UNIVERSIDAD AUTONOMA CHAPINGO DIVISIÓN DE CIENCIAS FORESTALES INGENIERÍA FORESTAL INDUSTRIAL
Chapingo, Texcoco, Edo. de México, Marzo de 2011 i
Esta Tesis titulada “Elaboración de un Sistema de Cómputo para diseñar Vigas de Madera Laminada Arqueadas” fue realizada por el C. Silverio Vázquez Justo, bajo la dirección del M. C. Miguel Ángel Pérez Torres y asesorada por el Ing. Alfredo Zataraín Tisnado y el M. C. Ángel Leyva Ovalle. Ha sido revisada y aprobada por el siguiente comité revisor y Jurado Examinador, como requisito parcial para obtener el titulo de:
Chapingo, Texcoco, Edo. de México, Marzo de 2011 ii
AGRADECIMIENTOS Deseo agradecer profundamente a todas las personas que me apoyaron directa o indirectamente en la realización de ésta obra. Agradezco a mis asesores: M. C. Miguel Ángel Pérez Torres, Ing. Alfredo Zatarain Tisnado, Dr. Leonardo Sánchez Rojas, M. C. Ángel Leyva Ovalle y Arq. Sergio Santacruz Aceves, por creer en el presente proyecto de tesis y por brindarme la paciencia y el apoyo necesarios para lograr culminar el presente trabajo. Agradezco a la División de Ciencias Forestales, profesores, alumnos y personal que hizo mi estancia en Chapingo una experiencia formadora y de enriquecimiento que muchas veces llegó más allá de las aulas e instalaciones. Gracias a mis compañeros de generación por crecer junto conmigo y por darme su afecto y apoyo en tantas ocasiones que parecían ser la última. Gracias a la vida por que nos enseña de un modo directo y profundo a cerca de lo que en verdad es importante para nosotros.
iii
DEDICATORIA Dedico ésta obra a mi familia por su apoyo incondicional en mis momentos alegres y tristes. A mis padres: María Joaquina Justo Lázaro y Sergio Vázquez López, por ayudarme hasta donde les ha sido posible para que me supere, por la formación y principios que adquirí a su lado, por su amor. A mis hermanos: Timoteo y Sergio, por ser ejemplos de superación en múltiples aspectos; por que me han enseñado que el éxito sólo tiene sentido cuando te hace una mejor persona, por apoyarme e impulsarme. Igualmente a mis amigos y profesores por mostrarme que las cosas se pueden hacer mejor y a veces de modo más sencillo. A Guadalupe Montserrat por ser mi gran compañera, con quien comparto un plan de vida. A la vida por lo grandiosa que puede ser al vivirse con una profunda y sincera intención: con libertad, confianza y entrega.
iv
CONTENIDO RESUMEN............................................................................................................ 1 ABSTRACT........................................................................................................... 2 1. INTRODUCCIÓN............................................................................................... 3 2. MARCO DE REFERENCIA.................................................................................. 6 2.1 CONSTRUCCIÓN CON MADERA EN MÉXICO...............................................6 3. OBJETIVOS....................................................................................................... 9 3.1 OBJETIVO GENERAL................................................................................... 9 3.2 OBJETIVOS PARTICULARES........................................................................9 4. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA.............................................................................. 10 4.1 VENTAJAS DE LA MADERA COMO MATERIAL DE CONSTRUCCIÓN............10 4.2 DESVENTAJAS DE LA MADERA COMO MATERIAL DE CONSTRUCCIÓN.....12 4.3 MADERA LAMINADA ENCOLADA..............................................................13 4.3.1 Vigas laminadas............................................................................... 13 4.3.2 Ventajas de la madera laminada encolada......................................14 4.3.3 Desventajas de la madera laminada encolada.................................18 4.4 EL ARCO COMO ELEMENTO ESTRUCTURAL.............................................20 4.4.1 Partes de un arco............................................................................. 20 4.4.2 Historia del arco............................................................................... 22 4.4.2.1 Arcos y bóvedas en Mesopotamia.............................................22 4.4.2.2 Arcos y bóvedas en Roma.........................................................25 4.4.2.2.1 El panteón de Agripa..........................................................26 4.4.2.3 Consideraciones sobre los arcos en la edad media...................29 4.4.2.4 Reglas empíricas para la construcción de arcos y bóvedas......32 4.4.2.4.1 Comprobación Visual.........................................................32 4.4.2.4.2 Empleo de modelos............................................................32 4.4.2.4.3 Principios de semejanza para los arcos..............................32 4.4.3 Diferentes tipos de arcos.................................................................34 4.4.3.1 Polígono de fuerzas...................................................................34 4.4.3.2 Polígono funicular.....................................................................35 4.4.3.3 Arco funicular............................................................................38 4.4.3.4 Arco catenario...........................................................................39 4.4.3.5 Arco parabólico.........................................................................43 4.4.3.6 Arco de medio punto.................................................................45 4.4.3.7 Arco ojival................................................................................. 47 4.4.4 Esfuerzos generales producidos en un arco.....................................49 4.4.4.1 Línea funicular de un arco.........................................................50 4.4.4.2 Reacción vertical.......................................................................52 4.4.4.3 Reacción horizontal o coceo.....................................................53 4.4.4.4 Esfuerzo axial o normal.............................................................56 4.4.4.5 Consideraciones para el Esfuerzo Cortante y el Momento Flexionante en los arcos...........................................................58 4.4.4.5.1 Esfuerzo cortante...............................................................58 4.4.4.5.2 Momento Flexionante........................................................59 4.5 DEFINICIONES Y CONSIDERACIONES SOBRE LOS CÁLCULOS..................60 4.5.1 Método del trabajo virtual................................................................60 4.5.2 Nota para los cálculos considerados................................................61 v
4.5.3 Definiciones..................................................................................... 62 4.5.4 Alcance de los cálculos....................................................................65 4.6 COMPENDIO DE FORMULAS PARA CALCULAR REACCIONES Y ESFUERZOS........................................................................................ 66 4.6.1 Carga vertical uniformemente repartida sobre todo el claro...........66 4.6.2 Carga vertical uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco...........................................................................68 4.6.3 Carga vertical sobre el cuarto central del arco................................70 4.6.4 Carga vertical concentrada sobre la corona del arco.......................73 4.6.5 Carga vertical concentrada en algún punto del arco.......................75 4.6.6 Carga horizontal uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco.................................................................78 4.6.7 Carga horizontal concentrada en la corona del arco........................80 4.6.8 Carga horizontal concentrada en cualquier punto de la mitad izquierda del arco........................................................82 4.7 CONSIDERACIONES PARA EL DISEÑO DE PIEZAS ESTRUCTURALES........85 4.7.1 Diseño estructural............................................................................85 4.7.1.1 Conceptos fundamentales........................................................86 4.7.2 Métodos de diseño estructural.........................................................87 4.7.2.1 Diseño por medio de modelos...................................................87 4.7.2.2 Método de los esfuerzos de trabajo o de esfuerzos permisibles o teoría elástica.....................................................88 4.7.2.3 Método de la resistencia o método de factores de carga y de reducción de resistencia o teoría plástica...............88 4.7.2.4 Métodos basados en el análisis al límite...................................88 4.7.2.5 Métodos probabilísticos............................................................89 4.7.3 Etapa de estructuración...................................................................89 4.7.3.1 Material a elegir........................................................................89 4.7.4 Acciones consideradas durante la vida útil de la estructura............91 4.7.4.1 Acciones permanentes..............................................................91 4.7.4.1.1 Carga muerta.....................................................................91 4.7.4.2 Acciones variables....................................................................91 4.7.4.2.1 Cargas vivas......................................................................92 4.7.4.2.2 Lluvia................................................................................. 92 4.7.4.3 Acciones accidentales...............................................................92 4.7.4.3.1 Sismos............................................................................... 92 4.7.4.3.2 Vientos............................................................................... 93 4.7.5 Análisis estructural...........................................................................93 4.7.6 Dimensionamiento...........................................................................94 4.7.7 Consideraciones para el diseño estructural de piezas de madera. . .96 4.7.8 Tipos de esfuerzos considerados para el diseño de piezas estructurales de madera.....................................................99 4.7.8.1 Resistencia a flexión.................................................................99 4.7.8.2 Resistencia a cortante............................................................101 4.7.8.3 Resistencia a carga axial........................................................102 4.7.8.4 Resistencia a compresión perpendicular a la fibra..................103 4.7.8.5 Cargas aplicadas a un ángulo θ con respecto a la dirección de la fibra............................................................104 5 MATERIALES Y METODOLOGÍA.....................................................................105 vi
6
7 8 9
a) MATERIALES............................................................................................ 105 b) METODOLOGÍA........................................................................................ 105 Revisión bibliográfica.............................................................................. 105 Secuencia de cálculo a mano..................................................................105 Algoritmo................................................................................................ 105 Codificación en lenguaje C++.................................................................112 Corroboración de la secuencia de cálculos en Excel contra los cálculos en el sistema de cómputo................................................114 Validación del sistema de cómputo.........................................................114 RESULTADOS................................................................................................ 115 6.1 INSTALACIÓN DEL SISTEMA...................................................................115 6.2 MANUAL DE USUARIO DEL SISTEMA DE CÓMPUTO PARA EL DISEÑO DE VIGAS DE MADERA LAMINADA ARQUEADAS................118 6.3 EJEMPLO DE CÁLCULO...........................................................................131 CONCLUSIONES............................................................................................ 137 RECOMENDACIONES.................................................................................... 138 BIBLIOGRAFÍA............................................................................................... 140
vii
INDICE DE CUADROS Cuadro
Página
1.Valores de K para diferentes valores de m.....................................................83 2.Valores especificados de resistencias y módulos de elasticidad....................97 3.Factores de resistencia para madera maciza.................................................97 4.Factores de modificación por contenido de humedad....................................97 5.Factores de modificación por duración de carga............................................98 6.Factores de modificación por peralte.............................................................98 7.Factores de modificación por clasificación.....................................................98 8.Relaciones d/b máximas admisibles.............................................................100 9.Relaciones f/L y su influencia en la precisión de los cálculo.........................112 10.Valores máximos y mínimos permitidos en el sistema de cómputo...........122
viii
INDICE DE FIGURAS Figura
Página
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Manual de la madera para construcción en los Estados Unidos......................7 Vista de una plantación forestal establecida en Australia...............................7 Casa con azotea verde.................................................................................. 12 Vista de una viga de madera laminada encolada..........................................14 Estadio de Hockey en Canadá cubierto con vigas de MLE............................15 Comparación del comportamiento de una viga de acero y una viga de MLE durante un incendio.......................................................................16 7. Viga de acero y viga de madera laminada después de un incendio de prueba.................................................................................................... 17 8. Taller de elaboración de vigas de MLE en España.........................................18 9. Instalación de vigas de MLE para una bodega en España.............................19 10. Partes componentes de un arco..................................................................20 11. Arco formado por monitores de computadora............................................21 12. Arco radial construido en la antigua Mesopotamia.....................................24 13. Bóveda de ladrillo montado de la antigua Mesopotamia.............................24 14. Bóveda con dovelas de la antigua Mesopotamia........................................25 15. Arco romano construido entre los años 312-315 D.C..................................26 16. Vista frontal del Panteón de Agripha...........................................................27 17. Panorámica de Roma con la cúpula del Panteón.........................................28 18. Vista del interior de la cúpula del Panteón..................................................29 19. Posición de la línea de empujes..................................................................29 20. Contrafuerte para evitar colapso................................................................30 21. Proporciones de un hueso y una cúpula conforme a cálculos de Galileo....31 22. Posición del punto crítico para arcos semicirculares...................................33 23. Distintos polígonos de fuerzas....................................................................35 24. Sistemas de fuerzas concurrentes equilibrado............................................35 25. Un cable sometido a una carga puntual......................................................36 26. Cable sometido a dos cargas puntuales......................................................36 27. Cable sometido a tres cargas puntuales.....................................................36 28. Polígono funicular de un sistema de fuerzas...............................................37 29. Curva funicular de un cable suspendido que al invertirse forma un arco....38 30. Diagrama de cuerpo libre de una curva catenaria......................................39 31. Curva catenaria........................................................................................... 40 32. Arcos catenarios empleados por Gaudí en la catedral de la sagrada familia, Barcelona......................................................................41 33. Arco monumental de San Luís, Missouri......................................................41 34. Parábola y los principales elementos que la conforman.............................43 35. Similitud en las curvas de una parábola y una catenaria............................44 36. Arco parabólico al que se transmite la carga a través de montantes.........45 37. Arco parabólico al que se transmite la carga a través de tensores o tirantes.................................................................................. 45 38. Arco de medio punto o circular...................................................................45 39. Curva funicular en un arco de medio punto................................................46 40. Arco ojival................................................................................................... 47 ix
Figura
Página
41. Presencia del arco ojival en las puertas y torres de una catedral del siglo XVII............................................................................................ 48 42. Sistema de fuerzas actuantes sobre un arco..............................................49 43. Comparación de tres arcos con la misma Luz pero diferente flecha...........50 44. Colapso de un arco debido al desplazamiento de su curva funicular hacia arriba............................................................................... 50 45. Colapso de un arco debido al desplazamiento de su curva funicular hacia abajo............................................................................... 51 46. Colapso de un arco cuando la línea funicular hace tangencia en por lo menos cuatro puntos................................................................51 47. Diagrama de carga de un arco parabólico biarticulado con carga uniformemente distribuida.....................................................................52 48. Arco sin fuerza aplicada.............................................................................. 53 49. Coceo en el arco al aplicar una carga sobre él............................................53 50. Refuerzos o contrafuertes de los apoyos de un arco para contrarrestar las fuerzas horizontales.....................................................54 51. Diagrama de carga de un arco con carga uniformemente distribuida sobre una sección..................................................................55 52. Componente vertical y horizontal de la fuerza axial de un arco.................56 53. Esfuerzo axial y esfuerzo cortante en un arco............................................56 54. Esfuerzo axial de tensión............................................................................ 57 55. Esfuerzo axial de compresión.....................................................................57 56. Flexión en una viga sometida a una fuerza a la mitad de su longitud........59 57. Representación de un arco biarticulado con sus elementos geométricos principales..........................................................................62 58. Posición de un punto sobre el arco y ángulo que forma..............................63 59. Diagrama de carga de un arco parabólico con carga uniformemente repartida sobre todo el claro.........................................66 60. Esfuerzos generados en un arco parabólico con carga uniformemente repartida sobre todo el claro..........................................67 61. Diagrama de cuerpo libre de un arco parabólico con carga vertical uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco...................68 62. Esfuerzos generados en un arco parabólico con carga vertical uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco...................68 63. Diagrama de carga de un arco parabólico con carga vertical sobre el cuarto central del arco...............................................................70 64. Esfuerzos generados en un arco parabólico con carga vertical sobre el cuarto central del arco...............................................................70 65. Diagrama de carga de un arco parabólico con carga vertical concentrada sobre la corona del arco.....................................................73 66. Esfuerzos generados en un arco parabólico con carga vertical concentrada sobre la corona del arco.....................................................73 67. Diagrama de carga de un arco parabólico con carga vertical concentrada en algún punto del arco......................................................75 68. Esfuerzos generados en un arco parabólico con carga vertical concentrada en algún punto del arco......................................................75
x
Figura
Página
69. Diagrama de carga de un arco parabólico con carga horizontal uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco...................78 70. Esfuerzos generados en un arco parabólico con carga horizontal uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco...................78 71. Diagrama de carga de un arco parabólico con carga horizontal concentrada en la corona del arco..........................................................80 72. Esfuerzos generados en un arco parabólico con carga horizontal concentrada en la corona del arco..........................................................80 73. Diagrama de carga de un arco parabólico con carga horizontal concentrada en cualquier punto de la mitad izquierda del arco..............82 74. Esfuerzos generados en un arco parabólico carga horizontal concentrada en cualquier punto de la mitad izquierda del arco..............82 75. Bloque uno, Ventana Inicio........................................................................106 76. Bloque dos, Ventana Elementos del Arco..................................................107 77. Bloque tres, Ventana Cargas Horizontales................................................108 78. Bloque tres, Ventana Cargas Verticales....................................................109 79. Bloque cinco, Ventana Dimensionamiento................................................110 80. Carpeta con el Archivo ejecutable.............................................................114 81. Ventana de instalación.............................................................................. 114 82. Información del usuario............................................................................. 115 83. Directorio de instalación........................................................................... 115 84. Ventana de instalación.............................................................................. 115 85. Busqueda del programa Arcon..................................................................116 86. Ventana Inicio que muestra indicaciones sobre el funcionamiento del programa...............................................................117 87. Pestaña Elementos del Arco......................................................................118 88. Pestaña Ángulo......................................................................................... 119 89. Pestaña Fuerzas........................................................................................ 120 90. Edits donde se debe ingresar la magnitud de la luz y la flecha del arco...120 91. Cuadro o StringGrid (SG) donde se presenta la información del arco considerado............................................................................. 121 92. Ventana que indica los límites permitidos de la luz y flecha del arco.......122 93. Cálculo de altura y ángulo de cualquier punto..........................................122 94. Botones de acceso a otras ventanas.........................................................123 95. SG con los resultados de los cálculos........................................................123 96. Reacción vertical y horizontal calculadas..................................................124 97. Fuerzas consideradas................................................................................ 124 98. Última pestaña de las cargas verticales que muestra un Edit adicional. . .125 99. Valores máximos y mínimos de las fuerzas producidas............................126 100. Ventana Cargas Horizontales mostrando la primera pestaña.................126 101. Valor de la altura (m) a la que se aplica la carga y de la reacción vertical y horizontal................................................................127 102. Carga concentrada horizontalmente sobre la corona del arco................127 103. Resultados de Cargas Horizontales.........................................................128 104. SG con los Resultados de las Cargas Verticales y Horizontales...............128 105. SG con los valores máximos de las fuerzas calculadas...........................129 106. Base y la altura de la viga de madera laminada arqueada propuesta....129 xi
Figura 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113.
Página
Notas y definiciones................................................................................ 130 Ventana, donde se ingresa la Luz y flecha del arco................................131 Ingreso de carga sobre la mitad izquierda del arco................................132 Resultados de cargas verticales..............................................................133 Ingreso de una carga horizontal concentrada sobre la corona del arco. .133 Resultados de Cargas Horizontales.........................................................134 Resumen de las fuerzas calculadas y dimensiones recomendadas........135
xii
RESUMEN La Madera Laminada Encolada (MLE), consiste en unir láminas o tablas mediante un adhesivo para obtener piezas sólidas de mayores dimensiones. Entre las ventajas de la MLE se puede mencionar las siguientes: •
Se puede obtener elementos de grandes dimensiones, limitado prácticamente por las condiciones de transporte requerido para tales piezas. Es posible cubrir claros de hasta 100 m con MLE (Binderholz, 2009).
•
Se puede usar piezas menores de madera para elaborar piezas de mayor sección.
•
Formas libres. La MLE puede producirse con forma arqueada o doblada en una gran variedad de secciones.
•
Estabilidad dimensional y mayor resistencia que la madera aserrada, debido a una distribución más homogénea de los esfuerzos en diferentes piezas de madera, con oportunidad de eliminar nudos y otros defectos.
Por otro lado, las computadoras se han vuelto una herramienta muy importante en el manejo e interpretación de información. A través de la automatización y simulación de procesos se pueden reducir tiempos y costos e incrementar los rendimientos de las personas, máquinas y sistemas de trabajo. Además, es posible analizar y predecir el comportamiento de algunos sistemas sin tener que realizar pruebas destructivas o que requieren demasiadas repeticiones o tiempo. De esta forma, en el presente trabajo, se elaboró un sistema que permite el cálculo de las dimensiones necesarias para que una viga de madera laminada resista las fuerzas presentes en un arco parabólico biarticulado ante ocho posibles tipos de cargas, facilitando su diseño, de tal forma que se puedan hallar las soluciones ante diferentes planteamientos de manera rápida, sencilla y confiable, por personas con necesidades constructivas. Palabras clave: Madera Laminada Encolada (MLE), computadoras, dimensiones necesarias, fuerzas presentes, arco parabólico biarticulado, cargas, diseño.
