Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas
CURSO DE ELEMENTOS DE MECÂNICA DAS ESTRUTURAS
Prof. Maria Cascão Ferreira de Almeida
2008
CURSO DE ELEMENTOS DE MECÂNICA DAS ESTRUTURAS EXERCÍCIOS PROPOSTOS E GABARITOS
Prof. Maria Cascão Ferreira de Almeida
1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 1A
1) Classifique as estruturas abaixo quanto à estaticidade e à estabilidade: a)
b)
c)
d)
e)
f)
{
g)
h)
i)
j)
2) Determine as reações de apoio: a)
b) 9kN 30º
1m
30º 4 kN 1m
30º
1m
30º 4 kN
2,7m
9kN
2,7m
1m
2,7m
c)
2,5m 2,5m 50kN
2,5m 8m
1
AE1-LE1A
3) Determine as reações de apoio das vigas biapoiadas abaixo. Comparando os resultados obtidos em cada série, o que você pode concluir em (a) e em (b)? (comprimentos em m). 3
a)
100kNm
100kNm
1,5
1,5
5,0
100kNm
5,0
1,5 1,5
20kN
20kN
100kNm
3,5
20kN
1,5
2,5
2,5
20kN
20kN
b) 1
4
3
2
2
3
1
4
c) Determine os diagramas dos esforços internos em (a) e (b).
4) Determine os esforços internos nas seções indicadas: a)
7kNm
9kN
A 2m
c)
B 2m
1m
40kN A C B 1 2 1 1
20kNm
6 tf
d) B
C 1,5m
B
40kN 3
C
D
20kNm
A
A 1,5m
b)
3,0m
4m
5) Para as vigas do exercício 4 trace os diagramas dos esforços internos e forneça para a viga 4(b), as funções que expressam tais esforços.
4
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 1B 1) Classificar as estruturas abaixo quanto a estaticidade e a estabilidade:
2) Calcular as reações de apoio das estruturas a seguir:
5
c)
d) 2 tf 1 tf
2 tf
2m
2m
5m
2m
3 tf 1m
2kN/m
2m
1m
3) Determinar os valores dos esforços internos nas seções indicadas: a)
b) S1
1,5m 1,5m
8 tf
2m
S2 S3 1m
10 tf 60ª S4 3m
6 tfm 2m
2 tfm S1
4m
2m
S2 2m
6
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 1C 1) Calcular os momentos em torno dos eixos X, Y e Z. Z
(4,0,4) (0,6,0) Y (4,6,0)
X
2) Reduzir ao ponto O o sistema de forças representado abaixo. 3m
2m
9m
2m
O
5 kN 8 kN 45º
2 kN
4 kN
3) Classificar as estruturas abaixo quanto à sua estaticidade e à sua estabilidade. Ao verificar a estabilidade, justifique sua resposta. a) b)
c)
f)
d)
e)
g)
7
4) Calcular as reações de apoio das estruturas abaixo: a) 5 kN 45º 5 kN 4m
7m
b)
6m
40 kNm
8m c)
8m
5 kN
5m 5 kN 2,5 m
4m
8m
15 kN
d)
5m
5m
8
5) a) Determinar as reações de apoio. b) Calcular os valores dos esforços simples na seção S da estrutura abaixo. c) Para determinar os ESI em S é necessária a determinação das reações de apoio? Justifique a sua resposta. 5 kN
10 kNm 2 kN
4m S
5m
5m
5m
6) Calcular os esforços internos nas seções indicadas nas estruturas abaixo. a) 5 kN 5 kN S1
S2
A
B
2
2
b)
1
2
(em m)
3 kN 6 kNm A 3m
c)
B
S 3m
2 kN
2m
10 kNm
3 kN S1 1
S2 2
2
2
(em m)
9
d) 10 kN
10 kN
A
2m
S
2,5 m
2,5 m
e)
B 2m
20 kN 2 kN/m S 2m
f)
2m
3 kN/m
2m
8 kN
S
A
B 3m
1m
2m
4m
g) S1
6 kN/m S2
2m
2m
2m
2m
3m
3 kN
h)
6 kN/m
3 kN/m S 2m
3m
4m
10
i) 3 kN
2 kNm 2 kN/m A
B
S
2m
2m
1m
2m
1m
j) 3 kN/m C
D S2
2m
S1
23 kN 2m
A
B
3m
2m
k) 5 kN/m B
C
1m
S2 1m S1
15 kN
D 1,5 m
A 4m
11
l)
2 kN/m
C
B
D
S1
S2
2m
10 kN
A 2m
m)
5m
2m
D 3 kN/m
3 kN
2m
1m
C
2m
3m
S1
B
A
2m
3m
n) 12 kN/m S1
2m S2 2m
3m
4m
2m
12
o)
15 kN D 2m E
S2
S1
A
1,5 kN/m
1,5 kN/m
C
2m
2m
B
4m
4m
p) 2 kN/m
1 kN/m C
D
2m
S
1m
A
3m B
2m
4m
q) B
3 kN/m
3m C
D S
3m
A
3m
3m
3m
13
r)
3 kN/m
S 4m A
B
4m
4m
s)
10 kN D
5 kN
2m S
C
2m B 2m
A
3m
3m
t) Traçar os diagramas dos esforços internos para as vigas bi-apoiadas dos itens (a), (b), (e) e (f).
14
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 2A 1) Classifique
as
estruturas
abaixo
como
externamente
isostáticas,
hiperestáticas ou hipostáticas, indicando se são estáveis ou instáveis.
a)
b)
d)
c)
e)
f)
2) Determine as reações de apoio da viga simplesmente apoiada dotada de balanço à direita. Escreva as funções que expressam os esforços internos e trace os diagramas.
A
5 tf/m
10 tf
25 tf
B 3m
3m
C 1,5m
3) Determine as reações de apoio e os esforços internos na seção S. Escreva as funções que expressam os esforços internos e trace os diagramas. 500N
200N/m
60º S 3m
2m
15
4) Determine os esforços solicitantes internos nas seções S1 e S2.
20kN/m
4m
S1
S2
6m
3m 12m
4m
5) Determine os esforços solicitantes internos na seção S, as funções que expressam os esforços internos ao longo da viga e trace as linhas de estado. 30kN
90kNm
150kN
45º S 2m
3m
3m
3m
6) Determine as reações de apoio e os esforços internos nas seções indicadas. No item b, que observações se pode fazer levando em conta aspectos de simetria e anti- simetria dos carregamentos em estruturas simétricas? a)
b) 3 tf
1 tf/m S3
S2 1 tf
2m
50kN S1 1,5 1,5
50kN
S2 2,0 2,0
S3 1,5 1,5
1 tf
S1
50kN
2m
S1 2m
1m
3m
1,5 1,5
S3 S2
2,0
2,0
50kN 1,5 1,5
(m)
16
7) Obtenha as funções que expressam os esforços internos e trace os seus diagramas. Forneça também os coeficientes angulares das tangentes ao diagrama dos esforços cortantes nas seções A, B e C.
A
3 tf/m C 3m
B
2m
8) Dado o diagrama de esforços cortantes abaixo, determine os carregamentos aplicados e os diagramas de momentos fletores, sabendo-se que as vigas estão submetidas somente a cargas ( concentradas e/ou distribuídas ) transversais. 50
a)
D.Q. (kN)
D.Q. (kN)
80
b)
+ 10
_
10 70
3m
20
+
3m
2m
1m
3m
9) Determine as reações de apoio e os esforços internos na seção S do pórtico plano da figura. 8 tf
5 tf/m S
2,5m
3m 10 tf/m
4 tf
3m
3,5m
2m
4m
1,5m
17
10) Diga como se denomina a estrutura abaixo e classifique-a quanto à estaticidade e à estabilidade. Determine as funções que expressam os esforços internos e trace seus diagramas.
3
50kN
48kN/m
4 1m
60kNm 3m
2m
18
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 3A 1) Trace as linhas de estado das estruturas abaixo, fazendo todas as observações importantes: a)
b)
c)
q a
P
M
b
L
L
L d)
e)
P P
a
f)
q
q
b
L
L
L g)
h)
i)
P
P
P
P
q
q
a
L
b
a
L
j)
a
L
k)
P
b
l)
P
q
q b
a L
a
a
b L
a
a
b L
L=2a
19
m)
n)
o) M
M
a
q q
b
L
a
L
L/2
p)
q)
L/2
r)
q
P=2qa q L/2
L/2
q
q
L
Lb
4xa L
s)
t)
u) P
q q
q L
Lb
L
v)
L
Lb
w)
Lb
x)
M
M
M L
L
Lb
Lb
a
b L
y)
z) q
q
a
b
4xa
L
20
Lb
2) a) Trace os diagramas dos esforços internos da estrutura abaixo. b) Diga como se denomina a estrutura. c) Considerando a estrutura abaixo como uma associação de vigas isostáticas, identifique-as e especifique quais têm estabilidade própria e quais não têm estabilidade própria.
3 10 kN/m
6m
75 kN 4
{
2m
10 kN/m
{
4m
2m 2m
8m
3) Dada a viga abaixo, determine: a) as distâncias a e b para que se obtenha a estrutura mais econômica em termos de consumo de material. b) trace os diagramas dos esforços internos.
q 1
2
b
3
L
{ 4
{ 5
a L-2a
a
6
7
L
8
b
4) a) Trace os diagramas dos esforços internos da viga bi-apoiada dotada de balanço nas três situações abaixo. b) Tire conclusões sobre a influência do balanço.
