Fase 6 – Distribuciones de Probabilidad
Por:
Camila Andrea González Castillo Código: 1.110.510.828 Maria Fernanda Duran Salguero Código: 1.110.561.361 Maira Alejandra Arciniegas Código Viviana Berrio Luis Alejandro Daza Gongora Codigo
Nombre del curso:
Probabilidad
Código del curso:
100402_92
Presentado a:
Tutor Adrián Reinaldo Valencia
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
CEAD de Ibagué
Escuela de Ciencias Administrativas, Contables, Económicas y de Negocios - ECACEN Mayo 2018 Fase 6 – Distribuciones de Probabilidad
Introducción
En la actualidad nos vemos inmersos en situaciones que requieren de una toma de decisiones o que al presentarse pueden tomar diferentes caminos y dar un resultado distinto al esperado, es de ahí, que el conocer y aplicar los conceptos y métodos de probabilidad en los eventos de la vida cotidiana, brindan una menor incertidumbre de lo que puede pasar y hasta dónde se puede llegar, según el camino que se tome en un momento dado. Por lo anterior, con el desarrollo del presente trabajo colaborativo, se parte de conocer los conceptos básicos de la probabilidad y a través del desarrollo de los casos propuestos aplicar y comprender cada uno de ellos, para llegar a entender como la probabilidad cobra una gran importancia tanto en el aspecto personal, profesional y laboral. Cabe resaltar que la aplicación de fórmulas nos ayudan a despejar algunas hipótesis de lo que se presunta tener como un acierto, la probabilidad posee grandes ventajas y desventajas porque su resultado es imprescindible.
Objetivo General
Desarrollar los casos propuestos en la guía, sobre distribución de probabilidad.
Objetivos Específicos
Realizar la lectura de la bibliografía de la unidad 2 sobre probabilidad
Desarrollar caso propuesto en la guía donde se apliquen las técnicas de probabilidad y se analicen los resultados obtenidos
ESTUDIO DE CASO 1 1
Supongamos que X es una variable aleatoria discreta y que x es uno de sus valores posibles. La probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor específico x se representa por medio de P(X = x). La función de probabilidad de una variable aleatoria es una representación de las probabilidades de todos los resultados posibles. Esta representación podría ser algebraica, gráfica o tabular. En el caso de las variables aleatorias discretas, un sencillo método es enumerar las probabilidades de todos los resultados posibles de acuerdo con los valores de x. Una empresa nueva de buses del Sistema Integrado de Transporte de Bogotá (SITP) ha comenzado a dar servicio en un nuevo barrio. Se ha registrado el número de usuarios que hay en este barrio en el servicio a primera hora de la mañana (5:00 a.m.). La tabla adjunta muestra la proporción de cada uno de los días de la semana. Número de usuarios 0 2 3 5 6 8 10 12 15 Proporción 0.02 0.05 0.12 0.18 0.13 0.16 0.14 0.12 0.08 Si X es la variable que representa el número de usuarios que la empresa debe atender a la hora de inicio del servicio, con base en esta información y haciendo uso de los conceptos de variables aleatorias discretas y función de probabilidad, prepare un informe en el que debe incluir como mínimo lo siguiente 1. Grafica de la función de probabilidad de la variable aleatoria X: Número de usuarios.
