Exercise Set 7.1

CQC^IJYC YC] 8&;

;&

!k* Yjfic

 ο  ∞ 9  ∞1

mc}! ο  J ∞ K* 4 mc} 

}ac iak~ki}c~jy}ji c{sk}jlf jy

  4 ! ο ∞ 9*! ο  / ;* ο  / ; 5

ο > ’ > ο  ’ 9 4 5&

!c* Yjfic

mc}! ο  J ∞ K*

}ac iak~ki}c~jy}ji c{sk}jlf jy

9&

 ο  4 mc}  5

 4 ο   5

>

ο 

ο > 4 5&

 J  ’ K*q 4 5 ncildcy !k* ]ac c{sk}jlf !ο 

  q;   5     4 5 ο  / ;   q>   

 ο  ∞ 9  ∞1  ]ac cjhcfpkbscy k~c

5

ο  4 9 kfm ο  4 ’;& Ysny}j}s}jfh ο  4 9 jf}l !ο  J  ’ K*q 4 5  zjcbmy  5  ∞1 

5   q; 

5 4     =   q>   5 

l~ ’1 q; / = q> 4 5

;:3

; :0

Cqc~ijyc Yc} 8&;

; ]asy  q; 4 ’ y kfm  q> 4  y xac~c  y jy k~nj}~k~z" yl }ak} k nkyjy `l~ }ac cjhcfyukic > ; >  ;  υ il~~cyulfmjfh }l ο  4 9 jy  & L` ils~yc"   kfm    k~c kbyl nkycy&  ;  >  >υ  Ysny}j}s}jfh

ο  4 ’; jf}l !ο  J  ’ K*q 4 5  zjcbmy  ∞=  ∞1 

  q;   5    4  5   q>   5  5

l~ ’= q; 4 5 ’1 q; 4 5

 y 4 ;" }acf k nkyjy `l~ }ac Acfic" q; 4 5 kfm q> 4 y xac~c y jy k~nj}~k~z& Jf uk~}jisbk~" j`  y

cjhcfyukic il~~cyulfmjfh }l

9&

5 ο  4 ’; jy   & ;

 J  ’ K*q 4 5 ncildcy !c* ]ac c{sk}jlf !ο 

 ο  5 

   q;   5     4 5 ο    q>    5

Ibck~bz" ο  4 5 jy }ac lfbz cjhcfpkbsc& Ysny}j}s}jfh ο  4 5 jf}l }ac knlpc c{sk}jlf zjcbmy  q; 4  y kfm  q> 4 } xac~c  y kfm } k~c k~nj}~k~z& Jf uk~}jisbk~" j`  y  y 4 } 4 ;" }acf xc ﬋fm }ak}

3&

; 5  

kfm

5 ;  

`l~d k nkyjy `l~ }ac cjhcfyukic kyylijk}cm xj}a

ο  4 5&

!i* @~ld }ac ylbs}jlf }l =!i*" xc akpc

ο 9 / 1ο > / ο  / 1 4 !ο  / 1*!ο > / ;* Yjfic

ο > / ; 4 5 aky fl ~ckb ylbs}jlfy" }acf ο  4 ’1 jy }ac lfbz !~ckb* cjhcfpkbsc&

Cqc~ijyc Yc} 8&;

8&

;:8

!k* Yjfic

 ο    ∞; mc}!ο  J ∞ K* 4 mc}   5  5

∞;

∞> ∞; ο  / >

5

5

5 ο 

  5   5  ο  ∞ ;  5

4 ο = / ο 9 ’ 9ο > ’ ο  / > 4 !ο  ’ ;*>!ο  / >*!ο  / ;* }ac iak~ki}c~jy}ji c{sk}jlf jy !ο  ’ ;*> !ο  / >*!ο  / ;* 4 5

:&

!k* ]ac cjhcfpkbscy k~c ncildcy

ο  4

 ;  ∞;   5   5

;"

ο  4

’>" kfm

;

∞> ∞;

∞;

9

5

5

5

ο  4

  5 5  5 5

’;& J` xc yc}

  q;   q  >   q9    q=

ο  4

 J  ’  K*q 4 5 ;" }acf !ο 

 5  5 4   5      5 

]ac kshdcf}cm dk}~jq ikf nc ~cmsicm }l

; 5  5  5

5

;

∞> ∞9

5

5

5

5

5

5

5

5

  5 5  5 5

]asy" q; 4 > y" q> 4 9 y" q9 4 y" kfm q= 4 } jy k ylbs}jlf `l~ kbb  y kfm }& Jf uk~}jisbk~" j` xc bc}  y 4 } 4 ;" xc ycc }ak}