I)
II)
III)
K<1
KL
L
K=1
KL
K>1
L
KL
L
21
5) Determine as funções que expressam os esforços internos para o item b e trace os diagramas para os itens a.
a)
b)
2 tf/m
10 kN/m 1 tf
3m
3m
0,5 tf/m
30ª
5m 1m
3m
6) Trace os diagramas dos esforços internos e comparando-os, tire conclusões sobre a influência da simetria e ante-simetria dos carregamentos em estruturas simétricas.
a)
c)
b)
d)
22
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 3B 1) Fazer os esboços dos diagramas de esforços internos das estruturas abaixo, evidenciando com clareza todas as observações importantes. P1
a)
b)
P2
e)
q
f)
P
M
P
P q
c)
g) q
P
M d)
h)
P1
P2
2) Conferir os valores das reações de apoio e traçar as linhas de estado das estruturas abaixo. a) 10 kN 8 kN 5 kN A B VA = 11,2 kN VB = 11,8 kN 3m
3m
2m 2m
10 kN/m
b) A
B
C
VA = 32 kN VB = 8 kN 4m c)
6m 27 kN
12 kN/m A
2
18 kNm B
1
2
2
VA = 38 kN VB = 25 kN
2
d) 30 kN B
12 kN/m A 6m
3m
VA = 46,5 kN VB = - 4,5 kN
3m 23
30 kN
12 kN/m
e)
B
A 3m
6m
VA = 16,5 kN VB = 10,5 kN
3m
18 kN/m VA = VB = 40,5 kN
f) B
A 4,5 m
4,5 m
Para estrutura e carregamento simétricos o que se pode observar quanto ao DMF e ao DEQ? 15 kN/m
g)
10 kN/m B
A 4m
3m h) 3 kN
VA = 25,25 kN VB = 52,25 kN
5 kNm
3m
10 kN/m
H = 3 kN V = 20 kN M = 30 kNm
10 kN 3m
2m 2m i)
20 kN/m M = 213,33 kNm
20 kN/m 4m
4m 40 kN
5 kN/m
j)
30º
5
2
2
H = 34,6 kN V = 45 kN M = 292,5 kNm
1
20 kN/m 10 kN/m k) A 3m
B 7m
VA = 105 kN VB = 45 kN
2m 24
l)
40 kN
40 kN
10 kN/m
A
VA = VB = 10 kN
B 6m
2m
2m
9 kN/m
10 kN
8 kNm
m)
B
A 3m
3m
4m
VA = 24 kN HA = 15 kN VB = 16 kN
15 kN
2m
20 kNm
20 kNm n) A
B
3m
3m
4m
8 kN
15 kN/m
VA = 7,5 kN VB = 112,5 kN VE = 49 kN VF = 11 kN
o) A
B 4m
C
E
D 4m
2m
F
2m 2m 2m 10 kN
10 kN
VC = 4,7 kN VA = 12,4 kN HA = 7,1 kN MA = 40 kNm
45º
p)
C
B
A 4m
4m
2m
3) Traçar os diagramas de esforços internos das estruturas abaixo e indicar seus nomes: a) 10 kN 20 kNm 20 kNm
5m
3m b)
4m 10 kN
10 kNm
3m
2m
3m
3m
2m
3m 25
4) Fornecer o diagrama do carregamento sabendo que a estrutura está submetida apenas a cargas transversais. Traçar o DMF. 4,0
DEC
+ _ 3,0
(kN)
5,0 4m
4m
2m
5) Qual deve ser o valor de d para que o momento fletor máximo, em valor absoluto, seja o menor possível?
q A
B
C
d=? L
L
6) Para as estruturas abaixo, dar seus nomes e traçar os diagramas dos ESI. a) B
4,0 m
20 kN/m
HA = 80 kN VA = 67,5 kN VB = 92,5 kN
60 kNm A 8,0 m
26
b)
HA = 0 VA = 400 kN MA = 2000 kNm
27
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 4A 1) a) Como se denomina a estrutura abaixo? b) Determine as funções que expressam os esforços internos. c) Trace os seus diagramas.
2 KN/m
5 KNm
A 4m
B
5 KN
16 m
10 m
2) Uma viga metálica de comprimento L e peso próprio por unidade de comprimento q deverá ser içada para transporte. Dois olhais de içamento deverão ser previstos. Escolha suas posições e justifique.
3) Diga como se denominam as estruturas abaixo e trace os diagramas dos esforços internos. a)
10 KN
10 KN
{
5
5
10 KN 5 KN 5 KN
{
5
5
3
3
2
b) 5 tf
15 tfm
{
7,5 7,5 5, 0 5,0
2 tf/m {
10,0
15,0
( comprimentos em m )
28
4) a) Determine as funções que expressam os esforços internos. b) Trace os seus diagramas. c) Forneça os esforços internos nas seções C e D.
50 KN
30 KN/m D
20 KN/m
B
C
6m
A 4m
4m
10 m
Construa as linhas de estado das seguintes estruturas e diga como se denominam: (comprimentos em m)
5)
40 KN/m
6)
2 tf/m
2,0 15 KN
3 1,6 tf/m 2
3,0
4
2,5
4 tf/m
7)
8) {
3
12 KN/m {
20 KN
{
{
4 5
1,6 tf/m
8
8
6
9) Esboçar os diagramas dos esforços internos das estruturas abaixo:
29
a)
b) P
P
c)
P
d) M
{
q {
e) M {
30
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 4B 1) a) Diga como se denomina a estrutura associada da figura. b) Quais os métodos de resolução que você conhece? c) Resolva-a. 10 kN/m
50 kN 4
5 kN/m
21 kNm
3 1
3
2
1,6 1,6
2,4
2,4
5
4 2,4
(em m)
4,8
2) Forneça para a estrutura abaixo: a) As reações de apoio. b) Os momentos fletores no nó 8. c) Sabendo-se que para o sistema de eixos locais x e y, com origem no nó 9 e indicado na figura, a equação do arco é dada por y = 20 x (16 - x), determine os esforços internos em S (x=4). 162
0,5 tf/m
S
x 7
8
5 3
5m 10
9 1 tf
0,5 tf/m 3
0,5 tf/m 6
1 tf
4
0,5 tf/m 5
2
1
2
1
4m
6
4 4m
7
9
11
3m
10
4 tf
8
11
0,5 tf/m
y
4m
4m
4m
4m
4m
31
3) Trace os diagramas dos esforços internos: 2 tf/m
E
G
F
4m 1 tf/m C
B
D
4m
A
4,5 m
4,5 m
4) Para a estrutura abaixo, responda: a) Como se denomina? b) Como se classifica quanto ao seu reticulado (simples, composta ou complexa)? c) O que se entende por treliça ideal? Esta estrutura é uma treliça ideal? d) O que se verifica em relação às simetrias: da estrutura, do carregamento e dos esforços internos? e) Os esforços normais nas barras 6 , 7 , 9 , 10 , 11 e 13 . 8 11
100 kN
13
5m
100 kN
12 6
7
5
9
10
8
1 1
5m
7
6 2
2
3
3
4
4
5
200 kN 5m
5m
5m
5m
32
5) Determine o valor de P para que o máximo momento fletor seja o menor possível.
P
P q B
A a
b
a
6) Sabendo-se que somente atuam cargas transversais ao eixo da viga, obtenha, a partir do diagrama de esforços cortantes (DEC), os diagramas do carregamento (DC) e dos momentos fletores (DMF).
4 tf
+
D
B
C
A
-
3 tf
1m
2m
5 tf
2m
7) Marcar as barras inativas da ponte em treliça da figura e determinar os esforços normais nas barras indicadas (a, b, c, d e e). 2 tf
4 tf a b
2 tf e
d
3m
c 6m
6m
6m
6m
33
8) Resolver as seguintes estruturas. a) Todas as barras têm comprimento L.
q = 20 kN/m
b) 50 kN 2m
8m
200 kN
150 kN
100 kN
4 x 6 m = 24 m
34
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 5A 1) Trace as linhas de estado das seguintes estruturas e informe como se denominam. a)
b) 3
100kN
30 tf 1 1
4 6 tf/m
25kN/m
2,5m
3m 6m
3m
3m
2,5m 2,5m
3m
c)
d) 30kN/m
{
200kN
{
3m
45kN
3m
100kN
90kN
3m 3m
3m
4m
6m
2) Forneça as funções que expressam os esforços internos e trace seus diagramas:
30kN/m 100kN 3
4 6m
2 1 4m
4m
2,5m
10m
35
3) Identifique as estruturas associadas abaixo e trace os diagramas dos esforços internos:
a) 4,5 tf/m {
7 tf 2,5m
23 tf {
5m
1m 1m
2m
3m
b) 1 tf/m {
1m
3 tf
2 tf
2m {
2m
3 tf
2 tf
1m
1 tf
1 tf/m
3m
1 tf 2m
3m
3m
2m
1m 2m
c) 40kN/m {
4m
20kN/m {
{
4m
20kN/m
1,5m
3,0m
4,5m
36
4) a) Como se denomina a estrutura abaixo? b) Inicialmente, através de simples observação do seu funcionamento, tente prever que barras estão tracionadas e que barras estão comprimidas. Justifique a sua previsão. c) Resolva estrutura abaixo e verifique se os resultados obtidos confirmam a previsão feita no item b. 5 tf 0,8 tf/m
5m
5 tf 3m 6 tf 2m {
{
3m
3m
5) Resolva as estruturas abaixo: a)
b) 10 tf 6kN
10 tf
{
10 tf
3m
10 tf
8kN
30º
{
3 x 3
3 x 4 m
c)
d) 2 tf/m
0,4 tf
{
3 tf {
{
2m
6m
1m 2m
4m
0,3 tf
0,2 tf
0,5 tf 3 x 6
37
6) Na treliça de telhado da figura, as cargas inclinadas são geradas pela pressão do vento. Ache o esforço normal na barra 11. Raciocine e resolva este problema da forma mais inteligente. Lembre-se: os métodos de resolução podem ser alternados.
400kgf 800kgf
9m
(11) 800kgf 400kgf
5 x 600 kgf 24 m
7) a) Como se denomina a estrutura como um todo e cada uma das partes associadas? b) Determine as reações de apoio. c) Determine os esforços internos nas barras a, b, c, d, e, f.
1 tf
1 tf
1 tf/m
1 tf/m
1 tf/m d
3m
e
a b
f
c 8 tf
6 tf
2 tf
2 tf
1 tf
2 tf
1 tf
2 tf
2 tf
6 tf
8 tf
16 x 3 m
38
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 5B 1) Diga como se denominam as estruturas abaixo e trace os diagramas dos esforços internos. a) b) 3 kN/m
1,5 m 2,0 m
2m
15 kN
2m
23 kN
5 kN/m
4,0 m
5m
c) O que se pode observar quanto aos ESI devido às simetrias da estrutura e do carregamento?
4m
20 kN/m
4m
4m d)
2m
2 kN/m
2m
10 kN
3m
7m
39
e)
2 kN/m 3m
2
4
5m
0,8 kN/m
3
1 8m
8m
50 kN
2
4
1
5
5m
10 kN/m
3
3m
20 kN/m
f)
8m
8m
g)
3
1
4
6m
20 kN/m
2
5m
40
2) Determine os ESI conforme solicitados: a) Em todas as barras.
1
1 2 6
5
6
9
3 8
7
10
5m
4
,
,
7
10 kN
5m
11
,
4 11
5m
2
b) Nas barras
3
7
5m
2
5
4
e
12
.