1
Development of a Computer System for the Design of Arch with Glued Laminated Timber ABSTRACT Glued Laminated Timber (Glulam) is to unite sheets or tables using a strong adhesive for larger pieces. Among the advantages of the Glulam can include the following: •
You can get large items, limited practically by the transport conditions required for such parts. It is possible to cover spans up to 300 feet with Glulam (Binderholz, 2009).
•
You can use smaller pieces of wood to develop parts of greater section.
•
Forms free. The glulam can occur with a curved or bent into a wide variety of sections.
•
Dimensional stability and greater resistance to the lumber, due to a more homogeneous of efforts in different pieces of wood, with opportunity to eliminate knots and other defects.
On the other hand, computers have become a very important tool in the management and interpretation of information. Through the automation and simulation of processes can reduce time and costs and increase the yields of the people, machines and work systems. In addition, it is possible to analyze and predict the behavior of some systems without having to carry out test destructive or require too many repetitions or time. In this way, in this study, was developed a system that allows the calculation of the dimensions necessary for a beam of laminated wood resist the forces present in an arch parabolic biarticulated to eight types of possible loads, facilitating their design, in such a way that can find solutions to different approaches to a quick, simple and reliable, by people with special needs constructive. Keywords: Glued Plywood (MLE), computers, dimensioned, forces present, biarticulated parabolic arch, loads, and design.
2
1. INTRODUCCIÓN El progreso de la humanidad desde su estado primitivo hasta la época actual está íntimamente asociado a la madera. En los tiempos prehistóricos el hombre dependió de la madera para sobrevivir, la utilizó para construir sus refugios, armas, cocinar sus alimentos y para proporcionarse calor. La madera ha sido por largo tiempo un material adecuado para usos muy distintos debido a las características que posee. Se ha empleado como material para fabricar
herramientas,
aislamientos
contra
calor,
sonido
y
electricidad,
instrumentos musicales, artesanías, muebles, puertas, casas, puentes y elementos estructurales. Además confiere una vistosa y agradable apariencia que se puede contrastar o proteger usando tintas, barnices, lacas y otros elementos de acabado (Fernández y Echenique 1991). La madera resiste impactos, esfuerzos de compresión, tensión, cortante, ácidos, oxidaciones agua salada y otros agentes corrosivos, es fácil de unir por medio de clavos, pegamentos, empalmes y machihembrados; por ello es que la madera se considera un elemento de gran dinamismo y valor estructural. Las debilidades que posee la madera como material biodegradable y combustible se pueden minimizar con un tratamiento retardador del fuego e impregnación con materiales preservadores (Encinas, 2004). La madera es extremadamente versátil, es el material más común para construcción y elaboración de muebles y productos derivados en prácticamente todas las latitudes, tanto en regiones con grandes superficies de bosques como en donde existen pocos árboles (Encinas, 2004). Sin embargo, una gran desventaja para su utilización es el deterioro y descomposición que presenta como material biológico, por una parte debido a 3
factores bióticos (organismos xilófagos: termitas, hormigas, escarabajos y hongos) y por otro lado por factores abióticos (humedad, radiación solar, fuego), lo que limita su uso. Debido a una alta deforestación, a
una escasa reposición del
arbolado cortado, a madera obtenida de arbolado joven (plantaciones), a presiones sociales y a políticas en el manejo de los bosques, se ha reducido la disponibilidad de madera con una alta durabilidad natural. En estas circunstancias conviene utilizar madera preservada para ampliar su periodo de vida útil y reducir la incidencia de ataque de organismos xilófagos, sin importar que tenga poca durabilidad natural. Aunque la preservación de la madera implica un gasto adicional, es redituable considerando que se ahorra en posteriores reposiciones del material empleado, junto con la mano de obra requerida y las molestias provocadas. Uno de los productos que sustituye a la madera natural, que incluye ventajas en cuanto
a
resistencia,
dimensiones, estabilidad
dimensional,
economía
y
disponibilidad es la madera laminada encolada, que permite en general construir con elementos estructurales acordes a las demandas actuales tanto en volumen como en dimensión. Además de lo anterior, el uso de madera en la construcción requiere que el diseño estructural para vivienda y construcciones en general, sea elaborado por profesionales con gran instrucción en cuanto al comportamiento de los elementos estructurales se refiere, además de poseer un manejo adecuado de matemáticas para saber expresar y calcular las dimensiones apropiadas, por no decir óptimas, de los elementos constructivos, a través de una serie de cálculos con alto grado de tecnicidad que se deben realizar de manera repetitiva, hasta hallar las dimensiones adecuadas. Todo ello apoyado en la consulta de manuales y reglamentos de construcción en general y con madera.
4
Por otro lado, se ha incrementado el uso de las computadoras a un punto en el que actualmente parece imposible realizar actividades de la vida diaria sin ellas; las computadoras se han vuelto una herramienta muy importante en el manejo de la información pero es la manera en que ésta se presente, sintetice y haga accesible como pasa a convertirse en algo útil. Es así que a través de la automatización y simulación de procesos se pueden reducir tiempos y costos e incrementar los rendimientos de las personas, máquinas y sistemas de trabajo. Además, es posible predecir el comportamiento de los sistemas analizados sin tener que realizar pruebas destructivas. Dentro de este contexto, en el presente trabajo se plantea crear un sistema de cómputo que permita determinar las dimensiones que debe tener una viga de madera laminada arqueada para resistir las fuerzas calculadas, facilitando su diseño, de tal forma que se puedan hallar las soluciones ante diferentes planteamientos de manera rápida, sencilla y confiable, por personas sin conocimientos especializados pero con necesidades constructivas.
5
2. MARCO DE REFERENCIA Las construcciones con madera en México se pueden considerar en dos extremos opuestos: •
Se es muy pobre y la alternativa de vivienda es una casa de madera, o
•
Se es rico y es posible construir y vivir en una casa de madera.
A continuación se abordan algunos aspectos de la construcción con madera en el país.
2.1 CONSTRUCCIÓN CON MADERA EN MÉXICO La madera dentro de la construcción se puede emplear de diversas maneras, ya sea como elemento estructural en forma de vigas, columnas, arcos, dinteles, paneles, marcos y armaduras; como elemento decorativo en recubrimientos, pisos, ventanas y puertas; en la fabricación de entramados, cimbras y elementos temporales que ayuden en la fijación de piezas permanentes. Actualmente existen sistemas constructivos a base de madera, cuya eficiencia está comprobada por experiencias nacionales y extranjeras (COMACO, 2009). Actualmente la madera ha venido cobrando fuerza en la industria de la construcción debido a que es un material renovable, capaz de ser cultivado y cosechado (Fernández y Echenique, 1991). En este sentido, la construcción con madera en Estados Unidos y otros países se ha visto influida por diversos factores como: cuestiones culturales, la escasez de otros elementos para la construcción, la difusión de manuales, normas y talleres para su empleo, por parte de constructores, empresas, instituciones y público
interesado (Figura 1) y condiciones generadas para su cultivo y aprovechamiento como materia prima (Figura 2), entre otros.
Figura 1. Manual de la madera para construcción en los Estados Unidos (Wood handbook, 1996).
Figura 2. Vista de una plantación forestal establecida en Australia (Low et al., 2010).
En México ha habido poca difusión acerca de la construcción con madera, en parte por el legado de la cultura española de construcciones con piedra, poca experiencia en lo relativo a la construcción con madera, prejuicios que se tienen sobre construcciones con madera, poco apoyo e investigación por parte de instituciones relacionadas a la construcción, escaso personal técnico capacitado así como pocos profesionistas enfocados a la construcción con madera (Fernández y Echenique, 1991). En México, un problema para la fabricación de elementos de madera prefabricados, estructurales o de cualquier otro tipo, es el hecho de que no existe una homogeneidad en cuanto a las dimensiones de las piezas de madera. La discrepancia entre medidas reales y nominales de las piezas ofrecidas comercialmente es muy variable. En algunos casos las diferencias llegan a ser de ½” a ¾”. El establecimiento de un sistema estándar de medidas de madera aserrada y su aceptación tanto por productores como por usuarios es sin duda una condición fundamental para el desarrollo adecuado de las aplicaciones estructurales de la madera (Fernández y Echenique, 1991). Los tratamientos fungicidas, insecticidas y como protección contra incendios son raros y muchas veces ni se considera que existan o que sean necesarios. Además de lo anterior, no existe uniformidad del contenido de humedad en la madera, ya que la madera estufada es más cara y muchas veces ni productor ni consumidor desean asumir los costos. En este punto hay que señalar que el tratamiento de secado que se emplea simplemente se limita a almacenar la madera bajo techado o a la intemperie, apilándola de manera que el aire circule libremente entre las piezas (Fernández y Echenique, 1991).
3. OBJETIVOS 3.1 OBJETIVO GENERAL Diseñar y elaborar un sistema de cómputo que permita determinar las dimensiones que debe tener una viga de madera laminada arqueada para soportar los esfuerzos planteados, considerando las especificaciones de diseño de los manuales de construcción existentes.
3.2 OBJETIVOS PARTICULARES 3.2.1 Calcular las condiciones geométricas de los elementos estructurales arqueados. 3.2.2 Calcular las reacciones y esfuerzos generados ante las condiciones geométricas y de carga más comunes para los elementos estructurales arqueados. 3.2.3 Investigar los factores correspondientes para los cálculos de diseño en diversas condiciones de servicio de las vigas arqueadas consideradas: •
Espacios públicos o privados.
•
Tipos de cargas: carga muerta, carga viva y cargas accidentales.
9
4. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
4.1 VENTAJAS DE LA MADERA COMO MATERIAL DE CONSTRUCCIÓN Entre las ventajas de la construcción con madera se consideran las siguientes: 1. La madera es un gran material estructural ecológico ya que requiere menos energía para trabajarla y causa menor contaminación de agua y aire comparada con otros materiales de construcción. La madera consume un sexto de la energía necesaria para procesar la misma unidad de peso de acero estructural (Kauffmann, 2007). 2. Debido al bajo peso que tiene la madera, se ahorra en los procesos a los que se somete y en sus costos de transporte. Una construcción de madera posee un bajo peso, en caso de un terremoto cede ante las oscilaciones pero no se derrumba y hay menos riesgos de sufrir daños debido a un colapso que en construcciones del mismo tamaño hechas con acero y concreto (Kauffmann, 2007). 3. La madera es un buen material estructural ya que sus módulos de resistencia con respecto al peso que posee son muy altos, comparada con el acero y el concreto, y además, es más barata (Fernández y Echenique 1991). 4. La madera es un material aislante que ofrece un clima agradable debido a la inercia térmica que posee, ya sea que en un clima frío provea un ambiente interior más cálido o que en ambientes calurosos ofrezca ambientes interiores más frescos. Se consume menos energía por concepto de aire acondicionado y/o calefacción. También es un excelente aislante de ondas sonoras y vibraciones (Encinas, 2004).
10
5. El tiempo empleado para realizar una casa de madera es menor que el empleado en una casa del mismo tamaño con sistema de construcción tradicional (Encinas, 2004). 6. Se puede hacer modificaciones o ampliaciones en la vivienda sin necesidad de demoler y causar grandes molestias a sus usuarios (COMACO, 2009). 7. Una vivienda de madera correctamente diseñada puede soportar en mejores condiciones un incendio que una casa tradicional (COMACO, 2009). 8. La madera es un material renovable, resultado de la captura de carbono por
parte de los árboles junto con el desprendimiento de oxígeno (Bricolaje, 2009). 9. Es posible realizar elementos prefabricados o modulares en lugares distintos para después transportar y ensamblar en el sitio de la obra (Kauffmann, 2007). 10. Con la madera es posible realizar construcciones duraderas y con ventajas, comparadas con materiales de construcción convencionales como el acero y el concreto (Lanik, 2010). 11. Una casa de madera puede durar más que una casa tradicional (Fernández, 2010). 12. Finalmente, ha adquirido auge la construcción bioclimática (Figura 3), la cual busca reducir el consumo de energía, con beneficios económicos, ecológicos y de confort para los usuarios, donde encaja muy bien la madera como material constructivo. Por ejemplo, las azoteas verdes que reducen el consumo de energía por calefacción y aire acondicionado (ArquiBio, 2010).
11
Figura 3. Casa con azotea verde.
4.2 DESVENTAJAS DE LA MADERA COMO MATERIAL DE CONSTRUCCIÓN Entre las desventajas de la construcción con madera se consideran las siguientes: 1. Muchas veces no se da un tratamiento preservador a la madera, por lo que queda propensa al ataque de agentes xilófagos e intemperismo. Es necesaria una adecuada protección de la madera ya que sin ella no hay gran durabilidad de la construcción (Encinas, 2004). 2. Las dimensiones comerciales de la madera muchas veces son un problema cuando se busca tamaños mayores (Bricomarkt, 2009). 3. La madera al ser un material ortotrópico no posee los mismos módulos de resistencia mecánica en todas las direcciones, sino que se varían con relación a la dirección de sus fibras (Fernández y Echenique 1991). 4. Los fabricantes de casas y/o construcciones de madera a nivel artesanal no están en competitividad con aquellos que producen a nivel industrial (Romero, 2005). 12
5. Se requiere realizar un buen diseño (más importante que en otros materiales) para asegurar su resistencia ante diferentes condiciones de servicio, cambiantes por los factores bióticos y de intemperismo (CORMA, 2007). 6. Hace falta dar un obligado mantenimiento (Fernández, 2010). 7. Muchas veces en proyectos constructivos es necesario que trabajen en
conjunto varios gremios; hay necesidad de unir a: carpintero, albañil, cristalero y pintor, esto dificulta un buen acabado final (Demkoff, 2003).
4.3 MADERA LAMINADA ENCOLADA Se puede hablar del principio de la “madera laminada encolada” (MLE), que aplicado en la primera estructura de este tipo se construyó en el “Salón de Reuniones del King Edward College”, en Southampton, Inglaterra en 1860. Sin embargo, tuvo que transcurrir casi medio siglo más, a principios del siglo XX, para que esta nueva tecnología se desarrollara completamente, por medio del espíritu emprendedor e innovador de Karl Friedrich Otto Hetzer, quien es el inventor oficial de la “madera laminada encolada para uso estructural” (Celano y Guillermo, 2002).
4.3.1 Vigas laminadas Las vigas de madera laminada son piezas de sección transversal rectangular de ancho fijo y altura constante o variable y de eje recto o curvo, constituidos por láminas o tablas unidas en forma irreversible con un adhesivo específicamente formulado (Figura 4). No deben contener, bajo ninguna circunstancia, clavos o grapas como elementos vinculantes de las tablas. El espesor normal de las láminas varía entre 20 y 45 mm. El encolado es la vinculación más efectiva, no acarrea disminución de sección y su efectividad aumenta en algunos casos la 13
resistencia nominal de las secciones. La altura de los elementos de vigas o arcos puede ser constante o variable, y su dimensión en largo está limitada solo por las posibilidades de transporte (Demkoff, 2003).
Figura 4. Vista de una viga de madera laminada encolada. La fabricación de madera laminada es un proceso conceptualmente simple que consiste en producir elementos macizos de resistencia incrementada, constituidos por tablas de espesor reducido encoladas solidariamente de forma tal que no se pueda separar o individualizar el trabajo de cada lámina. Para ello hay que utilizar madera seca, el adhesivo adecuado, aplicar la presión correspondiente y realizar la operación en un taller con humedad y temperatura controladas. Estas condiciones son rigurosas e independientes de las dimensiones del elemento encolado (Demkoff, 2003).
4.3.2 Ventajas de la madera laminada encolada Las vigas de MLE tienen más ventajas que puntos en contra, debido a que se pueden elaborar con piezas de menores dimensiones y a que se puede emplear madera que no tiene que ser de la mejor calidad, a continuación se mencionan sus puntos destacables:
14
•
Grandes envergaduras. La MLE se caracteriza por una alta capacidad de carga y un bajo peso propio. Esta combinación permite componentes de pequeñas dimensiones y grandes envergaduras. Con MLE es posible cubrir claros de hasta 100 m (Binderholz, 2008).
•
Formas libres. La MLE puede producirse con combadura, arqueada o doblada en una gran variedad de secciones (figura 5). Esto proporciona una gran flexibilidad en cuanto a la forma para los arquitectos, planificadores y constructores (Kauffmann, 2007).
Figura 5. Estadio de Hockey en Canadá cubierto con vigas de MLE. •
Alta resistencia al fuego. Se estima que uno de los mayores prejuicios que se tienen contra la madera como material adecuado para la construcción de casas, es el riesgo de incendios a los que la madera como material inflamable está expuesta (Fernández y Echenique, 1991; Kauffmann, 2007). El acero se debilita notablemente a medida que su temperatura sobrepasa los 230 ºC, y conserva sólo el 10% de su resistencia original al llegar a 750 ºC (Figura 6) (Cabrero, 2008).
15
Figura 6. Comparación del comportamiento de una viga de acero y una viga de MLE. La Línea continua muestra la resistencia de la viga de acero y la línea punteada la resistencia de la viga de madera durante un incendio de prueba (Cabrero, 2008). Como regla general, la madera no se quema hasta que alcanza una temperatura de 250 ºC aproximadamente. Una vez que comienza a quemarse, la madera se carboniza normalmente a una velocidad de 0.64 mm por minuto, en condiciones de fuego intenso. La carbonización aisla naturalmente la madera (la madera carbonizada es seis veces mejor aislante que la madera) por lo que se auto protege, y se ralentiza la expansión del fuego hacia el interior y eleva el nivel de temperatura que puede soportar. En un incendio de prueba de 30 minutos, solamente se pierden 19 mm de cada superficie expuesta de la viga laminada (178 mm a 533 mm) por la carbonización, quedando intacta la mayor parte de la sección transversal original de la viga y permaneciendo recta, mientras que una viga de acero de 406 mm, 60 kg/m (#W16x40), se desplomó después de sólo 30 minutos de exposición al fuego (Figura 7) (AS, 2003).
16
Figura 7. Viga de acero y viga de madera laminada
después de un incendio de prueba (AS, 2003). •
Estabilidad dimensional. La MLE se produce con una humedad de la madera de aproximadamente el 12 %. Esto corresponde a la humedad de equilibrio a 20ºC y 65% de humedad relativa del aire. Así, el comportamiento de contracción e hinchazón natural de la madera se reduce al mínimo, de manera que la Viga laminada prácticamente no presenta grietas ni torsiones al montarse en condiciones de instalación secas. En combinación con la protección constructiva de la madera, la Viga laminada es un material excelente y muy estable en cuanto a dimensiones (Kauffmann, 2007).
•
Material resistente. La Viga laminada permite grandes envergaduras y amplias formas. La fantasía no encuentra límites. Las construcciones de viga laminada resultan especialmente indicadas para la construcción de almacenes para materiales corrosivos como fertilizantes, sal o ácidos (Demkoff, 2003).
•
Una contribución para la protección al ambiente. La MLE y las construcciones de viga laminada son excelentes almacenes para el nocivo 17
gas invernadero CO₂ Al utilizar Viga laminada, el CO₂ almacenado durante la fase de crecimiento de un árbol se elimina de la atmósfera y se absorbe durante un largo período de tiempo (Kauffmann, 2007).
4.3.3 Desventajas de la madera laminada encolada 1. Se requiere de mano de obra especializada para realizar los elementos laminados encolados así también de maquinaria y condiciones acordes para ello: adhesivos, presión y temperatura requeridos para lograr la unión y endurecimiento de las vigas (Figuras 8 y 9) (Casado, 2004). 2. Es más costoso un elemento de MLE que uno de madera normal debido al adhesivo que se emplea y las condiciones necesarias para su elaboración (Romero, 2005).
Figura 8. Taller de elaboración de vigas de MLE en España (Arriaga, 2004).
18
Figura 9. Instalación de vigas de MLE para una bodega en España (Arriaga, 2004).
19
4.4 EL ARCO COMO ELEMENTO ESTRUCTURAL Un arco es una estructura de forma curva cuya misión es soportar una carga (a veces solamente su propio peso) dejando un espacio libre o vano en su parte inferior (EG, 2009). El arco como elemento estructural ha sido utilizado por el ser humano desde sus orígenes al encontrarse en el medio natural en forma de cavernas. Posteriormente fue fabricado en piedra y barro o tabique, aprovechando su alta capacidad de carga, para la construcción de bóvedas, puentes y otras edificaciones (Wikipedia, 2010).
