Universidade Católica Dom Bosco Curso de Engenharia de Computação Disciplina: Tópicos Avançados em Sistemas de Computação – ! ro"# Dr# $icardo $# Santos Entrega: %&'(&')((* %+ ,ista de E-erc.cios /rogramação ,inear: 0odelagem1 02todo 3r4"ico e 02todo Simple-5 %5 Uma determinada confecção opera com dois produtos calças e camisas. Como tratam-se de
produtos semelhantes,possuem uma produtividade comparável e compartilham os mesmos recursos .A programação da produção é realizada por lotes do produto. O departamento de produção informa ue são necessários !" homens # hora para um lote de calças e $" homen homens s # hora hora
para para um lote lote de cami camisa sas s .%a& .%a&ee-se se ue não é nece necess ssár ária ia mão de o&ra o&ra
especializada para a produção de calças ,mas são necessária !" homens hora desse tipo de mão de o&ra para produzir produzir um lote um lote de camisas camisas .O departamento departamento pessoal pessoal informa informa ue a força má#ima de tra&alho dispon'vel dispon'vel é de (" homens homens hora de operários especializados especializados e de )" homens homens hora não especializados . *a planta planta de produção, sa&emos sa&emos ue e#istem e#istem duas máuinas máuinas com capacidade capacidade para produzir produzir os dois tipos tipos de produto+ produto+ sendo ue a máuina máuina ! pode produzir produzir um lote da calças calças a cada $" horas horas e um lote de camisas camisas a cada !" horas, não podendo podendo ser utilizada utilizada por mais de " horas horas no per'odo per'odo considerado. %ão necessári necessários os dois tipos de matéria prima para produzir produzir calças calças e camisas. camisas. a produção produção de um lote da calças calças são utilizado utilizados s !$ uilos uilos da matéria matéria prima A e !" da . a produç produção ão de um lote de de camisas são utilizados uilos da matéria prima A e !) da . O almo#arifado informa ue por imposiç/es de espaço, s0 pode fornecer !$" uilos de A e !"" uilos de no per'odo considerado. %a&endo-se ue o lucro pela venda é de "" reais nos lotes das camisas e de )"" nos lotes das calças. 1ormule o pro&lema e ma#imizar ma#imizar o lucro da operação produtiva em pauta. )5 Uma empresa administradora agr'cola deve decidir o uanto vai plantar de cana-de-aç2car e
algodão. Os lucros são de 34 $.""","" por alueire de cana-de-aç2car e de 34 !.""","" por alueire de algodão. %uponha ue suas limitaç/es se5am6 terra dispon'vel é de alueires e água dispon'vel para irrigação de ".""" litros sendo ue dese5a-se plantar no má#imo 7 alueires de cana-de-aç2car. Cada alueire de cana-de-aç2car reuererá !".""" litros de água para irrigação e cada alueire de algodão reuererá $".""" litros de água. 8odele e resolva r esolva o pro&lema. 65 3esolva novamente o pro&lema anterior supondo ue se5a reuerido ue mais de )"9 do total
cultivado se5am plantados com algodão.
&5 Uma companhia de armazéns tem !$"" d0lares para alocar a um de seus armazéns. :r;s
produtos !, $ e ( e#igem (", ( e !) m$ de espaço por unidade, respectivamente. <á !)"" m$ de espaço dispon'vel. O produto ! custa !$ d0lares, o produto $ custa 7,)" d0lares e o produto ( custa != d0lares. >uanto de cada produto deve ser comprado se os preços de venda dos produtos !, $ e ( são, respectivamente, de !), ? e $! d0lares, de modo a ma#imizar o lucro@ 1ormule o resolva pro&lema. 75 A administração de uma fazenda está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes
atividades produtivas6 a5 Arrendamento - *estinar certa uantidade de alueires ara a plantação de cana de aç2car, a
uma usina local, ue se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra 34 ("","" por alueire por ano+ 85 ecu4ria - Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens
reuer adu&ação B!"" gDalueireE e irrigação B!"".""" litros de águaDalueireE por ano. O lucro estimado nessa atividade é de 347"","" por alueire por ano. c5 lantio de 0ilho - Usar uma terceira parte para o plantio de milho. Fssa cultura reuer $"" g por
alueire de adu&os e $"".""" litros de água por alueire para irrigação por ano. O lucro estimado nessa
atividade
é
de
34
)"",""
por
alueire
por
ano.
