Semestrul II An univesitar 2013-2014
LUCRARE INDIVIDUALA Disciplina STATISTICA
Cerinte Folosind baza de date din fisierul Excel atasat,se cere: 1.Sa se prezinte sub forma tabelara datele primare pentru 30 de tari si cele doua variabile statistice selectate,cu indicarea sursei. 2.Sa se afle valoarea medie,mediana,modul si amplitudinea absoluta si relativa a variatiei pentru cele doua caracteristici(variabile) numerice.Ce se poate afirma despre cele doua caracteristici,dupa compararea acestor indicatori? 3. Pentru fiecare variabilă cercetată, să se stabilească un număr de intervale egale de grupare (folosind formula Sturges). Să se grupeze elementele colectivităţii (cele 30 de ţări) pe aceste intervale. (Observaţie: Mărimea intervalelor poate fi astfel rotunjită încât să permită stabilirea unor centre de interval uşor de întrebuinţat în calculul indicatorilor). 4. Să se facă reprezentarea grafică a seriilor de repartiţie obţinute ca rezultat al acestor grupări (de exemplu, diagramă cu coloane sau histogramă). 5. Pentru fiecare variabilă, pe baza repartiţiei de frecvenţe obţinute la punctul 3 al lucrării, să se stabilească indicatorii tendinţei centrale (media aritmetică ponderată, mediana şi modul), indicatorii sintetici ai variaţiei şi indicatorii asimetriei. 6. Comparând indicatorii celor două repartiţii de frecvenţă, să se observe şi comenteze asemănările şi / sau deosebirile dintre cele două variabile studiate. 7. Considerând eşantionul cercetat ca fiind rezultat al unui sondaj simplu aleator nerepetat, se cere să se estimeze cu o probabilitate de 0,95 (z =1,96) limitele intervalului în care se situează media (pentru fiecare variabilă cercetată) tuturor celor N=400 de ţări existente în baza de date World Bank. 8.Să se facă gruparea combinată a elementelor observate în funcţie de ambele caracteristici /variabile analizate în lucrare, notând cu X variabila independentă cunoscută şi sub numele de variabilă factorială sau explicativă (grupele se aşează în capetele de coloane ale matricei), iar cu Y variabila dependentă, numită în teoria şi practica statistică şi variabilă rezultativă sau explicată (grupele se aşează în capetele de rânduri ale matricei). Cum comentaţi această repartiţie bidimensională ? 9.Pornind de la ipoteza că variabila independentă X exercită o influenţă asupra variabilei dependente Y, să se estimeze şi comenteze parametrii funcţiei liniare de regresie. Care este semnificaţia funcţiei de regresie astfel identificate? Cum comentaţi diferenţele dintre valorile reale ale caracteristicii Y şi valorile estimate cu ajutorul funcţiei de regresie? 10.Sa se determine si comenteze coeficientul de corelatie liniara intre cele doua variabile. 11.Sa se caracterizeze intensitatea legaturii neparametrice(coeficienti de corelatie a rangurilor).
dintre
cele
doua
variabile
prin
metode
Rezolvarea cerintelor Folosind baza de date din fisierul Excel atasat,se cere: 1.Sa se prezinte sub forma tabelara datele primare pentru 30 de tari si cele doua variabile statistice selectate,cu indicarea sursei.
Nr.crt
Tara
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Finland France Germany Greece Iceland Indonesia Israel Italy Jamaica Jordan Kazakhstan Korea, Rep. Macedonia, FYR Mexico Moldova New Zealand Nicaragua Nigeria Norway Paraguay Peru Poland Portugal Romania Russian Federation Saudi Arabia
Exportul de bunuri si servicii (% din PIB) 40.57 27.44 51.79 27.00 59.43 24.26 36.18 30.22 30.43 43.87 47.60 56.50 53.17 32.87 43.62 29.31 44.04 55.43 40.70 46.61 25.64 46.16 38.69 34.16 29.44 56.17
Importul de bunuri si servicii(% din PIB) 41.43 29.65 45.87 32.03 53.31 25.81 35.98 29.09 52.98 74.26 30.33 53.42 75.52 34.47 84.24 29.71 61.72 22.82 27.48 46.92 23.83 45.84 39.30 41.41 22.14 30.27
Tabel nr. 1: Gruparea celor 30 de tari in functie de valoarea exporturilor si importurilor de bunuri si servicii Sursa:World Development Indicator http://databank.worldbank.org
2.Sa se afle valoarea medie,mediana,modul si amplitudinea absoluta si relativa a variatiei pentru cele doua caracteristici(variabile) numerice.Ce se poate afirma despre cele doua caracteristici,dupa compararea acestor indicatori?
Media Media este expresia sintetizării într-un singur nivel reprezentativ a tot ceea ce este esenţial, tipic şi obiectiv în apariţia şi manifestarea unui fenomen de masă.
Media aritmetica n
x
x i 1
i
n
Exportul de bunuri si servicii n=numarul tarilor n=26
∑
=40.57+27.44+51.79+27.00+59.43+23.83+24.26+36.18+30.22+30.43+14.66+43.87+47.60+
56.50+53.17+32.87+43.62+88.03+29.31+44.04+55.43+40.70+83.54+46.61+25.64+46.16+38.69+34.16+2 9.44+56.17=1051.3
n
x
x i 1
n
i
40.57 27.44 51.79 27.00 59.43 ......56.17 1051.3 40.43 30 36
O tara din 26 are exportul de bunuri si servicii egal cu 40.43 % din PIB.
Importul de bunuri si servicii
n=numarul tarilor n=26
∑
=41.43+29.65+45.87+32.03+53.31+31.54+25.81+35.98+29.09+52.98+16.65+74.26+30.33+
53.42+75.52+34.47+84.24+79.63+29.71+61.72+22.82+27.48+78.49+46.92+23.83+45.84+39.30+41.41+ 22.14+30.27=1089.83
n
x
x i 1
n
i
41.43 29.65 45.87 32.03 53.51 ...30.27 1089.83 41.91 26 26
O tara din 26 are importul de bunuri si servicii 41.91 % din PIB.
Mediana
Mediana (Me) reprezintă valoarea mijlocie a unei serii de date aranjate crescător sau descrescător.
Exportul bunurilor si serviciilor Etape (serie simplă): 1. Loc Me Loc M =
n 1 2
=13.5
Observatie: Intre tarile de pe pozitiile 13 si 14 se gaseste mediana.