120 kN
5 1
6
13 8
7
9 3
3
2
11
10
2
1
8
7
10 m
12
6
4 4
5
120 kN 150 kN 8m
8m
8m
8m
41
1
c) Nas barras
,
5
,
7
9
e
.
10 kN 6
10 kN 9
4
10 kN
5 8
6
5
7 1
2
1
30º 4
3
2
3
4m
4m
10 kN
4m
d) Normais nas barras 11 e 19 .
400 kgf 6 8
12
3m
4
11
4 2 1 1
9 5
3 2 3
6 5
7
8
16
13 15
10 7
800 kgf
14 9
2m
2m
2m
400 kgf
10
17
19 18 11
600 kgf 600 kgf 600 kgf 600 kgf 2m
800 kgf 20
21
12
600 kgf
2m
2m
42
3) Trace os diagramas dos esforços internos na estrutura abaixo e diga como se denomina.
Y
8 tf 2 tf Z
2 tf/m
1m
2m 4 tf X
3m 2m
4) Para a viga abaixo determine: a) Linha de influência de cortante em B; b) Linha de influência de momento em B; c) Linha de influência de reação em A; d) Para o seguinte trem-tipo: 5 tf 0,5 tf/m
forneça: d.1) A máxima reação para cima em A; d.2) Os máximos momentos positivo e negativo em B; d.3) O cortante máximo em B. 4m B
A
2m
8m
3m
43
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 5C 1) Resolver as treliças abaixo utilizando o Método dos Nós. Nas barras indicadas, utilizar o Método de Ritter. a) Ritter: CE, DE e DF 6 kN B
F
D
3m G A
C
E 3m
3m
6 kN 3m
b) Ritter: CE, CD e BD 10 kN
F
E
10 kN 5m C
D
A
B
5m
5m c) Ritter: DG, FG e HI 30 kN G
15 kN
I
H
15 kN
2m
F D
2m
E 20 kN
A
B 2m
2m
2m 2m 2m
C
2m
44
d) Ritter: GH, GE, CE e AC 20 kN 20 kN G F
H 2m E
D
2m B
A C 6m
6m e) Ritter: GH, GC e BC 4 kN
8 kN
8 kN
4 kN
F G
H
J
I
2m A
E B
3m
C
3m
3m
D
3m
f) Ritter: BD, CD e CE A
5 kN C
5m
E
D B
12 kN
9 kN 3m
4m
3m
g) Ritter: AB, BE e EF 10 kN E
10 kN F
10 kN
10 kN B
A 4m
C
30º
10 kN
10 kN
4m
4m
D
45
h) Ritter: GH, BE e BC 10 kN
10 kN F
I
H
G
3m
E
D
3m B A
C 20 kN 4m
4m
4m
2 kN
4 kN
4m
i) Ritter: BD, DE e CE C
3 kN
D
E 3m
A
B
4m
4m
j) Ritter: BD, DE e CE B
D
F
4m
E
G
15 kN
C A 2m
2m
2m
46
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 5D
1) Diga como se denominam as estruturas abaixo e trace os diagramas dos esforços internos: a)
3 0 kN /m C
D
E 2 m
2 5 kN
F 3 m B
A 2 m
4 m
2 m
b)
1 0 kN /m 3 0 kN
D
B
C
5 m A 3 m
4 m
47
c)
2 0 kN /m D
E
C
4 m B
A 4 m
4 m
d)
2 kN /m
C 3 m E
0 ,8 k N /m
D
5 m B
A
8 m
8 m
48
e)
2 0 kN /m 2 8 kN 1 ,5 m 2 ,5 m B
A 7 m
f)
1 0 k N /m B
C
3 m 2 0 kN 2 m
D
A 4 m
49
g)
2 0 k N /m B 2 m
2 0 kN
2 m A 3 m
5 m
h)
2 ,5 m
2 ,5 m 5 0 kN 2 ,5 m B
A 8 m
50
i)
5 0 kN /m 2 0 k N /m B 2 m 4 0 kN m 2 m A 4 m
4 m
j)
kN 20
/m
3 m
1 0 kN /m
5 0 kN
5 m B
A 8 m
8 m
51
k)
2 0 k N /m
2 m
5 m
B
A 5 m
2 1 ,7 kN
5 m
l)
6 m
2 0 kN /m
C
B
A 5 m
52
2) Nas estruturas a seguir, compare os diagramas dos ESI que se obtêm: I-
(a) para a estrutura abaixo;
2 0 kN /m C 4 m A
B 3 m
3 m
(b) para a estrutura do item anterior quando introduz-se uma articulação em C e um tirante ou escora ligando A e B. (c) quando para a estrutura em (a) introduz-se uma articulação em C e se substitui o vínculo em B por um apoio de 2º gênero.
II-
(a) para a estrutura abaixo;
5 0 kN F
E
3 m D
C
3 m A
B 4 m
(b) para a estrutura do item anterior quando introduz-se uma articulação em F e uma escora ou tirante ligando C e D.
53
3) Calcular as reações e representar os diagramas dos esforços internos:
4) Decompor os quadros abaixo nos quadros isostáticos simples que os constituem: a)
b)
54
c)
d)
e)
55
f)
5) Em cada uma das estruturas a seguir, calcular as reações de apoio e representar os diagramas dos esforços simples: a)
1 0 kN /m A 2 0 kN
2 m 2 m
B 3 m
4 m
56
b)
2 0 k N /m
A 40
kN
m 4 0 kN m
3 m
B 2 m
3 m
2 m
c)
1 0 k N /m
2 0 kN /m
4 m B
A 3 m
5 m
3 m
57
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 6A 1) Classifique as estruturas abaixo quanto à estabilidade e à estaticidade interna e externa: a)
b)
c) {
d)
e)
f)
g)
2) Resolva a estrutura.
5 tf
15 tf
10 tf 4x2m
{
{
{
4 x 2 m
58
3) a) Como se denomina a estrutura? b) Trace os diagramas dos esforços internos da estrutura abaixo. c) Localize a seção de momento máximo na barra 1. d) Qual o coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforços cortantes no nó 5. Y
3m
2m
2m 2 tf
1 (1)
X
6 (5)
2 tf/m
5 1 tf/m (4) 4
3 Z
2m
1 tfm 2 (2)
(3)
2m 2m
4) Trace as linhas de estado e diga como se denomina a estrutura. Y
8 tf 2 tf
Z 4 tf 2 tf 18 tfm
2 tf/m
2m
1m 8 tf 2m
3m
X
1 tfm
5) a) Como se denomina a estrutura? b) Determine os esforços internos em seus elementos. c) Sendo a estrutura e o carregamento simétricos, o que se pode afirmar sobre os esforços? d) Se dobrarmos os valores das cargas o que ocorre com as reações de apoio e com os esforços em seus elementos? Justifique.
59
6 tf 0,20 tf/m
4,325m 60º 4,62m 30º
45º 4 tf
2m
5,5m
4 tf
5,5m
2m
6) a) Como se denomina esta estrutura? b) Antes de resolver a estrutura, diga que barras não estão submetidas à torção e justifique sua resposta. c) Trace os diagramas dos esforços internos. d) Dê o coeficiente angular da tangente ao DEC na seção C. e) Que características importantes apresentam: o DMF na seção A e o DMT na seção C.
8 tf 1 (1)
4 tf/m (3)
3m 4 tfm 1m
2 tf/m
A 2
(2)
3 B
C
4
3m
3m
2m
1m
60
7) Identifique as estruturas associadas abaixo, denomine-as, classifique-as como CEP ou SEP e numere-as conforme a ordem de resolução.
a)
b) {
10 kN/m
{
{
{
c)
d) 1 tf/m { {
1 tf
1 tf/m
4 tfm
2 tf {
{
{
e)
f) 2 tf/m
10kN/m
{ {
{ {
{
{5kNm
{ 10kN { 2kN
{
61
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 6B 1) Traçar as linhas de influência pedidas. a) LIVA, LIMA, LIQS1, LIMS1, LIMS2 A
2m
3m
2m
b) LIVA, LIQS1, LIMS1, LIMS2, LIQS2, LIQS3, LIMS3 A
B
2m 3m 3m c) LIVB, LIMS1, LIQS1, LIMS2, LIQS2 A
2m
B
1m 3m d) LIVA, LIVB, LIMS, LIQS
3m
1m
A
2m
2m
B
3m
3m
e) LIVC, LIMS1, LIQB, LIMS2 B
A
2m
3m
C
2m
D
2m
2m
f) LIMA, LIQB, LIMS, LIVC, LIQS B
A
3m
C
2m
3m
3m 62
2) Seja o trem-tipo indicado abaixo. Calcular os valores máximos dos esforços nas estruturas representadas nos itens (d) e (f) a partir das LI obtidas. OBS.: O trem-tipo pode trafegar nos dois sentidos. P1 = 2 kN; P2 = 1 kN q = 0,5 kN/m; a = 1 m q
a 3) Calcular os valores máximos de MFA e de QAdir para a viga e o trem-tipo abaixo: C
A
4m
B
16 m
D
20
4m
80
1,5 m
40
3,0 m
20
1,5 m
4) Calcular MFmax+ e MFmax- causados pela passagem do trem-tipo ao lado em uma viga bi-apoiada de 8 m de vão. 20
30
3,0 m
30
1,5 m
5) Pedem-se as envoltórias finais de MF e de Q de uma viga bi-apoiada de 18 m de vão, sujeita a uma carga permanente de 40 kN/m e à passagem do trem-tipo abaixo. Considerar seções espaçadas de 3 m entre si. P1 = 160 kN q q P2 = 120 kN q = 30 kN/m 1,5 m
3,0 m
1,5 m
6) Uma das vigas longitudinais que suportam um pontilhão é bi-apoiada com 8 m de vão, sujeita a uma carga permanente de 20 kN/m, e qualquer seção é capaz de resistir a um momento fletor de 1000 kNm. Verificar se é segura a passagem neste pontilhão de um veículo que corresponde, para esta viga, a um trem-tipo de duas cargas concentradas de 400 kN, distantes 4 m entre si.
63
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 7A 1) Trace as linhas de influência para os seguintes efeitos, escrevendo suas funções: a) Cortante à esquerda de 2 (LIQ2e). b) Cortante à direita de 2 (LIQ2 d). c) Momento em 2 (LIM2). d) Momento em 3 (LIM3).