> 9   ;   5

kfm

5 5   5   ;

`l~d k nkyjy `l~ }ac cjhcfyukic kyylijk}cm xj}a

ο  4 ;&

; :1

Cqc~ijyc Yc} 8&;

J` xc yc}

ο  4 ’>" }acf !ο  J  ’ K*q 4 5 ncildcy  ∞> 5 ∞> 5   ∞; ∞> ∞; 5     5 ∞; 5 5     5 5 5 ∞9 

  q;   5    q   5   >4    q9   5       q=   5 

]ac kshdcf}cm dk}~jq ikf nc ~cmsicm }l

; 5  5  5

5

;

5

;

5

5

5

5

;

5

5

5

  5 5  5 5

]ajy jdubjcy }ak}  q; 4 ’ y"  q> 4  q= 4 5" kfm  q9 4  y& ]ac~c`l~c }ac pci}l~

 ∞;   5    ;    5 `l~dy k nkyjy `l~ }ac cjhcfyukic kyylijk}cm xj}a @jfkbbz" j` xc yc}

ο  4 ’>&

ο  4 ’;" }acf !ο  J  ’ K*q 4 5 ncildcy  ∞; 5 ∞> 5   ∞; ∞; ∞; 5     5 ∞; ; 5     5 5 5 ∞> 

  q;   5   q   5   >4   q9   5       q=   5 

]ac kshdcf}cm dk}~jq ikf nc ~cmsicm }l

; 5  5  5

5

>

5

;

∞;

5

5

5

;

5

5

5

  5 5  5 5

Cqc~ijyc Yc} 8&;

;::

]asy" q; 4 ’> y"  q> 4  y"  q9 4  y" kfm q= 4 5 jy k ylbs}jlf& ]ac~c`l~c }ac pci}l~

 ∞>   ;    ;    5 `l~dy k nkyjy `l~ }ac cjhcfyukic kyylijk}cm xj}a

ο  4 ’;&

;;&

Nz ]acl~cd 8&;&;" }ac cjhcfpkbscy l`  K k~c ;" ;,>" 5" kfm >& ]asy nz ]acl~cd 8&;&9" }ac  K: k~c ;: 4 ;" !;,>*: 4 ;,3;>" 5 : 4 5" kfm >: 4 3;>& cjhcfpkbscy l`  K

;9&

]ac pci}l~y Kq kfm q xjbb bjc lf }ac ykdc bjfc }a~lsha }ac l~jhjf j` kfm lfbz j` }ac~c cqjy}y k ~ckb fsdnc~ ο  ysia }ak} Kq 4 ο q" }ak} jy" j` kfm lfbz j`  ο  jy k ~ckb cjhcfpkbsc `l~ K kfm q jy }ac kyylijk}cm cjhcfpci}l~& !k* Jf }ajy ikyc" }ac cjhcfpkbscy k~c

; ;  

ο  4 9 kfm ο  4 >" xajbc kyylijk}cm cjhcfpci}l~y k~c ; >  

kfm kf m

~cyuci}jpcbz& Acfic }ac bjfcy z 4  q kfm z 4 > q k~c }ac lfbz bjfcy xajia k~c jfpk~jkf} sfmc~ K& !n* Jf }ajy ikyc" }ac iak~ki}c~jy}ji c{sk}jlf `l~  K jy ο > / ; 4 5& Yjfic  K aky fl ~ckb cjhcfpkbscy" }ac~c k~c fl bjfcy xajia k~c jfpk~jkf} sfmc~  K&

;3&

 K& ]acf }ac iak~ki}c~jy}ji ulbzfldjkb l`  K  K jy mc}!ο   J  ’ K* l~ Bc} kjg mcfl}c }ac jg}a cf}~z l`  K

 ο  ∞ k;;   ∞ k>; mc}     ∞k  f; 

k;>



ο  ∞ k>>





∞ kf >



∞ k; f   ∞ k> f     ο  ∞ k ff 

]ajy mc}c~djfkf} jy k ysd ckia l` xalyc }c~dy jy }ac u~lmsi} l`  f cf}~jcy `~ld }ac hjpcf dk}~jq& Ckia l` }acyc cf}~jcy jy cj}ac~ k ilfy}kf} l~ jy l` }ac `l~d ο  ’ kjg& ]ac lfbz }c~d xj}a k ο  jf ckia `ki}l~ l` }ac u~lmsi} jy !ο  ’ k;;*!ο  ’ k>>* † !ο  ’ k ff* ]ac~c`l~c" }ajy }c~d dsy} u~lmsic }ac ajhacy} ulxc~ l`  ο  jf }ac iak~ki}c~jy}ji ulbzfldjkb& ]ajy ulxc~ jy ibck~bz  f kfm }ac ilc`﬋ijcf} l`  ο  f jy ;&