2. Ordonare valori 24.26;25.64;27;27.44;29.31;29.44;30.22;30.43;32.87;34.16;36.18;38.69;40.57;40.7;43.62;43.87;44.04 ; 46.16;46.61;47.6;51.79;53.17;55.43;56.17;56.5;59.43
3. Identificare mediană (număr impar de valori) sau calculare (număr par de valori). Me=(40.57+40.7)/2=40.63
Jumatate dintre tari au un indice al exporturilor de bunuri si servicii mai mare sau egal cu 40,63. Jumatate dintre tari au indice al exporturilor de bunuri si servicii mai mic sau egal cu 40.63.
Importul bunurilor si serviciilor Etape (serie simplă): 1. Loc Me Loc M =
n 1 2
=13.5
Observatie: Intre tarile de pe pozitiile 13 si 14 se gaseste mediana.
2. Ordonare valori 22.14;22.82;23.83;25.81;27.48;29.09;29.65;29.71;30.27;30.33;32.03;34.47;35.98;39.3;41.41; 41.43;45.84;45.87;46.92;52.98;53.31;53.42;61.72;74.26;75.52;84.24
3. Identificare mediană (număr impar de valori) sau calculare (număr par de valori). Me=(35.98+39.30)/2=37.64
Jumatate dintre tari au un indice al importurilor de bunuri si servicii mai mare sau egal cu 37.64. Jumatate dintre tari au indice al importurilor de bunuri si servicii mai mic sau egal cu 37.64
Modul
Modul sau dominanta unei variabile reprezintă valoarea care înregistrează cea mai mare frecvenţă de apariţie.
Exportul bunurilor si serviciilor
Modul se poate calcula in doua variante
1)Ne-am uitat in table la coloana exporturilor de bunuri si servicii si am observant ca fiecare valoare apare in tabel o singura data.Cu alte cuvinte,modul este 0.
2)In acest esantion nu exista o valoare modala. Am calculat modul exporturilor in excel folosind functia MODE. Mo=0
Importul bunurilor si serviciilor
Ne-am uitat in table la coloana importurilor de bunuri si servicii si am observant ca fiecare valoare apare in tabel o singura data.Cu alte cuvinte,modul este 0. Mo=0
MEDIE ARITMETICA MEDIANA MODE
EXPORTS 40,43 40,63 #N/A
Tabel nr.2: Calculul exporturilor in functie de medie aritmetica,mediana si mod
MEDIE ARITMETICA MEDIANA MODE
IMPORTS 41,91 37,64 #N/A
Tabel nr. 3: Calculul importurilor in functie de medie aritmetica,mediana si mod.
Amplitudinea absoluta
Amplitudinea absolută a variantei (A) se obtine ca diferentă între valoarea maximă (x max) si valoarea minimă (xmin) a seriei si are rolul de a măsura intervalul de împrăstiere în interiorul căruia se distribuie unitătile colectivitătii:
A xm ax xm in În cazul unei distributii de frecvente pe intervale amplitudinea absolută a variatiei se determină prin diferenta dintre limita superioară a ultimului interval si limita inferioară a primului interval. Dacă este o serie cu intervale deschise, se va proceda la închiderea intervalelor.
Exportul bunurilor si serviciilor
A(x)= Xmax- Xmin=59.43-24.26=35.17
Importul bunurilor si serviciilor
A= Xmax- Xmin= 84.24-22.12=62.12
Amplitudinea relativa Amplitudinea relativă a variaŃiei (A%) se exprimă în coeficient sau în procente si se calculează, de obicei, ca raport între amplitudinea absolută a variatiei (A) si valoarea medie a caracteristicii. Acest indicator, amplitudinea variatiei, în ambele forme, nu este suficient de semnificativ pentru analiza împrăstierii valorilor individuale, deoarece Ńine seama numai de valorile extreme ale caracteristicii. Amplitudinea variatiei se foloseste în mod practic la alegerea numărului de grupe si a mărimii intervalului de grupare.
A%
xmax xmin 100 x
Exportul bunurilor si serviciilor
A%
xm ax xm in 59.43 24.26 100 *100 86.98 x 40.43
A=86.98
In cazul nostru,amplitudinea este mai mica decat 100% si inseamna ca aceasta colectivitate este omogena iar media este reprezentativa.
Importul bunurilor si serviciilor
A% A=148.22
xmax xmin 84.24 22.12 100 *100 148.22 x 41.91
In cazul nostru,amplitudinea este mai mare decat 100% si inseamna ca aceasta colectivitate este eterogena iar media nu este reprezentativa.
Dupa compararea acestor indicatori putem sustine faptul ca marimea importurilor este mai mare decat cea a exporturilor.
3. Pentru fiecare variabilă cercetată, să se stabilească un număr de intervale egale de grupare (folosind formula Sturges). Să se grupeze elementele colectivităţii (cele 30 de ţări) pe aceste intervale. (Observaţie: Mărimea intervalelor poate fi astfel rotunjită încât să permită stabilirea unor centre de interval uşor de întrebuinţat în calculul indicatorilor.)
Exportul bunurilor si serviciilor
EXPORTS Amplitudinea Nr. Intervale Marime intervale
35.17 5.90 5.96
Tabel nr. 4- Calculul marimii unui interval pentru exporturi 1)Determinarea amplititudinii variatiei Ax=amplitudinea variatiei Ax=xmax-xmin=59.43-24.26=35.17
2)Stabilirea nr de intervale egale h=1+3,3322 lg n=1+3,322 *lg 30=1+ 3,322 * 1,4771= 1+4.9069=5.9069 h=5.9060 De aici rezulta ca gruparea se face pe 6 intervale egale. 3)Determinarea marimii fiecarui interval k=marime interval k=Ax/h=35.17/5.90 k=5.96
Intervale de variatie dupa exporturi 24.26 30.22 30.22 36.18 36.18 42.12 42.12 48.1 48.1 54.06 54.06 60.02 Total
ni 6 4 4 6 2 4 26
xi 27.24 33.2 39.15 45.11 51.08 57.04
xi*ni 163.44 132.8 156.6 270.66 102.16 228.16 1053.82
ni/xi 0.220264 0.120482 0.102171 0.133008 0.039154 0.070126 0.685206
xi^2*ni 4452.106 4408.96 6130.89 12209.47 5218.333 13014.25 45434.01
lgxi*ni 8.611243 6.084552 6.370927 9.925637 3.416502 7.024718 41.43358
Fi 6 10 14 20 22 26
Tabel nr.5 : Gruparea tarilor pe intervale egale in functie de exporturile de bunuri si servicii.