Grafico Probabilidad de Variable Aleatoria X 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0
2
3
5
6
8
10
12
15
USUARIOS
2. Función de probabilidad acumulada de la variable aleatoria X: Número de usuarios. 1
Tomado y adaptado Newball P., Estadística para administración y economía. 6ª edición Pearson. 2008
0,02+0,05+0,12+0,18+0,13+0,16+0,14+0,12 +0,08 1
3. Probabilidad de que en un día seleccionado aleatoriamente haya exactamente ocho usuarios del barrio esperando el servicio
16 4. Probabilidad de que en un día seleccionado aleatoriamente haya más de seis usuarios del barrio esperando este servicio
+ + + 0,16 + 0,14 + 0,1 4+ 0,12 + 0,0 8 0,5 5. Probabilidad de que en un día seleccionado aleatoriamente haya menos de cuatro usuarios del barrio en este servicio
+ + 0,02+ 0,05+0,12 0,19 Px < 4 6. El numero esperado de usuarios de este servicio y su desviación estándar
∑
M = =
X
P(X)
XP(X)
X–M
(X-M)2
(X-M)2 P(X)
0 2 3 5 6 8 10 12 15
0,02 0,05 0,12 0,18 0,13 0,16 0,14 0,12 0,08
0 0,1 0,36 0,9 0,78 1,28 1,4 1,44 1,2
-7,46 -5,46 -4,46 -2,46 -1,46 0,54 2,54 4,54 7,54
55,65 29,81 19,8 6,05 2,13 0,29 6,45 20,61 56,85
1,1130 1,49058 2,3869 1,0892 0,2771 0,46656 0,9032 2,4733 4,5481
7,46
M = 7,46
∑= 14,3284 (x)= √ 14,3284 (x)= 3,785
7. Con base en estos resultados, redacte un breve resumen de sus hallazgos para la empresa R/ Se observa que la empresa tiene una probabilidad de que hayan mas de seis usuarios
esperando el servicio en un 50%, así mismo se observa que para que hayan un numero reducido de 4 o menos usuarios la probabilidad es del 19%; una vez revisada la grafica vemos que pocos días hay 0 usuarios y por el contrario el hecho de que hayan 5 usuarios ocurre en mayor proporción a comparación de los demás días.
ESTUDIO DEL CASO N° 2
La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que se presenta con mucha frecuencia. Una de sus características consiste en que solo hay dos posibles resultados en un determinado ensayo del experimento y los resultados son mutuamente excluyentes; otra característica de la distribución binomial es el hecho de que la variable aleatoria es el resultado de conteos. Es decir, se cuenta el número de éxitos en el número total de ensayos. Una tercera característica de una distribución binomial consiste en que la probabilidad de éxito es la misma de un ensayo a otro. Un estudio del Departamento de Transporte de Illinois concluyó que 78,5% de quienes ocupan los asientos delanteros de los vehículos utilizaba cinturón de seguridad. Esto significa que los dos ocupantes de la parte delantera utilizaban cinturones de seguridad. Suponga que decide comparar la información con el uso actual que se da al cinturón de seguridad, para lo cual selecciona una muestra de 8 vehículos. Usando sus conocimientos sobre distribuciones discretas de probabilidad, presente un informe en el que como mínimo incluya: 1. Esta situación cumple con los supuestos de la distribución binomial. Identifíquelos. Variable aleatoria es el resultado de conteos Se ha hecho el conteo del número de éxitos en el número total de ensayos. La probabilidad de éxitos es la misma de un ensayo a otro. La variable de estudio es una variable aleatoria discreta. Los resultados corresponden a un proceso de Bernoulli, es decir, se tienen solo dos posibles resultados, utilizar cinturón de seguridad o no utilizarlo, un éxito y un fracaso. Los resultados son independientes, el resultado del ensayo de un vehículo no afecta el resultado del otro.
2. Diagrama de barras de la distribución de probabilidad binomial que representa esta situación. Para realizar el diagrama de distribución de probabilidad binomial, debemos primero calcular la función de probabilidad para cada ensayo, empleando la siguiente ecuación:
. .− Donde: P(x): n: x: p:
Función de probabilidad Número de ensayos Éxitos producidos. Probabilidad de éxito
:
Numero combinatorio de n con x. Calculamos para x=0.
! !.−!
0 80.0,785.0,215− 0,000004566 Calculamos para x=1.
1 81.0,785.0,215− 0,00013336 Calculamos para x=2.
2 82.0,785.0,215− 0,00170423 Calculamos para x=3.
3 83.0,785.0,215− 0,0124448 Calculamos para x=4.
4 84.0,785.0,215− 0,0567972 Calculamos para x=5.
5 85.0,785.0,215− 0,165903 Calculamos para x=6.