> 55

;8&

Cqc~ijyc Yc} 8&;

 K jy ]ac iak~ki}c~jy}ji c{sk}jlf l`  K

ο > ’ !k / m*ο  / km ’ ni 4 5 ]ajy jy k {skm~k}ji c{sk}jlf xalyc mjyi~jdjfkf} jy !k / m*> ’ =km / =ni 4 k> ’ >km / m> / =ni 4 !k ’ m*> / = ni

]ac ~ll}y k~c

ο 

; 4  !k / m* » >

>

! k ∞ n*

/ =ni  

J` }ac mjyi~jdjfkf} jy ulyj}jpc" }acf }ac c{sk}jlf aky }xl mjy}jfi} ~ckb ~ll}y? j` j} jy wc~l" }acf }ac c{sk}jlf aky lfc ~ckb ~ll} !~cuck}cm*? j` j} jy fchk}jpc" }acf }ac c{sk}jlf aky fl ~ckb ~ll}y& Yjfic }ac cjhcfpkbscy k~c kyysdcm }l nc ~ckb fsdnc~y" }ac ~cysb} `lbblxy&

;:&

 Ky jf Cqc~ijyc ;8" xc akpc

ο 

4 4 4 4

k

/

m

»

>

!k ∞ m *

/

=ni

> k

/

m

»

!i ∞ n*>

/

=ni

> k

/

m

»

!i

nciksyc k ∞ m 4 i ∞ n

/ n*>

> k/m/i/m

> 4 k / n l~ k ∞ i

l~

k∞n∞i/m

>

  Kb}c~fk}c Kb}c~fk}c Ylbs Ylbs}jlf7 }jlf7 ^cikbb }ak} j` ~; kfm ~> k~c ~ll}y l` }ac {skm~k}ji c{sk}jlf  q /  Nq / I 4 5" }acf  N 4 ’ !~; / ~>* kfm I 4 ~;~>& ]ac ilfpc~yc l` }ajy ~cysb} jy kbyl }~sc& ]asy }ac ~cysb} xjbb `lbblx j` xc ikf yalx }ak} }ac yzy}cd l` c{sk}jlfy >

ο ; / ο > 4 k / m ο ;ο > 4 km ’ ni jy yk}jy﬋cm nz j} }l zls&

ο ; 4 k / n kfm ο > 4 k’ i& ]ajy jy k y}~kjha}`l~xk~m ildus}k}jlf kfm xc bckpc

Cqc~ijyc Yc} 8&;

>;&

>5;

Ysuulyc }ak}  Kq 4 ο q& ]acf ! K ’ yJ *q 4 Kq ’ yJ q 4 ο q ’ yq 4 !ο  ’ y*q

]ak} jy"

>9&

ο  ’ y jy kf cjhcfpkbsc l`  K  K ’ yJ  kfm q jy k il~~cyulfmjfh cjhcfpci}l~&

!k* @l~ kfz y{sk~c dk}~jq N" xc oflx }ak} mc}! N* 4 mc}! N] *& ]asy  J ’ K* 4 mc}!ο   J ’ K*]  mc}!ο   J ]  ’ K] * 4 mc}!ο   J ’ K] * 4 mc}!ο 

`~ld xajia j} `lbblxy }ak} K kfm K]  akpc }ac ykdc cjhcfpkbscy nciksyc }acz akpc }ac ykdc iak~ki}c~jy}ji c{sk}jlf& !n* Ilfyjmc~" Ilfyjmc~" `l~ jfy}kfic" }ac dk}~jq

 >  ∞; 

;



5

xajia aky

  pkbsc& J}y cjhcfyukic jy yukffcm nz }ac pci}l~

}~kfyulyc jy yukffcm nz }ac pci}l~

>3&

!k* Yjfic u!ο * aky mch~cc 0"  K jy 0 !n* Zcy" K jy jfpc~}jnbc nciksyc

 ∞;   ;  

ο  4 ; ky k !~cuck}cm* cjhcf$ " xajbc }ac cjhcfyukic l` j}y

;    ; 

