2.1. Familia Familia de diseños diseños para compa comparar rar tratamientos tratamientos.. Los diseños experimentales más utilizados para comparar tratamientos son: 1. 2. !. ".
Diseño Diseño compl completam etamente ente al azar azar (DCA) Diseño Diseño en bloque bloque complet completamente amente al azar (DCA) (DCA) Diseño Diseño en cuadro cuadro latino latino (DCL) (DCL) Diseño Diseño en cuadro cuadro #recolatin #recolatino o (DC$L) (DC$L)
La di%erencia %undamental entre estos diseños es el n&mero de %actores de bloque que incorporan incorporan o controlan controlan de %orma expl'cita durante el experimento experimento.. La comparacin de los tratamien tratamientos tos en cuanto cuanto a la respuesta respuesta medi mediaa que lo#ran lo#ran en cualqu cualquiera iera de estos estos dise diseño ños s se *ace *ace medi median ante te la *ip *ipte tesi siss que se prueba con la t+cnica
estad'stica
llama da Análisi Análisiss de ,arianza rianza (A-,A) co n uno do s tre s o cuat ro cr iter ios de clasi%icacin dependiendo del n&mero
de %acto %actore ress de blo bloqu ques es inc incor orpo pora rado doss al
diseño. Dise ño DC
/actores de
A-,A
0odelo estad'stico
n criterio
D
1
Dos criterios
DCL
2
3res criterios
DC
!
Cuatro criterios
4 es la 5ariable de salida la media #lobal son los e%ectos de tres %actores de bloqueo.
el e%ecto del i6+simotratamiento i6+simotratamiento
error aleatorio 7
8l model modelo o estad'stico estad'stico que describe describe el comportamie comportamiento nto de la 5ariable obser5ada 4 en cada cada diseño diseño incorp incorpora ora un t+rmi t+rmino no adicio adicional nal por por cada cada %actor %actor de bloq bloque ueo o controlado. De
a cu cu er er do do c o n l os mo d el el o s d a d o s en
la t a bl bl a p a ra ra c ad ad a di s eñ eño
comparati5o se tienen al menos dos %uentes de 5ariabilidad: los tratamientos o ni5eles del %actor de inter+s 7 el error aleatorio. 9e a#re#a una nue5a %uente de 5ariabilidad por cada %actor de bloque que se controla directamente. 9e obser5a que los diseños suponen que que no *a7 e%ectos e%ectos de interacci interaccin n entre entre los %actores %actores lo cual ser'a lo deseab deseable le que que ocurra de no ocurrir as' tal tal e%ect ecto se recar car#a al error ror 7 el problema de comparacin no se resuel5e con +xito. n e%e e%ect cto o de inte intera racc cci in n entre dos %actores *ace re%erencia a que el e%ecto de cada %actor depende del ni5el en que se encuentra el otro.
2.2. 2.2. El model modelo o de efectos efectos fijo fijoss 8l model odelo o de efectos efectos fijos (es cuando se estudian estudian todos los posibles tratamientos) tratamientos) de análisis de la 5arianza se aplica a situaciones en las que el experimentador *a sometido al #rupo #rupo o materia materiall analiza analizado do a 5arios 5arios %actores %actores cada uno de los cuales le a%ecta a%ecta slo slo a la media permaneciendo la ;5ariable respuesta; con una distribucin normal. 8ste modelo se supone cuando el in5esti#ador se interesa &nicamente por los ni5eles del %actor %actor presen presentes tes en el experim experiment ento o por lo que cualqu cualquier ier 5ariaci 5ariacin n obser5 obser5ada ada en las las puntuaciones se deberá al error experimental. Donde es el parámetro de escala com&n com&n a todos los tratamientos llamado media #lobal es un parámetro parámetro que mide mide el e%ecto del tratamiento tratamiento 7 es el error atribuible atribuible a la medicin . 8ste modelo modelo implica que en el diseño completamente al azar actuar'an a lo lo más dos %uentes de 5ariabilidad: Los tratamientos 7 el error aleatorio. La media #lobal de la 5ariable de respuesta no se considera considera una %uente de 5ariabilidad 5ariabilidad por ser una constante constante com&n a todos los tratamientos que *ace las 5eces de punto de re%erencia con respecto al cual se comparan las respuestas medias de los tratamientos. 9i la respu respuest estaa medi mediaa de un trat tratam amien iento to parti particu cular lar es
