` Probleme eme
Probl` Prob l` eme eme : ´ etude etud e d’une d’u ne famill fam ille e de matrices matr ices carr´ ees ees d’ordr d’o rdre e 3 Dans Da ns l’alg` l’a lg`ebre eb re
M 3 (C)
des matrices carr´ees ees d’ordre 3 a` coefficients complexes, on note E l’ensemble
des matrices M (a,b,c ) =
a + b + c
b + c
b + c
b
a + b
b
b−c
b−c
a + b − c
, avec (a,b,c) dans
C3 .
On note I = M (1, 0, 0), J = M (0, 1, 0), et K = M (0, 0, 1).
On note e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) et e3 = (0, 0, 1) les vecteurs de la base canonique de
C3 .
I. G´ en´ en´ eral er alit it´ ´ es es sur su r l’en l’ ense semb mble le (E ), et ´ etud et ude e de cert ce rtai ains ns ´ el´ el´ ement ementss de (E )
1. Montrer Montrer que que E est un sous-espace vectoriel de M 3 (C). En donner la dimension et une base. 2. Montrer Montrer que que E est un sous-anneau de (M 3 (C), +, ×). L’anneau E est-il commuta commutatif tif ? 3. D´eterminer eter miner les matric m atrices es M de E qui qu i v´erifie ifi ent l’´ l’ ´egalit´ it ´e M 2 = I . 2 4. Dans cette cette question question,, on pose S = M 1, − , c . 3 3 Soit f l’endomorphisme de C dont la matrice est S dans la base canonique.
Pr´eciser ecise r la nature natur e de f , et ses ´el´ el´ements eme nts caract´ car act´eristi eri stique ques. s. Indica Ind icatio tion n : w = (2 − 3c, 2, 2 + 3 c). II. Calcul de la puissance n-i` eme eme d’une d’un e matrice matri ce de E
a, b, c. Pour simplifier on note M plutˆ On fixe a, ot ot que M (a,b,c). On pose L = bJ + cK .
1. Pour tout n de
N∗ ,
calculer Ln en fonction de b, b, n, L.
2. En d´eduire, eduir e, si b = 0, une expression de M n (avec n 0) en fonction de n, n, a, b, I, L . 3. Dans cette question question,, on suppose ab (a + 3b) = 0. Montrer que M est inversible et que l’expression n de M obtenue en (II.2) est encore valable pour les exposants n de Z . −∗
4. Dans cette cette questio question, n, on suppose suppose b = 0. Calculer M n pour tout n de N. Montrer en quoi le r´esultat esultat obtenu est coh´erent erent avec celui de la question (II.2). III. II I. Changeme Chan gements nts de base bas e ; inversibili inversi bilit´ t´ e des ´ el´ el´ ements ements de E
a, b, c , et pour simplifier on note M plutˆ On fixe la valeur des scalaires a, ot ot que M (a,b,c ).
Soit f l’endomorphisme de
C3
dont la matrice est M dans la base canonique.
On d´efinit efinit les vecteurs vecteur s u1 = (1, −1, 0), u2 = (1, 0, −1) et u3 = (b + c, c, b, b − c). 1. Montrer Montrer que que u1 , u2 , u3 forment une base de C3 si et seulement si b = 0. 2. On suppose b = 0. D´eterminer eter miner la matrice matri ce D de f dans la base u1 , u2 , u3 . 3. On suppose b = 0. Montrer que les vecteurs u1 , u2 , e1 forment une base de matrice T de f dans cette base.