Ø 0&

ο  4 5 jy fl} kf cjhcfpkbsc&

!i* K xjbb akpc 9 cjhcfyukicy il~~cyulfmjfh }l }ac 9 cjhcfpkbscy&

CQC^IJYC YC] 8&>

;&

]ac cjhcfyukic il~~cyulfmjfh }l ο  4 5 ikf akpc mjdcfyjlf ; l~ >& ]ac cjhcfyukic il~~cyulfmjfh }l ο  4 ; dsy} akpc mjdcfyjlf ;& ]ac cjhcfyukic il~~cyulfmjfh }l ο  4 > ikf akpc mjdcfyjlf ;" >" l~ 9&

3&

Ikbb }ac dk}~jq K& Yjfic  K jy }~jkfhsbk~" }ac cjhcfpkbscy k~c ο  4 9 kfm ο  4 >& ]ac dk}~jicy 9 J  ’  K kfm > J  ’  K nl}a akpc ~kfo > kfm acfic fsbbj}z ;& ]asy  K aky lfbz > bjfck~bz jfmcucfmcf} cjhcfpci}l~y" yl j} jy fl} mjkhlfkbjwknbc&

;9&

]ac iak~ki}c~jy}ji c{sk}jlf jy ο 9 ’ 0 ο > / ;; ο  ’ 0 4 5" }ac cjhcfpkbscy k~c ο  4 9" kfm }ac cjhcfyukicy k~c yukffcm nz }ac pci}l~y

; ;    ; 

> 9  ;     ; 

; =    9 =  ; 

]asy" lfc ulyyjnjbj}z jy

 U

; 4 ; ;

>

;

9

9



= 

9

kfm

;  U∞; KU 4  5  5

>59

5

5

>

5

5



9 

ο  4 ;" ο  4 >" kfm

> 5=

;3&

Cqc~ijyc Yc} 8&>

]ac iak~ki}c~jy}ji c{sk}jlf jy

ο >!ο  ’ ;* 4 5? }asy ο  4 5 kfm ο  4 ; k~c }ac lfbz cjhcfpkbscy&

]ac cjhcfyukic kyylijk}cm xj}a

cjhcfyukic kyylijk}cm xj}a

ο  4 5 jy yukffcm nz }ac pci}l~y

ο  4 ; jy yukffcm nz

 U

 ; 4  5  ∞9

5   5 ;  

5

5

;

5

 ;  5    ∞9 

kfm

5 ;    5 

? }ac

& ]asy" lfc ulyyjnjbj}z jy



; 

5

kfm acfic

U∞;

>;&

5  KU 4  5  5

5

5

5

5

5

;

 

 K jy !ο  ’ ;*!ο  ’ 9*!ο  ’ =* 4 5 yl }ak} }ac cjhcfpkbscy k~c ]ac iak~ki}c~jy}ji c{sk}jlf l`  K ο  4 ;" 9" kfm =& Il~~cyulfmjfh cjhcfpci}l~y k~c _; > ;T ] " _; 5 ’;T] " kfm _; ’; ;T] " ~cyuci}jpcbz" yl xc bc}

 U

; 4  >  ;

;

;

∞;  ; 

5

∞;

Acfic

;  U ∞

;,0 4  ; , >  ; , 9

 ∞; , >  ; , 9 

;,9

;,0

5

∞; , 9

   

kfm }ac~c`l~c

 K f

; 4  >  ;

; 5

∞;

;

∞;  ; 

 ; f  5   5

5  f

5

9

5

5

=

 f

    

;,0  ; , >   ; , 9

;,9 5

∞; , 9

 ∞; , >  ; , 9  ;,0

   

Cqc~ijyc Yc} 8&>

>3&

>53

!k* @kbyc& @l~ jfy}kfic }ac dk}~jq

 5   ∞;

;



> 

" xajia aky bjfck~bz jfmcucfmcf} jfmcucfmcf} ilbsdf

  pci}l~y" aky iak~ki}c~jy}ji ulbzfldjkb !ο  ’ ;*>& ]asy ]ac il il~~cyulfmjf jfh h cjh cjhc cfpci}l i}l~y kb kbb a akp kpc c }a }ac `l `l~d }

