excellent cours de Géotechnique - EMN Nancy

2ème ANNEE - 1er SEMESTRE

GEOTECHNIQUE

V. MERRIEN-SOUKATCHOFF

ANNEE UNIVERSITAIRE 2006/2007

AVERTISSEMENT

Ce polycopié est un document de travail des cours de l’Ecole Nationale Supérieure des Mines de Nancy. Il souffre d'imperfections et toutes remarques constructives concernant ce texte seront les bienvenues. Il est parfois incomplet… il existe à la bibliothèque de l'EMN bon nombre d'ouvrages qui complèteront ce polycopié. Certains dessins et tableaux ont été repris d'ouvrages de mécanique des sols ou des roches dont vous trouverez les références en fin de polycopié.

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Eléments de Géotechnique – Mai 2007 – Véronique MERRIEN-SOUKATCHOFF

Sommaire INTRODUCTION A LA GEOTECHNIQUE .................................................................................................... 9 A

PROPRIETES PHYSIQUES ET GEOMETRIQUES DES TERRAINS ............................................. 11 A.1 POROSITE ET INDICE DES VIDES........................................................................................................... 11 A.1.1 Notations ....................................................................................................................................... 11 A.1.2 Classification de la porosité par rapport à la taille des pores...................................................... 12 A.1.3 Classification par rapport à l'origine............................................................................................ 12 A.1.4 Classification morphologique ....................................................................................................... 12 A.1.4.1 La porosité d'interstices (intergranulaire) : les pores ........................................................................... 12 A.1.4.1.1 La porosité d'interstices simple ou nette......................................................................................... 13 A.1.4.1.2 La porosité d'interstices restreinte .................................................................................................. 13 A.1.4.1.3 La porosité d'interstices réduite...................................................................................................... 13 A.1.4.2 La porosité de fissure .......................................................................................................................... 13 A.1.4.2.1 Porosité de joints............................................................................................................................ 13 A.1.4.2.2 Porosité de diaclases ...................................................................................................................... 14 A.1.4.2.3 Porosité de failles ........................................................................................................................... 14 A.1.4.2.4 Porosité de schistosité .................................................................................................................... 14 A.1.4.2.5 Porosité de retrait ........................................................................................................................... 14

A.1.5 Ordre de grandeur de la porosité.................................................................................................. 14 A.2 LE SQUELETTE DU TERRAIN : LES GRAINS ........................................................................................... 15 A.2.1 Nature et minéralogie des grains .................................................................................................. 15 A.2.2 Poids volumique des grains........................................................................................................... 15 A.2.3 Taille et la répartition des tailles (analyse granulométrique)....................................................... 15 A.2.3.1 Dimension, forme et répartition des grains dans les roches................................................................. 16 A.2.3.2 Taille et répartition des tailles pour les grains d'un sol ........................................................................ 16 A.2.3.2.1 Principe de la détermination de la répartition en poids des grains par tamisage............................. 16 A.2.3.2.2 Principe de la détermination de la répartition en poids des grains par sédimentation .................... 16 A.2.3.2.3 Diamètres caractéristiques.............................................................................................................. 17 A.2.3.2.4 Coefficients caractéristiques .......................................................................................................... 17 A.2.3.2.5 Diamètres de référence................................................................................................................... 17

A.3 ESSAIS D'IDENTIFICATION SPECIFIQUES AUX SOLS ET CLASSIFICATION ............................................... 19 A.3.1 Poids, volumes et paramètres caractéristiques ............................................................................. 19 A.3.2 Caractéristiques des sols fins ........................................................................................................ 21 A.3.2.1 A.3.2.2 A.3.2.3 A.3.2.4 A.3.2.5 A.3.2.6 A.3.2.7

A.3.3

Caractéristiques des sols grenus................................................................................................... 24

A.3.3.1 A.3.3.2

A.3.4 A.3.5

Limite de liquidité ............................................................................................................................... 21 Limite de plasticité .............................................................................................................................. 22 Indice de plasticité............................................................................................................................... 22 Indice de consistance........................................................................................................................... 22 Indice de liquidité................................................................................................................................ 23 Activité des argiles .............................................................................................................................. 23 Sensibilité des argiles .......................................................................................................................... 23 Densité relative ou Indice de densité ................................................................................................... 24 Equivalent de sable.............................................................................................................................. 24

Essai au bleu de méthylène ........................................................................................................... 24 Classification des sols ................................................................................................................... 25

A.3.5.1 A.3.5.2

Classification des sols grenus .............................................................................................................. 26 Classification des sols fins................................................................................................................... 27

A.4 CARACTERISTIQUES ET REPRESENTATIONS GEOMETRIQUES DES DISCONTINUITES - CLASSIFICATIONS DES MASSIFS ROCHEUX ..................................................................................................................................... 30 A.4.1 A.4.2 A.4.3 A.4.4 A.4.5 A.4.6 A.4.7 A.4.8 A.4.9

Différents type de discontinuités ................................................................................................... 30 Propriétés des discontinuités ........................................................................................................ 30 Orientation des discontinuités - report dans des diagrammes ...................................................... 30 Espacement ................................................................................................................................... 31 Persistance .................................................................................................................................... 31 Ouverture des discontinuités ......................................................................................................... 31 Rugosité......................................................................................................................................... 31 Intersection des discontinuités par des ouvrages, des forages. Notion de RQD ........................... 31 Classifications des massifs rocheux .............................................................................................. 31

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Eléments de Géotechnique – Mai 2007 – Véronique MERRIEN-SOUKATCHOFF A.5 A.6 A.7 A.8 B

PROPRIETES ACOUSTIQUES ................................................................................................................. 31 PROPRIETES ELECTRIQUES .................................................................................................................. 31 PROPRIETES THERMIQUES ................................................................................................................... 31 PROPRIETES MAGNETIQUES ................................................................................................................ 31

APPLICATION DE LA MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS A LA GEOTECHNIQUE .... 33 B.1 ETUDE DES CONTRAINTES ................................................................................................................... 33 B.1.1 Conventions................................................................................................................................... 35 B.1.2 Equations universelles de l'équilibre............................................................................................. 37 B.1.3 Distribution des contraintes en fonction de l’orientation des facettes autour d’un point. Contraintes principales, repère principal. .................................................................................................. 40 B.1.4 Cercle de Mohr ............................................................................................................................. 41 B.1.5 Courbe intrinsèque........................................................................................................................ 44 B.2 DEFORMATIONS .................................................................................................................................. 45 B.3 LOIS DE COMPORTEMENT .................................................................................................................... 45 B.3.1 Elasticité........................................................................................................................................ 46 B.3.2 Comportement élastique parfaitement plastique........................................................................... 46 B.3.3 Critère de plasticité....................................................................................................................... 46

C

INSTABILITES LIEES A LA FRACTURATION EN L'ABSENCE D'EAU ..................................... 47 C.1 ROLE DES DISCONTINUITES DANS LES INSTABILITES ........................................................................... 47 C.2 TYPOLOGIE DES INSTABILITES DE BLOCS ............................................................................................ 48 C.2.1 Translations .................................................................................................................................. 48 C.2.1.1 Chute libre........................................................................................................................................... 48 C.2.1.2 Glissement........................................................................................................................................... 49 C.2.1.2.1 une famille de discontinuités.......................................................................................................... 49 C.2.1.2.1.1 Conditions géométriques......................................................................................................... 49 C.2.1.2.1.2 Conditions mécaniques ........................................................................................................... 49 C.2.1.2.1.3 Notion de coefficient de sécurité............................................................................................. 49 C.2.1.2.2 2 familles de discontinuités ............................................................................................................ 49 C.2.1.2.3 Plusieurs familles de discontinuités................................................................................................ 49

C.2.2 D

Les rotations.................................................................................................................................. 49

L'EAU DANS LES TERRAINS : ECOULEMENT ET NOTION DE CONTRAINTE EFFECTIVE 51 D.1 LES SOLS NON SATURES ...................................................................................................................... 51 D.2 L'ECOULEMENT DE L'EAU DANS LES TERRAINS : NOTION DE PERMEABILITE ........................................ 52 D.2.1 Rappel sur la charge hydraulique ................................................................................................. 52 D.2.1.1 Charge hydraulique ............................................................................................................................. 52 D.2.1.2 Cas des sols ......................................................................................................................................... 53 D.2.1.2.1 Charge Hydraulique ....................................................................................................................... 53 D.2.1.2.2 Notion de hauteur, de niveau piézométrique .................................................................................. 53

D.2.2 D.2.3 D.2.4

Expérience de Darcy ..................................................................................................................... 54 Expérience de Reynolds (pour mémoire) ...................................................................................... 55 Ecoulement dans les terrains stratifiés.......................................................................................... 56

D.2.4.1 D.2.4.2

D.2.5

Perméabilité horizontale...................................................................................................................... 56 Perméabilité verticale. ......................................................................................................................... 56

Mesures et estimation de la perméabilité au laboratoire.............................................................. 57

D.2.5.1 Problèmes posés par l'échantillonnage ................................................................................................ 57 D.2.5.2 Estimation de la perméabilité .............................................................................................................. 57 D.2.5.2.1 Relation de Hazen .......................................................................................................................... 57 D.2.5.2.2 Relation de Casagrande.................................................................................................................. 57 D.2.5.3 Perméamètres ...................................................................................................................................... 58 D.2.5.3.1 Perméamètre à charge constante .................................................................................................... 58 D.2.5.3.2 Perméamètre à charge variable....................................................................................................... 58

D.2.6 Mesures in situ de la perméabilité ................................................................................................ 59 D.2.7 Ordre de grandeur de la perméabilité .......................................................................................... 59 D.2.8 Généralisation en 3 dimensions .................................................................................................... 59 D.3 ETAT DE CONTRAINTE DANS LE SOL, INFLUENCE DE L'EAU, NOTION DE CONTRAINTE EFFECTIVE ....... 61 D.4 ETUDE D'UN ECOULEMENT PARTICULIER : PHENOMENE DE BOULANCE .............................................. 62 D.4.1 Eau en équilibre ............................................................................................................................ 62 D.4.2 Mouvement ascendant ou descendant de l'eau.............................................................................. 62

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E

LE COMPACTAGE ................................................................................................................................. 65 E.1 UTILISATION DES SOLS COMPACTES.................................................................................................... 65 E.2 FACTEURS INFLUENÇANT LE COMPACTAGE ........................................................................................ 65 E.2.1 Influence de la teneur en eau sur le compactage : diagramme Proctor........................................ 65 E.2.2 Essais au laboratoire .................................................................................................................... 67 E.2.3 Influence de l'énergie de compactage ........................................................................................... 68 E.3 EVOLUTION DES CARACTERISTIQUES MECANIQUES EN FONCTION DU COMPACTAGE .......................... 68 E.4 COMPACTAGE IN SITU ......................................................................................................................... 69

F

TASSEMENT ET CONSOLIDATION................................................................................................... 71 F.1 DETERMINATION DES CONTRAINTES DUES A UNE SURCHARGE : PROBLEME DE BOUSSINESQ .............. 72 F.1.1 Charge ponctuelle ......................................................................................................................... 72 F.1.2 Charges réparties.......................................................................................................................... 73 F.1.2.1 F.1.2.2 F.1.2.3 F.1.2.4 F.1.2.5

Cas général .......................................................................................................................................... 73 Charge uniforme verticale sur une surface circulaire .......................................................................... 74 Charge uniforme verticale sur une surface rectangulaire..................................................................... 75 Charge uniforme verticale sur une bande de longueur infinie ............................................................. 75 Répartition simplifiée des contraintes ................................................................................................. 75

F.2 AMPLITUDE DU TASSEMENT................................................................................................................ 76 F.2.1 Tassement instantané .................................................................................................................... 76 F.2.2 Tassement de consolidation primaire............................................................................................ 77 F.2.3 Tassement de compression secondaire.......................................................................................... 83 F.2.4 Tassement total.............................................................................................................................. 83 F.3 EVOLUTION DU TASSEMENT DANS LE TEMPS : THEORIE DE LA CONSOLIDATION ................................. 83 F.4 TASSEMENTS ADMISSIBLES ................................................................................................................. 86 F.5 ACCELERATIONS DU TASSEMENT ........................................................................................................ 87 F.5.1 Drains verticaux............................................................................................................................ 88 G

ESSAIS AU LABORATOIRE : RESISTANCE AU CISAILLEMENT D'UN SOL........................... 91 G.1 RAPPELS DE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS............................................................................... 91 G.2 LA PLASTICITE DANS LES SOLS............................................................................................................ 92 G.2.1 Notations ....................................................................................................................................... 92 G.2.2 Plasticité des sols .......................................................................................................................... 92 G.2.3 Essais de cisaillement.................................................................................................................... 92 G.3 LES ESSAIS DE CISAILLEMENT DIRECT A LA BOITE DE CASAGRANDE .................................................. 93 G.4 LES ESSAIS DE CISAILLEMENT TRIAXIAUX .......................................................................................... 95 G.5 LES DIFFERENTS TYPES D'ESSAI, RESISTANCE AU CISAILLEMENT DES ARGILES ................................... 99 G.5.1 Coefficients de pression interstitielle ............................................................................................ 99 G.5.2 les essais UU (unconsolidated, undrained)................................................................................. 101 G.5.3 les essais CD (consolidated, drained) ......................................................................................... 102 G.5.4 les essais CU (consolidated, undrained) ..................................................................................... 103 G.5.5 Caractéristiques au pic, caractéristiques résiduelles.................................................................. 104 G.6 RESISTANCE AU CISAILLEMENT D'UN SABLE : ................................................................................... 104 G.7 EQUILIBRE LIMITE............................................................................................................................. 105 G.7.1 Coefficient des terres "au repos"................................................................................................. 105 G.7.2 Poussée et butée pour un sol sans cohésion................................................................................ 106 G.7.2.1 G.7.2.2

G.7.3 G.7.4 G.7.5 H

Poussée.............................................................................................................................................. 106 Butée ................................................................................................................................................. 107

Poussée et butée pour un sol avec cohésion................................................................................ 108 Poussée et butée pour un massif inclinée .................................................................................... 109 Equilibre limite d'un massif soumis à une charge....................................................................... 109

PRINCIPE DES CALCULS AUX D'ETATS LIMITES ..................................................................... 111 H.1 LA DEMARCHE SEMI-PROBABILISTE .................................................................................................. 111 H.2 NOTION D'ETAT LIMITE ..................................................................................................................... 112 H.3 DEFINITION DES ACTIONS ................................................................................................................. 112 H.3.1 Actions permanentes G................................................................................................................ 113 H.3.2 Actions dues à l'eau Fw................................................................................................................ 113 H.3.3 Actions variables Q ..................................................................................................................... 113 H.3.4 Les actions accidentelles FA ........................................................................................................ 113

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Eléments de Géotechnique – Mai 2007 – Véronique MERRIEN-SOUKATCHOFF H.4 VALEUR DES ACTIONS....................................................................................................................... 114 H.4.1 Situation de calcul....................................................................................................................... 114 H.4.2 Valeurs caractéristiques et valeurs de calcul.............................................................................. 114 H.4.3 Coefficients partiels γ .................................................................................................................. 114 H.5 COMBINAISON D'ACTIONS ET SOLLICITATIONS .................................................................................. 115 H.5.1 Combinaison d'actions ................................................................................................................ 115 H.5.2 Etats limites ultimes .................................................................................................................... 116 H.5.2.1 H.5.2.2

H.5.3 I

Combinaisons fondamentales :.......................................................................................................... 116 Combinaisons accidentelles............................................................................................................... 117

Etats limites de services .............................................................................................................. 117

STABILITE DE TALUS......................................................................................................................... 119 I.1

INTRODUCTION ...................................................................................................................................... 119 I.1.1 Présentation des problèmes ........................................................................................................ 119 I.1.2 Importance des problèmes de stabilité ........................................................................................ 119 I.2 DESCRIPTION DES GLISSEMENTS DE TERRAIN ........................................................................................ 120 I.2.1 Vitesse et durée des mouvements................................................................................................. 120 I.2.1.1 I.2.1.2 I.2.1.3 I.2.1.4

I.3

Les écroulements .................................................................................................................................... 120 Les glissements....................................................................................................................................... 120 Le fluage................................................................................................................................................. 121 Les coulées ............................................................................................................................................. 121

I.2.2 Forme de la surface de rupture................................................................................................... 121 METHODES DE CALCUL DE LA STABILITE DES PENTES ........................................................................... 121 I.3.1 Eléments de base du calcul ......................................................................................................... 121 I.3.2 Les méthodes de calcul................................................................................................................ 122 I.3.2.1 I.3.2.2

I.3.3 I.3.4 I.3.5

Les calculs à la rupture ........................................................................................................................... 122 Les calculs en contraintes-déformations ................................................................................................. 123

Notion de coefficient de sécurité ................................................................................................. 123 Ruptures planes ou multiplanaires (calcul à l'équilibre limite) .................................................. 124 Ruptures rotationelles (calcul à l'équilibre limite)...................................................................... 125

I.3.5.1 Méthode globale ..................................................................................................................................... 125 I.3.5.2 Les méthodes des tranches...................................................................................................................... 125 I.3.5.2.1 Calcul du coefficient de sécurité d'une surface de rupture potentielle.......................................... 125 I.3.5.2.2 Recherche du coefficient de sécurité du talus............................................................................... 127

I.3.6 Caractéristiques mécaniques à prendre en compte..................................................................... 128 I.3.7 Choix du coefficient de sécurité .................................................................................................. 128 I.4 SURVEILLANCE ET AUSCULTATION DES MOUVEMENTS DE TERRAIN ...................................................... 128 I.5 METHODE DE STABILISATION DES MOUVEMENTS DE TERRAIN ............................................................... 128 J

REMBLAIS SUR SOL COMPRESSIBLE ........................................................................................... 129

K

FONDATIONS ........................................................................................................................................ 131 K.1 GEOMETRIE D'UNE FONDATION ET DEFINITIONS................................................................................ 132 K.2 EQUILIBRE LIMITE D'UN MASSIF SOUMIS A UNE CHARGE ................................................................... 133 K.3 FONDATIONS SUPERFICIELLES .......................................................................................................... 134 K.3.1 Capacité portante : résistance du sol.......................................................................................... 134 K.3.1.1 Détermination de la contrainte ultime à partir des caractéristiques mécaniques................................ 134 K.3.1.1.1 Détermination de la contrainte ultime, pour une contrainte verticale centrée, une semelle filante et un sol avec cohésion.......................................................................................................................................... 134 K.3.1.1.1.1 Calcul en conditions non drainées......................................................................................... 135 K.3.1.1.1.2 Calcul en conditions drainées................................................................................................ 135 K.3.1.1.2 Coefficients minorateurs tenant compte de l'inclinaison, de la géométrie de la fondation et de la topographie du terrain ....................................................................................................................................... 137 K.3.1.1.2.1 Charge centrée inclinée :....................................................................................................... 137 K.3.1.1.2.2 Charge excentrée................................................................................................................... 137 K.3.1.1.2.3 Charge en crête de talus : ...................................................................................................... 137 K.3.1.1.2.4 Forme.................................................................................................................................... 138 K.3.1.1.2.5 sols hétérogènes .................................................................................................................... 138 K.3.1.2 Détermination de la contrainte ultime (de rupture) à partir des essais pressiométriques ................... 138 K.3.1.2.1 Principe de l'essai pressiométrique............................................................................................... 138 K.3.1.2.2 Notion de pression limite nette équivalente ................................................................................. 139 K.3.1.2.3 Notion d'encastrement équivalent ................................................................................................ 139 K.3.1.2.4 Contrainte de rupture.................................................................................................................... 142

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Eléments de Géotechnique – Mai 2007 – Véronique MERRIEN-SOUKATCHOFF K.3.1.2.5 Coefficients minorateurs .............................................................................................................. 142 K.3.1.2.5.1 Charge centrée inclinée :....................................................................................................... 142 K.3.1.2.5.2 Charge en crête de talus : ...................................................................................................... 142 K.3.1.2.5.3 Charge en crête de talus soumise à une charge centrée et inclinée :...................................... 143 K.3.1.2.5.4 Forme.................................................................................................................................... 143 K.3.1.2.5.5 Excentricité ........................................................................................................................... 143 K.3.1.3 Détermination de la contrainte ultime (de rupture) à partir des essais pénétrométrique .................... 145 K.3.1.3.1 Principe de l'essai pénétrométrique .............................................................................................. 145 K.3.1.3.2 résistance en pointe équivalente ................................................................................................... 145 K.3.1.3.3 Encastrement équivalent .............................................................................................................. 145 K.3.1.3.4 Contrainte de rupture.................................................................................................................... 145 K.3.1.3.5 Coefficients minorateurs .............................................................................................................. 146

K.3.2

Calculs pratiques ........................................................................................................................ 146

K.3.2.1 Contrainte normale appliquée au sol et contrainte de référence ........................................................ 147 K.3.2.2 Détermination de l'état limite de mobilisation du sol ........................................................................ 148 K.3.2.2.1 Etat ultime de mobilisation de la capacité portante ...................................................................... 148 K.3.2.2.2 Etat limite de service :.................................................................................................................. 148 K.3.2.2.3 Etat limite ultime de glissement ................................................................................................... 148

K.3.3

Tassement.................................................................................................................................... 149

K.3.3.1 Evaluation un tassement à partir des essais de laboratoire : .............................................................. 149 K.3.3.2 Evaluation des tassements à partir des essais pressiométriques :....................................................... 149 K.3.3.2.1 Cas d'un sol homogène :............................................................................................................... 149 K.3.3.2.2 Cas des sols hétérogènes : ............................................................................................................ 151

K.3.4 Stabilité d'ensemble..................................................................................................................... 151 K.3.5 Calcul par des méthodes en contraintes-déformations ............................................................... 151 K.4 FONDATIONS PROFONDES ................................................................................................................. 152 K.4.1 Classification des fondations profondes ou pieux ....................................................................... 152 K.4.1.1 K.4.1.2 K.4.1.3 K.4.1.4

Pieux provoquant le refoulement du sol ............................................................................................ 153 Pieux ne refoulant du sol ................................................................................................................... 153 Mode de transmission des charges au sol .......................................................................................... 153 Influence du type de sol :................................................................................................................... 154

K.4.2 K.4.3

Modèle de comportement d'un pieu isolé (Charge limite et charge de fluage) ........................... 154 Détermination de la capacité portante d'un pieu isolé................................................................ 155

K.4.4 K.4.5

Comportement des groupes de pieux........................................................................................... 166 Justification ................................................................................................................................. 167

K.4.3.1 Détermination de la force portante à partir des essais de laboratoire (c, ϕ, γ) ................................... 156 K.4.3.1.1 Charge ultime en pointe : ............................................................................................................. 156 K.4.3.1.1.1 Cas d'un sol purement frottant c=0........................................................................................ 156 K.4.3.1.1.2 Cas d'un sol purement cohérent cu et ϕu =0 (et contrainte totale)......................................... 159 K.4.3.1.2 Frottement latéral : ....................................................................................................................... 159 K.4.3.1.2.1 sol frottant ............................................................................................................................. 160 K.4.3.1.2.2 sol purement cohérent cu et ϕu =0 ........................................................................................ 161 K.4.3.1.2.3 sol à cohésion et frottement................................................................................................... 161 K.4.3.1.3 Remarques sur la détermination de la capacité portante à partir des caractéristiques de laboratoire 162 K.4.3.2 Détermination de la force portante à partir des essais pressiométriques............................................ 162 K.4.3.2.1 Effort de pointe ............................................................................................................................ 162 K.4.3.2.2 Effort latéral ................................................................................................................................. 165 K.4.3.2.3 Charge totale limite ...................................................................................................................... 165 K.4.3.3 Détermination de la force portante à partir des essais pénétrométriques ........................................... 165 K.4.3.4 Détermination de la force portante à partir de méthodes dynamiques ............................................... 166

K.4.5.1 Etats limites de mobilisation du sol ................................................................................................... 167 K.4.5.1.1 Etat limite de mobilisation de la capacité portante ....................................................................... 167 K.4.5.1.1.1 Etat limite de capacité portante du sol pour un pieu isolé ..................................................... 167 K.4.5.1.1.2 Groupement de pieux ............................................................................................................ 168 K.4.5.1.2 Etat limite de stabilité d'ensemble ................................................................................................ 168 K.4.5.1.3 Etat limite du matériau constitutif du pieu ................................................................................... 168

K.4.6

Actions particulières aux fondations profondes .......................................................................... 168

K.4.6.1 K.4.6.2

L

Frottement négatif Gsf........................................................................................................................ 168 Poussée latérale Gsn ........................................................................................................................... 168

OUVRAGES DE SOUTÈNEMENTS.................................................................................................... 171 L.1 INTRODUCTION ................................................................................................................................. 171 L.2 DIFFERENTS TYPES D'OUVRAGES DE SOUTENEMENT ......................................................................... 171 L.2.1 Poussée reprise par le poids de l'ouvrage de soutènement. ........................................................ 174

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L.2.2 Poussée reprise par l'encastrement............................................................................................. 174 L.2.3 Poussée reprise par des ancrages ............................................................................................... 174 L.2.4 Ouvrages rigides et souples ........................................................................................................ 174 L.2.5 Stabilité externe/interne .............................................................................................................. 175 L.3 DIMENSIONNEMENT DES MURS POIDS (STABILITE EXTERNE DU MUR)............................................... 176 L.3.1 Contexte réglementaire ............................................................................................................... 176 L.3.2 Stabilité au renversement ............................................................................................................ 176 L.3.3 Stabilité vis à vis d'un glissement sur la base.............................................................................. 177 L.3.4 Résistance du sol de fondation .................................................................................................... 177 L.3.5 Stabilité générale vis à vis d'un glissement ................................................................................. 179 L.3.6 Différentes étapes d'évaluation de la stabilité d'un mur de soutènement.................................... 179 L.4 METHODES CLASSIQUES DE CALCUL DES FORCES DE POUSSEE ET DE BUTEE ..................................... 180 L.4.1 Méthode de Coulomb (1773 !)..................................................................................................... 180 L.4.2 Méthode de Rankine .................................................................................................................... 183 L.4.2.1 L.4.2.2 L.4.2.3

L.4.3 L.4.4

Calcul de la force de poussée pour un massif pulvérulent à surface horizontale (méthode de Rankine) 184 Stabilité d'une tranchée dans un sol cohérent ?.................................................................................. 185 Calcul de la force de poussée pour un massif à cohésion et frottement (méthode de Rankine)......... 185

Méthode de Boussinesq-Caquot-Kerisel ..................................................................................... 186 Influence d'une surcharge et de l'eau.......................................................................................... 189

ELEMENTS DE BIBLIOGRAPHIE .............................................................................................................. 191 BIBLIOGRAPHIE RELATIVE A L'ENSEMBLE DU POLYCOPIE ............................................................................... 191 PROPRIETES PHYSIQUES ET GEOMETRIQUES DES TERRAINS ............................................................................. 191 INSTABILITES LIEES A LA FRACTURATION EN L'ABSENCE D'EAU ...................................................................... 191 REMBLAIS SUR SOL COMPRESSIBLE ................................................................................................................. 191 FONDATIONS ................................................................................................................................................... 192 ANNEXE 1......................................................................................................................................................... 193 COORDONNEES CYLINDRIQUES ....................................................................................................................... 193 Déformations ............................................................................................................................................. 193 Equations d'équilibre................................................................................................................................. 193 Loi de Hooke ............................................................................................................................................. 193

8

Introduction à la Géotechnique La Géotechnique étudie les caractéristiques des terrains (sols et roches) en vue de leur utilisation comme matériau ou support de construction. C'est une discipline que l'on peut intégrer dans le Génie Civil au sens large. Le Génie Civil est une discipline plus large, que nous définirons comme l'ensemble des disciplines de construction. Le Génie Civil dans cette définition très large englobe, outre la Géotechnique, le calcul des structures (qui fait appel à la Résistance des Matériaux), l'étude des matériaux de construction, les problèmes de bâtiment et d'énergie, les problèmes d'eau, d'assainissement et d'irrigation, la conception et l'aménagement. Certains y intègrent même l'environnement. Remarque : "Génie Civil" est un terme qui peut avoir différentes significations. Certaines entreprises de construction n'appliquent cette appellation qu'à la construction de grands ouvrages d'art du type pont ou barrage. La mécanique des terrains s'appuie sur : - la Mécanique des Milieux Continus : MMC (élasticité, plasticité…) ; - les propriétés physiques et mécaniques des sols et des roches ; - la géologie, la composition chimique et minéralogique des constituants du sol (ces derniers ayant une influence sur les caractéristiques physiques et mécaniques). La mécanique des terrains fait donc appel à des aspects théoriques liés à la MMC, mais aussi à une approche plus naturaliste et expérimentale. Les aspects "théoriques" sont basés sur des notions déjà étudiées dans des cours antérieurs tels que : - la théorie de l'élasticité (les conditions initiales et aux limites étudiées pourront être spécifiques des problèmes de géotechnique) ; - l'équilibre plastique (le critère de plasticité couramment employé sera le critère de MohrCoulomb) ; - l'écoulement en milieux poreux qui sera ici appliqué aux écoulements de l'eau dans le sol. Ces écoulements dans le sol conduiront à exposer la théorie de la consolidation. -… La géotechnique fera aussi appel à toutes les techniques statistiques utiles pour caractériser la variation des propriétés inhérente à un matériau naturel. Souvent nous serons amenés à différencier les terrains qualifiés de "sols" de ceux qualifiés de "roches". Les assemblages de grains minéraux non liés par des forces de cohésion fortes et permanentes seront dénommés sol (≠ roche). Les sols (par opposition aux roches) sont des matériaux susceptibles d'être soit séparés en grains (sols pulvérulents i.e. les "sables"), soit déformés à la main (sols cohérents i.e. "argiles") ou par la mise en œuvre d'une énergie mécanique relativement faible. 9


Les éléments conduisant à la distinction sol-roche sont résumés dans le tableau ci-dessous. On est conduit à utiliser les termes de roche "molle" ou de sol dur pour qualifier un comportement intermédiaire. Sol

Roche

• Liaisons entre grains minéraux faibles

• Liaisons fortes et permanentes

• Continuité de la matrice

• Importance des discontinuités (on ne passe pas facilement des propriétés de la matrice aux propriétés du massif)

- un support de construction (les fondations transmettent la charge de la Les terrains sont à construction au sol) la fois - un élément de construction (digue, barrage en terre, remblai)

La Géotechnique s'intéresse à ces deux aspects. Nous serons conduits à étudier la résistance du sol de fondation, le tassement sous des bâtiments… mais aussi la stabilité de talus naturels ou artificiels. Dans le premier cas, le géotechnicien ne pourra généralement que subir les propriétés du terrain support (bien qu'il existe comme nous le verrons plus loin un certain nombre de techniques d'amélioration du terrain en place), dans le second cas, il sera éventuellement possible d’opérer une sélection sur le terrain mis en place artificiellement. Dans la première partie de ce cours, nous nous intéresserons aux propriétés physiques et géométriques des sols et des roches puis nous étudierons le comportement mécanique des terrains à l’état naturel et l'effet de sollicitations extérieures. effondrement

glissement

{

barrages

canaux routes voies ferrées

ports, digues

mine à ciel ouvert

galeries d'eau

mines peu profondes, carrières

remblais

sédiments marins

tunnels

forage pétrolier

puits

grandes cavités (stockage)

Quelques problèmes géotechniques

10

mine profonde

A Propriétés physiques et géométriques des terrains Les terrains sont constitués de trois phases : une phase solide qualifiée de squelette et formée de grains minéraux ;

3 V

2

une phase liquide, en général de l'eau ;

VV eau solide

1

une phase gazeuse, souvent de l'aire et de la vapeur d'eau.

VS

Nous commencerons par étudier la distribution des "vides" par rapport aux grains minéraux, puis les grains eux-mêmes qui pourront être caractérisés par : leur taille ; leur poids volumique ; leur minéralogie.

Figure A-1

A.1 Porosité et indice des vides L'espace compris entre les grains minéraux du sol est appelé "volume des vides". Ce terme est en réalité impropre puisque ces "vides" sont généralement remplis de fluide (le plus fréquemment air et eau). Nous commencerons par décrire cette "absence de matériau" qui va avoir une influence considérable sur le comportement des terrains. A.1.1 Notations Si un volume V de terrain (cf. Figure A-1) contient : - un volume Vs de solide de poids Ws ; - un volume Vv de "vide" .Ce volume de vide correspond au volume compris entre les grains et comprend donc le volume d'eau Vw (w = water) et le volume d'air. Le volume total du sol est : V = Vv + Vs ; - un poids Ww d'eau La porosité est définie par n =

VV . La porosité est comprise entre 0 et 1 (0 << n << 1) V

Un autre paramètre est également utilisé ; c'est l'indice des vides : e = avec la relation :

n=

e 1+e

ou

e=

VV VS

n 1−n

Les vides peuvent contenir plus ou moins d'eau et le degré de saturation traduit le "remplissage" des interstices du sol par de l'eau. La Saturation (ou degré de saturation) Sr s'exprime en % : S = Volume d'eau contenu dans les vides du matériau Volume total des vides

Sr =

Vw VV

11


La proportion d'eau contenue dans les terrains peut également être exprimée par la teneur en Poids de l' eau eau w exprimée en % : w = Poids du solide On utilise parfois la teneur en eau volumique Θ : Volume d' eau contenu dans les vides du matériau Θ = Volume total du matériau Plusieurs critères peuvent être utilisés pour différencier la porosité : - la taille des pores ; - la description des pores (i.e. le type de porosité) ; - l'origine de la porosité.

A.1.2 Classification de la porosité par rapport à la taille des pores La taille des pores est très variable. On parlera de : -

porosité réticulaire quand la taille des vides est de l'ordre de l'angstrœm (1 Ä = 10 -10 m). L'eau contenue dans ces vides est mobilisable par vaporisation par suite des variations du degré hygrométrique de l'air;

-

porosité colloïdale pour des vides d'environ 100 Ä. Elle correspond aux vides des agrégats colloïdaux. C'est une porosité qui peut être importante et que l'on rencontrera principalement dans les argiles. L'eau contenue dans ces vides est mobilisable par compaction naturelle ou provoquée (centrifugation, filtration sous presse ou sous vide);

-

microporosité jusqu'à 2 10-7 m ;

-

porosité capillaire entre 2 10-7 m et 2 10-3 m ;

-

macroporosité au-delà de 2 mm.

Les vides dont on pourra extraire l'eau correspondent à la macroporosité, la porosité capillaire et dans une moindre mesure la micro-porosité.

A.1.3 Classification par rapport à l'origine L'origine de la porosité peut être primaire ou secondaire : -

la porosité primaire est formée par les pores créés au cours de la genèse de la roche : lors de la sédimentation, au cours de la cristallisation ou du refroidissement ;

-

la porosité secondaire est acquise après la genèse soit par fracturation, soit par dissolution (ex: grès à ciment calcaire ; la dissolution du ciment calcaire va entraîner l'acquisition d'une porosité secondaire).

A.1.4 Classification morphologique On distingue deux grands types morphologiques de vides : les pores et les fissures.

A.1.4.1 La porosité d'interstices (intergranulaire) : les pores C'est l'ensemble des vides compris entre les différentes particules d'un terrain ; elle sépare les 12


"grains". La porosité peut être ouverte ou fermée (cas de certaines laves volcaniques) selon que les vides communiquent ou non les uns avec les autres. Suivant la taille des pores, il sera possible de distinguer une porosité d'interstices réticulaire (entre les cristaux des roches magmatiques et métamorphiques), colloïdale (argiles), une microporosité et une macroporosité.

Figure A-2 A.1.4.1.1 La porosité d'interstices simple ou nette Quand les grains sont bien classés, c'est-à-dire sont de taille équivalente et que les vides qu'ils laissent ne sont pas remplis par des grains de plus petite taille, la porosité sera qualifiée de nette. La structure peut être plus ou moins compacte selon le tassement. Si on suppose que l'on a des particules sphériques de même diamètre, la porosité dépendra de l'arrangement des sphères : la disposition pourra varier d'une disposition en carré (arrangement le plus lâche) à une disposition losangique (ou rhomboédrique en 3 dimensions) qui donneront des porosités de 45 % (au maximum) à 25 %.

A.1.4.1.2 La porosité d'interstices restreinte Ce type de porosité provient d'un mauvais tri des grains qui entraîne un remplissage par des particules fines des vides laissés entre les gros grains.

A.1.4.1.3 La porosité d'interstices réduite Le volume des vides peut être "réduit" par un dépôt (carbonate de chaux, hydroxyde de fer, silice …) qui se fait sur la surface des grains et diminue la taille des pores. En plus de ces trois types (simple, restreint, réduite), il est possible de trouver une porosité double, quand les "gros" éléments sont eux-mêmes composés de grains et de pores plus petits que les vides laissés par les "gros" éléments.

A.1.4.2 La porosité de fissure Il existe plusieurs sortes de "fissures". Nous pourrons distinguer plusieurs types de porosités de fissures en fonction de la nature de ces dernières.

Figure A-3 A.1.4.2.1 Porosité de joints Elle est due aux joints stratigraphiques. Cette porosité est primaire.

13


A.1.4.2.2 Porosité de diaclases C'est une porosité secondaire liée aux diaclases donc à des fissures sans rejet orthogonales ou obliques par rapport à la stratification.

A.1.4.2.3 Porosité de failles Nous parlerons de porosité de faille lorsqu'il existe un réseau de fractures bien développé lié à la présence d'une faille à proximité.

A.1.4.2.4 Porosité de schistosité Le long des plans de schistosité, si ces plans se décollent plus ou moins, il peut se former quelques vides.

A.1.4.2.5 Porosité de retrait Ce type de porosité, relativement restreint, est lié au refroidissement des roches éruptives.

A.1.5 Ordre de grandeur de la porosité - Sables, grès 15 % à 25 %. - Argiles 40 % à 90 % (le volume des vides peut parfois devenir supérieur au volume initial du terrain du fait d'un gonflement). - Marnes : 30 % à 50 %, mais une partie de cette porosité est colloïdale. - Calcaires : Quelques % à 25 % (dans le cas d'un calcaire détritique fissuré). - Roches cristallines : quelques %. Cette porosité peut augmenter du fait de la fracturation et de l'altération.

Remarques sur l'ordre de grandeur de la porosité •

La porosité la plus importante correspond à la porosité d'interstices : une disposition en carré de sphère régulière donnerait une porosité de 45 %, mais un grès cimenté peut avoir une porosité d'environ 5 % seulement. La porosité de fissure est moins importante ; pour se donner une idée, il est possible d'imaginer un bloc de 20 cm × 20 cm × 25 cm sur le bord duquel se trouve une fracture de 1 mm de large ; Figure A-4 : variation de l'indice de qualité ceci correspond à une porosité de 0,4 %. d'une roche en fonction de la porosité de pore et de fissure Généralement, la porosité de fissure est inférieure à 5 %, mais cette porosité est très importante du point de vue de la circulation des eaux (trajet préférentiel) et de la qualité mécanique des terrains.

•

Les différentes porosités peuvent s'ajouter, par exemple une porosité de fissures et d'interstices dans un grès. La porosité double est très intéressante (elle peut correspondre à une porosité de fissures et d'interstices combinées) car le débit traversant une section est proportionnel au carré du diamètre des vides.

14


A.2 Le squelette du terrain : les grains Les grains du sol peuvent être caractérisés par :

•

leur nature et leur minéralogie ;

•

le poids volumique des grains ;

•

la taille et la répartition des tailles (analyse granulométrique).

A.2.1 Nature et minéralogie des grains Nous ne détaillerons pas cet aspect, mais une étude minéralogique fine peut être effectuée notamment par analyse aux rayons X. La détermination de la composition minéralogique de la fraction argileuse pour les sols est un élément de jugement intéressant sur son comportement. La teneur en carbonate de calcium CaCO3 peut également être déterminée par mesure du volume de gaz carbonique dégagé, après attaque à l'acide chlorhydrique d'une certaine quantité de matériau sec.

A.2.2 Poids volumique des grains. Si nous reprenons les notations de la Figure A-1 un volume V de terrain contient - un volume Vs de solide de poids Ws ; - un volume Vv de "vide" Ce volume de vide correspond au volume compris entre les grains et comprend donc le volume d'eau Vw (w = water) et le volume d'air. Le volume total du sol est : V = Vv + Vs ; - un poids Ww d'eau Le poids volumique des grains du sol (ou poids volumique du solide) est : γ S =

WS VS

Les poids volumiques s'expriment en kN/m3. La densité relative du solide est : G =

γs γw

ou γw est le poids volumique de l'eau (γw = 9,81 kN/m3 ≈ 10 kN/m3)

A.2.3 Taille et la répartition des tailles (analyse granulométrique) Les particules du sol ont des dimensions comprises entre 10-6 mm et 1m (à titre indicatif la variation relative des dimensions est la même que celle qui existe entre la dimension d'une bille et de la terre!). Pour analyser la répartition des grains, il faut distinguer ce qui peut être fait pour les roches, pour lesquelles les grains ne peuvent pas être séparés et pour les sols.

Bille Planète

Figure A-5

15


A.2.3.1 Dimension, forme et répartition des grains dans les roches … en cours d'élaboration …

A.2.3.2 Taille et répartition des tailles pour les grains d'un sol La détermination de la répartition en poids des grains s'effectue : - par tamisage, pour les particules dont le diamètre moyen est supérieur à 80 µ ; - par sédimentation, pour les particules dont le diamètre moyen est inférieur à 80 µ.

A.2.3.2.1 Principe de la détermination de la répartition en poids des grains par tamisage Le sable est tamisé, sur des tamis de maille (dimension des trous du tamis) décroissante. Les diamètres sont normalisés et on parle de tamis stricto sensu pour des diamètres de trous allant de 80 µ à 5 mm et de passoires pour des diamètres variant de 12,5 mm à 100 mm.

refus tamis Ø normalisé passing

Figure A-6

Le passing est le pourcentage des grains dont la taille est inférieure à la maille du tamis (le refus est le complément à 1). Le pourcentage est un pourcentage en poids sec de l'échantillon (i.e. l'échantillon est passé à l'étuve pour séchage).

