UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA MINERA Y METALURGICA
VENTILACION DE MINA EVOLUCION DE LA MECANICA DE FLUIDOS RAMOS HIDALGO Isaac 20051158E
EVOLUCION DE LA MECANICA DE FLUIDOS Varios matemáticos geniales del siglo XVIII; Bernoulli, Clairaut, D'Alembert, Lagrange y Euler habían elaborado, con la ayuda del cálculo diferencial e integral, una síntesis hidrodinámica perfecta; pero no habían obtenido resultados prácticos ni explicado ciertos fenómenos observados en la realidad. Por otro lado, los técnicos hidráulicos habían desarrollado multitud de fórmulas empíricas y experimentos para la solución de los problemas que las construcciones hidráulicas presentaban, sin preocuparse de buscarles base teórica alguna. El aporte de Prandtl fue justamente lograr que ambas tendencias se unifiquen para marcar el inicio de una nueva ciencia con base teórica y respaldo experimental. El cuadro presentado es una síntesis apretada de los científicos v técnicos que contribuyeron al desarrollo de la mecánica de fluidos. Concepto y clasificación de la Mecánica de los Fluidos:
Es la parte de la mecánica que estudia el comportamiento de los fluidos en equilibrio (Hidrostática) y en Movimiento (Hidrodinámica). Esta es una ciencia básica de la Ingeniería la cual tomó sus principios de las Leyes de Newton y estudia la estática, la cinemática y la dinámica de los fluidos. Se clasifica en: − Estática: De los líquidos llamada Hidrostática. De los gases llamada Aerostática. − Cinemática: De los líquidos llamada Hidrodinámica. De los gases llamada Aerodinámica. La Mecánica de Fluidos es la disciplina científica que se ocupa de la interacción de los fluidos con su entorno, así como de las aplicaciones de ingeniería que utilizan fluidos. La mecánica de fluidos es fundamental en prácticamente todos los campos de la ingeniería: industrial, aeronáutica, naval, química, civil,...; así como en disciplinas científicas: oceanografía, meteorología, acústica. Básicamente la mecánica de fluidos puede dividirse en: la estática de fluidos, que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinámica de fluidos, que trata de fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica se aplica al flujo de líquidos o gases a baja velocidad, en los que puede considerarse que no hay variaciones de densidad, que se denominan incompresibles. La aerodinámica se ocupa del comportamiento
de los gases cuando los cambios de velocidad y presión son suficientemente grandes para que sea necesario tener en cuenta los efectos de compresibilidad. El interés por la dinámica de fluidos se remonta a las aplicaciones más antiguas de los fluidos en ingeniería. El matemático y filósofo griego ARQUÍMEDES realizó una de las primeras contribuciones con la invención del “tornillo sin fin” que se le atribuye tradicionalmente. Los romanos desarrollaron otras máquinas y mecanismos hidráulicos; no sólo empleaban el tornillo de Arquímedes para trasegar agua en agricultura y minería, sino que construyeron extensos sistemas de conducción de agua, los acueductos. Durante el siglo I a. C., el ingeniero y arquitecto VITRUBIO inventó la rueda hidráulica horizontal, que revolucionó la técnica de moler grano. Después de Arquímedes pasaron más de 1600 años antes de que se produjera el siguiente avance científico significativo, debido al gran genio italiano LEONARDO DA VINCI, que aporto la primera ecuación de la conservación de masa, o ecuación de continuidad y desarrollo múltiples sistemas y mecanismos hidráulicos y aerodinámicos. Posteriormente el matemático y físico italiano Evangelista TORRICELLI, invento el barómetro en 1643, y formuló el teorema de Torricelli, que relaciona la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio de un recipiente, con la altura del líquido situado por encima del agujero. La génesis de la actual mecánica de fluidos se debe al matemático y físico inglés Isaac NEWTON, con la publicación en 1687 de los Philosophie naturalis principia matemática se inicia el carácter científico de la disciplina, en donde se analiza por primera vez la dinámica de fluidos basándose en leyes de la naturaleza de carácter general. En 1755 el matemático suizo Leonard EULER, dedujo las ecuaciones básicas para un fluido ideal.
