CAPÍTULO 8 ESTUDIO DE LA CAPACIDAD DE UN EMBALSE 8.1 INTRODUCCIÓN En los capítulos anteriores se ha dado mayor énfasis al caudal pico. Sin embargo, muchas estructuras hidráulicas se construyen con la finalidad de almacenar el caudal para un uso posterior. En este capítulo se van a estudiar los métodos que permiten determinar la capacidad de un embalse que cubra la demanda de algún uso determinado. Se estudian tres pr p r o c e d i m i e n t o s g e n e r a l e s ; e l p r i m e r o v i e n e a s e r u n p r o c e d i m i e n t o d e simulación, mientras que los otros dos son de naturaleza probabilística.
8.2 METODOS DE SIMULACIÓN Los métodos de simulación más simples se basan en la acepción irreal de que los caudales que ocurrieron en el pasado se repetirán en forma idéntica en el futuro. La operación del embalse se puede simular transitando en forma analítica la serie de aportes al embalse, extrayendo las demandas y pé p é r d i d a s y e f e c t u a n d o u n b a l a n c e d e l a l m a c e n a m i e n t o r e s t a n t e . E s d e c i r , se resuelve numéricamente la ecuación de continuidad para un período de tiempo específico.
Volumen de Entrada
Volumen de Salida
Cambio en el Almacenamiento
8.3. SELECCIÓN DE LA CAPACIDAD PARA UN VASO FLUVIAL El análisis general se llama estudio de operación y esencialmente es una simulación de la operación del vaso para un periodo de tiempo de acuerdo con un grupo de reglas adoptadas. El estudio de operación puede diseñarse para definir las reglas óptimas para operación, para seleccionar la capacidad instalada más eficiente para la casa de fuerza, para establecer la capacidad necesaria necesaria de la obra de extracción para una presa presa de control de avenidas, o para lograr muchas otras decisiones necesarias en el curso de la pl p l a n e a c i ó n d e u n p r o ye c t o .
242
Un estudio de operación puede hacerse sólo para un periodo de escurrimientos extremadamente bajos, el cual se selecciona como periodo crítico o puede extenderse o prolongarse para el periodo total observado o registro sintético. En el primer caso, el estudio no puede hacer más que definir la capacidad necesaria para sortear a la sequía seleccionada, en tanto que en el último caso, el estudio puede determinar el agua utilizable (o energía), para cada año del registro. El estudio más completo indica la pr p r o b a b i l i d a d d e d e f i c i e n c i a d e a g u a o d e e n g r í a d e d i v e r s a s m a g n i t u d e s , l a s cuales son importantes importantes en la planeación planeación económica económica y en la integración integración del pr p r o ye c t o d e n t r o d e u n s i s t e m a . Un estudio de operación puede llevarse a cabo con datos anuales, mensuales, diarios o aun periodos más cortos. Los datos anuales, por lo general, proporcionan resultados relativamente toscos, debido a que la secuencia del escurrimiento durante el año es bastante importante. Para los vasos de almacenamiento que son relativamente grandes comparados con las aportaciones, usualmente es adecuado un estudio mensual. Si el vaso de almacenamiento es pequeño, la secuencia del escurrimiento dentro del mes pu p u e d e v o l v e r s e i m p o r t a n t e y s e n e c e s i t a r á n l o s d a t o s d i a r i o s . Pueden hacerse análisis gráficos aproximados, pero con el objeto de tomar en cuenta todos los factores de importancia, es necesario una solución en forma tabular. Para análisis muy prolongados (incluyendo el estudio de sistemas complejos), el uso de computadoras digitales tiene muchas ventajas. Mediante la programación de la operación en una computadora, es posible hacer muchas alternativas o ensayos con diferentes reglas de operación o cambios en las características físicas de las obras en pr p r o ye c t o . Generalmente, son necesarios varios pasos preliminares antes de que los datos puedan ser analizados. A no ser que se disponga de un registro del escurrimiento fluvial en el sitio propuesto para el vaso de almacenamiento, el registro de una estación, en cualquier otra parte de la corriente o en una corriente cercana, puede ajustarse y correlacionarse con el sitio de la presa.
243
Un estudio de operación puede hacerse sólo para un periodo de escurrimientos extremadamente bajos, el cual se selecciona como periodo crítico o puede extenderse o prolongarse para el periodo total observado o registro sintético. En el primer caso, el estudio no puede hacer más que definir la capacidad necesaria para sortear a la sequía seleccionada, en tanto que en el último caso, el estudio puede determinar el agua utilizable (o energía), para cada año del registro. El estudio más completo indica la pr p r o b a b i l i d a d d e d e f i c i e n c i a d e a g u a o d e e n g r í a d e d i v e r s a s m a g n i t u d e s , l a s cuales son importantes importantes en la planeación planeación económica económica y en la integración integración del pr p r o ye c t o d e n t r o d e u n s i s t e m a . Un estudio de operación puede llevarse a cabo con datos anuales, mensuales, diarios o aun periodos más cortos. Los datos anuales, por lo general, proporcionan resultados relativamente toscos, debido a que la secuencia del escurrimiento durante el año es bastante importante. Para los vasos de almacenamiento que son relativamente grandes comparados con las aportaciones, usualmente es adecuado un estudio mensual. Si el vaso de almacenamiento es pequeño, la secuencia del escurrimiento dentro del mes pu p u e d e v o l v e r s e i m p o r t a n t e y s e n e c e s i t a r á n l o s d a t o s d i a r i o s . Pueden hacerse análisis gráficos aproximados, pero con el objeto de tomar en cuenta todos los factores de importancia, es necesario una solución en forma tabular. Para análisis muy prolongados (incluyendo el estudio de sistemas complejos), el uso de computadoras digitales tiene muchas ventajas. Mediante la programación de la operación en una computadora, es posible hacer muchas alternativas o ensayos con diferentes reglas de operación o cambios en las características físicas de las obras en pr p r o ye c t o . Generalmente, son necesarios varios pasos preliminares antes de que los datos puedan ser analizados. A no ser que se disponga de un registro del escurrimiento fluvial en el sitio propuesto para el vaso de almacenamiento, el registro de una estación, en cualquier otra parte de la corriente o en una corriente cercana, puede ajustarse y correlacionarse con el sitio de la presa.
243
Con frecuencia, los registros disponibles son demasia do cortos para incluir un periodo de sequía realmente crítico y el registro debe prolongarse o extenderse haciendo la comparación con registros de mayor duración de escurrimiento fluvial que se tengan para las zonas vecinas, o mediante el empleo de una relación de precipitación – escurrimiento. Por medio de este registro, se seleccionan uno o más años críticos o periodos de años para hacer el análisis. Después que el escurrimiento fluvial en el sitio de la presa se ha determinado, puede puede ser necesario un ajuste para tomar en cuenta el agua que debe dejarse pasar por el vaso para satisfacer derechos de aguas previas o anteriores. La construcción del vaso de almacenamiento incrementa o aumenta también el área de la superficie del agua expuesta arriba de la corriente natural y aumenta la perdida por evaporación. Por otra parte, toda la precipitación que cae sobre la superficie del vaso queda inmediatamente disponible, en tanto que en el estado natural, únicamente una porción de la lluvia sobre el terreno escurre hacia la corriente. En las regiones húmedas, la combinación de estos dos efectos generalmente representa una ganancia neta de agua, pero en las regiones áridas, la evaporación excede a la lluvia y resulta una perdida de agua. En cualquier caso, el escurrimiento fluvial natural en el sitio de la presa debe ajustarse para considerar a estas ganancias
o
pérdidas.