A disponi&ilidade de recursos por ano é de !$.=)".""" litros de água, !7.""" g de adu&o e !"" alueires de terra. >uantos alueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno@
95 :r;s produtos u'micos derivados do petr0leo !, $ e ( são utilizados na produção de dois
tipos de 0leo para motor 8! e 8$. Conhecemos as composiç/es percentuais das misturas Bta&ela >!E, a disponi&ilidade de !, $ e ( Bta&ela >$E e os lucros unitários da venda de cada um dos dois tipos de 0leo para motor Bta&ela >(E. *ese5a-se sa&er como plane5ar a produção de modo a ma#imizar o lucro total. ode-se imaginar aui ue se trata do plane5amento mensal da firma, em função de um fornecimento conhecido e dos preços e custos esta&elecidos Bou previstosE para o per'odo. Admite-se ue o mercado tem capacidade para a&sorver toda a produção. >uadro >! ! 8! (" 8$ ?"
$ )" !)
>uadro ( $" $)
>$
-
Fstoue
em
gal/es
>uadro >( - Hucro em 34 por galão
!
$
G""" =)""
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5 Uma peuena fá&rica de papel toalha manufatura tr;s tipos de produtos A, e C. A fá&rica
rece&e o papel em grandes rolos. O papel é cortado, do&rado e empacotado. *ada a peuena escala da fá&rica, o mercado a&sorverá ualuer produção a um preço constante. O lucro unitário de cada produto é respectivamente 34 !,"", 34 !,)", e 34 $,"". O uadro a&ai#o identifica o tempo reuerido para operação Bem horasE em cada seção da fá&rica, &em como a uantidade de máuinas dispon'veis, ue tra&alham 7" horas por semana. lane5e a produção semanal da fá&rica. %eção Corte *o&ra Fmpacotamento
roduto A ) ",=
roduto ) !" !
roduto C $ 7 $
>de. 8áuina ( !" $
;5 Um fundo de investimentos tem até 34 ("".""","" para aplicar em duas aç/es. A empresa * é
diversificada Btem 7"9 do seu capital aplicado em cerve5a e o restante aplicado em refrigerantesE e espera-se ue forneça &onificaç/es de !$9. A empresa não é diversifica Bproduz apenas cerve5aE e espera-se ue distri&ua &onificaç/es de $"9. ara este investimento, considerando a legislação governamental aplicável, o fundo está su5eito Is seguintes restriç/es6 aE O investimento na empresa diversifica pode atingir 34 $=".""","". &E O investimento na empresa não-diversificada pode atingir 34 !)".""","". cE O investimento em cada produto Bcerve5a ou refrigeranteE pode atingir 34 !".""","". ede-se6 >ual o esuema de investimento ue ma#imiza o lucro@
*5 Um criador de animais de peueno porte alimenta os animais com cinco tipos de ração, cu5a
composição de nutrientes BunidadesDJgE está mostrada a&ai#o6 utrientes rote'nas Car&oidratos Kordura CustoDJg
3ação A (" ?" ) ",$"
3ação $" $" !" ",("
3ação C !) ?" ) ",7"
3ação * " $" ( ",)"
3ação F $" $" $ ",$)
O criador calculou as necessidades diárias de alimentação de cada animal em, pelo menos, " unidades de prote'na, !$" unidades de car&oidratos e (" unidades de gordura. >ual deve ser a mistura das raç/es acima a custo m'nimo@
%(5 Uma fá&rica de computadores produz dois modelos de microcomputadores A e . O modelo A
fornece um lucro de 34 !","" e , de 34 ("","". O modelo A reuer, na sua produção, um
ga&inete peueno e uma unidade de disco. O modelo reuer ! ga&inete grande e $ unidades de disco. F#istem no estoue ?" do ga&inete peueno, )" do ga&inete grande e !$" unidades de disco. ergunta-se6 >ual deve ser o esuema de produção ue ma#imiza o lucro@
%%5 Uma empresa produz televisão em ( fá&ricas6 %ão aulo, Loão essoa e 8anaus. Os pontos
principais de revenda, com as respectivas encomendas mensais são6 3io de Laneiro %alvador Araca52 8acei0 3ecife
?.""" unidades ).""" unidades $.""" unidades !.""" unidades (.""" unidades
A produção má#ima mensal em cada fá&rica é6 %ão aulo Loão essoa 8anaus
!".""" unidades ).""" unidades ?.""" unidades
O custo de transportes das fá&ricas até as revendas é dado pelo uadro a&ai#o6 34 por !.""" unidades de :M *eDara B!E %ão aulo B$E Loão essoa B(E 8anaus
3io de Laneiro B!E !.""" 7.""" ?."""
