Fatiga Engranajes

Modelos de Fallo a Fatiga en Engranajes Engranajes

José I. Pedrero

MODELOS DE FALLO A FATIGA EN ENGRANAJES Las transmisiones por engranajes constituyen, con toda seguridad, uno de los componentes mecánicos de mayor complejidad para el diseño. En primer lugar, la geometría de los perfiles conjugados, incluso la más sencilla y usual de evolvente de circunferencia, presenta notables dificultades para aplicar sobre ella los modelos resistentes de la teoría de la elasticidad. Es cierto que algunos casos, como el estudio de los engranajes rectos, pueden enfocarse desde la hipótesis de estado tensional plano [1, 2], lo que sin duda simplifica el cálculo. Sin embargo, incluso en estos casos, la variación del espesor con la altura del diente o las distancias relativamente pequeñas de los puntos de aplicación de las cargas a las secciones en las que se han de calcular las tensiones, producen efectos de concentración de esfuerzos, no fáciles de evaluar [3]. Más complicado resulta, obviamente, el cálculo de los engranajes helicoidales, en los que la hipótesis de estado plano resulta mucho más precaria, si bien se han obtenido buenas aproximaciones trabajando con la llamada sección normal del engranaje helicoidal, cuya geometría se asemeja a la de un engranaje recto virtual [1, 2]. Por último, los casos tridimensionales, como los engranajes cónicos espirales o las transmisiones por tornillo sinfín, revisten una complejidad inabordable en la práctica, si no es a partir de drásticas hipótesis simplificativas. A lo anterior cabe añadir que son muchos los parámetros que intervienen, o mejor, que definen la geometría de la transmisión, y complicadas las relaciones que dichos parámetros presentan entre sí [1]. A modo de ejemplo, la geometría de un eje de transmisión queda perfectamente definida con el diámetro de la sección y la longitud de cada tramo, junto con los radios de acuerdo en los saltos de sección. Y no existe restricción geométrica alguna para modificar cualquiera de esos parámetros, si el diseñador lo estima conveniente. Un par de engranajes rectos que se calculen para funcionar con una distancia entre ejes inferior a la nominal requerirán un desplazamiento negativo de la herramienta en el tallado, para producir un adelgazamiento en los dientes que permita el acercamiento, y una reducción de los radios de cabeza, para mantener la holgura radial requerida para la evacuación del lubricante; operarán con un ángulo de presión de funcionamiento inferior al de tallado, y con un grado de recubrimiento transversal que es función, y función trascendente nada

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sencilla, de estos parámetros –desplazamiento y radio de cabeza de ambas ruedas y ángulo de presión de funcionamiento–, de manera que resulta notablemente complicado asegurar el valor del grado de recubrimiento, que ha de mantenerse dentro de unos límites, y en todo caso siempre por encima de 1, para asegurar la continuidad de la transmisión. Pero si complejas son las relaciones puramente geométricas entre los parámetros de la transmisión, mucho más aún lo son las relaciones entre estos parámetros y los factores de diseño del problema [4, 5]. Una leve modificación de la distancia entre centros puede tener, en algunos casos, considerable influencia en la capacidad de transmisión de las ruedas, y no alterarla apenas en otros. Un ligero aumento en el ancho de cara de un engranaje helicoidal produce una variación, también ligera, en el rendimiento de la transmisión, pero curiosamente esa variación puede ser positiva o negativa [6]. Sin embargo, y pese a todo lo anterior, no es la geometría de los engranajes la causa principal de la complejidad de cálculo de estos elementos. el ementos. Hoy día, las potencias que se transmiten son de tal magnitud, en relación con las dimensiones con que se diseña, que hacen que los dientes trabajen prácticamente al límite de su capacidad. La razón de esto es evidente: cuanto más pequeñas sean las dimensiones de los elementos, más reducido resultará el coste de su fabricación. Pero ello tiene el inconveniente de que obliga a diseñar con enorme precisión, teniendo que tomar en consideración tanto el riesgo de aparición de multitud de tipos de fallo [7] como la influencia que, en cada uno, pueda tener una enorme cantidad de factores, incluso aquéllos cuya incidencia es tan pequeña que no se tendrían en cuenta si no se estuviera tan cerca del límite [8, 9]. La toma en consideración del riesgo de multitud de tipos de fallo ha supuesto el desarrollo de otros tantos modelos de comportamiento –frente a picadura, frente a rotura en la base, frente a gripado, etc.–, todos los cuales se deben comprobar para asegurar un buen diseño. Del mismo modo, la consideración de la influencia de factores tan singulares como el error de distorsión por deformación bajo carga o la reducción de error de paso de base por rodaje [9] provoca la aparición de infinitos coeficientes de corrección en cada uno de los anteriores modelos, con lo que ello supone no sólo de complicación a la hora de realizar o verificar un diseño, sino especialmente en la modelización de estas influencias, es decir, en las ecuaciones o curvas de estos coeficientes de corrección, basadas a menudo en la realización realizac ión de pruebas experimentales, y necesitadas sie mpre de constante revisión. Hoy día es relativamente frecuente la aplicación de otras técnicas para el cálculo de engranajes, ya sean matemáticas –análisis del contacto, potencial complejo, elementos finitos o elementos de contorno, entre otros– o empíricas. Estas técnicas, correctamente aplicadas, producen resultados muy fiables, aunque presentan a su vez algunos inconvenientes. En primer lugar, su aplicación no es sencilla, requieren una definición muy precisa de la geometría y tiene algunas limitaciones. Por ejemplo, la transformación inversa del sólido semiindefinido obtenido en el campo complejo no desemboca en el perfil exacto del diente, por lo que los resultados son sólo aproximados [10]. En segundo lugar, son métodos potentes para el análisis, pero no tanto para el diseño. Proporcionan información muy precisa del comportamiento del diente, pero sólo para la geometría introducida y para las condiciones de carga introducidas, por lo que es

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muy difícil extraer conclusiones relativas a qué modificaciones realizar para mejorar el diseño –fase imprescindible en todo buen diseño–, siendo necesario recurrir a aplicaciones reiterativas del método, probando modificaciones dictadas, casi exclusivamente, por la experiencia del diseñador. Por último, no es posible generalizar los resultados obtenidos mediante esta técnicas al estudio de otros casos. Estos resultados son específicos del problema considerado, por lo que en la práctica el campo de aplicación está restringido a la fabricación de series relativamente grandes o costosas. La tendencia actual es a no renunciar, en lo posible, a los modelos basados en la teoría de la elasticidad, por más que puedan ser necesarios cuantos factores de corrección se puedan imaginar. En efecto, las series de fabricación pequeñas no justifican el tiempo y la cualificación requeridos para la correcta aplicación de las técnicas anteriores. Pero además, la marcada tendencia a la normalización presente hoy en todos los ámbitos, adquiere particular relevancia en el campo del diseño. En un mercado competitivo, es imprescindible un método que garantice resultados homogéneos, que se puedan comparar. La capacidad de carga de una transmisión viene limitada fundamentalmente por dos aspectos: la posibilidad de rotura en la base del diente y el riesgo de aparición de picaduras en las superficies. A estos aspectos es a los que afecta de manera más directa la necesidad de normalización, y por tanto, la necesidad de disponer de un modelo de cálculo analítico. Ambos son de naturaleza muy diferente: catastrófica la del primero, con inmediata parada de la máquina e incluso peligro de accidente, más suave la segunda, con un deterioro progresivo de las características de la transmisión, aunque no por ello menos indeseable. Sin embargo, los dos tienen algo en común: son fallos asociados a fenómenos de fatiga, producidos por tanto por variaciones cíclicas de las condiciones de carga. El procedimiento seguido para establecer los modelos de cálculo citados consiste básicamente en aplicar los modelos sencillos de la teoría lineal de la elasticidad –el de Navier para flexión y el de Hertz para presión superficial– a la geometría del problema, por lo general asimilado a un estado plano, y corregir las expresiones obtenidas mediante los factores de influencia a los que antes se ha aludido. Para la determinación de estos factores, o más exactamente, de las expresiones que permiten evaluarlos, es para lo que se emplean las técnicas matemáticas mencionadas más arriba o los resultados obtenidos mediante la experimentación, en ambos casos seguido de una búsqueda de correlaciones con los valores de los parámetros de los que previsiblemente puedan depender. Obviamente, cuanto más complicada es la geometría del problema, o menos asemejable es el estado tensional a un estado plano, más conservadores habrán de ser los valores de estos factores de corrección. Este es el procedimiento seguido por las normas internacionales de diseño de engranajes, AGMA e ISO fundamentalmente, y también por la mayor parte de las diferentes normas de rango nacional, DIN, UNE, etc. En lo que sigue se van a tratar los modelos de cálculo a rotura en la base del diente por flexión y a picadura por presión superficial, para engranajes rectos y helicoidales. En ellos se basan los modelos de los restantes tipos de transmisiones, a partir de las, así llamadas, magnitudes aparentes, a partir de las cuales, y mediante el empleo de factores

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de corrección suficientemente mayorados, se reduce el problema a uno de similares características a los aquí considerados.