EULER fue el primero en reconocer que las leyes dinámicas para los fluidos sólo se pueden expresar de forma relativamente sencilla si se supone que el fluido e ideal, en donde se desprecian los efectos disipativos internos por transporte de cantidad de movimiento entre partículas, el fluido es no viscoso. Sin embargo, como esto no es así en el caso de los fluidos reales en movimiento, los resultados con las ecuaciones de Euler, sólo pueden servir de estimación para flujos en los que los efectos de la viscosidad son pequeños. La siguiente aportación de gran importancia, fue la primera expresión de la ecuación de conservación de energía, dada por Daniel BERNOULLI con la publicación en 1738 de su Hydrodinamica sive de viribus et motibus
fluidorum comentarii; el denominado teorema de Bernoulli, establece que la energía mecánica total de un flujo incompresible y no viscoso es constante a lo largo de una línea de corriente (líneas de flujo que son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y que en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido). El problema de los efectos viscosos de disipación de energía, se empezó a abordar experimentalmente con flujos a baja velocidad en tuberías, independientemente en 1839 por el médico francés Jean POISEUILLE, que estaba interesado por las características del flujo de la sangre, y en 1840 por el ingeniero alemán Gotthif HAGEN. El primer intento de incluir los efectos de la viscosidad en las ecuaciones de gobierno de la dinámica de fluidos, se debió al ingeniero francés Claude NAVIER en 1827 e, independientemente, al matemático británico George STOKES, quien en 1845 perfeccionó las ecuaciones básicas para los fluidos viscosos incompresibles. Actualmente se las conoce como ecuaciones de Navier-Stokes. En cuanto al problema del flujo en tuberías de un fluido viscoso, parte de la energía mecánica se disipa como consecuencia del rozamiento viscoso, lo que provoca una caída de presión a lo largo de la tubería; las ecuaciones de Navier-Stokes, sugieren que la caída de presión era proporcional a la velocidad media. Los experimentos llevados a cabo a mediados del siglo XIX demostraron que esto sólo era cierto para velocidades bajas; para velocidades altas, la caída de presión era más bien proporcional al cuadrado de la velocidad. Este problema no se resolvió hasta 1883, cuando el ingeniero británico Osborne REYNOLDS demostró la existencia de dos tipos de flujo viscoso en tuberías. A velocidades bajas, las partículas del fluido siguen las líneas de corriente (flujo laminar) y los resultados experimentales coinciden con las predicciones analíticas; a velocidades más elevadas, surgen fluctuaciones en la velocidad del flujo o turbulencias (flujo turbulento), en una forma difícil de predecir completamente. Reynolds también determinó que la transición del flujo laminar al turbulento era función de un único parámetro, que desde entonces se conoce como número de Reynolds (Re=VLρ/μ). Los flujos turbulentos no se pueden evaluar exclusivamente a partir de las predicciones de las ecuaciones de conservación, y su análisis depende de una combinación de datos experimentales y modelos matemáticos. Gran parte de la investigación moderna en mecánica de fluidos está dedicada a una mejor formulación de la turbulencia, y que junto con las nuevas técnicas de simulación en ordenador (CFD: computational fluid dynamics ), están resolviendo problemas cada vez más complejos.