C3 ,
et calculer la
4. D´eduire eduire de (III.2) (II I.2) et (III.3) (II I.3) que M (a,b,c) est inversible si et seulement si a(a + 3b) = 0. Math´ ematiques emati ques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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Probl` eme
Corrig´ e du probl` eme I. G´ en´ eralit´ es sur l’ensemble (E ), et ´ etude de certains ´ el´ ements de (E )
1. Voici ce que dirait Maple : > restart: > with(LinearAlgebra):
# on ouvre une nouvelle session # on charge le package LinearAlgebra
On d´efinit la fonction permettant de former les matrices M (a,b,c). > M:=(a,b,c)->Matrix([[a+b+c,b+c,b+c], [b,a+b,b], [b-c,b-c,a+b-c]]):
Voici effectivement la matrice M (a,b,c) : > M(a,b,c);
a + b + c b + c
b + c
a + b
b b−c
b
b − c a + b − c
En particulier, on peut d´efinir les variables Id = M (1, 0, 0), J = M (1, 0, 0) et K = M (0, 0, 1) (on rappelle que la lettre I est r´eserv´ee par Maple pour d´esigner qui vous savez). > Id:=M(1,0,0): J:=M(0,1,0): K:=M(0,0,1): ’Id’=Id, ’J’=J, ’K’=K;
Id =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
,
J =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
,
K =
1
1
1
0
0
0
−1 −1 −1
Pour tout (a,b,c) de C3 , on a clairement M (a,b,c) = aI + bJ + cK . Ainsi E est le sous-espace vectoriel de M 3 (C) engendr´e par I , J, K . La famille I , J, K est libre car aI + bJ + cK = 0 ⇒ M (a,b,c) = 0 ⇒ a = b = c = 0 (easy). Cette famille est donc une base de E , qui est ainsi un sev de dimension 3 de M 3 (C). 2. On sait d´ej`a que E est un sous-groupe de (M 3 (C), +). Il reste a` montrer que E contient I (la bonne blague) et qu’il est stable pour le produit. Que celui ou celle qui effectue explicitement le produit matriciel M (a,b,c)M (a , b , c ) soit damn´e(e) jusqu’` a la septi`eme g´en´eration. Il suffit bien sˆ ur de calculer les produits J 2 , K 2 , JK et KJ . Voici les r´esultats avec Maple :
> J^2, K^2, J.K, K.J;
3 3 3 3 3 3 3 3 3
,
0 0 0 0 0 0 0 0 0
,
0 0 0 0 0 0 0 0 0
,
3
3
3
0
0
0
−3 −3 −3
On constate que J 2 = 3J , K 2 = 0, JK = 0 et KJ = 3K . Puisque les produits des matrices I , J, K entre elles sont encore des ´el´ements de E , il en r´esulte que E est stable pour le produit. Conclusion : E est un sous-anneau (non commutatif car JK = K J ) de (M 3 (C), +, ×). Math´ ematiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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Probl` eme
3. Posons M = M (a,b,c) = aI + bJ + cK avec (a,b,c) dans
C3 .
En utilisant les relations J 2 = 3J , K 2 = 0, J K = 0 et KJ = 3K , on trouve : M 2 = (aI + bJ + cK )(aI + bJ + cK ) = a 2 I + b(2a + 3b)J + c(2a + 3b)K . Ainsi, en utilisant le fait que I , J, K forment une base de E : a2 = 1 2 2 M 2 = I ⇔ b(2a + 3b) = 0 ⇔ ( a,b,c ) ∈ (1, 0, 0), (−1, 0, 0), 1, − , c , −1, , c 3 3 c(2a + 3 b) = 0
On trouve donc d’une part les matrices I et − I (qui ´etaient solutions ´evidentes) et d’autre part 2 toutes les matrices M = ε I − J + cK avec ε = ± 1 et c dans C. 3 Voici comment on peut v´erifier avec Maple :
> solve(a^2=1,b*(2*a+3*b)=0,c*(2*a+3*b),{a,b,c});
{a = 1, b = 0, c = 0} , {a = −1, b = 0, c = 0} ,
2 a = 1, b = − , c = c , 3
2 a = −1, b = , c = c 3
4. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, S 2 = I c’est-`a-dire f 2 = Id. L’application f est donc une sym´etrie vectorielle, par rapport au sous-espace Inv(f ) de ses vecteurs invariants, parall`element au sousespace Opp(f ) des vecteurs qu’elle change en leur oppos´e. On d´efinit ici la matrice S , et par acquis de conscience on v´erifie que S 2 = I : > S:=M(1,-2/3,c): ’S’=S, ’S^2’=simplify(S^2);
S =
1 2 2 + c − + c − + c 3 3 3 2 1 2 − − 3 3 3 2 2 1 − −c − −c − c 3 3 3
, S 2 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
On note [u]e la matrice colonne des coordonn´ees de u = (x,y,z ) dans la base canonique. On utilise d’abord l’indication de l’´enonc´e. 2 On a S [w]e = I − J + cK [w]e avec J [w]e = 3
On en d´eduit S [w]e =
6 6 6
2 − 3c 2 2 + 3c
4 4 4
−
+
et K [w]e =
6c 0 −6c
=
−2 + 3 c −2 −2 − 3c
Ainsi, f (w) = − w : le vecteur (non nul) w est donc dans Opp(f ). Bien sˆ ur, la v´erification est imm´ediate avec Maple :
6 0 −6
.