Modelo general de fallo por fatiga Del mismo modo que el modelo más sencillo de cálculo estático establece que el fallo se producirá en el momento en que la tensión equivalente en el material alcanza el valor de la resistencia estática del mismo, el modelo de cálculo a fatiga establece que el fallo se producirá tras un determinado número de ciclos de aplicación de la carga, si el valor de la componente alternante de la misma alcanza el de la resistencia a fatiga del material. Pero esta resistencia a fatiga no es un valor fijo, como en el caso estático, sino una función que depende, por un lado, del valor de la tensión media, y por otro de la duración y fiabilidad para las que se desee diseñar. La relación entre el valor de la fuerza admisible –es decir, el valor de la fuerza que produce una tensión igual a la resistencia– y el de la fuerza en las condiciones de operación previstas, es lo que se conoce como factor de seguridad o factor de carga. En el fondo, seguridad, duración y fiabilidad son, por así decir, tres aspectos de una misma realidad. Es decir, una transmisión determinada, que trabajará en unas condiciones también determinadas, tendrá un factor de seguridad para una duración y una fiabilidad, y otro factor de seguridad diferente para otra duración y otra fiabilidad, también diferentes. Sin embargo, no por ello la transmisión es mejor ni peor: es la misma, sólo que su capacidad de transmisión se puede interpretar de diversas maneras. No es frecuente, por ello, en el cálculo de engranajes, hablar de factor de seguridad. El cálculo se realiza igualando la tensión a la resistencia, para unas condiciones de duración y fiabilidad determinadas, y a partir del valor obtenido de la tensión se determina la potencia máxima transmisible, que se acostumbra a denominar capacidad de transmisión. Si esta capacidad de transmisión resulta ser mayor que la potencia a transmitir, se tendrá que el par de ruedas diseñado trabajará en las condiciones previstas con una duración o fiabilidad mayores que las establecidas, y menores en caso contrario. Naturalmente, estos nuevos valores de la duración y la fiabilidad se pueden calcular, y como antes, se pueden interpretar de infinitas maneras, es decir, se podrán obtener infinitos pares de valores (duración, fiabilidad), que representan otras tantas maneras de decir lo mismo. Pero en todo caso es más frecuente esto que hablar de factor de seguridad, pues realmente refleja mejor las condiciones de trabajo de la transmisión que se diseña. Sin embargo, si el factor de seguridad se entiende no tanto como medida del margen de que se dispone para hacer frente a sobretensiones, sino como medida del margen de incertidumbre en el valor de las resistencias, entonces sí tiene sentido en el cálculo de engranajes. En este caso, el factor de seguridad se conoce también con el nombre de factor de resistencia, y ha de tener en cuenta aspectos como:

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• •

Diseño (adecuación del modelo empleado a las condiciones reales). Propiedades del material (valor efectivo de la resistencia frente al valor estimado de la misma, normalmente en función de la dureza y del tratamiento superficial; en el mejor de los casos mediante ensayos, siempre sujetos a un margen de incertidumbre). • Tolerancias en la fabricación, y por tanto discrepancias entre la geometría real y la teórica, a la que se aplican los modelos de la teoría de la elasticidad. • Coste del fallo, no sólo en términos económicos (coste de la reparación, pérdida de productividad, etc.) sino también de riesgo de accidente. Desde este punto de vista, el factor de seguridad no es el valor del cociente entre la resistencia y la tensión, sino un valor establecido a priori por el diseñador, con el que se minora la resistencia, antes de igualarla a la tensión, para determinar la capacidad de transmisión teniendo en cuenta todas estas incertidumbres. Así se entenderá, en todo lo que sigue, el factor de seguridad. log S

Ciclo alto

Ciclo bajo

log S ut

Duración infinita

log 0.9S ut

log S e

0

3

6-8

lo

Figura 1. Diagrama de fatiga.

El modelo general de fallo por fatiga [11] se basa en tres teorías: la teoría de la variación de la resistencia a la fatiga con el número de ciclos de inversión de esfuerzo, la teoría de variación de la resistencia a la fatiga con la tensión media y la teoría de variación de la resistencia a la fatiga con el deterioro. La teoría de la variación de la resistencia a la fatiga con el número de ciclos de inversión de esfuerzo establece los valores de las resistencias frente a cargas alternantes –cargas que producen unas tensiones que oscilan entre un valor y él mismo cambiado de signo– para los distintos valores del número de ciclos de inversión del esfuerzo. En otras palabras, proporciona los valores máximos de las tensiones alternantes en función de la duración, medida en ciclos de carga. La figura 1 muestra una variación típica. En ella se aprecia que existen tres zonas en el diagrama claramente diferenciadas: Zona de fatiga de ciclo bajo, que se extiende desde 1 hasta un valor que, en 3 el caso de aceros, se sitúa en torno a 10 ciclos, en la que se produce una •

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•

•

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reducción muy tenue de la resistencia, desde el valor de la resistencia estática del material para 1 ciclo –como es natural–, hasta más o menos el 90% de ese valor para 1000. 3 6 8 Zona de fatiga de ciclo alto, desde 10 hasta un valor entre 10 y 10 ciclos, dependiendo del tipo de acero, en la que la reducción de la resistencia es mucho más brusca, hasta un valor, conocido como límite de fatiga, que depende fundamentalmente de la resistencia estática del material –y a través de ésta, de la temperatura–, del acabado superficial, del tamaño, de la fiabilidad con que se diseñe, del tipo de carga y, en el caso de materiales dúctiles como el acero, de la concentración de tensiones en los cambios de sección. Zona de duración infinita, a partir del límite anterior, en la que la curva se convierte en una recta horizontal, de manera que para valores de la tensión alternante por debajo del límite de fatiga no se producirá fallo.

En definitiva, el diagrama de fatiga proporciona los valores de las resistencias a fatiga para cada número de ciclos de inversión de esfuerzo, o a la inversa, la duración estimada en ciclos para cada valor de la tensión alternante. σ a S f ( N )

Línea de carga

A C’

Gerber D

C

σ aD Goodman B S ut

σ mD

σ m

Figura 2. Resistencia a fatiga con tensión media.

En el caso de que la tensión fluctúe entre dos valores σ max y σ min que no sean iguales y de signo contrario, siempre se podrá descomponer en una componente media y otra alternante σ + σ min σ m = max 2 σ max − σ min σ a = 2 de tal manera que la componente alternante se comportará como una carga alternante, y la componente media producirá una reducción de la resistencia a la fatiga. Respecto a cómo es esta reducción existen varias teorías, pero todas ellas tendrán en común que

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habrán de pasar por dos puntos: para tensión media nula la resistencia habrá de ser la que se obtiene del diagrama anterior –para cada número de ciclos–, y para tensión media igual a la resistencia última del material la resistencia a fatiga habrá de ser nula. Esto significa que en diagrama de la figura 2, todas las teorías se representarán mediante curvas que pasarán por los puntos A y B, donde la ordenada del punto A es la resistencia a fatiga del material para el número de ciclos considerado, obtenida del diagrama de fatiga de la figura 1 –el diagrama de la figura 2 es, por tanto, válido sólo para una duración determinada–, y la abscisa del punto B es la resistencia última del material. También se sabe que las tensiones medias de compresión no tienen influencia sobre la resistencia a fatiga, por lo que todas estas curvas, a la izquierda del punto A, se convertirán en rectas horizontales. En la figura se representan las dos teorías más comúnmente utilizadas: la de Goodman, que supone una variación lineal de la resistencia entre los dos puntos anteriores, y responde a la ecuación σ a σ + m =1 S f ( N ) S ut y la de Gerber, algo menos conservadora pero bastante ajustada al comportamiento de los aceros, en la que se supone una variación parabólica del tipo 2