ο  4 ; jy }ac lfbz cjhcfpkbsc& ; ]asy }a }ajy > Ø > dk}~jq aky   & ]a ;  

lfbz ; bjfck~bz jfmcucfmcf} cjhcfpci}l~" kfm acfic jy fl} mjkhlfkbjwknbc& !n* @kby @kbyc& c& Kf Kfz z dk}~ dk}~jq jq [ xajia jy ln}kjfcm `~ld U nz dsb}jubzjfh ckia cf}~z nz k flfwc~l fsdnc~ o xjbb kbyl xl~o& Xaz< !i* ]~sc nz ]acl~cd 8&>&>& !m* ]~sc& ~sc& Ysu Ysuuly ulyc c }ak} }ak}  K jy jfpc~}jnbc kfm mjkhlfkbjwknbc& ]acf }ac~c jy kf jfpc~}jnbc dk}~jq U ysia }ak} U’; KU 4 M xac~c M jy mjkhlfkb& Yjfic M jy }ac u~lmsi} l` jfpc~}jnbc dk}~jicy" j} jy jfpc~}jnbc" xajia dckfy }ak} ckia l` j}y mjkhlfkb cbcdcf}y mj jy flfwc~l kfm M’; jy }ac mjkhlfkb dk}~jq xj}a mjkhlfkb cbcdcf}y ;, mj& ]asy xc akpc ! U’; KU*’; 4 M’; l~  U’; K’; U 4 M’;

]ak} jy" }ac ykdc dk}~jq  U xjbb mjkhlfkbjwc nl}a  K kfm K’;&

>8&

!k* Yjfic  K jy mjkhlfkbjwknbc" }ac~c cqjy}y kf jfpc~}jnbc dk}~jq  U ysia }ak}  U’;  KU 4  M xac~c  M jy k mjkhlfkb dk}~jq ilf}kjfjfh }ac cjhcfpkbscy l`  K kblfh j}y mjkhlfkb& Dl~clpc~" j} ckyjbz `lbblxy }ak}  U’;  Ko U 4  Mo `l~ o k ulyj}jpc jf}chc~& Jf kmmj}jlf" ]acl~cd 8&;&9 hsk~kf}ccy }ak} j`  ο  jy kf cjhcfpkbsc `l~ K" }acf ο o jy kf cjhcfpkbsc `l~  Ko& Jf l}ac~ xl~my"  Mo mjyubkzy }ac cjhcfpkbscy l`  K  Ko kblfh j}y mjkhlfkb& ]ac~c`l~c" }ac yc{scfic  U’; KU 4 M  U’; K> U 4 M> & & &  U ’; Ko U 4 Mo & & &

xjbb ilfpc~hc j` kfm lfbz j` }ac yc{scfic  K"  K>" & & &" & "  Ko" & & & ilfp ilfpc~h c~hcy& cy& Dl~clp Dl~clpc~ c~"" }ajy }ajy o > xjbb liis~ j` kfm lfbz j` }ac yc{scficy ο j" ο j " & & &" & " ο j " & & & ilfp ilfpc~ c~hc hcyy `l~ `l~ ckia ckia l` l` }ac }ac  f  K& cjhcfpkbscy ο j l`  K

> 50

Cqc~ijyc Yc} 8&>

!n* Jf hcfc~kb" k hjpcf yc{scfic l` ~ckb fsdnc~y k" k>" k9" & & & xjb xjbbb ilfpc ilfpc~h ~hc c }l 5 j` kfm kfm lfbz lfbz j` ’; 2 k 2 ; kfm }l ; j`  k 4 ;& ]ac yc{scfic mjpc~hcy `l~ kbb l}ac~ pkbscy l`  k& ^cikbb }ak} U’; Ko  U 4 Mo xac~c Mo jy k mjkhlfkb dk}~jq ilf}kjfjfh }ac cjhcfpkbscy

ο ;o" ο >o" & & &&"" ο  fo

lf j}y mjkhlfkb& J`  rο jr 2 ; `l~ kbb j 4 ;" >" & & &"  f" }acf bjd  M o 4 5 o↞∖

kfm acfic bjd  Ko 4 5& o↞∖

 K `l~ lfc l~ dl~c pkbscy l`  j kfm j` kbb l` }ac l}ac~ J`  ο j 4 ; jy kf cjhcfpkbsc l`  K

cjhcfpkbscy yk}jy`z }ac jfc{skbj}z rο  gr 2 ;" }acf bjd  Ko cqjy}y kfm c{skby UM B U’; xac~c o↞∖

 M B jy k mjkhlfkb dk}~jq xj}a lfbz ;‚y kfm 5‚y lf }ac mjkhlfkb&

ο  xajia

J`  K ulyycyycy lfc l~ dl~c cjhcfpkbscy ’; 2

>:&

ο ≭ ;" }acf

ml fl} yk}jy`z }ac jfc{skbj}z

bjd  Ko mlcy fl} cqjy}&

o↞∖

]ac Gl~mkf nblio dk}~jq jy

 G  f

; 5  4   5 5

;

5



5

5

;

;