A.2.3.2.2 Principe de la détermination de la répartition en poids des grains par sédimentation Pour les particules de petite dimension, on utilise une méthode basée sur la loi de Stokes:

v=

γs −γw 2 ⋅D 18µ

γs

v : vitesse limite de chute de la particule;

µ : viscosité du liquide.

D Figure A-7

Les résultats de l'analyse granulométrique sont reportés dans un repère semi-logarithmique. La courbe représentant en fonction du diamètre D, le pourcentage en poids des grains de dimension inférieure à D (passing) est appelée courbe granulométrique. On appelle Dx le diamètre correspondant au pourcentage x (sur la figure I.4 la détermination du D60 est reportée à titre d'exemple). Il faut noter que l'analyse granulométrique ne rend pas compte de la forme des grains et de leur état de surface. Les diamètres reportés sont des diamètres moyens équivalents.

16


A.2.3.2.3 Diamètres caractéristiques D60 : diamètre de la maille laissant passer 60 % du matériau (60 % des grains ont un diamètre inférieur au D60). D30 : diamètre de la maille laissant passer 30 % du matériau (30 % des grains … au D30). D10 : diamètre de la maille laissant passer 10 % du matériau (10 % des grains … au D10).

A.2.3.2.4 Coefficients caractéristiques À partir des diamètres caractéristiques on définit des coefficients :

• Coefficient d'uniformité de Hazen : Cu =

D60 D10

pour Cu < 2 la granulométrie du sol est dite uniforme ; pour Cu > 2 la granulométrie du sol est dite étalée.

• Coefficient de courbure : Cc ou Cz (dénomination recommandée par la Société 2 (D30 ) Internationale de Mécanique des Sols) Cz = D60 ⋅ D10 Pour certaines applications, il est parfois demandé au sol (ou aux granulats pour les bétons) de respecter certaines caractéristiques granulométriques. Il est courant de voir spécifier un fuseau de tolérance. Ce fuseau est composé de 2 courbes granulométriques limites, entre lesquelles doit se trouver le sol (ou les granulats) considérés. A.2.3.2.5 Diamètres de référence Nous avons résumé les étapes d'une caractérisation granulométrique d'un sol. Certaines coupures granulométriques sont plus particulièrement utilisées : • La coupure granulométrique à 80 µ permet de séparer les sols grenus des sols fins : - un sol est considéré comme grenu, si plus de 50% de ces grains ont un diamètre supérieur à 80 µ; - un sol est considéré comme fin, si plus de 50% de ces grains ont un diamètre inférieur à 80 µ. • La coupure granulométrique à 2 mm permet de séparer les sables des graves (cf. classification plus loin).

17


Passing : % cumulé

Analyses granulométriques par tamisage - Dossier : CAILLOUX

GRAVIER

GROS SABLE

SABLE FIN

LIMON

ARGILE

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1000,000

100,000

D60 1,000

10,000

0,100

Ouverture intérieure des mailles des tamis

0,010

0,001

0,000

Ø équiv.(Sédimentométrie)

Figure A-8 : Exemple de courbe granulométrique Taille des tamis

Tare des tamis

Tamis + refus

Poids refus

% cumulé

(mm)

(g)

(g)

(g)

(%)

1

< 0,080

591,17

1022,73

431,55975

2

> 0,080

521,79

1817,31

1295,5155

3,6200395

3

0,125

543,66

2666,28

2122,6169

14,487173

4

0,200

586,54

2702,29

2115,7478

32,292256

5

0,400

619,44

1064,57

445,13

50,039718

6

0,630

662,58

1029,31

366,73

53,773589

7

1,250

479,95

856,8

376,85

56,849819

8

2,500

592,61

1274,02

681,41

60,010938

9

5

640,46

2004,42

1363,96

65,726789

10

10

940,21

2837,81

1897,6

77,168053

11

20

1076,17

1570,66

494,49

93,085633

12

40

0

329,8

329,8

97,233549

13

100 TOTAL

7254,58

19175,99

Tableau A-1 : exemple d'analyse granulométrique

18

11921,41


A.3 Essais d'identification spécifiques aux sols et classification A.3.1 Poids, volumes et paramètres caractéristiques L'état du sol est caractérisé par un certains nombre d'indices, de coefficients : Soit V ou VT(T = Total) un volume de terrain composé de :

3 V

2

eau

VV - un volume Vs de solide ; - un volume Vv de "vide";

solide

1 VS

Ce volume de vide correspond au volume compris entre les grains et comprend donc le volume d'eau Vw (w = water) et le volume d'air. Le volume total du sol est : V = Vv + Vs ; - un poids Pw (ou Ww, in English!) d'eau; - un poids Ps (ou Ws) de grains solides.

Figure A-9 La détermination de Ps et Pw s'effectue en pesant deux fois l'échantillon : une fois à l'état naturel, une seconde fois après passage à l'étuve à 105°C. La deuxième pesée permet d'obtenir Ps et par différence avec la première pesée Pw. La détermination du volume des grains solides s'effectue à l'aide d'un picnomètre. Les grains solides, après passage à l'étuve, sont broyés afin d'obtenir des éléments de taille inférieure à 0,4 mm. Les grains sont pesés puis introduits dans un flacon à col étroit (picnomètre) dont le volume est connu avec précision. Le volume de l'échantillon peut être mesuré soit directement, soit par différence de poids entre un flacon plein d'eau et un flacon contenant le même volume, mais constitué de grains et d'eau.

Figure A-10 : schéma d'un picnomètre

19


BALANCE

La détermination du volume d'un échantillon s'effectue en enrobant l'échantillon de paraffine et en l'immergeant dans de l'eau. La mesure de la poussée hydrostatique permet de connaitre le volume de l'échantillon. A partir du poids humide, du poids paraffiné, de la pesée hydrostatique et enfin du poids sec, on peut calculer la densité humide et sèche de l’échantillon.

PORTE OBJET

ECHANTILLON FLOTTEUR

BAC D’IMMERSION

SUPPORT ELEVATEUR

Figure A-11 : Schéma de principe de la détermination du volume d'un échantillon par immersion * Nous avons précédemment défini la porosité et l'indice des vides qui expriment la proportion des "vides" du sol. Rappelons que :

Porosité : n =

VV la porosité est comprise entre 0 et 1 (0 << n << 100%) V

Indice des vides : e =

VV VS

* La teneur en eau est le rapport en poids entre l'eau et le solide :

Teneur en eau : w s'exprime en %: w =

Ww WS

La teneur en eau d'un sol permet d'apprécier l'état dans lequel se trouve le sol * Le degré de saturation traduit le "remplissage" des interstices du sol par de l'eau

Saturation (ou degré de saturation) Sr s'exprime en % : Sr =

Vw VV

* Poids volumiques : • Le poids volumique du sol à l'état naturel γ : γ =

W Ww + Ws = = γ h ou poids volumique V V

humide γh : • Le poids volumique du sol sec (dry) γd : γ d =

20

γs WS = V 1+ w G Sr


• Le poids volumique du solide γs : γ S =

WS VS

• Le poids volumique de l'eau γw : γ w =

Ww 3 3 = 9,81 kN / m ≈ 10 kN / m Vw

W poids volumique humide quand • Le poids volumique du sol à saturation : γsat : γ sat = V Sr = 100 % (i.e. il n'y a plus d'air dans les interstices du sol et Vw = Vv ). • Le poids volumique déjaugé : γ' : γ ' = γ − γ w (cf. 3.2).

A.3.2 Caractéristiques des sols fins Le comportement d'un sol fin est fonction de : - sa composition minéralogique - sa structure (i.e. la disposition des particules les unes par rapport aux autres); - sa teneur en eau. Des essais spécifiques sont pratiqués pour déterminer les caractéristiques de la fraction fine des sols (granulométrie inférieure à 400 µ). Ces essais permettent la détermination des limites d'Atterberg. Le sol fin pourra passer d'un état "solide" à un état "liquide", quand sa teneur en eau augmente; le comportement intermédiaire aura des propriétés "plastiques". La consistance d'un sol va donc varier en fonction de la teneur en eau. On définit des limites arbitraires pour qualifier ces différents états. Ces limites sont pour des teneurs en eau croissantes : - la limite de plasticité wP qui sépare l'état solide de l'état plastique; - la limite de liquidité wL qui sépare l'état plastique de l'état liquide. L'état solide peut être également séparé par la limite de retrait ws entre un état solide sans retrait (ne contenant plus d'eau adsorbée) d'un état solide avec retrait, présentant donc une dimension de volume lié au départ d'eau adsorbée. solide

solide

Etat

Etat

sans retrait

avec retrait

plastique

liquide

wS

wP

wL

Figure A-12 : limites d'Atterberg Ces limites sont désignées par l'appellation de limites d'Atterberg (agronome suédois…). Leur détermination est empirique (cf. description ci-dessous). Rappelons qu'elles sont mesurées sur la fraction de sol inférieure à 400 µ. Leur détermination va permettre de caractériser le sol et de "prévoir" son comportement.

A.3.2.1 Limite de liquidité La limite de liquidité est déterminée, en étendant une couche d'argile sur une coupelle normalisée. On trace dans cette couche d'argile une rainure de 12 mm au moyen d'un outil en V (normalisé). Des chocs répétitifs sont imprimés à la coupelle et on compte le nombre de chocs nécessaires pour refermer la rainure sur 1 cm. La teneur en eau de la pâte est ensuite 21


mesurée. La limite de liquidité wL est la teneur en eau (exprimée en %) qui correspond à une fermeture en 25 chocs.

Coupelle vue de coté

Coupelle vue de face

Outil à rainurer

Figure A-13 : Coupelle de Casagrandre (d'après Costet & Sanglerat) A.3.2.2 Limite de plasticité La limite de plasticité est déterminée en roulant l'échantillon en forme de fuseau et en amincissant ce fuseau progressivement. La limite de plasticité wP est la teneur en eau (exprimée en %) pour laquelle le fuseau se brise en petits tronçons de 1 à 2 cm de long au moment où son diamètre atteint 3 mm. Ces mesures, contrairement à ce que l'on pourrait croire, sont assez précises. On estime que wP et wL sont déterminées avec une erreur relative de 5% environ. Si l'opération est effectuée plusieurs fois par le même opérateur, l'erreur ne dépasse pas 2%. La teneur en eau naturelle wnat est en général comprise entre wP et wL, mais plutôt proche de wP. Il faut remarquer que ces mesures sont effectuées sur du matériau remanié. Il est donc possible que des sols naturels, présentant avant remaniement une consistance éloignée de celle d'un liquide, aient une teneur en eau supérieure à la limite de liquidité.

A.3.2.3 Indice de plasticité L'indice de plasticité est la différence entre les deux mesures précédentes : IP = w L − wP Il permet de définir le degré de plasticité d'un sol : Indice de Plasticité Degré de plasticité 0-5 non plastique 5-15 peu plastique 15-40 plastique >40 très plastique

A.3.2.4 Indice de consistance L'indice de consistance donne une idée de la structure des argiles du sol : w − w wL − w IC = L = ; des argiles ayant même indice de consistance auront des propriétés IP wL − wP 22


proches. IC IC < 0 0 < IC < 0,25 0,25 < IC < 0,5 0,5 < IC < 0,75 0,75 < IC < 1 IC > 1

Consistance Liquide Pâteuse ou très molle Molle Ferme Très ferme Dure

A.3.2.5 Indice de liquidité L'indice de liquidité est le w − wP w − wP IL = = = 1 − IC IP w L − wP

complément

à

1

de

l'indice

de

consistance

:

A.3.2.6 Activité des argiles Les limites d'Atterberg sont déterminées sur la fraction de sol de dimension inférieure à 400 µ. La teneur en argile est elle définie comme le pourcentage (en poids, par rapport au poids total des particules de dimension inférieure à 400 µ) des éléments de dimension inférieure à 2 µ. Skempton (éminent mécanicien des sols anglais) a montré que si l'on reporte l'indice de plasticité IP en fonction de la teneur en argile, les points représentatifs des échantillons dont la fraction fine est constituée du même minéral sont approximativement alignés. La pente de cette droite est donc caractéristique de ce minéral et est appelée activité.

lp

Shellhaven London clay Weald clay Horten

100 80 60 40 20 0

IP A= % éléments < 2 µ

20 40 60 80 Teneur en argile

100

Figure A-14 : Activité des argiles (Skempton) A.3.2.7 Sensibilité des argiles Une argile naturelle qui est remaniée perd de la résistance au cours du remaniement. Cette caractéristique est plus ou moins importante en fonction de la composition du matériau. On appelle sensibilité d'une argile le rapport entre sa résistance à la compression simple à l'état intact et sa résistance à la compression simple après remaniement. St =

Résistance à la compression simple avant remaniement Résistance à la compression simple après remaniement

- Fréquemment 2 < St < 4 - Pour les argiles dites sensibles : 4 < St < 8 23


A.3.3 Caractéristiques des sols grenus A.3.3.1 Densité relative ou Indice de densité Les sols grenus sont caractérisés par leur Indice de densité ou densité relative

ID =

emax − e emax − emin

0 < ID < 1

emax est l'indice des vides maximal; emin est l'indice des vides minimal; e est l'indice des vides naturel et, en général, pour un sable 0,4 < e < 1 L'état le plus lâche d'un sable sera caractérisé par : ID ≈ 0; l'état le plus compact, donc le plus résistant par ID ≈ 1. Un sable lâche aura tendance à se "tasser" et à se cisailler plus facilement que le même matériau dans un état plus compact. L'indice des vides maximal (emax) s'obtient en versant soigneusement, sans provoquer de vibrations, le sable sec dans un moule étalon de volume connu. L'indice des vides minimal (emin) correspond à l'état le plus dense d'un sol. Il s'obtient en soumettant à des vibrations un poids connu de sol contenu dans un moule de volume connu.

A.3.3.2 Equivalent de sable L'essai d'équivalent de sable est un essai très simple permettant d'évaluer la proportion relative d'éléments fins et d'éléments grenus. Il se pratique sur les éléments de taille inférieure à 5 mm. Un échantillon de 120 g de matériau sec (< 5 mm) est placé dans une éprouvette contenant de l'eau et un défloculant. L'ensemble est mélangé, puis laissé au repos (temps et quantité à préciser). On observe à la base de l'éprouvette un dépôt solide, un floculat de sol fin, puis un surnageant relativement clair. L'équivalent de sable E.S. s'exprime en pourcentage :

E.S.=

h1 *100 h1 + h2

L'essai est interprété de la manière suivante : E.S. = 0

argile pure

E.S. = 20

sol plastique

E.S. = 40

sol non plastique

E.S. = 100

sable pur et propre

floculat

Dépôt solide

h2 h1

Figure A-15 : Essai d'équivalent de sable

A.3.4 Essai au bleu de méthylène Cet essai permet de caractériser la phase argileuse d'un sol. L'essai consiste à introduire dans un échantillon des quantités croissantes de bleu de méthylène, par doses successives jusqu'à ce que les particules argileuses en soient saturées. Le sol adsorbera d'autant plus de bleu de méthylène que : 24


- la quantité d'argile qu'il contient est importante; - que cette argile est active, c'est-à-dire qu'elle développe une surface spécifique élevée et qu'elle est abondamment chargée. Il existe des corrélations entre les valeurs de bleu d'un sol (VBS) et son indice de Plasticité pour les sols cohérents et l'Equivalent de sable pour les sols grenus. L'Indice de plasticité (IP) et la valeur de bleu d'un sol (VBS) sont tous les deux des paramètres qui mesurent l'argilosité. La VBS est une grandeur qui exprime globalement la quantité et l'activité de l'argile contenue dans le sol étudié, elle est donc applicable à l'identification de tous les sols. L'IP est un paramètre mesuré depuis beaucoup plus longtemps dans les sols et l'on dispose donc d'une plus grande expérience dans l'interprétation de cette caractéristique, de plus il est plus sensible que la VBS pour des sols moyennement à très argileux. Enfin l'IP est à la fois un paramètre d'identification et de comportement du sol qui définit l'intervalle de teneur en eau dans lequel le sol reste souple et déformable tout en conservant une certaine résistance au cisaillement. Ces deux indices ne peuvent donc pas se substituer entièrement l'un à l'autre. Cet essai est utilisé dans le domaine routier et dans la Recommandation pour les Terrassements Routiers (Recommandations SETRA-LCPC).

A.3.5 Classification des sols La classification des sols est basée sur l'analyse granulométrique et les limites d'Atterberg. Elle permet de fournir une définition rapide d'un terrain, mais ne donne qu'une idée globale de son comportement mécanique. En France, on utilise la classification du Laboratoire des Ponts et Chaussées (avec des mailles de tamis en mm, cm, et mètres). Cette classification est proche de celle utilisée aux USA : classification USCS (Unified Soil Classification System). Comme nous l'avons vu au § I.1., la coupure granulométrique à 80 µ permet de séparer les sols grenus des sols fins : - un sol grenu est constitué de plus de 50% de grains ayant un diamètre supérieur à 80 µ. - un sol fin est constitué de plus de 50% de grains ayant un diamètre inférieur à 80 µ. On définit un sol par deux symboles. Le premier symbole tient compte de la nature des éléments constituant le sol : - G : pour Grave, quand la grave constitue la fraction principale du sol; - S : pour Sable, quand le sable constitue la fraction principale du sol; - L pour Limon, quand le limon constitue la fraction principale du sol; - A pour Argile, quand l'argile constitue la fraction principale du sol; - T pour Tourbe, quand la tourbe constitue la fraction principale du sol; - O pour Organique, quand l'échantillon contient des éléments organiques, même en faible quantité. Le deuxième symbole tient compte de la granulométrie : - b : bien graduée, c'est à dire granulométrie bien étalée, sans prédominance d'une fraction particulière; - m : pour mal graduée, c'est à dire pour une granulométrie discontinue avec prédominance d'une fraction particulière. 25


A.3.5.1 Classification des sols grenus CLASSIFICATION DES SOLS GRENUS (plus de 50% des éléments > 0,08 mm) Définitions Symb Critères Appellation ole Plus de 50% des Moins de 5% Gb Grave propre Cu > 4et 1 < Cz < 3 éléments d'éléments < (GW) bien graduée GRAVES > 0,08 mm ont 0,08 mm Gm Une des conditions Grave propre un (GP) Gb non satisfaites mal graduée Grave diamètre > 2 mm Plus de 12% GL Limites d'Atterberg au limoneuse d'éléments < (GM) dessous de la ligne A (ligne A : cf. fig I.9) 0,08 mm GA Limites d'Atterberg au Grave (GC) dessus de A argileuse Plus de 50% des Moins de 5% Sb Sable propre Cu > 6 et 1 < Cz < 3 éléments d'éléments < (SW) bien graduée SABLES > 0,08 mm ont 0,08 mm Sm Une des conditions Sb Sable propre un (SP) non satisfaites mal graduée diamètre < 2 mm Plus de 12% SL Limites d'Atterberg au Sable d'éléments < (SM) dessous de la ligne A limoneux (ligne A : cf. fig I.9) 0,08 mm SA Limites d'Atterberg au Sable (SC) dessus de la ligne A argileux (ligne A : cf. fig I.9) Lorsque : 5% < % d'éléments inférieurs à 0,08 mm < 12% => on utilise un double symbole La notation entre parenthèses est celle de la classification USCS, par exemple GW = Well graded gravels.

Tableau A-2 : classification des sols grenus

26


A.3.5.2 Classification des sols fins Elle est basée sur les limites d'Atterberg. 60

WL= 50%

Indice de plasticité IP

50

argiles très plastiques At 40

I P=

W L= 30%

Ap ues q i t s la u p s pe argiles e l i arg moyennement plastiques

30

20

3W 0,7

A ne g i L -15

L

limons très plastiques Lt et sols organiques très plastiques Ot

argiles faiblement plastiques limons Lp et sols organiques peu plastiques Op

10

0 0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Limite de liquidité WL

Figure A-16 : Diagramme de Casagrande Matériau

Sable Limon Argile Colloïdes Marnes vertes du Sannoisien - à Marne la vallée - à Arcueil Marne de Pantin - à Marne la vallée - à Antony Marne d'Argenteuil - à Arcueil - à Marne la vallée Marne de Saint Ouen - à Bobigny Argile Plastique

Limite de liquidité wL en % 10 à 25 20 à 35 40 à 150 150

10 à 30 15 à 50 50

5 à 15 20 à 100 100

79 69

36 32

43 37

55 81

27 41

28 36

76 76,5

31 35,5

45 41

57,5 78

41,5 36

16 42

Limite de Indice de plasticité plasticité wP en % IP en %

Tableau A-3 : Quelques valeurs indicatives (d'après Boeck cité par Filliat)

27


Minéral Montmorillonite Nontronite (variété de smectite) Illite Kaolinite Halloysite hydraté Halloysite déshydraté Attapulgite Chlorite Allophane

Limite de liquidité wL en % 100-900 37-72

Limite de plasticité wP en % 50-100 19-27

60-120 30-110 50-70 35-55 160-230 44-47 200-250

35-60 25-40 47-60 30-45 100-120 36-40 130-140

Tableau A-4 : Limites d'Atterberg pour les minéraux argileux

28


Définitions des caractéristiques physiques des sols

DEFINITIONS :

Quelques relations entre les paramètres :

e=

VV (indice des vides) VS

n=

e 1+e

n=

VV (porosité) V

e=

n 1−n

γ =

W = γ h (poids volumique ou pds vol. humide) V

γd =

γh 1+w

γd =

WS (poids volumique sec ; d = dry) V

γd 1 = γS e+ 1

γS =

WS (poids volumique du solide) VS

e=

γw =

Ww (poids volumique de l'eau) Vw

γ' = γ d

γ ' = γ − γ w (poids volumique déjaugé) w=

Sr =

Ww teneur en eau (exprimée en %) WS

Vw degré de saturation (exprimé en %) VV

= (1− n)γ S ou n = 1−

⇒

e=

γd γs

γS −1 γd

γ s − γ sat γ sat − γ w γ S −γw γS

⎛γ ⎞ w = ⎜ − 1⎟ ⎝γ d ⎠

γ=

1+ w γS 1+e

ou

e=

γ s (1 + w) −1 γ

ou encore γ h = (1 + w) ⋅ (1− n) ⋅ γ s

γ = (1+ w)γ d γd =

γS

w γS 1+ Sr γ w

wsat =

et

γ =

Sr e γ w + γ S 1 + e

ou Sr =

w ⎛1 1⎞ − ⎟ ⎝γ d γ s⎠

γ w⎜

Ww (sat ) Vv γ w n γw = = WS V γd γd

29


A.4 Caractéristiques et représentations géométriques des discontinuités - Classifications des massifs rocheux Les caractéristiques spécifiques des massifs rocheux sont en grande partie liées à la présence des discontinuités ; à leurs caractéristiques géométriques (orientation, densité, persistance…) et mécaniques.

A.4.1 Différents type de discontinuités On distingue les discontinuités majeures (d'extension importante) •

Faille

•

discordance

•

contact veine

de discontinuités mineures •

joints de stratifications ;

•

joints de schistosité ;

•

diaclases ;

•

fractures ;

•

clivages ;

A.4.2 Propriétés des discontinuités Outre leur nature ; les discontinuités vont pouvoir être identifiées par un certain nombre de caractéristiques (qualitatives, propriétés physiques et mécaniques) •

orientation ;

•

distance ou espacement ;

•

persistance, extension ou étendue ;

•

ouverture et continuité de l'ouverture ;

•

remplissage (et nature du remplissage) ou absence de remplissage ;

•

présence d'eau ;

•

nature et état des épontes (i.e. des parties de la roche de part et d'autre de la discontinuité) ;

•

morphologie des épontes : ondulation et rugosité ;

•

résistance mécanique et autre propriétés mécaniques.

Toutes ces caractéristiques vont influencer les propriétés du massif rocheux. Des discontinuités ayant des caractéristiques proches et une orientation semblable et dont on peut penser qu'elles ont été générées au cours d'un même événement tectonique pourront être regroupées au sein d'une même "famille".

A.4.3 Orientation des discontinuités - report dans des diagrammes Les discontinuités sont des structures planes ou au moins planes par morceaux. Les 30


orientations des discontinuités sont liées à l'histoire du massif, elles ne sont donc pas quelconques. Les discontinuités ayant une orientation semblable ont souvent la même origine. Il est donc important de caractériser cette orientation. L'orientation d'un plan dans l'espace se fera par 2 valeurs, en général l'azimut et le pendage du plan. Il est courant de représenter les orientations des discontinuités sous forme de diagramme. (cf. Poly B. LAUMONIER)

A.4.4 Espacement

A.4.5 Persistance

A.4.6 Ouverture des discontinuités

A.4.7 Rugosité

A.4.8 Intersection des discontinuités par des ouvrages, des forages. Notion de RQD

A.4.9 Classifications des massifs rocheux

A.5 Propriétés acoustiques A.6 Propriétés électriques A.7 Propriétés thermiques A.8 Propriétés magnétiques

31

B Application de la mécanique des milieux continus à la géotechnique Pour résoudre un problème en mécanique des solides déformables, trois relations de base sont nécessaires : -

les équations d'équilibre, qui font appelle à la notion de contrainte ;

-

les équations de compatibilité qui relient déformations et déplacements

-

les relations contraintes-déformations qui mettent en relations les contraintes, régies par les équations d'équilibre et les déformations, gouvernées par les équations de compatibilité

Nous allons examiner successivement dans ce qui suit ces différentes notions et la manière dont elles sont déclinées en géotechnique.

B.1 Etude des contraintes A la base de cette notion, il y a la conception de « milieu continu » : milieu dont les propriétés physiques varient d’une façon continue d’un point à un autre. Nous savons que la matière est discontinue à l’échelle moléculaire et même dans certains cas à une échelle beaucoup plus grande : (cristaux, grains d’un béton). Nous supposerons que l’échelle des longueurs est telle qu’un volume de mesure très petite renferme encore un grand nombre de constituants distincts. Définition des contraintes : Les forces extérieures à un élément de milieu continu se partagent en : 1°) Forces à distance : Elles sont en général de l’ordre de dm (masse de l’élément), soit K.dm : K est la force de masse. Exemples : le poids g.dm, les actions magnétiques, électrostatiques, etc... Par rapport aux dimensions de l’élément qui sont infiniment petites d’ordre 1, ces forces sont d’ordre 3 (moments d’ordre 4). 2°) Forces de contact : Elles sont produites sur une surface au sein d’un milieu continu par les éléments de matière G contigus. Sur un élément plan d’aire dS, ces actions sont de l’ordre de dS : soit T.dS G T est la contrainte sur l’élément de surface dS. Le moment de ces actions par rapport ou centre de l’élément de surface (centre d’inertie en affectant les aires d’une densité égale à l’unité) est du 3ème ordre au moins.

33


Une bonne compréhension de la notion de contrainte peut être facilitée en considérant un solide continu quelconque, en équilibre sous l’action d’un système de forces extérieures Fe (ce solide peut être éventuellement extrait d’un milieu continu plus vaste). Effectuons une partition de ce solide en deux parties A et B, séparées par une surface plane S, dont un point courant est noté M (figure).

S dS

[A] M

G df

[B]

Figure B-1 L’équilibre du solide complet (A + B) s’exprime par le fait que le système de forces extérieures appliqué à A + B est équivalent à zéro.

F (A) + F (B) = 0 L’équilibre d’une seule des parties, B par exemple, s’exprime par le fait que le système de forces extérieures appliqué à B, ajouté au système de forces exercé par la partie A sur la partie B à travers la surface S est équivalent à zéro. F (B) + F (A / B par S ) = 0 De ces deux relations on tire que

F(B / A par S)= F( A) Le système de forces extérieures appliqué à la partie A assure l’équilibre de la partie B en s’exerçant à travers la surface S qui la délimite. Considérons maintenant les éléments de réduction en M de F (A / B par S ) , ramenés à une force élémentaire df et au moment élémentaire dM . Si dS est une surface élémentaire, appartenant à S, autour du point M, la définition stricte de la contrainte est le vecteur T , défini en M par T = lim

df dM quand dS → 0 , avec la condition lim = 0 quand dS → 0 dS dS

Si maintenant on effectue une autre partition du solide initial en deux parties A’ et B’, séparées par une surface S’, passant par le même point courant M que précédemment mais situé cette fois sur une surface élémentaire dS’.

34


S

S’ [B]

[A’]

M dS’

d f ' [B’]

Figure B-2

Par le même raisonnement, on montre que F (A' / B ' par S ' ) = F (A' ) et donc que l’équilibre de B’ est complété par l’action des forces extérieures appliquées à A’, transmise à travers S’. Les éléments de réduction au même point M sont désormais df ' et dM ' , différents de df et dM puisque F (A' ) est de façon générale différent de F (A) . Le vecteur contrainte en M est défini par :

T ' = lim

dM ' df ' = 0 quand dS '→ 0 quand dS '→ 0 , avec la condition lim dS ' dS '

T ' est un vecteur différent de T . Cette présentation montre que la notion de contrainte en un point peut être représentée par des vecteurs dont le module et la direction dépendent non seulement de la position dans l’espace du point considéré mais aussi de l’orientation de la surface sur laquelle ces vecteurs s’appliquent. On a donc défini, dans ces conditions en tout point une infinité de vecteurs contraintes. Pour surmonter cette difficulté conceptuelle et faciliter la manipulation de cette notion essentielle, on a été conduit d’abord à adopter des notations conventionnelles précises, et d’autre part, à analyser l’équilibre de solides particuliers.

B.1.1 Conventions G T

t

[A] n [A]

[B] Figure B-3 n >0 : traction n <0 : compression

[B] n G T

t

On oriente la normale à l’élément dS vers l’extérieur et on décompose T suivant la normale et le plan de l’élément de surface. L’élément de surface sépare 2 parties de matières A et B. Mais l’action de B sur A étant directement opposée à l’action de A sur B, on voit que la disposition du vecteur contrainte par rapport à la normale tournée vers l’extérieur est la même dans les deux cas. On peut donc donner un signe à la composante normale du vecteur contrainte n.

35


La composante t est appelée cisaillement

y

Le signe de la composantes de cisaillement est conventionnel, plusieurs convention sont possible, les 2 suivantes sont relativement courantes :

tyx

Convention 1 (valable en 2D) :

txy

txy tyx

x Figure B-4

Lorsqu’il agit sur une surface dont la normale extérieure est orientée dans une direction positive du repère de référence (figure ci-contre), il est luimême orienté vers une direction positive dans ce même repère. Sur l’exemple de la figure, tous les cisaillements sont positifs : quand la normale extérieure est orientée dans une direction négative, la composante de cisaillement est ainsi orientée dans une direction négative.

Convention 2 : Un axe de rotation est défini. Il s'agit de l'axe qui forme un trièdre directe avec les axes x et y. Si le trièdre formé par la normale à la face, le cisaillement et l'axe de rotation est direct, le cisaillement est positif, sinon, le cisaillement est négatif. Avec cette convention, sur la figure ci dessus, les tyx sont négatifs tandis que les txy sont positifs. Notations usuelles : Facette de normale positive parallèle à : Facette de normale positive parallèle à l’axe Composante Ox de la Oy contrainte Oz sur l’axe

Ox

Oy

Oz

txx

txy

txz

tyx

tyy

tyz

tzx

tzy

tzz

On pourra remplacer x par 1 y par 2 z par 3 tij = composante sur Oxi de la contrainte sur la surface de normale >0 parallèle à Oxj et de même sens. On introduit ainsi une matrice tij sur laquelle nous reviendrons plus loin.

36


B.1.2 Equations universelles de l'équilibre 1°) Considérons d’abord un élément en équilibre, de dimensions infinitésimales ayant la forme d’un parallélépipède rectangle.

z tzz+dtzz tyz+dtyz

dx

txz+dtxz

txx

tyx txy tyy dz

tzy

tzx tzx+dtzx tyx+dtyx

M txx+dtxx tyz

tzy+dtzy tyy+dtyy txy+dtxy y

txz tzz

dy x

z o

y

x

Figure B-5 A - Ecrivons que la somme géométrique des forces extérieures appliquées est nulle en projection sur Ox. Sur les 2 faces normales à Ox la composante de contrainte qui intervient est txx mais pour les 2 faces elle a des valeurs différentes car, d’une face à l’autre x varie de dx; ainsi que des signes différents car les normales extérieures sont de sens opposés. Au total pour ces deux faces la force résultante est donc ∂t ∂t ⎛ ⎞ ⎜ t xx + xx dx ⎟dy.dz − t xx dy.dz = xx dx.dy.dz ∂x ∂x ⎝ ⎠

L’équilibre sur les faces perpendiculaires à Oy donne : ∂t xy ∂y

dx.dy.dz

L’équilibre sur les faces perpendiculaires à Oz donne:

∂t xz dx.dy.dz ∂z

37


Les forces à distances (ici volumiques) ayant pour résultante fdv donneront sur Ox la composante

fx.dv = fx.dx.dy.dz On en déduit les équations ci-dessous (appelée équations d'équilibre) : Sur Ox Sur Ox Sur Oy Sur Oz

⎫ ∂t xx ∂t xy ∂t xz + + fx = 0⎪ + ∂y ∂z ∂x ⎪ ⎪⎪ ∂t ij ∂t yx ∂t yy ∂t yz + fi = 0 + + + f y = 0⎬ ∑ ∂x ∂y ∂z ⎪ j =1x.,2y.3, z ∂x j ⎪ ∂t zx ∂t zy ∂t zz + + + fz = 0 ⎪ ⎪⎭ ∂z ∂x ∂y

B - Ecrivons que la somme des moments des forces extérieures appliquées au parallélépipède est nulle par rapport à l’axe Kz’ parallèle à 0z passant par le centre K du parallélépipède.

z’ tzz

tyz

txz K tzx

dz

tyx

txx

x’

tzy

tyy

txy

y’

dx

dy Figure B-6

On va trouver des couples qui seront des infiniment petits du 3ème ordre, donc on pourra négliger ceux d’ordre 4. Il en résulte que : - on peut considérer les actions de contact comme appliquées aux centres des faces; en effet, par rapport aux centres des faces on a peut-être des couples du 3ème ordre, mais pour 2 faces

38


parallèles, la différence de ces couples est du 4ème ordre donc négligeable. - on peut négliger la variation de la contrainte d’une face à l’autre pour 2 faces parallèles; cette variation est en effet du 3ème ordre et donne un couple d’ordre 4. On voit que, dans ces conditions, toutes les composantes des forces de contact rencontrent Kz’ sauf txy et tyx. Le moment par rapport à Kz’ des actions de contact est donc :

t yx .dy.dz.x.dx - t xy .dx.dz.x.dy Dans le cas où les couples des forces à distance sont du 4ème ordre, cette expression est égale 0 et on trouve t yx = t xy les équations d’équilibres sont (en suivant la même démonstration pour les axes Kx’ et Ky) :

t xy = t yx t yz = t zy t zx = t xz Soit tij = tji qui exprime que la matrice tij est symétrique. 2°) Considérons maintenant un élément en forme de tétraèdre dont 3 faces sont parallèles aux plans du repère orthonormé passant par l’origine. La normale extérieure à la 4ème face oblique a pour cosinus directeurs : α, β, γ G Soit T (Tx , Ty , Tz ) le vecteur contrainte sur z la face oblique l’aire de cette face est notée dS.

C

G v

M

Si α > 0, l’aire de la face, MBC est α.dS et sa normale extérieure étant en sens inverse de Ox, la force de contact sur cette face, projetée sur Ox est -txx. α.dS (et le résultat subsiste pour α < 0).

G T B y

Pour la face MAC on trouve -txy.β.dS Pour la face MBC on trouve - txz.γ .dS

A x Figure B-7

Les forces de masse du 3ème ordre sont négligeables par rapport aux précédentes. Pour la même raison, toutes les contraintes peuvent être évaluées en M et non au centre des faces. Pour la face oblique cela revient à faire passer cette face par M.

Ecrivons alors que la somme géométrique des forces appliquées au tétraèdre est nulle. Il vient :

39


Sur Ox Tx = α .t xx + β .t xy + γ .t xz ⎫ ⎪ Sur Oy Ty = α .t yx + β .t yy + γ .t yz ⎬ Ti = ∑ t ijα j i =1, 2 , 3 ⎪ Sur Oz Tz = α .t zx + β .t zy + γ .t zz ⎭ (II) Ces équations sont les seules que puisse fournir la mécanique rationnelle pour les contraintes dans un milieu continu, bien qu’elles aient été obtenues en considérant des solides particuliers. On démontre en effet que si elles sont satisfaites le système des forces extérieures appliquées à un volume matériel quelconque est équivalent à zéro. tij permet de mettre en relation n’importe quelle facette, au voisinage d’un point M, définie par son vecteur normal (espace vectoriel des normales) avec le vecteur contrainte qui s’y applique (espace vectoriel des contraintes). On l’appelle tenseur de contraintes au point M.

B.1.3 Distribution des contraintes en fonction de l’orientation des facettes autour d’un point. Contraintes principales, repère principal. Les formules (I) ou (II) précédentes définissent la distribution des contraintes autour d’un point en fonction de l’orientation des facettes (avec la matrice Tij symétrique). Considérons G G la projection n du vecteur contrainte T sur la normale v à une facette telle qu’ABC. G Sur la normale v portons à partir d’un point P C P’ appartenant à la facette, une longueur 1 . Le n point P’ainsi défini à pour coordonnées : G n v G , y=β ,z = γ et son lieu est x=α T n n n donc la quadrique, ou l’ensemble des 2 P B quadriques conjuguées (du centre P) : f ( x, y, z ) = ±1 A

Figure B-8

nommées quadriques contraintes.

représentatives

des

D’après sa définition même, la quadrique précédente est indépendante des axes de référence choisis. Elle possède 3 axes de symétrie dont les directions sont les directions principales des contraintes. En prenant ces directions pour axes de référence du repère (origine O) soit Ox, Oy, Oz, l’équation prend sa forme canonique et l’on a :

n = n1α 2 + n2 β 2 + n3γ 2

40


Le tenseur des contraintes s’écrit alors : ⎡n1 ⎢ ⎢ ⎢⎣

n2

⎤ ⎥ ⎥ n3 ⎥⎦

Ceci montre que, sur les plans de symétrie de la quadrique (plans principaux) pour lesquels 2 des 3 quantités sont nulles : - les contraintes sont purement normales (il n’y a pas de cisaillement) - les grandeurs de ces contraintes dites principales sont : n1 (pour zOy) n2 (pour xOz) n3 (pour xOy) - les composantes du vecteur contrainte dans ce repère principal oxyz s’écrivent Tx = α n1 Ty = β n2 Tz = γ n3

B.1.4 Cercle de Mohr Considérons une facette qui varie autour d’un point M. Sa position dans l’espace dépend de 2 paramètres. Pour chaque position, le vecteur contrainte se décompose suivant la normale >0 à l’élément de surface et suivant le plan de l’élément. Soient n et t, ces deux composantes.

G T

t

n

Figure B-9

G v

Le point de coordonnées (n, t) dans un repère constitué par 2 axes rectangulaires 0n, 0t, va décrire dans ce plan une certaine aire (non le plan tout entier). Pour qu’un point du plan 0n, 0t corresponde réellement au vecteur contrainte appliquée sur une certaine position de facette, il faut que le système des équations donnant les cosinus directeurs de la normale à cette facette admette une solution :

Ce système est : G ⎧α 2 + β 2 + γ 2 = 1 (v vecteur normal unitaire) GG ⎪ 2 2 2 ⎨n1α + n2 β + n3γ = n (produit scalaire T.v ) G2 ⎪ 2 2 2 2 2 2 2 2 n α n β n γ n t ( T ) + + = + 2 3 ⎩ 1 d’après les résultats du paragraphe précédent et en utilisant comme axes les directions principales. Ce système de 3 équations linéaires et homogènes en α 2 , β 2 , γ 2 donne : 41


[ [ [

] ] ]

⎧α 2 = t 2 +(n 1−n 2 )(n−n 3 ) /(n 1−n 2 )(n 1−n 3 ) ⎪⎪ 2 2 ⎨β = t +(n 2 −n 3 )(n−n 1) /(n 2 −n 3 )(n 2 −n 1) ⎪ 2 2 ⎪⎩γ = t +(n 3−n 1)(n−n 2 ) /(n 3−n 1)(n 3−n 2 ) Si n1≥n2 ≥n3 , en exprimant que les quantités α 2 , β 2 , γ 2 sont ≥ 0 , on a les 3 conditions : ⎧t 2 + (n − n2 )(n − n3 ) ≥ 0 ⎪2 ⎨t + (n − n3 )(n − n1 ) ≤ 0 ⎪2 ⎩t + (n − n1 )(n − n2 ) ≥ 0 En supposant n1 > n2 > n3, la première condition exprime que le point (n, t) est extérieur au cercle d’équation t 2 + (n − n2 )(n − n3 ) = 0 (de diamètre n2n3, centré sur 0n). La deuxième condition exprime que le point est à l’intérieur du cercle de diamètre n1n3; la 3ème, qu’il est extérieur au cercle de diamètre n1n2. t

Donc le point doit se trouver à l’intérieur des 2 triangles curvilignes hachurés. n3

n2

n1

n

Ces 3 cercles s’appellent cercles principaux, le cercle enveloppant est appelé cercle de Mohr.

