INSTITUTO TECNOLOGICO DE CHETUMAL PROSESOR: DR. ING. SALVADOR FELIPE ESPINET VÁZQUEZ ALUMNO: ERIBERTO CANO TAMAY CARRERA: INGENIERIA CIVIL
ASIGNATURA
MODELOS DE OPTIMIZACION DE RECURSOS HUMANOS
EVIDENCIA DE LA UNIDAD 3 Y 4 SEMESTRE:III GRUPO:C TURNO:VESPERTINO Página 1
INDICE
PORTADA………………………………… PORTAD A…………………………………………………………………………...…… ………………………………………...…….1 .1
INVESTIGACION DE LA UNIDAD 3……………………………………………………3 ALGORITMOS ESPECIALES DE PROGRAMACION LINEAL………………….….3 EL PROBLEMA DE TRANSPORTE……………………………………………………7
EL PROBLEMA DE ASIGNACION…….……………………………………………..11 INTERPRETACION DE LOS TEMAS………………………………………………..21
ALGORITMOS ESPECIALES DE PROGRAMACION LINEAL…………………...21 EL PROBLEMA DE TRANSPORTE ………………………………………………...22 EL PROBLEMA DE ASIGNACION………………………………………………..…23
USO DE SOFTWARE SOFTWARE………………………………………….. …………………………………………..………………….….24 ………………….….24
INVESTIGACION DE LA UNIDAD 4…………………………………….……….…27 MODELO DE FLUJO EN REDES……………………………………….……….…27 EL MODELO DEL CAMINO MAS CORTO…………………….……….………... 28 EL MODELO DE FLUJO MAXIMO……………………………………….……..…33
EL MODELO DEL ARBOL DE EXPANSION MINIMA………………….…….….36 INTERPRETACION DE LOS TEMAS…………………………………….…….…40 MODELO DE FLUJO EN REDES………………………………………….………40 EL MODELO DEL CAMINO MAS CORTO………………………………..……..40 EL MODELO DE FLUJO MAXIMO………………………………………….…….41
EL MODELO DEL ARBOL DE EXPANSION MINI MA………………… MA……………………...... …........43 USO DE SOFTWARE SOFTWARE………………………………………………… …………………………………………………………...… ………...….45 DICCIONARIO DE LA TEORIA DE GRAFOS O REDES……………………..46
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INDICE
PORTADA………………………………… PORTAD A…………………………………………………………………………...…… ………………………………………...…….1 .1
INVESTIGACION DE LA UNIDAD 3……………………………………………………3 ALGORITMOS ESPECIALES DE PROGRAMACION LINEAL………………….….3 EL PROBLEMA DE TRANSPORTE……………………………………………………7
EL PROBLEMA DE ASIGNACION…….……………………………………………..11 INTERPRETACION DE LOS TEMAS………………………………………………..21
ALGORITMOS ESPECIALES DE PROGRAMACION LINEAL…………………...21 EL PROBLEMA DE TRANSPORTE ………………………………………………...22 EL PROBLEMA DE ASIGNACION………………………………………………..…23
USO DE SOFTWARE SOFTWARE………………………………………….. …………………………………………..………………….….24 ………………….….24
INVESTIGACION DE LA UNIDAD 4…………………………………….……….…27 MODELO DE FLUJO EN REDES……………………………………….……….…27 EL MODELO DEL CAMINO MAS CORTO…………………….……….………... 28 EL MODELO DE FLUJO MAXIMO……………………………………….……..…33
EL MODELO DEL ARBOL DE EXPANSION MINIMA………………….…….….36 INTERPRETACION DE LOS TEMAS…………………………………….…….…40 MODELO DE FLUJO EN REDES………………………………………….………40 EL MODELO DEL CAMINO MAS CORTO………………………………..……..40 EL MODELO DE FLUJO MAXIMO………………………………………….…….41
EL MODELO DEL ARBOL DE EXPANSION MINI MA………………… MA……………………...... …........43 USO DE SOFTWARE SOFTWARE………………………………………………… …………………………………………………………...… ………...….45 DICCIONARIO DE LA TEORIA DE GRAFOS O REDES……………………..46
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INVESTIGACION DE LA UNIDAD 3 ALGORITMOS ESPECIALES DE PROGRAMACION LINEAL
La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales,, optimizando la función objetivo, también lineal. lineales Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
Cronología[1] Año
Acontecimiento
Fourier anticipa la programación lineal. Carl Friedrich Gauss 1826 Joseph resuelve ecuaciones lineales por eliminación "gaussiana ". ". 1902 Gyula Farkas concibe un método para resolver sistemas de desigualdades. George Dantzig publica el algoritmo simplex y John von Neumann desarrolló la teoría de la dualidad. 1947 Se sabe que Leonid Kantoróvich también formuló la teoría en forma independiente. Narendra Karmarkar introduce el método del punto interior para resolver 1984 problemas de programación lineal. Historia de la programación lineal El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.
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Los fundadores de la técnica son George Dantzig, Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex,, en 1947, John von Neumann, simplex Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio p remio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, Khachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, elipsoide, a través del cual demostró que el problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo polinomial..[2] Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método polinomial del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área. El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa (factorial de 70, 70!) ; el número de posibles configuraciones excede al a l número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deben ser revisadas. Variables Las variables son números reales mayores o iguales a cero. En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera . Restricciones Las restricciones pueden ser de la forma:
Tipo 1:
Tipo 2:
Tipo 3: Donde:
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A = valor conocido a ser respetado estrictamente; B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado; C = valor conocido que no debe ser superado; j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número (número total de restricciones); a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos; X = Incógnitas, de 1 a N; i = número de la incógnita, variable de 1 a N.
En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; M; ó, N < M. M. Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización. Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema. Función Objetivo La función objetivo puede ser:
Ó
Donde:
f i i = coeficientes son relativamente iguales a cero.
Programación entera En algunos casos se requiere que la solución óptima se componga de valores enteros para algunas de las variables. La resolución de este problema se obtiene analizando las posibles alternativas de valores enteros de esas variables en un entorno alrededor de la solución obtenida considerando las variables reales. Muchas veces la solución del programa lineal truncado esta lejos de ser el óptimo entero, por lo que se hace necesario usar algún algoritmo para hallar esta solución de forma exacta. El más famoso es el método de 'Ramificar y Acotar' o Branch and Bound por su nombre en inglés. El método de Ramificar y Acotar parte de la
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adición de nuevas restricciones para cada variable de decisión (acotar) que al ser evaluado independientemente (ramificar) lleva al óptimo entero. Aplicaciones La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc. Otros son:
Optimización de la combinación de cifras comerciales en una red lineal de distribución de agua. Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia. Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas; Solución de problemas de transporte.
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PROBLEMAS DE TRANSPORTE Ejemplo
Éste es un caso curioso, con solo 6 variables (un caso real de problema de transporte puede tener fácilmente más de 1.000 variables) en el cual se aprecia la utilidad de este procedimiento de cálculo. Existen tres minas de carbón cuya producción diaria es:
La mina "a" produce 40 toneladas de carbón por día; La mina "b" otras 40 t/día; y, La Mina "c" produce 20 t/día.
En la zona hay dos centrales termoeléctricas que consumen:
La central "d" consume 40 t/día de carbón; y, La central "e" consume 60 t/día
Los costos de mercado, de transporte por tonelada son:
De "a" a "d" = 2 monedas De "a" a "e" = 11 monedas De "b" a "d" = 12 monedas De "b" a "e" = 24 monedas De "c" a "d" = 13 monedas De "c" a "e" = 18 monedas
Si se preguntase a los pobladores de la zona cómo organizar el transporte, tal vez la mayoría opinaría que debe aprovecharse el precio ofrecido por el transportista que va de "a" a "d", porque es más conveniente que los otros, debido a que es el de más bajo precio.
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En este caso, el costo total del transporte es:
Transporte de 40 t de "a" a "d" = 80 monedas Transporte de 20 t de "c" a "e" = 360 monedas Transporte de 40 t de "b" a "e" = 960 monedas Total 1.400 monedas.