= − [w]e .
> simplify(S.<<2-3*c,2,2+3*c>>);
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−2 + 3 c −2 −2 − 3 c
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Probl` eme
On cherche maintenant Inv(f ). On ´ecrit : f (u) = u ⇔ A [u]e = [u]e ⇔
Mais (Σ) ⇔
1 2 2 + c − + c − + c 3 3 3 2 1 2 − − 3 3 3 2 2 1 − −c − −c −c 3 3 3
x y
x
=
z
y
(Σ)
z
(3c + 1) x + (3 c − 2)y + (3 c − 2)z = 3x −2x + y − 2z = 3y ⇔ x + y + z = 0 (3c + 2) x + (3 c + 2) y + (3c − 1)z = − 3z
Ainsi Inv(f ) est le plan (Π) d’´equation x + y + z = 0, dont une base est
u = (1, −1, 0) v = (1, 0, −1)
Conclusion : f est la sym´etrie vectorielle par rapport au plan (Π), parall`element a` la droite vectorielle engendr´ee par le vecteur w = (2 − 3c, 2, 2 + 3 c). On peut obtenir une confirmation pour Inv(f ) en demandant a` Maple une base (ou l’´equation) du noyau de f − Id. La fonction NullSpace donne ici une base de ce noyau. Les fonctions GenerateEquations et solve permettent respectivement de former puis de r´esoudre le syt`eme donnant le noyau de f . > NullSpace(S-Id), solve(GenerateEquations(S-Id,[x,y,z]),{x,y,z});
−1 0 1
,
−1 1 0
, {x = − y − z, y = y, z = z }
II. Calcul de la puissance n-i` eme d’une matrice de E
1. On sait que J 2 = 3J , K 2 = J K = 0 et KJ = 3K . Bien sˆ ur, le fait que J K = K J interdit d’utiliser la formule du binˆome. Que celui ou celle qui l’aura fait quand mˆeme soit imm´ediatement jet´e(e) dans le Phl´eg´ethon. On en d´eduit : L2 = (bJ + cK )2 = (bJ + cK )(bJ + cK ) = b 2 J 2 + bcJ K + cbKJ + c2 K 2 = 3b2 J + 3cbK = 3bL Une r´ecurrence imm´ediate donne alors Ln = (3b)n 1 L pour tout n 1. −
Voici une v´erification de la propri´et´e L2 = 3bL avec Maple : > L:=b*J+c*K: ’L’=L; ’L^2’=map(factor,L^2);
L =
L2 =
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b + c b + c b + c b
b
b
b−c b−c b−c
3 b (b + c)
3 b (b + c)
3 b (b + c)
3 b2
3 b2
3 b2
3 (b − c) b 3 (b − c) b 3 (b − c) b mathprepa.fr
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Probl` eme
2. Pour calculer M n = (aI + L)n, on peut bien sˆ ur utiliser la formule du binˆ ome. Achtung : l’´egalit´e Ln = (3b)n 1 L n’est vraie qu’`a partir de n = 1. −
On trouve : n
M
n n
= (aI + L) = n n
= a I +
j=0
n
n an− j L j j
n
= a I +
j=1
n an− j (3b) j −1 L = a n I + j
j=1
= a n I +
n an− j L j j
1 (a + 3b)n − an L 3b
1 3b
n
j=1
n an− j (3b) j L j
(attention aux indices dans ce calcul !)