4.4.1 Partes de un arco
Las partes componentes de un arco se presentan en la Figura 10 y se enuncian a continuación:
Figura 10. Partes componentes de un arco (Wikipedia, 2010).
20
Luz o Claro: Largo o distancia horizontal entre los apoyos del arco (Wikipedia, 2010). Clave: Es la parte más alta de un arco, no necesariamente la parte central. Contrafuerte: Es el refuerzo en las bases o cuerpo del arco que tiene como función contrarrestar el esfuerzo de empuje producido por la transmisión del esfuerzo axial hacia los apoyos del arco. Extradós: Es la parte exterior o superior de la línea del arco. Intradós: Es la parte interna o inferior de la línea del arco. Dovelas: Un arco puede estar formado por dovelas, las cuales son piezas trapezoidales que al unir sus costados (con la base más grande hacia afuera del arco) no requieren de cemento o elementos de unión para mantenerse en su sitio pues esto se logra por el peso y la fuerza ejercida por las piezas adyacentes. A la dovela central de un arco así constituido se le llama “clave” (Figura 11). Flecha: Altura del arco en su punto más alto, medido desde el nivel de los apoyos. Imposta: Son los punto de apoyo o de arranque (bases) de un arco, que pueden o no estar al mismo nivel.
Figura 11. Arco formado por monitores de computadora (Wikipedia, 2010).
21
4.4.2 Historia del arco Comienza a conformarse una ciencia enfocada al estudio de la historia de la construcción. Por lo que existen algunos tratados, monografías y tesis dispersas que abarcan diversos aspectos y periodos constructivos pero no existe una homogeneidad ni continuidad que muestre que se está trabajando en un ámbito en común; los artículos aparecen dispersos en revistas y congresos de arqueología, historia natural, historia de la técnica, historia del arte y de la arquitectura (Huerta, 1990). Así pues, existe poca información respecto a los arcos como elementos constructivos, sobre todo respecto a su comportamiento estructural. Entre los estudiosos de la historia de la arquitectura se ha convertido casi en un tópico la afirmación según la cual el uso del arco y la bóveda empezó con los romanos. No fueron los romanos los inventores del arco, ni tampoco fueron los primeros en fusionarlos en bóvedas.
4.4.2.1 Arcos y bóvedas en Mesopotamia
Los pocos arqueólogos que han estudiado este problema coinciden en afirmar que arcos y bóvedas tuvieron su origen en las marismas del bajo Egipto o en Mesopotamia (Irak). El prototipo de éstos lo constituía una serie de haces de juncos colocados verticalmente en el suelo, doblados hacia dentro y unidos por su extremo superior, formando, así, un techo. La superficie exterior de algunas de estas construcciones era recubierta de una capa de barro. Ese revestimiento estaba apoyado por una capa de juncos o zarzos que constituyen probablemente el resto de una etapa intermedia en la construcción de la bóveda. Más, dada la escasez de juncos (que tan sólo crecían en las zonas pantanosas), y su poca durabilidad, la mayoría de los albañiles del Próximo Oriente acabaron por prescindir de dicha materia y pasaron a utilizar un material más compacto y 22
resistente: el adobe. Casi todos los arcos que se conservan en el Próximo Oriente están construidos con adobes (palabra tomada del árabe al-tub). Incluso tras la aparición del ladrillo continuaron utilizándose los adobes en la mayoría de los edificios del Próximo Oriente. Se han encontrado tres clases de arcos y bóvedas de adobe en excavaciones del Próximo Oriente. La primera es el arco radial el que resulta probablemente más familiar por cuanto a su modernidad se refiere. Durante la mayor parte de la historia faraónica se construyeron en Egipto arcos y bóvedas radiales, de manera esporádica, en tumbas y puertas monumentales. El arco y la bóveda radial fueron, sin embargo, más utilizados en Mesopotamia, en donde evolucionaron seguramente de manera independiente y más o menos al mismo tiempo que en Egipto (Gus, 1987). El conjunto de excavaciones arqueológicas demuestra que los arcos y las bóvedas radiales fueron utilizados por doquier en el Próximo Oriente, desde el sur de Egipto hasta el oeste de Persia, y desde finales del cuarto milenio A. C. hasta bien entrado el primer milenio de nuestra Era. Sin embargo el diseño radial sufrió un duro golpe, pues arco y bóveda precisaban una cimbra, o ser apuntados provisionalmente, mientras se secaban (Figura 12). Como la madera escaseaba, parece ser que se utilizaba normalmente una pila de adobes secos, sin mortero, tal vez cubierta con una capa de paja, para llevar a cabo el centrado. Es de suponer que el llenar una puerta o una habitación entera de ladrillos para retirarlos una vez que el arco o la bóveda se hubieran secado, requería un tiempo y un esfuerzo considerables. El segundo método de construcción de bóvedas, llamado de ladrillo montado, no precisaba de centrado. Los ladrillos de las bóvedas de ladrillo montado eran más ligeros que los de las bóvedas radiales, ya que eran menores y más finos y porque se usaba más paja en la mezcla de ésta con el barro. Los ladrillos se montaban o inclinaban contra una de las paredes últimas de la bóveda.
23
Se chaflanaban a a la vez hacia dentro, como los ladrillos de una bóveda radial, por medio de piedras o cascos colocados bajo sus salientes externos (Gus, 1987).
Figura 12. Arco radial construido en la antigua Mesopotamia (Gus, 1987). La construcción de una bóveda de ladrillo montado podía detenerse en cualquier momento y la bóveda permanecía derecha sin necesidad de ser apuntalada en su interior, ya que cada arco apuntalaba al superior (Figura 13). El mortero de barro evitaba que los arcos se deslizaran, ya que se extendía entre los mismos de manera compacta.
Figura 13. Bóveda de ladrillo montado de la antigua Mesopotamia (Gus, 1987).
24
Si se tiene en cuenta los restos arqueológicos se puede concluir que fue en Levante (España), y no en Egipto o Mesopotamia (Irak), donde se dio el mayor avance tecnológico en la construcción de bóvedas de ladrillo montado. Fue en Levante donde se usaron por primera vez las dovelas, o ladrillos colocados en forma de cuña, las cuales ahorraban el esfuerzo de la introducción de cascos y piedras bajo los salientes de los ladrillos. Las bóvedas construidas con dovelas eran sin duda más resistentes, pues los ladrillos estaban en contacto unos con otros y el mortero se hallaba comprimido en juntas muy estrechas, teniendo mayor resistencia (Figura 14).
Figura 14. Bóveda con dovelas de la antigua Mesopotamia (Gus, 1987). Los ladrillos, colocados en forma de cuña, permitían que la bóveda fuera más plana; gracias a ello, no sólo se obtenía un arco semicircular, sino que también la flexibilidad de que disponía el arquitecto le permitía diseñar un edificio con habitaciones abovedadas de diferente grosor, consiguiendo de paso que el techo, o un piso superior, se mantuviera a una altura uniforme (Gus, 1987).
4.4.2.2 Arcos y bóvedas en Roma
Una gran contribución de los romanos al progreso arquitectónico fue descubrir que resultaba más barato construir empleando concreto junto con guijarros y cascajo comparado con las construcciones de bloques cortados y colocados en seco. Los romanos pudieron no haber inventado el concreto (quizá ese mérito corresponda a
25
los cartagineses) pero fueron ciertamente los primeros en explotar sus posibilidades. Los arquitectos romanos pronto aplicaron el concreto a la construcción de arcos y bóvedas. Disponían, pues, de un material adecuado a las aspiraciones de constructores de imperios (Figura 15).
Figura 15. Arco romano construido entre los años 312-315 D.C., (Arqueología, 2000). Las mayores bóvedas romanas cubrían un espacio que no fue igualado hasta llegar a los tiempos del acero en el siglo XIX D.C. Entre las principales construcciones de bóvedas de los romanos se encuentra el Panteón de Agripa, el cual se menciona a continuación (Zevi, 1981).
4.4.2.2.1 El panteón de Agripa Es posiblemente el monumento donde se conjuga más perfectamente los principios arquitrabados griegos con los principios abovedados romanos. La cúpula constituye la obra maestra de la arquitectura romana en cuanto a construcción de cúpulas ya que es la más grande que se conoce de la época de los romanos y aún posteriormente (Arqueología, 2000)
26
El Panteón de Agripa o Panteón de Roma [Il Pantheon en italiano] es un templo circular construido en Roma a comienzos del Imperio romano dedicado a todos los dioses (panteón significa templo de todos los dioses). En la ciudad se le conoce popularmente como La Rotonda, de ahí el nombre de la plaza en que se encuentra. Una inscripción en el friso del pórtico de entrada, atribuye la construcción del edificio a Marco Vipsanio Agripa, amigo y general del emperador Augusto, en el año 27 A. C., (Figura 16) (Arqueología, 2000).
Figura 16. Vista frontal del Panteón de Agripha de Agripa (Wikipedia, 2010). Reconstrucción del panteón de Agripa En tiempos de Adriano el edificio fue enteramente reconstruido. Su nombre no aparece en las inscripciones debido al rechazo de este emperador a que su nombre figurase en las obras llevadas a cabo bajo su mandato, muy al contrario que su predecesor Trajano. Las marcas de fábrica encontradas en los ladrillos corresponden a los años 123125, lo que permite suponer que el templo fue inaugurado por el emperador durante su estancia en la capital entre 125 y 128. Aunque no se sabe con certeza quién fue el arquitecto, el proyecto se suele atribuir a Apolodoro de Damasco.
27
Características La inserción de una amplia sala redonda adosada al pórtico de un templo clásico es una innovación en la arquitectura romana. El modelo de espacio circular cubierto por una bóveda se había utilizado por la misma época en las grandes salas termales, pero era una novedad usarlo en un templo (Figura 17). El efecto de sorpresa al cruzar el umbral de la puerta debía ser notable (Wikipedia, 2010).
Figura 17. Panorámica de Roma con la cúpula del Panteón de Agripa (Wikipedia, 2010). El cilindro tiene una altura igual al radio, y la altura total es igual al diámetro, por lo que se puede inscribir una esfera completa en el espacio interior. El diámetro de la cúpula es de 43.44 m (150 pies), lo que la convierte en la mayor cúpula de fábrica de la historia (Figura 18). La cúpula de la Basílica de San Pedro fue construida un poco más pequeña por respeto a ésta (Wikipedia, 2010).
28
Figura 18. Vista del interior de la cúpula del Panteón de Agripa (Wikipedia, 2010).
4.4.2.3 Consideraciones sobre los arcos en la edad media
En 1846, Barlow presentó a la Institution of Civil Engineers un ingenioso experimento que permitía mostrar que la línea de empujes puede ocupar distintas posiciones dentro de un arco (Figura 19). Las juntas entre las seis dovelas que forman el modelo de arco están formadas por cuatro tablillas de madera sueltas. Se retiraron tres de las cuatro piezas en cada junta en diferentes configuraciones correspondientes a distintas líneas de empuje que, de esta forma, se hacían físicamente visibles.
Figura 19. Posición de la línea de empujes (Huerta, 1990). La línea de empujes o funicular de una estructura permite conocer su grado de estabilidad al giro o por deslizamiento, así como su estado tensional. Para las
29
bóvedas y arcos puede existir un número infinito de líneas de empujes pertenecientes a la misma familia de curvas. En estas condiciones, la línea de empujes real, es decir la que se obtendría a partir del estado real de tensiones en el interior de la estructura siguiendo la familia de corte elegida, no puede deducirse de consideraciones puramente estáticas. Esta indeterminación de la línea de empujes fue causa de gran preocupación entre los ingenieros en los años anteriores a la aparición de la teoría elástica y se realizaron numerosos intentos para fijar su posición o al menos, establecer su intervalo posible de variación dentro del arco (Huerta, 1990). En la práctica, los constructores ponían pesos sobre los contrafuertes para que los empujes se aproximen más a la vertical. Éste es el procedimiento habitual seguido en la arquitectura tradicional (Figura 20).
Figura 20. Contrafuerte para evitar colapso (Huerta, 1990). La estabilidad de las estructuras es la condición más restrictiva, no tanto la resistencia. Para que una estructura sea estable sus elementos estructurales deben tener ciertas dimensiones que dependen, fundamentalmente, de la forma geométrica de la estructura. Esto conduce a la existencia de proporciones válidas para el diseño de arcos, bóvedas y contrafuertes, e incluso, de edificios, independiente del tamaño.
30
Galileo enunció que el peso de una estructura crece como el cubo de sus dimensiones lineales mientras que la sección de las partes de la estructura crece como el cuadrado, es decir, las tensiones crecen linealmente con el tamaño y por ello los elementos estructurales deben hacerse en proporción más gruesos (Figura 21) (Huerta, 1990).
Figura 21. Proporciones de un hueso y una cúpula conforme a cálculos de Galileo (Huerta, 1990). Fue hasta el siglo XVII que algunos estudiosos trataron de encontrar fórmulas para el cálculo de arcos de fábrica, pero con mayor frecuencia se hacia uso de métodos geométricos que de modo aproximado les servían en la construcción de los mismos. De hecho, el empleo de métodos geométricos y más aún, los ensayos sobre modelos de arcos a escala jugaron un papel crucial en la selección de hipótesis para la modelación matemática correcta de los problemas. Entre los siglos XV y XVIII los arquitectos constructores e ingenieros empleaban reglas estructurales para determinar las dimensiones de los elementos que realizaban. Para los arcos consideraban que si eran construidos bajo principios de semejanza entre sí, la forma estructural sería correcta independientemente de su tamaño (Huerta, 1990).
31
4.4.2.4 Reglas empíricas para la construcción de arcos y bóvedas (Huerta, 1990)
Las principales reglas empíricas para el dimensionamiento de los elementos estructurales de edificios de fábrica, entre ellos, los arcos, se enuncian a continuación. Estas reglas se aplicaron probablemente desde la antigüedad clásica hasta la primera mitad del siglo XX.
4.4.2.4.1 Comprobación Visual
Mediante dibujos a escala se podía comprobar la estabilidad de un arco, bóveda o contrafuerte, ya que un dibujo a escala de una forma estable constituye también una regla proporcional.
4.4.2.4.2 Empleo de modelos
Aunque no hay una prueba documental que confirme que se empleaban con fines estructurales, muy probablemente se hacían análisis a rotura con modelos a escala.
4.4.2.4.3 Principios de semejanza para los arcos
Considérese un arco de fábrica, sujeto a su propio peso, con geometría definida, al que se le puede modificar la escala. Para que un arco sea seguro debe cumplir ciertas condiciones referentes a la resistencia, deformación y estabilidad. Las dos primeras corresponden a la teoría elástica, imponen que el material no debe alcanzar cierto nivel de esfuerzo de tensión, considerado inseguro o inadmisible y que las deformaciones no deben superar un cierto umbral que impida el uso adecuado de la estructura.
32
La tercera condición corresponde a la aplicación del análisis límite. Para que el arco sea estable se debe dibujar una línea de empujes, compatible con las cargas, en su interior. Esto lleva a una forma línea límite superior o inferior para el espesor y el sistema de cargas dado. Se puede establecer un factor de seguridad haciendo que la línea de empujes pase por 1/3 ó 1/4 del espesor del arco. La posición de la línea de empujes está determinada por la forma geométrica de la estructura y, por ello, su forma límite es independiente de la escala. La aplicación del factor geométrico de seguridad da origen a formas semejantes. Sin embargo, con respecto al esfuerzo de tensión, el aumento del espesor es una función lineal del tamaño. Si se toman como ejemplo dos arcos semejantes, uno de ellos tres veces el tamaño del otro y se dibuja una curva que relaciona la esbeltez del arco (c/L) con la luz (L), se obtiene la curva E que muestra el aumento del espesor cuando aumenta el vano. En la condición de rotura o límite, el factor geométrico de seguridad mencionado anteriormente, produce una línea recta horizontal R. La línea de seguridad está por encima de estas dos líneas. El punto de intersección representa la dimensión en la que el diseño a rotura deja de ser el más restrictivo. Este punto marca el intervalo válido de las reglas proporcionales para el diseño de los arcos (Figura 22), donde se muestra la relación de esbeltez contra claro del arco para indicar dentro de que límites son seguras esas dimensiones al construir arcos.
Figura 22. Posición del punto crítico para arcos semicirculares (Huerta, 1990).
33
En general, la forma impuesta por la estabilidad produce un bajo nivel de tensión para un intervalo de dimensiones que comprenden fácilmente toda la arquitectura de fábrica edificada hasta la fecha. Por lo tanto, para todas las estructuras en las que la acción fundamental es el peso propio, las bóvedas de fábrica de las iglesias y catedrales, y, en general, de los edificios, el uso de las reglas proporcionales, es decir de factores de forma adimensionales, es un método de diseño racional y seguro.
4.4.3 Diferentes tipos de arcos
Entre los tipos de arcos más comunes y representativos están el de medio punto, parabólico, catenario, ojival y funicular. Pero en todos los casos el principio de trabajo de sus componentes es el mismo, ya que la forma de un arco no se elige por motivos puramente
estructurales. El arco de medio punto, usado
exclusivamente por los romanos, posee propiedades constructivas que justifican su empleo. Asimismo, el arco gótico posee ventajas tanto visuales como estructurales (Medina, 2006). Para mostrar el funcionamiento de un arco es conveniente ilustrar el concepto de polígono de fuerzas y polígono funicular.
4.4.3.1 Polígono de fuerzas
En un sistema de fuerzas se puede hallar su resultante a través de métodos gráficos como el del polígono de fuerzas que consiste en representar las fuerzas existentes en una escala conveniente para dibujarse en sucesión una tras otra. La fuerza resultante es la línea que tiene su origen en el inicio de la primera línea dibujada y su final en el extremo libre de la última línea. No importa el orden en que se dibuje la sucesión de fuerzas, la resultante siempre es la misma (Figura 34
23); al sumar las fuerzas A, B, C y D en distinto orden (ver los números 2, 3 y 4 de la figura 23) siempre se obtiene el mismo resultado (Parker, 1972).
Figura 23. Distintos polígonos para sumar fuerzas. Para sistemas de fuerzas concurrentes que ya están equilibrados, no existe resultante ya que al sumar las fuerzas en distinto orden, no es posible trazar una línea resultante, pues el polígono que se forma siempre es cerrado (Figura 24).
Figura 24. Sistemas de fuerzas concurrentes equilibrado.
4.4.3.2 Polígono funicular
El nombre de polígono funicular procede del latín funiculum cordel, cuerda pequeña y se refiere al hecho de que sería precisamente la forma que adoptaría un cordel al suspender de él un conjunto de fuerzas o diferentes pesos, conforme al punto de aplicación de la fuerza y la magnitud de la misma. Un polígono
35
funicular permite encontrar el punto de aplicación de la fuerza resultante de un sistema y las reacciones o fuerzas con las que se mantiene el equilibrio del mismo (Figuras 25, 26 y 27). Obsérvese que al aumentar el número de fuerzas y reducir el espacio entre las mismas, la funicular tiende a adquirir la forma de un arco (Wikipedia, 2010).
Figura 25. Un cable sometido a una carga puntual (Casañas y Arguiñarena, 2007).
Figura 26. Cable sometido a dos cargas puntuales (Casañas y Arguiñarena, 2007).
Figura 27. Cable sometido a tres cargas puntuales (Casañas y Arguiñarena, 2007)
36
Dado un conjunto de fuerzas en un plano, un polígono funicular para ese sistema de fuerzas es una línea poligonal (no necesariamente cerrada) cuyos vértices recaen sobre las líneas de acción de las fuerzas, con un punto de origen en común al que se llama polo; los ángulos que forma en cada vértice el polígono funicular dependen de la magnitud de la fuerza (Figura 28). El sistema de fuerzas de la izquierda se suma en la figura de la derecha. Todas las líneas salen del punto común llamado polo. El valor del esfuerzo resultante es la suma de los segmentos de línea que representan las fuerzas F1 a F5 que pasan a conformar una línea más grande. Cada lado del polígono formado indica el esfuerzo del cable en una zona del mismo. El mayor esfuerzo sobre el cable, será donde esté el lado mayor del polígono. Las líneas superior e inferior son las reacciones (RA, RB) y son las fuerzas que mantienen en equilibrio la suma de líneas más pequeñas, (Parker, 1972).
