Algebra lineal (E-learning)
Fase 2, Ciclo Tarea 1
Presentado Por Wilson Javier Melo Higuera Cód. 1033698691
Grupo: 208046_169
Tutor: Carlos Andrés Vega Cárdenas
Universidad Nacional Abierta Y Distancia Marzo 2018
Introducción Las matrices, vectores y determinantes permiten organizar los datos, mediante la metodología matemática en un cálculo aplicando casos principales del cálculo diferencial y ecuaciones lineales; reconociendo y adoptando conocimientos básicos para afrontar principios básicos para la solución de estos practicando y afianzando toda la temática de algebra lineal y sus métodos de solución.
Objetivos 1. Comprender y aplicar conceptos de vectores: a. Comprender nociones de distancia b. Realizar operaciones con vectores. c. Comprender vectores base. d. Comprender Com prender producto vectorial. 2. Comprender y aplicar conceptos de Matrices a. Realizar operaciones con matrices i. Suma ii. Multiplicación b. Realizar operaciones sobre matrices. c. Realizar matrices elementales 3. Comprender y aplicar conceptos Determinantes a. Comprender propiedades de las determinantes b. Comprender determinantes inversas c. Determinar área de un paralelogramo d. Determinar volumen de un paralelogramo.
1. Se tienen los vectores u = 2 +4 +4 y y v = − −2 Halle: Halle: a) La magnitud y la dirección de cada vector respecto al eje x y represéntelo en una gráfica. b) El vector suma de u+v y el vector resta u-v c) El producto escalar u.v d) El ángulo entre los dos vectores Solucionando: a) u =
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la magnitud de un vector se logra aplicando algo parecido al teorema de Pitágoras, donde la magnitud al cuadrado es la suma de sus 2 catetos (componentes) al cuadrado, para encontrar el ángulo, también se usa trigonometría y la relación de los dos catetos es la tangente de theta
=2
|| = 2 44 = √ 2020 , =tan− 2=63.43 ,
Para el vector v se tendría
|| = 121 22 = √ 5,5, =tan− 1=63.43 , 63.43 =243.43 180 = 2 1 4 2 = 2 = = 2 1 4 2 = 33 6 . = 21 422 =10
Cuando se observa el vector en Geogebra, uno se da cuenta que el angulo está mal, entonces se le suma 180 grados para que este bien
b)
Aquí algo que resulta es interesante es que la magnitud de la resta es más grande que la magnitud de la suma c)
d)
2.
. =|= || | cos 10 10 10 cos= |..| | = √ 20√ = = 2=cos 0√ 55−1√ 1100100 10 =1 =180 Dadas las matrices:
Dadas las matrices:
4 2 1 4 3 3 5 = 1 4 =54 02 = 46 12 02
Calcule si es posible:
a) b) c) d)
C.B.A DET(C)*DET(A)*B C*B+B*A Compruebe todas sus respuestas en Geogebra
Solución
a) C.B.A El producto entre matrices no es conmutativo, luego se debe respetar el orden de las multiplicaciones, pero si es asociativo, luego da igual si primero multiplico CB y luego esto con A, o si multiplico BA y luego hago C*lo que dio, realizaré primero CB
1 4 3 4 2 36 4 1 1 2 1 9 6 3 5 3 5 =46 12 02 54 02 1 4 = 1134 1122 1 4 = 2370 1272 b) DET(C)*DET(A)*B Determinante A, sencillo
= 31 54 = 34 15 =125=7 1 4 3 = 46 12 02 = 21 20 1 46 20 4 46 21 3 622]4 [422 61]3 = [10 222]1 [40 =94 4 2 2 6 3 2 1 3 1 6 det ∗det ∗ = 947 54 02 = 32269302 10316
Determinante, cofactores
c) C*B+B*A
Teniendo cuidado con el orden, puesto que en matrices no es igual CB que BC, las matrices se multiplican los elementos columna de la segunda matriz, con los elementos fila de la primera matriz C*B=
14 41 32 45 20 = 3613 412 ,, 6 42 20 4 2 10141212 54 02 31 54 = 1154 2258 3613 412 1105 1225 = 4268 1163 14 12 14 28 28 16
B*A=
La suma de matrices solo se puede realizar a matrices de mismo tamaño, y su operación es sumar elemento a elemento C*B+B*A=
d) Compruebe todas sus respuestas en Geogebra.