 σ  +  m  = 1 S f ( N )  S ut  σ a

Ambas curvas se pueden utilizar en sentido inverso: a partir de los valores de σ a y σ m correspondientes a la carga que se tenga, se puede despejar el valor de S f ( N ), y a partir de él, con el diagrama de fatiga, obtener la duración esperada para el estado de carga estudiado (σ a,σ m). En este caso, S f ( N ) más que al valor de una resistencia corresponde al de una tensión alternante pura equivalente, y se puede designar por σ a0. En efecto, todos los puntos de cada una de las curvas del diagrama de la figura 2 tienen la misma duración, según el criterio correspondiente, y σ a0 sería la tensión alternante pura –la tensión media es 0– con esa misma duración. Sin embargo, cuando el diagrama se emplea para calcular resistencias para estados de carga con tensión media, hay que tener en cuenta una importante consideración: no siempre la resistencia a fatiga para la tensión media para la que se diseña –que viene dada por la ordenada del punto de la curva correspondiente al criterio que se utilice cuya abscisa sea igual a esta tensión media de diseño– representa una medida del margen de tensión alternante de que se dispone para la seguridad. En efecto, las propias condiciones del problema pueden establecer, y de hecho establecen, relaciones entre las componentes media y alternante de la tensión. En el caso de los engranajes, por ejemplo, cuando un diente entra en contacto con su conjugado se ve sometido a una carga, que produce una tensión en su base. Cuando el engrane finaliza, desaparece la carga y también la tensión. El estado de carga a que se ve sometido el diente provoca una tensión en la base que oscila entre 0 y un valor máximo, función de la potencia que se transmite. Quiere decirse, por tanto, que las tensiones media y alternante serán iguales. Si por la razón que sea se produce una sobrecarga, las tensiones serán mayores, pero las componentes media y alternante seguirán siendo iguales. Ello introduce el concepto de línea de carga, definido como el

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lugar geométrico, en el diagrama σ a-σ m, de la representación de los estados de carga posibles, de acuerdo con las características del problema. En el caso de los dientes de engranajes, como se acaba de ver, esta línea de carga es la recta σ a=σ m, que aparece representada en la figura 2, y si el punto D representa las condiciones de diseño previstas, la resistencia a la fatiga para una duración de N ciclos –a la que corresponde el diagrama de la figura– vendría dada por la ordenada del punto C, y no la del punto C’. log S f log 0.9S ut log σ a0 log S e log S e

*

Minner

log S e

*

Manson

3

log N r

6

log N

Figura 3. Deterioro de la resistencia a fatiga.

Por último, se plantea el problema de estudiar la situación resultante de someter a un material a un estado de carga, caracterizado por una tensión alternante pura equivalente σ a0 mayor que su límite de fatiga S e, cuando se somete a un número de ciclos de carga N 0, inferior a la duración correspondiente a esa tensión alternante N (σ a0), obtenida del diagrama de fatiga. Una cosa parece clara: si se designa por N r el número de ciclos que faltan hasta la rotura para la tensión σ a0 inicial, N r = N (σ a 0 ) − N 0 el nuevo diagrama de fatiga del material deteriorado, en el que los ciclos se vuelven a contar desde 0, habrá de pasar por el punto (log N r ,logσ a0). A partir de aquí hay dos teorías: la de Minner, que establece que el nuevo diagrama de fatiga se obtiene mediante un desplazamiento paralelo del inicial, hasta que pase por el punto anterior, y el de Manson, para el que el nuevo diagrama de fatiga en la zona de ciclo alto es la recta que pasa por el citado punto y mantiene su extremo en el punto (3,log0.9 S ut ). Ambos criterios aparecen representados en la figura 3. Se aprecia que el criterio de Minner es más conservador que el de Manson para posteriores estados de carga con tensiones mayores que σ a0, y a la inversa para tensiones menores. Ambos, en todo caso, predicen reducciones en el valor del límite de fatiga. Por medio de estos criterios se puede abordar el estudio de estados de carga que varían con el tiempo arbitrariamente, y no sólo de forma cíclica. Los modelos de cálculo a fatiga de engranajes se basan en todas estas teorías, en las que introducen algunas modificaciones que se comentarán más adelante. En todo caso,

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y como paso previo a la comparación con las resistencias, se han de determinar los valores de las tensiones de fatiga que se presentan en los dientes de los engranajes, determinación que, como se indicó antes, se realiza a partir de la teoría de Hertz, para la presión superficial, y la ley de Navier, para la flexión en la base. De acuerdo con ello, el esquema del desarrollo que sigue se puede resumir en los siguientes puntos:

• • • • •

Determinación de las presiones de contacto en la superficie y las tensiones en la base máximas a que se ve sometido el diente durante el proceso de engrane, en función de la potencia a transmitir. Introducción de los factores de corrección que afectan a la carga, y por tanto a los valores de la tensión. Determinación de las resistencias a presión superficial y a rotura en la base del material empleado. Introducción de los factores que afectan a la resistencia, incluidos los referentes a la duración en ciclos y a la fiabilidad, y el factor de seguridad, entendido como margen de incertidumbre en el valor de la resistencia. Determinación de la capacidad de transmisión por igualación de los valores corregidos de la tensión y la resistencia.

Modelo tensional Aplicar una teoría elástica al cálculo tensional de un elemento exige un planteamiento inicial y el establecimiento de una serie de hipótesis. El planteamiento inicial consiste en definir la geometría del problema y las condiciones de contorno; con el establecimiento de hipótesis simplificativas se persigue aproximar el problema a otro razonablemente parecido que pueda ser abordado matemáticamente. En este sentido, los estados de carga tridimensionales no son fáciles de reducir a ecuaciones. Las ecuaciones de compatibilidad y las de equilibrio en el contorno se suelen convertir en integrales extraordinariamente complicadas, que por lo general no es posibles resolver más que por métodos numéricos. El estado tensional en la base del diente de un engranaje recto es perfectamente asemejable a un estado tensional plano, cuya formulación es mucho más sencilla, pese al efecto de concentración de tensiones producido tanto por la variación del espesor del diente con el radio como por la proximidad entre las secciones en que se aplica la carga y en que se calcula la tensión. Sin embargo, no ocurre lo mismo en los engranajes helicoidales, en cada una de cuyas secciones actúa la carga a una distancia distinta del eje de la rueda. Afortunadamente, todos estos puntos de la línea de contacto definen siempre una línea recta sobre el perfil del diente, de tal manera que todas ellas están contenidas en un plano que forma un ángulo β b, llamado ángulo de hélice en la base, con el plano frontal del engranaje, es decir, con el plano perpendicular al eje de rotación

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de la rueda. En este plano, el estado tensional podría más o menos asemejarse a un estado plano, pero naturalmente con la geometría del diente en ese plano, al que se conoce con el nombre de plano normal. La circunferencia primitiva del engranaje degenera, en el plano normal, en una elipse, cuyo radio de curvatura en el punto de intersección con el eje del diente es r mZ ρ = = cos 2 β b 2 cos β cos 2 β b donde m es el módulo normal, Z el número de dientes y β el ángulo de inclinación de tallado. Quiere decirse que la sección normal de un diente helicoidal corresponde a la de un engranaje recto del mismo módulo, con un número virtual de dientes Z v Z Z v = cos β cos 2 β b Algo más sencillo resulta el cálculo de la presión superficial sobre los flancos de los dientes. Tanto los engranajes rectos como los helicoidales presentan una línea de contacto que es siempre una recta, con la única diferencia de que, en engranajes rectos, ésta es paralela al eje de la rueda, y en helicoidales no. Pero en ambos casos, el contacto será muy similar al contacto entre dos cilindros que estudió Hertz [12], para los que se habrá de suponer unos radios iguales a los radios de curvatura de los perfiles en el punto de contacto. La ligera variación que estos radios tienen a lo largo de la línea de contacto en el caso de dentaduras helicoidales apenas tendrá influencia en un fenómeno tan localizado como la presión de contacto. Con estos planteamientos, el problema del análisis de tensiones consistirá en determinar cuándo y dónde se presentan las condiciones más desfavorables, y calcular la tensión en estas condiciones. El desarrollo que sigue se limitará a engranajes helicoidales, dado que los rectos no son más que un caso particular con β =0.

