INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE MOTUL
ASIGNATURA : MÉTODOS NUMÉRICOS NOMBRE DEL TRABAJO: REPORTE DE LA UNIDAD 4: INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA DOCENTE : JESÚS E. BOTE MAY. PRESENTAN: EQUIPO 4: BURGOS GARRIDO ABEL A. CONTRERAS GARCIA DANIEL N. DZUL TZAB HELBERT R. ISC/4.- SEMESTRE/4 B MOTUL, YUCATÁN, YUCATÁN, MÉXICO MARZO DEL 2013
Índice de Contenido 1.-
INTRODUCCIÓN.......................... ......................... ........................... ......................... ........... 3
2.-
OBJETIVOS................................. ........................... .......................... ......................... ........... 3
2.1.-
Objetivos generales ........................ .......................... ......................... ........................... .. 3
2.2.-
Objetivos específicos ........................... .......................... ......................... ........................ 3
3.-
METODOLOGÍAS METODOLOGÍAS ......................... ......................... ........................... ......................... ........... 4
4.-
CONTENIDO DEL REPORTE........................................................................................ 4
4.1.-
Diferenciación Numérica ......................................................................................... 4
4.1.1.-
Formula de diferencia progresiva y regresiva .......................... .......................... ...... 4
4.1.2.-
Formula de 3 puntos ........................ .......................... ......................... .................... 7
4.1.3.-
Formula de cinco puntos ........................... .......................... ......................... ......... 13
4.2.-
INTEGRACIÓN NUMÉRICA ................................................................................. 16
4.2.1.-
MÉTODO DE LOS TRAPECIOS ......................... .......................... ......................... ..... 17
4.2.2.- MÉTODO DE SIMPSON ................................................................................... 21 4.2.3.- INTEGRACIÓN DE ROMBERG ....................................................................... 22 4.2.4.-
MÉTODO DE CUADRATURA GAUSSIANA..................................... ........................... 23
4.3.-
INTEGRACIÓN MULTIPLE...................................... .......................... ........................... .... 30
4.4.-
APLICACIONES ........................ ......................... ........................... ......................... ......... 32
4.5.-
CONCLUSIÓN .......................... ......................... ........................... ......................... ......... 33
1.- INTRODUCCIÓN Este trabajo habla de la diferenciación e integración numérica y se muestran diversos métodos para la resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana. Se explican algunas técnicas de aproximación para la resolución de diferenciales como lo son la formula de diferencia progresiva y regresiva, la formula de tres puntos y la formula de cinco puntos, cada una detallada con ejemplos sencillos para su fácil comprensión. También se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida. Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Los métodos que se abordan son: método del trapecio, métodos de Simpson, integración de Romberg, método de cuadratura gaussiana.
2.- OBJETIVOS 2.1.- Objetivos generales Con esta este reporte se pretende comprender los diferentes métodos de diferenciación e integración numérica.
2.2.- Objetivos específicos
Plantear el desarrollo de la investigación para determinar los aspectos generales de la meteorología del reporte. Leer y comprender los conceptos. Estudiar y comprender la importancia de los métodos de diferenciación e integración. Profundizar con detalle los conceptos. Tener mayor comprensión de las aplicaciones que tienen, estos mismos.
3.- METODOLOGÍAS
planear la investigación. Buscar información acerca de los temas y cuál es la más adecuado y confiable para ser utilizada en nuestra reporte. Una vez seleccionada la información are conclusiones de lo que trata y así poder entenderlo. Leer la información para entender de qué trata el tema para poder así, entender la diferenciación e integración. Después de estar seguro de tener la información correcta comenzaremos a redactar el reporte en la herramienta Microsoft Word.
4.- CONTENIDO DEL REPORTE
4.1.-
Diferenciación Numérica
4.1.1.- Formula de diferencia progresiva y regresiva
Diferencias finitas: Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central. Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma
Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el limite h → 0. Una diferencia regresiva, atrasada o anterior
Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores.
Relación con las derivadas La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite
Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha es
Por lo tanto, la diferencia anterior dividida por h aproxima a la derivada cuando hes pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es
La misma fórmula es válida en la diferencia posterior:
Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).