Comúnmente
es
satisfactorio
para
estudios
pr p r e l i m i n a r e s , m u l t i p l i c a r l a g a n a n c i a o p é r d i d a n e t a p o r e l á r e a d e l v a s o a l a elevación
media
del
mismo
para
determinar
el
volumen
de
agua
involucrado. Si la diferencia en área entre el almacenamiento máximo y mínimo es grande, el efecto de la evaporación y de la precipitación debe calcularse mes a mes con base en la elevación estimada para la superficie del agua para cada mes. El ejemplo ilustrativo 8.1. Muestra el cálculo de la capacidad necesaria para un vaso de almacenamiento en una corriente. Los valores de las aportaciones o escurrimientos mensuales de entrada se considera que representan al año más crítico de un registro de larga duración o
244
prolongado. El almacenamiento necesario es la suma de los incrementos mensuales de la demanda superior al escurrimiento fluvial.
Ejemplo ilustrativo 8.1. A continuación se dan: Escurrimiento o aportaciones mensuales de entrada durante el periodo crítico de niveles bajos de agua en el sitio de una presa determinada. Lo s valores correspondientes mensuales de evaporación y de la precipitación en una estación cercana y la demanda mensual calculada que hay del agua que va a almacenarse. Los derechos de agua anteriores exigen la extracción del escurrimiento natural total, o bien, de 10 ha-m por mes, del volumen mensual mínimo. Considérese que el 25% de la lluvia sobre el área del terreno que va a inundarse por medio del vaso ha llegado a la corriente en el pasado. Úsese un área neta de almacenamiento de 400 ha. Encontrar el almacenamiento útil necesario. TABLA 8.1 SIMULACIÓN DE LA OPERACIÓN DE UN EMBALSE CAPACIDAD MÁXIMA 8 , 7 4 H m 3 ( 2 7 7 m 3 /s-año) DEMANDA ANUAL 2,13 m 3 / s - a ñ o . 1
2
3
4
5
6
7
8
9
Mes
Gastos. Ha-m
Ene
210
89
114
4
10
2,1
2,9
201
0
Feb
440
127
119
4
10
3,0
3,0
430
0
Mar
3
147
13
8
3
3,4
0,3
(-) 3,1
11,1
A b r
1
155
18
13
1
3,6
0,4
(-) 3, 2
16,2
May
0,5
137
5
14
0,5
3,2
0,1
(-) 3,1
17,1
Jun
0,3
117
0
14
0,3
2,7
0
(-) 2,7
16,7
Jul
0 ,1
76
0
13
0,1
1,8
0
(-) 1,8
14,8
A g o
0
43
0
12
0
1,0
0
(-) 1, 0
13,0
Sep
0
20
0
8
0
0,5
0
(-) 0,5
8,5
Oct
0
25
10
4
0
0,6
0,3
(-) 0,3
4,3
Nov
0
33
20
3
0
0,8
0,5
(-) 0,3
3,3
Dic
0,3
61
117
3
0,3
1,4
2,9
1,5
0
655,2
1030
416
100
25,2
24,1
10,4
616,5
105.00
Total
* Col 3 x
400
10 Necesida Evaporac Compromis Escurrimi precipit Evapor Precipi des de ión del Demanda os aguas ento ación ación tación A l m a c e na tanque. ha-m abajo haajustado mm. ha-m ha-m miento mm m ha-m ha-m
x 0.7 x10
3
12
Col 4 x
400
x 0.75 x10
3
12
Col 2 Col 6 Col 7 Col 8
Col 9-Col 5. Siempre que la suma sea negativa
245
8.4. DETERMINACIÓN DEL RENDIMIENTO PARA UNA CAPACIDAD DETERMINADA DEL VASO . En algunos casos la capacidad del vaso esta fijada por las condiciones en el sitio y es necesario determinar qué cantidad de agua rendirá esta capacidad del vaso. El rendimiento firme es igual a la suma del almacenamiento utilizable en el vaso y de la aportación utilizable durante el periodo crítico (seleccionando tal como se describió en la sección anterior). Para los datos del ejemplo ilustrativo 8.2, el escurrimiento de entrada disponible durante los meses críticos de marzo a noviembre es de 16 ha -m. Si
el
almacenamiento
utilizable
en
el
vaso
es
de
40
ha-m,
el
almacenamiento total disponible durante este periodo será de 24 ha-m, o sea, de 2 ha-m por mes. Como este periodo se considera el periodo más crítico del registro, puede esperarse un rendimiento más alto en todos los otros años. Sin embargo, el escurrimiento en exceso del rendimiento firme de 2 ha-m por mes debe clasificarse como rendimiento secundario.
8.5.CURVAS – MASA No siempre es un asunto sencillo la selección del periodo crítico de escurrimientos bajos. La combinación de dos años moderadamente secos en serie. Puede tener más seriedad que un año bajo aislado en forma simple. Las curvas – masa permiten una inspección gráfica de todo el registro de cualquier porción del mismo, para calcular o evaluar el rendimiento. Una curva – masa es la representación acumulativa del gasto o aportación de
entrada neta al vaso para un periodo determinado de años. La Fig.8.4 es una curva – masa para un periodo de 4 años seleccionada como la porción más crítica de un registro largo o prolongado. La pendiente de la curva – masa en cualquier época o tiempo, es la medida del gasto de aportación o entrada en ese tiempo. Las curvas de demanda, que representan un ritmo de demanda uniforme, son líneas rectas que tienen una pendiente igual a la del
246
ritmo de demanda. Las líneas de demanda trazadas tangentes a los puntos altos de la curva – masa (A, B), representan a los ritmos de extracción del vaso. Considerando que el vaso esté lleno siempre cuando una línea de demanda corte a la curva – masa, la desviación máxima entre la línea de demanda y la curva – masa representa a la capacidad del vaso que es necesaria para satisfacer esa demanda. La distancia vertical entre tangentes sucesivas representa el agua vertida por la obra de excedencias. Si la demanda no es uniforme, la línea de demanda se vuelve una curva (en la practica, una curva – masa de demanda), pero el análisis no cambia. Es esencial, sin embargo, que la línea de demanda para una demanda no uniforme coincida cronológicamente con la curva – masa, es decir, la demanda de junio debe coincidir con la aportación o entradas de junio, etc.