La complejidad de los flujos viscosos, y en particular de los flujos turbulentos, restringió en gran medida los avances en dinámica de fluidos hasta que el ingeniero alemán Ludwing PRANDTL publicó un artículo en el congreso de matemática aplicada, que muchos flujos pueden separarse en dos regiones principales. La región próxima a la superficie de interacción entre fluido y sólido está formada por una delgada zona en donde se manifiestan los efectos viscosos, y puede simplificarse el modelo matemático; fuera de esta capa límite, se pueden despreciar los efectos viscosos, y pueden emplearse las ecuaciones más simples para flujos no viscosos. La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del desarrollo de los perfiles aerodinámicos, de las alas de los aviones, y de los alabes de las turbo máquinas. Posteriores desarrollos y aplicaciones de la teoría de capa límite han sido desarrollados por varios investigadores: como el ingeniero húngaro Theodore von KARMAN (discípulo del propio Prandtl), el matemático alemán Richard von MISES, y el físico británico Geoffrey TAYLOR. El interés por el flujo de gases (flujo compresible) comenzó con el desarrollo de turbinas de vapor por el inventor británico Charles PARSONS y el ingeniero sueco Carl de LAVAL durante la década de 1880; pero los avances modernos tuvieron que esperar al desarrollo de la turbina de combustión y la propulsión a chorro de la década de 1930; y los posteriores estudios de balística y en general flujos a alta velocidad. El comportamiento en el flujo de un gas compresible depende de si la velocidad del flujo es mayor o menor que la velocidad de perturbaciones en el flujo; velocidad sónica o velocidad del sonido es la velocidad de pequeñas perturbaciones en el seno del fluido. Para un gas ideal, la velocidad del sonido es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta. Si la velocidad del flujo es menor que la sónica, flujo subsónico, las ondas de presión pueden transmitirse a través de todo el fluido y así adaptar el flujo que se dirige hacia un objeto; si la velocidad es mayor que la sónica, flujo supersónico, las ondas de presión no pueden viajar aguas arriba para adaptar el flujo; así el aire que se dirige hacia el ala de un avión en vuelo supersónico no esta preparado para la perturbación que va a causar el ala y tiene que cambiar de dirección repentinamente en la proximidad del ala, lo que lleva a una compresión intensa u onda de choque. La relación entre la velocidad del flujo y la velocidad sónica se denomina número de Mach, en honor al físico austriaco Ernest MACH. En cuanto a la estática de fluidos, su característica fundamental es que la fuerza ejercida por el entorno sobre cualquier partícula del fluido estático, es la misma en todas las direcciones; si las fuerzas fueran desiguales, la
partícula se desplazaría en la dirección de la fuerza resultante. De ello se deduce que la fuerza por unidad de superficie que el fluido ejerce contra las paredes del recipiente que lo contiene, es perpendicular a la pared en cada punto; a la fuerza normal por unidad de superficie se le denomina presión. Este concepto fue formulado por primera vez por el matemático francés Blaise PASCAL en 1647, y se conoce como principio de Pascal. El otro principio importante en estática de fluidos fue descubierto por el matemático griego ARQUÍMEDES; el principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza vertical ascendente igual al peso del fluido desplazado por dicho cuerpo. El punto sobre el que puede considerarse que actúan todas las fuerzas de flotación, se llama centro de flotación (centro de carena en un buque). El centro de flotación está situado en la vertical del centro de gravedad del cuerpo; si está por encima el objeto flota en equilibrio y es estable; si el centro de flotación está por debajo del centro de gravedad, solo hay estabilidad si la distancia metacéntrica es positiva.
Ecuación de Bernoulli 1) Formulación de la ecuación
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluído bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:
2) Parámetros En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes:
•
• • •
•
: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean : Densidad del fluido. : Velocidad de flujo del fluido. : Valor de la aceleración de la superficie de la Tierra). : Altura sobre un nivel de referencia.
gravedad
( en
la
3) Aplicabilidad
Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluídos. Un fluído se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluídos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluídos son tanto gases como líquidos. Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: • El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo. • Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna). • Se considera que el líquido está bajo la acción del campo gravitatorio únicamente. 4) Efecto Bernoulli
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluído fluja en horizontal un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá. Un ejemplo práctico es el caso de las alas de un avión, que están diseñadas para que el aire que pasa por encima del ala fluya más velozmente que el aire que pasa por debajo del ala, por lo que la presión estática es mayor en la parte inferior y el avión se levanta.