%alvador B$E $.""" $.""" 7."""
Araca5u B(E (.""" !.)"" (.)""
8acei0 B7E (.)"" !.$"" (."""
3ecife B)E 7.""" !.""" $."""
*eterminar o n2mero de unidades produzidas em cada fá&rica e entregues a cada revenda, a fim de minimizar o custo de transporte.
%)5 Uma central industrial de reciclagem usa dois tipos de sucada de alum'nio, A e , para produzir
uma liga especial. A sucata A contém ?9 de alum'nio, (9 de sil'cio e 79 de car&ono. A sucata tem (9 de alum'nio, ?9 de sil'cio e (9 de car&ono. Os custos por tonelada das suctas A e são 34 !"","" e 34 ","", respectivamente. As especificaç/es da liga especial reuerem ue !E o teor de alum'nio deve ser no m'nimo (9 e no má#imo ?9+ $E o teor de sil'cio deve ficar entre (9 e )9+ e (E o teor de car&ono deve ficar entre (9 e =9. *etermine o mi# 0timo Bde m'nimo custoE de sucatas ue deve ser usado para produzir !""" toneladas da liga.
%65 3esolver graficamente e fornecer os valores 0timos para as variáveis dos pro&lemas a seguir6
aE 8a#imizar 7#!N?#$
s.a
#!N=#$P)? #$P) #!P7 #!, #$QP"
&E 8inimizar $#!N#$ s.a
#!N#$QP!" $#!N(#$QP!7 #!, #$QP"
cE 8a#imizar (#!N#$ s.a
$#!N#$P(" #!N7#$P7" #!,#$QP"
dE 8a#imizar (#! N )#$ s.a
#! P 7 $#$ P !$ (#! N $#$ P ! #! QP " #$ QP "
eE 8a#imizar -$#! - $#$ s.a
(#! - 7#$ P ! #! - (#$ P -$7 ?#! N #$ P $7 (#! N )#$ P $! #! P ( #$ QP "
fE 8a#imizar -$#! - )#$ s.a
$#! - $#$ P !" =#! N (#$ QP -$! -$#! N (#$ QP -? (#! N G#$ P $= #! QP -!
#$ QP -7 %&5 a fa&ricação de dois de seus produtos, uma empresa utiliza dois euipamentos ue limitam a
produção. Fm um dado per'odo de tempo, estão dispon'veis ("h do euipamento ! e "h do euipamento $. ara a fa&ricação de uma unidade do produto A, usa-se ! hora do euipamento ! e $ horas do euipamento $. Lá para uma unidade do produto , são gastas $ horas do euipamento $. O euipamento ! não toma parte na produção do produto . Uma unidade do produto A produz um lucro de 34 !)","", enuanto ue cada unidade do produto gera um lucro de 34 )","". aE 1ormular o pro&lema de H ue ma#imiza o lucro &E 3esolver graficamente. %75 a fa&ricação de dois produtos, R e S, as seguintes restriç/es são válidas uanto aos dois
recursos escassos ue são utilizados6 # N $T P " $# N $T P!$" #P n2mero de unidades produzidas do produto R TP n2mero de unidades produzidas do produto S %a&e-se tam&ém ue cada unidade do produto R fornece um lucro de 34 $","" e cada unidade do produto S leva a um lucro de 34 (","". aE 1ormular o modelo de H ue ma#imiza o lucro &E 3esolver o pro&lema graficamente.
%95 Usando a função linprog do 8atla& resolve os seguintes pro&lemas de H. Caso e#ista solução
0tima, forneça o valor 0timo e o valor avaliado nos pontos. Caso não e#iste uma solução 0tima, 5ustifiue. aE 8a#imizar $#!N)#$N$#( s.a
(#!N!"#$N$#(P?"" #!N$#$P!?$ $#!N)#(P="" #!, #$, #(QP"
&E 8a#imizar $#!N(#$ s.a
#!N#$P!"" #!N$#$P!$" #!, #$QP"
cE 8inimizar #!N7#$ s.a
#!N$#$P=) #!P$" #!, #$QP"
%5 o pro&lema a seguir B5á visto em salaE6
8a#imizar fB#lu#o, #&ásico EP!""#lu#o N)" #&ásico s.a.