Importul bunurilor si serviciilor
IMPORTS Amplitudinea Nr. Intervale Marime intervale
62.12 5.90 10.52
Tabel nr. 6- Calculul marimii unui interval pentru importuri
1)Determinarea amplititudinii variatiei Ax=amplitudinea variatiei Ax=xmax-xmin= A=84.24-22.12=62.12
2)Stabilirea nr de intervale egale h=1+3,3322 lg n=1+3,322 *lg 30=1+ 3,322 * 1,4771= 1+4.9069=5.9069 h=5.9060 De aici rezulta ca gruparea se face pe 6 intervale egale. 3)Determinarea marimii fiecarui interval k=marime interval k=Ax/h=62.12/5.90 k=10.52
-13.05 -7.23 -1.28 4.68 10.65 16.61
1021.815 209.0916 6.5536 131.4144 226.845 1103.5684 2699.288
Intervale de variatie dupa importuri 22.12 32.64 32.64 43.16 43.16 53.68 53.68 64.2 64.2 74.72 74.72 85.24 Total
ni 11 5 6 1 1 2 26
xi 27.38 37.9 48.42 58.94 69.46 79.98
xi*ni 301.18 189.5 290.52 58.94 69.46 159.96 1069.56
ni/xi 0.401753 0.131926 0.123916 0.016966 0.014397 0.025006 0.713964
xi^2*ni 8246.308 7182.05 14066.98 3473.924 4824.692 12793.6 50587.55
lgxi*ni 15.81177 7.893196 10.11015 1.77041 1.841735 3.805963 41.23322
Fi 11 16 22 23 24 26
( - )2 *ni -14.53 2322.3299 -4.01 80.4005 6.51 254.2806 17.03 290.0209 27.55 759.0025 38.07 2898.6498 6604.6842
Tabel nr 7 : Gruparea tarilor pe intervale egale in functie de importul de bunuri si servicii
4. Să se facă reprezentarea grafică a seriilor de repartiţie obţinute ca rezultat al acestor grupări (de exemplu, diagramă cu coloane sau histogramă).
Exportul de bunuri si servicii Figura nr. 1:Gruparea celor 30 de tari in functie de exportul de bunuri si sevicii.
Distributia tarilor in functie de exportul de bunuri si servicii 12 10 8 6 4 2 0
Importul de bunuri si servicii Figura nr. 2:Gruparea celor 30 de tari in functie de importul de bunuri si sevicii.
Distributia tarilor in functie de importul de bunuri si servicii 7 6 5 4 3 2 1 0 22.12-32.64 32.64-43.16 43.16-53.68 53.68-64.2 64.2-74.72 74.72-85.24
5. Pentru fiecare variabilă, pe baza repartiţiei de frecvenţe obţinute la punctul 3 al lucrării, să se stabilească indicatorii tendinţei centrale (media aritmetică ponderată, mediana şi modul), indicatorii sintetici ai variaţiei şi indicatorii asimetriei.
Exportul de bunuri si servicii Indicatorii tendintei centrale
Intervale de variatie dupa exporturi 24.26 30.22 30.22 36.18 36.18 42.12 42.12 48.1 48.1 54.06 54.06 60.02 Total
ni 6 4 4 6 2 4 26
xi 27.24 33.2 39.15 45.11 51.08 57.04
xi*ni 163.44 132.8 156.6 270.66 102.16 228.16 1053.82
ni/xi 0.220264 0.120482 0.102171 0.133008 0.039154 0.070126 0.685206
xi^2*ni 4452.106 4408.96 6130.89 12209.47 5218.333 13014.25 45434.01
lgxi*ni 8.611243 6.084552 6.370927 9.925637 3.416502 7.024718 41.43358
Fi 6 10 14 20 22 26
Tabel nr. 5 : Gruparea tarilor pe intervale egale in functie de exportul bunurilor si serviciilor.
-13.05 -7.23 -1.28 4.68 10.65 16.61
1021.815 209.0916 6.5536 131.4144 226.845 1103.5684 2699.288
Media aritmetica ponderata Media aritmetica ponderata – se utilizeaza cand fiecare nivel al caracteristicii prezinta frecvente diferite
n
x
x *n n i
i 1
i
i
1053.82 40.53 26
̅ =40.53
Mediana
1) Indentificarea intervalului ce contine mediana.Adunand treptat frecventele ajungem la un numar mai mare sau egal cu 15.5.Astfel rezulta intervalul care contine mediana[40,66-53,66).
Loc Me=(26+1)/2=13.5 2)Me apartine intervalului [36.18;42.12)
3)Identificare mediana Me=
∑
Me exp x0 k Me
locMe npMe nMe
36.18 5.96 *
13.5 10 41.39 4
Jumatate dintre tari au exportul de bunuri si servicii mai mare sau egal cu 41.39 Jumatate dintre tari au exportul de bunuri si servicii mai mic sau egal cu 41.39
Modul In cazul importurilor si exporturilor,avem doua moduri.Le calculam pe ambele. Cazul I 1)Mo apartine [24.26; 30.22)
2)
Mo x0 k Mo
1 1 2
Mo exp x0 k Mo
1 6 24 .26 5.96 * 28 .73 1 2 62
Delta 1=6-0=6 Delta 2=6-4=2 Cazul II 1)Mo apartine [42.12 ;48.1)
2)
Mo exp x0 k Mo
1 2 42 .12 5.96 * 44 .08 1 2 24
Delta 1=6-4=2 Delta 2=6-2=4 Din cele doua moduri,il alegem pe cel mai mare.
Indicatorii sintetici ai variatiei Media liniara Abaterea medie liniară arată în medie cu cât se abat termenii seriei de la media lor. Prezintă dezavantajul că nu tine seama de semnul algebric si acordă aceeasi importantă atât abaterilor mici, cât si abaterilor mari. Acest indicator este un indicator concludent numai dacă seria prezintă un grad mare de omogenitate.
d
d n x xn n n i
i
i
i
i
∑|
d=
|
i
=
∑
∑|
̅|
=246.88/26=9.49
∑
Dispersia Dispersia 2 x este un indicator care înlătură neajunsurile abaterii medii liniare, este un indicator abstract, nu are formă concretă de exprimare si arată modul în care valorile caracteristicii gravitează în jurul mediei. Dispersia măsoară variatia totală a caracteristicii studiate datorită cauzelor esentiale si întâmplătoare. Acest indicator se foloseste în verificarea ipotezelor statistice si în calculul altor indicatori.
