = 0.5 Su para Su < 200000 PSI ( 6-02) El limite de fatiga de fierros y aceros fundidos es menor mque el de aceros. Sino se dispone de los resultados de pruebas, podemos estimarlos en : ( 6-03) S’e = 0.4 Su Para los materiales no ferrosos se puede estimar: para aleaciones de magnesio y para 106 ciclos S’e = 0.38 Su S’e = 0.45 Su
para aleaciones de niquel y aleaciones de cobre y 106 ciclos
S’e = 0.38 Su
para aleaciones de aluminio hasta de Su < 40 000 PSI para 5x108 ciclos
S’e = 0.16 Su
para aleaciones de aluminio fundido hasta Su < 50 000 PSI y 5 x 108 ciclos
FIGURA ( 6-01) DIAGRAMA DE WOHLER
DIAGRAMA DE WOHLER Cuando no es posible realizar las pruebas, es posible trazar el grafico de Wohler, en especial para materiales que tienen un limite de fatiga (Se)definido, en base a las relaciones que se obtengan del esfuerzo de rotura del material. Por ejemplo , para el acero se había definido que el limite de fatiga se podría considerar aproximadamente como 0.5 Su y a 106 ciclos, se puede de igual modo, fijar el otro punto, considerando que debajo de 103 ciclos se puede tratar como un problema estático y que corresponde a una resistencia a la fatiga de aproximadamente 0.9 Su.
También se puede disponer de una expresión analítica del diagrama de WOHLER aplicable para el rango de numero de ciclos comprendidos entre 103 y 106 ciclos. La formula DURACION en CICLOS correspondiente es:
Sf = Se Nf
106
K
Se = Limite de fatiga Elemento Real Su= Resistencia a la rotura Sy = Resistencia a la fluencia Sf= Resistencia a la fatiga Nf = Factor de seguridad a la fatiga
Siendo K :
Su K = -- 0.01525 + 0.1448 Ln Se
Log
103
NF
106
Log
Determinación de la resistencia a la fatiga (Sf) El dispositivo para ensayos de fatiga mas ampliamente utilizado es la máquina de viga giratoria de alta velocidad de R.R. Moore. Esta máquina somete a la probeta a flexión pura por medio de pesos. La probeta que se usa se tornea y se pule muy cuidadosamente, recibiendo un pulimento final en la dirección axial, para evitar ralladuras circunferenciales.
Dimensiones de la probeta
r
7'' =9 8
d=0,3''
7'' L=316
Fuerza cortante y momento flector a los que se somete la probeta
V
M
ESFUERZOS EN EL PUNTO A
Resultados típicos de un ensayo de fatiga que muestra el límite de fatiga de la probeta.
Resultados típicos de un ensayo de fatiga para materiales no ferrosos
Determinación del límite a la fatiga (Se ) Uno de los primeros problemas a resolver es el de saber si existe una relación general entre el límite a la fatiga y las resistencias obtenidas de un ensayo simple a la tensión. Cuando se efectúa una investigación en la que se utilizan grandes cantidades de datos obtenidos de ensayos de fatiga, se halla que existe cierta relación entre el límite a la fatiga y la resistencia última del material.
Relación entre la resistencia a la fatiga y la resistencia última del material para aceros de baja resistencia y aceros al carbono ordinarios
S e ' = 0,50σ u S e ' = 700 MPa
si σ u ≤ 1400 MPa si σ u > 1400 MPa
La marca de prima en Se’ y Sf’ se le indica a la probeta de viga rotatoria, porque el símbolo Se y Sf se reservará parea el límite de fatiga y resistencia a la fatiga, respectivamente, de un elemento de máquina en particular
Valores de Se’/σu para varios materiales.
Metal
S’e/σu
Ciclos
Acero de alta resistencia
0,45
N=10
Acero fundido
0,40
N=10
Hierro fundido
0,40
N=10
Aluminio de alta resistencia
0,50
N=10
Aluminio de baja resistencia
0,35
N=10
Aleaciones de cobre
0,30
N=10
Aleaciones de niquel
0,35
N=10
Factores del límite fatiga (Se)
A) Factores Modificatorios del límite fatiga (Se) El límite de resistencia de un elemento de máquina es mas pequeño que el límite de resistencia obtenido con la probeta, para conseguir esta disminución se deben tomar en cuenta diversos factores de modificación debido a diversos efectos.
Se = KaKbKcKdKeSe '
Factores Modificatorios del límite fatiga (Se ) Donde: Se =Límite de fatiga del elemento real. Se’ = Límite a la fatiga de la probeta. Ka = factor por acabado superficial. Kb = Factor de tamaño. Kc = Factor de confiabilidad. Kd = factor de temperatura. Ke = factor de efectos diversos. .
