Mecânica dos Fluidos
Aula 03
Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez
1
3.5- Força hidrostá hidrostática tica sobre superfícies submersas A determinação de forças na superfície de corpos submersos é importante no projeto de tanques para armazenamento de fluidos, navios, submarinos, barragens e de outras estruturas hidráulicas que esteja esteja sob ação de forças de superfície submersas. Para determinar completamente a resultante da força atuando sobre uma superfície submersa, devemos especificar: 1- A magnitude ou módulo da força resultante; 2- O sentido da força; 3- A linha de ação da força. 3.5.1- Força hidrostática sobre uma superfície plana submersa A determinação das forças que atuam sobre superfícies planas submersas é um problema frequente da estática dos fluidos. Essas forças são devidas às distribuições de pressões nos fluidos, e a força resultante é obtida através da integração da distribuição de pressões sobre sobre a superfície plana submersa. 2
3.5- Força hidrostá hidrostática tica sobre superfícies submersas A determinação de forças na superfície de corpos submersos é importante no projeto de tanques para armazenamento de fluidos, navios, submarinos, barragens e de outras estruturas hidráulicas que esteja esteja sob ação de forças de superfície submersas. Para determinar completamente a resultante da força atuando sobre uma superfície submersa, devemos especificar: 1- A magnitude ou módulo da força resultante; 2- O sentido da força; 3- A linha de ação da força. 3.5.1- Força hidrostática sobre uma superfície plana submersa A determinação das forças que atuam sobre superfícies planas submersas é um problema frequente da estática dos fluidos. Essas forças são devidas às distribuições de pressões nos fluidos, e a força resultante é obtida através da integração da distribuição de pressões sobre sobre a superfície plana submersa. 2
a) Superfície plana submersa A força total de contato superficial no corpo pode ser determinada pela soma vetorial das forças superficiais em toda a área do corpo submerso. g
P 0
(superfície livre)
dA lí quii do qu
F R dF
y
(+) h
Centro de Pressão, CP Ponto de aplicação da força resultante
x’
z
CP
x
y’ y
P O
x
3
A força de pressão agindo sobre o elemento de área, dA, no ponto O é dado por:
dF
dF
Pd A (vetor)
PdA (escalar)
(1)
onde o sinal menos indica que a força dF age sobre o elemento de área dA, em sentido oposto ao da normal da área A. A força resultante é dado por:
FR d F Pd A
(2)
A
A pressão P no ponto O sobre superfície plana de área A é dado por:
P
P0
ρfluido gh
(3)
onde P0 é a pressão na superfície livre (h = 0). 4
Portanto, a força resultante total aplicada a uma superfície plana submersa horizontal é dado por:
FR
P0 ρgh d A
(4)
Podemos escrever também:
FR
FR x i
FR y j
FR z k
(5)
onde FR x , FR y e FR z são as componentes escalares de FR nos sentidos positivos de x , y e z , respectivamente.
5
onde:
FR FR x i FR y j FR z k
F F .i d F.i Pd A.i PdA R x R x A A FR y FR . j d F. j Pd A. j PdA y A A FR z FR .k d F.k Pd A.k PdA z A A
x
y
z
6
b) Superfície plana inclinada
y dA
senθ
h y
h
ysen θ 7
dA
8
FR
dF
A
FR
Pd A
A
P0 ρgh d A A
h
ysenθ
dA
Wdy k
W = largura da comporta 9
FR P0 ρysenθg Wdy k d A P y F R P0 W ρg Wysen θ dy k γ y
2
1
F R
y2
y P0 Wy ρg W senθ k 2 γ y 2
1
F R
y 22 y12 P0 Wy 2 y1 γ Wsenθ k 2 A
FR
y 22 y12 P0 A γ Wsenθ k 2
(6) 10
O momento, M, da força distribuída em relação ao eixo no ponto O é dado por:
M
y
r' . FR
x x' CP
y' o
r . Pd A
(7)
dF
F R
z
r . d F
y x
r'
x' i
y ' j
r
x i
y j
dA
dAk
FR
FR k
11
M y
0 x' F R
xPdA
0 x'
A
M x
0 y ' F R
yPdA 0 y' A
1
xPdA
FR A 1
yPdA
(8)
FR A
Exemplo 01: A superfície inclinada mostrada, articulada ao longo de A, tem 5 m de largura. Determine a força resultante, F R , da água e do ar sobre a superfície inclinada.