2) Trace as linhas de influência dos seguintes efeitos: a) Reação vertical em 1. b) Reação vertical em 5. c) Cortante em 2. d) Cortante em 3. e) Momento fletor em 1 (não é momento reativo). f) Momento fletor em 2. g) Momento fletor em 4. h) Momento fletor em 5.
64
3) Uma força pode se deslocar entre os pontos 1 e 3, sempre transversalmente aos eixos dos elementos. Determine as funções que expressam o momento fletor reativo em 1 e trace a variação deste momento para uma força unitária, perpendicular aos eixos dos elementos e deslocando-se entre os nós 1 e 3. Como se denomina o diagrama obtido?
4) Determine, para as LI dos exercícios 1 e 2, os máximos efeitos positivos e negativos, para os seguintes trens-tipo:
65
5) Determine as envoltórias de esforços cortantes e momentos fletores da estrutura abaixo:
1
2
3
4
5
6
7
6 x 3 m
sabendo-se: a) Peso Próprio: g = 3tf/m;
b) Trem-tipo:
66
ANÁLISE ESTRUTURAL I LISTA DE EXERCÍCIOS 8A 1) Para as estruturas abaixo: a) Dê o nome. b) Determine as reações de apoio. c) Trace os diagramas.
d) Determine as funções que expressam os esforços solicitantes internos nas barras indicadas com (*). I)
II )
III)
67
IV )
V)
2) Num projeto de um arco de ginásio você pensa nas duas possíveis soluções estruturais indicadas abaixo. Após resolvê-las, traçando seus diagramas e verificando os valores máximos dos esforços solicitantes internos
que ocorrem nas duas soluções, você escolherá uma delas e
justificará sua escolha.
68
GABARITOS
DOS
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
69
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 1A 1) a) Estrutura hiperestática; estrutura estável. b) Estrutura hiperestática; estrutura estável. c) Estrutura hipostática; estrutura instável. d) Estrutura hipostática; estrutura instável. e) Estrutura hipostática; estrutura instável. f) Estrutura isostática; estrutura estável. g) Estrutura hipostática; estrutura instável. h) Estrutura hiperestática; estrutura estável. i) Estrutura isostática; estrutura estável. j) Estrutura hiperestática; estrutura estável.
2) a) HA = 0; VA = 4 kN; VB = 4kN. b) HB = 18 kN; VA = 27 kN; VB = -27 kN. c) HA = -50 kN; VA = -15,625 kN; VB = 15,625kN. 3) a) a.1) HA = 0; VA = 20 kN; VB = -20 kN. a.2) idem a.1. a.3) idem a.1. a.4) idem a.1. Conclusão: As reações de apoio devidas a um momento aplicado na viga independem da posição do momento concentrado aplicado. Elas têm que formar um binário capaz de equilibrar o momento aplicado M e, sendo a distância entre os apoios L, as forças deste binário equilibrante têm intensidades iguais a M/L.
b) b.1) HB = 0; VB = 0; VA = 20 kN; b.2) HB = 0; VA = 15 kN; VB = 5 kN; b.3) HB = 0; VA = 10 kN; VB = 10 kN; b.4) HB = 0; VA = 5 kN; VB = 15 kN; b.5) HB = 0; VA = 0; VB = 20 kN.
70
Conclusão: As reações nos apoios devidas a uma força concentrada transversal dependem da posição da força na viga. A reação é tão maior quanto mais próxima do apoio se encontra a força, e tão menor quanto mais distante. A intensidade da reação de apoio varia de P (quando P está aplicada sobre o apoio) à zero (quando P está aplicada sobre o outro apoio da viga).
Resolvendo
literalmente
uma
viga
biapoiada
com
uma
carga
concentrada P, temos as seguintes reações de apoio: HB = 0; VA = Pb/L; VB = Pa/L. c) DEN - nulos; a.1) x=0: Q=0; M= -100kNm; x=1,5: Q=20kN; M= -100kNm; x=6,5: Q=20kN; M=0. a.2) x=0: Q=0; M=0; x=1,5: Q=20kN; M= -100kNm; x= 6,5: Q=20kN; M=0. a.3) x=0: Q=0; M=0; x=1,5: Q=20kN; M=0; x=3,0: Q=20kN; Me=30kNm; Md= -70kNm; x= 6,5: Q=20kN; M=0. a.4) x=0: Q=0; M=0; x=1,5: Q=20kN; M=0; x= 4,0: Q=20kN; Me= 50kNm; Md= -50kNm; x= 6,5: Q=20kN; M=0.
b.1) DEQ - nulo; DMF - nulo; b.2) x=0: Q=15kN; M=0; x=1,0: Qe=15kN; Qd= -5kN; M= 15kNm; x= 4,0: Q= -5kN; M=0. b.3) x= 0: Q=10kN; M=0; x=2,0: Qe= 10kN; Qd= -10kN; M=20kNm; x=4,0: Q= -10kN; M=0.
71
b.4) x=0: Q=5kN; M=0; x=3: Qe=5kN; Qd= -15kN; M=15kNm; x=4,0: Q= -15kN; M=0. b.5) DEQ - nulo; DMF - nulo.
Observar: - As descontinuidades no DEQ são sempre iguais ao valor de P, no nosso caso 20kN. - Os momentos fletores máximos ocorrem na seção onde P é aplicada. Nas seções onde os momentos máximos ocorrem o cortante se anula. - Para os momentos fletores a posição mais desfavorável, ou seja aquela que provoca o máximo momento fletor possível, é no meio do vão. No nosso caso 20kNm.
- Onde a força transversal concentrada é aplicada o DMF faz um bico, ou seja há uma mudança brusca na tangência, a qual corresponde à descontinuidade de cortantes.
4 e 5) a) Reações de apoio: HC=0; VC=9kN; MC=29kNm; Seção A : N=0; Q=9kN; Me= -11kNm; Md= -18kNm; Seção B: N=0; Qe=9kN; Qd=0; M=0; Seção C: N=0; Q=9kN; M= -29kNm; Seção D: N=0; Q=0;M=0. b) Reações de apoio: HF=0; VE=10kN; VF= -10kN; Seção A: N=0; Q=10kN; M=10kNm; Seção B: N=0; Qe=10kN; Qd= -30kN; M=30kNm; Seção C: N=0; Q= -30kN; M=0. Funções dos esforços internos: Trecho I:
Trecho II:
Trecho III:
N(x)= 0;
N(x)= 0;
N(x)= 0;
Q(x)= 10;
Q(x)= -30;
Q(x)= 10;
M(x)= 10x;
M(x)= -30x+120;
M(x)= 10x-10L.
72
c) Reações de apoio: HB=0; VD= -2 tf; VE= 8 tf. Seção A: N=0; Q= -6 tf; M=0; Seção B: N=0; QE= -6 tf; QD= 2 tf; M= -9 tfm. Seção C: N=0; Q= 2 tf; M= -6 tfm. d) Reações de apoio: HE=0; VE=O; VA=O; Seção A: N=0; Q=0; M=20kNm; Seção B: N=0; Q=0; M=20kNm; Seção C e D: idem seção B.
73
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 1B 1) a) Isostática, estável
e) Hipostática, instável
b) Hipostática, instável
f) Isostática, estável
c) Hiperestática, estável
g) Hipostática, instável
d) Isostática, estável
h) Isostática, estável
2) a) Reações de apoio: HA=3,46 tf; VA=5,2 tf; VB=2,8 tf b) Reações de apoio: HB=0; VA=4,75 tf; VB=3,25 tf c) Reações de apoio: HA=1 tf; VA=0,17 tf; VB=2,83 tf d) Reações de apoio: HA=0; VA=5KN; VB=5KN 3) a) Reações de apoio: HB=5 tf; VA=9,75 tf; VB=6,91 tf Esforços em S1 : N=0; Q=9,75 tf; M=14,625 tfm Esforços em S2 : N=0; Q=1,75 tf; M=32,75 tfm Esforços em S4 : N=5 tf; Q= -6,91 tf; M=13,82 tfm b) Reações de apoio: HB=0; VA=0,5 tf; VB= -0,5 tf Esforços em S1 : N=0; Q=0,5 tf; ME= -4 tfm; MD= -2 tfm Esforços em S2 : N=0; Q=0,5 tf; M= -1,0 tfm c) Reações de apoio: HB=-2 tf; VA=1,33 tf; VB=2,67 tf Esforços em S1 : N= -2 tf; QE=1,33 tf; QD= -2,67 tf; M=0 Esforços em S2 : N= -2,67 tf; Q=2 tf; M= -4 tfm d) Reações de apoio: HA=5 tf; VA=15,75 tf; VB= -3,75 tf Esforços em S1E : N=0; Q= -4 tf; M= -8 tfm I
Esforços em S1 : N= -15,75 tf; Q= -5 tf; M= -15 tfm S
Esforços em S1 : N= -11,75 tf; Q= -5 tf; M= -23 tfm Esforços em S4: N= -5 tf; Q=3,75 tf; M= -22,5 tfm Esforços em S5 : N=3,75 tf; QS=5 tf; QI=0; M=0
74
LISTA DE EXERCÍCIOS 1C/GABARITOS 1)
Z
(4 ,0 ,4 )
F
(0 ,6 ,0 )
Y
F ' (4 ,6 ,0 ) X Para F: MX = 24; MY = 0; MZ = -24 Para F’: MX = -24; MY = 16; MZ = 24 2) ΣMo = -55,34 kNm 3) a) b) c) d) e) f) g)
Isostática estável; Isostática estável; Isostática estável; Isostática estável; Isostática estável Hiperestática estável; Isostática estável;
4) a) HA = 3,54 kN ← ; VB = 3,44 kN ↑ ; VA = -4,9 kN ↓
b) HA = 0; VB = 2,5 kN ↓; VA = 2,5 kN ↑
c) HA = 0; HB = 5 kN → ; VA = 3,33 kN ↑ ; VB = 1,67 kN ↑ d) HA = 0; VA = 7,5 kN ↑ ; VB = 7,5 kN ↑ 5)
Y X
(eixos globais)
Z
a) RX = 2 kN →; RY = 5 kN ↑; RZ = 0; MX = 20 kNm MZ = 50 kNm
; MY = 8 kNm
;
b) N = +2 kN; Qy = -5 kN; Qz = 0; T = +20 kNm; Mz = -15 kNm; My = 8 kNm
75
6) a) QS1 = - 2 kN; NS1 = 0; MS1 = 0 QS2 = - 2 kN; NS2 = 0; MS2 = - 4 kNm b) QS = - 1,875 kN; NS = 0; MS = 3,75 kNm c) QS1 = - 2 kN; NS1 = - 3 kN; MS1 = - 2 kNm QS2 = - 2 kN; NS2 = - 3 kN; MS2 = 0 d) e) f) g)
QS = 0; NS = 0; MS = - 20 kNm QS = - 8,667 kN; NS = 0; MS = 21,334 kNm QS = 1,85 kN; NS = 0; MS = 20,9 kNm QS1 = 12 kN; NS1 = 0; MS1 = - 56 kNm QS2 = 9 kN; NS2 = 0; MS2 = - 10 kNm
h) QS = 23,571 kN; NS = 0; MS = - 55,429 kNm i) QS = 0,4 kN; NS = 0; MS = 2,2 kNm j) QS1 = - 23 kN; NS1 = - 16,7 kN; MS1 = - 46 kNm QS2 = 7,7 kN; NS2 = - 23 kN; MS2 = - 55,4 kNm k) QS1 = - 15 kN; NS1 = - 20 kN; MS1 = - 40 kNm QS2 = 15 kN; NS2 = 0; MS2 = - 15 kNm l) QS1 = - 2 kN; NS1 = 0; MS1 = - 1 kNm QS2 = 1,143 kN; NS2 = - 10 kN; MS2 = 1,714 kNm m) QS1 = 0; NS1 = - 5,625 kN; MS1 = 0 n) QS1 = - 30 kN; NS1 = 0; MS1 = - 48 kNm QS2 = 0; NS2 = - 54 kN; MS2 = - 216 kNm o) p) q) r) s)
QS1 = - QS2 = - 3 kN; NS1 = NS2 = - 7,5 kN; MS1 = MS2 = - 3 kNm QS = 0; NS = - 4,556 kN; MS = 0 QS = - 4,5 kN; NS = 0; MS = - 13,5 kNm QS = 0; NS = - 6 kN; MS = 0 QS = - 0,999 kN; NS = 0,333 kN; MS = 3,159 kNm
76
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 2A 1) a) Estrutura externamente hipostática; estrutura instável; b) Estrutura externamente hipostática; estrutura instável; c) Estrutura externamente hiperestática; estrutura instável; d) Estrutura externamente isostática; estrutura estável; e) Estrutura externamente hiperestática; estrutura estável; f) Estrutura externamente hipostática; estrutura instável.