5









5

5



;

;

5



5

;



 &



5

; 

Yjfic }ajy jy kf suuc~ }~jkfhsbk~ dk}~jq" xc ikf ycc }ak} }ac lfbz cjhcfpkbsc jy kbhcn~kji dsb}jubjij}z f& Ylbpjfh `l~ }ac cjhcfpci}l~y bckmy }l }ac yzy}cd

! ο  J ∞ G  f * q

5 5  4   5 5

;

5



5

5

5

;



5









5

5



5

;

5



5

5



  q&



5

; 

ο  4 ;" xj}a

CQC^IJYC YC] 8&9

;&

;9&

!k* ]ac iak~ki}c~jy}ji c{sk}jlf jy ο !ο  ’ 3* 4 5& ]asy ckia cjhcfpkbsc jy ~cuck}cm lfic kfm acfic ckia cjhcfyukic jy ;$mjdcfyjlfkb& !i* ]ac iak~ki}c~jy}ji c{sk}jlf jy ο >!ο  ’ 9* 4 5& ]asy }ac cjhcfyukic il~~cyulfmjfh }l 4 5 jy >$mjdcfyjlfkb kfm }ak} il~~cyulfmjfh }l ο  4 9 jy ;$mjdcfyjlfkb&

ο 

!c* ]ac iak~ki}c~jy}ji c{sk}jlf jy ο 9!ο  ’ 1* 4 5& ]asy }ac cjhcfyukic il~~cyulfmjfh }l 4 5 jy 9$mjdcfyjlfkb kfm }ak} il~~cyulfmjfh }l ο  4 1 jy ;$mjdcfyjlfkb&

ο 

Nz }ac ~cysb} l` Cqc~ijyc ;8" Yci}jlf 8&;" }ac cjhcfpkbscy l` }ac yzddc}~ji >

k n 

n

 k

" k~c ο  4

;

>  ! k / m * » ! k ∞ m * / =n>   > 

Ø

> dk}~jq

Yjfic !k ’ m*> / =n> ikffl} nc fchk}jpc"

}ac cjhcfpkbscy k~c ~ckb&

;3&

Zcy& Fl}jic }ak} }ac }ac hjpcf pci}l~y k~c ukj~xjyc l~}alhlfkb" l~}alhlfkb" yl xc ilfyjmc~ }ac c{sk}jlf  U’; KU 4 M

l~  K 4 UMU’;

 U ilfyjy} l` }ac hjpcf pci}l~y ckia mjpjmcm nz j}y fl~d kfm xac~c M xac~c }ac ilbsdfy l`  U  K kblfh j}y mjkhlfkb& ]ak} jy" jy }ac mjkhlfkb dk}~jq xj}a }ac cjhcfpkbscy l`  K

 U

 5  4; >  ∞; > 

;

5

5

;

5

;

  >  >

>58

kfm

 ∞;  M 4  5  5

5

5

9

5

5

8

 

> 51

Cqc~ijyc Yc} 8&9

@~ld }ajy" j} `lbblxy }ak}

9  K4 UMU’; 4  5 5 

5

5

9

=

=

  9

 Kb}c~fk}jpcbz" xc ilsbm gsy} ysny}j}s}c }ac kuu~lu~jk}c pkbscy `l~ ο  kfm q jf }ac c{sk}jlf  Kq 4 ο q kfm ylbpc `l~ }ac dk}~jq  K&

YSUUBCDCF]K^Z CQC^IJYCY 8

;&

!k* ]ac iak~ki}c~jy}ji c{sk}jlf l`  K jy ο > ’ > ily α  / ; 4 5& ]ac mjyi~jdjfkf} l` }ajy c{sk}jlf jy = !ily> α  ’ ;*" xajia jy fchk}jpc sfbcyy ily> α  4 ;& ]asy K ikf akpc fl ~ckb cjhcfpkbscy l~ cjhcfpci}l~y jf ikyc 5 2 α  2 υ&

9&

!k* J` 

 k; 5  M 4      5

5



5

k>



5



 

5

k f

     

}acf M 4 Y>" xac~c

    Y 4    

5



5

5

k>



5





5

5

k;

L` ils~yc" }ajy dkocy ycfyc lfbz j`  k;

 

k f

      