Cálculo de diferencias finitas La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf . El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula
Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder f con su derivada. Formalmente, invirtiendo la exponencial
Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:
El error de la aproximación es del orden de h2. Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son
Derivadas de órdenes mayores De forma análoga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. Por ejemplo usando la fórmula de la diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado de h / 2 para y aplicando la fórmula de diferencia central a la derivada de en x , obtenemos la aproximación de la diferencia central de la segunda derivada de f :
Métodos de diferencias finitas
Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico, especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias, ecuaciones en diferencias y ecuación en derivadas parciales. Los métodos resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas . Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de fluidos.
4.1.2.- Formula de 3 puntos
Supongamos que solo tenemos tres datos espaciados, es decir,
igualmente con
.
Aplicando la fórmula anterior con tres puntos, para respectivamente, obtenemos las tres siguientes fórmulas (llamadas de "tres puntos")
Planteamiento inverso
En primer lugar es necesario demostrar la existencia de ligamiento entre los tres loci analizados. Suponiendo que se trata de un cruzamiento prueba entre un triheterocigoto (AaBbCc) y un homocigoto recesivo (aabbcc) los pasos que es necesario realizar para demostrar la existencia de ligamiento son los siguientes:
a) Comprobar mediante un c2 que el locus A, a segrega correctamente: ½ A ½ a. b) b.
Comprobar mediante un c2 que el locus B,b segrega correctamente: ½ B ½
c) Comprobar mediante un c2 que el locus C,c segrega correctamente: ½ C ½ c. d) Comprobar mediante un c2 que la segregación combinada de los loci A, a y B,b no se ajusta a la esperada en caso de independencia (¼ AB, ¼ Ab, ¼ aB, ¼ ab). e) Comprobar mediante un c2 que la segregación combinada de los loci A, a y C,c no se ajusta a la esperada en caso de independencia (¼ AC, ¼ Ac, ¼ aC, ¼ ac). f) Comprobar mediante un c2 que la segregación combinada de los loci B, b y C, c no se ajusta a la esperada en caso de independencia (¼ BC, ¼ Bc, ¼ bC, ¼ bc). g) Comprobar que la segregación combinada de los tres loci A, a; B, b y C, c no se ajusta a la esperada en caso de independencia (1/8 ABC, 1/8 ABc, 1/8 AbC, 1/8 aBC, 1/8 Abc, 1/8 aBc, 1/8 abC y 1/8 abc). Una vez demostrada la existencia de ligamiento entre los tres loci, el objetivo del problema de los tres puntos es deducir a partir de los datos de una descendencia:
El orden relativo de los tres loci, es decir, determinar el locus que ocupa la posición central. Calcular los valores de la fracción de recombinación (r1 y r2) entre el locus central y cada uno de los extremos, y entre los dos loci extremos (r). Calcular el valor del coeficiente de coincidencia (c) y de la interferencia (I) entre los tres loci.
Para ello, vamos a suponer que estamos analizando la descendencia de un cruzamiento prueba entre un individuo triheterocigoto (AaBbCc) en fase de acoplamiento (ABC/abc) y un homocigoto recesivo (aabbcc). Nuestro primer
objetivo será averiguar el orden de estos tres loci sobre el mismo cromosoma, es decir, determinar cuál es el locus que ocupa la posición central. Esta
cuestión
puede
ser
resuelta
de
dos
formas
distintas:
En un cruzamiento prueba como el indicado (AaBbCc x aabbcc), suponiendo
Que los tres loci están en fase de acoplamiento (ABC/abc) y que el locus central es el B,b; se esperan ocho clases de descendientes. Las dos clases más frecuentes serán las procedentes de gametos parentales formados cuando no se da sobrecruzamiento entre los loci analizados: ABC y abc. Las dos clases menos frecuentes serán las dobles recombinantes, procedentes de gametos originados cuando se da sobrecruzamiento entre el locus A, a y el locus B,b y también entre el locus B,b y el locus C,c: AbC y aBc. Aquel locus cuyo intercambio de alelos en las clases dobles recombinantes reconstituye las clases parentales será el central. En el caso que nos ocupa, el único locus que cumple esta condición es el B,b.