Sin embargo, formulando el problema para ser resuelto por la programación lineal se tienen las siguientes ecuaciones:
Restricciones de la producción:
Restricciones del consumo:
La función objetivo será:
La solución de costo mínimo de transporte diario resulta ser:
Xb-d = 40 resultando un costo de 12 x 40 = 480 monedas Xa-e = 40 resultando un costo de 11 x 40 = 440 monedas Xc-e = 20 resultando un costo de 18 x 20 = 360 monedas Total 1.280 monedas.
120 monedas menos que antes.
http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal
Problemas de Transporte Los modelos de transporten juegan un papel importante en la gerencia logística y en la cadena de insumos para reducir costos y mejorar servicios. Por lo tanto, el objetivo es encontrar la manera más efectiva en termino de costos para transportar bienes.
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Un distribuidor que tiene m depósitos con un abastecimiento de productos a i ith en ellos, debe enviar dichos productos a n centros minoristas geográficamente dispersos, cada uno con una demanda de clientes dada e j, la cual debe ser cubierta. El objetivo es determinar el mínimo costo posible de transporte dados los costos por unidad de transportar entre el ith depósito y el jth centro minorista, el cual es Cij. En el problema siguiente el objetivo es encontrar la forma mas efectiva de transportar los productos. Tanto como la oferta y la demanda en cada fuente se encuentra determinada. Por ejemplo, la fuente (u origen) 3 tiene 800 unidades disponibles mientras que el destino 1 necesita por lo menos 1100 unidades. Cada ruta desde un origen a un destino se le asigna una unidad de costo de transporte. http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/SpanishIN.htm#rintro
Ejemplo Numérico: el Problema del Transporte El objetivo es encontrar la manera más efectiva de transportar productos. La siguiente tabla presenta un resumen de la oferta y la demanda en cada origen (por ejemplo: el depósito) O1, O2 y destino (por ejemplo: el mercado) D1 y D2, junto con el costo unitario de transporte. Matriz de Costo Unitario de Transporte D1 D2 O1 20 30 O2 10 40 Demanda 150 150
Oferta 200 100 300
Xij representa la cantidad de productos enviados desde el origen i hasta el destino j. La formulación de PL del problema de minimización del costo total de transporte es la siguiente: Min 20X11 + 30X12 + 10X21 + 40X22 Sujeta a: X11 + X12 = 200 X21 + X22 = 100 X11 + X21 = 150 X12 + X22 = 150 Como este problema de transporte es equilibrado (oferta total = demanda total) todas las restricciones están en forma de igualdad.
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Además, cualquiera de las restricciones es redundante (si se suman dos restricciones cualquiera y se resta otra obtenemos la restricción restante). Borremos la última restricción. El problema entonces queda así: Min 20X11 + 30X12 + 10X21 + 40X22 Sujeta a: X11 + X12 = 200 X21 + X22 = 100 X11 + X21 = 150 todas Este problema de PL no se puede resolver mediante el método gráfico. Sin embargo, el método algebraico no tiene ninguna limitación con respecto a la dimensión de PL. Nótese que tenemos tres ecuaciones con cuatro variables de decisión restringidas. Fijando cualquiera de las variables en cero obtenemos: X11 X12 X21 X22 Costo Total de Transporte 0 200 150 -50 No factible 200 0 -50 150 No factible 150 50 0 100 8500 50 150 100 0 6500* Ahora poniendo cualquier y dos (o más) las variables para poner cero de a, es fácil de ver, inspeccionando las tres ecuaciones que todas las otras soluciones son no factible. Por lo tanto, la estrategia óptima es X11 = 50, X12 = 150, X21 = 100, y X22 = 0, con un costo total de transporte mínimo de US$6.500. Si lo desea, puede resolver este problema con Modul Net.Exe en el paquete WinQSB para verificar estos resultados. Para obtener una versión más detallada del Método Algebraico, visite el sitio Toward the Simplex Method http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640s/spanishd.htm#rtransportPr
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Problema de la asignación El problema de la asignación es encontrar un matching de peso máximo en un grafo bipartido ponderado. Es uno de los problemas fundamentales de optimización combinatoria de la rama de optimización o investigación operativa en matemática. Una descripción apropiada de lo que trata de lograr el modelo de asignación es: “La mejor persona para el trabajo”
El problema de asignación tiene que ver con la designación de tareas a empleados, de territorios a vendedores, de contratos a postores o de trabajos a plantas, etc. En otras palabras, a la disposición de algunos recursos(maquinas o personas) para la realización de ciertos productos a 'costo mínimo. Una definición más formal pudiera ser: Problema de Asignación: Caso particular del problema de Transporte donde los asignados son recursos destinados a la realización de tareas, los asignados pueden ser personas, máquinas, vehículos, plantas o períodos de tiempo. En estos problemas la oferta en cada origen es de valor 1 y la demanda en cada destino es también de valor 1. Historia El problema de asignación tuvo su origen en la revolución industrial, ya que el surgimiento de las máquinas hizo que fuera necesario asignar una tarea a un trabajador. Thomas Jefferson en 1792 lo sugirió para asignar un representante a cada estado, pero formalmente aparece este problema en 1941, cuando F.L. Hitchcook publica una solución analítica del problema, pero no es hasta 1955 cuando Harold Kuhn plantea el Método húngaro, que fue posteriormente revisado por James Munkres en 1957; dicho método está basado fundamentalmente en los primeros trabajos de otros dos matemáticos húngaros: Dénes Köning y Jenö Egervary.
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Hoy en día en pleno apogeo de la globalización este problema surge cada vez con mayor frecuencia el uso de este problema de la rama de la investigación de operaciones, podemos decir que es la aplicación del método científico para asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización de sistemas complejos, su objetivo es ayudar a la toma de decisiones. Definición del problema de asignación En su forma más general, el problema es como sigue: Hay un número de agentes y un número de tareas . Cualquier agente puede ser asignado para desarrollar cualquier tarea, contrayendo algún coste que puede variar dependiendo del agente y la tarea asignados. Es necesario para desarrollar todas las tareas asignar un solo agente a cada tarea para que el coste total del asignación sea minimizado. Este tipo de problemas son lineales, con una estructura de transporte, sólo que la oferta en cada origen es de valor uno y la demanda en cada destino es también de valor uno. Sería muy ineficiente resolver este tipo de problemas por medio del método simplex o por medio del de transporte. Debido a la estructura propia de los problemas de asignación, existen métodos de solución llamados algoritmos de asignación que son más eficientes que el simplex o que el método de transporte. Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte, pero con dos diferencias: asocian igual número de orígenes con igual número de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino. La restricción importante para cada agente es que será designado a una y solo una tarea. Características El problema de asignación presenta las siguientes características:
El Problema de Asignación debe estar equilibrado, es decir, que las ofertas y las demandas sean igual a 1. Un elemento importante para el problema de asignación es la matriz de costos, si el número de renglones o columnas no son iguales el problema esta des balanceado y se puede obtener una solución incorrecta, para obtener una solución correcta la matriz debe ser cuadrada. Si el número de agentes y tareas son iguales y el coste total de la asignación para todas las tareas es igual a la suma de los costes de cada agente (o la suma de los costes de cada tarea, que es lo mismo en este caso), entonces el problema es llamado problema de asigna miento lineal .
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Normalmente, cuando hablamos de problema de asignación sin ninguna matización adicional, nos referimos al problema de asigna miento lineal. Oferta: Cantidad que representa la disponibilidad de el articulo en la fuente/fabrica de donde proviene. 4 Demanda: Cantidad de artículos que necesita recibir el destino para cumplir sus necesidades. 4 Diferencias con el Modelo de Transporte y Asignación Los problemas de asignación son un caso particular de los problemas de transporte y constituyen la clase mas sencilla de los problemas lineales, en el cual los trabajadores representan las fuentes y los puestos representan los destinos.
En el problema de transporte existen m orígenes y n destinos, y el flujo se realiza desde un origen hacia cada uno de los diferentes destinos. Si en este caso permitimos el flujo en ambos sentidos (de origen a destino y destino a origen) se puede hablar de un problema de m + n orígenes y m + n destinos. A este tipo de problemas se les conoce con el nombre de problemas de transbordo (transhipment problems ) o transporte con nodos intermedios. En el caso mas general, cada punto origen o destino pude ser un punto de transbordo, es decir, cada origen puede evitar o transportar a otros orígenes o a distintos; y los destinos pueden transportar a su vez a otros destinos o volver a los orígenes. Un punto conserva su identidad, origen o destino, solamente cuando sea respectivamente, un punto que originalmente disponga de un suministro o un punto que tenga una demanda a satisfacer. En los problemas de asignación las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino; una gran diferencia con respecto a los problemas de transporte.