≣ 5 " & & & " k f ≣ 5&

 K jy mjkhlfkbjwknbc" }acf }ac~c k~c dk}~jicy U kfm  M ysia }ak}  M jy mjkhlfkb kfm  M !n* J`  K  K aky flffchk}jpc cjhcfpkbscy" }acf }ac mjkhlfkb cf}~jcy l`  M 4  U’;  KU& Dl~clpc~" j`  K k~c flffchk}jpc yjfic }acz k~c kbb cjhcfpkbscy& ]asy }ac~c jy k dk}~jq ] " nz pj~}sc l`  Uk~} !k*" ysia }ak}  M 4 ] >& ]ac~c`l~c"  K 4 UMU’; 4 U] > U’; 4 U]U’; U]U ’; 4 ! U]U ’;*>

]ak} jy" j` xc bc}  Y 4  U]U’;" }acf  K 4  Y>&

>5:

> ;5

9&

Ysuubcdcf}k~z Cqc~ijycy 8

 K k~c !i* ]ac cjhcfpkbscy l`  K  pci}l~y

ο  4 :" ο  4 ;" kfm ο  4 =& ]ac cjhcfyukicy k~c yukffcm nz }ac

;  >    > 

;  5    5 

;  ;    5 

]asy" xc akpc

 U

; 4  >  >

;

;

 ; 5 

5 5

kfm

U ∞;

5 4  ; 5

5

; >

∞;

; >

;



∞;

xajbc

:   M 4  5  5

kfm

5

  5 = 

Y4

U]U∞;

; 4  5  5

5 ;

5

9  ]  4  5  5

5

5

;

5

5



> 

]ac~c`l~c

3&

;

5

>

;

5

  9 

 J ’ K* jy k ysd l` yjhfcm cbcdcf}k~z u~lmsi}y" xc kyo xajia }c~dy jfplbpc Yjfic mc}!ο  Lnpjlsybz }ac yjhfcm cbcdcf}k~z u~lmsi}

 f’; ο  f’; &

{4 !ο  ’ k;;*!ο  ’ k >> * †& ! ο  ο  ’ kff *

4

 f’; ο  f ’ !k;; / k>> / †& / k ff*ο  f’;

/ }c~dy jfplbpjfh

ο ~ xac~c ~ 2 f ’ ;

 f’;  K*ο  f’; aky k }c~d ’ !}~kic l`  K & Kfz cbcdcf}k~z u~lmsi} ilf}kjfjfh `cxc~ }akf  f ’ ; `ki}l~y  f’; l` }ac `l~d ο  ’ kjj ikffl} akpc k }c~d xajia ilf}kjfy ο  f’; & Ns} }ac~c jy fl cbcdcf}k~z  f’; u~lmsi} xajia ilf}kjfy cqki}bz  f ’ ; l` }acyc `ki}l~y !Xaz<*& ]asy }ac ilc`﬋ijcf} l`  ο  f’;  K& jy }ac fchk}jpc l` }ac }~kic l`  K

Ysuubcdcf}k~z Cqc~ijycy 8

8&

> ;;

!n* ]ac iak~ki}c~jy}ji c{sk}jlf jy  u!ο * 4 ’; / 9ο  ’ 9ο > /

ο 9 4 5

Dl~clpc~"

 K>

5 5 4  ; ∞9  9 ∞1

;



9

0 

kfm

 K

9

 ; ∞9 4  9 ∞1 0 ∞;3

9



0

;5 

J} }acf `lbblxy }ak}  u! K* 4 ’ J / 9 K ’ 9 K> / K9 4 5

4  U

   k  5  5    5   

5



k5







5



  5 /   k5  5

 k;ο ;   5     5 

5



k;ο >







5



 k ο  f   f ;  5 //      5

4  U

4  U

 k / k ο  /  / k ο  f  f ;  5 ; ;  5      5  u!ο ; *   5     5 

5



 u!ο > *







5



  5  /   k ο  f  ;  5



5  f

k f ο >







5





5  f

k5 / k;ο> /  / k f ο >







5



  5  ∞;   U   u! ο  f * 5

 k ο >  > ;  5      5

5



k> ο >>







5



  5      k> ο  f>  5

      5    ∞;    U         f    k f ο f    5

   ’; 5   U     f  k5 / k;ο  f /  / k f ο f  5

> ;>

Ysuubcdcf}k~z Cqc~ijycy 8

Alxcpc~" ckia ο j jy k ~ll} l` }ac iak~ki}c~jy}ji ulbzfldjkb" yl  u!ο j* 4 5 `l~ j 4 ;" & & &" f& ]acf"

u!