Figura 28. Polígono funicular de un sistema de fuerzas (Casañas y Arguiñarena, 2007).
37
4.4.3.3 Arco funicular
A medida que aumenta el número de cargas, el polígono funicular toma un número creciente de lados más pequeños y se aproxima a una curva. Cuando la cantidad de fuerzas tienden a infinito, la poligonal tiende a formar una curva. La curva funicular es la que forman los cables por el efecto de su propio peso. Las formas inversas de los cables colgantes, corresponden a las formas comprimidas, que con igual longitud soportarían las mismas cargas, dando lugar propiamente a los arcos funiculares (Figura 29). El arco funicular está compuesto de tal manera que sometido a una carga dada, sólo desarrolla compresión axial (Wikipedia, 2010).
Figura 29. Curva funicular de un cable suspendido que al invertirse forma un arco, (Casañas y Arguiñarena, 2007). Si la carga vertical aplicada se distribuye uniformemente a lo largo del eje del cable, (igual cantidad de carga por largo de cable), la forma que adoptará el cable será la de una curva catenaria. La catenaria es la forma más estable por lo que se puede reducir su espesor. La flecha óptima de una catenaria es aproximadamente un tercio de la luz y para esta relación de flecha-luz la catenaria y la parábola son curvas muy similares. Si la carga vertical está distribuida uniformemente según su proyección horizontal, el cable adoptará la forma de una parábola (Casañas y Arguiñarena, 2007)
38
4.4.3.4 Arco catenario
La palabra deriva del latín catenarius (propio de una cadena). Es la curva que describe un cable ideal perfectamente flexible (homogéneo e inextensible), con masa uniforme por unidad de longitud, suspendido entre sus extremos que no están situados en la misma vertical, teniendo presente la acción de un campo gravitatorio uniforme (Figura 30) (Wikipedia, 2010).
Figura 30. Diagrama de cuerpo libre de una curva catenaria (MNPIC, 2008). Donde: T= tensión ejercida por el arco al quedar suspendida de su punto de apoyo s= longitud de la cuerda desde el punto de apoyo hasta la parte media de la curva x= posición de un punto perteneciente a la curva w= peso de la cuerda de igual magnitud a todo lo largo de su eje H= esfuerzo en el punto más bajo de la cuerda, también el de menor intensidad θ= ángulo que forma la cuerda en el punto de apoyo con la horizontal. A mayor inclinación del ángulo, mayor intensidad del esfuerzo registrado La catenaria es precisamente la forma del eje baricéntrico que minimiza las tensiones de un elemento lineal sometido sólo a cargas verticales. Esa propiedad puede aprovecharse para el diseño de arcos. Así puede demostrarse que un arco 39
en forma de catenaria invertida es precisamente la forma que minimiza los esfuerzos de compresión sobre dicho arco. La trayectoria descrita estará determinada por las tensiones a la que esté sometida en sus extremos y por su longitud. Al invertir la curva catenaria lo que queda es un arco catenario (Figura 31) (Scerbo, 2010).
Figura 31. Curva catenaria (Wikipedia, 2010). Los arcos catenarios son los únicos que tienen línea funicular en el tercio central de su sección. En todos los demás arcos se desplaza su curva funicular, de modo que se produce combinación de esfuerzos de Tensión y Compresión, lo cual induce fallas (Huerta, 1990). A pesar de la óptima calidad del arco funicular o catenario en cuanto a resistencia, durante mucho tiempo se consideró que tenía una forma poco elegante y de difícil carga en los pilares, y no se utilizó en la arquitectura tradicional, para la cual se consideraban mejores las formas de arcos circulares, elípticos, etcétera. El gran constructor Antonio Gaudí rompió con toda esta mentalidad y usó este tipo de arco en muchas de sus obras (Figura 32) (Cienladrillos, 2007).
40
Figura 32. Arcos catenarios empleados por Gaudí en la catedral de la sagrada familia, Barcelona (Wikipedia, 2010). Otro constructor que ha empleado el arco catenario ha sido Eero Saarinen, en el arco monumental de San Luís, Missouri. El arco simbolizaba la puerta de entrada al Oeste y tiene una altura de 192,15 metros (Figura 33) (Cienladrillos, 2007).
Figura 33. Arco monumental de San Luís, Missouri. (Wikipedia, 2010).
41
La ecuación que define a un arco catenario es la siguiente: y=a *cosh
x a
Que es equivalente a: y=a∗
x a
e +e 2
−x a
Se puede usar la primera o la segunda fórmula Donde: Y = Posición que adquiere en el eje Y el punto evaluado a = Valor de la constante que define la excentricidad del arco catenario cosh = Coseno hiperbólico del ángulo que forma el arco en el punto de interés X = Posición en el eje X e: Número de Euler = 2.7182818
42
4.4.3.5 Arco parabólico La parábola es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta fija (directriz) y un punto fijo (foco) que no pertenece a esa recta. El punto medio entre el foco y la directriz es el vértice, y la recta que pasa por el vértice y el foco es el eje de la parábola (Figura 34).
Figura 34. Parábola y sus principales elementos (Wikipedia, 2009). La fórmula de la parábola es: 2
y=ax +bx+c
Donde: y: Altura que adquiere un punto sobre la parábola. a: Coeficiente del término cuadrático. b: Coeficiente del término lineal. c: Valor de la constante numérica. Características principales de las curvas parabólicas (Larson et al., 2004): •
Todas las parábolas tienen la misma forma, lo único que cambia es su escala.
•
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax², donde el parámetro a especifica la escala de la parábola. 43
•
La distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.
•
La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.
En cuanto a cuestiones constructivas, hay que mencionar que se genera una parábola al someter un cable a cargas verticales uniformemente distribuidas sobre el plano horizontal, generando esfuerzos de tensión, por lo que un arco parabólico es el reflejo del cable mencionado pero genera esfuerzos de compresión, sin que exista esfuerzo cortante ni momento flexionante, comportándose de manera casi idéntica a como la hace un arco catenario. Se puede ver que ambos arcos casi describen la misma curva, ésto es así cuando ambos arcos poseen grandes luces o un factor f/L pequeño (Figura 35, Parábola color azul, Catenaria color rojo).
Figura 35. Similitud en las curvas de una parábola y una catenaria (Casañas y Arguiñarena, 2007). Un arco parabólico es la inversión de un cable con cargas verticales uniformemente distribuidas y las cargas apoyadas sobre él pueden transmitirse a través de montantes (Figura 36), o bien quedar suspendidas por abajo por medio de tirantes (cables o elementos rígidos) (Figura 37).
44
Figura 36. Arco parabólico al que se transmite la carga a través de montantes (Casañas y Arguiñarena, 2007).
Figura 37. Arco parabólico al que se transmite la carga a través de tensores o tirantes (Casañas y Arguiñarena, 2007).
4.4.3.6 Arco de medio punto En arquitectura, el arco de medio punto o circular, es el arco que tiene la forma de un semicírculo. Antiguamente solía estar conformado por dovelas de adobe, ladrillo o piedra (Figura 38).
Figura 38. Arco de medio punto o circular, (Wikipedia, 2010). 45
El arco de medio punto empezó a emplearse en Mesopotamia aproximadamente tres mil años antes de Cristo. Después fue usado por los etruscos y posteriormente por los romanos que lo difundieron por las regiones del mediterráneo. Es un elemento importante en la arquitectura romana (cabecera de iglesias y capillas absidiales) y de las que derivaron de ella como la arquitectura renacentista o la arquitectura barroca. Los puntos sobre un arco circular se pueden calcular con la siguiente fórmula:
Y= r 2 − X −
L 2
2
Donde: r = Radio del círculo (flecha) L = Largo o claro del arco X = Posición a lo largo del eje X; 0 < X ≤ L La curva funicular que se presenta en un arco circular no discurre centrada con el mismo, y éste consigue absorber gracias a su grosor los esfuerzos canalizados a través de aquélla, pero siempre con un cierto grado de inadaptación (Figura 39). En los arranques la curva funicular es casi vertical, pero siempre aporta una componente horizontal (empuje lateral o coceo), misma que el arco consigue absorber gracias a su grosor (EG, 2009).
Figura 39. Curva funicular en un arco de medio punto (Wikipedia 2010).
46
4.4.3.7 Arco ojival A partir del siglo XI el desarrollo de las ciudades, con la consiguiente expansión comercial, y las peregrinaciones, generó la necesidad de vías de comunicación lo que condujo a la construcción de nuevos puentes, en paralelo con la de catedrales góticas. El modelo adoptado fue el arco ojival, tal vez importado por los cruzados (Figura 40) (Graciani, 2001).
Figura 40. Arco ojival (Wikipedia, 2010). El arco almendrado, apuntado u ojival cumple con la propiedad de ser lo suficientemente peraltado (alto con relación a su claro) como para no producir empujes excesivos en los apoyos y a la vez poder construirse mediante piezas de directriz circular, como el de medio punto. Quedando así conjugadas resistencia y facilidad constructiva. Geométricamente, la ojiva se compone de dos arcos simétricos correspondientes a circunferencias de igual radio y distintos centros, que dan lugar a un vértice en la intersección. La ventaja constructiva de la ojiva es que permite trazar huecos de la misma altura para distintas luz de base, simplemente aproximando los centros de los arcos de circunferencia, sin modificar el radio. Esta posibilidad se aprovecha estéticamente en los ventanales de las catedrales góticas y contribuyó a su difusión (Figura 41). Además permitió emplear un único tipo de dovela en un conjunto de arcos, aún con geometría diferente, lo que representó una economía
47
de esfuerzo para los canteros que unificaron su producción. La similitud geométrica entre el arco ojival y el antifunicular ha permitió en las catedrales góticas prescindir de muros resistentes y sustituirlos por vidrieras, sin que se afectara la estabilidad del conjunto; la transmisión de esfuerzos se realiza directamente por el arco (Graciani, 2001).
Figura 41. Presencia del arco ojival en las puertas y torres de una catedral del siglo XVII (Wikipedia, 2010). La estructura arco-pilar, reforzado con estribos, eliminó en gran medida al muro como elemento de descarga, reduciéndolo a simple cerramiento, y generando amplios vanos. En este sentido, podemos afirmar que la caracterización de todo un período histórico, en el aspecto arquitectónico pero también espiritual y social, es consecuencia de la aplicación de los principios de la Estática. Es interesante contrastar cómo en ruinas góticas es posible observar los arcos ojivales completos, aun cuando falten la techumbre y otros elementos de la estructura, y sin embargo es infrecuente la misma observación de arcos de medio punto en restos renacentistas, de los que únicamente permanecen los arranques. El análisis
48
de estática establece que el arco ojival transmite las tensiones en dirección aproximadamente tangencial, por lo que la inclinación del arranque indica el valor de la componente horizontal de apoyo (García, 2007).
4.4.4 Esfuerzos generales producidos en un arco Un arco dependiendo de la geometría que posea (largo, altura y ángulos que forma) y los diferentes tipos de cargas horizontales o verticales a los que esté sometido genera esfuerzo axial, empuje horizontal y reacciones verticales. Pudiera llegar a presentarse momento flexionante, esfuerzo cortante y deformación axial, pero éstos últimos son de menor importancia en comparación con los tres primeros, sobre todo cuando el arco es funicular o perfectamente parabólico (Figura 42) (Leontovich, 1970).
Figura 42. Sistema de fuerzas actuantes sobre un arco (Leontovich, 1970). La geometría del arco (flecha y claro) y las condiciones existentes (peso propio, magnitud de las cargas y punto de aplicación) influyen en el comportamiento ante los esfuerzos resultantes. Al comparar tres arcos con la misma Luz pero con diferente flecha se puede ver que producen distintos esfuerzos horizontales (Figura 43), a menor altura se incrementa la reacción horizontal H (Casañas y Arguiñarena, 2007).
49
Figura 43. Comparación de tres arcos con la misma Luz pero diferente flecha (Casañas y Arguiñarena, 2007).
4.4.4.1 Línea funicular de un arco Es un requisito que la funicular de un arco debe pasar por el tercio central de su sección a todo lo largo de su curva y apoyos, para que no colapse y tenga estabilidad (Figuras 44 y 45). Si la curva funicular (línea roja) se desplaza hacia arriba del tercio central del arco (malla azul), se producirá un colapso hacia la parte interna del mismo.
Figura 44. Desplazamiento de la funicular de un arco hacia arriba (Huerta, 1990).
50
Figura 45. Desplazamiento de la funicular de un arco hacia abajo (Huerta, 1990). Cabe destacar que las figuras 44 y 45 son una exageración de las condiciones enunciadas, ya que en la realidad la línea funicular tendría que hacer tangencia en otros puntos del arco, por lo menos en cuatro puntos, para que el arco actúe como un mecanismo y colapse (Figura 46).
Figura 46. Colapso de un arco cuando la línea funicular hace tangencia en por lo menos cuatro puntos (VS, 2004).
Para que un arco esté en equilibrio se debe cumplir que la suma de las fuerzas horizontales, verticales y de momentos sea igual a cero, es decir: Σ Fy = 0 Σ Fx = 0 ΣM=0
51
4.4.4.2 Reacción vertical (Dávila y Pajón, 1997) Para la suma de fuerzas verticales (Σ Fy = 0) se tiene que la carga total es igual a la carga uniformemente distribuida a todo lo largo del arco por la longitud del mismo, como se observa en la Figura 47. Como el arco es simétrico, la reacción vertical en cada apoyo es igual a la carga resultante repartida entre ambos apoyos, lo que queda en cada uno es: RAy + RBy = pL RAy = pL / 2 RBy = pL / 2 Donde: RAY = Reacción vertical del apoyo izquierdo RBY = Reacción vertical del apoyo derecho
Figura 47. Diagrama de carga de un arco parabólico biarticulado con carga uniformemente distribuida (Dávila y Pajón, 1997).
52
4.4.4.3 Reacción horizontal o coceo (Dávila y Pajón, 1997) Es un hecho conocido desde la más remota antigüedad que el arco “empuja” en sus apoyos (H). Éste empuje se llama reacción horizontal pero es más popular nombrarlo como coceo. El coceo es el resultado de la distribución de esfuerzos generados por las cargas aplicadas a lo largo de su curva, mismos que son transmitidos hacia los apoyos, provocando el coceo (Figuras 48 y 49).
Figura 48. Arco sin fuerza aplicada (Dávila y Pajón, 1997).
Figura 49. Coceo en el arco al aplicar una carga sobre él (Dávila y Pajón, 1997). Para contrarrestar el coceo se pueden usar cables, anillos o tirantes. También se puede hacer más robusta la sección del arco con los denominados contrafuertes, (Figura 50). Los contrafuertes mantienen la línea funicular dentro del tercio central de su sección, reduciendo riesgos de colapso.
53
Figura 50. Refuerzos o contrafuertes de los apoyos de un arco para contrarrestar las fuerzas horizontales (Dávila y Pajón, 1997) Para la suma de fuerzas en x (Σ Fx = 0), como se observa en la Figura 51, se puede ver que el momento que se genera es el siguiente (Dávila y Pajón, 1997): M=−H1∗Y+V1∗ X −P∗ X ∗
PL
Como la reacción vertical V1 es igual a 2
X 2
y el Momento obtenido debe ser igual
a cero, se sustituye: 0=−H1∗Y+
P∗L P∗X 2 ∗X − 2 2
Se despeja el término H1*Y: H1∗Y=
P∗L∗X P∗ X − 2 2
H1∗Y=
P∗L∗X −P∗X 2
2
2
y al final se deja Y: 2
Y=
P∗ L∗ X −P∗ X 2∗H1
L Cuando se aplica la carga a mitad del claro se tiene: x= 2 ; f = Y.
54
2
L L P∗L∗ −P 2 2 Al despejar H1 y sustituirlo queda: H1= 2∗ f P∗L 2 P∗L 2 − 2 4 H1= 2∗ f
P∗ H1=
2
2
L L − 2 4 2∗ f
L2 4 H1= 2∗ f P∗
Y finalmente:
H1=
P∗L 2 8∗ f
Figura 51. Diagrama de carga de un arco con carga uniformemente distribuida sobre una sección (Dávila y Pajón, 1997). Considerando que el arco es simétrico y que está cargado de manera uniforme: RAx = RBx. Por lo que las reacciones horizontales en ambos apoyos son de igual magnitud.
55
4.4.4.4 Esfuerzo axial o normal (Willems y Lucas, 1978) Las cargas aplicadas sobre un arco generan acciones internas verticales y horizontales, pero es más conveniente expresarlas en términos de esfuerzo axial (N) y esfuerzo cortante (V ó Q). En la Figura 52 se muestra el componente vertical (Fy, flecha roja) y horizontal (Fx, flecha azul) de la fuerza axial de arco, además del ángulo que se forma en el punto señalado (θ, color rosa).
Figura 52. Componente vertical y horizontal de la fuerza axial de un arco (Willems y Lucas, 1978). En un arco, el esfuerzo axial corre a todo lo largo de su curva en su sección transversal. El esfuerzo axial es perpendicular al plano sobre el que se aplica una fuerza idealmente distribuida de manera uniforme por toda la superficie de un cuerpo (Figura 53). Este esfuerzo (representado por las flechas de color azul) puede ser de compresión (los extremos del arco presionan hacia el centro) o de tensión (cada extremo del arco jala hacia sí el otro extremo, las flechas azules se invertirían, Figura 54).
Figura 53. Fuerza axial y esfuerzo cortante en un arco (Willems y Lucas, 1978). 56
Aparecen esfuerzos axiales siempre que las fuerzas aplicadas obliguen a que la sección experimente esfuerzos de tensión (desprendimiento o rasgadura, Figura 54) o compresión (aplastamientos y colapso, Figura 55).
Figura 54. Esfuerzo axial de tensión (Wikipedia, 2010).
Figura 55. Esfuerzo axial de compresión (Wikipedia, 2010). El esfuerzo axial en una sección de un arco se calcula como: N = Fx * Cos θ + Fy * Sen θ Donde: N = Esfuerzo Axial Fx = fuerza interna horizontal Fy = Fuerza interna vertical Sen θ = seno del ángulo en el punto considerado Cos θ = coseno del ángulo en el punto considerado
57
4.4.4.5 Consideraciones para el Esfuerzo Cortante y el Momento Flexionante en los arcos Un arco parabólico distribuye sus esfuerzos casi tan bien como un arco catenario y aunque no influya demasiado, por cuestiones de seguridad se debe considerar el momento flexionante al igual que el esfuerzo cortante.
4.4.4.5.1 Esfuerzo cortante (Beer et al. 2004) El Esfuerzo cortante (o de cizallamiento) es producido por fuerzas que actúan paralelamente al plano que las resiste, también puede denominarse esfuerzo tangencial. El Esfuerzo cortante es el resultado de las cargas verticales aplicadas a lo largo del arco. Este esfuerzo será igual a la magnitud de la carga perpendicular al eje del arco en cualquier punto. Se le puede designar como T, V o Q. En la Figura 53 se representa este esfuerzo por las flechas de color rojo; puede ser positivo, considerando que actúa hacia abajo o negativo si actúa hacia arriba. El esfuerzo cortante en una sección de un arco se calcula como: Q = Fx * sen θ - Fy * cos θ Donde: Q = Esfuerzo cortante Fx = fuerza interna horizontal Fy = Fuerza interna vertical Sen θ = seno del ángulo en el punto considerado Cos θ = coseno del ángulo en el punto considerado
58
4.4.4.5.2 Momento Flexionante En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su eje longitudinal. El término "alargado" se aplica cuando una dimensión es dominante frente a las otras. Un caso típico son las vigas, que están diseñadas para trabajar principalmente a flexión (Figura 56). Igualmente, el concepto de flexión se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o láminas.
Figura 56. Flexión en una viga sometida a una fuerza a la mitad de su longitud (Wikipedia, 2010). El esfuerzo que provoca la flexión se denomina momento flexionante, pero más comúnmente se considera así al resultado de hacer la suma de momentos de todas las fuerzas que actúan en una porción de viga a la izquierda o a la derecha de la sección considerada, respecto a un eje perpendicular al plano de fuerzas y que pasa por el centro de gravedad de la sección considerada (Wikipedia, 2010).