b) La otra forma de determinar el locus central consiste en calcular las distancias genéticas entre los tres loci considerados. La distancia genética es el valor de la fracción de recombinación en tanto por cien. La distancia mayor corresponderá a los dos loci extremos. En este caso, la mayor distancia genética correspondería a la encontrada entre los loci A,a y C,c. Por tanto, el locus central sería el B,b. Es importante destacar que para determinar el locus central y calcular las fracciones de recombinación y distancias genéticas es necesario analizar los tres loci en los mismos descendientes. Podría darse el caso (normalmente bastante frecuente) de que no se haya podido determinar el fenotipo de algunos individuos para alguno de los tres loci estudiados. Por ejemplo, en un individuo AB- se habría determinado su fenotipo A para el locus A,a, su fenotipo B para el locus B,b y no se habría podido averiguar su constitución genética en el locus C,c. En otro individuo de la descendencia puede ser otro locus diferente el que no se haya podido analizar. Para determinar el orden es necesario emplear descendientes en los que haya sido posible determinar el fenotipo en los tres loci estudiados. Posteriormente, calculamos los valores de la fracción de recombinación. Fracción de recombinación entre A,a y B,b; r1:
Fracción
de
recombinación
Fracción
de
recombinación
entre
entre
B,b
A,a
y
C,c;
y
C,c;
r2:
r:
Teniendo en cuenta que el locus central es el B,b, el mayor valor de la fracción de recombinación corresponderá a r. Por último, calculamos el coeficiente de coincidencia (c) que se define como la frecuencia de los dobles sobrecruzamiento observados frente a los dobles sobrecruzamiento esperados.
El coeficiente de coincidencia (c) nos permite saber si se da interferencia cromosómica (I), es decir, si el hecho de que se de un sobrecruzamiento en una determinada región (por ejemplo entre el locus A,a y el B,b) favorece o impide el que se den más sobrecruzamientos en una región próxima a la anterior (por ejemplo entre el locus B,b y el C,c). La interferencia (I) se define como I = 1 - c, pudiendo ser positiva cuando c es menor que uno y negativa cuando c es mayor que 1. Cuando c es igual a 1 (igual cantidad de dobles sobrecruzamientos observados y esperados) se dice que no hay interferencia.
Planteamiento directo En el planteamiento directo sabemos que tres loci están ligados, conocemos las frecuencias de recombinación y (r1, r2 y r), el valor del coeficiente de coincidencia (c) y la interferencia (I). A partir de estos datos, lo que se pretende es calcular las frecuencias de los gametos que produce un triheterocigoto (AaBbCc) y, por consiguiente, las frecuencias de los 8
fenotipos distintos de la descendencia obtenida en un cruzamiento prueba (AaBbCc x aabbcc). En el siguiente esquema se indican los ocho tipos de gametos que produce un triheterocigoto en fase de acoplamiento (ABC/abc), así como las frecuencias de los ocho tipos de individuos de la descendencia (ocho fenotipos).