5 5 K* 4 U    5

5



5

5







5

5







U∞;



5

4 5& ]asy" k mjkhlfkbjwknbc dk}~jq yk}jy﬋cy j}y iak~ki}c~jy}ji ulbzfldjkb&

:&

;;&

 f’;  K& Yjfic i5 4 5 kfm i; 4 ’3" xc akpc  K> 4 3 K" kfm" jf hcfc~kb"  K f 4 3 f’;

 K& ]asy  Ko 4 Ikbb }ac dk}~jq  K kfm yalx }ak}  K> 4 !i; / i> / & & & / i f* K 4 _}~! K*T K  K" }acf ο o jy kf cjhcfpkbsc l`  K  Ko" _}~! K*To’; K `l~ o 4 >" 9" 9" & & & & Flx j` ο  jy kf cjhcfpkbsc l`  K yl }ak} jf ikyc }~! K* ≥ 5" xc akpc }ak} ο o_}~! K*To’; 4 _ο   ,}~! K*To’; ο  jy kf cjhcfpkbsc l`  K `l~ o 4 >" >" 9 9"" & & & & Xaz Xaz< < Xc Xc ofl oflx x }ak }ak}} K aky k} dly}  f cjhcfpkbscy" yl }ak} }ajy cqu~cyyjlf ikf }koc lf lfbz `jfj}cbz dkfz pkbscy& ]ajy dckfy }ak} cj}ac~ ο  4 5 l~ ο  4 }~! K*& Xaz< Jf ikyc }~! K* 4 5" }acf kbb l` }ac cjhcfpkbscy l`  K k~c 5& Xaz< ]asy }ac lfbz ulyyjnbc cjhcfpkbscy l`  K k~c wc~l kfm }~! K*& J} jy ckyz }l iacio }ak} ckia l` }acyc jy" jf `ki}" kf  K& cjhcfpkbsc l`  K

ο  ’  K* nz n~s}c `l~ic& J` xc kmm Ilbsdf ; }l  Kb}c~fk}jpcbz" xc ilsbm cpkbsk}c mc}! J ο  Ilbsdf >" }ac fcx Ilbsdf > }l Ilbsdf 9" }ac fcx Ilbsdf 9 }l Ilbsdf =" kfm yl lf" xc ln}kjf }ac c{sk}jlf  ο ∞ i;  ∞i  ; mc}! J ο  ∞ K* 4 mc}  ∞ i;     ∞ i;

ο ∞ i;

∞ i> ο ∞ i; ∞ i> ∞ i; ∞ i>

ο ∞ i;

∞ i> ∞ i9 ο ∞ i; ∞ i> ∞ i9 ο ∞ i; ∞ i> ∞ i9





∞ i; ∞ i>

∞ i; ∞ i> ∞ i9

  



ο ∞ i;

∞  i> ∞  ∞ i f   ο  ∞ i; ∞ i > ∞  ∞ i f  ο  ∞ i; ∞ i> ∞  ∞ i f     ο  ∞ i; ∞ i> ∞  ∞ i f 

Ysuubcdcf}k~z Cqc~ijycy 8

> ;9

J` xc ysn}~ki} ^lx ; `~ld ckia l` }ac l}ac~ ~lxy kfm }acf cqukfm nz il`ki}l~y kblfh }ac  f}a ilbsdf" xc akpc

 ο ∞ i;  ∞ ο   mc}! J ∞ K* 4 mc}  ∞ ο     ∞ ο

ο ∞ i;

∞ i>

ο ∞ i; ∞ i>

∞ i9



5

5



∞ ο 

5







∞ο

∞ ο 

5  ∞ ο  5  ∞ ο ∞ ο  5   f /; 4 ! ∞;* ! ο  ∞ }~! K** mc}  ∞ ο ∞ ο ∞ο        ∞ ο ∞ ο ∞ο  f/;  f’; 4 !’;* f/; !ο  ’ }~! K**!’ ο * f’;

   



ο

∞ }~! K  *  5   5     5

  5  5     ∞ ο  5

 

nciksyc }ac knlpc dk}~jq jy }~jkfhsbk~

 f’; 4 !’;*> f!ο  ’ }~! K**ο  f’;

4

]asy

;8&

 f’; ο  f’; !ο  ’ }~! K**

ο  4 }~! K* kfm ο  4 5 k~c }ac cjhcfpkbscy" xj}a ο  4 5 ~cuck}cm  f ’ ; }jdcy&

Yjfic cpc~z lmm ulxc~ l`  K jy khkjf  K" xc akpc }ak} cpc~z lmm ulxc~ l` kf cjhcfpkbsc l`   K jy khkjf kf cjhcfpkbsc l`  K  K& ]asy }ac lfbz ulyyjnbc cjhcfpkbscy l`  K  K k~c ο  4 5" »;&