Factor de superficie (Ka) Las propiedades de fatiga son muy sensibles a la condición de la superficie, entre los factores que influyen sobre la condición de la superficie tenemos: Variación en el estado de esfuerzos residuales. Cambio en las propiedades superficiales. Rugosidad de la superficie. Corrosión y oxidación sobre la superficie.
Valores de los factores a y b
Ka = a Sut b Acabado Superficial
a (Kpsi)
a (Mpa)
b
Pulido de espejo Esmerilado o rectificado Maquinado o estirado en frío Laminado en caliente
1
1
0
1,34
1,58
-0,083
2,7
4,51
-0,265
14,4
57,7
-0,718
Corroído en agua dulce Forjado
24,45
134,75
-0,884
39,9
272
-0,995
Corroído en agua salada
31,55
228,74
-1,026
Factor acabado Superficial Ka
Sut
Factor de tamaño (Kb)
Se ha demostrado que en la mayoría de los casos existe un efecto de tamaño; la resistencia a la fatiga de miembros grandes es mas baja que en lo pequeños. Al aumentar el tamaño de una pieza aumenta su volumen y por ende su superficie lo cual aumenta la posibilidad de formación de grietas, además, a medida que aumenta el tamaño, disminuye el gradiente de esfuerzos y aumenta el volumen de material sometido a esfuerzos altos
Probetas sometidas a Flexion y Torsion Factor de Tamaño Kb ( d/0.3 ) -0.107 = 0.879 d -0.107
0.11 < d < 2 pulg
0.91 d -0.157
2 < d
( d/7.62) -0.157 = 1.24 d -0.107
2.79 < d < 51 mm
1.51 d -0.157
51 < d < 254 mm
Para Carga
AXIAL
Kb = 1
, no hay efecto de Tamaño
< 10 pulg
Para Efectos prácticos Factor de Tamaño Kb
Factor de Confiabilidad Kc En base a los resultados de los ensayos efectuados , se han hecho estudios estadísticos que permiten hacer uso de materiales teniendo en cuenta la dispersión de los valores obtenido en los ensayos para poder predecir con cierta seguridad la vida del elemento que se esta diseñando. De experimentos realizados , se puede tomar una desviación estandar del 8 % del limite de fatiga cuando no se dispone de valores de ensayos.
Kc = 1 - 0.08 D D = depende de la estimación de probabilidades de falla que se haga : ver Tabla 6 - 02
Figura ( 6 – 04 ) CURVA NORMAL TIPIFICADA
PROBETAS QUE FALLAN
PROBETAS QUE SOBREVIVEN
TABLA ( 6- 02 )
Valores típicos de Probabilidad de Falla
SUPERVIVENCIA
99.999 99.99 99.9 99.5 99.0 98.0 97.0 96.0 95.0 93.0 90.0
Factor de temperatura (Kd) Cuando las temperaturas de operación son menores que la temperatura del lugar de trabajo, existe la posibilidad de que ocurra fractura por fragilidad. Cuando las temperaturas de operación son mayores que la temperatura del sitio de trabajo, la resistencia a la fluencia disminuye muy rápido.
Kd = 1
Valores del factor de temperatura
Kd
Factor de temperatura Si lo que se requiere es el límite a la fatiga de una viga rotatoria a la temperatura del lugar de trabajo, esta se calcula de la siguiente manera:
S = 0,50σ ' e
* u
S = 700 MPa ' e
si σ ≤ 1400 MPa * u
si σ > 1400 MPa * u
donde σ u* = σ u Cte (a la temp. de trabajo )
Factor de efectos diversos (Ke) La resistencia a la fatiga se ve influenciada por efectos que se presentan por diversas causas, por ejemplo: Los esfuerzos residuales, características direccionales del material, efectos internos del material, corrosión, recubrimiento electrolítico, metalizado por aspersión. Este factor varía generalmente entre 0,24 y 0,9 de no haber información, el factor debe ser igual a la unidad.
Ke = 1
FACTOR TEORICO DE CONCENTRACION DE ESFUERZOS Kt Se entiende que mediante el uso de las ecuaciones planteadas en Resistencia de Materiales, se pueden calcular los esfuerzos nominales que actuan sobre un elemento cualquiera, Pero cuando se tiene un cambio brusco de sección, se producen esfuerzos localizados de valores mas altos que el nominal. La relación entre estos valores se define como el factor teórico de concentracion de esfuerzo Kt Kt = Esfuerzo Máximo Localizado Esfuerzo Nominal
El valor Kt es una funcion de la geometria del elemento y del tipo de carga aplicada, y no depende de las propiedades mecanicas del material que se asume elastico e isotropico, exepto en algunos casos. Los siguientes gráficos muestran los valores de Kt para varios tipos de cargas y formas geométricas que comunmente se presentan en los elementos mecánicos.