2.3. Diseño Diseño completam completamente ente al azar y ANOV ANOVA 0uc*as comparaciones como las antes mencionadas se *acen con base en el diseño completamente al azar (DCA) que es el más simple de todos los diseños que se utilizan para comparar dos o más tratamientos dado que slo consideran dos %uentes
de
5ariabilidad: los tratamientos 7 el error aleatorio. 8n la si#uiente unidad 5eremos diseños que consideran la in%luencia de otras %uentes de 5ariabilidad (bloques). 8ste diseño se llama completamente al azar porque todas las corridas experimentales se realizan en orden aleatorio completo. De esta manera si durante el estudio se *acen en total - pruebas +stas se corren al azar de manera que los posibles e%ectos ambientales 7 temporales se 5a7an repartiendo equitati5amente entre los tratamientos. 8=emplo 1 Comparacin de c!atro m"todos de ensam#le. n equipo de me=ora in5esti#a el e%ecto de cuatro m+todos de ensamble A C 7 D sobre el tiempo de ensamble en minutos con un ni5el de si#ni%icancia de .>. 8n primera instancia la estrate#ia experimental es aplicar cuatro 5eces los cuatro m+todos de ensamble en orden completamente aleatorio (las 1? pruebas en orden aleatorio). Los tiempos de ensamble obtenidos se muestran en la tabla 2.1. 9i se usa el diseño completamente al azar (DCA) se supone que además del m+todo de ensamble no existe nin#&n otro %actor que in%lu7a de manera si#ni%icati5a sobre la 5ariable de respuesta (tiempo de ensamble) 3abla 21 Diseño completamente al azar para el e=emplo 1
0+todo de A C ? 1 1 @ B 1 1 ? @ 1 @
D
1 1 2
8=emplo 2 Comparacin de c!atro tipos de c!ero. n %abricante de calzado desea me=orar la calidad de las suelas las cuales se pueden *acer con uno de los cuatro tipos de cuero A C 7 D disponibles en el mercado. ara ello prueba los cueros con una máquina que *ace pasar los zapatos por una super%icie abrasi5a la suela de +stos se des#asta al pasarla por dic*a super%icie. Como criterio de des#aste se usa la p+rdida de
peso
despu+s de un n&mero %i=o de ciclos. 9e prueban en orden aleatorio 2" zapatos seis de cada tipo de cuero. Al *acer las pruebas en orden completamente al azar se e5itan ses#os 7 las mediciones en un tipo de cuero resultan independientes de las demás. Los datos (en mili#ramos) sobre el des#aste de cada tipo de cuero se muestran en la tabla 2.2 3abla 22 Comparacin de cuatro tipos de cuero (cuatro tratamientos)
3ipo de
bser5aciones
romedi
A
2?" 2? 2>@ 2"1 2?2 2>> 2@ 22 21? 2 21! 2?
2>? 2B@ 2!@ 22
Diseños completamente al azar y
>2
8l análisis de la 5arianza de un criterio (A-,A de un criterio) es una metodolo#'a para analizar la 5ariacin entre muestras 7 la 5ariacin al interior de las mismas con 5arianzas en lu#ar de ran#os. Como tal es un m+todo estad'stico &til para comparar dos o más medias poblacionales. 8l ob=eti5o del análisis de 5arianza en el DCA es probar las *iptesis de i#ualdad de los tratamientos con respecto a la media de la correspondiente 5ariable de respuesta:
Nota$ rimeramente explicare el cálculo manual tradicional para A-,A posteriormente el simpli%icado 7 más práctico as' como su solucin utilizando un paquete computacional. 8l m+todo de A-,A con un criterio requiere del cálculo de dos estimaciones independientes para la 5arianza poblacional com&n. 8stas dos estimaciones se denotan por 7 . . 9e denomina estimacin de la 5arianza entre muestras (0+todo entre) . 9e denomina estimacin de la 5arianza al interior de las muestras (0+todo dentro)
8l estad'stico entonces resulta
7 tiene una distribucin muestral que si#ue
una distribucin /. 8stad'stico / para el A-,A con un criterio
(2,3)
8l cual se contrastara con el 5alor de encontrado en tablas en relacin a los #rados de libertad del numerador entre #rados de libertad del denominador 7 con un ni5el de si#ni%icancia ( ) pre%i=ado. 9e rec*aza la
si
9e deduce que si es #rande se contradice la *iptesis de que no *a7 e%ectos de tratamientos en cambio si es pequeño se con%irma la 5alidez de
Diseños completamente al azar y
>!