( a + 3b)n − an Conclusion : pour tout n de N , on a M = a I + L. 3b Remarque 1 : cette ´egalit´e est encore valable quand n = 0. n
∗
n
Remarque 2 : elle est bien sˆ ur valable si n = 1 (c’est une v´erification obligatoire !) Pour confirmer le r´esultat avec Maple, on cr´ee une fonction Phi : > Phi:=(a,b,c,n)->a^n*Id+((a+3*b)^n-a^n)/(3*b)*(b*J+c*K);
1 ((a + 3 b)n − an ) (bJ + cK ) Φ := (a,b,c,n ) → a Id + 3 b n
On v´erifie que “¸ca marche” pour le calcul de M (3, 1, 2)4 par exemple : > M(3,1,2)^4, Phi(3,1,2,4);
1296
1215
1215
405
486
405
−405 −405 −324
,
1296
1215
1215
405
486
405
−405 −405 −324
3. On suppose donc b = 0, a = 0 et a + 3b = 0. ( a + 3b)n − an On pose Φ(n) = a n I + L pour tout n de Z. 3b
On sait que Φ(n) = M n pour tout n de N. Si on v´erifie Φ(n)Φ(−n) = I pour tout n de N (et donc en particulier M Φ(−1) = I ), on aura montr´e d’une part que M est inversible et d’autre part que la formule M n = Φ(n) est encore valable pour les n de Z . ( a + 3b)n an On ´ecrit Φ(n) = (3bI − L) + L. 3b 3b −∗
Cette r´e´ecriture est astucieuse (merci, merci) parce qu’elle regroupe les puissances de a et de (a + 3b) (¸ca va ˆetre utile dans le d´eveloppement de Φ(n)Φ(−n)). Elle est mˆeme super-astucieuse parce que : (3bI − L)L = L (3bI − L) = 3bL − L2 = 0 Pour tout n de Z, et sachant que L2 = 3bL : Φ(n)Φ(−n) =
(a + 3b)n an (3bI − L) + L 3b 3b
(a + 3b)−n a−n (3bI − L) + L 3b 3b
1 1 = 2 (3bI − L)2 + L2 = 2 (9b2 I − 6bL + 2L2 ) = I (wouaaah....) 9b 9b Math´ ematiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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Probl` eme
(a + 3b)n − an L pour tout n de Z. Conclusion : si ab(a + 3b) = 0, on a M = a I + 3b n
n
On utilise la fonction Phi d´efinie a` la question pr´ec´edente pour effectuer une v´erification de l’´egalit´e Φ(n)Φ(−n) = I dans le cas g´en´eral. Maple est ici tout simplement bluffant ! > simplify(Phi(a,b,c,n).Phi(a,b,c,-n));
1 0 0 0 1 0 0 0 1
4. On suppose b = 0. On a donc M = aI + cK .
Pour calculer M n , on utilise la formule du binˆome (et l’´egalit´e K 2 = 0). n
Pour tout n de
N,
n
n
M = (aI + cK ) =
n an− j c j K j j
j=0
= a nI + nan 1 cK −
Ce r´esultat est dans la continuit´e (c’est le cas de le dire) de celui de la question (II.3). (a + 3b)n − an En effet, on a lim = na n 1 (c’est la d´eriv´ee de x → x n au point a). b 0 3b (a + 3b)n − an n L = a n I + nan 1 L = a n I + nan 1 cK . On peut donc ´ecrire : lim a I + b 0 3b Autrement dit, la limite de l’expression de M n quand b → 0 est ´egale a` l’expression de M n quand b = 0 : c’est normal dans la mesure o` u M n est une matrice dont les coefficients sont des fonctions polynomiales (donc continues) de la variable b (quand on fixe a et c). −
→
→
−
−
III. Changements de base ; inversibilit´ e des ´ el´ ements de E
1. Pour tous scalaires x, y, z , on a : x + y + ( b + c)z = 0 − → ⇔ xu1 + yu 2 + zu3 = 0 ⇔ −x + bz = 0 −y + ( b − c)z = 0
3bz = 0 x = bz ⇔ ( S ) y = (b − c)z
x = 0 y = − cz bz = 0
— Si b = 0, le syst`eme (S ) admet la solution non nulle (x,y,z ) = (0, −c, 1) (ce qui correspond `a l’´egalit´e u3 = cu 2 ). Dans ce cas, les vecteurs u1 , u2 , u3 sont li´es. — Si b = 0, le syst`eme (S ) ´equivaut a` x = y = z = 0. Dans ce cas les vecteurs u1 , u2 , u3 sont libres (ils forment donc une base de C3 ). Conclusion : u1 , u2 , u3 forment une base de C3 si et seulement si b = 0. 2. On suppose b = 0 (donc u1 , u2 , u3 forment une base de
C3 ).