Presión superficial Hoy día se admite que el fallo por picadura está producido por la tensión de cortadura en la subsuperficie del diente. La distribución de presiones en la zona de contacto crea una distribución de tensiones en los puntos próximos a la superficie, en uno de los cuales la tensión cortante máxima –o la tensión equivalente de Tresca– alcanza un valor máximo. Si ese valor supera el de la resistencia a la cortadura, se origina en este punto una grieta, que ante la repetición de ciclos de esfuerzo, se propaga hacia la superficie, hasta producir desprendimientos de material, en forma de conos, muy característica de este fenómeno. Sin embargo, no es usual utilizar este valor máximo de la tensión de cortadura en los modelos de contacto. Hertz [12] demostró que dicho valor de la tensión cortante máxima es proporcional al de la presión máxima en la zona de contacto. En consecuencia, el resultado del análisis es el mismo que el de trabajar con los valores de la presión de contacto máxima, siempre que las resistencias estén calculadas del mismo modo, es decir, afectando a la resistencia a la cortadura del mismo factor de

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proporcionalidad, si bien es más usual determinar directamente las re sistencias a presión superficial mediante la experimentación. El modelo de Hertz establece que la presión máxima de contacto entre dos cilindros de radios R1 y R2, sometidos a una fuerza por unidad de longitud W /l , viene dada por σ H 0 = C p

W  1

1   +  l  R1 R2 

donde C p es el coeficiente elástico C p =

1

 1 − µ 12 1 − µ 22   π  + E E 2   1

siendo E 1 y E 2 los módulos de elasticidad, y µ 1 y µ 2 los coeficientes de Poisson de los materiales de ambos cilindros. Para aplicar esta ecuación al contacto entre dientes, se sustituirá W por W N , fuerza normal a los perfiles, l por la longitud de la línea de contacto l c, y los radios R1 y R2 por los radios de curvatura en la sección normal –que es la sección perpendicular a la línea de contacto–, ρ n1 y ρ n2, con lo que resulta W N  1 1    σ H 0 = C p + l c  ρ n1 ρ n 2  Esta ecuación presupone haber introducido la simplificación de que la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la línea de contacto. Esto no es cierto ni en engranajes rectos en el intervalo de carga compartida –en el que se encuentran dos pares de dientes en contacto simultáneo–, ni en engranajes helicoidales, en los que los distintos puntos de la línea de contacto se encuentran a diferente altura, ya que la rigidez del diente es diferente en cada punto del perfil. Ello significa que en algún momento se habrá de corregir la carga mediante algún factor que tenga esto en cuenta. La carga normal sobre la superficie de los dientes –contenida en el plano normal de los mismos– se puede descomponer en dos: la componente contenida en el plano frontal, también llamado plano transversal, y la perpendicular al mismo, paralela por tanto al eje de rotación. Es obvio que esta última se absorbe en los apoyos y no transmite potencia. En cuanto a la otra, cuya línea de acción es siempre la tangente común a las dos circunferencias de base, en virtud de las propiedades de los perfiles de evolvente, se puede descomponer a su vez, en el punto de intersección de la línea de acción con la circunferencia primitiva de referencia, en su componente tangencial a dicha circunferencia W t –que forma un ángulo con la línea de acción igual al ángulo de presión de referencia en la sección transversal, α – t y su componente normal, que tampoco transmite potencia. Puesto que el ángulo formado por los planos normal y transversal era el ángulo de hélice en la base, se tiene W t = W N cos α t cos β b Asimismo, en virtud del teorema de Meusnier y teniendo en cuenta que el radio de curvatura según el plano normal que contiene la línea de contacto es infinito, los radios de curvatura de los perfiles en las secciones normal y transversal están relacionados por

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la expresión ρ n =

ρ t cos β b

Con lo anterior, la presión de contacto se puede expresar como σ H 0 = C p

 1 1    + cos α t l c  ρ t 1 ρ t 2  W t

Esta expresión constituye el punto de partida de los modelos de cálculo a presión superficial de las normas AGMA [8, 13] e ISO [9], aunque a partir de aquí introducen algunas alteraciones. El siguiente paso sería determinar, a partir de la ecuación anterior, el punto en el que la presión superficial es máxima, teniendo en cuenta que los radios de curvatura varían con el punto del perfil, y la longitud de contacto con el momento del engrane, es decir, con la posición del piñón. Un estudio teórico [14, 15] revela lo siguiente:

•

En el caso de engranajes rectos, la máxima presión de contacto se produce, según los casos, en el punto más bajo del perfil activo del piñón, es decir, el que engrana con la cabeza de la rueda –en cuyo caso la longitud de contacto será igual al doble del ancho de cara del diente, pues habrá dos parejas de dientes en contacto–, o en el punto más bajo del intervalo de contacto único del piñón –el que está en contacto en el instante en que la pareja anterior finaliza su engrane, con una longitud de contacto, por tanto, igual al ancho de cara–. Será uno u otro dependiendo de algunos factores, en particular de la relación de transmisión. • En el caso de engranajes helicoidales, la presión de contacto máxima se produce siempre en el punto más bajo del perfil activo del piñón, con una longitud de contacto igual a la longitud mínima de contacto. Estos resultados teóricos, sin embargo, no están muy de acuerdo con la experiencia, según la cual el punto crítico para el caso de engranajes rectos es, prácticamente siempre, el de contacto único inferior del piñón, y algún punto de la zona intermedia del perfil, para helicoidales. La razón de estas discrepancias hay que buscarla en la hipótesis empleada de reparto uniforme de la carga a lo largo de la línea de contacto. En efecto, un estudio basado en la distribución de carga que minimiza el potencial de deformación [6, 16, 17] arroja resultados mucho más cercanos a los experimentales. En todo caso, para elaborar un modelo es preferible situar la presión superficial máxima en el punto donde la experiencia dice que se presenta, y ya se corregirá más adelante el valor de la fuerza en ese punto mediante algún factor, para conseguir el valor real de la presión. En efecto, si se tomara el punto del máximo teórico, el factor de corrección habría de tomar en consideración más parámetros –los relativos a la geometría del punto teórico, que intervienen en el resultado–, y en consecuencia sería más difícil de evaluar, y con toda probabilidad, menos preciso. En este sentido, la norma AGMA [8, 13] sugiere calcular la presión de contacto

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máxima de la siguiente manera:

•

•

•

Para engranajes rectos, esto es, engranajes con grado de recubrimiento en el salto ε β igual a 0, en el punto de contacto único inferior del piñón, con una longitud de contacto igual al ancho de cara b, que corresponde efectivamente con la longitud de contacto durante todo el intervalo de contacto único. Para engranajes helicoidales con recubrimiento en el salto mayor o igual que 1, en el punto medio del piñón, cuyo radio es 1 r m1 = (C + r a1 − r a 2 ) 2 donde C es la distancia entre centros y r a1 y r a2 los radios de cabeza de piñón y rueda, respectivamente, para una longitud de contacto igual a la longitud de contacto mínima durante el engrane. (Se puede comprobar que, efectivamente, siempre es posible encontrar una sección transversal del diente contactando en el punto medio durante el intervalo de longitud de contacto mínima). Para engranajes helicoidales con recubrimiento en el salto entre 0 y 1 se tomará un valor del parámetro l c 1 1 ρ t 1

+

ρ t 2

obtenido por interpolación lineal entre los valores del mismo parámetro correspondientes a ε β =0 y a ε β =1, es decir,

    l c l c min b   ( 1 − ε β ) + ε β =  1 1      1 1 1 1 +       + + ρ ρ ρ  t 1 ρ t 2  0<ε <1  ρ t 1 ρ t 2  PCUI  t 1 t 2  PM b

La norma ISO [9], por su parte, hace un planteamiento parecido, aunque ligeramente más empírico:

•

• •

En todos los casos, la carga se supone distribuida a lo largo de una longitud efectiva de contacto que viene dada por b l ef = ε  4 − ε α (1 − ε β ) + β  cos β b  ε α   3 donde ε α es el grado de recubrimiento frontal y ε β se sustituirá por 1 si su valor fuese mayor que la unidad. Para engranajes rectos, la presión de contacto se calculará en el punto de contacto único inferior del piñón. Para engranajes helicoidales con recubrimiento en el salto mayor que 1, en el

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punto de rodadura. (Por lo general, el punto de rodadura y el punto medio del piñón están muy próximos; incluso son coincidentes en muchas circunstancias). • Para engranajes helicoidales con recubrimiento en el salto entre 0 y 1, en un punto intermedio entre los dos, obtenido por interpolación lineal del parámetro 1 1 1 ρ t 1

+

ρ t 2

es decir,

    1 1 1   ( 1 − ε β ) + ε β =  1 1      1 1 1 1 +       + + ρ ρ  ρ t 1 ρ t 2  0<ε <1  ρ t 1 ρ t 2  PCUI t 2  PR  t 1 b

•

También en todos los casos, el valor de la presión nominal de Hertz obtenido se corrige por el factor de inclinación Z β Z β = cos β factor determinado empíricamente, con el que se consiguen ajustar mejor los valores de la presión nominal calculados teóricamente a los obtenidos experimentalmente en dentados helicoidales.

Hasta aquí se han determinado las presiones de contacto nominales, es decir, las que se producirían si todas las hipótesis utilizadas en lo referente al modelo tensional y a los valores de la carga fuesen ciertas. No obstante, estos valores han de ser corregidos, pues existen algunos factores de influencia que no han sido tenidos en cuenta, y que originan que el comportamiento en servicio de los elementos no sea exactamente como predice el modelo. Estos factores se verán más adelante, ya que algunos de ellos –particularmente los que mayoran la carga por estimación de las sobrecargas– son comunes para los modelos a presión superficial y a flexión, por lo que se comentarán después de describir este último modelo. A modo de resumen de lo tratado en este apartado, se puede afirmar que la tensión nominal de contacto por presión superficial que recomiendan las normas viene dada por las expresiones 1   1



σ H 0− AGMA = C p

+



W t  ρ t 1 ρ t 2  cos α t  l c min 

 

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  PCUI − PM


σ H 0− ISO = C p

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W t

 1 1    + ρ ρ t 2  PCUI − PR  t 1

cos α t

l ef

cos β

donde los radios de curvatura y, en el caso de la tensión AGMA, la longitud de contacto, se calculan en un punto u otro, o mediante la interpolación lineal inversa anterior, según el valor de ε β .

Flexión en la base El estudio de la flexión en dientes de engranajes es semejante al de una viga empotrada –en la base del diente– de sección rectangular de espesor variable, sobre la que actúa una fuerza F , con una componente F x perpendicular al eje de la viga, que produce flexión, y otra F y paralela al eje, que produce compresión. Los esfuerzos cortantes, tanto los debidos a F x como los que, en virtud del teorema de Colignon, origina la flexión, son casi siempre despreciables. En estas condiciones, la tensión en una sección cualquiera de la viga, entre la del empotramiento y la de aplicación de la carga, a una distancia h de esta última, en virtud de la ley de Navier, vendrá dada por F x h s F y 6 F h F y σ F 0 = − = x2 − 1 2 as as as as 3 12 donde a es el ancho de la sección, s su espesor –medido en la dirección de F x – y el signo menos se debe a que se considerarán siempre las tensiones máximas positivas en la sección, pues las negativas, aunque mayores en valor absoluto, son menos desfavorables desde el punto de vista de la fatiga por lo que ya se indicó antes de que las tensiones medias de compresión no reducen el valor de la resistencia de fatiga. Aplicar la ecuación anterior a la geometría de un diente requiere algunas consideraciones previas. En primer lugar, esta ecuación parte de la hipótesis de estado plano de tensiones, por lo que para el caso de engranajes helicoidales se habrá de emplear la geometría virtual del diente, en la que el estado tensional se asemejaba a uno plano. En segundo lugar, es necesario conocer en qué punto del perfil del diente debe actuar la carga para producir las mayores tensiones en la base. En principio, cuanto más alejada esté la carga de la sección del empotramiento, mayor es el brazo de la fuerza, y por tanto mayores son los momentos flectores y las tensiones de Navier. Sin embargo, ya se ha discutido antes que la longitud de contacto varía a lo largo del engrane –y por tanto con el punto de aplicación de la fuerza–, lo que supone que el parámetro a en la ecuación anterior no es constante, y que el estudio ha de realizarse considerando conjuntamente las variaciones de h y de a. En tercer lugar, se ha de determinar también en qué sección se producen las mayores tensiones. Por la misma razón de antes, la sección más desfavorable será la más alejada de la de aplicación de la carga, es decir, la del empotramiento –el pie del diente– , pero en el caso que nos ocupa el espesor del diente es variable, por lo que es también variable el parámetro s de la ecuación, lo que

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origina que la sección crítica pueda no ser –y de hecho no es– la del empotramiento. Por último, la ecuación anterior está basada en la hipótesis de Saint-Venant de que las secciones donde se calculan las tensiones están alejadas de los puntos de aplicación de las fuerzas, y en la de que la sección de la viga es constante, o sufre variaciones muy suaves. Ninguna de estas dos hipótesis se verifican en las secciones de la base del diente, por lo que será necesario introducir un factor de corrección de tensiones que tenga en cuenta estos efectos. Para plantear con rigor la discusión de dónde se localiza la tensión máxima y cuál es su valor, es necesario primero adaptar la expresión anterior a la geometría de los dientes. En primer lugar, el valor de la fuerza es W N , puesto que se está considerando la sección normal del diente. Esta fuerza venía expresada en función de la componente que transmite potencia W t mediante W t W N = cos α t cos β b que tendrá la dirección de la normal al perfil en el punto de contacto, y por tanto unas componentes según los ejes x –perpendicular al eje del diente– e y –el eje del diente– W t cos α nL cos α t cos β b W t cos α t cos β b

sen α nL

respectivamente, donde α nL es el ángulo que forma la normal al perfil con el eje x, llamado ángulo de carga. El ancho a de la sección corresponderá al valor de la longitud de contacto l c, el brazo de la fuerza h a la distancia del punto de intersección de la línea de acción de la fuerza –la normal al perfil– y el eje del diente a la sección en que se calcule la tensión, y s al espesor del diente en dicha sección. Asimismo, se ha comprobado que la inclinación de la línea de contacto de los engranajes helicoidales origina una ligera reducción de los valores de la componente de flexión de la tensión. Esto se tiene en cuenta mediante la inclusión de un factor C h –sólo en el término de flexión– mayor que 1, excepto para dientes rectos, en cuyo caso, obviamente, vale 1. Finalmente, se habrá de incluir un factor de corrección de esfuerzos K f , del que ya se ha tratado con anterioridad, con lo que la expresión de la tensión nominal en la base del diente queda de la forma W t cos α nL  6h tg α nL   2 −  K f σ F 0 = l c cos α t cos β b  s C h s  La expresión del factor helicoidal C h se determinó [18] a partir de un estudio teórico, a partir de una viga de sección rectangular constante. La del factor de corrección de esfuerzos K f , mediante la correlación de resultados obtenidos mediante análisis fotoelásticos [3] o experimentales [19, 20]. Ambos vienen expresados en función de los parámetros geométricos de los dientes. La determinación de las condiciones para las que la tensión en la base es máxima ha de hacerse estudiando conjuntamente la variación de los parámetros α nL, l c, h y s a lo

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largo del engrane. El estudio teórico de esa variación [21] arroja los siguientes resultados:

•

•

•

Para engranajes rectos, el punto de carga más desfavorable es el punto de contacto único superior del piñón, al que corresponde una longitud de contacto igual al ancho de cara b, pues aunque en la cabeza el brazo de la fuerza h es mayor, la longitud de contacto es el doble de la anterior –una relación muy superior a la de los valores de h –, mientras que el ángulo de carga α nL no varía significativamente. Para engranajes helicoidales, el punto de carga más desfavorable sería la cabeza del diente del piñón, pues ya se indicó más arriba que siempre existe algún punto contactando en la cabeza durante algún punto del intervalo de mínima longitud de contacto. La sección más desfavorable habría de determinarse en cada caso resolviendo la ecuación anterior, para las condiciones de carga señaladas, lo que no resulta nada sencillo.