2
(x x) n i
2
ni
i
2
(x x) n i
i
2
ni
11063.87 103..81 26
Abaterea medie patratica
Abaterea medie pătratică numită si abaterea standard sau aba-terea tip x , este un indicator care acordă fiecărei abateri importanta cuvenită, prin ridicarea la pătrat a abaterilor. Abaterea medie pătratică este mai mare decât abaterea medie liniară.
Abaterea medie pătratică sau abaterea tip se foloseste: - în calculele de corelatie; - la estimarea erorilor de sondaj; - la verificarea semnificaŃiei anumitor indicatori statistici; - la verificarea empirică a normalitătii repartitiei fenomenului analizat. Astfel: Dezavantajele abaterii medii pătratice sunt: - se exprimă în aceeasi unitate de măsură ca si variantele caracteristice (în acest caz în unităti monetare); - nu permite compararea variatiei a două colectivităti în care caracteristica se exprimă în unităti de măsură diferite.
2 =10.18
2 103.81 10.81 Coeficientul de variatie
Coeficientul de variatie (v) se calculează ca raport procentual între abaterea medie liniară sau abaterea medie pătratică si media aritmetică: Coeficientul de variatie arată câte unităti din abaterea medie liniară sau din cea pătratică revin la 100 de unităti de medie. Coeficientul de variatie, comparativ cu ceilalti indicatori ai dispersiei calculati în mărimi medii , măreste sfera de comparabilitate a acestuia, deoarece poate fi exprimat în unităti de măsură diferite. Coeficientul de variaŃie poate lua valori cuprinse între 0-100%: Când coeficientul de variatie tinde spre zero, se consideră o variatie slabă, o colectivitate omogenă si o medie cu un grad ridicat de reprezentativitate. Când coeficientul de variatie tinde spre 100%, variatia este intensă, colectivitatea eterogenă, iar media are un grad de reprezentativitate redus. Ca test de semnificatie a reprezentativitătii mediei se pot stabili următoarele praguri de semnificatie: 0 < v < 17% media este strict reprezentativă; 17% < v < 35% media este moderat reprezentativă; 35% < v < 50% media este reprezentativă în sens larg; v > 50% medie nereprezentativă.
v v
x
x
100
100
10.18 100 25.11 40.53
Daca v ≤ 35% => tarile sunt omogene, iar media este reprrezentativa.In cazul nostru, coeficientul de variatie este egal cu 25.11 indeplineste conditia.
Indicatorii asimetriei Mo=44.08 Media=40.53
Coeficientul de asimetrie Coeficientul de asimetrie este o masura a asimetriei distributiei seriei in jurul mediei, acesta ne edifica asupra modului de dispunere a nivelurilor individuale ale caracteristicii in raport cu o repartitie uniforma sau normala. Cu cat coeficientul de asimetrie e este mai mic, respectiv se apropie ca marime de zero, cu atat seria statistica are un grad de asimetrie mai redus, iar daca Sx este egal cu zero, seria este perfect simetrica. Semnul pozitiv al coeficientului de asimetrie indica o asimetrie spre dreapta iar, semnul negativ semnalizeaza existenta unei asimetrii a seriei statistice spre stanga respectiv catre nivelurile mai mici ale seriei.
Cas C as
x Mo
x Mo
40.53 44.08 0.348 10.18
In cazul importurilor,coeficientul de asimetrie este mai mare decat 0,deci avem o asimetrie de stanga,pozitiva
Importul bunurilor si serviciilor
Intervale de variatie dupa importuri 22.12 32.64 32.64 43.16 43.16 53.68 53.68 64.2 64.2 74.72 74.72 85.24 Total
ni 11 5 6 1 1 2 26
xi 27.38 37.9 48.42 58.94 69.46 79.98
xi*ni 301.18 189.5 290.52 58.94 69.46 159.96 1069.56
ni/xi 0.401753 0.131926 0.123916 0.016966 0.014397 0.025006 0.713964
xi^2*ni 8246.308 7182.05 14066.98 3473.924 4824.692 12793.6 50587.55
lgxi*ni 15.81177 7.893196 10.11015 1.77041 1.841735 3.805963 41.23322
Fi 11 16 22 23 24 26
( - )2 *ni -14.53 2322.3299 -4.01 80.4005 6.51 254.2806 17.03 290.0209 27.55 759.0025 38.07 2898.6498 6604.6842
Tabel nr.7 : Gruparea tarilor pe intervale egale in functie de importul bunurilor si serviciilor.
Indicatorii tendintei centrale
Media aritmetica ponderata Media aritmetica ponderata – se utilizeaza cand fiecare nivel al caracteristicii prezinta frecvente diferite
̅̅̅̅=41.13 n
x *n x n i 1
i
i
41.13
i
Mediana
1) Indentificarea intervalului ce contine mediana.Adunand treptat frecventele ajungem la un numar mai mare sau egal cu 15.5.Astfel rezulta intervalul care contine mediana[40,66-53,66)
Loc Me=(26+1)/2=13.5 2)Me apartine intervalului [32.64;43.16)
locMe np Me
Me exp x0 k Me
nMe
40.66 13 *
15.5 13 44.27 9
3)Identificare mediana ∑
Me=
=32.64+10.52* (13.5-11)/5=37.9
Jumatate dintre tari au exportul de bunuri si servicii mai mare sau egal cu 37.9 Jumatate dintre tari au exportul de bunuri si servicii mai mic sau egal cu 37.9.
Modul 1)Mo apartine [22.12;32.64) 2)
Mo x0 k Mo
Delta 1=11-0=11 Delta 2=11-5=6
=22.12+ 11 * 11/(11+6)=29.23 1 1 2
Mo exp x 0 k Mo
1 (9 7) 40 .66 13 * 44 .37 1 2 (9 7) (9 4) Indicatorii sintetici ai variatiei Media liniara
Abaterea medie liniară arată în medie cu cât se abat termenii seriei de la media lor. Prezintă dezavantajul că nu tine seama de semnul algebric si acordă aceeasi importantă atât abaterilor mici, cât si abaterilor mari. Acest indicator este un indicator concludent numai dacă seria prezintă un grad mare de omogenitate.