Formas de represtentacion de un problema de asignación 1. 2. 3. 4.
Red. Modelo de programación lineal. Matriz de costos. Tabla de transporte.
Asignación Inicial Implica asignar números a las celdas para satisfacer las restricciones de oferta y demanda. Para realizar esto se puede emplear alguno de estos métodos: El
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método de la esquina noroccidental, el método de menor costo y el método de aproximación de Vogel. Elementos del problema de asignación
Tabla de transporte Tabla de transporte: Otra forma de plantear el problema de transporte ( recordemos que el problema de asignación es un caso especial del de transporte) es mediante una tabla llamada tabla de transporte, la cual tiene forma de matriz donde los renglones representan las fuentes y las columnas los destinos o trabajos.
En las casillas que se encuentran en la esquina se colocan los coeficientes de costo. Una vez realizado esto, utilizamos alguno de los métodos (vogel, esquina noroeste, costos mínimos) para obtener una solución inicial Donde no exista un coeficiente de costo se le anota una M. 4
Matriz de costos: Es una matriz cuadrada de n*n, donde cada elemento representa el costo de asignar el enésimo trabajador al enésimo trabajo; renglones = trabajadores . Es la tabla en donde, se identifica, se evalúa y se cuantifica los beneficios económicos, costos y riesgos de los productos/servicios, después de definir la necesidad el alcance y el alineamiento estratégico de los productos/servicios, en donde se evalúa el beneficio total de la propiedad (características), una vez creada la matriz se demuestra el valor económico para la realización del producto o servicio correspondiente. 4 Matriz de Costos Reducida Es la matriz que se obtiene después de haber restado el elemento más pequeño a cada renglón (reducción de renglones) y restarle a esa nueva matriz el elemento más pequeño a cada columna (reducción de columnas). Distribución óptima: Sean un conjunto de fragmentos F = {F 1 , F2,..., Fn} y una red formada por el conjunto de sitios S = {S 1, S2,..., Sm} en la cual un conjunto de aplicaciones Q = {q1, q2,..., qq} se ejecutan. El problema de la asignación implica encontrar la distribución óptima de F sobre S. (multi) Método simplex: Método de solución de los problemas de programación lineal donde se obtiene una solución factible y óptima (en donde se pueden obtener
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resultados como solución múltiple, solución no acotada, o que el problema no tenga solución). Solución Óptima: El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso). Red Muchos problemas de redes son mas que una representación abstracta de procesos o actividades, tales como el camino crítico en las actividades entre las redes de un proyecto. guo)Para definir lo que es una red necesitaremos saber que es un nodo: Es uno de los elementos de una lista enlazada, de un árbol o de un grafo. Cada nodo será una estructura o registro que dispondrá de varios campos, y al menos uno de esos campos será un puntero referencia a otro nodo, de forma que, conocido un nodo, a partir de esa referencia, será posible en teoría tener acceso a otros nodos de la estructura. Una red consiste en una serie de nodos enlazados con arcos (o ramas). La notación para describir una red es (N,A), donde N es el conjunto de nodos y A es el conjunto de arcos.
Casos especiales Oferta y demanda desiguales. Cuando la oferta y la demanda son desiguales, se asigna una actividad ficticia con un costo de cero para mantener la condición de método que debe ser igual número de ofertas y demandas Problemas de maximización. Considere un problema de asignación en el que la respuesta a cada asignación es una utilidad en vez de un costo. Considere la matriz de utilidades del problema como la característica nueva la cual consiste en que el número que aparece en cada celdilla representa un beneficio en lugar de un costo. Problemas con asignación inaceptable. Supóngase que se está resolviendo un problema de asignación y que se sabe que ciertas asignaciones son inaceptables. Para alcanzar esta meta, simplemente asigna un costo arbitrariamente grande Página 15
representado mediante la letra M. M es un número tan grande que si se le resta un número finito cualquiera, queda todavía un valor mayor que los demás. Problema de selección: Es un caso especial donde la función u objetivo es maximizar pero el problema se trata igual que una minimización al multiplicar por (1). Método de selección Cuando el problema de asignación es de maximización se le llama problema de selección Balanceado Se dice que un problema de asignación se encuentra balanceado, si los recursos totales son iguales a las demandas totales, en caso contrario se dice que no está balanceado el problema. Además en el modelo, m = n (obtener una matriz cuadrada), en donde m número de renglones y n es número de columnas. Para lograr que el modelo este balanceado se pueden agregar trabajadores/tareas ficticias con costos de cero. Algoritmos y generalizaciones El algoritmo Húngaro es uno de los muchos algoritmos que han sido diseñados para resolver el problema del asigna miento lineal con un tiempo acotado por una expresión polinómica del número de agentes. El problema del asigna miento es un caso especial del problema del transportador, que es un caso especial del problema del flujo de coste mínimo. El problema de asignación también puede ser resuelto por medio del algoritmo simplex (creado en 1947 por el matemático George Dantzig).El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables, es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. Cada especialización tiene algoritmos más eficientes tomando ventaja de su estructura espacial. Si Xij=1 Si se asigna el trabajador i a la tarea j. Si X ij=0 No se asigna el trabajador i a la tarea j. C ij: Costo de asignar al trabajador i la tarea j. Parámetro M: M es un numero muy grande en los problemas de asignación se utiliza para representar que al trabajador i no se le puede asignar la tarea j. Modelo binario
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Problema Binario: Son los problemas en los cuales la variable X ij solo puede tomar valores de 0 y 1; el problema de asignación es un problema binario. Es un modelo de programación lineal donde en la solución las variables sólo pueden tomar los valores de cero o uno.
Teorema Fundamental de la Asignación Si a todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz de rendimientos se le suma o se le resta una cantidad constante la asignación optima no varia. Definición matemática formal La definición formal del problema del asigna miento (o problema lineal del asigna miento) es Dados dos conjuntos, A y T . de igual tamaño, juntos con una función peso C : A × T → R. Encuentra una biyección f : A → T como la función de coste: está minimizada. Normalmente la función peso es vista como una matrz cuadrada de valores reales C , con lo que el coste de la función queda así:
El problema es "lineal" porque la función coste a optimizar así como todas las restricciones contiene solo términos lineales. Método Húngaro Pasos para el método húngaro Paso 1: Encontrar primero el elemento más pequeño en cada fila de la matriz de costos m*m; se debe construir una nueva matriz al restar de cada costo el costo mínimo de cada fila; encontrar para esta nueva matriz, el costo mínimo en cada columna. A continuación se debe construir una nueva matriz (denominada matriz de costos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna.
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Paso 2: Consiste en trazar el número mínimo de líneas (horizontales o verticales o ambas únicamente de esas maneras) que se requieren para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos; si se necesitan m líneas para cubrir todos los ceros, se tiene una solución óptima entre los ceros cubiertos de la matriz. Si se requieren menos de m líneas para cubrir todos los ceros, se debe continuar con el paso 3. El número de líneas para cubrir los ceros es igual a la cantidad de asignaciones que hasta ese momento se pueden realizar (En algunos textos este paso se atribuye a Flood). Paso 3: Encontrar el menor elemento diferente de cero (llamado k) en la matriz de costos reducidos, que no está cubierto por las líneas dibujadas en el paso 2; a continuación se debe restar k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sumar k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos líneas (intersecciones). Por último se debe regresar al paso 2. (scrib2) Paso 4: En caso de no encontrar una solución factible con los pasos anteriores aplicar entonces este: 1) Trace el número mínimo de lineas horizontales y verticales en la última matriz reducida que cubrirá TODAS las entradas cero. 2) Selecciones el elemento no cubierto más pequeño y réstelo de todos los elementos no cubiertos; después, súmelos a todos los elementos en la intersección de dos líneas. 3) Si no es posible encontrar una asignación factible entre las entradas cero resultantes, repita es paso. De lo contrario regresé al paso 3 para determinar la asignación óptima. Caso especial al aplicar el Método Húngaro cuando se trata de Maximizar Cuando hay que pasar de maximizar a minimizar en lugar de operar con el mayor de toda la matriz podemos ir tomando el mayor de cada fila o columna e ir restándole todos los elementos de esa fila o columna con lo cual conseguiremos de camino obtener por lo menos un cero como mínimo en cada fila o columna. Si en alguna columna no hubiera ceros le quitamos el mayor a la columna.. Método de Flood Este método es utilizado en aquellos casos donde no se ha podido hacer una asignación óptima después de haber realiza el método húngaro. El método consta de los siguientes pasos: Paso 1: Señalar todas las filas que no tienen una asignación. (Cuando se dice señalar puede ser una pequeña X a la izquierda de la fila o arriba de la columna) Paso 2: Señalar todas las columnas que tengan un cero en la columna señalada.