FIG.8.1. EMPLEO DE UNA CURVA-MASA PARA DETERMINAR LA CAPACIDAD DE VASO NECESITADA PARA DAR UN RENDIMIENTO ESP ECIFICADO
247
Ejemplo ilustrativo 8.2. ¿Qué capacidad de vaso es necesaria para garantizar un rendimiento seguro de 75.000 ha-m por año, para las aportaciones que se muestran en la Fig. 8.1?. Las tangentes a la curva de masas en A y B tienen pendientes iguales a la demanda de 75.000 ha-m por año. La máxima desviación se presenta en C y es de 56.000 ha-m. Esta es la capacidad necesaria del vaso de almacenamiento. Un vaso así, estaría lleno de A, disminuyendo a 34.000 ha m de almacenamiento en el punto D; y de nuevo lleno en E. Entre E y B, el vaso permanecería lleno y toda la aportación en exceso de la demanda sería vertida hacia aguas abajo. En C el vaso estaría vació y en F estaría de nuevo lleno. Nótese que en este caso, el almacenamiento debe hacerse cada 2 años. Las curvas-masa también pueden utilizarse para determinar el rendimiento que puede esperarse con una determinada capacidad del vaso (Fig. 8.2). En este caso, las tangentes se trazan en los puntos altos de la curva-masa (A, B), en una forma tal que su desviación máxima de la curva masa no exceda a la capacidad especifica del vaso. Las pendientes de las líneas resultantes indican los rendimientos que pueden obtenerse en cada año con la capacidad especifica de almacenamiento. La pendiente de la línea de demanda más plana es el rendimiento firme. Una línea de demanda debe cortar a la curva-masa cuando se prolonga. Si esto no sucede, el vaso no se vuelve a llenar.
248
m a h
ha-m/año ha-m ha-m/año
ha-m/año ha-m
ha-m/año ha-m/año
FIGURA 8.2 EMPLEO DE UNA CURVA-MASA PARA DETERMINAR EL POSIBLE RENDIMIENTO DE UN VASO DE CAPACIDAD ESPECIFICADA.
Ejemplo ilustrativo 8.3. ¿Qué rendimiento seguro estará disponible si un vaso de 30.000 ha-m de capacidad se construye en el sitio para la cual se aplica la curva-masa de la figura 8.2. Las tangentes a la curva-masa de la Fig.8.2 se trazan para que su desviación máxima de la curva-masa sea de 30.000 ha-m. La tangente desde B tiene la pendiente mínima de 60.000 ha-m por año y éste es e l rendimiento seguro. La tangente en A indica un rendimiento posible de 95.000 ha-m en ese año, pero esta demanda no podría satisfacerse entre los puntos B y C sin un almacenamiento superior a los 30.000 ha -m. Una de las desventajas de los métodos discutidos está en que se basan en los datos del pasado. Los aportes en el futuro, no necesariamente son iguales o similares a los registrados. Además, en este tipo de análisis es muy importante la secuencia en que ocurren los eventos. La repetición de
249
una determinada secuencia es aún de más baja probabilidad que la de un evento en particular. Sin embargo, se han desarrollado técnicas que simulan secuencias similares a las pasadas. Aquí sólo vamos a indicar el procedimiento más sim ple. Lo s métodos más complejos están fuera de los alcances asignados a esta obra; sin embrago, en la sección 8.7 se presentan los modelos más sencillos para la generación de series sintéticas de caudales mensuales y anuales. Para producir una secuencia de caudales similar a los aportes registrados durante un determinado período, se procede como sigue (ver sección 8.7): De una tabla de números aleatorios, usemos sólo dos dígitos en una columna cualquiera, que van a representar el año del registro disponible. Así por ejemplo, al leer un número, digamos 61, se escribe el caudal correspondiente a dicho año. Se extrae otro número y se registra el caudal correspondiente. Se continúa este proceso hasta obtener el número deseado de datos. Se desprecian los números que corresponden a años sin registros, tal como 31, por ejemplo. Cuando un número ocurre más de una vez, se toman los valores de caudal del año correspondiente, tantas veces como haya ocurrido. Este procedimiento se adapta para sintetizar caudales anuales, pero no para datos de intervalos menores, ya que en estos casos, usualmente existe una autocorrelación marcada que debe tomarse en cuenta. El período sintético debe ser por lo menos igual a la vida útil que se asigne al embalse.
CURVA DE REGULACIÓN Una vez que se conoce la serie sintética de datos para el período deseado, generada como se indica en la sección 8.7, la capacidad que debe tener el embalse para cubrir una demanda dada, se puede determinar mediante la denominada curva de regulación. Uno de los procedimientos para calcular dicha curva es el dia grama de masas variando el nivel de la
250
demanda y calculando cada vez el volumen de almacenamiento requerido para satisfacer la demanda. La representación analítica de este método se conoce como la curva
diferencial de masa o secuencia de picos y se desarrolla en los siguientes pasos: -
Se encuentran las diferencias entre los aportes y la demanda (extracciones).
Se
suelen
usar
niveles
genéricos
de
demanda
expresados como un porcentaje del caudal medio anual (10, 20...100% de Q año). -
Se acumulan dichas diferencias.
-
En forma analítica o gráfica se ubican dos picos sucesivos, de los cuales, el segundo sea el mayor.
-
Se encuentra la máxima diferencia entre el primer pico y el valor más bajo del intervalo entre am bos picos. Esta diferencia expresada en unidades de volumen representa a la capacidad que debe poseer el embalse para cubrir todos los déficit del intervalo.
-
Se repite el procedimiento hasta concluir cronológicamente con todo el período de análisis. La mayor entre todas las diferencias será el volumen requerido para cubrir los déficit durante todo el período, es decir, capacidad del embalse para regular el caudal medio anual a un determinado porcentaje.
-
Repitiendo el procedimiento para otros porcentajes de regulación se obtiene una serie de valores de volumen que permiten construir en forma gráfica o tabular la curva de regulación o de extracción.
Ejemplo 8.4: Calcular la curva de extracción para el río Capaz en la estación Puente El Diablo sobre la base de los registros mensuales para el período 1965-1982, dados en la tabla 8.2.
251
En unidades de volumen: Vu = 2,9620 D 1 , 5 5 9
con
r = 0,90 -
(8.1)
con r 0.95
(8.2)
con r 0.94
(8.3)
En porcentaje: (Vu / V ) 0.0011 (D/Q)
2.808
Adimensional: (Vu / V ) 33.1163 (D/Q)
3.169
donde: Vu = capacidad o volumen útil del embalse para satisfacer la demanda a un nivel de regulación dado en Hm 3 D = demanda o caudal regulado en m 3 /s Q caudal medio anual en m3 /s V volumen medio anual correspondient e a Q .
En situaciones de carencia de información hidrométrica, la curva de regulación
se
puede
estimar
mediante
procedimientos
de
análisis
hidrológico regional. Para el caso de Venezuela, CARTAYA (1978) desarrolló relaciones empíricas en función del coeficiente de variación de los caudales mensuales, del siguiente tipo: ( Vu / V) a (Cv )
b
Donde C v es el coeficiente de variación de los caudales anuales expresado en forma decimal, a y b parámetros de ajustes dados en la Tabla 8.4 Para Venezuela: C v (0.078 A
0.349
)/Q
0.,387
(8.4)
donde A es el área de la cuenca en Km 2 y Q el caudal medio anual en m 3 /s Hay muchos otros procedimientos desarrollados para estimar la curva de regulación; la mayoría se orienta a la estimación del rango R , definido
252
como la capacidad del embalse requerida para regular el 100% del caudal medio anual. A continuación se dan algunas expresiones del mencionado tipo: a.