6 86.0,785.0,215− 0,3028675 Calculamos para x=7.
7 87.0,785.0,215− 0,31595 Calculamos para x=8.
8 88.0,785.0,215− 0,144197
Ahora graficamos los valores obtenidos.
Distribución de probabilidad 0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
3. Probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera en exactamente 5 de los 8 vehículos seleccionados utilicen cinturones de seguridad.
Se determina la probabilidad para x=5.
5 85.0,785.0,215− 0,165903 4. Probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera de que por lo menos 5 de los 8 vehículos utilicen cinturón de seguridad.
Como indican que en por lo menos 5 vehículos los ocupantes usen el cinturón de seguridad, tenemos que:
≥ 5 5 + 6 + 7 + 8 De la pregunta N° 2, tenemos calculadas las probabilidad y sustituimos.
≥ 5 P(5)+P(6)+P(7)+P(8)= 0,165903 + 0,302867 + 0,31595 + 0,144197= 0,9289175
5. Probabilidad de que los ocupantes de la parte delantera de máximo 5 de los 8 vehículos utilicen cinturón de seguridad.
Como indican que máximo 5 vehículos los ocupantes usen el cinturón de seguridad, tenemos que:
≤ 5 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 De la pregunta N° 2, tenemos calculadas las probabilidad y sustituimos.
≤ 5 P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)= 0,236987156 6. Número de vehículos esperado en los que los ocupantes de la parte delantera utilizan el cinturón de seguridad”.
El valor esperado es determinado por el producto de la probabilidad y el numero de ensayos o experimentos M=np M= 8(0,785)= 6,28 Por tanto se espera que en seis (06) vehículos los ocupantes de la parte delantera utilicen el cinturón de seguridad.
ESTUDIO DE CASO 3
Baloto es un juego novedoso de tipo loto en línea, de suerte y azar, donde el jugador elige 5 números del 1 al 43 y una súper balota con números del 1 al 16 a través de una terminal de venta. El juego consiste en acertar 5, 4 o 3 números en cualquier orden de una matriz del 1 al 43 y otro número (súper balota) del 1 al 16. El jugador señala en un tarjetón los 6 números que escoge. Los números están representados en 43 balotas amarillas numeradas del 1 al 43 y 16 balotas rojas numeradas del 1 al 16. Cada número aparece una sola vez y las balotas ganadoras se seleccionan sin reemplazo. El premio acumulado se entrega a quien haga coincidir los seis números. En la tabla aparecen las opciones para ganar
Usando sus conocimientos sobre distribuciones discretas de probabilidad, presente un informe en el que como mínimo incluya: 1. Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Hipergeométrica. Identifíquelos
N= 43 k= 16 n= 5 x= 6
16 4316 6 435 6 5
2,68,62,6 8,6 15,6 6 2,6.6 8,6 8,6 2. Probabilidad de obtener el “Gran acumulado” con los 6 números (5 números del 1 al 43 y la súper balota). 1 al 43: 25, 37, 41,8 1 al 15: 12
3. La empresa encargada del sorteo informa que Hasta el sorteo anterior, la posibilidad de “pegarle al gordo” era de 1 en 8 millones, mientras que ahora será de 1 en 15 millones. Explique esta afirmación.
La empresa con esta información le da a entender a sus clientes que por cada 15 millones de personas que hagan el baloto solo una persona se llegara el premio gordo, o sea que si no se cumples esas ventas posiblemente no hayan ganadores. 4. El sorteo también otorga otros premios (ver tabla). Presente la probabilidad de obtener los premios que incluyen acertar la súper balota.
: 38 0,37 100% 37% :37% La probabilidad de que puedan obtener los premios es de un 37% para acertar la súper balota. 5. Presente la probabilidad de obtener los premios que no incluyen acertar la súper balota.
: 48 0,5 100% 50% :50% La probabilidad de obtener premios que no incluyen acertar la súper valora es de un 50% 6. Con base en los resultados obtenidos, ¿usted invertiría dinero en el BALOTO?
