S.l.dr.ing.Stefan Constantin PETRICEANU
Seminar Statistica Aplicata
Master IC
1 Exercițiul utilizând schema Bernoulli cu bilă întoarsă Un strung universal se consideră că este normal utilizat dacă cel puţin 80% din timpul de lucru este în funcționare. Dintr-un studiu statistic s-a obţinut că probabilitatea ca strungul să fie normal 7 ocupat într-o zi este p = 8 .
Se cere să se calculeze probabilitatea ca mașina unealtă să fie normal ocupată în cinci zile din cele şapte zile ale unei săptămâni. 1.1 Rezolvare:
Calculul acestei probabilităţi se face cu schema lui Bernoulli cu bila întoarsă, 7 1 şi q = 1-p = . Astfel se obţine că: 8 8 7 1 P(7,5) = C75 ( )5 ( )2 0,16 8 8
unde n=7, k=5; p=
2 Exercițiu schema multinominală Piesele produse de o maşină sunt supuse la două teste independente. 2 3 Probabilităţile ca o piesă să treacă aceste teste sunt respectiv 3 şi 4 .
Se cere să se calculeze probabilitatea ca din 5 piese luate la întâmplare, 2 să treacă ambele teste, 1 numai primul test, 1 numai al doilea test, iar una să nu treacă nici un test. 2.1 Rezolvare:
Această probabilitate se calculează cu schema multinomială, unde n=5, s=4, 1 2, 2 3 4 1 , iar pentru că testele sunt independente, vom avea: 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 p1 0,5; p2 (1 ) 0,16; p3 (1 ) 0, 25; p4 (1 )(1 ) 0, 08 3 4 2 3 4 6 3 4 4 3 4 12
Astfel, putem scrie: P(5; 2,1,1,1) =
5! 1 1 1 1 5 ( )2 0, 05 . 2!1!1!1! 2 6 4 12 96
3 Exercițiu schema lui Bernoulli cu bilă neîntoarsă Într-un lot de 50 de piese, 10 sunt defecte. Se iau la întâmplare 5 piese. Vrem să calculăm probabilitatea ca trei piese din cele cinci să nu fie defecte. 3.1 Rezolvare:
Această probabilitate se calculează cu schema lui Bernoulli cu bila neîntoarsă, unde a+b=50; a=40, b=10, n=5 şi k=3. Avem P(5;3) = 1/6
3 C40 C102 0, 04 . C505
S.l.dr.ing.Stefan Constantin PETRICEANU
Seminar Statistica Aplicata
Master IC
4 Exercițiu Patru trăgători trag asupra unei ţinte. Primul atinge ţinta cu probabilitatea al doilea cu probabilitatea probabilitatea
2 , 3
3 4 , al treilea cu probabilitatea , iar al patrulea cu 4 5
5 . 6
Care este probabilitatea ca ţinta să fie atinsă exact de 3 ori? 4.1 Rezolvare:
Evenimentele A i = trăgătorul "i" atinge ţinta; i = 1,2,3,4 sunt independente şi: 2 3 4 p1 P( A1 ) ; p2 P( A2 ) ; p3 P( A3 ) ; 3 4 5 5 1 p4 P( A4 ) ; q1 1 p1 6 3 1 1 1 q2 1 p2 ; q3 1 p3 ; q4 1 p4 4 5 6.
Probabilitatea ca din aceste patru evenimente să se realizeze trei şi unul nu, este coeficientul lui x 3 din dezvoltarea polinomului: 2 1 3 1 4 1 5 1 3 3 4 4 5 5 6 6 2 3 4 1 2 3 1 5 2 1 4 5 1 3 4 5 0,427. 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6
Q(x) = ( x )( x )( x )( x ) , adică:
5 Exercițiu Doi jucători sunt angrenaţi într-un joc format din mai multe partide. Primul jucător 1 2 câştigă o partidă cu probabilitatea p = şi o pierde cu probabilitatea q = 1-p = . Să se 3 3 calculeze probabilitatea că: a) prima partidă câştigată de primul jucător să se producă după cinci partide pierdute; b) a treia partidă câştigată de primul jucător să se producă după un total de şase partide pierdute.
5.1 Rezolvare: a) Se aplică schema geometrică. Prin urmare, probabilitatea cerută este dată de P(1,5) = 1 2 32 p q 5 = ( )5 . 3 3 729 1 2 b) Se utilizează schema lui Pascal, unde n=3, k=6, p= , q= . Astfel, probabilitatea 3 3 cerută este: 1 2 7 2 P(3,6) = C 86 ( ) 3 ( ) 6 ( ) 9 . 3 3 2 3
2/6
S.l.dr.ing.Stefan Constantin PETRICEANU
Seminar Statistica Aplicata
Master IC
6 Exercițiu Într-o cutie sunt 12 bile marcate cu 1; 8 sunt marcate cu 3 şi şase sunt marcate cu 5. O persoană extrage la întâmplare din cutie 4 bile. Să se calculeze probabilitatea ca suma obţinută să fie cel mult 13.