Féller(1951):
E (R) 1.60
R (0.2181 n)
Anis y Lloyd (1953):
n /
0.5
E (R) (2 ) E (R) 1.60
b. Salas (1972):
R
Hurst (1951): V U / R
0.5
n
i 1 i
0.5
(8.6)
n /
(8.7)
(A Bn) R (n/2) k
log(V U / R)
V U / R
(8.5)
0.94
(8.8)
0.8 1.05(Q
0.96[(Q
D) / ]0.5
D) /
(8.9) (8.10)
donde: R = rango n = número de años de la serie de caudales Q = caudal medio anual
= desviación estándar de Q = desviación estándar de R
R
A= 0.19676
para =0
B= 0.23380
= coeficiente de autocorrelación de orden 1
Vu= volumen útil D= demanda o caudal garantizado E(R)= valor esperado de R
253
TABLA 8.2 CAUDALES MENSUALES DEL RÍO CAPAZ EN PUENTE EL DIABLO PARA EL PERÍODO 1964-1982
Año
Caudales en m3 / s S O N
E
F
M
A
M
J
J
A
1965
3,6
3,21
3,55
2,1
6,0
4,1
3,1
6,2
10,0
6,7
9,7
Anu al 4,0 5,17
1966
3,2
2,5
2,3
2,9
8,2
10,4
8,4
6,3
8,3
11,5
12 ,3
12,4 7,39
1967
4,1
3,3
2,3
5,6
8,3
7,5
7,6
4,7
5 ,4
6,0
5,3
3,6 5,31
1968
2,4
2.2
1.8
8,8
10,4
10,9
6,8
9,0
10,2
7,6
5,1
2,8 6,50
1969 1970
2,4 3,6
2,2 2,9
2,2 2,6
7,1 3,7
4,8 6,4
6,6 5,3
4,0 6,6
7,8 9,6
8,7 10,1
10,3 11,5
5,7 8,6
3,5 5,44 9,0 6,66
1971
7,0
4,4
4,7
7,2
9,3
6,6
5,1
9,6
9 ,5
9,0
7,6
4,7 7,06
1972
6,9
5,3
4,8
13,9
13,3
7,2
4,8
5,2
6,4
6,3
6,4
4,2 7,06
1973
2,9
2,7
2,6
2,8
3,4
5,7
4,9
8,1
12,7
6,7
10,4
6,2 5,76
1974
3,
3,3
3,0
5,2
9,1
2,9
3,3
4,4
11,0
10,1
8,9
3,1 5,65
1975
1,4
1,7
2,2
3,0
9,8
9,1
7,1
8,2
1,5
12,7
11,2
11,4 7,44
1976
5,2
3,2
7,3
6,6
10,3
9,1
7,8
8,0
5,7
8,5
7,6
4,8 7,01
1977
3,6
3,1
3,5
6,7
9,8
9,1
7,1
8,0
10,2
10,2
9,5
6,8 7,30
1978
2,7
3,1
2,3
13,2
1 3,0
11,0
10,3
10,6
10,8
10,6
10,1
10,6 9,03
1979
2,0
1,7
2,4
12,3
11,50
15,5
13,2
13,3
14,0
15,8
15,4
10,3 10,6
1980
4,2
3,9
3,3
7,1
12,5
11,3
10,6
13,5
16,7
13,8
14,8
6,0
1981
3,3
6,3
10,1
19,0
18,5
20,2
12,8
8,0
14,5
12,8
14,5
1,2 11,8
1982
2,9
2,9
3,1
12,0
15,5
11,0
5,7
6,3
8,7
10,8
7,5
3,1
5,98 7,34
D
9,8
7,1
X S r
3,61 3,22
3,56
7,73
10,01
9,10
7,18
8,14
10,24
10,05
9,48
1,4 9 1,17 0,181 0,105
2,1 0 0,004
4,65 0,259
3,74 0,410
4,15 0,392
2,98 0,561
2,57 2,98 0,404 0,324
2,76 0,381
g
0,181 0,105
0,004
0,259
0,410
0,392
0,561
0,404 0,324
0,381
Cv
0,41 0,36
0,59
0,60
0,37
0,46
0,42
0,32
0,27
3,19 3,36 1,86 0,460 0,04 0 , 5 4 5 5 0,460 0,04 0 , 5 4 5 5 0,34 0,56 0,25 Cv 0,42
0,29
254
A R A P S O M I N I M S E L A D U A C S O L E D N Ó I C
. R
L
A
O B U I DD A I
L N
E
E C T E N U E C U E P R F N Ó E I D C S
A T A S V E R , U Z C A P 3. A 8 C A R
O G L
I U R I F
E
255
TABLA 8.3 CURVA DE EXTRACCIÓN DE LOS CAUDALES MENSUALES PARA EL RIO CAPAZ EN PUENTE EL DIABLO, PERÍODO 1964-1982 Porcentaje de
Caudal Regulado
Capacidad
Regulación
m 3 /s
Requerida en Mm 3
0
0
0
0
10
0.73
0
0
20
1.47
3.9
9.43
30
2.20
5.8
14.03
40
2.94
9.3
21.77
50
3.67
18.4
44.52
60
4.40
28.7
67.02
70
5.14
46.2
111.77
80
5.87
78.5
189.92
90
6.61
207.4
501.77
100
7.34
399.9
967.49
VU/ V %
TABLA 8.4 ECUACIONES EMPÍRICAS REGIONALES PARA ESTIMAR EL NIVEL DE REGULACIÓN EN RIOS DE VENEZUELA Porcentaje de
a
b
100
4.978
0.828
90
3.372
0.948
80
2.278
0.968
70
1.466
0.910
60
0.909
0.825
50
0.488
0.667
40
0.288
0.585
30
0.160
0.580
regulación
256
ANÁLISIS DE SEQUIAS NO SECUENCIALES En su aspecto más simple el análisis de sequías se orienta al establecimiento de las relaciones de Caudal-Duración-Frecuencia (Q-D-F) de los caudales mínimos en el punto de interés. El procedimiento es como sigue: 1. Se selecciona la duración mínima deseada, digamos un mes 2. Se calcula el caudal medio del mes; se establece el menor de ellos y se extrae de los registros. 3. Se analiza el registro en busca del próximo promedio más pequeño. Los períodos de 30 días no deben superponerse, es decir, que un caudal mensual se usará una vez 4. Se continúa el procedimiento hasta agotar todos los registros. 5. Los valores seleccionados se ordenan de menor a mayor, asignando a cada valor la siguiente posición de gráfica:
T
n 1 m
donde: T= período de retorno m= número de orden asignado al ordenar los valores en forma creciente n= número de años de registro Los resultados se grafican (Q vs Tr) obteniéndose así una serie de duración parcial para caudales mínimos de 30 días 6. Se repite el procedimiento para otras duraciones, digamos 2, 3, 6 meses. Los resultados finales constituyen una familia de curvas de períodos de caudales mínim os de diferente s duraciones y frecuencias.