∑|
d=
|
=
∑
∑|
̅| ∑
=339.66/26=13.06 Dispersia
Dispersia 2 x este un indicator care înlătură neajunsurile abaterii medii liniare, este un indicator abstract, nu are formă concretă de exprimare si arată modul în care valorile caracteristicii gravitează în jurul mediei. Dispersia măsoară variatia totală a caracteristicii studiate datorită cauzelor esentiale si întâmplătoare. Acest indicator se foloseste în verificarea ipotezelor statistice si în calculul altor indicatori.
(x x) n
2
i
2
ni
=254.02
i
2
(x x) n i
2
ni
254.02
i
Abaterea medie patratica
Abaterea medie pătratică numită si abaterea standard sau aba-terea tip x , este un indicator care acordă fiecărei abateri importanta cuvenită, prin ridicarea la pătrat a abaterilor. Abaterea medie pătratică este mai mare decât abaterea medie liniară
& d . n
Abaterea medie pătratică sau abaterea tip se foloseste: - în calculele de corelatie; - la estimarea erorilor de sondaj; - la verificarea semnificaŃiei anumitor indicatori statistici; - la verificarea empirică a normalitătii repartitiei fenomenului analizat. Astfel: Dezavantajele abaterii medii pătratice sunt: - se exprimă în aceeasi unitate de măsură ca si variantele caracteristice (în acest caz în unităti monetare); - nu permite compararea variatiei a două colectivităti în care caracteristica se exprimă în unităti de măsură diferite.
2 =15.93
2 254.02 15.93
Coeficientul de variatie Coeficientul de variatie (v) se calculează ca raport procentual între abaterea medie liniară sau abaterea medie pătratică si media aritmetică: Coeficientul de variatie arată câte unităti din abaterea medie liniară sau din cea pătratică revin la 100 de unităti de medie. Coeficientul de variatie, comparativ cu ceilalti indicatori ai dispersiei calculati în mărimi medii , măreste sfera de comparabilitate a acestuia, deoarece poate fi exprimat în unităti de măsură diferite. Coeficientul de variaŃie poate lua valori cuprinse între 0-100%: Când coeficientul de variatie tinde spre zero, se consideră o variatie slabă, o colectivitate omogenă si o medie cu un grad ridicat de reprezentativitate. Când coeficientul de variatie tinde spre 100%, variaŃia este intensă, colectivitatea eterogenă, iar media are un grad de reprezentativitate redus. Ca test de semnificatie a reprezentativitătii mediei se pot stabili următoarele praguri de semnificatie: 0 < v < 17% media este strict reprezentativă; 17% < v < 35% media este moderat reprezentativă; 35% < v < 50% media este reprezentativă în sens larg; v > 50% medie nereprezentativă.
v v
x x
100 100
15.93 100 38.73 41.13
Daca v ≤ 35% => tarile sunt omogene, iar media este reprrezentativa.In cazul nostru, coeficientul de variatie este egal cu 38.73 si nu indeplineste conditia.
Indicatorii asimetriei Media=41.91 Mod=29.23
Coeficientul de asimetrie Coeficientul de asimetrie este o masura a asimetriei distributiei seriei in jurul mediei, acesta ne edifica asupra modului de dispunere a nivelurilor individuale ale caracteristicii in raport cu o repartitie uniforma sau normala. Cu cat coeficientul de asimetrie e este mai mic, respectiv se apropie ca marime de zero, cu atat seria statistica are un grad de asimetrie mai redus, iar daca coeficientul este egal cu zero, seria este perfect simetrica. Semnul pozitiv al coeficientului de asimetrie indica o asimetrie spre dreapta iar, semnul negativ semnalizeaza existenta unei asimetrii a seriei statistice spre stanga respectiv catre nivelurile mai mici ale seriei.
Cas
C as
x Mo
x Mo
41.91 29.23 0.79 15.93
In cazul importurilor,coeficientul de asimetrie este mai mare decat 0,deci avem o asimetrie de stanga,pozitiva.
6. Comparând indicatorii celor două repartiţii de frecvenţă, să se observe şi comenteze asemănările şi / sau deosebirile dintre cele două variabile studiate Exportul bunurilor si serviciilor Importul bunurilor si serviciilor Media aritmetica ponderata 40.53 41.13 Mediana 41.39 37.9 Modul 44.08 29.23 Media liniara 9.49 13.06 Dispersia 103.81 254.02 Abaterea medie patratica 10.18 15.93 Coeficientul de variatie 25.11 38.73 Asimetria asimetrie dreapta(negativa) asimetrie stanga(pozitiva) Coeficientul de asimetrie -0.348 0.79 Tabel nr. 8 : Compararea indicatorilor celor doua repartitii de frecventa
Comparand indicatorii celor doua repartitii de frecventa,concluzionam urmatoarele : 1)Din calculul mediei aritmetice ponderate,media exporturilor de bunuri si servicii este mai mica decat cea a importurilor de bunuri si servicii cu 0.6 puncte. 2)Din calculul medianei,observam ca mediana exporturilor de bunuri si servicii este mai mare decat mediana importurilor de bunuri si servicii cu 3.49 puncte. 3)Din calculul modului,observam ca modul exporturilor de bunuri si servicii este mai amre decat modul importurilor de bunuri si servicii cu 14.85 puncte. 4)Din calculul mediei liniare,observam ca media liniara a exporturilor de bunuri si servicii este mai mica decat media liniara a importurilor de bunuri si servicii cu 3.57 puncte. 5)Din calculul dispersiei,observam ca dispersia importurilor de bunuri si serviicii are un coeficient de 254.02,adica este aproape dubla fata de dispersia exporturilor de bunuri si servicii care are un coeficient de 103.81. 6)Din calculul abaterii mediei patratice,abaterea mediei patratice a exporturilor de bunuri si servicii este mai mica decat abaterea mediei patratice a importurilor de bunuri si servicii cu 5.75 puncte. 7)Din calculul coeficientului de variate,coeficientul importurilor de bunuri si servicii este mai mare decat coeficientul exporturilor de bunuri si servicii cu 12.84 puncte. 8)Din calculul coeficientului de asimetrie,coeficientul exporturilor de bunuri si servicii este mai mic decat coeficientul importurilor de bunuri si servicii cu 0.339 puncte. 9)Din punctul de vedere al asimetriei,exporturile de bunuri si servicii au o asimetrie de dreapta,negativa in timp ce importurile de bunuri si servicii au o asimetrie de stanga,pozitiva.