FIGURA (6-05)
FIGURA (6-06)
FIGURA (6-07)
FIGURA (6-08)
FIGURA (6-09)
FIGURA (6-10)
FIGURA (6-11)
FIGURA (6-12)
FIGURA (6-13)
FIGURA (6-14)
FIGURA (6-14 A)
FIGURA (6-15)
FIGURA (6-16)
FIGURA (6-17)
FIGURA (6-18)
FIGURA (6-19)
FIGURA (6-19 A)
B) FACTOR DE CONCENTRACION DE ESFUERZOS A FATIGA Los esfuerzos localizados producidos por entalladuras, agujeros, cambios de diámetros, canales chaveteros, roscas, ajustes a presión originan una reducción considerable en la resistencia a la fatiga, y no seria nada de extrañar que las roturas por fatiga se inicien en tales irregularidades geométricas, razones por los cuales se requieren de un diseño adecuado y de un estricto control en el proceso de fabricación, en especial donde existan las entalladuras anteriormente indicadas.
KF
= LIMITE DE FATIGA DE PROBETAS SIN ENTALLADURA LIMITE DE FATIGA DE PROBETAS CON ENTALLADURAS
Al valor de esta relación se le conoce como factor de concentración de esfuerzos por fatiga. Los valores de KF se han obtenido teniendo en cuenta los siguientes aspectos: Tipo de entalladura ; Material ; Tipo de Carga; Magnitud del esfuerzo.
KF es normalmente menor que Kt. La relación KF / Kt decrece cuando Kt aumenta El valor de KF cercano a la unidad implica que los esfuerzos producidos por entalladuras se han distribuido a un nivel mas uniforme que no se aleja mucho de los valores correspondientes a probetas sin entalle, mientras que valores KF cercano a Kt implica la influencia directa del factor teórico en la resistencia a la fatiga. q = KF - 1 Kt - 1 ( 6-09)
KF = 1 + q (Kt - 1 ) ( 6-10)
Según la expresión ( 6-09 ) para un valor q=0 , se tendra que KF = 1.0 y significa que el material no tendra sensibilidad a la entalladura. Por otro lado, si q= 1 , se tiene KF = Kt, significa que el material es completamente sensible. En el grafico ( 6-20) nos muestra las sensibilidades a entalladuras que pueden ser usadas para los efectos de diseño
Índice de sensibilidad a la entalla (q)
q=
K f −1 Kt −1
q=
K fs − 1 K ts − 1
es decir : K f = 1 + q(K t − 1) para esfuerzos normales
K fs = 1 + q(K ts − 1) para esfuerzos corta ntes
FIGURA ( 6-20 )
FACTORES DE SENSIBILIDAD
ESFUERZOS FLUCTUANTES A menudo es necesario determinar la resistencia de los elementos con situaciones de esfuerzos diferentes a los completamente reversibles. Tenemos por ejemplo, casos en que los esfuerzos fluctuantes no pasan por cero, en otros la variación de estos no siguen una función sinusoidal. En la figura ( 6-21) se muestran algunos tipos de cargas.
σa = σmáx – σmín 2
σm = σmáx + σmín 2
σa Amplitud de esfuerzo o variación de esfuerzo σm Esfuerzo medio σmáx Esfuerzo máximo σmín Esfuerzo mínimo
FIGURA ( 6-21 )
TIPOS DE CARGAS FLUCTUANTES
RESISTENCIA A LA FATIGA A ESFUERZOS FLUCTUANTE Los datos reunidos para este tipo de solictaciones y en base a la aportacion de GOODMAN, se ha representado en un diagrama que muestra la limitacion del rango de esfuerzo VS el esfuerzo medio. Al diagrama asi obtrenido se le llama frecuentemente, Diagrama de Goodman Ver figura –( 6-22 )
Un metodo alternativo, es la de representar el diagrama de la amplitud del esfuerzo VS el esfuerzo medio, que a menudo se conoce como Diagrama modificado de GOODMAN y se represnta en la figura (6-23)
Sa = Se’ 1 – ( Sm ) X S Donde: x = 1 y S = Su para la línea de goodman x=2 y S = Su para la parábola de Gerber x = 1 y S = Sy para la línea de Soderberg
D) RESISTENCIA A LA FATIGA A ESFUERZOS COMBINADOS El estudio del comportamiento de los materiales a fatiga por accion de esfuerzos combinados resulta ser importante, ya que, muchos elementos de maquinas pueden estar solicitados a esfuerzo axial combinado con esfuerzo de flexión, asi como, el esfuerzo de flexión con el de torsión. Por ejemplo, tenemos que en los cálculos de ejes rotativos pueden presentar la acción combinada de los esfuerzos axial, de flexión, y de torsión. Si analizamos lo que sucede en una fibra, se puede deducir que los esfuerzos varian con la posición de giro del eje, variando de un valor máximo positivo a un valor negativo.