!"#lu#o N #&ásico P$).""" #lu#o N #&ásico P7.)"" "P#lu#o P!.)"" e "P #&ásico P?."""
aE 3epresente a região fact'vel com um plano cartesiano e determine a solução 0tima &E Fscreva o pro&lema na forma padrão cE Apliue o método simple#, considerando a &ase inicial Bpartição para a !. VteraçãoE formada pelas colunas das variáveis de folga e determine a solução 0tima. dE Calcule o vetor multiplicador simple# W:Pc:-! para cada iteração do método simple#. Utilize o 8atHa& para realização dos cálculos BUtilize CX BlinhaE para calcular a transposta da matriz C e invBCE para calcular a inversa de CE. O&s6 ote ue6 c: são as constantes das variáveis ue pertencem I partição &ásica na função o&5etivo e ue -! é a inversa da matriz formada pelos coeficientes das variáveis ue estão na partição &ásica. Como e#emplo6 8inimizar fB#!,#$, #(, #7, #)EP -$ #!- #$N" #(N" #7N" #) s.a
#!N #$N #( #!
P7 N #7
#$
P( N #) P =D$
Considerando ue a partição inicial é formada por PYa! a$ a)Z e PYa( a7Z ou se5a6
1 B = 1 0
1 0 1
1 N = 0 0 0 1 e 0
0
0 1
esse caso, o&serve ue as variáveis #!, #$ e #) foram escolhidas como &ásicas. Assim6 T
c
B
=
(
−
2
−
1
0
) ue, como pode ser o&servado, são os coeficientes das variáveis da partição
&ásica na função o&5etivo. %;5 Uma cooperativa de lat'c'nios fa&rica tr;s produtos6 leite pasteurizado, uei5o fresco e iogurte. A
cooperativa rece&e diariamente !"" mil litros de leite, os uais devem ser processados no mesmo dia. <á um compromisso de a&astecer o mercado diário de no m'nimo )" mil litros de leite
pasteurizado, cu5a contri&uição ao lucro é de 34 ","=Dlitro. Um g de uei5o fresco consome !" litros de leite, enuanto um litro de iogurte consome $,) litros de leite. As contri&uiç/es ao lucro são6 uei5o [ 34 !,"7Dg de uei5o e iogurte [ 34 ",$"Dlitro de iogurte. O má#imo ue o mercado assimila diariamente de cada produto é de ?" mil litros de leite pasteurizado, ()"" g de uei5o e $" mil litros de iogurte. *eterminar as uantidades ideais de cada produto de modo a ma#imizar o lucro. %*5 Considere uma fá&rica de pré-moldados ue produz dois tipos de vigas cu5as demandas para os
pr0#imos ( per'odos de venda são dados6
*emanda de vigas
er'odo !
er'odo $
er'odo (
Vtem !
!""
G"
!$"
Vtem $
7"
)"
"
Os produtos utilizam os mesmos tipos de recursos, porém em uantidades diferentes. Um centro de tra&alho está dispon'vel para a produção dos dois itens e cu5a disponi&ilidade é de 7"h por per'odo e ue cada unidade do item ! utiliza !) minutos e cada unidade do item $ necessita de $" minutos. Os custos de produção por per'odo são dados na ta&ela6
Custos de produção
er'odo !
er'odo $
er'odo (
Vtem !
$"
$"
("
Vtem $
$"
$"
("
Admite-se ue a produção possa ser antecipada e estocada para ser utilizada nos per'odos seguintes. Os custos de estocagem são dados a seguir Bpor e#emplo, uma unidade do item ! pode ser produzida no per'odo $ e guardada em estoue para atender a demanda do per'odo ( por 34 (,""DunidadeE.
Custos
de er'odo !
er'odo $
estocagem Vtem !
$
(
Vtem $
$,)
(,)
O o&5etivo é definir um plano de produção de modo ue os pedidos se5am atendidos ao menor custo de produção e estocagem. Os estoues iniciais são nulos e, ao final do horizonte de plane5amento Bper'odo (E, tam&ém se5am nulos. )(5 Uma ind2stria de papel produz &o&inas-5um&o de HP7""cm de largura e cada uma pesa :P!
tonelada. Os 5um&os devem ser cortados em &o&inas menores nas larguras e uantidades
apresentadas na ta&ela a seguir, conforme solicitação de diversos clientes. O o&5etivo então é minimizar o n2mero de &o&inas cortadas em cada padrão de corte.
Dados da Demanda
Harguras
>uantidades
7"cm
) toneladas
7)cm
(,) toneladas
))cm
7 toneladas
?"cm
) toneladas