En el esquema anterior hemos visto los 8 tipos de gametos que produce el parental triheterocigoto en fase de acoplamiento, hemos clasificado los gametos en base a si se da sobrecruzamiento sólo en la región I (entre A, a y B,b), sólo en la región II (entre B,b y C,c), en ambas zonas I y II (uno entre A, a y B,b y el otro entre B,b y C,c) y cuando no se da ningún sobrecruzamiento. La suma de las frecuencias de los 8 tipos de gametos debe ser la unidad: 2y + 2z + 2t + 2x = 1 (total gametos). El valor del coeficiente de coincidencia (c) es:
El valor de la fracción de recombinación en la región I se calcularía como:
El valor de la fracción de recombinación en la región II se obtendría de la siguiente forma:
Teniendo en cuenta que conocemos el valor del coeficiente de coincidencia (c); el valor de la fracción de recombinación en la región I (r1), y el valor de la fracción de recombinación en la región II (r2). Lo mejor es despejar el valor de la frecuencia “t” (gameto doble recombinante) en la
fórmula del coeficiente de coincidencia:
Una vez conocido el valor de "t", podemos averiguar el valor de la frecuencia "y" despejando en la siguiente fórmula:
Finalmente, sólo necesitamos conocer el valor de la frecuencia “x”, frecuencia
que tendríamos despejando en la siguiente ecuación:
Teniendo en cuenta que se trata de un cruzamiento prueba y que, por tanto, los fenotipos de la descendencia coinciden con los gametos producidos por el individuo triheterocigoto, las frecuencias de los diferentes tipos de gametos indicados coincidirían con las de los 8 fenotipos distintos obtenidos en el cruzamiento. 4.1.3.- Formula de cinco puntos
De manera análoga, si tenemos cinco datos igualmente espaciados, con
,
se puede obtener la fórmula de cinco puntos.
Fórmula para la segunda derivada Con las mismas hipótesis, se puede deducir una fórmula de tres puntos para la segunda derivada
EJEMPLO. Consideremos la siguiente tabla de datos
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
1.00 1.010050167 1.02020134 1.030454534 1.040810774 1.051271096 1.061836547 1.072508181 1.083287068 1.094174284
Estimar
y
.
SOLUCIÓN. Para estimar
se puede usar la fórmula de cinco puntos
mientras que para estimar
podemos usar una fórmula de tres puntos,
para ser Estimación
exactos, la fórmula apropiada es la fórmula para de
con
la
fórmula
de
cinco
. puntos.
Seleccionamos cinco puntos de tal manera que,
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
1 1.010050167 1.02020134 1.030454534 1.040810774 1.051271096 1.061836547 1.072508181 1.083287068 1.094174284
Ahora aplicamos la fórmula, como
Como se esperaba ya que Estimación de Seleccionamos
tres
X 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
1.00 1.010050167 1.02020134 1.030454534 1.040810774 1.051271096 1.061836547
con la fórmula de tres puntos para estimar puntos de tal manera que,
.
0.07 0.08 0.09
1.072508181 1.083287068 1.094174284
Ahora aplicamos la fórmula, como
Como se esperaba. Observe que la precisión no es tan buena como la obtenida con la fórmula de cinco puntos.
4.2.-
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
En análisis numérico la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utilizan. El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:
Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una ecuación diferencial ordinaria, como sigue:
Encontrar y (b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runga-Kutta pueden
ser aplicados al problema reformulado. En este artículo se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una integral definida. Razones para la integración numérica Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser calculada, siendo la integración numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales.
4.2.1.-
MÉTODO DE LOS TRAPECIOS
La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación es de primer grado:
Una línea recta se puede representar como:
El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de ƒ(×) entre los limites ɑ y b:
El resultado de la integración es:
Que se denomina regla del trapecio.
Obtención de la regla del trapecio Antes de la integración, la ecuación se puede expresar como:
Agrupando los últimos 2 términos:
La cual puede integrarse entre x= ɑ y x =b para obtener:
Este resultado se evalúa para dar:
Ahora como b² ɑ² = (b ɑ) (b + ɑ). ‐
‐
Multiplicando y agrupando términos se tiene:
Que es la fórmula para la regla del trapecio. Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que une ƒ (ɑ) y ƒ (b). Recuerde que la fórmula para calcular el area de un trapezoide es la altura por el promedio de las bases. En nuestro caso, el concepto es el mismo, pero el trapezoide esta sobre su lado. Por lo tanto, la integral aproximada se representa como:
Error de la regla del trapecio Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante. Una estimación al error de truncamiento local para una sola aplicación de la regla del trapecio es:
Donde ᵹ está en algún lugar en el intervalo de ɑ a b. La ecuación indic a que si la función sujeta a integración es lineal, la regla del trapecio será exacta. De otra manera, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con curvatura), puede ocurrir algún error.