2) a)HA=0; VA=1,56 tf; VB=55,94 tf Funções dos esforços internos: Trecho I: 0
77
x=5, Q=433N N(x)= -250N
4) Seção S1: N=80kN; Q= -10kN; M= -60kNm; Seção S2: N=-; Q= -10kN; M=30kNm. 5) ESI na seção S: N=0; Q= -40kN; M=80kNm Reações de apoio: HA= 21,21kN; VA=110kN; VD=61,21kN Funções dos esforços internos: Trecho I:
0
Trecho II: 3
M(x)=110x; x=0, M=0
M(x)= -40x+450; x=3, M=330 kNm
x=3, M=330 kNm Q(x)=110 kN; N(x)= -21,21 kN
x=6, M=210 Q(x)= -40 kN; N(x)= -21,21 kN
Trecho III: 6
6) a) Esforços internos: Seção S1: N= -1tf; Q=1 tf; M= -1 tfm Seção S2: N=0; Q=3 tf; M= -4,5 tfm Seção S3e: N=0; Q= -3 tf; M= -6 tfm Seção S3d: N=0; Q=4 tf; M= -8 tfm Seção S3inferior: N= -7 tf; Q=0; M= -2 tfm b) b.1) Reações de apoio: HB=0; VA=50kN; VB=50kN Esforços internos: Seção S1: N=0; Q=50kN; M=75kNm; Seção S2: N=0; Q=0; M=150kNm; Seção S3: N=0; Q= -50kN; M=75kNm Observa-se que para estrutura e carregamento simétricos: DQ é anti-simétrico e DMF é simétrico b.2) Reações de apoio: HB=0; VA=20kN; VB=20kN (
)
Esforços internos: Seção S1: N=0; Q=20kN; M=30kNm;
78
Seção S2: N=0; Q= -30kN; M=0; Seção S3: N=0; Q=20kN; M= -30kNm Observa-se que para estrutura simétrica e carregamento anti-simétrico: DQ é simétrico e DMF é anti-simétrico
7) Reações de apoio: HB=0; VA=3,9 tf; VB=6,6 tf Esforços internos: Para 0≤x<3 M(x)= -x3/6+3,90x; x=0, M=0 x=3, M=7,2 tfm Q(x)= -x2/2+3,90;
x=0, Q=3,9 tf x=3, Q=-0,6 tf
Mmáx: -x2/2+3,90=0; Mmáx=7,26 tfm Para 3≤x0≤5 M(x)= -1,5x2+8,4x-4,5;
Q(x)= -3x+8,4; x=5,
x=3,
M=7,2 tfm
x=5,
M=0
x=3,
Q= -0,6 tf
Q= -6,6 tf
Coeficientes angulares são os valores de -q(x).: Em x=0:
dQ(x)/dx=0
Em x=3:
dQ(x)/dx= -3
9) Reações de apoio: HB= 4 tf; VA= 17 tf; VB= 21 tf Esforços internos: Seção S: N=4 tf; Q= 7 tf; M= 34 tfm
10) Viga biapoiada, isostática/estável Reações de apoio: HB=40kN; VA=51kN; VB=51kN Esforços internos: Para 0≤x≤1: N(x)=0;
M(x)=51x;
x=0:; Q=51kN;
M=0
x=1: Q=51kN;
M=51kNm
Para 1≤x≤4: N(x)= -40;
Q(x)=51
Q(x)= -8x2+16x+13; M(x)=-8/3x3+8x2+13x+98/3
x=1: N= -40kN; Q=21kN; M=51kNm x=4: N= -40kN; Q= -51kN; Me=42kNm
79
Mmáx: -8x2+16x+13=0; Mmáx=73,683kNm Para 4
Q(x)= -51;
M(x)= -51x+306
x=4: N= -40kN; Q= -51kN; Md=102kNm x=6: N= -40kN; Q= -51kN; M=0
80
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3A 2) Viga Gerber Vigas sem estabilidade própria ( SEP ): 1ª → x=0 até x=6m; 2ª → x=6m até x=14m Viga com estabilidade própria ( CEP ): x= 14m até x=24m Valores dos esforços internos: x=0: M=0; Q=30kN; N=0; x=8: M= -80kNm; Qe= -50kN; Qd=28,33kN; N=0; x=12: M=33,34kNm; Qd=-16,67kN; N= -60kN; x=16: M= -33,34kNm; Qd=44,17kN; N= -60kN; x=24: M=0; Q= -35,83kN; N= -60kN. 3) Trata-se de uma viga Gerber e devido à simetria basta analisar uma das vigas biapoiadas dotadas de balanço (CEP). Como procuramos a viga mais econômica, os momentos negativos em A e em B devem ser iguais, ou seja XA=XB. Portanto: VA=qb+qL/2; VB=ql/2+qa=q(L-2a)/2=qL A viga mais econômica exige também que o máximo momento positivo no vão L seja igual, em módulo, aos momentos negativos em A e B, ou seja: /MMAX/=/XA/=/XB/. MMAX=qL2/8-qb2/2 e ocorre no meio do vão L. Igualando /XB/ à MMAX temos: a=0,1464L; b=0,3536L. 5) a) VA=16,61kN; VB=33,29kN; HA=28,9kN. Valores dos esforços internos ( eixo local da barra ): x=0: M=0; Q=28,9kN; N=16,70kN; x=5,77: M=0; Q= -28,9kN; N=16,7kN b) Reações de apoio: VA=4,25 tf; VB=3,85 tf; HA=4,2 tf Funções dos esforços internos: Para 0 ≤ x ≤ 1,25: N(x): -4,2+0,72x; Q(x):4,25-1,46x; M(x)=4,25x-1,46x2/2 Para 1,25 ≤ x ≤ 5: N(x)= -4,2+0,72x+0,6; Q(x)=4,25-1,46x-0,8; M(x)= -0,73x2+3,45x+1 Valores dos esforços internos ( eixo local da barra): x=0: N= -4,2 tf; Q=4,25 tf; M=0; x=1,25: Ne= -3,3 tf; Nd= -2,7 tf; Qe=2,43 tf; Qd=1,63 tf; M= 4,17 tfm; x=5: N=0; Q= -3,85 tf; M=0. 6) Estruturas simétricas submetidas a carregamentos: • Simétricos → DEC - anti-simétrico; DMF - simétrico
81
• Anti-simétricos → DEC - simétricos; DMF - anti-simétricos
82
LISTA DE EXERCÍCIOS 3B/GABARITOS
2)a) VA = 11,2 kN ↑; VB = 11,8 kN ↑ b) VA = 32 kN ↑; VB = 8 kN ↑
c) VA = 38 kN ↑; VB = 25 kN ↑ d) VA = 46,5 kN ↑; VB = -4,5 kN ↓ e) VA = 16,5 kN ↑; VB = 10,5 kN ↓
f) VA = VB = 40,5 kN ↑ g) VA = 25,25 kN ↑; VB = 52,25 kN ↑
h) H = 3 kN ←; V = 20 kN ↑; M = 30 kNm i) M = 213,33 kNm
j) H = 34,6 kN →; V = 45 kN ↑; M = 292,5 kN k) VA= 105 kN ↑; VB = 45 kN ↑ l) VA = VB = 10 kN ↓
m) VA = 24 kN ↑; VB = 16 kN ↓; HA = 15 kN → n) VA= VB = 0
o) VA = 7,5 kN ↑; VB = 112,5 kN ↑; VE = 49 kN ↑; VF = 11 kN ↓ p) VC = 4,7 kN ↑; VA = 12,4 kN ↑; HA = 7,1 kN →; MA = 40 kNm 3)Vigas Gerber a) HA = 0; VA = 12 kN ↓; VB = 22 kN ↑; MA = 56 kNm b) HA= 0; VA = 12,22 kN ↓; VB = 30,55 kN ↑; VC = 33,33 kN ↓; VD = 25 kN ↑ 4) 3 kN 1 kN /m
0 ,5 kN /m
4 kN
5 kN
16
2
8
1
D M F (kN m )
2m
4m
4m
5) d = 0,828L
83
6) a) Viga inclinada bi-apoiada HA = 80 kN ←; VA = 67,5 kN ↑; VB = 92,5 kN ↑ b) Viga inclinada engastada e livre HA = 0; VA = 400 kN ↑; MA =2000 kN
84
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 4A 1) Viga biapoiada com balanço Reações de apoio: VA= 10,9 kN; VB= 31,1 kN; HA= -5 kN. Funções: 0 ≤ x ≤ 4 M(x)= 10,9x; Q(x)= 10,9; N(x)= 5. x=0: M=0; Q=10,9kN; N(x)=5kN. x=4: M=43,5kNm; Q=10,9kN; N=5kN. 4 ≤ x ≤ 20: M(x)= -x2+18,9x-16; Q(x)= -2x+18,9; N(x)=5. x=4: M=43,5kNm; Q=10,9kN; N=5kN. x=20: M= -38kNm; Qe= -21,1kN; N=5kN. 20 ≤ x ≤ 30: M(x)= -5-(30-x)3/30; Q(x)=(30-x)2/10; N(x)=5. x=20: M= -38,3kNm; Qd=10kN; N=5kN. x=30: M= -5kNm; Q=0; N=5kN. 2) Trabalhando com uma viga biapoiada com balanço e fazendo /X/=/M/, temos: b=L-2a,
a=0,207L; b=0,586L
3) a) Viga Gerber Reações de apoio: HB= -5kN; VA=5kN; VB=5kN; VC=21,67kN; VD=3,33kN. Valores dos esforços internos: x=5: M=25kNm; Qe=5kN; N=0. x=10: M=0; Q= -5kN; N=5kN. x=20: M= -50kNm; Qe= -10kN; N=5kN. x=23: M= -15kNm; Qe=1,67kN; N=5kN. x=28: M=0; Q=5kN; N=0. b) Viga Gerber Reações de apoio: HC=0; VA=2,5 tf; VB=4,33 tf; VC=28,17 tf; MC=197,6 tfm. Valores dos esforços internos: x=7,5: M=187,5 tfm; Qe=2,5 tf. x=20: M= -12,50 tfm; Qe= -2,5 tf; x=25: ME= -3,35 tfm; Md= -18,35 tfm; Q=1,83 tf; x=50: M= -197,6 tfm; Q= -28,17 tf. DEN - nulo. 4) Reações de apoio: VA= 277,8kN; VB= 272,2kN. Funções dos esforços internos: 0 ≤ x ≤ 5 ( eixo local da barra AD )