Figure B-10

Sur un cercle principal l’une des 3 quantités α, β, γ est nulle. Supposons γ = 0. G G La normale v est dans le plan X0Y (de même que T ) et l’élément de surface passe par 0Z (contient 0Z) et tourne autour de 0Z quand l’extrémité du vecteur contrainte T décrit le cercle. Un cercle principal est décrit quand l’élément de surface sur lequel s’applique le vecteur contrainte tourne autour de la direction d’une contrainte principale. Le cercle de Mohr est décrit quand l’élément tourne autour de la direction de la contrainte principale intermédiaire (dans ce cas c’est n2). On peut retrouver ce résultat de la manière suivante : Soient 0X 0Y 0Z les directions principales relatives au point 0. Considérons un élément de surface passant par 0Z et dont la normale fait l’angle ϕ avec 0X; sa trace sur X0Y est 0t que l’on oriente de manière que l’angle (0n, 0t) soit positif.

42


α = cos ϕ donc Tx = n1 cos ϕ β = sin ϕ donc Ty = n2 sin ϕ

On a

G Par rapport aux axes 0X et 0Y le point T extrémité de T se construit ainsi :

t

y n1

ϕ Ty

n2

T

- Sur 0n, on porte les deux segments 0n1 = n1 0n2 = n2

n

- Le point T est l’intersection d’une parallèle à 0Y menée par n1 et d’une parallèle à 0X menée par n2.

2ϕ

ϕ Tx

facette Figure B-11

x

- Quand l’élément de surface tourne, entraînant avec lui le plan 0nt, le point T décrit dans ce plan le cercle de diamètre n1 n2.

On voit de plus que si l’élément tourne de ϕ autour de 0z, le point T tourne de - 2 ϕ autour du centre du cercle principal qu’il décrit. L’angle au centre du cercle de Mohr défini par l’axe n et l’extrémité du vecteur contrainte est donc le double de l’angle formé par la normale à la surface sur laquelle s’applique cette contrainte avec la direction de la contrainte principale majeure. Exemple de tenseurs des contraintes particuliers Tenseur isotrope :

t

n1 = n2 = n3 = n Les 3 cercles principaux se réduisent à 1 point, représentatif des contraintes pour tous les éléments de surface. Toutes les contraintes sont normales et de grandeur constante. Si n est > 0(compression) on a le cas des fluides en équilibre.

2.) Tenseur simple ou linéaire :

n3=n2 =n1

n

Figure B-12 simple en géotechnique.

n1 ≠ 0 n2 = n3 = 0 Tx = α n1

T y = Tz = 0

Le cercle de Mohr et le 3ème cercle principal sont confondus : donc T décrit le cercle de Mohr (tangent à 0t en 0). C’est le cas du fil tendu par l’action de deux forces égales et opposées F et -F ou encore de l’essai de compression 43


Figure B-13

t

n3 =n2=0

n1

3.)- Tenseur double ou plan :

n

t

n1 ≠ n2 ≠ 0 n3 = 0 Tx = α n1

T y = β n2

Tz = 0

Tous les vecteurs contraintes sont dans un même plan qui est le plan des 2 contraintes principales non nulles.

n3 =0

n1

n2

n

Figure B-14 Cas particulier du tenseur plan : le cisaillement simple n1 + n3 = 0 n2 = 0 Sur deux éléments de surface orthogonaux entre eux et perpendicaires au plan défini par n1 et n2 , il n’y a pas de contrainte normale. (cisaillement pur) . Les facettes perpendiculaires au plan (n1 , n2) contiennent la 3ème direction principale et, comme cette contrainte principale est nulle, elle est la contrainte principale intermédiaire ( n1, n2 de signes contraires). Donc ces facettes sont telles que le point T décrit le cercle de Mohr.

t

n3

n2

n1

n

Figure B-15 B.1.5 Courbe intrinsèque La représentation de Mohr est d’abord une façon commode de visualiser « l’état de contrainte » en un point dans toute sa complexité . Puisqu’il y a une infinité de vecteurs contraintes définis en un point, correspondant à l’infinité des directions de l’espace sur lesquels ils s’appliquent, il est satisfaisant pour l’esprit de les « représenter » tous par une figure géométrique en deux dimensions. Mais cette représentation permet d’aller bien au-delà. En effet, on montre expérimentalement que les matériaux peuvent changer d’état ou de comportement au-delà de certaines limites de sollicitations (donc au-delà de certains états de contraintes). 44


Par exemple ils peuvent sortir d’un domaine où leur comportement est élastique ou encore ils peuvent perdre leur continuité initiale et se rompre (formation d’une surface de rupture). Si on trace dans le plan de Mohr, quelques uns des cercles de Mohr correspondant à des états de contrainte-limite par exemple, ceux qui provoquent la rupture du matériau au point où ces contraintes sont appliquées), on s’aperçoit qu’ils admettent une courbe enveloppe dite courbe intrinsèque.

t

n3 n3’

n3’’ n3’’’ n1

n1’

n1’’

n1’’’ n

Figure B-16 : Courbe intrinsèque

B.2 Déformations

B.3 Lois de comportement Les lois de comportement décrivent les relations entre les contraintes et les déformations dans un solide. La plus simple est celle qui relie linéairement les déformations aux contraintes, c'est l'élasticité linéaire donnée par la loi de Hook. Le comportement des terrains est complexe et il est courant de décrire leur comportement comme élastique-plastique avec trois phases quand le chargement est augmene progressivement : -

une phase élastique initiale ou la déformation es t réversible ;

-

une phase intermédiaire de plasticité "restreinte" ou les déformations reste limitées ;

-

une phase de plasticité "illimitée".

Aucun modèle mathématique ne peut complètement décrire le comportement complexe des terrains, des simplifications sont nécessaires pour pouvoir effectuer des calculs pratiques. 45


Nous verrons par la suite qu'une des simplifications consiste à considérer que le terrain a un comportement standard (ou une loi de comportement associée) et que des modèles plus complexe, mais plus proche de la réalité décrire un comportement non standard (ou une loi de comportement dite non associée)

B.3.1 Elasticité Le comportement est dit élastique quand lors de phase de chargement et de déchargement les déformations sont réversibles.

B.3.2 Comportement élastique parfaitement plastique

B.3.3 Critère de plasticité Si le matériau a un comportement élasto-plastique, il est nécessaire de préciser le seuil à partir duquel l'élasticité n'est plus valable. Sur la figure ?? représentant les contraintes en fonction de la déformation, le seuil est défini par une valeur unique de contrainte. Quand l'état de contrainte est plus complexe, la définition du seuil devient également plus complexe et est défini par une combinaison des contraintes principales.

46

C Instabilités liées à la fracturation en l'absence d'eau C.1 Rôle des discontinuités dans les instabilités Nous avons pu voir lors des exercices sur les contraintes et les déformations que le comportement de terrains homogènes et isotropes pouvait être modifié par la présence d'une discontinuité. Lors d'un essai de compression simple, par exemple, l'existence d'une discontinuité peut entraîner une diminution de la résistance à la compression. Le comportement de l'éprouvette traversée par une discontinuité dépend de l'angle que fait cette discontinuité avec l'horizontale. Plus généralement le comportement d'un massif de terrain traversé par des discontinuités va dépendre de l'orientation des discontinuités et en particulier de l'orientation relative des discontinuités et des excavations, mais aussi de l'espacement entre les discontinuités. Les figures ci-dessous montrent quelques exemples de volumes de terrains instables du fait de la présence de discontinuités. Bloc susceptible de tomber

Bloc susceptible de tomber

Figure C-2

Figure C-1 volume susceptible de tomber volume susceptible de tomber

Figure C-3 Figure C-4

47


4 2

3

1

Figure C-5

Figure C-6

Les discontinuités dans un massif rocheux vont délimiter des blocs. Nous allons examiner dans ce qui suit les conditions de stabilité ou d'instabilité de ces blocs en supposant que les discontinuités sont planes, que les blocs sont indéformables et dans un premier temps qu'il n'y a pas d'eau. Nous supposerons également que l'analyse de l'orientation des discontinuités a permis de regrouper les discontinuités en "famille" représenté dans un canevas par le pole ou la trace cyclographique de l'orientation moyenne de la famille.

C.2 Typologie des instabilités de blocs Dans l'hypothèse où ces blocs sont indéformables et que la déformation se localise au niveau des discontinuités, il est possible de définir les principaux mouvements possibles de ces blocs. Ces mouvements vont être liés : -

à l'orientation des discontinuités par rapport aux excavations ;

-

aux caractéristiques mécaniques des discontinuités et en particulier à leur comportement à la rupture qui peut être caractérisé par la cohésion et l'angle de frottement et la relation :

τ = c + σn tgϕ Les ruptures peuvent se caractériser d'une part par le type de mouvement possible, d'autre part par le nombre de discontinuité délimitant le bloc instable et donc la "forme" du bloc instable. Les mouvements possibles sont : -

la translation : glissement ou chute libre

-

la rotation

-

mouvement complexe combinaison d'une translation et d'une rotation

-

le flambage

Ces mouvements seront fonction du nombre de discontinuités ou de familles de discontinuités délimitant le bloc.

C.2.1 Translations Les translations peuvent être un glissement ou une chute libre. Nous allons examiner les glissements possibles le long des surfaces de discontinuités en les différenciant selon le nombre de famille impliquées dans le mouvement.

C.2.1.1 Chute libre La chute libre peut se produire au toit d'une excavation souterraine, si les discontinuités délimite un bloc pouvant tomber sous son propre poids. 48


C.2.1.2 Glissement Les glissement peuvent se produire au toit ou aux parements d'une excavation souterraine ou dans une excavation à ciel ouvert. C.2.1.2.1 une famille de discontinuités Une famille de discontinuité peut délimiter un glissement plan si l'azimut du plan de discontinuité est parallèle à l'orientation du plan délimitant l'excavation. C.2.1.2.1.1 Conditions géométriques Pour que le glissement soit possible le pendage de la discontinuité doit être dans le même sens que la pente du talus et être inférieure à cette pente. C.2.1.2.1.2 Conditions mécaniques Le glissement est possible si le pendage de la discontinuité est supérieure à l'angle de frottement C.2.1.2.1.3 Notion de coefficient de sécurité A l'équilibre limite τ max = c + σ n tgϕ Si le pendage de la discontinuité est inférieur à l'angle de frottement τ réel < τ max ou

τ réel <1 τ max

On définit un coefficient de sécurité F par le rapport entre le cisaillement maximum et le cisaillement réel : F =

τ max >1 τ réel

La relation τ max = c + σ n tgϕ peut alors s'écrire : F ⋅ τ réel = c + σ n tgϕ ou encore c tgϕ τ réel = + σ n si A est la surface du joint et W le poids du volume susceptible de glisser : F F W sin α c W cosα tgϕ c⋅A tgϕ ou encore W sin α = = + + W cosα A F A F F F Si on fait l'hypothèse que la cohésion est nulle : F =

tgϕ tgα

C.2.1.2.2 2 familles de discontinuités 2 famille de discontinuités peuvent délimité des glissement -

biplanaire (parfois appelé bilinéaire) si les 2 famille ont le même azimuth

-

en dièdre si les 2 familles ont un azimuth différent

C.2.1.2.3 Plusieurs familles de discontinuités Les glissement peuvent être multiplanaires ou polyédriques

C.2.2 Les rotations

49

D L'eau dans les terrains : écoulement et notion de contrainte effective L'eau joue un rôle fondamental en géotechnique. Beaucoup d'incidents ou d'accidents surviennent parce que l'eau n'a pas été ou a été mal prise en compte (tassements importants comme dans la ville de Mexico, glissement de terrains suite à des pluies importantes….) L'eau dans les terrains peut-être étudiée sous deux aspects : - Lorsque l'on s'intéresse à la localisation et aux mouvements de l'eau dans le sol, le point de vue est hydrogéologique. L'hydrogéologie se focalise plutôt sur la recherche d'eau, la compréhension des limites de nappe, l'explication des mouvements ; - Dans ce cours, nous insisterons plutôt sur l'influence de l'eau sur le sol et l'eau sera souvent une contrainte pour le géotechnicien. Tous les terrains contiennent un pourcentage plus ou moins important de vides. L'eau peut généralement pénétrer dans ces vides, y circuler et parfois s'y accumuler. nous avons vu dans les chapitres précédents les notions de porosité, indice des vides, saturation… Dans ce qui suit nous évoquerons la plupart du temps le cas de sols saturés, le premier paragraphe est donc consacré aux problèmes particuliers soulevés par les sols non saturés.

D.1 Les sols non saturés La zone à la surface du sol est généralement non saturée (c'est à dire que les vides contiennent de l'eau et du gaz : air, vapeur d'eau) et elle est soumise à des forces de capillarité. d α

T

h

Le phénomène de capillarité peut être facilement mis en évidence en plongeant un tube fin (capillaire) dans un réservoir d'eau. On constate une remontée de l'eau dans le tube jusqu'à une hauteur h. Cette hauteur peut être calculée en écrivant les conditions d'équilibre entre les forces de tension superficielle et le poids de la colonne d'eau. T ⋅cos α ⋅ π ⋅ d = π ⋅

d2 ⋅ h⋅ γ w 4

Figure D-1 : capillarité Cette expression peut se transformer en : h =

4T ⋅ cos α qui est connue sous le nom de loi de d⋅γw

JURIN. T est la tension superficielle (c'est une force par unité de longueur). Elle est égale à 0,0728N/m pour l'eau à 20°. Elle s'applique à la périphérie du tube donc sur la circonférence π.d. α est l'angle de raccordement de 2 fluides (ici air et eau) en contact avec un solide. Dans le sol, l'espace compris entre les grains forme de petits capillaires de formes et de dimensions variables. Un sol initialement sec qui se retrouvera en contact avec une nappe sera le siège de remontées capillaires. Sur une certaine hauteur, au-dessus du niveau de la surface libre, le sol sera donc saturé. La saturation progressive du sol que nous avons décrit est un 51


processus d'humidification du sol par capillarité. Le processus inverse, départ progressif d'eau du sol d'une zone initialement saturée, s'effectue par gravité et/ou par évaporation. Lors de la dessiccation, une partie de l'eau restera retenue dans le sol par des forces de tension superficielle. Dans le sol non saturé, la pression de l'eau sera inférieure à la pression atmosphérique. Comme la pression atmosphérique est souvent la valeur de référence (on note souvent Pression atmosphérique = 0), la pression dans la zone non saturée a une valeur négative (au sommet du capillaire de la figure III.1, la pression a pour valeur -h.γw). La valeur absolue de cette pression négative est dénommée succion. On emploie souvent comme unité caractéristique le pF. Si s est la succion exprimée en centimètres d'eau, le pF est le logarithme décimal de cette valeur. La succion dans le sol est fonction de son degré de saturation, mais aussi de la nature du sol et de "l'histoire" hydraulique du sol : la succion sera différente, pour une même teneur en eau selon que l'on se trouve en phase d'humidification ou de dessiccation. Le comportement des sols non saturés est encore mal appréhendé. Il est l'objet de nombreux travaux de recherche actuels en mécanique des sols.

D.2 L'écoulement de l'eau dans les terrains : notion de perméabilité Pour que l'eau circule dans un terrain il est nécessaire que les vides (pores et fissures) soient interconnectés. L'aptitude d'un terrain à se laisser traverser par les fluides est caractérisée par la perméabilité de ce terrain par rapport au fluide.

D.2.1 Rappel sur la charge hydraulique D.2.1.1 Charge hydraulique Nous rappelons ici quelques notions de mécanique des fluides. Considérons un fluide parfait i.e. incompressible et non visqueux. Si ce fluide est en mouvement et que sa vitesse ne varie pas dans le temps, c'est-à-dire que son mouvement est permanent, les particules suivent des trajectoires invariables dans le temps. Dans ce cas la trajectoire = filet liquide = ligne de courant (nous rappelons que la ligne de courant est la ligne tangente au vecteur vitesse en chacun de ces points à l'instant considéré). On appelle charge hydraulique la quantité H : V2 P H= + +z 2 ⋅ g ρw ⋅ g z étant l'altitude du point, P la pression, ρw la masse volumique du fluide (γw est le poids volumique), j la perte de charge On note parfois en mécanique des sols : H=

V2 u + +z 2⋅ g γ w

Remarque : Théorème de Bernouilli : Si le liquide est parfait, la charge hydraulique reste constante. En fait généralement un fluide n'est pas parfait et il existe des forces de viscosité ou de 52


frottement visqueux. C'est le cas pour l'eau s'écoulant sous l'action de la pesanteur à travers les vides d'un terrain : il existe des forces de viscosité entre les molécules ; ces frottements vont dissiper de l'énergie et il y aura perte de charge(la perte de charge est notée j). Souvent nous nous intéresserons plus aux variations de charge dans l'espace qu'à la charge elle-même. Lorsqu'une particule parcourt la distance L, le gradient hydraulique I est défini ∆H H 2 − H1 dH par : I = = = = grad(H ) L L dl

D.2.1.2 Cas des sols D.2.1.2.1 Charge Hydraulique Les vitesses d'écoulement dans le sol sont toujours faibles (même dans un sol très perméable l'ordre de grandeur est 0,1 m/s). Par conséquent dans l'expression de la charge hydraulique, le terme V2 / (2 g) est négligeable par rapport aux autres. Les pertes de charges sont également souvent négligeables, du fait des faibles vitesses. Dans ce cas la charge hydraulique est confondu avec le niveau piézométrique :

H=

P +z ρw ⋅ g

On exprime souvent les charges par rapport au nivellement général (NGF), comptées comme des altitudes topographiques. Remarque : aux abords des puits de pompage, les vitesses de fluides peuvent devenir important et dans ce cas la vitesse n'est plus négligeable. D.2.1.2.2 Notion de hauteur, de niveau piézométrique Considérons un écoulement d'eau dans un terrain et un point M à la cote z. Faisons descendre un tube plein jusqu'à ce point M. Nous observons une remontée de l'eau dans ce tube jusqu'à la cote z'. Le niveau piézomètrique au point M peut s'écrire :

H=

P

γw

+ z =γw ⋅

z '− z

γw

+ z = z'

Le niveau piézométrique au point M est donc égale au niveau d'eau dans un tube plein que l'on qualifie de tube piézométrique ou piézomètre. La différence d'altitude entre le point M et le niveau piézomètrique peut être qualifiée de hauteur piézométrique.

ATTENTION cette hauteur est généralement différente de la surface libre de la nappe. En effet, si dans un milieu saturé, la nappe s'écoule horizontalement et que la charge reste la même sur une verticale, la cote de la surface libre reste toujours celle mesurée par le piezomètre quelle que soit sa profondeur. Si par contre l'écoulement n'est pas horizontal, la charge varie avec la profondeur du piézomètre et la surface libre est définie par la cote obtenue quand le piézomètre commence à pénétrer dans le milieu saturé.

53


tube piézométrique

surface libre hauteur piézométrique

x

M

Substratum Figure D-2 : hauteur et niveau piézométrique D.2.2 Expérience de Darcy Expérimentalement, Le Chevalier Henry Darcy (vers 1856) trouve la relation suivante :

Q= K S

∆H L

S : section du massif sableux K est un coefficient qui dépend du fluide et du terrain. Il a la dimension d'une vitesse (L T-1). Ce coefficient est le coefficient de perméabilité de Darcy encore appelé coefficient de perméabilité. En posant V =

Q ∆H et I = S L Figure D-3 : expérience de Darcy

la relation se transforme en : V = K ⋅ I qui est l'expression la plus simple de la loi de DARCY.

V est la vitesse apparente moyenne, encore appelée vitesse de Darcy. (le signe - indique que l'écoulement s'effectue dans le sens des gradients décroissants) En se basant sur les équations aux dimensions et par vérification expérimentale, on trouve que la constante K varie en fonction inverse de la viscosité dynamique du fluide µ (µ ≈ 1 cPo : centipoise pour l'eau à 20°C, 1 cPo =10-2 Po : poises ; 1 cPo =10-3 Pa.s : Pascal.seconde).

54

Eléments de Géotechnique – Mai 2007 – Véronique MERRIEN-SOUKATCHOFF →

La loi de Darcy peut s'exprimer sous la forme générale : V = −

→ k⎛ → grad p + ρ g grad z ⎞⎠ ⎝ µ

V est une grandeur macroscopique de même que µ, ρ et p. On est amené à caractériser ces propriétés sur un Volume Elémentaire Représentatif (V.E.R.) dont les dimensions dépendent de la structure du matériau. Le coefficient k ou ki coefficient de perméabilité intrinsèque est relié au coefficient de perméabilité K par la relation :

K = ki ⋅

γ µ

Le coefficient de perméabilité intrinsèque n'est pas fonction du liquide. Il est caractéristique du terrain traversé. La perméabilité intrinsèque n'est définie qu'à l'échelle macroscopique. Sa dimension est celle d'une surface [L2]. On l'exprime souvent en : DARCE : 10-12 m2 DARCY : 0,987 10-12 m2 ou MILIDARCY (10-3 DARCY) Ces unités sont notamment employées dans le domaine pétrolier et les gisements pétroliers ont des perméabilités courantes variant de 1 à quelques milliers de milidarcy. Le coefficient de perméabilité de Darcy K est fonction du fluide, mais dans notre cas nous ne nous intéresserons qu'à l'eau. Il faut noter que ce coefficient est également fonction de la viscosité du fluide qui varie sensiblement avec la température (µ est de 1,787 cPo pour l'eau à 0°C, 1,310 cPo à 10°C et 1,002 cPo à 20°C). En général on fait l'hypothèse que la température est constante, cependant des variations climatiques importantes pour les nappes superficielles peuvent engendrer des variations non négligeables de la perméabilité.

D.2.3 Expérience de Reynolds (pour mémoire) L'écoulement d'un fluide peut se produire de deux manières différentes selon les conditions locales de vitesse. A faible vitesse les lignes de courants sont stables et ne se "mélangent" pas. Dans cet écoulement appelé laminaire, les couches fluides glissent les unes sur les autres et il n'y a pas de transfert de particules d'un filet fluide à un autre. Lorsque la vitesse croît, les filets fluides paraissent osciller et vibrer, puis ils perdent leur identité propre. Dans ce régime appelé turbulent, les particules oscillent autour d'une trajectoire moyenne. Le passage d'un régime à l'autre dépend de la valeur d'un paramètre adimensionnel, le nombre de Reynolds : U : vitesse caractéristique de l'écoulement

Re =

UD υ

D : est une des dimensions géométrique µ ν : viscosité cinématique du fluide υ = ρ (la viscosité cinématique de l'eau à 20°C est de 10-6 m2/s)

Dans le cas d'une conduite circulaire le nombre de Reynolds critique est de 2000. Si Re<2000 le régime est laminaire et si Re >>2000 le régime est turbulent (dans ce cas la dimension est D 4S avec S : section mouillée, P périmètre mouillé). est le diamètre hydraulique DH, DH = P Dans le cas des sols, on peut pratiquement considérer que l'on se trouve toujours en régime laminaire sauf aux abord d'ouvrages particuliers (puits de pompage par exemple) où les vitesses peuvent devenir très importantes. 55


D.2.4 Ecoulement dans les terrains stratifiés La perméabilité K dépend du matériau. Supposons un matériau anisotrope formé par la superposition de couches horizontales d'épaisseur ei et de perméabilité Ki ; l'écoulement se fait à la vitesse V qui peut être décomposée en VH + VV.

D.2.4.1 Perméabilité horizontale He

A travers chaque strate s'écoule un débit : ∆H q i = K i (e i 1) ∆L

Hs

q1

e1

Le

débit

total est donc n ∆H ∆H = Q = ∑ q i = ∑ K i (e i 1) ∑ (K i e i ) ∆L ∆L i=1 i= 1 i =1 n

qi

ei

Q

Q

n

mais le débit total peut également s'écrire : ∆H n Q = KH ∑ (e i 1) ∆L i=1 n

∑ (K

en

donc K H =

Figure D-4 : perméabilité horizontale d'un terrain stratifié

i =1

ei)

i

n

∑e i =1

i

D.2.4.2 Perméabilité verticale. Il est aisé d'établir que : K v =

Σe i e Σ i Ki

Q e1

H0 H1 Hi-1

ei Hi

Le débit vertical qui passe à travers l'ensemble des couches : (H - H n ) Q = S Kv I = S Kv 0 est également le débit qui passe ∑ ei au travers de chaque couche.. On peut également écrire (H - H i ) Q = S K i I i = S K i i-1 Hi-1 et Hi-1 étant la charge ei hydraulique respectivement au somment et à la base de la couche i. n

Hn-1 en

S

i= 1

n

Hn

Q

Figure D-5 :perméabilité verticale d'un terrain stratifié

56

Or H 0 − Hn = ∑ (H i-1 − H i )

donc

Q∑ e i i=1

S Kv

n

Q ei =∑ soit K v = i =1 S K i n

∑e i=1 n

i

ei

∑K i=1

i


D.2.5 Mesures et estimation de la perméabilité au laboratoire Dans ce paragraphe, nous ne mentionnerons que les méthodes utilisées en laboratoire. Il faut garder à l'esprit que ces méthodes ne permettent pas de mesurer correctement la perméabilité de l'ensemble des terrains. Pour estimer la perméabilité d'un terrain dans son ensemble, des méthodes in situ (notamment essai de pompage) sont utilisées.

D.2.5.1 Problèmes posés par l'échantillonnage Pour estimer ou mesurer la perméabilité au laboratoire, il est nécessaire de prélever un échantillon de terrain. Cet échantillon, de petite taille, ne sera pas représentatif de l'ensemble de l'aquifère :

Les caractéristiques du terrain seront modifiées du fait de l'échantillonnage.

L'échantillon ne permettra pas de prendre en compte les variations de perméabilité dues aux failles.

L'aquifère sera en général prélevé à l'affleurement (où le terrain est modifié par l'altération). Pour constituer un échantillon caractéristique, il faudrait faire des prélèvements à différents niveaux de l'aquifère, ce qui est difficilement réalisable et serait coûteux.

L'échantillon ne se trouvera pas dans les conditions de pression, de forces adjacentes et de température qui étaient primitivement les siennes et qui sont difficilement évaluables.

Ces techniques de mesures ou d'estimation de la perméabilité en laboratoire sont en fait plus utilisées par les mécaniciens des sols que par les hydrogéologues (en effet si l'on travaille sur des sols remaniés, comme le sont les échantillons, l'ordre de grandeur de la perméabilité fourni peut être acceptable).

D.2.5.2 Estimation de la perméabilité La perméabilité au laboratoire peut être estimée à partir de la granulométrie (relation de Hazen ou relation de Casagrande) dans le cas d'une roche meuble :

D.2.5.2.1 Relation de Hazen A partir d'expériences effectuées avec des sables à filtre, d'uniformité élevée (Cu < 2 ; D Cu = 60 ) et peu compacts, Hazen a obtenu les équations empiriques suivantes : D10 K (en cm/s) = C1 d102 d10 : diamètre en deçà duquel il y a 10 % des grains ou diamètre efficace en cm, C1 est un coefficient variant entre 100 et 150 s.cm-1.

D.2.5.2.2 Relation de Casagrande Pour des sols à gros éléments (> 1 mm) dont les grains sont supposés cubiques, on peut exprimer la perméabilité en fonction de l'indice des vides e : K = 1.4 K0.85 e2 K0.85 est la perméabilité pour e = 0.85. Il suffit donc de déterminer la perméabilité correspondant à une valeur arbitraire de e et on obtient les valeurs de K correspondant à 57


d'autres valeurs de e au moyen de l'équation. Ces relations ne tiennent pas compte de la forme des grains. Elles ne doivent être utilisées que pour les cas précis pour lesquels elles ont été définies. Dans la pratique, elles sont inutilisables pour les terrains naturels qui ont des structures différentes et plus complexes que les sols étudiés.

D.2.5.3 Perméamètres La perméabilité peut être également mesurée au moyen d'un perméamètre sur un échantillon de terrain.

D.2.5.3.1 Perméamètre à charge constante L'échantillon prélevé est ramené aux dimensions requises pour l'appareil de mesure. Il est ensuite mis à saturer, puis l'éprouvette est traversée par un fluide de telle façon que la charge au sommet de l'échantillon soit constante. La détermination de la perméabilité se fait à partir de la mesure du débit d'écoulement Q et du ∆H gradient hydraulique ∆L

Q = K ⋅S⋅

∆H ∆L

donc

K=

Q ∆L × S ∆H

Remarque : pour permettre de bloquer l'échantillon dans l'appareil, il est possible de fixer à chaque extrémité un matériau de très forte perméabilité et de très faible épaisseur. Nous avons vu que la perméabilité verticale d'un ensemble de couches de terrain s'exprimait par... n

Kv =

∑e i=1 n

i

ei

∑K i=1

i

... si on a deux terrains dont l'un est de très faible épaisseur et de perméabilité très e e et importante : ∑ e i ≈ e ∑ Ki ≈ K i

D.2.5.3.2 Perméamètre à charge variable Dans ce type d'appareil la charge hydraulique appliquée au sommet de l'échantillon est variable.

58


Q

Pour une variation élémentaire de la charge dh, il est possible d'écrire :

s

dh : débit d'écoulement s dt s

dh S ⋅ h(t ) = −K ou encore dt L

h

dh − K ⋅ S = dt h s⋅L ⎛ h⎞ S t si à t = 0 on a h = h0 ; ln⎜⎜ ⎟⎟ = − K ; ce qui h s L 0 ⎝ ⎠ ⎛ h⎞ Κ.S devient ln⎜⎜ ⎟⎟ = −α ⋅ t en posant α = s⋅L ⎝ h0 ⎠

ou encore h = h 0 e −αt ou comme Q = h ⋅

K ⋅S L

S

Q

Figure D-6 : Schéma de principe d'un perméamètre à charge variable

Q = Q0 e −αt (loi de Maillet)

D.2.6 Mesures in situ de la perméabilité Les méthodes utilisées pour les mesures in situ ne seront pas développées dans le cadre de ce cours. Il faut cependant rappeler que ce sont elles qui permettent d'évaluer correctement la perméabilité des terrains.

D.2.7 Ordre de grandeur de la perméabilité Pour fixer les ordres de grandeur, on rencontre fréquemment les valeurs suivantes : -

graviers, sables grossiers ............................

K = 10-1 à 10-5 m/s

-

( sables de Fontainebleau ...........................

K = 2 10-5 m/s)

-

sables fins ...................................................

K = 10-5 à 10-6 m/s

-

silts ..............................................................

K = 10-6 à 10-8 m/s

-

marnes ........................................................

K = 10-8 à 10-9 m/s

-

tourbe...........................................................

K = 2 10-8

-

argiles .........................................................

K <10-9 m/s

-

calcite .........................................................

K = 10-11 m/s

-

granite (non fracturé, non altéré).................

K = 10-11 m/s

D.2.8 Généralisation en 3 dimensions Jusque là nous avons supposé que les matériaux étaient homogènes et isotropes (mis à part dans le paragraphe D.2.4). L'expérience de Darcy est réalisée en dimension 1, mais lorsque nous avons écrit :

59

Eléments de Géotechnique – Mai 2007 – Véronique MERRIEN-SOUKATCHOFF →

V=−

→ k⎛ → grad p + ρ g grad z ⎞⎠ , implicitement nous avons généralisé la loi à 3 dimensions en ⎝ µ

supposant que le terrain était homogène et isotrope. On sait qu'a priori un terrain n'est ni homogène, ni isotrope ; il suffit de regarder une succession de couches sédimentaires pour s'en convaincre. Dans une série argilo-sableuse, la perméabilité horizontale sera supérieure à la perméabilité verticale. De même dans des alluvions, il existe en général des chenaux plus perméables. Ces constatations conduisent à considérer la perméabilité d'un point de vue mathématique comme une propriété tensorielle. =

On définit un tenseur de perméabilité K que l'on admettra être un tenseur du deuxième ordre symétrique (c'est à dire représenté par une matrice 3*3 symétrique par rapport à la diagonale et ayant donc 6 coefficients indépendants). ⎡ Kxx K = ⎢ Kyx ⎢K ⎣ zx =

Kxy Kyy Kzy

K xz ⎤ Kxy = Kyx K yz ⎥ avec K xz = K zy Kzz ⎥⎦ K yz = K zy

→

=

→

La relation V = − K grad H peut donc s'expliciter par : Vx = −K xx

⎛ 1 ∂p ⎞ ∂H ∂H ∂H 1 ∂p 1 ∂p − Kxy − Kxz = − K xx − K xy − Kxz ⎜ + 1⎟ ⎝ ρg ∂ z ⎠ ∂x ∂y ∂z ρ g ∂x ρ g ∂y

Vy = −K yx

⎛ 1 ∂p ⎞ ∂H ∂H ∂H 1 ∂p 1 ∂p − Kyy − Kyz = − Kyx − Kyy − Kyz ⎜ + 1⎟ ⎝ ρ g ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ρg ∂ x ρg ∂ y

Vz = − Kzx

⎛ 1 ∂p ⎞ ∂H ∂H ∂H 1 ∂p 1 ∂p − Kzy − Kzz = − Kzx − K zy − K zz ⎜ + 1⎟ ⎝ ρg ∂ z ⎠ ∂x ∂y ∂z ρ g ∂x ρg ∂ y

Il est possible de représenter ce tenseur dans un espace ayant comme axes les directions principales du tenseur des perméabilités, la matrice se réduit alors dans ce nouvel espace (XYZ ou 123) à 3 composantes diagonales : =

K XYZ

⎡ K XX =⎢ 0 ⎢ 0 ⎣

0 KYY 0

0 ⎤ 0 ⎥ KZZ ⎥⎦

Mathématiquement X, Y et Z sont les directions propres de la matrice et KXX, KYY, KZZ les valeurs propres associées. Physiquement, X, Y et Z sont les directions pour lesquelles l'écoulement est parallèle au gradient de charge.

Vx = − K H

1 ∂p ρ g ∂x

Souvent le milieu est stratifié et on distingue donc deux perméabilités : une perméabilité 1 ∂p horizontale (KH = Kxx = Kyy) et une Vy = − K H ρ g ∂y perméabilité verticale (KV = Kzz) On a alors : ⎛ 1 ∂p ⎞ Vz = − KV ⎜ + 1⎟ ⎝ ρg ∂ z ⎠

60


D.3 Etat de contrainte dans le sol, Influence de l'eau, Notion de contrainte effective Considérons un sol saturé. L'état de contrainte dans ce sol est défini par le tenseur (en 2D) :

σv = σz

σ ⎤ ⎡σ σ = ⎢ σ11 σ 12 ⎥ ⎣ ⎦ 21

22

σh

Le sol saturé est constitué de deux phases : grains et eau. Pour un sol sec σh = K σv

Figure D-7

Si le sol est infini, on peut écrire σv = γsat z

Considérons l'expérience suivante : on remplit d'eau un récipient contenant initialement du sol saturé ; la hauteur de sable ne varie pas. Si on pratique une expérience similaire, mais qu'au lieu de rajouter de l'eau on charge le sable par une plaque poreuse de poids h1.γw, on constate, dans ce cas que l'indice des vides e va diminuer : il y a tassement du sol. Dans les deux cas, l'eau ou la plaque, la contrainte a été augmentée de la même valeur h1.γw, mais dans le premier cas cette augmentation de contrainte est liée à une augmentation de pression d'eau.

eau

h 1 sable

h

γwh1 h'

Figure D-8 : effet d'une surcharge sur le tassement Terzaghi se basant sur la constatation que la contrainte σ ne permet pas d'expliquer : -

le phénomène de compressibilité ;

-

la résistance au cisaillement dans toutes les configurations ;

et remarquant que la pression de l'eau s'applique toujours perpendiculairement à la surface des grains, a proposé d'expliquer ces phénomènes en décomposant la contrainte en une action des grains les uns par rapport aux autres et la pression de l'eau.

Figure D-9

Il postule donc que la contrainte normale qui s'applique sur un grain est la somme d'une contrainte qualifiée d'effective et de la pression de l'eau. σ = σ' + u σ : contrainte totale σ' : contrainte effective u : pression interstitielle. Si l'eau est immobile et que zw est la hauteur d'eau au-dessus du grain u = γw.zw. La composante effective de la contrainte correspond à l'action des grains vis à vis des autres. L'eau n'a pas d'action sur le grain lui-même, son action s'exerce tout autour du grain.

61


Si on reconsidère l'expérience de la figure III.2, dans le cas ou l'on ajoute de l'eau - σ augmente; - σ' ne varie pas. - l'indice des vides e reste le même, il n'y a pas de tassement du sol. Rappel : γsat - γw = γ' : poids volumique déjaugé ATTENTION : σ = σ' + u mais τ' = τ (la pression de l'eau s'exerce toujours normalement à la surface considérée)

D.4 Etude d'un écoulement particulier : phénomène de Boulance Lorsque le gradient hydraulique est vertical, les forces d'écoulement s'opposent aux forces de pesanteur. Si ces deux forces ont un même module, les grains du sol "flottent" et si la résultante des forces est ascendante, les grains du sol sont entraînés vers le haut : il y a un phénomène de boulance ou renard (ce terme est employé, car le phénomène se manifeste par une zone qui constitue une sorte de terrier de renard). Le gradient pour lequel la résultante des forces est nulle est le gradient critique.

D.4.1 Eau en équilibre Soit un point M à une hauteur z dans le sol et considérons que l'eau au-dessus de la surface du sol s'élève jusqu'à la côte z2. L'eau est considérée comme immobile (en équilibre) et la répartition de la pression de l'eau est hydrostatique. La contrainte (totale) verticale totale dans le sol est :

z2

z2-z1

z1

σ = γ w ⋅ (z2 − z1 ) + γ ⋅ (z1 − z)

z1-z Mx z

La pression de l'eau au point M (au repos) : u = γ w (z2 − z ) = γ w (z2 − z1 ) + γ w (z1 − z) . La contrainte effective s'écrit alors :

σ ' = σ − u = (γ − γ w ) ⋅ (z1 − z ). Figure D-10 : D.4.2 Mouvement ascendant ou descendant de l'eau Si l'eau est en mouvement la répartition des pressions n'est plus hydrostatique. Il y a des pertes de charge. L'écoulement transmet au sol une force i ⋅ γ w par unité de volume (i : gradient hydraulique). Cette force s'exerce sur les grains, elle est dirigée dans le sens des lignes de courant. Considérons un écoulement vertical descendant ou ascendant, linéaire à travers la couche u limitée par un plan horizontal. La charge au point M est : h = + z (dans ce cas la pression

γw

u est différente de la pression hydrostatique, z est positif car nous avons orienté l'axe z vers le 62


haut). Le gradient hydraulique s'écrit : i = − Nous en déduisons : z1

z1

z

z

1 du dh =− −1. γ w dz dz

du = −i ⋅γ w − γ w donc u = − iγ w z − γ w z + cste dz

ou ∫ du = u − u1 = ∫ (−i ⋅ γ w − γ w ) ⋅ dz = − i γ w (z − z1 ) − γ w (z − z1 ) Comme en z = z1 u1 = γ w (z2 − z1 ) u = −iγ w (z − z1 ) − γ w (z − z1 ) + u1 = −iγ w(z − z1 ) − γ w (z − z1 ) + γ w (z2 − z1 )

or σ = γ w ⋅ (z 2 − z1 ) + γ ⋅ (z1 − z) et σ ' = σ − u = γ w ⋅ (z2 − z1 ) + γ ⋅ (z1 − z ) − (−iγ w (z − z1 ) − γ w (z − z1 ) + γ w (z2 − z1 ))

σ ' = (γ − γ w − i ⋅ γ w )⋅ (z1 − z ) = (γ ' − i ⋅ γ w )⋅ (z1 − z) Si l'écoulement est vertical ascendant la contrainte effective peut s'annuler pour une valeur de gradient qualifié de gradient critique ic : ic = γ ' γ . w

En général le poids volumique d'un sol est d'environ 20 kN/m3. Comme γw ≈ 10 kN/m3 le gradient critique est de l'ordre de 1 ( ic ≈ 1). Ce phénomène de boulance peut se produire dans les fouilles en construction ou au niveau de barrage en terre si le gradient n'est pas contrôlé. Il peut conduire à des catastrophes.

63

E Le compactage Comme nous l'avons déjà mentionné en introduction, le sol est à la fois un support de construction et un élément de construction. Dans ce dernier cas, le sol est extrait, transporté, puis remis en place. Lors de la remise en place, le volume est plus important que le volume extrait car l'extraction a conduit à un foisonnement du matériau. On procède donc à un compactage, afin d'augmenter la densité du sol en place. Le compactage consiste en la réduction du volume des vides remplis d'air sous une action mécanique (pression, damage, charge vibrante…). Cette réduction du volume des vides entraîne une augmentation de densité du sol. Le compactage resserre donc la texture du matériau, améliore sa capacité portante et réduit les possibilités de déformation ultérieure du terrain. Le compactage a également pour effet de réduire la perméabilité des terrains.

E.1 Utilisation des sols compactés. Les sols compactés sont utilisés : - dans les retenues d'eau (barrages en terre, digues, canaux…); - comme support de charges mobiles (remblais routiers, de voies ferrées, chaussées, pistes…); - comme support de charges fixes (immeubles, ponts sur remblais)… Les sols sont plus ou moins compactables.

E.2 Facteurs influençant le compactage Le compactage s'effectue sous une action mécanique : damage, roulage, vibration… La capacité du sol à être compacté est fonction de : - la teneur en eau du matériau; - l'énergie de compactage; - la méthode de compactage.

E.2.1 Influence de la teneur en eau sur le compactage : diagramme Proctor Les premières études systématiques sur le compactage ont été effectuées vers 1930 par un ingénieur américain, PROCTOR. Ce dernier a montré l'influence de la teneur en eau sur le compactage. Pour une énergie de compactage donnée, on peut tracer les variations du poids volumique sec γd en fonction de la teneur en eau w. La courbe obtenue est une courbe en "cloche" appelée courbe de compactage ou diagramme de Proctor.

