Exercise Set 2.1

IRIVCOSI SIP 6-:

:-

"j/ A:: 1 8 … 0–"–:/ … : 1 6?, A:6 1 6:, A:3 1 68, A6: 1 –::, A66 1 :3, A63 1 –9, A3: 1 –:?, A36 1 –:?, A33 1 :? "f/ C:: 1 6?, C:6 1 –6:, C:3 1 68, C6: 1 ::, C66 1 :3, C63 1 9, C3: 1 –:?, C36 1 :?, C33 1 :?

3-

"j /

J

1:⋉

8

∖:

:

0

'6⋉

5

∖:

∖3

0

' 3⋉

5

8

∖3

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1

6?

|J| 1 : … A :: – 5 … A 6: – 3 … A 63 1 :96 "f/ J |J 1 5 … A 6: ' 8 … A 66 ' : … A 63 1 :96 "c/ J |J| 1 6 … A :6 ' 8 … A 66 ' : … A 36 1 :96 "`/ J |J| 1 –3 … A 3: – : … A 36 ' 0 … A 33 1 :96 "i/ J |J| 1 3 … A :3 ' : … A 63 ' 0 … A 33 1 :96 "e/ J

9-

Sicdm` cdlyam;

J

19⋉

∖3 ∖:

8 9

5:

1 9 ⋉ ∖2 1 ∖0>

'

06

'

2:

1 :96

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56

8-

Irivcosi Sip 6-:

Eovsp cdlyam;

J

J

?-

1:⋉

1 ∖"g ∖ :/ ⋉

g

g6

g

g

6

0

9

g

6

∖:⋉

g

g6

g

g

' "g ∖ 3/ ⋉

':⋉

6

g':

9

8

g

g

g6

g

g

6

∖ " g ' :/ ⋉

1>

g':

8

6

0

Pbov` cdlyam;

3

3

6

6

0

:

j`k"J/ j`k"J/ 1

 ∖3 9 9   3 ∖0 ∖9  7 J 1 ∖:7   ∖6 6 3   

J ∖:

 3 ∖9 ∖9  1  ∖3 0 9    6 ∖6 ∖3   

j`k"J/ `k"J/ 1

 6  >   >

 : $ 6 1  >  > 

J

1 ∖3 ⋉

3

3

6

6

6

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9

∖6 ∖ 3 ⋉ 6

9

∖6 1 ∖60> >

::-

:3-

:9-

5

0

0

5

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6

  7   

J

1

∖ 07 J :

"j/

J∖:

 ∖0 3 > ∖:   6 ∖: > >   1  ∖8 > ∖: 2   5 > : ∖8   

3 $ 6

:

:

3 $ 6

>

: $ 6

    











Irivcosi Sip 6-:

53

:8-

 0 J 1  ::  : 

9

>

:

6

9

6

  6   , f 1  3  7     :    

J

1 ∖:36

J |J:| 1 –35, J |J6| 1 –60, J |J3| 1 –:6 r: 1 –35$–:36 1 3$::, r6 1 –60$–:36 1 6$::, r3 1 :6$–:36 1 –:$::

:?-

 J 1   

6

∖3 ∖:

0

>

:

  0 >  , f 1  ∖6   ∖3    > :

  7   

1 ∖::

J

J |J:| 1 3>, J |J6| 1 32, J |J3| 1 –0> r: 1 3>$–:: 1 –3>$::, r6 1 32$–:: 1 –32$::, r3 1 0>$–:: 1 –0>$::

6:-

 3 ∖: :   0 J 1  ∖: 8 6  , f 1  :    9  6 5 ∖:   

  7   

J

1>

Pbi aipbd` os mdp j~~locjfli pd pbos ~vdflia ficjysi pbi ìpivaomjmp de pbi cdie﬊coimp ajpvor os {ivd63-

 0  3 J 1   8  : 

:

:

8 3

∖: ∖9

:

:

: 

