EPC - Modelagem

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO DE BARRA DO BUGRES ENGENHARIA DE PRODUÇÃO AGROINDUSTRIAL INTRODUÇÃO A PESQUISA OPERACIONAL

CAMPUS UNIVERSITÁRIO

Prof. Me. Hélio Clementino dos Santos

EPC – EPC – Modelagem de Problemas 1) Problema das Ligas Metálicas  Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A tabela abaixo ilustra a proporção de cada material na mistura para a obtenção das ligas passiveis de fabricação. O preço está cotado em Reais por tonelada da liga fabricada. Também em toneladas estão expressas as restrições de disponibilidade de matéria-prima. Formular o modelo de PL.

Liga Especial de Baixa Resistência

Liga Especial de Alta Resistência

Disponibilidade de Matéria Prima

0,5 0,25 0,25

0,2 0,3 0,5

16 ton. 11 ton. 15 ton.

R$ 3000,00

R$ 5000,00

Cobre Zinco Chumbo Preço de Venda (R$ por Tonelada) Solução:

1º. – Escolha da Variável de Decisão. x1 – Qtde em toneladas produzidas da liga especial de baixa resistência. x2 – Qtde em toneladas produzidas da liga especial de alta resistência.

2º. – Elaboração da função objetivo. Maximizar Z(x) = 3000x 1 + 5000x2.

3º. – Formulação das restrições. a)

Restrição associada à disponibilidade do cobre: 0,5x1 + 0,2x2 ≤ 16

b)

Restrição associada à disponibilidade do zinco: 0,25x1 + 0,3x2 ≤ 11

c)

Restrição associada à disponibilidade do chumbo: 0,25x1 + 0,5x2 ≤ 15

4º. – Restrições de não-negatividade. x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0

5º. – Formulação do PL. Maximizar Z(x) = 3000x 1 + 5000x2. sujeito a: 0,5x1 + 0,2x2 ≤ 16 0,25x1 + 0,3x2 ≤ 11 0,25x1 + 0,5x2 ≤ 15 x1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0




2) Problema da Fábrica de Móveis  Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 250 metros de tábuas, 600 metros de pranchas e 500 metros de painéis de conglomerado. A fábrica normalmente oferece uma linha de móveis composta por um modelo de escrivaninha, uma mesa de reunião, um armário e uma prateleira. Cada tipo de móvel consome uma certa quantidade de matéria prima, conforma a tabela abaixo. A escrivaninha é vendida por 100 unidades monetárias (u.m.), a mesa por 80 u.m., o armário por 120 u.m. e a prateleira por 20 u.m. Pede-se exibir um modelo de PL que maximize a receita com a venda do móveis.

Quantidade de material em metros consumidos por unidade de produto Escrivaninha Mesa Armário Prateleira Tábua Prancha Painéis Valor de Revenda (u.m.)

1 0 3

1 1 2

1 1 4

4 2 0

100

80

120

20

Recursos Disponíveis (m) 250 600 500

3) Problema do Atleta Indeciso  Um jovem atleta sente-se atraído pela prática de dois esportes: natação e ciclismo. Sabe que por experiência que: A natação exige um gasto em mensalidade do clube e deslocamento até a piscina que pode ser expresso em um custo médio de 03 (três) reais por seção de treinamento de duas horas. O ciclismo, mais simples, acaba custando cerca de 02 (dois) reais pelo mesmo tempo de prática. O orçamento do rapaz dispõe de R$ 70,00 para seu treinamento. Seus afazeres de aluno de graduação na universidade lhe dão liberdade de empregar, no máximo, 18 horas mensais e 80.000 calorias para os esforços físicos. Cada seção de natação consome 1500 calorias, enquanto cada etapa ciclística dispende 1000 calorias. Considerando que o rapaz goste igualmente de ambos os esportes o problema consiste em planejar seu treinamento de forma a maximizar o número de seções de treinamento.