85
M(x)= -8x2+222,2x; Q(x)= -16x+222,2; N(x)=12x-166,6 x=0: M=0; Q=222,2kN; N= -166,6kN; x=5: M=911,2kNm; Qe=142,2kN; Ne= -106,7kN. 5 ≤ x ≤ 10: M(x)= -8x2+182,2x+200; Q(x)= -16x+182,2; N(x)=12x-136,6. x=5: M=911,2kNm; Qd=102,2kN; Nd= -76,6kN. x=10: M=1222,4kNm; Q=22,2kN; N= -16,6kN. 5) Quadro ou pórtico biapoiado Reações de apoio: HA=2,4kN; VA=6,4kN; VB=5,6kN. Esforços internos nas seções chaves: Seção A: N= -6,7 tf; Q=1,55 tf; M=0; Seção C: Ne= -3,4 tf; Nd= -2,4 tf; Qe= -0,67 tf; Qd=2,4 tf; M=1,6 tfm; Seção D: Ne= -2,4 tf; Nd= -5,6 tf; Qe= -5,6 tf; Qd=2,4 tf; M=4,8 tfm; Seção B: N= -5,6 tf; Q=0; M=0. 6) Quadro ou pórtico engastado Reações de apoio: HA=15kN; VA=100kN; MA=80kN. Valores dos esforços internos: Seção A: M= -80kNm; Q= -15kN; N= -100kN; Seção B: M= -165kNm; para barra AB: Q= -15kN; N=-100kN para barra BC: Q= 100kN; N= -15kN; Seção C: M= -30kNm; para barra BC: Q=0; N= -15kN para barra CD: Q= 15kN; N=0. 7) Quadro ou pórtico biapoiado dotado de rótula e tirante Reações de apoio: H2=8 tf; V1=30,75 tf; V2=33,25 tf; N=24,67 tf. Valores dos esforços internos: Barra 1: Seção 1: M=0; Q=0; N= -30,75kN; Seção 3: M= -20kNm; Q= -8kN; N= -30,75kN; Barra 2: Seção 2: M=0; Q=8 tf; N= -33,25 tf; Seção 4: M= -40 tfm; Q=8 tf; N= -33,25 tf; No eixo local da barra 4: M(x)=17,32x-3,51x2/2-20; Q(x)= -3,51x+17,32; Fazendo Q(x)=0 → x=4,94m → Mmax=22,77 tfm; Seção 3: Q=17,32 tf; N= -41,38 tf; Seção 5: Q= -12,64 tf; N= -30,14 tf. No eixo local da barra 5: M(x)=10,30x-3,51x2/2; Q(x)= -3,51x+10,30 Fazendo Q(x)=0 → x=2,94m → Mmax=15,13 tfm
86
Seção 5: Q=10,30 tf; N= -31,02 tf Seção 4: Q=-19,66 tf; N=-42,26 tf 8) Quadro triarticulado Reações de apoio: V1=22,67kN; V2=49,33kN; H1= -20kN; H2=0 Valores dos esforços internos: Barra 1: Seção 1: M=0; Q=20kN; N= -22,67kN; Seção 3: M=80kNm; Q=20kN; N= -22,67kN; Barra 2: M(x)= -6x2+22,67x+80; Q(x)= -12x+22,67; Fazendo Q(x)=0 → x=1,89m → Mmax=101,4kNm Seção 3: M=80kNm; Q=22,67kN; N=0 Seção 4: M=0; Q= -49,33kN; N=0; Barra 3: Seção 4: M=0; Q=o; N= -49,33kN; Seção 2: M=0; Q=0; N= -49,33kN.
87
LISTA DE EXERCÍCIOS 4B/GABARITOS 1) a) Viga Gerber b) 1º) Como simples associação de vigas isostáticas simples, com ou sem estabilidades próprias → resolvem-se inicialmente as V.I.S. sem estabilidade própria. 2º) Resolvendo a viga associada através da resolução de um sistema de equações formado pelas equações do equilíbrio estático (3 equações) mais as equações de condição (nº necessário ≡ nº de nós rotulados da estrutura associada) obtidas impondo-se Mrot = 0. 2) a) V1 = 16,4 tf ; V2 = 13,6 tf ; H2 = 6 tf b) M85 = 8 tfm; M87 = - 20 tfm; M88 = -12 tfm c) NS = -6,81 tf; QS = 0; MS = -3,22 tfm 3) VA = 10,5 tf; VB = 7,5 tf; HB = 0 4) a) Treliça isostática b) Simples c) Treliça ideal é uma treliça submetida somente a forças nodais. Esta treliça é uma treliça ideal. d) Se a estrutura e o carregamento são simétricos, o DEC é anti-simétrico e o DMF é simétrico. 5) P = q(b2/8 – a2)/2 6) VA = 4 tf ; VB = 5 tf 7) OBS.:
Barras inativas
Na = -13,00 tf; Nb = 1,41 tf; Nc = 12,00 tf; Nd = - 4 tf; Ne = - 5 tf
88
8) a)
8
7 1
2
9
10
4 3 q = 2 0 k N /m
11 5
6
V1 = 50L ↑; V6 = 50L ↑; H6 = 0 N1-2 = 23/L N2-3 = 57,5/L N3-4 = 69/L N4-5 = 57,5/L N5-6 = 23/L N1-7 = -46/L N2-7 = 46/L N2-8 = -23/L N3-8 = 23/L N3-9 = 0 N4-9 = 0 N4-10 = 23L N5-10 = -23/L N5-11 = 46/L N6-11 = -46/L N7-8 = -23/L N8-9 = -46/L N9-10 = -46/L N10-11 = -23/L
89
b) 5 0 kN
7 8
2m
6
8m 1
2
2 0 0 kN 6m
4
3
6m
1 5 0 kN 6m
5 1 0 0 kN 6m
V1 = 287,5 kN ↑; H1 = 0, V5 = 212,5 kN ↑ N1-2 = 215,6 kN N2-3 = 215,6 kN N3-4 = 159,4 kN N4-5 = 159,4 kN N1-6 = -359,4 kN N2-6 = 200 kN N3-6 = -35,80 kN N3-7 = 130,86 kN N3-8 = 58,30 kN N4-8 = 100 kN N5-8 = -265,6 kN N6-7 = -204,33 kN N7-8 = -204,6 kN
90
RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 5A 1) a) Pórtico ou quadro bi-apoiado Reações de apoio: HA=20kN; VA=101,7kN; RC=91,7kN Valores dos esforços internos: Barra 1: Seção A: M=0; Q=98kN; N= -57,8kN Seção B: M=140kNm; Q= -20kN; N= -57,8kN Barra 2: Seção B: M=140kNm; Q=26,7kN; N= -55kN Seção C: M=0; Q= -73,3kN; N= -55kN b) Pórtico ou quadro bi-apoiado Reações de apoio: VA=43,72 tf; VB=24,35 tf; HB=21,21 tf Valores dos esforços internos: Barra 1: Seção A: M=0; Q=33,6 tf; N= -28 tf Seção C: M=121,8 tfm; Q= -2,4 tf; N=2 tf Barra 2: Seção C: M=121,8 tfm; Q= -2,2 tf; N= -2,2 tf Seção B: M=0; Q= -32,2 tf; N= -2,2 tf c) Pórtico ou quadro triarticulado Reações de apoio: HA=50kN; VA=157,14kN; HB=50kN; VB=42,86kN Valores dos esforços internos : Barra 1: Seção A: M=0; Q=25,6kN; N= -162,9kN Seção C: M=171,4kNm; Q=25,6kN; N= -162,9kN Barra 2: Seção C: M=171,4kNm; Q= -42,9kN; N= -50kN Seção D: M=0; Q= -42,9kN; N= -50kN Barra 3: Seção D: M=0; Q=50kN; N= -42,9kN Ponto de carga concentrada de 100kN: M=150kNm; Qe=50kN; Seção B: M=0; Q= -50kN; N= -42,9kN d) Pórtico plano composto Reações de apoio: VA=135kN; VB=45kN; HB=45kN; MB=270kNm Valores dos esforços internos: Barra 1: Seção A: M=0; Q=0; N= -135kN Ponto de carga concentrada de 90kN: M= -270kNm; Q= -90kN; Seção C: M= -270kNm; Q= -90kN; N= -135kN Barra 2: Seção C: M= -270kNm; Q=135kN; N= -90kN Seção D: M=0; Q= -45kN; N= -90kN →Para a barra 2: Mmax=33,8kNm Barra 3: Seção D: M=0; Q=45kN; N= -45kN Seção B: M=270kNm; Q=45kN; N= -45kN 2) Reações de apoio: H1=0; V1=161,1kN; V4=238,9kN
91