El baloto es un juego al azar y no siempre se gana, pues sus probabilidades de ganar con una súper balota es de un 37 %, en lo personal no invertiría en el baloto pues no creo en la suerte.
ESTUDIO DE CASO 4
La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. La distribución se basa en dos supuestos. El primero consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. El segundo supuesto consiste en que los intervalos son independientes. En otras palabras, cuanto más grande sea el intervalo, mayor será la probabilidad; además, el número de veces que se presenta un evento en un intervalo no influye en los demás intervalos.
Esta distribución posee diversas aplicaciones. Se le utiliza como modelo para describir la distribución de errores en una entrada de datos, el número de rayones y otras imperfecciones en las cabinas de automóviles recién pintados, el número de partes defectuosas en envíos, el número de clientes que esperan mesa en un restaurante, el número de accidentes en una carr etera en un periodo determinado.
Los padres preocupados porque sus hijos son “propensos a accidentes” pueden estar tranquilos, de acuerdo a un estudio realizado por el Departamento de Pediatría de la U niversidad de California, San Francisco. Los niños que se lesionan dos o más veces tienden a sufrir estas lesiones durante un tiempo relativamente limitado, por lo general un año o menos. El estudio determinó que el número promedio de lesiones por año para niños en edad escolar es de dos.
Usando sus conocimientos sobre distribuciones de probabilidad discretas, presente un informe que como mínimo contenga:
1. Esta situación cumple con los supuestos de la distribución Poisson. Identifíquelos. - número de veces que se presenta un evento durante un intervalo espec ifico -
el intervalo puede ser: tiempo, distancia, área, volumen. La probabilidad se basa en supuestos: a.
La probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo.
b. Los intervalos son independientes. -
Cuando más grande es el intervalo mayor e s la probabilidad.
-
Número de veces que se presenta un evento en un intervalo no incluye los demás inte rvalos.
2. Probabilidad de que un niño sufra tres lesiones durante el año 1.
̅ ∙ 2
3 !∙
P(3)=
∙ , 0,180447048 !
3. Probabilidad de que un niño sufra más de tres lesiones durante el año 2. P ( 0) + P (1 ) + P (2 ) + P (3 )
∙ , = ! ∙ 0,270670566 P(1)= ! ∙ 0,27232727 P(2)= ! ∙ 0,180447044 P(3)= ! P(0)=
0,1353528
P( x > 3)= 1 - [P ( 0) + P (1 ) + P (2 ) + P (3 ) ] P( x > 3)= 1 - [0,857123439 ] P( x > 3)= 0,14287634
4. Probabilidad de que un niño sufra una lesión en los siguientes tres meses del año 1. P(1)=
∙ , = !
0,0677
5. Número de lesiones esperado por año y su desviación estándar. Dentro de que limites se espera entonces que caiga el número de l esiones por año. 1.
̅ ∙ 2 ∙ 2 √ 2 1,41 0≤x≤2
ó entre 0 y 2.
6. Realmente, pueden estar tranquilos los padres? Sustente su opinión en los resultados obtenidos No pueden estar tranquilos, ya que existen probabilidades de que los e studiantes tengan lesiones.
ESTUDIO DE CASO 5
El Coeficiente intelectual C.I. de un individuo es medido en una escala que va de 45 a 155. Un C.I. de 100 es el promedio. En la figura siguiente se puede ver que la mayoría de la población tiene el C.I. alrededor de 100. Existen menos personas que tienen el CI menor a 85 y muy pocos tienen el CI por encima de 115. Una empresa que recluta personal para multinacionales, aplica un test de inteligencia a todos los posibles candidatos. Una persona que desea ser contratada, acaba de presentar el test y le informan que ha obtenido C.I. igual a 95. Asumiendo que las puntuaciones en un test de inteligencia se distribuyen normalmente y sabiendo que las puntuaciones CI tienen promedio 100 y desviación estándar 15, usted debe presentarle un informe acerca de sus resultados. Usando sus conocimientos sobre la distribución de probabilidad normal, presente un informe que como mínimo contenga: 1. Porcentaje de personas que podrían tener un C.I. inferior o igual a 95. Para este caso se debe cumplir que
≤ 95 100 15 ≤ 95 ( ≤ 95 15100)
≤ 95 ≤ 0.333 . Por lo tanto solo el 37.07% de la población tiene un coeficiente intelectual menor o igual a 95.