257
Cuando se dispone de información sobre caudales diarios, se suelen usar períodos cada 10 días que son los equivalentes a los intervalos de riegos. En la Figura 8.3 se presenta una ilustración del método, tomando como base los caudales mensuales del río Capaz, en Puente El Diablo, dados en la Tabla 8.2. Sobre la base de las curvas de Caudal-Duración-Frecuencia, se puede establecer un período sintético de sequía para cualquier intervalo de recurrencia, y utilizarlo en un proceso de simulación para determinar el tamaño requerido del embalse. Para ilustrar el procedimiento, analicemos el siguiente ejemplo:
Ejemplo 8.5: Determinar la capacidad del embalse requerido para suplir una demanda constante de 30 m 3 /s, en un río para el cual se ha establecido la siguiente sequía sintética de 5 años de período de retorno: Caudal promedio mínimo de 7 días = 0.26 m 3 /s 15 días = 0.50 30 días = 0.84 60 días = 1.40 120 días = 2.80 6 meses = 6.60 1 año = 61.0
Solución: El procedimiento se presenta en la Tabla 8.5 y en la figura 8.4. Se calculan los volúmenes acumulados de los aportes y de la demanda (columnas (3) y (4) de la Tabla 8.5). Se calculan las diferencias entre los aportes acumulados y la demanda acumulada (columna (5)). Se construye el diagrama de masa de los aportes y de demanda (Figura 8.4). Se establece la máxima diferencia entre los aportes y la demanda, trazando una paralela a la línea de la demanda por el punto de tangencia con la curva de los aportes y determinando la distancia vertical entre ambas rectas. Dicha distancia
258
viene a ser el volumen de almacenamiento requerido para satisfacer la demanda (en el ejemplo, es de 4.5000 m 3 /s – día). Este procedimiento se conoce como el método de STALL (1962). TABLA 8.5 REQUERIMIENTO DE ALMACENAMIENTO PARA CUBRIR UNA DEMANDA DE 30 m 3 /s, EN UN PERIODO SINTETICO DE SEQUÍA DE 5 AÑOS DE INTERVALO DE RECURRENCIA. Duración en
Caudal medio para
Volumen de
Volumen de
Diferencia entre
días
la duración
Aporte en (m 3 / s -
demanda en
Aportes y
(1)
(m 3 / s )
día)
(m 3 /s-día)
Demanda
(2)
(3)
(4)
( m 3 /s-día) (5)
7
0,26
1,82
210
-208,18
15
0,50
7,50
450
-442,50
30
0,84
25,20
900
-874,80
60
1,40
84,00
1800
-2436,0
120
2,80
336,0
3600
-3264,0
183
6,60
1207,8
5490
-4282,2
365
61,0
22265,0
10950
11315,0
FIGURA 8.4 DIAGRAMA DE MASAS DE LA SEQUÍA SINTETICA DE LA TABLA 8.5
8.6 METODO PROBABILISTICO
259
El estudio de la capacidad del embalse también se puede realizar utilizando el método probabilístico de MORAN (1954, 1959). Uno de los factores más significativos de este análisis viene a ser la probabilidad de falla en no satisfacer la demanda. El problema es el siguiente: Se desea construir un embalse en un río para satisfacer una demanda específica. Lo s caudales de aporte constituye n una variable aleatoria. ¿Cuál será la probabilidad para que la demanda sea satisfecha?. Para analizar el problema, consideremos que el embalse posee una capacidad de K unidades (ver Figura 8.5). Por conveniencia se usan unidades de volumen. Un aporte aleatorio entra al embalse, el cual posee una distribución de frecuencias tal, que la probabilidad de que el aporte sea de i unidades es p i . Si el contenido actual más el aporte es mayor que la capacidad K del embalse, el excedente se pierde sin poder ser considerado en la satisfacción de la demanda. Luego de transcurrir el período de aportes, ocurre una extracción de M unidades, si es posible. En el caso de que en el embalse haya menos que M unidades en almacenamiento, la extracción será total. Hay que observar que la secuencia de aportes y demanda es idéntica a la considerada en el método tabular discutido anteriormente.
El
objetivo
del
análisis
consiste
en
establecer
la
probabilidad de que el embalse se encuentre a un nivel determinado, y la probabilidad de que no pueda satisfacer la demanda.
260
FIGURA 8.5 UNA SECUENCIA POSIBLE DE LOS APORTES PARA UNA CAPACIDAD DE 5 UNIDADES. LA DEMANDA ES DE 2 UNIDAES, CONSTANTE.
Consideremos como ejemplo un embalse de capacidad K de 5 unidades, y una demanda M de 2 unidades. Sea P i la probabilidad de que el embalse posea i unidades al inicio de la operación, y P’ i , la probabilidad de
que el embalse se mantenga con i unidades después de un ciclo de aportes y extracciones. La probabilidad de tener en el embalse 2 unidades al final de dicho ciclo será: P’ 2 = P 3 (p 1 ) + P 2 (p 2 ) + P 1 (p 3 ) + P 0 (p 4 )
(8.11)
Es decir, P’ 2 es igual a la suma de las probabilidades de tener 4
unidades en el embalse antes de extraer 2 unidades. En forma similar: P’ 1 = P 3 (p o ) +P 2 (p 1 ) + P 1 (p 2 ) +P 0 (p 3 )
(8.12)
La probabilidad P’ 3 es más compleja, debido a que se debe a la
extracción del embalse lleno, lo cual puede suceder a un solo llenado o un llenado y alivio. Luego: P’ 3 = P 3 (p 2 + p 3 + p 4 + p 5 ) + P 2 (p 3 + p 4 + p 5 ) + P 1 (p 4 + p 5 ) + P 0 (p 5 )
(8.13)
p 5 se toma como la probabilidad de tener un aporte mayor de 4 unidades. La probabilidad de terminar con el embalse vacío también es compleja, ya que el embalse podría quedar vacío sin haber satisfecho la demanda. Luego:
261
P’ 0 = P 2 (p 0 ) +P 1 (p 1 +p 0 ) + P 0 (p 2 +p 1 +p 0 )
(8.14)
Estas ecuaciones se expresan normalmente de la siguiente forma: P’ 3 = P 3 (p 2 + p 3 +p 4 + p 5 ) + P 2 (p 3 + p 4 +p 5 ) + P 1 (p 4 + p 5 ) +P 0 (p 5 )
P’ 2 = P 3 ( p 1 ) + P 2 (p 2 ) + P 1 (p 3 )+P 0 (p 4 )
(8.15)
P’ 1 = P 3 (p 0 ) + P 2 (p 1 ) + P 1 (p 2 ) +P 0 (p 3 )
P’ 0 = P 2 (p 0 ) + P 1 (p 1 + p 0 ) + P 0 (p 2 + p 1 + p 0 )
El uso de estas ecuaciones se puede ilustrar mediante un ejemplo numérico: Para K= 4 y M= 2, las ecuaciones son: P’ 2 = P 2 (p 2 + p 3 + p 4 ) + P 1 (p 3 + p 4 ) + P 0 (p 4 )
P’ 1 = P 2 (p 1 ) + P 1 (p 2 ) + P 0 (p 3 )
(8.16)
P’ 0 = P 2 (p 0 ) + P 1 (p 1 + p 0 ) + P 0 (p 2 + p 1 + p 0 )
En cualquier caso, se debe determinar la probabilidad de ocurrencia de los aportes a partir del análisis de frecuencia de los datos de caudales medios
anuales.