59
4.5 DEFINICIONES Y CONSIDERACIONES SOBRE LOS CÁLCULOS
El arco como toda estructura lineal con libertad mecánica, tiene la pretensión de ser configuración de esfuerzos, es decir, de adoptar la funicular de las fuerzas aplicadas. El grado en que esto se logra define la perfección de la estructura. La adecuación total se consigue en muy pocos casos pues casi siempre lo impide el carácter variable de las cargas. De ese modo, un arco ideal para cargas linealmente distribuidas no lo será para cargas de distinta magnitud o establecidas en puntos distintos. El presente análisis estructural de los arcos parabólicos se toma del libro pórticos y arcos de Valerian Leontovich, Ingeniero de estructuras de International Engineers Company Inc., quien utilizó el método del trabajo virtual (Leontovich, 1970).
4.5.1 Método del trabajo virtual El método del trabajo virtual es el más versátil de los métodos clásicos para hallar deflexiones elásticas en estructuras, producto de las cargas aplicadas. El principio del trabajo virtual tiene como base que si una estructura deformable, en equilibrio bajo un sistema de cargas, es sometida a una deformación virtual como resultado de una acción adicional, el trabajo virtual externo hecho por el sistema de cargas es igual al trabajo virtual interno efectuado por las fuerzas internas causadas por él. Por lo tanto, el desplazamiento producido por la fuerza equivalente tendrá que ser igual a los desplazamientos producidos por las cargas reales. La aplicación del método se reduce entonces a evaluar las expresiones (la del trabajo real y la del trabajo virtual) e igualarlas (Uribe, 2004).
60
4.5.2 Nota para los cálculos considerados
Todos los cálculos deberán realizarse algebraicamente. Todas las cantidades deberán insertarse en las ecuaciones con su signo adecuado, para que los resultados se obtengan de manera mecánica, con su propia magnitud y signo correcto. Cada configuración de carga incluye un diagrama que ilustra la dirección y forma de actuar de la misma. Generalmente, cada ecuación tiene restricciones en la sección donde se puede aplicar, según se ilustra en el diagrama. Debe ponerse cuidado en el empleo de las unidades de medida, todas las propiedades de un arco como Largo, flecha, etc. deben expresarse dentro de un mismo sistema dimensional (Leontovich, 1970).
61
4.5.3 Definiciones (Leontovich, 1970)
Para análisis de estructuras en arco, la longitud de los miembros curvos no entra en los cálculos; se utiliza en su lugar las dimensiones del claro del arco o luz (L) y la flecha (f). Sólo se consideran arcos parabólicos biarticulados, simétricos con respecto a su eje central. La posición sobre el arco se indica por medio de coordenadas horizontal y vertical, que se originan en el extremo izquierdo del arco. Así, el punto definido con la coordenada 1.5 entre los puntos 1 y 2 indica una coordenada horizontal de 0.5 L (a mitad del claro), lo que se observa en la Figura 57.
Figura 57. Representación de un arco con sus elementos geométricos principales (Leontovich, 1970). Donde: 1 y 2 = Apoyo izquierdo y apoyo derecho, respectivamente. 1.5 = Punto a mitad del arco (L/2). L = Luz o claro del arco (distancia libre entre apoyos del arco). f = Altura o flecha del arco en su punto más alto, medido desde el nivel de los apoyos. 62
Para el ángulo de inclinación del eje curvado (θ) se mide el ángulo agudo comprendido entre la horizontal y la tangente en el punto considerado (siempre positivo, sin importar si es la primera o la segunda mitad del arco). Sólo se requiere el valor absoluto del ángulo de inclinación para calcular las fuerzas axiales y cortantes en cualquier sección del arco (Figura 58).
Figura 58. Posición de un punto sobre el arco y ángulo que forma (Leontovich, 1970) Las cargas y fuerzas consideradas se aplican según la dirección en el diagrama de carga correspondiente, en caso de aplicarse en la dirección opuesta se debe anteponer el signo negativo a la fuerza o carga dentro de la respectiva ecuación. Donde: P = Carga Concentrada. W = Carga Repartida. V = Reacción Vertical. Las reacciones verticales (V) se consideran positivas cuando actúan hacia arriba. V1 = Reacción Vertical en el apoyo izquierdo. V2 = Reacción Vertical en el apoyo derecho.
63
Las reacciones horizontales (H) son positivas cuando actúan hacia el centro del arco. H1 = Reacción Horizontal en el apoyo izquierdo. H2 = Reacción Horizontal en el apoyo derecho. Sólo se considera la reacción en el apoyo izquierdo por ser igual a la del apoyo derecho, a menos que se diga explícitamente algo más, como en los casos de cargas horizontales sobre el arco. N = Fuerza Axial. La fuerza axial en un arco es positiva cuando produce compresión y es negativa cuando produce tensión. Q = Fuerza Cortante. Se sigue la convención de que en un arco la fuerza cortante es positiva, si en cualquier sección considerada la componente normal de la resultante de todas las cargas y reacciones a la izquierda de la sección está dirigida hacia afuera, desde el centro de la curvatura del arco. M = Momento Flexionante del elemento considerado. Los momentos se consideran positivos si producen tensión en la parte interior de un arco y compresión en la parte exterior. El Momento Flexionante opuesto se considera negativo. m = Distancia horizontal o vertical desde el apoyo pertinente, hasta el punto donde se aplica la carga. n = Distancia horizontal o vertical desde el punto donde se aplica la carga hasta el apoyo en el otro extremo.
64
4.5.4 Alcance de los cálculos
Para propósitos prácticos, si la relación entre la flecha y el claro del arco es menor que 0.2 las ecuaciones dan resultados satisfactorios para las estructuras con miembros curvos de sección transversal constante. Para relaciones mayores, las soluciones son aproximadas. Es un hecho reconocido que el efecto de la deformación axial es de importancia práctica sólo en los arcos rebajados sin articulaciones, por lo que no se toman en cuenta (Leontovich, 1970).
65
4.6 COMPENDIO DE FORMULAS PARA CALCULAR REACCIONES Y ESFUERZOS A continuación se muestran las configuraciones de carga más comunes para un arco parabólico biarticulado de sección transversal constante con las fórmulas respectivas para calcular sus reacciones.
4.6.1 Carga vertical uniformemente repartida sobre todo el claro (Leontovich, 1970)
Para el caso de un arco con carga vertical uniformemente repartida sobre todo el claro, su diagrama de carga se representa en la Figura 59 y sus reacciones en la Figura 60.
Figura 59. Diagrama de carga de un arco parabólico con carga uniformemente repartida sobre todo el claro (Leontovich, 1970)
66
Figura 60. Reacciones de un arco parabólico con carga uniformemente repartida sobre todo el claro (Leontovich, 1970) Las reacciones de un arco parabólico biarticulado con carga uniformemente repartida sobre todo el claro se calculan con las siguientes fórmulas: Reacciones Verticales V1=V 2=
W 2
Reacción Horizontal H1=
W ∗L 8∗ f
Fuerza Axial cuando x <= L / 2
N=H1*cos θ+W ∗
1 X − ∗senθ 2 L
Fuerza Axial cuando x > L / 2
N=H1*cos θ+W ∗senθ∗
X 1 − L 2
Fuerza Cortante y Momento Flexionante = 0 en cualquier sección del arco
67
4.6.2 Carga vertical uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco (Leontovich, 1970) Para el caso de un arco con carga vertical uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco, su diagrama de carga se representa en la Figura 61 y sus reacciones la Figura 62.
Figura 61. Diagrama de cuerpo libre de un arco parabólico con carga vertical uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco (Leontovich, 1970)
Figura 62. Reacciones de un arco parabólico con carga vertical uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco (Leontovich, 1970)
68
Las
reacciones
de
un
arco
parabólico
biarticulado
con
carga
vertical
uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco se calculan con las siguientes fórmulas (Leontovich, 1970): Reacción Vertical V1=
3W 4
Reacción Horizontal H1=
P∗L 8f
Cálculo de reacciones cuando x<= L / 2 Fuerza Axial
N=H1*cos θ+W ∗senθ∗
3 2X − 4 L
Fuerza Cortante
34 −2XL
Q=−H1∗senθ+W *cos θ∗
Momento Flexionante M=W ∗X
3 X − − H1∗Y 4 L
Cálculo de reacciones cuando x > L / 2 Fuerza Axial N=H1*cos θ+
W ∗senθ 4
Fuerza Cortante Q=H1∗sen−
W *cos θ 4
Momento Flexionante M=
W ∗ L− X ∗H1∗Y 4
69
4.6.3 Carga vertical sobre el cuarto central del arco (Leontovich, 1970) Para el caso de un arco con carga vertical sobre el cuarto central del arco, su diagrama de carga se representa en la Figura 63 y sus reacciones en la Figura 64.
Figura 63. Diagrama de carga de un arco parabólico con carga vertical sobre el cuarto central del arco (Leontovich, 1970)
Figura 64. Reacciones de un arco parabólico con carga vertical sobre el cuarto central del arco (Leontovich, 1970)
70
Las reacciones de un arco parabólico biarticulado con carga vertical sobre el cuarto central del arco se calculan con las siguientes fórmulas (Leontovich, 1970): Reacciones Verticales V1=V 2=
W 2
Reacción Horizontal H1=
195 W ∗L ∗ 1024 f
Cálculo de reacciones cuando X <= 3 / 8 de L Fuerza Axial N=
W ∗senθ +H1*cos θ 2
Fuerza Cortante
Q=2∗W ∗ 1−
2∗X *cos θ− H1∗senθ L
Momento Flexionante M=
W∗X − H1∗Y 2
Cálculo de reacciones cuando 3 / 8 de L < X <= 5 / 8 de L Fuerza Axial
N=H1*cos θ+2W∗ 1−
2X ∗senθ L
Fuerza Cortante
Q=2W∗ 1−
2X *cos θ−H1∗senθ L
Momento Flexionante M=
W ∗X 2W 3L − ∗ X− 2 L 8
71
2
−H1∗Y
Cálculo de reacciones cuando 5/8 de L < X <= L Fuerza Axial N=
W ∗senθ +H1*cos θ 2
Fuerza Cortante Q=−
W *cos θ +H1∗senθ 2
Momento Flexionante M=
W∗X − H1∗Y 2
72
4.6.4 Carga vertical concentrada sobre la corona del arco (Leontovich, 1970) Para el caso de un arco con carga vertical concentrada sobre la corona del arco, su diagrama de carga se representa en la Figura 65 y sus reacciones en la Figura 66.
Figura 65. Diagrama de carga de un arco parabólico con carga vertical concentrada sobre la corona del arco (Leontovich, 1970)
Figura 66. Reacciones de un arco parabólico con carga vertical concentrada sobre la corona del arco (Leontovich, 1970)
73
Las reacciones de un arco parabólico biarticulado con carga vertical concentrada sobre la corona del arco se calculan con las siguientes fórmulas (Leontovich, 1970): Reacciones Verticales P 2
V1=V 2=
Reacción Horizontal H1=
25 P∗L ∗ 128 f
Fuerza Axial (para todo el arco) N=H1*cos θ+
W ∗senθ 2
Cálculo de reacciones cuando x < L / 2 Fuerza Cortante Q=−H1∗senθ+
P *cos θ 2
Momento Flexionante M=
P∗ X − H1∗Y 2
Cálculo de reacciones cuando x > L / 2 Fuerza Cortante Q=H1∗senθ −
P *cos θ 2
Momento Flexionante M=
P ∗ L− X −H1∗Y 2
74
4.6.5 Carga vertical concentrada en algún punto del arco (Leontovich, 1970) Para el caso de un arco con carga vertical concentrada en algún punto del arco, su diagrama de carga se representa en la Figura 67 y sus reacciones en la Figura 68.
Figura 67. Diagrama de carga de un arco parabólico con carga vertical concentrada en algún punto del arco (Leontovich, 1970)
Figura 68. Reacciones de un arco parabólico con carga vertical concentrada en algún punto del arco (Leontovich, 1970)
75
Las reacciones de un arco parabólico biarticulado con carga vertical concentrada en algún punto del arco se calculan con las siguientes fórmulas (Leontovich, 1970): Reacciones Verticales V2=
P∗m L
V1=P−V2
Reacción Horizontal
2
H1=
5P∗m m m ∗ 1−2* 8f L L
3
Momento Flexionante cuando [x <= m] M=
W ∗n∗X − H1∗Y L
Momento Flexionante cuando [x > m]
X −H1∗Y L
M=W ∗m∗ 1−
Cálculo de reacciones cuando [x <= Eme] y X <= L / 2 Fuerza Axial N=H1*cos θ+
P∗n∗senθ L
Fuerza Cortante Q=−H1∗senθ+
P∗n*cos θ L
Cálculo de reacciones cuando [x <= Eme] y x > L / 2 Fuerza Axial N=H1*cos θ−
P∗n∗senθ L
Q=H1∗senθ+
P∗n *cos θ L
Fuerza Cortante
76
Fuerza normal y cortante cuando [x > m] y X <= L / 2 Fuerza Axial P∗m∗senθ L
N=H1*cos θ−
Fuerza Cortante Q=−H1∗senθ−
P∗m *cos θ L
Cálculo de reacciones cuando [x > m] y x > L / 2 Fuerza Axial N=H1*cos θ+
P∗m∗senθ L
Q=H1∗senθ −
P∗m*cos θ L
Fuerza Cortante
77
4.6.6 Carga horizontal uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco (Leontovich, 1970) Para el caso de un arco con carga horizontal uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco, su diagrama de carga se representa en la Figura 69 y sus reacciones en la Figura 70.
Figura 69. Diagrama de carga de un arco parabólico con carga horizontal uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco (Leontovich, 1970)
Figura 70. Reacciones de un arco parabólico con carga horizontal uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco (Leontovich, 1970)
78
Las reacciones de un arco parabólico biarticulado con carga horizontal uniformemente repartida sobre la mitad izquierda del arco se calculan con las siguientes fórmulas (Leontovich, 1970): Reacciones Verticales V2=
W∗ f 2∗L
V1=−V2
Reacciones Horizontales 5 H1=− ∗W 7
2 H2= ∗W 7
Cálculo de reacciones cuando x <= L/2 Fuerza Axial N=
W ∗Y W ∗ f ∗senθ +H1 *cos θ− f 2L
Fuerza Cortante W ∗ f *cos θ +H1∗senθ − W ∗Y f 2L
Q=−
Momento Flexionante
M=−
W∗ f X Y2 ∗ 2 − H1∗Y 2 L f
Cálculo de reacciones cuando x > L / 2 Fuerza Axial N= W+H1 *cos θ+
W ∗ f ∗senθ 2L
Fuerza Cortante N=−
W ∗ f *cos θ W+H1∗senθ 2L
Momento Flexionante M=
W ∗2 f ∗1− XL − H2∗Y 79
4.6.7 Carga horizontal concentrada en la corona del arco (Leontovich, 1970) Para el caso de un arco con carga horizontal concentrada en la corona del arco, su diagrama de carga se representa en la Figura 71 y sus reacciones en la Figura 72.
Figura 71. Diagrama de carga de un arco parabólico con carga horizontal concentrada en la corona del arco (Leontovich, 1970)
Figura 72. Reacciones de un arco parabólico con carga horizontal concentrada en la corona del arco (Leontovich, 1970)
80
Las reacciones de un arco parabólico biarticulado con carga horizontal concentrada en la corona del arco se calculan con las siguientes fórmulas (Leontovich, 1970): Reacciones Verticales V1=−
P∗ f L
V2=
P∗ f L
Reacciones Horizontales H1=−
P 2
H2=
P 2
Fuerza Cortante para todo el arco Q=
P P∗ f *cos θ ∗senθ − 2 L
Calculo de reacciones cuando x <= L / 2 Fuerza Axial N=−
P P∗ f ∗senθ *cos θ− 2 L
Momento Flexionante
M=P∗ f ∗
Y X − 2f L
Calculo de reacciones cuando x > L / 2 Fuerza Axial N=
P P∗ f ∗senθ *cos θ+ 2 L
Momento Flexionante M=
P∗ f P∗Y ∗ L− X − L 2
81
4.6.8 Carga horizontal concentrada en cualquier punto de la mitad izquierda del arco (Leontovich, 1970) Para el caso de un arco con carga horizontal concentrada en cualquier punto de la mitad izquierda del arco, su diagrama de carga se representa en la Figura 73 y sus reacciones en la Figura 74.
Figura 73. Diagrama de carga de un arco parabólico con carga horizontal concentrada en cualquier punto de la mitad izquierda del arco (Leontovich, 1970)
Figura 74. Reacciones de un arco parabólico carga horizontal concentrada en cualquier punto de la mitad izquierda del arco (Leontovich, 1970)
82
Las reacciones de un arco parabólico biarticulado con carga horizontal concentrada en cualquier punto de la mitad izquierda del arco se calculan con las siguientes fórmulas (Leontovich, 1970): Reacciones Verticales V1=−
P∗m L
V2=
P∗m L
Reacciones Horizontales H1=− P−H2
H2=P∗K
Cuadro 1. Valores de K para diferentes valores de m (Leontovich, 1970). M 0
0.2f
0.4f
0.6f
0.8f
1.0f
K 0 0.1243 0.2444 0.3545 0.4463 0.5000
Calculo de reacciones cuando x <= Be Momento Flexionante M=−
P∗m∗X −H1∗Y L
Calculo de reacciones cuando x > Be Momento Flexionante
M=P∗m∗ 1−
X −H2∗Y L
Calculo de reacciones cuando x <= Be Fuerza Axial N=H1*cos θ−
P∗m∗senθ L
Fuerza Cortante Q=−H1*s enθ −
83
P∗m∗cosθ L
Calculo de reacciones cuando x >= Be pero x < L / 2 Fuerza Axial N= P+H1 *cos θ−
P∗m∗senθ L
Fuerza Cortante Q=− P+H1∗senθ −
P∗m∗cos θ L
Calculo de reacciones cuando x >= L / 2 Fuerza Axial N= P+H1 *cos θ+
P∗m∗senθ L
Q= P+H1∗senθ −
P∗m *cos θ L
Fuerza Cortante
84
4.7 CONSIDERACIONES PARA EL DISEÑO DE PIEZAS ESTRUCTURALES
4.7.1 Diseño estructural Es un proceso creativo mediante el cual se le da forma a un sistema estructural para que cumpla una función determinada con un grado de seguridad razonable y que en condiciones normales de servicio tenga un comportamiento adecuado. Es importante considerar ciertas restricciones que surgen de la interacción con otros aspectos del proyecto global; las limitaciones globales en cuanto al costo y tiempo de ejecución así como de satisfacer determinadas exigencias estéticas. Entonces, la solución al problema de diseño no puede obtenerse mediante un proceso matemático rígido, donde se aplique rutinariamente un determinado conjunto de reglas y fórmulas. Como una ayuda para el diseño, se puede obtener información relevante en manuales y reglamentos concernientes al tipo de estructura que se pretende desarrollar (López, 2001). Diseñar es formular un plano para la satisfacción de una necesidad específica o para resolver un problema. Si del plan resulta la creación de algo que tenga realidad física, entonces el producto debe ser funcional,seguro, confiable y comercializable. En pocas palabras, diseñar es crear algo que no existe. Todo diseño surge de una necesidad que hay que satisfacer, por ejemplo, un paso a puente, una presa, etc. Puede ser una necesidad individual, grupal o social. El diseño estructural es un proceso que consiste en aplicar los métodos de la ciencia y de la ingeniería para definir una estructura o sistema en detalle de manera que permita su realización. Es una mezcla de ciencia y arte en la que se combinan los conocimientos, la intuición y la experiencia del ingeniero para producir una estructura segura, económica y funcional (Meli, 2008).
85
El diseño tiene diferentes facetas (Meli, 2008): • Es un proceso creativo. • Requiere del conocimiento de una variedad de temas como son: estática, mecánica, mecánica de materiales, análisis estructural, reglamentos de construcción, ingeniería económica, procedimientos de construcción, etc. • Es un proceso cíclico-iteractivo. • No es única la solución de un diseño. • Algunas decisiones son subjetivas. Hay algunos aspectos que no pueden ser cuantificados, ya sea arquitectónicos, ambientales, que no se les puede asignar una escala o unidad. Muchas veces es necesario hacer suposiciones con respecto a: 1. Material 2. Geometría 3. Carga
4.7.1.1 Conceptos fundamentales (López, 2001)
Acciones: Son todos los agentes externos que inducen en la estructura fuerzas internas, esfuerzos y deformaciones. Reacciones o respuestas: Se representan por un conjunto de parámetros físicos que describen el comportamiento de la estructura ante las acciones que le son aplicadas.