Método dentro 8l m+todo dentro de estimacin de la 5arianza produce una estimacin 5álida sin importar si la *iptesis nula de las medias poblacionales i#uales es cierta. 8sto se debe a que la 5ariabilidad de los 5alores de la muestra se determina comparando cada elemento
en los datos con la media muestral. Cada 5alor de la muestra obtenido de la poblacin A se compara con la media muestral A cada elemento obtenido de la poblacin se compara con la media muestral 7 as' sucesi5amente. La ecuacin para calcular la estimacin de la 5arianza con el m+todo dentro es:
= donde:
(2")
• 8stimacin de la 5arianza muestral con el m+todo entr e. • i6+simo elemento de los datos de #rupo =. • media del #rupo = • C n&mero de #rupos • n n&mero de elementos de la muestra en cada #rupo.
8l n&mero adecuado de #rados de libertad para el m+todo dentro se calcula como c(n61) si el n&mero de obser5aciones en cada #rupo es i#ual. Como a cada elemento del #rupo se le resta la media de ese #rupo slo (n61) elementos de cada #rupo pueden 5ariar. Además como se tienen c #rupos c se multiplica por (n61) para obtener los #rados de libertad para el m+todo dentro. $rados de libertad para #lE C(n F 1)
Método entre 8l se#undo m+todo para estimar la 5arianza com&n de la poblacin produce una estimacin 5álida slo si la *iptesis nula es cierta. ara entender el m+todo entre recuerde el teorema del l'mite central. 8ste importante teorema en estad'stica establece que la distribucin de las medias muestrales tiende a una distribucin normal con%orme crece el tamaño de la muestra con una media µ 7 una des5iacin estándar δ√n. 9i el error estándar de la media es δ√n entonces la 5arianza de la distribucin es i#ual al 2
error estándar al cuadrado δ √n. 8sta 5arianza es una medida de las di%erencias entre todas las medias muestrales que puedan obtenerse de la distribucin 7 la media de la poblacin. La ra'z cuadrada de esta 5arianza es el error estándar de la media es decir la di%erencia estándar entre una media muestral 7 la media poblacional. 8n A-,A para estimar la 5arianza de la distribucin muestral de medias se debe estimar primero la media poblacional. La media de todos los 5alores muestrales proporciona esa estimacin. Despu+s se determina la di%erencia entre la media de cada #rupo 7 esta media poblacional estimada 7 estas di%erencias se ele5an al cuadrado 7 se suman. 8ste 5alor con %recuencia se llama la suma de cuadrados entre
para obtener la estimacin de la 5arianza de la distribucin muestral. La ecuacin si#uiente da el cálculo de la estimacin de la 5arianza de la distribucin muestral de las medias:
= donde:
• • • • •
(2>)
8stimacin del m+todo entre de la 5arianza poblacional com&n. media del #rupo =. media #lobal (media de todos los 5alores) usada como estimacin de µ. C n&mero de #rupos n n&mero de elementos de la muestra en cada #rupo si el n&mero de obser5aciones en cada uno es el mismo. $rados de libertad para #l b (C F 1)
Tabla ANOVA Los resultados del análisis de 5arianza se presentan en una tabla A-,A que resume los 5alores importantes de la prueba. 8sta tabla tiene un %ormato estándar que usan los libros 7 los problemas de computadora que e=ecutan A-,A. La si#uiente tabla muestra la %orma #eneral de la tabla A-,A. 8n dic*a tabla se resumen los cálculos necesarios para la prueba de i#ualdad de las medias poblacionales usando análisis de 5arianza. rimero se usa el m+todo dentro para 2 estimar δ . Cada 5alor de los datos se compara con su propia media 7 la suma de las di%erencias al cuadrado se di5ide entre los #rados de libertad c(n61).