65


γd B

poids volumique sec

γd max

A

coté humide

coté sec

C wopt : optimum proctor

teneur en eau

Figure E-1 : Diagramme Proctor On remarque que la courbe présente un maximum. Il existe donc une teneur en eau conduisant, pour une énergie de compactage donnée, à un serrage maximum du squelette (traduit par un poids volumique sec γd maximum). La teneur en eau correspondant au maximum est appelée optimum proctor (wopt). Classiquement on interprète la courbe de compactage de la manière suivante : A : le sol est désorganisé, les grains sont orientés dans une direction quelconque (structures "bords-faces") AB : les grains du sol s'orientent car l'eau joue le rôle de lubrifiant et favorise l'orientation préférentielle (structures "face-face") et leur serrage B : optimum, fonction de la surface spécifique des grains, de leur forme et de l'énergie de compactage

BC : le serrage n'est plus optimum car une partie de l'énergie de compactage est reprise par l'eau. L'orientation des grains est "face-face", mais l'eau à tendance à écarter les grains du sol.

Figure E-2 Pour caractériser le compactage on utilise parfois un Indice de compaction ou compacité relative : CR =

66

γ d mesuré . Cet indice a une signification proche de l'Indice de densité. γ d max


La variation du poids volumique sec γd, avec la teneur en eau dépend de la nature du sol. Elle est importante pour les sols fins (en particulier les argiles plastiques), elle est par contre peu sensible pour les sols grenus.

γd argile sable w

Figure E-3 E.2.2 Essais au laboratoire Chaque point tracé sur la courbe de comactage représente un essai de compactage et pour obtenir la courbe complète il est nécessaire d'avoir ou 5 essais. Dame

moule (Proctor ou CBR)

Un essai de compactage s'effectue sur les matériaux fins. La fraction inférieure à 5 mm du matériau à étudier est placée dans un moule normalisé (moule Proctor : 10,15 cm de diamètre et 11,7 cm de haut) et compactée par couches (3 couches pour un essai dit Proctor, 5 couches pour un essai Proctor modifié) successives au moyen d'une dame (25 coups par couche, dame de 2,480 Kg pour un essai Proctor, 4,535 Kg pour un essai Proctor modifié). La quantité de matériau utilisé est de l'ordre de 3 Kg. Pour étudier un matériau plus grossier (contenant des éléments supérieurs à 5 mm) on utilise un moule CBR (Californian Bearing Ratio) de 15,2 cm de diamètre et 15,2 cm de haut. Dans ce cas la quantité de matériau utilisée est de l'ordre de 6 Kg. 55 coups de dame par couche sont appliqués.

1 couche compactée

Les moules sont formés de colliers superposables. Chaque couche est compactée, puis arasée à la hauteur ad hoc correspondant au bord du moule.

Figure E-4 : Schéma de principe d'un compactage Proctor Cet essai empirique exige que le volume du moule, la mise en place des couches, le poids de la dame et la hauteur de chute de la dame soient respectés. L'essai est répété pour une série d'échantillons à des teneurs en eau différentes.

67


E.2.3 Influence de l'énergie de compactage L'optimum Proctor est fonction de l'énergie de compactage. Quand l'énergie de compactage augmente (E1>E2>E3) le poids volumique sec de l'optimum γd max augmente et la teneur en eau optimale (wopt) diminue. On peut tracer les courbes d'isosaturation sur le même graphique, ces courbes sont des hyperboles. On remarque que la partie "humide" des courbes de compactage est asymptote aux courbes isosaturation.

= Sr

γd

95

= Sr

%

10

Sr

0%

=9 0%

E1 E2 E3 w

Figure E-5 Nous avons vu au chapitre précédent que γ d =

γS ⎛ γS ⎞ ⎟w 1+ ⎜ ⎝ Sr ⋅ γ w ⎠

donc pour Sr=1

γd γS = . Les courbes d'isosaturation sont bien des hyperboles. γw γw + w γS

E.3 Evolution des caractéristiques mécaniques en fonction du compactage Le compactage a pour effet d'augmenter les caractéristiques mécaniques du matériau, en particulier sa résistance (augmentation de l'angle de frottement et de la cohésion). Lorsque le volume des vides du sol se réduit, le sol est également moins déformable et donc son module d'Young (E= σ/ε) augmente. Le compactage augmente donc les modules de déformation et la portance du terrain (la portance caractérise l'aptitude d'un terrain à supporter des surcharges). Si on trace les courbes "contraintedéformation" pour différentes teneurs en eau, on remarque que globalement la résistance diminue et que le module d'Young (E= σ/ε) diminue avec l'augmentation de la teneur en eau (sauf pour de très faibles teneurs en eau).

σ

sec

R.C.S. Résistance à la compression simple)

w opt

humide

ε

Figure E-6 Remarque : Pour caractériser la "portance" d'un sol, dans le domaine routier on utilise un essai spécifique : l'essai CBR (Californian Bearing Ratio). Le matériau compacté à une teneur en eau donnée est poinçonné par un piston de 19,3 cm2 de section, enfoncé à la vitesse constante de 1,27 mm/min. Les pressions produisant un enfoncement de 0,625; 1,25; 2,00; 2,5; 5,0; 7,5; 10,0 mm sont mesurées. L'indice CBR exprime le rapport (en %) entre la pression obtenue sur 68


l'échantillon et la pression d'un échantillon de référence pour un même enfoncement. Les pressions de référence sont : 70 bars pour un enfoncement de 2,5 mm et 105 bars pour un enfoncement de 5,0 mm. L'indice CBR est la plus grande des deux valeurs : Pression (en bars) pour un enfoncement de 2,5 mm × 100 P2,5 mm (en bars) = et 70 0,70

Pression (en bars) pour un enfoncement de 5 mm × 100 P5 mm (en bars) = 105 1,05 La résistance à la pénétration par une "aiguille Proctor" peut être également mesurée.

E.4 Compactage In situ Le compactage est fonction des conditions d'utilisation futures du sol. Pour les remblais routiers le sol est classé en fonction de la classification RTR (Recommandations pour les Terrassements Routiers). Cette classification distingue 7 classes de sols. Le compactage est effectué sur des couches de faible épaisseur (20, 30 cm au maximum) car l'effet d'une surcontrainte en surface diminue très rapidement avec la profondeur comme nous le verrons au chapitre F. Quand la teneur en eau est inférieure à l'optimum, on peut soit augmenter l'énergie de compactage, soit arroser pour obtenir un compactage correspondant à l'optimum. Quand la teneur en eau est supérieure à l'optimum, on peut soit attendre le dessèchement du sol si l'évaporation est importante, soit traiter le sol (par de la chaux, du bitume, du ciment…).

69

F Tassement et consolidation L'application de charges sur un sol provoque des déformations. La plupart des surcharges appliquées à un terrain sont verticales et les déplacements les plus importants sont des déplacements verticaux vers le bas. Ces déplacements verticaux vers le bas sont appelés tassements ; ils peuvent avoir des conséquences non négligeables sur la stabilité des structures supportées par le sol. Les exemples les plus célèbres de tassements concernent la ville de Mexico (les mesures effectuées sur une période de 100 ans au niveau de la cathédrale de Mexico font apparaître des tassements d'ensemble de 7 m ; en 1989, le tassement différentiel atteignait des valeurs de l'ordre de 2m), la tour de Pise… Deux aspects sont à prendre en compte dans le tassement : - le tassement absolu qui se traduit par un déplacement de => Ces deux effets peuvent l'ensemble d'une structure vers le bas ; avoir des conséquences néfastes sur la superstructure - le tassement différentiel provoqué par la différence de déplacement entre deux points d'une même structure. Le calcul du tassement nécessite de connaître la valeur de la contrainte effective en chaque point du milieu, sur un élément de surface horizontale avant et après chargement (surcharge).

Q

z

M(x,y,z)

dz M

tassement ds

Figure F-1 La première étape nécessaire à l'estimation des tassements est de déterminer la contrainte dans le sol. La détermination de cette contrainte nécessite de connaître les surcharges appliquées et la loi de comportement du sol. Si la loi de comportement du sol est connue, il est également possible théoriquement de déterminer les déformations εx, εy, εz du sol (pour des conditions ∞

aux limites simples). Le tassement S (settlement) est : S = ∫ ε z ⋅ dz . 0

Les étapes successives d'un calcul de tassement sont donc : 1 - Connaître la surcharge ; 2 - Connaître le sol (sondages, essais, pression interstitielle u, hétérogénéités…) ; 71


3 - Etat initial des contraintes dans le sol : σ = σ' + u ; 4 - Supplément de contrainte ∆σ; 5 - Amplitude totale du tassement S 6 - Evolution dans le temps du tassement S(t) ; 7 - Effet du tassement sur la structure : - tassements admissibles ; - tassements différentiels. Les tassements différentiels vont être fonction de la nature du sol et de la répartition de la surcharge. Remarque : Lors d'une augmentation de la charge appliquée à un sol le mouvement se fait vers le bas et il y a tassement, mais lorsque la charge diminue, il y a mouvement vers le haut et gonflement du sol ; c'est le cas lors d'excavation.

F.1 Détermination des contraintes dues à une surcharge : problème de Boussinesq La détermination de la déformation d'un terrain nécessite la connaissance de la loi de comportement du sol. Les lois de comportement qui reproduisent bien le comportement des sols sont complexes ; c'est pourquoi il est courant de séparer la détermination des contraintes de celle des déformations. Pour déterminer les contraintes dues à une surcharge, on fait couramment l'hypothèse d'un sol élastique homogène et isotrope. C'est une hypothèse admissible pour la détermination de la composante verticale des contraintes dans le sol (c'est loin d'être le cas pour les contraintes horizontales). Les calculs de supplément de contrainte pour un milieu non pesant élastique ont été établis par BOUSSINESQ.

F.1.1 Charge ponctuelle Considérons un milieu élastique, non pesant, homogène et isotrope, limité à sa partie supérieure par un plan horizontal illimité et soumis à l'action d'une force verticale isolée P. P O θ ρ

z

Boussinesq a montré que la contrainte qui s'exerce sur une facette horizontale, centrée en M, a pour direction OM (O : point d'application de la force P) et que la composante normale à la facette a pour 3P 5 expression : σ z = ou 2 cos θ 2π ⋅ z 3 Pz3 σz = (ρ = OM) . 5 2π ⋅ρ On remarque que σz est indépendante du module d'Young E et du coefficient de poisson ν.

M

Figure F-2 72


Les courbes d'égale contrainte verticale sont les courbes telles que : z3

ρ 5 = cste

z

Figure F-3 : Courbes d'égale composante verticale des contraintes sur des facettes horizontales Proportion par rapport à la

1 contrainte dans l'axe de la 0.8

surcharge

0.6 0.4 0.2

y

Figure F-4 : Distribution des contraintes sur un plan horizontal F.1.2 Charges réparties F.1.2.1 Cas général Dans le cas d'un ensemble de charges, si le milieu est élastique linéaire, les effets des forces peuvent être superposés.

73


q dA

θ z

dσ

Il est donc possible de calculer la contrainte verticale σ résultant d'un ensemble de forces. Dans le cas de charges concentrées, il suffit d'additionner les effets, dans le cas de charges réparties, il faut utiliser le calcul intégral. 3q dA 5 dσ z = 2 cos θ 2π ⋅ z 3 5 σz = 2 ∫ q cos θ ⋅ dA 2π ⋅ z A

M Figure F-5 : Contrainte due à une charge répartie Le calcul de la contrainte verticale a été effectué pour un certain nombre de cas types :

F.1.2.2 Charge uniforme verticale sur une surface circulaire - pour une surface circulaire de rayon r, chargée uniformément par une contrainte q, la surcontrainte dans l'axe de la surcharge est égale à :

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ ∆ σ z = q ⋅ ⎢1 − 3 ⎥ 2 2 ⎢ ⎛ 1 + ⎛⎜ r ⎞⎟ ⎞ ⎥ ⎢⎣ ⎜⎝ ⎝ z ⎠ ⎟⎠ ⎥⎦

74

r x z Figure F-6


F.1.2.3 Charge uniforme verticale sur une surface rectangulaire - Pour un rectangle fini ou infini. La contrainte ∆σz sous le coin d'un rectangle (de longueur a et de largeur b) uniformément chargé par une charge q est : ∆ σ z = I ⋅q ; I est a donné par des abaques en fonction de et z b . La contrainte à la verticale d'un point z quelconque est obtenue en construisant 4 rectangles ayant chacun un sommet au point considéré.

a q

b

z

M

Figure F-7 F.1.2.4 Charge uniforme verticale sur une bande de longueur infinie 2b

- pour une semelle filante de largeur 2b (L>>20 b ; L : longueur) : q ∆ σ z = ⋅ [α + sin α cos(α + 2δ )]

x

π

δ α z

σz Figure F-8 F.1.2.5 Répartition simplifiée des contraintes Lorsqu'on ne cherche que des valeurs approchées, on peut supposer qu'il y a une répartition (étalement) uniforme des contraintes avec la profondeur. Cet "étalement" est limité par des droites faisant un angle α avec la verticale. A l'intérieur de la zone de répartition des contraintes on a : σ z = q

1 2z 1 + tgα a

A l'extérieur : σ z = 0 Souvent on considère α = 30° Nous avons cité quelques solutions types, mais il existe des manuels entiers donnant les

75


solutions analytiques ou numériques dans différents cas de figure. A partir de quelques cas types, notamment la solution pour une surface rectangulaire, il est possible de combiner ces solutions (principe de superposition des solutions élastiques) pour retrouver la contrainte en un point dans la plupart des cas.

F.2 Amplitude du tassement Le tassement est dû à : - la compression du squelette solide ; - la compression de l'eau et l'air contenus dans les vides du sol ; - le départ d'eau et d'air des pores qui s'accompagne d'un réarrangement des grains du sol et d'une diminution de l'indice des vides. Classiquement, on décompose le tassement en trois termes : - le tassement initial instantané, sans expulsion d'eau, qui a lieu au moment de l'application des surcharges ; - le tassement dû à la consolidation primaire (sans déformation latérale) qui correspond au départ d'eau du sol ; - le tassement dû à la compression secondaire, plus complexe, plus lent et généralement de plus faible intensité. Ce tassement a lieu alors qu'il n'existe plus de surpressions interstitielles ; Remarque : Le tassement est le déplacement en surface résultant de la déformation dans les différentes couches du sol. L'effet d'une surcharge est plus sensible en surface qu'en profondeur (cf. graphique ci-contre). Une surcontrainte ∆σz provoque une déformation ε(z).

σv

σ finale (avec une surcharge) v

le tassement total S dû à une surcharge q est : ∞

Stotal =∫ε (z ) 0

z

σv initiale

Figure F-9 F.2.1 Tassement instantané Le tassement instantané se produit avant toute évacuation de l'eau interstitielle. Il est prépondérant pour des sols non saturés et les sols grenus. Il correspond à la déformation "élastique" du squelette solide du sol sous l'action de surcharges : la surcharge est transmise aux grains qui se déforment "instantanément". L'expression de ce tassement est donc basée sur le comportement élastique parfait du sol ; elle dérive de l'évaluation de la déformation d'une colonne sous une charge axiale q. q B 2 Si = 1−ν ) I ( E 76


q : pression de chargement sur la surface libre du milieu ; B : largeur (ou diamètre) de la semelle ; E : module d'Young du matériau mesuré pendant un essai de compression simple ou triaxial non drainé ν : coefficient de Poisson (0,5 si la déformation se fait à volume constant, comme c'est le cas pour les argiles saturées) ; I : coefficient d'influence dépendant de la surface chargée, du point à l'aplomb duquel on se situe et de la flexibilité de la semelle. Forme de la semelle flexible

Centre

Coefficient d'influence Coin Moyenne

Carré

1,12

0,56

0,95

Rectangle L/B = 2 L/B = 3 L/B = 5 L/B = 10

1,53 1,78 2,10 2,58

0,77 0,89 1,05 1,29

1,30 1,52 1,83 2,285

Cercle

1,0

0,64

0,85

Tableau F-1 : Coefficient d'influence I d'après J. Costet et G. Sanglerat F.2.2 Tassement de consolidation primaire La consolidation primaire correspond au départ d'eau du sol sous l'action de surcharges. On utilise souvent l'analogie mécanique suivante pour représenter le phénomène : le sol est schématisé par un cylindre rempli d'eau et muni d'un piston et d'un ressort. Le ressort symbolise le squelette du sol et l'eau du cylindre, l'eau interstitielle. Si on applique une surcharge ∆σ au piston (sol), dans un premier temps le piston ne bouge pas, la surcharge est reprise par l'eau ; la pression de l'eau augmente (on peut s'en rendre compte en mesurant la pression de l'eau dans le sol). S'il y a un drainage (schématisé par un petit trou dans le piston) l'eau peut s'écouler et la pression de l'eau dans le cylindre va progressivement se dissiper, le piston s'enfonce. Parallèlement au départ d'eau le ressort (squelette du sol) va donc reprendre la surcharge, ce qui a pour effet de le déformer. Quand la pression de l'eau redevient la pression initiale (nulle en surface), le ressort a repris entièrement la surcharge et s'est déformé d'une valeur fonction de sa raideur. La dimension du trou dans le piston symbolise la perméabilité du terrain. Plus le trou sera important (forte perméabilité) ; plus la consolidation s'effectuera rapidement.

77


t=0+ε

t=0

σv

t=∞

t

σv + ∆σv

σv + ∆σv

σv + ∆σv

σv = σv

σv = σv + ∆σv

σv = σv + ∆σv

σv = σv + ∆σv

σv' = σv '

σv' = σv '

σ v ' = σ v ' +∆σ v ' 0

σ v ' = σ v ' +∆σ v

u = u0

u = u0 + ∆σ v

u = u0 + ∆u

u = u0

0

0

0

0

0

0

0

Figure F-10 : Représentation du phénomène de consolidation Le calcul pratique des tassements peut être effectué à partir des résultats expérimentaux d'essais œdométriques. Un échantillon de 70 mm de diamètre et 12 ou 24 mm d'épaisseur est placé dans un moule œdométrique. Le haut et le bas de l'échantillon sont constitués de pierres poreuses permettant l'évacuation de l'eau interstitielle et éventuellement, de mesurer la charge et donc la perméabilité verticale de l'échantillon (cf. essai de perméabilité à charge variable § D.2.5.3.2 page 58). Le tassement de l'échantillon est mesuré par des comparateurs. L'appareil est disposé sur un bâti métallique qui permet d'appliquer au piston des pressions de consolidation par l'intermédiaire d'un bras de levier. Chapeau Piston

Comparateur

Comparateur

Chemise

Goupille

Ecrou Joint torique

Embase

Pierres poreuses

ECHANTILLON

Figure F-11 : Cellule œdométrique 78

Cane réservoir


L'essai œdométrique est synthétisé par trois courbes : - La courbe de compressibilité, qui traduit les variations de l'indice des vides en fonction de la charge appliquée. - Les courbes de tassement en fonction du temps - La courbe de perméabilité lorsque la mesure a été réalisée. Cette courbe permet d'obtenir le coefficient de perméabilité verticale kv. La courbe de variation de l'indice des vides en fonction de la e contrainte effective n'a rien de linéaire, on peut cependant pour une variation faible de contrainte définir un module −∆ σ œdométrique comme : E ' = ∆h . E' n'est donc pas constant, h il varie en fonction de σ et ∆σ. On peut également définir le coefficient de compressibilité volumétrique qui est l'inverse du module œdométrique : mv = 1 E '

σ'

Figure F-12

Remarque : si on définissait pour les matériaux élastiques un module œdométrique E', compte tenu des conditions aux limites de l'essai (déplacements nuls sur les parois ⎛ 2ν 2 ⎞ ⎜ si de plus on latérales de l'œdomètre) on a la relation suivante : E = E ' 1 − ⎝ 1− ν ⎠ suppose que le coefficient de poisson est de 0,33 on a E = 0,33⋅ E ' Si on représente l'évolution de l'indice des vides e en fonction du logarithme décimal de la contrainte effective appliquée, on obtient classiquement une courbe composée de deux parties approximativement linéaires. La pression de préconsolidation σ'c du sol correspond au coude de la courbe (e, logσ'). Si on effectue un essai œdométrique sur un sol vierge ; c'est-à-dire un sol fin mélangé à une grande quantité d'eau et que l'on laisse se déposer progressivement on obtient une seule droite.

e

Cg

Cc log σ'

σ'c Si après une surcharge et pour une valeur de contrainte effective supérieure Figure F-13: courbe œdométrique à la contrainte de préconsolidation, on décharge le terrain, l'indice des vides σ' : pression de préconsolidation c augmente, et la pente représentative de cette décharge est parallèle à la Cc : indice de compression Cc = −∆e ∆log10(σ') première partie de la courbe de chargement. Cg : indice de gonflement 79


La pression de préconsolidation correspond donc à la pression maximale subie par le sol au cours de son histoire. La première partie de la courbe a une pente Cg (indice de gonflement du sol) et la seconde partie de la courbe a une pente Cc (indice de compression du sol). Si on compare la valeur de la pression de préconsolidation à la contrainte effective régnant dans le sol σ'0, on peut distinguer trois cas : - σ'c ≈ σ'0 le sol est normalement consolidé ; - σ'c > σ'0 le sol est surconsolidé (le sol a subi dans le passé une contrainte supérieure à la contrainte actuelle dans le sol, du fait par exemple de l'érosion) ; - σ'c < σ'0 le sol est sousconsolidé (le sol a un retard de tassement, la contrainte dans le sol a augmenté, mais le tassement n'a pas encore eu le temps de se réaliser). Remarque : Au cours de l'essai œdométrique l'indice des vides n'est pas directement mesuré ; la mesure effectuée est celle des variations de hauteur de l'échantillon h. On suppose que le volume des grains solides du sol est constant (solide h h h + ∆h = = cste ou encore : d'ou indéformable) c'est-à-dire 1 + e 1+ e + ∆e 1+e ∆e ∆h = . En effet le volume des grains solides est constant donc : 1+e h V ⋅V VT VT V = = T ; si la déformation est VS = cste = S T = VT (VV + VS ) VV + 1 e + 1 VS VS h uniquement verticale ceci se traduit par = cste 1+e e

e

e

log σ'

log σ'

1 - sable

2 - argile

log σ'

3 - vase

Figure F-14 : Courbes œdométriques pour différents types de sols On a la même relation indice des vides, hauteur au niveau d'une couche de sol que dans l'œdomètre : la variation de hauteur de la couche de hauteur h est reliée à l'indice des vides ∆h ∆e = par : (e0 indice des vides initial du sol) h 1 + e0 Le tassement est donc égal à : S = h

80

∆e 1+ e0


e

- Pour un sol normalement consolidé : ∆e = C c ∆ log 10 (σ')

Cg

e0 = ec

donc

∆e

S=h

1 Cc ∆ log10 (σ ' ) 1+ e0

Cc ef

⎛ σ' f ⎞ h Cc ⎟ = log 10 ⎜ ⎝ σ' 0 ⎠ 1+ e0

∆σ

log σ'

σ' c = σ' 0 σ' f

Figure F-15: sol normalement consolidé e

- Pour un sol surconsolidé : ∆e S = S1 + S2 = hi 1 + e0 S1 =

⎛ σ' ⎞ log10 ⎜ c ⎟ 1 + e0 ⎝ σ' 0 ⎠ h Cg

S2 = Remarque

e0 = ei ec

Cg ∆e

et

⎛ σ' f ⎞ h Cc log10 ⎜ ⎟ 1 + ec ⎝ σ' c ⎠

Cc ef

en

faisant dans ce cas ⎛ σ' f ⎞ h Cc l'approximation : S ≈ log10 ⎜ ⎟ on 1 + ei ⎝ σ' c ⎠ sous-estime légèrement le tassement.

∆σ σ'i = σ'0

log σ' σ'f

σ' c

Figure F-16: sol sur-consolidé e

- Pour un sol sous-consolidé : S=

h Cc ⎛ σ' f ⎞ ⎟ log10 ⎜ ⎝ σ' c⎠ 1 + e0

e0 = ec

} Tassement "naturel"

}

∆e ef ∆σ

log σ'

σ' c σ'0 σ'f

Figure F-17 : sol sous-consolidé

81


Correction de Skempton : In situ, les conditions sont différentes de celles de l'essai œdométrique en particulier les déformations latérales sont possibles, ce qui a une influence sur le tassement final. Le tassement œdométrique est donc une approximation du tassement réel. Skempton et Bjerrum ont proposé de corriger le tassement œdométrique d'un coefficient semi-empirique µ.

Sc = µ Soedométrique avec µ fonction de H (épaisseur de la couche compressible), B (largeur de la fondation) et A le coefficient de pression interstitielle (cf. Chapitre G essais au laboratoire : résistance au cisaillement d'un sol).

Coefficient correcteur µ

1,2 1 0,8 H/B = 0,5

0,6

H/B = 0,1

0,4

H/B = 4

0,2 0 0

0,2 Argiles très fortement consolidées

0,4 Argiles surconsolidées

0,6

0,8

1

Argiles normalement consolidées

1,2 Argiles très sensibles

Coefficient A de pression interstitielle Figure F-18 : Correction de Skempton et Bjerrum Le coefficient correcteur µ n'est en principe valable que pour les milieux saturés

Sable Argile raide (kaolinite) Argile moyenne Argile molle (montmorillonites) Argiles modérément sensibles, normalement consolidées Argiles de Mexico Argiles organiques Tourbes

Indice de compression Cc 0,01 < Cc <0,10 0,10 < Cc <0,25 0,25 < Cc <0,80 0,80 < Cc <5,50 0,2 à 0,5 7 à 10 4 et plus de 10 à 15

Tableau F-2 : ordre de grandeur l'indice de compression Certains auteurs ont proposé des corrélations entre l'indice de compression et la limite de liquidité wL. Terzaghy et Peck suggèrent, par exemple, d'utiliser la relation suivante pour des argiles non remaniées de sensibilité faible à moyenne : Cc = 0,009(wL − 10) (la marge d'incertitude associée à cette équation est de ±30%) 82


F.2.3 Tassement de compression secondaire t1

0

Le tassement de compression secondaire correspond à une déformation du sol alors que la surpression interstitielle est redevenue nulle. On attribue cette déformation à la modification graduelle des forces de frottement au sein du matériau, à la déformation plastique et à la réorientation de la structure granulaire. εz = ∆h/h

Consolidation primaire

Log t

Compression secondaire

∆u = 0 α

Figure F-19: Evolution de la déformation dans le temps En général, la consolidation primaire est bien plus élevée que la compression secondaire. Ce phénomène peut cependant être important pour des sols d'origine organique et pour certains limons. On pourra généralement considérer que le tassement de compression secondaire ne se manifeste qu'à la fin de la consolidation primaire et qu'il varie en fonction du logarithme du temps : t Ss = α (logt − logt1 ) = α log t1

F.2.4 Tassement total Le tassement total est la somme des 3 termes de tassement Stotal = Si + µ Soedo + S2 aire

F.3 Evolution du tassement dans le temps : théorie de la consolidation Nous résumerons ici la théorie de la consolidation primaire qui est explicitée en détail dans de nombreux ouvrages de mécanique des sols. Le phénomène de consolidation primaire qui conduit au tassement est dû au départ d'eau du terrain. L'évolution de l'indice des vides au cours du temps est donc fonction : - du coefficient de perméabilité k du terrain ; - des conditions de chargement ; - des conditions de drainage du terrain. Si une couche de terrain subit une sur-contrainte liée à un chargement en surface ceci va se traduire par une brusque élévation de la pression d'eau qui va se dissiper au cours du temps (cf. schéma du piston et du ressort).

Q

départ d'eau u

Figure F-20 83


On passera progressivement de :

σ v ' = σ v ' et u = u0 + ∆σ v

∆u = 0

0

à σ v ' = σ v0 ' +∆σ v et u = u0 . t

Les courbes de variations de la pression interstitielle en fonction du temps (isochrones) sont représentées ci-contre.

∆u = ∆σ

t2 ∆u2

t1 ∆u1

z

Figure F-21 : courbes isochrones La variation de pression interstitielle au cours du temps peut être traduite par l'équation ∂u kE ' ∂ 2 u ∂u k(1+ e ) ∂ 2 u = ⋅ 2 ou encore = ⋅ 2 avec différentielle de la consolidation : ∂t γ w ∂z ∂t avγ ∂z −de −∆σ av = (rappelons que E ' = est le module œdométrique). ∆h dσ ' h kE ' k (1+ e ) = = c v est le coefficient de consolidation. Il s'exprime en m2/s ou Le terme γw avγ 2 cm /s. L'ordre de grandeur de ce terme est de 10-6 à 10-8 m2/s. L'équation peut alors s'écrire :

∂u ∂ 2u = cv ⋅ 2 ∂t ∂z L'équation de consolidation peut être mise sous forme adimensionnelle en utilisant les variables suivantes : ∆ht ; U varie entre 0 et 1 quand t varie de 0 (mise en place de la surcharge) à ∞. U ∆h∞ s'exprime généralement en %. U est appelé degré de consolidation du terrain. z H est la hauteur de drainage, c'est-à-dire la distance hydraulique la plus longue (i.e la - x= H longueur correspondant au chemin le plus long parcouru par l'eau). En pratique si la couche compressible est drainée d'un seul coté H est l'épaisseur de la couche compressible, si la couche compressible est drainée en haut et en bas H est la moitié de l'épaisseur de la couche compressible. ct - TV = v2 . TV est le facteur temps. H

-U=

Sous forme adimensionnelle l'équation de la consolidation devient :

∂ 2U ∂U = ∂x 2 ∂TV

Cette équation a été résolue pour un certain nombre de conditions initiales et aux limites types et il existe des abaques donnant les variations de U en fonction de TV ou l'inverse. Souvent, on s'intéresse à U90% c'est-à-dire la valeur correspondant à 90% du tassement et le temps nécessaire pour obtenir cette valeur. 84


Cas 1 a :constante

2H

Cas 2 : Demisinusoïde

Cas 4 Distribution triangulaire

b :distribution linéaire 2H

∆u

Cas 3 : Sinusoïde

2H ∆u

2H ∆u

2H ∆u

∆u

Tableau F-3 : Quatre cas de distribution de l'excès de pression interstitielle initiale pour la solutions de la théorie de la consolidation de Terzaghi

U 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00% 45,00% 50,00% 55,00% 60,00% 65,00% 70,00% 75,00% 80,00% 85,00% 90,00% 95,00% 100,00%

Cas 1 0,0000 0,0017 0,0077 0,0177 0,0314 0,0491 0,0707 0,0962 0,1260 0,1590 0,1960 0,2380 0,2860 0,3420 0,4030 0,4770 0,5670 0,6840 0,8480 1,1290 ∞

Tv (facteur temps) Cas 2 Cas 3 0,0000 0,0000 0,0021 0,0208 0,0114 0,0427 0,0238 0,0659 0,0403 0,0904 0,0608 0,117 0,0845 0,145 0,112 0,175 0,143 0,207 0,177 0,242 0,215 0,281 0,257 0,324 0,304 0,371 0,358 0,425 0,421 0,488 0,494 0,562 0,586 0,652 0,700 0,769 0,862 0,933 1,163 1,214 ∞ ∞

Cas 4 0,0000 0,0247 0,0500 0,0750 0,102 0,128 0,157 0,188 0,221 0,257 0,294 0,336 0,384 0,438 0,501 0,575 0,665 0,782 0,946 1,227 ∞

Tableau F-4 : Valeurs de Tv pour différentes valeurs de U (d'après G.A Leonards)

85


Tv 0,004 0,008 0,012 0,020 0,028 0,036 0,048 0,060 0,072 0,083 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 1,000 2,000

Cas 1 7,35% 10,38% 12,48% 15,98% 18,89% 21,41% 24,64% 27,64% 30,28% 32,33% 35,62% 39,89% 43,70% 47,18% 50,41% 56,22% 61,32% 65,82% 69,73% 76,40% 81,56% 85,59% 88,74% 91,19% 93,13% 99,42%

Cas 2 6,49% 8,62% 10,49% 13,67% 16,38% 18,76% 21,96% 24,81% 27,43% 29,67% 32,80% 41,12% 44,73% 48,09% 54,17% 59,50% 64,21% 68,36% 76,28% 80,69% 84,91% 88,21% 90,79% 92,80%

Cas 3 0,98% 1,95% 2,92% 4,81% 6,67% 8,50% 11,17% 13,76% 16,28% 18,52% 21,87% 26,54% 30,93% 35,07% 38,95% 46,03% 52,30% 57,83% 62,73% 70,88% 77,25% 82,22% 86,11% 89,15% 91,52%

Cas 4 0,85% 1,62% 2,41% 4,00% 5,60% 7,20% 9,50% 11,98% 14,36% 16,46% 19,76% 24,42% 28,86% 33,06% 37,04% 44,32% 50,78% 56,49% 61,54% 69,94% 76,52% 81,65% 85,66% 88,80% 91,25%

Tableau F-5 : Valeurs de U pour différentes valeurs de Tv (d'après G.A Leonards)

Kaolinites Illites Montmorillonites Argiles sableuses Argiles glaciaires lacustres

Coefficient de consolidation cv en cm2/s 4 10-3 à 2 10-3 cm2/s 4 10-3 à 2 10-3 cm2/s 4 10-3 à 2 10-3 cm2/s 10-3 cm2/s environ 6,5 10-4 à 8,7 10-4 cm2/s

Tableau F-6 : ordre de grandeur du coefficient de consolidation cv Certains auteurs ont également établi une corrélation entre le coefficient de consolidation cv et la limite de liquidité wL.

F.4 Tassements admissibles L'amplitude des tassements absolus n'est en général pas préjudiciable aux structures ellesmêmes, mais elles provoquent des désagréments, voir des problèmes aux éléments de jonction 86


entre les bâtiments notamment pour les canalisations (d'eau, de gaz, les égouts). Les tassements d'ensemble peuvent parfois être importants (7 m pour la ville de Mexico) sans provoquer des dégâts majeurs. Les tassements différentiels et absolus sont considérés comme admissibles lorsqu'ils peuvent être absorbés sans inconvénient par la superstructure. Leur valeur dépend donc de la raideur de l'ouvrage et du matériau de construction de l'ouvrage. Pour les constructions courantes, les tassements différentiels Sd doivent être limités à - L/600 pour des ouvrages en maçonnerie (L distance entre 2 points qui tassent différemment) ; - L/1000 pour des ouvrages en béton armé. Remarque : le tassement différentiel de la tour de Pise est de l'ordre de 2 m Type de mouvement Tassement total

Inclinaison

Mouvement différentiel

Facteur limitant Tassement maximum Dispositif drainant 15 -30 cm Accès 30 - 60 cm Probabilité de tassement non uniforme : Ouvrage en maçonnerie 2,5 - 5 cm Charpentes 5 - 10 cm Cheminées, silos, radiers 7,5 - 30 cm Stabilité au renversement dépend de la largeur et de la hauteur Inclinaison des cheminées et des tours 0,004 l Engins roulants 0,01 l Stockage de denrée 0,01 l Métiers à tisser 0,003 l Turbo générateur 0,0002 l Rails de grues 0,003 l Aire de drainage 0,01 l - 0,02 l Murs de briques hauts et continus 0,0005 - 0,001 l Usine en brique à 1 étage, fissuration 0,001 - 0,002 l des murs Fissuration des murs en plâtre 0,001 l Immeuble ne béton armé 0,0025 - 0,004 l Immeuble ne béton armé avec des murs 0,003 l rideaux Charpentes métalliques continues 0,002 l Charpentes métalliques simples 0,005 l

l : distance entre deux colonnes adjacentes ou deux points quelconques qui tassent différemment. Les valeurs les plus élevées correspondent aux tassements réguliers et aux structures les plus "tolérantes". Les plus faibles valeurs sont valables pour des tassements irréguliers et des structures fragiles.

Tableau F-7 : Tassements admissibles (d'après Sowers cité par Lambe)

F.5 Accélérations du tassement Plusieurs techniques permettent d'accélérer le tassement ou de provoquer le tassement avant construction. Parmi ces techniques citons : 87


- la mise en charge progressive ; - La mise en place de surcharges temporaires ; - La mise en place de drains verticaux ; - le rabattement de nappe qui permet l'augmentation de contrainte effective ; - le compactage par vibration. -…

F.5.1 Drains verticaux Si des drains verticaux sont mis en place sur la totalité de l'épaisseur de la couche compressible, ils permettent de réduire le temps nécessaire à la dissipation de la pression interstitielle : - d'une part parce que généralement la perméabilité horizontale d'un dépôt stratifié est supérieure à sa perméabilité verticale et donc pour un même trajet l'écoulement horizontal de l'eau se fera plus rapidement - d'autre part parce que l'espacement entre les drains peut être inférieur à l'épaisseur totale de la couche. Pour calculer les temps de consolidation lors de l'utilisation de drains verticaux, il faut écrire l'équation différentielle de la consolidation en 3 dimensions : Cvx

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2 u ∂u ou Cvx, Cvy, Cvz sont les coefficients de consolidation dans + C + C = vy vz ∂x 2 ∂y2 ∂z 2 ∂t

les directions x, y et z. Lorsque le problème à une symétrie radiale (drains verticaux) Cvx = Cvy = Cvr, cette équation ⎛ ∂ 2 u 1 ∂u ⎞ ∂ 2 u ∂ 2 u ∂u + C = (1) devient alors : Cvr ⎜ 2 + vz ⎝ ∂r ∂z 2 ∂t r ∂r ⎠ ∂r 2 avec Cvr =

kh ⋅ (1+ e ) k ⋅ (1+ e ) et Cvz = v av ⋅ γ w av ⋅ γ w

et u = urz : excès de pression interstitielle aux coordonnées r,z L'équation (1) se décompose en deux parties : - Cvz

∂ 2 u ∂u = (2) équation de la consolidation unidimensionnelle ∂z 2 ∂t

⎛ ∂ 2 u 1 ∂u ⎞ ∂ 2 u ∂u = (3) : pour l'écoulement radial - Cvr ⎜ 2 + ⎝ ∂r ∂t r ∂r ⎠ ∂r 2 On peut montrer que l'équation (1) est une combinaison des solutions des équations (2) et (3) en écrivant que l'excès de pression interstitielle au temps t peut s'écrire sous la forme : ur ⋅ uz (4) ou urz = u0 - ur est l'excès de pression interstitielle pour un écoulement radial seul - uz est l'excès de pression interstitielle pour un écoulement vertical seul Cette relation (4), traduite en degré de consolidation devient : (1 − U ) = (1 − U z )⋅ (1 − U r ) 88


avec : - U : degré de consolidation pour un écoulement tridimensionnel - Uz : degré de consolidation pour un écoulement unidimensionnel - Ur : degré de consolidation pour l'écoulement radial

c vt 2 H c ⋅t Le facteur temps Tr pour l'écoulement radial est défini par Tr = vr 2 ou R est le rayon (2R ) d'influence du drain (la moitié de la distance entre deux drains en quinconce)

Le facteur temps TV pour l'écoulement unidimensionnel reste TV =

La relation entre Ur et Tr est donnée en abaque. Expérimentalement, il est possible de déterminer Cvr grâce à un œdomètre à drain central. k C On remarque que vr = h . Il n'est pas rare de trouver des rapports entre perméabilité Cvz kv horizontale et verticale de l'ordre de 10, ce qui permet d'évaluer l'apport que peuvent procurer des drains verticaux.

89

G Essais au laboratoire : résistance au cisaillement d'un sol La conception des différents ouvrages (fondations, talus, soutènement) est influencée par la résistance au cisaillement des terrains. Cette conception doit conduire à éviter les ruptures ou les déformations trop importantes lorsque les ouvrages sont soumis à des charges maximales. Il est donc important de connaître la résistance ultime ou limite des terrains et nous décrirons plus particulièrement les essais appliqués aux sols. La résistance limite d'un sol pourra être déterminée par des essais au laboratoire ou en place. Si les essais en place (pénétromètre, scissomètre…) ont l'intérêt d'éviter le problème de remaniement associé au prélèvement d'échantillon dans le sol, ils ne permettent en général qu'une évaluation indirecte de la résistance ultime du sol. Les essais de laboratoire permettent, quant à eux, la mesure directe de la résistance ultime du matériau. De plus, il est possible de mesurer les déformations et les pressions interstitielles durant l'application de contraintes croissantes. Dans cette partie, nous nous intéresserons aux essais pratiqués au laboratoire.

G.1 Rappels de mécanique des milieux continus Le comportement élastique d'un solide est caractérisé par des déformations réversibles, tandis que le comportement plastique est caractérisé par des déformations permanentes. La frontière du domaine d'élasticité est définie par un critère d'écoulement, qui dans le cas d'un solide isotrope est uniquement fonction des trois contraintes principales : f(σ1,σ2,σ3) = 0 Le domaine d'élasticité est la région dans laquelle : f(σ1,σ2,σ3) < 0 Un critère d'écoulement peut être représenté dans un plan de Mohr (σ,τ) par une courbe appelée courbe intrinsèque (en réalité en toute rigueur, la courbe intrinsèque délimite le passage à la rupture).

τ

σ1

σ2

σ3

σ

Courbe intrinsèque

Figure G-1: courbe intrinsèque

91


G.2 La plasticité dans les sols G.2.1 Notations Nous rappelons que les conventions de signe que nous utiliserons sont les suivantes : en MMC :

en mécanique des sols :

σ > 0 traction

σ > 0 compression

σ < 0 compression

σ < 0 traction (on note souvent : σn = σ ) notion de contrainte effective :

σ'

u

τ

σ' = σ - u " τ' " = τ

G.2.2 Plasticité des sols Si on effectue un essai de "compression" sur un sol, on observe : -

une zone élastique plus ou moins nette ;

-

une limite élastique, qui semble ne pas dépendre de l'histoire des contraintes.