 5    :  :  , f 1   7 2   ∖3    3  6   

J

1 ∖060











50

Irivcosi Sip 6-:

 0 5 :  3 : ∖: J6 1   8 ∖3 ∖9  : 3 : 

   7   

: : 2 6

J6

1>

y 1 >$–060 1 >

69-

Pbos edlldxs evda Pbidvia 6-:-6 jm` pbi ejcp pbjp pbi cdejcpdvs de J jvi ompihivs oe J bjs dml ompihiv impvois-

68-

Lip J fi jm y~~iv "mdp ldxiv/ pvojmhyljv ajpvor- Cdmsoìv JR 1 O 7 pbi sdlypodm R de pbos J- Pd sdlui edv cdlyam : de R , xi cdyl` ysi Cvjaiv‟s Vyli- Mdpi izyjpodm os pbi omuivsi de J pbjp oe xi `d sd pbim J6, - - -, J m jvi ijcb y~~iv pvojmhyljv ajpvocis xopb j {ivd dm pbi ajom òjhdmjl7 bimci pbiov ìpivaomjmps jvi jll {ivd, jm` sd r6,:, - - -, - , r m,: jvi jll {ivd- Om j soaoljv m,: R xi ﬊m` pbjp r3,6, - - -, xj, xbim sdluomh edv cdlyam 6 de R - , r m,6 jvi jll {ivd, jm` sd dm- Bimci, m,6 R os y~~iv pvojmhyljv7 pbi omuivsi de jm omuivpofli y~~iv pvojmhyljv ajpvor os opsile y~~iv pvojmhyljv- Mdx j~~l Pbidvia :-0-:> pd dfpjom pbi cdvvis~dmòmh visylp edv ldxiv pvojmhyljv ajpvocis-

6?-

Ir~jmòmh pbi ìpivaomjmp houis r"f: – f6/ – y"j: – j6/ ' j:f6 – j6f: 1 >

r"f: y

1

∖

f6 /

f:

∖ f6 r ' ∖ j6

j:

∖

y" j:

∖

j6 /

j:f6 j:

'

j:f:

∖ j6f: 1 >

∖ j6f: ∖ j6

xbocb os pbi sld~i!ompivci~p edva de pbi lomi pbvdyhb pbisi pxd ~domps, jssyaomh pbjp j: 3:-

"j/

≮ j6-

J |J| 1 J::| … J |J66| 1 "6 … 3 – 0 … –:/ … ": … 6 – 3 … –:> ' … –62/ 1 –:>2>

|J| 1 –:>2>"f-/ Ir~jm` jldmh pbi ﬊vsp cdlyam7 J

33-

Evda O xi sii pbjp sycb j ajpvor cjm bjui jp lijsp :6 {ivd impvois "o-i-, 0 mdm{ivd impvois/ 0 Oe j 0 Ø 0 ajpvor bjs dml 3 mdm{ivd impvois, sdai vdx bjs dml {ivd impvois- Ir~jmòmh jldmh pbjp vdx sbdxs pbjp ops ìpivaomjmp os micissjvol {ivd-

39-

"j/ Pvyi "sii pbi ~vdde de Pbidvia 6-:-6/"f/ Ejlsi "vizyovis jm omuivpofli, jm` bimci om ~jvpocyljv szyjvi, cdie﬊coimp ajpvor/-











IRIVCOSI

:-

SIP

"f/ Xi bjui

ìp" J/

1

6

∖:

3

:

6

0

9

∖3

5

1 " ∖:/" ∖9/

1 " ∖:/" ∖9/

1

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6

0

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∖:3

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6

0

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:

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>

∖:

P

ìp" J /

6

:

1 ∖:

6

3

0

5

∖:

6

>

9

>

>

1 " ∖:/

9

J`` –6 poais Vdx 6 pd Vdx : jm` –9 poais Vdx 6 pd Vdx 3-

Ejcpdv –9 evda Vdx : jm` ompivcbjmhi Vdx : jm` Vdx 6-

J`` :3 poais Vdx 6 pd Vdx 3-

1 " ∖:/" ∖9/" ∖:/ 1 ∖9

F Pbidvia 6-6-6>

9

∖3 1 ∖:

6

>

∖3 ∖: ∖:

1 " ∖:/" ∖:/"9/" /" ∖:/ 1 ∖9

3-

6-6

:>

∖: ∖3 ∖3

J`` 6 poais Vdx 6 pd Vdx : jm` 3 poais Vdx 6 pd Vdx 3-

J`` –6 poais Vdx : pd Vdx 3, jm` ompivcbjmhi Vdx : jm` Vdx 6F Pbidvia 6-6-6-

"f/ Somci pbos ajpvor os kysp O 0 xopb Vdx 6 jm` Vdx 3 ompivcbjmhi`, ops ìpivaomjmp os –:-











55

Irivcosi Sip 6-6

9-

ìp" J/

1

>

3

:

:

:

6

3

6

0

1 " ∖:/

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:

6

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3

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3

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3

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0

1 " ∖:/" 3/

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6

>

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: 3

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∖:

∖6

:

:

6

>

:

: 3

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>

∖9

Ompivcbjmhi Vdx : jm` Vdx 6-

J`` –3 poais Vdx : pd Vdx 3-

∖: ∖6

>

1 ∖3

1 " ∖: /

:

Ejcpdv 3 evda Vdx 6-

J`` Vdx 6 pd Vdx 3-

3

Oe xi ejcpdv –9$3 evda Vdx 3 jm` j~~l Pbidvia 6-6-6 xi eOm` pbjp ìp" J/ 1 –3"–9$3/":/ 1 9

8-

ìp" J/

3

∖5

1 ∖6

8

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∖6 1 3 9

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0 3

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3

0

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:

9

Ejcpdv 3 evda Vdx : jm` J`` pxoci Vdx : pd Vdx 6-

Ejcpdv 3 evda Vdx 6 jm` syfpvjcp Vdx 6 evda Vdx 3-

Ejcpdv ::$3 evda Vdx 3-













Irivcosi Sip 6-6

58

?-

ìp" J / 1

6

:

3

:

:

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:

:

:

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6

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3

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6

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>

5

J`` –6 poais Vdx : pd Vdx 6-

J`` –6 poais Vdx 6 pd Vdx 37 syfpvjcp Vdx 6 evda Vdx 0-

J`` Vdx 3 pd Vdx 0-

1 " ∖:/" ∖:/" 5/":/ 1 5 ::-

: ìp" J /

1

Ompivcbjmhi Vdx : jm` Vdx 6-

3

:

9

3

∖6 ∖8

>

∖0

6

>

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:

>

:

>

>

6

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:

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>

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52

Irivcosi Sip 6-6

:3-

ìp" J/

1

:

:

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j

f

c

j

1

6

f

6

c

6

:

:

:

>

f∖ j

c∖j

>

f6 ∖ j 6

c6

J`` –j poais Vdx : pd Vdx 67 j`` –j6 poais Vdx : pd Vdx 3-

∖ j6

Somci f6 – j6 1 " f – j/"f ' j/, xi j`` –"f ' j/ poais Vdx 6 pd Vdx 3 pd dfpjom

ìp" J/

1

:

:

:

>

f∖ j

>

>

c∖ j

"c

6

∖ j6 / ∖ " c ∖ j / " f ' j /

1 "f –j/W"c6 – j6/ – " c – j/"f ' j/Q 1 "f – j/"c –j/W"c ' j/ – " f ' j/Q 1 "f – j/"c – j/"c – f/

:9-

Om ijcb cjsi, ` xoll ìmdpi pbi ìpivaomjmp dm pbi liep jm`, js ysyjl, ìp" J/ 1 ºj: k:j6 k6 j3 k3, xbivi ìmdpis pbi sya de jll sycb iliaimpjv ~vd`ycps-

√

"j/ ` 1

√

√º"

gj: k /j j 6 k6 3 k3 1 g :