Los criterios que mas frecuentemente se aplican al calculo por fatiga son las de la Máxima Energía de Distorsión y la del Máximo Esfuerzo Cortante. Comparados con los resultados de ensayos experimentales, se han encontrado que el primer criterio se acerca mas a los valores obtenidos en Laboratorios.
1.- CRITERIO DE LA MAXIMA ENERGIA DE DISTORSION
De una forma análoga que para fallas estáticas se puede decir que la falla por fatiga se producirá cuando el esfuerzo máximo equivalente alcanza al valor de la resistencia a la fatiga del material. La relación entre los esfuerzos de corte y de flexión estará dada por: Sse = 0.577 Se Para el caso de que se tenga un elemento sometido a esfuerzos alternativos de Flexión y torsión en fase, la expresión correspondiente al esfuerzo equivalente será: S2max = S2a + 3 S2sa S2e = S2a + 3 S2sa
La Falla se producirá cuando: Esta expresión se puede escribir: Sa Se
2
+
3 Ssa Se
2
= 1
2.- CRITERIO DEL MAXIMO ESFUERZO CORTANTE Para este criterio, la relación entre el limite de fatiga a corte y a flexión será: Sse = 0.5 Se S2smax = ( Sa / 2 )2 + S2sa Para la condición de falla : S2sa = ( Se / 2)2 – ( Sa /2)2 + S2sa Se puede escribir
Sa Se
2
+
4 Ssa Se
2
= 1
E) ESFUERZOS ACTUANTES O DE TRABAJO En base al análisis de los diferentes tipos de cargas que pueden actuar en un determinado elemento y de las características de funcionamiento de las maquinas, se pueden calcular los esfuerzos máximos y mínimos y a partir de estos, los esfuerzos medios y las amplitudes de esfuerzos, de acuerdo al procedimiento indicado en el articulo ((6-12). En muchos elementos los esfuerzos producidos son norma, de flexión y/o de torsión. Las expresiones correspondientes seran respectivamente:
σAmax
=
σAm + σAa
(6-23)
σFmax
=
σFm + σFa
(6-24)
τTmax
=
τTm + τTa
(6-25)
σa Amplitud de esfuerzo o variación de esfuerzo σm Esfuerzo medio σmáx Esfuerzo máximo σmín Esfuerzo mínimo
Cuando el material tiene entalladuras y son sensibles a ellas, se deberá tener en
cuenta los factores de concentración de esfuerzos por fatiga según la naturaleza de la carga . Por tanto , las expresiones arriba indicada quedaran de las formas siguientes: AXIAL FLEXION
TORSION
σAmax = σAm + KFA σAa σFmax = σFm + KFF σFa τTmax = τTm + KFT τTa
(6-26) (6-27) (6-28)
Del análisis que se haga del estado de tensiones para los esfuerzos indicados, se obtiene los siguientes valores según el sistema de coordenadas X o Y, para un sistema plano de esfuerzos.
σxmax = σxm + σxa σymax = σym + σya τxymax = τxym + τxya
(6-29) (6-30) (6-31)
A continuacion se debera determinar los esfuerzos críticos de acuerdo a los criterios de falla. Los más utilizados son los del Máximo Esfuerzo Cortante y de la Máxima Energía de Distorsión.
E.-1 ) CRITERIO DE SODERBERG En el diseño de los elementos , se deberá tener en cuenta el factor de seguridad, que normalmente se toma con respecto al esfuerzo de rotura, de fluencia o de fatiga. Al valor obtenido de la relación de cualquiera de estos esfuerzos entre el factor de seguridad se le conoce con el nombre de esfuerzo de diseño, permisible o admisible ( Sd) la expresión correspondiente será; Sd = Su / N
ó
Sy /N ó
Se / N
ó Sf/ N
( 6-32)
También se puede definir el esfuerzo permisible a CORTE (Ssd) de una manera similar, y las expresiones seran : Ssd = Ssu / N
ó
Ssy /N ó
Sse / N
ó Ssf/ N
( 6-33)
Para determinar la resistencia a la Fatiga a esfuerzos fluctuantes. Los mas usados son las de SODERBERG y la modificada de GOODMAN
La figura (6-26) muestra la línea de Soderberg y también la línea paralela a ella afectado por el factor de seguridad “ N “. Además , se ha representado un punto correspondiente a un valor del esfuerzo medio (σm ) y de la amplitud de esfuerzo ( σa ) que corresponde a una situación dada de esfuerzo fluctuante.