Para
este
ejemplo
vamos
a
asumir
que
dichas
probabilidades son c omo sigue: p 0 = 0.1
p 3 = 0.3
p 1 = 0.2
p 4 = 0.1
(8.17)
p 2 = 0.3 En tal forma que la ecuación (8.16) queda convertida a:
262
P’ 2 = 0.7 P 2 + 0.4 P 1 + 0.1 P 0
P’ 1 = 0.2P 2 + 0.3 P 1 + 0.3 P 0
(8.18)
P’ 0 = 0.1 P 2 + 0.3 P 1 + 0.6 P 0
Considerando que el embalse esté vacío a t = 0, se tiene: P0 = 1
P1 = P2 = 0
(8.19)
Luego de (8.18) se obtiene: P’ 2 = 0.1
P’ 1 = 0.3
P’ 0 = 0.6
(8.20)
Es decir, existe un 60% de probabilidades de que el embalse permanezca vacío al final del primer intervalo de tiempo; y un 30% de probabilidades de que el embalse contenga 1 unidad. Para el siguiente intervalo de tiempo se reemplazan los valores de P (en 8.18) por los P’ co rrespondientes, calculados en el paso anterior, es
decir: P’2 = 0.7 (0.1) + 0.4 (0.3) + 0.1 (0.6) P’1 = 0.2 (0.1) + 0.3 (0.3) + 0.3 (0.6)
(8.21 )
P’0 = 0.1 (0.1) + 0.3 (0.3) + 0.6 (0.6)
Lo cual arroja: P’ 2 = 0.25
P’ 1 = 0.29
P’ 0 = 0.46
(8.22)
Al final de este segundo intervalo la probabilidad de que el embalse se
mantenga vacío ha bajado a 46%, obsérvese que la suma de las
prob abilidades P’ 2 + P’ 1 + P’ 0 , es siempre igual a 1.
263
Este proceso se desarrolla paso a paso para todo el período deseado. En la Figura 8.6 se muestran los resultados de dicho método.
FIGURA 8.6 PROBABILIDAD DE QUE EL EMBALSE ESTE A UN NIVEL DETERMINADO O DEBAJO DE ÉL AL FINAL DEL PERIODO. EL PROCESO SE INICIA CON EL EMBALSE VACIO.
En la figura se ha graficado la probabilidad de que el embalse se encuentre a un nivel determinado o por debajo, al final del ciclo en función del tiempo. Las líneas trazadas sólo indican la tendencia, no constituyen un proceso continuo durante el año. A medida que el tiempo se incrementa, las líneas tienden a la horizontal. Esto indica que P’ i = P i o que la distribución
se hace estacionaria. La Figura 8.7 representa el resultado de un proceso similar al de la Figura 8.6, pero para condición de embalse lleno al inicio de la operación. En este caso las curvas también tienden hacia una distribución estacionaria, la cual es la misma que la de la Figura 8.6. Esto significa que los últimos eventos no son influenciados en forma marcada por los primeros. La distribución estacionaria es una información muy significativa y se puede establecer directamente. La condición es que:
264
FIGURA 8.7 PROBABILIDAD DE QUE EL EMBALSE SE ENCUENTRE A UN NIVEL DADO O POR DEBAJO DE ÉL AL FINAL DE UN CICLO, PARTIENDO CON EL EMBALSE LLENO. P’ i = P i , con lo cual, las ecuaciones se transforman en el siguiente sistema.
P’ 2 = P 2 = 0.7 P 2 + 0.4 P 1 + 0.1 P 0
P’ 1 = P 1 = 0.2 P 2 + 0.3 P 1 + 0.3 P 0
(8.23)
P’ 0 = P 0 = 0.1 P 2 + 0.3 P 1 + 0.6 P 0
o lo que es lo mismo: 0 = -0.3 P 2 + 0.4 P 1 + 0.1 P 0 0 = 0.2 P 2 – 0.7 P 1 + 0.3 P 0
(8.24)
0 = 0.1 P 2 + 0.3 P 1 – 0.4 P 0
265
Este es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, pero no es soluble debido a que las variables no son independientes. La solución sólo puede resolverse reemplazando una ecuación por la restricción P2 + P 1 + P 0 = 1; lo cual indica que el embalse debe contener 0.1 ó 2 unidades al final del ciclo. Luego, el sistema de ecuaciones a ser resuelto sería: 1 = P2 + P1 + P0 0 = 0.2 P 2 – 0.7 P 1 + 0.3 P 0
(8.25)
0 = 0.1 P 2 + 0.3 P 1 – 0.4 P 0 La solución de este sistema de ecuaciones arroja los siguientes resultados: P 2 = 0.442 P 1 = 0.256
(8.26)
P 0 = 0.302 Con este resultado se concluye que, después de haber puesto el embalse en operación por algún tiempo, la probabilidad de que llegue vacío al final del ciclo es de 0.302; la probabilidad de que contenga 1 unidad es de 0.256, y la de que contenga 2 unidades, 0.442. Si no hay suficiente aporte y el embalse sólo posee 1 unidad, la demanda no podrá ser satisfecha. Por lo tanto, la probabilidad de falla en la satisfacción de la demanda se puede evaluar como sigue: P F a l l a = P 0 (p 1 + p 0 ) + P 1 (p 0 )
266
=0.302(0.3) + 0.256 (0.1)
( 8.27)
= 0.116 Por supuesto que no es deseable obtener valores elevados de PF a l l a . La probabilidad de desperdicio de agua se puede establecer aplicando un razonamiento similar a la porción superior del embalse. Como se puede apreciar, este método analítico es de uso muy sencillo y resulta en una información muy útil que no la puede proporcionar el diagrama de masas ni el método de simulación. Para efectos de aplicación práctica, el embalse tendrá que dividirse en muchos niveles, resultando en un sistema de un elevado número de variables a resolver.
8.7. EXTENSIÓN Y GENERACIÓN SINTÉTICA DE SERIES HIDROLÓGICAS Introducción Las series de tiempo hidrológicas, como caudales mensuales y anuales, pueden ser extendidas o generadas por correlación con datos de lluvias medidas o también generadas, o con datos de caudales concurrentes registrados en hoyas vecinas. En relación con este aspecto, surge la preocupación sobre la extensión del período de generación de los datos de caudal más allá del período para el cual las otras variables de la correlación están disponibles. La hidrología estocástica constituye una herramienta útil sustitutiva del análisis de correlación y regresión en dichos casos, mediante la aplicación de los métodos hidrológicos estocástico s, siendo el más comúnmente utilizado el denominado proc edimiento de Monte Carlo , el cual se describe a continuación.
Procedimiento de Monte Carlo El método de Monte Carlo se aplica cuando los valores que constituyen las series hidrológicas son independientes, como es el caso de lluvias anuales o, en algunos casos, caudales anuales. La independencia entre eventos hidrológicos consecutivos puede ser determinada por medio del coeficiente de correlación serial (correlación entre el valor en un año y el valor en el año precedente). Así, si al menos 25 de dichos valores x i , estuvieran disponibles, se podría determinar su distribución de frecuencias suponiendo que esa muestra es representativa de la toda la población .
267
Asumiendo que la muestra puede ser ajustada a una distribución normal (ver Figura 8.8), se obtienen los siguientes parámetros: n
Media de la muestra i 1
x i
con n =25
n
(8.28)
n
2
Varianza de la muestra
S =
( xi ) i 1
n 1
2
(8.29) n
( xi ) Desviación estándar de la muestra S =
i 1
n 1
2
(8.30)
Ahora bien, si se genera una muestra de 100 años, ésta debería tener la misma media que la encontrada en la muestra original de 25 años y la misma desviación estándar, pero calculadas sobre la base de los 100 valores en vez de los 25 indicados anteriormente. Los valores que arrojan estos parámetros pueden ser escritos sobre tarje tas; retirando una tarjeta después de la otra se puede constituir la serie de tiempo de 100 años..
Figura 8.8 . Procedimiento de Monte-Carlo. Ajuste de la muestra a la distribución normal.