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Paso 3: Señalar todas las filas que tienen una asignación en las columnas indicadas. Paso 4: Repetir estos pasos hasta que no pueda señalarse más columnas o filas. (No hay más filas que no tengan asignación) Dibujar una línea por cada fila NO señalada y por cada columna SI señalada. Paso 5: Encontrar el mínimo valor de los elementos no cubiertos y restarlo a todos los elementos no cubiertos, y sumar este valor a cada elemento que se encuentre en la intersección de una línea horizontal con una línea vertical. Paso 6: Realizar la asignación como en el método húngaro. (arqui) Ejemplo Una empresa de logística cuenta con 4 máquinas para realizar 3 tareas, cada máquina realiza la tarea según el tiempo en que esta pueda ejecutarla. En la siguiente tabla se muestran los tiempos en horas para dichas tareas.
Se plantea la red de la siguiente forma:
Ejemplo 1: Balanceando Para resolver el problema usando el método Húngaro será necesario equilibrar la tabla de costos, si se construye una tabla en base a la red tendremos 4 filas ≠ 3
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columnas, por tanto será necesario agregar una nueva columna con costos 0, esto significa que se añadirá una tarea falsa.
Ahora se tienen 4 filas = 4 columnas, por tanto el modelo esta balanceado y listo para aplicar el método Húngaro para su solución. http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_asignaci%C3%B3n#Diferencias_con_el_Modelo_de_ Transporte_y_Asignaci.C3.B3n
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INTERPRETACION DE LOS TEMAS
Algoritmos especiales de programación lineal Programación lineal es muy importante en la solución de problemas que se relacionen con los modelos matemáticos, ya que con esto se nos facilita resolver cualquier problema de ecuaciones lineales, mas que nada es mas utilizado en el trabajo de los ingenieros civiles , ya que su trabajo se remota mas en las operaciones matemáticas, pero no solo es empleado por los ingenieros si no que varias personas como son los contadores, los administradores, los eléctricos etc. Emplean la programación lineal. La programación lineal es u procedimiento o serie de pasos mejor conocido como algoritmo que se emplea para solucionar problemas indeterminados, formulado a través de ecuaciones lineales, por eso es que se le llama programación lineal. La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), El principal objetivo de la programación lineal es optimizar una función lineal, que consiste en minimizar o maximizar la función, para que al usuario se le facilite resolver dicho problema que se le presente. Cuando se refiere a los algoritmos es casi lo mismo solo que los algoritmos son la serie de pasos que se llevan en la programación lineal para que este pueda resolver dicho problema que se le presente a cualquier ingeniero o a otra persona. El principal objetivo es optimizar la solución de cualquier problema que se presente o sea maximizarla o minimizarla, pero todas las personas tratan de que los problemas se miniminicen lo mas que se pueda y no maximizarla ya que esto se le complicaría mas buscar la solución del problema. Por eso es que se utilizan los algoritmos especiales para facilitar la resolución de cualquier problema de programación lineal o sea de ecuaciones lineales, esto principalmente lo utilizan los ingenieros civiles y los informáticos que son los que se encargan de hacer estos tipos de programas, ya que los algoritmos se emplean en varios programas como es en el caso de matlab, Excel y entre oros mas que se han ido inventando.
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EL PROBLEMA DE TRANSPORTE El problema de transporte es muy importante en la vida diaria ya que es uno de los servicios que mas se utiliza en el planeta por los humanos para transportarse de un lugar a otro o parar transportar sus productos o bienes que necesitan para vivir. Los algoritmos especiales de programación lineal se encargan de buscar una solución mas fácil para que al transportar algo esto se facilite y además tenga mas beneficios como es el ahorro de tiempo y en lo económico. Esto se utiliza también en la ingeniería civil ya que en las obras se necesita transportar varios materiales para que el albañil pueda trabajar y así se pueda construir la obra que se desee, el ingeniero debe de buscar la manera mas fácil de transportar los materiales parar ahorrar tiempo y dinero, por eso necesita de conocer los algoritmos de programación lineal parar que se le facilite encontrar la solución ya que esto le sirve mucho. Un ejemplo es cuando una empresa de construcción está realizando varias construcción en diferentes partes del municipio ,en poblados lejanos para poder transportar sus materiales debe de buscar la forma mas fácil de transportarlos para ahorrar tiempo y dinero, primero debe de analizar el problema, ver las ubicaciones en donde están construyendo, ver que materiales debe de transportar, ver las rutas como se relacionan uno con otros, ver los costos de los transportista para llevar los materiales a cada lugar. Teniendo estos datos el ingeniero debe de aplicar los algoritmos de programación lineal para ver que ruta tomara para que el transporte no le salga tan caro y así ahorre dinero y tiempo. Y así salgan ganando no solo el ingeniero y las empresas si no que también las demás personas que contratan las construcciones. Por eso es muy importante analizar los problemas de transporte para buscar soluciones mas fáciles, no solo en la ingeniería civil se aplica si no que en varias cosas como los empresarios al transportar sus productos, los agricultores al transportar sus cosechas entre otros, por eso es muy importante.
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PROBLEMA DE ASIGNACION El problema de asignación viene relacionado con el problema de transporte, mas bien es un caso particular del problema de transporte, o sea que el problema de asignación viene siendo una parte de resolver el problema de transporte. El problema de asignación es un valor que se le asigna al producto a cualquier cosa, también se le puede asignar a los empleados, a personas, maquinas entre otras cosas. En los problemas de asignación intervienen la demanda y la oferta, en donde la demanda y la oferta tienen que tener el mismo valor que es igual a 1. En donde la oferta representa la cantidad que estarías dispuesto a producir los productos a diferentes precios, y la demanda es la cantidad de que estarías dispuesto a comprar el consumidor por cada uno de los precios a que puede serle ofrecida. Se puede decir que el problema de asignación es buscar que valor se le va asignar a cada cosa, donde se relaciona con el transporte. Por ejemplo cuando se transporta material de construcción, al material que se esta transportando se le debe de asignar un valor y ese valor los productos hoy en día ya lo tienen solo que varias de acuerdo en donde se encuentren, esto influye mucho con el transporte, ya que si se encuentra en un lugar muy lejano el producto costara mas caro. Por eso se relaciona el problema de asignación con el problema de transporte. Por eso las construcciones en zonas rurales sale mas caro que en las zonas urbanas por la transportación del material, ya que el material cuesta mas caro, por eso los ingenieros deben de resolver los problemas de transporte y de asignación para buscar que la construcción no este tan cara. Por eso se le asigna diferentes valores a los productos, materiales, herramientas. para que el transporte pueda ser pagado y así nadien salga perdiendo. Por eso también se dice que la demanda y la oferta deben de ser iguales ya que no se puede producir mas de lo que puedas vender.
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USO DE SOFTWARE El uso de software es muy importante en la elaboración de los algoritmos especiales de programación lineal, ya que el algoritmo realizado de cualquier problema se lleva a cabo en un programa, pero parar que el programa del software pueda funcionar bien el algoritmo debe de estar bien hecho ya que sino lo esta el programa no podrá funcionar bien y no nos daría una respuesta correcta o simplemente el programa dirá error. Existen varios programas de software que se utilizan parar resolver problemas que se presentan en la vida diaria como lo es el matlab, el lingo, el Excel y entre otros. Estos programas nos ayudan a facilitar el trabajo ya que sise nos presenta un problema cualquiera seria mas fácil de resolverlo, solo al empezar se nos complicaría un poco al resolver el algoritmo, ya después de resolverlo al pasarlo en el programa se debe de tener mucho cuidado en el tecleo ya que la ortografía es muy importante, si se pone un signo mal o una letra el resultado no se proporcionaría como lo desean, el programa tendría un error.