√

º

j: k: j6 k6j3 k3 1 g ìp" J/











Irivcosi Sip 6-6

5?

j:: ' gj gj6:

j:6 ' gj66

j:3 ' gj63

j6:

j66

j63

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j36

j33

1 "j:: ' gj6:/"j66/"j33/ ' " j:6 ' gj66/"j63/"j3:/ ' "j:3 ' gj63/"j6:/"j36/ – " j:3 ' gj63/"j66/"j3:/ – "j:6 ' gj66/"j6:/"j33/ – " j:: ' gj6:/"j63/"j36/ 1 j:: j66 j33 ' j:6 j63 j3: ' j:3 j6: j36 – j:3 j66 j3: – j:6 j66 j33 – j:: j63 j36 ' gj6: j66 j33 ' gj66 j63 j3: ' gj63 j6: j36 – gj63 j66 j3: – gj66 j6: j33 – gj6: j63 j36

1

:8-

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j:3

j6:

j66

j63

j3:

j36

j33

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1

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8>

Irivcosi Sip 6-6

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3

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15

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1 " ∖: /

↖ V: – 6 V6

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6

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6

3 3

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6

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∖ :3

: 6

3











Irivcosi Sip 6-6

8:

"::/ :

3

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9

3

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3

:

9

3

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:

1 ∖6

↖ V6 – V3

Somci pbi houim ajpvor os y~~iv pvojmhyljv, ops ìpivaomjmp os pbi ~vd`ycp de pbi òjhdmjl iliaimps- Pbjp os, pbi ìpivaomjmp os r" r ' :/"6 r – :/- Pbos ~vd`ycp os {ivd oe jm` dml oe r 1 >, r 1 – :, dv r 1 :$6-























IRIVCOSI

:-

SIP

6-3

"j/ Xi bjui ìp" J/ 1

∖:

6

3

0

1 ∖0 ∖ 5 1 ∖:>

jm` ìp" 6 J/ 1

∖6

0

5

2

1 " ∖6/" 2/ ∖ " 0/" 5/ 1 ∖0> 1 6 6" ∖:>/











80

Irivcosi Sip 6-3

"i/ j

h

`

f

b

i

c

o

e

1∖

1∖

j

`

h

f

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o

j

f

c

`

i

e -

h

b

o

Ompivcbjmhi Cdlyams 6 jm` 3-

Pjgi pbi pvjms~dsi de pbi ajpvor-

18

8-

Oe xi vi~ljci Vdx : f Vdx : ~lys Vdx 6, xi dfpjom

f' c

c'j

f'j

j

f

c

:

:

e

1

j'f' c

f ' c' j

c 'f 'j

j

f

c

:

:

e

1>











Irivcosi Sip 6-3

89

"oo/ Pbi iohimujlyis jvi kysp pbi sdlypodms pd pbos izyjpodm, dv

η 1 5 jm` η 1 –:-

 r  "ooo/ Oe η 1 5, pbim pbi cdvvis~dmòmh iohimuicpdvs jvi pbi mdm{ivd sdlypodms r 1  :   r6  pd pbi izyjpodm  5∖ 6  ∖0 

∖3   r:   0 ∖3   r:   1 1     5 ∖ 3   r6   ∖0 3   r6  

> >

  