86
Resistencia: Es la intensidad de una acción hipotética que conduce a la estructura o alguna sección de la misma a un estado límite de falla. Por ejemplo, la resistencia a flexión será el momento máximo que es capaz de resistir la sección considerada. Estado límite: Es cualquier etapa en el comportamiento de la estructura a partir de la cual su respuesta se considera inaceptable. Los estados límite principales que se considera son: 1. Estado límite de falla: se relacionan con la seguridad y corresponden a
situaciones en que la estructura sufre una falla total o parcial o que presenta daños que afectan su capacidad para resistir nuevas acciones. 2. Estado límite de servicio: Se asocian con la afectación del correcto
funcionamiento de la construcción, comprende deflexiones, agrietamientos y vibraciones excesivas.
4.7.2 Métodos de diseño estructural (López, 2001)
Los principales métodos de diseño estructural se mencionan a continuación, junto con algunos conceptos fundamentales al respecto.
4.7.2.1 Diseño por medio de modelos Se recomienda en el diseño de elementos estructurales de forma muy compleja que no son fáciles de analizar por medio de los modelos matemáticos usuales.
87
4.7.2.2 Método de los esfuerzos de trabajo o de esfuerzos permisibles o teoría elástica Los elementos mecánicos producidos en los distintos elementos por las solicitaciones de servicio o de trabajo se calculan por medio de un análisis elástico. Se determinan después los esfuerzos en las distintas secciones debido a los elementos mecánicos, por métodos también basados en hipótesis elásticas. Los esfuerzos de trabajo así calculados, deben mantenerse por debajo de ciertos esfuerzos permisibles que se consideran aceptables, el método es razonable en estructuras de materiales con un comportamiento esencialmente elástico.
4.7.2.3 Método de la resistencia o método de factores de carga y de reducción de resistencia o teoría plástica Los elementos mecánicos se determinan por medio de un análisis elástico-lineal. Las secciones se dimensionan de tal manera que su resistencia a las diversas acciones de trabajo a las que puedan estar sujetas sean igual a dichas acciones multiplicadas por factores de carga, de acuerdo con el grado de seguridad deseado o especificado. La resistencia de la sección se determina prácticamente en la falla o en su plastificación completa.
4.7.2.4 Métodos basados en el análisis al límite En este criterio se determinan los elementos mecánicos correspondientes a la resistencia de colapso de la estructura. (Formación de suficientes articulaciones plásticas para llegar a la falla total de la estructura), todo ello a través de un análisis estructural plástico.
88
4.7.2.5 Métodos probabilísticos Las solicitaciones que actúan sobre las estructuras, así como las resistencias de estas son cantidades en realidad de naturaleza aleatoria, que no pueden calcularse por métodos determinísticos como se supone en los criterios de diseño anteriores. Esto nos conduce a pensar en métodos basados en la teoría de las probabilidades. Las principales limitaciones que se tienen en la actualidad son que no se tiene suficiente información sobre las variaciones tanto de las solicitaciones que deben considerarse como la resistencia de los materiales y de las estructuras construidas con ellos.
4.7.3 Etapa de estructuración En esta etapa se trata de concretar la pieza o elemento estructural tomando en cuenta los elementos que se conocen al respecto, como: reglamento o condiciones de seguridad que se desea cumplir, materiales que van a constituir la estructura, sistema estructural principal con su geometría básica, condiciones de servicio, tipo de cargas y apoyos considerados. El objetivo debe ser el de adoptar la solución óptima dentro de un conjunto de posibles opciones de estructuración para una edificación específica (López, 2001).
4.7.3.1 Material a elegir Es conveniente tomar en cuenta las características del material a elegir. Las características que hacen que un material sea adecuado para cumplir funciones estructurales se relacionan con sus propiedades mecánicas y con su costo, principalmente. Las estructuras civiles implican grandes volúmenes y no permiten el
empleo
de
materiales de
resistencia
extraordinariamente
alta
y de
comportamiento estructural excelente, pero de costo muy elevado, como los que
89
usan con frecuencia en las estructuras aeronáuticas y aeroespaciales. Comúnmente, el material debe cumplir dentro de la construcción funciones adicionales a las puramente estructurales. La estructura no suele ser un mero esqueleto resistente recubierto y protegido por otros componentes que tienen la función de formar una envoltura externa y de subdividir los espacios. Frecuentemente la estructura misma debe cumplir parcialmente estas funciones, por lo que el material que la compone debe tener, además de características estructurales adecuadas, propiedades de impermeabilidad y durabilidad ante la intemperie y de aislamiento térmico y acústico, por ejemplo. Además de la estructura integrada al resto de los componentes constructivos debe poder proporcionar cualidades estéticas a la construcción. Obviamente, no existe un material estructural óptimo; la opción más conveniente en cada caso depende tanto de la función estructural como de las propiedades no estructurales que son deseables para una situación específica (Mercedez, 2004). El presente trabajo sobre diseño de vigas arqueadas laminadas considera el uso de madera de pino, Pinus sp, con una densidad relativa promedio de 450 kg/ m 3 y un adecuado comportamiento para los fines estructurales que se plantean. Se considera que la madera es clasificada según la norma NMX-C-239, 1985 “Calificación y clasificación visual para madera de pino en usos estructurales”, (SECOFI, 1985) la cual establece dos clases de madera estructural, A y B. Esto se puede dar por incluido debido a que en la fabricación de vigas laminadas encoladas se hace una clasificación y saneo de la madera que se va a emplear. Aunque se emplee madera seca, por cuestiones de seguridad, en el diseño se considera que es madera húmeda, en busca de una mayor seguridad, es decir, se considera que se tiene madera aserrada con un contenido de humedad mayor al 18% (NTCDCEM, 2004).
90
4.7.4 Acciones consideradas durante la vida útil de la estructura Quizás la tarea más importante y difícil de estimar de manera precisa para una estructura durante su vida útil es el tipo y magnitud de las cargas a las que estará expuesta. Es necesario investigar las posibles combinaciones más desfavorables que pueden ocurrir en un momento dado (Santiago, 2005). Atendiendo los conceptos de seguridad estructural y de los criterios de diseño, la clasificación más racional de las acciones se hace con base a la variación de su intensidad con el tiempo, distinguiendo los siguientes tipos de acciones:
4.7.4.1 Acciones permanentes Son las que actúan en forma continua sobre la estructura y cuya intensidad pude considerarse que no varía con el tiempo. Se considera dentro de éste grupo:
4.7.4.1.1 Carga muerta Dentro de las acciones permanentes es la carga más común. Las cargas muertas son cargas de magnitud constante que permanecen fijas en un mismo lugar. Generalmente son el peso propio de la estructura y otros componentes unidos permanentemente a esta. Los tamaños y pesos exactos de las partes no se conocen hasta que se hace el análisis estructural y se seleccionan los miembros de la estructura, pero se pueden estimar satisfactoriamente por medio de tablas basadas en pesos y características de materiales (Santiago, 2005).
4.7.4.2 Acciones variables Son aquellas que inciden sobre la estructura con una intensidad variable con el tiempo, pero que alcanzan valores importantes durante lapsos grandes. Se pueden considerar las siguientes: 91
4.7.4.2.1 Cargas vivas Aquellas que se deben al funcionamiento propio de la construcción y que no tienen carácter permanente. Las cargas vivas son aquellas que pueden cambiar de lugar y magnitud. Todas las cargas que no son muertas, son vivas, cargas que se mueven bajo su propio impulso como camiones, gente, grúas, o aquellas que pueden ser desplazadas, como muebles, materiales, lluvia.
4.7.4.2.2 Lluvia Pueden provocar que los elementos estructurales trabajen bajo condiciones no planeadas. Si los sistemas de desagüe se obstruyen o no existen, se debe considerar que el agua acumulada representará una carga adicional para la estructura.
4.7.4.3 Acciones accidentales Son aquellas que no se deben al funcionamiento normal de la construcción y que puede tomar valores significativos solo durante algunos minutos o segundos, a lo más horas en toda la vida útil de la estructura, se consideran las siguientes:
4.7.4.3.1 Sismos En muchas áreas del mundo son sísmicas y es necesario considerar en ellas las fuerzas sísmicas en el diseño de edificios tanto altos como bajos. Durante un sismo se presenta una aceleración en el terreno, la cual puede descomponerse en sus componentes horizontal y vertical. Generalmente, la componente vertical de la aceleración es insignificante, pero no así la horizontal que puede ser muy intensa.
92
4.7.4.3.2 Vientos Las cargas de viento varían con la localidad geográfica, la altura sobre el nivel del terreno y los tipos de construcciones aledañas, principalmente. Las fuerzas de viento actúan como presiones sobre las superficies verticales o inclinadas en la dirección en que corre el viento y como succión sobre superficies planas o verticales con inclinación contra la dirección del viento, debido a la presión negativa que se crea (Santiago, 2005).
4.7.5 Análisis estructural Es un procedimiento para la determinación de la respuesta del sistema estructural conforme a las fuerzas consideradas por parte de las acciones externas que puedan incidir sobre dicho sistema. La respuesta de una estructura o de un elemento en su comportamiento bajo una acción determinada está en función de sus propias características y puede expresarse en función de deformaciones, agrietamiento, vibraciones, esfuerzos, reacciones, etc. Para obtener dicha respuesta se requiere considerar los siguientes aspectos (López, 2001): a) Idealización de la estructura Seleccionar un modelo teórico y analítico factible de ser analizado con los procedimientos de cálculo disponible. La selección del modelo analítico de la estructura puede estar integrada de las siguientes partes (Meli, 2008): •
Esquema o dibujo que ilustre las principales características geométricas de la estructura.
93
•
Modelo de las condiciones de continuidad en las fronteras. Debe establecerse como cada elemento está conectado a sus adyacentes y cuáles son las condiciones de apoyo de la estructura.
•
Modelo del comportamiento de los materiales. Debe suponerse una relación de acción o esfuerzo del material que compone la estructura.
•
Modelo de las acciones impuestas. Las acciones que afectan la estructura para una condición dada de funcionamiento se representan por fuerzas o deformaciones impuestas.
b) Determinar las acciones de diseño Para determinar la respuesta de las acciones de diseño en el modelo elegido para la estructura es necesario obtener los elementos mecánicos y los desplazamientos en el sistema estructural. En muchas situaciones las cargas y otras acciones que introducen esfuerzos en la estructura están definidas por los reglamentos de las construcciones y es obligación del proyectista sujetarse a ellos (Meli, 2008).
4.7.6 Dimensionamiento
En esta etapa se define a detalle la estructura y se revisa si cumple la función de absorber las acciones o solicitaciones consideradas y con los requisitos de seguridad adoptados que rigen el diseño de la estructura en cuestión. Se puede considerar que en el proceso de diseño se sigue una secuencia que consta de tres partes: primero se idealiza una estructura, luego se analiza y finalmente se dimensiona. Pero, el proceso real es más complejo e iterativo; implica pasar varias veces por la misma etapa a medida que la estructura evoluciona hacia su forma final (Meli, 2008).
94
El análisis de la secuencia temporal con que se realiza el diseño de una estructura permite distinguir las siguientes fases (Meli, 2008): I. Planteamiento de soluciones preliminares. Se define las funciones que debe cumplir la estructura y de las restricciones del entorno físico o de otros aspectos del proyecto. En ésta parte se puede hacer uso de cálculos muy simplistas, que a grosso modo dan idea de lo que se requiere. II. Evaluación
de
soluciones
preliminares.
Se
pretende
definir
las
características esenciales de la estructura en diversas alternativas, con el fin de identificar posibles problemas en su adopción y llegar a una estimación de los costos de las diversas soluciones. Además de los costos hay que considerar la facilidad de conseguir los materiales necesarios, las técnicas de construcción involucradas, los problemas relacionados con el mantenimiento y el aspecto estético. III. Diseño detallado. Una vez seleccionada la opción más conveniente se procede a definirla hasta el detalle. Aún aquí es necesario con frecuencia recorrer más de una vez las diversas etapas, ya que algunas características pueden modificarse por los resultados de dimensionamiento. IV. Transferencia de resultados. Es necesario transmitir los resultados a los usuarios en forma clara y completa. La elaboración de planos con la mayor cantidad de detalles y especificaciones que faciliten su interpretación, junto con la memoria de cálculo para el caso. V. Supervisión. Los responsables del proyecto deben comprobar que se está interpretando correctamente el diseño y que se puedan resolver los cambios y adaptaciones que se presentan en mayor en menor grado en todas las obras, de manera que éstos no alteren la seguridad de la estructura y sean congruentes con los criterios de cálculo adoptados.
95
4.7.7 Consideraciones para el diseño estructural de piezas de madera De existir un arco ideal, sería aquel donde no exista momento flexionante ni deformaciones axiales y solamente carga axial, produciendo únicamente fuerzas de compresión. Los arcos biarticulados como elementos estructurales solamente están sometidos a esfuerzos axiales (compresión o tensión). En menor medida puede ocasionarse una deformación del arco, quedando expuesto a esfuerzos cortantes y momento flexionante, pero éstos últimos influyen poco su comportamiento, comparado con el esfuerzo axial (Leontovich, 1970). En el diseño estructural se realiza un balance entre las funciones propias que un material puede cumplir, a partir de sus características naturales específicas, sus capacidades mecánicas y el menor costo que puede conseguirse, teniendo en cuenta el análisis estructural previo. Se debe procurar que el costo de la estructura sea el menor, generalmente reduciendo en lo posible los esfuerzos de flexión y procurando que únicamente existan esfuerzos de compresión. Los diversos factores empleados en los cálculos de diseño se muestran en los siguientes cuadros. Los diversos factores y valores de los cuadros se emplean en las
fórmulas
correspondientes,
según
las
propias
Normas
Técnicas
Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Madera (NTCDCEM, 2004).
96
Cuadro 2 Valores especificados de resistencias y módulos de elasticidad de maderas de especies coníferas Mpa (kg/cm²) (NTCDCEM, 2004). Clase A
B
Flexión
ffu’
15.2 (155)
9.8 (100)
Tensión paralela a la fibra
ftu’
11.3 (115)
6.9 (70)
Compresión paralela a la fibra
fcu’
11.8 (120)
9.3 (95)
Compresión perpendicular a la fibra
fnu’
3.9 (40)
3.9 (40)
Cortante paralelo a la fibra
fvu’
1.18 (12)
1.18 (12)
E0.50
9 810 (100 000)
7 848 (80 000)
Módulo de elasticidad promedio
Módulo de elasticidad correspondiente E0.05 6 376 (65 000) 4 905 (50 000) al 5 percentil Cuadro 3 Factores de resistencia para madera maciza, FR (NTCDCEM, 2004). Acción
Factor
Flexión
0.8
Tensión paralela
0.7
Compresión paralela
0.7
Compresión perpendicular
0.9
Cortante paralelo, a través del espesor
0.7
Cuadro 4 Factores de modificación por contenido de humedad, Kh, en madera maciza de coníferas (aplicable cuando CH ≥ 18 %) (NTCDCEM, 2004). Concepto
Kh
Flexión y tensión paralela a la fibra
1
Compresión paralela a la fibra
0.8
Compresión perpendicular a la fibra 0.45 Cortante paralelo a la fibra Módulo de elasticidad
97
0.70 1
Cuadro 5 Factores de modificación por duración de carga, para madera maciza, no aplicable a los módulos de elasticidad (NTCDCEM, 2004). Condición de carga
Kd
Carga continua
0.9
Carga normal: carga muerta más carga viva
1
Carga muerta más carga viva en cimbras, obras falsas y techos (pendiente < 5%)
1.25
Carga muerta más carga viva más viento o sismo, y carga muerta más carga viva en techos (pendiente ≥ 5%)
1.33
Carga muerta más carga viva más impacto
1.6
Cuadro 6 Factores de modificación por peralte, Kp, aplicables a secciones que tengan un peralte, d ≤ 140 (NTCDCEM, 2004). Concepto
Kp
Flexión
1.25
Tensión y compresión paralelas a la fibra
1.15
Compresión perpendicular a la fibra
1
Cortante paralelo a la fibra
1.5
Módulo de elasticidad
1.1
Cuadro 7 Factores de modificación por clasificación para madera maciza de coníferas (NTCDCEM, 2004). Regla de clasificación (Según NMX-C-239) Kc1 a) Para valores especificados de resistencia Regla general 2
0.8
Reglas especiales 3
1
Regla industrial 4
1.25
b) Para valores de módulo de elasticidad Regla general 2
0.9
Reglas especiales 3
1
Regla industrial 4
1.25
98
4.7.8 Tipos de esfuerzos considerados para el diseño de piezas estructurales de madera Cada tipo de esfuerzo presente en el arco, calculado como resultado de las condiciones estáticas existentes, debe ser menor o igual al respectivo esfuerzo resistente, para que la pieza diseñada pueda resistir las condiciones presentadas (NTCDCEM, 2004). A continuación se presentan las fórmulas empleadas para el diseñar piezas de madera de modo que resistan los esfuerzos calculados.
