Exercícios Investigação Operacional Resolvidos 2014 1. Cons Consid ider eree o progr program amaa line linear ar
MinimizeZ = 4 X 1 + X 2
3 X 1 + X 2 = 3 4 X + 3 X ≥ 6 1 2 s.a X 1 + 2 X 2 ≤ 4 x1 , x2 , x3 ≥ 0 Pretende-se que o estudante apresente: a) Dual Dual do do PPL PPL 2, 2,0 0 !alo !alore res) s) Como temos a 3ª restrição com um sinal não padrão padrão para um problema de minimização minimização (≤), o estudante é obrigado a transformar a restrição multiplicando-a multiplicando-a por (-1) !esta forma teremos" teremos"
MinimizeZ = 4 X 1 + X 2
3 X 1 + X 2 = 3 4 X + 3 X ≥ 6 1 2 s.a − X 1 − 2 X 2 ≥ − 4 x1 , x2 , x3 ≥ 0 #tendendo #tendendo $ue a 1ª restrição restrição tem o sinal de igualdade (%), a &ari'&el 1 ser' li&re e as restantes e 3 serão maiores do $ue zero
* !ual do +roblema ser'"
MaxG y) = 3 y1 + 6 y 2 − 4 y3
3 y1 + 4 y2 − y3 ≤ 4 s.a y1 + 3 y 2 − 2 y 3 ≤ 1 y livre, y , y ≥ 0 2 3 1 ") #n$ontre a solu%&o !i'!el da 1( ase do Primal. * primal é a e$uação original, pelo $ue temos &oltar a epressão"
MinimizeZ = 4 X 1 + X 2
3 X 1 + X 2 = 3 4 X + 3 X ≥ 6 1 2 s.a X 1 + 2 X 2 ≤ 4 x1 , x2 , x3 ≥ 0 Sendo assim, é necessário primeiro encontrar a forma padrão deste problema. Como a primeira restrião é do tipo !"#, introd$z%se $ma &ari'&el #rtificial , a &' restrião é do tipo !(#, introd$z%se $ma &ari'&el de cesso e depois $ma #rtificial e na terceira restrião como temos sinal de desi)$aldade !*#, introd$z%se $ma &ari'&el de .olga Sendo assim teremos+
MinimizeZ = 4 X 1 + X 2 ⇒ − Max Z ) = − 4 X 1 − X 2
3 X 1 + X 2 + 0 x3 + x4 + 0 x* + 0 x 6 = 3 4 X + 3 X − x + 0 x + x + 0 x = 6 1 2 3 4 * 6 s.a X 1 + 2 X 2 + 0 x 3 + 0 x4 + 0 x* + x6 = 4 x1 , x2 , x3 , x4 , x* x, 6 ≥ 0 tabela -nicial do roblema será+
+"
+1
+2
3
4
*
6
"i
4
3
1
0
1
0
0
3
*
4
3
-1
0
1
0
6
6
1
2
0
0
0
1
4
-C
4
1
0
0
0
0
0
resol$ão em fases é aplicável aos roblemas de ro)ramaão /inear 0$e ten1a variáveis de 2xcesso. 3 ob4ectivo é an$lar a variável artificial e neste caso temos d$as variáveis artificiais !x 5 e x6 #. variável x 7 é de fol)a. 8 necessária $ma f$não ob4ectivo 9ova 0$e irá s$bstit$ir a Z4%C4. ssim teremos+ ss$me%se primeiro $ma f$não a$xiliar 0$e deve ser minimizada correspondente a Min!Z:#"X 5;X 6 e a tabela a$xiliar será+
/a"ela auiliar o!a un%&o "e$ti!o +"
+1
+2
3
4
*
6
"i
Z
0
0
0
1
1
0
0
4
3
1
0
1
0
0
3
*
4
3
-1
0
1
0
6
-!
-4
1
0
0
0
-"
Zj`-j`
' restrião na tabela da nova f$não ob4ectivo, no entanto, na resol$ão final deveremos considerar a0$ela restrião e a nova f$não ob4ectivo+ /a"ela Preliminar +"
+1
+2
3
4
*
6
"i
"i1
4
#
1
0
1
0
0
3
1
*
4
3
-1
0
1
0
6
1 12
6
1
2
0
0
0
1
4
4
5-C5
-!