Fuente de variación
SC
GL
Estimación de
Grupos Entre
2
c-
! "#$
Grupos %entro &ota#
2
c(n-)
! "#$
Coeficiente F !
∑ ∑ ( 'i ' )
donde:
• • • •
-&mero de la columna i -&mero de la %ila c -&mero de columnas (#rupos) n -&mero de elementos en cada #rupo (tamaño de la muestra)
La tabla A-,A contiene columnas con las %uentes de 5ariacin las sumas de cuadrados los #rados de libertad las estimaciones de la 5arianza 7 el 5alor F para el procedimiento de análisis de 5arianza.
Getomando el problema del e%ecto de cuatro m+todos de ensamble A C 7 D sobre el tiempo de ensamble en minutos tenemos:
0+todo de A C ? 1 1 @ B 1 1 ? @ 1 @ 0edia ( i) 2> @> 12> 0edia #lobal : B! C " n "
D
1 1 2
1>
"
H
H H
Comp#etando #a ta$#a *+*, .uedando de #a si"uiente manera Fuente de 2 ariación SC "# Estimación de δ Coeficiente F ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Grupos entre /0,10 3 /0,!3 = 23,2 23,2!2,1 = Grupos 20,14 2 20,14!2 = 2,1 ----------------------------------------------------------- ----------------------------------------------&&* 04,0
Como la *iptesis a probar es H : H 1:
µ1 µ2 µ! µ" -o todas las poblaciones tienen la misma media
8l 5alor de / calculado por tabla cuando tenemos un ni5el de si#ni%icancia de > 7 ! #rados de libertad en el numerador 7 12 #rados de libertad en el denominador es
/> (!12) !"B
Como nuestro estad'stico de prueba / (B"2) excede el 5alor cr'tico tabulado (!"B) rec*azamos la *iptesis nula 7 aceptamos la alterna conclu7endo que s' *a7 di%erencia o e%ecto de los m+todos de ensamble en cuanto a su tiempo promedio.
A*ora 5eremos el procedimiento 7 notacin más com&nmente utilizado para la solucin de A-,A 3abla 2.! Diseño completamente al azar (DCA)
.
3ratamientos I I . . . . . .
I
Notación de puntos 9ir5e para presentar de manera abre5iada cantidades num+ricas que se pueden calcular a partir de los datos experimentales donde representa la obser5acin en el tratamiento con 7 . Las cantidades de inter+s son las si#uientes:
• • • • -ote que el punto indica la suma sobre el correspondiente sub'ndice. As' al#unas relaciones 5álidas son:
(2.?)
donde
es el total de obser5aciones.
ANOVA Como 7a lo mencionamos el ob=eti5o del análisis de 5arianza en el DCA es probar la *iptesis de i#ualdad de los tratamientos con respecto a la media de correspondiente 5ariable de respuesta. ara probar la *iptesis dada por la relacin:
mediante la t+cnica de A-,A lo primero es descomponer la 5ariabilidad total de los datos en sus dos componentes: la 5ariabilidad debida a tratamientos 7 la que corresponde al error aleatorio (equi5alente al m+todo entre 7 m+todo dentro) como se
es la suma total de cuadrados (
) dada por:
(2.)
donde
es la suma de los
datos en el experimento.
La suma de cuadrados de tratamientos (
) +sta
dado por:
(2.@)
donde apreciamos que la mide la 5ariacin o di%erencias entre tratamientos 7a que si +stos son mu7 di%erentes entre s' entonces la di%erencia tenderá a ser #rande en 5alor absoluto 7 con ello tambi+n será #rande la La suma de cuadrados del error (
) +sta dado por:
(2.B)
donde la mide la 5ariacin dentro de tratamientos 7a que si *a7 muc*a 5ariacin entre las obser5aciones de cada tratamiento entonces tenderá a ser #rande en 5alor absoluto. 8n %orma abre5iada esta descomposicin de la suma total de cuadrados se puede describir como:
(2.1)
La suma de cuadrados di5ididos entre sus respecti5os #rados de libertad se llaman cuadrados medios . Los dos que más interesan son el cuadrado medio de tratamientos ( ) 7 el cuadrado medio del error ( que se denotan por:
(2.11)
(2.12)
Con base en este *ec*o se constru7e el estad'stico de prueba como si#ue: se sabe que
7
son independientes por lo que
7 son dos 5ariables son dos 5ariables aleatorias independientes con distribucin =i6cuadrada con 7 #rados de libertad respecti5amente. 8ntonces ba=o el supuesto de que la *iptesis es 5erdadera el estad'stico
(2.1!)