La ecuación correspondiente a la línea paralela a la de SODERBERG será:
σa = --
Se Sy
σm
+
Se N
( 6-34)
Esta ecuación se puede escribir Se S = σa + e σ m N Sy Sy = σ Sy σ m + a N Se
Si analizamos estas dos ultimas expresiones tendremos que un esfuerzo fluctuante de valores “σm” y “σa” lo podemos representar como un EQUIVALENTE a un esfuerzo reversible “σ’a” a un esfuerzo estático “σ’m” De un estado de esfuerzos, es decir:
σ’a= σa (6-37)
+
Se S y σm
σ’m =
σm + S y σa Se
(6-38)
Para un diseño satisfactorio, se deberá tener:
σ’a
σ’m <
Sy / N
Se pueden calcular los esfuerzos equivalentes por separado, utilizando las expresiones (6-37) y ( 6-38).
σ’xm Sy
σ’ym Sy
=
=
σ’xa Se
σ’ya Se
τ’xym τ’xya Sy
=
=
Se
σxa Se
=
=
σya Se
τxya Se
+
+
σxm Sy
σym
+
( 6-39)
( 6-40)
Sy
τxym
( 6-41)
Sy
A continuación, para calcular el esfuerzo critico, se deberá hacer uso de los criterios de falla.
E.-2 CRITERIO DEL MAXIMO ESFUERZO CORTANTE Aplicando la ecuación del Máximo esfuerzo cortante τ2max = σx - σy 2
2
+ τ2xy
Y haciendo que el esfuerzo cortante máximo tenga un valor de τmax = Se / 2N Se tendrá: Se 2 σ’ - σ’ xa ya 2N = 2
2
+ τ2xya
Despejando el valor de N
N=
σ’xa σ’ya Se
+
2 +
Se
4
-0.5
2
τ’xya
(6-42)
Se
Reemplazando (6-39) , (6-40) y (6-41) en (6-42)
N=
σxm σym _
Sy
+
σxa σya _
Se
2
+
4
τxym τxya Sy
+
Se
2
-0.5 (6-43)
E.-3 CRITERIO DE LA MAXIMA ENERGIA DE DISTORSION Aplicando la expresión
2 σmax =
σx2 + σy2 _ σx σy + τxy2 Y Haciendo que el esfuerzo equivalente sea : σmax = Se /N Se /N
2
=
σ’xa
2
+ σ’ya
2
_
σ’xa σ’ya
Despejando el valor de N
N
=
σ’xa Se
2
+
σ’ya Se
Los valores de las relaciones :
2
_
σ’xa Se
+ 3
2
τ’xya
σ’ya Se
σ’xa / Se , σ’ya /Se
+ 3
y
τ’xya
2
Se
τ’xya
Se calculan en base a las expresiones (6-39) , ( 6-40) y ( 6-41)
/ Se
- 0.5
F.-CRITERIO DE GOODMAN- MAXIMA ENERGIA DE DISTORSION
Una variante de calculo por fatiga, es la de aplicar el criterio de la maxima Energia de Distorsion en el diagrama modificado de Goodman. Existen dos metodos de calculo, EL PRIMERO consiste en seguir los mismos lineamientos que el criterio de SODERBERG, y el SEGUNDO, en que se entra al diagrama de Goodman con los esfuerzos equivalentes calculados con el criterio de la Máxima Energía de Distorsión En la practica, los resultados obtenidos con uno u otro procedimiento, difieren poco, siendo el segundo método ligeramente mas conservativo que el primero, por lo que quedara a criterio del diseñador de adoptar el procedimiento mas adecuado.