-4
1
0
0
0
-"
3 elemento ivot é > pelo 0$e podemos dividir toda lin1a por > para termos ?. /a"ela uiliar da Preliminar
+1
+2
3
4
*
6
1
13
0
13
0
0
+"
"i Lin7a Pi!ot
1
L1
4
L2-4L1
*
4
3
-1
0
1
0
6
L3-L1
6
1
2
0
0
0
1
4
-C
-9
-4
1
0
0
0
-
L489L1
1( ;tera$%&o +"
+1
+2
3
4
*
6
"i
+1
1
13
0
13
0
0
1
*
0
*3
-1
- 43
1
0
2
6
0
*3
0
- 13
0
1
3
0 - *3 1 93 0 0 -2 -C +ara passarmos para ª /teracção temos de determinar a tabela auiliar para reduzir o elemento pi&ot para unidade (1), di&idindo toda lin0a por 23
2( ;tera$%&o /a"ela uiliar da 2( ;tera$%&o +"
+1
+2
3
4
*
6
"i
+1
1
13
0
13
0
0
1
*
0
1
- 3*
- 4*
3*
0
6*
6
0
*3
0
- 13
0
1
3
-C
0
- *3
1
93
0
0
-2
<
2( ;tera$%&o +"
+1
+2
3
4
*
6
L1-13)L2
+1
1
13
0
13
0
0
1
L2
+2
0
1
- 3*
- 4*
3*
0
6*
L3-*3)L2
6
0
*3
0
- 13
0
1
3
L48*3)L2
-C
0
- *3
1
93
0
0
-2
<
"i
2( ;tera$%&o +"
+1
+2
3
4
*
6
"i
+1
1
0
1*
3*
- 1*
0
3*
+2
0
1
- 3*
- 4*
3*
0
6*
6
0
0
1
1
-1
1
1
-C
0
0
0
1
1
0
0
este tabela temos o &alor de 4%5, isso significa $ue a 1ª fase 6' terminou este caso temos $ue passar para a segunda fase
$) presente a 2( ase do Primal segunda ase ini$ia $om uma ta"ela $ontendo as !ari'!eis das restri%=es ini$iais 1 e 2, e o o"e$ti!o > anular os $oei$ientes da un%&o o"e$ti!o ini$ial da lin7a -C:
+"
+1
+2
3
4
*
6
"i
-C
4
1
0
0
0
0
0
-4)
+1
1
0
1*
3*
- 1*
0
3*
-1)
+2
0
1
- 3*
- 4*
3*
0
6*
5-C5
0
0
- 1*
- ?*
1*
0
- 1?*
d) ;dentiique a solu%&o @ptima do Dual a partir do Primal.
s !alores da solu%&o @ptima do Dual A1, A 2 e A3) s&o lidos na !erti$al $om os !alores de 3, 4 e *, sendo A1 B-1*, A2 B -?* e A3 B1*
2. presente o modelo Dual e a orma padr&o do DL do seguinte pro"lema
M in x ) =
− 2 X 1 + * X 2 + 3 X 3
− * X 1 + 3 X 3 ≤ : − : X − 3 X + 2 X = 4 1 2 3 s.a 3 X 1 + 4 X 2 − X 3 ≥ 10 X 1 ≤ 0, X 2 , X 3 ≥ 0 7esolução"
?@ 3 roblema apresentado é de Minimizaão e o sinal padrão para este tipo de problema é de A(B. 9o entanto, temos na ?' restião A%6X ? ;>X > * B, o sinal do tipo A*B. 9este caso temos 0$e m$dar o sinal para A(B, m$ltiplicando toda a restrião por !%?#. -)$almente temos 0$e introd$zir DX & na restrião. M in x ) =
− 2 X 1 + * X 2 + 3 X 3
* X 1 + 0 X 2 − 3 X 3 ≥ − : − : X − 3 X + 2 X = 4 1 2 3 s.a 3 X 1 + 4 X 2 − X 3 ≥ 10 X 1 ≤ 0, X 2 , X 3 ≥ 0 &@ Como a restrião de não ne)atividade não é verificada em x?!X ?* D#. 8 necessário transformar em $ma nova variável X E"%X ? , o$ simplesmente m$ltiplicar todo o X ? das > restriFes por !%?#+ M in x) = 2 X 1 + * X 2
+ 3 X 3
− * X 1 + 0 X 2 − 3 X 3 ≥ − : : X − 3 X + 2 X = 4 1 2 3 s.a − 3 X 1 + 4 X 2 − X 3 ≥ 10 X 1 , X 2 , X 3 ≥ 0
ssim estamos em condiFes de encontrar o G$al do roblema apresentado. restrião & apresenta $m sinal de i)$aldade, pelo 0$e a variável y& será livre.
MaxG y ) = − : y1 + 4 y 2 + 10 y3
− * y1 + : y 2 − 3 y3 ≤ 2 0 y − 3 y + 4 y ≤ * 1 2 3 s.a − 3 y1 + 2 y 2 − y3 ≤ 3 y1 , y 2 livre, y3 ≤ 0 Horma adrão
MaxG y) = − : y1 + 4 y2 + 10 y3
− * y1 + : y2 − 3 y3 + y4 + 0 y* + 0 y6 ≤ 2 0 y − 3 y + 4 y + 0 y + y + 0 y ≤ * 1 2 3 4 * 6 s.a − 3 y1 + 2 y2 − y3 + 0 y4 + 0 y* + y6 ≤ 3 y1 ≥ 0, y2livre, y3 ≥ 0 Como todas as restriFes são do tipo A*B, para a forma padrão teremos apenas variáveis de Hol)a.