 " 3 0 /p   os p 

Pbi sdlypodm pd pbos sspia os r: 1 "3$0/p, r6 1 p, sd r 1   xbimiuiv p ≮ >-

jm iohimuicpdv

Oe η 1 –:, pbim pbi cdvvis~dmòmh iohimuicpdvs jvi pbi mdm{ivd sdlypodms

 r:   pd pbi izyjpodm r  6 

r1

 ∖3 ∖3   r:   >   ∖0 ∖0   r  1  >     6  











85

:?-

Irivcosi Sip 6-3

Lip F fi jm m

Ø m ajpvor jm` I fi jm m Ø m iliaimpjv ajpvor-

O Cjsi 6; Lip I fi dfpjomi` f ompivcbjmhomh pxd vdxs de O - Pbim ìp" I/ 1 –: jm` IJ os m kysp J xopb "pbi sjai/ pxd vdxs ompivcbjmhi`- F Pbidvia 6-6-3, ìp" IJ/ 1 –ìp" J/ 1 ìp" I/ ìp" J/ O Cjsi 3; Lip I fi dfpjomi` f j`òmh j aylpo~li de dmi vdx de O pd jmdpbiv- Pbim ìp" I/ m 1 : jm` ìp" IJ/ 1 ìp" J/- Bimci ìp" IJ/ 1 ìp" J/ 1 ìp" I/ ìp" J/-

6:-

Oe iopbiv J dv F os somhyljv, pbim iopbiv ìp" J/ dv ìp" F/ os {ivd- Bimci, ìp" JF/ 1 ìp" J/ ìp" F/ 1 >- Pbys JF os jlsd somhyljv-

63-

"j/ Ejls Ejlsii- Oe ìp" ìp" J/ 1 >, pbim J cjmmdp fi ir~vissi` js pbi ~vd`ycp de iliaimpjv ajpvocis- Oe op cdyl`, pbim op xdyl` fi omuivpofli js pbi ~vd`ycp de omuivpofli ajpvocis J os pbi ~vd`ycp de J J jm` iliaimpjv ajpvocis, "f/ Pvyi- Pbi vi`yci` vi`yci` vdx icbildm icbildm edva edva de J jll de xbocb jvi omuivpofli- Pbys edv pbi vi`yci` vdx icbildm edva pd bjui j vdx de {ivds jm` bimci {ivd ìpivaomjmp, xi aysp jlsd bjui ìp" J/ 1 >-

"c/ EjlsiEjlsi- Cdm Cdmso` soìv iv pbi 6 Ø 6 oìmpop ajpvor- Om himivjl, viuivsomh pbi dvìv de pbi cdlyams aj cbjmhi pbi sohm de pbi ìpivaomjmp"`/ Pvyivyi- So Somc mci i ìp" ìp" JJP / 1 ìp" J/ ìp" JP / 1 Wìp" J/Q6, ìp" JJP / cjmmdp fi mihjpoui-













IRIVCOSI

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SIP

6-0

"j/ Pbi myafiv de omuivsodms om "0,:,3,9,6/ os 3 ' > ' : ' : 1 9"`/ Pbi myafiv de omuivsodms om "9,0,3,6,:/ os 0 ' 3 ' 6 ' : 1 :>-











82

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Irivcosi Sip 6-0

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Ø 0 ajpvor, pbim ìp" J/ 1

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Irivcosi Sip 6-0

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SY^^LI SY^^LIAIM AIMP PJV_ JV_

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IRIVCO IRIVCOSIS SIS

6













26

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Sy~~liaimpjv Irivcosis 6

"j/ Oe pbi ~iv~imòcyljv evda pbi uivpir de jmhli κ pd soì j aiips soì j fipxiim jmhlis ζ jm` γ , pbim xi bjui pbi edlldxomh ~ocpyvi;












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J os omuivpofli, pbim J Oe J

23

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1

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J–:- Pbys j`k" J/, dv j`k" J/ 1 Wìp" J/Q J

J











20

::-


Lip J fi jm m Ø m ajpvor edv xbocb pbi impvois om ijcb vdx j`` y~ pd {ivd jm` lip r fi pbi m Ø : ajpvor ijcb de xbdsi impvois os dmi- Pbim jll de pbi impvois om pbi m Ø : ajpvor Jr jvi {ivd somci ijcb de ops impvois os pbi sya de pbi impvois de dmi de pbi vdxs de JPbjp os, pbi bdadhimidys sspia de lomijv izyjpodms












:9-

29

"j/ Xi bjui

η ∖ j::

∖ j:6

∖j:3











Exercise Set 2.1

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