si#ue una distribucin con ( #rados de libertad en el numerador 7 ( ) #rados de libertad en el denominador. De la ecuacin (2.1!) se deduce que si es #rande se contradice la *iptesis de que no *a7 e%ecto de tratamientos en cambio si
es pequeño se con%irma la 5alidez de . As' para un ni5el de si#ni%icancia pre%i=ado se rec*aza si donde es el percentil ( ) x 1 de la distribucin . 3ambi+n se rec*aza si el 5alor6p donde el 5alor6p es el área ba=o la distribucin a la derec*a del estad'stico es decir el ) 3oda la in%ormacin necesaria para calcular el estad'stico *asta lle#ar al 5alor6 p se escribe en la llamada tabla de análisis de varianza (A-,A) que se muestra en la tabla 2.". 8n esta tabla las abre5iaturas si#ni%ican lo si#uiente: %uente de 5ariabilidad (e%ecto) suma de cuadrados #rados de libertad cuadrado medio estad'stico de prueba 5alor6p si#ni%icancia obser5ada 3abla 2." 3abla de A-,A para DCA 9C 3ratamient os
$L
C0
,alor6
)
8r
ro
Análisis del e=emplo 1 (comparacin de cuatro tipos de m+todos de ensamble). La interro#ante que se plante en el problema de la comparacin entre los cuatro tipos de m+todos de ensamble %ue: Jexisten di%erencias entre el tiempo promedio de los di%erentes m+todos de ensambleK La respuesta a esta pre#unta es el resultado de contrastar las *iptesis:
C%lc!los man!ales Detalles de los cálculos para el A-,A en DCA para el tiempo de ensamble Métodos de ensamble Operaciones básicas & Observaciones A B C D6 '(ma de los c(adrados de todas las !! observaciones o datos !" # $ !6 !% & *otal por s(ma de los datos total de *ratamiento + %$ ,- ! mediciones N(mero de datos /n cada tratamiento + - - Media m(estral por media .% #." *ratamiento + )lobal !%.
1.6 9uma total de cuadrados o 5ariabilidad total de los datos:
= 1?2 6 2.6 9uma de cuadrados de tratamientos o 5ariabilidad debida a la di%erencia entre m+todos de ensamble:
!.6 9uma de cuadrados del error o 5ariabilidad dentro de m+todos de ensamble:
".6 Cuadrados medios de tratamientos 7 del error (e%ecto ponderado de cada %uente de 5ariacin):
>.6 8stad'stico de prueba:
Con toda esta in%ormacin se procede a llenar la tabla A-,A. 8l 5alor de la si#ni%icancia obser5ada o 5alor6p es el área ba=o la cur5a de la distribucin a la derec*a de lo cual es di%'cil de calcular de %orma manual. 9in embar#o cuando esto no sea posible recordemos que otra %orma de rec*azar o no una *iptesis es comparar el estad'stico de prueba contra un n&mero cr'tico de tablas. 8n el caso de las tablas de la distribucin en donde se lee que el 5alor cr'tico para es . Como:
entonces se rec*aza con lo cual se conclu7e que s' *a7 di%erencias o e%ecto de los m+todos de ensamble en cuanto a su tiempo promedio 3abla A-,A Fuente de variacione s 3ratamient 8rror 3otal
S C
G L
C M
?B 2B BB
! 1 1
2! 2
B"
Val or críti !"B
Gesultados arro=ados en un paquete computacional (8xcel 7 0initab) para el e=emplo 1 de los tiempos de ensamble para los cuatro m+todos.