7.Considerând eşantionul cercetat ca fiind rezultat al unui sondaj simplu aleator nerepetat, se cere să se estimeze cu o probabilitate de 0,95 (z =1,96) limitele intervalului în care se situează media (pentru fiecare variabilă cercetată) tuturor celor N=200 de ţări existente în baza de date World Bank
Sondajul Sondajul statistic presupune înregistrarea unor unităţi statistice cu scopul de a estima parametrii colectivităţii generale în condiţii optime. Deci prin sondaj se studiază numai o parte a colectivităţii generale iar rezultatele obţinute caracterizează întreaga colectivitate. Sondajul presupune două faze distincte:
1)Observarea sau descrierea statistică constă în extragerea eşantionului şi calculelor valorilor care îl definesc: media, abaterea medie pătratică, coeficientul de variaţie etc; 2)Inferenţă statistică constă în extinderea indicatorilor eşantionului asupra populaţiei.
Exportul de bunuri si servicii Esantion n=26
x= 40.43
10.18
Colectivitate generala N= 200 ( z ) 0,95 z 1,96 x - x ≤ µ ≤ x+ x x z sx
sx sx
s2 n 1 n N eroare medie de reprezentativitate 10 .3.81 = ± 26 (1 0. ) 4.58 26 200
In medie, media din esantion se abate fata de media colectivitatii generale cu ± 4.58 puncte .
eroare limita sau maxim admisibila
x 1.96 * 4.58 = 8.97
Diferenta maxima dintre media din esantion si media din colectivitatea generala este de ±8.9 puncte, garantata cu o probabilitate de 95%. interval de incredere 31.56 ≤ µ ≤ 49.5 Media unei tari din cele 200 se incadreaza in intervalul [ 31.56 ;49.5], garantand acest rezultat cu o probabilitate de 95%.
Unde: Coeficientul „z” este argumentul funcŃiei Gauss – Laplace, care se găseste în tabele statistice . Pe măsură ce creste valoarea functiei, creste si valoarea argumentului, adică pe măsură se creste probabilitatea, creste si intervalul de încredere al mediei si scade exactitatea cu care se estimează media
colectivitătii generale. Coeficientul de probabilitate „z” este direct proporŃional cu eroarea limită si invers proporŃional cu eroarea medie de reprezentativitate: Functia de probabilitate z este direct proportională cu mărimea coeficientului „z”, ea se apropie de 1 (către certitudine) proportional cu cresterea coeficientului „z”. Cresterea probabilitătii se manifestă prin mărirea intervalului de încredere, ceea ce duce la o precizie mai scăzută a rezultatelor. Pe măsură ce creste probabilitatea, precizia scade.
Importul de bunuri si servicii
Esantion n=26
x= 41.91
15.93
Colectivitate generala N= 200 ( z ) 0,95 z 1,96 x - x ≤ µ ≤ x + x x z sx
sx sx
s2 n 1 n N eroare medie de reprezentativitate 254 .02 26 (1 ) 11 .22 26 200
In medie, media din esantion se abate fata de media colectivitatii generale cu ± 11.22 puncte
eroare limita sau maxim admisibila
x 1.96* 11.22=21.99
Diferenta maxima dintre media din esantion si media din colectivitatea generala este de ±21.99 puncte, garantata cu o probabilitate de 95%. interval de incredere 19.14 ≤ µ ≤ 63.12 Media unei tari din cele 200 se incadreaza in intervalul [ 19.14 ; 63.12], garantand acest rezultat cu o probabilitate de 95%.
Coeficientul „z” este argumentul functiei Gauss – Laplace, care se găseste în tabele statistice . Pe măsură ce creste valoarea functiei, creste si valoarea argumentului, adică pe măsură se creste probabilitatea, creste si intervalul de încredere al mediei si scade exactitatea cu care se estimează media colectivitătii generale. Coeficientul de probabilitate „z” este direct proportional cu eroarea limită si invers proporŃional cu eroarea medie de reprezentativitate: Functia de probabilitate z este direct proportională cu mărimea coeficientului „z”, ea se apropie de 1 (către certitudine) proportional cu cresterea coeficientului „z”. Cresterea probabilitătii se manifestă prin mărirea intervalului de încredere, ceea ce duce la o precizie mai scăzută a rezultatelor. Pe măsură ce creste probabilitatea, precizia scade.
8. Să se facă gruparea combinată a elementelor observate în funcţie de ambele caracteristici /variabile analizate în lucrare, notând cu X variabila independentă cunoscută şi sub numele de variabilă factorială sau explicativă (grupele se aşează în capetele de coloane ale matricei), iar cu Y variabila dependentă, numită în teoria şi practica statistică şi variabilă rezultativă sau explicată (grupele se aşează în capetele de rânduri ale matricei). Cum comentaţi această repartiţie bidimensională ?
74.72-85.24 64.2-74.72 53.58-64.2 43.16-53.68 32.64-43.16 22.12-32.64 TOTAL
24.26-30.22 0 0 0 0 0 8 8
30.22-36.18 0 0 1 0 2 0 3
36.18-42.12 0 0 0 0 3 1 4
42.12-48.1 1 1 1 2 0 1 6
48.1-54.06 1 0 0 1 0 0 2
54.06-60.02 0 0 0 2 0 2 4
Tabel nr. 9:Gruparea unitatilor statistice
Seria statistica de repartitie bidimensionala este o constructie ce reda distributia unei populatii in raport cu doua variabile.
In tabel se prezinta numărul unitatilor statistice pentru care, corespunzator caracteristicii X, s-a inregistrat modalitatea xi, fara a tine seama de valorile caracteristicii (variabilei) Y si modalitatea yi, fara a lua in considerare valorile inregistrate pentru caracteristica X. Numerele din interiorul tabelului de corelatie se mai numesc efective partiale. In concluzie,observam tarile se ordoneaza din tabelul elementelor grupate pe diagonala crescator si ca aceasta repartitie bidimensionala creste direct.
TOTAL 2 1 2 5 5 12 26
9.Pornind de la ipoteza că variabila independentă X exercită o influenţă asupra variabilei dependente Y, să se estimeze şi comenteze parametrii funcţiei liniare de regresie. Care este semnificaţia funcţiei de regresie astfel identificate? Cum comentaţi diferenţele dintre valorile reale ale caracteristicii Y şi valorile estimate cu ajutorul funcţiei de regresie?