4.7.8.1 Resistencia a flexión (NTCDCEM, 2004) La Resistencia a Flexión de una pieza de madera se calcula con la siguiente fórmula, el valor de cada coeficiente que aparezca, se tomará del cuadro correspondiente: MR = FR * ffu *S *φ (NTCDCEM, 2004) Donde: MR = Resistencia de diseño de miembros sujetos a flexión [kg-cm] FR = Factor de resistencia (Cuadro 3) ffu = Valor modificado de esfuerzo en flexión [kg/cm²], mismo que está dado por: ffu = ffu’*Kh *Kd *Kc *Kp *Kcl (NTCDCEM, 2004) Donde: ffu’ = valor especificado de esfuerzo en flexión [kg/cm²] (Cuadro 2) Kh = Factor por contenido de humedad (Cuadro 4) Kd = Factor por duración de carga (Cuadro 5) Kc = Factor por compartición de carga (igual a 1) Kp = Factor por peralte (Cuadro 6) Kcl = factor por clasificación (igual a 1)
99
S=
b∗d 2 [cm³] 6
Donde: b = base de la sección considerada [cm] d = peralte o altura de la sección considerada [cm] φ = factor de estabilidad lateral (Cuadro 8)
Cuadro 8 Relaciones d/b máximas admisibles para las cuales puede tomarse φ = 1 (NTCDCEM, 2004). Condición de soporte lateral *
Relación máxima d/b
a) Cuando no existan soportes laterales intermedios
4
b) Cuando el miembro se mantenga soportado lateralmente por la presencia de cuando menos una vigueta o tirante al centro del claro
5
c) Cuando la cara de compresión del miembro se mantenga soportada lateralmente por medio de una cubierta de madera contrachapada o duela, o por medio de viguetas con espaciamiento ≤ 610 mm
6.5
d) Cuando se cumplan las condiciones del inciso c, y además exista bloqueo o arriostramiento lateral a distancias no superiores a8d
7.5
e) Cuando la cara de compresión como la de tensión se mantenga eficazmente soportada lateralmente * En todos los casos deberá existir soporte lateral en los apoyos de manera que se impida la traslación y la rotación de la viga
100
9
4.7.8.2 Resistencia a cortante (NTCDCEM, 2004) La resistencia al esfuerzo cortante en una pieza de madera se calcula con la siguiente fórmula, el valor de cada coeficiente que aparezca, se tomará del cuadro correspondiente. En todos los casos deberá existir soporte lateral en los apoyos de manera que se impida la traslación y la rotación de la viga (NTCDCEM, 2004):
VR=
FR∗ fvu∗b∗d 1 .5
(NTCDCEM, 2004)
Donde: VR = resistencia de diseño al esfuerzo cortante [kg] FR = Factor de resistencia (Cuadro 3) fvu = valor modificado de esfuerzo cortante paralelo a la fibra [kg/cm²], mis mo que está dado por: fvu = fvu’ *Kh *Kd *Kc *Kr *Kv (NTCDCEM, 2004) Donde: fvu’ = valor especificado de esfuerzo cortante paralelo a la fibra [kg/cm2](Cuadro 2) Kh = Factor por contenido de humedad (Cuadro 4) Kd = Factor por duración de carga (Cuadro 5) Kc = Factor por compartición de carga (Cuadro 6) Kr = Factor de modificación por recorte (igual a 0.5) Kv = factor de modificación por condición de apoyo o comparti ción de carga en cortante b = base de la sección considerada d = peralte de la sección considerada
101
4.7.8.3 Resistencia a carga axial (NTCDCEM, 2004) La Resistencia a carga axial (resistencia a compresión de diseño, PR) en una pieza de madera se calcula con la siguiente fórmula, el valor de cada coeficiente que aparezca se tomará del cuadro correspondiente: PR = FR *fcu *A (NTCDCEM, 2004) Donde: PR = resistencia a compresión de diseño de un elemento [kg] FR = Factor de resistencia (Cuadro 3) fcu = valor modificado de esfuerzo en compresión paralela a la fibra [kg/cm²], que está dado por: fcu = fcu’ *Kh *Kd *Kc *Kp *Kcl (NTCDCEM, 2004) Donde: fcu’ = valor especificado de esfuerzo en compresión paralelo a la fibra [kg/cm²] (Cuadro 2) Kh = Factor por contenido de humedad (Cuadro 4) Kd = Factor por duración de carga (Cuadro 5) Kc = Factor por compartición de carga (igual a 1) Kp = factor de modificación por peralte (Cuadro 6) Kcl = factor de modificación por clasificación (Cuadro 7) A= área de la sección
102
4.7.8.4 Resistencia a compresión perpendicular a la fibra (NTCDCEM, 2004) La resistencia de diseño de compresión perpendicular a la fibra se obtendrá por medio de la siguiente fórmula, el valor de cada coeficiente que aparezca se tomará del cuadro correspondiente: NR = FR *fnu *Aa (NTCDCEM, 2004) Donde: NR = Resistencia de diseño de miembros sujetos a compresión perpendicular a la fibra FR = Factor de resistencia tabla (Cuadro 3) fnu = valor modificado de esfuerzo en compresión perpendicular a la fibra [kg/cm²], mismo que está dado por: fnu = fnu’ *Kh *Kd *Kc *Ka (NTCDCEM, 2004) Donde: fnu’ = Valor especificado de esfuerzo en flexión [kg/cm²] (Cuadro 2) Kh = Factor por contenido de humedad (Cuadro 4) Kd = Factor por duración de carga (Cuadro 5) Kc = Factor por compartición de carga (Cuadro 6) Ka = Factor de modificación por tamaño de la superficie de apoyo (igual a 1) Aa = Área de la superficie de apoyo
103
4.7.8.5 Cargas aplicadas a un ángulo θ con respecto a la dirección de la fibra (NTCDCEM, 2004) La resistencia a compresión de diseño, NR , sobre un plano con un ángulo respecto a la fibra se obtendrá por medio de la siguiente fórmula, el valor de cada coeficiente que aparezca, se tomará del cuadro correspondiente:
NR=FR∗
fcu∗ fnu fcu∗sen 2 θ+fnu *cos 2 θ
(NTCDCEM, 2004)
Donde: NR = Resistencia a compresión de diseño de una pieza de madera FR = Factor de resistencia tabla (Cuadro 3) f cu = valor modificado de esfuerzo en compresión paralela a la fibra [kg/cm²] f nu = valor modificado de esfuerzo en compresión perpendicular a la fibra [kg/cm²] sen² θ = cuadrado del seno del ángulo de contacto cos² θ = cuadrado del coseno del ángulo de contacto
104
5 MATERIALES Y METODOLOGÍA a) MATERIALES Para realizar el presente trabajo se utilizó el siguiente material: Computadora personal con 2048 Kb de memoria de trabajo, sistema operativo Windows XP. Lenguaje de programación Builder C++ versión 6, Database Builder. Formatos e instrumentos para capturar datos.
b) METODOLOGÍA Al realizar el presente sistema de cómputo para diseñar vigas de madera laminada arqueadas se siguió la siguiente metodología:
Revisión bibliográfica La revisión bibliográfica que se hizo fue principalmente sobre los siguientes temas: Comportamiento estructural de los arcos, vigas de madera laminada, diseño estructural y sofware para diseño estructural.
Secuencia de cálculo a mano Se realizó el cálculo de los diferentes tipos de carga que se manejan con el fin de identificar ciclos, ajustes y herramientas consideradas dentro del sistema de cómputo planteado.
Algoritmo Se diseñó un algoritmo que permitió establecer la secuencia de los diferentes cálculos y plantear una interfaz para interactuar con el usuario. El algoritmo está 105
dividido en bloques, lo que implica la interrelación y trabajo entre dos o más bloques; dicho algoritmo se presenta a continuación:
Figura 75. Bloque uno: Inicio.
106
Figura 76. Bloque dos: Elementos del Arco
107
Figura 77. Bloque tres: Cargas Horizontales.
108
Figura 78. Bloque cuatro: Cargas Verticales.
109
Figura 79. Bloque cinco: Dimensionamiento.
110
111
Codificación en lenguaje C++ Se realizó la codificación en lenguaje C++ siguiendo el paradigma de programación orientada a objetos. Para calcular la geometría de los arcos parabólicos biarticulados se utilizó la siguiente ecuación cuadrática (Leontovich, 1970):
Y= 4 f 1-
X X ∗ L L
Donde: L = Luz del arco f = flecha del arco x, y = Coordenadas de un punto del arco con origen en el extremo izquierdo del mismo. Para hallar los valores de la altura y el ángulo se implementaron rutinas mediante ciclos que toman como base la posición en eje x. Los cálculos se realizaron algebraicamente, conforme se presentan en los diagramas de carga en la sección 4.6. Las cantidades se insertaron en las ecuaciones con su signo adecuado, en un mismo sistema dimensional, para obtener los resultados de manera mecánica, con su propia magnitud y signo correcto (Leontovich, 1970). Para calcular las reacciones de los arcos ante las condiciones de carga más comunes se utilizaron las fórmulas presentadas en la sección 4.6 (Leontovich, 1970). La tesis Diseño estructural de vigas rectas de madera laminada pegada, de sección constante, asistido por computadora (Cisneros, 1991), sirvió como base para el dimensionamiento de las vigas de madera. Se utilizó el diseño por el método de los esfuerzos de trabajo.
112
Para calcular los esfuerzos de los arcos ante las cargas consideradas se tomaron en cuenta los factores de modificación de resistencia pertinentes para hallar los valores de resistencia de diseño para elementos de madera frente a cada tipo de fuerza, según las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Madera (NTCDCEM, 2004), tal como se presenta en los apartados 4.7.8.1. al 4.7.8.3 para momento flexionante, fuerza cortante y fuerza axial, respectivamente. Tales factores permitieron incrementar o reducir la resistencia de una pieza de madera, dependiendo del tipo de fuerza aplicada y las condiciones del lugar donde se pretenda utilizar el elemento estructural. Tomando en cuenta las condiciones más desfavorables para el sitio donde pudieran estar las vigas de madera laminada se obtuvieron los siguientes valores modificados de resistencias para elementos de madera, mismos que se emplearon en el dimensionamiento de las vigas (Cuadro 9): Cuadro9. Resistencias permisibles y de diseño para piezas de madera. Tipo de Fuerza
Valor especificado de Valor modificado de resistencia[kg/cm²] resistencia [kg/cm²] (NTCDCEM, 2004) (NTCDCEM, 2004)
Resistencia de diseño [kg/cm²] (Parker, 1972)
Momento Flexionante
155
178
500
Fuerza Cortante
12
5.8
6.8
Fuerza Axial
120
100
28
Compresión Perpendicular a la fibra
40
29
28
Carga Aplicada en Ángulo @ la Fibra
28
29
28
Se asignó un factor de seguridad igual a 1.6, conforme al tipo de carga y uso, por lo que los valores máximos calculados de la fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante se multiplican por tal factor (NTCDCEM, 2004).
113
La manera de encontrar la resistencia de una viga consistió en dividir la magnitud de la carga considerada (incluyendo el factor de seguridad) entre el área de la sección (Geere, 2004). Para ello se implementó una rutina controlada con un ciclo, de modo que se incrementaron las dimensiones de las vigas desde sus valores mínimos hasta encontrar la sección que presentó resistencia superior a la de los esfuerzos presentados (Ordoñez ,1993). Las dimensiones de las vigas propuestas se incrementaron a cada 4 mm en la base, sus valores van desde 4 cm hasta 94.4 cm. Los valores de peralte se incrementaron a cada 7 mm, sus valores van desde 6.9 cm hasta 163.3 cm. El peralte guardan una relación de 1.73 veces la base con el fin de maximizar el momento de inercia de la viga (UMSS, 2009). El tamaño de las vigas más grandes se propuso considerando resistir una carga de hasta 50000 kg. Los datos de las vigas se almacenaron en una base de datos en formato Paradox administrada por C++ Builder.
Corroboración de la secuencia de cálculos en Excel contra los cálculos en el sistema de cómputo Se compararon los resultados de los cálculos hechos con Excel y los obtenidos mediante el sistema de cómputo para comprobar la consistencia entre los valores.
Validación del sistema de cómputo Se hicieron cálculos con arcos de diferentes dimensiones y distintos tipos de carga para validar el funcionamiento del sistema ante condiciones diversas.
114
6 RESULTADOS 6.1 INSTALACIÓN DEL SISTEMA La instalación del sistema comienza al introducir el CD que contiene el archivo ejecutable (Figura 80).
Figura 80. Carpeta con el Archivo ejecutable. Al presionar en el ícono SETUP.EXE aparece la ventana que indica el comienzo de la instalación del programa (Figura 81), presionar el botón NEXT.
Figura 81. Ventana de instalación. Enseguida aparecerá una ventana para introducir la información del usuario; al terminar se debe presionar el botón NEXT (Figura 82).
115
Figura 82. Información del usuario. Después se especifica el directorio donde se instalará la aplicación (Figura 83).
Figura 83. Directorio de instalación. Posteriormente solo se debe presionar aceptar y a continuación aparecerá la ventana que indica que el programa está siendo instalado (Figura 84).
Figura 84. Ventana de instalación.
116
Para acceder al programa debe buscarse el programa Arcon, en: Inicio->Todos los programas->Arcon y dar clic para que se ejecute (Figura 85).
Figura 85. Busqueda del programa Arcon.
117
6.2 MANUAL DE USUARIO DEL SISTEMA DE CÓMPUTO PARA EL DISEÑO DE VIGAS DE MADERA LAMINADA ARQUEADAS
A continuación se muestra el manual de usuario del Sistema de Cómputo para el Diseño de Vigas Arqueadas de Madera Laminada. Al iniciar el sistema aparece una ventana donde se muestran cuatro pestañas que contienen definiciones e ilustraciones de los principales elementos de los arcos, los datos que se manejan y la forma como se presentan los cálculos (Figura 86).
Figura 86. Ventana Inicio que muestra indicaciones sobre el funcionamiento del programa.
La primera pestaña se llama Notas y explica de forma general como es que se aplican las cargas, según se presenta en el diagrama de carga correspondiente. Menciona los datos requeridos y entregados por el programa.
118
Datos requeridos •
Luz y flecha.
•
Tipo de carga y magnitud de la misma.
•
Cuando se puede variar el punto de aplicación de la carga, se pide que se indique su posición.
Datos entregados •
Reacción vertical en el apoyo izquierdo y derecho
•
Magnitud de la fuerza normal, fuerza cortante y momento flexionante para cada uno de los diez puntos equidistantes a lo largo de la luz del arco.
•
Máximos y mínimos valores de las fuerzas calculadas.
•
Lados de la Viga capaz de resistir las fuerzas calculadas.
La segunda pestaña se llama Elementos del Arco. Muestra y define de forma general los elementos principales de un arco parabólico (Figura 87).
Figura 87. Pestaña Elementos del Arco.
119
La tercera pestaña se llama Ángulo, muestra el ángulo que forma el arco con la horizontal en un punto cualquiera de su curvatura y sus coordenadas (x, y), con origen en el apoyo izquierdo (Figura 88).
Figura 88. Pestaña Ángulo.
La cuarta pestaña se llama Fuerzas, muestra los distintos tipos de fuerzas que se pueden generar en un arco parabólico biarticulado como resultado de las cargas que se le aplican. En el dibujo se muestran las fuerzas en distintos puntos a modo de ilustración, sin que necesariamente tengan que aparecer todas ni en el sitio indicado (Figura 89).
120
Figura 89. Pestaña Fuerzas.
Finalmente, en ésta ventana hay un botón que se llama Elementos del Arco que al presionarlo sirve para pasar a la ventana con dicho nombre.
En la ventana Elementos del Arco se muestra nuevamente la imagen de un arco con sus elementos: luz y flecha. En la esquina superior izquierda se encuentra un par de espacios en blanco (Edit´s) donde se puede escribir la magnitud de la luz y flecha del arco correspondiente. Cada Edit cuenta con una leyenda al lado izquierdo que indica el tipo de dato que se debe ingresar (Figura 90).
Figura 90. Edits donde se ingresa la magnitud de la luz y la flecha del arco.
121
Generalmente adelante de los Edits se muestra un botón que dice Calcular, al presionarlo se realizan las operaciones para calcular las coordenadas de diez puntos equidistantes a lo largo de la luz del arco que sirven para encontrar la magnitud de las fuerzas presentes en los mismos. Dicha información se presenta en un cuadro (StringGrid, SG). Las celdas de color gris (colocadas en la orilla izquierda y en la parte superior) indican la información que se presenta. En el SG más grande de la ventana Elementos del Arco, el primer renglón indica la posición a lo largo de la luz del arco, a cada décimo del largo total. El segundo renglón indica la posición [m] de los diez puntos a lo largo del arco. El tercer renglón indica la altura [m] a la que se encuentra cada uno de los diez puntos a lo largo del arco. Finalmente, el último renglón indica el ángulo formado por el arco [grados] y la horizontal en cada uno de los diez puntos a lo largo del arco (Figura 91).
Figura 91. Cuadro o StringGrid (SG) donde se presenta la información del arco considerado.
Cada botón tiene una leyenda que indica la función que activa. Cuando se presiona un botón pero los datos proporcionados en los Edits son insuficientes o están fuera de los rangos permitidos, se muestra una pequeña ventana con un mensaje que indica lo que se debe cumplir para realizar la función pedida (Figura 92).
122
Figura 92. Ventana que indica los límites permitidos de la luz y flecha del arco.
Los rangos permitidos para los datos se muestran a continuación (Cuadro 10): Cuadro 10. Valores máximos y mínimos permitidos en el sistema de cómputo. Mínimo valor permitido Máximo valor permitido Luz del arco
1 [m]
100 [m]
flecha del arco
0.5 [m]
100 [m]
Posición en X
0 [m]
Luz del arco [m]
Carga Total
-50000 [kg]
50000 [kg]
Carga Concentrada
-50000 [kg]
50000 [kg]
En la ventana, Elementos del Arco, en la esquina superior derecha, se encuentra un espacio en blanco (Edit) en donde se puede escribir una posición específica para la cual se desea conocer la altura (renglón dos del SG pequeño) y el ángulo formado (renglón tres), también se presenta la posición en X como un porcentaje de la luz (renglón uno) (Figura 93).
Figura 93.cálculo de altura y ángulo de cualquier punto.
123
En cada ventana hay botones que permiten acceder a otras ventanas con el nombre que los mismos indican (Figura 94).
Figura 94. Botones de acceso a otras ventanas.
La ventana Cargas Verticales Uniformemente Repartidas cuenta con dos pestañas grandes. La pestaña de la izquierda se llama Tipos de Cargas Verticales y a la vez cuenta con cinco pestañas, cada una presenta un distinto tipo de carga vertical. Se puede pasar de una pestaña a otra presionando sobre la que se desee. Las cinco pestañas cuentan con un diagrama que muestra el tipo de carga que se presenta y los principales elementos del arco.
En cada una de las cinco pestañas pequeñas, al ingresar la magnitud de la carga considerada y presionar el botón calcular, en el SG grande se presentan los datos generados para cada uno de los diez puntos equidistantes a lo largo del arco (Figura 95).
Figura 95. SG con los resultados de los cálculos.
Los datos que se presentan son: En el renglón dos la posición en X a lo largo del arco, a cada décimo de la luz. En el renglón tres la Fuerza Axial presente en cada uno de los puntos evaluados.
124
En el renglón cuatro la Fuerza Cortante en cada uno de los puntos. En el renglón cinco el Momento Flexionante. En el SG pequeño de cada pestaña se presentan las reacciones verticales y horizontales calculadas (Figura 96).
Figura 96. Reacción vertical y horizontal calculadas.
En caso de tener duda respecto a alguna de las fuerzas presentadas, al presionar el botón con el signo de interrogación (?) se muestra una ventana con una imagen donde se muestran las mismas (Figura 97).
Figura 97. Fuerzas consideradas.
125
En el caso de las pestañas cuatro (Carga Concentrada a la Mitad) y cinco (Carga Concentrada en Algún Punto) se presenta una P que indica que la carga se aplica en un solo punto en lugar de w, que indicaba una carga uniformemente distribuida en el largo considerado. También en la pestaña cinco se muestra un Edit adicional que sirve para indicar la posición de la carga puntual indicada (Figura 98).
Figura 98. Última pestaña de las cargas verticales con un Edit adicional.
En la pestaña Resultados de Cargas Verticales se halla un botón que se presiona para obtener los resultados producidos por las cargas verticales consideradas, puede ser una o más. En el SG grande se hace la suma de las fuerzas calculadas para cada uno de los puntos considerados y se presentan los resultados. En el SG pequeño se presenta un resumen con los valores máximos y mínimos obtenidos como resultado de las cargas consideradas (Figura 99).
126
Figura 99. Valores máximos y mínimos de las fuerzas producidas. En la ventana Cargas Horizontales se presentan dos pestañas grandes. La pestaña de la izquierda indica los tres tipos de cargas horizontales consideradas, cada una en su pestaña respectiva (Figura 100).
Figura 100. Ventana Cargas Horizontales mostrando la primera pestaña.
En la última pestaña (Carga Concentrada en algún punto de la Mitad Izquierda del Arco) nuevamente aparece un Edit adicional que sirve para indicar el punto donde se aplica la Carga Concentrada. Si se tiene duda respecto a la altura que tiene el punto donde se aplica la carga, se puede estimar con ayuda del SG pequeño donde en el renglón uno y dos se presenta el valor de m y n, ambos en función de la Posición en X (Figura 101).
127
Figura 101. Valor de la altura (m) a la que se aplica la carga y de la reacción vertical y horizontal.
En el caso de las cargas horizontales se presentan dos Cargas Concentradas (una en la segunda pestaña y otra en la tercera). Dichas cargas se indican con P en el diagrama correspondiente en lugar de W (Carga Uniformemente Repartida) (Figura 102).
Figura 102. Carga concentrada horizontalmente sobre la corona del arco.
En la pestaña Resultados de Cargas Horizontales se halla un botón que sirve para obtener los resultados producidos por las cargas horizontales consideradas. En el SG grande se hace la suma de las fuerzas calculadas para cada uno de los puntos considerados y se presentan los resultados. En el SG pequeño se presenta un resumen con los valores máximos y mínimos obtenidos como resultado de las cargas consideradas (Figura 103).
128
Figura 103. Resultados de Cargas Horizontales.
En la ventana Dimensionamiento se presenta un botón que al presionarlo se muestran los resultados producidos tanto por las cargas verticales y horizontales. Ahora se presentan tres SG con la información obtenida. En el SG más largo rotulado Resumen de Cargas Verticales y Horizontales se hace la suma de las fuerzas Axial, Cortante y Momento Flexionante en cada uno de los puntos de evaluación (Figura 104).
Figura 104. SG con los Resultados de las Cargas Verticales y Horizontales.
En el SG mediano se presentan los valores máximos de las fuerzas, el valor calculado de la fuerza actuante (presente en la viga de madera) y el valor de la fuerza que se puede resistir, ambos con un factor de seguridad ante posibles sobrecargas. Así mismo se presentan los lados que debe tener una viga para resistir la fuerza correspondiente (Figura 105).
129
Figura 105. SG con los valores máximos de las fuerzas calculadas.
Finalmente, en el SG más pequeño se presentan la base y la altura necesaria para que una viga de madera laminada arqueada resista las fuerzas máximas calculadas mediante el presente Sistema de Cómputo (Figura 106).