268
En la práctica, el procedimiento se lleva a cabo utilizando tablas que presenten serie s de valores normalizados de la variable Z i , la cual es una variable aleatoria normalmente distribuida con media igual cero y desviación estándar igual a uno. Los valores de Z i también pueden ser generados mediante un programa de computación. Siguiendo el procedimiento de Monte Carlo, los datos de serie sintética q i pueden expresarse como se indica a continuación: qi =
i * S
(8.31)
Donde q i es el valor generado de caudal, con i de 1 a 100, siendo este último valor igual a la longitud de la nueva serie ( o de 1 a 1000 si la serie generada es de 1000 años de longitud); es el promedio de los valores observados (Ecuación 8.28); i es el término aleatorio distribuido normalmente; y S, la desviación estándar de los valores observados. Hay que tener presente que el procedimiento de Monte Carlo se fundamenta en el concepto de que la distribución normal es la que mejor se ajusta a una determinada muestra de datos, de modo tal que la línea recta en la Figura 8.8 puede ser extrapolada para frecuencias menores a las que corresponden a los datos históricos, y que la muestra de 25 años de datos observados conduce a valores suficientemente exactos de la media y la varianza.
Modelo Markoviano de primer orden Se ha demostrado que, en general, el caudal durante un cierto período, por ejemplo, un año, un mes, o un día es dependiente del caudal que ocurre durante el período precedente. Esto se debe al denominado fenómeno de persistencia , es decir la tendencia de que un caudal bajo es más probable que sea seguido por otro caudal bajo que por un caudal alto y, similarmente, que un caudal alto es más probable que sea seguido por otro caudal alto, y no por un caudal bajo. Este fenómeno de persistencia puede expresarse en la forma más simple para caudales anuales por una cadena markoviana de primer orden de la siguiente estructura general: x i x0 ( xi1 x0 ) ei
(8.32)
Donde x i , x i 1 : x0 :
son los registros durante los períodos i, e (i – 1 ) es una constante (igual a la media de los valores observados) 269
( x i 1 - x i ): es el componente determinístico :
e i :
es el coeficiente de autorregresió n es el componente aleatorio
Tomando el mismo caso anterior, la ecuación autorregresiva se obtiene de los 25 puntos aplicando el método de los mínimos cuadrados; e i tiene media cero. Se supone que e i posee una varianza constante y que es independiente de x i 1 . También se supone que el coeficiente de correlación es independiente de x i ; en realidad, la correlación es más fuerte para caudales bajos que para caudales altos.
Figura 8.9. Elementos de una cadena markoviana de primer orden.
Se puede demostrar que x 0 =
(valor
medio de los valores de x) y
que (coeficiente de correlación entre los pares de valores x i , x i 1 ), que se determinan mediante las ecuaciones (8.33) y ( 8.34). La representación gráfica de esta relación se da en la Figura 8.10.
270
xi xi1
xi
2
xi xi 1
n ( xi ) 2
2
( xi
(8.33)
n
( xi xi 1
2
( xi )
n
xi xi 1 ) 2
n
2
)( x 2 i 1
Obsérvese que si xi
( xi 1 ) 2
n
)
xi 1 , entonces
(8.34)
.
Figura 8.10. Coeficiente de autorregrsión en una cadena markoviana de primer orden. Introduciendo las ecuaciones (8.33) y (8.34) en la ecuación (8.32) se obtiene el siguiente algoritmo o ec uación de generación para los caudales anuales:
q i (qi 1 ) i S 1 2
(8.35)
271
y S son los parámetr os estadísticos caudales históricos (muestra). ,
de la serie de valores
de
Para generar una serie de 100 años, por ejemplo, se puede comenzar con un valor inicial igual a . Sin embargo, para evitar la influencia del sesgo debido a este valor inicial, se recomienda eliminar los 15 a 20 primeros valores generados mediante el modelo. Con el primer valor q i 1 se calcular q i utilizando la ecuación (8.35), tomando i de una tabla de valores de la variable aleatoria normalmente distribuida con media igual a cero y desviación estándar igual a uno. Dado que cada q i está relacionado con el caudal precedente, los valores sucesivos no saltan de un caudal bajo a un alto sino que aparecen unidos. Dicho efecto es el que hemos denominado persistencia.
Modelos de Thomas – Fiering El modelo estocástico de Thomas – Fiering se utiliza para la generación de series sintéticas mensuales. Si bien el procedimiento general es similar al modelo de Markov, el modelo es más complejo, porque utiliza la media y la desviación estándar de cada mes (j, desd e 1 hasta 12), las cuales no son las mismas que para el mes anterior ( j-1). La estructura del modelo de generación de Fiering es:
q i , j j
j , j 1 S j S j 1
(qi , j 1 j 1 ) i , j S j 1 ( j , j 1 ) 2
(8.36)
Donde: j
:
media de los caudales históricos para el mes j bajo consideración
j 1 : media
de los caudales históricos para el mes j-1 bajo consideración j , j 1 : coeficiente de correlación serial de primer orden entre valores en meses consecutivos; si se considera n valores mensuales, 5, 4 sería el coeficiente de correlación serial entre los meses 5 y 4 (meses de mayo y abril) S j : desviación estándar de los caudales históricos para el mes j bajo consideración S j 1 : desviación estándar de los caudales históricos para el mes j-1 bajo consideración
272
q i , j : caudal en el mes j del mes i de la secuencia de los caudales generados q i , j 1 : caudal en el mes j-1 del año i de la secuencia de caudales generados Z i , j : variable aleatoria normalmente distribuida con media igual a cero y desviación estándar igual a uno, aplicada al mes j del año i de la secuencia de caudales generados.
Otros modelos de generación sintética de caudales Existen otros modelos hidrológicos para la generación de series sintéticas. En el caso de existir datos de precipitación mensual, éstos pueden usarse para generar datos de caudal introduciéndolos como un término determinístico en la ecuación de generación de la forma K( P i ). De la misma manera la temperatura o el caudal en una hoya cercana pueden ser introducidos como términos determinísticos adicionales. Si los valores no son normalmente distribuidos, puede ser posible aplicar una transformación simple tal como: logaritmos naturales de los caudales en lugar de los caudales mensuales o anuales. Raíz cuadrada de la precipitación en lugar de la precipitación.
Generación de Números Aleatorios Uniformemente distribuidos La mayoría de las computadoras personales y calculadoras de bolsillo disponen de rutinas de generación de números aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo (0, 1), mediante la instrucción RAN# o RDN®. Una técnica sencilla para generar variables aleatorias N (0,1) consiste en generar 12 números aleatorios consecutivos en el intervalo (0,1), sumar y restar 6. También se puede usar el método de congruencia linear utilizando la siguiente relación que existe entre los números generados: n1 (a n C ) mod
m
(8.37)
Donde: 0 : semilla (0 semilla 199017) a: 24298 c: 99991
273
m: 199017 La función módulo (mod) ejecuta Y mod X; dividiendo Y entre X y resultando el sobrante de la división. La ecuación es: Y – (< Y/ X > *X) = Y mod X
(8.38)
En donde < > denota el entero más grande menor que o igual al resultado indicado de la división de Y entre X.