Ejemplo: Aplicación simple de la regla del trapecio. *Planteamiento del problema. Con la ecuación integre numéricamente
Desde a=0 hasta b=0.8. recuerde de la sección PT6.2 que el valor exacto de la integral se puede determinar en forma analítica y es 1.640533. SOLUCION: al evaluar la función en los limites f(0)=0.2
f(0.8)=0.232 Sustituyendo la ecuación se tiene que
La cual representa un error de
Que corresponde a un error relativo porcentual de Ɛ1=89.5%.
En situaciones
reales, tal vez no conozcamos previamente el valor verdadero. Por lo tanto, se requiere una estimación del error aproximado. Problema del método de los trapecios(MetTrape) Integrar numéricamente la función erf(x) para x=0,34 utilizando su definición. Se busca tener un error inferior a la tercera cifra decimal. Utilizando el método de los trapecios, se tiene:
Solución: Es interesante constatar, desde el punto de vista numérico, la evolución de la precisión con respecto al tiempo de cálculo(tiempo en segundos para un IBM 50, 10 MHz con coprocesador matemático): Influencia del numero de intervalos en el método de los trapecios. # de divisiones 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768
Resultado 0.369362921747236 0.369364127446088 0.369364428870065 0.369364504226013 0.369364523064997 0.369364527774743 0.369364528952180 0.369364529246539 0.369364529320128 0.369364529338524
Tiempos 0,05 0,11 0,17 0,33 0,71 1,48 2,91 5,77 11,58 23,18
65536 131072 262144 524288 1048576 2097
4.2.2.-
0.369364529343126 0.369364529344273 0.369364529344566 0.369364529344642 0.369364529344647 0.369364529344678
46,36 92,55 184,88 369,71 741,16 1478,32
MÉTODO DE SIMPSON
Además de aplicar la regla del trapecio con una segmentación mas fina, otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral consiste en usar polinomios de grado superior para unir los puntos. Por ejemplo, si hay otro punto a la mitad entre ƒ (ɑ) y ƒ (b), los tres puntos se pueden unir con una parábola. Si ha y dos puntos igualmente espaciados entre ƒ (ɑ) y ƒ (b), los cuatro puntos se pueden unir
mediante un polinomio de tercer grado. Las formulas que resultan de tomar las integrales bajo esos polinomios se conocen como reglas de Simpson. REGLA DE SIMPSON La regla se Simpson ⅓ resulta cuando un polinomio de interpolación de segundo grado se sustituye en la ecuación:
Si se designan ɑ y b como xₒ y x , y ƒ (x) se representan por un polinomio de Lagrange de segundo grado, la integral se transforma en: ₂
₂
Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas se obtiene la siguiente fórmula:
Donde, en este caso, h=(b - ɑ)/2. Esta ecuación se conoce como regla de Simpson 1/3, y es la segunda fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La especificación “1/3” se origina del hecho de que h está dividida en 3 en la
ecuación. OBTENCIÓN Y ESTIMACIÓN DEL ERROR DE LA REGLA DE SIMPSON 1/3 Como se hizo en el cuadro 21.2 para la regla del trapecio, la regla de Simpson 1/3 se obtiene al integrar el polinomio de interpolación de Newton-Gregory hacia adelante:
Observe que se escribió el polinomio hasta el término de cuarto grado, en lugar de hasta el de tercer grado como se esperaría. La razón de esto se vería un poco después.
4.2.3.-
INTEGRACIÓN DE ROMBERG
En análisis numérico, el Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos elementos son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente:
Usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio. El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque es posible evaluar el integrando en puntos no equespaciados, en ese caso otros métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw –Curtis son más adecuados. El método se define de forma recursiva así:
O
Donde
La cota superior asintótica del error de R(n,m) es:
La extrapolación a orden cero R(n,0) es equivalente a la Regla del trapecio con n + 2 puntos. a orden uno R(n,1) es equivalente a la Regla de Simpson con n + 2 puntos. Cuando la evaluación del integrando es numéricamente costosa, es preferible reemplazar la interpolación polinómica de Richardson por la interpolación racional propuesta por Bulirsch & Stoer. 4.2.4.- MÉTODO DE CUADRATURA GAUSSIANA
En las formulas de integración pasadas considerando que los espaciamientos son iguales, es decir que la variable independiente x esta dividida en intervalos equiespaciados. Gauss observo que a falta de exigir la condición de conocimiento de la función f(x) en valores predeterminados, una formula de tres términos requeriría seis parámetros (en vez de tres como el caso de Simpson) y correspondería a una formula de integración poli nómica de grado cinco. Las formulas gaussianas pueden aplicarse cuando la función f(x) se conoce explícitamente si por el contrario, se conocen valores equiespaciados de la función ya que estas han sido evaluadas experimentalmente, se deben usar las formulas de integración numérica.