4. Sea la matriz:
1 2 1 = 03 14 04
Halle:
a) El determinante b) La matriz inversa empleado en método de Gauss Jordan c) La matriz adjunta d) Compruebe todas las respuestas en Geogebra Solucionando. a) El determinante
1 2 1 = 03 14 04 24 10 114 40341 1144010 16 1 4 21 140212 141 21 16316210 4 0 16210 0 0 1616 21 5 0 5 5 1 2 1 = 03 14 04 13 24 01 ‖ 01 10 00 014 0 0 1 =3. 0 Di dividimos componentes pequeños
b) La matriz inversa empleando en método de Gauss Jordan c)
Realizamos operaciones de las filas
10 22 31 ‖1 3 01 00 0 1 4 0 0 1 . 1 = 10 21 13 ‖1 3 01 00 2 014 0 0 1 =2. 0 10 01 23 32 11 00 0 1 42 20 02 1 =1. 0 10 01 23 32 11 00 2 2 2 3 1 5 (0 0 2 2 2 1 ) 1 = 16 7 4 10 01 232 32 5 125 05 0( 0 1 35 15 25) =2. 0 Realizamos operaciones de las filas
Realizamos operaciones de las filas
Realizamos operaciones de las filas
Realizamos operaciones de las filas
Realizamos operaciones de las filas
16 7 4 10 01 03 3 5 15 05 2 2 2 3 1 0( 0 1 5 5 25) = 0 16 7 4 10 01 00 125 5 455 535 0( 0 1 35 15 25 ) 12 165 475 453 53 15 25 (5 5 5)
Realizamos operaciones de las filas
Matriz inversa de la original
d) La matriz adjunta
= 1 6 1 2 3 1 6 1 2 3 1 6 7 4 = 47 34 12 = 74 43 12 = 132 41 32 − = = 1 6 7 4 3 . 2 1 . 4 0 . 8 − = 132 41 32 20..46 00..82 00..64 =
a) Compruebe todas las respuestas en Geogebra
Ejercicio (a).
Ejercicio (b) y (c).
4.Dados los puntos A (-3,5), B(5,-6) y C(-4, -6)
a) ¿Qué coordenadas tiene el punto P que equidista de los puntos A, B y C? y grafique.
= 6 == 5336 55=5 3 5 = 44 6 =4 6 +− = +− = 2 2 =5 6 3 5 1025= 1025 1236 6961034= 101261 10=161227
Aplicar binomios
2= = 1627 2716 2 = 5 6 =4 6 Ecuacion 1
6 5 =4 10 25= 8 816 Eliminar
18= 9 1818 = 189 = 12 =0.5
Eliminar 25 y el
a cada lado
Simplificar dividir en ambos lados -18
Ecuación 2
Reemplazando Ec2 en Ec1
P= ( x =0.5), (y=9.5)
1 2716 2716 2 = 2 = 2 = 192 =9.5
5. Calcule el valor de la inversa de la matriz dada usando dos métodos diferentes, y compruebe su respuesta.
A=
3 4
Solución:
2 × 2 | | = − = || 3 4 12 3 4 = 3 4 2 × 2 12 34 112 4 3 4 3 112 4 3 La inversa de una matriz
donde
se puede calcular usando la formula
es el determinante de A. es
Si
||
entonces entonces
El determinante de
es es
Ambas son notaciones válidas para el determinante de una matriz Determinante
El determinante de la matriz
formula
puede encontrarse usando la
=
Sustituye los valores conocidos en la fórmula para la inversa de una matriz.
Simplifica:
,
112 4 3 + 112 . 4 121 . 112 . 121 . 3 + . 4 + 412 121 . 112 121 . 3 + . = + 412 12 112 . 121 . 3 + . = + 412 12 12 121 . 3 + . 3 = + 412 12 12 123 Multiplica:
Simplifica:
simplifica:
Simplifica:
Simplifica:
=
Conclusiones
Se aplicó los conceptos básicos de la unidad 1 en el entorno de solución de vectores matrices y determinantes se logra desarrollar el contenido de la guía y los ejercicios planteados afianzando el conocimiento con todo el material bibliográfico suministrado.
Estos temas son muy importantes ya que son las bases para la solución de sistemas lineales, logrando observar su funcionamiento.
Referencias Barrera, M. F. (2014). (M. L.-G. Patria., Ed.) Obtenido de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=132&docID=110 13215&tm=1469037104 Mesa, F. A. (2012). (C. E. Ediciones, Ed.) Obtenido de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=13&docID=1058 4265&tm=14689650435 Zuñiga, C. R. (2010). Obtenido de http://hdl.handle.net/10596/7081