Nr crt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Total
Exporturi de Importuri de bunuri si servicii bunuri si servicii 40.57 27.44 51.79 27 59.43 24.26 36.18 30.22 30.43 43.87 47.6 56.5 53.17 32.87 43.62 29.31 44.04 55.43 40.7 46.61 25.64 46.16 38.69 34.16 29.44 56.17
1051.3
41.43 29.65 45.87 32.03 53.31 25.81 35.98 29.09 52.98 74.26 30.33 53.42 75.52 34.47 84.24 29.71 61.72 22.82 27.48 46.92 23.83 45.84 39.3 41.41 22.14 30.27
1089.83
x i2
xi yi
yi2
1645.92 752.954 2682.2 729 3531.92 588.548 1308.99 913.248 925.985 1924.58 2265.76 3192.25 2827.05 1080.44 1902.7 859.076 1939.52 3072.48 1656.49 2172.49 657.41 2130.75 1496.92 1166.91 866.714 3155.07 45445.4
1680.82 813.596 2375.61 864.81 3168.21 626.151 1301.76 879.1 1612.18 3257.79 1443.71 3018.23 4015.4 1133.03 3674.55 870.8 2718.15 1264.91 1118.44 2186.94 611.001 2115.97 1520.52 1414.57 651.802 1700.27 46038.3
1716.44 879.123 2104.06 1025.92 2841.96 666.156 1294.56 846.228 2806.88 5514.55 919.909 2853.7 5703.27 1188.18 7096.38 882.684 3809.36 520.752 755.15 2201.49 567.869 2101.31 1544.49 1714.79 490.18 916.273 52961.6
yˆ i
40.94 26.83 52.99 26.35 61.20 23.41 36.22 29.81 30.04 44.48 48.49 58.05 54.48 32.66 44.21 28.84 44.66 56.90 41.08 47.43 24.89 46.94 38.92 34.05 28.97 57.70 1060.54
2 ( y i yˆ i ) 2 ( y i y i ) ( yˆ
0.24 7.98 50.74 32.23 62.30 5.77 0.06 0.52 526.30 886.73 329.80 21.48 442.85 3.27 1602.14 0.77 290.89 1161.77 184.83 0.26 1.13 1.22 0.15 54.21 46.72 752.40 6466.74
411.68 1028.48 251.22 881.50 70.73 1289.53 662.55 1064.72 76.39 157.25 985.33 68.89 190.44 742.56 507.15 1024.64 0.00 1513.21 1172.38 219.04 1435.65 252.17 502.66 412.50 1566.58 989.10 17476.35
i
y )
2
431.99 1217.62 76.16 1250.84 0.27 1467.79 650.35 1018.05 1003.70 297.15 175.02 13.44 52.47 844.43 306.49 1081.41 290.89 23.19 426.20 204.31 1356.36 218.36 520.05 765.78 1072.24 16.16
14780.73
Tabel nr. 10: Gruparea datelor importurilor si exporturilor pentru calcularea coeficientului de
corelatie liniara
S
22.30340242
e
36.13642647
Rsquare
0.629971729
R
0.079370758
Tabel nr. 11:Calcularea anumitor parametrii
Regres a u factor ală l
ară
Parametrul a – numit şi termen liber – reprezintă ordonata la origine şi exprimă valoarea lui y când x = 0 (punctul în care linia intersectează axa Oy). Acest parametru nu are semnificaţie economică. Parametrul b reprezintă, din punct de vedere matematic, panta dreptei de regresie şi poartă denumirea de coeficient de regresie. El arată cu câte unităţi se modifică variabila rezultativă (Y) la modificarea cu o unitate a variabilei factoriale (X). Semnul coeficientului de regresie arată direcţia legăturii dintre cele două variabile. Astfel: · dacă b > 0 legătura dintre variabile este directă; · dacă b < 0 legătura dintre variabile este inversă; · dacă b = 0 nu există legătură între variabile
a
-2.66
b
1.07
Tabel nr. 12:Calculul parametrilor a si b a=-2.66 b=1.07 este mai mare decat 0 => are legatura directa Daca exporturile cresc cu 10 %,importurile cresc cu 10.7 %.
10.Sa se determine si comenteze coeficientul de corelatie liniara intre cele doua variabile.
Covarianta Covarianţa dintre două variabile încearcă să surprindă existenţa şi direcţia legăturii dintre o variabilă dependentă (Y) şi o variabilă independentă (X), pornind de la calculul abaterilor fiecărui termen de la media seriei de date corespunzătoare. Semnul covarianţei arată direcţia legăturii dintre variabile: covarianţa pozitivă denotă o legătură directă iar cea negativă o legătură inversă. Dezavantaje: - limita superioară de variaţie, dată de produsul abaterilor standard ale celor două variabile analizate, apare în cazul unei legături deterministe, ceea ce face dificilă interpretarea directă a rezultatului. -se exprimă în unităţile de măsură ale caracteristicilor analizate, nefiind o valoare abstractă care să permită realizarea de comparaţii.
n
Cov(X, Y)
(x i 1
i
x )(yi y ) n
Coeficientul de corelaţie liniară (coeficientul Pearson) Coeficentul de corelatie liniara se calculează ca raport între covarianţă şi produsul abaterilor standard ale variabilelor analizate: n
(xi x )(yi y ) Cov( X , Y ) r i 1 x y n x y
Coeficientul de corelaŃie liniară (ry/x) este un indicator sintetic care măsoară intensitatea legăturii dintre două variabile xi si yi si ia valori între –1 si +1.
Valoarea pozitivă a coeficientului de corelatie (r > 0) indică o corelatie pozitivă, directă între variabile X si Y. Cu cât valoarea coeficientului este mai apropiată de 1, cu atât legătura dintre cele două variabile este mai puternică.