2. Porcentaje de personas podrían tener un C.I. superior a 95. Esta probabilidad es 1 menos la probabilidad calculada en el ítem anterior, es decir
> 95 10.3707 . Por lo tanto el porcentaje de personas que podrían tener un C.I. superior a 95 es 62.93% . 3. Probabilidad de que una persona tenga un C.I. entre 85 y 90.
90 100) 1 ≤ ≤ 0.67 85 ≤ ≤ 90 (85100 ≤ ≤ 15 15 85 ≤ ≤ 90 0.2514 0.1587 . 4. Puntuación C.I. que habría que sacar en el test de inteligencia para estar en el 30% inferior (puntuación de CI que deja el 30% de sujetos por debajo). Para estar en el 30% más bajo se debe cumplir que
≤ 0.30 ≤ 0.5 0.30 + 0.515 +100 92.5 Para pertener al 30% más bajo se debe sacar un puntaje menor o igual a 92.5. 5. Puntuación de C.I. que es superada solo por el 10% de los sujetos.
≥ 0.90 ≥ 1.29 0.90 1.2915+100 1.2915 + 100 . La puntuación que es superada solo por el 10% de las personas es 119.35 .
6. Valores de C.I. entre los que se encuentran el 50% central de los sujetos Los valores de C.I. entre los que se encuentra el 50% central de los sujetos es
≤ ≤ 0.50 ≤ 0.68 ≤ 0.68 0.50 Con las tablas se observa que esto se cumple para los puntajes:
+ 0.6815 + 100 . + 0.6815 +100 . El 50% central son las personas que se encuentren entre los puntajes 89.8 y 110.2.
Resumen
Para solucionar esta situación se utilizó la distribución de probabilidad normal ya que los puntajes que puede obtener una persona se distribuyen normalmente. Sin embargo, para este problema en particular se utilizó la distribución normal estándar con la cual se puede utilizar las tablas de distribución normal que se encuentran en línea o en muchos libros de probabilidades y estadística. Con estas tablas es posible determinar el área bajo la curva que es la probabilidad para diferentes situaciones o al revés, determinar el puntaje igual o por debajo del cual está un porcentaje de la población.
Conclusiones
Con el desarrollo del presente trabajo se lograron identificar los diferentes conceptos, métodos y técnicas de la distribución de la probabilidad que pueden ser distribuciones discretas y continuas con variables aleatorias, que nos permiten, apropiar de una manera más clara los conceptos básicos que facilitan la formulación y el desarrollo de los ejercicios prácticos enmarcados en situaciones reales y resultados aleatorios, frente a los cuales se hace un análisis de los resultados obtenidos en cada caso.
La probabilidad binomial es aplicable a experimentos en los cuales se tengan dos tipos de resultados posibles, uno catalogado como éxito y otro como fracaso.
La variable aleatoria en la probabilidad binomial es correspondiente al conteo de los ensayos realizados que cumplen con el criterio de estudio.
Bibliografía
Rodríguez, F. & Pierdant, A. (2014). Estadística para administración. Página 241 a 278. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=258&docID=1101 3767&tm=1470693471527 Rodríguez, F. & Pierdant, A. (2014). Estadística para administración. Página 241 a 278 Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=258&docID=1101 3767&tm=1470693471527 Gil, M., Gonzales, A. J Salagre, M. (2014). Ejercicios de estadística teórica: Probabilidad e inferencia. Página 46 a 57. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=47&docID=10995 669&tm=1470693596054 Montgomery, D y Runger, G.(2004). Capítulo 3. Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad Discretas. En: Probabilidad y Estadística Aplicada a la Ingeniería. 2da ed. México: Mc. Graw Hill, pp. 99 – 156.