Un ejemplo de este software seria el MATLAB que es empleado principalmente por los ingenieros civiles, para que se les facilite el trabajo ya que emplean muchos problemas de la construcción. Para poder utilizar el matlab se necesita saber como elaborar un algoritmo, ya que el algoritmo se pasa al programa de MATLAB, para que este de la solución al problema.la ventaja de este programa no solo resuelve programas lineales sino que de cualquier tipo siempre i cuando se emplee correctamente los comandos, ya que si no se elabora correctamente no dará el resultado o dará otro. Por eso es importante tener mucho cuidado al resolver un problema utilizando este programa.
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La instalación de este programa es fácil ya que los datos que se piden son fáciles de dar, el crack lo trae en el archivo , ya que el único requisito es que la computadora tenga una capacidad de 1G de memoria RAM, y ya lo demás es mas sencillo. Una vez instalado ya se puede utilizar, solo que utilizarlo no es tan sencillo ya que se recomienda conseguir en manual en donde explique detalladamente los pasos para poder utilizar el programa. Este programa tiene muchas funciones por eso es en poco difícil de utilizar
otro ejemplo de software de programación lineal es el LINGO: (LINear Generalize Optimizer) es una herramienta simple para formular problemas de algoritmos de programación lineal y no lineal, resolverlos y analizar su solución. El resultado que LINGO proporciona la optimización que ayuda a encontrar el mejor resultado: la ganancia más alta, o el costo más bajo. A menudo estos problemas involucran el uso más eficiente de los recursos. Los problemas de optimización son clasificados a menudo como lineales o no lineales, dependiendo si las relaciones en el problema son lineales con respecto a las variables. Página 25
Uno de los rasgos más poderosos de LINGO es su aplicación en el lenguaje de modelo matemático. El cual permite expresar un problema de una manera muy similar a la anotación matemática normal pudiendo también, expresar una serie entera de restricciones en una declaración compacta. Esto lleva a modelos que son mucho más fáciles de mantener. Otro aspecto es la sección de los datos, que le permite aislar los datos de la formulación del modelo. De hecho LINGO puede leer datos incluso de una hoja de cálculo separada, base de datos, o archivo de texto. Con datos independientes del modelo, es mucho más fácil de hacer cambios, y hay menos oportunidad de error cuando se realiza el modelo. El LINGO es parecido al MATLAB no es tan fácil de utilizar. Con estos programas se pueden también resolver los problemas de transporte y los problemas de asignación ya que primero se debe de analizar el problema. los algoritmos especiales de programación lineal es empleado por muchas personas, también el complemento del Excel es un software para la solucionar problemas de algoritmos especiales de programación lineal y existen muchos que el hombre ha ido inventando con el paso del tiempo, existen antiguos que casi ya no se utilizan ya que se han ido actualizando y ´porque tienen muchas ventajas en la solución del problema, son mas eficaces.
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INVESTIGACION DE LA UNIDAD 4 MODELO DE FLUJO EN REDES Los modelos de redes son aplicables a una extensa variedad de problemas de decisión, los cuales pueden ser modelados como problemas de optimización de redes que pueden ser eficiente y efectivamente resueltos. Algunos de estos problemas de decisión son realmente problemas físicos, tales como el transporte o flujo de bienes materiales. Sin embargo, muchos problemas de redes son mas que una representación abstracta de procesos o actividades, tales como el camino crítico en las actividades entre las redes de un proyecto gerencial. La familia de redes de los problemas de optimización incluye los siguientes prototipos de modelos: Problemas de asignación, camino crítico, flujo máximo, camino mas corto, transporte y costo mínimo de flujos. Los problemas son establecidos fácilmente mediante el uso de arcos de redes y de los nodos. ¿Que es un Nodo? Es usualmente llamado vértice, o punto. Es usualmente representado por un circulo. En las redes de transporte, estos deberían ser las localidades o las ciudades en un mapa. ¿Que es un Arco? Es usualmente llamado borde o flecha. Este podría ser directo o indirecto. La cabeza es el destino, y la cola el origen. La cabeza y la cola son nodos que pueden estar tanto al origen como al final. En las redes de transporte, los arcos podrían ser los caminos, los canales de navegación en un río, o los patrones de vuelo de un avión. Los arcos proporcionan la conectividad entre los nodos. Una calle de una sola dirección podría ser representada por un arco, mientras que una calle de dos direcciones podría representada por un arco sin dirección o por dos arcos que apuntan a direcciones opuestas. Una red con n nodos podría tener tantos arcos como n! /[(n-2)! 2!] = n(n-1)/2. Si están dirigidos, este número pudiese ser doble. Este enorme número de arcos posibles es una de las razones del porque existen soluciones de algoritmos especiales para problemas de redes particulares. http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/SpanishIN.htm#rintro
Las técnicas de flujo de redes están orientadas a optimizar situaciones vinculadas a las redes de transporte, redes de comunicación, sistema de vuelos de los aeropuertos, rutas de navegación de los cruceros, estaciones de bombeo que
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transportan fluidos a través de tuberías, rutas entre ciudades, redes de conductos y todas aquellas situaciones que puedan representarse mediante una red donde los nodos representan las estaciones o las ciudades, los arcos los caminos, las líneas aéreas, los cables, las tuberías y el flujo lo representan los camiones, mensajes y fluidos que pasan por la red. Con el objetivo de encontrar la ruta mas corta si es una red de caminos o enviar el máximo fluido si es una red de tuberías. Cuando se trata de encontrar el camino más corto entre un origen y un destino, la técnica, algoritmo o el modelo adecuado es el de la ruta más corta; aunque existen otros modelos de redes como el árbol de expansión mínima, flujo máximo y flujo de costo mínimo cada uno abarca un problema en particular. En este trabajo se mencionan los modelos de redes existentes y los problemas que abarca cada uno de ellos, además se describen los algoritmos que aplican estos modelos para encontrar la solución optima al problema. Utilizando la terminología utilizada para representarlos como una red. MODELOS DE REDES Los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de uno de estos cuatro modelos:
Modelo de minimización de redes (Problema del árbol de mínima expansión). Modelo de la ruta más corta. Modelo del flujo máximo. Modelo del flujo del costo mínimo. http://www.monografias.com/trabajos16/flujo-redes/flujo-redes.shtml
MODELO DEL CAMINO MAS CORTO Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino. Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino. Algoritmo de la ruta más corta:
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1. Objetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen. (Este paso se repetirá para n=1,2,… hasta que el n -ésimo nodo más cercano sea el nodo destino.) 2. Datos para la n-ésima iteración: n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos.) 3. Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano: Cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un candidato, y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales.) 4. Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta más corta es la que genera esta distancia. Formulación como un PL del problema de flujo de costo mínimo Considere una red conexa dirigida en la que los n nodos incluyen al menos un nodo origen y al menos un nodo destino. Las variables de decisión son: =flujo a través del arco
, y la información dad incluye:
= costo por unidad de flujo a través del arco
=capacidad del arco
,
,
= flujo neto generado en el nodo i. El valor de
depende de la naturaleza del nodo i, en donde , si i es un nodo fuente, , si i es un nodo demanda,
, si i es un nodo de trasbordo. El objetivo es minimizar el costo total de mandar los recursos disponibles a través de la red para satisfacer la demanda dada.
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Usando la convención de que las sumas se toman sólo sobre arcos existentes, la formulación de programación lineal de este problema es
Minimizar Sujeta a,
para cada nodo i, y para cada arco
.