4) O Problema da Pequena Fábrica  Considere a situação de decidir sobre a números de unidades a serem produzidas por certo fabricante de dois diferentes tipos de produto. Os lucros por unidade do produto1 e do produto2 são, respectivamente, 2 e 5 u.m. Cada unidade do produto1 requer 3 horas de maquina e 9 unidades de matéria-prima, enquanto o produto2 requer 4 horas de máquina e 7 unidades de matéria-prima. Os tempos máximos disponíveis de horas de maquias e de matéria-prima são 200 horas e 300 unidades, respectivamente. Formule o PL para otimizar o lucro total.

5) O Problema da Fábrica de Camisas  Uma companhia produz dois tipos de camisas: manga longa e manga curta. Na companhia, o único ponto crítico é a mão-de-obra disponível.




A camisa de manga longa consome 50% a mais de mão-de-obra do que a de manga curta. Sabe-se também que se toda a produção fosse concentrada na disponibilização de camisa de manga curta a companhia poderia entregar 400 camisas de manga curta por dia. O mercado limita a produção diária das camisas em 150 mangas longas e 300 mangas curtas. O lucro bruto por camisa de manga longa é de 5,00 u.m. e por camisa de manga curta 3.5 u.m. Formular o problema de modo a permitr a determinação das quantidades de camisas a produzir otimizando o lucro.

6) O Problema da Dieta  O objetivo do presente programa é determinar, em uma dieta para a redução calórica, as quantidades de certos alimentos que deverão ser ingeridos diariamente, de modo que determinados requisitos nutricionais sejam satisfeitos a custo mínimo. Existem vários problemas abordando esse tema, o presente exemplo é um dos mais simples possíveis. Suponha que, por motivos justificáveis, uma certa dieta alimentar esteja restrita a leite desnatado, carne magra de boi, carne de peixe e uma salada de composição bem conhecida. Sabendo-se ainda que os requisitos nutricionais serão mínimas (em miligamas), uma vez que são indispensáveis à preservação da saúde da pessoa que estará se submetendo à dieta. A tabela abaixo resume a quantidade de cada vitamina em disponibilidade nos alimentos e a sua necessidade diária para a boa saúde de uma pessoa. Formular o PL para a otimização dos recursos envolvidos.

VITAMINA

Leite (litro)

Carne (Kg)

Peixe (kg)

Salada (100g)

A C D Custo

2 mg 50 mg 80 mg

2 mg 20 mg 70 mg

10 mg 10 mg 10 mg

20 mg 30 mg 80 mg

R$ 2,00

R$ 4,00

R$ 1,50

R$ 1,00

Requisito Nutricional Mínimo 11 mg 70 mg 250 mg

7) O Problema da Sítio  Um sitiante está planejando sua estratégia de plantio para o próximo ano. Por informações obtidas nos órgãos governamentais, sabe que as culturas de trigo, arroz e milho será as mais rentáveis na próxima safra. Por experiência, sabe que a produtividade de sua terra para as culturas desejadas é a constante na tabela abaixo. Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sítio é de 200.000 m2. Para atender as demandas de seu próprio sítio, é imperativo que se plante 400 m2 de trigo, 800 m 2 de arroz e 10.000 m 2 de milho.

Cultura Trigo Arroz Milho

Produtividade em kg por m 2 (experiência)

Lucro por kg de Produção (informações do Governo)

0,2 0,3 0,4

10,8 centavos 4,2 centavos 2,03 centavos




8) O Problema da Cooperativa Agrícola  Uma cooperativa agrícola opera 3 fazendas que possuem produtividades aproximadamente iguais entre si. A produção total por fazenda depende fundamentalmente da área disponível para o plantio e da água de irrigação. A cooperativa procura diversificar sua produção de modo que vai plantar este ano três tipos de cultura em cada fazenda a saber: Milho, Arroz e Feijão. Cada tipo de cultura demanda por uma certa quantidade de água. Para reduzir o conflito no uso das colheitadeiras, que são alugadas pela cooperativa, estabeleceram-se limites de área de produção dentro de cada tipo de cultura. Para evitar a concorrência entre os cooperados, acordou-se que a proporção de área cultivada seja a mesma para cada uma das fazendas. As tabelas abaixo resumem os dados tecnológicos. Pede-se a elaboração de um programa de produção que defina a área de cada cultura que será plantada em cada fazenda, de modo a otimizar o lucro total da produção da cooperativa.