F 1.- PRIMER METODO
Las ecuaciones de las líneas de fatiga y de fluencia paralelas a las de falla, serán:
σ FATIGA a
=
Se Su
_
σm
FLUENCIA
S + e N
σa
= _
σm
+
SY N
Estas expresiones se pueden escribir : FATIGA S e = N
σa + Se Su
σm
(6-45)
FLUENCIA
SY = N
σa
+
σm
(6-46)
Estableciendo las equivalencias del esfuerzo fluctuante a esfuerzo reversible y a esfuerzo estático, según el caso se tendrá : FATIGA
σ’a
=
σa
S + e Su
σm
(6-47)
FLUENCIA
La expresión (6-47) puede ser escrita :
σ’a Se
=
σ’m Su
=
σa Se
+
σm Su
(6-49)
σ’m = σm
+
σa
(6-48)
Para el caso de que se tenga el estado de tensiones como la representada en la figura (6-25) , y si las posibilidades de falla sean por FATIGA, se tendrán: σ’xa Se
σ’ya Se
τ’xya Se
=
=
=
σ’xm = σxa Su
Se
σ’ym σya Su
=
Se
τ’xym τxya Su
=
Se
+
+
σxm Su
σym
+
( 6-50)
( 6-51)
Su
τxym Su
( 6-52)
El factor de seguridad (NF)que se tendrá de acuerdo con el criterio de la Máxima Energia de Distorsión será:
NF
=
σ’xa Se
2 +
σ’ya
2 _
σ’xa σ’ya Se
Se
Se
+ 3
τ’xya
2
- 0.5
(6-53)
Se
En caso de que la posibilidad de falla sea por FLUENCIA, los esfuerzos equivalentes serán:
σ’xm = σxm + σxa σ’ym = σym + σya τ’xym = τxym + τxya
(6-54)
(6-55) (6-56)
Aplicando el criterio de la Maxima Energia de Distorsión, se tendrá:
Ny
= Sy
2
(σ’xm)
+
(σ’ym)
2 _
σ’xm σ’ym +
3
(τ’xym)
2
-0.5
(6-57)
F2 ._ SEGUNDO METODO Este método difiere del anterior en que se calcula primero los esfuerzos equivalentes de los esfuerzos que tienen en estado de tensiones utilizando el criterio de la Máxima Energía de Distorsión. Luego, se entra al diagramo modificado de GOODMN para calcular el factor de seguridad del elemento. Del estado de tensiones mostrado en la figura (6-25) podemos calcular los esfuerzos equivalentes por medio de las expresiones
σm2
=
2 + σxm
σym
_
σxm σym
+ 3 τ2 xym
(6-58)
_ 2 2 + σ σ 3 + σ τxya (6-59) = σxa ya ya xa De igual modo que el método anterior, se deberá distinguir las dos zonas, la de fatiga, que esta dada por (6-45) y la fluencia por la expresión (6-46) . D estas expresiones , se tendran: Sy FLUENCIA N FATIGA Y = σa 1 = σm + σm + σa NF Se Su (6-61) (6-60)
σa2
Como se puede observar, existe la posibilidad de que NF < NY , significa que podría fallar por fatiga y en caso que se tenga NF > NY , la posibilidad de falla por fluencia. Para definir la demarcación de estas dos zonas, hacemos NY = NF Por
consiguiente:
σm
+
σa
Sy De aquí
σa σm
=
σm Su
+
σa Se Su _ Se
S = e Su
Sy _ Se
Analizando esta expresión, se deducen las siguientes posibilidades de falla: _ S σ S y S u a e Por FATIGA > (6-52) _ σm S Su Se y Por FLUENCIA
σa σm
<
Se Su
Su _ Sy S _ S y
e
(6-63)
Para la primera posibilidad , se usara la ecuación (6-60) y para la segunda (6-61)
RESUMEN DE FORMULAS
σxm = σN σxa = σM
ESFUERZOS NORMALES
ESFUERZOS MOMENTO FLECTOR
σym = 0 σya = 0 τ xym = τT τ xya = 0
ESFUERZOS MOMENTO TORSOR
EJERCICIOS A RESOLVER
PROBLEMA-1
La figura muestra un eje giratorio cargado estáticamente por dos fuerzas de 1600 Lbs y una de 2 200 Lbs, y por dos torques de 5 000 Lbs-pulg y uno de 10 000 Lbspulg. El material usado es un acero AISI C 1045 laminado en caliente con un esfuerzo de rotura a tracción de 98 000 PSI y un esfuerzo de Fluencia de 59 000 PSI. El eje gira a 100 RPM y tiene un grado de acabado superficial que corresponde a maquinado. Utilizando el Criterio de SODERBERG- Máximo Esfuerzo Cortante y para una probabilidad de falla de 1 %, Calcular el factor de seguridad del elemento: En caso que falle, determinar la duración probable del eje en números de horas.