Si P est la matrice de passage de e1 , e2 , e3 a` u1 , u2 , u3 , on a D = P 1 M P . −
Pour autant, il n’est pas n´ecessaire d’utiliser cette formule pour calculer D (si on demande d’effectuer un changement de base, c’est le plus souvent parce que la nouvelle matrice est beaucoup plus simple que l’ancienne, et bien sˆ ur D est la premi`ere lettre du mot ... ?). Math´ ematiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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Probl` eme
On va donc v´erifier que f a un comportement tr`es simple sur les vecteurs u1 , u2 , u3 . On note [u]e la matrice colonne des coordonn´ees de tout vecteur u dans la base canonique. On constate que M [u1 ]e =
De mˆeme M [u2 ]e =
a + b + c
b + c
b + c
b
a + b
b
b−c
b−c
b + c
b + c
b
a + b
b
b−c
b−c
a + b − c
Autrement dit M [u3 ]e =
Tout cela signifie que
a + b − c
a + b + c
Enfin, on trouve : a + b + c b + c b + c M [u3 ]e = b a + b b b−c b − c a + b − c
b + c
1 0 −1
b−c
=
a
−a 0
a
=
0 −a
3b2 + ab 3b2 − 3bc + ab − ac b + c
= (a + 3b)
b
= a [u1 ]e
= a [u2 ]e
ab + ac + 3 b2 + 3bc
=
b
(b + c)(a + 3b) b(a + 3b) (b − c)(a + 3b)
1 −1 0
= (a + 3b)[u3 ]e .
b−c
0
0 0 a 0 0 0 a + 3b
a
f (u1 ) = au 1 et il en r´esulte D = f (u2 ) = au 2 f (u3 ) = (a + 3b)u3
Voici comment Maple permet de v´erifier les calculs (ou de les faire a` notre place) : > M(a,b,c).<<1,-1,0>>, M(a,b,c).<<1,0,-1>>, map(factor,M(a,b,c).<>);
a
−a 0
,
a
0
−a
(b + c) (a + 3 b) b (a + 3 b)
,
(b − c) (a + 3 b)
´ Evidemment, Maple n’est pas du tout gˆen´e (lui) d’avoir a` calculer P 1 AP . −
> P:=Matrix([[1,1,b+c],[-1,0,b],[0,-1,b-c]]): ’P’=P, ’D’=simplify(P^(-1).M(a,b,c).P);
P =
1
1
b + c
−1
0
b
0
−1 b − c
3. On suppose b = 0 (donc u3 = cu 2 ). Pour tous x, y,z , on a : xu1 + yu 2 + ze1 = x
,
D =
a 0
0
0 a
0
0 0 a+3b
1 −1 0
+ y
1 0 −1
+ z
1 0 0
=
− → Ainsi xu1 + yu 2 + ze1 = 0 ⇒ x = y = z = 0 : u1 , u2 , e1 forment une base de C3 .
x + y + z −x −y
On a toujours f (u1 ) = au 1 et f (u2 ) = au 2 (rien de chang´e de ce cot´e l` a). Math´ ematiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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Probl` eme
On pourrait encore ´ecrire f (u3 ) = (a + 3b)u3 = au 3 , mais ce qui fondamentalement diff´erent ici est que u3 est li´e `a u2 , donc on doit laisser tomber u3 . a + c c c a + c 1 a On voit que M [e1 ]e = 0 0 0 = 0 = [cu2 + ae1 ]e −c −c a − c −c 0 Ainsi
a
f (u1 ) = au 1 et il en r´esulte T = f (u2 ) = au 2 f (e1 ) = cu 2 + ae 1
On voit comme Maple confirme tout c¸a :
0
0
0 a c 0 0 a
>’M’=M(a,0,c), M(a,0,c).<<1,0,0>>;
M =
a + c
c
c
0
a
0
−c
−c a − c
,
a + c
0
−c
Ici on appelle Q la matrice de passage de e1 , e2 , e3 a` u1 , u2 , e1 .