Funções: Trecho 1-2:M(x)=128,9x; Q(x)=128,9; N(x)= -96,7 Seção 1: Q=128,9kN; M=0; N= -96,7kN Seção 2: Qe=128,9kN; Ne= -96,7kN; M=644,4kNm Trecho 2-3: M(x)=48,9x+400; Q(x)=48,9; N(x)= -36,7 Seção 2: Qd=48,9kN; Nd= -36,7kN; Seção 3: Qe=48,9kN; Ne= -36,7kN; M=888,9kNm Trecho 3-4: M(x)= -15x2+61,1x+888,9; Q(x)= -30x+61,1; N(x)=0 Seção 3: Qd=61,1kN; Nd=0 Seção 4: Q= -238,9kN; N=0; M=0 →Q=0 → x=2,037m - Mmax=951,1kNm 3) a) Reações de apoio: V1=43,3 tf; H1=13,84 tf; M1=160,3 tfm; V6=9,2 tf; H6=13,84 tf Valores dos esforços internos: Seção 1: M= -160,3 tfm; Q=43,3 tf; N=13,84 tf Seção 2: M=0; Qe=20,8 tf; Qd=2,19 tf; NE=13,84 tf; Nd=24,88kN Seção 4: M=0; Qe= -2,19 tf; Ne=19,42 tf Seção 5: M=27,6 tfm; Qe=13,8 tf; N=13,84 tf Seção 6: M=0; Q= -9,2 tf; N=13,84 tf b) Reações de apoio: V1=4,3 tf; H1=5,03 tf; V6=4,7 tf; H6=3,97 tf; M6= -5,9 tfm Valores dos esforços internos: Seção 1: M=0; Q=4,3 tf; N= -5,03 tf Barra 1-2 - ponto da carga concentrada de 3 tf: M=6,6 tfm; Qe=2,3 tf; Qd= -0,7 tf; N=- 5,03 tf Seção 2: M=0; Qe= -3,7 tf; Qd=0,94 tf; Nd= -6,17 tf Seção 3: M=0; Qe= -0,47 tf; Ne= -4,76 tf Seção 4( para barra 3-4): M=6,1 tfm; Q=0,03 tf; N= -3,7 tf ( para barra 4-5): M= -7,5 tfm; Q=4 tf; N=0 ( para barra 4-6): M= -13,6 tfm; Q= -3,7 tf; N=3,97 tf Seção 5: M=0; Q=1 tf; N=0 Seção 6: M= -5,9 tfm; Q= -4,7 tf; N=3,97 tf c) Pórtico triarticulado Trecho 1-2: M(x)=0,7407x3-20x2+120x-202,4; Q(x)=2,22x2-40x+120 →Q=0 - x=3,80m - Mmax=5,4kNm Valores dos esforços internos: Barra 3: Seção 4: M=0; Q= -50,6kN; N= -120kN Seção 1: M= -202,4kNm; Q= -120kN; N=56,6kN Barra 1: Seção 1: M= -202,4kNm; Q=120kN; N= -50,6kN Seção 2: M=0; N= -50,6kN
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Barra 2: Seção 3: M= -202,4kNm; Q=60kN; N= -50,6kN Barra 4: Seção 3: M= -202,4kNm; Q=50,6kN; N= -60kN Seção 6: M=0; Q=50,6kN; N= -60kN Barra 5: Seção 4: M=0; Q= -120kN; N=56,6kN Seção 5: M= -540kNm; Q= -120kN; N=56,6kN Barra 6: Seção 5: M=221kNm; Q= -64,3kN; N=56,6kN Seção 6: M=0; Q= -154,3kN; N=56,6kN Barra 7: Seção 5: M=721kNm; Q=86,5kN; N= -76,9kN Seção 7: M=0; Q=146,5kN; N= -130,2kN 5) a) Valores dos esforços normais ( em kN ): N1= -30; N2= -16; N3= -8; N4=19,8; N5= -14; N6=11,32; N7= -8; N8=11,32; N9=16; N10=8. b) Valores dos esforços normais ( em tf ): N1=8,5; N2=17; N3=17; N4= -13; N5=5; N6= -10; N7=0; N8= -20; N9= -10. c) Reações de apoio: H1=3 tf; V1=1,75 tf; V2=6,25 tf; N=2 tf ( tração - tirante ) Valores dos esforços: Barra 1: Seção 1: M=0; Q=3 tf; N= -1,75 tf Seção 3: M=6 tfm; Q=3 tf Barra 2: Seção 2: M=0; Q=0; N= -6,25 tf Seção 4: M=0; Q=0; N= -6,25 tf Barra 4: Seção 3: Q=1 tf Seção 5: M=7 tfm; Q=1 tf Barra 5: Seção 4: M=0; Q=2 tf; N= -6,25 tf Seção 6: M= d) Reações de apoio: H4=0,3 tf; V4=0,4 tf; V2=0,7 tf Valores dos esforços normais ( em tf ): N1= -0,10; N2=0,05; N3= -0,10; N4=0,22; N5= -0,22; N6= -0,56; N7=0,11; N8=0,45; N9= -0,45; N10= -0,10; N11= -0,40 6) N11=2800Kgf 7) Trata-se de uma treliça composta com funcionamento de Viga Gerber. Tratando com um todo → Viga Gerber Tratando em partes → Treliças Simples Reações de apoio: V1=12 tf; V2=24 tf; V5=24 tf; V6=12 tf Utilizando Método das Seções para Na ,Nb e Nc : Na=6 tf; Nb=11,31 tf; Nc= -14 tf
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LISTA DE EXERCÍCIOS 5B/GABARITOS 2) a) Pórtico bi-apoiado VA = 16,7 kN ; HA = 23,0 kN ; VB = 1,7 kN b) Pórtico engastado e livre V = 20,0 kN ; H = 15,0 kN ; M = 17,5 kNm c) Pórtico tri-articulado VA = VB = 80 kN ; HA = HB = 40 kN Podemos observar que quando a estrutura é simétrica e o carregamento é simétrico, o DMF e o DEN são simétricos e o DEC é anti-simétrico. d) Pórtico bi-apoiado VA = 17,14 kN ; VB = 2,86 kN ; HB = 10,00 kN e) Pórtico bi-apoiado com articulação e tirante (tração) V1 = 15,38 kN ; V5 = 16,63 kN ; H5 = 0 f) Pórtico bi-apoiado V1 = 103,4 kN ; V5 = 56,6 kN ; H5 = 0 g) Pórtico tri-articulado V1 = 72 kN ; H1 = 120 kN ; V4 = 72 kN ; H4 = 0 3) a) N1 = N2 = N3 = 31,62 kN N4 = N5 = N6 = N7 = N8 = 0 N9 = N10 = N11 = -30 kN b) N2 = 204,00 kN; N4 = 108,00 kN; N7 = 19,21 kN; N11 = -172,90 kN; N12 = -216,00 kN c) N1 = 8,5 kN; N5 = 5,0 kN; N7 = 0; N9 = -10,0 kN d) N11 = 2694,4 kgf; N19 = 600,0 kgf 4) Pórtico espacial
4)
d.1) RA máx. = 9,375 tf d.2) M máx.B = 7,0 tfm M mín.B = -4,56 tfm d.3) Q máx.B = -3,28 tf
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LISTA DE EXERCÍCIOS 5C/GABARITOS 5) a) NAC = - 30 kN; NBC = 19,8 kN; NCE = - NBD = - 16 kN; NDE = NFG = 11,3 kN; NEG = NEF = - NDF = - 8 kN; b) NAC = NBD = NCD = NEF = 10 kN; NBC = NDE = - 14,14 kN; NCE = NDF = 0 c) NAD = NCE = - 25 kN; NBD = NBE = - 10,60 kN; NDF = NEF = -14,14 kN; NDG = NEH = - 15 kN; NFG = NFH = 0; NGI = NHI = - 21,21 kN d) NAC = NAD = NBC = NCD = NCE = NDF = NDG = NEG = NFG = NGH = 0; NAF = NBE = NEH = - 20 kN e) NAB = NCD = NGH = NIJ = 0; NAF = - 8 kN; NBC = - NDE = - NFG = NHI = 6 kN; NBF = - NCG = - NDH = NEI = 7,21 kN; NBG = - NCH = - NDI = - NEJ = 4 kN f) N DE = -23,74 kN N CE = 26,67 kN N CD = 11,84 kN N BD = -31,44 kN N BC = -9,15 kN N AC = 42 kN g) N AE = -26,32 kN N AB = 17,11 kN N EF = -19,75 kN N BE = 19,88 kN N BF = -19,76 kN N BC = 34,22 kN N CF = 10 kN N CD = 34,22 kN N DF = -39,51 kN h) N BC = 6,66 kN N BE = 16,67 kN N GH = -20 kN N AD = -8,33 kN N AF = -15 kN N DG = -10 kN N FG = -20 kN N HI = -20 kN N EH = -10 kN N AB = 6,66 kN N BD = 16,67 kN N CE = -8,33 kN N CI = -15 kN N DF = 25 kN N EI = 25 kN i) N DE = 5,34 kN N BE = -6,67 kN N AB = -8,34 kN N BD = -8,25 kN N CD = -3 kN
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N AC = 0 N AD = 10,43 kN j) N FG = 22,64 kN N EG = -27,3 kN N EF = 0 N DF = 22,64 kN N CE = -27,3 kN N DE = -54,6 kN N BD = 22,66 kN N CD = 0 N AC = -27,3 kN N BC = 0
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LISTA DE EXERCÍCIOS 5D / GABARITOS
1) a) Pórtico bi-apoiado VA = 17,5 kN ↑ ; VB = 162,5 kN ↑; HB = 25,0 kN ← b) Pórtico engastado e livre VA = 70 kN ↑; HA = 30 kN →; MA = 115 kNm c) Pórtico tri-articulado VA = VB = 80 kN ↑; HA = 40 kN →; HB = 40 kN ← d) Pórtico bi-apoiado com articulação e tirante (tração) HB = 4,0 kN ←; VA = 15,375 kN ↑; VB = 16,625 kN ↑; Tirante: N = 12,333 kN e) Pórtico bi-apoiado VA = 80 kN ↑; VB = 60 kN ↑; HA = 28 kN → f) Pórtico engastado e livre VA = 40 kN ↑; HA = 20 kN →; MA = 40 kNm g) Pórtico bi-apoiado VA = 120 kN ↑; VB = 40 kN h) Pórtico bi-apoiado