La "rupture" dans un sol peut être définie de différentes façons : 1- Différence maximale entre les contraintes : (σ 1 − σ 3 )max = (σ 1' −σ 3 ' )max

⎛σ ' 2 - Rapport maximal des contraintes principales : ⎝ 1 σ ' ⎞⎠ 3 max

⎡ (σ − σ 3 ) ⎤ 3- τ =⎢ 1 2 ⎥⎦ à une déformation axiale arbitraire ⎣ La définition 1 sera le plus souvent adoptée. La courbe intrinsèque des sols correspond à une équation de la forme : τ = ± (a + b σ ) ou

τ = c + σn tgϕ

c est appelée la cohésion, φ l'angle de frottement interne. Cette relation est connue sous le nom de critère de Mohr-Coulomb. Le critère de plasticité qui découle de la loi de Coulomb s'écrit : (σ + σ )sin ϕ − (σ − σ ) + 2c cosϕ = 0 1 3 1 3 ou encore :

⎛π ϕ ⎛π ϕ σ1 − σ 3 tg 2 ⎝ + ⎞⎠ − 2 c tg ⎝ + ⎞⎠ = 0 4 2 4 2

G.2.3 Essais de cisaillement Les essais de cisaillement ont pour but de déterminer la cohésion c, l'angle de frottement φ et 92


éventuellement la loi de comportement du matériau, mais la détermination de c et φ va dépendre de l'essai qui est effectué. Il existe plusieurs types d'appareils pour les essais : • boîte de Casagrande - essais de laboratoire

• appareil triaxial • autres (scissomètre de laboratoire, pénétromètre de poche…)

- essais in situ

G.3 Les essais de cisaillement direct à la boîte de Casagrande Cet essai est très ancien, puisque Coulomb a déjà utilisé une boîte de cisaillement, il y a plus de 200 ans. Dans cet essai l'échantillon est constitué d'une plaquette carrée dont les dimensions usuelles sont :10 cm x 10 cm x h = 3 cm (il existe des appareils permettant de recevoir des échantillons de plus grandes dimensions, mais qui sont plus rarement utilisés) et l'appareil de cisaillement est une boîte composée de deux parties : - une demi-boîte inférieure fixe - une demi-boîte supérieure mobile

Chapeau (application de la contrainte axiale) 1/2 boite supérieure

Plan de cisaillement Echantillon

Pierres poreuses

Point d'application de l'anneau dynamométrique

Point d'application du système d'entrainement Té de calage

1/2 boite inférieure Plaque de fond

Figure G-2: Echantillon dans la boîte de Casagrande (dessin E. LEFEBVRE)

93


COMPARATEUR (contrôle de volume) ETRIER DE CHARGEMENT (modifié pour l'utilisation d'un capteur de force)

CONDITIONNEUR (controle de la charge appliquée)

CAPTEUR DE FORCE (mesure de la charge appliquée) BOITE PORTE ECHANTILLON

σn ANNEAUX DYNAMOMETRIQUES (1 ET 2)

2

1 MANOMETRE

VERIN DE COMMANDE (application de la contrainte) VERIN DE CHARGEMENT

POTENCE

Figure G-3 : Boîte de Casagrande avec son bâti (dessin E. LEFEBVRE) L'essai se déroule en 2 étapes : 1 - Sur l'échantillon confiné dans la boîte, on applique un effort de compression normal constant N (perpendiculairement au plan de cisaillement.) On peut alors calculer la contrainte normale en divisant l'effort normal par l'aire A de l'échantillon : σ = N/A

τ Pic Résiduel

ε

Figure G-4: Courbe effort-déformation type au cours d'un essai de cisaillement

2 - Un effort horizontal de cisaillement T croissant est appliqué. La contrainte de cisaillement peut être définie par τ = T/A et la courbe effort déformation (ε, τ) peut être tracée.

94


L'expérience est répétée pour plusieurs échantillons (au moins 2, en général 3 ou 4) avec différentes valeurs de N (donc de σ). On peut ainsi tracer point par point la droite de Coulomb. L'essai de cisaillement direct ne permet pas d'obtenir directement les contraintes principales qui peuvent cependant être déduites de l'enveloppe de rupture de Mohr-Coulomb.

τ

x τ = T/A

x

x

x

σ σ = N/A

Figure G-5 : Points résultants d'essais de cisaillement à la boîte de Casagrande

L'essai de cisaillement direct à la boîte a pour avantage d'être économique, rapide et simple en particulier avec les matériaux granulaires, cependant il présente certains inconvénients : - le plan de cisaillement est imposé et on ne peut s'assurer que cette direction correspond au plan le plus faible ou à la direction critique sur le terrain ; - nous avons défini la valeur du cisaillement par τ = T/A, or la surface de cisaillement est variable pendant l'essai et il peut y avoir une certaine hétérogénéité dans la transmission des contraintes à l'échantillon ; - il est difficile, voire impossible de contrôler les conditions de drainage (mesure de la pression interstitielle u).

G.4 Les essais de cisaillement triaxiaux Vers 1930 Casagrande a entrepris de rechercher un essai de compression qui contournerait les difficultés associées à l'essai de cisaillement direct. L'essai mis au point est l'essai triaxial qui est maintenant largement utilisé.

95


Piston

Fourreau de guidage du piston (entrainé en rotation pour diminuer les frottements parasites)

Support de piston

Systéme anti-friction

Orifice de purge Orifice d'injection d'huile

Chapeau plexiglass

Corps de cellule

Pierre poreuse

Chambre transparente en plexiglass

Joint thorique

Membrane élastique étanche

Echantillon

Joint thorique Pierre poreuse Piédestal porte échantillon interchangeable (ø 35,38,50 mm)

Taquets de serrages

Embase de cellule Remplissage du corps de cellule Application de σ 3

Drainage supérieur de l'échantillon

Application de la contre pression CP

Mesure de la pression interstitielle

σ 3 - CP = Pression de confinement

Figure G-6 : Cellule triaxiale (dessin E. LEFEBVRE) Dans ce cas l'échantillon est constitué d'un cylindre (élancement 2 en général) placé dans une chambre de pressurisation (cellule). La cellule contient un fluide sous pression qui impose une contrainte constante sur la surface latérale du cylindre. L'échantillon est préalablement recouvert d'une membrane élastique pour empêcher que le fluide contenu dans la cellule (généralement de l'eau) ne pénètre dans le matériau étudié. L'essai se déroule également en deux étapes : 1 - on applique une surpression p (ou σr)

S

σr

2 - on charge verticalement l'échantillon par l'intermédiaire d'un piston par une contrainte longitudinale σl : σl = F/S + p Figure G-7 : Schématisation de l'essai triaxial Durant cet essai on peut contrôler le drainage de l'échantillon et il peut être également possible de contrôler le cheminement des contraintes ; on suppose en effet que les contraintes appliquées aux extrémités de l'échantillon sont des contraintes principales.

96


La courbe effort déformation (σ1-σ3, ε) peut-être enregistrée au cours de l'essai. Souvent les déformations sont limitées, ce qui fait que l'on n'atteint pas le comportement résiduel. Plusieurs essais sont effectués (au moins 3) à des pressions de confinement différentes et représentatives du confinement in situ.

σ1 - σ3 Pic

ε

Figure G-8 : Courbe effort-déformation Les caractéristiques mécaniques sont obtenues en représentant dans le plan de Mohr l'état de contrainte à la rupture :

τ ϕ c σ Figure G-9 : Tracé du critère à partir des cercles de Mohr Dans le plan de Mohr, la courbe intrinsèque est définie par : τ = c + σ n tgϕ La représentation de Mohr dans laquelle chaque état de contraintes correspond à un cercle n'est pas très commode pour représenter l'évolution de l'état des contraintes si ce dernier évolue au cours du temps. D'autres représentations peuvent être utilisées pour représenter le "chemin" suivi par les contraintes, notamment la représentation dans le plan (s, t) dite représentation de Lambe t

ϕ

avec s =

α

et t =

c

σ1 + σ 3 2

σ1 −σ 3 2

le critère devient alors : s

t = c cos ϕ + s sin ϕ

Figure G-10 : Tracé du critère dans un repère s, t Si α est l'angle de la courbe intrinsèque dans le plan (s, t) on a donc : sin ϕ = tgα .

97


L'ordonnée à l'origine de la droite est : c cosϕ Ce mode de représentation plan (s, t) est couramment employé pour représenter le cheminement des contraintes au cours d'un essai ou in-situ. Remarque : s et t sont les coordonnées du sommet du cercle de Mohr ϕ

τ

α

ϕ

τ

t τ c σ3 σn

σn c

σ1

s

σ

Figure G-11 : Les deux types de représentation des essais Remarque : démonstration de t = c cos ϕ + s sin ϕ τ

d

et on a la relation : sin ϕ =

R = t = ( σ1 - σ3 )/2

t τ c ϕ

Dans la figure ci-contre la distance d est c donnée par : tgϕ = donc d = c tgϕ d

ϕ

ϕ

σ3 σn

σn s

σ1

t t = s+d s+ c

tgϕ

On en déduit donc facilement que :

t = s sin ϕ + c sin ϕ

tgϕ

= s sin ϕ + c cos ϕ

Figure G-12 : relation entre s et t pour un cercle de Mohr tangent au critère Un autre type de représentation est également utilisée, il s'agit de la représentation dite de Cambridge ou

p=

σ1 + σ 2 + σ 3 3

est la contrainte moyenne σm. Pour un essai triaxial p =

σ 1 + 2σ 3 3

q = σ 1 − σ 3 est le déviateur de contrainte Remarques : -

Il existe une certaine confusion dans l'utilisation de ces notations et la notation de Lambe que nous avons appelé (s,t) a parfois été notée également (p, q) par le passé ;

-

La représentation de Mohr, sous forme de cercle est difficilement utilisable pour représenter les variations des contraintes au cours du temps. Les représentations de Lambe et de Cambridge sont couramment utilisées pour représenter les chemins de contraintes.

Dans un essai triaxial : - le plan de rupture n'est pas imposé et l'échantillon peut se briser suivant n'importe quel plan ou encore, comme cela se produit souvent, se déformer en barillet ;

98


- la mesure de la pression interstitielle u est possible ; - on n'a pas un réel état triaxial puisque σ 2 = σ3 = σ cellule . - les conditions de drainage et les cheminements de contraintes adoptés peuvent permettre de reproduire les situations réelles ou critiques. Nous verrons dans le paragraphe suivant que les conditions de drainage et de contraintes peuvent représenter différents types de sollicitations existant dans la nature. Ces conditions sont représentées par un symbole formé de 2 lettres, la première définie les conditions avant le cisaillement : dans la phase 1 de l'essai, l'échantillon peut-être consolidé ou non (C : consolidated ; U : unconsolidated), la seconde représente les conditions de drainage pendant le cisaillement : pendant la phase 2 il peut y avoir drainage : D (drained) représente des conditions drainées, U (undrained) des conditions non drainées.

G.5 Les différents types d'essai, résistance au cisaillement des argiles Il existe deux types d'équilibre dans la nature qui peuvent être schématisés à partir de l'analogie faite au § F.2.2 (page 77) entre le sol et un système cylindre rempli d'eau, ressort : - au moment où on applique une sollicitation, par exemple une surcharge, si le milieu est faiblement perméable, il y a une augmentation brutale de la pression interstitielle et c'est la résistance à court terme du sol qui va être sollicitée ; - si l'eau interstitielle du sol peut s'échapper, si les mouvements sont lents ou longtemps après l'application d'une sollicitation, la surpression interstitielle va s'annuler ; quand u = 0 ce sera la résistance dite à long terme du matériau qui sera concernée. Les deux types de problèmes sont à résoudre et pour : - la résistance à court terme c'est l'ensemble squelette + eau qui est sollicité, la contrainte à prendre en compte sera la contrainte totale ; - la résistance à long terme c'est le squelette qui va être concerné et la contrainte à considérer sera la contrainte effective. ARGILES :

SABLE (perméabilité forte) :

les deux types de problèmes existent :

Contraintes effectives (sauf cas particuliers) car l'eau part immédiatement.

- court terme (on ouvre une tranchée dans une argile, fondation, barrage, talus...) - long terme (talus, digue...)

Pour les argiles il faut donc effectuer plusieurs types d'essais : 1 - essai rapide : non consolidé, non drainé : UU (unconsolidated, undrained) pendant lequel l'eau ne peut s'échapper de l'échantillon et on note l'apparition de surpressions ; 2 - essai lent : CD (consolidated, drained), qui est réalisé suffisamment lentement pour que la pression interstitielle soit toujours nulle.

G.5.1 Coefficients de pression interstitielle Avant de décrire les différents essais, nous allons examiner ce qu'il se passe du point de vue des variations volumiques au cours d'un essai non drainé. L'état initial de l'échantillon est un état ou : 99


σ1 σ '1 les contraintes totales sont : σ 2 et les contraintes effectives σ ' 2 . σ3 σ '3 ∆σ 1 Au cours de l'essai, l'application d'une variation de contrainte : ∆σ 2 se traduit en contraintes ∆σ 3 ∆σ '1 = ∆σ 1 − ∆u

effectives par : ∆σ ' 2 = ∆σ 2 − ∆u la variation de volume correspondante, si on considère que ∆σ ' 3 = ∆σ 3 − ∆u le matériau est isotrope et élastique peut s'écrire : ∆σ '1 ν ⋅ ∆σ ' 2 ν ⋅ ∆σ ' 3 ν ⋅ ∆σ '1 ∆σ ' 2 ν ⋅ ∆σ '3 ν ⋅ ∆σ '1 ν ⋅ ∆σ ' 2 ∆σ ' 3 ∆V = ε1 + ε 2 + ε 3 = − + + + − + + + − V E E E E E E E E E

∆V ⎛ 2ν − 1 ⎞ =⎜ ⎟ ⋅ (∆σ '1 + ∆σ ' 2 + ∆σ ' 3 ) V ⎝ E ⎠

Le module de déformation volumique K du matériau est égal à : K =

E donc 3(1 − 2ν )

∆V ⎛ − 1 ⎞ =⎜ ⎟ ⋅ (∆σ '1 + ∆σ ' 2 + ∆σ ' 3 ) V ⎝ 3K ⎠

Si on fait l'hypothèse que les grains solides du matériau sont indéformables, la variation de volume se traduit par une variation de porosité qui entraîne une variation de pression interstitielle. Pour un matériau saturé : ∆Vvide ∆V ∆u avec K module de déformation volumique de l'eau. w = =− Vvide n ⋅V Kw

donc ∆V = −n ∆u V

Kw

En écrivant l'égalité des équations de variation de volume : ∆u 1 1 1 1 1 = ⋅ (∆σ '1 + ∆σ ' 2 + ∆σ ' 3 ) = ⋅ (∆σ 1 + ∆σ 2 + ∆σ 3 ) − ⋅ (∆u + ∆u + ∆u ) = ⋅ (∆σ 1 + ∆σ 2 + ∆σ 3 ) − ⋅ (∆u ) K w 3K 3K 3K 3K K (∆σ 1 + ∆σ 2 + ∆σ 3 ) 1 ∆u = ⋅ K 3 1+ n Kw n

Au cours d'un essai triaxial à symétrie de révolution : ∆σ 2 = ∆σ 3 on peut donc écrire : ∆σ 1 + ∆σ 2 + ∆σ 3 = ∆σ 1 + 2∆σ 3 = 3∆σ 3 + (∆σ 1 − ∆σ 3 ) d'où

∆u =

1 ⎡ ⎤ ⋅ ∆σ + ( ∆σ 1 − ∆σ 3 ) ⎥ ou ∆u = B ⋅ ⎡⎣ ∆σ 3 + A ( ∆σ 1 − ∆σ 3 ) ⎤⎦ K ⎢⎣ 3 3 ⎦ 1+ n Kw 1

A et B sont les coefficients de pression interstitielle ou de Skempton, car c'est ce dernier qui les a introduits pour la première fois en 1954. 100


L'expérience montre que quand les terrains sont saturés B est égal à 1 (ce qui est prévisible si on remarque que K << Kw). Par contre les valeurs de A sont extrêmement variables et un des objectifs de l'essai triaxial peut être de mesurer sa valeur au moment de la rupture. Dans les terrains non saturés, il est plus judicieux de séparer les 2 coefficients et on écrit plutôt : ∆u = B ⋅ ∆σ 3 + A ( ∆σ 1 − ∆σ 3 )

G.5.2 les essais UU (unconsolidated, undrained) Les essais UU peuvent être effectués à l'appareil triaxial ou éventuellement à la boîte pour des sols de faible perméabilité. Ils se déroulent en deux étapes : 0 - Mise en place de l'échantillon σ1 = 0

σ' 1 = -u0

σ3 = 0

σ'3 = -u0

u = u0

σ

u

σ'

Figure G-13 L'échantillon du sol n'étant soumis à aucune contrainte (σ3 = σ1 = 0), il est décomprimé par rapport à son état in-situ et une pression interstitielle négative s'y développe. 1 - Drainage fermé on applique σ3. σ1 = σ0

σ' 1 = -u0

σ3 = σ0

u = u0 + σ0

σ'3 = -u0

( σ'3 = cst ∀σ 0 ) σ

u

σ'

Figure G-14 2 - On augmente σ1 à σ3 constante et on mesure u

101


σ1 = σ0 + ∆σ1

σ'1 = -u0 - f(∆σ1) + ∆σ 1 u = u0 + σ0 + f(∆σ 1) σ3 = σ0

σ' 3 = -u0 - f(∆σ 1)

u

σ

σ'

u

Figure G-15 Cet essai est très rapide ; il s'effectue en une dizaine de minutes. Dans cet essai l'application de la pression radiale σr ou σ3 va se traduire par une augmentation de la pression interstitielle ∆u ; ce qui signifie que, quelle que soit la contrainte de confinement σ3 appliquée, la contrainte effective radiale σ'3 est toujours la même à l'étape 1, pour des échantillons initialement dans le même état (donc pour les 3 ou 4 points effectués pour caractériser le sol à un endroit donné) ou exprimé différemment σ'3 ne dépend pas de σ3 = σ0. Comme la résistance au cisaillement des sols dépend des contraintes effectives ; le déviateur σ ' l − σ ' r = σ ' 1 − σ ' 3 qui provoque la rupture dépend de σ'3 ; si σ'3 est le même σ ' 1 −σ ' 3 = σ 1 − σ 3 ne varie pas, donc les cercles, en contrainte totale, correspondant aux différentes pressions de confinement ont le même diamètre. En contrainte effective, le cercle de Mohr correspondant aux 3 cercles en contrainte totale est le même. Sur la figure ci-dessous le critère de rupture en contrainte effective est schématisé (pour pouvoir le tracer précisément il faudrait avoir mesuré u), mais au cours d'un essai UU, comme on n'obtient qu'un seul cercle en contrainte effective, il est impossible d'en déduire les caractéristiques effectives (il y a une infinité de droites tangentes à un seul cercle !). τ

τ

ϕ'

cu σ σ3

σ3

σ1

σ3 σ1

σ1

c'

σ' σ'3

a - Contraintes totales

σ' 1

b - Contraintes effectives

Figure G-16 : Représentation de l'état de contrainte au cours d'essais UU Les essais non drainés permettent de définir une cohésion apparente cu (u pour undrained) à partir des états de contraintes exprimés en contraintes totales. Théoriquement, si l'échantillon est saturé, comme les cercles de Mohr correspondant à la rupture ont un diamètre équivalent, l'angle de frottement ϕu est nul.

G.5.3 les essais CD (consolidated, drained) Ces essais permettent d'obtenir des paramètres mécaniques caractéristiques du comportement à long terme. Les étapes de l'essai sont les suivantes : 102


0 - Mise en place de l'échantillon 1 - drainage ouvert on applique σ3 et on attend que la surpression interstitielle se dissipe (jusqu'à u = 0). 2 - on augmente σ1 à σ3 constante, drainage ouvert pour avoir toujours u = 0 jusqu'à rupture de l'échantillon. Cet essai est relativement long et peut durer plusieurs jours La courbe intrinsèque permet d'obtenir les caractéristiques cd et ϕd ou c' et ϕ'.

τ

ϕ'

c'

σ' Figure G-17 : τ = c' + σ ' tg ϕ'

En résumé : UU

ϕu ≈ 0

cu

court terme

CD

ϕd

cd

long terme

L'essai CD est long. Il peut durer plusieurs semaines si la perméabilité de l'échantillon est faible. Il existe un essai hybride CU (consolidé, non drainé)

G.5.4 les essais CU (consolidated, undrained) 0 - Mise en place de l'échantillon 1 - Drainage ouvert : on applique σ3 et on attend que la surpression interstitielle se dissipe (jusqu'à u = 0). 2 - on augmente σ1 à σ3 constante, drainage fermé (et on mesure u) jusqu'à rupture de l'échantillon. L'essai CU ne dure que de quelques minutes à quelques heures.

103


G.5.5 Caractéristiques au pic, caractéristiques résiduelles. Pic

τ

Résiduel

σ'

Figure G-18 : résistance au pic, résistance résiduelle

G.6 Résistance au cisaillement d'un sable : Essais triaxiaux ou à la boîte montrent que la courbe intrinsèque passe par l'origine : C = 0 ϕ : angle de frottement interne (ϕ dépend du coefficient de frottement entre les grains ) Si on déverse du sable à partir d'un point ; il se forme un cône. Quand la pente devient plus abrupte, les particules β glissent ou roulent et le tas prend finalement une pente d'angle stable : angle au repos. Cet angle au repos Figure G-19 : angle d'un "tas" de sable représente l'angle de frottement interne du matériau granulaire dans son état le β : angle au repos du sable plus lâche. ϕ≠β L'angle de frottement interne, ϕ, varie avec la compacité : ϕ est proportionnel à 1/e Caquot et Kérisel ont proposé la loi empirique suivante : tan ϕ =

K avec les valeurs de K e

Nature du sol Valeur du coefficient K Gros sable

0,60 à 0,55

Sable Moyen

0,55 à 0,475

Sable Fin

0,475 à 0,400

Sable silteux

0,400 à 0,325

Tableau G-1 : Valeur du coefficient K de proportionnalité entre la tangente de l'angle de frottement et l'inverse de l'indice des vides Le cisaillement d'un sol pulvérulent s'accompagne d'une variation de son volume (dilatance ou contractance). Pour un sable lâche ou peu compact il y a diminution de volume (contractance), alors que les sols compact ou dense voit leur volume augmenter (dilatance). La variation de volume dépend donc de l'état du sable (lâche ou serré) i.e. de la compacité relative. La compacité tend vers une même valeur limite appelé indice des vides critique (ecr)quand la déformation croit. Cette notion d' indice des vides critique permet d'expliquer le 104


comportement des sables fins saturés soumis à des sollicitations cycliques.

G.7 Equilibre limite Dans la suite du cours, pour le calcul d'ouvrage, il sera fait référence à la notion d'équilibre limite.

G.7.1 Coefficient des terres "au repos" x

y

γ

z

x

Considérons un massif infini de poids volumique γ, limité par une surface horizontale et soumis à l'action de la pesanteur. D'après la symétrie du problème, les contraintes totales σx et σz sont principales et τxz = 0. Nous pouvons écrire les équations d'équilibre :

x

∂σ x σ x = f (z ) =0 ∂x d'où ∂σ z =γ σz =γ ⋅z ∂z

M

Figure G-20 : massif infini

La contrainte verticale σz ou σV est donc connue et égale à γz. Pour obtenir la contrainte horizontale σx ou σH il faudrait connaître la loi de comportement du sol. Si on suppose que le milieu est infini dans les directions x et y, la déformation horizontale est nulle. On en déduit que σH est fonction du coefficient de poisson ν ( σ H = f (ν ) ). Si le terrain était élastique comme ε H =

σ H = σV

ν

σH E

−

1 (σ H + σ V ) υ et comme ε H = 0 , on aurait : E

1 −ν

σ'V σ'H u= 0

εH = 0

σ'H

Lors d'un essai triaxial drainé (u = 0 au cours de l'essai), dans lequel on augmente la contrainte σ'H, de telle sorte que la déformation horizontale reste nulle( ε H = 0), on constate que la contrainte effective horizontale est proportionnelle à la contrainte effective verticale. Le rapport entre la contrainte effective horizontale et la contrainte effective verticale est appelé coefficient de σ' pressions des terres "au repos". On note : K 0 = H . σ 'V

Figure G-21 En général, pour les sols, ce rapport est inférieur à 1 sauf pour des sols très surconsolidés. Pour les terrains ayant subi une succession de phases tectoniques, ce rapport est très variable et peut être supérieur à 1. Le comportement des terrains au cours des phases de sédimentation et lors de leur histoire ultérieure n'étant pas élastique, le rapport entre contrainte horizontale et verticale ne peut généralement pas être assimilé à

ν

1 −ν

.

105


Attention : K 0 =

σ ' H σ H σ ' H +u ≠ = σ 'V σ V σ 'V +u

Pour les sables Il existe une relation empirique (formule de Jacky) liant la valeur de K0 à l'angle de frottement interne : K0 = 1 − sin ϕ Type de sol Sable lâche Sable compact Argile normalement consolidée Argile surconsolidée

Valeur de K0 0,45 à 0,50 0,40 à 0,45 0,50 > 0,5

Tableau G-2 : Coefficient K0 pour quelques type de sols (d'après Schlosser) G.7.2 Poussée et butée pour un sol sans cohésion G.7.2.1 Poussée Considérons, comme précédemment, un massif de sable (sans cohésion) infini de poids volumique γ, limité par une surface horizontale et soumis à l'action de la pesanteur. Dans le cas où il n'y a pas de possibilité de déplacement latéral, à la profondeur z:

τ τ = σn tg ϕ

C B σ'H

ϕ

σ

A σ'V

n

σ 'V = γz (point A) σ ' H = K 0γz (point B) Figure G-22 : cercle de Mohr et équilibre inférieur Si on permet au sol une expansion latérale ε H > 0 ; la contrainte σ'H diminue jusqu'à atteindre l'équilibre limite ou le cercle de Mohr devient tangent à la droite limite de Mohr-Coulomb (point C). La contrainte effective verticale reste constante et égale à σ 'V = γz = cste .

x

Figure G-23 Lorsque la contrainte effective horizontale est en C, il y a plasticité du sol, en tous les points du sol, mais les plans de plasticité (ou plans de glissement, appelés aussi lignes de glissement si l'on raisonne en 2 dimensions) ont une orientation particulière par rapport aux contraintes σ' principales qui restent σ'H et σ'V. Le rapport H peut également être évalué. σ 'V

106


On peut montrer que ces plans font un angle de :

π /4

•

π + ϕ par rapport à σ'H ; 4 2

σ'V

•

π − ϕ par rapport à σ'V. 4 2

−ϕ /2

σ' H π/4+ϕ/2

Expansion

Cet état est appelé équilibre limite inférieur ou équilibre limite de poussée ou encore équilibre limite actif Plans de glissement

Figure G-24 : équilibre limite inférieur On peut montrer que

σ ' H 1 − sin ϕ = = tg 2 ⎛⎜ π − ϕ ⎞⎟ = K a 2⎠ ⎝ 4 σ 'V 1 + sin ϕ

Ka est appelé coefficient de poussée

G.7.2.2 Butée Si à partir d'un sable à l'équilibre, au lieu de permettre au sol de se dilater, on le contracte ; la contrainte σ'H augmente, devient supérieure à σ'V jusqu'à atteindre un état d'équilibre limite ou le cercle de Mohr devient tangent à la droite limite de MohrCoulomb (point D). La contrainte effective verticale reste toujours constante et égale à σ ' V = γz = cste .

τ

τ = σn tg ϕ

C B σ'H

ϕ

A σ'V

D

σn

Figure G-25 : équilibre passif (butée)

107


La contrainte horizontale devient la contrainte majeure. Dans ce cas on atteint l'état d'équilibre limite supérieur ou équilibre limite de butée ou encore équilibre limite passif.

σ'V

π/4

/2 +ϕ

(contrainte majeure) σ'H π/4−ϕ/2 Contraction Plans de glissement

Figure G-26 : équilibre limite supérieur

σ 'H = tg 2 ⎛⎜ π + ϕ ⎞⎟ = 1 = K p ; Kp est appelé coefficient de poussée 2⎠ Ka ⎝ 4 σ 'V Remarques : 1) Dénomination poussée, butée : Considérons une excavation de hauteur H et un mur de soutènement. Examinons l'état du sol derrière ce mur. Si ce mur se déplace : - vers le vide, l'état de poussée (le sol est en poussée) sera atteint pour des déplacements de l'ordre de H/1000 à H/10000 (cf. Filliat).; - vers le massif, l'état de butée (sol en butée) sera atteint pour des déplacements de l'ordre de H/10 à H/50 (cf. Filliat).

Déplacement (H/1000) Poussée

H

Déplacement (H/10) Butée

F

Figure G-27 : Poussée – Butée

2) Des essais réalisés en laboratoire ont montré qu'une déformation horizontale faible, de l'ordre de 1% pouvait conduire à un état de poussée. Par contre l'état de butée est atteint pour une déformation horizontale plus importante : 4% pour un sable dense, 12% pour un sable lâche (d'après Schlosser).

G.7.3 Poussée et butée pour un sol avec cohésion Nous avons vu que pour un sol sans cohésion : K a = tg 2 ⎛⎜ π − ϕ ⎞⎟ 2⎠ ⎝ 4 K p = tg 2 ⎛⎜ π + ϕ ⎞⎟ = 1 Ka 2⎠ ⎝ 4

Si le sol est cohérent et frottant, les cercles de Mohr sont identiques à un cas sans cohésion à près. une translation de H = c' tgϕ ' On peut considérer que l'état : 108


- sans cohésion : (σ ' H )c '=0 et (σ 'V )c '=0 correspond à l'état - avec cohésion : (σ ' H )c '≠ 0 = (σ ' H )c '=0 + H et (σ 'V )c '≠ 0 = (σ 'V )c '=0 + H avec H = c' Donc et Pour

tgϕ '

σ 'H +H

= tg 2 ⎛⎜ π − ϕ ⎞⎟ = K a 2⎠ ⎝ 4 σ 'V + H a

σ 'H p +H

= tg 2 ⎛⎜ π + ϕ ⎞⎟ = K p 2⎠ ⎝ 4 σ 'V + H

un massif frottant σ 'Ha = K aσ 'V −2c' K a

et

cohérent

on

aboutit,

après

calcul,

à

:

σ ' Hp = K pσ 'V + 2c ' K p Cette analogie entre un sol cohérent et un sol "équivalent" sans cohésion est connue sous le nom de "théorème des états correspondants".

G.7.4 Poussée et butée pour un massif inclinée Si le sol n'est plus horizontal, mais forme une surface d'angle β avec l'horizontale, les contraintes horizontale et verticale ne sont plus principales. La poussée et la butée seront définies par la contrainte p qui s'exerce sur un plan vertical à la profondeur z dans l'état de poussée ou l'état de butée de butée. Si l'on s'intéresse à l'état de contraintes sur un écran vertical rugueux, l'inclinaison δ et la valeur de la contrainte sur cette surface dépend de l'angle de frottement entre le sol et l'écran. L'écriture des équations d'équilibre et du critère de Mohr-Coulomb conduit à une équation différentielle dont les solutions numériques ont été établit par différents auteurs. On pourra, par exemple se référer aux tables établies par Caquot et Kérisel (cf. § L.4.3 page 186)

G.7.5 Equilibre limite d'un massif soumis à une charge Les fondations vont transmettre la charge d'un ouvrage au terrain de fondation, il est donc nécessaire de s'interroger sur la capacité du sol à résister et sur la contrainte limite qui peut lui être appliquée. Supposons un sol de cohésion c et d'angle de frottement φ. (c, φ) représente (cu, φu) si le calcul est effectué à court terme et (c', φ') si on s'intéresse à l'équilibre à long terme. On se propose d'évaluer la contrainte limite p que l'on peut appliquer sur une largeur AB d'un massif infini, homogène et horizontal. On suppose que le problème est bidimensionnel ; c'est-à-dire que la contrainte p s'étend à l'infini dans la 3ème dimension.

p A

B

Figure G-28

Le problème a été résolu par Prandl, pour un massif infini, horizontal, non pesant, un sol pulvérulent de cohésion nulle (c = 0) et d'angle de frottement φ, chargé à sa surface par 2 répartitions uniformes p et q. Prandl a montré que :

109


p

q A

G Butée

B

π/4−ϕ/2

E π/2+ϕ

F

π/2+ϕ

Sol non en rupture C

D

Spirale logarithmique

Figure G-29 -

il se forme une zone en butée de part et d'autre de p, dans laquelle les lignes de glissement sont des droites au voisinage de la surface ;

-

la zone triangulaire ABC est en poussée et les lignes de glissement sont des droites ;

-

entre ces deux zones, les zones CBD et AFC sont intermédiaires, les lignes de glissement issues de B (respectivement A) sont des droites (concourantes en B ou A) et la deuxième famille de lignes de glissement sont des spirales logarithmiques ; l'angle entre les deux familles étant toujours constant et égal à π 2 + ϕ ;

-

le sol n'est en rupture qu'au-dessus de la ligne GFCDE ;

-

la valeur maximale pouvant être atteinte par p, celle provoquant la rupture du sol est :

110

(

)

p = q ⋅ N q (ϕ ) avec Nq = tg 2 π 4 + ϕ 2 ⋅ eπ ⋅tg (ϕ )

H Principe des calculs aux d'états limites Dans la suite de ce polycopié nous nous intéresserons aux ouvrages constitués de terrains ou en interaction avec les terrains. Les réglementations actuelles, en particulier celles relatives aux fondations se réfèrent à la notion d'états limites pour effectuer les calculs justificatifs des constructions. La réglementation européenne concernant le calcul et la conception des ouvrages est actuellement en cours d'élaboration. Connue sous le nom d'EUROCODE, cette réglementation est traitée à travers plusieurs textes regroupés par type d'ouvrages (béton, acier mixte, bois, géotechnique…) mais reposant tous sur la même démarche de vérification des ouvrages, démarche qualifiée de "semi-probabiliste". Cette démarche est codifiée dans l'Eurocode 1, Partie 1. L'Eurocode relatif à la géotechnique est l'Eurocode 7. Il est établi actuellement à titre de norme provisoire (ENV, dans le "Jargon " normatif Européen)

H.1 La démarche semi-probabiliste La démarche semi-probabiliste consiste à définir les états limites, c'est à dire les situations que l'on veut éviter et à choisir pour la construction des dispositions telles que la probabilité de chaque état limite soit suffisamment petite pour être acceptable. En géotechnique deux groupes de problèmes sont examinés : la stabilité et les déformations. Elle se traduit par des règles introduisant la sécurité au moyen de : -

valeurs représentatives des actions et des résistances

-

de coefficients partiels de sécurité

-

de marges introduites dans les modèles de calcul utilisés

La justification du dimensionnement des ouvrages consiste à s'assurer, pour un certain nombre d'éléments que : Ed ≤ Rd

Ed : valeur calculée de l'effet des actions (par exemple charge de calcul appliquée à une fondation) Rd : valeur calculée à ne pas dépasser : résistance, déplacement… (par exemple résistance du sol de fondation) Remarques : 1) La démarche qualifiée de classique, consistait à faire le calcul de résistance sans appliquer de coefficient de sécurité partiel, puis à diviser la résistance globale calculée par un coefficient de sécurité général. Ce concept de prise en compte "général" de la sécurité s'étant révélé insuffisant, la notion de coefficient de sécurité partiel a été introduite. 2) La démarche probabiliste consisterait à calculer la probabilité de ruine d'un ouvrage. Cela nécessiterait l'analyse de l'ensemble des facteurs aléatoires qui interviennent dans la conception de l'ouvrage. Elle est quasiment impossible à réaliser, car on ne connaît pas la loi de variation de tous les facteurs. La simple définition, par exemple, d'une moyenne et d'un écart type sur la cohésion et l'angle de frottement pose déjà un problème. Prise en compte de la sécurité : La démarche semi-probabiliste "répartit" la sécurité en trois parties : 111


-

Des valeurs qualifiées de "caractéristiques" sont utilisées pour les différentes actions et résistances. Ces valeurs devraient logiquement correspondre à une probabilité fixée (si on connaissait la densité de probabilité), elles sont plus souvent les valeurs "acceptées" par la profession ou utilisées pour les contrôles (cf. § H.4.2) ;

-

Les actions et les propriétés des matériaux sont pondérés par l'utilisation de coefficients de sécurité partiels γ : γG et γQ pour les actions, γM pour les matériaux (cf. § H.4.3) ;

-

Des coefficients de modèles γd, sont introduits (ils peuvent prendre en compte, par exemple, une "erreur" systématique liée à la méthode de calcul).

H.2 Notion d'état limite Les réglementations récentes reposent sur la notion d'état limite. Un état limite est une situation que l'on veut éviter (par exemple une déformation trop importante, une fissuration dans le matériau, une rupture…). On distingue les états limites de service (ELS) et les états limites ultimes (ELU). Les états limites de service (ELS) sont les états entraînant la mise hors service de l'ouvrage, il s'agit de déformations, fissuration ou autre entraînant un "mauvais" fonctionnement de l'ouvrage. Les états limites ultimes (ELU), sont des états conduisant à la ruine de l'ouvrage. Pour une fondation, l'examen des états ultimes consiste à examiner les conditions qui conduisent à la rupture du sol de fondation ou du matériau composant la fondation. L'Eurocode7 définit les états limites de la manière suivante : "Les états limites de service sont les états au-delà desquels des critères de service précis ne sont plus satisfaits" ; ces états comprennent : -

"des déformations, des mouvements ou des déflexions qui compromettent l'aspect ou l'utilisation effective de la structure (y compris le mauvais fonctionnement des machines ou des services) ou causent des dommages aux finitions et aux éléments non structuraux ;

-

des vibrations qui causent une gêne aux personnes, des dommages au bâtiment ou à son contenu ou qui limitent son efficacité fonctionnelle".

Les états limites ultimes sont ceux "associés à la ruine, l'instabilité ou toute forme de rupture qui peut mettre en danger la sécurité des personnes" ainsi que, conventionnellement, certains états les précédant ; ces états comprennent : -

" la perte d'équilibre de la structure ou de toute partie de la structure considérée comme un corps rigide ;

-

la rupture par déformation excessive, rupture ou perte de stabilité de la structure ou de toute partie de la structure, y compris des appuis et des fondations."

Remarque : Les états limites concernent : -

le sol ;

-

Les matériaux constitutifs de la fondation.

Nous les redéfinirons plus précisément aux § H.5.2 et H.5.3.

H.3 Définition des actions Pour effectuer les calculs, il est nécessaire de lister les "charges" mises en jeu : les actions. 112


Ces actions peuvent être des forces, des moments ou des déplacements imposés. Les actions sont ensuite combinées de différentes façons, pour évaluer leurs effets sur l’ouvrage qui sont les sollicitations auxquelles peut être soumis un ouvrage (§ H.5). Les règles de combinaisons des actions sont complexes et des poids différents sont attribués aux différentes actions. Dans les Eurocodes, les actions sont classées en actions permanentes, variables et accidentelles et on note : -

G les actions permanentes (poids de la structure et des sols, action de l'eau, précontraintes…) ;

-

Q les actions variables (quai soumis à des marées, charges de circulation, action du vent, de la neige…)

-

FA les actions accidentelles (explosion, séisme, crue…)

Pour les sols la dénomination "actions permanentes" est en général réservée aux actions autres que celles dues à l'eau et on note : -

G les actions permanentes autres que les actions dues à l'eau

-

Fw actions dues à l'eau

H.3.1 Actions permanentes G Il s'agit des actions permanentes de toute nature (autre que Fw actions dues à l'eau). Par exemple : -

poids propre de la fondation

-

fraction du poids de l'ouvrage considéré comme repris par la fondation

-

poussée du sol

Ces actions peuvent être séparées-en : -

actions permanentes défavorables Gmax ;

-

actions permanentes favorables Gmin.

H.3.2 Actions dues à l'eau Fw Dans le cas des fondations, ce sont essentiellement : -

la poussée d'Archimède (calculs en contraintes effectives) ;

-

l'effet hydrodynamique des courants sur les appuis en rivière et en mer.

H.3.3 Actions variables Q Il s'agit essentiellement des charges : -

d'exploitation : surcharges routières, freinage, stockage temporaire…

-

dues aux effets climatiques : vent, neige…

H.3.4 Les actions accidentelles FA Pour les ouvrages de génie civil, il peut s'agir d'explosion, de choc de bateau ou de véhicule, de séisme, de feu. 113


H.4 Valeur des actions Les différentes actions vont être combinées avec des poids différents en fonction des situations de calcul.

H.4.1 Situation de calcul Les situations de calcul sont des combinaisons de charges et de données géométriques, physiques et mécaniques pour lesquelles on doit vérifier que l'on n'atteint pas l'état limite ultime ou de service. Par exemple, lors de l'exécution d'un ouvrage, différentes géométries seront analysées correspondant aux différentes phases d'exécution de cet ouvrage et aux différentes géométries du sol (étapes successives d'excavation, par exemple). Pour une même géométrie donnée, différents types de comportement seront examinés (long terme, court terme) et les actions permanentes, variables et accidentelles susceptibles de se produire pendant la phase des travaux seront combinées.

H.4.2 Valeurs caractéristiques et valeurs de calcul Pour un paramètre donné, il s'agit de choisir la valeur qui sera utilisée lors des calculs. Par exemple si on s'intéresse au poids volumique d'un terrain, doit-on prendre sa valeur moyenne, la valeur la plus faible, la valeur la plus forte, … ? On distingue pour les différents paramètres une valeur dite caractéristique et une valeur dite de calcul. Ces notions se rattachent à une conception probabiliste de la sécurité. La valeur caractéristique est la valeur du paramètre ayant une certaine probabilité d'être dépassée (du coté défavorable). Par exemple pour des résistances, la valeur caractéristique sera une valeur inférieure à la moyenne. La probabilité choisie dans le cadre de l'Eurocode7 est de 5%, mais encore faut-il connaître la densité de probabilité du paramètre. En géotechnique, on dispose rarement de mesures suffisantes pour effectuer une analyse statistique et la détermination des valeurs "caractéristiques" est actuellement laissée à l'appréciation de chacun. La valeur de calcul est celle qui sera utilisée pour comparer une situation de calcul par rapport aux états limites. Elle est déduite de la valeur caractéristique par application d'un coefficient γ minorateur ou majorateur suivant que l'augmentation du paramètre va dans le sens de la sécurité ou non. En géotechnique, le coefficient d'un même paramètre peut être minorateur dans certaines situations de calcul et majorateur pour d'autres situations. Pour une même situation de calcul le même paramètre peut même avoir un sens défavorable par rapport à certaines actions et un sens favorable par rapport à d'autres. La conduite à adopter dans ce cas n'est pas encore clairement définie par les règlements !