Las formulas de integración de Gauss tienen la forma:
Donde, wi son las funciones de peso y f(x) son las n+1 evaluaciones de la función f(x)-
Cuadratura Gauss Legendre El objetivo de este método es aproximar la función f(x), por un polinomio pn (x) que sea ortogonal con respecto a una función de peso dado, en el intervalo. f(x)=Pn(x)+Rn(x)
Donde w(x) son funciones de peso, Pn(x) es el polinomio seleccionado y Rn(x) es el residuo originado por la aproximación. Es conveniente que los límites de integración sea entre (-1,1) y no entre (a, b ). para ello se puede hacer un sencillo cambio de variable de la siguiente forma:
Así se tiene que.
L1 es el polinomio de Legendre:
Nótese que I e I’ están relacionadas de la siguiente manera:
Reagrupando los términos de la primera ecuación de esta cuadratura, se tiene:
Se puede demostrar que si la función F(t) es equivalente a un polinomio de grado inferiros o igual a un polinomio de grado 2n+1, la integral es exacta si los coeficientes son calculados por la formula:
Las funciones Ω(t) son fun ciones positivas integrales asociadas a la propiedad de
ciertos polinomios ortogonales. De hecho los valores que aparecen en el cálculo de la sumatoria son justamente las raíces de estos mismos polinomios ortogonales, raíces utilizadas en el desarrollo:
Dependiendo del intervalo (a,b), también llamado dominio, se selecciona el tipo de polinomio que satisfaga la ecuación general del método de Romberg. Finalmente el resultado de la integral es:
Polinomios de Legendre: Dominio (1,1), función de peso Ω(x)=1
Coeficientes para la cuadratura de Gauss-Legendre 2 3 4 5 6 10
15
ti +-0,577350269189 o +-0,774596669241 +-0,339981043585 +-0,861136311594 O +-0,538463310106 +-0,906179845939 +-0,238619186083 +-0,661209386466 +-0,932469514203 +-0,148874338982 +-0,433395394129 +-0,679409568299 +-0,865063366689 +-0,973906528517 O +-0,201194093997 +-0,394151347078 +-0,570972172609 +-0,724417731360 +-0,848206583410 +-0,937273392401 +-0,987992518020
wi 1 0,888…(=8/9) 0,555…(=5/9)
0,652145154862 0,347854845137 0,56888 0,478628670499 0,236926885056 0,467913934573 0,3607615730481 0,171324492379 0,295524224714 0,269266719310 0,219086362515 0,149451349151 0,066671344309 0,202578241926 0,198431485327 0,186161000116 0,166269208817 0,139570677926 0,107159220467 0,070366047488 0,030753241996
Otras cuadraturas Gaussianas Las técnicas de cuadratura Gaussiana pueden ser utilizadas para otro tipo de polinomios ortogonales. De las numerosas familias existentes, tres tienen un uso relativamente común. Se trata de las cuadratura de Gauss-Tchebychef, GaussLaguerre y Gauss-L’Hermite. Todas se diferencian fundamentalmente por tener las raíces ubicadas en dominios distintos y tener funciones de peso también diferentes.
Ejercicio1 Método de cuadratura: Gauss-Legendre (MetGaLeg) Demostrar que para una cuadratura de Gauss-Legandre, los coeficientes para una colocación de tres puntos para zi y (t)i son los de latabla expuesta en el párrafo correspondiente: Solución: Se calcularan primero las raíces del polinomio de Legendre que anulan el residuo en tres puntos:
Siendo las raíces: 0, + Los factores de peso se obtienen integrando los polinomios de Lagrange para caca uno de los valores que anuló el residuo.