La primera suma en las restricciones de los nodos representa el flujo total que sale del nodo i mientras que la segunda representa el flujo total que entra al nodo i, así, la diferencia es el flujo neto generado en este nodo. En lagunas aplicaciones, es necesario tener una cota inferior para el flujo que pasa para cada arco . Cuando esto ocurre se hace una conversión de variables, , donde se sustituye por en todo el modelo, a fin de ajustar el modelo al formato anterior con restricciones de no negatividad. No se garantiza que el problema tenga soluciones factibles, esto depende en parte de qué arcos están presentes en la red y de sus capacidades. De cualquier manera, para una red diseñada razonablemente, la condición necesaria más importante es la siguiente. Propiedad de soluciones factibles: una condición necesaria para que un problema de flujo de costo mínimo tenga soluciones factibles es que
. Es decir, el flujo total generado en los nodos origen es igual al flujo total absorbido por lo nodos destinos . http://www.monografias.com/trabajos16/flujo-redes/flujo-redes.shtml
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Formulación como un PL de problema de la ruta más corta El modelo de PL de la ruta más corta se construye de la siguiente manera: 1. Cada variable corresponde a un arco. 2. Cada restricción corresponde a un nodo. Por lo tanto, si representa la cantidad de flujo en el arco (i,j), el modelo de la ruta más corta con n nodos está dado como: Minimizar Sujeto a: (fuente) para toda k 1 o n (destino) para toda i y j. La primera y última restricción señala que el flujo total (suma de variables) que sale del nodo 1 es igual a 1 y que flujo total que se recibe en el nodo n también es igual a 1. En cualquier nodo intermedio, el flujo total que entra al nodo es igual al flujo total que sale del mismo nodo. La función objetivo requiere que se minimice la distancia total que recorre la unidad del flujo. El Problema del Camino mas Corto El problema es determinar la mejor manera de cruzar una red para encontrar la forma más económica posible desde un origen a un destino dado. Suponga que en una red dada existen m nodos y n arcos (bordes) y un costo C ij asociado con cada arco (i a j) en la red. Formalmente, el problema del camino mas corto (CC) es encontrar el camino mas corto (menor costo) desde el nodo de comienzo 1 hasta el nodo final m. El costo del camino es la suma del costo de cada arco recorrido. Defina las variables binarias Xij, donde Xij =1 si el arco (i a j) es sobre el CC y X ij = 0 de lo contrario. Existen dos nodos especiales llamados origen y destino. El objetivo es encontrar el camino mas corto entre el origen y el destino.
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El la red siguiente, varios costos son asignados para el camino que va de un nodo a otro. Por ejemplo, el costo de ir desde el nodo 2 al 4 es 6. La función objetivo considera los costos de moverse de un nodo a otro, o de un origen a un destino. Las restricciones están divididas en tres grupos. La restricción del nodo de origen dice que debe dejar el nodo 1 para ir al 2 o 3. La restricción del nodo intermedio dice que si siempre que se dirija a un nodo usted deberá dejar ese nodo. El nodo de destino es similar al nodo de origen dado que se puede alcanzar este nodo solo desde los nodos vecinos. Considere la siguiente red dirigida (para una red indirecta, haga que los arcos estén dirigidos en ambas direcciones, luego aplique la misma formulación. Note que en este caso usted tiene X ij y X ji variables). El objetivo es encontrar el camino mas corto desde el nodo 1al nodo 7.
Luego de correr el problema en cualquier paquete que solucione programación lineal, los resultados son:
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Ir desde 1 hasta el 3 Ir desde 3 hasta el 5 Ir desde 5 hasta el 6 Ir desde 6 hasta el 7 Este es el camino mas corto con un total de 22 unidades de longitud. Construya el problema dual para el ejemplo numérico anterior y proporcione una interpretación. Resuelva el problema dual mediante el Método Algebraico. Note que, los resultados de los paquetes de programación lineal con respecto al análisis de sensibilidad para los problemas de redes podrían ser engañosos. Por lo tanto, para el análisis de sensibilidad del camino más corto, lea el artículo siguiente: Arsham H., Análisis de Sensibilidad para el Problema del Camino más corto, Journal of Congresos Numerantium , Vol. 133, No. 1, 171-210, 1998. http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/SpanishIN.htm#rintro
EL MODELO DE FLUJO MAXIMO Características: 1. Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente, y termina en otro nodo llamado destino. 2. Los nodos restantes son nodos de trasbordo. 3. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dad por la capacidad del arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia fuera. En el destino, todos señalan hacia el nodo. 4. El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino. El problema de flujo máximo se puede formular como un problema de programación lineal, se puede resolver con el método simplex y usar cualquier software. Sin embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas
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mucho más eficientes. El algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de red residual y el de trayectoria aumentada. Algoritmo de la trayectoria de aumento para el problema de flujo máximo: 1. Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene capacidad residual estrictamente positiva. (Si no existe una, los flujos netos asignados constituyen un patrón del flujo óptimo). 2. Se identifica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento encontrando el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se aumenta en c* el flujo de esta trayectoria. 3. Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección opuesta en esta trayectoria. Se regresa la paso 1.
Problema del Flujo Máximo En una red con flujo de capacidades en los arcos, el problema es determinar el flujo máximo posible proveniente de los orígenes de forma tal de ahogar las capacidades de flujos de los arcos. Considere una red con m nodos y n arcos con un flujo simple de bienes. Denote el arco de flujo (i a j) como X ij. Asociamos cada arco a una capacidad de flujo, k ij. En esta red, deseamos encontrar el flujo total máximo en la red, F, del nodo 1 al nodo m. En la formulación de la programación lineal, el objetivo es maximizar F. El monto que parte del origen por varias rutas. Para cada nodo intermedio, lo que entra debe ser igual a lo sale. En algunas rutas los flujos pueden tomar ambas direcciones. La capacidad que puede ser enviada a una dirección en particular también es mostrada en cada ruta.
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Luego de resolver este problema de PL mediante el uso de LINDO (entre otro software), obtenemos los siguientes resultados: Enviar 10 unidades de 1 a 2 Enviar 7 unidades de 1 a 3 Enviar 3 unidades de 2 a 6 Enviar 7 unidades de 2 a 4 Enviar 4 unidades de 3 a 6 Enviar 6 unidades de 3 a 5 Enviar 7 unidades de 4 a 7 Enviar 8 unidades de 5 a 7 Enviar 3 unidades de 6 a 3 Enviar 2 unidades de 6 a 5 Enviar 2 unidades de 6 a 7
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El flujo máximo es F= 17 unidades. http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/SpanishIN.htm#rintro
MODELO DEL ARBOL DE EXPAXION MINIMA El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en al solución del problema. Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características: 1. Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y tiempo.) 2. Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos. 3. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red. Una red con n nodos requiere sólo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante formen un árbol de expansión. Por tanto el problema es hallar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras. Algoritmo para construir el árbol de expansión mínima: 1. Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano. 2. Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que todos los nodos están conectados. 3. Empates: los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el nodo no conectado más cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar a una solución optima. No obstante, estos empates son señal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones optimas múltiples. Todas esas soluciones se pueden identificar si se trabaja con las demás formas de romper los empates hasta el final.
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Es un problema clásico de optimización combinatoria, formulado en 1926 por Boruvka quien lo planteó para resolver el problema de hallar la forma más económica de distribuir energía eléctrica en el sur de Moravia. La formulación de este problema ha sido útil para la realización de muchas investigaciones en varios campos como el transporte, electrónica, telecomunicaciones e investigación de operaciones. El modelo contempla un conjunto de arcos que conectan todos los nodos de la red sin crear un solo ciclo o vuelta. El problema consiste en determinar el árbol que minimiza la distancia de conexión total; se resuelve por el Algoritmo de Etiquetado. En cuanto a la introducción de datos y el proceso de solución es similar a los modelos anteriores de este módulo. http://www.eumed.net/libros/2006c/216/1k.htm
NOTACIÓN Y TERMINOLOGÍA Red: Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos (o vértices). Las líneas se llaman arcos (o ligaduras, aristas o ramas). Los arcos se etiquetan para dar nombres a los nodos en sus puntos terminales, por ejemplo, AB es el arco entre lo nodos A Y B. En un problema de programación lineal, las redes pueden representar un conjunto de estaciones, campos petrolíferos, almacenes, fabricas, sucursales, ciudades, interconectadas entre si a través de caminos, conductos, tuberías que permiten fluir productos para la comercialización o la distribución. Arcos Dirigidos: Se dice que un arco es dirigido cuando el arco tiene flujo en una dirección (como en una calle de un sentido). La dirección se indica agregando una cabeza de flecha al final de la línea que representa el arco. Al etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodos que une, siempre se coloca primero al nodo de donde viene y después el nodo a donde va, esto es, un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otra Manera es A B. Arcos No Dirigidos: Si el flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones (como una tubería que se puede usar para bombear fluido en ambas direcciones), se dice que es un arco no dirigido.