H.4.3 Coefficients partiels γ Les coefficients partiels sont des facteurs minorateurs ou majorateurs qui sont appliqués aux valeurs caractéristiques des actions et des propriétés des matériaux pour en déduire des valeurs de calculs. Cette manière de procéder remplace la manière antérieure qui consistait à appliquer un coefficient de sécurité unique sur les résultats d'un calcul global.

114


H.5 Combinaison d'actions et sollicitations Les sollicitations (S) dans les différents éléments de la fondation sont calculées à partir des actions appliquées à l'ouvrage. Une construction est soumise aux effets simultanés de plusieurs actions. Quand certaines de ces actions sont variables, il s'agit de déterminer comment elles se combinent car si elles étaient prises en compte simultanément avec leur valeur caractéristique, la probabilité d'une telle occurrence serait très faible. Des coefficients de combinaisons d'action ont donc été introduits. Nous avons listé au § H.3 les différents types d'action. Les différents types de sollicitations et les valeurs à prendre en compte sont définies dans les règlements. Actuellement, tant que l'Eurocode 7 n'est pas une norme, les calculs de fondations sont "régis par un certain nombre de textes réglementaires" : -

Pour les ouvrages de génie civil il s'agit du Fascicule n°62- Titre V : Règles Techniques de conception et de calcul des Ouvrages de Génie Civil Cahier des clauses techniques générales applicables aux marchés publics de travaux. mars 1993

-

Pour les bâtiments : -

DTU (Document Technique Unifié) 13.12 : Règles pour le calcul des fondations superficielles (mars 1988)

-

DTU 13.2 : Fondations profondes pour le bâtiment (septembre 1992)

Dans ce qui suit nous donnons les combinaisons préconisées par le fascicule n°62- Titre V. Remarque : Dans ce fascicule, les aspects spécifiques au comportement des roches ne sont pas abordés.

H.5.1 Combinaison d'actions Les actions sont caractérisées par différentes valeurs représentatives : - pour les actions permanentes, la valeur caractéristique est : Gk - pour les actions variables : • les valeurs caractéristiques sont notées Qik (valeur caractéristique de l'action Qi) • les valeurs de combinaisons : ψ 0i ⋅ Qik • les valeurs fréquentes : ψ 1i ⋅ Qik • les valeurs quasi permanentes : ψ 2i ⋅ Qik Les sollicitations, actions et réactions sont combinées selon différentes règles. Globalement la ⎡ ⎤ combinaison sera du type : γ d ⎢∑ γ GMax G Max ,k + ∑ γ GMin G Min ,k + ∑ γ iQ ⋅ψ io ⋅ Qik ⎥ . ⎣ ⎦ γd : coefficient de modèle ; γGmax : coefficient partiel appliqué aux actions permanentes défavorables (ce coefficient est supérieur à 1); Gmax,k : valeur caractéristique des actions permanentes défavorables ; γGmin : coefficient partiel appliqué aux actions permanentes favorables (ce coefficient est inférieur à 1) ; 115


Gmin,k : valeur caractéristique des actions permanentes favorables ; γiQ : coefficient partiel appliqué à l'action variable i ΨQ0 : coefficient de combinaison d'actions; Qik : valeur caractéristique de l'action variable Qi ; L'ouvrage sera dimensionné en fonction de la combinaison la plus défavorable. Remarques : -

les coefficients ψ ij permettent de tenir compte du fait que les actions variables ne vont pas toutes s'appliquer en même temps.

-

Les sollicitations sont les "charges" appliquées à l'ouvrage résultant des actions (par exemple la présence d'un remblai à proximité de la fondation est une "action" qui va entraîner une surcontrainte latérale sur la fondation : une sollicitation)

H.5.2 Etats limites ultimes Il s'agit d'éviter les ruptures catastrophiques Les actions sont combinées suivant 2 modes :

H.5.2.1 Combinaisons fondamentales : Le calcul à l'état limite Ultime est réalisé avec la combinaison d'actions suivantes, dite combinaison fondamentale. Les coefficients utilisés dans cette formule, sont ceux du "Fascicule n°62- Titre V", ils sont susceptibles d'être modifié par l'application des Eurocodes. ⎧ ⎫ 1,125 ⋅ S ⎨1,2 ⋅ Gmax + 0,9 ⋅ Gmin + γ GwGw + [γ snGsn ] + γ spGsp + γ Fw Fw + γ F 1Q1Q1k + ∑1,15ψ 0iQik ⎬ i >1 ⎩ ⎭ Gmax

actions permanentes défavorables

Gmin

actions permanentes favorables

Gw

actions des pressions statiques de l'eau

Gsn

action éventuelle du frottement négatif

Gsp

action éventuelle de poussée latérale

Fw

actions hydrodynamiques

Q1k

valeur caractéristique de l'action variable de base (charge d'exploitation)

ψ 0i Qik valeur de la combinaison d'une action variable d'accompagnement (i>2) ψ 0i

vaut 0,77 dans les cas courants

Les différents paramètres γ sont des coefficients de sécurité partiels dont la valeur est définie dans la réglementation. Par exemple : γFw

vaut 1,2 ou 0,9 sa valeur étant choisie de manière à obtenir l'effet le plus défavorable.

γF1Q1

vaut, en général, 1,33

Les combinaisons fondamentales correspondent à une probabilité d'occurrence très faible.

116


H.5.2.2 Combinaisons accidentelles Il s'agit de combinaisons d'actions provenant de phénomènes rares : séismes, chocs, explosions. Les sollicitations de calcul S sont : ⎧ ⎫ S ⎨G + Fw + FA + ψ 11Q1k + ∑ψ 2i Qik ⎬ i >1 ⎩ ⎭

ψ 11Q1k valeur fréquente d'une action variable Q1 ψ 2i Qik valeur quasi permanente d'une action variable Qi H.5.3 Etats limites de services Il s'agit d'examiner les déplacements, déformations, fissuration ou autre entraînant la mise hors service de l'ouvrage. Les combinaisons d'actions utilisées sont : -

⎧ ⎫ combinaisons rares S ⎨G + Fw + Q1k + ∑ψ 0i Qik ⎬ i >1 ⎩ ⎭

-

⎧ ⎫ combinaisons fréquentes S ⎨G + Fw + ψ 11Q1k + ∑ψ 2i Qik ⎬ i >1 ⎩ ⎭

-

⎧ ⎫ combinaisons quasi-permanentes S ⎨G + Fw + ∑ψ 2i Qik ⎬ i >1 ⎩ ⎭

Pour le premier type de combinaisons on pourra accepter qu'elle conduise à des désordres limités, pour les 2 autres, on n'accepte pas les désordres pouvant résulter de ces combinaisons.

117

I

Stabilité de talus

I.1 Introduction Ce chapitre concerne l'étude de l'équilibre mécanique d'une masse de terrain (sol ou roche) mise en mouvement soit naturellement, soit par l'action de l'homme.

I.1.1

Présentation des problèmes

Différents problèmes de talus peuvent se présenter : - les pentes naturelles, dont l'état actuel résulte d'une histoire géologique ; - les pentes artificielles : • Déblais (entaille du matériau en place) : routes et autoroutes, carrières, mines… • Remblais - routes et voies ferrées - stockage de produits (Centre Technique d'Enfouissement, terrils constitués de stériles de mines…) - barrages en terre Pour les zones en remblai, il est nécessaire d'étudier la stabilité des pentes mais également l'assise de ce remblai (tassement, résistance au poinçonnement…) Les problèmes de stabilité de talus pourront être : - temporaires ; - définitifs (durée de vie humaine) ; - évolutifs (comme dans le cas des mines à ciel ouvert).

I.1.2

Importance des problèmes de stabilité

Les instabilités de versants entraînent des risques pour les personnes : risques pour leur vie et pour les constructions. Régulièrement des accidents graves sont dus à des glissements de terrain (ex: Armero en Amérique du sud en 1985). Les instabilités de pentes ont également des conséquences économiques et financières. Au moment de l'excavation ou du remblai, le coût augmente quand on diminue les pentes. En effet une diminution de pente de talus lors d'un creusement pour une route ou une carrière entraînera (cf. Figure I-1) : - une augmentation de l'emprise et par conséquent un achat de terrain plus important (coûts d'expropriation) ; - une augmentation du volume de terrassement (pour les déblais).

zone minéralisée ou d'implantation d'une route, voie ferrée…

Figure I-1 119


Remarque : Dans le cas des mines à ciel ouvert (MCO) on utilise souvent le rapport volume extrait pour caractériser le gisement. Dans les mines de volume de minerai exploité volume de "Terre" extrait T charbon, ce rapport est noté = . C volume de Charbon exploité Une mauvaise évaluation des pentes lors des projets pourra entraîner des retards importants dans les travaux et des coûts de confortement bien supérieurs à ceux qui auraient été liés à une diminution de pente.

I.2 Description des glissements de terrain Il existe de nombreuses classifications des glissements de terrain basées sur différents critères (nature de la roche, cinématique du mouvement, vitesse du mouvement, morphologie de la surface de rupture, cause de la rupture…). Nous ne décrirons dans ce paragraphe que celles basées sur la cinématique du mouvement et la morphologie de la surface de rupture.

I.2.1

Vitesse et durée des mouvements

L'évolution dans le temps d'un "glissement" de terrain peut conduire à distinguer 4 familles qui se différencient par la "brutalité" du phénomène : -

les écroulements ;

-

les glissements ;

-

les fluages ;

-

les coulées.

I.2.1.1 Les écroulements Les écroulements sont caractérisés par une chute soudaine de masses de terrain. L'écroulement typique est l'effondrement d'un pan de falaise. Ce phénomène peut être dû, par exemple, à l'érosion des couches sous-jacentes (cf. Figure I-2). Les matériaux concernés par des écroulements sont plutôt des terrains rocheux.

zone en surplomb susceptible de s'écrouler couche "dure" couche "tendre"

Figure I-2 I.2.1.2 Les glissements Ces mouvements ont généralement lieu dans des terrains plus meubles que ceux affectés par les écroulements ; leur étude relève plutôt de la mécanique des sols. L'échelle de ces mouvements est variable, mais ils peuvent affecter plusieurs km2. Les glissements peuvent 120


être plans ou rotationnels (surface de glissement grossièrement circulaire en deux dimensions et ellipsoïdale en trois dimensions). Les glissements sont caractérisés par une surface de rupture définie et identifiable. Leur phase de paroxysme (mouvements importants) dure de quelques heures à plusieurs semaines et est généralement précédée d'une phase de "préparation", pendant laquelle le terrain subit des mouvements lents. Le paroxysme est généralement lié à une cause mécanique (suppression d'une butée de pied, augmentation de la pente, modification du régime hydraulique).

I.2.1.3 Le fluage Le fluage est caractérisé par des mouvements lents et continus, mais à des vitesses faibles. Dans le cas de fluage, il est difficile de mettre en évidence une surface de rupture. Le mouvement se produit généralement sans modification des efforts appliqués (contrairement aux glissements) : en fait le matériau est sollicité à un état proche de la rupture. Ce type de mouvement peut : soit se stabiliser, soit évoluer vers une rupture.

I.2.1.4 Les coulées Les coulées sont des mouvements dont le comportement mécanique est plus proche de celui de matériaux transportés par l'eau, que des glissements. Souvent ce sont les matériaux issus de glissements qui alimentent les coulées en présence d'une quantité importante d'eau (liée à la présence d'une rivière, d'un torrent ou à des précipitations importantes). Les coulées sont caractérisées par : - des matériaux meubles, hétérogènes à matrice argileuse - un déclenchement du phénomène lié au dépassement d'une teneur en eau critique qui rend le matériau semi-fluide ; - des distances de déplacement importantes et des vitesses qui peuvent être extrêmement élevées. Les coulées peuvent concerner des matériaux sensibles (comme les argiles sensibles de Scandinavie ou du Canada)

I.2.2

Forme de la surface de rupture

La forme des surfaces de rupture dépend beaucoup des caractéristiques du matériau. Dans les terrains plutôt rocheux, les surfaces de glissement seront liées aux surfaces de discontinuité (cf. § C.1 p47) Dans des terrains plus meubles et homogènes, les surfaces de rupture seront grossièrement des cercles en deux dimensions ou des ellipsoïdes en trois dimensions. Dans des terrains hétérogènes, les surfaces de rupture pourront être une combinaison de surfaces circulaires et planaires, mais cela pourra être une forme quelconque. La surface de rupture, d'une manière générale, passera par les zones de terrain dont les caractéristiques sont les plus faibles.

I.3 Méthodes de calcul de la stabilité des pentes I.3.1

Eléments de base du calcul

Toutes les méthodes de calcul de stabilité nécessiteront de connaître : - la géologie : nature des terrains et éléments sur les discontinuités ; - les propriétés mécaniques des terrains et/ou des discontinuités ; 121


- la géométrie en 2 ou 3 dimensions du talus ; - les conditions hydrodynamiques (hauteurs d'eau et écoulements) ; - les projets et les risques (le talus projeté ne sera pas le même s'il s'agit d'une mine à ciel ouvert ou des abords de la cour de récréation d'une école !). Deux familles de calculs peuvent être réalisées. - Calculs après glissement (étude a posteriori) Il s'agit dans ce cas de comprendre et d'analyser le glissement (notamment pour éviter qu'il ne se reproduise d'autres glissements dans les mêmes conditions). On va chercher à améliorer la situation de manière à avoir une sécurité acceptable. Dans ce cas de figure la géométrie de la surface de rupture est connue (au moins partiellement) et, puisqu'il y a eu rupture, cela signifie que les terrains avaient atteint leur état limite à la rupture. Le coefficient de sécurité est de 1. - Calculs a priori On ne connaît pas, a priori, la géométrie la plus critique, ni la surface la plus défavorable dans ce cas. L'objectif du calcul va être de déterminer la surface de glissement, qui, parmi l'infinité de surfaces de rupture envisageables, sera la plus critique. Le calcul va donc consister à tester le plus grand nombre de surfaces possible et à trouver par "tâtonnements" la surface la plus défavorable (nous verrons, par la suite, que la recherche ne se fait pas complètement au hasard). Chaque surface testée fera l'objet d'un calcul de stabilité qui fournira, en général la valeur d'un coefficient de sécurité F. F est le coefficient de sécurité du talus par rapport à la rupture sur la surface envisagée. Le coefficient de sécurité du site sera la plus faible des valeurs de F obtenues. La surface correspondant au coefficient de sécurité le plus faible est la surface de rupture la plus probable. Dans des calculs a priori, l'ouvrage va être dimensionné avec un certain coefficient de sécurité qui sera fonction de la situation. La stabilité recherchée et donc la valeur du coefficient de sécurité du site, sera fonction de la durée de l'ouvrage, mais aussi des risques.

I.3.2

Les méthodes de calcul

Plusieurs types de calculs sont possibles :

I.3.2.1 Les calculs à la rupture Les calculs à la rupture supposent que le terrain se comporte comme un solide rigide-plastique (ou rigide-rupture). Le critère de plasticité (ou de rupture) est défini par une loi classique (Mohr-Coulomb en général). Ce critère est atteint au niveau de la limite du volume étudié (surface de rupture potentielle). Ces méthodes incluent : - des méthodes d'analyse limite qui incluent des méthodes de borne supérieure (encore appelées méthodes cinématiques) ou de bornes inférieures ; 122

V Surface de rupture potentielle

Figure I-3


- des méthodes à l'équilibre limite. Les méthodes à l'équilibre limite sont les méthodes les plus couramment employées. Elles sont basées sur l'hypothèse que l'équilibre statique du volume étudié est assuré. En général l'écriture des équations d'équilibre conduit à un système hypostatique et les méthodes diffèrent par les hypothèses qu'elles envisagent pour résoudre le système d'équations (hypothèses sur le point d'application des forces, leur inclinaison ou leur intensité). Nous décrirons plus en détail dans la suite un certain nombre de ces méthodes. Les calculs à la rupture permettent de définir un coefficient de sécurité (cf. § I.3.3).

I.3.2.2 Les calculs en contraintes-déformations Les calculs à la rupture ne prennent pas en compte les déformations du terrain. Si les terrains sont très déformables, ce type de calcul peut s'avérer insuffisant voir erroné. Les calculs à la rupture ne permettent pas non plus d'évaluer les déformations ; ils ne permettent donc pas d'avoir des éléments pour comprendre les déplacements enregistrés sur le terrain (les déplacements enregistrés sur le terrain sont-ils significatifs d'un état proche de la rupture ou non ?). Pour répondre à ce type de questions, il faudrait connaître complètement le comportement en contraintes-déformations du terrain en tout point. Ce comportement est connu pour un certain nombre de géométries simples (tunnel circulaire par exemple) et de lois de comportement simples (élasticité linéaire par exemple). Dans le cas de géométries réelles et de terrains naturels ce comportement peut-être approché par des calculs numériques : - éléments finis, différences finies ; - éléments frontières (boundary elements) ; - éléments distincts (si le massif comporte des discontinuités). Les calculs en contraintes-déformations sont beaucoup plus lourds à mettre en œuvre que les calculs à la rupture. Ils nécessitent la connaissance des lois de comportement des matériaux et des contraintes initiales dans le massif, de plus ils ne conduisent pas à des résultats aussi faciles à analyser que les calculs à la rupture (un coefficient de sécurité), c'est pourquoi ces derniers sont encore largement utilisés. Dans la suite nous décrirons essentiellement les calculs à l'équilibre limite. Ces méthodes de calcul ne permettront pas de répondre complètement aux questions sur les déplacements (on ne pourra jamais reproduire parfaitement la géométrie, l'hétérogénéité et le comportement des terrains in situ), mais ils donneront un certain nombre d'éléments, d'indices.

I.3.3

Notion de coefficient de sécurité

Dans les paragraphes précédents nous avons introduit le terme de coefficient de sécurité. Ce coefficient est utilisé dans les calculs à la rupture. Il permet d'apprécier la marge de sécurité vis à vis de la rupture. Il existe plusieurs définitions possibles du coefficient de sécurité ; chacune présente des avantages et des inconvénients. Nous citons ci-dessous un certain nombre de ces définitions : 1- F =

τ max résistance au cisaillement maximale mobilisable = (définition de Bishop). τ résistance au cisaillement nécessaire à l' équilibre

Il faut noter qu'avec cette définition la valeur du coefficient de sécurité est une valeur ponctuelle qui va donc dépendre de la position du point M considéré le long de la surface 123


testée. 2- F =

effort résistant . effort moteur

Cette définition suppose que la surface testée est planaire. 3- F =

Moment résistant (définition de Fröhlich). Moment moteur

Cette définition suppose que la surface testée est circulaire (ellipsoïdale en 3D). 4- F=

H c Hauteur critique = H Hauteur réelle

Toutes ces définitions conduisent à des valeurs différentes pour une même géométrie, sauf dans le cas où l'on se trouve à la rupture (F=1). La définition 1 est couramment employée. Fellenius a proposé une définition voisine en considérant que l'équilibre du volume V (cf. figure VI.4) est atteint lorsque le système des forces extérieures qui lui est appliqué mobilise les fractions tgϕ/F et c/F des valeurs réelles du frottement et de la cohésion du milieu. Cette définition permet d'obtenir un coefficient de sécurité pour l'ensemble de la surface.

Surface de rupture potentielle

V M

Figure I-4 Cette définition a donc pour inconvénient de considérer que la rupture se produira simultanément en tout point, ce qui est fortement contestable dans le cas de sols fortement hétérogène et n'est pas compatible avec la notion de "rupture progressive".

I.3.4

Ruptures planes ou multiplanaires (calcul à l'équilibre limite)

Dans des terrains discontinus les surfaces de rupture potentielle les plus défavorables sont constituées par des plans ou des ensembles de plans. Si le plan passe dans une couche, les caractéristiques à prendre en compte sont les propriétés de cette couche, si le plan est une discontinuité, il faudra utiliser dans le calcul les caractéristiques mécaniques de cette discontinuité. L'écriture des équations d'équilibre conduit à estimer le coefficient de sécurité. Si la surface de rupture est constituée de deux ou plusieurs plans, le problème devra en général être examiné de manière tridimensionnelle. Le volume délimité par deux plans ne contenant pas de droite parallèle est un dièdre. Il existe des abaques permettant d'examiner un certain nombre de cas type d'équilibre de dièdre. Dans le cas de surfaces multiplanaires de forme quelconque, les calculs sont complexes. 124

Figure I-5 : Dièdre


I.3.5

Ruptures rotationelles (calcul à l'équilibre limite)

Nous avons mentionné à plusieurs reprises que, dans des terrains plutôt meubles et homogènes, les surfaces de rupture observées seront souvent circulaires en deux dimensions et ellipsoïdales en trois dimensions. La théorie du calcul à la rupture permet de montrer que pour un terrain homogène la forme théorique est en fait une spirale logarithmique (en 2 dimensions). La plupart des calculs à l'équilibre limite considèrent que le problème est bidimensionnel. Nous examinerons dans ce qui suit deux types de méthodes : une méthode dite globale qui permet de déterminer le coefficient de sécurité d'un talus homogène et isotrope et les méthodes de tranches qui permettent d'effectuer des calculs pour une géométrie plus complexe.

I.3.5.1 Méthode globale Un calcul global peut être effectué dans le cas : -

d'un terrain homogène et isotrope défini par ses caractéristiques : γ, c, ϕ et par la pression u de l'aquifère ;

-

d'un talus de hauteur H faisant un angle β avec l'horizontal.

Le coefficient de sécurité de différents cercles peut être calculé analytiquement (si des hypothèses sur la répartition des contraintes le long de la surface de rupture sont effectuées) et le coefficient de sécurité du talus est le plus faible de ces coefficients. Il existe des abaques permettant de déterminer le coefficient de sécurité et la position de la surface la plus défavorable dans ces cas simples (Méthode de Taylor ou de Biarrez).

I.3.5.2 Les méthodes des tranches I.3.5.2.1 Calcul du coefficient de sécurité d'une surface de rupture potentielle.

Les terrains sont rarement homogènes et isotropes et l'utilisation de la méthode globale est donc limitée. Les méthodes dites de tranches sont souvent utilisées. Le principe est de découper le volume étudié en un certain nombre de tranches (en général verticales).

Surface de rupture potentielle

Figure I-6 : calcul par méthode de tranches En général les surfaces de rupture considérées sont des cercles, mais certaines méthodes de tranches (Sarma, par exemple) ne nécessitent pas cette hypothèse.

125


L'équilibre de chaque tranche i est examiné en effectuant le bilan des forces :

i+1 i

- le poids de la tranche Wi ; - la réaction sur la base de la tranche Ri (cette force peut être décomposée en action normale Ni et action tangentielle Ti) ;

i-1

-Fi

Fi-1

- la pression de l'eau ui ;

Wi

- l'action des forces intertranches entre la tranche i étudiée et les tranches i-1 et i+1 : Fi-1 et Fi.

li

Examinons le problème en deux dimensions. Si le volume est découpé en n tranches (donc n-1 intertranches) :

αi

Ri

ui

Figure I-7 : Bilan des forces sur une tranche • Les inconnues sont : - Fi : intensité, inclinaison, point d'application => 3 (n-1) inconnues ; - Ri : intensité, inclinaison, point d'application => 3 n inconnues ; - le coefficient de sécurité F => 1 inconnue. Il y a donc 6n-2 inconnues. • Les équations sont pour chaque tranche : - les équations d'équilibre selon x et y et l'équilibre des moments => 3 n équations ; - le critère de rupture : relation de Mohr-Coulomb N i =

Ti tgϕ c li + => n équations ; F F

Il y a donc 4n équations. Il y a 2n-2 inconnues de plus que d'équations. Les différentes méthodes de tranches diffèrent par les hypothèses simplificatrices qu'elles adoptent pour obtenir les équations supplémentaires. Il n'est pas si simple de rajouter exactement 2n-2 équations dès lors que l'on a n tranches : certaines méthodes rajoutent plus de 2n-2 équations ou/et des hypothèses complémentaires incompatibles avec les équations de la statique… La méthode de Fellenius (dite méthode suédoise) est la méthode la plus ancienne des méthodes de tranches. La méthode de Bishop est la plus couramment utilisée. Ces deux méthodes supposent que la surface de glissement est circulaire et que le point d'application des réactions est le milieu de la tranche. • La méthode de Fellenius suppose que la résultante des forces intertranches est nulle. Dans cette méthode l'équilibre des moments dans la tranche n'est pas respecté. Le coefficient de

126


n

sécurité a pour expression : F =

∑ c ' l + (W cosα i =1

i

i

i

i

− ui li ) tgϕ i . Ce coefficient de sécurité est

n

∑W sin α i =1

i

i

le rapport du moment résistant pour l'ensemble du cercle au moment moteur (définition 3), mais on obtient la même expression en prenant le coefficient de sécurité comme le coefficient réducteur appliqué à tgφ et c et en supposant que le rapport du moment résistant au moment moteur est égal à l'unité pour le cercle de glissement envisagé (définition 1). La méthode de Fellenius conduit à une sous-estimation du coefficient de sécurité pouvant atteindre 60%. • La méthode de Bishop suppose que la résultante des forces intertranches est horizontale et n

l'expression

Ni =

du

Wi − sin α

coefficient

de

sécurité

est

:

F=

∑c'l + (N i =1

i

i

− ui li ) tgϕ '

n

∑W sin α i =1

avec

i

c ' l − ui li tgϕ ' ) F( i . cos α i 1 + tgϕ ' tgα F

(

)

La valeur de F est obtenue par itération et la valeur initiale F0 utilisée est généralement la valeur calculée par la méthode de Fellenius. La méthode de Bishop est plus "réaliste" et le coefficient de sécurité obtenu par cette méthode est supérieur à celui obtenu par la méthode de Fellenius. Un calcul de stabilité effectué par la méthode de Fellenius donne donc une valeur pessimiste du coefficient de sécurité, il va donc dans le sens de la sécurité. Ces calculs sont très longs "à la main", par contre s'ils sont traités par ordinateur, les temps de calcul sont alors relativement brefs. D'autres méthodes font des hypothèses différentes : il s'agit, entre autres, des méthodes dites de : - Janbu (ligne d'action des forces intertranches située au 1/3 de la hauteur des tranches) ; - Spencer (rapport de la composante horizontale à la composante verticale des forces intertranches constant) ; - Morgenstern et Price (rapport de la composante horizontale à la composante verticale des forces intertranches = λ.f(x)) ; - Sarma (introduction d'un paramètre supplémentaire : accélération verticale égale à Kg) - perturbations (méthode proposée par Raulin du LCPC) … I.3.5.2.2 Recherche du coefficient de sécurité du talus

Nous avons décrit dans les paragraphes précédents les méthodes de calcul du coefficient de sécurité d'une surface. Il est nécessaire de rechercher la surface présentant le plus faible coefficient de sécurité. Si on suppose que cette surface est circulaire, la recherche pourra se faire de manière systématique en faisant varier le centre du cercle aux nœuds d'une grille rectangulaire définie à l'avance et en faisant également varier les rayons des cercles. Il existe de nombreux logiciels permettant de traiter ces problèmes. Certains logiciels proposent des procédures de recherche automatique du centre du cercle le plus défavorable. Certains autres 127


sont basés sur une extension des méthodes de tranches en 3D (le volume est alors découpé en colonnes et plus en tranches). Les coefficients de sécurité tridimensionnels sont supérieurs aux coefficients de sécurité bidimensionnels.

I.3.6

Caractéristiques mécaniques à prendre en compte

La rupture d'un talus peut se produire au cours des travaux ou après un certain temps. Les études de stabilité doivent donc être effectuées, pour les sols fins, à court et à long terme. A court terme le calcul s'effectuera en contraintes totales et les caractéristiques mécaniques à prendre en compte sont celles issues d'un essai UU. A long terme le calcul s'effectuera en contraintes effectives et les caractéristiques mécaniques à prendre en compte sont celles issues d'un essai CD ou éventuellement CU (caractéristiques c' et φ'). Le rôle de l'eau est donc essentiellement dans la stabilité (ou l'instabilité des talus)… Pour un calcul a priori les caractéristiques mécaniques à considérer sont les caractéristiques maximales (au pic). Pour un glissement qui s'est déjà produit et que l'on cherche à conforter les caractéristiques mécaniques à considérer sont les caractéristiques résiduelles.

I.3.7

Choix du coefficient de sécurité

L'utilisation d'un coefficient de sécurité permet de se tenir "raisonnablement" éloigné de la rupture. Le coefficient de sécurité joue donc deux rôles : - être dans un état éloigné de la rupture. Le coefficient de sécurité est un coefficient d'assurance ; - "encaisser" les différentes causes d'imprécision et d'erreur du calcul : incertitude sur la valeur réelle des propriétés mécaniques (c et φ ), de u, de γ, imprécision du calcul pour lequel il a été nécessaire d'introduire des hypothèses simplificatrices, différence entre le problème modélisé et la réalisation pratique. Le coefficient de sécurité est donc aussi un coefficient d'ignorance. La valeur de F adoptée est par conséquent fonction des situations (assurance et ignorance plus ou moins importantes). Pour des ouvrages de Génie Civil la valeur utilisée est rarement inférieure à 1,5, elle peut être de 2 voire 2,5 (grand risque). Pour certains sites particuliers (carrières, mines à ciel ouvert, talus en cours de construction), le coefficient de sécurité peut être réduit à 1,2 ou 1,3. Dans ce cas la surveillance et l'auscultation des terrains sont généralement renforcées.

I.4 Surveillance et auscultation des mouvements de terrain Ce thème fera l'objet d'une conférence ultérieure…

I.5 Méthode de stabilisation des mouvements de terrain Nous ne développerons pas dans le cadre de ce cours les méthodes de stabilisation, mais nous proposons, quelques indications sur les méthodes utilisées : - clouage - drainage - construction de butée de pied (gabions)

128

J Remblais sur sol compressible De plus en plus d'ouvrages sont construit sur des sols de médiocre qualité. Les constructions sur des sols compressibles sont de plus en plus fréquentes, en particulier lors de la construction d'ouvrages routiers. En effet le franchissement d'une zone en dépression implique la construction en remblai et les zones de vallée comportent fréquemment des terrain mous, mal consolidés. exemple : franchissement d'une vallée par une autoroute Projet d'autoroute

remblai

zone de tourbe

Figure J-1 : exemple de franchissement d'une vallée par une autoroute (profil en long) Projet d'autoroute remblai

zone de tourbe

Figure J-2 : exemple de franchissement d'une vallée par une autoroute (profil en travers) Les problèmes posés par les remblais sur sol compressible obligent à prendre en compte différents aspects géotechnique stabilité (talus et fondation) 2 problèmes

γ

(3) Fondation

Talus

H Cu

tassement : S 129


- F>1,5 -> pas de problèmes 2 cas

- On fixe a priori une valeur de coefficient de sécurité (F=1,5 par exemple) et de hauteur

- F<1,5 -> il faut améliorer le sol de fondation

- On cherche la hauteur critique de remblai pour F=1,5 si le coefficient de sécurité est trop faible, on pourra améliorer le sol soit : -

ponctuellement (pieux à la chaux…)

-

globalement par consolidation (c'est cette méthode que nous allons développer dans ce qui suit

Une construction par étapes permettra de profiter de l'augmentation la résistance à court terme du sol, qui va être fonction du temps laissé entre les différentes phases.

H Hc Figure J-3 : construction du remblai par étapes La consolidation se traduit par l'expulsion de la pression interstitielle sous le poids du remblai. Cette exulsion d'eau s'accompagne, d'une diminution de l'indice des vides et d'une augmentation de la résistance (à court terme) au cisaillement du sol.

130

K Fondations La fondation est la composante d'un ouvrage qui transmet au sol d'assise les efforts provenant de cet ouvrage. Ces derniers ont en général une composante verticale prédominante, mais la composante horizontale est souvent non négligeable ; les efforts appliqués au sol sont donc inclinés. Si les efforts sont reportés à la surface du sol les fondations seront dites superficielles ; si les efforts sont reportés en profondeur, il s'agira de fondations profondes. Pour pouvoir servir de support de fondation, le terrain doit présenter une "capacité portante suffisante", c'est à dire supporter la charge qui lui est transmise. Sans atteindre un état dit limite.

F A

B

Figure K-1 : fondation L'Eurocode7 définit les états limites de la manière suivante : "Les états limites de service sont les états au-delà desquels des critères de service précis ne sont plus satisfaits" ; ces états comprennent : -

"des déformations, des mouvements ou des déflexions qui compromettent l'aspect ou l'utilisation effective de la structure (y compris le mauvais fonctionnement des machines ou des services) ou causent des dommages aux finitions et aux éléments non structuraux ;

-

des vibrations qui causent une gêne aux personnes, des dommages au bâtiment ou à son contenu ou qui limitent son efficacité fonctionnelle".

Les états limites ultimes sont ceux "associés à la ruine, l'instabilité ou toute forme de rupture qui peut mettre en danger la sécurité des personnes" ainsi que, conventionnellement, certains états les précédant ; ces états comprennent : -

" la perte d'équilibre de la structure ou de toute partie de la structure considérée comme un corps rigide ;

-

la rupture par déformation excessive, rupture ou perte de stabilité de la structure ou de toute partie de la structure, y compris des appuis et des fondations."

Remarque : Les états limites concernent : -

le sol ;

-

Les matériaux constitutifs de la fondation.

Les Eurocodes ont remplacés les textes français qui faisaient précédemment référence en matière de fondations : le Fascicule n°62- Titre V et le le DTU13.12, auxquels il sera fait référence dans ce chapitre.

131


K.1 Géométrie d'une fondation et définitions B

Une fondation est l'élément de construction qui transmet la charge de l'ouvrage au terrain de fondation. Les éléments géométriques qui la définissent sont :

L

- B, la largeur de la fondation ; D

- L, la longueur ; - D, l'encastrement qui est la profondeur de la base de la fondation. On utilise souvent un encastrement équivalent De qui tient compte des propriétés mécaniques relatives des sols traversés par la fondation. Nous préciserons ce terme, plus loin, dans les calculs.

Figure K-2 : Dimensions d'une fondation

Les fondations superficielles sont des fondations faiblement encastrées qui reportent les charges au niveau des couches superficielles de terrains. Les fondations profondes reportent les charges dans les couches profondes, mais aussi dans les couches superficielles qu'elles traversent. Pour différencier ces deux types de fondation on est amené à définir la notion de profondeur critique qui est la profondeur au-dessous de laquelle la résistance sous la base de la fondation n'augmente plus. Les fondations superficielles ont leur base au-dessus de cette profondeur critique Réglementairement : - une fondation est dite superficielle si De < 1,5 B - si De > 5 B, la fondation est dite profonde ; - si 1,5B < De < 5 B, la fondation est semi-profonde. Pour les fondations fondation est appelée :

superficielles,

la Radier

- radier si la surface totale du bâtiment est la fondation

Partie du bâtiment correspondant à la fondation

- semelle si seule une partie de la surface du bâtiment correspond à la fondation.

Semelle

Figure K-3 : Radier – Semelle De plus pour une semelle si : - L/B > 10 il s'agit d'une semelle filante (le problème peut être considéré comme bidimensionnel) ; - L et B sont de l'ordre de quelques mètres, il s'agit d'une semelle isolée. Pour des raisons de coût, on cherche souvent à fonder un ouvrage superficiellement. Si cette solution n'est pas satisfaisante d'un point de vue technique (le sol ne peut pas supporter la charge appliquée ou les tassements sont trop importants) ou économique, une solution en fondation profonde est envisagée. Dans ce qui suit nous nous intéresserons successivement à ces deux types de fondations, Nous rappelons que les actions qui sont prises en compte pour effectuer les calculs relatifs aux

132


fondations et les principes qui permettent de définir les charges "admissibles" sont définies par l’Eurocode 0.

K.2 Equilibre limite d'un massif soumis à une charge Les fondations vont transmettre la charge d'un ouvrage au terrain de fondation, il est donc nécessaire de s'interroger sur la capacité de ce terrain à supporter cette charge. Il est nécessaire de déterminer la capacité portante du terrain i.e. la charge limite ou ultime qu’il est suceptible de supporter. Supposons un sol de cohésion c et d'angle de frottement φ. (c, φ) représente (cu, φu) si le calcul est effectué à court terme et (c', φ') si on s'intéresse à l'équilibre à long terme. p

On se propose d'évaluer la contrainte limite p que l'on peut appliquer sur une largeur AB d'un massif infini, homogène et horizontal. On suppose que le problème est bidimensionnel ; c'est-à-dire que la contrainte p s'étend à l'infini dans la 3ème dimension.

A

B

Figure K-4

Le problème a été résolu par Prandl, pour un massif infini, horizontal, non pesant, un sol pulvérulent de cohésion nulle (c = 0) et d'angle de frottement φ, chargé à sa surface par 2 répartitions uniformes p et q. Prandl a montré que :

p

q A

G Butée

B

π/4−ϕ/2

E π/2+ϕ

F

π/2+ϕ

Sol non en rupture C

D

Spirale logarithmique

Figure K-5 -

il se forme une zone en butée de part et d'autre de p, dans laquelle les lignes de glissement sont des droites au voisinage de la surface ;

-

la zone triangulaire ABC est en poussée et les lignes de glissement sont des droites ;

-

entre ces deux zones, les zones CBD et AFC sont intermédiaires, les lignes de glissement issues de B (respectivement A) sont des droites (concourantes en B ou A) et la deuxième famille de lignes de glissement sont des spirales logarithmiques ; l'angle entre les deux familles étant toujours constant et égal à π 2 + ϕ ;

-

le sol n'est en rupture qu'au-dessus de la ligne GFCDE ;

-

la valeur maximale pouvant être atteinte par p, celle provoquant la rupture du sol est :

(

)

p = q ⋅ N q (ϕ ) avec Nq = tg 2 π 4 + ϕ 2 ⋅ eπ ⋅tg (ϕ )

133


K.3 Fondations superficielles Deux types d'éléments sont à analyser pour une fondation superficielle : -

la capacité portante de la fondation, c'est à dire vérifier que les terrains (et éventuellement le matériau de fondation) peuvent effectivement supporter la charge transmise ;

-

le tassement sous les charges de fonctionnements.

K.3.1 Capacité portante : résistance du sol Si on applique une charge Q croissante à une fondation, au début du chargement le comportement est sensiblement linéaire (les déplacements verticaux croissent proportionnellement à la charge appliquée). A partir d'une certaine charge Qd, les déplacements ne sont plus proportionnels à la charge. Enfin, pour une charge Ql, les déplacements deviennent incontrôlables, le sol n'est plus capable de supporter une charge supérieure. Cette charge est la charge limite ou ultime, ou encore la capacité portante de la fondation.

Qd

Q l Charge Q

Déplacement verticaux

La capacité portante est généralement Figure K-6 : schématisation de l'évolution des déterminée à partir des propriétés déplacements verticaux sous une fondation mécaniques des terrains mesurées soit superficielle en fonction de l'augmentation de la au laboratoire soit en place. charge (d'après R. Franck) Parfois la détermination de la capacité portante est effectuée à partir d'essai de chargement, mais ceci est très rare pour les fondations superficielles. Bien que les règlements actuels recommandent plutôt la détermination à partir des essais insitu, pour faire le lien avec les approches théoriques exposées plus haut nous présenterons dans un premier temps la détermination à partir des caractéristiques mécaniques (c, φ). Nous présenterons ensuite les méthodes de calcul à partir des essais pressiométriques.

K.3.1.1 Détermination de la contrainte ultime à partir des caractéristiques mécaniques K.3.1.1.1 Détermination de la contrainte ultime, pour une contrainte verticale centrée, une semelle filante et un sol avec cohésion Nous avons vu dans le § G.7.5 que la capacité portante d'un sol non pesant, purement frottant, infini et horizontal pouvait être déterminée théoriquement. Dans les cas réels : -

le sol est pesant (poids volumique γ) ;

-

le sol a une cohésion : caractéristiques mécaniques (c, ϕ) ;

134


-

la longueur de la fondation n'est pas infinie ;

-

la géométrie du terrain ≠ horizontale ;

-

la répartition de la charge n'est pas forcément uniforme et elle peut avoir une certaine inclinaison.

Dans le cas d'une semelle filante (longueur infinie), la contrainte (effective ou totale suivant le raisonnement choisi) ultime (qu) est déterminée classiquement par la relation générale :

qu = γ ⋅ D ⋅ N q (ϕ ) + c ⋅ N c + γ ⋅ B ⋅ N γ 2 Nq, Nc, Nγ sont les facteurs de portance ; ils sont fonction de l'angle de frottement φ. La charge limite se décompose en 3 termes : -

γ ⋅ D ⋅ N q (ϕ ) : terme de profondeur. C'est la charge limite d'un sol uniquement frottant (cf. § G.7.5), mais pesant . Certains auteurs préconisent de modifier le terme Nq par rapport à l'expression donnée au paragraphe G.7.5 (page 109). En effet, dans l'expression de Nq l'influence du terrain sur les faces latérales de la fondation a été négligé (ce qui paraît légitime car le sol autour de la fondation est général remanié lors de l'exécution de l'ouvrage) et la partie du massif situé au dessus du plan horizontal de la fondation a été assimilée à une surcharge verticale, ce qui peut conduire à une sous évaluation du coefficient Nq. Pour corriger cette sous-évaluation on pourra employer d'après Costet et

(

)

⎛ 3π ⎞ −ϕ ⎟ ⋅tg (ϕ ) ⎜ ⎠ 2

tg π 4 + ϕ 2 ⋅ e⎝ Sanglerat [1] : N *q = cosϕ

;

-

c ⋅ N c terme de cohésion. Ce terme correspond à la charge limite pour un sol frottant et cohérent, mais non pesant ;

-

γ ⋅ B 2 ⋅ Nγ terme de surface est fonction de la surface de la fondation et du poids volumique du massif. C'est la charge limite pour un massif pesant et frottant uniquement.