Ejemplo: 128 mod 10 = 128 – (<
128 10
> *10 ) = 8
en donde <128/10> es igual a 12 La secuencia generada es de período m, y cada i debe ser ajustado al rango (A,B) de la distribución uniforme por la siguiente ecuación: i
= ( ( i / m)( B A)) A
(8.39)
Números aleatorios normalmente distribuidos Los números aleatorios normalmente generados utilizando el método directo.
distribuidos
pueden
ser
Primero se generan un par de números aleatorios (U 1 ,U 2 ), uniformemen te distribuidos en el intervalo (0,1); luego, utilizando esos números se calcula un valor X, como sigue, cuyo valor corresponde a un número aleatorio N(0,1): X = ( 2 ln U 1 ) Cos(2 U 2 )
(8.40)
Este valor de números aleatorios puede ser ajustado a la media y a la desviación estándar de otra distribución normal cualquie ra mediante ala siguiente expresión:
(8.41)
Otro procedimiento para generar números aleatorios N(0,1) es la siguiente subrutina en FORTRAN: 1. SUBRUTINA NORMAL (Ex, STDx, x) 2. SUM = 0.0 3. DO 5 I = 1,12
274
4. R = RND ® 5. SUM = SUM + R 6. x = STD x * *(SUM – 6.0) + Ex 7. RETURN Para N(0,1), hacer Ex = 0 y STDx = 1
Ejemplo de Generación Sintética de caudales Anuales Supongamos que se dispone de los siguientes caudales medios anuales calculados sobre la base de los registros hidrométricos dados en la Tabla 8.8 en un estación determinada. Los parámetros estadísticos de la muestra son los siguientes: 355.1 m / s 3
2 0.01865
S = 55.6 m 3 / s
306.63 0.13852 0.13657 0.13852
Suponiendo que los caudales medios anuales en dicha estación son normalmente distribuidos, el algoritmo de generación sería, de acuerdo con la Ecuación (8.35): Qi 355.1 0.13675(Qi 1 355.1) Z i (55.6) (1 0.01865)
Qi 355.1 0.13675(Qi 1 355.1) 55.0791* Z i
en donde Z i es una variable aleatoria normalmente distribuida con media igual a cero y desviación estándar igual a uno.
Tabla 8.8. Ejemplo de generación sintética de caudales anuales AÑO 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969
Q i (m 3 / s) 399 389 438 417 258 227 372 338 389 319
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q i (m 3 / s) 399 389 438 417 258 227 372 338 389 319
Q i 1 (m 3 / s) 399 389 438 417 258 227 372 338 389 275
1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982
424 415 341 318 360 370 302 336 373 311 294 432 345
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
424 415 341 318 360 370 302 336 373 311 294 432 345
319 424 415 341 318 360 370 302 336 373 311 294 432 345
REFERENCIAS
Linsley, R.K., Kohler, M.A y Paulhus, J.L. “ Hidrología para Ingenieros”. Mac Graw – Hill. Latinoamericana. 1977.
Hjelmfelt, A.T. and Cassidy, J.J. “Hydrology for Engineer s and planners”. Lo wa Stae Univ – Press, Ames. Lowa, 1975.
Linsley,
R.K.,
y
Franzini,
J.B.
“Ingeniería
de
los
Recursos
Hidráulicos”. Editorial Continental.
PROBLEMAS 8.1 Determine la capacidad del embalse necesaria para garantizar el 60% del rendimiento anual de un río que tiene los siguientes datos anuales: Q (m 3 /s) 57
133
14
8
5
0
0
0
0
70
67
52
276
8.2 Un embalse fuera de cauce se llenará con un canal de derivación de 5 m 3 /s. Estime el volumen almacenado en el año con los datos anuales, mensuales y diarios del río Torbes en Sabaneta dados a continuación; compare los resultados e indique cuál sería el correcto. Bajo qu é condiciones no se tendría error.
Día
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
1
1.92
1.62
1.35
1.11
5.55
3.52
12.1
8 .1 3
7.71
4.62
6.67
7.83
2
2.07
1.49
1.35
1.11
3.32
3.73
9.07
7 .2 3
5.06
10.1
9.73
7.83
3
2.07
1.62
1.35
1.11
3.73
2.75
8.13
6 .3 9
5.86
6.60
6.95
8.32
4
1.92
1.49
3.21
0.990
5.37
2.57
13.7
5.60
6.95
9.07
6.67
12.1
5
1.92
1.62
2.40
0.990
21.0
5.79
9.40
6.39
7.83
5.60
5.86
13.6
6
1.92
1.49
1.77
0.990
7.23
3.13
16.3
6.67
8.44
5.34
5.34
15.0
7
1.92
1.49
1.62
0.990
5.86
3.32
18.9
5.60
12.4
4.62
18.6
13.8
8
1.77
1.49
1.35
0.990
4.16
15.9
11.8
5.34
11.1
5.64
12.6
10.8
9
1.77
1.35
1.35
0.890
4.39
11.4
9.40
6.39
12.1
6.12
15.0
9.73
10
1.62
1.49
1.35
0.890
3.13
6.12
7.83
5.60
10.1
5 .60
20.0
9.07
11
1.62
1.35
1.23
0.890
2.94
4.86
6.95
5.10
7.53
5 .10
14.1
17.1
12
1.62
1.49
1.11
0.790
4.16
6.67
6.39
4.86
6.67
4 .86
12.2
21.2
13
1.49
1.49
1.11
0.790
2.57
12.8
6.12
4.62
6.39
6 .00
10.8
15.8
14
1.77
1.35
1.11
0.790
2.57
7.53
6.02
4.39
5.60
9 .40
9.07
13.8
15
1.77
1.49
1.11
0.790
2.23
5.60
8.04
4.62
5.34
1 5.7
8.13
14.6
16
1.77
1.35
1.11
0.790
3.92
7.23
5.86
5.60
4.06
1 6.5
7.23
46.0
17
1.62
1.35
0.990
0.790
3.13
6.39
5.1 0
5.60
4.06
9.40
7.23
37.3
18
1.49
1.35
1.11
0.890
2.40
5.34
7.83
4.86
4.62
7 .53
6.67
22.7
19
1.49
1.23
1.11
0.790
2.23
4.62
5.60
4.62
6.18
6 .39
6.39
15.4
20
1.49
1.35
1.35
0.790
2.07
13.1
5.60
5.34
13.2
5 .86
8.86
13.4
21
1.49
1.23
1.62
0.790
1.92
7.83
5.10
8.06
6.67
5 .60
5.60
12.6
22
2.23
1.23
1.35
0.890
1.92
9.20
4.62
12.7
6.12
6 .12
8.16
11.5
23
1.92
1.35
1.23
0.990
1.92
7.53
4.62
8.44
5.60
5 .34
6.67
10.8
24
1.62
1.49
1.23
0.890
2.57
12.4
4.16
8.13
5.34
5 .34
6.95
9.73
Día
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
26
1.62
1 .6 2
1.49
1.11
2.23
12.1
6.12
20.8
4.62
6.68
14.4
9.07
27
1.49
1.49
1.23
4.06
2 .07
14.1
5.86
7.03
6.695
11.1
10.6
9.07
28
2.23
1 4 .9
1.11
7.04
9.66
11.8
4.62
7.23
5.06
6.67
10.1
10.4
29
2.57
1.11
8.55
7.37
9.73
4.62
6.39
5.10
5.60
9.07
8.44
30
1.77
1.11
9.83
5.10
9.60
4.86
5.60
4.86
6.76
8.44
7.53
31
1.77
1.11
10.8
7.87
6.39
6.95
6.95
3.73
277