De nuevo estos resultados no se ajustan del todo a la práctica experimental. Por ello, las normas establecen sus modelos de cálculo a partir de la expresión y las consideraciones anteriores, pero introduciendo algunas correcciones. Así, la norma AGMA [8, 13] sugiere determinar la tensión en la base mediante la ecuación anterior, en las siguientes condiciones:

•

Para engranajes rectos, con la carga en el punto de contacto único superior, con una longitud de contacto igual a la mínima, en este caso, el ancho de cara b. Es decir, coincidiendo con la teoría. • Para engranajes helicoidales con recubrimiento en el salto mayor o igual que 1, con la carga en la cabeza y longitud de contacto igual a la mínima. También coincide con la teoría. • Para engranajes helicoidales con recubrimiento en el salto menor, mediante una interpolación entre los dos valores anteriores –interpolación mucho más confusa que la empleada para el caso de presión superficial–, que no coincide exactamente con las condiciones, geométricas y de carga, en ningún punto concreto. • En todos los casos, la sección crítica de la base se determina mediante el punto de tangencia de una parábola –con vértice en el punto de intersección de la línea de acción de la fuerza y el eje del diente, y eje el mismo que el del diente– con el perfil del diente en su base, como viene representado en la figura 4. Es una aproximación muy razonable, porque esta sección es aquélla en la que la componente de flexión de la tensión es máxima. En efecto, a la vista de la expresión de la tensión de flexión, la forma que habría de tener el diente para que en todas sus secciones la tensión fuese la misma, sería la de una parábola

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σ x = cte ⇒

h 2

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= cte ⇒ h = cte s 2

s En las restantes secciones del diente la tensión será menor, pues su espesor es mayor que el de la sección correspondiente de la parábola. El problema es que su determinación es sumamente laboriosa, debido a la complejidad de las ecuaciones del perfil, especialmente en la base, donde corresponden a las de una trocoide. W N W N

h

h

30º

sAGMA

sISO

Figura 4. Sección crítica del diente.

Parecidas recomendaciones hace ISO [9], aunque introduce algunas simplificaciones adicionales:

•

La sección crítica, como se representa en la figura 4, es siempre aquélla en la que la tangente al perfil forma un ángulo de 30º con el eje del diente, con independencia de dónde actúe la carga. Es posible que este planteamiento sea menos preciso que el anterior, pero ciertamente las variaciones, en términos de tensión de Navier, son bastante poco significativas. • Se desprecia la componente de compresión de la tensión. Esta decisión se basa en que esta componente es, en efecto, pequeña en comparación con la otra, y además la simplificación actúa en sentido de la seguridad. Con esta aproximación, los factores C h y K f se pueden agrupar en uno sólo, que ISO designa por Y S , aunque lo sigue llamando factor de corrección de esfuerzos. • La longitud de contacto es siempre la longitud mínima de contacto (el ancho de cara, por tanto, en el caso de engranajes rectos). • La carga actúa en el punto de contacto único superior, en el caso de dientes rectos, y en la cabeza o entre medias de ambos puntos, en el caso de helicoidales. En este caso la ubicación del punto es todavía más confusa. ISO permite calcular con la carga en la cabeza o en el punto de contacto único superior, a elección del diseñador, pero las expresiones de los factores de corrección –tanto el factor de corrección de esfuerzos, del que ya se ha

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hablado, como los que se verán más adelante– son diferentes en ambos casos. El resultado es similar –aunque no idéntico–, pero en todo caso es difícil traducir eso en las condiciones de carga que, de modo intrínseco, se están considerando. Resumiendo lo anterior, las tensiones nominales AGMA e ISO se calcularían mediante las expresiones σ F 0− AGMA =

  6hAGMA tg α nL    cos α K f −  nL  2 l c min cos α t cos β b  s s C  PCUS −PEXT AGMA    AGMA h

σ F 0− ISO =

W t

 6h   cos α nL 2ISO  Y S l c min cos α t cos β b  s ISO  PCUS − PEXT W t

Factores de corrección de las tensiones Las anteriores expresiones de los valores nominales de las tensiones, tanto en el punto de contacto como en la base del diente, se han obtenido a partir de unos modelos elásticos relativamente sencillos, y ya incluyen algunas correcciones para predecir las condiciones críticas de la manera más precisa posible. Pero todas ellas parten de un valor uniforme de la carga transmitida, que ni mucho menos se puede considerar realista. En primer lugar, la uniformidad de la transmisión se puede ver alterada por las sobrecargas externas. Estas sobrecargas pueden provenir tanto de los arranques y paradas como de las características de las máquinas conectadas. Obviamente no es lo mismo transmitir potencia desde un motor eléctrico a un ventilador que de un motor de combustión monocilíndrico a una cinta transportadora. Estas sobrecargas externas se tienen en cuenta en los modelos mediante la inclusión de un factor de sobrecarga K A, también llamado factor de aplicación, que multiplicará a la carga transmitida, cuyo valor dependerá de las características de las máquinas conectadas a la transmisión, del número de arranques diarios previsto y de la duración de los mismos. Naturalmente, el valor del factor de sobrecarga no es la relación entre la sobrecarga y la carga de régimen, pues actúa sobre el engranaje sólo durante una serie de intervalos cortos. Pero como tampoco se trata de aplicar la regla de Minner, antes comentada, que es la que las normas recomiendan para las variaciones de carga nominal en engranajes, a cada una de estas sobrecargas, es suficiente con unos valores promedio, que vienen dados en función de los parámetros señalados anteriormente. Otro efecto a considerar son las cargas dinámicas, inducidas por el propio funcionamiento de la transmisión. Están motivadas por los llamados errores de transmisión y por la respuesta dinámica del sistema. Cuando la acción de un diente sobre el contrario es perfectamente conjugada, la relación de transmisión, es decir, la relación entre las velocidades angulares de los ejes de ambas ruedas, es constante en

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todo momento del engrane. Se conoce como error de transmisión a la fluctuación de esta relación, y está motivado por las desviaciones de los perfiles respecto de los perfiles teóricos. Estas desviaciones se deben a errores en el tallado, sea por desajustes en la sincronización del movimiento de la herramienta y de la rueda que se talla, sea por las deformaciones producidas por los esfuerzos que se inducen durante el proceso de corte, y muy especialmente al propio mecanismo del tallado. En efecto, el perfil generado sería el perfil teórico exacto si la generación fuese continua, pero esta talla continua no es posible en la práctica, debido a que tan sólo las aristas de la herramienta cortan realmente, y generan el perfil. Puesto que, aparte del movimiento de corte, la herramienta debe describir un movimiento relativo con respecto a la rueda, los cortes se producen a intervalos discretos, y el perfil obtenido es sólo aproximado. Posteriores procesos de acabado pueden mejorar el perfil, pero nunca se conseguirá ajustarlo del todo. Este error de transmisión producirá variaciones en la relación de transmisión, y por tanto aceleraciones y deceleraciones cíclicas, que inducirán esfuerzos. Pero aunque el error de transmisión es el que origina las sobrecargas dinámicas, la magnitud de estas sobrecargas no depende sólo de él. Influyen también factores como la velocidad tangencial, la carga transmitida, la inercia y rigidez de todo el conjunto, incluidos los ejes, los posibles desalineamientos y desequilibrios en éstos, las posibles deformaciones plásticas en la zona de contacto, la variación de la rigidez del diente en los distintos puntos de contacto, incluso las fuerzas de rozamiento y la viscosidad del lubricante. Ante estas sobrecargas dinámicas, el diente tiene a su vez una respuesta dinámica, es decir, responde a ellas con un movimiento vibratorio, que depende de los mismos factores anteriores, además de las velocidades críticas de los ejes y de la proximidad de las frecuencias de excitación a las de resonancia del sistema. Para tener en cuenta este efecto, las normas introducen el llamado factor dinámico K v, cuyo cálculo es complejo, pero para el que se han obtenido aproximaciones razonables mediante expresiones relativamente sencillas, al menos para el caso de frecuencias de excitación alejadas de las de resonancia. A diferencia del factor de sobrecarga, el factor dinámico sí se debe calcular con relación a la magnitud total de la sobrecarga, pues esta se repite cíclicamente en el engrane de cada diente. Es decir, si se determinara que el valor de esta sobrecarga dinámica es W d, el factor dinámico vendría dado por W + W d K v = t W t Otro aspecto a considerar es la posible falta de uniformidad en el reparto de la carga a lo largo de la línea de contacto. Ya se ha comentado en secciones precedentes que la diferente rigidez de los dientes en cada punto origina repartos de carga también diferentes, a lo que hay que añadir otros efectos, como los errores de fabricación comentados más arriba, posibles desalineamientos de los ejes, deformaciones torsionales de los mismos al transmitir un par, deformaciones elásticas y holguras en los apoyos y la estructura, deformaciones de los dientes por efectos centrífugos y de temperatura, y las modificaciones de la hélice, que son abombamientos intencionados