La relation générale est donc la somme de 3 termes correspondant à des cas limites. On peut montrer que cette relation donne une valeur par défaut, de la charge limite et que l'approximation est faite du coté de la sécurité. Les valeurs des différents paramètres en fonctions de φ sont données à la page suivante. K.3.1.1.1.1 Calcul en conditions non drainées On considère que : c = cu et ϕ u = 0 Dans ce cas N γ = 0 et N q = 1 la relation devient : qu = γ 2 ⋅ D + cu ⋅ N c γ2 est le poids volumique du sol latéral. On ne déjauge pas la fondation dans ce cas. K.3.1.1.1.2 Calcul en conditions drainées Dans ce cas c = c' et ϕ = ϕ '

135


ϕ

Nq

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

1,00 1,57 2,47 3,94 6,40 10,66 18,40 33,30 64,20 134,87

Nq * (corrigé) 1,00 1,64 2,69 4,45 7,44 12,72 22,46 41,44 81,27 173,29

Nq*/Nq

Nγ

Nc

1,00 1,05 1,09 1,13 1,16 1,19 1,22 1,24 1,27 1,28

0,10 0,50 1,40 3,50 8,10 18,10 41,10 100,00 254,00

5,14 6,49 8,34 10,98 14,83 20,72 30,14 46,12 75,31 133,87

Tableau K-1 :Valeur des coefficients Nc, Nγ et Nq en fonction de l'angle de frottement 45

ϕ

Nγ

40

Nq Nc

35

30

25

20

15

10

5

0 140

120

100

80

60

40

20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Figure K-7 : Facteur de capacité portante Nc, Nγ et Nq 136

220

240

260


K.3.1.1.2 Coefficients minorateurs tenant compte de l'inclinaison, de la géométrie de la fondation et de la topographie du terrain Pour des fondations : - de dimensions limitées ; - pour un chargement quelconque (charges excentrées, inclinées) ; - des terrains de morphologie variés (pentes, sols stratifiés) ; le traitement théorique du problème n'est pas satisfaisant et des termes correctifs empiriques sont employés. Des termes iδβ tiennent compte de l'inclinaison, de l'excentricité de la charge et de la morphologie du terrain et des termes sq, sc, sγ prennent en compte la forme de la fondation. La relation générale de détermination de la capacité portante s'écrit alors :

qu = sq iq γ ⋅ D ⋅ N q (ϕ ) + sc ic c ⋅ N c + sγ iγ γ ⋅ B ⋅ Nγ 2 K.3.1.1.2.1 Charge centrée inclinée : Si δ est l'obliquité (inclinaison) de la charge le DTU13.12 propose les relations suivantes pour les coefficients iγ, ic et iq :

iγ = ⎛⎜1 − δ ⎞⎟ ϕ '⎠ ⎝

(

ic = iq = 1 − δ

2

) 90

2

Ces coefficients ont été établis par Meyerof Remarque : pour les ouvrages de Génie Civil, le Fascicule n°62- Titre V qui privilégie le calcul à partir des essais in-situ ne propose pas de valeur de ces coefficients. Le projet d'Eurocode propose des relations plus compliquées qui tiennent compte d'une aire réduite de fondation K.3.1.1.2.2 Charge excentrée Dans le cas d'une charge d'excentrement e parallèle à B, on remplace la largeur B par une valeur réduite B': B ' = B − 2e Dans le cas d'une charge d'excentrement e' parallèle à L, on remplace la largeur L par une valeur réduite L': L' = L − 2e' La capacité portante est obtenue par :

Qu = qu B ' L' Qu = qu π ⋅ B ' B

pour une fondation rectangulaire ou carré 4

pour une fondation circulaire

qu contrainte de rupture, incluant tous les coefficients correctifs éventuels B' : Largeur ou diamètre réduit de la fondation K.3.1.1.2.3 Charge en crête de talus : Les coefficients proposés par le Fascicule n°62- Titre V, pour la méthode pressiométrique sont donnés plus loin (cf. § K.3.1.2.5.2Ces coefficients peuvent être utilisés pour la méthode 137


"c-φ" moyennant certains aménagements. K.3.1.1.2.4 Forme L'influence de la forme de la fondation peut être prise en compte par l'introduction des coefficients multiplicateurs sq, sc, sγ. Le tableau suivant donne la valeur des coefficients proposés pour des conditions drainées. Ces coefficients ne sont pas spécifiés dans le Fascicule n°62- Titre V qui privilégie les calculs effectués à partir d'essais in-situ. Les propositions de l'Eurocode 7 sont proche de ce tableau pour des conditions drainées, elles sont légèrement différentes pour des conditions non drainées. Type de Fondation sγ sc sq

rectangulaires B 1 − 0,2 L B 1 + 0,2 L 1

carrées (B/L = 1) 0,8

circulaires 0,6

1,2

1,3

1

1

Tableau K-2 : coefficients de forme (d'après Terzaghi) K.3.1.1.2.5 sols hétérogènes Si la couche de fondation n'est pas homogène, on pourra s'assurer de la portance d'une couche "molle" sousjacente à une couche plus "dure" en considérant une semelle fictive : Si la couche porteuse a une épaisseur H la couche porteuse a une largeur fictive de B+H (Si l'angle de diffusion de la contrainte est de 30°).

H B B+H

couche molle

Figure K-8 : semelle fictive

K.3.1.2 Détermination de la contrainte ultime (de rupture) à partir des essais pressiométriques Cette détermination est basée sur la pression limite des différents terrains sollicités par la fondation.

K.3.1.2.1 Principe de l'essai pressiométrique Cet essai consiste à dilater radialement une cellule cylindrique placée dans un forage (cf. Figure K-10 et Figure K-11). La courbe pressiométrique (volume de la cellule en fonction de la pression dans cette cellule) obtenue peut être divisée en 3 parties : -

une première partie où la variation de volume varie de 0 à un point d'inflexion noté V0, P0. Cette première partie est généralement interprétée comme une phase de recompression du terrain qui a été décomprimé par l'opération de forage ;

-

- une deuxième partie ou le volume de la cellule varie linéairement avec la pression. Cette

138


partie est considérée comme une phase élastique ; -

une troisième partie où le volume de la cellule n'augment plus linéairement avec la pression. Pour ces pressions, on considère en général que le terrain a atteint la plasticité. Cette partie se "termine" par une évolution très rapide du volume alors que la pression n'augmente plus. Cette pression est appelée pression limite.

On définit également la pression limite nette par : pl * = pl − p 0 avec

pl : pression limite mesurée p0 : contrainte totale horizontale au même niveau dans le sol, avant essai.

K.3.1.2.2 Notion de pression limite nette équivalente Pour un terrain homogène c'est à dire si le terrain

sous

la

fondation,

jusqu'à

D

une

profondeur de 1,5 B est constitué d'un même terrain ou de terrains de même type et de caractéristiques comparables, on considère

B

p*l p*le

2/3B 1,5.B

que la pression limite nette p*l varie linéairement avec p * (z ) = a ⋅ z + b . l

la

profondeur

:

La pression limite équivalente est donnée z p * (z ) = p * z par : avec le l e Figure K-9 : détermination de la pression 2 z = D+ ⋅B limite équivalente (d'après Fascicule n°62e 3 Titre V)

( )

Pour un terrain non homogène, la pression limite nette équivalente (p*le) est la moyenne géométrique des Pl entre les niveaux D et D + 1,5.B (cf. Figure K-9) : p * = n p * ⋅ p * ⋅⋅⋅p * le ln l1 l2

K.3.1.2.3 Notion d'encastrement équivalent L'encastrement équivalent De est un paramètre conventionnel de calcul destiné à tenir compte du fait que les caractéristiques mécaniques des sols de couverture sont en général plus faibles que celle du sol porteur (De est en général inférieur à D). Elle est définie par :

1 De = p *le

D

∫ p * ( z ) ⋅ dz l

0

139


Figure K-10 : Essai pressiométrique

140


Figure K-11 : Courbes pressiométriques

141


K.3.1.2.4 Contrainte de rupture La contrainte q'u sous la base d'une fondation (contrainte ultime effective) est calculée par la relation suivante : q' = k ⋅ p * +q' l u p 0 e q'0 : contrainte verticale au niveau de la fondation (avant construction) ; kp : facteur de portance est fonction du type de terrain (cf. Tableau K-3), de la profondeur d'encastrement (De) et de la forme de la fondation ; p*le pression limite nette équivalente. K.3.1.2.5 Coefficients minorateurs Comme pour les calculs effectués à partie des essais de laboratoire, des coefficients minorateurs sont introduits pour tenir compte de l'excentricité, l'inclinaison de la charge et de la topographie du terrain. K.3.1.2.5.1 Charge centrée inclinée : Si δ est l'obliquité (inclinaison) de la charge en degrés : 2

Pour les sols cohérents : iδβ

δ ⎞ ⎛ = φ1 (δ ) = ⎜1 − ⎟ (5) ⎝ 90 ⎠ 2

2

− De − De ⎧⎛ δ ⎞ ⎛ δ ⎞ ⎫⎤ ⎛ ⎞ ⎡ Pour les sols frottant : iδ = φ 2 (δ ) = ⎜1 − ⎟ ⋅ ⎜1 − e B ⎟ + ⎢max ⎨⎜1 − ⎟;0⎬⎥ ⋅ e B (6) ⎠ ⎣ ⎝ 90 ⎠ ⎝ ⎩⎝ 45 ⎠ ⎭⎦

K.3.1.2.5.2 Charge en crête de talus : si B est la largeur de la fondation

d

d la distance horizontale entre l'arête aval de la fondation et le talus β est la pente du talus (cf. Figure K-12) δ inclinaison

B β Figure K-12 : charge en crête de talus

δ obliquité (inclinaison) de la charge en degré * Pour un encastrement nul compte tenu de données expérimentales il est proposé d'appliquer un facteur correctif iβ :

(

iβ = ψ β , d

)

2

⎡ ⎧⎛ d ⎞ ⎫⎤ = 1 − 0,9 ⋅ tgβ ⋅ (2 − tgβ )⎢max ⎨⎜1 − ⎟;0⎬⎥ (7) B ⎩⎝ 8 B ⎠ ⎭⎦ ⎣

* Pour un encastrement quelconque : on cherche tout d'abord à déterminer un angle β' qui donne le même coefficient de minoration, que pour une charge oblique avec un encastrement nul, dans le cas d'un sol frottant :

(

)

β' = 45°⎜⎝⎛1− ψ B1 d B ⎟⎠⎞ (8) 142


puis, on calcule iβ = φ2 (β ' ) avec le Φ2 de l'équation (6) et en prenant De (encastrement) du côté aval de la fondation K.3.1.2.5.3 Charge en crête de talus soumise à une charge centrée et inclinée : On distingue 2 cas suivant que l'inclinaison de la charge est dirigée vers l'intérieur ou l'extérieur du talus.

δ

δ

d

d B β

B β

iδβ = φ2 (δ + β ' )

iδβ = φ2 (β' − δ )

Figure K-13 : charge inclinée comme le talus

Figure K-14 : charge d'inclinaison opposée au talus

β' est déterminé par l'équation 6 K.3.1.2.5.4 Forme Il n'y a pas de coefficient minorateur de forme car la forme de la fondation intervient dans l'expression du facteur de portance (cf. Tableau K-3). K.3.1.2.5.5 Excentricité L'influence de l'excentricité est prise en compte par la définition d'une contrainte de référence qref qui sera comparée à la contrainte de rupture du sol. Nous détaillerons cet aspect au § K.3.2.1.

143


Type de sol Argile et limons A, craies A

Expression de kP ⎡ B⎞ D ⎤ ⎛ 0,8 ⋅ ⎢1 + 0,25 ⋅ ⎜ 0,6 + 0,4 ⎟ e ⎥ L⎠ B ⎦ ⎝ ⎣

Argiles et limons B

⎡ B⎞D ⎤ ⎛ 0,8 ⋅ ⎢1 + 0,35 ⋅ ⎜ 0,6 + 0,4 ⎟ e ⎥ L⎠ B ⎦ ⎝ ⎣ ⎡ B⎞D ⎤ ⎛ 0,8 ⋅ ⎢1 + 0,50 ⋅ ⎜ 0,6 + 0,4 ⎟ e ⎥ L⎠ B ⎦ ⎝ ⎣

Argiles C Sables A

⎡ B ⎞ De ⎤ ⎛ ⎢1 + 0,35 ⋅ ⎜ 0,6 + 0,4 L ⎟ B ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎡ B ⎞ De ⎤ ⎛ ⎢1 + 0,50 ⋅ ⎜ 0,6 + 0,4 L ⎟ B ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

Sables A et graves B Sables et graves C

⎡ B ⎞ De ⎤ ⎛ ⎢1 + 0,80 ⋅ ⎜ 0,6 + 0,4 L ⎟ B ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣

Craies B et C

⎡ B⎞D ⎤ ⎛ 1,3 ⋅ ⎢1 + 0,27 ⋅ ⎜ 0,6 + 0,4 ⎟ e ⎥ L⎠ B ⎦ ⎝ ⎣ ⎡ B ⎞ De ⎤ ⎛ ⎢1 + 0,27 ⋅ ⎜ 0,6 + 0,4 L ⎟ B ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ L'utilisation de l'expression précédente est très pessimiste. La réglementation souligne qu'il "convient d'avoir recours aux méthodes spécifiques de la mécanique des roches"…

Marnes, marno-calcaires, roches altérées Roches saines

Tableau K-3 : Valeur du coefficient de portance kP Classe de sol Argiles, limons

Sables, graves

Craies Marnes Marno-calcaires Roches

A B C A B C A B C A B A B

Pressiomètre pl en MPa Argiles et limons mous < 0,7 Argiles et limons fermes 1,2 - 2,0 Argiles et limons fermes à durs > 2,5 Lâches < 0,5 Moyennement compacts 1,0 - 2,0 Compacts > 2,5 Molles > 0,7 Altérées 1,0 - 2,5 Compactes > 3,0 Tendres 1,5 - 4,0 Compacts > 4,5 Altérées 2,5 -4,0 Fragmentées > 4,5

Tableau K-4 : Catégories conventionnelles de sols

144

Pénétromètre qc en MPa < 3,0 3,0 - 6,0 > 6,0 <5 8,0 - 15,0 > 20,0 < 5,0 > 5,0


K.3.1.3 Détermination de la contrainte ultime (de rupture) à partir des essais pénétrométrique Nous présentons ici de manière succincte la méthode pénétrométrique. Comme pour la méthode pressiométrique, les règles utilisées sont issues des résultats de multiples essais de chargement. Les pénétromètres sont constitués de train de tiges à l'extrémité desquelles sont placées des pointes coniques d'un diamètre supérieur à celui du train de tige. K.3.1.3.1 Principe de l'essai pénétrométrique L'essai consiste à enfoncer l'ensemble la pointe dans les terrains et les essais pénétrométriques permettent de déterminer une résistance limite du sol. Il existe deux types de pénétromètres : les pénétromètres statiques qui sont enfoncés dans les terrains à vitesse lente et régulière et les pénétromètres dynamiques qui sont enfoncés par battage. Ce qui suit concerne le pénétromètre statique. Cet essai permet de mesurer la résistance en pointe qc en fonction de la profondeur. K.3.1.3.2 résistance en pointe équivalente On définit la résistance en pointe équivalente comme la moyenne des résistances par : D +3a 1 q ce = q cc ( z ) ⋅ dz 3a + b D∫−b qcc étant la résistance en pointe qc écrêtée à la valeur qcm : qcm avec

1 = 3a + b

D + 3a

∫ q (z ) ⋅ dz c

D −b

a = B/2 si B > 1m a = 0,5 m si B < 1m b = min {a,h} où h est la hauteur de la fondation dans la couche porteuse

K.3.1.3.3 Encastrement équivalent L'encastrement équivalent De est défini, pour l'essai pénétrométrique par l'expression : D

1 De = qc ( z ) ⋅ dz qce ∫d K.3.1.3.4 Contrainte de rupture La formule proposée est analogue à celle utilisée pour l'essai pressiométrique q ' u = k c ⋅ q ce + q ' 0 -

q'u contrainte à la rupture (ultime) sous la base de la fondation ;

-

q'0 contrainte verticale effective au niveau de la base de la fondation, en faisant abstraction de celle ci ;

-

qce résistance de pointe équivalente (définie au § K.3.1.3.2) ;

-

kc facteur de portance (cf. Tableau K-5).

145


K.3.1.3.5 Coefficients minorateurs Les coefficients minorateurs sont ceux donnés au § K.3.1.2.5. Remarque : Comme pour la méthode pressiométrique, il n'y a pas de coefficient minorateur de forme car la forme de la fondation intervient dans l'expression du facteur de portance (cf. Tableau K-5).

Type de sol Argile et limons

Expression de kc ⎡ B⎞D ⎤ ⎛ 0,32 ⋅ ⎢1 + 0,35 ⋅ ⎜ 0,6 + 0,4 ⎟ e ⎥ L⎠ B ⎦ ⎝ ⎣ ⎡ B⎞ D ⎤ ⎛ 0,14 ⋅ ⎢1 + 0,35 ⋅ ⎜ 0,6 + 0,4 ⎟ e ⎥ L⎠ B ⎦ ⎝ ⎣

Sables A Sables A et graves B

⎡ B⎞D ⎤ ⎛ 0,11 ⋅ ⎢1 + 0,50 ⋅ ⎜ 0,6 + 0,4 ⎟ e ⎥ L⎠ B ⎦ ⎝ ⎣ ⎡ B⎞D ⎤ ⎛ 0,08 ⋅ ⎢1 + 0,80 ⋅ ⎜ 0,6 + 0,4 ⎟ e ⎥ L⎠ B ⎦ ⎝ ⎣

Sables et graves C Craies B

⎡ B⎞D ⎤ ⎛ 0,17 ⋅ ⎢1 + 0,27 ⋅ ⎜ 0,6 + 0,4 ⎟ e ⎥ L⎠ B ⎦ ⎝ ⎣

Tableau K-5 : valeur du facteur de portance kc K.3.2 Calculs pratiques L’Eurocode 7 impose de considérer les états limites suivants : -

défaut de capacité portante de la fondation, rupture par poinçonnement ;

-

glissement sur la base de la fondation ;

-

stabilité d'ensemble (dans le cas d'une fondation sur pente, en tête de talus, près d’une excavation, d’un mur de soutènement, dans une zone minière ou à proximité d’ouvrages souterrains) ;

-

tassement excessifs ;

-

soulèvement excessif (lié au gonflement, au gel, à l’eau ou d’autres causes)

-

rupture combinée dans le terrain et dans la structure ;

-

vibrations inacceptables ;

-

rupture dans la structure du fait des mouvements de la fondation.

Dans ce qui suit nous nous intéresserons essentiellement aux 2 premiers points, les 2 points suivants ont été traités dans le cours de Géotechnique. Les calculs doivent théoriquement être effectués à long et à court terme. L'expérience permet parfois de s'affranchir de certains de ces calculs (par exemple si des calculs dans des situations analogues ont montré que c'est le comportement à long terme qui est le plus défavorable). La détermination du niveau de fondation se fera de manière itérative : on fixe a priori le niveau de fondation et celui-ci pourra être modifié en fonction des résultats des différents

146


calculs.

K.3.2.1 Contrainte normale appliquée au sol et contrainte de référence Dans le cas général, le diagramme des contraintes normales appliquées au sol est déterminé en supposant : que le sol ne réagit pas aux efforts de traction, que les contraintes sont proportionnelles aux déplacements et que les semelles sont rigides. F Sous une fondation, la contrainte n'est pas forcément constante. Il faut donc déterminer la contrainte conventionnelle à partir de laquelle le calcul sera effectué. Cette contrainte, dite contrainte de référence, est par Charge centrée convention, la contrainte située aux 3/4 de la largeur comprimée, le sol étant supposé ne pas réagir aux F e tractions (cf. Figure K-16). Si qmax est la contrainte maximale dans la fondation et qmin la contrainte minimale (éventuellement nulle) appliquées par la semelle au sol de fondation, compte tenu des sollicitations considérées, on Charge excentrée (e : excentricité) détermine la contrainte de référence par :

q ' ref

3 ⋅ q ' max + q ' min = (Équation K-1) 4

qmax et qmin sont calculées en supposant une répartition linéaire de la contrainte normale à la base de la fondation, de manière à équilibrer la force Q et le moment Qe par rapport au centre.

B L

F

e

e'

Pour des semelles rectangulaires, dans le cas d'une charge excentrée, pour tenir compte de cette excentricité, on peut admettre que les contraintes sont uniformes, mais appliquées à une surface réduite (modèle de Meyerhof). On considère dans ce cas que la contrainte sous la fondation vaut : q=

F ( Équation K-2 ) ( B − 2e ) ⋅ ( L − 2e ' )

Charge excentrée (vue en plan) Si on utilise le modèle de Meyerhof la contrainte de Figure K-15 : excentricité de la référence qref est celle calculée par l'Équation 9-2. charge

Figure K-16 : Définition de la contrainte de référence pour un excentrement e (d'après Fascicule n°62- Titre V)

147


Remarques : La contrainte de référence peut donc être calculée à partir de l'une des 2 équations précédentes. On peut montrer que le résultat est équivalent à quelques % près. La Figure K-16 suggère que les diagrammes de contraintes sont plans ou uniformes ce qui n'est pas vérifier dans le cas de semelles rigides (cf. § L.2.4). C'est une hypothèse qui est cependant souvent utilisé en pratique

K.3.2.2 Détermination de l'état limite de mobilisation du sol K.3.2.2.1 Etat ultime de mobilisation de la capacité portante Les ELU de mobilisation de la capacité portante sont déterminés par rapport aux combinaisons fondamentales d'actions et aux combinaisons accidentelles. Il faut vérifier :

q 'ref ≤ qu '

1

γR

(q ' − q ' ) ⋅i u

0

δβ

+ q '0 (Équation K-3)

résistance ultime

contrainte verticale effective au niveau de la base de la fondation en faisant abstraction q'0 de la fondation iδβ coefficient minorateur tenant compte de l'inclinaison et de la géométrie de la fondation (ce coefficient est égal à 1 pour une charge verticale centrée, un terrain homogène isotrope et horizontal) K.3.2.2.2 Etat limite de service : Les ELS de mobilisation de la capacité portante sont déterminés par rapport aux combinaisons rares d'actions. Il faut vérifier :

q 'ref ≤

1

γR

(q ' − q ' )⋅i u

0

δβ

+ q '0 (Équation K-4)

Les ELS devraient être déterminés à partir de la contrainte de fluage q'c du sol. On considère souvent que : q ' c = 1 q ' u . 2

Attention : que ce soit pour l'état limite de mobilisation de la capacité portante du sol ou l'état limite de service, la formule est la même, mais avec : - une valeur de γR éventuellement différente ; - une valeur de référence différente car la sollicitation (combinaison d'actions) envisagée est différente. K.3.2.2.3 Etat limite ultime de glissement On doit vérifier que : H d ≤

Vd ⋅ tgϕ

γg

+

1

A⋅c

γg

(Équation K-5)

2

Hd et Vd composantes horizontale et verticale de l'effort appliqué à la fondation ; A' surface comprimée de la fondation ;

148


ϕ et c relatifs au sol (en général c est limité à 75 kPa) ;

γ g = 1,2 et γ g = 1,5 1

2

K.3.3 Tassement Les problèmes de tassement ont été abordé dans le cours de géotechnique.. Pour évaluer les tassements, on considère la combinaison d'actions quasi-permanentes en supposant que les charges considérées sont appliquées instantanément. En réalité, le phasage des travaux est important pour les problèmes, par exemple, de tassements différentiels. Remarque : le calcul de tassement doit être effectué sur les couches compressibles affectées par les variations de contraintes. Il ne faut donc pas seulement prendre en compte le terrain situé immédiatement sous la fondation.

K.3.3.1 Evaluation un tassement à partir des essais de laboratoire : cf cours Géotechnique

K.3.3.2 Evaluation des tassements à partir des essais pressiométriques : K.3.3.2.1 Cas d'un sol homogène : Le tassement est séparé en une partie qualifiée de sphérique et une partie déviatorique :

s f = s c + s d avec sc =

α 9.E M

(q'−σ 'ν 0 ) ⋅ λc ⋅ B

⎛ 2 (q'−σ 'ν 0 ) ⋅ B0 ⋅ ⎜⎜ λ d ⋅ B sd = 9.E M B0 ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

α

-

sf tassement final

-

sc tassement sphérique

-

sd tassement déviatorique

-

EM : module pressiométrique

-

q' : contrainte effective moyenne appliquée au sol par la fondation

-

σ'ν0 : contrainte verticale effective calculée dans la configuration avant travaux au niveau de la fondation

-

B0 : largeur de référence égale à 0,60 m

-

B : largeur de la fondation

-

α: coefficient rhéologique dépendant de la nature du sol

-

λc et λd coefficients de forme fonction du rapport L/B

149


Tourbe Argile EM/pl α α très > 16 1

Type Surconsolidé ou serré Normalement consolidé 1 ou normalement serré Sous consolidé altéré ou remanié ou lâche

Limon EM/pl α > 14 2/3

Sable EM/pl α > 12 1/2

Grave EM/pl α > 10 1/3

9 - 16 2/3

8 - 14 1/2

7 - 12 1/3

6 - 10 1/4

7-9

5-8

5-7

1/2

1/2

Rocher α 2/3 1/2 1/3 2/3

Type Très peu fracturé Normal Très fracturé Très altéré

Tableau K-6 : valeurs du coefficient α caractérisant le sol L/B λc λd

cercle 1,00 1,00

carré 1,10 1,12

2 1,20 1,53

3 1,30 1,78

5 1,40 2,14

20 1,50 2,65

Tableau K-7 : valeurs des coefficients de forme λc et λd

150

1/3

-


K.3.3.2.2 Cas des sols hétérogènes : Dans ce cas le module EM varie avec la profondeur et le calcul de sc et sd nécessite l'emploi de modules pressiométriques équivalent Ec et Ed correspondant aux zones d'influence sphériques et déviatoriques.

B 1 B

2 3

On considère que les déformations 4 volumétriques sont prépondérantes sous la 2.B 5 fondation jusqu'à environ B/2, alors que les déformations déviatoriques se manifestent 3.B 6 7 jusqu'à une profondeur importante de 8B. Le calcul va nécessiter de diviser le sol, sous la 8 4.B fondation, en tranches d'épaisseur B/2. 9 Les modules équivalents sont donnés par :

5.B

E1 E2 E3,5

E6,8

10

11 E c = E1 ou E1 est le module mesuré dans la tranche d'épaisseur B/2. 6.B 12 E9,16 13 4 Ed = 1 1 1 1 1 7.B 14 + + + + 15 E1 0,85 E 2 E3,5 2,5 E 6,8 2,5 E9 à16 ou Ei,j est la moyenne harmonique des 8.B 16 modules mesurés dans les tranches i à j Figure K-17 : Modules pressiométriques 3 1 1 1 par exemple : = + + équivalents E 3, 5 E 3 E 4 E 5

K.3.4 Stabilité d'ensemble Dans le cas d'une fondation dans un talus, il est nécessaire d'examiner la stabilité d'ensemble du talus. Les sollicitations de calcul à prendre en compte sont : ⎧ ⎫ 1,125 ⋅ S ⎨1,05 ⋅ Gmax + 0,95 ⋅ Gmin + Fw + γ F 1Q1Q1k + ∑1,15ψ 0iQik ⎬ i >1 ⎩ ⎭

K.3.5 Calcul par des méthodes en contraintes-déformations Pour des fondations complexes, on peut être amené à utiliser des calculs en contraintesdéformations (éléments finis, différences finies, éléments distincts…). Ces calculs ne sont pas encore effectués de manière courante et aucun règlement ne précise les précautions à prendre pour leur utilisation. Parmi les problèmes délicats posés par ce type de calcul, on peut citer : -

la modélisation de l'interface sol-structure ;

-

le choix du comportement du sol.

151


K.4 Fondations profondes Les fondations profondes permettent de reporter les charges d'un ouvrage au niveau des couches situées entre profondeur. Elles sont en général utilisées quand la résistance des couches des terrains superficiels n'est pas suffisante pour supporter les charges transmises par une fondation superficielle ou que les tassements induits par ce type de fondation sont trop importants. Une fondation est dite profonde quand son encastrement est supérieur à 5 fois sa largeur. On emploie souvent le terme de "pieu" pour désigner une fondation profonde. Nous avons vu que dans les fondations superficielles l'effort était transmis à la base de la fondation et que l'on cherchait à rester éloigné d'une éventuelle rupture du sol ou d'une déformation importante sous cette fondation. Dans une fondation profonde, l'effort transmis à la fondation profonde est repris à la fois par la base de la fondation, mais aussi par le frottement latéral qui va s'exercer à l'interface entre le sol et le pieu. Les deux types de fondation se différencient par le mode de transmission de la charge au sol

Q

Pour les fondations superficielles, la charge est essentiellement transmise à la base de la fondation

Figure K-18 : transmission de la charge pour une fondation superficielle

Q

Pour les fondations profondes la charge se transmet * à la base de la fondation(sous la pointe). La Résistance de pointe est peu influencée par le type de pieu * par le frottement latéral entre le fût du pieu et le sol. Le frottement latéral dépend : - du matériau constitutif du pieu - du mode de mise en place (battu, foré, viré...)

Figure K-19 : transmission de la charge pour une fondation profonde K.4.1 Classification des fondations profondes ou pieux Les pieux sont classés suivant : -

le matériau constitutif (bois, métal béton)

-

suivant le mode d'introduction dans le sol : -

152

pieux battus, "préfabriqués" et mis en place, en général, par battage ;


-

pieux exécutés in-situ par bétonnage dans un forage (tubé ou non).

En effet ces deux critères (matériaux et condition d'exécution) vont influencer le frottement latéral le long de la fondation profonde. Le mode d'exécution va provoquer soit un refoulement du sol soit se faire par extraction du sol. La mise en place va donc influencer la sollicitation imposée au sol. On différencie : -

les pieux dont la mise en place provoque le refoulement du sol ;

-

les pieux exécutés par extraction du sol et dont la mise en place ne provoque pas de refoulement du sol ;

-

des pieux particuliers à comportement intermédiaire.

Le mode de mise en place : refoulement du sol ou extraction a une influence sur le frottement latéral. Quand il y a refoulement du sol et on pourra considérer que l'on se rapproche d'un état de butée (passif), à l'inverse, pour des pieux forés, le sol se rapproche d'un état d'équilibre actif.

K.4.1.1 Pieux provoquant le refoulement du sol Ils peuvent être battus, foncés, vibro-foncés, pilonnés. Leur matériau constitutif peut être : le béton, le béton armé, le métal, (le bois éventuellement) On distingue : -

Les pieux battus ou vibrofoncés préfabriqués en béton armé ou précontraint ;

-

Les pieux en métal battus ;

-

Les pieux en béton foncés (mis en place à l'aide d'un vérin) ;

-

Les pieux en métal foncé ;

-

…

K.4.1.2 Pieux ne refoulant du sol Ces pieux sont exécutés in-situ. On distingue : -

Pieu foré simple ;

-

Pieu foré à la boue et barrette ;

-

Pieu foré tubé ;

-

Puits (gros diamètres : creusement "à la main") ;

-

Pieu tarière creuse.

Quand le diamètre est inférieur à 250 mm, on parlera de micropieu.

K.4.1.3 Mode de transmission des charges au sol les pieux sont parfois classés en fonction de leur mode de transmission des charges au sol :

153


Pieu colonne

Pieu flottant <- pieux réels ->

sol mou

frottement latéral +

sol homogène

pointe

sol dur "travaille en pointe"

travaille surtout en frottement latéral

Figure K-20: pieux colonnes et pieux flottant Remarque : Dans le premier cas lorsque la section du pieu est doublée la charge limite est doublée (car elle est proportionnelle à la section du pieu). Dans le second cas la charge est proportionnelle à la surface latérale (Sl) : on ne double pas la charge limite du pieu en doublant sa section

K.4.1.4 Influence du type de sol : Foisonnement de la surface extérieur

Surface extérieure

Le sol remonte => remaniement => abaissement de la résistance au cisaillement du sol

La composition du sable augmente sur 6 à 7 diamètres => augmentation des caractéristiques mécaniques => F augmente

Sol pulvérulent

Sol cohérent saturé abaissement de la résistance

Figure K-21 : Comportement en fonction du type de sol K.4.2 Modèle de comportement d'un pieu isolé (Charge limite et charge de fluage) Le comportement d'un pieu isolé est caractérisé par la relation entre la charge axiale appliquée en tête de pieu et l'enfoncement en tête. Si on augmente progressivement la charge (en compression) appliquée à un pieu, la courbe de d'enfoncement en fonction de cette charge permet de définir 2 paramètres : - La charge de fluage Qc (charge limite pour laquelle l'enfoncement du pieu ne se stabilise plus dans le temps) ; 154


-

la charge limite ou ultime Qu (pour laquelle l'enfoncement ne se stabilise plus sous la charge et la vitesse d'enfoncement devient importante : conventionnellement cette charge sera la charge correspondant à un enfoncement de B/10 ou à une vitesse d'enfoncement de 1 à 5 mm/mn) ;

Au moment de la rupture on considère que la charge limite Qu est équilibrée par : -

la résistance du pieu sous la pointe : qp ;

-

la résistance due au frottement latéral qs ;

Q

On note : -

Qpu la charge limite sous la pointe avec : Q pu = q pu ⋅ A p

qs

Ap : section droite du pieu -

Qsu la charge limite par frottement latéral Qsu = qsu ⋅ As

qp

As : surface latérale du pieu

Figure K-22 Remarque : Dans certains cas, il est intéressant de faire intervenir les deux paramètres de charge homologues vis à vis des charges de traction : - La charge de fluage en traction Qtc ; - la charge limite en traction Qtu ; La charge limite est définit par : -

en compression : Qu = Q pu + Qsu

-

en traction :

Qtu = Qsu

K.4.3 Détermination de la capacité portante d'un pieu isolé Différentes méthodes sont utilisées pour déterminer la force portante d'un pieu isolé : -

l'interprétation des essais de mise en charge d'un ou plusieurs pieux ("essais statiques de chargements représentatifs") ;

-

l'interprétation les essais in situ : • diagrammes de pénétration obtenus soit avec le pénétromètre statique, soit avec le pénétromètre dynamique ; • résultats d'essais pressiométriques.

-

l'utilisation de formules basées sur les résultats du battage des pieux ;

-

l'utilisation des formules statiques de force portante établies à l'aide de la mécanique théorique des sols et à partir d'essais de laboratoire.

Cette dernière manière de procéder n'est pas conseillée dans la réglementation française mais elle ne n’est pas exclue par l'Eurocode 7. Nous avons choisi de la présenter car elle permet de mettre en évidence un certain nombre de problèmes posés par la détermination de la capacité portante et notamment les notions d'encastrement critique et limite. Dans ce qui suit nous ne détaillerons que la détermination à partir des essais de laboratoire et 155


des essais pénétrométriques.

K.4.3.1 Détermination de la force portante à partir des essais de laboratoire (c, ϕ, γ) Remarque : Pour les sols fins il s'agira de cu, car le temps de construction est insuffisant pour dissiper les pressions interstitielles. Comme nous l'avons vu au paragraphe précédent, la charge portante se sépare en résistance de pointe et frottement latéral : la charge ultime en compression s'écrivant : Qu = Q pu + Qsu . Nous détaillerons donc successivement ces deux termes. La détermination de la force portante à partir des essais de laboratoire est basée sur l'hypothèse d'un comportement rigide-plastique su sol : lorsque l'on atteint la charge ultime du pieu, le sol autour du pieu est supposé avoir atteint un état limite dans une certaine zone autour du pieu K.4.3.1.1 Charge ultime en pointe :

Si qp est la contrainte moyenne limite sous la pointe de section A : Qpu = A ⋅ q pu On utilise la formule des fondations superficielles pour évaluer la résistance de pointe des pieux. Comme dans ce cas D est grand devant B le terme de surface est toujours négligeable devant les deux autres et on écrira : q

pu

=

Q

pu = γ DN + 1,3cN = σ N + 1,3cN q c v q c A

K.4.3.1.1.1 Cas d'un sol purement frottant c=0 q

pu

=σ' N v q

Expérimentalement on constate : - que cette formule n'est plus valable pour des encastrements importants : le terme de pointe devient constant à partir d'une certaine profondeur appelée "profondeur critique" ou encastrement limite (Dl), qui dépend de la compacité du milieu (désaccord entre les différents auteurs sur la valeur de cette profondeur limite). - les valeurs habituelles de Nq conduisent à une sous-estimation du terme de pointe. Pour expliquer ce comportement de nombreux auteurs ont proposé des schémas de rupture autour du pieu. La Figure K-23 indique, par exemple, la forme des lignes de glissement proposée par Costet et Sanglerat.

156


- zone I correspond au frottement latéral le long du fût ; dans cette zone, le milieu est en équilibre de quasi-butée ; - la zone II correspond à l'effort de pointe ; dans cette zone on a également un équilibre de butée ;

Figure K-23 : Schéma de fonctionnement d'un pieu (d'après J. Costet et G. Sanglerat)

- Les zones III et IV situées au-delà des lignes de glissement ne sont pas en équilibre plastique, mais pseudo-élastique.

* Des calculs théoriques ont été développés. Ils conduisent à des formules complexes et pas toujours en accord avec les expérimentations. * Des essais de laboratoire, ont conduit Caquot et Kerisel à proposer la valeur de Nq suivante : N q = e 7 tgϕ = 10 3, 04tgϕ . Des essais complémentaires in situ ont conduit à modifier cette formule N q = 10 N ⋅tgϕ (3,7 < N< 2,7 suivant le diamètre du pieu, 3,7 pour des petits diamètres, 2,7 pour des diamètres de 32 cm) Rappel : pour les fondations superficielles les calculs théoriques conduisaient à ⎛π ϕ ⎞ N q = tg 2 ⎜ + ⎟ ⋅ eπ ⋅tgϕ (Nq Minimum) ⎝4 2⎠ La formule N q = 103,04tgϕ (Nq maximum) est introduite dans le calcul de résistance de pointe si les lignes de glissement "se referment" complètement sur le fût i.e. D > Dc (Dc : encastrement critique) ; la "taille" des lignes de glissement est fonction de ϕ (cf. Figure K-24).

157


Caquot et Kerisel proposent pour Dc la valeur 2 B expérimentale : Dc = ⋅ N q 3 4 (B diamètre ou côté du pieu, Nq = Nq maximum) 35,00 30,00

B=2m

25,00

B =1,5 m 20,00 15,00

B =1 m

10,00

B =0,5 m 5,00 0

10

20

30

40

50

angle de frottementφ

Figure K-24 : Influence de l'angle de frottement sur les lignes de glissement Figure K-25 : variation de l'encastrement issues de la pointe (d'après J. Costet et critique en fonction de l'angle de frottement du G. Sanglerat) sol Utilisation pratique :

Q pu

- Dc < D < Dl on utilise Nq maximum i.e. N q = 103, 04tgϕ et Dc q pl = σ v '⋅N q max ; -

D > Dl (rarement atteint dans les cas courants) ;

-

- D < Dc -

158

D'autres préconisent dans ce cas d'utiliser Nqmin et de calculer le frottement latéral sur toute la longueur du pieu

B

Dl

profondeur

-

Certains auteurs proposent une interpolation non linéaire (cf. Figure K-27) de Nq entre Nq minimum et Nq maximum (dans ce cas le frottement latéral n'est pas pris en compte dans la zone "encastrée");

A

Nqmax

Nqmin

Figure K-26

Nq


Figure K-27 : Interpolation de Nq K.4.3.1.1.2 Cas d'un sol purement cohérent cu et ϕu =0 (et contrainte totale) Nq = 1

q pu = γ D + 1,3cu Nc = σ v + 1,3 cu Nc

Q

Souvent on considère que le terme σv = γd est équivalent au poids du pieu (∆Q) q pu = 1,3 cu Nc

contrainte limite (hors poids propre du pieu)

(ϕu =0, mais Nc est supérieur au cas des fondations superficielles ; on prend Nc =7,5) -> q pu ≈ 10 cu

∆Q - γd σ′v Figure K-28

K.4.3.1.2 Frottement latéral :

Il peut être positif (résistant) ou négatif (terrain en cours de tassement, souvent lié à un rabattement de nappe ou une surcharge par un remblai). Considérons, dans un premier temps, le frottement latéral positif.

159


K.4.3.1.2.1 sol frottant

τ

lim

= σ ' tgϕ * n

Q

ϕ* : angle de frottement sol-pieu, fonction de la rugosité ϕ* généralement peu différent de 2/3 ϕ'

σ' = γ ' z v

Si le pieu ne modifie pas l’état des contraintes dans le terrain

σ ' = σ ' = K ⋅ γ ' z (équilibre de révolution et non plus en 2D) n

σ′v

σ′n

h

Quel K prendre ? K0, Ka, Kp (ou Ka = 1/Kp) K0 si on considère le pieu ne modifie pas l’état des contraintes.