6.1 Rezolvare: Dacă notăm cu A evenimentul ca suma obţinută de cele patru bile să fie cel mult 13, atunci evenimentul contrar A este evenimentul ca suma să fie cel puţin 14. Se vede că suma maximă ce se poate obţine este 4 5 = 20. De asemenea, avem că 3 5 1 3 18; 3 5 11 16; 2 5 2 3 16; 2 5 1 3 11 14; 1 5 3 3 14. Alte posibilităţi de a obţine suma cel puţin 14 din patru bile nu există. Aşadar, pentru a obţine suma 14, trebuie luate două bile marcate cu 5 din cele şase existente, una marcată cu 3 din cele opt şi una marcată cu 1 din cele 12, respectiv una marcată cu 5 şi 3 marcate cu 3. Folosind schema lui Bernoulli cu bila neîntoarsă cu 3 stări se obţine că: C 2 C1 C1 C1 C 3 C 0 888 . P14 P(4;2,1,1) P(4;1,3,0) 6 48 12 6 48 12 7475 C 26 C 26 Analog, avem că: C 2 C 2 C 0 C 3 C 0 C1 66 ; P16 P(4;2,2,0) P(4;3,0,1) 6 48 12 6 48 12 1495 C 26 C 26 0 0 C 36 C18 C12 C 64 C 80 C12 16 . . P P ( 4 ; 4 , 0 , 0 ) 20 1495 C 426 C 426 Avem că: 2611 P( A ) = P14 P16 P18 P20 , de unde 14950 2611 12339 0,825 . P(A) = 1-P( A ) = 1= 14950 14950
P18 P(4;3,1,0)
7
Exercițiu
La un supermarket s-a făcut un sondaj printre clienţii acestuia, punându-li-se trei întrebări la care să răspundă prin DA sau NU. S-a constatat că răspunsul DA la prima, a doua respectiv a treia întrebare a fost de 60%, 80% respectiv 70%. Care este probabilitatea ca un client să dea : a)trei răspunsuri DA? b)trei răspunsuri NU? c)două răspunsuri DA şi unul NU? d)cel mult două răspunsuri DA? e)primele două răspunsuri NU? f)primul răspuns DA şi încă unul DA?
7.1 Rezolvare: a) Suntem în condiţiile schemei lui Poisson (presupunând că răspunsurile sunt independente unul de celălalt) cu 3 urne şi cu probabilităţile : p1 = 0,6; q1 = 0,4; p2 = 0,8; q2 = 0,2; p3 = 0,7; q3 = 0,3. Astfel probabilitatea ca să avem 3 răspunsuri DA este coeficientul lui x3 din polinomul (p1x + q1)(p2x + q2)(p3x + q3) adică pa = p1p2p3 = 0,6 ∙0,8∙0,7 = 0,336. b) Probabilitatea să avem trei răspunsuri NU este coeficientul lui x0 (termenul liber) din polinomul de mai sus, adică q1q2q3 = 0,4 ∙0,2∙0,3 = 0,024. 3/6
S.l.dr.ing.Stefan Constantin PETRICEANU
Seminar Statistica Aplicata
Master IC
a) În acest caz probabilitatea este coeficientul lui x2 din acelaşi polinom, adică p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 = 0,6∙0,8∙0,3 + + 0,6∙0,2∙0,7 + 0,4∙0,8∙0,7 = 0,452. b)Evenimentul dat este reuniunea a trei evenimente incompatibile două câte două, respectiv de a da 0, 1, 2 răspunsuri DA, deci probabilitatea sa este suma coeficienţilor lui x0, x1, x2 din polinomul de la punctul a). Avem pd = q1q2q3 + (p1q2q3 +q1p2q3 + q1q2p3) + (p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3) = = 0,024 + 0,188 + 0,452 = 0,664. Astfel, evenimentul nostru este contrar evenimentului de la punctul a), deci pd = 1 – pa = 1 – 0,336 = 0,664. c) Putem reduce schema lui Poisson la 2 urne cu probabilităţile : p1 = 0,6; q1 = 0,4; p2 = 0,8; q2 = 0,2. Probabilitatea cerută este coeficientul lui x0 din polinomul (p1x + q1)(p2x + q2), adică q1q2 = 0,08. Astfel, evenimentul dat este intersecţia a două evenimente independente cu probabilităţile q1 respectiv q2, de unde probabilitatea cerută este produsul q1q2. d)Evenimentul este reuniunea evenimentelor “numai primul şi al doilea răspuns DA ” şi “numai primul şi al treilea răspuns DA”, care sunt incompatibile, deci probabilitatea evenimentului dat este suma probabilităţilor celor două, adică pf = p1p2q3 + p1q2p3 = 0,228. e)
8 Exercițiu La o bancă s-a constatat că din 100 de credite acordate, 10 sunt neperformante. Dacă se acordă 5 credite, care este probabilitatea ca: a) toate să fie neperformante? b) toate să fie performante? c) numai 4 să fie performante? d) cel puţin 4 să fie performante?