PROBLEMA-2
En la sección critica de un eje giratorio de sección variable tiene las dimensiones siguientes diámetro menor = 3 “ Ø ; diámetro mayor : 3.75 “ Ø ; redondeo : 0.125 pulg. El eje debe girar a 120 RPM y estará sometido a cargas de flexión y torsión variables bajo las condiciones siguientes : cada media vuelta del eje ( 180º), el momento de flexión varia de 6 000 Lbs-pulg a 12 000 Lbs-pulg y en forma simultanea, el torque varia de 14 000 Lbs-pulg a 26 000 Lbs-pulg. El material utilizado es un acero SAE 1050 de Su = 1000 000 PSI ; Sy = 56 000 PSI ; elongacion = 22 % y Dureza = 220 BHN. Utilizando el Criterio de GOODMAN- Máxima Energía de Distorsión , calcular el factor de seguridad si tiene una duración probable de 140 horas de funcionamiento, en caso contrario determine el numero de horas probables a la cual se rompería el eje. Para efectos de calculo tomar: Probabilidad de falla : 0.1 % Acabado Superficial : Torneado Factor de temperatura y otros : 1.00
PROBLEMA-3
En la figura se muestra un eje de un reductor de engranajes helicoidales para transmitir 30HP a 120 RPM. La disposición de los engranajes están indicados en la figura inferior , en la que el piñón A, según el giro indicado, transmite la potencia al engranaje B y el piñón C al engranaje D. El piñón C de paso Diametral es tallado sobre el eje y tiene un diámetro de paso de 5.055” , 19 dientes, ángulo de presión 20, ángulo de la hélice 20 sentido derecho, y el Engranaje B, de acero fundido , tiene un paso diametral de 5, diámetro de paso de 18.942” , 89 dientes, ángulo de presión 20º sentido izquierdo, es instalado a presión y transmite la potencia al eje atreves de una chaveta de 1” x ¾”. El eje esta soportado por dos rodamientos de 3.500 “ Ø instalados en los extremos. El canal chivetero produce una concentración de esfuerzos por fatiga a flexión de factor 1.60 y el ajuste a presión, un factor de 1.40. Se deberá tener en cuenta los cambios de sección según se muestra en la figura.Las características del Material son Su = 127 000 PSI , Sy = 103 000 PSI, dureza 250 BHN, elongación 16%. Utilizando el criterio de GOODMAN- Maxima Energía de Distorsión, para una probabilidad de falla de 1%, un factor de temperatura de 1.00, con acabado superficial, torneado. Calcular el Factor de Seguridad en caso de que la duración sea mayor de 106 ciclos, en caso contrario, la duración probable del elemento en numero de horas. Para efectos de calculos , considerar como diámetros efectivos del piñón C el diámetro de Paso.
PROBLEMA-3
PROBLEMA-4
En la figura se muestra un eje que transmite 3 HP a 1200 RPM, tal como se indica, el material del eje es acero trefilado y recocido, con superficie rectificada, y tiene Sy= 45000 PSI(310 N/mm2) y Su = 52000PSI(358.5 N/mm2). La catalina y el engranaje están montados en el eje mediante chaveta y ajuste forzado, redondeo en las esquinas es de 1/16 pulg R. a) Hacer los diagramas de momentos Flector y torsor en el eje. b) Determinar el limite de fatiga del eje c) Calcular el factor de Seguridad del eje según el criterio de SODERBERG , con una probalidad de Supervivencia de 99.99% d) Si los dos cojinetes consumen 0.001 Kw por fricción, dibujar el diagrama de momento Torsor resultante e indique los valores. e) Si ocurriria una sobrecarga pasajera de 1 HP, como resultaría el diagrama de momento flector.
PROBLEMA-4
PROBLEMA-5
En la figura se muestra un eje que recibe 3.5 HP a 1500 RPM mediante el engranaje de dientes rectos 1 y los entrega mediante la polea de faja en V, tal como se indica. El material del eje de acero trefilado y recocido , con superficie rectificada, se tiene Sy = 42000PSI (290 N/mm2) , Su = 55000PSI ( 380 n/mm2) El engranaje y la polea están montados en el eje mediante chaveta y ajuste forzado., redondeo de las esquinas es de 1.5 mm R a)Hacer los diagramas de Momento flector y Torsor en elo eje. b) Determinar el limite de fatiga del eje c) Calcular el factor de seguridad del eje según el Criterio de SODERBERG, con una probabilidad de falla 0.001 % d) Si los dos cojinetes consumieran 0.001 Kw por friccion, trazar el diagrama de momento torsor del eje e) Si hubiera una sobrecarga subita de 1 HP, como resultaria el diagrama de Momento Flector en el eje
PROBLEMA-5
REPUESTAS
A
PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA 1 R1 = R2 = 500 lbs (SIMETRICOS)
σF3 = 17061 lb/pulg2 σF2 = 12516 lb/pulg2 τT2 = 13040 PSI τT3 = 3183 PSI Concentracion de Tensiones KFF = 1.86 Esfuerzo Normal (potencia constante) σXa2 = 23 340 PSI σXa3 = 17 060 PSI Esfuerzo de Trabajo en PUNTO 2 σXa = 23 340 PSI τXYm = 13 040 PSI Resistencia (límite de fatiga) Ka= 0.75 Kb=0.80 Kc=0.814 Kd=Ke=1 S’e= 49 000 PSI Se=23 930 PSI Factor de Seguridad N=0.934 (< 1) Falla el elemento Duración Probable 1072 Horas PROBLEMA 2 Resistencia (límite de fatiga) Ka= 0.75 Kb=0.70 Kc=0.752 Kd=Ke=1 S’e= 50 000 PSI Se=19 740 PSI Esfuerzos Normales σFmin=2260 PSI σFmax=4530 PSI σFmedio=1135 PSI σFamplitud=3395 PSI τTmin=2640PSI τTmax=4900 PSI τTmedio=3770 PSI τTamplitud=1130 PSI Concentración de Tensiones (Esfuerzos) FLEXION KtF= 2.0 qF= 0.85 KFF = 1.85 TORSION KtT= 1.70 qT= 0.875 KFT = 1.61 Esfuerzos de trabajo (Criticos) σXa=6280 PSI σXm=1135 PSI τXYa=1820 PSI τXYm=3770 PSI σm=6630 PSI σa=7030 PSI Factor de Seguridad Fatiga NF = 2.37 (> 1) No Falla el material.