5) Tubo de Venturi
El caudal (o gasto) se define como el producto de la sección por la que fluye el fluído y la velocidad a la que fluye. En dinámica de fluídos existe una ecuación de continuidad que nos garantiza que en ausencia de manantiales o sumideros, este caudal es constante. Como implicación directa de esta continuidad del caudal y la ecuación de Bernoulli tenemos un tubo de Venturi.
Un tubo de Venturi es una cavidad de sección
por la que fluye un fluído y
que en una parte se estrecha, teniendo ahora una sección caudal se conserva entonces tenemos que
. Como el
. Por tanto:
Si el tubo es horizontal entonces, y con la condición anterior de las velocidades vemos que, necesariamente, Es decir, un estrechamiento en un tubo horizontal implica que la presión estática del líquido disminuye en el estrechamiento. 6) Breve historia de la ecuación
Los efectos que se derivan a partir de la ecuación de Bernoulli eran conocidos por los experimentales antes de que Daniel Bernoulli formulase su ecuación, de hecho, el reto estaba en encontrar la ley que diese cuenta de todos esto acontecimientos. En su obra Hydrodynamica encontró la ley que explicaba los fenómenos a partir de la conservación de la energía (hay que hacer notar la similitud entre la forma de la ley de Bernoulli y la conservación de la energía). Posteriormente Euler dedujo la ecuación para un líquido sin viscosidad con toda generalidad (con la única suposición de que la viscosidad era despreciable), de la que surge naturalmente la ecuación de Bernoulli cuando se considera el caso estacionario sometido al campo gravitatorio.
ECUACION DE CHEZY
Para la solución de alguno de los problemas, se cuenta con gran cantidad de expresiones. La primera ecuación de flujo desarrollada fue la ecuación de Chezy, quién en 1775, a partir de datos experimentales, desarrolló una ecuación para la solución de los problemas anteriormente mencionados, aplicable a agua fluyendo en canales abiertos:
En donde hf son las pérdidas por fricción, L la longitud del canal, R el radio hidráulico y C un coeficiente que tiene en cuenta el material del canal.
ECUACION DE DARCY - WEISBACH En 1845, Darcy, Weisbach y otros, obtuvieron a partir de datos experimentales una ecuación para calcular las pérdidas por fricción en un tubo. Aunque esta expresión se desarrolló en forma empírica, puede deducirse realizando un balance de fuerzas sobre un elemento finito de fluido sin aceleración y aplicando simultáneamente la ecuación de balance de energía o mediante el análisis dimensional. La forma general de la ecuación es:
En donde l es un coeficiente que tiene en cuenta las propiedades del fluido y el material de la tubería. Si se incluye el factor de fricción en la ecuación 2, teniendo en cuenta que para conductos circulares el radio hidráulico es D/4 y que l es igual a f/4, se genera la expresión
ECUACIÓN DE ATKINSON Para pérdidas por fricción
H= (KLPQ2)/A3 Dónde: H = Depresión en Pa K = Factor de fricción en Ns2/m4 L = Distancia en metros P = Perímetro en metros Q = Volumen en m3/seg. A = A rea en m2 O Bien
H=RQ2 Dónde: H = Depresión en Pa Q = Volumen en m3/seg R = Resistencia en Ns2/m8 LEY DE RESISTENCIA
La diferencia de presión entre dos áreas de un ducto está dada por la ecuación de Atkinson:
Hf =
*Lf * p * V2 / A
Dónde: Lf = largo de la labor en metros A = área de la labor en m2 p = perímetro de la labor en metros V = velocidad del aire en m / seg α = coeficiente de resistencia aerodinámica en kg seg2/m4 α = f * γ / 8g f = coeficiente de roce
= peso específico del aire en kg / m3 g= aceleración de gravedad m/seg2 γ