8.1 Rezolvare: Suntem în condiţiile schemei lui Bernoulli cu două culori, unde p = 0,9 şi q = 1-p =0,1 considerând bile albe creditele performante, iar bile negre cele neperformante. Vom obţine astfel: a) P(5;0) C50 (0,9)0 (0,1)5 0,00001 ; b) P(5;5) C55 (0,9)5 (0,1)0 0,59049 ; c) P(5,4) C54 (0,9) 4 (0,1)1 0,32705 ; d) P(5; 4) P(5,4) P(5,5) 0,91754 .
9 Exercițiu Într-un partid parlamentar sunt 10 deputaţi şi 5 senatori. Se ia la întâmplare un grup de 5 parlamentari ai partidului respectiv, pentru a forma o comisie. Cu ce probabilitate grupul conţine: a) 3 deputaţi şi 2 senatori; b) numai deputaţi; c) numai senatori; d) cel mult 2 senatori; e) cel puţin un deputat.
4/6
S.l.dr.ing.Stefan Constantin PETRICEANU
Seminar Statistica Aplicata
Master IC
9.1 Rezolvare: Suntem în condiţiile schemei hipergeometrice cu 2 culori, unde a = 10, b = 5 şi n = 5. Vom avea: C3 C2 a) P(5;3,2) 10 5 5 ; C15 b) P(5;5,0)
C105 C50 ; C155
c) P(5;0,5)
C100 C55 ; C155
d) Pd P(5;5,0) P(5;4,1) P(5;3,2) 5
5
i 1
i 1
e) Pe P(5; i,5 i) Pe 1 P(5;0,5) 1
C105 C50 C104 C51 C103 C52 ; C155
C10i C55i sau altfel C155
1 . 5 C15
10 Exercițiu Probabilitatea ca un agent comercial să vândă un anumit produs este 0,3. Dacă acesta oferă produsul spre vânzare pe rând la 4 magazine cu ce probabilitate el vinde produsul: a) la primul magazin; b) la al doilea magazin; c) la ultimul magazin; d) cel mult la al treilea magazin.
10.1 Rezolvare: Suntem în condiţiile schemei geometrice cu p = 0,3 ( se presupune că agentul poate vinde produsul unui singur magazin). Prin urmare avem: a) P1 = pq1-1 = 0,3 ; b) P2 = pq2-1 = pq = 0,3 ∙0,7 = 0,21 ; c) P4 = pq4-1 = pq3 = 0,3 ∙(0,7)3 = 0,1029 ; d)Pd =P1+P2+P3=p + pq + pq2 = p(1+q+q2) = 0,3(1+0,7+0,49)=0,657
11
Probleme propuse:
11.1 Problema 1 O familia are şase copii. Se cere probabilitatea ca: a. doi din cei şase copii să fie fete; b. cel puţin doi copii să fie băieţi.
11.2 Problema 2 O comisie analizează 10 dosare de creditare de la banca B1, 20 de la banca B2, 30 de la banca B3. Se iau la întâmplare 12 dosare. Să se determine probabilitatea ca din cele 12 dosare, 3 să provină de la B1, 4 de la B2 şi 5 de la B3. 5/6
S.l.dr.ing.Stefan Constantin PETRICEANU
Seminar Statistica Aplicata
Master IC
11.3 Problema 3 Patru fabrici produc acelaşi tip de rachetă de tenis. Produsele celor patru fabrici sunt rebuturi în procent de 2%, 1%, 5% şi 4%. Se ia câte o rachetă de tenis produsă de fiecare fabrică. Să se determine probabilitatea ca: a. din cele patru rachete, două să fie rebut? b. cel puţin una să fie rebut?
11.4 Problema 4 Un investitor la bursă, cumpără acţiuni la trei companii. Probabilităţile ca cele trei investiţii să fie profitabile sunt următoarele: p1 = 0,8, p2 = 0,75, p3 = 0,82. Să se determine probabilitatea ca: a. toate cele trei investiţii să fie profitabile; b. două investiţii să fie profitabile; c. o investiţie să fie profitabilă; d. cel mult două investiţii să fie profitabile; e. cel puţin una să fie profitabilă.
11.5 Problema 5 Doi jucători sunt angajaţi într-un joc format din mai multe partide. Primul jucător câştigă o partidă cu probabilitatea p = 0,25. Să se determine probabilitatea ca: a. a patra partidă câştigată de primul jucător să fie obţinută după cinci partide pierdute. b. prima partidă câştigată de primul jucător să apară după cinci partide pierdute.
6/6