PROBLEMA 3
( p= Piñon) ( g= engranaje) (T= Torque) (Ft=Fuerza tangencial) (Fa=fuerza axial) (M= momento flector) (Fr=Fuerza radial) T=15 750 lb-pulg Ftp=6230 lbs Ftg=1660 lbs Frp=2410 lbs Frg= 644 lbs Fap= 2270 lbs Fag=605 lbs Mp=5730 lb-pulg Mg=5730 lb-pulg Reacción Vertical Rav= 3250 lb Rbv=4640 lbs Reacción Horizontal Rah=418 lb Rbh=1348 lbs Punto Critico ZONA 4 M4= 18300 lb-pulg σa= 181 PSI τT= 1250 PSI Esfuerzo Normal σF= 2910 PSI Concentración de Tensiones KFF= 3.99 Esfuerzo de Trabajo σXa= KFF x σF = 11 610 PSI σXm=σA= 181 PSI τXYm=τT=1250 PSI Esfuerzos Equivalentes σm= 2170 PSI σa=σXa= 11670 PSI Resistencia (límite de fatiga) Ka= 0.72 Kb=0.70 Kc=0.814 Kd=Ke=1 S’e= 63 500 PSI Se=26 050 PSI Factor de Seguridad Fatiga NF = 2.16 (> 1) No Falla el material.
PROBLEMA 4
ANALISIS DE CARGA Engranaje Recto T= 17802.5 N-mm Ft= 395.61 N Fr=184.476 N Catalina P=296.708 N Reacción Vertical Dv= 161.41 N Av=23.0595 N Reacción Horizontal Dh=383.2481N Ah=309.0709N Punto Critico ZONA C MC= 8317.07 N-mm CONCENTRACION DE TENSIONES (ESFUERZO DE FLEXION) SECCION C KFF=1x1.6x1.9x1=3.04 CARGA INTERNA MC= 8317.07 N-mm T= 17802.5 N-mm ESFUERZO DE TRABAJO (Potencia Constante) SECCION C σXa=11.731 N/mm2 τXYm=4.13 N/mm2 b) RESISTENCIA (limite de fatiga) Ka= 0.90 Kb=0.80 Kc=0.7008 Kd=Ke=1 S’e= 179.26 N/mm2 Se=90.45 N/mm2 c) CALCULO DE FACTOR DE SEGURIDAD NF=7.5526 ( > 1 No Falla el Material) d) TORQUE DE POTENCIA RECIBIDA T= 17 792.97 N-mm TORQUE CONSUMIDA POR CADA RODAMIENTO T= 3.978 N-mm e) SOBRECARGA POTENCIA 4 HP T= 23 736.33 N-mm Engranaje Recto Ft= 527.48 N Fr=245.96 N Catalina P=395.611 N Reacción Vertical Dv= 215.22 N Av=30.74 N Reacción Horizontal Dh=510.99 N Ah=412.10 N Punto Critico ZONA C MC= 11 089 N-mm
PROBLEMA 5
ANALISIS DE CARGA T= 16 617 N-mm Engranaje Recto Ft= 553.9 N Fr=258.28 N Polea F1= 432.34 N F2=100 N Reacción Vertical Cv= 603.7 N Av=128.99 N Reacción Horizontal Ch=156.57 N Ah=494.3 N Punto Critico ZONA C MC= 16 660.5 N-mm CONCENTRACION DE TENSIONES (ESFUERZO DE FLEXION) KFF=1x1.6x1.9x1=3.04 CARGA INTERNA PUNTO 1 y 2 M1= 15 325.5 N-mm T1= 16 617 N-mm M2= 14 068.0 N-mm T= 16 617 N-mm N=0 ESFUERZOS NOMINALES PUNTO 1 σXm=0 σYm=0 τXYm=1.974 N/mm2 σXa=11.06 N/mm2 σYa=0 τXYa=0 PUNTO 2 σXa=16.38 N/mm2 σYa=0 τXYa=0 σXm=0 σYm=0 τXYm=1.974 N/mm2 b) RESISTENCIA (limite de fatiga) Ka= 0.90 Kb=0.80 Kc=0.6528 Kd=Ke=1 S’e= 190 N/mm2 Se=89.30 N/mm2