12
Solução: Para determinar o vetor FR , devemos especificar: a) Sua magnitude; Dados: b) Seu sentido; W = 5m (largura da comporta) c) Sua linha de ação. = 999kg/m3 água
Patm ( 0) +h h y P
H
sen30
H y
H ysen30
h D H 13
Equações básicas:
FR
dF
Pd A
P
Patm
ρ água gh
A
a) Uma vez que estamos interessados na força resultante da água sobre a comporta, desprezamos Patm ( 0) e obtemos:
P
P atm
ρ água gh ρ água gh
P
ρ água gD
ysen30
14
F R
ρgD ysenθ Wdy k
P
dA
F R
F R
F R
L
y ρgW Dy senθ k 2 0 2
L2 1 ρgW DL k 2 2 kg m 4m 2 1 999 3 9,81 2 5m 2mx4m k 2 2 m s
F R 588011,4 FR
kg m m3 s
3 m k 588011,4 N k 2
588,01 kN k 15
b) Os momentos em relação ao eixo x passando pelo ponto A:
M
x
0
A
16
P M
0
x
ρ água g
D
ysen30
dA Wdy dF PdA
M x
y ' FR
ydF
0
A
y ' FR
yPdA
0
A
y '
y '
1
FR A
y[ρ água g
Wρ água g FR
y '
1
FR A
yPdA
D ysen30]Wdy
L
[D y y 2sen30]dy
0 17
y' y'
ρgW Dy
L
sen30 3 0
2
y
FR 2
ρgW DL
2
FR 2
3
L3 1 3 2
64m 3 2m x16m 2 y' 999 3 9,81 2 5 2 m s 5,8810 kg/m.s 2 6 kg
y'
m
5m
2,22m
Também considerando os momentos em relação ao eixo y passando pelo ponto A, temos: M y
x ' FR
xdF
0
A
x ' FR
A
xPdA
0
x '
1 FR
A
xPdA 18
Como W é constante e a integração está sendo realizada sobre o eixo y , temos que: x
x
x
' ' '
1 FR 1 FR
PdA
x
A
2
W
PdA
A
W 2FR
PdA
A
WF R 2F R
W 2
5m 2
2,5m
FR
'
x
2,5m
c) A linha de ação da força resultante é paralela ao eixo z , passando sobre r’, ou seja:
r'
x ' i
y ' j
r'
2,5i
2,22 j m 19
Exemplo 02: A porta lateral do tanque é articulada na borda inferior. Uma pressão de 100 lbf/ft2 (manométrica) é aplicada na superfície livre do líquido. Determine a força Ft necessária para manter a porta fechada.
Comporta
P = 100 lbf/ft2
L = 3ft
= 100 lbf/ft3
Articulação (eixo x )
b = 2ft
20
Solução: Aplicando os momentos em relação ao eixo x da z articulação, temos: Ft
P0 h (+)
L
dF
h = L - z o
z
Articulação (eixo x )
x
M
x
Ft .L
M x ( )
Ft Ft
1 L 1 L
A
z dF
0
M x ( )
z dF
z PdA
1 L
L
0
z P bd z dA 21
P
h
P
P0
ρ fluido gh
P0
γ fluido h
L z P0
γ fluido
L z
L
Ft
1 L
γ fluido L z d z
bP0
z
0 L
Ft
b L
L
P0 z d z
γb L
0
z 2 d z
L
P0 b z γb Lz L 2 2L 0 2
Ft
z
0 2
Ft
L
P0 bL 2L
2
γb LL2 L
2
L
3 0
z
3
3 3
L
22
Ft
Ft
Ft
P0 bL
γ bL
2
2 100
lbf ft
2
x
1 1 2 3
2ft x 3ft 2
P0 bL 2
γbL2 6
lbf 2 ft x 9 ft 100 x 3 6 ft
2
600 lbf
Este problema ilustrou: a) A inclusão da pressão manométrica diferente de zero na superfície livre do líquido; b) O emprego direto do momento distribuído sem a avaliação da força resultante e sua linha de ação em separado.