Figura 106. Base y la altura de la viga de madera laminada arqueada propuesta.
130
6.3 EJEMPLO DE CÁLCULO Para ilustrar el funcionamiento del programa se hace una demostración de cálculo con los siguientes datos: Luz= 8m flecha= 0.5m Carga Vertical= 5000 kg (uniformemente distribuida en la mitad izquierda del arco) Carga Horizontal= 1000 kg (aplicados en la corona del arco)
Al ejecutar el programa aparece la primera ventana donde se da una definición de los elementos considerados en los cálculos y del funcionamiento del sistema (Figura 107).
Figura 107. Notas y definiciones.
Al pasar a la segunda ventana (Elementos del Arco), se ingresa la dimensión de la Luz y la flecha y se presiona el botón Calcular. En el StringGrid (SG) o cuadro que se muestra aparece la coordenadas x,y de cada uno de los diez puntos equidistantes considerados en la luz del arco y el ángulo formado (Figura 108).
131
Figura 108. Ventana, donde se ingresa la Luz y flecha del arco. A continuación se presiona el botón Cargas Verticales para pasar a la tercera ventana. En la ventana Cargas Verticales Uniformemente Repartidas se presiona sobre la pestaña Tipos de Cargas Verticales para seleccionar la segunda pestaña, que es donde aparece la carga vertical uniformemente repartida Sobre la Mitad Izquierda del Arco. Ahí se ingresa la magnitud de la carga y se presiona el botón Calcular. Aparecen dos StringGrid (SG), en el más pequeño se muestra la Magnitud de la Reaccion Vertical Izquierda y Derecha, así como la Reacción Horizontal. En el SG grande aparece la posición en x de cada uno de los diez puntos equidistantes, la fuerza axial, fuerza cortante y el momento flector para cada punto (Figura 109).
132
Figura 109. Ingreso de carga sobre la mitad izquierda del arco. Para ver un resumen de las cargas verticales se pasa a la pestaña Resultado de Cargas Verticales y se presiona el botón Calcular para que se en un SG igual al de la pestaña anterior se muestre la fuerza axial, fuerza cortante y el momento flector para cada punto. En el otro SG se muestran los valores máximos y mínimos registrados para todas las fuerzas (Figura 110).
133
Figura 110. Resultados de cargas verticales. Enseguida se pasa a la ventana Cargas Horizontales para dar clic sobre la pestaña Tipos de Cargas Horizontales. Nuevamente se elige la segunda pestaña Concentrada Sobre la Corona del Arco para ingresar la magnitud de la carga en cuestión; (la carga está concentrada en el punto más alto del arco). Se presiona el botón calcular (Figura 111).
Figura 111. Ingreso de una carga horizontal concentrada sobre la corona del arco. 134
Se pasa a la ventana Resultados de Cargas Horizontales para ver un resumen de las fuerzas generadas (Figura 112).
Figura 112. Resultados de Cargas Horizontales. Una vez definidas ambas cargas se pasa a la ventana Dimensionamiento donde se da clic en el botón Calcular para que se muestre en el SG de la parte superior la fuerza axial, fuerza cortante y el momento flexionante para cada punto. En la segunda columna del SG de la parte media se muestran los valores máximos de las fuerzas, resultado de las cargas verticales y horizontales. En la tercera columna se muestra el valor calculado de la fuerza que se presenta según las magnitudes y tipos de cargas ingresadas. En la cuarta columna se presenta la magnitud de la carga que puede resistir una viga de madera laminada de base y peralte presentes en la quinta y sexta columna, correspondientemente. En el SG de la parte baja aparece la base y el peralte (altura) que se recomiendan para que la Viga pueda soportar las cargas ingresadas (Figura 113).
135
Figura 113. Resumen de las fuerzas calculadas y dimensiones recomendadas. En este caso, se recomienda una base de 19.2 cm y una altura de 33.2 cm, influidas por la baja resistencia de la madera ante la fuerza cortante.
136
7 CONCLUSIONES •
Se logró realizar un sistema de cómputo que permite determinar las dimensiones que debe tener una viga arqueada de MLE para soportar las fuerzas calculadas ante diversos tipos de cargas verticales y horizontales, considerando especificaciones de diseño de manuales de construcción existentes.
•
Se calcularon las condiciones geométricas de los elementos estructurales arqueados de forma rápida y sencilla.
•
Se calcularon las reacciones y fuerzas generadas ante las condiciones geométricas y de carga más comunes para los arcos parabólicos biarticulados.
•
Se incorporaron al sistema de cómputo los factores correspondientes para los cálculos de diseño de piezas estructurales de madera, tomando en cuenta las condiciones más adversas de servicio para las vigas arqueadas de MLE, buscando el mayor rango de seguridad: carga con la mayor duración, madera con un contenido de humedad mayor al 18%, carga muerta más carga viva y cargas accidentales.
•
México tiene características para impulsar los sistemas constructivos con madera aserrada y madera laminada encolada.
137
8 RECOMENDACIONES •
Es preciso hacer promoción de la construcción con madera, enfatizando sus cualidades y también aclarando cuales son sus desventajas reales, cuales no tienen gran fundamento y como se puede aprovechar de una mejor manera.
•
Es recomendable hacer pruebas de resistencia en vigas arqueadas de MLE a escala real para averiguar la precisión y efectividad de los cálculos obtenidos con el presente sistema de cómputo.
•
Es recomendable desarrollar más programas de diseño para elementos constructivos de madera de pino y de otras especies latifoliadas del país que tengan un adecuado comportamiento estructural.
•
Es recomendable establecer equipos multidisciplinarios que trabajen en actividades para el desarrollo de software y equipos para la enseñanza y práctica de sistemas constructivos a base de madera, de modo que se enriquezca el conocimiento y desempeño tanto de profesores, alumnos y público interesado en este tipo de construcciones.
•
Es posible aplicar las vigas arqueadas de madera laminada encolada en lugares que requieren un espacio amplio sin obstrucciones, como bodegas, talleres, centros comerciales, auditorios, teatros, cines, escuelas y gimnasios.
•
Es recomendable hacer una estandarización en el sistema de medidas por parte de los consumidores, la industria y los profesionistas del ramo de la construcción, de modo que sea factible realizar sistemas constructivos
138
prefabricados sin que haya inconvenientes por la homogeneidad de sus dimensiones.
139
9 BIBLIOGRAFÍA AS (American Softwoods). 2003. Desempeño de las vigas grandes en los incendios. Consultado en Octubre de 2010 en:http://americansoftwoodsmexico.com/SEC/AITC_eVersion/ES/p3.htm
AD (Arquitectura Diaria). 2010. El Monumental Eero Saarinen. Consultado en noviembre de 2010 en: http://www.arquitecturadiaria.com/2010/10/21/el- monumental-eero-saarinen/
Arqueología, 2000. El uso de los materiales de construcción entre los romanos. Consultado en octubre de 2010 en: http://html.rincondelvago.com/materiales-de-construccion-romanos.html
ArquiBio (Arquitectura bioclimática y construcción sostenible). 2010. Consultado en octubre de 2010 en: http://www.arquibio.com/
Arriaga, M. F. 2004. Panorámica de la madera laminada encolada en España. AITIM. España.
Beer, Ferdinad P.; E. Russell Johnston, Jr. And John T., DeWolf. 2004. Mecánica de materiales. Tercera edición. Editorial McGraw Hill. Interamerica Editores, S. A de C. V. México, D. F.
Binderholz, 2008. Madera laminada encolada. Tiwagstrasse, Jenbach. Consultado en septiembre de 2009 en: http://www.binderholz.com/es/madera-laminada-encolada/index.html
140
Bricomarkt, 2009. Madera laminada encolada. Consultado en septiembre de 2009 en: www.Bricomarkt.com
Cabrero, J.M. 2008. Redescubriendo la madera. Universidad de Navarra. Escuela de Arquitectura. Departamento de Estructuras.
Casado, S. D. 2004. Madera laminada encolada, proceso de fabricación. Innovaciones Tecnológicas.
Casañas, V. 2007. Cables y arcos. Consultado en mayo de 2010 en: http://docs.google.com/viewer? a=v&q=cache:sMyR5x5riP0J:www.farq.edu.uy/estructura/catedras/estabilida d1/materiales/estructuras_traccionadas.pdf+cables+y+arcos&hl=es&pid=bl& srcid=ADGEESgf8zJCHSq8oGT1DwRuqNG3XIN5u9prd75ZzlRDewFVgSC_5dSxidcHT44FdpAnTm rQS1NdiMqILosWwx9p0RwbYTXtiH79SLH5X3Hvh8Qzx8VJgra_t4gZJh5j8L hxwfIEtBg&sig=AHIEtbT9PfRoEE1b4LOVT7erV5NoSgRMOg
Celano, Jorge y Jacobo Guillermo. 2002. El Hábitat Humano en el NEA. Una perspectiva de solución desde la óptica tecnológica: Uso de la madera en sistemas constructivos, Ediciones Moglia SRL, Corrientes, Argentina.
Cienladrillos, 2007. Arco catenario. Consultado en octubre de 2010 en: http://www.cienladrillos.com/2007/08/27-arco-catenario
Cisneros L, M. A. 1991. Diseño estructural de vigas rectas de madera laminada pegada, de sección constante, asistido por computadora. Tesis de Licenciatura. Universidad Autónoma Chapingo. Chapingo, México.
141
COMACO, 2009. Ventajas de la madera en la construcción. Boletín consultado en agosto de 2009 en: http://www.comaco.com.mx/
CORMA, 2007. Estructura de techumbre. Centro de Transferencia Tecnológica. Corporación Chilena de la Madera. Araucania, Chile. Consultado en octubre de 2010 en: http://www.cttmadera.cl/wp-content/uploads/2007/03/unidad_11estructura_de_techumbre.pdf.
Dávila B, J. A. y Javier Pajón. P. 1997. Teoría de arcos y método de cross aplicados al cálculo de estructuras. Universidad de Huelva. Huelva, España. Consultado en agosto de 2010 en: http://docs.google.com/viewer? a=v&q=cache:aocQSr7XK_YJ:www.uhu.es/javier.pajon/apuntes/segundoniv el/arcoscross0.pdf+J.A.+D%C3%81VILA+BAZ,+J.+PAJ %C3%93N+PERMUY&hl=es&pid=bl&srcid=ADGEESi2L1lA1sn1FXSrflWy3 RGio9Ik7cdZyRXhg83VlTbQxugnGyt0KfL9MiI_VZdkVtu82XrlEAx6T1zHQWpUmzBDIHDGSfV6DeaI_lcnQJe gUSKAzPyCl9OH1SEKFezwKVOkcCb&sig=AHIEtbSsqli2UijQuzHAIaROgII S2yKzrQ
Demkoff, M. L.V. 2003. Fabricación de madera laminada encolada estructural, RITIM-FCF-UNAM, Edema S.A. El dorado, Misiones, Argentina.
EG, 2009. Estática Gráfica. Consultado en marzo de 2010 en: http://mecfunnet.faii.etsii.upm.es/nematostatica/arcprob/eg.html
142
Encinas, O. 2004. Tratado conservación de maderas. Grupo de Investigación en Conservación de Maderas (GICOM), Universidad de Los Andes. Consultado en junio de 2009 en: http://maderasulamerica.galeon.com/productos1544385.html
Fernández A., M. 2007. Casas de madera, mobiliario urbano y de jardín. Consultado en Octubre de 2010 en: http://www.casasdemaderamfa.com/pre_cat3.htm
Fernandez V., F. R. y R. Echenique M. 1991. Estructuras de madera. Tercera reimpresión. Editorial Limusa. México D. F.
Garcia Esteban, Luis; Guindeo Casasús, A; Peraza Oramas, C y de Palacios de Palacios, P. La madera y su anatomia. Editorial Fundación Conde del Valle de Salazar. Grupo Mundi prensa. Madrid. Consultado en octubre de 2010 en: http://books.google.com.mx/books? id=NTmgPOxKyCgC&pg=PA1&lpg=PA1&dq=GARC%C3%8DA+ESTEBAN, +Luis+y+otros%3B+La+madera+y+su+tecnolog %C3%ADa&source=bl&ots=PnLJylMLjU&sig=RDjeuPIVO4JpMB5ZpQ1oktq e284&hl=es&ei=YoHcTNClOYy4sAOEwpjlAw&sa=X&oi=book_result&ct=res ult&resnum=6&ved=0CCcQ6AEwBQ#v=onepage&q=GARC%C3%8DA %20ESTEBAN%2C%20Luis%20y%20otros%3B%20La%20madera%20y %20su%20tecnolog%C3%ADa&f=false
Graciani G, A. 2001. La técnica de la arquitectura medieval. Universidad de Sevilla. Madrid, España. Consultado en octubre de 2010 en: http://books.google.com/books? id=vhAEvNxW3RUC&pg=PA318&lpg=PA318&dq=Graciani,+G.+A. +2001.+La+t 143
%C3%A9cnica+de+la+arquitectura+medieval.&source=bl&ots=ZeIw6zvUAC &sig=dv0lfeb8cHsG0K0dyP6nkOMebc8&hl=es&ei=kRPeTNjMMYj4sAOH6s zdCg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CBQQ6AEwAA#v =onepage&q&f=false
Gus W, V. B. 1987. Mesopotamia: Arcos y bóvedas en oriente próximo. Investigación y Ciencia 132. Consultado en Septiembre de 2010 en: http://www.ite.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/bachillerato/arte/ar te/x-antigu/mes-arco.htm
Huerta, F. S. 1990. Diseño estructural de arcos, bóvedas y cúpulas en España ca. 1500 ~ ca. 1800 Tesis. Escuela Superior de Arquitectura de Madrid, España.
James M, Geere. 2004. Mecánica de materiales. 5a edición. Editorial Thomson Learning. México, D.F.
Kauffmann, 2007. Construcción con madera laminada encolada. Consultado en septiembre de 2009 en: www.kaufmann-holz.com
Lanik, 2010. VIGAS LAMINADAS. Consultado en Octubre de 2010 en: http://www.lanik.com/antbuspre.asp?Cod=1690&nombre=1690
Larson, Roland E.; Robert P. Hosteler.; Bruce H. Edwards. y David E. Heyd. 2004.Cálculo y geometría analítica. Sexta Edición. Vol. 1. Sexta edición. Editorial McGraw Hill. México, D. F.
144
Leontovich, V. 1970. Pórticos y arcos. Compania Editorial Continetal, S. A. 4a impresión. México.
López, G. M. 2001. Diseño estructural. Monografias.com. Consultado en septiembre de 2010 en: http://www.monografias.com/trabajos6/dies/dies.shtml
Low, K.; McInnis, T.; Di Michele, N.; Burns, K. And Mahendrarajah, S. Models for a sustainable forest plantation industry: a review of policy alternatives. 2010. ABARE, Australian Government. Canberra, Australia.
Medina, O. J. 2006. Sistemas estructurales básicos. Sistemas Estructurales 10. Facultad de Arquitectura y Diseño. Universidad de Los Andes, Venezuela.
Meli ,R. 2008. Diseño estructural. 2ª Edición. Editorial Limusa, S. A. de C. V. México, D. F.
Mercedez M, R. E. 2004. Diseño estructural, propiedades estructurales básicas. Consultado en Octubre de 2010 en: http://www.arqhys.com/construccion/estructural-diseno.html
NTCDCEM (Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras de Madera). 2004. Publicada en la Gaceta Oficial del Distrito Federal, el 6 de octubre de 2004. Consultado en Diciembre de 2010 en: http://docs.google.com/viewer? a=v&q=cache:j_WwbsudnlEJ:www.inti.gov.ar/cirsoc/pdf/estructuras_madera /DFNORM09.pdf+Normas+T%C3%A9cnicas+Complementarias+para+Dise %C3%B1o+y+Construcci %C3%B3n+de+Estructuras+de+Madera&hl=es&pid=bl&srcid=ADGEESj5tx8
145
X22YfZOUYEWCKPFSwqaFuiNeLwwT0jvpyjLnmxYdDd0eOMEwcZBgHqay 9BFXNyjwsZFRitXm8JhpqlrqiFkQpYVOnC_7gNWBL7xYeK6VqqcLA9oGXK riu4XQjm8bvQCV9&sig=AHIEtbQVh_TKuYHL_tPQcYeh5EOQBOMe7Q
Ordoñez C., V. Rubén. 1993. Manual para diseño de estructuras de madera. Laboratorio de Ciencia y Tecnología de la Madera. Instituto de Ecología A.C. Xalapa, Veracrúz.
Parker, H. 1972. Diseno simplificado de armaduras para techo para arquitectos y constructores. Editorial Limusa-Wiley, S. A. México, D. F.
Romero T, R. T. 2005. Loza de madera encolada traslapada. Tesis de Licenciatura. Universidad Austral de Chile. Valdivia. Chile.
Santiago, H. L. 2005. Diseño de armaduras para techo. Tesis de Licenciatura. Universidad Autónoma Chapingo. Chapingo, México.
Scerbo, Hector. 2010. El blog de Hector Scerbo. Consultado en diciembre de 2010 en: http://www.hectorscerbo.com.ar/blog/index.php? option=com_content&view=article&id=44&Itemid=55
SECOFI. 1985. Calificación y clasificación visual para madera de pino en usos estructurales. NMX-C-239-1985. Secretaría de Comercio y Fomento Industrial. México, D. F.
UMSS, 2009. Estructuras de madera. Universidad Mayor de San Simón. Facultad de ciencias y tecnología.
146
147
Uribe, E. J. 2004. Análisis de estructuras. Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. 2ª Edición. Bogotá, Colombia.
VS. 2004. Stability notions; Basic structural principles. Vaulted Structures. Consultado en diciembre de 2009 en: http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:aEPUQk9ro5sJ:www.earthauroville.com/maintenance/uploaded_pics/2-stability-notionsen.pdf+VAULTED+STRUCTURES+STABILITY+NOTIONS&hl=es&gl=mx&p id=bl&srcid=ADGEESiEMqpuQqZGIwJrox3laDolzUfnmEehSB5JiOdFK6rYL RBZydAdooe2R-dvjgdcxxpUypBgEemBkbhsnCjeWsX5iVJcsplo5p01itviaVRqfLsu897_SmfFK_3ouWsPtrQJhSZ&sig=AHIEtbSDgIBK0WgwDuhxZ4eToj QUGDt3Q
Wikipedia, 2009. Parábola (matemática). Consultado en mayo de 2010 en: http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_%28matem%C3%A1tica%29
Wikipedia, 2010. Arco (arquitectura). Consultado en mayo de 2010 en: http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(arquitectura)
Wikipedia, 2010. Arco Natural. Consultado en: http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_natural Wikipedia, 2010. Catenaria. Consultado en mayo de 2010 en: http://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria
Wikipedia, 2010. El arco. Consultado en septiembre de 2010 en: http://www.albaiges.com/ingenieria/arco.htm
Wikipedia, 2010. Flexión mecánica. Consultado en octubre de 2010 en: http://es.wikipedia.org/wiki/Flexión_mecánica
148
Wikipedia, 2010. Panteón de Agripa. Consultado en octubre de 2010 en: http://es.wikipedia.org/wiki/Pante%C3%B3n_de_Agripa
Wikipedia, 2010. Gateway Arch. Consultado en noviembre de 2010 en: http://en.wikipedia.org/wiki/Gateway_Arch
Wikipedia, 2010. Catedral de Amiens. Consultado en noviembre de 2010 en: http://es.wikipedia.org/wiki/Catedral_de_Amiens
Wikipedia, 2010. Parábola (matemática). Consultado en mayo de 2010 en: http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_%28matem%C3%A1tica%29
Willems, N. y Lucas, W. M. 1978. Structural analisis for engineers. Editorial McGraw Hill. México, D. F.
Wood handbook: Wood as an engineering material. 1996. Forest Products Laboratory. Department of Agriculture, Forest Service. Madison, Wisconsin: United States.
Zevi, Bruno. 1981. Saber ver la arquitectura. Ed. Poseidón. Barna. 4ª edición.Consultado en septiembre de 2010 en: http://www.isftic.mepsyd.es/w3/eos/MaterialesEducativos/bachillerato/arte/ar te/x-antigu/rom-espa.htm
149