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de las líneas de contacto, introducidos para descargar ligeramente los extremos y evitar el posible desconchado de los mismos. Para tener en cuenta esta falta de uniformidad en la distribución de la carga, se introduce el factor de distribución de carga, cuyo valor es la relación entre la carga por unidad de longitud máxima en la línea de contacto y el valor medio de la misma. Su determinación puede llegar a ser extraordinariamente compleja, en especial por el método propuesto por ISO, y depende de parámetros tan singulares como la rigidez media de contacto, la longitud de contacto aparente, el error de distorsión por fabricación, el error de distorsión por deformación bajo carga, la reducción del error de distorsión por rodaje, el error de paso de base, la reducción del error de paso de base por rodaje y la resistencia del material, entre otros. Para el cálculo, ISO desglosa este factor de distribución de carga en dos: el factor de distribución longitudinal de carga K β , que corrige el reparto de la carga a lo ancho del diente, y el factor de distribución transversal de carga K α, que corrige el reparto de la carga entre las distintas parejas de dientes en contacto simultáneo. Curiosamente, ambos factores de distribución de carga, longitudinal y transversal, son diferentes para el cálculo de la tensión en la base y la presión superficial. El único factor de distribución de carga que presenta AGMA, al que llama K m, es igual en los dos casos. La razón fundamental de que la distribución de carga pueda ser diferente para el cálculo de la presión de contacto y la tensión en la base, estriba en la diferente influencia que sobre una y otra tiene la aparición de deformaciones plásticas en las regiones de la subsuperficie próximas a la zona de contacto. Por este motivo, AGMA introduce, sólo para el cálculo a presión superficial, un factor de condición de la superficie C f , que depende fundamentalmente del acabado superficial de los perfiles y de las propiedades del material. En definitiva, las tensiones de cálculo, tanto a flexión como a presión superficial, se calcularán a partir de las correspondientes tensiones nominales, introduciendo los valores de los diferentes factores que afectan a la carga. En el caso del cálculo a presión superficial, como la tensión nominal era proporcional a la raíz cuadrada de la carga transmitida, los factores de corrección aparecen en la expresión de la tensión bajo la raíz, es decir, multiplicando a la carga, como corresponde a su condición de correctores de la carga. Por consiguiente, las expresiones de estas tensiones de cálculo quedan de la forma σ H − AGMA = σ H 0− AGMA K A K v K m C f σ H − ISO = σ H 0− ISO K A K v K H α K H β σ F − AGMA = σ F 0− AGMA K A K v K m σ F − ISO = σ F 0 − ISO K A K v K F α K F β donde los subíndices H y F en los factores ISO de distribución de carga designan los correspondientes a la presión superficial y a la tensión en la base, respectivamente.

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Resistencia a fatiga Una vez determinadas las tensiones que se presentan en los dientes, se ha de proceder a continuación a calcular las resistencias, frente a cada una de las solicitaciones, que presentan los mismos. Las normas presentan tablas con los límites de fatiga para distintos tipos de acero, en función de su dureza brinell y sus características metalúrgicas (tamaño de grano, grado de nitruración, etc.). Estos valores, que se designarán por σ H lim y σ F lim para presión superficial y tensión en la base, 7 respectivamente, están referidos a una fiabilidad del 99% y a una duración de 10 ciclos, que es donde, para los aceros empleados en la fabricación de engranajes, se sitúa el 7 límite de duración infinita. (ISO altera ligeramente ese límite de 10 ciclos para 6 duración infinita, y lo sitúa en 3 10 ciclos, para la resistencia a la flexión en la base, y 6 7 en un valor que oscila entre 2 10 ciclos para aceros nitrurados y 5 10 para aceros bonificados, para la resistencia a presión superficial; incluso AGMA sitúa el límite de 6 duración infinita para flexión en los mismos 3 10 ciclos, pero los valores de las 7 resistencias los tabula para 10 ). Como se dijo antes, estos valores de las resistencias están concebidos como valores límite de la tensión –de contacto o de flexión– con el fin de que puedan ser comparados directamente con los valores de las correspondientes tensiones. En realidad, aunque el resultado final sea el mismo, las cosas suceden de manera diferente. La presión de contacto aparece en el momento en que el contacto se produce en el punto considerado, y desaparece después. Quiere decirse que los valores medio y alternante de la tensión son ambos la mitad de los calculados en el apartado anterior. Como además la componente media es de compresión, no afecta al límite de fatiga, lo que quiere decir que la resistencia que dan las tablas es en realidad el doble del valor de la misma si la carga fuese invertida –que es el valor que se debe introducir en el diagrama de fatiga–, pero como, por la misma naturaleza del fenómeno de contacto, la tensión nunca puede ser de tracción, lo mismo da comparar la componente alternante, que es la mitad de la máxima, con el valor real de la resistencia frente a carga invertida, que la tensión máxima, que es el doble de la alternante, con el doble del valor de la resistencia, que dan las tablas. Algo parecido ocurre con la tensión de flexión. La que se ha calculado antes es la máxima, pero ésta aparece y desaparece, por lo que sus componentes media y alternante valdrán la mitad. En este caso, la componente media es de tracción, por lo que el límite de fatiga real, si el material se comporta según el criterio de Goodman y se supone que el límite de fatiga es más o menos el 50% de la resistencia última, sería, de acuerdo con la figura 5, σ F lim σ F lim 2 S e

+

2 = 1 ⇒ S = 0.75σ e F lim 2S e

y si el material se comporta según el criterio de Gerber

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σ F lim 2 S e

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2

 σ F lim    2  = 1 ⇒ S e ≈ 0.60σ F lim +  2 S e     

pero, al igual que en el caso anterior, ya sea uno u otro el criterio válido –lo mismo que si fuese cualquier otro posible– el resultado final sería el mismo, ya que la tensión máxima y la tensión alternante pura equivalente estarían en la misma relación que σ F lim y S e. Sin embargo, esto no ocurre si el diente se carga por los dos lados, situación que se presenta en los engranajes intermedios, situados entre el piñón y la rueda de una etapa. En este caso la tensión se invierte, y habría por tanto de ser comparada con el valor de S e, y no con el de σ F lim. Por esta razón, la norma recomienda reducir el valor de la resistencia al 70% del obtenido en tablas, que como se aprecia es un valor intermedio entre los dos anteriores, ni tan conservador como Gerber ni tan restrictivo como Goodman.

S e

S e

σ H lim/2

σ H lim/2

2S e σ H lim/2 σ H lim/2 Figura 5. Corrección de la resistencia a fatiga por inversión de carga.