Valoarea negativă a coeficientului de corelatie (r < 0) indică o legătură inversă si cu cât valoarea este mai apropiată de –1, corelatia este mai puternică, dar în sens invers. Valoarea nulă (r = 0) sau apropiată de zero a coeficientului de corelatie arată o legătură slabă sau lipsită de legătură. În practică sunt folosite următoarele aprecieri ale intensitătii legăturii dintre variabilele X si Y pentru diferite intervale de valori ale coeficientului de corelaŃie. ry/x (0; 0,2) – legătura lipseste sau este nesemnificativă; ry/x (0,2; 0,5) – legătura slabă; ry/x (0,5; 0,75) – legătură de intensitate medie; ry/x (0,75; 0,95) – legătura este puternică; ry/x (0,95; 1) – legătură puternică, aproape deterministă
Nr crt
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Exporturi Importuri xiyi(xi(xi(yide bunuri de bunuri xmediu ymediu xmediu)*(yi- xmediu)^2 ymediu)^2 si servicii si servicii ymediu) 40.57
41.43
27.44
29.65
51.79
45.87
27
32.03
59.43
53.31
24.26
25.81
36.18
35.98
30.22
29.09
30.43
52.98
43.87
74.26
47.6
30.33
56.5
53.42
53.17
75.52
32.87
34.47
43.62
84.24
29.31
29.71
44.04
61.72
0.13538 -12.995 11.3554 -13.435 18.9954 -16.175 -4.2546 -10.215 -10.005 3.43538 7.16538 16.0654 12.7354 -7.5646 3.18538 -11.125 3.60538
-0.4865 -12.267 3.95346 -9.8865 11.3935 -16.107 -5.9365 -12.827 11.0635 32.3435 -11.587 11.5035 33.6035 -7.4465 42.3235 -12.207 19.8035
-0.0659 159.399 44.8931 132.822 216.423 260.517 25.2577 131.018 -110.69 111.112 -83.022 184.808 427.953 56.3302 134.817 135.793 71.3991
0.01833 168.86 128.945 180.489 360.825 261.618 18.1018 104.338 100.092 11.8019 51.3427 258.097 162.19 57.2234 10.1467 123.757 12.9988
0.23672 150.468 15.6299 97.7436 129.811 259.421 35.2425 164.52 122.4 1046.1 134.248 132.33 1129.19 55.4509 1791.28 149 392.177
18 55.43 19 40.7 20 46.61 21 25.64 22 46.16 23 38.69 24 34.16 25 29.44 26 56.17 Total 1051.3
22.82
14.9954 -19.097 0.26538 -14.437 6.17538 5.00346 -14.795 -18.087 5.72538 3.92346 -1.7446 -2.6165 -6.2746 -0.5065 -10.995 -19.777 15.7354 -11.647
27.48 46.92 23.83 45.84 39.3 41.41 22.14 30.27
-286.36 -3.8312 30.8983 267.583 22.4633 4.56485 3.17833 217.435 -183.26 1971.44
1089.83
224.862 0.07043 38.1354 218.881 32.78 3.04368 39.3708 120.882 247.602 2936.47
364.678 208.414 25.0346 327.123 15.3936 6.84627 0.25658 391.111 135.642 7279.74
Tabel nr. 13:Calcularea anumitor indicii pentru a determina covarianta si coeficentul de corelatie liniara
xmediu
40.4346
sigmax
10.6274
ymediu
41.9165
sigma y
16.7329
cov(X,Y)
75.8245
r
0.4264
Tabel nr. 14:Calculul covariantei si coeficientului de corelatie liniara Covarianta (X,Y) este egala in cazul nostru cu 75.82.Covarianta este mai mare ca 0,deci exista o legatura directa. Coeficientul de corelatie liniara, r,este egal cu 0.42 si apartine intervalului [0.2;0.4],ceea ce inseamna ca legatura directa dintre variabilele x si y este slaba. 11.Sa se caracterizeze intensitatea legaturii neparametrice(coeficienti de corelatie a rangurilor).
dintre
cele
doua
variabile
prin
metode
Tara
Exporturi de bunuri si servicii
Importuri rx de bunuri si servicii
ry
di
di^2
Pi
Qi
Si
1
24.26
25.81
1
6
-5
25
20
5
15
2
25.64
23.83
2
23
-21
441
3
21
-18
3
27
32.03
3
2
1
1
23
1
22
4
27.44
29.65
4
1
3
9
22
0
22
5
29.31
29.71
5
14
-9
81
11
10
1
6
29.44
22.14
6
7
-1
1
17
3
14
7
30.22
29.09
7
4
3
9
18
1
17
8
30.43
52.98
8
5
3
9
17
1
16
9
32.87
34.47
9
24
-15
225
2
15
-13
10
34.16
41.41
10
20
-10
100
4
12
-8
11
36.18
35.98
11
3
8
64
15
0
15
12
38.69
39.3
12
9
3
9
13
1
12
13
40.57
41.43
13
11
2
4
11
2
9
14
40.7
27.48
14
12
2
4
10
2
8
15
43.62
84.24
15
10
5
25
10
1
9
16
43.87
74.26
16
13
3
9
9
1
8
17
44.04
61.72
17
18
-1
1
5
4
1
18
46.16
45.84
18
21
-3
9
3
5
-2
19
46.61
46.92
19
19
0
0
3
4
-1
20
47.6
30.33
20
8
12
144
6
0
6
21
51.79
45.87
21
26
-5
25
0
5
-5
22
53.17
75.52
22
25
-3
9
0
4
-4
23
55.43
22.82
23
17
6
36
1
2
-1
24
56.17
30.27
24
16
8
64
1
1
0
25
56.5
53.42
25
22
3
9
0
1
-1
26
59.43
53.31
26
15
11
121
0
0
0
Total
490.53
549.55
1007
Tabel nr. 15:Ordonarea exporturilor si importurilor de bunuri si servicii dupa ranguri
Cs
6042 17550 0.655726
Ck
242 650 0.372308
Tabel nr. 16:Calcularea coeficientilor de corelatie a rangurilor
121
Coeficientul de corelaţ e a ra gur lor Spearma
di – reprezintă diferenţa dintre rangul variantei xi şi rangul variantei yi, la nivelul unităţii de observare i. n – numărul perechilor de valori observate Acest coeficient este cuprins între –1 şi +1.
CS 1
6d i2 n(n 2 1)
In cazul nostru, Cs=0.65.Deci,apartine intervalului (-1;1).
Coef c e tul de corelaţ e a ra gur lor Ke dall Ck
2S n(n 1)
S Si Pi Qi Pi= numărul de ranguri, superioare rangului termenului i, de la acesta până la sfârşitul seriei; Qi= numărul de ranguri, inferioare rangului termenului i, de la acesta până la sfârşitul seriei. In cazul nostru, Ck= 0.37.