FAZENDA

ÁREA TOTAL PARA CULTIVO (acres)

ÁGUA DISPONIVEL (Litros)

1 2 3

400 650 350

1.800 2.200 950

CULTURA

ÁREA MÁXIMA DE CULTIVO (acres)

CONSUMO DE ÁGUA (litros por acre)

Lucro (R$/Acre)

660 880 400

5,5 4 3,5

5.000,00 4.000,00 1.800,00

Milho Arroz Feijão

9) O Problema da Produção de Produtos  Na produção de unidades de 4 tipos de produtos, são utilizadas 2 máquinas. O tempo utilizado na fabricação de cada unidade, de cada tipo de produto, em cada uma das 4 máquinas está dado na tabela abaixo:

Máquina

Produto 1

1 2

2 3

Tempo por unidade produzida (horas) Produto 2 Produto 3 3 2

4 1

Produto 4 2 2

Custo total de produção de uma unidade de cada produto é diretamente proporcional ao tempo de uso da máquina. Considere que o custo por hora para as máquinas 1 e 2 são $10 e $15 respectivamente. O total de horas disponíveis para todos os produtos nas máquinas 1 e 2 são 500 e 380 respectivamente. Se o preço de venda, por unidade, dos produtos 1, 2, 3 e 4 é de $65, $7, $55 e $45, formule o problema como um modelo de PL com o objetivo de maximizar o lucro líquido total.

10) Problema da Companhia de Aviação  Uma companhia de aviação está considerando a compra de aviões de passageiros de 3 tipos: de pequeno curso, de curso médio e de longo prazo. O preço de compra seria de US$ 6,7 milhões para cada avião de longo curso, US$ 5 milhões para aviões de curso médio e US$ 3,5 milhões para aviões de pequeno curso. A diretoria autorizou um gasto máximo de US$ 150




milhões para a aquisição destes aviões. As viagens aéreas em todos os tipos de aviões, fazem prever que os aviões voaram sempre lotados. Estima-se que o lucro anual líquido seria de US$ 0,42 milhões para cada avião de longo curso, US$ 0,30 milhões para avião de médio curso e US$ 0,23 milhões para avião de pequeno curso. A companhia terá pilotos treinados para pilotar 30 novos aviões. Se somente aviões de pequeno curso forem comprados, a divisão de manutenção estaria apta a manter 40 novos aviões. Cada avião de médio curso gasta 1/3 a mais de manutenção do que o dispendido por um avião de pequeno curso e o de longo curso 2/3 a mais. As informações acima foram obtidas por uma análise preliminar do problema. Uma análise mais detalhada será feita posteriormente. No entanto, usando os dados acima com uma primeira aproximação, a diretoria da empresa deseja conhecer quantos aviões de cada tipo deveriam ser comprados se o objetivo é maximizar o lucro. Formule um PL para este problema.

11) Problema das Fábricas Ociosas  Uma empresa tem 3 fábricas com ociosidade na produção. Todas as 3 fábricas tem capacidade de produzir um certo produto e a gerência decidiu usar uma parte da ociosidade na produção deste produto. O produto pode ser feito em 3 tamanhos: grande, médio e pequeno, que dão um lucro líquido de $12, $10 e $9 respectivamente. As fábricas 1, 2 e 3 tem capacidade de fabricar 500, 600 e 300 unidades do produto respectivamente, independentemente do tamanho a ser produzido. Há, no entanto, limitação do espaço de estocagem. As fábricas 1, 2 e 3 te 900, 8000 e 3500 m 2 de área para estocagem respectivamente. Cada unidade de tamanho grande, médio e pequeno necessita de 20, 15 e 12 m2 respectivamente. O departamento de vendas indicou que 600, 800 e 500 unidades dos tamanhos grande, médio e pequeno, respectivamente, podem ser vendidas por dia. De maneira a manter uma certa uniformidade, a gerencia decidiu que a porcentagem do uso das capacidades ociosas das 3 fábricas devem ser iguais. A gerência deseja saber quanto de cada tamanho deve ser produzido em cada fábrica de maneira que o lucro seja máximo.