2S e

La primera corrección que ha de hacerse a estos valores es la de los factores de seguridad. Como se dijo antes, son valores introducidos por el diseñador en prevención de incertidumbres en los valores de la resistencia, y no tienen por que ser los mismos para la resistencia a presión superficial o a rotura en la base, si las incertidumbres se estiman diferentes, o si las consecuencias de ambos fallos son diferentes. Se designan por S H y S F , respectivamente, y puesto que han de tomar valores mayores que 1 –como factores de seguridad que son–, sus valores dividen a los de las correspondientes resistencias. La segunda corrección es debida a la fiabilidad. Todos los resultados de medidas de resistencias de fatiga tienen una dispersión, más o menos modelizada mediante una distribución de Weibull, que al final se traduce en un factor de fiabilidad K R, que aumenta a media que aumenta la fiabilidad requerida, y por tanto aparece dividiendo el valor de la resistencia. La tercera corrección es la de la duración. Si en el diagrama de fatiga se dividen todos 7 los valores de las resistencias por el de la resistencia para una duración de 10 ciclos (que es la que dan las tablas, con las salvedades anteriores), puesto que los ejes son logarítmicos, se obtiene una gráfica exactamente igual, pero desplazada en sentido vertical una distancia igual al logaritmo de la resistencia de referencia. Esa gráfica representa el mismo fenómeno, pero en lugar de leerse en su eje vertical los valores de

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las resistencias, se leerían los valores de los números por los que hay que multiplicar la 7 resistencia para 10 ciclos, para obtener la resistencia para la duración deseada. En consecuencia, ese diagrama así obtenido correspondería a un factor de corrección por duración, o simplemente factor de duración, que multiplicaría a la resistencia para la duración de referencia, dada por las tablas. Y eso es sencillamente lo que hacen las normas. La única diferencia estriba en que, en este sentido, la norma AGMA es algo 7 menos conservadora, y a la derecha de los 10 ciclos dibuja una recta no horizontal, sino ligeramente descendiente, aunque con una pendiente mucho más suave que a la izquierda. Este factor de corrección es diferente para la presión superficial que para la tensión en la base, y se designa por Z N o Y N , respectivamente. Una de las razones por las que los factores de duración Z N e Y N son diferentes es por el tipo de carga. En general –ya se indicó antes– el límite de fatiga ha de corregirse por tipo de carga. Pero en engranajes el tipo de carga es perfectamente conocido, de manera que su efecto se recoge en los valores de la resistencia y de los factores de corrección de la misma. Lo que ocurre es que, debido a ello, factores que intuitivamente deberían ser iguales para la flexión y la tensión de contacto, en la práctica no lo son. En cambio, sí ha de tenerse en cuenta, como en el caso general, el efecto de tamaño. ISO considera un factor de tamaño distinto para presión superficial y para flexión, Z X e Y X , respectivamente, que hace decrecer con el tamaño, y por tanto toma en cuenta su efecto multiplicando la resistencia. AGMA los considera iguales, K S , y crecientes con el tamaño, y por tanto dividiendo a la resistencia. Es de destacar que en las fórmulas de la AGMA, K S aparece como multiplicador de la tensión. Ya se ve que el efecto es el mismo, pero parece que el tamaño afecta más bien a la resistencia que a la tensión. Por -1 ello, y con el fin de uniformizar el planteamiento, aquí se considerará un factor K X = K S , que multiplicará a la resistencia. Específicamente para la resistencia a presión superficial, se ha de considerar otro efecto. Se ha comprobado que las transmisiones en las que la dureza superficial del piñón es sensiblemente superior a la de la rueda, se comportan mejor que aquéllas en las que la dureza es similar. Por ello, las normas introducen un factor de relación de dureza, C H para AGMA y Z W para ISO, que aumenta el valor de la resistencia en el caso comentado. Finalmente, ISO introduce una serie de factores adicionales, que corrigen la resistencia cuando las condiciones de lubricación, rugosidad y viscosidad –para presión superficial– y corrección de tensiones relativa, sensibilidad relativa a la muesca y rugosidad relativa –para flexión– difieren de aquéllas que la norma tiene establecidas para los ensayos de determinación de resistencias. Estos factores son el factor de lubricación Z L, el factor de rugosidad Z R y el factor de velocidad Z V, para la resistencia a presión superficial, y el factor de corrección relativa de tensiones Y S, el factor de sensibilidad relativa a la muesca Y δr elT y el factor de rugosidad relativa Y RrelT , para flexión. Con ello se corrigen también efectos de temperatura, que AGMA, por su parte, tiene en cuenta mediante el factor de temperatura K T. Con todo lo anterior, las resistencias a presión superficial y a rotura en la base, o tensiones admisibles, según cada una de las normas, vendrán dadas por

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σ H adm − AGMA = σ H adm − ISO =

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σ H lim Z N K X C H S H K R

σ H lim S H K R

σ F adm − AGMA = σ F adm − ISO =

σ F lim S F K R

K T

Z N Z X Z W Z L Z R Z V σ F lim Y N K X S F K R K T Y N Y X Y S Y δ relT y RrelT

Determinación de la capacidad de transmisión Hasta aquí se han descrito los dos modelos de comportamiento –a presión superficial y a flexión en la base– según las dos normas –AGMA e ISO–, siguiendo un procedimiento que se puede resumir en los siguientes pasos:

• • •

Determinación de las tensiones nominales σ 0, en función de la carga transmitida nominal W t. Cálculo de las tensiones de cálculo σ afectando las tensiones nominales anteriores de los factores de corrección de la carga. Determinación de las tensiones admisibles σ adm a partir de las resistencias de tablas y los factores de corrección de las resistencias.

A partir de aquí, el cálculo de la capacidad de transmisión se basa en la determinación de la carga transmisible W ta dm –valor de la carga transmitida que hace la tensión de cálculo igual a la admisible–, que será directamente proporcional a la potencia transmisible, que es por definición la capacidad de transmisión. Puesto que son dos los criterios que se están manejando –presión superficial y rotura en la base–, se obtendrán dos valores de la carga transmisible: la carga transmisible por presión superficial y la carga transmisible por flexión en la base. Obviamente, la capacidad de carga vendrá determinada por la menor de las dos. El procedimiento para la determinación de la carga transmisible –según ambos criterios y según ambas normas– consistirá en igualar la tensión de cálculo a la tensión admisible correspondiente, y despejar la carga transmitida de la expresión obtenida. De este modo, la carga transmisible por presión superficial, según la norma AGMA, vendrá dada por

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C p

W t adm H − AGMA cos α t

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1   1 +   ρ ρ Z K C σ  t 1 t 2  K A K v K m C f = H lim N X H  l c min  S H K R K T     PCUI −PM 2

W t adm H − AGMA

 σ H lim Z N K X C H    cos α t S K K  H R  T = 1   1 +   ρ ρ t 2  C p2 K A K v K m C f  t 1  l c min      PCUI −PM

Análogamente, la carga transmisible por presión superficial según ISO será

C p

W t adm H − ISO

 1 1    + ρ ρ t 2  PCUI − PR  t 1

cos α t

l ef

cos β K A K v K H α K H β =

σ H lim S H K R

Z N Z X Z W Z L Z R Z V

2

W t adm H − ISO =

 σ H lim   Z N Z X Z W Z L Z R Z V  cos α t  S H K R   1 1    + ρ ρ t 2  PCUI − PR  t 1

C p2 K A K v K H α K H β

cos β

l ef

Y lo mismo para la carga transmisible por flexión en la base: según AGMA   6h W t adm F − AGMA tg α nL  Y K σ   cos α K f K A K v K m = F lim N X −  nL  2 l c min cos α t cos β b  s  S F K R K T  s C h PCUS − PEXT

σ F lim Y N K X W t adm F − AGMA =

S F K R K T

l c min cos α t cos β b

  6h tg α nL   K A K v K m cos α nL  2 − s s C   h 

PCUS − PEXT

y según ISO W t adm F − ISO

σ 6h   Y S K A K v K F α K F β = F lim Y N Y X Y S Y δ relT y RrelT  cos α nL 2  l c min cos α t cos β b  S F K R s  PCUS− PEXT σ F lim W t adm F − ISO =

S F K R

Y N Y X Y S Y δ relT y RrelT l c min cos α t cos β b

 

K A K v K F α K F β  cos α nL

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6h 



s 2  PCUS − PEXT

Y S


José I. Pedrero

Finalmente, la capacidad de transmisión se determina teniendo en cuenta que la potencia transmisible es igual al momento transmisible –carga transmisible por radio primitivo– multiplicado por la velocidad angular P adm = W t adm r p1 1 Es frecuente en la práctica identificar la capacidad de transmisión con la potencia transmisible según el más restrictivo de los criterios –normalmente el de presión superficial– y expresar el otro en términos de factor de seguridad –ahora entendido como factor de carga, o lo que es lo mismo de potencia– para la misma potencia transmisible.

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Fatiga Engranajes

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