Figure K-29

Schématiquement - Pieu battu : enfoncement du pieu -> refoulement du terrain (Figure K-30) -> butée ->Kp

τ lim = σ n '⋅tgϕ * = σ v '⋅K pγ ⋅ sin δ

Figure K-30

δ obliquité (δ =- ϕ*) ou

τ lim = α ⋅ σ v ' - Pieu foré, décompression du sol (Figure K-31) -> Ka

Figure K-31 Remarque : le terme K pγ sin δ ne peut pas être déduit des valeurs de Kp déterminée à partir de l'angle de frottement. En effet la rugosité sol/pieu .modifie l'état de contraintes autour du pieu Le Tableau K-8 et la Figure K-33 proposent des valeurs de α pour un comportement passif. La Figure K-32 représente le cas d'un pieu foncé. Le long du pieu se développe une butée avec un angle d correspondant à l'angle de frottement sol/ pieu : b = K pδ ⋅ σ v ' et

σn δ

b

τ

τ lim = σ v '⋅ K pγ ⋅ sin δ = σ n '⋅ tg (ϕ *) .

Par exemple, pour une rugosité sol/pieu de 2/3ϕ (donc δ = -2/3ϕ puisqu'on est en butée, un angle de frottement de 30°; la valeur de Figure K-32 : Butée le Kpδ lue dans le Tableau L-1 est de 5,49. La valeur de α est donc bien : α = ⋅K pγ ⋅ sin δ = 5,49 ⋅ sin (20°) = 1,88 (cf. Tableau K-8). long d'un pieu

160


φ

α=−φ

α=−2/3φ

10

0,285

0,186

15

0,567

0,364

20

1,030

0,641

25

1,810

1,100

30

3,210

1,880

35

5,850

3,270

40 11,300

5,900

45 23,700

11,400

100

0

α = kpγ.sinδ

Ob liq uit é3ϕ ϕ

5

Ob li

qu

ité

- 2/

10

1

Tableau K-8 : valeur de α en fonction de ϕ Angle de frottement ϕ

0 0

10

20

30

40

50

Figure K-33 : valeur de α en fonction de ϕ K.4.3.1.2.2 sol purement cohérent cu et ϕu =0 Dans les sols purement cohérents, dans le sol : τ

lim

=c u

A l'interface la résistance limite est fonction de cu et de la rugosité de l'interface

τ

lim

= β c (avec β<1 car si β>1 la rupture se produit dans le sol). u cu faible β est peu différent de 1 cu fort β<<1, la cohésion n'est pas entièrement mobilisée

1+ c2 u Cu en bars expérimentalement : β = 1+ 7c2 u K.4.3.1.2.3 sol à cohésion et frottement qs = α σ ' + β c v

h

Frottement latéral total :

Qsu = P ∫ qs (z)⋅ dz 0

P : périmètre de la fondation qs(z) : frottement latéral unitaire à la profondeur z 161


K.4.3.1.3 Remarques sur la détermination de la capacité portante à partir des caractéristiques de laboratoire

Dans ce qui précède, nous avons vu que la détermination de la capacité portante est relativement délicate et fait appel à des formulations semi-empirique, dont les coefficients ont été déterminés à partir d'essais limités et dont la valeur varient en fonction des auteurs. Les insuffisances de cette méthode sont en partie liées à la variation de densité du sol, lors de la mise en place du pieu (par fonçage ou forage). Les règlement actuels préconisent d'effectuer les calculs à partir des informations extraites d'essais in situ. Les formules empiriques issues de ces méthodes ont été ajustées à partir d'expérimentation in-situ.

K.4.3.2 Détermination de la force portante à partir des essais pressiométriques L'essai pénétrométrique permet de déterminer : -

Ep : le module pressiométrique

-

pl : la pression limite

pf : la pression de fluage 1+ ν ∆ V 2 ∆r ≈ =2 ∆p Remarque : r EP V

-

si ν = 0,33 (valeur adoptée par Ménard)

⇒ E p = 2 (1 + ν ) V Ep = 2,66 V

∆p ∆V

∆p ∆V

K.4.3.2.1 Effort de pointe

L'effort de pointe est déterminé d'une manière analogue à la force portante d'une fondation q' = k ⋅ p* + q' ≈ k ⋅ p* p l p l cf. § K.3.1.2.4 0 superficielle : u e e -

p*le est la pression limite nette équivalente est définie pour les fondations profondes par :

1 p *le = 3a + b

a=B/2 si B > 1m

D +3a

∫ p * (z ) ⋅ dz l

D −b

a=0,5 m si B < 1m b = min{a,h}, h étant la hauteur de l'élément de fondation dans la couche porteuse

-

kp est le facteur de portance dont la valeur est fixée par le Tableau K-9. Cette valeur est fonction de la nature du terrain de fondation.

La charge limite de pointe est calculée par : Q pu = A ⋅ q ' pu

162


Nature des terrains (Les catégories conventionnelles de sol sont définies par le Tableau K-4 page 144)

Eléments mis en œuvre Eléments mis en œuvre sans refoulement du sol avec refoulement du sol A B C A B C A B C

1,1 1,4 Argiles-limons 1,2 1,5 1,3 1,6 1,0 4,2 Sables-graves 1,1 3,7 1,2 (***.**) 3,2 1,1 1,6 Craies 1,4 2,2 1,8 2,6 Marnes, marno-calcaires 1,8 2,6 Roches altérées(1) (***.**) 1,1 à 1,8 1,8 à 3,2 (1) la valeur de kp pour ces formations est prise égale à celle de la formation meuble du tableau à laquelle le matériau concerné s'apparente le plus

Tableau K-9 : valeur du facteur de portance kp

163


Tableau K-10 : détermination de qs (d'après Fascicule n°62- Titre V)

164


Figure K-34 : courbes de frottement unitaire limite le long du fût d'un pieu (d'après Fascicule n°62- Titre V) K.4.3.2.2 Effort latéral

Le frottement latéral unitaire qs(z) est fonction de -

la pression limite ;

-

le type de sol ;

-

le type de pieu.

Les règlements proposent des courbes types (cf. page précédente) L'effort total Qs mobilisable par frottement latéral sur toute la hauteur h du fût est calculé par intégration des efforts unitaires : h

Qs = P ∫ q s ( z ) ⋅ dz ou P est le périmètre du pieu 0

K.4.3.2.3 Charge totale limite

Quand les pieux travaillent en compression (cas le plus fréquent) Qu = Q p + Qs Quand les pieux travaillent à l'arrachement : Qu = Qs

K.4.3.3 Détermination de la force portante à partir des essais pénétrométriques Nous ne détaillerons pas cet aspect * Effort de pointe :

qu = k c ⋅ q ce

qce : résistance de pointe lissée équivalente (cf. § K.3.1.3.2 page 145) kc : fonction du type de sol cf. Tableau K-11

165


Nature des terrains

Eléments mis en œuvre sans refoulement du sol

Eléments mis en œuvre avec refoulement du sol

0,40

0,55

0,15

0,50

0,20 0,30

0,30 0,45

A B C A B C A B

Argiles, limons

Sables, graves

Craies

Tableau K-11 : valeur du facteur de portance kc * Effort latéral :

qs est évalué à partir de qc du niveau considéré

K.4.3.4 Détermination de la force portante à partir de méthodes dynamiques

K.4.4 Comportement des groupes de pieux Un pieu dans un groupe à un comportement différent du pieu isolé notamment parce que : -

la mise en place d'un groupement de pieux crée un remaniement du sol plus important ;

-

la charge appliquée sur un pieu a une influence sur le comportement des pieux voisins.

On définit un coefficient d'efficacité Ce par : Charge de rupture d' un groupe de n pieux C = =C efficacité e n × (charge de rupture d 'un pieu isolé ) n : nombre de pieux Ce diminue quand le nombre de pieux augmente. Le coefficient d'efficacité dépend de la distance entre les pieux. On différencie notamment les cas ou : -

l'entre axe est supérieur à 3 diamètres ;

-

l'entre axe est inférieur à 3 diamètres

Différentes formulation permettent d'estimer ce coefficient d'efficacité. On pourra par exemple utiliser la formule de Converse-Labarre : Ce = 1 −

166

( S)⎛2− 1 − 1 ⎞

2 arctan B

π

⎜ ⎝

m

⎟ n⎠

•

B diamètre d’un pieu

•

S entre-axes ;

•

m et n nombre de lignes et de colonnes du groupe.


Les règlements préconisent d'utiliser la formulation qui minimise Ce, donc qui va dans le sens de la sécurité.

K.4.5 Justification Les états limites à considérer sont : -

le sol ;

-

le matériau constitutif des pieux ;

-

les déplacements.

K.4.5.1 Etats limites de mobilisation du sol K.4.5.1.1 Etat limite de mobilisation de la capacité portante

K.4.5.1.1.1 Etat limite de capacité portante du sol pour un pieu isolé Les justifications consistent à vérifier que la charge axiale de calcul en tête de pieu reste comprise entre 2 valeurs Qmin et Qmax. Ces valeurs sont définies par le tableau ci-dessous et dépendent de la combinaison d'actions considérée: Qmax est la valeur maximale autorisée pour Q en compression Qmin est la valeur minimale autorisée pour Q en traction (arrachement). On lui donne un signe négatif

ELU Combinaisons fondamentales

Qmin

Qmax Qu 1,40 Qu 1,20

Qtu Q = − su 1,40 1,40 Q Q − tu = − su 1,30 1,30 Qmin Q − tc 1, 40 0 (*)

−

Combinaisons accidentelles

ELS Combinaisons rares Combinaisons quasi-permanentes

Qmax Qc 1,10 Qc 1,40

* sauf si les éléments de fondation sont conçus pour travailler en traction de façon permanente.

Tableau K-12 : Détermination de Qmin et Qmax Qc la valeur de fluage est déduite des charges limites par les relations suivantes : Q pu

pour des pieux refoulant le sol Qc =

-

pour des pieux ne refoulant pas le sol Qc =

-

pour des pieux travaillant en arrachement Q p = 0 et Qc =

1,5

+

Qsu Qu = ; 1,5 1,5

-

Q pu 2

+

Qsu ; 1,5

Qsu . 1,5

167


Ces valeurs ont été déduites de nombreux essais de chargement en vraie grandeur effectués par le Laboratoire Centrale des Ponts et Chaussées K.4.5.1.1.2 Groupement de pieux Rappelons que l'on définit un coefficient d'efficacité des pieux (cf. § K.4.4) : Charge de rupture d' un groupe de n pieux C = =C efficacité e n × (charge de rupture d 'un pieu isolé ) n

On vérifie que : ∑ Fdi ≤ Ce ⋅ n ⋅Qmax i =1

ou on effectue une vérification pour une fondation "massive" fictive équivalente. K.4.5.1.2 Etat limite de stabilité d'ensemble On vérifie la stabilité d'ensemble vis à vis d'une rupture de pente. K.4.5.1.3 Etat limite du matériau constitutif du pieu Il est nécessaire de vérifier que le matériau constitutif du pieu est suffisant. Les règles relèvent du calcul de structure et sont spécifiées dans les règlements relatifs à ce domaine.

K.4.6 Actions particulières aux fondations profondes K.4.6.1 Frottement négatif Gsf Lorsque l'on se trouve dans une situation" normale", sous l'action d'une charge un pieu a tendance à descendre dans le sol. Pour s'opposer à ce mouvement il y a développement d'une réaction du sol sous la forme d'un : frottement latéral positif.

Si l'on se trouve en présence d'un sol en cours de tassement : le pieu a tendance à "retenir" le sol (le sol surcharge le pieu). Il y a développement d'un frottement dit négatif. Une méthode pour remédier à ce phénomène peut consister en chemisement du pieu

le sol se tasse

réaction du pieu

Figure K-35 : frottement positif

Figure K-36 : frottement négatif K.4.6.2 Poussée latérale Gsn Ce phénomène correspond à l'action latérale d'un remblai, d'une culée de pont sur des pieux. Les calculs actuels sont effectués en supposant que : 168

le sol a un comportement rigide-plastique ;


-

la réaction dans le sol est une fonction linéaire des déplacements ;

-

un pieu a un comportement de poutre ;

-

les déplacements g(z) du sol peuvent être estimés à partir d'une méthode empirique.

Lorsqu’un pieu est sollicité par un effort horizontal T0 et/ou un moment M0 en tête, sa stabilité est assurée par la mobilisation des efforts de réaction latérale du sol sur le fût du pieu. En un point donné la réaction du sol P (en kN/m) est fonction du déplacement latéral y. La courbe P(y) est appelée courbe de réaction du sol. Le module de réaction est défini par : P E s = . Le coefficient de réaction par k = p (p est la pression de la réaction en kPa), donc y y Es = k ⋅ B Lorsque les déplacements sont importants, on atteint une réaction P limite noté Pu (réaction ultime).

169


L OUVRAGES DE SOUTÈNEMENTS L.1 Introduction De nombreux travaux de construction nécessitent la réalisation d'excavations. Afin de réduire l'importance des talus ou d'étayer des tranchées, on est souvent amené à réaliser des ouvrages de soutènement (provisoires ou définitifs).

Figure L-1 : mur poids

Figure L-2 : parois

Le principe du "mur" de soutènement est de reprendre un effort de poussée du sol et de le "retransmettre" au sol en l'équilibrant par : - son poids propre - des ancrages - un encastrement de l'ouvrage (- parfois l'effort est transmis à des butons ou étais dans le cas de tranchées blindées)

Figure L-3 : butons Remarques : •

Dans les efforts, il ne faut pas oublier la poussée de l'eau derrière l'ouvrage, mais aussi sous l'ouvrage (sous-pression)

•

Il y aura éventuellement des tassements si la construction de l'ouvrage de soutènement s'accompagne d'un rabattement de nappe.

L.2 Différents types d'ouvrages de soutènement Les ouvrages de soutènement se distinguent donc par la manière dont les efforts de poussée (du terrain derrière l'ouvrage) sont repris. La poussée peut être reprise par : -

le poids de l'ouvrage ;

-

l'encastrement de l'ouvrage ;

-

l'ancrage de l'ouvrage.

171


Figure L-4 : Différents types de soutènements (d'après Schlosser)

172


Figure L-5 : Graphiques théoriques et réels des pressions des terres en fonction des déplacements horizontaux 173


L.2.1 Poussée reprise par le poids de l'ouvrage de soutènement. Dans ce type d'ouvrage on trouve : - des murs en béton ou en maçonnerie. Ces ouvrages rigides ne supportent pas des tassements différentiels supérieurs à 2-3°/°°. Les gabions ("sacs" de grillage remplis de gros cailloux) peuvent être assimilés à des murs, mais supportent eux des déformations importantes ; - des murs en terre armée. Ce sont ouvrages souples constitués de terrain armé par des bandes d'aciers qui supportent les tassements différentiels du sol de fondation. - des ouvrages cellulaires. Ce sont des ouvrages souples bien que la cellule elle-même soit rigide.

L.2.2 Poussée reprise par l'encastrement La poussée peut être reprise par l'encastrement de l'ouvrage dans le sol de fondation. On trouve dans ce type d'ouvrages : - les murs cantilevers (dont la base élargie est encastrée dans le sol de fondation). Ces murs "fonctionnent" sous l'effet du poids du remblai. - les parois moulées qui beaucoup utilisées en zone urbaine et qui permettent d'atteindre des profondeurs de l'ordre de 100 mètres. - les rideaux de palplanches, ouvrages métalliques encastrés dans le sol de fondation.

L.2.3 Poussée reprise par des ancrages Dans les deux cas cités précédemment (poussée reprise par le poids ou l'encastrement), il est possible d'utiliser des tirants pour reprendre une partie de la poussée des terres. Les tirants sont très fréquents dans le cas des parois, pour limiter la profondeur à encastrer et reprendre provisoirement la poussée des terres. Après excavation les efforts seront repris par les planchers disposés entre les parois et souvent les tirants seront désactivés. Les ouvrages ancrés rencontrés sont donc : - les murs ancrés ; - les parois moulées ancrées ; - les palplanches ancrées. Dans les parois (parois moulées ou palplanches) ancrées la stabilité est assurée par la mise en butée, mais aussi la mise en contrebutée du terrain sur la hauteur ancrée de la paroi.

L.2.4 Ouvrages rigides et souples La poussée agissant sur l'ouvrage est fonction des caractéristiques de l'ouvrage et de ses possibilités de déplacement et de déformations. On distingue parfois les ouvrages rigides ou peu déformables des ouvrages "souples" (il s'agit ici de la déformation sous l'effet de la poussée des terres et non sous l'effet du tassement). Dans le cas des ouvrages dits rigides ("les murs") le calcul pourra s'effectuer par un raisonnement global sur l'ouvrage. Les soutènements souples (les parois) nécessiteront une méthode spécifique de dimensionnement prenant en compte la déformation de l'ouvrage : - les actions et réactions du sol sont fonction des déformations de la paroi ;

174


- il faut vérifier en tout point que la déformation de la paroi reste admissible. Les problèmes à l'interface sol/soutènement devront donc être examinés dans le détail. Dans ce chapitre nous ne nous intéresserons qu'au dimensionnement des ouvrages rigides. Les ouvrages souples seront étudiés ultérieurement.

L.2.5 Stabilité externe/interne Pour dimensionner un ouvrage il va être nécessaire de vérifier : -

-

sa stabilité par rapport aux actions externes, en particulier par rapport à la poussée des terrains ; sa stabilité interne. Il faut vérifier que les contraintes internes au mur vérifient bien les normes de construction du béton ou du béton armé. En principe si le béton n'est pas armé, il ne doit pas travailler en traction. D'après Costet et Sanglerat (cf. [1]), on accepte parfois des contraintes de traction allant jusqu'à 50 kPa et la section la plus critique est généralement celle qui sépare le fut du mur de sa fondation (section xx' Figure L-6).

h/12 : minimum 30 cm

Fruit minimal 2% h

x

de t/2 à t

x' t : (h/8
1/2 à 1/3 de h

Figure L-6 : dimensions usuelles d'un mur poids (d'après Costet et Sanglerat)

La Figure L-6 ci-dessus indique des proportions usuelles pour un mur de soutènement gravitaire. Dans la suite nous nous intéresserons essentiellement à la stabilité externe du mur. Le calcul de la stabilité interne conduit à dimensionner les ferraillages appropriés pour un béton armé.

175


L.3 Dimensionnement des murs poids (Stabilité externe du mur) Les forces qui agissent sur le mur sont : - le poids du mur W ; - la poussée P ou Fa ; (action des terres à l'arrière du mur) - la butée à l'aval Fp (réaction des terres) ; -

δ

W

la réaction du sol sous la fondation R.

Les étapes du calcul de la stabilité externe vont consister à vérifier :

Fp R

- La stabilité au renversement ; - la stabilité au glissement ; - la résistance du sol de fondation et le tassement ;

Fa

Figure L-7 Forces s'exerçant sur un mur poids

- la stabilité générale vis à vis d'un glissement.

L.3.1 Contexte réglementaire L'introduction de l'Eurocode 7 conduit à utiliser le principe des états limites couplés à l'approche semi-probabiliste pour le calcul des soutènements. Les propriétés du sol sont affectées de coefficients de sécurité partiels et les actions sont combinées selon les combinaisons correspondant aux ELU et ELS.

L.3.2 Stabilité au renversement La sécurité vis-à-vis du renversement sera assurée si le moment des forces stabilisantes est supérieur au moment des forces de renversement (forces qui tendent à renverser le mur autour de son arête extérieure) ; c'est à dire essentiellement la composante horizontale de la poussée (PH).

Fa W

On définit le coefficient de sécurité au renforcement FR par : W a + Pv c Moment stabilisant = = FR Moment de renversement Ph b (La poussée Fa ou P est décomposée en une force verticale Pv et une force horizontale PH

O

a

b

c

Figure L-8 : Calcul de la stabilité au renversement par rapport à O.

Le coefficient de sécurité (FR) est calculé en affectant un coefficient de 1,35 aux poussées et 1,4 aux butées (ELU).

176


L.3.3 Stabilité vis à vis d'un glissement sur la base Le coefficient de sécurité FG vis à vis d'un glissement sur la base est défini comme le rapport de la force résistante de cisaillement à la composante tangentielle de la réaction exercée sur la base du mur (qui s'oppose à la résultante des forces appliquées sur le mur). R peut être décomposée en une composante normale N et une composante tangentielle T.

N

R α T

Figure L-9

Si tgϕ∗ est le coefficient de frottement entre le sol de fondation et la base du mur et α l'angle que fait la résultante des forces par rapport à la verticale. La force qui s'oppose au glissement N tgφ * N tgφ * tgφ * = = est : N tgφ *, et FG = T N tgα tgα Souvent pour un contact sol-béton on admet que le coefficient de frottement est : tgφ * = 2 3 tgφ Le coefficient de sécurité FG est calculé en affectant un coefficient de 1,35 aux poussée et 1,4 à la butée (ELU).

L.3.4 Résistance du sol de fondation Le calcul effectué est celui d'une fondation superficielle. Remarque : on suppose que la répartition des contraintes est linéaire ce qui n'est pas toujours le cas : la répartition des contraintes sous le sol de fondation dépend des propriétés du sol et de la rigidité de la fondation. Si on considère que la répartition des contraintes sous le sol de fondation est uniforme, cela revient à admettre que l'on a une fondation infiniment souple (répartition uniforme des contraintes, mais tassement inégalement réparti). Si la fondation est infiniment rigide, le tassement sera uniforme, mais il n'en sera pas de même de la répartition des contraintes.

Figure L-10 : Déformation d'une fondation souple sous une charge de densité uniforme Figure L-11 : Distribution théorique des contraintes sous une plaque rigide (d'après (d'après Costet & Sanglerat) Costet & Sanglerat) On observe également des différences selon le type de sol de fondation :

177


Figure L-12 : Pression de contact (d'après Costet & Sanglerat) Le calcul de résistance du sol de fondation devra tenir compte du fait que la charge est inclinée et excentrée. Par simplification on admet que la répartition des contraintes sous la fondation d'un mur est linéaire mais pas uniforme du fait de l'excentricité de la charge (l'excentricité est la distance e entre le point d'application de la charge et l'axe de la fondation). Les contraintes extrêmes σmax et σmin au droit du talon et du pied du mur sont évaluées de la σmax manière suivante :

σ max =

Qv B

Q ⎛ 6⋅e⎞ ⎜1 + ⎟ et σ min = v B ⎠ B ⎝

B

e Qv

Q σmin

⎛ 6⋅e⎞ ⎜1 − ⎟ B ⎠ ⎝

Figure L-13 : diagramme de (Qv étant la composante verticale de la résultante répartition des contraintes sous l'assise des charges appliquées au mur). d'un mur Pour réduire les tassements différentiels, il est nécessaire de limiter l'excentrement de la charge appliquée. On se fixe comme limite une Q excentricité de B/6 correspondant à un σmin = 0. e Pour une excentricité inférieure à B/6, la résultante des forces passe à l'intérieur du tiers central de la fondation du mur ; pour une excentricité supérieure à B/6, la réaction passe à l'extérieur du tiers central et est alors équilibrée zone en traction par des contraintes de traction sur une partie de la risque de décollement base du mur. Il y a un risque de décollement d'une -> à éviter ! partie de la base du mur. (donc : attention aux Figure L-14 : zone en traction sous un problèmes de traction si e/B>6) mur de soutènement

178


L.3.5 Stabilité générale vis à vis d'un glissement La possibilité d'un glissement d'une partie du sol qui englobe le mur, la surface de rupture passant à l'arrière du mur doit être examinée. Le coefficient de sécurité adopté est celui des glissements soit 1,5 ou 2.

Figure L-15 : Rupture par "grand glissement" et découpage en tranches pour un calcul de stabilité par une méthode de tranches

L.3.6 Différentes étapes d'évaluation de la stabilité d'un mur de soutènement Prédimensionnement

Données Calcul de poussée

non

Vérification vis à vis du poinçonnement du sol de fondation oui Vérification vis à vis du glissement sur la base

oui

oui

Bêche

Vérification du basculement

non

oui non

Vérification du tassement oui

Stabilité générale

non

Revoir l'ensemble du projet

oui Stabilité interne

Figure L-16 : évaluation de la stabilité d'un mur de soutènement 179


L.4 Méthodes classiques de calcul des forces de poussée et de butée Il existe plusieurs méthodes d'évaluation de la poussée et de la butée sur un mur. Les hypothèses communes à toutes ces méthodes sont : 1. Géométrie bidimensionnelle ; 2. Sol en état de rupture. Elles diffèrent par le fait qu'elles considèrent soit une rupture le long d'une surface de rupture (méthode de Coulomb) soit une rupture généralisée du sol (méthodes de Rankine, Boussinesq-Caquot-Kerisel, Sokolowki). Nous allons examiner successivement les particularités de chacune des méthodes :

L.4.1 Méthode de Coulomb (1773 !) Cette méthode permet de déterminer les forces de poussée et de butée s'exerçant derrière un écran ou un mur quelconque sans considération de l'état des contraintes s'exerçant dans le sol derrière le mur. Les hypothèses sont les suivantes : - le sol se rompt suivant une surface de rupture plane passant au pied de l'écran ; - la force agissant sur l'écran a une direction connue, ce qui revient à considérer que l'angle de frottement entre le mur et le sol est connu. La force agissant sur le mur est calculée en considérant l'équilibre statique du coin de sol délimité par le mur, la surface du sol et la surface de rupture plane. La surface de rupture plane fait un angle θ avec l'horizontale et l'on recherche l'angle θ conduisant à la force de poussée (butée) maximum (minimum).

Figure L-17 : calcul de poussée ou de butée exercées sur un mur, par la méthode de Coulomb (d'après Schlosser)

Cette méthode : -

ne permet pas de déterminer le point d'application de la force de poussée. En général on suppose que le point d'application est au tiers de la hauteur du mur (répartition hydrostatique des forces).

-

permet d'examiner l'équilibre même lorsque la géométrie du terrain derrière le mur est complexe ou que la répartition des charges derrière le mur est hétérogène.

-

est valable pour les sols pulvérulents en poussée (l'hypothèse du plan de rupture est relativement bien vérifiée), elle ne l'est plus ni pour les sols cohérents (τ = c + σ tgφ ) ni dans les états de butée.

Conclusion : Cette méthode qui ne prend pas en compte l'état de contrainte permet cependant

180


d'effectuer un pré-dimensionnement rapide d'un mur. Pour évaluer la poussée, on peut utiliser la construction graphique de Culmann

c1 β

W δ

ϕ

β

R

-PA

θ Figure L-18 : Construction graphique de Culmann

δ

β

θ

δ+β

-PA

π/2−(δ+β)

ϕ R

π/2−θ θ−ϕ

181


-P A ε= π/2−(δ+β)

R

θ−ϕ

W

Figure L-19 : Bilan des forces (construction de Culmann

c2 c1 β

ligne de talus

e2

courbe des e

e1

ε ε

b

ϕ ε

S

d2

d1

θ1 θ2

ligne de pression des terres

L Figure L-20 : bS : ligne de talus, angle ϕ par rapport à l'horizontale bL : ligne de pression des terres, angle ε avec bs : ε = π 2 − δ − β ε est l'angle entre la poussée et la verticale (donc le poids) calcul du poids W1 : on considère un point c1 à la surface du talus. Le poids W1 est donc le poids du volume abc1 (+ éventuellement une surcharge). On trace suivant bS une distance proportionnelle à W1 : bd1. Le point e1 est tel que e1d1/ / bL e1d1 // bL ⇒ bde1 = ε 1

182


L.4.2 Méthode de Rankine La rupture est généralisée. Hypothèse : la présence de discontinuités ne modifie pas l'orientation et la répartition des contraintes dans le sol, ce qui signifie qu'il n'y a pas de modification de l'orientation des lignes de glissement du fait de la présence d'un mur (cela correspond à supposer qu'il n'y a pas de frottement entre l'écran et le sol).

Figure L-21 : hypothèse de la méthode de Rankine (d'après Schlosser) Initialement le sol est au repos :

σh = K0 σv

Selon que l'on est expansion où compression on va tendre vers

σh = Kp σv

σh = Ka ou σv

Figure L-22 Coefficient K0 de pression des terres au repos (d'après Schlosser)

183


Figure L-23 : Etats de contraintes de poussée et de butée pour un sol pulvérulent, dans le cas géostatique (d'après Schlosser) L.4.2.1 Calcul de la force de poussée pour un massif pulvérulent à surface horizontale (méthode de Rankine) Considérons un mur à parement vertical, dans un massif à surface horizontale, constitué d'un sol pulvérulent saturé. La nappe affleure à la surface du massif. Si le sol est en état de rupture de poussée, la contrainte qui s'exerce sur le mur est horizontale, principale et s'écrit :

Figure L-24

σ h = u + K a ⋅ σ 'v

184

avec

K

a

⎛π ϕ ⎞ = tg 2 ⎜ − ⎟ ⎝4 2⎠


(le coefficient de poussée ne s'applique qu'aux grains du sol)

( a

)z w

(

σ = γ z + K γ −γ

ou

F = P + P = 1 γ H 2 + 1 K γ 'H 2 2 a 2 w a w 1

h

w

donc

)

H F = ∫ σ dz = 1 γ + K γ ' H 2 2 w a 0 h a

ou

La répartition des contraintes est linéaire et la force de poussée Fa est appliquée au tiers de la hauteur à partir de la base. Attention ici on a fait un calcul en contrainte effective pour le calcul de l'équilibre limite, mais 2 on a bien tenu compte de la poussée due à l'eau dans le terme : 1 2 γ w H . Si l'eau n'affleure qu'à la côte h1 : F = P + P = 1 γ H − h 2 + 1 K ⎡γ h 2 + γ ' H − h 2 ⎤ + K γ h H − h 2 w 2 a ⎢⎣ d 1 a w 1 1 1 ⎥⎦ a d 1 1

(

)

(

)

(

)

L.4.2.2 Stabilité d'une tranchée dans un sol cohérent ? Si on exécute une tranchée à parois verticales dans un sol fin cohérent saturé, pour quelle hauteur H atteindra-t-on l'équilibre limite ? Si l'on ne s'intéresse qu'à l'état de contraintes et pour l'équilibre à cours terme (on travaille en contraintes totales) : σ = 0 et σ = γz h v

τ lim = cu H=

donc

σ v − σ h = 2cu

σz B

soit

σv

2cu

γ

γH

Remarque : Dans cette analyse on ne s'intéresse qu'à l'état de contrainte et la solution constitue donc une borne inférieure du résultat. Par une méthode de borne supérieure (champ cinématiquement acceptable) on pourrait montrer que la hauteur critique Hc est 4cu . La solution est donc : inférieure à

γ

2cu 4c < Hc < u . Heyman (1973) a montré par d'autres γ γ 2,83 cu 3,83 cu < Hc < (la schémas de rupture que :

γ

A

0

Figure L-25 τ cu A B

γH

σ

γ

borne supérieure est ici obtenue en faisant l'hypothèse que la surface de discontinuité est une spirale logarithmique).

Figure L-26

L.4.2.3 Calcul de la force de poussée pour un massif à cohésion et frottement (méthode de Rankine) Dans le cas d'un massif ayant une cohésion, il y a une adhérence a entre le sol et le mur. A l'interface sol mur on a : τ = a + σ tgδ avec a ≤ c(c: cohésion du sol). Pour un écran 185


parfaitement rugueux on aura δ = φ et a = c. pour un écran parfaitement lisse δ = 0 et a = 0. a tgδ Dans le cas général on prendra pour l'adhérence a la valeur telle que : = c tgφ On utilise le théorème des états correspondants, c'est à dire que le milieu est considéré comme purement frottant en transformant :

σ 3 → σ 3 + H avec H = c cotgϕ σ 1 → σ 1 + H ou H = a cotgϕ si on considère que toute la cohésion n'est pas mobilisée Pour un massif frottant et cohérent on a donc : σ ' H = K aσ 'V −2c' K a . En effet pour un milieu frottant et cohérent en se référant au cercle de Mohr on peut écrire : σ ' H + c' tgϕ ' σ ' + c' cotgϕ' = Ka avec : = K a ou H c' σ ' V + tgϕ' σ ' V + c' cotgϕ '

Ka =

1 − sin ϕ ' 1 ⎛π ϕ '⎞ = tg 2 ⎜ − ⎟ = 1 + sin ϕ ' ⎝ 4 2 ⎠ tg 2 ⎛ π + ϕ ' ⎞ ⎜ ⎟ ⎝4 2 ⎠

On peut en déduire que :

σ ' H = Kaσ ' V +c'

cosϕ ' ⎜⎛ 1 − sinϕ ' ⎞ cosϕ ' ⎜⎛ −2 sinϕ ' ⎞ + 1 = Kaσ ' V +c' sinϕ ' ⎝ 1 + sinϕ ' ⎠ sin ϕ ' ⎝ 1 + sin ϕ ' ⎠

soit : σ ' H = Kaσ ' V −2 c'

cosϕ ' cos ϕ' ⎛ π ϕ' or : = tg⎝ − ⎞⎠ = Ka 1 + sinϕ ' 4 2 1+ sin ϕ'

on en déduit bien : σ ' H = Kaσ ' V −2c' K a Cette méthode d'évaluation des contraintes horizontales peut conduire à des valeurs négatives (traction théorique) des contraintes horizontales si Kaσ ' V < 2c' K a . Cette traction qui tendrait à sous estimer la valeur de la poussée n'est pas prise en compte, car on considère qu'il ne peut pas y avoir de développement de tractions à l'interface sol/mur. Conclusion sur la Méthode de Rankine : on impose la direction de la contrainte sur le mur ce qui est restrictif. Cette méthode permet cependant de donner un ordre de grandeur valable de la poussée (surestimation de la poussée), par contre elle sous-estime la butée. Globalement elle sous-estime donc le coefficient de sécurité.

L.4.3 Méthode de Boussinesq-Caquot-Kerisel Cette méthode prend en compte le frottement sol/mur. Elle conduit à la modification de l'orientation des lignes de glissement. Elle est donc plus rigoureuse que la méthode de Rankine. L'obliquité δ de l'action limite sur la paroi est une donnée mécanique qui dépend de l'angle de frottement sol/écran et du déplacement relatif terrain/écran. Cet angle de frottement est souvent appelé "rugosité" et il est souvent considéré, conventionnellement, comme égal à 2/3 (en valeur absolue) de l'angle de frottement dans le sol.

186


A la surface libre σ = 0 ; Au niveau de l'écran σ a une obliqüité imposée par δ : τ = c + σ tgδ (avec 0 ≤ δ ≤φ ). En un point M(r,θ) les contraintes sont (σr, σθ) et on admet que sur un rayon l'intensité des contraintes orthoradiales (σθ) est proportionnelle à r : σ θ = r ⋅ f (θ )

O

Surface libre

β z

λ

On peut alors montrer que : σ θ = Kγ ⋅ γ ⋅r

M (r,θ)

Kγ étant fonction de β, λ, φ et δ.

p δ écran Figure L-27 : Boussinesq

Les différents coefficients (Ka, Kp) ont été tabulés en fonction de l'angle du mur (λ), de l'angle du talus derrière le mur (β), du frottement sol/mur ou rugosité (δ) et de l'angle de frottement interne du sol(ϕ). (Un extrait de ces tables est présenté page suivante). Les tables donnent directement le coefficient de poussée Ka ou de butée Kp à la profondeur z. En poussée par exemple, la contrainte s'exerçant sur l'écran à la profondeur z fait un angle δ (rugosité) avec la normale à l'écran (cf. Figure L-27) et son intensité est : p = K a ⋅ γ ⋅ z Remarques : -

en butée l'angle δ est orienté négativement.

-

si δ = 0 (mur lisse) et le mur vertical ; les coefficients de Boussinesq, Caquot Kerisel sont identiques à ceux de Rankine

187


Tableau L-1 : valeur des coefficient de poussée et de buté d'après Caquot et Kérisel 188


L.4.4 Influence d'une surcharge et de l'eau Si on note K le rapport entre σv et p (contrainte de poussée sur le mur), K étant évalué soit par la méthode de Rankine, soit par la méthode de Boussinesq-Caquot-Kerisel Remarque : pour la méthode ⎛π ϕ⎞ 2 Nϕ = tg ⎝ + ⎠ ⇒ K a = 1 N et K p = Nϕ 4 2 ϕ

de

Rankine

si

on

note

q : surcharge uniforme σh Terrain au-dessus de la nappe

Terrain sous la nappe

H1

P1 P4

H2 P2 z

ΚγH1

P3P3 Κ γ' H 2

surcharge constante

Pw γ H Kq w 2

Figure L-28 : Influence d'une surcharge et de l'eau

P1 = 1 2 K γ H12 P = γ K H1 H 2 2 2 P = 1 2 K γ ' H2 3 2 P = 1 2 γ w H2 w P = K q (H1 + H2 ) 4

γ est le poids volumique dans la zone non saturée. γ' est le poids volumique saturé déjaugé.

Cette surcharge uniforme qui peut correspondre, par exemple, à une surélévation aura une influence sur toute la hauteur du mur.

Remarque : Pour un milieu cohérent et des faibles surcharges, l'application du théorème des états correspondant peut conduire à un calcul de contraintes verticales négatives, c'est à dire des tractions. Comme l'interface sol/mur ne peut généralement pas subir d'effort de traction, ces valeurs négatives ne sont pas prises en compte dans les calculs.

189


Calcul pratique : Il est intéressant de réaliser deux tableaux de ce type (1 à court terme, 1 à long terme) N° de profondeur la couche 1 2 3

σv

u

σ'v

K

c

0

K1

c1

h1

K1

c1

h1

K2

c2

h2

K2

c2

h2

K3

c3

h3

K3

c3

hi-1

Ki

ci

hi

Ki

ci

σ'h

σv

… i Avec

190

σ 'V = σV − u

σ ' H = Kaσ ' V −2c' K a

σ H = σ 'H + u

diagramme de poussée

Eléments de Bibliographie Bibliographie relative à l'ensemble du Polycopié [1] COSTET J. ET SANGLERAT G., 1981, Cours pratique de mécanique des sols, Dunod

Propriétés physiques et géométriques des terrains [2] AMAR S., MAGNAN J.P., 1980, Essais de mécanique des sols en laboratoire et en place, aide mémoire, rapport LCPC [3] FILLIAT G., 1981, La pratique des sols et des fondations, Editions du Moniteur [4] LAMBE T.W. et WHITMAN R.V., 1969, Soil mechanics, John Wiley (M.I.T.) [5] SCHLOSSER F., 1988, Éléments de mécanique des sols, Presses de l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées

Instabilités liées à la fracturation en l'absence d'eau [6] Association des ingénieurs anciens élèves de l'Ecole Nationale des Ponts et chaussées, La mécanique des roches appliquées aux ouvrages du Génie Civil [7] BRADY B. H. G. and BROWN E. T., 1993, Rock mechanics for underground mining (2nd edition), Chapman & Hall, London [8] GOODMAN, Richard E., 1989, Introduction to rock mechanics (2nd edition), John Wiley & Sons, Inc, New York [9] HUDSON John A., 1992, Rock engineering systems, Theory and Practice, Ellis Horwood, New York [10] PRIEST Stephen D., 1993, Discontinuity analysis for rock engineering, Chapman & Hall, London

Remblais sur sol compressible [11] Guide Technique SETRA/LCPC, 1992, Réalisation des remblais et des couches de forme (ISBN 2.11.085.707.2) …

191


Fondations [12]

Eurocode 7, 1997, Norme ENV

[13] FRANK R., 1999, Calcul des fondations superficielles et profondes, Presses de l’Ecole des Ponts et Chaussées, éditions Techniques de l’Ingénieur. [14] FRANK R., 1998, Fondations superficielles, C246-1, Revue des Techniques de l'ingénieur, traité de construction, volume C24 [15] FRANK R., 1995, Fondations profondes, C248-3, Revue des Techniques de l'ingénieur, traité de construction, volume C24 [16] Fascicule n°62- Titre V : Règles Techniques de conception et de calcul des Ouvrages de Génie Civil Cahier des clauses techniques générales applicables aux marchés publics de travaux. mars 1993

192


ANNEXE 1 Coordonnées cylindriques Déformations ∂u ε rr = r ∂r 1⎡ ∂u εθθ = ⎢ur + θ ⎤⎥ r⎣ ∂θ ⎦ ∂u ε zz = z ∂z 1 ∂u u 1 ∂ur ⎤ ε rθ = ⎡⎢ θ − θ + r r ∂θ ⎥⎦ 2 ⎣ ∂r 1 ∂u ∂u ε rz = ⎡⎢ r + z ⎤⎥ ∂r ⎦ 2 ⎣ ∂z 1 ∂u 1 ∂uz ⎤ εθ z = ⎡⎢ θ + 2 ⎣ ∂z r ∂θ ⎥⎦ Equations d'équilibre ∂σ rr 1 ∂σ rθ ∂σ rz σ rr − σ θθ + + + =0 ∂r ∂z r ∂θ r ∂σ rθ 1 ∂σ θθ ∂σ θ z σ + + + 2 rθ = 0 ∂r ∂z r ∂θ r ∂σ rz 1 ∂σ θ z ∂σ zz σ rz + + + =0 ∂r ∂z r ∂θ r Loi de Hooke

σ rr = ( λ + 2 µ ) ε rr + λ (ε θθ + ε zz ) σ θθ = λε rr + ( λ + 2 µ ) ε θθ + λε zz σ zz = λε rr + λε θθ + ( λ + 2 µ ) ε zz σ rθ = 2 µ ⋅ ε rθ σ rz = 2 µ ⋅ ε rz σ θ z = 2 µ ⋅ εθ z

λ λ σ rr λ + 2µ λ λ + 2µ λ σθθ λ λ λ + 2µ σ zz = 0 0 0 σ rθ 0 0 0 σ rz 0 0 0 σθ z

0 0 0 2µ

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

2µ 0

0 2µ

ε rr εθθ ε zz ⋅ ε rθ ε rz εθ z

193

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