23
Exemplo 03: A medida que a água sobe no lado esquerdo da comporta retangular de largura W, ela abrir-se-á automaticamente. A que profundidade ‘D’ acima da articulação (A) isso ocorrerá? Despreze a massa da comporta. y
h1 D
P1
h2
1,5 m dF1
y P2 líquido
A
z z
dF2
24
M
D
A
1,5 m
ydF1
0 D
0
yP1dA1
0
1,5 m
P1
0
y ρgh 1 dA1
0
z ρgh 2 dA 2
P2
D
1,5 m
yρ g
0
dA1
0
D y W d y
D
0
0
z P2 dA 2
D
0
1,5 m
0
z dF2
z ρ d z g D W dA 2
1,5 m
y
D y d y
z Dd z
0 25
D
1, 5 m
y z D y 2 3 D 2 0 0 2
DD
3
2
2 D
3
2 D
D
D
2
3
3
2
D
1,5m 2
3
3
Dx1,125m
2
3
6
Dx1,125m 2
D
2,6m
26
Exemplo 04: A comporta de 2 m de comprimento é articulada em H. Sua largura de 2 m é normal ao plano da Figura. Calcule a força Ft requerida em A para manter a comporta fechada. Dado: água = 9810 N/m3 Patm ( 0) z
L = 2m
1m h
H h1
Ft
30 dF
30
A
água
y
27
M
H
Ft L
1
ydF 0
1
1
L
ydF yPdA yPL d L L L
Ft
y
0
L
Ft yPd y 0
P P atm
ρ água gh
h 1m h1 1m ysen30 P
γ água
1m
dA
γ água h 0
W
Wdy
L
2m
ysen300 28
L
L
Ft yγ água 1m ysen30 d y 0
0
Ft Ft Ft
γ água
1m.y
y sen30 dy 0
0 L 2m
y y 0 γ água 1m. sen30 2 3 0 3 (2m) 1 (2m)2 γ água 1m. 2 3 2 2 3 N 4m 8m 9810 3 1m m 2 6 32700 N 2
Ft
2
3
Ft
32,7 kN 29
Exemplo 05: O nível de água é controlado por uma comporta plana de espessura uniforme e articulado em A. A largura da comporta, normal ao plano da Figura, é W = 10 ft. Determine a massa M, necessária para manter o nível à profundidade H, ou menos, se a massa da comporta for desprezível. Dado: água = 1,94 slug/ft3 y
z
h
H = 4 ft
dF D
A W
M 30
M
A
Wz 2,5ft
ydF 0 7,5ft
Wcosθ 2,5ft
ydF yPdA yPwdy 0 7,5ft
Mgcosθ 2,5ft yPwdy 0
P
P atm
h
4ft D
senθ P
4ft 7,5ft
γ água h
ρ água gh 4ft
γ água h
ysenθ
0,53
θ
γ água 4ft
arcseno(4/7,5)
θ
32,23
0
ysenθ 31
7,5ft
Mgcosθ 2,5ft yγ água 4ft ysenθ wdy 0
M
wg ρ água 2,5ft g cosθ
7,5ft
y 4ft y senθdy 2
0 7,5ft
y y M 4ft senθ 2,5ft cosθ 2 3 0 10ft 1,94slug/f t 3 (7,5ft) 2 (7,5ft) 3 0 M 4ft sen32,23 0 2,5ft cos32,23 2 3 wρ água
2
3
M
344 slug 32
Exemplo 06: A comporta AOC mostrada na Figura tem 6 ft de largura e é articulada ao longo de O. Desconsiderando o peso da comporta, determine a força na barra AB. Dado: água = 1,94 slug/ft3 ; 1slug = lbf.s2/ft ; g = 32,2 ft/s2
Ft
33
y
Ft
A 3 ft
B
h1 12 ft
h2
dF1 y
C
O 8 ft
z
dF2
z
6 ft
34
M
O
Ft 15ft Ft 15ft
ydF zdF yP dA zP dA Ft 15ft
zdF2
1
1
2
1
2
12 ft
Ft 15ft
2
6ft
yP Wdy zP Wdz 1
2
0
P1
ydF1 0
0
P atm ρ água gh 1 γ água h1
h1 12ft
y
12ft
y
P1
γ água
P2
P atm ρ água gh 2 γ água h 2
h2
P2
γ água 12ft
12ft 35
12 ft
Ft 15ft
6ft
yP1Wdy
0
0
12 ft
Ft 15ft
zP2 Wdz
y
γ água
6ft
12ft y Wdy z12ft Wdz
0
0
Ft 15ft Wγ água y12ft y 2 dy 0 2 3 12ft y y Ft 15ft Wγ água 12ft 2 3 0 12 ft
12ft zdz 0
6ft
z 12ft 2 0 2
6ft
36