6
CA12*34O Diseño de e5perimentos de
ANOVA unidireccional: A; B; C; D Minitab Fuent Facto Error Total
G 3
1 1
S = 1,568
*+
1
4
5
4
C
4
/
4
SC 69,5 29,5 99,0
MC 23,17 2,46
!cua"# = 70,20$
Me"*a 7,250 8,500 12,75 10,50
/e'+#E't 0,957 1,291 2,363 1,291
P
0,00
!cua"#%a&u'ta"o( = 62,75$
)C' "e 95$ *n"*+*"uale' ara la -e"*a .a'a"o' en /e'+#E't# arua"a !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! %!!!!!!!!!!!!( %!!!!!!!!!!!!( %!!!!!!!!!!!!( %!!!!!!!!!!!!( !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 7,5 10,0 12,5 15,0
/e'+#E't# arua"a = 1,568
Diagrama de cajas simultáneos Los dia#ramas de ca=as es una *erramienta para describir el comportamiento e unos datos 7 es de suma utilidad para comparar procesos tratamientos 7 en #eneral para *acer análisis por estratos (lotes pro5eedores turnos). 8n el resultado arro=ado por 0initab se obser5a en la %i#ura (%i#ura 2.1) que el m+todo C parece di%erente al los m+todos A 7 en cuanto a sus medias la media del m+todo D tambi+n se 5e di%erente a la media del m+todo A. or otra parte se obser5a un poco más de 5ariabilidad en el m+todo C que en todos los demás. Lo que si#ue es 5eri%icar que lo que se obser5a en el dia#rama de ca=as implica di%erencias si#ni%icati5as entre los distintos tratamientos por
6
CA12*34O Diseño de e5perimentos de
dia#ramas de ca=as son muestras.
8n #eneral cuando los dia#ramas no se traslapan es probable que los tratamientos correspondientes sean di%erentes entre s' 7 la probabilidad es ma7or en la medida que los dia#ramas están basados en más datos. Cuando se traslapan un poco puede ser que *a7a o no di%erencias si#ni%icati5as 7 en cualquier caso es con5eniente utilizar una prueba estad'stica para determinar cuáles di%erencias son si#ni%icati5as. 8stas pruebas se 5erán en la si#uiente seccin.
Gráfca de caja de A; B; C; D
!7
!7"
!%7
!"7" s o t a D
7
7" A
B
C
D
/i#ura 2.1 Dia#rama de ca=as para los m+todos de ensamble
An%lisis del ejemplo 2 (comparacin de cuatro tipos de cuero). La interro#ante que se
plante en el problema de la comparacin entre los cuatro tipos de cuero %ue: Jexisten di%erencias entre el des#aste promedio de los di%erentes tipos de cueroK La respuesta a esta pre#unta es el resultado de contrastar las *iptesis:
8n el resultado arro=ado por 8xcel se muestra el análisis de 5arianza para este e=emplo. Como el 5alor6p es menor que la si#ni%icancia pre%i=ada se rec*aza 7 se acepta que al menos un par de tipos de cuero tiene un des#aste promedio di%erente Análisis de varianza de (n actor en /5cel 8/'3M/N
Grupos
uenta
A B
6 6
!uma !.-" !%6,
"romedio
%.67666666 %!"7.
Varianza 6#7666666 .%7
AN94:':' D/ Origen de las
!uma de
/ntre )r(pos Dentro de los
"!$7-.#,,,
*otal
%".67
$".7$.#,,,
Grados de
, % %
"romedio de los %,,$7#!$-!"%7#%.
#
"robabilidad
%%7..,..6
Valor cr$tico ,7"$#,$!
ANOVA unidireccional: A; B; C; D Minitab Fuent Facto Error Total
G 3
2 2
S = 10,14
*+el
6
5
6
C
6
/
6
SC 70 20 90
MC 2340 103
F
!cua"# = 77,34$
Me"*a 256, 210, 230, 221,17
P
0,0
!cua"#%a&u'ta"o( = 73,94$
)C' "e 95$ *n"*+*"uale' ara la -e"*a .a'a"o' en /e'+#E't# arua"a /e'+#E't# !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! %!!!!!!!!!( 8,29 7,26 %!!!!! 16,3 %!!!! 4,79
/e'+#E't# arua"a = 10,14
%!!!!!!!!!( !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 208 224 240 256