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También se les llama ligadura. Aunque se permita que el flujo a través de un arco no dirigido ocurra en cualquier dirección, se supone que ese flujo será en una dirección, en la seleccionada, y no se tendrá flujos simultáneos en direcciones opuestas. Trayectoria: Una trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos que conectan estos nodos. Por ejemplo, una de las trayectorias que conectan los nodos O y T en la figura 1 es la sucesión de arcos OB-BD-DT (O B D T), y viceversa. Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos, se hace la distinción entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas. Trayectoria Dirigida: Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) es hacia el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j, a través de esta trayectoria es factible. Trayectoria No Dirigida: Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) pueden ser hacia o desde el nodo j. Con frecuencia alguna trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos hacia el nodo j y otros desde él (es decir, hacia el nodo i). Ciclo: Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. En la red no dirigida que se muestra en la figura 5 existen muchos ciclos, OA-AB-BCCO. Red Conexa: Una red conexa es una red en la que cada par de nodos está conectado. Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. Se debe resaltar que no es necesaria que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red sea dirigida. La figura 1 representa una red conexa. Árbol de Expansión: es una red conexa para la n nodos, que contiene ciclos no dirigidos. Todo árbol de expansión tiene justo n-1 arcos, ya que este es el número mínimo de arcos necesarios para tener una red conexa y el máximo numero posible para que no haya ciclos no dirigidos. La figura 6 representa una red conexa, la figura 7 muestra los cinco nodos de la red conexa de la figura 6, ahora la figura 8 muestra el proceso para hacer crecer un árbol colocando una rama a la vez, hasta obtener un árbol de expansión. En cada etapa del proceso se tienen varias alternativas para el nuevo arco, por lo que la figura 8 muestra solo una de las muchas formas de construir un árbol de expansión. Capacidad de Arco: Es la cantidad máxima de flujo (quizás infinito) que puede circular en un arco dirigido.
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Nodo Fuente: (o nodo de origen) tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo excede al flujo que entra a él. Nodo Demanda: (o nodo destino) es el caso contrario al nodo fuente, donde el flujo que llega excede al que sale de él. Nodo de Trasbordo: (o nodo intermedio) satisface la conservación del flujo, es decir, el flujo que entra es igual al que sale. http://www.monografias.com/trabajos16/flujo-redes/flujo-redes.shtml
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INTERPRETACION DE LOS TEMAS
MODELOS DE FLUJO DE REDES Los modelos de flujo de rede son muy utilizados para tomar decisiones de cualquier problema que se presente, se utiliza para el problema de transporte ya que este modelo flujo de redes busca como minimizar las rutas para el transporte, como cuando un transportista de material tiene que distribuir material en varios lugares necesita conocer las rutas y como se conectan las rutas para buscar un camino mas que se le facilite repartir el material así el transportista hará mas rápido su material ahorrando tiempo y combustible. Estos modelos de flujo de redes son muy importantes para el ingeniero civil ya que en varias ocasiones se le presenta hacer conexiones de cables, tuberías entre otros, aquí es don de el ingeniero debe de buscar la manera de ahorrar mas material para que la construcción que este realizando no sea muy costosa. Por eso es que se utiliza este modelo para buscar rutas mas cortas. En estos modelos se utilizan los nodos y los arcos, el nodos es llamado vértice, o punto es se representado por un circulo, es mejor conocido como un punto donde se debe de conectar algo o llevar algo. El arco llamado borde o flecha. Este podría ser directo o indirecto. La cabeza es el destino, y la cola el origen. La cabeza y la cola son nodos que pueden estar tanto al origen como al final. Los arcos proporcionan la conectividad entre los nodos.
Arco
nodo
EL MODELO DEL CAMINO MÁS CORTO El modelo del camino mas corto se encarga de encontrar la ruta mas corta parar llegar a los nodos que se desea llegar, esto lo usan los ingenieros civiles como por ejemplo conectarlos poliductos en los registros para que después puedan pasar los cable cuando se va a colar un techo el ingeniero debe de buscar la ruta mas corta para ahorrar poliducto y cable.
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Aaaa aaaaaa A
B
C
D
F
E
G
Se necesita distribuir en todos los registros (A,B,C,D,E,F, y G ), si sale del registro A, debe de ir por el B del B se va en el C y D, después del D se va en el E y del E va hacia el F y G. Por eso es importante usar el modelo de camino mas corto para que se nos facilite y ahorremos material. También se usa para la resolución de problemas de transporte para que el conductor busque el camino mas corto para realizar sus entregas. El problema de la ruta más corta incluye un juego de nodos conectados donde sólo un nodo es considerado como el origen y sólo un nodo es considerado como el nodo destino. El objetivo es determinar un camino de conexiones que minimizan la distancia total del origen al destino.
EL MODELO DE FLUJO MAXIMO El modelo de flujo máximo trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a través de una red de arcos dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible. El objetivo es el de obtener la máxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino. Este modelo de de flujo máximo empieza por un nodo al que se le llama fuente y termina en nodo que se le llama destino y los nodos por donde va pasando se les conoce como trasbordos Muchos problemas pueden ser modelados mediante una red en la cual se considera que los arcos tienen la capacidad de limitar la cantidad de un producto que se puede enviar a través del arco. Página 41
Por ejemplo se necesita hacer un modelo de flujo máximo para la transportación de materiales de una constructora para pode realizar sus construcciones en dichos lugares con distancias diferentes.
7
9
1
f=0
f=0 3
S
N
9
8 2
Primero eliminamos el arco que tiene el valor de 8 que va del nodo 2 al N, para eliminarlo se resta 8 y se pone un arco que vaya de n a 2 con el valor de 8 y f tendría un valor de 8.pero también se le hace lo mismo del nodo 2 a s y se le resta 8 al arco que tiene el valor de 9 . Y a f se le suma el valor de 8
1
7
9
f=8
f=8 3
S
N
1
0
8
8 2
Ahora eliminamos el arco que tiene el valor de 7 que va del nodo S a 1, para eliminarlo se le resta 7 y se pone un arco con el valor de 7 que vaya del nodo 1 a
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S y se le hace lo mismo al nodo 1 N, y se le resta 7 al valor del arco 9. Y a f se le suma el valor de 7
7 f=15
2
1
0
7
f=15
3 S
N
9
8
8
8 2
Así es como se resuelve un ejemplo de modelo de flujo máximo. Y esto es muy importante para los ingenieros ya que se utiliza mucho para resolver problemas que se le presente al ingeniero.
EL MODELO DEL ARBOL DE EXPANSION MINIMA Este tipo de modelo del árbol de expansión mínima busca minimizar la suma de las longitudes que conectan a los nodos, para poder resolver un problema de este tipo primero se agarra un nodo cualquiera pero primero se debe de analizar cual se desea agarra para ver si se nos facilita el trabajo, mayormente se agarra de los extremos ya que esto nos facilita conectar todos los nodos. Y luego se van conectando los nodos pero viendo cual es la ruta más cercana para conectarse. Es un problema clásico de optimización combinatoria, formulado en 1926 por Boruvka quien lo planteó para resolver el problema de hallar la forma más económica de distribuir energía eléctrica en el sur de Moravia. La formulación de este problema ha sido útil para la realización de muchas investigaciones en varios campos como el transporte, electrónica, telecomunicaciones e investigación de operaciones y también en la ingeniería civil ha sido de gran ayuda. El modelo contempla un conjunto de arcos que conectan todos los nodos de la red sin crear un solo ciclo o vuelta. El problema consiste en determinar el árbol que minimiza la distancia de conexión total. En cuanto a la introducción de datos y el proceso de solución es similar a los modelos anteriores de este módulo.
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Por ejemplo el ingeniero necesita pasar varios cables en todos los registros para después poder techar un edificio, el ingeniero debe de ver como pasarlo pero al sumar la longitud en donde van a pasar los cables debe de ser la mínima.