12) Problema do Investidor Indeciso  Um investidor pode investir dinheiro em duas atividades A e B disponíveis no início dos próximos 5 anos. Cada $1 investido em A no começo de um ano retorna $1,40 (um lucro de $0,40) dois anos mais tarde (a tempo de imediato reinvestimento). Cada $1 investido em B no início de um ano retorna $1,70, três anos mais tarde. Existem ainda 2 atividades C e D que estarão disponíveis no futuro. Cada $1 investido em C no início do segundo ano retorna $2,00, quatro anos mais tarde. Cada $1 investido em D no começo do quinto ano, retorna $1,30 um ano mais tarde. O investidor tem $10000,00. Ele deseja conhecer como investir de maneira a maximizar a quantidade de dinheiro acumulado no inicio do sexto ano. Considere que não há inflação.

13) Problema do Estudante sem tempo



Com seus conhecimentos do curso, um aluno calcula que poderia se preparar com perfeição para o exame de uma certa disciplina D1 em 20horas de estudo intensivo. Para uma outra disciplina D2 ele precisa de 25h. Para passar, ele precisa obter no mínimo 50 pontos (num máximo de 100) em cada uma delas. Além disso, ele deseja alcançar a maior média ponderada possível, sendo 3 e 5 os pesos de D1 e D2 respectivamente. Ele dispõe de apenas 30h para estudar. Formule o PL a fim de obter a distribuição das horas de estudo, considerando proporcionalidade entre o esforço e o rendimento de seus estudos.




14) Problema das Indústrias do Governo  O governo decidiu instalar em uma certa área 3 industrias: U1, U2 e U3. Três localidades diferentes L1, L2 e L3 foram selecionadas. As condições geoeconômicas (energia, comunicações, etc.) variam de local para local. As industrias também possuem características técnicas distintas (custos operacionais, capacidade, tipo de produção, etc.) Um estudo preliminar levou a conclusão que as eficiências relativas das diversas indústrias nas diferentes localidades são:

U1 U2 U3

L1

L2

L3

1,5 0,8 2

1 0,6 0,7

2 2,5 1

Assim em L3, por exemplo, U1 funcionaria 2 vezes mais eficientemente, do ponto de vista econômico, do que em L2. O problema é distribuir as 3 indústrias pelas localidades (no máximo 1 indústria em cada localidade) da maneira mais eficiente.

15) Problema das Ligas Metálicas II  Uma companhia deseja obter uma nova liga metálica com 30% de chumbo, 20% de zinco e 50% de estanho a partir de alguns minérios tendo as seguintes propriedades:

% Chumbo % Zinco % Estanho Custo ($/Kg)

1

2

MINÉRIOS 3

30 60 10 8,5

10 20 70 6

50 20 30 8,9

4

5

10 10 80 5,7

50 10 40 8,8

O Objetivo é determinar as proporções destes minérios que deveriam ser misturados para produzir a nova liga com o menor custo possível.

16) Problema da família de fazendeiros  Uma família de fazendeiros possui 100 acres de terra e tem $30.000,00 em fundos de investimentos disponíveis. Seus membros podem produzir um total de 3.500 Homens/hora de trabalho durante os meses de inverno e 4.000 Homens/hora durante o verão. SE todos estes Homens/hora não são necessários, os membros mais jovens da família podem ir trabalhar em uma fazenda da vizinhança por $4,00 por hora durante o inverno e $4,50 por hora durante o verão. A família obtém renda com 3 colheitas e 2 tipos de criação de animais: vacas leiteiras e galinhas (para obter ovos). Nenhum investimento é necessário para as colheitas, mas no entanto cada vaca necessita de 1,5 acre de terra, 100 Hh de trabalho no inverno e outros 50 Hh no verão. Cada vaca produzirá uma renda líquida anual de $800 para a família. Por sua vez cada galinha não necessita de área, requer 0,6 Hh durante o inverno e 0,3 Hh durante o verão. Cada galinha produzirá uma renda líquida de $5 (anual). O galinheiro pode acomodar um máximo de 3000 galinhas e o tamanho dos currais limita o rebanho para um máximo de 32 vacas. As necessidades em Hh e a renda líquida anual, por acre plantado, em cada uma das 3 colheitas estão representadas na tabela abaixo, a família deseja maximizar sua renda anual.