Resolviendo se obtiene: 1 = 8/9
2 = 3 = 5/9
Ejercicio 2: Aproximamos
usando la regla de cuadrátura con n=2. Primero hacemos un cambio de variables de modo que el integral sea en el intervalo de [-1,1]. Para esto usamos el cambio de variables discutido al principio de esta sección lo que resulta en:
Tenemos ahora que
Hay 2n parámetros que elegir. Si los coeficientes de un polinomio se consideran parámetros, un polinomio de grado 2n - 1 también tiene 2n parámetros. Este es el tipo de polinomios de mayor grado para el cual se puede esperar que la solución sea exacta. Caso n = 2 e intervalo [-1, 1]
Queremos determinar x1, x2, c1 y c2 para que la fórmula
de un resultado exacto siempre que f(x) sea un polinomio de grado 2 · 2 - 1 = 3 o menor
Hay que demostrar que la fórmula produce resultados exactos cuando f(x) es 1, x, x2 y x3.
Este sistema de ecuaciones tiene solución única
La siguiente fórmula da resultados exactos para polinomios de grado _ 3
Caso general Para n _ 2 e intervalo [-1, 1] el cálculo de los xi y ci se realizan utilizando los polinomios de Legendre y sus raíces. Las constantes ci y las raíces de los polinomios de Legendre están tabuladas Así: Para el caso general de un intervalo cualquiera [a, b] se realiza un cambio de variable en la integral:
y se aplicara sobre la nueva integral.
Ejemplo3.
4.3.- INTEGRACIÓN MULTIPLE Las integrales múltiples se utilizan a menudo en la ingeniería. Por ejemplo, una ecuación general para calcular el promedio de una función bidimensional puede escribirse como sigue:
Al numerador se le llama integral doble. Las técnicas estudiadas en este capítulo (y en el siguiente) se utilizan para evaluar integrales múltiples. Un ejemplo sencillo seria obtener la integral doble de una función sobre un área rectangular. Recuerde del cálculo de dichas integrales se pueden calcular como integrales iterada
Primero se evalúa la integral en una de las dimensiones y el resultado de esta primera integración se incorpora en la segunda integración. Una integral numérica doble estará basada en la misma idea. Primero se aplican métodos, como la regla de Simpson o del trapecio para segmentos múltiples, a la primera dimensión manteniendo constante los valores de la segunda dimensión. El procedimiento se ilustra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO Planteamiento del problema: suponga que la temperatura en una placa rectangular se describe mediante la siguiente función:
Si la placa tiene 8m de largo (dimensión x) y 6m de ancho (dimensión y), calcule la temperatura promedio. SOLUCION: Primero se usara la regla del trapecio con dos segmentos en cada dimensión. Observe que un promedio simple de estos valores es 47.33. La función también se evalúa analíticamente, cuyo resultado seria 58.66667. Para realizar numéricamente la misma evaluación se emplea primero la regla del trapecio a lo largo de la dimensión x con cada uno de los valores de y. Estos
valores se integran después a lo largo de la dimensión y para dar como resultado final 2688. Dividiendo este entre el área se obtiene la temperatura promedio: 2668/(6×8)=56. También podemos emplear la regla de Simpson 1/3 de la misma manera con un solo segmento.
Esta integral da como resultado de 2816 y un promedio de 58.66667, que es exacto. ¿Por qué pasa esto? Recuerde que la regla de Simpson 1/3 dio resultados perfectos con polinomios cúbicos. Como el término del grado mayor en la función es de segundo grado, en el presente caso se obtiene el mismo resultado exacto. Para funciones algebraicas de grado superior, así como funciones trascendentes, será necesario emplear segmentos múltiples para obtener estimaciones exactas de la integral. Estas con frecuencia proporcionan mejores recursos para la integración numérica de integrales múltiples.
4.4.- APLICACIONES En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.