7
A
2 G
D
5
2
5
F
4 1
B
4
3
7
1
E
4 C
Primero empezamos por el nodo G de ahí buscamos la ruta mas corta que seria hacia el nodo A de ahí se busca otra ruta la mas corta que seria hacia el nodo B, de ahí se busca otra ruta mas cerca que seria el nodo C, de ahí se regresa al nodo B, de ahí se busca otra ruta mas cerca que seria el nodo E, de ahí se busca otra ruta mas cerca que seria hacia el nodo D, de ahí se busca otra ruta mas cerca que seria el ultimo nodo el F.
7
A
2
D
5
G
5
F
4 1 B
4
3
7
1
E
4 C
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Después se hace la suma de todas las rutas que se tomaron para poder pasar por todos los cables. AEM=∑Distancia de las aristas marcadas
AEM=2+2+1+3+1+5=14
Así es como se utiliza el modelo del árbol de la expansión mínima, por eso es muy importante para los ingenieros civiles, y no solo para ellos si no que también para las demás personas, para resolver problemas de transporte entre otros.
USO DE SOFTWARE El uso de los programas de software es muy importante en los modelos de flujo de redes para resolver problemas ya que hay veces se nos complica un poco, en cambio hacerlo en un programa seria mas fácil ya que esta diseñado para resolver estos problemas. En la actualidad se siguen inventando programas para resolver estos tipos de problemas, anteriormente existen programas que no son capaces de resolver problemas complicados pero hoy en día sean ido actualizando e inventado nuevos programas capaces de resolver los problemas de modelos de flujo de redes complicados.
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Teoría de grafos
Diagrama de un grafo con 6 vértices y 7 aristas. En matemáticas y en ciencias de la computación, la teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) estudia las propiedades de los grafos (también llamadas gráficas). Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas (edges en inglés) que pueden ser orientados o no. Típicamente, un grafo se representa mediante una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas). Historia
Puentes de Königsberg. El trabajo de Leonhard Euler, en 1736, sobre el problema de los puentes de Königsberg es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la topología. En 1845 Gustav Kirchhoff publicó sus leyes de los circuitos para calcular el voltaje y la corriente en los circuitos eléctricos. Página 46
En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores que plantea si es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang Haken, puede ser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos. Grafo Artículo principal: Grafo
En la figura, V = { a, b, c, d, e, f }, y A = { ab, ac, ae, bc, bd, df, ef }. Un grafo es una pareja de conjuntos G = (V ,A), donde V es el conjunto de vértices, y A es el conjunto de aristas, este último es un conjunto de pares de la forma (u ,v ) tal que . Para simplificar, notaremos la arista (a ,b ) como ab . En teoría de grafos, sólo queda lo esencial del dibujo: la forma de las aristas no son relevantes, sólo importa a qué vértices están unidas. La posición de los vértices tampoco importa, y se puede variar para obtener un dibujo más claro. Muchas redes de uso cotidiano pueden ser modeladas con un grafo: una red de carreteras que conecta ciudades, una red eléctrica o la red de drenaje de una ciudad. Subgrafo Un subgrafo de un grafo G es un grafo cuyos conjuntos de vértices y aristas son subconjuntos de los de G . Se dice que un grafo G contiene a otro grafo H si algún subgrafo de G es H o es isomorfo a H (dependiendo de las necesidades de la situación). El subgrafo inducido de G es un subgrafo G' de G tal que contiene todas las aristas adyacentes al subconjunto de vértices de G . Definición: Sea G=(V, A). G’=(V’,A’) se dice subgrafo de G si:
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1- V’
V
2- A'
A
3- (V’,A’) es un grafo
Si G’=(V’,A’) es subgrafo de G, para todo v
v)
G se cumple gr (G’,v)≤ gr (G,
G2 es un subgrafo de G.
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafos
Álex Sánchez aka 'electro' Los grafos y su relación con las redes sociales Escrito por Alex Sánchez el Aug 17, 2006 • (6) Cada vez que he buscado información sobre redes sociales, me he encontrado con el concepto de grafo, e incluso en su propia definición, tal y como aparece en la versión española de la definición de “red social” de la Wiki pedía. Grafos e Internet, el primero es conocido, pero los grafos no tanto. ¿Qué demonios es un grafo? Los grafos como conceptos matemáticos formales, nos brindan la posibilidad de tratar toda la maraña de información que nos ofrecen las redes sociales. Y por ello, y porque es la manera mas clara de ver y dibujar una red social, vamos a ver por encima qué es un grafo y sus conceptos básicos. Un grafo es un conjunto de vértices y aristas o arcos. Cada arista es una línea o arco que unen dos vértices del grafo o un vértice a si mismo.
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http://www.alexsanchez.info/redes-sociales-teoria-de-grafos/
Conceptos básicos de la teoría de grafos Esta aproximación ya niega de por si la idea de la "neutralidad" de las redes. Analizar redes sociales es ante todo determinar su estructura y por consiguiente establecer los límites de posibilidad en la actuación tanto de los individuos que forman parte de ellas como de la red en su conjunto. El análisis de redes sociales nos dice sobre todo lo que puede y no puede pasar, no lo que pasará... a menos que no pueda pasar otra cosa. Euler, con su forma de representar el problema de los siete puentes, nos dejó una forma de describir redes. Nacía la teoría de grafos. Grafos como el que usó no sirven para representar redes sociales convencionales. ¿Qué podrían significar dos enlaces entre dos nodos cuando además no son direccionales?. En realidad, los grafos están asociados con una forma particular de redes en las que las relaciones entre los nodos siempre son simétricas. Sirven para representar relaciones del tipo "se puede ir de A a B" o "X es familia de Y", en los que la misma relación implica que "se puede ir de B a A" y "Y es familia de a X", pero no para relaciones asimétricas, como "M presta dinero a N". Por eso los nodos están unidos por líneas (también "aristas", "lazos" o "edges" en la notación inglesa) y no por vectores con sentido (arcos o en inglés "archs"). Con todo, el lenguaje descriptivo de la teoría de grafos es la base de la notación en cualquier identificación topológica de una red. La red se define como un conjunto de nodos (también llamados puntos o vértices) que en análisis social representan a los actores de la red, unidos por líneas que representan la relación o relaciones que les unen. http://lasindias.net/indianopedia/Teor%C3%ADa_de_redes_sociales
Teoría de grafos La teoría de grafos tiene su origen en el problema de los siete puentes de Königsberg resuelto por Leonhard Euler. Más tarde, otros problemas influyeron en el desarrollo de la teoría de grafos como el estudio de las redes eléctricas, la enumeración de isómeros de hidrocarburos,... Hoy en día es rara la disciplina científica o humanística que no utiliza la teoría de grafos. Como ejemplos podemos citar la psicología en dinámica de grupos, la sociología en los socio gramas, la física teórica, que usa los diagramas de Feynmann, donde se representan mediante líneas las partículas elementales, el
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estudio de flujos en redes en programación lineal e investigación operativa, los cambios de variable en el cálculo diferencial... Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy común, que no precisa conocimientos matemáticos. Un grafo se parece a la figura siguiente, y consta de vértices y de aristas que reúnen algunos de ellos. En la teoría de los grafos, sólo se queda lo esencial del dibujo: la forma de las aristas no son relevantes, sólo importan sus extremidades (o cabos); la posición de los vértices tampoco, y se puede variar para obtener un grafo más claro, y hasta sus nombres se pueden cambiar. Estos cambios se llaman isomorfismos de grafos. Generalmente, se considera que colocar los vértices en forma de polígono regular da grafos muy líbeles.
Formalmente: Un grafo es una pareja G = (V, A), donde V es un conjunto de puntos, llamados vértices, y A es un conjunto de pares de vértices, llamadas aristas. Para simplificar, la arista {a,b} se denota ab. En la figura, V = { a, b, c, d, e, f }, y A = { ab, ac, ae, bc, bd, df, ef }. Una red de autovías que conectan ciudades, una red eléctrica, un alcantarillado se pueden modelizar con grafos.
En algunos casos es necesario imponer un sentido a las aristas, por ejemplo si se quiere representar la red de las calles de una ciudad con sus inevitables direcciones únicas. Las aristas son entonces pares ordenados de vértices, con (a,b) ≠ (b,a), y se define así grafos orientados (figura a la izquierda). En este grafo se ha autorizado una arista que tiene sus dos cabos idénticos: es un Página 50