> Q:=Matrix([[1,1,1],[-1,0,0],[0,-1,0]]): ’Q’=Q, ’T’=simplify(Q^(-1).M(a,0,c).Q);
Q =
1
1
1
−1
0
0
−1 0
0
,
T =
a 0 0
0 a c 0 0 a
IV. Maple syrup : le commutant de E
On se propose ici de calculer le commutant F de E , c’est-`a-dire l’ensemble des matrices N de M 3 (C) qui commutent avec toutes les matrices de E . On voit tr`es facilement que F est une sous-alg`ebre de M 3 (C). Par ailleurs, il est clair que N est dans F si et seulement si N J = J N et N K = K N . On va donc chercher les matrices qui commutent avec J et avec K . Pour cela on cr´ee une matrice quelconque N . > N:=Matrix(3,3,symbol=’n’);
n1,1 n1,2 n1,3 n2,1 n2,2 n2,3 n3,1 n3,2 n3,3
Les deux instructions suivantes cr´eent respectivement la s´equence SJ de tous les coefficients de N J − J N , et la s´equence SK de tous les coefficients de N K − KN . > SJ:=op(map(op,convert(N.J-J.N,listlist))): SK:=op(map(op,convert(N.K-K.N,listlist))):
On r´eunit ces deux s´equences en un ensemble et on r´esout le syst`eme correspondant : > rep:=solve({SJ,SJ}); rep := { n1,1 = n 1,1 , n1,2 = − 2 n1,3 , n1,3 = n 1,3 , n2,1 = n 2,1 , n2,2 = − 2 n2,1 + n1,1 − n1,3 , n2,3 = n 2,1 , n3,1 = − n1,3 − n2,1 , n3,2 = 2 n2,1 + 2 n1,3 , n3,3 = − n2,1 − 2 n1,3 + n1,1 }
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Probl` eme
On injecte maintenant la solution dans N . On obtient ainsi l’expression g´en´erale des matrices du commutant F de E . Le r´esultat d´epend des trois param`etres arbitraires n1,1 , n2,1 et n1,3 : > N:=subs(rep,N);
n1,1
−2 n1,3
n1,3
n2,1
−2 n2,1 + n1,1 − n1,3
n2,1
−n1,3 − n2,1
2 n2,1 + 2 n1,3
−n2,1 − 2 n1,3 + n1,1
On transforme cette expression en une fonction de trois variables : > N:=unapply(N,(n[1,1],n[2,1],n[1,3])):
Voici maintenant la forme g´en´erale des ´el´ements du commutant de E . > N(u,v,w);
u
−2 w
w
v
−2 v + u − w
v
−v − w
2 v + 2 w
u − v − 2w
Conclusion : le commutant F de E est une sous-alg`ebre de dimension 3 de M 3 (C), engendr´ee par les matrices I = N (1, 0, 0), U = N (0, 1, 0), V = N (0, 0, 1) : > U:=N(0,1,0): V:=N(0,0,1): ’I’=N(1,0,0), ’U’=U, ’V’=V;
I =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
,
U =
0
0
0
1
−2
1
−1
2
−1
,
V =
0
−2
1
0
−1
0
−1
2
−2
Par goˆ ut du risque, on v´erifie que toutes les matrices de F commutent avec toutes celles de E . > ’M(a,b,c).N(u,v,w)-N(u,v,w).M(a,b,c)’ =simplify(M(a,b,c).N(u,v,w)-N(u,v,w).M(a,b,c)); M (a,b,c ).N (u,v,w ) − N (u,v,w ).M (a,b,c ) =
0 0 0 0 0 0 0 0 0
On v´erifie que la sous-alg`ebre F n’est pas commutative (par exemple U V = V U ) et il est probable (encore que non v´erifi´e a` 13h12 ce mardi 2 avril 2013) que le commutant de F n’est autre que E . Derni`ere v´erification : comme on le constate ici, E ∩ F se r´eduit a` la droite engendr´ee par I . > S3:=op(map(op,convert(M(a,b,c)-N(u,v,w),listlist))): solve({S3}); subs(%,M(a,b,c));
{a = u, b = 0, c = 0, u = u, v = 0, w = 0}
Math´ ematiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
u 0 0
0 u 0 0 0 u
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