↑; HB = 20 kN →
HA = 50 kN ←; VA = 15,625 kN ↓; VB = 15,625 kN ↑ i) Pórtico bi-apoiado HA = 0; VA = 125 kN ↑; VB = 85 kN ↑ j) Pórtico bi-apoiado VA = 103,4 kN ↑; VB = 56,6 kN ↑; HB = 60 kN ← k) Pórtico bi-apoiado HA = 78,3 kN ←; VA = 25 kN ↓; VB = 25 kN ↑ l) Pórtico tri-articulado VA = 72 kN ↓; VB = 72 kN ↑; HA = 120 kN ←; HB = 0 m) Pórtico tri-articulado VA = VB = 100 kN ↑; HA = 12,5 kN →; HB =12,5 kN ← n) Pórtico tri-articulado VA=72,2 kN↑; VB = 87,8 kN ↑; HA = 122,2 kN ←; HB = 87,8 kN ← 3) VA = 25 kN ↑; VB = 83 kN ↑; VC = 42 kN ↑; HB = 20 kN →; HC = 10 kN →; MB = 80 kNm 5) a) VA = 50 kN ↑; HA = 10 kN →; MA = 105 kNm
↑; MB = 10 kNm c)VA = VB = 50 kN ↑; HA = 17,5 kN →; HB = 57,5 kN ←; MB = 80 kNm d) VA = 360 kN ↑; VB = 120 kN ↑; HA = 960 kN →; HB = 960 kN ←; b) VB = 100 kN
MA = 2880 kNm
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RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 6A 1) a) isostática, estável b) hipostática, instável c) hipostática, instável d) isostática, estável e) f) isostática, estável g) hipostática, instável 2) Valores dos esforços normais (em tf ): N1=2,5√2; N2= -10√2; N3= -7,5√2; N4=10√2; N5= -20; N6=12,5√2; N7=17,5√2; N8= -15; N9=17,5√2; N10=12,5√2; N11= -2,5√2; N12= -2,5√2. 3) Grelha triapoiada Reações de apoio: V1=1,92 tf; V3=5,76 tf; V6=1,55 tf Valores dos esforços: Barra 1: Seção 1: M=0; Q=1,92 tf; T=0 Seção 2: M=1,28 tfm; Q= -3,08 tf; T=0 Barra 2: Seção 2: M=0,77 tfm; Q= -3,08 tf; T= -0,03 tfm Seção 3: M= -5,38 tfm; Q= -3,08 tf; T= -0,03 tfm Barra 3: Seção 3: M= -5,38 tfm; Q= 2,68 tf; T= -0,03 tfm Seção 4: M= -0,01 tfm; Q= 2,68 tf; T= -0,03 tfm Barra 4: Seção 4: M= -0,03 tfm;T=0 Seção 5: Q=0,45 tf; T=0 Barra 5: Seção 5: Q= -1,55 tf; T=0 Seção 6: M=0; Q= -1,55 tf; T=0 Na barra 1: M(x)= -x3/15+1,92x; Q(x)= -x2/5+1,92 Fazendo Q(x)=0 → x=3,10 → MMAX=3,98 tfm Coeficiente angular da tangente ao diagrama de cortante no nó 5: -dQ/dx=q=1 5) Treliça composta com cargas fora dos nós Reações de apoio: V1=8,5 tf; H4=4,04 tf; N( barra 1 ): 4,04 tf Valores dos esforços normais ( em tf ): N2= -1,51 tf; N3= -8,08 tf; N4=0,76 tf; N5= -0,76 tf; N6= -4,79 tf Esforços internos na barra 5: Seção 2: M=0; Q=0,65 tf; N= -1,13 tf Seção 4: M=0; Q= -0,65tf; N= -0,38 tf
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Sendo a estrutura e o carregamento simétricos, os esforços normais também serão simétricos (iguais). Se dobrarmos os valores das cargas, os esforços ficam multiplicados por 2, uma vez que a estrutura é elástica linear (Princípio da Superposição dos Efeitos). 6) Grelha triapoiada Reações de apoio: V1=8,23 tf; V3=8,12 tf; V4=3,15 tf Valores dos esforços: Barra 1: Seção 1: M=0; Q=8,23 tf; T=0; Seção A: M=24,7 tfm; QE=8,23 tf; QD=0,23 tf; T=0 Seção 2: M=25,4 tfm; Q=0,23 tf; T=0 Barra 2: Seção 2: M=20,4 tfm; Q= -4,12 tf; T=0 Seção 3: M=0; Q= -8,12 tf; T=0 Barra 3: Seção 2: M= -3 tfm; Q= -4,35 tf; T=4 tfm Seção 4: M=0; Q=3,15 tf; T=0 Coeficiente angular da tangente ao DEC na seção C: -dQ/dx=q=4 A característica importante que o DMF apresenta na seção A é uma mudança brusca na tangente ao DMF devido à força concentrada.
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RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 7A 1) a) LIQ2E - η=1 - 0 ≤ x ≤ 3 η=0 - 3 ≤ x ≤ 15 b) LIQ2D - 0 ≤ x ≤ 3 - η=3/9-x/9 3 ≤ x ≤ 12 - η=12/9-x/9 12 ≤ x ≤ 15 - η=12/9-x/9 c) LIM2 - 0 ≤ x ≤ 3 - η=x-3 3< x ≤ 15 - η=0 d) LIM3 - 0 ≤ x ≤ 3 - η=2/3(x-3) 3< x ≤ 6 - η=2/3(x-3) 6< x ≤ 12 - η=12/3-x/3 12< x ≤15 - η= -x/3+12/3 η=1
b) LIR5 - x=0; η=0
x=1,2; η=1
x=1,2; η=0
x=3,0; η=1
x=3;
x=6,0 η=0
x=6,0; η=1
x=6,0 η=0
x=8,0 η= -2/3
x=8,0; η=5/3
x=8,0 η= -2/3
2) a) LIR1 - x=0;
d) LIQ3 - x=0; η=0
e) LIM1 - x=0;
c) LIQ2 - x=0;
η=0
x=1,2; η=1
η=0
x=3;
η=0
f) LIM2 - x=0;
η=1
η=0
x=1,2; η=0
x=3,0; η= -3
x=1,2; η=0
x=3,0; η=1
x=6,0; η=0
x=3,0; η= -1,8
x=6,0; η=0
x=8,0; η=2
x=6,0; η=0
x=8,0; η= -2/3 g) LIM4 -x=0;
η=0
x=8,0; η=1,2 h) LIM5 -x=0;
η=0
x=1,2; η=0
x=1,2; η=0
x=3,0; η=0
x=3;
x=4,5; η=0,75
x=4,5; η=0
x=6,0; η=0
x=6,0; η=0
x=8,0; η= -1
x=8,0; η= -2
η=0
3) LIM1 reativo - Barra 1-2: Seção 1: η=0 Seção 2: η=5 Barra 2-3: Seção 2: η=0 Seção 3: η=3 O diagrama denomina-se Linha de Influência do momento reativo em 1.
100
4) I) Para o primeiro trem-tipo: 1) a) LIQ2E → Q2 E- MAX − = -11,5KN; Q2 E
MAX +
=0
b) LIQ2D → Q2 D - MAX − = -3,58KN; Q2D MAX + =12,5KN c) LIM2 → M2MAX −= -32,25KNm; M2MAX +=0 d) LIM3 → M3MAX − = -22,25KNm; M3MAX + =24,5KNm 2) a) LIR1 → R1MAX − = -7KN; R1MAX + =12,25KN b) LIR5 → R5MAX − =0; R5MAX + =18,75KN c) LIQ2 → Q2MAX − = -7KN; Q2MAX + =11,65KN d) LIQ3 → Q3MAX − = -7KN; Q3MAX + =10,75KN e) LIM1 → M1MAX − = -34,5KNm; M1MAX + =21KNm f) LIM2 → M2MAX − = -20,16KNm; M2MAX + =12,6KNm g) LIM4 → M4MAX − = -10,5KNm; M4MAX + =8,0625KNm h) LIM5 → M5MAX − = -21KNm; M5MAX + =0. II) Para o segundo trem-tipo: 1) a) LIQ2E → Q2E MAX − = -17 tf; Q2E MAX + =0; b) LIQ2D → Q2D M AX − = -3,83 tf; Q2D MAX + =20,89 tf c) LIM2 → M2MAX − = -38,5 tfm; M2MAX + =0 d) LIM3 →M3MAX − = -24,5 tfm; M3MAX + =37,7 tfm 2) a) LIR1 → R1MAX − = -7,33 tf; R1MAX + =21,83 tf b) LIR5 → R5MAX − =0; R5MAX + =26,5 tf c) LIQ2 → Q2MAX − = -7,33 tf; Q2MAX + =18,37 tf d) LIQ3 → Q3MAX − = -7,33 tf; Q3MAX + =11,5 tf e) LIM1 → M1MAX − = -43 tfm; M1MAX + =22 tfm f) LIM2 → M2MAX − = -22,32 tfm; M2MAX + =13,2 tfm g) LIM4 → M4MAX − = -11 tfm; M4MAX + =8,625 tfm h) LIM5 → M5MAX − = -22 tfm; M5MAX + =0.
5)
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RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCÍCIOS 8A 1) (I) H3= 8kN V1= 20kN V2= 20kN (II) H1= 6kN V5 = 8kN V3 = 23kN V1= 5kN (III) H1= 90kN V1= 178,57kN V4= 81,43kN (IV) H1= 4,5kN V1= 52,82kN H5= -67,5kN V5= 67,18kN (V) H2= 1tf V2= 14,8tf V1= 12,2tf N (barra 3) = -o,67tf
2)
(a) H1=0 V1= 1800kN V2= 1800kN
102
(b) H1= 900kN V1= 1800kN H2= 900kN V2= 1800kN
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