Homem/hora inverno Homem/hora no verão Renda anual líquida ($)

Soja

Milho

Feijão

20 50 375

35 75 550

10 40 250




17) Problema do Avião de Carga  Um avião de carga tem 3 compartimentos para armazenar carga: frente, centro e traseira. Estes compartimentos tem limite de capacidade em termos de peso e espaço, como mostrado abaixo:

Compartimento Frente Centro Traseira

Capacidade Peso (ton)

Capacidade espaço (m3)

8 12 7

140 200 85

Além disto, os pesos das cargas em cada compartimento devem manter a mesma proporção em relação a capacidade de cada compartimento, a fim de manter o equilíbrio do avião.

Carga

Peso (ton)

Volume (m3/ton)

Lucro ($/ton)

1 2 3 4

14 11 18 9

14 20 17 11

100 130 115 90

As cargas podem ser divididas em “pedaços” de qualquer peso e tamanho. O objetivo é

determinar quanto de cada carga deveria ser aceita e como distribuí-la entre os compartimentos do avião de maneira a maximizar o lucro total do vôo. Formule o PL.

18) Problema do Bar  Para um bar que funciona 24h por dia, a seguinte quantidade de empregados é necessária:

HORAS DO DIA 2 as 6 6 as 10 10 as 14 14 as 18 18 as 22 22 as 2

Nº mínimo de Empregados 4 8 10 7 12 4

Cada empregado trabalha 8 horas consecutivas por dia. O objetivo é achar o menor número necessário de empregados de modo que a necessidade mínima acima seja obedecida. Formule o PL.




19) Problema da fábrica sem Lucros  Uma fábrica descontinuou a produção de um produto que não estava dando lucros. Isto criou uma considerável capacidade de produção ociosa. A gerência está considerando em usar esta capacidade ociosa em um ou mais, de 3 produtos, os quais chamaremos de produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível das máquinas que poderiam limitar a saída está dada na tabela abaixo:

TIPO DE MÁQUINA

TEMPO DISPONÍVEL (MAQUINA/HORA POR SEMANA

A B C

500 350 150

O número de máquinas/hora necessárias para cada produto é:

TIPO DE MÁQUINA A B C

PRODUTO 1 9 5 3

PRODUTO 2 3 4 0

PRODUTO 3 5 0 2

O departamento de vendas indicou que o potencial de vendas para os produtos 1 e 2 excedem a taxa máxima de produção e que o potencial de vendas para o produto 3 é de 20 unidades por semana. O lucro unitário seria de $30, $12 e $15 respectivamente para os produtos 1, 2 e 3. Quando se deve fabricar dos produtos 1, 2 e 3 de maneira que se máxime o lucro?

20) Problema do Restaurante



O gerente de um restaurante que está encarregado de servir o almoço, em uma convenção, nos próximos 5 dias tem que decidir como resolver o problema do suprimento de guardanapos. As necessidades para os 5 dias são 110, 210, 190, 120 e 100 unidades respectivamente. Como o guardanapo é de um tipo especial, o gerente não tem nenhum em estoque e suas alternativas durante os 5 dias são: Comprar guardanapos novos ao preço de $10 cada um. Mandar guardanapos já usados para a lavanderia onde eles podem receber 2 tratamentos: a) Devolução em 48 horas ao preço de $3 a peça. b) Devolução em 24 horas ao preço de $5 a peça.  

Considerando que o objetivo do gerente é minimizar o custo total com os guardanapos, formule um PL para o problema. As seguintes observações devem ser levadas em conta: O tempo da lavanderia é considerado ser exato, ou seja, o guardanapo enviado as 15h de um dia volta as 15h do dia seguinte (serviço de 24h) ou seja após o almoço. Idem para o serviço de 48h. Após a convenção os guardanapos será jogados no lixo. 



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